Асимптотики решений многомерных интегрируемых уравнений и их возмущений

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 11 (2004). С. 3–149 УДК 514.7+514.8+517.95 АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ...

Author: Киселев О.М.

23 downloads 227 Views 980KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 11 (2004). С. 3–149 УДК 514.7+514.8+517.95

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ c 2004 г.

ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ КИСЕЛЕВ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ Глава 1. Метод обратной задачи и D-проблема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Решение уравнений Ишимори-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3. Решение уравнения Кадомцева—Петвиашвили-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Структурная неустойчивость солитона уравнения Деви—Стюартсона-2 . . . . . . . . . . 1.1. Однозначная разрешимость и устойчивость задачи рассеяния для эллиптической системы Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Структурная неустойчивость двумерного алгебраического солитона. . . . . . . . . . 1.3. Асимптотика солитоноподобного пакета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ 2. Временные асимптотики решений D-задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Асимптотика бессолитонного решения уравнения Деви—Стюартсона-2. . . . . . . . 2.2. Асимптотика решения уравнений Ишимори-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Асимптотика решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили. . . . . . . . . . . . . . 3. Возмущение нелинейного уравнения Клейна—Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Возмущение солитона уравнения синус-Гордона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Неинтегрируемое нелинейное уравнение Клейна—Гордона. . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Взаимодействие кинка с бегущей волной малой амплитуды. . . . . . . . . . . . . . 3.4. Возмущенное уравнение φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Метод обратной задачи и нелокальная задача Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Временные асимптотики нелокальной задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Асимптотика решения уравнения Деви—Стюартсона-1. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Формула для асимптотики решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили-1. . . . . 6. Теория возмущений солитона уравнения Деви—Стюартсона-1 . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Теория возмущений гиперболической системы Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Возмущение дромиона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Асимптотики многомерных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Асимптотика двукратных интегралов со слабой особенностью. . . . . . . . . . . . . 7.2. Асимптотика многомерного интеграла типа Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 12 12 15 15 16 16 25 30 37 37 45 46 67 68 82 85 96 104 105 110 110 116 117 117 127 132 132 137 143

ВВЕДЕНИЕ Изучение асимптотических свойств решений лежит в основании современных исследований в области нелинейных уравнений математической физики. Достаточно вспомнить, что Дж. Рассел в 1834 г. заинтересовался уединенной волной из-за неизменности ее специфической формы, сохраняющейся на большом промежутке времени. Да и знаменитое уравнение Кортевега—де Фриза Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 03-01-00716, гранта для научных школ 1446.2003.1 и INTAS № 03-51-4286. c

2004 МАИ

3

4

Введение

получено как асимптотический предел уравнения для поверхностных волн. Возрождение интереса к уравнению КдФ в шестидесятых годах 20 в. началось с изучения поведения на больших временах цепочки Ферми—Паста—Улама — нелинейно взаимодействующих осцилляторов. Последующие работы М. Крускала и Н. Забусски [159] и Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [125] привели к открытию солитона, а затем и метода обратной задачи рассеяния. История этого вопроса всесторонне и в подробностях изложена в книгах М. Абловица и Х. Сигура [1], А. Ньюэлла [74], а также в замечательной книжке А. Т. Филиппова [88]. Нелинейные интегрируемые уравнения и метод обратной задачи рассеяния, разработанный для их решения, распахнули новые горизонты в математической физике конца двадцатого века. Это утверждение — вовсе не преувеличение. Достаточно взглянуть на длинные списки статей об интегрируемых уравнениях, приводимые в монографиях. С одной стороны, большое число работ связано с модной темой и, как следствие, с появлением новых журналов и выделением фондов на исследования в области нелинейных уравнений. Однако, это только внешняя сторона. На самом деле, причина кроется в методе решения интегрируемых уравнений с помощью обратной задачи рассеяния. Он привел к переосмыслению некоторых известных результатов, а также к постановке новых задач. Метод обратной задачи рассеяния обычно связывает нелинейное уравнение с парой систем линейных уравнений с переменными коэффициентами и дополнительным «спектральным» параметром. Для каждого нелинейного уравнения эта пара своя. Более того, каждому решению нелинейного уравнения соответствует свой вид коэффициентов в системах линейных уравнений. То есть, для изучения свойств решения или какого-либо класса решений нелинейного интегрируемого уравнения с помощью метода обратной задачи рассеяния приходится развивать теорию решений класса линейных систем уравнений с переменными коэффициентами и исследовать свойства их решений в зависимости от дополнительного «спектрального» параметра. Теперь осталось вспомнить, что построение такой теории для одного обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка u00 + q(x)u = k 2 u длится более ста лет и пока далеко от завершения. Вместо исследования столь широкого круга задач обычно ограничиваются изучением свойств решений небольшого списка интегрируемых уравнений. Среди (1+1)-мерных уравнений (одна пространственная переменная и одна временн´ая) обычно говорят об уравнении Кортевега—де Фриза, нелинейном уравнении Шр¨едингера, уравнении синус-Гордона, системе N -волн. Ограничен и список классов изучаемых решений. Прежде всего, это точные решения, имеющие конечное число параметров — солитонные и конечнозонные. Получить решение в виде уединенной волны (солитона) с помощью редукции к обыкновенному уравнению для перечисленных интегрируемых уравнений достаточно просто. Такое решение было найдено Буссинеском [108]. Нетривиален следующий шаг — построение решения, которое содержит несколько таких волн-солитонов. Преобразования, переводящие одно решение уравнения синус-Гордона в другое, были описаны Бэклундом в 1880 году (см., например, [1]). Особенно активно такие преобразования изучаются начиная с работы Миуры [152]. Построение конечнозонных решений интегрируемых уравнений, полученных С. П. Новиковым, опирается на метод обратной задачи рассеяния (см. [26, 70]), но может быть также сведено к решению системы интегрируемых обыкновенных уравнений. Решения, содержащие функциональный произвол, позволяют решать задачи Коши или Гурса. В общем случае исследование свойств этих решений опирается на метод обратной задачи рассеяния. Перечисленные выше (1 + 1)-мерные нелинейные интегрируемые уравнения в методе обратной задачи связаны с системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечные формулы для решений исходных нелинейных уравнений имеют неявный характер. Их неудобно использовать для каких-либо вычислений без дополнительного, как правило, асимптотического анализа. Более того, зачастую по смыслу исходной задачи интересным оказывается именно асимптотическое поведение решения нелинейного уравнения. Здесь нет возможности перечислить даже основные работы об асимптотиках убывающих решений (1 + 1)-мерных интегрируемых уравнений (см., например, [29, 35, 64, 72, 73, 93, 101, 151]). Формулы для асимптотик в (1 + 1)-мерном случае содержат

Введение

5

один большой параметр, например, время, и один медленно меняющийся параметр, как правило, это отношение пространственной переменной ко времени. Для получения равномерных по медленной переменной асимптотических решений используется сингулярная теория возмущений. Обоснование асимптотик решений (1 + 1)-мерных интегрируемых уравнений можно найти в работах П. Дейфта и К. Жу. Ими были получены оценки решений для обратной задачи — задачи Римана — Гильберта в Lp -нормах [110]. Это позволило получить оценку остатка для известной ранее асимптотики решения задачи Римана — Гильберта [111] и сформулировать утверждение об асимптотике слабого решения нелинейного уравнения Шр¨едингера [112]. Некоторые результаты, связанные с краевыми задачами, можно найти в [6, 44, 45, 55, 61, 81, 82, 89, 120]. Применение теории возмущений к интегрируемым уравнениям позволяет исследовать их неинтегрируемые возмущения. Наиболее полно исследованы возмущения солитонных решений. В теории возмущений солитонных решений один из основных вопросов — вычисление медленной модуляции параметров под воздействием возмущения в течение длительного временного промежутка. Главный член асимптотики, как правило, зависит от параметров решения аналитически. В частности, формальные асимптотические решения неинтегрируемых возмущений (1 + 1)-мерных уравнений с солитоном в главном члене изучались в [40,42,43,52,67,134,135,138,139,143], а возмущения конечнозонных решений, например, в работах [20–23, 56, 57, 117]. Приведенные здесь и в предыдущем абзаце ссылки ни в коей мере не претендуют на полноту. Среди (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений (две пространственные переменные и время) чаще всего упоминаются уравнение Кадомцева—Петвиашвили, система Деви—Стюартсона, система N -волн. К этому короткому списку трудно что-либо добавить, за исключением уравнения для двумеризованной цепочки Тоды, относящейся к дискретным (2 + 1)-мерным моделям. При решении (2 + 1)-мерных уравнений возникают дополнительные сложности. В отличие от (1 + 1)-мерных уравнений, (2 + 1)-мерные связаны с системами линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Дополнительный «спектральный» параметр входит в решение вспомогательной линейной системы через краевые условия. По этим причинам формулы решений задач для двумерных интегрируемых уравнений более сложны. Вопрос исследования асимптотических свойств решений (2 + 1)-мерных уравнений в настоящее время весьма актуален. При построении асимптотик решений (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений возникают существенные трудности. В первую очередь, это связано с зависимостью от дополнительной пространственной переменной. При построении равномерных асимптотик возникают задачи с двумя малыми параметрами, не связанными какими-либо соотношениями. Поэтому приходится иметь дело с двойными асимптотиками. Одним из наиболее действенных методов в этой области является метод согласования асимптотических разложений (см., например, [34]). Еще одно затруднение связано с неаналитической зависимостью вспомогательной линейной задачи от «спектрального параметра». Теория возмущений таких задач существенно отличается от хорошо разработанной теорий возмущений для задач с аналитической зависимостью от параметров (см., например, [133]). По существу, основной мотив работы — развитие и обоснование асимптотических методов и теории возмущений солитонных решений для (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений. Объект исследований. Исследованы убывающие по пространственным направлениям решения (2 + 1)-мерных (две пространственные переменные и время) интегрируемых уравнений. В качестве основных представителей таких уравнений выбраны уравнения Кадомцева—Петвиашвили: ∂x (∂t u + 6u∂x u + ∂x3 u) = −3α2 ∂y2 u,

(0.1)

Деви—Стюартсона i∂t A + ∂x2 A + α2 ∂y2 A + 2κ|A|2 A + Ap = 0, ∂x2 p − α2 ∂y2 p = −4κ∂x2 (|A|2 ), κ = ±1,

(0.2)

а также Ишимори ~=0 ~ + ∂y w∂x S ~ +S ~ × (∂x2 S ~ + α2 ∂y2 S) ~ + ∂x w∂y S ∂t S ~ = 0, ~ × ∂y S) ~ xS ∂x2 w − α2 ∂y2 w + 2α2 S(∂ ~2

~ = (S1 , S2 , S3 ), S = 1. S Во всех этих уравнениях α2 = ±1.

(0.3)

6

Введение

В текст включены результаты о временн´ой асимптотике убывающих решений этих уравнений, а также о возмущении солитонных решений уравнений Деви—Стюартсона. Асимптотическая природа уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Деви—Стюартсона. Происхождение уравнений Кадомцева—Петвиашвили (КП) и Деви—Стюартсона (ДС) тесно связано с теорией волн и асимптотическими методами. Уравнение КП и система уравнений ДС являются нелинейными интегрируемыми асимптотическими пределами более сложных, до сих пор не проинтегрированных уравнений. Уравнение КП было получено в работе [37] при исследовании устойчивости уединенной волны, слабо модулированной в поперечном направлении. Ниже показано, как это уравнение выводится формально при рассмотрении модуляции волн малой амплитуды на больших временах в нелинейном волновом уравнении: utt − uxx − uyy + aux uxx + ε2 buxxxx = 0,

0 < ε 1.

Если искать решение в виде u(x, y, t; ε) = ε2 u1 (x, εy, t, εt) + ε4 u2 (x, εy, t, εt) + . . . ,

(0.4)

то для членов порядка ε2 и ε4 получается система уравнений ∂tt u1 − ∂xx u1 = 0, ∂tt u2 − ∂xx u2 = ∂η2 u1 + ∂x ∂ξ u1 − ∂t ∂τ u1 − a∂x u1 ∂x2 u1 + b∂x4 u1 .

(0.5)

Здесь через ξ и η обозначены медленные пространственные переменные ξ = εx и η = εy. Зависимость главного члена формальной асимптотики от переменных x и t легко определяется: u1 (x, εy, t, εt) = w+ (x + t, η, ξ, τ ) + w− (x − t, η, ξ, τ ). Чтобы асимптотика (0.4) была пригодна для больших значений переменных s+ = x+t и s− = x−t, необходимо избавиться от растущих по s+ и s− решений во втором уравнении из (0.5). Это приводит к двум уравнениям, определяющим зависимость функции u1 от медленных переменных: ∂s (±2∂τ w± + aw± ∂s w± + b∂s3 w± ) = ∂η2 w± . Каждое из этих уравнений и есть уравнение Кадомцева—Петвиашвили. Конечно, приведенных соображений недостаточно, чтобы утверждать, что решение уравнения КП играет важную роль в теории распространения волн. Нужно еще доказать, что построенная с его помощью асимптотика (0.4) действительно является асимптотикой решения исходного нелинейного волнового уравнения. Такое строгое обоснование вывода уравнения КП получено в работе Л. А. Калякина [38]. Формулировка результата имеется в обзоре [39]. Асимптотическую природу имеет и система уравнений Деви—Стюартсона. Эта система описывает взаимодействие длинной и короткой волн малой амплитуды на поверхности жидкости. Формальный вывод системы уравнений ДС из уравнений поверхностных волн для потенциального течения жидкости над ровным дном представляется более громоздким (см. [109, 113]), чем приведенный вывод уравнения КП. Однако, исходные предположения и окончательный результат будут полезны для выяснения естественных постановок задач для уравнений ДС. Пусть P — потенциал скорости внутри бесконечного в направлениях x и y слоя жидкости. Глубина h этого слоя конечна. Уравнение потенциального течения ∆P = 0. На дне выполняется так называемое условие непротекания ∂z P |z=−h = 0. Поверхность жидкости свободна. На этой поверхности z = ζ(x, y, t). Скорость жидкости в вертикальном направлении выражается в виде ∂z P = ∂t ζ + ∂x P ∂x ζ + ∂y P ∂y ζ. Кроме того, на свободной поверхности выполняется еще и закон сохранения 2gζ + 2∂t P + (∂x P )2 + (∂y P )2 + (∂z P )2 = 0.

Введение

7

Формальное асимптотическое решение уравнения Лапласа с условием непротекания на дне и двумя условиями на поверхности жидкости можно искать в виде P = ε(p01 + p11 E + c.c.) + . . . , а форму свободной поверхности — в виде ζ = ε(ζ01 + ζ11 E + c.c.) + . . . , где E = exp(i(ky + ωt)), функции pij и ζij зависят от медленных переменных ξ = ε(x + cg t) (cg = const), η = εy и τ = ε2 t; значки c.c. в формулах означают комплексно сопряженные слагаемые; многоточия — слагаемые меньшего порядка по ε. Следуя работе А. Деви и К. Стюартсона [109], можно получить необходимые условия пригодности асимптотического разложения. Эти условия имеют вид уравнений ДС в форме i∂τ A + λ∂ξ2 A + µ∂η2 A + ν|A|2 A + ν1 Ap = 0, α∂ξ2 p + β∂η2 p = κ∂ν2 (|A|2 ), где λ, µ, ν, ν1 , α, β — некоторые постоянные. Функции p01 и p11 связаны с p и A формулами p11 =

ch(k(z + h)) A(ξ, η, τ ), p = α1 ∂ξ p01 + β1 |a|2 , α1 , β1 = const. ch(kh)

Для некоторого соотношения постоянных эта система уравнений может быть приведена к интегрируемой системе уравнений ДС (0.2) при α2 = −1 (конечно, в (0.2) надо заменить переменные x, y, t на ξ, η, τ , соответственно). В этом случае система (0.2) обычно называется системой уравнений ДС-2. Другой вид интегрируемой системы уравнений ДС c α2 = 1 называется системой уравнений ДС-1. Эта система уравнений выведена в работе В. Д. Джорджевика и Л. Дж. Редекоппа [113] также из уравнений поверхностных волн при учете поверхностного натяжения. Замечание 0.1. Уравнения Ишимори (0.3) были получены как пространственно-двумерное обобщение уравнений магнетика Гейзенберга [131]. Постановки задач. Естественные постановки задач для уравнений КП и ДС можно получить из их связи с исходными уравнениями теории волн. Из преобразований координат, приводящих исходные задачи теории волн к уравнениям КП и ДС, легко видеть, что роль времени играет медленное время исходной задачи, а роль пространственных переменных — медленные пространственные переменные в линейной комбинации с медленным временем задачи из теории волн. Поэтому задача Коши выглядит естественной для уравнений КП и ДС. Вопрос о том, к каким задачам можно свести с помощью асимптотических процедур краевые задачи для нелинейной теории волн, не совсем ясен и представляется достаточно интересным. Без всякого отношения к этому, краевые задачи для уравнений Деви—Стюартсона и Ишимори оказываются интересными и с точки зрения свойства интегрируемости. В этом аспекте они рассматривались И. Т. Хабибуллиным [90, 91]. В настоящей работе приведены результаты о временной асимптотике решений начальных задач для уравнений КП, ДС и Ишимори. Теоремы о существовании решений задач Коши для уравнений КП и ДС в различных классах функций получены А. В. Фаминским, Дж. Чидаглия и Дж. Саутом, М. М. Шакирьяновым [86,95, 126]. Асимптотические свойства решений уравнений Деви—Стюартсона в неинтегрируемом случае и обобщенного уравнения Кадомцева—Петвиашвили изучались в работах Н. Хаяши, П. Наумкина, Дж. Саута, Х. Хираты [128, 129]. Метод обратной задачи рассеяния. Для построения решений нелинейных интегрируемых уравнений используется метод обратной задачи рассеяния. Впервые метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) был применен к интегрированию нелинейного уравнения Кортевега—де Фриза (КдФ) в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [125]. Позднее В. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом было показано, что прием, похожий на использованный в [125] для решения уравнения КдФ, можно применить и к нелинейному уравнению Шр¨едингера [32]. Далее, в работах М. Абловица, Д. Каупа, А. Ньюэлла, Х. Сегура [100] и В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [33] метод обратной задачи

8

Введение

рассеяния был развит для целого класса нелинейных уравнений. В частности, интегрируемость методом обратной задачи уравнения КП была доказана в работах В. С. Дрюма [25] и В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [33]. Наиболее развит алгоритм решения для задач с начальными условиями. В работе А. Фокаса и М. Абловица [119] разработан формальный метод решения уравнений ДС для начальных задач с достаточно малым и быстро убывающим по всем пространственным направлениям начальным условием для функции A и нулевым условием на бесконечности по пространственным переменным для функции p. Позднее, А. Фокасом и П. Сантини в статье [122] был предложен метод решения начально-краевой задачи для уравнения ДС-1 с ненулевым краевым условием для функции p. Такое обобщение оказалось важным для описания с помощью МОЗР так называемых дромионов — уединенных волн, найденных ранее в [104]. Подробное исследование обратных задач для гиперболических уравнений, связанных с ДС-1 и цепочкой Тоды, проведено в монографии Л. П. Нижника [69]. Алгоритм решения уравнения КП в предположении, что решение достаточно быстро убывает по всем пространственным направлениям, развит М. Абловицем, Бар Яковом и А. Фокасом [97]. Метод обратной задачи рассеяния для обобщенных уравнений ДС и Ишимори был развит в работах Б. Г. Конопельченко, И. Е. Маткаримова и В. Г. Дубровского [115, 144]. Среди других многомерных интегрируемых уравнений следует отметить уравнения N -волн. Это система N гиперболических уравнений первого порядка с квадратичной нелинейностью специального вида. Система уравнений N -волн получена при асимптотическом анализе N гармоник при наличии квадратичного резонанса [5]. Интегрируемость этой системы методом обратной задачи рассеяния обсуждалась в [98]. Метод обратной задачи рассеяния для многомерной системы уравнений N -волн исследовался в статьях Д. Каупа, А. Фокаса и Л. Сана [123, 137]. Число найденных интегрируемых многомерных уравнений различного вида достаточно велико (см. например, диссертацию В. Г. Дубровского [27]). Большинство из них рассматривается как абстрактные нелинейные многомерные модели и не имеет столь явной физической интерпретации, как, например, уравнения ДС, КП или N -волн. Прямая задача рассеяния для линейных уравнений, связанных с интегрируемыми нелинейными, как правило, не решается в явном виде, поэтому для получения решений нелинейных уравнений часто ограничиваются обратной задачей рассеяния. Полагают, что данные рассеяния уже известны и по ним строят решение нелинейного уравнения. Здесь оказывается очень важной задача о выделении спектральных данных, отвечающих потенциалам с быстро убывающим или периодическим поведением для вспомогательных линейных задач. В связи с нелинейными (2 + 1)-мерными интегрируемыми уравнениями задача о связи между данными рассеяния и потенциалом обсуждалась, например, в работах В. Е. Захарова, С. В. Манакова, П. Г. Гриневича, Р. Г. Новикова, Г. М. Хенкина, Л. П. Нижника, А. Фокаса, Л. Сана [18, 19, 30, 69, 71, 123]. Обзор результатов и их связь с интегрируемыми многомерными нелинейными уравнениями можно найти для гиперболической системы типа Дирака и уравнений ДС в книге Л. П. Нижника [69], для вспомогательных линейных задач, связанных с уравнениями КП — в диссертации П. Г. Гриневича [17]. Стандартная схема метода обратной задачи подразумевает, что свойства начальной функции (гладкость и, например, убывание на бесконечности) сохраняются в динамике. Это обычно надо либо доказывать для каждого уравнения отдельно, либо, как, например, в монографии Л. П. Нижника [69], а также в работах М. Викенхаузера, А. Фокаса и Л. Сана [123, 158], исследовать связь между данными рассеяния, классом начальных функций и свойствами решения при ненулевом значении времени. Однако, результаты в этом направлении пока нельзя считать исчерпывающими. С современным состоянием исследований для уравнения КП-1 можно ознакомиться, например, по обзору М. Боити, Ф. Пемпинелли, А. Погребкова и Б. Принари [106].

