Лекции по дискретной математике - БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ (Ëåêöèè ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå) Ì.È. Äåõòÿðü Ñîäåðæàíèå 1 Áóëåâû ôóíêöèè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ 1.1 1.2 1...

Author: Дехтярь М.И.

27 downloads 256 Views 359KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ (Ëåêöèè ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå) Ì.È. Äåõòÿðü

Ñîäåðæàíèå 1 Áóëåâû ôóíêöèè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Áóëåâû ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ Ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå . . Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå . . . . . Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2 Áóëåâû ôóíêöèè è ëîãèêà âûñêàçûâàíèé 2.1

2

2 3 3 6 8

9

Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë

13

4 Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû

16

3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4

Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè (òîæäåñòâà) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Îïðåäåëåíèå ÄÍÔ è ÊÍÔ Ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ Ñîêðàùåííûå ÄÍÔ . . . . Çàäà÷è . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

16 16 20 22

5 Ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà

22

6 Ïîëíûå ñèñòåìû ôóíêöèé è òåîðåìà Ïîñòà

25

5.1 6.1

Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1 Áóëåâû ôóíêöèè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ

2

1 Áóëåâû ôóíêöèè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ Áóëåâû ôóíêöèè1 íàçâàíû â ÷åñòü àíãëèéñêîãî ìàòåìàòèêà ÕIÕ âåêà Äæ. Áóëÿ, êîòîðûé âïåðâûå ïðèìåíèë àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû äëÿ ðåøåíèÿ ëîãè÷åñêèõ çàäà÷. Îíè îáðàçóþò ñàìûé ïðîñòîé íåòðèâèàëüíûé êëàññ äèñêðåòíûõ ôóíêöèé èõ àðãóìåíòû è çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü âñåãî äâà çíà÷åíèÿ (åñëè ìîùíîñòü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè ðàâíà 1, òî ýòî òðèâèàëüíàÿ ôóíêöèÿ êîíñòàíòà !). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòîò êëàññ äîñòàòî÷íî áîãàò è åãî ôóíêöèè èìåþò ìíîãî èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ.. Áóëåâû ôóíêöèè íàõîäÿò ïðèìåíåíèå â ëîãèêå, ýëåêòðîòåõíèêå, ìíîãèõ ðàçäåëàõ èíôîðìàòèêè.

1.1 Áóëåâû ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ Îáîçíà÷èì ÷åðåç B äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {0, 1}. Òîãäà B n = |B × B × {z. . . × B} n

ýòî ìíîæåñòâî âñåõ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (íàáîðîâ, âåêòîðîâ) äëèíû n. Áóëåâîé ôóíêöèåé îò n ïåðåìåííûõ (àðãóìåíòîâ) íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) : B n → B . Êàæäûé èç åå àðãóìåíòîâ xi , 1 ≤ i ≤ n, ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé 0 èëè 1 è çíà÷åíèåì ôóíêöèè íà ëþáîì íàáîðå èç B n òàêæå ìîæåò áûòü 0 èëè 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn ìíîæåñòâî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ. Íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü èõ ÷èñëî.

Òåîðåìà 1.1. |Pn | = 22 . n

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå 1.1 èç Ââåäåíèÿ ÷èñëî ôóíêöèé èç k -ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà A â m-ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî B ðàâíî mk . Â íàøåì ñëó÷àå B = {0, 1}, à A = B n . Òîãäà m = 2 è k = |B n | = 2n . Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. 2 Èìååòñÿ íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ è èíòåðïðåòàöèè áóëåâûõ ôóíêöèé. Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêîå è òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèÿ, à òàêæå ïðåäñòàâëåíèå ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ôîðìóë. Â ðàçäåëå 4 íà ñòð. 16 áóäåò ïîêàçàíî, êàê áóëåâû ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ñïåöèàëüíîãî âèäà äèçúþíêòèâíûõ è êîíúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì. Åùå îäíîìó ïðåäñòàâëåíèþ áóëåâûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ ôîðìóë ìíîãî÷ëåíîâ Æåãàëêèíà ïîñâÿùåí ðàçäåë 5 íà ñòð. 22. Êðîìå òîãî, â ãëàâå 6 áóäåò ðàññìîòðåíî åùå äâà ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé: ëîãè÷åñêèå ñõåìû è óïîðÿäî÷åííûå áèíàðíûå äèàãðàììû ðåøåíèé 1Â

îòå÷åñòâåííîé ëèòåðàòóðå èõ òàêæå ÷àñòî íàçûâàþò ôóíêöèÿìè àëãåáðû ëîãèêè.

1.2

1.2

Ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå

3

Ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå

B n ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê åäèíè÷íûé n-ìåðíûé êóá . Êàæäûé íàáîð èç íóëåé è åäèíèö äëèíû n çàäàåò âåðøèíó ýòîãî êóáà. Íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû åäèíè÷íûå êóáû B n ïðè n = 1, 2, 3, 4. 1111 t A A A 111 1110 1011 t f t t 1101At0111 t A @ A A @ A A A A @ A 101 1010 t f At A t 1100 At0110 11 110 @tf011 1001 t t t 1t t 0011 @ A At0101 A @ @ @ A A @ @ @ A A A @ A @tf @ t A A 100 10t t t0100 @t01 t 001 @t010 1000 0010A At 0001 @ @ A @ @ A @ @ A @t 0t @t A t

B1

002 B

000 B3

0000

B4

Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîå âçèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîäìíîæåñòâàìè âåðøèí n-ìåðíûõ åäèíè÷íûõ êóáîâ è áóëåâûìè ôóíêöèÿìè îò n ïåðåìåííûõ: ïîäìíîæåñòâó A ⊆ B n ñîîòâåòñòâóåò åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ 1 ïðè (x1 , . . . , xn ) ∈ A fA (x1 , . . . , xn ) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, âåðõíåé ãðàíè êóáà B 3 (åå âåðøèíû âûäåëåíû íà ðèñóíêå) ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ f : f (0, 0, 1) = f (0, 1, 1) = f (1, 0, 1) = f (1, 1, 1) = 1 è f (0, 0, 0) = f (0, 1, 0) = f (1, 0, 0) = f (1, 1, 0) = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå äåéñòâèòåëüíî âçàèìíîîäíîçíà÷íîå: êàæäàÿ áóëåâàÿ ôóíêöèÿ f îò n ïåðåìåííûõ çàäàåò ïîäìíîæåñòâî Af = {(x1 , . . . , xn ) | f (x1 , . . . , xn ) = 1} âåðøèí B n . Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ, òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ 0, çàäàåò ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ⊂ B n , à ôóíêöèÿ, òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ 1, çàäàåò ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí B n .

1.3

Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå

Áóëåâû ôóíêöèè îò íåáîëüøîãî ÷èñëà àðãóìåíòîâ óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñ ïîìîùüþ òàáëèö. Òàáëèöà äëÿ ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) èìååò n + 1 ñòîëáåö. Â ïåðâûõ n ñòîëáöàõ óêàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ x1 , . . . , xn , à â (n+1)-îì ñòîëáöå çíà÷åíèå ôóíêöèè íà ýòèõ àðãóìåíòàõ f (x1 , . . . , xn ).


4

Òàáëèöà 1: Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn )

x1 0 0 0 . 1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

xn−1 0 0 1 . 1

xn 0 1 0 . 1

f (x1 , . . . xn−1 , xn ) f (0, . . . , 0, 0) f (0, . . . , 0, 1) f (0, . . . , 1, 0) ... f (1, . . . , 1, 1)

Íàáîðû àðãóìåíòîâ â ñòðîêàõ îáû÷íî ðàñïîëàãàþòñÿ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå: (α1 , . . . , αn ) ≺ (β1 , . . . , βn ) ⇔ ñóùåñòâóåò òàêîå i ∈ [1, n], ÷òî ïðè j < i αj = βj , à αi < βi . Åñëè ýòè íàáîðû ðàññìàòðèâàòü êàê çàïèñè ÷èñåë â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, òî 1-àÿ ñòðîêà ïðåäñòàâëÿåò ÷èñëî 0, 2-àÿ 1, 3-ÿ 2, ... , à ïîñëåäíÿÿ 2n − 1. Ïðè áîëüøèõ n òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ñòàíîâèòñÿ ãðîìîçäêèì, íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè îò 10 ïåðåìåííûõ ïîòðåáóåòñÿ òàáëèöà ñ 1024 ñòðîêàìè. Íî äëÿ ìàëûõ n îíî äîñòàòî÷íî íàãëÿäíî. Ïðåäñòàâèì â òàáëè÷íîì âèäå âñå áóëåâû ôóíêöèè îò 1-îé ïåðåìåííîé. Òàáëèöà 2: Áóëåâû ôóíêöèè îò 1-îé ïåðåìåííîé

x1 0 1

f1 0 0

f2 1 1

f3 0 1

f4 1 0

Â ýòîé òàáëèöå ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþùèå ôóíêöèè: 1. f1 (x1 ) = 0 êîíñòàíòà 0; 2. f2 (x1 ) = 1 êîíñòàíòà 1; 3. f3 (x1 ) = x1 òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ; 4. f4 (x1 ) = ¬x1 îòðèöàíèå x1 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå x1 , à â ÿçûêàõ ïðîãðàììèðîâàíèÿ ýòà ôóíêöèÿ ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ êàê N OT x1 ). Â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðåäñòàâëåíû âñå 16 ôóíêöèé îò 2-õ ïåðåìåííûõ. Ìíîãèå èç ýòèõ ôóíêöèé ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíûõ è èìåþò ñîáñòâåííûå îáîçíà÷åíèÿ.

1.3

x1 0 0 1 1

Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå

x2 0 1 0 1

f1 0 0 0 0

f2 1 1 1 1

5

Òàáëèöà 3: Áóëåâû ôóíêöèè îò 2-õ ïåðåìåííîé

f3 0 0 1 1

f4 1 1 0 0

f5 0 1 0 1

f6 1 0 1 0

f7 0 0 0 1

f8 0 1 1 1

f9 1 1 0 1

f10 0 1 1 0

f11 1 0 0 1

f12 1 1 1 0

f13 1 0 0 0

f14 0 1 0 0

f15 0 0 1 0

f16 1 0 1 1

1. f1 (x1 , x2 ) = 0 êîíñòàíòà 0; 2. f2 (x1 , x2 ) = 1 êîíñòàíòà 1; 3. f3 (x1 , x2 ) = x1 ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ 1-ìó àðãóìåíòó ; 4. f4 (x1 , x2 ) = ¬x1 îòðèöàíèå x1 ; 5. f5 (x1 , x2 ) = x2 ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ 2-ìó àðãóìåíòó ; 6. f6 (x1 , x2 ) = ¬x2 îòðèöàíèå x2 ; 7. f7 (x1 , x2 ) = (x1 ∧ x2 ) êîíúþíêöèÿ, ÷èòàåòñÿ x1 è x2 (èñïîëüçóþòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèÿ (x1 &x2 ), (x1 x2 ), min(x1 , x2 ) è (x1 AND x2 )); 8. f8 (x1 , x2 ) = (x1 ∨ x2 ) Äèçúþíêöèÿ, ÷èòàåòñÿ x1 èëè x2 (èñïîëüçóþòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèÿ (x1 + x2 ), max(x1 x2 ) è (x1 OR x2 )); 9. f9 (x1 , x2 ) = (x1 → x2 ) èìïëèêàöèÿ, ÷èòàåòñÿ x1 âëå÷åò x2 èëè èç x1 ñëåäóåò x2 (èñïîëüçóþòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèÿ (x1 ⊃ x2 ), è ( IF x1 THEN x2 ) ); 10. f10 (x1 , x2 ) = (x1 + x2 ) ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2, ÷èòàåòñÿ x1 ïëþñ x2 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå (x1 ⊕ x2 )); 11. f11 (x1 , x2 ) = (x1 ∼ x2 ) ýêâèâàëåíòíîñòü, ÷èòàåòñÿ x1 ýêâèâàëåíòíî (ðàâíîñèëüíî) x2 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå (x1 ≡ x2 ) ); 12. f12 (x1 , x2 ) = (x1 |x2 ) øòðèõ Øåôôåðà (àíòèêîíúþíêöèÿ), èíîãäà ÷èòàåòñÿ êàê íå x1 è x2 ; 13. f13 (x1 , x2 ) = (x1 ↓ x2 ) ñòðåëêà Ïèðñà (àíòèäèçúþíêöèÿ), èíîãäà ÷èòàåòñÿ êàê íå x1 èëè x2 . Â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü 0-ìåñòíûå ôóíêöèèêîíñòàíòû 0 è 1. Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèè f1 (x1 , x2 ) è f2 (x1 , x2 ) ôàêòè÷åñêè íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèé îáîèõ àðãóìåíòîâ, ôóíêöèè f3 (x1 , x2 ) è f4 (x1 , x2 ) íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèé àðãóìåíòà x2 , à ôóíêöèè f5 (x1 , x2 ) è f6 (x1 , x2 ) íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèé àðãóìåíòà x1 .

6


Îïðåäåëåíèå 1.1. Ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) íå çàâèñèò îò àðãóìåíòà xi , åñëè

äëÿ ëþáîãî íàáîðà çíà÷åíèé σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , . . . , σn îñòàëüíûõ àðãóìåíòîâ f èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî f (σ1 , . . . , σi−1 , 0, σi+1 , . . . , σn ) = f (σ1 , . . . , σi−1 , 1, σi+1 , . . . , σn ). Òàêîé àðãóìåíò xi íàçûâàåòñÿ ôèêòèâíûìè. Àðãóìåíòû, íå ÿâëÿþùèåñÿ ôèêòèâíûìè, íàçûâàþòñÿ ñóùåñòâåííûìè. Ôóíêöèè f1 (x1 , . . . , xn ) è f2 (x1 , . . . , xm ) íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ôóíêöèþ f2 ìîæíî ïîëó÷èòü èç ôóíêöèè f1 ïóòåì äîáàâëåíèÿ è óäàëåíèÿ ôèêòèâíûõ àðãóìåíòîâ. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâëÿþòñÿ îäíîìåñòíàÿ ôóíêöèÿ f3 (x1 ) è äâóõìåñòíàÿ ôóíêöèÿ f3 (x1 , x2 ), òàê êàê âòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé äîáàâëåíèåì ôèêòèâíîãî àðãóìåíòà x2 . Ìû íå áóäåì ðàçëè÷àòü ðàâíûå ôóíêöèè è, êàê ïðàâèëî, áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ðàâíûõ ôóíêöèé îäíî è òî æå èìÿ ôóíêöèè. Â ÷àñòíîñòè, ýòî ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü, ÷òî âî âñÿêîì êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ôóíêöèé âñå ôóíêöèè çàâèñÿò îò îäíîãî è òîãî æå ìíîæåñòâà ïåðåìåííûõ.

