Кратный интеграл

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ Протокол № 6 от 23 марта 2000 г. Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П.

Данная методическая разработка предназначена для студентов 2-го курса дневной и вечерней формы обучения отделения прикладной математики механико-математического факультета РГУ, но может быть использована также и студентами отделений математики и механики и студентами физического факультета. Методическая разработка написана в соответствии с рабочей программой курса математического анализа для студентов отделения прикладной математики механико-математического факультета, разработанной кафедрой теории функций и функционального анализа, содержит весь необходимый теоретический материал по рассматриваемой теме и достаточное количество примеров.

3

В методической разработке использованы терминология и обозначения, принятые в [3], поэтому рекомендуем предварительно ознакомиться с указанной работой. Объём тела r Пусть R - n-мерное евклидово пространство, a1 = {a11 , a12 , K, a1n } , r r a2 = {a 21 , a 22 , K, a 2 n } ,..., an = {a n1 , a n 2 , K, ann } - произвольные векторы. Эти векторы определяют n-мерный параллелепипед Π, для которого они служат ребрами, выходящими из одной вершины. Как известно, объём этого параллелепипеда может быть вычислен по формуле a11 a12 K a1n n

v(Π ) = absdet(aij ) = abs

a21

a22 K a2 n

, (1) KKKKK..... an1 an 2 K ann r r r Рассмотрим n-мерную пирамиду, у которой векторы a1 , a2 ,K, an являются боковыми рёбрами, а основанием служит (n - 1)-мерная пирамида, вершинами которой являются концы данных векторов. Такую пирамиду называют n-мерным симплексом. Можно показать, что объём описанного симплекса S вычисляется по формуле (2) v ( S ) = 1 v(Π ) = 1 absdet(ai j ) . n! n! Заметим, что объём n-мерного параллелепипеда и n-мерного симплекса, определённый формулами (1) и (2), не зависит от выбранного в R n ортонормированного базиса, поскольку переход от одного ортонормированного базиса к другому сводится к параллельному переносу, при котором матрица (a i j ) не изменя-

ется, и ортогональному преобразованию, при котором она умножается на ортогональную матрицу, модуль определителя которой равен единице. Определение. Назовём многогранником любое множество в R n , которое можно представить как конечное объединение симплексов, не имеющих попарно общих внутренних точек.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

4

Итак, если P - многогранник, то m

P = US j ,

(3)

j =1

причём int S j I int S k = ∅ ( j , k = 1, 2, K, m). Примеры многогранников приведены на

рис. 1 - 3. Определение. Назовём объёмом многогранника сумму объёмов составляющих его симплексов. Таким образом, если многогранник P имеет представление (3), то m

v( P) = ∑ v( S j ) .

(4)

j =1

Объём многогранника обладает свойствами: 1)(неотрицательность) v( P) ≥ 0 для любого многогранника P; 2)(аддитивность) если P1 и P2 - многогранники, не имеющие общих внутренних точек, то v( P1 U P2 ) = v( P1 ) + v( P2 ) ; 3)(монотонность) если P1 ⊂ P2 , то v ( P1 ) ≤ v( P2 ) ; 4)(инвариантность) если многогранники P1 и P2 конгруэнтны, то v ( P1 ) = v ( P2 ). Свойства 1 и 4 очевидны, а свойства 2 и 3 примем без доказательства (при n = 2, 3 они известны, а при n > 3 сложности в их доказательстве - чисто алгебраические). Определение. Назовём телом любое ограниченное конечносвязное множество в R n . (Конечносвязное множество - это связное множество, граница которого состоит из конечного числа связных компонент.) Пусть G - тело. Будем рассматривать всевозможные многогранники P, вписанные в тело G, и всевозможные многогранники Q, описанные около него, т.е., P ⊂ G ⊂ Q. Определение. Назовём внутренним объёмом тела G число (5) v* (G ) = sup{v( P ) : P ⊂ G}. Поскольку множество {v ( P ) : P ⊂ G} не пусто ( ∅ ⊂ G ) и ограничено сверху (тело G ограничено, следовательно, существует куб K ⊃ G , а тогда по свойству 3 v( P ) ≤ v( K ) для любого P ⊂ G ), то v* (G ) существует. Определение. Назовём внешним объёмом тела G число v * (G ) = inf {v(Q) : G ⊂ Q}. (6) Поскольку множество {v(Q ) : G ⊂ Q} не пусто ( G ⊂ K ) и ограничено снизу ( v(Q) ≥ 0 ), то v * (G ) существует. Лемма. Для любого тела G справедливо неравенство v* (G ) ≤ v* (G ) .

(7)

5

В самом деле, для любых многогранников P и Q ( P ⊂ Q ) по свойству 3 имеем: v( P) ≤ v(Q) . Тогда v(Q) - верхняя грань множества {v ( P ) : P ⊂ G} , поэтому точная верхняя грань v* (G ) ≤ v (Q ) , каков бы ни был многогранник Q ⊃ G . Далее, v* (G ) - нижняя грань множества {v(Q ) : G ⊂ Q}, поэтому точная нижняя грань

v * (G ) ≥ v* (G ) . Существуют тела, для которых в (7) имеет место строгое неравенство. Пример. Пусть G ={( x, y ) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (1 + χ ( x ))} , где χ (x) 2 функция Дирихле. Очевидно, v* (G ) = 1 , а v * (G ) = 1 . 2 Определение. Назовём тело G кубируемым, если имеет место равенство v* (G ) = v * (G ) . (8) Если тело G кубируемо, то объёмом тела G назовём число v(G ) = v* (G ) = v * (G ) . (9) Замечание 1. При n=2 принято вместо термина «тело» употреблять термин «фигура», вместо термина «кубируемое тело» - термин «кубируемая фигура» и вместо термина «объём» - термин «площадь», обозначая её буквой s. Замечание 2. Связный многогранник P - кубируемое тело, ибо, очевидно, v* ( P) = v * ( P) = v( P) , где v(P ) определяется формулой (4). Таким образом, для связного многогранника объём, определяемый формулами (4) и (9), одинаков. Теорема (критерий кубируемости). Тело G кубируемо тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдутся два многогранника P и Q, P ⊂ G ⊂ Q , такие, что v(Q) − v( P ) < ε . (10) Пусть G - кубируемое тело. Тогда по ε > 0 найдутся многогранник P ⊂ G такой, что v( P ) > v* (G ) − ε , и многогранник Q ⊃ G такой, что v (Q ) < v * (G ) + ε (по 2 2 * определению v* (G ) , v (G ) и второму свойству точных верхней и нижней граней).Тогда, используя (8), получаем: v(Q) − v( P ) < ⎛⎜ v * (G ) + ε ⎞⎟ − ⎛⎜ v* (G ) + ε ⎞⎟ = ε , 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ и (10) установлено. Наоборот, если многогранники P и Q с указанными в формулировке теоремы свойствами найдутся, то, используя (5), (6), (7), получаем: 0 ≤ v * (G ) − v* (G ) ≤ v(Q) − v( P) < ε . Так как v* (G ) и v * (G ) - числа, то отсюда, ввиду произвольности ε, вытекает, что v * (G ) − v* (G ) = 0 , т. е., v* (G ) = v * (G ) . Теорема доказана. Определение. Множество F ⊂ R n назовём множеством нулевого объёма, если для любого ε > 0 найдётся многогранник P ⊃ F такой, что v(P) 0 найдутся многогранники P и Q, P ⊂ G ⊂ Q , такие, что v(Q) − v( P ) < ε . Будем считать многогранник Q замкнутым, а многогранник P открытым. Пусть F = ∂ G (граница тела G). Тогда, очевидно, F ⊂ Q \ P . Так как разность двух многогранников есть многогранник, и v(Q \ P ) = v(Q ) − v( P ) < ε , то граница тела G заключена в многогранник, объём которого меньше ε . Пусть теперь граница F тела G есть множество нулевого объёма. Тогда для любого ε > 0 найдется многогранник P ′ ⊃ F такой, что v (P ′) < ε . Если граница многогранника P ′ состоит из одной компоненты, то P ′ - односвязное множество, поэтому вместе с границей множества G многогранник P ′ содержит и множество G. В таком случае положим Q = P ′ , P = ∅ . Имеем: P ⊂ G ⊂ Q и v (Q ) − v ( P ) =v( P ′) −v (∅ ) =v ( P ′) < ε . Пусть теперь граница многогранника P ′ состоит из нескольких компонент. Несколько изменив, при необходимости, размеры многогранника P ′ , можем считать, что F и граница многогранника P ′ не имеют общих точек. Выберем те из компонент границы P ′ , которые не принадлежат G, и построим многогранник Q, границами которого служат эти компоненты. Тогда Q ⊃ G . Оставшиеся компоненты границы многогранника P ′ принадлежат G и являются границами многогранника P ⊂ G . При этом P ′ = Q \ P (рис.4). Итак, имеем два многогранника P и Q, P ⊂ G ⊂ Q , и v(Q ) − v( P ) = v(Q \ P ) = v ( P ′) 0 . По критерию кубируемости найдутся многогранники P1, Q1 ( P1 ⊂ G1 ⊂ Q1 ) и P2, Q2 ( P2 ⊂ G2 ⊂ Q2 ) такие, что

