Введение в комбинаторный анализ: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

В В Е Д Е Н И Е В К О МБ И Н АТ О РН Ы Й АН АЛ И З У чебно-м етодичес коепос обие С пеци а ль н о ст и : 031201(022600) – Тео ри я и м ет о д и ка препо д а ва н и я и н о ст ра н н ых языко ви куль т ур, 031202(022900) – Перево д и перево д о вед ен и е, 031301(021800) – Тео рет и ческа я и при кла д н а я ли н гви ст и ка

В О РО Н Е Ж 2005

2

У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льтет а 2 сен тя б ря 2005 год а П ротокол № 1

С ост а вители: С а вчен ко Г.Б., Ярцева Н .А.

У чеб н о-м етод ическое п особ ие п од готовлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ического м од елирова н ия м а тем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов 1 ку рса д н евн ого отд елен ия ф а ку льтет а ром а н о-герм а н ской ф илологии

3

В ведение Н а ст оя щ ее п особ ие п ред н а зн а чен о д ля ст у д ен т ов 1 ку рса ф а ку льт ет а ром а н о-герм а н ской ф илологии и сод ерж ит об щ ие у ка за н ия п о изу чен ию ра зд ела м а т ем а тики «Ком б ин а торика » в об ъем е п рогра м м ы д ля у ка за н н ой сп ециа льн ости, а т а кж е кон трольн ые за д а н ия . П особ ие сод ерж ит н еоб ход им ые т еорет ические свед ен ия , а т а кж е п од роб н ые реш ен ия тип ичн ых п рим еров.

1. П рос тейш иеком бинаторныезадачи П ред ста вит еля м са м ых ра зличн ых сп ециа льн остей п риход ит ся реш а т ь за д а чи, в кот орых ра ссм а трива ют ся т е или ин ые ком б ин а ции, сост а влен н ые из б у кв, циф ри ин ых об ъект ов. Н а п рим ер, за вед у ющ ем у у чеб н ой ча стью ш колы– сост а вит ь ра сп иса н ие у роков, а грон ом у – ра зм естит ь п осевы сельскохозя йствен н ых ку льт у р н а н ескольких п оля х, лин гвист у – у чест ь ра зличн ые ва риа н т ы зн а чен ия б у кв н езн а ком ого я зыка и т.д . О б ла ст ь м а т ем а т ики, в которой изу ча ют ся воп росы о том , сколько ра зличн ых ком б ин а ций, п од чин ен н ых т ем или ин ым у словия м , м ож н о сост а вит ь изза д а н н ых об ъект ов, н а зыва ется ком б ин а торикой. За д а чи о п од счет е числа возм ож н ых ком б ин а ций н а зыва ют ся ком б ин а торн ым и. О бщ иеправил а ком бинаторики. Ком б ин а торн ые за д а чи б ыва ют са м ых ра зн ых вид ов, н о б ольш ин ство за д а ч реш а ют ся с п ом ощ ью д ву х осн овн ых п ра вил – п ра вила су м м ы и п ра вила п роизвед ен ия . Ч а сто у д а ет ся ра зб ит ь все изу чен н ые ком б ин а ции н а н есколько кла ссов, п ричем ка ж д а я ком б ин а ция вход ит в од ин и только в од ин кла сс. Ясн о, чт о в эт ом слу ча е об щ ее число ком б ин а ций ра вн о су м м е чисел ком б ин а ций во всех кла сса х. И т а к, если н екот орый об ъект А м ож н о выб ра т ь m сп особ а м и, а д ру гой об ъект В м ож н о выб ра т ь n сп особ а м и, т о выб ор «либ о А», «либ о В» м ож н о осу щ ест вит ь m+n сп особ а м и. Э то у т верж д ен ие н а зыва ют п ра вилом су м м ы. П ри исп ользова н ии п ра вила су м м ы н а д о след ит ь, чт об ы н и од ин из сп особ ов выб ора об ъект а А н е совп а д а л с ка ким -н иб у д ь сп особ ом выб ора об ъект а В. Е сли т а кие совп а д ен ия ест ь, п ра вило су м м ы у т ра чива ет силу , и м ы п олу ча ем лиш ь m+n-k сп особ ов выб ора , гд е k – число совп а д ен ий. Вт орое п ра вило, н а зыва ем ое п ра вилом п роизвед ен ия , н есколько слож н ее. Ч а ст о п ри сост а влен ии ком б ин а ций из д ву х элем ен т ов известн о, скольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь п ервый элем ен т, скольким и сп особ а м и – вт орой, п ричем число сп особ ов выб ора вт орого элем ен т а н е за висит от т ого, ка к им ен н о выб ра н п ервый элем ен т. П у ст ь п ервый элем ен т м ож н о выб ра т ь m сп особ а м и, а вт орой n сп особ а м и. Т огд а п а ру эт их элем ен тов м ож н о выб ра т ь mn сп особ а м и. П ра вило у м н ож ен ия :

