材料力学―考え方解き方 わかりやすい機械教室

２色 刷 わか りやす い機 械 教 室

材 料力学 考え方解き方 演習付 萩原 国雄 著

東京電機大学出版局

本書 の全 部 また は一 部 を無 断 で 複 写複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 に つ き委 託 を受 けて い ます ので,本 書 か らの複 写 を 希望 され る場 合 は,必 ず小 局(03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さ い。

ま え がき   本 書 は,工 業 高 校 の機 械 科 に お け る新 学 習 内 容 を 基 準 と して,必 要 最 少 限 の 内 容 を残 らず取 り入 れ,や さ し く理 解 しや す い形 に ま とめ た もの で あ る。 対 象 と して は,一 応 機 械 科 の 生 徒 諸 君 を考 え て い る が,そ の他 の工 学 を 学 ぶ 者 お よ び機 械 技 術 者 を志 す 者,さ

らに な お広 く一 般 の好 学 者 の 諸君 の た め に も読 み な

が ら内 容 が 把 握 で き る よ う配 慮 した つ も りで あ る。   編 纂 に あ た って は,次 の 諸 点 に留 意 した。  ①

な るべ く短 時 間 に労 せ ず して学 び とれ る よ う に,演 習 問題 形 式 に よ らず, 例 題 集 と し,考 え 方 ・解 き方 に力 点 を お い た。 しか し,例 題 を少 しで も多 く取 り入 れ る た め,考 え 方 ・解 き方 を重 要 視 しな が ら も,こ れ を 簡 潔 に と どめ た。

 ②

重要 な 基 本 事 項 が ひ と 目で わか りや す い よ うに,わ く組 み の中 に ま とめ, そ れ らの 中 で 説 明 の 必 要 な もの は わ く外 に理 解 しや す く解 説 した。

 ③

三 角 関数 を必 要 とす る と こ ろで は,計 算 を 容 易 にす る た め,主 と して特 別 角 を 用 い るよ うに した 。

  筆 者 は現 職 の体 験 を とお して,初 学 者 の 多 くの つ まづ きを み て きた 。 本 書 は 教 室 に お け る これ らの体 験 を 通 じて の 授 業 の 集 約 と もい う こ とが で き る。 執 筆 に あ た って は十 分 努 力 した つ も りで あ るが,不 足 の点 はお 許 しいた だ きた い。   本 書 の作 成 に あ た って,ご 尽 力 下 さ った東 京 電 機 大 学 出版 局 な ら び に,関 係 各 位 の 絶 大 な る ご支 援 に対 し,心 か らお礼 を 申 し上 げ た い。

昭和45年10月 筆 者 記 す

第  本 書 は 昭和45年(1970)に,初

次改訂に あた

２

っ

て

版 「機 械 の 力学,考 え 方 ・解 き方 」 を タ イ ト

ル と して,機 械 力 学 と材 料 力 学 の合 本 で ス ター トし,そ れ 以 来 多 くの 版 を重 ね, 昭和60年(1985)に

な って,よ り見 や す くか っ 解 りや す くす る よ うに 期 待 を

こめ て 第 １次 改訂 を 行 い,２ 色 刷 り ２分 冊 と した。   今 般,SI単 位 系(国

際単 位 系)へ

の 移 行 を 契機 と して,多 くの本 書 ご活 用 の

方 々 な らび に 時代 の 要 請 に こ たえ,第

２次 改 訂 を 行 う こ と と した。

  初 版 以 来 一 貫 して 考 え て き た こ と は 「労 せず 学 べ る例 題 集 と し,考 え 方 ・解 き方 に力 点 をお く」 で あ り,ま た 同 時 に 「機 械 設 計 へ の橋 渡 しと して 役 立 っ も の 」 で あ っ た。   か く して,第

１次 改訂 で は① ２色 刷 り に して 解 説 ・図 ・問 題 点 な ど見 やす く,

理 解 しや す い よ うに浮 き ぼ りに す る。 ② 演 習 問題 の追 加 と解 答 に もな るべ く計 算 式 を 付 加 す る。 ③MKS,  SI単 位 の 換 算 表 を追 加 し,④ 設 計 関 連 部 分 で は 単 位 の 関 連 性 を 考 慮 し,⑤ 材 料 力 学 関 連 図 はJIS規 格 に 従 い,⑥ 電 卓 利 用 も考 慮 し て 円周 率 π は そ の ま ま扱 うな ど見 な お しあ るい は改 善 を 行 っ た。   今 回 の第 ２次 改 訂 で は,第

１次 改 訂 の六 つ の ポ イ ン トか ら,さ ら に発 展 的 に

次 の諸 点 を重 点 と して意 を そ そ い だ つ も りで あ る。   ①SI単

位 系 の使 用(重

力 単 位 へ の 見 な お し も考 慮 した)。

 ②

機 械 力 学,材 料 力 学 の二 つ を独 立 さ せ て ２分 冊 と した。

 ③

改善 点 の見 な お しに よ る新 設 と廃 棄 。

 ④

機 械 工 学 便 覧(日 本機 械学 会 編)新 版 に準 拠 す る よ うに した(例,曲

げ

モ ー メ ン トの正 負 の 符 号 の 扱 い な ど)。  ⑤

答 の 数値 は原 則 と して 四 捨 五 入 で 有 効 数 字 ３桁 とす る。(特 に,一 部 の 問題 で は,そ の題 意 に よ り切 り捨 て,切 り上 げ あ るい は そ の 有 効 数 字 の 桁 数 の増 減 を 行 っ た)

 ⑥

付録 ・単 位 の 換 算 表 に ギ リ シ ャ文 字 の追 加 。

    初 版 で は主 と して 工 業 高 校 の機 械 科 の生 徒 諸 君 を対 象 と して作 成 した が,

年 が経 つ に つ れ て,現 実 に は 多 くの機 械 工 業 な らび に,そ の関 連 企 業 等 の 現 場 で,広 範 に ご活 用 い た だ い て きた こ と は著 者 と して至 上 の喜 び とす る もの で あ る。 な お,本 書 に よ る学 習 法(ご 活 用)の 工 夫 の た め に,幅 広 く利 用 者 諸 氏 の 選 択 の 自 由度 を高 め るべ く十 分 配 慮 したつ も りで あ る。 一層 の ご活 用 を い ただ け れ ば幸 い で あ る。   初 版 以 来 この か た,第

１次 改 訂,第

２次 改 訂 を 通 して重 ねが さね ご尽力 下 さ っ

た東 京 電 機 大 学 出版 局   岩下 行 徳 氏 な らび に関 係 各 位 に 対 し深 く感 謝 申 し上 げ る次 第 で あ る。   平成6年3月 著者記 す

も く じ

１.

２.

３.

４.

応力 とひずみ

弾性 エ ネル ギ

曲

げ

は りの 強 さ

1

６.

ね

じ

り

組合せ応力

荷重 と応力 

１

2

応 力 とひ ず み  

19

3

材料の使用範囲 

45

1・

4

熱応力 

55

1

・

5

内圧を受 ける円筒 と球    

63

2

・

1

弾性 エネルギ 

71

2

・2

衝撃応力 と伸 び 

78

3

・

は りの 種 類 と荷 重  

84

3

・2

は り のつ り合 い条 件  

86

3

・

3

両端支持 ば りの計算 

3

・

4

片 持 ば りの計 算  

127

3

・5

張 出 しば りの計 算  

135

4

・1

曲 げ応力 と断面係 数 

139

は りの 強 さ 

153

4 ・3

は りの た わ み  

156

4

平 等 強 さの は り 

162

軸 の ね じ り   

172

1 1

・

4

５.

・1 ・

1

・

・

2

4

5

・1

5

・2

89

軸 の 強 さ 

178

5 ・3

コ イル ば ね  

193

6

・1

主 面 と主応力 

197

6

・2

モ ー ル円  

206

6

・

3

曲 げ とね じりを 同 時 に受 け る軸  211

７.

座

問 題 付録

屈

の

Sl単

解

7

・1

柱 

219

7

・2

柱 の強 さ 

221

答 

位 に つ い て 

226 262

１

応力 とひずみ 本 書 で扱 う材料 力学 と は何 か。 わ れ わ れ の周 囲 に あ る機 械 や構 造 物 な ど は, 使 用 中 に壊 れ な い よ うに設 計 製 作 され な くて は な らな い。 そ れ で は な ん で も丈 夫 に さ え作 れ ば よ い だ ろ うか。 必 要 以 上 に丈 夫 に 作 れ ば材 料 を不 必 要 に多 く使 い経 済 的 に不 利 で あ る。 そ こで わ れ わ れ は,ま ず 機 械 や構 造 物 に どの よ うな 状態 で どん な力 が作 用 す る か,そ の力 に よ って材 料 内部 に は ど ん な抵 抗 力 が生 ず るか,材 料 に ど ん な変 形 が 起 こる か な ど を調 べ,こ れ らに見 合 う安 全 か つ経 済 的 な材 料 の形 状 や寸 法 を決 め な くて は な らな い。 この よ うな学 問 を 材料 力 学 とい い機 械 設 計 の根 幹 を なす もの で あ る。

1・1  荷

1・1・1 

(１) 荷

荷

重

と 応

力

重

重(load)

物 体 に働 く外 力 を荷 重 と い う

(２) 荷 重 の 分 類 (ａ) 荷 重 の 作 用 の しか た に よ る 分 類

例 題1・1 

図1・1の

消 しゴ ムを 手 で 力 を加 え て変 形 させ て み よ う。 どの よ うな

力 の作 用 の させ 方 が あ るか 。

図 1・1

〔 考え方〕   消 し ゴ ムを伸 ば す に は,両 手 で 引 っ張 り。 押 し縮 め る に は … … 〔 解〕  

図1・2の よ うな 作 用 の させ方 が考 え られ る。

① 引張る

②  圧 縮する

③ 曲げ る

④ ね じる

⑤ せ ん断する

図 1・2

この こ とか らわ か る よ うに作 用 の しか た に よ って 次 の よ う に分 類 で き る。

①  引 張 荷 重(tensile 

load)引

②  圧 縮 荷 重(compressive  ③  せ ん 断 荷 重(shearing  ④  曲 げ 荷 重(bending 

load)圧 load)切

load)曲

⑤  ね じ り荷 重(torsional 

っ張 る よ う に 作 用 す る 力

load)ね

す る よ う に 作 用 す る力 断 す る よ うに作 用 す る力 げ る よ うに作 用 す る力 じる よ うに作 用 す る力

(ｂ) 荷 重 を 加 え る 速 度 に よ る分 類 荷 重 を加 え る速 度 や加 え る方 向 の変 化 に よ っ て次 の よ うに分 類 で き る。 ①  静 荷 重(static 

load)き

わ め て 徐 々 に 加 え る か,加

え られ た 状 態

を 続 け る よ うな荷 重 。 ②  動 荷 重(dynamic 

load)変

化 を 伴 う よ う な 荷 重 で,次

の よ うな も

のが ある 。

(イ)  繰 返 し荷 重(repeated  load) 

大 き さ が 周 期 的 に繰 り返 して 変

動 す る荷 重 で,引 張 りの場 合 は引 張 りだ け,圧 縮 の場 合 は圧 縮 だ け が 周 期 的 に繰 り返 し作 用 す る。 (ロ)  交 番 荷 重(alternate 

load) 

大 き さや 向 きが 周 期 的 に変 化 す る

荷重。 (ハ)  衝 撃 荷 重(impact 

1・1・2  内

(１)  内

力

と 応

力(internal 

load) 

き わ め て 急 激 に 作 用 す る荷 重 。

力

force)

物 体 に荷 重 が作 用 す る と変 形 し,こ の変 形 に抵 抗 して物 体 内部 に力 を生 ず る。 この よ うに物 体 が荷 重を受 け た と き,そ れ に応 じて 内 部 に生 ず る抵 抗 力 を 内力 とい う。

〈参 考 〉  ば ね の 力 と内 力 ば ね氏 は図1・3の よ うに,頭 の上 の 荷 が 増 加 す れ ば体 を縮 め て 荷 を 支 え る。 ば ね氏 は体 を縮 め る こ とに よ って ち ょ う ど荷 を支 え るだ け の力 を 出 し て い るの で あ る。 これ と同 じよ うな こ とが他 の物 体 で も起 こる。す なわ ち, 物 体 に外 力 を加 え る と,物 体 は変 形 を始 め,外 力 とっ り合 う力 が 内部 に生 じた と ころ で 変形 は止 ま る。この 内 部 に生 ず る力 を 内力 とい うわ けで あ る。

図1・3  ば ね氏

例 題1・2図1・4よ

う な 丸 棒 に100Ｎ(ニ

ュ ー ト ン)の

丸 棒 の 内 部 に 生 ず る 内 力 は い く らか 。 ま た,内

引張荷 重 を加 え た とき

力 の 向 き は 荷 重 の 向 き と( 

)

で あ る。

図1・4

〔 考え方〕   ば ね の力 と 内力 を参 考 に 〔 解 き方 〕  

材 料 内部 に生 ず る抵 抗 力,す

なわ ち,内 力 は荷 重 と大 き さ が 等 し く向 き

は反対 とな る。 答(内

(２)  応 

力

力100Ｎ,反

対)

(stress)

応 力 と は単 位 断 面積 当 りの 内 力 の 大 き さを い う

例 題1・3 

図1・5の

よ う な 太 さ の 異 な る ２本 の 丸 棒 に 同 じ 大 き さ の 引 張 荷 重

を 加 え た と き,応 力(単 位 面 積 当 り の 内 力)は(ａ)と(ｂ)で

は ど ち らが 大 き い か 。

(ａ)

(ｂ)

図 1・5

〔 考 え方 〕 応 力 とは 単位 断 面 積(た

とえ ば1mm2)当

り の内 力 で あ り,し か も内 力 と

荷 重 は大 きさ が 等 しい こ とか ら,応 力 の式 を作 っ て二 つ を比 較 す れ ば よ い。

〔 解 き方〕

応 力=

内力/ 断面積=

荷重/ 断面積

応 力=

内荷重/ で,し 断面積

か も(ａ)と(ｂ)は

同 一 荷 重 で あ る。 したが って 断 面

積 の小 さ な(ａ)の 方 が 応 力 が 大 きい。 答((ａ)の

方 が大 きい)

応 力 は,材 料 の強 さ(単 位 面 積 当 り負 担 で き る内 力)を 調 べ た り,安 全 に 使 用 で き る材 料 の寸 法 を計 算 す る と きの 基 本 に な る もので あ る。

〈参 考〉   こ れ ま で は,荷

荷 重 と応 力 の 単 位 記 号 につ いて 重 と応 力 の 単 位 と し て 工 学 単 位

な ど が 使 わ れ て き た が 現 在 はSI単 １. 荷 重 の 単 位 に は

〔Ｎ 〕(ニ

１Ｎ と は 質 量 １kgの

〔kgf〕 と 〔kgf/mm2〕

位 に 切 り 換 え られ た 。

ュ ー ト ン)を

用 い る

物 体 に 作 用 し て1m/s2の

加 速 度 を生 じ させ る よ う

な力 の こ とで あ る。 こ れ ま で 用 い られ た 工 学 単 位 の １kgfと て 地 球 の 重 力 の 加 速 度 で あ る 約9.8m/s2を 〈 単 位 換 算 を マ ス タ ー しよ う 〉 (１)  50kgfは

何 Ｎか

は,質

量 １kgの

物 体 に作用 し

生 じ さ せ る 力9.8Ｎ

に相 当 す る。

(解) 

１kgfが9.8Ｎ

に相 当す るか ら

50〔kgf〕=50〔kgf〕

(２)

×9.8〔N/kgf〕=490〔

Ｎ〕

19.6Ｎ は 何kgfか

(解)

２.応 力 の 単 位 に は

〔N/m２ 〕 や

  応力 の単 位 は これ まで

〔Pa〕(パ ス カ ル)を

〔kgf/mm2〕

で あ っ た が,現

用 いる 在 は

〔N/m2〕

〔Pa〕 が 用 い られ る 。 本 書 で は 応 力 の 単 位 と し て 〔N/mm2〕=〔MPa〕

や を

用 い た。 １Paと

は １N/m2の

こ とで あ る

ま た,桁 数 の多 い数 値 に は次 の よ うな接 頭 語 を 用 い て 表 す。 103:ｋ(キ

ロ)

106：

Ｍ(メ

ガ)

109:Ｇ(ギ

ガ)

そ の他 は付 録 を 参 照 の こ と。 〈単 位 換 算 を マ ス タ ー しよ う 〉 (１)応

力 １N/mm2は

何Paか

(解)

(結 論)  覚 え よ う 面 積 １mm2当 １MPaに

り １Ｎ の 応 力 は,面

積 １m2あ

た り106Ｎ の 応 力 す な わ ち

相 当す る。 １N/mｍ2=1×10６N/m2=１MPa

機 械 工 学 で は,力

を Ｗ 〔Ｎ〕,面 積 を Ａ 〔mm2〕 と して 応 力 を 計 算 す る と

き,

と す る と 簡 単 で あ る。

〈参 考 例 〉 (１)断

面 積40mm2に

垂 直 荷 重1000Ｎ

が 作 用 して い る。 生 ず る応 力 は

どれ ほ どか 。 (解)

(２)応

力 １kgf/mm2は

何Paか

。

(解)

(別 解)

(３)応

力60MPaは

何kgf/mm2か

(解)

(３) 応 力 の 種 類

荷 重 の 作 用 の しか た に よ っ て,材 引 張 応 力(tensile  圧 縮 応 力(compressive  せ ん 断 応 力(shearing 

料 に は 図1・6の

よ う な 応 力 を 生 ず る。

stress) stress) stress)

  引 張 応 力 と圧 縮 応 力 は 断 面 に 垂 直 に 生 ず る の で 垂 直 応 力(normal  と い い,せ stress)と

stress)

ん 断 応 力 は 断 面 の 接 線 の 方 向 に 生 ず る の で 接 線 応 力(tangential い う。

(ｂ)圧 縮 応 力

(ａ)引 張 応 力

(ｃ)せ ん 断 応 力

図1・6

(４) 応 力 の 計算 例 題1・3で 確認 した 応 力 の式 を記 号 で 表 す と, 荷重 を Ｗ 〔Ｎ〕,断 面 積 を Ａ 〔mm2〕 と して応 力 を求 め る と

  こ こ に,σ(シ 合 は,引 Ｗ:荷

垂直応力

σ=W/A〔N/mm2〕=W/A〔MPa〕

(1・1)

せん断応力

τ=W/A〔N/mm2〕=W/A〔MPa〕

(1・2)

グ マ):垂

直 応 力,た

だ し引 張 応 力 と圧 縮 応 力 を 区 別 す る 場

張 応 力 を σt圧 縮 応 力 をσcと す る 。 τ(タ 重

〔Ｎ 〕,Ａ:断

面積

例 題1・4  断 面 積100mm2の

ウ):せ

ん断応 力

〔MPa〕,

〔mm2〕 。

材 料 に1800Ｎ

の引 張 荷 重 が 作 用 す る と き,断

面

に生 ず る応 力 は どれ ほ どか 。 〔 考え方〕   応 力 は単 位 面 積 当 りの 内 力(内 力=荷 重)で あ る こ とに注 目。   荷 重 Ｗ 〔Ｎ〕,面 積 Ａ 〔mm2〕 で 応 力 σ 〔N/mm2〕

を求 め 〔MPa〕

に

直す 。 〈 解 法 ２>  荷 重 Ｗ 〔Ｎ〕,面 積 Ａ 〔m2〕で応 力 σ 〔N/m2〕 を求 め て 〔MPa〕 に 直 す。 〔 解 き方 〕

〈解 法 １>

〈参 考 〉 答(18MPa)

例 題1・5図1・7の 重 が65〔kN〕

よ う な 軟 鋼 材 料 試 験 片 で,引

張 試 験 を 行 っ た 結 果,最

大荷

で あ っ た 。 こ の と き 生 じた 引 張 応 力 を 求 め な さ い 。

図1・7

〔 考え方〕

①

応 力=内 力/断 面積=荷 重/断 面 積

②  65〔kN〕=65×103〔

Ｎ〕

③   円 の 面 積 はA=πr2で

あ る が,工 学 で は直 径 ｄを 用 いた 式 を 使 う こ とが 多 い。

④     長 さ の単 位 を 〔mm〕,し

た が って面 積 の単 位 は 〔mm2〕

  長 さの 単 位 を 〔 ｍ〕,し た が って面 積 の単 位 は 〔my〕 〔 解 き方 〕



 

1〔mm〕=1×10-3〔

例1・6図1・8(ａ)の

ｍ 〕 

よ う に8.8kNの

し た が っ て,14〔mm〕=14×10-3〔

せ ん 断 力 が Ｍ20*の

ボ ル トに 作 用 して

い る 。 ボ ル トに 生 ず る せ ん 断 応 力 は ど れ ほ ど か 。 *  Ｍ20と は メ-ト ル 並 目ね じで 呼 び径(お

ね じの 外 径)20mmの

ｍ〕

もの を い う。

(ｂ)せ ん 断 面

(ａ)

図1・8

〔 考え方〕 ②

①

せん 断 応 力 は,せ ん 断荷 重 をせ ん断 を受 け る断 面 積 で 割 る。

せ ん 断面 は図1・8(ｂ)の 斜 線 の部 分 で あ る。

〔 解 き方〕

式(1・2)よ

り

数値 を代 入 して

答

(28MPa)

例題1・7  ３kNの 引張 荷 重 が作 用 す る部 品 を 丸鋼 で作 りた い。 丸 鋼 に発 生 す る引 張応 力 を90MPaに

と どめ る に は,部 品 の 直 径 を い く らにす る こ と が で き

るか。  

〔 考え方〕  

Ｗ の 引張 荷 重 に対 して,こ の 部 品 に許 され る 引 張 応 力 の 限 度 で あ る σ

を生 ず るよ うな 断面 積 を求 め,こ の必 要 とす る断面 積 に な るよ うな 直径 を 導 き 出 せ ば よ い。 この と き,応 力 の単 位 を 〔N/mm2〕 〔 解 き方 〕  

式(1・1)よ

り σ=W/Aで

に直 してか ら計 算 す る と よ い。 あ るか ら,必 要 とす る断 面 積 は

(１)

一 方 ,丸 鋼 の 断 面 積 は A=

πd2/

(２)

4

式(２)が,式(１)の 必 要 とす る断 面 積 に 等 しくな れ ば よ い か ら,

(３) 式(３)にW=3〔kN〕=3×103〔

Ｎ 〕,σ=90〔MPa〕=90〔N/mm2〕

を代 入

答

例題

1・8

図1・9の

す る と き,こ d2を

よ うな 中 空 円 筒 を ２枚 の 板 で は さ み,100kNの

の 円 筒 に 生 ず る 圧 縮 応 力 を70MPaに

い く ら に す れ ば よ い か 。 た だ し内 径d1を20mmと

(6.51mm)

力 で圧縮

と どめ るに は円筒 の外 径 す る。

図1・9

〔 考 え方 〕

Ｗ の圧 縮 荷重 を 加 え た と き,こ の材 料 に許 さ れ る 限 界 の 応 力 σを 生 ず

るよ うな断 面 積 を求 め る式 を 作 る。 次 に 円 筒 の 断面 積 が必 要 と す る 断 面 積 に な る よ う に 外 径d2を

求 め る式 を作 り,数 値 を 代 入 し計 算 す る。

〔 解 き方 〕

式(1・1)よ

り

σ=W/Aで

あ る か ら,必

要 とす る断 面 積 は

(１)

一 方 ,円 筒 の 断面 積 は,直 径d2の

円 の 面 積 か ら中 空 部 の 直 径d1の

円の面積 を引 いた

もの で あ る か ら, (２)

式(２)が 式(１)の必 要 とす る断面 積 に等 しくな れ ば よ いか ら, (３)

式(３)に

σ=70〔MPa〕=70〔N/mm2〕 W=100〔kN〕=100×103〔 d1=20〔mm〕

Ｎ〕

を代 入

答   (47.1mm)

例 題1・9図1・10の き,リ

ベ

よ う な リベ ッ ト継 手 に9.4kNの

ッ トに 生 ず る せ ん 断 応 力 を40MPaに

引張 荷重 が作 用 す る と

し た い,リ

ベ ッ トの 本 数 は 何

本か。

図1・10

  〔 考 え方 〕  

リベ ッ ト １本 の 断 面 積 に必 要 本 数 ｎ を乗 じた総 断 面 積 が,荷

して,応 力 τが40MPaに

重 Ｗ に対

な る よ う な面 積 で あ れ ば よ い。 文 字 式 を作 っ てみ よ う。

〔 解 き方 〕   必 要 とす るせ ん 断 面 積 (１)

ボ ル トの 本 数 を ｎ とす る と,ボ ル トの 総 断 面 積 は (２)

式(２)=式(１)よ

り

(３) 式(３)にW=9.4×103N,τ=40MPa=40N/mm2,d=10mmを

代 入 し,

答(３

例 題1・10図1・11の ン の 径d1お

よ う な ピ ン継 手 に 引 張 荷 重14kNが

よ び 棒 の 径d2を

限 界 を40MPa,棒

求 め な さ い 。 た だ し,ピ

に 生 ず る 引 張 応 力 の 限 界 を70MPaと

本)

作 用 す る と き,ピ

ンに生 ず るせ ん 断 応 力 の す る。

図 1・11

〔 考 え方 〕

①d1を

求 め る に は,こ の ピ ンに はせ ん 断 荷 重 を 受 け る 面 が ２箇 所 あ

る ので 断 面 積 を ２Ａ と して,τ=W/2Aよ 式 と円 の 面 積 の 式A=πd12/4を ②

棒 径d2を

〔 解き方〕

関 連 させ てd1の

求 め る に は,σ=W/Aよ

この 式 と円 の 面積 の式A=πd22/4を ①

ピ ンの 径

り ピ ンの 断面 積A=W/2τ

を 導 き ,こ

の

式 を作 れ ば よ い。

り棒 の必 要 と す る断 面 積A=w/σ 関連 さ せ てd2の 式 を作 る。

を 導 き,

こ の 式 にW=14×103N,τ=40MPa=40N/mm2を

②

代入

棒 の径

より

こ の 式 にW=14×103N,σ=70MPa=70N/mm2を

代入

答

例題

1・

11

図1・12の

よ う に ２kNの

に キ ー(16×10×100)で ー に生 ず るせ ん 断 応 力 と 〔注 〕

(d1=14.9mm,d2=16.0mm)

力 を 伝 え る ベ ル ト車 が 直 径50mmの

軸

固 定 さ れ て い る。 こ の ベ ル ト車 を 駆 動 す る と き,キ ,キ

ーの 側 面 に生 ず る圧 縮 応 力 を求 め な さい。

図 中 の単 位 記 号 のつ いて いな い長 さ の寸 法 数 値 は 〔mm〕 単 位 で あ る。

図 〔 考え方〕

①

1・12

ま ず キ ー に 働 くせ ん 断 力 を 求 め る 。 ベ ル ト車 に よ る トル ク ＊ を キ ー

に よ って 軸 に伝 え る か ら,キ ーが 受 ける トル ク=ベ ル ト車 に よ る トル ク

以上 の関 係 か

らせ ん 断 力 Ｗ を求 あ る。

② *ト

せ ん 断 応 力 を求 め る。 ① で 求 め た せ ん 断 荷 重 Ｗ を,キ ー の せん 断 面 積 で 割 る。

ル ク と は 回 転 モ ー メ ン トの こと で,回 転 力 ×回 転 半 径 で 求 め る。 単 位 〔N・mm〕。

③

キ ー の側 面 に生 ず る圧 縮 応 力 は,Ｗ

〔 解 き方 〕

①

の圧 縮 を受 け る小 さ い方 の 面 積 で 割 る。

キ ー に働 くせ ん 断力

キ ー に 伝 え られ る トル ク=ベ

ル ト車 に よ る トル ク で あ る か ら

W×25〔mm〕=2×103×250〔N・mm〕

②

せん断応力

③

圧縮応力 答(τ=12.5MPa,σc=50MPa)

例 題1・12図1・13の

よ う に ボ ル トに40kNの

引 張 荷 重 が 作 用 す る と き,ボ

トの 外 径 ｄ と ボ ル トの 頭 の 高 さ ん を 求 め よ 。 た だ し,こ の 限 界 を,引 な お,引 の 面 積,せ

張 応 力 は60MPa,せ

ル

の ボ ル トに 生 ず る 応 力

ん 断 応 力 は40MPaと

す る。

張 荷 重 を 受 け る 面 は ボ ル トの 谷 径d′(d′=0.8d)を

直 径 と す る円

ん 断 を 受 け る 面 は ボ ル トの 頭 に ボ ル トの 外 径 ｄ が 作 る 円 筒 の 側 面 積

と して 計 算 しな さ い*。

図 1・13

*  実 際 ボ ル トを選 ぶ 場 合 は 計 算 値 を も と にJIS規 格 よ り選 定 す る(例JIS B0205… …)。 な お例 題 の 計 算 値d=36.4か ル トを 選 定 す る と Ｍ42に な る。

らJIS B0205の

B1180,

B1181,

B1173,

メ ー トル 並 目 ね じ第 一 優 先 順 位 よ り ボ

ボ ル トの外 径 を求 め るに は,式(1・1)よ

〔 考え方〕 トの谷 径 の式

を 導 き 数 値 を 代 入 しd′ を 求 め る 。 次 にd′=0.8dの

か らd=d′/0.8と

②

り 引 張 荷 重 に耐 え られ る ボ ル 関係

して ボ ル トの 外 径 を 求 め る 。

ボ ル トの 頭 の高 さ を求 め る に は,荷 重 Ｗ が ボ ル トの外 径 ｄを 直径 とす る 円筒 の側

面A=πdhに

〔 解 き 方〕 式(1・1)か

作 用 す るか ら τ=W/πdhに

①

な る。 この式 か ら ｈの式 を導 き計 算 す る。

ボ ル トの外 径

ら

(d′:ボ

こ の 式 にW=40kN=40×103N,σ=60MPa=60N/mm2を

ル トの 谷 径)

代入

〔mm〕 こ こ で ボ ル トの 谷 径 と外 径 の 関 係 は お よ そd′=0.8dか

ら,外

〔mm〕

②

ボ ル トの 頭 の 高 さ ｈ は,

径 は

と な る。

より

と な る 。 こ の 式 にW=40×103N,d=36.4mm,τ=40MPa=40 

N/mm2を

代入 し

て

〔mm〕

答

例題

1 ・ 13

図1・ 14 の

(d=36.4mm,h=8.74mm)

リベ ッ ト継 手 に お い て １ ピ ッ チ 当 り の 引 張 荷 重 を13kN

と した と き,次 の 各 応 力 の値 を求 め な さい。 ①

リベ ッ トに生 ず るせ ん 断 応 力 。

② 板 に 生 ず る引 張 応 力 。 ③ 板 の圧 縮 応 力 。 ④ 板 の せん 断 応 力 。

図 1・14

〔考 え 方 〕 の で,荷

① は,１

ピ ッ チ に リベ ッ トが １本 あ る こ と に な る

重 を リベ ッ トの 断 面 積 で 割 っ て 求 め る 。

  ② につ いて は,引 張 荷 重 を受 け る板 の 断 面 は図1・15の ② の 示 す よ う に,ピ ッチ か ら りベ ッ ト穴 を 差 し引 いた 部 分 で あ る。 した が って,荷 重 を この 部 分 の 面(p-d)tで

割 って 求 め る。

 ③ につ いて は,図1・15の ③ に示 す よ うに,リ ベ ッ トの背 後 に あ る板 の 部 分 が 圧縮 を 受 け るの で,圧

縮 を 受 け る板 の 断 面 積 はdt

とな る。 この 面積 で 荷重 を 割 って求 め る。   ④ は,リ ベ ッ ト穴 の接 線 方 向 が板 の せ ん断 面 の方 向 で あ る か ら,１ ピ ッチ に つ い て の 板 の せ ん 断面 積 は2etと

②A=(p-d)t 引 張 荷 重 を受 け る １ ピ ッチ 当 りの 板 の 断面積

な る。 この面 積 で荷 重 を割 って求 め る。

③A=dt 圧 縮 荷重 を受 け る

④A=2et せ ん 断 荷 重 を受 け る

１ピ ッチ 当 りの板 の

１ ピ ッチ 当 りの 板 の

断面 積

断面積

図 １・ 15

〔解 き 方 〕

①

②

③

④ 答

① リベ ッ トの せ ん 断 応 力 τ=34.2MPa

[

]

② 板 の 引張 応 力 σt=38.7MPa ③ 板 の圧 縮 応 力 σc=49.2MPa ④ 板 の せん 断 応 力 τ=16.9MPa

問題

1・1

58MPaに

直 径25mmの

丸 棒 に 引 張 荷重 を加 え た と き,こ の 丸 棒 に生 ず る引 張 応 力 を

と ど め た い。 加 え る こ との で き る荷重 は ど れ ほ どか。

答

問題

1・2

外 径300mm,内

径250mmの

鋳 鉄 製 中 空 円 柱 に245kNの

(28.5kN)

圧 縮 荷重 が作用

して い る。 この と き生 じて い る圧 縮 応 力 を求 め な さ い。

答

問題

1 ・3

次 ペ ー ジの 図

1・ 16

の よ う に,厚 さ3.2mmの

(11.34MPa)

軟 鋼 板 を 直径30mmの

ポ ンチ

で 打 ち抜 くた め に 必 要 な力 は どれ ほ どか 。 ただ し,打 ち抜 くた め に必 要 な せ ん 断 応 力 を 400MPaす

る。

また,ポ

ンチ に許 され る圧 縮 応 力 の 限 界 を200MPaと

ポ ンチ は使 用 で き るか ど うか 判 断 しな さい。

す る と,こ

の

図 1・1 6

答(力120.6kN,使

1

1・

2 1

(１)

・

ひ

ず

・

2

用 可 能 で あ る)

応 力 と ひず み

み

ひ ず み (strain)

物 体 に荷 重 を加 え る と,荷 重 の状 態 に応 じて,伸 び や縮 み,ず れ な ど の変 形 を生 ず る。 この と き,物 体 の 変 形 前 の 寸1怯1こ 対す る変 形 量の 割 合 を ひ ず み とい う

(２)

ひずみの種 類

ひず み に は (ａ)縦

ひ ず み(longitudinal 

strain) (ｂ)横

ひ ず み(lateral

strain)

strain)ま

た は 垂 直 ひ ず み(normal

  (ｃ)せ

ん 断 ひ ず み(shearingstrian)

な ど が あ る。

(ａ)縦

ひず み

  図1・17の

よ う に,材 料 の 軸 方 向 に 荷 重 が 作 用 す る と き に 生 ず る 変 形 量(伸

び や 縮 み)を,変

形 前 の 長 さ で 割 っ た 値 を 縦 ひ ず み ま た は 垂 直 ひ ず み と い う。

図1・17は 引 張 り や 圧 縮 の と き の ひ ず み を 示 し た も の で あ る 。 な お,図 は,ε(イ

プ シ ロ ン):縦

λ(ラ ム ダ):変

ひ ず み,〓:変

形 前 の 長 さ,〓

′:変

中 の記 号

形 後 の 長 さ,

形 量 で あ る。

伸び

λ=〓

縮み

′-〓

縦 ひずみ

λ=〓-〓

′

縦 ひず み 図 1・ 17

縦 ひ ず み=

例題

1 ・ 14

長 さ400mmの

変形量/ 変形前の長 さ

〓〓→

ε=

λ/

1

材 料 が 引張 荷 重 を受 けて １mm伸

(1・3)

     

びた。 縦 ひず み

は どれ ほ どか 。 〔 考え方〕

ひず み と は,変 形 前 の寸 法 に対 す る変 形 量 の 割 合 で あ る。 した が っ て,

変 形 量 を 変 形 前 の長 さで 割 れ ば よ い。 な お,割 合 を求 め るの で あ るか ら,長 さ の 単 位 は 〔mm〕 で も 〔cm〕 で も 〔 ｍ 〕 で もいず れ か に統 一 して 用 い れ ば よ い。 〔 解 き 方 〕 

式(1・3)よ

り

ε=λ/〓=1/400=0.0025

答

例 題1・15  縮 み(変

長 さ2ｍ

形 量)は

〔 考 え方 〕  

(ε=0.0025ま

の 棒 材 が 圧 縮 荷 重 を 受 け て0.0002の

た は0.25％)

縦 ひ ず み を生 じた 。

い く らか。

ひ ず み の式 を変 形 して,変 形 量 を求 め る式 を 導 けば よ い。

〔解 き 方 〕   式(1・3)

ε=λ/〓

数 値 を代 入 して

よ り 

λ=〓

ε

λ=2000×0.0002=0.4〔mm〕 答  

例 題1・16 

伸 び が0.6mm,ひ

ず み が0.0003で

(λ=0.4mm)

あ る と き変 形 前 の 長 さ は ど れ

ほ どか 。 〔 考え方〕  

ひず みの 式 を変 形 して,変 形 前 の 長 さを 求 め る式 を 導 け ば よ い。

〔解 き 方 〕 

式(1・3)か

ら 〓の 式 を 導 き,λ=0.6mm,ε=0.0003を

代入 す る と

答 

例 題1・17 

長 さ 〓の 丸 棒 を 圧 縮 した と こ ろ 長 さ が200mm,ひ

(〓=2000mm)

ず み が0.005に

な った。 変形 前 の 長 さ は どれ ほ どか 。

〔考 え 方 〕   式(1・3)

〔 解 き方 〕

か ら 〓を求 め る式 を導 け ば よ い。

∴〓′/

=1-ε

〓

こ の 式 に 〓′=200〔mm〕,ε=0.005を

代 入 して

答  (201mm)

(ｂ) 横 ひず み 図1・18の よ う に,丸

棒 に 引 張 荷 重 や 圧 縮 荷 重 を 作 用 さ せ た と き,直

径 も変形

す る。 こ の 変 形 前 の 直 径 に 対 す る 直 径 の 変 形 量 の 割 喬 を 横 ひ ず み と い う。 な お 図 中 の 記 号 は,ε (デ ル タ):直

′:横

ひ ず み,ｄ:変

形 前 の 直 径,d′:変

形 後 の 直 径,δ

径 の 変 形 量 で あ る。

直 径 の 縮 み 量   δ=d-d′

直 径 の増 加 量   δ=d′-d

横ひずみ

横ひずみ

図 1・18

直径の変形量/ 変形前 の直径

横 ひず み=

例 題1・18  mm縮

直 径30mmの

(1・4)

丸 棒 に 引 張 荷 重 を 作 用 さ せ た と こ ろ 直 径 が0.0042

ん だ 。 横 ひ ず み を 求 め な さ い。

〔考 え 方 〕   式(1・4)お

よ び 図1・18を 参 照 の こ と 。

〔 解 き方 〕   式(1・4)よ

り

答 

例題1・19  直 径40mmの

(ε ′=0.00014ま

た は0.014％)

丸 棒 が 圧 縮 荷 重 を 受 け,直 径 が0.005mm増

加 した。

横 ひず み を求 あ な さ い。 〔考 え 方 〕   式(1・4)お

よ び 図1・18を

〔解 き 方 〕   式(1・4)よ

り

参 照 の こと。

答 

(ε ′=0.00025ま

た は0.0125％)

