Елабужский государственный педагогический институт.
Ф.М.САБИРОВА, А.В.АКУЛИНИНА
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИ...
97 downloads
328 Views
795KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Елабужский государственный педагогический институт.
Ф.М.САБИРОВА, А.В.АКУЛИНИНА
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕРМОДИНАМИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ НЕФИЗИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ И ЗАОЧНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ
Елабуга 2003
2
Печатается по решению Ученого совета Елабужского государственно-
Ответы Список литературы
67 65 65
го педагогического института от 22 февраля 2003 г.
Кафедра общей физики Рецензенты: зав.кафедрой общей физики, канд. физ.-мат. наук, доцент ЕГПИ Насыбуллин Р.А., преподаватель Елабужского филиала КГТУ им. Туполева Кузнецова И.В.
Акулинина А.В., Сабирова Ф.М. Методическое пособие по курсу общей физики. Молекулярная физика. Термодинамика./ Учебнометодическое пособие для студентов нефизических специальностей и заочных отделений. – Елабуга: изд-во Елабужского пед. ин-та, 2003.– 66 с.
Елабужский государственный педагогический институт, 2003 ©
Сабирова Файруза Мусовна., Акулинина Александра Васильевна. Методическое пособие по курсу общей физики Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие для студентов нефизических специальностей и заочных отделений педвуза..
Технический редактор Сабирова Ф.М. ---------------------Сдано в печать 6.03.2003г. Формат 84х108/82. Объем 4,5 п.л. Тираж 300 экз. Отпечатано 10.03.2003 г. Типография ЕГПИ. Издательство ЕГПИ. 423630, г.Елабуга, ул.Казанская, 89.
3
66
8. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.:Высшая школа, 1981. Оглавление. Предисловие 1. Введение. Статистический и термодинамический методы исследования вещества. Тема 1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ. 2. Идеальный газ. Параметры состояния идеального газа. 3. Основное уравнение кинетической теории газов. 4. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Температура. Закон Дальтона. 5. Газовые законы. Уравнение Менделеева-Клапейрона. 6. Распределение скоростей молекул по Максвеллу. 7. Идеальный газ в силовом поле. Барометрическая формула. Закон распределения Больцмана. 8. Распределение энергии по степеням свободы. Решение задач по теме 1. Тема 2. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ 9. Понятия о явлениях переноса. Средняя длина свободного пробега, эффективный диаметр молекул. 10. Диффузия. 11. Вязкость (внутреннее трение). Теплопроводность. Тема 3.Основы ТЕРМОДИНАМИКИ 12. Основные термодинамические понятия. Внутренняя энергия термодинамической системы. 13. Первое начало термодинамики. Работа, совершаемая газом при изменениях объема. 14. Теплоемкость газов. Уравнение Майера. Теплоемкость идеального двухатомного газа. 15. Первое начало термодинамики в изопроцессах. 16. Адиабатный процесс. 17. Круговой процесс. Тепловая машина. 18. Второе начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы. 19. Цикл Карно. 20. Энтропия. Приведенная теплота. 21. Изменение энтропии при некоторых процессах. Решение задач по теме 3. Тема 4. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ЖИДКОСТИ. 22. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. 23. Внутренняя энергия реального газа. 24. Свойства жидкого состояния вещества. 25. Поверхностный слой. Поверхностная энергия. Поверхностное натяжение. 26. Явления на границе жидкости и твердого тела. 27. Давление под искривленной поверхностью жидкости. Капиллярность. 28. Равновесие фаз. Фазовые переходы. Диаграмма состояния. Решение задач по теме 4.
3 3 4 5 7 8 9 12 13 16 20 22 24 25 27 29 31 33 34 36 37 39 40 42 47 49 51 52 54 55 58 61
Предисловие. Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для организации самостоятельной и аудиторной работы на лекционных и практических занятиях по курсу общей физики со студентами заочных отделений технико-экономического и физико-математического факультетов педагогического института. Оно написано по разделу “Молекулярная физика. Термодинамика” в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования. Теоретический и практический материал и распределен по четырем темам: основы молекулярно-кинетической теории газов; явления переноса в газах; основы начало термодинамики; реальные газы и жидкости, фазовые переходы.. По трем из перечисленных тем приведены блоки, посвященные решению задач, которые состоят из примеров решения задач и подборки задач для самостоятельного решения. Данное пособие рекомендовано для студентов специальностей с ограниченным число часов по физике, а также студентов заочной формы обучения. В данном случае предполагается возможность части материала пособия для самостоятельного изучения. Введение 1. Статистический и термодинамический методы исследования вещества. Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Примером макроскопических систем могут служить газы, жидкости, твердые тела, плазма. Для исследования макроскопических процессов применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй – термодинамики. Молекулярная физика – раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении и взаимодействующих между собой по определенным законам. Здесь макроскопические свойства тел рассматриваются как проявление суммарного действия молекул. При этом в теории пользуются статистическими методом, интересуясь не движением отдельных молекул, а лишь такими средними величинами, которые характеризуют движение огромной совокупности частиц. Отсюда другое ее название - статистическая физика. Термодинамика – раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика
4
65
не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический, или феноменологический, метод отличается от статистического. В основе термодинамического метода лежат два положения, являющиеся обобщением опыта многовековой деятельности человека и подтвержденные практикой. Преимущества термодинамического метода в весьма большой общности получаемых выводов. Оба метода изучения физических явлений дополняют друг друга. Нельзя, например, излагать вопросы молекулярной физики, не обращаясь к понятиям термодинамики. В то же время, нельзя понять природу тех или иных явлений, описываемых в термодинамике без использования молекулярных представлений. Основными параметрами вещества в молекулярно-кинетической теории (МКТ) являются параметры, относящиеся к микрочастице, в частности, масса микрочастиц – атомов, молекул, их размер, скорости их движения и характер взаимодействия, а также количество частиц в веществе или количество частиц в единице объема вещества (концентрация). Основными термодинамическими (ТД) параметрами вещества являются температура, давление, масса вещества, объем, внутренняя энергия и ряд других. Тема 1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 2. Идеальный газ. Параметры состояния идеального газа. Примером простейшей системы, изучаемой в молекулярной физике, является газ. Согласно статистическому подходу газы рассматриваются как системы, состоящие из очень большого числа частиц (до 1026м3), находящихся в постоянном беспорядочном движении. В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой считают, что: 1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; 2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия; 3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие. Оценим расстояния между молекулами в газе. При нормальных условиях (н.у.) число молекул в единице объема: n = 2,7 ⋅ 1025 м −3 . Тогда сред-
1 10 −24 3 (м ) . = 2,7 ⋅ 10 25 27 1 Среднее расстояние между молекулами: l ~ 3 V ; l ~ ⋅ 10 −8 ≈ 3 ⋅ 10 − 9 ( м ). 3
ний объем, приходящийся на одну молекулу: V ~
Средний диаметр молекулы: d≈3.10-10 м. Собственные размеры молекулы
4.13. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в воду. Расстояние между пластинами d=0,1 мм, их ширина l=12 см. Считая, что вода между пластинами не доходит до их верхних краев и что смачивание полное, найти силу, с которой они притягиваются друг к другу.
