Теория вероятностей: Учебное пособие

А.Ф. Лаговский ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Калининград 1997

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.Ф. Лаговский ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие

Калининград 1997

УДК 519.21 (075.8) Лаговский А.Ф. Теория вероятностей: Учебное пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1997. - 103 с. ISBN 5-88874-007-1. Учебное пособие содержит материал по теории вероятностей, изучаемый на третьем курсе математического факультета. Состоит из разделов: случайные величины и сходимость последовательностей случайных величин. Рассчитано на студентов, знакомых с математическим анализом и с основами функционального анализа. Печатается по решению редакционно-издательского Совета Калининградского государственного университета. Рецензент: доцент кафедры физики Калининградского государственного технического университета А.Д.Тереньтев.

ISBN 5-88874-007-1

© Калининградский государственный университет, 1997

Анатолий Францевич Лаговский ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Лицензия №020345 от 14.01.1997 г. Редактор Н.Н.Мартынюк. Подписано в печать 19.05.1997 г. Формат 60х90 1/16. Бум. для множит. аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 6,4. Уч.-изд. л. 6,5. Тираж 250 экз. Заказ . Калининградский государственный университет, 236041, Калининград обл., ул. А.Невского, 14.

ВВЕДЕНИЕ Все события, происходящие как в природе, так и в обществе, взаимосвязаны между собой самым теснейшим образом: одни из них являются следствием других и, в свою очередь, служат причиной третьих. Эти события можно разделить на два класса - события детерминированные и события случайные. Детерминированные события характеризуются тем, что при определенном комплексе условий они или всегда наступают, или никогда не наступают. Например, комплексом условий, при которых вода превращается в пар, являются атмосферное давление в 760 мм и температура выше 100° по Цельсию. С другой стороны, при этом же комплексе условий вода не может превратиться в лед. Другой класс событий характеризуется тем, что при определенном комплексе условий, они могут как наступить, так и не наступить, предсказать заранее, наступит событие или нет, невозможно. Например, при однократном бросании монеты появление герба на верхней стороне - событие случайное, количество солнечных дней в предстоящем году - тоже заранее предсказать невозможно, проработает ли орбитальная станция без поломок в течение гарантийного срока, заранее неизвестно. Это все случайные события, изучением которых и занимается теория вероятностей. Следует отметить, что увеличение наших знаний об окружающем мире предъявляет все новые запросы к теории вероятностей, хотя это кажется парадоксальным, поскольку основным объектом теории вероятностей является случайность или неопределенность, как правило, связанная с незнанием. Именно так обстоит дело в примере с однократным подбрасыванием монеты, где технические возможности настоящего не позволяют учесть все факторы, определяющие положение монеты после падения. В действительности парадоксальность здесь только кажущаяся, так как точных, детерминированных количественных законов в окружающем мире почти не существует. Например, закон о зависимости давления газа от его температуры есть в действительности результат вероятностного характера о числе соударений частиц о стенки сосуда и их скоростях. Но при обычных условиях случайные отклонения, которые тут имеют место, с большой вероятностью очень малы и зарегистрировать их приборами, имеющимися в нашем распоряжении, просто невозможно. Однако в теории вероятностей интерес представляют не сами по себе случайные события, а закономерности, возникающие при многократном повторении опытов со случайными исходами. Иначе говоря, интерес представляют только такие события, условия для появления которых могут возникать бесконечное число раз, и вместе с тем эти массовые случайные 3

