Аналитическая геометрия: Методические указания и контрольные задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра алгебры и геометрии Кафедра математического анализа

Г.Н. ЛОКТИОНОВА, Л.В.ДЮГАЕВА, Е.М. МОЗАЛЕВА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2004

ББК 22.151.5 я7 Л 73 УДК 514.12 (07)

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев кандидат физико-математических наук, доцент Т.М. Отрыванкина

Л 73

Локтионова Г.Н., Дюгаева Л.В., Мозалева Е.М. Аналитическая геометрия: Методические указания и контрольные задания.- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. - 38 с.

Рассматривается методика решения некоторых задач аналитической геометрии. Методические указания рассчитаны на студентов дневного отделения инженерно-технических специальностей.

ББК 22.151.5 я7

© Локтионова Г.Н., Дюгаева Л.В., Мозалева Е.М. 2004 © ГОУ ОГУ, 2004

Введение Цель преподавания математики в вузе – научить студентов математическому аппарату, необходимому для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык. При изучении темы «Аналитическая геометрия» студенты научатся решать задачи векторной алгебры с использованием свойств операций над векторами, скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, а также применять для решения геометрических задач. Студенты научатся решать задачи аналитической геометрии, связанные с взаимным расположением прямых и плоскостей, заданных различными видами уравнений. С помощью пакета заданий студенты смогут решать системы уравнений, вычислять определители, выполнять численные расчеты. В методических указаниях представлен пакет заданий для составления контрольных из тринадцати типовых задач с 30 вариантами исходных данных. В течение семестра студенты должны выполнить контрольные работы по соответствующему разделу и, защитив их, получить аттестацию в соответствии с планом (зачет или экзамен). Методические указания нацелены на повышение эффективности самостоятельной работы студентов.

3

1 Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Векторы в R3: основные определения (равенство, коллинеарность, компланарность), линейные операции. Свойства множества векторов на плоскости (реального пространства), исходящих из одной точки: линейное пространство, базис, размерность. Прямоугольная система координат в R3, координаты вектора, действия над векторами, заданными в координатной форме. Скалярная проекция вектора на ось: определение, свойства, геометрический смысл координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов: определения, свойства, формулы для вычисления, приложения. Плоскость и прямая в R3: различные способы задания, взаимное расположение. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Поверхности, основные свойства, классификация. Линейные и билинейные формы: определение и свойства. Квадратичные формы: определение, свойства, приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду. Матрица, ранг, дискриминант квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные формы, условия знакоопределенности. Соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Замечание. Для некоторых инженерно-технических специальностей в содержание раздела добавляются основные понятия дифференциальной геометрии и топологии.

4

2 Рекомендуемая литература 2.1 Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. - М.: Наука, 1987.- 496 с. 2.2 Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Справочное пособие к решению задач. - М.: Наука, 2000.- 288 с. 2.3 Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 3-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. – 388 с. 2.4 Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1.- 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2003.- 288 с.

5

3 Контрольные работы, порядок выполнения Контрольные работы составляются из традиционных контрольных заданий, приведенных в данном пособии. Распределение контрольных заданий по контрольным работам и сроки предоставления контрольных работ доводит до сведения лектор потока, кафедра алгебры и геометрии или учебная часть факультета. Студент выполняет вариант, заданный ему преподавателем. Контрольные работы выполняются в тетрадях или на сшитых листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с СТП 101-00. Обязательно указывается условие задачи, затем приводится подробное решение и ответ. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в контрольном задании. Ответ приводится в конце решения и содержит все требуемые в задании результаты. Контрольные работы сдаются точно в срок, и их защита проводится в течение указанного преподавателем времени. 3.1 Задачи для контрольной работы Задача 1 Написать разложение вектора x по векторам p, q , r 1. x = {− 2, 0, 9}, p = {0, − 1, 2}, q = {1, 0, − 1}, p = {1, − 3, 0}, q = {1, − 1,1}, 2. x = {5, − 12,1}, 3. x = {0, 2, 4}, p = {3,1, − 1}, q = {0, − 3,1}, 4. x = {− 1, 5, 5}, p = {2,1,1}, q = {− 2, 0, − 3}, 5. x = {− 1, − 2, 3}, p = {2, 0,1}, q = {1, 2, − 1}, 6. x = {− 5, 2, − 1}, p = {− 1,1, 0}, q = {2, − 1, 3}, 7. x = {1, − 5, 7}, p = {0, − 1,1}, q = {2, 0,1}, 8. x = {5,1, 4}, p = {2, 0, 2}, q = {0, − 1,1}, 9. x = {1,1, − 1}, p = {1,1, 0}, q = {− 1, 0,1}, 10. x = {− 3, 7, 4}, p = {− 2, 2,1}, q = {2, 0,1}, 11. x = {− 9, 5, 5}, p = {4,1,1}, q = {2, 0, − 3}, 12. x = {− 5, − 5, 5}, p = {− 2, 0,1}, q = {1, 3, − 1}, 13. x = {3, − 3, 4}, p = {1, 0, 2}, q = {0,1, 0}, 14. x = {3, 3, − 1}, p = {3,1, 0}, q = {− 1, 2,1}, 15. x = {− 1, 7, − 4}, p = {− 1, 2,1}, q = {2, 0, 3}, 16. x = {6, 5, − 14}, p = {1,1, 4}, q = {0, − 3, 2}, 17. x = {6, − 1, 7}, p = {1, − 2, 0}, q = {− 1,1, 3}, 18. x = {5,15, 0}, p = {1, 0, 5}, q = {− 1, 3, 2}, 19. x = {2, − 1,11}, p = {1,1, 0}, q = {0,1, − 2}, 6

.

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

= {− 1, 2, 4}. = {0, − 1, 2}. = {1,1,1}. = {− 1, 2,1}. = {0, 4, − 1} . = {1, 0,1} . = {3, − 1, 0}. = {3, − 1, 4}. = {− 1, 0, 2} . = {1,1,1}. = {− 1, 2,1}. = {0, 4,1}. = {2, − 1, 4}. = {− 1, 0, 2} . = {1,1, − 1} . = {2,1, − 1}. = {1, 0, 4}. = {0, − 1,1}. = {1, 0, 3}.

20. x = {11, 5, − 3}, 21. x = {8, 0, 5}, 22. x = {3,1, 8}, 23. x = {8,1,12}, 24. x = {− 9, − 8, − 3}, 25. x = {− 5, 9, − 13}, 26. x = {− 15, 5, 6}, 27. x = {8, 9, 4}, 28. x = {3,1, 3}, 29. x = {− 1, 7, 0}, 30. x = {0, − 8, 9},

p = {1, 0, 2}, p = {2, 0,1}, p = {0,1, 3}, p = {1, 2, − 1}, p = {1, 4,1}, p = {0,1, − 2}, p = {0, 5,1}, p = {1, 0,1}, p = {2,1, 0}, p = {0, 3,1}, p = {0, − 2,1},

= {− 1, 0,1}, = {1,1, 0}, = {1, 2, − 1}, = {3, 0, 2}, = {− 3, 2, 0}, = {3, − 1,1}, = {3, 2, − 1}, = {0, − 2,1}, = {1, 0,1}, = {1, − 1, 2}, = {3,1, − 1},

r r r r r r r r r r r

= {2, 5, − 3}. = {4,1, 2}. = {2, 0, − 1} . = {− 1,1,1} . = {1, − 1, 2}. = {4,1, 0}. = {− 1,1, 0}. = {1, 3, 0}. = {4, 2,1}. = {2, − 1, 0} . = {4, 0,1}.