(13) v(Q1 ) − v( P1 ) < ε , v(Q2 ) − v( P2 ) < ε . 2 2 Образуем многогранники P = P1 U P2 и Q = Q1 U Q2 . Многогранники P1 и P2 не имеют общих внутренних точек ( P1 ⊂ G1 , P2 ⊂ G2 и тела G1 и G2 этим свойством, по условию, обладают), поэтому (14) v ( P ) = v( P1 ) + v ( P2 ) . У многогранников Q1 и Q2 может быть общая внутренняя часть, поэтому (15) v(Q ) = v(Q1 ) + v(Q2 ) − v(Q1 I Q2 ) ≤ v(Q1 ) + v(Q2 ) . Поскольку P ⊂ G ⊂ Q , то, учитывая (14) и (15), имеем: (16) v ( P1 ) + v ( P2 ) = v ( P ) ≤ v(G ) ≤ v (Q ) ≤ v (Q1 ) + v (Q2 ) . Имеем также: (17) v( P1 ) ≤v (G1 ) ≤ v(Q1 ), v ( P2 ) ≤ v (G 2 ) ≤ v(Q2 ) . Вычтем из неравенства (16) записанные наоборот неравенства (17). Тогда v( P1 ) + v( P2 ) − v(Q1 ) − v(Q2 ) ≤ v(G ) − (v(G1 ) + v(G 2 )) ≤ v(Q1 ) + v(Q2 ) − v( P1 ) − v( P2 ) , или, учитывая (13), v(G ) − (v(G1 ) +v(G2 )) ≤ (v(Q1 ) −v( P1 )) +(v(Q2 ) −v( P2 )) 0 найдётся δ > 0 такое, что если x ′, x ′′ ∈ E и ρ1 ( x ′, x ′′) < δ , то будем иметь:

f ( x ′) − f ( x ′′) < ε . v0 Зная δ, подберём целое m так, чтобы a 0 /m=δ 1 < δ , и разобьём каждое ребро куба K0 на m равных частей. Тем самым куб K0 разобьётся на (замкнутые) кубики с ребром δ1. Выберем те из них, которые имеют непустое пересечение с множеством E и перенумеруем: K1, K2, ..., Kl. Для каждого Kj вычислим m j = min{ f ( x ): x ∈ K j } и M j = max { f (x): x ∈K j } (mj и Mj существуют, так как множе-

ство E I K j замкнуто и ограничено, а функция f непрерывна) и построим парал-

лелепипед Π j = {x ∈R n : ( x1 , x2 , K , xn−1 ) ∈ K j , m j ≤ xn ≤ M j }. Положим P = U Π j . l

j =1

Тогда P - многогранник, и его объём

v( P) =∑ v(Π j ) =∑ v( K j )( M j −m j ) < ∑ v( K j ) ε = ε l

l

l

j =1

j =1

j =1

v0

v0

∑ v( K j ) ≤ vε v( K 0 ) =ε . l

j =1

0

По построению P ⊃ Γ . Теорема доказана.

Определение. Пусть E ⊂ R n−1 - связное множество, f : E → R - непрерывная функция. Множество Γ = {x ∈ R n : ( x1 , x2 ,K, xn−1 ) ∈ E , xn = f ( x1 , x2 ,K, xn−1 )} назовём поверхностью, заданной над множеством E.

9

Теорема. Пусть граница тела G ⊂ R n состоит из конечного числа поверхностей, заданных над ограниченными замкнутыми множествами. Тогда G - кубируемое тело. Эта теорема является следствием предыдущей. Пример. Рассмотрим в R n шар B радиуса R с центром в точке O, B = {x ∈ R n : x12 + x22 + K + xn2 ≤ R 2 }. Его граница Γ = {x ∈R n : x12 + K + xn2 = R 2 } состоит из двух поверхностей xn = ± R 2 − ( x12 + x 22 + K + x n2−1 ) , заданных над множе-

ством E = {x ∈ R n−1 : x12 + x22 + K + xn2−1 ≤ R 2 }. Поскольку выполнены все условия предыдущей теоремы, то шар B - кубируемое тело. Определение. Пусть E - замкнутое тело в R n−1 , ϕ ,ψ :E → R - непрерывные функции, причём ϕ ( x ) ≤ ψ ( x ) ( x ∈ E ) . Тогда множество

G = {x ∈R n : ( x1 , x2 , K , xn−1 ) ∈ E , ϕ ( x1 , x2 , K , xn−1 ) ≤ xn ≤ ψ ( x1 , x2 , K , xn−1 )} (18) назовём цилиндрическим телом (рис 5). Примером цилиндрического тела может служить криволинейная трапеция.

Рис. 5

Теорема. Если E ⊂ R n−1 - кубируемое замкнутое тело, а ϕ ,ψ : E → R - непрерывные функции, причём ϕ ( x ) ≤ ψ ( x ) ( x ∈ E ) , то цилиндрическое тело G, определённое равенством (18), кубируемо. Граница тела G состоит из трёх частей. «Верхняя» и «нижняя» (графики функций ϕ и ψ ), по доказанному, имеют нулевой объём. Покажем, что и боковая поверхность Γ = {x ∈R n : ( x1 , x2 , K , xn−1 ) ∈∂ E , ϕ ( x1 , x2 , K , xn−1 ) ≤ xn ≤ ψ ( x1 , x2 , K , xn−1 )} есть множество нулевого объёма. Поскольку множество ∂E ограничено и замкнуто, а функции ϕ и ψ непрерывны на ∂E , по первой теореме Вейерштрасса найдутся m и M такие, что

10

m ≤ ϕ ( x ) ≤ ψ ( x ) ≤ M ( x ∈∂ E ) . Зафиксируем ε > 0 . Так как E - кубируемое тело, то найдётся многогранник P ′ ⊃ ∂ E ( P ′ ⊂ R n −1 ) такой, что v( P ′) < ε ( M −m) . Построим многогранник P = {x ∈R n : ( x1 , x2 , K , xn−1 ) ∈ P′, m ≤ xn ≤ M }. Очевидно, что P ⊃ Γ , и что v ( P ) = v( P ′)( M −m) < ε . Следовательно, боковая поверхность Γ - множество нулевого объёма, и кубируемость цилиндрического тела доказана. Следствие. Криволинейная трапеция - квадрируемая фигура. Кратный интеграл Определение. Пусть G ⊂ R n - кубируемое тело. Разбиением тела G будем называть любое его представление в виде конечного числа кубируемых тел, не имеющих попарно общих внутренних точек. Разбиение обозначим буквой T. m

Итак, T ={G1 , G2 , K , Gm } , где Gk ( k = 1, 2, K , m) - кубируемые тела, G = U Gk k =1

и intGk I intGl = ∅ (k ≠ l ) .

