Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2004. Том 45, № 1
УДК 517.953+517.983
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Г. В. Демиденко Аннотация: Изучается один класс матричных дифференциальных операторов во всем пространстве. Для этого класса операторов установлены изоморфные свойства в специальных шкалах весовых соболевских пространств, а также изучены свойства регулярности решений системы дифференциальных уравнений, определяемое этими операторами. Рассматриваемый класс операторов содержит, в частности, стационарный оператор Навье — Стокса. Ключевые слова: матричные дифференциальные операторы, весовые соболевские пространства, изоморфизм, регулярность решений, оператор Навье — Стокса.
В работе продолжаются исследования [1–3] свойств дифференциальных операторов с квазиоднородными символами. Мы будем рассматривать класс матричных дифференциальных операторов следующего вида: K(Dx ) L(Dx ) L (Dx ) = , x ∈ Rn . (0.1) M (Dx ) 0 Для этого класса операторов установим изоморфные свойства в специальных шкалах весовых соболевских пространств, а также изучим регулярность решений системы дифференциальных уравнений в Rn : K(Dx )u+ + L(Dx )u− = f + (x), M (Dx )u+ = f − (x).
(0.2)
Рассматриваемый класс операторов содержит, в частности, стационарный оператор Навье — Стокса − 0 0 Dx1 − 0 Dx2 0 `(Dx ) = (0.3) , x ∈ R3 . 0 0 − Dx3 Dx1 Dx2 Dx3 0 § 1. Формулировка основных результатов Укажем условия на класс дифференциальных операторов (0.1). Будем предполагать, что матричный ν × ν-дифференциальный оператор L (Dx ) удовлетворяет следующим условиям. Условие 1. Операторы K(Dx ), L(Dx ) и M (Dx ) являются µ × µ-, µ × (ν − µ)- и (ν − µ) × µ-матричными дифференциальными операторами по x ∈ Rn с постоянными коэффициентами, 1 ≤ µ < ν. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов № 01–01–00609, № 03–01–00095).
c 2004 Демиденко Г. В.
104
Г. В. Демиденко
Условие 2. Существуют вектор α = (α1 , . . . , αn ) и число s ∈ (0, 1) такие, что s/αi , 1/αi ∈ N и символы матричных операторов K(Dx ), L(Dx ), M (Dx ) однородны относительно вектора α с показателями 1, (1 − s), s соответственно, т. е. K(cα iξ) = cK(iξ),
L(cα iξ) = c1−s L(iξ),
M (cα iξ) = cs M (iξ),
c > 0.
Условие 3. Равенство det K(iξ) = 0,
ξ ∈ Rn ,
имеет место тогда и только тогда, когда ξ = 0. Условие 4. При любых ξ ∈ Rn \{0} имеет место неравенство det(M (iξ)K −1 (iξ)L(iξ)) 6= 0. Из условий 2 и 3 следует, что оператор K(Dx ) квазиэллиптический (см, например, [1, 4]). Оператор Навье — Стокса (0.3), очевидно, удовлетворяет условиям 1–4. Действительно, для этого оператора ν = 4, µ = 3, − 0 0 Dx1 − 0 , L(Dx ) = Dx2 , M (Dx ) = (Dx1 , Dx2 , Dx3 ), K(Dx ) = 0 0 0 − Dx3 при этом det K(iξ) = |ξ|6 , det(M (iξ)K −1 (iξ)L(iξ)) = −1, α = (1/2, 1/2, 1/2), s = 1/2. По аналогии с [1–3] установим изоморфные свойства операторов вида (0.1) r (Rn ), введенных в [5]. в специальных весовых соболевских пространствах Wp,σ По определению [5] норма в пространстве r Wp,σ (Rn ),
r = (r1 , . . . , rn ),
имеет вид
r
u(x), Wp,σ (Rn ) =
ri ∈ N,
1 < p < ∞,
σ ∈ R1 ,
X
(1 + hxi)−σ(1−β/r) Dxβ u(x), Lp (Rn ) ,
(1.1)
0≤β/r≤1
где hxi2 =
n X
i x2r i ,
i=1
β = (β1 , . . . , βn ),
β/r =
n X
βi /ri .