события должны обладать свойством так называемой статистической устойчивости, суть которой будет излагаться в пособии, а пока отметим, что теория вероятностей изучает закономерности в массовых случайных событиях. Сочетание противоположных понятий “случайность - закономерность” - стержневая особенность построения пособия. Возникновение теории вероятностей принято относить к середине XVII века и связывать с комбинаторными задачами азартных игр, которые не укладывались в рамки существующих тогда математических моделей, поскольку отличаются тем, что исходы нельзя предсказать заранее. Здесь мы имеем дело с многократно повторяющейся ситуацией, где исход каждой случаен. Известные математики того времени Гюйгенс, Паскаль, Ферма и Яков Бернулли обратили внимание на это, предполагая, что в массовых случайных событиях должны проявляться определенные закономерности и сделали попытки их обнаружить. В дальнейшем теория вероятностей нашла свое приложение в задачах, возникающих в страховании и демографии, и долгое время не находила других приложений. Последующее развитие теории вероятностей связано с требованиями со стороны бурно развивающегося естествознания, особенно физики и астрономии. Более точные измерения потребовали исследования ошибок, возникающих при этом. Ошибки, как правило, случайны и не поддаются индивидуальному учету, но проявляют некоторую устойчивость. Так появилась теория ошибок наблюдения, большой вклад в развитие которой внесли Лаплас, Пуассон и Гаусс. С половины XIX века и до двадцатых годов XX века развитие теории вероятностей связано с именами русских ученых П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова, которые впервые ввели и широко использовали случайные величины, а также создали эффективные методы доказательства предельных теорем для сумм независимых случайных величин. Современный период развития теории вероятностей характеризуется установлением аксиоматики. В 1933 г. вышла книга русского математика А.Н.Колмогорова “Основные понятия теории вероятностей”, в которой была предложена аксиоматика, получившая всеобщее признание и позволившая охватить все классические разделы теории вероятностей в современном естествознании. Как уже отмечалось, теория вероятностей имеет дело со случайными событиями. Здесь следует отвлечься от житейского представления, когда под случайным событием понимается что-то крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей. Случайные события в теории вероятностей обладают рядом характерных особенностей: в частности, все они происходят в массовых явлениях. Под массовыми явлениями здесь пони4

маются такие, которые имеют место в совокупностях большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются именно этим массовым характером явлений и лишь в незначительной степени зависят от природы составляющих объектов. Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики, и абстрактно она отражает закономерности в массовых случайных событиях. Эти закономерности играют очень важную роль в различных областях естествознания, медицине, технике, экономике, военном деле и т.д. Многие разделы теории вероятностей были развиты благодаря запросам практики. Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

§1. Алгебра событий Теория вероятностей изучает только такие случайные события, в отношении которых имеет смысл не только утверждения об их случайности, но и возможна объективная оценка доли случаев их появления. Эта оценка может быть выражена предложением вида: Вероятность того, что при осуществлении определенного комплекса условий произойдет некоторое событие, равна p. Формулировка детерминистических закономерностей, более привычных для всех, звучит так: При каждом осуществлении определенного комплекса условий обязательно происходит некоторое событие. Событием будем называть любой факт, который может произойти или не произойти при определенном комплексе условий. События будем обозначать большими латинскими буквами A,B,C,... Среди всех событий выделим два крайних: 1. Событие Ω называется достоверным, если оно наступает при каждой реализации комплекса условий. Например, при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков не может быть меньше двух 2. Событие ∅ называется невозможным , если оно не наступает ни при одной реализации комплекса условий. Например, при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков не может быть больше двенадцати. Над событиями можно ввести определенные операции. 1. Следование событий. Говорят, что событие A влечет событие B ( обозначается A⊂B), если при наступлении события A обязательно наступает и событие B. 5

Ω B A A⊂B

Если событие A состоит в том, что наудачу брошенная точка попала в область A, а событие B - в область B, то соотношение A⊂B выполняется тогда, когда область A целиком содержится в области B. Если A⊂B и одновременно B⊂A, то события A и B называются эквивалентными или равными A=B. Очевидно, что для любого события A имеет место включение вида ∅⊂A⊂Ω. 2. Произведение событий. Произведением событий A и B называется такое событие C, которое происходит тогда, когда происходят событие A и событие B, и обозначается C=A I B . Ω

Ω

C A

B

B

A

A I B =∅ A I B =C Два события A и B называются несовместными, если их совместное появление невозможно, то есть, если A I B =∅. 3. Объединение (сумма) событий. Событие C называется суммой, или объединением, событий A и B, если оно происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из событий A или B, С=A U B . Если события A и B несовместны, то для их суммы можно пользоваться обозначением С=A+B. Тогда для сумм конечного или счетного числа событий Ai можно записать n

∑Ai , i =1

∞

∑Ai

n

U Ai , i =1

∞

U Ai

для произвольных событий Ai и

i=1

для событий попарно несовместных.

i=1

События Ai (i=1,2,...) называются попарно несовместными, если для любой пары i и j Ai I A j =∅, i ≠ j. Можно легко показать, что введенные операции над событиями удовлетворяют следующим соотношениям:

6

(A U B ) U С =A U (B U С ); A U B =B U А ; (A U B ) I С =(A I С ) U ( ВI С ) );

(A I B ) I С =A I ( ВI С ) ; A I B =B I А ; (A I B ) U С =(A U С ) I (B U С ).

