Лекции по дискретной математике - Предварительные сведения

Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ (Ëåêöèè ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå) Ì.È. Äåõòÿðü

1 Ìíîæåñòâà Ìíîæåñòâî  ýòî îäíî èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé ìàòåìàòèêè, êàê äèñêðåòíîé, òàê è íåïðåðûâíîé. Îíî íå îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç äðóãèå ïîíÿòèÿ. Ñîäåðæàòåëüíî, ïîä ìíîæåñòâîì ïîíèìàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ. Îñíîâíîå îòíîøåíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè è ìíîæåñòâîì  ýòî îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà ìíîæåñòâó. Îíî îáîçíà÷àåòñÿ çíàêîì ∈: x ∈ A îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. x ∈ / A îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò x íå âõîäèò â ìíîæåñòâî A. A ⊆ B îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B .  ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B . Åñëè A ⊆ B è B ⊆ A, òî A = B , ò.å. ìíîæåñòâà A è B ðàâíû. Åñëè A ⊆ B è A 6= B , òî A íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B è â ýòîì ñëó÷àå ïèøåì A ⊂ B . Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ∅. Ìíîæåñòâà, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ äðóãèå ìíîæåñòâà, ÷àñòî íàçûâàþò ñåìåéñòâàìè èëè êëàññàìè. Ñåìåéñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç 2A . Îáû÷íî ìíîæåñòâà îáîçíà÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïàðû ôèãóðíûõ ñêîáîê, â êîòîðûå çàêëþ÷åíû èõ ýëåìåíòû. Íåáîëüøèå ìíîæåñòâà îïðåäåëÿþòñÿ ïðÿìûì ïåðå÷èñëåíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 10, ýòî {2, 3, 5, 7}, ìíîæåñòâî (èìåí) ëåòíèõ ìåñÿöåâ: {èþíü, èþëü, àâãóñò}.  îïèñàíèÿõ áîëüøèõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ èñïîëüçóþò ìíîãîòî÷èå.  íèõ ÷àñòî óêàçûâàåòñÿ íåñêîëüêî ïåðâûõ ýëåìåíòîâ è ïîñëåäíèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 100, çàïèñûâàþò êàê {0, 1, 2, . . . , 100}, ìíîæåñòâî âñåõ ìåñÿöåâ ãîäà  êàê {ÿíâàðü, ôåâðàëü, . . . , äåêàáðü}. Òàêîå çàäàíèå òðåáóåò îïðåäåëåííîé àêêóðàòíîñòè. Íàïðèìåð, åñëè íåêîòîðîå ìíîæåñòâî A çàäàíî êàê {3, 5, 7, . . . , 19}, òî íå ÿñíî ÿâëÿåòñÿ ëè A ìíîæåñòâîì íå÷åòíûõ ÷èñåë, ëåæàùèõ â èíòåðâàëå îò 3 äî 19, èëè ýòî ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë èç òîãî æå èíòåðâàëà (âîçìîæíû è äðóãèå åãî ðàñøèôðîâêè). Ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íà÷èíàþòñÿ íåñêîëüêèìè íà÷àëüíûìè ýëåìåíòàìè, à çàâåðøàþòñÿ ìíîãîòî÷èåì. Ïðè ýòîì ÷àñòî óêàçûâàþò îáùèé âèä ýëåìåíòà çàäàâàåìîãî ìíîæåñòâà. Îñíîâíîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ðàññìàòðèâàåìîå â äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå, ýòî ìíîæåñòâî âñåõ

1 Ìíîæåñòâà

2

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Ìíîæåñòâî âñåõ êâàäðàòîâ ýòèõ ÷èñåë ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, òàê: {0, 1, 4, 9, . . . , n2 , . . .}. Êàê ìû óæå îòìåòèëè, áîëüøèå ìíîæåñòâà íå âñåãäà ìîæíî òî÷íî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ ïåðå÷èñëåíèå ñ ìíîãîòî÷èåì. Îñíîâíîé ñïîñîá èõ îïèñàíèÿ èìååò âèä: {Elem | óñëîâèå íà Elem}, ãäå Elem  ýòî îáùèé âèä ýëåìåíòà îïðåäåëÿåìîãî ìíîæåñòâà, à ïîñëå âåðòèêàëüíîé ÷åðòû îïèñàíî óñëîâèå, êîòîðîìó ýòîò ýëåìåíò äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü. Íàïðèìåð, {n | (n ∈ N) è (10 ≤ n ≤ 1000)}  ýòî ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë â èíòåðâàëå îò 10 äî 1000, {n2 | n ∈ N}  ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, {x ∈ N | x − ïðîñòîå ÷èñëî }  ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë.

1.1 Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Èìååòñÿ öåëûé ðÿä îïåðàöèé, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòü îäíè ìíîæåñòâà èç äðóãèõ. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå èç íèõ. Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

A ∪ B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}. Îáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ Ai (i ∈ I) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî [ Ai = {x | ñóùåñòâóåò òàêîå i0 ∈ I, ÷òî x ∈ Ai0 }. i∈I

Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}. Ïåðåñå÷åíèåì ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ Ai (i ∈ I) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî \ Ai = {x | äëÿ âñÿêîãî i ∈ I x ∈ Ai }. i∈I

Èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî îíè îáëàäàþò ñâîéñòâàìè àññîöèàòèâíîñòè : A∪(B∪C) = (A∪B)∪C , A∩(B∩C) = (A ∩ B) ∩ C è êîììóòàòèâíîñòè A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

A \ B = {x | x ∈ A è x 6∈ B}. Îáû÷íî âñå ðàññìàòðèâàåìûå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U . Ðàçíîñòü U \ A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A (â U ) è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A¯. ßñíî, ÷òî A ∪ A¯ = U è A ∩ A¯ = ∅. Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

˙ = (A \ B) ∪ (B \ A). A−B

1.2 Êàê äîêàçûâàòü ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ?

3

Èíîãäà ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ íàçûâàþò äèçúþíêòèâíîé ñóììîé è îáîçíà÷àþò A ⊕ B èëè A∇B . Äåêàðòîâûì (ïðÿìûì) ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A1 , . . . , An íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî n-îê

A1 × . . . × An = {< a1 , . . . , an > | a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }. Åñëè A1 = . . . = An = A, òî A1 × . . . An íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé (ïðÿìîé) ñòåïåíüþ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç An .

Ïðèìåð 1.1. Ïóñòü çàäàíû ìíîæåñòâà A = {0, 1, . . . , n} è B = {0, 1, . . . m}, ãäå n ∈ N è m ∈ N  ÷èñëà è n < m. Òîãäà A ∪ B = B, A ∩ B = A, A \ B = ∅, B \ A = {n + 1, . . . , m}, A × B = {< i, j > | 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}.

