Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2001. Том 42, № 5
УДК 517.953+517.983
ИЗОМОРФНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Г. В. Демиденко
Аннотация: Рассматривается класс матричных квазиэллиптических операторов вида K L(Dx ) L (Dx ) = , x ∈ Rn . M (Dx ) 0 Для этих операторов устанавливаются изоморфные свойства в специальных шкалах весовых соболевских пространств. Приводится пример использования полученных результатов для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Библиогр. 17.
Посвящается С. В. Успенскому в честь его 70-летия В работе рассматривается класс матричных квазиэллиптических операторов, введенный в монографии [1]: K L(Dx ) L (Dx ) = , x ∈ Rn . (0.1) M (Dx ) 0 Для этих операторов устанавливаются изоморфные свойства в специальных шкалах весовых соболевских пространств. Приводится пример использования полученных результатов для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. § 1. Формулировка основных результатов Будем предполагать, что матричный ν × ν-оператор L (Dx ) удовлетворяет следующим условиям. Условие 1. Числовая µ × µ-матрица K невырожденна, 1 ≤ µ < ν. Условие 2. Существуют вектор α = (α1 , . . . , αn ) и число s ∈ (0, 1), s/αi , 1/αi ∈ N, такие, что символы матричных операторов L(Dx ) и M (Dx ) однородны относительно вектора α с показателями 1 − s и s соответственно, т. е. L(cα iξ) = c1−s L(iξ),
M (cα iξ) = cs M (iξ),
c > 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 99–01–00533 и 01–01–00609).
c 2001 Демиденко Г. В.
Изоморфные свойства дифференциальных операторов
1037
Условие 3. Равенство det(M (iξ)K −1 L(iξ)) = 0,
ξ ∈ Rn ,
имеет место тогда и только тогда, когда ξ = 0. В качестве примера рассмотрим следующий оператор: 1 0 L (Dx ) = 0 Dx1
0 1 0 Dx2
0 0 1 Dx3
Dx1 Dx2 , Dx3 0
x ∈ R3 .
(1.1)
Оператор является эллиптическим по Дуглису — Ниренбергу, и для него, очевидно, ν = 4, µ = 3, Dx1 1 0 0 K = 0 1 0 , L(Dx ) = Dx2 , M (Dx ) = (Dx1 , Dx2 , Dx3 ), 0 0 1 Dx3 det(M (iξ)K −1 L(iξ)) = −|ξ|2 ,
α = (1/2, 1/2, 1/2),
s = 1/2.
Следовательно, для оператора (1.1) условия 1–3 выполнены. r Используя весовые соболевские пространства Wp,σ (Rn ), исследуемые в [2], для оператора L (Dx ) можно установить некоторые утверждения, аналогичные доказанным в работе автора [3] для класса квазиэллиптических операторов с однородными символами. В этой работе мы докажем теоремы об изоморфизме оператора L (Dx ) и о регулярности решений квазиэллиптических систем в Rn . Согласно определению [2] норма в пространстве r Wp,σ (Rn ),
r = (r1 , . . . , rn ),
ri ∈ N,
1 < p < ∞,
σ ∈ R1 ,
определяется следующим образом: X
r
u(x), Wp,σ
(1 + hxi)−σ(1−β/r) Dxβ u(x), Lp (Rn ) , (Rn ) = 0≤β/r≤1
где hxi2 =
n X i=1
n
i x2r i ,
β = (β1 , . . . , βn ),
X βi β = . r r i=1 i
В изотропном случае r1 = . . . = rn = r норма эквивалентна следующей: X k(1 + |x|)−σ(r−|β|) Dxβ u(x), Lp (Rn )k. 0≤|β|≤r
В [2] доказано, что при σ ≤ 1 множество финитных бесконечно дифференцируеr мых функций всюду плотно в Wp,σ (Rn ). В дальнейшем мы будем рассматривать эти пространства в частном случае σ = 1. Отметим, что в изотропном случае при p > n, σ = 1 пространства такого типа были введены Л. Д. Кудрявцевым [4] (см. также обзор [5]). Имеет место
1038
Г. В. Демиденко n P
Теорема 1. Пусть r = (1/α1 , . . . , 1/αn ), |α| = оператор L (Dx ) :
αi . Если |α|/p > 1, то
i=1 µ Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
ν Y
r Wp,1 (Rn ) →
µ Y
µ+1
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
ν Y
Lp (Rn )
µ+1
устанавливает изоморфизм. Из теоремы, в частности, вытекает, что оператор (1.1) устанавливает изоморфизм 1 0 0 Dx1 3 3 Y 1 0 Dx2 Y 1 0 2 1 Wp,1 (R3 ) × Wp,1 (R3 ) → Wp,1 (R3 ) × Lp (R3 ) : 0 0 1 Dx3 1 1 Dx1 Dx2 Dx3 0 при 1 < p < 3/2. Приведем некоторые примеры использования этой теоремы. Вначале рассмотрим систему уравнений в Rn : Ku+ + L(Dx )u− = f + (x),
M (Dx )u+ = f − (x).
(1.2)
В силу теоремы 1 система имеет единственное решение u+ (x) ∈
µ Y
sr Wp,1 (Rn ),
ν Y
u− (x) ∈
1
r Wp,1 (Rn )
(1.3)
µ+1
для любой правой части f + (x) ∈
µ Y
sr Wp,1 (Rn ),
f − (x) ∈
1
ν Y
Lp (Rn ),
(1.4)
µ+1
при этом имеет место неравенство µ ν X X
+
−
sr r
u (x), Wp,1
u (x), Wp,1 (R ) + (Rn ) n i j i=µ+1
j=1
≤c
µ X
! ν X
+
−
sr
f (x), Wp,1 (Rn ) +
f (x), Lp (Rn ) (1.5) j i
j=1
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x). Приведем теорему о регулярности решений системы (1.2). Теорема 2. Пусть r = (1/α1 , . . . , 1/αn ), l/αi ∈ N, |α|/p > 1, +
f (x) ∈
µ Y
sr Wp,1 (Rn ),
f − (x) ∈
1
при этом Dxβ f + (x) ∈
µ Q 1
Wplr (Rn ),
µ+1
Wplr (Rn ) для любых β, βα = s. Тогда для всех компонент
решения имеют место следующие свойства: µ Q 1) Dxβ u+ (x) ∈ Wplr (Rn ) при βα = s; 1
ν Y
Изоморфные свойства дифференциальных операторов 2) Dxγ u− (x) ∈
ν Q µ+1
1039
Wplr (Rn ) при γα = 1.