(ｃ)  せ ん断ひずみ

図1・19の

よ う に,高

さ せ た と こ ろ,λsの こ の と き,高

ず れ(変

形 量)を

生 じた。

さ 〓に 対 す る ず れ λsの 割 合 を せ ん 断 ひ ず み と い う 。 な お,図

中 の 記 号 は,γ(ガ は

さ(２ せ ん 断 面 間 距 離)〓 の 物 体 に せ ん 断 荷 重 Ｗ を 作 用

〔rad〕 で あ る 。

ン マ):せ

ん 断 ひ ず み,φ(フ

ァ イ):ず

れ の 角 度 … …単 位

①

② 図 1・19

〈せ ん 断 ひ ず み の式 を作 って み よ う〉 せ ん 断 ひ ず み の定 義 を式 で表 す と,

ず れ/

せ ん断 ひず み= 一方

,λsは(図1・19)角

→

高さ

λs

γ=

=tanφ

/〓

度 φ が 微 小 角 で あ る か ら,半

径 〓で 中 心 角 φ の 扇 形

の 弧 の 長 さ に 等 し い と 考 え られ る。 した が っ て,

λs=〓

φ

∴

λs/〓=φ

(２)

式(１)と 式(２)か ら

γ=λs/〓=tanφ=φ

〔rad〕

(1・5)

1 ・2・ 2  応 力-ひず み 曲線 (１)  変 形(deformation)の

種 類

物 体 に 荷 重 を 加 え る と,物 しか し,荷

体 は 変 形 し,物

体 内 部 に は 応 力 と ひ ず み を 生 ず る。

電 を 取 り 去 っ た と き 直 ち に 応 力 と ひ ず み が 消 滅 し,完

態 に も ど っ た と き,こ

の よ う な 変 形 を 弾 性 変 形(elastic 

全 に もと の状

deformation)と

い

(ａ)  弾性変形

(ｂ)  塑性 変形 図 1・19 変 形 の 種 類

う 。

こ れ に 対 して,荷 変 形(plastic 

重 を 除 去 し た 後 も永 久 的 な ひ ず み が 残 る よ う な 変 形 を 塑 性

deformation)と

い う。

機 械 に 使 わ れ る材 料 に は,応 力 が あ る一 定 値 を 超 え る と塑 性 変 形 を 起 こす も の が 多 い の で,使 用 に当 た って は生 じる応 力 が弾 性 限 度 内 にな る よ うに しな け れ ば な らな い。

(２)  応 力-ひ

ず み 曲 線(stress-strain 

curve)

軟 鋼 に 引張 荷 重 を 加 え た と きの 荷 重 と伸 び ・応 力 とひ ず み の 変 化 の よ うす を 調 べ て み よ う。 軟 鋼 の 引張 試 験 片 を 引 張 試 験 機 に取 り付 け,連 続 的 に増 加 す る引張荷 重 を徐 々

(ａ)

(ｂ)

図 1・21

に 加 え,試

験 片 が 破 断 す る ま で の 荷 重 と伸 び を 測 定 し,荷

重 を縦 軸 に伸 び を横

軸 に 記 録 す る と 図1・21(ａ)の よ う な 線 図 が 得 ら れ る 。 こ の 線 図 を 荷 重-伸 び 曲 線 (load  elongation 

curve)と

い う。

  ま た,荷 重-伸 び線 図 の尺 度 を変 え,縦 軸 に応 力(荷 断 面 積)を,横

重 ÷試 験 前 の 試 験 片 の

軸 に ひず み(伸 び ÷試 験 前 の基 準 長 さ)を 目盛 った もの が 図1・

21(ｂ)の 応 力-ひ ず み 曲線 で あ る。

(３) 応 力-ひず み 曲線 の観 察   軟 鋼 の 引張 試 験 にお いて 応 力 と ひず み の変 化 を図1・22(ａ)で ○ 応 力 が Ｐ点 まで は応 力 と ひず み は比 例 す る(OPは

観 察 す る と,

直 線)。 こ の Ｐ点 の 応 力

σPを比 例 限 度 と い う。

図1・22

○P∼E間

は応 力 とひ ず み は比 例 しな いが, Ｅ点 まで は加 え た応 力 を 除去 す れ

ば ひず み は消 滅 す る。 この よ うな ひず み を 弾 性 ひ ず み と い い,Ｅ

点 の応 力

σEを弾 性 限 度 とい う。 ○E点 を 超 え る と,応 力 を 除去 した 後 も ひず みが残 るよ うにな る。 この と き残 っ た ひず み を 永久 ひ ず み と い う。

た とえ ば,図 の Ｇ点 まで応 力 を加 え た後,応 力 を取 り去 る と,ひ ず み は直線 OPに ほ ぼ平 行 な 直線GKに

そ って減 少 し,最 終 的 にOKの

ひ ず み が の こ る。

す なわ ち,減 少 したKHに 相 当 す る ひず み が 弾 性 ひ ず み で,残

ったOKに

相

当 す る ひず みが 永 久 ひず み で あ る。 ○Yu∼Y〓

点 は 応 力 が 増 加 しな い で ひ ず み が 増 加 す る 現 象 が 起 き る。 こ の 現 象

を 降 伏 と い う。 降 伏 を 起 こす 直 前 の 応 力 σyuを 上 降 伏 点,こ

の 現 象 中 で最 も

小 さ な 応 力 σy〓 を 下 降 伏 点 と い う。 一般 に 降 伏 点 と い う と き は

上 降 伏点 を さ

す。   な お,ア

ル ミニ ウ ム 合 金 や 銅 合 金 な ど の よ う に 降 伏 点 が 現 れ な い よ う な 材

料 で は,一

定 の 永 久 ひ ず み(一

伏 点 と し,こ

れ を 耐 力(proof 

般 に0.2%)を stress)と

生 ず る よ う な応 力 を も って 降 い う(図1・2(ｂ)の

σ0.2)。

○Y〓 か らは塑 性 変 形 も進 み,加 工 硬 化 を しなが ら応 力 と ひず み が 増 加 し,最 大 値 Ｍ 点 に達 す る。 この点 の応 力 σBを 極 限 強 さ(引 張 りの場 合 は 引 張強 さ, 圧 縮 の 場 合 は圧 縮 強 さ)と い う。 ○M点 か ら は試 験 片 の 一 部 が 細 く くびれ 始 め,断 面 積 が 急 速 に減 少 し,変 形 に 要 す る荷 重 は低 下 して 破 断 に い た る。

図1・23

  以 上 の応 力-ひ ず み 曲線 に お け る応 力 は,各 点 の荷 重 を 試 験 前 の 試 験 片 の 断 面 積 で 割 っ た もので,公 称 応 力 と呼 ば れ真 の応 力 で は な い。   しか し,一 る。

般 に は こ の 応 力-ひ ず み 曲 線(公

称 応 力-ひ ず み 曲 線)が

用 い られ

応 力-ひ ず み 曲 線 の ま とめ Ｐ点 の 応 力

σP:比

例 限 度(proportional 

limit) 

応 力 とひ ず み が 直

線 的 に 変化 す る最 大 応 力

Ｅ点 の 応 力

σE:弾

性 限 度(elastic 

limit) 

応 力 を 取 り去 って も永 久

  ひ ず み が 残 らな い 最 大 応 力

Yu点 の応 力

σyu:上

降 伏 点(upper 

yield point) 

応 力が増 加 しない

で ひ ず み が 増 加 し始 め る 直 前 の応 力   一般 に 降 伏 点(yield  point)と

Ｍ点 の応力

σB:引

張 強 さ(tensile  strength)ま

  strength) 

Ｚ点 の応 力 そ の他

い う。

破 断 まで に 受 け る最 大 応 力

σZ:破 断 強 さ(fracture  σ0.2:耐 力(proof  い た め,降

た は 極 限 強 さ(ultimate

stress) 

stress) 

破 断 す る直前 の応 力

非鉄 金属 で は降伏点 が現 れ な

伏 点 の 代 用 と して,普

通,永

久 ひ ず み が0.2 %

に な る よ う な 応 力 を 用 い る。 こ の 応 力 の こ と。

1・2・3 フ ッ ク の 法 則 と弾 性 係 数 (１)  フ ッ ク の 法 則(Hooke's 

law)

  図 は ば ね ば か りで あ る。 左 の は か りに は5Ｎ の 荷 重 に 相 当す るお もりを １個, 右 に は ２個 の せ た もの で あ る。 ば ね ば か りが正 し く図 の よ うな値 を示 して い る と き,お

も りの大 きさ とば ね の変 形 量 が比 例 した こ とに な る。 この よ うに荷 重

と伸 び が比 例 す る こと を フ ック の法 則 とい う。   ま た,図1・22(ａ)の ずみが

応 力-ひ ず み 曲 線 に お い て,Ｏ 点 か ら Ｐ 点 ま で は 応 力 と ひ

直 線 的 に 変 化 す る か ら比 例 関 係 に あ る 。 し た が っ て,フ

ック の 法 則 が

成 り立 つ 。

  フ ック の 法則:比 例 限 度 内 に お い て応 力 とひ ず み は正 比 例 す る。

図1・24

(２)縦

弾 性 係 数(modulus 

of longitudinal 

elasticity)

応 力-ひ ず み曲 線 で観 察 した よ うに,垂 直 応 力 σ と縦 ひず み εは比 例 す る。 この と きの 比 例定 数 Ｅ を縦 弾 性 係 数(別 名,ヤ

例題

1・20

図1・22に

お い て,線

分OPを

ン グ率)と

い う。

式 で 表 しな さ い 。 た だ し,比

例 定数

を Ｅ とす る 。 〔 考え方〕

線分OPは

直線 で あ る。 したが って,σ

い る。 す な わ ち,数 学 で のx,yの き る の で,yを 〔 解 き方 〕

が ε に比 例 す る こ と を 示 して

直交 座 標 に描 かれ たy=axと

σ に,係 数 α を Ｅ に,ｘ

同 じと考 え る こ と が で

を εに置 き換 え れ ば よ い。

σは εに比 例 す る か ら,比 例 定 数 を Ｅ とす る と, σ=Eε

答(σ=Eε)

縦弾性係数 例 題1・20か

ら

E=

σ/ (1・6)

ε

ま た 式(1・6)に

  σ=W/

A,

ε=λ/〓

を 代 入 す る と,

(1・7)

伸 び λの式 (1・8)

伸 び は荷 重 と長 さ に比 例 し,断 面 積 と縦 弾 性 係 数 に反 比 例 す る。

例 題1・21長 た ら,0.243mmの

さ500mm,断

面 積500  mm2の

軟 鋼 棒 に50kNの

伸 び を 生 じ た 。 こ の と き の 応 力 σ,縦

引張 荷重 を加 え ひ ず み ε,縦

弾 性

係 数 Ｅ の値 を求 め な さ い。 〔 考 え方 〕   応 力 は  σ=W/Aか

ら,縦 ひ ず み は ε=λ/〓 か ら,縦 弾 性 係 数 はE

=σ/ε か ら求 あ れ ば よ い。 〔 解 き方 〕 式(1・1)

式(1・3)

式(1・6)

答(σ=100MPa,ε=4.86×10-2%, 

例 題1・22長

さ4m,直

径32  mmの

伸 び は い く らに な る か 。 た だ し,E=206 

E=206 

軟 鋼 棒 に80  kNの GPa*と

GPa)

引張 荷重 を加 え ると

す る。

〔考え 方 〕   伸 び は荷 重 と長 さ に比 例 し,断 面 積 と縦 弾 性係 数 に反 比 例 す る(式(1・ 8)参 照)。 〔解 き 方 〕   式(1・8)に,

を代 入 す る と,

* 

1GPa=10gPa=103MPa

答(λ=1.93mm)

〈メ ー トル単 位 での 計 算 も覚 え よ う〉 1Pa=1N/m2す

な わ ち,1Paと

は,面

積1m2当

れ て い る 。 こ の 定 義 に 素 直 に 当 て は ま る よ う,長 の単 位 を さ い(参

〔m2〕,力 の 単 位 を 考:〔

例 題1・22を

〔N/m2〕

例 題 〕1・4,1・5の

り １Ｎ の 応 力 と定 義 さ さの単位 を

〔 ｍ 〕,面 積

と して 計 算 で き る よ う に し て く だ

解 法 ２)。

こ の 方 法 で 解 く と, W=80×103〔N〕,l=4 

〔m〕,

E=206×109〔N/m2〕

〈参 考 〉  単 位 計 算 を覚 え よ う。

例題

1 ・ 23

図1・25の

よ う な 段 付 棒 に40kNの

引張 荷 重 が作 用 して い る。 こ の

と き ① の 部分 と ② の部 分 に生 ず る応 力 と全 体 の 伸 びを 求 め な さ い。 ただ し, E=206GPaと

す る。

図 1・25 〔 考え方〕

① の部 分 も② の部 分 も作 用 す る荷 重 は と もに 同 じで あ る。

① の部 分 の荷 重 ・応 力 ・断面 積 ・直 径 ・長 さ ・伸 び ・ひ ず み を W・

σ1・A1・d1・l1・

λ1・

ε1

② の 部 分 の荷 重 ・応 力 ・断面 積 ・直 径 ・長 さ ・伸 び ・ひず み を W・

σ2・A2・d2・l2・

λ2・

ε2

と す る と,

(１)応

 力

① の部分の応力

② の部分の応力

4W σ2= πd22 /

(２)全

体 の 伸 び   λ=λ1+λ2こ

〔 解 き方〕

(１)応

① の部分の応力

② の部分 の応力

(２) 全 体 の伸 び

力

れ に 式(1・8)を

利 用 す れ ば よ い。

=0

.144(mm)＊ 答(σ1=56.6MPa, 

例題

1.24

図1・26の

状 に 組 み 合 わ せ,そ き,棒

よ う に,同

の 両 端 を 厚 い 板 で 押 さ え,こ

An縦

mm)

一 長 さ の ２種 の 異 な っ た 棒 Ｍ と Ｎ を 同 心 円

Ｍ と Ｎ に 生 ず る 応 力 σm,σnお

Ｎ の 断 面 積 をAm, 

σ2=14.1MPa,λ=0.144 

れに圧縮 荷重 Ｗ を加 えた と

よ び 縮 み λ を 求 あ な さ い 。 た だ し,棒 Ｍ,

弾 性 係 数 をEm, 

Enと

し,両

端 の板 は変 形 しな い も の

と 仮 定 す る。

図1

〔 考 え方 〕

・26

(１)応 力 を 求 め る に は

 ① 棒 Ｍ とＮ の 内力 の和 は荷 重 に等 しい(Ｍ と Ｎで 荷 重 を 支 え るか ら)。 内 力M=σmAm,内

力N=σnAnで

あ るか ら,

σmAm+σnAn=W

 ②

(１)

次 に,両 端 に取 りつ け られ た厚 板 は変 形 しな いか ら,Ｍ と Ｎの 変形 量 あ る い は ひ

ず み は 同 じで あ る。 こ の こ とか ら εm=εn

＊  206GPa=206 

× 1O9Pa=206 

× 103×106Pa=206 

× 103MPa=206 

× 103N/mm2

(２)

こ こで,未 知 数 は σmと σnの 二 つ で あ るか ら,式(１)と(２)の 連 立 方 程 式 を 解 けば よ い。 (２)縮

みを求め るには

Ｍ とＮ の両 端 を 押 さえ て い る板 は変 形 しな いか ら,Ｍ,  Ｎの 変 形 量 は 同一 で あ る。

(３)

式(３)に式(１)お よ び式(２)で 求 め た σmま た は σnを代 入 して λを求 め れ ば よ い。 〔 解 き方 〕 棒 Ｍ,Ｎ

(１)応 力 を求 め る

に 生 ず る 内 力 の 和 は 荷 重 に 等 し く,ま

Ｎ の 恋 形 量 け 同 一 で あ る 。 この 一 つ の 条 件 σmAm十

σnAn=W

た 両 端 の 板 は 変 形 しな い こ と か ら Ｍ,

から (１)

εm=εn

(２)

式(２)か ら

これ を式(１)に代 入

同様 に

と な る。

(２)縮

み を求 め る

=σm

ゆえ に

λ

ま た は,

λ

/Em

lに(１)で 求 め た

=σn

例題

1・25

En /

=  lに

σn Am 

σm

= 

EnW/ Em+An 

EmW

を代入す ると

AmEm+AnEn /

を 代 入 して も同 じで あ る。 En

図1・27の よ うに ２種 の金 属 を組 み 合 わ せ た 円柱 が あ る。 内 側 は直

図 1 ・27

径100mmの

軟 鋼 柱 Ｓ,外 側 に は 外 径200mm,内

て あ る 。 両 端 を 変 形 し な い 厚 い 板 で 押 さ え,圧

径100  mmの

銅 円箇 Ｃ が は め

縮 荷 重50kNを

作 用 さ せ た と き,

各 柱 に 生 ず る 応 力 と ひ ず み を 求 め な さ い 。 た だ し,縦 206GPa銅

はEc=110 

GPaと

弾 性 係 数 を 軟 鋼 はEs=

す る。

〔 考え方〕

例 題1・24と

〔 解 き方〕

(１) 応 力 を 求 め る

同 じ

 軟 鋼 柱 Ｓお よ び銅 円筒 Ｃ の断 面 積 ・応 力 ・ひ ず み を そ れ ぞ れAs,Ac・

σs,σc・

εs,

εcと す る。 各 内 力 の和 は荷 重 に等 しく,ま た Ｓお よ び Ｃの 両 端 は 変 形 しな い 厚 い 板 で 押 さえ られ て い る た め,そ れ ぞ れ のひ ず み は等 しい。 これ ら二 っ の条 件 を 式 で表 す と, σsAs+σcAc=W

(１)

であるか ら

式(２)か ら

(２)

を 式(１)に代 入 して

同様 に

(３)

式(３)に   W=50×103N Es=206 

×  103MPa=206 

Ec=110×103 

を代 入 して,

MPa=110×103 

×  103 N/mm2 N/mm2

同様 に

(２)

ひずみを求める

数値 を代 入 し

答(σs=2.44MPa,σc=1.31 

例題

1 ・ 26

図1・28の

な い 位 置 か ら1/4回

よ う に ア ル ミ ニ ウ ム 管 Ａ に 軟 鋼 ボ ル トＢ を 通 し,遊 転 ナ ッ トを 締 め た と き,管

と 応 力 を 求 め な さ い。 た だ し,管 1200mm2,ボ

MPa,ε=1.19×10-3%)

よ び ボ ル トの 縦 弾 性 係 数 をEA=73 

Ａ と ボ ル トＢ に生 ず る変 形 量

の 初 め の長 さ はl=500mm,管

ル トの 断 面 積AB=450mm2,ボ GPa, 

びの

の 断 面 積AA=

ル ト の ピ ッ チP=3mm,管 EB=206 

GPaと

お

す る。

図1・28

ナ ッ トを締 め る と管 や ボ ル トは ど うな る か考 え て み よ う。 ナ ッ トを 締 め

〔 考え方〕

る こ と に よ り,管 は圧 縮荷 重 を受 け て縮 み,一 方 ボ ル トは管 か ら引 張 荷 重 を 受 け て 伸 び 1 る 。 管 の 縮 み を λA,ボ

等 し くな る か ら

ル トの 伸 び を λBと す る と, λAと

λBの 和 は

/4P

(ピ ッ チ)に

(１)

ま た,管 と ボ ル トは互 い に力 を及 ぼ しあ って い るの で,管 に働 く圧 縮 荷 重 と ボ ル トに働 く引 張 荷 重 の 大 き さ は等 し くな る。 この及 ぼ しあ って い る荷 重 を Ｗ,管 を ｌとす る と,伸 び の式(1・8)よ

の初 め の長 さ

り,

で あ るか ら (２)

式(１)と 式(２)か

ら λA,λBを

求 め,次

に

および に,先

に 求 め た λA,λBの

〔 解 き方 〕  

値 を代 入 す れ ば よ い。

(１) 変 形 量 を 求 め る

管 の 縮 み と ボ ル トの伸 び の和 は

λA+λB=

P /4

(ピ ッ チ)で

あ るか ら

P/ 4

(１)

縮みや伸 びは

よっ て (２)

式(２)よ り

λAを 式(１)に 代 入 す る と,

(３)

同様 に (４)

式(３),(４)にP=3mm,  EB=206×103 

(２)応

AA=1200mm2, 

N/mm2を

AB=450mm2, 

EA=73×103 

N/mm2,

代 入 す る と,

力 を求める

管 に 生 ず る 応 力:式(1・6)よ

り

ボ ル トに 生 ず る応 力:同 様 に

答(λA=0.386mm, 

(３)横

λB=0.364 

弾 性 係 数(modulus 

mm, 

of transverse 

σA=56.4 

MPa,σB=150 

MPa)

elasticity)

  せ ん 断 の 場 合 も,せ ん 断応 力 とせ ん 断 ひず み は比 例 す る。 この と き比 例 定 数 を Ｇ とす る と τ=Gγ=Ｇ

φ

せ ん 断 ひ ず み に つ い て は,p.23∼24を

∴Ｇ=

/τ

=τ

γ

/φ

参 照 し て く だ さ い。

(1・9)

の 式 が成 り立 ち,こ の比 例 定 数 Ｇ を横 弾性 係 数 と い う。 式(1・9)に

τ=W/A,γ=λs/l=φ

を 代 入 す る と次 の式 がで き る。

(1・10)

(1・11)

γ(ま

た は φ)=W

(1・12)

/AG

〈参 考 〉 (１)  こ れ ら の 式 を 縦 弾 性 係 数 の 式(P.29∼30の

式(1・6)∼(1・8))と

比

べ て み よ う。 ま っ た く 同 じ形 を し て い ま す ね 。 (２)  式(1・11)を     変 形 量(ず

言 葉 で 覚 え よ う。 れ)λSは

荷 重 Ｗ と高 さlに 比 例 し,断

面 積 Ａ と横 弾 性 係

数 Ｇ に 反 比 例 す る 。 こ れ も伸 び や 縮 み の 場 合 と 同 じ形 で す ね 。

表1・1 主な金属材料 の機械的性質

例題

断 面 積1000mm2の

1・27

材 料 に49kNの

ん 断 ひ ず み γ を 求 め な さ い 。 た だ し,G=79.4  〔 考え方〕

せ ん 断 荷 重 が 作 用 して い る。 せ GPaと

す る。

せ ん 断 応 力 τとせ ん 断 ひ ず み γは正 比 例 す る。 こ の と き の 比 例 定 数 Ｇが (式(1・12))と

横 弾 性 係 数 で あ るか ら τ=Gγ τ/

〔 解 き方 〕

式(1・12)

γ=

G

上 の 式 にW=49×103N,A=1000mm2, 

な る。

= AGW/ G=79.4×103MPa=79.4×103N/mm2を

代 入 して,

答(γ=6.17×10-4)

例 題1・28

図1・29の

よ う に,せ

重 が 作 用 し て,0.001の

ん 断 面30mm×20mmに48kNの

せん断 荷

ひ ず み を生 じた。 この 材 料 の 横 弾 性 係 数 を 求 め な さい。

図1・29

〔考 え 方 〕

式(1・9)の

よ うに,横 弾 性 係 数 は,せ ん 断 応 力 を せ ん 断 ひ ず み で 割 っ

た もの で あ るか ら

〔 解 き方 〕

上 の 式 にW=48×103N, 

A=30×20=600mm2,γ=0.001を

代 入 し,

答(G=80GPa)

(４)ポ

ア ソ ン 比(Poisson′s 

ratio)

  丸 棒 に 引張 荷 重 ま た は圧 縮 荷 重 を加 え る と,荷 重 の方 向 に伸 びや 縮 み を生 ず る。 ま た,同 時 に荷 重 と直 角 な方 向 に も縮 み や 伸 び を生 ず る。 す な わ ち,丸 棒 を 引張 る と細 く,圧 す る と太 くな る。 こ の と き,弾

性 限 度 内 で は,横

ひず み

ε′(荷重 と直 角方 向 の ひ ず み)と 縦 ひ ず み ε(荷 重 方 向 の ひ ず み)の

比 は一

定 値 と な り,こ れ を ポ ア ソ ン比 と い い ν(ニ ュー)ま ポ ア ソ ン比 の 逆 数(1/ν

ま た は ｍ)を

1

ν=

ε ′=

(δ:径

の 変 形 量,d:初

(λ:軸

方 向 の 変 形 量,〓:初

d/

σ /Eν=

ε ν=

∴δ=

δ d/

(σ=Eε

dσ/

め の 径)

め の 長 さ)

で あ る か ら)

(1・14)

Eν

直 径30mm,長 じ,同

(1・13)

λ ε=

が0.5mm生

ポ ア ソ ン数 と い う。

′/ε

δ

例 題1・29

示 す。 ま た

=ε

m/

ε ′=

た は1/mで

さ1mの

軟鋼 棒 に 引 張 荷重 を加 え た と こ ろ,伸

時 に 直 径 が0.005mm縮

ん だ。 この と き の ポ ア ソ ン比 と ポ

ア ソ ン数 を 求 め な さ い 。 〔考 え 方 〕 

ポ ア ソ ン比 と は,横

ε′=δ/d,ε=λ/〓

〔 解 き方 〕  

ひ ず み ε′と 縦 ひ ず み ε の 比 で あ る 。 ま た,

で あ る こ と に も注 目 しよ う。

ポ ア ソ ン比 は,

び

数値を代入 し

ポ ア ソ ン数m=3と

答

例題

直 径40mm,長

1・30

この と きの縦 ひ ず み,横 た だ し,E=110 

〔 考え方〕

さ1mの

黄 銅 棒 に60  kNの

(ν=

な る。

1/

m=3)

3,

引 張 荷 重 を加 え た 。

ひず み,軸 方 向 の伸 び お よ び径 の縮 み を求 め な さい。

GPa,ν=1/3と

す る。

縦 ひ ず み は ε=σ/Eか

る 。 ま た 伸 び は λ=ε〓,径

ら,横

の 縮 み δ=ε

ひ ず み は ε′=ν

εか ら 求 め る こ と が で き

′dから求 め ら れ る 。

〔解 き 方 〕

数値 を代入

 ε′ =ν

ε

=1 ×4.34 

×  10-4=1

/3

.45  × 10-4

λ=ε〓=4.34×10-4×103=4.34×10-1〔mm〕=0 δ=ε

答

.434〔mm〕

′d=1.45×10-4×40=0.0058〔mm〕 ε

(ε=4.34×10-4,

′

=1

.45×10-4

,λ=0.434mm, 

δ=0.0058 

mm)

(５) 弾 性 係 数 間 の 関 係 縦 弾性 係数E,横

弾 性 係 数G,ポ

E=2G

例 題1・31

ア ソ ン比 νの 間 に は次 の関 係 が あ る。

(1+ν)

硬 鋼(S50C)の

縦 弾 性 係 数 がE=206 

の と き,横 弾 性 係 数 Ｇを 求 め な さ い。 〔解 き 方 〕

式(1・15)よ

り

(1・15)

GPa,ポ

ア ソ ン比 が=0.3

数値を代入 し G=

206

=79

/2(1＋0.3)

.2〔GPa〕

答(G=79.2GPa)

問 題1・4

直 径30mm,長

の 伸 び λ,縦

さ1mの

ひ ず み ε,横

数 をE=206GPa,ポ

軟 鋼 棒 を60kNの

の 軸方 向

ひ ず み ε′,直 径 の 変 形 量 δ を 求 め な さ い 。 た だ し,縦

ア ソ ン 比 ν=1/3と

弾 性 係

す る。

答(λ=0.412mm,ε=4.12×10-4,ε

問 題1・5

力 で 引 っ張 る と き,棒

′=1.37×10-4,δ=4.11×10-3mm)

図1・30の よ うな 鋼 と銅 を組 み 合 わ せ た棒 に80kNの

の 縮 み を 求 め な さ い 。 た だ し,鋼,銅

の 縦 弾 性 係 数 をEs=206 

圧縮 荷重 を加 え た と き GPa, 

Ec=102 

GPaと

す る。

図1・30

答(λ=0.182mm)

問 題1・6

図1・31の

よ う に,せ

る 。 横 弾 性 係 数 をG=80GPa=80×103 

ん 断 面(55×12)に20 

kNの

MPa=80×103N/mm2と

せ ん 断 荷 重 が 作 用 して い す る と き,せ

ひず み γを求 め な さ い。

図1・31

答(3.79×10-4)

ん 断

問 題1・7

ア ル ミ ニ ウ ム の 縦 弾 性 係 数 がE=69GPa,ポ

ア ソ ン比 が υ=0

.34で あ る 。

この こ とか ら横 弾 性 係 数 Ｇの値 を求 め な さ い。 答    (G=26GPa)

問 題1・8

断 面 積250mm2,長

さ4mの

鋼 材 に25kNの

引 張 荷 重 を 加 え た ら1.94  mm

伸 び た 。縦 弾性 係 数 Ｅ の 値 を 求 め な さ い。 答(E=206GPa)

問 題1・9 れ に150kNの た だ し,縦

図1・32の よ うに,内 側 に軟 鋼 棒 を,外 側 に黄 銅 円 筒 を は め た 柱 が あ る。 こ 圧 縮 荷 重 を 加 え た と き,各 弾 性 係 数 を 軟 鋼 はEs=206 

柱 に 生 ず る 応 力,ひ

GPa,黄

銅 はEB=110 

ず み,縮 GPaと

み 量 を求 め な さ い 。 す る。

図1・32

答(

σs=29.4MPa, 

σb=15.7MPa, 

εs=εb=1.43×10-4,

λs=λb=5.72×10-2mm

1 3 ・

1・3・1

)

材料 の使用 範囲

許容応力と使用応力

  1・2・2節の応 力-ひ ず み 曲線(p.26)で る応 力 が生 じた場 合,材

述 べ た よ うに,材 料 に弾 性 限 度 を 超 え

料 に は永 久 ひず み が残 り使 用 に耐 え な くな る。 ま た材

料 に生 ず る応 力 が弾 性 限度 内 で あ って も,繰 返 し荷 重 や高 温 で長 時 間荷 重 が 作

用 す る場 合 は材 料 が変 形 した り破 壊 す る こ とが あ る。   さ らに,材 料 に穴 ・切欠 き ・段 な ど が あ る場 合 や荷 重 が衝 撃 的 に加 わ る場 合 は きわ め て 大 きな 応 力 が発 生 し危 険 で あ る。   そ こで,材 料 が 安 全 に使 用 され るた め には,材 質 ・荷 重 の加 わ り方,使 用 さ れ る環境， 材 料 の 形 状 な ど材 料 を使 用 す る上 の す べ て の条 件 を考 慮 し,生 ず る こ とを許 され る最 大 応 力 を保 証 す る こ とで あ る。 この 安全 を保 障 さ れ た応 力 を 許 容 応 力 と い い設 計 の 基礎 とな る もの で あ る。   図1・33は 軟 鋼 の場 合 の  使 用 応 力 ≦許 容 応 力＜ 弾 性 限 度   の関 係 を示 した もの で あ る。

図1・33

(１)許

容 応 力(allowable 

stress)

  許容 応 力 と は,材 料 の使 用 条 件 を 考 慮 の うえ 安 全 で あ る と考 え られ る最 大 応 力 で あ る。 記号 は σaや τaで 表 す。

  許 容 応 力 σa(τa)の

値 は,で

き るだ け実 際 の 使 用 状 況 に見 合 った 条 件 下 で

実 験 的 に 求 め る こ と が 望 ま し い が,一 (factor  of safety)で

割 っ て 求 め る。

般 に は 材 料 の 基 準 強 さ σFを 安 全 率S

許 容 応 力(σa)=

表 1・ 2

安 全 率 の 例(引

基 準 強 さ(σF) (1・16)

/安 全 率(Ｓ)

張 強 さを 基 準 強 さ と した と き)

(２)基 準強 さ の と り方   基 準 強 さ は,材 料 の 種 類 や 材 料 の使 用 条 件 か ら次 の よ うな選 び方 が あ る。   １)降 伏 点 を 選 ぶ 場 合:軟 鋼 や ア ル ミニ ウ ム合 金 の よ うな 延 性 材 料 に対 して は,降 伏 点 や 耐 力 を基 準 強 さ に選 ぶ 。   ２)極 限 強 さを 選 ぶ場 合:鋳 鉄 の よ うな ぜ い性 材 料 に 対 して は,引 張 強 さや 圧 縮 強 さな どの極 限 強 さが 選 ば れ る。  ３)疲

労 限度 を選 ぶ場 合:繰 返 し荷 重 が 加 わ る場 合 に は,疲 労 限 度 を 基 準 強

さに 選 ぶ。  ４)ク

リー プ限 度 を選 ぶ場 合:高

温 で 使 用 され る材 料 に は,基 準 強 さ と して

ク リー プ限度 が選 ば れ る。

例題

1・32

あ る部 品 を,引 張 強 さ420MPaの

材 料 を用 い て安 全 率 ５で 設 計 し

た い。 許 容 応 力 は どれ ほ ど か。 〔考 え 方 〕

式(1・16)を

参 考 に。

〔解 き 方 〕

式(1・16)よ

り

答 *  使 用 応 力(working

stress):材

料 に 実 際 に 生 ず る応 力 の こ と

(σa=84MPa)

例題1・33 

引 張 荷 重10kNが

作 用 す る丸 棒 の直 径 を 求 め な さい 。 た だ し,材

料 の 降伏 点(基 準 強 さ)を360MPa,安   〔 考え方〕   の 式A=W/σaを

全 率 を ３ とす る。

まず,基 準 強 さ と安 全 率 か ら許 容 応 力 を 求 め る。 次 に必 要 と す る 断 面 積 作 り,丸 棒 の 断面 積(π/4)d2がW/σaに

な る よ う に ｄを 算 出 す る。

〔 解 き方 〕

①

許容応力

②

直 径 を求 め る(丸 棒 の断 面 積=必 要 とす る断 面 積)か

ら,

答(直

表 1 ・3

〔注 〕 

径10.3mm)

鉄 鋼 の 許 容 応 力 〔MPa〕 (日 本 規 格 協 会 「機 械 シ ステ ム設 計 便 覧 」 よ り)

荷重 の 種 類 は,α:静

荷 重   ｂ:片 振 りの繰 返 し荷 重   ｃ:両 振 りの繰 返 し荷重

〈参 考 〉 １.疲 労(fatigue)―

―

人 の疲 れ と金 属 の疲 れ ― ―

わ れ わ れ は重 労働 を した ら短 時 間 で へ ば って しま う。 ま た軽 い作 業 で も長 時 間繰 り返 す と疲 労 して ダ ウ ン して しま う。 しか し,作 業 が軽 くな る につ れ て,ダ

ウ ンす る

まで の 時 間 が長 くな る。   金 属 材 料 も,人 と同 じよ う に,繰 返 し荷 重 を 受 け る場 合 は,材 料 に 生 ず る応 力 が 静 荷 重 の場 合 よ り低 い応 力 で あ って も悲 鳴 を あ げ て しま う。 しか し,荷 重 を ず っ と小 さ く し,生 ず る応 力 を 減 ら して い く と,あ る応 力 で 無 限 回 繰 り返 して も破 壊 しな くな る。 この と きの 応 力 を疲 労限 度 とい う。 疲 労 限 度(fatigue 

limit):い

図1・34 

く ら繰 り返 して も 破 壊 しな い 最 大 応 力

鋼 のS-N曲

線(機

械 工 学 便 覧 よ り)

  図1・34は応 力 Ｓ と繰 返 し数 Ｎ との 関 係 を 示 した 曲 線 でS-N曲 水 平 部 は無 限 回 の繰 返 しに耐 え る応 力 の 上 限 値 で,こ

線 とい い,

れが 疲 労限 度 で あ

る。 ２.ク リ ー プ(creep)―

―

あ め の 変 形 と 材 料 の 変 形――

 千 歳 あ め を硬 い もの にぶ つ け る と,瀬 戸 物 の よ う に割 れ る。 こ の よ うな あ め も静 か に曲 げ る よ うな 力 を 加 え る と,時 間 の経 過 に伴 って 曲 げが 進 行

す る。 こ の よ うに,材 料 に一 定 の大 きさ の応 力 を作 用 させ た と き,時 間 の 経 過 に伴 って変 形 が 増加 す る現象 を ク リー プ とい い,高 温 にな るに っ れ て ク リー プ は生 じや す く,そ の 程度 は大 き くな る。 そ こで,高 温 で 材料 を使 用 す る場 合 は ク リー プ を考 慮 し,ク リー プ限度 を基 準 強 さ に選 ぶ 。

  ク リ ー プ 限 度(creep  ク リー プ ひ ず み

limit):あ

を 生 じ さ せ る よ う な 応 力 を い う。

表1・4  ク ロ ム鋼 ・ク ロム鉄 の ク

〔備 考 〕 

る温度 で一 定時 間経 過後 一定 の

10000時 間 に1%の

ー プ限 度 の 例 〔MPa〕   (機 械 工 学 便 覧 よ り)

ク リー プ ひず み を 生 ず る応 力

例 題1・34  引 張 りと圧 縮 の 繰 返 し荷 重 を 受 け る軟 鋼 棒 が あ る。 疲 労 限 度 を160 MPa,安

全 率 を ６ と した と き許 容 応 力 を求 め な さ い。

〔 考え方〕   許 容 応 力=基 準 強 さ/安 全 率 〔 解 き方 〕

答

例 題1・35図1・35の

よ う に,内

径D=500mmの

(σa=26.7MPa)

容 器 にP=2MPaの

圧 力

の ガ ス を 封 入 した い 。 容 器 の ふ た を ８本 の ボ ル トで 締 め 付 け る に は ボ ル トの 谷 の 径 ｄ を い く ら 以 上 に し た ら よ い か 。 た だ し,ボ MPaと

ル ト材 の 許 容 応 力 を σa=60

す る。

な お,ボ

ル ト を 締 め る と き の ね じ り荷 重 は 無 視 す る 。 ま た ８本 の ボ ル トに は

均 等 に引 張 荷 重 が 作 用 す る もの とす る。

図 1・35

〔 考え方〕

①

まず,ふ た に加 わ る全 圧 力W0を

求 め る。

②

１本 の ボ ル トが 受 け持 っ 荷 重 Ｗ を 求 め る。(W=W0/8)

③

１本 の ボ ル トが受 け持 っ 荷 重 Ｗ と許 容 応 力 か ら,必 要 とす る ボル トの 断 面 積 の 式

を 作 る(A=W/σa) ④

ボ ル トの谷 の径 が 作 る円 の 面 積(π/4)d2が,必

要 とす る断面 積W/σaに

な るよ

うに 谷 の 径 ｄ を算 出す れ ば よ い。 〔 解 き方 〕

①

ふ た に加 わ る全 圧 力W0は(圧

②

１本 の ボ ル トが受 け持 っ 荷 重 は

③

必 要 とす る ボ ル トの断 面 積

④

W/σa

A=

力 ×受 圧 面 積)で あ るか ら,

ボ ル トの谷 の径

ボ ル トの断 面 積=必 要 とす る断 面 積 で あ るか ら

答(谷

の径 が32.3mm以

上 あ る ボ ル トを使 用 す る。)

  〔 備考〕  

メ ー トル並 目 ね じで は,M39(優

先 順位 ・第 ２欄)と な る。  ま た せ ん 断

に対 す る太 さ の計 算 は,せ ん断 面 が ね じ部 にな らな い よ う にす るた め,外 径 が 直 ち に求 め られ る。

問 題1・10  W=20kNの

引 張 荷 重 が 作 用 す る軟鋼 丸 棒 の 許 容 応 力 を σa=60 MPaと

す

る と き,棒 の直 径 を い く らに した らよ いか 。

答

問題1・11  直 径25mm,引

張 強 さ410 MPaの

軟 鋼 棒 に33.7kNの

(20.6mm)

引張荷 重が作 用 し

て い る。 こ の と き安 全 率 は どれ ほ ど に して あ るか。 答(安

応 力

集

1・ 3・

2

(１)

