О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 320—328

УДК 512.542

О КВАДРАТИЧНЫХ АВТОМОРФИЗМАХ А Б Е Л Е В Ы Х ГРУПП*) А- X. ЖУРТОВ Введение

Пусть G — аддитивная абелева группа, Е = {a : G -> G \ (х + у)а = = ха + уа, a : , j / 6 G } - множество всех ее эндоморфизмов. Множество Е является ассоциативным кольцом с единицей относительно обычных опе­ раций сложения и умножения, задаваемых правилами: х(а + 6) = ха + жЬ, x(ab) = (ха)Ь для любых a,b e E. Очевидно, что группа Aut(G) всех автоморфизмов группы G является подгруппой мультипликативной по­ лугруппы кольца Е и тождественный автоморфизм 1 служит единицей кольца Е. Кроме того, если подгруппа А < Aut(G) порождается подмно­ жеством 23, элементы которого имеют конечные порядки, в частности, если А периодична, то А = (В) содержится в подкольце кольца £7, по­ рожденном множеством В. Основная цель работы — изучение подгрупп группы Aut(G), порожденных квадратичными автоморфизмами, т.е. ав­ томорфизмами, каждый из которых, как элемент кольца JE7, является кор­ нем квадратного уравнения х2 + ах + /3 • 1 с целыми коэффициентами. Важнейшими примерами квадратичных автоморфизмов служат элементы порядков 3 и 4 в группах регулярных автоморфизмов: они являются кор­ нями уравнений х2 + х + 1пх2

+ 1 соответственно. Основной результат

работы: ** Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

321

Т Е О Р Е М А 1. Пусть А — группа, порожденная двумя квадратич­ ными автоморфизмами а, Ь абелевой группы G. 1. Если период т группы G и порядок п произведения ab конечны, то А — конечная группа, порядок которой не превосходит т2п — 1. 2. Если А — периодическая группа, то она конечна. Отметим, что в п. 1 теоремы 1 оба условия конечности существенны (см. примеры 1 и 2). Используя теорему 1, мы получаем описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, по­ рядки которых не превосходят 4. Напомним, что автоморфизм называется регулярным, если он не имеет нетривиальных неподвижных точек. Т Е О Р Е М А 2. Пусть А — нециклическая периодическая группа ре­ гулярных автоморфизмов абелевой группы G, порожденная двумя элементами а и Ь. 1. Если порядок элементов а, b равен 3, то А изоморфна SL2 (3) или SL2(b). 2. Если порядок а равен 3, порядок Ь равен 4, то А изоморфна

{х,у\

х* = у 4 = 1,ХУ = х-1), SL 2 (3), GL2(Z) или 51(2,5). 3. Если порядки элементов а, Ь равны 4, то для некоторого нату­ рального числа т группа А изоморфна (ж, у | х2т = у4 = 1, ху = ж" 1 , хт = = у2>. Из теоремы 2 вытекает частичное решение задачи 10.60 из [1], по­ ставленной А. И. Созутовым. С Л Е Д С Т В И Е 1. Периодическая группа автоморфизмов абелевой группы, содержащая элемент порядка 2 или 3, обладает

нетривиальным

центром. При некоторых ограничениях на строение групп из п. 2 теоремы 2 удается описать группы регулярных автоморфизмов, порожденные эле­ ментами порядка 3. Т Е О Р Е М А 3. Пусть А — нециклическая периодическая группа ре­ гулярных автоморфизмов абелевой группы, порожденная элементами по-

322

А. X. Журтов

рядка 3. Если в А не содержится подгруппа, изоморфная 51^2(5), то А изоморфна 51/2 (3).