Определение. Пусть E ⊂ R n - ограниченное множество. Назовём диаметром множества E число (19) d ( E ) = sup{ρ ( x ′, x ′′) : x ′, x ′′ ∈ E} . Определение. Пусть G - кубируемое тело, T - его разбиение. Назовём параметром разбиения число (20) ∆ = max{d (Gk ) : k = 1, 2, K , m} . Определение. Пусть G - кубируемое тело, T - его разбиение, ξ k ∈ Gk - произвольно выбранные точки ( k = 1, 2, K , m ). Пусть f : G → R . Сумму

σ = σ ( f , T , {ξ k }) = ∑ f (ξ k )∆vk , ∆vk = v(Gk ) , m

(21)

k =1

назовём интегральной суммой (функции f, отвечающей данному разбиению T и данному выбору точек ξ k (k = 1, 2, K , m) ). Определение. Пусть G - кубируемое тело, f : G → R , {σ } - множество интегральных сумм функции f. Число I назовём пределом интегральных сумм σ при условии, что параметр разбиения ∆ → 0 , I = lim σ , ∆ →0

если для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что при условии ∆ < δ будет иметь место неравенство σ − I 0 . По второму свойству точной нижней грани для каждого k = 1, 2, K , m найдётся ξ k ∈ G k такое, что f (ξ k ) < mk + ε , v1 где v1 > v = v (G ) . Умножив обе части этих неравенств на ∆vk и просуммировав по k от 1 до m, получим:

σ < ∑ ( m k + ε ) ∆ v k = ∑ m k ∆v k + ε ∑ ∆ v k = s + ε , m

m

m

v v k =1 k =1 что вместе с левой частью (24) устанавливает справедливость первого из равенств (25). Определение. Разбиение T ′ = {G ′j : j = 1, 2,K, l} назовём продолжением разбиения T = {Gk : k = 1, 2,K, m} , если каждое G k либо совпадает с некоторым G ′j , k =1

либо является объединением нескольких G ′j . Перенумеровав G ′j должным образом,

можно

добиться,

чтобы

jk

Gk = U G ′j , где 0 = j0 < j1 < j 2 < K < jm = l , следовательно, j = jk −1 +1

⎛ jk ⎞ G = U Gk = U ⎜⎜ U G ′j ⎟⎟ . k =1 k =1 ⎝ j = jk −1 +1 ⎠ 3)Пусть T и T ′ - разбиения, s и S - нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f для разбиения T, s′ и S ′ - нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f для разбиения T ′ . Если T ′ - продолжение T, то (26) s ≤ s ′, S ′ ≤ S . Снова оба соотношения доказываются одинаково, поэтому установим тольm

m

jk

ко первое из них. Рассмотрим Gk = U G ′j . Так как G ′j ⊂ Gk , ( jk −1 ≤ j ≤ jk ) , то

m′j ≥ mk , поэтому

j = jk −1 +1

jk m ⎛ l ⎞ m ⎛ jk ⎞ s ′ = ∑ m′j ∆v′j = ∑ ⎜⎜ ∑ m′j ∆v′j ⎟⎟ ≥ ∑ ⎜⎜ ∑ mk ∆v′j ⎟⎟ = k =1 ⎝ j = jk −1 +1 j =1 ⎠ k =1 ⎝ j = jk −1 +1 ⎠ j m ⎛ k ⎞ m = ∑ mk ⎜⎜ ∑ ∆v′j ⎟⎟ = ∑ mk ∆vk = s , k =1 ⎝ j = jk −1 +1 ⎠ k =1 и первое из соотношений (26) доказано. 4)Пусть T и T ′ - два произвольных разбиения. Тогда s ≤ S′. (27) Для доказательства построим разбиение T ′′ , являющееся как продолжением разбиения T, так и продолжением разбиения T ′ . Для этого достаточно рассмот-

13

реть разбиение T ′′ = {Gk I G ′j : k = 1, 2, K , m; j = 1, 2, K , l}. Тогда, по предыдущему свойству,

s ≤ s ′′ ≤ S ′′ ≤ S ′ ,

и свойство 4 доказано.

Критерий интегрируемости Из свойства 4 сумм Дарбу следует, что множество {s} нижних сумм Дарбу любой ограниченной функции f ограничено сверху (любой верхней суммой Дарбу), а множество {S } верхних сумм Дарбу ограничено снизу. Определение. Пусть G ⊂R n - кубируемое тело, f : G → R - ограниченная функция. Число I * = sup{s} назовём нижним интегралом Дарбу, а число

I * = inf {S } назовём верхним интегралом Дарбу функции f. Лемма. Имеет место неравенство I * ≤ I * . Если бы для некоторой функции f выполнялось I * > I * , то, обозначив I ∗ − I ∗ = 2ε (> 0) , можно было бы найти s и S ′ так, чтобы s > I * − ε , S ′ < I * + ε (по второму свойству точных нижней и верхней граней). Но тогда S ′ < I * + ε = I* − ε < s , что противоречит свойству 4 сумм Дарбу. Теорема (критерий интегрируемости). Ограниченная на кубируемом теле G функция f интегрируема на нём тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0 , что при условии ∆ < δ будет выполняться неравенство S − s 0 найдётся такое δ > 0 , что для любого разбиения T, параметр которого ∆ < δ , будет выполняться неравенство σ − I < ε 3 , или I −ε 0 найдётся такое δ > 0 , что для любого разбиения T, параметр которого ∆ < δ , будет выполняться неравенство S − s < ε , то, поскольку s ≤ I * ≤ I * ≤ S , получаем, что 0 ≤ I * − I * ≤ S − s < ε , или I * = I * = I , ввиду произвольности ε. Итак, существует число I, удовлетворяющее неравенству s≤I ≤S. Запишем это неравенство наоборот и вычтем из (24). Тогда получим:

14

− (S − s ) ≤ σ − I ≤ (S − s ) ,

или

σ−I ≤ S −s 0 найдётся такое δ > 0 , что m

ω k ∆v k ∑ k =1

0 и найдём по нему δ > 0 такое, чтобы выполнялось условие: если ρ ( x ′, x ′′) < δ ( x ′, x ′′ ∈ G ) , то f ( x ′′) − f ( x ′) < ε v1 , где v1 > v = v (G ) . Пусть T - любое разбиение тела G, параметр которого ∆ < δ . Тогда на любом G k ( k = 1, 2, K , m) будем иметь ω k < ε v1 , поэтому m ω ∆ v < ∑ k k ∑ ε ∆vk = ε m

m

∆vk = ε . v v1 ∑ k =1 По второму критерию интегрируемости f ∈ R (G ) . Теорема доказана. Теорема. Пусть G - замкнутое кубируемое тело, f : G → R - ограниченная функция. Если множество точек разрыва функции f есть множество нулевого объёма, то f интегрируема на G. Пусть f ( x ) ≤ M ( x ∈ G ) . Зафиксируем ε > 0 . Пусть Γ - множество точек разрыва функции f. Так как Γ - множество нулевого объёма, то найдётся многогранник P1 ⊃ Γ , объём которого v1 = v( P1 ) < ε 8M , причём P1 подберём так, чтобы Γ ⊂ int P1 . Построим теперь многогранник P2 ⊃ P1 так, чтобы границы S1, S2 многогранников P1 и P2 не соприкасались и чтобы выполнялось условие v2 = v ( P2 ) < ε 4 M . Рассмотрим на S1 × S 2 функцию ρ ( x1 , x2 ) ( x1 ∈ S1 , x2 ∈ S 2 ) . Так как S1 × S 2 компактное множество, а функция ρ непрерывна, то она достигает на S1 × S 2 точk =1

k =1 1

15

ной нижней грани. Обозначим δ 1 = inf {ρ ( x1 , x 2 ) : x1 ∈ S1 , x 2 ∈ S 2 } . Так как по построению S1 и S2 не имеют общих точек, то δ 1 > 0 .

Рассмотрим множество G \ int P1 . Как разность замкнутого и открытого множеств оно замкнуто, следовательно, компактно. Тогда f равномерно непрерывна на G \ int P1 , а потому найдётся δ 2 > 0 такое, что если x ′, x ′′ ∈ G \ int P1 и

ρ ( x ′, x ′′) < δ 2 , то f ( x ′′) − f ( x ′) < ε 2v1 , где v1 > v = v (G ) . Положим δ = min{δ 1, δ 2 } и рассмотрим произвольное разбиение T с параметром ∆ < δ . Составим сумму

m

∑ ω k ∆vk . Разобьём её на две суммы: k =1

m

∑ω k =1

k

∆v k = ∑ ω k′ ∆v k′ + ∑ ω k′′∆v ′k′ .

