は
じ め
に
い う まで も な く,理 工 系 の 各 専 門分 野 で 基 礎 に な る の は数 学 で あ る .こ の よ うに 重 要 な数 学 の な か で,微 分 積 分 や 線 形 代 数 を習 得 した ...
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は
じ め
に
い う まで も な く,理 工 系 の 各 専 門分 野 で 基 礎 に な る の は数 学 で あ る .こ の よ うに 重 要 な数 学 の な か で,微 分 積 分 や 線 形 代 数 を習 得 した あ と学 ぶ べ き こ とが らは い ろい ろ あ り,ま た 分 野 ご と に異 な っ て い るが,ど して重 要 な もの に,常 微 分 方程 式,複 素 関 数 論,ベ
の 分 野 で あ っ て も共 通
ク トル解 析,フ ー リエ 解 析,
偏 微 分 方 程 式 が あ る . また 知 っ て い て 便 利 な もの に ラ プ ラ ス変 換 が あ り,さ ら に最 近 の コ ン ピ ュ ー タの発 展 に よ り数 値 計 算 法 も理 工 学 に お い て 大 き な位 置 を 占め る よ う にな って きた.こ れ らの 項 目の な か で,常 微 分 方 程 式 お よ び複 素 関 数論 につ い て は 本 シ リー ズ で す で に刊 行 して い る.ま た ベ ク トル解 析 につ い て は微 分 積 分 学 との 関 連 を,ま た数 値 計 算 に つ い て は線 形 代 数 と の 関連 を重 視 し て そ れ ぞ れ本 シ リー ズ で 別 途 刊 行 予 定 で あ る.そ 変 換,フ
こ で本 書 で は残 りの ラ プ ラ ス
ー リエ解 析 お よ び偏 微 分 方程 式 に つ い て ま とめ て と りあ げ た.も
ちろ
ん,こ れ らの 項 目 は お 互 い 密 接 に 関連 して い る こ と を考 慮 した た め で あ る . 自然 現 象 は場 所 や 時 間 に よ っ て変 化 す る た め,そ
れ を記 述 す る 場 合 に は場 所
と時 間が 独 立 変 数 と な り,そ の 結 果,偏 微 分 方 程 式 が 現 れ る.し た が っ て,偏 微 分 方 程 式 を解 くこ とが理 工 学 にお い て重 要 な意 味 を もつ.そ
の 場 合,実 用 上
必 要 に な る こ とは,偏 微 分 方程 式 の 一 般 解 を求 め る こ とで は な く,あ る 初 期 条 件 や 境 界 条 件 を満 た す 解 を 求 め る こ とで あ る.こ 値 問題 と よ ん で い る.そ
の よ う な問 題 を初 期 値 ・境 界
して本 書 の 最 大 の主 題 は こ の よ うな 初 期 値 ・境 界 値 問
題 を解 く方 法 を示 す こ と に あ る.フ ー リエ 級 数 の 創 始 者 フー リエ も,熱 伝 導 方 程 式 と よ ばれ る偏 微 分 方程 式 の 初 期 値 ・境 界 値 問 題 を解 くた め に フ ー リエ 級 数 を導 入 した.こ の よ うに フー リエ 級 数 と偏微 分 方程 式 は密 接 に 関 連 す る .と こ ろ で,フ
ー リエ 級 数 は有 限周 期 を もっ た 関 数 を 三角 関 数 の 無 限級 数 で 表 現 す る
とい う もの で あ るが,周 期 関数 で は な い 関 数 も周 期 が 無 限 と考 え る こ と に よ り, 三 角 関 数 を用 い て 表 せ る.こ の場 合,級
数 は 積 分 の形 に な り,フ ー リエ 変 換 の
考 え に 自然 に到 達 す る.フ ー リエ変 換 は偏 微 分 方 程 式 の 有 力 な解 法 に な る だ け で な く周 波 数 解 析 な ど広 い 応 用 を も って い る.さ
ら に フ ー リエ 変 換 は積 分 変 換
とよ ばれ る操 作 の ひ とつ と考 え られ る が,別 の 有 用 な積 分 変 換 に ラ プ ラ ス 変 換 が あ る.ラ プ ラス 変 換 も フー リエ変 換 に お と らず 幅 広 い 応 用 を もつ. 本 書 の構 成 は 以 下 の とお りで あ る.第
1章 で は ラ プ ラス 変 換 を,定 義 か ら は
じめ て,そ の 性 質 や 逆 変 換 の 求 め方 を述 べ た あ と,常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の 解 法 やデュ ア メル の公 式 とい っ た応 用 に至 る まで 比 較 的 詳 し く記 して い る. 第 2章 で は三 角 関 数 か らは じめ て周 期 関 数 を三 角 関 数 の和 で 表 す フー リエ 級 数 の 求 め 方 につ い て 述 べ,さ い て の 議 論 を行 う.第
ら に フ ー リエ級 数 の 収 束 性 や微 分 積 分 の 可 能 性 に つ
3章 で は フ ー リエ級 数 の 拡 張 と して フ ー リエ 変 換 を 導 入
し,そ の 性 質 や 簡 単 な 応 用 に つ い て 述 べ る.第
4章 で は 関 数 が 三 角 関 数 だ け で
は な く直交 関 数 と よば れ る 関 数 の 和 で表 せ る こ とや,こ
の よ う な 直交 関数 列 が
スツ ルム ・リュ ー ビル 型 の 微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 に対 す る 固 有 関 数 と して得 られ る こ と を示 す. 第 5章 か らあ との 部 分 は 実 用 上 重 要 な 2階 線 形 偏 微 分 方程 式 の初 期 値 ・境 界 問題 を取 り扱 う.第
5章 で は この よ う な偏 微 分 方 程 式 の 分 類 や 標 準 形 へ 書 き換
え を議 論 した あ と,実 際 の 物 理 現 象 か ら偏 微 分 方程 式 の 導 出 を行 う.さ ら に偏 微 分 方 程 式 の 解 の 性 質 をそ れ ぞ れ の 型 に分 け て議 論 す る.第
6章 で は 線 形 偏 微
分 方 程 式 を解 く場 合 に有 力 な変 数 分 離 法 につ い て,長 方 形 領 域 内 で の初 期 値 ・境 界 値 問題 に 焦 点 を あ て て 各 型 の偏 微 分 方 程 式 に対 して 説 明 す る.こ リエ 級 数 が 活 躍 す る.第
7章 で は 円 形 領 域 や 球 形 領 域 にお け る 初 期 値 ・境 界 値
問 題 を と りあ げ る.こ の場 合 に は,第 現 れ る.第
の ときフー
4章 で 述 べ た 三 角 関 数 以 外 の 直交 関 数 が
8章 で は 変 数 分 離 法 以 外 の 主 な 解 法 に つ い て概 説 す る.す
な わ ち,
変 数 分 離 法 で は取 り扱 え な い 非 同次 方程 式 に対 す る 固 有 関数 展 開 法 や 1章 や 3 章 で 述 べ た ラプ ラス 変換,フ ー リエ変 換 を利 用 した 解 法 を例 示 し,さ ら に グ リー ン関 数 を用 い た 解 法 に もふ れ る.付 録 で は複 素 関 数 論 との 関 連 と して ラプ ラ ス 逆 変 換 に現 れ る 複 素 積 分 に つ い て述 べ る.な お,コ い偏 微 分 方 程 式 の 数 値 解 法 も実 用 上 重 要 で あ るが,こ
ン ピ ュー タの 発 展 に と も な れ につ い て は 他 の巻 で 述
べ る予 定 で あ る. 本 書 に よっ て 読 者 諸 氏 が 理 工 学 に必 要 な数 学 の な か で も特 に重 要 な ラ プ ラス 変 換,フ
ー リエ 解 析,偏
微 分 方 程 式 に対 す る基 礎 知 識 を 習 得 し,さ ら に高 度 な
数 学 に進 む場 合 の 一 助 とな れ ば 幸 い で あ る.な お,本 書 の 原 稿 は 十 分 に推 敲 し た が 著 者 の 未 熟 か ら思 わぬ 間 違 い や 読 み づ らい点 が あ る こ と を恐 れ て い る.読
者 諸 氏 の ご叱 正 を待 ち,順 次 改 良 を加 え て い きた い. 最 後 に,本 書 執筆 にあ た り,お 茶 の水 女 子 大 学 大 学 院 人 間文 化 研 究 科 複 合 領 域 科 学 専 攻 の 宮 下 和 子 さ んお よび 同 研 究 科 数 理 ・情 報 科 学 専 攻 の割 田 真弓 さん に は数 式 の チ ェ ック を含 む原 稿 の 校 正 とい うめ ん ど うな仕 事 を引 き受 け て い た だ い た.ま た,朝 倉 書 店 編 集 部 の み な さ ん に は本 書 の 刊 行 に対 して終 始 お 世話 に な っ た.こ
こ に記 して感 謝 の意 を表 した い ・
2005年 3月 河 村 哲 也
目
次
1.ラ
プ ラ ス 変 換
1
1.1ラ
プ ラ ス 変 換
1
1.2ラ
プ ラ ス 変 換 の 存 在
4
1.3ラ
プ ラ ス 変 換 の 性 質
5
1.4ラ
プ ラ ス 逆 変 換
12
1.5定
数 係 数 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題
17
1.6単
位 応 答 と デ ル タ 応 答
21
2.フ
ー リ 工 級 数
2.1三
角 関 数
28 28
2.2三
角 関 数 の 重 ね 合 わ せ
2.3フ
ー リ エ 展 開 そ の 137
2.4フ
ー リ エ 展 開 そ の 243
2.5フ
ー リ エ 級 数 の 収 束 性
47
2.6ベ
ッ セ ル の 不 等 式 と パ ーセ バ ル の 等 式
53
3.フ
ーリエ 変 換
34
57
3.1フ
ー リエ の 積 分 定 理
57
3.2フ
ー リエ 変 換
60
3.3フ
ー リエ 変 換 の 性 質
64
4.直交 4.1直交
関 数 と 一 般 のフ ーリ 工 展 開 関 数 系
70 70
4.2一
般 の フ ー リ エ 級 数
72
4.3ス
ツ ルム ・リュ ー ビ ル 型 固 有 値 問 題
75
5.数 理 物 理 学 に 現 れ る偏 微 分 方 程 式 5.1線
形 偏 微 分 方 程 式
84
5.2偏
微 分 方程 式 の 標 準 形
87
5.3偏
微 分 方程 式 の 物 理 現 象 か ら の導 出
94
5.4偏
微 分 方 程 式 の 解 の性 質
98
6.変 数 分 離 法 に よ る 解 法 6.11次
元 波 動 方 程 式
6.2ラ
プ ラ ス方 程 式
6.3熱
伝 導 方 程 式 そ の 1115
6.4熱
伝 導 方 程 式 そ の 2119
7.い ろ い ろ な境 界 値 問 題
107 107 113
122
7.1円
形 領 域 にお け る ラ プ ラス 方 程 式
122
7.2円
形 膜 の 振 動
128
7.3球
形 領 域 で の 境 界 値 問題
132
8.種
々 の 解 法
137
8.1固
有 関数 展 開 法
137
8.2フ
ー リエ 変換 に よ る解 法
143
8.3ラ
プ ラス 変 換 に よ る解 法
145
8.4グ
リー ン 関数
147
付
録 ラ プ ラ ス逆 変 換 と留数 定 理
略解
索
84
154 154
158
引
167
1 ラ プラ ス変 換 1.1 ラ プ ラ ス 変 換
t>0に
お い て 関 数f(t)が
定 義 さ れ て い る と き,複 素 数 ま た は 実 数 の パ ラ
メ ー タs を含 む 積 分 (1.1) を考 え る.式(1.1)の
右 辺 はt に関 す る定 積 分 で あ り,積 分 す れ ばt は 消 え てs
だ け が 残 る た め そ れ をF(s)と プ ラス(Laplace)変
書 い て い る.こ
のF(s)の
こ とを 関 数f(t)の
ラ
換 と よ び, (1.2)
な ど と記 す.す
な わ ちf の ラ プ ラ ス変 数F は次 式 で 定 義 され る.
この よ う な 変 換 を導 入 す る理 由 と して,関 数f(t)に
対 す る 問 題 が 関 数F(s)
に対 す る 問題 に置 き換 え られ る こ とが あ げ られ る.こ の よ うに して 問題 が 簡 単 化 さ れ れ ば 変 換 した 意 味 が あ る.し か し,変 換 が 実 際 に役 立 つ もの で あ る た め に は.F(s)か らf(t)に
も どす 手 続 き も必 要 に な る.こ の 手 続 き を ラ プ ラス 逆 変
換 と よ び,記 号 (1.3) な どで 表 す.式(1.1)に 録 に与 え る.
