Вырождающиеся эллиптические краевые задачи второго порядка в негладких областях

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 13 (2005). С. 1–135 УДК 517.9 ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕ...

Author: Борсук М.

24 downloads 160 Views 880KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 13 (2005). С. 1–135 УДК 517.9

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ c 2005 г. °

М. БОРСУК

Посвящается моим учителям — Я. Б. Лопатинскому и В. А. Кондратьеву

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Глава 1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Элементарные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Области с конической точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Функция квазирасстояния rε и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Пространства функций, непрерывных по Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7. Некоторые сведения из функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8. Задача Коши для дифференциального неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9. Дополнительные вспомогательные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Глава 2. Интегральные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Классические неравенства Харди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Неравенство Виртингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Неравенства типа Харди—Фридрихса—Виртингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Глава 3. Уравнение Пуассона в гладких областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Оценки Дини обобщенного ньютоновского потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Оценки Дини для первых производных слабых решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Оператор Лапласа в пространствах Соболева с весом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Глава 4. Сильные решения задачи Дирихле для линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 40 4.1. Задача Дирихле в областях общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Задача Дирихле в конической области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3. Однозначная разрешимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Глава 5. Сильные решения задачи Дирихле для квазилинейных уравнений в недивергентной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1. Задача Дирихле в гладких областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2. Оценки вблизи конической точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3. Разрешимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Глава 6. Поведение слабых решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений с тройным вырождением в окрестности ребра . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1. Введение. Предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Слабый принцип сравнения. Сильный принцип максимума Хопфа . . . . . . . . . . . . . 100 6.3. Ограниченность слабых решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.4. Построение барьерной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 c °2005 РУДН

1

2

ВВЕДЕНИЕ

6.5. Оценки слабых решений в окрестности 6.6. Доказательство основной теоремы . . . 6.7. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . Список основных обозначений . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . .

ребра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

118 122 125 125 133 134

ВВЕДЕНИЕ Эта монография посвящена исследованию в окрестности особых точек границы поведения сильных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка (линейных и квазилинейных) с коэффициентами, которые могут вырождаться в особых точках границы. Нашей главной целью является точное описание скорости убывания решений и нахождение неулучшаемых условий для этого. Вырожденные эллиптические уравнения возникают в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек и т. д. Такие уравнения играют значительную роль в газовой динамике. Основополагающие работы по изучению вырожденных эллиптических уравнений принадлежат Трикоми, Хольмгрену, Геллерштедту, Франклю, Жермену, Бадеру, Бицадзе, Товмасяну, Бабенко, Келдышу, Вишику, Кудрявцеву, Фикера, Векуа (более подробно см. в монографии [79]). В работе Фейбса, Кенига и Серапиони [134] изучалась локальная регулярность слабых решений вырожденных линейных эллиптических уравнений в дивергентной форме. Работа Стредулински [201] посвящена изучению локальной регулярности слабых решений вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений в дивергентной форме. Регулярность слабых решений линейных и квазилинейных эллиптических уравнений в дивергентной форме с изолированными точками вырождения в главной части была изучена Балдесом в работе [99]. Поскольку в настоящее время существует достаточно развитая теория линейных эллиптических уравнений с частными производными, появилась возможность продвижения в теории нелинейных уравнений. Значительный успех в этом направлении был достигнут для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка благодаря работам Шаудера, Каччиопполи, Лере и пр. (см. [4, 27, 46, 49]). Ими был развит метод, позволяющий доказывать теоремы существования на основе соответствующих априорных оценок. Этот метод не требует предварительного построения фундаментального решения и позволяет использовать некоторые теоремы из функционального анализа вместо теории интегральных уравнений. С одной стороны, оказывается, что разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка можно вполне легко доказать, используя оценку Гельдера для первых производных решения соответствующей линейной краевой задачи; постоянная в оценке должна зависеть только от максимума модуля коэффициентов задачи. Таким образом, появляется необходимость более глубокого изучения линейных задач и получения более точных оценок. На это были направлены усилия многих математиков. Ниренберг [78] получил вышеупомянутую оценку для двумерного несамосопряженного уравнения, благодаря чему стало возможным получить теорему существования для задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка при минимальных условиях на гладкость коэффициентов уравнения. В случае многомерного уравнения такая оценка была получена Кордесом [40], однако в предположении, что уравнение удовлетворяет условию (зависящему от евклидовой размерности пространства N > 2), более сильному, чем равномерная эллиптичность. С другой стороны, попытки получить вышеупомянутую априорную оценку для эллиптических уравнений второго порядка общего вида не увенчались успехом, поскольку оказалось, что такой оценки просто не существует. Таким образом, чтобы доказывать классическую разрешимость краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, необходимо было разработать методы, позволяющие получать необходимые оценки непосредственно для нелинейных задач. Такие методы были найдены. Идеи нового метода можно найти уже в работах Бернштейна и позднее Де Джорджи и Нэша [27, 49]. Этот метод был развит Ладыженской и Уральцевой. Была опубликована широко

ВВЕДЕНИЕ

3

известная монография [49], в которой метод применен к различным краевым задачам. Их результаты послужили толчком для появления целого ряда работ их учеников и других математиков (отметим работы [25, 45, 156–169, 202]). Все исследования, упомянутые выше, посвящены краевым задачам в достаточно гладких областях. Следует отметить, что окончательное завершение этих исследований потребовало больших усилий многих математиков и заняло около 30 лет. Однако многие задачи физики и техники приводят к необходимости изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким областям относятся области, которые имеют на границе конечное число угловых (N = 2) или конических (N > 2) точек, ребер и т. д. Состояние теории краевых задач в негладких областях двадцатилетней давности подробно изложено в известном обзоре Кондратьева и Олейник [39], в книге Куфнера и Зэндиг [153], а также в монографиях Мазьи и его коллег [149, 173]. Одними из первых работ, посвященных линейным краевым задачам общего вида в областях с коническими или угловыми точками, являются фундаментальные работы Кондратьева [32, 33], а также Бирмана и Скворцова [5], Эскина [87, 132], Лопатинского [52] и Мазьи [53–56, 73]. В этих работах исследуется нормальная разрешимость и регулярность в весовых пространствах Соболева линейных эллиптических задач общего вида в негладких областях при условии достаточной гладкости многообразия ∂G \ O и коэффициентов задачи. Решения рассматриваются в специальных пространствах функций, имеющих производные, интегрируемые с некоторым степенным весом. Эти пространства хорошо описывают основные особенности решений таких задач. Также стало ясно, что методы, используемые для исследования эллиптических краевых задач в гладких областях, не применимы для негладких областей, поскольку в этом случае невозможно распрямить границу с помощью гладкого преобразования. Эллиптические задачи в негладких областях изучались Кондратьевым [32, 33] в L2 -соболевских пространствах; Мазья и Пламеневский [65–71, 178, 179] (см. также [62, 63, 173, 174, 176, 180]) обобщили результаты Кондратьева на Lp -соболевские и другие пространства. Существует много других работ, относящихся к эллиптическим краевым задачам в негладких областях (см. список литературы). Первые работы по изучению эллиптических краевых задач в негладких областях принадлежат Мазье, Кролю и Пламеневскому [41–44, 58–60, 64]. Для изучения нелинейной эллиптической задачи необходимо определить, при каких условиях гладкости коэффициентов и правых частей линейной задачи имеются разрешимость в соответствующих пространствах Соболева и соответствующие априорные оценки решения. Это сделано в главе 4. В этой главе изучена линейная эллиптическая задача Дирихле для уравнения в недивергентной форме ( Lu := aij (x)Dij u(x) + ai (x)Di u(x) + a(x)u(x) = f (x), x ∈ G, (L) u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂G. Вопросы гладкости в окрестности угловой точки решений недивергентных эллиптических уравнений второго порядка ранее изучались в работах [95–98], в которых предполагалось, что коэффициенты уравнения непрерывны по Гельдеру. Мы предполагаем, что коэффициенты обладают минимально возможной гладкостью, а именно коэффициенты в уравнении при старших производных должны быть непрерывны по Дини в конической точке O, тогда как коэффициенты в младших членах могут даже расти (мы приводим точный порядок роста). В разделе 4.2.5 построены примеры, которые показывают, что условие Дини для коэффициентов при старших производных в конической точке и предположения о коэффициентах в младших членах являются существенными для выполнения оценок, полученных в главе 4. В противном случае показатель степени λ в этих оценках следует заменить на λ − ε при любом ε > 0. То, что показатель степени λ в этих оценках нельзя увеличить, показывают частные решения уравнения Лапласа в области с угловой или конической точкой. В этом смысле оценки из главы 4 являются неулучшаемыми. Оценки, полученные в разделе 4.2, позволяют сформулировать новые теоремы существования для линейной задачи Дирихле. Эти теоремы доказаны в разделе 4.3. Теория регулярности сильных решений для этой задачи и ее разрешимость в гладких областях хорошо исследованы [27, 45, 46, 50]. Однако для негладких областей ранее такая теория была мало исследована. Теоремы существования, полученные в разделе 4.3, в дальнейшем (см. главу 5)

4

ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ

играют фундаментальную роль в изучении разрешимости следующей квазилинейной задачи: (

aij (x, u, ux )uxi xj + a(x, u, ux ) = 0, u(x) = ϕ(x),

aij = aji ,

x∈G x ∈ ∂G.

(QL)

Как было упомянуто выше, для доказательства разрешимости задачи Дирихле для квазилинейных уравнений необходимы соответствующие априорные оценки решений непосредственно нелинейной задачи. Глава 5 посвящена получению таких оценок. Центральным моментом здесь является локальная (вблизи конической точки) гельдерова оценка первых производных решения. Чтобы получить локальную гельдерову оценку в случае конической точки (N > 2), используются барьерные функции и применяется принцип сравнения. Теоремы из разделов 5.2.4 и 5.2.5 показывают также, что решения задачи (QL) обладают такой же регулярностью (в конической точке), что и решения задачи (L). Отметим, что метод аппроксимации негладкой области последовательностью гладких областей (известный в линейной теории) неприменим для нелинейных задач из-за невозможности предельного перехода. Мы преодолеваем эту трудность введением функции квазирасстояния rε (x). Введение такой функции позволяет работать в заданной области и переходить к пределу при ε → +0 (где rε (x) → r = |x|). Этот метод используется как для исследования задачи (L) в главе 4, так и задачи (QL) в главе 5. Результаты раздела 4.3 (касающиеся разрешимости линейной задачи) и оценки решений нелинейных задач, полученные в разделах 5.2.4 и 5.2.5, позволяют исследовать разрешимость задачи (QL) в разделе 5.3. Таким образом, в главах 4 и 5 построена полная теория разрешимости первой краевой задачи для вырожденных эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме в областях с коническими точками. В главе 6 исследовано поведение слабых решений первой и смешанной краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с тройным вырождением и сингулярностью коэффициентов в окрестности ребра. Коэффициенты исходного уравнения в окрестности ребра близки к коэффициентам модельного уравнения  − d ¡rτ |u|q |∇u|m−2 u ¢ + a rτ −m u|u|q+m−2 − µrτ |u|q−1 |∇u|m sign u = f (x), xi 0 dxi 0 6 µ < 1, q > 0, m > 1, a > 0, τ > m − 2. 0

ГЛАВА 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.1.

СПИСОК

ОБОЗНАЧЕНИЙ

Приведем некоторые обозначения, используемые на протяжении всей монографии. • • • • • • • •

[l] — целая часть l (если l нецелое); R — множество вещественных чисел; R+ — множество положительных чисел; RN — N -мерное евклидово пространство, N > 2; N — множество натуральных чисел; N0 = N ∪ {0} — множество целых неотрицательных чисел; x = (x1 , . . . , xN ) — элемент пространства RN ; O = (0, . . . , 0);

(M E)

1.1. СПИСОК

ОБОЗНАЧЕНИЙ

5

• (r, ω) = (r, ω1 , . . . , ωN −1 ) — сферические координаты в RN с полюсом O, заданные формулами x1 = r cos ω1 , x2 = r sin ω1 cos ω2 , ··· xN −1 = r sin ω1 sin ω2 . . . sin ωN −2 cos ωN −1 , xN = r sin ω1 sin ω2 . . . sin ωN −2 sin ωN −1 ; • S N −1 — единичная сфера в RN ; • Br (x0 ) — открытый шар радиуса r с центром в x0 ; • B r (x0 ) — замкнутый шар радиуса r с центром в x0 ; 2π N/2 • ωN = — объем единичного шара в RN ; N Γ(N/2) • σN = N ωN — площадь N -мерной единичной сферы; • RN + — полупространство {x : xN > 0}; • Σ — гиперплоскость {x : xN = 0}; • G — ограниченная область в RN ; • dx — элемент объема в RN ; • ds — элемент площади в RN −1 ; • dσ — элемент площади в RN −2 ; • ∂G — граница области G; в дальнейшем мы будем считать, что O ∈ ∂G; • d(x) := dist(x, ∂G); • n = (n1 , . . . , nN ) — вектор внешней нормали к ∂G; • G = G ∪ ∂G — замыкание области G; • meas G — мера Лебега области G; • diam G — диаметр области G; • K — открытый конус с вершиной в O; • Ω := K ∩ S N −1 ; n ω0 o • C — конус вращения x1 > r cos ; 2 n ω0 o • ∂C — боковая поверхность конуса C : x1 = r cos ; 2 ® • ·, · — скалярное произведение двух векторов; ∂u • Di u := ; ∂xi • ∇u := (D1 u, . . . , DN u); ∂2u • Dij u := ; ∂xi ∂xj • D2 u — гессиан u; ¶1/2 µN P 2 (Di u) ; • |∇u| := i=1 !1/2 Ã N P 2 2 • |D u| := ; (Dij u) i,j=1

• β = (β1 , . . . , βN ), βi ∈ N0 , — N -мерный мультииндекс; • |β| := β1 + . . . + βN — длина мультииндекса β; ∂ |β| • Dxβ = Dβ := — частная производная порядка |β|; ∂xβ1 1 ∂xβ2 2 . . . ∂xβNN ® ∂u = ∇u, n — внешняя нормальная производная функции u на ∂G; • ∂n • δij — символ Кронекера; • supp u — носитель функции u, т. е. замыкание множества точек, в которых u 6= 0;

6


СВЕДЕНИЯ

• c = c(∗, . . . , ∗) — постоянная, зависящая только от величин в круглых скобках; буква c иногда будет использоваться для обозначения различных постоянных, зависящих от одного и того же набора аргументов. 1.2.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

В этом разделе мы приведем некоторые элементарные неравенства (см., например, [3, 84]), которые часто используются на протяжении всей монографии. Лемма 1.2.1 (неравенство Коши). Для a, b > 0 и ε > 0 выполнено ε 1 ab 6 a2 + b2 . 2 2ε 1 1 Лемма 1.2.2 (неравенство Юнга). Для a, b > 0, ε > 0 и p, q > 1, + = 1, выполнено p q µ ¶q 1 1 b . ab 6 (εa)p + p q ε

(1.2.1)

(1.2.2)

Лемма 1.2.3 (неравенство Гельдера). Пусть ai , bi , i = 1, . . . , N, — неотрицательные веще1 1 ственные числа и p, q > 1, + = 1. Тогда p q ÃN !1/p Ã N !1/q N X X p X q ai bi 6 ai bi . (1.2.3) i=1

i=1

i=1

Лемма 1.2.4 (теорема 41 в [84]). Пусть a и b — неотрицательные вещественные числа и m > 1. Тогда mam−1 (a − b) > am − bm > mbm−1 (a − b). (1.2.4) Лемма 1.2.5 (неравенство Йенсена, теорема 65 в [84]). Пусть ai , i = 1, . . . , N, — неотрицательные вещественные числа и p > 0. Тогда Ã N !p N N X X X λ api 6 ai 6Λ api , (1.2.5) где λ =

min(1, N p−1 )

иΛ=

i=1 max(1, N p−1 ).

i=1

i=1

Лемма 1.2.6. Пусть a, b ∈ R и m > 1. Тогда |b|m > |a|m + m|a|m−2 a(b − a).

(1.2.6) m Доказательство. Используя неравенство Юнга (1.2.2) при ε = 1, p = m и q = , имеем m−1 m|a|m−2 ab 6 m|b| · |a|m−1 6 |b|m + (m − 1)|a|m . Отсюда следует (1.2.6). 1.3. ОБЛАСТИ

С КОНИЧЕСКОЙ ТОЧКОЙ

Определение 1.3.1. Пусть G ⊂ RN — ограниченная область. Говорят, что G имеет коническую точку O, если • O ∈ ∂G, • многообразие ∂G \ O гладкое, • G совпадает с открытым конусом K в некоторой окрестности O, • множество ∂K ∩ S N −1 гладкое, • конус K содержится в круговом конусе с углом раствора ω0 ∈ (0, 2π). Введем следующие обозначения для области G с конической точкой O ∈ ∂G: • Ω := K ∩ S N −1 ; • dΩ := элемент площади Ω; • Gba := G ∩ {(r, ω) : 0 6 a < r < b, ω ∈ Ω} — слой в RN ;

1.3. ОБЛАСТИ

• • • • •

С КОНИЧЕСКОЙ ТОЧКОЙ

7

Γba := ∂G ∩ {(r, ω) : 0 6 a < r < b, ω ∈ ∂Ω} — боковая поверхность слоя Gba ; Gd := G \ Gd0 ; Γd := ∂G \ Γd0 ; Ωρ := Gd0 ∩ ∂B% (0), % 6 d; −k d G(k) := G22−(k+1) , k = 0, 1, 2, . . . . d

Напомним некоторые хорошо известные формулы, связанные со сферическими координатами (r, ω1 , . . . , ωN −1 ) с центром в конической точке O. Имеют место следующие соотношения: dx = rN −1 drdΩ, N −1

dΩρ = ρ

dΩ.

(1.3.1) (1.3.2)

Символ dΩ = J(ω)dω

(1.3.3)

обозначает (N − 1)-мерный элемент площади единичной сферы, где J(ω) = sinN −2 ω1 sinN −3 ω2 . . . sin ωN −2 ,

(1.3.4)

dω = dω1 . . . dωN −1 .

(1.3.5)

ds = rN −2 drdσ

(1.3.6)

Символ обозначает (N − 1)-мерный элемент площади боковой поверхности конуса K, где dσ обозначает (N − 2)-мерный элемент площади на ∂Ω. Далее, µ ¶2 ∂u 1 2 |∇u| = + 2 |∇ω u|2 , (1.3.7) ∂r r где |∇ω u| обозначает проекцию вектора ∇u на плоскость, касательную к единичной сфере в точке ω: ½ ¾ 1 ∂u 1 ∂u ∇ω u = √ ,..., √ , (1.3.8) q1 ∂ω1 qN −1 ∂ωN −1 µ ¶ N −1 X 1 ∂u 2 2 |∇ω u| = , (1.3.9) qi ∂ωi i=1

q1 = 1 и qi = (sin ω1 . . . sin ωi−1

)2 ,

i > 2;

∆u =

1 ∂ 2 u N − 1 ∂u + + 2 ∆ω u, 2 ∂r r ∂r r

µ ¶ NX µ ¶ N −1 −1 J(ω) ∂u 1 ∂ ∂u 1 X ∂ N −i−1 = sin ωi ∆ω u = J(ω) ∂ωi qi ∂ωi ∂ωi qj sinN −i−1 ωi ∂ωi i=1

(1.3.10)

(1.3.11)

i=1

обозначает оператор Лапласа—Бельтрами, µ ¶ N −1 1 X ∂ J(ω) divω u = √ u . J(ω) ∂ωi qi i=1

Лемма 1.3.1. Пусть α ∈ R и v(x) = rα u(x). Тогда Di v = αrα−2 xi u + rα Di u, ¡ ¢ |∇v|2 6 c1 α2 r2α−2 u2 + r2α |∇u|2 , Dij v = rα Dij u + αrα−2 (xi Dj u + xj Di u) + (α2 − 2α)rα−4 xi xj u + αrα−2 uδij , ¡ ¢ |D2 v|2 6 c2 r2α |D2 u|2 + r2α−2 |∇u|2 + r2α−4 u2 , где постоянные c1 , c2 > 0 зависят только от α и N.

(1.3.12)

8


СВЕДЕНИЯ

Лемма 1.3.2. Пусть существует d > 0 такое, что Gd0 является выпуклым конусом вращения с вершиной в точке O и углом раствора ω0 . Тогда ¯ ¯ ω0 ¯ ¯ cos(~n, x1 )¯ d = − sin , xi cos(~n, xi )¯ d = 0, (1.3.13) 2 Γ0 Γ0 где

(

) N ¯ X ω ω ¯ 2 0 0 x2i ; 0 < r < d, |ω1 | = , ω0 ∈ (0, π) . (r, ω)¯x1 = ctg2 2 2

Γd0 =

(1.3.14)

i=2

Доказательство. В силу (1.3.14) мы можем переписать уравнение поверхности Γd0 в виде F (x) ≡ x21 − ctg2

N ω0 X 2 xi = 0. 2 i=2

Используем формулу cos(~n, xi ) =

∂F /∂xi , |∇F |

i = 1, . . . , N.

В силу соотношений ∂F ω0 = −2 ctg2 xi , ∂xi 2

∂F = 2x1 , ∂x1 имеем ¯ ¯ xi cos(~n, xi )¯

Γd0

!¯ Ã ¯ N ¯ X 1 ∂F ¯¯ 2 2 2 ω0 2 ¯ = xi x − ctg x = 1 i ¯ ¯ |∇F | ∂xi ¯Γd |∇F | 2 i=2

0

Поскольку µ |∇F |2 = то

∂F ∂x1

¶2

¯ |∇F | ¯

+

¶ N µ X ∂F 2 ∂xi

i=2

Ã

N ω0 X 2 = 4 x21 + ctg4 xi 2

Γd0

=

¯ ¯ cos(~n, x1 )¯

4x21

Γd0

cos2 ω20 1+ sin2 ω20

= −2x1

= 0. Γd0

! ,

i=2

Ã

2¯

так как ∠ (~n, x1 ) >

i = 2, . . . , N,

! =

4x21 , sin2 ω20

sin ω20 ω0 = − sin , 2x1 2

π . 2 1.4.

ФУНКЦИЯ

КВАЗИРАССТОЯНИЯ

rε

И ЕЕ СВОЙСТВА

˜ с Аналогично определению 1.3.1, мы считаем, что конус K содержится в круговом конусе K ˜ совпадает с осью углом раствора ω0 . Кроме того, предположим, что ось K {(x1 , 0, . . . , 0) : x1 > 0} . Определим функцию квазирасстояния rε (x) следующим образом. Зафиксируем точку Q = (−1, 0, . . . , 0) ∈ S N −1 \ Ω −−→ и рассмотрим единичный радиус-вектор ~l = OQ = {−1, 0, . . . , 0}. Обозначим через ~r радиус-вектор точки x ∈ G и введем вектор ~rε = ~r − ε~l для любого ε > 0. Поскольку ε~l ∈ / Gd0 для всех ε ∈ ]0, d[, отсюда следует, что rε (x) = |~r − ε~l| = 6 0 для всех x ∈ G. Легко видеть, что функция rε (x) имеет следующие свойства.

1.4. ФУНКЦИЯ

КВАЗИРАССТОЯНИЯ

rε

9

И ЕЕ СВОЙСТВА

Лемма 1.4.1. Существует число h > 0 такое, что rε (x) > hr, для любого x ∈ G, где

( h=

rε (x) > hε

1,

0 < ω0 6 π,

ω0 sin , 2

π < ω0 < 2π.

Доказательство. Из определения функции rε (x) следует, что rε2 = (x1 + ε)2 +

N X

x2i = (x1 + ε)2 + r2 − x21 = r2 + 2εx1 + ε2 .

i=2

Если 0 < ω0 6 π, то x1 > 0, откуда мы получим либо rε2 > r2 и, значит, rε > r, либо rε2 > ε2 и, следовательно, rε > ε. Если hπ ω i 0 x1 = r cos ω 6 0, |ω| ∈ , , 2 2 то, в силу неравенства Коши либо |2εr cos ω| 6 r2 cos2 ω + ε2

=⇒

2εr cos ω > −r2 cos2 ω − ε2

=⇒

rε > r sin

ω0 , 2

|2εr cos ω| 6 ε2 cos2 ω + r2

=⇒

2εr cos ω > −r2 − ε2 cos2 ω

=⇒

rε > ε sin

ω0 . 2

либо

Следствие 1.4.1. Имеют место неравенства hr 6 rε (x) 6 r + ε 6

2 rε (x), h

x ∈ G, ε > 0.

Приведем некоторые другие свойства функции rε (x). Если x ∈ Gd , то i dh d rε (x) > ∀ε ∈ 0, . 2 2 Выполнено lim rε (x) = r

ε→0+

∀x ∈ G.

Докажем следующее свойство: |∇rε |2 = 1,

∆rε =

N −1 . rε

Поскольку ∂rε x1 + ε = , ∂x1 rε

∂rε xi = ∂xi rε

(i > 2),

имеем |∇rε |2 =

N µ X i=1

N

∂rε ∂xi

(x1 + ε)2 +

¶2 =

N P i=2

x2i = 1,

rε2 N

1 (x1 + ε)2 X ∂ 2 rε X ∂ 2 rε + = − ∆rε = + 2 rε rε3 ∂x21 ∂x i i=2 i=2

µ

x2 1 − 3i rε rε

¶ =

r2 N N −1 − ε3 = . rε rε rε

10


1.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ

ПРОСТРАНСТВА

1.5.1. Пространства Лебега. Пусть G — область в RN . Для p > 1 обозначим через Lp (G) пространство интегрируемых по Лебегу функций с нормой  1/p Z kukLp (G) =  |u|p dx . G

Теорема 1.5.1 (теорема Фубини, см. теорему 9 из раздела 11 главы 3 в [29]). Пусть G1 ⊂ Rm1 , G2 ⊂ Rm2 и f ∈ L1 (G1 × G2 ). Тогда интегралы Z Z f (x, y)dx, f (x, y)dy G1

G2

сходятся при почти всех x ∈ G1 и y ∈ G2 . Более того,     Z Z Z Z Z f (x, y)dxdy =  f (x, y)dy  dx =  f (x, y)dx dy. G1 ×G2

G1

G2

G2

G1

Теорема 1.5.2 (неравенство Гельдера, см. теорему 189 в [84]). Пусть p, q > 1, u ∈ Lp (G) и v ∈ Lq (G). Тогда

1 1 + = 1, p q

Z |uv|dx 6 kukLp (G) kvkLq (G) .

(1.5.1)

G

Если p = 1, то неравенство (1.5.1) верно для q = ∞. Следствие 1.5.1. Пусть 1 6 p 6 q и u ∈ Lq (G). Тогда kukLp (G) 6 (meas G)1/p−1/q kukLq (G) .

(1.5.2)

Следствие 1.5.2 (интерполяционное неравенство). Пусть 1 λ 1−λ 1 < p 6 q 6 r, = + . q p r Тогда неравенство kukLq (G) 6 kukλLp (G) kuk1−λ Lr (G) выполнено для всех u ∈ Lr (G). Теорема 1.5.3 (неравенство Минковского, см. теорему 198 в [84]). Пусть u, v ∈ Lp (G), p > 1. Тогда u + v ∈ Lp (G) и ku + vkLp (G) 6 kukLp (G) + kvkLp (G) . (1.5.3) Теорема 1.5.4 (теорема Фату, см. теорему 19 из раздела 6 главы 3 в [29]). Пусть fk ∈ L1 (G), k ∈ N, — последовательность неотрицательных функций, сходящаяся к функции f почти всюду в G. Тогда Z Z f dx 6 sup G

fk dx.

(1.5.4)

G

1.5.2. Пространства Гельдера и Соболева. В этом разделе G ⊂ RN — ограниченная область с границей класса C 0,1 . Пусть x0 ∈ RN — некоторая точка, а f — функция, определенная на G 3 x0 . Функция f называется непрерывной по Гельдеру с показателем α ∈ (0, 1) в точке x0 , если величина |f (x) − f (x0 )| [f ]α;x0 = sup |x − x0 |α x∈G конечна. Число [f ]α;x0 называется коэффициентом Гельдера с показателем α функции f в точке x0 относительно G.


11


Функция f называется равномерно непрерывной по Гельдеру с показателем α ∈ (0, 1) в области G, если величина |f (x) − f (y)| [f ]α;G = sup |x − y|α x,y∈G, x6=y

конечна. Определим следующие пространства. • C l (G) — банахово пространство функций, имеющих все частные производные вплоть до порядка l (если l ∈ N0 ) или [l] (если l > 0 — нецелое), непрерывные на G, с частными производными порядка [l], равномерно непрерывными по Гельдеру с показателем l − [l] на G; через |u|l;G обозначим норму элемента u ∈ C l (G); если l 6= [l], то |u|l;G =

[l] X

|Dα u(x) − Dα u(y)| . |x − y|l−[l] |α|=[l] x,y∈G,

sup |Dj u| + sup sup

j=0 G

x6=y

• C0l (G) — множество функций из C l (G) с компактным носителем в области G. • W k,p (G), 1 6 p < ∞, — пространство Соболева с нормой  1/p Z X ¯ ¯p ¯ β ¯ kukW k,p (G) =  ¯D u¯ dx . G |β|6k

• W0k,p (G) — замыкание C0∞ (G) по норме k · kW k,p (G) . • W k,p (G \ O) = W k,p (G \ Bε (0)), ε > 0; при p = 2 мы используем обозначения W k (G) ≡ W k,2 (G),

W0k (G) ≡ W0k,2 (G).

Определение 1.5.1. Будем говорить, что функция u ∈ W k,p (G) удовлетворяет неравенству u 6 0 на ∂G в смысле следов, если ее положительная часть u+ = max{u, 0} ∈ W0k,p (G). Функция u, непрерывная в окрестности ∂G, удовлетворяет неравенству u 6 0 на ∂G, если неравенство выполнено поточечно. Определения остальных неравенств на ∂G даются аналогичным образом. Например, u > 0 на ∂G, если −u 6 0 на ∂G; u = v на ∂G, если u − v 6 0 и u − v > 0 на ∂G одновременно; sup u = inf{k| u 6 k на ∂G, k ∈ R}; ∂G

inf u = − sup(−u). ∂G

∂G

• Для Γ ⊆ ∂G и k ∈ 1, 2, . . . пространство W k−1/p,p (Γ) определяется как пространство следов на Γ функций из W k,p (G) с нормой kϕkW k−1/p,p (Γ) = inf kΦkW k,p (G) , где точная нижняя грань берется на множестве всех функций Φ ∈ W k,p (G) таких, что Φ = ϕ на Γ в смысле следов; при p = 2 мы используем обозначение W k−1/2 (Γ) ≡ W k−1/2,2 (Γ). Теорема 1.5.5 (интерполяционное неравенство, см. теорему 7.28 в [27]). Пусть G — область класса C 1,1 в RN и u ∈ W 2,p (G), p > 1. Тогда k∇ukLp (G) 6 εkukW 2,p (G) + cε−1 kukLp (G) для всех ε > 0, где постоянная c зависит только от области G. Теорема 1.5.6 (теорема о следах, см. раздел 4.3 в [133]). Пусть 1 6 p < ∞. Существует ограниченный линейный оператор T : W 1,p (G) → Lp (∂G)

12


СВЕДЕНИЯ

такой, что T u = u на ∂G для всех u ∈ W 1,p (G) ∩ C 0 (G). В дальнейшем мы будем писать просто u вместо T u. Теорема 1.5.7 (см., например, (6.23), (6.24), глава 1 в [47], или лемму 6.36 в [167]). Пусть ∂G — кусочно-гладкое многообразие, а u ∈ W 1,1 (G). Тогда существует постоянная c > 0, зависящая только от G, такая, что Z Z |u|ds 6 c (|u| + |∇u|) dx, ∀Γ ⊆ ∂Ω. (1.5.5) Γ

G

Если u ∈ W 1,2 (G), то Z

Z v 2 ds 6

δ > 0.

(1.5.6)

G

∂G

Если u ∈ W 2,2 (G), то

¡ ¢ δ|∇v|2 + cδ v 2 dx, ∀v ∈ W 1,2 (G) ,

Z µ ∂G

∂u ∂n

¶2

Z ds 6 c

¡ ¢ 2|∇u||D2 u| + |∇u|2 dx.

(1.5.7)

G

1.5.3. Теоремы вложения Соболева. Здесь мы напомним несколько хорошо известных неравенств Соболева и утверждений Кондрашова о компактности (так называемые теоремы вложения), см. [80], разделы 1.4.5 и 1.4.6 в [61] и раздел 7.7 в [27]. Теорема 1.5.8 (неравенства Соболева, см. теорему 2.4.1 в [207] и теорему 7.10 в [27]). Пусть G — ограниченная открытая область в RN и p > 1. Тогда ( Np L N −p (G), p < N, 1,p W0 (G) ,→ (1.5.8) p > N. C 0 (G), Кроме того, существует постоянная c = c(N, p) такая, что kukLN p/(N −p) (G) 6 ck∇ukLp (G) ,

p < N,

sup |u| 6 c(meas G)1/N −1/p k∇ukLp (G) ,

p > N,

(1.5.9) (1.5.10)

G

для всех u ∈ W01,p (G). Следующие теоремы вложения 1.5.9–1.5.12 (см. ниже) впервые были доказаны Соболевым [80]; полные доказательства можно найти в [188], в разделах 5.7 и 5.8 [151] и в разделе 1.4 [61]. Пусть G — ограниченная область класса C 0,1 в RN . Теорема 1.5.9. Пусть k ∈ N и p ∈ R таковы, что p > 1 и kp < N. Тогда вложение W k,p (G) ,→ Lq (G)

(1.5.11)

непрерывно при 1 6 q 6 N p/(N − kp) и компактно при 1 6 q < N p/(N − kp). Если kp = N, то вложение (1.5.11) непрерывно и компактно при любых q > 1. Теорема 1.5.10. Пусть k ∈ N0 , m ∈ N, и пусть p, q ∈ R, p, q > 1. Если kp < N, то вложение W m+k,p (G) ,→ W m,q (G)

(1.5.12)

непрерывно при любых q ∈ R, удовлетворяющих неравенствам 1 6 q 6 N p/(N − kp). Если k = N p, то вложение (1.5.12) непрерывно для любых q > 1.


13


Теорема 1.5.11. Пусть k, m ∈ N0 и p > 1. Тогда вложение W k,p (G) ,→ C m+β (G) непрерывно, если (k − m − 1)p < N < (k − m)p,

0 < β 6 k − m − N/p,

(1.5.13)

и компактно, если неравенство в (1.5.13) строгое. Если (k − m − 1)p = N, то вложение непрерывно для любых β ∈ (0, 1). Теорема 1.5.12. Пусть u ∈ W k,p (G), где k ∈ N, p ∈ R, kp > N и p > 1. Тогда u ∈ C m (G) при 0 6 m < k − N/p и существует постоянная c, не зависящая от u, такая, что sup |Dα u(x)| 6 ckukW k,p (G)

x∈G

для всех |α| < k − N/p. Теорема 1.5.13. Пусть G — липшицева область, а Ts ⊂ G — кусочно C k -гладкое s-мерное многообразие. Пусть k > 1, p > 1, kp < N, N − kp < s 6 N и 1 6 q 6 q∗ = sp/(N − kp). Тогда имеет место вложение W k,p (G) ,→ Lq (Ts ) и выполнено неравенство kukLq (Ts ) 6 ckukW k,p (G) .

(1.5.14)

Если q < q∗, то указанное вложение компактно. 1.5.4. Пространства Соболева с весом. Определение 1.5.2. При k ∈ N0 , 1 < p < ∞ и α ∈ R определим пространство Соболева с k (G) как замыкание пространства C ∞ (G \ 0) по норме весом Vp,α 0  1/p Z X ¯ ¯p ¯ ¯ kukVp,α rα+p(|β|−k) ¯Dβ u¯ dx . k (G) =  G |β|6k k−1/p

При Γ ⊆ ∂G и k ∈ 1, 2, . . . пространство Vp,α нормой

k (G) с (Γ) состоит из следов на Γ функций из Vp,α

kukV k−1/p (Γ) = inf kvkVp,α k (G) , p,α

k (G) таким, что v = u на Γ. При p = 2 где точная нижняя грань берется по всем функциям v ∈ Vp,α мы используем обозначения ◦

k W kα (G) = V2,α (G),

◦

k−1/2

W k−1/2 (Γ) = V2,α α

(Γ).

Лемма 1.5.1 (см. [33, 149]). Пусть k 0 , k ∈ N, k 0 6 k и α − pk 6 α0 − pk 0 . 0

k (G) непрерывно вложено в V k (G). Более того, вложение компактно, если k 0 < k и Тогда Vp,α p,α0 α − pk < α0 − pk 0 . k (G) выполнено Лемма 1.5.2 (см. [71, 76]). Пусть (k − |γ|)p > N. Тогда для любого u ∈ Vp,α следующее неравенство:

|Dγ u(x)| 6 c|x|k−|γ|−(α+N )/p kukVp,α k (G)

∀x ∈ Gd0 ,

где постоянная c зависит только от G и не зависит от u и d > 0. В частности, k Vp,α (G) ,→ C m (G)

при m < k − (α + N )/p.

14


СВЕДЕНИЯ

Доказательство. Без потери общности можно считать, что G — конус. Введем новые переменные y = (y1 , . . . , yN ) по формуле x = yt при t > 0; положим v(y) := u(x). По теореме 1.5.12 имеем ° X° ¯ γ ¯ ° δ ° ¯Dy v(y)¯ 6 c D v ∀y ∈ G21 . ° y ° p 2 L (G1 )

|δ|6k

Возвращаясь к переменным x, получим ° X° ° |δ|−N/p δ ° t|γ| |Dxγ u(x)| 6 c Dx u° °t

∀x ∈ G2t t .

Lp (G2t t )

|δ|6k

Умножая обе части этого неравенства на tN/p−k+α/p , получим ° X° ° |δ|−k+α/p δ ° |γ|−k+(α+N )/p γ Dx u° t |Dx u(x)| 6 c °t

Lp (G2t t )

|δ|6k

∀x ∈ G2t t .

Из последнего неравенства и соотношений t 6 |x| 6 2t в G2t t следует, что ° X° ° ° |x||γ|−k+(α+N )/p |Dxγ u(x)| 6 c ∀x ∈ G2t °|x||δ|−k+α/p Dxδ u° p 2t t , L (Gt )

|δ|6k

где c не зависит от t. Лемма 1.5.3. Пусть k, m ∈ N0 , β ∈ R и (k − m − 1)p < N < (k − m)p, Тогда

X |γ|=m

sup x,y∈G,x6=y

0 < β 6 k − m − N/p.

|Dγ u(x) − Dγ u(y)| 6 c|x|k−m−β−(α+N )/p kukVp,α k (G) |x − y|β

∀x ∈ Gd0

k (G) и некоторых постоянных c > 0 и d > 0. для любого u ∈ Vp,α

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.5.2. ◦ k−1/2

Лемма 1.5.4 (см. лемму 1.1 в [33]). Пусть u ∈ W α (Γd0 ). Тогда Z rα−2k+1 u2 (x)ds 6 ckuk2◦ k−1/2 d . Wα

Γd0

(Γ0 )

Лемма 1.5.5. Пусть d > 0 и ρ ∈ (0, d). Тогда неравенство µ ¶2 Z Z ∂u 3−N r ds 6 c1 r1−N u2 ds + c2 kuk2◦ 2 ∂n W 4−N (Gρ0 ) Γρ0

Γρ0

◦

выполнено для всех u ∈ W 24−N (Gρ0 ) с постоянными c1 и c2 , не зависящими от u. Доказательство. Для начала напомним, что по теореме 1.5.7 ¶ Z µ ¶2 Z µ ∂v 1 2 2 2 ds 6 c3 r|D v| + |∇v| dx ∂n r Γρ0

Gρ0

с постоянной c3 > 0, зависящей только от Gd0 . Полагая v = r(3−N )/2 u, имеем N P ¯ ¯ xi ni ¯ ∂v ¯¯ 3 − N (1−N )/2 i=1 (3−N )/2 ∂u ¯ = r + r u . ∂n ¯Γρ \O ∂n ¯Γρ \O 2 r 0

0

Поскольку N P i=1

xi ni r

6 1,

1.6. ПРОСТРАНСТВА

ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ ПО

ДИНИ

15

отсюда следует, что µ

Z r3−N Γρ0

∂u ∂n

Z (µ

¶2 ds 6 2

Γρ0

∂v ∂n

¶2

(3 − N )2 1−N 2 x ®2 + r u n, 4 r Z 6 c5 Gρ0

) ds 6

¡ ¢ (3 − N )2 r|D2 v|2 + r−1 |∇v|2 ds + 2

Z r1−N u2 ds. Γρ0

Теперь утверждение леммы следует из леммы 1.3.1. 1.6. ПРОСТРАНСТВА


ДИНИ

Определение 1.6.1. Функция A называется непрерывной по Дини в нуле, если интеграл Zd 0

A(t) dt t

сходится при некотором d > 0. Определение 1.6.2. Функция A называется α-функцией, 0 < α < 1, на множестве (0, d], если функция t−α A(t) монотонно убывает на (0, d], т. е. A(t) 6 tα τ −α A(τ ),

0 < τ 6 t 6 d.

(1.6.1)

В частности, полагая t = cτ, c > 1, имеем A(cτ ) 6 cα A(τ ),

0 < τ 6 c−1 d.

(1.6.2)

Если α-функция A непрерывна по Дини в нуле, то говорят, что A является α-функцией Дини. В этом случае определим функцию Zt B(t) = 0

A(τ ) dτ. τ

Очевидно, функция B непрерывна и монотонно возрастает на [0, d]; кроме того, B(0) = 0. Интегрируя неравенство (1.6.1) по τ ∈ (0, t), мы получим A(t) 6 αB(t).

(1.6.3)

Аналогично, из (1.6.1) получим неравенство Zd δ

A(t) dt = t2

Zd

A(t) tα−2 α dt t

δ

Zd 6δ

−α

tα−2 dt 6 (1 − α)−1

A(δ)

A(δ) ; δ

δ

следовательно, Zd δ

A(t) dt 6 (1 − α)−1 A(δ) 6 α(1 − α)−1 B(δ) t2

∀α ∈ (0, 1), 0 < δ < d.