1.4 Ôîðìóëû Êàê ìû âèäåëè, ãåîìåòðè÷åñêîå è òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé ïîäõîäÿò ëèøü äëÿ ôóíêöèé ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì àðãóìåíòîâ. Ôîðìóëû ïîçâîëÿþò, óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ìíîãèå ôóíêöèè îò áîëüøåãî ÷èñëà àðãóìåíòîâ è îïåðèðîâàòü ðàçëè÷íûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè îäíîé è òîé æå ôóíêöèè. Ïóñòü B íåêîòîðîå (êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå) ìíîæåñòâî áóëåâûõ ôóíêöèé. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ V = {X1 , X2 , . . .}. Îïðåäåëèì ïî èíäóêöèè ìíîæåñòâî ôîðìóë íàä B ñ ïåðåìåííûìè èç V . Îäíîâðåìåííî áóäåì îïðåäåëÿòü ÷èñëîâóþ õàðàêòåðèñòèêó dep(Φ) ôîðìóëû Φ, íàçûâàåìóþ åå ãëóáèíîé è ìíîæåñòâî åå ïîäôîðìóë.

Îïðåäåëåíèå 1.2.

à) Áàçèñ èíäóêöèè. Êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ Xi ∈ V è êàæäàÿ êîíñòàíòà c ∈ B ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé ãëóáèíû 0, ò.å. dep(Xi ) = dep(c) = 0. Ìíîæåñòâî åå ïîäôîðìóë ñîñòîèò èç íåå ñàìîé. á) Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü f (x1 , . . . , xm ) ∈ B è A1 , . . . , Am ôîðìóëû, è max{dep(Ai ) | i = 1, . . . , m} = k . Òîãäà âûðàæåíèå Φ = f (A1 , . . . , Am ) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé, åå ãëóáèíà dep(Φ) ðàâíà k + 1, à ìíîæåñòâî ïîäôîðìóë Φ âêëþ÷àåò ñàìó ôîðìóëó Φ è âñå ïîäôîðìóëû ôîðìóë A1 , . . . , Am . Êàæäîé ôîðìóëå Φ(X1 , . . . , Xn ) ñîïîñòàâèì áóëåâó ôóíêöèþ, êîòîðóþ ýòà ôîðìóëà çàäàåò, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ ïî ãëóáèíå ôîðìóëû. Áàçèñ èíäóêöèè. Ïóñòü dep(Φ) = 0. Òîãäà Φ = Xi ∈ V èëè Φ = c ∈ B Â ïåðâîì ñëó÷àå

1.4 Ôîðìóëû

7

Φ çàäàåò ôóíêöèþ fΦ (Xi ) = Xi , âî âòîðîì ôóíêöèþ, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ c. Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü Φ ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà ãëóáèíû dep(Φ) = k + 1. Òîãäà Φ(X1 , . . . , Xn ) = fi (A1 , . . . , Am ), ãäå fi ∈ B è A1 , . . . , Am ôîðìóëû, äëÿ êîòîðûõ max1≤i≤m {dep(Ai )} = k . Ïðåäïîëîæèì (ïî èíäóêöèè), ÷òî ýòèì ôîðìóëàì óæå ñîïîñòàâëåíû ôóíêöèè g1 (X1 , . . . , Xn ), . . . , gm (X1 , . . . , Xn ). Òîãäà ôîðìóëà Φ çàäàåò ôóíêöèþ fΦ (X1 , . . . , Xn ) = fi (g1 (X1 , . . . , Xn ), . . . , gm (X1 , . . . , Xn )). Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôîðìóëû íàä ìíîæåñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé Be = {0, 1, ¬, ∧, ∨, →, +, ∼, |, ↓}. Âñå ýòè ôóíêöèè, êðîìå êîíñòàíò, íàçûâàþòñÿ ëîãè÷åñêèìè ñâÿçêàìè èëè ëîãè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè. Ïðè ýòîì äëÿ 2-ìåñòíûõ ôóíêöèé èç ýòîãî ñïèñêà áóäåì èñïîëüçîâàòü èíôèêñíóþ çàïèñü, â êîòîðîé èìÿ ëîãè÷åñêîé ñâÿçêè ïîìåùàåòñÿ ìåæäó 1-ûì è 2-ûì àðãóìåíòàìè. Òîãäà îïðåäåëåíèå ôîðìóëû íàä Be èìååò ñëåäóþùèé âèä.

Îïðåäåëåíèå 1.3.

à) Áàçèñ èíäóêöèè. 0, 1 è êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ Xi ∈ V ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè ãëóáèíû 0. á) Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü Φ1 è Φ2 ôîðìóëû, ◦ ∈ {∧, ∨, →, +, ∼, |, ↓}. Òîãäà âûðàæåíèÿ ¬Φ1 è (Φ1 ◦ Φ2 ) ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè. Ïðè ýòîì dep(¬Φ1 ) = 1 + dep(Φ1 ), à dep((Φ1 ◦ Φ2 )) = 1 + max{dep(Φ1 ), dep(Φ2 )}. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì âûðàæåíèÿ Φ1 (X1 , X2 ) = ¬(X1 ∧ ¬X2 ) è Φ2 (X1 , X2 , X3 ) = ((X1 ∨¬¬X2 ) → (X3 ∼ (X1 ↓ ¬X2 ))) ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè. Ãëóáèíà Φ1 ðàâíà 3, à ãëóáèíà Φ2 ðàâíà 4. Âûðàæåíèÿ æå ¬X1 + (¬X2 ∨ X3 ), (X1 ¬ ∧ X2 ) è (X1 + X2 + X3 ) ôîðìóëàìè íå ÿâëÿþòñÿ (ïî÷åìó? ). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çàäàâàåìîé ôîðìóëîé, óäîáíî èñïîëüçîâàòü òàáëèöó, ñòðîêè êîòîðîé ñîòâåòñòâóþò íàáîðàì çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, à â ñòîëáöå ïîä çíàêîì êàæäîé ëîãè÷åñêîé ñâÿçêè ñòîÿò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, çàäàâàåìîé ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäôîðìóëîé. Íàïðèìåð, äëÿ ôîðìóëû Φ2 ôóíêöèÿ fΦ2 çàäàåòñÿ âûäåëåííûì ñòîëáöîì → ñëåäóþùåé òàáëèöû.

Òàáëèöà 4: Ôóíêöèÿ fΦ2 X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 1 1 0 0 1 1

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

((X1 0 0 0 0 1 1 1 1

∨ 0 0 1 1 1 1 1 1

¬ 0 0 1 1 0 0 1 1

¬ 1 1 0 0 1 1 0 0

X2 ) 0 0 1 1 0 0 1 1

→ 1 1 0 1 1 0 1 0

(X3 0 1 0 1 0 1 0 1

∼ 1 0 0 1 1 0 1 0

(X1 0 0 0 0 1 1 1 1

↓ 0 0 1 1 0 0 0 0

¬ 1 1 0 0 1 1 0 0

X2 ))) 0 0 1 1 0 0 1 1

8


1.5 Çàäà÷è Çàäà÷à 1.1. Êàêèå ïîäìíîæåñòâà âåðøèí B 4 ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèì áóëåâûì ôóíêöèÿì: à) f1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 ⇔ á) f2 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 ⇔ â) f3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 ⇔ ã) f4 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 ⇔

x1 = 0 ; x4 = 1 ; x1 + x2 ≥ x3 + x4 (çäåñü + - àðèôìåòè÷åñêîå ñëîæåíèå); x1 x2 = 0 èëè x3 x4 = 1.

Çàäà÷à 1.2. Ïîñòðîèòü òàáëèöû çíà÷åíèé äëÿ ñëåäóþùèõ áóëåâûõ ôóíêöèé:

à) f1 (X1 , X2 , X3 ) = 1 ⇔ X1 + X3 ≥ X2 ; á) f2 (X1 , X2 , X3 ) = 1 ⇔ ñóììà (X1 + X2 + X3 ) ÷åòíà; â) f3 (X1 , X2 , X3 ) = 0 ⇔ çíà÷åíèå X1 ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì X2 èëè ñî çíà÷åíèåì X3 . ã) f4 (X1 , X2 , X3 ) = åñëè X1 = 1, òî X2 , èíà÷å X3 .

Çàäà÷à 1.3. Ïîñòðîèòü òàáëèöû äëÿ ôóíêöèé, çàäàâàåìûõ ñëåäóþùèìè ôîðìóëà-

ìè: à) Ψ1 = ((X1 → ¬X3 ) ∨ (X2 + X3 )); á) Ψ2 = (¬(X1 | X2 ) ∼ (¬X1 ∧ X2 )); â) Ψ3 = ((X2 + ¬X3 ) ∧ ((X1 ∨ X2 ) → (X1 ∼ ¬X3 ))).

Çàäà÷à 1.4. Íàçîâåì äâà íàáîðà α = (α1 , . . . , αn ) ∈ B n è β = (β1 , . . . , βn ) ∈ B n

ñîñåäíèìè, åñëè îíè íàõîäÿòñÿ â ñîñåäíèõ ñòðîêàõ òàáëèöû äëÿ ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ, ò.å. ïðåäñòàâëÿþò äâîè÷íûå çàïèñè ÷èñåë iα è iβ , äëÿ êîòîðûõ |iα − iβ | = 1. Íàéòè ÷èñëî ôóíêöèé â Pn , êîòîðûå íà ëþáîé ïàðå ñîñåäíèõ íàáîðîâ ïðèíèìàþò à) îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ; á) ðàçíûå çíà÷åíèÿ.

Çàäà÷à 1.5. Íàçîâåì äâà íàáîðà α = (α1 , . . . , αn ) ∈ B n è β = (β1 , . . . , βn ) ∈ B n

ïðîòèâîïîëîæíûìè, åñëè äëÿ âñÿêîãî i αi = 1 ⇔ βi = 0 (è, ñëåäîâàòåëüíî, αi = 0 ⇔ βi = 1). Íàéòè ÷èñëî ôóíêöèé â Pn , êîòîðûå íà ëþáîé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðîâ ïðèíèìàþò ðàçíûå çíà÷åíèÿ.

Çàäà÷à 1.6. Ïóñòü n = 2k . Íàçîâåì íàáîð α = (α1 , . . . , αn ) ∈ B n ïàðíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , k αi = α2i , ò.å. α = α0 α0 äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà α0 ðàçìåðà k . Íàéòè ÷èñëî ôóíêöèé â Pn , êîòîðûå íà âñåõ ïàðíûõ íàáîðàõ ïðèíèìàþò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå.

9

2 Áóëåâû ôóíêöèè è ëîãèêà âûñêàçûâàíèé Êàê ìû óæå îòìåòèëè, Äæ. Áóëü ââåë áóëåâû ôóíêöèè äëÿ ðåøåíèÿ ëîãè÷åñêèõ çàäà÷. Â ëîãèêå ïîä âûñêàçûâàíèåì ïîíèìàþò íåêîòîðîå ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ìîæíî ñêàçàòü, èñòèííî îíî èëè ëîæíî. Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé çàíèìàåòñÿ âûÿñíåíèåì èñòèííîñòè òåõ èëè èíûõ âûñêàçûâàíèé, ñâÿçüþ ìåæäó èñòèííîñòüþ ðàçëè÷íûõ âûñêàçûâàíèé è ò.ï. Áóëåâû ôóíêöèè ìîãóò ñëóæèòü ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ ëîãè÷åñêèõ çàäà÷. Êàæäóþ ïåðåìåííóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðîå ýëåìåíòàðíîå âûñêàçûâàíèå, ïðèíèìàþùåå îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé: 1 (èñòèíà) èëè 0 (ëîæü). Ñëîæíûì âûñêàçûâàíèÿì ñîîîòâåòñòâóþò ôîðìóëû, ïîñòðîåííûå èç ýëåìåíòàðíûõ âûñêàçûâàíèé ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê. Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ çàäàâàåìûõ èìè ôóíêöèé, ìîæíî óñòàíàâëèâàòü çàâèñèìîñòè èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé ñëîæíûõ âûñêàçûâàíèé îò çíà÷åíèé âõîäÿùèõ â íèõ ýëåìåíòàðíûõ âûñêàçûâàíèé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.

Ïðèìåð 2.1. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî â äîðîæíîì ïðîèøåñòâèè ó÷àñòâîâàëè òðè

àâòîìîáèëÿ ñ âîäèòåëÿìè A, B è C . Ñâèäåòåëè ïðîèøåñòâèÿ äàëè ñëåäóþùèå ïîêàçàíèÿ: 1-ûé ñâèäåòåëü: åñëè A âèíîâåí, òî èç îñòàëüíûõ B è C õîòü îäèí íå âèíîâåí; 2-îé ñâèäåòåëü: åñëè C íå âèíîâåí, òî âèíîâåí êòî-òî îäèí èç ïàðû A, B íî íå îáà âìåñòå; 3-èé ñâèäåòåëü: â ñòîëêíîâåíèè âèíîâíû íå ìåíåå äâóõ âîäèòåëåé. Ìîæíî ëè íà îñíîâàíèè ýòèõ ïîêàçàíèé ñäåëàòü âûâîä, ÷òî C ÿâëÿåòñÿ âèíîâíèêîì ïðîèøåñòâèÿ? Ìîæíî ëè îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü âòîðîãî âèíîâíèêà? Äëÿ îòâåòà íà ýòè âîïðîñû ââåäåì òðè ïåðåìåííûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþùèì âûñêàçûâàíèÿì: X1 : âèíîâåí A , X2 : âèíîâåí B è X3 : âèíîâåí C . Òîãäà ïîêàçàíèÿ 1-ãî ñâèäåòåëÿ îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëîé Φ1 = (X1 → (¬X2 ∨ ¬X3 )), ïîêàçàíèÿ 2-ãî ñâèäåòåëÿ Φ2 = (¬X3 → ((X1 ∨ X2 ) ∧ ¬(X1 ∧ X2 ))), à 3-ãî ñâèäåòåëÿ Φ3 = ((X1 ∧ X2 ) ∨ ((X1 ∧ X3 ) ∨ (X2 ∧ X3 ))). Ïîêàçàíèÿì âñåõ òðåõ ñâèäåòåëåé ñîîòâåòñòâóåò êîíúþíêöèÿ ýòèõ ôîðìóë Ψ = (Φ1 ∧ (Φ2 ∧ Φ3 )). Ñîñòàâèì òàáëèöû çíà÷åíèé äëÿ ôóíêöèé fΦi (i = 1, 2, 3) , à çàòåì äëÿ fΨ .

2 Áóëåâû ôóíêöèè è ëîãèêà âûñêàçûâàíèé

10


X2 0 0 1 1 0 0 1 1

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

(X1 0 0 0 0 1 1 1 1

→

1 1 1 1 1 1 1 0

(¬ 1 1 0 0 1 1 0 0

X2 0 0 1 1 0 0 1 1

∨ 1 1 1 0 1 1 1 0

¬ 1 0 1 0 1 0 1 0

X3 )) 0 1 0 1 0 1 0 1

¬ 1 1 1 1 1 1 0 0

(X1 0 0 0 0 1 1 1 1


X2 0 0 1 1 0 0 1 1

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

(¬ 1 0 1 0 1 0 1 0

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

→

0 1 1 1 1 1 0 1

((X1 0 0 0 0 1 1 1 1

∨ 0 0 1 1 1 1 1 1

X2 ) 0 0 1 1 0 0 1 1

∧ 0 0 1 1 1 1 0 0

∧ 0 0 0 0 0 0 1 1

X2 ))) 0 0 1 1 0 0 1 1

Èç ýòîé òàáëèöû ñëåäóåò, ÷òî fΨ (X1 , X2 , X3 ) = 1 íà äâóõ íàáîðàõ: (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 1) è (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1) (ñòðîêè ñ ýòèìè íàáîðàìè ïîä÷åðêíóòû). Ïîñêîëüêó â îáîèõ ñëó÷àÿõ X3 = 1, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî Ñ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âèíîâíèêîâ ïðîèøåñòâèÿ. Îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü âòîðîãî âèíîâíèêà ïîëó÷åííàÿ îò ñâèäåòåëåé èíôîðìàöèÿ íå ïîçâîëÿåò, òàê êàê â îäíîì ñëó÷àå èì ÿâëÿåòñÿ À, à â äðóãîì Â. Âàæíóþ ðîëü â ëîãèêå èãðàþò ïîíÿòèÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé è âûïîëíèìîé ôîðìóëû.