4

Е сли об ъект А м ож н о выб ра т ь m сп особ а м и и если п осле ка ж д ого т а кого выб ора об ъект В м ож н о выб ра ть n сп особ а м и, т о выб орп а ры(А,В) в у ка за н н ом п оря д ке м ож н о осу щ ест вит ь mn сп особ а м и. С лож н ее реш а ют ся ком б ин а торн ые за д а чи, в кот орых число выб оров п осле ка ж д ого ш а га за висит от того, ка кие элем ен т ы б ыли выб ра н ы н а п ред ыд у щ их ш а га х. П рим ерт а кой за д а чи. За д а ча о д ом ин о: С кольким и сп особ а м и из28 кост ей д ом ин о м ож н о выб ра т ь д ве кости т а к, чт об ы их м ож н о б ыло п рилож ит ь д ру г к д ру гу (т о ест ь чтоб ы ка кое-т о число очков вст реча лось н а об еих кост я х)? Реш ен ие. С н а ча ла выб ерем од н у кост ь. Э т о м ож н о сд ела т ь 28 сп особ а м и. П ри этом в сем и слу ча я х выб ра н н а я кост ь ока ж ется «д у б лем », т о ест ь кост ью вид а 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, а в 21 слу ча е – кост ью с ра зличн ым и числа м и очков (н а п рим ер, 05, 13 и т .д .). В п ервом слу ча е вт ору ю кост ь м ож н о выб ра т ь 6 сп особ а м и (н а п рим ер, если н а п ервом ш а гу выб ра н а кост ь 11, то н а втором ш а гу м ож н о взя т ь од н у из кост ей 01, 12, 13, 14, 15, 16). Во втором ж е слу ча е вт ору ю кост ь м ож н о выб ра т ь 12 сп особ а м и (д ля кости 35 п од ойд у т кост и 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). П о п ра вилу п роизвед ен ия в п ервом слу ча е п олу ча ем 7 ⋅ 6 = 42 , а во втором 21 ⋅12 = 252 выб ора . Зн а чит, п о п ра вилу су м м ып олу ча ем 42+252=294 сп особ а выб ора п а ры. В п ровед ен н ом ра ссу ж д ен ии у чит ыва лся и п оря д ок, в кот ором выб ира лись кости. П оэт ом у ка ж д а я п а ра кост ей п оя вля ла сь д ва ж д ы (н а п рим ер, п ервый ра з01 и 16, а вт орой ра з16 и 01). Е сли н е у чит ыва т ь п оря д ок выб ора кост ей, т о п олу чим вд вое м ен ьш е сп особ ов выб ора , то ест ь 147 сп особ ов. М ы ра ссм отрели н екот орые об щ ие п ра вила реш ен ия ком б ин а т орн ых за д а ч. С их п ом ощ ью м ож н о реш а ть за д а чи са м ых ра зн ых тип ов. О д н а ко вм ест о реш ен ия за д а чи п о об щ им п ра вила м ча ст о у д об н ее п ользова т ься гот овым и ф орм у ла м и, т а к ка к н екот орые тип ы за д а ч встреча ют ся зн а чит ельн о ча щ е д ру гих. Ком б ин а ция м , которые вст реча ют ся в эт их за д а ча х, п рисвоен ы н а зва н ия – ра зм ещ ен ия , п ерест а н овки и сочет а н ия . За д а ча 1. П ереста н овки. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра сп олож ит ь в ря д элем ен тов? Без н а ру ш ен ия об щ н ости м ож н о счит а т ь, что п ерест а вля ем ым и элем ен т а м и я вля ются числа н а т у ра льн ого ря д а 1,2,… ,n. Ра ссм от рим сн а ча ла ча ст н ые слу ча и. П ри n=2 им еют ся д ве п ерест а н овки (1,2) и (2,1). П ри n=3, очевид н о, им еет ся ш ест ь п ереста н овок (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). П ри n=4, н е п ереб ира я все п ереста н овки, п ровед ем след у ющ ее ра ссу ж д ен ие. Н а п ервом м ест е м ож ет н а ход ит ься од ин изчет ырех элем ен т ов. П ри ка ж д ом выб оре п ервого элем ен т а ост а льн ые три во всевозм ож н ых п оря д ка х за н им а ют ост а льн ые три м еста , т а к что су щ ест ву ет ш ест ь ра зличн ых п ерест а н овок п ри ф иксирова н н ом п ервом элем ен т е. С лед ова т ельн о, об щ ее число п ерест а н овок ра вн о 6 ⋅ 4 = 24 . Э то ра ссу ж д ен ие им еет об щ ий ха ра кт ер.