Задача 2 Коллинеарны ли векторы p, q ? 1. a = {1, 2, − 3}, b = {1, 0, − 1}, p = 3a + 6b , 2. a = {2, 0,1}, b = {− 2, 3,1}, p = 2a + 2b , 3. a = {− 2, 2,1}, b = {− 1, − 2, 2}, p = a + 3b , 4. a = {− 1, 2, 3}, b = {2,1,1}, p = 2a + 3b , 5. a = {2, 5,1}, b = {5, 0, 2}, p = −a + b , 6. a = {1, 2, − 2}, b = {1, 3, − 1}, p = a + b, 7. a = {1, 2, 3}, b = {2, − 1, 0}, p = 6a − 2b , 8. a = {1, 3, − 1}, b = {2,1, 3}, p = + a − 3b , b = {1, 0, 2}, p = a + 3b , 9. a = {− 1, − 2, 2}, 10. a = {1, 3, 2}, b = {1, − 2, 6}, p = a −b, 11. a = {1, 0,1}, b = {− 2, 3, 5}, p = a + 2b , 12. a = {− 2, 4,1}, b = {1, − 2, 7}, p = 5a + 3b , 13. a = {3, 5, 4}, b = {5, 9, 7}, p = −2a + b , 14. a = {1, 4, − 2}, b = {1,1, − 1}, p = a + b, 15. a = {1, − 2, 5}, b = {3, − 1, 0}, p = 4a − 2b , 16. a = {3, 4, − 1}, b = {2, − 1,1}, p = 6a − 3b , 17. a = {− 2, − 3, − 2}, b = {1, 0, 5}, p = 3a + 9b , 18. a = {− 1, 4, 2}, b = {3, − 2, 6}, p = 2a − b , 19. a = {5, 0, − 1}, b = {7, 2, 3}, p = 2a − b , 20. a = {0, 3, − 2}, b = {1, − 2,1}, p = 5a − 2b , 21. a = {1, 3, 2}, b = {1, − 2, 6}, p = a −b, 22. a = {− 2, 7, − 1}, b = {− 3, 5, 2}, p = 2a + 3b , 23. a = {3, 7, 0}, b = {1, − 3, 4}, p = 4a − 2b , 24. a = {− 1, 2, − 1}, b = {2, − 7,1}, p = 6a − 2b ,

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

= −a + 2b . = 3a − 2b . = 2a − b . = a −b . = a − 3b . = a + 2b . = −3a + b . = −4a + 2b . = −2a − 6b . = −6a + 6b . = 3a − b . = 2a − b . = 3a − 2b . = 4a + 2b . = −2 a + b . = −2 a + b . = −a − 3b . = −6a + 3b . = −6a + 3b . = 3a + 5b . = −6a + 6b . = 3a + 2b . = −2 a + b . = −3a + b .

q q q q q q q q q q q

7

25. a 26. a 27. a 28. a 29. a 30. a

= {5, 0, − 2}, = {8, 3, − 1}, = {3, − 1, 6}, = {1, − 2, 4}, = {3, 7, 0}, = {2, − 1, 4},

b b b b b b

= {6, 4, 3}, = {4,1, 3}, = {5, 7,10}, = {7, 3, 5}, = {4, 6, − 1}, = {3, − 7, − 6},

p = 5a − 3b , p = 2a − b , p = 4a − 2b , p = 6a − 3b , p = 3a + 2b , p = 2a − 3b ,

Задача 3 Найти косинус угла между векторами AB, AC. 1. A(2, − 2, 3), B(1, − 1, 2), C (4, − 4, 5). 2. A(0, − 2, 6), B(− 12, − 2, − 3), C (− 9, − 2, − 6 ). 3. A(2, 3, − 1), B(4, 5, − 2 ), C (3,1,1). 4. A(− 1, − 1,1), B(3, 4, − 5), C (1,1, 0). B(1, − 2, 4 ), C (5, − 2,1). 5. A(− 2, − 2, 0), 6. A(3, 3, − 1), B(3, 2, 0), C (4, 4, − 1). 7. A(− 1, − 7, − 4 ), B(2, − 1, − 1), C (4, 3,1). 8. A(2, − 2, 6), B(0, 0, 4), C (6, − 6,10). 9. A(0,1, 0 ), B(3,1, 4 ), C (4,1, 3). 10. A(3, 2, 0 ), B(1, 4, − 1), C (4, 0, 2 ). 11. A(1, − 2, − 4 ), B(− 3, − 4, − 6 ), C (− 1, 2, − 1). 12. A(− 4, 2, 2), B(− 1, 2, − 4 ), C (− 3, − 8,1). 13. A(5, 3, 2), B(5, − 2,1), C (5, − 4, − 1). 14. A(− 3, − 4, 5), B(5, − 1, − 2 ), C (2, − 3,1). 15. A(2, − 2, − 6), B(1, − 2, − 4), C (4, − 8, − 10). 16. A(5,1, − 2 ), B(3, 2, 3), C (4, 2, − 1). 17. A(2, 2, − 1), B(− 1,5,7 ), C (4, − 1, − 1). 18. A(3, − 1, − 1), B(5, − 1, − 4), C (4, − 2, − 1). 19. A(− 1, 2,1), B(3, 4, 5), C (4, − 2, − 2 ). 20. A(5, − 2, − 3), B(3, 3, − 2), C (5, 3, − 3). 21. A(0,1, 4 ), B(2, − 6, − 1), C (5, − 10, − 1). 22. A(2, 4, − 1), B(4, − 6,1), C (− 2, 4, − 1). 23. A(3, − 6, 4 ), B(1, − 3, − 6 ), C (9,1,1). 24. A(1, 2, − 4), B(1, − 2, − 2), C (12, − 2, − 4). 25. A(3, 2, − 1), B(4, − 1, 2 ), C (− 4, 2, 2 ). 26. A(− 4, 3, 2 ), B(2,1, − 3), C (− 2, − 4, 0 ). 27. A(2, − 1,1), B(− 2,1, 3), C (6, − 1, 2). 28. A(7,1, 2 ), B(− 7, − 1, 2 ), C (1, − 1, 3). 29. A(3, − 3, 2), B(2, − 3, 2), C (− 3, 4, − 3). 8

q q q q q q

= 3a + 5b . = −4a + 2b . = −2a + b . = −4a + 2b . = 5a − 7b . = 3a − 2b .

30. A(2, − 2, 3),

B(1,1, 6),

C (− 2, − 5, 3).

Задача 4 Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a и b , ∠ p, q - угол между векторами p, q . 1. a = p + 3q , b = 2 p − q, p = 2, q = 1, ∠pq = π 6.

2. a = 2 p + q , 3. a = p − 2q , 4. a = 3 p − 5q , 5. a = p − q , 6. a = p + 2q , 7. a = 2 p − 2q , 8. a = p + q , 9. a = 4 p − 4q , 10. a = p + q , 11. a = p + 2q , 12. a = 3 p + q , 13. a = p − 3q , 14. a = 3 p − 2q , 15. a = p − 2q , 16. a = p + 3q , 17. a = 2 p − q , 18. a = 4 p + q , 19. a = p − 4q , 20. a = p + 4q , 21. a = 3 p + 2q , 22. a = 4 p − q , 23. a = 2 p + 3q , 24. a = 3 p − q , 25. a − = 2 p + 3q , 26. a = 2 p − 3q , 27. a = 5 p + q , 28. a = 7 p − 2q , 29. a = 6 p − q , 30. a = 10 p + q ,

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

= p − 3q , = p + 3q , = p + 2q , = 2 p + 2q , = 3 p − 2q , = p + q, = p − 4q , = p + 3q , = 2 p − q, = 3p − q, = p − 2q , = p + 2q , = p + 5q , = 2 p + q, = p − 2q , = p + 3q , = p − q, = 3 p + q, = 2 p − q, = p − q, = p + 2q , = p − 2q , = p + 2q , = p − 2q , = 3p + q, = p − 3q , = p + 3q , = p + q, = 3 p − 2q ,

p p p p p p p p p p p p p p P p P p p p p p p p p p p p p

= 2, = 1, = 2, = 1, = 3, = 2, = 7, = 2, = 2, = 1, = 4, = 1 / 5, = 4, = 2, = 2, = 3, = 7, = 1, = 7, = 10, = 5, = 6, = 3, = 2, = 4, = 1, = 1 / 2, = 3, = 4,

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

= 2,

∠pq = π 4 .

= 2,

∠pq = π 2.

= 1,

∠pq = 5π 6.

= 6,

∠pq = 3π 4 .

= 2,

∠pq = π 3.

= 3,

∠pq = π 2.

= 1,

∠pq = π 4.

= 1,

∠pq = π 6 ,

= 3,

∠pq = π 3 .

= 2,

∠pq = π 6.

= 1,

∠p, p = π 4 .

= 1,

∠pq = π 2.

= 1 / 2,

∠pq = 5π 6.

= 3,

∠pq = 3π 4 .

= 3,

∠pq = π 3.

= 2,

∠pq = π 2.

= 2,

∠pq = π 4.

= 2,

∠pq = π 6 .

= 2,

∠pq = π 3 .

= 1,

∠pq = π 2 .

= 4,

∠p, q = π 4 .

= 7,

∠pq = π 3.

= 4,

∠pq = π 3.

= 3,

∠pq = π 4 .

= 1,

∠pq = π 6.

= 2,

∠pq = π 3.

= 2,

∠pq = π 2.

= 4,

∠pq = π 4.