Îïðåäåëåíèå 2.1. Áóëåâà ôîðìóëà Φ íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé, åñëè

îíà èñòèííà ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåå ïåðåìåííûõ, ò.å. ôóíêöèÿ fΦ òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Áóëåâà ôîðìóëà Φ íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, íà êîòîðîì îíà èñòèííà, ò.å. ôóíêöèÿ fΦ ðàâíà 1 õîòü íà îäíîì íàáîðå àðãóìåíòîâ.

11 Òàáëèöà 7: Ôóíêöèÿ fΦ3 X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 1 1 0 0 1 1

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

((X1 0 0 0 0 1 1 1 1

∧ 0 0 0 0 0 0 1 1

X2 ) 0 0 1 1 0 0 1 1

∨

0 0 0 1 0 1 1 1

((X1 0 0 0 0 1 1 1 1

∧ 0 0 0 0 0 1 0 1

X3 ) 0 1 0 1 0 1 0 1

∨ 0 0 0 1 0 1 0 1

(X2 0 0 1 1 0 0 1 1

∧ 0 0 0 1 0 0 0 1

X3 ))) 0 1 0 1 0 1 0 1

Òàáëèöà 8: Ôóíêöèÿ fΨ X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 1 1 0 0 1 1

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

(Φ1 1 1 1 1 1 1 1 0

∧

0 0 0 1 0 1 0 0

(Φ2 0 1 1 1 1 1 0 1

∧ 0 0 0 1 0 1 0 1

Φ3 )) 0 0 0 1 0 1 1 1

Êàê ïðîâåðèòü òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü èëè âûïîëíèìîñòü ôîðìóëû Φ? Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ, ÷òî îòâåò ïðîñò ïîñòðîèì ïî Φ òàáëèöó äëÿ ôóíêöèè fΦ è, åñëè â ñòîëáöå çíà÷åíèé ñòîÿò òîëüêî åäèíèöû, òî çàêëþ÷àåì, ÷òî Φ òîæäåñòâåííî èñòèííà, åñëè òàì åñòü õîòü îäíà åäèíèöà, òî Φ âûïîëíèìà. Ê ñîæàëåíèþ, ýòîò ñïîñîá ïðèãîäåí òîëüêî äëÿ ôîðìóë ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì ïåðåìåííûõ. Óæå äëÿ íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ è ñîòåí ïåðåìåííûõ îí íå ãîäèòñÿ èç-çà áîëüøîãî ðàçìåðà ïîëó÷àþùåéñÿ òàáëèöû íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî 290 ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâî àòîìîâ âî âñåé âèäèìîé âñåëåííîé. Â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ïîñòðîåíû àêñèîìàòè÷åñêèå ñèñòåìû, ïîçâîëÿþùèå ôîðìàëèçîâàòü ÷åëîâå÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ î âûâîäèìîñòè îäíèõ òîæäåñòâåííî èñòèííûõ ôîðìóë èç äðóãèõ Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îíè ïîçâîëÿþò äîêàçàòü òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü äîñòàòî÷íî äëèííûõ ôîðìóë, èìåþùèõ ðåãóëÿðíóþ ñòðóêòóðó. Íî â îáùåì ñëó÷àå è îíè ïðàêòè÷åñêè íå ïðèìåíèìû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ôîðìóë ñ áîëüøèì ÷èñëîì ïåðåìåííûõ. Â òåîðèè ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ èìååòñÿ ðÿä ðåçóëüòàòîâ (îíè âûõîäÿò çà ðàì-

12

2 Áóëåâû ôóíêöèè è ëîãèêà âûñêàçûâàíèé

êè íàøåãî êóðñà), êîòîðûå ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ïðîâåðêè âûïîëíèìîñòè èëè òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ïðîèçâîëüíîé áóëåâîé ôîðìóëû íå ñóùåñòâóåò. Âìåñòå ñ òåì äëÿ íåêîòîðûõ ïîäêëàññîâ ôîðìóë ýòè çàäà÷è ðåøàþòñÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî. Îäèí òàêîé ïîäêëàññ Õîðíîâñêèå ôîðìóëû áóäåò ðàññìîòðåí äàëåå â ãëàâå 3.

2.1 Çàäà÷è Çàäà÷à 2.1. Àäìèíèñòðàòîð áàçû äàííûõ îáíàðóæèë, ÷òî îäíà èëè íåñêîëüêî èç

òðåõ çàïèñåé åãî áàçû: A, B è C îøèáî÷íà. Îí óñòàíîâèë, ÷òî à) åñëè çàïèñü B êîððåêòíà, òî A îøèáî÷íà; á) õîòÿ áû îäíà çàïèñü èç ïàðû B, C êîððåêòíà è õîòÿ áû îäíà çàïèñü èç ïàðû A, C êîððåêòíà; â) åñëè A îøèáî÷íà, òî õîòÿ îäíà èç çàïèñåé B, C êîððåêòíà (íî íå îáå âìåñòå). Îïèøèòå çíàíèÿ àäìèíèñòðàòîðà â âèäå áóëåâîé ôîðìóëû. Ìîæåò ëè îí ñäåëàòü âûâîä, ÷òî çàïèñü B îøèáî÷íà? Ìîæíî ëè äîñòîâåðíî óòâåðæäàòü, ÷òî îøèáî÷íàÿ çàïèñü åäèíñòâåííà?

Çàäà÷à 2.2. Ïðîãðàììèñò Ïåòð èñïîëüçîâàë â ñâîåé ïðîãðàììå òðè öåëî÷èñëåí-

íûå ïåðåìåííûå x, y è z . Â îïðåäåëåííîì ìåñòå ïðîãðàììû îí ïîìåñòèë óñëîâíûé îïåðàòîð: IF (x ∗ y ≥ 0) OR (x ∗ z ≥ 0) THEN x = 1 ELSE x = 2; Ïðîàíàëèçèðîâàâ ñâîþ ïðîãðàììó Ïåòð óñòàíîâèë, ÷òî ïåðåä âûïîëíåíèåì ýòîãî îïåðàòîðà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: à) åñëè z < 0, òî x < 0 èëè y ≥ 0; á) x ≥ 0 èëè y < 0; â) åñëè y < 0 , òî õîòÿ áû îäíà èç ïåðåìåííûõ x, z îòðèöàòåëüíà, íî íå îáå âìåñòå. Îïèøèòå çíàíèÿ Ïåòðà â âèäå áóëåâîé ôîðìóëû. Ìîæåò ëè îí îïòèìèçèðîâàòü ïðîãðàììó, çàìåíèâ óêàçàííûé óñëîâíûé îïåðàòîð íà ïðèñâîåíèå x = 1 èëè íà ïðèñâîåíèå x = 2? Åñëè äà, òî íà êàêîå?

Çàäà÷à 2.3. Êîìèòåò ñîñòîèò èç ïÿòè ÷ëåíîâ. Ðåøåíèÿ ïðèíèìàþòñÿ áîëü-

øèíñòâîì ãîëîñîâ, îäíàêî, åñëè ïðåäñåäàòåëü ãîëîñóåò ïðîòèâ, òî ðåøåíèå íå ïðèíèìàåòñÿ. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó, çàâèñÿùóþ îò 5 ïåðåìåííûõ X1 , X2 , X3 , X4 , Y (Xi = 1 ⇔ i-ûé ÷ëåí êîìèòåòà ãîëîñóåò çà, Y = 1 ⇔ ïðåäñåäàòåëü çà), çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ðåçóëüòàòå ãîëîñîâàíèÿ ðåøåíèå ïðèíèìàåòñÿ.

13

3 Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë Îïðåäåëåíèå 3.1. Áóëåâû ôîðìóëû Φ è Ψ íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñî-

îòâåòñòâóþùèå èì ôóíêöèè fΦ è fΨ ðàâíû. Îáîçíà÷åíèå: Φ ≡ Ψ.

3.1 Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè (òîæäåñòâà) Ïóñòü ◦ - ýòî îäíà èç ôóíêöèé ∧, ∨, +. Äëÿ ýòèõ òðåõ ôóíêöèé âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâå ýêâèâàëåíòíîñòè (çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè è êîììóòàòèâíîñòè). (1) Àññîöèàòèâíîñòü:

((X1 ◦ X2 ) ◦ X3 ) ≡ (X1 ◦ (X2 ◦ X3 )) (2) Êîììóòàòèâíîñòü:

(X1 ◦ X2 ) ≡ (X2 ◦ X1 )) (3) Äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû:

((X1 ∨ X2 ) ∧ X3 ) ≡ ((X1 ∧ X3 ) ∨ (X2 ∧ X3 )) ((X1 ∧ X2 ) ∨ X3 ) ≡ ((X1 ∨ X3 ) ∧ (X2 ∨ X3 )) ((X1 + X2 ) ∧ X3 ) ≡ ((X1 ∧ X3 ) + (X2 ∧ X3 )) (4) Äâîéíîå îòðèöàíèå:

¬(¬X) ≡ X (5)Çàêîíû äå Ìîðãàíà (âíåñåíèå îòðèöàíèÿ âíóòðü ñêîáîê):

¬(X1 ∨ X2 ) ≡ (¬X1 ∧ ¬X2 ) ¬(X1 ∧ X2 ) ≡ (¬X1 ∨ ¬X2 ) (6) Çàêîíû óïðîùåíèÿ:

(X ∧ X) ≡ X

(X ∨ X) ≡ X

(X ∧ ¬X) ≡ 0

(X ∨ ¬X) ≡ 1

(X ∧ 0) ≡ 0

(X ∨ 0) ≡ X

(X ∧ 1) ≡ X

(X ∨ 1) ≡ 1

Íåêîòîðûå çàêîíû óïðîùåíèÿ èìåþò ñîáñòâåííûå íàçâàíèÿ: ýêâèâàëåíòíîñòè â ïåðâîé ñòðîêå íàçûâàþòñÿ çàêîíàìè èäåìïîòåíòíîñòè, (X ∧ ¬X) ≡ 0 ýòî çàêîí

3 Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë

14

ïðîòèâîðå÷èÿ, (X ∨ ¬X) ≡ 1 ýòî çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî. Ýêâèâàëåíòíîñòè â äâóõ ïîñëåäíèõ ñòðîêàõ èíîãäà íàçûâàþò çàêîíàìè 0 è 1. Ñëåäóþùèå äâå ýêâèâàëåíòíîñòè ïîçâîëÿþò âûðàçèòü èìïëèêàöèþ è ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2 ÷åðåç äèçúþíêöèþ, êîíúþêöèþ è îòðèöàíèå. (7) (X1 → X2 ) ≡ (¬X1 ∨ X2 ) (8) (X1 + X2 ) ≡ ((X1 ∧ ¬X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 )) Ïðîâåðêà ïðàâèëüíîñòè ýòèõ ýêâèâàëåíòíîñòåé îñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëÿì (ñì. çàäà÷ó 3.1 íà ñòð. 15).

3.2 Ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóë Ñîãëàøåíèÿ îá óïðîùåííîé çàïèñè ôîðìóë. 1. Çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî çíà÷åíèÿ ôîðìóë, ñîñòàâëåííûõ èç ïåðåìåííûõ è îäíèõ îïåðàöèé êîíúþíêöèè, íå çàâèñÿò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Ïîýòîìó âìåñòî ôîðìóë (X1 ∧ X2 ) ∧ X3 ) è (X1 ∧ (X2 ∧ X3 )) ìû áóäåì äëÿ óïðîùåíèÿ ïèñàòü âûðàæåíèå (X1 ∧X2 ∧X3 ), êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé, íî ìîæåò áûòü ïðåâðàùåíî â íåå ñ ïîìîùüþ ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Àíàëîãè÷íî, áóäåì èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ (X1 ∨ X2 ∨ X3 ) è (X1 + X2 + X3 ) äëÿ ñîêðàùåíèÿ ôîðìóë, ñîñòîÿùèõ èç îäíèõ äèçúþíêöèé èëè îäíèõ ñëîæåíèé ïî ìîäóëþ 2, ñîîòâåòñòâåííî. 2. Åñëè âíåøíåé ôóíêöèåé â ôîðìóëå ÿâëÿåòñÿ îäíà èç ôóíêöèé ∧, ∨, +, →, òî âíåøíèå ñêîáêè â çàïèñè ôîðìóëû ìîæíî îïóñòèòü. Òàêèì îáðàçîì, ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ ñîãëàøåíèé ôîðìóëà (((X ∨ Y ) ∨ (Z ∧ ¬X)) → ((Y + Z) + ¬X)) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê (X ∨ Y ∨ (Z ∧ ¬X)) → (Y + Z + ¬X). Èç îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìóë íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò

Ïðèíöèï çàìåíû ýêâèâàëåíòíûõ ïîäôîðìóë:

ïóñòü ôîðìóëà α ÿâëÿåòñÿ ïîäôîðìóëîé ôîðìóëû Φ, ôîðìóëà α0 ýêâèâàëåíòíà α è ôîðìóëà Φ0 ïîëó÷åíà èç Φ ïîñðåäñòâîì çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ α íà α0 . Òîãäà Φ0 ýêâèâàëåíòíà Φ, ò.å. Φ0 ≡ Φ. Ïðèìåíÿÿ ýòîò ïðèíöèï è èñïîëüçóÿ îñíîâíûå òîæäåñòâà, ìîæíî íàõîäèòü äëÿ çàäàííîé ôîðìóëû äðóãèå ýêâèâàëåíòíûå åé ôîðìóëû. ×àñòî ýòî ìîæåò ïðèâîäèòü ê ñóùåñòâåííîìó óïðîùåíèþ èñõîäíîé ôîðìóëû. Íàïðèìåð, åñëè â ôîðìóëå ((X ∧ 0) ∨ Y ) çàìåíèì íà îñíîâàíèè òîæäåñòâ (6) ïîäôîðìóëó (X ∧ 0) íà 0, òî ïîëó÷èì ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëó (0 ∨ Y ). Ïî çàêîíó êîììóòàòèâíîñòè (2) ýòà ôîðìóëà ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå (Y ∨0), êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïî îäíîìó èç òîæäåñòâ ãðóïïû (6) ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå Y . Ýòó öåïî÷êó ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî çàïèñàòü òàêæå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ((X ∧ 0) ∨ Y ) ≡ (0 ∨ Y ) ≡ (Y ∨ 0) ≡ Y . (6)

(2)

(6)