4. Вычитание событий. Событие С называется разностью событий A и B, если оно наступает лишь тогда, когда происходит событие A и не происходит событие B, C=A\B. Событие Ω\A называется противоположным событию A и обозначается A =Ω\A. Ω

A

A

B

Ω A = Ω\A

C=A\B

Через операции зить так:

U

и

I

A

связь между событиями A и A можно выра-

A I А =∅ и A U А =Ω. Относительно противоположных событий имеют место так называемые формулы двойственности: 1. Ω\

∞

∞

U A i = I (Ω \ A i ) или i=1

i=1

∞

∞

i=1

i=1

2. Ω\ I A i = U ( Ω \ A i )

или

∞

∞

i=1

i=1

∞

∞

i=1

i=1

U Ai =I Ai ;

(1.1.1)

I Ai =U Ai .

(1.1.2)

5. Полная группа событий. События A1,A2,...,An образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении

комплекса условий), то есть, если

n

U A i =Ω. i =1

События A1,A2,...,An образуют полную группу попарно несовместных событий, если

n

∑ A i =Ω, то есть для ∀ i≠j: Ai I A j =∅ и i =1

n

U A i =Ω. i =1

Например, при однократном бросании игральной кости система событий A1,A2,A3,A4,A5,A6, состоящих в выпадении 1,2,3,4,5 и 6 очков, соответственно является полной группой попарно несовместных событий. 6. Алгебра и σ-алгебра событий. 7

Пусть Ω - множество взаимоисключающих исходов некоторого опыта и на этом множестве задана система подмножеств F, удовлетворяющая условиям: 1) Ω∈F, ∅∈F; 2) из того, что A∈F, следует, что также A ∈F; 3) из того, что A∈F и B∈F, следует, что A U B ∈F, A I B ∈F и A\B∈F. Тогда множество F называется алгеброй событий. Если дополнительно к перечисленным выполняется еще следующее условие: 4) из того, что Ai∈F для i=1,2,..., следует, что

∞

U A i ∈F и i =1

∞

I A i ∈F, то i =1

множество F называется σ-алгеброй. Элементы σ-алгебры F, заданной на множестве Ω, называются случайными событиями. Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно составить таблицу соответствий между алгеброй множеств и алгеброй событий. Таблица Обозначения ω Ω F A∈F A =Ω\A

AU B AI B (или AB) Обозначения ∅ A I B =∅ 8

Функциональный анализ Теория вероятностей Элемент множества, точка Исход, элементарное событие Множество точек, простран- Пространство исходов, элементарство ных событий; достоверное событие σ-алгебра подмножеств σ-алгебра событий Множество точек Событие (если ω∈A, то говорят, что наступило событие A) Дополнение множества A, Событие, состоящее в ненаступлении события A. т.е. множество точек ω, не входящих в A Объединение множеств A и Событие, состоящее в том, что B, т.е. множество точек ω, произошло событие A, либо событие B входящих в A или в В Пересечение множеств A и Событие, состоящее в том, что одB, т.е. множество точек ω, новременно произошло и событие A, и событие B входящих в A и в B Окончание табл. Функциональный анализ Пустое множество Множества A и B не пересекаются

Теория вероятностей Невозможное событие События A и B несовместны (не могут наступать одновременно)

A+B A\B ∞

U An n =1

∞

∑An

n=1 ∞

I An n =1

A⊂B A=B An↑A или A= lim ↑An n

Сумма множеств, т.е. объеСобытие, состоящее в том, что динение непересекающихся произошло одно из двух несовмемножеств стных событий Разность множеств A и B, Событие, состоящее в том, что т.е. множество точек, входя- произошло событие A, но не прощих в A, но не входящих в B изошло событие B Объединение множеств Событие, состоящее в наступлении по крайней мере одного из A1, A2 ,... событий A1,A2 ,... Сумма,т.е. объединение поСобытие, состоящее в наступлепарно непересекающихся нии одного из несовместных сомножеств A1,A2,... бытий A1,A2,,,. Пересечение множеств Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события A1,A2,... A1,A2,,, A есть подмножество B Событие A влечет событие B Множества A и B равны События A и B эквиваленты Возрастающая последова- Возрастающая последовательность тельность множеств An, схо- событий, сходящихся к событию A дящаяся к A, т.е. A1⊂A2⊂... ∞

и A= U A n An ↓A или A= lim ↓An n

n =1

Убывающая последователь- Убывающая последовательность ность множеств An, сходя- событий, сходящихся к событию A щихся к A, т.е. A1⊃A2⊃... и ∞

A= I A n n =1

lim A n или lim sup An

Множество

lim An или lim inf An

Множество

∞

∞

I U An k =1 n = k ∞

∞

U I An k =1 n = k

Алгебра или σ-алгебра множеств

Множество исходов ω, которое бесконечное число раз встречаются в последовательности A1,A2,... Событие, состоящее в том, что произойдут все события A1,A2,... за исключением, может быть, только конечного числа их Алгебра или σ-алгебра событий