Ответы. 1.1. 31л 1.3. 1400К. 1.4. 20м. 1.5. 1,95 кг/м3. 1.6. 1,48.10-3кг. 1.7. 29.10 кг/моль, 1,2 кг/м3, 21 кПа, 79 кПа. 1.8. 0,48кг/м3 1.9. р=(р1V1+р2V2+ +р3V3)/(V1+V2 + V3)=2.105 Па. 1.14. 3,3.1019 м-3. 1.15. 0,1моль, 3,2 г, 2,68.1025 м-3. 1.16. 4,14 кПа. 1.17. 8,28.10-21Дж, 13,8.10-21 Дж, 16,6.10-21 Дж. 1.18. 2 км/с. 1.19. 2,3.1025м-3. 1.20. 230 м/с, 1,9.1023, 5 кг/м3. 1.21. 390, 440, 478 м/с. 1.22. 9,8кПа. 1.23..645 м/с, 1290 м/с. 1.24. 579, 628, 513 м/с.1.25. 2,8 % 1.26. 1,3. 1.27. 5530 м. 1.28. 5,5 км. 1.29. 1,18 кПа. 3.1. 0,002кг/моль. 3.2. 4,15кДж. 3.3. 8,1 кДж, 20,2 кДж, 28,3 кДж. 3.4. i=3, Cp=20 Дж/(моль.К), Q=11 кДж, А=-3,8кДж. 3.5. 8,3 л. 3.6. A=Q=70 Дж. 3.7. 0,002кг/моль. 3.8. а)Q=1,55 кДж, А=0,92кДж, ΔU=0,63 кДж; б) Q=1,88 кДж, А=1,25 кДж, ΔU=0,63кДж. 3.9. 865К. 3.10. 454 К. 3.11. а)Т2=Т1=313К, р2=0,2 МПа, А=-1,8 кДж; б) Т2=413К, р2=0,26 МПа, А=-2,08 кДж. 3.12. 0,193. 3.13. В два раза. 3.14. 20%, 1,26кДж. 3.15. 1) η=0,093; 2) Q2=360 кДж; 3) Q1=397 кДж; 4) η2=Q2/A≈9,7. 3.16. 1)76кДж; 2)72кДж; 3) 4 кДж; 4) 5,2%. 3.17. ΔS=(m/μ) (Cp-Cv) (lnn) = (m/μ) R (lnn) = 457 Дж/К. 3.18. 290Дж/К. 3.19. а) 1,76Дж/К; б) 2,46 Дж/К. 3.20. 1230 Дж/К. 3.21. ln(W1/W2)=4,2.1023; р1/р2=2. 4.1. а) 482К; б) 204К. 4.2. Т2/Т1=(2р+рi)/(р+рi)=1,85, где рi=аν2/V2. Если бы газ подчинялся уравнению Менделеева-Клапейрона, то было бы Т2/Т1=2. 4.3. 2,5 МПа; 0,18 МПа; 0,25 л. 4.4. 4,95%; 0,86%. 4.5. а=АV1V2/ν2(V2-V1)=0,136 Па.м6/моль2 . 4.6. 1,31 кПа. 4.7. 2,4.10-10м. 4.8. 1) 1,2 мм, 2) 5 см. 4.9. За 17 мин. 4.10. 0,64 Н/м. 4.11. 64 мкДж. 4.12. 3,2 Па, 2,8.10-3 Дж. 4.13. 800 кг/м3. 4.14. F=2σ2l/(ρgd2)=13Н. -3
Список использованной литературы. 1. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т.1.–М.: Наука, 1974. 2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. – М: Наука, 1974. 3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1.–М.: Наука, 1989.–576 с 4. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2000.–542 с. 5. Волькенштейн В.С. Сборник задач по физике. - М.: Наука, 1985. 6. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Методика проведения упражнений по физике во втузе. - М.:Высшая школа, 1981. 7. Цедрик М.С.(ред.) Сборник задач по курсу общей физики.М.:Просвещение, 1989.