Â ýòîé öåïî÷êå âñïîìîãàòåëüíûå íîìåðà ïîä çíàêàìè ýêâèâàëåíòíîñòè óêàçûâàþò, ñ

3.3 Çàäà÷è

15

ïîìîùüþ êàêîé ãðóïïû îñíîâíûõ òîæäåñòâ ýòà ýêâèâàëåíòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ. Âûâåäåì åùå íåñêîëüêî âàæíûõ ëîãè÷åñêèõ òîæäåñòâ, ïîçâîëÿþùèõ ïðîâîäèòü óïðîùåíèÿ ñëîæíûõ ôîðìóë. Èõ íàçûâàþò çàêîíû ïîãëîùåíèÿ. Ï1) X ∨ (X ∧ Φ)≡X Äåéñòâèòåëüíî, X ∨ (X ∧ Φ) ≡ (X ∧ 1) ∨ (X ∧ Φ) ≡ X ∧ (1 ∨ Φ) ≡ X ∧ 1 ≡ X (6)

(3)

(2,6)

(6)

Ï2) (X ∧ Φ) ∨ (¬X ∧ Φ)≡Φ Äåéñòâèòåëüíî, (X ∧ Φ) ∨ (¬X ∧ Φ) ≡ (X ∨ ¬X) ∧ Φ ≡ 1 ∧ Φ ≡ Φ (3)

(6)

(6)

Ï3) (X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 ) ∨ (X2 ∧ X3 )≡(X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 ) Äåéñòâèòåëüíî, (X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 )∨ (X2 ∧ X3 ) ≡ (X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 ) ∨ (X1 ∨ (2,6)

¬X1 ) ∧ (X2 ∧ X3 ) ≡ ((X1 ∧ X2 ) ∨ (X1 ∧ X2 ∧ X3 ))∨ ((¬X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ∧ X3 )) ≡ (3,2)

(3)

((X1 ∧ X2 ) ∧ (1 ∨ X3 ))∨ ((¬X1 ∧ X2 ) ∧ (1 ∨ X3 )) ≡ ((X1 ∧ X2 ) ∧ 1)∨ ((¬X1 ∧ X2 ) ∧ 1) ≡ (6)

(6)

(X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 )

3.3 Çàäà÷è Çàäà÷à 3.1. Ïðîâåðüòå âñå âûøåïðèâåäåííûå ýêâèâàëåíòíîñòè (1) - (8), íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿÿ ôóíêöèè, ïðåäñòàâëÿåìûå èõ ëåâûìè è ïðàâûìè ÷àñòÿìè.

Çàäà÷à 3.2. Íàçîâåì ëîãè÷åñêèì ïðîèçâåäåíèåì ôîðìóëó âèäà Φ1 ∧ Φ2 ∧ . . . ∧ Φn (â ýòîì âûðàæåíèè èñïîëüçîâàíû ñîãëàøåíèÿ î ñîêðàùåíèè çàïèñè!). Åå ïîäôîðìóëû Φi , 1 ≤ i ≤ n, , áóäåì íàçûâàòü ñîìíîæèòåëÿìè. Àíàëîãè÷íî, ëîãè÷åñêîé ñóììîé íàçîâåì ôîðìóëó âèäà Φ1 ∨ Φ2 ∨ . . . ∨ Φn . Åå ïîäôîðìóëû Φi , 1 ≤ i ≤ n, , áóäåì íàçûâàòü ñëàãàåìûìè. Ïîêàæèòå, ÷òî èç îñíîâíûõ òîæäåñòâ ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå ïðàâèëà ïðåîáðàçîâàíèÿ ëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé è ñóìì. Ñ1) Åñëè â ëîãè÷åñêîì ïðîèçâåäåíèè îäèí èç ñîìíîæèòåëåé ðàâåí 0, òî è âñå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 0. Ñ2) Åñëè â ëîãè÷åñêîé ñóììå îäíî èç ñëàãàåìûõ ðàâíî 1, òî è âñÿ ñóììà ðàâíà 1. Ñ3) Åñëè â ëîãè÷åñêîì ïðîèçâåäåíèè n ≥ 2 è åñòü ñîìíîæèòåëü, ðàâíûé 1, òî åãî ìîæíî âû÷åðêíóòü. Ñ4) Åñëè â ëîãè÷åñêîé ñóììå n ≥ 2 è åñòü ñëàãàåìîå, ðàâíîå 0, òî åãî ìîæíî âû÷åðêíóòü.

Çàäà÷à 3.3. Èñïîëüçóÿ îñíîâíûå òîæäåñòâà, äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñëåäóþ-

ùèõ ïàð ôîðìóë. (a) ¬(X ∨ ¬Y ) ∧ (X → ¬Y ) è (¬X ∧ Y ); (b) ¬[(X ∧ ¬Y ) → (¬X ∨ Z)] è (X ∧ ¬Y ∧ ¬Z); (c) (X + Y ) → (X ∧ ¬Y ) è (¬X ∧ ¬Y ) ∨ X .

16

4

Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû

4 Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû 4.1 Îïðåäåëåíèå ÄÍÔ è ÊÍÔ Â ýòîì ðàçäåëå ìû èíòåðåñóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ïðîèçâîëüíîé áóëåâîé ôóíêöèè ïîñðåäñòâîì ôîðìóë ñïåöèàëüíîãî âèäà, èñïîëüçóþùèõ òîëüêî îïåðàöèè ∧, ∨ è ¬. Ïóñòü X = {X1 , . . . , Xn } - ýòî ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ. Ââåäåì äëÿ êàæäîãî i = 1, ..., n îáîçíà÷åíèÿ: Xi0 = ¬Xi è Xi1 = Xi . Ôîðìóëà Xiσ11 ∧ Xiσ22 ∧ . . . ∧ Xiσkk (Xiσ11 ∨ Xiσ22 ∨ . . . ∨ Xiσkk ), â êîòîðîé σij ∈ {0, 1} è âñå ïåðåìåííûå ðàçíûå, ò.å. Xij 6= Xir ïðè j 6= r, íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé (ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé).

Îïðåäåëåíèå 4.1. Ôîðìóëà D íàçûâàåòñÿ äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÄÍÔ), åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ äèçúþíêöèåé ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé, ò.å. èìååò âèä D = K1 ∨ K2 ∨ . . . ∨ Kr , ãäå êàæäàÿ ôîðìóëà Kj (j = 1, ..., r) - ýòî ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ. D íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé ÄÍÔ, åñëè â êàæäóþ èç åå êîíúþíêöèé Kj âõîäÿò âñå n ïåðåìåííûõ èç X. Àíàëîãè÷íî, ôîðìóëà C íàçûâàåòñÿ êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÊÍÔ), åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ êîíúþíêöèåé ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêöèé, ò.å. C = D1 ∨ D2 ∨ . . . ∨ Dr , ãäå êàæäàÿ ôîðìóëà Dj (j = 1, ..., r) ýòî ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ. Îíà ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííîé ÊÍÔ,åñëè â êàæäóþ Dj âõîäÿò âñå n ïåðåìåííûõ èç X.

4.2 Ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ áóëåâó ôóíêöèþ f (X1 , . . . , Xn ), çàâèñÿùóþ îò ïåðåìåííûõ èç X. Oáîçíà÷èì ÷åðåç Nf+ ìíîæåñòâî íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, íà êîòîðûõ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, à ÷åðåç Nf− ìíîæåñòâî íàáîðîâ, íà êîòîðûõ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, ò.å. Nf+ = {(σ1 , . . . , σn ) | f (σ1 , . . . , σn ) = 1} è Nf− = {(σ1 , . . . , σn ) | f (σ1 , . . . , σn ) = 0}. Îïðåäåëèì ïî ýòèì ìíîæåñòâàì äâå ôîðìóëû: _ Df = X1σ1 ∧ X2σ2 ∧ . . . ∧ Xnσn (σ1 ,...,σn )∈Nf+

è

Cf =

^

(X1¬σ1 ∨ X2¬σ2 ∨ . . . ∨ Xn¬σn )

(σ1 ,...,σn )∈Nf−

Òåîðåìà 4.1. (1) Åñëè ôóíêöèÿ f íå ðàâíà òîæäåñòâåííî 0, òî ôîðìóëà Df - ýòî ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ, çàäàþùàÿ ôóíêöèþ f . (2) Åñëè ôóíêöèÿ f íå ðàâíà òîæäåñòâåííî 1, òî ôîðìóëà Cf - ýòî ñîâåðøåííàÿ ÊÍÔ, çàäàþùàÿ ôóíêöèþ f .

4.2 Ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ

17

Äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì çíà÷åíèÿ êàæäîé èç óêàçàííûõ ôîðìóë ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî σ ∈ {0, 1} èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà: 1σ = σ è 0σ = ¬σ ( ñì. çàäà÷ó 4.1 íà ñòð. 22).

Ñëåäñòâèå 4.1.1. Êàæäàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ôîðìóëîé, ñîäåðæàùåé ïåðåìåííûå è ôóíêöèè êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè è îòðèöàíèÿ.

Ïðèâåäåííûå âûøå ôîðìóëû äëÿ Df è Cf ïîçâîëÿþò ýôôåêòèâíî ñòðîèòü ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ ïî òàáëè÷íîìó ïðåäñòàâëåíèþ ôóíêöèè f (Êàêèì îáðàçîì?). Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü òàêèå ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïî ïðîèçâîëüíîé ôîðìóëå, çàäàþùåé f , íå âûïèñûâàÿ åå ïîëíîé òàáëèöû? Ïðèâîäèìàÿ íèæå ïðîöåäóðà ïîçâîëÿåò ýòî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìóë. Ïðîöåäóðà Ïðèâåäåíèå ê ñîâåðøåííîé ÄÍÔ Âõîä: ôîðìóëà Φ, âêëþ÷àþùàÿ ôóíêöèè ¬, ∧, ∨, → è +. (1) Èñïîëüçóÿ ýêâèâàëåíòíîñòü (7), çàìåíèòü âñå âõîæäåíèÿ ôóíêöèè → â Φ íà ¬, ∧ è ∨, çàòåì èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíîñòü (8) äëÿ çàìåíû âñåõ âõîæäåíèé ôóíêöèè + íà ¬, ∧ è ∨. (2) Èñïîëüçóÿ çàêîíû äå Ìîðãàíà (5) è ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ (4), âíåñòè âñå çíàêè îòðèöàíèÿ âíóòðü ñêîáîê òàê, ÷òîáû âñå îñòàâøèåñÿ îòðèöàíèÿ íàõîäèëèñü íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïåðåìåííûìè. (3) Ïîëó÷èâøàÿñÿ ïîñëå øàãà (2) ôîðìóëà Φ0 èìååò îäíó èç äâóõ ôîðì: (à) Φ0 = Φ1 ∧ Φ2 èëè (á) Φ0 = Φ1 ∨ Φ2 . Ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç ôîðìóë Φ1 , Φ2 èìååò ìåíüøóþ ãëóáèíó ÷åì ôîðìóëà Φ0 , òî ïðåäïîëîæèì ïî èíäóêöèè, ÷òî äëÿ íèõ óæå ïîñòðîåíû ýêâèâàëåíòíûå ÄÍÔ D1 = K11 ∨ K12 ∨ . . . ∨ K1r è D2 = K21 ∨ K22 ∨ . . . ∨ K2s , ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà â ñëó÷àå (à) èìååì: 0 Φ ≡ (K11 ∨ . . . ∨ K1r ) ∧ (K21 ∨ . . . ∨ K2s ) ≡ (K11 ∧ K21 ) ∨ . . . ∨ (K1i ∧ K2j ) ∨ . . . ∨ (K1r ∧ K2s ). (3)

(K1i ∧ K2j )

Êàæäûé ÷ëåí ýòîé äèçúþíêöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíúþíêöèþ ïåðåìåííûõ è èõ îòðèöàíèé. Ïðèìåíÿÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ãðóïï (1), (2) è (6), ìîæíî óäàëèòü èç íåå ïîâòîðåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîñëå ÷åãî îíà ïðåâðàòèòñÿ â íåêîòîðóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èëè êîíñòàíòó. Ïðîäåëàâ òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñî âñåìè ïàðàìè (i, j), 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s, è óäàëèâ, åñëè ïîòðåáóåòñÿ, êîíñòàíòû 0, ìû ïîëó÷èì ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé ôîðìóëå Φ. Â ñëó÷àå (á) ôîðìóëà Φ0 ≡ (K11 ∨ K12 ∨ . . . ∨ K1r ) ∨ (K21 ∨ K22 ∨ . . . ∨ K2s ) ñàìà óæå ÿâëÿåòñÿ ÄÍÔ. (4) Èñïîëüçóÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ãðóïï (1), (2) è (6) óäàëèòü èç ïîëó÷èâøåéñÿ ïîñëå øàãà (3) ôîðìóëû ïîâòîðíûå âõîæäåíèÿ îäèíàêîâûõ êîíúþíêöèé. (5) Ïóñòü ïîñëå øàãà (4) ïîëó÷èëàñü ÄÍÔ Φ00 = K1 ∨ K2 ∨ . . . ∨ Km . ×òîáû ïîëó÷èòü ýêâèâàëåíòíóþ ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ, ïîñòðîèì äëÿ êàæäîé Ki , (i = 1, . . . , m) ýêâè-

18

4


âàëåíòíóþ ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ (ñì. çàäà÷ó 4.2 íà ñòð. 22) , çàìåíèì åþ Ki , à çàòåì óñòðàíèì ïîâòîðåíèÿ îäèíàêîâûõ êîíúþíêöèé. Èç ôîðìóëèðîâîê ýêâèâàëåíòíîñòåé (7) è (8) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò

Ïðåäëîæåíèå 4.1. Íà ýòàïå (1) ïðîöåäóðû ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì âûïîëíåíèè ïðåîáðàçîâàíèé (7), à çàòåì (8) äî òåõ ïîð, ïîêà íè îäíî èç íèõ íå ïðèìåíèìî, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ôîðìóëà íå áóäåò ñîäåðæàòü ôóíêöèé → è +. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ îñòàâëÿåì â âèäå óïðàæíåíèÿ (ñì. çàäà÷ó 4.4 íà ñòð. 22). Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ãàðàíòèðóåò êîððåêòíîñòü ýòàïà (2).

Ïðåäëîæåíèå 4.2. Íà ýòàïå (2) ïðîöåäóðû ïðè ëþáîì ïîðÿäêå âûïîëíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïï (4) è (5) äî òåõ ïîð, ïîêà íè îäíî èç íèõ íå ïðèìåíèìî, â ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå ôîðìóëå âñå çíàêè îòðèöàíèÿ áóäóò ñòîÿòü íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïåðåìåííûìè.

Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî â îïðåäåëåíèÿõ 1.2 íà ñòð. 6 è 1.3 íà ñòð. 7 äëÿ êàæäîé ôîðìóëû Φ áûëà îïðåäåëåíà åå ãëóáèíà dep(Φ). Íàïðèìåð, ôîðìóëà Φ = ¬(X +Y ) → (¬(X ∨¬Z)∧Y ), ïîñòðîåííàÿ íàä ñèñòåìîé F = {∨, ∧, ¬, →, +}, èìååò ãëóáèíó dep(Φ) = 5. Ïóñòü Φ - ýòî ôîðìóëà íàä F = {∨, ∧, ¬}. Îïðåäåëèì äëÿ êàæäîé åå îòðèöàòåëüíîé ïîäôîðìóëû âèäà ¬(Ψ) âûñîòó h(¬(Ψ)) êàê 3dep(Ψ) − 1. È ïóñòü âûñîòà âñåé ôîðìóëû H(Φ) ðàâíà ñóììå âûñîò âñåõ åå îòðèöàòåëüíûõ ïîäôîðìóë. Íàïðèìåð, äëÿ ïðèâåäåííîé âûøå ôîðìóëû Φ åå âûñîòà ðàâíà H(Φ) = h(¬(X + Y )) + h(¬(X ∨ ¬Z)) + h(¬Z) = (31 − 1) + (32 − 1) + (30 − 1) = 10. Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4.2 ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî âûñîòå ôîðìóë. Áàçèñ èíäóêöèè. Åñëè H(Φ) = 0, òî ëèáî â Φ íåò îòðèöàíèé, ëèáî âñå îòðèöàíèÿ íàõîäÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïåðåìåííûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, Φ óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèþ ïðåäëîæåíèÿ 4.2. Øàã èíäóêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè n ≤ k äëÿ âñåõ ôîðìóë âûñîòû n Ïðåäëîæåíèå 4.2 âûïîëíåíî. Ïóñòü Φ - ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà âûñîòû H(Φ) = k + 1. Äîêàæåì íàøå óòâåðæäåíèå äëÿ íåå. Ïîñêîëüêó H(Φ) ≥ 1, òî Φ ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó îòðèöàòåëüíóþ ïîäôîðìóëó ¬(Ψ), ó êîòîðîé h(¬(Ψ)) ≥ 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, dep(Ψ) ≥ 1. Ê òàêîé ôîðìóëå îáÿçàòåëüíî ìîæíî ïðèìåíèòü ëèáî ñíÿòèå äâîéíîãî îòðèöàíèÿ (4), ëèáî îäèí èç çàêîíîâ äå Ìîðãàíà (5). (Îáúÿñíèòå ïî÷åìó ? ) Ïóñòü ¬(Ψ) - ýòî òà ïîäôîðìóëà Φ, êîòîðàÿ íà (2)-îì ýòàïå ïðîöåäóðû ïåðâîé çàìåíÿåòñÿ íà ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëó Ψ0 â ñîîòâåòñòâèè ñ îäíîé èç óêàçàííûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé. Ïóñòü Φ0 - ýòî ôîðìóëà, ïîëó÷èâøàÿñÿ â ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû èç Φ. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü ( ïðîäåëàéòå ýòó ïðîâåðêó! ), ÷òî ïðè ëþáîì èç ïðåîáðàçîâàíèé (4), (5) H(Ψ0 ) < H(¬(Ψ)) è, ñëåäîâàòåëüíî, H(Φ0 ) < H(Φ). Òîãäà, H(Φ0 ) ≤ k è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ïðèìåíåíèå ýêâèâàëåíòíîñòåé (4), (5) â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå ïðèâåäåò â êîíöå êîíöîâ

4.2 Ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ

19

ê ôîðìóëå, ó êîòîðîé âñå îòðèöàíèÿ áóäóò ñòîÿòü íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïåðåìåííûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäëîæåíèå 4.2 âûïîëíåíî ïðè n = k + 1, ÷òî çàâåðøàåò èíäóêöèîííûé øàã è âñå äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ïðîöåäóðû ïðèâåäåíèÿ ê ñîâåðøåííîé ÄÍÔ íà ïðèìåðå.

Ïðèìåð 4.1. Ïóñòü ôîðìóëà Φ = ((¬X ∨ Z) → (Y → (X + Z))). Íà (1)-îì ýòàïå ïðîöåäóðû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ýêâèâàëåíòíîñòåé: Φ ≡ ¬(¬X ∨ Z) ∨ (Y → (X + Z)) ≡ ¬(¬X ∨ Z) ∨ (¬Y ∨ (X + Z)) ≡ ¬(¬X ∨ Z) ∨ (¬Y ∨ (7)

(7)

(8)

((X ∧ ¬Z) ∨ (¬X ∧ Z))). Íà (2)-îì ýòàïå âíîñèì îòðèöàíèå âíóòðü ïåðâîé ñêîáêè è ïîëó÷àåì ôîðìóëó Φ0 = (¬¬X ∧ ¬Z) ∨ (¬Y ∨ ((X ∧ ¬Z) ∨ (¬X ∧ Z))). Óñòðàíèâ äâîéíîå îòðèöàíèå, ïîëó÷èì Φ00 = (X ∧ ¬Z) ∨ (¬Y ∨ ((X ∧ ¬Z) ∨ (¬X ∧ Z))). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî óæå ÄÍÔ. Óäàëèì íà (4)-îì ýòàïå ïîâòîðíîå âõîæäåíèå ïåðâîé êîíúíêöèè è ïîëó÷èì ÄÍÔ Φ1 = (X ∧ ¬Z) ∨ ¬Y ∨ (¬X ∧ Z). Ýòà ÄÍÔ íå ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííîé, òàê êàê â êàæäóþ èç åå òðåõ êîíúþíêöèé âõîäÿò íå âñå ïåðåìåííûå. Ïîñòðîèì íà ýòàïå (5) äëÿ íèõ ýêâèâàëåíòíûå ñîâåðøåííûå ÄÍÔ (èñïîëüçóÿ ðåøåíèå çàäà÷è 4.2 íà ñòð. 22!). (X ∧ ¬Z) ≡ (X ∧ Y ∧ ¬Z) ∨ (X ∧ ¬Y ∧ ¬Z), ¬Y ≡ (X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (¬X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z), (¬X ∧ Z) ≡ (¬X ∧ Y ∧ Z) ∨ (¬X ∧ ¬Y ∧ Z). Ïîäñòàâèâ ýòè ôîðìóëû â Φ1 è óñòðàíèâ ïîâòîðåíèÿ êîíúþíêöèé, ïîëó÷èì ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé ôîðìóëå Φ: Φ2 = (X ∧ Y ∧ ¬Z) ∨ (X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (X ∧ ¬Y ∧ Z)∨ (¬X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨ (¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (¬X ∧ Y ∧ Z). Ìû âèäèì, ÷òî ÄÍÔ Φ1 , ïîëó÷åííàÿ ïîñëå 4-ãî ýòàïà, âûãëÿäèò ñóùåñòâåííî ïðîùå, ò.å. ÿâëÿåòñÿ áîëåå êîðîòêîé, ÷åì ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ Φ2 . Îäíàêî ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì åäèíñòâåííîñòè, êîòîðîå ñëåäóåò èç èõ êîíñòðóêöèè â òåîðåìå 4.1 íà ñòð. 16.

Ñëåäñòâèå 4.1.2. Äëÿ êàæäîé áóëåâîé ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ, íå ðàâíîé òîæäåñòâåííî 0, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè êîíúþíêöèé è ïåðåìåííûõ âíóòðè êîíúþíêöèé ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ, çàäàþùàÿ ýòó ôóíêöèþ.

Ýòî ñëåäñòâèå ïîçâîëÿåò ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó äëÿ ïðîâåðêè ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìóë Φ è Ψ. (1) Ïîñòðîèòü äëÿ Φ è Ψ ýêâèâàëåíòíûå ñîâåðøåííûå ÄÍÔ Φ0 è Ψ0 , èñïîëüçóÿ ïðîöåäóðó ïðèâåäåíèÿ ê ñîâåðøåííîé ÄÍÔ.

20

4


(2) Óïîðÿäî÷èòü â ñîîòâåòñòâèè ñ íóìåðàöèåé ïåðåìåííûõ X âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ â êàæäóþ êîíúþíêöèþ, à çàòåì ëåêñèêîãðàôè÷åñêè óïîðÿäî÷èòü ìåæäó ñîáîé êîíúþíêöèè, âõîäÿùèå â Φ0 è Ψ0 . Ïóñòü â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àòñÿ ñîâåðøåííûå ÄÍÔ Φ00 è Ψ00 . (3) Åñëè Φ00 = Ψ00 , òî âûäàòü îòâåò Äà, èíà÷å îòâåò Íåò. Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó ìîæíî ïîñòðîèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîâåðøåííûõ ÊÍÔ.

4.3 Ñîêðàùåííûå ÄÍÔ Ñîêðàùåííûå ÄÍÔ ÿâëÿþòñÿ åùå îäíèì ñïîñîáîì îäíîçíà÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé, êîòîðîå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëåå ïðîñòûì, ÷åì ïðåäñòàâëåíèå ñ ïîìîùüþ ñîâåðøåííûõ ÄÍÔ. Íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì áóëåâû ôóíêöèè íàä ïåðåìåííûìè X = {X1 , . . . , Xn }. Ñ êàæäîé ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé K = Xiσ11 ∧ Xiσ22 ∧ . . . ∧ Xiσkk ñâÿçàíî ìíîæåñòâî NK+ íàáîðîâ ïåðåìåííûõ, íà êîòîðûõ K ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèò 2(n−k) íàáîðîâ, â êîòîðûõ êàæäàÿ èç âõîäÿùèõ â K ïåðåìåííûõ Xir (1 ≤ r ≤ k) èìååò ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå σr , à çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ (n − k) ïåðåìåííûõ ïðîèçâîëüíû.

Îïðåäåëåíèå 4.2. Ïóñòü f - ïðîèçâîëüíàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ íàä X. Ýëåìåíòàðíàÿ

êîíúþíêöèÿ K íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé äëÿ f , åñëè NK+ ⊆ Nf+ . Ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ K íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîé äëÿ f , åñëè äëÿ ëþáîé ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèè L èç óñëîâèÿ NK+ ⊆ NL+ ⊆ Nf+ ñëåäóåò, ÷òî NK+ = NL+ . Ñîêðàùåííîé ÄÍÔ äëÿ ôóíêöèè f íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿ âñåõ ìàêñèìàëüíûõ äëÿ ýòîé ôóíêöèè ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé.

Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ äëÿ ôóíêöèè f åäèíñòâåííà (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé è ïîðÿäêà ïåðåìåííûõ â íèõ) è â òî÷íîñòè çàäàåò ôóíêöèþ f . Ïðèìåðîì ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà Φ1 = (X ∧ ¬Z) ∨ ¬Y ∨ (¬X ∧ Z) èç ïðèìåðà 4.1 íà ñòð. 19. Ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ïðîèçâîëüíîé ÄÍÔ D, èñïîëüçóÿ ïðîöåäóðó, íàçûâàåìóþ ìåòîäîì Áëåéêà. (1) Ïðèìåíÿòü, ñêîëüêî âîçìîæíî, çàêîí ïîãëîùåíèÿ (Ï3): (X ∧ K1 ) ∨ (¬X ∧ K2 ) ≡ (X ∧ K1 ) ∨ (¬X ∧ K2 ) ∨ (K1 ∧ K2 ) ñëåâà íàïðàâî ïðè óñëîâèè, ÷òî êîíúþíêöèÿ (K1 ∧ K2 ) íåïðîòèâîðå÷èâà, ò.å. íå ñîäåðæèò îäíîâðåìåííî íåêîòîðóþ ïåðåìåííóþ è åå îòðèöàíèå. (Çàìåòèì, ÷òî íà ýòîì ýòàïå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé â ÄÍÔ, âîîáùå ãîâîðÿ, óâåëè÷èâàåòñÿ). (2) Ïðèìåíÿòü, ñêîëüêî âîçìîæíî, ïðàâèëî ïîãëîùåíèÿ (Ï1): X ∨ (X ∧ K) ≡ X . Çàòåì óäàëèòü ïîâòîðíûå âõîæäåíèÿ êîíúþíêöèé.

4.3 Ñîêðàùåííûå ÄÍÔ

21

Òåîðåìà 4.2. Â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà Áëåéêà ê ïðîèçâîëüíîé ÄÍÔ ÷åðåç êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ áóäåò ïîëó÷åíà ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëå (1)-ãî ýòàïà ïðîöåäóðû ÄÍÔ D ôóíêöèè f ïðåîáðàçîâàëàñü â ýêâèâàëåíòíóþ ÄÍÔ D1 . Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âñÿêîé äîïóñòèìîé äëÿ f ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèÿ K â D1 íàéäåòñÿ òàêàÿ êîíúþíêöèÿ K 0 , ÷òî NK+ ⊆ NK+0 . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì âîçâðàòíîé èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ïåðåìåííûõ â K . Áàçèñ èíäóêöèè. Ïóñòü K ñîäåðæèò âñå n ïåðåìåííûõ èç X. Òîãäà NK+ ñîñòîèò èç + åäèíñòâåííîãî íàáîðà è, ïîñêîëüêó NK ⊆ ND+1 , òî â D1 ñóùåòñâóåò êîíúþíêöèÿ K 0 , + äëÿ êîòîðîé NK ⊆ NK+0 . Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî k < n óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ äëÿ f êîíúþíêöèé, ñîäåðæàùèõ íå ìåíåå (k + 1)-îé ïåðåìåííîé. Äîêàæåì, ÷òî îíî âåðíî è äëÿ äîïóñòèìûõ êîíúþíêöèé ñ k ïåðåìåííûìè. Ïóñòü äîïóñòèìàÿ äëÿ f ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ K ñîäåðæèò k ïåðåìåííûõ è ïóñòü X ∈ X - ïåðåìåííàÿ, íå âõîäÿùàÿ â K . Òîãäà îáå ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè K1 = (X ∧ K) è K2 = (¬X ∧ K) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè äëÿ f è ïî ïðåäïîëîæåíèþ + èíäóêöèè äëÿ íèõ â Φ1 íàéäóòñÿ òàêèå K10 è K20 , ÷òî NK ⊆ NK+0 è NK+2 ⊆ NK+0 . Åñëè 1 1 2 õîòÿ áû îäíà èç íèõ íå ñîäåðæèò X , òî åå ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâå K 0 . Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå K10 = (X ∧ K100 ) è K20 = (¬X ∧ K200 ). Ïðè ýòîì NK+ ⊆ NK+00 è NK+ ⊆ NK+00 . Ïîñêîëüêó âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà (Ï3) âûïîëíåíû, òî D1 1 2 + òîãäà ñîäåðæèò è êîíúþíêöèþ K 0 = (K100 ∧ K200 ), äëÿ êîòîðîé NK ⊆ NK+0 . + Çàìåòèì, ÷òî åñëè K ìàêñèìàëüíà äëÿ f , òî NK = NK+0 . Òàêèì îáðàçîì, âñå ìàêñèìàëüíûå êîíúþíêöèè âõîäÿò â D1 . Òåïåðü, ÷òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî íà ýòàïå (2) èç D1 áóäóò óäàëåíû âñå íåìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè. (Äîêàæèòå ýòî èíäóêöèåé ïî ÷èñëó íåìàêñèìàëüíûõ êîíúþíêöèé â D1 .)

Ïðèìåð 4.2. Ïðèìåíèì ìåòîä Áëåéêà ê ñîâåðøåííîé ÄÍÔ ôóíêöèè f (X1 , X2 , X3 ), ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå 1 íà íàáîðàõ ìíîæåñòâà Nf+ = {(001), (010), (011), (101)}.