Таким образом, можно сделать некоторое обобщение. Имеется некоторое пространство элементарных событий Ω, элементы которого ω - исходы некоторого опыта. На этом пространстве задана некоторая σ-алгебра множеств F, причем элементы множества F есть случайные события. Пару (Ω,F) будем называть измеримым пространством. 9

Все теоремы функционального анализа, касающиеся множеств, полуколец, колец, алгебр и σ-алгебр, превращаются в соответствующие теоремы теории вероятностей с точностью до терминологии.

§2. Вероятность случайных событий Основной характеристикой случайного события является его вероятность. Существует несколько определений вероятности, из которых рассмотрим лишь некоторые. 1. Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий является конечным и содержит n элементов, то есть Ω={ω1,ω2 ,...ωn}. Будем считать, что события ω1,ω2,...,ωn являются равновозможными. Понятие равновозможности является первичным и не может быть сведено к другим понятиям, а лишь может быть пояснено. Понятие равновозможности следует считать связанным с симметрией проводимого опыта, когда ни один из возможных исходов не имеет каких-либо преимуществ в появлении перед другими. Например, при бросании монеты, если она симметрична и однородна, появление цифры или герба равновозможно. Пусть некоторое событие A⊂Ω содержит m≤n элементов, то есть A={ωi1,ωi2,...,ωim}. Вероятностью события A называется величина

P(A)=

m . n

(1.2.1)

Это определение называется классическим определением вероятности. Иными словами можно сказать, что вероятностью события называется отношение числа исходов опыта, при которых наступает событие A, к общему числу возможных исходов опыта. При этом обязательным условием является равновозможость исходов опыта. Классическое определение вероятности удобнее всего иллюстрировать на так называемой урновой модели. Рассмотрим примеры. Пример 1. В урне находится 10 лотерейных билетов, из которых 4 выигрышные. Из урны, не глядя, наудачу вынимаются два билета. Найти вероятность того, что: а) оба билета выигрышные; б) оба билета без выигрыша; в) один билет выигрышный, а другой - нет. Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что оба билета выигрышные; B - оба билета без выигрыша; С - один билет выигрышный, а другой - нет.

10

2 а) Выбор двух билетов из десяти можно осуществить n= C10 =45 спосо2 бами, а двух выигрышных билетов из четырех - m= C 4 =6 способами. Тогда по формуле (1.2.1) P(A)=6/45=2/15. б) Имеется m=C 26 =15 возможностей выбора билетов без выигрыша. В этом случае вероятность P(B)=15/45=1/3. в) Существует 4 возможности вытащить выигрышный билет и 6 возможностей - билет без выигрыша. Согласно основному принципу перечисления, имеется m=6×4=24 возможностей вытащить один билет с выигрышем, а другой - без выигрыша. Тогда P(C)=24/45=8/15. Пример 2. В партии из n изделий k изделий являются бракованными. Для контроля выбирается m изделий. Найти вероятность того, что из m изделий l окажутся бракованными. Решение. Выбор m изделий из n можно осуществить C m n способами, а

выбор l бракованных из k бракованных изделий C lk способами. После выбора l бракованных изделий останется выбрать m−l годных среди n−k изделий. Но из n−k годных изделий выбрать m−l годных можно C mn −−kl способами. По основному принципу перечисления число исходов, благоприятствующих выбору l бракованных изделий из k бракованных и m−l годных изделий из n−k годных, равно C lk ×C mn −−kl . Тогда искомая вероятность P=

−l C lk C m n −k

Cm n

.

2. Геометрическое определение вероятности. В своей идейной основе геометрическое определение вероятности не отличается от классического. Единственное отличие состоит в структуре пространства элементарных событий Ω. Множество элементарных исходов не является дискретным. Представим себе, что из Ω наудачу выбирается точка, причем выбор любой точки равновозможен. Пусть событие A- выбор точки из области A. Тогда вероятность наступления события A определяется как Ω A

P(A) =

mes(A ) , mes(Ω)

(1.2.2)

где mes означает меру области A, которая может быть длиной, если Ω одномерное множество; площадью, если Ω - двумерное множество и объе11

мом, если Ω - трехмерное множество. Проиллюстрируем геометрическое определение вероятности (1.2.2) примером. Пример 3. Пусть дан отрезок длины l, на котором случайным образом выбираются две точки C и B. Считая, что выбор любой точки отрезка равновозможен, найти вероятность того, что длина отрезка будет меньше a (a≤ l). y l y 0 x C