Асимптотики решений с функциональным произволом. Трудности в исследовании решений начальных задач для нелинейных интегрируемых уравнений вызваны неявным представлением решения и громоздкими формулами, связывающими начальные данные и данные рассеяния, которые оказываются более удобными для исследования свойств решения. Поэтому вместо исследования свойств решения начальной задачи для класса начальных условий обычно рассматривают классы решений нелинейных интегрируемых уравнений в терминах данных рассеяния. Класс решений,

Введение

9

как правило, допускает функциональный произвол в терминах данных рассеяния и поэтому соответствует классу начальных условий тоже с функциональным произволом. Такой подход оказался достаточно эффективным как для одномерных интегрируемых уравнений, так и для многомерных. В частности, он позволяет исследовать асимптотики решений уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Деви—Стюартсона с различной степенью строгости. Видимо, первыми в этом направлении были работа С. В. Манакова, П. М. Сантини и Л. А. Тахтаджяна [147], в которой построено убывающее формальное асимптотическое решение уравнения КП-1, и статья В. Ю. Новокшенова [73], где построена асимптотика решения для уравнения двумеризованной цепочки Тоды. Равномерные по пространственным переменным асимптотики убывающих решений уравнений ДС и уравнения КП-2 получены в работах автора [48, 49, 142]. Асимптотические свойства неубывающих решений с функциональным произволом для уравнений КП-1 и КП-2 в области перестройки — фронта решений — исследовались в работах И. А. Андерса, В. П. Котлярова, Е. Я. Хруслова, Д. Ю. Остапенко и А. П. Паль-Валя [3, 76]. Временные ´ асимптотики решений уравнений Ишимори, видимо, впервые выписаны в предлагаемой работе. Впрочем, они легко получаются из асимптотики решения вспомогательной линейной задачи, связанной с уравнениями ДС. Формула, связывающая решение вспомогательной линейной задачи для уравнений ДС с решением уравнений Ишимори, приведена, например, в [144]. Решения с конечным числом параметров. Наиболее известные результаты в области нелинейных интегрируемых уравнений, достигнутые с помощью метода обратной задачи рассеяния — это явные формулы для решений. Простейшие из них обычно называются солитонами, несмотря на существенные различия в природе и свойствах этих решений. Видимо, самыми простыми найденными солитонными решениями уравнений КП и ДС являются так называемые алгебраические солитоны или лампы. Они построены в работе С. В. Манакова, В. Е. Захарова, Л. А. Бордаг, А. Р. Итса и В. Б. Матвеева [148] для уравнения КП-1 и в работе А. Фокаса и М. Абловица [119] для уравнений ДС-2. Отметим, что в [119] были построены только сингулярные алгебраические лампы, позднее В. А. Аркадьевым, А. К. Погребковым и М. С. Поливановым [102] были найдены и регулярные алгебраические решения, убывающие во всех пространственных направлениях. Экпоненциально убывающие солитонные решения уравнения КП-2 найдены в [148]. Локализованные, экспоненциально убывающие во всех пространственных направлениях решения уравнений ДС-1, были построены М. Боити, Дж. Леоном, Л. Мартиной и Ф. Пемпинелли [104]. Еще один класс решений с конечным числом параметров для нелинейных интегрируемых уравнений, обычно обсуждающийся в работах по методу обратной задачи рассеяния — условно периодические, так называемые конечнозонные решения. Эти решения обычно выражаются через тэта-функции нескольких переменных. Для уравнений КП такие решения изучались в работах И. М. Кричевера [54,59]. Перечисленные решения содержат конечное число свободных параметров. Кроме них, для уравнений КП известен набор решений с произволом в виде функции одной переменной. Обзор различных решений уравнений КП и методов их построения имеется в книге [31]. Точные решения уравнений Деви—Стюартсона с помощью преобразований Бэклунда построены, например, в работах Дж. Сатсумы, М. Абловица, М. Салля, Я. Хиетаринты и Р. Хироты [80, 130, 156]. Явные формулы для некоторых решений уравнений Ишимори построены, например, в [115, 144]. Решения некоторых других (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений можно найти в работах [27, 114, 116]. Задачи теории возмущений. Применение теории возмущений для (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений связано с самим выводом уравнения Кадомцева—Петвиашвили [37]. В [37] Б. Б. Кадомцев и В. И. Петвиашвили показали, что плоская уединенная волна уравнения КП-2 неустойчива по отношению к поперечным возмущениям. Этот результат и открытие метода обратной задачи рассеяния для (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений породили работы, в которых исследовалось явление поперечной устойчивости (см. например, [8, 28, 78]). С другой стороны, интересна задача о возмущении двумерных солитонов (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений. Возмущения этих решений разумно рассматривать как по отношению к начальным условиям, так и по отношению к уравнениям. Если рассматривать только возмущения

10

Введение

точных решений, это существенно расширяет класс решений, поддающихся анализу. Если же исследовать еще и возмущения уравнений, то можно изучать более широкий класс уравнений, и, в какой-то мере, более адекватные математические модели физических процессов. Задачи теории возмущений для (1 + 1)-мерных интегрируемых уравнений на формальном уровне исследованы довольно подробно (см., например, [42, 43, 134, 138, 143]). Исследование возмущений (2 + 1)-мерных решений началось сравнительно недавно. Известны формальные результаты о возмущении конечнозонных решений уравнения КП, полученные И. М. Кричевером [58,59]. В классе убывающих решений результаты пока относятся только к уравнениям ДС, исследованным в совместных работах Р. Р. Гадыльшина и автора [12, 13, 124, 141]. Одна из причин, по которой исследование двумерных солитонов не проводилось до сих пор, — не был разработан метод решения линеаризованных на ненулевом решении (2 + 1)-мерных уравнений. Для линеаризованных (1 + 1)-мерных уравнений в работах Дж. Каупа, Дж. Кинера, Д. Маклафлина, В. С. Герджикова и Е. К. Христова был разработан метод решения, который является не чем иным, как методом Фурье для уравнений с переменными коэффициентами специального вида, получающихся линеаризацией (1 + 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений [15,16,135,138]. Для линеаризованных (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений такие результаты были получены позже: для линеаризованного на конечнозонном решении уравнения КП — в работах И. М. Кричевера [58, 59], для линеаризованных на убывающих решениях уравнений ДС — в работах автора [50, 51]. Применение этих результатов позволило исследовать задачи о возмущении точных решений уравнений КП [58] и ДС [124, 141].

Результаты. В настоящей работе приведены следующие результаты: • Формальное асимптотическое решение задачи о возмущении алгебраического солитона уравнения Деви—Стюартсона-2. Оказалось, что солитонная структура решения уравнения ДС-2 неустойчива по отношению к малому гладкому финитному возмущению начального условия. Показано, что возмущение приводит к бессолитонным данным рассеяния. Удалось построить главный член формального асимптотического решения, пригодный на временах порядка обратной величины параметра возмущения. • Исследована асимптотика решения убывающего решения уравнений Деви—Стюартсона-2 на больших временах. Эта асимптотика и известные явные формулы, связывающие решения уравнений ДС-2 и Ишимори-1, позволили написать также и асимптотику при больших временах решения уравнений Ишимори-1. • Построена и обоснована асимптотика на больших временах убывающего решения уравнения КП-2. На этом пути исследована асимптотика решения эллиптической системы уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами, связанная с обратной задачей для уравнения КП-2. • Построена асимптотика на больших временах убывающего решения уравнения ДС-1. Для этого исследована асимптотика решения нелокальной задачи Римана с быстро осциллирующими коэффициентами. • Построена теория возмущений гиперболической двумерной системы Дирака — вспомогательной линейной системы, связанной с уравнениями ДС-1. На базе решений двумерной системы Дирака построено обратимое преобразование для достаточно гладких интегрируемых функций. Это позволило разработать метод Фурье для решения линеаризованной системы уравнений ДС-1. • Построено формальное асимптотическое решение возмущенной системы уравнений ДС-1 с солитоном в главном члене, пригодное на временах порядка обратной величины параметра возмущения. Самостоятельную теоретическую ценность представляет ряд результатов, полученных в процессе решения поставленных в работе задач. С точки зрения основной темы работы, они являются вспомогательными, так как связаны с линейными уравнениями. Однако, именно эта связь позволяет их рассматривать в более широком смысле. К таковым относятся:

Введение

11

• Теоремы о представлении функции в виде интегралов по произведениям решений сопряженных двумерных систем Дирака как эллиптического, так и гиперболического типа. В частности, такие представления дают возможность решить линеаризованные уравнения Деви— Стюартсона методом Фурье. Кроме того, полученные интегральные представления распространяют известные результаты о возмущении данных рассеяния при возмущении потенциала для одномерного уравнения Шр¨едингера, на двумерные системы Дирака. • Формальная асимптотика по двум параметрам собственного значения интегрального оператора, связанного с двумерной эллиптической системой Дирака, неаналитически зависящая от одного из параметров. • Исследование решения краевой двумерной эллиптической системы Дирака с быстро осциллирующими коэффициентами. В частности, построены и обоснованы равномерные асимптотики по четырем параметрам. • Асимптотики многомерных интегралов типа Коши с быстро осциллирующей экспонентой. Содержание и структура работы. Работа состоит из введения, восьми параграфов и списка литературы. В первом параграфе приведен известный формализм метода обратной задачи рассеяния для уравнений ДС-2, Ишимори-1 и КП-2. Здесь будем следовать изложению работ [97, 102, 144]. Для ¯ перечисленных уравнений этот формализм связан с так называемой D-задачей. Для наших целей оказалось удобным переписать эту задачу в виде краевой задачи для эллиптической двумерной системы уравнений Дирака. Во втором параграфе развита теория возмущений для системы уравнений ДС-2. В первом пункте этого параграфа доказана теорема существования решений краевой задачи для линейной вспомогательной эллиптической двумерной системы уравнений Дирака. Исследована асимптотика решений этой системы по дополнительному параметру, входящему в решение через краевое условие. Центральное место здесь занимает теорема об обратимом преобразовании, основанном на наборе функций, связанных с решениями системы Дирака. Оказывается, что эти функции одновременно являются и решениями линеаризованной системы уравнений ДС-2. Это позволяет решать линеаризованную систему уравнений методом Фурье. Второй и третий пункты второго параграфа посвящены построению формального асимптотического решения системы уравнений ДС-2 с солитонным начальным условием, возмущенным малой гладкой финитной функцией. Во втором пункте второго параграфа показано, что солитонная структура обратной задачи соответствует нулевому собственному значению некоторого компактного интегрального оператора при значении дополнительного параметра k = k0 . С помощью формальных асимптотических построений доказано, что возмущенный интегральный оператор не имеет нулевого собственного значения в окрестности точки k = k0 . Это говорит о структурной неустойчивости солитона системы ДС-2. Следующий, третий пункт второго параграфа посвящен построению асимптотического решения системы ДС-2 с начальным условием, близким к солитонному. Показано, что несмотря на потерю солитонной структуры данными рассеяния, решение системы ДС-2 сохраняет солитонную форму в главном члене, вплоть до времен порядка обратной величины параметра возмущения. Третий параграф посвящен построению асимптотик убывающих решений уравнений ДС-2, Ишимори-1 и КП-2 при больших значениях времени. Построение этих асимптотик связано с построением решений эллиптической системы уравнений Дирака с быстро осциллирующими коэффициентами. Несмотря на сходство задач для системы Дирака, построение асимптотики решения уравнения КП-2 существенно сложнее, чем соответствующие асимптотики для уравнений ДС-2 и Ишимори-1. Это связано с различием фаз быстро осциллирующих экспонент в коэффициентах системы Дирака. Для уравнений ДС-2 и Ишимори-1 фаза имеет только одну стационарную точку, в то время как для уравнения КП-2 фазовая функция зависит от четырех параметров и в зависимости от их значений может иметь либо две простые стационарные точки, либо одну вырожденную. Построение асимптотики в окрестности вырожденной стационарной точки приводит к существенным усложнениям. Полученные в этой главе асимптотики решений нелинейных уравнений имеют огибающую порядка O(t−1 ) и осциллируют. Определена зависимость огибающей от данных рассеяния и фаза осциллирующей экспоненты. В четвертом параграфе с помощью теории возмущений исследованы возмущения солитонных решений (1 + 1)-мерных уравнений Клейна — Гордона — синус-Гордон и уравнение φ4 . В обоих

12

Введение

случаях асимптотическое решение состоит из уединенной волны и интеграла типа Фурье, определяющего решение вне волны. Выведены уравнения модуляции для параметров уединенной волны. Приведен вывод уравнений модуляции интегральной составляющей в асимптотике. В пятом параграфе приведен известный [122] формализм метода обратной задачи рассеяния, связанный с уравнениями ДС-1. Этот формализм использует задачу Гурса для двумерной гиперболической системы Дирака в прямой задаче рассеяния и так называемую нелокальную задачу Римана в обратной задаче рассеяния. В шестом параграфе построена асимптотика при большом значении времени убывающего решения системы уравнений ДС-1. На этом пути получена асимптотика решения нелокальной задачи Римана с быстро осциллирующим коэффициентом. В седьмом параграфе изучалась теория возмущений для системы уравнений ДС-1. С помощью набора произведений решений гиперболической двумерной системы Дирака построено обратимое преобразование для достаточно гладких интегрируемых функций. Это позволило построить формальное асимптотическое решение системы ДС-1 с солитоном в главном члене асимптотики. Решение пригодно вплоть до времен порядка обратной величины параметра возмущения. Восьмой параграф содержит доказательства теорем об асимптотике многомерных интегралов. В первом пункте этого параграфа построена асимптотика интегралов со слабой особенностью. Во втором — интегралов типа Коши с быстро осциллирующей экспонентой в подынтегральной функции. Благодарности. Выражаю признательность Л. А. Калякину за обсуждения постановок задач и результатов, Р. Р. Гадыльшину, В. Ю. Новокшенову и Б. И. Сулейманову за ценные советы и комментарии, а также П. Г. Гриневичу, Я. Т. Султанаеву и Е. Я. Хруслову за интерес и поддержку.

ГЛАВА 1 ¯ МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И D-ПРОБЛЕМА Здесь приведены предварительные сведения — алгоритмы решения уравнений ДС-2, КП-2 и Ишимори-1 методом обратной задачи рассеяния. Эти уравнения объединены тем, что в МОЗР решение обратной задачи для них связано c решением эллиптической системы уравнений, обычно ¯ называемой D-проблемой. В этом параграфе не уделяется внимания вопросам существования решений с необходимыми свойствами. Формулы этого параграфа достаточно хорошо известны. Они будут использованы в дальнейшем при исследовании асимптотических свойств решений уравнений ДС-2, КП-2 и Ишимори-1. 0.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-2. Систему уравнений ДС-2 мы будем рассматривать в виде: i∂t q + 2(∂z2 + ∂z¯2 )q + (g + g)q = 0, (0.6) ∂z¯g = −κ∂z |q|2 . Черта означает комплексное сопряжение. Уравнения ДС-2 в таком виде были рассмотрены в работе [102]. Эту форму уравнений можно получить из стандартной (0.2) при α2 = −1. Для перехода к уравнениям (0.6) надо сделать замены z = x+iy, ∂z = 21 (∂x −i∂y ), функцию A(x, y, t) заменить на q(z, t), функция g связана с функциями p и A формулой ∂x g = 12 (∂y p + i∂x p) + κ∂x |A|2 . Система уравнений (0.6) является условием существования совместного решения систем уравнений 1 0 q(z, t) ∂z¯ 0 φ= φ (0.7) 0 ∂z 0 2 κq(z, t) и 2i∂z2 + ig iφ2 ∂z q − iq∂z¯ ∂t φ = φ. (0.8) iκ∂z q¯ + iκ¯ q ∂z −2i∂z¯2 − ig Ниже кратко изложена часть результатов работ [102, 119].

Введение

13

0.1.1. Прямая задача рассеяния для уравнения ДС-2 и эволюция элементов T -матрицы. Прямой задачей рассеяния обычно называется задача о построении матричного решения системы уравнений (0.7), удовлетворяющего краевому условию E(−kz)φ(k, z)||z|→∞ = I,

(0.9)

и вычисление связанных с этим решением так называемых данных рассеяния. В (0.9) приняты обозначения: exp(kz) 0 1 0 E(zk) = , I= . 0 1 0 exp(kz) Иногда удобно вместо краевой задачи (0.7), (0.9) рассматривать эквивалентную ей систему интегральных уравнений [102]: (I − G[q, k])φ = E(kz), (0.10) где G[q, k] — интегральный оператор:  Z Z 0  1 ¯  G[q, k]φ = dξ ∧ dξ  κ¯ q (ξ) exp(k(z − ξ)) 4iπ C z−ξ

 q(ξ) exp(k(z − ξ))  z−ξ  φ(ξ, k).  0

Можно заметить, что для матрицы φ справедлива следующая формула [102]: 0 1 −1 φ = σ φσ, σ = . κ 0

(0.11)

(0.12)

Существование и аналитические свойства решения краевой задачи (0.7), (0.9) определяются потенциальной функцией q(z). Для простоты предположим, что краевая задача разрешима при любых k ∈ C. С решением краевой задачи и функцией q(z) в методе обратной задачи связывается T -матрица [102]: Z Z −i a(k) b(k) q(z)φ21 exp(−kz) q(z)φ22 exp(−kz) = T (k) = dz ∧ d¯ z . (0.13) q (z)φ12 exp(−kz) κ¯ q (z)φ11 exp(−kz) κ¯ κb(k) a(k) 4π C Функцию b(k) из этой матрицы обычно называют данными рассеяния. Построением T -матрицы заканчивается этап решения прямой задачи рассеяния. Следующий шаг — выяснение зависимости элементов этой матрицы от времени при условии, что зависимость функции q от времени определяется уравнениями Деви—Стюартсона. В этом случае матрица φ удовлетворяет системе уравнений (0.8). Вычисление производной по времени после некоторых преобразований интегралов приводит к формулам [102] ∂t b = 2i(k¯2 + k 2 )b, ∂t a = 0. (0.14) Замечание 0.2. При вычислении эволюции элементов матрицы рассеяния в [102] предполагается, что все интегралы в промежуточных выражениях сходятся равномерно по времени. Это дополнительное предположение о свойствах решений уравнений ДС-2 выполняется для некоторых классов решений. В терминах функций переменной z ∈ C эти классы в общем виде до сих пор не описаны. 0.1.2. Обратная задача рассеяния. Замечательное наблюдение, сделанное в [119], состоит в том, что, наряду с эллиптической системой уравнений по z и z¯, матрица, составленная из функций φij , удовлетворяет еще краевой задаче ∂k¯ 0 0 κ¯b(k, t) φT = φT , E(−kz)φT ||k|→∞ = I. (0.15) 0 ∂k b(k, t) 0 Здесь φT — транспонированная матрица φ. ¯ Краевая задача (0.15) обычно называется D-задачей. Она позволяет определить зависимость матрицы-функции φ через данные рассеяния. Бывает удобно рассматривать вместо (0.15) систему интегральных уравнений (I − 2G[κ¯b, k])φT = E(kz).