1.2 Êàê äîêàçûâàòü ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ? Ìíîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ, â òîì ÷èñëå è ìíîãèå òåîðåìû â ýòîé êíèãå, èìåþò ñëåäóþùóþ ôîðìó. Äàíû ðàçíûå îïðåäåëåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ A è B . Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî A = B . Ñòàíäàðòíûé ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà òàêîãî óòâåðæäåíèÿ ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå äâóõ óòâåðæäåíèé î âêëþ÷åíèÿõ: 1) A ⊆ B è 2) B ⊆ A. Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ âêëþ÷åíèé ïðîâîäÿòñÿ ïî òàêîé ñõåìå: ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò, óäîâëåòâîðÿþùèé îïðåäåëåíèþ ìåíüøåãî ìíîæåñòâà (ñëåâà îò çíàêà ⊆) è óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò òàêæå îïðåäåëåíèþ áîëüøåãî ìíîæåñòâà (ñïðàâà îò çíàêà ⊆).  êà÷åñòâå ïðèìåðà äîêàæåì îäíî èç ñâîéñòâ (çàêîíîâ) äèñòðèáóòèâíîñòè äëÿ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . 1) Ïóñòü a  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç A ∪ (B ∩ C). Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèè ∪ èìååì a ∈ A èëè a ∈ (B ∩ C).  ïåðâîì ñëó÷àå èç òîãî æå îïðåäåëåíèÿ âûâîäèì, ÷òî a ∈ (A ∪ B) è a ∈ (A ∪ C). Íî òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèè ∩ ïîëó÷àåì, ÷òî a ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Âî âòîðîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ∩ ñëåäóåò, ÷òî a ∈ B è a ∈ C . Èç ýòîãî è èç èç îïðåäåëåíèÿ ∪ ñíîâà ñëåäóåò, ÷òî a ∈ (A ∪ B) è a ∈ (A ∪ C) è a ∈ (A∪B)∩(A∪C). Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî A∪(B∩C) ⊆ (A∪B)∩(A∪C). 2) Ïóñòü òåïåðü a ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèè ∩ èìååì a ∈ (A ∪ B) è a ∈ (A ∪ C). Åñëè a ∈ A, òî îáà ýòè âêëþ÷åíèÿ âûïîëíåíû. Íî òîãäà a ∈ A ∪ (B ∩ C). Åñëè æå a ∈ / A, òî èç ïåðâîãî âêëþ÷åíèÿ ñëåäóåò, ÷òî a ∈ B , à èç

4

1 Ìíîæåñòâà

âòîðîãî  a ∈ C . Ñëåäîâàòåëüíî, a ∈ (B ∩ C) è a ∈ A ∪ (B ∩ C). Òàêèì îáðàçîì, (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) è íàøå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Èñïîëüçóÿ ýòó æå ñõåìó, ìîæíî óñòàíîâèòü ìíîãî äðóãèõ ñâîéñòâ ââåäåííûõ âûøå îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè è ñâÿçåé ìåæäó íèìè (ñì. çàäà÷è 1.2 íà ñòð. 6 è 1.5 íà ñòð. 6).

1.3 Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Áèíàðíûì èëè äâóìåñòíûì îòíîøåíèåì ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî R èõ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ A × B . Ïðè A = B îòíîøåíèå R íàçûâàåòñÿ áèíàðíûì îòíîøåíèåì íà A. Âìåñòî < x, y >∈ R ÷àñòî ïèøóò xRy . Íàïðèìåð, äëÿ îòíîøåíèé ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N èñïîëüçóþò çàïèñè âèäà 3 ≤ 7, x ≥ 23, z > y è ò.ï. Òîæäåñòâåííûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå IA = {< x, x > | x ∈ A}. Åãî îáîçíà÷àþò çíàêîì ðàâåíñòâà  =. Ñ áèíàðíûì îòíîøåíèåì R ñâÿçàíà åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ δR = {x | ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî < x, y >∈ R} è åãî îáëàñòü çíà÷åíèé ρR = {y | ñóùåñòâóåò x òàêîå, ÷òî < x, y >∈ R}. Îáðàòíûì îòíîøåíèåì äëÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïàð −1 R = {< x, y > | < y, x >∈ R}. Îáðàçîì ìíîæåñòâà X îòíîñèòåëüíî R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî R(X) = {y | ñóùåñòâóåò x ∈ X òàêîå, ÷òî < x, y >∈ R}, ïðîîáðàçîì X îòíîñèòåëüíî R íàçûâàåòñÿ R−1 (X). Ïðîèçâåäåíèåì îòíîøåíèé R1 ⊆ A × B è R2 ⊆ B × C íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå îòíîøåíèå R1 ◦ R2 ⊆ A × C : R1 ◦ R2 = {< x, z > | ñóùåñòâóåò y ∈ B òàêîå, ÷òî < x, y >∈ R1 è < y, z >∈ R2 }. Âàæíóþ ðîëü ñðåäè áèíàðíûõ îòíîøåíèé èãðàþò îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, åñëè äëÿ íåãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) Ðåôëåêñèâíîñòü : äëÿ ëþáîãî a ∈ A (a, a) ∈ R; 2) Ñèììåòðè÷íîñòü : äëÿ ëþáûõ a, b èç A (a, b) ∈ R ⇔ (b, a) ∈ R; 3) Òðàíçèòèâíîñòü : äëÿ ëþáûõ òðåõ ýëåìåíòîâ a, b, c èç A, åñëè (a, b) ∈ R è (b, c) ∈ R, òî è (a, c) ∈ R. Ïðèìåðîì îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî n: a = b(mod n). Ñ êàæäûì îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè ≡ íà ìíîæåñòâå A ñâÿçàíî ðàçáèåíèå A íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà  êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Äëÿ êàæäîãî a ∈ A åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè [a]≡ âêëþ÷àåò âñå ýêâèâàëåíòíûå a ýëåìåíòû: [a]≡ = {b ∈ A | a ≡ b}. Èç îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî, åñëè a ≡ b, òî [a]≡ = [b]≡ , à åñëè a 6≡ b, òî [a]≡ ∩ [b]≡ = ∅. Òàêèì îáðàçîì, ðàçáèåíèå A íà êëàññû

1.3 Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà

5

ýêâèâàëåíòíîñòè íå çàâèñèò îò âûáîðà êîíêðåòíûõ ïðåäñòàâèòåëåé ýòèõ êëàññîâ â êà÷åñòâå èõ èìåí. Åñëè â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå â êà÷åñòâå n âçÿòü, íàïðèìåð, 5, òî âñå ÷èñëà èç N ðàçîáüþòñÿ íà 5 êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè: N0 , N1 , N2 , N3 , N4 , ãäå â êëàññ Ni (i = 0, 1, 2, 3, 4) âîéäóò ÷èñëà, äàþùèå ïðè äåëåíèè íà 5 îñòàòîê i. Åùå îäèí âàæíûé êëàññ îòíîøåíèé  îòíîøåíèÿ (÷àñòè÷íîãî) ïîðÿäêà. Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà, åñëè äëÿ íåãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) Àíòèðåôëåêñèâíîñòü : äëÿ ëþáîãî a ∈ A (a, a) ∈ / R; 2) Àíòèñèììåòðè÷íîñòü : äëÿ ëþáûõ a, b èç A, åñëè (a, b) ∈ R, òî (b, a) ∈ / R; 3) Òðàíçèòèâíîñòü : äëÿ ëþáûõ òðåõ ýëåìåíòîâ a, b, c èç A, åñëè (a, b) ∈ R è (b, c) ∈ R, òî è (a, c) ∈ R. Ïðèìåðîì òàêîãî îòíîøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ñòðîãîãî âêëþ÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå 2A âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A. Îáû÷íîå îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà < íà N òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1 - 3. Íî äëÿ íåãî âûïîëíåíî åùå îäíî ñóùåñòâåííîå óñëîâèå: 4) Ïîëíîòà : äëÿ ëþáûõ a, b èç A ëèáî (a, b) ∈ R, ëèáî (b, a) ∈ R. Îòíîøåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1 - 4 íàçûâàþòñÿ îòíîøåíèÿìè

ïîëíîãî ïîðÿäêà.

