В О Р О НЕ Ж С К И Й Г О С У Д А РС Т В Е ННЫ Й У НИ В Е Р С И Т Е Т Ф А К У Л Ь ТЕ Т П М М К а ф едр а в ы чи с ли т ел...
4 downloads
164 Views
327KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
В О Р О НЕ Ж С К И Й Г О С У Д А РС Т В Е ННЫ Й У НИ В Е Р С И Т Е Т Ф А К У Л Ь ТЕ Т П М М К а ф едр а в ы чи с ли т ельной м а т ем а т и ки
М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е НИ Я С И С Т Е М С Р А ЗР Е Ж Е ННЫ М И М А Т Р И ЦА М И С П О С О БЫ ХР А НЕ НИ Я И П РЕ Д С Т А В Л Е НИ Я Р А ЗР Е Ж Е ННЫ Х М А Т Р И Ц, О П Е Р А ЦИ И НА Д НИ М И М ет одическиеуказания к спецкур су для с т у дент ов 3 ку р с а дневного и в ечер него от делени й ф а ку льт ет а ПММ
Сос т а ви т ели : И.А.Бла т ов Т.Н .Глу ша кова М.Е.Экс а р евс ка я
В ороне ж – 2002
-2-
С О Д Е РЖ А Н И Е § 1. § 2. § 3. § 4.
В в е де ние … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 3 Способы хране нияи пре дстав л е нияразре ж е нныхматриц … … … .… … ... 3 О п е рации над разре ж е нными матрицами … … … … … … … … … … ...… … . 9 М е тод Гаусса дл яразре ж е нныхматриц … … … … … … … … … … … … … . 24 Л ит е рат ура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 33
-3§ 1. В ведение Стро го го опре де л е ния разре ж е нной мат рицы не т, но е сть “ не стро гие ” опре де л е ния, не ко т орые изко т орыхмы зде сьприв е де м. О п р е д е л е ни е 1.1. Р азре ж е нная м ат ри ца ( РМ ) – эт о мат рица, у ко т орой “ много ” эл е ме нтов рав но нул ю . О п р е д е л е н и е 1.2. Р азре ж е нная м ат ри ца – эт о матрица, дл я ко т орой испол ьзо в ание ал горитмов , учитыв аю щ их нал ичие нул е й, позв ол яе т добит ься экономии маш инного в ре ме ни и памяти по срав не нию с т радицио нными ме тодами. РМ в озникаю т при ре ш е нии многих прикл адных задач. Н азо в е м не ко т орые изних: 1) дискре т изация урав не ний мат е мат иче ской ф изики – разностные схе мы и ме т од ко не чных эл е ме нтов ; 2) задачи л ине йно го про граммиро в ания (т е орияоптимизации); 3) задачи т е о рии эл е кт риче ских це пе й. О сновная задач а к урса – на у чи т ьс я с т р ои т ь эф ф ект и вны е а лгор и т м ы AU = f р ешени я с и с т ем ли нейны х а лгебр а и чес ки х у р а внени й (СЛАУ) ( A – РМ), т .е. п ы т а т ьс я оп т и м и зи р ова т ь п р оцес с р ешени я с т очки зр ени я за т р а т м а ши нной п а м я т и и вр ем ени . В о змо ж но сти ре ш е ния эт ой задачи связаны с игно риров ание м нул е й мат рицы A за сче т того, что: 1) ариф ме тит иче ские опе рации снул ями не произв одят ся; 2) нул и не о бязат е л ьно хранит ьв маш инной памят и. § 2. С пособы хр анения ипр едст авл ения р азр еж енны х м ат р иц В се способы хране ния РМ закл ю чаю т ся в том, чтобы хранит ь тол ько не нул е в ые эл е ме нты матрицы ил и, мож е т быт ь, не бол ьш о е кол иче ств о нул е й в ме сте сними. 2.1. Разр еж енны й ст р очны й ф ор м ат (РС Ф ) Э то наибол е е ш ироко испол ьзуе мая ф орма хране ния РМ . П усть е сть прямо угол ьная n × m мат рица A = aij . Д л я е е пре дстав л е ния в РСФ
{ }
нуж но т ри одноме рныхмассив а: 1) AN – массив не нул е в ых эл е ме нтов мат рицы A ; 2) JA – массив соот в е тств ую щ их стол бцов ых инде ксо в не нул е в ых эл е ме н- тов мат рицы A ; 3) IA – т ак назыв ае мый “ массив указат е л е й ” – це л очисле нный массив , i -я ко мп оне нт а ко т орого указыв ае т , c како й позиции массив о в AN и JA начинае т ся описание i -й строки мат рицы A . Зде сь пре дусмот ре на допол ните л ьная ко мпоне нт а , ко т орая яв л яе т ся после дне й и указыв ае т но ме р пе рв ой свободной позиции в массив ах AN и JA .