(1.6.4)

δ

Определение 1.6.3. Функция B называется эквивалентной функции A (пишут A ∼ B), если существуют положительные постоянные C1 и C2 такие, что C1 A(t) 6 B(t) 6 C2 A(t) ∀t > 0. Теорема 1.6.1 (см. [74]). Для функций A и B, определенных выше, выполнено A ∼ B тогда и только тогда, когда lim inf A(2t)/A(t) > 1. (1.6.5) t→0

16


СВЕДЕНИЯ

Доказательство. Прежде всего, заметим, что Z2h 2B(h) > B(2h) = 0

A(t) dt > t

Z2h

A(t) dt > A(h) ln 2. t

h

Следовательно, требуется доказать эквивалентность неравенства (1.6.5) неравенству B(t) 6 CA(t). Достаточность. Пусть неравенство (1.6.5) выполнено. Тогда существует положительное θ такое, что неравенство A(2t) >1+θ A(t) выполнено для достаточно малых t; следовательно, A(2−k t) 6 (1 + θ)−k A(t). Таким образом, имеем Zh B(h) = 0

∞

X A(t) dt = t

2Z−k h

k=0 −k−1 2 h

∞

∞

k=0

k=0

X X A(t) dt 6 ln 2 A(2−k h) 6 ln 2 (1 + θ)−k A(h). t

Необходимость. Пусть lim inf A(2t)/A(t) = 1. t→+0

Тогда существует последовательность tn такая, что A(2tn ) 1 61+ , A(tn ) n

· ¸ µ ¶ A(ntn ) A(ntn ) A((n − 1)tn ) A(2tn ) A(2tn ) n−1 1 n−1 = ··· 6 6 1+ 6 e. A(tn ) A((n − 1)tn ) A((n − 2)tn ) A(tn ) A(tn ) n Следовательно, Zntn A(t) 1 dt > ln nA(tn ) > ln nA(ntn ), B(ntn ) > t e tn

B(ntn ) 1 > ln n, lim ntn = 0. n→∞ A(ntn ) e Таким образом, функции A(t) и B(t) неэквивалентны. В некоторых случаях мы будем рассматривать функции A(t) такие, что A(τ t) 6 cA(t), 0 1 обозначим через C k,A (G) подпространство пространства C k (G), состоящее из функций, имеющих все частные производные порядка (k − 1), равномерно непрерывные по Липшицу, и все

1.6. ПРОСТРАНСТВА


ДИНИ

17

частные производные порядка k из пространства C 0,A (G). Это банахово пространство снабжается нормой X kukC k,A (G) = kukC k (G) + [Dβ u]A;G . |β|=k

Введем следующее обозначение: [u]A,x =

|u(x) − u(y)| . y∈G\{x} A(|x − y|) sup

Лемма 1.6.1. Если A ∼ B, то [u]A ∼ [u]B . Лемма 1.6.2 (см. 6.7 (ii), с. 143 в [27]). Пусть G — ограниченная область с липшицевой границей ∂G. Тогда существуют положительные постоянные L и %1 такие, что для любых y ∈ G, dist(y, ∂G) 6 %1 , и любых 0 < % 6 %1 существует точка x ∈ B% (y) такая, что B %/L (x) ⊂ G. Теорема 1.6.2 (интерполяционное неравенство, см. неравенство (10.1) в [199]). Пусть граница ∂G непрерывна по Липшицу. Тогда для любого ε > 0 существует постоянная c = c(ε, G) такая, что неравенство N X

kDi ukC 0 (G) 6 ε

i=1

выполнено для любого u ∈

N X [Di u]A;G + c(ε, G)kukC 0 (G) i=1

C 1,A (G).

Доказательство. Пусть постоянные L и % такие же, как в лемме 1.6.2, а число ε > 0 произвольное. Выберем % > 0 настолько малым, что µ µ ¶¶ 1 A % 1+ 6 ε. L Если dist(y, ∂G) > %1 , то для любого i ∈ {1, . . . N } существуют точки y1 , y2 ∈ ∂B% (y) и y ∈ B% (y) такие, что 1 1 |Di u(y)| = |u(y1 ) − u(y2 )| 6 kukC 0 (G) . 2% % Таким образом, 1 |Di u(y)| 6 |Di u(y)| + |Di u(y) − Di u(y)| 6 kukC 0 (G) + A(%)[Di u]A;G . % Если dist(y, ∂G) 6 %1 , то существуют точки y1 , y2 ∈ ∂B%/L (x) и y ∈ ∂B%/L (x) такие, что |Di u(y)| = Поскольку

L L |u(y1 ) − u(y2 )| 6 kukC 0 (G) . 2% %

µ ¶ 1 , |y − y| 6 |y − x| + |x − y| 6 % 1 + L

мы получаем

µ µ ¶¶ L 1 |Di u (y) | 6 |Di u (y) | + |Di u (y) − Di u (y) | 6 kukC 0 (G) + A % 1 + [Di u]A;G , % L что и требовалось доказать. Определение 1.6.5. Говорят, что часть границы T ⊂ ∂G принадлежит классу C 1,A , если для каждой точки x0 ∈ T существует шар B = B(x0 ), взаимно однозначное отображение ψ шара B на шар B 0 и постоянная K > 0 такие, что: (i) B ∩ ∂G ⊂ T, ψ(B ∩ G) ⊂ RN +, (ii) ψ(B ∩ ∂G) ⊂ Σ, (iii) ψ ∈ C 1,A (B), ψ −1 ∈ C 1,A (B 0 ), (iv) kψkC 1,A (B) 6 K, kψ −1 kC 1,A (B 0 ) 6 K.

18


СВЕДЕНИЯ

Нетрудно видеть, что для диффеоморфизма ψ выполнены неравенства K −1 |ψ(x) − ψ(x0 )| 6 |x − x0 | 6 K|ψ(x) − ψ(x0 )|

∀x, x0 ∈ B.

(1.6.7)

Лемма 1.6.3 (см. раздел 7 в [199]). Пусть u, v ∈ C 0,A (G). Тогда uv ∈ C 0,A (G) и kuvkC 0,A (G) 6 kukC 0,A (G) kvkC 0,A (G) . Лемма 1.6.4 (см. раздел 7 в [199]). Пусть A(t) — α-функция на отрезке [0, d] и u ∈ C 0,A (B). Кроме того, пусть отображение ψ : B 0 → B непрерывно по Липшицу с постоянной Липшица L. Тогда u ◦ ψ ∈ C 0,A (B 0 ) и ˜ α kukC 0,A (B) , ku ◦ ψkC 0,A (B 0 ) 6 L (1.6.8) ˜ = max(1, L). где L Доказательство. Если x, y ∈ B 0 ,

|x − y| 6

тогда из неравенства (1.6.2) мы имеем

d , L

˜ α A(|x − y|). |u(ψ(x)) − u(ψ(y))| 6 kukC 0,A (B) A(L|x − y|) 6 kukC 0,A (B) L 1.7. НЕКОТОРЫЕ

СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Определение 1.7.1. Пусть X и Y — банаховы пространства. Обозначим через L(X, Y ) линейное пространство всех непрерывных линейных отображений L : X → Y. Теорема 1.7.1 (метод продолжения по параметру, см. теорему 5.2 в [27]). Пусть X и Y — банаховы пространства, L0 , L1 ∈ L(X, Y ) и Lt := (1 − t)L0 + tL1

∀t ∈ [0, 1].

Пусть существует постоянная c такая, что kukX 6 ckLt ukY

∀t ∈ [0, 1].

Тогда оператор L1 отображает X на Y в том и только том случае, если оператор L0 отображает X на Y. Теорема 1.7.2 (вариационный принцип, см. [196]). Пусть H и V — гильбертовы пространства такие, что V плотно в H, H плотно в V 0 и вложения V ⊂H ⊂V0 компактны; пусть A : V → V 0 — непрерывный оператор. Предположим, что билинейная форма a(u, v) = (Au, v)H непрерывна и V -коэрцитивна, т. е. существуют постоянные c1 и c2 такие, что для всех u, v ∈ V |a(u, v)| 6 c1 kukV kvkV , a(u, u) > c2 kuk2V . Тогда наименьшее собственное значение ϑ задачи Au + ϑu = 0 определяется равенством ϑ = inf

v∈V

a(v, v) . kvk2H

Теорема 1.7.3 (теорема Лере—Шаудера, см. теорему 11.3 в [27]). Пусть T — компактное отображение банахова пространства B в себя. Предположим, что существует постоянная M такая, что kxkB < M для всех x ∈ B и σ ∈ [0, 1] удовлетворяющих соотношению x = σT x. Тогда T имеет неподвижную точку.

1.8. ЗАДАЧА КОШИ

1.8.

ЗАДАЧА КОШИ

19

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО НЕРАВЕНСТВА

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО НЕРАВЕНСТВА

Теорема 1.8.1. Пусть V (%) — монотонно возрастающая, неотрицательная и дифференцируемая на [0, 2d] функция такая, что ( V 0 (ρ) − P(%)V (%) + N (ρ)V (2ρ) + Q(ρ) > 0, 0 < ρ < d, (CP ) V (d) 6 V0 , где P(%), N (%) и Q(%) — непрерывные неотрицательные функции на [0, 2d], а V0 — некоторая постоянная. Тогда  d   d   τ   Z Z Zd Z   V (%) 6 exp  B(τ )dτ  V0 exp − P(τ )dτ  + Q(τ ) exp − P(σ)dσ  dτ , (1.8.1)   %

%

где

%

%

 2%  Z B(%) = N (%) exp  P(σ)dσ  .

(1.8.2)

%

Доказательство. Определим функции   d Z w(%) = V (%) exp  P(σ)dσ  ,

(1.8.3)

%

Zd R(%) = V0 +

  d Z Q(τ ) exp  P(σ)dσ  dτ.

(1.8.4)

τ

%

Умножая дифференциальное неравенство (CP ) на интегрирующий множитель   d Z exp  P(s)ds %

и интегрируя от ρ до d, получим    d  d  d  d Z Z Zd Z Z V (d)−V (%) exp  P(s)ds + N (τ ) exp  P(s)ds V (2τ )dτ + Q(τ ) exp  P(s)ds dτ > 0. %

%

τ

%

τ

Следовательно, Zd w(%) 6 R(%) +

B(τ )w(2τ )dτ.

(1.8.5)

w(2τ ) R(2τ ) dτ. R(2τ ) R(%)

(1.8.6)

%

Теперь можно записать w(%) 61+ R(%)

Zd B(τ ) %

Поскольку R(2τ ) 6 R(%) при τ > %, то, полагая z(%) =

w(%) , R(%)

(1.8.7)

B(τ )z(2τ )dτ.

(1.8.8)

получим Zd z(%) 6 1 + %

20


СВЕДЕНИЯ

Введем функцию Zd Z(%) = 1 +

B(τ )z(2τ )dτ. %

Из неравенства (1.8.8) следует, что z(%) 6 Z(%)

(1.8.9)

и Z 0 (%) = −B(%)z(2%) > −B(%)Z(2%). Умножая это дифференциальное неравенство на интегрирующий множитель  d  Z exp − B(s)ds %

и используя равенство   d   d    d Z Z Z d  Z(%) exp − B(s)ds = Z 0 (%) exp − B(s)ds + B(%) exp − B(s)ds Z(%), d% %

получаем



%



d  Z(%) exp − d%

%



Zd





Zd

B(s)ds > B(%) exp − %

B(s)ds [Z(%) − Z(2%)] . %

Заметим, что Zd Z(2%) = 1 +

Zd B(s)z(2s)ds = Z(%).

B(s)z(2s)ds 6 1 + %

2%

Следовательно, Z(%) − Z(2%) > 0 и, значит,

  d  Z d  Z(%) exp − B(s)ds > 0. d% %

Интегрируя от % до d, имеем





Zd

Z(%) exp −

B(s)ds 6 Z(d) = 1; %

следовательно,



Zd

Z(%) 6 exp 

 B(s)ds .

%

Отсюда, используя (1.8.9), получим



Zd

z(%) 6 exp 

 B(s)ds .

(1.8.10)

%

Теперь в силу (1.8.3), (1.8.7) и (1.8.10) мы выводим  d   d  Z Z V (%) 6 exp − P(σ)dσ  R(%) exp  B(σ)dσ  . %

%

1.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

21

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Учитывая (1.8.4), получаем оценку (1.8.1). 1.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.9.1. Теорема о среднем. Теорема 1.9.1. Пусть f ∈ C 0 [a, b], 0 6 a < b. Тогда существуют числа θ ∈ (0, 1) и ξ ∈ (0, 1) такие, что Zb f (x)dx > (b − a)f ((1 − θ)a + θb),

(1.9.1)

f (x)dx 6 (b − a)f ((1 − ξ)a + ξb).

(1.9.2)

a

Zb a

Доказательство. Предположим от противного, что для всех θ ∈ (0, 1) выполнено неравенство Zb f (x)dx < (b − a)f ((1 − θ)a + θb).

(1.9.3)

a

Интегрируя это неравенство по θ ∈ (0, 1), мы придем к противоречию: Z1

Zb f (x)dx < (b − a)

Zb f (t)dt.

f ((1 − θ)a + θb)dθ =

a

0

a

Второе утверждение доказывается аналогично. 1.9.2. Лемма Стампаккьи. Лемма 1.9.1 (см. лемму 3.11 в [190, 200]). Пусть ϕ : [k0 , ∞) → R — неотрицательная и невозрастающая функция, удовлетворяющая неравенству C ϕ(h) 6 [ϕ(k)]β , h > k > k0 , (1.9.4) (h − k)α где C, α и β — положительные постоянные, причем β > 1. Тогда ϕ(k0 + d) = 0, где dα = C |ϕ(k0 )|β−1 2αβ/(β−1) . Доказательство. Рассмотрим последовательность d ks = k0 + d − s , s = 1, 2, . . . . 2 Из неравенства (1.9.4) следует, что C2(s+1)α [ϕ(ks )]β , s = 1, 2, . . . . (1.9.5) dα Применяя метод математической индукции, докажем, что α ϕ(k0 ) < 0. (1.9.6) ϕ(ks ) 6 −sµ , µ = 2 1−β При s = 0 утверждение тривиально. Предположим, что неравенство (1.9.6) выполнено вплоть до s. Из неравенства (1.9.5) и определения dα следует, что ϕ(ks+1 ) 6

2(s+1)α [ϕ(k0 ]β ϕ(k0 ) 6 −(s+1)µ . α −sβµ d 2 2 Поскольку правая часть неравенства (1.9.7) стремится к нулю при s → ∞, мы получим ϕ(ks+1 ) 6 C

0 6 ϕ(k0 + d) 6 ϕ(ks ) → 0.

(1.9.7)

22


СВЕДЕНИЯ

1.9.3. Другие утверждения. Лемма 1.9.2 (см. лемму 2.1 в [115]). Пусть ( eκx − 1, η(x) = −e−κx + 1,

x>0 x 6 0,

где κ > 0. Пусть a и b — положительные постоянные и m > 1. Если κ > (2b/a) + m, то справедливы неравенства a aη 0 (x) − b|η(x)| > eκx ∀x > 0, (1.9.8) h ³ x í2m ∀x > 0. (1.9.9) η(x) > η m Кроме того, существуют числа d > 0 и M > 0 такие, что h ³ x ím h ³ x ím η(x) 6 M η , η 0 (x) 6 M η ∀x > d, (1.9.10) m m |η(x)| > x ∀x ∈ R. (1.9.11) Доказательство. Неравенство (1.9.8) доказывается непосредственной проверкой. По определению неравенство (1.9.9) имеет вид ³ x ´m eκ m − 1 6 eκx − 1 ∀x > 0. (1.9.12) Положим

x

f (y) = (y − 1)m + 1 − y m ,

y = eκ m > 1,

x > 0.

Тогда f 0 (y) = m(y − 1)m−1 − my m−1 < 0. Следовательно, f (y) — убывающая функция, т. е. f (y) 6 f (1) для всех y > 1. Поскольку f (1) = 0, получаем (1.9.12). Далее, первое неравенство в (1.9.10) имеет вид y m − 1 6 M (y − 1)m .

(1.9.13)

Рассмотрим функцию g(y) = M (y − 1)m − y m + 1. Тогда очевидно, что g(y) > M (y − 1)m − y m > 0, если 1 Mm y > y0 = 1 Mm −1 и выбрать M > 1. Таким образом, g(y) > 0, если 1

e

x κm

>

Mm 1

Mm −1

то есть,

, 1

Mm m ln . x > d1 = 1 κ Mm −1 Этим первое неравенство из (1.9.10) доказано. Докажем второе неравенство из (1.9.10). Перепишем его в виде M (y − 1)m > κy m . Отсюда получаем 1

1 m

1 m

M (y − 1) > κ (y − 1)y =⇒ y >

Mm 1

1

M m − κm

,

если M > κ. Последнее неравенство означает, что 1

1

e

x κm

>

Mm 1

1

M m − κm

Mm m ln =⇒ x > d2 = 1 . 1 κ M m − κm

2.1. КЛАССИЧЕСКИЕ


ХАРДИ

23

Таким образом, неравенства (1.9.10) выполнены, если M > κ и d = max(d1 , d2 ). Наконец, докажем неравенство (1.9.11). По определению ( eκx − 1, x > 0, |η(x)| = e−κx − 1, x 6 0. Достаточно доказать неравенство eκx − 1 > x,

x > 0.

Оно очевидно в силу формулы Тейлора, поскольку κ > 1. 1.10.

ЗАМЕЧАНИЯ

Доказательства неравенств Коши, Юнга и Гельдера из раздела 1.2 можно найти в главе 1 в [3] или в главе 2 в [84]. Формулы (1.3.1)–(1.3.12) доказаны в разделе 2 главы 1 в [75]. Теорема Фубини и теорема Фату следуют из теоремы 9 раздела 11 и теоремы 19 раздела 6 главы 3 в [29]. Доказательства интегральных неравенств из раздела 1.5 можно найти в главе 6 в [84]. Простейший вариант теоремы 1.8.1 восходит к Пеано [191]; частный случай был сформулирован и доказан Гронуоллом [142] и Чаплыгиным [85]. В случае, когда N (%) ≡ 0, эта теорема была рассмотрена в [37, 38]. Общий случай рассмотрен в [7, 8, 102].

ГЛАВА 2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 2.1. КЛАССИЧЕСКИЕ


ХАРДИ

Теорема 2.1.1 (неравенство Харди, см. теорему 330 в [84]). Пусть p > 1, s 6= 1 и x R    f (ξ)dξ, s > 1, F (x) = 0R∞    f (ξ)dξ, s < 1. x

Тогда

µ

Z∞ −s

x

p

F (x)dx 6

0

p |s − 1|

¶p Z∞

x−s (xf )p dx.

(2.1.1)

0

Постоянная является точной. Мы докажем частный случай при p = 2. Теорема 2.1.2. Пусть f ∈ L2 (0, d), d, β > 0 и Zx

1

y β− 2 f (y)dy.

F (x) = 0

Тогда Zd −2β−1

x 0

1 F (x)dx 6 2 β

Zd

2

f 2 (x)dx.

(2.1.2)

0

Доказательство. Пусть 0 < δ < β. Тогда в силу неравенства Гельдера (1.5.2) ¯ x ¯2 ¯Z ¯ Zx Zx Zx ¯ ¯ 1 1 δ β−δ− 2δ 2 2β−2δ−1 2(β−δ) 2 2 dy ¯ 6 y f (y)dy y dy = x y 2δ f 2 (y)dy. |F (x)| 6 ¯¯ y f (y)y ¯ 2(β − δ) ¯ ¯ 0

0

0

0

24

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ


Следовательно, по теореме Фубини (см. теорему 1.5.1)  x  Zd Zd Z 1 x−2β−1 F 2 (x)dx 6 x−2δ−1  y 2δ f 2 (y)dy  dx = 2(β − δ) 0 0 0  d  Zd Z Zd 1 y −2δ − d−2δ 1 2δ 2 −2δ−1   = y f (y) y 2δ f 2 (y) dy 6 x dx dy = 2(β − δ) 2(β − δ) 2δ y

0

0

1 6 4δ(β − δ)

Zd f 2 (x)dx. 0

1 Замечая, что величина минимальна при δ = β/2, положим δ = β/2 и получим требуемое 4δ(β − δ) утверждение. Следствие 2.1.1. Пусть v ∈ C 0 [0, d] ∩ W 1,2 (0, d), где d > 0, и v(0) = 0. Тогда Zd 0

4 rN −5+α v 2 (r)dr 6 (4 − N − α)2

µ

Zd r

N −3+α

0

∂v ∂r

¶2 dr

(2.1.3)

при α < 4 − N, если интеграл в правой части конечен. Доказательство. Применим неравенство Харди (2.1.2) при F = v и β =

4−N −α ; поскольку 2

1

F 0 (r) = rβ− 2 f (r), то

µ 2

f (r) = r

1−2β

∂v ∂r

¶2 .

Замечание 2.1.1. Постоянная в неравенстве (2.1.3) является точной. Следствие 2.1.2. Если u ∈ C0∞ (Rn ), α < 4 − N и u(0) = 0, то Z Z 4 α−4 2 r u (x)dx 6 rα−2 |∇u(x)|2 dx (4 − N − α)2 RN

RN

при условии, что интеграл в правой части конечен. Доказательство. Это утверждение получается интегрированием обеих частей неравенства (2.1.3) по множеству Ω при достаточно большом d и применением равенства (1.3.7). Следствие 2.1.3. Если u ∈ W01,2 (G) и α < 4 − N, то Z Z 4 α−4 2 r u (x)dx 6 rα−2 |∇u(x)|2 dx (4 − N − α)2 G

(2.1.4)

G

при условии, что интеграл в правой части неравенства (2.1.4) конечен. Доказательство. Это утверждение следует из следствия 2.1.2, т. к. пространство C0∞ (G) плотно в W01,2 (G). Приведем также следующее обобщение неравенства Харди. Теорема 2.1.3. Неравенство Z∞ xα−p |f (x)|p dx 6 0

pp |α + 1 − p|p

Z∞ xα |f 0 (x)|p dx 0

(2.1.5)

2.2. НЕРАВЕНСТВО ВИРТИНГЕРА

25

выполнено, если p > 1, α 6= p − 1, а функция f (x) абсолютно непрерывна на полуоси [0, ∞) и удовлетворяет следующим граничным условиям: ( f (0) = 0, α < p − 1, lim f (x) = 0, α > p − 1. x→+∞

Следствие 2.1.4. Пусть v ∈ Zd r ε

C 0 [ε, d]

∩ W 1,2 (ε, d), где d > ε > 0, и v(ε) = 0. Тогда

4 v (r)dr 6 (4 − N − α)2

µ

Zd

N −5+α 2

r

N −3+α

ε

∂v ∂r

¶2 dr

(2.1.6)

при α < 4 − N. Доказательство. Достаточно применить неравенство (2.1.3) к функции v(r), продолженной нулем на [0, ε). 2.2.

НЕРАВЕНСТВО ВИРТИНГЕРА

Пусть Ω ⊂ S N −1 — ограниченная область с гладкой границей ∂Ω. Рассмотрим задачу на собственные значения оператора Лапласа—Бельтрами ∆ω на единичной сфере ( ∆¯ω u + ϑu = 0, ω ∈ Ω, (EV P ) ¯ u¯ = 0, ∂Ω

которая состоит в определении всех значений ϑ (собственных значений), при которых задача (EV P ) имеет ненулевые слабые решения (собственные функции). В дальнейшем мы будем обозначать через ϑ наименьшее положительное собственное значение этой задачи. Теорема 2.2.1 (неравенство Виртингера). Для всех u ∈ W01,2 (Ω) выполнено следующее неравенство: Z Z 1 2 u (ω)dΩ 6 |∇ω u|2 dΩ. (2.2.1) ϑ Ω

Ω

Доказательство. Рассмотрим задачу на собственные значения (EV P ) и введем билинейную форму, соответствующую оператору Лапласа—Бельтрами ∆ω : Z ® ∇ω u, ∇ω v dΩ. a(u, v) := Ω

Применяя теорему 1.7.2 к пространствам V = W01,2 (Ω) и H = L2 (Ω), видим, что наименьшее положительное собственное значение ϑ задачи (EV P ) удовлетворяет равенству ϑ= Таким образом,

a(v, v) 2 . v∈W01,2 (Ω) kvk2,Ω inf

Z |∇ω u|2 dω = a(u, u) > ϑkvk2L2 (Ω) Ω

для всех u ∈

W01,2 (Ω).

Замечание 2.2.1. Из приведенного доказательства следует, что постоянная в оценке (2.2.1) является точной. На протяжение всей монографии будет использоваться величина p 2 − N + (N − 2)2 + 4ϑ λ= , 2 где ϑ — наименьшее положительное собственное значение задачи (EV P ).

(2.2.2)

26



Пусть θ(r) является наименьшим собственным значением оператора Лапласа—Бельтрами ∆ω в области Ωr с условиями Дирихле на ∂Ωr . Используя вариационный принцип для собственных значений (см. теорему 1.7.2), получим следующий результат. Теорема 2.2.2. Для всех u ∈ W01,2 (Ωr ) выполнено неравенство Z Z 1 2 u (ω)dΩr 6 |∇ω u|2 dΩr . θ(r) Ωr

(2.2.3)

Ωr

2.3. НЕРАВЕНСТВА

ТИПА

ХАРДИ—ФРИДРИХСА—ВИРТИНГЕРА

Пусть θ(r) — наименьшее собственное значение оператора Лапласа—Бельтрами ∆ω в области Ωr с условием Дирихле на ∂Ωr , а Gd0 — окрестность граничной точки O, удовлетворяющая следующим условиям:  θ(r) > θ0 + θ1 (r) > θ2 > 0, r ∈ (0, d),     где θ0 и θ2 — положительные постоянные,    а θ1 (r) — непрерывная по Дини в нуле функция, (S) d  Z   |θ1 (r)|    dr < ∞. т. е. lim θ1 (r) = 0,   r→0 r 0

Это условие описывает весьма общие предположения о структуре границы области в окрестности точки O границы области. Теорема 2.3.1 (обобщенное неравенство Харди—Фридрихса—Виртингера). Пусть интеграл Z U (d) = rα−2 |∇u|2 dx Gd0

конечен и u(x) = 0 при x ∈ Γd0 . Тогда µ ¶Z Z |θ1 (%)| α−4 2 rα−2 |∇u|2 dx r |u| dx 6 H(λ, N, α) 1 + θ2

(H–W )

Gd0

Gd0

с некоторым % ∈ (0, d) и  · ¸−1  (4 − N − α)2  H(λ, N, α) = + λ(λ + N − 2) , 4 p 2   λ = 2 − N + (N − 2) + 4θ0 , 2 при условии α 6 4 − N.

(∗)

Доказательство. Интегрируя неравенство (2.2.3) по r ∈ (0, d), мы получим Z Z α−2 Z r |∇ω u|2 rα−2 |∇ω u|2 rα−4 |u|2 dx 6 dx 6 dx. θ(r) r2 θ0 + θ1 (r) r2 Gd0

Gd0

С другой стороны, 1 1 = + θ0 + θ1 (r) θ0

µ

Gd0

1 1 − θ0 + θ1 (r) θ0

¶ =

1 θ1 (r) 1 |θ1 (r)| − 6 + θ0 θ0 (θ0 + θ1 (r)) θ0 θ0 θ2

в силу условия (S). Применяя теорему о среднем и учитывая, что функция θ1 (r) непрерывна в нуле, отсюда получим Z Z |∇ω u|2 |θ1 (%)| α−4 2 θ0 r |u| dx 6 rα−2 dx + U (d) 2 r θ2 Gd0

для некоторого % ∈ (0, d).

Gd0


ТИПА


27

Теперь проинтегрируем неравенство Харди по множеству Ω и перепишем результат в виде µ ¶ Z Z 4−N −α 2 α−4 2 r |u| dx 6 rα−2 u2r dx, α 6 4 − N. 2 Gd0

Gd0

Складывая почленно два последних неравенства, учитывая формулу (1.3.7) и используя определение числа λ, мы получим требуемое неравенство (H–W ). Следствие 2.3.1. Для любого δ > 0 существует число d > 0 такое, что Z Z α−4 2 r u dx 6 (H(λ, N, α) + δ) rα−2 |∇u|2 dx Gd0

Gd0

при условии, что интеграл в правой части конечен и u(x) = 0 при x ∈ Γd0 в смысле следов. Доказательство следует из того, что функция θ1 (%) непрерывна в нуле. Для конических областей справедливы следующие утверждения. Следствие 2.3.2. Пусть интеграл

Z rα−2 |∇u|2 dx Gd0

конечен и функция u(x) обращается в нуль на Γd0 в смысле следов. Тогда µ ¶2 Z Z 4 α−4 2 α−2 ∂u r u (x)dx 6 r dx (4 − N − α)2 ∂r Gd0

при α < 4 − N и

(2.3.1)

Gd0

Z r

1 u (x)dx 6 λ(λ + N − 2)

Z rα−4 |∇ω v|2 dx

α−4 2

Gd0

(2.3.2)

Gd0

для всех α ∈ R. Доказательство. Интегрируя левую и правую части неравенства Харди (2.1.3) по множеству Ω, мы получим неравенство (2.3.1). Неравенство (2.3.2) получим аналогичным образом, почленно умножая неравенство Виртингера (2.2.1) на rα+N −5 и интегрируя по r ∈ [0, d]. Теорема 2.3.2. Пусть функция u ∈ W 1,2 (Gd0 ) обращается в нуль на Γd0 в смысле W 1,2 (Gd0 ). Тогда при α 6 4 − N выполнено неравенство Z Z α−4 2 r u (x)dx 6 H(λ, N, α) rα−2 |∇u|2 dx, (2.3.3) Gd0

Gd0

где H(λ, N, α) = [(4 − N − α)2 /4 + λ(λ + N − 2)]−1 , если интеграл в правой части неравенства (2.3.3) конечен. Доказательство. Если α < 4 − N, то требуемое утверждение получается почленным сложением неравенств (2.3.1) и (2.3.2) и применением формулы (1.3.7). При α = 4 − N неравенство (2.3.3) совпадает с неравенством (2.3.2). ◦ 1/2

Следствие 2.3.3. Пусть u ∈ W 1,2 (G) и u|∂G = ϕ ∈ W α−2 (∂Ω). Тогда для любого δ > 0 существует постоянная c = c(δ, λ, N, α) такая, что Z Z α−4 2 r u (x)dx 6 (1 + δ)H(λ, N, α) rα−2 |∇u|2 dx + c(δ, λ, N, α)kϕk ◦ 1/2 d (2.3.4) W α−2 (Γ0 )

Gd0

Gd0

при α 6 4 − N, если интеграл в правой части неравенства (2.3.4) конечен.

28



◦

Доказательство. Пусть Φ ∈ W 1α−2 (Gd0 ) и Φ|Γd = ϕ на Γd0 . Тогда разность u − Φ удовлетворяет 0 обобщенному неравенству Харди—Виртингера Z Z rα−4 (u − Φ)2 dx 6 H(λ, N, α) rα−2 |∇u − ∇Φ|2 dx, α 6 4 − N. Gd0

Gd0

Дважды применяя неравенство Коши, мы получим Z Z ¡ ¢ rα−4 u2 dx = rα−4 (u − Φ)2 + 2uΦ − Φ2 dx 6 Gd0

Gd0

Z r

6 H(λ, N, α)

α−2

¡ ® ¢ |∇u|2 − 2 ∇u, ∇Φ + |∇Φ|2 dx + ε

Gd0

r

α−4 2

u dx + ε

Gd0

Z

6 H(λ, N, α)

Z

Z

r

α−2

¡ ¢ (1 + δ1 )|∇u|2 + (1 + δ1−1 )|∇Φ|2 ) dx + ε

Gd0

rα−4 Φ2 dx 6

−1 Gd0

Z r

α−4 2

Z −1

u dx + ε

Gd0

rα−4 Φ2 dx

Gd0

для всех ε > 0 и δ1 > 0. Поэтому требуемое утверждение следует из определения нормы следа при ε + δ1 δ= . 1−ε Следствие 2.3.4. Пусть ε > 0, u ∈ C 0 (Gε ) ∩ W 1,2 (Gε ) и u(x) = 0 при x ∈ Γε . Тогда при α < 4 − N выполнено неравенство Z Z α−4 2 r u (x)dx 6 c rα−2 |∇u|2 dx (2.3.5) Gε

Gε

с некоторой постоянной c = c(λ, N, α). Обозначим через ζ : Gρ0 → [0, 1] такую срезающую функцию, что ( 1, 0 6 r 6 ρ/2, ζ(r) = 0, r > ρ, |ζ 0 (r)| 6 const ·ρ−1 ,

0 6 r 6 ρ.

Следствие 2.3.5. Пусть функция u ∈ C 0 (Gd0 ) ∩ W 1,2 (Gd0 ) обращается в нуль на Γd0 . Если α 6 4 − N и ρ ∈ (0, d], то для всех δ > 0 выполнено неравенство Z Z ¡ ¢ α−4 2 2 r ζ (r)u (x)dx 6 H(λ, N, α) rα−2 (1 + δ)ζ 2 (r)|∇v|2 + (1 + δ −1 )(ζ 0 )2 (r)v 2 (x) dx. (2.3.6) Gρ0

Gρ0

Доказательство. Утверждение следует из обобщенного неравенства Харди—Виртингера (2.3.3) для произведения ζ(r)u(x) и из неравенства Коши с δ > 0. Лемма 2.3.1. Пусть

Z r2−N |∇u|2 dx < ∞,

U (ρ) =

ρ∈(0, d),

Gρo

и ∇u(%, ·) ∈ L2 (Ω) при почти всех % ∈ (0, d). Тогда ¶¯ Z µ ρ ∂u N − 2 2 ¯¯ ρu + u ¯ dΩ 6 U 0 (ρ), ¯ ∂r 2 2λ + θ1 (%)h1 (%) Ω

где

r=%

2 √ , h1 (%) 6 √ θ0 + θ2

% ∈ (0, d).


ТИПА


29

Доказательство. Записывая U (ρ) в сферических координатах и дифференцируя по ρ, мы получим !¯ Z Ã µ ¶2 ¯ ∂u 1 ¯ U 0 (ρ) = + |∇ω u|2 ¯ dΩ. ρ ¯ ∂r ρ r=%

Ω

Кроме того, в силу неравенства Коши имеем ∂u ε 1 ρu 6 u2 + ρ2 ∂r 2 2ε

µ

∂u ∂r

¶2

с любым ε > 0. Поэтому, используя неравенство (2.2.3), получим ¶ Z Z µ ¶2 Z µ ρ2 ∂u ∂u N − 2 2 ε+N −2 u2 dΩ + ρu + u dΩ 6 dΩ 6 ∂r 2 2 2ε ∂r Ω Ω Ω ) Z Z µ ¶2 Z ( µ ¶2 2 ε+N −2 ρ ∂u ρ2 1 ∂u ε+N −2 2 2 6 |∇ω u| dΩ + dΩ = + |∇ω u| dΩ. 2θ(%) 2ε ∂r 2 ε ∂r %2 θ(%) Ω

Ω

Ω

Выберем ε из равенства ε+N −2 1 = , ε θ(%) т. е. положим

´ p 1³ 2 − N + (N − 2)2 + 4θ(%) . 2 ¶ Z µ Z ∂u N − 2 2 %2 ρu + u dΩ 6 |∇u|2 dΩ ∂r 2 2ε ε=

Тогда

Ω

Ω

или в силу условия (S) ¶¯ Z µ ∂u N − 2 2 ¯¯ ρu + u ¯ ¯ ∂r 2 Ω

dΩ 6 r=%

2−N +

%

p

(N − 2)2 + 4[θ0 + θ1 (%)]

U 0 (%).

С помощью элементарных преобразований из равенств (∗) получим ´ ³ p 2 − N + (N − 2)2 + 4[θ0 + θ1 (%)] − 2λ = ³ ´ ³ ´ p p = 2 − N + (N − 2)2 + 4[θ0 + θ1 (%)] − 2 − N + (N − 2)2 + 4θ0 = θ1 (%)h1 (%), где

4 2 p √ . h1 (%) = p 6√ 2 2 θ0 + θ2 (N − 2) + 4[θ0 + θ1 (%)] + (N − 2) + 4θ0 Лемма доказана. Следствие 2.3.6. Пусть Gd0 — коническая область, Z U (ρ) = r2−N |∇u|2 dx < ∞,

ρ ∈ (0, d),

Gρo

и ∇u(%, ·) ∈ L2 (Ω) при почти всех % ∈ (0, d). Тогда ¶¯ Z µ ∂u N − 2 2 ¯¯ + u ¯ ρu ¯ ∂r 2

r=%

Ω

dΩ 6

ρ 0 U (ρ). 2λ

Доказательство. Записывая U (ρ) в сферических координатах и дифференцируя по ρ, получим !¯ Z Ã µ ¶2 ¯ ∂u 1 0 2 ¯ U (ρ) = ρ + |∇ω u| ¯ dΩ. ¯ ∂r ρ Ω

r=%

30



Кроме того, в силу неравенства Коши имеем

µ ¶2 ε 1 ∂u ∂u 6 u2 + ρ2 ∂r 2 2ε ∂r с любым ε > 0. Поэтому, полагая ε = λ, из обобщенного неравенства Виртингера (2.2.1) и формулы (2.2.2) получаем ¶¯ Z µ Z Z µ ¶2 ∂u N − 2 2 ¯¯ ε+N −2 ρ2 ∂u 2 ρu + u ¯ dΩ 6 u dΩ + dΩ 6 ¯ ∂r 2 2 2ε ∂r ρu

r=%

Ω

Ω

ε+N −2 6 2λ(λ + N − 2)

Z

Ω

ρ2 |∇ω u| dΩ + 2ε

Z µ

2

Ω

∂u ∂r

¶2 dΩ =

ρ 0 U (ρ). 2λ

Ω

˜ с углом раствора ω0 и ось конуса K ˜ Предположим, что конус K содержится в круговом конусе K совпадает с лучом {(x1 , 0, . . . , 0) : x1 > 0}. Зададим вектор l = (−1, 0, . . . , 0) ∈ RN . Лемма 2.3.2. Пусть v ∈ C 0 (Gdε ) ∩ W 1 (Gdε ) и v(ε) = 0. Тогда для любого ε > 0 выполнено неравенство Z Z α−4 2 r v dx 6 H(λ, n, α) rα−2 |∇v|2 dx, α 6 4 − N, (2.3.7) Gdε

Gdε

где постоянная H(λ, n, α) та же, что в теореме 2.3.2. Доказательство. В силу теоремы 2.2.1 выполнено неравенство (2.2.1). Почленно умножая его на rN −5+α , интегрируя по r ∈ (ε, d) и используя формулу (2.2.2), мы получим (2.3.7) при α = 4 − N. Если α < 4 − N, проинтегрируем неравенство (2.1.6) по Ω; тогда имеем Z Z 1 2 α−4 2 (4 − N − α) r v dx 6 rα−2 vr2 dx. 4 Gdε

Gdε

Почленно складывая это неравенство с неравенством для α = 4−N (см. (2.3.2) для Gdε ) и применяя формулу µ ¶2 ∂u 1 2 |∇u| = + 2 |∇ω u|2 , ∂r r мы получим требуемый результат. Лемма 2.3.3. Пусть v ∈ C 0 (G) ∩ W 1 (G) и v(0) = 0. Тогда для любого ε > 0 выполнено неравенство Z Z α−4 2 rε v dx 6 H(λ, n, α) rεα−2 |∇v|2 dx, α 6 4 − N, (2.3.8) Gd0

Gd0

где постоянная H(λ, n, α) та же, что в теореме 2.3.2. Доказательство. Сделаем замену переменных yi = xi − εli ,

i = 1, . . . , n,

и применим неравенство (2.3.7); в результате получим Z Z Z α−4 2 α−4 2 rε v (x)dx = |y| v (y + εl)dy 6 H(λ, n, α) |y|α−2 |∇y v(y + εl)|2 dy = Gd0

Gdε ε

Gdε ε

Z = H(λ, n, α) Gd0

rεα−2 |∇v|2 dx.

2.4. ЗАМЕЧАНИЯ

31

Лемма 2.3.4. Пусть u ∈ W 1,2 (Gd0 ) и u(x) = 0 при x ∈ Γd0 . Тогда µ ¶2−α Z Z 3 1 rεα−2 r−2 u2 (x)dx 6 rεα−2 |∇u|2 dx h λ(λ + N − 2) Gd0

(2.3.9)

Gd0

для всех α ∈ R, где

( h=

1,

0 < ω0 6 π,

ω0 sin , 2

π < ω0 < 2π.

Доказательство. Умножим обе части неравенства Виртингера (2.2.1) на (2−k d+ε)α−2 rN −3 с ε > 0, учитывая, что 2−k−1 d + ε < r + ε < 2−k d + ε в G(k) , и проинтегрируем результат по r ∈ (2−k−1 d, 2−k d); тогда получим Z Z ³ ´ 1 r−2 (2−k d + ε)α−2 u2 dx 6 (2−k d + ε)α−2 |∇u|2 dx. λ(λ + N − 2) G(k)

G(k)

Поскольку rε 6 r + ε < 2−k d + ε в G(k) и α 6 2, то Z Z 1 −2 −k α−2 2 rεα−2 |∇u|2 dx. r (2 d + ε) u dx 6 λ(λ + N − 2) G(k)

G(k)

С другой стороны, в силу леммы 1.4.1 в области

G(k)

мы имеем

2−k d + ε = 2 · 2−k−1 d + ε < 2r + ε 6 следовательно, −k

(2 Таким образом,

α−2

d + ε)

3 rε ; h

µ ¶α−2 3 > rεα−2 . h

µ ¶α−2 Z Z 1 3 −2 α−2 2 r rε u dx 6 rεα−2 |∇u|2 dx. h λ(λ + N − 2) G(k)

G(k)

Суммируя эти неравенства по k = 0, 1, 2, . . . , получим требуемое неравенство (2.3.9). Теорема 2.3.3. Пусть G — неограниченная область. Пусть u ∈ W 1 (G) обращается в нуль при |x| > R ≫ 1. Тогда при α > 4 − N справедливо неравенство Z Z α−4 2 r u (x)dx 6 H(λ, N, α) rα−2 |∇u|2 dx, (2.3.10) G

где H(λ, N, α) = [(4 − N − ства (2.3.10) конечен.

G

α)2 /4

+ λ(λ + N −

2)]−1 ,

если интеграл в правой части неравен-

Доказательство. Как и в теореме 2.3.2, применим теорему 2.1.3 при p = 2 и заменим α на α + n − 3. 2.4.

ЗАМЕЧАНИЯ

Классическое неравенство Харди впервые было доказано в монографии [84]. Различные обобщения этого неравенства, а также доказательство теоремы 2.1.3 можно найти в [126]. Одномерное неравенство Виртингера доказано в главе 7 в [84]. Вариационный принцип в случае краевого условия Дирихле изложен более подробно в разделе 4.1 в [126].

32



ГЛАВА 3 УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В ГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ 3.1.

ОЦЕНКИ ДИНИ

ОБОБЩЕННОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

Мы будем рассматривать задачу Дирихле для уравнения Пуассона  n ∆v = G + P Dj F j , x ∈ G, j=1

 v(x) = 0,

(P E0 )

x ∈ ∂G.