5

число п ерест а н овок (n-1) элем ен тов и через О б озн а чим через Pn−1 Рn – число п ерест а н овок n элем ен тов. В ка ж д ой п ерест а н овке n элем ен т ов н а п ервом м есте м ож ет ока за т ься од ин из элем ен тов 1,2,… ,n, т а к чт о им еет ся n возм ож н ост ей выб ора п ервого элем ен т а . П ри ка ж д ом изн их д ля ост а вш ихся n1 элем ен тов им еется Pn−1 возм ож н ост ей ра сп олож ен ий н а ост а льн ых n-1 м ест а х, иб о эти ра сп олож ен ия отлича ют ся только п оря д ком элем ен тов. П риш ли к соот н ош ен ию Pn = n ⋅ Pn−1 , отку д а п ослед ова тельн о п олу ча ем , исход я изР2=2, чт о P3 = 3 ⋅ 2 = 3!, P4 = 4 ⋅ P3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 4!, P5 = 5! и т .д . Д оп у ст ив, чт о Pn−1 =(n-1)!, п олу чим , чт о

P

n

= n ⋅ P n−1 =n!

(1)

Э то ра ссу ж д ен ие я вля ет ся ф а кт ически д ока за т ельст вом п осред ст вом м ет од а м а т ем а т ической ин д у кции ф орм у лыРn=n!, котора я и реш а ет за д а чу . За д а ча 2. Ра зм ещ ен ие. С кольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь и ра сп олож ит ь в ря д m элем ен тов изд а н н ого м н ож ества , сод ерж а щ его n элем ен тов? Т а кие ра сст а н овки, состоя щ ие из m элем ен тов, выб ра н н ых из д а н н ых n элем ен тов, и отлича ющ иеся либ о са м им и элем ен т а м и, либ о их п оря д ком , либ о и т ем и д ру гим , н а зыва ют ся ра зм ещ ен ия м и, а их число п рин я то об озн а ча ть сим волом (чит а ет ся «А изn п о m»).

m

A

n

Н а п рим ер, их четырех элем ен тов 1,2,3,4 (n=4) м ож н о сост а вит ь 12 ра зм ещ ен ий п о 2 элем ен т а м (m=2); (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3). Т а ким об ра зом , А24 =12. Ка к ж е вычислит ь Amn ? Возьм ем все п ерест а н овки из n элем ен тов и «выреж ем » в ка ж д ой из н их п ервые m элем ен тов, отб росив ост а льн ые n-m э лем ен тов. О ст а н у т ся ра зм ещ ен ия из n элем ен тов п о m, н о ка ж д ое ра зм ещ ен ие вст ретит ся только ра з, сколько п ерест а н овок м ож н о соста вит ь из от б рош ен н ых n-m элем ен тов, т.е. Рn-m ра з. Т а ким об ра зом , число ра зм ещ ен ий из n п о m в Рn-m ра з м ен ьш е числа п ерест а н овок n элем ен т ов, т.е. m

A

n

=

P P

n

n −m

=

n! = n ⋅ ( n − 1)...(n − m + 1) . (n − m)!

(2)

М ож н о ра ссу ж д а т ь ин а че. Все п ерест а н овки n элем ен тов м ож н о п остроит ь, исп ользу я ра зм ещ ен ия из эт их n элем ен тов п о m. П рисоед ин им к ка ж д ом у из ра зм ещ ен ий элем ен т ы, н е вош ед ш ие в ра зм ещ ен ие. П ри эт ом

6

ка ж д ое ра зм ещ ен ие д а ет Рn-m п ерест а н овок n элем ен тов п о числу сп особ ов, которым и м ож н о ра сп олож ит ь в ря д ост а вш иеся n-m элем ен т ов. Т а ким об ра зом , число п ерест а н овок n элем ен тов в Рn-m ра зб ольш е, чем число ра зм ещ ен ий изn элем ен тов п о m, т .е.