64
Задачи. 4.1. 10 г гелия занимает объем 100 см3 при давлении 100 МПа. Найти температуру газа, считая его: а) идеальным; б) реальным. 4.2. В закрытом сосуде объемом V=0,5 м3 находится количество ν=0,6 кмоль углекислого газа при давлении p=3 МПа. Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось вдвое. 4.3. В баллоне вместимостью 22 л находится азот массой 0,7 кг при температуре 00С. Определить давление газа на стенки баллона, внутреннее давление газа и собственный объем молекул. 4.4. В сосуде объемом 10 л находится 0,25 кг азота при 27оС. Какую часть давления составляет давление, обусловленное силами взаимодействия молекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объем молекул. 6.10. 0,5 кмоль некоторого газа занимает объем 1 м3. При расширении газа до объема 1,2 м3 была совершена работа против сил взаимодействия молекул 5,684 кДж. Найти постоянную а, входящую в уравнение Ван-дерВаальса. 4.5. Найти давление рi, обусловленное силами взаимодействия молекул, заключенных в 1 кмоль газа при нормальных условиях. Критическая температура и критическое давление этого газа равны 417К и 7,7 МПа. 4.6. Критическое давление и температура неона равны соответственно 27,3.105 Па и 44,5 К. Определите по этим данным эффективный диаметр молекул неона. 4.7. Рамка АВСД с подвижной медной перекладиной КL затянута мыльной пленкой. 1) Каков должен быть диаметр перекладины КL, чтобы она находилась в равновесии? 2) Найти длину перекладины, если известно, что при перемещении перекладины на Δh=1 см совершается изотермическая работа 45 мкДж. 4.8. Керосин по каплям вытекает из бюретки через отверстие диаметром 2 мм, причем капли падают одна за другой с интервалом 1 с. За сколько времени вытечет 25 см3 керосина? 4.9. С паяльника упала капля припоя массой 0,2 г. Отрыв капли произошел в тот момент, когда диаметр шейки был равен 1 мм. Оценить поверхностное натяжение расплавленного припоя. (0,64 Н/м) 4.10. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыльного пузыря радиусом 1 см. 4.11. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром 10 см. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь. 4.12. В капиллярной трубке радиусом 0,5 мм жидкость поднялась на 11 мм. Найти плотность данной жидкости, если ее коэффициент поверхностного натяжения 22 мН/м. (800 кг/м3)
5
малы по сравнению с расстоянием между ними (в 10 раз). Следовательно частицы (молекулы) настолько малы, что их можно уподобить материальным точкам. В газе молекулы большую часть времени находятся так далеко друг от друга, что силы взаимодействия между ними практически равны нулю. Можно считать, что кинетическая энергия молекул газа много больше потенциальной, поэтому последней можно пренебречь. Скорости частиц как по модулю, так и по направлению могут быть любыми, изменение их происходит непрерывно. Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нормальным (например, кислород водород, азот, углекислый газ, пары воды, гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов. В молекулярной физике и термодинамике состояние газа характеризуется совокупностью трех макропараметров р, V, Т , которые называются параметрами состояния. Температура — одно из основных понятий, играющих важную роль не только в термодинамике, но и в физике в целом. Температура — физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шкалы — термодинамическую и Международную практическую, градуированные соответственно в кельвинах (К) и в градусах Цельсия (°С). В Международной практической шкале температура замерзания и кипения воды при давлении 1,013'10s Па соответственно О и 100°С (репервые точки). Давление в системе СИ измеряется в Па (паскаль): 1Н/м2=1 Па. Часто пользуются и внесистемными единицами давления: 1 мм рт. ст.=133,3 Па; техническая атмосфера 1 ат=750 мм рт. ст. ≈ 105Па; нормальная (физическая) атмосфера: 1атм=760мм рт.ст.≈1,013. 105Па. 3. Основное уравнение кинетической теории газов. Основным уравнением кинетической теории газов называется соотношение, связывающее давление (величину, измеряемую на опыте) со скоростью или кинетической энергией молекулы газа. Рассмотрим одноатомный идеальный газ. Δs Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа очень мало по сравнению с чисv Δt
6
63
лом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда элементарную площадку Δs (cм. рис.) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении, молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс т0 v–(–m0 v) = 2 т0 v, где т0 — масса молекулы, v – ее скорость. За время Δt площадки Δs достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием Δs и высотой vΔt. Число этих молекул равно nΔs vΔt, где п — концентрация молекул. Но необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными углами и имеют различные скорости. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, тик что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина из них (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку Δs будет
1 nΔsΔt . При 6
столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:
1 1 ΔP = 2m0 v ⋅ nΔsΔt = m0 v 2 nΔsΔt ΔP = 2m0 v . 6 3 1 F ΔP Тогда давление газа на стенку сосуда: p = = = m0 v 2 n Δs Δs Δt 3
(1)
Если газ и объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v1, v2., то учитывают среднюю квадратичную скорость:
v кв = v 2 =
1 N
N
∑ v 2i
(2)
i =1
характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом (2) примет вид
р=
1 nm0 v 2 . 3
(3)
Данное выражение называется основным уравнением молекулярнокинетической теории идеальных газов. Это уравнение как раз и устанавливает связь между давлением и скоростью, вернее среднеквадратичной скоростью. Введем E =
m0 v 2 – среднюю кинетическую энергию хаотического 2
поступательного движения одной молекулы, тогда основное уравнение запишется как:
2 m v2 р= n 0 3 2
или
2 р= n E 3
Коэффициенты поверхностного натяжения и плотности некоторых жидкостей при 20оС: Вещество Поверхностное Плотность, натяжение, Н/м кг/м3 Вода 0,073 1000 Глицерин 0,064 1200 Керосин 0,03 800 Мыльный раствор 0,045 1000 Ртуть 0,5 13600 Спирт 0,02 790
Задача 4. Из конца стеклянной капиллярной трубки, опущенной в воду, выдули пузырек воздуха радиусом 0,02 см. При этом давление воздуха в пузырьке превышало атмосферное на 984 Па. На какую глубину опущена трубка. Дано: r=2.10-4м, р-ро=984 Па, ρ=103кг/м3, σ=0,07 Н/м. Найти: h-? Решение. На глубине давление внутри пузырька складывается из атмосферного (над водой), гидростатического (слоя воды над пузырьком) и лапласовского: р=ро+ρgh+2σ/r, или р- ро=ρgh+2σ/r, откуда h=(р– рo–2σ/r)/(ρg) = 0,028 м. Задача 5. Определить изменение свободной энергии поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от 10 см3 до 20 см3. Считать для мыльного раствора σ=0,04 Н/м. Дано: V1 =10-5м3, V2=2. 10-5м3, σ=0,04 Н/м. Найти: ΔЕ - ? Решение. Свободная энергия поверхности жидкости пропорциональна площади этой поверхности: Е=σS. У мыльного пузыря имеются две поверхности - внешняя и внутренняя, площади которых практически равны из-за малой толщины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней и внутренней вместе) мыльного пузыря Е=2σS. Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то поверхностное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только температуры, остается постоянным. Следовательно, изменение свободной энергии: ΔЕ=2σΔS, где ΔS - изменение поверхности пузыря (одной - внутренней или внешней). Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем ΔS: ΔS=4πr22 - 4πr12, где r1 и r2 - радиусы сфер, соответствующие V1 и V2: r1=(3V1/4π)1/3, r1=(3V1/4π)1/3.