Пусть Γ(x − y) — нормированное фундаментальное решение уравнения Лапласа. Известны следующие оценки (см., например, (2.12) и (2.14) в [27]):  1 2−N   , N > 3,  |Γ(x − y)| = N (N − 2)ω |x − y|   N   1  |Di Γ(x − y)| 6 |x − y|1−N , (3.1.1) N ωN  1  −N   |Dij Γ(x − y)| 6 |x − y| ,   ωN   β |D Γ(x − y)| 6 C(N, β)|x − y|2−N −β . Введем функции

Z z(x) =

Z Γ(x − y)G(y)dy,

Γ(x − y)F j (y)dy,

w(x) = Dj

G

(3.1.2)

G

предполагая, что функции G(x) и F j (x), j = 1, . . . , N, интегрируемы в области G. Функция z(x) называется ньютоновским потенциалом с плотностью G(x), а функция w(x) называется обобщенным ньютоновским потенциалом с плотностью div F. Мы оценим эти потенциалы. Отметим, что в дальнейшем оператор D всегда действует по переменной x. Лемма 3.1.1. Пусть ∂G ∈ C 1,A , G ∈ Lp (G), p > N, и F j ∈ C 0,A (G), j = 1, . . . , N, где A — α-функция, непрерывная по Дини в нуле. Тогда z ∈ C 1 (RN ), w ∈ C 2 (G) и Z Di z(x) = Di Γ(x − y)G(y)dy, (3.1.3) Z Di w(x) =

G

¡ ¢ Dij Γ(x − y) F j (y) − F j (x) dy − F j (x)

G0

Z Di Γ(x − y)νj (y)dy σ

(3.1.4)

∂G0

для всех x ∈ G (i = 1, . . . , N ); здесь G0 — произвольная область, содержащая G, для которой применима теорема Гаусса—Остроградского о дивергенции, νj (y) — компоненты единичной внешней нормали к ∂G0 , а функции F j продолжаются нулем вне области G. Доказательство. В силу оценки (3.1.1) для Di Γ, функции Z vi (x) = Di Γ(x − y)G(y)dy, i = 1, . . . , N, G

корректно определены. Чтобы доказать равенство vi = Di z, рассмотрим функцию ζ ∈ C 1 (R), удовлетворяющую условиям ( 0, t 6 1, 0 0 6 ζ 6 1, 0 6 ζ 6 2, ζ(t) = 1, t > 2,

3.1. ОЦЕНКИ ДИНИ

и положим

µ

Z zε (x) =

33


Γ(x − y)ζ

|x − y| ε

¶ G(y)dy

G

при ε > 0. Очевидно, zε ∈ C 1 (RN ) и

½µ µ ¶¶ ¾ |x − y| Di 1−ζ Γ(x − y) G(y)dy, ε

Z

vi (x) − Di zε (x) = |x−y|62ε

так что Z |vi (x) − Di zε (x)| 6 sup |G| |x−y|62ε

 µ ¶  2N ε , 2 N > 2, |Di Γ| + |Γ| dy 6 sup |G| N − 2 4ε(1 + | lg 2ε|), N = 2. ε

Следовательно, интегралы, определяющие zε и Di zε , равномерно сходятся на компактных подмножествах RN к z и vi соответственно при ε → 0. Таким образом, z ∈ C 1 (RN ) и Di z = vi . В силу оценки (3.1.1) для Dij Γ и непрерывности по Дини функций F j , функции Z Z ¡ ¢ ui (x) = Dij Γ(x − y) F j (y) − F j (x) dy − F j (x) Di Γ(x − y)νj (y)dy σ, i = 1, . . . , N, G0

∂G0

корректно определены. Положим

µ

Z

vε (x) =

Di Γ(x − y)ζ

|x − y| ε

¶ F j (y)dy

G

C 1 (G).

при ε > 0. Очевидно, vε ∈ Дифференцируя vε (x), получим µ µ ¶¶ Z n X |x − y| Dj vε (x) = Dj Di Γ(x − y)ζ F j (y)dy = ε j=1 G ¶¶ µ µ ¶¶ µ µ Z Z ¡ j ¢ |x − y| |x − y| j = F (x) Dj Di Γ(x − y)ζ dy + Dj Di Γ(x − y)ζ F (y) − F j (x) dy = ε ε G0 G ¶¶ µ µ Z Z ¡ j ¢ |x − y| j j = Dj Di Γ(x − y)ζ F (y) − F (x) dy − F (x) Di Γ(x − y)νj (y)dy σ ε G0

∂G0

при достаточно малых ε. Отсюда ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z ½µ µ ¶¶ ¾ n ¯ X ¯ ¯ ¯ ¡ j ¢ |x − y| ¯ j ¯ui (x) − ¯=¯ D 1 − ζ D Γ(x − y) F (y) − F (x) dy D v (x) ¯6 j i j ε ¯ ¯ ¯ ¯ ε ¯ ¯ ¯ j=1 ¯ |x−y|62ε

Z j

6 [F ]A;x

µ ¶ Z2ε N 2 A(t) X j |Dij Γ| + |Di Γ| A(|x − y|)dy 6 C(N, G) dt [F ]A;x , ε t 0

|x−y|62ε

j=1

при условии 2ε < dist(x, ∂G). Следовательно, функции n X

Dj vε (x)

j=1

равномерно сходятся к ui на компактных подмножествах множества G при ε → 0. Поскольку интеграл, соответствующий vε , равномерно сходится к vi = Di z в G, то w ∈ C 2 (G) и ui = Di w. Это завершает доказательство леммы 3.1.1. Пусть B1 = BR (x0 ) и B2 = B2R (x0 ) — концентрические шары в RN , а z(x) и w(x) — ньютоновские потенциалы в B2 .

34

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

В ГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ

Лемма 3.1.2. Пусть G ∈ Lp (B2 ), p > N/2, и F j ∈ L∞ (B2 ), j = 1, . . . , N. Тогда  µ ¶ 1 0  1/p0 2/p  kGkp;B2 , N = 2, ln |z|0;B1 6 c(p)R 2R  |z|0;B 6 c(p, N )R2−N +N/p0 kGkp;B , N > 3, 

(3.1.5)

2

1

|w|0;B1 6 2R

N X

|F j |0;B2 .

(3.1.6)

j=1

Доказательство. Эти оценки следуют из неравенств (3.1.1), неравенства Гельдера для интегралов и леммы 3.1.1. Лемма 3.1.3. Пусть G ∈ Lp (B2 ), p > N, и F j ∈ C 0,A (B 2 ), j = 1, . . . , N, где A — α-функция, непрерывная по Дини в нуле. Тогда z, w ∈ C 1,B (B 1 ) и ¡ ¢ kzk1,B;B1 6 c p, N, R, A−1 (2R) kGkp;B2 , (3.1.7) N ¡ ¢X kwk1,B;B1 6 c p, N, R, α, A−1 (2R), B(2R) kF j k0,A;B2 .

(3.1.8)

j=1

Доказательство. Пусть x, x ∈ B1 и G = B2 . Из формул (3.1.3) и (3.1.4), учитывая (3.1.1) и неравенство Гельдера для интегралов и полагая |x − y| = t,

dy = tN −1 dt dΩ,

y − x = tω,

получим Z −1

|x − y|1−N |G(y)|dy 6

|Di z| 6 (N ωN )

B2

6 (N ωN )−1 kGkp;B2

 Z 

0

|x − y|(1−N )p dy

1/p0  

=

p−1 (2R)(p−N )/(p−1) kGkp;B2 , (3.1.9) p−N

B2

|Di w(x)| 6 (N ωN )−1 R1−N

N X

Z

j=1

6 2N −1

N X

∂B2

N X |F j (x)| + N [F j ]A,x

j=1

j=1

−1 dy σ + ωN

|F j (x)| Z2R 0

Z N X A(x − y) [F j ]A,x dy 6 |x − y|N j=1

B2

  N N X X A(t) |F j (x)| + dt 6 c(N )B(2R) [F j ]A,x  . (3.1.10) t j=1

j=1

Учитывая (3.1.3), с помощью вычитания получим Z |Di z(x) − Di z(x)| 6 |Di Γ(x − y) − Di Γ(x − y)| · |G(y)|dy. B2

Положим δ = |x − x|,

1 ξ = (x − x), 2

а также представим B2 = Bδ (ξ) ∪ {B2 \ Bδ (ξ)}.


35


Тогда Z |Di Γ(x − y) − Di Γ(x − y)| · |G(y)|dy 6 Bδ (ξ)

Z

Z |Di Γ(x − y)| · |G(y)|dy +

6 Bδ (ξ)

6 (N ωN )−1

   Z  

|Di Γ(x − y)| · |G(y)|dy 6

Bδ (ξ)

Z |x − y|1−N |G(y)|dy +

Bδ (ξ)

|x − y|1−N |G(y)|dy

Bδ (ξ)

Z

6 2(N ωN )−1 

Z

 6 2(N ωN )−1 kGkp;B2  µ 6 2(N ωN )

kGkp;B2

 

6

|x − y|1−N |G(y)|dy

B3δ/2 (x)

−1/p

  

1/p0 0  |x − y|(1−N )p dy 

6

B3δ/2 (x)

3δ 2

¶1−N/p

6

0

{N + (1 − N )p0 }−1/p 6

2(N ωN )−1/p (2R)1−N/p A(|x − x|) kGkp;B2 {N + (1 − N )p0 }−1/p0 A(2R)

(3.1.11)

(здесь использовано неравенство δ α 6 (2R)α A(δ)/A(2R), α > 0, справедливое в силу (1.6.1) и соотношения δ 6 2R). Аналогично, Z

Z |Di Γ(x − y) − Di Γ(x − y)| · |G(y)|dy 6 |x − x|

B2 \Bδ (ξ)

|DDi Γ(e x − y)| · |G(y)|dy 6

B2 \Bδ (ξ)

(для некоторой точки x e между x и x) Z −1 −N N |e x − y| |G(y)|dy 6 2 δωN |ξ − y|−N |G(y)|dy 6

Z −1 6 δωN |y−ξ|>δ

|y−ξ|>δ



(поскольку |y − ξ| 6 2|y − x e|) 1/p0

 −1 kGkp;B2  6 2N δωN

Z

0  |ξ − y|−np dy 

−1/p

6 2N δ 1−N/p ωN

0

(p − 1)1/p kGkp;B2 6

|y−ξ|>δ −1/p

6 2N (2R)1−N/p ωN

(p − 1)1/p

0

A(|x − x|) kGkp;B2 . (3.1.12) A(2R)

Учитывая (1.6.3), из неравенств (3.1.11) и (3.1.12) получим |Di z(x) − Di z(x)| 6 c(N, p, R)A−1 (2R)kGkp;B2 A(|x − x|) 6 6 c(N, p, R)A−1 (2R)kGkp;B2 B(|x − x|),

x, x ∈ B1 . (3.1.13)

Первое из доказываемых неравенств (3.1.7) следует из неравенств (3.1.5) и (3.1.13).

36



Теперь получим оценку (3.1.8). В силу (3.1.4), для x, x ∈ B1 имеем N X ¡ j ¡ ¢ ¢ Di w(x) − Di w(x) = F (x)J1j + F j (x) − F j (x) J2j + j=1 N X ¡ j ¢ + J3 + J4 + F (x) − F j (x) J5j + J6 , (3.1.14) j=1

где

Z

Z

J1j =

(Di Γ(x − y) − Di Γ(x − y)) νj (y)dy σ,

J2j =

∂B2

Z

Z

¡ ¢ Dij Γ(x − y) F j (x) − F j (y) dy,

J3 = Bδ (ξ)

Z

J5j =

¡ ¢ Dij Γ(x − y) F j (y) − F j (x) dy,

Bδ (ξ)

¡ ¢ (Dij Γ(x − y) − Dij Γ(x − y)) F j (x) − F j (y) dy.

J6 =

B2 \Bδ (ξ)

∂B2

J4 =

Z Dij Γ(x − y)dy,

Di Γ(x − y)νj (y)dy σ,

B2 \Bδ (ξ)

Оценим эти интегралы следующим образом: Z |J1j | 6 |x − x| |DDi Γ(e x − y)|dy σ 6 ∂B2

(для некоторой точки x e между x и x) Z −1 6 |x − x|N ωN |e x − y|−N dy σ 6 N 2 2N −1 |x − x|R−1 6 ∂B2

(поскольку |e x − y| > R для y ∈ ∂B2 ) 2 N −1

6N 2

A(|x − x|)R−1 δ/A(δ) 6 N 2 2N A(|x − x|)/A(2R) 6

(так как δ = |x − x| 6 2R и δ/A(δ) 6 2R/A(2R) в силу (1.6.1)) 6 N 2 2N αB(δ)/A(2R) в силу (1.6.3). Далее, имеем |J2j | 6 2N −1 , Z −1 |J3 | 6 ωN [F j ]A,x

|x − y|−N A(|x − y|)dy 6

Bδ (ξ)

Z 6

−1 ωN [F j ]A,x

|x − y|−N A(|x − y|)dy =

B3δ/2 (x) 3δ/2 Z j

= N [F ]A,x 0

в силу (1.6.2). Аналогично оценке для J3 , получим µ ¶α 3 [F j ]A,x B(δ). |J4 | 6 N 2 В силу (3.1.1) очевидно, что |J5j | 6 2N .

A(t) dt 6 N t

µ ¶α 3 [F j ]A,x B(δ) 2


Наконец,

37

ДЛЯ ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

Z |DDij Γ(e x − y)| · |F j (x) − F j (y)|dy 6

|J6 | 6 |x − x| B2 \Bδ (ξ)

(для некоторой точки x e между x и x) Z 6 |x − x|c(N ) |e x − y|−N −1 · |F j (x) − F j (y)|dy 6 |y−ξ|>δ

Z

6 c(N )δ[F j ]A,x

|e x − y|−N −1 A(|x − y|)dy 6

|y−ξ|>δ

µ

Z

6 c(N )δ[F j ]A,x

|ξ − y|−N −1 A

¶ 3 |ξ − y| dy 6 2

|y−ξ|>δ

3 (поскольку |x − y| 6 |ξ − y| 6 3|e x − y|) 2 µ ¶α ZR 3 j 6 c(N )ωN δ [F ]A,x t−2 A(t)dt 6 2 δ µ µ ¶ µ ¶α ¶ 3 3 так как A t 6 A(t) в силу (1.6.2) 2 2 α 6 c(N )ωN 1−α

µ ¶α 3 [F j ]A,x B(δ) 2

в силу (1.6.4). Из равенства (3.1.14) и полученных оценок следует, что |Di w(x) − Di w(x)| 6 N X ¡ j ¢ |F (x)|A−1 (2R) + [F j ]A,x + [F j ]A,x B(|x − x|) ∀x, x ∈ B1 . (3.1.15) 6 c(N, α) j=1

Из неравенств (3.1.10) и (3.1.15) получаем w ∈ C 1,B (B1 ) и оценку (3.1.8). 3.2. ОЦЕНКИ ДИНИ


Теперь мы можем доказать внутреннюю C 1,B -оценку. Лемма 3.2.1. Пусть G — область в RN , а функция v ∈ C 1,B (G) — обобщенное решение уравнения Пуассона (P E0 ) с N

G ∈ L 1−α (G), F j ∈ C 0,A (G), где A — α-функция, удовлетворяющая условию Дини в нуле. Тогда для любых двух концентрических шаров B1 = BR (x0 ) и B2 = B2R (x0 ) ⊂⊂ G выполнено неравенство   N X kF j k0,A;B2  , (3.2.1) kvk1,B;B1 6 c |v|0;B2 + kGk N ;B2 + 1−α

где

Zt B(t) = 0

A(τ ) dτ, τ

j=1

¡ ¢ c = c N, R, α, A−1 (2R), B(2R) .

Доказательство. Легко видеть, что ньютоновский потенциал, заданный формулой Z Z V (x) = Γ(x − y)G(y)dy + Dj Γ(x − y)F j (y)dy, G

G

38



является слабым решением уравнения задачи (P E0 ). Запишем v(x) = V (x) + ve(x),

x ∈ B2 ,

(3.2.2)

где функция ve(x) гармоническая в B2 . По лемме 3.1.3 мы имеем   N X kF j k0,A;B2  , kV k1,B;B1 6 c kGk N ;B2 + 1−α

(3.2.3)

j=1

¡ ¢ где c = c N, R, α, A−1 (2R), B(2R) . По теореме 2.10 из [27] ke v k1,B;B1 6 |e v |1,B1 +

N X i=1

|Di ve(x) − Di ve(y)| |x − y| 6 |e v |1,B1 + sup |D2 ve| sup 6 B(|x − y|) x,y∈B1 , x∈B1 x,y∈B1 , B(|x − y|) sup x6=y

x6=y

¡ ¢ ¡ ¢ 6 c1 R, A−1 (2R) |e v |2,B1 6 c2 R, A−1 (2R) |e v |0,B2 6 c2 (|v|0,B2 + |V |0,B2 ) 6   N X kF j k0,B2  (3.2.4) 6 c3 |v|0,B2 + kGk N ;B2 + 1−α

j=1

в силу леммы 3.1.2. Требуемая оценка (3.2.1) следует из соотношений (3.2.2)–(3.2.4). Аналогичным образом могут быть получены соответствующие оценки вблизи границы. Вначале получим соответствующее обобщение оценки для обобщенного ньютоновского потенциала w(x) с плотностью div F. Лемма 3.2.2. Пусть F j ∈ C 0,A (B2+ ), j = 1, . . . , N. Тогда w ∈ C 1,B (B1+ ) и N ¡ ¢X kwk1,B;B + 6 c p, N, R, α, A−1 (2R), B(2R) kF j k0,A;B + . 1

2

j=1

(3.2.5)

Доказательство. Предположим, что B2 пересекает Σ, поскольку в противном случае результат следует из леммы 3.1.3. Представление (3.1.4) имеет место для Di w(x) с G0 = B2+ . Если i 6= N или j 6= N, то Z Z Di Γ(x − y)νj (y)dy σ = Dj Γ(x − y)νi (y)dy σ = 0, ∂B2+ ∩Σ

∂B2+ ∩Σ

поскольку соответственно νi = 0 или νj = 0 на Σ. Тогда оценки для Di w(x) (i 6= N или j 6= N ) из леммы 3.1.3 доказываются так же, как и раньше, с заменой B2 на B2+ , Bδ (ξ) на Bδ (ξ) ∩ B2+ и ∂B2 на ∂B2+ \ Σ. Наконец, DN N w можно оценить, используя уравнение задачи (P E0 ) и оценки для Dkk w при k = 1, . . . , N − 1. Теорема 3.2.1. Пусть v ∈ C 0 (B2+ ) — обобщенное решение уравнения задачи (P E0 ) в B2+ с N

G ∈ L 1−α (B2+ ),

F j ∈ C 0,A (B2+ )

(j = 1, . . . , N ),

где A — α-функция, удовлетворяющая условию Дини в нуле, и пусть v = 0 на B2 ∩ Σ. Тогда v ∈ C 1,B (B1+ ) и   N X (3.2.6) kvk1,B;B + 6 c |v|0;B + + kGk N ;B + + kF j k0,A;B +  , 1

¡ ¢ где c = c N, R, α, A−1 (2R), B(2R) .

2

1−α

2

j=1

2

Доказательство. Используем метод отражений. Пусть x0 = (x1 , . . . , xN −1 ) и x∗ = (x0 , −xN ). Положим ( F i (x), xN > 0, i F∗ (x) = F i (x∗ ), xN 6 0,


39


i = 1, . . . , N. Предположим, что B2 пересекает Σ; в противном случае неравенство (3.2.6) следует из леммы 3.2.1. Положим ¯ B2− = {x ∈ RN ¯x∗ ∈ B2+ }, D = B2+ ∪ B2− ∪ (B2 ∩ Σ). Тогда F∗i ∈ C 0,A (D) и

kF∗i k0,A;D 6 2kF i k0,A;B + 2

(i = 1, . . . , N ).

Пусть G(x, y) = Γ(x − y) − Γ(x − y ∗ ) = Γ(x − y) − Γ(x∗ − y) обозначает функцию Грина в полупространстве RN + ; положим Z − → w(x) = − Dy G(x, y) F (y)dy, Dy = (Dy1 , . . . , DyN ). B2+

Пусть wi (x) обозначает при каждом i = 1, . . . , N компоненту вектора w(x), заданную формулой Z Z i wi (x) = Dyi Γ(x − y)F (y)dy + Dyi Γ(x∗ − y)F i (y)dy. B2+

B2+

Очевидно, что w(x) и wi (x) обращаются в нуль на B2 ∩ Σ. Замечая, что Z Z Γ(x∗ − y)F i (y)dy = Γ(x − y)F∗i (y)dy (i = 1, . . . , N − 1), B2+

мы получим

B2−



 wi (x) = Di 2

Z

Z Γ(x − y)F i (y)dy −

  Γ(x − y)F∗i (y)dy  ,

i = 1, . . . , N − 1.

(3.2.7)

D

B2+

Пусть i = N. Поскольку Z

Z ∗

DyN Γ(x − y)F∗N (y)dy,

N

DyN Γ(x − y)F (y)dy = B2−

B2+

то

Z Γ(x − y)F∗N (y)dy.

wN (x) = DN

(3.2.8)

D

Полагая

Z wi∗ (x)

Γ(x − y)F∗i (y)dy

= −Di

(i = 1, . . . , N ),

D

по лемме 3.1.3 имеем N ¡ ¢X kw∗ k1,B;B + 6 c p, N, R, α, A−1 (2R), B(2R) kF∗j k0,A;D 6 1

j=1 N ¡ ¢X kF j k0,A;B + . 6 2c p, N, R, α, A−1 (2R), B(2R) j=1

2

В силу леммы 3.2.2 из этого неравенства следует оценка kwk1,B;B + 1

N ¡ ¢X −1 6 c p, N, R, α, A (2R), B(2R) kF j k0,A;B + . j=1

Теперь пусть ve(x) = v(x) − V (x),

2

(3.2.9)

40



где V (x) — ньютоновский потенциал из леммы 3.2.1. Тогда функция ve(x) гармоническая в B2+ и ve(x) = 0 на Σ. Согласно принципу отражений Шварца, функция ve(x) может быть продолжена до гармонической функции в B2 ; поэтому оценка (3.2.6) следует из внутренней оценки для производной гармонической функции по теореме 2.10 из [27] (см. доказательство леммы 3.2.1). 3.3. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

В ПРОСТРАНСТВАХ

СОБОЛЕВА

С ВЕСОМ

Пусть G — коническая область. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона ( ∆u = f в G, u=ϕ на ∂G.

(DP E)

Из классической работы Кондратьева [33] известно, что поведение решений задачи (DP E) определяется собственными значениями задачи (EV P ) для оператора Лапласа—Бельтрами ∆ω . Теорема 3.3.1 (см. теорему 4.1 в [179] и теорему 2.6.5 в [150]). Пусть p ∈ (1, ∞), k ∈ N, k > 2 и α ∈ R. Пусть λ определяется формулой (2.2.2) с наименьшим положительным собственным значением ϑ задачи (EV P ). Тогда задача Дирихле (DP E) имеет единственное решение k (G) при всех f ∈ V k−2 (G) и ϕ ∈ V k−1/p (∂G) тогда и только тогда, когда u ∈ Vp,α p,α p,α −λ + 2 − N < k − (α + N )/p < λ. При этом справедлива следующая априорная оценка: n o kukVp,α kf kVp,α + kϕk . k−2 k (G) 6 c k−1/p (G) V (∂G) p,α

3.4. ЗАМЕЧАНИЯ Раздел 3.1 является модификацией главы 4 в [27]: мы заменили непрерывность по Гельдеру непрерывностью по Дини. Краевые задачи для оператора Лапласа в негладких областях изучались во многих работах (см., например, [22, 26, 31, 33, 39, 52, 68, 76, 77, 83, 88, 91, 103, 118, 119, 131, 132, 137, 138, 140, 149, 150, 153, 171, 172, 192–194, 197, 205, 206]). Теорема 3.3.1 впервые была доказана в работе [33] при p = 2. Мазья и Пламеневский [179] обобщили этот результат на случай 1 < p < ∞. Более подробно см. [150] (в частности, замечания 1.5 и 2.7 в этой работе).

ГЛАВА 4 СИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.1. Пусть G ⊂

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ

В ОБЛАСТЯХ ОБЩЕГО ВИДА

RN

— ограниченная область. Рассмотрим следующую задачу Дирихле: ( Lu := aij (x)Dij u(x) + ai (x)Di u(x) + a(x)u(x) = f (x), x ∈ G, u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂G,

(L)

где коэффициенты aij (x) = aji (x) удовлетворяют условию равномерной эллптичности ν|ξ|2 6 aij (x)ξi ξj 6 µ|ξ|2

∀ξ ∈ RN , x ∈ G

с постоянными эллиптичности ν, µ > 0. Напомним некоторые известные факты о решениях этой задачи из пространства W 2,p (G). Теорема 4.1.1 (однозначная разрешимость, см. теорему 9.30 и замечание из раздела 9.5 в [27]). Пусть G удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой точке границы, и пусть задано число p > N . Пусть также выполнены следующие условия: • aij ∈ C 0 (G) ∩ L∞ (G), ai ∈ Lq (G), a ∈ Lp (G), i, j = 1, . . . , N, где q > N, если p = N, и q = N, если p > N,

4.1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ

В ОБЛАСТЯХ ОБЩЕГО ВИДА

41

• a(x) 6 0 для всех x ∈ G, • f ∈ Lp (G) и ϕ ∈ C 0 (∂G). 2,p Тогда краевая задача (L) имеет единственное решение u ∈ Wloc (G) ∩ C 0 (G).

Теорема 4.1.2 (принцип максимума Александрова, см. теорему 9.1 в [27]). Пусть функция 2,N u ∈ Wloc (G) ∩ C 0 (G) удовлетворяет краевой задаче (L). Кроме того, пусть выполнены следующие условия: µN ¶1/2 P i2 , f ∈ LN (G), • |a | i=1

• a(x) 6 0 для всех x ∈ G. Тогда sup u 6 sup u+ + ckf kLN (G) , G

∂G

где c зависит только от N, ν, diam G и нормы °Ã !1/2 ° ° N ° X ° ° i 2 ° ° |a | ° ° ° i=1 °

.

LN (G)

Теорема 4.1.3 (принцип максимума Хопфа, см. теоремы 9.6 и 3.5 в [27]). Пусть оператор L 2,N эллиптичен в области G, ai , a ∈ L∞ loc (G), i = 1, . . . , N, и a(x) 6 0. Если функция u ∈ Wloc (G) удовлетворяет неравенству L[u] > 0 (6 0) в G, то u не может достигать неотрицательного максимума (неположительного минимума) в G, если только она не постоянна. Применяя принцип максимума Александрова к разности двух функций, мы получим следующий принцип сравнения. Теорема 4.1.4 (принцип сравнения). Пусть оператор L эллиптичен в G, ÃN !1/2 X |ai |2 , f ∈ LN (G), a(x) 6 0 ∀x ∈ G, i=1 2,N а функции u, v ∈ Wloc (G) ∩ C 0 (G) удовлетворяют неравенствам Lu > Lv в G и u 6 v на ∂G. Тогда u 6 v в G.

Теорема 4.1.5 (локальный принцип максимума, см. [204] и теорему 9.26 в [27]). Пусть G — ограниченная область с подобластями T и G0 такими, что T ⊂ G0 ⊂ G. Предположим, что ai ∈ Lq (G), q > N,

a ∈ LN (G).

Пусть функция u ∈ W 2,N (G) ∩ C 0 (G) удовлетворяет неравенству Lu > f в G и u 6 0 на T ∩ ∂G, где f ∈ LN (G0 ). Тогда для любого p > 0 выполнено неравенство n o sup u 6 c kf kLN (G0 ) + kukLp (G0 ) , T

где постоянная c зависит только от N, µ, ν, p, kai kq,G0 , kakN,G0 , T, G0 и G. Теорема 4.1.6 (Lp -оценка, см. теорему 9.13 в [27]). Пусть G — ограниченная область в RN и часть границы T ⊂ ∂G принадлежит классу C 1,1 . Кроме того, пусть функция u ∈ W 2,p (G), 1 < p < ∞, является сильным решением уравнения задачи (L) с f ∈ Lp (G), и u = 0 на T в смысле W 1,p (G). Предположим, что • aij ∈ C 0 (G ∪ T ), • ai ∈ Lq (G), где q > N, если p 6 N, и q = p, если p > N, • a ∈ Lr (G), где r > N/2, если p 6 N/2, и r = p, если p > N/2. Тогда для каждой области G0 ⊂⊂ G ∪ T выполнено неравенство ¡ ¢ kukW 2,p (G0 ) 6 c kukLp (G) + kf kLp (G) , (4.1.1)

42

ГЛАВА 4. СИЛЬНЫЕ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ДИРИХЛЕ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

где c зависит только от N, p, ν, µ, T, G0 , G, модулей непрерывности коэффициентов aij в G0 и норм °Ã !1/2 ° ° X ° ° N i2 ° ° ° |a | , kakLr (G) . ° ° ° i=1 ° q L (G)

Теорема 4.1.7 (см. теорему 15.2 в [1]). Пусть G — ограниченная область класса C k , k ∈ N, k > 2. Предположим, что коэффициенты оператора L принадлежат классу C k−2 (G) и их нормы в C k−2 (G) ограничены постоянной K. Пусть u является решением задачи (L) с f ∈ W k−2,p (G) и ϕ ∈ W k−1/p,p (∂G). Тогда u ∈ W k,p (G) и верна следующая оценка: n o kukW k,p (G) 6 c kf kW k−2,p (G) + kϕkW k−1/p,p (∂G) + kukLp (G) , где c зависит только от ν, µ, K, k, p, области G и модулей непрерывности коэффициентов оператора L при старших производных. Используя подходящую срезающую функцию, получаем следующую локальную версию этой теоремы. Теорема 4.1.8 (см. теорему 15.3 в [1]). Пусть G — ограниченная область класса C k с подобластями T и G0 такими, что T ⊂ G0 ⊂ G. Предположим, что коэффициенты оператора L принадлежат классу C k−2 (G), k ∈ N, k > 2. Пусть функция u является решением задачи (L) с f ∈ W k−2,p (G0 ) и ϕ ∈ W k−1/p,p (∂G0 ∩ ∂G). Тогда u ∈ W k,p (T ) и верна следующая оценка: n o kukW k,p (T ) 6 c kf kW k−2,p (G0 ) + kϕkW k−1/p,p (∂G0 ∩∂G) + kukLp (G0 ) . В случае N = 2 справедлив более сильный результат, а именно оценка Бернштейна (более подробно см. неравенство (19.20) в разделе 19 главы 3 в [49]). Теорема 4.1.9. Пусть G ⊂ R2 — ограниченная область и G0 ⊂⊂ G\O — подобласть с частью границы T = (∂G0 ∩ ∂G) ⊂ ∂G \ O класса W 2,p , p > 2. Пусть функция u ∈ W 2 (G) является сильным решением уравнения aij (x)Dij u(x) = f (x),

x ∈ G0 ,

а также u = 0 на T в смысле W 1 (G). Пусть уравнение удовлетворяет условию равномерной эллиптичности с постоянными эллиптичности ν и µ. Тогда для любой подобласти G00 ⊂⊂ G0 ∪ T выполнено неравенство

Z kuk2W 2 (G00 )

6C

¡ 2 ¢ u + f 2 dx,

G0

где C зависит только от ν, µ, p, T,

G00

и

G0 .

Наконец, приведем теорему о локальной оценке градиента решения для равномерно эллиптических уравнений общего вида с двумя независимыми переменными. Теорема 4.1.10 (см. теорему 17.4 в [48] и теорему 19.4 в [49]). Пусть G ⊂ R2 — ограниченная область и G0 ⊂⊂ G \ O — подобласть с частью границы T = (∂G0 ∩ ∂G) ⊂ ∂G \ O, принадлежащей классу W 2,p , p > 2. Пусть функция u ∈ W 2 (G0 ) является сильным решением задачи (L) в G0 , где оператор L равномерно эллиптический и такой, что kai (x), a(x), f (x)kLp (G0 ) 6 µ1 ,

kϕ(x)kW 2,p (G0 ) 6 µ1 .

Тогда для каждой подобласти G00 ⊂⊂ G0 ∪T существует такая постоянная M1 > 0, зависящая только от ν, µ, µ1 , p, kuk2,G0 , kϕkW 2,p (G0 ) , G0 , G00 и T, что sup |∇u| 6 M1 . G00


4.2.


43

В КОНИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ


В оставшейся части этой главы мы будем обозначать через G ⊂ RN ограниченную область с конической точкой O, описанную в разделе 1.3. 4.2.1. Оценки в пространствах Соболева с весом. Определение 4.2.1. Решением (сильным решением) задачи Дирихле (L) в области G называется функция u ∈ W 2 (Gε ) ∩ C 0 (G) (ε > 0 любое), которая удовлетворяет уравнению Lu = f при почти всех x ∈ G и краевому условию u=ϕ при всех x ∈ ∂G. В дальнейшем будем считать, что коэффициенты aij (x), ai (x) и a(x) удовлетворяют следующим предположениям. Предположение 4.2.1. Условие эллиптичности: для некоторых ν, µ > 0 и τ > 0 выполнены неравенства ν|x|τ |ξ|2 6

N X

aij (x)ξi ξj 6 µ|x|τ |ξ|2

∀ξ ∈ RN , x ∈ G.

i,j=1

Предположение 4.2.2. lim |x|−τ aij (x) = δij . x→0

Предположение 4.2.3. aij ∈ C 0 (G), ai ∈ Lp (G) и a ∈ Lp/2 (G), где p > N. Предположение 4.2.4. Существует монотонно возрастающая неотрицательная функция A такая, что  1/2 ÃN !1/2 N ¯ ¯2 X X¯ ¯2 ¯ ¯ j −τ ij 1−τ i ¯a (x)¯  + |x|2−τ |a(x)| 6 A(|x|), x ∈ G. ¯|x| a (x) − δi ¯  + |x| i,j=1

i=1

Замечание 4.2.1. Из предположения 4.2.4 следует, что коэффициенты ai и a ограничены на множестве G \ Bε (0) для любого ε > 0. Теорема 4.2.1. Пусть функция u является решением задачи (L), и пусть λ определено равенством (2.2.2) с наименьшим положительным собственным значением ϑ задачи (EV P ). Предположим, что lim A(r) = 0, (4.2.1) r→+0

◦

f ∈ W 0α−2τ (G) и ϕ ∈

◦ 3/2 W α (∂G)

∩ C 0 (∂G), где 4 − N − 2λ < α 6 2.

(4.2.2)

◦

Тогда u ∈ W 2α (G) и kuk ◦ 2

W α (G)

µ 6 c kukL2 (G) + kf k ◦ 0

¶

W α−2τ (G)

+ kϕk ◦ 3/2

W α (∂G)

,

где c > 0 зависит только от ν, µ, α, λ, N, max A(|x|) и G. Кроме того, при N < 4 существует x∈G

вещественная постоянная c2 , не зависящая от u, такая, что |u(x)| 6 c2 |x|(4−N −α)/2 для некоторого d > 0.

∀x ∈ Gd0

(4.2.3)

44



ДИРИХЛЕ


◦

Доказательство. Пусть Φ ∈ W 2α (G) ∩ C 0 (G) — произвольное продолжение граничной функции ϕ в G. В таком случае функция v = u − Φ удовлетворяет однородной задаче Дирихле ( aij (x)Dij v(x) + ai (x)Di v(x) + a(x)v(x) = F (x), x ∈ G, (L0 ) v(x) = 0, x ∈ ∂G, где

¡ ¢ F (x) = f (x) − aij (x)Dij Φ(x) + ai (x)Di Φ(x) + a(x)Φ(x) .

Запишем уравнение (L0 ) в виде ´ ´ ³³ ∆v(x) = |x|−τ F (x) − |x|−τ aij (x) − |x|τ δij Dij v(x) + ai (x)Di v(x) + a(x)v(x) ,

(4.2.4)

x ∈ G. (4.2.5)

Случай I: 4 − N 6 α 6 2. Интегрируя по частям, имеем Z Z Z ® ∂v α−2 α−2 r v∆vdx = −ε v dΩε − ∇v, ∇rα−2 v dx = ∂r Gε Gε Ωε Z Z Z ® ∂v α−2 2 α−2 |∇v| dx + (2 − α) rα−4 v x, ∇v dx. = −ε v dΩε − r ∂r Gε

Ωε

Gε

Еще раз интегрируя по частям, получим Z r

α−4

® 1 v x, ∇v dx = 2

Gε

Z

r

α−4

Z N X 1 v dΩε − v2 Di (rα−4 xi )dx = 2 i=1 Ωε Gε Z Z 1 α−3 N +α−4 2 =− ε v dΩε − rα−4 v 2 dx, 2 2

® 1 x, ∇v dx = − εα−3 2 2

Gε

Z

2

Ωε

Gε

так как N X

Di (r

α−4

xi ) = N r

α−4

+ (α − 4)r

α−5

i=1

N X x2 i

i=1

r

= (N + α − 4)rα−4 .

Таким образом, умножая обе части равенства (4.2.5) на rα−2 v(x) и интегрируя по области Gε , мы получим Z Z Z Z 2 − α α−3 2−α ∂v α−2 α−2 2 2 |∇v| dx + ε (N + α − 4) rα−4 v 2 dx = ε v dΩε + v dΩε + r ∂r 2 2 Gε Gε Ωε Ω Zε ³ ³ ´ ´ = rα−2 v −r−τ F (x) + r−τ aij (x) − δij Dij v(x) + r−τ ai (x)Di v(x) + r−τ a(x)v(x) dx. (4.2.6) Gε

Оценим интегралы по области Ωε в этом уравнении. Для этого рассмотрим функцию M (ε) = max |v(x)|. x∈Ωε

Поскольку v ∈ C 0 (G) и v = 0 на ∂G, то lim M (ε) = 0.

ε→+0

Лемма 4.2.1. Выполнено следующее равенство: Z ∂v α−2 lim ε v dΩε = 0 ∀α ∈ [4 − N, 2]. ε→+0 ∂r Ωε

(4.2.7)


45


2ε Доказательство. Рассмотрим множество G2ε ε . Поскольку Ωε ⊂ ∂Gε , то из неравенства (1.5.5) следует Z Z |w|dΩε 6 c (|w| + |∇w|)dx. Ωε

G2ε ε

Полагая w=v мы получим

∂v , ∂r

¡ 2 ¢ |w| + |∇w| 6 c r2 vxx + |∇v|2 + r−2 v 2 .

Следовательно,

¯ Z ¯ Z ¯ ∂v ¯ ¡ 2 2 ¢ ¯v ¯ dΩε 6 c r vxx + |∇v|2 + r−2 v 2 dx. ¯ ∂r ¯ Ωε

(4.2.8)

G2ε ε 5/2ε

5/2ε

0 Теперь рассмотрим множества Gε/2 и G2ε ε ⊂ Gε/2 и введем новую переменную x по формуле x = εx0 . Тогда функция w(x0 ) = v(εx0 ) удовлетворяет в G21/4 следующему уравнению:

aij (εx0 )

∂2w ∂w + εai (εx0 ) 0 + ε2 a(εx0 )w = ε2 F (εx0 ). 0 0 ∂xi ∂xj ∂xi

Применяя L2 -оценку (4.1.1) к решению w в G21/4 , мы получим ¶ Z µ¯ Z ¯ ¡ 4 2 0 ¢ ¯ 0 2 ¯2 ¯¯ 0 ¯¯2 0 dx 6 c ε F (εx ) + w2 dx0 , ¯D w¯ + ∇ w G21

(4.2.9)

(4.2.10)

5/2

G1/2

где c > 0 зависит только от ν, µ, G и max A(|x0 |). Здесь 5/2

x0 ∈G1/2

¯2 ¯ N ¯ ¯ ¯ 0 ¯2 X ¯ 2 ¯ ¯ ∂2w ¯ ¯D w¯ = ¯ 0 0¯ , ¯ ∂xi ∂xj ¯ i,j=1

¯ N ¯ ¯ 0 ¯2 X ¯ ∂w ¯2 ¯ ¯∇ w¯ = ¯ ¯ ∂x0 ¯ . i i=1

Возвращаясь к переменной x, имеем Z Z ¡ 2 2 2 ¢ 2 −2 2 r |D v| + |∇v| + r v dx 6 c G2ε ε

¡ 2 2 ¢ r F + r−2 v 2 dx.

(4.2.11)

5/2ε

Gε/2

Применяя теорему о среднем (теорема 1.9.1) к v ∈ C 0 (G), получим 5/2ε Z

Z r 5/2ε

Gε/2

−2 2

Z

rN −3

v dx =

Z v 2 (r, ω)dΩdr 6 2ε(θ1 ε)N −3

Ω

ε/2

v 2 (θ1 ε, ω)dΩ 6 Ω

6 2εN −2 θ1N −3 M 2 (θ1 ε) meas Ω (4.2.12) для некоторого 1/2 < θ1 < 5/2. Из неравенств (4.2.8), (4.2.11) и (4.2.12) следует ¯ Z Z Z ¯ ¯ ∂v ¯ 2 2 N −2 2 2−α ¯v ¯ dΩε 6 c1 εN −2 M 2 (ε) + c2 rα F 2 dx ∀α 6 2. (4.2.13) r F dx 6 c1 ε M (ε) + c3 ε ¯ ∂r ¯ Ωε

5/2ε

5/2ε

Gε/2

Gε/2

Следовательно, также выполнена оценка ¯ Z ¯ Z ¯ ∂v ¯ α−2 ¯v ¯ dΩε 6 c1 εα+N −4 M 2 (ε) + c3 ε ¯ ∂r ¯ Ωε

5/2ε

Gε/2

rα F 2 dx ∀α 6 2.

(4.2.14)

46



ДИРИХЛЕ


◦

Согласно предположению 4.2.4 и условиям теоремы, мы имеем F ∈ W 0α (G), поэтому Z lim rα F 2 dx = 0.

(4.2.15)

ε→+0

5/2ε

Gε/2

Применяя неравенство (4.2.14) и учитывая, что v(0) = 0, мы получим (4.2.7). Далее, из неравенства Коши следует, что Z Z ³ ´³ ´ α−τ −2 r v (x) F (x) dx = rα/2−2 v (x) rα/2−τ F (x) dx 6 Gε

Gε

Z

δ 6 2

r

1 v dx + 2δ

Z

α−4 2

Gε

rα−2τ F 2 (x) dx (4.2.16) Gε

для произвольного δ > 0. Используя предположение 4.2.4 совместно с неравенствами Гельдера и Коши, получим ³³ ´ ´ rα−2 v r−τ aij (x) − δij Dij v(x) + r−τ ai (x)Di v(x) + r−τ a(x)v(x) 6 ³³ α ´³ α ´ ´ ¡ ¢ 6 A(r) r 2 |D2 v| r 2 −2 v + rα−2 |∇v| r−1 v + rα−4 v 2 6 ¡ ¢ 6 A(r) rα |D2 v|2 + rα−2 |∇v|2 + 2rα−4 v 2 . (4.2.17) Наконец, из соотношений (4.2.6)–(4.2.17) мы получим Z Z Z Z δ ∂v 2−α (N + α − 4) rα−4 v 2 dx 6 εα−2 v dΩε + rα−4 v 2 dx + rα−2 |∇v|2 dx + 2 ∂r 2 Gε Ωε Gε Gε Z Z ¡ ¢ 1 + rα−2τ F 2 (x)dx + A(|x|) rα |D2 v|2 + rα−2 |∇v|2 + 2rα−4 v 2 dx (4.2.18) 2δ Gε

Gε

для всех δ > 0. Теперь оценим последний интеграл в (4.2.18). Из 4.2.1 вытекает следующее утверждение: ∀δ > 0 ∃d > 0 такое, что A(r) < δ для всех 0 < r < d. Пусть 4ε < d. Из неравенств (4.2.11) и (4.2.12) следует, что Z Z α 2 2 α+N −4 r |D v| dx 6 c4 ε + c3 G3ε ε

(4.2.19)

rα F 2 dx;

7/2ε

Gε/2

следовательно, Z Z Z α 2 2 α 2 2 A(r)r |D v| dx + A(r)rα |D2 v|2 dx + A(r)r |D v| dx = Gε

Z

+ Gd

G3ε ε

Gd3ε

Z

Z rα F 2 dx + δ

A(r)rα |D2 v|2 dx 6 c4 A(3ε)εα+N −4 + c3 A(3ε) 7/2ε

Gε/2

(rα F 2 (x) + rα−4 v 2 )dx +

G2d ε

+ c5

Z max

r∈[d,diam G]

A(r) Gd

для всех δ > 0 и 0 < ε < d/4. Здесь c5 зависит только от α, d и diam G.

|D2 v|2 dx


47


Применяя полученные оценки к неравенству (4.2.18), получим Z Z 2−α α−2 2 r |∇v| dx + (N + α − 4) rα−4 v 2 dx 6 2 Gε Gε   Z Z  α−N −4  ∂v 6 εα−2 v dΩε + c6 A(3ε)  rα F 2 dx ε +  + ∂r Ωε

7/2ε

Z

Z +δ

(r

α−2

2

|∇v| + r

α−4 2

v )dx + c7

Gε/2 2

Z

|D v| dx + c8 G

Gd

Gε

rα−2τ F 2 (x)dx (4.2.20)

2

при всех δ > 0 и 0 < ε < d/4. Наконец, применяя теорему 4.1.6 к решению v задачи (L0 ) в области Gd , мы получим Z Z ³ ¯ ¯2 ´ 2 2 |D v| dx 6 c9 v 2 + f 2 + ¯aij Dij Φ + ai Di Φ + aΦ¯ dx 6 Gd

Gd/2

Z (v 2 + f 2 )dx + c10 kϕk2

6 c9

d/2

W 3/2,2 (∂G\Γ0

)

. (4.2.21)

Gd/2

Кроме того, если (2 − α)(N + α − 4) = 0, применим неравенство (2.3.7). Теперь пусть δ > 0 — достаточно малое число, а d > 0 выбрано в соответствии с утверждением (4.2.19). Тогда из неравенств (4.2.20) и (4.2.21) следует оценка   Z Z Z  α+N −4  ¡ α 2 2 ¢ ∂v r |D v| + rα−2 |∇v|2 + rα−4 v 2 dx 6 εα−2 v dΩε + c11 A(3ε)  ε + rα F 2 dx  + ∂r Gε

Ωε

7/2ε

µ + c12 kvk2L2 (G) + kf k2◦ 0

W α−2τ (G)

Gε/2

¶ 2

+ kϕk ◦ 3/2

W α (∂G)

,

где постоянные c11 и c12 не зависят от ε. Полагая ε → +0, применяя лемму 4.2.1 и замечая, что kuk ◦ 2

W α (G)

6 kvk ◦ 2

W α (G)

+ kϕk ◦ 3/2

W α (∂G)

,

мы получим утверждение теоремы в случае I. Случай II: 4 − N − 2λ < α < 4 − N. По теореме вложения (см. лемму 1.5.1), мы имеем ◦

f ∈ W 04−N −2τ (G),

◦ 3/2

ϕ ∈ W 4−N (∂G) ∩ C 0 (∂G).