Рассмотрим задачу Коши для системы, не разрешенной относительно производной по времени: KDt u+ + K1 u+ + L(Dx )u− = f + (t, x), M (Dx )u+ = f − (t, x),
t > 0, x ∈ Rn ,
(1.6)
u+ |t=0 = u+ 0 (x),
где K, L(Dx ), M (Dx ) — соответствующие блоки оператора (0.1), K1 — постоянная µ × µ-матрица. Теорема 3. Пусть r = (1/α1 , . . . , 1/αn ), |α|/p > 1, ! ! µ ν Y Y sr f + (t, x) ∈ C [0, T ]; Wp,1 (Rn ) , f − (t, x) ∈ C 1 [0, T ]; Lp (Rn ) , 1
u+ 0 (x) ∈
µ+1
µ Y
− M (Dx )u+ 0 (x) = f (0, x).
sr Wp,1 (Rn ),
1
Тогда существует единственное решение задачи Коши (1.6): ! ! µ ν Y Y + 1 sr − r u (t, x) ∈ C [0, T ]; Wp,1 (Rn ) , u (t, x) ∈ C [0, T ]; Wp,1 (Rn ) . 1
µ+1
Пример. Рассмотрим задачу Коши для системы Соболева [6] Dt u+ − [u+ × w] + ∇u− = f + (t, x), div u+ = f − (t, x),
t > 0, x ∈ R3 ,
(1.7)
u+ |t=0 = u+ 0 (x).
Из теоремы 2, в частности, вытекает, что задача Коши (1.7) имеет единственное решение ! 3 Y + 1 1 2 u (t, x) ∈ C [0, T ]; Wp,1 (R3 ) , u− (t, x) ∈ C [0, T ]; Wp,1 (R3 ) , 1 < p < 3/2, 1
при любых +
f (t, x) ∈ C [0, T ];
3 Y
! 1 Wp,1 (R3 )
,
! −
f (t, x) ∈ C
1
[0, T ]; Lp (R3 ) ,
1
u+ 0 (x) ∈
3 Y
1 Wp,1 (R3 ),
− div u+ 0 (x) = f (0, x).
1 r Подчеркнем, что использование весовых соболевских пространств Wp,1 (R3 ) играет очень важную роль для безусловной разрешимости задачи Коши. Если, например, решать задачу (1.7) в классе ! 3 Y u+ (t, x) ∈ C 1 [0, T ]; Wp1 (R3 ) , u− (t, x) ∈ C [0, T ]; Wp2 (R3 ) , 1 < p < 3/2, 1
1040
Г. В. Демиденко
то для разрешимости необходимо налагать дополнительные условия на f + (t, x), + − f − (t, x), u+ 0 (x) (см. [1, гл. 3]). В частности, при f (t, x) = 0, u0 (x) = 0 необходимо, чтобы Z f + (t, x)dx = 0.
R3
Отметим, что впервые Lp -оценки решений системы Соболева были получены В. Н. Масленниковой [7]. Замечание 1. Некоторые результаты об изоморфных свойствах дифференциальных операторов содержатся в работах [8–12]. Замечание 2. Теорема 1 анонсирована в [13]. § 2. Схема доказательства теоремы 1 Вначале покажем, что оператор L (Dx ) отображает пространство µ Y
ν Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
r Wp,1 (Rn )
µ+1
в пространство µ Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
ν Y
Lp (Rn ).
µ+1
По определению оператора (0.1) для любой вектор-функции + µ ν Y Y u (x) + sr − r u(x) = , u (x) ∈ W (R ), u (x) ∈ Wp,1 (Rn ) n p,1 u− (x) 1
µ+1
имеем f (x) = L (Dx )u(x), где f (x) =
f + (x) f − (x)
f + (x) = Ku+ (x) + L(Dx )u− (x),
,
Поскольку u− (x) ∈
ν Q µ+1
дует, что
f − (x) = M (Dx )u+ (x).
r r Wp,1 (Rn ), по определению пространства Wp,1 (Rn ) сле-
−(1−β/r)
(1 + hxi)
Dxβ u− (x)
∈
ν Y
Lp (Rn ),
0 ≤ β/r ≤ 1.
µ+1
Тогда в силу условия 2 имеем (1 + hxi)−(s−γ/r) Dxγ L(Dx )u− (x) ∈
µ Y
Lp (Rn ),
0 ≤ γ/r ≤ s,
Lp (Rn ),
hxi2s =
1
а это эквивалентно тому, что −(1−γ/(sr))
(1 + hxis )
Dxγ L(Dx )u− (x)
∈
µ Y 1
n X i=1
i x2sr . i
Изоморфные свойства дифференциальных операторов
1041
sr Следовательно, по определению пространства Wp,1 (Rn ) получаем L(Dx )u− (x) ∈ µ µ µ Q Q Q sr sr sr Wp,1 (Rn ) и, значит, f + (x) ∈ Wp,1 (Rn ). Так как u+ (x) ∈ Wp,1 (Rn ), то в 1
1
+
силу условия 2 M (Dx )u (x) ∈
ν Q
−
Lp (Rn ), т. е. f (x) ∈
µ+1
ν Q
1
Lp (Rn ).
µ+1
Итак, образ оператора L (Dx ) принадлежит пространству µ Y
sr Wp,1 (Rn )
ν Y
×
1
Lp (Rn ).
µ+1
Поэтому для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что квазиэллиптическая система уравнений (1.2) имеет единственное решение (1.3) для любой правой части (1.4), при этом имеет место неравенство (1.5). Отметим основные моменты доказательства разрешимости задачи (1.2). Вначале построим последовательность приближенных решений (1.2), используя интегральное представление С. В. Успенского [14] суммируемых функций (см. также [1, гл. 1]): −1
h Z
−n
ϕ(x) = lim (2π) h→0
Z Z
v −|α|−1
x−y exp i α ξ G(ξ)ϕ(y) dξdydv, v
(2.1)
Rn Rn
h
где G(ξ) = 2mhξi2m exp(−hξi2m ),
hξi2 =
n X
2/αi
ξi
,
m ∈ N.