i=1
В изотропном случае r1 = . . . = rn = r норма (1.1) эквивалентна следующей: X
(1 + |x|)−σ(r−|β|) Dxβ u(x), Lp (Rn ) . 0≤|β|≤r
В работе [5] доказано, что при σ ≤ 1 множество финитных бесконечно дифr ференцируемых функций всюду плотно в Wp,σ (Rn ). В дальнейшем мы будем рассматривать эти пространства в частном случае σ = 1. Отметим, что в изотропном случае при σ = 1 и p > n пространства такого типа были введены Л. Д. Кудрявцевым [6] (см. также обзор [7]), а при σ = 1 и любых p > 1 они изучались в работах [8, 9]. Имеет место
Об одном классе матричных дифференциальных операторов n P
Теорема 1. Пусть r = (1/α1 , . . . , 1/αn ), |α| =
105
αi . Если |α|/p > 1, то
i=1
оператор L (Dx ) :
µ Y
ν Y
r Wp,1 (Rn ) ×
1
(1−s)r
Wp,1
µ Y
(Rn ) →
µ+1
Lp (Rn ) ×
1
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn )
µ+1
устанавливает изоморфизм. Следствие. Оператор Навье — Стокса (0.3) устанавливает изоморфизм `(Dx ) :
3 Y
3 Y
2 1 Wp,1 (R3 ) × Wp,1 (R3 ) →
1
1 Lp (R3 ) × Wp,1 (R3 )
1
при 1 < p < 3/2. Рассмотрим систему уравнений (0.2) в Rn . В силу теоремы 1 при |α|/p > 1 эта система имеет единственное решение u+ (x) ∈
µ Y
r Wp,1 (Rn ),
u− (x) ∈
1
ν Y
(1−s)r
(Rn )
(1.2)
(Rn ),
(1.3)
Wp,1
µ+1
для любой правой части f + (x) ∈
µ Y
Lp (Rn ),
ν Y
f − (x) ∈
(1−s)r
Wp,1
µ+1
1
при этом справедливо неравенство µ ν X X
−
+
r
u (x), W (1−s)r (Rn )
u (x), Wp,1
+ (R ) n p,1 i j j=1
i=µ+1
≤c
µ X
! ν X
−
+
f (x), W (1−s)r (Rn )
f (x), Lp (Rn ) + (1.4) p,1 i j i=µ+1
j=1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x). Приведем теорему о регулярности решений системы (0.2). Теорема 2. Пусть r = (1/α1 , . . . , 1/αn ), l ∈ N и |α|/p > 1, f + (x) ∈
µ Y
Wplr (Rn ),
f − (x) ∈
1
при этом Dxσ f − (x) ∈
ν Q
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn ),
µ+1
Wplr (Rn ) для любых σ, σα = 1 − s. Тогда для произ-
µ+1
водных компонент решения системы (0.2) имеют место следующие свойства: µ Q 1) Dxβ u+ (x) ∈ Wplr (Rn ) при βα = 1; 1
2) Dxγ u− (x) ∈
ν Q
Wplr (Rn ) при γα = 1 − s.
µ+1
Замечание 1. Некоторые результаты об изоморфных свойствах дифференциальных операторов с однородными символами содержатся в работах [1– 3, 9–14].
106
Г. В. Демиденко Замечание 2. В частном случае теорема 1 анонсирована в [15].
Замечание 3. Интересно сравнить изоморфные свойства оператора Навье — Стокса (0.3), указанные в следствии к теореме 1, и изоморфные свойства оператора 1 0 0 Dx1 1 0 Dx2 0 `1 (Dx ) = , x ∈ R3 , 0 0 1 Dx3 Dx1 Dx2 Dx3 0 установленные автором в [3]. Из теоремы 1 в [3] следует, что оператор `1 (Dx ) :
3 Y
1 2 Wp,1 (R3 ) × Wp,1 (R3 ) →
1
3 Y
1 Wp,1 (R3 ) × Lp (R3 )
1
является изоморфизмом при 1 < p < 3/2. § 2. Схема доказательства изоморфных свойств оператора (0.1) Доказательство теоремы 1 можно провести, следуя [3]. Поэтому кратко укажем схему доказательства и остановимся на существенных отличиях. r (Rn ) и Учитывая условия 1, 2 и используя определения пространств Wp,1 (1−s)r
Wp,1 (Rn ), нетрудно убедиться, что линейный оператор L (Dx ) отображает пространство µ ν Y Y (1−s)r r Wp,1 (Rn ) × Wp,1 (Rn ) 1
µ+1
в пространство µ Y
Lp (Rn ) ×
1
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn )
µ+1
и является ограниченным. Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что система дифференциальных уравнений (0.2) имеет единственное решение в пространстве (1.2) при |α|/p > 1 для любой правой части (1.3), и для решения справедлива оценка (1.4). Отметим основные моменты доказательства разрешимости системы (1.2). Для доказательства разрешимости системы (1.2) будем использовать метод построения приближенных решений, подробно описанный в монографии [16]. Он основан на использовании интегрального представления С. В. Успенского [17] для суммируемых функций (см. также [16, гл. 1]): −1
−n
h Z
ϕ(x) = lim (2π) h→0
h
где |α| =
n P
v −|α|−1
Z Z
x−y exp i α ξ G(ξ)ϕ(y) dξdydv, v
(2.1)
Rn Rn
αi и
1
G(ξ) = 2mhξi2m exp(−hξi2m ),
hξi2 =
n X i=1
2/αi
ξi
,
m ∈ N.