В первую сумму включим слагаемые, соответствующие тем G k = G k′ , которые имеют общие точки с P1 . Для этих слагаемых ω k′ ≤ 2 M , а G k′ ⊂ P2 , следовательно, и U Gk′ ⊂ P2 , поэтому

∑ ω k′ ∆vk′ ≤ 2M ∑ ∆v′k ≤ 2Mv2 < 2M 4εM = ε2 .

(30)

Во вторую сумму включим остальные слагаемые. Они соответствуют тем Gk = Gk′′ , которые не имеют общих точек с P1 , следовательно, содержатся в G \ int P1 . Для этих слагаемых ω k = ω k′′ < ε 2v1 , а потому

∑ ω k′′∆vk < 2εv ∑ ∆vk′′ < 2εv

v 0 . Так как f ∈ R (G ) , то найдётся такое δ > 0 , что для любого разбиения T тела G с параметром ∆ < δ будет выполняться неравенство m

∑ω k =1

k

∆v k < ε .

(34)

Пусть T0 – разбиение тела G0 с параметром ∆ 0 < δ . Составим для него сумму m0

ω k( 0) ∆v k( 0 ) . ∑ k 1

(35)

=

Дополним разбиение T0 до разбиения T тела G так, чтобы сохранилось ∆ < δ . Так как сумма (35) есть часть суммы (34), и все слагаемые положительны, то m0

ω k( 0) ∆v k( 0 ) < ε , ∑ k =1 и свойство доказано. 5)Если f ∈ R (G ) и G = G (1) U G ( 2 ) , где G (1) и G ( 2 ) - кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то (36) ∫ f ( x )dv = ∫ f ( x )dv + ∫ f ( x )dv . G (1 )

G

G ( 2)

По предыдущему свойству f интегрируема на G (1) и G ( 2 ) . Пусть T (1) и T ( 2 ) - разбиения тел G (1) и G ( 2 ) . Объединив их, получим разбиение T тела G. Составим интегральную сумму m

σ = ∑ f (ξ k )∆v k =∑ f (ξ k )∆v k + ∑ k =1

(1)

(2)

f (ξ k )∆v k = σ 1 + σ 2 .

Здесь σ1 есть интегральная сумма функции f по разбиению T (1) тела G (1) , σ2 – интегральная сумма функции f по разбиению T ( 2 ) тела G ( 2 ) . Так как f интегрируема

17

на G, G (1) , G ( 2 ) , то при ∆ → 0 интегральные суммы σ, σ1, σ2 стремятся к соответствующим интегралам в равенстве (36), что и доказывает его. 6)Если G = G (1) U G ( 2 ) , где G (1) и G ( 2 ) - кубируемые тела, не имеющие об-

щих внутренних точек, f ∈ R(G (1) ) и f ∈ R(G ( 2 ) ) , то f ∈ R (G ) и имеет место равенство (36). Нужно доказать лишь, что f ∈ R (G ) . Равенство (36) тогда следует из предыдущего свойства. Пусть Γ - общая часть границы тел G (1) и G ( 2 ) . Так как Γ - множество нулевого объёма, то, выбрав ε > 0 , найдём такой многогранник P1 ⊃ Γ , чтобы v ( P1 ) < ε 8M , где M : f ( x ) ≤ M ( x ∈ G ) . Заключим теперь многогранник P1 в многогранник P2, объём которого v ( P2 ) < ε 4 M , причём сделаем это так, чтобы границы S1 и S2 многогранников P1 и P2 не соприкасались. Тогда δ 0 = inf {ρ ( x1 , x2 ) : x1 ∈ S1 , x2 ∈ S 2 } > 0 . Так как f интегрируема на G (1) и G ( 2 ) , то найдутся δ 1 > 0 и δ 2 > 0 такие, что m1

∑ ω ∆v < ε , k =1 (1)

(1) k

(1) k

4

m2

∑ ω k( 2) ∆vk( 2) < ε4

(37)

k =1 ( 2)

для любых разбиений T тела G (1) и T тела G ( 2 ) , параметры которых удовлетворяют условиям ∆1 < δ 1 , ∆ 2 < δ 2 . Положим δ = min{δ 0 , δ 1 , δ 2 } и пусть T - разбиение тела G с параметром

∆ < δ . Рассмотрим

m

∑ω k =1

k

∆v k , соответствующую этому разбиению. Разобьём её на

три части: m

∑ω k =1

k

∆v k = ∑ ω (k0 ) ∆v k( 0 ) + ∑ ω (k1) ∆v k(1) + ∑ ω (k2 ) ∆v k( 2 )

(38)

В первую сумму включим слагаемые, соответствующие тем G k = G k( 0 ) , которые имеют общие внутренние точки с P1. Все Gk( 0) содержатся в P2, поэтому

∑ ω (k0) ∆vk( 0) ≤ 2M ∑ ∆vk( 0) ≤ 2Mv( P2 ) < 2M 4εM = ε2 .

(39)

Во вторую сумму включим слагаемые, соответствующие тем G k = G k(1) , которые содержатся в G (1) и не имеют общих внутренних точек с P1. Дополним {G k(1) } до разбиения T(1) тела G (1) так, чтобы сохранилось условие ∆ 1 < δ . Тогда

ε

∑ ω (k1) ∆vk(1) < 4

,

(40)

так как сумма в (40) - часть первой суммы в (37). Рассуждая аналогично, приходим к заключению, что и

ε

∑ ω (k2) ∆vk( 2) < 4 .

Используя (39), (40), (41) для оценки (38), получаем:

(41)

18 m

∑ω k =1

k

∆v k < ε ,

и интегрируемость функции f на теле G доказана. 7)Если f ∈ R (G ) и m ≤ f ( x ) ≤ M ( x ∈ G ) , то

m v(G ) ≤ ∫ f ( x )dv ≤ M v(G ) .

(42)

G

Пусть T - произвольное разбиение тела G. Составим интегральную сумму m

σ = ∑ f (ξ k )∆vk и оценим её: k =1

m

m

k =1

k =1

m v(G ) = m∑ ∆v k ≤ σ ≤ M ∑ ∆v k = M v(G ) .

Отсюда предельным переходом получаем (42). 8)Если f ∈ R(G ) , m = inf { f ( x ) : x ∈ G}, M = sup{ f ( x ) : x ∈ G}, то существует µ : m ≤ µ ≤ M и (43) ∫ f ( x )dv = µ v(G ). G

Это свойство обычно называют теоремой о среднем интегрального исчисления. Если v(G ) = 0 , то (43) верно при любом µ, поэтому предположим, что v(G ) ≠ 0 . Так как выполнены условия свойства 7, то верно неравенство (42). Разделив его на v(G ) , получим: m ≤ 1 ∫ f ( x )dv ≤ M . v(G ) G Обозначив 1 ∫ f ( x )dv = µ , видим, что m ≤ µ ≤ M , и что при найденном µ v(G ) G равенство (43) верно. 9)Если G - замкнутое связное кубируемое тело, f ∈ R(G ) - непрерывна на G, то существует с ∈ G такое, что (44) ∫ f ( x )dv = f (c ) v(G ) . G

Так как G - компактное множество, то по второй теореме Вейерштрасса существуют a , b ∈ G такие, что f (a ) = inf { f ( x ) : x ∈ G}, f (b ) = sup{ f ( x ) : x ∈ G} , а так как G связно, то по теореме о промежуточном значении найдётся с ∈ G такое, что f (c ) = µ , где µ удовлетворяет (43). Заменяя в (43) µ на f (c ) , получаем (44).

Сведение кратного интеграла к повторному Рассмотрим сначала частный случай: тело G есть прямоугольный параллелепипед Π = {x = ( x1 , x2 , K, xn ) : ai ≤ xi ≤ bi , ai < bi , i = 1, 2,K, n } . Представим пространство R n как декартово произведение двух подпространств R k и R l , k + l = n , Rn = Rk × Rl .