対 応 す る よ うな,ラ プ ラス 逆 変 換 の 具 体 的 な計 算 式 は付
ラ プ ラ ス 変 換 を実 際 に計 算 す る場 合 に は 次 の例題 の 関 係 が役 立 つ. 例題1.1 Re(s)>0の
とき
(1.4) が 成 り立 つ こ とを 示 せ. 【解 】s=a+ibと
お く と,条 件 か らRe(s)=a>0で
あ る.t>0で
る こ と を考 慮 す れ ば
と な る.そ
こ で,ロピ
タ ル(L'H〓pital)の
こ の 例題 を 用 い て,tn(n=0,1,2,…)の
定 理 を続 け て使 え ば
ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め て み よ う .In=L
[tn]と 記 す こ と に す れ ば
とな る.そ
こ で,Re(s)>0で
た 右 辺 第 2項 の 積 分 はIn-1で
が 得 ら れ る 。 一 方,Re(s)>0の
と な る.し
た が っ て,
あ れ ば,式(1.4)か あ る.し
ら右 辺 第 1項 は 0 に な り,ま
た が っ て,漸
と き(式(1.4)でn=0の
化式
場 合 を 用 い て)
あ
と な る.ま
と め れ ば,
(1.5) と な る(0!=1で
あ る か ら上 式 はn=0の
次 に 指 数 関eatの
ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め て み よ う.定
と な る の で,Re(a-s)<0の 在 し て1/(s-a)と
と き も 使 え る).
な る.し
と き(す
義 か ら
な わ ち,Re(s)>aの
た が っ て,a
と き)積
分 が存
が 実 数 な ら ば,
(1.6)
となる.ま たa が純虚数 の ときはa=iωと
と な る.た
だ し,Re(s)>0と
よ り得 ら れ る.こ
お くと
い う条 件 はRe(a-s)=Re(iω-s)=-Re(s)<0
の式 の 実 部 と虚 部 か ら
(1.7)
(1.8) と な る.た
だ し 後 述 の ラ プ ラ ス 変 換 の 線 形 性(式(1.13))を
図1.1 U(t)の
単 位 階 段 関 数 と よ ば れ る 関 数U(t)を
用 い て い る.
グ ラフ
図1.1に 示 す よ う に (1.9)
で 定 義 す る.ま た,a>0と
した と き,U(t-a)は
図1.2に 示 す よ うにU(t)を
右 にa だ け平 行 移 動 した関 数 で あ る.こ れ ら は区 分 的 に連 続*な 関 数 で あ り,ラ プ ラ ス 変 換 は,定 義 か ら
と な る.す
な わ ち,
(1.10)
で あ る.
図1.2 U(t-a)の
◇ 問1.1◇
グ ラ フ
次 式 が成 り立 つ こ と を示 せ.
(1.11)
1.2 ラ プ ラ ス 変 換 の 存在
積 分(1.1)は 半 無 限 区 間 で の 積 分 な の で,任 意 の 関 数f(t)に
対 して 存 在 す る
わ け で は な く,あ る 制 限 が つ く.こ れ に 関 して は 以 下 の 事 実 が 知 られ て い る. す な わ ち, 関 数f(t)がt≧0に
お い て 区 分 的 に連 続 で あ り,ま た十 分 に大 き な正 の定 数
T に対 して,正 数 M,'γ が 存 在 して,す
べ て のt>Tに
対 して (1.12)
*区
分 的 に連 続 と い う用 語 に つ い て は2 .5節 を参 照.
が成り 立 つ な ら ば,す
べ て のRe(s)>γ
に 対 し てf(t)の
ラ プ ラ ス 変 換(1.1)が
存 在 す る. こ の こ と を 示 す た め に は 以 下 の よ う に す れ ば よ い .い
ま,0<T<T0と
し
た と き
に お い て,右 辺 第 1項 はf(t)が
区 分 的 に連 続 で あ る か ら存 在 す る.一 方,右 辺
第 2項 に つ い て は,仮 定 か ら十 分 に大 き なT>0に ため,Re(s)=aと
お くと
とな る.こ こ でa>γ ま た,a>
対 して 式(1.12)が 成 り立 つ
で あ れ ば,最 右 辺 の 第2項
γで あ れ ば,T→
はT0→
∞ の と きe-(a-γ)T→0と
い く らで も小 さ くな る.こ の こ とはRe(s)>
∞ の と き 0に な る. な り,上 式 の左 辺 は
γ を満 た す 任 意 の複 素 数 に対 して
ラ プ ラ ス 変 換(1.1)が 存 在 す る こ と を示 して い る. さ らに,こ の 事 実 か ら想 像 で き る よ うに,f(t)の が 点s=s0で てF(s)が
存 在 す れ ば,Re(s)>Re(S0)を
ラ プ ラ ス変 換F(s)=L[f(t)]
満 足 す る任 意 の 複 素数s につ い
存 在 す る こ とが知 られ て い る.そ こ で,F(s)>aと
してF(s)=L[f]が
ラ プ ラ ス変 換(1.1)の 収 束 座 標 と よぶ.こ 平 面)で
な る複 素 数 に対
存 在 す る とい う実 数a の 下 限 を α と した と き,こ の α を の と きRe(s)>
α(複 素 平 面 上 の 半
ラ プ ラ ス変 換 が 存 在 す る が,こ の 領 域 を ラ プ ラス 変 換 の 収 束 域 とい う.
1.3 ラ プ ラ ス 変 換 の 性 質
本 節 で は ラ プ ラス 変換 の性 質の うち基 本 的 な もの につ い て 調べ る.ま ず,ラ プ ラス 変 換 は線 形 の 演 算 で あ る.す な わ ち,f1(t)とf2(t)が とF2(s)を
ラ プ ラ ス 変 換F1(s)
も ち,ま たa とb を定 数 とす れ ば
(1.13)
が成り 立 つ.こ の こ とは,ラ
プラス変換の定義式 か ら
の よ う に 確 か め ら れ る. 次 にa>0の
と き,相
似性 とよばれる
(1.14)
が 成 り立 つ.な
ぜ な ら,〓=atと
と な る か ら で あ る.ま
た,U
おけば
を式(1.9)で
定 義 され る単 位 階段 関 数 とす れ ば
(1.15) (1.16) が 成 り立 つ.た
だ し式(1.16)で
はa≧0と
す る.こ
れ ら も以 下 の よ う に して 証
明 で き る.
な お,関 数f(t-a)U(t-a)は 行 移 動 した あ と,t=aより
図1.3に 示 す よ う に,関f(t)を 左 の 部 分 を 0 と した 関 数 で あ る.
次 に微 分 と積 分 に関 す る 性 質 に つ い て 述 べ る.ま ず,
右 にa だ け 平
図1.3 f(x)とf(x)U(x-a)の
グ ラフ
(1.17) が 成 り立 つ.な
と な る が,最
ぜ な ら
右 辺 の 第 1項 は,十
あ れ ば,Re(s)>γ
分 に 大 き いt>0に
の と きlimt→ ∞e-stf(t)=0と
対 し て│f(t)│<Meγtで な る か ら で あ る.
2 階 微 分 に 対 し て は
と な る.同
様 に 考 え れ ばn 階 微 分 の ラ プ ラ ス 変 換 は
(1.18) と な る.f(1)=f',f(0)=fで
あ る か ら,式(1.18)は
特 殊 な 場 合 と して 式(1.17)
を 含 ん で い る. 積 分 の ラ プ ラス 変 換 につ い て は
(1.19) と な る.な
ぜ な ら
同様 にn 回 の積 分 につ い て は (1.20) と な る.微 分 の 場 合 とは 異 な り,こ れ らの 公 式 に はf(+0)な
どは 現 れ な い.
微 分 や 積 分 につ い て は以 下 の 公 式 も成 り立 つ. (1.21) (1.22) これ らの公 式 が 成 り立 つ こ と は以 下 の よ う に して示 せ る.
2つ の関 数fとg の ラプ ラ ス変 換 をF とG と した と き,式(1.13)か [f+g]が これ はfgの
成 り立 った.そ れ で は,積FGは
らF+G=L
ど うな る で あ ろ うか.残 念 な が ら,
ラ プ ラ ス 変 換 に は な ら な い.こ のFGが
何 に対 す る ラ プ ラ ス 変 換
に な って い る か を調 べ る た め に,次 式 で 定 義 され る合 成 積 (1.23) を 導 入 す る.合 成 積 に対 して は 交 換 法 則
が成り
立 つ.な
ぜ な ら,t-〓=λ
とお け ば
と な る か ら で あ る.
図1.4 U(t-〓)の
グラフ
こ の よ う に 定 義 さ れ た 合 成 積 に 対 して
(1.24) が 成 り立 つ.証
明 は 以 下 の よ う に す る(図1.4参
照).
本 節 で導 い た以 上 の 公 式 を ま とめ れ ば 次 の よ うに な る. [ラプ ラ ス 変換 の 性 質] (1) (2) (3) (4) (5)
(6) (7)
(8) (9) こ れ ら の 公 式 は,以
下 の例 題 に示 す よ うに ラ プ ラス 変 換 の 計 算 や次 節 に示 す
ラ プ ラ ス 逆 変 換 に 有 効 に 利 用 さ れ る. 例 題1.2 次 の 関 数 を ラ プ ラ ス 変 換 せ よ.た
だ し,a>0と
す る.
(1)eattn(n=0,1,2…),(2)eatsinωt,(3)eatcosωt 【解 】 式(1.5),(1.7),(1.8)お
よ び ラ プ ラ ス 変 換 の 性 質(1)と(3)な
どか ら
(1) (2)
(3)
例題1.3 関 数x=eatは
微 分 方 程 式x'-ax=0のx(0)=1を
と を 利 用 し て,eatの
ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.
満 足 す る解 で あ る こ
【解 】 微 分 方 程 式 を ラ プ ラス 変 換 す れ ば,性 質(5)か ら
と な る.た
だ しL[x]=Xと
記 し て い る.初
(s-a)x=1よ
期 条 件 を考 慮 して
り,〓
例 題1.4 次 の 関 数 を ラ プ ラ ス 変 換 せ よ.た
だ し,a>0と
(1)〓,(2)〓 【解 】(1)式(1.8)か
し た が って,性
ら
質(8)を 用 い て
(2)性質(6)と 上 式 か ら
例 題1.5 次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ. (1)〓,(2)〓
【解 】 (1)
す る.
(2)◇ 間1.2◇
次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.
(1)(2)(3) ◇ 間1.3◇
次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.
(1)(2) ◇問1.4◇
次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ.
(1)(2) 表1.1に
代 表 的 な 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を ま と め て お く. 表1.1
代 表 的 な関 数 の ラ プ ラ ス 変 換
1.4 ラプ ラ ス 逆 変 換
本 節 で は,あ
る関 数f(t)の
ラ プ ラ ス変 換F(s)が
与 え られ て い る と き,逆 に
F(s)か らf(t)を 求 め る こ と を考 え る.こ の よ う な手 続 きの こ と を ラ プ ラ ス逆 変 換 と よ び,記 号
と記 す こ とは1.1節 で す で に述 べ た.そ
して 具 体 的 に は付 録 で 述 べ る よ う に複
素 積 分 の 応 用 と して 計 算 可 能 で あ る.し か し,前 節 で 述 べ た ラ プ ラス 変 換 の性 質 か ら導 か れ る ラ プ ラ ス 逆 変 換 の性 質 を利 用 す れ ば複 素 積 分 を行 う こ とな く逆 変 換 が 求 ま る こ と も多 い.本 節 で は そ の よ うな 場 合 を取 り扱 う. まず 代 表 的 な 関 数 に対 して ラ プ ラ ス変 換 を求 め て お け ば,そ とに よ っ て ラ プ ラス 逆 変 換 が た だ ち に求 まる.す
れ を逆 に使 う こ
な わ ち,表1.1を,表
あ る 関 数 の 逆 変 換 が 表 の 左 に あ る関 数 で あ る と解 釈 す れ ば よい.た
の右 に だ し,あ ま
り見 や す くな い ため,左 右 を逆 に して 少 し変形 した もの を表1.2に 載 せ て お く. こ の表 か ら,た
とえ ば
で あ る こ とが わ か る. 次 に ラ プ ラス 逆 変 換 は線 形 で あ る.す な わ ち,a とb を定 数 とす れ ば 表1.2
代 表的な関数のラプラス逆変換
(1.25) が 成 り立 つ.な ぜ な ら,式(1.25)の が 線 形 の 演 算(式(1.13))で
両 辺 の ラ プ ラ ス変 換 を と って ラ プ ラ ス 変換
あ る こ と を用 い れ ば,両 辺 と もaF(s)+bF(s)と
な る か らで あ る.こ の こ と を使 え ば 表 に載 っ て い ない よ うな多 くの 関 数 に対 し て ラ プ ラス 逆 変 換 が 求 まる. 以 下,こ
の線 形 性 と表1.2を 用 い て ラ プ ラ ス逆 変 換 を求 め る方 法 を例題 を と
お して 説 明 す る. 例題1.6 次 の 関 数 の ラ プ ラス 逆 変 換 を求 め よ. (1)(2)(3) 【解 】
(1)(2)
(3)
◇問1.5◇
次 の関数の ラプラス逆変 換 を求 め よ.