◦

Следовательно, согласно случаю I, u ∈ W 24−N (G) и Z ¡ 4−N 2 2 ¢ r |D u| + r2−N |∇u|2 + r−N u2 dx 6 const . G

Из неравенства (4.2.10) при % = 2−k d, k = 0, 1, 2, . . . , получим ¶ Z ³ Z µ¯ ¯ ´ ¯ 0 2 ¯2 ¯¯ 0 ¯¯2 2−4k d4 F 2 (x0 2−k d) + w2 dx0 . dx0 6 c13 ¯D w ¯ + ∇ w 3/2

G1/2

G21/4

Умножая обе части этого неравенства на (2−k d + ε)α−2 , где ε > 0, учитывая неравенства 2−k−1 d + ε < r + ε < 2−k d + ε

48



ДИРИХЛЕ

в G(k) и возвращаясь к переменной x, имеем Z Z 2 α−2 2 r (r + ε) |D v|dx 6 c13 G(k)


¡ 2 ¢ r (r + ε)α−2 F 2 + r−2 (r + ε)α−2 v 2 dx.

G(k−1) ∪Gk ∪G(k+1)

Поскольку справедливо неравенство rε 6 r + ε 6 2rε /h в G с h, определенным леммой 1.4.1, то Z Z ¡ 2 α−2 2 ¢ 2 α−2 2 r rε |D v|dx 6 c14 r rε F + r−2 rεα−2 v 2 dx. (4.2.22) G(k)

G(k−1) ∪Gk ∪G(k+1)

Суммируя неравенства (4.2.22) по k = 0, 1, 2, . . . , мы окончательно получим Z Z ¡ α 2 ¢ 2 α−2 2 r rε |D v|dx 6 c14 r F + r−2 rεα−2 v 2 dx, Gd0

(4.2.23)

G2d 0

так как α 6 2 и rε > hr. Вернемся к уравнению (L0 ). Умножая обе части равенства (4.2.5) на rεα−2 v и дважды интегрируя по частям, мы получим (ср. со случаем I) Z Z 2−α rεα−2 |∇v|2 dx = (4 − N − α) rεα−4 v 2 dx + 2 G G Z ³ ³ ´ ´ + rεα−2 v −r−τ F (x) + r−τ aij (x) − δij Dij v(x) + r−τ ai (x)Di v(x) + r−τ a(x)v(x) dx. (4.2.24) G

Используя предположение 4.2.4, неравенства Коши и Гельдера и свойства квазирасстояния rε , имеем ³³ ´ ´ rεα−2 v r−τ aij (x) − δij Dij v(x) + r−τ ai (x)Di v(x) + r−τ a(x)v(x) 6 ¡ ¢ 6 c(h)A(r) rεα−2 r2 |D2 v|2 + rεα−2 |∇v|2 + rεα−2 r−2 v 2 , δ rεα−2 vr−τ F (x) 6 rεα−2 r−2 v 2 + c(δ, h)rα−2τ F 2 ∀δ > 0. 2 Поскольку G = Gd0 ∪ Gd , из равенства (4.2.24) следует равенство Z Z 2−α α−2 2 rε |∇v| dx = (4 − N − α) rεα−4 v 2 dx + 2 G G Z Z ¡ α−2 2 2 2 ¢ δ + c(h)A(d) rε r |D v| + rεα−2 |∇v|2 + rεα−2 r−2 v 2 dx + rεα−2 r−2 v 2 dx + 2 Gd0

Z

+ c15

¡ 2 2 ¢ |D v| + v 2 dx + c(δ, h)

Gd

Gd0

Z

rα−2τ F 2 (x)dx =: J1 + J2 + J3 + J4 + J5 G

для произвольного δ > 0. Оценим правую часть этого равенства. Из неравенства (2.3.7) вытекает неравенство Z 2−α (4 − N − α)H(λ, N, α) rεα−2 |∇v|2 dx. J1 6 2 G

Таким образом, получим Z Z α−2 2 C(λ, N, α) rε |∇v| dx 6 c16 [A(d) + δ] rεα−2 |∇v|2 dx + G

G

µ + c17 kvkL2 (G) + kf k ◦ 0

W α−2τ (G)

¶ + kϕk ◦ 3/2

W α (∂G)

,


49


где 2−α (4 − N − α)H(λ, N, α) > 0 2 в силу предположения (4.2.2). Выбрав достаточно малые δ > 0 и d > 0, перейдя к пределу при ε → 0, применив теорему Фату и неравенство (4.2.23), мы получим утверждение теоремы. Оценка (4.2.3) следует из леммы 1.5.2. C(λ, N, α) = 1 −

Замечание 4.2.2 (о принадлежности слабых решений пространству W 2 (G)). Предположим, что выполнены все предположения теоремы 4.2.1 с aij (x) = |x|τ δij , ◦

f ∈ W 0−2τ (G),

x ∈ G,

i, j = 1, . . . , N ;

◦

ϕ ∈ W 3/2 (∂G) ∩ C 0 (∂G).

Имеет место следующее утверждение о регулярности слабых решений u ∈ W 1 (G). Предложение 4.2.1. Слабое решение u ∈ W 1 (G) принадлежит W 2 (G), если выполнено по крайней мере одно из следующих условий: • • • •

N N N N

> 4, = 2 и 0 < ω0 < π, = 3 и область G является выпуклой, =3и ¯ © ª Ω ⊂ Ω0 = (ϑ, ϕ)¯0 < |ϑ| < ϑ0 ; 0 < ϕ < 2π ,

где ϑ0 — наименьший положительный корень функции Лежандра P1/2 (cos ϑ). Доказательство. Применим теорему 4.2.1 при α = 0. Поскольку λ > 0, предположение (4.2.2) теоремы 4.2.1 выполнено при N > 4 и α = 0. Следовательно, ◦

u ∈ W 20 (G) =⇒ u ∈ W 2 (G).

(4.2.25)

Если N = 2 и 0 < ω0 < π, то предположение (4.2.2) также выполнено при α = 0, так как в этом случае λ > 1. Следовательно, выполнено соотношение (4.2.25). Пусть N = 3. Хорошо известно (см., например, теорему 3 из раздела 2 главы 6 в [28]), что λ > 1, если G — выпуклая область. Тогда предположение (4.2.2) выполнено при α = 0; следовательно, соотношение (4.2.25) верно. Пусть G ⊂ R3 — произвольная область; обозначим через Ω0 ⊂ S 2 область, в которой задача (EV P ) разрешима при ϑ = 3/4 и, следовательно, λ = 1/2, т. е. µ ¶  1 1  ∆ω ψ + 1+ ψ = 0, ω ∈ Ω0 , 2 2 ¯  ψ ¯¯ = 0. ∂Ω0

Теперь предположение (4.2.2) выполнено при α = 0, если λ > 1/2. В силу теоремы о монотонности (теорема 3 из раздела 2 главы 6 в [28]) мы имеем Ω ⊂ Ω0 . Сведем нашу задачу к задаче о собственных значениях, записанной выше. Рассмотрим частное решение вида ψ = ψ(ϑ). Функция ψ(ϑ) является решением задачи Штурма—Лиувилля µ ¶   1 d sin ϑ dψ + 3 ψ = 0, |ϑ| 6 ϑ , 0 sin ϑ dϑ dϑ 4  ψ(−ϑ0 ) = ψ(ϑ0 ) = 0. Решением уравнения этой задачи является функция Лежандра первого рода ψ(ϑ) = P1/2 (cos ϑ). Эта функция имеет в точности один нуль на интервале (0, π) (см. пример 39, с. 158 в [82]); обозначим этот нуль через ϑ0 . Теорема 4.2.2. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (L), и пусть выполнены предположения 4.2.1–4.2.4 с непрерывной по Дини в нуле функцией A(r). Предположим,

50


что


ДИРИХЛЕ


 ◦ 3/2    ϕ ∈ W 4−N −2λ (∂G), ZZ Z 4−N −2λ−2τ −1 2  r H (r)f (x)dx + r1−N −2λ H−1 (r)ϕ2 (x)dσ < ∞,    G

(4.2.26)

∂G

где функция H(r) монотонно возрастает, непрерывна по Дини в нуле, а λ определяется соот◦

ношением (2.2.2). Тогда u ∈ W 24−N (G) и  ZZ 2 2λ  2 kuk ◦ 2 6 C% kuk2,G + r4−N −2λ−2τ H−1 (r)f 2 (x)dx + % W 4−N (G0 )

G



Z r1−N −2λ H−1 (r)ϕ2 (x)dσ + kϕk2◦ 3/2

+

W 4−N −2λ (∂G)

∂G

,

0 < % < d, (4.2.27)

где постоянная C > 0 зависит только от ν, µ, d, A(d), H(d), N, λ, meas G и величин Zd 0

Zd

A(r) dr, r

0

H(r) dr. r

◦

Доказательство. Поскольку u ∈ W 24−N (G) по теореме 4.2.1, остается доказать оценку (4.2.27). Пусть Z U (%) := r2−N |∇u|2 dx. G%0

Запишем уравнение задачи (L) в виде ³ ´ ∆u(x) = |x|−τ f (x) − |x|−τ aij (x) − δij Dij u(x) − |x|−τ ai (x)Di u(x) − |x|−τ a(x)u(x), умножим обе части этого уравнения на r2−N u и проинтегрируем по G%0 , % ∈ (0, d). В результате получим ¶ Z Z µ ∂u ∂u N − 2 2 2−N U (%) = r ϕ(x) dσ + %u + u dΩ + ∂n ∂r 2 Γ%0

Z +

Ω

³ ³ ´ r2−N u(x) |x|−τ f (x) − |x|−τ aij (x) − δij Dij u(x) −

G%0

¢ − |x|−τ ai (x)Di u(x) − |x|−τ a(x)u(x) dx. (4.2.28)

Оценим сверху каждый из интегралов в правой части этого равенства. Из лемм 1.5.4 и 1.5.5 и неравенства Коши следует оценка ¶ ³ Z µp Z ´ ∂u (3−N )/2 ∂u 2−N H(r)r · H−1/2 (r)r(1−N )/2 ϕ(x) dσ 6 r ϕ(x) dσ = ∂n ∂n Γ%0

Γ%0

6

H(%) 2

µ

Z r3−N Γ%0

∂u ∂n

¶2 dσ +

1 2

Z H−1 (r)r1−N ϕ2 (x)dσ 6 Γ%0 2

6 c1 H(%)kuk ◦ 2

W 4−N (G%0 )

Z H−1 (r)r1−N ϕ2 (x)dσ. (4.2.29)

+ c1 Γ%0


51


Кроме того, аналогично доказательству теоремы 4.2.1, имеем Z ³³ ´ ´ r2−N u(x) |x|−τ aij (x) − δij Dij u(x) − |x|−τ ai (x)Di u(x) − |x|−τ a(x)u(x) dx 6 G%0

Z

¡ 4−N 2 2 ¢ r |D u| + r2−N |∇u|2 + 2r−N u2 dx, (4.2.30)

6 A(%) G%0

Z r

2−N −τ

Z ³p ´³ ´ u(x)f (x)dx = H(r)r−N/2 u(x) H−1/2 (r)r2−N/2−τ f (x) dx 6

G%0

G%0

H(%) 6 2

Z r G%0

1 u (x)dx + 2

Z

−N 2

H−1 (r)r4−N −2τ f 2 (x)dx. (4.2.31) G%0

Следовательно, используя оценки (4.2.29)–(4.2.31) и следствия 2.3.3 и 2.3.6, из уравнения (4.2.28) мы получим следующее неравенство: Z % 0 U (%) + ε(%) r4−N |D2 u|2 dx + δ(%)U (%) + F(%), U (%) 6 2λ G%0

где  ε(%) = A(%)   Z + c1 H(%), δ(%) = c2 (λ, NZ)(A(%) + H(%)),    F(%) = c1 H−1 (r)r1−N ϕ2 (x)dσ + 1 H−1 (r)r4−N −2τ f 2 (x)dx + 2  Γ%0 G%0     + c2 (λ, N ) (A(%) + H(%)) kϕk2◦ 3/2 

(4.2.32)

W 4−N (Γ%0 )

Теперь оценим интеграл

.

Z r4−N |D2 u|2 dx. G%0

Для этого рассмотрим оценку (4.2.11), заменив ε на 2−k %. Суммируя полученные неравенства по k = 0, 1, . . . , имеем Z Z ¡ 4−N 2 ¢ 4−N 2 2 r |D u| dx 6 c3 r F (x) + r−N u2 dx + c4 kϕk2◦ 3/2 2% . G%0

W 4−N (Γ0 )

G2% 0

Используя определение (4.2.4) функции F и применяя неравенство (2.3.2), получим µ ¶ Z 4−N 2 2 2 2 r |D u| dx 6 c5 U (2%) + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 2% , 0 < % < d; 2% W 4−N −2τ (G0 )

G%0

(4.2.33)

W 4−N (Γ0 )

следовательно, U (%) 6

% 0 U (%) + c5 ε(%)U (2%) + δ(%)U (%) + F(%) + 2λ µ

¶ 2

+ c5 ε(%) kf k ◦ 0

W 4−N −2τ (G2% 0 )

2

+ kϕk ◦ 3/2

W 4−N (Γ2% 0 )

. (4.2.34)

Кроме того, мы имеем следующее начальное условие (см. доказательство теоремы 4.2.1): µ ¶ Z U (d) = r2−N |∇u|2 dx 6 c kuk2L2 (G) + kf k2◦ 0 + kϕk2◦ 3/2 ≡ V0 . Gd0

W 4−N −2τ (G)

W 4−N (∂G)

52



ДИРИХЛЕ


Из неравенства (4.2.34) следует дифференциальное неравенство (CP ) из раздела 1.10 с  2λ  P(%) = (1 − δ(%)) ;    %   2λ N (%) = c5 ε(%); %  ¶ µ   2λ ε(%)  2 2  Q(%) = F(%) + c6 kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 2% . % % W 4−N −2τ (G2% W 4−N (Γ0 ) 0 )

(4.2.35)

Теперь применим теорему 1.8.1. Для нее получаем Z2%

Z2% P(s)ds = 2λ ln 2 − 2λ

%

%

следовательно,

δ(s) ds 6 2λ ln 2; s

 2%    Z2% Z δ(s) exp  P(s)ds = 22λ exp −2λ ds 6 22λ . s %

%

Далее,

(4.2.36)

  2% Z 2λ B(%) = N (%) exp  P(s)ds 6 22λ c5 ε(%), % %

откуда Zd

Zd

ε(τ ) dτ. τ

2λ

B(τ )dτ 6 2λ2 c5 %

0

(4.2.37)

Кроме того, мы имеем Zd %

отсюда

d P(s)ds = 2λ ln − 2λ %

Zd %

   d  Z Zd  ³ % ´2λ     exp − P(s)ds 6 exp 2λ   d   %τ   0d Z Z  ³ % ´2λ        exp − P(s)ds 6 exp 2λ   τ  %

0

δ(s) ds; s

 ³ % ´2λ δ(s)  ds 6 c7 , s d  ³ % ´2λ δ(s)  ds 6 c7 , s τ

(4.2.38)

где 0 < % < τ < d. Из теоремы 1.8.1 и неравенств (1.8.1), (4.2.37) и (4.2.38) следует оценка   Zd   −2λ 2λ (4.2.39) Q(τ )dτ , V + τ U (%) 6 c8 %   0 %

где c8 — положительная постоянная, зависящая только от N, λ и величины Zd 0

A(s) + H(s) ds. s

Теперь требуется оценить интеграл Zd τ −2λ Q(τ )dτ. %


53


Используя соотношения (4.2.35), получим Zd

Zd τ

−2λ

τ −2λ−1 F(τ )dτ +

Q(τ )dτ 6 2λ

%

%

Zd + c6 ε(d)

τ

−2λ−1

µ kf k2◦ 0

¶ 2

+ kϕk ◦ 3/2

W 4−N −2τ (G2τ 0 )

%

W 4−N (Γ2τ 0 )

dτ. (4.2.40)

Изменяя порядок интегрирования (по теореме Фубини) в интеграле   d  τ  Z Zd Z% Z τ −2λ−1  rα K(r)dr dτ = rα K(r)  τ −2λ−1 dτ  dr + %

0



Zd

r K(r)  %



Zd

α

+

%

0

τ

−2λ−1

r

Zd

1 + 2λ

%−2λ − d−2λ dτ  dr = 2λ



Zd τ %

−2λ−1 

0

%

Z ³ ´ 1 −2λ −2λ r K(r) r −d dr 6 rα %−2λ K(r)dr + 2λ

%

0



Z r



rα K(r)dr +

α

1 + 2λ мы имеем

Z%

4−N −2τ

Gτ0

H

−1

1  (r)f (x)dx dτ 6 2λ

Zd r %

α−2λ

1 K(r)dr 6 2λ

Zd rα−2λ K(r)dr, 0

Z

2

r4−N −2λ−2τ H−1 (r)f 2 (x)dx, Gd0

  Zd Z Z 1  −2λ−1  1−N −1 2 τ H (r)ϕ (x)dσ  dτ 6 r1−N −2λ H−1 (r)ϕ2 (x)dσ.  r 2λ Γτ0

%

Γd0

Таким же образом получим Zd τ −2λ−1 kϕk2◦ 3/2

W 4−N (Γ2τ 0 )

%

dτ 6

1 kϕk2◦ 3/2 , 2λ W 4−N −2λ (Γ2d 0 )

dτ 6

1 kf k2◦ 0 . 2λ W 4−N −2λ−2τ (G2d 0 )

Zd τ −2λ−1 kf k2◦ 0

W 4−N −2τ (G2τ 0 )

%

Из этих неравенств и из соотношений (4.2.39) и (4.2.35) следует неравенство  Z 2λ  2 U (%) 6 C% kuk2,G + r4−N −2λ−2τ H−1 (r)f 2 (x)dx + kϕk2◦ 3/2 + W 4−N −2λ (∂G)

G

Z +

 r1−N −2λ H−1 (r)ϕ2 (x)dσ  ,

0 < % < d. (4.2.41)

∂G

Наконец, используем неравенства (4.2.33) и (4.2.41), откуда получим справедливость оценки (4.2.27).

54



ДИРИХЛЕ


Теорема 4.2.3. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (L), и пусть выполнены предположения 4.2.1–4.2.4 с непрерывной по Дини в нуле функцией A(r). Предположим, что ◦ ◦ 3/2 f ∈ W 04−N −2τ (G), ϕ ∈ W 4−N (∂G) ∩ C 0 (∂G) и существуют вещественные числа s > 0 и ks > 0 такие, что µ ¶ −s ks = sup % kf k ◦ 0 . (4.2.42) % + kϕk ◦ 3/2 % W 4−N −2τ (G0 )

%>0

W 4−N (Γ0 )

Тогда существуют число d ∈ (0, 1/e) и постоянная C > 0, зависящая только от ν, µ, d, A(d), N, s, λ, meas G и величины Zd A(r) dr, r 0

такие, что kuk ◦ 2

W 4−N (G%0 )

µ 6 C kuk2,G + kf k ◦ 0

¶

W 4−N −2τ (G)

+ kϕk ◦ 3/2

W 4−N (∂G)

+ ks

 λ  % , × %λ ln3/2 (1/%),   s % ,

s > λ, s = λ, s < λ, (4.2.43)

для любого % ∈ (0, d). Доказательство. Рассмотрим функцию v = u − Φ как решение однородной задачи (L0 ), записанной в виде (4.2.5), в которой функция F задана формулой (4.2.4). Умножая обе части уравнения (4.2.5) на r2−N v и интегрируя по области G%0 , мы получим Z Z ³ ³ ´ 2−N r v∆vdx = r2−N v −r−τ F (x) + r−τ aij (x) − δij Dij v(x) + r−τ ai (x)Di v(x) + G%0

G%0

¢ + r−τ a(x)v(x) dx (4.2.44)

Дважды интегрируя по частям, имеем ¶ Z µ Z Z ∂v N − 2 2 2−N %v r v∆vdx = + v dΩ − r2−N |∇v|2 dx. ∂r 2 G%0

(4.2.45)

G%0

Ω

Пусть

Z r2−N |∇v|2 dx.

V (%) := G%0

Из предположения 4.2.4, следствия 2.3.6, неравенства (2.3.3) и неравенства Коши следует, что Z % 0 δ 2 V (%) 6 V (%) + cA(%) r4−N vxx dx + cA(%)V (%) + V (%) + 2λ 2 G%0

1 + 2δ

µ kf k2◦ 0

¶ 2

W 4−N −2τ (G2% 0 )

+ kϕk ◦ 3/2

W 4−N (Γ2% 0 )

для любого δ > 0. Учитывая (4.2.42) и неравенство (4.2.33), отсюда получим 1 % 0 V (%) + c1 A(%)V (2%) + c2 (A(%) + δ) V (%) + c3 ks2 %2s ∀δ > 0, 0 < % < d. V (%) 6 2λ δ

(4.2.46)

(4.2.47)

(1) Пусть s > λ. Выбирая 2λc2 δ = %ε при любом ε > 0, мы видим, что неравенство (4.2.47) сводится к задаче (CP ) (из раздела 1.10) с P(%) =

A(%) 2λ − 2λc2 − %ε−1 , % %

N (%) = 2λc1

A(%) , %

Q(%) = ks2 c4 %2s−1−ε .


55


Тогда имеем Zd %

d P(τ )dτ = 2λ ln − 2λc2 %

Zd

A(τ ) dε − %ε dτ − ; τ ε

%

следовательно, вспоминая (1.8.2), мы получим  2%  Z exp  P(τ )dτ  6 22λ , %

Zd

Zd 2λ+1

B(τ )dτ 6 2 



Zd

exp −

P(τ )dτ  6

%

³ % ´2λ d

%

λc1 0



Zd

A(τ ) dτ, τ 

³ % ´2λ ¡ ¢ A(τ )  dτ exp ε−1 dε = c5 . τ d

exp 2λc2 0

В данном случае также имеет место оценка  τ  Zd Z Zd 2 2λ Q(τ ) exp − P(σ)dσ  dτ 6 ks c4 c5 % τ 2s−2λ−ε−1 dτ 6 ks2 c6 %2λ , %

%

%

так как s > λ. Применяя теорему 1.8.1, из полученных неравенств в совокупности с (1.8.1) и (4.2.33), мы получим первое неравенство в (4.2.43). (2) Пусть s < λ. В этом случае из неравенства (4.2.47) мы получим задачу (CP ) из раздела 1.10 с P(%) =

2λ(1 − δ) A(%) − 2λc2 , % %

N (%) = 2λc1

A(%) , %

Q(%) = ks2 c8 δ −1 %2s−1

∀δ > 0.

Тогда, аналогично случаю (1), вспоминая (1.8.2), получим   2% Z exp  P(τ )dτ  6 22λ(1−δ) , %

Zd

Zd 2λ+1

B(τ )dτ 6 2 



Zd

exp −

%

P(τ )dτ  6 %

³ % ´2λ(1−δ) d

c1



0

A(τ ) dτ, τ Zd

exp 2λc2 0



³ % ´2λ(1−δ) A(τ )  dτ = c9 . τ d

В данном случае также имеем   τ Zd Z Zd Q(τ ) exp − P(σ)dσ  dτ 6 ks2 c10 δ −1 %2λ(1−δ) τ 2s−2λ(1−δ)−1 dτ 6 ks2 c11 %2s , %

%

%

если мы выберем δ ∈ (0, (λ − s)/λ). Применим теорему 1.8.1: из (1.8.1) в силу выведенных неравенств и выбора δ получаем ³ ´ V (%) 6 c12 V0 %2λ(1−δ) + ks2 %2s 6 c13 (V0 + ks2 )%2s . Учитывая неравенство (4.2.33), мы приходим к третьему неравенству в (4.2.43).

56



ДИРИХЛЕ


(3) Пусть s = λ. Как и в доказательстве теоремы 4.2.2, рассмотрим функцию U (%) удовлетворяющую уравнению (4.2.28). Оценим каждый из интегралов, входящих в правую часть уравнения (4.2.28). Из лемм 1.5.4 и 1.5.5 и неравенства Гельдера следует, что Z r

2−N

Γ%0

∂u ϕ(x) dσ = ∂n

¶³ Z µ ´ (3−N )/2 ∂u r r(1−N )/2 ϕ(x) dσ 6 ∂n

Γ%0

 1/2 1/2  µ ¶2 Z Z ∂u     6  r3−N dσ   r1−N ϕ2 (x)dσ  6 ∂n Γ%0

6 c1 kϕk ◦ 3/2

W 4−N (G%0 )

Γ%0

kuk ◦ 2

W 4−N (G%0 )

+ c2 kϕk2◦ 3/2

W 4−N (G%0 )

6 c1 kλ %λ kuk ◦ 2

W 4−N (G%0 )

+ c2 kλ2 %2λ (4.2.48)

в силу предположения (4.2.42). Таким же образом получим Z r

2−N −τ

Z ³ u(x)f (x)dx =

G%0

´³ ´ r−N/2 u(x) r2−N/2−τ f (x) dx 6

G%0

6 cU 1/2 (%)kf k ◦ 0

W 4−N −2τ (G%0 )

6 ckλ %λ U 1/2 (%). (4.2.49)

Кроме того, аналогично доказательству теоремы 4.2.1, мы имеем Z

³ ³ ´ ´ r2−N u(x) r−τ aij (x) − δij Dij u(x) + r−τ ai (x)Di u(x) + r−τ a(x)u(x) dx 6

G%0

6 A(%)kuk2◦ 2

W 4−N (G%0 )

. (4.2.50)

Тогда, используя оценки (4.2.48)–(4.2.50) и следствие 2.3.6, из уравнения (4.2.28) получим следующее неравенство: U (%) 6

% 0 U (%) + A(%)kuk2◦ 2 + c1 kλ %λ kuk ◦ 2 + kλ %λ U 1/2 (%) + c2 kλ2 %2λ . W 4−N (G%0 ) 2λ W 4−N (G%0 )

Применим неравенство (4.2.33); в результате получим U (%) 6

% 0 U (%) + (A(%) + δ(%)) U (2%) + A(%)U (%) + c3 kλ2 δ −1 (%)%2λ 2λ

∀δ(%) > 0.

(4.2.51)

Кроме того, выполнено начальное условие (см. доказательство теоремы 4.2.1) µ ¶ Z 2−N 2 2 2 2 U (d) = r |∇u| dx 6 c kukL2 (G) + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 ≡ V0 . W 4−N −2τ (G)

Gd0

W 4−N (∂G)

Из неравенства (4.2.47) мы получим дифференциальное неравенство (CP ) из раздела 1.10 с P(%) =

2λ A(%) − 2λ , % %

N (%) = 2λ

A(%) + δ(%) , %

Q(%) = 2c3 λkλ2 δ −1 (%)%2λ−1

Выберем δ(%) =

1 λ22λ+1 ln(ed/%)

,

0 < % < d,

∀δ(%) > 0.


57


где e — число Эйлера. По условию теоремы, функция A(%) непрерывна по Дини в нуле; следовательно, учитывая (1.8.2), мы получим  2%  Z exp  P(τ )dτ  6 22λ , %

  d   µ ¶ Z Zd ed A(τ )     dτ ln , exp B(τ )dτ 6 exp C(λ) τ % %

0

Zd −

P(τ )dτ 6 ln

³ % ´2λ d

%

в силу последнего равенства, 



Zd

exp −

P(τ )dτ  6 %

³ % ´2λ d

Zd + 2λ 0

A(τ ) dτ ; τ



Zd

exp C(λ) 0

 A(τ )  dτ . τ

В данном случае мы также имеем  τ  µ ¶ Zd Z Zd µ ¶ dτ ed ed 2 2λ 2 2 2λ 6 kλ C(λ)% ln . Q(τ ) exp − P(σ)dσ  dτ 6 kλ C(λ)% ln τ τ % %

%

%

Из теоремы 1.8.1, неравенства (1.8.1) и неравенств, полученных выше, получаем 1 1 U (%) 6 C(V0 + kλ2 )%2λ ln3 , 0 < % < d < . % e Учитывая неравенство (4.2.33), мы выводим второе неравенство в (4.2.43).

(4.2.52)

Две следующие теоремы и примеры из раздела 4.2.5 (см. ниже) показывают, что требование гладкости коэффициентов задачи (L), т. е. непрерывность по Дини в нуле функции A(r) из предположения 4.2.4, существенно для выполнения теорем 4.2.2 и 4.2.3. Теорема 4.2.4. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (L), пусть функция A(r) непрерывна в нуле, но не непрерывна по Дини в нуле, и пусть выполнены предположения 4.2.1–4.2.4. Кроме того, пусть ◦

f ∈ W 04−N −2τ (G),

◦ 3/2

ϕ ∈ W 4−N (∂G) ∩ C 0 (∂G)

и существуют вещественные числа s > 0 и ks > 0 такие, что µ −s ks =: sup % kf k ◦ 0 % + kϕk ◦ 3/2 %>0

W 4−N −2τ (G0 )

W 4−N (Γ%0 )

¶ .

(4.2.53)

Тогда для любого ε > 0 существуют число d ∈ (0, 1) и постоянная Cε > 0, зависящая только от ν, µ, d, s, N, ε, λ и meas G, такие, что µ ¶ ( λ−ε % , s > λ, kuk ◦ 2 6 Cε kuk2,G + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 + ks × (4.2.54) W 4−N (G%0 ) W 4−N −2τ (G) W 4−N (∂G) %s−ε , s 6 λ, для любого % ∈ (0, d). Доказательство. Как и выше при доказательстве теоремы 4.2.3, мы выводим неравенство (4.2.47); отсюда в силу неравенства Коши получаем задачу (CP ) из раздела 1.10 с µ ¶ 2λ δ P(%) = 1 − − C8 A(%) ∀δ > 0, % 2 A(%) N (%) = 2λC8 , Q(%) = ks2 C20 %2s−1 . %

58



ДИРИХЛЕ


Следовательно, Zd − %

µ ¶ Zd δ A(τ ) % P(τ )dτ = 2λ 1 − ln + 2λC8 dτ. 2 d τ %

Тогда по теореме о среднем для интегралов Zd %

A(τ ) d dτ 6 A(d) ln . τ %

Выберем d > 0 такое, что 2C8 A(d) < δ (в силу непрерывности функции A(r)), и получим  d  Z ³ % ´2λ(1−δ) exp − P(τ )dτ  6 ∀δ > 0. d %

Аналогично, имеем





Zτ

P(σ)dσ  6

exp − %

³ % ´2λ(1−δ) τ

∀δ > 0.

Очевидно, что Z2% P(τ )dτ 6 2λ ln 2; %

учитывая равенство (1.8.2), получим Zd

Zd 2λ

B(τ )dτ 6 2λ2 C8 %

%

откуда

A(τ ) d d dτ 6 2λ22λ C8 A(d) ln 6 δλ22λ ln , τ % %

  d Z ³ % ´−δλ22λ exp  B(τ )dτ  6 d

∀δ > 0.

%

Теперь из неравенства (1.8.1) (см. теорему 1.8.1) следует, что   τ   Z  ³ % ´−δλ22λ  ³ % ´2λ(1−δ) Zd   U (%) 6 V0 + Q(τ ) exp − P(σ)dσ dτ   d d %

∀δ > 0.

(4.2.55)

%

Оценим последний интеграл следующим образом:  τ  Zd Z Zd 2 2λ(1−δ) Q(τ ) exp − P(σ)dσ  dτ 6 ks C20 % τ 2s−2λ(1−δ)−1 dτ = %

%

%

d2s−2λ(1−δ) − %2s−2λ(1−δ) = ks2 C20 %2λ(1−δ) 6 ks2 C21 × 2s − 2λ(1 − δ)

(

%2λ(1−δ) , %2s ,

(здесь выбрано δ > 0 такое, что δ 6= (λ − s)/λ). Из неравенств (4.2.55), (4.2.56) и (4.2.33) следует, что оценка (4.2.54) верна. Теорему 4.2.4 можно уточнить для случая s = λ при условии, что A(r) ∼

1 . ln(1/r)

s > λ, s 0 такое, что µ −λ kλ =: sup % kf k ◦ 0 % + kϕk ◦ 3/2

W 4−N (Γ%0 )

W 4−N −2τ (G0 )

%>0

¶ .

(4.2.57)

Тогда существуют число d ∈ (0, 1/e) и постоянные C > 0 и c > 0, зависящие только от ν, µ, d, N, λ и meas G, такие, что ¶ µ 1 kuk2,G + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 + kλ %λ lnc+1 , 0 < % < d. (4.2.58) kuk ◦ 2 % 6 C W 4−N (∂G) W 4−N (G0 ) W 4−N −2τ (G) % Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 4.2.3, мы получим задачу (CP ) из раздела 1.10, в которой P(%) =

2λ A(%) − 2λc5 , % %

N (%) = 2λc5

A(%) δ(%) +λ , % %

¡ ¢ Q(%) = c(λ)kλ2 1 + δ −1 (%) %2λ−1 .

Положим

1 , 2λ ln(ed/%) где e — число Эйлера. По условию теоремы δ(%) =

0 < % < d,

A(%) ∼ δ(%) при достаточно малом d > 0; следовательно, учитывая (1.8.2), мы получим   2% Z exp  P(τ )dτ  6 22λ , %

  d µ ¶ Z c(λ) ed   exp B(τ )dτ 6 C(d, λ) ln , % %

Zd −

P(τ )dτ 6 ln %

отсюда

³ % ´2λ d

Zd + 2λc5 %



³ % ´2λ dτ ¡ ed ¢ = ln + 2λc5 ln ln d τ ln τ 

Zd

P(τ )dτ  6

exp − %

³ % ´2λ d

µ c

ln

ed %

µ

ed %

¶ ;

¶ ,

В данном случае мы также имеем   τ µ ¶ µ ¶ Zd Z Zd −1 (τ ) 1 + δ eτ ed 2 2λ c 2 2λ c+2 Q(τ ) exp − P(σ)dσ  dτ 6 kλ C(λ)% ln dτ 6 kλ C(λ)% ln . τ % % %

%

%

Применяя теорему 1.8.1, неравенство (1.8.1) и неравенства, доказанные выше, получим 1 U (%) 6 C25 (V0 + kλ2 )%2λ ln2c+2 , % Оценка (4.2.58) следует из неравенств (4.2.59) и (4.2.33).

1 0 0, ks > 0 и k > 0 такие, что ¶ µ −s , ks =: sup % kf k ◦ 0 % % + kϕk ◦ 3/2 1−s

k =: sup % %>0

(4.2.60)

W 4−N (Γ0 )

W 4−N −2τ (G0 )

%>0

µ ¶ kf kN ;G2% + kϕkV 2−1/N (Γ2% ) . %/4

N,0

(4.2.61)

%/4

Тогда существуют число d ∈ (0, 1/e) и постоянная C > 0, зависящая только от ν, µ, d, s, N, τ, λ, meas G и величины Zd 0

A(r) dr, r

такие, что µ |u(x)| 6 C kuk2,G + kf k ◦ 0

W 4−N −2τ (G)

¶ + kϕk ◦ 3/2

W 4−N (∂G)

+ |ϕ|C λ (∂G) + ks + k ×  λ  |x| , × |x|λ ln3/2 (1/|x|),   s |x| ,

s > λ, s = λ, s < λ,

(4.2.62)

для любого x ∈ Gd0 . Доказательство. Определим функции Φ, v и F так же, как в доказательстве теоремы 4.2.1. Заметим, что Φ(0) = 0 по лемме 1.5.2. Введем функцию  λ  s > λ, % , 3/2 λ ψ(%) = % ln (1/%), s = λ, (4.2.63)   s % , s < λ, % 2% при 0 < % < d и рассмотрим множества G2% %/4 и G%/2 ⊂ G%/4 , % > 0. Осуществим преобразование x = %x0 ; v(%x0 ) = ψ(%)w(x0 ). Функция w(x0 ) удовлетворяет задаче ( %2 aij (%x0 )wx0i x0j + %ai (%x0 )wx0i + %2 a(%x0 )w = ψ(%) F (%x0 ), x0 ∈ G21/4 ,

w(x0 ) = 0,

x0 ∈ Γ21/4 ,

где ´ %2 1 ³ ij %2 F (%x0 ) = f (%x0 ) − a (%x0 )Φx0i x0j + %ai (%x0 )Φx0i + %2 a(%x0 )Φ(%x0 ) 6 ψ(%) ψ(%) ψ(%) %2 µ A(%) 6 |f | + |Φx0 x0 | + (|∇0 Φ| + |Φ|). ψ(%) ψ(%) ψ(%)


61


Заметим, что  Ã  !1/2 ¯ ¯ X Z N p ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ + %2 |a(%x0 )| N  dx0 6 ¯% |ai (%x0 )|2 ¯ ¯ i=1

G21/4

Z

Ap (r) + AN (r) dx 6 c(N, p, τ )AN −1 (d) meas Ω rN

6 c(N, p, τ ) G2% %/4

Z2d 0

A(r) dr r

и % %2 kF (%x0 )kLN (G2 ) 6 c(µ, A(d)) 1/4 ψ(%) ψ(%)

µ ¶ kf kLN (G2% ) + kϕkV 2−1/N (Γ2% ) 6 %/4

N,0

6 kc(µ, A(d))

%s ψ(%)

%/4

6 k · const(µ, A(d), s, λ, d) (4.2.64)

в силу соотношений (4.2.61) и (4.2.63). По теореме 4.1.5 (локальный принцип максимума) выполнено  1  1 2 N      ZZ  Z Z 2    % 2 0 0 N 0     . (4.2.65) w dx  + sup |w(x )| 6 C(N, ν, µ)  |F | dx    ψ(%)    G11/2   2 2   G1/4 G1/4 Возвращаясь к переменной x и функции v(x) и применяя теорему 4.2.3 с функцией (4.2.63), мы получим ZZ

1 w dx = 2 ψ (%) 2

G21/4

r

¶2

µ v dx 6 C kuk2,G + kf k ◦ 0

ZZ

0

−N 2

W 4−N −2τ (G)

G2% %/4

+ kϕk ◦ 3/2

W 4−N (∂G)

+ ks

. (4.2.66)

Поскольку ϕ ∈ C λ (∂G), имеет место оценка |u(x)| 6 |v(x)| + |Φ(x)| 6 |v| + |Φ(x) − Φ(0)| 6 |v| + |x|λ |ϕ|λ,∂G . Поэтому из соотношений (4.2.64), (4.2.65) и (4.2.66) вытекает µ ¶ sup |u(x)| 6 C kuk2,G + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 + |ϕ|λ,∂G + ks + k ψ(%). W 4−N −2τ (G)

G%%/2

W 4−N (∂G)

Полагая |x| = 2%/3, мы получим требуемую оценку (4.2.62). Теорема 4.2.7. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (L), пусть функция A(r) непрерывна в нуле, но не непрерывна по Дини в нуле, и пусть выполнены предположения 4.2.1–4.2.4. Кроме того, предположим, что ai ∈ Lp (G), p > N, ◦

f ∈ LN (G) ∩ W 04−N −2τ (G),

a ∈ LN (G),

◦ 3/2

2−1/N

ϕ ∈ W 4−N (∂G) ∩ VN,0

(∂G) ∩ C λ (∂G)

и существуют вещественные числа s > 0, ks > 0 и k > 0 такие, что µ ¶ −s ks =: sup % kf k ◦ 0 , % + kϕk ◦ 3/2 % W 4−N −2τ (G0 )

%>0

1−s

k =: sup % %>0

W 4−N (Γ0 )

µ ¶ kf kN ;G2% + kϕkV 2−1/N (Γ2% ) . %/4

N,0

%/4

(4.2.67) (4.2.68)

62



ДИРИХЛЕ


Тогда для любого ε > 0 существуют число d ∈ (0, 1) и постоянная Cε > 0, зависящая только от ν, µ, d, s, ε, N, λ, τ, meas G и A(diam G), такие, что µ ¶ ( λ−ε |x| , s > λ, |u(x)| 6 Cε kuk2,G + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 + |ϕ|λ,∂G + ks + k × W 4−N −2τ (G) W 4−N (∂G) |x|s−ε , s 6 λ, (4.2.69) для всех x ∈ Gd0 . Доказательство. Достаточно повторить доказательство теоремы 4.2.6, полагая ( %λ−ε , s > λ, ψ(%) = %s−ε , s 6 λ, и применяя теорему 4.2.4. Теорема 4.2.8. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (L), пусть 1 A(r) ∼ , A(0) = 0, ln(1/r) и пусть выполнены предположения 4.2.1–4.2.4. Кроме того, предположим, что ai ∈ Lp (G), p > N, ◦

f ∈ LN (G) ∩ W 04−N −2τ (G),

a ∈ LN (G),

◦ 3/2

2−1/N

ϕ ∈ W 4−N (∂G) ∩ VN,0

и существуют вещественные числа kλ > 0 и k > 0 такие, что µ −λ kλ =: sup % kf k ◦ 0 % + kϕk ◦ 3/2 1−λ

k =: sup % %>0

W 4−N (Γ%0 )

W 4−N −2τ (G0 )

%>0

(∂G) ∩ C λ (∂G) ¶ ,

¶ µ kf kN ;G2% + kϕkV 2−1/N (Γ2% ) . %/4

N,0

(4.2.70) (4.2.71)

%/4

Тогда существуют число d ∈ (0, 1/e) и постоянные C > 0 и c > 0, зависящие только от ν, µ, d, N, λ, τ, meas G и A(diam G), такие, что µ ¶ 1 (4.2.72) |u(x)| 6 C kuk2,G + kf k ◦ 0 + kϕk ◦ 3/2 + |ϕ|λ,∂G + kλ + k |x|λ lnc+1 W 4−N −2τ (G) W 4−N (∂G) |x| для всех x ∈ Gd0 . Доказательство. Достаточно повторить доказательство теоремы 4.2.6, полагая 1 ψ(%) = %λ lnc+1 % и применяя теорему 4.2.5. 4.2.3. Lp -оценки. В этом и следующем разделах мы установим точную гладкость сильных решений задачи (L). Пусть функция u является сильным решением задачи (L) при p > N, и пусть f ∈ Lp (G),

ϕ ∈ W 2−1/p,p (∂G).