19

Точки x = ( x1 , x2 ,K, xn ) пространства R n будем теперь записывать как пары

( x , y ) = ( x1 , x2 ,K, xk ; y1 , y 2 ,K, yl ) и считать, что x = ( x1 , x2 ,K, xk ) ∈ R k , y = ( y1 , y 2 ,K, yl ) ∈ R l . Функции f , заданные на Π, будем рассматривать как

функции

двух

векторных

f (x, y) ,

переменных

x ∈Πk ,

y ∈ Πl ,

где

Π = Π n = Π k × Π l , Π k ⊂ R k , Π l ⊂ R l . Наконец, рассматривая объёмы тел в пространствах R n , R k , R l , будем обозначать эти объёмы соответственно v (n ) , v (k ) , v (l ) . Теорема. Пусть f интегрируема на Π n и для каждого x ∈ Π k интегрируема на Π l . Тогда функция I ( x ) = ∫ f ( x , y )dv (l ) (45) Πl

интегрируема на Π и имеет место равенство k

⎞ ⎛ = ∫ ⎜⎜ ∫ f ( x , y )dv ( l ) ⎟⎟dv ( k ) . ⎠ Πn Πk Π k⎝ Πl Равенство (46) обычно записывают в виде (n) (k ) (l ) ∫ f ( x , y )dv = ∫ dv ∫ f ( x , y )dv ,

∫ f ( x , y )dv Π

(n)

=

∫ I ( x )dv

n

Π

(k )

k

Π

(46)

(47)

l

и интеграл, стоящий в его правой части, называют повторным интегралом. Приступим к доказательству теоремы. Пусть {Π ks : s = 1, 2,K, p} - разбиение

параллелепипеда Π k , {Π lt : t = 1, 2,K, q} - разбиение параллелепипеда Π l на

Πn

Πl

Π lt

Π ns, t Π ks

Πk Рис. 6 частичные параллелепипеды (рис. 6). Образуем параллелепипеды Π ns ,t = Π ks × Π lt ,

s = 1, 2,K, p , t = 1, 2,K, q . Тогда {Π ns ,t : s = 1, 2,K, p; t = 1, 2,K, q} есть разбиение

параллелепипеда Π n . Пусть ms ,t = inf { f ( x , y ) : ( x , y ) ∈ Π ns ,t }, M s ,t = sup{ f ( x , y ) : ( x , y ) ∈ Π ns ,t }. На каждом параллелепипеде Π ks выберем по точке ξ s . Тогда, если (ξ s , y ) ∈ Π ns ,t , то

20

ms ,t ≤ f (ξ s , y ) ≤ M s ,t , s = 1, 2,K, p , t = 1, 2,K, q . f (ξ s , y ) ∈ R(Π l ) . Тогда, f (ξ s , y ) ∈ R(Π lt ) , t = 1, 2,K, q , а по свойству 7, По

по

условию,

ms ,t ∆vt( l ) ≤

∫ f (ξ

Π lt

s

свойству

4

интеграла,

, y )dv (l ) ≤ M s ,t ∆vt( l ) , s = 1, 2,K, p , t = 1, 2,K, q .

(48)

Здесь ∆vt( l ) = v(Π lt ) . Просуммируем неравенства (48) по индексу t от 1 до q . По свойству 5 интеграла, q

∑ ∫ f (ξ s , y )dv (l ) = ∫ f (ξ s , y )dv (l ) , t =1 Π l

Πl

t

поэтому имеем: q

∑ ms,t ∆vt(l ) ≤ t =1

∫

Π

l

q

f (ξ s , y )dv ( l ) ≤ ∑ M s ,t ∆vt(l ) , s = 1, 2,K, p .

(49)

t =1

Воспользовавшись (45), перепишем (49) в виде: q

ms ,t ∆v ∑ t =1

(l ) t

q

≤ I (ξ s ) ≤ ∑ M s ,t ∆vt(l ) , s = 1, 2,K, p . t =1 (k ) s

Умножим неравенства (50) на ∆v p

q

(50)

и просуммируем по s от 1 до p .

p

p

q

∑∑ ms,t ∆vs( k ) ∆vt(l ) ≤ ∑ I (ξ s ) ∆vs( k ) ≤ ∑∑ M s,t ∆vs( k ) ∆vt(l ) . s =1 t =1

s =1

s =1 t =1 n s ,t

Поскольку Π = Π × Π , то ∆v = v(Π ) = v(Π ks ) v(Π lt ) = ∆vs( k ) ∆vt( l ) , поэтому последнее неравенство можно переписать следующим образом: n s ,t

p

q

k s

l t

(n) s ,t

p

p

q

∑∑ ms,t ∆vs(,nt) ≤ ∑ I (ξ s ) ∆vs( k ) ≤ ∑∑ M s,t ∆vs(,nt) . s =1 t =1

s =1

(51)

s =1 t =1

Слева и справа в последнем неравенстве стоят нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f ( x , y ) по разбиению {Π ns,t } параллелепипеда Π n , а в центре - интегральная сумма функции I (x ) по разбиению {Π ks } параллелепипеда Π k . Если

параметр разбиения {Π ns,t } ∆( n ) → 0 , то параметр разбиения {Π ks } ∆( k ) → 0 , поскольку, очевидно, ∆( k ) ≤ ∆( n ) . Ввиду интегрируемости функции

f ( x , y ) на па-

раллелепипеде Π n , левая и правая части (51) при ∆( n ) → 0 стремятся к интегралу слева в равенстве (46), а средняя часть (51), ввиду интегрируемости I ( x ) на Π k , стремится к интегралу, стоящему в (46) в середине. Тем самым, (46) доказано. Замечание. Переменные x1 , x2 ,K, xn в формулировке теоремы были разбиты на x = ( x1 , x2 ,K, xk ) и y = ( xk +1 ,K , xn ) только ради удобства. Теорема, разумеется, остаётся в силе, если её условия выполнены для x = ( xi1 , xi2 ,K, xik ) и

y = ( xik +1 , xik + 2 ,K, xin ) , где (i1 , i2 ,K, in ) - любая перестановка индексов. Пусть k = 1, l = n − 1 . Тогда, принимая во внимание, что dv (1) = dx1 ,

dv ( n−1) = dx 2 dx3 K dx n , получим из (47):

21

∫ ∫ K ∫ f ( x1 , x2 ,K, xn )dx1dx2 Kdxn Πn

b1

= ∫ dx1 ∫ ∫ K ∫ f ( x1 , x2 ,K, xn )dx2 dx3 K dxn . (52) Π n −1

a1

Если теперь на параллелепипеде Π n−1 для функции f выполнены условия доказанной теоремы (при любом фиксированном x1 ∈ [ a1 , b1 ] ) для частного случая k = 1 , то, применяя её к внутреннему интегралу в (52), будем иметь:

∫ ∫ K ∫ f ( x1 , x2 ,K, xn )dx1dx2 Kdxn Πn

b1

b2

a1

a2

= ∫ dx1 ∫ dx2 ∫ ∫ K ∫ f ( x1 , x2 ,K, xn )dx3 K dxn , Π n−2

и т. д.

Следствие. Если для любого k = 1, 2, K, n − 1 функция f интегрируема на соответствующем параллелепипеде по переменным xk +1 , xk + 2 , K, xn при любых фиксированных значениях переменных x1 , x2 , K, xk , то имеет место формула:

∫ ∫ K ∫ f ( x1 , x2 ,K, xn )dx1dx2 Kdxn Πn

b1

b2

bn

a1

a2

an

= ∫ dx1 ∫ dx2 K ∫ f ( x1 , x2 ,K, xn )dxn .

(53)

Условия теоремы и следствия из неё выполняются для функций, непрерывных на Π n , следовательно, по крайней мере для непрерывных функций, вычисление n-кратного интеграла сводится к последовательному интегрированию по каждой переменной в отдельности. Пример. Вычислить ∫∫ ( x + y )dxdy , где P = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} . P

Ввиду непрерывности подинтегральной функции можно применить формулу (53). 1

1

1

y =1

1 2 ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dx ∫ ( x + y )dy = ∫ dx ( xy + 2 y ) y =0 = P 0 0 0 1

x =1 = ∫ ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟dx = ⎛⎜ 1 x 2 + 1 x ⎞⎟ = 1. 2⎠ 2 ⎠ x =0 ⎝2 0⎝

Пример. Вычислить

∫∫∫ xy

2

z 3 dxdydz , где

P

P = {( x, y , z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} . Снова можно применить формулу (53), но здесь ещё x и y2 можно вынести из внутренних интегралов как постоянные множители, поэтому 1

1

1

0

0

0

I = ∫∫∫ xy 2 z 3 dxdydz = ∫ xdx ∫ y 2 dy ∫ z 3 dz . P

При вычислении каждого внутреннего интеграла получается число, которое может быть вынесено за знак интеграла, поэтому здесь тройной интеграл представляется в виде произведения трёх однократных интегралов, которые можно вычислять не последовательно, а одновременно. Итак, 2 1 y3 1 4 1 x I= ⋅ ⋅ z = 1⋅1⋅1 = 1 . 2 0 3 0 4 0 2 3 4 24 Рассмотрим теперь общий случай.