(1)(2)(3) 有理 関 数 の ラ プ ラ ス逆 変換 は,次
の例題 に示 す よ う に部 分 分 数 に分 解 して 求
め る. 例題1.7 次 の 関数 の ラプ ラス 逆 変 換 を 求 め よ. (1)(2)(3) 【解 】
(1)
(2)
(3)〓 と お い てA,B,C
を 決 め る とA=-1/6,B=3/10,C=-2/15と
なる.
した が っ て,
例 題1.8 (ヘ ビサ イ ド(Heaviside)の P(s)とQ(s)がm
展 開 定 理)
次 お よ びn 次 多 項 式 でm<nと
異 な るn 個 の 根a1,…,anを
す る.Q(s)=0が
相
もつ 場 合 に は
(1.26) が 成 り立 つ こ と を示 せ. 【 解 】Q(s)=A(s-a1)…(a-an)で よ り小 さい た め,P/Qは
あ り,P(s)の
次 数 がQ(s)の
次数
次 の よ う に部 分 分 数 に展 開 で きる .
(a) こ の こ と を示 す た め に は,P/Qを c1,…,cnが
上 式 の 右 辺 の 形 に仮 定 した と き,係 数
実 際 に決 ま る こ と を示 せ ば よい.こ
の と き,式(a)の 両 辺 の
ラ プ ラ ス 逆 変 換 を とれ ば
(b)
と な る.た
だ し,
を 用 い た. 以 下,式(a)のcjを s→akと
両 辺 にs-akを
か けた上で
すれ ば
と な る.た
だ し,最
関 係 を 式(a)に
◇ 問1.6◇
求 め る た め に,式(a)の
後 の 等 式 を 導 く と き はロピ
代 入 す れ ば 式(1.26)が
タ ル の 定 理 を 用 い た.こ
の
得 ら れ る.
次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 逆 変 換 を 求 め よ.
(1)〓(2)〓
ラ プ ラ ス 変 換 の 性 質(1.13)∼(1.23)か 得 ら れ る が,こ
ら次 の よ う な ラ プ ラス 逆 変 換 の性 質 が
れ ら の 公 式 も 逆 変 換 を 求 め る と き役 立 つ.
(1.27) (1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
た だ し,L-1F(s)=f(t)と
して い る.
例 題1.9 上 に あ げ た性 質 を利 用 して次 の 関 数 の ラプ ラス 逆 変 換 を求 め よ.
(1)〓,(2)〓
【解 】(1)
一方,
し た が っ て,式(1.29)か
ら
(2)
一 方,〓
◇ 問1.7◇
で あ る か ら ,式(1.30)を
用 いて
次 の 関 数 の ラ プ ラ ス逆 変 換 を求 め よ.
(1)〓,(2)〓
1.5定
数 係数 常微 分 方 程 式 の 初 期値 問題
ラプ ラス 変 換,逆 効 に利 用 され る.は
を 考 え る.こ と き,左
変 換 は定 数 係 数 常 微 分 方 程 式 の初 期 値 問 題 を解 く場 合 に有 じめ に,例
と して,2 階 微 分 方 程 式 の初 期値 問 題
の 問 題 を解 く た め に 微 分 方 程 式 を ラ プ ラ ス 変 換 し て み よ う.こ
辺 に は 式(1.18),右
辺 に は 表1.1を
用 いる と
の
と な る.た
だ し,L(x)=Xと
お い て い る.こ
こ で初 期 条 件 を代 入 す れ ば
と な る が,こ れ はX に 関 す る 1次 方程 式 で あ る の で,X
に つ い て 解 くこ とが
で きて
が 得 られ る,そ こ で,ラ プ ラ ス変 換 され た 関 数X が 求 まっ た た め,も xを求 め る に はX
を逆 変 換 す れ ば よい.す
との 関 数
なわ ち
と な る.こ れ が微 分 方 程 式 の 初 期 条件 を満 足 す る解 に な っ て い る.
図1.5
ラ プ ラス 変 換 に よ る微 分 方 程 式 の 解 法
こ の よ う に定 数 係 数 の 常 微 分 方 程 式 を ラ プ ラ ス変 換 す る と代 数 方 程 式 に な る た め 簡 単 に解 け る.最 終 的 な 解 は初 期 条件 を考 慮 した上 で,代 数 方 程 式 の解 を ラ プ ラ ス逆 変 換 す れ ば求 まる(図1.5). 定 数 係n
階微 分 方 程 式 (1.32)
を ラ プ ラ ス変 換 す る と
と な る.こ
の式 は (1.33)
(1.34)
とお け ば (1.35) と な る.こ の と き,Z(s)の 件 に は 無 関 係 で あ る.Z(s)の
形 は もと の微 分 方 程 式(1.32))だ け に関 係 して初 期 条 こ と を イ ン ピー ダ ンス とい う.一 方,G(s)は
微
分 方 程 式 の左 辺 と初 期 条 件 の 両 方 に依 存 す る が,微 分 方 程 式 の 右 辺 の 関 数f(t) に は依 存 しな い.ま 式(1.35)か
た,初 期 条 件 が す べ て 0で あ れ ばG(s)も
0に な る.
ら (1.36)
が 得 られ る.こ の と き,式(1.36)の
右 辺 第 1項 は,も
との 微 分 方 程 式 で 初 期 条
件 が す べ て 0で あ る よ う な解 と考 え る こ とが で きる.こ の よ う な解 を 初 期 静 止 解 とい う.一 方,右 辺 第 2項 は,与
え られ た 初 期 条 件 を満 足 す る 同次 方 程 式
の 解 と 解 釈 で き る. な お,式(1.36)の
右 辺 第 1項 は,合成
積 を用 い る と
と な る た め,微 分 方 程 式 の 解 は
(1.37) と書 くこ とが で き る. 例題1.10 ラ プ ラ ス 変 換 を利 用 して 次 の 微 分 方 程 式 の初 期 値 問 題 を解 け.
【 解】 微分方程式 をラプラス変換す れば初期条件 を考慮 して
し た が って,〓
よ り
ゆ えに
◇ 問1.8◇
ラ プ ラ ス 変 換 を 利 用 し て 次 の 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 を 解 け.
(1)x"+x=0,x(0)=1,x'(0)=0(2)x'一x=et,x(0)=1 例題1.11 式(1.37)を
利 用 して 初 期 値 問 題
を 解 け. 【解 】 初 期 条 件 か ら,式(1.37)に
お い てG(s)=0と
式 か らZ(s)=s2+1で
た が っ て,式(1.37)か
あ る.し
な る.ま
た微 分 方 程
ら
次 の例題 に示 す よ う に定 数係 数 の 連 立 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 に対 して もラ プ ラ ス変 換 が 応 用 で き る.た だ し,初 期 条 件 に よ っ て 解 を もた な い こ と もあ る ため,解
が得 ら れ た あ とで も う一 度 条 件 を満 足 す る か ど う か を確 か め る 必 要 が
あ る. 例題1.12 次 の 連 立 微 分 方 程 式 を初 期 条 件x(+0)=1,y(+0)=1の x(t)とy(t)を
求 め よ.
も とで 解 い て
【解 】 微 分 方 程 式 を ラ プ ラス 変 換 してL[x]=X,L[y]=Yと
お くと
したが っ て
とな る.こ の 方 程 式 をX に つ い て 解 け ば
と な る か ら,逆 変 換 して
yは 第 1式 か らy=x'+x-etと
な る た め,こ
れ に こ こ で 求 め たx を 代
入 して
なお,こ ◇ 問1.9◇
のxとy は 第 2式 を満 足 す る こ とが確 か め られ る. 次 の 連 立 微 分 方 程 式 を初 期 条 件x(+0)=y(+0)=0の
も とで
解 け.
1.6 単 位応答 と デ ル タ応答
定 数 係 数常 微 分 方 程 式(1.32)を(初 f(t)か ら解x(t)が
定 ま る.そ
期 条 件 を与 えて)解
こで 本 節 で は,解x(t)を
く場 合,右
関数f(t)に
辺 の関数
対 す る 「応
答 」 と み な す こ と に す る. さ て,方
程 式(1.32)の
期 静 止 解(初
解 は 式(1.36)よ
と な る.た
位 階 段 関U(t)で
期 条 件 がx(+0)=x'(+0)=…=x(n-1)(+0)=0で
し た が っ てG(s)=0)を (1.32)の
右 辺 の 関 数 がf(t)単
考 え る.こ
あ る 解, の 初 期 条 件 を満 足 す る 方 程 式
り
だ し,L[U(t)]=1/sを
て 特 にg(t)と
の と き,こ
あ る場 合 の 初
記 す こ と に す る.こ
用 い た.こ
の解 を単位応答 とよぶ ことに し
の定義か ら
(1.38) と な る. 方 程 式(1.32)の
初 期 静 止 解 は,式(1.36)でG(s)=0と
f(t)が 連 続 で あ れ ば 式(1.17)と
式(1.38)を
考 慮 し て,以
お い た も の で あ る が, 下 の よ う な変 形 が で
き る:
し た が っ て,
す なわ ち, (1.39) が 成 り立 つ.こ 静 止 解(応 答)が
の 式 は単 位 応 答g(t)が
既 知 で あ れ ば任 意 のf(t)に
求 まる こ と を示 して い る.
同様 に次 の よ うな 変 形 も可 能 で あ る:
対 して 初 期
た だ し,ラ い た.こ
プ ラ ス 変 換 の 性 質(5)と,t=0の
と きf*g=0で
あ る こ と をを 用
れか ら
す な わ ち, (1.40) が 得 ら れ る.
図1.6
デ ィラ ック の δ 関数(ε→0)
[デル タ 関 数] 図1.6に 示 す よ う な 関数 δε,すな わ ち
を考 え る.こ の 関 数 とx 軸 に挟 まれ た 部分 は,横 の長 さが2ε,縦 の 長 さが1/(2ε) の 長 方 形 なの で,面 積 は εの 値 に よ らず 1で あ る.ま た,δε(x-a)は 右 にa だ け平 行 移 動 した 関数 で あ る. εが 十 分 に小 さい と き,積 分
を 考 え る,δε(x-a)は
と な る.し
たが って
点x=aの
ご く近 く 以 外 で は 0 な の で
δε(x)を
で あ る.こ
こ で,ε→0と
した と き関 数 δε(x)をδ(x)と 記 し,デ ル タ関 数 と よ
ぶ.デ
ル タ関 数 はx=0の
と き ∞ でx≠0の
数)で
あ る が,上 述 の こ とか ら
と き 0 と な る特 異 な関 数(超
関
(1.41)
(1.42) と い う 性 質 を も つ. 式(1.42)か
らデ ル タ 関数 の ラ プ ラス 変 換 は
(1.43) (1.44)
と な る. 上 に 定 義 した デ ル タ関 数 に対 して,微 分 方 程 式
の初期 静 止 解 を求 め て み よ う.こ の式 の ラプ ラス 変 換 を と り,初 期 条 件(t=0 に お い てす べ て 0)を 考 慮 す る と Z(s)X=1す と な る.こ
な わ ち〓
の 逆 変 換 を デ ル タ 応 答 と よ び,h(t)と
記 す こ とにす れ ば
(1.45) と な る. 単 位 応 答g(t)と
デ ル タ 応 答h(t)の
間 に は 式(1.17),(1.38)か
ら
す なわち (1.46)
の関 係 が あ る こ と が わ か る.た
だ し,式(1.45)とg(0)=0を
最 後 に デ ル タ 応 答 が 既 知 の 場 合 に,微
分 方 程 式(1.32)の
う に 表 さ れ る か を 調 べ て お こ う.式(1.32)の
と な る,し
用 い た. 初期静 止解が どのよ
ラ プ ラ ス 変 換 を とれ ば
たが っ て
とな る か ら (1.47)
が 得 ら れ る.式(1.39),(1.40),(1.47)をデュ
ア メル(Duhamel)の
例 題1.13 微 分方程式
に対 して,単 位 応 答 とデ ル タ応 答 を求 め よ.ま た
に 対 す る 応 答x(t)を 【 解 】
求 め よ.
イ ン ピ ー ダ ン ス はZ(s)=s2-5s+4で
f(t)に 対 す る 応 答 は 式(1.47)よ
り
あ るか ら
公 式 と い う.
◇ 問1.10◇ax'+bx=f(t)に
対 す る 単 位 応 答 と デ ル タ応 答 を 求 め よ.
章末 問 題
【1.1】 次 の 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 を 求 め よ. (1)sin(at+b),(2)sinh2at,(3)et(2sint-5cos2t)
(4)
[1.2]次
の 関 数 の ラ プ ラ ス 逆 変 換 を 求 め よ.
(1)〓(2)〓(3)〓(4)〓 【1.3】 次 の 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の解 を ラ プ ラ ス 変 換 を 用 い て 解 け. (1) (2) (3) 【1.4】 常 微 分 方 程 式 の境 界 値 問 題
をラ プラス変換 を用い て次 の順序 で解 け.
