Современные методы теории интегрируемых систем

А. В. Борисов, И. С. Мамаев

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ

БИГАМИЛЬТОНОВО ОПИСАНИЕ, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА, РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Москва

Ижевск

2003

УДК 512.77+517.912+517.958

Интернет-магазин

http://shop.rcd.ru

• • • •

физика математика биология нефтегазовые технологии

Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 296 стр. В книге разобраны ряд интегрируемых систем гамильтоновой механики с точки зрения построения представления Лакса и процедуры явного интегрирования. Приведены новые способы разделения переменных, а также изложен универсальный алгоритм построения L − A-пар, основанный на бигамильтоновости. Обсуждаются многомерные аналоги интегрируемых задач динамики твердого тела, обобщенные цепочки Тоды, геодезические потоки и другие задачи геометрии и механики. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей университетов, специалистов.

Работа выполнена в Институте компьютерных исследований, Удмуртском государственном университете и лаборатории нелинейной динамики Института машиноведения им. А. А. Благонравова. ISBN 5-93972-219-9 c А. В. Борисов, И. С. Мамаев, 2003

c Институт компьютерных исследований, 2003

http://ics.org.ru

Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

ГЛАВА 1. Общий формализм динамики многомерных волчков . . § 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм . . . . . . . . . . 1. Пуассоновы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 18

2. Скобка Ли – Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

§ 2. Примеры из динамики твердого тела . . . . . . . . . . . . . .

28

Скобки Пуассона и их свойства. (19). Невырожденная скобка. Симплектическая структура. (23). Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. (23). Скобки Ли – Пуассона и алгебры Ли. (24). Инвариантное определение скобки Ли – Пуассона. Орбиты коприсоединенного представления. (25). Алгебра so(n). (26). Алгебра sp(2n). (26). Алгебра su(n). (26). Алгебра e(n). (26).

Уравнения Эйлера – Пуассона. (28). Уравнения движения в алгебраической форме. (28). Кватернионное представление уравнений движения. (29).

§ 3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Примеры интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. Алгебра интегралов. Теорема Лиувилля и ее обобщение . . 31 2. Квадратичные по импульсам интегралы и разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Задача Эйлера двух центров. (35). Задача Баррара. (35). Задача Якоби. (35). Система Гарнье. (37). Система Фоккера – Планка. (38). Рациональный потенциал. (38). Системы типа Хенона – Хейлеса. (38). Однородные полиномиальные потенциалы. (39). Биквадратичный потенциал и его обобщения. (40). Вырожденные (суперинтегрируемые) системы. (40).

3. Система с интегралами третьей степени по импульсам . . .

Потенциал Холта. (42). Потенциал Фокаса – Лагерстрома. (42). Цепочка Тоды. (42). Системы Драша. (43).

42

4. Системы с интегралами четвертой и шестой степени по импульсам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Системы типа Хенона – Хейлеса (44). Потенциалы типа Холта. (45). Биквадратичный потенциал. (46). Обобщенные цепочки Тоды. (47).

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

5. Трансцендентные по импульсам интегралы . . . . . . . . . § 4. Бигамильтоновы системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Скобка Схоутена и согласованные скобки Пуассона . . . . 2. Определение бигамильтоновости и мультигамильтоновости 3. Невырожденные бигамильтоновы системы . . . . . . . . . 4. Вырожденные бигамильтоновы системы . . . . . . . . . . § 5. Примеры согласованных структур и бигамильтоновых систем

48 49 49 50 50 54 58

§ 6. Представление Лакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Формальное описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65

2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Лиевы пучки. (58). Римановы симметрические пары, картановское разложение. (58). Метод сдвига аргумента. Линейные и постоянные скобки. (59). Бигамильтоновость волчка Эйлера. (59). Бигамильтоновость волчка Лагранжа. (60). Трехмерные системы с двумя независимыми интегралами. (61). Полиинтегрируемые системы. (62). Система Лотки – Вольтерра. (63).

Определение. Полупростые алгебры Ли. (65). Пример неполупростой, но метрической алгебры Ли. (67). Представление Лакса и первые интегралы. (68). Представление со спектральным параметром. (69). Метод r-матрицы, двойные алгебры Ли. (70). Гамильтоновость уравнений Лакса. (72).

Волчок Эйлера. (73). Волчок Шоттки – Манакова. (73). Система Клебша – Переломова. (74). Цепочка Тоды. (75). Цепочка Вольтерра. (75). Система Гарнье. (75).

Приложение к § 6. Представление нулевой кривизны и его модификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Модифицированные представления в виде L–A- и U–V-пар. (78).

Приложение к главе 1. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Случай алгебры Ли gl(n, ). (81). Случай алгебры Ли so(n). (83). Случай алгебры Ли u(n). (84). Случай алгебры Ли e(n) = so(n) ⊕s n . (85).

ГЛАВА 2. Интегрируемые волчки. Бигамильтоново описание и представление Лакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Многомерное твердое тело в потенциальных полях. Представления Лакса и интегрируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Исторические комментарии и обоснования . . . . . . . . . 2. Формальное описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Координатное представление . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Уравнения движения n-мерного твердого тела . . . . . . . § 2. Лиевы пучки и гиперэллиптические L–A-пары . . . . . . . . 1. Основное предложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 86 86 87 89 90 92 92

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

2. Волчок Шоттки – Манакова на so(n) . . . . . . . . . . . . . 92 3. Система Клебша – Переломова, изоморфизм с системой Шоттки – Манакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4. Многомерное обобщение случаев Стеклова и Ляпунова . . 96 § 3. Римановы симметрические пары и сдвиг аргумента, L–A-пары с рациональным параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1. Общая конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Случай отсутствия потенциала. Система Шоттки – Манакова. (104). Алгоритм построения интегрируемых систем для римановых симметрических пар. (106).

2. L–A-пары, связанные с алгеброй gl(n, R) . . . . . . . . . . 107 Система Бруна – Богоявленского. (108). L–A-пары для задачи Неймана и ее обобщений. (109). Система Гаффе. (112). Обобщение системы Гаффе (112).

3. L–A-пары, связанные с алгеброй so(3, 3) . . . . . . . . . . 113 Два взаимодействующих волчка. (115). L–A-пара на so(3, 3) системы Бруна – Богоявленского. (116).

§ 4. Интегрируемые системы, связанные с алгебрами so(3, 2) и so(3, 1). Обобщенный случай Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . 118 Волчок и ротатор. (119). Волчок Ковалевской в двух полях. (119). Волчок Ковалевской в одном поле. (122).

1. «Правильное» построение L–A-пары обобщенного случая Ковалевской. Бигамильтоновость . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2. Алгебра so(3, 1) — волчок Лагранжа . . . . . . . . . . . . 127 3. L–A-пара для случая Ковалевской – Соколова . . . . . . . . 127 § 5. Многомерные аналоги случая Лагранжа . . . . . . . . . . . . 132 1. Многомерный аналог случая Лагранжа . . . . . . . . . . . 133 2. Система Богоявленского с максимальным набором некоммутативных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3. Волчок в кососимметричном квадратичном потенциале . . 136 4. Приводимые интегрируемые системы и блочно-диагональные представления Лакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Метод цепочек подалгебр. (138). Случай Эйлера на so(4). (139).

5. L–A-пара случая Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 § 6. Волчок, связанный с алгеброй g2 . . . . . . . . . . . . . . . . 141 § 7. Волчок Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 1. L–A-пара Борисова – Мамаева . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2. L–A-пара Бобенко – Кузнецова. Связь со случаем Ковалевской 147

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 8. Суперпозиция методов сдвига аргумента и лиевых пучков. Формулировка общего алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Гиростат Жуковского – Вольтерра. (149). L–A-пара случая Рубановского. (150).

§ 9. Приложение к главе 2. L–A-пары многомерных обобщений в динамике твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 1. Формулировка общего алгоритма . . . . . . . . . . . . . . 152 2. Фазовые переменные и коммутационные соотношения . . . 154 3. Многомерная система Бруна–Богоявленского . . . . . . . . 155 4. Два волчка so(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5. Волчок so(n) и ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6. Частично симметричный волчок в линейных полях на алгебре so(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7. Волчок Ковалевской в двух однородных полях . . . . . . . 159 8. Обобщение случая Лагранжа на so(n, 1) и gl(n). Случай максимального набора линейных интегралов . . . . . . . . . . 160 9. Волчок Лагранжа на алгебре so(n) ⊕s so(n) — квадратичный кососимметричный потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . 161 ГЛАВА 3. Разделение переменных и r-матричный формализм . . 162 § 1. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби . . . . . . 162 1. Метод Гамильтона – Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2. Задача Якоби — геодезический поток на эллипсоиде . . . . 166 3. Задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4. Системы с полиномиальным потенциалом, допускающие разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Полиномиальные потенциалы, разделимые в эллиптических координатах. (169). Интегрируемые потенциалы на n-осном эллипсоиде. (171). Полиномиальные потенциалы, разделимые в сфероконических координатах. (171).

5. Рациональные разделяющиеся потенциалы и производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Частица в n+1 и на эллипсоиде (эллиптические координаты). (173). Частица на сфере (сфероконические координаты). (175).

6. Разделение переменных и квадратичные интегралы . . . . . 176 § 2. Переменные Ковалевской и их обобщения. L–A-пары 2 × 2 . . 178 Конструкция Фейрбанкса. (178). L–A-пара Переломова для волчка Ковалевской. (180). Разделение переменных для случая Ковалевской – Соколова. (183).

§ 3. Уравнения Абеля – Якоби, L–A пары 2×2 и решение К¨еттера для случая Стеклова – Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

1. L–A-пара 2×2 как компактный способ записи уравнений Абеля – Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2. Гамильтоновость уравнений типа Абеля – Якоби . . . . . . 187 3. Инволютивное семейство с разделяющимися переменными 189 4. Построение L–A-пары по уравнениям Абеля – Якоби . . . . 190 5. Система Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6. Система Стеклова – Ляпунова для уравнений Кирхгофа . . . 195 7. Разделение случая Клебша для (M , γ) 6= 0 . . . . . . . . . 198 § 4. Метод r-матрицы, интегрируемые системы и представление Лакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1. r-матричный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 2. Периодическая цепочка Тоды . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3. Квадратичные алгебры (Склянина) и разделение переменных 207 Коммутативные семейства и разделение переменных. (210).

4. Разделение переменных для периодической цепочки Тоды . 213 5. Случай Ковалевской на пучке скобок . . . . . . . . . . . . 215 6. Обобщенный случай Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . 219 7. Волчок Ковалевской – Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . 223 8. Новый случай интегрируемости на so(4) . . . . . . . . . . 225 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 A. Аналогия системы Клебша – Переломова и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 B. Интегрируемые геодезические потоки, связанные с классическими интегрируемыми задачами динамики твердого тела . . . . 232 Метрики на двумерной сфере S 2 . (232). Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона. (234). Случай Лагранжа и «метрика вращения». (235). Случай Клебша. (235). Случай Горячева—Чаплыгина. Геодезический поток с кубическим дополнительным интегралом. (236). Случай Ковалевской. (236). Случай Чаплыгина (обобщенный случай Ковалевской). (237).

C.

D.

Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 1. Общая конструкция. Отображение момента . . . . . . . . . 238 2. Волчок Шоттки – Манакова и его вырождения . . . . . . . 246 3. Еще один интегрируемый геодезический поток . . . . . . . 251 4. Волчок Эйлера — разделение переменных для систем с тремя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Интегрируемые системы на двумерной сфере. Небесная механика в искривленных пространствах . . . . . . . . . . . . . . . 257 1. Обобщенная задача Эйлера двух центров . . . . . . . . . . 257 2. Задача n-гуковских центров на сфере . . . . . . . . . . . . 259

8

ОГЛАВЛЕНИЕ

E.

Алгебраические преобразования скобок Пуассона . . . . . . . 261 1. Групповые преобразования пучка . . . . . . . . . . . . . . 262 2. Преобразования, связанные с симплектическими переменными Андуайе – Депри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 3. Изоморфизм орбит алгебр e(3) и so(3, 1) . . . . . . . . . . 266 4. Преобразование, связанное с углами Эйлера . . . . . . . . 267 F. Необходимые и достаточные условия интегрируемости обобщенных цепочек Тоды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 1. Обобщенные цепочки Тоды . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 2. Необходимые условия интегрируемости . . . . . . . . . . . 269 3. Классификация диаграмм Дынкина и соответствующих неприводимых интегрируемых цепочек . . . . . . . . . . . . . . 272 4. Первые интегралы, L–A-пары и явное интегрирование . . . 274 5. Комментарии и исторические замечания . . . . . . . . . . 278 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Введение

В этой книге мы вводим читателя в современную теорию конечномерных интегрируемых гамильтоновых систем, иллюстрируя ее на различных механических и физических задачах. При этом мы сосредоточиваемся на различных вопросах и методах, большинство из которых развито совсем недавно и поэтому мало представлены в имеющейся монографической литературе, а журнальные публикации являются слишком разрозненными. Возможно, именно поэтому представленный в книге материал является несколько неоднородным, что связано также с тем, что многие вопросы не являются до конца проработанными и находятся в состоянии развития. Изложение в книге (глава 1) начинается с теории пуассоновых структур, являющейся основой современной гамильтоновой механики, подробнее познакомиться с которой можно по книгам [18, 78, 80]. При изложении хорошо известных результатов здесь мы, как правило, ограничиваемся формулировками известных теорем, не приводя подробных доказательств. В первой главе мы также даем введение в методы установления интегрируемости многомерных динамических систем, основанные на использовании представления Лакса (L–A-пары). Введены также необходимые объекты дифференциальной геометрии, в основном связанные с тензорными законами сохранения, наличие которых, как оказывается, и приводит к возможности записи уравнений движения в форме Лакса. Отметим, что метод L–A-пары, предложенный П. Лаксом в 1968 году, был особенно популярным в 70–80-х годах прошлого века в связи с возникшим оживлением вокруг теории солитонов и открытия нескольких новых систем эволюционных (бесконечномерных) интегрируемых уравнений типа Кортевега-де-Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, sine-Gordon и др. В те годы исследования интенсивно велись несколькими различными школами (в Америке — Абловиц, Сигур, Флашка, Лакс, Ньюэл, в Москве — Новиков, Кричевер, Дубровин, Веселов, Захаров, Манаков, в Ленинграде — Фаддеев, Тахтаджан, Склянин и др.). В московской школе основное внимание уделялось явному интегрированию уравнений в тэта-функциях (функциях Бейкера – Ахиезера). На этом пути С. П. Новиковым было предложено представление Лакса со спектральным параметром и проанализирована динамика полюсов функций Бейкера – Ахиезера, позволяющая получить общее решение в тэта-функциях. В московской и ленинградской школах особенное внимание было уделено гамильтоновой структуре динамических

10

ВВЕДЕНИЕ

уравнений (в большинстве случаев — бесконечномерных). В ленинградской школе было указано, что возможность гамильтонова описания связана с существованием r-матрицы, зная которую, как оказалось, можно не только получить L–A-пару, но и сделать заключение о полной интегрируемости системы. На этом пути были разработаны различные приемы нахождения L–A-пар, благодаря которым их удалось построить для большого класса задач динамики — от бесконечномерных и многочастичных систем типа цепочек Тоды до многомерных волчков, обобщающих классические задачи динамики твердого тела. Отметим также, что иногда технически оказалось проще построить U–V-пару или уравнение нулевой кривизны, из которого далее также можно сделать выводы об интегрируемости. В книге мы рассматриваем различные интегрируемые конечномерные системы, хотя и уделяем особое внимание многомерным волчкам, которые входят в нашу основную область интересов. В динамике многомерных волчков первые L–A-пары (со спектральным параметром) были построены С. В. Манаковым и А. М. Переломовым, из которых следует интегрируемость уравнений движения многомерного волчка Эйлера (т. е. движения по инерции), а также аналога случая Клебша для многомерных уравнений Кирхгофа. При этом доказательство полноты семейства интегралов (т. е. их достаточности для интегрирования по теореме Лиувилля) стало особой проблемой, которая по-разному решалась несколькими школами (А. Т. Фоменко, А. С. Мищенко; А. Г. Рейман, М. А. Семенов-ТянШанский). Вскоре были получены L–A-пары для большинства многомерных обобщений интегрируемых задач динамики твердого тела и найдены новые интегрируемые системы в обычной трехмерной ситуации. С различными постановками задач о движении реального — трехмерного твердого тела можно ознакомиться по нашей книге «Динамика твердого тела», РХД, 2001 [20]. Многомерные обобщения и L–A-пары для различных динамических систем были получены их первооткрывателями разными способами. Так, О. И. Богоявленский для многомерного обобщения задачи Бруна и цепочек Тоды, связанных с корневыми диаграммами алгебр Ли, использовал явные анзатцы, А. Г. Рейман и М. А. Семенов-Тян-Шанский основывались на теоретико-групповых подходах, связанных с методом r-матрицы, А. Т. Фоменко и А. С. Мищенко развивали метод сдвига аргумента. Во второй главе этой книги мы приводим свой алгоритм построения L–A-пар, связанных с естественными тензорными законами сохранения и бигамильтоновостью системы. Он позволяет не только получить почти все известные ранее L–Aпары из динамики волчков наиболее простым способом, но и найти новые нетривиальные интегрируемые системы [104]. Несмотря на то, что этот метод был опубликован в нескольких статьях [11, 98] и, частично, в книге [18], он остался, видимо, малодоступным даже специалистам, занимающимся этой областью. Здесь мы снабдили изложение необходимыми доказатель-

ВВЕДЕНИЕ

11

ствами, а также привели окончательные результаты в виде справочника (приложение к гл. 2), который позволяют быстро выписать L–A-пару для любого интегрируемого волчка. Отметим также, что некоторые задачи динамики многомерных волчков, а также почти все известные многочастичные системы типа цепочек Тоды не поддаются нашему методу. Для них либо не возможно естественное бигамильтоново описание, либо оно является не совсем подходящим для использования нашего метода. В главе 3 мы собрали специальные приемы для описания таких систем, надлежащая теория при этом основана на методе r-матриц. Тем не менее метод r-матричного (R-операторного) описания системы не имеет прямого динамического происхождения и до сих пор основывается на ряде хитроумных алгебраических манипуляций с матрицами, полное владение которыми достигается лишь многочисленными упражнениями (в современный период — с использованием пакетов MAPLE, Mathematica, MATLAB и т. д.), и в основном использует технику решеточных моделей. В своем изложении метода r-матрицы мы старались отразить его геометрические стороны, а также представить его как часть общего метода теории пуассоновых структур, подробное изложение которой с приложением к различным задачам классической динамики (не обязательно интегрируемым) содержится в уже упомянутой книге [18]. Для описанного в книге класса задач метод r-матрицы оказывается связан с различными классами квадратичных скобок Пуассона (квадратичных алгебр Склянина) и некоторой новой общей процедурой разделения переменных, что является значительным продвижением со времен Якоби, когда были введены эллиптические и сфероконические координаты. Мы также приводим ряд совсем новых результатов, полученных нами при написании книги. Сделаем еще несколько отступлений. Начиная писать эту книгу, мы думали в основном сосредоточиться на бигамильтоновости и связанным с ней алгоритмом построения L–A-пар, который казался нам достаточно универсальным. Однако постепенно, анализируя различные интересные результаты и способы, при помощи которых они были найдены, мы убедились, что вряд ли существует универсальный рецепт, способный ответить на все вопросы теории интегрируемых систем. Поиск новых интегрируемых систем до сих пор во многом остается искусством, и недаром многие системы носят имя их открывателей. Мы описали в книге ряд современных методов, которые нам кажутся наиболее перспективными, хотя и каждый из них сам по себе имеет свои границы. Интересно, что интегрируемость некоторых систем была установлена различными способами (и различными авторами). Некоторые важные вопросы интегрируемости остались за рамками этой книги. Это, в первую очередь, относится к методу Пенлеве – Ковалевской, связанно-

12

ВВЕДЕНИЕ

му с ветвлением решений на комплексной плоскости времени. Этот метод является во многих случаях очень эффективным — например с помощью него С. В. Ковалевская нашла свой замечательный случай интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона. Благодаря ему также возникли различные техники, связанные с анализом алгебраической (М. Адлер, П. ван М е¨ рбеке) и мероморфной (С. Л. Зиглин) интегрируемости (см. [122, 41, 59]). Мы также не останавливаемся на современном развитии метода неопределенных коэффициентов, который традиционно использовался для поиска новых интегрируемых систем. В последнее время, благодаря созданию мощных систем аналитических вычислений, стало возможным выполнение громадного объема манипуляций, что позволило, например, анализировать возможность существования у системы первых интегралов, являющихся полиномами высоких степеней. Самым ярким достижением в этой области является открытие В. В. Соколовым новых случаев интегрируемости в уравнениях Кирхгофа, которые мы обсуждаем в гл. 2 и 3. В уже упоминавшейся нашей книге [20] были собраны все (или почти все) известные на момент ее выхода интегрируемые случаи динамики твердого тела и соответствующие разделяющие переменные. За последнее время были найдены новые системы разделяющих переменных, с помощью которых удалось проинтегрировать ряд задач, которые обозначены в книге [20], как нерешенные. В этой книге мы привели все эти новые достижения. Нам также удалось разобраться в работе К¨еттера [141], в которой были кратко приведены разделяющие переменные для случая Стеклова – Ляпунова, но, к сожалению, нет указания пути, с помощью которого можно показать, что они являются разделяющими. Результат К¨еттера был недавно реконструирован в [118] с использованием современных алгебро-геометрических методов. Мы приводим соответствующие рассуждения в модифицированной форме в главе 3. В заключение мы также особо отметим роль различных схем классификации и упорядочивания результатов в современной науке, для которой, к сожалению, типично их отсутствие. Вследствие этого одни и те же результаты получаются в различных школах и различными методами и их становится сложно отождествить и ситуация может сильно запутаться. В качестве примера мы сошлемся на последнее приложение к книге, посвященного обобщенным цепочкам Тоды. В главах 2, 3 мы приводим также различные типы классификаций, приводящие к различным интегрируемым системам в динамике многомерного твердого тела. Публикация этой книги в серии «Современная метематика» преследует цель привлечь к этой области новое поколение исследователей, т. к. многие проблемы, поставленные в этой книге, не поддаются решению ни одним из описанных методов. Для современной теории динамических систем их решение способно пролить свет на эволюцию многомерных интегрируемых задач, изучение которых, в принципе, только начинается.

ВВЕДЕНИЕ

13

Мы благодарны за многочисленные обсуждения различных задач и методов В. В. Козлову, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, И. Маршаллу, В. В. Соколову, А. В. Цыганову, Ю. Н. Федорову. Эта книга не была бы написана без плодотворного и многократного взаимодействия с А. В. Болсиновым, который аккуратно прочитал всю книгу и сделал ценные замечания. Он также написал приложение C, посвященное интегрируемым геодезическим потокам на однородных пространствах. За все это мы ему искренне благодарны. 20 марта 2003

А. В. Борисов, И. С. Мамаев

О книге А. Г. Реймана, М. А. Семенова-Тян-Шанского «Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход» Во время подготовки к печати нашей книги нам стала доступна рукопись новой книги А. Г. Реймана и М. А. Семенова-Тян-Шанского «Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход», выходящей в той же серии. Эта книга представляет собой расширенный и обновленный вариант обзора, выходивший ранее в ВИНИТИ в серии «Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т. 16, 1987 г. [61]. К сожалению, обзор был трудно читаемым и сильно сокращенным по сравнению с реальными планами авторов. Новое издание существенно расширено и снабжено новыми библиографическими ссылками и, безусловно, является хорошим руководством по теории интегрируемых систем. В то же время здесь мы хотим высказать свое мнение относительно этой книги, понимая при этом, что оно будет носить несколько субъективный характер. Тем не менее, существует ряд принципиальных моментов, относительно которых наши позиции как специалистов в области интегрируемых систем сильно расходятся. Любопытно отметить совершенное пренебрежение авторов к ссылкам на работы по тематике книги, которые не укладываются в их подход, связанный в основном c r-матричным методом. Не упомянуты, например, результаты В. В. Козлова и Д. В. Трещева 1 для обобщенных цепочек Тоды [42, 43], Ю. Н. Федорова и А. В. Болсинова относительно эллиптических L–A-пар [14, 82, 120], обобщенных случаев Клебша и Стеклова – Ляпунова, И. Маршалла относительно бигамильтоновости волчка Ковалевской и корректного построения соответствующей 1 Новая обобщенная интегрируемая цепочка Тоды, открытая В. В. Козловым и Д. В. Трещевым в работе [42] 1989 г., до сих пор остается неизвестной большинству специалистов, как и принадлежащие им классификационные результаты.

14

ВВЕДЕНИЕ

L–A-пары [157]. В этот обзор также не включены новые и, как нам кажется, наиболее интересные приложения r-матричного подхода к динамике твердого тела и цепочкам Тоды, связанные с квадратичными алгебрами Склянина. Эти результаты недавно были получены В. Б. Кузнецовым [154], В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым [75] и подробно излагаются в нашей книге. В обзоре также полностью игнорируются наши собственные результаты (например, новая L–A-пара для случая Горячева – Чаплыгина, возникшие на этом пути нелинейные скобки Пуассона, новый алгоритм построения L–A-пар [11, 104]). К сожалению, такой подход типичен для многих научных школ, которые сильно сосредоточиваются на развитии собственных методов, пытаясь придать им универсальный характер. Однако сама обсуждаемая книга является наиболее выразительным свидетельством того, что такого метода, пригодного для всех случаев жизни, не существует, все многообразие интегрируемых систем и их свойств нельзя получить с помощью одного общего универсального алгоритма. Еще раз можно подчеркнуть крайне формализованное (и совершенно непригодное для, например, механиков) изложение большинства вопросов теории многомерных волчков, не снабженное никакими комментариями, связывающими их с общими принципами динамики. Относительно исторических замечаний можно лишь отметить их крайнюю односторонность. Не будучи однозначными привеженцами метода сдвига аргумента и полноты инволютивных семейств интегралов, развиваемой А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, В. В. Трофимовым, А. В. Болсиновым, все же мы отметим, что большинство результатов обсуждаемого обзора, связанных с динамикой многомерных волчков, может быть получено и с помощью этих методов. В некотором смысле они даже эквивалентны подходу, развиваемому А. Г. Рейманым и М. А. Семеновым-Тян-Шанским для случая римановых симметрических пар. При этом одни и те же проблемы одинаково хорошо описываются различными методами и их первоначальное обнаружение является лишь некоторой исторической случайностью. Например, новый волчок на so(4) с интегралом четвертой степени (связанный с алгеброй g 2 ) возник первоначально в классификации А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко, которые просто не обратили на него никакого внимания. Далее он был обнаружен М. Адлером и П. Ван Мербеке с помощью метода Ковалевской и создаваемой ими теории вполне алгебраически интегрируемых систем. Они же предъявили первый интеграл. Далее А. Г. Рейман, М. А. Семенов-ТянШанский построили L–A-пару с помощью своего метода, хотя нет никаких проблем воспользоваться и другими соображениями (связанные, например, со сдвигом аргумента или нашим алгоритмом, основанном на бигамильтоновсти), изложенными в нашей книге. Представление Лакса для обобщенной задачи Бруна было получено О. И. Богоявленским [8, 9] при помощи явного анзатца. Он также дал этой

ВВЕДЕНИЕ

15

задаче многочисленные физические интерпретации. Несколько ранее эта система встречалась в работе А. Г. Реймана, однако он не только не обратил внимание на ее реальное механическое (и физическое) значение, но и допустил некоторые неточности в вычислениях. Многочисленные новые системы, найденные В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым [73, 74], вообще были получены не с помощью «правильных» построений из теоретико-группового похода, а с использованием метода неопределенных коэффициентов и различных компьютерных систем аналитических вычислений. Мы также лишь частично согласны с утверждением авторов относительно того, что в последние десятилетия теория интегрируемых систем в основном развивалась в квантовой области. С другой стороны, например, открытие новых интегрируемых случаев в уравнениях Кирхгофа [73], четырехмерном волчке [22], а также новых методов разделения переменных [75], представляющих собой реальный прогресс со времен Якоби, нам кажется достаточно впечатляющим достижением в классике. Впрочем, мы здесь воздержимся от дальнейших комментариев, которые могут привести к рассуждениями о структуре познания и эволюции математических методов исследования (т. е. что является более важным — решение классических проблем, либо развитие новой области, в которой еще ничего не известно). Тем не менее, высказав здесь свою точку зрения на интегрируемые системы, имеющую общефилософский и методологический характер — насколько природу можно описать одним универсальным принципом, мы подчеркнем, что новая книга А. Г. Реймана и М. А. Семенова-Тян-Шанского, несомненно, является полезной для широкого круга специалистов по интегрируемым системам, как наиболее полное описание одного из перспективных подходов к их изучению, с помощью которого авторы сами достигли значительных результатов, которые, несомненно, останутся в этой науке. Например, в качестве бесспорных достижений можно указать обобщение случая Ковалевской и L–A-пару для случая Адлера и ван-Мербеке. Мы также обсуждаем эти случаи в нашей книге с различных позиций (см. также [20]).

Глава 1

Общий формализм динамики многомерных волчков § 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 1. Пуассоновы многообразия Все динамические системы, рассматриваемые в этой книге, являются гамильтоновыми. Это утверждение следует понимать в некотором обобщенном смысле, который отличается, но, тем не менее, тесно связан с обычным каноническим формализмом. Такие системы допускают каноническую гамильтонову форму не во всем фазовом пространстве, а на некотором общем уровне первых интегралов, имеющих геометрическое или динамическое происхождение. В качестве основного примера, на котором мы собираемся иллюстрировать общие методы анализа динамических систем, являются различные формы уравнений динамики твердого тела. Подробный анализ различных форм уравнений и интегрируемых случаев для обычной физической трехмерной ситуации содержится в нашей книге [20]. В этой книге основное внимание уделено изучению n-мерных обобщений этих уравнений и, соответственно, их интегрируемых случаев. В частности, речь пойдет о многомерных обобщениях уравнений Эйлера, Эйлера – Пуассона, Кирхгофа и многомерных аналогах случаев Лагранжа, Ковалевской, Клебша и т. д. В многомерной ситуации многим фактам нельзя дать естественного геометрического и механического описания. Но имеющиеся глубокие аналогии с обычной физической (трехмерной) динамикой позволяют переносить многие результаты на произвольное число измерений — снабжая их необходимыми модификациями. Наиболее явно существующие аналогии можно обнаружить при записи уравнений движения в алгебраической форме. Здесь мы понимаем алгебраическое представление как в обычном смысле, т. е. алгебраичность (обычно, полиномиальность) системы дифференциальных уравнений движения, так и как связь с гамильтоновым формализмом на алгебрах Ли. В этом формализме скобка Пуассона является линейной по фазовым переменным и при алгебраичности (полиномиальности) гамильтониана уравнения движения также будут алгебраическими

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА

И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

17

(полиномиальными). Такой подход наиболее приемлем для поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости. Еще раз напомним, что более подробно с теорией линейных и нелинейных пуассоновых структур можно познакомиться по нашей книге [18]. Здесь мы вкратце изложим основные определения и результаты, необходимые для записи и анализа уравнений n-мерных волчков в разных потенциальных полях. Отметим также, что само развитие теории пуассоновых структур во многом было стимулировано динамикой многомерных волчков, так как последняя позволяет сделать абстрактные формулировки многих теорем более наглядными и содержательными. Скобки Пуассона и их свойства. уравнений динамики имеет вид q˙ =

dq = ∂H , dt ∂p

p˙ =

Обычная гамильтонова форма

dp = − ∂H , dt ∂q

H = H(q , p),

(1.1)

где канонические координаты (q , p) определены на некотором четномерном многообразии (q , p) ∈ M 2n — фазовом пространстве (dim M = 2n).

Функция H называется гамильтонианом. Величина n = dim M называет2 ся числом степеней свободы гамильтоновой системы (1.1). В дальнейшем мы рассматриваем только автономные системы, т. е. предполагается, что гамильтониан H не зависит явно от времени. Дивергенция векторного поля (1.1) равна нулю, то есть фазовый поток является несжимаемым (теорема Лиувилля). Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле  X  ∂F ∂G {F, G} = − ∂F ∂G , (1.2) ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

то уравнения (1.1) можно переписать в виде q˙i = {qi , H},

p˙ i = {pi , H}.

(1.3)

Любая дифференцируемая функция F = F (q , p) также эволюционирует по гамильтонову закону: F˙ = {F, H}. (1.4)

Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи. Например, классические углы Эйлера, используемые при анализе движения тяжелого

18

ГЛАВА 1

твердого тела вокруг неподвижной точки, вырождаются на полюсах сферы Пуассона, что делает их малопригодными для многих исследований (как аналитических, так и численных) (см. [20]). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики. При инвариантном построении гамильтонова формализма, следуя П. Дираку [19], исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона1 , определенных для функций, заданных на некотором многообразии M . Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям: 1◦ . {λF1 + µF2 , G} = λ{F1 , G} + µ{F2 , G}, λ, µ ∈ R — билинейность, 2◦ . {F, G} = −{G, F } — кососимметричность,

3◦ . {F1 F2 , G} = F1 {F2 , G} + F2 {F1 , G} — правило Лейбница,

4◦ . {{H, F }, G} + {{G, H}, F } + {{F, G}, H} = 0 — тождество Якоби.

Скобку Пуассона {·, ·} мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие M , на котором она определена, — пуассоновым многообразием. В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности (т. е. для любой функции F (x ) 6≡ const существует функция G(x), {F, G} 6≡ 0), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2). Отказ от этого свойства позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В большинстве рассмотренных далее ситуациях пуассонова структура оказывается вырожденной и обладает функциями Казимира Fk (x ), коммутирующими со всеми переменными xi и, стало быть, с любыми функциями G(x ) на M : {Fk , G} = 0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами. Свойства 1◦ – 4◦ позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном координатном виде {F, G} =

X i,j

{xi , xj } ∂Fi ∂Gj . ∂x ∂x

(1.5)

Базисные скобки J ij = {xi , xj } называются структурными функциями пуассонова многообразия M относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат x = (x1 , . . . , xn ) [60, 80]. Они образуют структурную матрицу (тензор) J = kJ ij k размера n × n. 1 В дальнейшем мы говорим как скобки, так и скобка Пуассона, допуская здесь некоторую вольность речи.

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА

Если J=



И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

 0 E , −E 0

E = kδij k,

19

(1.6)

то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2). Структурная матрица J(x ) удовлетворяет следующим условиям, вытекающими из 1◦ – 4◦ : I. кососимметричность: J ij (x ) = −J ji (x ), II. тождество Якоби:  n  X jk ij ki J il ∂J l + J kl ∂J l + J jl ∂J l = 0. ∂x ∂x ∂x l=1

(1.7)

(1.8)

Поэтому, например, всякая постоянная кососимметрическая матрица kJ ij k задает пуассонову структуру. Инвариантный объект, определяемый тензором J, является бивектором (бивекторным полем): X J(dF, dG) = J ij (x ) ∂Fi ∂Gj , ∂x ∂x где dF — ковектор с компонентами ∂Fi . ∂x

Векторное поле v = X H = {x , H} = J(dH)1 определяет на многообразии (произвольной размерности) гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид X i x˙ i = XH = {xi , H} = J ij (x) ∂Hj . (1.9) ∂x j Функция H = H(x) при этом также называется гамильтонианом (функцией Гамильтона). Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением (это является следствием тождества Якоби) [X H , X F ] = −X {H,F } . 1 Отметим, что обозначение {x , H} для гамильтонова векторного поля не является общепринятым, формально оно не является корректным, т. к. использует неопределенную нелинейную скобку Пуассона вектора и функции. Однако всегда ясно, о чем идет речь, если правильно представлять себе соответствующие компонентные соотношения. В любом случае это лучше, чем, например, sgrad H.

20

ГЛАВА 1

Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование — сдвиг на фиксированное время вдоль траекторий системы (1.9) (фазовый поток), сохраняющее скобки Пуассона. Функция F (x) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю F˙ = X H (F ) = 0, это условие эквивалентно тому, что {F, H} = 0. Структурный тензор, оказывается, является тензорным инвариантом фазового потока, т. е. производная Ли вдоль векторного поля v (1.9) потока равна нулю Lv J (x ) = 0. Несложно показать, что тензорными инвариантами также являются нетривиальные тензоры J ∧ J, . . . , (J ∧ . . . ∧ J)k/2 , где k — ранг пуассоновой структуры (см. далее). Более высокие степени тензора J тождественно равны нулю. Первые интегралы также являются тензорными инвариантами нулевого ранга. Инвариантная мера, которой всегда обладают уравнения (1.9) (вследствие теоремы Лиувилля), является инвариантом максимального ранга. Замечание. В отличие от гамильтоновых систем, произвольные динамические системы могут не обладать ни одним тензорным инвариантом (даже мерой). Существует промежуточный класс систем — неголономные системы [21], которые в зависимости от параметров могут обладать различными наборами тензорных инвариантов. В этом случае возникает целая иерархия интегрируемости для этих систем. Система уравнений F1 (x) = 0, . . . , Fk (x) = 0

(1.10)

задает систему инвариантных соотношений (определяющих инвариантное многообразие), если {Fi , H} = 0, i = 1, . . . , k, на многообразии, определяемом условиями (1.10). Несложно показать, что в этом случае {Fi , H} =

n X

λi (x )Fi (x ),

i=1

где λi (x ) — некоторые функции в фазовом пространстве. Инвариантные соотношения в динамику систематически ввел Т. Леви-Чивита. Соотношения (1.10) обычно в дальнейшем задают некоторую (сингулярную!) орбиту коприсоединенного представления в алгебре Ли, обладающую некоторыми интересными динамическими свойствами. Например, некоторые орбиты

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА

И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

21

могут быть касательными расслоениями n-мерных сфер S n и интегрируемые волчки могут порождать интегрируемые геодезические потоки на этих сферах. В еще более специальных случаях на таких сингулярных орбитах может быть достигнуто разделение переменных — в отличие от произвольной орбиты, для которой явное интегрирование иногда выполнить существенно сложнее. Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция X F = {F, ·} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на M . Используя 1◦ – 4◦ , в этом случае можно показать, что в таком виде можно представить каждый касательный вектор. Определим 2-форму ω 2 по формуле ◦

◦

ω 2 (X G , X F ) = {F, G}.

(1.11)

Из условий 1 – 4 следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие M — симплектическим многообразием. Несложно показать, что симплектическое многообразие является четномерным. форма (1.11) имеет вид ω 2 = PВ координатном представлении ij −1 = ωij dxi ∧ dxj , где kωij k = kJ k , в каноническом случае (1.6) ω 2 = i,j P = dpi ∧ dqi . К такому виду по теореме Дарбу приводится локально i

всякая симплектическая структура. В следующем пункте мы сформулируем эту теорему в более общей форме.

Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то фазовое пространство расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу, согласно которой уравнения движения имеют канонический вид. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку, как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений. Рангом пуассоновой структуры в точке x ∈ M называется ранг структурного тензора в этой точке. Очевидно, что он четен. Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии M понимают ранг, который она имеет в некоторой точке общего положения x ∈ M. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален. Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий [18, 60].

22

ГЛАВА 1

Теорема 1. Пусть (M, {· , ·}) — пуассоново многообразие размерности n, и в точке x ∈ M ранг скобки {· , ·} локально постоянен и равен 2r. Тогда существует локальная система (канонических) координат x1 , . . . , xr , y1 , . . . , yr , z1 , . . . , zn−2r , в которой скобки Пуассона имеют вид {xi , xj } = {yi , yj } = {xi , zk } = {yi , zk } = {zk , zl }=0, где 1 6 i, j 6 r,

{xi , yj } = δij ,

1 6 k, l 6 n − 2r.

В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями zi = cP i , (ci = const), а симплектическая структура на нем задается формой ω = dxi ∧ dyi . Листы общего положения (для которых ранг равен 2r) i

называются регулярными. Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше 2r), проходят сингулярные симплектические листы (орбиты коприсоединенного представления в случае алгебры Ли и скобки Ли–Пуассона). Они задаются некоторой системой соотношений (1.10), которые являются инвариантными для произвольного гамильтониана потока. Как уже было указано, такие орбиты представляют особый интерес и будут далее подробно исследованы. 2. Скобка Ли – Пуассона

Скобки Ли – Пуассона и алгебры Ли. Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть c kij — структурные константы алгебры Ли g в базисе v 1 , . . . , v n . Скобка Ли – Пуассона пары функций F, H, заданных на некотором линейном пространстве V с координатами x = (x1 , . . . , xn ), определяется формулой {F, H} = где Jij (x ) =

P k

n X

i,j=1

Jij (x ) ∂F ∂H , ∂xi ∂xj

(1.12)

ckij xk — линейный по xk структурный тензор. Все необхо-

димые тождества 1◦ –4◦ (см. п. 1) для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли: 1. ckij = −ckji , X l m l m 2. (clim cm jk + ckm cij + cjm cki ) = 0. m

Cимплектические листы структуры Ли – Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли. Уравнения Гамильтона для структуры

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА

И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

23

Ли – Пуассона в покомпонентной записи имеют вид x˙ i = {xi , H} =

X k,j

ckij xk ∂Hj . ∂x

(1.13)

Уравнения (1.13) можно записать также в инвариантном бескоординатном виде x˙ = ad∗dH (x ), x ∈ g∗ , (1.14)

где ad∗ξ , (ξ ∈ g) — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли g : ad∗ξ : g∗ → g∗ .