(0.16)

14

Введение

Задача построения решения (0.15) и вычисление функций q(z, t) и g(z, t) по формулам Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dp b(p) exp(2it(p2 + p¯2 ) − pz)φ11 (p, z, t), π C Z Z dv ∧ d¯ v |q(v, t)|2 g = −v.p. 2πi(v − z)2 C

(0.17) (0.18)

называется обратной задачей рассеяния для уравнения ДС-2. Замечание 0.3. Из-за того, что для данных рассеяния эволюционная задача линейна, классы решений уравнений ДС-2 удобно определять в терминах данных рассеяния — функции b(k). Поэтому задача об исследовании свойств решений нелинейных интегрируемых уравнений часто формулируется в терминах данных рассеяния. Вопрос о сопоставлении классов начальных данных и классов данных рассеяния относится не столько к эволюционным нелинейным уравнениям, сколько к спектральной теории для краевой задачи (0.7). 0.1.3. Солитонные решения. Солитоны в решении уравнений ДС-2 возникают тогда, когда решение прямой задачи рассеяния (0.7) имеет особенности первого порядка в некоторых точках k = kj , j = 1, . . . , n. Здесь для простоты рассмотрим случай, когда есть только одна такая особая точка и, соответственно, один солитон. Случай n-солитонного решения описан в [102]. Обозначим особую точку решения k0 . Разложим в окрестности этой особой точки функцию φ в ряд по степеням k − k0 . В соответствии с нашим предположением, это разложение начинается с членов порядка (k − k0 )−1 . Если подставить разложение в интегральное уравнение (0.10) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях (k − k0 ), получим, что коэффициент при главном члене разложения решения по k−k0 в окрестности точки kj является решением однородной системы интегральных уравнений: A − G[q, k0 ]A = 0. (0.19) Обозначим через A(1) столбец-решение этого уравнения, для определенности, нормированный в соответствии с условием ∂k 0 exp(zk0 ) G[q, k] A(1) (z) = . 0 ∂k¯ 0 k=k 0

Можно заметить, что столбец, полученный по формуле A(2) = σA(1) , также является решением системы уравнений (0.19). Ниже удобно перейти от матрицы φ к рассмотрению только первого столбца этой матрицы φ(1) . Зная первый столбец, второй столбец легко восстановить по формуле φ(2) = σφ(1) . В самом простом случае, в окрестности k0 столбец φ(1) может быть представлен в следующем виде [102, 119]: A(1) (z) φ(1) (z, k)|k→k0 = + O(1). k − k0 Гладкая часть первого столбца φ(1) в окрестности точки k0 может быть представлена в виде [102]: ∂k [(k − k0 )φ(1) (k, z)]|k=k0 = µA(1) (z) + νσA(1) (z). Набор параметров k0 , µ, ν называется дискретной частью данных рассеяния, функция b(k) — непрерывной частью данных рассеяния. Параметр k0 не меняется со временем, зависимость от времени остальных параметров дискретной части данных рассеяния имеет следующий вид [102]: µ(t) = µ + 4ik0 t,

ν(t) = ν exp(−2it(k02 − k¯02 )).

¯ Если данные рассеяния содержат дискретную (солитонную) часть, то прежде чем решать Dзадачу, матрицу φ надо регуляризовать — вычесть из нее сингулярные слагаемые. В результате мы

Введение

15

¯ получим D-задачу для регулярной функции во всей комплексной плоскости. Для первого столбца φ(1) эта задача сводится к интегральному уравнению [102]: Z Z N X (A(1) )j 1 dp ∧ d¯ p¯ exp((k − kj )z) = E(1) (kz) + b(p) exp((k − p)z)σφ(1) (p, z). (0.20) φ(1) + k − kj 2iπ C k−p j=1

Однако, этого уравнения недостаточно. Для однозначного построения решения необходимо воспользоваться соотношением для гладкой части φ(1) в окрестности k0 [102]: Z Z dζ ∧ dζ¯¯ 1 v.p. b(ζ) exp(−it(ζ 2 + ζ¯2 ) + z(k0 − ζ))× E(1) (k0 z) + 2iπ k − ζ j C ×σφ(1) (ζ, z, t) = (z + µ)A(1) (z) + νσA(1) (z).

(0.21)

Здесь важно заметить, что интеграл в смысле главного значения существует, так как вблизи k − k0 ˜ особенности kj функция ¯b(k) может быть представлена в виде ¯b(k) = b(k), где ˜b(k) регулярна k − k0 в окрестности точки kj [102]. Формула для функции q(z, t) в этом случае имеет вид Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dp b(p) exp(2it(p2 + p¯2 ) − pz)φ11 (p, z, t) − (A(1) )2 (z) exp(−k0 z). (0.22) π C В самом простом случае, непрерывная часть данных рассеяния — функция b(k) — тождественно равна нулю на всей комплексной плоскости. Тогда система уравнений (0.21) легко решается. Матрица, составленная из решений однородного интегрального уравнения (0.19), имеет вид   (z − µ) exp(zk0 ) ν¯ exp(zk0 )  |z + µ|2 − κ|ν|2 |z + µ|2 − κ|ν|2  ; A(z) = [A(1) , A(2) ](z) =  (0.23)  ν exp(zk0 ) (z − µ) exp(zk0 )  |z + µ|2 − κ|ν|2 |z + µ|2 − κ|ν|2   exp((k − k0 )z) 0   k − k0  A(z). φ = E(kz) −  (0.24)  exp((k − k0 )z)  0 k − k0 Односолитонное решение уравнений Деви—Стюартсона [102] −4(z + 4itk0 + µ)2 2¯ ν exp(−it(k02 + k¯02 ) + k0 z − k0 z) . (0.25) q(z, t) = , g(z, t) = 2 2 (|z + 4itk0 + µ|2 − κ|ν|2 )2 |z + 4ik0 t + µ| − κ|ν| 0.2. Решение уравнений Ишимори-1. Для уравнений Ишимори-1 (в (0.3) α2 = 1) метод обратной задачи рассеяния изложен, например, в [144]. Здесь, вместо того, чтобы приводить его полностью, воспользуемся формулой, связывающей решения уравнений Ишимори и решения вспомогательной линейной задачи (0.7) для уравнений ДС-2. ~ σ , где ~σ = (σ1 , σ2 , σ3 ), а σ1,2,3 — матрицы Паули: Следуя [144], обозначим S˜ = S~ 0 1 0 −i 1 0 σ1 = , σ2 = , σ3 = . 1 0 i 0 0 −1 Тогда S˜ = −φ−1 σ3 φ, где φ — решение краевой задачи (0.7) с потенциалом q — решением уравнений ДС-2.

(0.26)

0.3. Решение уравнения Кадомцева—Петвиашвили-2. Свойства решений и процедура интегрирования уравнения КП (0.1) зависят от знака α2 . В случае α2 = 1 это уравнение называется КП-2. Формализм МОЗР для уравнения КП-2 был предложен в [97]. Решение задачи Коши для (0.1) с помощью метода обратной задачи рассеяния состоит из двух этапов. Первый, решение прямой задачи рассеяния, состоит в построении решения краевой задачи −∂y ϕ + ∂x2 ϕ + 2ik∂x ϕ + uϕ = 0,

ϕ||k|→∞ = 1,

(0.27)

16

Введение

и вычислении данных рассеяния по формуле Z Z sgn(− 0. Представим G в виде G = (1 − pM )G + pM GpM + pM G(1 − pM )

26

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

и оценим вначале оператор (1 − pM )G: Z i q(ζ) exp(kζ − kζ)φ2 (ζ) dζ ∧ dζ k(1 − pM )Gφk = sup (1 + |z|) + 4π z−ζ |z|≥M

C

Z Z i C q(ζ) exp(kζ − kζ) 1 kφk sup (1 + |z|) dx0 dy 0 . dζ ∧ dζ φ1 (ζ) ≤ + 2π |z − ζ|(1 + |ζ|)(1 + |ζ|2 ) 4π z−ζ |z|≥M R2

C

Здесь ζ = x0 + iy 0 , φj — компоненты φ, функция q(ζ) оценена как C(1 + |ζ|2 )−1 , а функции φj (ζ) оценены через норму: kφ(ζ, k)k(1 + |ζ|)−1 . Заменив в интеграле ζ на ζ/z, получаем, что k(1 − pM )Gk → 0 при M → ∞. Аналогично получается оценка для оператора pM G(1 − pM ): Z dx0 dy 0 kpM G(1 − pM )φk ≤ Ckφk sup ≤ CM kφk, (1.27) |z − ζ|(1 + |ζ|)(1 + |ζ|2 ) |z|≤2M |ζ|≥M

где CM → 0 при M → ∞. Оставшийся интегральный оператор pM GpM действует из C в пространство финитных функций. Ядро K этого оператора равно нулю вне множества D = {|ζ| ≤ 2M, |z| ≤ 2M }. Внутри этого множества его можно с любой степенью точности аппроксимировать вырожденными ядрами [11]: K = P + Q, где P — вырожденное непрерывное ядро, а Q — полярное ядро со сколь угодно малой нормой. Тогда оператор G можно представить в виде G = K + Q, где K — оператор с вырожденным ядром, а Q — оператор со сколь угодно малой нормой. Следовательно, G является компактным оператором в C. 1.2.2. Задача о нулевом собственном значении. Ответ на вопрос о разрешимости уравнения (0.10) дает альтернатива Фредгольма для союзного уравнения:   exp(k0 (z − ξ)) Z 0   1 0 q z−ξ  χ = 0. χ+ dξ ∧ dξ¯    exp(k0 (z − ξ)) q 0 4πi −¯ C 0 z−ξ Это союзное уравнение заменой ψ=

0 q −¯ q 0

−1 χ

приводится к уравнению, сопряженному относительно полуторалинейной формы: (I − G∗ [q, k0 ])ψ = 0. Из альтернативы Фредгольма следует, что уравнение (0.10) неразрешимо при некотором k = k0 , если выполнены условия: 1) существует нетривиальное однородное решение краевой задачи (I − G∗ [q, k0 ])B = 0,

E(zk0 )B||z|→∞ = 0,

(1.28)

где G∗ [q, k] — формально сопряженный к G[q, k] оператор относительно полуторалинейной формы (1.2); 2) существует пара чисел (l, m) такая, что (E(l) (kz), B(m) )q 6= 0, где l = 1, 2, m = 1, 2, . . . , N , N — число линейно независимых решений B(m) интегрального уравнения (1.28). Оба эти условия выполнены для солитонного потенциала q0 (z) =

2¯ ν exp(k0 z − k0 z) . |z + µ0 |2 + |ν0 |2



ДС-2

27

Однородное интегральное уравнение (1.28) имеет два линейно независимых решения B(1) (z) и B(2) (z), таких что (E(1) (k0 z), B(1) )q0 = 0,

(E(1) (k0 z), B(2) )q0 = 4iπ,

(E(2) (k0 z), B(1) )q0 = 4iπ,

(E(2) (k0 z), B(2) )q0 = 0.

Эти решения имеют следующий вид: 1 B(1) (z) = |z + µ|2 + |ν|2

1 B(2) (z) = |z + µ|2 + |ν|2

−(z + µ) exp(−zk0 ) −¯ ν exp(−zk0 )

− κ1 ν exp(−zk0 ) −(z + µ) exp(−zk0 )

; .

В соответствии с предположением 1 будем считать, что алгебраическая кратность нулевого собственного значения при k = k0 равна двум. Легко видеть, что краевая задача (1.28) может быть сведена к задаче о построении нетривиального, убывающего на бесконечности решения уравнения (I − G ∗ [q, k0 ])χ = 0.

(1.29)

Два линейно независимых решения этого уравнения легко получить из столбцов B(1) и B(2) : B(j) = E(k0 z)B(j) ,

j = 1, 2.

Удобно новому оператору G ∗ [q, k] поставить в соответствие полуторалинейную форму с весовой функцией, домноженной на осциллирующую экспоненту: (·, ·)q˜,

где q˜(z, k) = exp(−kz + kz)q(z).

Необходимым условием существования солитона уравнения ДС-2 является существование нулевого собственного значения λ(k) = 0 уравнения (I − G ∗ [q, k])B = λ(k)B.

(1.30)

1.2.3. Равномерная асимптотика собственного значения. В этом пункте показано, что для потенциала q(z) = q0 (z) + q1 (z), где q1 (z) — гладкая финитная функция, формальная асимптотика собственного значения оператора (1.26) при ε → 0 по mod(o(ε)) в окрестности k = k0 имеет вид 1 k − k0 ˜ , j = 1, 2, λj (ε, k) = ελj ε 1 1 |4iπ κ ¯ + Q2 |2 + |Q1 |2 λ1 λ2 = . |ν|2 Здесь Qj = (A(1) , B(j) )q1 , k = k0 . 1 1

Если Q1 6= 0, то λ1 λ2 6= 0 для ε > 0 и k, достаточно близкого k0 . Заметим, что из-за произвола в выборе функции q1 ее можно подобрать так, чтобы Q1 было отличным от нуля. Таким образом, формальные асимптотические построения показывают, что собственные значения возмущенной задачи не равны нулю (в случае общего положения). Следовательно, решение (0.7) при возмущенном потенциале не имеет особенностей при k, близких к k0 . Обоснование построенных здесь асимптотик собственных значений приводится в следующем разделе. Перейдем к формальным построениям. Рассмотрим возмущенный потенциал: q(z) = q0 (z) + εq1 (z),

(1.31)

где q1 — гладкая финитная функция и 0 < ε 1. Главные члены асимптотик собственного значения и собственной функции уравнения (1.30) в возмущенном случае строятся в следующем виде: 1

˜ k) = ελ(κ), λ(ε, 0

(1.32)

1

˜ k, ε) = B(z, κ) + εB(z, κ), B(z,

(1.33)

28



ДС-2

где κ = (k − k0 )ε−1 . Подставляя (1.31)–(1.33) в (1.30) и учитывая формальное асимптотическое по ε разложение оператора G ∗ [q0 + εq1 , k] в окрестности точки k0 , получаем следующие уравнения: 0

(I − G ∗ [q0 , k0 ])B = 0, 1

(1.34)

1

(I − G ∗ [q0 , k0 ])B = F ,

(1.35)

где 1

0

0

0

1

0

F = G ∗ [q1 , k0 ]B + κ∂k G ∗ [q0 , k0 ]B + κ∂ ¯ k¯ G ∗ [q0 , k0 ]B + λ(κ)B.

(1.36)

Очевидно, функция 0

B(z, κ) = α1 (κ)B(1) (z) + α2 (κ)B(2) (z)

(1.37)

удовлетворяет уравнению (1.34) при любых α1 и α2 . Для сопряженного к (I + G ∗ [q0 , k0 ]) относительно полуторалинейной формы (·, ·)q˜0 оператора (I + G[q0 , k0 ]) интегральный оператор имеет вид ˜ k], G[h, k] = E(−kz)G[h,

˜ k) = h(ζ) exp{2kζ − kζ}. h(ζ,

Первый и второй столбцы A(1) и A(2) матрицы E(−k0 z)A(z) — решения однородного уравнения: (I + G[q0 , k0 ])A = 0. В силу альтернативы Фредгольма условие разрешимости для уравнения (1.35) принимает следующий вид: 1

(A(j) , F )q˜0 = 0,

(1.38)

j = 1, 2.

Столбцы B(1) и A(1) нормированы так, что (A(1) , I(1) )q˜0 = 0,

(A(1) , I(2) )q˜0 = 4iπ,

где I(1) , I(2) — столбцы единичной матрицы. Кроме того, при k = k0 : (A(1) , B(1) )q˜0 = −2ν,

(A(2) , B(2) )q˜0 = −2¯ ν,

(A(1) , B(2) )q˜0 = (A(2) , B(1) )q˜0 = 0. Подставив (1.36) в (1.38) и учитывая нормировку A(1) и B(1) , получим систему линейных уравнений относительно α1 и α2 : 1

4iπν λα1 + α1 Q1 + α2 Q2 + 4iπα2 κ ¯ = 0,

(1.39)

1

¯ 2 − α2 Q ¯ 1 − 4iπα1 κ = 0, −4iπ¯ ν λα2 + α1 Q где Qj = (A(1) , B(j) )q˜1 , k = k0 . 1

Условие разрешимости (1.39) приводит к квадратному уравнению для λ: 2

12

1

¯ + Q2 |2 + |Q1 |2 = 0. |ν| λ + 2 nk(I − G ∗ [q0 , k0 ])un k. Не ограничивая общности, будем считать, что kun k = 1. Тогда из последнего неравенства следует, что k(I − G ∗ [q0 , k0 ])un k → 0. В силу компактности оператора G из этой сходимости вытекает существование подпоследовательности, для которой имеет место сходимость un → u∗ 6= 0, причем (I − G ∗ [q0 , k0 ])u∗ = 0. С другой стороны, из этой сходимости вытекает нормировка (A(j) , u∗ )q˜0 = 0, что, легко видеть, противоречит предположению о двукратности нулевого собственного значения оператора (I − G ∗ [q0 , k0 ]). Из этого противоречия следует оценка (1.46), а следовательно, и оценка (1.45). ˜ k). Очевидно, собственные значения µ(ε, k) оператора Обозначим T (ε, k) = I −G ∗ [q0 +εq1 , k]−λ(ε, T (ε, k) и собственные значения λ(ε, k) оператора I − G ∗ [q, k] связаны соотношением ˜ k) + µ(ε, k). λ(ε, k) = λ(ε,

(1.47)

Из (1.32)–(1.37), (1.42), (1.43) и (1.45) следует, что T (ε, k)B˜ = o(ε + |k − k0 |),

˜ ≥ C > 0. kBk

(1.48)

Пусть γ — окружность на комплексной плоскости достаточно малого радиуса с центром в нуле, такая что в ограничиваемом ею круге лежит только нулевое собственное значение оператора T (0, k0 ). Обозначим Z 1 P (ε, k) = − (T (ε, k) − ζ)−1 dζ, 2πi (1.49) γ U (ε, k) = (1 − (P (ε, k) − P (0, k0 ))2 )−1/2 (1 − P (ε, k) − P (0, k0 )).