(1)x'(π/2)=e-π
と い う条 件 は 考 え ず,x'(0)=cと
値 問 題 を ラ プ ラ ス 変 換 を 用 い て 解 き,解 (2)x'(π/2)=e-π
仮 定 して 常 微 分 方 程 式 の 初 期
をc を含 ん だ 式 で 表 せ.
と い う条 件 を用 い てc を決 定 して,も
との 問 題 の解 を 求 め よ.
[ 1.5] 次 の 方 程 式 の初 期 値 問 題 を ラ プ ラ ス 変 換 を用 い て 解 け.
2 フーリエ級 数 2.1 三
角
関
数
は じめ に,高 校 で す で に習 っ た こ とで あ るが,三
角 関 数 とそ の 性 質 につ い て
ま とめ て お こ う.
図2.1
図2.1に 示 す よ う にx-y平
単 位 円 と三 角 関数
面 に 原 点 中心 の 単位 円 を考 え,円 周 上 の 任 意 の 1
点 をP とす る と点P の座 標 は 直線OPとx
軸 の な す角 度 θ に よ っ て指 定 す る こ
とが で きる.す な わ ち,x 座 標 とy 座 標 は そ れ ぞ れ θの 関 数 に な っ て い る,こ れ ら をそ れ ぞ れ余 弦 関 数 お よ び正 弦 関 数 と よ び
と記 す.こ の 定 義 か ら
と な り,ま
た
で あ る こ とが わ か る.さ
らに,代 表 的 な 角 度 に対 して は
と な る. 平 面 上 の 点P か ら出 発 して,原 点 中心 の 円 の ま わ りを 1周 す れ ば も との 点 に もどるため
が 成 り立 つ.こ
の うち上 の 2式 は 反 時 計 回 り,下 の 2式 は 時計 回 りに 1周 し た
場 合 に対 応 す る.同 様 にn を整 数 と した と き,原 点 中 心 の 円 をn 周 して も同 じ 点 に も ど るか ら
が 成 り立 つ.す
な わ ち 三 角 関 数 は 周 期 が2π の周 期 関 数 に な っ て い る.
【周 期 関 数 】 関 数f(x)が
すべ て のx に対 して
とい う性 質 を もつ 場 合,.f(x)を 周 期T の 周 期 関 数 とい う.周 期 関 数 の 代 表 は 三 角 関 数 で あ る が,三 角 関数 以 外 で も周 期 関 数 は い く らで も考 え られ る.た ば,図2.2(a)に
示 す 関数 は〓
の-1<x≦1の
図2.2 周期 関数
とえ
部 分 を取 り出 して周 期 が
2 の 関 数 を つ く っ た も の で あ る.同
様 に 図2.2(b)はy=xの-1<x<1の
分 か らつ く っ た 周 期 2の 周 期 関 数 で あ る.図2.2(a)の 2.2(b)の
関 数 はx=2n-1(n
れ て い な い.後
は 整 数)で
述 の フ ー リ エ(Fourier)級
期 関 数 も 取 り扱 う が,不
連 続 点 で のf(x)の
と し て 定 義 す る と 便 利 で あ る.こ
部
関 数 は 連 続 で あ る が,図
不 連 続 で あ り,そ
こで は値 が 定 義 さ
数 で は この よ う な不 連 続 点 を もつ 周 値 はf(x+0)とf(x-0)の
の と き,図2.2(b)の
平均 値
関 数 で はf(2n-1)=0
と 定 義 さ れ る.
図2.3
正 弦 関 数 と余 弦 関 数
図2.3は 余 弦 関 数 と正 弦 関 数 を図 示 した もの で あ る. 正 弦 関 数 と余 弦 関 数 に対 して 次 の 加 法 定 理 が 成 り立 つ,
こ の 定 理 は 図 を 使 っ て も 証 明 で き る が,オ
イ ラ ー(Euler)の
公式
(2.1) を使 う と 簡 単 に 示 す こ とが で き る.す
とオ イ ラ ー の 公 式 か ら
な わ ち,
とな るが,こ
の式 の 実 数 部 と虚 数 部 を等 しい とお け ば 加 法 定 理 が 導 け る .
◇ 問2.1◇
次 の 公 式 を証 明 せ よ.
(1) (2) (3) (4)
(5)
(6) ◇ 問2.2◇eniθ=(eiθ)nを
用 い て次 の公 式 を証 明 せ よ.
(1) (3) 三 角 関 数 の微 分 積 分 に つ い て は よ く知 られ て い る よ う に
(2.2) と な る(不 定 積 分 に つ い て は積 分 定 数 を省 略).前
述 の オ イ ラ ー の公 式 を用 い れ
ば こ れ らの 公 式 も指 数 関 数 の微 分 積 分 に直 す こ とに よ っ て示 す こ とが で き る . す なわち
が 成 り立 つ た め,式(2.1)か
ら得 ら れ る
の 実 数 部 と虚 数 部 を そ れ ぞ れ 等 し く置 け ば よ い. 上 に 述 べ た よ う に,sinx,cosxは と し た と き,sinax,cosaxは
と な る か ら で あ る,た
周 期2π 周 期2π/aの
と え ば,sin2x,cos2xは
の 関 数 で あ る.同
様 に,a
周 期 関 数 に な る.な
を実 数
ぜ な ら,
周 期 が π で あ り,sin2πx,cos2πx
は 周 期 は 1 で あ る. 三 角 関 数 に は,mとn
を 正 の 整 数 と し た と き,以
下 の 重 要 な 性 質 が あ る(三
角 関 数 の 直交 関 係). (2.3)
(2.4)
(2.5) こ れ ら の 各 式 は 問2.1の
結 果 な ど を 用 い れ ば 簡 単 に 確 か め ら れ る.た
と え ば,式
(2.3)に つ い て は
と な る.こ
こ で,第
が,m-n=0の い の で,上
2 式 か ら 第 3式 の 変 形 で はm-n=0を と き は も と も とsinの
除 く必 要 が あ る
項 は 0 と な り 第 2式 の 積 分 に は 現 れ な
式 の よ う に 変 形 し て い る.
次 に 式(2.4)に
つ い て も,m≠nな
ら ば 問2.1の
結 果 な どか ら
と な る(m=nの
と き は,分
得 ら れ な い).m=nの
と な る.式(2.5)も 式(2.3)∼(2.5)に x=bに
母 が 0 に な る 項 が あ る た め,第
2式 か ら 第 3式 は
と き は,式(2.4)は
同 様 の 計 算 で 確 か め ら れ る. お い てx
な る よ うな 変 数 変 換
をX ,す
で 置 き換 え,X=-π
がx=a,X=π
が
なわち
を行 えば
( 2.6)
と な る. 特 に 式(2.6)に
お い て,a=-l,b=lと
とれ ば
(2.7)
が 成 り立 つ.
2.2 三 角 関 数 の 重 ね 合 わ せ
本 節 で は い ろ い ろ な 周 期 の 三 角 関 数 を足 し合 わ せ る と ど う な る か を考 え る. た とえ ば
を考 え る と,右 辺 第 1項 は周 期2π,第 期 が2π/3で
あ る.周 期 が2π/2な
2項 は 周 期 が2π/2(=π),第
3項 は周
らば も ち ろ ん2π「周 期 に もな る.な ぜ な ら 2
周 期 分 を ひ と ま とめ にす れ ば よい か らで あ る.同
じ く周 期 が2π/3な
期 分 を ひ と ま とめ にす れ ば 周 期 が2π で あ る とい っ て も よ い.し
らば 3周
たが っ て,こ
の 関 数 は全 体 と して周 期 は2π に な る.同 様 に考 え れ ば 正 弦 関 数 の和
(2.8) も周 期 が2π 式(2.8)の
の 関 数 に な る. 例 と して (2.9)
を 考 え る.図2.4にN=3,7,11の て い る.図
か らN
場 合 の グ ラ フ を 区 間[-π,π]に
が 大 き く な る に し た が っ て,両
に 近 づ い て い る こ と が わ か る*.こ *y
の 値 が 急 に変 化 す る場 所(正
の よ う な現 象 は ギ ブ ス(Gibbs)の
の こ と か ら,区
お いて示 し
端 近 くを 除 い て 直 線
間 を[-π,π]に
限 れ ばy=x
確 に は 導 関 数 が 不 連 続 な 点)で 振 動 が 大 き くな る こ と もわ か る(こ 現 象 と よば れ て い る).
図2.4
式(2.9)の
グ ラ フ(N=3,7,11)
という 関数 が 三 角 関 数 の適 当 な和 で表 せ るの で は ない か と予 測 で きる.ま た,区 間 を限 ら な い場 合 に は,上 の 1次 関 数 を もと に して,そ れ を2π の 整 数 倍 だ け, 左 や 右 に平 行 移 動 した鋸 の 歯 の よ う な関 数(図2.2(b)参
照),す
な わ ち,y=x
を周 期 が2π の 関 数 に な る よ う に拡 張 した 関 数 を 表 す こ とが わ か る.こ の 拡 張 され た 関 数 は原 点 に 関 して対 称 な 関数 で あ る が,sinが
原 点 に 関 して 対 称 な関 数
で あ る こ とを 考 えれ ば 当然 期 待 され る こ とで あ る. 前 述 の とお り,も との 三 角 関数 の 周期 は変 数 変 換 に よ っ て 自由 に変 化 させ る こ とが で きる た め,上 式 のx をX と書 き,あ ら た め て
とお くと,任 意 の 有 限 区 間[a,b]に お い てy=Xが
三 角 関数 の 和
で 近 似 で き る こ と が わ か る.特
と き上 式 は
にa=-l,b=lの
図2.5
式(2,11)の
グ ラ フ(N=3,7,11)
と な る. 次 に,余
弦 関数 の和 (2.10)
に つ い て 考 え る.式(2.10)の
例 と して
(2.11)
を用 い た と き,図2.5にN=3,7,11の 示 す.図
か らN
場 合 の グ ラ フ を 区 間[-π,π]に
が 大 き く な る に つ れ て,関
数y=│x│副に
おい て
近 づ く こ と が わ か る*.
こ の 関 数 は 前 の 例 と 異 な り,y 軸 に 関 し て 対 称 な 関 数 で あ る が,こ
れ はcosnx
もy 軸 に 関 し て 対 称 な 関 数 で あ る か ら で あ る. 最 後 にsinとcosの
両 方 を 含 ん だ 級 数,す
な わ ち 式(2.8)と(2.10)の
和
(2.12)
の 例 と して
(2.13)
*こ
の 場 合 に は折 れ 曲が っ た点(導
関数 が 不連 続 な点)で
は特 異 な振 る舞 い は な い
.
図2.6
式(2.13)の
を 考 え る.図2.6にN=3,7,11,100の 示 し て い る が,こ
グ ラ フ
場 合 の グ ラ フ を 区 間[-π,π]に
れ はy 軸 や 原 点 に 関 して 対 称 で は な い.た
期 性 を 反 映 し て2π の 周 期 性 を も っ て い る.実 の 平 均 を と っ た も の で あ る が,こ 以 上 の こ と か ら,周 る こ と,そ cosの 和,そ
は,式(2.13)は
の こ と は 図2.4∼2.6か
期 関 数 はsin,cosあ
お いて
だ し,三 角 関 数 の 周 式(2.10)と(2.11)
ら も 想 像 さ れ る,
る い は そ の 両 方 の和 に よ っ て表 され
し て 原 点 に つ い て 対 称 な 関 数 はsinの
和,y
軸 につ い て 対 称 な関 数 は
の ど ち ら で も な い 関 数 は 両 方 を 含 ん だ 和 に な る こ と が 想 像 さ れ る.
な お,式(2.10),(2.11),(2.13)は を 表 し て い る.こ
区 間[0,π]に
の よ う に,区
形 は ひ と と お り で は な い.い
お い て は す べ て 同 じ関 数y=x
間 を 限 っ た 場 合 に は,同 い か え れ ば,限
じ 関 数 で あ っ て も和 の
られ た 区 間 に お い て 与 え られ た 関
数 が ど の よ う な 形 の 三 角 関 数 の 和 に な る か は,そ
の 関 数 の 区 間(定
義 域)を
拡
張 す る 場 合 の 拡 張 の 仕 方 に よ る こ と が わ か る.
2.3 フーリエ
展 開 その 1
前 節 の 結 果 か ら,任
意 の 周 期2π
の 関 数 は 式(2.12)の
形 の 三 角 関 数 の 和 で表
せ そ う な こ と が 予 想 で き る. 本 節 で は,ま
ず は じ め に 任 意 の 周 期2π
の 関 数 が 与 え ら れ た と き,式(2.12)の
形 の 級 数 で そ の 関 数 が 近 似 で き た と 仮 定 す る.そ に つ い て 調 べ る.
し て,そ
の 上 で係 数 の 決 定 法
は じめ に,偶 関 数 と奇 関 数 につ い て 述 べ る.偶 関 数 とは
を満 た す 関 数 で,た
と え ばy=x2やy=cosnxが
そ の 例 に な っ て い る.偶
数 を グ ラ フ に 描 く とy 軸 に対 し て 対 称 に な っ て い る.一
を満 たす 関 数 で,た
とえ ばy=xやy=sinnxが
方,奇
関
関数 とは
そ の例 で あ る.奇
関数 は 原 点
に関 して対 称 で あ る(図2.7).