Инвариантное определение скобки Ли – Пуассона. Орбиты коприсоединенного представления. Чтобы определить скобку Ли – Пуассона инвариантным образом, простраство V следует интерпретировать как двойственное пространство g∗ алгебры Ли g. Тогда дифференциалы dF и dG можно рассматривать как элементы самой алгебры Ли g и определить скобку следующей формулой: {F, G} = x ([dF (x ), dG(x )])

x ∈ g∗ .

Напомним, что коприсоединное представление группы Ли G и алгебры Ли g на коалгебре g∗ определяются следующими тождествами: Ad∗X x (ξ) = x (Ad−1 x ∈ g∗ , ξ ∈ g, X ∈ G, X ξ), ad∗a x (ξ) = x (−[a, ξ]), x ∈ g∗ , ξ, a ∈ g. Симплектические листы структуры Ли – Пуассона представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли. Действительно, достаточно показать, что касательные пространства к орбите и к симплектическому листу, проходящим через точку x ∈ V = g ∗ , совпадают. Касательное пространство к симплектическому листу порождается гамильтоновыми векторными полями, т. е. векторами вида ad∗dH (x ), где dH пробегает дифференциалы всевозможных функций, т. е. всю алгебру Ли g. Но именно так устроено касательное пространство к орбите коприсоединенного представления. Из этого утверждения, в частности, следует, что функциями Казимира скобки Ли – Пуассона являются инварианты коприсоединенного представления группы Ли G. Отметим, что в случае полупростых алгебр Ли, например so(n), коприсоединенное представление совпадает с присоединенным. Это связано с наличием в полупростом случае невырожденной Ad-инвариантной формы

24

ГЛАВА 1

на алгебре Ли, которая задает естественное отождествление g и g ∗ (формы Киллинга). В частности, уравнения (1.13) принимают форму Лакса x˙ = [dH(x ), x ], а в качестве функций Казимира здесь можно рассматривать следы степеней или коэффициенты характеристического многочлена матрицы x (здесь используются естественное матричное представление полупростой алгебры Ли g). Алгебра so(n). В случае алгебры Ли so(n), рассматриваемой как пространство кососимметрических n × n-матриц, алгебра функций Казимира порождается функциями вида n−1 Tr x 2k , k = 1, 2, . . . , , если n нечетно; 2 √ n−2 2k , если n четно. Tr x и Pf(x ) = det x , k = 1, 2, . . . , 2 Отметим, что любая орбита (как регулярная, так и сингулярная) в алгебре so(n) задается как совместная поверхность уровня функций Казимира. Другими словами, функции Казимира разделяют орбиты. Однако эта поверхность уровня будет регулярной только для орбит максимальной размерности (дифференциалы указанных выше функций Казимира будут независимы в каждой точке орбиты). В случае сингулярных орбит функции Казимира становятся зависимыми на орбите, в результате чего размерность орбиты падает. Алгебра sp(2n). Для стандартного матричного представления x ∈ sp(2n) функции Казимира, определяющие регулярную орбиту, имеют вид Tr x 2k , k = 1, . . . , 2n. Алгебра su(n). Функции Казимира, определяющие регулярную орбиту для стандартного матричного представления x ∈ su(n), имеют вид Tr x k ,

k = 2, . . . , n.

Алгебра e(n). В качестве еще одного примера рассмотрим случай группы движений n-мерного евклидова пространства E(n) = SO(n) × R n . Алгебру Ли e(n) этой группы (которая не является полупростой) можно представить как множество пар (M, γ), где M ∈ so(n) — кососимметрическая матрица размера n × n, γ ∈ Rn . Отождествим алгебру с двойственным пространством при помощи (неинвариантного!) скалярного произведения h(M, γ), (A, b)i = Tr MA + hγ, bi,

где hγ, bi — евклидово скалярное произведение в R n .

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА

И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

25

Укажем явный вид коприсоединенного действия группы и алгебры на двойственном пространстве при таком отождествлении. Имеем hAd∗(X,a) (M, γ), (A, b)i = h(M, γ), Ad−1 (X,a) (A, b)i = = h(M, γ), (XAX−1 , X−1 Aa + X−1 b)i = = Tr MX−1 AX + hγ, X−1 Aa + X−1 bi =

= Tr(XMX−1 + aγ > X−1 )A + hXγ, bi =
= h(XMX−1 + 1 a · (Xγ)> − (Xγ) · a > , Xγ), (A, b)i. 2 Отсюда
Ad∗(X,a) (M, γ) = (XMX−1 + 1 a · (Xγ)> − (Xγ) · a > , Xγ). 2 Аналогично had∗(Y,a) (M, γ), (A, b)i = h(M, γ), − ad(Y,a) (A, b)i = = h(M, γ), (AY − YA, Aa − Yb)i = = Tr M(AY − YA) + hγ, Aa − Ybi =

Откуда

= Tr([Y, M] + aγ > )A + hYγ, bi =
= h([Y, M] + 1 a · γ > − γ · a > , Yγ), (A, b)i. 2


ad∗(Y,a) (M, γ) = ([Y, M] + 1 a · γ > − γ · a > , Yγ). 2 Инварианты коприсоединенного представления в этом случае могут быть описаны следующим образом. Рассмотрим кососимметрическую матрицу размера (n + 1) × (n + 1) вида   M γ C(M, γ) = . −γ > 0

Обозначим через I2k (M, γ) сумму всех диагональных миноров размера 2k этой матрицы, содержащих последний столбец и последнюю строку. Функциями Казимира, или, что то же самое, инвариантами коприсоединенного представления группы E(n), являются функции вида I2k (M, γ), k = 1, 2, . . . , n , если n четно; 2 √ n−1 I2k (M, γ) и Pf C = det C, k = 1, 2, . . . , , если n нечетно. 2

26

ГЛАВА 1

§ 2. Примеры из динамики твердого тела В динамике твердого тела скобка Ли – Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (SO(3), E(3), . . .). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона [18, 20] (см. также § 7 гл. 2). Уравнения Эйлера – Пуассона. Классические уравнения Эйлера – Пуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой Ли – Пуассона, определяемой алгеброй e(3) = so(3)⊕ s R3 , представляющей собой алгебру Ли группы движений трехмерного евклидового пространства. Она неполупроста и является полупрямой суммой алгебры вращений so(3) и трансляций R3 трехмерного пространства. Базисные скобки Пуассона имеют вид {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , γj } = εijk γk ,

{γi , γj } = 0,

(2.1)

а гамильтониан H = 1 (AM , M ) + µ(r , γ), 2

M , γ, r ∈ R3 .

(2.2)

В формулах (2.1), (2.2) вектор M = (M1 , M2 , M3 ) — кинетический момент в проекциях на оси связанной с телом системы координат; γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) — единичный орт вертикали в проекциях на те же оси; r = (r1 , r2 , r3 ) — постоянный радиус-вектор центра масс; A = I−1 = diag(a1 , a2 , a3 ) — тензор, обратный тензору инерции, µ — вес тела. Скобка (2.1) является вырожденной и обладает двумя функциями Казимира F1 = (M , γ), F2 = (γ, γ), представляющими собой интеграл площадей и геометрический интеграл. При r = 0 (движение по инерции) получаются уравнения Эйлера движения свободного волчка. При этом уравнения для M отделяются и могут быть записаны как уравнения Гамильтона на алгебре so(3). Физическое происхождение гамильтоновой формы уравнений Эйлера–Пуассона (2.1), (2.2) подробно обсуждается в книге [20]. Уравнения движения в алгебраической форме. В гамильтоновой форме на скобке Ли – Пуассона можно представить уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки, движущегося в произвольном потенциальном поле.

§ 2. ПРИМЕРЫ ИЗ

27

ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для натуральной системы с потенциальной энергией U (α, β, γ) имеем гамильтониан (2.3) H = 1 (M , AM ) + U (α, β, γ), 2 где A = I−1 , M — компоненты кинетического момента в проекциях на подвижные оси, α, β, γ — проекции неподвижных ортов на подвижные оси (направляющие косинусы). При этом скобка Пуассона определяется алгеброй so(3)⊕ s (R3 ⊕R3 ⊕R3 ), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Mi , αj } = −εijk αk ,

{Mi βj } = −εijk βk ,

{Mi , γj } = −εijk γk ,

(2.4)

{αi , αj } = {βi , βj } = {γi , γj } = {αi , βj } = {αi , γj } = {βi , γj } = 0. Гамильтоновы уравнения движения (1.9) в явной форме имеют вид ˙ = M × ∂H + α × ∂H + β × ∂H + γ × ∂H , M ∂M ∂α ∂β ∂γ ˙ = α × ∂H , α ∂M

β˙ = β × ∂H , ∂M

γ˙ = γ × ∂H . ∂M

(2.5)

В виде (2.5) могут быть также представлены уравнения движения твердого тела в обобщенно-потенциальном, например магнитном, поле, в этом случае гамильтониан H содержит члены, линейные относительно M (см. далее). Скобка Пуассона (2.4) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира f1 = (α, α),

f2 = (β, β),

f3 = (γ, γ),

f4 = (α, β),

f5 = (α, γ),

f6 = (β, γ).

(2.6)

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)касательному расслоению трехмерной сферы T ∗ S 3 , равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист, соответствующий физическим динамическим системам, определяется условиями: f1 = f2 = f3 = 1, f4 = f5 = f6 = 0. Так как симплектический лист является шестимерным, система (2.5) имеет три степени свободы. Кватернионное представление уравнений движения. Для практических вычислений избыточность уравнений (2.5) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений

28

ГЛАВА 1

быстро нарушаются соотношения ортонормированности. Этого недостатка лишена кватернионная форма представления уравнений движения, указанная авторами в [17, 18]. Матрица направляющих косинусов Q в кватернионном представлении имеет вид 

λ20 + λ21 − λ22 − λ23

2(λ0 λ3 + λ1 λ2 )

 Q = (α, β, γ) =  2(λ1 λ2 − λ0 λ3 ) λ20 − λ21 + λ22 − λ23 2(λ0 λ2 + λ1 λ3 )

2(λ1 λ3 − λ0 λ2 )



 2(λ0 λ1 + λ2 λ3 )  ,

2(λ2 λ3 − λ0 λ1 ) λ20 − λ21 − λ22 + λ23

а соответствующие коммутационные соотношения запишутся в форме {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , λj } = − 1 (εijk λk + δij λ0 ), 2

{Mi , λ0 } = 1 λi , 2

(2.7)

{λµ , λν } = 0.

Определяющая их алгебра Ли l(7) представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений so(3) и алгебры трансляций R 4 : l(7) ≈ so(3) ⊕s R4 . Скобка (2.7) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира F (λ) = λ20 + λ21 + λ22 + λ23 . (2.8) Неособый симплектический лист также гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы T ∗ S 3 , его размерность равна шести. Уравнения движения могут быть записаны в следующем виде ˙ = M × ∂H + 1 λ × ∂H + 1 ∂H λ − 1 λ0 ∂H , M 2 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂M ∂λ   λ˙ 0 = − 1 λ, ∂H , λ˙ = 1 λ × ∂H + 1 λ0 ∂H , 2 2 2 ∂M ∂M ∂M

(2.9)

λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) и для их интегрируемости также не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов. Кватернионные уравнения динамики твердого тела в гамильтоновой форме (2.9) были впервые получены авторами в [17].

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

29

§ 3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Примеры интегрируемых систем 1. Алгебра интегралов. Теорема Лиувилля и ее обобщение Кроме фазового пространства, множество значений первых интегралов системы, оказывается, также может быть рассмотрено как новое многообразие, обладающее пуассоновыми свойствами. На этом многообразии возникает естественная пуассонова структура, введенная еще К. Якоби [88]. Действительно, скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл (теорема Якоби). Следовательно, исходная пуассонова (например симплектическая) структура на фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве интегралов. По методу Якоби для построения множества интегралов необходимо выбрать пару первых интегралов системы и каждый раз добавлять их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге получаются функционально зависимые интегралы. Из этого набора интегралов следует выбрать максимальное множество функционально независимых интегралов, определяющих координаты на пространстве интегралов. Все остальные интегралы (и их скобки Пуассона) будут являться функциями выбранных. В качестве примера Якоби, исследуя задачу трех тел, рассмотрел скобки Пуассона первых интегралов, образующих алгебру Ли группы вращений (so(3)) и группы движений евклидова пространства (e(3)). Если система обладает достаточно обширным набором первых интегралов, то она является полностью интегрируемой. В этом разделе мы приведем два варианта теоремы Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновой системы. Один из них, наиболее употребительный, связан с наличием n независимых инволютивных интегралов (n — половина размерности фазового пространства канонической гамильтоновой системы (1.1)). Второй вариант является более редким, когда количество независимых первых интегралов больше чем n, но не все они являются инволютивными. В этом случае говорят о некоммутативной интегрируемости, а сами системы иногда называют суперинтегрируемыми. Более полное представление о механизмах интегрируемости гамильтоновых систем можно получить в [2, 4, 16, 18, 41]. Теорема 2 ([2, 4, 41]). Пусть M2n — фазовое пространство гамильтоновой системы со стандартной симплектической структурой и гамильтонианом H(p, q ). Предположим, что эта система имеет n интегралов движения F1 , . . . , Fn в инволюции {Fi , Fj } = 0,

i, j = 1, . . . , n.

30

ГЛАВА 1

Если 1. на множестве Ma = {(p, q ) ∈ R2n : Fi (p, q ) = ai } функции F1 , . . . , Fn независимы; 2. множество Ma является связной и компактной поверхностью, то а. решение гамильтоновой системы на поверхности M a получается в квадратурах; б. поверхность Ma является n-мерным тором Tn , несущим квазипериодические движения; в. в окрестности поверхности Ma существуют такие канонические координаты I1 , . . . , In , ϕ1 , . . . , ϕn (0 6 ϕi 6 2π), называемые переменными действие-угол, в которых уравнения движения имеют вид ∂H(I1 , . . . , In ) , i = 1, . . . , n. I˙i = 0, ϕ˙ i = ωi (I1 , . . . , In ) = ∂Ii Координаты I1 , . . . , In нумеруют инвариантные торы, а ϕi угловые переменные на них. Траектории системы представляют собой квазипериодические обмотки с частотами ωi , вообще говоря, меняющимися от тора к тору. Обычно всюду плотно в фазовом пространстве расположены резонансные и нерезонансные торы. В резонансном случае между частотами ω i имеется хотя бы одно из соотношений n X

ni ω i = 0

i=1

с целочисленными коэффициентами ni ∈ Z и поверхность Ma расслоена на торы меньшей размерности (в частности — на периодические орбиты). Вышеприведенная формулировка теоремы Лиувилля принадлежит Арнольду [2]. Сформулируем теперь некоммутативный вариант теоремы Лиувилля. Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии M 2n имеет n+k интегралов F1 , F2 , . . . , Fn+k , причем на поверхности Ma = {x ∈ M 2n : Fi (x ) = ai , 1 6 i 6 n + k}

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

31

эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона k{Fi , Fj }k. Тогда, если поверхность Ma связна и компактна и ранг матрицы скобок Пуассона не превосходит 2k, то поверхность Ma диффеоморфна (n−k)-мерному тору и на ней можно выбрать угловые переменные ϕ1 , . . . , ϕn−k mod 2π так, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид ϕ˙ s = ωs = const(1 6 s 6 n − k). Теорема 3 в различных вариантах была доказана в работах Н. Н. Нехорошева [57], А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко [55] и А. В. Браилова [24]. Некоммутативное интегрирование тесно связано с редукцией по Дираку, которая подробно обсуждается в работе [19]. Обобщение этих теорем на случай вырожденных скобок Пуассона очевидно — надо только рассматривать ограничение системы на симплектический лист и использовать приведенные выше утверждения. В дальнейшем мы столкнемся с примерами многомерных волчков, обладающих как коммутативным, так и некоммутативным полным набором интегралов. Приведем ряд примеров интегрируемых гамильтоновых систем в основном с двумя степенями свободы с дополнительными интегралами второй, третьей и четвертой степени по импульсам. Здесь мы не преследуем цели дать полный список таких систем, а только дадим читателю почувствовать разнообразие интегрируемых систем и структуры первых интегралов. Отметим, что интегралы первой степени по импульсам (линейные интегралы) соответствуют понижению порядка по Раусу, а интегралы более высоких степеней (> 4) встречаются существенно реже (одна из таких систем описана в § 3 гл. 2). Рассмотрим сначала случай квадратичных по импульсам интегралов движения. 2. Квадратичные по импульсам интегралы и разделение переменных Оказывается, что существование квадратичных интегралов для случая двух степеней свободы тесно связано с разделением переменных, которое подробно рассмотрено нами в § 1 гл. 3. В этом разделе мы сосредоточимся на достаточно элементарных системах, поэтому от читателя требуется понимание разделения переменных на уровне стандартных курсов механики. Укажем общий вид натурального гамильтониана, задающий разделение в эллиптических координатах f (u) − g(v) (3.1) , H = 1 (p21 + p22 ) + 2 u2 − v 2 дополнительный интеграл

F = (q1 p2 − q2 p1 )2 + cp21 + 2

v 2 f (u) − u2 g(v) , u2 − v 2

32

ГЛАВА 1

где эллиптические координаты (u, v) выражаются через декартовы (q 1 , q2 ) по формулам. q 2u2 = r2 + c + (r2 + c)2 − 4cq12 ; q (3.2) 2v 2 = r2 + c − (r2 + c)2 − 4cq12 ; r2 = q12 + q22 .

В частности, можно отметить системы, разделимые в полярных координатах (r, θ) B(θ) (3.3) H = 1 (p21 + p22 ) + A(r) + 2 , 2 r дополнительный интеграл F = 1 (q1 p2 − q2 p1 )2 + B(θ), 2 где r2 = q12 + q22 ,

q1 = r cos θ,

q2 = r sin θ.

В параболических координатах (ζ, η)
H = 1 (p21 + p22 ) + 1r A(ζ) + B(η) , 2

(3.4)

дополнительный интеграл

где


F = (q1 p2 − q2 p1 )p2 − 2r ηA(ζ) − ζB(η) , r2 = q12 + q22 ,

ζ=

r + q1 , 2

η=

r − q1 . 2

(3.5)

Для декартовых координат (q1 , q2 ) H = 1 (p21 + p22 ) + U1 (q1 ) + U2 (q2 ), 2 дополнительный интеграл F = 1 p21 + U1 (q1 ) 2



 или F = 1 p22 + U2 (q2 ) . 2

Приведем несколько более частных систем такого типа.

(3.6)

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

33

Задача Эйлера двух центров. В этом случае рассматривается «безмассовая» частица на плоскости, притягивающаяся двумя неподвижными ньютоновскими центрами с ньютоновским гравитационным взаимодействием, описываемая гамильтонианом c c H = 1 (p21 + p22 ) − r1 − r2 , 1 2 2

r1 =

q

(q1 −

c)2

+

q22 ,

r2 =

q

(q1 + c)2 + q22 ,

(3.7)

c = const.

Неподвижные центры располагаются на прямой q2 = 0 в точках (±c, 0). Дополнительный интеграл имеет вид  
c (q − c) c2 (q1 + c) − . F = 1 (p1 q2 − p2 q1 )2 − c2 p22 − c 1 r1 r2 2 1

Система (3.7) разделяется в эллиптических координатах (3.2). В приложении E к гл. 3 мы укажем интегралы и разделяющие переменные для искривленной (т. е. рассматриваемой в пространстве постоянной кривизны) задачи двух центров. Задача Баррара. Движение точки в трехмерном пространстве в силовом поле, потенциал которого в сферических координатах (r, θ, ϕ) имеет вид c c sin θ U (r, θ) = r1 + 2 2 , r где c1 , c2 — константы. Гамильтониан задачи   p2ϕ 1 2 2 2 r pr + p θ + + c1 r + c2 sin θ , H= 2mr2 cos2 θ

(3.8)

т. е. ϕ является циклической координатой, а соответствующий ей импульс сохраняется pϕ = const. Зафиксировав его, получим разделимую систему типа (3.3). Задача Якоби. Интегрируемость системы трех частиц на прямой, взаимодействие которых обратно пропорционально квадрату взаимных расстояний, была известна еще Якоби [88]. Он показал, что данная задача допускает разделение переменных при произвольных массах частиц и константах взаимодействия.

34

ГЛАВА 1

Функция Лагранжа в этом случае имеет вид 3 X X gij 1 mi q˙i2 − L= . 2 (qi − qj )2 i=1

(3.9)

i<j

Перейдем к координатам Якоби  m1 q 1 + m 2 q 2 + m 3 q 3   ,  R= m1 + m 2 + m 3  m q + m 3 q3   x1 = q 1 − 2 2 , x2 = q 2 − q 3 . m2 + m 3

Кинетическая энергия при этом остается диагональной T = 1 M R˙ 2 + 1 M1 x˙ 21 + 1 M2 x˙ 22 , 2

2

2

m1 (m2 + m3 ) m2 m3 , M2 = , m1 + m 2 + m 3 m1 + m 2

M = m 1 + m 2 + m 3 , M1 =

а потенциальная не зависит от R. Введем полярные координаты r, ϕ в плоскости x1 , x2 по формулам p p x1 = M1 r cos ϕ, x2 = M2 r sin ϕ

и перейдем к каноническим переменным в системе центра масс ( R˙ = 0) ! 2 p ϕ 1 H= (3.10) p2r + 2 + 12 B(ϕ), 2 r r  где   g12 1  B(ϕ) = √ r 2 +  M2  M2 m3 cos ϕ − sin ϕ M1 m2 + m 3  + r

g13

M2 M1

cos ϕ +

m2 sin ϕ m2 + m 3

Таким образом переменные разделяются.

2 +

 g23  . sin2 ϕ  

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

35

В случае совпадения масс m1 = m2 = m3 = 1 и констант взаимодействия g12 = g13 = g23 = 1, функция B не зависит от ϕ. В этом случае задача остается интегрируемой также для потенциалов взаимодействия типа V = = rk , k = 1, 2, 4. Неинтегрируемость систем при других k обсуждается в [195]. Вследствие разделения переменных система (3.9) обладает дополнительным (кроме циклического, связанного с инвариантностью относительно трансляций) квадратичным интегралом. В случае g ij = mi mj он имеет вид X  3 (pi − pG )2 + G=2 mi (qi − qG )2 mi i=1 (3.11) 2 3 X mi mj   X + − qi p i − q G p G , (qi − qj )2 i<j i=1 где qG =

P m i qi — координата центра масс, pG = pi — постоянная mi

циклического интеграла.

Система Гарнье (R. Garnier, 1919 г.) [138]. Система с 2n степенями свободы q1 , , . . . , qn , Q1 , , . . . , Qn задается гамильтонианом X 2 n n X X 1 H(p, q ; P, Q) = p i Pi + a i qi Q i + qi Q i . (3.12) 2 i=1

i=1

Система (3.12) допускает 2n инвариантных соотношений вида qi = Q i ,

pi = P i ,

i = 1, , . . . , , n.

При ограничении на это инвариантное многообразие в случае 2-х степеней свободы получаем систему (1978) [139], разделяющуюся в эллиптических координатах H = 1 (p21 + p22 ) + Aq12 + Bq22 + (q12 + q22 )2 . 2

(3.13)

Дополнительный интеграл имеет вид 1 F = 1 p21 + (q1 p2 − q2 p1 )2 + Aq12 + q12 (q12 + q22 ). 2 2(B − A) Потенциал обобщенной системы Гарнье имеет вид U = Aq12 + Bq22 + (q12 + q22 )2 + C2 + D2 , q1 q2

(3.14)

36

ГЛАВА 1

а дополнительный интеграл F = 1 p21 + Aq12 + C2 + q12 (q12 + q22 )+ 2 q1   q 2  q 2  2 1 1 (q1 p2 − q2 p1 )2 + 2C q + + 2D q . 1 2 2(B − A) Система Фоккера – Планка [173]. Гамильтониан этой системы имеет вид H = 1 (p21 + p22 ) + p1 q1 q2 + p2 (aq12 + bq22 ). 2 В общем случае она не является интегрируемой. Общий интеграл, указанный в [90, 194], имеет вид a = 1, 2

b = −1,

F = p21 + 2p1 q1 q2 − 1 q14 + q12 q22 . 4

Рациональный потенциал. В работе [133] приведены различные случаи интегрируемости в разделяющихся переменных системы с гамильтонианом H = 1 (p21 + p22 ) + Cq1α+2 + q1α q22 . 2 1) α = 0, C произвольно, F = p22 + 2q22 ; 2) α = −4, C произвольно, F = (p1 q2 − q1 p2 )2 + 2(C + 1)q1−2 q22 + 2q1−4 q24 ; 3) α = −6, C = 1 , F = p21 q2 − p1 p2 q1 + q1−4 q2 + 2q1−6 q23 . 4

Системы типа Хенона – Хейлеса (см., например, [66, 194]) гамильтониан H = 1 (p21 + p22 ) + q12 q2 + ε q23 . 2 3

имеют (3.15)

Общие интегралы найдены только при ε = 1, 6, 16 [111, 141, 181, 194]: F = p1 p2 + 1 q13 + q1 q22 ; 3 F = −4p1 (p1 q2 − p2 q1 ) + 4q12 q22 + q14 ;

ε = 1, ε = 6, ε = 16,

F = 1 p41 + q12 q2 p21 − 1 q13 p1 p2 − 1 q16 − 1 q14 q22 . 4 3 18 3

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

37

Обобщенная система Хенона – Хейлеса с гамильтонианом H = 1 (p21 + p22 ) + 1 (Aq12 + Bq22 ) + q12 q2 + ε q23 2 2 3

(3.16)

имеет общие интегралы ε = 1, ε = 6,

ε = 16,

F = p1 p2 + 1 q13 + q1 q22 + Aq1 q2 ; 3 F = q14 + 4q12 q22 − 4p1 (p1 q2 − p2 q1 ) + 4Aq12 q2 + A = B,

+(4A − B)(p21 + Aq12 ); B = 16A, F = 1 p41 + q12 q2 p21 − 1 q13 p1 p2 − 1 q16 − 4 3 18 2 − 1 q14 q22 − A q14 q2 + A p21 q12 + A q14 . 3 3 2 4

Подробное изучение системы с кубическим потенциалом вида U = a(cq23 + q12 q2 )

(3.17)

началось в работе [130] (система Хенона – Хейлеса, M. Henon, C. Heiles, 1964 г.). При c = 1/3 и c = 2, как следует из приведенных выше формул, система допускает квадратичный интеграл движения и интегрируется методом разделения переменных. Дополнительный интеграл для случая (3.16) при ε = 6 нашел Дж. Грин (J. Greene) [143]. В случае ε = 16, A 6= 0 первый интеграл четвертой степени был указан Грамматикосом, Рамани, Доризи [142] и Хитаринтой [131]. В работе [132] приведены различные случаи интегрируемости систем с гамильтонианом H = (p21 + p22 )/2 + V (x, y), где V (x, y) — полиномы (в том числе и комплексные) от координат степени не выше 5, обладающих дополнительным интегралом, полиномиальным по p 1 , p2 , степени не выше 4. Однородные полиномиальные потенциалы. В работе [168] (1982 г.) найдена целая последовательность интегрируемых потенциалов, обобщающих случай (3.15) [n/2]

Un =

X

2n−2k Ckn−k q12k q2n−2k

(3.18)

k=0

с дополнительным интегралом

Fn = p1 (q1 p2 − q2 p1 ) + q12 Un−1 .

(3.19)

38

ГЛАВА 1

Первые члены последовательности (3.18) U1 = 2q2 ; U2 = 4q22 + q12 ; U3 = 8q23 + 4q12 q2 ; U4 = 16q24 + 12q12 q22 + q14 ; U5 = 32q25 + 32q12 q23 + 6q14 q2 ; U6 = 64q26 + 80q12 q24 + 24q14 q22 + q16 . Сравнивая с (3.4), заключаем, что система с потенциалом (3.18) разделяется в параболических координатах. Причем очевидно также, что любая линейная комбинация потенциалов (3.19) с постоянными коэффициентами остается интегрируемой методом разделения переменных. Несложно указать аналогичную последовательность для эллиптических координат (3.2) на плоскости. Подробный анализ этой задачи в пространственном и многомерном случае содержится в § 1 гл. 3, где также приведена производящая функция для подобных потенциалов. Рассмотрим более подробно случай потенциала четвертой степени. Биквадратичный потенциал и его обобщения. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом H = 1 (p21 + p22 ) + Aq14 + Bq12 q22 + Cq24 . 2 Она допускает разделение переменных и, соответственно, квадратичный по импульсам дополнительный интеграл в случаях: 1) B = 0: уравнения разделяются в переменных q1 , q2 ; 2) B = 6A, C = A: система разделяется в координатах (q 1 + q2 ), (q1 − q2 ); 3) B = 2A, C = A: система разделяется в полярных координатах (r, θ) (3.3); 4) B = 12A, C = 16A: система разделяется в параболических координатах (3.4) (см. потенциал U4 в предыдущей серии (3.19)). Для этих систем несложно выписать соответствующий квадратичный по pi интеграл. Вырожденные (суперинтегрируемые) системы. Укажем также ряд вырожденных натуральных систем на плоскости, обладающих замкнутыми траекториями. Помимо двух квадратичных интегралов они обладают дополнительно независимым интегралом (третьей степени по импульсам) и

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

39

допускают разделение переменных одновременно для двух систем координат. Для центральных сил (задача Бертрана) и геодезических на поверхности вращения (груша Таннери) результаты широко известны и приведены во многих учебниках (см., например, [66]). Здесь мы приводим ряд менее известных систем [66, 83], причем почти все они допускают представление гамильтониана и дополнительного (кубичного) интеграла в форме, аналогичной системам Драша (см. ниже) H = 1 (p2x + p2y ) + U (x, y), 2   F = 6w(x, y) ∂H py − px ∂H − P (px , py , x, y), ∂x ∂y (p1 , p2 , q1 , q2 ) = (px , py , x, y).

Системы, допускающие разделение переменных в декартовых координатах, следующие: y γ U = α(4x2 + y 2 ) + βx + 2 , P = −px p2y , w = ; (A) 6 y β γ xy ; (B) U = α(x2 + y 2 ) + 2 + 2 , P = −(xpy − ypx )px py , w = 6 x y xy , (x2 − y 2 )2 x2 − y 2 P = −(xpy − ypx )(p2x − p2y ), w = ; 6 U = α(x2 + y 2 ) + β

U = α(9x2 + y 2 ),

P = −(xpy − ypx )p2y ,

w=−

(C)

y2 . 18

√ √ √ β U = α x + β y, P = α p3x − α p3y , w = xy; β √ √ x U = α( x + βy), P = p3x , w = ; 2β

(D) (E) (F)

Системы, допускающие разделение переменных в параболических координатах, имеют вид:   p γ β + + δ x2 r−1 , r = x2 + y 2 , (G) U = ε2 + α + r+x r−x y y yr2 P = −(xpy − ypx )2 px , w = ; 6 √ √ U = (α + β r + x + γ r − x )r−1 , (H) 2
P = −(xpy − ypx ) p2x + p2y , w = − r . 3

40

ГЛАВА 1

3. Система с интегралами третьей степени по импульсам Существование интегралов третьей степени по импульсам уже не связано непосредственно с разделением переменных. Приведем ряд систем допускающих такие интегралы. Потенциал Холта (C. Holt, 1982 г.) [135]. Потенциал и дополнительный интеграл имеют вид H = 1 (p21 + p22 ) + U (q1 , q2 ) 2 −2/3

U = q2

(cq22 + q12 + δ), −2/3

F = 2p31 + 3p1 p22 + 3p1 q2

(3.20)

c = 3/4, 1/3

(−3q22 + 2q12 + 2δ) + 18p2 q1 q2 .

Существуют обобщения потенциала Холта с интегралами четвертой и шестой степени по импульсам [139]. Потенциал Фокаса – Лагерстрома (A. Fokas, P. Lagerstrom, 1980 г.) [124]. U = (q12 − q22 )−2/3 ,

F = (p21 − p22 )(q1 p2 − q2 p1 ) − 4(q2 p1 + p2 q1 )(q12 − q22 )−2/3 .

(3.21)

Цепочка Тоды. Система из трех взаимодействующих частиц одинаковой массы на прямой с потенциалом где

U (q1 , q2 , q3 ) = [v(q1 − q2 ) + v(q2 − q3 ) + v(q3 − q1 )], v(qi − qj ) = g 2 e−(qi −qj ) ,

(3.22)

g = const.

Интеграл имеет вид

F = p1 p2 p3 − p1 v(q2 − q3 ) − p2 v(q3 − q1 ) − p3 v(q1 − q2 ).

(3.23)

Интеграл (3.23) был найден Хеноном [129]. Представление Лакса для системы (3.22) было найдено Флашкой и Манаковым. Оно обсуждается нами далее (см. § 6). Система (3.22) имеет три степени свободы, но обладает линейным интегралом вида p1 + p2 + p1 = const. Исключая соответствующую этому интегралу циклическую переменную получим систему с двумя степенями свободы с интегралом третьей степени по импульсам (см. гл. 3 § 4, п. 4).

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

41

СИСТЕМ

Системы Драша. Приведем полный список систем Драша вида (3.24)

H = px py + U (x, y),

допускающих интеграл третьей степени по «импульсам» p x , py . Как и ранее, дополнительный интеграл мы будем искать в форме   (3.25) F = 6w(x, y) ∂H py − px ∂H − P (px , py , x, y), ∂x ∂y где P является кубическим полиномом по импульсам. Отметим, что работа Драша [116] содержит несколько неточностей. Приведем выражения для потенциалов и интегралов движения, данные в работе [83]: α + βxr1 y r2 + γxr2 y r1 , U = xy rj2 + 3rj + 3 = 0,

r1 r2 = 3,

j = 1, 2,

x2 y 2 ; 2 γ(y + µx) β U = √α + +√ , 2 xy (y − µx) xy(y − µx)2 P = (xpx − py y)3 ,

w=

P = 3(xpx − py y)2 (px + µpy ), U = αxy +

y 2 − a 2 x2 ; 2 β γx U=p α +p +√ , 2 x − a2 y(x − a) y(x + a)

P = 3(xpx − py y)(p2x − a2 p2y ),

2

(г)

w = −y(x2 − a2 ); (д)

w = −2xy;

γx 2x + c U = αxy + βy √ +√ , x2 + c x2 + c

P = 3p2y (xpx − ypy ),

(в)

w=

γ β U = √α + √ + √ , xy y x

P = 3py px (xpx − py y),

(б)

w = xy(y − µx);

β γ + , 2 (y − ax) (y + ax)2

P = 3py [(xpx − py y)2 − a2 p2x ],

(а)

w=

x2 + c ; 2

(е)

42

ГЛАВА 1

U=

α + β(y − 3mx) + γ(y − mx)(y − 9mx), (y + 3mx)2

(ж)

P = (px + 3mpy )2 (px − 3mpy ), w = −m(y + 3mx);    −2/3    14mxy m2 x2 mx mx 2 U = y+ α+β y− +γ y − + , (з) 3 3 3 9      m2 p2y mpy  2 10mpx py P = px − px + + , w = −m y + mx ; 3 3 9 3 U = αy −1/2 + βxy −1/2 + γx,

P = w = −y; ρx  + βx−1/2 + γx−1/2 (y − ρx), U =α y− 3 P = 3px p2y + ρp3y , w = x. 

(и)

3p2x py ,

(к)

Здесь α, β, γ, µ, ρ, a, c и m — произвольные параметры. По сравнению с результатами Драша [127], приведенными также в книге [66], исправлен знак у функции w в случае (ж) и степень в потенциале U в случае (и). 4. Системы с интегралами четвертой и шестой степени по импульсам Приведем ряд систем с потенциалом четвертой степени по импульсам. Системы типа Хенона – Хейлеса с потенциалом H = 1 (p21 + p22 ) + U (q1 , q2 ), 2 U = a(cq23 + q12 q2 )

(3.26)

при c = 16 допускают дополнительный интеграл вида 3

F = p41 + 4aq12 q2 p21 − 4 aq13 p1 p2 − 4 a2 q14 q22 − 2 a2 q16 . 3 3 9 Этот случай существования интеграла четвертой степени по импульсам был указан независимо Холлом [127, 128] и Грамматикосом, Рамани и Доризи [141]. В [140] был найден более общий случай   U = d 16 q23 + q12 q2 + a (q12 + 16q22 ), (3.27) 3 2 2 F = p41 + (2a + 4dq2 )q12 p21 − 4d q13 p1 p2 − 4d q14 (aq2 + dq22 ) + a2 q14 − 2d q16 . 3 3 9

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

43

Дальнейшее обобщение (3.27) имеет вид   U = d 16 q23 + q12 q2 + a (q12 + 16q22 ) + m2 + n6 , 3 2 q1 q1 F = p41 + (2aq12 + 4dq2 q12 + 4mq1−2 + 4nq1−6 )p21 − 4dq13 p1 p2 /3− −4dq14 (aq2 + dq22 )/3 + a2 q14 − 2d2 q16 /9 + 8dmq2 /3+ +8dnq2 q1−4 + 4(an + m2 )q1−4 + 8mnq1−8 + 4n2 q1−12 . В [168] найден следующий случай интегрируемости: √ U = 2q13 + q1 q22 + i 3q23 , 9 2i p p3 + 2i q 3 p2 − (2q 3 + 2i√3q q 2 )p p + F = p42 + √ √ 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 3 (3.28)

√ 2i q 3 + 4q q 2 )p2 + +(4i 3q12 q2 + √ 1 2 2 2 3 4i q 3 q 3 + 2i q q 5 − q 2 q 4 − 5 q 6 , +√ √ 1 2 1 2 1 2 9 2 3 3

i=

√

−1.

Еще одно обобщение имеет вид [132] U = 16 q13 + q1 q22 + Eq1 , 3 F = p42 + 4q1 q22 p22 − 4 q23 p1 p2 − 4 q12 q24 − 2 q26 − E q24 . 3 3 9 3

(3.29)

Потенциалы типа Холта. В работе [133] приведен дополнительный интеграл четвертой степени для потенциала −2/3

U = q1 в виде



−2/3 2 2 q2 p 2

F = p42 + 2p22 p21 + 4q1

9 q2 + q2 2 2 1



1/3

(3.30)

2/3

+ 24q1 q2 p1 p2 + 72q1 q22 ,

44

ГЛАВА 1

являющийся частным случаем (3.20). Интегрируемое обобщение этого потенциала:   −2/3 9 2 2/3 U = q1 q1 + q22 + d + mq1 + nq2−2 + a(9q12 + 4q22 ), 2 1/3

F = p42 + 2p21 p22 + (16aq22 + 4nq2−2 )p21 + 24q1 q2 p1 p2 +
−2/3 2 2/3 +4p22 q1 (q2 + d) + mq1 + a(9q12 + 4q22 ) + nq2−2 + 16mq22 +

(3.31)

−2/3 2 −2/3 −2 −2/3 2/3 +32adq1 q2 + 8dnq1 q2 + 8nq1 + 32amq1 q22 + 2/3 2/3 +8mnq1 q2−2 + 72q1 q22 + 72anq12 q2−2 + 4n2 q2−4 + −2/3 +32aq1 (9q12 + q22 )q22 + 32a2 q22 (9q12 + 2q22 ).

В работе [133] был обнаружен еще один интегрируемый случай такого типа, но с интегралом уже шестой степени по импульсам: −2/3

U = q1

(12q12 + q22 ); 4/3

F = p62 + 3p42 p21 + (18q1 1/3 +72q1 q2 p32 p1

+

−2/3 2 4 q2 )p2 +

+ 6q1

2/3 648q1 q22 p22

(3.32)

+ 648q24 .

Биквадратичный потенциал. Еще один вид интегрируемого потенциала и соответствующего ему интеграла четвертой степени U = q14 + 6q12 q22 + 8q24 , F =

p41

+

(24q12 q22

+

4q14 )p21

−

16q13 q2 p1 p2

+

4q14 p22

(3.33) +

4q18

+

16q16 q22

+ 16q14 q24 .