応 力 集 中(stress 

全 率=６)

中 concentration)

  い ま まで,応 力 を σ=W/Aで

計 算 して き た。 これ は断 面 が一 様 な 材 料 に 荷

重 を 作 用 させ た場 合 で,そ の 断 面 に生 ず る応 力 が 一 様 に な るか らで あ る。 と こ ろが 図1・36の よ うに,棒 や板 に溝 や切 欠 き,穴 が あ いて い る場 合,応 力 は溝, 切欠 き,穴 の 周 囲 で 局 部 的 に増 大 す る。 この 現 象 を 応 力 集 中 と い う。

図1・36  応 力 集 中 の 状 態

 材 料 は応 力 集 中 に よ って亀 裂 を生 じ破 壊 を 起 こ しや す くな る。 応 力 集 中 の 度 合 い は溝 の 半 径 が 小 さ い ほ ど,切 欠 きが 鋭 い ほ ど,段 付 棒 で は段 の半 径 が 小 さ い ほど大 き くな る。 設 計 に当 た って は,以 上 の こ とを 考 え て 大 き な応 力 集 中 が

起 き な い よ う注 意 しな け れ ば な らな い。

(２)形

状 係 数(form 

factor)

 最 大 応 力 を最 小 断 面 積 の平 均 応 力 で 割 っ た値 を形 状 係 数(応 力 集 中 係 数)と い う。

形 状 係 数 αk=

  材 料 は,σmaxが あ る材 料

最大応力/ 平均応力=

σmax

(1.17)

/σn

材 料 の 極 限 強 さ を 超 す と 破 壊 す る の で,溝,切

欠 き,穴

の

の 寸 法 を 決 め る に は σmaxが 許 容 応 力 の 範 囲 内 に な る よ う に し な け れ

ば な ら な い。 図1・37は,帯

板 に穴 を あ けた 場 合 お よ び丸 棒 に丸 溝 を 設 け た場 合

の 形 状 係 数 の 実 験 値 で,こ

れ らの デ ー タ を 利 用 して σmaxを 求 め る。

円孔 を持 つ帯板 の場 合

丸溝 を持 つ丸棒 の場 合

図1・37  形 状 係 数 実 験 値(機

械 工 学 便 覧 よ り)

  〈参 考 〉  段 付 帯 板,段 付 丸 棒,溝 付 帯 板 な どの形 状係 数 の実 験 値 に つ い て は,機 械 工 学 便 覧 や 本 シ リー ズ 「機 械 設 計 考 え方 ・解 き方 Ｉ」 を参 考 に して ほ しい。

例 国1・36幅50mm,厚 板 に10kNの

さ10mmの

板 の 中 央 に 直 径20mmの

穴 が あ る。 こ の

引 張 荷 重 が 加 わ る と き,応 力 集 中 に よ る 最 大 応 力 σmaxを求 め な さ い。

〔 考え方〕 ②

①

ま ず 図1・37よ

式(1・17),σmax=αkσ

〔 解き方〕 図1・37よ

り,形

状 係 数 αkを 見 っ け る 。

ｎよ り σmaxを

求 め る 。

d/D=20/50=0.4

り αk=2.25を

得 る 。

平 均応 力応力

最 大 応 力     σmax=αkσn=2.25×33.3=74.9〔MPa〕 答(σmax=74.9MPa)

問題

1・12

図1・38の

よ う に 幅100mm,厚

あ て い る。 この板 に12kNの

さ6.4  mmの

板 の 中 央 に 直 径25mmの

穴が

引 張荷 重 が加 わ る と き,応 力 集 中 に よ る最 大 応 力 σmaxを求

め な さ い。

図1・38

答(σmax=60.5MPa)

問題

1.13

図1・39の

よ う に,直

て あ る。 こ の棒 に36kNの

径D=25mmの

丸 棒 に 半 径r=2mmの

丸 溝が付 け

引張 荷 重 を加 え た と き,応 力 集 中 に よ る最 大 応 力 を求 め な さ

い。

図1・39

答(σmax=239MPa)

1 4 ・

1・4・1熱

応 力(thermal 

熱

応

力

stress)

 熱 応 力 は,温 度 変 化 に伴 う材 料 の 自由膨 張 お よ び 自 由収 縮 が妨 げ られ て 生 ず る応 力 で あ る。

例題

金 属 棒 を 熱 しあ る い は冷 した ら長 さは ど の よ うに変 化 す るか 。

1・37

〔 解 き方 〕

一般 に

,金 属 材 料 は温 度 が 上 昇 す る と膨 張 し,温 度 が 下 が る と収縮 す る。

よ っ て加 熱 す れ ば 長 く,冷 却 す れ ば短 くな る。

例題 1.38 り,あ

棒 の両 端 を伸 び縮 み で きな いよ うに他 の物 に 固 定 し,棒 を 熱 した

る い は 冷 した り す る と,棒

〔 解 き方 〕

に は ど の よ うな応 力 が 生 ず るか 。

本来 な らば 自 由膨 張 や 自由 収 縮 が 起 き る。 しか し両 端 が固 定 さ れ て い る

た め,こ れ らの変 形 が妨 げ られ る。 そ こで,加 熱 の場 合 は妨 げ られ た膨 張 に 相 当 す る圧 縮 荷 重 を受 け る こ とに な り,当 然 材 料 に は圧 縮 応 力 を生 ず る。 ま た冷 却 の場 合 は収 縮 が 妨 げ られ,材 料 は妨 げ られ た収 縮 量 に相 当 す る引 張 荷 重 を 受 け)引 張 応 力 を 生 ず る。

1・4・2

腺 膨 張 係 数(coefficient 

  1K*(1℃)の

of  linear  expansion)

温 度 変 化 につ いて の 伸 び や縮 み の 割 合 を 線 膨 張 係 数 と

い う。 一 般 に αで表 す。

*  Ｋ(ケ

ル ビ ン)は 絶 対 温 度 を示 す 記 号 で,0Kと

物 理 上最 低 の 温 度 で あ る。 摂 氏(℃)と 1℃ で あ る。

は す べ て の 原 子 の 運 動 が 停 止 す る と考 え られ る

の 関 係 は,0Kは-273℃,273Kは0℃,温

度 差1Kは

例 題1・39長

さ1ｍ

の 棒 を 温 度 を1Ｋ(1℃)上

げ た ら0.011mmの

伸 びを生

じた。 もとの 長 さ に対 す る伸 び の割 合 を 求 め な さい。 〔 解 き方 〕

割合

=1Ｋ当 りの 伸 び

=0.011/

初めの長 さ/

1000=

α

す な わ ち1Ｋ(1℃)当

11.0×10-6/K

りの 熱 ひず み を 線 膨張 係 数 とい う。

表1・5  金 属 材 料 の 線 膨 張係 数 の一 例(機

例 題1・40長

さ1000mm,線

答(11.0×10-6/Ｋ)

械 工 学 便 覧 か ら)

膨 張 係 数11.5×10-6/℃

の 棒 を 加 熱 し,温

度 を80

℃ 上 昇 させ た。 この と きの 伸 びを 求 め な さい。 〔考 え 方 〕 

例 題1・39か

ら

1℃ 当 りの伸 び=(線

膨 張 係 数)×(初

め の長 さ)

⊿t℃ の温 度 変 化 に よ る伸 び λ =(1℃ =(線 〔 解 き方〕  

当 りの 伸 び)×(温 膨 張 係 数 α)×(初

度 変 化 ⊿t） め の長 さ 〓)×(温

温度 変 化 に よ る伸 び =(線 =11

膨 張 係 数)×(初

め の 長 さ)×(温

度 変 化)

.5×10-6×1000×80=0.92〔mm〕 答(伸

例 題1・41長

度 変 化 ⊿t)

さ〓,線 膨 張 係 数 α,の

棒 に ⊿tの

び=0.92mm)

温 度 変 化 を 与 え た。 こ の と き

の 変 形 量 の式 を作 りな さい。 〔 考え方〕   例 題1・40か ら

温度変化 による長 さの変形量 =(線

膨 張 係 数)×(初

め の 長 さ)×(温

度 変 化)

〔 解 き方 〕   考 え方 に よ り λ=α〓

1・4・3熱

⊿t

応 力 と熱 ひ ず み

例 題1・42図1・40の

よ う に 両 端 を 他 に 固 定 し た 長 さ〓 の 棒 の 温 度 をt〔 ℃ 〕

か らt′ 〔 ℃〕 に下 げ た。 次 の 各 問 に答 え な さい。

固 定 した と き

自由 の と き 図1・40

①

棒 の 受 け る荷 重 は,引

張 り か,圧

②

両 端 固 定 の た め に妨 げ られ た変 形 量 は どれ ほ どか 。

③

こ の と き生 ず る ひ ず み は ど れ ほ ど か 。

④

こ の と き生 ず る応 力 は ど れ ほ ど か 。

  〔 考え方〕   ① につ い て は例 題1・38を,② ε=λ/〓,④   〔 解 き方 〕 る と,t′

に つ い て は σ=εEを ①

縮か。

につ いて は例 題1・40,41を,③

につ いて は

利 用 しよ う。

両 端 を固 定 さ れ て い る た め,縮 む こ とが で き な い。 考 え 方 を 逆 に す

〔 ℃ 〕 に お い て長 さ〓′ の棒 を無 理 に λだ け引 張 って〓 に した状 態 で あ る と み な

す こ とが で き る。 よ って 引張 荷 重 を受 け た こと に な る。  ②

例 題1・41か ら

λ=a〓 ⊿t

λ=〓-〓′

 =α〓(t-t′)

(1・18)

③

ひ ず み εは,温 度t′ 〔 ℃ 〕 に お い て,長 さ〓′の 棒 を 引 張 っ て〓 に した と 考 え られ

る こ とか ら,

と こ ろ が  〓′=〓-λ≒〓

  で あ る か ら,

(1・19)

④

応 力 は σ=εEよ

り

σ=α(t-t′)E

〔注 〕 

計 算 結 果 が(正)の

(1・20)

と き は 引 張 り を 受 け,(負)の

の こ と を 式(1・18,1・19,1・20)の

例 題1・43  -2℃

中 の(t-t′)に

と きは圧 縮 を 受 け る 。 こ

つ い て 考 え て み よ う。

で 固 定 さ れ た直 径30mmの

鋼 棒 が 夏32℃ に 暖 め られ た。

この と き生 ず る応 力 お よ び棒 が 壁 面 を 押 す 力 を 求 め な さい。 た だ し,E=206GPa,α=11.5×10-6/℃

〔考 え 方〕 ②

①

と す る。

熱 応 力 は式(1・20)よ り求 め られ る。

壁 面 を押 す 力 は,熱 応 力 に鋼 棒 の 断 面 積 を掛 け れ ば よ い。

〔 解 き 方〕

①

応力 σは

σ=α(t-t′)E=11.5×10-6×(-2-32)×206×103 =-80

②

.5〔N/mm2〕=-80.5〔MPa〕

  (圧 縮 応 力)

壁面 を押す力 Ｗ は

(圧 縮 荷 重) 答(σ=-80.5MPa圧

例 題1・44気

温0℃

の と き,長

さ1ｍ

縮 応 力,  W=-56.9kN圧

の 材 料 を 図1・41の

縮 荷 重)

よ う に 先 端 と壁 面

と の 間 に1mmの

す き 間 を 設 け て 取 り付 け た 。 温 度 が100℃

に な っ た と き,こ

の 材 料 に 生 ず る 圧 縮 応 力 は ど れ ほ ど か 。 た だ し,α=11.5×10-6/℃,E=206 GPaと

す る。

図1・41

〔 考 え方 〕  

自由膨 張1mmに

相 当 す る温 度 を求 め,次 に,こ の 温 度 か ら100℃ ま で

の温 度 差 で 熱応 力 が 生 ず る。 〔解 き 方 〕  

自 由 に1mm伸

び る の に 必 要 な 温 度 は,λ=α(t′-t)〓

か ら,

この温 度 か ら,100℃ ま で13℃ に 相 当 す る熱応 力 が生 ず る か ら, σ=Eα(t-t′) =206×103×11 =-206×11

.5×10-6×(87-100) .5×10-3×13

=-30.8〔N/mm2〕=-30

例 題1・45 

.8〔MPa〕

２枚 の 厚 い 銅 板 を 鋼 製 の ボ ル トで10℃

を 上 げ た と き,ボ

  (圧 縮 応 力) 答(30.8MPa圧

縮 応 力)

で 締 め 付 け,30℃

まで温 度

ル トに 生 ず る熱 応 力 を 求 め な さ い 。 た だ し,銅 板 に は ボ ル ト

か ら の 圧 縮 力 に よ る ひ ず み を 生 じ な い もの と す る。 ま た,鋼 係 数 を αs=11.5×10-6/℃,αc=17.6×10-6/℃,縦 Ec=117GPaと 〔 考 え方 〕

お よ び銅 の 線 膨 張

弾 性 係 数 をEs=206GPa,

して計 算 しな さい。 ①

銅 の 方 が 線 膨 張 係 数 が 大 き く,ま た銅 板 は ボル トか ら の 力 に よ る ひ

ず み は生 じな い と仮 定 して い るか ら,ボ ル トに生 ず るひ ず み は銅 板 に よ っ て 伸 ば さ れ た 結 果 に よ る。

図1・42

 ②

ボ ル トに 生 ず る ひ ず み ε は,銅

板 の 熱 に よ る 伸 び と ボ ル トの 熱 に よ る 伸 び の 差 に

相 当 す る ひ ず み で あ る と 考 え る こ と が で き る。 な お,伸  ③

応 力 σは 〔解 き 方 〕 

び は λ=α〓

⊿t=α〓(t′-t)。

σ=εEs 銅 の 伸 び は λc=αc(t′-t)〓

鋼 の 伸 び は   λs=αs(t′-t)〓 伸 び の 差 は  

λc-λs=αc(t′-t)〓-αs(t′-t)〓 =(αc-αs)(t′-t)〓

ボ ル トに生 ず るひ ず み εは 〔 考 え方 〕 ② に よ り

ボ ル トに生 ず る応 力 σは σ=εEs=(αc-αs)(t′-t)Es =(17

=25

.6-11.5) 

×10-6×(30-10) 

.1〔N/mm2〕=25.1〔MPa〕 答  

例 題1・46図1・43の に 入 れ,温

度tで

×206×103

  (引 張 り)

(ボ ル トに 生 じ る 応 力25.1MPa引

よ う に,断 面 積Asの

軟 鋼 製 ボ ル トを 断 面 積Acの

ナ ッ トが 管 に 軽 く接 触 す る 程 度 に 締 め 付 け,そ

に 熱 した 。 ボ ル トお よ び 銅 管 に 生 ず る 応 力(σsお た だ し,線 膨 張 係 数 を,鋼 る。 ま た,Es＞Ec,αs＜

は αs,銅

は αc,縦

αcで あ る。

よ び σc)を

張 り)

銅管

の 後 温 度 をt 求 め な さい。

弾 性 係 数 を 鋼 はEs,銅Ecと

す

図 1・43

〔 考 え方 〕

①  ボ ル トの伸 び と管 の伸 びが 等 しい こと に注 目せ よ。 ま た,伸

びの 内

容 に つ い て調 べ る と, ボ ル トの 伸 び=(ボ 管 の 伸 び=(管

ル トの 自 由膨 張 量 λs)+(強

の 自由膨 張 量 λc)-(強

制 引張 量 λs′)

制 圧 縮 量 λc′)

の 関係 に あ る。 ②  ボ ル トに加 わ る引張 力 と管 に加 わ る圧 縮 力 の大 き さ は等 しい。 ①,②

か ら,そ れ

ぞ れ の関 係 式 を作 り解 け ば よ い。 〔 解 き方 〕  

(式 を順 に追 って み る こ と)

○ ボ ル トの伸 び=管 の伸 び 〓(〔 考 え方 〕 ① を参 照)の 関 係 か ら, λs+λs′=λc-λc′

(１)

各 自 由伸 び は, λs=αs(t′-t)〓 λc=αc(t′-t)〓

}

(２) σ/E

強制 引張 量 お よ び圧 縮 量 は,式(1・8)の

λ=

〓 よ り,

(３)

式(１)に式(２),(３)を代 入 し て,

両 辺 を 〓で割 り, (４)

○ ボ ル トに加 わ る 引張 荷 重 と管 に加 わ る圧 縮 荷 重 は互 いに及 ぼ しあ って い る の で 等 し い こ と か ら, σsAs=σcAc

(５)

式(５)を式(４)に代 入

移 項 して,

ま た 式(５)に σsの 結 果 を 代 入 す る と,

問 題1・14 

鉄 道 用 ロ ン グ レ ー ル を 気 温25℃

の と き 敷 設 し た 。 気 温 が-10℃

と き に 発 生 す る 熱 応 力 は ど れ ほ ど か 。 た だ し,レ 縦 弾 性 係 数 をE=206GPaと

す る 。 ま た,レ

に降下 す る

ー ル の 線 膨 張 係 数 をα=11.2×10-6/℃,

ー ル は気 温 の 変化 に よ って 伸 縮 で き な い 状

態 にお か れて い る とす る。 答    (80.8MPa)

問題1・15  外 径165.2mm,厚

さ ５mm,長

さ27.5ｍ の 配管 用 炭 素 鋼 管 を 気 温15℃ の

と き に配 管 工 事 を行 った。 これ に230℃ の蒸 気 を通 す た め に は,ど れ ほ どの伸 び を 吸収 す る よ う に工 夫 しな け れ ば な らな いか 。 ま た,も し管 の 両 端 を完 全 に 固 定 した ら,発 生 す る熱 応 力 と管 の固 定 部 を押 す 力 は どれ ほ ど に な るか。 た だ し,線 膨 張 係 数 を α=11.2× 10-6/℃,縦

弾 性 係 数 をE=206GPaと

す る。

答(

λ=66.2mm,σ=-496MPa(圧 W=-1.25MN(圧

縮) 縮)

)

1・5  内 圧 を 受 け る 円 筒 と 球

1・5・1  薄 肉 円 筒

と 球

薄 肉 円 筒 とは,板 厚 が 内径 の約12％ 以 下 あ る い は外 径 の約10％

以 下 の 円筒

を 一 般 に薄 肉 円筒 と い う。

例 題1・47  p〔MPa〕

図1・44(ａ)の

よ う に,内

径 Ｄ,内

側 の 長 さ 〓の 圧 力 容 器 に,圧

の ガ ス が 封 入 さ れ て い る。 こ の と き,容 器 を 図(ｂ)の

直 角 方 向 に 破 壊 し よ う と す る 力 Ｗ を 求 め な さ い 。 た だ し,長

よ う に,軸

力 と

さ の 単 位 はmm

と す る。 〔 考 え方 〕  

この 力 は,図(ｃ)の

よ うな長 方 形 の面 積D〓 に圧 力 ｐ が 垂 直 に作 用 した

場 合 と同 じで あ る。 〔 解 き方 〕   力 は,(圧 力)×(受

圧 面 積)で

あ るか ら,

W=pD〓

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図 1・44

例 題1・48 

図1・44(ｂ)の

仮 想 破 断 面 に生 ず る応 力 を 求 め な さい。

〔 考 え方 〕   軸 と直 角方 向 に破 壊 しよ う とす る力W=pD〓 A=2t〓

で あ る。 た だ し ｔは板 厚,ｐ

を受 け る 断 面 の 面 積 は,

は圧 力 〔MPa〕 。

〔 解 き方 〕

(1・21)

この 応 力 を フー プ応 力 と い う。

例 題1・49 

図1・45に

す る全 圧 力)お

お い て,軸

方 向 に 破 壊 し よ う と す る 力 Ｗ(鏡

板*に 作 用

よ び 軸 方 向 の 応 力 σtを 求 あ な さ い。 た だ し,圧 力 はp〔MPa〕

と す る。

図 1・45

〔 考え方〕   軸 方 向 に破 壊 しよ う とす る力 は,鏡 板(両 端 の板)に

作 用 す る全 圧 力 で

あ る。 また,こ の力 を受 け る断 面 は,図 の よ う に 円筒 が 作 る リ ン グ状 の 断 面 で そ の 面 積 は お よ そ πDtで

あ る。

〔 解 き方〕

全圧 力

応

力

こ こ で,内 圧 を受 け る薄 肉 円筒 にっ い て整 理 す る と,次 の よ うに な る。

*  鏡 板:タ

ン クや ボ イ ラ な どの 両 端 の板 の こと。

円筒 に働 くフ ー プ応 力 は,

縦 方 向 の応 力 は,

(フ ー プ応 力 の半 分)

したが って,内 圧 を 受 け る薄 肉 円 筒 の 強 さや 板 厚 の 計 算 に は,フ ー プ応 力 の 式 を 用 い る。

例 題1・50内

径1000mmの

薄 肉 円 筒 に ２MPaの

い く ら に した らよ い か 。 た だ し,許 容 応 力 を80MPa 〔 考 え 方〕  

ガ ス を封 入 す る に は 板 厚 を ,継 手 の 効 率 は無 視 す る。

フー プ 応力 は縦 方 向 の 応 力 の ２倍 で あ るか ら,フ ー プ 応 力 か ら計 算 した

板 厚 は,縦 方 向 に対 して も安 全 で あ る。 〔 解 き方 〕 より

＜ 参 考 ＞   JIS B8243に

よ る と,30MPa以

下 の 内圧 を受 け る薄 肉 円筒 の 板 厚 は 次 の 式

を用 い る。

た だ し,Ｄ:内 率,Ｃ:腐

径

〔mm〕,ｐ:圧

れ し ろ,１mm以

力

〔MPa〕,σa:許

容応力

〔MPa〕

,η:継

手 効

上 で あ る。

この 式 を用 いて 例 題1・50を 解 くと

例 題1・51 

肉 径600mm,板

厚10mmの

円 筒 の 許 容 応 力 を40MPaと

こ の 円 筒 に 加 え る こ と の で き る 内 圧 は ど れ ほ ど か 。 継 手 効 率 を80％ 〔 考 え方 〕  

フー プ応 力 の 式 を 用 いて 解 く。

〔 解 き方 〕  

フー プ応 力 の 式 に継 手 の 効 率 を 考 慮 す る と,

す る と, と す る。

答

例 題1・52内

圧 ２MPa,内

径500mmの

た だ し,許 容 応 力 を80MPa,継

円 筒 の 板 厚 は い く ら に した ら よ い か 。

手 の 効 率 を70%と

す る。

〔 考 え 方〕  

フ ー プ応 力 の 式 に継 手 の 効 率 を 考 慮 す る。

〔 解 き 方〕 

フ ー プ応 力 の 式   σ=pD/2tη

  より

答

例 題1・53図1・46の

よ う に,直

(p=1.07MPa)

(t=8.93mm)

径 を 含 む 面 で 球 を 割 ろ う と す る 力 Ｗ,お

材 料 に 生 ず る 引 張 応 力 σ を 求 め な さ い。 た だ し,内 圧 を ｐ 〔MPa〕

よ び

と す る。

図1・46

〔 考 え 方〕  

球 を 図 の よ う に破 壊 しよ う とす る全 圧 力 は,直

径 Ｄ な る円の面 積 に作

用 す る全 圧 力 で あ る。 ま た こ の全 圧 力 を 受 け る断 面 は リン グ状 断 面 で そ の 面 積 は お よ そ πDtで

あ る。

〔 解 き 方〕

全圧力 

W=P・π/4D2

この力 を受 け る面 積 は,球 の厚 さを ｔとす る と  A=πDt

応力

例 題1・54 

 (1・22)

内 径400mmで

内 圧 ２MPaを

た だ し,許 容 応 力 を60MPaと

受 け る薄 肉球 の 肉厚 を求 あ な さ い 。

す る。

〔考 え 方 〕 

式(1・22)か

ら簡単 に 求 め られ る。

〔 解 き方 〕

式(1・22)か

ら

答

1・5・2

内圧 を 受 け る厚 肉 円管

  こ こ で は,式   一 般 に,フ 内半径

(t=3.33mm)

の 説 明 は 難 し い の で,使

い方 だ け を 覚 え て ほ し い 。

ー プ 応 力 を 求 め る 式 は 次 の と お り で あ る 。 ｐ:内 圧

〔mm〕,r2:外

半径

〔mm〕,ｒ:任

り ｒの 距 離 に あ る 点 の フ ー プ 応 力

意 の点 の半 径

〔MPa〕,σ1:内

す る と,

図1・47

〔MPa〕,r1:

〔mm〕,σt:中

壁 の フ ー プ応 力

心 よ

〔MPa〕

と

(1・23)

こ の 式 か らわ か る よ う に,r=r1(ｒ

が 最 小)の

と き,す

な わ ち内壁 で フ ー

プ応 力 は最 大 と な る。

内 壁 の フ ー プ 応 力 は 式(1・23)にr=r1を

代入 し

(1・24)

ま た,外

半 径r2と

内 半 径r1と

の 関 係 は,式(1・24)を

変 形 し次 の よ う に な る。

(1・25)

例 題1・55内

径600mm,外

径800mmの

厚 肉 円 筒 に 圧 力5MPaの

ガ ス を封

入 す る と 最 大 フ ー プ 応 力 は い く らか 。 〔 考 え方 〕  

最 大 フ ー プ応 力 は,内 壁 に 生 ず るの で式(1・24)を 用 い る。

〔 解 き方 〕

答

例 題1・56内

径120mmの

円 筒 に 圧 力10MPaの

ガ ス を 封 入 した い。 厚 内 円

筒 の 板 厚 を い く ら に す れ ば よ い か 。 た だ し,許 容 応 力 を20MPaと 〔 考え方〕  

(σ1=17.9MPa)

す る。

最 大 フー プ応 力 が許 容 応 力 を超 え な い よ う に 円筒 の外 半 径 を 求 め,板 厚

を 算 出す る。 そ の た め式(1・25)の σ1に許 容 応 力 の 値20MPaを

代 入 す る。

〔 解 き方 〕

板厚  答

例 題1・57内 る か,た

径100mm,外

径120mmの

だ し許 容 応 力 を80MPaと

〔 考 え方 〕  

管 は,ど

 (板 厚=43.9mm)

れ ほ ど の 内圧 に耐 え られ

す る。

最 大 フ ー プ応 力 が許 容 応 力 を超 えて は な らな い の で,式(1・24)の σ1に 許

容 応 力 を代 入 し,圧 力 ｐ を 計 算 す る。 〔 解 き 方 〕 

式(1・24)よ

り ｐ の式 を 導 く と

答(内

問 題1・16  直 径1.2ｍ の ボ イ ラ胴 の 内部 に1.6MPaの

蒸 気 圧 が か か る と き,板 の 厚 さ

を ど れ ほ どに した ら よ いか 。 ただ し,材 料 の許 容 応 力 を80MPa,溶 90%と

圧=14.4MPa)

接 継 手 の効 率 を η=

す る。 答(板

問 題1・17直

径100mmの

軸 に 厚 さ10mmの

図1・48

厚=13.3mm)

リ ン グを 焼 ば め し た い 。 リ ン グ に 生 ず

る引 張 応 力 を σ=30MPaに

す る に は,リ ン グの 内径 を軸 径 よ り い く ら小 さ く加 工 す れ ば

よ い か。 た だ し,リ ング の縦 弾 性 係 数 をE=206GPaと

し,軸 自体 は焼 ば め に よ って 変

形 しな い もの とす る。   ま た,焼 ば め後 に リ ング の 内面 が 受 け る圧 力 ｐ 〔MPa〕 を求 め な さ い。 答(小

さ く す る 量=0.0146mm,圧

力=6MPa)

２

弾 性 エネ ル ギ 2・1弾

2・1・1弾

性 エ ネ ル ギ(elastic 

energy)と

性 エ ネ ル ギ

は

  材 料 に外 力 を加 え 変 形 さ せ る と,外 力 も材 料 の変 形 に と もな って 移 動 す るか ら,外 力 は材料 に対 して 仕事 を した こと に な る。 こ の外 力 に よ る仕 事 は,材 料 の変 形 に と もな い材 料 内 に エ ネ ル ギ と して 蓄 え られ る。 こ の エ ネ ル ギ をひ ず み エ ネ ル ギ とい う。  変 形 が 弾 性 変 形 の範 囲 内 で は,外 力 を除 くと吸 収 した エ ネ ル ギ を 全 部 放 出 す る。 この よ う な場 合 の ひず み エ ネル ギ を 弾性 ひ ず み エ ネ ル ギ また は弾 性 エ ネ ル ギ と い う。   ま た,材 料 が 降伏 す るま で に,単 位 体積 内 に蓄 え た エ ネ ル ギ を 最 大 弾 性 ひず み エネ ル ギ と い う。

2・1・2弾 (１)弾

性 エネルギの計算

性 エ ネ ル ギ の単 位

  (仕 事)=(エ

ネ ル ギ)で

あ る か ら仕 事 と エ ネ ル ギ の 単 位 は 同 じ で あ る。

１Ｎ の 力 が 働 い て,１ ｍ の 距 離 を 移 動 し た と き の 仕 事 を １J(ジ

ュ ー ル:Joule)

と い う。

1〔J〕=1〔N・m〕=103〔N・mm〕

弾性エネルギの計算

(２)

例 題2・1長

さ 〓 〔ｍ〕 の 材 料 に,Ｗ

〔Ｎ 〕の 引 張 荷 重 を 加 え た と こ ろ,λ

〔ｍ 〕

の 伸 び を 生 じた 。 こ の と き,外 力 の した 仕 事 量 Ｑ を 求 め な さ い 。 た だ し,Ｗ は 弾性 変 形 の範 囲 内 の荷 重 とす る。 〔 考 え方 〕  ②

①

仕 事 量 は力 と変 形 量 の 積 で あ る。

力 の加 わ り方 に注 意 しよ う。 力 は伸 び に比 例 し増 加 を し,最 終 的 に Ｗ の力 に な り,

全 体 の伸 び が λ とな る。  ③

① と② の こ とか ら,仕 事 量 Ｑ は図2・1の △AOλ

の面 積 で 表 され る。

図 2 ・1

〔 解き方〕

仕 事量=△AOλ

Q=

1 /2W

λ

の面 積

〔J〕

(2・1)

例 題2・2例

題2・1で,材

料 に蓄 え られ た弾 性 エ ネ ル ギ は どれ ほ どか 。

〔 考 え 方〕  外 部 か ら与 え られ た仕 事 が す べ て ひず み エ ネル ギ と して 蓄 え られ る。 し か も弾 性 変 形 の範 囲 内 で あ る か ら当然 弾 性 エ ネ ル ギで あ る。 〔 解 き 方〕   弾 性 エ ネ ル ギ を Ｕ とす る とU=Qで

あ るか ら

(2・2)

例 題 〕2・3断

面 積 Ａ 〔m2〕,長

さ 〓 〔ｍ 〕,縦 弾 性 係 数 Ｅ

〔Ｎ 〕 の 荷 重 が 働 い て,λ

の 伸 び と材 料 内 部 に σ 〔MPa〕

式(2・2)を

を 使 っ て 表 しな さ い 。

σ,Ａ,〓,Ｅ

〔 考 え 方〕  式(2・2)に

〔 解 き 方〕  式(2・2)に

〔GPa〕

の材 料 に Ｗ

の 応 力 を 生 じ た と き,

を代 入 す る。

を代 入 して,

(2・3)

これ が材 料 に吸 収 さ れ た 全 弾 性 エ ネ ルギ で あ る。

例 題2・4  積(１m3)当

式(2・3)は,材

料 全体 に 吸 収 され た全 弾 性 エ ネ ル ギ で あ る。 単 位 体

りに 吸収 され るエ ネ ル ギ Ｕ は どれ ほ どか 。

〔 考 え 方〕   全 弾 性 エ ネ ル ギ Ｕ を材 料 の体 積A〓 で割 れば よ い。 〔 解 き 方〕   単 位 体 積 当 りの エ ネ ル ギ を Ｕ とす る と,

(2・4)

例題

2 ・5

単 位 体 積 当 りの弾 性 エ ネル ギ が 最 大 にな るに は,材 料 内 に生 ず る応

力 が 次 の うち ど の と きか。 ① 限 強 さの と き,④   〔 考え方〕

比 例 限度 の と き,②

弾 性 限 度 の と き,③

極

破 断 点 の と き,た だ し材 質 は軟 鋼 とす る。

弾 性 エ ネル ギ に っ い て も う一 度 考 え よ う。 弾性 エ ネ ルギ と は は材 料 に 外

力 を 加え 弾 性 変 形 させ た と き,そ の 材 料 に 蓄 え られ た エ ネル ギ で あ る。 ど の よ う な と き に,こ の エ ネル ギ が 最大 に な る か考 え よ う。   〔 解き方〕

弾 性 変形 の 限度 で あ る応 力,す な わ ち σが弾 性 限 度 の と き Ｕ は最 大 値 を

と る。 この と き Ｕ は (σ:弾 性 限 度) を 最 大 弾性 ひ ず み エ ネ ル ギ と い う。

例題

2 ・6

直 径10mm,長

さ せ た と き,こ

軟 鋼 棒 に4900Ｎ

す る。

式(2・3)を 用 い る。 ま た式 に数 値 を代 入 す る と き,長 さ の単 位 を 〔mm〕

や 〔 ｍ 〕 の どち らか一 方 に統 一 す る こ と。 〔 解 き方 〕

長 さの単 位 を 〔mm〕

に統 一 した と き

(１)

(２)

式(２)を式(１)に代 入

〔 別解〕

の 引張荷重 を作用

の棒 に蓄 え られ た 弾 性 エ ネ ル ギ は どれ ほ どか。

た だ しE=206GPaと   〔考 え方 〕

さ1000mmの

長 さの 単 位 を 〔 ｍ 〕 に統 一 した と き

(１)

(２)

式(２)を式(１)に代 入

答(U=0.742Ｊ)

例 題2・7

軟 鋼 の 弾 性 限 度200MPa,縦

弾 性 係 数E=206GPaと

す る と き,最

大 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ Ｕ を求 め な さ い。 〔 考 え方 〕

最 大 弾 性 ひず み エ ネ ル ギ は,１m3当

り の弾 性 エ ネ ル ギが 最 大 と な る もの

で あ る。 これ を求 め る に は,単 位 体 積 当 りの エ ネ ル ギの 式(2・4)の σ に弾 性 限 度 の値 を代 入 す れ ば よ い。 な お,式 に数 値 を代 入 す る場 合 は,長 さ の 単 位 をmmか

ｍ の どち らか

一 方 に統 一 す る こ と

。

〔 解 き方 〕

長 さの 単 位 を 〔mm〕

に統 一 した場 合

(１) 式(１)に

σ=200MPa=200N/mm2,E=206 

〔別解 〕 式(１)に

GPa=206×103N/mm2を

代 入,

長 さの単 位 を ｍ に統 一 した 場 合

σ=200MPa=200×106 

N/m2,E=206GPa=206×109N/m2を

代 入。

=97

.1〔kJ/m3〕

答(U=97.1kJ/m3)

例2・8 

弾 性 限 度200MPa,縦

弾 性 係 数E=206GPaの

軟 鋼棒 に圧 縮 荷 重 を

加 え て,30Ｊ の弾 性 エ ネ ル ギ を吸 収 させ る に は どれ ほ どの体 積 が必 要 か。 〔 考 え方 〕  

式(2・3)の

〔 解 き方 〕  

式(2・3)か らA〓 を求 め る式 を 作 る と,

A〓 よ りA〓

を求 めれ ば よ い。

(１)

式(１)に   σ=200N/mm2, 

E=206×103N/mm2,U=30N・m=30×103N・mmを

代入

答 

例2・9断 を 受 け,0.4mm伸

面 積500mm2,長

〔考 え 方 〕 

(体 積=309×103mm3)

さ1000mm,E=206GPaの

鋼脚

引張荷 重

びた。 蓄 え られ た弾 性 エ ネ ル ギ は い く らか。 か ら

式(1・8),

を 導 き，U=1/2Wλ

に代入 し

て求 め る。

〔 解 き方〕   式(1・8)の

長 さ の単 位 を 〔mm〕 に 統 一 した 場 合, この 式 を エ ネル ギ の 式 に代 入

より

(１)

式(１)に   A=500〔mm2〕,〓=1000〔mm〕, λ=0.4〔mm〕

を 代 入 す る と,

E=206×103〔N/mm2〕,

=8

.24〔N・m〕=8.24〔

Ｊ〕

答(U=8.24J)

〈参 考 〉 

単位 だ け の計 算 を してみ よ う

例 題2・9の

に っ い て単 位 を確 か め て み よ う。

ま た103N・mm=1N・m=1Jと

問 題2・1ば

ね に600Ｎ

な る。

の力 を加 え た ら30mm縮

ん だ。 この と き,ば ね に 蓄 え られ た

エ ネル ギ は ど れ ほど か。 答  (U=9J)

問 題2・2直

径50mm,長

さ1ｍ

の黄 銅 棒 が3000Ｎ

の 引張 荷 重 を受 け る と きの 弾 性 エ

ネ ル ギ を求 め な さい。 た だ し,縦 弾 性 係 数 をE=110GPaと

す る。 答(U=0.021J)

問 題2・3直

径100mm,長

る。 こ の と き,ピ 206GPaと

さ800mmの

ピ ス ト ン が2×105Ｎ

の圧 縮 荷 重 を 受 け て い

ス ト ン に 蓄 え ら れ た エ ネ ル ギ は ど れ ほ ど か 。 た だ し,縦 弾 性 係 数 をE=

す る。 答(U=9.9J)

圃 題2・4  ゴム の 最大 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ は 軟 鋼 の そ れ の 何倍 か。 た だ し,ゴ ム の 弾 性 限 度 を σg=8MPa,縦 縦 弾 性係 数 をEs=206GPaと

弾性 係 数 をEg=1.0MPa,軟

鋼 の 弾 性 限 度 を σs=200MPa,

す る。 答    (330倍)

2 2 ・

2 2 1 ・

・

衝撃応力

(impact 

stress)

衝 撃応 力 と伸 び

とは

衝 撃 応 力 とは,材 料 に衝 撃 荷 重 を加 え た と きに生 ず る最 大 瞬 間応 力 を い う。

2 2 2 ・

・

衝撃応力の計算

衝 撃 応 力 や 衝 撃 に よ って 生 ず る最 大伸 び の 計 算 は,弾 性 エ ネ ル ギ か ら解 くと よ い。

例 題2・10 

図2・2の よ う に,断 面 積 Ａ 〔mm2〕,長

性 の っ ば を 設 け,重

さ Ｗ

さ 〓 〔mm〕

〔Ｎ 〕 の 物 体 を ｈ 〔mm〕

さ せ た 。 こ の と き 棒 は,瞬 間 的 に 最 大 λ 〔mm〕

の棒 の 下 端 に 剛

の高 さ か ら棒 に沿 って 落 下

伸 び た 。 と の と き重 さ Ｗ 〔Ｎ〕

の 物 体 が 失 った 位 置 エ ネ ル ギ を求 め な さ い。 〔 考え方〕  

失 った 高 さ(落 下 距 離)に 相 当 す る物 体 の位 置 エ ネル ギを求 め れ ば よ い。

〔 解 き方 〕  失 った 高 さはh+λ U=W(h+λ) 

例 題2・11例 大 λ 〔mm〕

〔Ｎ ・mm〕

題2・10(図2・2)で,重 伸 び た 瞬 間,棒

で あ る か ら,失 った位 置 エ ネル ギ Ｕ は, 〓

必要 あれば

〔Ｊ〕 に 換 算 す る。

さ Ｗ 〔Ｎ 〕 の 物 体 を 落 下 さ ぜ,棒

に 生 じ た 最 大 応 力 を σ(た

が最

だ し弾 性 限 度 内 の 応 力)