図2.7
前 節 で も述 べ た が,あ
偶 関 数 と奇 関数
る 関数 を 三 角 関 数 の和 で 表 す 場 合,そ
の 関 数 が偶 関 数
で あ れ ば和 に は 余 弦 関 数 だ け が 含 まれ る はず で あ り,奇 関 数 で あ れ ば 和 に は 正 弦 関 数 だ け が 現 れ る.さ
ら に,偶 関 数 で も奇 関 数 で もな い 関 数 の場 合 に は 余 弦
関 数 と正 弦 関 数 の 両 方 が 現 れ る.こ の こ と は任 意 の 関 数f(x)の が偶 関 数 と奇 関 数 の 和 で 表 せ る こ とか ら もわ か る.す な わ ち,関 数f(x)を
と書 け ば,右 辺 第 1項 は偶 関 数,第 なぜ な ら,右 辺 第 1項 をh(x),第
2項 は 奇 関 数 で あ る こ とが 確 か め ら れ る. 2項 をg(x)と
書 け ば,
と な る か ら で あ る.し で 表 す と き に は,余
た が っ て,一
般 に 任 意 の 周 期2π
弦 関 数cosnxと
正 弦 関 数sinnxの
の 関 数 を三 角 関 数 の和 和 に な る と考 え ら れ る.
そこで (2.14)
と書 くこ と にす る(便 宜 的 に定 数 項 をa0/2と
記 して い る).た
だ し,右 辺 の 級
数 が 収 束 す る か ど うか は不 明 で あ る た め,等 号 は使 わ ず 記 号 ∼を 使 っ て い る. ま た,以 下 の 議 論 で は右 辺 の 無 限 級 数 は 収 束 して 項 別 積 分 が 可 能 で あ る と仮 定 す る.こ の と き級 数 に現 れ る係 数a0,an,bn(n=1,2,…)は (式(2.3)∼(2.5))を
三角 関 数 の直交 性
利 用 して 以 下 の よ う に決 め る こ とが で き る.
まず 式(2.14)の ∼を 等号 で あ る と仮 定 して,両 辺 を区 間[-π,π]で 積 分 す る と
と な る.こ
の式 か らた だ ち に
(2.15)
が 得 ら れ る.次
と な る.こ
に 式(2.14)の
両 辺 にcosmxを
の と き式(2.3)∼(2.5)を
な か でn=m以 和 の 各 項 は0で
外 は0と あ る.し
考 慮 す れ ば,右
な り,n=mの たがって
乗 じて 区 間[-π,π]で
積 分す ると
辺 に あ る 係 数 がanの
と き π と な る.ま
総和 の
た 係 数 がbnの
総
となるため (2.16) が 得 ら れ る.こ
の 式 でn=0と
ん で い る と み な せ る.こ bnを
す れ ば 式(2.15)と
れ が,式(2.14)の
求 め る た め に は,式(2.14)の
一 致 す る た め,式(2.15)を
定 数 項 をa0/2と
両 辺 にsinmxを
含
記 し た 理 由 で あ る.
乗 じ て 区 間[-π,π]で
積
分 す る.
こ の と き,式(2.3)∼(2.5)か り,bnを る,し
ら,第
含 ん だ 総 和 の な か でn=m以
1項 お よ びanを
含 ん だ 総 和 の 各 項 は 0で あ
外 は 0 と な り,n=mの
と き π とな
たが って
より (2.17) が 得 ら れ る. 以上の ことか ら
と な る こ とが わ か る.こ の よ うに 周期 関 数 を三 角 関 数 の 無 限 級 数 で 表 す こ と を 関 数 を フ ー リエ展 開す る とい う.ま た,三 角 関 数 の 無 限 級 数 を フ ー リエ 級 数 と い う.な お,上 式 の右 辺 を導 く と きに は 右 辺 の 級 数 が収 束 し,ま た項 別 積 分 で き る と仮 定 して形 式 的 な演 算 を行 っ た.こ れ ら の仮 定 は 自明 で は な い た め,上 式 で は等 号 を用 い て い な い 。
こ こ で も しf(x)が
奇 関 数 で あ れ ば,式(2.16)の
積 分 値 は 0 に な る.す な わ ち,式(2.14)に な い.一 方,f(x)が
被 積 分 関 数 も奇 関 数 と な り,
お い て 定 数 項 と余 弦 関 数 の 項 は 現 れ
偶 関数 の場 合 に は,式(2.17)の
そ の積 分 値 が 0に な る.し
たが っ て,正
被 積 分 関 数 が 奇 関 数 に な り,
弦 関 数 の 項 は現 れ な い.
例 題2.1 f(x)=xを 【 解 】f(x)が
区 間[-π,π]で
フ ー リ エ 展 開 せ よ.
奇 関 数 で あ る た めan=0,ま
た
した が って
例 題2.2 f(x)=x2を 【解 】f(x)が
区 間[-π,π]で
フ ー リ エ 展 開 せ よ.
偶 関 数 で あ る た めbn=0,ま
た
したが っ て
例 題2.3 f(x)=exを
区 間[-π,π]で
フ ー リ エ 展 開 せ よ.
【解 】 また
と な る(任 意 定 数 は省 略)か
した が って
ら
◇ 問2.3◇
次 の 関 数 を 区 間[-π,π]で
フ ー リ エ 展 開 せ よ.
(1)
(2)
2.4 フーリエ
式(2.14)は
展 開 そ の 2
区 間[-π,π]に
和 で 表 現 した 式 で あ っ た.い
と 記 す こ と に す れ ば,g(X)は
お い て 周 期2π ま,式(2.14)に
区 間[-l,l]に
の 関 数f(x)をsinnxとcosnxの お い てx=πX/lと
お い て 周 期2lの
お き,
関 数 に な る .こ
と き,式(2.14)は
と な り,式(2.16),(2.17)は
と な る.こ
れ ら の 式 でg(X)を
は 区 間[-l,l]に
あ ら た め てf(x)と
み な せ ば ,周 期2lの
関 数f(x)
お いて
(2.18)
の
た だ し, (2.19)
(2.20)
と 書 け る こ と が わ か る.式(2.18),(2.19),(2.20)はl=π (2.16),(2.17)と
一 致 す る た め,そ
の と き 式(2.14),
れ ら を特 殊 な 場 合 と し て 含 ん で い る 式 と み な
せ る. 例 題2.4 関 数f(x)=1-|x| 【 解 】f(x)は
を 区 間 【-1,1]で
フ ー リ エ 展 開 せ よ.
偶 関 数 で あ る た めbn=0,ま
た
した が っ て
◇ 問2.4◇関数〓
を 区 間[-1,1]でフーリ
エ 展 開 せ よ. 次 に 式(2.14)を
複 素 数 の 指 数 関 数 を 用 い て 変 形 し て み よ う.い
ま,
(2.21)
とお け ば
と な る.ま
た,a0=2c0で
と書 き 換 え ら れ る.こ の(-m)をn
あ る か ら,フ
ー リエ 級 数 は
こ で 右 辺 の 第 1項 をn=0と
し て 第 2項 に 含 め,第
3項
と書 くこ とに す れ ば
(2.22)
と な る.こ
れ を 複 素 形 式 の フ ー リ エ 級 数 と い う.展
開 係 数 は 式(2.21)か
ら
と な る た め, (2.23)
(2.24) と な る.ま
た 式(2.23)の
上 の 式 か らc-nはcnの
共役 複 素 数 で あ る こ と が わ か
る ため (2.25) で あ る.式(2.24)でn=0と ば 式(2.25)と
な る た め,n
す れ ば 式(2.23)に
な り,n の か わ り に-nと
が整 数 の と きこ れ らの 式 は
すれ
(2.26)
に ま と め られ る. 区 間 が[-l,l]の
場 合 の 複 素 形 式 の フ ー リ エ 級 数 は,式(2.18),(2.19),(2.20)
を 用 い て 上 と 同 じ手 続 き を 行 う か,ま
た は 式(2.22),(2.26)を
も と にx=πX/l
とい う変 数 変 換 を行 う こ と に よ り
(2.27)
ただ し (2.28)
と な る. 例 題2.5 関 数f(x)=exを
区 間[-1,1]に
【解 】 式(2.28)よ
り
し た が っ て,式(2.27)よ
◇ 問2.5◇ 数 で 表 せ.
お い て 複 素 数 の フ ー リ エ 級 数 で 表 せ.
り
関 数f(x)=eπ(1-x)を
区 間[-1,1]に
お い て 複 素 数 の フ ー リエ級
2.5 フーリエ
式(2.14)の
級 数 の収 束 性
係 数an,bnはf(x)が
算 す る こ とが で きる.そ こ で,f(x)の
積 分 可 能 で あ れ ば 式(2.15)∼(2.17)か 積 分 可 能 性 を仮 定 して係 数an,bnを
ら計 計算
す れ ば,形 式 的 に級 数 をつ くる こ とが で き る.し か し,実 際 に右 辺 が 収 束 す る の か ど うか,ま た収 束 した 場 合 にそ れ がf(x)と
等 し くな る か ど うか を確 か め る
必 要 が あ る.
図2.8
区 分 的 に滑 らか な 関 数
図2.9
図2.8の
実 は,こ の こ と は無 条 件 に成 り立 つ わ け で は な く,f(x)に
導 関数
対 して あ る制 限 を
つ け る必 要 が あ る.具 体 的 に どの よ う な制 限 で あ る の か を述 べ る前 に,「 区 分 的 に連 続 」 とい う用 語 と 「区 分 的 に滑 らか 」 とい う用 語 を導 入 す る. まず 関 数f(x)が
区 間[a,b]に お い て 区 分 的 に連 続 で あ る とは,区
有 限個 の 小 区 間[ai,bi]に 分 け ら れ て,各 小 区 間 でf(x)が の端 で 極 限 値f(ai+0),f(bi-0)を
間[a,b]が
連 続 で あ り,各 区 間
もつ こ と を い う.ま た 関 数f(x)が
[a,b]で 区 分 的 に滑 らか で あ る と は,関 数f'(x)が
区間
区 間[a,b]で 区分 的 に連 続 で
あ る こ と を い う.簡 単 にい え ば,区 分 的 に滑 らか な関 数 は 図 に描 い た と き,有 限 個 の 点 を除 い て滑 らか で あ り,除 外 した有 限個 の 点 で は 連 続 的 に つ な が っ て い な い か,ま た は連 続 につ なが っ て は い る が 尖 って い る よ う な関 数(図2
.8)で
あ る.区 分 的 に滑 らか な 関 数 は 不 連 続 点 また は尖 っ た 点 以 外 の 点 で は微 分 で き るが,導
関 数 を 図 示 す れ ば わ か る よ う に(図2.9) ,不 連 続 点 や 尖 っ た 点 の左 右
で不 連 続 に な っ て い る.区 分 的 に 連 続 な 関 数 を積 分 す る と区 分 的 な 滑 らか な 関 数 に な る. こ れ らの 用 語 を用 い れ ば,フ ー リエ 級 数 の収 束 条 件 は以 下 の よ う に表 現 で き る こ とが 知 られ て い る(証 明 略).
f(x)が
周 期2π
の 関 数 で,区
間[-π,π]で
区 分 的 に 滑 ら か で あ る と す る.
この と き フー リエ 級 数 は 収 束 して
(2.29)
が 成 り立 つ. 関 数f(x)が が,も
点x で 連 続 で あ れ ば,式(2.29)の
左 辺 は も ち ろ んf(x)を
表す
し不 連 続 で あ れ ば左 極 限 と右 極 限 の平 均 にな る こ と を 意 味 して い る(図
2.2(b)参 照). 次 に フー リエ 級 数 の微 分 と積 分 につ い て調 べ て み よ う.は て考 え る.f(x)が
はf(x)が
じめ に積 分 につ い
区 間[-π,π]で 区 分 的 に連 続 で あ る とす る.こ の と き,
不 連 続 な 点 以 外 で は微 分 で きて
とな る.f(x)す
な わ ちF'(x)が
らかで あ る.し た が っ て,F(x)は よう にf(x)が
区 分 的 に連 続 で あ る か ら,F(x)は
区 分 的 に滑
フ ー リエ 級 数 に展 開で きる こ とに な る.こ の
区 分 的 に連 続 とい う条 件 で あ っ て も,そ れ を積 分 した 関 数 は フ ー
リエ 展 開 で き る こ とに な る. さて,f(x)が
フー リエ 展 開 され て い て
(2.30) と書 か れ て い る とす る.ま たF(x)を(以
前 と少 し異 な るが) (2.31)
と定義 す る と,先 程 と同 じ理 由 で フ ー リエ展 開 で き て
と 書 け る.こ
の とき
で あ る こ と に 注 意 す れ ばF(x)の
と な る.し
フ ー リ エ 係 数 は,n=1,2,…
と して
たがって
(2.32)
と な るが,c0を
と な る.こ
決 め る た め,x=π
の 式 か ら 得 ら れ るc0/2を
を 得 る.式(2.31)か
を上 式 に代 入 す れ ば
式(2.32)に
代 入 して
ら
(2.33)
と な る が,こ
の 式 は 式(2.30)を[一
以 上 の こ と を ま と め れ ば,
π,x]で 項 別 積 分 し た 式 に 一 致 す る.