⎡
⎛ 3V2 ⎞ ⎟ ⎢⎝ 4 π ⎠ ⎣
Тогда ΔS= 4 π ⎢⎜
2
3
⎛ 3V ⎞ −⎜ 1 ⎟ ⎝ 4π ⎠
2
3
⎤ ⎥. ⎥ ⎦
Учитывая, что V2=2V1, получим: ΔS=4π(3V1/4π)2/3(22/3-1). Подставим это выражение в формулу для ΔЕ: ΔЕ=8πσ(3V1/4π)2/3(22/3-1). После вычислений по этой формуле получим ΔЕ=1,06.10-4Дж.
62
7
Решение. Поправка b в уравнении Ван-дер-Ваальса равна учетверенному собственному объему молекул одного моля газа: (m/μ)b=4V’; V’=bm/(4μ). Этот объем занимает долю объема газа: х1= bm/(4μV).
x1=3.10-5.0,03/(4.32.10-3. 8.10-3) ≈9.10-3=0,8%
Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение x2=p’/p,
где p’- внутреннее, а p - внешнее давления: p’=(m/μ)2a/V2 ;
p’≈1,86.105 Па.
Давление р, производимое газом на стенки сосуда, найдем из уравm RT 2 ⎛ m⎞ a μ −⎜ ⎟ нения Ван-дер-Ваальса: p = ≈2,79.106(Па). m ⎝ μ⎠ V2 V− b
В данном уравнении давление связано со средней энергией поступательного движения молекул. Давление газа численно равно 2/3 средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема. 4. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Температура. Закон Дальтона. При переходе к равновесию от одной части газа к другой передается энергия. Выравнивается не энергия всего газа как целого, а средняя кинетическая энергия, отнесенная к одной молекуле. Температура газа пропорциональна средней кинетической энергии его молекул: Т ∼ ⎯E. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы ⎯E =
μ
3 kT , 2
(1)
Отсюда x2=p’/p=1,86.105/2,79.106=0,066=6,6%. Задача 3. В цилиндре под поршнем находится один моль азота при нормальных условиях. Какую часть объема сосуда занимают при этом молекулы азота? Газ расширяется до объема, вдвое большего первоначального, при постоянной температуре. Найти изменение внутренней энергии газа и совершенную работу. Каково было бы значение этих величин, если бы газ был идеальным? Дано: ν=1 моль, μ=28.10-3кг/моль, Т=273К, р=105 Па, V2=2V1, а=0,136Дж.м3/моль2, b=4.10-5 м3/моль. Найти: ΔU - ? A -? x - ?
где k - постоянная Больцмана, выражающая соотношение между единицей энергии и единицей температуры. k=1,38.10-23 Дж/К, Т – температура, выраженная в кельвинах. Все молекулы при данной температуре Т имеют одну и ту же среднюю энергию независимо от их сорта. Из формулы (1) следует, что абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного хаотического движения молекул. При Т=0 замирает тепловое движение, но остаются другие, не тепловые формы движения в веществе, например, движение электронов в атоме. Это движение нельзя прекратить, охлаждая вещество. Выразим теперь vкв через абсолютную темпе-
Решение. Поправка Ван-дер-Ваальса b равна учетверенному собственному объему молекул: b= 4 V, откуда V= b/4= 10-5 м3/моль,
m0 v 2 3 ратуру Т. Приравнивая правые части в формулах ⎯E = kT и ⎯E = 2 2 3kT получим : vкв= . m0
что составляет х= b/4Vм=10-5/22,4.10-3=4,4.10-4 часть объема , занимаемого при нормальных условиях. V2
ΔU= ∫
V1
V2
2V1
V1
V1
A = ∫ pdV = ∫
a V2
dV =
a a a -3 − = = 0,136 /2.22,4.10 ≈3 (Дж/моль) V1 2V1 2V1
2V1 2(V1 − b) a a a RT dV − ∫ 2 dV = RT ln − = RT ln 2 − 2 2 V −b V − b V V V1 V 1 1 1
A≈8,314.273.2,3.ln2-0,136 /2.22,4.10-3≈1,56.103-3≈1,56.103 (Дж) При идеальном процессе изменение внутренней энергии ΔU=0, а работа А=1,56.103Дж/моль.
Введем понятие универсальной газовой постоянной R, которая связана с постоянной Больцмана соотношением R = kN A , где NA=6.1023моль-1– число Авогадро (число молекул в одном моле вещества), и молярной массы μ= Nam0–массы одного моля газа. Тогда среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул можно выразить формулой:
vкв=
3RT
μ
.