= 1,

∠pq = π 6 . 9

Задача 5 Компланарны ли векторы a , b , c ? b = {− 1, 0, − 1}, c = {1, 2,1}. 1. a = {1, 3, 0}, 2. a = {3, 2,1}, b = {5, 5, 5}, c = {0, − 1, − 2}. 3. a = {0, 6,1}, b = {0, 2, 0}, c = {1,1,1}. 4. a = {4,1, − 2}, b = {3, 2,1}, c = {5, 5, 5}. 5. a = {2, 5, 0}, b = {2, − 1, 2}, c = {1,1,1}. 6. a = {1, 0, − 1}, b = {− 2, − 1, 0}, c = {3,1, − 1}. 7. a = {4, 3,1}, b = {5,1, 2}, c = {2,1, − 1}. 8. a = {− 2, 4, 3}, b = {4, 7, 5}, c = {2, 0, − 1}. 9. a = {2, 5, 8}, b = {1, − 3, − 7}, c = {0, 5,10}. 10. a = {1, 5,1}, b = {1, 7,1}, c = {2, 2,1}. 11. a = {2, 3,1}, b = {− 1,1 − 1, }, c = {2, 2,1}. 12. a = {− 3, 0,1}, b = {0, 5, 5}, c = {5, − 1, − 2}. 13. a = {− 4,1,1}, b = {− 1, 5, 5}, c = {5, 0, 3}. 14. a = {3,1, − 2}, b = {1, − 2,1}, c = {− 5, 2, 3}. 15. a = {− 3, 5, − 1}, b = {− 2,1, − 2}, c = {− 1, 2, − 1}. 16. a = {4,1, − 1}, b = {2, − 1, 3}, c = {− 3, 2, − 1}. 17. a = {3, 3,1}, b = {− 2, 2, − 1}, c = {− 2, 2, − 1}. 18. a = {2, − 4, − 3}, b = {3, 5, 5}, c = {2, 2, 2}. 19. a = {− 2, 4, 4}, b = {2, − 3, − 7}, c = {0, 5,1}. b = {− 1, 6, − 1}, c = {3, − 2,1}. 20. a = {− 1, 4, − 1}, 21. a = {− 1, 5,1}, b = {− 1, 5, − 1}, c = {3, 2, 3}. 22. a = {1, 2, − 1}, b = {4, 4, 4}, c = {1, 5, − 2}. 23. a = {5, 5, 5}, b = {4, − 4, 3}, c = {0,1,−2 }. 24. a = {3, 3, − 2}, b = {2, − 2,1}, c = {0,1, 5}. 25. a = {3, 5, 0}, b = {1, − 1, − 2}, c = {2, 2, 2}. 26. a = {1, 3, − 1}, b = {2, 3, 0}, c = {− 3, 0, − 1}. 27. a = {− 4, 3, − 1}, b = {0,1, 2}, c = {3, − 1, − 1}. 28. a = {− 2, − 4, − 3}, b = {2, 6, 5}, c = {1, 2, − 1}. 29. a = {3, 2,1}, b = {2, 3, − 7}, c = {1, 5, 5}. 30. a = {2, − 5,1}, b = {− 1, 6,1}, c = {− 2, − 3,1}. Задача 6 Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 и его высоту, опущенную из A4 на грань A1 A2 A3 . 1. A1 (2, 4, 7 ), A2 (3, 3, 2), A3 (0,1, 2), A4 (− 3, 7, − 2). 10

2. A1 (− 2, 4, 8), 3. A1 (6,1, 3), 4. A1 (0, − 1, 2), 5. A1 (0, − 4, 3), 6. A1 (2,1,1), 7. A1 (4,1, − 1), 8. A1 (5, 2,1), 9. A1 (0, 2, − 2 ), 10. A1 (12, 2, 3), 11. A1 (1, 3, 6), 12. A1 (− 4, 2, 6 ), 13. A1 (7, 2, 4), 14. A1 (2,1, 4 ), 15. A1 (− 1, − 5, 2), 16. A1 (0, − 1, − 1), 17. A1 (5, 2, 0 ), 18. A1 (2, − 1, − 2), 19. A1 (− 2, 0, − 4 ), 20. A1 (14, 4, 5), 21. A1 (1, 2, 0 ), 22. A1 (2, − 1, 2), 23. A1 (1,1, 2 ), 24. A1 (2, 3,1), 25. A1 (1,1, − 1), 26. A1 (1, 5, − 7 ), 27. A1 (− 3, 4, − 7 ), 28. A1 (− 1, 2, − 3), 29. A1 (4, − 1, 3), 30. A1 (1, − 1,1),

A2 (4, − 1, 2 ), A2 (6, − 2, − 3), A2 (− 3, 3, − 4), A2 (− 5,1, − 2 ), A2 (0, 5, 7 ), A2 (1, 4, − 1), A2 (4, 5, 4), A2 (1, 9, 3), A2 (− 7, − 5, 0 ), A2 (2, 2,1), A2 (2, − 3, 0 ), A2 (7, − 1, − 2), A2 (− 1, 5, − 2 ), A2 (− 6, 0, − 3), A2 (− 2, 3, 5), A2 (2, 5, 0 ), A2 (1, 2,1), A2 (− 1, 7,1), A2 (− 5, − 3, 2), A2 (3, 0, − 3), A2 (1, 2, − 1), A2 (− 1,1, 3), A2 (4,1, − 2), A2 (2, 3,1), A2 (− 3, 6, 3), A2 (1, 5, − 4), A2 (4, − 1, 0 ), A2 (− 2,1, 0), A2 (− 2, 0, 3),

A3 (− 8, 7,10 ), A3 (2, 2, 0 ), A3 (− 9, − 5, 0), A3 (4, 7, − 2 ), A3 (3, − 3, − 7 ), A3 (0,1, 3), A3 (8, 3, − 3), A3 (6, − 6, − 2 ), A3 (− 4, − 8, − 5), A3 (− 1, 0,1), A3 (− 10, 5, 8), A3 (3, 3,1), A3 (− 7, − 3, 2 ), A3 (3, 6, − 3), A3 (1, − 5, − 9 ), A3 (1, 2, 4 ), A3 (5, 0, − 6 ), A3 (4, − 8, − 4 ), A3 (− 2, − 6, − 3), A3 (5, 2, 6 ), A3 (3, 2,1), A3 (2, − 2, 4), A3 (6, 3, 7 ), A3 (3, 2,1), A3 (− 2, 7, 3), A3 (− 5, − 2, 0), A3 (2,1, − 2 ), A3 (0, − 5,1), A3 (2,1, − 1),

A4 (− 3, 4, − 2 ). A4 (− 5,1, 0 ). A4 (− 8, − 5, 4). A4 (− 9, 7, 8). A4 (1, 8, 5). A4 (− 2, 0, 0 ). A4 (− 7,12, − 4). A4 (3, − 2, 8). A4 (− 4, 0, − 3). A4 (− 4, 6, − 3). A4 (− 5, 2, − 4 ) A4 (− 4, 2,1). A4 (− 6, − 3, 6 ). A4 (− 10, 6, 7 ). A4 (− 1, − 6, 3). A4 (− 1,1,1). A4 (− 10, 9, − 7 ). A4 (1, − 4, 6 ). A4 (− 2, 2, − 1). A4 (8, 4, − 9 ). A4 (− 4, 2, 5). A4 (− 1, 0, − 2 ). A4 (7, 5, − 3). A4 (5, 9, − 8). A4 (− 4, 8, − 12). A4 (2, 5, 4). A4 (3, 4, 5). A4 (3, 2, − 6). A4 (2, − 2, − 4 ).

Задача 7 Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M1, M 2 , M 3 . 1. M 1 (0, 7, − 4 ), M 2 (4, 8, − 1), M 3 (− 2,1, 3), M 0 (− 9,10, 2 ). 2. M 1 (5, 8, 3), M 2 (10, 5, 6), M 3 (8, 7, 4), M 0 (7, 0,1). 3. M 1 (1, 3, 5), M 2 (− 5, 5, 2 ), M 3 (7, − 1, 8), M 0 (− 3, 4, 3). 4. M 1 (0, − 2, − 1), M 2 (− 3, − 1, 2 ), M 3 (1, 0, − 2 ), M 0 (− 3, 3,1). 5. M 1 (2, 3,1), M 2 (2, 0, 3), M 3 (1, 2, 0), M 0 (3, 0, 5). 11

6. M 1 (4, 3, 5), 7. M 1 (4, 5, 0 ), 8. M1 (5,12,1), 9. M 1 (0, 3, 5), 10. M1 (1, − 2, 2), 11. M 1 (1, 2, 5), 12. M1 (1, 2, 3), 13. M 1 (2, 3, − 5), 14. M 1 (10, − 2,1), 15. M 1 (3, 3, − 1), 16. M 1 (3, 3, 0 ), 17. M 1 (3, 5,1), 18. M 1 (5, 2,1), 19. M1 (1, 3, − 5), 20. M 1 (2, − 2, 2 ), 21. M 1 (1, 5, − 4 ), 22. M 1 (2, 4,1), 23. M 1 (1, 2, 4 ), 24. M1 (4,1,1), 25. M 1 (− 2, − 3,1), 26. M1 (2, 2, 2), 27. M 1 (3, 5, 0 ), 28. M 1 (− 5,1, − 1), 29. M 1 (1, 3, − 5), 30. M 1 (0, − 2, 2 ),