関 数f(x)が 級 数 はf(x)の
フ ー リエ 展 開 され て い れ ば,項 別 積 分 して 得 られ る フ ー リエ 積 分 の フ ー リエ 展 開 と一 致 す る.
す な わ ち,フ ー リエ 級 数 は 項 別 積 分 で き る. そ れ で は,微 分 は ど う な る で あ ろ う か.フ ー リエ 級 数 は制 限 を つ け な け れ ば 項 別 微 分 が で き な い こ と は以 下 の例 か ら もわ か る. 例 題2.6 区 間[-π,π]に お け るf(x)=xの 的 に微 分 せ よ,次
フ ー リエ展 開(例 題2.1)の
に得 ら れ た式 にx=π
【 解 】 例 題2.1のf(x)の
両 辺 を形 式
を代 入 す る と ど う な る か.
フ ー リエ展 開 を形 式 的 に微 分 す れ ば
とな る.こ の 式 の 右 辺 にx=π
を代 入 す れ ば右 辺 は
とな り発 散 す る. f(x)が フー リエ 展 開 で きる た め に はf(x)が た よ うに,f'(x)が
区 分 的 に滑 らか で あ る必 要が あ っ
フ ー リエ 展 開 され る た め に はf'(x)も
必 要 が あ る.こ の 条 件 の も とで
と展 開 され た とす る.こ の と き展 開 係 数 は
区 分 的 に滑 らか で あ る
と な る.一
方,f(x)の
フ ー リエ 展 開 は
た だ し,
で 与 え ら れ る.こ
の 式 の 右 辺 を 項 別 に 微 分 し た と す れ ば 定 数 項 は な く な る.し
た が っ て,上
のc0も
要 が あ る.こ
の と き,上
な る.一
方,上
をf'(x)の
と な る が,こ
0 に な る は ず で あ る が,そ
のdnの
のcnの
れ に はf(π)=f(-π)で
あ る必
式 の 最 右 辺 の 第 1項 目 も消 え て,cn=nbnと
式 か らdn=-nanと
な る こ と が わ か る.こ
れ らの 関係
展 開 式 に 代 入 す れ ば,
の 式 はf(x)の
展 開 式 を 項 別 に微 分 した も の に な っ て い る .以
上の
こ と を ま と め れ ば次 の よ うに な る .
関 数〓
が 連 続 でf(π)=f(-π)を
区 分 的 に 滑 ら か で あ れ ば,f(x)の
満 足 し,f'(x)が
フ ー リ エ 展 開 は 項 別 に微 分 で き て,f'(x)
の フ ー リ エ 展 開 に 一 致 す る, 例題2.6の
フ ー リエ 級 数 が 項 別 微 分 で き な か っ た の はx=π
で 不 連 続 で あ り,
上 の 条 件 を 満 足 しな か っ た た め で あ る. 例題2.7 区 間[-π,π]に
お け るf(x)=xの
同 じ 区 間 に お け るx2の 値 を 求 め よ.
フ ー リエ 展 開(例
フ ー リ エ 展 開 を 求 め よ.こ
題2.1)を
積 分 し て,
の結 果 を用 い て 次 式 の
【解 】 フ ー リエ 級 数 は項 別積 分 が 可 能 で あ る.し た が っ て,a0を
任意 定数
と して
とな る.a0の
と な る.し
値 は 公 式 を用 い て
た が っ て,
も との 関 数(x2)はx=0で
連 続 で あ る た め,こ の 展 開式 にx=0を
代入
す る こ とが で きて,
とな る.し
た が っ て,
◇問2.6◇〓+xの
フ ー リエ 展 開(問2.3(1))を
区 間[-π,π]に
用 い て 次 式 の 値 を 求 め よ.
お ける
2.6 ベ ッ セ ル の 不等 式 と パ 一セバル の 等式
あ る 関 数 が フー リエ 展 開 され て 三角 関数 の無 限級 数 で表 され て い る と し よ う. こ の展 開 式 を数 値 計 算 で 用 い る 場 合 な ど近似 式 と して使 う と き に は,有
限項で
打 ち切 る.こ の よ う な と き,こ の 有 限項 の級 数 は も との 関 数 の どの 程 度 の 近似 に な っ て い るの で あ ろ うか.つ
ぎ に,こ の点 につ い て 考 え る.
(2.34) とお い て,こ
の 関 数 に よ っ てf(x)を
近 似 す る と考 え る.こ
こ で 右 辺 の係 数 は
フ ー リエ 展 開 の 係 数 と は異 な る もの と考 え て 別 の文 字αn,βnで
表 して い る.
f(x)-ψN (x)は 誤 差 を表 す が,こ れ は 正 に も負 に もな る た め,そ の 2乗 で あ る 2乗 誤 差 を考 え る.直 接 計 算 す る と
と な る.た
だ し,Aはcoskxcosmx,coskxsinmx,sinkxsinmxの
項 の 1次 結 合 で 表 さ れ る 式 で あ る.こ に よ っ て 大 小 が あ る.全 の(平
均 2乗 誤 差)で
こ と に 注 意 す れ ば,
関 数 で あ る か ら,場
体 で の 誤 差 の 大 小 は こ れ を 区 間[-π,π]で
評 価 で き る.そ
の と き , 上 式 の 最 右 辺 の 第1項 coskxsinmx,sinkxsinmxの
の 2乗 誤 差 はxの
形 を した
こ で,上
以 外 のf(x)に
式 を 区 間[-π,π]で
所
積 分 した も 積 分 す る.こ
式 (2.14)を 代 入 しcoskxcosmx,
形 を した 項 の[-π,π]に
お け る 積 分 が 0に な る
(2.35) と な る.こ
の 式 はαn=an,βn=bnの
と き 最 小 に な る.こ
数 を 三 角 関 数 の 有 限 項 の 和 で 近 似 し た 場 合,そ
の こ と は,あ
る関
の係 数 と して フ ー リエ展 開 で 決
ま る 係 数 と 等 し く と っ た 場 合 に 平 均 2乗 誤 差 が 最 小 に な る こ と を 意 味 し て い る. 式(2.35)のE
は 関 数 の 2乗 の 積 分 で あ る か ら,負
式(2.35)でαn=an,βn=bnと
に は な ら な い.し
た が って
お い た 式 か ら,
(2.36)
と な る が,式(2.36)は
ど の よ う な N に 対 し て も 成 り立 つ か ら
(2.37)
が 得 ら れ る.こ い てN
の 不 等 式 を ベ ッ セ ル(Bessel)の
が 増 え る ほ ど左 辺 は 大 き く な る.し
ほ ど 誤 差 が 小 さ く な る.実
不 等 式 と い う.式(2.36)に
た が っ て,1>
際 に は,N→∞
の と き,誤
お
を 大 き くす れ ば す る
差 が 0,す な わ ち
(2.38)
が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ て い る.こ
れ を パ ーセ バ ル(Parseval)の
等 式 と い う.
例題2.8 区 間[0,π] で 定 義 さ れ た 関数f(x)=x(π-x)を し て 拡 張 し て,フ 用い て
の値 を求 め よ,
ー リ エ 展 開 せ よ.ま
た,そ
区 間[-π,π]に
偶 関数 と
の 結 果 と パ ーセ バ ル の 等 式 を
【解 】 偶 関 数 で あ る か らbn=0,ま
た
した が っ て,
パ ーセ バ ル の 等 式(2.37)よ
り
した が っ て
章末 問題 [2.1] 関数〓
をフーリ工級 数 に展 開せよ.ま た,そ の
結果 を利用 して級数
の 値 を求 め よ. [ 2.2] 関 数f(x)=sinhax(-π〓xπ〓;a>0)を そ の結 果 を 利 用 し て 級 数
フ ー リエ 級 数 に展 開 せ よ.ま た,
の 値 を求 め よ. [ 2.3] 関 数f(x)=cosax(a≠
整 数)を[-π,π]
で フ ー リエ 級 数 に展 開 せ よ.
その結 果 を用 いて
を証 明 せ よ. [ 2.4] 関 数
の フ ー リエ 級 数 展 開 を 以 下 の順 に 求 め よ. (1)cosx=(eix+e-ix)/2を
利 用 して
で あ る こ と を示 せ. (2)無限 級 数 展 開1/(1-t)=1+t+t2+tn+…(│t│0の
(2)
利 用 して,問
無 限 級 数 で 表 せ.
と き,〓
題 の関
3 フ ー リ 工 変 換
3.1 フーリエ
区 間[-l,l]に
の 積 分定 理
お け る 関 数f(x)の
複 素 形 式 の フ ー リ エ 展 開 は,2.4節
の終 わ り
で述べ た ように
(3.1)
(3.2) で あ る.こ
こ で,式(3.2)に
お い て い る が,式(2.28)と で 置 き 換 え れ ば よ い.こ
現 れ る 積 分 の 変 数 はxで
ある必要 はないの で ξと
の 対 応 を は っ き り さ せ る た め に は 式(3.2)の の 展 開 は 周 期2lの
周 期 性 の な い 関 数 に も使 え る.そ
関 数 に 使 え る が ,l→∞
ξ をX とす れ ば
こ で,l を 大 き く し た と き に フ ー リ エ 展 開 は ど
の よ う に な る か を 考 え て み よ う. 式(3.2)を
と な る.こ
式(3.1)に
代入す る と
の式で
λn=nπ/l,Δ
λ=λn+1-λn=(n+1)π/l-nπ/l=π/l
とお け ば (3.3)
と な り,さ
らに
と お け ば,
と な る.こ
こ でl→∞
と な る.た
だ し,
と す れ ばΔ λ→0と
なるため
(3.4)
で あ る.し
た が っ て,式(3.3)は
と な る が,式(3.4)を
こ の式 に代 入 す れ ば
(3.5)
と な る. な お,こ
の 式 の 導 出 に は フ ー リ エ 級 数 が も と に な っ て い る た め,関
区 分 的 に 滑 ら か で あ り,か
で あ る 必 要 が あ る.さ (f(x+0)+f(x-0))/2を れ る.
数f(x)は
つ絶対可積分
ら に,点xに
お い てf(x)が
不 連 続 で あ れ ば,左
辺は
表 す こ と にな る.以 上 を ま とめ る と次 の 定 理 が 得 ら
[フー リエ の 積 分 定理]関 数f(x)が
(た だ し,f(x)が
区分 的 に滑 らか で か つ絶 対 可 積 分 な らば
連 続 の 点 で は 左 辺 はf(x)を
フ ー リエ の 積 分 定 理(3.5)に
表 す.)
お い て,eiλ
(x-ξ)=cosλ(x-ξ)+isinλ(x-ξ)
を 代 入 す る と,実
と な る が,2
数 部 と虚 数 部 は そ れ ぞ れ
番 目 の 式 の 括 弧 内 の 積 分 は λ に 関 し て 奇 関 数 で あ る か ら,λ
分 す る と 0 に な る.さ
で積
ら に 1番 目 の 式 の 括 弧 内 の 積 分 は λ に 関 し て 偶 関 数 で あ
る こ と を考 慮 す れ ば
(3.6)
と な る. 式(3.6)のcosλ(x一
ξ)を 加 法 定 理 で 展 開 す れ ば,式(3.6)は
(3.7) た だ し, (3.8)
(3.9) と 書 け る.式(3.7)は,λ
が 離 散 的 な 値 を と る フ ー リ エ 展 開 の 公 式 を,連
値 を と る よ う に 拡 張 し た 式 と み な す こ と が で き る.
続的 な
式(3.7)∼(3.9)に (3.8),(3.9)の
お い てf(x)が
偶 関 数 で あ る 場 合 を 考 え よ う.こ
の と き,式
積 分 は
と な り,式(3.7)は
(3.10) と な る. 同 様 にf(x)が
奇 関 数 の と き は,式(3.8),(3.9)は
と な り,式(3.7)は
(3.11) と な る.
3.2 フーリエ
変 換
フ ー リ エ の 積 分 定 理(3.5)に
おいて
(3.12) と お く.こ
の 積 分 は パ ラ メ ー タ λ を 含 ん だ ξ に 関 す る 積 分 で あ り,積
は λ を 含 む た め,左
辺 の よ う に 記 して い る.こ
に対 して 意 味 を も つ 式 で あ る.式(3.12)を
分結 果 に
の 積 分 は 絶 対 可 積 分 な 関 数f(x)
用 い れ ば,式(3.5)は
(3.13)
と 書 く こ と が で き る. 式(3.12)を 換 と よ ぶ.一
関 数f(x)に 方,式(3.13)は
る 変 換 と み な せ る た め,フ
関 数g(λ)を 関 数g(λ)が
対 応 さ せ る 変 換 と み な し,フ 与 え ら れ た と き,も
ー リ エ 逆 変 換 と い う.