Îòíîøåíèå f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé èç A â B ( èç A íà B ) , åñëè δf = A, ρf ⊆ B (ñîîòâåòñòâåííî, ρf = B ) è äëÿ âñåõ x, y1 , y2 èç òîãî, ÷òî < x, y1 >∈ f è < x, y2 >∈ f , ñëåäóåò, ÷òî y1 = y2 . Çàïèñü: f : A → B . Åñëè f ôóíêöèÿ, òî âìåñòî < x, y >∈ f ïèøåì f (x) = y è íàçûâàåì y çíà÷åíèåì f íà àðãóìåíòå x. f íàçûâàåòñÿ 1-1-ôóíêöèåé (èëè îáðàòèìîé ôóíêöèåé), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 , x2 , y èç òîãî, ÷òî f (x1 ) = y è f (x2 ) = y ñëåäóåò, ÷òî x1 = x2 . Ôóíêöèÿ f : A → B íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ 1-1-ôóíêöèåé è ρf = B . Âçàèìíî îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ f : A → A íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ìíîæåñòâà A. Îïðåäåëåíèÿ áèíàðíûõ îòíîøåíèé è ôóíêöèé ñ îäíèì àðãóìåíòîì åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàþòñÿ íà ìíîãîìåñòíûå îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè. n-àðíûì (èëè n- ìåñòíûì) îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ A1 , . . . , An íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî A1 × . . . × An . Ôóíêöèþ f : A1 × . . . × An → B íàçûâàåì n-àðíîé (èëè n- ìåñòíîé) ôóíêöèåé è ïèøåì f (x1 , . . . , xn ) = y ïðè x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An . ×àùå âñåãî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü n-àðíûå ôóíêöèè äëÿ A1 = . . . = An = A.  ýòîì ñëó÷àå f : An → B áóäåì íàçûâàòü n-àðíîé ôóíêöèåé èç A â B . Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíûì (ïî ìîùíîñòè) ìíîæåñòâó B , åñëè ìåæäó A è B ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ìîùíîñòüþ ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ êëàññ âñåõ ìíîæåñòâ, ýêâèâàëåíòíûõ ìíîæåñòâó A, è ýòà ìîùíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç |A|. Äëÿ êàæäîãî n ∈ N ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Nn = {0, 1, . . . , n − 1} îáîçíà÷èì ÷åðåç n. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè îíî äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ N ýêâèâàëåíòíî

6

1 Ìíîæåñòâà

ìíîæåñòâe Nn . Äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ èõ ìîùíîñòü  ýòî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïóñòîãî ìíîæåñòâà |∅| = 0. Êàæäîå ìíîæåñòâî, ýêâèâàëåíòíîå N, íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì è åãî ìîùíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ ℵ0 .  íàøåì êóðñå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîíå÷íûå è ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà, à òàêæå  îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè íà òàêèõ ìíîæåñòâàõ. Îòìåòèì, ÷òî ìíîãèå îáúåêòû, èçó÷àåìûå â äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îòíîøåíèé è ôóíêöèé íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ. Ê íèì îòíîñÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ñëîâà. Ïóñòü àëôàâèò A = {a1 , . . . , am }  ýòî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, íàçûâàåìûõ ñèìâîëàìè (áóêâàìè). Ñëîâî â àëôàâèòå A  ýòî êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ ýòîãî àëôàâèòà: w = w1 . . . wn , wi ∈ A ïðè i = 1, . . . , n. ×èñëî áóêâ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàåòñÿ äëèíîé ñëîâà è îáîçíà÷àåòñÿ |w|. Èìååòñÿ îäíî ñïåöèàëüíîå ïóñòîå ñëîâî äëèíû 0. Áóäåì îáîçíà÷àòü åãî ÷åðåç ε. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ñëîâà äëèíû n âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèÿì âèäà f : {1, . . . , n} → A. À èìåííî, ñëîâó w = w1 . . . wn , ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ fw (i) = wi , i = 1, . . . , n. ßçûêîì â àëôàâèòå A íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ñëîâ ýòîãî àëôàâèòà. Íà ÿçûêàõ, êàê è íà ìíîæåñòâàõ, îïðåäåëåíû îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è ðàçíîñòè. ßçûê, âêëþ÷àþùèé âñå ñëîâà â àëôàâèòå A ( â òîì ÷èñëå è ïóñòîå), îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ¯ = A∗ \ L. ÷åîåç A∗ . Äîïîëíåíèå ÿçûêà L ⊆ A∗ ýòî ÿçûê L

1.4 Çàäà÷è Çàäà÷à 1.1. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå âêëþ÷åíèÿ:

(à) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B ; (á) A \ B ⊆ A.

Çàäà÷à 1.2. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:

(à) A ∪ A = A ∩ A = A; (á) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B); (â) (A ∪ B) ∩ A = (A ∩ B) ∪ A = A; (ã) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C); (ä) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C); (å) A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A ; (æ) A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ ; (ç) A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A; ˙ = ∅−A ˙ = A è A−A ˙ = ∅. (è) A−∅

Çàäà÷à 1.3. Íàéòè âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâ ∅, {∅}, {1, 2, 3}, {a, {1, 2}, ∅}. Çàäà÷à 1.4. Ïóñòü A = {0, 1}, B = {a, b, c}. Îïðåäåëèòå ìíîæåñòâà A×B è B ×A. Çàäà÷à 1.5. Äîêàçàòü, ÷òî

(à) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);

1.4 Çàäà÷è

7

(á) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C); (â) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C); (ã) åñëè A ⊆ B è C ⊆ D, òî (A × C) = (A × D) ∩ (B × C).

Çàäà÷à 1.6. Äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ îòíîøåíèé îïðåäåëèòü δR , ρR , R−1 , R ◦

R, R ◦ R−1 : (à) R = {< x, y > | x, y ∈ N è x äåëèò y}; (á) R = {< x, y > | x, y ∈ N è x + y ≤ 10}; (â) R = {< x, y > | x, y ∈ N è y = 3x + 1}; (ã) R = {< x, x2 > | x ∈ N è x ≤ 10}; (ä) R = {< a, b >, < b, c >, < b, d >, < c, d >, < d, b >}.

Çàäà÷à 1.7. Ïóñòü ìíîæåñòâî S = {< i, j > | 1 ≤ i, j ≤ 8} çàäàåò êëåòêè øàõìàòíîé äîñêè. Îïèøèòå ñëåäóþùèå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà S : (à) L = {< a, b > | ëàäüÿ çà 1 õîä ìîæåò ïåðåéòè ñ êëåòêè a íà êëåòêó b}; (á) K = {< a, b > | êîíü çà 1 õîä ìîæåò ïåðåéòè ñ êëåòêè a íà êëåòêó b}. Áóäóò ëè ýòè îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòÿìè? Îïèøèòå îòíîøåíèå L ◦ L.

Çàäà÷à 1.8. Ïóñòü Π  ìíîæåñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Áóäóò ëè ñëåäóþùèå

îòíîøåíèÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè: à) ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ; á) ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ïðÿìûõ.