(2.2)
i=1
Для этого рассмотрим следующую систему с параметром ξ ∈ Rn : Kv + + L(iξ)v − = fˆ+ (ξ),
M (iξ)v + = fˆ− (ξ),
получаемую формальным применением оператора Фурье к задаче (1.2) при условии, что вектор-функции f + (x), f − (x) бесконечно дифференцируемы и финитны. Учитывая условия 1–3, при ξ ∈ Rn \{0}, очевидно, имеем v + (ξ) = K −1 (I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 )fˆ+ (ξ) + K −1 L(iξ)N0−1 (ξ)fˆ− (ξ), (2.3) v − (ξ) = N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 fˆ+ (ξ) − N0−1 (ξ)fˆ− (ξ),
(2.4)
где N0 (ξ) = M (iξ)K −1 L(iξ). По аналогии с [1, гл. 3] построим вектор-функции u+ k (x)
−n/2
Zk
= (2π)
v −1
−n/2
Zk
= (2π)
eixξ G(ξv α )v + (ξ) dξdv,
(2.5)
eixξ G(ξv α )v − (ξ) dξdv.
(2.6)
Rn
1/k
u− k (x)
Z
v
−1
1/k
Z
Rn
Из определения вектор-функций v + (ξ), v − (ξ) вытекает, что − + Ku+ k (x) + L(Dx )uk (x) = fk (x),
− M (Dx )u+ k (x) = fk (x),
где fk+ (x)
−n
Zk
= (2π)
1/k
v −|α|−1
Z Z
Rn Rn
x−y exp i α ξ G(ξ)f + (y) dξdydv, v
1042
Г. В. Демиденко fk− (x)
−n
Zk
= (2π)
v −|α|−1
Z Z
x−y exp i α ξ G(ξ)f − (y) dξdydv. v
Rn Rn
1/k
В силу интегрального представления (2.1) для любых γ = (γ1 , . . . , γn ) таких, что 0 ≤ γ/r ≤ s, имеет место сходимость
(1 + hxis )−(1−γ/(sr)) Dxγ f + (x) − Dxγ f + (x) , Lp (Rn ) → 0, k → ∞, k а также
−
f (x) − f − (x), Lp (Rn ) → 0, k
k → ∞.
Следовательно, вектор-функции (2.5), (2.6) можно рассматривать в качестве приближенного решения системы (1.2). Отметим, что в силу условий 1–3 вектор-функции (2.3), (2.4) могут иметь особенности только при ξ = 0. Поскольку все элементы матриц в (2.3), (2.4) являются однородными относительно вектора α с показателями однородности q ∈ [−1, 0], то эти особенности имеют вид O(hξiq ). Поэтому в силу определе− ния (2.2) вектор-функции u+ k (x), uk (x) будут бесконечно дифференцируемыми. Очевидно, можно указать натуральное число m1 такое, что при m ≥ m1 в (2.2) эти вектор-функции будут суммируемыми в любой степени p ≥ 1. Для этого достаточно взять m1 таким, чтобы для функций k(ξ) ∈ C ∞ (Rn \{0}), однородных относительно вектора α с показателем однородности q, выполнялось неравенство Z eixξ hξi2m1 e−hξi2m1 k(ξ) dξ ≤ c(1 + hxi)−(|α|+1) , x ∈ Rn . Rn
В дальнейшем будем считать, что в (2.2) m ≥ m1 . Перепишем формулы (2.5), (2.6) в операторном виде + + uk (x) f (x) = Pk f (x), f (x) = . f − (x) u− k (x) В следующем параграфе будет доказано, что при условии |α|/p > 1 справедливы оценки µ ν X X
+
−
sr r
u (x), Wp,1
+
u (x), Wp,1 (R ) (Rn ) n k,j k,i i=µ+1
j=1
≤c
µ X
! ν X
+
−
sr
f (x), Wp,1
(Rn ) + fi (x), Lp (Rn ) (2.7) j
j=1
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, а также установлена сходимость µ X
+
sr
u (x) − u+ (x), Wp,1 (Rn ) k1 ,j k2 ,j j=1
+
ν X
−
r
u (x) − u− (x), Wp,1 (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i i=µ+1
k1 , k2 → ∞. (2.8)
Изоморфные свойства дифференциальных операторов Отсюда в силу полноты пространства
µ Q 1
sr Wp,1 (Rn ) ×
ν Q µ+1
1043
r Wp,1 (Rn ) следует, что
существует линейный непрерывный оператор P :
µ Y
ν Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
µ Y
Lp (Rn ) →
µ+1
ν Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
r Wp,1 (Rn ),
µ+1
определенный на финитных вектор-функциях по формуле + f (x) P f (x) = lim Pk f (x), f (x) = , f − (x) k→∞ и вектор-функция u(x) =
u+ (x) u− (x)
= P f (x)
будет решением системы (1.2). Ввиду плотности множества финитных векторµ ν Q Q sr функций в Wp,1 (Rn ) × Lp (Rn ) (см. [2]) по теореме о продолжении по 1
µ+1
непрерывности оператор P можно единственным образом продолжить на все µ ν Q Q sr пространство Wp,1 (Rn ) × Lp (Rn ) с сохранением нормы. Для продолжен1
µ+1
ного оператора будем использовать то же обозначение P . Из неравенства (2.7) следует, что линейные операторы Pk :
µ Y
ν Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
Lp (Rn ) →
µ+1
1
µ Y
sr Wp,1 (Rn ) ×
1
ν Y
r Wp,1 (Rn )
µ+1
являются непрерывными и последовательность {kPk k} ограничена: kPk k ≤ c. Следовательно, по теореме Банаха — Штейнгауза сходимость Pk f (x) → P f (x) при k → ∞ имеет место для любой вектор-функции f (x): +
f (x) ∈
µ Y
sr Wp,1 (Rn ),
f − (x) ∈
ν Y
Lp (Rn ).