A B

a

l

Ω 0

a

l

x

Решение. Обозначим через х координату точки C, y - координату точки B. Тогда множество пар чисел (х,y) заполняют на плоскости хOy квадрат, сторона которого равна l , - это множество Ω. Интересующее нас событие A наступает тогда, когда ⎜x−y⎜≤ a. Множество таких значений - это часть квадрата, границами которой являются прямые x−y=a и y−x=a. Поэтому a a2 плoщадь ( A ) l 2 − ( l − a )2 = =2 − 2 . P(A)= l2 l l площадь ( Ω ) 3. Статистическое определение вероятности. Основная трудность классического и геометрического определения вероятности - это выделение равновозможных событий, образующих пространство Ω. В реальных ситуациях такое выделение, основанное на свойствах симметрии изучаемого явления, не всегда возможно. В основе статистического определения вероятностей лежит опытный факт - так называемая устойчивость частот. Пусть проделано n опытов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A. И пусть событие A наступило в m опытах (m≤n). Тогда величина

h=

m n

называется частотой наступления события A. Построим график зависимости частоты h от n. Как показывает опыт, для подавляющего большинства событий график этой зависимости имеет достаточно характерный вид.

12

h P(A)

n

Если при малых n на графике имеются нерегулярные колебания достаточно большой амплитуды, то с ростом n размах этих колебаний все более уменьшается и график зависимости h от n приближается к прямой, что говорит о существовании предела P(A)= lim h= lim n→∞

n→∞

m , n

(1.2.3)

к которому приближается частота при n→ ∞ . Этот предел и называют статистическим определением вероятности. Замечание 1. В некоторых случаях не наблюдается устойчивость частот. Но это обычно не означает, что к этим событиям теория вероятностей неприменима, а означает, что в основе изучаемого явления лежит какая-то более сложная модель, чем изучаемая. Замечание 2. При таком определении не видно связи между P(A) определенной статистически и вероятностью события по классическому или геометрическому определению. Но они совпадают, и это мы увидим в дальнейшем.

§3. Аксиомы теории вероятностей С развитием естествознания к теории вероятностей стали предъявляться повышенные требования. Возникла необходимость в систематизации основных понятий теории вероятностей и выяснении условий, при которых возможно использование ее результатов. Поэтому важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением человеческого опыта. Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является рассмотренная выше алгебра и σ-алгебра событий. Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью. Аксиома 2. P(Ω)=1.

13

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если последовательность событий Аi такова, что Ai I A j =∅ при i ≠ j, то n

n

i =1

i =1

P( ∑ A i )= ∑ P(A i ) .

(1.3.1)

Поскольку в теории вероятностей приходится рассматривать последовательность случайных событий, то возникает необходимость в дополнительном предположении, названном расширенной аксиомой сложения. Расширенная аксиома сложения. Если событие A равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий A1,A2,...,An,..., то P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(An )+... . Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности. Аксиома непрерывности. Если последовательность событий B1,B2,...,Bn,... такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее и произведение всех событий Bn есть невозможное событий, то P(Bn)→0 при n→∞. Докажем, что расширенная аксиома сложения эквивалентна обычной аксиоме сложения и аксиоме непрерывности. 1. Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности. Действительно, пусть события B1,B2,...,Bn,... таковы, что B1⊃B2⊃...⊃Bn⊃... и при любом n≥1. (1.3.2) I Bk = ∅. k≥n

Очевидно, что ∞

∞

k=n

k=n

Bn = ∑ Bk I Bk +1 + I Bk . Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместны, то согласно расширенной аксиоме сложения ∞

P(Bn )= ∑ P(B k k =n

∞

I Bk +1 )+P( I Bk ). k=n

∞

Но согласно условию (1.3.2) P( I Bk )=0 и, следовательно, k=n

∞

P(Bn)= ∑ P(B k k =n

I Bk +1 ),

т.е. P(Bn ) есть остаток сходящегося ряда ∞

∑ P(Bk I Bk +1 ) =P(B1 ). k =1

Поэтому P(Bn )→0 при n→∞. 14

2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения. Пусть события A1,A2,...,An,... попарно несовместны и A=A1+A2+...+An+... ∞