Çàäà÷à 1.9. Ïóñòü A = {a1 , . . . , am }  ïðîèçâîëüíûé êîíå÷íûé àëôàâèò. Îáîçíà-

÷èì ÷åðåç An ìíîæåñòâî ñëîâ äëèíû n â àëôàâèòå A (ýòî îáîçíà÷åíèå ñîãëàñîâàíî ñ òåì æå îáîçíà÷åíèåì äåêàðòîâîé ñòåïåíè A, òàê êàê ñòåïåíü An ñîñòîèò èç âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ A äëèíû n). ×åðåç A∗ îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ â àëôàâèòå A. à) Îïðåäåëèì ñëåäóþùåå îòíîøåíèå R1 íà ñëîâàõ èç An . Ïóñòü v = ai1 ai2 . . . ain , w = aj1 aj2 . . . ajn . Òîãäà (v, w) ∈ R1 ⇔ äëÿ âñåõ k îò 1 äî n ik ≤ jk è äëÿ íåêîòîðîãî òàêîãî k ik < jk , ò.å. íîìåð êàæäîé áóêâû ñëîâà v íå áîëüøå íîìåðà òîé æå áóêâû â ñëîâå w è õîòÿ áû ó îäíîé èç áóêâ îí ìåíüøå. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî îòíîøåíèå R1 îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî (ïîëíîãî) ïîðÿäêà? á) Îïðåäåëèì ñëåäóþùåå îòíîøåíèå R2 íà ñëîâàõ èç A∗ . Ïóñòü v = ai1 ai2 . . . ain , w = aj1 aj2 . . . ajr . Òîãäà (v, w) ∈ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò òàêîå k â èíòåðâàëå îò 1 äî n, ÷òî ïðè l < k il = jl è ik < jk èëè n < r è ïåðâûå n ñèìâîëîâ w ñîâïàäàþò ñî ñëîâîì v . ßâëÿåòñÿ ëè ýòî îòíîøåíèå R2 îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî (ïîëíîãî) ïîðÿäêà?

2 Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè

8

Çàìå÷àíèå. Îïðåäåëåííîå â ïóíêòå (à) îòíîøåíèå R1 íàçûâåòñÿ îòíîøåíèåì ïîêîîðäèíàòíîãî ïîðÿäêà, à îòíîøåíèå R2 èç ïóíêòà (á)  îòíîøåíèåì ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî ïîðÿäêà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì ïîðÿäêîì óïîðÿäî÷åíû, íàïðèìåð, ñëîâà â ñëîâàðÿõ è ýíöèêëîïåäèÿõ.

Çàäà÷à 1.10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâà A è B êîíå÷íû, òî

(à) |A × B| = |A| · |B|; (á) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

2 Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè Ìàòåìàòè÷åñêàÿ èíäóêöèÿ  ýòî âåñüìà îáùèé ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèÿ, çàâèñÿùèå îò öåëî÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü P (n)  ýòî íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå, çàâèñÿùåå îò öåëî÷èñëåííîãî ïàðàìåòðà n. Ïóñòü, âî-ïåðâûõ, óòâåðæäåíèå P (n0 ) ñïðàâåäëèâî è ïóñòü, âî-âòîðûõ, äëÿ ëþáîãî k ≥ n0 èç ñïðàâåäëèâîñòè P (k) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü P (k + 1). Òîãäà óòâåðæäåíèå P (n) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ n ≥ n0 . Òàêèì îáðàçîì äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèè ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ. 1) Áàçèñ (èëè îñíîâàíèå) èíäóêöèè ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ P (n0 ) äëÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ n0 ( îáû÷íî n0 = 1, íî ýòî íå îáÿçàòåëüíî). 2) Øàã èíäóêöèè ñîñòîèò â ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè P (n) ïðè n = k ≥ n0 è äîêàçàòåëüñòâå èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ P (k + 1). Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðèìåð 1. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè n ≥ 1

13 + 23 + . . . + n3 =

(n(n + 1))2 . 4 2

1) Áàçèñ èíäóêöèè. Ïðè n = 1 èìååì 13 = (1(1+1)) . 4 2) Øàã èíäóêöèè. Äîïóñòèì, ÷òî ïðè n = k

1 3 + 23 + . . . + k 3 =

(k(k + 1))2 . 4

Äîêàæåì òîãäà, ÷òî ïðè n = k + 1

((k + 1)(k + 2))2 . 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 4 3

3

3

3

2

2

Äåéñòâèòåëüíî, 13 + 23 + . . . + k 3 + (k + 1)3 = (k(k+1)) + (k + 1)3 = (k + 1)2 · ( k4 + k + 1) = 4 2 2 (k + 1)2 · (k+2) = ((k+1)(k+2)) . Òàêèì îáðàçîì íàøå óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî ïðè âñåõ 4 4

9

n ≥ 1. Ïðèìåð 2. Äîêàçàòü, äëÿ ëþáîãî x > −1, x 6= 0, è íàòóðàëüíîãî n ≥ 2 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (1 + x)n > 1 + nx (ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì Áåðíóëëè). 1) Áàçèñ èíäóêöèè. Ïðè n = 2, ó÷èòûâàÿ, ÷òî x2 > 0, èìååì (1+x)2 = 1+2x+x2 > 1 + 2x. 2) Øàã èíäóêöèè. Äîïóñòèì, ÷òî ïðè n = k íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ò.å. (1 + k x) > 1 + kx. Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíî âûïîëíåíî è ïðè n = k + 1. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê 1 + x > 0, òî óìíîæèâ îáå ÷àñòè íà 1 + x > 0, ïîëó÷èì (1 + x)k (1 + x) = (1 + x)k+1 > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 > 1 + (k + 1)x, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ïðè îáû÷íîì ïîíèìàíèè ñëîâî èíäóêöèÿ îçíà÷àåò ïåðåõîä îò ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ê íåêîòîðîìó îáùåìó óòâåðæäåíèþ, à äåäóêöèÿ  ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ èç íåêîòîðûõ îáùèõ óòâåðæäåíèé, çàêîíîâ.  ýòîì ñìûñëå ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ äåäóêòèâíûì, ñ åãî ïîìîùüþ äîêàçûâàþòñÿ îáùèå óòâåðæäåíèÿ (ðàâåíñòâà, íåðàâåíñòâà è ò.ï.). Îí íå äàåò ñïîñîáà äëÿ âûäâèæåíèÿ îáùåé ãèïîòåçû èëè óãàäûâàíèÿ îáùåãî ïðàâèëà èëè ôîðìóëû ïî íàáëþäåíèÿì çà îòäåëüíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè. Íî ýòîò ìåòîä ïîçâîëÿåò ïðîâåðÿòü âûäâèíóòûå ãèïîòåçû. Äëÿ íåâåðíîé ãèïîòåçû ïðîâàëèòñÿ åå ïðîâåðêà íà øàãå èíäóêöèè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè äîïóñêàåò ðàçíûå ýêâèâàëåíòíûå âàðèàíòû.  ðÿäå ñëó÷àåâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü âàðèàíò, â êîòîðîì øàã èíäóêöèè ñîñòîèò â ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè P (n) ïðè âñåõ n ≤ k è äîêàçàòåëüñòâå èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ P (k + 1). Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ, â ÷àñòíîñòè, ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ îáúåêòà.  äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå è â èíôîðìàòèêå ìíîãèå êëàññû îáúåêòîâ îïðåäåëÿþòñÿ èíäóêòèâíî.  òàêèõ îïðåäåëåíèÿõ ÿâíî èëè íåÿâíî ó÷àñòâóåò íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ ñëîæíîñòü îáúåêòà, è èíäóêöèÿ èäåò ïî çíà÷åíèÿì ýòîé ôóíêöèè. Íà áàçèñíîì øàãå îïðåäåëÿþòñÿ îáúåêòû ìèíèìàëüíîé ñëîæíîñòè (îáû÷íî îíè èìåþò ñëîæíîñòü 0), à èíäóêöèîííûé øàã îïðåäåëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî èç îáúåêòîâ ìåíüøåé ñëîæíîñòè ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ îïåðàöèé (îïåðàòîðîâ, êîíñòðóêöèé) ñòðîÿòñÿ îáúåêòû áîëüøåé ñëîæíîñòè. Ïðèìåðàìè òàêèõ êëàññîâ îáúåêòîâ ÿâëÿþòñÿ áóëåâû ôîðìóëû â ãëàâå 2, òåðìû è ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ â ãëàâå 4, äåðåâüÿ â ãëàâå 5, ðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ â ãëàâå 7, ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû è ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè â ãëàâå 8. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðîãî ñâîéñòâà îáúåêòîâ èíäóêòèâíî îïðåäåëåííîãî êëàññà ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïðèìåíÿåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå. 1) Áàçèñ èíäóêöèè ñîñòîèò â ïðîâåðêå òðåáóåìîãî ñâîéñòâà ó îáúåêòîâ ìèíèìàëüíîé ñëîæíîñòè. 2) Øàã èíäóêöèè ñîñòîèò â ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè äîêàçûâàåìîãî ñâîéñòâà