µ+1
1
Из сказанного выше вытекает существование решения u(x) системы (1.2): u+ (x) ∈
µ Y
sr Wp,1 (Rn ),
u− (x) ∈
1
ν Y
r Wp,1 (Rn ),
µ+1
для любой правой части f (x): f + (x) ∈
µ Y
sr Wp,1 (Rn ),
f − (x) ∈
1
ν Y
Lp (Rn ),
µ+1
и для него выполняется оценка (1.5). Единственность решения системы (1.2) в рассматриваемом пространстве при условии |α|/p > 1 доказывается по аналогии с [1, 3]. Итак, линейный оператор L (Dx ) :
µ Y 1
sr Wp,1 (Rn ) ×
ν Y µ+1
r Wp,1 (Rn ) →
µ Y 1
sr Wp,1 (Rn ) ×
ν Y µ+1
Lp (Rn )
1044
Г. В. Демиденко
непрерывен, область его значений совпадает со всем пространством µ Y
sr Wp,1 (Rn )
×
1
ν Y
Lp (Rn ),
µ+1
ядро нулевое, и оператор P является обратным. Тем самым оператор L (Dx ) устанавливает изоморфизм. Из проведенных рассуждений следует, что для полного доказательства теоремы 1 нужно получить оценку (2.7) и установить сходимость (2.8). Этим вопросам посвящен следующий параграф. § 3. Оценки приближенных решений Для получения оценок приближенных решений системы (1.2) вектор-функции (2.5), (2.6) перепишем в следующем виде: u+ k (x)
=
u+,+ (x)+u+,− (x) k k
1 = (2π)n/2
Zk v
=
u−,+ (x)+u−,− (x) k k
1 = (2π)n/2
Zk v 1/k
eixξ G(ξv α )(v +,+ (ξ)+v +,− (ξ)) dξdv,
Rn
1/k
u− k (x)
Z
−1
−1
Z
eixξ G(ξv α )(v −,+ (ξ)+v −,− (ξ))dξdv,
Rn
где v +,+ (ξ) = K −1 (I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 )fˆ+ (ξ), v +,− (ξ) = K −1 L(iξ)N0−1 (ξ)fˆ− (ξ),
v −,+ (ξ) = N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 fˆ+ (ξ),
v −,− (ξ) = N0−1 (ξ)fˆ− (ξ), N0 (ξ) = M (iξ)K −1 L(iξ). Вначале проведем оценки старших производных вектор-функций u+ k (x),
u− k (x).
Лемма 3.1. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = s. Тогда имеют место оценки µ µ X X X
β +,+
γ +
Dx u
Dx f (x), Lp (Rn ) , j k,j (x), Lp (Rn ) ≤ c
(3.1)
j=1 γα=s
j=1
µ ν X X
β +,−
−
Dx u
f (x), Lp (Rn ) i k,j (x), Lp (Rn ) ≤ c j=1
(3.2)
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом µ X
β +
Dx u (x) − Dxβ u+ (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,j k2 ,j
k1 , k2 → ∞.
j=1
Доказательство. Из определения вектор-функции u+,+ (x) имеем k Dxβ uk+,+ (x)
−n/2
Zk
= (2π)
1/k
v −1
Z
Rn
eixξ G(ξv α )(iξ)β v +,+ (ξ) dξdv
(3.3)
Изоморфные свойства дифференциальных операторов −n
Zk
= (2π)
v −1
Z Z
Rn
1/k
exp(i(x − y)ξ)G(ξv α )dξ Fβ+ (y) dydv,
1045
(3.4)
Rn
где Fβ+ (y)
−n/2
Z
exp(iys)(is)β K −1 I − L(is)N0−1 (s)M (s)K −1 fˆ+ (s) ds.
= (2π)
Rn
В силу свойств представления (2.1) (см. [1, гл. 1]) получаем оценку µ µ X X
+
β +,+
F (x), Lp (Rn ) .
Dx u β,j k,j (x), Lp (Rn ) ≤ c j=1
j=1
Согласно условиям 1–3 элементы матрицы L(is)N0−1 (s)M (is) однородны относительно вектора α степени 0. Тогда, поскольку βα = s, используя теорему о мультипликаторах [15], приходим к неравенству µ X µ X X
γ +
+
Dx f (x), Lp (Rn )
F (x), Lp (Rn ) ≤ cβ j β,j j=1 γα=s
j=1
с константой cβ , не зависящей от f + (x). Отсюда вытекает оценка (3.1). Из определения вектор-функции uk+,− (x) имеем Dxβ uk+,− (x)
−n/2
Zk
= (2π)
v −1
−n
= (2π)
v
eixξ G(ξv α )(iξ)β v +,− (ξ) dξdv
Rn
1/k
Zk
Z
−1
Z Z
Rn
1/k
exp(i(x − y)ξ)G(ξv )dξ Fβ− (y) dydv, α
(3.5)
Rn
где Fβ− (y) = (2π)−n/2
Z
exp(iys)(is)β K −1 L(is)N0−1 (s)fˆ− (s) ds.
Rn
Как и выше, из свойств представления (2.1) вытекает оценка µ µ X X
β +,−
−
Dx u
F (x), Lp (Rn ) . k,j (x), Lp (Rn ) ≤ c β,j j=1
j=1
Из условий 1–3 следует L(cα is)N0−1 (cα s) = c−s L(is)N0−1 (s),
c > 0,
а поскольку βα = s, в силу теоремы о мультипликаторах [15] имеем неравенство µ ν X X
−
−
F (x), Lp (Rn ) ≤ cβ
f (x), Lp (Rn ) i β,j j=1
i=µ+1
с константой cβ , не зависящей от f − (x). Отсюда приходим к оценке (3.2). Из определения вектор-функции u+ k (x) в силу представления (2.1) и формул (3.4), (3.5) вытекает сходимость (3.3). Лемма доказана.
1046
Г. В. Демиденко
Лемма 3.2. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = 1. Тогда имеют место оценки µ X ν X X
γ +
β −,+
Dx f (x), Lp (Rn ) ,
Dx u j k,i (x), Lp (Rn ) ≤ c
(3.6)
j=1 γα=s
i=µ+1
ν ν X X
β −,−
−
Dx u
f (x), Lp (Rn ) (x), L (R ) ≤ c p n i k,i i=µ+1
(3.7)
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом ν X
β −
Dx u (x) − Dxβ u− (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞.
(3.8)
i=µ+1
Доказательство. Из определения вектор-функции uk−,+ (x) имеем Zk
Dxβ u−,+ (x) = (2π)−n/2 k
= (2π)−n
eixξ G(ξv α )(iξ)β v −,+ (ξ) dξdv
Rn
1/k
Zk
Z
v −1
v −1
Z Z
Rn
1/k
exp(i(x − y)ξ)G(ξv α ) dξ Φ+ β (y) dydv,
(3.9)
Rn
где −n/2 Φ+ β (y) = (2π)
Z
exp(iys)(is)β N0−1 (s)M (is)K −1 fˆ+ (s) ds.
Rn
В силу свойств представления (2.1) получаем оценку ν ν X X
+
β −,+
Φ (x), Lp (Rn ) .