Åå ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ D = (¬X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ∧ X3 ) ∨ (X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ). Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâíàèé (Ï3) íà (1)-îì ýòàïå ïîëó÷èì D1 = (¬X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ∧ X3 ) ∨ (X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ) ∨ (¬X2 ∧ X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 ) Ïîñëå ïîãëîùåíèé (Ï1) íà âòîðîì ýòàïå îñòàíåòñÿ ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ D2 = (¬X2 ∧ X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X3 ). Çàìåòèì, ÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîé êîðîòêîé ÄÍÔ äëÿ f , ò.ê. D2 ≡ (¬X2 ∧ X3 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ).

22


4.4 Çàäà÷è Çàäà÷à 4.1.

Äîêàæèòå òåîðåìó 4.1 íà ñòð. 16, ïðîâåðèâ, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ σ1 , . . . , σn âûïîëíåíû ðàâåíñòâà f (σ1 , . . . , σn ) = Df (σ1 , . . . , σn ) è f (σ1 , . . . , σn ) = Cf (σ1 , . . . , σn ).

Çàäà÷à 4.2.

(1) Ïðåäëîæèòå ïðîöåäóðó, êîòîðàÿ ïî ïðîèçâîëüíîé ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèè ñòðîèò ýêâèâàëåíòíóþ åé ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ. (2) Ïðåäëîæèòå ïðîöåäóðó, êîòîðàÿ ïî ïðîèçâîëüíîé ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèè ñòðîèò ýêâèâàëåíòíóþ åé ñîâåðøåííóþ ÊÍÔ.

Çàäà÷à 4.3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî k ≤ n êàæäóþ áóëåâó ôóíêöèþ f ∈ Pn

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå W f (X1 , . . . , Xk , Xk+1 , . . . , Xn ) = (σ1 ,...,σk )∈B k X1σ1 ∧ . . . Xkσk ∧ f (σ1 , . . . , σk , Xk+1 , . . . , Xn ). Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì f ïî X1 , . . . , Xk . Ïðè k = n èç íåãî ïîëó÷àåòñÿ ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ èç òåîðåìû 4.1.

Çàäà÷à 4.4.

Äîêàæèòå ïðåäëîæåíèå 4.1 íà ñòð. 18, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ ïî îáùåìó êîëè÷åñòâó ôóíêöèé → è + â ôîðìóëå.

Çàäà÷à 4.5. Êàê èçìåíèòü (3)-èé, (4)-ûé è (5)-ûé ýòàïû ïðîöåäóðû Ïðèâåäåíèå ê ñîâåðøåííîé ÄÍÔ, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòü ïðîöåäóðó Ïðèâåäåíèå ê ñîâåðøåííîé ÊÍÔ, êîòîðàÿ ïî ïðîèçâîëüíîé ôîðìóëå ñòðîèò ýêâèâàëåíòíóþ ñîâåðøåííóþ ÊÍÔ.

Çàäà÷à 4.6. Íàéòè ýêâèâàëåíòíûå ñîêðàùåííûå ÄÍÔ è äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñëåäóþùèõ ïàð ôîðìóë: à) Φ = (((¬X ∧ ¬Y ) → ¬Z) ∧ (X → Y )), Ψ = ((1 + Y ) → (¬X ∧ (1 + Z))). á) Φ = (¬((X1 → X2 ) ∨ ¬(X2 → X1 )) ∧ X3 ), Ψ = ¬((X1 ∧ X3 ) → X2 ). â) Φ = ¬(¬X ∧ Y ∧ ¬Z) → ((Y + 1) ∧ ((X + 1) → ¬(¬U ∨ ¬Z))), Ψ = (¬X ∨ Y ) → ((¬U ∨ Y ∨ Z) → (¬(X ∨ ¬Y ) ∧ ¬Z)).

5 Ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà Ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà ÿâëÿþòñÿ åùå îäíèì èíòåðåñíûì ïîäêëàññîì ôîðìóë, ïîçâîëÿþùèì îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿòü áóëåâû ôóíêöèè.

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ìíîãî÷ëåíàìè Æåãàëêèíà íàçâàþòñÿ ôîðìóëû íàä ìíîæåñòâîì ôóíêöèé FJ = {0, 1, ∗, +} (çäåñü ∗ - ýòî äðóãîå îáîçíà÷åíèå êîíúþíêöèè).

23 Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà (âîçìîæíî, ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ) ïðåäñòàâëÿåò ñóììó (ïî ìîäóëþ 2) ïîëîæèòåëüíûõ (ìîíîòîííûõ) ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé (ò.å. ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé áåç îòðèöàíèé). Ïîñêîëüêó äëÿ + è * ñïðàâåäëèâû çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè, ìû áóäåì ïðè çàïèñè ìíîãî÷ëåíà Æåãàëêèíà îïóñêàòü ñêîáêè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ∗ ñâÿçûâàåò àðãóìåíòû ñèëüíåå, ÷åì +. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ýêâèâàëåíòíîñòè:

(J1) ¬X (J2) (X1 ∧ X2 ) (J3) (X1 ∨ X2 ) (J4) (X1 + X2 ) ∗ (X3 + X4 )

≡ ≡ ≡ ≡

(X + 1), (X1 ∗ X2 ), (X1 ∗ X2 + X1 + X2 ) ≡ (X1 + 1) ∗ (X2 + 1) + 1, (X1 ∗ X2 + X1 ∗ X3 + X2 ∗ X3 + X2 ∗ X4 ).

Èç ýòèõ ýêâèâàëåíòíîñòåé è òåîðåìû 4.1 íà ñòð. 16 ëåãêî ïîëó÷èòü ïåðâóþ ÷àñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.

Òåîðåìà 5.1. Äëÿ ëþáîé áóëåâîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò çàäàþùèé åå ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà. Îí åäèíñòâåíåí ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâîê ñëàãàåìûõ è ïîðÿäêà ïåðåìåííûõ â êîíúþíêöèÿõ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ìíîãî÷ëåíà ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîé ÄÍÔ èëè ÊÍÔ ìîæíî ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé íàéòè ýêâèâàëåíòíûé ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà: (J1)-(J3) ïîçâîëÿþò çàìåíÿòü âñå âõîæäåíèÿ ¬, ∧ è ∨ íà + è *, à (J4) - ïåðåìíîæàòü ïîëó÷èâøèåñÿ ïîñëå òàêîé çàìåíû ìíîãî÷ëåíû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ìíîãî÷ëåíîâ Æåãàëêèíà îò n ïåðåìåííûõ. Êàæäàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ èìååò âèä Xi1 ∗ . . . ∗ Xik , ãäå 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n. Òàêèõ êîíúþíêöèé ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X = {X1 , . . . , Xn }, ò.å. 2n . ( Êîíúþíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïóñòîìó ïîäìíîæåñòâó ïåðåìåííûõ ðàâíà 1). Óïîðÿäî÷èì èõ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (íàïðèìåð, ëåêñèêîãðàôè÷åñêè): K1 , K2 , . . . , K2n . Tîãäà êàæäûé ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà åäèíñòâåííûì îáðàçîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó α1 ∗ K1 + α2 ∗ K2 + . . . + α2n ∗ K2n , ãäå êàæäûé èç êîýôôèöèåíòîâ αi ðàâåí 0 èëè 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî ìíîãî÷ëåíîâ n Æåãàëêèíà ðàâíî 22 , ò.å. ÷èñëó âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ. Ïîýòîìó êàæäàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ â òî÷íîñòè îäíèì ìíîãî÷ëåíîì Æåãàëêèíà.2

Ïðèìåð 5.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (X1 , X2 , X3 ) çàäàåòñÿ ÄÍÔ Φ = (X1 ∧ ¬X2 ) ∨ (¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3 ). Íàéäåì ïîëèíîì Æåãàëêèíà, êîòîðûé òàêæå çàäàåò ýòó ôóíêöèþ. Ñíà÷àëà çàìåíÿåì ∧ íà *, à çàòåì,ïðèìåíÿÿ ýêâèâàëåíòíîñòü (J1), óñòðàíÿåì îòðèöàíèÿ è ïîëó÷àåì: Φ ≡ X1 ∗ (X2 + 1) ∨ (X1 + 1) ∗ X2 ∗ (X3 + 1). Ïåðåìíîæèâ ïî ïðàâèëàì (J4), ïîëó÷èì:

24


Φ ≡ (X1 ∗ X2 + X1 ) ∨ (X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X2 ∗ X3 + X2 ) Ýêâèâàëåíòíîñòü (J3) ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü ∨: Φ ≡ (X1 ∗ X2 + X1 ) ∗ (X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X2 ∗ X3 + X2 )+ (X1 ∗ X2 + X1 ) + (X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X2 ∗ X3 + X2 ). Ñíîâà, èñïîëüçóÿ (J4), ïåðåìíîæèì ïåðâûå äâå ñêîáêè è óñòðàíèì ïîâòîðåíèÿ ïåðåìåííûõ â êîíúþíêöèÿõ: Φ ≡ (X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X1 ∗ X2 )+ (X1 ∗ X2 + X1 ) + (X1 ∗ X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 + X2 ∗ X3 + X2 ). Óïðîñòèì ýòó ñóììó, èñïîëüçóÿ ýêâèâàëåíòíîñòè: X + X ≡ 0 è X + 0 ≡ X. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà P (X1 , X2 , X3 ) = X1 + X2 + X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 ∗ X3 , ýêâèâàëåíòíûé èñõîäíîé ÄÍÔ Φ. Åñëè ôóíêöèÿ f (X1 , . . . , Xn ) çàäàíà òàáëè÷íî, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåàëèçóþùåãî åå ìíîãî÷ëåíà Æåãàëêèíà ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôèöèåíòîâ. Ñîïîñòàâèì i-îìó íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ σi = (σi1 , . . . , σin ) â òàáëèöå ïîëîæèV òåëüíóþ êîíúþíêöèþ Ki = σj =1 Xj ïåðåìåííûõ, ðàâíûõ 1 â ýòîì íàáîðå. Â ÷àñòi íîñòè, K1 - ïóñòàÿ êîíúþíêöèÿ, K2 = Xn , K3 = Xn−1 , K4 = (Xn ∗ Xn−1 ). è ò.ä. Òîãäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ íóæíîãî ìíîãî÷ëåíà Æåãàëêèíà äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü âñå êîýôôèöèåíòû αi , i = 1, . . . , 2n , â âûðàæåíèè f (X1 , . . . , Xn ) = α1 ∗ K1 + α2 ∗ K2 + . . . + α2n ∗ K2n , Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ èç íàáîðà σi , i = 1, . . . , 2n , ìû ïîëó÷èì 2n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî 2n íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ αi . Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, ïîëó÷èì òðåáóåìûé ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà. Ýòà ñèñòåìà òðåóãîëüíàÿ è ëåãêî ðåøàåòñÿ ñâåðõó-âíèç: êàæäîå αi îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíà÷åíèÿì α1 , . . . , αi−1 èç óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî íàáîðó σi .

Ïðèìåð 5.2. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ôóíêöèþ f (X1 , X2 , X3 ), çàäàííóþ ñëåäóþùåé òàáëèöåé.

Ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà äëÿ íåå (êàê è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè îò 3-õ ïåðåìåííûõ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå p(X1 , X2 , X3 ) = α0 + α1 ∗ X1 + α2 ∗ X2 + α3 ∗ X3 + α12 ∗ X1 ∗ X2 + α13 ∗ X1 ∗ X3 + α23 ∗ X2 ∗ X3 + α123 ∗ X1 ∗ X2 ∗ X3 Â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè â èíäåêñàõ ó êîýôôèöèåíòîâ α ïåðå÷èñëåíû ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â ñîîòâåòñòâóþùèå êîíúþíêöèè. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è f èç òàáëèöû, ïîëó÷àåì: p(0, 0, 0) = α0 = 1; p(0, 0, 1) = α0 + α3 = 0 ⇒ α3 = 1; p(0, 1, 0) = α0 + α2 = 0 ⇒ α2 = 1; p(0, 1, 1) = α0 + α2 + α3 + α23 = 0 ⇒ α23 = 1; p(1, 0, 0) = α0 + α1 = 1 ⇒ α1 = 0;

5.1 Çàäà÷è

25 Òàáëèöà 9: Ôóíêöèÿ f (X1 , X2 , X3 )

X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 1 1 0 0 1 1.

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

f (X1 , X2 , X3 ) 1 0 0 0 1 0 0 1

p(1, 0, 1) = α0 + α1 + α3 + α13 = 0 ⇒ α13 = 0; p(1, 1, 0) = α0 + α1 + α2 + α12 = 0 ⇒ α12 = 0; p(1, 1, 1) = α0 + α1 + α2 + α3 + α12 + α13 + α23 + α123 = 1 ⇒ α123 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f (X1 , X2 , X3 ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì Æåãàëêèíà

pf (X1 , X2 , X3 ) = 1 + X3 + X2 + X2 ∗ X3 + X1 ∗ X2 ∗ X3 .

5.1 Çàäà÷è Çàäà÷à 5.1. Èñïîëüçóÿ îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè, íàéòè ýêâèâàëåíòíûå ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà è äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñëåäóþùèõ ôîðìóë: Φ = ((Z ∧ (X → Y )) ∨ ¬(¬X → Z)), Ψ = (X → (Y ∧ Z)).

Çàäà÷à 5.2. Íàéòè ñîêðàùåííóþ äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó è ìíîãî÷ëåí

Æåãàëêèíà (ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ) äëÿ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé îò òðåõ àðãóìåíòîâ. Ñ÷èòàåì, ÷òî íàáîðû èõ àðãóìåíòîâ óïîðÿäî÷åíû ëåêñèêîãðàôè÷åñêè è çíà÷åíèÿ íà íèõ çàäàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ 8 íóëåé è åäèíèö. à) f = (0010 1100). â) f = (1100 0011). á) f = (1110 1100). ã) f = (0110 1011).

6 Ïîëíûå ñèñòåìû ôóíêöèé è òåîðåìà Ïîñòà S Ïóñòü P = ∞ n=0 Pn ýòî ìíîæåñòâî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé. Â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ëþáóþ ôóíêöèþ èç P ìîæíî çàäàòü ôîðìóëîé íàä ñèñòåìîé FB = {¬, ∧, ∨} (â êà÷åñòâå òàêèõ ôîðìóë ìîæíî, íàïðèìåð, âçÿòü ñîîòâåòñòâóþùèå ÄÍÔ è ÊÍÔ). Òàêèå ñèñòåìû ôóíêöèé íàçûâàþòñÿ ïîëíûìè.

6

26

Ïîëíûå ñèñòåìû ôóíêöèé è òåîðåìà Ïîñòà

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ñèñòåìà áóëåâûõ ôóíêöèé F íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ôîðìóëàìè íàä ýòîé ñèñòåìîé ìîæíî çàäàòü ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ èç P. Äðóãèì óæå èçâåñòíûì íàì ïðèìåðîì ïîëíîé ñèñòåìû ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà FJ = {0, 1, ∗, +}, ïîçâîëÿþùàÿ çàäàòü ïðîèçâîëüíóþ áóëåâó ôóíêöèþ ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà Æåãàëêèíà. Ðàçóìååòñÿ, íå âñÿêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Íàïðèìåð, ôîðìóëàìè íàä ñèñòåìîé {∨} íåâîçìîæíî âûðàçèòü ôóíêöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 0 (ïî÷åìó?). Íàøà öåëü â ýòîì ðàçäåëå íàéòè êðèòåðèé, ïîçâîëÿþùèé ïî ñèñòåìå ôóíêöèé îïðåäåëÿòü åå ïîëíîòó. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïîëíîòû ïîëåçíî ñëåäóþùåå ïîíÿòèå.