10

2 Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè

ó âñåõ îáúåêòîâ êëàññà, èìåþùèõ ñëîæíîñòü ≤ k, è ïðîâåðêå òîãî, ÷òî âñå îáúåêòû áîëüøåé ñëîæíîñòè (îáû÷íî, ñëîæíîñòè k + 1), ïîëó÷àåìûå èç íèõ ñ ïîìîùüþ èñïîëüçóåìûõ ïðè îïðåäåëåíèè êëàññà îïåðàöèé, òàêæå îáëàäàþò òðåáóåìûì ñâîéñòâîì. Ðàññìîòðèì ýòó ñõåìó íà ïðèìåðå ïðîñòûõ àðèôìåòè÷åñêèõ âûðàæåíèé.

Ïðèìåð 2.1. Ïóñòü V = {x, y, z}  ìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ, O = {+, −, ∗, /} 

ñïèñîê îïåðàöèé. Îïðåäåëèì èíäóêòèâíî ìíîæåñòâî A âûðàæåíèé ( ñëîâ) â îáúåäèíåííîì àëôàâèòå Σ = V ∪ O ∪ {(, )}, íàçûâàåìûõ àðèôìåòè÷åñêèìè ôîðìóëàìè. Îäíîâðåìåííî áóäåì îïðåäåëÿòü ìåðó ñëîæíîñòè ýòèõ ôîðìóë, íàçûâåìóþ èõ ãëóáèíîé. Ãëóáèíó ôîðìóëû ϕ îáîçíà÷èì ÷åðåç d(ϕ). 1) Áàçèñ èíäóêöèè. Êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ v ∈ V ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëîé ãëóáèíû 0, ò.å. v ∈ A è d(v) = 0. 2) Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü ϕ1 è ϕ2  àðèôìåòè÷åñêèå ôîðìóëû ãëóáèíû d(ϕ1 ) è d(ϕ2 ), ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà âûðàæåíèÿ (à) (ϕ1 + ϕ2 ), (á) (ϕ1 − ϕ2 ), (â) (ϕ1 ∗ ϕ2 ), (ã) (ϕ1 /ϕ2 ), òàêæå ÿâëÿþòñÿ àðèôìåòè÷åñêèìè ôîðìóëàìè èç A è êàæäàÿ èç ýòèõ ôîðìóë èìååò ãëóáèíó max{d(ϕ1 ), d(ϕ2 )} + 1. Ïóñòü w = w1 w2 . . . wn  ïðîèçâîëüíîå ñëîâî â àëôàâèòå Σ. Ñêàæåì, ÷òî ñêîáêè â w ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî, åñëè äëÿ êàæäîãî i ≤ n ÷èñëî ëåâûõ ñêîáîê â ñëîâå w(i) = w1 w2 . . . wi íå ìåíüøå ÷èñëà ïðàâûõ ñêîáîê, à âî âñåì ñëîâå w ÷èñëî ëåâûõ ñêîáîê ðàâíî ÷èñëó ïðàâûõ. Äîêàæåì, ÷òî â êàæäîé àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëå èç A ñêîáêè ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî. 1) Áàçèñ èíäóêöèè. d(ϕ) = 0. Ôîðìóëà ãëóáèíû 0 ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé v ∈ V .  íåé íåò ñêîáîê è ïîýòîìó îíè ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî. 2) Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ôîðìóë èç A ãëóáèíû ≤ k è ϕ  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà ãëóáèíû d(ϕ) = k + 1. Òîãäà îíà èìååò îäíó èç ÷åòûðåõ ôîðì (à), (á), (â) èëè (ã). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ = (ϕ1 + ϕ2 ). Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ ãëóáèíû ñëåäóåò, ÷òî d(ϕ1 ) ≤ k è d(ϕ2 ) ≤ k , è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ â îáåèõ ôîðìóëàõ ϕ1 è ϕ2 ñêîáêè ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî. Ïîêàæåì, ÷òî è â ϕ ñêîáêè ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî. Ïóñòü ϕ1 = v1 v2 . . . vm1 è ϕ1 = w1 w2 . . . wm2 . Òîãäà ϕ = t1 t2 . . . tM = (v1 v2 . . . vm1 + w1 w2 . . . wm2 ), çäåñü M = m1 + m2 + 3 è âñå ñèìâîëû vi , wj ïðèíàäëåæàò àëôàâèòó Σ. Äëÿ êàæäîãî 1 < i ≤ m1 + 1 ÷èñëî ëåâûõ ñêîáîê â t1 . . . ti íà 1 áîëüøå ÷èñëà ëåâûõ ñêîáîê â v1 . . . vi−1 , è ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøå ÷èñëà ïðàâûõ ñêîáîê â ýòîì ñëîâå, òàê âñå îíè âõîäÿò â v1 . . . vi−1 . Ýòî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ ñëîâà t1 t2 . . . tm1 +2 = +. Ïðè m1 + 2 < i < M ðàçíèöà ìåæäó ÷èñëîì ëåâûõ è ïðàâûõ

2.1 Çàäà÷è

11

ñêîáîê â t1 . . . ti íå ìåíüøå 1, òàê êàê t1 = (, à â ϕ1 è ϕ2 ñêîáêè ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî. Âî âñåì ñëîâå ϕ ÷èñëî ëåâûõ è ïðàâûõ ñêîáîê ñîâïàäàåò, òàê êàê ê ñêîáêàì ϕ1 è ϕ2 äîáàâèëàñü îäíà ëåâàÿ è îäíà ïðàâàÿ ñêîáêà. Òàêèì îáðàçîì, â ϕ ñêîáêè ðàññòàâëåíû ïðàâèëüíî. Ñëó÷àè (á), (â) è (ã) ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.

2.1 Çàäà÷è Çàäà÷à 2.1. Äîêàçàòü, ÷òî 14 + 24 + . . . + n4 =

1 n(n 30

+ 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1).