Dx u
≤c (x), L (R ) p n β,i k,i i=µ+1
i=µ+1
Из условий 1–3 следует равенство N0−1 (cα s)M (cα is) = c−1+s N0−1 (s)M (is),
c > 0,
а поскольку βα = 1, используя теорему о мультипликаторах [15], приходим к неравенству µ X ν X X
+
γ +
Φ (x), Lp (Rn ) ≤ cβ
Dx f (x), Lp (Rn ) j β,i j=1 γα=s
i=µ+1
с константой cβ , не зависящей от f + (x). Отсюда вытекает оценка (3.6). Из определения вектор-функции uk−,− (x), очевидно, имеем Dxβ u−,− (x) k
−n/2
Zk
= (2π)
v −1
= (2π)−n
1/k
eixξ G(ξv α )(iξ)β v −,− (ξ) dξdv
Rn
1/k
Zk
Z
v −1
Z Z
Rn
Rn
exp(i(x − y)ξ)G(ξv α ) dξ Φ− β (y) dydv,
(3.10)
Изоморфные свойства дифференциальных операторов
1047
где Φ− β (y)
−n/2
Z
= (2π)
exp(iys)(is)β N0−1 (s)fˆ− (s) ds.
Rn
Как и ранее, в силу свойств представления (2.1) получаем ν ν X X
β −,−
−
Dx u
Φ (x), Lp (Rn ) . ≤ c (x), L (R ) p n k,i β,i i=µ+1
i=µ+1
Из условий 1–3 следует равенство N0−1 (cα s) = c−1 N0−1 (s),
c > 0,
а поскольку βα = 1, по теореме о мультипликаторах [15] имеем неравенство ν X
kΦ− β,i (x), Lp (Rn )k ≤ cβ
i=µ+1
ν X
kfi− (x), Lp (Rn )k
i=µ+1
с константой cβ , не зависящей от f − (x). Отсюда вытекает оценка (3.7). Из определения вектор-функции u− k (x) в силу представления (2.1) и формул (3.9), (3.10) следует сходимость (3.8). Лемма доказана. γ − Для получения оценок производных Dxβ u+ k (x), 0 ≤ βα < s, Dx uk (x), 0 ≤ γα < 1, рассмотрим функции −1
Kh (x) =
h Z
v −1
Z
eixξ G(ξv α )k(ξ) dξdv,
0 < h < 1,
(3.11)
Rn
h
где функция k(ξ) ∈ C ∞ (Rn \{0}) однородная относительно вектора α с показателем однородности q < 0. Производные функции k(ξ) удовлетворяют оценкам β D k(ξ) ≤ cβ hξiq−βα , ξ 6= 0, (3.12) ξ где cβ > 0 — постоянные. Следующая лемма является аналогом леммы 2 из [3]. Лемма 3.3. Пусть |α|+q > 0. Тогда существует m0 такое, что если m ≥ m0 в определении (2.2) функции G(ξ), то имеет место равномерная оценка hxi|α|+q |Kh (x)| ≤ c,
x ∈ Rn ,
(3.13)
с константой c > 0, не зависящей от h. Доказательство. Учитывая однородность функции k(ξ) относительно α, из определения (3.11) при x 6= 0 с помощью замены v = ωhxi получаем −1
hxi|α|+q Kh (x) = hxi|α|+q
h Z
v −|α|−q−1
ω −|α|−q−1
= hhxi−1
xs exp i α G(s)k(s) dsdv v
Rn
h −1 (hhxi) Z
Z
Z
Rn
0 xs exp i α G(s)k(s) dsdω, ω
x0 =
x . hxiα
1048
Г. В. Демиденко
Обозначим
Z K(z) =
exp(izs)G(s)k(s) ds. Rn
В силу условий на функцию k(s) существует m0 такое, что если в определении (2.2) m ≥ m0 , то для функции K(z) выполняется неравенство |K(z)| ≤ c∗ (1 + hzi)−|α| ,
z ∈ Rn ,
∗
где c > 0 — некоторая константа, которую можно указать, используя константы cβ > 0 из (3.12). Следовательно, hxi|α|+q |Kh (x)| ≤
−1 (hhxi) Z
ω −|α|−q−1 |K(x0 /ω α )| dω
hhxi−1 ∗
Z∞
≤c
ω
−|α|−q−1
(1 + ω
−1 −|α|
)
0
∗
Z1
dω ≤ c
ω
−q−1
∗
Z∞
dω + c
0
ω −|α|−q−1 dω.
1
Отсюда, поскольку q < 0, |α| + q > 0, вытекает неравенство (3.13). Лемма доказана. В дальнейшем мы будем иметь дело с интегралами вида (3.11) при q ∈ [−1, 0]. В этом случае, как следует из доказательства леммы 3.3, можно взять m0 = m1 (см. § 2). Проведем теперь оценки остальных производных вектор-функций u+ k (x), − uk (x). Лемма 3.4. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα < s и |α|/p > 1. Тогда имеют место неравенства µ µ X X
−(1−βα/s) β +,+
+
sr
hxis
f (x), Wp,1 Dx uk,j (x), Lp (Rn ) ≤ c (Rn ) , j j=1
(3.14)
j=1
µ ν X X
−(1−βα/s) β +,−
−
hxis
f (x), Lp (Rn ) Dx uk,j (x), Lp (Rn ) ≤ c i j=1
(3.15)
i=µ+1
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом µ X
(1 + hxis )−(1−βα/s) Dxβ u+ (x) − Dxβ u+ (x) , Lp (Rn ) → 0, k1 ,j k2 ,j
k1 , k2 → ∞.
j=1
(3.16) Доказательство. Обозначим rl = 1/αl . Из определения вектор-функции uk+,+ (x), очевидно, имеем Dxβ uk+,+ (x)
=
n X
−n/2
(2π)
l=1
=
n X l=1
Zk
v −1
(2π)−n/2
1/k
eixξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl2rl v +,+ (ξ) dξdv
Rn
1/k
Zk
Z
v −1
Z
Rn
(2−s)rl −srl
eixξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl
i
Изоморфные свойства дифференциальных операторов
1049
srl + × K −1 I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 D\ l f (ξ) dξdv =
n X
−n
Zk
l=1
Z Z
v −1
(2π)
Rn
1/k
(2−s)rl −srl
ei(x−y)ξ G(ξv α )(iξ)β hξi−2 ξl
i
Rn
× K −1 I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 dξ Dysrl l f + (y) dydv. (3.17) Введем обозначение Kk,l (x) =
Zk
v −1
(2−s)rl −srl
i
Тогда
n X
Dxβ uk+,+ (x) =
K −1 I − L(iξ)N0−1 (ξ)M (iξ)K −1 .
(2π)−n
l=1
eixξ G(ξv α )kl (ξ) dξdv,
Rn
1/k
kl (ξ) = (iξ)β hξi−2 ξl
Z
Z
(3.18)
Kk,l (x − y)Dysrl l f + (y) dy.