(2.2)
Об одном классе матричных дифференциальных операторов
107
Для этого рассмотрим следующую систему с параметром ξ ∈ Rn : K(iξ)v + + L(iξ)v − = fb+ (ξ),
M (iξ)v + = fb− (ξ),
получающуюся формальным применением оператора Фурье к системе (0.2), при этом считаем, что вектор-функции f + (x), f − (x) бесконечно дифференцируемы и финитны. Учитывая условия 1–4, из этой системы при ξ ∈ Rn \{0} имеем v + (ξ) = v +,+ (ξ) + v +,− (ξ),
v − (ξ) = v −,+ (ξ) + v −,− (ξ),
где v +,+ (ξ) = K −1 (iξ)(I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ))fb+ (ξ), v +,− (ξ) = K −1 (iξ)L(iξ)N0−1 (ξ)fb− (ξ), v −,+ (ξ) = N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ)fb+ (ξ), v −,− (ξ) = −N0−1 (ξ)fb− (ξ),
N0 (ξ) = M (iξ)K −1 (iξ)L(iξ).
Символы fb+ (ξ), fb− (ξ) обозначают преобразование Фурье соответствующих вектор-функций. По аналогии с [16, гл. 3] для любых вектор-функций f + (x), f − (x) ∈ C0∞ (Rn ) определим следующие вектор-функции: +,+ u+ (x) + u+,− (x) k (x) = uk k
= (2π)−n/2
Zk
v −1
1/k
Z
eixξ G(ξv α )(v +,+ (ξ) + v +,− (ξ)) dξdv,
(2.3)
eixξ G(ξv α )(v −,+ (ξ) + v −,− (ξ)) dξdv,
(2.4)
Rn
−,+ u− (x) + u−,− (x) k (x) = uk k −n/2
Zk
= (2π)
v
−1
1/k
Z
Rn
где функция G(ξ) определена в (2.2). Из условий 1–4 следует, что вектор-функции v +,+ (ξ),
v +,− (ξ),
v −,+ (ξ),
v −,− (ξ),
используемые в определениях (2.3), (2.4), могут иметь особенности только при ξ = 0, причем эти особенности имеют вид O(hξiq ), q ∈ [−1, 0]. Поэтому в силу − определения (2.2) вектор-функции u+ k (x), uk (x) будут бесконечно дифференцируемыми. Очевидно, можно указать натуральное число m1 такое, что при m ≥ m1 в (2.2) эти вектор-функции будут суммируемыми в любой степени p ≥ 1 (см., например, [3]). В дальнейшем будем считать, что в (2.2) m ≥ m1 . − Учитывая определения вектор-функций u+ k (x), uk (x), непосредственной проверкой можно убедиться, что − + K(Dx )u+ k (x) + L(Dx )uk (x) = fk (x),
− M (Dx )u+ k (x) = fk (x),
где fk+ (x)
−n
Zk
= (2π)
1/k
v −|α|−1
Z Z
Rn Rn
x−y exp i α ξ G(ξ)f + (y) dξdydv, v
108
Г. В. Демиденко fk− (x)
−n
Zk
v −|α|−1
= (2π)
1/k
x−y exp i α ξ G(ξ)f − (y) dξdydv. v
Z Z
Rn Rn
В силу интегрального представления (2.1) имеем
+
f (x) − f + (x), Lp (Rn ) → 0, k → ∞, k
(1 + hxis )−(1−β/((1−s)r)) Dxβ f − (x) − Dxβ f − (x) , Lp (Rn ) → 0, k
k → ∞,
где hxi2s =
n X
2(1−s)ri
xi
0 ≤ β/((1 − s)r) ≤ 1.
,
i=1
Следовательно, вектор-функцию uk (x) =
u+ k (x) u− k (x)
,
компоненты которой определены в (2.3), (2.4), можно рассматривать в качестве приближенного решения системы (0.2). Перепишем формулы (2.3), (2.4) в операторном виде + + uk (x) f (x) , f (x) = . Pk f (x) = f − (x) u− k (x) В следующем параграфе будет доказано, что при условии |α|/p > 1 справедливы оценки µ ν X X
−
+ r
u (x), W (1−s)r (Rn )
u (x), Wp,1 (Rn ) + p,1 k,i k,j i=µ+1
j=1
! µ ν X X
−
+ (1−s)r
f (x), W
f (x), Lp (Rn ) + (2.5) (Rn ) ≤c p,1 i j i=µ+1
j=1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, а также установлена сходимость µ X
+
r
u (x) − u+ (x), Wp,1 (Rn ) k1 ,j k2 ,j j=1
+
ν X
−
u (x) − u− (x), W (1−s)r (Rn ) → 0, p,1 k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞. (2.6)
i=µ+1
Из (2.5), (2.6) в силу полноты пространства µ Y
r Wp,1 (Rn ) ×
1
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn )
µ+1
следует, что существует линейный непрерывный оператор P :
µ Y 1
Lp (Rn ) ×
ν Y µ+1
(1−s)r
Wp,1
(Rn ) →
µ Y 1
r Wp,1 (Rn ) ×
ν Y µ+1
(1−s)r
Wp,1
(Rn ),
Об одном классе матричных дифференциальных операторов
109
определенный на финитных вектор-функциях f (x) по формуле P f (x) = lim Pk f (x), k→∞