と す る と,こ

の と き 棒 に 吸 収 さ れ た 弾 性 エ ネ ル ギ Ｕの 式 を 求 め な さ い 。

図2・2例

〔考 え 方 〕 

例 題2・2,2・3を

題2・10,11,12に

共 通 な 図

も う一 度 読 ん で み よ う。

〔 解 き方 〕 〓 必 要 あ れ ば 〔Ｊ〕 に換 算 す る。

例2・12例

題2・10,2・11で

求 め た失 った位 置 エ ネ ル ギ お よ び 棒 に 蓄 え られ

た エ ネ ル ギ の 式 か ら,衝 撃 応 力 σ の 式 を 導 き な さ い 。 〔 考え方〕   重さ Ｗ 〔 Ｎ〕 の物 体 の失 った位 置 エ ネ ル ギ が す べ て弾 性 エ ネ ル ギ と して 棒 に 蓄 え られ た と考 え る。 〔 解き方〕   弾 性 エ ネ ル ギ=失 っ た位 置 エ ネ ル ギ (１)

式(１)に,λ=ε

〓=σ/E〓

を代 入 す る と

こ の式 を整 理 して A〓 σ2-2W〓 式(２)は,σ

σ-2EWh=0

に つ い て の 二 次 式 で あ る か ら,σ

(２) につ いて 解 くと

(３)＊

ところで

(静荷 重 にお け る応 力) (４)

(静荷 重 に お け る伸 び) 式(４}を式(３)に 代 入 す る と,

(５)

(±)の うち(-)は

不 合 理 で あ るか ら,衝 撃応 力 σは,

または

例 題

2 ・13

式(2・5)で,h=0の

と き,す

(2・5)

な わ ち重 さ Ｗ 〔 Ｎ〕 の 物 体 を 図2・2

の下 の つ ば に接 触 しな い程 度 に近 づ け,急 に これ を放 した 場合,棒

に生 ず る最

大応 力 σ は どれ ほ どか 。 〔 考え方〕

式(2・5)の

ｈ に ０ を 代 入 し式 を 作 れ ば よ い 。

を代入 し

〔解 き 方 〕

または

*ax2+bx+c=0の

ax2+2b´x+c=0の

と き

と き

(2・6)

この よ うな 応 力 を 急 速 荷 重 に よ る 応 力 とい う。 急 速 荷 重 に よ る応 力 は,静 荷 重 に よ る応 力 の ２倍 で あ る。

2・2・3

衝 撃 荷 重 に よ る伸 び

衝 撃 荷 重 に よ る 伸 び λ は,λ=ε〓=σ/E〓

と こ う が,λ0=〓/Eσ0(静

の 基 本 式 に 式(2・5)を 代 入 し

荷 重 の 場 合 の 伸 び)で

あ るか ら

(2・7)

急 速 荷 重 に よ る 伸 び は,式(2・7)にh=0を

代 入 し,

(2・8)

急 速 荷 重 に よ る伸 び は,静 荷 重 にお け る伸 び の ２倍 で あ る。

例 題2・14 

図2・2に お い て,断

性 係 数E=206GPaの

面 積A=1000mm2,長

軟 鋼 棒 に 沿 っ て,質

量80kgの

さl=5000mm,縦 物 体 をh=200mmの

弾 高

さ か ら落 下 さ せ た と き の 衝 撃 応 力 σ と最 大 伸 び λ を 求 め な さ い。  

〔 考 え方 〕   式(2・5),(2・7)を 用 い る。 た だ し,物 体 の質 量 を重 さ 〔Ｎ〕 に 直 して か

ら計 算 す る こ と。1Ｎ

の力 とは,質 量1kgの

るよ う な力 の こ とで あ る。 質 量1kgの で あ る か ら9.8Ｎ と な る。

物 体 に働 い て1m/s2の

加速 度 を生 じさせ

物 体 の重 さ は,地 球 の重 力 の加 速 度 が 約9.8m/s2

〔 解 き方 〕 物 体 の 重 さ* 

W=80×9.8N=784N

衝 撃 応 力 は式(2・5)よ り (１)

と こ ろ で,

これ らを式(１)に 代 入 す る と

最 大 伸 び は式(2・7)よ り (２)

式(２)に数 値 を 代 入

答 (σ=115MPa, 

例 題2・15静 100mmの

荷 重5kNで4mm伸

び る 材 料 が あ る 。 重 さ4kNの

伸 び を生 ず る か ら,静 荷 重4kNで

く らに な る か を比 例 関 係 で 求 め,そ の 値 を 式(2・7)に代 入 す る。 〔 解き方〕   静 荷 重4kNに

＊  重 力=質

mm)

お も り を,

高 さ か ら落 し た ら ど れ ほ ど 伸 び る か 。

〔 考え方〕   静 荷 重5kNで4mmの

式(2・7)よ

λ=2.78 

対 す る伸 びを λ0とす る と,

り 量 ×重 力 の 加 速 度

   lN=1kg・m/s2

∴W=80kg×9.8m/s2=784kg・m/s2=784N

は伸 び が い

答

問 題2・5  206GPaの

図2・2に お い て,断 軟 鋼 棒 に,W=2kNの

面 積A=1000mm2,長

(λ=28.7mm)

さ〓=1500mm,縦

弾 性 係 数E=

急 速 荷 重 を加 え た。 こ の と き の 応 力 σ お よ び 伸 び λ

を 求 め な さ い。 答 

問 題2・6図2・3の か ら重 さW〔

(σ=4MPa,λ=0.0292mm)

よ うに棒 の頭 部 と固 定 板 の間 に コ イ ル ば ね を入 れ,高

さh〔mm〕

Ｎ〕 の お も りを落 と した と き,コ イル ばね と棒 に加 わ る力F〔

Ｎ〕 を求 め

な さ い。

図2・3

  た だ し,ば

ね の縮 み を δ

面 積 をA〔mm2〕,縦

〔mm〕,ば

ね 定 数 をk〔N/mm〕,棒

弾 性 係 数 をE〔N/mm2〕,衝

る。

答

の 長 さ を〓

撃時 の棒 の伸 びを λ

〔mm〕,断 〔mm〕

とす

３ げ

曲

3・1  は り の 種 類 と 荷 重

3・1・1  は り(beam)と

図3・1の

よ う に,荷

は

重 が 加 わ っ て 曲 げ 作 用(bending)を

を は り と い う。 は り を 支 え る 点 を 支 点(support)と

受 けて い る水 平 部 材

い い,支

と 固 定 支 点 が あ る。 単 純 支 点 に は 図 の よ う な 回 転 支 点(pin  支 点(roller  support)が 支 持 端 を い う。 ま た,支

あ り,固

点 に は単純 支点 support)と

移動

定 支 点 と は壁 に埋 め込 ま れ た り溶 接 さ れ た

点 間 の 距 離 を ス パ ン(span)と

図 3・1

い う。

2

3 ・1・

は り の 種 類

は り の 種 類 に は 図3・2の

よ うな もの が あ る。

図3・2

3・1・3

(１)

は りに加 わ る 荷 重 の種 類 集 中 荷 重(concentrated

load)

  図3・2の矢 印 で示 した 荷重 の よ うに,一 点 に集 中 して か か る 荷 重 を 集 中 荷 重 と い う。

(２)

分 布 荷 重(distributed

図3・3の よ う に,は

load)

りの全 長 ま た は一 部 に 分 布 され て い る荷 重 を 分 布 荷

重とい う。 特 に 単位 長 さ当 りの 荷重 が一 定 の もの を等 分 布 荷 重 とい う。

図3・3

(３) 荷 重 の記 号 と単 位

集 中荷 重 の記 号 は ｗ,単

位 は 〔Ｎ〕 で 表 す。

等 分 布 荷 重 の記 号 は ω,単 位 は 〔N/mm〕

や 〔N/m〕 で表 す 。

３・２

３・２・１

は りの つ り合 い 条 件

は りの つ り合 い

(１) 支点 の まわ りの力 の モ ー メ ン ト 〈参 考 〉   力 の モ 一 メ ン ト(moment)と 回 転 中 心 ま で の 距 離)で

は,回

転 作 用 の こ と で,力

表 さ れ る。 た だ し,力

あ る こ と。 ま た,力

の モ ー メ ン トの(＋), 

時 計 回 り を(−)と

す る 。 な お,単

位 は

× 腕(力

か ら

の 方 向 は 腕 に 対 して 直 角 で

(−)は,反 〔N・mm〕

や

時 計 回 り を(＋), 〔N・m〕

が 用 い ら

れ る。 〈例 〉  図 ３・４に お い て,Ｏ (ａ)は,力

Ｗ と 腕 ｌが 互 に 直 角 で あ る か ら力 の モ ー メ ン ト Ｍ は

M=Wl(反 (ｂ)は,力

点 の ま わ り 力 の モ ー メ ン トを 求 め て み よ う。

時 計 回 り)

Ｗ が 腕 ｌに 対 して θ の 角 度 を な して い る か ら,力

ト に 関 係 す る 力 は ｗ の 垂 直 成 分wy・

で あ る 。 し た が っ て,力

トＭ は M=wyl=Wsinθ とな る。

・l(反

時 計 回 り)

のモ ー メ ン の モ ー メ ン

(b)

(a) 図3・4

例 題3・1図3・5の

Ｏ 点 に 関 す る 力 の モ ー メ ン トを 求 め な さ い 。

①

②

③

図3・5

 〔 考 え方〕  力 の モ ー メ ン トは力 と腕 の長 さ の積 で あ る。 力 の モ ー メ ン トの〓〓 に 注 意 す る こ と。 反 時 計 回 りが〓,時 計 回 りを〓 と約 束 す る。   解 き方

①M=-50×500=-25000〔N・mm〕

②M=80×400=32000〔N・mm〕 ③M=50×1000-100×400=10000〔N・mm〕

(2)力

の つ り合 い と 力 の モ ー メ ン トの つ り合 い

例 題3・2図3・6の

よ う に 力 を 加 え た と き,つ

あ る の は ①,②

の う ち ど れ か,力

の つ り 合 い,力

算 で 確 か め,そ

の理 由 を述 べ な さ い。

*  荷重 Ｗ を直 角 分 力 に 分 解 した もの がWx,Wyで

あ る。

り合 い の 状 態(静

止 の 状 態)に

の モ ー メ ン トの つ り 合 い を 計

②

①

図3・6

〔 考え方 〕   物 体 が つ り合 い の状 態 に あ る た あ に は,第 あ る こ と,第

１に物 体 に動 く力 の 和 が ０で

２に 任 意 の 点 の力 の モ ー メ ン トの 和 が ０で あ る こ とが条 件 で あ る。 力 の 和

を求 め る と き は,上 向 きの 力 を〓,下

向 きの 力 を〓 と して計 算 す る。 力 の モ ー メ ン トの

和 を求 め る と きは,反 時計 回 りを〓,時

計 回 りを〓 と して 計算 す る。

〔解 き方〕 ① に つ いて 力 の 和=5+5+(-10)=0 Ａ 点 の 力 の モ ー メ ン トの 和=5×100+(-10×50)=0

任 意の点

{

Ｃ 点 の 力 の モ ー メ ン トの 和=5×50-5×50=0 Ｂ 点 の 力 の モ ー メ ン トの 和=-5×100+10×50=0

② について 力 の 和=5+5+(-10)=0 Ａ 点 の 力 の モ ー メ ン トの 和 =5×100-10×60=-100 

〔N・mm〕

以 上 の結 果 よ り,つ り合 い の状 態 に あ るの は① で あ る。

つ り合 いの 条 件 (1) 

力 の 和 が ０ で あ る。

(2) 

任 意 の 点 の 力 の モ ー メ ン トの 和 が ０で あ る。

3・3 両 端 支持 ば りの 計 算

3・3・1両 端 支 持 ば りに集 中 荷 重 が 作 用 す る 場合   こ こで は,両 端 支 持 ば り に集 中 荷 重 が 作 用 す る と きの反 力 ・せ ん 断力 ・曲 げ モ ー メ ン トの計 算 の方 法 お よ びせ ん 断 力 や 曲 げ モ ー メ ン トの分 布 状 態 を示 す せ ん断 力 図 ・曲 げモ ー メ ン ト図 の 作 り方 を 理 解 して ほ しい ＊。

(１) 反 力 の計 算

例 題3・3図3・7の

よ う な 両 端 支 持 ば り の 反 力RA, 

RBを

求 め な さい。

図3・7

〔 考 え 方〕   は りが

つ り合 い の状 態 に あ る た め に は,つ り合 い の 条 件(２)の

「任 意 の

点 の 力 の モ ー メ ン トの和 は ０で あ る」 か ら,支 点 Ｂ や Ａ に お け る力 の モ ー メ ン トの 和 も 当然 ０ とな る。 た と え ば,Ｂ

点 に つ い て の 力 の モ ー メ ン トを 考 え る と,反

の モ ー メ ン ト と50×1200(反 の モ ー メ ン トに〓〓

時 計 回 り)の

力RA×2000(時

計 回 り)

モ ー メ ン トが つ り合 っ て い る か ら,こ

の二 つ

をつ け て合 計 した ものが ０に な る。

す な わ ち,反 力 も外 力 の一 つ と考 え,支 点 に つ いて の力 の モ ー メ ン トの つ り合 い の 式 を作 り,こ の式 か ら反 力 を求 め れ ば よ い。

＊  長 さ の単 位 はmmと

す る。

〔 解 き方 〕     (１) 反 力RAを

求め る

Ｂ点 の ま わ り の力 の モ ー メ ン トの つ り合 い よ り -RA×2000十50×1200=0

Ｂ点 に関 す る荷 重 に よ る モ ー メ ン ト/ ∴(=

(２)  反 力RBを

)= 30

スパ ンの長 さ

〔N〕

求める

力 の つ り合 い よ り,上 向 きの 力〓,下

向 きの 力〓 とす る と

RA+RB-50=0 ∴   RB=50-RA=50-30=20〔N〕 答(RA=30 

＜ 参 考＞  

(１)に つ い て は,Ｂ

N, 

RB=20 

点 に 関 し て 反 力RAに

N)

よ る 力 の モ ー メ ン トが 荷 重50Ｎ

に よ る モ ー メ ン トを 支 え て い る と考 え る と  RA×2000=50×1200と

し てRAを

解 い

て もよ い。 (２)に つ い て は,二 50と

し てRBを

ま た,Ａ

つ の 反 力RAとRBが

荷 重50Ｎ

を 支 え て い る と 考 え,  RA+RB=

解 いて もよ い。

点 の ま わ り の 力 の モ ー メ ン トの つ り合 い か らRBを

求 め る こ と もで き る 。

RB  ×2000=50×800

Ａ点 に関 す る荷 重 に よ る モ ー メ ン ト/

∴ (=

例 題3・4図3・8に

お い て,反

力RAお

ス パ ンの長 さ

よ びRBの

)

20 〔N〕

式 を 作 りな さい。

図3・8

〔 考 え方 〕   は りのつ り合 い の条 件(２)の力 の モー メ ン トの つ り合 い に よ りRAを 導 き,

つ ぎに 条件(１)の

力 のつ り合 い よ りRBを

〔 解 き方 〕  反 力RAは

(

A〓+Wb=0

=Ｂ点 に 関 す る荷 重 によ るモ ー メ ン ト

)

-R

導 く。

Ｂ点 の 力 の モ ー メ ン トの つ り合 い よ り

/スパ ンの長 さ 反力RBは

力 のつ り合 い よ り RA+RB-W=0

(

=Ａ点 に 関 す る 荷 重 に よ る モ ー メ ン ト

/ス パ ンの長 さ

例

題3・5図3・9に

お い て,反

力RAとRBを

)

求 め な さ い。

図 3・9

〔考 え方〕  RAを

求 め るに は支 点 Ｂの まわ り の力 の モ ー メ ン トの つ り合 い か ら,

〔 解 き方〕  反 力RAは -R

RA= 反 力RBは

Ｂ点 の まわ りの 力 の モ ー メ ン トの つ り合 い よ り

A×1000+200×(500+300)+400×300=0 200×800+400×300/

=280 

〔Ｎ〕

1000

力 の つ り合 い よ り RA+RB-200-400=0 ∴

RB=600-RA=600-280=320

〔Ｎ 〕

答

（RA=280N, 

RB=320N)

例 題3・6  図3・10に

お い て,反

力RAとRBの

式 を導 き な さ い。

図3 ・10

〔考 え 方 〕 

例 題3・4,3・5を

〔 解 き方 〕  

(１)反 力RAを

参 照 の こ と。

求 め る に は,支 点 Ｂ に働 く力 の モ ー メ ン トのつ り合 いで,

-RA〓+W1(〓-〓1)+W2(〓-〓2)=0

(3・1)

  こ の式 を 言 葉 で 表 す と,反 力RAは,支

点 Ｂ に働 く荷 重 に よ る モ ー メ ン トの 和 を

スパ ンの長 さ で 割 っ た値 とな る。

(２)  反 力RBは,力

の つ り 合 い よ り,

RA+RB-W1-W2=0

(3・2)

反 力RBは,支 と な る。

点 Ａ に働 く荷 重 に よ る モ ー メ ン トの和 を ス パ ンの長 さ で 割 った 値

  反 力 の計 算 は,以 上 の よ うに集 中荷 重 が い くつ あ って も,は りのつ り合 い条 件 で解 く こと が で き る。 ま た,次 の結 果 を利 用 す る と簡 便 で あ る。 支 点 の 反 力 は,他 の 支 点 の まわ りの 荷 重 に よ る モ ー メ ン トの 和 を スパ ン の長 さで 割 る。

(２)せ ん 断 力(shearing  (ａ)は

りの 任 意 の 断 面(仮

例 題3・7図3・11に い う)を

force)の

想 断 面)の

お い て,仮

設 け た と き,仮

計算 左 右 に 働 く力

にX-Xで

は り を 切 る よ う な 断 面(仮

想 断面 と

想 断 面 の左 お よ び 右 の 力 を 調 べ な さい。

図3

 〔考 え方〕    仮 想 断 面 の左(右)側

・11

に あ る力 を 向 きを 考 え て 集 計 す る。 この と き反 力

も外 力 の一 つ と して取 り扱 う こと。 〔 解 き方〕  ◎ 仮 想 断面 の左 右 に あ る力

例 題3・8図3・12は の状態ですか。

左 側 の力 の合 計=↑300Ｎ

上 向 きの300Ｎ

右 側 の 力 の 合 計=↓500+↑200=↓300Ｎ

下 向 き に300Ｎ

例 題3・7の

結 果 を 図 示 した も の で あ る 。 ① と ② の ど ち ら

①

②

図3・12

  〔 解 き方 〕   例 題3・7の 結 果 か ら,仮 想 断 面 の左 側 で は 上 向 き に300N,右 向 きに300Nで

側 で は下

あ る か ら,答 は① の状 態 と な る。

(b)せ ん断 力 とは

例 題3・9例

題3・7の答 え を 参 考 に して,次 の〓

の 中 に 適 当 な語 句 を 記

入 しな さ い。

  ◎仮想 断面の左右 それ ぞれ の力 の代数和 は大 きさが ①,向

きが

②

で

あ る。

答   (①等 し く,② 反 対)

  こ の よ う な １組 の 力 は,Ｘ で,せ

ん 断 力(shearing 

断 面 で は りを せ ん 断 力 す る よ うに作 用 す るの

force)と

い う。 せ ん 断 力 の 記 号 は Ｆ で 表 す 。

(c)せ ん断 力,正 負 の 約 束

せ ん 断 力 は,せ

ん 断 の 仕 方 に よ っ て,図3・13の

よ う に〓,〓

を 約 束 す る。

〓

〓

図3・13

例 題3・10図3・14の

図3・14

仮 想 断 面 に お け るせ ん断 力 は どれ ほ どか。

  〔 考え方〕   仮 想 断 面 で,は

りが どの よ うに せ ん 断 され るか に注 目 し,〓,〓

を付 け

る。 図3・13を 参 照 の こ と。 〔 解 き方 〕  

F=300N 答(F=300N)

(d)せ ん 断 力 計 算 の テ クニ ック

①

仮 想 断 面 の左 右 そ れ ぞれ に働 く力 の和 は等 し く,向 きが反 対 で あ る こ とか ら,せ ん 断 力 の 計 算 は,仮 想 断 面 の左 右 い ず れ か一 方 に つ い て行 え ば 十分 で あ る。

②

計 算 に当 って は,仮 想 断 面 の 片 側 に あ る個 々 の力 が,は

り を どの よ う

に せ ん 断 力 す るか に注 目 し,そ れ らの 力 に〓,〓 を 付 けて 合 計 す れ ば よ い。

例 題3・11図3・15に

お い て,①AC間(AC間

の せ ん 断 力 を 求 め な さ い 。 ②CB間(X2-X2断

に 設 け た 仮 想 断 面X1-X1) 面)の

せ ん 断 力 を求 め な さ い。

図 3・ 15

〔 考え方 〕  

◎ 仮 想 断 面 の左 側 で 計 算 す れ ば, せ ん断 力F=左

側 の 外 力 の和

◎仮想 断面の右側で計算すれ ば, せん 断 力F＝

右側 の 外 力 の 和

た だ し,一 つ 一 つ の 力 が は りを ど の よ う な向 きに せ ん 断 す るか を 確 か め て 〓 〓 を 付 け て 計 算 す れ ば よ い。 な お,反

力 も外 力 の 一 つ と して取 り扱 う こ と 。

〔 解 き方〕 ①  X1断 面 の せ ん 断 力 (イ) 断 面 左 で 計 算 す る と,外 力 はRAだ

け,し か も,RAはX1断

面左側部 分を上 方

にせ ん 断 し よ う とす るの で 〓 の せ ん 断 力 で あ る。 F1=RA=300〔

Ｎ〕

(ロ) 断面 右 で 計 算 す る と,荷 重500Ｎ の で 〓,反 力RBは

は断 面 右 側 部 分 を 下 方 にせ ん 断 し よ う と す る

断 面 右 側 を上 方 にせ ん 断 しよ う とす るの で 〓 の せ ん 断 力 で あ る。

F1=500-RB=500-200=300〔

Ｎ 〕

左 で 計 算 した と き と同 じ値 に な る。 ②  X2断

面のせん断力

(イ) 断 面 左 側 で 計 算 す る と,↑RAは

〓,↓500は

F2=RA-500=300-500=-200〔

(ロ) 断 面 右 側 で は,↑RBは F2=-RB=-200〔

〓 で あ るか ら

Ｎ 〕

〓 であるか ら Ｎ 〕

左 右 ど ち ら も同 一 値 に な る の で片 側(簡 単 な方)で 計 算 す れ ば十 分 で あ る 答 

例 題3・12

(F1=300Ｎ, 

 図 3・ 16 に お いて,次 の解 き方 の順 序 に従 って 〓

F2=-200Ｎ)

の中に該 当

す る語 句 や 式 お よ び答 を記 入 しな さ い。

図 3・16

(１) 解 法 の 目 安 を つ け る 。 この は りは

③

①

②

荷 重 が作 用 す る

ば り で あ る。 よ っ て,は

条 件 を 用 い て反 力 を 求 め る こ とが で き る。

(２) 反 力 の計 算 ・支 点 Ｂ の 力 の モ ー メ ン トの つ り合 い は , ・式 ④ よ りRAを

④

求 め る と,

RA=

・力 の っ り 合 い の 式 は ,

⑤ ⑥

・式 ⑥ か らRBの 式 を導 きRAの

値 を 代 入 して

⑦

(３)せ ん 断 力 の 計 算 ・AC間

のせん断力

FAc=

⑧

・CD間

のせん断力

FcD=

⑨

・DB間

のせん断力

FDB=

⑩

〔考 え 方〕 

〔 解 き方〕   (２)  ④ 

例 題3.5∼3・11を

まとめたもの

(１)  ① 集 中,② 両 端 支 持,③ つ り合 い。 -RA×1000+200(300+500)+400×300=0

⑤

(３) 

⑥ 

RA+RB-200-400=0

⑦ 

RB=200+400-RA=600-280=320〔

⑧   FAc=RA=280〔 ⑨  FcD=RA-200=280-200=80〔

      ⑩  FDB=-RB=-320〔

Ｎ 〕

Ｎ 〕 

(仮 想 断 面 の 左 側 で 計 算) Ｎ 〕   (仮 想 断 面 の 左 側 で 計 算)

Ｎ 〕   (仮 想 断 面 の 右 側 で 計 算)

りの

(ｅ)せ

ん 断 力 図(shearing 

force  diagram)

《せ ん 断力 図 の 目的 》

 計 算 値 を も とに して グ ラ フを 作 れ ば,は

りの ど の部 分 に どの位 の せ ん 断

力 が作 用 して い るか一 見 して 知 る こ とが で き る。 この 図 を せ ん 断 力 図(略 してSFD)と

い う。

《せ ん 断力 図 の作 り方 》

例 題3・13例

題3・12の

結 果 か らSFDを

〔 解 き方 〕   次 の順 序 でSFDを

作 図 しな さ い。

作 図 す る こ とが で きる。

図3・17

①

図3・17の よ うに,線 分abを

は り と平 行 に ひ く。 こ れ を基 準 線 と い い,SFDを

描 く と きの基 準 とな る直 線 で あ る。 な お,長 ②

基準 線 の両 端 に は,は

さは,は

りの長 さ に 合 わ せ る。

りの Ａ,Ｂ 点 に 合 わ せ て縦 線 を 引 き,基 準 線 に は,は

りの

荷重 点 Ｃ,Ｄ 点 に 合 わ せ て 直 交 す る線 を ひ き,そ れ ぞ れ の交 点 を ａ, ｂ, ｃ, ｄ と す る。

③  単 位 重 量(1Ｎ

とか10Ｎ

あ る い は100Ｎ …)を 適 当 な長 さ に と り,両 端 の 縦 線 上

に 目盛 る。 この と き,基 準 線 よ り上 方 を〓,下 方 を〓 に と る。 ④  AC間

はFAc=280Ｎ,CD間

⑤  図 の余 白 にSFDと

はFcD=80Ｎ,DB間

を 図 に 示 す。

書 き完 成 す る。 結 果 は図3・17の と お りで あ る。

(３) 曲 げ モ ー メ ン ト(bending  (ａ)

はFDB=-320Ｎ

の計算

moment)

は りの 任 意 の断 面 (仮想 断 面) の 左 右 に働 く力 の モ ー メ ン ト

例 題3・14

 次 の〓

の 中 に適 当 な語 句 を記 入 しな さ い。

図 3・18

◎ 図3・18の

は り は,Ａ,Ｂ

り が つ り 合 う に は,力

両 支 点 に よ っ て 支 え ら れ,つ

の 和 が ０で あ る と 同 時 に,任

り 合 っ て い る。 は

意 の 断 面 にお け る力 の モー

メ ン トの 和 が ０で な け れ ば な ら な い 。 そ こ で 図 の Ｘ 断 面 で 力 の モ ー メ ン トが つ り合 う た め に は,断

が ②

面 左 側 と 右 側 の 力 の モ ー メ ン トの 大 き さ が

①,向

で な けれ ば な らな い。 す な わ ち 断 面 Ｘ に 作 用 す る モ ー メ ン トの 和

M+M′=0で

あ る。

〔 考 え 方 〕 

断 面 Ｘ に 作 用 す る 力 の モ ー メ ン ト は,左

あ る。 は り が つ り合 う た め に は,任 と か ら,M+M′=0 

側 か ら の Ｍ と 右 側 か ら の Ｍ ′で

意 の 断 面 に 作 用 す る 力 の モ ー メ ン トの 和 が ０で あ る こ

∴M=-M′,Ｍ

とM′

は 大 き さ が 等 し く,向

きが反対 と

な る。

〔 解 き 方 〕  ①  等 し く   ②  反 対

例 題3・15 

き

図3・19の

Ｘ 断 面 の 左 右 の 力 の モ ー メ ン トを 調 べ な さ い 。

図3・19

左 側 で,

M=

右 側 で, M′=

①

で 時 計 ま わ り。

②

で 反 時 計 まわ り。

〔解 き 方〕 ①M=-RA×200=-300×200=-60000〔N・mm〕 ②M′=RB×(1000-200)-500 

×(400-200)

=200×800-500×200=60000〔N・mm〕 答 

例 例3・16例

題3・15の

M′=60×103  イ,ロ,ハ

N・mmは

(①-60×103N・mm,②60×103 

N・mm)

Ｘ 断 面 の 力 の モ ー メ ン トM=-60×103N・mmと Ｘ 断 面 で は り を どの よ うに 曲 げ よ う とす るか 。 次 の

か ら正 し い も の を 選 び な さ い 。

イ

ロ

ハ

図3・20

  〔 解 き 方〕X断 もの はイ

面 の左 右 に つ い て力 の モ ー メ ン トの回 転 の 向 きを 調 べ る と,正

しい

(b)曲

げ モ ー メ ン トと は

  図3・21の よ う な １組 の モ ー メ ン ト Ｍ と Ｍ ′は,は 用 す る の で,こ

れ を 曲 げ モ ー メ ン トと い う。

〓

〓

図3・22曲

図3・21

(c)曲

りを 曲 げ る よ うに 作

げ モ ー メ ン トの 正 負 の 約 束

げ モ ー メ ン トの 正 負 の 約 束

  曲 げ モ ー メ ン トは,は う に 〓,〓

り を ど の よ う に 曲 げ る か に よ っ て,図3・22の

よ

を 約 束 す る。

  曲 げ モ ー メ ン トの 正 負 の 約 束 は,力

の モ ー メ ン トと の 反 時 計 ま わ り,時

計 ま わ り の 約 束 と は 違 う の で 注 意 して くだ さ い。

(d)曲

①

げ モ ー メ ン ト計 算 の テ ク ニ ッ ク

例 題3・15で

学 ん だ よ う に,仮 想 断 面 の 左 右 に 働 く 力 の モ ー メ ン ト は,

互 い に 大 き さ が 等 し く向 き が 反 対 で あ る か ら,曲

げ モ ー メ ン トの 計 算 は

仮 想 断 面 の 左 右 い ず れ か 一方 に つ い て 行 え ば 十分 で あ る。

②

左 側 で 計 算 す る 場 合   M=左

側 の モ ー メ ン トの 和

右 側 で 計 算 す る 場 合   M=右

側 の モ ー メ ン トの 和

計 算 に 当 た って は,個

々 の 力 に よ る モ ー メ ン トが は り を ど の よ う に 曲

げ よ う と す る か に よ っ て 〓,〓

を 付 け て 合 計 す れ ば よ い。

《一 般 式 を 作 って か ら特 定 な箇 所 の 曲 げ モ ー メ ン トを求 め る方 法 》

例 題3・17図3・23に

お い て,各

般 式 を 作 り な さ い 。 ま た,一 Ａ,Ｃ,Ｄ,Ｂ

区 間 に 設 け た 仮 想 断 面 の 曲 げ モ ー メ ン トの 一

般 式 の ｘ に 支 点 お よ び 荷 重 点 の 位 置 を 代 入 し,点

の 曲 げ モ ー メ ン トを 求 め な さ い 。

  た だ し,Ａ 点 か ら仮 想 断 面 ま で の 距 離 を ｘ と す る 。

◎A∼C間(0≦x≦200) 

仮 想 断 面 の左 側 で 計 算 MAC=

①

Ａ,点(x=0)

MA=

②

Ｃ 点(x=200)

Mc=

③

式

◎ C∼D間(200≦x≦700) 

式

④

Ｃ 点(x=200)

MC=

⑤

Ｄ 点(x=700)

MD=

⑥

◎D∼B間(700≦x≦1000) 

xの 一 次式(直 線 の式)

仮 想 断 面 の 左 側 で 計算

MCD=

式

3

図

3.2

xの 一次 式(直 線 の式)

仮想 断 面 の 右 側 で 計算

MDB=

⑦

Ｄ 点(x=700)

MD=

⑧

Ｂ 点(x=1000) 

MB=

⑨

xの 一 次 式(直 線 の式)

〔 考え 方 〕

モ ー メ ン ト は,力

×(力 か ら Ｘ 断 面 ま で の 距 離)。

 一 つ一 つ の モ ー メ ン トが は りを どの よ うに 曲 げ る か を確 認 し,個 々 の モ ー メ ン トに〓〓 を つ け て,断 面 の 指 定 され た 側 につ いて 合 計 す れ ば よ い。 〔解き方〕

①MAc=+RAX=280x

②MA=280×0=0 ③MC=280×200=5.6×104〔N・mm〕 ④MCD=RAx-200×(x-200)=280x-200x+40000=80x+40000 ⑤MC=80×200+40000=5.6×104〔N・mm〕 ⑥MD=80×700+40000=9.6×104〔N・mm〕 ⑦MDB=+RB×(1000-x)=320 

×(1000-x)

⑧MD=320×(1000-700)=9.6×104〔N・mm〕 ⑨MB=320×(1000-1000)=0

《集 中荷 重 の 働 くは りにつ いて,支 点や 荷 重 点 の 曲 げ モ ー メ ン トを求 め る方 法》   集 中荷 重 が働 く は りの 曲 げ モ ー メ ン トの計 算 は一 般 式 を作 らず,支 点 か ら荷 重 点 ま で の距 離 を 直接 用 い て行 う こ とが多 い。

例 題3・18

例 題3・17の

は り図3・24に

つ い て,支

点 お よ び各 荷 重 点 の 曲 げ モ

ー メ ン トを 直 接 求 め な さ い 。

図3・24

〔 解き 方〕 Ａ点 Ｃ 点

MA=RA×0=0

左側 で

MC=RA×200=280×200=5.6×104〔N・mm〕

左側 で

Ｄ 点    MD=RB×300=320×300=9.6×104〔N・mm〕

 

Ｂ 点    MB=RB×0=0右

〈 参考〉

MD,MBを

右側で 側で

左 側 で 計算 す る と

MD=280×700-200×500=9.6×104〔N・mm〕 MB=280×1000]200×800-400×300=0  (ｅ)曲

げ モ ー メ ン ト図(bending 

  同 じ結 果 とな る。

moment 

  曲 げ モ ー メ ン ト図 の こ と を BMDと

diagram)

いう。  BMDの

目 的 や 作 り方 はSFD

の 場 合 と 同 じで あ る 。

例 題3・19

例 題3・18の

例 題3・18の

結 果 か らBMDを

作 図 しな さい。

結果か ら

Ａ点MA=0 Ｃ 点MC=5.6×104〔N・mm〕 Ｄ 点   MD=9.6×104〔N・mm〕

Ｂ点MB=0 〔 解 き 方〕  次 の 順 序 でBMDを ①

作 図で きる 。

図3・25に 示 す よ うに,線 分abを

は り と平行 に 同 じ長 さに ひ く。 これ を基 準 線 と

い う。 ②

基 準線 の 両 端 に は,縦 線 を 引 き,単 位 モ ー メ ン ト(こ こで は104N・mm)を

適 当

な 長 さに と り)縦 線 上 に 目盛 る。 この と き基 準 よ り上 方 を〓 と す る。 ③

は りの 荷 重点 Ｃ,Ｄ に合 わ せ て,基 線 と直交 す る線 を ひ い て,そ の交 点 を ｃ,ｄ と す る。

④  各 点 の 曲 げ モ ー メ ン トの値 を プ ロ ッ トし直線 で結 ぶ。 結 果 は図3・25の あ る。

とお りで

図3・25

気 が つ き ま した か   集 中 荷 重 の 作 用 す る は り のSFDとBMDの   SFDは

階 段 状 。BMDは

例 題3・17の

形 よ う に,曲

は 変 数 ｘ の 一 次 式 で す 。 し た が っ て,各

げ モ ー メ ン トの 一 般 式

区 間 にっ いて 始 点 と終 点 の 二 っ の

値 を プ ロ ッ トし これ らを直 線 で結 べ ば よ い の です 。

(４)せ ん 断 力 と曲 げ モ ー メ ン トの 関 係   図3・26を 観 察 す る と,両

端 支 持 ば り で は,せ

ん断 力 の正 負 が 変 わ る点 で 曲 げ

モ ー メ ン トが 最 大 に な っ て い る。 一般 に

,せ

ん 断 力 の 正 負 が 何 箇 所 か で 変 わ る 場 合,そ

の点 で 曲 げ モ ー メ ン ト

は 極 大 ま た は 極 小 に な る。 こ れ ら の 中 で 絶 対 値 の 最 大 の も の を 最 大 曲 げ モ ー メ ン ト と い う。

図3・26

例題

3・20

FDとBMDを

図3・27に

お い て,反

力,せ

作 図 しな さ い 。

図3・27

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,S

〔考 え 方〕 ② ③

①

反 力 の 計 算 は,は り のつ り合 い条 件 か ら。

せ ん断 力 は,仮 想 断 面 片 側 の力 の和 と して計 算 す る(〓 〓 に注 意)。 曲 げ モ ー メ ン トは,仮 想 断 面 片 側 の モ ー メ ン トの和 と して計 算 す る(〓

〓 と反 力

も計 算 に含 め る こ とを 忘 れ な い よ う)。 ④

集 中荷 重 のSFDは

⑤

集 中荷 重 のBMDは

階段状。 直 線 を結 ん だ もの。

〔 解 き方〕 (１)反 力 の計 算 Ｂ 点 の モ ー メ ン トの つ り 合 い か ら 100×800+200×500+300×200

RA=

=240〔N〕

/1000

力 のつ り合 い か ら RB=100+200+300-RA=600-240=360〔N〕

(２) せ ん 断 力 の 計 算 A∼C問FAC=RA=240〔N〕

(左 で)

C∼D間FCD=RA-100=240-100=140〔N〕

(左で)

D∼E間FDE=-RB+300=-360+300=-60〔N〕

(右で)

E∼B間FEB=-RB=-360〔N〕

(右で)

(３) 曲 げ モー メ ン トの 計 算(Ａ 点 か ら仮 想 断 面 ま で の距 離 を ｘ とす る) A∼C間(0≦x≦200) 

  (仮想 断 面 の左 側 で)

式   MAC=RAx=240 

x(ｘ

の 一 次 式 … 直 線)

Ａ 点   MA=240×0=0 Ｃ 点   Mc=240×200=4.8×104〔N・mm〕

C∼D間(260≦x≦500) 

(仮想 断 面 の左 側 で)

式MCD=RAx-100×(x-200)=240 

x-100 

Ｄ 点MD=140×500+2×104=9×104〔N・mm〕

D∼E間(500≦x≦800)  式MDE=RB(1000 =360×

(仮想 断 面 の右 側 で) -x)-300   (1000-x)-300 

×(800-x) ×(800-x)

Ｅ点   ME=360×(1000-800)-300×(800-800)=7.2×104〔N・mm〕

E∼B間(800≦x≦1000)(仮

想 断 面 の右 側 で)

x+20000=140 

x+2×104

式MEB=RB(1000-x)=360 

×(1000-x)

Ｂ 点MB=360×(1000-1000)=0

式 の つ く り方

Ｘ断 面 の 曲 げ モー メ ン ト(断 面 左 側 の 場 合)

Mx=MCD=RAx-F1(x-l1)

Ｘ断 面 の 曲 げ モ ー メ ン ト(断 面右 側 の 場 合) Mx=MDE=RB(l-x)-F3(l3-x)

曲 げ モ ー メ ン トの式

図3・28

《支 点 や 荷 重 点 の 曲 げ モ ー メ ン トを直 接 求 め る方 法 》 集 中 荷 重 の作 用 す る は りの 曲 げ モ ー メ ン トは,一 般 式 を作 らず 各 点 の 値 を 直 接 求 め る こ とが で き る。 MA=RA×0=0 MC=RA×200=240×200=4.8×104〔N・mm〕 MD=RA×500-100×300=240×500-100×300=9×104〔N・mm〕 ME=RB×200=360×200=7.2×104〔N・mm〕 MB=RB×0=0