M 2 (4, 5, 2 ), M 3 (5,1, 4 ), M 0 (− 2, − 6, 2 ). M 2 (4, 3, 0 ), M 3 (1, 2, 9 ), M 0 (6,1, − 6 ). M 2 (0, 5, − 3), M 3 (− 4, 2, − 1), M 0 (− 4, 9, − 8). M 2 (0, − 1, − 3), M 3 (4, 0, 0 ), M 0 (− 1, 4, 6 ). M 2 (− 3, 2, 3), M 3 (3, 0, 6), M 0 (− 2, 5, − 4). M 2 (5, 8, 2 ), M 3 (2, − 1, 0 ), M 0 (10,1, − 2 ). M 2 (1, 6, 6), M 3 (3, 7, − 4), M 0 (− 7,10,1). M 2 (4, 5, − 2 ), M 3 (4, − 1, 5), M 0 (3, − 4, 5). M 2 (4, − 1, − 2 ), M 3 (− 1,1 − 2 ), M 0 (2, 5, 3). M 2 (− 2,1, 3), M 3 (2, 2,1), M 0 (− 3, 5, 5). M 2 (3, 5, − 2 ), M 3 (4,1, 4 ), M 0 (− 2, 6, − 2 ). M 2 (5, 3,1), M 3 (1, 2, 0), M 0 (7,1, − 6). M 2 (0, 5, 4 ), M 3 (4, − 2, − 1), M 0 (4, − 9, − 8). M 2 (1, − 1, − 3), M 3 (4, 2, 0), M 0 (− 1, − 4, 3). M 2 (2, 2, 3), M 3 (1, 0, 6 ), M 0 (1, − 5, − 4 ). M 2 (2, 6, − 1), M 3 (− 2,1, 3), M 0 (− 9,10, − 2 ). M 2 (10, − 5, 3), M 3 (1,1, 5), M 0 (− 7,1, − 1). M 2 (− 5, − 5, − 2 ), M 3 (5, 4, 0 ), M 0 (− 6, 4, − 3). M 2 (1, 5, 2), M 3 (1,1, − 2), M 0 (− 3, − 3, − 1). M 2 (− 2,1, − 3), M 3 (1, 3, 0 ), M 0 (− 3,1, 5). M 2 (− 4,1, 2), M 3 (− 5, − 1, 4), M 0 (3, − 6, 2). M 2 (− 4, 3,1), M 3 (− 1, − 2, 9), M 0 (7,1, 6 ). M 2 (1, 5, − 3), M 3 (4, − 2, − 1), M 0 (4, − 9, − 8). M 2 (1, − 1, 2 ), M 3 (4,1,1), M 0 (− 1, − 4, 6 ). M 2 (− 3, 2,1), M 3 (3,1, 6 ), M 0 (− 2, − 5, − 4 ). Задача 8 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору M 1M 2 . 1. M 0 (3, 2, 0 ), M 1 (4,1, 5), M 2 (2, − 1, 4 ). 2. M 0 (− 5, − 1, 0), M1 (− 5,1, − 4), M 2 (− 2, 2, − 3). 3. M 0 (2, − 4, − 2 ), M 1 (− 1, − 3, − 7 ), M 2 (− 4, − 1, − 5). 4. M 0 (− 5, 3,10 ), M 1 (0, 5, 7 ), M 2 (2, 7, 8). 5. M 0 (2, − 10, − 4), M 1 (0, − 6, − 8), M 2 (− 2, − 5, − 9). 6. M 0 (1, 9, 2 ), M 1 (0, 4, 7 ), M 2 (1, 6, 9 ). 7. M 0 (0, − 2, 7 ), M 1 (− 5, − 4, 9), M 2 (− 2, − 2, 6). 8. M 0 (− 1,1, − 4 ), M 1 (3, 8, − 2 ), M 2 (2,11, 0 ). 9. M 0 (− 1, 7, − 6), M 1 (3, 5, − 1), M 2 (1, 3, − 2). 10. M 0 (− 5, 2, 5), M 1 (3, − 3, − 2 ), M 2 (4, − 1, 2 ). 12

11. M 0 (− 3,1,1), 12. M 0 (5, − 1,1), 13. M 0 (− 2, 4,1), 14. M 0 (− 5, − 3,11), 15. M 0 (2, 9, − 3), 16. M 0 (− 1, 9, − 2 ), 17. M 0 (1,−2,−7 ), 18. M 0 (2, − 1, − 4 ), 19. M 0 (2,1,1), 20. M 0 (− 4, − 2, 5), 21. M 0 (1,1,1), 22. M 0 (5, − 1, 2), 23. M 0 (− 2, 4,1), 24. M 0 (5, − 3, 0), 25. M 0 (2,10,1), 26. M 0 (− 1, 9, − 2 ), 27. M 0 (2,1, 7 ), 28. M 0 (1, − 1, − 4 ), 29. M 0 (1, − 7, 5), 30. M 0 (5, 2, − 5),

1. 2. 3. 4. 5.

M 1 (3,1, 5), M 1 (3,1, 4 ), M1 (1, 3, − 7 ), M 1 (1, − 5, 7 ), M 1 (1, − 4, − 8), M 1 (1, 4, − 7 ), M 1 (5,4,4), M 1 (− 3, 5, − 2 ), M 1 (− 3, − 5, − 1), M1 (1, 3, − 2), M 1 (− 4, − 1, 5), M1 (3, 3, − 4), M 1 (1, 2, − 7 ), M1 (1, 2, 7 ), M 1 (2, − 6, − 8), M 1 (1,1, 7 ), M 1 (5,1,1), M 1 (− 3, 7,1), M 1 (− 3, 5, 0), M 1 (− 3, 3, 3),

M 2 (− 4, − 1, − 4 ). M 2 (2, − 2, − 4 ). M 2 (4,1, − 6). M 2 (− 2, − 7, 5). M 2 (2, 5,10). M 2 (2, 6, 3). M 2 (3,−2,6). M 2 (3,10,1). M 2 (2, 2, − 2 ). M 2 (5, − 8, 2). M 2 (3, 3, − 3). M 2 (1, − 5, 0). M 2 (− 5, − 2,1). M 2 (− 2, 7, − 8). M 2 (1, − 5, 0 ). M 2 (− 4, 6, − 9 ). M 2 (1, 8, 6 ). M 2 (− 2, 7,1). M 2 (− 1, − 3, 4). M 2 (− 4, − 1, − 2 ).

Задача 9 Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями. 3 x − y + 3 = 0, x − 2 y + 5 z − 10 = 0 x − y + 3 z − 5 = 0, x+ z−2=0 5 x − 4 y + 3 z − 3 = 0, 4x − y − z + 2 = 0 6 x + 2 y − 4 z + 17 = 0, 3x + 3 y − 3z − 8 = 0 6 x + 2 y − 4 z + 17 = 0, 9x + 3y − 6z − 4 = 0

6. x − y + z 2 − 5 = 0, 7. y − 3 z + 5 = 0, 8. 6 x + 2 y − 3 z + 1 = 0, 9. 2 x + y + 2 z − 5 = 0, 10. 5 x − y + 2 z + 12 = 0, 11. x − 3 y + 5 = 0, 12. x − 3 y + z − 1 = 0, 13. 4 x − 5 y + 3 z − 1 = 0, 14. 3 x − y + 2 z + 15 = 0, 15. 6 x + 2 y − 4 z + 17 = 0,

x+ y−z 2 +7=0 y + 2z − 3 = 0 x + 6 y + 2 z − 10 = 0 12 x + 16 y − 15 z + 2 = 0 3 x + 2 y + z + 10 = 0 2 x − y + 5 z − 16 = 0 x + z −1 = 0 x − 4y − z + 9 = 0 5 x + 9 y − 3z − 1 = 0 x + y − 6z − 4 = 0 13

16. x + 2 y + 2 z − 3 = 0, 17. 3 y − z = 0, 18. 6 x + 3 y − 2 z = 0, 19. 2 x + 2 y + z + 9 = 0, 20. x + 2 y + 2 z − 3 = 0, 21. 3 x + 2 y − 3 z − 1 = 0, 22. x − 3 y − 2 z − 8 = 0, 23. 3 x − 2 y + 3 z + 23 = 0, 24. x + y + 3 z − 7 = 0, 25. x − 2 y + 2 z + 17 = 0, 26. x + 2 y − 1 = 0, 27. 2 x − z + 5 = 0, 28. 5 x + 3 y + z − 18 = 0, 29. 4 x + 3 z − 2 = 0, 30. x + 4 y − z + 1 = 0,