% 2% 0 0 Рассмотрим множества G2% %/4 и G%/2 ⊂ G%/4 и введем новую переменную x по формуле x = %x . Тогда функция z(x0 ) = v(%x0 ) = v(x) удовлетворяет следующей задаче в G21/4 :  ∂2z ∂z  ij 0   a (%x ) + %ai (%x0 ) 0 + %2 a(%x0 )z = %2 f (%x0 ) −  0 0  ∂xi ∂xj ∂xi  ! Ã  2Φ ∂Φ ∂ (4.2.73) − aij (%x0 ) 0 0 + %ai (%x0 ) 0 + %2 a(%x0 )Φ , x0 ∈ G21/4   ∂xi ∂xj ∂xi      w(x0 ) = 0, x0 ∈ Γ2 , 1/4

где функции Φ и v определены в доказательстве теоремы 4.2.1.


63


Из теорем вложения Соболева (теоремы 1.5.11 и 1.5.12) следует sup x0 ,y 0 ∈G11/2 x0 6=y 0

sup |∇0 z(x0 )| + x0 ∈G11/2

|z(x0 ) − z(y 0 )| 6 ckzkW 2,N (G1 ) 1/2 |x0 − y 0 |β ,

sup x0 ,y 0 ∈G11/2 x0 6=y 0

∀β ∈ (0, 1),

|∇0 z(x0 ) − ∇0 z(y 0 )| 6 ckzkW 2,p (G1 ) , 1/2 |x0 − y 0 |1−N/p ,

(4.2.74)

p > N.

(4.2.75)

Согласно локальной Lp -оценке (теорема 4.1.6), примененной к решению задачи (4.2.73), получим o n (4.2.76) kzkW 2,p (G1 ) 6 c(N, ν, µ, A(2)) kzkLp (G2 ) + %2−τ kf kLp (G2 ) + kϕkW 2−1/p,p (∂G2 ) . 1/2

1/4

1/4

1/4

Возвращаясь к переменной x, из неравенств (4.2.74), (4.2.75) и (4.2.76) получим ½ |v(x) − v(y)| −β + sup 6 c% %−1 kvkLN (G2% ) + kf kV 0 (G2% ) β % %/4 N,(1−τ )N %/4 |x − y| x,y∈G , %/2

x6=y

¾ + kϕkV 2−1/N (Γ2% N,N

−1

sup |∇v| 6 c%

G%%/2

∀β ∈ (0, 1), (4.2.77)

)

¾

½ %−N/p kvkLp (G2% ) + kf kV 0 %/4

%/4

p,(2−τ )p−N

) (G2% %/4

+ kϕkV 2−1/p

2% p,2p−N (Γ%/4 )

,

(4.2.78)

½ N |∇v(x) − ∇v(y)| −2 p sup + %−N/p kvkLp (G2% ) + kf kV 0 6 c% ) (G2% 1−N/p % %/4 %/4 p,(2−τ )p−N |x − y| x,y∈G , %/2

x6=y

¾ + kϕkV 2−1/p

2% p,2p−N (Γ%/4 )

. (4.2.79)

Перепишем неравенство (4.2.76) в эквивалентном виде Z ³ Z ³ ´ ´ 02 0 p 0 p p 0 |D z| + |∇ z| + |z| dx 6 c |z|p + r(2−τ )p |f |p + |D 2 Φ|p + |∇0 Φ|p + |Φ|p dx0 , G11/2

G21/4

умножим обе части этого неравенства на %α−2p и вернемся к переменной x; в результате получим Z ¡ α 2 p ¢ r |D v| + rα−p |∇v|p + rα−2p |v|p dx 6 G%%/2

Z

¡ α−2p p ¢ r |v| + rα−pτ |f |p + rα |D2 Φ|p + rα−p |∇Φ|p + rα−2p |Φ|p dx

6c G2% %/4

и, следовательно, kvkVp,α 2 (G%

%/2

)

½ 6 c kvkV 0

¾

2% p,α−2p (G%/4 )

+ kf kV 0

2% p,α−pτ (G%/4 )

+ kϕkV 2−1/p (Γ2% p,α

%/4

)

.

(4.2.80)

Теорема 4.2.9. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.6. Кроме того, предположим, что 0 f ∈ Vp,α−pτ (G),

где

2−1/p ϕ ∈ Vp,α (∂G),

( (2 − λ)p − N, s > λ, α> (2 − s)p − N, s 6 λ,

p > N,

64



ДИРИХЛЕ


и пусть существует постоянная k2 > 0 такая, что k2 =: sup

kf kVp,α−pτ 0 (G%

%/2

+ kϕkV 2−1/p (Γ% p,α

%/2

)

χ(%)

%>0

где

)

,

(4.2.81)

 λ−2+ α+N  p , s > λ,  % α+N λ−2+ p 3/2 χ(%) ≡ % ln (1/%), s = λ,  α+N  s−2+ % p , s < λ,

(4.2.82)

для любого достаточно малого % > 0. 2 (G) и имеет место оценка Тогда u ∈ Vp,α kukVp,α 2 (G% ) 6 cχ(%) 0

(4.2.83)

с постоянной c, не зависящей от u. Доказательство. Утверждение теоремы следует из неравенства (4.2.80), так как  kvkV 0

2% p,α−2p (G%/4 )

 = 

1/p Z

 rα−2p |v|p dx 

6

G2% %/4

(в силу (4.2.62) и (4.2.63))  1/p Z2%   −2+ α+N p ψ(%) = cχ(%). 6 cψ(%)  rα−2p+N −1 dr 6 c% %/4

Заменяя % на 2−k %, из последнего неравенства и соотношений (4.2.80) и (4.2.81) мы получим kukV 2

p,α−2p (G

(k) )

6 cχ(2−k %).

Суммируя такие неравенства по всем k = 0, 1, . . . , мы получаем требуемую оценку. Аналогично доказываются следующие теоремы. Теорема 4.2.10. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.7. Кроме того, предположим, что 0 f ∈ Vp,α−pτ (G),

где

2−1/p ϕ ∈ Vp,α (∂G),

p > N,

( (2 − λ)p − N, s > λ, α> (2 − s)p − N, s 6 λ,

и существует постоянная k2 > 0 такая, что kf k

0 Vp,α−pτ (G%%/2 )

(

+ kϕkV 2−1/p (Γ% p,α

) %/2

6 k2

λ−2−ε+ α+N p

, s > λ,

s−2−ε+ α+N p

,

% %

для любого достаточно малого % > 0 и любого ε > 0. 2 (G) и имеет место оценка Тогда u ∈ Vp,α ( λ−2−ε+ α+N p , % s > λ, % kukVp,α 2 (G ) 6 cε α+N s−2−ε+ p 0 % , s 6 λ, с постоянной cε , не зависящей от u.

s 6 λ,

(4.2.84)

(4.2.85)


65


Теорема 4.2.11. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.8. Кроме того, предположим, что 0 f ∈ Vp,α−pτ (G),

2−1/p ϕ ∈ Vp,α (∂G),

p > N,

α > (2 − λ)p − N,

и существует постоянная k2 > 0 такая, что kf kVp,α−pτ 0 (G%

%/2

)

+ kϕkV 2−1/p (Γ%

) %/2

p,α

λ−2+ α+N p

6 k2 %

lnc+1

1 %

(4.2.86)

для любого достаточно малого % > 0, где постоянная c определена теоремой 4.2.8. 2 (G) и имеет место оценка Тогда u ∈ Vp,α kukVp,α 2 (G% ) 6 C% 0

λ−2+ α+N p

lnc+1

1 %

(4.2.87)

с постоянной C, не зависящей от u. 4.2.4. Оценки в C λ . Пусть |v(x)| 6 c0 ψ(|x|),

x ∈ Gd0 .

Тогда мы имеем %−1 kvkLN (G2%

%/4

−N p

%

kvkLp (G2%

)

6 c1 ψ(%),

(4.2.88)

)

6 c2 ψ(%),

(4.2.89)

%/4

%−2 kvkLp (G2%

) %/4

N

6 c3 % p

−2

ψ(%).

(4.2.90)

Теорема 4.2.12. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.6. Пусть 0 6 τ < 1 и λ = 1. Тогда ( C β−τ (G) ∀β ∈ (τ, 1), s > 1, u∈ (4.2.91) C s−τ (G), s ∈ (τ, 1). Доказательство. Из соотношений (4.2.77), (4.2.88) и (4.2.61) следует, что ¶ µ |v(x) − v(y)| −β −1 ) + kϕkV 2−1/N (Γ2% ) 6 sup 6 c% % kvkLN (G2% ) + kf kV 0 (G2% %/4 %/4 N,(1−τ )N |x − y|β N,N %/4 x,y∈G% , %/2

x6=y

¡ ¢ 6 c(k)%−β ψ(%) + %s−τ + %s

∀β ∈ (0, 1), (4.2.92)

где функция ψ(%) задана формулой (4.2.63). Тогда по теореме 4.2.6 имеем  1−β−τ ,  s > 1, % |v(x) − v(y)| 1−β−τ −ε , s = 1, sup 6 c %  |x − y|β  s−β−τ x,y∈G%%/2 , % , s < 1,

(4.2.93)

x6=y

для любого ε > 0 и β ∈ (0, 1). По определению множества G%%/2 мы имеем вытекает  1−β−τ ,  % |v(x) − v(y)| 6 c|x − y|β %1−β−τ −ε ,   s−β−τ % ,

|x − y| 6 2%; следовательно, из соотношений (4.2.93) ( s > 1, |x − y|β−τ , s > 1, s = 1, 6 c |x − y|s−τ , τ < s < 1, s < 1,

для любого β ∈ (τ, 1) и x, y ∈ G%%/2 . В случае |x − y| > % = |x| по теореме 4.2.6 получим  1−β ,  s > 1, % |v(x) − v(y)| τ −β τ −β 1−β−ε 6 2|v(x)||x − y| 6 2cψ(%)(diam G) % 6 c1 % , s = 1, 6 const,  |x − y|β−τ  s−β % , s < 1,

(4.2.94)

(4.2.95)

66



ДИРИХЛЕ


если выбрать β = s для τ < s < 1. Это неравенство вместе с соотношением ϕ ∈ C λ доказывает теорему. Повторяя доказательство предыдущей теоремы, получим следующие утверждения. Теорема 4.2.13. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.7. Пусть 0 6 τ < 1 и λ = 1. Тогда ( C β−τ (G) ∀β ∈ (τ, 1), s > 1, u∈ (4.2.96) C s−τ −ε (G) ∀ε > 0, s ∈ (τ, 1). Доказательство. В этом случае имеет место неравенство (4.2.92) с функцией ψ(%), определенной теоремой 4.2.7, т. е. ( %1−β−ε + %s−β + %s−τ −β , s > 1, |v(x) − v(y)| 6 c (4.2.97) sup |x − y|β %s−β−ε + %s−β + %s−τ −β , s < 1, x,y∈G%%/2 , x6=y

для любого ε > 0 и β ∈ (0, 1). По определению множества G%%/2 мы имеем |x − y| 6 2%; следовательно, из соотношений (4.2.97) вытекает ( %1−β−ε+τ + %s−β + %s+τ −β , s > 1, β−τ |v(x) − v(y)| 6 c|x − y| 6 %s−β+τ + %s−β−ε+τ + %s−β , τ < s < 1, ( |x − y|β−τ , s > 1, 6c (4.2.98) s−τ −ε |x − y| , τ < s < 1, для любого β ∈ (τ, 1) и x, y ∈ G%%/2 . Выбрав ε = 1 − β при s > 1 и β = s − ε при τ < s < 1, отсюда получим утверждение теоремы. Теорема 4.2.14. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.8. Пусть 0 6 τ < 1 и λ = 1. Тогда ( C 1−τ (G), 0 < τ < 1, u∈ (4.2.99) 1−ε C (G) ∀ε > 0, τ = 0. Доказательство. В этом случае имеет место неравенство (4.2.92), с функцией ψ(%), определенной теоремой 4.2.8, т. е. ³ ´ |v(x) − v(y)| 1−β−ε 1−β 1−β−τ sup 6 c % + % + % ∀ε > 0, ∀β ∈ (0, 1). (4.2.100) |x − y|β x,y∈G% , %/2

x6=y

Выбрав

( β=

1 − ε, τ = 0, 1 − τ, 0 < τ < 1,

отсюда получим утверждение теоремы. Теорема 4.2.15. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.6. Пусть 0 6 τ < 1 и λ ∈ (τ, 1). Тогда  λ−τ (G),  s > λ, C λ−τ −ε u∈ C (4.2.101) (G) ∀ε > 0, s = λ,   s−τ C (G), τ < s < λ. Доказательство. По теореме 4.2.6 из неравенства (4.2.92) следует, что  λ−β−τ ,  s > λ, % |v(x) − v(y)| λ−β−τ −ε sup 6c % , s = λ,  |x − y|β  s−β−τ x,y∈G%%/2 , % , τ < s < λ, x6=y

(4.2.102)


для любого ε > 0 и β ∈ (0, 1). Полагая

67


  λ − τ, β = λ − τ − ε,   s − τ,

s > λ, s = λ, τ < s < λ,

отсюда получим утверждение теоремы. Теорема 4.2.16. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.7. Пусть 0 6 τ < 1 и λ ∈ (τ, 1). Тогда ( C λ−τ −ε (G) ∀ε > 0, s > λ, (4.2.103) u∈ C s−τ −ε (G), τ < s < λ. Доказательство. Из теоремы 4.2.7 и неравенства (4.2.92) следует, что ( %λ−β−τ −ε , s > λ, |v(x) − v(y)| sup 6 c |x − y|β %s−β−τ −ε , τ < s < λ, x,y∈G%%/2 ,

(4.2.104)

x6=y

для любого ε > 0 и β ∈ (0, 1). Полагая

( β=

λ − τ − ε, s > λ, s − τ − ε, τ < s < λ,

мы получим требуемое утверждение. Теорема 4.2.17. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.8. Пусть 0 6 τ < 1 и λ ∈ (τ, 1). Тогда u ∈ C λ−τ −ε (G) ∀ε > 0.

(4.2.105)

Доказательство. Из теоремы 4.2.8 и неравенства (4.2.92) следует, что sup

x,y∈G%%/2 ,

|v(x) − v(y)| 6 c%λ−β−τ −ε |x − y|β

(4.2.106)

x6=y

для любого ε > 0 и β ∈ (0, 1). Полагая β = λ − τ − ε, мы получим требуемое утверждение. Пусть дополнительно выполнено следующее предположение. Предположение 4.2.5. Существует постоянная k > 0 такая, что k =: sup

kf kV 0

p,(2−τ )p−N

(G2% ) %/4

+ kϕkV 2−1/p

2% p,2p−N (Γ%/4 )

ψ(%)

%>0

,

p > N.

В таком случае из соотношений (4.2.89), (4.2.78) и (4.2.79) следует sup |∇v| 6 c%−1 ψ(%),

G%%/2

sup

x,y∈G%%/2 , x6=y

N |∇v(x) − ∇v(y)| −2 6 c% p ψ(%). 1−N/p |x − y|

(4.2.107) (4.2.108)

68



ДИРИХЛЕ


Теорема 4.2.18. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполняются условия теоремы 4.2.6 и предположение 4.2.5 с функцией ψ(%), заданной формулой (4.2.63). Тогда верна следующая оценка:  λ−1  s > λ, |x| , 3/2 λ−1 |∇u(x)| 6 c |x| (4.2.109) ln (1/|x|), s = λ,   s−1 |x| , s < λ. Кроме того, (1) если λ > 2 − N/p, то  2−N/p (G),  C u ∈ C 2−N/p−ε (G) ∀ε > 0,   s−λ+2−N/p C (G),

s > λ, s = λ, λ − 1 + N/p 6 s < λ.

(2) если 1 < λ 6 2 − N/p, то

 λ  s > λ, C (G), λ−ε u∈ C (G) ∀ε > 0, s = λ,   s C (G), 1 6 s < λ.

Доказательство. Из соотношений (4.2.107), (4.2.108) и (4.2.63) следует  λ−1  s > λ, % , 3/2 λ−1 sup |∇v| 6 c % ln (1/%), s = λ,   s−1 G%%/2 % , s < λ,  N/p−2+λ ,  s > λ, % |∇v(x) − ∇v(y)| N/p−2+λ−ε sup 6c % ∀ε > 0, s = λ,  |x − y|1−N/p  N/p−2+s x,y∈G%%/2 , % , s < λ.

(4.2.110)

(4.2.111)

x6=y

Полагая |x| = 2%/3, мы получим (4.2.109) из Теперь зададим   0, κ = −ε,   s − λ,

(4.2.110). s > λ, s = λ, λ − 1 + N/p 6 s < λ.

Рассмотрим первый случай, когда λ > 2−N/p. Если x, y ∈ G%%/2 , то |x−y| 6 2% и, следовательно, %κ 6 c|x − y|κ , поскольку κ 6 0. Тогда из соотношений (4.2.111) вытекает  1−N/p ,  s > λ, |x − y| 1−N/p−ε |∇v(x) − ∇v(y)| 6 c |x − y| ∀ε > 0, s = λ,   |x − y|1−N/p+s−λ , s < λ. Если x, y ∈ G и |x − y| > % = |x|, тогда из соотношений (4.2.110) получим |∇v(x) − ∇v(y)| 6 2|∇v||x − y|N/p−1−κ 6 c%λ−1+κ %N/p−1−κ = c%N/p−2+λ 6 const, 1−N/p+κ |x − y| учитывая, что в рассматриваемом случае 1 − N/p + κ > 0. Таким образом, случай (1) теоремы доказан. Теперь рассмотрим случай (2), когда 1 < λ 6 2 − N/p. Если x, y ∈ G%%/2 , то |x − y| 6 2% и, следовательно, %κ 6 c|x − y|κ , поскольку κ 6 0. Из соотношений (4.2.111) вытекает |∇v(x) − ∇v(y)| 6 c|x − y|1−N/p %N/p−2+λ+κ 6 c|x − y|λ−1+κ . Если x, y ∈ G и |x − y| > % = |x|, то из соотношений (4.2.110) получим |∇v(x) − ∇v(y)| 6 2|∇v||x − y|1−λ−κ 6 c%λ−1+κ |x − y|1−λ−κ 6 const, |x − y|λ−1+κ



69

учитывая, что в рассматриваемом случае 1 − λ − κ 6 0. Таким образом, случай (2) теоремы также доказан. Теорема 4.2.19. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.7 и предположение 4.2.5 с функцией ψ(%), определенной в теореме 4.2.7. Тогда при любом ε > 0 верна следующая оценка: ( |x|λ−1−ε , s > λ, |∇u(x)| 6 c (4.2.112) |x|s−1−ε , s < λ. Кроме того, (1) если λ > 2 − N/p, то

(

u∈

C 2−N/p−ε (G), C s−λ+2−N/p−ε (G),

для любого ε > 0; (2) если 1 < λ 6 2 − N/p, то

( u∈

s > λ, λ−1+

N p

< s < λ,

C λ−ε (G), s > λ, C s−ε (G), 1 < s < λ,

для любого ε > 0. Доказательство. Из неравенств (4.2.107) и (4.2.108) для функции ψ(%), определенной в теореме 4.2.7, следует, что ( %λ−1−ε , s > λ, sup |∇v| 6 c s−1−ε (4.2.113) % , s < λ, G%%/2 ( %N/p−2+λ−ε , s = λ, |∇v(x) − ∇v(y)| sup 6 c (4.2.114) |x − y|1−N/p %N/p−2+s−ε , s < λ, x,y∈G%%/2 , x6=y

для любого ε > 0. Полагая |x| = 2%/3, мы получим соотношение (4.2.112) из (4.2.113). Рассмотрим случай (1), когда λ > 2 − N/p. Если x, y ∈ G%%/2 , то |x − y| 6 2% и, следовательно, %−ε 6 c|x − y|−ε . Тогда из соотношений (4.2.114) вытекает ( |x − y|1−N/p−ε , s > λ, |∇v(x) − ∇v(y)| 6 c 1−N/p+s−λ−ε |x − y| , s < λ, для любого ε > 0. Пусть x, y ∈ G и |x − y| > % = |x|; тогда из соотношений (4.2.113) получим: (1) если s > λ, то |∇v(x) − ∇v(y)| 6 2|∇v| · |x − y|N/p−1+ε 6 c%λ−1−ε |x − y|N/p−1+ε 6 c|x − y|N/p−2+λ 6 const; |x − y|1−N/p−ε (2) если N/p − 1 + λ < s < λ, то |∇v(x) − ∇v(y)| 6 2|∇v| · |x − y|N/p−1+ε−s+λ 6 c%s−1−ε |x − y|N/p−1+ε+λ−s 6 c%N/p−2+λ 6 const . 1−N/p−ε+s−λ |x − y| Таким образом, случай (1) теоремы доказан. Рассмотрим второй случай, когда 1 < λ 6 2 − N/p. Положим ( s > λ, −ε, κ= s − λ − ε, 1 < s < λ. Если x, y ∈ G%%/2 , то |x − y| 6 2% и, следовательно, %κ 6 c|x − y|κ , поскольку κ < 0. Тогда из соотношений (4.2.114) вытекает N

|∇v(x) − ∇v(y)| 6 c|x − y|1−N/p % p

−2+λ+κ

6 c|x − y|λ−1+κ .

70



ДИРИХЛЕ


Если x, y ∈ G и |x − y| > % = |x|, тогда из соотношений (4.2.113) получим |∇v(x) − ∇v(y)| 6 2|∇v||x − y|1−λ−κ 6 c%λ−1+κ |x − y|1−λ−κ 6 const, |x − y|λ−1+κ учитывая, что в рассматриваемом случае 1 − λ − κ < 0. Таким образом, случай (2) теоремы также доказан. Аналогичным образом получим следующий результат. Теорема 4.2.20. Пусть функция u является сильным решением краевой задачи (L) и выполнены условия теоремы 4.2.8 и предположение 4.2.5 с функцией ψ(%), определенной в теореме 4.2.8. Тогда верна следующая оценка: |∇u(x)| 6 C|x|λ−1 lnc+1

1 . |x|

(4.2.115)

Кроме того, (1) если λ > 2 − N/p, то u ∈ C 2−N/p−ε (G) при всех ε > 0; (2) если 1 < λ 6 2 − N/p, то u ∈ C λ−ε (G) при всех ε > 0. 4.2.5. Примеры. Приведем некоторые примеры, показывающие, что предположения о коэффициентах оператора L существенны для выполнения теорем из разделов 4.2.1–4.2.4. Пусть N = 2 и область G лежит внутри сектора ¯ ¯ G∞ 0 = {(r, ω) 0 < r < ∞, 0 < ω < ω0 , 0 < ω0 6 2π}. Предположим, что O ∈ ∂G, а граница ∂G совпадает со сторонами ω = 0 и ω = ω0 сектора G∞ 0 в некоторой окрестности Gd0 точки O. В таком случае наименьшее собственное значение задачи (EV P ) есть ϑ = λ2 , где λ = π/ω0 (см. формулу (2.2.2)). Пример 4.2.1. Рассмотрим функцию µ ¶ 1 (λ−1)/(λ+1) λ u(r, ω) = r ln sin(λω), r

λ=

в области Gd0 := {x ∈ R2 : 0 < r < d, 0 < ω < ω0 }. Она удовлетворяет уравнению 2 X

aij (x)Dij u = 0,

x ∈ Gd0 ,

i,j=1

где 2rτ x22 , λ + 1 r2 ln(1/r) x1 x2 2rτ , a12 (x) = a21 (x) = 2 λ + 1 r ln(1/r) 2rτ x21 a22 (x) = rτ − , λ + 1 r2 ln(1/r) a11 (x) = rτ −

и краевому условию u = 0,

x ∈ Γd0 .

Если d < e−2 , то ν =1−

2 , ln(1/d)

µ = 1.

π , ω0

4.3. ОДНОЗНАЧНАЯ

71

РАЗРЕШИМОСТЬ

Кроме того, выполнено предположение 4.2.4:  1/2 2 X  |x|−τ aij (x) − δij |2  6 A(|x|), i,j=1

где Zd

2 , A(r) = (λ + 1) ln(1/r)

0

A(r) dr = +∞. r

Следовательно, коэффициенты уравнения при старших производных непрерывны, но не непрерывны по Дини в нуле. Из явного вида решения u следует, что |u(x)| 6 c|x|λ−ε ,

kuk ◦ 2

W 2 (G%0 )

6 c%λ−ε

(4.2.116)

для всех ε > 0. Этот пример показывает, что невозможно заменить λ − ε в неравенстве (4.2.116) на λ без дополнительных предположений о модуле непрерывности коэффициентов при старших производных в нуле. Предположение о непрерывности по Дини в нуле старших коэффициентов уравнения существенно. Пример 4.2.2. Пусть область Gd0 определена так же, как в предыдущем примере, и пусть π u(x) = rλ ln(1/r) sin(λω), λ = . ω0 Функция u является решением задачи  τ −2 rτ ∆u + 2λr u = 0, ln(1/r)  u = 0,

x ∈ Gd0 , x ∈ Γd0 .

Здесь 2λ A(r) = , ln (1/r)

Zd 0

A(r) dr = +∞. r

Таким образом, предположения о коэффициентах в младших членах оказываются также существенными. Пример 4.2.3. Функция u(x) = rλ ln(1/r) sin(λω), является решением задачи

λ=

π , ω0

( rτ ∆u = f := −2λrλ−2+τ sin(λω), x ∈ Gd0 , u = 0, x ∈ Γd0 .

В этом случае все предположения о коэффициентах выполнены, однако kf k ◦ 0

W 2−2τ (G%0 )

6 c%s

при s = λ. Это показывает существенность условий доказанных выше теорем. 4.3.

ОДНОЗНАЧНАЯ


В этом разделе мы исследуем проблему существования решений краевой задачи (L) в весовых пространствах Соболева при минимальных предположениях о гладкости коэффициентов. Пусть λ задано по формуле (2.2.2).

72



ДИРИХЛЕ


Теорема 4.3.1. Пусть p ∈ (1, ∞), α, β ∈ R и −λ + 2 − N < 2 − (β + N )/p 6 2 − (α + N )/p < λ. Кроме того, предположим, что |x|(α−β)/p A(|x|) → 0 при |x| → 0,

(4.3.1)

2 (G) является решением а также выполнены предположения 4.2.1–4.2.4. Если функция u ∈ Vp,β краевой задачи (L) с 0 2−1/p f ∈ Vp,α−τ ϕ ∈ Vp,α (∂G), p (G), 2 (G) и верна следующая априорная оценка: то u ∈ Vp,α o n , + kuk kukVp,α kf kVp,α−τ + kϕk 0 2 (G) 6 c 0 2−1/p (G) V p,α (∂G) V p (G)

(4.3.2)

p,α

где постоянная c > 0 зависит только от ν, µ, α, N, A(diam G) и модуля непрерывности коэффициентов aij . Доказательство. Запишем уравнение Lu = f в виде µ³ ¶ ´ ∂2u ∂u j −τ −τ ij −τ i −τ ∆u(x) = |x| f (x) − |x| a (x) − δi (x) + |x| a (x) (x) + |x| a(x)u(x) . (4.3.3) ∂xi ∂xj ∂xi По теореме 3.3.1 мы имеем

n o kukVp,α k∆ukVp,α . 2 (G) 6 c2 0 (G) + kϕk 2−1/p V (∂G)

(4.3.4)

p,α

0 норму функции в правой части равенства (4.3.3), в силу предположения 4.2.4 Оценивая в Vp,α получим, что   Z ¡ ¢ k∆ukpV 0 (G) 6 c3 kf kpV 0 + Ap (|x|)rα |D2 u|p + r−p |∇u|p + r−2p |u|p dx , (G) p,α

p,α−τ p

G

где постоянная c3 зависит только от p и N. Так как G = Gd0 ∪ Gd , имеем k∆ukVp,α 0 (G) 6 Ã 6 c4

! (α−β)/p

kf kVp,α−τ + sup |x| 0 p (G) x∈(0,d)

A(|x|)kukV 2

d p,β (G0 )

+ sup A(|x|)kukW 2,p (Gd )

, (4.3.5)

x∈G

где постоянная c4 зависит только от N, p и d. Поскольку все слагаемые в правой части неравен2 (G). ства (4.3.5) конечны, то u ∈ Vp,α Кроме того, из локальных априорных оценок в Lp (см. теорему 4.1.6) решения u задачи (L) следует, что ³ ´ kukW 2,p (Gd ) 6 c5 kf kLp (Gd/2 ) + kϕkW 2−1/p,p (Γd/2 ) + kukLp (Gd/2 ) 6 ³ ´ 6 c6 kf kVp,α−τ + kϕk + kuk (4.3.6) 0 0 (G) , 2−1/p V (G) p,α V (∂G) p p,α

где постоянная c6 зависит только от N, p, ν, µ, G, d, α, модуля непрерывности коэффициентов aij в Gd и величин °Ã !1/2 ° ° ° X ° ° N i2 ° ° , kakLp (G) . |a | ° ° ° N ° i=1 L (G)

Используя оценки (4.3.4)–(4.3.6) и учитывая непрерывность вложения 2 2 Vp,α (G) ,→ Vp,β (G),

4.3. ОДНОЗНАЧНАЯ

73


мы получим следующее неравенство: kukVp,α sup |x|(α−β)/p A(|x|)kukVp,α 2 (G) 6 c7 2 (Gd ) + |x|∈(0,d)

0

³

´ + c8 kf kVp,α−τ + kϕk + kuk 0 0 2−1/p Vp,α (G) . (4.3.7) V (∂G) p (G) p,α

Выбирая достаточно малое d и учитывая условие (4.3.1), получим ³ ´ kukVp,α + kϕk + kuk 2 (G) 6 c9 kf kV 0 0 (G) . 2−1/p V (G) p,α V (∂G) p,α−τ p p,α

(4.3.8)

Теорема 4.3.2. Пусть p ∈ (1, +∞), α ∈ R и −λ + 2 − N < 2 −

α+N < λ. p

2 (G) является сильным решением задачи (L) с Пусть функция u ∈ Vp,α 0 f ∈ Vp,α−τ p (G),

2−1/p ϕ ∈ Vp,α (∂G).

2 (G), то справедлива следующая априорная Если u — единственное решение в пространстве Vp,α оценка: ³ ´

kukVp,α + kϕkV 2−1/p (∂G) . 2 (G) 6 c kf kV 0 p,α−τ p (G) p,α

(4.3.9)

Доказательство. По теореме 4.3.1 мы имеем ³ ´ kukVp,α + kuk + kuk 2 (G) 6 c kLukV 0 0 2−1/p Vp,α (G) . V (∂G) p,α−τ p (G) p,α

Предположим, что оценка (4.3.9) неверна. В таком случае существует последовательность функций 2 {uj }∞ j=1 ⊂ Vp,α (G) такая, что ³ ´ kuj kVp,α + ku k + ku k 2 (G) > j kLuj kV 0 0 (G) . 2−1/p j j V (G) p,α V (∂G) p,α−τ p p,α

После нормирования kuj kVp,α 2 (G) = 1 получим 1 kLuj kVp,α−τ + kuj kV 2−1/p (∂G) + kuj kVp,α . 0 0 (G) 6 p (G) p,α j 2 (G) ,→ V 0 (G) компактно, существует такая подпоследовательность Поскольку вложение Vp,α p,α ∞ {uj 0 }j 0 =1 , что 0 0 uj 0 → u∗ в Vp,α (G) для некоторого u∗ ∈ Vp,α (G).

Кроме того, мы имеем

³ ´ 0 − uj 0 k 2−1/p 0 − uj 0 kV 0 (G) . kui0 − uj 0 kVp,α + ku + ku 2 (G) 6 c kLui0 − Luj 0 kV 0 i i p,α V (∂G) p,α−τ p (G) p,α

∗ 2 Таким образом, {uj 0 }∞ j 0 =1 — последовательность Коши в Vp,α (G). Поэтому функция u принадлежит 2 Vp,α (G) и является нетривиальным решением задачи (L) с f ≡ 0 и ϕ ≡ 0, что противоречит предположению об однозначной разрешимости.

Теорема 4.3.3. Пусть p > N и α ∈ R. Предположим, что выполнены предположения 4.2.1– 2 (G) при 4.2.4 и a(x) 6 0 для всех x ∈ G. Тогда задача (L) имеет единственное решение u ∈ Vp,α всех 0 p 2−1/p f ∈ Vp,α−τ ϕ ∈ Vp,α (∂G), p (G) ∩ L (G), если и только если 0 < 2 − (α + N )/p < λ. Для этого решения справедлива следующая априорная оценка: n o kukVp,α kf kVp,α−τ + kϕk . 2 (G) 6 c 0 2−1/p V (∂G) p (G) p,α

(4.3.10)

74



ДИРИХЛЕ


Доказательство. Докажем существование решения методом продолжения по параметру (см. теорему 1.7.1). Рассмотрим следующее семейство краевых задач, зависящих от параметра t ∈ [0, 1]: ( Lt u := tLu + (1 − t)∆u = f в G, (Lt ) u=ϕ на ∂G. Оператор Lt равномерно эллиптичен с постоянными эллиптичности µt = max{1, µ},

νt = max{1, ν}

и непрерывен как оператор, действующий между следующими банаховыми пространствами: 2 0 2−1/p Lt : Vp,α (G) → Vp,α−τ (∂G). p (G) × Vp,α

Обозначим через ut решение краевой задачи (Lt ) при t ∈ [0, 1]. Покажем, что n o kut kVp,α kf kVp,α−τ + kϕk ∀t ∈ [0, 1], 2 (G) 6 c1 0 2−1/p V (∂G) p (G) p,α

(4.3.11)

где постоянная c1 не зависит от t, ut , f и ϕ. Действительно, запишем уравнение Lt ut = f в виде ¶ µ³ ´ ∂2u ∂u j −τ −τ i −τ −τ ij (x) + |x| a (x) (x) + |x| a(x)u(x) . ∆ut (x) = |x| f (x) − t |x| a (x) − δi ∂xi ∂xj ∂xi (4.3.12) По теореме 3.3.1 имеем n o kut kVp,α k∆ut kVp,α . (4.3.13) 2 (G) 6 c2 0 (G) + kϕk 2−1/p V (∂G) p,α

0 норму правой части равенства (4.3.12), в силу предположения 4.2.4 мы получим, Оценивая в Vp,α что   Z ¡ ¢ k∆ut kpV 0 (G) 6 c3 kf kpV 0 + Ap (|x|) rα |D2 ut |p + r−p |∇ut |p + r−2p |ut |p dx , (G) p,α

p,α−τ p

G

где постоянная c3 зависит только от p и N. Поскольку G = Gd0 ∪ Gd , мы имеем µ ¶ k∆ut kVp,α kf kVp,α−τ + A(d)kut kVp,α , 0 0 (G) 6 c4 2 (Gd ) + sup A(|x|)kut kW 2,p (Gd ) p (G) 0

(4.3.14)

x∈G

где постоянная c4 зависит только от N, p и d. Кроме того, оценка в Lp (см. теорему 4.1.6) решения ut задачи (Lt ) дает неравенство ³ ´ kut kW 2,p (Gd ) 6 c5 kf kLp (Gd/2 ) + kϕkW 2−1/p,p (Γd/2 ) + kut kLp (Gd/2 ) 6 ³ ´ , (4.3.15) 6 c6 kf kVp,α−τ + kϕk + ku k 0 0 2−1/p t (G) (G) V V (∂G) p p,α−2p−1 p,α

где постоянная c5 зависит только от N, p, ν, µ, G, d, модуля непрерывности коэффициентов aij в Gd и норм °Ã !1/2 ° ° ° N X ° ° i 2 ° ° , kakLp/2 (G) , p > N. |a | ° ° ° p ° i=1 L (G)

Рассматривая оценки (4.3.13)–(4.3.15), мы приходим к неравенству ³ ´ kut kVp,α + c kf k + kϕk + ku k 2 (G) 6 c2 c4 A(d)kut k 2 0 0 d 2−1/p 7 t Vp,α−τ p (G) Vp,α−2p−1 (G) . Vp,α (G ) V (∂G) 0

p,α

Для достаточно малых d c2 c4 A(d) 6 1/2 вследствие непрерывности функции A. Следовательно, ³ ´ kut kVp,α + kϕk + ku k 2 (G) 6 2c7 kf kV 0 0 2−1/p t Vp,α−2p−1 (G) . V (∂G) p,α−τ p (G) p,α

(4.3.16)



75

2 (G) ,→ C 0 (G) и ϕ ∈ C 0 (∂G) при 0 < 2 − (α + N )/p. Таким образом, По лемме 1.5.2 мы имеем Vp,α 2 (G) по теореме 4.1.1. По краевая задача (L) имеет не более одного решения в пространстве Vp,α лемме 1.5.1 вложение 2 0 Vp,α (G) ,→ Vp,α−2p−1 (G)

компактно, и мы можем применить стандартные рассуждения о компактности (см. теорему 4.3.2), чтобы избавиться от слагаемого kut kVp,α−2p−1 0 (G) в правой части неравенства (4.3.16). Таким образом, мы получим ³ ´ kut kVp,0 + kϕk . 2 (G) 6 c11 kf kV 0 2−1/p (G) V (∂G) p,α−τ p p,α

Поскольку краевая задача (Lt ) однозначно разрешима при t = 0 по теореме 3.3.1, теорема 1.7.1 позволяет заключить, что задача (Lt ) также однозначно разрешима при t = 1. 4.4.

ЗАМЕЧАНИЯ

Регулярность решений задачи (L) для равномерно эллиптических уравнений с непрерывными по Дини коэффициентами в гладких областях была изучена в работах [113, 199]. Поведение решений задачи (L) вблизи конической точки было изучено для равномерно эллиптических уравнений с непрерывными по Гельдеру коэффициентами в работах [22, 23, 93–96] и для уравнений с непрерывными по Дини коэффициентами в работах [7, 10, 11, 16, 18, 86, 104, 112], содержащих задачи и с другими краевыми условиям (смешанная краевая задача, задача Робэна). Вырожденные эллиптические уравнения были рассмотрены в работе [116]. Излагая результаты этой главы, мы следовали работам [81, 102].

ГЛАВА 5 СИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ 5.1.



Пусть G ⊂ RN — ограниченная область с гладкой границей ∂G. Рассмотрим задачу Дирихле ( aij (x, u, ux )uxi xj + a(x, u, ux ) = 0, aij = aji , x ∈ G, (QL) u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂G (подразумевается суммирование от 1 до N по повторяющимся индексам). Считаем известной величину M0 = max |u(x)|. x∈G

Замечание 5.1.1. По поводу вычисления величины M0 см., например, раздел 10.2 в [27]. Введем множество

¯ © ª M = (x, u, z)¯x ∈ G, u ∈ R, z ∈ RN .

Будем предполагать, что на множестве M коэффициенты задачи (QL) удовлетворяют следующим условиям: (A) условие Каратеодори: a(x, u, z), aij (x, u, z) ∈ CAR, i, j = 1, . . . , N, т. е., (i) функции a(x, u, z) и aij (x, u, z), i, j = 1, . . . , N, измеримы в G по переменной x при любых фиксированных u и z; (ii) функции a(x, u, z) и aij (x, u, z) i, j = 1, . . . , N непрерывны по переменным u и z при почти всех x ∈ G;

76



ДИРИХЛЕ

ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ

(B) условие равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные ν и µ, не зависящие от u и z, такие, что νξ 2 6 aij (x, u, z)ξi ξj 6 µξ 2

∀ξ ∈ RN ;

(C) существуют число µ1 и функции b, f ∈ Lq,loc (G), q > N, не зависящие от u и z, такие, что |a(x, u, z)| 6 µ1 |z|2 + b(x)|z| + f (x). Напомним некоторые хорошо известные факты о решениях рассматриваемой задачи в пространствах W 2,p (G), p > N . Определение 5.1.1. Будем говорить, что ограниченное множество T ⊂ ∂G является множеством типа (A), если существуют две положительные постоянные %0 и θ0 такие, что для каждого шара Br (x0 ), x0 ∈ T, радиуса r 6 %0 и для каждой связной компоненты Gr,i пересечения Br (x0 )∩G выполнено неравенство meas Gr,i 6 (1 − θ0 ) meas Br . 2,N Теорема 5.1.1 (см. раздел 2 в [50]). Пусть функция u ∈ Wloc (G) ∩ C 0 (G) является сильным решением задачи (QL) и выполнены условия (A)–(C). Пусть G — множество типа (A) и ϕ ∈ C β (G), β ∈ (0, 1). Тогда u ∈ C α (G), α ∈ (0, 1), и

|u(x) − ϕ(x)|α,G 6 Mα , где α определяется величинами N, ν, µ, β, θ0 и G, а Mα зависит от тех же величин, а также от µ1 , M0 , kbkN , kf kN и |ϕ|β,∂G . 2,N Теорема 5.1.2 (см. теорему 2.1 в [51]). Пусть функция u ∈ Wloc (G) ∩ C 0 (G) является сильным решением задачи (QL) и выполнены условия (A)–(C). Пусть часть границы T ⊂ ∂G принадлежит классу W 2,q , q > N . Тогда существует постоянная c > 0, зависящая только от N, ν, µ, µ1 , q, kbkq , M0 и области G, такая, что

|∇u|0,T 6 c (1 + kf kq )

¯ при условии ϕ¯T = 0. Введем множество

¯ © ª M(u) ≡ (x, u, z)¯x ∈ G, u = u(x), z = ∇u(x)

и будем предполагать, что в окрестности множества M(u) выполнено следующее условие: (D) функции aij (x, u, z) (i, j = 1, . . . , N ) имеют первые обобщенные производные по всем аргументам, и существуют неотрицательные постоянные µ0 , µ2 , µ3 и k2 и функции g, h ∈ Lq,loc (G \ O),

q > N,

не зависящие от u и z, такие, что ¯ ¯ N X ¯ ∂aij (x, u, z) ∂aik (x, u, z) ¯ ¡ ¢ ¯ 6 µ0 1 + |z|2 −1/2 , ¯ − ¯ ¯ ∂zk ∂zj i,j,k=1

¯N µ ¶¯¯ N ¯X X ∂a (x, u, z) ∂a (x, u, z) ∂a (x, u, z) ∂a (x, u, z) ¯ ¯ ij kj kj ij zk2 − zk zi + zk − zi ¯ 6 ¯ ¯ ¯ ∂u ∂u ∂xk ∂xk i,j=1 k=1 ¡ ¢1/2 6 1 + |z|2 (µ2 |z| + g(x)) , % ∈ (0, d∗ ),   Ã¯ ¯ ! 1/2 ¯ N ¯ N X ¯ ∂aij (x, u, z) ¯2 X ¯ ∂aij (x, u, z) ¯2  ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯  6 h(x), ¯  ∂u ∂xk kg(x)kq,G%

%/2

i,j=1

6 k2 %N/q−1+γ ,

k=1

5.2. ОЦЕНКИ

77

ВБЛИЗИ КОНИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

  ¯ ¯ 1/2 N  X ¯ ∂aij (x, u, z) ¯2  ¯ ¯ ¯ ¯  6 µ3 ,  ∂zk i,j,k=1

где число γ взято из оценки (5.2.1). Теорема 5.1.3 (см. теоремы 4.1 и 4.3 в [50]). Пусть G — ограниченная область в RN с частью границы T ⊂ ∂G класса W 2,q . Пусть функция 2,q (G \ O), u ∈ C 0 (G) ∩ C 1 (G0 ) ∩ Wloc

q > N,

является сильным решением задачи (QL) и выполнены условия (A)–(D). Пусть ϕ ∈ C 1+α (∂G),

α ∈ (0, 1).