答

RB=360〔N〕

( RA=240〔N〕 FAC=240〔N〕

MA=0

FDE=-60〔N〕

FCD=140〔N〕 MC=4.8×104 

ME=7.2×104N・mm

N・mm

MB=0

MD=9×104N・mm

FEB=-360〔N〕

(４)

SFD,

BMD

お よび 最 大 曲 げ モ ー メ ン ト (答

図3・29)

図 3・29

最 大 曲 げ モ ー メ ン トMmaxは,  SFDの

正 負 が 変 わ る点 Ｄ 点 に 生 ず る。

そ の 値 は,Mmax=MD=9×104〔N・mm〕 ト と は,絶

3・3・2

で あ る。 な お 最 大 曲 げ モ ー メ ン

対 値 の 一 番 大 き い も の を い う。

両端 支 持 ば りの は り全 体 に 等 分布 荷 重が 作 用 す る場 合

  こ こで は,両 端 支 持 ば りの は り全 体 に等 分布 荷重 が作 用 す る と きの 反 力 ・せ ん 断 力 ・曲 げ モ ー メ ン トの計 算 の方 法 お よ び せ ん 断 力 図 ・曲 げ モ ー メ ン ト図 の 形 状 が 等 分 布 荷 重 区 間 に お い てSFDは して ほ しい。

直 線,BMDは

放 物 線 にな る こ と を 理 解

(1) 反力 の計 算

例題 3・21

図3・30に

お い て,反

力RA, 

RBを

求 め な さい。

図 3・30

〔 考 え方 〕

図 3・31

反 力 を 計 算 す る と き,全 等 分 布荷 重wlが

等 分 布 範 囲 の 中 央l/2に

集中

して作 用 して い る とみ な し,集 中 荷 重 の と こ ろで学 ん だ は り の っ り 合 条 件 よ り解 け ば よ い。

図3・30を 図3・31の よ うに 集 中荷 重 に 直 して考 え る。

〔 解 き方〕 B点

図3・31の よ うに 集 中荷 重 に 置 き換 え てか ら計 算 す る。

モ ー メ ン トの つ り 合 い よ り

1 RAl-wl・

∴

wl

RA=

=0

2/

(1)

〔N〕

/2

力 の つ り合 い よ り

(2)

RA+RB-wl=0 式(1)と

式(2)よ

り

RB=wl-RA=wl-

wl

= wl

/2

/2

〔N〕

(2) せ ん 断 力 の 計 算 とSFD

例題 3・22

図3・32に

っ い て,せ

ん 断 力 を 求 め,SFDを

作 図 しな さ い。

図3・33せ

図3・32

 〔考 え方〕   RA=ωl/2が

ん断力の考え方

図3・33の よ うに,Ｘ 断面 左 側 に つ い て の せ ん 断 力 を 考 え る と, 上 向 き に,等 分 布 荷 重 は Ａ点 か らの 長 さ ｘ に 比 例 して 下 向 き に 働 く。 こ

の 二 つ を合 計 した もの が Ｘ 断面 のせ ん 断 力 で あ る。 〔 解 き方〕  Ａ ∼ Ｂ間(0≦x≦l)

…(一 次 式 … 直線)

Ａ点(x=0)

Ｂ点(x=l) FABが0に

な る ｘ の 値 は,

∴  l-2x=0

(中 央)で

図3・34

せん 断 力 は0に な る。

(3)  曲 げ モ ー メ ン トの 計 算 とBMD

例 題3・23図3・35に

つ い て,曲

げ モ ー メ ン トを 求 めBMDを

作 図 しな さ い 。

図3・35

図3・36曲

 〔 考 え方〕 

げ モ ー メ ン トの 考 え 方

Ａ ∼ Ｂ 間 に仮 想 断 面 Ｘ-Ｘ を 設 けた とす る と,仮 想 断 面 の 左 側 は図3・36

の よ うに な る。 仮 想 断 面 左 側 に あ る等 分 荷 重 を 便 宜 上 集 中 荷 重 に 直 して 考 え る。   〔 解 き方〕   Ｘ 断 面 に関 す るRAに 荷 重 に よ る 曲 げ モ ー メント

よ る曲 げ モ ー メ ン トはRAx,  Ｘ断 面 左 側 の 等 分 布

は-ωx×x/2=ω/2xで

あ る。

こ の 二 つ を 合 算 す る と,

ｘ の二 次 式 …上 に 凸 の放 物 線

最 大 曲 げ モ ー メ ン トMmaxは,  に な る 点x=l/2の

SFDの〓, 〓

と ころ に生 ず るか ら

の 符 号 の 変 わ る点,…

例 題3・22のFABが0

(4)  せ ん 断 力 と曲 げ モー メ ン トの 関 係

  せ ん 断 力 が ０ ま た は,せ

ん 断 力 の〓,〓

が変 わ る と こ ろで 曲 げ モ ー メ ン

トは 極 大 あ る い は極 小 に な る 。 こ れ ら の 中 で 絶 対 値 の 最 大 の も の を,最

大

曲 げ モ ー メ ン ト と い う。

例 題3・24図3・37に SFDとBMDを

お い て,反

力,せ

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,

作 図 しな さ い。

図3・37

〔 考 え方〕   例 題3・21∼ 例 題3・23を 参 考 に。 〔 解 き方〕  

(1)反

力 の計 算

集 中 荷 重 に直 して, 例 題3・21参 照

(2)  せ ん 断力 の計 算 Ａ∼ Ｂ間(0≦x≦1400)

式

FAB=Fx=RA-ωx=210-0.3x

(一 次 式 … 直 線)

Ａ点(x=0)

FA=210-0.3×O=210〔N〕

Ｂ 点(x=1400)

FB=210-0.3×1400=-210〔N〕

FAB=0に

な る ｘ の値

Fx=210-0.3x=0 (3)曲

∴x=700 

〔mm〕

げモ ー メ ン トの計 算

Ａ∼ Ｂ間(0≦x≦1400) 式MAB=Mx=RAx-ω/2x2

図3・36を

参照

=210x-0.3/ 2  x2(xの =210x-0

二 次 式 … 放 物 線)

.15 x2

Ａ 点,

x=0

MA=0

参 考点,

x=200

M200=210×200-0.15×2002=36000 =3 .6×104〔N・mm〕

x=400

M400=210×400-0.15×4002=60000 =6

x=700

=7

x=1000

x=1400

.0×104〔N・mm〕

M1200=210×1200-0.15×12002=36000 =3

Ｂ 点,

.35×104〔N・mm〕

M1000=210×1000-0.15×10002=60000 =6

x=1200

.0×104〔N・mm〕

M700=Mmax=210×700-0.15×7002=73500

.6×104〔N・mm〕

M1400=210×1400-0.15×14002=0

最 大 曲 げ モ ー メ ン ト は,せ

ん 断 力 が0に

な るxの

Mmax=7.35×104〔N・mm〕 で あ る。 (4) 

SFDとBMD

図3・38の

と お り で あ る。

値700を

代 入 した曲 げ モ ー メ ン ト

図3・38

3・3・3  両 端 支 持 ば りの一 部 に等 分 布 荷 重 が 作 用 す る場 合

例 題3・25図3・39に 計 算 しSFDとBMDを

お い て,反

力RA, 

作 図 しな さ い 。

図3・39

RB,せ

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを

〔考 え 方 〕

例 題3・23,24を

参 考 の こ と。 ポ イ ン トは,反

力 や 曲 げ モ ー メ ン トの 計

算 にお いて,等 分 布 荷 重 を 集 中 荷 重 に 直 して行 う こと。 〔 解 き 方〕

(１) 反 力 の計 算

Ｂ 点 の モ ー メ ン トの つ り 合 い よ り,

Ａ 点 の モ ー メ ン トの つ り合 い よ り,

(２) せ ん 断 力 の 計 算 A∼C間(0≦x≦

〓1)

C∼D間(〓1≦x≦

〓1+〓2)FCD=RA-w(x-〓1)〔

D∼B間(〓1+〓2≦x≦

FAC=RA 

〔Ｎ 〕

〓)FDB=-RB〔

Ｎ 〕(xの

一 次 式 … 直 線)

Ｎ 〕  (右 で)

(３) 曲 げ モ ー メ ン トの 計 算 A∼C間(0≦x≦

〓1)      MAC=RAx〔N・mm〕(ｘ

C∼D間(〓1≦x≦

〓1+〓2)

の 一 次 式 … 直 線) x-〓1/

MCD=RAx-w(x-〓1)×

=RAx-

2 w/

2

(x-〓1)2〔N・mm〕(放

物 線)

図3・40

D∼B間(〓1+〓2≦x≦

〓)(右

側 で 計 算)

M=RB(〓-x)〔N・mm〕(ｘ (４)  SFD,BMDは

図3・41の

の 一 次 式 … 直 線) とお りで あ る。

図3・41

(５)最

大 曲 げ モ ーメ ン トの 求 め 方

  図3・41のSFDよ

り,  F=0な

る 点 で,曲

げ モ ー メ ン ト は 最 大 に な る か ら,  Ｆ の Ｃ

∼Ｄ間の式か ら FCD=RA-w(x-〓1)=0 ＲA+w〓1/ ∴= w

と な る 。 こ の 値 をC∼D間

MCD=

の 曲 げ モ ー メ ン トの 式

RAX-

w /2

に 代 入 して 求 あ る こ と が で きる。

(x-〓)2

例題

図3・42に

3・26

とBMDを

お い て,反

力,せ

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,SFD

作 図 しな さ い 。

図3・42

〔考 え 方 〕

例 題3・25の

〔 解 き方〕

(１)反 力 の 計 算(集

と お り で あ る。

中荷 重 に 直 して か ら)

Ｂ 点 の モ ー メ ン トの つ り合 い か ら RA  ×1400=0.5×500×(250+400) ∴RA=116.1〔

Ｎ 〕

力 のつ り合 いか ら RB=0.5×500-RA=0.5×500-116.1=133.9〔

(２)せ

Ｎ 〕

ん 断 力 の計 算(Ａ 点 か ら仮 想 断 面 ま で の 距離 を ｘ とす る)

A∼C間(0≦x≦500) FAC=RA=116.1〔

Ｎ 〕

C∼D間(500≦x≦1000) FCD=RA-w(x-500)=116.1-0.5×(x-500) Ｃ 点Fc=116.1-0.5×(500-500)=116.1〔

Ｎ 〕

Ｄ 点   FD=116.1-0.5×(1000-500)=-133.9 

〔Ｎ 〕

D∼B間(1000≦x≦1400) FDB=-RB=-133.9〔

(３)曲

Ｎ 〕

げ モ ー メ ン トの計 算

A∼C間MAC=RAx=116.1x Ａ 点   MA=116.1×0=0 Ｃ 点   MC=116.1×500=58050=5.81×104〔N・mm〕

C

D

∼

∼

D

B

間

MCD=

Ｄ点

MD=116.1×1000-

間

116.1x-

0.5/ 2

(x-500)2 0.5/ 2

(1000-500)2=53600=5.3×104〔N・mm〕

右側 か ら計算 MDB=RB×(1400-x) 

=133.9×(1400-x)

Ｂ 点MB=133.9×(1400-1400)=0

図3・43

(４)最 大 曲 げ モ ー メ ン ト せ ん 断 力 が ０ に な る 点 は,SFDよ

りC∼D間

で あ る 。 した が っ て,

FCD=116.1-0.5(x-500)=0 ∴x=732.2〔mm〕,こ

の と こ ろ で 曲 げ モ ー メ ン トは 最 大 と な る 。

C∼D間

の 曲 げ モ ー メ ン トの 式 に,こ

の ｘ の 値 を 代 入 し,

0.5/ Mmax=116.1×732.2-

=7

SFDとBMD

(５)

×(732.2-500)2

2

.15×104〔N・mm〕

(図3・43)

(イ)各

区 間 の せ ん 断 力 の計 算 が終 了 した 時点 でSFDを

(ロ)各

点 の モ ーメ ン トお よ び最 大 曲 げ モ ー メ ン トの 計算 終 了 後BMDを

3 3 4 ・

・

作成 す る。 作 図 す る。

両 端 支持 ば りに等 分布 荷 重 と集 中 荷 重が 同 時 に作 用 す る場 合

  こ こで は,等 分布 荷 重 だ け の場 合,集

中 荷重 だ け の場 合 に つ い て そ れ ぞ れ の

計 算 を 行 い,そ の あ とで合 計 す る方 法 を理 解 され た い。SFDやBMDも

同様 で

あ る。

例題

3 ・ 27

図3・44に

SFDとBMDを

お い て,反

力,せ

作 図 し な さ い 。 ま たMmaxも

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,

求 め な さい。

図3・44

〔考 え方〕

等 分 布 荷 重 だ けの 場 合,集 中 荷 重 だ け の場 合 につ い て別 々 に計 算 を行 い,

後 で これ らを合 計 すれ ば よ い。SFDとBMDの

作 図 をす る と き は,や は り等 分 布 荷 重 の

場 合 の図 と集 中荷 重 だ け の場 合 の 図 を作 り,後 で これ らを合 成 す れば よ い。   ま た,最 大 曲 げ モ ー メ ン トを 求 め る に は,そ の位 置 を知 る こ とが 大 切 で あ る。 位 置 は, せ ん 断 力 の〓,〓

の符 号 が 変 わ る と こ ろ,ま た はせ ん断 力 が ０に な る と こ ろで あ る。

解き方

(１)

反力の計算

① 等 分布荷 重の場 合

② 集 中荷重 の場合

R2B=500-RA=500-300=200〔

③

Ｎ〕

① と② を合計 したもの

(２)

①

RA=Ｒ1A+R2A=100十300=400〔

Ｎ 〕

RB=R1B+R2B=100+200=300〔

Ｎ 〕

せん断力の計算 (ｘ は Ａ点 よ り仮 想 断 面 まで の 距 離) 等分布荷重の場合

A∼B間 Ａ点

F1(AB)=R1A-wx=100-0.2x

②

FA=R1A=100〔

(ｘ の 一 次 式 … 直線)

Ｎ 〕

Ｃ点

F1C=100-0.2×400=20〔

Ｂ点

F1B=100-0.2×1000=-100〔

Ｎ 〕 Ｎ 〕

集中荷重の場合 A∼C間

F2(AC)=R2A=300〔

C∼B間

F2(CB)=-R2B=-200〔

③

Ｎ 〕 Ｎ 〕

(右 側 で 計算)

① と②を合計 した もの A∼C間 Ａ点

FAC=100-0.2x+300=400-0.2x

Ｃ点

FA=400〔

(３)

Ｎ 〕

Fc=400-0.2×400=320〔

C∼B間

Ｎ 〕

FCB=100-0.2x-200=-100-0.2x

Ｃ点

Fc=-100-0.2×400=-180〔

Ｂ点

FB=-100-0.2×1000=-300〔

SFD

(ｘ の 一 次 式 … 直 線)

は図

3・

45 の と お り で あ る 。

(ｘ の一 次 式 …直 線) Ｎ 〕 Ｎ 〕

図 3・45

曲 げ モ ー メ ン トの計 算(ｘ

(４)

①

は Ａ点 よ り仮 想 断面 ま で の距 離)

等分布荷重 の場合 (放物線)

A∼B点 Ｃ点

M1c=100×400-0.1×4002=2.4×104〔

中央

M1中

Ａ 点,Ｂ

②

Ｎ ・mm〕

央=100×500-0.1×5002=2.5×104〔

Ｎ ・mm〕

点M1A=M1B=0

集中荷重の場合 A∼C間

M2(AC)=R2AX=300X

Ａ点

M2A=O

Ｃ点

M2C=300×400=12×104〔

Ｎ ・mm〕

C∼B間

③

M2(CB)=R2B(1000-x)=200×(1000-x)(右

中央

M2中

Ｂ点

M2B=200×(1000-1000)=0

側 で 計 算)

央=200×(1000-500)=10×104〔

Ｎ ・mm〕

合計 したもの Ａ 点,Ｂ

点MA=MB=0

Ｃ 点Mc=M1c+M2c=2.4×104+12×104=14.4×104〔 中 央

Ｍ 中央=M1中

央+M2中

Ｎ ・mm〕

央=2.5x104+10×104=12.5×104〔

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは,せ ん 断 力 図 で〓,〓 Mmax=Mc=14.4×104〔

BMDは

図3・46の

Ｎ ・mm〕

が 変 わ る点,す な わ ち Ｃ点 で あ るか ら

Ｎ ・mm〕

とお りで あ る。

図 3 ・46

〔 別解〕

集中荷重 と等 分布荷重 を一緒 に した状態 で解 く方法

(ａ)

(ｂ)

図3・

(１)

反力 の 計 算(等 分 布 荷 重 を 集 中 荷 重 に 直 して 計 算,図3・47の(ｂ))

RB=全 (２)

47

荷 重-RA=(0.2×1000)+500-400=300〔

Ｎ〕

せん 断力 の計 算(Ａ 点 よ り仮 想 断面 ま で の距 離 を ｘ とす る)

A∼C間FAC=RA-wx=400-0.2x(ｘ Ａ 点FA=400-0.2×0=400〔

の 一 次 式 … 直 線) Ｎ 〕

Ｃ 点Fc=400-0.2×400=320〔

Ｎ 〕

C∼B間FCB=RA-wx-W=400-0.2x-500=-0.2x-100(ｘ Ｃ 点Fc=-0.2×400-100=-180〔 Ｂ 点FB=-0.2×1000-100=-300〔 C∼B間

の 一 次 式) Ｎ 〕 Ｎ 〕

を 仮 想 断 面 の 右 側 で 計 算 す る と FCB=-RB+ｗ(1000-x)=-300+0.2×(1000-x) Ｃ 点Fc=-300＋0.2×(1000-400)=-180〔 Ｂ 点FB=-300+0.2×(1000-1000)=-300〔

(３)

Ｎ 〕 Ｎ 〕

由げ モ ーメ ン トの 計 算(Ａ 点 よ り仮 想 断 面 まで の距 離 を ｘ とす る)

A∼C間

(ｘ の二 次 式 …放 物 線)

Ａ 点MA=0 Ｃ 点Mc=400×400-0.1×4002=14.4×104〔

Ｎ ・mm〕

C∼B間McB=RAx-w/2x2-W(x-400) =400x-0

,1x2-500×(x-400)(ｘ

の 二 次 式 … 放 物 線)

Ｃ 点Mc=400×400-0.1×4002-500×(400-400)=14.4×104〔

Ｎ ・mm〕

Ｂ 点MB=400×1000-0.1×10002-500×(1000-400)=0

C∼B間

の仮想断面の右側で計算す ると

MCB-RB(1000-x)-w/2(1000-x)2 =300×(1000-x)-0

.1×(1000-x)2

Ｃ 点MC=300×(1000-400)-0,1×(1000-400)2=14.4×104〔

Ｎ ・mm〕

Ｂ 点Ma=0

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは Ｃ 点,Mmax=MC=14.4×104〔

図 3 ・48

慣 れ れ ば 別 解 の 方 が 楽 で あ る。

Ｎ ・mm〕

問 題3・1図3・49の 力,曲

よ うに,両 端 支 持 ば り に集 中 荷 重 が 作 用 して い る。 反 力,せ

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,SFDとBMDを

ん断

作 図 しな さ い。

図 3・49

問 題3・2  図3・50の よ うに,両 端 支 持 ば りに集 中荷 重 が作 用 して い る。反 力,せ ん断 力, 曲 げ モ ー メ ン トを計 算 し,SFDとBMDを

作 図 しな さ い。

図

3・50

問 題3・3  図3・51の よ う に,両 端 支 持 ば りの 一 部 に 等 分 布 荷 重 が 作 用 して い る。 反 力, せ ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,SFDとBMDを

図

3・51

作 図 しな さ い。

問 題3・4  図3・52の よ うに,両 端 支 持 ば りの ２箇 所 に等 分 布 荷 重 が作 用 して い る。反 力, せ ん 断 力,曲 げ モ ー メ ン トを計 算 し,SFDとBMDを

作 図 しな さい。

図3・52

問 題   3・5図3・53の 反 力,せ

よ うに,両 端 支 持 ば りに等 分 布 荷重 と集 中 荷 重 が作 用 して い る。

ん 断 力,曲 げ モ ー メ ン トを計 算 し,SFDとBMDを

作 図 しな さい。

図3・53

3・4

・ 3・4

1

片持 ば りの計算

片持ばりに集中荷重が作用する場合

  片 持 ば りの計 算 を行 う場 合,仮 想 断 面 の位 置 を 自由 端 か らの距 離 で示 す と計 算 しや す い。 せ ん 断 力 や 曲 げ モ ー メ ン トの〓,〓

の約 束 は今 まで学 ん だ両 端 支

持 ば り と同 じで あ る。 ま た計 算 方 法 も同様 で あ る。

例 題3・28図3・54に

お い て,せ

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 求 め,SFDとBMD

を 作 図 しな さ い。

図3・54

〈片持 ば り計 算 のポ イ ン ト〉 図3・54に

お い て,Ａ

端 を 自 由 端,Ｂ

端 を 固 定 端 と い う。

仮 想 断 面 の 位 置 は,自 由端 か らの距 離 で 表 す と便 利 。 せ ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トの〓,〓

の約 束 お よ び計 算 方法 は両 端 支持 ば

り の 場 合 と 同 じ。

〔 考え方〕   〔 解 き方 〕

〈片 持 ば り の計 算 の ポ イ ン ト〉 を 参 照 ①

せん断力の計算

A∼B間FAa=-W〔

②

Ｎ〕

曲 げ モ ー メ ン トの 計 算

A∼B間

  MAB=-Wx〔N・mm〕

最 大 曲 げ モ ー メ ン トMmaxは,固

定端に生 じ

Mmax=MB=-W〓

〔N・mm〕

図3・55

例 題3・29図3・56に

BMDを

お い て,せ

作 図 しな さ い。

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 計 算 し,SFDと

図 3・56

〔 解 き方〕 ①

②

せん断力の計算

A∼C間

  FAC=200〔

Ｎ〕            (一 定)

C∼B間

  FCB=200+300=500〔

Ｎ〕   (一 定)

曲 げ モ ー メ ン ト(自 由端 Ａ か ら仮 想 断 面 まで の 距 離 を ｘ とす る) A∼C間

  MAC=-200x(ｘ

の 一 次 式 … 直 線)

Ａ 点   MA=-200×0=0 Ｃ 点   MC=-200×400=-8×104〔N・mm〕 C∼B間

  MCB=-200x-300×(x-400)=-500x+120000(一

Ｃ 点Mc=-500×400+120000=-8×104〔N・mm〕 Ｂ 点   MB=-500×1000+120000=-38×104〔N・mm〕

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは固 定 端 に生 ず る Mmax=MB=-38×104〔N・mm〕

図 3・57

次 式 … 直 線)

例 題3・30図3・58に BMDを

お い て,せ

ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを 求 め,SFDと

作 図 しな さ い。

図 3・58

〔 解 き方 １〕  図3・58を 図3・59の よ う に集 中 荷 重 が 作 用 す る場 合 と等 分 布 荷 重 が 作 用 す る場 合 の二 つ に分 け,別 々 に計 算 した 後 に 合 計 す る方 法 。SFDお 様 に して 合 成 し求 め る。

図 3・59

(１) せ ん 断力 の 計算

①

②

集 中荷重 の作 用する場合 A∼C間

  F1AC=-W1=-200〔

C∼B間

  F1CB=-W1-W2=-200-300=-500〔

Ｎ〕  (一 定) Ｎ〕  (一 定)

等分布荷重が作用す る場合 A∼C間

  F2AC=-WX=-2X 

(一 次 式 … 直 線)

Ａ 点F2A=0 Ｃ 点F2C=-2×500=-1000〔

C∼B間

  F2CB=-W×500=-2×500=-1000〔

Ｎ 〕

Ｎ〕  (一 定)

よ びBMDも

同

③ ① と② を合計 する A∼C問

  FAc=F1AC+F2AC=-200-2x(一

Ａ 点

  FA=F1A+F2A=-200+0=-200〔

Ｃ 点  C∼B間

次 式 … 直 線) Ｎ 〕

FC=F1C+F2C=-200+(-1000)=-1200〔

Ｎ 〕

  FCB=F1CB+F2CB=-500+(-1000)=-1500〔

以 上 の結 果 か らSFDを

Ｎ 〕(一

作 図 す る(図3・63参

照)。

(２) 曲 げ モ ー メ ン トの計 算

① 集中荷重が作 用する場合 A∼C間

  M1AC=-W1x=-200x 

(一 次 式)

Ａ 点  M1A=-200×0=0 Ｃ 点   M1c=-200×500=-10×104〔N・mm〕 C∼B間 

M1CB=-W1x-W2(x-500)=-200x-300×(x-500) =-500x+150000(図3・60) 

(一 次 式 … 直 線)

Ｃ 点  M1C=-500×500+150000=-10×104〔N・mm〕 Ｂ 点   M1B=-500×1500+150000=-60×104〔N・mm〕

図 3・60

② 等分布 荷重が作用する場合 A∼C間

(図3・61)

Ａ 点   M2A=-02=0 Ｃ 点  M2C=-5002=-25×104〔N・mm〕 C∼B間 

M2CB=-(2×500)×(x-250) 

Ｃ 点  M2C=-(2×500)×(500-250) =-25×104〔N・mm〕 Ｂ 点  M2B=-(2×500)×(1500-250) =-125×104〔N・mm〕

(図3・62)

定)

図 3・61

図 3・62

図 3・63 SFDとBMD

③ ① と②を合計す る A∼C間

  MAC=M1AC+M2AC=-200x-x2 

(二 次 式 … 放 物 線)

Ａ 点  MA=M1A+M2A=0 Ｃ 点   MC=M1C+M2C=-10×104-25×104 =-35×104〔N・mm〕 C∼B間MCB=M1CB+M2CB=-500x+150000-(2×500)×(x-250) =-1500x+40×104(一 Ｃ 点  MC=M1C+M2C=-10×1 

次 式 … 直 線) 04-25×104

=-35×104〔N・mm〕 Ｂ 点  MB=M1B+M2B =-60×104-125×104

=-185×104〔N・mm〕

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは固 定 端 に生 ず るの で Mmax=MB=-185×104〔N・mm〕 BMDは

図3・63の

とお りで あ る。

〔解 き 方 ２〕図3・58を そ の ま ま計 算 す る。図3・64を 参 考 に しな が ら解 き方 を覚 え よ う。

図 3・64

(１) せ ん 断 力 の 計 算 A∼C間

  FAC=-wx-W1=-2x-200 

Ａ 点   FA=-2×0-200=-200〔 Ｃ 点   FC=-2×500-200=-1200〔 C∼B間 

FCB=-w×500-W1-W2=-2×500-200-300=-1500〔

(一 次 式 … 直 線) Ｎ〕 Ｎ〕 Ｎ 〕

(一 定)

(２) 曲 げ モ ー メ ン トの計 算 A∼C間

(二 次式 …放 物 線)

Ａ点  MA=0 Ｃ点  MC=-5002-200×500=-35×104〔N・mm〕 C∼B間 

MCB=-(w×500)×(x-250)-W1x-W2(x-500) =-(2×500)×(x-250)-200x-300(x-500) =-1500x+400000 

(一 次 式 … 直 線)

Ｃ 点  MC=-1500×500+400000=-35×104〔N・mm〕 Ｂ 点  MB=-1500×1500+400000=-185×104〔N・mm〕

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは固 定 端 に 生 ず るか ら Mmax=MB=-185×104〔N・mm〕 (３)  SFDとBMD

以 上 の 計 算 結 果 よ り図3・65の とお りで あ る。

図 3・65

問 題3・6  とBMDを

図3・66の

片 持 ば り に つ い て,せ

ん 断 力 お よ び 曲 げ モ ー メ ン トを 計 算 し,SFD

作 図 しな さ い 。

図 3・66

問

題3・7 図3・67の よ う に,分 布荷 重 が 直線 的 に変 化 す る片 持 ば りが あ る。せ ん 断 力 と

曲 げ モ ー メ ン トを計 算 し,SFDとBMDを 500Ｎ,図

作 図 しな さ い。 た だ し,分 布 荷 重 の 合 計 は

中 の太 い 矢 印 は,重 心 に お け る分布 荷 重 の合 計 を示 す 。

図 3・67

3・5  張 出 し ば り の 計 算

例 題3・31  図3・68に とBMDを

お い て,SFD

作 図 しな さい。

〔 考 え方]は

りの つ り合 い の条 件 か ら

反 力 を求 め,次 に両 端 支 持 ば りや片 持 ば りの例 に な らって,せ

ん断 力 や曲 げ モ ー

メ ン トを 求 め れ ば よ い。 〔 解 き方 〕  

(１) 反 力 の 計 算

図 3・68

Ｂ 点 の 力 の モ ー メ ン トの つ り合 い よ り, -RA×600+200×800+500×

  200-400×200=0

力 の つ り合 い よ り RB=200+500+400-RA=200+500+400-300=800〔

(２) せ ん 断 力 の 計 算

Ｎ〕

C∼A間 A∼E間 

  FcA=-200〔

=100〔 E∼B間 

Ｎ 〕  (一 定)

FAE=-200+RA=-200+300 Ｎ〕

(一 定)

FEB=-200+RA-500

=-200+300-500 =-400〔 B∼D間 

FBD=400〔

Ｎ 〕(一 定) Ｎ 〕(一 定)

(３) 曲 げ モ ー メ ン ト(Ｃ 点 か ら仮 想 断 面 ま で の 距 離 を ｘ とす る) C∼A間

  McA=-200x(一

次 式 … 直 線)

Ｃ 点  Mc=-200×0=0 Ａ 点  MA=-200×200 =-4×104〔N・mm〕 A∼E間 

MAE=-200x+RA(x-200)

=-200x+300(x-200) =100x-60000(一

次 式 … 直 線)

Ａ 点  MA=100×200-60000

図 3・69

=-4×104〔N・mm〕 Ｅ点  ME=100×600-60000=0 E∼B点 

MEB=-200x+RA(x-200)-500(x-600)

=-200x+300(x-200)-500(x-600) =-400x+240000 

(一 次 式 … 直 線)

Ｅ点  ME=-400×600+240000=0 Ｂ 点  MB=-400×800+240000=-8×104〔N・mm〕 B∼D間

  MBD=-400(1000-x)(一

次 式 … 直 線)

Ｂ 点   MB=-400(1000-800)=-8×104〔N・mm〕 Ｄ 点  MD=-400(1000-1000)=0

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは Ｂ点 で Mmax=￨MB￨=8×104〔N・mm〕 (４)  SFDとBMDは

図3・69の

とお りで あ る。

例 題3・32  せ ん 断 力,曲 SFDとBMDを

図3・70に

お い て,反

力,

げ モ ー メ ン トを 計 算 し, 作 図 しな さい。

〔 考 え 方 〕反 力 を求 め る と き は,全

等 図 3・70

分 布 荷 重 が 中央 に集 中 して い る と考 え, モ ー メ ン トの つ り合 い か ら解 く。 〔 解 き方〕  (１) 反 力 の計 算

(２) せ ん 断 力 の計 算(Ｃ C∼A間 

点 よ り右 へ ｘ)

FcA=-wx

=-5x(直

線)

Ｃ 点  Fc=−5×0=0

Ａ点   FA=

-5×200 =-1000〔

A∼B間 

Ｎ〕

FAB=-5x+RA =−5x+2500(直

線)

Ａ 点  FA=-5×200+2500 =1500〔

Ｎ〕

Ｂ 点  FB=-5×800+2500 =-1500〔 B∼D間

Ｎ〕

  FBD=w(1000-x) =5(1000-x)(直

線)

Ｂ 点  FB=5(1000-800) =1000〔

Ｎ 〕 図 3・71

Ｄ 点  FD=5(1000-1000)

=0 (３)  曲 げ モ ー メ ン トの 計 算 C∼A間  

McA=-W/2x2=-2.5x2

Ｃ点  Mc=0

(放 物 線)

Ａ 点  MA=-2.5×2002=-10×104〔N・mm〕 A∼B間

  MAB=-2.5x2+RA(x-200)=-2.5x2+2500(x-200)(放

物 線)

Ａ 点  MA=-10×104〔N・mm〕 Ｂ 点   MB=-2.5×8002+2500(800-200)=-10×104〔N・mm〕 B∼D間

  MBD=-2.5(1000-x)2(放

物 線)

Ｂ 点   MB=-2.5(1000-800)2=-10×104〔N・mm〕

Ｄ点  MD=0 最 大 曲 げ モ ー メ ン トMmaxは,せ

ん 断 力 の 符 号 の 変 わ る点,お

点 の 曲 げ モ ー メ ン トの 中 で 絶 対 値 の 最 大 の も の を と る 。SFDを で,ぞ

れ ぞ れ-10×104N・mmの

極 大 と な り,中

の 曲 げ モ ー メ ン トの 式 にx=500を

よ び せ ん 断 力 が ０に な る 調 べ る と,Ａ

央 のx=500mmの

点,Ｂ

点

点 で は,A∼B間

代入 し

M500=-2.5×5002+2500(500-200) =12

.5×104〔N・mm〕

と な る。 ∴M

(４)  SFDお

max=M500=12.5×104〔N・mm〕

よ びBMDは

図3・71の

と お りで あ る。

問 題3・8  図3・72の よ うに張 出 しば りに等 分 布 荷 重 が作 用 す る と き,こ の は りの 反 力, せ ん 断 力,曲

げ モ ー メ ン トを計 算 し,SFDとBMDを

図 3・72

作 図 しな さ い。

４ は りの 強 さ 4・1

4・1・1

 曲げ応 力 と断面 係数

 抵 抗 曲 げ モ ー メ ン トと は

は り に 曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ を 加 え る と,は や そ れ 以 上 曲 が らな い。 い ま,仮

り は あ る 程 度 ま で 曲 が っ て,も

は

想 断 面 左 側 部 分 に つ い て 考 え て み る と,曲

げ

モ ー メ ン ト Ｍ を 受 け て い る の に,は

り が つ り 合 っ て い る の は,こ

と大 き さ が 等 し く 向 き が 反 対 の 曲 げ モ ー メ ン トMrが

の 断面 に Ｍ

生 じて い る と 考 え る こ と

が で き る。 こ の Ｍ に 抵 抗 す る た め 仮 想 断 面 に 生 じ た モ ー メ ン トを抵 抗 曲 げ モ ー メ ン ト と い う。

図 4・1  抵 抗 モ ー メ ン ト

4・1・2

曲 げ 応 力(bending 

stress)

(１) 曲 げ モ ー メ ン トに よ る材 料 の変 形 図4・2は,消

し ゴム を指 で曲 げ た と き,曲 げの 内 側 と外 側 の 変 形 の相 違 を 示

し た も の で あ る。   図 で 示 す よ う に,材

料 を 曲 げ た場 合,圧

縮 を受 けて 縮 む 側 と引 張 りを受 け て

伸 び る側 の 間 に 伸 び も縮 み も し な い 面 が 存 在 す る。 こ の 面 を 中 立 面(neutral surface)と

い い,中

立 面 が 断 面 と 交 わ っ て で き る 直 線 を 中 立 軸(neutral 

axis)

と い う。 曲げの外側表面がいちばん伸ばされる

厚 さの 中心 に 向か って 伸 びが 小 さ くな る

伸 び も縮 み も し な い 面 を中 立 面 とい う 厚 さの 中心 に向 か っ て縮 み が 小 さ くな る

曲 げ の 内 側 表 面が い ちば ん 圧 縮 され る

図4・2曲

げ に よ る消 しゴ ム の変 形

(２) 曲 げ に よ って 生 ず る ひ ず み

例 題4・1図4・3(ａ)の

状 態 の 材 料 を(ｂ)の よ う に 曲 げ た 場 合,中

距 離 にあ る ひず み εを調 べ な さ い。

(ａ)

図4・3

立 面 か ら ｙの

(ｂ)

図4・3

〔 考え方〕  

ひず み は,初 めの 長 さに 対 す る変 形 量 の割 合 で あ る。

〔解 き 方 〕

(１)

曲 率 半 径 を ρ とす る と, (２)

式(１)と 式(２)よ り,

ε=y

(4・1)

/P

ひ ず み は,中 立 面 か らの距 離 ｙ に比 例 す る。

(３)

曲 げ応 力 とは

例 題4・2図4・3(ｂ)の

よ うに材 料 が 曲 げ モ ー メ ン トを 受 けて 曲 げ られ た 場 合,

材 料 内 部 に は応 力 が生 ず る。 曲 げの 内 側 お よ び外 側 に生 ず る応 力 は どの よ う な 種 類 の もの か 。   〔 解 き方 〕   図4・2のよ うに,曲 げ の 内 側 は圧 縮 さ れ る の で圧 縮 応 力 を,曲 げ の外 側 は 引 っ張 られ るの で 引 張 応 力 を生 ず る。 曲 げ 応 力 と は,こ の二 つ の応 力 の総 称 で あ る。

曲 げ応力

図4・4

例 題4・3中

立 面 か ら ｙの 距 離 にあ る応 力 σを調 べ な さい。 た だ し,縦 弾 性係

数 を Ｅ とす る。 〔 考 え方〕  

ひ ず み,応 力,縦 弾 性 係数 の 関係   E=σ/ε

〔解 き 方 〕   σ=ε

Ｅ に,式(4・1)の

ε=y/ρ

を 利 用 す る。

を 代 入 す る と,

中立面か らｙの距 離にあ る曲げ応力は σ=y/ρE

(4・2)

す な わ ち,応 力 は 中立 面 か らの距 離 に比 例 す る。

例 題4・4式(4・2)で,σ

が 最 大 に な る と こ ろ は ど こか。

  〔 解 き方 〕   応 力 は 中立 面 か らの距 離 に比 例 す るか ら,最 上 層 ま た は最 下 層 の 表 皮 に 生 ず る圧 縮 応 力 ま た は 引張 応 力 が 最 大 と な る。

  曲 げ の場 合,表

皮 に 最 大 応 力 を生 じ,こ れ を縁 応 力 と い う。 また,こ

縁 応 力 を 一 般 に 曲 げ応 力 と呼 ん で い る。

の

(４)

曲 げ 応 力 に よ り生 ず る 抵 抗 曲 げ モ ー メ ン ト

図4・5

(ａ)

微 小 面 積 に生 ず る内 力 によ る抵 抗 曲 げ モ ー メ ン ト

  曲 げ モ ー メ ン トを 受 け る は りの 断 面(図4・5)で 面 積 ⊿aを

①

と り,そ

こ に 生 ず る 応 力 を σ と す る と き,

⊿aの 面 積 に生 ず る内 力 ⊿Wは ⊿W=σ

②

中 立 面 か ら ｙの 距 離 に 微 小

⊿Wの

・ ⊿a

内 力 に よ っ て 生 ず る 中 立 軸(N-N)の

ま わ りの抵 抗 曲 げ モ ー メ

ン ト⊿Mrは, ⊿Mr=y・

(ｂ)