16 x + 12 y − 15 z − 1 = 0 2y + z = 0 x + 2 y + 6 z − 12 = 0 x − y + 3z − 1 = 0 2x − y + 2z + 5 = 0 x+ y+ z−7 =0 x+ y− z+3=0 4y + z + 5 = 0 y + z −1 = 0 x − 2 y −1 = 0 x+ y+6=0 2x + 3y − 7 = 0 2y + z − 9 = 0 x + 2 y + 2z + 5 = 0 2x + y + 4z − 3 = 0

Задача 10 Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей. 2 x − 3 y + 2 z + 2 = 0,  x + y − 2 z − 2 = 0, 10.  1.   2 x + 3 y + z + 14 = 0.  x − y + z + 2 = 0.  x − 2 y + 2 z − 4 = 0,  x + 5 y − z + 11 = 0, 2.  11.   2 x + 2 y − 2 z − 8 = 0.  x − y + 2 z − 1 = 0.  x + y + z − 2 = 0,  x − y + z − 2 = 0, 3.  12.   x − y − 3 z + 2 = 0.  x − 2 y − z + 4 = 0. 2 x + 3 y + z + 3 = 0, 6 x − 7 y − z − 2 = 0, 4.  13.   x − 3 y − 2 z + 3 = 0.  x + 7 y − 4 z − 5 = 0.  x + y − z − 4 = 0,  x + 5 y + 2 z − 5 = 0, 5.  14.   x − y + 2 z = 0.  2 x − 5 y − z + 5 = 0.  x + y − 2 z − 1 = 0,  x − 3 y + z + 2 = 0, 6.  15.   x − 2 y + 2 z = 0.  x + 3 y + 2 z + 14 = 0. 2 x + 2 y − 2 z + 1 = 0, 2 x + 3 y − 2 z + 6 = 0, 7.  16.  3 x − 2 y + 3 z + 4 = 0.  x − 3 y + z + 3 = 0. 4 x + y − 3 z + 4 = 0,  3 x + 4 y + 3 z + 1 = 0, 8.  17.  2 x − y + 2 z + 2 = 0.  2 x − 4 y − 2 z + 4 = 0.  x − y − z − 2 = 0,  3 x + 3 y + z − 1 = 0, 9.  18.   x − 3 y + z + 4 = 0. 2 x − 3 y − 2 z + 6 = 0. 14

 6 x − 5 y + 3 z + 8 = 0, 19.  6 x + 5 y − 4 z + 4 = 0. 2 x − 3 y − 2 z + 6 = 0, 20.   x − 3 y + z + 3 = 0. 2 x + y − 3 z − 2 = 0, 21.   2 x − y + z + 6 = 0.  4 x + y + z + 2 = 0, 22.   2 x − y − 3 z − 8 = 0. 5 x + y + 2 z + 4 = 0, 23.   x − y − 3 z + 2 = 0. 2 x + 3 y + z + 6 = 0, 24.   x − 3 y − z + 6 = 0.

6 x − 5 y + 4 z + 8 = 0, 25.  6 x + 5 y + 3 z + 4 = 0. 8 x − y − 3 z − 1 = 0, 26.   x + y + z + 10 = 0. 6 x − 7 y − 4 z − 2 = 0, 27.   x + 7 y − z − 5 = 0. 3 x + 3 y − 2 z − 1 = 0, 28.   2 x − 3 y + z + 6 = 0. 4 x + y − 3 z + 2 = 0, 29.   2 x − y + z − 8 = 0.  x + y + z − 2 = 0, 30.   x − y − 3 z + 6 = 0.

Задача 11 Найти точку пересечения прямой и плоскости. x − 2 y − 3 z +1 = = x + y + 2 z − 9 = 0. , 1. −4 1 1 x +1 y − 3 z +1 2. = = , x + 2 y − z + 5 = 0. 2 −4 5 x −1 y + 5 z −1 3. = = , x − 3 y + z − 8 = 0. 1 4 2 x −1 y z + 3 4. = = , x − y + 4 z = 0. 3 0 2 x y −3 z −2 5. = = , 3 x + y − 2 z = 0. 1 −2 0 x +1 y + 2 z 6. = = , x + 3 y − z − 3 = 0. 0 1 −2 x −1 y − 2 z + 2 7. , = = x + 2 y + 2 z + 3 = 0. 2 1 0 x −1 y − 2 z = = , x − y + 4 z − 5 = 0. 8. 2 0 1 x y −1 z + 4 9. = = , 2 x − y + z + 4 = 0. 1 2 −1 x + 2 y − 2 z +1 10. = = , 2 x − 4 y − 3 z + 7 = 0. 1 0 0 x −1 y − 2 z +1 11. , 2 x + 3 y + 2 z − 9 = 0. = = 2 1 −4 x +1 y + 4 z −1 = = , − x − 2 y + z + 5 = 0. 12. 2 4 5 15

x−2 y −5 z −6 = = , −2 4 3 x − 2 y −1 z + 2 14. = = , 3 0 12 x −1 y − 5 z − 2 15. = = , 1 −1 1 x +1 y − 2 z −1 16. = = , −1 1 −3 x −1 y + 4 z + 2 17. = = , −2 2 1 x +1 y − 5 z − 4 18. = = , 3 −2 1 x y −1 z − 5 19. = = , 2 3 −1 x−2 y+2 z−2 20. = = , 1 2 −1 x + 2 y + 3 z +1 21. = = , 4 3 −4 x −1 y + 3 z −1 22. , = = 2 0 5 x+2 y+5 z+5 , 23. = = 3 0 −4 x+4 y −4 z −3 = = , 24. 3 −1 −2 x − 4 y − 3 z +1 25. = = , 10 −2 0 x − 5 y + 2 z −1 26. = = , −1 −1 −2 x −1 y + 5 z + 2 , 27. = = 3 0 −1 x +1 y − 2 z − 5 = = , 28. 0 1 1 x −1 y +1 z + 4 29. = = , 2 3 −1 x − 2 y − 2 z −1 30. , = = 2 0 −1 13.

x − 2 y + 2 z − 8 = 0. 2 x − 3 y + 4 z − 1 = 0. 2 x + 3 y − 2 z + 5 = 0. 4 x + 3 y − 2 z + 3 = 0. 4 x − 2 y − 2 z + 3 = 0.

2 x − y − 5 z + 5 = 0. 2 x − 2 y + 2 z − 4 = 0. x − y − 3 z + 10 = 0. 4 x + 2 y + 2 z + 1 = 0. 2 x + 2 y − 2 z + 5 = 0. 3 x − 3 y + 5 z − 8 = 0. 2 x − y + 4 z + 4 = 0. 5 x + y − 2 z + 1 = 0. 4 x − 3 y + 2 z − 3 = 0. 6 x − y + 2 z + 3 = 0. 2 x − 2 y + 4 z − 5 = 0. x − 2 y + 2 z + 4 = 0. x − 4 y − z + 7 = 0.

Задача 12 Найти координаты проекции точки P на плоскость. 1. P(1, 0,1), 4 x + 6 y + 4 z − 25 = 0 . 16

2. P(− 1, 0, − 1), 3. P(2,1, 0), 4. P(0, 2,1), 5. P(− 1, 2, 0 ), 6. P(2, − 1,1), 7. P(1,1,1), 8. P(1, 2, 3), 9. P(0, − 3, − 2 ), 10. P(1, 0, − 1), 11. P(2, − 1,1), 12. P(1, 0, − 2 ), 13. P(− 2, − 1, 0), 14. P(1, 2, − 1), 15. P(− 1, − 2, − 1), 16. P(1, 0, − 1), 17. P(− 1, − 1, − 1), 18. P(0, 5, 3), 19. P(− 1, − 5, 3), 20. P(− 1, − 2, − 1), 21. P(2, 4,1), 22. P(− 1, 5, − 1), 23. P(5, − 1, 0 ), 24. P(− 1, − 2,1), 25. P(1, 2, 6), 26. P(− 2,1, − 1), 27. P(2, 2, 2), 28. P(− 1, − 2, − 3), 29. P(3, 3, − 3), 30. P(− 1, − 1, − 1),

2 x + 6 y − 2 z + 11 = 0 . y + z + 2 = 0. 2x + 4 y − 3 = 0 . 4x − 5 y − z − 7 = 0 . x − y + 2z − 2 = 0 . x + 4 y + 3z + 5 = 0 . 2 x + 10 y + 10 z − 1 = 0 . 2 x + 10 y + 10 z − 1 = 0 . 2 y + 4z − 1 = 0 . x + 6 y − 4 z − 25 = 0 . x − 5 y − 2 z + 12 = 0 . −y + z − 5 = 0. −2 x + 4 y − 3 z = 0 . −4 x + 3 y − z − 5 = 0 . 3x + 3 y − 5 z = 0 . −x + 4 y − 2z + 5 = 0 . x − 10 y − 10 z − 8 = 0 . 2 x − 5 y − 10 z + 4 = 0 . −2 y − 5 z − 1 = 0. x + y + z − 25 = 0 . 8 x + 2 y − 3z + 17 = 0 4 y + 5z + 2 = 0 . 6x − 4 y − 9 = 0 . 5x + 2 y − z − 4 = 0 . − x + 2 y − 3z − 2 = 0 . 3x − 4 y + 5 z + 5 = 0 3 x − 5 y + 10 z − 10 = 0 . 4 x − y + 12 z − 10 = 0 . 5 y + 8 z − 15 = 0.