при этом вектор-функция u(x) = P f (x) будет решением системы (0.2). В силу µ ν Q Q (1−s)r плотности множества финитных вектор-функций в Lp (Rn ) × Wp,1 (Rn ) 1
µ+1
(см. [5]) по теореме «о продолжении по непрерывности» оператор P можно единственным образом продолжить на все это пространство с сохранением нормы. Для продолженного оператора будем использовать то же обозначение P . Из неравенства (2.5) следует, что линейные операторы Pk :
µ Y
Lp (Rn ) ×
1
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn ) →
µ Y
µ+1
r Wp,1 (Rn ) ×
1
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn )
µ+1
являются непрерывными и последовательность норм {kPk k} ограничена: kPk k ≤ c. Следовательно, по теореме Банаха — Штейнгауза сходимость Pk f (x) → P f (x),
k → ∞,
имеет место для любой вектор-функции f (x), удовлетворяющей (1.3). Из сказанного выше вытекает существование решения u(x) системы (0.2) из пространства (1.2) для любой правой части f (x) из пространства (1.3), и для него выполняется оценка (1.4) с константой c > 0, не зависящей от f (x). Единственность решения системы (0.2) в рассматриваемом пространстве при условии |α|/p > 1 доказывается по аналогии с [1, 16]. Итак, линейный оператор L (Dx ) :
µ Y
r Wp,1 (Rn )
×
1
ν Y
(1−s)r (Rn ) Wp,1
→
µ Y
µ+1
1
Lp (Rn ) ×
ν Y
(1−s)r
Wp,1
(Rn )
µ+1
является непрерывным, область его значений при |α|/p > 1 совпадает со всем пространством µ ν Y Y (1−s)r Lp (Rn ) × Wp,1 (Rn ), 1
µ+1
и ядро нулевое, при этом оператор P является обратным. Следовательно, оператор L (Dx ) устанавливает изоморфизм. Из проведенных рассуждений следует, что для полного доказательства теоремы 1 нужно получить оценку (2.5) и установить сходимость (2.6). Этот вопрос обсуждается в следующем параграфе. § 3. Оценки приближенных решений Проведение оценок вектор-функций (2.3), (2.4) разобьем на ряд лемм. Вначале приведем оценки старших производных этих вектор-функций. Лемма 3.1. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = 1. Тогда имеют место оценки µ µ X X
β +,+
+
Dx u
f (x), Lp (Rn ) , (x), L (R ) ≤ c p n j k,j j=1
j=1
(3.1)
110
Г. В. Демиденко µ ν X X
β +,−
Dx u
(x), L (R ) ≤ c p n k,j
X
Dxγ f − (x), Lp (Rn ) , i
(3.2)
i=µ+1 γα=1−s
j=1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом µ X
β +
Dx u (x) − Dxβ u+ (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,j k2 ,j
k1 , k2 → ∞.
(3.3)
j=1
Доказательство. Из определения вектор-функции u+,+ (x), очевидно, k имеем Dxβ u+,+ (x) k
Zk
−n/2
= (2π)
1/k
= (2π)−n
Zk
Z
v −1
eixξ G(ξv α )(iξ)β v +,+ (ξ) dξdv
Rn
v −1
1/k
Z Z
Rn
exp(i(x − y)ξ)G(ξv α ) dξ Fβ+ (y) dydv,
(3.4)
Rn
где Fβ+ (y) = (2π)−n/2
Z
exp(iys)(is)β K −1 (is)(I−L(is)N0−1 (s)M (is)K −1 (is))fb+ (s) ds.
Rn
В силу свойств представления (2.1) (см. [16, гл. 1]) получаем оценку µ X
kDxβ u+,+ k,j (x), Lp (Rn )k ≤ c
j=1
µ X
+ kFβ,j (x), Lp (Rn )k.
j=1
Из условий 2–4 элементы матрицы L(is)N0−1 (s)M (is)K −1 (is) однородны относительно вектора α степени 0. А поскольку βα = 1, в силу условий 2, 3 элементы матрицы (is)β K −1 (is) также однородны относительно вектора α степени 0. Поэтому из теоремы о мультипликаторах [18] следует неравенство µ µ X X
+
+
F (x), Lp (Rn ) ≤ cβ
f (x), Lp (Rn ) j β,j j=1
j=1
с константой cβ , не зависящей от f + (x). Отсюда вытекает оценка (3.1). Из определения вектор-функции u+,− (x) имеем k Dxβ u+,− (x) k
−n/2
Zk
= (2π)
v
−1
1/k
= (2π)−n
Zk
Z
eixξ G(ξv α )(iξ)β v +,− (ξ) dξdv
Rn
v −1
1/k
Z Z
Rn
exp(i(x − y)ξ)G(ξv α ) dξ Fβ− (y) dydv,
Rn
где Fβ− (y)
−n/2
Z
= (2π)
Rn
exp(iys)(is)β K −1 (is)L(is)N0−1 (s)fb− (s) ds.