Çàäà÷à 2.2. Äîêàçàòü, ÷òî 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = Çàäà÷à 2.3. Äîêàçàòü, ÷òî 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn =

n(n+1)(n+2) . 3

xn+1 −1 . x−1

Çàäà÷à 2.4. Äîêàçàòü, ÷òî n ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè ðàçáèâàþò åå íà îáëàñòè, êîòîðûå ìîæíî çàêðàñèòü áåëîé è ÷åðíîé êðàñêàìè òàê, ÷òî ñìåæíûå îáëàñòè áóäóò çàêðàøåíû ðàçíûìè êðàñêàìè.

Çàäà÷à 2.5. Íàéäèòå îøèáêó â ñëåäóþùåì äîêàçàòåëüñòâå ïî èíäóêöèè óòâåðæäåíèÿ: äëÿ âñåõ n ≥ 1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 3n > 3(n + 1) + 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî k ≥ 1 íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ò.å. 3k > 3(k + 1) + 1 (*). Äîêàæåì, ÷òî îíî âåðíî è äëÿ n = k + 1, ò.å. 3k+1 > 3(k + 2) + 1. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî k ≥ 1 âåðíî íåðàâåíñòâî 2·3k > 3. Ïðèáàâèâ åãî ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ê ñîîòâåòñòâóþùèì ÷àñòÿì íåðàâåíñòâà (*), ïîëó÷èì 3k + 2 · 3k > 3(k + 1) + 1 + 3 èëè 3k+1 > 3(k + 2) + 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Óñòàíîâèòå, ïðè êàêèõ n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 3n > 3(n + 1) + 1.

3

Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè

Êîìáèíàòîðèêà  ðàçäåë ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùèé âîïðîñû î òîì, ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé, ïîä÷èíåííûõ òåì èëè èíûì óñëîâèÿì, ìîæíî ñîñòàâèòü èç çàäàííûõ îáúåêòîâ.

3.1 Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ Ìíîãèå êëàññè÷åñêèå çàäà÷è êîìáèíàòîðèêè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷àìè îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ñïîñîáîâ ðàçìåùåíèÿ íåêîòîðûõ îáúåêòîâ â êàêîì-òî êîëè÷åñòâå ÿùèêîâ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ. Áîëåå ôîðìàëüíî òàêèå çàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äàíû ìíîæåñòâà X , Y , ïðè÷åì |X| = n, |Y | = m. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ôóíêöèé f : X → Y , óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííûì îãðàíè÷åíèÿì? Çäåñü ýëåìåíòû X  îáúåêòû, à ýëåìåíòû Y  ÿùèêè, à êàæäàÿ ôóíêöèÿ

12

3

Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè

f : X → Y îïðåäåëÿåò äëÿ êàæäîãî îáúåêòà x ∈ X â êàêîé ÿùèê f (x) ∈ Y îí ïîìåùàåòñÿ. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà íà ðàçìåùåíèÿ íå íàêëàäûâàåòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé.

Òåîðåìà 3.1. Åñëè |X| = n, |Y | = m, òî ÷èñëî âñåõ ôóíêöèé f : X → Y ðàâíî mn . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî n. Ïóñòü X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , ym }. Òîãäà êàæäàÿ ôóíêöèÿ f : X → Y îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñâîèõ çíà÷åíèé f (x1 ), . . . , f (xn ). Ïóñòü Fm (n)  ÷èñëî âñåõ òàêèõ ôóíêöèé (ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). Áàçèñ èíäóêöèè. ßñíî, ÷òî ïðè n = 1 èìååòñÿ ðîâíî m ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé: fi (x1 ) = yi , i = 1, . . . , m, ò.å. Fm (1) = m. Øàã èíäóêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè n = k âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Fm (k) = mk . Äîêàæåì, ÷òî òîãäà Fm (k + 1) = mk+1 . Äåéñòâèòåëüíî, ïðè n = k + 1 êàæäàÿ ôóíêöèÿ f : X → Y  ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (x1 ), . . . , f (xk ), f (xk+1 ). Ïîëîæèâ X 0 = {x1 , . . . , xk }, åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ f 0 : X 0 → Y , çàäàííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ f (x1 ), . . . , f (xk ), êîòîðàÿ äîïîëíåíà îäíèì íîâûì çíà÷åíèåì f (xk+1 ). Òàê êàê |X 0 | = k , òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ ÷èñëî òàêèõ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé f 0 : X 0 → Y ðàâíî Fm (k) = mk . Êàæäàÿ èç íèõ èìååò ðîâíî m âîçìîæíûõ ðàñøèðåíèé f (xk+1 ) = yi , i = 1, . . . , m. Ïîýòîìó Fm (k + 1) = Fm (k) · m = mk+1 . 2

Ñëåäñòâèå 3.1.1. Åñëè |X| = n, òî ÷èñëî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X ðàâíî |2X | = 2n .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X = {x1 , . . . , xn }. Ñîïîñòàâèì êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó X ⊆ X ôóíêöèþ fX 0 : X → {0, 1} ñëåäóþùèì îáðàçîì:  1, åñëè xi ∈ X 0 fX 0 (xi ) = 0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå 0

(i = 1, . . . , n). ßñíî, ÷òî ýòî ñîïîñòàâëåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè X 0 6= X 00 , òî ˙ 00 è òîãäà fX 0 (xi ) 6= fX 00 (xi ). Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî âñåõ èìååòñÿ ýëåìåíò xi ∈ X 0 −X ïîäìíîæåñòâ X ðàâíî ÷èñëó âñåõ ôóíêöèé f : X → {0, 1}. Ïî òåîðåìå 3.1 ýòî ÷èñëî ðàâíî 2n .

Ñëåäñòâèå 3.1.2. ×èñëî âñåõ ñëîâ äëèíû n â àëôàâèòå A = {a1 , . . . , am } èç m ñèìâîëîâ ðàâíî mn .

Íàéäåì òåïåðü ÷èñëî ðàçìåùåíèé, äëÿ êîòîðûõ êàæäûé ÿùèê ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîãî îáúåêòà. Òàêèå ðàçìåùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò 1-1- ôóíêöèÿì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Anm ÷èñëî âñåõ 1-1-ôóíêöèé èç n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåòñòâà â m-ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ðàçìåùåíèé èç m ïî n.

3.1 Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

13

Òåîðåìà 3.2. Åñëè |X| = n, |Y | = m, òî ÷èñëî âñåõ 1-1-ôóíêöèé f : X → Y ðàâíî Anm = m(m − 1) . . . (m − n + 1).

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî n (äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî m). Áàçèñ èíäóêöèè. Ïîñêîëüêó ïðè n = 1 êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ 1-1-ôóíêöèåé, òî, êàê è â ïðåäûäóùåé òåîðåìå, ÷èñëî òàêèõ ôóíêöèé ðàâíî m, ò.å. A1m = m. Øàã èíäóêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè n = k âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Akm = m(m − 1) . . . (m − k + 1). Äîêàæåì, ÷òî òîãäà Ak+1 m = m(m − 1) . . . (m − k + 1)(m − k). Äåéñòâèòåëüíî, êàê è â ïðåäûäóùåé òåîðåìå, êàæäàÿ 1-1-ôóíêöèÿ f : X → Y ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì íåêîòîðîé 1-1-ôóíêöèè f 0 : X 0 → Y çíà÷åíèåì f (xk+1 ) ( íàïîìíèì, ÷òî X 0 = X \ {xk+1 } ). Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ýòîãî çíà÷åíèÿ ìîæíî âçÿòü ëþáîé ýëåìåíò Y , íå ÿâëÿþùèéñÿ çíà÷åíèåì f 0 , ò.å. ëþáîé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà Y \{f (x1 ), . . . , f (xk )}. Ïðè k < m òàêèõ ýëåìåíòîâ (m−k). Òîãäà êàæäóþ 1-1-ôóíêöèþ k f 0 : X 0 → Y ìîæíî ðàñøèðèòü (m−k) ñïîñîáàìè è, ñëåäîâàòåëüíî, Ak+1 m = Am (m−k). Ïðè k ≥ m 1-1-ôóíêöèé f : X → Y íå ñóùåñòâóåò (ïî÷åìó?) è Ak+1 = 0, íî â ýòîì m ñëó÷àå äîêàçûâàåìàÿ ôîðìóëà òàêæå ñïðàâåäëèâà, ïîñêîëüêó îäèí èç ñîìíîæèòåëåé â íåé ðàâåí 0. 2  êà÷åñòâå ïðîñòîãî ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 3.2 ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê.