22

Теорема. Пусть G - кубируемое цилиндрическое тело, G = {x ∈ R n : ( x1 , x2 ,K, xn−1 ) ∈ E , ϕ ( x1 , x2 ,K, xn−1 ) ≤ xn ≤ ψ ( x1 , x2 ,K, xn−1 )},

E ⊂ R n−1 - замкнутое кубируемое тело, ϕ , ψ : E → R - непрерывные функции. Пусть f : G → R - интегрируема на G и для любых ( x1 , x2 ,K, xn −1 ) ∈ E интегрируема по xn на отрезке [ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 ), ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )] . Тогда функция I ( x1 , x2 ,K, xn−1 ) =

ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

∫

ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

f ( x )dxn

(54)

интегрируема на E и

∫ f ( x )dv = ∫ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 )dv

G

( n −1)

E

= ∫ dv E

( n −1)

ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

∫

ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

f ( x )dxn .

(55)

Так как G ограничено, то найдётся параллелепипед Π ⊃ G . Рассмотрим на Π функцию ⎧ f ( x ), x ∈ G, ~ f (x) = ⎨ ⎩0, x ∈ Π \ G. Эта функция, по свойству 6 интеграла, интегрируема на Π = Π n и на [an , bn ] = Π1 для любых ( x1 , x2 ,K, xn−1 ) ∈ Π n−1 , поэтому по предыдущей теореме ( k = n − 1, l = 1) bn ~ ~ ( n −1) f ( x ) dv = dv (56) ∫ ∫ ∫ f ( x )dxn . Π n −1

Π

an

Преобразуем каждую из частей равенства (56). Так как Π = G U (Π \ G ) , то, по свойству 5 интеграла, ~ ~ ~ ∫ f ( x )dv = ∫ f ( x )dv + ∫ f ( x )dv = ∫ f ( x )dv , Π

Π \G

G

(57)

G

~ ~ поскольку f ( x ) = f ( x ) на G и f ( x ) = 0 на Π\G. Введём обозначение: bn ~ ~ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 ) = ∫ f ( x )dxn . an

Тогда интеграл в правой части (56) запишется в виде: ~ ( n −1) ∫ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 )dv , Π n −1

и, поскольку Π n−1 = E U (Π n−1 \ E ) , по свойству 5 интеграла, ~ ~ ~ ( n −1) ( n −1) ( n −1) ∫ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 )dv = ∫ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 )dv + ∫ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 )dv = Π n −1

Π n −1 \ E

E

~ = ∫ I ( x1 , x2 ,K, xn−1 )dv ( n−1) , E

~ ~ так как I ( x1 , x2 ,K, xn −1 ) = 0 на Π\E из-за того, что f ( x ) = 0 на (Π \ E ) × [ an , bn ] . Следовательно,

23

∫

dv

bn

bn ~ ~ ( n −1) f ( x ) dx = dv n ∫ ∫ ∫ f ( x )dxn .

( n −1)

Π n −1

an

E

Рассмотрим теперь bn ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 ) ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 ) ~ ~ ~ f ( x )dxn + f ( x )dxn + ∫ f ( x )dxn = ∫ ∫ an

ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

an

=

ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

∫

ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

(58)

an

bn

∫

ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )

~ f ( x )dxn =

f ( x )dxn ,

(59)

~ так как f ( x ) = 0 вне отрезка [ϕ ( x1 , x2 ,K, xn −1 ), ψ ( x1 , x2 ,K, xn −1 )] , а на самом отрезке совпадает с f (x ) . Используя (59), (58), (57), из (56) получаем (55). Теорема доказана. Замечание. Если E, в свою очередь, цилиндрическое тело и функция I, определённая равенством (54), удовлетворяет на нём условиям доказанной теоремы, то внешний интеграл в (55) тоже может быть расписан как повторный и так далее. Замечание. Не цилиндрическое тело G, возможно, можно представить как конечное объединение цилиндрических тел. Тогда, по свойству 5, интеграл по телу G представляется в виде суммы интегралов, каждый из которых, при выполнении условий теоремы, сводится к повторному. Пример. Вычислить ∫∫ x 2 dxdy , где D - фигура, заключённая между эллипD

сом x + 4 y = 4 и окружностью x 2 + y 2 = 1 (рис. 7). 2

2

y

1

D1

1

0

2 x

D2

Рис. 7 Очевидно, D = D1 U D2 , где D1 и D2 - криволинейные трапеции. Их границы - кривые x = ± 1 − y 2 и x = ±2 1 − y 2 , поэтому

∫∫ x

2

dxdy =

D

1

= 1 ∫ dy ⋅ x 3 3 −1

∫∫ x

D1

x = − 1− y 2 x = −2

2

1

− 1− y 2

−1

− 2 1− y 2

dxdy + ∫∫ x dxdy = ∫ dy 2

D2

1

+ 1 ∫ dy ⋅ x 3 3 −1 1− y 2

x = 2 1− y 2 x = 1− y 2

1

∫

1

x dx + ∫ dy 2

2 1− y 2

∫

−1

x 2 dx =

1− y 2 1

3 3 = 7 ∫ (1 − y 2 ) 2 dy + 7 ∫ (1 − y 2 ) 2 dy = 3 −1 3 −1

24 π 2

⎛

π 2

π 2

π 2

π 2

⎞

= 14 ∫ cos 4 t dt = 7 ∫ (1 + 2 cos 2t + cos 2 2t ) dt = 7 ⎜ t + sin 2t + 1 ∫ (1 + cos 4t )dt ⎟ = ⎟ 3 −π 2 6 −π 2 6 ⎜ −π 2 2 −π 2 −π 2 ⎝

⎠

π 2 ⎞ ⎛ = 7 ⎜⎜ π + 1 ⎛⎜ t + 1 sin 4t ⎞⎟ ⎟⎟ = 7 ⋅ 3π = 7π . 6⎝ 2⎝ 4 4 ⎠ −π 2 ⎠ 6 2 Пример. Вычислить ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz , где G - тело, ограниченное поG

верхностями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 (рис. 8). z 1

G

y

0 1

D 1

x

Рис. 8 Здесь G - цилиндрическое тело над треугольником D, ограниченное сверху плоскостью x + y + z = 1, снизу - плоскостью z = 0. D тоже цилиндрическая фигура над отрезком [0, 1], ограниченная сверху прямой x + y = 1 , снизу - прямой y = 0. Поэтому 1− x − y

∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ G

1

1− x

1− x − y

0

0

0

= ∫ dx ∫ dy

∫

D

1

1− x

0

0

( x + y + z )dz = ∫ dx ∫

( x + y + z )dxdydz =

0

( x + y + z) dy ⋅ 2

2

z =1− x − y z =0

1

1− x

= 1 ∫ dx ∫ (1 − ( x + y ) 2 )dy = 20 0

1 1 3 ⎛ 1 ( x + y ) ⎞⎟ y =1− x 1 = ∫ (2 − 3 x + x 3 )dx = 1 ⎛⎜ 2 x − 3 x 2 + 1 x 4 ⎞⎟ = 1 . = 1 ∫ dx ⋅ ⎜ y − ⎟ y =0 6 0 ⎜ 20 3 6⎝ 2 4 ⎠0 8 ⎠ ⎝

Замена переменных в кратном интеграле Замена переменных в кратном интеграле играет ещё более важную роль, чем в интеграле по отрезку, поскольку необходимость в ней вызывается не только сложностью подынтегральной функции, но и сложной конфигурацией тела, по которому приходится интегрировать, или не позволяющей свести кратный интеграл к повторному, или приводящей к громоздким вычислениям. Рассмотрим два экземпляра пространства R n : R n = {x = ( x1 , x2 ,K, xn )} и