8
61
Подставляя в основное уравнение кинетической теории газов это выражение, получим, что давление идеального газа связано с температурой соотношением: p = nkT . Давление определяется только концентрацией (при постоянной температуре) и не зависит от сорта молекул. Если имеем смесь нескольких газов, концентрация молекул которых n1, n2, ..., ni и n = ∑ ni , то i
p = n1 kT + n2 kT+...+ni kT . Давления p1 = n1 kT, p2 = n 2 kT,... pi = ni kT называют парциальными давлениями. Например, р1 – парциальное давление соответствует давлению, которое оказывал бы первый газ, входящий в состав смеси, если бы он занимал весь объем. Согласно закону Дальтона в случае идеальных газов
p = ∑ pi i
Таким образом, давление, оказываемое на стенки сосуда смесью газов, равно сумме парциальных давлений отдельных компонентов смеси. 5. Газовые законы. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Экспериментальное исследование свойств газов, проведенное в ХVIIXVIII вв. Бойлем, Мариоттом, Гей-Люссаком, Шарлем, привело к формулировке газовых законов: 1. Изотермический процесс – Т=const. Закон Бойля-Мариотта: pV=const – уравнение изотермы. График зависимости p от V приведен на рисунке 5.1. Чем выше изотерма, тем более высокой температуре она соответствует, T2>T1. 2. Изобарный процесс– p= const. Закон Гей-Люссака:
V = const – T
уравнение изобары. График зависимости V от T приведен на рисунке 5.2. Чем ниже к оси температуры наклонена изобара, тем большему давлению она соответствует, р2 > p1.
V
р
Т2>T1 T2 T1
V Рис.5.1.
p p1
p2>p1 p2 T
Рис.5.2.
V1
V2>v1 V2 T Рис.5.3.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 4. Постоянные Ван-дер-Ваальса и критические параметры: Вещество а, Па.м6/моль2 b, 10-5 м3/моль Тк,К рк, МПа Азот 0,136 4 126 3,4 Аргон 0,132 3 151 4,87 Вода 0,554 3 647 22,0 Водород 0,024 2,6 33 1,3 Гелий 0,034 2,3 5.2 0,23 Кислород 0,137 3 154 5,07 Углекислый газ 0,364 4,3 304 7,4
Примеры решения задач. Задача 1. В сосуде объемом 200 л находится 300 моль водорода при нормальном давлении. Во сколько раз надо увеличить температуру, чтобы давление увеличилось в 3 раза? Сравнить с результатами для идеального газа. Дано: V=0,2 м3, ν=300 моль, μ=2.10-3кг/моль, р1≈105Па, р2=3р1 Найти: Т2/Т1 - ? Решение. Учитывая, что объем сосуда не изменяется при повышении температуры, запишем уравнения Ван-дер-Ваальса для первого и второго состояний реального газа: ⎛ ⎛ 2 a ⎞ 2 a ⎞ ⎜ p1 + ν ⎟ (V − ν b) = νRT1 ; ⎜ p 2 + ν ⎟ (V − ν b) = ν RT2 . 2 ⎝ ⎝ V ⎠ V2⎠ Разделив второе уравнение на первое, получим: T2 p + aν 2 V 2 = 2 . После вычислений получим Т2/Т1≈2,3. T1 p1 + aν 2 V 2
Если считать газ идеальным, то уравнения состояний можно записать так: р1V=νRT1; р2V=νRT2 . Разделив эти равенства почленно, получим Т2/Т1=р2/р2=3. Сравнивая полученные числовые результаты, замечаем, что идеальный газ нагревается в этих условиях до более высокой температуры, чем реальный. Задача 2. В баллоне емкостью 8 л находится 300 г кислорода при температуре 27оС. Найти, какую часть объема составляет собственный объем молекул. Определить отношение внутреннего давления р’ к давлению газа р на стенки сосуда. Дано: V=8.10-3м3, m=0,3 кг, μ=32.10-3кг/моль, Т=300К, а=0,137Дж.м3/моль2, b=3.10-5 м3/моль. Найти: х1=V’/V - ? x2=p’/p - ?
60
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса позволяет определить наклоны кривых равновесия. Поскольку q и Т –положительны, наклон задается знаком (V2 '−V1 ' ) . При испарении жидкостей и сублимации твердых тел объ-
dp ем вещества всегда возрастает, поэтому > 0 ; следовательно, увеличеdT ние давления приводит к повышению температуры плавления (рис.49.1, а). Для некоторых же веществ (вода, германий, чугун, висмут и др.) объем жидкой фазы меньше объема твердой фазы, то 7 dp есть < 0 ; следовательно, увеличение давле- p 8 Кр dT 1 2 3 4 ния сопровождается понижением температуры плавления (рис., б). На диаграмме удобно изображать также 5 6 процессы изменения состояния вещества. Проследим изобарическое (р=const) нагревание вещеT ства, находящемся в твердом состоянии 1 (см. рис.). При температуре, соответствующей точке 2, тело начинает плавиться, при температуре, соответствующей точке 3, – испаряться. При дальнейшем повышении температуры целиком переходит в газообразное состояние. Если же вещество находится в твердом состоянии, то при изобарном нагревании (штриховая прямая 5-6), кристалл превращается в газ минуя жидкую фазу. Из состояния 7 при изотермическом сжатии вещество проходит следующие три состояния: газ–жидкость–кристаллическое состояние. Возможен также непрерывный переход вещества из жидкого состояния в газообразное и обратно в обход критической точки, без пересечения кривой испарения (переход 4-8), то есть такой переход, который не сопровождается фазовыми превращениями. Это возможно благодаря тому, что различие между газом и жидкостью является чисто количественным (оба эти состояния, например, являются изотропными). Переход же кристаллического состояния (характеризуется анизотропией) в жидкое или газообразное может быть только скачкообразным (в результате фазового перехода), поэтому кривые плавления и сублимации не могут обрываться, как это имеет место для кривой испарения в критической точке. Кривая плавления уходит в бесконечность, а кривая сублимации идет в точку, где р=0 и Т=0 К.