.

Задача 13 Найти координаты точки, симметричной точке P относительно заданной прямой. x −1 y z 1. P(0, − 3,1), = = . 1 −1 1 x − 2 y z +1 2. P(2,1, − 1), = = . 2 0 −1 x y +1 z = = . 3. P(− 1, 0, 3), 0 2 1 17

4. P(3, 0, − 1), 5. P(− 1, 2,1), 6. P(3, − 1, 0 ), 7. P(− 1, 3, 0 ), 8. P(1, − 1, 2 ), 9. P(0, 3, − 1), 10. P(0, 2,1), 11. P(0, − 3, − 2 ), 12. P(2, − 1,1),

13. P(1,1,1), 14. P(1, 2, 3), 15. P(1, 0, − 1), 16. P(2,1, 0 ), 17. P(− 2, − 3, 0 ), 18. P(− 1, 0, − 1), 19. P(0, 2,1), 20. P(3, − 3, − 1), 21. P(3, 3, 3), 22. P(− 1, 2, 0 ), 23. P(2, − 2, − 3),

18

x y −1 z = = . 1 1 −1 x +1 y − 2 z = = . −1 2 0 x y z +1 = = . 1 0 2 x y z −1 = = . 1 −1 −1 x y +1 z − 2 . = = 0 1 −2 x +1 y z = = . 2 1 0 x − 4 y +1 z − 2 = = . −1 2 3 x − 1 y + 1,5 z = = . 1 −1 1 x − 4,5 y + 3 z − 2 . = = 1 1 − 0,5 x − 2 y + 1,5 z − 1 = = . 1 −2 1 x − 0,5 y + 1,5 z − 1,5 . = = 0 −1 1 x − 3,5 y − 1,5 z = = . 2 2 0 x − 2 y + 1,5 z + 0,5 = = . −1 0 1 x + 0,5 y + 1,5 z − 0,5 = = . 1 0 1 x y − 1,5 z − 2 = = . −1 0 1 x − 1,5 y z − 2 = = . 2 −1 1 x − 6 y − 3,5 z + 0,5 = = . 5 4 0 x − 1 y − 1,5 z − 3 = = . −1 0 1 x + 0,5 y + 0,7 z − 2 . = = 1 2 − 0,2 x − 1 y + 0,5 z + 1,5 = = . −1 0 0

24. P(− 1, 0,1), 25. P(0, − 3, − 2 ), 26. P(− 3,1, 0 ), 27. P(1, − 1,1), 28. P(− 2,1, − 2 ), 29. P(− 1, 2, 3), 30. P(− 2,1,1),

x + 0,5 y − 1 z − 4 = = . 0 0 2 x − 0,5 y + 1,5 z − 1,5 = = . −1 0 1 x −1 y − 2 z +1 = = . 1 −2 2 x − 4 y + 4 z +1 = = . 2 0 −1 x y −1 z + 2 = = . −1 5 −2 x −1 y −1 z + 4 = = . −2 −1 0 x−4 y z+2 = = . 0 −1 − 4

19

4 Методические указания к выполнению контрольной работы

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Для выполнения и защиты контрольной работы необходимо владение следующими основными теоретическими вопросами курса «Аналитическая геометрия»: Определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Определение линейного векторного пространства. Признаки линейной зависимости системы векторов. Основные понятие вектора. Линейные операции над векторами. Система координат на плоскости. Линии на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости и в пространстве. Линии второго порядка на плоскости. Уравнения поверхности и линии в пространстве. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Задача 1 Постановка задачи. Найти разложение вектора x = {x1 , x2 , x3} по векторам p = { p1 , p2 , p3} , q = {q1 , q2 , q3} и r = {r1 , r2 , r3}. План решения. 1. Искомое разложение вектора x имеет вид x = αp + β q + γr . 2. Это векторное уравнение относительно α , β , γ эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными

 p1α + q1β + r1γ = x1 ,   p2α + q2 β + r2γ = x2 , p α + q β + r γ = x . 3 3 3  3 3. Решаем полученную систему уравнений относительно α , β , γ и таким образом определяем коэффициенты разложения вектора x по векторам p, q , r . Записываем ответ в виде x = αp + β q + γr . Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы p, q и r лежат в одной плоскости, а вектор x ей не принадлежит), то вектор x нельзя разложить по векторам p, q и r . Если система уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы p, q , r и вектор x лежат в одной плоскости), то разложение вектора x по векторам p, q и r неоднозначно. Пример. Найти разложение вектора x = {3,−1,2} по векторам p = {2,0,1}, q = {1,−1,1} и r = {1,−1,−2}. Решение. 20

1. Искомое разложение вектора x имеет вид

x = αp + βq + γr 2. Это векторное уравнение относительно α , β , γ эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными 2α + β + γ = 3,  − β − γ = −1, α + β − 2γ = 2.  3. Система имеет единственное решение α = 1, β = 1, γ = 0. Ответ. x = p + q . Задача 2 Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы p = λ1a + λ2b и q = µ1a + µ2b , где a = {a1, a2 , a3} и b = {b1, b2 , b3} ? План решения. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число α , такое, что p = αq . Иными словами, векторы коллинеарны тогда, когда их координаты пропорциональны. 1. Находим координаты векторов p и q , пользуясь тем, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число. 2. Если координаты векторов p = {р1, р2 , р3} и q = {q1, q2 , q3} пропорциональны, т.е.

p1 p 2 p3 = = , q1 q 2 q3 то векторы p и q коллинеарны. Если равенство не выполняется p1 p2 p3 p1 p2 p3 p1 p2 p3 ≠ ≠ , = ≠ , ≠ = , q1 q2 q3 q1 q2 q3 q1 q2 q3 то векторы p и q неколлинеарны. Пример. Коллинеарны ли векторы p = 4a − 3b , q = 9b − 12a , где a = {−1,2,8} и b = {3,7,−1} ? Решение. 1. Находим координаты векторов p и q , пользуясь тем, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число: 21

p = {−13,−13,35}, q = {39,39,−105}. 2. Так как − 13 − 13 35 = = , 39 39 − 105 координаты пропорциональны. Следовательно, векторы p , q коллинеарны. Ответ: Векторы p , q коллинеарны. Задача 3 Постановка задачи. Даны точки A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y 2 , z 2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ). Найти косинус угла между векторами AB и AC. План решения. Косинус угла ϕ между векторами AB и AC определяется формулой cos ϕ =

(AB, AC ) .

1. Чтобы вычислить длины векторов

(

)

(1)

AB ⋅ AC

AB

и AC

и скалярное

произведение AB, AC , находим координаты векторов:

AB = {x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1}, AC = {x3 − x1 , y3 − y1 , z 3 − z1} . 2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем AB =

(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 ,

AC =

(x3 − x1 )2 + ( y3 − y1 )2 + (z3 − z1 )2 ,

(AB, AC ) = (x2 − x1 )(x3 − x1 ) + ( y2 − y1 )( y3 − y1 ) + (z 2 − z1 )(z3 − z1 ) 3. Вычисляем cos ϕ по указанной формуле и записываем ответ. Пример. Даны точки A(−2,4,−6) , B (0,2,−4) , C (−6,8,−10). Найти косинус угла между векторами AB и AC. Решение. 1. Находим координаты векторов AB = {2,−2,2}, AC = {− 4,4,−4}.

22

2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем AB = 2 2 + (−2) 2 + 2 2 = 2 3 , AС = (−4) 2 + 4 2 + (−4) 2 = 4 3 ,

(AB, AC ) = 2 ⋅ (−4) + (−2) ⋅ 4 + 2 ⋅ (−4) = −24 3. Вычисляем cos ϕ по указанной формуле: cos ϕ =

− 24 = −1. 2 3⋅4 3

Ответ: Косинус угла между векторами AB и AC равен –1. Задача 4 Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = α1 p + α 2 q и b = β1 p + β 2 q , если известно, что p = p0 , q = q0 и угол между векторами p, q равен ϕ . План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна модулю их векторного произведения:

S = [a , b ] .

(2)

1. Вычисляем [a , b ], используя свойства векторного произведения

[a , b ] = [α1 p + α 2 q , β1 p + β 2 q ] = α1β1[ p, p ] + α1β 2 [ p, q ] + α 2 β1[q , p ] + α 2 β 2 [q , q ] = (α1β 2 − α 2 β1 )[ p, q ]. 2. Вычисляем модуль векторного произведения

[a , b ]

= α1β 2 − α 2 β1 p q sin ϕ . ( sin ϕ ≥ 0, так как 0 ≤ ϕ ≤ π ).