-4Т аким образом, описание i -й стро ки матрицы A хранит ся в позициях с I A(i ) до [ I A(i + 1) − 1] массив ов AN и JA за искл ю че ние м рав е нств а I I A(i + 1) = I A(i ) , о значаю щ е го, чт о i -я стро ка пуста. С л е до в ате л ьно, эл е ме нт ы записыв аю т ся в массив п о по рядку сл е дов ания стро к. Е сли A име е т m строк , то массив I A соде рж ит (m + 1) по зицию . Д анный спо соб пре дстав л е ния назыв аю т пол ным, т .к. пре дстав л е на в ся мат рица A . В зав исимости от того, как зап исыв аю т ся в каж дой строке стол бцо в ые инде ксы в массив е JA (по порядку в о зрастания ил и не т ), разл ичаю т уп орядоче нное ил и не упорядо че нно е пре дстав л е ние соо т в е тств е нно. Н е упо рядо че нные пре дстав л е ния нуж ны дл я ал горит миче ских удо бств : ре зул ьт ат ы бол ьш инств а матричных опе раций пол учаю т ся не упорядоче нными, и упорядо че ние их т ре буе т допол ните л ьных затрат маш инного в ре ме ни, в т о в ре мя как бо л ьш инств о ал горит мо в дл я РМ не т ре буе т , чт о бы п ре дстав л е ния был и упо рядо че нными. З а м е ч а н и е . В сю ду в дал ьне йш е м мы буде м име т ь де л о с в е щ е ств е нными матрицами. Задача 1. Н аписат ьдл яматрицы A упо рядо че нное пре дстав л е ние в РСФ . N стол бцов : 1 2 3 4 5 6 7
1 4 A= 0 0 N п озиций: AN : JA : IA:
1 1 1 1
2 1 2 4
3 2 4 6
4 4 1 8
1 0 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 . 0 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 0
5 6 7 8 5 3 6 3 5 6 8
З а м е ч а ни е . В пе рв ой позиции массив а I A в сегда стоит 1 . Задача 2. П о массив ам AN , JA, IA т о чно стью до нул е в ых стол бцо в справ а).
AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 IA: 1 3 5 6 8
в о сстанов ит ь матрицу A (с
-5Разобье м массив ы AN, JA по стро кам: N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7
AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 Т аким образом, в мат рице A 4 строки и 7 стол бцов , приче м в 1-ой стро ке в 6 стол бце стоит 1, в 7-м стол бце – 2 и т.д.