(3.5)
Об одном классе матричных дифференциальных операторов
111
Как и выше, имеем неравенство µ µ X X
β +,−
−
Dx u
≤c
F (x), Lp (Rn ) . (x), L (R ) p n k,j β,j j=1
j=1
Из условий 2–4 следует, что K −1 (cα is)L(cα is)N0−1 (cα s) = c−s K −1 (is)L(is)N0−1 (s),
c > 0,
а поскольку βα = 1, в силу теоремы о мультипликаторах [18] приходим к оценке µ ν X X
−
F (x), Lp (Rn ) ≤ cβ β,j
X
Dxγ f − (x), Lp (Rn ) i
i=µ+1 γα=1−s
j=1 −
с константой cβ , не зависящей от f (x). Отсюда следует неравенство (3.2). Учитывая интегральное представления (2.1) и формулы (3.4), (3.5), получаем также сходимость (3.3). Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = 1 − s. Тогда имеют место оценки µ ν X X
β −,+
+
Dx u
≤c
f (x), Lp (Rn ) , (x), L (R ) p n j k,i i=µ+1
(3.6)
j=1
ν ν X X
β −,−
Dx u
(x), L (R ) ≤ c p n k,i
X
Dxγ f − (x), Lp (Rn ) , i
(3.7)
i=µ+1 γα=1−s
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом ν X
β −
Dx u (x) − Dxβ u− (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞.
(3.8)
i=µ+1
Доказательство. Из определения вектор-функций uk−,+ (x) и u−,− (x), очеk видно, имеем Dxβ u−,+ (x) k
Zk
−n/2
v
= (2π)
1/k −n
Zk
= (2π)
v
Z
−1
eixξ G(ξv α )(iξ)β v −,+ (ξ) dξdv
Rn −1
1/k
Z Z
Rn
exp(i(x − y)ξ)G(ξv ) dξ + β (y) dydv, α
(3.9)
Rn
где −n/2 + β (y) = (2π)
Z
exp(iys)(is)β N0−1 (s)M (is)K −1 (is)fb+ (s) ds,
Rn
а также Dxβ u−,− (x) k
−n/2
Zk
= (2π)
v −1
1/k
= (2π)−n
Zk
1/k
Z
eixξ G(ξv α )(iξ)β v −,− (ξ) dξdv
Rn
v −1
Z Z
Rn
Rn
exp(i(x − y)ξ)G(ξv α ) dξ − β (y) dydv,
(3.10)
112
Г. В. Демиденко
где − β (y)
−n/2
Z
= −(2π)
exp(iys)(is)β N0−1 (s)fb− (s) ds.
Rn
В силу свойств интегрального представления (2.1), как при доказательстве предыдущей леммы, приходим к оценкам ν ν X X
β −,+
+
Dx u
≤c
(x), Lp (Rn ) , (x), L (R ) p n k,i β,i i=µ+1 ν X
i=µ+1
ν X
−
β −,−
≤c
(x), Lp (Rn ) .
Dx u (x), L (R ) p n k,i β,i i=µ+1
i=µ+1
Из условий 2–4 следует N0−1 (cα s)M (cα is)K −1 (cα is) = c−1+s N0−1 (s)M (is)K −1 (is), N0−1 (cα s) = N0−1 (s), c > 0, а поскольку βα = 1 − s, то по теореме о мультипликаторах [18] имеем неравенства µ ν X X + kβ,i (x), Lp (Rn )k ≤ cβ kfj+ (x), Lp (Rn )k, i=µ+1 ν X
j=1
k− β,i (x), Lp (Rn )k ≤ cβ
ν X
X
kDxγ fi− (x), Lp (Rn )k
i=µ+1 γα=1−s
i=µ+1
с константой cβ , не зависящей от f (x). Отсюда вытекают оценки (3.6) и (3.7). Учитывая интегральное представления (2.1) и формулы (3.9), (3.10), получаем также сходимость (3.8). Лемма доказана. Для получения оценок производных Dxβ u+ k (x),
0 ≤ βα < 1,
Dxγ u− k (x),
0 ≤ γα < 1 − s,
(3.11)
мы, как и в работе [3], будем использовать оценки интегралов −1
Kh (x) =
h Z
h
v −1
Z
eixξ G(ξv α )k(ξ) dξdv,
0 < h < 1,
(3.12)
Rn
∞
где функция k(ξ) ∈ C (Rn \{0}) однородная относительно вектора α с показателем однородности q ≤ 0, т. е. k(cα ξ) = cq k(ξ),
c > 0.