Òåîðåìà 3.3. Åñëè |X| = n, òî ÷èñëî âñåõ ïåðåñòàíîâîê f : X → X ðàâíî n!. ×èñëî âñåõ k -ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà îáîçíà÷èì ÷å
ðåç Cnk (÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå nk ). Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ñî÷åòàíèé èç n ïî k .

Òåîðåìà 3.4. Ïðè n ≥ k ≥ 0 Cnk = Akn /k! =

n! k!(n − k)!

. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè n = k = 0 ó ïóñòîãî ìíîæåñòâà èìååòñÿ îäíî (ïóñòîå) 0! ïîäìíîæåñòâî. Ïîýòîìó C00 = 1 = 0!0! (íàïîìíèì, ÷òî ïî îáû÷íîìó ñîãëàøåíèþ 0! = 1). Ïóñòü |Y | = n ≥ 1. Êàæäàÿ 1-1-ôóíêöèÿ f : {1, . . . , k} → Y îïðåäåëÿåò k ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ρf = {yi | f (i) = yi , i = 1, . . . , k} ⊆ Y . Ïðè ýòîì îäíî è òîæå òàêîå ïîäìíîæåñòâî ïîëó÷àåòñÿ ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå ýëåìåíòîâ ρf . Âñåãî òàêèõ ïåðåñòàíîâîê k! (ïî òåîðåìå 3.3), à 1-1-ôóíêöèé f : {1, . . . , k} → Y  Akn . n! Îòñþäà, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 3.2, ïîëó÷àåì, ÷òî Cnk = Akn /k! = n(n−1)...(n−k+1) = k!(n−k)! . k! 2

3

14

Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè

Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè k−1 k ñî÷åòàíèé: Cnk = Cnn−k , à òàêæå ðåêêóðåíòíàÿ ôîðìóëà Cnk = Cn−1 + Cn−1 , ïîçâîëÿþùàÿ îðãàíèçîâàòü èõ ýôôåêòèâíîå âû÷èñëåíèå ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîëó÷åíèÿ ýëåìåíòîâ òðåóãîëüíèêà Ïàñêàëÿ:

1 1

1

1

2

1 1

3

1 3

4

6

1 4

1

... . .. . .. . . .. . .. .  n-îé ñòðîêå ýòîãî òðåóãîëüíèêà ñòîÿò ÷èñëà Cn0 , Cn1 , . . . , Cnk , . . . , Cnn è êàæäîå èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ ñòîÿùèõ íàä íèì ÷èñåë ïðåäûäóùåé ñòðîêè. Ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè , òàê êàê âõîäÿò â ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà , âûðàæàþùóþ n-óþ ñòåïåíü áèíîìà x + y : n

(x + y) =

n X

Cnk xk y n−k .

k=0

Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè xk y n−k ðàâåí ÷èñëó ñïîñîáîâ, êîòîðûìè èç n ñîìíîæèòåëåé (x + y)(x + y) . . . (x + y) ìîæíî âûáðàòü k ñîìíîæèòåëåé. Óêàæåì íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñëåäñòâèé ýòîé ôîðìóëû. Ïîëîæèâ â íåé x = 1, y = 1 ïîëó÷àåì: n X Cnk = 2n . k=0

Òàê êàê ñóììà ñëåâà îïðåäåëÿåò ÷èñëî âñåõ ïîäìíîæåñòâ n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà, òî ýòî åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 3.1.1 íà ñòð. 12. Ïðè x = 1, y = −1 áèíîì Íüþòîíà äàåò ðàâåíñòâî ÷èñëà ïîäìíîæåñòâ ÷åòíîé è íå÷åòíîé ìîùíîñòè: [n/2]

[n/2]

X k=0

Cn2k

=

X

Cn2k+1 .

k=0

3.2 Ïðèíöèï âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ Âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ äëÿ ïîäñ÷åòà ÷èñëà îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ òåì èëè èíûì íàáîðîì ñâîéñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ïðèíöèï âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ N îáúåêòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ìîæåò îáëàäàòü èëè íå îáëàäàòü îäíèì èëè íåñêîëüêèìè ñâîéñòâàìè p1 , p2 , . . . , pn . ×åðåç p0i áóäåì îáîçíà÷àòü ñâîéñòâî,

3.2 Ïðèíöèï âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ

15

äîïîëíèòåëüíîå ê ñâîéñòâó pi , ò.å. , åñëè îáúåêò íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì pi , òî îí îáëàäàåò ñâîéñòâîì p0i . ×åðåç N (q1 , . . . , qk ), qj ∈ {p1 , p01 , . . . , pn , p0n } ïðè j = 1, . . . , k, îáîçíà÷èì ÷èñëî îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè q1 , . . . , qk . Íàïðèìåð, N (p1 , p03 , p4 )  ýòî ÷èñëî îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè p1 è p4 è íå îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì p3 .

Òåîðåìà 3.5. ×èñëî îáúåêòîâ, íå îáëàäàþùèõ íè îäíèì èç ñâîéñòâ p1 , p2 , . . . , pn ðàâíî

N (p01 , p02 , . . . , p0n )

=N−

n X

X

N (pi ) +

i=1

N (pi , pj ) − . . . + (−1)n N (p1 , p2 , . . . , pn ).

1≤i<j≤n

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ñâîéñòâ n. Áàçèñ èíäóêöèè. Ïðè n = 1 î÷åâèäíî, ÷òî N (p01 ) = N − N (p1 ). Øàã èíäóêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ k ñâîéñòâ p1 , p2 , . . . , pk òåîðåìà ñïðàâåäëèâà, ò.å.

N (p01 , p02 , . . . , p0k )

=N−

k X

X

N (pi ) +

i=1

N (pi , pj ) − . . . + (−1)k N (p1 , p2 , . . . , pk ).

1≤i<j≤k

Ïðèìåíÿÿ ýòî ñîîòíîøåíèå êî ìíîæåñòâó èç N (pk+1 ) îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì pk+1 , íàõîäèì

N (p01 , p02 , . . . , p0k , pk+1 )

= N (pk+1 ) −

k X

N (pi , pk+1 ) +

i=1

X

N (pi , pj , pk+1 ) − . . .

1≤i<j≤k

k

+(−1) N (p1 , p2 , . . . , pn−1 , pk+1 ). Âû÷èòàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èç ïðåäûäóùåãî, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû ïðè n = k+1 (çàìåòèì, ÷òî N (p01 , p02 , . . . , p0k )−N (p01 , p02 , . . . , p0k , pk+1 ) = N (p01 , p02 , . . . , p0k , p0k+1 )). 2.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.