Тогда существуют постоянные M1 > 0 и γ ∈ (0, 1), зависящие только от N, ν, µ, µ0 , µ1 , µ2 , µ3 , q, α, kf kq , kbkq , kgkq , khkq , kϕkC 1+α (∂G) , M0 и области G, такие, что неравенство kukC 1+γ (G0 ) 6 M1 справедливо для любых G0 ⊂⊂ (G ∪ T ). 5.2. ОЦЕНКИ


5.2.1. Введение. В этом разделе мы рассмотрим поведение сильных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме вблизи конической точки границы ограниченной области. Сначала мы построим барьерную функцию и, применяя принцип сравнения, получим оценку |u(x)| 6 c0 |x|1+γ

(5.2.1)

при некотором малом γ > 0. Затем, используя метод слоев Кондратьева, а также результаты Ладыженской, Уральцевой и Либермана [50, 51, 159] и оценку (5.2.1), получим оценку |∇u(x)| 6 c1 |x|γ .

(5.2.2)

На основе соотношений (5.2.1) и (5.2.2) мы получим интегральные оценки для второй обобщенной производной решения с неулучшаемым показателем веса. Эти оценки позволяют получить точные оценки модуля решения и модуля градиента решения, оценки в Lq второй обобщенной производной решения с весом, а также установить непрерывность по Гельдеру первой производной решения с неулучшаемым показателем Гельдера. Определение 5.2.1. Сильным решением задачи (QL) называется функция 2,q u ∈ Wloc (G \ O) ∩ C 0 (G),

q > N,

удовлетворяющая уравнению задачи при почти всех x ∈ G и краевым условиям при всех x ∈ ∂G. Величина M0 = max |u(x)| x∈G

считается известной. В дальнейшем будем считать выполненными следующие условия: (S) для любого ε0 > 0 существует d0 > 0 такое, что ¯ o n ³x ´ π ¯ N < − ε0 ⇐⇒ Gd00 ⊂ {xN > 0} =⇒ λ > 1; Gd00 = x ∈ G¯arccos r 2 2−1/q,q 1 (Ad ) a(x, u, z) ∈ CAR, ϕ ∈ W (∂G), aij (x, u, z) ∈ Vq,−τ q (M), i, j = 1, . . . , N, q > N ; (Bd ) существуют положительные постоянные ν и µ, не зависящие от u и z, такие, что ν|x|τ ξ 2 6 aij (x, u, z)ξi ξj 6 µ|x|τ ξ 2

∀ξ ∈ RN , τ > 0;

(Cd ) существуют числа µ1 > 0, k1 > 0 и β > τ − 1 и функции b, f ∈ Lq,loc (G), q > N, не зависящие от u и z, такие, что |a(x, u, z)| 6 µ1 |x|τ |z|2 + b(x)|z| + f (x), b(x) + f (x) 6 k1 |x|β .

78



ДИРИХЛЕ


5.2.2. Барьерная функция. Пусть G0 = G∞ 0 — неограниченный конус такой, что G0 ⊂ {xN > 0}, и пусть Γ0 — его боковая поверхность. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор второго порядка L0 = |x|−τ aij (x)

∂2 ∂xi ∂xj

такой, что aij (x) = aji (x), ν|x|τ ξ 2 6 aij (x)ξi ξj 6 µ|x|τ ξ 2

x ∈ G0 ,

∀x ∈ G0 , ∀ξ ∈ RN , ν, µ = const > 0.

Лемма 5.2.1 (о существовании барьерной функции). Существует число h > 0, зависящее только от G0 , число γ0 и функция w ∈ C 1 (G0 )∩C 2 (G0 ), зависящие только от G0 и постоянных эллиптичности ν и µ оператора L0 , такие, что L0 w(x) 6 −νh2 |x|γ−1 , 0 6 w(x) 6 |x|1+γ ,

x ∈ G0 ,

(5.2.3)

|∇w(x)| 6 2(1 + h2 )1/2 |x|γ ,

x ∈ G0 ,

(5.2.4)

для любого γ ∈ (0, γ0 ]. Доказательство. Положим x0 = (x1 , . . . , xN −2 ),

x = xN −1 ,

y = xN .

В полупространстве y > 0 рассмотрим конус K с вершиной O такой, что K ⊃ G0 (это возможно, поскольку G0 ⊂ {y > 0}). Пусть ∂K — боковая поверхность K, а уравнение множества ∂K ∩ (xOy) имеет вид y = ±hx. В таком случае внутри конуса K справедливо неравенство y > h|x|. Рассмотрим функцию w(x0 ; x, y) = (y 2 − h2 x2 )y γ−1 ,

γ ∈ R.

(5.2.5)

Полагая |x|−τ aN −1,N −1 = a,

|x|−τ aN −1,N = b,

|x|−τ aN,N = c,

мы получим L0 w = awxx + 2bwxy + cwyy , νη 2 6 aη12 + 2bη1 η2 + cη22 6 µη 2 ,

η 2 = η12 + η22

∀η1 , η2 ∈ R.

(5.2.6)

Вычислим оператор L0 на функции (5.2.5): L0 w = −h2 y γ−1 ϕ(γ), 2

t = x/y, |t| < 1/h,

2

ϕ(γ) = 2(a − 2bt + ct ) − (3ct − 4bt + ch−2 )γ − c(h−2 − t2 )γ 2 .

(5.2.7)

Поскольку ϕ(0) = 2(a − 2bt + ct2 ) > 2ν в силу (5.2.6), а функция ϕ(γ) квадратичная, то существует число γ0 > 0, зависящее только от ν, µ и h, такое, что ϕ(γ) > ν для γ ∈ [0, γ0 ]. Теперь утверждение леммы вытекает из соотношений (5.2.5) и (5.2.7).

5.2. ОЦЕНКИ

79


5.2.3. Слабая гладкость решений. Используя функцию, построенную выше, и применяя принцип сравнения (см. теорему 4.1.4), можно оценить функцию u(x) в окрестности конической точки. Не ограничивая общности, будем считать, что ϕ(x) ≡ 0. Теорема 5.2.1. Пусть функция u(x) является решением задачи (QL) и удовлетворяет условиям (S), (Ad ), (Bd ) и (Cd ) на множестве M(u) . Тогда существует неотрицательное число d < d0 , зависящее только от ν, µ, N, k1 , β, γ0 , d0 , M0 и области G, такое, что на множестве Gd0 выполнена оценка (5.2.1) с 0 < γ 6 min(γ0 , β + 1 − τ ),

(5.2.8)

а постоянная c0 зависит только от ν, µ, N, k1 , β, γ0 , d0 , M0 и области G и не зависит от u. Доказательство. Рассмотрим линейный эллиптический оператор e = aij (x) L

∂2 ∂ + ai (x) , ∂xi ∂xj ∂xi

x ∈ G,

где aij (x) = |x|−τ aij (x, u(x), ux (x)),

ai (x) = |x|−τ b(x)|∇u(x)|−1 uxi (x);

полагаем ai (x) = 0, i = 1, . . . , N, если |∇u(x)| = 0. Введем вспомогательную функцию v(x) = −1 + exp(ν −1 µ1 u(x)).

(5.2.9)

В силу условий (Bd ) и (Cd ) имеем ¡ ¢ e Lv(x) ≡ ν −1 µ1 aij (x)uxi xj + ν −1 µ1 aij (x)uxi uxj + |x|−τ b(x)|∇u(x)| exp(ν −1 µ1 u(x)) = ª ¡ ¢ © = ν −1 µ1 |x|−τ (b(x)|∇u(x)| − a(x, u(x), ux (x)) + ν −1 µ1 aij (x)uxi uxj exp ν −1 µ1 u(x) > > −ν −1 µ1 |x|−τ f (x) exp(ν −1 µ1 M0 ). По условию (Cd )

e Lv(x) > −ν −1 µ1 k1 rβ−τ exp(ν −1 µ1 M0 ), x ∈ Gd0 . (5.2.10) Пусть γ0 — число, определенное леммой о барьерной функции, а число γ удовлетворяет неравенe на барьерной функции (5.2.5): ству (5.2.8). Вычислим оператор L ¶ µ ¡ 2 ¢ 2 γ−1 ∂u 0 2 γ−1 −τ −1 2 γ−2 γ ∂u e Lw(x ; x, y) = −h y ϕ(γ) + |x| |∇u| b h (1 − γ)x y + (1 + γ)y − 2h xy 6 ∂y ∂x 6 −νh2 y γ−1 + 2(1 + h)by γ |x|−τ

∀(x0 ; x, y) ∈ G0 .

Возвращаясь к исходным обозначениям и учитывая условие (Cd ), получим ³ ´ e Lw(x) 6 −νh2 + 2(1 + h)k1 d1+β−τ rγ−1 , x ∈ Gd0 . Пусть число d ∈ (0, d0 ) удовлетворяет неравенству ¶1/(1+β−τ ) µ νh2 . d6 4k1 (1 + h) В таком случае

1 e Lw(x) 6 − νh2 rγ−1 , 2

(5.2.11)

x ∈ Gd0 .

(5.2.12)

A > 2k1 µ1 ν −2 h−2 exp(M0 µ1 /ν).

(5.2.13)

Определим число A такое, что Тогда из неравенств (5.2.10), (5.2.12) и (5.2.8) следует, что e e L(Aw(x)) 6 Lv(x),

x ∈ Gd0 .

(5.2.14)

Кроме того, из соотношений (5.2.4) и (5.2.9) вытекает, что Aw(x) > 0 = v(x),

x ∈ Γd0 .

(5.2.15)

80



ДИРИХЛЕ


Сравним теперь функции v и w на множестве Ωd . По условию (S) xN −1 = d sin ϑ,

xN = d cos ϑ,

|ϑ| < π/2 − ε0 , d 6 d0 ,

на множестве G ∩ {r = d} ∩ {xN −1 OxN }; кроме того, существует конус K ⊃ G0 такой, что 0 < h < tg ε0 (см. доказательство леммы о барьерной функции). Из (5.2.5) следует, что ¯ ¯ w¯ > d1+γ (sin ε0 )γ−1 (sin2 ε0 − h2 cos2 ε0 ) > 0. (5.2.16) r=d

С другой стороны, по теореме 5.1.1 имеет место оценка |u(x)| 6 Mα |x|α , где число α ∈ (0, 1) определяется величинами ν −1 , µ, N и областью G, а Mα зависит от тех же величин, а также от M0 , k1 , β и d0 . Следовательно, с помощью известного неравенства et − 1 6 2t, мы получим

¯ ¯ v(x)¯

r=d

0 < t < 1,

6 −1 + exp(ν −1 µ1 Mα dα ) 6 2ν −1 µ1 Mα dα ,

(5.2.17)

если число d настолько мало, что d 6 (2µ1 Mα ν −1 )−1/α . Возьмем достаточно большое число A такое, что

(5.2.18)

A > 2ν −1 µ1 Mα dα−1−γ (sin ε0 )1−γ (sin2 ε0 − h2 cos2 ε0 )−1 ;

(5.2.19)

тогда из неравенств (5.2.16) и (5.2.17) следует, что Aw(x) > v(x),

x ∈ Ωd .

(5.2.20)

Таким образом, если число d ∈ (0, d0 ) удовлетворяет неравенствам (5.2.11) и (5.2.18), число γ удовлетворяет неравенству (5.2.8), а число A удовлетворяет неравенствам (5.2.13) и (5.2.19), то из соотношений (5.2.14), (5.2.15) и (5.2.20) вытекает e e Lv(x) > L(Aw(x)),

x ∈ Gd0 ;

v(x) 6 Aw(x),

x ∈ ∂Gd0 .

Следовательно, по принципу сравнения (см. теорему 4.1.4) мы имеем v(x) 6 Aw(x),

x ∈ Gd0 .

Возвращаясь к функции u(x), из равенства (5.2.9) получим −1 −1 u(x) = νµ−1 1 ln(1 + v(x)) 6 νµ1 ln(1 + Aw(x)) 6 Aνµ1 w(x),

x ∈ Gd0 .

Неравенство u(x) > −Aνµ−1 x ∈ Gd0 , 1 w(x), доказывается аналогично с помощью вспомогательной функции v(x) = 1 − exp(−ν −1 µ1 u(x)). В силу неравенств (5.2.4) теорема доказана. Предположим дополнительно, что в окрестности множества M(u) выполнено следующее условие: (Dd ) функции r−τ aij (x, u, z) (i, j = 1, . . . , N ) удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование локальной априорной оценки |u|1+γ;G0 6 M1 ,

γ ∈ (0, 1),

вблизи гладкой части границы любой гладкой подобласти G0 ⊂⊂ G \ O (см. [27, 40, 50, 51, 78, 159]). При выполнении условия (Dd ), применяя метод слоев, мы можем получить оценку градиента решения вблизи конической точки.

5.2. ОЦЕНКИ

81


Теорема 5.2.2. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (QL), q > N, и на множестве M(u) выполнены условия (S) и (Ad )–(Dd ). Тогда в области Gd0 , 0 < d 6 min(d0 , d), верна оценка (5.2.2) с постоянной c1 , зависящей только от ν −1 , µ, µ0 , µ1 , µ2 , u, q, β, τ, γ, κ1 , κ2 , M0 и области G. Доказательство. Рассмотрим функцию v(x0 ) = ρ−1−γ u(ρx0 ) в слое G11/2 , причем считаем u ≡ 0 вне G. Сделаем замену переменных x = ρx0 в задаче (QL). Функция v(x0 ) удовлетворяет уравнению aij (x0 )vx0i x0j = F (x0 ),

x0 ∈ G11/2 ,

(QL0 )

где aij (x0 ) ≡ (ρ|x0 |)−τ aij (ρx0 , ρ1+γ v(x0 ), ργ vx0 (x0 )), F (x0 ) ≡ −|x0 |−τ ρ1−γ−τ a(ρx0 , ρ1+γ v(x0 ), ργ vx0 (x0 )). Из теоремы 5.1.3 и условий (Ad )–(Dd ) следует, что vrai max |∇0 v| 6 M10 ,

(5.2.21)

G11/2

где M10 зависит только от ν, µ, τ, µ1 , k1 , c0 , M0 , β, γ, N и q. Возвращаясь к старым переменным и используя неравенство (5.2.21), получим |∇u(x)| 6 M10 ργ ,

x ∈ Gρρ/2 .

Полагая |x| = 2ρ/3, мы приходим к требуемой оценке (5.2.2). Теорема доказана. Установим теперь «слабую» гладкость решений задачи (QL) в окрестности конической точки. Теорема 5.2.3. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (QL), q > N, и выполнены условия (S) и (Ad )–(Dd ). Пусть число γ0 определено леммой о барьерной функции. Тогда u ∈ G1+γ (Gd0 ) для некоторого d ∈ (0, min(d0 , d)) и любого γ ∈ (0, γ ∗ ], где γ ∗ = min(γ0 ; β + 1 − τ ; 1 − N/q). Доказательство. Зафиксируем число d ∈ (0, min(d0 , d)) такое, что согласно теоремам 5.2.1 и 5.2.2 выполнены оценки (5.2.1) и (5.2.2). Рассмотрим уравнение задачи (QL0 ) в слое G11/2 для функции v(x0 ) = ρ−1−γ u(ρx0 ). По теореме вложения Соболева—Кондрашова (теорема 1.5.11) sup x0 ,y 0 ∈G11/2 x0 = 6 y0

|∇0 v(x0 ) − ∇0 v(y 0 )| 6 c(N, q, G)kvk2,q;G1 , 1/2 |x0 − y 0 |1−N/q ,

q > N.

(5.2.22)

Покажем, что теорема 4.1.6 об Lq -оценке внутри области и вблизи гладкой части границы применима к решению v(x0 ). Действительно, по условию (Ad ) и по теореме вложения (см. лемму 1.5.2) функции aij (x, u, z) непрерывны на множестве M(u) , т. е. для любого ε > 0 существует такое η(ε), что |aij (x, u(x), ux (x)) − aij (y, u(y), ux (y))| < ε, если |x − y| + |u(x) − u(y)| + |ux (x) − ux (y)| < η(ε) ∀x, y ∈ Gρρ/2 , ρ ∈ (0, d). Условие (Dd ) обеспечивает справедливость локальной априорной оценки внутри области Gρρ/2 и вблизи гладкой части границы Γρρ/2 , т. е. существуют числа κ e > 0 и M1 > 0 такие, что |u(x) − u(y)| + |∇u(x) − ∇u(y)| 6 M1 |x − y|κe

∀x, y ∈ Gρρ/2 , ρ ∈ (0, d).

Кроме того, функции aij (x0 ) непрерывны в G11/2 и, следовательно, равномерно непрерывны. Это означает, что для любого ε > 0 существует δ > 0 (число δ выбираем так, чтобы δd + M1 (δd)κe < η)

82



ДИРИХЛЕ


такое, что |aij (x0 ) − aij (y 0 )| < ε, если |x0 − y 0 | < δ для всех x0 , y 0 ∈ G11/2 . Очевидно, выполнены условия теоремы о локальной Lq -оценке для задачи (QL0 ). По этой теореме Z ³ ¯ ¯q ´ q (5.2.23) kvk2,q;G1 6 c4 |v|q + ρq(1−γ−τ ) ¯a(ρx0 , ρ1+γ v, ργ ux0 )¯ dx0 , 1/2

G21/4

где постоянная c4 зависит только от N, ν, µ, µ1 , γ, τ, β, k1 , q, M0 , M1 , d0 и d и не зависит от v и a. Из оценки (5.2.1) следует, что Z

Z2ρ

Z |v|q dx0 =

G21/4

%−q(1+γ) |u(x)|q %−N dx 6 cq,γ meas Ω G2% %/4

dr 6 cq,γ meas Ω ln 8. r

(5.2.24)

ρ/4

Аналогично, используя условие (Cd ) и оценку (5.2.2), получим Z Z ¯ ¯q 0 q(1−γ−τ ) ¯ 0 1+γ γ q(1−γ−τ )−N ¯ (µ1 |x|τ |∇u|2 + b(x)|∇u| + f (x))q dx 6 ρ a(ρx , ρ v, ρ vx0 ) dx 6 ρ G21/4

G2ρ ρ/4 N q−1 q(1−γ−τ )

62 3

ρ

Z2ρ ³ ´ q qβ−1 q(2γ+τ )−1 q q(β+γ)−1 meas Ω µq1 c2q r + (k c ) r + k r dr 6 1 1 1 1 Gρ/4

6 c(N, q, γ, β, µ1 , c1 , k1 ), (5.2.25) поскольку 0 < γ 6 1 + β − τ . Из оценок (5.2.23)–(5.2.25) вытекает, что kvk2,q;G1

1/2

6 c(N, ν, µ, µ1 , γ, β, k1 , q, M0 , M1 , c0 , c1 ).

(5.2.26)

Из соотношений (5.2.22) и (5.2.26) получим sup x0 ,y 0 ∈G11/2 x0 6=y 0

|∇0 v(x0 ) − ∇0 v(y 0 )| 6 c5 , |x0 − y 0 |1−N/q ,

q > N,

(5.2.27)

где c5 = c(N, ν, µ, µ1 , γ, β, k1 , q, M0 , M1 , c0 , c1 , G). Возвращаясь к переменной x и функции u, имеем sup

x,y∈Gρρ/2 x6=y

|∇u(x) − ∇u(y)| 6 c5 ργ−1+N/q , 1−N/q |x − y| ,

q > N, ρ ∈ (0, d).

(5.2.28)

По условию теоремы q > N/(1 − γ). Полагая τ = γ − 1 + N/q 6 0, из неравенства (5.2.28) получим |∇u(x) − ∇u(y)| 6 c5 ρτ |x − y|γ−τ

∀x, y ∈ Gρρ/2 , ρ ∈ (0, d).

По определению множества Gρρ/2 имеет место неравенство |x − y| 6 2ρ, а значит, |x − y|τ > (2ρ)τ , так как τ 6 0. Следовательно, sup

x,y∈Gρρ/2 ,

|∇v(x) − ∇v(y)| 6 2−γ c5 , |x − y|γ

ρ ∈ (0, d).

(5.2.29)

x6=y

Пусть x, y ∈ Gd0 и ρ ∈ (0, d). Если x, y ∈ Gρρ/2 , то оценка (5.2.29) верна. Если |x − y| > ρ = |x|, то из оценки (5.2.2) следует, что |∇u(x) − ∇u(y)| 6 2ρ−γ |∇u(x)| 6 2c1 . |x − y|γ

5.2. ОЦЕНКИ


83

Из последнего неравенства и оценки (5.2.29) вытекает, что |∇u(x) − ∇u(y)| 6 const . |x − y|γ x,y∈Gd , sup x6=y

0

Это неравенство в совокупности с оценками (5.2.1) и (5.2.2) означает, что u ∈ C 1+γ (Gd0 ). Теорема доказана. 5.2.4. Оценки в весовых пространствах. На основе оценок из раздела 5.2.3 будут получены интегральные оценки вторых обобщенных производных с весом и найден неулучшаемый показатель веса. Для простоты считаем, что ϕ(x) ≡ 0. Теорема 5.2.4. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (QL), q > N, и на множестве M(u) выполнены условия (S) и (Ad )–(Dd ). Пусть, кроме того, выполнено следующее условие: (A0 ) существует монотонно возрастающая неотрицательная функция A(r), непрерывная в нуле и такая, что A(0) = 0 и  1/2 N ¯ ¯2 X ¯ −τ j¯  ¯|x| aij (x, u(x), ux (x)) − δi ¯  6 A(|x|) i,j=1

при x ∈ G. Тогда существуют положительные числа d и c2 , не зависящие от u(x) и такие, что если 0 b, f ∈ V2,α−2τ (G) и 4 − N − 2λ < α 6 2, (5.2.30) d/2

2 (G то u ∈ V2,α 0 ) и выполнено неравенство Z Z ¡ 2 ¢ ¡ α 2 ¢ α−2 2 α−4 2 u + |∇u|2 + rα−2τ (b2 (x) + f 2 (x)) dx, r uxx + r |∇u| + r u dx 6 c2

(5.2.31)

2/d

d/2

G0

G0

где числа d и c2 зависят только от N, ν, µ, µ1 , γ, β, τ, k1 , q, d0 , d, M0 , M1 , λ, α и области G. Доказательство. (1) Пусть 2 − N 6 a 6 2. В этом случае из оценок (5.2.1) и (5.2.2) следует, что Z ¡ α−2 ¢ r |∇u|2 + rα−4 u2 dx 6 c(α, N, γ)dα+N −2+2γ .

(5.2.32)

Gd0

Перейдем к доказательству оценок второй обобщенной производной решения с весом. Зафиксируем число d ∈ (0, min(d, d0 )] и рассмотрим множества G(k) , k = 0, 1, 2, . . .. Выполним замену переменных ³ ´ ³³ ´ ´ x = 2−k d x0 , u 2−k d x0 = v(x0 ) в уравнении задачи (QL). В результате область G(k) пространства (x1 , . . . , xN ) переходит в область G11/2 пространства (x01 , .., x0N ), а уравнение принимает вид aij (x0 )vx0i x0j = F (x0 ), где ³ ´−τ ³³ ´ ´ aij (x0 ) ≡ 2−k d |x0 |−τ aij 2−k d x0 , v(x0 ), d−1 2k vx0 , ³ ´2−τ ³³ ´ ´ F (x0 ) ≡ − 2−k d |x0 |−τ a 2−k d x0 , v(x0 ), d−1 2k vx0 .

84



ДИРИХЛЕ


К его решению применим L2 -оценку внутри области и вблизи гладкой части границы (возможность такой оценки была обоснована при доказательстве теоремы 5.2.3, см. неравенство (5.2.23)), мы получим Z Z ¡ 2 0 ¢ vx20 x0 dx0 6 c4 v (x ) + F 2 (x0 ) dx0 , (5.2.33) G11/2

G21/4

где постоянная c4 зависит только от величин, указанных в оценке (5.2.23), и не зависит от v и F . Вернемся к старым переменным в неравенстве (5.2.33); учитывая определение множеств G(k) , получим Z Z ¡ α−4 2 ¢ α 2 r uxx dx 6 c4 r u + rα−2τ a2 (x, u, ux ) dx. (5.2.34) G(k)

G(k−1) ∪G(k) ∪G(k+1)

Суммируя неравенства (5.2.34) по k = 0, 1, .., [log2 (d/ε)], имеем Z

Z rα u2xx dx

6 c4

¡ α−4 2 ¢ r u + rα−2τ a2 (x, u, ux ) dx ∀ε ∈ (0, d).

(5.2.35)

G2d ε/4

Gdε

Учитывая конечность интеграла (5.2.32), условие (Cd ) и оценку (5.2.2), из неравенства (5.2.35) получим Z

Z rα u2xx dx

6 c4 c(γ, d, c1 )

Gdε

¡ α−4 2 ¢ r u + rα−2τ f 2 (x) + rα−2τ b2 (x) + rα−2 |∇u|2 dx ∀ε > 0, (5.2.36)

G2d 0

причем постоянная c4 не зависит от ε. Следовательно, по теореме Фату можно перейти к пределу в (5.2.36) при ε → +0, откуда Z

Z rα u2xx dx

6 c4

¡ α−4 2 ¢ r u + rα−2τ f 2 (x) + rα−2τ b2 (x) + rα−2 |∇u|2 dx.

(5.2.37)

G2d 0

Gd0

2 (Gd ). Из неравенств (5.2.37) и (5.2.32) следует, что u ∈ V2,α 0 Докажем оценку (5.2.31). Пусть ζ(r) срезающая функция на отрезке [0, d] такая, что

ζ ∈ C 2 [0, d],

ζ(r) ≡ 1 при r ∈ [0, d/2], ζ ≡ 0 при r > d;

0 6 ζ(r) 6 1 при r ∈ [d/2, d];

ζ(d) = ζ 0 (d) = 0.

Умножим обе части уравнения задачи (QL) на ζ 2 (r)rα−2−τ u(x) и проинтегрируем результат по области Gd0 . Дважды интегрируя по частям, получим Z ζ 2 (r)rα−2 |∇u|2 dx + Gd0

2−α (N + α − 4) 2

Z

Z ζ 2 (r)rα−4 u2 (x)dx =

Gd0 2

((N + 2α − 5)ζζ 0 rα−3 + ζζ 00 rα−2 + ζ 0 rα−2 )u2 (x)dx +

= Gdd/2

Z

+ Gd0

³ ´ ζ 2 (r)rα−2 u(x) {r−τ aij (x, u, ux ) − δij }uxi xj + r−τ a(x, u, ux ) dx. (5.2.38)

5.2. ОЦЕНКИ

85


Из условия (A0 ), неравенства Коши и неравенства (5.2.37) следует Z n o j 2 α−2 −τ ζ (r)r r aij (x, u, ux ) − δi uuxi xj dx 6 Gd0

Z 2

6

A(r)ζ (r)r

α−2

1 |u| · |uxx |dx 6 A(d) 2

Gd0

1 6 (1 + c4 )A(d) 2

Z

¡ α 2 ¢ r uxx + rα−4 u2 dx 6

Gd0

Z

¡ α−4 2 ¢ r u + rα f 2 (x) + rα b2 (x) + rα−2 |∇u|2 dx. (5.2.39)

G2d 0

Из условия (Cd ), оценок (5.2.1) и (5.2.2) и неравенства Коши вытекает Z Z ζ 2 (r)rα−2−τ u(x)a(x, u, ux )dx 6 µ1 c0 d1+γ ζ 2 (r)rα−2 |∇u|2 dx + Gd0

1 + (c1 dγ + δ) 2

Gd0

Z 2

ζ (r)r

1 u (x)dx + c1 dγ 2

Z

α−4 2

Gd0

ζ 2 (r)rα−2τ b2 (x)dx + Gd0

1 + 2δ

Z

ζ 2 (r)rα−2τ f 2 (x)dx ∀δ > 0. (5.2.40) Gd0

Из соотношений (5.2.38), (5.2.39) и (5.2.40) следует, что Z Z 2−α 2 α−2 2 ζ (r) r |∇u| dx + (N + α − 4) ζ 2 (r) rα−4 u2 (x) dx 6 2 Gd0

Z 6 cδ (A (d) + δ + dγ )

Gd0

¡ α−2 ¢ r |∇u|2 + rα−4 u2 dx + c8

G2d 0

Z + c7

Z

¡ ¢ rα−2τ b2 + f 2 dx +

G2d 0

¡ ¢ |∇u|2 + u2 dx

∀δ > 0, (5.2.41)

G2d d/2

где c6 = c(µ1 , c0 , c1 , c4 ), c7 = c(µ1 , c0 , c1 , c4 , N, α, γ, d), c8 = c(δ, γ, c1 , c4 , d). Если N + α − 4 6 0, используем неравенство (2.3.3); в результате получим Z Z α−2 2 γ C (λ, N, α) r |∇u| dx 6 c9 (A (d) + δ + d ) rα−2 |∇u|2 dx + G2d 0

d/2

G0

Z + c10

¡ ¡ ¢¢ |∇u|2 + u2 + rα−2τ b2 + f 2 dx

∀δ > 0, (5.2.42)

G2d 0

где C(λ, N, α) = 1 −

2−α (4 − N − α)H(λ, α, N ) > 0 2

в силу (5.2.30), c9 = c(µ1 , c0 , c1 , c4 , N, α, λ),

c10 = c(µ1 , c0 , c1 , c4 , N, α, γ, d, δ).

Выберем числа δ и d так, что 1 δ = c−1 C(λ, N, α), 4 9 1 c9 (A(d) + dγ ) 6 C(λ, N, α). 4

(5.2.43) (5.2.44)

86



ДИРИХЛЕ


Тогда из неравенства (5.2.42) окончательно получим оценку Z Z ¡ ¡ ¢¢ 2c10 α−2 2 r |∇u| dx 6 |∇u|2 + u2 + rα−2τ b2 + f 2 dx, C (λ, α, N )

(5.2.45)

G2d 0

d/2

G0

справедливую только для тех d ∈ (0, min(d0 , d)), которые удовлетворяют неравенству (5.2.44) и определяются по непрерывности функции A(r) в нуле. Из соотношений (5.2.45), (5.2.37) и (2.3.3) следует (5.2.31). (2) Пусть 4 − N − 2λ < α < 2 − N .

◦

◦

d/2

По условию (Cd ) имеют место включения b, f ∈ W 02−N (Gd0 ); следовательно, u ∈ W 22−N −2τ (G0 ), т. е. Z ¡ 2−N 2 ¢ r uxx + r−N |∇u|2 + r−N −2 u2 dx < ∞, (5.2.46) d/2

G0

что было доказано в случае (1). Рассмотрим функцию rε (x), определенную в разделе 1.4. Рассмотрим снова неравенство (5.2.33). Умножим обе его части на (2−k d + ε)α−2 , ε > 0, и используем неравенство 2−k−1 d + ε < r + ε < 2−k d + ε в G(k) . Тогда в старых переменных получим Z Z 2 α−2 2 r (r + ε) uxx dx 6 c4

¡ −2 ¢ r (r + ε)α−2 u2 + (r + ε)α a2 (x, u, ux ) dx.

G(k−1) ∪G(k) ∪G(k+1)

G(k)

По следствию 1.4.1 отсюда вытекает Z r2 rεα−2 u2xx dx 6 c4

Z

¡ −2 α−2 2 ¢ r rε u + rεα a2 (x, u, ux ) dx.

G(k−1) ∪G(k) ∪G(k+1)

G(k)

Суммируя эти неравенства по всем k = 0, 1, 2 . . . , получим Z Z ¡ −2 α−2 2 ¢ 2 α−2 2 r rε u + rεα a2 (x, u, ux ) dx. r rε uxx dx 6 c4 Gd0

(5.2.47)

G2d 0

Умножим обе части уравнения задачи (QL) на ζ 2 (r)r−τ rεα−2 u(x) и проинтегрируем по множеству Gd0 ; дважды применяя формулу интегрирования по частям, получим Z Z 2−α 2 α−2 2 ζ (r)rε |∇u| dx = (4 − N − α) ζ 2 (r)rεα−4 u2 (x)dx + 2 Gd0

Z +

Gd0

³

u2 (x) 2 (α − 2) ζζ 0 (xi − εli )

Gdd/2

Z +

ζ 2 (r)rεα−2 u(x)

´ xi α−4 2 rε + N ζζ 0 r−1 rεα−2 + ζ 0 rεα−2 + ζζ 00 rεα−2 dx + r

³³ ´ ´ r−τ aij (x, u, ux ) − δij uxi xj + r−τ a (x, u, ux ) dx. (5.2.48)

Gd0

В силу условия (A0 ) и неравенства Коши получаем Z Z j 2 α−2 −τ ζ (r)rε (r aij (x, u, ux ) − δi )uuxi xj dx 6 ζ 2 (r)A(r)rεα−2 (r|uxx |)(r−1 |u|)dx 6 Gd0

Gd0

1 6 A(d) 2

Z

Gd0

¡ 2 ¢ ζ (r)r2 rεα−2 u2xx + ζ 2 (r)r−2 rεα−2 u2 dx. (5.2.49)

5.2. ОЦЕНКИ

87


Аналогично, в силу условия (Cd ) с помощью оценок (5.2.1) и (5.2.2) следует Z ζ 2 (r)rεα−2 u(x)r−τ a(x, u, ux )dx 6 Gd0

Z 6 c10 µ1 d

1+γ

ζ Gd0

1 + c1 dγ 2

2

(r)rεα−2 |∇u|2 dx

1 + (c1 dγ + δ) 2

Z ζ 2 (r)rεα r−2τ b2 (x)dx +

Gd0

1 2δ

Z ζ 2 (r)rεα−4 u2 dx +

Gd0

Z

ζ 2 (r)rεα r−2τ f 2 (x)dx ∀δ > 0. (5.2.50) Gd0

Из (5.2.47)–(5.2.50) с учетом свойств функций rε (x) (см. раздел 1.4) и ζ(r) мы получим Z Z α−2 2 rε |∇u| dx 6 c12 (µ1 , c1 , c4 , γ, d, δ) rεα (x)r−2τ (b2 + f 2 )dx + G2d 0

d/2

G0

+

1 ((δ + c1 dγ ) + (2 − α)(4 − N − α)) 2

Z rεα−4 u2 dx + d/2

G0

³ ´ Z 1+γ 2 2 2(γ+τ ) rεα−2 |∇u|2 dx + + c11 (µ1 , c0 , c1 , c4 , γ) d + (d + ε )d A(d) d/2

G0

1 + (1 + c4 )A(d) 2

Z r−2 rεα−2 u2 dx. (5.2.51)

G2d 0

Второй интеграл справа оценим с помощью неравенства (2.3.8); последний интеграл оценим по лемме 2.3.4 (см. неравенство (2.3.9)). В результате получим µ Z 1 α−2 2 rε |∇u| dx 6 C(λ, N, α) (δ + c1 dγ )H(λ, α, N ) + 2 d/2

G0

+ c13 d

¶ Z (1 + c4 )32−α rεα−2 |∇u|2 dx + + A(d) 2λ(λ + N − 2)

1+γ

d/2

Z + c14

G0

¡ 2 ¢ u + |∇u|2 + rα−2τ f 2 (x) + rα−2τ b2 (x) dx ∀δ > 0, (5.2.52)

G2d 0

где постоянная C(N, λ, α) — та же, что и в неравенстве (5.2.42). Выберем числа δ и d такие, что   C(λ, α, N )    δ = 2H(λ, α, N ) , (5.2.53) µ ¶  1 1 (1 + c4 )32−α  γ 1+γ  6 C(λ, α, N ).   2 λ(λ + N − 2) A(d) + c1 d H(λ, α, N ) + c13 d 4 Тогда из неравенства (5.2.52) следует Z Z ¡ 2 ¢ 2c14 α−2 2 rε |∇u| dx 6 u + |∇u|2 + rα−2τ f 2 (x) + rα−2τ b2 (x) dx ∀ε > 0. C (λ, α, N ) d/2 G0

(5.2.54)

G2d 0

Наконец, из оценок (5.2.47) и (2.3.8), условия (Cd ) и неравенств (5.2.1), (5.2.2) и (5.2.54) получаем Z Z 2 α−2 2 α−2 2 α−4 2 (r rε uxx + rε |∇u| + rε u )dx 6 c2 (u2 + |∇u|2 + rα−2τ f 2 (x) + rα−2τ b2 (x))dx (5.2.55) d/2

G0

G2d 0

88



ДИРИХЛЕ


для любого ε > 0, где c2 = c(N, λ, α, ν, µ, µ1 , γ, β, k1 , q, M0 , d0 , d) не зависит от ε. Неравенство (5.2.55) выполнено для тех чисел d ∈ (0, min(d0 , d)], которые удовлетворяют неравенству (5.2.53) и определяются по непрерывности функции A(d) в нуле. Переходя к пределу в неравенстве (5.2.55) при ε → +0 и применяя теорему Фату, получим оценку (5.2.31). Теорема 5.2.5. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (QL), q > N, и выполнены условия теоремы 5.2.4 с α = 4 − N. Кроме того, пусть функция A(r) непрерывна по Дини в нуле и β > λ + τ − 2. Тогда существуют положительные числа d и c15 , не зависящие от u(x) и определяемые только величинами из условий (Ad )–(Cd ) и областью G, такие, что ◦

d/2

u ∈ W 24−N (G0 ) и выполнено неравенство |u| ◦ 2

W 4−N (Gρ0 )

6 c15 ρλ ,

ρ ∈ (0, d/2).

(5.2.56)

d/2

2 Доказательство. Принадлежность u ∈ W4−N (G0 ) следует из теоремы 5.2.4; остается доказать оценку (5.2.56). Пусть Z U (ρ) ≡ r2−N |∇u|2 dx. (5.2.57) Gρ0

Умножая обе части уравнения задачи (QL) на r2−N −τ u(x) и интегрируя по области Gρ0 , где ρ ∈ (0, d/2), мы получим ! ¯ Z Ã ∂u ¯¯ N −2 2 U (ρ) = ρu (ρ, ω) u (ρ, ω) dω + + ∂r ¯r=ρ 2 Ω Z ´ ³n o + u(x)r2−N r−τ aij (x, u, ux ) − δij ) uxi xj + r−τ a(x, u, ux ) dx. (5.2.58) Gρ0

Оценим сверху каждый из интегралов в справа. Первый интеграл справа оценен в следствии 2.3.6. В силу условия (Cd ), неравенства Коши с δ = ρε , ε > 0, и оценок (5.2.1) и (5.2.2), имеем Z Z ¢ 1 γ ¡ −N 2 2−N −τ 1+γ r u(x)r a(x, u, ux )dx 6 µ1 c0 ρ U (ρ) + c1 ρ r u + r4−N −2τ b2 (x) dx + 2 Gρ0

+

1 2

Z

Gρ0

¡ ε −N 2 ¢ ρ r u + ρ−ε r4−N −2τ f 2 (x) dx. (5.2.59)

Gρ0

Используя неравенство (2.3.3) с α = 4 − N и учитывая условие (Cd ), получим ¶ µ Z 1 ε γ 2−N −τ 1+γ r u(x)a(x, u, ux )dx 6 µ1 c0 ρ + H(λ, N, 4 − N )(ρ + c1 ρ ) U (ρ) + 2 Gρ0

+

1 + c1 2 k meas Ωρ2s−ε , (5.2.60) 4λ 1

где ε > 0 и s = β − τ + 2 > λ. Отсюда в силу условий (A0 ) и (Cd ), неравенства Коши и неравенств (5.2.37) и (2.3.3) при α = 4 − N мы получим Z Z ³ ´ ¡ 4−N 2 ¢ 1 j 2−N τ r uxx + r−N u2 dx 6 r u (x) r aij (x, u, ux ) − δi uxi xj dx 6 A (%) 2 Gρ0

Gρ0

c4 1 6 H(λ, N, 4 − N )A(%)U (ρ) + (H(λ, N, 4 − N ) + 1)A(ρ)U (2ρ) + 2 2 k 2 c4 + 1 meas ΩA(ρ)(2ρ)2s . (5.2.61) 4λ

5.2. ОЦЕНКИ


89

Из равенства (5.2.58), следствия 2.3.6 и неравенств (5.2.60) и (5.2.61) вытекает, что функция U (ρ) удовлетворяет уравнению задачи Коши (CP ) с µ ¶ 2λ A(ρ) A(ρ) γ−1 ε−1 P(%) = −c % +% + , N (%) = c , % % % Q(%) = ck12 %2s−ε−1 , s > λ, ε ∈ (0, 2(s − λ)), Z c2 meas Ω 2(γ+2) V0 = r4−N |∇u|2 dx 6 1 d . 2(2 + γ) Gd0

По теореме 1.8.1 справедлива оценка (1.8.1), откуда следует неравенство U (ρ) 6 cρ2λ (см. доказательство теоремы 4.2.3 в случае (1)). Это неравенство вместе с неравенствами (5.2.36) и (2.3.3) дает требуемую оценку (5.2.56). 5.2.5. Поточечные оценки и Lp -оценки решения и градиента решения. Уточним показатель γ в оценках (5.2.1) и (5.2.2) и найдем точный показатель Гельдера для первой обобщенной производной сильного решения в окрестности конической точки O. Напомним, что ϕ(x) ≡ 0. Теорема 5.2.6. Пусть функция u(x) является сильным решением задачи (QL), q > N, и известна величина M0 = max |u(x)|. Пусть на множестве M(u) выполнены условия (S), (A0 ) x∈G

и (Ad )–(Cd ). Кроме того, предположим, что функция A(r) непрерывна по Дини в нуле и β > λ + τ − 2 > −1. Тогда существуют неотрицательные числа d 6 d∗ = min(d, d), c0 , c1 , c2 и c3 , не зависящие от u(x) и определяемые только величинами N, λ, ν, µ, µ1 , β, τ, k1 , q, M0 , M1 , d0 , d и областью G, такие, что справедливы следующие утверждения: (1) |u(x)| 6 c0 |x|λ , ◦

|∇u(x)| 6 c1 |x|λ−1 ,

d/2

(2) u ∈ W 24−N (G0 ) и kuk ◦ 2

W 4−N (Gρ0 )

d/2

x ∈ G0 , если λ > 1;

6 c2 ρλ , 0 < ρ < d/2; d/2

2 (G (3) если α + q(λ − 2) + N > 0, то u ∈ Vq,α 0 ) и λ−2+ α+N q

kukVq,α 2 (Gρ ) 6 c3 ρ 0 (4) если 1 < λ < 2 и q >

,

0 < ρ < d/2;

N d/2 , то u ∈ C λ (G0 ). 2−λ

Доказательство. Утверждение (2) было доказано в теореме 5.2.5. Чтобы доказать остальные ρ 0 утверждения, рассмотрим множества Gρρ/2 и G2ρ ρ/4 ⊃ Gρ/2 . Выполним замену переменных x = ρx в уравнении задачи (QL). Функция v(x0 ) = ρ−λ u(ρx0 ) удовлетворяет следующему уравнению в G21/4 : aij (x0 )vx0i x0j = F (x0 ), где

x0 ∈ G11/2 ,

(QL0 )

³ ´ aij (x0 ) ≡ (ρ|x0 |)−τ aij ρx0 , ρλ v(x0 ), ρλ−1 vx0 (x0 ) , ³ ´ F (x0 ) ≡ −|x0 |−τ ρ2−λ−τ a ρx0 , ρλ v(x0 ), ρλ−1 vx0 (x0 ) .