9
p = const – T
3. Изохорический процесс– V=const. Закон Шарля:
уравнение изохоры. График зависимости р от Т изображен на рис 5.3. Чем ниже к оси температуры наклонена изохора, тем большему объему она соответствует, V2 > V1. Комбинируя выражения газовых законов, получим уравнение, связывающее р, V, Т (объединенный газовый закон):
pV = const . T
Постоянная в этом уравнении определяется экспериментально. Для 1 моль газа она оказалась равной R=8,31
Дж и была названа универмоль ⋅ К
сальной газовой постоянной. 1 моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. Число молекул (структурных единиц) в 1 моле равно числу Авогадро: NA=6,02.1023моль-1. Для R справедливо соотношение: R=k NA Итак, для одного моля: pV = RT . Для произвольного количества газа ν = m/μ (уравнение МенделееваКлапейрона): pV =
m
μ
RT ,
где μ - молярная масса газа.
Установим связь между уравнение кинетической теории газов и уравнением Менделеева-Клапейрона. р = Так как n=N/V, то
pV = N k T .
2 n E= nk T, p = nk T. 3
Для количества вещества справедливо соотношение
m
μ
=
N , а для NA
постоянной Больцмана – k = R /NA, поэтому последнее уравнение можно записать в виде:
pV = N
R m T или pV = RT . NA μ
6. Распределение скоростей молекул по Максвеллу. Молекулы идеального газа совершают беспорядочное тепловое движение. Ввиду полной беспорядочности движения молекул и огромного их числа нет возможности судить о скорости каждой молекулы в любой момент времени. Возможно определить лишь число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей.
10
59
Теоретически задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения решил Максвелл. Он показал, что число молекул, имеющих малые скорости и большие скорости относительно мало. Оказывается, что скорости большинства молекул лежат в окрестности некоторой средней скорости. С помощью теории вероятностей (1859) Максвеллу удалось вывести формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений. Если N - общее число молекул газа, dN - число молекул, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv, то закон распределения Максвелла запишется в виде: 3
m0 v 2
dN ⎛ m ⎞ 2 − = 4π ⎜ 0 ⎟ e 2 kT v 2 dv ⎝ 2πkT ⎠ N По определению плотности вероятности f ( v) = 3
(1)
dN , поэтому здесь N dv
m0 v 2
⎛ m ⎞ 2 − f ( v) = 4π ⎜ 0 ⎟ e 2 kT v 2 ⎝ 2πkT ⎠
(2)
– функция распределения. Она указывает долю молекул dN/N, обладающих скоростями, лежащими в интервале dv около значения скорости v. Из этой формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (m0) и от параметров состояния (Т). График функции распределения приведен dN на рис.6.1. Так как при возрастании v множи−
N
m0 v 2
тель e уменьшается быстрее, чем растет множитель v2, то функция f ( v) , начинаясь от 2 kT
v vв v v+dv нуля, достигает максимума при vв и затем асимРис.6.1. птотически стремится к нулю. Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной скоростью vв. Скорости, превышающие vв, встречаются чаще, чем меньшие скорости. Кривая асимметрична относительно vв. Относительное число молекул, скорости которых находятся в интервале от v до v+dv, находится как площадь заштрихованной полоски. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что f(v) удовлетворяет
условию нормировки:
.
димая при плавлении теплота идет не на нагрев тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при постоянной температуре. В подобных переходах – из более упорядоченного кристаллического состояния в менее упорядоченное жидкое состояние — степень беспорядка увеличивается, то есть, согласно второму началу термодинамики, этот процесс связан с возрастанием энтропии системы. Если переход происходит в обратном направлении (кристаллизация), то система теплоту выделяет. Фазовые переходы, не связанные с поглощением или выделением тепла и изменением объема, называются фазовыми переходами П рода. Эти переходы характеризуются постоянством объема и энтропии, но скачкообразным изменением теплоемкости. Общая трактовка фазовых переходов II рода предложена академиком Л. Д. Ландау (1908—1968). Согласно этой трактовке, фазовые переходы II рода связаны изменением симметрии: выше точки перехода система, как правило, обладает более высокой симметрией, чем ниже точки перехода. Примерами фазовых переходов II рода являются: переход ферромагнитных веществ (железа, никеля) при определенном давлении и температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов при температуре, близкой к 0 К, в сверхпроводящее состояние, характеризующееся скачкообразным уменьшением электрического сопротивления до нуля; превращение обыкновенного жидкого гелия (гелия I) при Т=2,9К в другую жидкую модификацию (гелий II), обладающую свойствами сверхтекучести. Для наглядности изображения фазовых превращений используется диаграмма состояния. На рисунке 49.1. изображена примерная диаграмма состояний некоторого вещества. Линиями АTтр (кривая плавления), ВТтр a) p б) (кривая сублимации), КТтр (кривая испа- p рения) поле диаграммы делится на три А Кр Кр области, соответствующие условиям суТ Ж Г Т Ж Г ществования твердой, жидкой и газообТр Тр разной фаз. Точка Ттр – тройная точка. По В фазовой диаграмме легко определить, в ТТр Т Т каком состоянии находится данное вещество при заданных условиях (р и Т). Точка К на кривой равновесия жидкой и газообразной фаз – критическая точка. Термодинамика дает метод расчета кривой равновесия двух фаз одного и того же вещества. Согласно уравнению Клапейрона-Клаузиуса, производная от равновесного давления по температуре равна:
dp q = , где q – удельная теплота фазового перехода, dT (V2 '−V1 ' ) Т
(V2 '−V1 ' ) – изменение удельного объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую, Т– температура перехода.