⊿W=y・

σ ・⊿a

断 面 全 体 に生 ず る抵 抗 曲 げ モ ー メ ン ト

  各 微 小 面 積 に生 ず る内 力 ⊿Wに

よ る抵 抗 曲 げ モ ー メ ン ト⊿Mrを

つ い て集 め た も のが 抵 抗 曲 げ モー メ ン トMrで Mr=Σ

⊿Mr=Σy・

こ の 式 に,式(4・2)の

Mr=E/ρ∑y2・

と こ ろ で,Σy2・

σ=y/ρ

断 面全体 に

あ るか ら,

σ ・⊿a

を 代 入 す る と,

⊿a

⊿aは 断 面 の 形 状 に よ り一 定 の 値 を 持 つ も の で,こ

考 え Ｉで 表 し、 こ の Ｉを 断 面 二 次 モ ー メ ン ト(moment

of

れ を係 数 と

inertia of area)と

い う。 *  Σ は寄 せ 集 め 記 号 で あ る。 Σ⊿Mrは

⊿Mrを

断 面 全 体 に わ た って 寄 せ 集 め る こ とを 意 味 す る。

ま た,抵

抗 曲 げ モ ー メ ン トMrは

曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ と 大 き さ が 等 し い か ら,

(4・3)

式(4・2)の

σ=y/ρEか

  こ こ で,ｙ

らE/ρ=σ/yと し,こ

れ を 式(4・3)に

を 中 立 軸 か ら表 皮 ま で の 距 離 に と る と,図4・5の

面 中 最 大 の 縁 応 力 と な る 。 縁 応 力 の う ち 圧 縮 応 力 を σc,引 軸 か ら表 皮 ま で の 距 離 を,そ

 ycもytも

代 入 す る と,

れ ぞ れyc,ytと

張 応 力 を σt,中

M=σcZc, 

係 数 と考 え る

置 き 換 え る と,

M=σtZt

これ らを ま とめ て

M=σZ で 表 し,Ｚ

式(4・4)は

を 断 面 係 数(modulus

(4・4)

of

section)と

い う。

非 常 に 重 要 な 式 で あ る。

  は りに生 ず る 曲 げ応 力 は式(4・4)よ

り σ=M/Zで

あ る。 した が って

最大 曲 げ応 力 は最 大 曲 げ モ ー メ ン トを受 け る断 面 に生 ず る は り の強 度 計 算 で は,こ の最 大 曲 げ応 力 が許 容 応 力 以 下 に な る よ うな 断面 係 数 を求 め,こ こか ら断 面 形 状 や寸 法 を決 定 す る。

立

す る と,

断 面 の 形 状 に よ っ て 一 定 の 値 を と る の で,I/yc,I/ytも

こ と が で き る。 こ れ らをZc,Ztで

よ う に σは 断

  ま た,は

りの材 料 が 引張 り と圧 縮 で強 さが 異 な る場 合 や 断面 が 中立 軸 に

対 し上 下 対 称 で な い場 合 は,引 張 り と圧 縮 につ い て そ れ ぞ れ計 算 し断 面 寸 法 を決 定 す る。

(ｃ)

曲 げこわさ

(flexural 

式(4・3)のM=E/ρIか

rigidity)

ら ρ=EI/Mと

一 定 の曲 げ モ ー メ ン トＭ に お い て な り曲 が り が 弱 く,EIの てEIは

し曲 げ 半 径 ρ に つ い て 調 べ て み よ う。

,EIの

大 き い は りは 曲 げ半 径 ρが大 き く

小 さ い は り は ρが 小 さ く 曲 が り が 強 く な る。 した が っ

曲 が り に 対 す る 抵 抗 を 表 す も の で あ る か ら 曲 げ こ わ さ と い う。

表4・1

各 種 断 面 の Ａ,Ｉ,Ｚ の 一 例(機

械 工 学 便 覧 よ り)

〔注 〕  長 方 形 断面 と 円形 断 面 の ＩとＺ は覚 え て お こ う。

〈重 要 な 公 式 の ま とめ 〉 I=Σy2⊿a 

〔mm4〕

(ｙは中 立 面 か ら表4・1に 示 す 距 離) M=σ

・Z〔N・mm〕

〈参 考 〉  中空 物 の Ｉと Ｚ は, I=I1-I2←

上 下 対 称 な場 合 に だ け適 用

I1:充

実 断 面 の断 面 二 次 モ ー メ ン ト

I2:中

空 部 断 面 の断 面 二 次 モ ー メ ン ト

図 4・6

例 題4・5  円形 断 面 お よ び長 方 形 断 面 な どの よ うに 中立 軸 に 対称 な 断 面 に つ い て,Zcお

よ びZtを 調 べ な さ い。

〔解 き 方 〕 

Zc=I/yc，Zt=I/yt

中 立 軸 に対 称 な 断面 で は ｙc=yt ∴Zc=Zt

例 題4・6 

図4・7の

各 断 面 の 断 面 二 次 モ ー メ ン トＩと 断 面 係 数 Ｚ を 求 め な さ い。

(ｄ) (ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図 4・7

(ｅ)

  〔 考え方〕  

Ｉの値 は表4・1の 各式 に数 値 を代 入 す れ ば よ い。 ま た,Ｚ

の 値 も表 の 式

に代 入 して 求 め て もよ い が,先 に求 め た Ｉを 中立 軸 か ら表 皮 まで の 距 離 ｙ で 割 っ た ほ う が簡 単 で あ る。 〔解 き 方 〕

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

(ｅ)

〈参 考 〉  断 面 の 向 き に よ り異 な る断 面 係 数   断 面 係 数 は 同 一 断 面 積 で あ って も， 断 面 が 縦 ま た は 横 の 場 合 と で は,そ の 値 は 異 な る(図4・7の(ａ),(ｂ)を

比 べ な さ い)。 材 料 の 使 用 に あ た っ て は,

は りの断 面 係 数 Ｚが大 き くな る よ うな向 き にす れ ば,は M=σZ→

例 題4・7図4・8に

σ=M/Z

お い て,断

れ ほ ど 丈 夫 か 。 た だ し,図(ａ)の

面 積 が 一 定 の 場 合,図(ａ)よ

(ｂ)

図4 σ=M/Zで

あ る か ら,Ｚ

・8

を 比 べ れ ば よ い。

〔 解 き方 〕   断 面 積 が等 しい か ら,

∴   d2=√2d1 図(ａ)の 断 面 係 数Zaは,

図(ｂ)の 断 面 係 数Zbは,

図(ｂ)の ほ うが,図(ａ)よ

り3/√2倍

り図(ｂ)の ほ う が ど

直 径 と図(ｂ)の 内 径 は 等 し い と す る 。

(ａ)

〔考 え 方 〕 

り は丈 夫 に な る。

強 い。

例 題4・8許

容 曲 げ 応 力60MPaの

メ ン トを 受 け る と き,必 〔考 え 方 〕 

は り が,1.2×106N・mmの

最大 曲 げモ ー

要 最 小 限 の 断面 係 数 はい く らか。

M=σaZよ

り,Ｚ

M=σaZよ

り

を 求 め れ ば よ い 。 た だ し,こ

の と き の σaを 許 容 応 力

とす る。 〔解 き 方 〕 

答   (2×104mm3)

例 題4・9図4・9の す れ ば,最

よ う な 両 端 支 持 ば り の 断 面 を15mm×30mmの

長方 形 と

大 曲 げ 応 力 は い く らか 。

図4 〔考 え 方 〕  

ま ず,最

Ｚ を 計 算 し,M=σZよ

・9

大 曲 げ モ ー メ ン トMmaxを

求 め,次

に,こ

の は りの 断 面 形 状 か ら

り σを求 め れ ば よ い。

〔 解 き方 〕   (１) 反 力 の計 算

RB=100+200-90=210〔N〕

(２) 曲 げ モー メ ン トの 計 算(集 中 荷 重 だ けで あ るか ら,各 の 値 を 求 め る) MA=0 Mc=RA×500=90×500=45000〔N・mm〕 MD=RB×200=210×200=42000〔N・mm〕

MB=0 ∴   Mmax=Mc=45000〔N・mm〕

荷重 点 の曲 げモ ー メ ン ト

(３)

断 面 係 数 の 計 算(表4・1よ り）

(４）

最大曲げ応力の計算

Mmaxは

〔注 〕

例題

4・

10

〓,〓

図4・10の

不 要,絶

対 値 で よ い。

よ う な,断

答(σ=20MPa）

面 の 片 持 ば り で 許 容 応 力 を80MPaと

す ると

き,自 由端 に加 え る こ とが で き る荷 重 は どれ ほ どか。

図4 〔考 え 方 〕

・1

0

ま ず,断 面 の 断面 係 数 Ｚ の値 を求 め る。 次 にM=σaZよ

げ モ ー メ ン トＭ の値 を計 算 す る。 最 後 にM=W〓

よ り加 え る こと の で き る荷 重 Ｗ を求

め れ ば よ い。 〔解 き 方 〕

(１)Ｚ

I2=

の計 算

ま ず,Ｉ を 求 め る と,

1 12 /

× 20×403,

I=

1 12 /

×10×203

l ∴ I=I2-I1=

12 /

(20×403-10×203)

り許 さ れ る 曲

(2)

曲 げ モ ー メ ン トの計 算 M=σaZ=80×5×103=4×105〔N・mm〕

曲 げ の方 向 を考 え る とM=-4×105〔N・mm〕 (3）

荷種 Ｗ の算出 M=-W〓

より

答(W=400N)

題

4 ・1

正 方 形 断 面 を も つ は り を,図4・11(ａ

）の よ う に 用 い る 場 合 と,図(ｂ)の

よ うに

用 い る場 合 と で は,曲 げ に対 して,ど ち らの ほ うが どれ ほ ど強 い か。 答((ａ)の

ほ うが,(ｂ)よ り √2倍強 い)

(ｂ)

(ａ)

図 4 11 ・

題

4・ 2

同一 断 面積 を もつ正 方 形 と 円 と の断 面 係 数 を比 較 しな さい。

答

(正 方 形 の 断 面 係 数 は円 の 断 面 係 数 の1.18倍

）

4 ・2

は り の 強

さ

は りの強 さ の 決定 は 曲 げ モ ー メ ン トで

4 ・2 ・ 1

  一 般 に,は りの最 大 曲 げ モ ー メ ン トを受 け る断面 で最 大 曲げ応 力 を生 じ, この 断 面 が 最 も危 険 な た め 危 険 断 面 と い う。 この危 険 断面 に生 ず る最 大 曲 げ 応 力 が 許 容応 力 を超 え な けれ ば,は

り は安全 で あ る。 特 に,短 い は り以

外 の 場 合 に は,せ ん 断 力 を 考 慮 す る必 要 はな い。

は りの 断 面寸 法 の 決 め 方

4 2 ・2 ・

最 大 曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ,許 M/

と な り,こ

容 曲 げ 応 力 を σbと す れ ば,M=σbZ,Z=

の Ｚ に な る よ う に 断 面 の 寸法 を 決 定 す れ ば よ い 。

σb

例題 4 mm3で

・

11

い ま,あ

る は りに つ い て 必 要 な 断 面 係 数 を求 め た と こ ろ36000

あ っ た。 次 の 各 断 面 の 寸 法 を 決 定 しな さ い。

(1) 正 方 形 断面 と した場 合 の 一辺 の 長 さ (2) 円 形 断 面 と した 場 合 の 直 径 (3) 横 が30mmの

長 方 形 断 面 と した 場 合 の 縦 の 長 さ

〔 考え方〕

表 4 1 を参 照 の こと。

〔 解き方〕

(1) 正 方 形 断 面 で は,

・

(2)

円 形 断 面 で は,

(3)

長 方 形 断 面 で は,

例題 4 ・ 12

図 4・ 12 の よ うに,片 持 ば りに等 分 布荷 重 が 加 わ る と き,は り の許

容 応 力 を80MPaと

す る と,等

分 布 荷 重 を い く らま で とす る こと が で き るか 。

図 4 ・ 12 〔考 え 方 〕

まず,等 分 布 荷 重 を ｗ 〔N/mm〕

メ ン トの 式 を 作 り,次

に,σbと

Ｚ よ り,こ

先 に 求 め た 最 大 曲 げ モ ー メ ン トが,M=σbZに,等 〔解 き 方 〕

と して,固 定 端 に生 ず る最 大曲 げ モー

の は り に 許 さ れ る 曲 げ モ-メ

ン トを 求 め,

し くな る よ うに ｗ を 決 め れ ば よ い。

固 定 端 に 生 ず る最 大 曲 げ モ ー メ ン トＭ は,

(1) 断 面 係 数 Ｚ は,

(2) は り に 許 さ れ る 曲 げ モ-メ

ン トは,

M=σbZ=80×8×103=6.4×105〔N・mm〕 ｗ は,式(1)と

式(3)よ

り,

3.2×105w=6.4×105

w=2(N/mm)

(3)

例題

4 ・ 13

図 4 ・13

ほ ど か 。 た だ し,許

に お い て,は

り の 断 面 を 円 形 と す る と,は

容 応 力 は80MPaと

す る。

図4 〔考 え 方 〕

ま ず,最

・ 13

大 曲 げ モ ー メ ン トを 求 め,次

に,M=σbZよ

こ の Ｚ に な るよ うな 円形 断面 の 直径 を決 め れ ば よ い。 〔解 き 方 〕

(1)反

力の計算

RB=600+1000-RA=1600-660=940〔

(2)

曲 げモ ー メ ン トの計 算 MA=0 Mc=RA×400=660×400=264000〔N・mm〕 MD=RB×300=940×300=282000〔N・mm〕

MB=0 最 大 曲 げ モ ー メ ン トMmaxは, Mmax=MD=282000〔N・mm〕

(3)寸

法の決定 M=σbZ

円形 断 面 の 断 面 係 数 Ｚ は,

りの 直 径 は ど れ

Ｎ 〕

り Ｚ を 算 出 し,

問 題4・3図4・14の

よ うな片 持 ば りが あ る。 この は りの 許 容 曲 げ応 力 σb=60MPaと

れ ば,固 定 端 に必 要 な 断面 係 数 は ど れ ほ どか 。 ま た,は りの 断 面 を 幅b=50mmの 形 と し た場 合,高

す 長方

さ んは ど れ ほ ど か。 答(Z=5.83×104mm3,h=83.6mm)

図4・14

問 題4・4図4・15の

よ う に,長 さ １ｍ の片 持 ば りの 自 由 端 に9000Ｎ

い る。 この断 面 は,幅50mmの 固 定 端 か ら200mmの

の荷 重 が 作 用 して

長方 形 に した い。 断 面 の高 さ ｈ を 求 め な さ い 。 ま た,

と こ ろに,直 径30mmの

だ し,許 容 曲 げ 応 力 を σb=30MPaと

穴 を あ け て もよ い か 判 断 し な さ い。 た

し,応 力集 中 は無 視 す る。 答   (190mm,穴

を あ け て もよ い)

図4・15

4・3

4 3 1 ・

・

は りの た わ み

な ぜ た わ み を考 え るか

は りの 断 面 寸 法 を決 定 す る場 合,強 さの点 ば か りで な く変 形 も あ る許 容 範 囲 に押 さえ る必 要 が あ る。 したが って,変 形 の 点 か ら もは りの断 面 寸 法 を求 め る 必 要 が あ る。

4・

3・

2

た わ み の 式

図4・16に

お い て,曲

線A′Bを

ｘ の 点 の た わ み(deflection),ｉ

た わ み 曲 線(deflection 

curve),δ

を自由端よ り

を 自 由 端 か ら ｘの 点 の た わ み 角(slope)と

い う。

図 4・16 最 大 た わ み δmax,最

大 た わ み 角imaxは,一

般 に 次 の式 で 表 す 。 (4・5)

(4・6)

表

4・2

は りのたわみ角 とたわみの係数 の−例(機 械工学便 覧か ら)

例 題4・14 

図4・17に

お い て,最

な さ い 。 た だ し,E=200GPaと

大 た わ み 角imaxお

よ び 最 大 た わ み δmaxを 求 め

す る。

図 4・17 〔考 え 方 〕

表4・2か

ら,係

数 α お よ び β の 値 を 見 つ け,式(4・5),(4・6)に

表4・2か

ら,α=1/2,β=1/3

代入 し

て 求 め る。 〔解 き 方 〕

断 面 二 次 モ ー メ ン ト Ｉは,

例

題4・15図4・18に

E=200GPaと

お い て,自

由 端 に お け る た わ み δを 求 め な さ い 。 た だ し,

す る。

図 4・18 〔考 え 方 〕 

〔 解き方〕  

δ=δ1+δ2,δ2=i×400(ｉ

は 小 さ い 角 で あ る か ら)

片 持 ち ば り の全 長 を〓,固 定 端 よ り荷 重 点 まで の長 さ を〓1とす る と,

荷 重 点 に お け る た わ み 角 は,

(１)

断 面 二 次 モ ー メ ン ト Ｉは,

式(１)に各 数 値 を 代 入 し,

例 題4・16図4・19に

お い て,最

大 た わ み δmaxを 求 め よ 。 た だ し,E=200GPa

とす る。

図 4・19 〔考 え 方 〕  

表4・2参

照 の こ と。

〔 解き方〕  

断 面 二 次 モ ー メ ン トは,

例 題4・17  た め は,等

ス パ ン1000mmの

両 端 支 持 ば り の 最 大 た わ み を ５mmに

と どめ る

分 布 荷 重 の 限 度 を い く ら に し た ら よ い か 。 た だ し,E=200GPaと

す る。

図 〔考 え 方 〕 

表4・2よ

り β を 求 め,こ

4・20

れ を 式(4・5)に

代 入 し,ｗ

を求 め れ ば よ い。

〔解 き 方 〕

(１)

式(１)に数 値 を代 入 して,

問 題4・5 

図4・21の

よ う に,ス

集 中 荷 重 が 作 用 す る と き,最 1.52×1O8mm4,縦

パ ン ５ｍ の Ｉ形 鋼 の 両 端 支 持 ば り の 中 央 に20000Ｎ

大 た わ み は ど れ ほ ど か 。 た だ し,断

弾 性 係 数 をE=206GPaと

面 二 次 モ ー メ ン トをI=

す る。 答(1.66mm)

図 4・21

の

問 題4・6

問 題4・5を,図4・22の

よ う に 固 定 ば り と し た 場 合,最

大 た わ み は どれ ほ どか。 答(0.416mm)

図 4・22

問 題4・7 δmax=1mmに

図4・23の 両端 支 持 ば りの 中央 に集 中荷 重 が 作 用 す る と き,そ の 最 大 た わ み を と ど め た い 。 は り に 加 え る こ と の で き る 荷 重 は ど れ ほ ど か 。 た だ し,こ

の は り は 外 径d2=45mm,内 80MPa,縦

径d1=30mmの

弾 性 係 数 はE=206GPaと

中 空 軸 で,そ

の 許 容 曲 げ 応 力 は σb=

す る。 答(1.6×103N)

図 4・23

問題4・8 え た 場 合,最 し,h=2bと

図4・24の よ うに,長 方 形 断 面 で 長 さ ２ｍ の片 持ば りに5000Ｎ 大 た わ み を10mm以 し,縦

弾 性 係 数 をE=206GPaと

す る。 答(h=111.6mm,

図 4・24

の集 中荷重 を加

下 に した い。 断 面 の 高 さ ｈ と幅 ｂを求 め な さ い。 た だ

b=55.8mm)

問 題4・9

図4・25の よ う に,等 分 布 荷 重 を受 け て い る片 持 ば りが あ る。 自 由端 に お け

る 最 大 た わ み δmaxを求 め な さ い 。 た だ し,縦

弾 性 係 数 をE=206GPaと

す る。 答(3.93mm)

図 4・25

4・4

平 等 強 さの は り

平 等 強 さの は りと は

4・4・1

  最 大 曲 げ モ ー メ ン トの 働 く危 険 断 面 で は り全 体 を 作 っ た 場 合,他 必 要 以 上 の 強 さ を も ち,材

料 を む だ に 多 く使 っ た こ と に な る。 そ こ で,ど

面 も一 様 な 曲 げ 応 力 が 生 ず る よ う に,曲 に す れ ば,は

の断

げモ ー メ ン トＭ に応 じた断面係 数 Ｚ

り全 体 に わ た り平 等 な 強 さ を も っ こ と が で き る 。 こ の よ う な は り

を 平 等 強 さ の は り(beam 

4・4・2

の部 分 で は

of uniform 

strength)と

い う。

平 等 強 さの は りの Ｚの 求 め 方

M=σbZよ

り,

M σb=

っ ね に,σbが

/Z

一定 に な る よ う に Ｍ に 比 例 した Ｚを 求 め れ ば よ い 。

(4・7)

(1) 幅 が 一 定 で厚 さ を変 化 さ せ る片 持 ば り

例 題4・18 さ ｈ,お

図4・26に

お い て,自

由 端 よ り ｘ に あ る 断 面 の 厚 さ ｙ,固 定 端 の 厚

よ び 均 一 な 応 力 σbを 求 め な さ い 。

〔 考 え方 〕 M=σbZ=σb

ま ず,自 由 端 よ り ｘ の 距 離 に あ る点 の 曲 げ モ ー メ ン トを 求 め,次 に, by2 よ り, ｙを 求 め れ ば よ い。 σbを求 め る に は,固 定 端 に つ い て計 算 す /6

れば よ い。

図 4・26

〔解 き 方 〕

①

ｘ の 距 離 に あ る 曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ は,

(1)

M=Wx ②

ｘ の 距 離 にあ る断 面 の厚 さ を ｙ とす る と,こ の 点 の 断 面 係 数 は, Z= 一 方

,

by2

(2)

/6

(3)

M=σbZ

式(1),(2),(3)よ

り, ・ by2/

Wx=σb 6

(σbを 一 定 と す る)

(4)

(放 物 線) ③

固 定 端 の 厚 さ ｈ は,式(4)に,x=lを

代 入 し,

(5)

④

均 一 な 応 力 σbは,

6Wl σb=

(6)

/bh2

(2) 厚 さが一 定 で 幅 の変 化 す る 片持 ば り(三

例 題4・19

図4・27に

お い て,自

角板 ば ね)

由 端 よ り ｘ の 距 離 に あ る は り の 幅 ｙ,固

定

端 の 幅 ｂお よ び 均 一 な 応 力 σbの 式 を 作 り な さ い 。

図 4・27 〔解 き 方 〕

①

自由 端 よ り ｘの 点 の 曲 げ モ ー メ ン トＭ は,

M=Wx ②

一 方,σbと

(1)

Ｚ と 曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ と の 関 係 か ら,

yh2 /6

M=σbZ=σb・

式(1)と

式(2)か

(2)

ら, Wx=σb・

yh2 /6

6Wx ∴ y= ③

固 定 端 の 幅 ｂ は,式(3)にx=lを

b=

代 入 し,

6Wl /σbh2

④

(3)

/σbh2

(4)

均 一 な 曲 げ応 力 は, 6Wl σb=

/bh2

(5)

〈参 考〉

最 大 た わ み δmaxは,自

由 端 に 生 じ,

6Wl3

δmax=

/bEh3

4・4・3

重 ね 板 ば ね

(1) 重 ね板 ばね片持ば りの場合 図4・28(ａ)の 三 角 ば ね に お い て,固

Z=

Bh

=nbh2

2/6

/6

定 端 の 断 面 係 数 は,

(ａ)

(ｂ)

図 4・28

  こ の 三 角 ば ね を 使 用 上 便 利 な よ う に,い も の が,図4・28(ｂ)の

くつ か の 部 分 に 分 け,こ

れを重 ね た

重 ね 板 ば ね で あ る。 こ の ば ね の 強 さ や た わ み は,三

ば ね と 同 じで あ る 。

M=Wl=σbZ=σb・

nbh2 /6

角板

=6W〓 σb

δ

/ nbh2

=6W〓3 /nbh3E

(2)  重 ね 板 ばね 両端 支 持 の場 合 図4・29の

よ う な 重 ね 板 ば ね で は,中

央 の 断 面 係 数 は,

図 4・29

Z

= nbh2 /6

中 央 の 曲 げ モ ー メ ン トは,

(１)

応 力 と断 面係 数 か ら, (２)

均 一 な 応 力 は,式(２)=式(１)か

ら

3Wl σb＝

  た わ み δ は,三 入 す る と,次

/2nbh2 角 板 ば ね の た わ み の 式(P.166,)にW→w/2,l→l/2を

代

の よ う に な る。

《公 式 の ま と め》

①

幅 が一 定 で厚 さ が変 わ る場 合 (図4・26)

②

三角ばねの場合

③

重ね板ばね(片 持)

④

重 ね板 ばね(車 両用) (図4・29)

例 題4・20 500mm,800mmの

(図4・28)

図4・30の よ う な 平 等 強 さ の 片 持 ば り に お い て,自 箇 所 と 固 定 端 の 厚 さ,お

め な さ い。 た だ し,許 〔 考え方〕

(図4・27)

容 応 力 σb=50MPa, 

公 式 に数 値 を 代 入 す れ ば よ い。

由 端 よ り200mm,

よ び 自 由 端 の 最 大 た わ み δmaxを 求 E=200GPaと

す る。

図4・30

〔解 き 方 〕

曲 げ モ ー メ ン は, M= 

Wx=10000 

x

(１)

(２) 式(１)と 式(２)よ

り, (３)

200mmの

点

500mmの

点

800mmの

点

固定端 最 大 た わ みδmaxは,自

例 題4・21

由 端 で,公 式 に数 値 を代 入 し,

図4・31にお い て,こ の ば ね の固 定 端 に生 ず る応 力 お よ び 自 由 端 の

た わ み を 求 め な さ い。

図4・31

〔 解 き 方〕

自 由端 よ り ｘの 距 離 に あ る断 面 につ い て, M=5000x

固 定 端 で はx=500,y=400で

例題

4・22

図4・32に

許 容 応 力 σb=200MPaで

あ る か ら,

お い て,l=500mm)幅b=60mm,厚

Ｗ=10000 

Ｎ の 荷 重 を 受 け る場 合,板

れ ほ どか 。

図4・32

〔考 え 方 〕

を導 き,こ れ に数 値 を代 入 して,簡 単 に求 め る こ とが で きる。 〔 解 き 方〕

さh=10mm,

の枚 数 ｎは ど

これ に各 数 値 を 代 入 し, 3×10000×500

=6 .25

n=

/2×200×

例題 4・23図4・32の

答  (７枚)

車 両 用 重 ね 板 ば ね で,全

mm,幅b=80mm,板 GPaと

  60×102

の 枚   n=8枚,許

す れ ば,(１)中

長l=1000mm,板

厚h=10

容 応 力 σb=200  MPa, 

E=206

央 に い く ら の 荷 重 Ｗ を 加 え る こ と が で き る か 。(２)こ

の

と きの最 大 た わ み δは い く らか。

〔 考 え方 〕 (１)は,

よ り,

数値 を代 入 し求 め る。(２)は,

に(１)で

を 導 き,こ

れ に

求 め た Ｗ お よ び各 数 値 を代 入 し

て求 め る。 〔 解 き 方〕

荷重 の計算

(１)

(２) たわ み の計 算

例題 4・24 m,幅b=100mm,板

図4・32の

で δ=76.3mmだ 〔 考え方〕  

車 両 用 重 ね 板 ば ね で,全 の 枚 数n=8, 

長l=1600mm,厚

E=206GPa,こ

さh=8m

のばねが無 負荷 状態

け そ って い る。 これ が水 平 に な る と きの 荷 重 Ｗ は い く らか 。 た わ み の式(p.167公

これ に 数 値 を 代 入 す れ ば よ い。

式 ④)を 変 形 し,

〔 解 き方 〕  式(p.167の

問 題4・10図4・33の =6mm

,板

公 式)か

ら求 め た Ｗ の 式 よ り,

片 持 ち 重 ね 板 ば ね で,全

の 枚 数n=6枚,許

長〓=400 

mm,幅b=60 

容 曲 げ 応 力 σb=200  MPa,縦

mm,厚

さh

弾 性 係 数E=206 

GPa

と す れ ば,

図4・33

(１) 自 由端 に加 え る こ との で き る荷 重 は どれ ほ どか。 (２) この と き の最 大 た わ み δmaxはどれ ほ どか 。 答((１)1080Ｎ,(２)25.9mm)

問 題4・11厚

さ8mmの

板10枚 の重 ね た ス パ ン1000mmの

Ｎの 荷 重 を支 え よ う とす る。 許 容 応 力 を200MPaと

車 両 用 重 ね ば ね で,8000

して,板 の幅 を求 め な さ い。 答(93.8mm)

問 題4・12問 GPaと

題4・11で,最

大 た わ み は ど れ ほ ど か 。 た だ し,縦

す る。

他 の さ ま ざ ま な ケ ー ス の た わ み に つ い て は,便

弾 性 係 数 をE=206 答(30

.3mm)

覧 な ど の 式 を 参 考 に され た い。

5

ね

じ 5・1

軸 の ね

5・1・1

(１)

軸

と

軸 の ね

じ

じ り

は

ね じ り を 受 け る 材 料 を 軸(shaft)と

(２)

り

い う。

ね じ りモ ー メ ン トまた は トル クと は

  軸 に 加 え た 偶 力 の モ ー メ ン トを ね じ り モ ー メ ン ト(torsional  ま た は トル ク(torque)と

い う。

ね じ り モ ー メ ン トWL(別

名 トル ク Ｔ)

図5・1の各 部 の名 称 φ:せ

ん断 角

〔rad〕

θ:ね

じれ角

〔rad〕

ｄ:直

径

〔mm〕

ｒ:半 径

〔mm〕

Ｗ:回 転 力 〔Ｎ〕 〓:長 さ WL:ね

〔mm〕

図5・1

じ り モ ー メ ン ト(ト ル ク Ｔ)  〔N・mm〕

moment)

り

(３)ね

じ りに よ る ひ ず み と応 力

(ａ)ね

じ りに よ って生 ず る ひ ず み

  図5・1に お い て,軸 の 円筒 表 面 につ い て考 え る と,軸 を ね じ った結 果,直 線 ABがAB′

に移 動 した とす る。 この こ と は,端 面 に 円周 方 向 の せ ん 断 力 が 働 い

て,BB′ の 変 形 量 を生 じた と考 え る こ とが で き る。   図5・2は

図5・1の

よ う。 た だ し,ね

円 筒 表 面 を 展 開 した も の で あ る 。 せ ん 断 ひ ず み を 調 べ て み じ れ 角 を θ,円

筒 の 半 径 をrと

す る(図5・1を

参 考 の こ と)。

図5・2

(ｂ) ね じ りに よ り生 ず るせ ん 断 応 力   軸 が 円 板 状 の き わ め て薄 い層 か ら成 り立 って い る とす る と,軸 が 外 部 か らね じり モ ー メ ン トＴ を受 け た とき,各 層 の 面 が 少 しず つ ず れ を生 じ,全 体 と し て 軸 が ね じ られ る の で あ る。 この と き各 層 の 面 に は,式(5・1)の

よ うな せ ん

断 応 力 を 生 ず る。

(5・1)

せ ん 断 応 力 は,こ の式 か ら もわか る よ うに (１)  同 一 断 面 上で は,中

心 Ｏ か らの 距 離 ｒに 比 例 す る(図5・3)。

(２)  同 一 円 筒 面上 で は,ど   な お,こ

こで も等 しい応 力 が 生 ず る。

の せ ん 断 力 を ね じ り応 力(torsional 

に 表 皮 に 生 ず る 最 大 せ ん 断 応 力 の こ と を い う。

stress)と

い い。 一 般 的

図5・4

図5・3

(４)ね

じ りモ ー メ ン トと極 断面 係 数

(ａ)断 面 の 中 心 か ら ρの距 離 にあ るせ ん 断応 力

例題5・1図5・4の と す る と,中

軸 の 断面 にお いて

,半

径rの

表 皮 面 上 に 生 ず る応 力 を τ

心 よ り任 意 の 半 径 ρに 生 じて い る 応 力 τρは ど れ ほ ど か 。

〔 考え方〕   軸 の せ ん 断 応 力 は,中 心 か らの 距 離 に 比 例 す る。 〔 解 き方 〕   図5・4の中 に あ る三 角 形 にお いて, τρ:τ=ρ:r ∴τ ρ=τ

・

ρ/ r

(ｂ) 断 面 の 中 心 か ら ρの距 離 に あ る微 小 円環 面 積 ⊿aに 生 ず る 内力

例 題5・2図5・4に 考 え た場 合,こ

お いて,中 心 Ｏ よ り半 径 ρの 位 置 に微 小 面 積 ⊿aの 円 環 を

の 円環 に生 ず る 内 力 を求 め な さ い。

〔 考 え方 〕   内 力=応 力 ×面 積 〔 解 き方 〕  円環 の 内力=

τ ρ・⊿a=τ

・

ρ/・⊿a r

(ｃ)円 環 に生 じた 内力 に よ る微 小 抵 抗 ね じ りモー メ ン ト

例 題5・3図5・4に

お い て,円

環 に生 じた内 力 によ る中 心 Ｏ に 対 す る モ ー メ

ン ト⊿T′ を 求 め な さ い 。 〔考 え 方 〕  〔 解 き方 〕

モ ー メ ン ト=力 ⊿T′=τ

×腕(力

ρ・ρ ・ ⊿a=τ

は τρ・⊿a,腕 ρ/ ・ρ ⊿a= ・ r

は ρ に な る) τ/ ・ρ2⊿a r

(ｄ)断 面 全 体 に生 ず る抵 抗 ね じ りモ ー メ ン ト   ⊿T′ を 中 心 Ｏ か ら軸 の半 径rに 至 る断 面 全 体 に わ た っ て と っ た総 和 を 抵 抗 ね し りモー メ ン トとい い,T′ で 表 す 。

  Σ ρ2⊿aは,断

面 の 形 状,大

Ｉpで 表 す 。 す な わ ち,Ip=Σ moment 

き さ に よ っ て 一 定 の 値 を もつ の で 係 数 と 考 え

ρ2・⊿a,こ

of  inertia  of  area)と

れ を 断 面 二 次 極 モ ー メ ン ト(polar

い う。

  加 え た トル ク Ｔ と 生 じ た 抵 抗 ね じ り モ ー メ ン トT′ と は 大 き さ が 等 し く 向 き が 反 対 で あ る か ら,Σ

ρ2・⊿a=Iρ

と 書 き 直 す こ と が で き る.Iρ/rも 断 面 係 数(polar 

modulus 

と す る と,

一 定 の 値 で あ る の で,Zρ

of  section)と

で 表 す 。 Zρ=Iρ/rを

い う。

ね じ り の 基 本 式   T=τZρ

式(5・2)は

極

(5・2)

トル ク と極 断 面 係 数 の 関係 を示 す 重 要 な式 で あ る。

(５) 断 面 二 次 極 モ ー メ ン トと極 断面 係 数 (ａ)  断 面 二 次 極 モ ー メ ン ト   断 面 二 次 極 モ ー メ ン ト と は,Ｚ 軸(Ｘ,  は Ｏ 点 で 紙 面 に 立 て た 垂 線)に

Ｙ, Ｚ 軸 は 互 い に 直 交 す る軸 で, Ｚ 軸

関 す る 断 面 二 次 モ ー メ ン トで あ る 。 ま た は,軸

心 に 関 す る 断 面 二 次 モ ー メ ン トと も考 え られ る 。 図5・5よ

り,

図5・5

  断 面 二 次 極 モ ー メ ン トは,Ｘ

軸 お よ び Ｙ軸 に関 す る 断 面 二 次 モ ー メ ン トの

和 で あ る。 (ｂ)

円形 断 面 のIPとZP

円 形 断 面 で は,IX=IYよ

り,こ

れ ら を Ｉと す る と,

IP=IX+IY=2I

断 面 が 充 実 円 の 場 合 は, I=

(5・3)

π/

64

d4

(表4・1参 照)で

あ る か ら,

(5・4)

断 面 が 中 空 円 の 場 合(d2:外

径,d1:内

径)

(5・5)

例題

5・4

IPとZPを

直 径60mmの

充 実 円 と,外

式(5・4),式(5・5)を

〔 解 き方〕

(１)充

例題

5・5

径60mmの

中空 円の

求 め な さ い。

〔考 え 方 〕

(２)中

径80mm,内

利 用 す る。

実円

空円

200000N・mmの

ね じ り モ ー メ ン トが 作 用 す る 直 径60mmの

最 大 せ ん 断 応 力 を求 め な さい。 〔考 え 方 〕

〔解 き 方 〕

T=τZPよ

り,τ=

T ,こ れ よ り簡 単 に 計 算 で き る。 ZP /

丸軸 の

5 ・2

の

強

さ

軸の強さと軸径の計算

5・2・ 1 (１)

軸

トル ク と軸 径

充実円断面

軸径 を求め る基 本式

(5・6)

軸径

中空 円断面

例題 5・6

(5・7)

2.0×106N・mmの

い 。 た だ し,許 〔 考 え方 〕

ね じ り モ ー メ ン トを 受 け る 軸 の 直 径 を 求 め な さ

容 ね じ り応 力 を τ=40MPaと 式(5・6)に

す る。

数 値 を代 入 して求 め る。

〔 解 き方 〕

例題 5・7

2.0×10N・mmの

ね じ り モ ー メ ン トを 受 け る外 径80mmの

内 径 を い く ら に し た ら よ い か 。 た だ し,許 応 力 を τ=20MPaと 〔 考 え方 〕 〔 解 き方 〕

す る。

式(5・7)を

利 用 す る。

容 ね じり

中空 軸 は

例題

5・8

外 径40mm,内

径20 mmの

中 空 軸 に6×105N・mmの

ね じ りモ ー メ

ン トが 作 用 し て い る。 発 生 す る ね じ り応 力 を 求 め な さ い 。 〔考 え 方 〕

式(5・7)よ

り求 め る 。

〔解 き 方 〕

例題

5・9

同 一 材 料 で 作 ら れ,同

一 ね じ り モ ー メ ン トに 対 し同 じ強 さ を もつ 充

実 軸 と中 空 軸 の重 さ を比 較 しな さ い。 た だ し,中 空 軸 の 内 径 を外 径 の1/2と す る。 〔考 え 方 〕

強 さが 同 じで あ る と い う こ と は,ZPが

〔解 き 方 〕

同 一 材 料,同

一 ね じ り モ ー メ ン ト,同

充 実軸 径 を ｄ,中 空 軸 外 径 をd2,中 W′ とす れ ば,

d1=

1 d2 で あ る か ら, 2/

同 じは ず で あ る。 一 強 さ で あ る か ら,ZPは

空 軸 内 径 をd1,充

実 軸重 量 を Ｗ,中

等 しい。

空軸 重量 を

充 実 軸 の ほ う が 約1.28倍

重 い。

(２) 軸 の 伝 達 動 力 と軸 径 (ａ) 動 力 と トル クの 関 係 伝 達 動 力 と 回 転 数 か ら,軸

径 を 計 算 す る に は,基

利 用 す る 。 そ の た め に は,動

本 と してT=τZpの

式 を

力 と トル ク の 関 係 を し っ か り理 解 す る こ と が 大 切

で あ る。

例 題5・10 

図5・6の

よ う に,半

力 を 受 け て Ｎ*〔min-1〕

径 ｒ 〔mm〕 の 軸 が,円

周 上 に Ｆ

〔Ｎ 〕 の 回 転

で 回 転 し て い る。 次 の 各 問 に 答 え な さ い 。

①  動 力 Ｐ 〔Ｗ〕 の式 を作 りな さい。 ②  ① の Ｐ 〔Ｗ 〕 の 式 か ら,ト

ル ク Ｔ 〔N・mm〕

の 式 を 導 きな さい。

図 5・6

〔 考 え 方 〕  ①  動 力 とは,単 位 時 間 当 りの仕 事 動力

Ｐ 〔 Ｗ〕=

仕事 Ａ

仕 事 は,  (力)と(力

* 

1J=1N・m,1W=1J/s,1kW=1000Ｗ

* 

〔min-1〕

〔Ｊ〕＊/

所 要 時 間 〔ｓ〕 の方 向 に動 い た距 離)の 積

は １分 間 あ た り の 回 転 数 で,〔rpm〕

の こ と

仕 事     A=F×2πrN=2πTN〔N・mm〕=2πTN/103〔N・m〕=2πTN/103〔 Frは

トル ク で あ る か ら, Fr=Tに

仕 事 〔N・m〕

動力 の単位 ②

/時 間

Ｊ〕

置 き換 え た 。

=〔Ｊ 〕 ジ ュ ー ル/

〔Ｓ〕

〔Ｗ 〕 ワ ッ ト

〔Ｓ 〕=

① で求 め た動 力 の式 か ら導 く。

〔 解 き方 〕    〔 考 え 方 〕 よ り,

①

②

動

力

Ｐ 〔 Ｗ〕

トル ク

=仕 事 Ａ 〔 Ｊ〕/ 時 間 ｔ 〔Ｓ〕

Ｔ 〔N・mm〕=9.55×103P/N

〈公 式 ま と め〉 力の単位を

〔 Ｎ〕,長

さの単 位 を

〔mm〕

とす る と

た だ し,Ｔ:〔N・mm〕

T〔N・mm〕=9.55×103P/N〔N・mm〕

た だ し,Ｐ:〔

   