R n = {ξ = (ξ1 ,ξ 2 ,K,ξ n )}, в первом рассмотрим замкнутую односвязную кубируе~ мую область G, во втором - замкнутую односвязную кубируемую область G . Рас~ смотрим также отображение ϕ : G → G , обладающее следующими свойствами:

25

~ ~ 1)ϕ отображает G в G непрерывно и int G в int G биективно; ~ 2)ϕ непрерывно дифференцируемо в G ; D( x1 , x2 ,K, xn ) ~ 3) J (ξ ) = ≠ 0 ξ ∈ int G . D(ξ1 ,ξ 2 ,K,ξ n ) Напомним, что отображение называют непрерывно дифференцируемым в замкнутой области, если оно дифференцируемо внутри неё и каждая частная производная непрерывна в замкнутой области, и что якобиан отображения ∂ x1 ∂ x1 ∂ x1 ... ∂ξ1 ∂ξ 2 ∂ξ n

(

D( x1 , x2 ,K, xn ) J (ξ ) = = det ϕ ′(ξ ) = D(ξ1 ,ξ 2 ,K,ξ n )

)

∂ x2 ∂ξ1

∂ x2 ∂ x2 ... ∂ξ 2 ∂ξ n

.

(59)

. . . . . . . . . . . . .. . ∂ xn ∂ xn ∂ xn ... ∂ξ1 ∂ξ 2 ∂ξ n

Из свойств 2 и 3 следует, что якобиан J (ξ ) отображения ϕ сохраняет знак ~ ~ в int G , а также определено обратное отображение ϕ −1 : int G → int G . ~ Рассмотрим точку α = (α 1 ,α 2 ,K,α n ) ∈ int G . Через неё проходят n гиперпло~ скостей ξ i = α i (i = 1,2,K, n ) . Части этих гиперплоскостей, содержащиеся в G , отображение ϕ переводит в гиперповерхности xi = ϕ (ξ1 ,K,ξ i −1 ,α i ,ξ i +1 ,K,ξ n ) , про~ ходящие через точку a = ϕ (α ) . Если рассмотреть другую точку α (1) ∈ int G , то её образ a (1) = ϕ (α (1) ) , находится на пересечении гиперповерхностей

xi(1) = ϕ (ξ1(1) ,K,ξ i(−11) ,α i(1) ,ξ i(+11) ,K,ξ n(1) ) (i = 1,2,K, n ) , причём набор гиперповерхностей, определяющих положение точки a (1) , отличен (ϕ взаимно однозначно!) от набора гиперповерхностей, определяющих положение точки a . Таким образом, положение каждой точки a ∈ int G может быть определено как пересечением гиперплоскостей xi = ai (i = 1, 2, K, n) , так и пересечением гиперповерхностей, являющихся образами частей гиперплоскостей ξ i = α i (i = 1, 2, K, n ) , т. е., фактически, значениями (α 1 , α 2 , K, α n ) . Принято поэтому (α 1 , α 2 , K, α n ) называть криволинейными координатами точки a ∈ int G , а гиперповерхности xi = ϕ (ξ1 , K, ξ i −1 , α i , ξ i +1 , K, ξ n ), i = 1, 2, K, n, - координатными гиперповерхностями (линиями при n = 2, поверхностями при n = 3). Пример. Рассмотрим в R 2 полярную систему координат x = r cos ϕ , y = r sin ϕ (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ) . Отображение ϕ : (r , ϕ ) → ( x, y ) удовлетворяет условиям 1 - 3 для любой ку~ бируемой замкнутой области G , расположенной в полуполосе Π = {(r , ϕ ) : 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π }. Координатные линии - окружности и лучи (рис. 9). y

ϕ

26

M

ϕ

2π

ϕ x

r

0

~ M

ϕ r

0

r

Рис. 9 Вычислим якобиан:

∂x ∂r J (r ,ϕ ) = ∂y ∂r

∂x cosϕ ∂ϕ = sin ϕ ∂y ∂ϕ

− r sin ϕ =r. r cosϕ

Пример. Рассмотрим в R 3 цилиндрическую систему координат x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = u (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < u < +∞ ) . Отображение ϕ : (r ,ϕ , u ) → ( x, y , z ) удовлетворяет условиям 1 - 3 на любом ~ замкнутом кубируемом теле G , удовлетворяющем приведённым выше ограничеz u

M

0ϕ

y r

Рис.10 ниям. Координатные поверхности - цилиндрические поверхности r = const , полуплоскости ϕ = const и плоскости u = const (рис. 10). Вычислим якобиан cosϕ − r sin ϕ 0 x

J (r ,ϕ ) = sin ϕ 0

r cosϕ 0 = r. 0 1

(61)

Пример. Рассмотрим в R 3 сферическую систему координат x = r cosϕ cosϑ , y = r sin ϕ cosϑ , z = r sin ϑ ⎛⎜ r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − π ≤ ϑ ≤ π ⎞⎟ . 2 2⎠ ⎝

27

Снова отображение ϕ : (r , ϕ , u ) → ( x, y , z ) удовлетворяет условиям 1 - 3 на любом замкнутом кубируемом теле, удовлетворяющем приведённым выше ограничениям. Координатные поверхности – сферы r = const , полуплоскости ϕ = const , конические поверхности ϑ = const (рис. 11). Вычислим якобиан. cosϕ cosϑ − r sin ϕ cosϑ − r cosϕ sin ϑ

J (r ,ϕ ,ϑ ) = sin ϕ cosϑ sin ϑ

r cosϕ cosϑ 0

− r sin ϕ sin ϑ = r 2 cosϑ . r cosϑ

(62)

z

M r

ϑ

0

y

ϕ x

Рис. 11 ~ Теорема. Пусть G и G - замкнутые односвязные кубируемые области, ~ ϕ : G → G удовлетворяет условиям 1 - 3. Тогда справедлива формула

v(G ) = ∫ J (ξ ) dv(ξ ) . ~ G

(63)

где v(G ) - объём области G, dv(ξ ) - элемент объёма в пространстве R n = {ξ }. ~ ~ Пусть T - разбиение G , образованное гиперплоскостями, параллельными ~ координатным гиперплоскостям. Разбиение T составляют: 1) прямоугольные па~ ~ раллелепипеды Π k ( k = 1, 2, K, m) , целиком содержащиеся в int G; 2) прямо~ угольные параллелепипеды или их части Π k (k = m + 1, m + 2,K, m1 , m1 > m), ~ ~ примыкающие к границе G. Ввиду кубируемости G , при достаточно мелком разбиении сумма объёмов элементов разбиения, перечисленных в 2), сколь угодно мала, поэтому ими можно пренебречь. Поскольку отображение ϕ непрерывно, а части гиперплоскостей, образую~ щих разбиение T , суть ограниченные множества, то их образы - множества нуле~ ~ вого объёма, поэтому отображение ϕ по разбиению T области G определит разбиение T области G. Разбиение T будет состоять из: 1)криволинейных параллеле~ пипедов Π k ( k = 1,2,K, m) , являющихся образами параллелепипедов Π k , 2)образов частичных тел, перечисленных в предыдущем пункте 2). При достаточ-