N стол бцо в : 1 0 3 A= 0 0
2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 2 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 8 9 0 0
Задача 3. Н аписат ьдл яматрицы иззадачи 1 по л но е , но не упорядоче нное пре дстав л е ние . 2.2. Р азр еж енны й ст ол бцовы й ф ор м ат (Р С т Ф ) Зде сь эл е ме нты хранят ся не по строчкам, как в РС Ф , а по стол бцам. Стол бцов ые пре дстав л е ния могут т акж е рассматрив ат ься и как стро чные пре дстав л е ния транспониров анных матриц. Т аким образом, в массив е JAT указыв ае т ся стро чный инде кссоо т в е т ств ую щ е го эл е ме нт а, а эл е ме нты I AT указыв аю т , скакой по зиции начинае т ся описание оче ре дного стол бца мат рицы A. Задача 4. Н аписат ь дл я мат рицы A стол бцо в о е пре дстав л е ние . a) N п озиций: 1 2 3 4 5 6 7 ANT : 1 4 1 5 2 3 6
из задачи 1 упорядо че нно е
8
JAT : 1 2 1 2 1 3 3 I AT : 1 3 4 5 6 7 8 Задача 5. Т ранспониров ат ь мат рицу A иззадачи 1 и написат ь дл я не е уп орядоче нный РСФ , срав нит ьре зул ьт ат сре зул ьт ат о м задачи 5. Задача 6. Записат ьмат рицу A в не упо рядо че нном РСтФ .
0 0 1 3 0 0 0 5 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 7 0 1 0 0
-62.3. С т р очны й р азр еж енны й ф ор м ат хр анения сим м ет р ичны х м ат р иц Д л я симме тричной матрицы
A = { aij }i , j =1 n
(aij = a ji )
достаточно
хранит ь л иш ь е е диагонал ь и в е рхний (ниж ний) тре угол ьник. П ри этом мо ж но указат ьдв а спо соба хране ния: 1) стро чно е пре дстав л е ние диагонал и и в е рхне го (ниж не го) т ре угол ьника (РСФ Б Д ); 2) в ыде л е ние диагонал ьных эл е ме нтов матрицы A в о т де л ьный массив AD , а разре ж е нным ф орматом пре дстав л яе т ся т ол ько в е рхний (ниж ний) т ре угол ьник матрицы A (приче м в этом пре дстав л е нии диагонал ьсчит ае т ся нул е в ой) (РСФ Д ).
З а да ча 7.
З а пис а т ь
с им м е т р ичную
2 0 A= 0 1
м а т р ицу
0 0 1 1 0 1 0 3 0 1 0 3
a) в РСФ Б Д ; б) в РСФ Д . a)
AN : 2 1 1 1 3 3 JA : 1 4 2 4 3 4 IA: 1 3 5 6 7
б) AN : 1 1
JA : 4 4 IA : 1 2 3 3 3 AD : 2 1 3 3
2.4. Д иагонал ь ная схем а хр анения (Д С Х) л ент очны х м ат р иц О п р е д е л е ни е
{ }in, j =1 назыв ае т ся
2.1. К в адратная матрица A = aij
(2m + 1) –диагонал ьной ил и ле нт оч ной, е сли aij = 0 дл яв сех i, j т аких, что | i − j |> m . Ч исло (2m + 1) – это ши ри на ле нт ы, m – полуши ри на. Е сли m 1 эл е ме нты i -й стро ки находят ся в позициях о т [ DA(i − 1) + 1] до DA(i ) . Единств е нный эл е ме нт a11 пе рв ой строки хранит ся в AN (1) .
10 0 13 Задача 10. Д л ямат рицы A = 0 0 17 0 1 0 18 0 0 0 2 20 1) подсчит ат ьпро ф ил ь, найти разме рностьмассив а AN ; 2) построит ьП С Х .
N позиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 AN : 10 13 17 1 0 18 2 20 DA : 1 2 3 6 8
-9-
1) β1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0, β 4 = 2, β 5 = 1, pr ( A) = 3, dim AN = 3 + 5 = 8. Задача 11. П о массив ам AN и DA в осстано в ит ьматрицу A :
AN : 9 8 7 6 5 4 3 2 1 DA : 1 3 5 6 7 9 § 3. О пер ациинад Р М . А л гебр а РМ О пе риро в ат ь сРМ т рудне е , т.к. о ни заданы в упаков анно й ф орме . М ы буде м рабо т ат ь смат рицами, ко т орые заданы в РСФ (РСт Ф ). П о э т ому л ю бой ал го рит м разбив ае тсяна два эт апа. 1. С им вол ический – о пре де л яе т ся структ ура разре ж е нно сти ре зул ьт ат а, ко т орый хот им пол учит ь, а такж е позиции эл е ме нтов исходных РМ , с ко т орыми нуж но п ро в одит ь ариф ме тиче ские де йств ия, т .е . иде т рабо т а с в е кт орами IA , JA ; зде сь ж е о пре де л яе тся объе м о пе рат ив ной памят и, не обходимый дл я хране ния про ме ж ут очных ре зул ьт ат ов и в ыходной инф ормации. 2. Ч исл енны й – не посре дств е нно в ыпол няю т ся числе нные о пе рации. В ре зул ьт ат е по л учае м число , мат рицуил и в е кт ор. 3.1. С писки 3.1.1. Хр анениесписков, цел ы х списков, кол ь цевы х цел ы х списков О п р е д е л е н и е 3.1. Спи ск ом назыв ае тся со в о купность яче е к (п озиций), связанных в том ил и ином порядке . К аж дая яче йка соде рж ит эл е ме нт сп иска и номе р яче йки, в ко т орой хранится сле дую щ ий эл е ме нт списка. В нут ри каж до го списка, по пре дпол о ж е нию , пов торе ний не т . В общ е м сл учае схе ма хране ниясписка состоит изт ре х массив о в : 1) массив по зиций N ; 2) массив эл е ме нтов A ; 3) массив NEXT – указат е л ьпозиций сле дую щ их эл е ме нт о в , и добав л яе т ся указат е л ьначал а списка IP . Задача 12. Н аписат ь схе му хране ния чисел a, b, c, d порядке , е сли они хранят сяв массив е A сле дую щ им о бразом:
О тв е т:
N: 1 2 3 4 5 6 7 A: b d a c NEXT : 7 2 4;
в
указанном
IP = 5 .
Задача 13. В каком порядке до л ж ны хранит ьсячисла a, b, c, d , e, f , е сли схе ма хране нияв ыгл ядит сле дую щ им образом:
N:
1 2 3 4 5 6
- 10 -
A: a b c d e f NEXT : 6 5 3 2 1 IP = 4 О т в е т: d , c, e, b, f , a . О п р е д е л е н и е 3.2. Е сли эл е ме нт ы списка яв л яю тся це л ыми числами, т о т акой спи сок назыв ае т сяце лым . П устье стьне кот о рый це л ый список A , эл е ме нты ко т орого могут принимат ь значе ния { 1, 2, ... , n }. О п р е д е л е н и е 3.3. Ч исло n – максимал ьное значе ние эл е ме нт ов в списке – назыв ае т ся разм ах ом спи ск а. П усть m – число эл е ме нтов списка. Е сли m . 0 5. 1 . С помощ ью массив а IU оп ре де л яе м в JU описание i -й стро ки мат рицы U . В позиции РВ Н X с номе рами стол бцо в ых инде ксов в ыде л е нно го участка (е сли о н не п устой) и номе ро м стро ки i засыл ае м нул и.