В работе [3] при q < 0 была доказана следующая Лемма 3.3. Пусть |α|+q > 0. Тогда существует m0 такое, что если m ≥ m0 в определении (2.2) функции G(ξ), то имеет место равномерная оценка hxi|α|+q |Kh (x)| ≤ c,
x ∈ Rn ,
с константой c > 0, не зависящей от h. В случае q = 0 лемма также справедлива. Доказательство этого факта существенно не отличается от рассуждений, проведенных в [3], поэтому мы его опускаем. В дальнейшем мы будем иметь дело с интегралами вида (3.12) при q ∈ [−1, 0]. В этом случае, как следует из [3], можно взять m0 = m1 . Проведем теперь оценки производных (3.11).
Об одном классе матричных дифференциальных операторов
113
Лемма 3.4. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα < 1 и |α|/p > 1. Тогда имеют место неравенства µ µ X X
−(1−βα) β +,+
+
hxi
f (x), Lp (Rn ) , Dx uk,j (x), Lp (Rn ) ≤ c j j=1
(3.13)
j=1
µ ν X X
−(1−βα) β +,−
−
hxi
f (x), W (1−s)r (Rn ) , Dx uk,j (x), Lp (Rn ) ≤ c p,1 i j=1
(3.14)
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом µ X
(1 + hxi)−(1−βα) Dxβ u+ (x) − Dxβ u+ (x) , Lp (Rn ) → 0, k1 ,j k2 ,j
k1 , k2 → ∞.
j=1
(3.15) Доказательство. Из определения вектор-функции имеем Dxβ u+,+ (x) k
−n
Zk
= (2π)
v
−1
1/k
Z Z
Rn
u+,+ (x), k
очевидно,
ei(x−y)ξ G(ξv α )(iξ)β
Rn
× K −1 (iξ)(I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ)) dξ f + (y) dydv. Введем обозначение +,+ Kk,β (x)
Zk =
v
−1
1/k
Z
eixξ G(ξv α )kβ+,+ (ξ) dξdv,
Rn
где kβ+,+ (ξ) = (iξ)β K −1 (iξ)(I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ)). Тогда Dxβ u+,+ (x) = (2π)−n k
Z
+,+ Kk,β (x − y)f + (y)dy.
Rn
Как уже отмечалось, элементы матрицы L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ) однородны относительно вектора α степени 0. Поэтому в силу условий 2, 3 все элементы матрицы kβ+,+ (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα − 1 < 0. Поскольку |α|/p > 1, βα ≥ 0, то |α| + q > 0. Следовательно, применяя лемму 3.3, приходим к неравенству µ X
−(1−βα) β +,+
hxi Dx uk,j (x), Lp (Rn ) j=1
Z µ X
q
−|α|−q +
≤c hx − yi fj (y) dy, Lp (Rn )
hxi
j=1
Rn
µ Z Y n
X
+ ≤ c0 |xi |q/|α| |xi − yi |−1−q/|α| fj (y) dy, Lp (Rn ) .
j=1 R i=1 n
114
Г. В. Демиденко
Из условий леммы имеем 1/p > −q/|α| > 0, поэтому в силу неравенства Харди — Литтлвуда [19] получаем оценку (3.13). Докажем (3.14). Обозначим rl = 1/αl . Из определения вектор-функции +,− uk (x) следует, что Dxβ u+,− (x) k =
n X
−n/2
Zk
(2π)
l=1
v −1
1/k
=
n X
Z
− (ξ) dξdv eixξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl2rl K −1 (iξ)L(iξ)N0−1 (ξ)fc
Rn −n/2
Zk
(2π)
l=1
v −1
1/k
Z
(1+s)rl −(1−s)rl
eixξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl
i
Rn
\l − (1−s)r f (ξ) dξdv
× K −1 (iξ)L(iξ)N0−1 (ξ) Dl =
n X
−n
Zk
(2π)
l=1
v
−1
1/k
Z Z
Rn
(1+s)rl −(1−s)rl
ei(x−y)ξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl
i
Rn
×K
−1
(iξ)L(iξ)N0−1 (ξ) dξ
l − Dy(1−s)r f (y) dydv. l
Введем обозначение +,− Kk,β (x)
Zk =
v −1
1/k
Z
eixξ G(ξv α )kβ+,− (ξ) dξdv,
Rn
где kβ+,− (ξ) =
n X
(1+s)rl −(1−s)rl
(iξ)β hξi−2 ξl
i
K −1 (iξ)L(iξ)N0−1 (ξ).
l=1
Тогда Dxβ u+,− (x) = (2π)−n k
Z
+,− l − Kk,β (x − y)Dy(1−s)r f (y)dy. l
Rn
Как уже отмечалось, элементы матрицы K −1 (iξ)L(iξ)N0−1 (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности −s, тем самым элементы матрицы kβ+,− (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα − 1 < 0. Поэтому по аналогии с предыдущим имеем оценку µ X
−(1−βα) β +,−
hxi Dx uk,j (x), Lp (Rn ) j=1
ν n Z Y n
X X
q/|α| −1−q/|α| (1−s)rl − ≤c |xk | |xk − yk | Dyl fi (y) dy, Lp (Rn ) ,
0
i=µ+1 l=1
Rn k=1
и в силу неравенства Харди — Литтлвуда получим оценку (3.14). С учетом проведенных рассуждений доказательство сходимости (3.15) можно получить по аналогии с доказательством леммы 3.4 из [3]. Лемма доказана.