Ïðèìåð 3.1.  ñòóäåí÷åñêîé ãðóïïå 25 ñòóäåíòîâ. Èç íèõ 15 çíàþò ÿçûê Ïàñêàëü, 10  ÿçûê Ñè è 14  ÿçûê Áýéñèê. Êðîìå òîãî, 7 ñòóäåíòîâ çíàþò Ïàñêàëü è Ñè, 10 ñòóäåíòîâ  Ïàñêàëü è Áýéñèê, 8 ñòóäåíòîâ  Ñè è Áýéñèê, à 5 ñòóäåíòîâ çíàþò âñå òðè ÿçûêà. Ñêîëüêî ñòóäåíòîâ íå çíàþò íè îäíîãî èç òðåõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ?

Îáîçíà÷èâ ÷åðåç p1  ñâîéñòâî çíàòü Ïàñêàëü, ÷åðåç p2  ñâîéñòâî çíàòü Ñè è ÷åðåç p3  ñâîéñòâî çíàòü Áýéñèê, ìû ìîæåì çàïèñàòü äàííûå çàäà÷è ñëåäóþùèì îáðàçîì: N = 25, N (p1 ) = 15, N (p2 ) = 10, N (p3 ) = 14, N (p1 , p2 ) = 7, N (p1 , p3 ) = 10, N (p2 , p3 ) = 8, N (p1 , p2 , p3 ) = 5. Òîãäà ïî ôîðìóëå âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ ÷èñëî ñòóäåíòîâ, íå çíàþùèõ íè îäíîãî ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ðàâíî N (p01 , p02 , p03 ) = 25 − (15 + 10 + 14) + (7 + 10 + 8) − 5 = 6.

3

16

Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè

3.3 Çàäà÷è Çàäà÷à 3.1. Äîêàæèòå ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà, èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.

Çàäà÷à 3.2. Äîêàçàòü òîæäåñòâà: k−1 1) nCn−1 = kCnk m−k k m 2) Cnk Cn−k = Cm Cn .

Çàäà÷à 3.3. Äîêàçàòü, ÷òî [n/2]

Cn0 < Cn1 < . . . < Cn

]n/2[

= Cn

]n/2[+1

> Cn

> . . . > Cnn

Çàäà÷à 3.4. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî óïîðÿäî÷åííûõ ðàçáèåíèé n-ýëåìåíòíîãî ìíî-

æåñòâà íà k ïîäìíîæåñòâ, ïåðâîå èç êîòîðûõ ñîäåðæèò n1 ýëåìåíòîâ, âòîðîå  n2 ýëåìåíòîâ,..., k -îå  nk ýëåìåíòîâ, ðàâíî n1 !n2n!!...nk ! .

Çàäà÷à 3.5. Ïðåïîäàâàòåëü ðàññ÷èòûâàåò ÷èòàòü îäèí è òîò æå êóðñ â òå÷åíèå 20 ëåò. ×òîáû íå íàñêó÷èòü ñòóäåíòàì, îí ðåøèë ðàññêàçûâàòü èì êàæäûé ãîä 3 àíåêäîòà è íå ïîâòîðÿòü íèêàêèå äâà ãîäà îäíè è òå æå òðè àíåêäîòà. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî àíåêäîòîâ, êîòîðûå îí äîëæåí ïðèãîòîâèòü?

Çàäà÷à 3.6. Íà îñòðîâå N æèâåò ïëåìÿ òóçåìöåâ, ó êîòîðûõ íàáîð çóáîâ âî ðòó ñîñòîèò èç 30 çóáîâ. Ïðè ýòîì íà îñòðîâå íåò äâóõ æèòåëåé ñ îäèíàêîâûìè íàáîðàìè çóáîâ. Ìîæåò ëè íà îñòðîâå N áûòü áîëüøå æèòåëåé ÷åì â à) Òîðæêå? á) Òâåðè? â) Ìîñêâå? ã) Ðîññèè? ä) âñåì ìèðå?

Çàäà÷à 3.7. Äîêàçàòü òîæäåñòâî Êîøè: k Cn+m =

i=k X

k−i Cni Cm .

i=0

Óêàçàíèå: ïîêàæèòå, ÷òî îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà çàäàþò êîëè÷åñòâî âàðèàíòîâ âûáîðà k ÷åëîâåê èç ãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç n æåíùèí è m ìóæ÷èí.

Çàäà÷à 3.8. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ïîðîäèòü k-ýëåìåíòíîå

ìíîæåñòâî ñ ïîâòîðåíèÿìè, èìåÿ n ðàçíûõ ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð, 1, 2, . . . , n, èç êîk òîðûõ êàæäûé ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ðàç, ðàâíî Cn+k−1 . (Íàïðèìåð, ïðè n = 5, k = 4 ìíîæåñòâî {1, 2, 1, 3} ðàâíî ìíîæåñòâó {3, 1, 1, 2} è íå ðàâíî ìíîæåñòâó {1, 2, 2, 3}).

Çàäà÷à 3.9.  êîíäèòåðñêîì ìàãàçèíå ïðîäàþòñÿ 4 ñîðòà ïèðîæíûõ: çàâàðíûå, ïåñî÷íûå, êàðòîøêà è áèñêâèòíûå. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî êóïèòü 6 ïèðîæíûõ?

3.3 Çàäà÷è

17

Çàäà÷à 3.10. Íàçîâåì äâà èñõîäà ïåðâåíñòâà Ðîññèè ïî ôóòáîëó ñîâïàäàþùèìè â ãëàâíîì, åñëè â ýòèõ èñõîäàõ ñîâïàäàþò îáëàäàòåëè çîëîòûõ, ñåðåáðÿííûõ è áðîíçîâûõ ìåäàëåé, à òàêæå äâå êîìàíäû, ïîêèäàþùèå ïðåìüåð-ëèãó (ò.å. çàíÿâøèå äâà ïîñëåäíèõ ìåñòà). Íàéäèòå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ â ãëàâíîì èñõîäîâ (íàïîìíèì, ÷òî â ïåðâåíñòâå ó÷àñòâóþò 16 êîìàíä). Çàäà÷à 3.11. Çà êðóãëûì ñòîëîì êîðîëÿ Àðòóðà ñèäÿò 12 ðûöàðåé. Êàæäûé èç íèõ âðàæäóåò ñî ñâîèìè ñîñåäÿìè. Íóæíî âûáðàòü 5 ðûöàðåé, ÷òîáû îñâîáîäèòü ïðèíöåññó. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü òàê, ÷òîáû ñðåäè âûáðàííûõ ðûöàðåé íå îêàçàëîñü âðàãîâ. Ðåøèòå ýòó çàäà÷ó â ñëó÷àå, êîãäà èç n ðûöàðåé çà ñòîëîì íóæíî âûáðàòü k ðûöàðåé.

Çàäà÷à 3.12. Óñòàíîâèòå ïðèíöèï âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé

ôîðìå. Ïóñòü A1 , . . . , An  ýòî ïîäìíîæåñòâà íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà X . Òîãäà

|

n [ i=1

Ai | =

n X i=1

|Ai |−

X

|Ai ∩Aj |+

1≤i<j≤n

X

|Ai ∩Aj ∩Ak |−. . .+(−1)n−1 |A1 ∩A2 ∩. . .∩An |

1≤i<j