Rn
Как уже отмечалось, элементы матрицы L(is)N0−1 (s)M (is) однородны относительно вектора α степени 0. Поэтому все элементы матрицы kl (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα − s < 0. Поскольку |α|/p > 1, 1 > s > 0, βα ≥ 0, то |α| + q > 0. Следовательно, применяя лемму 3.3, получим неравенство µ X
−(1−βα/s) β +,+
hxis Dx uk,j (x), Lp (Rn ) j=1
Z µ X n X
q −|α|−q srl +
Dyl fj (y) dy, Lp (Rn ) ≤c hx − yi
hxi j=1 l=1
Rn
µ X n n Z Y
X
0 q/|α| −1−q/|α| srl + Dyl fj (y) dy, Lp (Rn ) . ≤c |xi | |xi − yi |
j=1 l=1 R i=1 n
Из условий леммы имеем 1/p > −q/|α| > 0, поэтому в силу неравенства Харди — Литтлвуда [16] получаем оценку (3.14). Докажем (3.15). Из определения вектор-функции uk+,− (x) имеем Dxβ uk+,− (x)
−n/2
Zk
= (2π)
v
−n
= (2π)
1/k
v
−1
Z Z
Rn
Z
− (ξ) dξdv eixξ G(ξv α )(iξ)β K −1 L(iξ)N0−1 (ξ)fc
Rn
1/k
Zk
−1
i(x−y)ξ
e
α
β
G(ξv )(iξ) K
−1
L(iξ)N0−1 (ξ) dξ
f − (y) dydv.
Rn
Ввиду условий 1–3 все элементы матрицы (iξ)β K −1 L(iξ)N0−1 (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα − s < 0. Поэтому по аналогии с предыдущим имеем оценку µ X
−(1−βα/s) β +,−
hxis Dx uk,j (x), Lp (Rn ) j=1
1050
Г. В. Демиденко Z n ν X
Y
|xi |q/|α| |xi − yi |−1−q/|α| |fl− (y)| dy, Lp (Rn ) ,
≤ c0
l=µ+1 R i=1 n
и в силу неравенства Харди — Литтлвуда получим оценку (3.15). Для доказательства сходимости (3.16) нужно установить, что для любого j = 1, . . . , µ имеют место сходимости
(1 + hxis )−(1−βα/s) Dxβ u+,+ (x) − Dxβ u+,+ (x) , Lp (Rn ) → 0, (3.19) k1 ,j k2 ,j
(1 + hxis )−(1−βα/s) Dxβ u+,− (x) − Dxβ u+,− (x) , Lp (Rn ) → 0 (3.20) k1 ,j k2 ,j при k1 , k2 → ∞. Докажем (3.19). В силу представления (3.17) и обозначения (3.18) для матрицы kl (ξ) = (klj,i (ξ)) достаточно рассмотреть функцию −n
Zk
wk (x) = (2π)
v
−1
Z Z
Rn
1/k
i(x−y)ξ
e
G(ξv
α
)klj,i (ξ) dξ
Dysrl l fi+ (y) dydv
Rn
и доказать сходимость k(1 + hxis )−(1−βα/s) (wk1 (x) − wk2 (x)), Lp (Rn )k → 0,
k1 , k2 → ∞.
(3.21)
Имеем k(1 + hxis )−(1−βα/s) (wk1 (x) − wk2 (x)), Lp (Rn )k 1/k Z 2
Z Z
−(1−βα/s) i(x−y)ξ α j,i ≤ v −1 (1 + hxi ) e G(ξv )k (ξ) dξ s l
Rn Rn 1/k1
Zk2
−1 −(1−βα/s) + × Dysrl l fi+ (y) dy, Lp (Rn ) dv v
(1 + hxis ) k1
Z Z
j,i 1 2 × ei(x−y)ξ G(ξv α )kl (ξ) dξ Dysrl l fi+ (y) dy, Lp (Rn )
dv = Ik1 ,k2 + Ik1 ,k2 . Rn
Rn
Рассмотрим первое слагаемое. Поскольку функции klj,i (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα − s < 0, то, применяя неравенство Юнга, имеем 1/k Z 2
Z Z
Ik11 ,k2 ≤ v −1 ei(x−y)ξ G(ξv α )klj,i (ξ) dξ Dysrl l fi+ (y) dy, Lp (Rn )
dv 1/k1
Rn
Rn
1/k Z 2
Z
ixξ α j,i
srl + ≤ v −1
e G(ξv )kl (ξ) dξ, L1 (Rn ) dv Dyl fi (y), Lp (Rn ) 1/k1
Rn
1/k
Z 2 Z
sr +
j,i ixξ l
= v −1−q dv e G(ξ)k (ξ) dξ, L (R ) 1 n Dyl fi (y), Lp (Rn ) . l
1/k1
Rn
Изоморфные свойства дифференциальных операторов
1051
Учитывая, что q < 0, получаем Ik11 ,k2 → 0,
k1 , k2 → ∞.
Рассмотрим второе слагаемое Ik21 ,k2 . Используя неравенства hx − yi(1 + hxi)−1 ≤ a(1 + hyi),
hxi−(1−βα/s) ≤ ahxiq , s
q = βα − s < 0,
имеем Ik21 ,k2
k
Z2 Z Z
−1 q i(x−y)ξ α j,i v (1 + hxi) e G(ξv )kl (ξ) dξ ≤ Rn Rn k1 k
Z2
Z
−1 q ≤ c × Dysrl l fi+ (y) dy, Lp (Rn ) dv v
hx − yi k1
Rn
Z
× ei(x−y)ξ G(ξv α )klj,i (ξ) dξ (1 + hyi)−q Dysrl l fi+ (y) dy, Lp (Rn )
dv . Rn
Применяя неравенство Юнга и учитывая однородность функций klj,i (ξ) относительно вектора α с показателем однородности q, получим k
Z2
Z
q eixξ G(ξv α )klj,i (ξ) dξ, Lp (Rn ) Ik21 ,k2 ≤ c v −1
dv
hxi Rn k1 k Z2
0 −q srl + −1−|α|/p
× (1 + hyi) Dyl fi (y) , L1 (Rn ) = c v dv k1
Z
q
−q srl +
eixξ G(ξ)klj,i (ξ) dξ, Lp (Rn ) ×
hxi
(1 + hyi) Dyl fi (y) , L1 (Rn ) . Rn
Поскольку |α|/p0 > 0, и функции
fi+ (y)
|α|/p > 1,
1 > −q > 0,
финитные, то Ik21 ,k2 → 0,
k1 , k2 → ∞.