3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (2)

S = [a , b ] = α1β 2 − α 2 β1 p q sin ϕ . Пример: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 3 p + 2q и b = 2 p − q , если известно, что p = 4, q = 3 и угол между векторами p, q равен 3π 4 .

23

Решение. 1. Вычисляем [a , b ], используя свойства векторного произведения [a , b ] = [3 p + 2q ,2 p − q ] = 6[ p, p ] − 3[ p, q ] + 4[q , p ] − 2[q , q ]. 2. Вычисляем модуль векторного произведения

[a , b ] = − 7[ p, q ] = 7[ p, q ] = 7 p q sin 3π 4

= 42 2.

3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу (2) S = [a , b ] = 42 2.

Ответ: S = 42 2. Задача 5 Постановка задачи. Компланарны ли векторы a = {a1 , a2 , a3}, b = {b1 , b2 , b3}, c = {c1 , c2 , c3} ? План решения. Для того, чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение (a , b , c ) было равно нулю. 1. Смешанное произведение векторов выражается через их координаты формулой

a1 a2 (a , b , c ) = b1 b2 c1 c2

a3 b3 . c3

2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю, то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то векторы не компланарны. Пример. Компланарны ли векторы a = {7,4,6}, b = {2,1,1}, c = {19,11,17} ? Решение. 1. Вычисляем смешанное произведение векторов:

(a , b , c ) =

7

4

6

2

1

1 = 0.

19 11 17 2.Так как (a , b , c ) = 0, то векторы a , b и c компланарны. Ответ: Векторы a , b и c компланарны. 24

Задача 6 Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 ( x1 , y1 , z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ), A4 ( x4 , y4 , z 4 ) и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 . План решения. 1.Найдем координаты векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 :

A1 A2 = {x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1} , A1 A3 = {x3 − x1 , y 3 − y1 , z 2 − z1} , A1 A4 = {x 4 − x1 , y 4 − y1 , z 4 − z1} .

В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем

Vт. =

1 1 ⋅ Vпп. = ( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) , 6 6

(3)

где Vт. ,Vпп. - объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 . С другой стороны 1 Vт. = S ∆A1 A2 A3 ⋅ h , 3

(4)

где согласно геометрическому смыслу векторного произведения, S ∆A1 A2 A3 =

1 [A1 A2 , A1 A3 ] . 2

Сравнивая формулы (3) и (4) , получаем

h=

3Vт.

S ∆A1 A2 A3

=

( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) . ( A1 A2 , A1 A3 )

(5)

2. Вычисляем смешанное произведение:

25

x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 = x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 , x4 − x1 y 4 − y1 z 4 − z1 и находим объем тетраэдра по формуле (3) 3. Вычисляем координаты векторного произведения и его модуль:

(

)

i [A1 A2 , A1 A3 ] = x2 − x1 x3 − x1  y − y1 = 2  y3 − y1

j y2 − y1 y3 − y1

z 2 − z1 x 2 − x1 ,− z 3 − z1 x3 − x1

k z2 − z1 = z3 − z1 z 2 − z1 x 2 − x1 , z 3 − z1 x3 − x1

y 2 − y1  . y3 − y1 

4. Находим высоту h по формуле (5) Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами A1 (2, 3,1), A2 (4,1, − 2), A3 (6, 3, 7), A4 (−5, − 4, 8) и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 . Решение. 1.Из вершины A1 проведем векторы

A1 A2 = {2,−2,−3}, A1 A3 = {4,0,6}, A1 A4 = {−7,−7,7}. 2. Вычисляем смешанное произведение:

(

−2 −3 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 = 4 0 6 = 2 ⋅ 42 + 2 ⋅ 70 + (− 3) ⋅ (− 28) = 308 −7 −7 7

)

2

и находим объем тетраэдра по формуле (3)

Vт. =

1 ⋅ 308 (ед.длины)3 6

3. Вычисляем координаты векторного произведения:

i j k r [A1 A2 , A1 A3 ] = 2 − 2 − 3 = −12i − 24 j + 8k = {−12,−24,8} 4 0 6 и его модуль 26

[A1 A2 , A1 A3 ]

(− 12)2 + (− 24)2 + 82

=

= 28.

4. Находим высоту h по формуле (5): h=

Ответ: Vт. =

( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) 308 = = 11 (ед.длины) [A1 A2 , A1 A3 ] 28

154 (ед.длины)3, h = 11 (ед.длины). 3

Задача 7 Постановка задачи. Найти расстояние от точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) до плоскости, проходящей через точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ), M 3 ( x3 , y3 , z 3 ). План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с вершинами M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ), M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y 2 , z 3 ), M 3 ( x3 , y3 , z 3 ), опущенную из вершины M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) на грань M 1M 2 M 3 (см. задачу 6). Другое решение заключается в следующем. Расстояние d от точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) до плоскости равно длине

проекции вектора M 1 M 0 на нормальный вектор плоскости n , т.е. d = ПРn M 1M 0 =

(n , M 1M 0 ) n

.

(6)

Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторам M 1M 2 , M 1M 3 , его можно найти как их векторное произведение: n = [M 1M 2 , M 1M 3 ].

1. Находим координаты векторов: M 1M 2 = {x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1}, M 1M 3 = {x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1}, M 1M 0 = {x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1}

и нормального вектора плоскости: i

n = [M 1M 2 , M 1M 3 ] = x2 − x1

j

k

y2 − y1

z 2 − z1 .

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1 27

2. Вычисляем расстояние d от точки M 0 (1, − 1, 2 ) до плоскости по формуле (6). Пример. Найти расстояние от точки M 0 (1, − 1, 2 ) до плоскости, проходящей через точки M 1 (1, 5, − 7 ), M 2 (− 3, 6, 3), M 3 (− 2, 7, 3). Решение. 1. Находим координаты векторов: M 1M 2 = {−4,1,10}, M 1M 3 = {−3,2,10}, M 1M 0 = {0,−6,9}

и нормального вектора плоскости: i

j

k

n = [M 1M 2 , M 1M 3 ] = − 4 1 10 = −10i + 10 j − 5k .

− 3 2 10 2. Вычисляем расстояние d от точки M 0 до плоскости по формуле (6):

d = ПРn M 1M 0 =

(n , M 1M 0 ) n

=

− 105

(− 10)

2

+ 10 + (− 5) 2

2

= 7.

Ответ: d = 7 ед. длины. Задача 8 Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) перпендикулярно вектору M 1M 2 , где M 1 и M 2 имеют координаты ( x1 , y1 , z1 ) и x2 , y 2 , z 2 . План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ⊥ n = { A, B, C}, имеет вид

(

)

A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0

(7)

1.В качестве нормального вектора плоскости n выбираем вектор M 1M 2 = {x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1}. 2.Составляем уравнение плоскости (4.7) с нормальным вектором M 1 M 2 , проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) : 28

(x2 − x1 )(x − x0 ) + ( y 2 − y1 )( y − y 0 ) + (z 2 − z1 )(z − z 0 ) = 0. Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (2, 5, − 3) ⊥ M 1M 2 , где точки M 1 , M 2 имеют координаты (7, 8, − 1), (9, 7, 4 ).

Решение. 1. В качестве нормального вектора плоскости n выбираем вектор M 1M 2 = {2,−1,5}. 2. Составляем уравнение плоскости (4.7) с нормальным вектором n = {2, − 1, 5}, проходящей через M 0 (2, 5, − 3) : 2( x − 2) − 1( y − 5) + 5( z + 3) = 0. Ответ: Уравнение плоскости 2 x − y + 5 z + 16 = 0 . Задача 9 Постановка задачи. Найти угол между плоскостями

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 . План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

n1 = { A1 , B1 , C1}, n2 = { A2 , B2 , C2 }. Поэтому угол ϕ между плоскостями определяется равенством

cos ϕ =

(n1, n2 ) . n1 ⋅ n2

Пример. Найти угол между плоскостями x + 2 y − 2 z − 7 = 0, x + y − 35 = 0. Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами n1 = {1,2,−2} и n2 = {1,1,0}. Поэтому угол ϕ между плоскостями определяется равенством

29

cos ϕ =

(n1, n2 ) = n1 ⋅ n2

(

1 ⋅1 + 2 ⋅1 − 2 ⋅ 0 12 + 2 2 + (− 2 )2 12 + 12

=

1 . 2

)

Таким образом, ϕ = arccos 1 2 = π 4 Ответ: Угол между плоскостями ϕ = π 4 .