30



ДС-2

Известно [133], что проектор P (ε, k) и трансформирующая функция U (ε, k) позволяют свести задачу на собственные значения для оператора T (ε, k) к задаче на собственные значения для двумерного оператора Tˆ(ε, k) = P (0, k0 )U −1 (ε, k)T (ε, k)U (ε, k)P (0, k0 ), определенного в P (0, k0 )C, причем оба собственных значения Tˆ и оба собственных значения T ˆ k) = (при ε → 0 и k → k0 ) совпадают. Из определения Tˆ и (1.48) следует, что для Tˆ и B(ε, −1 ˜ U (ε, k)B(ε, k) справедливы следующие соотношения: Tˆ(ε, k) = εTˆ1 (ε, k) + (k − k0 )Tˆ2 (ε, k), kTˆj k ≤ C, ˆ ≥ C > 0. Tˆ(ε, k)Bˆ = o(ε + |k − k0 |), kBk

(1.50)

В свою очередь, из (1.50) вытекает, что для (2 × 2)-матрицы B(ε, k) = (ε + |k − k0 |)−1 Tˆ(ε, k) имеют место следующие соотношения: ˆ ≥ C > 0, B Bˆ = o(1), kBk ≤ C, kBk (1.51) а ее собственные значения ν(ε, k) связаны с собственными значениями µ(ε, k) матрицы Tˆ(ε, k) равенством µ(ε, k) = (ε + |k − k0 |)ν(ε, k). (1.52) Из (1.51) следует, что существует стремящееся к нулю ν(ε, k) и, следовательно, в силу (1.47) и (1.52) существует собственное значение ˜ k) + o(ε + |k − k0 |). λ(ε, k) = λ(ε, (1.53) Здесь мы заметим, что на самом деле построены две асимптотики, соответствующие индексу i = 1, 2. Поэтому ниже будем вновь добавлять этот индекс в полученных формулах. Обозначим через λi , i = 1, 2 собственные значения оператора (I − G[q 0 , k]), стремящиеся к нулю ˜ 1 6= λ ˜ 2 , то λ1 6= λ2 , и из (1.32), (1.41) и (1.53) следует, что при k → k0 и ε → 0. Так как λ λ1 λ2 =

|4iπ(k − k0 ) + εQ2 |2 + ε2 |Q1 |2 + o(ε2 + ε|k − k0 | + |k − k0 |2 ). |ν|2

(1.54)

Из (1.54) следует, что, если Q1 6= 0, то λ1 λ2 6= 0 для ε > 0 и любого k, близкого к k0 . Таким образом, структура данных рассеяния (в терминах метода обратной задачи рассеяния [102]) неустойчива по отношению к малым возмущениям начальных данных. 1.3. Асимптотика солитоноподобного пакета. В этом разделе показано, что, несмотря на бессолитонную структуру данных рассеяния возмущенной задачи для уравнений ДС-2, ее решение сохраняет солитоноподобную форму главного члена асимптотики вплоть до времен порядка ε−1 . Здесь вычислена модуляция параметров этого солитоноподобного решения. Формулы этого раздела носят формально-асимптотический характер и существенно опираются на предположение о двукратности и полупростоте нулевого собственного значения оператора (I + G∗ [q0 , k]) в точке k0 . 1.3.1. Постановка задачи и формулировка результатов. Рассмотрим начально-краевую задачу для системы уравнений ДС-2 (0.6) при κ = −1 с краевым условием для функции g → 0 при |z| → ∞ и с возмущенным начальным условием: q ε (z, 0) = qε (z) = q0 (z) + εq1 (z),

(1.55)

где q1 — гладкая функция с конечным носителем, а ε — малый положительный параметр. Ниже с помощью теории возмущений показано, что решение уравнений (0.6) вплоть до t = O(ε−1 ) имеет формальную асимптотику при ε → 0: 2

2ν0 exp(k0 z − k0 z + 2i(k32 + k 0 )t) , q (z, t) ∼ |z + 4itk0 + µ0 + εtµ1 |2 + |ν0 |2 ε

(1.56)

2

g ε (z, t) ∼

−4(z + 4itk0 + +µ0 + εtµ1 ) , (|z + 4itk0 + µ0 + εtµ1 |2 + |ν0 |2 )2

(1.57)



ДС-2

31

где 2i µ1 = − π

Z dz ∧ d¯ z

z + µ0 =(q1 ν0 exp{zk0 − zk0 }). (|z + µ0 |2 + |ν0 |2 )2

(1.58)

1.3.2. Асимптотика данных рассеяния. Как показано в разделе 1.2, при возмущении солитонного потенциала пропадает нулевое собственное значение вспомогательной линейной задачи, а следовательно, и дискретная часть данных рассеяния. Вместо дискретной возникает непрерывная часть данных рассеяния. Здесь построена формальная асимптотика непрерывной части данных рассеяния, соответствующих начально-краевой задаче для уравнений ДС-2 с начальным условием (1.55). Эта асимптотика имеет составной характер: bε (k) ∼ εb1 (k) при |k − k0 | > ε1/2 , k − k0 k − k0 −1 bε (k) ∼ ε b−1 + b0 при |k − k0 | < 2ε1/2 , ε ε b−1 (κ) = −

|2

Q1 , + |Q2 + κ|2

(1.59) (1.60) (1.61)

|Q1 0 i 0 b1 (k) = − (φ(1) , ψ (1) )q1 . 4π

(1.62)

Здесь и далее Qj =

1 (A , B )q , 4πi (1) (j) 1

(1.63)

0

а через φ(1) обозначен первый столбец матрицы φ, соответствующей солитонному потенциалу 0

(0.24), вектор ψ (1) определен формулой: 0

exp{(−k + k0 )z} B(1) (z). (1.64) k − k0 Для построения асимптотики данных рассеяния необходима формальная асимптотика функции φ — решения задачи (0.7), (0.9) для возмущенного потенциала q(z, 0) = qε (z). Сформулируем результат этого построения. Формальная асимптотика решения задачи (0.7), (0.9) для возмущенного потенциала по mod(o(ε)) при |k − k0 | > ε1/2 имеет вид: ψ (1) (z, k) = E(1) (−kz) +

0

1

φ(z, ε) = φ(z) + εφ(z), 0

где φ(z) — решение задачи (0.7), (0.9) с солитонным потенциалом; по mod(o(1)) при |k−k0 | < 2ε1/2 : −1

0

φε (k, z) = E(kz)(ε−1 Φ (κ, z) + Φ(κ, z)), где −1

Φ (κ, z) = E(−k5 z)A(z)α(κ), α1 (κ) = −

(O2 + κ) , |Q1 + |Q2 + κ|4 |2

α2 (κ) = −

|Q1

|2

Q1 . + |Q2 + κ|2

Построим асимптотику решения φ = φε задачи рассеяния (0.7), (0.9) для возмущенного потенциала q(z, 0) = qε (z). Из асимптотики φε и формулы для непрерывной части данных рассеяния (0.13) будет следовать (1.59)–(1.61). Так как асимптотика qε имеет вид (1.55), естественно строить асимптотику φε в таком же виде: 0

1

φε (z) = φ(z) + εφ(z) + . . . .

(1.65)

Используя формулу Коши — Грина, запишем граничную задачу (0.7), (0.9) в форме интегрального уравнения (I − G[qε , k])φε = E(kz). (1.66)

32



ДС-2

Подставляя (1.65) и (1.55) в (1.66) и выписывая равенства при одинаковых степенях ε, получаем 0

1

уравнение для φ и φ: 0

(I − G[q0 , k])φ = E(kz), 1

(1.67)

0

(I − G[q0 , k])φ = G[q1 , k]φ.

(1.68)

Решение уравнения (1.67) имеет вид (0.24). Это решение для солитонного потенциала, полученное в [102]. Для исследования разрешимости уравнения (1.68) воспользуемся матричным решением однородного уравнения, определенного в (0.23). Из определений полуторалинейных форм получим ¯ k]v)q (A[q, k]w, v)h = (w, G[h,

(1.69)

и, в частности, ¯ k]v)h . (G[h, k]w, v)h = (w, G[h, Условия разрешимости уравнения (I − G[q0 , k0 ])W = F имеют вид (F, B(i) )q0 = 0,

(1.70)

i = 1, 2.

Решение уравнения (1.68) имеет особенность более чем первого порядка, если выполнено одно из неравенств: 0

( lim ((k − k0 )G[q1 , k]φ(1) ), B(i) )q0 6= 0, k→k0

i = 1, 2.

Эти условия эквивалентны неравенствам (A(1) , B(i) )q1 6= 0,

i = 1, 2,

или, по определению (1.63), Qi 6= 0. Постоянные Qi определяются возмущением q1 . Рассмотрим функцию q1 такую, что Q1 6= 0. В этом случае возмущение q1 будем называть невырожденным возмущением. Для невырожденного возмущения порядок особенности в поправочных членах асимптотики (1.65) нарастает. Это приводит к тому, что асимптотика, пригодная при |k − k0 | > Cεγ (для любого C > 0 и 0 ≤ γ < 1 и, в частности, для C = 1 и γ = 1/2), становится непригодной в малой окрестности k = k0 . Поэтому для k, близких к k0 , мы строим асимптотическое разложение в другой форме, используя метод согласования асимптотических разложений [34]. 0

При k → k0 матрица-функция φ может быть записана в виде −1

0

0

φ(z) = E(kz)(ε−1 V (κ, z) + V (κ, z) + . . . ),

(1.71)

где −1

1 = − exp{−k0 z}A(1) , κ 0 1 V (1) (κ, z) = + O(z −1 ), z → ∞. 0 V

−1

(1) (κ, z)

(1.72) (1.73)

0

Вторые столбцы матриц V и V восстанавливаются благодаря свойству симметрии V = σ −1 V . Далее, следуя методу согласования асимптотических разложений и принимая во внимание (1.71)–(1.73), при |k − k0 | < 2ε1/2 асимптотическое решение задачи (0.7), (0.9) будем искать в виде −1

0

φε (k, z) = E(kz)(ε−1 Φ (κ, z) + Φ(κ, z) + . . . ),

(1.74)



ДС-2

33

где −1

1 Φ (1) (κ, z) ∼ − exp{−k0 z}A(1) , κ → ∞, κ 0 1 Φ(1) (κ, z) = + O(z −1 ), z → ∞, κ → ∞. 0

(1.75) (1.76)

Обозначим ˆ k], G[h, k] = E(−kz)G[h,

ˆ k) = h(ζ) exp{kζ}. h(ζ,

(1.77)

Подставляя (1.74) в (1.66) и учитывая краевые условия (1.75) и (1.76), получаем следующие уравнения: −1

(I − G[q0 , k0 ]) Φ = 0, −1

0

(1.78) −1

−1

(I − G[q0 , k0 ])Φ = I + G[q1 , k0 ] Φ + κ∂k G[q0 , k0 ] Φ + κ∂k G[q0 , k0 ] Φ .

(1.79)

Принимая во внимание (1.77), легко показать, что функция −1

(1.80)

Φ (κ, z) = E(−k0 z)A(z)α(κ),

где A — матрица со столбцами A(j) , j = 1, 2, является решением однородного уравнения (1.78) для любого вектора α(κ). С другой стороны, из (1.70) и (1.77) следует, что условия разрешимости для уравнения (I − G[q0 , k0 ])W = F имеют вид (E(k0 z)F, B(i) )q0 = 0,

(1.81)

i = 1, 2.

Вектор α определяется из условия разрешимости (1.81) для (1.79). Заметим, что из определений G[h, k] и G[h, k] следует, что ˜ k0 ], где h(ζ, ˜ κ) = h(ζ)(ζκ − ζκ). κ∂k G[h, k0 ] + κ∂k G[h, k0 ] = G[h,

(1.82)

Подставляя правую часть (1.79) в (1.81) и используя (1.80), (1.82) и (1.77), (1.69), получаем для компонент α следующие равенства: α1 (κ) = −

(O2 + κ) , |Q1 + |Q2 + κ|4 |2

α2 (κ) = −

|Q1

|2

Q1 . + |Q2 + κ|2

(1.83)

В результате, функция Φ−1 , определенная в (1.80) и (1.83), удовлетворяет условиям согласования (1.75) и не имеет сингулярностей по κ. Таким образом, для невырожденного возмущения (Q1 6= 0) асимптотическое решение (0.7), (0.9) имеет вид (1.65) при |k − k2 | > ε1/2 и имеет вид (1.74), (1.80), (1.83) при |k − k0 | < 2ε1/2 . Далее, подставляя асимптотику (1.65), (1.74) и (1.55) в (1.15) и учитывая, что Z 0 i b0 (k) = − dz ∧ dz q0 (z)φ11 (z) exp{−kz} = 0, 4π получаем, что bε имеет структуру (1.59), (1.60), где Z 1 0 −i b1 (k) = dz ∧ dz(q0 (z)φ11 (z) + q1 (z)φ11 (z)) exp(−kz), 4π Z −1 i b−1 (κ) ∼ − dz ∧ dzq0 Φ 11 exp(kz − kz). 4π

(1.84) (1.85)

Подставляя (1.80) и (1.83) в (1.85), получаем равенство (1.61). Учитывая (1.68), легко показать, что 0

0

1

0

(φ(1) , ψ (1) )q1 = (φ(1) , E(1) (−kz))q0 + (φ(1) , E(1) (−kz))q1 .

(1.86)

Из (1.84), (1.86) следует (1.62). Таким образом, построена формальная асимптотика данных рассеяния.

34



ДС-2

1.3.3. Асимптотика решения обратной задачи. Здесь построена составная формальная асимптотика решения краевой задачи для функции φ, равномерная при 0 < t ≤ O(ε−1 ). Эта формальная асимптотика носит составной характер, который диктуется составным же видом асимптотики данных рассеяния bε (k). Области комплексного параметра k, в которых построены части составной асимптотики, определяются неравенствами |k − k0 | > ε1/2 и |k − k0 | < 2ε1/2 . В области пересечения асимптотики матриц-функции φ согласованы. При |k − k0 | > ε1/2 формальная асимптотика имеет вид 0

1

ϕε (z, t, k) = ϕ(z, t, k) + εϕ(z, t, k). При |k − k0 | ≤ 2ε1/2 : −1

0

ϕε = ε−1 χ + χ. Перейдем к построению асимптотики φ. Из результатов предыдущих разделов следует, что ¯ решение начально-краевой задачи для (0.6) сводится к исследованию возмущенной D-задачи при b(k) ≡ bε (k). Обозначим матрицу φT — решение задачи (0.15) — через ϕ = ϕε . При b(k) = bε (k) и |k − k0 | > 1/2 ε , асимптотическое решение задачи (0.15) будем строить в виде 0

1

ϕε (z, t, k) = ϕ(z, t, k) + εϕ(z, t, k) + . . . .

(1.87)

Для простоты в этом разделе часто вместо того, чтобы писать уравнения для матриц, мы будем использовать только уравнения для первых столбцов. Вторые столбцы определяются из свойства симметрии: j

j

ϕ(2) = σ ϕ(1) . 0

Подставив (1.87) и (1.59) в (0.15), получаем задачу для ϕ(1) : 0 0 ∂k 0 1 ϕ(1) = 0, ϕ(1) → , 0 ∂k 0

k → ∞.

(1.88)

Очевидно, что функция  β (1)  1+ k−k  0 0  ϕ(1) =  (1.89)   β (2) k − k2 (m) удовлетворяет (1.88) для любых β , не зависящих от k. При |k − k0 | < 2ε1/2 функция bε имеет вид (1.60). Поэтому естественно в (0.15) перейти к растянутой переменной κ = (k − k0 )ε−1 . В этой области асимптотику ϕε будем строить методом согласования асимптотических разложений. Следуя этому методу, перепишем асимптотики(1.87), (1.89) при k → k0 во внутренней переменной κ, в результате получим:  (1)  β 1 ε −1   (ϕ )(1) = ε + + .... κ 0 β (2) κ 

Последнее равенство приводит к тому, что при |k − k0 | < 2ε1/2 (или |κ| < 2ε−1/2 ) асимптотика ϕε имеет следующую структуру: −1

0

ϕε = ε−1 χ + χ + . . . , где коэффициенты удовлетворяют граничным условиям   β (1)   −1 κ  χ (1) =   β (2)  (1 + o(1)) при κ → ∞, κ 0 1 χ(1) → при κ → ∞. 0

(1.90)

(1.91)

(1.92)



ДС-2

35

Обозначим s0 = s(z, t, k0 ), l = 4ik0 t + z, T = ε2t. В этих переменных получаем, что s(z, t, k) = s0 − εi(lκ − lκ) + εT (κ 2 + κ ¯ 2 ).

(1.93) j

Подставляя (1.90) и (1.60) в (0.15) и принимая во внимание (1.93), получаем уравнения для χ: −1 ∂κ 0 0 −Ω0 −1 χ = χ, (1.94) 0 ∂κ Ω0 0 0 0 ∂κ 0 0 −Ω0 0 −(Ω1 + Z) −1 χ= χ+ χ, (1.95) 0 ∂κ Ω0 0 Ω1 + Z 0 где Ω0 (κ, s0 ) = −

Q1 exp{is0 } , |Q1 |2 + |Q2 + κ|2

Ω1 (κ, s0 ) = b0 (κ) exp{is0 },

Z(κ, l, s0 , T ) = Ω0 (κ, s0 )((κl − κl) + iT (κ 2 + κ ¯ 2 )). Замечание 1.3. При выводе этих уравнений отброшены члены вида [ε2 (O(T 2 ) + O((κl − κl) + iT (κ 2 + κ ¯ 2 ))2 )]. Поэтому эти уравнения можно рассматривать вплоть до T = 2εt < const и не слишком далеко от центра уединенной волны: |l| ε−1 . Уравнение (1.94) имеет два линейно независимых решения, убывающих при κ → ∞: 1 Q2 + κ X(1) = , X(2) = σX(1) . Q1 exp{is0 } |κ + Q2 |2 + |Q1 |2 Следовательно, решение (1.94), (1.91) имеет вид −1

χ = X β,

(1.96)

где X — матрица со столбцами X(j) и β — вектор с компонентами βm . Для вычисления β рассмотрим задачу (1.95), (1.92) для χ0 . Используя формулу Коши — Грина, перепишем граничную задачу (1.95), (1.92) в виде интегрального уравнения: 0

(I − H[Ω0 ])χ = F,

(1.97)

где I — единичная матрица,  (H[h]s)(κ) = −

i 2π

0

Z  dm ∧ dm 

F =

1 0

h(m) m−κ

 h(m) − m−κ   w(m), 0 −1

+ H[(Ω1 + Z)] χ .

(1.98)

Воспользовавшись обозначениями для полуторалинейных форм, легко видеть, что ¯ g¯ hH[g]w, vi¯ = hw, H[h]vi h

(1.99)

и, в частности, ¯ ¯. hH[h]w, vih¯ = hw, H[h]vi h Следовательно, 1 Q2 + κ Y(1) = , Q1 exp{−is0 } |κ + Q2 |2 + |Q1 |2 — убывающие решения сопряженного уравнения (I − H[Ω0 ])Y(j) = 0,

Y(2) = σY(1)

(1.100)

и условия разрешимости (1.97) имеют вид hF, Y(i) iΩ0 = 0,

i = 1, 2.

(1.101)

36



ДС-2

Подставив (1.98) в (1.101) и используя (1.99), (1.100), получаем, что условия разрешимости сводятся к равенствам Z 2 X 1 dκ ∧ dκ(Ω ¯ 0 Y(m) )+ βj (hX(j) , Y(m) iΩ1 + hX(j) , Y(m) iZ ) = 0, (1.102) j=1

где m = 1, 2,

1 Y(m)

— первая компонента вектора Y(m) . Прямые вычисления показывают, что

hX(j) , Y(j) iZ = 0, hX(1) , Y(2) iZ = hX(2) , Y(1) iZ = −2π(2T Q2 + il), Z Z (2) 1 dκ ∧ dκ(Ω ¯ 0 Y(1) ) = 0, dκ ∧ dκ(Ω ¯ 0 Y1 ) = −2πi,

(1.103)

hX(2) , Y(1) iΩ1 = hX(1) , Y(2) iΩ = a2 ,

hX(1) , Y(1) iΩ1 = −hX(2) , Y(2) iΩ = a1 exp(is0 ),

1

1

где aj — некоторые постоянные. Подставив (1.103) в (1.101), получаем систему уравнений для определения компонент вектора β: ¯ 2 − il))β2 = 0, a1 exp(is0 )β1 + (a2 − 2π(2T Q (1.104) (¯ a2 − 2π(2T Q2 + il))β1 − a ¯1 exp(−is0 )β2 = 2iπ, разрешая которую, находим ¯ 2 − il)) 2πi(a2 − 2π(2T Q β1 (l, T, s0 ) = 2 ¯ 2 − il)|2 , |a1 | + |a2 − 2π(2T Q (1.105) 2iπa1 exp{is0 } β2 (l, T, s0 ) = − ¯ 2 − il)|2 . |a1 |2 + |a2 − 2π(2T Q Таким образом, асимптотическое решение системы (0.15) имеет вид (1.87), (1.89) при |k − k0 | > и имеет вид (1.90), (1.96), (1.105) при |k − k0 | < 2ε1/2 .