Применяя теорему 4.1.6 к решению v(x0 ) (из доказательства теоремы 5.2.3 следует, что это возможно), мы получим Z ³ ¯ ³ ´¯q ´ ¯ ¯ (5.2.62) |v|q + ρ(2−λ−τ )q ¯a ρx0 , ρλ v, ρλ−1 vx ¯ dx0 ∀q > 1, |v|q2,q;G1 6 c4 1/2

G21/4

где постоянная c4 не зависит от v и a.

90



ДИРИХЛЕ


Пусть 2 6 N < 4. В силу оценки (5.2.56) получим Z ¡ 4−N 2 ¢ 2 −2λ kvk2,2;G1 6 c(N )ρ r uxx + r2−N |∇u|2 + r−N u2 dx 6 c(N )c215 . 1/2

Gρρ/2

Из теоремы вложения Соболева следует, что sup |v(x0 )| 6 c(N, q)kvk2,2;G1

1/2

x0 ∈G11/2

6 c(N, q)c15 = c0 ,

т. е. |u(x)| 6 c0 ρλ ,

x ∈ Gρρ/2 .

Полагая |x| = 3ρ/4, мы получим первую оценку из утверждения (1) теоремы. Вторая оценка следует из теоремы 5.2.2 при γ = λ − 1. Пусть N > 4. В этом случае применим локальный принцип максимума (см. теорему 4.1.5): Ã ! ° ³ ´° ° ° sup |v(x0 )| 6 c(N, ν −1 , µ) kvk2,G2 + ρ2−λ−τ °a ρx0 , ρλ v, ρλ−1 vx0 ° 2 . (5.2.63) N,G1/4

1/4

x0 ∈G11/2

Оценим слагаемые в правой части неравенства (5.2.63). Первое слагаемое оценивается описанным выше способом (см. неравенство (5.2.56)): Z r−N u2 dx 6 2N c215 . (5.2.64) kvk22,G2 6 2N ρ−2λ 1/4

G2ρ ρ/4

Используя условие (Cd ) и неравенство (5.2.2), имеем Z ¯ ³ Z ´¯N ¡ N Nτ ¢ 1 N ¯ ¯ 0 λ λ−1 0 µ1 r |∇u|2N + f N (x) + bN (x)|∇u|N r−N dx 6 ¯a ρx , ρ v, ρ vx0 ¯ dx 6 6 3 G21/4

1 6 6N 3

Z ³

G2ρ ρ/4

¡ 2−N ¢¡ ¢ µN |∇u|2 r−2 |∇u|2N −2 rN τ + 1 r

G2ρ ρ/4

´ ´ ¡ ¢³ + r2−N |∇u|2 k1N rβN −2 |∇u|N −2 +k1N rβN −N dx 6 ³ ´ Z 1 2N −2 2γ(N −1)−2 N τ N N −2 γ(N −2)+βN −2 r2−N |∇u|2 dx + c ρ % + k c ρ 6 6N µN 1 1 1 1 3 G2ρ ρ/4

³ ´ + (3βN )−1 (6k)N meas Ω 2βN − 2−βN ρβN ,

ρ ∈ (0, d/2). (5.2.65)

Отсюда, учитывая неравенство (5.2.56), мы получим ° ° 2(λ−γ−1) 2(λ−γ−1) ° ° + c17 ρ2−λ+γ+β−τ + N + ρ2−λ−τ °a(ρx0 , ρλ v, ρλ−1 vx0 )° 2 6 c16 ρ2−λ+2γ+ N N,G1/4

+ c18 ρβ+2−λ−τ ,

ρ ∈ (0, d/2). (5.2.66)

Из неравенств (5.2.63), (5.2.64) и (5.2.66) и соотношения β > λ + τ − 2 > −1 следует, что sup |v(x0 )| 6 c19 + c20 ρ2−λ+2(λ−1)/N +2γ(N −1)/N .

(5.2.67)

x0 ∈G11/2

Напомним, что λ > 1, а число γ > 0 определяется теоремой 5.2.1. Как и в случае 2 6 N < 4, для доказательства утверждения (1) теоремы достаточно доказать оценку (5.2.68) sup |v(x0 )| 6 M00 = const . x0 ∈G11/2

5.2. ОЦЕНКИ


91

Покажем, что, повторяя процедуру получения оценки (5.2.67) для разных показателей γ конечное число раз, можно получить оценку (5.2.68). Пусть степень числа ρ в оценке (5.2.67) отрицательна (иначе оценка (5.2.67) означает справедливость (5.2.68)). Из (5.2.67) следует, что |u(x)| 6 c21 |x|2+2(λ−1)/N .

(5.2.69)

Эта оценка и теорема 5.2.2 с γ = γ1 , где γ1 = 1 + дают неравенство

2 (λ − 1), N

(5.2.70)

|∇u(x)| 6 c22 |x|γ1 . (5.2.71) Повторим процедуру получения неравенства (5.2.67), используя неравенство (5.2.71) вместо (5.2.2) (т. е. заменяя γ на γ1 ); в результате получим sup |v(x0 )| 6 c19 + c20 ρ2−λ+2(λ−1)/N +2γ1 (N −1)/N .

(5.2.72)

x0 ∈G11/2

Если степень числа ρ отрицательна, то, полагая 2 2(N − 1) γ2 = 1 + (λ − 1) + γ1 , N N мы сначала по теореме 5.2.2 получим неравенство |∇u(x)| 6 c22 |x|γ2 ,

(5.2.73) (5.2.74)

а затем, повторяя описанную процедуру, получим неравенство sup |v(x0 )| 6 c19 + c20 ρ2−λ+2(λ−1)/N +2γ2 (N −1)/N .

(5.2.75)

x0 ∈G11/2

Положим

2(N − 1) 3 > , N > 4, N 2 и рассмотрим следующую числовую последовательность {γk }: γ1 определяется формулой (5.2.70), γ2 = (1 + t)γ1 , γ3 = (1 + t + t2 )γ2 , ... tk+1 − 1 γk+1 = (1 + t + . . . + tk )γ1 = , k = 0, 1, . . .. t−1 Повторяя описанную процедуру k раз, получим t=

sup |v(x0 )| 6 c19 + c20 ρ1−λ+γk+1 ,

ρ ∈ (0, d/2).

(5.2.76)

(5.2.77)

x0 ∈G11/2

Покажем, что для любого N > 4 можно подобрать число k такое, что 1 − λ + γk+1 > 0.

(5.2.78)

Действительно, из определения числовой последовательности {γk } и формулы (5.2.70) следует, что ´ tk+1 − 1 λ − 1 ³ k+1 1 − λ + γk+1 = + 2t − 2 − Nt + N . t−1 N (t − 1) Первое слагаемое справа положительно. Из формулы (5.2.76) вытекает µ ¶ 1 k+1 k+1 k+2 2t − 2 − Nt + N = 2 1− − N > 0, N если ¶ µ 2N − 2 k+1 N > ; N 2 отсюда ln(N/2) k+1> . ln((2N − 2)/N )

92



ДИРИХЛЕ


Следовательно, неравенство (5.2.78) верно при · ¸ ln(N/2) k= , ln((2N − 2)/N )

N > 4,

где [a] — целая часть числа a. Таким образом, утверждение (1) доказано. Докажем утверждение (3) теоремы. Умножим обе части неравенства (5.2.62) на %α−2q , вернемся к переменной x и функции u и перепишем полученное неравенство, заменяя % на 2−k %; затем просуммируем все неравенства по k = 0, 1, . . . . В результате получим Z ¡ α−qτ ¢ q kukV 2 (G% ) 6 c4 r |a(x, u, ux )|q + rα−2q |u|q dx, q > 1. (5.2.79) q,α

0

G2% 0

Учитывая условие (Cd ) и оценку из утверждения (1), получим ³ ´ ³ ´ |a(x, u, ux )|q 6 C(µ1 , k1 , q, N ) rqτ |∇u|2q + rβq |∇u|q + rβq 6 C r2q(λ−1)+qτ + rq(β+λ−1) + rβq . Следовательно, используя неравенство (5.2.79), имеем kukqV 2 (G% ) q,α 0

Z2% ³ ´ 6 C meas Ω rα+q(λ−2) + rα+2q(λ−1) + rα+q(β−τ +λ−1) + rα+(β−τ )q rN −1 dr. 0

Поскольку β > λ + τ − 2 и λ > 1, выполнено rq(β−τ ) < rq(λ−2) . Окончательно получим kukqV 2

% q,α (G0 )

6 C%α+N +q(λ−2)

(5.2.80)

при условии, что α + N + q(λ − 2) > 0. Таким образом, утверждение (3) доказано. Наконец, докажем утверждение (4). По теореме вложения Соболева—Кондрашова (теорема 1.5.11) |∇0 v(x0 ) − ∇0 v(y 0 )| sup 6 c(N, q, G)kvkW 2,q (G1 ) , q > N. 1/2 |x0 − y 0 |1−N/q x0 ,y 0 ∈G1 , 1/2

x0 6=y 0

Возвращаясь к переменной x и функции u, мы получим sup

x,y∈Gρρ/2 ,

|∇u(x) − ∇u(y)| 6 CkukV 2 (G%/4 ) 6 Cρλ−2+N/q , q,0 2% |x − y|1−N/q

q > N, ρ ∈ (0, d),

x6=y

в силу (5.2.80). Дословно повторяя доказательство теоремы 5.2.3 с γ = λ − 1 при условии N + q(λ − 2) 6 0, мы получим справедливость утверждения (4). 5.3.


Включим задачу (QL) в следующее семейство однопараметрических задач: ( aij (x, u, ux )uxi xj + ta(x, u, ux ) = 0, x ∈ G, u(x) = tϕ(x), x ∈ ∂G,

(QLt )

где t ∈ [0, 1]. Будем считать выполненными условия (S), (A0 ) и (Ad )–(Dd ). Кроме того, предположим, что: (M ) для каждого решения ut (x) задачи (QLt ) известна величина M0 = sup |ut (x)|, t ∈ [0, 1]; 0 (G), ϕ ∈ (Ed ) b, f ∈ Vp,−pτ

2− 1 Vp,0 p (∂G),

x∈G

p > N, и τ > 0.

Теорема 5.3.1. Пусть Γd ∈ W 2,p и выполнены условия (S), (A0 ), (Ad )–(Ed ) и (M ). Если либо λ > 2, либо 1 < λ < 2 и N < p < N/(2 − λ), то задача (QLt ) имеет по крайней мере одно 2 (G) при любом t ∈ [0, 1]. решение ut ∈ Vp,0

5.3. РАЗРЕШИМОСТЬ

93

Доказательство. Вначале докажем, что любое решение 2,q ut ∈ Wloc (G) ∩ C 0 (G) ∀t ∈ [0, 1]

при некотором γ ∈ (0, 1) удовлетворяет неравенству |ut (x)|1+γ,G 6 K,

(5.3.1)

с постоянной K, не зависящей от ut (x) и t. Для некоторого достаточно малого d > 0 имеем G = Gd0 ∪ Gd . Из теоремы 5.2.3 следует, что при сделанных предположениях существуют положительные числа d и γ0 такие, что ut ∈ C 1+γ (Gd0 ) и справедлива оценка (5.3.1) при любом γ ∈ (0, γ ∗ ], где γ ∗ = min(γ0 ; β + 1; 1 − N/q). Принадлежность ut ∈ C 1+γ (Gd ) и соответствующая априорная оценка следуют из условия (Dd ), а для строго внутренних подобластей — из теоремы вложения Соболева— Кондрашова (см. теорему 1.5.11). Таким образом, мы доказали, что ut ∈ C 1+γ (G) и справедлива априорная оценка (5.3.1). Оценка (5.3.1) позволяет воспользоваться теоремой Лере—Шаудера о неподвижной точке (теорема 1.7.3). Чтобы применить эту теорему, зафиксируем число γ ∈ (0, 1) и рассмотрим банахово пространство B = C 1+γ (G). Определим оператор T, полагая ut = tTv, 2 (G) для любого v ∈ B линейной задачи: как единственное решение в пространстве Vp,0 ( aij (x)uxi xj = At (x), x ∈ G, u(x) = tϕ(x), x ∈ ∂G,

(Lt )

где

aij (x) = aij (x, v(x), vx (x)), At (x) = −ta(x, v(x), vx (x)). Такое решение существует по теореме 4.3.3; действительно, нетрудно убедиться, что все условия этой теоремы выполнены. В частности, по условию (A) aij (x, v(x), vx (x)) ∈ W 1,p (M),

p > N;

следовательно, по теореме вложения (лемма 1.5.2) получим aij ∈ C 1−N/p (G). Кроме того, для функции ut (x) верна оценка (4.3.10). В силу условия (Cd ) она имеет вид ¶ µ 2 ∀t ∈ [0, 1]. (5.3.2) kut kVp,0 µ1 |∇v| + |∇v|kb(x)kVp,−pτ 2 (G) 6 c 0 0 (G) + kf kVp,−pτ (G) + kϕkV 2−1/p (∂G) p,0

Очевидно, что разрешимость задачи (QLt ) в соответствующем пространстве эквивалентна разрешимости уравнения ut = tTv в банаховом пространстве B. Убедимся, что все условия теоремы Лере—Шаудера о неподвижной точке (теорема 1.7.3) выполнены. Из этой теоремы будет следовать существование неподвижной точки отображения T. Во-первых, покажем, что T является компактным отображением пространства B в себя. Из оценки (5.3.2) вытекает, что оператор T отображает ограниченные множества в пространстве B в 2 (G), которые являются предкомпактными в C 1+γ (G) ограниченные множества в пространстве Vp,0 при γ < 1 − N/p. Таким образом, T является компактным отображением. Покажем, что отображение T непрерывно на B. Пусть последовательность {vk } ⊂ B сходится к v ∈ B. Рассмотрим 2 (G). Известно, что каждое последовательность функций uk = Tvk . По доказанному выше uk ⊂ Vp,0 2 (G) слабо компактно. Сохраним за слабо сходящейся ограниченное множество в пространстве Vp,0 подпоследовательностью обозначение uk (x) и обозначим слабый предел 2 lim uk = u ∈ Vp,0 (G).

k→∞

Имеем

Z

Z g(x)Dα uk (x)dx =

lim

k→∞ G

g(x)Dα u(x)dx, G

|α| 6 2,

0

∀g ∈ Lp (G),

1 1 + = 1. p p0

(5.3.3)

94



Очевидно, что где

ДИРИХЛЕ


p aij k (uk )xi xj − Ak ∈ L (G),

aij k (x) = aij (x, vk (x), vkx (x)),

Ak (x) = −a(x, vk (x), vkx (x)).

Следовательно, Z Z ³ ´ ¡ ¢ 0 ij lim g(x) ak (x)(uk )xi xj − Ak (x) dx = g(x) aij (x)uxi xj − A(x) dx ∀g ∈ Lp (G). k→∞

G

(5.3.4)

G

Действительно, в силу непрерывности функций aij (x, v(x), vx (x)) на M и сходимости vk (x) → v(x) в C 1+γ (G) мы имеем µ ¶ ij (5.3.5) lim ak (x) = lim aij (x, vk (x), vkx (x)) = aij x, lim vk (x), lim vkx (x) = aij (x). k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

Аналогично доказывается, что lim Ak (x) = A(x).

k→∞ 0

Отсюда для любого g ∈ Lp (G) получим Z ¯ ¯ ³ ´ ¯ ij ¯ ij ij g(x) aij (x)(u ) − a (x)u dx 6 sup a (x) − a (x) ¯ · k(uk )xx kp,G kgkp0 ,G + ¯ xi xj k xi xj k k x∈G

G

Z +

¡ ¢ (uk )xi xj − uxi xj aij (x)g(x)dx. (5.3.6)

G

aij g

0 Lp (G)

0

В силу условия (Bd ) имеем ∈ для любой функции g ∈ Lp (G), а из соотношений (5.3.3) следует, что последнее слагаемое в неравенстве (5.3.6) стремится к нулю при k → ∞. По доказан1−N/p (G); следовательно, по теореме Арцела предел (5.3.5) является равномерному выше aij k ∈C ным. Отсюда ¯ ¯ ¯ ij ¯ ij lim sup ¯ak (x) − a (x)¯ = 0. k→∞ x∈G

Кроме того, последовательность {vk (x)} равномерно ограничена в B; поэтому в силу оценки (5.3.2) мы получим k(uk )xx kp,G 6 const при любом k. Следовательно, первое слагаемое справа в неравенстве (5.3.6) также стремится к нулю при k → ∞. Таким образом, Z ³ ´ ij lim g(x) aij (x)(u ) − a (x)u xi xj dx = 0. k xi xj k k→∞

G

Таким же образом получим

Z lim

g(x) (Ak (x) − A(x)) dx = 0.

k→∞ G

Итак, равенство (5.3.4) доказано. Поскольку uk = Tvk , левая часть равенства (5.3.4) равна нулю. Отсюда Z ¡ ¢ 0 g(x) aij (x)uxi xj − A(x) dx = 0 ∀g ∈ Lp (G). G

Следовательно, aij uxi xj = A(x) для почти всех x ∈ G. Кроме того, uk (x) = ϕ(x), x ∈ ∂G, и, 2 (G) и теорему вложения, мы получим u ∈ C 1+γ (G), 0 < γ 6 используя соотношение uk ∈ Vp,0 k 1 − N/p. Отсюда ¯ ¯ ¯ ¯ u(x)¯ = lim uk (x)¯ = ϕ(x). ∂G

k→∞

∂G

Таким образом, равенство u = Tv доказано. Кроме того, lim Tvk (x) = lim uk (x) = u(x) = Tv(x) = T

k→∞

k→∞

µ

¶ lim vk (x) ,

k→∞

6.1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

95

т. е. отображение T непрерывно. Все условия теоремы Лере—Шаудера о неподвижной точке удовлетворены, и теорема 5.3.1 доказана. 5.4. ЗАМЕЧАНИЯ Результаты главы 5 в случае квазилинейных равномерно эллиптических уравнений впервые были получены в работах [2, 8, 9, 11–16, 21, 105, 106]. Результаты главы 5 относятся к задаче (QL), уравнение которой является недивергентным и вырождающимся вблизи конической точки границы области. Такие задачи в негладких областях ранее не были изучены. Результаты раздела 5.2 впервые были доказаны в работе [81], которой мы и следуем. В работе [198] изучена задача Дирихле для вырожденного эллиптического уравнения P0 ∆u + γ(∇P0 , ∇u) = f (x, u, ∇u),

x ∈ G,

где γ > 0 и G ⊂ Rn — шаровой слой. В этой работе получены оценки типа оценок Шаудера и доказано существование единственного классического решения.

ГЛАВА 6 ПОВЕДЕНИЕ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ТРОЙНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ В ОКРЕСТНОСТИ РЕБРА 6.1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ Эта глава посвящена оценкам слабых решений краевых задач для вырождающихся квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Изучается поведение слабых решений первой и смешанной краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с тройным вырождением и коэффициентами, имеющими особенности в окрестности сингулярной точки границы. Пусть G — область в RN , N > 3, ограниченная (N − 1)-мерным многообразием ∂G, и пусть Γ1 и Γ2 — открытые непустые подмногообразия ∂G, обладающие следующими свойствами: Γ1 ∩Γ2 = ∅ и ∂G = Γ1 ∪Γ2 , где Γ1 ∩Γ2 — гладкое (N −2)-мерное подмногообразие, содержащее ребро S Γ0 ⊆ Γ1 ∩Γ2 . Введем разбиение множества {0, 1, 2} на подмножества N и D. Объединение Γj является j∈D S частью границы, где мы рассматриваем граничные условия Дирихле; объединение Γj является j∈N

частью границы, где имеют место граничные условия первого порядка: либо условия Неймана, либо краевые условия третьего рода. В дальнейшем мы предполагаем, что {0, 1} ⊂ D. Если 2 ∈ D, имеет место задача Дирихле; если 2 ∈ N , имеет место смешанная задача. Мы получим почти точные оценки слабых решений в окрестности ребра для задачи  d   − ai (x, u, ux ) + a0 a(x, u, ux ) + b(x, u, ux ) = f (x), x ∈ G, a0 > 0;   dx  i (  ∂G, 2 ∈ D, (BV P ) u(x) = 0, x ∈   ∂G \ Γ2 , 2 ∈ N ;    a (x, u, u )n (x) + σ(x, u) = g(x), x ∈ Γ , если 2 ∈ N i x i 2 (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до N ); здесь ni (x),

i = 1, . . . , N,

— компоненты внешней единичной нормали к Γ2 . Для x = (x1 , . . . , xN ) введем цилиндрические координаты (x, r, ω): q xN −1 x = (x1 , . . . , xN −2 ), r = x2N −1 + x2N , ω = arctg . xN

96

ГЛАВА 6. CЛАБЫЕ

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРОЙНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ В ОКРЕСТНОСТИ РЕБРА

При достаточно малом d > 0 определим множества ¯ © ª Gd0 = G ∩ (x, r, ω)¯ x ∈ RN −2 , 0 < r < d, ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2) , ω0 ∈ (0, 2π), Γdj = Γj ∩ Gd0 ⊂ ∂Gd0 , j = 0, 1, 2, ¯ © ª Ωd = G ∩ (x, r, ω)¯ x ∈ RN −2 , r = d, ω ∈ [−ω0 /2, ω0 /2] ⊂ ∂Gd0 . Будем предполагать, что • ∂G \ Γ0 является гладким подмногообразием в RN ; • существует такое число d > 0, что Γd0 = {(x, 0, 0)| |x| < d} ⊂ Γ0 является ребром, содержащим начало координат; • множество Gd0 локально диффеоморфно двугранному углу ¯ Dd = {(r, ω)¯ 0 < r < d, ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2)} × RN −2 ,

0 < ω0 < 2π;

Gd0

таким образом, мы считаем, что ⊂ G и, следовательно, область G является «клином» в некоторой окрестности ребра; ¯ ¯ ¯ ¯ • ω ¯ = −ω0 /2, ω ¯ = ω0 /2. Γ1

Γ2

Пусть C 0 (G) — множество функций, непрерывных на G, а Lm (G) и W k,m (G), m > 1, — обычные пространства Лебега и Соболева соответственно. Обозначим через N1m,q (ν, ν0 , G) множество функций u ∈ L∞ (G), имеющих первые слабые производные и таких, что конечен интеграл Z ¡ ¢ ν(x)|u|q |∇u|m + ν0 (x)|u|q+m dx < ∞, q > 0, m > 1, (6.1.1) G

где функции ν0 (x) и ν(x) неотрицательны и измеримы в G, причем    ν0−1 ∈ Lt (G), ν −1 ∈ Lt (G), ν0 ∈ Ls (G), µ ¶ µ ¶ 1 1 m 1 1 N   + < , 1 + < m < N 1 + , t > max N, , N > m > 1.  s t N t t m−1

(6.1.2)

Если X(G) — одно из введенных выше пространств, то через X(G, Γ) при любом Γ ⊆ ∂G обозначим подмножество функций u ∈ X(G), обращающихся в нуль на Γ в смысле следов. Введем пространство V следующим образом: ( N1m,q (ν, ν0 , G, ∂G), если (BV P ) является задачей Дирихле, V := 1 Nm,q (ν, ν0 , G, ∂G \ Γ2 ), если (BV P ) является смешанной задачей. Кроме того, при q = 0 обозначим V через V0 . Для любого ε > 0 положим ( (ω0 + ε)/2, если (BV P ) является задачей Дирихле, θε := ω0 + ε, если (BV P ) является смешанной задачей. Обозначим через λ наименьшее положительное число, удовлетворяющее соотношениям +∞ £ ¤ m−4 Z (m − 1)y 2 + λ2 (y 2 + λ2 ) 2 dy = θ0 , m−2 m (m − 1 + q + µ)(y 2 + λ2 ) 2 + λ(2 − m + τ )(y 2 + λ2 ) 2 − a0

(6.1.3)

0

λm (q + m − 1 + µ) + λm−1 (2 − m + τ ) > a0 .

(6.1.4)

Введем следующее обозначение: (|u| − k)+ := max (|u| − k; 0). Будем считать выполненными следующие предположения об уравнении задачи (BV P ). Пусть 1 < m < N, l > N, q > 0 и 0 6 µ < 1 — заданные числа, а α(x), α0 (x) и b0 (x) — неотрицательные функции.


97

(1) функции f (x), α(x), α0 (x), b0 (x) и g(x) измеримы и ν0−1 (α0 + b0 + f ) ∈ Lp (G), α ∈ Lm0 (G), g ∈ Lα (Γ2 ), 1 m 1 1 N −1 1 1 < − − , α> , + 0 = 1; p N t s m − 1 − N/t m m ai (x, u, ξ), i = 1, . . . , N, a(x, u, ξ), b(x, u, ξ) и σ(x, u) — функции Каратеодори, отображающие G × R × N в R и обладающие следующими свойствами: (2) ai (x, u, ξ)ξi > ν(x)|u|q |ξ|m − α0 (x),

a(x, u, ξ)u > ν0 (x)|u|q+m ,

σ(x, u) sign u > 0;

q−1 m (3) |b(x, s u, ξ)| 6 µν(x)|u| |ξ| + b0 (x); n P 1/m0 (4) a2i (x, u, ξ) 6 ν(x)|u|q |ξ|m−1 + ν 1/m (x)ν0 (x)|u|q+m−1 + α(x)ν 1/m (x); i=1

0

1/m

1/m

(5) |a(x, u, ξ)| 6 ν 1/m (x)ν0 (x)|u|q |ξ|m−1 + ν0 (x)|u|q+m−1 + α(x)ν0 Z (6) |σ(x, u)|ds < ∞ при всех u ∈ L∞ (G ∪ Γ2 ).

(x)|u|q ;

Γ2

Далее, предположим, что функции ai (x, u, ξ), a(x, u, ξ), b(x, u, ξ) и σ(x, u) непрерывно дифференцируемы по переменным x, u и ξ на множестве Md,M0 = Gd0 × [−M0 , M0 ] × RN и удовлетворяют следующим соотношениям в Md,M0 : (7) (8)

(9)

∂ai (x, u, ξ) ∂ai (x, u, ξ) =q ξj , i = 1, . . . , N ; ∂u ∂ξj ∂ai (x, u, ξ) pi pj > γm,q ν(x)|u|q |ξ|m−2 p2 при всех p ∈ RN \ {0}; ∂ξj v uN ¯ uX ¯ ∂b(x, u, ξ) ¯¯2 t ¯ 6 ν(x)|u|q−1 |ξ|m−1 ; ¯ ¯ ¯ ∂ξi (m − 1)u

i=1

(10) (11)

∂a(x, u, ξ) ∂σ(x, u) ∂b(x, u, ξ) > ν(x)|u|q−2 |ξ|m , > γm,q ν0 (x)|u|q+m−2 , > 0; ∂u ∂u ∂u s ¯ ¯2 N ¯ ¯ P ¯ai (x, u, ξ) − rτ |u|q |ξ|m−2 ξi ¯ 6 c1 (r)rτ |u|q |ξ|m−1 + ψ1 (r); ¯ ¯ i=1

(12) (13) (14)

¯ ³ ´¯¯ ¯ ∂ai (x, u, ξ) q j τ q m−4 2 ¯ ¯ 6 c2 (r)rτ |u|q |ξ|m−2 + c2 (r)ψ2 (r)|u| m−1 ; − r |u| |ξ| δ |ξ| + (m − 2)ξ ξ i j i ¯ ¯ ∂ξj ¯ ¯ ¯ ∂ai (x, u, ξ) ¯ τ −2 q m−2 ¯ ¯ 6 c3 (r)rτ −1 |u|q |ξ|m−1 + ψ3 (r); − τ r |u| |ξ| x ξ i i ¯ ¯ ∂xi ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯a(x, u, ξ) − rτ −m u|u|q+m−2 ¯ + ¯b(x, u, ξ) + µrτ u|u|q−2 |ξ|m ¯ 6 c4 (r)rκ |u|q |ξ|m−1 + |u|q ψ4 (r); ¯ ¯ ¯ ¯

здесь γm,q > 0, а ci (r) — неотрицательные и непрерывные в нуле функции, причем ci (0) = 0; кроме того, предположим, что существуют числа ki > 0 такие, что ψi (r) 6 ki rβi , i = 1, . . . , 4,  l(N − 1) − N (m − 1) 2   τ − (m − 1) + λ(q + m − 1), β1 =  l(N − m) l    m−2   β2 = τ − m + 2 + λ(q + m − 1) ,   m−1  β3 = τ − m + λ(q + m − 1),   (l − m)N 2   β4 = τ − m + λ(m − 1),   l(N − m) l     l(N − m + 1) − N 2  κ = τ − + ε ∀ε > 0. l(N − m) l

(6.1.5)

98



Замечание 6.1.1. Предположения (11)–(14) по существу означают, что коэффициенты задачи (BV P ) вблизи ребра Γ0 близки к коэффициентам модельного уравнения  − d ¡rτ |u|q |∇u|m−2 u ¢ + a rτ −m u|u|q+m−2 − µrτ |u|q−1 |∇u|m sign u = f (x), xi 0 dxi (M E) 0 6 µ < 1, q > 0, m > 1, a > 0, τ > m − 2. 0

Определение 6.1.1. Функция u(x) называется слабым решением задачи (BV P ), если u ∈ V и u удовлетворяет интегральному тождеству Z Z Z {ai (x, u, ux )φxi + a0 a(x, u, ux )φ + b(x, u, ux )φ} dx = f (x)φdx + {g(x) − σ(x, u)} φds (II) G

G

Γ2

для всех φ ∈ V. Нетрудно проверить, что предположения (1)–(6) вместе с соотношениями (6.1.2) обеспечивают корректность данного определения. Нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения. Лемма 6.1.1. Пусть m# обозначает число, связанное с m следующим образом: µ ¶ 1 1 1 1 1+ − . = # m m t N

(6.1.6)

Пусть выполнены условия (6.1.2). Тогда существуют постоянные c1 > 0, c2 > 0 и c3 > 0, зависящие только от meas G, ω0 , N, m, t, kν0−1 kLt (G) и kν −1 kLt (G) , такие, что Z Z m (6.1.7) ν0 (x)|v| dx 6 c1 ν(x)|∇v|m dx, G

G

 m#  Z Z m  |v|m# dx 6 c2 (ν0 (x)|v|m + ν(x)|∇v|m ) dx G

для любого v ∈ V0 и

(6.1.8)

G

Z

Z q+m

ν0 (x)|u|

ν(x)|u|q |∇u|m dx

dx 6 c3

G

(6.1.9)

G

для любого u ∈ V. Доказательство. Доказательство неравенства (6.1.7) дано в разделе 1.5 в [123]; кроме того, оно следует из утверждений 3.2–3.5 в [190]. Неравенство (6.1.9) получается из (6.1.7) с помощью следующей замены переменных: m . u = v|v|σ−1 , σ= q+m Мы приступим к доказательству неравенства (6.1.8), следуя теореме 3.1 в [190]. Неравенство (6.1.8) будет получено на основе соответствующих неравенств теоремы вложения Соболева (теоремы 1.5.9), а именно если 1 < m < N, то kvk

mN

L N −m (G)

6 CkvkW 1,m (G)

∀v ∈ W 1,m (G).

(6.1.10)

Полагая 1/κ = 1 + 1/t, из (6.1.2) получим 1 < mκ < N,

κ + κ/t = 1.

Используя интегральное неравенство Гельдера с p = 1/κ и p0 = 1/(1 − κ), получим   1  1 mκ m Z Z 1 ° ° −1 −κ m mκ κ kvkLmκ (G) =  |v| ν0 (x)ν0 (x)dx 6 °ν0 (x)°Lmt (G)  ν0 (x)|v| dx . G

G

(6.1.11)


99

Аналогично,

k∇vkLmκ (G)

  1  1 mκ m Z Z 1 ° −1 ° mκ κ −κ m m ° °     = |∇v| ν (x)ν (x)dx 6 ν (x) Lt (G) ν(x)|∇v| dx . G

(6.1.12)

G

Заменяя m на mκ в неравенстве (6.1.10) (и учитывая, что N mκ/(N − mκ) = m# ), получим неравенство ¡ ¢ kvkLm# (G) 6 C kvkLmκ (G) + k∇vkLmκ (G) . Требуемое неравенство (6.1.8) следует из последней оценки и соотношений (6.1.11) и (6.1.12). Лемма 6.1.2. Существует постоянная c4 > 0, зависящая только от N, m, t, G и Γ2 , такая, что  1   1∗ α Z Z  m ∗ α m m  |v| ds 6 c4 (ν0 (x)|v| + ν(x)|∇v| ) dx (6.1.13)   Γ2

G

для любого v ∈ N1m,0 (ν, ν0 , G, ∂G \ Γ2 ), где α∗ =

m(N − 1) . N − m + N/t

(6.1.14)

Доказательство. По теореме о следах для пространств Соболева (теорема 1.5.13) мы имеем kvkLα∗ (Γ2 ) 6 ckvkW 1,mκ (G) , где α∗ задано формулой (6.1.14). Требуемое неравенство (6.1.13) следует из последней оценки и соотношений (6.1.11) и (6.1.12). Из лемм 6.1.1 и 6.1.2 вытекает следующий результат. Следствие 6.1.1. Для любого v ∈ N1m,0 (ν, ν0 , G, ∂G \ Γ2 ) выполнено неравенство   m#   m∗ α Z Z Z m α∗   |v|m# dx  + |v| ds 6 c5 (ν0 (x)|v|m + ν(x)|∇v|m ) dx, G

Γ2

(6.1.15)

G

где постоянная c5 > 0 зависит только от N, m, t, G, Γ2 , kν0−1 kLt (G) и kν −1 kLt (G) . Основным результатом этой главы является следующая теорема. Теорема 6.1.1 (основная теорема). Пусть функция u(x) является слабым решением задачи (BV P ), а λ — наименьшее положительное число, удовлетворяющее соотношениям (6.1.3) и (6.1.4). Предположим, что при m > 2 выполнены условия (6.1.2) и (1)–(14). Пусть существуют неотрицательные постоянные f1 и g1 такие, что ( |f (x)| 6 f1 rτ −m+λ(q+m−1) , x ∈ Gd0 , (6.1.16) |g(x)| 6 g1 rτ −m+1+λ(q+m−1) , x ∈ Γd2 . Тогда для любого ε > 0 существует постоянная cε > 0, зависящая только от параметров и норм функций, фигурирующих в указанных выше предположениях, такая, что |u(x)| 6 cε rλ−ε .

(6.1.17)

100 ГЛАВА 6. CЛАБЫЕ

6.2.


СЛАБЫЙ

ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ.

СИЛЬНЫЙ

ПРИНЦИП МАКСИМУМА

ХОПФА

Докажем слабый принцип сравнения для квазилинейных уравнений, обобщающий соответствующие результаты теоремы 10.7 из главы 10 в [27] и леммы 3.1 из главы 3 в [203] (см. также [185]). Пусть Ω ⊂ RN — ограниченная область с границей ∂Ω = ∂1 Ω ∪ ∂2 Ω, удовлетворяющей условию Липшица. Рассмотрим квазилинейный вырожденный оператор второго порядка Q вида Q(v, φ) ≡

Z D Z D E E Ai (x, vx )φxi + A(x, v)φ + B(x, v, vx )φ − f (x)φ dx + Σ (x, v) − g(x) φds, (6.2.1) Ω

∂2 Ω

определенный на функциях v, φ ∈ N1m,0 (ν, ν0 , Ω, ∂Ω\∂2 Ω), где φ — любая неотрицательная функция, при следующих предположениях. Функции f (x) и g(x) являются суммируемыми на Ω и ∂2 Ω соответственно; функции Ai (x, η), A(x, v), B(x, v, η) и Σ (x, v) являются функциями Каратеодори, непрерывно дифференцируемыми по v и η на множестве M = Ω × R × RN , и удовлетворяют следующим неравенствам в M: (i)

(ii)

∂Ai (x, η) pi pj > γm ν(x)|η|m−2 p2 для всех p ∈ RN \ {0}; ∂ηj v uN ¯ uX ¯ ∂B(x, v, η) ¯¯2 t ¯ 6 ν(x)|v|−1 |η|m−1 ; ¯ ¯ ¯ ∂ηi i=1

∂B(x, v, η) ∂A(x, v) ∂Σ (x, v) > ν(x)|v|−2 |η|m , > γm ν0 (x)|v|m−2 , > 0. ∂v ∂v ∂v Здесь m > 1 и γm > 0, а функции ν0 (x) и ν(x) удовлетворяют соотношениям (6.1.2). (iii)

Теорема 6.2.1. Пусть выполнены предположения (i)–(iii). Пусть функции v, w ∈ N1m,0 (ν, ν0 , Ω, ∂Ω \ ∂2 Ω) удовлетворяют неравенству Q(v, φ) 6 Q(w, φ)

(6.2.2)

для всех неотрицательных φ ∈ N1m,0 (ν, ν0 , Ω, ∂Ω \ ∂2 Ω), и пусть выполнено в слабом смысле неравенство v(x) 6 w(x),

x ∈ ∂Ω \ ∂2 Ω.

(6.2.3)

Тогда v(x) 6 w(x) почти всюду в Ω.

(6.2.4)

Доказательство. Положим z = v − w,

v t = tv + (1 − t)w,

t ∈ [0, 1].

Тогда Z * Z1 Z1 ∂Ai (x, vxt ) ∂A(x, v t ) dt + 0 > Q(v, φ) − Q(w, φ) = φxi zxj dt + zφ ∂vxt j ∂v t Ω

Z1 + φzxi 0

0

∂B(x, v t , vxt ) dt + φz ∂vxt i

0

Z1 0

+ Z Z1 ∂Σ (x, v t ) ∂B(x, v t , vxt ) dt dx + φz dtds (6.2.5) ∂v t ∂v t

для всех неотрицательных φ ∈ N1m,0 (ν, ν0 , Ω, ∂Ω \ ∂2 Ω). Пусть k > 1 — произвольное нечетное число. Введем множество Ω+ := {x ∈ Ω | v(x) > w(x)}.

∂2 Ω

0

6.2. СЛАБЫЙ


СИЛЬНЫЙ


ХОПФА

101

Возьмем функцию φ = max{(v − w)k , 0} в качестве пробной в интегральном неравенстве (6.2.2). В силу предположений (i)–(iii) мы получим  1   1  Z Z Z Z ¯ ¯m−2 ¯ ¯m−2 kγm ν(x)z k−1  ¯∇v t ¯ dt |∇z|2 dx + γm ν0 (x)z k+1  ¯v t ¯ dt dx + 0

Ω+



Z

Z1

ν(x)z k+1 

+

 ¯ t ¯−2 ¯ t ¯m ¯v ¯ ¯∇v ¯ dt dx 6

0

Ω+

Ω+



Z

0

Z1

ν(x)z k 

 ¯ t ¯−1 ¯ t ¯m−1 ¯v ¯ ¯∇v ¯ dt |∇z|dx. (6.2.6)

0

Ω+

Используем неравенство Коши: ¯m−1 ³¯ t ¯−1 k+1 ¯ t ¯m/2 ´ ³ k−1 ¯ ¯−1 ¯ ¯ ¯m/2−1 ´ = ¯v ¯ z 2 ¯∇v ¯ z k |∇z| ¯v t ¯ ¯∇v t ¯ z 2 |∇z| ¯∇v t ¯ 6 ¯ ¯m−2 ε ¯¯ t ¯¯−2 k+1 ¯¯ t ¯¯m 1 v z ∇v + z k−1 |∇z|2 ¯∇v t ¯ 2 2ε Поэтому, полагая ε = 2, из неравенства (6.2.6) получим   1 ¶Z µ Z ¯m−2 ¯ 1 kγm − ν(x)z k−1 |∇z|2  ¯∇v t ¯ dt dx 6 0. 4 6

∀ε > 0.

(6.2.7)

0

Ω+

Выбирая нечетное число k > max(1; 1/2γm ) и учитывая, что z(x) ≡ 0 почти всюду на ∂Ω+ , из неравенства (6.2.7) получаем z(x) ≡ 0 почти всюду в Ω+ . Это противоречит определению множества Ω+ и доказывает неравенство (6.2.4). Замечание 6.2.1. Оператор Q, порожденный модельным уравнением (M E) при q = 0, удовлетворяет предположениям (i)–(iii). Действительно, мы имеем ν(x) = rτ , ν0 (x) = a0 rτ −m , A(x, v) = ν0 (x)v|v|m−2 , Следовательно, ν −1 (x) откуда ν −1 (x) где

Ai (x, η) = ν(x)|η|m−2 ηi ,

B(x, v, η) = −µν(x)v −1 |η|m .

∂Ai (x, η) = δij |η|m−2 + (m − 2)|η|m−4 ηi ηj , ∂ηj

∂Ai (x, η) pi pj = |η|m−2 |p|2 + (m − 2)|η|m−4 (pi ηi )2 > γm |η|m−2 |p|2 , ∂ηj ( 1, m > 2, γm = m − 1, 1 < m 6 2,

т. е. выполнено (i). Далее,

∂B(x, v, η) = −µmν(x)v −1 |η|m−2 ηi , ∂ηi откуда делаем вывод, что выполнено (ii). Наконец, ∂A(x, v) = (m − 1)ν0 (x)|v|m−2 , ∂v и, следовательно, выполнено (iii).

∂B(x, v, η) = µν(x)|v|−2 |η|m , ∂v

Теперь докажем сильный принцип максимума Хопфа (ср. раздел 3.2 в [203]). Кроме условий (i)– (iii), предположим также, что ¯N ¯ ¯N ¯ ¯X ∂A (x, η) ¯ ¯X ¯ ∂Ai (x, η) ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ i (v) |η| · ¯ ¯+¯ ¯ + B(x, v, η) + µν(x)v −1 |η|m ¯ 6 γ˜m ν(x)|η|m−1 ¯ ∂ηi ¯ ¯ ∂xi ¯ i=1

i=1

с некоторыми неотрицательными постоянными γ˜m и µ.



Лемма 6.2.1. Пусть Bd (y) — открытый шар радиуса d > 0 с центром в точке y, содержащийся в Ω ⊂ RN . Пусть функция ³ ´ v ∈ N1m,0 (ν, ν0 , Bd (y)) ∩ C 1 Bd (y) является решением уравнения Z D E Q0 (v, φ) ≡ Ai (x, vx )φxi + B(x, v, vx )φ dx = 0

(6.2.8)

Bd (y)

для всех неотрицательных φ ∈ L∞ (Bd (y)) ∩ W 1,m (Bd (y), ∂Bd (y)) . Пусть выполнены условия (i)–(v). Предположим, что v(x) > 0, x ∈ Bd (y),

v(x0 ) = 0 для некоторого x0 ∈ ∂Bd (y).

(6.2.9)

Тогда |∇v(x0 )| 6= 0.