Известно два интегрируемых обобщения потенциала (3.33), которые могут быть объединены в одну формулу U = q14 + 6q12 q22 + 8q24 + k(q12 + 4q22 ) + m2 + n6 + l2 + eq2 , q1 q1 q2 I = p41 + 4p21 (q14 + 6q12 q22 + kq12 + mq1−2 + nq1−6 + eq2 )− −(16q13 q2 + 4eq1 )p1 p2 + 4q14 p22 + 4m2 q1−4 + 8mq12 + 16mq22 +

(3.34)

+4k 2 q14 + 8kq16 + 16kq14 q22 + 4q18 + 16q16 q22 + 16q14 q24 + +e(8mq2 q1−2 − 2eq12 − 8q14 q2 − 16q12 q23 − 8kq12 q2 ) + 8lq14 q2−2 + +n(8mq1−8 + 4nq1−12 + 8kq1−4 + 8q1−2 + 48q22 q1−4 ). Первое обобщение получается при l = 0 [142], а второе при n = 0 и l = 0 [133].

§ 3.

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

45

Обобщенные цепочки Тоды. Здесь мы в заключение укажем интегрируемую систему, возникающую из теории многочастичных систем (типа цепочек Тоды). Потенциал в этом случае имеет вид U (q1 , q2 ) = v1 (q1 ) + v2 (q2 ) + v3 (q1 − q2 ) + v4 (q1 + q2 ), а система допускает интеграл F =

p21 p22 + g0 p21 + g1 p1 p2 + g2 p22 + h, 2

h = h(q1 , q2 ),

где явные выражения для функций g0 , g1 , g2 имеют вид g0 = v2 (q2 ),

g1 = −v3 (q1 − q2 ) + v4 (q1 + q2 ),

g2 = v1 (q1 ),

а функциональное уравнение для v1 , v2 , v3 , v4 [v4 (q1 + q2 ) − v3 (q1 − q2 )][v200 (q2 ) − v100 (q1 )]+ +2[v400 (q1 + q2 ) − v300 (q1 − q2 )][v2 (q2 ) − v1 (q1 )]+ +3v40 (q1 + q2 )[v20 (q2 ) − v10 (q1 )] + 3v30 (q1 − q2 )[v20 (q2 ) + v10 (q1 )] = 0. Как замечено М. А. Ольшанецким и А. М. Переломовым [66], система допускает следующие типы частных решений v3 = v4 = g 2 v(x),

v1 (x) = g12 v(x) + g22 v(2x) = v2 x, √ g1 [g12 − 2g22 + 2g1 g2 ] = 0,

где v(x) — функция из следующих пяти видов 1. v(x) = x−2 ; 2. v(x) = a2 [sh ax]−2 , a = const; 3. v(x) = a2 [sin ax]−2 ; 4. v(x) = a2 ℘(ax), ℘(x) — функция Вейерштрасса; 5. v(x) = x−2 + ω 2 x2 , ω = const. Обобщения этого результата даны Г. Бозисом (Bozis G.), В. И. Иноземцевым, Д. Леви и С. Войцеховским. С. Войцеховский привел также более сложные потенциалы, допускающие интеграл четвертой степени по импульсам (см. [66]). Прямые методы поиска интегралов третьей и четвертой степени обсуждаются в работе [140] и в обзоре Хитаринты [134].

46

ГЛАВА 1

Ряд интегрируемых систем с интегралом третьей и четвертой степени на двумерной сфере S 2 может быть получен из случая Ковалевской и его обобщений. Они рассмотрены нами в приложении к главе 3, приведены также соответствующие геодезические потоки, допускающие интеграл третьей и четвертой степени. 5. Трансцендентные по импульсам интегралы Укажем два необычных случая, допускающих трансцендентные по импульсам интегралы движения [66]. Отметим, что эти системы являются несколько искусственными, кроме того, они являются вырожденными (суперинтегрируемыми). 1.

 q 1 2 1  q 1 2 H = 1 p21 + 1 p2 − q − , 2 2 2 2 q2 q1 p 2 − q 2 p 1 + q 2 , I1 = p2 или

2.

(3.35)

p  2 I2 = p1 + ln q . 2 H = 1 (p21 + p22 ) + 2q2 p1 p2 − q1 , 2 I1 = p2 exp(p21 ), √ √ I2 = −q2 exp(−p21 ) + 1 2πp2 exp(p21 ) erf( 2p1 ), 4

где erf(x) = √2 π

Zx 0

2

exp−t dt.

(3.36)

§ 4. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

47

§ 4. Бигамильтоновы системы 1. Скобка Схоутена и согласованные скобки Пуассона Введем еще один дополнительный, далее используемый, объект. Скобкой Схоутена кососимметрических контравариантных i-тензора A и j-тензора B (которые по общей терминологии являются мультивекторами) называется мультивектор размерности (i + j − 1) и определяемый координатным образом как [A, B]k2 ...ki+j =

+

X k ...k 1 ε 2 i+j Apl2 ...li ∂ B m1 ...mj + ∂xp (i − 1)!j! p,l,m l2 ...li m1 ...mj

(−1)i X k2 ...ki+j ε B pm2 ...mj ∂ p Al1 ...li . ∂x i!(j − 1)! p,l,m l1 ...li m2 ...mj

(4.1)

Cкобка Схоутена имеет свойство «антисимметричности» и удовлетворяет аналогу тождества Якоби (для k-мультивектора C) [A, B] = (−1)ij [B, A], (−1)ij [[B, C], A] + (−1)jk [[C, A], B] + (−1)ki [[A, B], C] = 0. В частности, для бивектора (контравариантного 2-тензора) J= скобка Схоутена [J, J]ijk =

X n

X

J ij ∂ i ∧ ∂ j ∂x ∂x

(4.2)

ik kj ij  J nj ∂J n + J ni ∂J n + J nk ∂J n . ∂x ∂x ∂x

Тождество Якоби для скобки, определяемой тензором (4.2) {F, G} = можно представить в виде

X

J ij ∂Fi ∂Gj , ∂x ∂x

{{F, G}, H} + {{G, H}, F } + {{H, F }, G} = =

X

[J, J]ijk ∂Fi ∂Gj ∂Hk . ∂x ∂x ∂x ijk

(4.3)

48

ГЛАВА 1

Поэтому то обстоятельство, что скобка (4.3) удовлетворяет тождеству Якоби эквивалентно требованию [J, J] ≡ 0. Пуассонова структура J1 согласована с пуассоновой структурой J0 , если [J0 , J1 ] = 0. В этом (и только в этом) случае любая скобка из набора λJ0 + µJ1 , λ, µ ∈ R также удовлетворяют тождеству Якоби. Сам набор образует пуассонов пучок скобок Пуассона — прямую в пространстве скобок Пуассона. Любые две скобки из этого пучка являются согласованными. В некотором смысле условие согласованности пуассоновых структур является обобщением понятия инволютивности скалярных тензорных инвариантов — первых интегралов. Явная форма записи условия согласованности скобок {·, ·} 0 и {·, ·}1 имеет вид: X ,→ ({{f, g}0, h}1 + {{f, g}1, h}0 ) = 0 (4.4) для любых трех функций f, g, h. В формуле (4.4) суммирование выполнено по всем циклическим перестановкам f, g, h. 2. Определение бигамильтоновости и мультигамильтоновости Один достаточно универсальный способ обнаружения и доказательства интегрируемости многомерных гамильтоновых систем состоит в нахождении для динамической системы (6.3) пары согласованных скобок Пуассона. При этом предполагается, что кроме скобки Пуассона, определяемой бивектором J0 , имеется еще одна согласованная с первой пуассонова структура, такая что тензор Схоутена таких структур равен нулю [J 0 , J1 ] = 0. Сама система при этом допускает запись в двух различных формах x˙ = {x , H0 }0 = {x , H1 }1 ,

x ∈M

(4.5)

и называется бигамильтоновой (Ji обозначает матрицу структурного тензора соответствующего структуре {·, ·}i ). Система, допускающая запись в n различных и независимых гамильтоновых формах x˙ = {x , f1 }1 = . . . = {x , fn }n , (4.6)

где все скобки {·, ·}1 , . . . {·, ·}n являются согласованными между собой, называются мультигамильтоновой. 3. Невырожденные бигамильтоновы системы

Предположим, что для двух пуассоновых структур J 0 , J1 одна из структур (например J0 ) невырождена. Тогда пучок λ{·, ·}0 + µ{·, ·}1 также называется невырожденным.

§ 4. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

49

Принципиальное отличие такой ситуации от вырожденного случая состоит в том, что мы можем корректно определить так называемый оператор рекурсии R = J1 J−1 0 , играющий важную роль в дальнейшей конструкции и интересный сам по себе. Если рассматривать Ji как оператор из кокасательного пространства Tx∗ M в касательное Tx M , то R — это линейный оператор в касательном пространстве, т. е. R : Tx M → Tx M . Вместе с ним мы будем рассматривать сопряженный оператор R∗ : Tx∗ M → Tx∗ M , который, очевидно, задается формулой R∗ = J−1 0 J1 . Следующее утверждение показывает, как условие согласованности J 0 и J1 может быть переформулировано в терминах оператора рекурсии. Предложение 1. Пусть J0 и J1 — пуассоновы структуры, причем J0 невырождена. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) пуассоновы структуры J0 и J1 согласованы; 2) дифференциальная 2-форма Ω1 = J−1 0 R, задаваемая тождеством Ω1 (ξ, η) = J−1 (Rξ, η), замкнута; 0 3) тензор Нийенхейса, отвечающий оператору рекурсии R, тождественно равен нулю. Мы не будем приводить доказательства этого утверждения, ограничившись ссылкой, например, на [101, 102, 108]. Напомним лишь, что тензор Нийенхейса (Nijenhuis), отвечающий произвольному оператору R, определяется как билинейная векторнозначная форма на парах векторных полей u, v , задаваемая следующей формулой: NR (u, v ) = −R2 [u, v ] + R[Ru, v ] + R[u, Rv ] − [Ru, Rv ] или в координатном виде (NR )ijl =

n X

m=1

∂Rlm i ∂Rli m ∂Rji m ∂Rjm i Rm R − m m Rj − m Rl + ∂x ∂x ∂xj ∂xl

!

.

Следующее утверждение показывает, что пара согласованных пуассоновых структур J0 , J1 позволяет построить целое семейство попарно согласованных структур Jk (k ∈ N).

Предложение 2. Бивекторное поле Jk+1 = J1 (R∗ )k является пуассоновой структурой для любого k ∈ N. причем все такие структуры попарно согласованы между собой, а также с J0 и J1 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. См., например, [187].

50

ГЛАВА 1

Поясним, что выражение J1 (R∗ )k обозначает билинейную форму на кокасательном пространстве, определенную по естественной формуле Jk+1 (a, b) = J1 (R∗k a, b). Косая симметрия этой формы сразу следует из определения оператора рекурсии, т. е. Jk+1 действительно является бивектором. Замечание. В описанной выше ситуации говорят, что пуассоновы структуры Jk задают иерархию пуассоновых структур. Эта иерархия была впервые введена Магри (Magri) и Льенаром (Lenard). Следует, впрочем, заметить, что все структуры Jk получаются из исходных структур J0 и J1 при помощи стандартных тензорных операций и поэтому в естественном смысле не являются независимыми. Кроме того, они удовлетворяют системе линейных соотношений, коэффициентами которых являются коэффициенты характеристического многочлена оператора рекурсии. Действительно, если Q(t) = t n + an−1 tn−1 + + . . . a1 t + a0 — характеристический многочлен для R (или, что то же самое, для R∗ ), то по теореме Гамильтона – Кэли R∗n + an−1 R∗n−1 + . . . + a1 R∗ + a0 E = 0. Рассмотрим теперь бигамильтоново векторное поле v = {x , f1 }0 = {x .f0 }1 . Конструкция, которая позволяет построить его первые интегралы и часто приводит к полной интегрируемости, состоит в следующем. Рассмотрим векторное поле вида v = {x , f1 }1 . Оказывается, оно является бигамильтоновым, т. е. существует функция f2 такая, что {x , f1 }1 = {x , f2 }0 .

(4.7)

Продолжая процесс (4.7) по индукции, мы получаем систему рекуррентных соотношений {x , fk }1 = {x , fk+1 }0 . Легко видеть, что в терминах оператора рекурсии эта система соотношений может быть записана в следующем естественном виде: df k+1 = = R∗k+1 df0 (т. е. dfk+1 = R∗ dfk ), или в терминах гамильтоновых векторных полей: J1 ∇fk = Rk v . Можно показать, что все функции fk являются первыми интегралами бигамильтонова поля v , коммутирующими между собой.

§ 4. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

51

Предложение 3. 1) Векторные поля вида Rk v являются гамильтоновыми относительно пуассоновых структурно J0 и J1 . Другими словами, существуют гладкие функции fk такие, что {x , fk }1 = Rk v . Эти функции удовлетворяют системе рекуррентных соотношений {x , fk }1 = {x , fk+1 }0 .

(4.8)

2) Функции fk попарно коммутируют относительно скобок Пуассона {, }0 и {, }1 . В частности, все они являются первыми интегралами бигамильтонова поля v . 3) Если J1 невырождена, то векторные поля Rm v являются гамильтоновыми относительно каждой из пуассоновых структур J k = = Rk J0 . Функции fm попарно коммутируют относительно каждой из соответствующих скобок {, }k . Замечание. Обе пуассоновы структуры J0 и J1 являются тензорными инвариантами бигамильтонова векторного поля v . Отсюда сразу следует, что инвариантным является характеристический многочлен det(J1 − λJ0 ). В частности, его корни (т. е. собственные числа оператора рекурсии), рассматриваемые как функции на многообразии, являются первыми интегралами векторного поля v .

Возникает естественный вопрос: какие гамильтонианы дают бигамильтоновы векторные поля для данной пары согласованных пуассоновых структур J0 и J1 ? Для разных типов J0 и J1 локальный ответ был получен П. Олвером в [162]. Мы ограничимся здесь двумя простейшими, но важными примерами. ПРИМЕР 1. Пусть собственные значения оператора рекурсии вещественны, различны и постоянны. Тогда (локально) существует система координат p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn , в которой {pi , pj }0 = {qi , qj }0 = 0, {pi , qj }0 = δij , {pi , pj }1 = {qi , qj }1 = 0, {pi , qj }1 = ai δij , где a1 , . . . , an — собственные значения оператора рекурсии. Тогда несложно проверить, что бигамильтоновы системы задаются в точности гамильтонианами с разделенными переменными: H = F1 (p1 , q1 ) + F2 (p2 , q2 ) + . . . + Fn (pn , qn ). Условие, при котором иерархия (4.8) порождает полный набор первых интегралов, может быть записано в следующей инвариантной форме. Пусть Li — двумерные собственные подпространства оператора рекурсии R. Тогда dH(Li ) 6= 0 для любого i = 1, . . . , n.

52

ГЛАВА 1

ПРИМЕР 2. Пусть собственные значения оператора рекурсии различны и все непостоянны. Оказывается, в этом случае они автоматически будут функционально независимыми попарно коммутирующими функциями. В частности, отсюда будет следовать полная интегрируемость любой бигамильтоновой системы. Отметим также, что в качестве гамильтонианов, дающих нетривиальные бигамильтоновы системы, можно рассмотреть функции вида Hk (x ) = Tr Rk (x ). В их бигамильтоновости легко убедиться, воспользовавшись равенством нулю тензора Нийенхейса NR , которое можно эквивалентным образом переписать в виде R v R − Rv R = 0 (здесь v — производная Ли вдоль векторного поля v). Тогда для любого векторного поля v мы имеем (см. [187]) dHk (v ) = = Tr kRk−2 =

Rv R

v

Tr Rk = Tr

=

k Tr k−1

vR Rv R

k

= Tr kRk−1

k−1

=

k k−1

vR Rv

=

Tr Rk−1 =

k dH k R∗ dH k−1 (Rv ) = k−1 (v ). k−1 k−1

Таким образом, dHk =

k R∗ dH k−1 , k−1

что и означает бигамильтоновость. Отметим, что функции вида Tr Rk всегда дают бигамильтоновы системы. Однако для того, чтобы они давали полный набор интегралов в инволюции, необходима простота спектра и непостоянство собственных значений. При выполнении этих условий любая бигамильтонова система является вполне интегрируемой. Более подробно локальная структура невырожденной пары согласованных пуассоновых структур описана в [162, 187]. 4. Вырожденные бигамильтоновы системы Рассмотрим теперь линейное семейство вырожденных пуассоновых структур J = {λ0 J0 + λ1 J1 } на многообразии M (такая ситуация подробно изучается в [10, 11, 14, 16, 18, 80]). Для каждой структуры C ∈ J мы можем определить ее ранг rank C. Поскольку мы предположили, что все рассматриваемые скобки являются вырожденными, то rank C < dim M . Пусть r0 = max rank C. Ясно, C∈J

§ 4. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

53

что почти все скобки из рассматриваемого семейства имеют ранг r 0 . Мы будем называть их скобками общего положения. Исключением может быть лишь конечное число скобок (с точностью до пропорциональности). Подсемейство скобок общего положения мы обозначим через J ∗0 . Пусть (C) — множество функций Казимира пуассоновой структуры C ∈ J. Следующее утверждение дает рецепт построения большого набора функций, находящихся в инволюции относительно всех скобок из рассматриваемого семейства. Предложение 4. 1) Рассмотрим две произвольные скобки B = λ 0 J0 + + λ1 J1 и B0 = µ0 J0 + µ1 J1 из семейства J. Пусть они непропорциональны, т. е. λ0 µ1 − λ1 µ0 6= 0. Тогда функции Казимира этих скобок f ∈ (B), g ∈ (B0 ) находятся в инволюции относительно любой скобки C ∈ J. 2) Множество функций Казимира (B) является алгеброй Ли относительно любой скобки C ∈ J. Если B ∈ J∗0 ⊂ J — скобка общего положения (т. е. rank B = r0 ), то алгебра Ли (B) коммутативна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Поскольку скобки B и B0 непропорциональны, то любую скобку C ∈ J можно представить в виде линейной комбинации C = aB + a0 B0 . Тогда {f, g}C = a{f, g}B + a0 {f, g}B 0 = 0, так как f ∈ ker{, }B = (B), g ∈ ker{, }B 0 = (B0 ). 2) Тот факт, что (B) является подалгеброй, легко проверяется непосредственно. Второе утверждение получается, например, переходом к пределу в доказанном только что равенстве при B0 → B. Отметим, что условие «общности положения» для B является существенным. Если оно не выполняется, то, переходя к пределу, мы, грубо говоря, получим не все функции Казимира скобки B, а лишь некоторое подпространство. Таким образом, используя пару согласованных вырожденных скобок Пуассона, мы можем построить достаточно большое семейство функций в инволюции J∗0 , объединив функции Казимира всех скобок общего положения: [ = (B). J∗ 0





B∈J∗ 0

Предположим теперь, что мы имеем динамическую систему, которая одновременно является гамильтоновой относительно всех (нетривиальных) скобок из рассматриваемого семейства. Ясно, что все функции из семейства J∗0 будут ее первыми интегралами. В каком случае этих интегралов


54

ГЛАВА 1

хватает для полной интегрируемости? Другими словами, когда число функционально независимых функций в семействе равно 1 rank C + corank C = dim M − 1 r , 2 2 0 где C ∈ J∗0 — скобка общего положения? Это условие на самом деле означает, что подпространство в Tx∗ M , порожденное дифференциалами функций g ∈ J∗0 , является максимальным изотропным подпространством относительно формы C (почти всюду на M ). Имеется эффективный критерий [10], принадлежащий А. В. Болсинову, позволяющий проверять полноту семейства J∗0 . Более того, в случае, когда семейство является полным, этот критерий указывает, в каких точках многообразия первые интегралы становятся функционально зависимыми. Для произвольного комплексного числа λ ∈ C определим подмножество «сингулярных точек» в M :





Sλ = {x ∈ M | rank(J0 (x ) + λJ1 (x )) < r0 }. Кроме того, формально положим S∞ = {x ∈ M | rank J1 (x ) < r0 }. Предположим теперь, что все скобки из рассматриваемого семейства обладают глобально определенными функциями Казимира, причем эти функции локально разделяют симплектические листы максимальной размерности. Другими словами, если rank B(x ) = r0 , то подпространство ker B(x ) порождается дифференциалами df (x ) функций Казимира f ∈ (B).

Теорема 4 (А. В. Болсинов [10]). Пусть Lx ⊂ Tx∗ M — подпространство, порожденное дифференциалами функций g ∈ J∗0 . Тогда следующие условия эквивалентны:


1) Lx — максимальное изотропное подпространство относительно формы C(x ), C ∈ J∗0 ; 2) x ∈ / S = ∪λ∈C Sλ .

Таким образом, семейство J0∗ является полным тогда и только тогда, когда дополнение к множеству S всюду плотно в M . В частности, необходимым условием полноты является то, что все скобки в семействе J имеют одинаковый ранг r0 . Действительно, если это не так, rank(J0 + + λJ1 ) < r0 для некоторого λ ∈ C и, следовательно, Sλ = M . Однако достаточным это условие не является. Грубо говоря, дополнительно требуется, чтобы сингулярные множества Sλ для каждой скобки {, }λ были не слишком велики.


§ 4. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

55

Следующая конструкция дает возможность строить примеры бигамильтоновых систем для данного семейства вырожденных согласованных скобок Пуассона λ0 J0 +λ1 J1 . Оказывается, в качестве соответствующих гамильтонианов можно брать функции Казимира скобок общего положения. Будем считать без ограничения общности, что J0 — скобка общего положения, и рассмотрим функции Казимира линейной комбинации J 0 − − λJ1 как функции, зависящие от параметра λ. Предположим (а именно так и происходит в реальных задачах), что зависимость от параметра λ является аналитической в окрестности нуля (т. е. скобки J 0 ): fλ (x) = f0 (x) + λf1 (x) + λ2 f2 (x) + . . . ∈

(J0 + λJ1 ).

В частности, f0 — функция Казимира скобки J0 . Предложение 5. При сделанных предположениях векторное поле v = = J1 (df0 ) является гамильтоновым относительно скобки J0 , более того, относительно любой линейной комбинации J 0 − λJ1 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Поскольку fλ является функцией Казимира для J0 − − λJ1 , то (J0 − λJ1 )(df0 + λdf1 + λ2 df2 + . . .) ≡ 0.

Приравнивая члены при одинаковых степенях λ, мы получаем систему рекуррентных соотношений: J0 (df0 ) = 0,

J0 (df1 ) = J1 (df0 ),

...,

J0 (dfk ) = J1 (dfk−1 ), . . .

Второе соотношение означает, что векторное поле v является гамильтоновым относительно скобки J0 с гамильтонианом f1 . Кроме того, очевидно, что v является гамильтоновым относительно скобки J 0 − λJ1 с гамильтонианом −f0 /λ. Итак, в случае вырожденных скобок Пуассона мы описали один из механизмов появления бигамильтоновых систем и указали достаточные условия для проверки их полной интегрируемости. Ниже мы покажем, как эта конструкция проявляется в конкретных примерах из механики. Подчеркнем, однако, что условия полноты семейства J∗0 не следует рассматривать как необходимые условия интегрируемости. Более того, имеется ряд способов, позволяющих дополнить семейство J∗0 в тех случаях, когда оно полным не является.





56

ГЛАВА 1

§ 5. Примеры согласованных структур и бигамильтоновых систем В вырожденном случае пара согласованных скобок всегда порождает семейство бигамильтоновых систем. В качестве гамильтонианов (4.5) принимаются функции Казимира этого пучка. Поэтому рассмотрим такие пары скобок более подробно. Лиевы пучки. Один из примеров возникновения согласованных (в общем случае вырожденных) скобок Пуассона связан с рассмотрением лиевых пучков. Как будет показано в § 9 гл. 2, эти пучки порождают бигамильтоновы системы, являющиеся многомерным обобщением интегрируемых задач динамики твердого тела. Определение 1. Пусть L — конечномерное линейное пространство. Лиевым пучком называется линейное семейство лиевых структур ([·, ·]A∈I ) на пространстве L. Линейность означает, что множество параметров I является линейным пространством и [·, ·]λA+µB = λ[·, ·]A + µ[·, ·]B .

Связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона очень проста. Если на пространстве L задан лиев пучок, то на двойственном пространстве L∗ возникает семейство согласованных скобок Ли—Пуассона ({·, ·}A )A∈I , где {f, g}A (x ) = hx , [df, dg]A i. Интересный с точки зрения приложений лиев пучок можно задать на пространстве кососимметрических матриц. Пусть L — пространство кососимметрических матриц, I — пространство симметрических матриц. Положим [X, Y]A = XAY − YAX, (5.1)

где X, Y ∈ L, A ∈ I. Этот пучок является одним из примеров так называемых замкнутых неприводимых лиевых пучков, классификация которых проведена И. Л. Кантором и Д. Б. Персицем [80].

Римановы симметрические пары, картановское разложение. Другой важный пример линейных согласованных скобок Пуассона возникает при рассмотрении римановых симметрических пар. В этом случае для со стандартным коммутатором [·, ·] некоторой полупростой алгебры Ли второй коммутатор [·, ·]θ можно определить следующим образом. Представим алгебру в виде картановского разложения = + , где — подалгебра, а для элементов и коммутаторы подчиняются соотношениям [ , ]⊂ , [ , ]⊂ , [ , ]⊂ .

















§ 5. ПРИМЕРЫ СОГЛАСОВАННЫХ СТРУКТУР И

БИГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

57

Положим, что второй коммутатор [·, ·]θ отличается от исходного лишь тем, что [ , ]θ = 0. ∗ Коалгебра ∗ также допускает аналогичное разложение ∗ = + ∗ ∗ ∗ + , где ⊥ , ⊥ . На ней возникает естественным образом пара скобок {·, ·}, {·, ·}θ , отвечающих коммутатором [·, ·] и [·, ·]θ . Эти скобки, очевидно, линейны и, как несложно проверить, согласованы между собой.














Метод сдвига аргумента. Линейные и постоянные скобки. Согласованные скобки Пуассона возникают также естественным образом из метода сдвига аргумента [53, 56, 55, 80]. Напомним сущность этого метода, позволяющего получать функции в инволюции на коалгебре Ли g ∗ , (на которой определена скобка Ли—Пуассона, см. § 1). Пусть f и g — инварианты коприсоединенного представления группы Ли G, т. е. гладкие функции, постоянные на орбитах коприсоединенного представления Ad ∗ . Пусть a ∈ g∗ — произвольный элемент коалгебры. Тогда функции f λ,a (x ) = = f (x +λa) и gµ,a (x ) = g(x +µa) находятся в инволюции на g∗ при любых λ, µ ∈ R. В некоторых случаях в качестве инволютивного семейства удобно рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления Ad ∗ в регулярной точке a ∈ g∗ : f (a + λx ) = P0 + λP1 (x ) + · · · . Метод сдвига аргумента является частным случаем общей конструкции построения инволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. Вторая пуассонова структура определяется формулой {f, g}a (x ) = ha, [df (x ), dg(x )]i.

Тензорное поле, определяющее скобку {·, ·}a является постоянным, а скобки Пуассона {·, ·}, {·, ·}a согласованы и образуют пуассонов пучок. При этом функции вида fλ,a = f (x +λa), где f — инвариант представления Ad ∗ , являются функциями Казимира для линейной комбинации α{·, ·} + β{·, ·} a , β/α = λ. Как уже было отмечено, полнота инволютивных семейств, полученных из метода сдвига аргумента и из общих пуассоновых пучков, изучена в [10]. Более подробно описанная конструкция будет изложена нами в главе 2. Бигамильтоновость волчка Эйлера. Уравнения Эйлера, описывающие движение свободного волчка в компонентах кинетического момента M на оси связанной с телом системы координат, имеют вид ˙ = M × AM , M

(5.2)

где A = diag(a1 , a2 , a3 ), ai = Ii−1 , Ii — компоненты тензора инерции в системе главных осей тела. Их естественное гамильтоново представление

58

ГЛАВА 1

задается скобкой алгебры so(3): (5.3)

{Mi , Mj } = εijk Mk ,

где εijk — антисимметричный символ Леви–Чивита, и гамильтонианом H = 1 (M , AM ), 2

(5.4)

представляющим собой кинетическую энергию. Функция Казимира структуры (5.3) F = (M , M ), представляющая собой величину кинетического момента, может быть принята за гамильтониан в новой пуассоновой структуре, заданной соотношением (5.5)

{Mi , Mj } = −εijk ak Mk .

Легко проверить, что обе структуры являются согласованными. Функцией Казимира структуры (5.5) является первоначальный гамильтониан (5.4). Сравнивая (5.5) и (5.1), мы видим, что в этом случае согласованные скобки образуют лиев пучок. Многомерное обобщение этой конструкции содержится в гл. 2 § 2, п. 2. Бигамильтоновость волчка Лагранжа. Приведем вторую пуассонову структуру для интегрируемого волчка Лагранжа в динамике твердого тела. Как указано в § 1, уравнения Эйлера – Пуассона представляют гамильтонову систему со скобкой Пуассона, определяемой алгеброй e(3). Гамильтониан волчка Лагранжа может быть представлен в виде H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + γ3 , 2

a = const.

(5.6)

{Mi , γj } = 0.

(5.7)

Вторая согласованная структура, имеет вид: {γi , γj } = −εijk γk ,

{M1 , M2 } = 1,

Функции M3 и (γ, γ) являются аннуляторами скобки (5.7). Пуассонова структура представляет собой прямую сумму алгебр вращения so(3), идеала M3 и двумерной канонической алгебры H(2): so(3) ⊕ R1 ⊕ H(2). Гамильтонов поток в этом случае генерируется гамильтонианом   1 2 2 H0 = (a − 1)M3 (M + M2 ) + γ3 + (M , γ). 2 1

(5.8)

(5.9)

§ 5. ПРИМЕРЫ СОГЛАСОВАННЫХ СТРУКТУР И

БИГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

59

Разобранный пример позволяет прояснить динамическую природу бигамильтоновости в гамильтоновых системах. Бигамильтоновость интегрируемой системы оказывается связанной с возможностью различных, но гамильтоновых возмущений. Так, волчок Лагранжа кроме обычного возмущения потенциала в гамильтониане (5.6) допускает гамильтоновы возмущения вида H = H0 + H1 , где H1 = H1 (M1 , M2 , M3 ). Уравнения движения ∂H1 M˙ 1 = ∂H = (a − 1)M2 M3 + γ2 + (M1 , M2 , M3 ), ∂M2 ∂M2 ∂H1 (5.10) (M1 , M2 , M3 ), M˙ 2 = − ∂H = (1 − a)M1 M3 − γ1 − ∂M1 ∂M1 ∂H0 M˙ 3 = 0, γ˙ = γ × = γ × AM, A = diag(1, 1, a) ∂γ будут описывать динамику осесимметричного волчка в силовом поле, зависящем от моментов (угловых скоростей). Такого рода задачи рассматриваются обычно в динамике твердого тела для движений под действием диссипативных гироскопических и управляющих внешних воздействий, которые обычно априори негамильтоновы. В общем случае уравнения (5.10) не являются интегрируемыми, так как пропадает интеграл площадей. Трехмерные системы с двумя независимыми интегралами. смотрим некоторое обобщение случая Эйлера.

Рас-

Предложение 6. Трехмерная система дифференциальных уравнений x˙ = f (x ) является бигамильтоновой системой тогда и только тогда, когда существуют два (почти всюду) функционально независимых интеграла движения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Структурный тензор по двум независимым интегралам движения K и H строится следующим образом. В силу того что траектории векторного поля f (x ) лежат на инвариантных многообразиях, определяемых интегралами K(x ) = const и H(x ) = const, оно ортогонально векторам ∇K и ∇H. Поэтому x˙ = f (x ) = m(x )∇K × ∇H = ! ! 0 K3 −K2 H1 0 K1 H2 = = m(x ) −K3 K2 −K1 0 H3 (5.11) ! ! 0 −H3 H2 K1 0 −H1 K2 , = m(x ) H3 −H2 H1 0 K3 где m(x ) — скалярный множитель, Ki = ∂Ki , Hi = ∂Hi . ∂x ∂x

60

ГЛАВА 1

Матрицы 0 −H3 H2 0 −H1 m(x ) H3 −H2 H1 0

!

,

0 −K3 K2 0 −K1 m(x ) K3 −K2 K1 0

!

задают два структурных тензора, как несложно проверить, согласованных. Смысл скалярного множителя m(x ) состоит в том, что форма 1 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 m(x ) задает инвариантную форму объема. Отметим, что в виде (5.11) могут быть представлены трехмерные системы, возникающие в механике Намбу [161], которая, таким образом, в трехмерном случае сводится к гамильтоновой механике с вырожденной скобкой Пуассона. Полиинтегрируемые системы. Доказанное выше утверждение может быть распространено на n-мерный случай для систем, имеющих n − 1 независимых первых интегралов. Однако такая ситуация является сильно вырожденной и редко встречается в приложениях (как и соответствующие n-мерные системы Намбу). При рассмотрении семейств функциональных определителей в известном учебнике анализа [26] Ж. Ш. Валле-Пуссен привел следующее утверждение Предложение 7. Если система x˙ i = vi (x ),

(5.12)

i = 1, . . . , n,

с нулевой дивергенцией div v = 0 обладает n − 1 независимыми интегралами движения f1 (x ), . . . , fn−1 (x ), то она представима в виде определителей

x˙ i =

  ∂ xi , f1 (x ), . . . , fn−1 (x ) ∂(x1 , x2 , . . . , xn )

.

(5.13)

Поскольку любая система x˙ = w (x ),

(5.14)

§ 5. ПРИМЕРЫ СОГЛАСОВАННЫХ СТРУКТУР И

БИГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

61

обладающая теми же интегралами движения, что и (5.12) имеет одни и те же траектории, но возможно различные законы движения по ним, то векторные поля v (x ) и w (x ) совпадают с точностью до множителя v = ρw . При этом функция ρ−1 является плотностью инвариантной меры системы (5.14). Определим скобку Пуассона, заданную независимыми функциями f1 , . . . , fn−2 по формуле 1 df ∧ . . . ∧ df {F, G}dx1 ∧ . . . ∧ dxn = ρ 1 n−2 ∧ dF ∧ dG,

(5.15)

где F , G — произвольные функции, а f1 , . . . , fn−2 являются функциями Казимира скобки (5.15). Система (5.14) является мультигамильтоновой с n − 1-параметрической скобкой Пуассона вида

 1 λ df ∧ . . . ∧ df {F, G}λ1 ...λn−1 dx1 ∧ . . . ∧ dxn = ρ 1 2 n−1 ∧ dF ∧ dG + . . . +  + λn−1 df1 ∧ . . . ∧ dfn−2 ∧ dF ∧ dG . (5.16)

Соответствующее семейство гамильтонианов имеет вид H=

λ1 f1 + . . . + λn−1 fn−1 , λ21 + . . . + λ2n−1

λi = const,

а множитель ρ находится из заведомо выполненного условия v = ρw . Ранг скобки (5.16) равен двум. Из этого, в частности, следует, что для нее справедливо тождество Якоби. Система Лотки – Вольтерра. Рассмотрим вопрос о гамильтоновости системы n X  x˙ i = xi xk − 2xi , i = 1, . . . , n, (5.17) k=1

которая принадлежит к классу систем типа Лотки – Вольтерра 1 и при n = 3 была рассмотрена С. В. Ковалевской в одном письме к Г. Миттаг-Леффлеру. Она показала, что в этом случае система обладает двумя независимыми квадратичными интегралами вида Φ=

X

a k xi xj ,

i6=j

X

ak = 0

и интегрируется в тэта-функциях. 1 Такие

системы рассматриваются в математической биологии.

62

ГЛАВА 1

Согласно предложению 6 при n = 3 система (5.17) является бигамильтоновой с двумя согласованными скобками Ли – Пуассона (и обладает инвариантной мерой). Несложные вычисления показывают (классификация Бьянки), что каждая скобка пучка изоморфна алгебре so(2, 1), а уравнения (5.17) представляют собой некомпактную версию вращения свободного твердого тела. При n = 4 система (5.17) обладает тремя независимыми квадратичными интегралами вида F1 = (x1 − x3 )(x2 − x4 ),

F2 = (x1 − x2 )(x3 − x4 ),

F3 = (x1 − x4 )(x2 − x3 ).

По предложению 7 в этом случае система является мультигамильтоновой с линейными скобками Пуассона. При n > 4 вопрос об интегрируемости, гамильтоновости и существовании инвариантной меры системы (5.17) остается открытым. Можно только показать, что при n > 4 больше не существует ни одного квадратичного интеграла (а стало быть и структуры Ли—Пуассона).

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

63

§ 6. Представление Лакса 1. Формальное описание Определение. Полупростые алгебры Ли. Уравнения многих динамических систем могут быть представлены в матричной коммутационной форме (по другой терминологии — в виде L–A-пары, форме Лакса или Лакса – Гейзенберга). Такое представление в неявном виде использовались еще в XIX столетии (например, Кеттером [148], в более продвинутом виде — Гарнье в 1919 г. [138]). Впоследствии оно обрело современную форму в квантовой механике в связи с матричным подходом Гейзенберга. С американским математиком П. Лаксом связано широкое его использование для интегрирования эволюционных уравнений. В качестве основного примера здесь рассматривалось уравнение Кортевега – де Фриза (KdV) ut − 1 uxxx + 3 uux = 0, 4 2

(6.1)

где ux = ∂ u(x, t). ∂x

Для последнего нахождение представления Лакса b = ∂x3 − 3 u(x, t)∂x − 3 ux (x, t), A 2 4 (6.2) b ∂L b b = [A, L] ∂t является прямым методом установления интегрируемости и указания явного вида бесконечной серии первых интегралов. Представление (6.2) было установлено П. Лаксом в 1968 г.; тогда как уравнение (6.1) было проинтегрировано годом раньше с помощью преобразования рассеяния Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой. В формуле (6.2) квадратными скобками обозначен обычный коммутатор операторов. В дальнейшем аналогичные представления были найдены для нелинейного уравнения Шредингера, sine-Gordon, Кадомцева-Петвиашвили и др. Интегрируемость бесконечномерных нелинейных уравнений связана с наличием специфических уединенных волн — солитонов. Бурное развитие теории солитонов относится к 70-м годам прошлого века, с ней можно ознакомиться, например, по книгам [1, 31, 47]. В приложении к этому параграфу мы привели представления Лакса и близкие по сути представления нулевой кривизны для основных типов эволюционных (бесконечномерных) систем. Эти системы лежат за рамками нашей книги, тем не менее, знакомство с ними необходимо для лучшего понимания общих методов. Для конечномерных гамильтоновых систем, в частности для всех рассматриваемых далее многомерных волчков, представление Лакса играет не b = −∂x2 + u(x, t), L

64

ГЛАВА 1

менее важную роль, к тому же здесь теоретические вопросы являются существенно более проработанными. Оказывается, что если имеется представление Лакса с некоторыми произвольными (спектральными) параметрами, то из него можно получить полный набор первых интегралов системы, необходимых для интегрирования системы в квадратурах. Определение. Представлением Лакса системы дифференциальных уравнений x˙ = v (x ), x ∈ Mn (6.3)

называется пара квадратных матриц L 6= 0 и A, удовлетворяющих следующим условиям: 1◦ . элементы матриц L и A — гладкие, в общем случае, комплекснозначные функции x ; 2◦ . выполнено тождество

˙ = [A, L], L

(6.4)

где элементы матрицы L˙ — суть производные от элементов L в силу системы (6.3), причем [A, L] = AL − LA. Наиболее важным является случай, когда матрицы L и A принадлежат одной и той же (конечномерной) алгебре Ли в матричном представлении. Приведем один пример такой L–A-пары (частный случай его уже обсуждался в § 1). Уравнения Гамильтона на коалгебре Ли g∗ (§ 1, гл. 1) имеют вид x˙ = ad∗dH(x ) x ,

x ∈ g∗ ,

(6.5)

где оператор коприсоединенного представления ad∗ определяется тождеством had∗dH(x ) y , ξi = hy , −[dH(x ), ξ]i. (6.6)

Они не всегда могут быть представлены в коммутационной форме, поскольку действие оператора ad∗ξ не сводится, вообще говоря, к вычислению коммутатора. В формуле (6.6) скобками h·, ·i обозначена операция спаривания элементов алгебры g и коалгебры g∗ . Однако такое представление возможно, если предположить дополнительно, что на алгебре Ли g существует невырожденное, инвариантное относительно присоединенного

представления скалярное произведение (·, ·), задаваемое матрицей gij . Такие алгебры Ли называются метрическими. В этом случае мы можем отождествить пространства g и g∗ с помощью соотношения hy ∗ , ξi = (y , ξ),

(6.7)

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

65

где h·, ·i — операция спаривания элементов алгебры и коалгебры, ξ ∈ g, y ∗ ∈ g∗ и элемент y ∈ g отождествляется с y ∗ . Инвариантность скалярного произведения эквивалентна тождеству ([c, b], a) + (b, [c, a]) = 0 и поэтому {F, G}(x ∗ ) = hx ∗ , [dF, dG]i = (x , [dF, dG]) = (dG, [x , dF ]),

(6.8)

где произведено отождествление x и x ∗ с помощью соотношения (6.7). Уравнения (6.5) теперь можно переписать в коммутационной форме x˙ = addH x = [A, x ],

x ∈ (g∗ )∗ ≡ g.