Из проведенных рассуждений вытекает (3.21) и, следовательно, (3.19). Аналогичным образом доказывается (3.20). Лемма доказана. Лемма 3.5. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα < 1 и |α|/p > 1. Тогда имеют место неравенства µ ν X X
−(1−βα) β −,+
sr
hxi Dx uk,i (x), Lp (Rn ) ≤ c kfj+ (x), Wp,1 (Rn )k, i=µ+1
ν ν X X
−(1−βα) β −,−
−
hxi
f (x), Lp (Rn ) Dx uk,i (x), Lp (Rn ) ≤ c i i=µ+1
(3.22)
j=1
i=µ+1
(3.23)
1052
Г. В. Демиденко
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом ν X
(1 + hxi)−(1−βα) Dxβ u− (x) − Dxβ u− (x) , Lp (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞.
i=µ+1
(3.24) Доказательство. Из определения вектор-функции Dxβ u−,+ (x) k
Zk
−n/2
= (2π)
v −1
Zk
= (2π)
v −1
Z Z
Rn
1/k
имеем
eixξ G(ξv α )(iξ)β N0−1 (ξ)(M (iξ)K −1 f + (ξ)) dξdv
Rn
1/k
−n
Z
uk−,+ (x)
ei(x−y)ξ G(ξv α )(iξ)β N0−1 (ξ) dξ M (Dy )K −1 f + (y) dydv.
Rn
Как уже отмечалось, из условий 1–3 следует, что N0−1 (cα ξ) = c−1 N0−1 (ξ), c > 0, поэтому все элементы матрицы (iξ)β N0−1 (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα−1 < 0. Поскольку |α|/p > 1, 1 > βα ≥ 0, то |α| + q > 0. Следовательно, применяя лемму 3.3 и учитывая условие 2, получим ν X
−(1−βα) β −,+
hxi Dx uk,i (x), Lp (Rn ) i=µ+1
≤c
Z µ X X
q −|α|−q γ +
hxi hx − yi D f (y) dy, L (R ) p n y j
j=1 γα=s
Rn
µ X Z Y n
X
|xi |q/|α| |xi − yi |−1−q/|α| Dyγ fj+ (y) dy, Lp (Rn ) . ≤ c0
γα=s j=1
Rn i=1
Из условий леммы имеем 1/p > −q/|α| > 0, поэтому в силу неравенства Харди — Литтлвуда получаем оценку (3.22). Докажем (3.23). Из определения вектор-функции uk−,− (x) выводим Dxβ uk−,− (x) = (2π)−n/2
Zk
v −1
= (2π)−n
1/k
eixξ G(ξv α )(iξ)β N0−1 (ξ)f − (ξ) dξdv
Rn
1/k
Zk
Z
v −1
Z Z
Rn
ei(x−y)ξ G(ξv α )(iξ)β N0−1 (ξ) dξ f − (y) dydv.
Rn
Поскольку все элементы матрицы (iξ)β N0−1 (ξ) однородны относительно вектора α с показателем однородности q = βα − 1 < 0, то, как и выше, применяя лемму 3.3, получим ν X
−(1−βα) β −,−
hxi Dx uk,i (x), Lp (Rn ) i=µ+1
Z ν X
q
−|α|−q −
hx − yi |fi (y)| dy, Lp (Rn ) ≤c
hxi
i=µ+1
Rn
Изоморфные свойства дифференциальных операторов 1053
ν Z Y n
X
0 q/|α| −1−q/|α| − ≤c |xi | |xi − yi | |fi (y)| dy, Lp (Rn ) .
i=µ+1 R i=1 n
Отсюда в силу неравенства Харди — Литтлвуда вытекает (3.23). Доказательство (3.24) проводится точно так же, как (3.16). Лемма доказана. Из доказанных лемм непосредственно следуют оценка (2.7) и сходимость (2.8) для приближенных решений системы (1.2), на которые мы опирались в § 2, доказывая теорему 1. § 4. Доказательство теоремы 2 Из доказательства теоремы 1 следует, что нам достаточно оценить соответ− ствующие производные вектор-функций u+ k (x), uk (x). Лемма 4.1. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = l + s. Тогда имеют место оценки µ µ X X X
β +,+
Dxγ f + (x), Lp (Rn ) ,
≤c
Dx u (x), L (R ) p n j k,j j=1
µ ν X X X
β +,−
Dxγ f − (x), Lp (Rn )
Dx u
(x), L (R ) ≤ c p n i k,j j=1
(4.1)
j=1 γα=l+s
(4.2)
i=µ+1 γα=l
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом µ X
β +
Dx u (x) − Dxβ u+ (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,j k2 ,j
k1 , k2 → ∞.
(4.3)
j=1
(x) справедливо представлеДоказательство. Для производных Dxβ u+,+ k ние (3.4). Поскольку элементы матрицы L(is)N0−1 (s)M (is) однородны относительно вектора α с нулевым показателем однородности и βα = l + s, то, используя теорему о мультипликаторах [15], по аналогии с доказательством леммы 3.1 получаем неравенство (4.1). Для производных Dxβ uk+,− (x) справедливо представление (3.5). Как уже отмечалось, элементы матрицы L(is)N0−1 (s) однородны относительно вектора α с показателем однородности −s, а поскольку βα = l + s, в силу теоремы о мультипликаторах [15] имеем неравенство µ ν X X X
−
F (x), Lp (Rn ) ≤ cβ
Dxγ f − (x), Lp (Rn ) i β,j j=1
i=µ+1 γα=l
с константой cβ , не зависящей от f − (x). Отсюда получаем (4.2). Из определения вектор-функции u+ k (x) в силу представления (2.1) и формул (3.4), (3.5) вытекает сходимость (4.3). Лемма доказана. Лемма 4.2. Пусть β = (β1 , . . . , βn ), βα = l + 1. Тогда имеют место оценки µ ν X X X
β −,+
Dx u
Dxγ f + (x), Lp (Rn ) , (x), L (R ) ≤ c p n j k,i i=µ+1
j=1 γα=l+s
(4.4)
1054
Г. В. Демиденко ν ν X X X
β −,−
≤c
Dxγ f − (x), Lp (Rn )
Dx u (x), L (R ) p n i k,i i=µ+1
(4.5)
i=µ+1 γα=l
с константой c > 0, не зависящей от f + (x), f − (x) и k, при этом ν X
β −
Dx u (x) − Dxβ u− (x), Lp (Rn ) → 0, k1 ,i k2 ,i
k1 , k2 → ∞.