(5・8)

Ｗ 〕(5・9)

〈参   考 〉 1馬 力

〔PS〕=735〔

Ｗ〕

(5・10)

(5・11)

例 題5・11  な さ い。

７kWの

動 力 を180min-1で

伝 達 して い る軸 が 受 け る ト ル ク を 求 め

〔 解 き方 〕   式(5・9)を

例 題5・129.52PSの

用 い る。 た だ し,動 力 は 〔 Ｗ 〕 に 直 して か ら代 入 す る。

動 力 を180rpmで

伝 達 す る軸 が 受 け る トル クを 求 め な さ

い。 〔解 き 方 〕   式(5・11)よ

例 題5・13  50MPaと

り

直 径50mmの

す る と,伝

軸 が600  min-1で

回 転 して い る。 許 容 ね じ り 応 力 を

達 可 能 な 動 力 は ど れ ほ ど か, P〔kW〕

と Ｐ 〔PS〕 で 求 め

な さ い。   〔 考え方〕   ら式(5・8)お 〔 解 き方〕  

まず,Ｔ=τZPよ よ び(5・10)を

り伝 達 可 能 な トル クを 算 出 し,こ の トル ク と 回 転 数 か

用 い て動 力 を計 算 す る。

伝達 可 能 な トル ク の計 算

① 動力

②*動 力 答(77.1kW,104.9PS)

例 題5・14直

径50mmの

軸 が120min-1で15kWの

動 力 を 伝 達 して い る 。 軸

に 生 ず る 最 大 ね じ り応 力 は ど れ ほ ど か 。  

〔考 え 方 〕 

式(5・9)よ

り トル ク を 求 め,こ

〔 解 き方〕  

発生 す る トル クの計 算(式5・9)

れ を Ｔ=τZpに

代 入 して τを求 め れ ば よ

い 。

* 

1PS=735Ｗ

で あ る か ら,①

で 求 め た77.1×103Ｗ

÷735Ｗ=104.9PSと

して もよ い

。

最 大 ね じ り応 力(Ｔ=τZpか

ら τの式 を導 く)

答 

(ｂ)

動力 と回転数 か らの軸径の計算 充実軸 の直径

(ア)

  Ｔ=τZp=τ 11)を

(48.6MPa)

・πd3/16か

代 入 す る と,次

ら ｄの 式 を 求 め,こ

の 式 に 式(5・9)お

よ び 式(5・

の よ う な 充 実 軸 の 径 を 求 め る 式 が 得 られ る。

Ｐ 〔 Ｗ 〕 と 回 転 数 Ｎ 〔min-1〕 か ら (5・12)

P〔PS〕

と 回 転 数 Ｎ 〔min-1〕 か ら (5・13)

例 題5・151200min-1で

３kWの

動 力 を 伝 え る軸 が 受 け る ね じ り モ ー メ ン ト,

お よ び 軸 径 を 求 め な さ い 。 た だ し,許 〔考 え 方 〕   ね じ り モ ー メ ン ト(ト 軸 径 は 式(5・12)を 〔解 き 方 〕 

容 ね じ り応 力 を20MPaと

ル ク)は,式(5・9)。

用 い る。

ね じりモーメ ン ト

軸径 は

*  軸 径 は,先

に求 め た Ｔ の値 を

に 代 入 して求 め て もよ い。

す る。

例 題5・16200rpmで10PSを た だ し,許

伝 達 す る軸 が あ る。 この 軸 の 径 を 求 め な さ い 。

容 ね じ り応 力 は20MPaと

〔考 え 方 〕   式(5・13)を

す る

用 い る。

〔 解 き方〕 答(44.7mm)

中空軸 の軸径

(イ)

  中 空 軸 の 外 径 をd2〔mm〕,内

径 をd1〔mm〕,許

容 ね じ り 応 力 を τ 〔MPa〕

と す る。

◎   応 力 と極 断 面 係 数 に よ る トル クの式(5・7) (１)

内径 と外 径 の比 を ｋとす る と d1/ d2=kよ

りd1=d2kを

式(１)に

代 入 す る と

(２) ○  動 力 が Ｐ 〔 Ｗ 〕 の 場 合,式(5・9)よ

り

(３)

式(２)=式(３)

○   動 力 が Ｐ 〔PS〕 の 場 合,式(5・11)よ

り

(４)

式(２)=式(４)

《公 式 ま とめ》 中 空 軸 に お い て,d2:外

径,d1:内

径,  d1/d2=kと

し た と き,

○動力 が Ｐ 〔 Ｗ 〕 の場 合 (5・14)

○ 動 力 が Ｐ 〔PS〕の場 合 (5・15)

例 題5・1720kWの

動 力 を200  min-1で

め な さ い 。 た だ し,d1/d2=0.6,許 〔解 き 方 〕   式(5・14)よ

伝 え る 中 空 軸 の 外 径d2と

容 ね じ り 応 力 を20MPaと

り

動 力 を200rpmで

め な さ い 。 た だ し,d1/d2=0.6,許 〔解 き 方 〕   式(5・15)よ

d2=65.4 

伝 え る 中 空 軸 の 外 径d2と 容 ね じ り応 力 を20MPaと

充実軸 の直径 と中空軸 の外径 との関係

mm)

内 径d1を

す る。

り

答(d1=39.2mm, 

(ウ)

求

す る。

答(d1=39.2mm, 

例 題5・1827.2PSの

内 径d1を

d2=65.3mm)

求

  同 一 材 質 で ね じ り強 さ の等 しい充 実 軸 と中 空 軸 に お い て,そ れ ぞれ の外 径 を 比 べ て み よ う。 充 実 軸 の 直 径 を ｄ 〔mm〕,中 d1/d2=kと

す る と,式(5・12)と

空 軸 の 内 径 をd1〔mm〕,外 式(5・14)か

径 をd2〔mm〕,

ら

(5・16)

この 関 係 は曲 げ の場 合 に も適 用 され る。

例 題5・19外

径d2=80mm,内

径d1=48mmの

中 空 軸 と等 しい ね じ り強 さ

を も っ 充 実 軸 の 直 径 ｄ を 求 め よ 。 ま た 中 空 軸 と 充 実 軸 の 断 面 の 面 積 比 も求 め よ。 〔解 き 方 〕

式(5・16)よ

り

k=d1/d2=48/80=0.6

面積比 この 場 合,同 一 強 さに お い て 中空 軸 は充 実 軸 の70%の

重 量 で あ る。

答(d=76.4mm,面

〈参 考 〉  例 題5・9も,こ

例 題5・20外

径60mm,内

許 容 ね じ り応 力 を48MPaと

積 比=70%)

の方 法 で解 い た方 が 簡 単 で す ね。

径50  mmの す る と き,伝

中 空 軸 を273min-1で

回転 さ せ た い 。

達 可 能 な 動 力 を 〔kW〕 と 〔PS〕 で 求

め な さ い。 〔 考 え方 〕

①

ま ず伝 達 可 能 な トル ク を求 め よ。 ②

次 に式(5・8)お

よ び(5・10)

に よ り,動 力 を 算 出す る。 〔 解 き方 〕

②

①

伝 達 可 能 な トル ク の計 算

伝達可能 な動力 式(5・8)

式(5・8)

答

5・2・2

(30kW,40.8PS)

ね じれ角 と伝 達 動 力

(１) ね じれ 動 力 計   ね じ れ 動 力 計 と は,一

定 の 長 さ〓 〔mm〕

に 対 す る ね じ れ 角 θ を 測 定 し,ト

ル ク や 動 力 を 算 出 す る測 定 器 で あ る。 そ の 原 理 は,次 (ａ)ね

の とお りで あ る。

じ れ 角 と トル ク

軸 端 の ね じ れ 角 を θ と す る と,

(１) 図5・7

(２)

式(２)を 式(１)に 代 入

ね じれ 角 の 基 本 式 (5・17)

θ を 度 で 表 す と,1radは

約57.3゜ で あ る か ら (5・18)

(ｂ)ね

じれ角 と動 力

ま た,式(5・17)お

よ び 式(5・18)に,

ま た はT=7.02

を代 入 し,ね じれ 角 θ と動 力 との 関係 を示 す式 を作 る と,

(5・19)

(5・20)

  な お,ね じり動 力 計 で測 定 した θと回 転 数 Ｎ か ら,次 の式 を用 い て 動 力 を求 め る こ とが で き る。

式(5・19)よ

り,

(5・21)

式(5・20)よ

り,

(5・22)

例 題5・21毎

分200回

転 で5kWの

動 力 を 伝 え る 長 さ １ｍ,直

径40mmの

フ トが あ る 。 発 生 す る ね じ れ 角 θ の 値 を 求 め な さ い 。G=78.4GPaと 〔考 え 方 〕   式(5・19)を

〔 解 き方 〕

式(5・19)か

用 い る。 ら

シャ

す る。

(１)

ところで 式(１)に各 数 値 を代 入 して,

答(θ=0.695゜)

例 題5・22長

さ2000mm,直

径60mm,横

ね じ り モ ー メ ン トを 加 え た と こ ろ,ね

弾 性 係 数G=78.4GPaの

じ れ 角1/300radを

材 料 に,

生 じた。 加 え た ね じ

り モ ー メ ン トと 最 大 せ ん 断 応 力 を 求 め な さ い 。 〔考 え 方 〕   ①

ね じ り モ ー メ ン トは,式(5・17)よ

り,②

せ ん 断応力 は

よ り求 め られ る。 〔 解 き 方 〕  ①

ね じ り モ ー メ ン ト は 式(5・17)θ=T〓/GMpを

変形 し

② せ ん断応 力は

答(T=1.66×105〔N・mm〕, 

例 題5・23許

容 応 力20MPaの

す る と き の 回 転 数N〔min-1〕 〔考 え 方 〕 ②

①

材 料 で 直 径50mmの

軸 を 作 り,10kWを

伝 達

を求 め な さ い。

こ の 軸 が 受 け ら れ る ト ル ク をT=τ

次 にT=9.55×103×P〔W〕/Nよ

τ=3.92〔MPa〕)

・Zpで 求 め る。

り Ｎ の 式 を 作 り,①

〔 解 き方 〕  ① 軸 が 受 け る トル ク は

で 求 め た トル ク を 代 入 し求 あ る。

②

回転数 の計算

答   (N=195〔min-1〕)

例 題5・24直

径60mm,長

さ １ｍ に っ き １゜の ね じれ 角 を 生 じて い る 軸 が 毎 分

240回 転 し て い る。 こ の と き の 伝 達 動 力P〔kW〕 係 数 をG=78.4GPaと

を 求 め な さ い 。 た だ し横 弾 性

す る。

〔 考え方〕

式(5・21)に

〔解 き 方 〕

式(5・21)

数値を代入

(２)軸 の こ わ さ と軸 径   ね じれ角 と トル ク,ね

じれ 角 と動 力 の式 にお いて,単 位 長 さ に対 す るね じれ

角 θ/〓 を軸 の こ わ さ とい い,こ の 徽

は軸 の長 さ １ｍ に対 し1゜/4と す る の が標 準

で あ る。 (ａ)軸 の こわ さか ら求 め た 軸 径

例 題5・25軸

の 長 さ １mに 対 し, ね じ れ 角1゜/4' 伝 達 動 力P〔kW〕

を求 め る式 を作 りな さ い。 〔考 え 方 〕

式(5・19)を

に θ=1゜/4，〓=1000を

用 い て 解 く。

代 入 し， 式 を 変 形 して ｄを 求 め る式 を作 る。

〔解 き 方 〕   式(5・19)よ

り

の軸 の径

例 題5・26軸

の 長 さ １ｍ に 対 して ね じ れ 角1/4゜,伝

達 動 力P〔PS〕

の軸 の径

を 求 め る式 を作 りな さい。 〔考 え 方 〕   式(5・20)を

用 い る 。 例 題5・25と 同 様 に 解 く こ と 。

〔解 き 方 〕   式(5・20)よ

り

を代 入 し整 理 す る。

《軸 の こわ さか ら求 め た軸 径 公 式 の ま とめ》 ね じ れ 角 … １ｍ に 対 し(1/4)゜

の 標 準 と した と き 。 (5・23)

(5・24)

例 題5・27許

容 ね じ り 応 力40MPa,横

の 動 力 を240min-1で

伝 達 す る に は,軸

さ は 長 さ １ｍ に つ き(1/4)゜

とす る。

弾 性 係 数G=80GPaの

軸 で20kW

径 を い く らに した らよ い か。 軸 の こわ

〔 考 え方 〕   式(5・12)の

強 さ か ら計 算 した軸 径 と,式(5・23)の

軸 の に わ さか ら計

算 した軸 径 を比 較 して太 い方 を選 ぶ。 〔 解 き方 〕  ① 軸 の 強 さ か らの 軸 径 の計 算(式5・12)

② 軸 の こわ さ か らの軸 径 の 計算(式5・23)

答(太

問 題5・1240min-1で

８kWを

伝 達 す る外 径70mm,内

が あ る 。 次 の 各 項 に 答 え な さ い 。 た だ し,許 80GPaと

い方 を と り,軸 径69.4mm)

径60mm,長

さ ２ｍ の 中 空 軸

容 ね じ り応 力 を20MPa,横

弾 性 係 数 をG=

す る。

(１)伝

達 トル ク Ｔ を 求 め な さ い。

(２)断

面二 次極 モ ー メ ン トIPを 求 め な さ い。

(３)ね

じ り角 θ゜を 求 め な さ い。

(４)極

断 面 係 数 Ｚpを 求 めな さ い。

(５)発

生 して い るね じり応 力 τを求 め な さ い。

答

)

(

(１)3.18×105N・mm,(２)1.08×106mm4,(３)25′19",

(４)3.1×104mm3,(５)10.3MPa,

問

題5・2回

転 数180min-1で,動

径 を 求 め な さ い 。 た だ し,許

力10kWを

伝 達 す る 軸 の トル ク と 軸 の 強 さ か ら の 軸

容 ね じ り応 力 を τa=40MPaと

す る。

答(T=5.31×105N・mm,d=40.7mm)

問 題5・3 

問 題5・2で

許 容 ね じ れ 角 を 長 さ １ｍ に っ き(1/4)゜

軸 径 を 求 め な さ い 。 た だ し,横

弾 性 係 数 をG=78.4GPaと

と す る と き,こ

わ さか ら

す る。

答(d=63mm)

問 題5・4図5・8の

* 

G=80GPaを

よ う な ベ ル ト車 Ａ に,120min-1で20kWの

代 入 す る と き,80GPa=80×103MPa=80×103N/mm2と

動 力 を 与 え,こ

れをべ

直 し て か ら 代 入 す る。

図 5・8 ル ト車 Ｂが12kWを,Ｃ

が8kWを

し,軸 の 許 容 応 力 を40MPa,横

受 け る と き,軸 径 を どれ ほ ど に した らよ いか 。 た だ 弾 性 係 数 をG=79.4GPaと

す る。 な お 軸 の 強 さ か ら

の 計 算 とす る。 答   (A-B間

の 軸 径49.5mm,A-B間

5・3

5・ 3 1 ・

の 軸 径43.3mm)

コ イ ル ば ね

コイ ル ばね の変 形

図5・9の よ う な コ イ ル ば ね を 構 成 す る 素 材 の 断 面 に つ い て 調 べ る と,

図 5・9

①

圧 縮 荷 重 Ｗ に よ る ね じ り モ ー メ ン ト Ｔ は,

た だ し,Ｄ:平 ②

均有効 径

ば ね １巻 につ い て の変 形 量 δは, (１) た だ し,θ:ね

一 方

,ね

じれ 角

じ れ 角 θ は,式(5・17)よ

り,

(２) 式(２)を 式(１)に 代 入 し,

１巻 に つ い て の 長 さ〓=πDで

あ る か ら,

(5・25)

③

ｎ巻 き につ いて の変 形 量 ⊿ につ いて,

(5・26)

た だ し,ｄ:線

例 題5・28  ね に,荷

直 径d=30mm,平

重10000Ｎ

た だ し,横

材の径

均 有 効 径D=120mm,巻

数n=10の

コイ ルば

を 加 え た と き のせ ん 断 応 力 お よ びた わ み ⊿ を 求 め な さ い。

弾 性 係 数 をG=80GPaと

す る。

〔考 え 方 〕

τの 計 算 は,ま

⊿ の計 算 は,式(5・26)に

〔解 き 方 〕 

ず,ね

で 求 め る。

じ りモ ー メ ン ト Ｔ を

と し て 求 め る。

よ り,

次 に,

②

①

T=τZPよ

数 値 を代 入 す る。

り,

た わ み⊿ は

答   (τ=113.2MPa,⊿=21.3 

例 題5・29 

コ イ ル の 直 径100mmの

伸 び る よ う に,線

②

①

り

線材の径の計算

トル ク

線材 の径 ②

巻 数

式(5・26)

容応力を

の ２式 か ら ｄを求 め る。

ｄの 計 算 は,

値を代入すればよい。 ①

で40mm

す る。

ｎ の 計 算 は,式(5・26)よ

〔 解 き方 〕

重10000Ｎ

材 の 直 径 ｄ と 有 効 巻 数 ｎを 決 め な さ い 。 た だ し,許

400MPa,G=80GPaと 〔 考 え方 〕

コ イ ル ば ね が,荷

mm)

より

を導 き,こ の 式 に,先

に求 め た ｄ の

答   (d=18.5mm, 

問 題5・5  コ イ ルの 平 均 有効 径D=50mmの 変 形量 ⊿=25mmを

n=5巻)

コイ ル ば ね が荷 重W=2000 

Nを 受 け て,

生 ず るよ うに,線 材 の 直径 ｄ と有 効 巻  ｎを求 め な さ い。 た だ し,

線 材 の 許 容 応 力 を τ=450MPa,横

弾 性 係 数 をG=80  GPaと

す る。

答   (d=8.3mm, 

問 題5・6横

弾 性 係 数G=79GPa,許

コ イル の 平 均 有 効 径D=120mm,最

容 せ ん 断応 力 τa=400 MPaの 大 荷 重W=2×103Nの

n=5巻)

ば ね鋼 を用 いて ，

と きた わ み⊿=100  mmの

コイ ル ば ね を 作 りた い。線材 の直 径 ｄ と有 効 巻 数ｎ お よ び ば ね定数k=W/⊿

を 求め な さ

い。 答    (d=11.5mm, 

n=5巻, 

k=20  N/mm)

６ 応

せ

合 組

力 1

主 面 と主 応 力

6・

1 6・1・

傾斜面に生ずる応力

  図6・1の よ うな短 い鋳 鉄 片 を 圧縮 す る と斜 め に破 壊 す る の は なぜ だ ろ うか 。 これ は 斜 め に せ ん 断 力 が働 い た と考 え る こ とが で きる。 す な わ ち,圧 縮 力 の分 力 の 一 つ が せ ん 断 力 にな った の で あ る。   そ こで,図6・2の

よ うに,引 張荷 重 Ｗ が 加 わ っ た と き,垂

の 傾 きを な す傾 斜 面CDに

図6

・1

直 断 面ABと

生 ず る応 力状 態 を調 べ る こ とにす る。

図6

・2

θ

  図6・2に お いて(厚 さ を １とす る),軸 方 向 の 荷 重 Ｗ をCD断 重WnとCD断

面 に沿 う方 向(接 線 方 向)の 荷 重Wsに

面 に垂 直な荷

分 解 す る と,

Wn=Wcosθ Ws=Wsinθ

次 に,軸 CD面

に垂 直 な 横 断 面ABに

生 ず る応 力 を σ,CD面

と接 線 方 向 の 応 力(せ ん 断応 力)を

と こ ろ で,σ=W/ABで

に垂 直 な応 力 を σn,

τとす る と,

あ る か ら,

σn=σcos2θ

(6・1)

(6・2)

σnの

最 大 値 は,式(6・1)か

ら,θ=0°

τ の 最 大 値 は,式(6・2)か き ，

τmax=σ/2と

な

ら,sin2 

θ ＊=1の

とな る。

と き,す

な わ ち θ=45°

る 。

表6

・1

斜断面 に生ず る応力

・cosθ ， よ っ て σsinθcosθ

=σ/ 2

×2sinθ

・cosθ

=

σ/

2

＊   sin2θ=2sinθ

の と き,σn=σ

sin2θ

とな る。

の と

例 題6・1断

面積400mm2の

丸 棒 に12000Ｎ

の 引張 荷 重 が 働 い て い る と き,

軸 線 と直 角 な 断面 に対 して30°傾 い た 断面 に生 ず る垂 直 応 力 とせ ん 断 応 力 は ど れ ほ ど か。 〔考 え 方 〕   式(6・1),式(6・2)を 〔解 き 方 〕  

断 面 積 をA〔mm2〕

用 い れ ば よ い。 と す る と,式(6・1),式(6・2)よ

り,

1 6・

・2

互 い に直 角 な荷 重 を受 け た場 合 に傾 斜 断面 に生 ず る応 力

  互 い に 直 角 な 荷 重 を 受 け る こ と に よ り,材 直 角 な 応 力 σx, σyを 生 ず る 。 ま た,傾 せ ん 断 応 力 を τ と す る と,△ABDは

料 に は,図6・3の

斜 断 面BD上

・3

いに

に 生 ず る 垂 直 応 力 を σn,

σx,σy， σn,τ の 四 つ の 応 力 で つ り 合 っ

て い る こと に な る。

図6

よ う に,互

図6

・4

(1)  BDに 垂 直 な力 のつ り合 いか ら σnBD=σxABcosθ+σyADsinθ

(6.3) (6・3)

(2)  BD方

向 の力 のつ り合 い か ら τBD=σxABsinθ-σyADcosθ

(6.4) (6・4)

(3)  σnお よ び びτ τの最 大 値 σnの 最 大 値 は,(σx＞

式(6・3)よ

す る と,

り,

cos2θ

︷

cos2θ=1,最

σy＞0)と

小 値 を と る に は,cos2θ=-1の は,  cos2θ=-1の

と き,

θ=0°

の と き最 大 で

σmax=σx σmax=σx

θ=90° θ=90°

の と の とき き最 最 小 小で で

σmin=σy σmin=σy

す な わ ち,

  τ の 最 大値 (σx-σy)/2と (σx-σy）/2と

〔注〕

が 最 大 値 を と る に は,

と な る。

は ， 式(6・4)でsin2θ=1の な る。

と き,す ぎ す な わ ち θ=45°

の と き τmax=

(4)  主 面 と主 応 力

せ ん断 応 力 が 作 用 しな い断 面 を 主 面 と い い,こ の 断 面 に作 用 す る垂 直 応 力 σnを主 応 力 と い う。 表6・2参 照 の こ と。

表6・2  互 い に 直 角 な 垂 直 応 力(σx>σy>0)

6・1・3 互 い に直 角 な垂 直 荷 重 とせ ん 断荷 重 を受 け た と き傾斜 断 面 に 生ずる応力 図6・5の よ う に,主 面 を仮 想 し主 面 を含 む △ABCに 考 え る(主 面 に生 じて い る応 力 は,垂 直 応 力 だ け)。

(1)  主 面 の位 置 と 主応 力

図 6・5

つ い て 力 の つ り合 い を

σx方 向 の つ り合 い は, σABcosθ=σxBC+τAC=σx・ABcosθ+τ

・ABsinθ

∴   σ=σx+τtanθ ∴   σ-σx=τtanθ

(１)

σy方 向 の つ り合 い は, σABsinθ=σyAC+τBC=σyABsinθ+τABcosθ σ=σy+τcotθ ∴   σ-σy=τcotθ

主 面 の 位 置 は,式(2)一

(２)

式(1)よ

り,

主面 の位 置

(6・5)

主 応 力 は,式(1)×

式(2)よ

り,

(σ-σx)(σ-σy)=τ2

σ は未 知 数 で あ るか ら,σ に つ い て の方 程 式 を作 る と, σ2-(σx+σy)σ+σxσy-τ2=0

σ に つ い て,こ

主応力

〔 注〕

の 二 次 式 を 解 く と,

(6・6)

  σx,σyが

ax2+bx+c=0を

ｘ に つ い て 解 く と,

と も に 引 張 り,ま

とな る。

た は圧 縮 の場 合

(6・7)

最 大 せ ん 断 応 力 τmaxは(表6・2参

照),

(6・8)

《組 合 せ 応 力 の 問 題 を解 く基 本式 》 式(6・6),式(6・7),式(6・8)は,組 で あ る。 た と え ば,圧 引 張 応 力 を 正 と して,こ

縮 応 力 と 引 張 応 力 の 組 み 合 わ せ の 場 合,圧

応 力,主

面 の 位 置,最

作 用 して い る と

大 せ ん断 応 力 を求 め よ。

〔 考 え方 〕   主 面 の位 置 は τ=0に と して,θ

な る角 度 で あ る か ら,

を求 め れ ば よ い。 主 応 力 は

に,先

た θを 代 入 す る。 最 大 せ ん 断 応 力 は, 〔解 き 方 〕 

〔注 〕

σx>σy>0の

σyの 互 い に

本 式 の τ に ０を 入 れ 計 算 す れ ば よ い。

題6・2  材 料 に 直 角 な 二 つ の 引 張 応 力60MPa,30MPaが

き,主

縮 応 力 を 負,

れ らの 式 に 代 入 す れ ば よ い。 ま た,σxと

直 角 な 応 力 だ け が 働 く場 合,基

例

合 せ 応 力 の問 題 を解 くと き の基 本 の 式

の と きで あ る。 と き,

に求 め

主面 の位置

τ=0で

あ る た め に は, sin2θ=0 ∴   θ=0°

ま た は90°

主応力

こ れ に θ=0°

お よ び90° を 代 入 す る と, σmax=σx=60〔MPa〕

σmin=σy=30〔MPa〕

最大 せん断応力

〔 別解〕 主 面 の 位 置  式(6・5)よ

∴   θ=0° 主 応 力  式(6・6)よ

最大せん断応力

り,

お よ び90° り,

主 面 の位 置60MPaの

答

(

応 力 の 方 向 を 縦 とす る と,そ の

横 断 面 お よ び 同 一 方 向 。 主 応 力 σmax=60MPa,σmm

=30MPa,最

例 題6・3  互 い に 直角 な60MPaの

大 せ ん 断 応 力15MPa

引 張 応 力 と30MPaの

)

圧 縮 応 力 が 生 じて い

る材 料 の 最 大 垂 直 応 力 お よ び最 大 せ ん 断 応 力 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 

基 本 の 式(6・7)お

〔 解き方〕  

最大垂直応力

σx=60MPa,σy=-30MPaと

よ び 式(6・8)を

用 い る。

す る。

最小垂直応力

最 大せん断応力

例 題6・4 

引 張 応 力30MPa,圧

に 交 わ る せ ん 断 応 力20MPaが

縮 応 力40MPaが

直 角 に 生 じ,こ

生 じて い る場 合 の σmax,τmaxを

れ らに直角

求 め よ。

〔 考 え方 〕  式(6・6)の

を用 いれ ば よ い。

式(6・8)の 〔解 き 方 〕   式(6・6)よ

り

(１) こ こ で,σx=30MPa,σy=-40MPa,τ=20MPaを

式(１)に 代 入 す る と,

または

σmax=45.3MPa(圧

答

縮 応 力)

(

τmax=40.3MPa

6 2

モ

・

6・1節 で は,計

算 で 傾 斜 断 面 の 応 力 を 求 め た が,図

ー

ル

〈作 図 法 〉 

い に 直 角 な 垂 直 応 力 の 場 合(図6・6)(た

Ｏ を 原 点 と す る 直 交 座 標 軸 を 引 く。

②

横 軸 上 に σx=OA,σy=OBを

③ABを

だ し,σx>σy>0)

図6・7参 照 の こ と。

①

直 径 と す る 円 を 描 き,そ

円

を 作 って 求 め る こ と もで

き る。 こ の図 を モ ー ル 円 と い う。

6・2・1互

)

と る。 の 中心 を Ｃ とす る。

図6・6

図6・7

④  CAか

ら左 ま わ り に ∠ACD=2θ

⑤ 

′を 引 く 。

Ｄ,Ｄ

⑥  点 Ｄ,Ｄ

と な る よ うな点 Ｄ を 円周 上 に とる。

′よ り横 軸 に 垂 線 を 下 し Ｅ,Ｅ

斜 面 上 の 垂 直 応 力 σnを表 し,DEは 図 か ら,σmaxお

′と す る 。 こ の と き,OEは

θの

斜 面 上 のせ ん断 応 力 を表 す。

よ び σminは,

σmaxは,2θ=0゜ σminは,2θ=180゜

τmaxは,2θ=90゜

す な わ ち θ=0゜ す な わ ち θ=90゜

す な わ ち θ=45゜

の と き で σxと の と き で σyと

な る。 な る。

の と きで

で あ る。 よ っ て,モ

ー ル 円 の 上 半 分 は θ=0゜ か ら90゜ ま で 変 化 す る と き の 斜 面 上 の 応

力 状 態 を 示 す 。 モ ー ル 円 を 用 い る と簡 単 に 斜 面 上 の 応 力 状 態 を 知 る こ と が で き る。

〈証 明 〉 σn=OE=OC+CE =1/ 2(OA+OB)+CDcos2θ

=1/ 2(σx+σy)+1/2(σx-σ こ れ は,式(6・3)と

ｙ)cos2θ

同 一 で あ る。

τ=DE=CDsin2θ=1/2(σx-σy)sin2θ

こ れ は,式(6・4)と

例 題6・5 

図6・8の

同 一 で あ る。

よ う に,互

う にな るか 作 図 して み よ。

い に 直角 な圧 縮 応 力 の場 合 の モ ー ル 円 は どの よ

図6・8

図6・9

  〔 考 え方 〕   両 垂 直 応 力 が 引 張 りの 場 合 の 図6・7と 同 様 で あ る。 た だ し,〓,〓 意 す る こ と。 横 座 標 軸 で 原 点 Ｏ よ り左 側 を〓 と し,圧 縮 応 力 を 表 す。 〔解 き 方 〕  図6・9の

例 題6・6図6・10の

と お り で あ る。

場 合 の モ ー ル 円 は,ど

の よ うに な るか 作 図 せ よ。

図6・10

図6・11

〔 解 き 方 〕 

図6・11の

と お りで あ る。

に注

例 題6・7図6・12の

場 合 の モ ー ル 円 は,ど

の よ う に な るか 作 図 せ よ。

図6・12

図6・13

〔解 き 方 〕 

6・2・2

図6・13の

と お り で あ る。

二 つ の 垂 直 応 力 とせ ん 断 応 力が 同 時 に起 き て い る場 合 (図6・5)

図6・14

〈 作 図〉 ① 

 (図6・14)

横 軸 上 に σx=OE,σy=OE′

を と る。

②  Ｅ,Ｅ ′よ り,せ ん 断 応 力 τ0に 相 当 す る 長 さ の 垂 線ED,Ｅ

′ Ｄ ′を 立 て る。

③  Ｄ と Ｄ ′を 直 線 で 結 ぶ 。 ④  Ｃ を 中 心 と し半 径CDで

円 を 描 く。 こ れ が モ ー ル 円 で あ る 。

こ れ は,式(6・7)と

同 一 で あ る。

こ れ は,式(6・7)と

同 一 で あ る。

τmaxは,モ

ー ル 円 の 半 径 に 等 し い か ら,

こ れ も,式(6・8)と

6・2・3

同 一 で あ る。

 最大せん断応力の生ずる断面

今 ま で の モ ー ル 円 で わ か る よ う に,最 の 働 く方 向 に2θ=90゜

大 せ ん 断 応 力 の 生 ず る 断 面 は,主

す な わ ち θ=45゜ 傾 斜 した 断 面 で あ る。

応力

曲 げ とね じ りを 同 時 に 受 け る軸

6・3

・3 6・

1

相 当 曲 げ モ ー メ ン トお よ び 相 当 ね じ り モ ー メ ン ト

図6・15の よ う に,曲 長 方 形(図6・16)を

げ モ ー メ ン トと ね じ り を 同 時 に 受 け る 軸 の 表 皮 に 微 小

と っ て み る と,表

皮 に は 曲 げ に よ る 垂 直 応 力 σbと ね じ り に

よ る せ ん 断 応 力 τ が 生 じて い る。

図 6・16 図 6・15 こ の 結 果,軸

に は σbと τ の 組 合 せ 応 力 と し て σmax,τmaxが

軸 の 太 さ を 決 め る に は,便 げ モ ー メ ン トMe=σmaxZを を 計 算 し,次 を 仮 想 して(相

に,τmaxだ

宜 上,ま

仮 想 して(こ

生 ず る。

ず σmaxだ け を 生 ず る の に 必 要 と す る 曲 れ を 相 当 曲 げ モ ー メ ン ト と い う)軸

径

け を 生 ず る の に 必 要 な ね じ り モ ー メ ン トTe=τmaxZp

当 ね じ り モ ー メ ン トと い う)軸

径 を 計 算 し,そ

の 両 者 を 比 較 し,

太 い ほ う の 径 を そ の 軸 の 径 と 決 め る。

《相 当 曲 げ モ ー メ ン トお よ び 相 当 ね じりモ ー メ ン トの計 算 》 組 合 せ 応 力 の 基 本 の 式(6・7)お

よ び 式(6・8)に,σx=σb,σy=0,τ

は

そ の ま ま を 代 入 す る と,

(１)

(２) Meの

計 算(equivalent 

bending 

moment)

(6・9) Teの

計 算(equivalent 

twisting 

moment)

(6・10)

例 題6・8  5×106N・mmの

曲 げ モ ー メ ン ト と8×106N・mmの

ね じりモー メ ン

トを 同 時 に受 け る 軸 の 相 当 曲 げ モ ー メ ン トお よ び 相 当 ね じ り モ ー メ ン トを 求 め よ。 〔考 え 方 〕   式(6・9),式(6・10)に

〔 解 き方 〕

①

*  丸 軸 で は  Zp=2Z

∴ Z=

Zp/ 2

数 値 を代 入 す れ ば よ い。

②

例 題6・9図6・17の 荷 重 と1.8×106N・mmの

よ う に,長

さ1200mmの

図6・17

〔 考 え方 〕   例 題6・8を 参 照 の こ と ま ず,M=3000×1200=3.6×106〔N・mm〕

① ② 6・3・2

の

ね じ り モ ー メ ン トが 作 用 して い る。 相 当 曲 げ モ ー メ ン

トお よ び 相 当 ね じ り モ ー メ ン トを 求 め よ 。

〔解 き 方 〕 

片 持 ば り の 自 由 端 に3000Ｎ

軸径 の決 め方

相 当 曲 げ モ ー メ ン トか ら の 軸 径

(6・11)

相 当 ね じ りモ ー メ ン トか ら の軸 径

(6・12)

例 題6・10 

1×106N・mmの

ね じ り モ ー メ ン トと5×105N・mmの

トを 同 時 に 受 け る 軸 が あ る。 許 容 せ ん 断 応 力 を30MPa,許

MPaと

曲 げ モー メ ン 容 曲 げ 応 力 を50

して軸 径 を 求 め よ。

〔 考え方〕

ま ず,MeとTeを

求 め,次

に

か ら,そ れ ぞ

れ の 軸 径 を 算 出 し,そ れ らの うち太 い ほ う に決 め る。 た だ し,σb,  τaは許 容 応 力 を代 入 す る。 〔 解 き方〕

②

①

相 当 曲 げ モー メ ン トか らの軸 径

相 当 ね じり モ ー メ ン トか らの 軸 律

答   (太 い ほ うを と り,軸 径57.1mm)

ク ラ ン ク軸 の径

6 ・3・ 3

  ク ラ ン ク や ベ ル ト車 は,曲

げ と ね じ り を 同 時 に 受 け る 。 図6・18は,ク

ラ ン

ク の 例 で あ る。

図6・ 18

  Ｗ:最

大 回 転 力, r:ク

ラ ン ク 腕 の 長 さ,〓:オ

ー バ ハ ン グ, d:ク

ラ ンクの

軸 径 と す る と,

M=W〓 T=Wr こ れ らか ら,Me, 

例 題6・11最

径 を 求 めれ ば よ い。

大 回 転 力W=10000Ｎ,ク

ハ ン グ 〓=100mmの は40MPa,許

Teを 求 め,軸

ラ ン ク 腕 の 長 さr=200  mm,オ

片 持 ち ク ラ ン ク の 軸 径 を 求 め よ 。 た だ し,許

容 せ ん 断 応 力 を20  MPaと

す る。

ーバ

容曲 げ応 力

〔考 え 方 〕 〔解 き 方 〕

まず,Ｍ ①

お よ び Ｔ を求 め,次 に例 題6・10に な ら って軸 径 を求 め る。

曲 げ モ ー メ ン トＭ と ね じ り モ ー メ ン ト Ｔ は,

M=W〓=10000×100=1×106〔

Ｎ ・mm〕

T=Wr=10000×200=2×106〔

Ｎ ・mm〕

②

相 当 曲 げ モ ー メ ン トMeと

③

軸 径 ｄ は,

Meか

相 当 ね じ り モ ー メ ン トTeは,

ら,

Teか

ら,

答(太

問題

6 ・1

30MPaが

図 6 ・19

の よ う に,材

い ほ う を と り,軸

料 に 互 い に 直 角 な 引 張 応 力 σx=40MPa,お

作 用 して い る と き,主 面 の位 置,主 応 力,お

図 6 ・ 19

径82.4mm)

よ び σy=

よ び最 大 せ ん 断 応 力 を求 め よ。

主 面 の位 置 は40MPaの

答

問題

6・

2

-30MPaお

(

応 力 の 方 向 を縦 とす る と,そ

よ び 同 一 方 向,主

応 力 はQmax=40MPa(横

〔縦 方 向 断 面),最

大 せ ん 断 応 力 は τmax=5MPa(45゜

の横断面 お

断 面 反,σmin=30MPa 断 面)

図 6 ・20 の よ うに,材 料 に互 い に直 角 な引 張 応 力 σx=40MPaと よ び せ ん 断応 力 τ0=20MPaが

)

圧縮 応力 σy=

作 用 して い る と き,最 大 応 力,最 小 応 力,最

大 せ ん 断 応 力 とそ の位 置 を求 め よ。

図 6 ・20 σmax=45.3MPa(引

(

答

σmin=-35.3MPa(圧 τmax=40.3MPa(θ=45゜

問題 6・ 3

図 6 ・21

張 応 力)