A = dH,

(6.9)

Примерами метрических алгебр Ли, когда имеется невырожденная инвариантная квадратичная форма, являются, например, полупростые алгебры Ли, где имеется метрика Киллинга, определяемая через структурные конP станты по формуле gij = − clik ckjl , при этом скалярное произведение (·, ·) k,l

имеет вид

(X, Y) = Tr XY,

где X, Y — элементы алгебры в присоединенном матричном представлении. Замечание. Для полупростой алгебры Ли справедливо также несколько иное, но эквивалентное представление Лакса. Выберем в алгебре g ортонормированный базис Киллинга, в этом случае матрицы L и A для уравнений (6.5), которые в координатной форме имеют вид x˙ i =

X i,j

ckij xk ∂Hj , ∂x

представляются в виде Lks =

X α

cα ks xα ,

Ask =

X α

cskα ∂H . ∂xα

Пример неполупростой, но метрической алгебры Ли. Пример метрической неполупростой алгебры Ли дает алгебра e(3) = so(3) ⊗ s R3 . Инвариантная невырожденная метрика определяется квадратичной функцией Казимира F = (M , γ). (6.10)

66

ГЛАВА 1

Выберем представление алгебры e(3) в виде матриц размера 4 × 4 стандарт  ного вида M Γ , (6.11) 0 0 0 0 где M — кососимметричная матрица размера 3 × 3. При помощи формы (6.10) получим следующее отождествление алгебры и коалгебры   0 −γ3 γ2 M1  γ3 0 −γ1 M2   L= 0 M3  . −γ2 γ1 0 0 0 0 Если H(M , γ) — функция Гамильтона (на коалгебре), то ее дифференциал dH (элемент алгебры) имеет вид   ∂H ∂H 0 − ∂H ∂M3 ∂M2 ∂γ1    ∂H ∂H ∂H    0 −  ∂M3  ∂M ∂γ 1 2. dH =   ∂H  ∂H ∂H 0 −  ∂γ3   ∂M2 ∂M1 0 0 0 0

Таким образом, для гамильтоновой системы на e(3) x˙ = ad∗dH x получаем представление в виде L–A-пары: L˙ = [L, dH]. Из этого представления следует, что, например, уравнения Эйлера – Пуассона можно записать в форме Лакса. Представление Лакса и первые интегралы. Из представления (6.4) вытекает, что оператор L(t) = L(x (t)) в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия L(t) = T(t)L(0)T−1 (t),

−1 ˙ A = T(t)T (t),

(6.12)

где T можно считать элементом группы Ли G, порождаемой алгеброй g, так что L(t) = AdT(t) L(0), ˙ где A(t) — левый сдвиг касательного вектора T(t) в алгебру. Таким образом, собственные числа оператора L(t), испытывающего, как говорят, изоспектральную деформацию, не зависят от t, а инварианты алгебры g Ik (x ) = Tr(Lk (x )), являются первыми интегралами системы (6.3).

k∈N

(6.13)

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

67

В подходе Лакса для интегрирования системы (6.3) ищется представление в виде L–A-пары, затем строится достаточное количество независимых интегралов и показывается, что они находятся в инволюции, т. е. выполняются все условия теоремы Лиувилля. Это свойство называется полнотой семейства интегралов соответствующего представления Лакса. Представление со спектральным параметром. Для большинства динамических систем, допускающих запись в лаксовой форме (6.4) выражения (6.13) не дают полного набора интегралов. Приведенное выше L–Aпредставление для полупростых алгебр Ли не дает, например, выражения для интеграла энергии (соотношения (6.4) задают в этом случае только функции Казимира). Поэтому конечномерную систему (6.3) обычно представляют в форме Лакса с помощью введения в алгебру g дополнительного произвольного параметра. Впервые спектральный параметр в представления Лакса был введен для эволюционных уравнений (типа Кортевега–де Фриза) С. П. Новиковым [58]1 . Им и его школой также была понята важность представления Лакса со спектральным параметром для явного интегрирования системы в функциях Бейкера – Ахиезера. Б. А. Дубровиным была разработана новая техника явного интегрирования, если найдено некоторое специальное представление Лакса. Введение произвольного параметра эквивалентно рассмотрению определенных бесконечномерных алгебр Ли. Простейшей бесконечномерной алгеброй является алгебра gl полиномов Лорана по λ с коэффициентами в некоторой полупростой алгебре g n o X gl = x (λ) : x (λ) = g i λi , gi ∈ g. (6.14) i∈Z

Эта алгебра называется алгеброй петель (или у физиков — алгеброй токов) в силу того, что в отличие от конечномерного случая, ее диаграмма Дынкина содержит замкнутые циклы. Коммутатор в gl полностью определяется соотношением [gi λi , gj λj ] = [gi , gj ]λi+j . При этом алгебра g представляется в виде прямой суммы подпространств gl = ⊕ gi . i∈Z

(6.15)

Подобные алгебры называются Z-градуированными. 1 Как уже отмечалось, эпизодическое ииследование представления Лакса со спектральным параметром имеется уже у Кёттера и Гарнье.

68

ГЛАВА 1

Полагая матрицы L и A элементами из gl , получим представление Лакса, содержащее произвольный (спектральный) параметр ˙ L(λ) = [L(λ), A(λ)].

(6.16)

При этом инварианты (6.13) также являются интегралами движения, но теперь они зависят от λ. Разлагая их по степеням λ, можно получить расширенный набор интегралов Il,m Ik (x , λ) =

k X

Il,m (x )λm ,

m=0

l = k − m,

(6.17)

которого, как правило, уже достаточно для интегрируемости. Метод r-матрицы, двойные алгебры Ли. Для представления уравнений движения в форме Лакса со спектральным параметром иногда (особенно для многочастичных систем типа цепочек Тоды) эффективен метод r-матрицы, который состоит в том, что матрица A(λ) как вектор в g l , получается в результате действия некоторого R-оператора (R : g l → gl ) на вектор Ak = dIk (x, λ) ∈ gl ,

являющийся аннулятором алгебры g, то есть [Ak , g ] = 0 для любого g ∈ gl . Отметим далее, что, зафиксировав форму матрицы L(λ) и рассматривая различные инварианты Ik (x , λ), можно получить целую иерархию гамильтоновых систем, интегральные траектории которых являются различными обмотками одних и тех же инвариантных торов, определяемых набором интегралов (6.17). Различные способы задания R-оператора на алгебрах gl содержатся в работах А. А. Белавина, В. Г. Дринфельда [5], Е. Склянина, А. Г. Реймана и М. А. Семенова–Тян-Шанского [61], а также в книге Л. А. Тахтаджяна, Л. Д. Фаддеева [78]. Рассмотрим метод r-методы более подробно. Пусть g — алгебра Ли и R — линейный оператор на g. Определим на g билинейную операцию [·, ·] согласно формуле [ξ, η]R = [Rξ, η] + [ξ, Rη],

ξ, η ∈ g.

Эта операция кососимметрична. Если [·, ·]R удовлетворяет тождеству Якоби, то оператор R называется классической r-матрицей, а пара (g, R) называется двойной алгеброй Ли. При этом оператор R удовлетворяет так называемому модифицированному уравнению Янга – Бакстера: [Rξ, Rη] − R([ξ, η]R ) = −[ξ, η].

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

69

Двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли—Пуассона на g ∗ : {f (x ), h(x )} = hx , [df (x ), dh(x )]i, {f (x ), h(x )}R = hx , [df (x ), dh(x )]iR .

(6.18) (6.19)

Опишем линейное семейство r-матриц, для которых соответствующие R-скобки (6.19) образуют лиев пучок и являются согласованными. Это семейство параметризуется пространством сплетающих операторов для присоединенного представления алгебры g. Определение 2. Линейный оператор A в g называется сплетающим, если A ◦ ad X = ad X ◦ A

для всех X ∈ g.

Справедливо следующее утверждение [170]: Теорема 5. Пусть R — классическая r-матрица. Если оператор A является сплетающим, то RA также классическая r-матрица и соответствующие скобки Ли образуют лиев пучок. В методе r-матрицы гамильтоновы уравнения движения, определенные второй скобкой (6.19) и гамильтонианом, являющимся аннулятором скобки (6.18), записываются в форме Лакса. Отметим, что подход, основанный на понятии двойной алгебры Ли, не следует смешивать с теорией бигамильтоновых систем. В последнем случае одни и те же уравнения гамильтоновы относительно разных скобок Пуассона. В методе r-матрицы уравнения движения, порожденные функциями Казимира скобки (6.18) (которые используются как гамильтонианы) и скобкой (6.19), вообще говоря, не являются гамильтоновыми относительно самой скобки Ли—Пуассона алгебры Ли g (6.18). При этом необходимо отметить, что скобки (6.18), (6.19) обычно не являются согласованными. Основное утверждение, позволяющее строить интегрируемые системы, использующее двойные алгебры Ли, можно сформулировать в следующем виде. Теорема 6. Функции Казимира скобки (6.18) находятся в инволюции относительно R-скобки (6.19). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, для любых двух функций Казимира f , g скобки (6.18) для скобки (6.19) имеем {f, g}R (x ) = hx , [Rdf (x ), dg(x )]i + hx , [Rdf (ξ), dg(ξ)]i = 0, т. е. они находятся в инволюции.

70

ГЛАВА 1

Очевидно, что если в алгебре g существует невырожденная инвариантная метрика, то для функции Казимира H скобки (6.18) уравнения Гамильтона относительно скобки (6.19) имеют лаксов вид L˙ = [L, A],

где A = 1 R(dH), 2

(6.20)

а система (6.20) является, как правило, интегрируемой. В этом алгоритме поиска интегрируемых систем после того как определена алгебра g и двойной коммутатор (6.18), (6.19) необходимо добиваться того, чтобы уравнения (6.20) имели прозрачный динамический смысл. В главе 3 мы рассмотрим метод r-матрицы более подробно. Гамильтоновость уравнений Лакса. Вообще говоря, класс систем, допускающих представление в виде L − A-пары, отличается от класса гамильтоновых систем. Действительно, если замена времени вдоль траектории dτ = f (x ) dt, в общем случае, приводит к потере гамильтоновости системы, то аналогичная замена в уравнениях L˙ = [L, A] приводит только к переопределению матрицы A → f (x )A. Достаточным условием гамильтоновости уравнений в форме Лакса, в случае принадлежности матрицы L некоторой полупростой алгебре, является возможность представления матрицы A в виде A = dH(L) + λ(L) · L,

где H(L), λ(L) — некоторые скалярные функции на алгебре. Отметим также, что для известных в настоящее время представлений Лакса для n-мерных волчков, матрица A всегда может быть интерпретирована как градиент некоторой функции H.

Комментарий. В работе Л. Фейрбанкса (L. Fairbanks) [119] было получено однопараметрическое представление Лакса в виде матриц размера 2 × 2 для алгебраически вполне интегрируемых систем, допускающих линеаризацию на двумерных абелевых торах (в частности для волчка Ковалевской). Для построения такой пары уже заведомо нужно иметь уравнения Абеля—Якоби, то есть найти систему разделяющих переменных (типа переменных Ковалевской). Эта конструкция описана нами в гл. 2 § 2. Близкий подход к представлению Лакса также в виде матриц 2 × 2 рассматривается в главе 3, где приводятся L–A-пары 2 × 2 для систем Ковалевской, Горячева – Чаплыгина, цепочек Тоды и их обобщений. Этот подход оказывается тесно связанным с разделением переменных. «Естественные» (т. е. связанные с гамильтоновой структурой) представления Лакса методы построения которых описаны в главе 2, наоборот, помогают найти полную систему инволютивных интегралов, но разделяющие переменные, как правило, остаются неизвестными.

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

71

2. Примеры Волчок Эйлера. Как уже было показано, уравнения волчка Эйлера имеют вид (5.2). Они также могут быть записаны в виде пары Лакса, содержащей спектральный параметр λ L˙ = [L, A], ! 0 M3 −M2 −1/2 −M3 0 M1 (B + λE)−1/2 , L(λ) = (B + λE) M2 −M1 0 ! 0 a3 M3 −a2 M2 1/2 −a3 M3 0 a1 M1 (B + λE)1/2 , A(λ) = (B + λE) a2 M2 −a1 M1 0

где H = 1 (M , BM ), и B = diag(a1 , a2 , a3 ). 2 Возможно и другое представление с полиномиальным вхождением спектрального параметра ! λa1 M3 −M2 M1 , L(λ) = −M3 λa2 M2 −M1 λa3   −λa21 −(a1 + a2 )M3 (a1 + a3 )M2 A(λ) =  (a1 + a2 )M3 −λa22 −(a2 + a3 )M1  , −(a1 + a3 )M2 (a2 + a3 )M1 −λa23
здесь H = 1 (a2 + a3 )M12 + (a1 + a3 )M22 + (a1 + a2 )M32 . 2 Оказывается, что и то и другое представления можно обобщить для многомерных волчков, причем из первого представления, оказывается, можно извлечь изоморфизм с многомерной задачей Клебша о движении твердого тела в идеальной жидкости (гл. 2 § 2). Волчок Шоттки – Манакова. В динамике n-мерного твердого тела первое нетривиальное представление Лакса было найдено Манаковым [49] в 1976 г. для n-мерного аналога волчка Эйлера (или как мы далее называем волчка Шоттки–Манакова, см. гл. 2). Оно имеет вид d (M + λU) = [M + λU, Ω + λV], λ = const, dt U, V = const, U = diag(a1 , . . . , an ), V = diag(b1 , . . . , bn )

(6.21)

и при условии [M, V] = [Ω, U] описывает уравнения n-мерного свободного волчка b + bj ˙ = [M, Ω], Ωij = i M M . (6.22) ai + aj ij

72

ГЛАВА 1

В уравнениях (6.22) обычно полагают V = U2 , при этом Ω = MU + + UM ∈ so(n) является аналогом угловой скорости, а M ∈ so(n) — аналогом кинетического момента в подвижных осях. Связь между ними дается соотношением M = I Ω + ΩI = AI Ω и оператор AI называется тензором инерции. В. И. Арнольдом в [3] было показано, что система (6.22) является гамильтоновой относительно скобки Ли – Пуассона, определяемой алгеброй so(n). Оказывается, что представление (6.21) дает необходимый для полной интегрируемости набор инволютивных интегралов. Прямая проверка независимости интегралов Манакова для уравнений (6.22) была проведена в работе [56]. Явное интегрирование в тэта-функциях было рассмотрено Б. А. Дубровиным [32]. Уравнения (6.22) и другие его лаксовы представления подробно рассмотрены нами далее. Система Клебша – Переломова. Замечательное представление Лакса было найдено А. М. Переломовым для многомерного обобщения случая Клебша в уравнениях Кирхгофа [64]. Здесь имеются ввиду уравнения на алгебре e(n) = so(n) ⊕s Rn , M ∈ so(n), p ∈ Rn с гамильтонианом n

n

i<j

i=1

X X aij Mij2 + 1 ci p2i . H=1 2 2

(6.23)

В явной коммутационной форме эти уравнения можно также представить в виде ˙ = [M, Ω] + [Γ, C], Γ ˙ = [Γ, Ω], M (6.24) Ωij = aij Mij , Γij = pi pj , C = diag(c1 , . . . , cn ). Представление Лакса для уравнений (6.24) имеет вид   h i d Γ + M + λD = Γ + M + λD, Ω + λC , dt λ λ

(6.25)

где диагональная матрица D = diag(d1 , . . . , dn ) должна удовлетворять соотношениям ci − c j aij = , di − d j которые эквивалентны тому, что между параметрами a ij , ci , cj имеется связь ci − c j cj − c k ck − c i aij + ajk + aki = 0

(6.26)

для любых i 6= j 6= k 6= i. Условия (6.26) определяют многомерный случай Клебша (для n = 3 он был найдены Клебшем в [113]), они вместе с парой (6.25) и были найдены А. М. Переломовым. Полнота семейства интегралов, получаемых из

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

73

представления (6.25), позволяющих сделать заключение об интегрируемости этого случая, тесно связана с бигамильтоновостью и обсуждается ниже. Рассмотрим несколько L–A-пар, связанных с многочастичными системами (цепочками), которые стоят несколько в стороне от основного содержания книги. Цепочка Тоды. Цепочкой Тоды называется цепочка осцилляторов с нелинейным взаимодействием d 2 xn = exn+1−xn − exn −xn−1 , dt2

xn = xn (t).

Здесь полагаем что цепочка бесконечна −∞ < n < ∞, хотя можно без труда рассмотреть цепочку с конечным числом частиц как на прямой R, так и на окружности — замкнутую цепочку Тоды. Матрицы L и A также являются бесконечными и имеют элементы p p Lmn = Cn δn,m+1 + Cm δn+1,m + vn δnm , p p  Am,n = 1 Cn δn,m+1 − Cm δn+1,m , 2

где Cn = Cn (t) = exn (t)−xn−1 (t) , vn = vn (t) = d xn (t). Отметим, что dt

оператор L в этом случае можно рассматривать как интегрируемую дискретизацию одномерного оператора Шредингера. При этом стандартная дискретизация при помощи сеточных методов является неинтегрируемой. Цепочка Вольтерра. Сходным образом строится L–A-пара бесконечной цепочки Вольтерра (которую в физике называют также ленгмюровской цепочкой) dCn = Cn (Cn+1 − Cn−1 ), Cn == Cn (t), −∞ < n < ∞, dt p p Lm,n = Cn δn,m+1 + Cm δn+1,m , p p  Am,n = 1 Cn Cn−1 δn,m+2 − Cm Cm−1 δn+2,m . 2

Система Гарнье. Эта система обобщает задачу об ангармоническом осцилляторе, гамильтониан имеет вид (см. также гл. 1 § 3, (3.12)) H = 1 (p, P) + (q , AQ) + 2(q , Q)2 , 2

A = diag(a1 , a2 , . . . , an ),

(6.27)

где p, P — канонические импульсы, q , Q — канонические координаты в расширенном 4n-мерном фазовом пространстве. Гарнье показал, что уравнения

74

ГЛАВА 1

движения этой системы интегрируются в тэта-функциях [138]. Представление Лакса со спектральным параметром системы (6.27) можно записать в форме [112, 139] ˙ L(λ) = [M(λ), L(λ)], где L и M матрицы размера (n + 1) × (n + 1) следующего вида     −q ⊗ Q − 1 A −λq + 1 P 0 −q 2 2   L(λ) = M(λ) = . Q> λ λQ > + 1 P > λ2 + (q , Q) 2

(6.28) Несложно показать, что система (6.27) обладает 2n инвариантными соотношениями вида qi = Qi , pi = Pi , i = 1, . . . , n, (6.29) задающими 2n-мерное подмногообразие, при ограничении на которое получается система ангармонических осцилляторов с n степенями свободы. L–A-пара этой системы получается из исходной (6.28) просто заменой (6.29). Получающаяся система допускает разделение переменных в эллиптических координатах в R n . Замечание. Несложно показать, что пару Лакса системы (6.27) можно представить также в форме ˙ L(λ) = 1 [L(λ), L(0)]. λ

Приложение к § 6. Представление нулевой кривизны и его модификации Для некоторых многомерных (и бесконечномерных) систем для установления интегрируемости удобнее пользоваться не L–A-парой, а представлением нулевой кривизны (или U–V-парой), хотя эти два представления и оказываются тесно связанными друг с другом. Оно имеет вид [78] ∂U − ∂V + [U, V] = 0 ∂t ∂x

(6.30)

и является условием совместности двух вспомогательных линейных задач ∂F (x, t, λ) = U(x, t, λ)F (x, t, λ), ∂x ∂F (x, t, λ) = V(x, t, λ)F (x, t, λ), ∂t

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

75

где F (x, t, λ) — двухкомпонентный вектор   F1 (x, t, λ) F (x, t, λ) = . F2 (x, t, λ) Отметим, что в автономном (стационарном) случае представление (6.30) ∂U = 0 приобретает лаксов вид по отношению к матрице V(x, λ) ∂t

d V = [U, V]. dx

(6.31)

Так, для нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) iψt = −ψxx + 2k 2 |ψ|2 ψ,

2 × 2 матрицы U и V имеют вид  V(x, t, λ) =



λ 2i

U(x, t, λ) =  kψ(x, t)

ψ = ψ(x, t),

kψ(x, t) −λ

2i



,

 ik ψ(x, t)ψ(x, t) −ikψ(x, t)x − λU(x, t, λ). ikψ(x, t)x −ik 2 ψ(x, t)ψ(x, t) 2

Наиболее интересен случай, когда k 2 — вещественно. При этом аналитические свойства решений зависят от знака k 2 . Уравнение с k = 1 называется дефокусирующим НУШ, а с k = i — НУШ с самофокусировкой. Отметим, что в данном случае спектральный параметр λ входит в U–V-пару полиномиально. В U–V-пару для уравнения sine – Gordon uxt = sin u,

u = u(x, t),

имеющую вид 

iλ

U = i

2



iu 2 x ,

ux −iλ

V= 1 4iλ



 cos u −i sin u , i sin u − cos u

спектральный параметр λ входит рациональным образом. Для полноты приведем еще представление нулевой кривизны для уравнения Ландау – Лифшица ! S1 (x, t) St = S ×Sxx +S ×JS , S = S (x, t) = S2 (x, t) , J = diag(J1 , J2 , J3 ). S3 (x, t)

76

ГЛАВА 1

При этом спектральный параметр λ принадлежит уже эллиптической кривой, а не комплексной плоскости, как в предыдущих примерах. U–V-пара имеет вид 3 X uα (λ)Sα (x, t)σα , U(x, t, λ) = 1 i α=1

3 X u1 (λ)u2 (λ)u3 (λ) V(x, t, λ) = 2i Sα (x, t)σα + uα (λ) α=1

+1 i

3 X

uα (λ)εαβγ Sβ (x, t)Sγ (x, t)x σα ,

α,β,γ=1

где εαβγ — символ Леви – Чивита,     0 1 0 i σ1 = , σ2 = , −1 0 i 0

σ3 =



 i 0 0 −i

— матрицы Паули, uα (λ) — эллиптические функции от λ u1 (λ) = ρ

1 , sn(λ, K)

u2 (λ) = ρ

dn(λ, K) , sn(λ, K)

u3 (λ) = ρ

cn(λ, K) , sn(λ, K)

где sn(λ, K), cn(λ, K), dn(λ, K) — эллиптические функции Якоби с модулем s p J2 − J 1 K= , ρ = 1 J3 − J1 . 2 J3 − J 1 Несложно видеть, что функции uα (λ) связаны соотношениями u2α (λ) − u2β (λ) = 1 (Jβ − Jα ), 4

α, β = 1, 2, 3,

что позволяет при помощи замены типа λ0 = u1 (λ) зависимость от спектрального параметра представить через радикалы. Модифицированные представления в виде L–A- и U–V-пар. Рассмотрим два эволюционных уравнения, для которых используются некоторые модификации предыдущих представлений. Так для уравнения Кадомцева – Петвиашвили (КП), (ut + σuux + uxxx )x = 3α2 uyy ,

u = u(x, y, t),

α = const,

§ 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА

77

возникающего в физике волн с дисперсией, имеется представление в виде

b = α∂y − ∂ 2 + u(x, y, t) где L x

b A] b = 0, [L,

b = ∂t − 4∂x3 + 6u(x, y, t)∂x + 3u(x, y, t)x + 3αw(x, y, t), A

w x = uy .

Существует КП 1, соответствующее α = i, и КП 2, соответствующее α = 1. Хотя решения КП 1 и КП 2 связаны преобразованием y → iy, их аналитическая природа существенно различна. Для КП 2 показано, что все двоякопериодические решения аппроксимируются конечнозонными, для КП 1 о решении известно очень мало. Для уравнения Веселова – Новикова ut = 8∂z3 u + 8∂z3 u + 2∂z (uw) + 2∂z (uw), где u = u(z, z, t), z = x + iy,

u(z, z, t) = u(z, z, t), ∂z w = −3∂z u, ∂z = 1 (∂x − i∂y ), ∂z = 1 (∂x + i∂y ) 2 2

w = w(z, z, t), z = x − iy,

имеется не L–A-пара, а L–A–B-тройка Манакова: b ∂L b A] b +B b L, b = [L, ∂t

b = 8(∂ 3 + ∂ 3 ) + 2(w∂z + w∂olz ), A z z b = −∂xx + u(x, t). b = wz + w z , L B

Отметим также, что общие системы вида

b˙ = [L, b A] b + P (L) b L

(6.32)

подробно рассматриваются в книге О. И. Богоявленского «Опрокидывающиеся солитоны» [9]. Уравнения, построенные по этой схеме, имеют аттракторы в фазовом пространстве и вместе с тем обладают большим набором первых интегралов и их солитонные решения имеют нестандартную динамику. В этой книге обсуждаются одномерные и двумерные уравнения типа Бюргерса, Буссинеска, Гарри Дима, Кадомцева – Петвиашвили. Отметим также, что кроме U–V-представления для НУШ, КП и других уравнений известны также пары Лакса. Они содержатся, например, в обзоре [33].

78

ГЛАВА 1

Приложение к главе 1. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления алгебр Ли Здесь мы приведем простейшие примеры отображений момента (см. Приложение C) и опишем возникающие при этом орбиты коприсоединенного представления малых размерностей в некоторых алгебрах Ли. В частности, мы опишем топологию этих орбит, пользуясь следующей конструкцией. Пусть группа Ли G гамильтоново действует на симплектическом многообразии (M 2n , ω). Рассмотрим соответствующее отображение момента µ : M 2n → g∗ , где g∗ — коалгебра алгебры Ли группы G. Поскольку отображение момента согласовано с действием группы, то образом каждой орбиты O(x ) ⊂ M 2n является орбита коприсоединенного представления OAd∗ (µ(x )) ⊂ g∗ . Связь между этими орбита весьма проста и естественна. Точнее, отображение µ : O(x ) → OAd∗ (µ(x )) является «факторизацией по ядру» симплектической структуры ω, ограниченной на O(x ). В частности, если O(x ) ⊂ M 2n является симплектическим многообразием, то орбиты O(x ) и OAd∗ (µ(x )) симплектоморфны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого утверждения довольно просто. Нужно лишь проверить, что ядро дифференциала отображения момента µ, ограниченного на орбиту O(x ) ⊂ M 2n , совпадает с ядром формы ω|O(x ) . Воспользуемся тождеством, определяющим отображение момента: µ(x )(ξ) = Hξ (x ), где µ(x ) ∈ g∗ , ξ ∈ g — произвольный элемент, Hξ — соответствующий гамильтониан. Рассматривая левую и правую части этого равенства как функции от x , продифференцируем их вдоль произвольного вектора a ∈ T M , касательного к орбите O(x ). Получим dµ|x (a)(ξ) = dHξ |x (a) = ω(vHξ (x ), a), где dµx : T M → g∗ — дифференциал отображения момента в точке x , vHξ — гамильтоново векторное поле, отвечающее гамильтониану H ξ . Поскольку вектора вида vHξ порождают касательное пространство к орбите гамильтонова действия O(x ), то из этого тождества немедленно вытекает следующее утверждение: вектор a ∈ T M принадлежит ядру dµ x тогда и только тогда, когда вектор a «косоортогонален» в смысле симплектической формы ω касательному пространству к орбите O(x ), что и требовалось.

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

1

79

Замечание. Отображение момента P может быть построено следующим образом. Для элемента ξ = ξi ei ∈ g рассмотрим разложение i

элемента группы g ∈ G : g = 1 + ξi ei + . . ., где ξi считаются малыми, а ei — базис в алгебре g. Разложим функцию f (g(x )) в ряд по степеням ξi : X ξi ebi f (x ) + . . . , f (g(x )) = f (x ) + i

bi — соответствующие дифференциальные операторы (векторные где e поля). Переписывая эту формулу в виде X f (g(x )) = f (x ) + ξi {Hi (x ), f (x )} + . . . , i

мы находим гамильтонианы Hi (x ), соответствующие элементам базиса ei , тогда X Hξ (x ) = ξi Hi (x ) = µ(x )(ξ). i

Случай алгебры Ли gl(n, R). Рассмотрим действие группы GL(n, R) на прямой сумме Rn + Rn ∗ : g(x , p) = (g(x ), (g −1 )> (p)),

(6.33)

n∗

где x ∈ Rn , p ∈ R , g ∈ GL(n, R). На прямой сумме Rn + Rn ∗ имеется естественная симплектическая форма ω (поскольку Rn + Rn ∗ можно рассматривать как кокасательное расслоение к Rn ):   ω (x1 , p1 ), (x2 , p2 ) = p1 (x2 ) − p2 (x1 ). Указанное действие (6.33) сохраняет эту форму и является гамильтоновым. А именно, для любого элемента A ∈ gl(n, R) соответствующий ему гамильтониан HA имеет естественный вид HA (x , p) = p(Ax ). Отождествим алгебру Ли gl(n, R) с двойственным пространством при помощи скалярного произведения Tr AB и определим естественное отображение момента µ : Rn + Rn∗ → gl(n, R),

пользуясь тождеством hµ(x , p), Ai = Tr µ(x , p)A = HA (x , p), A ∈ gl(n, R). Имеем следующую явную формулу: µ(x , p) = xp > ,

(6.34)

80

ГЛАВА 1

где x ∈ Rn рассматривается как вектор-столбец, а p > ∈ Rn ∗ как векторстрока. Образ отображения момента состоит, следовательно, из матриц ранга 1 и 0. Опишем орбиты коприсоединенного представления, содержащиеся в образе µ. Поскольку отображение момента согласовано с действием группы (т.е. является эквивариантным), то Ad∗ -орбитами будут образы орбит действия Gl(n, R) на Rn + Rn ∗ . Из соотношения (6.33) немедленно вытекает, что пары (x , p) и (x 0 , p 0 ) принадлежат одной орбите тогда и только тогда, когда p(x ) = p 0 (x 0 ). Следовательно, среди (ненулевых) матриц вида xp > орбиты выделяются дополнительным условием Tr(xp > ) = p(x ) = const, т.е. Oc = {A ∈ gl(n, R) | A = xp > , hx , pi = c}, или, эквивалентно, задаются двумя условиями rank A = 1 и Tr A = c. Представление матрицы A в виде xp > неоднозначно: векторы x и p определены с точностью до преобразования x → λx , p → λ −1 p, где λ ∈ R — произвольное число. Исходя из этого и учитывая соотношение p(x ) = c, получаем, что dim Oc = 2(n − 1). С топологической точки зрения, орбита Oc (c 6= 0) диффеоморфна кокасательному расслоению к проективному пространству RP n−1 . Для того чтобы в этом убедиться, сопоставим матрице A = xp > , где p(x ) = c, пару векторов x и p таким образом, чтобы |x | = 1, и положим z = p − cx . Тогда z может быть интерпретирован как (ко)касательный вектор к сфере единичного радиуса в точке x . Установленное соответствие между точками орбиты Oc и элементами (ко)касательного расслоения к сфере (x , z ) не является взаимно однозначным: пары (x , z ) и (−x , −z ) отвечают одной и той же матрице A. Таким образом, орбита диффеоморфна фактор-пространству (ко)касательного расслоения сферы по действию группы Z2 , переставляющему пары (x , z ) и (−x , −z ). Ясно, что в результате получится (ко)касательное расслоение к проективному пространству. Исключением является случай c = 0. При этом орбита оказывается диффеоморфной кокасательному расслоению к RP n−1 , из которого выброшено нулевое сечение. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что в предыдущих рассуждениях при z = 0, мы получаем A = 0. Нулевая матрица сама, как известно, образует одноточечную орбиту. Поэтому пары вида (x , 0) (отвечающие нулевому сечению) нужно удалить. Отметим, что при n = 2 в результате такой операции возникают две различные орбиты, поскольку полученное многообразие несвязно. С алгебраической точки зрения, орбита O0 = {A = xy > , Tr A = 0, A 6= 0} состоит из нильпотентных матриц в отличие от случая c 6= 0, когда орбиты полупросты.

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

1

81

Случай алгебры Ли so(n). Как и выше рассмотрим действие группы SO(n) на прямой сумме Rn + Rn ∗ , определенное по той же самой формуле (6.33) (которая упрощается в связи с тем, что g −1 = g > ): g(x , p) = (g(x ), g(p)), где x ∈ Rn , p ∈ Rn ∗ , g ∈ SO(n). Как и в предыдущем случае это действие гамильтоново, и гамильтонианы, сооветствующие элементам алгебры Ли A ∈ so(n), имеют тот же самый стандартный вид: HA (x , p) = p(Ax ). Отождествляя алгебру Ли so(n) с двойственным пространством при помощи скалярного произведения Tr AB, мы легко находим явную формулу для отображения момента. Отличие от алгебры gl(n, R) заключается в том, что матрица вида xp > не является ортогональной, поэтому ее необходимо спроектировать на пространство ортогональных матриц, в результате чего отображение момента µ : T ∗ Rn → so(n)∗ примет следующий вид: µ(x , p) = 1 (xp > − px > ), 2 где x , p ∈ Rn — векторы-столбцы, а x > , p > ∈ Rn ∗ — векторы-строки. Отсюда, в частности, следует, что образ отображения момента состоит в точности из кососимметрических матриц ранга 2. Это множество имеет размерность 2n−3 и, в свою очередь, расслоено на (2n−4)–мерные орбиты (ко)присоединенного представления Oc = {A = 1 (xp > − px > ) | Tr A2 = −c2 /2}. 2 Орбита Oc , с симплектической точки зрения, может быть охарактеризована следующим образом. Рассмотрим в Rn + Rn ∗ подмногообразие Mc , выделяемое условиями |x | = 1, |p| = c, hx , pi = 0. Это подмножество представляет собой орбиту гамильтонова действия группы SO(n) на T ∗ Rn . С топологической точки зрения, Mc представляет собой расслоение векторов постоянной длины c в (ко)касательном расслоении T S n−1 к (n − 1)-мерной сфере S n−1 = {|x | = 1} ⊂ Rn . Или, что то же самое, изоэнергетическую поверхность геодезического потока стандартной метрики на сфере. Ясно, что орбита Oc является образом Mc при отображении момента, представляющем собой факторизацию по «ядру симплектической структуры», ограниченной с T ∗ S n−1 на Mc . Это ядро одномерно и порождается касательными векторами к геодезическим. Поскольку все геодезические замкнуты и представляют собой окружности, то можно провести факторизацию по ядру, в результате чего получится новое симплектическое многообразие Mc /S 1 .

82

ГЛАВА 1

Многообразие Mc /S1 симплектоморфно описанной выше орбите коприсоединенного представления Oc ⊂ so(n). Симплектоморфизм между Mc /S 1 и Oc задается естественным образом (x , p) → 1 (xp > − px > ) ∈ Oc . Видно, что это отображение «склеивает» 2 между собой точки вида (x , p) и

cos φ · x + sin φ ·

p , |p|

которые как раз лежат на одной и той же геодезической. Описанная процедура представляет собой вариант гамильтоновой редукции: на кокасательном расслоении к сфере имеется гамильтоново действие окружности (а именно, геодезический поток метрики постоянной кривизны), по которому производится факторизация. Гамильтонаном этого действия является функция |p|. Аналогичным образом эту функцию можно рассмотреть как циклическую переменную и сделать стандартную редукцию по циклической переменной. Случай алгебры Ли u(n). Рассмотрим комплексное пространство Cn и снабдим его стандартной симплектической структурой ω(z , w ) = Imhz , w i = Im(z1 w ¯1 + . . . + z n w ¯n ).

(6.35)

Рассмотрим группу унитарных преобразований U (n), т.е. преобразований, сохраняющих эрмитову форму hz , w i (6.35). Ясно, что эта группа сохраняет также и симлектическую форму ω, а ее действие на C n является гамильтоновым. Гамильтонианы, отвечающие элементам A ∈ u(n), имеют вид HA (z) = 1 hAz , z i. Соответствующее отображение момента 2i

µ : Cn → u(n)∗ принимает вид

µ(z ) = 1 z z > . 2i Здесь z ∈ Cn рассматривается как вектор-столбец, а u(n) отождествляется с u(n)∗ при помощи скалярного произведения Tr AB. Образ отображения момента состоит, таким образом, из матриц ранга 1. Орбиты, лежащие в образе отображения момента, выделяются дополнительным условием Tr A = const. Орбиты в этом случае симплектоморфны комплексному проективному пространству CP n−1 .

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

1

83

Ясно, что орбита Oc = {A = 1 z z > | z ∈ Cn , hz , z i = c2 } является 2i

образом (n − 1)-мерной сферы S n−1 = {|z | = c} при отображении момента µ. Эта сфера является орбитой гамильтонова действия U (n) на пространстве Cn , и отображение момента µ : S n−1 → Oc сводится к факторизации по ядру симплектической формы ω|S n−1 . Легко видеть, что отображение µ отождествляет между собой точки вида z и λz , где λ = e iφ (отметим, что касательные векторы к окружностям вида eiφ z порождают ядро формы ω|S n−1 ). Таким образом, отображение µ : S n−1 → Oc представляет собой стандартное расслоение S n−1 → CP n со слоем окружность. Случай алгебры Ли e(n) = so(n) ⊕s Rn . Определим действие группы Ли E(n) = SO(n) × Rn на пространстве Rn + Rn ∗ по следующей формуле:       −1 > (g, l) x , p = g(x ), (g ) (p) + l = g(x ), g(p) + l ,

где x ∈ Rn , p ∈ Rn ∗ , (g, l) ∈ SO(n) × Rn . Это действие, как нетрудно проверить, гамильтоново, причем соответсвующие гамильтонианы имеют вид: H(A,l ) (x , p) = p(Ax ) − l (x ),

(A, l ) ∈ so(n) + Rn .

Рассмотрим соответствующее отображение момента µ : Rn + Rn∗ → (so(n) ⊕s Rn )∗ , которое в данном случае принимает вид   1 > > µ(x , p) = (xp − px ), x ∈ (so(n) ⊕s Rn )∗ = so(n) ⊕s Rn . 2 Здесь алгебра Ли so(n) ⊕s Rn отождествляется  с двойственным  пространством при помощи скалярного произведения (A1 , l1 ), (A2 , l2 ) =

= Tr A1 A2 + hl1 , l2 i.   Легко проверяется, что среди пар вида 1 (xp > − px > ), x орбиты 2

коприсоединенного представления выделяются условием hx , x i = const.

C симплектической точки зрения, эти орбиты симплектоморфны кокасательному расслоению (n − 1)-мерной сферы.

Глава 2

Интегрируемые волчки. Бигамильтоново описание и представление Лакса § 1. Многомерное твердое тело в потенциальных полях. Представления Лакса и интегрируемость 1. Исторические комментарии и обоснования Опишем теперь более подробно алгоритм построения многомерных интегрируемых волчков, основанный на взаимосвязи с введенным в главе 1 понятием бигамильтоновости. Сделаем сначала несколько исторических комментариев. Большинство интегрируемых многомерных волчков было найдено в 70–80-х годах прошлого века в связи с развитием метода обратной задачи теории рассеяния (метода L–A-пары, теории солитонов). В основном они рассматривались как примеры для апробации этих методов. Мы здесь будем придерживаться аналогичной точки зрения и не будем подробно останавливаться на содержательности такого сорта задач. В любом случае их исследование имеет общематематический интерес, но у инженеров всегда будет вызывать некоторую долю иронии. Мы приведем лишь высказывание Германа Вейля, который в своей известной книге «Пространство, время, материя» (H. Weyl «Raum, Zeit, Materie») [27] после вывода уравнений вращения n-мерного волчка Эйлера, заметил: «. . . Это, конечно, не имеет никакого практического значения. Но освобождение от ограничения определенным числом измерений и возможность такой формулировки законов природы, в которой размерность фигурирует как нечто случайное, убеждают нас в том, что достигнуто их полное математическое понимание.» В качестве краткого исторического обзора укажем, что уравнения движения n-мерного волчка Эйлера были получены В. Фрамом в 1875 г. [125], а постановка вопроса о возможности n-мерных обобщений уравнений Эйлера восходит к более ранней работе А. Кэли (1846 г.) [110]. В 1891 г.