Îïðåäåëåíèå 6.2. Çàìûêàíèå [F ] ñèñòåìû ôóíêöèé F ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, êîòîðûå ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóë íàä F .

Òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëíîé ñèñòåìû ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ñèñòåìà F ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà [F ] = P. Çàìûêàíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè.

Ïðåäëîæåíèå 6.1.

(1) (2) (3) (4)

F ⊆ [F ]. [[F ]] = [F ]. F ⊆ G ⇒ [F ] ⊆ [G]. Åñëè ñèñòåìà F ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé è F ⊆ [G], òî è ñèñòåìà G ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âñå ýòèõ óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ çàìûêàíèÿ. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâîñòü ïóíêòà (2) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç [F ] çàäàåòñÿ íåêîòîðîé ôîðìóëîé íàä F , à òîãäà âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç [[F ]], êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ôóíêöèé èç [F ], çàäàåòñÿ òàêæå íåêîòîðîé ôîðìóëîé íàä F . Ïóíêò (3) î÷åâèäåí, à ïóíêò (4) ñëåäóåò èç (2) è (3): F ⊆ [G] ⇒ [F ] ⊆ [[G]] ⇒ [F ] ⊆ [G] è òàê êàê [F ] = P, òî è [G] = P.2 Óòâåðæäåíèå (4) ïîçâîëÿåò óñòàíàâëèâàòü ïîëíîòó íåêîòîðîé ñèñòåìû, âûðàæàÿ ñ åå ïîìîùüþ âñå ôóíêöèè äðóãîé ñèñòåìû, ïîëíîòà êîòîðîé óæå óñòàíîâëåíà. Íàïðèìåð, çàêîíû äå Ìîðãàíà ïîçâîëÿþò âûðàçèòü ∨ ÷åðåç ïàðó ¬, ∧: X ∨ Y ≡ ¬(¬X ∧ ¬Y ) è ∧ ÷åðåç ïàðó ¬, ∨: X ∧ Y ≡ ¬(¬X ∨ ¬Y ). Ïîýòîìó êàæäàÿ èç ñèñòåì F∧ = {¬, ∧} è F∨ = {¬, ∨} òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ýêâèâàëåíòíîñòè (7) è (8) ïîçâîëÿþò âûðàçèòü ∨ ÷åðåç ïàðó ¬, →: X ∨ Y ≡ ¬X → Y . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíîé áóäåò è ñèñòåìà F→ = {¬, →}. Èìåþòñÿ ëè ïîëíûå ñèñòåìû èç îäíîé äâóìåñòíîé ôóíêöèè? Äà. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, {|}, âêëþ÷àþùóþ ëèøü øòðèõ Øåôôåðà. Íàïîìíèì, ÷òî (X|Y ) ≡ ¬(X ∧ Y ). Òîãäà íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ¬X ≡ (X|X) è (X ∧ Y ) ≡ ((X|Y )|(X|Y )). Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà {|} ïîëíàÿ.

Îïðåäåëåíèå 6.3. Ñèñòåìà ôóíêöèé [F ] íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè F = [F ].

27 Î÷åâèäíî, ÷òî çàìêíóòàÿ ñèñòåìà [F ], íå ñîäåðæàùàÿ âñåõ ôóíêöèé èç P, íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Äàëåå â ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü âåðõíèé èíäåêñ â êðóãëûõ ñêîáêàõ äëÿ óêàçàíèÿ ÷èñëà àðãóìåíòîâ ôóíêöèè,ò.å. f (n) îçíà÷àåò, ÷òî f ∈ Pn . Îïðåäåëèì ïÿòü âàæíûõ çàìêíóòûõ ñèñòåì.

Îïðåäåëåíèå 6.4. (1,2) Ôóíêöèÿ f (n) ∈ P ñîõðàíÿåò 0 ( ñîõðàíÿåò 1), åñëè f (0, 0, . . . , 0) =

0 (f (1, 1, . . . , 1) = 1). Êëàññ âñåõ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ 0, îáîçíà÷èì ÷åðåç S0 , à êëàññ âñåõ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ 1, ÷åðåç S1 . (3) Ôóíêöèÿ f (n) ∈ P íàçûâàåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà àðãóìåíòîâ (σ1 , σ2 , . . . , σn ) ∈ Bn èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî: f (σ1 , σ2 , . . . , σn ) = ¬f (¬σ1 , ¬σ2 , . . . , ¬σn ). Òàêèì îáðàçîì, ñàìîäâîéñòâåííûå ôóíêöèè ïðèíèìàþò íà ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðàõ ïðîòèâîïîëîæíûå çíà÷åíèÿ. Êëàññ âñåõ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ÷åðåç S. (4) Ôóíêöèÿ f (n) ∈ P íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü çàäàíà ëèíåéíûì ìíîãî÷ëåíîì Æåãàëêèíà âèäà α0 + α1 X1 + α2 X2 + . . . αn Xn , ãäå αi ∈ {0, 1} ïðè i = 0, 1, 2, . . . , n. Êëàññ âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ÷åðåç L.

(5) Ôóíêöèÿ f (n) ∈ P íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ íàáîðîâ àðãóìåíòîâ (σ1 , σ2 , . . . , σn ) ∈ Bn è (ρ1 , ρ2 , . . . , ρn ) ∈ Bn òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ j ∈ [1, n] σj ≥ ρj , èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî f (σ1 , σ2 , . . . , σn ) ≥ f (ρ1 , ρ2 , . . . , ρn ). Êëàññ âñåõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ÷åðåç M.

Ïðèìåð 6.1. Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà ïÿòü ôóíêöèé îò 3-õ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå.

Èç îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî f3 , f4 è f5 ñîõðàíÿþò 0, ò.å. âõîäÿò â S0 , à ôóíêöèè f2 , f3 , f4 è f5 ñîõðàíÿþò 1, ò.å. âõîäÿò â S1 . Ôóíêöèÿ f3 ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé, à f2 íåò, òàê êàê f2 (0, 0, 0) = f2 (1, 1, 1). Ôóíêöèÿ f2 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îíà çàäàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì X1 + X2 + 1. Ôóíêöèÿ f5 ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé, à f3 íåò, òàê êàê f3 (0, 1, 1) = 0 < 1 = f3 (0, 1, 0).

Òåîðåìà 6.1. Êëàññû S0 , S1 , S, L è M ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìêíóòîñòü âñåõ óêàçàííûõ êëàññîâ óñòàíàâëèâàåòñÿ èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ ôîðìóë. Ïóñòü F ∈ {S0 , S1 , S, L, M} è f ∈ [F ] çàäàåòñÿ íåêîòîðîé ôîðìóëîé íàä F . Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî òîãäà f ∈ F .

6

28


Òàáëèöà 10: Ôóíêöèè f1 , f2 , f3 , f4 è f5 .

X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 1 1 0 0 1 1.

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

f1 1 0 0 1 1 0 0 0

f2 1 1 0 0 0 0 1 1

f3 0 0 1 0 1 0 1 1

f4 0 1 1 0 1 0 0 1

f5 0 0 1 1 0 0 1 1

Áàçèñ èíäóêöèè, êîãäà ýòà ôîðìóëà åñòü ïåðåìåííàÿ X , î÷åâèäåí. (k) (k) Ïóñòü f (X1 , . . . , Xk ) = g(f1 (X1 , . . . , Xk ), . . . , fn (X1 , . . . , Xk )), è ôóíêöèè g (n) , f1 , . . . , fn âõîäÿò â F . Òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî òîãäà è f âõîäèò â F . Äëÿ F = S0 ýòî ïðîñòî: f (0, 0, . . . , 0) = g(f1 (0, . . . , 0), . . . , fn (0, . . . , 0)) = g(0, 0, . . . , 0) = 0. Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ ñëó÷àé F = S1 . Åñëè F = S è (σ1 , σ2 , . . . , σk ) ïðîèçâîëüíûé íàáîð àðãóìåíòîâ, òî f (σ1 , σ2 , . . . , σk ) = ¬g(¬f1 (σ1 , . . . , σk ), . . . , ¬fn (σ1 , . . . , σk )) = ¬g(¬¬f1 (¬σ1 , . . . , ¬σk ), . . . , ¬¬fn (¬σ1 , . . . , ¬σk ) = ¬g(f1 (¬σ1 , . . . , ¬σk ), . . . , fn (¬σ1 , . . . , ¬σk )) = ¬f (¬σ1 , ¬σ2 , . . . , ¬σk ). Ñëåäîâàòåëüíî, f ∈ S. (k) Ïóñòü F = L. Òàê êàê òîãäà g (n) è âñå fi ëèíåéíû, òî ñóùåñòâóþò òàêèå êîýôôèöèåíòû α0 , α1 , . . . , αn è β0i , β1i , . . . , βki (i = 1, . . . , n) òàêèå, ÷òî g(X1 , . . . , Xn ) = α0 + α1 X1 + . . . + αn Xn è fi (X1 , . . . , Xk ) = β0i + β1i X1 + βki Xk (i = 1, . . . , n). Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó äëÿ f (k) , ïîëó÷èì f (X1 , . . . , Xk ) = α0 +α1 (β01 +β11 X1 +βk1 Xk )+. . .+αn (β0n +β1n X1 +βkn Xk ) = (α0 +β01 + . . .+β0n )+(α1 β11 +. . .+αn β1n )X1 +. . .+(α1 βk1 +. . .+αn βkn )Xk = γ0 +γ1 X1 +. . .+γk Xk , ãäå γ0 , γ1 , . . . , γk çíà÷åíèÿ ñóìì êîíñòàíò â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñêîáêàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, f ∈ L. (k) Íàêîíåö ðàññìîòðèì êëàññ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Åñëè g (n) è âñå fi ∈ M è (σ1 , σ2 , . . . , σk ) è (ρ1 , ρ2 , . . . , ρk ) äâà íàáîðà àðãóìåíòîâ òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ j ∈ [1, k] σj ≥ ρj , òî fi (σ1 , σ2 , . . . , σk ) ≥ fi (ρ1 , ρ2 , . . . , ρk ) è ïîýòîìó f (σ1 , σ2 , . . . , σk ) = g(f1 (σ1 , σ2 , . . . , σk ), . . . , fn (σ1 , σ2 , . . . , σk )) ≥ g(f1 (ρ1 , ρ2 , . . . , ρk ), . . . , fn (ρ1 , ρ2 , . . . , ρk )) = f (ρ1 , ρ2 , . . . , ρk ). Òàêèì îáðàçîì, f ∈ M. 2

29

Ñëåäñòâèå 6.1.1. Êëàññû ôóíêöèé S0 , S1 , S, M è L íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñÿêàÿ ñèñòåìà, íå ñîäåðæàùàÿñÿ âíóòðè îäíîãî èç óêàçàííûõ ïÿòè êëàññîâ ïîëíà.

Òåîðåìà 6.2. (Òåîðåìà Ïîñòà î ïîëíîòå) Ñèñòåìà áóëåâûõ ôóíêöèé F ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîì èç êëàññîâ S0 , S1 , S, M è L, ò.å. êîãäà â íåé èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà ôóíêöèÿ, íå ñîõðàíÿþùàÿ 0, õîòÿ áû ïî îäíà ôóíêöèÿ, íå ñîõðàíÿþùàÿ 1, õîòÿ áû ïî îäíà íåñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, õîòÿ áû ïî îäíà íåìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ è õîòÿ áû ïî îäíà íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç óñòàíîâëåííîãî âûøå ñëåäñòâèÿ 6.1.1 íà ñòð. 28. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî F ñîäåðæèò íå ñîõðàíÿ(i) (j) þùóþ 0 ôóíêöèþ f0 , íå ñîõðàíÿþùóþ 1 ôóíêöèþ f1 , íåñàìîäâîéñòâåííóþ ôóíê(k) (r) (p) öèþ fs , íåìîíîòîííóþ ôóíêöèþ fm è íåëèíåéíóþ ôóíêöèþ fl . Ïîêàæåì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôóíêöèé âñåãäà ìîæíî âûðàçèòü ôóíêöèè îäíîé èç äâóõ óæå èçâåñòíûõ íàì ïîëíûõ ñèñòåì: {¬, ∧} èëè {¬, ∨}. Äëÿ ýòîãî óñòàíîâèì, ÷òî: 1) èñïîëüçóÿ f0 , f1 è fs , ìîæíî âûðàçèòü êîíñòàíòû 0 è 1; 2) ñ ïîìîùüþ êîíñòàíò èç fm ìîæíî ïîëó÷èòü îòðèöàíèå ¬; 3) ñ ïîìîùüþ êîíñòàíò è îòðèöàíèÿ èç fl ìîæíî ïîëó÷èòü êîíúþíêöèþ ∧ èëè äèçúþíêöèþ ∨.