58
11
цилиндра, R2=∞, поэтому избыточное давление за счет искривления по-
σ
2σ верхности: Δp = = , тогда высота капиллярного подъема в этом слуR d чае:
h=
2σ cos θ . ρgd
Капиллярные явления имеют большое значение в природе и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. В капилляре переменного сечения капля смачиваемой жидкости под воздействием разности лапласовских давлений втягивается в сторону его утончения. Этим объясняется т.н. расклинивающее действие смачивающих жидкостей: жидкости, проникая в микротрещины, увеличивают их и тем самым понижают прочность твердых тел. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т.д. 28. Равновесие фаз. Фазовые переходы. Диаграмма состояния. Фазой называется часть системы, однородная по физическим и химическим свойствам. Одно и то же по химическому составу вещество может находиться в разных фазах. Если в воде находится лед, то система состоит из трех фаз: льда, воды и паров воды в воздухе. При определенных условиях (равенство давлений, температур, химических потенциалов) фазы могут находиться в равновесии друг с другом. Состояния равновесия двух фаз изобразятся на диаграмме (р,Т) линией р=f(Т). Три фазы одного и того же вещества могут находиться в равновесии только при единственных значениях температуры и давления, которым на диаграмме (р,Т) соответствует тройная точка. Эта точка лежит на пересечении кривых равновесия фаз, взятых попарно. Переход из одной фазы в другую – фазовый переход – всегда связан с качественными изменениями свойств вещества. Примером фазового перехода могут служит изменения агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменением в составе, строении и свойствах вещества (например, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую). Различают фазовые переходы двух родов. Фазовый переход I рода (например, плавление, кристаллизация и т. д.) сопровождается поглощением ищи выделением теплоты, называемой теплотой фазового перехода. Фазовые переходы I рода характеризуются постоянством температуры, изменениями энтропии и объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении телу можно сообщить некоторое количество теплоты, чтобы вызвать разрушение кристаллической решетки. Подво-
Значение наиболее вероятной скорости vв находят, исследуя f(v) на 2
2
⎛ m v2 ⎞ −m v df ( v) d − m2 kTv 2 = экстремум: e v = 2 v⎜ 1 - 0 ⎟ e 2 kT = 0 . dv dv ⎝ 2 kT ⎠ 0
0
Значения v=0 и v=∞ соответствуют минимумам распределения (1), а значение v, при котором выражение в скобках равно нулю, и есть наиболее вероятная скорость: v в=
2 kT = m0
2 RT
μ
.
Из полученной формулы видно, что с повышением температуры газа максимум кривой распределения смещается в сторону больших скоростей. Однако площадь, ограниченная кривой остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться, то есть наиболее вероятная скорость возрастает, а доля молекул, обладающих этой скоростью, уменьшается. Если выразить скорости молекул не в f(v) обычных единицах, а в относительных, приняв за единицу скорости наиболее веT2>T1 T1 роятную скорость молекул, то распределение Максвелла принимает вид: T2 dN 4 −u2 2 e u du , = v N π Рис.6.2. где u=v/vи – относительная скорость молекул. Средняя скорость молекулы ⎯v (средняя арифметическая скорость) определяется из условия:
v=
∞ 1 ∞ v dN ( v) = ∫ v f ( v) dv . ∫ N 0 0
Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем: v =
8kT 8 RT = πm0 πμ
Итак, различают следующие характерные скорости молекул газа: 1) наиболее вероятная скорость vв =
2 RT
μ
≈ 1,41
RT
μ
;
12
57
2) средняя рость v = 3)
средняя
3RT
≈ 1,73
μ
арифметическая
8 RT
≈ 1,60
πμ
RT
квадратичная
RT
μ
μ
ско-
; скорость
под произвольной поверхностью: Δр= σ (
dN N
Это формула Лапласа. Для сферической искривленной поверхности
vкв= vв v vкв Рис.6.3.
.
v
Последовательность расположения указанных выше скоростей представлена на графике рис.6.3. 7. Идеальный газ в силовом поле. Барометрическая формула. Закон распределения Больцмана. При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Если гав находится в силовом поле, то существуют силы, которые сообщают хаотически движущимся молекулам направленное движение. Молекулы газа, находящиеся в поле тяготения, участвуют в тепловом движении и испытывают действие силы тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к состоянию газа, при котором наблюдается убыль концентрации и давления газа с возрастанием высоты над землей. Выведем закон изменения давления с высотой, h+dh p-dp предполагая, что поле тяготения однородно, темпеp ратура постоянна и масса всех молекул одинакова и равна m0. Атмосферное давление на некоторую площадку 0 p0 S обусловлено весом столба воздуха над этой площадкой (т.е. действием силы тяжести). Пусть на выРис.7.1. соте h – давление р, а при h=0 – p=p0. Рассмотрим изменение давления элемента “столба” высотой dh, в пределах которого концентрацию можно считать постоянной. Убыль давления в пределах dh: dp = − nm0 g dh .
p m g , поэтому: dp = − p 0 dh . kT kT dp mg = − 0 dh , получим Произведя разделение переменных: p kT Но
p = n k T , или n =
p = p0 e
m gh − 0 kT
.