§ 1. МНОГОМЕРНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО В

ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

85

Ф. Шоттки [175] открыл и проинтегрировал первый случай интегрируемости уравнений четырехмерного твердого тела (свободный волчок на so(4)), который был обобщен на n-мерный случай (на алгебру so(n)) С. В. Манаковым в [49] (1976 г.). Уравнения n-мерного волчка Эйлера неоднократно переоткрывались (Г. Вейль [27], О. Боттема и Х. Б¨еф [106], В. Блашке [98]). В. И. Арнольд в своей известной работе [3] также переоткрыл эти уравнения, указав при этом их гамильтоново происхождение. Отметим также, что даже более общие формы уравнений динамики n-мерного тела, которые могут быть использованы и при наличии потенциала, были известны еще А. Пуанкаре, который в небольшой работе «Новая форма уравнений динамики» [166] построил лагранжев формализм на группах Ли. В другой своей работе [167] А. Пуанкаре фактически также изучил гамильтоновы уравнения на алгебре so(4), используя, однако, другую физическую интерпретацию (уравнения Пуанкаре – Жуковского для тела, имеющего полости с вихревой идеальной жидкостью). Интегрируемость многомерных аналогов классических интегрируемых задач динамики твердого тела устанавливают при помощи нахождения представления Лакса со спектральным параметром. В первоначальных работах (С. В. Манаков [49], А. М. Переломов [64, 65], А. Г. Рейман, М. А. Семенов – Тян – Шанский [61, 67], О. И. Богоявленский) [9] эти представления были получены либо с помощью явных анзатцев, либо с использованием формальной алгебраической техники, основанной на методе r-матрицы. В работах А. П. Веселова, А. И. Бобенко, Ю. Н. Федорова [7, 14, 28, 82] были впервые получены гиперэллиптические коммутационные представления, обобщающие представления Ф. К¨еттера в [148]. Однако для всех этих результатов типична отдельная процедура доказательства полноты получившегося семейства инвариантов. Для этого используется, как правило, или метод сдвига аргумента, или комплексные методы, связанные с линеаризацией исходных уравнений на якобианах спектральных кривых [61]. В этой главе мы опишем достаточно универсальный алгоритм, разработанный авторами совместно с А. В. Болсиновым, который позволяет единым образом найти представление Лакса для большинства многомерных интегрируемых волчков, а также доказать полноту получившегося семейства первых интегралов, т. е. полную интегрируемость. Другая конструкция, получения L–A-пар, связанная с квадратичными пуассоновыми алгебрами и разделением переменных, изложена в гл. 3. Предварим изложению алгоритма в конкретных ситуациях несколько формальных построений. 2. Формальное описание — матричная алгебра Ли со стандартным матричным 1. Пусть коммутатором [·, ·], на которой задана еще одна нестандартная структура

86

ГЛАВА 2

алгебры Ли [·, ·]λ . Пусть ϕ : → изоморфизм между [·, ·]λ и [·, ·], т. е.

— отображение, устанавливающее

ϕ ([X, Y]λ ) = [ϕ(X), ϕ(Y)].

(1.1)

(Отображение ϕ в общем случае нелинейно зависит от λ.) Пусть ∗ — двойственное пространство. Скобку Ли – Пуассона, соответствующую стандартному коммутатору обозначим {·, ·}, а коммутатору [·, ·]λ соответственно {·, ·}λ . В общем случае скобке {xi , xj }λ не обязательно соответствует некоторая алгебра Ли (с коммутатором [·, ·]λ ). Достаточно того, чтобы существовала (линейная) замена x = ψ(y), приводящая любую скобку пучка к «стандартной» скобке {yi , yj } {f (x), g(x)}λ = {f (ψ(y)), g(ψ(y))}, которая соответствует некоторой матричной (полупростой) алгебре Ли. Это обобщение используется в методе сдвига аргумента, и иллюстрируется ниже при построении L–A-пар, связанных с картановским разложением. 2. Рассмотрим уравнения Гамильтона на ∗ с некоторым гамильтонианом Hλ , отвечающие алгебре Ли [·, ·]λ : x˙ = (adλ )∗dHλ (x) x.

Ясно, что эти уравнения с помощью замены (1.1) приводятся к уравнениям, отвечающим стандартному коммутатору. Соответствующая замена имеет следующий вид: x = ϕ∗ (y), (1.2) ∗ где ϕ∗ : ∗ → — оператор, сопряженный ϕ. А именно, после такой замены уравнение приобретает вид

y˙ = ad∗dH(y) y, причем новый гамильтониан H : ∗ → R связан со старым гамильтонианом Hλ : ∗ → R естественным образом: H(y) = Hλ (ϕ∗ (y)). 3. Если для алгебры существует невырожденная ad-инвариантная — полупроста, такой формой квадратичная форма g (в частности, если является метрика Киллинга), то, отождествляя при помощи нее алгебру и коалгебру получаем уравнение вида ˙ = [Y, dH(y)], Y

Y = g−1 (λ)y.

(1.3)

§ 1. МНОГОМЕРНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО В

ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

87

Имея целый пучок коммутаторов, параметризуемых λ и изоморфных друг другу в случае, если на имеется инвариантная невырожденная метрика, можно при всяком λ перейти от алгебры к коалгебре, т. е., как мы уже знаем, связать гамильтонову форму уравнений движения с лаксовым представлением. При этом в представление Лакса будет входить параметр λ, который и является спектральным (см. ниже предложение 1 § 2). Первые интегралы полученных уравнений определяются через tr L n , или как функции Казимира пучка скобок Пуассона (в коалгебре). Эти уравнения, кроме того, являются бигамильтоновыми. Укажем также связь между функциями Казимира f и fλ скобок {·, ·} и {·, ·}λ соответственно: fλ (x) = f (ϕ∗ −1 (x)),

(1.4)

что удобно для нахождения функций Казимира нестандартной скобки. Такая конструкция используется ниже при построении L–A-пар, связанных с лиевыми пучками. 3. Координатное представление В координатной форме эта конструкция выглядит следующим образом. Обозначим базис в алгебре через E i , i = 1, . . . , n, дуальный ему базис в ∗ соответственно ω i . В этом случае [E i , E j ] = ckij E k , и ϕ∗ :

для операторов ϕ : → X ϕ(E i ) = Φki E k ,

xj =

k

[E i , E j ]λ = (cλ )kij E k , ∗

X

∗

→

Φkj yk ,

k

(1.5)

имеем Yk =

X

Φki X i ,

(1.6)

k

где X i , Y j — координаты на в базисе E i , а xi , yi — координаты на ∗ i в базисе ω . Пусть g = kgij k — невырожденная ad-инвариантная квадратичная форма (для полупростой матричной алгебры можно положить g = − Tr(X·Y)), тогда отождествление и ∗ задается формулой X = g−1 x или покомпонентно X X Xi = g ij xj , g ij gjk = δki , (1.7) j

j

при этом xi = g(E i , x). Скобка Ли – Пуассона, соответствующая коммутатору [· , ·] может быть записана в форме {f, g}|x = hx, [df, dg]i = g(X, [df, dg]).

(1.8)

88

ГЛАВА 2

Представление Лакса получается из соотношения x˙ i = g(X, [E i , dH]) = g(E i , [dH, X]). L-матрица задается уравнением L(λ) = g−1 ϕ∗ −1 x = g−1 ϕ∗ −1 (λ)gX, где X определена уравнением (1.7). Приведем в заключении этого параграфа некоторый эвристический вывод уравнений динамики n-мерного твердого тела, сочетающего в себе физические соображения и формальные обобщения. 4. Уравнения движения n-мерного твердого тела Кинетическую энергию твердого тела в n-мерном случае можно получить следующим образом. Введем систему отсчета, жестко связанную с телом. Координаты каждой точки тела в этой системе x = (x 1 , . . . , xn ) связаны с координатами неподвижного пространства q = (q 1 , . . . , qn ) по формуле q = Qx , (1.9) где Q = kQµν k — ортогональная матрица из группы SO(n). Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий точек, составляющих тело τ X X mτ Q˙ µν Q˙ µσ xν xσ . T =1 2 τ

(1.10)

µ,ν,σ

Введем компоненты обобщенных угловых скоростей в теле ω µν = −ωνµ = P −1 ˙ P = Qµσ Qσν и тензор инерции Jµν = τ mxµ xν . Очевидно, что компоσ

ненты угловых скоростей в неподвижном пространстве имеют вид Ω µν = P = −Ωνµ = Q˙ νσ Q−1 σµ . σ

Для удобства записи уравнений движения обычно вводят соответствующие компоненты кинетического момента Mµν = 1 ∂T , 2 ∂ωνµ

M = kMµν k = 1 (Jω + ωJ). 2

(1.11)

В последней формуле предполагается, что M, ω являются элементами алгебры so(n) (т. е. кососимметрическими матрицами). Условия сохранения вектора кинетического момента M в абсолютном пространстве, которое можно

§ 1. МНОГОМЕРНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО В

ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

89

постулировать для вывода уравнений свободного движения n-мерного тела, имеет вид ˙ = [M, ω], M (1.12) где [·, ·] — обычный матричный коммутатор. Если твердое тело движется в некотором потенциальном поле, зависящем от направляющих косинусов U = U (Q), то уравнения движения можно представить в форме  > ˙ = [M, ω] + Q ∂U M − ∂U Q> , ∂Q ∂Q



где ∂U = ∂U . ∂Q

˙ = ωQ, Q

∂Qµν

Эти уравнения гамильтоновы относительно скобки Ли – Пуассона, 2 определяемой полупрямой суммой so(n) ⊕s Rn : {Mij , Mkl } = δjk Mil + δik Mlj + δjl Mki + δil Mjk , {Mij , Qkl } = δjk Qil − δik Qjl . Функция Гамильтона задается соотношением H = 1 Tr Mω + U (Q), 2 где ω выражается через M по формуле (1.11).

90

ГЛАВА 2

§ 2. Лиевы пучки и гиперэллиптические L–A-пары 1. Основное предложение Рассмотрим частный случай приведенной выше конструкции, для которого почти все скобки пучка соответствуют полупростой алгебре Ли. Такие скобки впоследствии мы называем полупростыми скобками Ли – Пуассона. Докажем предварительно следующее простое Предложение 1. Пусть {·, ·}λ — семейство скобок Пуассона на некотором линейном пространстве. Пусть почти все эти скобки являются полупростыми скобкам Ли – Пуассона. Предположим, что система v является гамильтоновой относительно всех скобок из этого семейства, т.е. допускает представление в виде v(x ) = {x , Hλ (x )}λ , где Hλ (x ) — гамильтониан, отвечающий скобке {·, ·}λ . Тогда для системы x˙ = v (x ) существует представление Лакса с параметром λ, который входит в это представление, вообще говоря, не рациональным, а более сложным образом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если система x˙ = v (x ) гамильтонова относительно скобки Ли – Пуассона, отвечающей полупростой алгебре Ли, то, отождествляя двойственное пространство алгебры с самой алгеброй (с помощью невырожденной формы Киллинга), мы получаем в точности представление Лакса для v (x ), но без параметра (точнее, при фиксированном значении параметра). Поскольку в рассматриваемом случае мы имеем дело с семейством {·, ·}λ полупростых скобок, то в результате отождествления (которое зависит от λ) мы получим семейство представлений Лакса, зависящее от λ. Замечание. Отметим, что если рассматриваемое семейство содержит хотя бы одну «полупростую скобку», то почти все его скобки также являются полупростыми (при условии, что мы имеем дело с линейными скобками или сводящимся к ним). Более того, все пространство параметров разделяется на открытые камеры, каждая из которых «содержит» изоморфные между собой «полупростые скобки». 2. Волчок Шоттки – Манакова на so(n) Продемонстрируем доказанное утверждение на примере многомерного волчка Эйлера.

§ 2. ЛИЕВЫ ПУЧКИ

И ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

L–A-ПАРЫ

91

Рассмотрим пространство кососимметрических матриц , отождествляемое с алгеброй Ли so(n). Вводя естественное инвариантное скалярное произведение (X, Y) = − Tr XY, ∗

X, Y ∈

,

(2.1)

мы отождествим с . Далее рассмотрим на семейство алгебр Ли — лиев пучок, коммутаторы которых задаются в виде (см. § 4 гл. 1) [X, Y]C = XCY − YCX,

где C — произвольная симметрическая матрица. На двойственном простран∗ стве ≈ эти алгебры порождают семейство скобок Ли – Пуассона {·, ·}C . Гамильтоновость системы v относительно скобки {·, ·} C означает, что v(X) = XdH(X)C − CdH(X)X (2.2) для некоторой гладкой функции H(X) : Можно показать, что

→ R.

1◦ все эти скобки согласованы между собой, 2◦ скобка {·, ·}C полупроста тогда и только тогда, когда матрица C невырождена. Из второго свойства, в частности, следует, что в случае невырожденной матрицы C, уравнение (2.2) может быть представлено в форме Лакса. Для этого нужно сделать следующую замену: X → C1/2 LC1/2 ,

dH(X) → C−1/2 AC−1/2 .

˙ 1/2 = C1/2 (LA − AL)C1/2 , или, что Подставляя, мы получим C1/2 LC то же самое, L˙ = [L, A]. Пусть B = diag(b1 , . . . , bn ), E = diag(1, 1, . . . , 1) — диагональные рассмотрим двумерный пуневырожденные матрицы. На пространстве чок ([·, ·]A )A∈J , J = {λE + µB2 }. (2.3)

Уравнения Эйлера динамики n-мерного свободного твердого тела ∗ (см. § 1, гл. 2) могут быть представлены на пространстве кососимметрических матриц, отождествленном с при помощи формы (2.1) в следующем виде ˙ = XΩ − ΩX, X (2.4) X = BΩ + ΩB, X, Ω ∈ ,

92

ГЛАВА 2

здесь Ω = Ω(X) можно считать дифференциалом квадратичного гамильтониана H = 1 Tr XΩ. 2 Несложно показать непосредственными вычислениями, что уравнения (2.4) гамильтоновы относительно каждой из скобок пучка {·, ·} C , где C ∈ J\{0} [10]. Используя это обстоятельство и тот факт, что эта скобка полупроста почти для всех λ, мы можем переписать уравнения для каждой алгебры Ли [·, ·]B2 +λE в форме Лакса. Приведем конечный результат. Предложение 2. Система уравнений (2.4) может быть записана в следующем эквивалентном виде dL(λ) = [L(λ), A(λ)], dt

(2.5)

где L(λ) = (B2 + λE) A(λ) = (B2 + λE)

−1/2

−1/2

X(B2 + λE)

−1/2

,

(λΩ − BΩB)(B2 + λE)

−1/2

(2.6) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эквивалентность этого представления системе (2.4) легко проверяется прямым вычислением. Здесь, впрочем, интересна связь представления с семейством скобок. Остановимся на ней более подробно. Поскольку система (2.4) гамильтонова относительно скобки {·, ·} B2 +λE , то мы можем ˙ в виде представить X ˙ = XdHλ (X)(B2 + λE) − (B2 + λE)dHλ (X)X). X Несложно проверить, что здесь dHλ (X) = (B2 + λE)

−1

(λΩ − BΩB)(B2 + λE)

−1

.

Чтобы теперь из этого выражения получить представление с обычным коммутатором, нужно сделать замену, которая уже была указана выше: X = (B2 + λE) 2

dHλ X = (B + λE)

1/2

L(λ)(B2 + λE)

−1/2

2

1/2

A(λ)(B + λE)

что сразу приводит нас к доказываемому результату.

,

−1/2

,

§ 2. ЛИЕВЫ ПУЧКИ

И ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

93

L–A-ПАРЫ

Представления Лакса со спектральным параметром, входящим в матрицы L и A в виде (2.6), называются гиперэллиптическими. Для алгебры so(4) L–A-пара вида (2.5)–(2.6) была указана А. И. Бобенко [7], правда, ее параметризация через спектральный параметр содержала эллиптические функции. Для произвольного n пара (2.5) была построена Ю. Н. Федоровым [82], который неявно также использовал свойство бигамильтоновости. 3. Система Клебша – Переломова, изоморфизм с системой Шоттки – Манакова Другой содержательный пример связан с рассмотрением на пространстве кососимметрических матриц еще одного двумерного лиева пучка ([·, ·]A )A∈J 0 . Положим D = diag(d1 , . . . , dn−1 , 1) E0 = diag(1, 1, . . . , 1, 0), J 0 = {λE0 + µD}.

(2.7)

Алгебра Ли E0 , задаваемая на пространстве кососимметрических матриц коммутатором [·, ·]E0 , изоморфна алгебре Ли e(n − 1) группы движений евклидова пространства. Поэтому уравнения Эйлера на ∗ в смысле скобки {·, ·}E0 с положительно определенным квадратичным гамильтонианом являются уравнениями Кирхгофа и описывают движение многомерного твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой жидкости. Если ∗ отождествлено с при помощи формы (2.1), то эти пространство уравнения могут быть записаны в виде ˙ = E0 ΩX − XΩE0 , X

(2.8)

где X ∈ , а Ω = Ω(X) ∈ — дифференциал квадратичного гамильто1 ниана H(X) = Tr XΩ. 2 А. М. Переломов в [64] обнаружил интегрируемый случай этих уравнений, являющийся многомерным обобщением случая Клебша. Гамильтониан H(X) в этом случае имеет вид H(X) = 1 2

X

16i<j6n−1

aij x2ij + 1 2

X

bi x2in ,

16i6n−1

где X = kxij k и коэффициенты удовлетворяют соотношениям −1 −1 (bi − bj )a−1 ij + (bj − bk )ajk + (bk − bi )aik = 0

для любых 1 6 i < j < k 6 n − 1.

(2.9)

94

ГЛАВА 2

Произведя несложные вычисления, можно установить, что уравнения многомерного случая Клебша гамильтоновы на пространстве ≈ ∗ относительно каждой из скобок пучка {·, ·}A , A ∈ J 0 \0, где J 0 = {λD + µE0 } и элементы di диагональной матрицы D определяются из соотношений di − dj = (bi − bj )a−1 ij ,

1 6 i < j 6 n − 1.

Полнота интегралов также следует из теоремы 4, § 4 гл. 1. Можно заметить, что лиевы пучки J (2.3) и J 0 (2.7) изоморфны при B = E0 D−1 . Отсюда сразу вытекает обобщение результата А. И. Бобенко для n = 4 [7], установленное А. В. Болсиновым [10]. Теорема 1. Существует линейная замена переменных, переводящая уравнения Эйлера динамики n-мерного твердого тела в уравнения (n − 1)-мерного случая Клебша. 4. Многомерное обобщение случаев Стеклова и Ляпунова Рассмотрим теперь лиев пучок на прямой сумме пространств кососимметрических матриц = so(n) ⊕ so(n). Элементы этого пространства будем записывать в виде пары (X, Y), X ∈ so(n), Y ∈ so(n). Пара коммутаторов, порождающих пучок имеет вид: [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 )]0 = ([X1 , X2 ], [X1 , Y2 ] + [Y1 , X2 ] − [X1 , X2 ]B ), [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 )]1 = ([X1 , X2 ]B , [Y1 , Y2 ]). (2.10) Здесь через [·, ·]B обозначен коммутатор вида [X1 , X2 ]B = X1 BX2 − − X2 BX1 , где B — симметричная матрица. В нашем случае мы считаем ее диагональной. Несложно проверить, что данные коммутаторы согласованы, т.е. любая их линейная комбинация удовлетворяет тождеству Якоби и задает, следовательно, на пространстве so(n) + so(n) структуру алгебры Ли. Укажем на изоморфизм между пучком [·, ·]0+λ·1 = [·, ·]0 + λ[·, ·]1 и алгеброй so(n) ⊕ so(n) со стандартным матричным коммутатором. Предложение 3. Если λ 6= 0 и det(E + λB) 6= 0, то алгебра Ли [ , ]0+λ·1 изоморфна so(n) ⊕ so(n) со стандартным матричным коммутатором. При этом изоморфизм ϕλ задается следующими явными формулами: 
 ϕλ X, Y = (E + λB)1/2 X(E + λB)1/2 , λY + X . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — явная проверка.

§ 2. ЛИЕВЫ ПУЧКИ

И ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

95

L–A-ПАРЫ

Из этого утверждения легко вытекает вид инвариантов коприсоединенного представления на коалгебре ∗ . Как обычно мы отождествляем = so(n) ⊕ so(n) и ∗ = (so(n) ⊕ so(n))∗ при помощи скалярного произведения h(X, Y), (Z, P)i = Tr(XZ + YP). Операторы ϕ∗λ : вид

∗

→

∗

и ϕ∗λ −1 :

∗

→

∗

имеют тогда следующий

  ϕ∗ (Z, P) = (E + λB)1/2 Z(E + λB)1/2 + P, λP ,   (2.11) ϕ∗λ −1 (Z, P) = (E + λB)−1/2 (Z − λ−1 P)(E + λB)−1/2 , λ−1 P .

Инварианты прямой суммы = so(n) ⊕ so(n) при стандартном представлении хорошо известны. Это функции вида Tr Z2k ,

Tr P2k .

(2.12)

Используя (2.12) и явный вид (2.11) оператора ϕ ∗λ −1 , получаем следующие формулы для функций Казимира скобки {·, ·}0+λ·1 :
2k Tr (Z − λ−1 P)(E + λB)−1 , Tr P2k . (2.13)

При λ = 0 эта формула не пригодна. Чтобы получить хорошую асимптотику в нуле, нужно вместо первого инварианта рассмотреть следующий:   1 Tr (λZ − P)(E + λB)−1
2k − Tr P2k = λ


2k = 1 Tr (λZ − P)(E − λB + λ2 B2 + λ3 B3 − . . . ) − Tr P2k . λ



Легко проверяется, что полученное выражение является степенным рядом по λ, причем первый (свободный) член этого ряда имеет вид Tr(Z + PB)P2k−1 .

(2.14)

Ясно, что это функция Казимира скобки {·, ·}0 . Вместе с функциями вида Tr P2k они образуют полный набор. Несложно показать, что алгебра Ли [·, ·]0 , изоморфна полупрямой сумме алгебры so(n) и коммутативного идеала R[n(n−1)/2] по присоединенному представлению. Стандартный коммутатор для этой полупрямой суммы заестественным способом: дается на пространстве [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 )]0s = ([X1 , X2 ], [X1 , Y2 ] + [Y1 , X2 ]).

96

ГЛАВА 2

Изоморфизм между этим стандартным коммутатором и «деформированным» [·, ·]0 определяется отображением ψ(X, Y) = (X, Y − 1 (BX + XB)). 2 Это означает следующее: ψ[(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 )]0 = [ψ(X1 , Y1 ), ψ(X2 , Y2 )]0s . Сопряженный оператор имеет вид ψ ∗ (Z, P) = (Z − 1 (BP + PB), P). 2 Таким образом, уравнения Эйлера на скобке {·, ·}0 приводятся к стандартным уравнениям на скобке, отвечающей полупрямой сумме so(n) ⊕s R[n(n−1)/2] , при помощи замены вида (Z, P) → (M, P). Z = M − 1 (BP + PB), 2

P=P.

Опишем теперь семейство гамильтонианов, порождающих системы, являющиеся гамильтоновыми относительно каждой скобки из нашего семейства. Легко видеть, что такому свойству удовлетворяют функции Казимира скобок { , }0 + λ{ , }1 максимального ранга. Поскольку нас интересуют только квадратичные гамильтонианы, то мы можем рассмотреть семейство функций, являющихся линейными комбинациями описанных выше квадратичных функций Казимира. Можно проверить, что функции из этого семейства имеют следующий общий вид: H(Z, P) = +

X i,j

X ci − c j

bi − b j

i,j b2i ci − b2j cj

bi − b j

Pij2

2 Zij +2

+ const

X bi ci − b j cj i,j

X

bi − b j

Zij Pij + (2.15)

Pij2 .

i,j

Последнее слагаемое в этой сумме является функцией Казимира для каждой из скобок, и поэтому его можно отбросить. Предложение 4. Пусть гамильтониан H имеет вид (2.15). Тогда он порождает бигамильтонову систему. А именно, существует функe такая, что справедливо тождество: ция H e 0. {·, H}1 = {·, H}

(2.16)

§ 2. ЛИЕВЫ ПУЧКИ

И ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

97

L–A-ПАРЫ

e может быть взят в виде При этом гамильтониан H X bi ci − b j cj

e H(Z, P) =

bi − b j

i,j

2 Zij +2

X b2i ci − b2j cj bi − b j

Zij Pij +

i,j

X b3i ci − b3j cj bi − b j

i,j

Pij2 .

e определен неоднозначно. К нему всегда Отметим, что гамильтониан H можно добавить произвольную функцию Казимира скобки {·, ·} 0 . Напомним, что равенство (2.16) может быть интерпретировано как изоморфизм между системой на полупрямой сумме so(n) ⊕ ad R[n(n−1)/2] и системой на прямой сумме so(n) ⊕ so(n). Однако здесь обе скобки имеют не совсем стандартный вид. Чтобы привести их к стандартной форме, нужно произвести некоторую линейную замену. В результате мы получим следующее утверждение. Предложение 5. Рассмотрим на пространстве = so(n) ⊕ so(n) со стандартной скобкой гамильтониан следующего вида: H (X, Y) =

X ci − c j i,j

+2

bi − b j

X bi ci − b j cj p i,j

bi − b j

2 bi bj Xij +

bi bj Xij Yij +

X b2i ci − b2j cj bi − b j

i,j

Yij2 .

Рассмотрим также на пространстве = so(n)⊕s R[n(n−1)/2] со стандартной скобкой Пуассона гамильтониан вида


H (M, P) =


X bi ci − b j cj i,j

+2

X i,j

b2i ci

−

b2j cj

bi − b j

bi − b j


∗

(Mij − 1 (bi + bj )Pij )2 + 2

X b3i ci − b3j cj (Mij − 1 (bi + bj )Pij )Pij + Pij2 . 2 bi − b j i,j

Тогда соответствующие этим гамильтонианам системы сводятся друг к другу при помощи следующего линейного преобразования: M = B1/2 XB1/2 + 1 (BY + YB), 2

P = Y.

Эти интегрируемые системы можно рассматривать как обобщения классических систем Стеклова – Ляпунова, так как они сводятся к ним в

98

ГЛАВА 2

случае n = 3 ( = so(3) ⊕ so(3) ≈ so(4), = so(3) ⊕s R3 = e(3)). Отметим также, что в отличие от случая Манакова, который обобщается на so(n), система Стеклова – Ляпунова (точнее Стеклова на so(4) [180]) не переносится на so(n). Многомерное интегрируемое обобщение случаев Стеклова, как мы видим, оказывается связанной с другими многомерными алгебрами so(n) ⊕s Rn(n−1)/2 и so(n) ⊕ so(n) — в отличие от случаев Клебша–Переломова и Манакова, для которых соответствующие алгебры есть e(n − 1) и so(n). Таким образом, механизмы многомерных обобщений случаев Клебша и Стеклова являются существенно различными. Для получения представления Лакса рассмотрим бигамильтоново векторное поле e 0. v = {·, H}1 = {·, H}


Оно, как мы знаем, может быть представлено как гамильтоново векторное поле относительно линейной комбинации {·, ·} 0 + λ{·, ·}1 :

(2.17)

v = {·, H0+λ·1 }0+λ·1 . Гамильтониан при этом имеет следующий явный вид: H0+λ·1 =

X ai − a j i,j

bi − b j

2 Zij +2

X bi a i − b j a j i,j

bi − b j

Zij Pij +

X b2i ai − b2j aj i,j

bi − b j

Pij2 ,

где ai = ci bi (1 + λbi )−1 . Теперь мы можем переписать уравнение (4) в лаксовой форме, в нашем случае L = ϕ∗ −1 (Z, P), т. е.   (E + λB)−1/2 (Z − λ−1 P)(E + λB)−1/2 0  L= 0 λ−1 P и

A = ϕλ (dH0+λ·1 (Z, P)). Представление Лакса и бигамильтоновость обобщенной системы Стеклова–Ляпунова были указаны А. В. Болсиновым и Ю. Н. Федоровым в работе [14]. Для случая n = 3, т. е. классического случая Стеклова – Ляпунова, представление Лакса, как заметил Б. А. Дубровин, может быть извлечено из работы К¨еттера [148], применявшего его для явного интегрированя в тэта-функциях. Оно было несколько модифицировано А. П. Веселовым в [28], а также приведено в работе А. И. Бобенко [7].

§ 3. РИМАНОВЫ

99

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

§ 3. Римановы симметрические пары и сдвиг аргумента, L–A-пары с рациональным параметром Рассмотрим еще один алгоритм, основанный на бигамильтоновости, отличный от описанного выше, при этом в пуассоновом пучке появляются не только линейные, но и постоянные слагаемые. Эта конструкция является развитием метода сдвига аргумента на случай римановых симметрических пар (см. гл. 1). 1. Общая конструкция , представленную в виде кар— подалгебра и выполнены

Рассмотрим полупростую алгебру Ли тановского разложения = + , где следующие соотношения


[

,

]⊂

,

[

,

]⊂


,


[ ,


]⊂


.

(3.1)

Это эквивалентно тому, что допускает инволютивный диффеоморфизм θ : → , для которого θ| = id, θ| = − id (инволюция Картана). Пара ( , ) называется при этом римановой симметрической парой. Двойственное пространство ∗ при этом может быть представлено в виде ∗ ∗ ∗ = + ∗ так, что ⊥ , ∗⊥ . Рассмотрим еще одну алгебру Ли θ , которая совпадает с как линейное пространство, а коммутатор отличается только тем, что подпространкоммутативно (коммутативный идеал): [ , ]θ = 0. Для [ , ]θ ство и [ , ]θ коммутатор остается прежним (3.1). На двойственном простран∗ стве возникают, следовательно, две различные скобки Ли – Пуассона {·, ·} и {·, ·}θ , отвечающие алгебрам и θ соответственно. Нетрудно видеть, что эти скобки согласованы между собой. Кроме них на ∗ имеется еще одна скобка (с замороженным аргументом) {·, ·}a . Она получается, если в первоначальной скобке {·, ·} зафиксировать некоторый вектор a ∈ ∗























{f, g}a (x) = ha, [df (x ), dg(x )]i.

(3.2)

Эта скобка является постоянной. Если a ∈ ∗ , то в формуле (3.2) можно рассматривать любой из коммутаторов [·, ·] и [·, ·]θ , она будет давать один и тот же результат.


Предложение 6. Если a ∈ ∗ , то скобки {·, ·}, {·, ·}θ и {·, ·}a образуют семейство попарно согласованных скобок Пуассона.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — прямая проверка.

100

ГЛАВА 2

∗ Как обычно мы предполагаем, что и отождествлены при помощи ad-инвариантной формы Киллинга (соответствующей алгебре (3.1)). Рассмотрим линейную комбинацию

(3.3)

{·, ·}αβγ = α{·, ·} + β{·, ·}θ + γ{·, ·}a .

Прямым вычислением можно проверить, что гамильтонова относительно {·, ·}αβγ система с гамильтонианом f записывается в следующем явном виде: h˙ = (α + β) ([ξ, h] + [η, v]) + γ[η, a], (3.4) v˙ = (α + β)[ξ, v] + α[η, h] + γ[ξ, a]. где df (h + v) = ξ + η, h, ξ ∈

, v, η ∈




.

Предложение 7. Если α 6= 0, α+β 6= 0, то скобка Пуассона {·, ·}αβγ эквивалентна (сводится линейной заменой) полупростой скобке {·, ·}, и, следовательно, любая система, являющаяся гамильтоновой относительно {·, ·}αβγ , допускает естественное представление Лакса.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В качестве доказательства укажем явно соответствующую L–A-пару гамильтоновой системы со скобкой (3.3). Действительно, уравнения (3.4) могут быть переписаны в следующем виде ˙ = [L, A], L

(3.5)

где L=

r

α h + v + γ a, α+β α+β

A = −(α + β) ξ +

r

! α η , α+β

причем (ξ, η) имеет смысл дифференциала гамильтониана df (h, v). Как следует из (3.4), если в качестве гамильтониана берется произвольная функция f , то в уравнения движения (3.4) в явном виде входят параметры α, β, γ семейства (3.3). Следовательно, соответствующая L–Aпара (3.5) дает интегралы, которые зависят от этих параметров. Если теперь мы имеем систему, которая является гамильтоновой относительно некоторого семейства скобок вида (3.3), зависящего от параметра, то соответствующая L–A-пара (3.5) будет включать этот параметр в качестве спектрального. Для этого в качестве гамильтониана f согласно п. 2 необходимо выбрать функцию Казимира одной из скобок пучка (3.3). Рассмотрим в качестве следствия частный случай γ = α, β = 1 и соответствующее ему семейство скобок {·, ·}θ + α({·, ·} + {·, ·}a ).

(3.6)

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

101

Предположим, что мы имеем систему гамильтонову относительно любой скобки из этого семейства (за исключением, быть может, случая α = −1, когда скобка вырождается). Тогда согласно предложениям 6 и 7 эта система допускает представление Лакса с рациональным спектральным параметром, где L = λh + v + λ2 a, A = (α + 1)(ξ + λη). r α , а ξ + η = df — дифференциал гамильтониана При этом λ = α α+1

данной системы относительно скобки (3.6). В качестве гамильтониана, задающего бигамильтонову систему, можно взять функцию Казимира одной из скобок этого семейства. Для получения интересных примеров в рассматриваемом случае полезно рассмотреть квадратичную функцию Казимира f особой скобки {·, ·} θ −({·, ·}+{·, ·}a ) (ее выделенность в семействе заключается в том, что она не является полупростой, а ее ранг может падать). Такая функция всегда существует и имеет вид
(3.7) f (h, v) = 1 C(h), h + (v, b), 2

где (·, ·) — форма Киллинга, C : → — самосопряженный оператор, b ∈ , причем C и b удовлетворяют соотношениям


[a, b] = 0,

[b, h] + [C(h), a] = 0.

(3.8)

Это условия в точности эквивалентны тому, что f — функция Казимира скобки (3.6) при α = −1. Предложение 8. Рассмотрим гамильтонову относительно скобки {·, ·}θ систему на коалгебре θ∗ с гамильтонианом (3.7): h˙ = [C(h), h] + [b, v], v˙ = [C(h), v]. Эта система является бигамильтоновой относительно семейства скобок {·, ·}θ + α({·, ·} + {·, ·}a ) (α 6= −1) и допускает, следовательно, представление Лакса (3.5) со спектральным параметром, для которого L = λh + v + λ2 a, A = −C(h) − λb. (3.9) Как правило, для многомерных волчков первое слагаемое в гамильтониане (3.7) интерпретируется как кинетическая энергия, а второе как потенциальная.

102

ГЛАВА 2

Замечание. Для того чтобы получить частный случай систем (3.7) без потенциала, нельзя одновременно в (3.7) и (3.8) полагать b = 0. Как будет показано ниже, правильная L–A-пара для эволюции h получится, если всюду в соотношениях (3.7) и (3.9) исключить v, сохранив при этом неизменным соотношение (3.8). Случай отсутствия потенциала. Система Шоттки – Манакова. Приведем здесь отдельно описанную конструкцию для более частного случая, который позволит нам установить более четко связь с методом сдвига аргумента и построить L–A-пару для многомерного аналога волчка Эйлера (волчка Шоттки – Манакова). Пусть — произвольная алгебра Ли, ∗ — двойственное пространство. Кроме стандартной скобки Ли – Пуассона {f, g}(x )=hx , [df (x ), dg(x )]i рассмотрим на ∗ постоянную скобку, которая получается из нее "замораживанием аргумента": {f, g}a (x ) = ha, [df (x ), dg(x )]i,

где a ∈

∗

.

Легко проверяются, что эти скобки согласованы. Поэтому в силу общей конструкции функции Казимира линейных комбинаций вида {·, ·} + λ{·, ·} a находятся в инволюции. Легко видеть, что такая линейная комбинация переходит в стандартную скобку при замене x → x + λa. В частности, ее функции Казимира имеют вид f (x + λa), где f пробегает кольцо инвариантов коприсоединенного представления I( ). Такимобразом, на коалгебре Ли мы получаем набор функций в инволюции f (x + λa) f ∈I( ),λ∈R . Этот метод конструирования функций в инволюции был предложен А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [54, 56] как обобщение конструкции С. В. Манакова [49]. Ими же было показано, что такой набор функций является полным в случае полупростой алгебры Ли и описан класс квадратичных гамильтонианов для которых функции f (x + λa) являются первыми интегралами. В случае, — полупроста, соответствующие системы в точности совпадают когда с системами, гамильтоновыми относительно любой линейной комбинации {·, ·} + λ{·, ·}a (в случае квадратичных гамильтонианов) (см. [50]). Приведем более явные построения. Пусть алгебра — полупроста. Тогда мы можем отождествить ее с двойственным пространством ∗ при помощи метрики Киллинга и считать, что ковектор a является элементом самой алгебры . Предположим, что a является полупростым регулярным элементом и рассмотрим порожденную им подалгебру Картана (которая в данном случае совпадает с его централизатором = {x ∈ | [x , a] = 0}). Определим теперь самосопряженный оператор C : → по следующему правилу. Представим произвольный элемент x ∈ в виде суммы

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

103

⊥ x = x1 + x2 , где x1 ∈ , x2 ∈ и положим C(x ) = ad−1 a adb x2 + −1 ⊥ ⊥ + D(x1 ), где ada : → корректно определен, а D : → — произвольный самосопряженный оператор.

Предложение 9. Гамильтонова система (3.10)

x˙ = [C(x ), x ]

является с гамильтонианом H(x ) = 1 (C(x ), x ) на алгебре Ли 2 вполне интегрируемой. Ее первыми интегралами являются функции вида f (x + λa), где f — инвариант присоединенного представления, λ ∈ R. Эта система является гамильтоновой относительно любой линейной комбинации {·, ·}+λ{·, ·}a и, следовательно, допускает представление Лакса со спектральным параметром d (x + λa) = [C(x ) − λb, x + λa]. dt

(3.11)

Имеется важный частный случай, когда система (3.10) может быть есте⊂ , другими ственным образом ограничена на некоторую подалгебру словами, подалгебра является инвариантным подмногообразием данной системы. Примером такой подалгебры является, например, так называемая C нормальная форма алгебры Ли (см. [54, 56]). Простейшим случаем такой ситуации является волчок Шоттки–Манакова. = sl(n, R), = so(n, R) ⊂ . В качестве подалгебры Здесь Картана берется подалгебра диагональных матриц. В частности, a и b — это диагональные матрицы A = diag(a1 , . . . , an ), B = diag(b1 , . . . , bn ). Тогда гамильтониан H, ограниченный на подалгебру , имеет вид 1 X b i − b j x2 , H = 1 (ad−1 a adb X, X) = ai − aj ij 2 2 i<j

X = kxij k ∈ so(n).

Если положить A = B2 = diag(b21 , . . . , b2n ), то X H(X) = (bi + bj )−1 x2ij ,

(3.12)

и, подставляя это выражение в (3.11), мы получаем представление Лакса со спектральным параметром, указанное С. В. Манаковым в [49]: d (X + λB2 ) = [Ω − λB, X + λB2 ], dt где Ω(X) = dH(X) и X связаны соотношением X = BΩ + ΩB.

104

ГЛАВА 2

Замечание. Шоттки в [175] установил интегрируемость для алгебры so(4) и это долго оставалось неизвестным широкому кругу специалистов, поэтому после независимого установления С. В. Манаковым интегрируемости соответствующего n-мерного обобщения в 1976 г. [49] обычно этот случай называют волчком Манакова (или Эйлера– Манакова). Подчеркнем отличие этого представления Лакса для волчка Шоттки – Манакова от приведенного ранее (2.6). Спектральный параметр в новом представлении входит рациональным образом. Опишем несколько более подробно наш алгоритм построения пар Лакса для систем в динамике твердого тела, связанных с (римановыми) симметрическими парами. Далее мы приведем общий алгоритм, связывающий бигамильтоновость и представление Лакса. Алгоритм построения интегрируемых систем для римановых симметрических пар. 1. Рассмотрим гамильтонову систему с фазовым пространством 0∗ , со скобкой Пуассона {· , ·}0 , определяемой некоторой алгеброй Ли, которая является полупрямой суммой 0

= f ⊕s e


(3.13)

(именно такая ситуация встречается в классической динамике твердого тела, причем f = so(3)). Подбираем некоторую полупростую алгебру , допускающую картановское разложение = + , и вкладываем рассматриваемую систему в коалгебру ∗ , т. е. подбираем пуассоново отображение фазового пространства f : 0∗ → ∗ такое, что разложение (3.13) согласовано с картановским разложением (3.1).


2. В соответствие с изложенным выше выбираем некоторый сдвиг a ∈ в алгебре и строим L-матрицу, которая, очевидно, определяется лишь вложением и сдвигом.


3. Рассматриваем все возможные инварианты матрицы L(λ); каждый из них порождает некоторую интегрируемую систему на первоначальной скобке {· , ·}0 . 4. Среди этих систем необходимо выбрать те, которые имеют реальный физический смысл.