28

~ но мелком разбиении T , ввиду непрерывности отображения ϕ, разбиение T тоже будет достаточно мелким, поэтому сумма объёмов частичных тел, перечисленных в 2), будет сколь угодно малой, и объём области G будет практически равен сумме объёмов криволинейных параллелепипедов Π k , перечисленных в пункте 1). ~ Вычислим объём Π k . Обозначим одну из вершин параллелепипеда Π k че~ рез Ak . Пусть её координаты суть ξ k = (ξ1 , ξ 2 , K, ξ n ) , а величины рёбер (с учетом знака), выходящих из этой вершины, равны h1 , h2 , K, hn . Тогда вершины парал~ ~ лелепипеда Π k , соседние с Ak , имеют координаты ξ k + hi , где

hi = (0, 0, K , 0, hi , 0, K , 0 ) , i = 1, 2, K , n . ~ Отображение ϕ вершину Ak переведёт в вершину Ak ( xk ) , xk = ϕ (ξ k ) , а соседние с Ak вершины криволинейного параллелепипеда Π k будут иметь координаты ϕ (ξ k + hi ) , i = 1, 2, K , n . Заменим криволинейный параллелепипед Π k прямолинейным (косоугольным) параллелепипедом Π ′k , оставив вершину Ak неизменной, а координаты соседних с ней вершин положив равными ϕ (ξ k ) + dϕ (ξ k )(hi ) (рис. 12). Так как рёбра параллелепипеда Π ′k суть ∂ϕ1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ ∂ϕ1 ⎞ ⎛ ∂ϕ1 . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ξ ξ ∂ ∂ n ⎟ ⎜K⎟ ⎜ ∂ξ i ⎟ ⎜ 1 dϕ (ξ k )(hi ) = ϕ ′(ξ k ) ⋅ hi = ⎜ . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⋅ ⎜ hi ⎟ = ⎜ . . . . ⎟ ⋅ hi , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ϕ ϕ ∂ ∂ n ⎟ ⎜K⎟ ⎜ ∂ϕ n ⎟ ⎜ n ... ⎜ ∂ξ ∂ξ n ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ ∂ξ i ⎟⎠ ⎝ 1 то его объём, вычисленный по формуле (1), будет равен ⎛ ⎛ ∂ϕ j ⎞ ⎞ ~ v(Π ′k ) = abs⎜⎜ det⎜⎜ (ξ k ) ⎟⎟ ⋅ h1h2 K hn ⎟⎟ = J (ξ k ) ⋅ v(Π k ) , ⎠ ⎝ ⎝ ∂ξ i ⎠ ~ поскольку v Π k = h1h2 Khn .

( )

При переходе от Π k к Π ′k мы заменили приращения ∆ϕ (ξ k )(hi ) дифферен-

циалами dϕ (ξ k )(hi ) , поэтому

( )

~ v(Π k ) ≈ J (ξ k ) ⋅ v Π k , (64) причём разность между левой и правой частями в (64) есть бесконечно малая бо~ лее высокого порядка по сравнению с v (Π k ).

Π ′k

ϕ Πk

~ Πk

h2

29

Ak

~ Ak

h1 Рис. 12

Суммируя (64) по k от 1 до m, с учётом вышесказанного, имеем: m

v (G ) ≈ ∑ J (ξ k ) ⋅ ∆vk (ξ ) , k =1

( )

~ где ∆vk (ξ ) = v Π k . Добавим в полученную сумму слагаемые, отвечающие значениям k от m + 1 до m1 . Эти слагаемые отвечают параллелепипедам или частям па~ ~ раллелепипедов Π k , которые примыкают к границе тела G . Общий объём ука~ занных Π k сколь угодно мал, поэтому и добавляемая сумма сколь угодно мала, поскольку J (ξ ) ограничен. Итак, m1

v(G ) ≈ ∑ J (ξ k ) ⋅ ∆vk (ξ ) .

(65)

k =1

~ Но сумма в (65) есть интегральная сумма функции J (ξ ) по разбиению T . Так как J (ξ ) , по условию, непрерывен, то предел интегральных сумм существует, поэтому при неограниченном измельчении разбиения из (65) получим (63). Точные оценки, обосновывающие все приведённые рассуждения, ввиду их сложности, опущены. ~ Теорема. Пусть G и G - замкнутые односвязные кубируемые области, ~ ϕ : G → G удовлетворяет условиям 1 - 3, f : G → R непрерывна на G. Тогда справедлива формула (66) ∫ f ( x )dv( x ) = ∫ f (ϕ (ξ ))dv(ξ ) . ~ G

G

Ввиду непрерывности подынтегральных функций, каждый из интегралов в (66) существует. Остаётся доказать равенство. ~ ~ ~ ~ Пусть T = Gk : k = 1, 2, K , m - разбиение области G , Gk = ϕ (Gk ) , k = 1, 2, K, m . Тогда, ввиду (63), Gk кубируемы, ввиду свойств 1 - 3 функции ϕ,

{

}

Gk при различных k не имеют общих внутренних точек и

m

U Gk

= G . Поэтому

k =1

T = {Gk : k = 1, 2, K , m} - разбиение тела G. Составим для него интегральную сумму функции f. m

m

k =1

k =1

σ = ∑ f ( xk )∆vk ( x ) = ∑ f ( xk ) ∫ J (ξ ) dv(ξ ) , ~ Gk

поскольку, ввиду (63),

∆vk ( x ) = v(Gk ) = По свойству 9 интеграла

∫ J (ξ ) dv(ξ ) .

~ Gk

(67)

30

∫

~ Gk

~ ~ J (ξ ) dv(ξ ) = J (ξ k ) ⋅ v(Gk ) = J (ξ k ) ∆vk (ξ ), ξ k ∈ Gk .

(68)

В (67) xk могут быть выбраны любым способом, поэтому положим xk = ϕ (ξ k ), где ξ k определяются равенствами (68). Тогда (67) примет вид: m

m

k =1

k =1

∑ f ( xk )∆vk ( x ) = ∑ f (ϕ (ξ k )) J (ξ k ) ∆vk (ξ ) .

(69)

В обеих частях равенства (69) стоят интегральные суммы соответствующих ~ ~ ~ интегралов равенства (66). Если ∆ → 0 (∆ - параметр разбиения T ), то и ∆ → 0 ( ∆ - параметр разбиения T), так как, ввиду выполнения условий теоремы Кантора, ~ отображение ϕ равномерно непрерывно на G . Перейдя к пределу в (69), получим (66). Теорема доказана. Замечание. Условия теоремы могут нарушаться на множестве нулевого объёма. Пример. Вычислить ∫∫ xydxdy , где D - область, ограниченная эллипсом D

2

x 2 + y = 1 и координатными осями x = 0, y = 0 ( x > 0, y > 0 ) (рис. 13). a2 b2 y Перейдём к обобщенным полярным координатам, положив x = ar cos ϕ , y = br sin ϕ . Эти b функции определяют отображение ϕ прямоугольника π⎫ ⎧ Π = ⎨(r ,ϕ ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ ⎬ a x 2⎭ ⎩ 0 Рис. 13 на D , удовлетворяющее условиям 1 - 3. Вычислим якобиан. a cosϕ − ar sin ϕ J (r , ϕ ) = = abr . b sin ϕ br cosϕ Используя формулу (66), имеем: 1

π 2

1 3 ∫∫ xydxdy = ∫∫ (ar cos ϕ ) ⋅ (br sin ϕ ) ⋅ abrdrdϕ = 2 ∫ r dr ∫ sin 2ϕ dϕ = 0 0 D Π 1 = 1 a 2b 2 ⋅ 1 r 4 ⋅ ⎛⎜ − 1 cos 2ϕ ⎞⎟ 2 4 0 ⎝ 2 ⎠

Пример. Вычислить

∫∫∫ xdxdydz,

π 2 0

= 1 a 2b 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 a 2b 2 . 8 2 4

где G - тело, ограниченное координатными

G

плоскостями и сферой x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( x > 0 , y > 0 , z > 0 ). Перейдём к сферической системе координат, положив x = r cosϕ cosϑ , y = r sin ϕ cosϑ , z = r sin ϑ . Тогда 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , 0 ≤ ϑ ≤ π 2 , J (r , ϕ , ϑ ) = = r 2 cosϑ . Поскольку в пространстве R 3 = {(r , ϕ , ϑ )} телу G отвечает параллелепипед с указанными выше размерами, то

31

xdxdydz = ∫∫∫ r cos ϕ cosϑ ⋅ r ∫∫∫ G ~ G

sin ϕ

π 2

2

cosϑ drdϕ dϑ =

⋅ 1 ⎛⎜ϑ − 1 sin 2ϑ ⎞⎟ 2 ⎠ 0 2⎝

π 2

π 2

∫ cosϕ dϕ ∫ cos 0

π 2

0

R

2

ϑ dϑ ∫ r 3 dr = 0

R

⋅ 1 r 4 = 1 R4. 16 0 4 0

Литература. 1) Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. Наука. М., 1967 г. 2) Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ (продолжение курса). Изд. МГУ. М., 1987 г. 3) Знаменский В. А., Ковальчук В. Е., Рунов Л. В., Чалов П. А. Функции многих переменных (методические указания), части 1 - 3. УПЛ РГУ, 1995 г.