P =A P m

n

n

n −m

,

от ку д а след у ет у ж е вывед ен н а я ф орм у ла числа ра зм ещ ен ий изn п о m. За д а ча 3. С очет а н ия . С кольким и сп особ а м и из м н ож ест ва , сод ерж а щ его n элем ен т ов, м ож н о выб ра т ь п од м н ож ест во, сост а влен н ое из m элем ен т ов? Та кие п од м н ож ест ва , кот орые ра злича ются только н а б ором элем ен тов б ез у чет а их вза им н ого ра сп олож ен ия , н а зыва ют ся сочета н ия м и. Н а п рим ер, из чет ырех элем ен т ов 1,2,3,4 м ож н о соста вит ь ш ест ь сочета н ий п о д ва : {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Фигу рн ые скоб ки зд есь п од черкива ют отличие сочет а н ий от ра зм ещ ен ий. Ра зм ещ ен ия (1,3) и (3,1) счит а ют ся ра зличн ым и, хот я и сост а влен ыизод н их и т ех ж е элем ен т ов, а {1,3} и {3,1} счит а ют ся од н им и тем ж е сочет а н ием . Ч исло сочет а н ий изn элем ен тов п о m об озн а ча ет ся сим волом

C

m n

n 

или  , н а при м ер С m  

2 4

=6.

С очета н ия т есн о свя за н ыс ра зм ещ ен ия м и. Д ейст вительн о, если в ка ж д ом ра зм ещ ен ии от влечься от п оря д ка сост а вля ющ их его элем ен тов, т .е. н е ра злича т ь ра зм ещ ен ия , отлича ющ иеся т олько п оря д ком элем ен тов, то м ы п олу чим все сочет а н ия . О б ра т н о, если в ка ж д ом сочет а н ии вып олн ить всевозм ож н ые п ерест а н овки, то п олу ча т ся все ра зм ещ ен ия . П оэтом у

A =C ⋅P m

m

n

n

m

.

Е сли п од ст а вит ь в эт у ф орм у лу вм ест о

C

m n

=

n! . (n − m)!m!

m

A

n

и

P

m

ихзн а чен ия , т о п олу чим

(3)

За м еча н ие 1. П роизвед ен ие н а т у ра льн ых чисел от 1 д о n об озн а чим n! (чит а ется n-ф а кт ориа л). И т а к,

P

n

= n!= 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n .

П ри этом п ола га ют 1!=1. Ка за лось б ы, что 0! Д олж ен ра вн я т ься 0. О д н а ко п рин я т о счит а т ь, чт о 0!=1. Д ело в т ом , что ф а кт ориа л об ла д а ет, очевид н о, след у ющ им свойст вом :

7

n!=n(n-1)! Э то ра вен ст во сп ра вед ливо п ри n>1. Е ст ест вен н о оп ред елить 0! Т а к, чт об ыон о ост а ва лось верн ым и п ри n=1, т о ест ь т а к, чт об ы 1!= 1⋅ 0! . Н о т огд а н у ж н о п олож ит ь 0!=1. Ч исла C mn об ла д а ют м н огим и ин тересн ым и и ва ж н ым и свойст ва м и. О ста н овим ся н а н екот орыхизн их, кот орые ча сто исп ользу ют ся . П ервое свойст во: m

n−m

n

n

C =C

.

(4)

О н о сра зу выт ека ет изф орм у лы (3). Вед ь если за м ен ит ь в эт ой ф орм у ле m н а n-m, т о n-m за м ен ит ся н а n-(n-m)=m и в резу льт а т е м н ож ит ели, стоя щ ие в зн а м ен а т еле, п ом ен я ют ся м еста м и. Н о ра вен ст во (4) легко д ока за т ь и н е п риб ега я к я вн ом у вид у числа сочета н ий. Е сли выб ра ть из n ра зличн ых элем ен тов н екоторое m-сочет а н ие, то ост а н ет ся д оп олн ительн ое сочет а н ие из (n-m) элем ен т ов, а д оп олн ительн ым к п олу чен н ом у (n-m)-сочета н ию я вля ет ся исход н ое m-сочет а н ие. Т а ким об ра зом , m-сочет а н ие и (n-m)-сочет а н ие об ра зу ют вза им н о д оп олн ительн ые п а ры, п оэт ом у число эт их сочет а н ий од н о и то ж е. Зн а чит, m n−m Cn = Cn . Второе свойст во:

C

m +1 n +1

m +1

= Cn + Cn

m

(m