2 0 . В i -ю п озицию РВ Н X п оме щ ае м эл е ме нт AD(i ) . Е сли i -я строка не п уста, т о в п озиции РВ Н , соот в е т ств ую щ ие портре ту i -й стро ки мат рицы A измассив а AN . 6. П ро смат рив ае м А С i -о го стол бца. Е сли о нп устой, т о пе ре ходим к 7. Е сли не п устой, т о дл я каж до го эл е ме нта j эт ого списка де л ае м сле дую щ ие оп е рации: а) с помощ ью эл е ме нтов IUP( j ) опре де л яе м участки массив ов JU , UN , в кот орых соде рж ит ся описание эл е ме нтов j -й стро ки мат рицы U , име ю щ их стол бцов ые инде ксы ≥ i ; б) умнож ае м эл е ме нты в ыде л е нного участка (массив а UN ) на число ~ (−U ij ⋅ D( j )) (эл е ме нт U ij находим в UN ); в ) прибав л яе м но в ые значе нияэл е ме нт ов в ыде л е нно го участка к со де рж имо мусоо т в е т ств ую щ ихяче е к РВ Н ; г) пол агае м IUP( j ) = IUP ( j ) + 1; д) п риписыв ае м j -ю строку к А С k -го стол бца, где k – сто л бцов ый инде ксне нул е в о го эл е ме нт а сноме ро м IUP( j ) , сле дую щ ий за i -м в j -й строке мат рицы U . 7. Е сли про смо т р А С зако нче н, т о в ыбирае м эл е ме нт РВ Н X (i ) , соо т в е т ств ую щ ий диагонал ьному эл е ме нт у эт о й i -й строки, и поме щ ае м е го в i -ю ~ по зицию массив а D , а соде рж имое РВ Н де л им на эл е ме нт , соде рж ащ ийся ~ в i -й позиции РВ Н (т о е стьна D ( j ) ), по сле че го в РВ Н соде рж ит ся i ястро ка матрицы U . 8. В ыбирае м из РВ Н не нул е в ые эл е ме нт ы i -й стро ки мат рицы U (за искл ю че ние м i -го стол бца, в котором находит ся1) и поме щ ае м их в UN т аким о бразом, чтобы j -омустол бцу соот в е т ств о в ал эл е ме нт X ( j ) . 9. i = i + 1 и пе ре ходим к 3. 4.1.3. П р им ер ы Задача 29. Н айт и т ре угол ьное разл ож е ние дл яматрицы A .
- 29 -
1 0 0 A = 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 4 0 1 1 ; 1 1 0 5 1 0 0 0 1 1 6 0 0 1 1 0 0 7
1 2 3 4 5 6 7 8 AN :
1 1 1 1 1 1 1 1
JA :
6
4 5 5 7 6 7 6 .
__ ______
1 2 4 6 8 9
AD :
1 2 3 4 5 6 7
N АС ( N стол бца )
1
− 6
1) −
2
− 4, 5
2) −
3
− 5, 7
3) −
4
− 6, 7
4) 2
5
− 6
5) 2, 3
6
−
6) 1, 4, 5
7
−
7) 3, 4
IU :
6
4 5
5 7
5 6 7
5 7
7
___ _______
______
___________
______
___
1
6
2 4
9 11 12
2. Ч исл енны й эт ап
N АС ( N стол бца) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
− − − 2 2, 3 1, 4, 5 3, 4
______
IA :
1. С им вол ический эт ап N строки N стол бца
JU :
______
~ D(1) = 1 i = 2 : IUP(1) = 1 X ( 4) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (5) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (2) = 0 + 2 / 2 = 1 ~ D (2) = 2 i = 3 : IUP(2) = 2 X (5) = 1 / 3 X (7) = 1 / 3 X (3) = 1
___
- 30 -
~ D (3) = 3 i = 4 : IUP(3) = 4 1 15 X (5) = 0 − / = −1 / 15 4 4 15 X (6) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 15 X (7) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 X (4) = 4 − 1 / 4 = 15 / 4 ~ D(4) = 15 / 4
j = 2 : стол бцо в ые инде ксы 4, 5. 1 1 1 ~ ~ 4 : UN (2) ⋅ (− a24 / D(2)) = UN (2) ⋅ (− AN (2) / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 1 1 1 ~ 5 : UN (3) ⋅ (− a24 / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 IUP(2) = 3 , IUP(2) = 4 j = 3: IUP(3) = 4, 5 i = 5 : IUP(4) = 6, 7 X (6) = 0 + 1 − 16 / 225 = 209 / 225 X (7) = 0 − 1 / 9 − 16 / 225 = −41 / 225 197 X (5) = 0 + 5 − 1 / 4 − 1 / 9 + 4 / 225 = 4 300 ~ D(5) = 19 / 4 − 1 / 9 − 4 / 225 = K UN : 1
1 2
1 2
1 3
1 3
−
1 4 4 K 15 15 15
Задача 30. П о порт ре т у (cт рукт уре ) не симме тричной РМ A опре де л ит ь максимал ьно е число не нул е в ых эл е ме нт ов после прив е де ния матрицы к т ре уго л ьно мув иду.