§ 1* Квадратичные автоморфизмы Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая Л Е М М А 1. Периодическая группа автоморфизмов конечно-порож­ денной абелевой группы конечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А < Aut(G), где группа G является конечно-порожденной абелевой, т.е. прямой суммой свободной абелевой группы F некоторого конечного ранга г и конечной группы Г, а группа А — периодической. Поскольку Т совпадает с множеством элементов из G конечного порядка, подгруппа Т будет Л-инвариантной. Группа A/J5, где В = {а £ А | ta = £, t G Т } , изоморфна некоторой группе автоморфизмов конечной группы Т и поэтому конечна. Пусть С = {Ь £ В \ g~lga € T}g 6 6 G}. Тогда С — нормальная подгруппа в В и В/С — периодическая группа автоморфизмов свободной абелевой группы G/T, т. е. периодиче­ ская группа матриц размерности г над кольцом целых чисел. Характери­ стические корни каждой такой матрицы являются корнями из единицы некоторой степени s такой, что значение функции Эйлера от s не превос­ ходит г. Таким образом, число s ограничено некоторой функцией от г, и поэтому период группы В/С конечен. По теореме Бернсайда (см. [2, теор. 36.1]) В/С конечна. Осталось доказать конечность группы С. Любой элемент из С однозначно определяется образами свободных образующих группы F. Если / — один из них и с Е С, то / с = ft, t € Т. Поэтому \С\ ^ |Г| Г . Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. Будем использовать идеи работы [3], в которой рассматривается частный случай группы регулярных авто­ морфизмов элементарной абелевой 2-группы, порожденной двумя элемен­ тами порядка 3. Пусть G — абелева группа, А — ее группа автоморфизмов, порожден­ ная двумя элементами а, Ь, для которых (ab)n = 1. Предположим, что в

О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

323

кольце Е = End(Cr) выполняются равенства а 2 = а а + /3 • 1, б2 = ^b + S • 1, где а, /3, 7? $ ~ некоторые целые числа. Пусть R — подкольцо в Е, по­ рожденное элементами а, Ь. Обозначим через С подмножество кольца i2, состоящее из мономов 1,а,Ь, а&,6а,аЬа,ЬаЬ, abab,..., в которых буквы а, Ь чередуются и длина которых не больше, чем 2п — 1. Ясно, что число эле­ ментов в С равно 4п - 1. Пусть М — аддитивная группа, порожденная множеством С. Пока­ жем, что R = М. Для этого достаточно показать включение CaUCb С М. Более того, в силу симметрии достаточно рассмотреть произведение Са. Пусть с £ С. Если с = 1, то са = а G С. Если с ^ 1, то, по определению С, с = ха или с = жЬ, где ж G C . Если с = жа, то са = ха2 = #(аа -f /3 • 1) = = ажа + /fa = «с + /За; G М. Если с = а?Ь, где ж G С, то в случае, когда длина х в записи через а, Ь меньше 2га - 2, элемент са содержится в С. Если же длина х равна 2п - 2, то для с имеется единственная возмож­ ность: с = (ba)nb и са = (Ьа)п. Так как (ab)n = 1, то (6а) п = 1, и поэтому са = 1 6 С. Итак, М = R. Пусть А — периодическая группа. По доказанному, она является группой автоморфизмов конечно-порожденной абелевой группы М. Со­ гласно лемме 1, А конечна. Тем самым п. 2 теоремы доказан. Пусть теперь период группы G конечен и равен га. Тогда период группы М также равен т , и поэтому кольцо R конечно, а, значит, конечна полугруппа, порожденная элементами а и Ъ. В этом случае она совпадает с группой А, следовательно, А конечна. Более того, ее порядок меньше порядка группы М. Покажем, что аддитивная группа М порождается множеством D эле­ ментов из С, длина которых в записи через а, 6 не превосходит п. Дей­ ствительно, если 1 £ С и длина х больше п, то найдется такой элемент у из С длины меньше п, что ху = (ab)n = 1 или ху = (Ьа)п = 1. Тогда х = у"1 = cdcd- • •, где {с, d} = { а " " 1 , ^ 1 } , и длина ж в записи через а""1, Ь~х меньше п. Поскольку а" 1 = ак для некоторого натурального числа fc, то

324

А. X. Журтов

а""1 = а'а+р'Л для некоторых целых чисел и, точно так же b"""1 =

y'a+S'-l.

Следовательно, х — линейная комбинация элементов из D. Далее, baba - •; = а""1Ь""1а""1Ь""1 - • • — линейная комбинация элемента п букв п букв aba- • * и элементов из С, длина которых меньше п. Поэтому М порожда­ ть букв ется 2п элементами и \G\ < \М\ ^ т2п. Теорема доказана. Следующие примеры показывают, что ни одно из условий конечности части 1 теоремы 1 нельзя опустить. ПРИМЕР 1. Пусть G — векторное пространство счетной размерности над полем из двух элементов с базой