∞

Положим Bn= ∑ A n и отметим, что Bn+1⊂Bn . Докажем, что I B n =∅. k =n

n =1

Предположим от противного, что

∞

I Bn

произошло. А это означает, что

n =1

наступило и какое-либо из событий Ai (i≥n) и, значит, в силу попарной несовместности событий Ak события Ai+1, Ai+2 ,... уже не наступили. Таким образом события Bi+1, Bi+2 ,... не наступили, но это противоречит предположению о том, что

∞

I Bn

произошло. По аксиоме непрерывности

n =1

P(Bn)→0 при n→∞. Поскольку A=A1+A2+...+An+Bn+1, то по обычной аксиоме сложения P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+P(Bn+1)= lim

n

∞

∑ P(A k ) = ∑ P(A k ) .

n→∞ k =1

k =1

§4. Основные свойства вероятности. Вероятностная мера Рассмотрим свойства вероятности, используя для этого геометрическое определение вероятности 1. P(Ω)=

mes(Ω) =1; mes(Ω)

(1.4.1)

mes( ∅ ) =0. (1.4.2) mes( Ω ) Таким образом, вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного - нулю. Доказанное здесь соотношение (1.4.1) соответствует аксиоме 2, а (1.4.2) получается, кроме того, из очевидного равенства Ω=∅+Ω и аксиомы 3. 2. Пусть A⊂B, тогда P(A)≤P(B). Это следует из того, что mes(A)≤mes(B), и в этом случае

P(∅)=

P(A)=

mes(A ) mes(B) ≤ =P(B). mes(Ω) mes(Ω)

В частности, поскольку ∅⊂A⊂Ω, то для любого события (1.4.3) 0≤P(A)≤1. 3. Пусть A I B =∅, то есть события A и B несовместные, тогда P(A+B)=P(A)+P(B)

15

P(A+B)=

mes( A ) + mes(B) mes(A ) mes(B) = + =P(A)+P(B), (1.4.4) mes(Ω) mes(Ω) mes(Ω)

что соответствует аксиоме 3. 4. Если A⊂B, то P(B\A)=P(B)−P(A). Действительно, если A⊂B, то B=A+(B\A) и P(B)=P(A)+P(B\A). Отсюда и получаем, что P(B\A)=P(B)−P(A). 5. P( A )=1−P(A). В самом деле, A =Ω\A, поэтому P( A )=P(Ω)−P(A)=1−P(A). Таким образом, можно отметить, что вероятность есть неотрицательная счетно-аддитивная функция множеств, причем P(Ω)=1. В соответствии с понятием меры в функциональном анализе можно сказать, что вероятность P(A) есть конечная мера с нормировкой P(Ω)=1. Поэтому часто говорят не о вероятности, а о вероятностной мере, заданной на измеримом пространстве. Вероятностным пространством называют тройку символов (Ω,F,P), где Ω - пространство элементарных событий, F - σ-алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями, и P - вероятностная мера, определенная на σ-алгебре F. Все теоремы функционального анализа, касающиеся свойств меры, становятся теоремами теории вероятностей с заменой слова “мера” на слово “вероятность”. Напомним некоторые из этих теорем. a) Теорема о полуаддитивности вероятности. Если Если

∞

∞

∞

∞

k =1

k =1 ∞

k =1

k =1

U A k ⊃A, то ∑ P(A k )≥P(A); в частности, P( U A k )≤ ∑ P(A k ). ∞

∑A

n

⊂A, то

∑ P(A k ) ≤P(A).

k =1

n=1

б) Теорема о последовательностях случайных событий. P( lim infAn) ≤ lim inf P(Ak); n→∞ k ≥n

n→∞

P( lim supAn)≥ lim sup P(An ); n→∞

n→∞

k ≥n

в частности, если An монотонная последовательность, то P( lim An)= lim P(An), n→∞

где lim An означает n→∞

∞

U An

n =1

или

∞

I An . n =1

в) Непрерывность вероятности.

16

n→∞

Вероятность называется непрерывной сверху на пустом множестве, если из того, что An невозрастающая последовательность, сходящаяся к пустому множеству, следует lim P(An)=0. n→∞

Для того, чтобы вероятность была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной сверху на пустом множестве и выполнялась обычная теорема сложения. 6. Теорема сложения вероятностей. Выше было показано, что вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей, то есть, если A I B =∅, то P(A+B)=P(A)+P(B). Получим теперь формулу для вероятности суммы совместных событий, которая называется теоремой сложения вероятностей. Ω A