При этом таким способом могут быть получены лишь некоторые «основные системы». «Неосновные системы» получаются с помощью особого типа редукции (приводящей к новым потокам), которая будет описана

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

105

ниже. Так, например, можно получить обобщенный случай Ковалевской. На последнем шаге по выбранному в качестве гамильтониана инварианта матрицы L(λ) образуем A-матрицу. Рассмотрим ряд примеров более общей ситуации для различных видов алгебр и, в отличие от волчка Шоттки – Манакова, содержащих дополнительные потенциальные поля. 2. L–A-пары, связанные с алгеброй gl(n, R) Рассмотрим симметричную пару следующего вида. Пусть = = gl(n, R), = so(n), — пространство симметрических матриц размера n × n, Положим для x ∈


x = h + v,

h∈

,

v∈


,

(3.14)

где h — кососимметрическая, а v — симметрическая матрицы n × n. Функции Казимира этой алгебры, заданной с помощью матриц (3.14) получаются по формулам fk = Tr(h + v)k ,

k = 1, . . . , n.

Таким образом, размерность симметрического листа равна n 2 − n, n(n − 1)

а полный инволютивный набор содержит функций. 2 Оказывается, что с помощью этого набора можно построить ряд интересных механических систем и их многомерных обобщений. Остановимся на них более подробно. L–A-пара бигамильтоновой системы относительно скобки (3.6), построенная по описанному выше алгоритму, имеет вид L = λh + v + λ2 a,

A = ξ + λη,

(3.15)

где dH = ξ + η — дифференциал гамильтониана относительно скобки (3.6), a∈ . Например, инволютивный набор для случая n = 3 содержит три квадратичные (по h) функции, которые можно представить в форме   F1 = Tr 1 h2 + av , F2 = Tr(h2 v + av2 ), 2 (3.16) F3 = Tr(h2 a + a 2 v).


Оказывается, формально построенное семейство имеет естественную механическую интерпретацию, рассматриваемую ниже.

106

ГЛАВА 2

Система Бруна – Богоявленского. Система Бруна описывает движение твердого тела в квадратичном потенциале, ее полная интегрируемость была установлена О. И. Богоявленским [8, 9]; Ф. Брун нашел необходимые для интегрируемости интегралы, но не зная их гамильтонова (пуассонова) происхождения, не смог сделать вывода об интегрируемости 1 — кроме одного случая, когда имеется лишь одно квадратичное поле, т. е. задача является осесимметричной в абсолютном пространстве [109]. Система Бруна – Богоявленского имеет вид  ˙ = [M, ω] − [u, I], M (3.17) u˙ = [u, ω]. Здесь M ∈ so(3) — матрица кинетического момента, u = xα ⊗ α + + yβ ⊗ β + zγ ⊗ γ ∈ — симметрическая матрица, коэффициенты которой квадратичны относительно направляющих косинусов, ω = ω(M) ∈ so(3) — угловая скорость твердого тела, при этом ωi = ai Mi , ai — величины, обратные главным моментам инерции, I = diag(I1 , I2 , I3 ) — матрица инерции твердого тела, α, β, γ — векторы, составленные из компонент направляющих косинусов (см. гл. 1 § 2), x, y, z ∈ R. Следовательно, в данном случае в формуле (3.14) необходимо положить h = M, v = u. Гамильтониан системы (3.17) относительно скобки {·, ·} θ имеет вид


H = 1 (I−1 M, M) − Tr uI, 2

(3.18)

т. е. рассматривается задача о движении твердого тела в потенциальном поле с потенциалом, квадратично зависящем от направляющих косинусов. При этом скобка Ли – Пуассона {·, ·} соответствует алгебре l 9 , являющейся полупрямой суммой so(3) = {Mij , i < j} и в шестимерной абелевой алгебры трансляций R6 = {uij , i 6 j}. Гамильтониан (3.18) является функцией Казимира скобки {·, ·} θ − −{·, ·}−{·, ·}B, где {·, ·} — скобка, соответствующая алгебре gl(3), {·, ·} B — скобка сдвига, для которой B — симметрическая матрица вида B =  = diag a21a3 , a31a1 , a11a2 . Согласно общей конструкции эта система яв-

ляется бигамильтоновой относительно семейства скобок {·, ·} θ + α({·, ·} + + {·, ·}B ) (где α 6= −1), и потому может быть записана в виде пары Лакса со спектральным параметром (3.15): d (λM + u + λ2 B) = [λM + u + λ2 B, ω − λI], dt

(3.19)

1 В то время в динамике твердого тела интегрируемость устанавливали с помощью теоремы Эйлера – Якоби, согласно которой для системы из n уравнений необходимо найти (n − 2) первых интегралов и инвариантную меру.

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

107

интегралы движения задаются уравнениями (3.16). Для случая одного поля y = z = 0 из представления (3.19) получается представление Лакса для системы Клебша – Переломова уравнений Кирхгофа на e(3). Многомерное обобщение случая Бруна–Богоявленского можно получить, полагая в формулах (3.19) и (3.18) M ∈ so(n), ω ∈ so(n), B = = diag(b1 , . . . , bn ), I = diag(I1 , . . . , In ), u — симметрическая матрица размера n × n. При этом предполагается, что между M и ω существует связь Mik = (bi − bk )(I k − I i )−1 ωik (в частном случае M = Iω + ωI). В дальнейшем, для большей наглядности, в основном тексте книги мы ограничимся разбором маломерных случаев, имеющих, как правило, реальную механическую интерпретацию. Многомерные обобщения этих случаев, получаемые фактически заменой размеров матриц соответствующих элементов алгебр, собраны в приложении в конце этой главы. Эта таблица также в единой форме позволяет себе представить многообразие всех случаев многомерной интегрируемости и взаимосвязи между ними. Например, для только что рассмотренного случая Бруна – Богоявленского возможно два алгебраических представления — уже рассмотренное и связанного с алгеброй gl(n), а также второе — связанное с алгеброй so(n, n). Мы также снабдили таблицу комментариями, которые отсутствуют в основном тексте книги, но могут быть полезными при рассмотрении одной системы с разных точек зрения. L–A-пары для задачи Неймана и ее обобщений. Из L–A-пары Переломова, являющейся частным случаем пары (3.19), возникающем при рассмотрении одного поля (x = 0, y = 0), несложно получить L–A-пару nмерной задачи Неймана, описывающей движение точки по (n − 1)-мерной сфере S n−1 = {(x , x ) = 1} в квадратичном потенциальном поле V = = 1 (Bx , x ). Впервые она была получена Ю. Мозером [159] (до L–A-пары 2 Переломова и Манакова) и имеет вид c + c ⊗ x. L = B + ax ⊗ x + r(x ⊗ y − y ⊗ x ) + x ⊗ x x

(3.20)

Эту матрицу Мозер получил, анализируя изоспектральные деформации, порождаемые возмущением ранга 2, т. е. ранг матрицы (L − B) равен двум. В L-матрице (3.20) через xc обозначает вектор с компонентами ci xi , он соответствует обобщению задачи Неймана, при котором в потенци-

ал добавляются некоторые сингулярные слагаемые. Такое обобщение было предложено еще Росохатиусом в 1877 г. [174], который разделил для него переменные с использованием сфероконических координат. В представле-

108

ГЛАВА 2

нии Лакса A-матрица имеет вид

β −β h

c i c j j

i

i r2 (xi yj − xj yi ) + r x xj + x xi − δij Dj , A = rβ + i j

αi − α j

Dj = r

n X βj − β k  c j ck  2 + xk . αj − αk x2j x2k k=1

(3.21) В избыточных координат xi и сопряженных им импульсах yi ({xi , yj } = = δij ) мы получаем из лаксовых уравнений L˙ = [A, L] дифференциальные уравнения, описывающие движение точки по сфере (x , x ) = 1 в поле n   X V = 1 (Bx , x ) − c2j x−2 , j 2 j=1

если положить в (3.20), (3.21) a = −1, r = 1. Для обычной системы Неймана, для которой cj = 0, существует еще одно, восходящее к Д. Мамфорду [160] представление в лаксовой форме, в котором используются матрицы размера 2 × 2. Эта пара дуальна к только что указанной паре. Она имеет вид   n n P P x i yi x2i − −  i=1 λ − bi  i=1 λ − bi  L(λ) =  , 2 n n  P P x i yi  yi 1+ (3.22) i=1 λ − bi i=1 λ − bi   0 1 A(λ) = , 1 − (y , y ) 0 где λ — спектральный параметр B = diag(b1 , . . . , bn ). Отметим, что спектральный параметр несложно ввести также в представление (3.20), (3.21). Дуальное представление (3.22) полезно для разделения переменных и явного интегрирования — в частности, разделяющие переменные определяются n P x2i нулями элемента L12 (λ) = . Представление типа (3.22) для систеi=1

λ − bi

мы Росохатиуса было недавно найдено А. В. Цыгановым (хотя и в несколько более абстрактном виде рассматривается в [91]). Приведем здесь только Lматрицу     x i yi x2i 1 0 0 3 X − 2 λ − b  λ − b 2 1 3 i i  P   ci L= −   1 yi2 0 . x i yi  4 1 − 1 2 i=1 − i=1 xi (λ − bi ) 4 λ − bi

2 λ − bi

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

109

Отметим также, что представление Лакса в форме 2×2 найдены для случаев Ковалевской, Горячева – Чаплыгина, цепочек Тоды и связаны с возможностью записи системы на скобках Пуассона, определяемых квадратичными алгебрами Склянина [84]. Эти представления подробно рассматриваются в гл. 3. Приведем еще один недавний результат А. В. Цыганова. Рассмотрим систему Росохатиуса без членов Неймана, т. е. гамильтониан вида n n X X c2k  Mij2 + H=1 2 x2k i,j=1

(3.23)

k=1

на n − 1-мерной сфере S n−1 = {(x , x ) = 1}. Здесь Mij — компоненты кососимметрической матрицы углового момента M = y ∧ x , которые определяются по правилу Mij = (−1)i−j+1 (yi xj − yj xi ).

(3.24)

Система (3.23) является вырожденной (суперинтегрируемой) и обладает n(n − 1) зависимыми интегралами движения 2

Fij = Mij2 + c2j

x2i x2j

+ c2i

x2j x2i

.

(3.25)

Можно показать [44], что среди этих интегралов лишь 2n − 3 независимых, т. е. все траектории системы (3.25). Определим симметрическую матрицу N = N> с компонентами  c j xi c i xj  Nij = (−1)i−j+1 x + x , Nii = 0. (3.26) j

i

Матрица Лакса L, полученная Мозером (3.20), для системы (3.23) принимает вид L = M + N. В работе [84] найдена еще одна матрица Лакса вида b=M c + N, b L

c N b имеют те же элементы, что и M, N, но теперь, наоборот, где матрицы M, cij = M cji ) и кососимметриявляются соответственно, симметрической (M b b ческой (Nij = −Nji ), т. е. соотношения (3.24) и (3.26) определяют теперь

110

ГЛАВА 2

элементы на диагонали и под ней, а остальные достраиваются по симметрии. Эта матрица порождает интегралы движения старших степеней, т. е. b k являются полиномами k-й степени по импульсам. интегралы Ibk = tr L b Матрица A в этой L–A-паре имеет вид   b = 2|x |2 diag c1 , . . . , cn . A x21 x2n

Система Гаффе. Приведем L–A-пару для несколько экзотической системы на e(3), недавно найденной Гаффе [137, 136]. Эту систему можно понимать либо как шаровой волчок при нулевой константе площадей (M , γ) = 0 (M ∈ so(3), γ ∈ R3 ), либо как движение точки по сфере S 2 . Гамильтониан и дополнительный интеграл (третьей степени по импульсам) для нее имеют вид a2 H = 1 (M12 + M22 + M32 ) − 1 , 2 2 (γ1 γ2 γ3 )2/3 M M M  F = M1 M2 M3 + a2 γ 1 + γ 2 + γ 3 (γ1 γ2 γ3 )1/3 . 1

2

(3.27)

3

L–A-пара для системы (3.27) была найдена А. В. Цыгановым [86, 183], она имеет вид L˙ = [L, A], ! λ M3 + ay3 M2 − ay2 λ M1 + ay1 , L = M3 − ay3 M2 + ay2 M1 − ay1 λ (3.28)   −1 −1 0 y3 y2 A = 2a (y , y ) y3−1 0 y1−1  , 3 y2−1 y1−1 0 где y =

(γ1 γ2 γ3 )1/3

.

Обобщение системы Гаффе получено им самим же. Оно тем не менее имеет дополнительный интеграл шестой степени по импульсам [137]. Действительно, система с гамильтонианом (на e(3)) 2 2 2 2 a 2 b2 1 a c (γ2 + γ3 ) H = 1 (M12 + M22 + M32 ) + 1 + 2 2 (γ1 γ2 γ3 )2/3 2 (γ22 − γ32 )2

имеет дополнительный частный интеграл на уровне (M , γ) = 0 F = Kb2 + K1 K22 + Kd ,

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

111

где K1 = M12 +

4c2 γ22 γ32 , (γ22 − γ32 )2

K2 = M 2 M 3 +

Kb = M 1 M 2 M 3 +

Kd = −M12 M22 M32 + +

γ12 γ2 γ3 c2 , (γ22 − γ32 )2

b2 (γ2 γ3 M1 + γ1 γ3 M2 + γ1 γ2 M3 ), (γ1 γ2 γ3 )2/3

fb2 (γ12 −γ32 )(γ12 −γ22 ) (2fb fc γ1 γ2 γ3 )2  2 2 2γ22 γ32 f (γ − )+ + c 1 γ22 +γ32 γ22 +γ32 γ12

2(γ22 + γ32 )M2 M3 − γ2 γ3 M12 − γ1 M1 (γ2 M3 + γ3 M2 ) 2γ2 γ3 M2 M3  − , 2γ2 γ3 γ12

где fb = b(γ1 γ2 γ3 )−1/3 , fc =

c

γ22 + γ32 γ32

− γ22

.

Интересно было бы придать гамильтониану H и интегралу F более симметричные выражения. 3. L–A-пары, связанные с алгеброй so(3, 3) Рассмотрим представления алгебры = so(3, 3) вещественными матрицами 6×6. Картановское разложение = + , где = so(3)⊕so(3) в матричном представлении имеет следующую форму


x = h + v, где h=



M 0 0 N



∈

,

v=



0 V V> 0



∈


,

(3.29)

здесь M, N — кососимметричные матрицы 3 × 3, а V — произвольная 3 × 3 матрица. Размерность симплектического листа этой алгебры равна 12. Набор функций Казимира получается при помощи матриц (3.29) по формулам fk = Tr(h + v)2k ,

k = 1, 2, 3.

Следовательно, полный инволютивный набор, определяющий интегрируемую систему, должен состоять из шести функций.

112

ГЛАВА 2

Как было показано выше, L–A-пара гамильтоновой системы относительно скобки (3.6) имеет вид L = λh + v + λ2 a, где λ =

r

A = (1 + α)(ξ + λη),

(3.30)

α , dH = ξ + η — дифференциал гамильтониана, a — вектор 1+α

сдвига. В данном случае можно положить (с точностью до постоянного множителя)   ∂H ∂H   0 B ∂V   ∂M dH =  , a = . (3.31) T  B> 0 ∂H ∂H ∂V

∂N

Физически интересные системы, как правило, соответствуют скобке {· , ·} θ , для получения их представления Лакса необходимо воспользоваться соотношением (3.30). Приведем полный набор инвариантов матрицы L(λ) для случая, когда вектор сдвига (3.31) определяется диагональной матрицей B = diag(a1 , a2 , a3 ). Квадратичные по h инварианты X ai Vii ; F1 = − 1 Tr(h2 + 2av) = 1 M 2 + 1 N 2 − 4 2 2 i

F2 = − 1 Tr(2h2 a 2 + haha + 2va 3 ) = 2  X X 1 = (a2i + a2j )Mk2 + Nk2 + ai aj Mk Nk − a3i Vii ; 2 цикл.

F3 =

X

a i M i Ni +

i

F5 =

X i

X

i

ai aj Vkk .

(3.32)

цикл.

F4 = Tr(2h2 v2 + vhvh + 2av3 ); Mi Nj Vij + a1 (V22 V33 − V23 V32 ) + a2 (V11 V33 − V13 V31 )+ +a3 (V11 V22 − V21 V12 ).

Инвариант четвертой степени:

F6 = Tr(h4 + 4h2 av + 4h2 va + 4hahv + 4v2 a 2 + 2vava).

(3.33)

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

113

Компоненты векторов M = (M1 , M2 , M3 ), N = (N1 , N2 , N3 ) выражаются через коэффициенты матриц M = kMij k, N = kNij k по формулам Mi = εijk Mij ,

Ni = εijk Nij ,

i, j, k = 1, 2, 3.

(3.34)

Согласно (3.7) общий интегрируемый квадратичный гамильтониан имеет вид X 1 ci a i − c j a j ci a j − c j a i H= (Mij2 + Nij2 ) + Mij Nij − 2 2 2 ai − a j a2i − a2j (3.35) i<j −c1 V11 − c2 V22 − c3 V33 ,

и линейно зависит от трех параметров c1 , c2 , c3 . Потоки, возникающие на инвариантных многообразиях данной системы оказываются связанными с различными механическими системами, описанными ниже. Два взаимодействующих волчка. Рассмотрим два волчка, для которых положим M = (M1 , M2 , M3 ) и N = (N1 , N2 , N3 ) — векторы кинетического момента в системе каждого из волчков, а Q и S — матрицы соответствующих направляющих косинусов. Коммутационные соотношения динамических переменных имеют вид: {Mi , Mj } = εijk Mk , {Ni , Nj } = εijk Nk ,

{Mi , Qjl } = εijk Qkl , {Ni , Sjl } = εijk Skl ,

{Qij , Qkl } = 0, {Sij , Skl } = 0,

(3.36)

i, j, k, l = 1, 2, 3. Между собой переменные M , Q и N , S коммутируют. Зададим следующее вложение в алгебру so(3, 3), которое согласовано с коммутатором [· , ·]θ (алгебра θ )     M 0 0 QRST h= , v= , (3.37) 0 N SRT QT где R — постоянная матрица 3×3. Компоненты матриц M, N связаны с векторами M , N соотношением (3.34). Здесь мы пользуемся отождествлением алгебры и коалгебры с помощью метрики (X, Y) = − Tr(XY). Другими словами, мы задали пуассоново отображение в коалгебру θ∗ . Постоянная матрица R задает взаимодействие волчков, зависящее от позиционных переменных каждого из волчков Q, S. Поскольку для каждого волчка орты неподвижного пространства определены с точностью до ортогональных преобразований, матрица R допускает преобразование вида e = U1 RUT , R 2

U1 , U2 ∈ SO(3).

(3.38)

114

ГЛАВА 2

Этими преобразованиями она может быть приведена, например, к верхнетреугольному виду. Для простоты выберем R = diag(r1 , r2 , r3 ) и вектор сдвига в форме (3.31). Используя (3.35) находим интегрируемый гамильтониан взаимодействующих волчков в форме X 1 a i ci − a j cj a i cj − a j ci H= (Mij2 + Nij2 ) + Mij Nij − 2 2 2 ai − a j a2i − a2j i<j (3.39) −r1 (α1 , Cα2 ) − r2 (β 1 , Cβ 2 ) − r3 (γ 1 , Cγ 2 ), где α1 , α2 , . . . — векторы направляющих косинусов каждого из волчков, C = diag(c1 , c2 , c3 ) — произвольные постоянные. Иногда удобно использовать непосредственно инварианты (3.32), так, например, гамильтониан F1 в этом случае описывает два взаимодействующих шаровых волчка. Вследствие существующего изоморфизма между динамикой шарового волчка и динамикой точки на S 3 (см. [8, 18]) он также описывает систему двух взаимодействующих точек на трехмерной сфере, потенциальная энергия которых квадратична по декартовым координатам каждой из частиц (т. к. направляющие косинусы квадратично выражаются через кватернионы (см. гл. 1,§ 2)). В случае r1 = r2 = r3 = 0 получаем взаимодействующие волчки, гамильтониан которых зависит лишь от компонент векторов кинетического момента волчков. Его также можно записать в виде [165] X ci − c j X ci + c j (Mij + Nij )2 + 1 (Mij − Nij )2 . (3.40) H=1 ai − a j ai − a j 2 2 i<j

i<j

Можно показать, что (3.40) совпадает с системой Шоттки – Манакова на so(4), вследствие существования разложения so(4) ≈ so(3) ⊕ so(3). Замечание. Гамильтониан F3 в (3.37) без потенциала описывает двухчастичную XY Z-модель [179]. L–A-пара на so(3, 3) системы Бруна – Богоявленского. Положим N = M , а матрицу V(Q) выберем, используя представление группы SO(3) в пространстве симметрических матриц V(Q) = AdQ R = QRQT . Таким образом h=



 M 0 , 0 M

v=



 QRQT 0 , QT RQ 0

где, очевидно, можно считать R = diag(r1 , r2 , r3 ).

(3.41)

(3.42)

§ 3. РИМАНОВЫ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ И СДВИГ АРГУМЕНТА

115

Гамильтониан F1 в том случае описывает шаровой волчок в квадратичном потенциале: F1 = M 2 − r1 (α, Bα) − r2 (β, Bβ) − r3 (γ, Bγ), B = diag(a1 , a2 , a3 ).

(3.43)

В силу существования уже упоминавшегося изоморфизма с динамикой точки на трехмерной сфере, который задается при помощи кватернионов [7, 18, 20], с помощью системы (3.43) получается также интегрируемая задача о движении частицы на S 3 в потенциале четвертой степени [7, 39]. Другой инвариант F3 : F3 = (M , BM ) + det B(r1 (α, B−1 α) + r2 (β, B−1 β) + r3 (γ, B−1 γ)) описывает твердое тело с тензором инерции I = B−1 в квадратичном по направляющим косинусам потенциала, т. е. систему Бруна – Богоявленского. Общее трехпараметрическое семейство квадратичных по M гамильтонианов с постоянными коэффициентами имеет вид X ci − c j M 2 + r1 (α, C−1 α) + r2 (β, C−1 β) + r3 (γ, C−1 γ), H=1 ai − aj ij 2 i<j

где C = diag(c1 , c2 , c3 ), B = diag(a1 , a2 , a3 ). Напомним, что многомерные обобщения описанных случаев содержатся в приложении в конце главы.

116

ГЛАВА 2

§ 4. Интегрируемые системы, связанные с алгебрами so(3, 2) и so(3, 1). Обобщенный случай Ковалевской Рассмотрим теперь алгебру = so(3, 2), она может быть представлена вещественными матрицами 5 × 5. Форма картановского разложения и L–A-пара остаются такими же как для алгебры so(3, 3) и задаются формулами (3.29)–(3.31). Однако в данном случае N — кососимметричная матрица 2 × 2, а V, B — прямоугольные матрицы 3 × 2. равна 10, а размерность регулярного симплекРазмерность алгебры тического листа равна 8. Две функции Казимира в этом случае даются соотношениями f1 = Tr(h + v)2 , f2 = Tr(h + v)4 . (4.1) Полный инволютивный набор должен состоять из четырех функций. Положим для сдвига ! a1 0 B = 0 a2 . (4.2) 0 0 В этом случае матрица L имеет следующие квадратичные инварианты: F1 = − 1 Tr(h2 + 2av) = 1 M 2 + 1 N 2 − a1 V11 − a2 V22 , 4 2 2 1 2 2 F2 = − Tr(2h a + haha + 2a 3 v) = 2 X 1 2 2 2 = (ai + aj )Mk + 1 (a21 + a22 )N 2 + a1 a2 M3 N − a31 V11 − a32 V22 , 2 2 цикл.

F3 = Tr(2h2 v2 + vhvh + 2av3 ).

(4.3) Инвариант четвертой степени может быть также получен по формуле (3.33). Здесь, как и выше, Mi связано с компонентами Mij уравнениями (3.34), а N   определено как 0 N N= . −N 0 Из функций F1 , F2 может быть получен общий квадратичный гамильтониан, «кинетическая энергия» которого не зависит от позиционных переменных: c  c c a − c 2 a2 2 c1 a 2 − c 2 a 1 H = 1 a2 M12 + a1 M22 + 1 21 M + 2 M N − 3 3 1 2 2 a1 − a22 a21 − a22 (4.4) −c1 V11 − c2 V22 .

Здесь c1 , c2 — произвольные постоянные.

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ

so(3, 2)

И

so(3, 1) 117

Волчок и ротатор. Алгебра so(3, 2) позволяет построить интегрируемую систему, описывающую динамику взаимодействующих волчка и ротатора. Действительно, рассмотрим вложение в коалгебру so(3, 2) вида, аналогичного (3.37)     0 M 0 QRST v= T h= 0 N , 0 0 , 0 SR Q −N 0 0 0 (4.5) ! r1 0 R = 0 r2 , 0 0 волчка so(3), описываемого переменными M , Q (см. п. 3 предыдущего параграфа) и ротатора, которому соответствуют переменные N, S. В данном случае N — угловой момент ротатора, а матрица S связана с угловой переменной ротатора ϕ по формуле     cos ϕ − sin ϕ x1 y 1 S= = , sin ϕ cos ϕ x2 y 2 причем выполнено коммутационное соотношение {ϕ, N } = 1. Общий квадратичный гамильтониан данной системы задается уравнением (4.4), потенциальная энергия в данном случае может быть представлена в форме V = −r1 (c1 α1 x1 + c2 α2 x2 ) − r2 (c1 β1 y1 + c2 β2 y2 ). Если r1 = r2 = 0, то легко видеть, что N˙ = 0, следовательно, N = const. В этом случае гамильтониан (4.4) описывает волчок с гиростатом, ось которого направлена вдоль одной из главных осей инерции OM3 . Волчок Ковалевской в двух полях. Рассмотрим теперь в алгебре so(3, 2) симметричный сдвиг так, что     0 V M 0 , v= , h= 0 N V> 0 (4.6)     0 B 1 0 0 > a= , B = . 0 1 0 B> 0

118

ГЛАВА 2

В этом случае среди инволютивного набора инвариантов матрицы L(λ) появляется линейный интеграл (4.7)

F = M3 + N

(его квадрат линейно выражается через инварианты F 1 , F2 , F3 (4.4)). При этом один из квадратичных интегралов имеет вид F1 = 1 M 2 + 1 N 2 − V11 − V12 2 2

(4.8)

и описывает некоторый шаровой волчок на алгебре so(3, 2). Несложно также показать, что набор переменных Mi , Vij замкнут относительно скобки {·, ·}θ (но не относительно произвольной скобки пучка). Рассмотрим теперь следующую процедуру редукции, которая позволяет по заданной интегрируемой системе с дополнительным интегралом, обладающим определенными свойствами, построить новую интегрируемую систему с меньшим числом степеней свободы. Но в отличии от обычной редукции по симметриям в данном случае получается новая система, которая в общем случае не описывает поток на орбитах соответствующего поля симметрий исходной системы. Предложение 10. Рассмотрим набор переменных и инволютивных интегралов, удовлетворяющий следующим условиям 1. Для переменных (x1 , . . . , xn , y) = (x , y) скобка Пуассона замкнута относительно переменных x : {xi , xj } = hij (x ),

{xi , y} = gi (x , y).

(4.9)

2. Функции F1 (x , y), . . . , Fk (x , y), Fk+1 (x , y) = y находятся в инволюции относительно скобки (4.9). Тогда функции F 1 (x ) = F1 (x , y)|y=const , . . . , F k = Fk (x , y)|y=const также находятся в инволюции относительно скобки (4.9). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем соотношение {Fi (x , y), Fj (x , y)} = 0 в координатах x1 , . . ., xn , y 0=

n X ∂Fj ∂Fi ∂Fj ∂Fi hkl (x ) + {y, Fj } + {Fi , y}, ∂xk ∂xl ∂y ∂y

k,l=1

i, j = 1, . . . , k.

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ

so(3, 2)

И

so(3, 1) 119

Поскольку Fk+1 = y входит в инволютивный набор, последние два слагаемые обращаются в нуль и мы получаем соотношение {F i (x ), F j (x )} = 0. Применим это наблюдение к гамильтониану (4.8) и интегралу (4.7) F = = y = N +M3 . Исключая из (4.8) переменную N при помощи соотношения N = c − M3 , получим H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) − 2cM3 − V11 − V22 . 2

(4.10)

Аналогичную подстановку (без потери инволютивности относительно скобки {·, ·}θ необходимо сделать в инвариантах (4.3) и соответственно в Lматрице, кроме того, необходимо положить V = QR. Таким образом, L(λ) = λh + v + λ2 a, 

 0 M3 −M2 0 0 −M3 0 M1 0 0      0 0 , h =  M2 −M1 0    0 0 0 0 c − M3  0 0 0 −c + M3 0

(4.11)



 0 0 0 r 1 α 1 r 2 β1  0 0 0 r 1 α 2 r 2 β2      0 0 r 1 α 3 r 2 β3  . v= 0   r 1 α 1 r 1 α 2 r 1 α 3 0 0  r 2 β1 r 2 β2 r 2 β3 0 0

Матрица A, порождаемая dH, где H — (4.10), задается формулой   0 −2M3 + c M2 λ 0 2M3 − c 0 −M1 0 λ     M1 0 0 0 . A(λ) =  −M2    λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0

(4.12)

Таким образом, редуцированная система также интегрируема, и ее гамильтониан имеет вид (4.10). Полный набор первых интегралов может быть получен при разложении Tr Lk по спектральному параметру.

120

ГЛАВА 2

Отметим, что описанная процедура редукции проведенная для алгебры (so(3) ⊕ so(2)) ⊕s R6 , входящей в пучок, не может быть проведена одновременно для всех скобок пучка, и соответственно, не может индуцировать новую (редуцированную) бигамильтонову структуру. Аналогичная конструкция для алгебры Ли su(2, 1) позволяет построить представление Лакса для волчка Горячева – Чаплыгина (см. § 7, гл. 2). Волчок Ковалевской в одном поле. Для того чтобы получить представление Лакса для классического волчка Ковалевской (в случае одного поля), воспользуемся тем, что для подалгебры переменных M , α, β относительно скобки {· , ·}θ скалярное произведение (α, β) является функцией Казимира. Это позволяет в L-матрице столбцы матрицы V считать одинаковыми:   α1 α1   M 0 α2 α2   0  α3 α3  v= h= 0 c − M3  , . 0   −c + M3 0 α1 α2 α3 0 α1 α2 α3 Задавая сдвиг вида

B=

! b 0 0 b , 0 0

получаем гамильтониан Ковалевской в форме H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) − 2M3 c − b(α1 + α2 ). 2 Многомерное обобщение описанного волчка Ковалевской на алгебру so(p, q) приведено в уже указанной таблице в конце главы (см. также [172]). 1. «Правильное» построение L–A-пары обобщенного случая Ковалевской. Бигамильтоновость Выше мы привели исторически первый путь получения L–A-пары Ковалевской в двух полях, который состоял в некоторой негамильтоновой (непуассоновой) замене N = c − M3 в L–A-паре для шарового волчка на so(3, 2), приводящей к потере бигамильтоновости случая Ковалевской. При этом также следует отметить некоторую искусственность такой замены. Вопрос о бигамильтоновости волчка Ковалевской и «правильном» построении указанной L–A-пары был решен И. Маршаллом [157] (который привел также полное r-матричное описание волчка Ковалевской).

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ

so(3, 2)

И

so(3, 1) 121

К переменным (M , α, β) из предыдущего раздела добавим новую переменную x и зададим два пуассоновых тензора P1 , P2 . На уровне x = 0 при этом получается описанный там же обобщенный случай Ковалевской, а сама расширенная (при помощи переменной x) система является бигамильтоновой. Выпишем тензоры P1 и P2 в явном виде   0 M3 −M2 0 α3 −α2 0 β3 −β2 0 −M 0 M1 −α3 0 α1 −β3 0 β1 0 3       M2 −M1 0 α −α 0 β −β 0 0 2 1 2 1    0 α3 −α2 0 0 0 −x 0 0 0      −α3 0 α1 0 0 0 0 −x 0 0   P1 =  −α2 0 0 0 0 0 0 −x 0   α2    0 −β3 β2 x 0 0 0 0 0 0    −β3 0 β1 0 x 0 0 0 0 0     −β1 0 0 0 x 0 0 0 0  β2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

          P2 =          

0 0

0

−M1     0 0 0 1 0 −1 0 0 0   0 0 0 M3 −M2 −M3 −c 0 0 α2 +β1   0 −1 −M3 0 M2 0 −M3 −c 0 −α1 +β2    1 0 M2 −M2 0 0 0 −M3 −c β3   0 1 M3 +c 0 0 0 M3 −M2 −α1 +β2    0 0 0 M3 +c 0 −M3 0 M2 −α2 +β1    0 0 0 0 M3 +c M2 −M1 0 −α3 

0 0 0 0 0 0 −1

0 0

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

−M2 M1 0 −α2 −β1 α1 −β2 −β3 α1 −β2 α2 + β1

1

M2



0

0

α3

0

где c = const (гиростатический параметр). Рассмотрим алгебру Ли = so(3, 2) и отвечающую ей скобку Ли – Пуассона. Эта алгебра Ли допускает естественное картановское разложе= + , где = so(3) + so(2), — шестимерное ортогональное ние f1 , M f2 , M f3 ) переменные, отвечаюдополнение к . Обозначим через (M щие so(3), через ye — переменную, отвечающую so(2), α e1 , α e2 , α e3 и βe1 , e e β2 , β3 — переменные, отвечающие . Тогда матрица скобки Ли–Пуассона








122

ГЛАВА 2

f1 , M f2 , M f3 , α в переменных (M e1 , α e2 , α e3 , βe1 , βe2 , βe3 , ye) принимает  f3 −M f2 0 M 0 α e3 −e α2 0 βe3 −βe2  f e f1 −e 0 M α3 0 α e1 − β3 0 βe1 −M3  f f1  M2 − M 0 α e2 −e α1 0 βe2 −βe1 0  f f  0 α e3 −e α2 0 M3 −M2 −e y 0 0   −e f3 f1 α 0 α e − M 0 M 0 −e y 0 3 1   α f2 −M f1 −e α1 0 M 0 0 0 −e y  e2  e e f f β3 − β2 ye 0 0 0 M3 − M2  0  e f3 f1  − β3 0 βe1 0 ye 0 −M 0 M  f2 −M f2  βe2 −βe1 0 0 0 ye M 0 e e e 0 0 0 − β1 − β2 − β3 α e1 α e2 α e3

вид [157]:  0  0   0   βe1   βe2  . βe3    −e α1   −e α2   −e α3  0

Предлагается следующая линейная замена переменных, приводящая линейную комбинацию P1 + λP2 к полупростому виду, точнее к скобке, отвечающей алгебре Ли so(3, 2) и указанной выше. Отсюда, согласно общей конструкции, будет следовать существование представления Лакса со спектральным параметром. e x связаны с первоначальными переменными M , f , α, e β, Переменные M α, β, y формулами f1 = M1 , M f2 = M2 , M f3 = M3 , M α −λ α α e2 = √2 , α e3 = √3 , α e1 = 1√ , α λ λ λ β β − λ β 1 2 3 βe1 = √ , βe2 = √ , βe3 = √ , λ λ λ 1 ye = x + M3 + c. λ Матрица L имеет следующий естественный вид:






0

M3

−M2

−M3

0

M1

M2

−M1

0














e f α e β M  >  e 0 −e y = L = α > e β ye 0




















α −λ 1


√ λ β1 √ λ

α2 √ λ β2 − λ √ λ

α1 − λ √ λ α2 √ λ α3 √ λ

α3 0 √ λ β3 1 x + M3 + c √ λ λ

               − 1 x − M3 − c 

β1 √ λ β2 − λ √ λ β3 √ λ

λ

0



.

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ

so(3, 2)

И

so(3, 1) 123

Такой вид L-матрицы не очень √ удобен, поэтому мы сделаем √ следующее преобразование: умножим L на λ, а затем переобозначим λ просто через  λ:  0 λM3 −λM2 α1 − λ 2 β1   −λM3 0 λM1 α2 β2 − λ 2     λM2 −λM1 0 α3 β3 . L= 1 α1 − λ2 α2 α3 0 − x − λ(M3 + c)   λ   1 2 x + λ(M3 + c) 0 β1 β2 − λ β3 λ

В качестве гамильтониана H берется функция Казимира второй скобки P2 : H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + cM3 − α1 − β2 . 2 Отсюда следует, что эта же функция будет гамильтонианом для любой линейной комбинации вида P1 + λP2 . Отсюда легко находится явный вид   матрицы A: 0 2M3 + c −M2 −λ 0 −2M3 − c 0 M1 0 −λ   −M1 0 0 0 . A =  M2  −λ 0 0 0 0  0 −λ 0 0 0

Здесь λ — спектральный параметр L–A-пары, а c — некоторая константа. Тогда уравнения L˙ = [L, A] примут следующий вид: M˙ 1 = −(M3 + c)M2 + β3 ,

M˙ 2 = (M3 + c)M1 − α3 ,

α˙ 1 = −(2M3 + c)α2 + M2 α3 ,

M˙ 3 = α2 − β1 ,

α˙ 2 = (2M3 + c)α1 − M1 α3 − x,

α˙ 3 = −M2 al1 + M1 α2 ,

β˙ 1 = −(2M3 + c)β2 + M2 β3 + x,

β˙ 2 = (2l3 + c)β1 − M1 β3 ,

β˙ 3 = −M2 β1 + M1 β2 ,

x˙ = 0. При x = 0 получаются уравнения для волчка Ковалевской в двух полях. Рассмотрим вопрос о редукции пуассоновой структуры на коалгебру e(3), т. е. об ограничении на подмногообразие x = β 1 = β2 = β3 = 0. При этом получается обычный случай Ковалевской в одном поле. Первая структура P1 редуцируется естественным образом, в результате получается стандартная структура Ли–Пуассона на e(3). Вторая структура P 2 получается по методу Дирака и принимает следующий вид (выписывается матрица в естественных координатах M , α): J2 = B + C,

124

ГЛАВА 2

где

0 0 0 B= 0  0 0

0 0 0 0 0  0 0 0 0 −1  0 0 0 1 0  , 0 0 0 M3 −M2   0 −1 −M3 0 M1 1 0 M2 −M1 0

а C — это дираковская поправка, которая имеет следующий вид: 

0 0 1 M2    0 0 0 −M1  0 α3 −α1 −M1   −1 0 0 0  −α3 0 α2 −M2   C = ±f −1  −M3 − c   α1 −α2 0 −M3  × 0 0 α 2   0 −M3 − c 0 −α1 M1 M2 M3 0 0 0 −M3 − c 0   0 0 1 M3 + c 0 0 0 0 0 M3 + c 0   0 × . −1 0 0 0 0 M 3 + c −M2 M1 0 −α2 α1 0

Здесь f = α1 M1 + α2 M2 + α3 M3 , т. е. f — является постоянной интеграла площадей. Замечание. Напомним, что при ограничении пуассоновой структуры на невырожденное многообразие, задаваемое четным числом соотношений fi = 0, i = 1, . . . , 2m, скобку Дирака {·, ·}D между двумя функциями g, h можно представить в виде {g, h}D = {g, h} +

m X

i,j=1

{g, fi }cij {h, fj },

где kcij k = k{fi , fj }k−1 . Поправку C можно вычислить явно, она имеет довольно громоздкий вид, который нам не удалось значительно упростить. Любопытно, что в знаменателе стоит постоянная площадей. Она согласована со стандартной скобкой e(3), а в качестве второго гамильтониана, соответствующего бига= − 1 (α, α). Таким образом, мильтонову описанию, необходимо взять 2 хотя обычный волчок Ковалевской и является бигамильтоновой системой, этот факт очень нетривиален. Для известного аналога волчка Ковалевской на so(4) [45] (см. также [20]) вопрос о бигамильтоновости так и не является решенным.

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ

so(3, 2)

И

so(3, 1) 125

2. Алгебра so(3, 1) — волчок Лагранжа Описанная выше конструкция для алгебры so(3, 1) приводит к интегрируемому случаю Лагранжа в уравнениях Эйлера – Пуассона. В этом случае полагаем 

0 M3 −M2 0 M1 −M3 h= M2 −M1 0 0 0 0

 0 0 , 0 0



 0 0 0 γ1  0 0 0 γ2  v= , 0 0 0 γ3  γ1 γ2 γ3 0

(4.13)

где M — вектор кинетического момента в подвижной системе координат, а γ — орт вертикали в той же системе. Две функции Казимира для скобки {· , ·}θ и имеют вид f1 = γ 2 ,

f2 = (M , γ).

При произвольном сдвиге 

 0 0 0 a1  0 0 0 a2  a = 0 0 0 a3  a1 a2 a3 0

(4.14)

система допускает линейный интеграл вида F1 = (M , a),

a = (a1 , a2 , a3 ).