ε1/2

1.3.4. Асимптотика солитоноподобного решения уравнения ДС-2. Как упоминалось выше, в бессолитонном случае решение уравнения ДС-2 может быть получено по формуле (0.17). Подставив асимптотику (1.59), (1.60) данных рассеяния и асимптотическое представление (1.87), (1.90) для ϕε в (0.17), получаем, что q ε ∼ I ex + I in при ε → 0, (1.106) где Z i 0 ex I =ε dk ∧ dk¯ϕ(1) (k)b0 (k), (1.107) π |k−k0 |>ε1/2

I

in

=ε

−2

i π

Z

−1 dk ∧ dk¯ χ (1) (κ)b−1 (κ).

(1.108)

|k−k0 | 0, где ξ = z/t:

1

1

A˜ ˜ B

=

1

1 0

1

 + t−1 

1

1



A  , 1 B

(2.6)

1

¯ ξ) + B 1 (k, ξ) exp(itS), поправки A, B 0 и B 1 определены в (2.15), (2.14), (2.26). где B = B 0 (k, iξ При |k − 4 | ≤ Ct−δ для ∀δ > 0:

где l =

√

t(k −

A˜ ˜ B

iξ 4 ),

=

1 0

+ t−1/2



!

0 1

β(l, ξ) exp(itS)

+ t−1 

2

α(l, ξ) 2

β(l, ξ) exp(itS)

 ,

(2.7)

n n

поправки α, β, n = 1, 2 определены в (2.24), (2.25) и (2.28).

Доказательство. Доказательство теоремы 2.2 состоит из двух частей: построения так называемого внешнего формального асимптотического по t при t → ∞ решения (2.5) в области вне малой при t → ∞ окрестности точки k = iξ/4 и построения внутреннего разложения (2.1) в окрестности точки k = iξ/4. Решение задачи (2.1) будем искать в виде 1

2

A(k, ξ, t) = 1 + t−1 A(k, ξ) + t−2 A(k, ξ) exp(−itS) + . . . , 1

(2.8)

2

B(k, ξ, t) = t−1 B + t−2 B(k, ξ) exp(itS) + . . . . Здесь многоточием обозначены члены меньших порядков по t.

(2.9)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

39

Подставим (2.8), (2.9) в (2.1), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t−1 . В результате получим: 1

1

i∂k S B 1 = b(k), 1

2

1

B 1 ||k|→∞ = 0;

(2.10)

1

−iA exp(−itS)∂k¯ S + ∂k¯ A = −¯bB 1 − ¯bB 0 exp(−itS),

(2.11)

1

A||k|→∞ = 0; 2

1

1

i∂k S B + ∂k B 1 = b(k)A,

(2.12)

2

B||k|→∞ = 0.

(2.13)

Уравнение (2.10) разрешимо, когда ∂k S 6= 0. Из представления S легко видеть, что ∂k S = 0 при k = iξ/4. Тогда, с точностью до убывающего при |k| → ∞ решения однородного уравнения для B из (2.1), решение уравнения (2.10) при k 6= iξ/4 имеет вид 1

B1 =

b(k) . −i∂k S

(2.14)

Не определенное здесь решение однородного уравнения для B — аналитическая функция от k¯ — получено ниже, после анализа асимптотического разложения в окрестности точки k = iξ/4. 1

Уравнение для A определяется неосциллирующими членами уравнения (2.10). С помощью формулы Коши — Грина получим: Z Z 1 −1 dp ∧ d¯ p |b(p)|2 . (2.15) A(k, ξ) = iξ 8iπ C k−p p− 4 2

Поправка A определяется осциллирующими членами (2.10): 1

¯b(k)B 0 A= . i∂k¯ S 2

1

2

В этой формуле присутствует B 0 , поэтому A может быть построена после анализа асимптотики в окрестности k = iξ/4. Установим область, в которой пригодно асимптотическое разложение (2.8), (2.9). В этой области для слагаемых в формуле (2.9) выполняется условие 2

1

t−2 B(k, ξ) = o(t−1 B 1 (k, ξ)). 1

Из формулы (2.14) легко видеть, что функция B 1 в точке k = iξ/4 имеет полюс первого порядка 2

по k. Решение уравнения (2.13), функция B, в точке k = iξ/4 имеет полюс третьего порядка по k. Поэтому асимптотическое разложение (2.6) пригодно при |k − iξ4 | ≥ Ct−1/2+γ ∀γ > 0. Построим внутреннее разложение, справедливое в малой окрестности точки k = iξ4 . Перейдем к растянутым координатам: √ iξ l= t k− . 4 В этих координатах фаза экспоненты в системе (2.1) имеет вид itS = 2i(l2 + ¯l2 ) + itS0 . Здесь

1 S0 = S|k= iξ = (ξ 2 + ξ¯2 ). 4 8 Оператор дифференцирования по k в системе уравнений (2.1) перепишем через дифференцирование по l. В результате система уравнений (2.1) примет вид √ t∂¯l A = −¯b exp(−2i(l2 + ¯l2 ) − itS0 )B, (2.16) √ t∂l B = b exp(2i(l2 + ¯l2 ) + itS0 )A.

40



¯ ЗАДАЧИ D-

Формальное асимптотическое решение системы (2.16) будем искать в виде 2

1

A = 1 + t−1/2 α(l, ξ) + t−1 α(l, ξ) + . . . , B = (t

−1/2

1

β(l, ξ) + t

−1

(2.17)

2

β(l, ξ) + . . . ) exp(2i(l + ¯l2 ) + itS0 ). 2

Подставим (2.17) в (2.16). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t, в результате 1 1

получим уравнения для α, β: ∂ 1 α = 0, ∂ ¯l

1 ∂ 1 β + 4ilβ = b ∂l

iξ 4

(2.18)

2 2

и уравнения для α, β: ∂ 2 iξ 1 α = −b β, 4 ∂ ¯l 2 ∂ 2 iξ 1 β + 4ilβ = b α + lb1 + ¯lb2 . ∂l 4 Здесь b1 = ∂k b|k= iξ , 4

(2.19)

b2 = ∂k¯ b|k= iξ . 4

Область |l| ≤ const t1/2−δ ∀δ > 0, где справедливо внутреннее разложение, при δ < 1/2 пересекается с областью |k − iξ4 | ≥ t−1/2+γ const при γ < 1/2, в которой пригодно внешнее разложение. Следуя методу согласования асимптотических разложений [34], асимптотики при |l| → ∞ для (2.18), (2.19) можно получить из согласования внутреннего и внешнего асимптотических разложений в области, где пригодны оба разложения. 1

Асимптотика B 1 при k →

iξ 4:

−1 B1 = b i(4k − iξ) 1

iξ 4

1

Вычислим асимптотику A при k → 1

A=

−1 k−

iξ 4

1 8iπ

(k − iξ4 ) iξ 1 b2 + O k − . − b1 − 4i 4 4i(k − iξ4 )

(2.20)

iξ 4:

Z Z

" dp ∧ d¯ p|b(p)|2

C

# 1 1 . − k − p p − iξ 4

1

Подынтегральная функция в интеграле для A представлена в виде разности. Рассмотрим этот интеграл как разность интегралов от соответствующих функций. В первом из получившихся интегралов сделаем замену переменной r = p − (k − iξ4 ). Представим числитель подынтегральной функции в первом интеграле в виде отрезка ряда Тейлора в окрестности точки r. В результате получим: ! Z Z iξ 1 k − −1 dr ∧ d¯ r 1 4 ∂r¯|b(r)|2 = A= ∂r |b(r)|2 + iξ 2iπ k − iξ4 C 4 − r 4i iξ iξ iξ 1 k − 4 iξ 2 b +C + O k − , (2.21) = iξ 4 4 4 4i k − 4 где C

iξ 4

−1 = 2iπ

Z Z C

dr ∧ d¯ r 1 ∂r |b(r)|2 . iξ 4i −r 4



¯ ЗАДАЧИ D-

41

Из требования согласования асимптотических разложений (2.6) и (2.7) и формул (2.20), (2.21) получаются краевые условия: 1

α = 0 при |l| → ∞, (2.22) 1 β = O(l−1 ) при |l| → ∞; ¯l iξ 2 iξ 2 b +C + O(|l|−1 ) при |l| → ∞, α= 4il 4 4 (2.23) ¯l 2 1 −1 b2 + O(|l| ) при |l| → ∞. β = b1 − 4i 4il Решение первого из уравнений (2.18) совместно с краевым условием из (2.22) имеет вид 1

α = 0.

(2.24)

Ограниченное решение уравнения (2.18) с краевым условием из (2.22) получается с помощью формулы Коши — Грина: Z Z 1 iξ −1 dn ∧ d¯ n β = exp(−2i(l2 + ¯l2 ))b exp(2i(n2 + n ¯ 2 )). (2.25) 4 2iπ C n−l 1

Асимптотика β при |l| → ∞ имеет вид b( iξ4 ) exp(−2i(l2 + ¯l2 )) b( iξ4 ) − + O(|l|2 ). 4il 2¯l Из согласования асимптотик (2.20), (2.26) и (2.6) получим: 1 b( iξ4 ) iξ ¯ B 0 k, = . 4 2(k − iξ4 ) 1

β||l|→∞ =

(2.26)

(2.27)

Уравнения (2.19) с краевыми условиями (2.23) решаются с помощью формулы Коши — Грина: Z Z iξ iξ −1 dn ∧ d¯ n1 2 α=C +b β(n, n ¯ ), 4 4 2iπ C n−l (2.28) Z Z 2 dn ∧ d¯ n −1 2 2 2 2 β = exp(−2i(l + ¯l )) exp(2i(n + n ¯ ))(nb1 + n ¯ b2 ). 2iπ C n−l Теорема 2.2 об асимптотике решения задачи (2.1) доказана. 2.1.2. Оценка остатка асимптотики. В этом пункте доказано, что формулы (2.6), (2.7) определяют асимптотику решения задачи (2.1). Рассматривается система интегральных уравнений, соответствующая краевой задаче (2.1). При ограничении (2.2) на функцию b(k) интегральный оператор в этой системе оказывается сжимающим. На основе формул (2.6), (2.7) построено составное асимптотическое разложение (2.6). Малость остатка асимптотики следует из свойства интегрального оператора и малости невязки, которая получается при подстановке составного разложения в систему интегральных уравнений. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.3. Пусть b(k) — гладкая функция такая, что все ее производные по k и k¯ до второго порядка — гладкие интегрируемые в R2 , и выполнено условие Z Z 1 |b(λ + iµ)| max dλdµ < 1, π ζ∈C |λ + iµ − ζ| R2 тогда решение задачи (2.1) существует. Его асимптотика при t → ∞ определяется формулами (2.6), (2.7) с точностью O(t−5/4 ). Производные по z и z¯ остатка асимптотики, непрерывные равномерно ограниченные при k, z ∈ C, равны O(t−5/4 ).

42



¯ ЗАДАЧИ D-

Доказательство. Перейдем к доказательству этой теоремы. Вместо системы уравнений (2.1) рассмотрим соответствующую ей систему интегральных уравнений [102]: Z Z −1 dp ∧ d¯ p ¯ t), A=1+ b(p) exp(−itS)B(p, ξ, ξ, 2iπ k − p Z Z C (2.29) 1 dp ∧ d¯ p ¯ t). B= b(p) exp(itS)A(p, ξ, ξ, 2iπ C k−p Пусть X — пространство непрерывных по k вектор-функций с нормой kφk = sup |φ1 (k, z)| + sup |φ2 (k, z)|. k,z∈C

k,z∈C

Обозначим интегральный оператор в правой части (2.29) через G. Свойства оператора G будем исследовать в пространстве X. Лемма 2.1. kGφk ≤ M kφk, где M < 1. Доказательство. " Z Z # i dp ∧ d¯ p kGφk = sup b(p) exp(−itS)φ2 (p, ξ, t) + 2π k,z∈C C k−p " Z Z # i dp ∧ d¯ p b(p) exp(itS)φ1 (p, ξ, t) ≤ + sup 2π k,z∈C C k−p Z Z 1 dx0 dy 0 ≤ kφk max |b(x0 + iy 0 )| = M kφk, 0 0 k∈C π |k − (x + iy )| R2 где 1 M= π

Z Z R2

dx0 dy 0 |b(x0 + iy 0 )|. |k − x0 − iy 0 |

Лемма доказана. Лемма 2.2. Оператор G переводит вектор-функции из X в вектор-функции из X. Для доказательства достаточно показать непрерывность по k вектор-функции G[b, k; z, t]φ. Это можно сделать аналогично [11] (см. 1.2.1). Из приведенных лемм легко видеть, что при выполнении условия (2.2) оператор G является сжимающим в пространстве X. Из теоремы о сжимающих отображениях [53] следует, что интегральное уравнение φ = Gφ + h, (2.30) где h ∈ X, имеет единственное решение в X. Для φ справедлива оценка kφk ≤ const khk. Построим составное асимптотическое разложение для формального асимптотического решения системы уравнений (2.1). Для этого воспользуемся гладкой срезающей функцией χ(k, ξ, t) такой, что χ ≡ 1 при |k − iξ4 | > 2t−1/4 и χ ≡ 0, при |k − iξ4 | < t−1/4 . Составное разложение имеет вид 1

2 ˜ ξ, t) = 1 + χ t−1 A + (1 − χ)t−1 α; A(k, 1

1

(2.31)

2

˜ ξ, t) = [χ(t−1 B) + (1 − χ)(t−1/2 β + t−1 β)] exp(itS). B(k,

(2.32)

Подсчитаем невязку, которая получается при подстановке составного асимптотического разложения (2.31), (2.32) в (2.1): ˜ f1 = −∂¯ A˜ − ¯b exp(−itS)B, k

˜ + b exp(itS)A. ˜ f2 = −∂k B Невязки f1 и f2 вне переходного слоя t−1/4 < |k − iξ4 | < 2t−1/4 легко вычисляются, исходя из асимптотик (2.6), (2.7). В переходном слое в невязки вносят вклад производные по k и k¯ срезающей



¯ ЗАДАЧИ D-

43

функции χ. Ширина этого слоя равна t−1/4 . В качестве χ можно выбрать функцию, производные которой по k и k¯ равны O(t1/4 ). В результате для f1 и f2 получим:  1 iξ  −1 ¯ ¯  −t bB 0 (k, ξ) exp(it(S0 − S)) при k − ≥ 2t−1/4 ;    4   1 2 1   1/4 )(t−1 B exp(−itS) − t−1/2 β − t−1 β)¯  b− O(t    1 −χt−1¯bB 0 exp(it(S0 − S))+ (2.33) f1 =  2  iξ   +(1 − χ)t−1¯bβ при t−1/4 < k − < 2t−1/4 ;     4  2  iξ  −1  −t ¯bβ(l, ξ) при k − ≤ t−1/4 ;  4  1 iξ  −1  t bA exp(itS) при p − > 2t−1/4 ;    4   1  2 2  1/4 −1 −1  [O(t )(t A − t α) − (1 − χ)t −1 α]× f2 = (2.34) iξ  ×b exp(itS) при t−1/4 < k − < 2t−1/4 ;     4   iξ 2    −t−1 bα(l, ξ) exp(itS) при p − ≤ t−1/4 . 4 Порядок невязок f1 и f2 вне переходного слоя легко оценивается из формул (2.33), (2.34) и (2.20), (2.21). Оценим порядок множителей при O(t1/4 ) в переходном слое: 1 iξ −1 −1 2 −5/4 −1/4 (2.35) t A − t α = O(t ) при t < k − < 2t−1/4 ; 4 1 2 1 iξ −1 −1/2 −1 −5/4 −1/4 t B−t β − t β = O(t ) при t < k − < 2t−1/4 . (2.36) 4 Формула (2.35) следует из (2.21), (2.23). Формула (2.36) получена из (2.20), (2.9), (2.22), (2.23). Перейдем к оценке остатка. Будем искать решение в виде A A˜ = (2.37) ˜ + χ, B B Подставим (2.37) в (2.1). В результате получим систему уравнений с однородными краевыми условиями при |k| → ∞ ∂k¯ Φ1 = −¯b exp(−itS)Φ2 + f1

(2.38)

∂k Φ2 = b exp(itS)Φ1 + f2 .

(2.39)

От системы уравнений (2.39) перейдем к соответствующей системе интегральных уравнений Φ = GΦ + F.

(2.40)

Здесь компоненты вектор-функции F вычисляются по формулам Z Z Z Z dp ∧ d¯ p 1 dp ∧ d¯ p 1 F1 = f1 , F2 = f2 . 2iπ k − p 2iπ C C k−p

(2.41)

Оценим норму в X вектор-функции F . Лемма 2.3. kF k = O(t−5/4 ). Доказательство. 1 kF1 kC ≤ sup 2iπ k,z∈C

Z Z |p− iξ |≥2t−1/4 4

1 dp ∧ d¯ p f1 (p, ξ, t) + k−p 2iπ

Z Z |p− iξ |≤2t−1/4 4

dp ∧ d¯ p f1 (p, ξ, t) . k−p

(2.42)

44



¯ ЗАДАЧИ D-

Оценка первого слагаемого сводится к оценке интеграла: Z Z dp ∧ d¯ p ¯ exp(it(S0 − S)) b(p) I= . k−p (p − iξ ) 4

|≥2t−1/4 |p− iξ 4

Область интегрирования не содержит стационарную точку фазы экспоненты, поэтому можно применить формулу интегрирования по частям, интегрируя быстро осциллирующую экспоненту по переменной p¯. В результате получим, что |I| ≤ t−1/4 . Таким образом, первое слагаемое в (2.42) оценивается величиной O(t−5/4 ). Оценим второе слагаемое в (2.42). Здесь воспользуемся малостью области интегрирования. Это слагаемое также оценивается величиной O(t−5/4 ). Вторая компонента вектор-функции F оценивается аналогично: kF2 k ≤ t−5/4 const. Лемма доказана. Вектор-функция F в системе уравнений (2.40) принадлежит X и система (2.40) разрешима в X. Оценим норму этого решения. Представим F в виде F = t−5/4 H. Из приведенной леммы следует, что kHk = O(1). Вектор-функцию Ψ будем искать в виде Ψ = t−5/4 φ. Вектор-функция φ удовлетворяет системе уравнений φ = Gφ + H.

(2.43)

Из разрешимости системы интегральных уравнений (2.43) следует оценка остатка в асимптотических формулах (2.6), (2.7) величиной O(t−5/4 ). Докажем гладкость остатка по z. Лемма 2.4. ∂z φ, ∂z¯φ ∈ X. Доказательство. Продифференцируем по z систему интегральных уравнений (2.43). В результате получим: θ = Gθ + P ; (2.44) здесь θ = ∂z φ, P = ∂z [G]φ + ∂z H. Покажем, что P ∈ X. Для этого оценим норму в X каждого из слагаемых P :   −b(p) exp(−itS) Z Z 0  φ1 dp ∧ d¯ p  k − p   ∂z [G]φ = p  φ2 . b(p) exp(itS) 2iπ C 0 k−p Из интегрируемости b(k) в R2 и равномерной ограниченности φ1 ,  ∂ f z 1 Z Z 1  k ∂z H = t5/4 dp ∧ d¯ p  ∂ −f p z 2 2iπ C k−p

φ2 следует, что ∂z [G]φ ∈ X,   .