- 31 -
1
2 3 4
× × × × × × × 1 × × × ⊗ ⊕ × ⊕ × × × 2 × → → A= × × ⊗ ⊕ × × × 3 × ⊗ + ⊗ ⊕ × 4 × Зде сь ⊕ – не нул е в ой эл е ме нт из других строк, ⊗ – обнул е ние эл е ме нт а исходной мат рицы, + – обнул е ние эл е ме нт а издругих стро к. 4.2. О бр ат ны й ход м ет ода Г аусса О нсостоит в ре ш е нии систе мы
~ (1) U T DUx = f , ~ D –- диагонал ьная мат рица, U – в е рхне тре угол ьная се диницами на
где гл ав ной диаго нал и. О братный хо д ме т ода Гаусса дл я систе мы (1) закл ю чае т ся в ре ш е нии т ре х систе м.
U T z = f ~ Dw = z . Ux = w
(2 ) (3) ( 4)
Т аким о бразом, нуж но ре ш ит ь дв е систе мы стре уго л ьными матрицами и о днусдиагонал ьной. Ре ш ае м систе му(2) при помощ и прямой подстанов ки: по по рядку, начинаяс T пе рв ой, просмат рив ае м строки матрицы U и в ычисляе м компоне нт ы по ф ормул ам
z1 =
T f1 / U11
= f1 ,
i −1
zi = f i − ∑ U ij z j . j =1
~ Д л я систе мы (3) име е м wi = z j Dii . Систе ма (4) ре ш ае т ся о брат ной подстано в ко й:
n
xn = wn , xi = wi − ∑ U ij x j . j = i +1
М ож но т акж е дл я ре ш е ния систе мы (4) пе ре йт и от РСФ к сто л бцов ому, по сле че го систе ма (4) ре ш ае т сяанал о гично (2). 4.3. В ы вод РМ на печат ь ил иэ кр ан Д л япре дстав л е ниямат рицы мож но в ыбрат ьоднуизсл е дую щ ихф орм. 1. П р едст авл ениев видепол ной м ат р ицы
- 32 Д л я каж дой строки значе ния не нул е в ых эл е ме нтов загруж аю тся в пол ный в е щ е ств е нный массив , которо му пре дв арите л ьно придано начал ьно е нул е в о е со стояние . Строка массив а в ыв одит ся на пе чат ь ил и диспл е й, и ал горит м пе ре ходит к обработ ки сле дую щ е й стро ки мат рицы. О че нь удобно был о бы разл ичат ь в изуал ьно в нут рипорт ре т ные нул и (т .е . нул и, пе ре ме щ е нные в AN ил и AD в сле дств ие в заимного сокращ е ния при в ычисле нии) и в не порт ре тные нул и (т.е . нул и, о ко т орых заране е изв е стно, что они будут т о чными нул ями, и ко т орые поэт о му не в кл ю чаю т ся в JA ). В позициях, соот в е т ств ую щ их в не порт ре тным нул ям, мож но пе чат ат ь не числов ой симв ол , наприме р *. Разуме е т ся, практ иче ски эт от ме тод прил ож им к т е м сит уациям, когда достат очно иссле дов ат ь мал ую часть мат рицы ил и сама мат рица до стат очна мал а. 2. Д л я каж дой ст р оки печат ает ся её ном ер , а зат е м не нул е в ые эл е ме нт ы этой строки и за каж дым из них – в скобках – соот в е т ств ую щ ий стол бцов ый инде кс. Ещ е л учш е был о бы упо рядочит ь не нул е в ые эл е ме нты пе ре д пе чат ание м. Д остоинств о эт ого ме тода в т ом, чт о он сокращ ае т пространств о, занимае мое в ыв о димо й строкой; однако он не дае т т акого ясно го пре дстав л е нияо в заимном распо л о ж е нии соседних стро к, как пе рв ый ме т од. 3. П