(4.6)
i=µ+1
Доказательство. Для производных Dxβ uk−,+ (x) справедливо представление (3.9). Как отмечалось, элементы матрицы N0−1 (s)M (is) однородны относительно вектора α с показателем однородности s − 1. По условию βα = l + 1, поэтому из теоремы о мультипликаторах [15] выводим неравенство µ ν X X X
+
Dxγ f + (x), Lp (Rn )
Φ (x), Lp (Rn ) ≤ cβ j β,i j=1 γα=l+s
i=µ+1
с константой cβ , не зависящей от f + (x). Отсюда по аналогии с доказательством леммы 3.2 получаем оценку (4.4). (x) справедливо представление (3.10). Элементы Для производных Dxβ u−,− k матрицы N0−1 (s) однородны относительно вектора α с показателем однородности −1. Поскольку βα = l +1, то в силу теоремы о мультипликаторах [15] имеем оценку ν X
kΦ− β,i (x), Lp (Rn )k ≤ cβ
i=µ+1
µ X X
kDxγ fi− (x), Lp (Rn )k
i=µ+1 γα=l −
с константой cβ , не зависящей от f (x). Отсюда получаем неравенство (4.5). Из определения вектор-функции u− k (x) в силу представления (2.1) и формул (3.9), (3.10) вытекает сходимость (4.6). Лемма доказана. В § 2 доказано существование решения u(x) системы (1.2) в пространстве (1.3), при этом µ ν X X
+
−
sr r
u (x) − u+ (x), Wp,1
u (x) − u− (x), Wp,1 (Rn ) + (Rn ) → 0, k k j=1
k → ∞.
i=µ+1
Из леммы 4.1, 4.2 следует, что решение имеет обобщенные производные: Dxβ u+ (x)
∈
µ Y
Wplr (Rn ),
βα = s,
Dxγ u− (x)
1
∈
ν Y
Wplr (Rn ),
γα = 1.
µ+1
Теорема доказана. § 5. Приложение к системам соболевского типа В этом параграфе, опираясь на теорему об изоморфизме оператора L (Dx ), мы докажем теорему 3. По аналогии с [1, гл. 3] перепишем задачу Коши (1.6) в эквивалентном виде: t Z KDt u+ + K1 u+ + L(Dx )Dt u− ds = f + (t, x), 0
Изоморфные свойства дифференциальных операторов M (Dx )u+ = f − (t, x),
1055
u+ |t=0 = u+ 0 (x).
t > 0, x ∈ Rn ,
Учитывая условия теоремы 3, эту задачу можно переписать следующим образом: ! ! u+ u+ K L(Dx ) K 0 f + (t, x) t t 1 R − Dt R u− ds + = , u ds M (Dx ) 0 0 0 Dt f − (t, x) 0
0 +
! u Rt − u ds 0
=
u+ 0 (x) 0
.
t=0
Отсюда в силу теоремы 1 вытекает однозначная разрешимость задачи (1.6) и можно получить явную формулу решения. Действительно, применяя обратный оператор (L (Dx ))−1 , задачу Коши можно переписать в виде ! ! + u+ u+ f (t, x) K1 0 t t −1 −1 R R Dt = (L (D )) , + (L (D )) − − x x u ds u ds Dt f − (t, x) 0 0 0
0 +
! u t R − u ds 0
=
u+ 0 (x) 0
.
t=0
Ввиду теоремы 1 линейный оператор K1 0 B = (L (Dx ))−1 0 0 µ µ ν ν Y Y Y Y sr r sr r : Wp,1 (Rn ) × Wp,1 (Rn ) → Wp,1 (Rn ) × Wp,1 (Rn ) 1
µ+1
1
µ+1
непрерывен. Следовательно, задача Коши однозначно разрешима в указанных классах, и решение можно записать в виде (см., например, [17]) + Zt + u+ (t, x) f (s, x) u (x) −tB t 0 R − =e + e−(t−s)B (L (Dx ))−1 ds. Ds f − (s, x) 0 u (s, x)ds 0
0
Теорема 3 доказана. ЛИТЕРАТУРА 1. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 2. Демиденко Г. В. О весовых соболевских пространствах и интегральных операторах, определяемых квазиэллиптическими уравнениями // Докл. РАН. 1994. Т. 334, № 4. С. 420–423. 3. Демиденко Г. В. О квазиэллиптических операторах в Rn // Сиб. мат. журн.. 1998. Т. 39, № 5. С. 1028–1037. 4. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем пространстве или полупространстве // I: Мат. сб. 1966. Т. 69, N 4. С. 616–639; II: Мат. сб. 1966. Т. 70, N 1. С. 3–35. 5. Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 26. С. 5–157. (Итоги науки и техники). 6. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат.. 1954. Т. 18, № 1. С. 3–50.
1056
Г. В. Демиденко
7. Масленникова В. Н. Оценки в Lp и асимптотика при t → ∞ решения задачи Коши для системы Соболева // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1968. Т. 103. С. 117–141. 8. Cantor M. Elliptic operators and the decomposition of tensor fields // Bull. Amer. Math. Soc.. 1981. V. 5, N 3. P. 235–262. 9. Choquet-Bruhat Y., Christodoulou D. Elliptic systems in Hs,σ spaces on manifolds which are Euclidean at infinity // Acta Math.. 1981. V. 146, N 1/2. P. 129–150. 10. Lockhart R. B., McOwen R. C. Elliptic differential operators on noncompact manifolds // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1985. V. 12, N 3. P. 409–447. 11. Amrouche C., Girault V., Giroire J. Espaces de Sobolev avec poids et equation de Laplace dans Rn (partie I) // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. 1992. V. 315. P. 269–274. 12. Hile G. N., Mawata C. P. The behavior of the heat operator on weighted Sobolev spaces // Trans. Amer. Math. Soc.. 1998. V. 350, N 4. P. 1407–1428. 13. Демиденко Г. В. Изоморфные свойства одного класса дифференциальных операторов // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти М. А. Лаврентьева. Тез. докл. Ч. 1. Новосибирск: Ин-т математики РАН, 2000. С. 123–124. 14. Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. 1972. Т. 117. С. 292–299. 15. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. 1969. Т. 105. С. 89–167. 16. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. П. Неравенства. М.: Изд–во иностр. лит., 1948. 17. Далецкий Ю. Л., Крейн С. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. Статья поступила 2 февраля 2001 г. Демиденко Геннадий Владимирович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск 630090
[email protected] 