B

AI B

Как видно из рисунка, в случае объединения двух событий A U В его можно представить в виде объединения трех несовместных событий A U B =A\B+B\A+A I B . Тогда по формуле (1.3.1) можем записать (1.4.5) P(A U B )=P(A\B)+P(B\A)+P(A I B ). Для определения вероятности P(A\B) воспользуемся следующим представлением события A: A=A\B+A I B . Откуда P(A)=P(A\B)+P(A I B ), или (1.4.6) P(A\B)=P(A)−P(A I B ). Аналогично B=B\A+A I B , и

P(B)=P(B\A)+P(A I B )

P(B\A)=P(B)−P(A I B ). Подставляя в формулу (1.4.5) формулы (1.4.6) и (1.4.7), получим P(A U B )=P(A)+P(B)−P(A I B ). Отсюда следует, что

(1.4.7) (1.4.8)

17

P(A U B )≤P(A)+P(B). Для n совместных событий теорема сложения имеет вид n

n

i =1

i=1

P( U A i )= ∑P( A i ) −

∑

1≤i1 y1 Fξη(x,y2) ≥ Fξη(x,y1). Действительно, увеличивая x, то есть смещая правую границу квадранта вправо или увеличивая y, то есть смещая верхнюю границу вверх, мы не можем уменьшить вероятность попадания случайной точки (ξ ,η) в этот квадрант. 2. На −∞ Fξη(x,y)=0, то есть Fξη(x, −∞ )=Fξη( −∞ ,y)=Fξη( −∞ , −∞ )=0. Неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта или вниз его верхнюю границу или делая это одновременно с обеими границами, мы устремляем к нулю вероятность попадания случайной точки в квадрант. Если оба аргумента устремить к +∞ , то Fξη( +∞ , +∞ )=1. При этом квадрант с вершиной (x,y) в пределе обращается во всю плоскость, вероятность попадания в которую есть достоверное событие. 3. При одном из аргументов, стремящемся к +∞ , функция распределения системы двух случайных величин превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу, то есть Fξη(x, +∞ )=Fξ(x), Fξη( +∞ ,y)=Fη(y). Смещая ту или иную из границ квадранта на +∞ , мы тем самым в пределе квадрант превращаем в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему. Рассмотрим примеры. Пример 1. Случайный вектор (ξ,η) имеет плотность вероятностей p(x,y)=

A , x,y∈R. π 2 (16 + x 2 )(25 + y 2 )

Найти: а) величину A; б) функцию распределения Fξη(x,y); в) функции распределения Fξ(x) и Fη(y); г) плотности вероятностей pξ(x) и pη(y). Решение. а) Величину A находим из условия нормировки 43

∞ ∞

Adxdy

∫ ∫

= 1, π (16 + x 2 )(25 + y 2 ) A 1 x∞ 1 y∞ arctg arctg = 1 , A=20. 4 −∞ 5 5 −∞ π2 4 2

−∞ −∞

б) По свойству 4 функции распределения многомерной случайной величины F(x,y)=

20

x y

dudv

1 x 1 1 y 1 = + + ). arctg arctg ( )( 4 2 π 5 2 π π 2 −∞ −∞ (16 + u 2 )(25 + v 2 )

∫ ∫

в) В соответствии со свойством согласованности функции распределения 20

x ∞

dudy

∫ ∫

= π −∞ −∞ (16 + u 2 )(25 + y 2 ) 20 1 1 u x 1 y∞ x π = 2 arctg = (arctg + ) . arctg 4 −∞ 5 5 −∞ π 4 2 π 4

Fξ(x)=

2

Аналогично находим. 1 π

y 5

π 2

Fη(y)= (arctg + ) . г) Плотности вероятностей pξ(x) и pη(y) находим, дифференцируя Fξ(x) и Fη(y): pξ(x)=

4

π(16 + x 2 )

, pη(y)=

5

π(25 + y 2 )

.

Пример 2. Двумерная случайная величина (ξ,η) равномерно распределена внутри круга радиусом a с плотностью вероятностей ⎧⎪1 / ( πa2 ), x 2 + y 2 < a2 ; pξη(x,y)= ⎨ ⎪⎩0, x 2 + y 2 > a2 .

Найти условную плотность вероятности p(x/y). Решение. Используя свойство согласованности, находим pη(y) ⎧ + ∞ ⎪ 1 ⎪ pη(y)= ∫ p(x, y)dx = ⎨ πa2 − ⎪ −∞ ⎪⎩ 0 ,

a2 − y2

∫

a2 − y2

dх =

2

πa

2

a2 − y 2 , y < a;

По формуле (2.3.4) определяем p(x/y): 1 ⎧ , y < a, x < a2 − y 2 ; ⎪ 2 2 p(x/y)= ⎨ 2 a − y ⎪0, y > a, или x > a2 − y 2 . ⎩ 44

y > a.