1 1 + ). R1 R2
(R1=R2=R) это выражение переходит в Δp = (R1=R, R2=∞) – избыточное давление Δp =
σ R
2σ , для цилиндрической R
. В случае плоской поверх-
ности (R1=R2=∞) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают. Добавочное давление обуславливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капилляр), вследствие чего оно еще называется капиллярным давлением. Изменение высоты уровня жидкости в узких трубках или зазорах получило название капиллярности. (Лат. capillus) означает волос. Капилляр – «трубка, тонкая, как волос»). R Если опустить капилляр в смачиваеr мую жидкость, то под действием лапласовского давления жидкость в нем поднимаетh θ ся. Между жидкостью в капилляре и широh ком сосуде устанавливается разность уровθ ней h, при которой капиллярное (добавочное) давление уравновешивается гидроста-
2σ = ρgh . Здесь R – радиус мениска. Выразим его через R краевой угол θ и радиус капилляра r: R = r / cos θ . Тогда высота поднятия 2σ cos θ жидкости в капилляре: h = . ρgr
тическим:
Смачивающая жидкость (θ0) поднимается по капилляру, и эта формула дает положительное значение h, а несмачивающая жидкость (θ>π/2, cos θ σ тж + σ жг жидкость неограниченно растекается по поверхности твердого тела – имеет место полное смачивание. При полном смачивании краевой угол равен нулю. 2) σ тж > σ жг + σ тг поверхность, по которой жидкость граничит с твердым телом, стягивается в точку, жидкость отделяется от твердой поверхности – имеет место полное несмачивание. При полном несмачивании краевой угол равен π. При соблюдении условия (2) краевой угол может оказаться острым или тупым. Если σ тг > σ тж , то cosθ > 0 и краевой угол острый. В этом
случае имеет место частичное смачивание. Если σ тг < σ тж , cosθ < 0 и краевой угол тупой. В этом случае имеет место частичное несмачивание. (см. рис.26.1б). Смачивание или несмачивание жидкостью твердого тела приводит к тому, что вблизи стенок сосуда наблюдается искривление поверхности жидкости. В узкой трубке (капилляре) или в узком зазоре между двумя стенками искривленной оказывается вся поверхность. Если жидкость смачивает стенки, поверхность имеет вогнутую форму, если не смачивает - выпуклую. Такого рода поверхности называют менисками. 27. Давление под искривленной поверхностью жидкости. Капиллярность. Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению приведет к возникновению давления, дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой
54
15
Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей, имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно-активными. Наиболее известным поверхностно-активным веществом отношению к воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,3.10-2 до 4,5.10-2Н/м). Поверхностно-активными веществами, понижающими поверхностное натяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др. 26. Явления на границе жидкости и твердого тела. Из опыта известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму, изображенную на рис., в то время как ртуть на той же поверхности превращаете в несколько сплюснутую каплю (рис.26.1). В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором – не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремита) б) ся увеличить поверхность соприкосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкоθ θ сти силы притяжения между молекулами σтг>σтж σтг T1 T1 V
Рис.22.1.
Это уравнение третьей степени относительно V. Кубическое уравнение может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых. Первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах – кривые для Т1 и Т2 (см.рис.22.1). Второму случаю изотермы при высоких температурах (одно значение объема V отвечает одному значению давления р), то есть любая изотерма начиная от изотермы для Тк. Совпадение изотерм идеального и реального газа наблюдается при малых давлениях и больших объемах (так как при этих условиях газ можно считать идеальным). Для семейства изотерм Ван-дер-Ваальса характерно так называемой критической изотермы (при температуре Тк) имеющий точку перегиба при некотором давлении рк и объеме Vк; при Т>Тк все изотермы идут монотонно, при Т < Тк все изотермы имеют минимум и максимум.
вследствие теплового движения при отклонении вещества от равновесного состояния и являются необратимыми. Явления переноса протекают медленно, несмотря на то, что все они происходят благодаря быстрому движению молекул. Свободному движению молекул препятствуют их взаимные столкновения. Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул подразумевается процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения. Столкновения молекул представляют как раз тот механизм, который приводит систему в равновесное состояние. В идеальном газе эти столкновения происходят только между двумя молекулами, а одновременными столкновениями между тремя и большим числом молекул можно пренебречь. Расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега молекулы. Так как молекул в газе чрезвычайно много, то вводят понятие средней длины свободного пробега молекул. Средней длиной свободного пробега молекул ⎯λ называется среднее расстояние, которое молекула проходит без столкновений. При столкновении молекулы сближаются до некоторого наименьшего расстояния, которое условно считается суммой радиусов взаимодействующих молекул. Молекулы в этом случае можно представить как упругие сферы диаметров d1 и d2. Столкновение между молекулами может произойти только в том случае, если их центры сблизятся на расстояние, меньшее и равное диаметру d, или столкновение произойдет только в том случае, если центр молекулы окажется внутри круга, имеющего площадь: σ =π d2. Величина σ называется сечением рассеяния, или эффективным сечением, d - эффективный диаметр. d Эффективный диаметр молекулы – минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при столкновении. d Число столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, может быть различным. Поэтому следует говорить о среднем значении этой величины. Средняя длина свободного пробега ⎯λ и среднее число столкновений в единицу времени ⎯z являются главными характеристиками процесса столкновений газовых молекул. Эти величины связаны между собой: ⎯λ =
v , где ⎯v - средняя арифметическая скорость. z 2 Можно показать, что ⎯z = 2πd nv .
22
47
λ1
λ2
Для простоты вначале примем, что все молекулы, кроме рассматриваемой, неподвижны. Молекула испытает соударение с теми молекулами, которые располагаются от линии перемещения центра молекулы на расстоянии, меньшем, чем d. За время 1 с молекула пройдет по коленчатому цилиндру, объем которого: πd 2 v . Тогда число
ударов в единицу времени: ⎯ πd 2 n v . Тогда ⎯λ =
v 1 = . Однако окруz πd 2 n
жающие молекулы также движутся, тогда в формулу для z должна входить не абсолютная относительно стенок скорость, а относительная скорость: vотн=
2 v . Следовательно: ⎯λ =
1 2πd 2 n
.
(1)
При нормальных условиях для молекул воздуха (азота) ⎯z=9.109 с-1, ⎯λ≈10-7 м. Это очень малое расстояние, однако d