ор т р ет м ат р ицы м ож но вы вест и на уст р ой ст во с вы сокой р азр еш ающ ей способност ь ю, наприме р, диспл е й ил и матрично е пе чатаю щ е е устро йств о. Н уж но т ол ько, чт обы мат рица был а не слиш ком в е л ика ил и чтобы был о достат очно е ё рассматрив ат ьпо частям. В ы бор пор ядка искл ючения в м ет оде Г аусса (упор ядочение ст р ок и ст ол бцов) В проце ссе гауссов а искл ю че ния происходит запол не ние мат рицы, приче м о бъе м и структ ура эт о го запо л не ния в е сьма сущ е ств е нно зав исят о т в ыбора порядка искл ю че ния. П о э т ому сле дуе т в ыбират ь т акую строку, в кот орой бол ьш е нул е й, – чтобы минимизиро в ать число не нул е в ых эл е ме нтов , когда строка « обруш ив ае т ся» на в се другие стро ки, а такж е стол бе ц с максимал ьным числом нул е й, чтобы испол ьзо в ат ьп оме ньш е строк. О п р е д е л е н и е . Д л я эл е ме нт а aij произв е де ние числ а не нул е в ых 4.4.
эл е ме нтов в i -о й стро ке и j -ом стол бце назыв ае т ся це ной М арк ови ца эл е ме нт а aij . Н е нул е в ой эл е ме нт aij сле дуе т в ыбират ьт ак, чт обы це на М арко в ица эт ого эл е ме нт а был а минимал ьно й ил и не слиш ко м бол ьш о й. Э та иде я назыв ае т ся ст рат е г и е й М арк ови ца. О на по зв ол яе т оптимизиро в ать в ыбор в е дущ е го эл е ме нт а.
- 33 Н о т акой в ыбо р в л ияе т на устойчив ость п роце сса гауссо в а искл ю че ния, т ак как е сли в е дущ ий эл е ме нт мал , т о в о змож на по т е ря устойчив о сти в ычисле ний. 4.5. В ы числ ит ел ь ны еош ибкив гауссовом искл ючении П ри ре ал изации ме т ода Гаусса приходится в ыпол нят ь ариф ме тиче ские де йств ия типа b = a − lU . Д л я оп е раций спл ав аю щ е й т очкой границы о ш ибки обычно устанав л ив аю т ся сле дую щ им образом: f l ( x o y ) = ( x o y )(1 + ε ) , где симв ол o о бо значае т одну из эл е ме нт арных о пе раций +, −, ×, / ; ( x o y ) – т очный ре зул ьт ат опе рации; f l ( x o y) – о кругл е нный ре зул ьт ат ;
ε ≤ ε M , где ε M – маш иннаят о чность.
П усть a , b < α , тогда дл яоце нки погре ш ности име е м
ε ≤ α ⋅εM ⋅
1 1− εM
1 ⋅ + 2 . 1 − ε M
Т аким образо м, дл я того чтобы в ычислите л ьная погре ш ность был а не слиш ко м в е л ика, не сле дуе т до п ускат ь чре зме рного роста чисел a, l , U . А в ме т оде Гаусса a, l , U – эл е ме нт ы k -х проме ж ут о чных мат риц. П о э т ому в в о дит ся показат е л ь проме ж ут о чного роста в ме т о де Гаусса
α k = max aijk
(A = { a }) , k ij
k
ко т орый дол ж е нбыт ьне слиш ком в е л ик.
С т р ат егия, осущ ест вл яющ ая ком пр ом иссм еж ду опт им изацией уст ой чивост ииопт им изацией ал гор ит м а П усть сде л аны пе рв ые k ш агов ме т о да Гаусса с в ыбо ро м гл ав ного эл е ме нт а по стол бцу. В о зьме м число U : 0 < U