§4. Функции от случайных величин Рассмотрим следующую задачу: имеется n-мерная случайная величина ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn) с плотностью вероятностей pξ(x1,x2,...,xn) и имеется m функций от этой случайной величины η1=f1(ξ1,ξ2,...,ξn), η2= f2(ξ1,ξ2,...,ξn), (2.4.1) .............. ηm=fm(ξ1,ξ2,...,ξn), где f1,f2,...,fm - некоторые функции от n переменных. Необходимо найти плотность распределения вероятностей m-мерной случайной величины η=(η1,η2,..., ηm). Рассмотрим некоторые частные случаи этой задачи. 1. Пусть ξ - одномерная случайная величина с плотностью вероятностей pξ(x) и y=f(x) - монотонно возрастающая функция. Необходимо найти плотность вероятностей pη(y) случайной величины η, равной f(ξ). Для монотонной функции x и y связаны однозначно, следовательно, уравнение y=f(x) можно однозначно разрешить относительно x: x= f −1 ( y) = ϕ(y). Далее легко видеть, что {ω:η(ω)0 - произвольно. Выберем столь большое А, чтобы

∫

dF ξ ( x)
A

ε , 4

и подберём столь малое h, чтобы для ⏐х⏐ ε} =0. n →∞

P

P ⎯→ ξ, или lim ξ n = ξ. Обозначается это так: ξn ⎯ n →∞

Определение 4. Последовательность случайных величин ξn сходится к случайной величине ξ в среднеквадратическом, если lim M {( ξ n − ξ) 2 } =0. n →∞ CP. KB.

Обозначается это так: ξn ⎯ ⎯⎯ ⎯→ ξ, или l. i. m ξn=ξ (от limit in the mean). В n →∞

более общем случае можно иметь в виду сходимость ξn к ξ в среднем порядка k, если lim M {( ξ n − ξ) k } =0. n →∞

78

Определение 5. Пусть P{ξ<x}=F(x) и P{ξn<x}=Fn(x). Тогда говорят, что ξn сходится к ξ по распределению, если lim F n ( x) =F(x) n →∞

F в каждой точке непрерывности F(x). Обозначается это так: ξn ⎯⎯ → ξ. Эта сходимость называется также слабой сходимостью распределений. Введённые выше типы сходимости имеют своё соответствие в функциональном анализе.

функциональный анализ сходимость почти всюду сходимость по мере сходимость в пространстве L2 слабая сходимость

теория вероятностей сходимость почти наверное сходимость по вероятности сходимость в среднеквадратическом сходимость по распределению

Рассмотрим теоремы, связывающие различные типы сходимости. Теорема 1. Из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Доказательство этой теоремы рассматривалось в функциональном анализе. Но из сходимости по вероятности не следует сходимость почти наверное. Теорема 2. Из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость по вероятности. Доказательство. Для любого В∈В P{⏐ξn−ξ⏐>ε}= ∫ dP(ω ) , B

где В={ω: ⏐ξn−ξ⏐>ε}. Так как для ω∈В имеет место соотношение ξn − ξ ε

>1

и, следовательно, ξn − ξ εk

k

>1,

то P(⏐ξn−ξ⏐>ε)= ∫ 1 ⋅ dP(ω) ≤ ∫ B

В

ξn − ξ εk

k

dP(ω) .

Учитывая, что подынтегральная функция неотрицательна и поэтому при расширении области интегрирования интеграл может лишь возрасти, получаем 79

P(⏐ξn−ξ⏐>ε)≤

1

ε

k

∫ ξn − ξ

k

dP(ω ) ≤

B

1

ε

k

∫ ξn − ξ

k

dP(ω )

Ω

или k

P(⏐ξn−ξ⏐>ε)≤

M{ ξ n − ξ }

εk

.

Это неравенство называется неравенством Чебышева. р.кв . ⎯→ ξ, то lim M {(ξ n − ξ) 2 } =0 и из неравенства Чебышева Если ξn ⎯с⎯ n →∞

при k=2 следует, что ∀ ε>0 lim P{ ξ n − ξ > ε} =0, то есть ξn ⎯ ⎯p→ ξ. n →∞

Отметим, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднеквадратическом. Теорема 3. Из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению. Доказательство. Пусть ξn сходится по вероятности к ξ, то есть lim P{ ξ n − ξ > ε} =0. Это означает, что для любых ε и δ, больших нуля, суn →∞

ществует такое N, что для любого n>N P{⏐ξn−ξ⏐>ε}