Поворотом осей можно добиться того, что a1 = a2 = 0. Таким образом, без ограничения общности можно выбрать вектор a в виде (0, 0, a), при этом набор интегралов можно представить в форме F1 = M 3 ,

F2 = 1 M 2 − aγ3 . 2

(4.15)

Различные многомерные аналоги случаев Лагранжа подробно рассматриваются нами в следующем параграфе. 3. L–A-пара для случая Ковалевской – Соколова Недавно В. В. Соколов предъявил новое интегрируемое семейство на e(3), обобщающее классический случай Ковалевской [73]. В переменных M , γ ∈ {e(3) : M ∈ so(3), γ ∈ R3 } гамильтониан этого обобщения

126

ГЛАВА 2

можно записать в виде H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) − (c2 γ1 − a1 )M3 − a1 c2 γ1 − c22 γ32 − 2c1 γ2 , 2 a1 , c1 , c2 = const (4.16) и при c2 = 0, a1 = 0 получается случай Ковалевской. Оказывается, и это было показано В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым [74], что похожие члены (c2 6= 0) можно добавить в гамильтониан Горячева – Чаплыгина на нулевом уровне (M , γ) = 0 H = 1 (M12 +M22 +4M32 )−a1 M3 −2c1 γ2 −2a1 c2 γ1 +4c2 M3 γ1 −2c22 γ32 . (4.17) 2 Кстати, оба указанных гамильтониана при a1 = 0, c1 = 0 определяют, соответственно, общий и частный случай интегрируемости уравнений Кирхгофа. Приведем L–A-пары для (4.16), (4.17), предварительно обобщив (4.16) добавлением второго линейного поля, определяемого направляющими косинусами β = (β1 , β2 , β3 ) (см. выше, аналогично Рейману и Семенову-ТянШанскому [67]). Оказывается (В. В. Соколов, А. В. Цыганов [74]), что интегрируемым является семейство H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) − 2c1 γ2 − 2b1 β1 + 2a1 M3 + 2 +2c2 (M3 γ1 − γ3 M1 ) − 2b2 (M3 β2 − M2 β3 ),

(4.18)

a1 , b, b2 , c1 , c2 = const при дополнительном условии c1 b2 − b1 c2 = 0. Определим несколько матриц 

0 0  A = 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

 0 1  0, 0 0



 0 M3 −M2 0 0 −M3  0 M1 0 0   0 0 0 B =  M2 −M1 ,  0 0 0 0 −M3 − a1  0 0 0 M 3 + a1 0

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,



0 0 0


X=

0 0  0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ



 0 0  0 0 0 0 0 −c2 γ1 + b2 β2  c 2 γ1 − b 2 β 2 0

so(3, 2)

И

so(3, 1) 127









0 0 0 b1 β1 c1 γ1  0 0 0 b 1 β 2 c 1 γ2 0 0 0 b 1 β 3 c 2 γ3  b β b β b β 0 0  1 1 1 2 1 3 c 1 γ1 c 1 γ2 c 1 γ3 0 0


, C=

,



 0 0 0 b 2 β1 c 2 γ 1  0 0 0 b 2 β2 c 2 γ 2    0 0 b 2 β3 c 2 γ 3  . Y= 0 −b2 β1 −b2 β2 −b2 β3 0 0  −c2 γ1 −c2 γ2 −c2 γ3 0 0

Рассмотрим также матрицы

L1 = λA + B + X − λ−1 C, L2 = −E + λ−1 Y, L = L1 + µL2 , E = kδij k,

где λ, µ являются произвольными параметрами типа спектральных. Оказывается, что необходимые нам два дополнительных интеграла движения
получаются при коэффициентах λ4 и λ2 в разложении det L(λ, µ) = 0, оператор L удовлетворяет свойству симметрии L(λ, µ) = −L> (−λ, −µ),

L(λ, µ) = V−1 L(−λ, µ)V,

где V = diag(1, 1, 1, −1, −1), а через > обозначено транспонирование. При этом операторы L1 , L2 эволюционируют по закону d L = L M(λ) + M> (−λ)L , i i i dt

i = 1, 2,

где M = Mkow + W, 

Mkow = −2λA + D,

0 −4M3 − a1 2M3 −4M3 − 2a1 0 −2M1  D= 2M1 0  −2M2  0 0 0 0 0 0  b 2 β1 c 2 γ 1 b2 β2 c2 γ2   W = 2 b2 β3 c2 γ3   0 0 0 0

0 0 0 0 0

 0 0  0 , 0 0

 0 0 0 0 0 0    0 0 0 .  0 −b2 β1 −c2 γ1  0 −b2 β2 −c2 γ2

(4.19)

128

ГЛАВА 2

Тройку L1 , L2 , M можно назвать лаксовой триадой, а уравнения (4.19) считать обобщением уравнений Лакса, тем не менее оказывается, что операторы L+ = L1 (λ)L−1 L− = L−1 2 (λ), 2 (λ)L1 (λ) уже удовлетворяют лаксовым уравнениям d L = [L , −M> (−λ)], + + dt

d L = [L , M(λ)]. − − dt

Такого сорта представления встречаются также для релятивистских цепочек Тоды. Несложно получить обобщение описанной конструкции на алгебру so(p, q) для гамильтонианов ! p q p X q X X X X 2 2 H=1 lij + lij −2 Fii − 2 Fij lij , 2 i,j=1

i,j=1

i=1 j=1

где lij , Fij определяют кососимметрическую p × p матрицу l и p × q матрицу F. Оно также содержится в работе [74]. Приведем здесь в явном виде триадное представление для обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина (4.17) d L = L M(λ) + M∗ (−λ)L , i i i dt

i = 1, 2,

(4.20)

где ∗ обозначает эрмитово сопряжение, M = 2i(λS + W), 

   −M3 0 −M1 − iM2 0 0 γ3  − 2c2 0 iγ2 , 0 0 0 0 W= −M1 + iM2 0 4M3 − a1 0 0 2γ1 − iγ2 S=

! 0 0 0 0 0 −2 . 0 2 0

L-матрица обобщает аналогичную, найденную для классического случая Горячева – Чаплыгина в работе [99] (эта L–A-пара подробно рассмотрена в § 7, гл. 2) L(λ, µ) = L1 (λ) + µL2 (λ),

§ 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С АЛГЕБРАМИ

so(3, 2)

И

so(3, 1) 129

где L1 = λS + J + c2 B + ic1 λ−1 X,

J=

0 0 −M1 + iM2

0 −2M3 + a1 0

Y=

−M1 − iM2 0 2M3

,

L2 = E − c2 λ−1 Y, X=




0 γ3 0 −γ3 0 −γ1 − iγ2 0 γ1 − iγ2 0


B = 1 (X − Y)S − S(X + Y) = 4γ1 2

0 γ3 0

!

γ3 0 γ1 − iγ2

0 γ1 + iγ3 0

,


,

! 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0

Отметим, что система (4.17) получается из (4.20) при выполнении дополнительного преобразования M1 → M1 − 2c2 γ3 ,

M2 → M 2 ,

M3 → M3 + 2c2 γ1 .

В заключение отметим, что два приведенных представления никак не объясняются схемой бигамильтоновости и вообще имеют вид некоторых неочевидных анзатцев. Кроме того, они еще раз подтверждают, что наряду с L–Aпарой возможны другие эквивалентные представления, из которых также можно сделать вывод об интегрируемости системы.

130

ГЛАВА 2

§ 5. Многомерные аналоги случая Лагранжа Многомерные обобщения случая Лагранжа в динамике твердого тела очень разнообразны и каждое из них представляет самостоятельный интерес. Поэтому мы рассмотрим их более подробно. Под такими обобщениями мы понимаем расширение случаев динамики твердого тела при наличии динамической симметрии гамильтониана. В трехмерном случае наиболее общая форма гамильтониана имеет вид 1 H = 1 (M12 + M22 ) + M 2 + U (α3 , β3 , γ3 ), 4J1 2(J1 + J3 ) 3

(5.1)

где Ji — главные моменты инерции твердого тела, M — момент количества движения в осях, связанных с телом, α3 , β3 , γ3 — проекции неподвижных ортов на ось динамической симметрии. Гамильтониан (5.1) инвариантен относительно вращений вокруг оси (динамической) симметрии (иначе говоря, относительно подгруппы SO(2)), вследствие чего всегда существует интеграл M3 = const, и для полной интегрируемости (5.1) необходимо знать еще один интеграл, коммутирующий с M3 . В общем случае (произвольный потенциал) система (5.1) неинтегрируемая и сводится к задаче о движении материальной точки на S 2 в потенциальном поле [20]. Собственно, случай Лагранжа соответствует линейному потенциалу U (γ3 ) = −mgγ3 , при этом отделяется система уравнений для M , γ, которая без труда интегрируется [20]. В многомерном случае, в связи с возможностью различных подгрупп в SO(n), относительно которых инвариантен гамильтониан, существует множество обобщений случая Лагранжа. Наиболее интересные из них, которые мы рассмотрим ниже, следующие: 1) обобщение на e(n) с линейным потенциалом; 2) обобщение на gl(n) с квадратичным потенциалом; 3) обобщение на so(n) ⊕s so(n) с квадратичным потенциалом. Кроме того, для обобщений случая Лагранжа и вообще любых случаев с некоммутативным набором линейных интегралов можно построить новые интегрируемые случаи, комбинируя уже известные.

§ 5. МНОГОМЕРНЫЕ АНАЛОГИ

СЛУЧАЯ

ЛАГРАНЖА

131

1. Многомерный аналог случая Лагранжа Если применить описанную выше конструкцию для римановых сим= so(n + 1) и ее подалгебре = so(n), метрических пар к алгебре Ли то мы получим многомерный аналог случая Лагранжа в линейном поле на e(n) (при n = 3 он будет совпадать с классическим). Следуя общей схеме, мы получаем интегрируемую гамильтонову систему на полупрямой сумме θ = so(n) ⊕s Rn , задаваемую следующей L–A-парой: L˙ = [L, A], (5.2) где и

L = λh + v + λ2 a, A = C(h) + λa     0 γ M 0 h= , M ∈ so(n), v = , γ ∈ Rn , 0 0 −γ > 0   0 α , α> = (0, . . . , 0, 1). a= −α> 0

В естественном аналоге случая Лагранжа мы предполагаем, что тензор инерции твердого тела инвариантен относительно подгруппы SO(n−1) вращений в гиперплоскости, ортогональной фиксированному вектору α ∈ R n . В этом случае C(M) : so(n) → so(n) — самосопряженный оператор в (3.7) имеет простой вид, так что соответствующая матрица A запишется в форме   M1n 0 .. ..   f n−1  c M . .  A= Mn−1,n 0  .  −M ... −Mn−1,n 0 λ 1n 0 ... 0 −λ 0

f n−1 — матрица, полученная Здесь c — произвольная константа, а M из M выбрасыванием последней строки и последнего столбца. Такой вид матрицы A отвечает гамильтониану вида   X X 2  Mij2 + Min + γn . (5.3) H(M, γ) = 1 c 2 i<j6n−1

i6n−1

Согласно описанной выше конструкции система с таким гамильтонианом является гамильтоновой относительно линейной комбинации скобок { , }θ + µ({ , } + { , }a ) при любом значении µ. Несложно показать, что такими гамильтонианами исчерпываются все квадратичные гамильтонианы вида H = 1 (C(M), M) + hγ, ai, удовлетворяющие такому условию 2 бигамильтоновости.

132

ГЛАВА 2

В отличие от предыдущих случаев, волчок Лагранжа (5.3) обладает некоммутативным набором первых интегралов. Действительно, помимо функций вида Tr(λh + v + λ2 a)2k (которые в данном случае не образуют полный набор) первыми интегралами являются все линейные функции вида Mij , i < j 6 n − 1, образующие подалгебру, изоморфную so(n − 1). Это в точности отвечает инвариантности гамильтониана относительно действия подгруппы SO(n − 1) (многомерные вращения, оставляющие инвариантным вектор α). Алгебра функций {Tr(λh + v + λ2 a)2k } n ∪ {Mij }i<j6n−1 пол26k6

2




на в некоммутативном смысле. Таким образом, движение происходит по изотропным торам, размерность которых d = n − 1 меньше половины h i n(n − 1) размерности орбиты (dim Ox = − n ). 2

2

Замечание. Случай Лагранжа (5.3) впервые описан Беляевым [6], а L–A-пара (5.2) получена Реймана и Семеновым-Тян-Шанским как частный случай L–A-пары на so(p, q), построенной для обобщения случая Ковалевской [67].

Для системы (5.3) несложно указать и полный набор коммутирующих интегралов. Для этого достаточно «выбрать» в семействе {M ij }i<j6n−1 полную коммутативную подалгебру, т.е. постороить полный набор коммутирующих функций, зависящих только от переменных M ij , i < j 6 n − 1. Такая процедура неоднозначна и может быть проведена, например, с использованем метода сдвига аргумента. А именно можно рассмотреть функf n−1 + λB)k , где B — произвольная симметрическая (или ции вида Tr(M кососимметрическая) матрица размера (n − 1) × (n − 1). Отметим, что представление Лакса со спектральным параметром (5.2) может быть использовано для гамильтонианов более общего вида. А именно, можно положить H(M, γ) = 1 2

X

i<j6n−1 k = R,

A = ∂H + 2λB, ∂M B = diag(0, . . . , 0, a)

(5.7)

134

ГЛАВА 2

и гамильтонианом X H= 1 4J1

i<j6n−1

Mij2 +

n−1 n X X 1 2 Min + Rij Qni Qnj . 2(J1 + Jn ) i=1 i,j=1

(5.8)

Так же как и в предыдущем случае, интегралы Fk = Tr Lk , k = 1, . . . , n, не образуют полного набора, их нужно дополнить линейными интегралами Mij , i < j 6 n−1. Таким образом, система (5.8) обладает некоммутативным полным набором интегралов. Аналогично предыдущему случаю представление Лакса системы (5.7) справедливо для системы более общего вида: первое слагаемое в (5.8) необходимо заменить на первое слагаемое в (5.4), при этом интегралы Tr L k сохраняются, а Mij , i < j 6 n − 1 в общем случае пропадают. Помимо указанного здесь случая (5.7) можно построить множество других обобщений случая Лагранжа, когда равны между собой различные группы собственных значений матрицы сдвига B. При этом, как правило, также выполнены условия некоммутативной интегрируемости (см., например, [25, 55]). 3. Волчок в кососимметричном квадратичном потенциале (Т. Ратью) Используя описанную выше конструкцию для случая, когда матрица сдвига аргумента a является кососимметрической (а не симметрической, как в случае Богоявленского), получим следующую L–A-пару [169] (5.9) L = λM + V + λ2 B, A = ∂H + λB, ∂M где M ∈ so(n), B, V — кососимметрические. При помощи поворотов из группы SO(n), B можно привести к виду     0 a1 0 a1 0  −a1 0 0  −a1 0   ..     .. . .   либо B = B= .    0 an/2      0 an/2  0 −an/2 0  0 −an/2 0 0 n — четное n — нечетное (5.10) Отображение матрицы направляющих косинусов Q в пространство кососимметрических матриц, согласованное со скобками Пуассона (пуассоново отображение) задается формулой V = QRQ> ,

R = −R> .

(5.11)

§ 5. МНОГОМЕРНЫЕ АНАЛОГИ

СЛУЧАЯ

ЛАГРАНЖА

135

Интегрируемый гамильтониан, соответствующий системе (5.9), имеет вид H= 1 2

 1 2 2 2 2 (ci ai −cj aj )(M2i−1,2j−1 +M2i−1,2j +M2i,2j−1 +M2i,2j )+ 2 2 a −a j i<j i  +2(ci aj − cj ai )(M2i−1,2j−1 M2i,2j − M2i−1,2j M2i,2j−1 ) +

[n/2]

X

[n/2]

+

X i=1

n o [n/2] X bi 2 2 2 di M2i−1,2i + +2 n ai (M2i−1,n + M2i,n )+ 2 i=1

[n/2]

+

X k=1

ak

X i<j

Rij (Q(2k−1)i Q2kj − Q2ki Q(2k−1)j ).

Система (5.9), (5.12) также помимо интегралов Fk = Tr L2k ,

h i 26k6 n 2

содержит линейные интегралы M12 , M23 , . . . , M[n/2]−1,[n/2] ,

(5.12) (5.13)

(5.14)

которые образуют максимальную коммутативную подалгебру в so(n), соответствующую коммутативной группе симметрий гамильтониана (5.12): SO(2) ⊗ . . . ⊗ SO(2). | {z } [n/2] раз

Для трехмерного случая (n = 3) гамильтониан (5.12) в точности соответствует гамильтониану Лагранжа. Это связано с существованием известных соотношений векторного произведения α × β = γ,

β × γ = α,

γ × α = β,

которые позволяют любые кососимметричные комбинации выразить линейным образом. Похожий случай системы с максимальной коммутативной подалгеброй линейных интегралов для волчка в квадратичном (симметричном) потенциале может быть получен с помощью L–A-пары Богоявленского (5.9), в которой необходимо потребовать попарного совпадения собственных значений матрицы сдвига B = diag(a1 , a2 , . . . , an ),

a 1 = a 2 , a2 = a 3 , . . . .

(5.15)

Эта система также обладает линейными интегралами (5.14). Тем не менее, она отличается от системы (5.12) как потенциалом (необходимо брать

136

ГЛАВА 2

симметрические комбинации Q(2k−1),i Q2k,j + Q2k,i Q(2k−1),j ), так и кинетической энергией! Последний факт не так часто отмечается в литературе, в частности, при нулевом потенциале отсюда следует, что интегрируемые серии квадратичных гамильтонианов на so(n) с максимальной коммутативной подалгеброй линейных интегралов помимо вырождения случая Манакова (соответствующего матрице сдвига (5.13)) содержат серию, определяемую L–A-парой (5.9), (5.10) при V = 0. Частный случай L–A-пары (5.15) для алгебры волчка so(4) × so(4) изучается в работе [117] с точки зрения интегрирования в тэта-функциях. 4. Приводимые интегрируемые системы и блочно-диагональные представления Лакса Развивая соображения, приведенные в конце п. 1 о построении новых интегрируемых систем при наличии некоммутативного набора линейных интегралов, укажем здесь ряд интегрируемых систем, которые не могут быть получены непосредственно из вышеприведенных серий. Приведем простое утверждение. Пусть на алгебре Ли 0 задана интегрируемая система с гамильтоP нианом H0 (x ), допускающая набор линейных интегралов y i = j aij xj , образующих некоммутативную подалгебру 1 и H1 (y ) — гамильтониан интегрируемой системы на 1 , тогда сумма гамильтонианов H(x ) = H0 (x ) + H1 (y (x )) задает интегрируемую систему на 0 . При этом подалгебра 1 , очевидно, является инвариантным (относительно фазового потока) подпространством этой системы. Такие интегрируемые системы для краткости будем называть приводимыми. Метод цепочек подалгебр. женных подалгебр

Рассмотрим следующее семейство вло-

so(n) ⊃ so(n − 1) ⊃ . . . ⊃ so(2).

(5.16)

Очевидно, что произвольный квадратичный интегрируемый гамильтониан на so(n), допускающий подалгебру so(n − 1) линейных интегралов, имеет вид n−1 X X 2 H0 = d 0 Mjn + d1 Mij2 . j=1

i<j6n−1

Действуя далее по индукции и задавая интегрируемую систему на so(n − 1) с подалгеброй интегралов so(n − 2) и т. д., получим интегрируемый гамиль-

§ 5. МНОГОМЕРНЫЕ АНАЛОГИ

СЛУЧАЯ

k−1 X

 2 Mjk .

тониан вида H=

n X

dk

k=2

j=1

ЛАГРАНЖА

137

(5.17)

Любопытно, что этот гамильтониан не может быть получен с помощью представления Манакова. Система (5.16) допускает блочно-диагональное представление Лакса вида


 




0 M12 M13 0 M23 +λa2
−M12
0
−M13 −(M23 +λa2 )







L(λ) =








0 

0

0



0  

0 M12 M13 M14 −M12 0 M23 M24 −M13 −M23 0 M34 +λa3 0 −M14 −M24 −(M34 +λa3 ) 0  .. . 0

    

(5.18) Гамильтониан (5.17) может быть получен из гамильтониана случая Манакова (см. таблицу ниже) любопытным предельным переходом. Выберем постоянные сдвига ai и линейные комбинации ci в случае Манакова следующим образом: ak = ak , ck = dk ak , имеем X dk ak−m − dm 2 Mkm . HM = 1 k−m 2 a − 1 k<m

(5.19)

Устремляя a → ∞, приходим к случаю (5.17).

Случай Эйлера на so(4). Рассмотрим простое вложение so(4) ⊃ so(3).

Очевидно, что наиболее общей квадратичной системой на so(4), допускающей инвариантную подалгебру so(3), является обобщение случая Эйлера:
2 2 2 + a2 M13 + a3 M12 H = 1 a1 M23 2

(5.20)

2 2 2 (слагаемое (M14 + M24 + M34 ) можно исключить, добавляя функцию Казимира и переопределяя константы в (5.20)). Дополнительный (квадратичный) интеграл, является аналогом квадрата момента 2 2 2 F = M23 + M13 + M12 .

138

ГЛАВА 2

Интересно, что этот случай не сводится ни к одному из случаев квадратичной интегрируемости, традиционно рассматриваемых на so(4) — к случаю Шоттки – Манакова или к случаю Стеклова. Аналогично можно построить интегрируемые на so(5) с инвариантной подалгеброй so(4), при этом, очевидно, возможны случаи существования интегралов четвертой степени. Замечание. Используя различные цепочки вложенных подалгебр и соответствующие им представления Лакса типа (5.2), (5.15), (5.9) с совпадающими собственными значениями матриц сдвига, можно построить различные приводимые интегрируемые системы в динамике многомерного твердого тела в потенциальных полях. 5. L–A-пара случая Гесса Используя конструкцию (5.9), можно построить L–A-пару с параметром для уравнения Эйлера – Пуассона в случае Гесса, при этом система допускает лишь инвариантное соотношение. Эта L–A-пара была установлена В. Драговичем и В. Гаджичем (V. Dragovi´c, B. Gaji´c) в [117]. Запишем гамильтониан Гесса в неглавных осях [20] H = 1 (M12 + M22 + a3 M32 ) + a13 M1 M3 + µγ3 . 2

(5.21)

Инвариантное соотношение Гесса в этом случае примет вид M3 = 0.

(5.22)

Записывая L–A-пару типа (5.9), получаем ! ! ! 0 M3 −M2 0 γ3 −γ2 0 µ0 M1 + −γ3 0 γ1 +λ2 −µ 0 0 , L = λ −M3 0 M2 −M1 0 γ2 −γ1 0 0 0 0 ! ! (5.23) 0 a3 M3 +a13 M1 −M2 0 µ0 0 M1 +a13 M3 +λ −µ 0 0 . A= −a3 M3 −a13 M1 M2 −M1 −a13 M3 0 0 00 При a13 6= 0 соотношения (5.23) задают представление Лакса системы (5.21) лишь на инвариантном многообразии M3 = 0. (Всюду вне его уравнения (5.23) не задают действительного представления Лакса.) Отличие (5.23) от обычного случая заключается в том, что в качестве гамильтониана взят не инвариант соответствующей скобки, а функция (5.21). Опираясь на конструкцию (5.9), можно построить многомерные обобщения случая Гесса [117], но с потенциалом, квадратично зависящим от направляющих косинусов (см. (5.12)). Здесь мы не будем останавливаться на этом вопросе.

§ 6. ВОЛЧОК,

139

СВЯЗАННЫЙ С АЛГЕБРОЙ g2

§ 6. Волчок, связанный с алгеброй g2 Рассмотрим теперь симметрическую пару = so(4), = g 2 , в случае отсутствия потенциала. В результате на so(4) возникает новое семейство квадратичных гамильтонианов с дополнительным интегралом четвертой степени [54]. Этот интегрируемый случай открыт в работах М. Адлера и П. ван Мербеке [94], которые указали первый интеграл, и А. Г. Реймана, М. А. Семенова – Тян-Шанского [171], нашедших L–A-пару. В книге [20] этот случай назван именами М. Адлера и П. ван Мербеке именно из-за того, что они впервые привели очень нетривиальный дополнительный первый интеграл. Замечание. А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в [54] показали, что конструкция, связанная со сдвигом аргумента работает в случае произвольных нормальных форм и описали соответствующие интегрируемые системы, которые они интерпретировали как геодезические потоки левоинвариантных метрик на группах Ли. Однако они не уделили никакого внимания рассматриваемому случаю, который явно содержался в их схеме. В более поздних своих книгах А. Т. Фоменко (см., например, [80]) даже не смог идентифицировать уже указанный в [94, 171] случай со своими конструкциями. Опишем обсуждаемую систему более подробно. Рассмотрим реализацию алгебры Ли g2 в виде подалгебры алгебры Ли so(4, 3) вида 

0

−

u3 + v 3 2

  u3 + w3  0  2  − u 2 + w 2 u 1 + w 1  2 2   u1 − w1 u2 − w2   2 2   −y2 y1   y3 a2  a1



u2 + w2 u − w1 − 1 −y2 y3 a1 2 2   u1 + w1 u2 − w2 − − y1 a2 z3   2 2  u3 − w3 0 − a3 z1 −z2   2  , u3 − w3 0 y 3 − z 3 y2 − z 2 y1 − z 1   2 

z3

a3 z1

−z2

y3 − z 3

y2 − z 2

y1 − z 1

0

w1

−w1

0

w2

−w3

−w2    w3  0

(6.1) где a1 + a2 + a3 = 0. Подалгебра so(4) ⊂ g2 является максимальной компактной подалгеброй и состоит из матриц, отвечающих переменным u i , wi , скобка Пуассона которых задается соотношениями {ui , uj } = εijk uk ,

{wi , wj } = εijk wk ,

{ui , wj } = 0.

140

ГЛАВА 2

В качестве гамильтониана на подалгебре so(4) = so(4) ∗ рассматривается квадратичная форма вида H(X) = Tr(ad−1 a adb X)X, где X — матрица (6.1), в которой оставлены только элементы u i , wi , и a и b — элементы подалгебры Картана , состоящей из матриц с произвольными элементами на побочной диагонали и остальными нулями (при этом элемент a берется регулярным), т. е.     a1 b1 b2 a2         a3 b3        , 0 0 a= , b =       b3 a3     a2 b2 b1 a1

причем a1 + a2 + a3 = 0. Как и в общем случае, представление Лакса имеет вид (3.11), где X ∈ so(4) ⊂ g2 , a первые интегралы имеют вид Tr (X + λa)k . Кроме гамильтониана и стандартных функций Казимира, это дает еще один дополнительный интеграл четвертой степени: I4 = Tr (2X4 a 2 + 2X3 aXa + X2 aX2 a).

Наиболее симметричная форма этого интеграла достигается после серии неочевидных манипуляций. Приведем гамильтониан и интеграл случая Адлера и ван Мербеке в форме, найденной авторами X X H = −3 a2i a2j u2k + (a4k + a2i a2j − (a2i + a2j )(ai + aj )2 )uk wk + 2 k k X +2 (a4k − ai aj (a2i + a2j + 5 ai aj ))wk , 3 4 k   X F = 1u2 (ai aj − 1 a2k )wk2 + (ai aj − 2a2k )uk wk + 2 3 k   X 5 (a a − a2 )w2 + (7a a − 4a2 )u w + + 1 w2 i j i j k k k k k 18 3 k X + 1 a 2 (u 2 + 1 w 2 )(u, w ) − 1 (ai − aj )2 (ui wi wj2 + uj wj wi2 ), 2 3 9 i<j

a1 + a2 + a3 = 0,

§ 6. ВОЛЧОК,

141

СВЯЗАННЫЙ С АЛГЕБРОЙ g2

где u2 =

X k

u2k ,

w2 =

X k

wk2 ,

a2 =

X k

a2k ,

(u, w ) =

X

uk w k .

k

Точно таким же способом интегрируемые системы могут быть построены на других аналогичных парах ⊂ , где — нормальная подалгебра в . Например, можно построить интегрируемый волчок на алгебре Ли so(16), используя вложение so(16) ⊂ e(8). Интегралы, полученные таким способом, будут иметь степени до 28 включительно, тогда как для волчка Манакова наибольшая степень интеграла 14. При этом представление Лакса со спектральным параметром получается естественным образом с помощью указанного алгоритма.

142

ГЛАВА 2

§ 7. Волчок Горячева – Чаплыгина 1. L–A-пара Борисова – Мамаева [20, 104] Сделаем сначала несколько фундаментальных построений. Рассмотрим пространство комплексных матриц 3 × 3 с базисом



M1 =  1 i 2

 

0

0







0

1i 2




0

P1 = 

−1x 0 2




0




0

P3 = 

1 xi 0 2

1  2 0  , 0 

0  1 2  , 0

, 

0 0 1 0
− i 6
0 −1i M4 = 6  0

,








0

 






0

 




 

0

1 2 0

0

M2 =  − 1 2

, 

0




−1i 2 M3 =  0






1i 2 0

0




 

0  1i 3








0

P2 = 



− 1 xi 0 2

,

(7.1)

−1i  2 0  , 0 

0  0 1i − P4 =  2  . 1 0 xi 0 2

Относительно стандартного матричного коммутатора [· , ·] они образуют полупростую алгебру (при x 6= 0), для которой справедливо картановское разложение = + , где подалгебра = su(2) ⊕ su(1) образована матрицами Mi , а = C2 — матрицами Pi .





Замечание. Здесь x — параметр, определяющий некоторый пучок алгебр, линейно зависящий от x. При x > 0 эти алгебры изоморфны алгебре su(3), при x < 0 — алгебре su(2, 1), при x = 0 — полупрямой сумме (so(2) ⊕ su(1)) ⊕S C2 .

Вследствие полупростоты можем отождествить алгебру с коалгеброй при помощи скалярного произведения g = − Tr(X, Y), X, Y ∈ . Обозначим координаты в коалгебре e =(m1 , m2 , m3 , m4 , p1 , p2 , p3 , p4 ), тогда после отождествления (элемент алгебры) получим матрицу:   −i(m3 + m4 ) im1 + m2 x1 (p1 − ip2 )   X =  im1 − m2 i(m3 − m4 ) 1 (p3 − ip4 ) . −p1 − ip2

−p3 − ip4

x

2im4

§ 7. ВОЛЧОК ГОРЯЧЕВА – ЧАПЛЫГИНА

143

Замечание. Если обозначить элементы базиса алгебры через Ei , i = 1, . . . , 8 и ввести вектор e, компоненты которого — координаты на коалгебре в базисе дуальном к Ei , то формула отождествления 8 P примет вид X = ξi Ei , где ξ = g −1 e. i=1

Соответствующая скобка Ли – Пуассона (точнее, пучок скобок линейно зависящих от параметра x) для координатных функций коалгебры имеет вид {mi , mj } = εijk mk ,

{mi , pj } = 1 (εijk pk − δij p4 ), 2 {pi , pj } = 1 x(εijk mk + 3εij3 m4 ), 2

{mi , m4 } = 0,

{mi , p4 } = 1 pi , i, j, k = 1, 2, 3, 2 {pi , p4 } = − 1 x(mi − 3δi3 m4 ). 2

Скобка { }θ (при x = 0) для переменных m1 , m2 , m3 , p1 , p2 , p3 , p4 (которые образуют подалгебру) совпадает со скобками для компонент кинетического момента и кватернионов в динамике твердого тела (см. § 2, гл. 1 (2.7)). В соответствие с общим методом строим L-матрицу, инварианты которой определяют коммутативный набор для всего семейства скобок { } θ + + α({ } + { }a ) (3.6), где a ∈ — сдвиг аргумента. (Положим x = 1)


L = (hλ + v + aλ2 ), где h=

v=

a=

! −i(m3 +m4 ) im1 +m2 0 im1 −m2 i(m3 −m4 ) , 0 2im4 ! p1 − ip2 0 p3 − ip4 , −p1 −ip2 −p3 −ip4 0 ! a1 − ia2 0 a3 − ia4 . −a1 −ia2 −a3 −ia4 0

(7.2)

Среди инвариантов матрицы L при произвольном сдвиге содержится линейная по mi функция вида F1 = m4 a 2 + (m, γ a ), где a 2 =

4 X i=1

(7.3)

a2i , m = (m1 , m2 , m3 ) и компоненты постоянного вектора γ a

144

ГЛАВА 2

выражаются через ai по формулам γ a = (2(a1 a3 + a2 a4 ), 2(−a2 a3 + a1 a4 ), a23 + a24 − a21 − a22 ),

поэтому возможна (негамильтонова) редукция к новому потоку, аналогичная редукции для случая Ковалевской (см. § 4, гл. 2). Выберем a1 = a2 = 0. В этом случае интеграл (7.3) приобретает вид (7.4)

F1 = m 3 + m 4 . Рассмотрим квадратичный инвариант матрицы L вида F2 = Tr(h2 + 2va) = m21 + m22 + m23 + 3m24 + a4 p4 + a3 p3 .

(7.5)

Согласно процедуре редукции, необходимо положить в L матрице (7.2) и гамильтониане (7.5) m4 = −m3 + c,

(7.6)

c = const.

При этом получаем L-матрицу и гамильтониан интегрируемой системы на подалгебре m1 , m2 , m3 , p1 , p2 , p3 , p4 с гиростатом   −iλc (im1 +m2 )λ p1 −ip2 iλ(2m3 −c) p3 −ip4 +(a3 +ia4 )λ2  , (7.7) L = (im1 −m2 )λ 2 −p1 −ip2 −p3 −ip4 −(a3 +a4 )λ −2i(m3 −c)λ H = m21 + m2 + 4m23 − 6m3 c + 2a4 p4 + 2a3 p3 ,

A = dH =

i(4m3 − 3c) −im1 − m2 0 −im1 + m2 −i(4m3 − 3c) −a3 + ia4 0 a3 + ia4 0

!

(7.8)

.

Эта система описывает интегрируемый случай на кватернионной скобке { }θ . Можно показать, что она допускает линейный по m i интеграл вида F3 = m3 − (m, γ),

γ = (2(p2 p4 + p1 p3 ), 2(p2 p3 − p1 p4 ), p23 + p24 − p21 − p22 ),

(7.9)

по которому возможны стандартная гамильтонова редукция по симметрии типа редукции Рауса [18, 20]. При этом получается система на нелинейной скобке. Соответствующие образующие, которые являются интегралами векторного поля v = {·, F3 }, имеют вид K1 =

M1 p 1 + M 2 p 2 , p p21 + p22 s1 = p 3 ,

M2 p 1 − M 1 p 2 , K3 = M 3 , p p21 + p22 q s2 = p 4 , s3 = ± p21 + p22 . K2 =

(7.10)

§ 7. ВОЛЧОК ГОРЯЧЕВА – ЧАПЛЫГИНА

145

Образуемая ими скобка — нелинейная: {Ki , Kj } = εijk Kk + εij3

F4 , s23

{Ki , sj } = εijk sk ,

{si , sj } = 0, (7.11)

где F4 = (K, s)s3 — функция Казимира скобки (7.11). При нулевой «постоянной площадей» (K, s) = 0 скобка (7.11) совпадает со скобкой алгебры e(3), а гамильтониан (7.8), как можно показать, в новых переменных (7.10) совпадет с гамильтонианом Горячева – Чаплыгина: H = (K12 + K22 + 4K32 ) − 2a4 s2 − 2a3 s1 .

(7.12)

L–A-пара (7.7), (7.8) была получена А. В. Борисовым и И. С. Мамаевым. Как видно, она справедлива для более общего случая Горячева – Чаплыгина, включающего гироскопические (линейные по M 3 ) слагаемые, а также сингулярные слагаемые типа 1/γ32 . Их физический смысл обсуждается в книге. Ранее А. И. Бобенко и В. Б. Кузнецовым было получено несколько другое и таинственное представление Лакса для случая Горячева–Чаплыгина, связывающего его со случаем Ковалевской. Оно получается из L–A-пары Реймана, Семенова-Тян-Шанского (см. § 4, гл. 2), записанной в комплексной форме вычеркиванием одной строки и одного столбца. Эта система может быть естественным образом (без гиростатических слагаемых) обобщена на алгебру u(p, q). 2. L–A-пара Бобенко – Кузнецова. Связь со случаем Ковалевской Рассмотрим снова систему на e(3) = {(M , γ), M ∈ so(3), γ ∈ R 3 } с гамильтонианом
H = 1 M12 + M22 + 4M32 + 4kM3 − 2γ1 . 2

(7.13)

Мы включили также в гамильтониан (7.13) гиростатический параметр k 6= 0, добавленный в случае Горячева – Чаплыгина Л. Н. Сретенским [76]. В представлении (4.11), (4.12) мы ограничимся лишь одним полем, при этом получается классический случай Ковалевской
H = 1 M12 + M22 + 2M32 + 2kM3 − γ1 , 2

(7.14)

обобщенный гиростатическим параметром k 6= 0 (Х. Яхья, И. Комаров) [89]. Для получения L–A-пары для (7.13) перепишем представление (§ 4, гл. 2),

146

ГЛАВА 2

используя четырехмерное (спинорное) представление для so(3, 2):   0 γ2 + iγ1 0 iγ3 0 −iγ3 0  γ − iγ1 L(λ) = 1  2 + 0 iγ3 0 γ2 − iγ1  λ −iγ3 0 γ2 + iγ1 0 

 −ik 0 −M2 − iM1 0 0 ik   0  −M2 + iM1    1 + M2 − iM1 , 0 −2i M3 + k −2ik  2   0 M2 + iM1 2ik 2i M3 + 1 k 2







i M3 +



A(λ) =




1k 2

0





0

1 −i M3 + k 2




1 M − iM 2 1 2  0




−

1 −i M3 + k 2


  

0




1 M − iM − 2 1 2

0


0

1 M + iM 2 1 2

1 M + iM 2 1 2

   




.

−ik


ik

i M3 +

1k 2




(7.15) Для того чтобы получить из матриц (7.15) L–A-пару для случая Горячева – Чаплыгина, надо вычеркнуть из матрицы L первый столбец и первую строку, что приводит к матрицам   2 ik −iγ3 /k −M2 + iM1 3     −2iM3 − 4 ik −2ik + (γ2 − iγ1 )/k . L =  iγ3 /k (7.16) 3   M2 + iM1 (γ2 + iγ1 )/k + 2ik 2iM3 + 2 ik 3

Для матрицы A(λ) несложно подобрать выражение   −3iM3 − 2 ik 0 −M2 + iM1 3     0 −2iM3 − 2 ik −2ik A(λ) =  . 3   4 M2 + iM1 2ik 2iM3 + ik

(7.17)

3

С помощью указанного трюка представление (7.16), (7.17) получено в работе [99]. Здесь, видимо, можно говорить о некоторой скрытой взаимосвязи случаев Ковалевской и Горячева – Чаплыгина.

§ 8. СУПЕРПОЗИЦИЯ

МЕТОДОВ СДВИГА АРГУМЕНТА И ЛИЕВЫХ ПУЧКОВ

147

§ 8. Суперпозиция методов сдвига аргумента и лиевых пучков. Формулировка общего алгоритма Гиростат Жуковского – Вольтерра. Описанные выше конструкции «сдвига аргумента» и лиевых пучков допускают следующую модификацию в случае алгебры Ли so(3). Рассмотрим на алгебре Ли so(3) новую скобку Ли – Пуассона {·, ·}B , соответствующему нестандартному коммутатору [·, ·]B на пространстве кососимметрических матриц: [X, Y]B = XBY − YBX, где B = diag(b1 , b2 , b3 ) — диагональная матрица. Эта новая скобка согласована со стандартной скобкой Ли – Пуассона на so(3) {·, ·} и со скобкой с «замороженным» аргументом {·, ·} g , где g ∈ so(3) — произвольный элемент. Заметим, что согласованность скобок {·, ·}B и {·, ·}g имеет место только в размерности три, в случае алгебры Ли so(n) скобки уже не согласованы. Это обуславливает то, что до сих пор неизвестны многомерные обобщения случая Жуковского – Вольтерра. Итак, мы имеем на пространстве so(3) три попарно согласованные скобки: {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , Mj }g = −εijk gk , {Mi , Mj }B = −εijk bk Mk . Рассмотрим семейство скобок вида {·, ·}s = s{·, ·} + ({·, ·}B − {·, ·}g ),

s ∈ R.

(8.1)

Взяв теперь в качестве гамильтониана функцию Казимира скобки {·, ·} B − − {·, ·}g H = 1 (BM , M ) − (g, M ), 2 мы получаем на алгебре Ли so(n) систему M˙ i = {Mi , dH(M )},

(8.2)

которая является гамильтоновой относительно каждой скобки из рассматриваемого семейства. Действительно, ее можно переписать в виде M˙ i = {Mi , dHs (M )}s , где гамильтониан имеет простой вид Hs (M ) = 1s H(M ). С другой стороны, система (8.2) является классической системой Жуковского – Вольтерра, описывающей инерционное движение уравновешенного гиростата [20, 150]. При этом вектор g = (g1 , g2 , g3 ) является вектором постоянного гиростатического момента.