ー リエ 変
と のf(x)を
求め
関 数f
に フ ー リ エ 変 換 を 行 う こ と を 記 号F[f]で
エ 逆 変 換 を 行 う こ と を 記 号F-1[g]で
表 す こ と に す る .ま
な る.
f(x)の
フ ー リエ 変 換 は
で あ り,g(λ)の
フー リエ 逆 変 換 は
で あ る.
例題3.1
【 解 】 フ ー リエ 変 換 の 定 義 式 に よ り,
例 題3.2 を 求 め よ. 【 解 】
表 し,逆
フ ー リ エ 変 換 の 定 義 式 に よ り,
に 関 数 g に フー リ とめ る と次 の よ う に
と な る.こ と,積
こ で,複素
積 分〓
を 図3・1に 示 す よ う な 積 分 路 で 行 う
分 路 内 に 特 異 点 は な い た め,コ
は 0 に な る.そ
ー シ ー(Cauchy)の
積 分 定 理 か ら値
こで
図3.1 積分路
と な る が,∫C
で あ る.し
◇ 問3.1◇
2と∫C4はR→∞
の と き0と
な る た め,
た が っ て,
次 の 関 数 の フ ー リ エ 変 換 を 求 め よ.(1)xe-│x│(2)〓
f(x)が 偶 関 数 の と き 成 り立 つ 式(3.10)に
お いて
(3.14)
とお け ば (3.15) と書 く こ とが で きる.式(3.14)を
の 関 数fを λ の 関 数g に対 応 させ る 変 換
とみ な して,フ ー リエ 余 弦 変 換 とい う.ま た,式(3.15)を
λの 関数g をx の 関
数f に対 応 させ る 変 換 とみ な して 逆 フ ー リエ余 弦 変 換 とい う.こ れ ら を そ れ ぞ れ 記号Fc[f]とF-1c[g]で 同 様 に,f(x)が
表 す こ とに す る.
奇 関 数 の と き成 り立 つ 式(3.11)に お い て (3.16)
とお け ば (3.17) と な る.こ れ ら をそ れ ぞ れ フー リエ正 弦 変 換,逆 れ ぞ れ記 号Fs[f]とF-1s[g]で
フー リエ 正 弦 変 換 と よ び ,そ
表 す こ と にす る.先 ほ ど述 べ た フ ー リエ変 換 の 場
合 と異 な り,正 弦 変 換 と余 弦 変換 で は,変 換 もそ の 逆 変 換 も全 く同 じ形 を して い る.以 上 を ま とめ る と次 の よ う に な る 。 f(x)の フ ー リエ 余 弦 変 換 と フ ー リエ 正 弦 変 換 は
で あ り,g(λ)の 逆 フ ー リエ 余 弦 変 換 と逆 フー リエ 正 弦 変 換 は
で あ る.
例題3.3 次 の 関係 を満 たす 関 数f(x)を
求 め よ.
【解 】f(x)の
フ ー リエ 余 弦 変 換 は
で あ る か ら,与 式 の左 辺 の√2/π 倍 に な って い る.し た が っ て,与 式 の 右 辺 をF(λ)と
◇ 問3.2◇ のf(x)を
書 い た と き,逆 変 換 の公 式 か ら
例題3.3の 式 の 左 辺 にお い て,cosλxをsinλxで
置 き換 え た 場 合
求 め よ.
3.3 フーリエ
変 換 の性質
本 節 で は フ ー リエ 変換 が もつ い くつ か の 性 質 に つ い て述 べ る. (1)線形 性 (3.18) た だ し,f1,f2は
フー リエ 変 換 が可 能 な関 数 で あ る とす る.
この 公 式 は フ ー リエ 変 換 が 線 形 演 算 で あ る こ と を意 味 して い る.こ れ は,積 分 が線 形 演 算 で あ る こ とか らの 帰 結 で あ る.実 際
(2)F [F[f(x)]]=f(-x)(3.19) こ の 公 式 は フ ー リエ 変 換 を 2回 行 う と も と の 関 数 のx と-xを に な る こ と を 意 味 し て い る.し
た が っ て,も
変 換 を 2回 行 え ば も と の 関 数 に も ど る,証
しf(x)が
入 れ替 え た もの
偶 関 数 で あ れ ば フ ー リエ
明 は 次 の と お り で あ る.F[f(x)]=g
とす れ ば
こ の式 に お い てx を-xで
置 き換 え れ ばとなる.(3))
〓(a,b定 数 で,gはfの
別
工 変 換) (3.20)
なぜ な ら
で あ り,u=ax+bと
で あ り,a<0の
お く と,a>0の
とき
とき
と な る.こ
れ ら を ま と め た も の が 式(3.20)で
特 に,b=0の
あ る.
と き, (3.21)
と な り,a=1,b=-cの
と きF
[f(x-c)]=e-icλg(λ)(3.22)
となる.(4)) (3.23) なぜ な ら
(実 際 の 証 明 で は(3)と 同 じくaの 符 号 に よ っ て場 合 分 け して 計 算 す る が,(3) と 同様 で あ る た め ひ と ま と め に して い る) (5)微 分
(3.24) (3.25) なぜ な ら,部 分 積 分 を用 い て
と な る が,f(x)は
絶 対 可 積 分 で あ る た め,│x│→∞
辺 第 1項 が 0 で あ る か ら 式(3.24)が こ と に よ り 同 様 に 証 明 で き る.
でf(x)→0に
得 ら れ る.式(3.25)も
な り ,最
右
部 分 積 分 を 繰 り返 す
(6) (3.26) な ぜ な ら,
(7)積分 x→ ±∞ の極 限 で∫x0f(ξ)dξ→0で
あ れば
(3.27) なぜ な ら,
た だ し部 分 積 分 を行 い,仮 定 を用 い て い る. (8)合成 積 フー リエ 変 換 で しば しば 現 れ る演 算 に合 成 積 が あ る.こ れ はf1(x),f2(x)が 全 区間で積分可 能 な とき
(3.28) の 右 辺 で 定 義 さ れ る 演算 で あ り,左 辺 の記 号 で 表 す .こ の 定 義 か らf 1*f2=f2*f1(3.29) が成 り立 つ こ とが 示 され る.
◇問3.3◇〓 の 合 成 積 を求 めよ ・ 合 成 積 の フ ー リエ 変換 に対 して 次 の 式 が 成 り立 つ. (3・ 30) す な わ ち,2 つ の 関数 の 合 成 積 の フ ー リエ 変 換 は そ れ ぞ れ の 関 数 の フ ー リエ 変 換 の 積(に√2π
を か け た もの)に
な る.こ の こ とは以 下 の よ う に示 せ る.
定義 か ら
最 後 の 積 分 で,η=x-ξ
とお く と
と な る. 以 下 に フ ー リ エ 変 換 の 代 表 的 な 性 質 を ま と め て お く(g はf の フ ー リ エ 変 換).
(1)F[a1f1+a2f2]=a1F[f1]+a2F[f2] (2)F[F[f(x)]]=f(-x) (3)〓
(4)〓
(5)〓
(6)〓
(7)〓
(8)〓
章末 問 題
[ 3.1]次
の 関 数 の フ ー リエ 変 換 を 求 め よ.
(1)(2) [ 3.2]f(x)の
フ ー リエ 変 換 をF(λ)と
し た と き,次
の 関 数 の フ ー リエ 変 換 を求 め よ.
(1)xf(x),(2)f(x+2),(3)f(-x),(4)f(x+a)-f(x-a) (5)f(x)eiωx,(6)f(x)sinωx [3.3]〓
のフーリエ
変 換 を求 め,そ の 結 果 を利 用して
を計 算 せ よ. [ 3.4]フ
ー リエ 変 換 を 利 用 して次 の 関 係 を満 た す 関 数f(x)を
求 め よ.
4 直交 関数 と一般 のフーリエ 展 開
4.1
直交
関
数
系
2章 で は あ る 関 数 を 三 角 関 数 の 和 で 表 し た が,本
章 では三角関数 だけ ではな
く直交 関 数 と よ ば れ る 関 数 の 和 に よ っ て も と の 関 数 を 表 す こ と を 考 え る.さ に,こ
ら
の 直交 関 数 が 次 章 以 降 で 述 べ る 偏 微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 と密 接 に 関 係
す る こ と も 示 す. は じめ に 関 数 列 に つ い て 述 べ る.自 ・が定 めら れ て い る と き した.こ
然 数 1,2,3,… に 対 して 数 字 の 列al,a2,a3,・・
,こ の 数 字 の 列 を 数 列 と よ び,{an}な
どとい う記 号 で表
れ と 同様 に,自 然 数 1,2,3,… に 対 し て 関 数 の 列ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x),…
が定 めら れ て い る と き,こ 号 で 表 す.た
の 関 数 の 列 を 関 数 列 と よ び,{(ψn(x)}な
ど とい う記
と え ば,
{sinnx}:sinx,sin2x,…,sinnx,… (4.1) {ei(n-1)x}:1(=ei0x),eix,e2ix,…,ei(n-1)x,… (4.2) は 関 数 列 で あ り,ま
た 適 当 に 川頁番 を つ け る こ と に す れ ば
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,… (4.3)
も 関 数 列 で あ る. 次 に 直交 関 数 列 に つ い て 述 べ る が,そ 義 を 述 べ る.い
ま,2 つ の 関 数fと
の 前 に 関 数 が 直交 す る と い う こ と の 定
gに 対 し て,そ
の 定 義 域 内 の 区 間[a,b]に
お
け る定 積 分 (4.4)
を関 数f,gの
区 間[a,b]に
お け る 内 積*と
よ び,左
辺 の 記 号 で 表 す.こ
はg が 複 素 数 値 を と る と き そ の 共 役 複 素 数 を 表 す が,実
こ でg
数 値 の 関 数 の 場 合 はg
と 同 じで あ る. 内 積 に は 以 下 の 性 質 が あ る こ と は 定 義 か ら す ぐ に 確 か め ら れ る. (1)(f,g)=(g,f)(4.5) (2)(a1f1+a2f2,g)=a1(f1,g)+a2(f2,g)(a1,a2は
定 数)
あ る い は 一 般 化 して
(3)(4.6)
す な わ ち,内
積 は 線 形 の 演 算 で あ る.
◇ 問4.1◇
次 の 関 係 が 成 り立 つ こ と を 示 せ.
(u+v,u+v)+(u-v,u-v)=2(u,u)+2(v,v)
(f,g)=0の さ ら に,f
と きfとgは
区 間[a,b]で
直交 す る と い う.
とg は 直交 して い な く て も,あ
る 正 の 値 を と る 関 数 ρ(x)に 対 し て
(4.7) が 成 り立 つ と き,fとgは
区 間[a,b]に
お い て,ρ
を 重 み 関 数 と し て 直交 す る と
い う, 関 数 列{ψn(x)}に
で あ る な ら ば,こ 特 にA=1の *も
含 ま れ る 任 意 の2 つ の 関 数 に 対 し て,
の 関 数 列 は(区
と き,正
規 直交
間[a,b]に
お い て)直交
関 数 列 と い う.
しf とg が 離 散 的 に定 義 さ れ て い て
あ れ ば こ れ ら は ベ ク トル とみ なせ る.こ f1g1+f2g2+…+fkgkと
関 数 列 で あ る と い う.
,そ の 値 が(f1,f2,…,fk)お よ び(g1,g2,…,gk)で の と き,式(4.4)に 対 応 す る演 算 は,∫ を Σ とみ なせ ば,
な る ため 内 積 と解 釈 で きる.
た と え ば,正 弦 関 数 の 列{sinnx}は
で あ る か ら,区 間[0,π]で 直交 す る.ま た 複 素 数 の指 数 関 数 列{einx}は
で あ る か ら 区 間[-π,π]で
◇ 問4.2◇
直交 す る.
関 数 列{sin(n+1/2)x}(n=1,2,…)は
区 間[0,π]で 直交 す る こ
と を 示 せ.
4.2 一般
のフーリエ
級 数
フ ー リ エ 級 数 で は あ る 関 数 を 三 角 関 数 の 和 で 表 し た が,sinやcosの め る と き 三 角 関 数 の 直交 性 を 利 用 し た.た 間[0,π]で
正 弦 関 数 の 列sinnxは
と書 い た 場 合 に,両 た.す
な わ ち,内
辺 とsinmxの
と え ばf(x)=xを
係 数 を決
例 に と れ ば,区
直交 す る た め,
内積 を計 算 す れ ば係 数 を決 め る こ と が で き
積 は線形 の演算で あるか ら
(x,sinmx)∼a1(sinx,sinmx)+a2(sin2x,sinmx)+ …+ an(sinnx,sinmx)+…
と な る が,sinの
直交 性 か ら,上 式 の 右 辺 に お い て 0 で な い の は(sinmx,sinmx)
の項 だ け なの で (x,sinmx)=am(sinmx,sinmx)
した が って
と な る.こ
こ で,(sinmx,sinmx)=π/2で
あ り,ま
た
であるか ら す なわ ち と な る.し
た が っ て,展
開式 と して
が 得 ら れ る. 同 様 に,関
数f(x)を
一 般 の 直交 関 数 列{ψn(x)}の
こ の よ う な 級 数 を 一 般 の フ ー リ エ 級 数 と い う.ま 展 開 と い う.い
和 で 表 す こ と を 考 え る.