Производные f1 и f2 по z вычисляются из (2.33), (2.34). В результате получим k∂z Hk = O(1). Таким образом, P ∈ X. Система (2.44) разрешима в X, т.е. ∂z φ ∈ X. Для производной φ по z¯ доказательство аналогично. Лемма доказана. Этим заканчивается доказательство теоремы 2.3.



¯ ЗАДАЧИ D-

45

2.1.3. Асимптотика решения ДС-2. Подставим асимптотику решения задачи (0.6) в формулу (0.17): Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dpb(p) exp(itS)(1 + t−1 A˜1 (p, ξ, t) + t−5/4 φ1 (p, ξ, t)), (2.45) π C где 1

2 A˜1 (p, ξ, t) = χA + (1 − χ)α.

Представим интеграл (2.45) в виде суммы интегралов. Z Z Z Z −i i dp ∧ dpb(p) exp(itS)A˜1 (p, ξ, t)− q(z, t) = dp ∧ dpb(p) exp(itS) − t−1 π π C C Z Z −5/4 i −t dp ∧ dpb(p) exp(itS)φ1 (p, ξ, t). π C Последнее слагаемое равно O(t−5/4 ). Интеграл во втором слагаемом разобьем на два. При |p− iξ4 | ≥ 2t−1/4 этот интеграл оценивается с помощью интегрирования по частям и имеет порядок t−1 . При |p − iξ4 | < 2t−1/4 легко видеть, что этот интеграл равен O(t−1/2 ). В результате получим: Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dpb(p) exp(itS) + O(t−5/4 ). π C Асимптотика по t интеграла в этой формуле вычисляется методом стационарной фазы [87]. В результате получается формула (2.3). Асимптотика функции g(z, t) получается после подстановки (2.3) в формулу (0.18). Вычисление интеграла в смысле главного значения возможно из-за гладкости по z остатка в формуле (2.3). Эта гладкость — следствие гладкости по z остатка асимптотики в формулах (2.6) и (2.7) и гладкости по z асимптотики интеграла в (2.45), вычисленной методом стационарной фазы. Именно для гладкости асимптотики интеграла в (2.45) необходимо условие интегрируемости в R2 функции kb(k). Теорема об асимптотике решения уравнений ДС-2 доказана. 2.2. Асимптотика решения уравнений Ишимори-1. Асимптотика решения уравнений ˜ |z|→∞ = σ3 может быть получена из формулы Ишимори-1 при t → ∞ с краевым условием S| (0.26). Вторую строку матрицы φ можно восстановить с помощью ее первой строки, воспользовавшись формулой (0.12). Эта формула дает φ21 = κφ12 , φ22 = φ11 . Следовательно, A exp(kz) B exp(kz) φ= ¯ exp(kz) A¯ exp(kz) . κB После подстановки асимптотики решения краевой задачи (0.15), построенной в предыдущем пункте, получим:   2 δ  1 −1/2 t1/2  ), (2.46) S˜ =  2  + o(t δ −1 t1/2 1

где δ = β(l) — решение краевой задачи 1

1

1

∂l β + 4ilβ = b(iξ/4),

β||l|→∞ = 0.

Переменные l и ξ связаны с переменными x, y, t формулами: l=

x + iy √ , t

ξ=

Функция b(k) удовлетворяет условиям теоремы 2.1.

x + iy . t

46



¯ ЗАДАЧИ D-

2.3. Асимптотика решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили. Свойства решений и процедура интегрирования уравнения Кадомцева—Петвиашвили (КП): ∂x (∂t u + 6u∂x u + ∂x3 u) = −3σ 2 ∂y2 u

(2.47)

зависят от знака σ 2 . В случае σ 2 = 1 это уравнение называется КП-2. Здесь исследуется решение задачи Коши: (2.48)

u|t=0 = u0 (x, y).

Для убывающего по пространственным переменным решения построена асимптотика при t → ∞. Главный член асимптотики имеет порядок O(t−1 ) и быстро осциллирует. Амплитуда осцилляций зависит от характерных переменных ξ = x/t и η = y/t. Нетрудно догадаться, что для убывающего решения при t → ∞ основную роль в уравнении (2.47) играет его линейная часть. Это подтверждается на уровне главного члена асимптотики, структура которого полностью соответствует асимптотике решения линеаризованного уравнения. Более того, так же, как для линейного уравнения, асимптотика решения извлекается из интеграла типа Фурье применением метода стационарной фазы. Представление решения нелинейного уравнения через интеграл типа Фурье следует из метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), предложенного для уравнения КП в [25, 33]. Несмотря на похожее поведение убывающих решений линейного и нелинейного уравнения, специфика нелинейного уравнения (2.47) проявляется в том, что роль образа Фурье играют данные рассеяния вспомогательной линейной задачи, связанной с уравнением КП-2. Кроме того, вместо ¯ экспоненты в интеграле типа Фурье используется решение так называемой D-задачи [97]. Уравнение, похожее на (2.47), с нелинейностью более высокого порядка обычно называется обобщенным уравнением КП. Для обобщенного уравнения КП известны результаты об оценке нормы решения в пространстве Соболева по времени [128]. В той же работе для убывающего решения получена структура асимптотики при t → ∞. Как уже отмечалось, главный член асимптотики убывающего решения определяется линейными слагаемыми. Эти слагаемые у уравнений КП и обобщенного КП совпадают. Поэтому и структура главного члена асимптотики убывающего решения, построенного в настоящей работе, совпадает со структурой убывающей асимптотики обобщенного уравнения КП из [128]. Существенное отличие проведенных здесь построений для уравнения КП от результатов [128] состоит в том, что построенная асимптотика связана с начальными данными. Такая связь устанавливается с помощью МОЗР благодаря интегрируемости уравнения КП. Одним из важнейших достижений МОЗР является возможность исследования асимптотик решений нелинейных уравнений. Сравнительно полно исследованы асимптотики для (1 + 1)-мерных уравнений (одна пространственная переменная и время) [9, 29, 35, 64, 72, 93, 101, 151]. Для двумерного обобщения цепочки Тоды асимптотика была построена в [73]. Строгие результаты об асимптотиках по времени для специального класса неубывающих при t → ∞ решений уравнений КП получены в [3, 76]. Формальная асимптотика при t → ∞ убывающего решения уравнения КП-1 построена в работе [147]. Однако, в этих случаях построенные асимптотики не обладают свойствами равномерности и пригодны не во всех направлениях. В работе автора [142] для уравнения КП-2 дан исчерпывающий ответ на вопрос об асимптотике убывающего решения равномерно по всем направлениям и получена оценка остатка этой асимптотики. Здесь будет использован формализм МОЗР, разработанный для уравнения КП-2 в работе [97]. Этот формализм позволяет свести построение решения нелинейного интегрируемого уравнения к последовательности линейных задач. Напомним основные этапы решения задачи Коши для уравнения КП-2 с помощью МОЗР. Первый этап — решение прямой задачи рассеяния на начальном потенциале u0 (x, y): −∂y ϕ + ∂x2 ϕ + 2ik∂x ϕ + u0 ϕ = 0,

ϕ||k|→∞ = 1,

(2.49)



¯ ЗАДАЧИ D-

и вычисление данных рассеяния по формуле1 Z Z −1 ¯ − (k 2 − k¯2 )y). F (k) = (2π) sgn(− 0, а столбцы φ(2) (ξ, η, l) и ϕ(1) (ξ, η, l) — при =(l) < 0. Это можно показать так же, как было показано для столбцов матриц ψ ± в п. 4.1.1. В результате выкладок, похожих на проделанные в п. 4.1.1, получим: Z ∞ φ11 (ξ, η, l) − ϕ11 (ξ, η, l) = − dks1 (k, l)ϕ12 (ξ, η, k), Z−∞ ∞ φ12 (ξ, η, l) − ϕ12 (ξ, η, l) = − dks2 (k, l)ϕ11 (ξ, η, k). −∞

120

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

Опять использовав формулы Сохоцкого, получим задачу Римана для строки ϕ(1) (ξ, η, l): − Z ∞ ϕ11 (ξ, η, l) = exp(ilξ) − exp(ilξ) exp(−ilξ) dks1 (k, l)ϕ12 (ξ, η, k) , −∞

Z ϕ12 (ξ, η, l) = − exp(−ilη) exp(ilη)

∞

+ dks2 (k, l)ϕ11 (ξ, η, k) .

−∞

Для строки

ϕ(2) (ξ, η, l): Z ϕ21 (ξ, η, l) = − exp(ilξ) exp(−ilξ)

∞

− dks1 (k, l)ϕ22 (ξ, η, k) ,

−∞

Z ϕ22 (ξ, η, l) = exp(−ilη) − exp(−ilη) exp(ilη)

∞

+ dks2 (k, l)ϕ21 (ξ, η, k) .

−∞

Таким образом, решения сопряженной задачи также являются решениями некоторой задачи Римана. Теперь выведем задачу, сопряженную нелокальной задаче Римана для функций ψ ± относительно − + второй билинейной формы. Рассмотрим задачу Римана для строки ψ (1) = [ψ11 , ψ12 ]: ψ (1) = E (1) (ikη) + S[s]ψ (1) . Здесь E (1) (z) — первая строка матрицы E(z), оператор S1 [s] определяется формулой − Z ∞ + (1) S[s]ψ = exp(ikη) exp(−ikη) dls1 (k, l)ψ12 (ξ, η, l) , −∞

∞

Z exp(−ikξ) exp(ikξ)

−∞

+ .

− dls2 (k, l)ψ11 (ξ, η, l)

Выведем оператор, сопряженный оператору S[s] относительно билинейной формы h·, ·is . Пусть µ(ξ, η, k) и χ(ξ, η, k) — строки, состоящие из пары элементов — функций, ограниченных при k, ξ, η ∈ R и аналитических по k в окрестности вещественной прямой: Z Z hS[s]µ, χis = dkdl χ1 (ξ, η, l)s2 (k, l) exp(ikη)× R2 Z ∞ Z ∞ dk 0 0 0 0 0 0 × exp(−ik η) dl s (k , l )µ (ξ, η, l ) + 1 2 0 −∞ −k + (k + i0) −∞ Z ∞ Z ∞ dk 0 0 0 0 0 0 +χ2 (ξ, η, l)s1 (k, l) exp(−ikξ) exp(ik ξ) dl s2 (k , l )µ1 (ξ, η, l ) . 0 −∞ −k + (k − i0) −∞ Теперь осталось поменять порядок интегрирования — интегралы по k, l сделать внутренними, а интегралы по k 0 , l0 — внешними: Z Z 0 0 hS[s]µ, χis = dk dl s1 (k 0 , l0 )µ2 (ξ, η, l0 ) exp(−ik 0 η)× 2 R Z ∞ Z ∞ dk × exp(ikη) dlχ1 (ξ, η, l)s2 (k, l) + s2 (k 0 , l0 )µ1 (ξ, η, l0 ) exp(ik 0 ξ)× 0 −∞ −∞ k − (k − i0) Z ∞ Z ∞ dk × exp(−ikξ) dlχ2 (ξ, η, l)s1 (k, l) = hµ, T [s]χis . 0 −∞ k − (k + i0) −∞ Здесь T [s]χ =

Z − exp(ilξ) exp(−ilξ)

∞

− dks1 (k, l)χ2 (ξ, η, k) ,

−∞

Z − exp(−ilη) exp(ilη)

∞

+ dks2 (k, l)χ1 (ξ, η, k) .

−∞

Строка, сопряженная к Римана:

ψ (1)

относительно второй билинейной формы (4.15), удовлетворяет задаче ϕ(1) (ξ, η, l) = E (1) (ilξ) + T [s]ϕ(1) .

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

121

− − Таким же образом можно определить строку ϕ(2) , сопряженную к ψ (2) = [ψ21 , ψ22 ]:

ϕ(2) = E (2) (ilη) + T [s]ϕ(2) , т.е., решения систем уравнений (6.2) и (6.3) являются и решениями задачи, сопряженной относительно второй билинейной формы. 6.1.3. Вариация данных рассеяния. Здесь получены уравнения Вольтерра для функций, сопря+ − женных к ψ(1) и ψ(2) относительно первой билинейной формы (4.8). Выводятся формулы для вариации потенциалов и данных рассеяния. + Пусть δqi — инфинитезимальная вариация потенциала. Уравнение для вариации ψ(1) имеет вид + + + δψ(1) = G1 [q]δψ(1) + G1 [δq]ψ(1) .

(6.4)

Вычислим билинейную форму: + + + (δψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))q = (G1 [q]δψ(1) , φ(1) )q + (G1 [δq]ψ(1) , φ(1) )q .

После преобразований получим: + + + (ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))δq = (δψ(1) (ξ, η, k), E(1) (ilξ))q + (ψ(1) (ξ, η, k), E(1) (ilξ))δq .

С другой стороны, можно вычислить вариацию s1 (k, l): 1 1 + + δs1 (k, l) = (δψ(1) (ξ, η, k), E(1) (ilξ))q + (ψ (ξ, η, k), E(1) (ilξ))δq . 4π 4π (1) Это дает 1 + δs1 (k, l) = (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))δq . (6.5) 4π (1) Таким образом, получена формула, связывающая вариации потенциалов с вариацией функции s1 (k, l). Вторая формула для вариации данных рассеяния получается подобным образом. Формула для вариации функции s2 (k, l): 1 − δs2 (k, l) = (ψ (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))δq . (6.6) 4π (2) Теперь выведем формулы для вычисления вариации потенциала по вариации данных рассеяния. На этом пути нам понадобятся функции, сопряженные относительно второй билинейной формы (4.15). Формулы для вычисления потенциалов приведены выше (см. (4.16), (4.17)). Пусть δs1 (k, l) и δs2 (k, l) — инфинитезимальные вариации данных рассеяния. Из (4.16) вариация потенциала имеет вид: −1 1 δq1 = hδψ (1) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)is − hψ (1) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)iδs . π π Уравнения для вариации строки ψ (1) : δψ (1) (ξ, η, l) = S[s]δψ (1) + S[δs]ψ (1) . Вычислим билинейную форму: hδψ (1) (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)is = hS[s]δψ (1) , E (1) (ikξ)is hψ (1) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)iδs . Из (4.16) после преобразований получим: −1 (1) δq1 = hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)iδs . (6.7) π Формула для вариации q2 : 1 δq2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)iδs . (6.8) π Формулы (6.5) и (6.6) определяют вариации потенциалов по вариации данных рассеяния. Формулы для вычисления вариаций данных рассеяния по вариациям потенциалов — (6.7), (6.8). Эти четыре соотношения были выведены формальным путем и, вообще говоря, могут и не определять взаимно-обратные отображения. Изучение их будет продолжено в следующих пунктах.

122

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

6.1.4. Финитные потенциалы. В этом пункте доказано, что формулы (6.5), (6.6) и (6.7), (6.8) определяют прямое и обратное преобразования типа преобразования Фурье. Обозначим δqi = fi , i = 1, 2. Композиция формул (6.7), (6.8) и (6.5), (6.6) дает 1 + (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))f , fˆ1 = 4π (1) 1 − (ψ (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))f ; fˆ2 = 4π (2) −1 (1) hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ, h1 = π 1 h2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)ifˆ. π Наша цель — показать эквивалентность hi ≡ fi . Доказательство основано на двух свойствах элементов матриц φ и ψ. Первое свойство — аналитичность по k, l ∈ C, если q1 и q2 имеют финитный носитель. Аналитичность следует из уравнений Вольтерра. Второе свойство — асимптотическое поведение φ и ψ при |k| или |l| → ∞. ± ∓ Асимптотики ψ(1) и ψ(2) получены в [122]: Z  −i ξ dξ 0 q1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η) 1 1 ± ψ(1) (ξ, η, k) = exp(ikη) +  4 −∞ 0 i k q2 2  −i q1 1 Z 0 2 ∓ ψ(2) (ξ, η, k) = exp(−ikξ) +  i η 1 k dη 0 q1 (ξ, η 0 )q2 (ξ, η 0 ) 4 −∞ Столбцы φ(1) и φ(2) имеют похожее асимптотическое поведение: Z  −i η dη 0 q1 (ξ, η 0 )q2 (ξ, η 0 ) 1 4 1 −∞ φ(1) (ξ, η, k) = exp(ikξ) +  0 −i k q2 2  i q1 1 0  2 φ(2) (ξ, η, k) = exp(−ikη) +  iZ ξ 1 k dξ 0 q1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η) 4 −∞



1 k2

;

1 k2

.

1 k2

;

1 k2

.

 +O   +O

  +O   +O

Построим асимптотику ϕ(1) при |k| → ∞. Главный член и поправка имеют вид Z ∞ Z ∞ 1 1 (1) 0 (1) ϕ (ξ, η, k) = [exp(ikξ), 0] + exp(ikξ) dk dls1 (l, k 0 )ϕ2 (ξ, η, l) exp(ik 0 ξ), k 2iπ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ 1 1 (1) 0 0 0 exp(−ikη) dk dls2 (l, k )ϕ1 (ξ, η, l) exp(ik η) + O . 2iπ k2 −∞ −∞ С другой стороны, −1 (1) hE (ilη), ϕ(1) (ξ, η, k)is , π Z η Z Z 2 ∞ ∞ − 0 0 0 dη q1 (ξ, η )q2 (ξ, η ) = dldks2 (k, l) exp(ikξ)ψ21 (ξ, η, l). π −∞ −∞ −∞ q1 =

Вторая из этих формул получена в [122]. Это дает Z η 2 2 dη 0 q1 (ξ, η 0 )q2 (ξ, η 0 ) = hψ (2) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)is = hE (2) (ilη, ϕ(1) (ξ, η, k)is . π π −∞

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

123

Асимптотика ϕ(1) при |k| → ∞ имеет вид ϕ(1) (ξ, η, k) = [exp(ikξ), 0]+ Z exp(−ikη) 1 1 exp(ikξ) η 0 0 dη q1 (ξ, η )q2 (ξ, η), q1 + O . + k 4i −2i k2 −∞ Таким же образом можно получить асимптотику ϕ(1) при |k| → ∞: ϕ(2) (ξ, η, k) = [0, exp(−ikη)]+ Z 1 exp(ikξ) exp(−ikη) ξ 1 q2 , dξ 0 q1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η) + O . + 2 k 2i −4i k −∞ Докажем эквивалентность hi = fi . Композиция формул (6.7) и (6.5), (6.6) дает: Z ∞Z ∞ Z ∞Z ∞ 1 (1) (1) h1 = dkdl ψ1 (ξ, η, l)ϕ1 (ξ, η, k) dξ 0 dη 0 × 4π −∞ −∞ −∞ −∞ 1 2 ×[ψ(2) (ξ 0 , η 0 , k)φ1(2) (ξ 0 , η 0 , l)f2 (ξ 0 , η 0 ) + ψ(2) (ξ 0 , η 0 , k)φ2(2) (ξ 0 , η 0 , l)f1 (ξ 0 , η 0 )]+ Z ∞Z ∞ (1) (1) 1 +ψ2 (ξ, η, l)ϕ2 (ξ, η, k) dξ 0 dη 0 [ψ(1) (ξ 0 , η 0 , k)φ1(1) (ξ 0 , η 0 , l)f2 (ξ 0 , η 0 )+ −∞ −∞ 2 +ψ(1) (ξ 0 , η 0 , k)φ2(1) (ξ 0 , η 0 , l)f1 (ξ 0 , η 0 )] .