縮 応 力) の 面 に 生 ず る)

の よ う な ク ラ ン ク に,5000Ｎ

の 荷 重 が 作 用 す る場 合,ク

ラ ンク軸 の 径 を い く ら

に した らよ い か。 た だ し,許 容 曲 げ 応 力 を σa= 50MPa,許

容 せ ん断 応 力 を τa=35MPaと

答

す る。

(d=58.1mm）

図 6 ・21

)

問題

6・

4

図6・ 22 の よ うな ベ ル ト伝 動 装 置 が あ る。 ベ ル トの張 力 を張 り側 で6000Ｎ,ゆ

るみ側 で3000Ｎ

とす る と き,伝 動 軸 の径 を い く らにす れ ば よ いか 。 た だ し,軸 の許 容 曲

げ応 力 を σa=40MPa,許

容 せ ん 断応 力 を τa=20MPaと

す る。 答(d=74.5mm)

図 6 ・22

7

座

屈 7・1柱

7 ・1・ 1 (１)

柱

の 座

屈

座 屈(buckling)と

は

  きわ め て 短 い棒 が 圧 縮 を受 け る場 合 に は,内 部 に 生 ず る圧 縮 応 力 が そ の 材 料 の圧 縮 強 さ を超 え た と き棒 は破 壊 す る。    長 い棒(長

さが 径 の お よそ ４倍 以上)で

は,圧 縮 強 さ以 下 の 小 さ な 応 力

で 曲が りを起 こ し破 壊 す る。 この よ うな現 象 を 座 屈 と い う。

(２)

柱(column)と

は

座 屈 を起 こす よ うな棒 を長 柱 また は柱 とい う。

(３)

端 末 条 件 と 端 末 係 数(coefficient 

of fixity)

図7・1の よ うに,柱 が 曲 が る度 合 は,端 末 の条 件 に よ って異 な る。

(４)

座 屈 荷 重(buckling 

load)

座 屈 を起 こす 最 小 の 荷 重 を座 屈 荷 重 と い う。

自由端

n=1/4

両端 回転端 n=1

回転端 固定端

両端固定端 n=4

n=2

図7・1

(５)

細長比 (slendernessratio)

  座 屈 は 曲 げ 作 用 が 加 わ って 破 壊 す る の で あ る か ら,は

り の 場 合 と 同 様,断

積 よ り も断 面 二 次 モ ー メ ン トを 考 え な くて は な らな い。 ま た,曲 断 面 の 軸 の 取 り 方 に よ っ て 断 面 二 次 モ/メ メ ン トが 最 小 に な る 方 向 に 曲 が る(図7・2)。

図7・2

面

が る 方 向 は,

ン トが 異 な る 場 合 は,断

面二次 モー

そ こで,最 小 断 面 二 次 モ ー メ ン トＩを 断 面積 Ａ で 割 っ た値 をk2と す れ ば,

(7・1)

ｋを最 小 断 面 二 次 半 径 とい う。 ま た,柱 の 長 さ 〓と ｋ と の 割 合 〓/kを 細 長 比 とい い,柱 の 強 さ の計 算 に 当 た って 用 い る式 の 選 択 の 基 準 に な る もので あ る。

強

さ

イ ラ ー と ラ ン キ ンの 式 な ど が あ る 。 こ こ で は,そ

れ ら

7・2

7・2・1柱

柱

の

の 強 さ の 計 算 の しか た

  代 表 的 な 式 と し て,オ

の 式 の 使 い 分 け を 覚 え る こ と に 主 眼 を お く。

(１)

長 い柱の計算

  長 い柱 の 計 算 に は オ イ ラー    を用 い る(式 に選 択 に は,細 長 比 〓/kを求 め, そ の 値 が 表7・1の 値 よ り大 きい場 合 に オ イ ラ ー の式 を 用 い る よ う に す る)。 《オ イ ラ ー の 式 》

座屈 荷重

(7・2)

座屈 応力 (7・3)

  た だ し,Ｉ:最 長 比,〓:柱

小 断 面 二 次 モ ー メ ン ト,ｎ:端

の長 さ

末 係 数(図7・1),〓/k:細

(２) 短 い柱 の 計 算   短 い 柱 に つ い て の 計 算 は ラ ン キ ンの 式*を 用 い る(細

長 比 が 表7・1の

範囲 に

あ る 場 合) 表 7・1

ラ ンキ ンの式の定数(機 械 工学便覧 か ら)

《ラ ン キ ン の 式 》 座 屈 荷 重

(7・4)

座屈応力

(7・5)

た だ し,  σc:材 料 に よ っ て 一 定 の 定 数

〔MPa〕   (表7・1参 照)

ａ:柱 の 材 料 に よ る実 験 定 数(表7・1参

例 題7・1長

さ ２ｍ,長 方 形 断 面90mm×40mmの

照)

軟鋼 製 で両 端回 転端 の柱

が あ る。 安 全 に加 之 る こと の で きる荷 重 はど れ ほ どか。 た だ し,安 〔 考 え方 〕

全 率S=4,E=200GPaと ①

す る。

最 小 断 面 二 次 モ ー メ ン トを求 め る。 ②I/A=k2よ

り,最

小断 面 二

次 半 径ｋ を求 め る。 ③   細 長 比 〓/kよ り,オ イ ラー の式 と ラ ンキ ンの式 の ど ち らを 使 用 す るか 決 定 す る。 ④

座 屈 荷 重 Ｗ を求 め,こ れ を安 全 率 ４で割 っ た値 が 安 全 荷 重 で あ る。

*  短 い柱 につ い て は,そ

の他 ジ ョ ン ソ ンの式 や テ トマ イ ヤ ー の式 な ど も用 い られ る。

〔解 き 方 〕

A=3.6×103〔mm2〕

細 長比 〓/kは,

一方

,両 端 回転 端 で あ るか ら,図7・1よ

ま た,表7・1よ

り端 末係 数n=1

り ラ ンキ ンの 式 が使 用 で き る細 長 比 の限 界 は,軟 鋼 の 場 合 は, 90√n=90√1=90

と な る。

  と ころが,こ

の材 料 の細 長 比173.2は,細

長 比 の限 界 を超 え る た め,オ イ ラー の式 を使

用 す る。

座屈荷重 安全荷重

例 題7・2長

さ ２ ｍ,径100mmの

E=206GPaと

し,柱

硬 鋼 製 円 柱 の 座 屈 応 力 を 求 め よ 。 た だ し,

は 両 端 固 定 と す る。

 〔 考 え 方 〕 Ｉお よ び Ａ を まず 算 出 し,次 に,細 長 比 を求 め,使 用 す る式 を 決 定 す る。 式 が 決 ま れ ば,後 〔 解き方〕

は数 値 を 代 入 す るだ けで あ る。

細 長 比 〓/kは,

ラ ンキ ン の式 に お け る細 長 比 の 限界 は85√n， 柱 は両 端 固 定 で あ るか ら端 末 係 数n=4

85√n=85√4=170 よ っ て,ラ

ン キ ンの式 を 使 用 す る。

答(364MPa)

例 題7・3両

端 回 転 端 の 長 さ1.5ｍ

の 軟 鋼 棒 に20000Ｎ

そ の 軸 径 を い く ら に し た ら よ い か 。 た だ し,安   〔 考え方〕  

まず,オ

の 荷 重 が か か る と き,

全 率6,E=200GPaと

イ ラー の式 で 軸 径 を 求 め,そ の 結 果 か ら細 長 比 を 調 べ,も

度 オ イ ラー の 式 で よ いか,あ

〔 解 き方〕   使 用 荷 重20000Ｎ,安

全率 ６で あ るか ら,座 屈 荷 重 Ｗ は,

W=20000×6=120×103〔

オ イ ラー の式

Ｎ〕

に

E=200GPa,1=1500mm，I=π/64d4を

n=1(両

代 入 して，

細 長 比 〓/kは,

端 回 転 端 で あ るか らn=1

∴  90√n=90√1=90

細長 比 が90よ り大 きい の で オ イ ラ ーの 式 で よ い。 ∴d=40.9〔mm〕

う一

るい は ラ ンキ ンの 式 か を 判 定 し,オ イ ラー の 式 で 不 都 合 な

場 合 は ラ ンキ ンの式 で計 算 し直 す。

細 長 比 の 限 界90√n,両

す る。

端 回 転 端),

問

題7・1外

径100mm,内

径80mm,長

荷 重 は ど れ ほ ど か 。 た だ し,縦

さ1.5ｍ

弾 性 係 数 をE=206GPa,安

の 軟 鋼 製 の 柱 で 支 え る こ と ので き る 全 率 をS=5,柱

は 自由端

とす る。

答    (使 用 荷 重131kN)

問 題 の 解 答 １. 応 力 と ひ ず み

問 題1・1  丸 棒 の 直径 を ｄ,断 面 積 を Ａ,丸 棒 に許 さ れ る 引 張 応 力 を σ,荷

重を Ｗ と

す る と, W=σ 一 方

・A

(１)

,

(２)

で あ る か ら式(２)と 式(１)か ら

問 題1・2 

中空 円柱 の外 径 をd2,内

径 をd1,加

え る荷重 を Ｗ,に 生 ず る圧 縮 応 力 を σ

と す る と, (１)

一 方

,

(２)

で あ る か ら 式(２)と式(１)か ら

問 題1・3 

ポ ン チ の 直 径 を ｄ,板

必 要 と す る 荷 重 はW=τA=τ

厚 を ｔと す る と,せ πdt=400×

ん 断 面 積 はA=πdtで

π ×30×3.2=120.6×103〔 =120

.6〔kN〕

あ る か ら, Ｎ〕

ポ ンチ に加 わ る圧 縮 店 力 200MPa以

1 ・4

下 な の で こ の ポ ンチ は使 用 可 能 で あ る。

（１)

伸び

(２)

縦 ひずみ

(３)

横ひずみ

(４)

直 径 の変 形 量

問題1

5

・

(１)

δ=ε

′d=1.37×10-4×30=4.11×10-3〔mm〕

鋼部 分の縮 み

銅部分の縮 み

(２)

同様 に 全体の縮み

(３)

問題 1

問題

6

・

1 ・7

問題 1

λ=λs+λc=(6.18+12.0)×10-2=0.182〔mm〕

・

8

縦弾性係数 と横弾 性係数 の関係

E=2G(1+ν)よ

り

問 題1・9断 は,Ab・

面 積 ・応 力 ・ひ ず み ・縮 み を 軟 銅 に つ い て は,As・ σb・εb・λbと す る。 ま た 円 筒 の 外 径 をd2,内

σs・εs・λs,黄

径 をd1と

銅 につ いて

す る。 (１)

(２)

応力 の計算 式(２)より 

を 式(１)に 代入

ひずみ の計算

縮 み の 計 算  

問 題1・10①

λ=λs=λb=εb・

〓=1.43×10-4×400=5.72×10-2〔mm〕

必 要 とす る断 面積 はA=W/σ

a②

③   直 径 の計 算 丸 棒 の断 面 積=必 要 とす る断 面 積   で あ るか ら

問 題1・11

丸 棒 の 断 面積 は π/4d2

使用応力

使 用 応 力 ≦許 容 応 力   で あ る か ら,許 容 応 力=使 用 応 力   と考 え る と

安全率

問 題1・12図1・37よ

り応 力 集 中 係 数 を求 め て これ を利 用 す る。

d/D=25/100=0.25か

らak=2.42を

得 る。

平均応力 最大応力

問 題1・13 

2r/D=2×2/25=0.16よ

り aK=2.3を

得 る。

平均応 力

最 大 応 力   σmax=aKσn=2.3×104=239〔MPa〕

問 題1・14  温 度変 化 に よ って伸 縮 で きな い の で 熱 応 力 が 発 生 す る。 これ が 妨 げ られ た伸 び

熱 に よ る変 形 量 熱 ひず み は

熱応力 は

引張 応 力 を生 ず る。

問 題1・15管 Ｗ,初

の 外 径 をd2,内 め の 温 度 をt,使

径d1,長

さ を〓,伸

用 時 の 温 度 をt'と

び を λ,熱

す る と,

吸 収 す べ き 伸 び λ は, λ=a(t'-t)〓=11.2x10-6×(230-15)×27.5×103 =66

.2〔mm〕

両 端 を 固 定 した 場 合 に発 生 す るだ ろ う熱 応 力 σ は

応 力 を σ,発

生 す る力 を

σ=εE=α(t-t′)E =11

.2×10-6×(15-230)×206×103=-496〔N/㎜2〕

=-496〔MPa〕(圧)

管 の固 定 部 を 押 す 力 Ｗ は,

問

題1・16フ

問 題1・17軸

ー プ 応 力の 式 よ り σ=pD/2t，

効率を考え ると

径 よ り小 さ くす る分(直 径 の熱 膨 張 分 に相 当す る量)を δと す る と ε=δ/d=σ/E

ゆ え に直 径 の熱 膨 張量 δは

内 圧 は薄 肉 円筒 の フー プ応 力 の式 よ り

２.弾

問 題2・1W=600 

N,  λ=30  mm 

性エネルギ

を エ ネル ギ の式 に代 入

(１)

問題2・2

(２)

式(１)に 式(２)の 値 を代 入

問 題2・3式(2・3)よ

り (１）

と こ ろで

(２)

式(１）に 式 （２)を 代入

問 題2・4

倍数

(１)

σg=8〔MPa〕=8〔N/mm2〕} Eg=1.0〔MPa〕=1〔N/mm2〕 (２)

σs=200〔MPa〕=200〔N/mm2〕 Es=206〔GPa〕=206×103〔MPa〕=206×103〔N/mm2〕

式(１)に 式(２)の 値 を代 入

倍数

問 題2・5 

倍

式(2・5),(2・7)よ

り

と ころ で,急 速 荷 重 で あ るか ら上 式 にh=0を σ=2σ0,λ=2λ0(た

代入 する と

だ し σ0と λ0は 静 荷 重 の 場 合)

一方

∴  σ=2σ0=2×2=4〔N/㎜2〕=4〔MPa〕 λ=2λ0=2×0.0146=0.0292〔

㎜

〕

問 題2・6  お も りが 失 っ た位 置 エ ネル ギ は,コ イ ル ば ね に吸 収 さ れ た エ ネ ル ギ と棒 の伸 び に よ って 吸 収 され た弾 性 エネ ル ギ の和 で あ る。 こ の こと よ り, ◎ お も りが 失 った 位 置 エ ネル ギ は W(h+δ+λ)

(１)

◎ば ね の縮 み によって 吸 収 され た エ ネル ギ(ば

ね の力F=kδ

  ∴δ=

F/ ), k (２)

◎ 棒 の伸 び に よ って 吸 収 され た エ ネル ギ(伸 び λ=

F〓/

AE=

〓/

AE

F), (３)

◎ 式(１)=式(２)+式(３)よ

り,

移 項 して (AE+k〓)F2-2W(AE+k〓)F-2WAEhk=0

◎ ば ね に加 わ る圧 縮 力=棒

に加 わ る引 張 力(Ｆ),ー

３.

問 題3・

は不 合 理 で あ るか ら

曲  げ

 （ １)反 力 の 計 算

RB=W-RA=700-490=210(Ｎ)

(２)せ ん 断 力 の 計 算 Ａ ∼ Ｃ 間   FAC=RA=490〔 Ｃ ∼ Ｂ 聞   FCB=-RB=-210〔 (３)曲

Ｎ〕 Ｎ〕

げ モ ー メ ン トの 計 算

集 中荷 重 の み で あ るの で,支 点 と荷 重 点 の 曲 げ モ-メ ま たBMDは,こ

れ らの 値 を プ ロ ッ トし直 線 で結 ぶ。

Ａ 点   Ma=RA×0=0

ン トを 直接 求 め る。

Ｃ 点Mc=RA×300=490×300=14.7×104〔N・

㎜

〕

Ｂ点MB=RB×0=0 最 大 曲 げ モ ー メ ン ト はSFDの

〓,〓

の 符 号 の 変 わ る点 Ｃ,Mmax=Mc

解図

3・1

問 題3・2  (１)反 力

RB=W1+W2-RA=500+800-483=817〔

②  せん断 力

FAC=RA=483〔

Ｎ 〕 Ｎ〕

FCD=RA-W1=483-500=-17〔 FDB=-RB=-817(Ｎ

(３)曲

げ モーメ ン ト MA=RA×0=0

Ｎ 〕 〕

MC=RA×500=483×200=9.66×104〔N・

㎜

〕

MD=RB×100=817×100=8.17×104〔N・

㎜

〕

MB=RB×0=0 Mmax=Mc〓SFDよ

り判 断

解図

問 題3・3(１)反

3・2

力 の計 算(図 の よ うに等 分 布 荷 動 を集 中 荷重 に 直 して 計 算)

参考図

3・3

(ま た は,RB=(1×400)-RA)

(２)せ ん断 力 の計 算(Ａ 点 か ら仮 想 断 面 まで の距 離 を ｘ とす る) A∼C間

  FAc=RA-wx=320-x 

Ａ 点FA=320-0=320〔

(一 次 式 … 直 線) Ｎ〕

Ｃ 点Fc=320-400=-80〔 C∼B間

Ｎ〕

  FCB=RA-1×400=320-400=-80〔

Ｎ〕(一

定)

せん 断 力 が ０に な るｘの値 は,Ａ ∼ Ｃ 間 で ０に な るか ら FAC=320-x=0

∴x

=320(mm〕

(３)曲 げモ ー メ ン トの 計 算(Ａ 点 か ら仮 想 断 面 まで の 距 離 を ｘ とす る) Ａ ∼ Ｃ 間MAC=RAx-w/2x2=320x-0.5x2

(二 次 式 … 放 射 線)

Ａ 点   MA=320×0-0.5×02=0 Ｃ 点   Mc=320×400-0.5×4002=4.8×104〔N・mm〕 Ｃ ∼ Ｂ 間   MCB=RB(1000-x)=80×(1000-x)  Ｃ 点Mc=80×(1000-400)=4.8×104〔N・

(一 次 式 … 直 線) ㎜

〕

Ｂ 点  MB=80×(1000-1000)=0

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは,せ ん 断 力 が ０に な る ｘの値 をMACの Mmax=M320=320×320-0.5×3202=5.12×104〔N・

(４) SFD, 

式 に代 入 ㎜

〕

BMD

各 点 の せ ん 断 力 や 曲 げ モ ー メ ン トの 計 算 値 を 用 い てSFDやBMDを 答 は 解 図3・3の

と お りで あ る。

作 図 す る。

解 図3・3

問 題3・4  (１)  反 力 の 計 算(図

の よ う に等 分 布 荷 重 を 集 中 荷 重 に直 して 計 算)

参 考 図3・4

あ る い は,RB=全

荷 重-RA=(2×400+4×400)-880=1520〔

Ｎ〕

(２)せ ん 断 力 の計 算(Ａ 点 か ら仮 想 断面 ま で の距 離 を ｘ とす る) A∼C間

  FAC=RA-w1x=880-2x(一

Ａ 点FA=880-2×0=880〔 Ｃ点

Ｆc=880-2×400=80〔

Ｃ ∼ Ｄ 間   FCD=880-2×400=80〔

次 式 … 直 線) Ｎ〕 Ｎ〕 Ｎ〕(一 定)

Ｄ ∼ Ｂ 間   FDB=-RB+w2(2000-x)=-1520+4×(2000-x)  Ｄ 点FD=-1520+4×(2000-1600)=80〔

(一 次 式 … 直 線) Ｎ〕

Ｂ 点   FB=-1520+4×(2000-2000)=-1520〔

Ｎ〕

せ ん 断 が ０に な る点 は,Ｄ ∼ Ｂ間 で あ るか ら, FDB=-1520+4(2000-x)=0∴

 x=1620(mm〕

解 図3・4

(３)曲 げ モ ー メ ン トの 計 算(Ａ 点 か ら仮 想 断 面 まで の 距 離 を ｘ とす る) Ａ ∼ Ｃ間

(ｘの 二 次 式 … 放 物 線)

Ａ 点MA=0 

(〓x=0だ

か ら)

Ｃ 点MC=880×400-4002=19.2×104〔N・mm〕 Ｃ ∼ Ｄ 間MCD=RAx-w1×400×(x-200) =880x-2×400×(x-200)(ｘ

の 一 次 式 … 直 線)

Ｃ点MC=880×400-2×400×(400-200)=19.2×104〔N・mm〕 Ｄ 点MD=880×1600-2×400×(1600-200)=28.8×104〔N・mm〕

D∼B間

MDB=RB(2000-x)-w2/2

(2000-x)2

=1520×(2000-x)-2×(2000-x)2 

(ｘ の 二 次 式 … 放 物 線)

Ｄ 点MD=1520×(2000-1600)-2×(2000-1600)2=28.8×104〔N・

最 大 曲 げ モ ー メ ン ト(D∼B間

でx=1620mmの

㎜

〕

点 で あ る)

Mmax=M1620=1520×(2000-1620)-2×(2000-1620)2

=28 (４)SFD, 

BMDは

.9×104〔N・mm〕

解 図3・4の

とお りで あ る。

問 題3・5

参 考 図3・5

〔 解 法 １〕   本 文 で 学 ん だ よ うに,等 分 布 荷 重 と集 中 荷 重 に 分 けて 別 々 に 計 算 し, そ の 結果 を 合 計 す る方 法 。 (１)反 力 の 計 算

①

集中荷重だ けの場合

R1B=1500-R1A=1500-900=600〔

②

Ｎ 〕

等分布荷重 だけの場合

0 R2B=(1×400)-R2A=400-320=80〔

③

Ｎ 〕

① と② を 合 計 す る。 RA=R1A+R2A=900+320=1220〔

Ｎ 〕

RB=R1B+R2B=600+80=680〔

(２)せ ん 断 力 の 計算    F1AC=R1A=900〔

C∼B間

  F1CB=-R1B=-600〔

①

A∼C間

②

Ｎ 〕

集 中荷 重 だ け の場 合 Ｎ〕(一

定)

Ｎ〕 

(一 定)

等 分 布 荷 重 だ け の場 合(Ａ 点 よ り仮 想 断 面 ま で の距 離 を ｘ とす る)

A∼C間

  F2Ac=R2A-wx=320-x 

Ａ点

Ｆ2A=320-0=320〔

(ｘ の 一 次 式 … 直 線) Ｎ〕

Ｃ 点F2c=320-1×400=-80〔 Ｃ ∼ Ｂ 間   F2CB=-R2B=-80〔

③

Ｎ〕 Ｎ〕   (一 定)

① と② の合計

A∼C間

  FAC=F1AC+F2AC=900+320-x=1220-x 

(ｘ の 一 次 式 … 直 線)

Ａ 点FA=F1A+F2A=900+320=1220〔

Ｎ〕

Ｃ 点Fc=F1c+F2c=900+(-80)=820〔 C∼B間

  FCB=F1cB+F2CB=-600+(-80)=-680〔

せ ん 断 力 の〓,〓 SFDは

Ｎ〕 Ｎ〕(一

定)

の 変 わ る点 は,計 算 結 果 を 検 討 す る と Ｃ点 。

解 図3・5−(１)の と お り で あ る 。

(３)曲 げ モ − メ ン トの計 算(Ａ 点 よ り仮想 断 面 まで の距 離 を ｘ とす る)

①

集 中荷 重だけの場合

Ａ ∼ Ｃ 間   M1AC=R1Ax=900x(xの

一 次 式 … 直 線)

Ａ点M1A=900×0=0 Ｃ 点M1c=900×400=36.0×104〔N・

C∼B間

  M1cB=R1B×(1000-x)=600×(1000-x) 

㎜

〕

(xの

一 次 式 … 直 線)

解図

(１)

3・5−

Ｃ 点M1c=600×(1000-400)=36.0×104〔N・

㎜

〕

Ｂ 点  M1B=600×(1000-1000)=0

②

等分布荷重だ けの場合

A∼C間

(ｘ の 二次 式 …放 物 線) Ａ 点M2A=320×0-0.5×02=0 Ｃ 点M2c=320×400-0.5×4OO2=4.8×104〔N・

最 大 曲 げ モ ー メ ン ト(A∼C間

の 式 よ りx=320の

M2max=M2(320)=5.12×104〔N・

C∼B間

㎜

㎜

点) 〕

  M2cB=R2B(1000-x)=80×(1000-x) 

Ｃ 点M2c=80×(1000-400)=4.8×104〔N・

Ｂ 点M2B=80×(1000-1000)=0

〕

(xの ㎜

〕

一 次 式 … 直 線)

③

① と②の合計

A∼C間

  MAC=M1ac+M2Ac=900x+320x-0.5x2 =1220x-0

.5x2 

(ｘ の 二 次 式 … 放 物 線)

Ａ 点MA=M1A+M2A=0+0=0 Ｃ 点Mc=M1c+M2c=36×104+4.8×104=40.8×104〔N・

C∼B間

㎜

〕

  McB=M1cB+M2cB=600×(1000-x)+80×(1000-x) =680(1000-x) 

(ｘ の 一 次 式 … 直 線)

Ｂ 点   MB=M1B+M2B=0+0=0

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは,せ ん 断 力 の〓,〓 Mmax=Mc=40.8×104〔N・

㎜

が 変 わ る点,す

なわ ち Ｃ点

〕

〈参 考〉

二次式 の最大値

∴ ② のA∼C間

頂点 の式 の 変換 は,こ の方 法 を利 用 した もの で す。

ま た微 分 を利 用 す ると Mx=-0.5x2+320x が 最 大 値 と な る位 置 は,こ の曲 線 の 接 線 が 水 平 と な る位 置 で あ るか ら,接 線 の 傾 き(微 係 数)dM/dx=0な

る ｘの 値 を 求 め れ ば よ い。

と な る。 MmaxはMxの

式 に320を

代入 し

Mmax=M320=-0.5×3202+320×320=5.12×104〔N・

と な る。

㎜

〕

① 集中荷重のBMD

② 等 分布 荷重のBMD

③ ① と② を合成 した 全体のBMD

解 図 3 ・5 -(２) 〔 解 法 ２〕

集 中 荷 重 と等 分 布 荷 重 を分 け な い で,そ の ま ま解 く場 合

参考図

反 力 を求 め る と き右 図 の よ うに集 中荷 重 に 直 して計 算,せ モ ー メ ン トは左 図 を利 用 す る

ん断力や曲 げ

(１)反 力 の計 算(参 考 図 右)

RB=全

荷 重-RA=(1×400)+1500-1220=680〔

Ｎ〕

(２)せ ん断 力 の計 算(Ａ 点 よ り仮 想 断面 ま で の距 離 をｘとす る。 参 考 図左) A∼C間FAC=RA-wx=1220-x(xの Ａ 点FA=1220-0=1220〔

一 次 式 … 直 線) Ｎ〕

Ｃ 点  Fc=1220-400=820〔 C∼B間

  FcB=-RB=-680〔

せ ん 断 力 の〓,〓

Ｎ〕 Ｎ 〕  (一 定)

の符 号 が 変 わ る点 は Ｃ点

(３)  曲 げ モ ー メ ン トの計 算(Ａ 点 よ り仮 想 断面 ま で の 距 離 を ｘ とす る。) A∼C間

(ｘの 二 次 式 …放 物線)

Ａ 点  MA=0 Ｃ 点 

C∼B間 

Mc=1220×400-0.5×4002=40.8×104〔N・

㎜

McB=RB(1000-x)=680×(1000-x)(xの

〕

一 次 式 … 直 線)

Ｃ 点  Mc=680×(1000-400)=40.8×104〔N・mm〕

Ｂ点  MB=0 最 大 曲 げ モ ー メ ン ト  Mmax=Mc=40.8×104〔N・ (４) SFD,BMDは

解 図3・5-(3)の

㎜

〕

とお りで あ る。

解 図

問 題3・6  自由 端 か ら ｘ の と こ ろに仮 想 断 面 を考 え る。

3・5-(3)

(１)せ ん 断 力 の計 算 A∼C間

  FAC=wx=2x 

(一 次 式 … 直 線)

Ａ点FA=2×0=0 Ｃ 点FC=2×600=1.2×103〔

C∼D間

  FcD=w×600=2×600=1

D∼B間

  FDB=1000+1200=2

(２)曲

Ｎ〕

.2×103〔 .2×103〔

Ｎ〕   (一 定)

Ｎ 〕  (一 定)

げ モ ー メ ン トの 計 算

A∼C間

(二次 式 …放 物 線)

Ａ 点   MA=-02=0 Ｃ 点Mc=-6002=-36×104〔N・mm〕

参考図 A∼C間 C∼D間

参 考図 C∼D間

  MCD=-(2×600)×(x-300)(一

Ｃ点Mc=-(2×600)×(600-300)=-36×104〔N・ Ｄ 点MD=-(2×600)×(1200-300)=-108×104〔N・mm〕

参考図 D∼B間

次 式 … 直 線) ㎜

〕

D∼B間MDB=-(2×600)×(x-300)-1000×(x-1200)(一

次 式 … 直 線)

Ｄ 点MD=-(2×600)×(1200-300)-1000×(1200-1200) =-108×104〔

Ｎ ・㎜

〕

Ｂ 点MB=-(2×600)×(2000-300)-1000×(2000-1200) =-284×104〔

Ｎ ・㎜

〕

最 大 曲 げ モ ー メ ン トは固 定 端 に生 ず るか ら Mmax=MB=-284×

１04〔 Ｎ ・㎜

〕

解図

問題 3・7

参考図

3・7-

(1)

3・6

(1) せん断力の計算 せ ん 断 力 は,自 由 端 か ら ｘま で の は りの 上 に で き る三 角形 の面 積 に相 当 す る。 また,相 似 三 角 形 の 面積 比 は対 応 す る辺 の ２乗 の比 に 等 しい か ら,相 似 三 角 形 △ AXX′

と △ABB′

に お い て,△AXX′

当 す る 荷 重 を500Ｎ

の 面 積 に 相 当 す る 荷 重 をWx,△ABB′

に相

と す る と,

Wx:500=x2:12002

せん断力は FA=0,FB=-500〔

(ｘの二 次 式 …放 物 線) Ｎ 〕

Fxの 式 の ｘ に数 値 を代 入 しプ ロ ッ トして 求 め た ものがSFDで

あ る。

(2) 曲 げ モ ー メ ン トの計 算 三 角 形 の面 積 に相 当 す る荷 重 が 図 心 に集 中 し,こ の荷 重 に よ って 曲 げ モ-メ

ント

が 生 ず る と考 え る こ とが で き る。 た だ し,三 角 形 の 図 心 の位 置 は 底 辺 か ら1/3の 高 さの と ころで あ る。

参考図

3・ 7−

(2)

(ｘの三 次 式)

Mxの 式 の ｘ に数 値 を代 入 し,計 算 値 を プ ロ ッ トした ものが 解 図3・7のBNDで

あ る。

解図: 3・ 7

問題

3・

8

(1)

反力 の計算

は りの 状 態 が左 右 対 称 で あ る か ら,反 力RA,RBは

全荷重 を半分ずつ受け持つ

(2)せ ん 断 力 の計 算 C∼A間FCA=-ωx=-5x(直

線)

Ｃ点Fc=0 Ａ 点FA=-5×200=-1000〔

Ｎ〕

A∼B間FAB=-5×200+RA=-1000+1000=0  B∼D間FBD=ω(1000-x)=5(1000-x)(直 FB=5×(1000-800)=1000(Ｎ)

FD=0

(一 定) 線)

(3) 曲 げ モ ー メ ン ト C∼A間MCA=-ω/2x2=-2.5x2(放

物 線)

Ｃ点Mc=0 Ａ 点MA=-2.5×2002=-10×104〔N・

A∼B間MAB=-(ω

㎜

〕

×200)(x-100)+RA(x-200) =-(5×200)(x-100)+1000(x-200)

=-1000(x-100)+1000(x-200) =-100000=-10×104〔N〕

   (一 定)

B∼D間MBD=-ω/2(1000-x)2=-2.5×(1000-x)2(放

物 線)

Ｂ 点MB=-2.5×(1000-800)2=-10×104〔N〕

Ｄ点MD=0 (4) SFD, 

BMDは

解 図3・8の

と お りで あ る 。

解図

3・ 8

４.

問題 4・1

は りの 強 さ

同一 材質 の 材料 に お い て,曲 げ に対 す る強 さ は断 面 係 数 に比 例 す る の で,断

面 係 数 を比 較 す れ ば よ い。 表4・1よ り (a)で は,

Za=1/6h3 (b)で は,

比

較

し た が っ て,(a)の

方 が(b)よ り √2倍 強 い 。

問 題4・2  正 方 形 と円 形 が 同 一 面 積 で あ る とす る条件 か ら,

正方形

円

比 較 ∴  Z1=1.18Z2

したが って,正 方 形 の 断 面 係 数 は,円 の 断 面 係 数 の1.18倍

問題

4・3

解 き方 の 手 順

①

で あ る。

は り に作 用 す る最 大 曲 げ モ ー メ ン トＭ を求 め る。

②

Ｍ と許 容 応 力 σaか ら,必 要 とす る断 面 係 数 を求 め る。

③

この 断 面 係 数 にな る よ うな 断 面 の 寸 法 を 求 め る。

①

最 大 曲 げ モ ー メ ン トの計 算(固 定 端 に生 ず る) M=-2000×1000=3000×500=-3.5x106〔N・

絶 対 値 を と りM=3.5×106〔N・

②

必 要 とす る断 面 係 数Ｚの 値 は,M=σaZよ

③

長 方 形 断 面 の 縦 の 寸 法 ｈ は,

問題4・4①

㎜

㎜

〕

〕

り

断面寸法の計算

最 大 曲 げ モ ー メ ン トＭ は, M=￨-9000×1000￨=9×106〔N・mm〕

必 要 とす る 断 面 係 数 Ｚ の 値 は,

一 方 ,長 方 形 の 断面 係 数 の式

②

から

穴 に つ いて

穴部 の断面係数 Ｚ は

穴 部 に作 用 す る曲 げ モ ー メ ン トＭ は, M=￨-9000×800￨=7.2×106〔N・

㎜

〕

穴 部 に生 ず る 曲 げ 応 力 σは,

この 値 は,許 容 応 力30MPaよ

り小 さ い ので,穴

を あ け て も よ い。

問 題4・5式(4・5)よ

問 題4・6 

表4・2よ

問 題4・7最

表4・2よ

り

り

り

で あ る か ら,

であるか ら

大 た わ み の式

より

(1)

表4・2よ

り

断面 二 次 モ ー メ ン ト

式(1)にβ と Ｉの値 を代 入

問 題4・8最 β=1/3で

大 た わ み の式 あ る か ら,

長方 形 断面 の Ｉの式 は

h=2b=2×55.8=111.6〔mm〕

よ り,必

要 と す る 断 面 二 次 モ ー メ ン ト Ｉは,

問題4・9  等分布荷重区域 の左端 (〓/2)の点 にお け るた わ み δ と た わみ 角 ｉは，

と こ ろ で 断 面 二 次 モ ー メ ン ト Ｉは,

荷 重 Ｗ は,

自 由 端 の た わ み は δmaxは,

問 題4・10最

大 曲 げ モ ー メ ン トは固 定 端 に生 ず るか ら, M=W〓

(1)

最大 曲 げ モ ー メ ン トと断 面 係 数 と の関 係 は

(2) 式(1)と 式(2)よ り

た わ み は公 式 よ り

問 題4・11板

ば ね の式 よ り

問 題4・12最

大 た わ み の式 よ り

５ ．

問 題5・1(1) 

ね

じ

り

トル ク(式(5・8))

(2)断 面 二 次極 モ ー メ ン ト  中 空軸 のIP(式(5・5))

(3)ね

じ り角

〔゜ 〕 

別解 (4)極

断面 係数

(式(5・19)ま

た は 式(5・18))

別解

(５)  発 生 して い る ね じ り応 力(T=τZpを

利 用 す る)

問 題5・2  (１) トル ク の計 算   (式(5・8))

(２)  軸径の計算

別解

問 題5・3  も う一 度,式

を導 い て か ら解 い て み よ う。

ね じれ 角 θ は,

と こ ろ で,

この式 に

だか ら

〓=1000を

代入す ると

(１)  Ｂ につ いて

問 題5・4  トル ク

軸 径 (２) Ｃ に つ い て

問 題5・5  (１)  線 材 の直 径 の計 算 トル ク

線材の径 (２)  巻数の計算 より

〔巻 〕=5〔

問 題5・6  (１)  線 材 の 直径 の計 算 トル ク

線材 の径 (２)  巻 数 の計 算 より

〔巻 〕

巻〕

(３)ば ね 定 数

６.

問 題6・1(１)主

組合 せ応力

面 の位 置

主 面 の位 置 は,せ ん 断 応 力 τが ０に な る角 度 で あ るか ら,

解 図6・1

σx>σyで

あ る か ら,

sin2θ=0 ゆ え に,2θ=0゜or180゜,し

た が っ て θ=0゜or90゜

(２)主 応 力

θ=0゜ σmaxは

お よ び90゜ を 代 入 して, θ=0゜

の と き,σn=σx=40〔MPa〕

σminは θ=90゜ の と き,σn=σy=30〔MPa〕

(３)最 大 せ ん 断応 力

θ=45゜

の と き最 大 に な る か ら,

答

お よ び 同 一 方 向,主 (縦 方 向 断 面),最

応 力 の方 向 を縦 と す る と,そ

応 力 σmax=40MPa(横

の横 断面

)

(

主面 の位 置 は40MPaの

断 面),σmin=30MPa

大 せ ん 断 応 力 τmax=5MPa(45゜

断 面)

問 題6・2  図 の モ ー ル は二 つ の 引 張 応 力 とせ ん 断 応 力 が 同 時 に生 ず る場 合 の もの で ある。 こ の 図 よ り必 要 な式 を 作 り,数 値 を代 入 す る。 た だ し,圧 縮 の 場 合 は数 値 に(−)の 符 号 を っ け て代 入 す る。

解 図  6・2

(１)  主 応 力 の計 算

(引張 応 力)

(圧縮 応 力) (２)  最 大 せ ん断 応 力 の 計 算

(θ=45゜

の 面 に 生 ず る)

問 題6・3  (１)  曲 げ モ ー メ ン トＭ とね じ りモ ー メ ン トＴ の 計 算 M=W〓=5000×100=5×105〔N・

㎜

〕

T=Wr=5000×250=1.25×106〔N・mm〕 (２) 相 当 曲 げ モ ー メ ン トMeと

相 当 ね じ り モ ー メ ン トTeの

計算

(３)  軸径の計算

答  (両 方 を比 較 し,大 き い ほ うを 採 用 す る。d=58.1mm)

問 題6・4  (１)  曲 げ モ ー メ ン トＭ とね じりモ ー メ ン トの 計 算

M=(3000+6000)×150=1.35×106〔N・

㎜

T=(6000-3000)×300=9.0×105〔N・

㎜

〕 〕

(２) 相 当 曲 げ モ ー メ ン トMeと 相 当 ね じ り モ ー メ ン トTeの 計 算

(３)  軸径の計算

答  (両 方 を 比 較 し,大 き い ほ うを 採 用 す る。d=74.5㎜)

7．

座

屈

問 題7・1  座 屈 荷 重 を 求 め,こ れ を安 全 率 で 割 り,使 用 荷 重 を求 めれ ば よ い。 (１)  柱 の最 小 断面 二 次 モ ー メ ン トＩと断 面 積Ａ の 計 算

(２)  最 小 断 面 二 次 半 径 κ と細長 比〓/κの計 算

(３)式 の 選 択 端 末 係 数 の 自由 端 で あ るか らn=1/4,ま め の細 長 比 の 範 囲 は,表7・1よ り,