Задача 10 Постановка задачи. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями:  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,   A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0. План решения. r 1. Проверяем, что векторы n1 = { A1 , B1 , C1}, n2 = { A2 , B2 , C2 } неколлинеарны, следовательно, плоскости пересекаются по некоторой прямой. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором a = {l , m, n} , проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , имеют вид x − x0 y − y 0 z − z 0 = = l m n

(8)

Поэтому, чтобы написать уравнение прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой. 2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор a ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. a ⊥ n1 = { A1 , B1 , C1}, a ⊥ n2 = { A2 , B2 , C2 }. Следовательно, направляющий вектор a находим по формуле i

a = [n1 , n2 ] = A1

j

k

B1

C1 .

A2

B2

C2

3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью. 30

4. Подставляем найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (4.8) и записываем ответ. Пример. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями) 2 x + 3 y + z − 8 = 0,   x − 2 y − 2 z + 1 = 0. Решение. 1. Проверим, что векторы n1 = {2,3,1}, n2 = {1,−2,−2} неколлинеарны (см. задачу 2). Имеем 2 3 ≠ . 1 −2 Векторы n1 = {2,3,1}, n2 = {1,−2,−2} не коллинеарны, так как их координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости пересекаются по прямой. 2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор a ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. a ⊥ n1 = {2,3,1} и a ⊥ n2 = {1,−2,−2} Следовательно, направляющий вектор a находим по формуле i

a = [n1 , n2 ] = 2

j

k

3

1 = −4i + 5 j − 7 k .

1 −2 −2 3. Теперь находим какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения, например, с плоскостью y = 0 . Координаты этой точки находим, решая систему трех уравнений 2 x + z − 8 = 0,   x − 2 z + 1 = 0,  y = 0.  Получим x0 = 3, y0 = 0, z0 = 2, M 0 (3,0,2). 4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (4.8) , получим. 31

x−3 y z −2 = = . 5 −4 −7 Ответ: Канонические уравнения прямой имеют вид x−3 y z −2 = = . 5 −4 −7 Задача 11 Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой x − x1 y − y1 z − z1 = = l m n

и плоскости Ax + By + Cz + D = 0. План решения: 1. Проверим, что прямая непараллельна плоскости. Это означает, что направляющий вектор прямой a = {l , m, n} и нормальный вектор плоскости n = { A, B, C} не ортогональны, т.е. их скалярное произведение не равно нулю: Al + Bm + Cn ≠ 0 В этом случае существует единственная точка пересечения прямой и плоскости. 2. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще говоря, надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными (два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнее использовать параметрические уравнения прямой. Положим x − x1 y − y1 z − z1 = = =t l m n Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид  x = lt + x1 ,   y = mt + y1 ,  z = nt + z . 1 

32

3. Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости и решая его относительно t , находим значение параметра t = t 0 , при котором происходит пересечение прямой и плоскости. 4. Найденное значение t 0 подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:  x0 = lt 0 + x1 ,   y0 = mt0 + y1 ,  z = nt + z . 0 1  0 Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются в точке ( x 0 , y 0 , z 0 ). Пример. Найти точку пересечения прямой x −1 y +1 z = = 2 0 −1 и плоскости 2x − 3y + z − 8 = 0

Решение. 1. Имеем

(a , n ) = 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−3) + (−1) ⋅1 = 3 ≠ 0. Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются в единственной точке. 2. Положим x −1 y +1 z = = = t. 2 0 −1 Тогда параметрические уравнения имеют вид  x = 2t + 1,   y = −1,  z = −t . 

33

3. Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим значения параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

2(2t + 1) − 3(− 1) + 1(− t ) − 8 = 0 ⇒ t 0 = 1. 4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = 1 , получаем

x0 = 3, y 0 = −1, z 0 = −1. Ответ: Прямая и плоскость пересекаются в точке (3,−1,−1) Задача 12 Постановка задачи. Найти координаты проекции P ′ точки P x p , y p , z p

(

)

на плоскость Ax + By + Cz + D = 0. План решения. Проекция P ′ точки P на плоскость является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на эту плоскость. 1. Составляем уравнение прямой, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: a = n = { A, B, C}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид x − xp

=

A

y − yp B

=

z − zp C

.

2. Находим координаты точки P ′ пересечения этой прямой с заданной плоскостью (см. задачу 11). Положим x − xp A

=

y − yp B

=

z − zp C

=t.

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

 x = At + x p ,   y = Bt + y p ,  z = Ct + z . p 

34

3. Подставляя x, y, z в уравнение плоскости и решая его относительно t , находим значение параметра t = t 0 , при котором происходит пересечение прямой и плоскости. 4. Найденное значение t 0 подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки P′. Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат проекции точки на прямую. Пример. Найти координаты проекции P ′ точки P(1,2,−1) на плоскость 3 x − y + 2 z − 27 = 0. Решение. 1. Составляем уравнение прямой, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: a = n = {3,−1,2}. Тогда канонические уравнения имеют вид x −1 y − 2 z +1 . = = 3 2 −1 2. Найдем координаты точки P ′ пересечения этой прямой с заданной плоскостью. Положим x −1 y − 2 z +1 = = =t. 3 −1 2 Тогда параметрические уравнения имеют вид  x = 3t + 1,   y = −t + 2,  z = 2t − 1.  3. Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости: 3(3t + 1) − 1(− t + 2) + 2(2t − 1) − 27 = 0 ⇒ t 0 = 2. 4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t 0 = 2, получаем x0 = 7, y 0 = 0, z 0 = 1. Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости есть проекция точки P на плоскость, которая имеет координаты (7,0,1) . Ответ: Проекция P ′ имеет координаты (7,0,1) . 35

Задача 13 Постановка задачи. Найти координаты точки Q , симметричной точке P x p , y p , z p относительно прямой

(

)

x − x0 y − y 0 z − z 0 = = . l m n План решения. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной данной и пересекающей ее в точке P ′ . Поскольку точка P ′ делит отрезок PQ пополам, координаты xq , y q , z q точки Q определяются из условий

(

x p′ =

(

)

x p + xq 2

, y p′ =

y p + yq 2

)

, y z′ =

z p + zq 2

(

)

) (

)

(9)

где x p , y p , z p - координаты точки P и x p′ , y p′ , z p′ - координаты ее проекции P ′ на данную прямую. 1. Найдем проекцию точки P на данную прямую, т.е. точку P ′ (см.задачу 12). Для этого: а) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярной данной прямой. В качестве нормального вектора n этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. n = a = {l , m, n}. Получаем

(

)

(

l x − xp + m y − yp + n z − zp = 0; б) Найдем координаты точки пересечения P ′ этой плоскости с заданной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме:  x = lt − x0 ,   y = mt + y0 ,  z = nt + z . 0  Подставляя x, y, z в уравнение плоскости и решая его относительно t , находим значение параметра t = t 0 , при котором происходит пересечение прямой и плоскости; в) Найденное значение t 0 подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки P′. 2. Координаты точки Q, симметричной точке P относительно данной прямой, определяем из условий (9). Получаем

36

xq = 2 x p ′ − x p , y q = 2 y p ′ − y p , z q = 2 z p ′ − z p . Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат точки, симметричной данной относительно плоскости. Пример. Найти координаты точки Q , симметричной точке P(2,−1,2) относительно прямой x −1 y z +1 = = . 1 0 −2 Решение. 1. Найдем проекцию точки P на данную прямую, т.е. точку P ′ . Для этого: а) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярной данной прямой. В качестве нормального вектора n этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой n = a = {1,0,−2}. Тогда 1( x − 2 ) + 0( y + 1) − 2( z − 2 ) = 0 ⇒ x − 2 z + 2 = 0 ; б) Найдем точку пересечения заданной прямой и плоскости x − 2 z + 2 = 0. Для этого запишем уравнение прямой в параметрической форме:  x = t + 1,   y = 0,  z = −2t − 1.  Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости: t 0 = −1 в) Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t 0 = −1, получаем x p′ = 0, y p′ = 0, z p′ = 1. Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки P на прямую есть P ′(0,0,1). 2. Координаты точки Q , симметричной P относительно прямой, определяются из условий (9): x q = 2 x p′ − x p = −2, 37

y q = 2 y p′ − y p = 1, z q = 2 z p ′ − z p = 0. Ответ: Q(− 2,1,0 )

38

Список использованных источников 1 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1971.-320 с. 2 Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. - М.: Наука, 1987.- 496 с. 3 Виноградова И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел): Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк.,1999.- 511с. 4 Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач. - М.: Наука, 2000.- 288 с. 5 Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 3-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. – 388 с. 6 Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. - М.: ИКД «Зерцало-М»,2003.- 251 с. 7 Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1.- 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2003.- 288 с. 8 Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. 5-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань»,2002. – 656 с. 9 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учеб. пособие для инж.-техн. спец. вузов / Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б.; Под ред. Воднева В.Т. – 2-е изд., перераб. и доп. - Минск: Высшая школа,1986.- 272 с.

39