Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 158-173
УДК 512.57:512.565.7
ВНУТРЕННИЕ ГОМОМОРФИЗМЫ И ПОЗИТИВНО-УСЛОВНЫЕ ТЕРМЫ*) А...
5 downloads
174 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 158-173
УДК 512.57:512.565.7
ВНУТРЕННИЕ ГОМОМОРФИЗМЫ И ПОЗИТИВНО-УСЛОВНЫЕ ТЕРМЫ*) А. Г. ПИНУС
Понятия условного терма и условно термальной функции были вве дены в [1]. Условный терм соответствует понятию программы вычислений на универсальной алгебре. В силу этого, универсальные алгебры, которые заданы на одном и том же основном множестве и совокупности условно термальных функций которых совпадают, суть алгебры с равными про граммно вычислительными возможностями. В работах автора [2—12] (об зор полученных результатов см. [13]) рассмотрен целый ряд естественных вопросов, связанных с понятием условного терма. В частности, в [3] по казано, что для конечных алгебр (для равномерно локально конечных ал гебр конечной сигнатуры — в [12]) полугруппы внутренних изоморфизмов играют роль инвариантов отношения условно рациональной эквивалент ности на этих алгебрах (т.е. совпадения их программно вычислительных потенциалов). В силу этого результата возникал естественный вопрос о по лугруппах внутренних гомоморфизмов алгебр и связанном с совпадением этих полугрупп отношении "близости" между алгебрами. Решению этой проблемы и посвящена данная работа. Напомним, что внутренним изоморфизмом алгебры А = (А;сг) на зывается любой изоморфизм между ее подалгебрами. Совокупность всех внутренних изоморфизмов алгебры Л (включая сюда и пустое отображе ние 0 ) образует полугруппу (относительно естественным образом опреде** Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 96-01-01675.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
159
Внутренние гомоморфизмы и позитивно-условные термы
ленной операции суперпозиции), обозначаемую как IsoA. Понятие услов ного терма сигнатуры а базируется на понятии условия 7(х) сигнатуры а — конечной конъюнкции равенств и неравенств между термами сигна туры а. Конечное множество {7\(х),...
к
,7k(x)} условий назовем полной
_
системой условий, если формула V 7i(x) общезначима, а для различных р и q формулы 7р(х)к7д(х)
невыполнимы. Понятие условного терма сиг
натуры а определяется стандартной индукцией (как и понятие терма) с дополнительным индукционным шагом: если £i(#),... ,£&(#) — условные термы сигнатуры ti(S),
W
-
А эквивалентны следующие условия: 1) / G РСТ(Л); 2) подалгебры алгебры А замкнуты относительно функции f, и f коммутирует
со всеми внутренними гомоморфизмами алгебры А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) -4 2) В силу замеченного выше имплика ция справедлива. 2) —> 1) Поскольку / коммутирует со всеми внутренними изоморфиз мами алгебры Л, то, как отмечено выше, справедливо / Е СТ(А).
Пусть
t(x) — условный терм, который в нормальной форме определяет на алгебре Л функцию /(ж), и 7г{х)
->tx(x),
t(x)
{ 7п(х) ->tn(x). Здесь 7{(х) — условия сигнатуры алгебры Л, а *,-(г) — термы этой сигна туры. Предположим теперь, что Л — конечная алгебра. Пусть х
=
= ( # ! , . . . jXm). Для любого а £ А™ через D±(x) обозначается позитив-
Внутренние гомоморфизмы и позитивно-условные термы
163
ная диаграмма подалгебры (а) алгебры Л, порожденная совокупностью элементов кортежа а (при этом Л \= Di(a)). На элементах множества Ат введем отношение эквивалентности: а\ ~ а2 тогда и только тогда, когда D±(x) = D±2(x). Заметим, что если Щ ~ а2 и для некоторого г ^ п верно Л f= Tj(ai), то Л [= Т г (а 2 ). Поскольку множество Ат конечно, существуют конечные подмножества Ра (ж) С С±(з?) такие, что для любых ai,a 2 € Ат включения Рах (ж) С Рд2 (ж) и £)± (ж) С D~2 (ж) равносильны. Для d G A m / ~ полагаем 1Р(di)(z)i
(2)
t'(x) = j (
f
J>de(x)-+cp(d8)(x).
Покажем, что £'(ж) является позитивно-условным термом, определяющим на алгебре Л функцию / . Действительно, в силу равенства Ат/
~ = { d i , . . . ,d e } на Л ис~
тинна формула Уж ( V 3^.(5;)). Пусть теперь для а 6 Л т верно Л (= (= У^. (а) & У^.(а). Тем самым, если dx; = а х / ~, dj = а 2 / ~ , то Л [= |= D ^ (а)&1)± (а), и значит, существуют гомоморфизмы V^ {i = 1,2) под алгебр (аг) на подалгебру (а) такие, что ^ ( а , ) = а. В силу определения функции (р выполняются равенства (dj)(a2) ~ tt-2 (a 2 ), где п,г 2 ^ п таковы, что Л |= T t l (ai) & 7i2(a2). Поскольку функция /(ж) коммутирует с внутренними гомоморфизмами алгебры Л и определена на Л условным термом t(x), имеем цепочку равенств: / ( a ) = /(ф,(Щ)) = ^;(/(а;)) - ^ ( ^ ( ^ ) ) = М ^ ' ( « ; ) ) = М « ) = ¥>( " - >M V *)) = Л ( / а , а ( « 1 , . . . ,Vfc))-
В случае, когда отсутствует д2 £ Н такой, что д2(а) = (/i(ui),... . . . , h(vk)) = /i(U), по определению /a>a имеем равенство fa,a{h(v)) = fr(t>i). В силу принципа композиции нельзя найти #i £ Я , для которого бы # l ( a ) = V, ПОЭТОМУ fa,a(v)
=
'^Ь И равеНСТВО fa,a{h{v))
=
h(fa,a{v))
ДО-
казано. Допустим теперь, что существует #2 £ Я , для которого #2 (a) • = h(Щ. Следовательно, fafQ(h(v)) =