Представим интегралы по k и l как несобственные интегралы в смысле главного значения: Z ∞Z ∞ Z RZ R dkdl(. . . ) = lim dkdl(. . . ). −∞

R→∞ −R −R η 0 с интегрированием

−∞

Переставим порядок интегрирования по ξ 0 и по k и l. Подынтегральная функция аналитична по k и l в комплексной плоскости: k и l ∈ C. Поэтому можно преобразовать пути интегрирования по k и l к большим полуокружностям в верхней и нижней полуплоскостях + − комплексных плоскостей параметров k, l. Обозначим эти пути интегрирования CR или CR . Пред0 0 0 0 0 ставим интегралы по ξ и η как сумму интегралов по ξ ∈ (−∞, ξ], η ∈ (−∞, η] и ξ ∈ (ξ, ∞), + − η 0 ∈ (η, ∞). Преобразуем пути интегрирования по k и l к CR или CR соответственно. Подставим асимптотики подынтегральных функций при |k| → ∞, |l| → ∞. В результате получим: Z ξ Z η Z Z 1 0 0 0 0 dk dl+ h= lim dξ dη f2 (ξ , η ) + + 4π R→∞ −∞ −∞ CR CR Z ∞Z ∞ Z Z 0 exp(il(η − η 0 )) i 0 0 0 0 0 0 exp(ik(ξ − ξ )) −i 0 0 + dξ dη f2 (ξ , η ) dk dl q1 (ξ , η ) q1 (ξ , η ) + − − l 2 k 2 ξ η CR CR Z ξ Z η Z Z Z Z Z ∞Z ∞ 0 0 0 0 0 0 0 0 + dξ dη f2 (ξ , η ) dk dl + dξ dη f2 (ξ , η ) dk dl × −∞

−∞

+ CR

+ CR

ξ

η

C−

− CR

R 0 0 exp(il(ξ − ξ)) −i exp(ik(η − η)) i × q1 (ξ, η) q1 (ξ, η) + l 2 k 2 Z Z Z ∞Z ∞ Z Z dξ 0 dη 0 f1 (ξ 0 , η 0 ) dk dl + dξ 0 dη 0 f1 (ξ 0 , η 0 ) dk

Z +

ξ

Z

−∞

η

+ CR

−∞

+ CR

ξ

η

− CR

− CR

Z 1 −i ξ 0 0 00 00 00 dξ q1 (ξ , η)q2 (ξ , η) exp(ilη)× f1 (ξ , η ) dk dl 1 + l 4 −∞ CR CR Z 1 1 η 00 00 00 × 1+ dη q1 (ξ, η )q2 (ξ, η ) exp(ikξ)× k 4i −∞ Z 0 1i η 00 0 00 0 00 × 1+ dη q1 (ξ , η )q2 (ξ , η ) exp(−ikξ 0 )× k 4 −∞ Z 0 1i ξ 00 00 0 00 0 0 × 1+ dξ q1 (ξ , η )q2 (ξ , η ) exp(−ilη ) . l 4 −∞ Z

Z

dl ×

124

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

Затем трансформируем пути интегрирования обратно на вещественные оси =(l) = 0 и =(k) = 0. Это дает: Z R Z ∞ Z ∞ Z R 1 0 0 h= lim dξ dη × dk dlf1 (ξ 0 , η 0 ) exp(il(η − η 0 )) exp(ik(ξ − ξ 0 )) = f1 . 4π R→∞ −∞ −∞ −R −R Утверждение об эквивалентности доказано. Теорема 6.3. Пусть q1 и q2 — гладкие функции с финитным носителем. Если f1 и f2 — гладкие интегрируемые функции переменных ξ, η ∈ R, то f1 и f2 могут быть представлены в форме −1 (1) f1 = hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ, π 1 f2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)ifˆ, π где 1 + fˆ1 = (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))f , 4π (1) 1 − fˆ2 = (ψ (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))f . 4π (2) 6.1.5. Теорема об интегральном преобразовании. В предыдущем пункте была доказана теорема о представлении функций из L1 ∩ C 1 в виде интеграла по произведениям функций, связанных с системой Дирака, когда q1,2 имеют финитные носители. В этом пункте показано, что такое представление возможно для потенциалов более широкого класса, правда при этом приходится налагать некоторые дополнительные ограничения на раскладываемые функции. N

N

Для доказательства теоремы 6.1 мы аппроксимируем потенциалы q1 и q2 потенциалами q1 и q2 N

с конечным носителем. Для ε > 0 возьмем N (ε) > 0 такие, что k∂ α q 1,2 − ∂ α q1,2 kL1 = O(ε), где N

N

|α| ≤ 3 и q 1,2 = q1,2 для ξ 2 + η 2 ≤ N (ε) и q 1,2 = 0 для ξ 2 + η 2 > 2N (ε). Обозначим погрешность ε

N

аппроксимации q 1,2 = q1,2 − q 1,2 . Всюду в этом пункте верхний символ N используется для решений N

задачи Гурса с потенциалами q 1,2 . Верхним символом ε отмечаются функции, относящиеся к ε

погрешности аппроксимации q 1,2 . N

N

± Лемма 6.1. kψ ij± − ψij kC 3 = O(ε) для i, j = 1, 2. Здесь ψ ij± — элементы матрицы-решения N

N

задачи Гурса с потенциалами q 1 и q 2 . Доказательство. Обозначим через χ± выражение exp(−ikη) 0 ± χ (ξ, η, k) = ψ ± (ξ, η, k). 0 exp(ikξ) N

ε

(6.9) N

N

Представим матрицу χ± в виде χ± = χ ± + χ± . Здесь χ ± — такое же выражение через ψ, как (6.9). ε Уравнения Вольтерра для столбца χ(1)+ имеют вид ε

ε N

ε

χ(1)+ = G1 [q] χ (1)+ + G1 [q]χ(1)+ , где

 ε

G1 [q]χ(1)+ =

−

Rξ

ε

0 0 + 0 −∞ dξ q1 (ξ , η)χ21 (ξ , η, k)

1 R∞ 0 ε 2 dη q2 (ξ, η 0 )χ

(6.10)  .

+ 0 0 11 (ξ, η , k) exp(ik(η − η)) η ε ε Ряды Неймана для этой системы сходятся и |χ11+ | + |χ21+ | = O(ε) ∀ξ, η ∈ R. ε ε справедливы для производных: |∂ α χ11+ | + |∂ α χ21+ | = O(ε) ∀ξ, η ∈ R при |α| ≤ 3. ε ε Подобные результаты можно получить для χ(2)± и χ(1)− . Лемма доказана. ε

Ниже будет использоваться асимптотическое поведение χ± при |k| → ∞.

Такие же оценки

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

125

ε

Лемма 6.2. При |k| → ∞ асимптотика χ± имеет вид Z   i ξ ε 0 ε N dξ (q 1 q 2 + q 2 q1 )  1 − ε −2 χ(1)± =  4 −∞  + O(k ). iε k q 2 2 Эта асимптотика равномерна при ξ, η ∈ R. Остаток дифференцируем по ξ:   −i ε q1 1 ε  2 −2 χ(2)± =  i Z ξ  + O(k ). ε 0 ε N k dη (q 2 q 1 + q 1 q2 ) 4 −∞

(6.11)

(6.12)

Формула равномерно пригодна при ξ, η ∈ R. Остаток дифференцируем по η. Асимптотика может быть построена так же, как и асимптотика ψ ± . Перейдем к доказательству теоремы 6.1. Обозначим N

fi =

N 1 N (ψ (i) (ξ, η, k), φ (i) (ξ, η, l))f . 4π

Представим f1 как f1 =

−1 N (1) N hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)iN . π f

Оценим разность f1 − h1 , где −1 (1) hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ; π −1 N (1) 1 N f1 − h1 = hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)iN + hψ (1) (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ = π π f Z ∞Z ∞ N N −1 N − = dkdl[ f 2 (k, l)(ψ 11− (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k) − ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k))+ π −∞ −∞ h1 =

N

− +( f 2 (k, l) − fˆ2 (k, l))ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)+ N

N

N

+ + f 1 (k, l)(ψ 12+ (ξ, η, l)ϕ12 (ξ, η, k) − ψ12 (ξ, η, l)ϕ12 (ξ, η, k))+ N

+ +( f 1 (k, l) − fˆ1 (k, l))ψ12 (ξ, η, l)ϕ12 (ξ, η, k)].

(6.13)

Рассмотрим различные слагаемые и оценим их по отдельности. Обозначим Z Z N N −1 ∞ ∞ N − I1 = dkdl f 2 (k, l)(ψ 11− (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k) − ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)). π −∞ −∞ Из леммы 6.1 следует, что N

N

− |ψ 11− (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k) − ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)| = O(ε). N

Чтобы показать, что I1 = O(ε), достаточно показать, что f 2 (k, l) ∈ L1 . N

Лемма 6.3. f 2 (k, l) ∈ L1 . N

Доказательство. Построим асимптотику f 2 (k, l) при |k| → ∞, равномерную при l ∈ R, и асимN

птотику f 2 (k, l) при |l| → ∞, равномерную при k ∈ R: Z ∞Z ∞ N N −1 N 1 −2 dξdη f2 = q 1 (ξ, η) + O(k ) exp(−ikξ) φ 12 (ξ, η, l)+ 4π −∞ −∞ 2k Z η N i 0N 0 N 0 −2 + 1+ dη q 1 (ξ, η ) q 2 (ξ, η ) + O(k ) exp(−ikξ) φ 22 (ξ, η, l) . 4k −∞

126

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

Представим интеграл как сумму интегралов. Проинтегрируем члены с асимптотикой O(k −1 ) при |k| → ∞ по частям по ξ. Дважды проинтегрируем по частям по ξ член Z ∞Z ∞ N 1 I10 = dξdηf2 (ξ, η) exp(−ikξ) φ 22 (ξ, η, l). 4π −∞ −∞ В результате получим N

f 2 = O(k −2 ) при

|k| → ∞,

равномерно при l ∈ R.

|l| → ∞,

равномерно при k ∈ R.

Таким же образом можно показать, что N

f 2 = O(l−2 ) при

N

Следовательно, f 2 ∈ L1 . Лемма доказана. В результате I1 = O(ε). Рассмотрим еще один член из формулы (6.13): Z Z N 1 ∞ ∞ − I2 = dkdlψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)( f 2 (k, l) − fˆ2 (k, l)). π −∞ −∞ N

Лемма 6.4. k f 2 − fˆ2 (k, l)kL1 = O(ε). Доказательство. N

1 f 2 (k, l) − fˆ2 (k, l) = 4π N

Z

∞

Z

−∞ N

∞

−∞

N N dξdη f2 (ξ, η)[(ψ 12 (ξ, η, k) − ψ12 (ξ, η, k)) φ 12 (ξ, η, l)+ N

N

+( φ 12 (ξ, η, l) − φ12 (ξ, η, l))ψ 12 (ξ, η, k)] + f1 (ξ, η)[(ψ 22 (ξ, η, k) − ψ22 (ξ, η, k)) φ 22 (ξ, η, l)+ N

N

+( φ 22 (ξ, η, l) − φ22 (ξ, η, l))ψ 22 (ξ, η, k)]].

(6.14)

Представим интеграл как сумму интегралов по ξ и η. Рассмотрим асимптотику одного из слагаемых при |k| → ∞: Z ∞Z ∞ N N 1 J1 = dξdηf1 (ξ, η)(ψ 22 (ξ, η, k) − ψ22 (ξ, η, k)) φ 22 (ξ, η, l) = 4π −∞ −∞ Z ∞Z ∞ Z η i 1 ε N = dξdηf1 (ξ, η)[ dη 0 (q 2 (ξ, η 0 ) q 1 (ξ, η 0 )+ 4π −∞ −∞ 4k −∞ ε

N

N

+q 1 (ξ, η 0 ) q 2 (ξ, η 0 )) + O(k −2 )] exp(ikξ) φ 22 (ξ, η, l). После интегрирования по частям по ξ получим: J1 = O(ε)O(k −2 ) при |k| → ∞, l ∈ R. Таким же образом можно получить J1 = O(ε)O(l−2 ) при

|l| → ∞, k ∈ R.

Более того, J1 = O(ε) при k, l ∈ R. Это следует из леммы 6.1. В результате получим kJ1 kL1 = O(ε). Таким же образом можно оценить остаточные слагаемые в (6.14). В результате получено утверждение леммы 6.4. Из леммы 6.4 следует, что I2 = O(ε). Другие слагаемые из формулы (6.13) оцениваются так же. В результате получим |f1 − h1 | = O(ε) при ξ, η ∈ R. Такая же формула справедлива для f2 и h2 : |f2 − h2 | = O(ε) при

ξ, η ∈ R.

Пусть ε → 0. Тогда получим утверждение теоремы 6.1.

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

127

6.1.6. Временная эволюция данных рассеяния. Здесь изучается временная эволюция вариаций ¯ и Q — решение уравнения ДС-1 с данных рассеяния в специальном случае, когда q1 = Q, q2 = κQ, краевыми условиями g1 |ξ→−∞ = 0 и g2 |η→−∞ = 0. Вариации данных рассеяния ˆ2 = 1 (ψ − (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))U , U 4π (2) ˆ1 = 1 (ψ + (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))U . U 4π (1) ¯1 . В этом случае Здесь U( ξ, η, t) — решение линеаризованных уравнений лДС-1 (6.1) и U2 = κU + + ψ(1) = ψ(1) (ξ, η, k, t) и они являются решениями системы уравнений [119] 1 0 + + 2 + ∂t ψ(1) = ik ψ(1) + i (∂ξ − ∂η )2 ψ(1) + 0 −1 0 q1 ig1 −i∂η q1 + + +i (∂ξ − ∂η )ψ(1) + ψ(1) . (6.15) q2 0 i∂ξ q2 −ig2 Можно показать, что φ(1) удовлетворяет системе 1 0 ∂t φ(1) = ik 2 φ(1) + i (∂η − ∂ξ )2 φ(1) − 0 −1 0 q1 ig2 i∂ξ q1 −i (∂η − ∂ξ )φ(1) + φ(1) . q2 0 −i∂η q2 −ig1

(6.16)

ˆ1 по t: Возьмем производную функции U ˆ1 = 1 (∂t ψ + (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))U + ∂t U (1) 4π 1 + 1 + + (ψ(1) (ξ, η, k), ∂t φ(1) (ξ, η, l))U + (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))∂t U . 4π 4π (1) + Дальше, заменяя производную от ψ(1) согласно (6.15), производную от φ(1) согласно (6.16) и производные от U1 и U2 согласно (6.1), получим интегралы, содержащие только производные по пространственным переменным. Затем с помощью довольно громоздких вычислений интегралов по частям можно избавиться от производных функций ψ и φ. В результате получим: ˆ1 = i(k 2 + l2 )U ˆ1 + Fˆ1 . ∂t U Так же можно получить: ˆ2 = −i(k 2 + l2 )U ˆ2 + Fˆ2 . ∂t U Теорема 6.2 доказана. 6.2. Возмущение дромиона. Здесь строится асимптотическое решение возмущенного, вообще говоря, неинтегрируемого МОЗР уравнения 1 i∂t Q + (∂ξ2 + ∂η2 )Q + (g1 + g2 )Q = εiF, 2 (6.17) κ κ ∂ξ G1 = − ∂η |Q|2 , ∂η G2 = − ∂ξ |Q|2 . 2 2 Здесь ε — малый параметр, F ≡ AQ — возмущающий оператор. Явный вид возмущающего оператора может определяться, например, малыми неровностями дна или учетом следующих поправок в исходной, несколько более физичной модели, рассмотренной, в частности, в работах [109, 113]. Для простоты взято линейное возмущение, учитывающее слабую неровность дна. Другие возмущения, связанные с исходной системой уравнений поверхностных волн, здесь обсуждаться не будут, хотя метод построения асимптотических решений позволяет исследовать уравнение (6.17) с достаточно широким классом возмущающих операторов. Здесь рассматривается возмущение дромионного решения (4.18) невозмущенного уравнения ДС1. Решение (4.18) уравнения (4.1) хорошо известно в силу того, что это, по-видимому, первое из найденных решений (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений, которое экспоненциально убывает

128

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

во всех пространственных направлениях. Если κ = −1, а постоянная ρ такова, что |ρ| >

16 , это µλ

решение имеет особенности на некоторых линиях η = const и ξ = const. Построение асимптотических солитоноподобных решений для возмущений интегрируемых уравнений достаточно популярно. Наиболее подробно исследованы возмущения (1 + 1)-мерных уравнений: построены асимптотические решения, пригодные на временах порядка обратной величины параметра возмущения; подробно исследованы уравнения для поправок [43, 132, 137, 138]. В большом количестве работ исследуется неустойчивость квазиодномерных решений (2+1)-мерных уравнений по отношению к трансверсальным возмущениям [37,78,107]. Возмущение существенно двумерных решений — менее развитая тематика. При построении теории возмущений для решений нелинейных уравнений важную роль играет возможность полного исследования линеаризованного уравнения. В нашем случае это можно сделать с помощью предложенного выше решения линеаризованного уравнения методом Фурье. 6.2.1. Постановка задачи и результаты. Асимптотическое по mod(O(ε2 )) решение уравнений (6.17) с граничными условиями (4.19) будем искать в виде Q(ξ, η, t, ε) = W (ξ, η, t, τ ) + εU (ξ, η, t, τ ), G1 (ξ, η, t, ε) = g1 (ξ, η, t, τ ) + εh1 (ξ, η, t, τ ),

(6.18)

G2 (ξ, η, t, ε) = g2 (ξ, η, t, τ ) + εh2 (ξ, η, t, τ ), где τ = εt — медленное время. Главный член асимптотики имеет вид W (ξ, η, t, τ ) = q(ξ, η, t; ρ(τ )), Z κ ξ dξ 0 ∂η |W (ξ 0 , η, t, τ )|2 , g1 (ξ, η, t, τ ) = u1 (η) − 2 −∞ Z κ η g2 (ξ, η, t, τ ) = u2 (ξ) − dη 0 ∂ξ |W (ξ, η 0 , t, τ )|2 . 2 −∞ Здесь q(ξ, η, t; ρ) — дромионное решение уравнения Деви—Стюартсона-1: q(ξ, η, t; ρ) =

µλρ exp(it(λ2 + µ2 )) 2 ch(µξ) ch(λη)(1 − κ|ρ|2 µλ 16 (1 + th(λη))(1 + th(µξ)))

,

функции u1 (η) и u2 (ξ) соответствуют дромионным граничным условиям: u1 (ξ) =

λ2 , 2 ch2 (λη)

u2 (ξ)

µ2 . 2 ch2 (µξ)

2 Обозначим γ(τ ) = 1 − κ µλ 4 |ρ(τ )| , γ0 = γ(0).

Теорема 6.4. Если exp(2Aτ )

γ(τ ) = γ0

,

Arg(ρ(τ )) ≡ const,

где γ0 > 1 при κ = −1 и 0 < γ0 < 1 при κ = 1, тогда асимптотическое по mod(O(ε2 )) решение (6.18) равномерно пригодно при t = O(ε−1 ). Замечание 6.1. На более широком интервале времени t ε−1 log(log(ε−1 )) формулы (6.18) дают асимптотическое решение возмущенного уравнения ДС-1 по mod(o(1)). Проведенный асимптотический анализ пригоден для возмущений решений вида (4.18) без сингулярностей, т.е. если κ = 1, то |ρ| < 16/µλ. В построенной асимптотике модуль параметра ρ зависит от τ . Если коэффициент в возмущении A < 0, то |ρ| растет со временем и существует конечное значение τs , при котором ρ = 16/(λµ); при подходе к этому значению τs построенная асимптотика становится непригодной. Развитие сингулярностей в решении неинтегрируемых методом обратной задачи систем уравнений типа Деви—Стюартсона — известный эффект [154].