Об одном классе матричных дифференциальных операторов
115
Лемма 3.5. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα < 1 − s и |α|/p > 1. Тогда имеют место неравенства µ ν X X
+
−(1−s−βα) β −,+
f (x), Lp (Rn ) ,
hxi Dx uk,i (x), Lp (Rn ) ≤ c j
(3.16)
j=1
i=µ+1
ν ν X X
−(1−s−βα) β −,−
−
hxi
f (x), W (1−s)r (Rn ) (3.17) Dx uk,i (x), Lp (Rn ) ≤ c p,1 i i=µ+1
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом ν X
(1 + hxi)−(1−s−βα) Dxβ u− (x) − Dxβ u− (x) , Lp (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞.
i=µ+1
(3.18) Доказательство. Из определения вектор-функции
uk−,+ (x)
имеем
Dxβ u−,+ (x) k −n
Zk
= (2π)
1/k
v
−1
Z Z
i(x−y)ξ
e
Rn
α
β
G(ξv )(iξ)
N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ) dξ
f + (y) dydv.
Rn
Введем обозначение −,+ Kk,β (x)
Zk v
= 1/k
−1
Z
eixξ G(ξv α )kβ−,+ (ξ) dξdv,
Rn
где kβ−,+ (ξ) = (iξ)β N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 (iξ). Тогда Dxβ u−,+ (x) = (2π)−n k
Z
−,+ Kk,β (x − y)f + (y)dy.
Rn
Из условий 2–4 следует, что все элементы матрицы kβ−,+ (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = s + βα − 1 < 0. Поскольку |α|/p > 1, s + βα > 0, то |α| + q > 0. Следовательно, применяя лемму 3.3, получим неравенство ν X
−(1−s−βα) β −,+
hxi Dx uk,i (x), Lp (Rn ) i=µ+1
Z µ X
q
−|α|−q +
≤c hx − yi fj (y) dy, Lp (Rn )
hxi
j=1
Rn
µ Z Y n
X
0 q/|α| −1−q/|α| + ≤c |xk | |xk − yk | |fj (y)| dy, Lp (Rn ) .
j=1 R k=1 n
Из условий леммы имеем 1/p > −q/|α| > 0, поэтому в силу неравенства Харди — Литтлвуда [19] получаем оценку (3.16).
116
Г. В. Демиденко Докажем (3.17). Обозначим rl = 1/αl . Из определения вектор-функции вытекает, что
u−,− (x) k
− Dxβ u−,− (x) k =
n X
−n/2
Zk
(2π)
l=1
v −1
1/k
=
n X
Z
− (ξ) dξdv eixξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl2rl N0−1 (ξ)fc
Rn −n/2
Zk
v −1
(2π)
l=1
1/k
n X
=
i
(2π)−n
l=1
Zk
v −1
1/k
\l − (1−s)r f (ξ) dξdv
N0−1 (ξ) Dl
Z Z
ei(x−y)ξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2
Rn
Rn
×
eixξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2
Rn
(1+s)rl −(1−s)rl
× ξl
Z
(1+s)rl −(1−s)rl −1 ξl i N0 (ξ) dξ
l − Dy(1−s)r f (y)dydv. l
Введем обозначение −,− Kk,β (x)
Zk =
v
−1
1/k
где kβ−,− (ξ) = −
n X
Z
eixξ G(ξv α )kβ−,− (ξ) dξdv,
Rn
(1+s)rl −(1−s)rl
(iξ)β hξi−2 ξl
i
N0−1 (ξ).
l=1
Тогда Dxβ u−,− (x) k
−n
Z
= (2π)
−,− l − Kk,β (x − y)Dy(1−s)r f (y)dy. l
Rn
Из условий 2–4 следует, что все элементы матрицы kβ−,− (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = s + βα − 1 < 0. Поэтому по аналогии с предыдущим имеем оценку ν X
−(1−s−βα) β −,−
hxi Dx uk,i (x), Lp (Rn ) i=µ+1
ν n Z Y n
X X
q/|α| −1−q/|α| (1−s)rl − ≤c |xk | |xk − yk | Dyl fi (y) dy, Lp (Rn ) ,
0
i=µ+1 l=1
Rn k=1
и в силу неравенства Харди — Литтлвуда получим оценку (3.17). С учетом проведенных рассуждений доказательство сходимости (3.18) можно получить по аналогии с доказательством леммы 3.4 из [3]. Лемма доказана. Из доказанных лемм непосредственно вытекают оценка (2.5) и сходимость (2.6) для приближенных решений системы (0.2), на которые мы опирались в § 2, доказывая теорему 1.