Ëåììà 6.1. Ôîðìóëàìè, ïîñòðîåííûìè èç ôóíêöèé f0 , f1 è fs , ìîæíî çàäàòü êîíñòàíòû 0 è 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. . Ðàññìîòðèì äâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ f0 íà íàáîðå àðãóìåíòîâ, ñîñòîÿùåì èç îäíèõ åäèíèö. Ñëó÷àé 1. f0 (1, . . . , 1) = 0. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(X), çàäàííóþ ôîðìóëîé f0 (X, . . . , X). Òîãäà, î÷åâèäíî, g(0) = f0 (0, . . . , 0) = 1, à g(1) = f0 (1, . . . , 1) = 0. Òàêèì îáðàçîì, (k) ïîëó÷èëè îòðèöàíèå: g(X) = ¬X . Òàê êàê fs ∈ / S, òî äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ (σ1 , . . . , σk ) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî fs (σ1 , . . . , σk ) = fs (¬σ1 , . . . , ¬σk ) = const ∈ {0, 1}. Ïîëîæèì òîãäà h(X) = fs (X σ1 , . . . , X σk ) (òàêàÿ ïîäñòàíîâêà ïåðåìåííîé X 1 è åå îòðèöàíèÿ X 0 âîçìîæíà, òàê êàê ìû óæå ïîëó÷èëè îòðèöàíèå). Òîãäà h ýòî êîíñòàíòà const. Äåéñòâèòåëüíî, h(1) = fs (1σ1 , . . . , 1σk ) = fs (σ1 , . . . , σk ) = fs (¬σ1 , . . . , ¬σk ) = fs (0σ1 , . . . , 0σk ) = h(0) = const. Äðóãàÿ êîíñòàíòà òîãäà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé ¬h(X). Ñëó÷àé 2. f0 (1, . . . , 1) = 1. Â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà f0 (X, . . . , X) çàäàåò ôóíêöèþ g(X), òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1, à ôîðìóëà f1 (g(X), . . . , g(X)) çàäàåò ôóíêöèþ h(X), òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 0. Äåéñòâèòåëüíî, h(σ) = f1 (g(σ), . . . , g(σ)) = f1 (1, . . . , 1) = 0 äëÿ ëþáîãî σ ∈ {0, 1}. 2

6

30


Ëåììà 6.2. Ôîðìóëàìè, ïîñòðîåííûìè èç êîíñòàíò 0 è 1 è íåìîíîòîííîé ôóíê(r)

öèè fm , ìîæíî çàäàòü îòðèöàíèå ¬. (r)

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê fm íåìîíîòîííà, òî èìåþòñÿ äâà ðàçíûõ íàáîðà àðãóìåíòîâ σ ˜ = (σ1 , . . . , σr ) è ρ˜ = (ρ1 , . . . , ρr ) òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ j ∈ [1, r] σj ≥ ρj è ïðè ýòîì fm (σ1 , σ2 , . . . , σn ) = 0, à fm (ρ1 , ρ2 , . . . , ρn ) = 1. Ïóñòü i1 , . . . , il ýòî âñå èíäåêñû, äëÿ êîòîðûõ σij = 1 > ρij = 0. Òàê êàê σ ˜ 6= ρ˜, òî l ≥ 1. Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç (l + 1)-ãî íàáîðà àðãóìåíòîâ ρ˜0 , ρ˜1 , . . . , ρ˜l ñëåäóþùèì îáðàçîì: ρ˜0 = ρ˜, à äàëåå êàæäûé íàáîð ρ˜j ïîëó÷åòñÿ èç ïðåäûäóùåãî ρ˜j−1 çàìåíîé ij -îé êîîðäèíàòû ñ 0 íà 1. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíèé èç ýòèõ íàáîðîâ ρ˜l ñîâïàäàåò ñ σ ˜ . Ðàññìîòðèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè fm íà ýòèõ íàáîðàõ: fm (ρ˜0 ), fm (ρ˜1 ), . . . , fm (ρ˜l ). Òàê êàê ïåðâîå èç íèõ fm (ρ˜0 ) = fm (˜ ρ) = 1, à ïîñëåäíåå fm (ρ˜l ) = fm (˜ σ ) = 0, òî íàéäóòñÿ äâà ñîñåäíèõ íàáîðà ρ˜j−1 è ρ˜j òàêèõ, ÷òî fm (˜ ρj−1 ) = 1, à fm (ρ˜j ) = 0. Îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ij -îé êîîðäèíàòîé. Ïóñòü ρ˜j−1 = (α1 , . . . , αij −1 , 0, αij +1 , . . . , αr ), a ρ˜j = (α1 , . . . , αij −1 , 1, αij +1 , . . . , αr ). Ïîëîæèì òîãäà g(X) = fm (α1 , . . . , αij −1 , X, αij +1 , . . . , αr ). Òîãäà g(0) = fm (α1 , . . . , αij −1 , 0, αij +1 , . . . , αr ) = 1, a g(1) = fm (α1 , . . . , αij −1 , 1, αij +1 , . . . , αr ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, g(X) = ¬X. 2

Ëåììà 6.3. Ôîðìóëàìè, ïîñòðîåííûìè èç êîíñòàíò 0 è 1, îòðèöàíèÿ ¬ è íåëè(p)

íåéíîé ôóíêöèè fl

, ìîæíî çàäàòü äèçúþíêöèþ ∨ èëè êîíúþíêöèþ ∧. (p)

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê fl ∈ / L, òî â ïðåäñòàâëÿþùèé åå ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà îáÿçàòåëüíî âõîäèò ñëàãàåìîå âèäà Xi1 ∗Xi2 ∗. . .∗Xik (k ≥ 2). Âûáåðåì ñàìîå êîðîòêîå èç òàêèõ ñëàãàåìûõ è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g1 (Xi1 , Xi2 ) = fl (σ1 , . . . , σi1 −1 , Xi1 , σi1 +1 , . . . , σi2 −1 , Xi2 , σi2 +1 , . . . , σp ), ãäå σj = 1 ïðè j ∈ {i3 , . . . , ik } è σj = 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ïðè òàêîé ïîäñòàíîâêå êîíñòàíò ìíîãî÷ëåí Æåãàëêèíà äëÿ g(X1 , X2 ) = g1 (X1 , X2 ) èìååò âèä: α0 + α1 X1 + α2 X2 + X1 ∗ X2 , ãäå α0 , α1 , α2 ∈ {0, 1}. Òàêèì îáðàçîì, âñåãî âîçìîæíî 8 âàðèàíòîâ. Ðàññìîòðèì 4 èç íèõ â ñëó÷àå, êîãäà α0 = 0. Òîãäà 1) ïðè α1 = 0 è α2 = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî g(X1 , X2 ) ≡ X1 ∧ X2 ; 2) ïðè α1 = 0 è α2 = 1 ïîëó÷àåì, ÷òî g(¬X1 , X2 ) ≡ X2 + ¬X1 ∗ X2 ≡ (1 + ¬X1 ) ∗ X2 ≡ X1 ∧ X2 ; 3) ïðè α1 = 1 è α2 = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî g(X1 , ¬X2 ) ≡ X1 + X1 ∗ ¬X2 ≡ X1 ∗ (1 + ¬X2 ) ≡ X1 ∧ X2 ; 4) ïðè α1 = 1 è α2 = 1 èìååì g(X1 , X2 ) ≡ X1 + X2 + X1 ∗ X2 ≡ X1 ∨ X2 . Îñòàëüíûå 4 âàðèàíòà â ñëó÷àå , êîãäà α0 = 1, ïîëó÷àþòñÿ êàê îòðèöàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âàðèàíòîâ äëÿ α0 = 0. 2 Èç ïðèâåäåííûõ òðåõ ëåìì, î÷åâèäíî, ñëåäóåò äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû Ïîñòà. 2

31

Ïðèìåð 6.2. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé íàáîð ôóíêöèé. Òàáëèöà 11: Ôóíêöèè f , g è h.

X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 1 1 0 0 1 1

X3 0 1 0 1 0 1 0 1

f 1 0 0 1 0 1 1 0

g 1 1 0 0 0 1 1 1

h 0 0 1 0 1 0 1 0

Ôóíêöèÿ f , î÷åâèäíî, íå ñîõðàíÿåò 0 è 1, íî ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé. Ôóíêöèÿ g(X1 , X2 , X3 ) = 1 + X1 + X2 + X1 ∗ X3 + X1 ∗ X2 ∗ X3 ÿâëÿåòñÿ íåñàìîäâîéñòâåííîé, íåìîíîòîííîé è íåëèíåéíîé. Ïî ëåììå 6.1 íà ñòð. 29 ïîëó÷àåì, ÷òî f (X, X, X) = ¬X , ôóíêöèÿ g1 (X) = g(X, X, X) ≡ 1, à ôóíêöèÿ g0 (X) = ¬g1 (X) ≡ 0. Ïîäñòàâèâ X2 = 0 â g ïîëó÷èì g3 (X1 , X3 ) = g(X1 , 0, X3 ) = 1 + X1 + X1 ∗ X3 . Òîãäà h(X1 , X2 ) = ¬g3 (X1 , ¬X2 ) = ¬(1+X1 +X1 ∗¬X2 ) ≡ ¬(1+X1 ∗(1+¬X2 )) ≡ X1 ∗X2 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ñ ïîìîùüþ f è g ñóìåëè âûðàçèòü îáå ôóíêöèè ïîëíîé ñèñòåìû {¬, ∗(= ∧)} è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà ôóíêöèé {f, g} ïîëíàÿ.

Îïðåäåëåíèå 6.5. Ïîëíàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïîëíîé ñèñòåìîé èëè áàçèñîì , åñëè ïîñëå óäàëåíèÿ èç íåå ëþáîé ôóíêöèè îíà ïåðåñòàåò áûòü ïîëíîé.

Íàïðèìåð, ñèñòåìà {¬, ∧, ∨} íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, à êàæäàÿ èç ñèñòåì {¬, ∧}, {¬, ∨} ÿâëÿåòñÿ. Ìû óæå çíàåì, ÷òî èìåþòñÿ ïîëíûå ñèñòåìû, ñîñòîÿùèå èç îäíîé ôóíêöèè (íàïðèìåð, ñèñòåìà {|}). Îíè, êîíå÷íî, ÿâëÿþòñÿ áàçèñàìè. Èìåþòñÿ è ïîëíûå ñèñòåìû, âêëþ÷àþùèå 3 ôóíêöèè, íàïðèìåð ñèñòåìà {1, ∗, +}, íà êîòîðîé îñíîâàíû ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà (îòìåòèì, ÷òî êîíñòàíòó 0 ìîæíî âûðàçèòü êàê 1+1). Èç òåîðåìû Ïîñòà ñëåäóåò, ÷òî íèêàêàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñèñòåìà íå ñîäåðæèò áîëåå 5 ôóíêöèé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïîëíîòû âñåãäà äîñòàòî÷íî ÷åòûðåõ ôóíêöèé.

Òåîðåìà 6.3. Âî âñÿêîì áàçèñå F ñîäåðæèòñÿ íå áîëåå 4-õ ôóíêöèé. (i)

f0

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå Ïîñòà â áàçèñå F èìååòñÿ ôóíêöèÿ ∈ / S0 . Ïîýòîìó f0 (0, 0, . . . , 0) = 1. Åñëè îíà õîòÿ áû íà îäíîì íàáîðå çíà÷åíèé

32

6

Ïîëíûå ñèñòåìû ôóíêöèé è òåîðåìà Ïîñòà (i)

àðãóìåíòîâ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, òî îíà íåìîíîòîííà, ò.å. f0 ∈ / M. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, f0 íà âñåõ íàáîðàõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ ðàâíà 1. Íî òîãäà îíà íåñàìîäâîéñòâåííà , òàê êàê f0 (0, 0, . . . , 0) = 1 = f0 (1, 1, . . . , 1). Âî âñåõ ñëó÷àÿõ f0 ∈ / M èëè f0 ∈ / S è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèñòåìå F ñîäåðæèòñÿ íå áîëåå 4-õ ôóíêöèé. 2 Ìîæåò áûòü, â ìèíèìàëüíîé ñèñòåìå ìîæíî îáîéòèñü òðåìÿ ôóíêöèÿìè? Ýòî íå òàê. Ðàñìîòðèì, íàïðèìåð, ñèñòåìó F (4) = {0, 1, X ∧ Y, X + Y + Z}. Â ýòîé ñèñòåìå, 0∈ / S1 ∪ S, 1 ∈ / S0 , X + Y + Z ∈ / M, X ∧ Y ∈ / L. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè óäàëåíèè (4) ëþáîé èç ôóíêöèé ñèñòåìà F ïåðåñòàåò áûòü ïîëíîé. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 6.3 íà ñòð. 31 äàåò íàèëó÷øóþ âåðõíþþ îöåíêó ÷èñëà ôóíêöèé â áàçèñå.

Çàìå÷àíèå. Å. Ïîñò â ðàáîòàõ, îïóáëèêîâàííûõ â 1921 è 1941 ãã. óñòàíîâèë íå òîëüêî êðèòåðèé ïîëíîòû, íî è îïèñàë ñòðóêòóðó âñåõ çàìêíóòûõ êëàññîâ ôóíêöèé â P. Îí ïîêàçàë, ÷òî ÷èñëî òàêèõ êëàññîâ ñ÷åòíî è ÷òî â êàæäîì èç íèõ èìååòñÿ ñîáñòâåííûé êîíå÷íûé áàçèñ.

6.1 Çàäà÷è Çàäà÷à 6.1. Äîêàæèòå ïîëíîòó ñèñòåìû {↓}, âêëþ÷àþùåé òîëüêî ñòðåëêó Ïèðñà, íåïîñðåäñòâåííî âûðàçèâ ÷åðåç íåå îòðèöàíèå, äèçúþíêöèþ è êîíúþíêöèþ.

Çàäà÷à 6.2. Îïðåäåëèòå ïðèíàäëåæíîñòü êàæäîé èç ôóíêöèé f1 , f2 , f3 , f4 è f5 , ïðåäñòàâëåííûõ â òàáëèöå 10 íà ñòð. 28, êàæäîìó èç êëàññîâ S0 , S1 , S, L è M.

Çàäà÷à 6.3. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû çàäà÷è 6.2, îïðåäåëèòå, êàêèå èç òðîåê ôóíêöèé, ïðåäñòàâëåííûõ â òàáëèöå 10 íà ñòð. 28, ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè ñèñòåìàìè. Èìåþòñÿ ëè ñðåäè íèõ ïîëíûå ñèñòåìû èç äâóõ ôóíêöèé? Èç îäíîé ôóíêöèè?

Çàäà÷à 6.4. Ïðîâåðüòå ïîëíîòó ñèñòåìû ôóíêöèé {g, h} , ïðåäñòàâëåííûõ â òàáëèöå 11 íà ñòð. 31. Åñëè îíà ïîëíà, âûðàçèòå ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôóíêöèé îáå êîíñòàíòû, îòðèöàíèå ¬ è èìïëèêàöèþ →.

Çàäà÷à 6.5. Äîêàæèòå, ÷òî ñèñòåìà {∨, ∧, →} íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ìîæíî ëè åå ñäåëàòü ïîëíîé, äîáàâèâ íåêîòîðóþ êîíñòàíòó?

Çàäà÷à 6.6. Âûðàçèòå ôóíêöèè {0, 1, ∨, ∧, ∼} ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, ïîñòðîåííûõ èç ôóíêöèé ïîëíîé ñèñòåìû {¬, →}.

Çàäà÷à 6.7. Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî ôóíêöèé èç Pn , ïðèíàäëåæàùèõ êàæäîìó èç êëàññîâ S0 , S1 , S è L.

Çàäà÷à 6.8. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé f (n) ∈ M ñïðàâåäëèâî ïðåä-

ñòàâëåíèå f (X1 , . . . , Xn ) = (Xi ∧f (X1 , . . . , Xi−1 , 1, Xi+1 , . . . , Xn ))∨f (X1 , . . . , Xi−1 , 0, Xi+1 , . . . , Xn ),

6.1 Çàäà÷è

33

(1 ≤ i ≤ n). Âûâåñòè îòñþäà (èíäóêöèåé ïî n), ÷òî äëÿ âñÿêîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè, îòëè÷íîé îò êîíñòàíòû, ñóùåñòâóåò çàäàþùàÿ åå ÄÍÔ, íå ñîäåðæàùàÿ îòðèöàíèé ïåðåìåííûõ. [n/2]

Çàäà÷à 6.9. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé â Pn íå ìåíüøå 2Cn . Çàäà÷à 6.10. Íàéäèòå âñå áàçèñû, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü, óäàëÿÿ ôóíêöèè èç ñèñòåìû {0, 1, ∧, ∨, →}.

Çàäà÷à 6.11. Íàéòè ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ, ÿâëÿþùèõñÿ îäíîâðåìåííî ñàìîäâîéñòâåííûìè è ëèíåéíûìè.

Çàäà÷à 6.12. Íàéòè ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ, ÿâëÿþùèõñÿ îäíîâðåìåííî ìîíîòîííûìè è ëèíåéíûìè.

Çàäà÷à 6.13. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f (X1 , . . . , Xn ) ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû, òî |Nf+ | = 2n−1 . Âåðíî ëè îáðàòíîå?

Лекции по дискретной математике - БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Recommend Documents