た この 手 続 を一 般 の フ ー リエ
ま,
(4.8)
と書 け た と して,そ と ψm(x)と
の 係 数 を 決 め て み よ う.こ
の と き,上
の 例 と 同 様 に 式(4.8)
の 内 積 を 計 算 す る と(右 辺 が 収 束 し て 項 別 積 分 が 可 能 で あ る と し て)
(f,ψm)=a1(ψ1,ψm)+a2(ψ2,ψm)+…+an(ψn,ψm)+… と な る.直交
性 か ら,上
式 の 右 辺 で0 で な い の は(ψm,ψm)を
るか ら (f,ψm)=am(ψm,ψm) す なわち また は
もつ 項 だ け で あ
と な る.し
た が って
(4.9)
と い う式 が 得 られ る.な お,内 直交 性 が 成 り立 つ 区 間(sinの 式(4.9)は,フ
積 を計 算 す る場 合 の 積 分 区 間[a,b]と
場 合 で あ れ ば[0,π]を
して は
と る必 要 が あ る.
ー リエ 展 開 と同 じ く,も し関 数 が 直交 関 数 系{ψn}で
展 開で き
た と仮 定 した と き,こ の よ うな 形 にな る とい う式 で あ り,そ の た め ∼と い う記 号 を使 っ て い る.ま が っ て,フ
た,暗 黙 の う ち に項 別 積 分 が で きる と仮 定 して い る.し た
ー リエ 級 数 の と き と同 じ く右 辺 が 実 際 に収 束 す る か ど う か は別 途 考
え な け れ ば な らな い. 以 下,直交
関 数 列{ψn}は((ψn,ψn)=1を
満 た す とす る.前 述 の とお り この
よ うな直交 関 数列 を正 規 直交 関 数 列 とい う.た だ し,{ψn}が な くて も,〓
正 規 直交 関 数列 で
と した と き ψn/√Aで 新 しい 関 数 列 を定 義 す れ ば正 規
直交 関 数 列 に な る た め,直交
関 数 列 を正 規 直交 関 数 列 と考 え て も一 般 性 を失 わ
な い. い ま,あ
る係 数cnを
用 い て有 限 項 の 級 数〓
した とす る.こ の和 はf とは 異 な るた め 誤 差 が 生 じる.こ
を つ くっ て
をf 近似
の誤 差 は 場 所 の 関 数
で あ る た め,誤 差 の 尺 度 と して平 均 2乗 誤 差
を用 い る こ と にす る.右 辺 を展 開 して 計 算 す れ ば次 の よ う に な る.
た だ し,an=(f,ψn)し ,ψn)の
た が っ て〓
場 合 にEnは
と お い た.そ
最 小 に な る こ と が わ か る(こ
こ で,cn=αn=(f
の こ と は,係
数 として一
般 フ ー リ エ 級 数 の 係 数 を 用 い た と き 平 均 2乗 誤 差 は 最 小 に な る こ と を 意 味 し て い る). さ ら に,〓
と な る が,N
で あ る か ら,cn=αnと
とった とき
は任 意 で あ っ た か ら
(4.10)
と な る.こ
れ を 三 角 関 数 の 場 合 の 式(2.37)と
こ こ で,等
式 が 成 り立 つ と き,す
同 様 に ベ ッ セ ル の 不 等 式 と い う,
なわ ち
(4.11)
が 成 り立 つ と き,正
規 関 数 列 は 完 全 で あ る と い う.式(4.11)も
くパ ーセ バ ル の 等 式 と い う.完
式(2.38)と
同 じ
全 であれ ば
であ るため (4.12)
が 成 り立 つ とい って よい. な お,正 規 直交 関 数系 の 完 全 性 を証 明 す る こ と はか な り高 度 に な る た め本 書 で は省 略 す る.
4.3 ス ツ ルム ・リュ ー ビ ル 型 固 有 値問 題
2階線 形 偏 微 分 方 程 式 を後 述 の 変 数 分 離 法 で 解 く と き,次 の 形 の 常 微 分 方 程 式 が よ く現 れ る:
(4・13) こ こ で,λ
は 定 数p(x),q(x),ρ(x)は
程 式 をス ツ ルム
実 関 数 で 特 に ρ(x)>0と
・リュ ー ビ ル(Sturm-Liouville)の
分 方 程 式 をx=aお
よ びx=bに
す る.こ
の方
微 分 方 程 式 と い う.こ
の微
お い て 適 当 な境 界 条 件 を与 え て解 く こ と を考
え る. も っ と も 簡 単 な 例 と し て,λ 区 間[0,1]で
は 実 数,p(x)=1,q(x)=0,ρ(x)=1と
し て,
考 え る こ と にす れ ば
(4.14) と な る.こ
の方程式 に x(0)=x(1)=0(4.15)
と い う 条 件 を 課 す こと に す る. も と の 方 程 式 の 一 般 解 はy=ekxと
お く こ と に よ り求 ま る.す
な わ ち,こ
の
解 を上 式 に 代 入 して 共 通 項 で 割 れ ば k2+λ=0
と な る.は
y=ae-√-λx+be√-λx と な る.こ
じめ に,λ
〈0の
と きk は 実 数±√λ
天 とな り
こ で 境 界 条 件 を 考 慮 す る とa=b=0と
解 以 外 の 解 は 求 まら な い.次
に λ>0の
な り,y=0と
と き はk=±√λiと
x+be√λix=Asin√λx+Bcos√λx と な る.さ ら に境 界 条件 を考 慮 す る と λ=(nπ)2の
い う 自明 の な り,一
般解 は
と きだ け 自明 で な い解
y=Asinnπx
を も ち,そ
れ 以 外 はA=B=0と
も と の 微 分 方 程 式 はd2y/dx2=0と
な っ てy=0に
な る.最
後 に λ=0の
な り そ れ を積 分 し てy=ax+bと
こ の 場 合 も境 界 条 件 を 考 慮 す る とy=0と
な る.
とき な る が,
ま とめ る と,微 分 方 程 式(4.14)の 境 界 条 件(4.15)を (y≠0の
解)は,λ
満 足 す る 自明 で な い 解
が 勝 手 な値 の と き は存 在せ ず,λ=(nπ)2の
と きに 限 り存
在 す る こ とが わ か る.こ の よ うな特 殊 な λの 値 を も との 微 分 方 程 式 の 固有 値 と い う.ま た,そ の 固有 値 に対 応 す る解(い
ま の 場 合 はsinnπx)を
固有 関数 と
い う. 例題4.1 上 の問題で境界 条件 を y(0)=0,y'(1)=0 と した と きの 固有 値 お よ び 固有 関 数 を求 め よ. 【 解 】 本 文 と 同様 に考 え る と,y=0と に は λ>0で
い う 自明 な解 以 外 に 解 を もつ た め
あ り,こ の と き解 と して y =Asin√λx+Bcos√λx
が得 られ る.さ
ら に,境 界 条 件 か ら y(0)=B=0 y'(1)=A√λcos√λ=0
とな り,√λ=(n+1/2)π
で あ れ ばy=0以
外 の 解 を もつ.し
た が っ て,
固 有 値 と固 有 関 数 は
◇ 問4.3◇
例題4.1で
境 界 条 件 をy'(0)=0,y(1)=0と
値 と固有 関 数 を求 め よ. 以 上 の こ とを 一般 化 す れ ば,微 分 方 程 式(4.13)の 境 界 条 件 y(a)=y(b)=0(4.16)
変 えた場合 の固有
を満 た す 自 明 で な い 解 は,勝 さ て,式(4.13)の
手 な λ に 対 して は 存 在 し な い と予 想 さ れ る.
複 素 共 役 を と っ た 方 程 式 は,p,q,ρ
が実 関 数 で あ る こ と
か ら (4.17) と な る.そ
こ で 式(4.13)に
を か け た も の を 式(4.17)にy
を か け た もの か ら引
け ば
と な る.こ の式 の 両 辺 を[a,b]で 積 分 す れ ば
と な る.し
た が っ て,以
下 の ど れ か の 境 界 条 件 が あ れ ば,こ
の式の値 は 0に
な る.
(1)y(a)=y(b)=0 (2)y'(a)=y'(b)=0 (3)c1y'(a)+c2y(a)=0,d1y'(b)十d2y(b)=0 (4)y(a)=y(b),p(a)y'(a)=p(b)y'(b) (5 )p(a)=p(b)=0で
あ り,y(a)とy(b)は
こ の と き 被 積 分 関 数 は 正 で あ り,積 以 下,こ
れ ら(1)∼(5)の
分 値 も正 に な る た め λ=λ
ど れ か の 境 界 条 件 に 対 し て 式(4.13)の
固 有 関 数 を 求 め る こ と を 考 え る.こ 有 値 問 題 と い う.λ=λ
有界
の よ う な 問 題 をスッルム
で あ る こ と か ら,ス
ツ ルム
と な る. 固有値 お よび
・リュ ー ビ ル 型 固
・リュ ー ビ ル 型 固 有 値 問 題
の 固 有 値 は 実 数 で あ る こ とが わ か る.
例題4.2
次 の 微 分 方程 式(ル
ジ ャ ン ドル(Legendre.)の
微 分 方程 式)の 境 界 値 問 題
を 考 え る.こ
の 問 題 は λ=n(n+1)(n=0,1,2,…)の
とい う多 項 式 の 解(固 有 関 数)を 【解 】u=(x2-1)n(2n次
とき
もつ こ と を確 か め よ.
多 項 式)をxで
微 分 して両 辺 にx2-1を
かけ
ると
と な る.こ
の 式 をx に つ い てn+1回
微 分 す る と(ラ
イプニッツ(Leibniz)
の 公 式*を 用 い て)
こ の 式 か ら,y=u(n)は
も と の 方 程 式 の 解 で あ る こ と が わ か る.
こ の 例題 で 求 まっ た 解yn の 定 数 倍 で あ る
(4.18) を ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式 と い う.な
お,ル
ズ 1巻 『常 微 分 方 程 式 』 で も と りあ げ た.そ 数 解 の 方 法 を 用 い て,解 に λ=n(n+1)の た.そ
こ で は,微
分 方 程 式 を 解 く場 合 に 級
を 無 限 級 数 の 形 に 仮 定 し て 係 数 を 決 め た.そ
して,特
と き に 限 り,級 数 は 有 限 項 で 切 れ て 多 項 式 に な る こ と を 示 し
の 多 項 式 が 式(4.18)の
形 に 書 け る と い う の が 例題4.2で
(4.18)をロド
リ ー グ(Rodrigues)の
例題4.2は
微 分 方 程 式(4.13)に
の 場 合 で あ り,さ 問 題(境
ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式 は 本 シ リ ー
に式
公 式 と い う. お い て,p(x)=1-x2,q(x)=0,ρ(x)=1
ら にp(-1)=p(1)=0で
界 条 件 は(5))に
あ る が,特
あ る か ら,スッルム
な っ て い る.
*(uv)(m)=u(m)v+mC1u(m-1)v(1)+…+mCm-1u(1)v(m-1)+v(m)
・リュ ー ビ ル
スツ ルム
・リュ ー ビ ル 型 固 有 問 題 の 相 異 な る 固 有 値 に 対 応 す る 固 有 関 数 は,
区 間[a,b]に
お い て ρ(x)を 重 み 関 数 と し て 直交 す る こ と が 以 下 の よ う に し て 示
せ る. い ま 相 異 な る 固 有 値 を λ1,λ2と る.こ
の と き λ1,y1に
と な り,ま
対 して,方
た λ2,y2を
し,対
,y2(x)と
す
程 式(4.13)は
方 程 式(4.13)に
と な る.た だ し,スツルム
応 す る 固 有 関 数 をy1(x)
代 入 した あ と,そ
の複 素 共 役 を と れ ば
・リュ ー ビル 問 題 の 固有 値 が 実 数 で あ る こ と を用 い
て い る.前 と 同様 に 第 1番 目 の 式 にy2を
か け た もの を,第
2番 目 の 式 にy1を
か け た もの か ら引 い た あ と,両 辺 を[a,b]で 積 分 す れ ば
とな る が,仮 定 か ら λ1≠ λ2で あ る か ら
(4.19) と な り,主 張 が証 明 され た こ と に な る. スツ ルム ・リュー ビ ル型 固 有 値 問 題 の 固 有 値 お よ び 固 有 関 数 に は以 下 の 2つ の 重 要 な性 質 が あ る.こ
こ で は 証 明 はせ ず に結 果 だ け を 記 す.
(1)固 有 値 はそ の最 小 値 を λ1と して 一∞