Об одном классе матричных дифференциальных операторов
117
§ 4. Регулярность решений системы (0.2) Из доказательства теоремы 1 следует, что для доказательства теоремы 2 достаточно получить Lp -оценки соответствующих производных приближенных − решений u+ k (x), uk (x). Приведем эти оценки. Лемма 4.1. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = l + 1. Тогда имеют место оценки µ X µ X X
γ +
β +,+
Dx f (x), Lp (Rn ) ,
Dx u ≤ c (x), L (R ) p n j k,j j=1 γα=l
j=1
µ ν X X
β +,−
Dx u
≤c (x), L (R ) p n k,j j=1
X
σ −
Dx f (x), Lp (Rn ) i
i=µ+1 σα=l+1−s
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом µ X
β +
Dx u (x) − Dxβ u+ (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,j k2 ,j
k1 , k2 → ∞.
j=1
Для доказательства леммы нужно использовать представления (3.4), (3.5) для производных Dxβ u+,+ (x), Dxβ u+,− (x), учесть условия 2–4 и применить теоk k рему о мультипликаторах [18]. Лемма 4.2. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = l + 1 − s. Тогда имеют место оценки µ X ν X X
γ +
β −,+
Dx f (x), Lp (Rn ) ,
≤c
Dx u (x), L (R ) p n j k,i j=1 γα=l
i=µ+1
ν ν X X
β −,−
Dx u ≤ c (x), L (R ) p n k,i
X
σ −
Dx f (x), Lp (Rn ) , i
i=µ+1 σα=l+1−s
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом ν X
β −
Dx u (x) − Dxβ u− (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞.
i=µ+1
Для доказательства этой леммы нужно использовать представления (3.9), (3.10) для производных Dxβ u−,+ (x), Dxβ uk−,− (x), учесть условия 2–4 и применить k теорему о мультипликаторах [18]. В § 2, 3 доказано существование решения системы (0.2) в пространстве (1.2), при этом µ X
+
r
u (x) − u+ (x), Wp,1 (Rn ) j k,j j=1
+
ν X
−
u (x) − u− (x), W (1−s)r (Rn ) → 0, p,1 i k,i i=µ+1
Отсюда в силу лемм 4.1 и 4.2 вытекает доказательство теоремы 2.
k → 0.
118
Г. В. Демиденко ЛИТЕРАТУРА
1. Демиденко Г. В. О квазиэллиптических операторах в Rn // Сиб. мат. журн.. 1998. Т. 39, № 5. С. 1028–1037. 2. Демиденко Г. В. Изоморфные свойства квазиэллиптических операторов // Докл. РАН. 1999. Т. 364, № 6. С. 730–734. 3. Демиденко Г. В. Изоморфные свойства одного класса дифференциальных операторов и их приложения // Сиб. мат. журн.. 2001. Т. 42, № 5. С. 1036–1056. 4. Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем // Мат. сб.. 1962. Т. 59, № 3. С. 3–50. 5. Демиденко Г. В. О весовых соболевских пространствах и интегральных операторах, определяемых квазиэллиптическими уравнениями // Докл. РАН. 1994. Т. 334, № 4. С. 420–423. 6. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем пространстве или полупространстве // Мат. сб. I: 1966. Т. 69, N 4. С. 616–639; II: 1966. Т. 70, N 1. С. 3–35. 7. Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 26. С. 5–157. (Итоги науки и техники). 8. Nirenberg L., Walker H. F. The null spaces of elliptic partial differential operators in Rn // J. Math. Anal. Appl.. 1973. V. 42, N 2. P. 271–301. 9. Cantor M. Elliptic operators and the decomposition of tensor fields // Bull. Amer. Math. Soc.. 1981. V. 5, N 3. P. 235–262. 10. McOwen R. C. The behavior of the Laplacian on weighted Sobolev spaces // Comm. Pure Appl. Math.. 1979. V. 32, N 6. P. 783–795. 11. Choquet-Bruhat Y., Christodoulou D. Elliptic systems in Hs,σ spaces on manifolds which are Euclidean at infinity // Acta Math.. 1981. V. 146, N 1/2. P. 129–150. 12. Lockhart R. B., McOwen R. C. Elliptic differential operators on noncompact manifolds // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1985. V. 12, N 3. P. 409–447. 13. Amrouche C., Girault V., Giroire J. Espaces de Sobolev avec poids et equation de Laplace dans Rn . I // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I.. 1992. V. 315. P. 269–274. 14. Hile G. N., Mawata C. P. The behavior of the heat operator on weighted Sobolev spaces // Trans. Amer. Math. Soc.. 1998. V. 350, N 4. P. 1407–1428. 15. Demidenko G. V. On properties of a class of matrix differential operators in Rn // Selcuk J. Appl. Math.. 2002. V. 3, N 2. P. 23–36. 16. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 17. Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1972. Т. 117. С. 292–299. 18. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1969. Т. 105. С. 89–167. 19. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. П. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. Статья поступила 25 февраля 2003 г. Демиденко Геннадий Владимирович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
[email protected] 