148

ГЛАВА 2

Каждая из скобок {·, ·}s при условии s+bi > 0 изоморфна стандартной скобке Пуассона – Ли на so(3), поэтому согласно общей конструкции можно явно указать для системы Жуковского – Вольтерра представление Лакса со спектральным параметром. Поскольку изоморфизм между скобками {·, ·} s и {·, ·} задается формулой M → (B + sE)−1/2 (M − g ˜)(B + sE)−1/2 , где

M=

0 M3 −M2 −M3 0 M1 M2 −M1 0

!

,



0

 g3  g ˜ = − b + s  3 g2 b2 + s

g3 b3 + s

0 −

g2  b2 + s  g1  , b1 + s  

−

g1 b1 + s

то соответствующая L–A-пара имеет вид

0

L(s) = (B + sE)−1/2 (M − g ˜)(B + sE)−1/2 , A(s) = (B + sE)1/2 dH(M)(B + sE)1/2 . Здесь dH(M ) =

0 b3 M3 − g3 −b2 M2 + g2 −b3 M3 + g3 0 b 1 M1 − g 1 b2 M2 − g2 −b1 M1 + g1 0.

!

.

Несколько другие, но эквивалентные представления Лакса были даны в [11, 82]. Впервые представление Лакса для случая Жуковского – Вольтерра получил Ю. Н. Федоров [82]. Он также указал представление Лакса для случаев Рубановского на алгебрах e(3) и so(4) [69]. Напомним, что этот случай получается добавлением линейных по M слагаемых в гамильтониан случая Ляпунова–Стеклова. Это представление также не переносится на многомерную ситуацию и до сих пор неизвестны многомерные обобщения случая Рубановского. L–A-пара случая Рубановского [69]. Без дополнительных обсуждений приведем соответствующую L–A-пару для случая Рубановского [120], предоставляя читателям самостоятельно выполнить соответствующие построения ˙ L(s) = [L(s), A(s)], L(s), A(s) ∈ so(3), p gγ  s − bγ (zγ + spγ ) + √ . L(s)αβ = εαβγ s − aγ

§ 8. СУПЕРПОЗИЦИЯ

МЕТОДОВ СДВИГА АРГУМЕНТА И ЛИЕВЫХ ПУЧКОВ

149

Выбирая матрицу A в одной из следующих форм q A(s)αβ = εαβγ 1s (s − bα )(s − bβ )(bγ zγ − gγ ) или

A(s)αβ = εαβγ

q s − bα )(s − bβ )pγ ,

получаем два взаимно-коммутирующих (взаимных) потока, определяющих случай Рубановского, которые задаются на алгебре e(3) = {M , p} гамильтонианами 3  X bα (Mα − 2gα )2 + 2νbβ bγ Mα pα + H1 = 1 2 α=1  2 +ν bα (bβ − bγ )2 p2α + 4ν(bβ + bγ )gα pα ,

3   X 1 H2 = Mα2 − 2νbα Mα pα + ν 2 (bβ − bγ )2 p2α + 8gα pα , 2 α=1

где b1 , b2 , b3 , g1 , g2 , g3 , ν = const, (α, β, γ) = (1, 2, 3). Как известно, при gα = 0 мы получаем обычное семейство Стеклова – Ляпунова. В L- и A-матрицах через zα обозначены переменные 2zα = Mα − − (bβ + bγ )pα , α = 1, 2, 3. Эта замена была предложена Кеттером, который, фактически, и переписал уравнения волчка Стеклова – Ляпунова на e(3) в лаксовой форме [148].

150

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

2

§ 9. Приложение к главе 2. L–A-пары многомерных обобщений в динамике твердого тела 1. Формулировка общего алгоритма В заключение разбора основных L–A-пар, собранных в уже указанной таблице, сформулируем в окончательном виде алгоритм, позволяющий строить многомерные интегрируемые системы динамики твердого тела, существенно опирающийся на бигамильтоновость ряда основных систем. Согласованные семейства скобок Пуассона таких систем содержат, как правило, лишь постоянные и линейные скобки. Это свойство при выполнении некоторых дополнительных требований позволяет построить представление Лакса со спектральным параметром λ, который, вообще говоря, и является параметром пучка скобок Пуассона. Этот алгоритм был предложен авторами (см. [11, 104]). Приведем его в виде последовательности пунктов, предполагая, что при решении различных задач, например 1) поиск L–A-пары для данной системы, про которую следует сделать заключение об интегрируемости; 2) поиск новых интегрируемых задач исходя из известных семейств согласованных пуассоновых структур и различных вариантов редукций. Эта последовательность может быть изменена. Сосредоточимся на задаче 1 (с первоначальной скобкой J∗ ). а. Следует записать данную систему в таких переменных, возможно отличных от первоначальных физических, в которых скобка Пуассона является одной из скобок некоторого пучка J = J 1 + λJ2 . При этом на пучок J налагается довольно жесткое требование изоморфности почти всех (кроме конечного числа) скобок пучка некоторой скобке Ли – Пуассона J0 , алгебра Ли которой имеет невырожденную форму (инвариантную метрику), позволяющей отождествить скобку J0 с матричной алгеброй . В наиболее часто встречающемся случае элемент J0 должен быть полупростым. На этом шаге вследствие изоморфности пучка элементу J0 строится L(λ) матрица, зависящая от λ. б. Необходимо перечислить все квадратичные функции Казимира пучка J1 + λJ2 как следы и пфаффианы степеней матрицы L(λ): tr Ln (λ), Pf L(λ). Эти функции Казимира и являются кандидатами на роль гамильтониана исходной системы, но уже записанной на скобке J 0 . На этом шаге представление Лакса для системы уже может быть построено, причем матрица A(λ) строится через дифференциал гамильтониана dH(λ).

L–A-ПАРЫ

МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

151

в. Возможно, что для получения L–A-пары исходной системы в найденной L–A-паре необходимо сделать некоторые редукции, в частности, если в ней имеются линейные интегралы. Таких редукций несколько. 1) Негамильтонова редукция, когда мы просто фиксируем в L–A-паре значения постоянных линейных интегралов. При этом мы получаем уже L–A-пару для другого фазового потока. 2) Ограничение на пуассоново многообразие, когда интеграл является одной из функций Казимира пучка. 3) Пуассонова редукция по симметриям. 4) Возможно, что L–A-пару исходной системы построить не удается, тем не менее удается построить L–A-пару и показать бигамильтоновость некоторой расширенной системы, а исходная система получается редукцией Дирака на некоторое инвариантное многообразие. Здесь можно получить некоторый весьма сложный согласованный пучок — который не только неизоморфен скобке Ли – Пуассона, но может быть дробно-рациональным.

Рис. 1. Схематическая иллюстрация описанного метода построения L–A-пары со спектральным параметром, основанного на гамильтоновости системы относительно пучка скобок.

Пункты 1, 2, 4 можно проиллюстрировать на волчке Ковалевской, который был разобран нами с различных позиций (см. § 4). Замечания. а. Изучение пучков скобок Пуассона, изоморфных некоторой данной J 0 с требуемыми свойствами представляет самостоятельный интерес. Мы описали две конструкции, позволяющие строить такие пучки. Одна из них связана с методом сдвига аргумента, другая — с лиевыми пучками. б. Исходная скобка J∗ может быть неизоморфна J0 (и, например, не быть полупростой, т. е. попадать в указанное ранее исключительное конечное семейство). Как ни странно, реальные системы, например на e(3), как раз и попадают в это исключительное семейство.

152

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

2

2. Фазовые переменные и коммутационные соотношения Приведем здесь фазовые переменные в тех же матричных обозначениях, которые используются ниже для записи соответствующих L–A-пар рассматриваемых систем. M, N ∈ so(n) — кососимметричные матрицы угловых моментов многомерных волчков (как правило, могут иметь в дальнейшем разную размерность). Q, S ∈ SO(n) — ортогональные матрицы направляющих косинусов соответствующих волчков, т. е. проекции ортов неподвижного пространства на оси, связанные с телами. Ниже предполагается, что M, Q и N, S описывают пары различных взаимодействующих волчков, а соответствующие скобки Пуассона имеют вид (фактически это скобка {·, ·}θ ) {Mij , Mkl } = δjk Mil + δik Mlj + δjl Mki + δil Mjk , {Mij , Qkl } = δjk Qil − δjl Qil , {Nij , Nkl } = δjk Mil + δik Mlj + δjl + Mki + δil Mjk , {Nij , Skl } = δjk Sil − δjl Sjl , {Qij , Qkl } = {Sij , Skl } = {Mij , Nkl } = {Mij , Skl } = {Nij , Qkl } = 0. Это означает, например, для пары M, Q, что коммутационные соотношения соответствуют полупрямой сумме алгебры so(n) = {M ij } и коммутативной алгебры, составленной из элементов матрицы Q: R n = {Qij }, т. е. 2 so(n) ⊕s Rn . Производные по матричным элементам записываются в виде



∂H = ∂H .

∂M ∂Mij

L–A-ПАРЫ

МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

153

3. Многомерная система Бруна–Богоявленского Фазовые переменные M ∈ so(n) — угловой момент n-мерного твердого тела Q ∈ SO(n) — матрица направляющих косинусов (позиционные переменные n-мерного тела) Параметры R = diag(r1 , . . . , rn ), C = diag(c1 , . . . , cn ) B = diag(a1 , . . . , an ) Общий квадратичный гамильтониан n X ci − c j X Mij2 − 1 ri (Qi , CQi ) H=1 ai − a j 2 2 i<j

i=1

Qi = (Q1i , . . . , Qni )

L–A-пара на алгебре so(n, n)       0 QRQ> 0 B M 0 2 + λ L(λ) = λ + 0 M B 0 QRQ> 0  

∂H  

0 0 B

1 ∂H ∂H ∂M +λ = A(λ) =  ,

B 0 ∂H 2 ∂M ∂Mij 0 ∂M

L–A-пара на алгебре gl(n)

L(λ) = λM + QRQ> + λ2 B A(λ) = 1 ∂H − λB 2 ∂M Замечание 1. В данном случае представление Лакса дает уравнение движения матрицы V = QRQ> , квадратичной относительно направляющих косинусов. 2

Замечание 2. Т. к. so(n)⊕s Rn — подалгебра в so(n)⊕s Rn , то из этих представлений в случае rn 6= 0, r1 , . . . , rn−1 = 0 получается случай Клебша – Переломова. Замечание 3. Полагая r1 = . . . = rn = 0, получаем случай Манакова. На алгебре gl(n) представление Лакса совпадает с представлением Манакова, а на so(n, n) получается другая L–A-пара.

154

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

2

4. Два волчка so(n) Фазовые переменные M, N ∈ so(n), — матрицы угловых моментов Q, S ∈ SO(n), — матрицы направляющих косинусов (позицион- . ные переменные) Параметры R = diag(r1 , . . . , rn ),

C = diag(c1 , . . . , cn ),

B = diag(a1 , . . . , an )

Общий квадратичный гамильтониан X (ci ai − cj aj ) H=1 (Mij2 + Nij2 )+ 2 2 2 a − a i j i<j +

X (ci aj − cj ai ) a2i

i<j

−

a2j

Mij Nij −

X

V = QRS>

ci Vii ,

i

L–A-пара на алгебре so(n, n)  M 0 + L(λ) = λ 0 N 

A(λ) =



∂H  ∂M

0

0

QRS>

SR> Q>

0

0 ∂H ∂N

∂H = ∂H

, ∂M ∂Mij





+λ 

!

0 ∂H ∂V>

+ λ2



0 B B 0





∂H ∂V 

0

∂H = ∂H

∂N ∂Nij



Замечание. Эта система аналогично может быть обобщена на случай взаимодействующих so(n) и so(m) волчков при m 6= n. Частный случай волчка so(3) и ротатора (волчка so(2)) приведен ниже. Другой частный случай этой системы при n = 3 и r1 = r2 = 0, r3 6= 0 рассмотрен впервые в работе [28] в связи с исследованием кноидальных решений уравнений Ландау – Лифшица.

L–A-ПАРЫ

МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

155

5. Волчок so(n) и ротатор Фазовые переменные

 0 N M =∈ so(n), N = ∈ so(2) — угловые моменты −N 0 волчка и ротатора   x1 y 1 Q ∈ SO(n), S = ∈ SO(2) — позиционные переменные x2 y 2

Параметры   r1 0  0 r2  R= , . . . . . . 0 0





 a1 0  0 a2  B= , . . . . . . 0 0

  c1 0  0 c2  C= , . . . . . . 0 0

d = const

Общий квадратичный гамильтониан n  X c1 2 c2 2  1 a 1 c1 − a 2 c2 2 2 M + H=1 a1 1i a2 M2i + 2 a2 − a2 (M12 + N )+ 2 1 2 i=3

+

n a 1 c2 − a 2 c1 1d X M2 − c V − c V , M N + 12 1 11 2 22 2 i,j>2 ij a21 − a22

V = QRS>

i<j

L–A-пара на so(3, 2)   M 0 L(λ) = λ + 0 N 

∂H ∂M A(λ) = 

0

0

QRS>

SR> Q

0

0 ∂H ∂N





+λ 

!

0 ∂H ∂V>

+λ

2



0 B B 0





∂H ∂V 

0



Замечание. При r1 = r2 = 0 и n = 3 получаем частный случай системы Жуковского – Вольтерра, для которой гиростат имеет момент, направленный вдоль главной оси OM3 . В § 8 указано гиперэллиптическое представление системы Жуковского – Вольтерра для произвольного расположения гиростата. В отличие от данного представления оно не обобщается на n-мерную ситуацию.

156

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

2

6. Частично симметричный волчок в линейных полях на алгебре so(p, q) Фазовые переменные M ∈ so(p) — угловой момент Q ∈ SO(p) — позиционные переменные волчка Параметры R, B — постоянные матрицы p × q, q 6 p R — произвольная, B = kδij k, 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q Общий квадратичный гамильтониан   q X X X Mij2 + 2 Mij2  − Vij , H= 1 2 i<j,j>q

i<j,j>q

V = QR

i=1

L–A-пара на алгебре so(p, q) — многомерный волчок Ковалевской

L(λ) = λ

A(λ) =

M

0 fq −M

0

∂H ∂M

0

0

0

!

!

+

0

QR

R> Q>

0

 0 B , −λ B> 0 

f q = kMij k, M

!

+ λ2



0 B B> 0





∂H = ∂H

∂M ∂Mij

i, j 6 q

Замечание. В случае p = 3, q = 2 в гамильтониан могут быть добавлены гиростатические члены (линейные по M ij слагаемые). Добавление подобных слагаемых при произвольных p, q, по-видимому, не возможно.

L–A-ПАРЫ

МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

157

7. Волчок Ковалевской в двух однородных полях Фазовые переменные M = kεijk Mk k ∈ so(3) — угловой момент, Q ∈ SO(3) — матрица направляющих косинусов α, β, γ − столбцы Q Коммутационные соотношения {Mi , Mj } = εijk Mk , {Mi , Qjl } = εijk Qkl , {Qij , Qkl } = 0 Параметры R=

r1 0 0 r2 0 0

!

,

B=

! 1 0 0 1 0 0

Общий квадратичный гамильтониан H = 1 (M12 + M22 + 2M32 − 2cM3 ) − (r1 α1 + r2 β2 ) 2 L–A-пара на so(3, 2)   M 0 L(λ) = −λ + 0 N

0

QR

!

2



0 B B> 0

+λ R> Q> 0 !   ∂H 0 0 B A(λ) = ∂M −λ B> 0 0 0

 

0 −M3 + c ∂H =

εijk ∂H N=

M3 − c 0 ∂M ∂Mk



Замечание 1. Матрицу R можно выбирать произвольно, это приводит к тому, что в гамильтониане появятся дополнительные слагаемые, соответствующие не взаимно перпендикулярным полям. (Столбцы матрицы R задают векторы напряженности полей в неподвижном пространстве.) Замечание 2. L–A-пара обычного случая Ковалевской (в одном поле) получается, если выбрать r1 6= 0, r2 = 0, либо использовать матрицу R вида ! r1 λr1 R = r2 λr2 r3 λr3 (в этом случае поля параллельны в неподвижном пространстве).

158

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ГЛАВЕ

2

8. Обобщение случая Лагранжа на so(n, 1) и gl(n). Случай максимального набора линейных интегралов Фазовые переменные M ∈ so(n) — угловой момент n-мерного волчка Q ∈ SO(n) — матрица направляющих косинусов Общий натуральный гамильтониан n X X 1 2 Mij2 + Min + U (Qn1 , Qn1 , . . . , Qnn ) H= 1 4J1 2(J + J ) 1 n i=1 i<j6n−1 Подалгебра линейных интегралов = {Mij , i, j 6 n − 1} ≈ so(n − 1) L–A-пара на алгебре so(n, 1) — случай линейного потенциала       0 B 0 V M 0 + λ L=λ + 0 0 V> 0 B> 0 !   ∂H 0 0 B +λ A = ∂M B> 0 0 0 V = QR ∈ Rn ,

R> = (r1 , . . . , rn ) ∈ Rn , B> = (0, . . . , 0, a) ∈ Rn X U (Q) = aVn = a ri Qni i

L–A-пара на gl(n) — квадратичный потенциал A(λ) = ∂H + 2λB ∂M > > V = QRQ , R = R, B = diag(0, . . . , 0, a) n X U (Q) = aVnn = Rij Qni Qnj L(λ) = λM + V + λ2 B,

i,j=1

Замечание. На подалгебре линейных интегралов можно выбрать произвольную интегрируемую систему на so(n − 1), получившаяся совместная система имеет меньшее количество линейных интегралов, а ее L–A-пара задается блочно-диагональными матрицами.

L–A-ПАРЫ

МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

159

9. Волчок Лагранжа на алгебре so(n) ⊕s so(n) — квадратичный кососимметричный потенциал Фазовые переменные

Параметры

M ∈ so(n) — угловой момент волчка Q ∈ SO(n) — матрица направляющих косинусов [n/2]

R = −R> , B = −B> = kBij k, Bij = Общий квадратичный гамильтониан

X k=1

ak (δ2k−1,i δ2k,j − δ2k−1,j δ2k,i )

[n/2]  X 1 1 2 2 2 2 H= (ci ai −cj aj )(M2i−1,2j−1 +M2i−1,2j +M2i,2j−1 +M2i,2j )+ 2 2 2 a −a i j i<j  +2(ci aj − cj ai )(M2i−1,2j−1 M2i,2j − M2i−1,2j M2i,2j−1 ) + [n/2]

+

X i=1

[n/2] n o [n/2] X X bi 2 2 2 (M + M ) + ai V2i−1,2i di M2i−1,2i + +2 n 2i−1,n 2i,n a i 2 i=1

i=1

Подалгебра линейных интегралов: n h io = M2k−1,2k , k = 1, . . . , n ≈ R[n/2] 2 L–A-пара L(λ) = λM + V + λ2 B, A(λ) = ∂H + λB, ∂M M, V ∈ so(n), V = QRQ> , [n/2] X X U (Q) = ak V2k−1,2k = ak Rij (Q2k−1,i Q2k,j − Q2k,i Q2k−1,j ) k=1

k,i<j

Замечание 1. В случае n = 3 эта L–A-пара задает волчок Лагранжа в линейном потенциале, поскольку кососимметрические комбинации, входящие в потенциал, задают векторное произведение α × β = γ. Замечание 2. Кинетическая энергия для этого случая отличается от кинетической энергии в случае Богоявленского при попарном совпадении собственных значений матрицы сдвига (отсутствуют перекрестные члены). Как следствие, это приводит к различным интегрируемым на so(n) системам даже при отсутствии потенциала, хотя подалгебра линейных интегралов у них совпадает.

Глава 3

Разделение переменных и r-матричный формализм § 1. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби Одним из наиболее продвинутых способов явного интегрирования гамильтоновых систем является метод разделения переменных. Он был систематически развит К. Якоби в своих «Лекциях по динамике» [88]. В них он также привел одну универсальную систему координат (эллиптические координаты), в которых оказалось возможным разделить достаточно обширный класс интегрируемых систем. В этой главе мы изложим, как основы метода разделения переменных, которые мы уже эпизодически использовали в гл. 1, так и приведем совсем новые результаты, с помощью которых можно проинтегрировать целый ряд задач динамики (твердое тело, цепочки Тоды и пр.), которые долгое время оставались без явного решения (хотя и первые интегралы были известны). Эти результаты оказались связанными с квадратичными скобками Пуассона, новой системой универсальных симплектических координат, L–A-парами размера 2 × 2. 1. Метод Гамильтона – Якоби Как уже указывалось, явное решение гамильтоновых уравнений в канонической форме может быть получено с помощью метода разделения переменных. В этом случае задача интегрирования для n-степенной гамильтоновой системы в канонических переменных H = H(p, q ) сводится к отысканию решения уравнения Гамильтона – Якоби в частных производных   H ∂S , q = α1 , ∂q

(1.1)

которое зависит от n постоянных S(q, α1 , . . . , αn ) и удовлетворяет условию невырожденности

2

det ∂ S 6= 0. ∂qi ∂αj

§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ

161

Рассмотрим функцию S(q, α1 , . . . , αn ), которая в этом случае называется полным интегралом уравнения (1.1), в качестве производящей функции канонического преобразования (q , p) → (β, α): p = ∂S , ∂q

β = ∂S , ∂α

H(p, q ) → H 0 (α, β) = α1 .

(1.2)

Для новых канонических переменных α, β согласно (1.2) получим уравнения движения в виде α˙ i = − ∂H = 0, ∂βi

β˙ i = ∂H = δ1i , ∂αi

i = 1, . . . , n,

(1.3)

где δij — символ Кронекера. Эти уравнения легко интегрируются: αi = α0i , α0i ,

βi = δ1i t + βi0 ,

(1.4)

βi0

= const. Таким образом, (1.4) совместно с (1.2) задают решение где канонических уравнений q (t), p(t) в виде системы алгебраических уравнений. Переменные разделяются, если удается подобрать координаты на конфигурационном пространстве, для которых полный интеграл представляется в виде n X S(q, α) = Sk (qk , α1 , . . . , αn ). (1.5) k=1

По Якоби метод разделения переменных состоит в том, что для задачи ищется такая система (вообще говоря, криволинейных) координат, в которых имеет место (1.5). Якоби также нашел одну замечательную замену, которая привела его к эллиптическим координатам и позволила проинтегрировать задачу о геодезических на эллипсоиде — даже в многомерном случае. Он также предложил обратить ситуацию и «найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена» [88]. С точки зрения качественного анализа, особое значение имеют разделяющие уравнения для функций Sk (qk , α):   ∂S k , qk , α = 0, k = 1, . . . , n. (1.6) Φk (pk , qk , α) = Φk ∂qk

Действительно, переписывая уравнения (1.3) с учетом (1.5), получим уравнения в форме (аналогичной форме Абеля – Якоби, см. (1.16) или [20]): n X ∂ P (q , α)q˙ = δ , k k k 1i ∂αi

k=1

i = 1, . . . , n,

(1.7)

162

ГЛАВА 3

где через Pk (qk , α) =

∂Sk обозначено решение алгебраического уравне∂qk

ния (1.6). В несколько другой формулировке укажем, что значения первых интегралов α1 , . . . , αn , при которых функции Fik (z) = ∂ Pk (z, α), ∂αi

i, k = 1, . . . , n,

(1.8)

имеют нули или обращаются в бесконечность, соответствуют перестройкам инвариантных многообразий задачи и смене различных типов движений. И поскольку для функций (1.8) Pk (z, α) является решением алгебраического уравнения (1.6), эти значения α соответствуют просто смене типа графика функции Pk (z, α), неявно заданного соотношением (1.6). Как правило, в известных задачах функции Φk (p, q, α) не зависят от k и достаточно исследовать возможные типы кривых на плоскости (p, q), определяемые уравнением Φ(p, q, α) = 0

(1.9)

в зависимости от значений первых интегралов α. Тем самым устанавливается соответствие между разделением переменных, разделенными уравнениями (1.6) и бифуркациями инвариантных многообразий задачи в зависимости от констант интегралов. В некоторых случаях вместо функций (1.6), (1.9) для исследования бифуркаций торов используют другую функцию R(z, α) — характеристическую функцию, которая в большинстве случаев (Ковалевской, задачи Якоби, Неймана и т. д.) сводится к полиному. Замечание. Для вырожденных суперинтегрируемых систем (с избыточным набором интегралов) может существовать несколько систем координат, в которых переменные разделяются, например гармонический осциллятор, задача Кеплера и др. Покажем также, что в общем случае справедливо также обратное утверждение, согласно которому для любого набора разделяющих уравнений вида (1.6) и канонических переменных q , p естественным образом определяется полный набор инволютивных интегралов. Предложение 1. Рассмотрим систему из n независимых уравнений вида Φ1 (p1 , q1 , h0 , h1 , . . . , hn−1 ) = 0, Φ2 (p2 , q2 , h0 , h1 , . . . , hn−1 ) = 0, ... Φn (pn , qn , h0 , h1 , . . . , hn−1 ) = 0.

§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ

163

Пусть hα = Hα (p, q) (α = 0, . . . , n − 1) — решения этого уравнения. Тогда функции H0 (p, q), . . . , Hn−1 (p, q) находятся попарно в инволюции. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся теоремой о неявной функции. Согласно этой теореме мы имеем: ∂Φα X ∂Φα ∂Hβ + = 0, ∂pi ∂hβ ∂pi β

∂Φα X ∂Φα ∂Hβ + = 0. ∂qi ∂hβ ∂qi β

Используя эти соотношения, можно выразить дифференциалы функций Hα следующим образом: X ∂Hβ ∂Φ =− Aβα α , ∂pi ∂pi α

X ∂Hβ ∂Φ =− Aβα α , ∂qi ∂qi α

∂Φα β

. где kAα k — матрица, обратная к матрице

∂hβ

Отсюда

{Hβ , Hγ } = =

X i

X X i

=

X α,ν

∂Hβ ∂Hγ ∂Hβ ∂Hγ − ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi

Aβα Aγν

∂Φ ∂Φν Aβα α Aγν ∂p ∂qi i α,ν

X ∂Φα ∂Φν i

∂pi

−

!

=

X

∂Φ Aβα α Aγν ∂qi α,ν

∂Φα ∂Φν − ∂qi ∂qi ∂pi

!

=

X α,ν

∂Φν ∂pi

!

=

Aβα Aγν {Φα , Φν } = 0,

что и требовалось доказать. Замечание. В § 4 гл. 1 отмечено, что для невырожденных бигамильтоновых систем разделяющие переменные связаны собственными подпространствами оператора рекурсии. В качестве простых примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на n-мерном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере S n в квадратичном потенциале (и их обобщения). Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша – Переломова в уравнениях на e(n) [105] (см. гл. 1, 2), и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых

164

ГЛАВА 3

систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются, как правило, с использованием этих координат или их вырождений. 2. Задача Якоби — геодезический поток на эллипсоиде Пусть эллипсоид вложен в евклидово пространство R n+1 с координатами x = (x0 , . . . , xn ) (x, A−1 x) = 1,

A = diag(a0 , . . . , an ),

(1.10)

где ai , (i = 0, . . . , n) — большие полуоси. Положим 0 < a0 < a1 < . . . < an . Эллиптические координаты u1 , . . . , un определяются как корни уравнения [88] (x, (A − z)−1 x) = 1, (1.11) удовлетворяющие неравенствам a0 < u1 < a 1 < . . . < u n < a n . Уравнение (1.11) помимо этих корней допускает еще один корень u 0 < a0 , который параметризует семейство софокусных с (1.10) эллипсоидов. Полагая u0 = 0, мы получим эллипсоид (1.10). Обозначая канонические импульсы, сопряженные переменным u i через vi , i = 1, . . . , n, запишем гамильтониан свободного движения точки единичной массы на эллипсоиде

A(z) =

n Y

i=0

n X A(uk )vk2 , H =2 u U 0 (uk ) k=1 k

(z − ai ),

U (z) =

n Y

i=1

(1.12) (z − ui ),

где U 0 (z) = dU . dz

Замечание 1. Обратные формулы пересчета xµ (u) µ = 0, . . . , n имеют вид aµ U (aµ ) x2µ = . (1.13) A0 (aµ )

§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ

165

Замечание 2. Доказательство соотношений (1.12) опирается на тождество, открытое Якоби (которое можно доказать с помощью вычетов) n X

k=1

um k n Q

i6=k

= δm,n−1 ,

(1.14)

m 6 n − 1.

(uk − ui )

Полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби имеет вид [88] S=

Sk (uk ) =

Zuk s 0

n X

Sk (uk , α0 , . . . , αn−1 ),

k=1

uQα (u) du, 2A(u)

Qα (u) =

n−1 X

(1.15) m

αm u ,

m=0

где α0 , . . . , αn−1 = E — константы разделения. При помощи канонического преобразования (u, v ) → (α, β) v = ∂S , ∂u

β = ∂S , ∂α

H(u, v ) → H 0 (α, β) = αn−1

с функцией (1.15) запишем уравнения движения α˙ 0 = . . . α˙ n−1 = 0,

β˙ 0 = . . . β˙ n−2 = 0,

β˙ n−1 = 1

в форме Абеля – Якоби (Абеля – Ковалевской) n

p 1 X ui dui = δ p p,n−1 dt, 2 R(ui ) i=1

p = 0, . . . , n − 1,

(1.16)

где характеристическая функция R(u) имеет вид R(u) =

8A(u)Qα (u) . u

3. Задача Неймана Пусть сфера S n вложена в Rn+1 с координатами x = (x0 , . . . , xn ) (x, x) = 1,

(1.17)

166

ГЛАВА 3

и потенциал задается уравнением V (x) = (x, Ax),

A = diag(a0 , . . . , an ).

(1.18)

Разделение переменных достигается в сфероконических координатах u1 , . . . , un , которые определяются как корни следующего уравнения (x, (z − A)−1 x ) = 0,

(1.19)

a0 < u1 < a 1 < . . . < u n < a n .

(1.20)

принадлежащие соответственно интервалам

Согласно (1.19), (1.20) переменные ui (x), i = 1, . . . , n определяют пересечение сферы (1.17) с одним из конфокальных конусов n X

ν=0

x2ν = 0, ui − a ν

i = 1, . . . , n.

Функция Гамильтона может быть представлена в форме H =− A(z) =

n Y

µ=0

X 2A(uk ) 0

U (uk )

(z − aµ ),

 vk2 + uk ,

U (z) =

n Y

i=1

(z − ui ),

где vk , k = 0, 1, . . . , n — канонические импульсы для uk k = 1, . . . , n, U 0 (z) = dU . dz

Замечание. Формулы пересчета xµ (u) имеют вид x2µ =

n Y U (aµ ) , где U (z) = (z − ui ), A0 (aµ ) i=1

µ = 0, . . . , n.

(1.21)

Полный интеграл уравнений Гамильтона – Якоби имеет вид S=

Sk (uk ) =

Zuk s 0

n X

Sk (uk , α0 , . . . , αn−1 ),

k=1

un + 2Qα (u) du, − 4A(u)

Qα (z) = α0 + α1 z + . . . + αn−1 z n−1 ,

где α0 , . . . , αn−1 = E — константы разделения.

§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ

167

Уравнения движения могут быть приведены к виду уравнений Абеля – Якоби: n p 1 X ui dui = δ p = 0, 1, . . . , n − 1, p p,n−1 dt, 2 R(ui ) i=1 R(u) = −A(u)(un + 2Qα (u)).

Обобщение задач Неймана и Якоби на случай движения материальной точки в полиномиальных и рациональных потенциалах, допускающих разделение переменных в эллиптических и сфероконических координатах было получено О. И. Богоявленским и С. Войцеховским почти одновременно в работах [8, 193]. Рассмотрим эти обобщения более подробно. 4. Системы с полиномиальным потенциалом, допускающие разделение переменных Полиномиальные потенциалы, разделимые в эллиптических координатах. Пусть частица единичной массы движется в R n+1 в потенциальном поле с потенциалом V (x0 , . . . , xn ). Лагранжиан системы имеет вид n X L= 1 x˙ 2i − V (x0 , . . . , xn ). 2 i=0

Эллиптические координаты u0 , . . . , un определяются как корни уравнения (x , (A − z)−1 x ) − 1 = 0,

A = diag(a0 , . . . , an ),

ai 6= aj ,

(1.22)

удовлетворяющие следующим неравенствам u0 < a 0 < u 1 < a 1 < . . . < u n < a n .

(1.23)

Записывая гамильтониан через координаты ui , i = 0, . . . , n и соответствующие им канонические импульсы vi , i = 0, . . . , n H=

n X 2A(ui ) i=0

A(z) =

n Y

i=0

U 0 (ui )

(z − ai ),

vi2 + V (u),

U (z) =

n Y

i=0

(z − ui ),

находим, что переменные разделяются, если потенциал V (u) можно представить в форме n X ϕi (ui ) V (u) = . (1.24) 0 U (ui ) i=0

168

ГЛАВА 3

При этом разделение переменных с учетом тождества Якоби (1.14) задается соотношением n  X 1  2 2A(u )v + ϕ (u ) − Q (u ) = 0, i i i α i i U 0 (ui ) (1.25) i=0 Qα (u) = α0 + α1 u + . . . + αn un ,

где α0 , . . . , αn = E — постоянные разделения. Согласно [8, 193], если все функции ϕi (ui ) выбрать одинаковыми полиномами в виде ϕ(u) = un+1 (c0 + c1 u + . . . + cN uN ), (1.26) то в исходных декартовых переменных x0 , . . . , xn потенциал является полиномом степени 2(N + 1). Явный вид потенциала может быть получен следующем образом. Рассмотрим следующие разложения N X  N  ϕ(z) 1 = X c z k (1 + Z + Z 2 + . . .), = c0 z k 0 1−Z U (z) k=0 k=0 (1.27) n+1 n   X Y ui k+1 σk (u0 , . . . , uk ) 1− z = (−1) Z =1− , zk i=0

k=1

где σk (u) — элементарная симметрическая по переменным u0 , . . . , un функция степени k, σ0 (u) ≡ 1. Используя вычеты, можно показать, что функция V (u) совпадает с коэффициентом при z −1 в разложении (1.27). Таким образом, в эллиптических координатах получим следующее представление V (u) = c0 σ1 (u) + c0 (σ12 (u) − σ2 (u))+ +c2 (σ13 (u) − 2σ1 (u)σ2 (u) + σ3 (u))+

+c3 (σ14 (u) − 3σ13 (u)σ2 (u) + 2σ1 (u)σ2 (u) + σ22 (u) + σ4 (u)) + . . . + +cN (σ1N +1 (u) − N σ1N −1 (u)σ2 (u) + . . .).

Полиномы σk (u) выражаются через полиномы в исходных декартовых переменных Pk (x ) в декартовых переменных по формулам: σk (u) = (−1)k (σk (a) − Pk−1 (x )), k n   X X 2 (−1)i aj σk−1 (a) . Pk (x ) = xj σk (a) + j=0

(1.28)

i=1

Ниже мы приведем более удобный способ явно получать эти полиномы при помощи производящей функции.

§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ

169

Очевидно, что любые линейные комбинации указанных потенциалов также определяют интегрируемые потенциалы, разделяющиеся в эллиптических координатах. Замечание. Соотношение (1.28) между симметрическими функциями σk (u) и полиномами Pk (x ) получаются из приравнивания коэффициентов при z n+1−k , k = 1, . . . , n + 1 в обеих частях уравнения, определяющего эллиптические координаты: (x , (z − A)x ) − 1 =

U (z) . A(z)

Интегрируемые потенциалы на n-осном эллипсоиде. Если в предыдущих формулах положить aµ > 0, µ = 0, . . . , n и зафиксировать u0 = 0, то получается задача о движении частицы по n-осному эллипсоиду с потенциалом V (x0 , . . . , xn ). Полиномиальные разделимые потенциалы задаются соответственно формулами n n X Y ϕ(ui ) e (z) = V = , U (z − ui ), e0 i=1 U (ui ) i=1 (1.29) N X  k n ϕ(z) = c0 z z . k=0

Частные случаи:

1) ϕ = 0 — задача Якоби, 2) N = 0, c0 = 1, V2 (x0 , . . . , xn ) = x20 + . . . + x2n + const этот интегрируемый случай указан Якоби. Он соответствует добавлению в задачу о геодезических упругой пружины, прикрепленной к центру эллипсоида. 3) N = 1 — интегрируемый потенциал 4-й степени n n   X X V4 (x ) = c1 V22 + c0 V2 − c1 σ2 (a) − σ1 (a) x2i − ai x2i . i=0

i=0

Полиномиальные потенциалы, разделимые в сфероконических координатах. Рассмотрим обобщение задачи Неймана на сфере (1.4), при котором потенциал частицы на сфере S n является полиномиальным относительно декартовых координат x0 , . . . , xn .

170

ГЛАВА 3

В сфероконических координатах u1 , . . . , un (1.19), (1.20) разделимые потенциалы задаются естественным образом V (u) =

n X ϕi (ui ) , 0 U (ui ) i=1

U (z) =

n Y

i=1

(1.30)

(z − ui ),

соответствующие разделенные уравнения (1.6) принимают вид 2A(ui )p2i + ϕi (ui ) − Qα (ui ) = 0, n Y A(z) = (z − ai ), Qα (z) = α0 + . . . + αn−1 z n−1 ,

(1.31)

i=0

где α0 , . . . , αn−1 = E — константы разделения. Если положить, что ϕi (z) не зависит от i и представима в форме ϕ(z) = z n

N X

ck z k ,

(1.32)

k=0

то потенциал (1.30) в исходных декартовых координатах x 0 , . . . , xn является полиномом степени 2(N + 1). Явный вид этого потенциала также можно получить из разложения (1.32), но для сфероконических координат симметрические функции σk (u) выражаются через полиномы Pk (x ) по формуле σk (u) = (−1)k Pk (x ).

(1.33)

Для n = 2 (на двумерной сфере) в [8] указан явный вид потенциалов V (x ): ∞ X N X k N −k k V (x0 , x1 , x2 ) = (−1)k cN +k−1 CN σ1 σ2 , N =1 k=0

σ1 (u) =

2 X (−ai + ai x2i ), i=0

σ2 (u) = a0 a1 + a0 a2 + a1 a2 − (a0 + a1 + a2 )

2 X i=1

ai x2i +

2 X

a2i x2i .

i=0

Замечание 1. Соотношение (1.33) получается приравниванием коэффициентов при z n−k , k = 0, . . . , n в числителе выражения, определяющего сфероконические координаты U (z) . (x , (z − A)−1 x ) = A(z)

§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА – ЯКОБИ

171

Замечание 2. Во всех вышеприведенных системах характеристический полином уравнений Абеля – Якоби имеет вид R(z) = A(z)(ϕ(z) − Q(z)). 5. Рациональные разделяющиеся потенциалы и производящие функции Приведенные выше формулы для полиномиальных потенциалов, допускающих разделение в эллиптических и сфероконических координатах, неудобны для их записи в декартовых координатах. Укажем более простой способ их получения с помощью производящих функций (он был, видимо, впервые предложен С. Т. Садетовым). Частица в Rn+1 и на эллипсоиде (эллиптические координаты). Рассмотрим разложение в простые дроби функции U −1 (z) для эллиптических координат (1.22), (1.23): n n X 1 1 1 , U (z) = Y (z − u ). = µ (z − u0 )(z − u1 ) . . . (z − un ) U 0 (uµ ) z − uµ µ=0

µ=0

(1.34) Таким образом, потенциал V (u) = U −1 (z) относится к классу разделимых потенциалов (1.24). Коэффициенты разложения функции (z − uµ )−1 по степеням z и 1/z   u2µ uµ 1 = z1 1 + z + 2 + . . . , z − uµ z   2 1 = − u1 1 + uz + z 2 + . . . µ µ z − uµ uµ

(1.35)

совпадают с коэффициентами при степенях полинома (1.26) и задают соответствующие полиномиальные (и рациональные) потенциалы. Переписывая теперь (1.34) в исходных декартовых переменных, находим производящую функцию A−1 (z)

Φz (x ) = 1−

n P

µ=0

x2µ aµ − z

.

(1.36)

При разложении Φz (x ) в ряд по степеням 1/z получаем полиномиальные потенциалы, описанные выше. Соответственно разложение (1.36) по степеням z дает рациональные интегрируемые потенциалы.

172

ГЛАВА 3

Приведем некоторые наиболее простые потенциалы, сделав соответствующие упрощения. Квадратичный потенциал: V2 =

n X

x2µ =

µ=0

n X

µ=0

(1.37)

(aµ − uµ )

указан К. Якоби [88]. Потенциал четвертой степени: n n n n n n X 2 X X X  X X V4 = x2µ − aµ x2µ = uµ uν − aµ uµ − aµ aν µ=0

µ=0

µ=0

µ6ν

(1.38)

µ