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

129

Замечание 6.2. Уравнение модуляции для |ρ(τ )| может быть получено из «энергетического» равенства [77]: Z Z Z Z 2 ¯ ). ∂t dξdη|Q| = ε dξdη(QF¯ − QF R2

R2

6.2.2. Решение линеаризованного уравнения. Воспользовавшись базисностью разложения, приведенного в теореме 6.1, можно получить решение задачи Коши для линеаризованного уравнения ˆ от времени несколько отличается от полученной в п. 6.1 из-за того, что ДС-1. Здесь зависимость h исследуется решение уравнения ДС-1 с ненулевыми краевыми условиями (4.2). ¯ где Q — решение уравнения ДС-1 с граничными Теорема 6.5. Пусть q1 = Q и q2 = κQ, условиями G1 |ξ→−∞ = u1 и G2 |η→−∞ = u2 , и Q удовлетворяет условиям теоремы 6.1, решение линеаризованного уравнения ДС-1 — гладкая и интегрируемая функция U по ξ и η, где ∂ α U ∈ L1 ∩ C 1 и ∂ α F ∈ L1 ∩ C 1 для |α| ≤ 4 и t ∈ [0, T0 ]. Тогда ˆ1 = i(k 2 + l2 )U ˆ1 + ∂t U

Z

ˆ2 = −i(k 2 + l2 )U ˆ2 + ∂t U

Z

ˆ1 (k − k 0 , l, t)χ(k 0 ) + dk 0 U

Z

ˆ2 (k − k 0 , l, t)χ(k 0 ) + dk 0 U

Z

ˆ1 (k, l − l0 , t)κ(l0 ) + Fˆ1 , dl0 U ˆ2 (k, l − l0 , t)κ(l0 ) + Fˆ2 . dl0 U

(6.19) (6.20)

Если граничные условия в задаче для уравнения ДС-1 — тождественные нули, то χ ≡ κ ≡ 0. В этом случае формулы теоремы 6.1 позволяют явно решить линеаризованное уравнение ДС-1. В этом пункте рассматривается решение уравнения ДС-1 с ненулевыми граничными условиями, это приводит к интегральным слагаемым в формулах теоремы 6.1. Для того, чтобы выписать решение линеаризованного уравнения, необходимо преобразовать формулы (6.19) и (6.20). В правой части (6.19) и (6.20) интегральные слагаемые не что иное, как свертки. Перейдем к уравнениям для ˆ (k, l, t, τ ) по переменным k и l. В результате получим линейное уравнение образов Фурье функций U Шр¨едингера: ˜2 = F˜ . ˜1 + (u2 (ξµ) + u1 (ηλ))U ˜1 + (∂ 2 + ∂η2 )U i∂t U ξ

(6.21)

Здесь Z 1 ˜ ˆ (k, l, t, τ ) exp(−ikη − ilξ); U1 (ξ, η, t, τ ) = dkdlU 2π R2 Z 1 ˜ F (ξ, η, t, τ ) = dkdlFˆ (k, l, t, τ ) exp(−ikη − ilξ). 2π R2 Такое же уравнение, только с нулевой правой частью, было получено при анализе зависимости от времени данных рассеяния системы ДС-1 в [122]. Решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями для уравнения (6.21) можно получить методом разделения переменных. Формулы для построения базисного набора решений однородного уравнения приведены, например, в [122]. В нашем случае решение уравнения (6.21) методом Фурье имеет вид Z 1 ˜ ˘ (m, n, t)X(ξ, m)Y (η, n) exp(−it(m2 + n2 ))+ U (ξ, η, t) = dmdnU 2π R2 Z 1 ˘µ (n, t)Y (η, n)Xµ (ξ) exp(−it(n2 − µ2 ))+ +√ dnU 2π R 1 +√ 2π

Z R

˘λ (m, t)X(ξ, m)Yλ (η) exp(−it(m2 − λ2 )) + U ˘µ,λ Xµ (ξ)Yλ (η) exp(it(µ2 + λ2 )). dmU

130

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

Здесь приняты обозначения: µ th(µξ) + im µ exp(−imξ), Xµ (ξ) = ; im − µ 2 ch(µξ) λ th(λη) + in λ Y (n, η) = exp(−inη), Yλ (η) = ; in − λ 2 ch(λη) ˘ = i(m2 + n2 )U ˘ + F˘ (m, n, t), ∂t U ˘µ = i(n2 − µ2 )U ˘ + F˘µ (n, t), ∂t U ˘λ = i(m2 − λ2 )U ˘ + F˘λ (m, t), ∂t U ˘µλ = −i(λ2 − µ2 )U ˘ + F˘µλ (t), ∂t U X(m, ξ) =

˘ |t=0 = U ˘µ |t=0 = U ˘λ |t=0 = U ˘µλ |t=0 = 0; U Z ¯ F˘ (m, n, t) = dξdη F˜ (ξ, η, t)X(m, ξ)Y¯ (n, η), R2 Z ˘ ¯ µ (ξ)Y¯ (n, η), dξdη F˜ (ξ, η, t)X Fµ (n, t) = R2 Z ¯ F˘λ (m, t, τ ) = dξdη F˜ (ξ, η, t)X(m, ξ)Y¯λ (η), R2 Z ˘ ¯ µ (ξ)Y¯λ (η). Fµλ (t, τ ) = dξdη F˜ (ξ, η, t)X R2

6.2.3. Уравнение для первой поправки. В этом пункте получено уравнение для медленной деформации параметра ρ(τ ). Оно выводится из требования равномерной ограниченности первой поправки асимптотики в формуле (6.18). Подставим формулу (6.18) в уравнение (6.17). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра ε. Уравнение при ε0 удовлетворяется в силу того, что W, G1 , G2 — асимптотическое решение невозмущенного уравнения (4.1). Для первой поправки получим линеаризованное уравнение ДС-1: i∂t U + (∂ξ2 + ∂η2 )U + (G1 + G2 )U + (V1 + V2 )W = iH, κ ¯ +W ¯ U ), ∂η V2 = −κ ∂ξ (W U ¯ +W ¯ U ), ∂ξ V1 = − (W U 2 2

(6.22)

где H = AW − ∂τ W. Начальное и краевые условия для функций U, V1 и V2 — нулевые. Прежде чем воспользоваться формулами предыдущего пункта для решения линеаризованного уравнения, выясним вид правой части в первом из уравнений (6.22). От медленного времени τ в главном члене может зависеть лишь один параметр ρ = ρ(τ ). Остальные параметры в формуле для главного члена асимптотики однозначно связаны с краевыми условиями и не меняются при возмущении уравнения. Для удобства представим ρ(τ ) = r(τ ) exp(iα(τ )), где r(τ ), α(τ ) вещественные. Производная по медленному времени в этом случае может быть записана в виде ∂τ W = ∂r W r0 + ∂α W α0 . Здесь неизвестны производные r0 и α0 . Они будут определены ниже. ˆ В соответствии с формулами теоремы 6.5 и видом функций Перейдем к вычислению образа H. ψ + и φ, приведенных в п. 4.1.4 и в приложении 6.2.5, получим: b b l; ρ)∂τ ρ), H(k, l, t, τ ) = exp(−it(λ2 + µ2 ))(Pb(k, l; ρ) − R(k, где b l; ρ) = exp(it(λ2 + µ2 ))∂[ [ , R(k, Pb(k, l; ρ) = exp(it(λ2 + µ2 ))iAW τW.

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

131

В этих формулах выделена в явном виде зависимость от времени t. Такой вид удобен для выявления секулярных членов в формальном асимптотическом разложении (6.18). Выпишем дифференциаль˘: ные уравнения для U ˘ = i(m2 + n2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘ (m, n; ρ) − R(m, ˘ ∂t U n; ρ)), ˘µ = i(n2 − µ2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘µ (n; ρ) − R ˘ µ (n; ρ)), ∂t U ˘λ = i(m2 − λ2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘λ (m; ρ) − R ˘ λ (m; ρ)), ∂t U ˘µλ = −i(λ2 − µ2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘µλ (ρ) − R ˘ µλ (ρ)). ∂t U ˘ приводит неоднородное слагаемое в Легко видеть, что к секулярным слагаемым в образах U ˘µλ . Условие равенства нулю этого слагаемого и есть уравнение для определения уравнении для U зависимости ρ(τ ): ˘ µλ − P˘µλ = 0, ρ|τ =0 = ρ0 . R (6.23) ˘ ˘ В результате Uµλ ≡ 0. Остальные уравнения для образов U легко интегрируются. Решения этих уравнений равномерно ограничены по всем своим аргументам. Для утверждения об ограниченности первой поправки U, V1 , V2 остается вернуться от образов ˘ к прообразам. Как прямые (от U к U ˘ ), так и обратные (от U ˘ к U ) интегральные преобразоU вания можно представить как преобразования Фурье от гладких, экспоненциально убывающих по соответствующим переменным функций. Преобразование Фурье переводит такие функции в аналитические функции в некоторой окрестности вещественной прямой. Обратное преобразование переводит аналитическую функцию в экспоненциально убывающую. Таким образом, решение линеаризованного уравнения для первой поправки асимптотики U (ξ, η, t, τ ) — прообраз построенных ˆ — оказывается ограниченным и экспоненциально убывающим по пространственным функций U переменным. 6.2.4. Уравнение модуляции параметра. Уравнение (6.23) приведем к более удобному для анализа виду. Для этого запишем в явном виде производную главного члена по медленному времени τ : # " r0 2W . (6.24) i∂τ W = −α0 W + i W − 1 − κr2 µλ (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) r 16

˘ Вычислим последовательно образы (·) µλ для каждого из слагаемых в формуле (6.24). Здесь удобно 2 обозначить µλr /4 = Γ, ρ exp(−it(λ2 + µ2 )) ˘ ) = κ¯ (W (κΓ − 1) log |1 − κΓ|; µλ 8 2 2 ˘ ) = −iκΓ ρ exp(−it(λ + µ )) . (iW µλ 8 ˘ Обозначим образ последнего слагаемого из (6.24) hµλ . Он имеет вид ρ exp(−it(λ2 + µ2 )) 1 r0 κ¯ ˘ hµλ = (1 − κΓ) − 1 − log |1 − κΓ| . r 8 1 − κΓ ˘ слагаемого AW может быть представлен в похожем виде. Образ (·) Подставим эти формулы в (6.23), разделим мнимую и вещественную части в этом уравнении. В результате получим: r0 r0 (κΓ − 1) log |1 − κΓ| − (κΓ − (1 − κΓ) log |1 − κΓ|) + A(κΓ − 1) log |1 − κΓ| = 0. r r Используя обозначение для Γ, второе уравнение можно переписать в виде α0 = 0,

dΓ = −2κA(1 − κΓ) log |1 − κΓ|. dτ Это уравнение определяет эволюцию модуля комплексного параметра ρ. Аргумент этого параметра не меняется при выбранном возмущении F = AQ.

132

7. ТЕОРИЯ


ДС-1

Обозначим γ = 1 − κΓ, перепишем уравнение для γ. В результате получим: γ 0 = 2Aγ log(γ). Решение этого уравнения имеет вид γ(τ ) = exp(C exp(2Aτ )), где γ|τ =0 = exp(C). Тогда получим: exp(2Aτ )

γ(τ ) = γ0

.

Теорема 6.4 доказана. 6.2.5. Приложения. Явные формулы. Здесь приводятся задачи, решениями которых являются функции, сопряженные к функциям ψ ± относительно введенных билинейных форм. Выпишем интегральные уравнения, которым удовлетворяют элементы матрицы-функции φ — решения краевой задачи, сопряженной решениям задачи (4.3), (0.9), относительно первой билинейной формы (4.8). Первый столбец матрицы φ — решение интегрального уравнения Z 1 η φ11 (ξ, η, l, t) = exp(ilξ) + dη 0 Q(ξ, η 0 , t)φ21 (ξ, η 0 , l, t), 2 −∞ Z −1 ∞ 0 ¯ 0 φ21 (ξ, η, l, t) = dξ Q(ξ , η, t)φ11 (ξ 0 , η, l, t). 2 ξ Второй столбец φ удовлетворяет интегральному уравнению вида Z 1 ∞ 0 φ12 (ξ, η, l, t) = dη Q(ξ, η 0 , t)φ22 (ξ, η 0 , l, t), 2 η Z 1 ξ ¯ 0 , η, t)φ12 (ξ 0 , η, l, t). φ22 (ξ, η, l, t) = exp(−ilη) + dξ 0 Q(ξ 2 −∞ Явные формулы для первого столбца матрицы φ, использовавшиеся в п. 6.2.4: Z ∞ dpµ exp(ikp) 2 ch(µp) φ11 exp(ilξ) ξ × = + φ21 0 λµ 2 1 − κ|ρ| (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) 16   −κ|ρ|2 λµ(1 + th(µξ))   8 ch(µξ) . × 2 2  −κ¯ ρλ exp(−it(λ + µ ))  2 ch(λη) 7.

АСИМПТОТИКИ

(6.25)

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Этот параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте построены асимптотики интегралов, встречающихся при построении асимптотического решения системы (2.54) в окрестностях стационарных точек фазовой функции осциллирующей экспоненты. Этот пункт носит во многом вспомогательный характер — исследуемые здесь интегралы встречаются в тексте, в части, посвященной построению асимптотики решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили-2. Второй пункт посвящен построению асимптотик многомерных интегралов типа Коши с быстро осциллирующей экспонентой. Эта часть работы представляется интересной сама по себе. Вычисление асимптотик одномерных интегралов со слабой особенностью и быстро осциллирующей экспонентой проведено в [87, c. 26], [75, c. 332]. Асимптотика многомерных интегралов без особенностей подынтегральной функции с быстро осциллирующими экспонентами подробно изучена в [4,87]. Асимптотика интегралов Коши с быстро осциллирующей экспонентой в одномерном случае исследована в [87], в многомерном случае, в ситуации общего положения, — в работе автора [46]. Асимптотики многомерных интегралов со слабой особенностью исследованы не столь подробно. В частности, некоторые интегралы специального вида по комплексной плоскости исследовались в работе автора [51]. 7.1. Асимптотика двукратных интегралов со слабой особенностью.

8. АСИМПТОТИКИ


133

Интегралы по полуплоскости с невырожденной стационарной точкой фазовой функции экспоненты. Здесь построена асимптотика интеграла Z Z dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) I= l − n + Ω + ¯ при |l| → ∞, где область Ω = {l + l − i(l − ¯l) > 0}. Теорема 7.1. Асимптотика интеграла I при |l| → ∞ имеет вид exp(−i(l2 + ¯l2 )) 3iπ − ¯ + O(|l|−2 ) при l ∈ Ω+ ; I = −2iπ 2il 2l iπ I = − ¯ + O(|l|−2 ) при l 6∈ Ω+ . 2l Доказательство. Рассмотрим случай, когда l ∈ Ω+ . Разобьем область Ω+ на три подобласти: + Ω+ 1 = {Ω \ {[|n| ≤ |l|/2] ∪ [|n − l| < ε]}} — эта область не содержит стационарную точку фазы + экспоненты и особенность подынтегральной функции; Ω+ 2 = {Ω \ [|n| ≥ |l|/2]} — эта область + содержит стационарную точку фазы экспоненты; Ω3 = {|n − l| < ε} — область, в которой лежит особенность подынтегральной функции. Интеграл по области Ω+ 1 возьмем по частям, интегрируя экспоненту по переменной n. В результате получим Z Z Z dn ∧ d¯ n d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) 2 2 exp(−i(n + n ¯ )) = − −2in l−n l−n Ω+ ∂Ω+ 1 1 Z Z dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) − . (7.1) 2in2 l−n Ω+ 1 Граница области Ω+ 1 состоит из большой полуокружности радиуса R при R → ∞, окружности радиуса ε вокруг точки l = n, полуокружности радиуса |l|/2 и двух отрезков [R exp(3iπ/4), |l| exp(3iπ)/2] и [|l| exp(−iπ/4)/2, R exp(3iπ)]. Рассмотрим интегралы по элементам границы области Ω+ 1 . Интеграл по большой полуокружности при R → ∞ равен нулю. Интеграл по полуокружности радиуса |l|/2 имеет порядок |l|−3 (из-за осцилляций экспоненты и малости подынтегральной функции). Интеграл по окружности вокруг точки n = l будем рассматривать в пределе при ε → 0. В результате получим вычет подынтегральной функции, умноженный на 2iπ. Интеграл по оставшимся отрезкам: [R exp(3iπ/4), |l| exp(3iπ)/2] и [|l| exp(−iπ/4)/2, R exp(3iπ)] (обозначим их объединение через L) в результате простых вычислений приводится к виду Z Z dλ d¯ n exp(3iπ/4) = . ¯ ¯ −2il |λ|≥|l|/2 l − λ exp(iπ/4) n∈L −2in(l − n) Второе слагаемое в (7.1) оценивается величиной O(|l|−3 ). Рассмотрим интеграл по Ω+ 2 . Представим: 1 1 n ¯ = ¯ 1+ . l l−n l−n Тогда интеграл по Ω+ 2 можно записать в виде Z Z Z Z dn ∧ d¯ n 1 dn ∧ d¯ n I2 = exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) = ¯ exp(−i(n2 + n ¯ 2 ))+ + + l l − n l − n Ω2 Ω2 Z Z 1 dn ∧ d¯ n +¯ n ¯ exp(−i(n2 + n ¯ 2 )). + l l − n Ω2 Здесь второе слагаемое возьмем по частям, интегрируя экспоненту по переменной n ¯ . После некоторых вычислений получим: Z |l| exp(−iπ/4)/2 Z Z dn 1 1 2 2 I2 = ¯ dn ∧ d¯ n exp(−i(n + n ¯ )) + ¯ + O(|l|−2 ). 2il |l| exp(3iπ/4)/2 l − n l Ω+

134

8. АСИМПТОТИКИ


Интеграл по Ω+ 3 при ε → 0 равен нулю. Просуммируем полученные асимптотики: Z exp(−i(l2 + ¯l2 )) exp(iπ/2) ∞ dλ I = −2iπ + + ¯ ¯ 2il 2il −∞ l exp(−iπ/4) − λ Z 1 dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) + O(|l|−2 ). 2i¯l Ω+ Таким образом, доказано первое утверждение теоремы. Второе доказывается так же, следует только учесть, что в этом случае l 6∈ Ω+ и нет вклада интеграла вокруг области Ω+ 3. Теорема доказана. Асимптотика интеграла с вырожденной фазовой функцией. В этом пункте построена асимптотика при |p| → ∞ интеграла Z Z dr ∧ d¯ r W+ = exp(−iω(r)), (7.2) p − r + Ω где Ω± = ± 0. Сформулируем результат. Теорема 7.2. Асимптотика интеграла (7.2), где ω(p) = 4(p3 + p¯3 ) − v 2 (p + p¯) при |p| → ∞ и |p ± √v12 | ≥ 0 имеет вид 1 + 2 1 πi exp(−iω(p)) 2 φ (v ) + 2 φ+ + 2πi + 01 (v ) + 2 2  p¯ 00 p ¯ 12¯ p 12p  +O(|p|−3 + |v|2 |p|−2 ) при p ∈ Ω+ ;  = 1 + 2 1 πi  2 φ00 (v ) + 2 φ+ +  01 (v ) − p¯ p¯ 12¯ p2 −3 2 −2 +O(|p| + |v| |p| ) при p 6∈ Ω+ . 

W+

(7.3)

Здесь φ± jk

Z Z =

dr ∧ d¯ rrj r¯k exp(−iω(r)).

Ω±

Доказательство. Перейдем к доказательству теоремы. Представим интеграл в виде Z Z Z Z 1 1 W+ = dn ∧ d¯ n exp(−iω(n)) + 2 dn ∧ d¯ n exp(−iω(n))¯ n+ p¯ p¯ Ω+ Ω+ Z Z Z Z dn ∧ d¯ n 2 1 dn ∧ d¯ n v2 + n ¯ exp(−iω(n)) + (12¯ n2 − v 2 ) exp(−iω(n)). 2 2 12¯ p 12¯ p Ω+ p − n Ω+ p − n В последнем слагаемом проинтегрируем по частям по переменной n экспоненту, в результате получим:

1 + 12¯ p2

Z ∂Ω+

1 + 2 1 2 W + = φ+ 00 (v ) + 2 φ01 (v )+ p¯ p¯ 2 2 d¯ n (12¯ n − v ) exp(−iω(n)) + O(|p|−3 + |v|2 |p|−2 ). p−n (−i)(12n2 − v 2 )

Рассмотрим интеграл по границе области ∂Ω+ . Он складывается из интегралов по мнимой оси

Асимптотики решений многомерных интегрируемых уравнений и их возмущений

Recommend Documents