(6.2.10)

Доказательство. Рассмотрим шаровой слой

© ¯ ª R = Bd (y) \ Bd/2 (y) = x¯ d/2 < |x − y| < d

и функцию 2

2

w(x) = e−σ|x−y| − e−σd , Непосредственным вычислением получаем

x ∈ R, σ > 0. 2

0 6 w(x) 6 e−σ|x−y| , 2

(6.2.11) 2

wxi = −2σ(xi − yi )e−σ|x−y| , |∇w| = 2σ|x − y|e−σ|x−y| , ® 2 wxi xj = 4σ 2 (xi − yi )(xj − yj ) − 2σδij e−σ|x−y| , L(εw) ≡ −

(6.2.12) (6.2.13)

dAi (x, εwx ) + B(x, εw, εwx ) = dxi ∂Ai (x, εwx ) ∂Ai (x, εwx ) wxi xj − = −ε + B(x, εw, εwx ) = ∂(εwxj ) ∂xi 2

= −4εσ 2 e−σ|x−y|

∂Ai (x, εwx ) (xi − yi )(xj − yj ) + ∂(εwxj ) 2

+ 2εσe−σ|x−y|

∂Ai (x, εwx ) ∂Ai (x, εwx ) − + B(x, εw, εwx ) ∀ε > 0. ∂(εwxi ) ∂xi

В силу предположений (i) и (v) отсюда следует, что ® 2 L(εw) 6 −εm−1 ν(x)|∇w|m−2 e−σ|x−y| 4γm |x − y|2 σ 2 − 2˜ γm σ − 4|x − y|˜ γm σ − − µεm−1 ν(x)w−1 |∇w|m

∀ε > 0. (6.2.14)

Из соотношений (6.2.11) и (6.2.12) вытекает |∇w| > 2σ|x − y|. w

(6.2.15)

Тогда из неравенства (6.2.14) получим

® 2 L(εw) 6 −εm−1 ν(x)|∇w|m−2 e−σ|x−y| (γm + µ)d2 σ 2 − 2(1 + 2d)˜ γm σ ∀ε > 0

в слое R. Выберем σ> и получим

2(1 + 2d)˜ γm (γm + µ)d2

L(εw) 6 0 в R ∀ε > 0.

(6.2.16)

6.2. СЛАБЫЙ


СИЛЬНЫЙ


ХОПФА

103

Поскольку v > 0 на ∂Bd/2 (y), существует постоянная ε > 0 такая, что v − εw > 0 на ∂Bd/2 (y). Это неравенство также выполнено на ∂Bd (y), где w = 0. В силу неравенства (6.2.16) мы имеем Z Q0 (εw, φ) = φL(εw)dx 6 0 = Q0 (v, φ). Bd (y)

Таким образом, получим

( Q0 (v, φ) > Q0 (εw, φ) в R, v > εw на ∂R.

(6.2.17)

Согласно слабому принципу сравнения (теорема 6.2.1), из соотношений (6.2.17) следует, что v > εw

всюду в R.

(6.2.18)

Поскольку x0 ∈ ∂Bd (y) и w(x0 ) = 0, то v(x) − v(x0 ) w(x) − w(x0 ) >ε ; |x − x0 | |x − x0 | следовательно, 2

|∇v(x0 )| > ε|∇w(x0 )| = 2εσde−σd > 0. Теорема 6.2.2 (сильный принцип максимума Хопфа). Пусть множество Ω связно, а неотрицательная функция v ∈ N1m,0 (ν, ν0 , Ω) ∩ C 1 (Ω) является слабым решением уравнения Z D E Ai (x, vx )φxi + B(x, v, vx )φ dx = 0 Ω

для всех неотрицательных φ ∈ L∞ (Ω) ∩ W 1,m (Ω, ∂Ω). Предположим, что v(x) 6≡ 0. Пусть выполнены условия (i)–(v). Тогда v(x) > 0, x ∈ Ω. (6.2.19) Доказательство. Пусть v(x0 ) = 0 для некоторого x0 ∈ Ω. Тогда существует шар Bd (y) ⊂ Ω, удовлетворяющий условиям леммы 6.2.1, т. е. x0 ∈ ∂Bd (y). По этой лемме имеем |∇v(x0 )| 6= 0. Однако 0 = v(x0 ) = inf v(x), x∈Ω

и, следовательно, |∇v(x0 )| = 0. Это противоречие доказывает теорему. Лемма 6.2.2. Пусть функция u(x) является слабым решением задачи (BV P ), и пусть условия (2) и (3) выполнены с α0 (x) ≡ 0 и b0 (x) ≡ 0. Если при этом f (x) > 0, g(x) > 0 для почти всех x ∈ G, то u(x) > 0 почти всюду в G. Доказательство. Возьмем функцию φ = u− = max{−u(x), 0} в качестве пробной в интегральном тождестве (II); тогда получим À Z ¿ − − − − − − − − − − ai (x, −u , −ux )(−uxi ) + a0 a(x, −u , −ux )(−u ) + b(x, −u , −ux )(−u ) + f (x)u dx = G

Z =− Γ2

® (−u− )σ(x, −u− ) + g(x)u− ds.



В силу предположений (2) и (3) Z

Z − q

(1 − µ)

− m

ν0 (x)|u− |q+m dx 6

ν(x)|u | |∇u | dx + a0 G

G

Z

Z −

6−

f u dx − G

® (−u− )σ(x, −u− ) + g(x)u− ds 6 0,

Γ2

¯ так как u− > 0. В силу соотношений µ < 1, a0 > 0 и u¯∂G\Γ2 = 0 мы имеем u− (x) = 0 почти всюду в G, т. е. u(x) > 0 почти всюду в G. 6.3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ

СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

Целью этого раздела является получение априорных оценок в L∞ (G) слабых решений задачи (BV P ). Следующая теорема является основным результатом этого раздела. Теорема 6.3.1. Пусть функция u(x) является слабым решением задачи (BV P ) и выполнены условия° (6.1.2) (1)–(3). Тогда ° °и−1 ° ° −1 существует °постоянная M0 > 0, зависящая только от −1 ° ° ° ° kgkLα (Γ2 ) , ν , ν0 Lt (G) , °ν0 (α0 + b0 + |f |)°Lp (G) , meas G, ω0 , N, m, µ, q, p, t, s и a0 , такая, что kukL∞ (G) 6 M0 . Доказательство. Введем множество A(k) = {x ∈ G, |u(x)| > k}. Обозначим через χA(k) характеристическую функцию множества A(k). Заметим, что A(k + d) ⊆ A(k) ∀d > 0. Полагая φ(x) = η((|u| − k)+ )χA(k) sign u в интегральном тождестве (II), где η определено леммой 1.9.2 и k > k0 (без ограничения общности считаем, что k0 > 1), и используя условия (2) и (3), получим неравенство Z

Z ν(x)|u|q |∇u|m η 0 ((|u| − k)+ )dx + a0 A(k)

ν0 (x)|u|q+m−1 η((|u| − k)+ )dx +

A(k)

Z +

Z ν(x)|∇u|m |u|q−1 η((|u| − k)+ )dx +

σ(x, u)(sign u)η((|u| − k)+ )ds 6 µ

Γ2 ∩A(k)

A(k)

Z

+

Z

(b0 (x) + |f (x)|) η((|u| − k)+ )dx + A(k)

α0 (x)η 0 ((|u| − k)+ )dx +

A(k)

Z +

|g(x)|η((|u| − k)+ )ds. (6.3.1) Γ2 ∩A(k)

Определим функцию

µ wk (x) := η

(|u| − k)+ m

¶ .

В силу неравенств (1.9.10) из леммы 1.9.2 мы имеем Z Z |g(x)|η((|u| − k)+ )ds 6 M |g(x)||wk |m ds + e Γ2 ∩A(k)

Γ2 ∩A(k+d)

Z κd Γ2 ∩{A(k+d)\A(k)}

|g(x)|ds.

(6.3.2)

6.3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ

105


Применим лемму 6.1.2. В силу неравенства Гельдера и неравенства (6.1.13) с учетом (6.1.14), мы получим  m∗  α Z Z  m α∗  |g(x)||wk | ds 6  |wk | ds kgkL N −1 (Γ2 ) 6 Γ2 ∩A(k+d)

m−1− N t

Γ2 ∩A(k+d)

Z 6 c4 kgkL

N −1 m−1− N t

(ν(x)|∇wk |m + ν0 (x)|wk |m ) dx.

(Γ2 ) A(k)

По условию (2), из неравенств (6.3.1) и (6.3.2) следует, что Z D E ν(x)|u|q |∇u|m η 0 ((|u| − k)+ ) − µη((|u| − k)+ ) dx 6 A(k)

Z 6 M c4 kgkL

N −1 m−1− N t

(ν(x)|∇wk |m + ν0 (x)|wk |m ) dx +

(Γ2 ) A(k)

Z D E + α0 (x)η 0 ((|u| − k)+ ) + (b0 + |f |)η((|u| − k)+ ) dx + eκd A(k)

Z |g(x)|ds. (6.3.3)

Γ2 ∩A(k)

По определению функций η(x) (см. лемму 1.9.2) и wk (x) мы имеем ³ m ´m eκ(|u|−k)+ |∇u|m = |∇wk |m , κ > 0. κ Выбирая κ > m + 2µ в соответствии с леммой 1.9.2, в силу неравенств (1.9.8)–(1.9.10) из (6.3.3) получим Z Z 1 ³ m ´m q m k0 ν(x)|∇wk | dx 6 c7 M h(x)|wk |m dx + 2 κ A(k)

A(k+d)

Z

+ M c4 kgkL

N −1 m−1− N t

(ν(x)|∇wk |m + ν0 (x)|wk |m ) dx +

(Γ2 ) A(k)

+ c8 e

*

Z

κd

+

Z h(x)dx +

A(k)\A(k+d)

|g(x)|ds , (6.3.4)

Γ2 ∩A(k)

где h(x) = α0 (x) + b0 (x) + |f (x)|.

(6.3.5)

Из неравенств (6.1.7) и (6.3.4) следует, что Z Z q m (k0 − c9 ) ν(x)|∇wk | dx 6 c10 h(x)|wk |m dx + A(k)

A(k+d)

* + c11 e

c9 = 2

³ κ ´m m

(1 + c1 )M c4 kgkL

N −1 m−1− N t

(Γ2 ) ,

|g(x)|ds , (6.3.6)

h(x)dx + Γ2 ∩A(k)

A(k)\A(k+d)

где

+

Z

Z

κd

c10 = 2

³ κ ´m

По условию (1) имеем ν0−1 h ∈ Lp (G),

m

M c7 ,

c11 = 2

³ κ ´m m

c8 .

(6.3.7)



где число p таково, что 1/p < m/N − 1/t − 1/s. В силу неравенства Гельдера с показателями p и p0 (1/p + 1/p0 = 1) получим   10 p Z Z ° ° 0 0   h|wk |m dx 6 °ν0−1 (x)h(x)°Lp (G)  ν0p (x)|wk |mp dx . (6.3.8) A(k+d)

A(k)

Из неравенства 1/p < m/N − 1/t − 1/s следует, что mp0 < m# , где m# определено по формуле (6.1.6). Пусть j — вещественное число такое, что mp0 < j < m# . Используя интерполяционное неравенство  (1−θ)m  10  θ   j p Z Z Z 0       j/m p0 ν0 (x)|wk |j dx ν0 (x)|wk |mp dx 6  ν0 (x)|wk |m dx  ,  A(k)

A(k)

A(k)

где θ ∈ (0, 1) вычисляется из равенства 1/(mp0 ) = θ/m + (1 − θ)/j, неравенство Гельдера с показателями m# /j и m# /(m# − j), из неравенства (6.3.8) мы получим   θ   (1−θ)m   m#  Z Z Z   #       h|wk |m dx 6 c12  ν0 (x)|wk |m dx  |wk |m dx , (6.3.9) A(k+d) A(k) A(k)    ° −1 °   1−θ  c12 = °ν0 h°Lp (G) kν0 kLs (G) , где smm# ∈ (mp0 , m# ) sm + m# в силу (6.1.6) и (6.1.2). Используя неравенство Юнга с показателями 1/θ и 1/(1 − θ), из (6.3.9) получим    m# m  Z Z Z   1 c13    m m m#  (1−θ) h|wk | dx 6 1/θ ν0 (x)|wk | dx + ε , (1 − θ)  |wk | dx ε (6.3.10)  A(k+d) A(k) A(k)   1−θ °1  c = θ ° °ν −1 (x)h(x)° θ kν0 (x)k θ ∀ε > 0. 13 j=

0

Ls (G)

Lp (G)

Из неравенств (6.3.6) и (6.3.10) следует, что Z (k0q − c9 )

*Z

Z ν(x)|∇wk |m dx 6 c14 ε−1/θ

A(k)

ν0 (x)|wk |m dx + c16

A(k)

h(x)dx + A(k)

+

Z



1  + c15 ε (1−θ) 

Γ2 ∩A(k)

Z

|g(x)|ds 

#  |wk |m dx

+

m m#

, (6.3.11)

A(k)

eκd .

где ε > 0, c14 = c13 c10 , c15 = (1 − θ)c10 и c16 = c11 Кроме того, из неравенства (6.3.11) в силу (6.1.7) получаем   m# m Z Z ³ ´ 1 1 #   k0q − c9 − c1 c14 ε− θ ν(x)|∇wk |m dx 6 c15 ε (1−θ)  |wk |m dx + A(k)

A(k)

*Z + c16

Z

|g(x)|ds

h(x)dx + A(k)

+

Γ2 ∩A(k)

∀ε > 0, ∀k > k0 . (6.3.12)


Выберем ε так, что

( 1 c1 c14 ε− θ = 12 k0q k0q > 4c9 .

107


=⇒

ε = (2c1 c14 )θ k0−qθ ,

(6.3.13)

В силу (6.1.15), µ

  m#   m∗  α  m   ¶ Z   Z 1 1 q # ∗     m α k0 − c15 ε (1−θ) |wk | dx + |wk | ds 6    4c5    A(k)  Γ2 ∩A(k) *Z Z 6 c16 h(x)dx + A(k)

+ |g(x)|ds

(6.3.14)

Γ2 ∩A(k)

при условии

1 1 q k0 > c15 ε (1−θ) . 8c5 Учитывая неравенства (6.3.13) и (6.3.15), выберем n o 1−θ θ 1 k0 > max 1; (8c5 c15 ) q (2c1 c14 ) q ; (4c9 ) q .

В таком случае из неравенства (6.3.14) получим  m∗   m#  α *Z m Z Z    α∗  m# + |wk | ds 6 c17 h(x)dx + |wk | dx  Γ2 ∩A(k)

A(k)

A(k)

(6.3.15)

(6.3.16)

+

Z

|g(x)|ds

(6.3.17)

Γ2 ∩A(k)

n o θ c−θ cθ−1 c ; 2c c−1 c ; 8c c для любого k > k0 , где c17 = max 4θ c−θ c 5 9 16 5 16 . 1 5 14 15 16 Наконец, с помощью неравенства Юнга с показателями p, s и 1/(1 − 1/p − 1/s) получаем Z ° ° h(x)dx 6 °ν0−1 h°Lp (G) kν0 kLs (G) [meas A(k)]1−1/p−1/s . A(k)

Аналогично,

Z

1

|g(x)|ds 6 kgkLα (Γ2 ) [meas(Γ2 ∩ A(k))] α0 ,

1 1 + 0 = 1. α α

Γ2 ∩A(k)

Из неравенства (6.3.17) следует  m#   m∗  α m Z Z D° ° # ∗     |wk |m  + |wk |α ds 6 c17 °ν0−1 h°Lp (G) kν0 kLs (G) [meas A(k)]1−1/p−1/s +  A(k)

Γ2 ∩A(k)

E 1 + kgkLα (Γ2 ) [meas(Γ2 ∩ A(k))] α0 , (6.3.18)

где 1 − 1/p − 1/s > 0 в силу (6.1.2) и условия (1). Пусть l > k > k0 . Из определения функции wk (x) с учетом неравенства (1.9.11) получаем 1 |wk | > (|u| − k)+ ; m следовательно, µ ¶ # Z l−k m m# |wk | dx > meas A(l), m A(l)

µ

Z

α∗

|wk | ds > Γ2 ∩A(l)

l−k m

¶α∗ meas(Γ2 ∩ A(l)).



Из неравенства (6.3.18) следует, что

meas A(l) + [meas(Γ2 ∩ A(l))]

m# α∗

µ 6

m l−k

   ¶m#  Z    A(k)

 m#

|wk |

Z

 dx + 

Γ2 ∩A(k)

  m#  α∗    α∗  |wk | ds 6    

µ

¶ # ³° ´ m# ° m# m m m (2c17 ) m °ν0−1 h°Lp (G) kν0 kLs (G) + kgkLα (Γ2 ) × l−k ½ ¾ m# m# (1−1/p−1/s) 0 m × [meas A(k)] + [meas(Γ2 ∩ A(k))] mα ∀l > k > k0 . (6.3.19)

1 6 2

Положим m#

ψ(k) = meas A(k) + [meas(Γ2 ∩ A(k))] α∗ . Из неравенств (6.3.19) вытекает + ¶ #* µ α∗ m# m m [ψ(k)] m (1−1/p−1/s) + [ψ(k)] mα0 . ψ(l) 6 c18 l−k

(6.3.20)

В силу соотношений (6.1.2), (6.1.6) и (6.1.14) и условия (1) ½ #µ ¶ ¾ m 1 1 α∗ γ = min 1− − ; > 1. m p s ma0 Следовательно, из неравенства (6.3.20) получим c19 γ ψ(l) 6 ∀l > k > k0 . # ψ (k) m (l − k) По лемме 1.9.1 из этого соотношения вытекает ψ(k0 + δ) = 0, где δ зависит только от величин из теоремы 6.3.1. Это означает, что |u(x)| < k0 + δ при почти всех x ∈ G. Теорема 6.3.1 доказана. Завершим этот раздел получением некоторых интегральных априорных оценок решения. Теорема 6.3.2. Пусть функция u(x) является слабым решением задачи (BV P ) и выполнены условия (6.1.2) и (1)–(3). Предположим, что Z 1 q+m ν01−q−m (x) (b0 (x) + |f (x)|) q+m−1 < ∞, g ∈ L m+q (Γ2 ). q

G

Тогда справедливо неравенство Z

¡ ¢ ν(x)|u|q |∇u|m + ν0 (x)|u|q+m dx 6

G

 Z 6C



1 ° ° q+m ν01−q−m (x) (b0 (x) + |f (x)|) q+m−1 dx + °ν0−1 (x)α0 (x)°p kν0 (x)ks +

G 1 ° ° 1 ° −1 ° m−1 °ν (x)° + °ν −1 (x)°Lm−1 + + 0 (G) L t t (G)

Z |g(x)| Γ2

где постоянная C > 0 зависит только от N, m, q, µ, a0 и meas G.

m+q q

  ds , (6.3.21) 


109


Доказательство. Полагая φ = u в интегральном тождестве (II), с учетом предположений (2) и (3) имеем Z Z q m (1 − µ) ν(x)|u| |∇u| dx + a0 ν0 (x)|u|q+m dx 6 G

G

Z 6

Z

α0 (x)dx + G

Z (b0 (x) + |f (x)|) |u(x)|dx +

G

|g(x)||u(x)|ds. (6.3.22) Γ2

p0

Применяя неравенство Юнга при p = q + m и = (q + m)/(q + m − 1), получим µ 1 ¶ µ −1 ¶ q+m q+m (b0 (x) + |f (x)|) |u(x)| = ν0 (x)|u(x)| ν0 (b0 (x) + |f (x)|) 6 1

q+m

6 εν0 (x)|u|q+m + cε ν01−q−m (x) (b0 (x) + |f (x)|) q+m−1 , (6.3.23) m+q

m+q

|g(x)||u(x)| 6 ε|u(x)| m + cε |g(x)| q Из леммы 1.5.7 и неравенства Юнга следует ¶ Z µ Z q m+q m+q m+q |u(x)| m |∇u| dx 6 |u(x)| m ds 6 c6 |u(x)| m + m Γ2

G

m+q 6 c6 m

∀ε > 0.

µ 1 ¶ Z D³ ´ E q q+m 1 1 −1 −m m m m m ν (x)|u| |∇u| ν (x) + ν0 (x)|u| ν0 m (x) dx 6 G

µ ¶E Z D 0 0 ¢ 1 ¡ 1 m+q −m q m q+m −m m m c6 ν(x)|u| |∇u| + ν0 (x)|u| + 0 ν (x) + ν0 (x) dx. (6.3.24) 6 m m m G

Кроме того, Z

° ° α0 (x)dx 6 °ν0−1 (x)α0 (x)°p kν0 (x)ks k1k1−1/p−1/s ,

G

Z ν

0 −m m

Z

(6.3.25)

° ° 1 1 ¡ −1 ¢ 1 1− t(m−1) ν (x) m−1 dx 6 °ν −1 °Lm−1 (meas G) , (G) t

(x)dx = G

G

где t(m − 1) > 1 в силу (6.1.2). Из соотношений (6.3.22)–(6.3.25) вытекает Z Z q m (1 − µ) ν(x)|u| |∇u| dx + a0 ν0 (x)|u|q+m dx 6 G

G

Z

Z

ν(x)|u|q |∇u|m dx + ε2

6 ε1 G

 Z

+ c(ε1 , ε2 , m, q, N, t, meas G)



ν0 (x)|u|q+m dx + G

|g(x)|

m+q q

° ° 1 + ds + °ν −1 °Lm−1 t (G)

Γ2

° ° 1 + °ν0−1 °Lm−1 + t (G)

Z

1 1−q−m

ν0

(x) (b0 (x) + |f (x)|)

q+m q+m−1

  ° −1 ° dx + °ν0 α0 °p kν0 ks , (6.3.26) 

G

Если a0 > 0, то выберем ε1 = (1 − µ)/2 и ε2 = a0 /2; если a0 = 0, тогда применим неравенство (6.1.9) и выберем ε1 = ε2 c3 = (1 − µ)/4. В обоих случаях требуемое неравенство (6.3.21) следует из (6.3.26). Теорема 6.3.2 доказана.

110



6.4. ПОСТРОЕНИЕ

БАРЬЕРНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть ν(x) = rτ и ν0 (x) = rτ −m , τ > m − 2, m > 2. Рассмотрим N -мерный неограниченный двугранный угол n o ¯ ω0 ω0 G0 = x = (x, r, ω)¯ x ∈ RN −2 , 0 < r < ∞, − 0, 0 6 µ < 1, q > 0, m > 2, τ > m − 2; 0 при этом мы построим функцию, которая является барьерной для неоднородной задачи. Будем искать решение задачи (BV P0 ) в виде h ω ω i 0 0 w(x) = rλ Φ(ω), ω ∈ − , , λ > 0, (6.4.1) 2 2 где Φ(ω) > 0 и число λ удовлетворяет соотношениям (6.1.3) и (6.1.4). Подставляя функцию (6.4.1) в (BV P0 ) и переходя к цилиндрическим координатам, мы получим следующую краевую задачу Штурма—Лиувилля для функции Φ(ω):  · ¸ ´ m−2 ³ ´ m−2 d ³ 2 2 2 2  2 0 q 0 q λ2 Φ2 + Φ0 2  λ Φ + Φ |Φ| Φ + λ[λ(q + m − 1) − m + 2 + τ ]Φ|Φ|    dω  ³ ´m  2 = a0 Φ|Φ|q+m−2 − µΦ|Φ|q−2 λ2 Φ2 + Φ0 2 , ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2), (StL)    Φ(−ω0 /2) = Φ(ω0 /2) = 0 для задачи Дирихле,    Φ(−ω0 /2) = Φ0 (ω0 /2) = 0 для смешанной задачи. Полагая Φ0 /Φ = y, приходим к следующей задаче Коши для функции y(ω): £ ¤ m−4 m (m − 1)y 2 + λ2 (y 2 + λ2 ) 2 y 0 + (m − 1 + q + µ)(y 2 + λ2 ) 2 +    m−2  + λ(2 − m + τ )(y 2 + λ2 ) 2 = a0 , ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2),  y(0) = 0 для задачи Дирихле,    y(ω0 /2) = 0 для смешанной задачи.

(CP E)

Из уравнения задачи (CP E) следует, что £ ¤¡ ¢ m−4 − (m − 1) y 2 + λ2 y 2 + λ2 2 y 0 = ¡ ¢m ¡ ¢ m−2 = (m − 1 + q + µ) y 2 + λ2 2 + λ (2 − m + τ ) y 2 + λ2 2 − a0 = ¡ ¢ ¤ ¡ ¢ m−2 £ = y 2 + λ2 2 (m − 1 + q + µ) y 2 + λ2 + λ (2 − m + τ ) − a0 > ¤ ¡ ¢ m−2 £ > y 2 + λ2 2 λ2 (m − 1 + q + µ) + λ (2 − m + τ ) − a0 > > λm (m − 1 + q + µ) + λm−1 (2 − m + τ ) − a0 > 0 (6.4.2) в силу неравенства (6.1.4). Таким образом, y 0 (ω) < 0,

ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2),



111

т. е. y(ω) убывает на интервале (−ω0 /2, ω0 /2). 6.4.1. Свойства функции Φ(ω). Рассмотрим некоторые свойства функции Φ(ω). Случай задачи Дирихле был рассмотрен в работе [111]. Прежде всего, отметим, что решения задачи (StL) определены однозначно с точностью до множителя. Будем изучать решения, нормированные следующим условием: ( Φ(0) для задачи Дирихле, 1= (6.4.3) Φ(ω0 /2) для смешанной задачи. Перепишем уравнение задачи (StL) в виде h i³ ´ m−4 ³ ´m 2 2 2 2 2 − Φ (m − 1)Φ0 + λ2 Φ2 λ2 Φ2 + Φ0 Φ00 = (q + µ) λ2 Φ2 + Φ0 + o ´ ´ m−4 n ³ ³ 2 2 2 2 λ[λ(m − 1) − m + 2 + τ ] λ2 Φ2 + Φ0 + (m − 2)λ2 Φ0 − a0 Φm . (6.4.4) + Φ2 λ2 Φ2 + Φ0 Поскольку m > 2, из уравнения (6.4.4) получим h ´ m−4 i³ 2 2 2 − Φ (m − 1)Φ0 + λ2 Φ2 λ2 Φ2 + Φ0 Φ00 > ³ ´ o ³ ´ m−2 n 2 2 2 (q + µ) λ2 Φ2 + Φ0 + λ[λ(m − 1) − m + 2 + τ ]Φ2 > > −a0 Φm + λ2 Φ2 + Φ0 ª © > Φm (q + µ + m − 1)λm + (2 − m + τ )λm−1 − a0 > 0 (6.4.5) (учитывая, что (q + µ + m − 1)λ2 + (2 − m + τ )λ > 0 в силу (6.1.4)). Резюмируя выше сказанное, получим следующие свойства функции Φ(ω): Φ(ω) > 0, Φ00 (ω) < 0 ∀ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2).

(6.4.6)

Следствие 6.4.1. Имеем max

[−ω0 /2, ω0 /2]

Φ(ω) = 1 =⇒ 0 6 Φ(ω) 6 1 ∀ω ∈ [−ω0 /2, ω0 /2].

(6.4.7)

Исследуем разрешимость задачи (CP E). Переписывая уравнение задачи (CP E) в виде, разрешенном относительно производной, т. е. y 0 = g(y), заметим, что g(y) 6= 0 при всех y ∈ R в силу неравенства (6.4.2). Кроме того, функции g(y) и g 0 (y) непрерывны как рациональные функции с ненулевыми знаменателями. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что задача Коши (CP E) однозначно разрешима на интервале (−ω0 /2, ω0 /2]. Интегрируя уравнения (StL)–(CP E), получим  ω Z     y(ξ)dξ для задачи Дирихле,    (6.4.8) Φ(ω) = exp 0Zω     y(ξ)dξ для смешанной задачи,    ω0 /2

Zy 0

[(m − 1)z 2 + λ2 ](z 2 + λ2 )(m−4)/2 dz = (m − 1 + q + µ)(z 2 + λ2 )m/2 + λ(2 − m + τ )(z 2 + λ2 )(m−2)/2 − a0 ( −ω для задачи Дирихле, = ω0 /2 − ω для смешанной задачи.

Отсюда в силу равенства (6.1.3), в частности, получаем lim

ω→−ω0 /2+0

y(ω) = +∞.

(6.4.9)

112



Это позволяет обосновать разрешимость задачи на собственные значения (StL). Равенство (6.1.3) является уравнением для нахождения точного показателя λ в формуле (6.4.1). 6.4.2. Решение системы (6.1.3), (6.1.4). В случае m = 2 либо a0 = 0 можно явно вычислить показатель λ. Действительно, если m = 2, то интегрируя равенство (6.1.3), мы получим p τ 2 + (π/θ0 )2 + 4a0 (1 + q + µ) − τ λ= . (6.4.10) 2(1 + q + µ) Пусть теперь a0 = 0, m 6= 2. Через λ0 мы обозначим величину λ в этом случае; тогда мы имеем p

λ0 (m − 2)(m − 1 + q + µ) + (m − 1)(2 − m + τ ) (m − 1 + q + µ)2 λ20 + (m − 1 + q + µ)(2 − m + τ )λ0

= (m − 2)(1 − κ) + κτ,

(6.4.11)

где κ = 2θ0 /π. Решая это квадратное уравнение, получаем  p  m(m − 2) + [(1 − κ)(m − 2) + κτ ] m2 + κ(2 − m + τ )[(m − 2)(2 − κ) + κτ ]   +    2κ(m − 1 + q + µ)[(m − 2)(2 − κ) + κτ ]     m−2−τ , θ0 < π, λ0 = +  2(m − 1 + q + µ)   p    m(m − 2) − 4τ (τ + 2 − m) + (2τ + 2 − m) m2 + 4τ (τ + 2 − m)   , θ0 = π.   8τ (m − 1 + q + µ) (6.4.12) Легко видеть, что λ0 > 0. Из равенства (6.4.12) для θ0 = π/2 получаем p m(m − 2) + τ τ 2 + 4(m − 1) m−2−τ + . λ0 = 2(m − 1 + q + µ) 2κ(m − 1 + q + µ)(m − 2 + τ

(6.4.13)

Рассматривая равенства (6.4.12) и (6.4.13) при τ = 0, получим следующие значения величины λ0 : p  m + κ(2 − κ)(m − 2) + (1 − κ) m2 − κ(2 − κ)(m − 2)2    , θ0 < π, 2κ(m − 1 + q + µ)(2 − κ) λ0 = (6.4.14) 2 (m − 1)    , θ0 = π. m(m − 1 + q + µ) Докажем второе равенство в (6.4.14). Применяя формулу Тейлора √ 1 1 ± t = 1 ± t + o(t) 2 при t → 0, из (6.4.12) получим p ¯ m(m − 2) − 4τ 2 + 4(m − 2)τ + m(2τ + 2 − m) 1 + 4τ (τ + 2 − m)m−2 ¯ λ0 ¯ = = 8τ (m − 1 + q + µ) κ=2 m(m − 2) − 4τ 2 + 4(m − 2)τ + m(2τ + 2 − m)[1 + 2τ (τ + 2 − m)m−2 + o(τ )] = = 8τ (m − 1 + q + µ) m(−2τ + 3m − 4) + (τ + 2 − m)(2τ + 2 − m) o(τ ) = + . 4m(m − 1 + q + µ) τ Отсюда

¯ ¯ ¯ ¯ λ0 ¯κ=2, = lim λ0 ¯ τ =0

τ →0

κ=2

=

(m − 1)2 . m(m − 1 + q + µ)

С другой стороны, аналогичным образом из первого равенства в (6.4.14) мы получим ( ) p ¯ 1 + (1 − κ) 1 − κ(2 − κ)(m − 2)2 m−2 1 ¯ λ0 ¯ = κ(m − 2) + m = 2κ(m − 1 + q + µ) 2−κ τ =0 ½ ¾ κ(1 − κ)(m − 2)2 o(2 − κ) 1 κ(m − 2) + m − + , = 2κ(m − 1 + q + µ) 2m 2−κ


откуда


¯ ¯ ¯ ¯ λ0 ¯κ=2, = lim λ0 ¯

113

(m − 1)2 . κ→2−0 m(m − 1 + q + µ) τ =0 τ =0 Рассмотрим случай τ = m − 2. Из равенства (6.4.12) имеем mπ λ0 = , θ0 6 π. 4θ0 (m − 1 + q + µ) =

Пусть ω0 → 0. Нас интересует поведение λ0 при κ → 0. Перепишем равенство (6.4.12) следующим образом: p m(m − 2) + [m − 2 + κ(τ − m + 2)]m 1 + κ 2 (2 − m + τ ) + 2(m − 2)(2 − m + τ )κm−2 λ0 = + 2κ 2 (m − 1 + q + µ)(τ − m + 2) + 4κ(m − 2)(m − 1 + q + µ) © ª m(m − 2) + [m − 2 + κ(τ − m + 2)] m + κ(2 − m + τ )(κ + 2m − 4)(2m) − 1 m−2−τ + = + 2(m − 1 + q + µ) 2κ 2 (m − 1 + q + µ)(τ − m + 2) + 4κ(m − 2)(m − 1 + q + µ) ¡ ¢ m 1 − κ(τ − m + 2)(2(m − 2)) − 1 + o(κ) m−2−τ o(κ) m−2−τ o(κ) + + = + + + 2(m − 1 + q + µ) κ 2κ(m − 1 + q + µ) 2(m − 1 + q + µ) κ m(τ − m + 2) + (2 − m + τ )(κ + 2m − 4)[κ(τ − m + 2) + m − 2](2m)−1 + = 2κ(m − 1 + q + µ)(τ − m + 2) + 4(m − 2)(m − 1 + q + µ) 1 m + O(1). = 2(m − 1 + q + µ) κ Отсюда

mπ 1 + O(1) при θ0 → 0. 4(m − 1 + q + µ) θ0 Это совпадает с результатами Кроля для псевдо-лапласиана (q = µ = τ = a0 = 0), см. с. 145 в [42]. Исследуем поведение λ0 при m → +∞. Перепишем равенство (6.4.12) в следующем виде: (1) если κ < 2, то p [(1 − κ)m + 2κ − 2 + κτ ] (1 − κ)2 m2 + O(m) m2 − 2m m−2−τ + + = λ0 = 2(m − 1 + q + µ) 2κ(2 − κ)m2 + O(m) 2κ(2 − κ)m2 + O(m) λ0 =

=

m−2−τ [1 + (1 − κ)|1 − κ|]m2 + O(m3/2 ) + , 2(m − 1 + q + µ) 2κ(2 − κ)m2

откуда

 

1 , κ 6 1, 1 1 + (1 − κ)|1 − κ| lim λ0 = + = κ(2 − κ) m→+∞  2 2κ(2 − κ) 1, 1 6 κ < 2; (2) если κ = 2, то p (2τ + 2 − m)m 1 + 4τ (τ + 2 − m)m−2 m2 − 2m + 4mτ − 4τ 2 − 8τ + = λ0 = 8τ (m − 1 + q + µ) 8τ (m − 1 + q + µ) ¡ ¢ m2 − 2m(1 − 2τ ) − 4τ (τ + 2) [m2 − 2m(τ + 1)] 1 + 2τ (τ + 2 − m)m−2 + o(m−2 ) = − = 8τ (m − 1 + q + µ) 8τ (m − 1 + q + µ) 8mτ + O(1/m) = ; 8mτ + O(1) следовательно, lim λ0 = 1. κ→2−0, m→+∞

Окончательно получим

 

π2 , 0 < θ0 6 π/2; lim λ0 = 4θ0 (π − θ0 ) m→+∞  1, π/2 6 θ0 6 π.

Это совпадает с результатами Аронссона для псевдо-лапласиана (q = µ = τ = a0 = 0), см. [92].

114



6.4.3. Разрешимость системы (6.1.3), (6.1.4) для любого a0 > 0. Положим +∞ Z

F(λ, a0 , ω0 ) = −θ0 + 0

[(m − 1)y 2 + λ2 ](y 2 + λ2 ) (m − 1 + q + µ)(y 2 + λ2 )

m 2

m−4 2

dy

+ λ(2 − m + τ )(y 2 + λ2 )

m−2 2

− a0

.

(6.4.15)

Осуществляя замену переменных y = tλ, t ∈ (0, +∞), мы получим +∞ Z F(λ, a0 , ω0 ) = −θ0 + Λ(λ, a0 , t)dt, 0

где [(m − 1)t2 + 1](t2 + 1)

Λ(λ, a0 , t) ≡

m−4 2

m

λ(m − 1 + q + µ)(t2 + 1) 2 + (2 − m + τ )(t2 + 1) Тогда уравнение (6.1.3) принимает вид

m−2 2

− a0 λ1−m

.

(6.4.16)

F(λ, a0 , ω0 ) = 0.

(6.4.17)

F(λ0 , 0, ω0 ) = 0.

(6.4.18)

Следовательно, Непосредственные вычисления дают m−4 ∂Λ = −[(m − 1)t2 + 1](t2 + 1) 2 × ∂λ m (m − 1 + q + µ)(t2 + 1) 2 + a0 (m − 1)λ−m ×h i2 < 0 ∀ t, λ, a0 , (6.4.19) m−2 m λ(m − 1 + q + µ)(t2 + 1) 2 + (2 − m + τ )(t2 + 1) 2 − a0 λ1−m m−4

λ1−m [(m − 1)t2 + 1](t2 + 1) 2 ∂Λ =h i2 > 0 ∀t, λ, a0 . (6.4.20) m−2 m ∂a0 λ(m − 1 + q + µ)(t2 + 1) 2 + (2 − m + τ )(t2 + 1) 2 − a0 λ1−m Следовательно, можно применить теорему о неявной функции: в некоторой окрестности точки (λ0 , 0) уравнение (6.4.17) (а значит, и уравнение (6.1.3)) задает функцию λ = λ(a0 , ω0 ) как однозначную непрерывную функцию от a0 , непрерывно зависящую от параметра ω0 и имеющую непрерывные частные производные ∂λ/∂a0 и ∂λ/∂ω0 . Исследуем свойства функции λ(a0 , ω0 ). Прежде всего, из уравнения (6.4.17) имеем ∂F ∂λ ∂F + = 0, ∂λ ∂a0 ∂a0

∂F ∂λ ∂F + = 0, ∂λ ∂ω0 ∂ω0

откуда ∂F/∂a0 ∂λ ∂F/∂ω0 ∂λ =− , =− . ∂a0 ∂F/∂λ ∂ω0 ∂F/∂λ В силу формул (6.4.19) и (6.4.20)  +∞ +∞ Z Z   ∂F ∂Λ ∂F ∂Λ ∂F   dt > 0, = dt < 0, = −1 ∀(λ, a0 ),   ∂a0 = ∂a0 ∂λ ∂λ ∂θ0 0 0 (   −1/2 для задачи Дирихле, ∂F ∂F dθ  0    ∂ω = ∂θ dω = −1 для смешанной задачи. 0

0

(6.4.21)

(6.4.22)

0

Из соотношений (6.4.21) и (6.4.22) получаем ∂λ > 0, ∂a0

∂λ λ0 > 0 ∀a0 > 0. Умножая обе части уравнения задачи (StL) на Φ(ω) и интегрируя по промежутку (−ω0 /2, ω0 /2), мы получим ω Z0 /2

ω Z0 /2 ³ ´ m−2 2 2 2 02 02 |Φ| λ Φ + Φ Φ dω = −a0 |Φ|q+m dω + q

(1 − µ) −ω0 /2

−ω0 /2 ω Z0 /2

´ m−2 ³ 2 2 dω > |Φ|q+2 λ2 Φ2 + Φ0

+ [λ2 (m − 1 + q + µ) + λ(2 − m + τ )] −ω0 /2

® > λm (m − 1 + q + µ) + λm−1 (2 − m + τ ) − a0

ω Z0 /2

|Φ|q+m dω > 0 (6.4.24)

−ω0 /2

в силу неравенства (6.1.4). Лемма 6.4.1. Справедливо следующее неравенство: ω Z0 /2

ω Z0 /2

|Φ|q |Φ0 |m dω 6 c(q, µ, m, τ, λ) −ω0 /2

|Φ|q+m dω.

(6.4.25)

−ω0 /2

Доказательство. Из соотношений (6.4.24) и неравенства Юнга при p = m/(m − 2) и p0 = m/2 следует, что ω Z0 /2

|Φ|q |Φ0 |m dω 6

(1 − µ) −ω0 /2

ω Z0 /2 2

6 [λ (m − 1 + q + µ) + λ(2 − m + τ )]

³ ´ m−2 2 2 |Φ|q Φ2 λ2 Φ2 + Φ0 dω 6

−ω0 /2 ω Z0 /2

6ε

ω Z0 /2 ³ ´m 2 2 02 2 |Φ| λ Φ + Φ dω + cε |Φ|q+m dω 6 q

−ω0 /2

−ω0 /2 ω Z0 /2

ω Z0 /2

6ε

|Φ|q |Φ0 |m dω + cε

−ω0 /2

|Φ|q+m dω

∀ε > 0,

−ω0 /2

поскольку m > 2. Выбирая ε = (1 − µ)/2, мы получим требуемое неравенство (6.4.25). Лемма 6.4.2. Пусть выполнено условие (6.1.4), и пусть q + µ < 1.

(6.4.26)

Тогда ω Z0 /2

|Φ0 |m dω 6 c(q, µ, m, τ, λ, ω0 ). −ω0 /2

(6.4.27)

116



Доказательство. Деля обе части уравнения задачи (StL) на Φ|Φ|q−2 , мы получим · ³ ´ m−2 ´ m−2 ¸ d ³ 2 2 2 2 2 02 Φ0 + λ[λ(q + m − 1) − m + 2 + τ ]Φ2 λ2 Φ2 + Φ0 + Φ λ Φ +Φ dω ³ ´ m−2 ³ ´m 2 2 2 2 2 + qΦ0 λ2 Φ2 + Φ0 = a0 |Φ|m − µ λ2 Φ2 + Φ0 . Интегрируя это равенство, получим ω Z0 /2

(1 − q − µ)

ω Z0 /2 ³ ´m 2 2 |Φ|m dω = dω + a0 λ2 Φ2 + Φ0 −ω0 /2

−ω0 /2

ω Z0 /2

³ ´ m−2 2 2 Φ2 λ2 Φ2 + Φ0 dω. (6.4.28)

= λ (λm + 2 − m + τ ) −ω0 /2

Поскольку q+µ < 1, λ(λm+2−m+τ ) > 0 и m > 2, с помощью неравенства Юнга при p = m/(m−2) и p0 = m/2 для любого ε > 0 мы получим требуемое неравенство (6.4.27). Наконец, при q + µ > 1 из равенства (6.4.28) получим ω Z0 /2 m

(q − 1 + µ)λ

ω Z0 /2 m

m−1

|Φ| dω + λ

(λm + 2 − m + τ )

−ω0 /2

ω Z0 /2 m

|Φ| dω 6 a0

−ω0 /2

|Φ|m dω,

−ω0 /2

что противоречит неравенству (6.1.4), так как Φ 6≡ 0. Лемма доказана. Равенства (6.4.1) и (6.1.3) определяют функцию w = rλ Φ(ω), которая является барьерной для краевой задачи (BV P ). Лемма 6.4.3. Пусть ζ ∈ C0∞ [0, d]. Тогда ζ(r)w(x) ∈ N1m,q (rτ , rτ −m , Gd0 , Gd0 \ Γd2 ). Если выполнены неравенства (6.1.4) и (6.4.26), то ζ(r)w(x) ∈ N1m,0 (rτ , rτ −m , Gd0 , Gd0 \ Γd2 ). Доказательство. Прежде всего, заметим, что w ∈ L∞ (Gd0 ), так как λ > 0. Далее, покажем, что Z ¡ τ −m q+m ¢ Iq [w] ≡ r |w| + rτ |w|q |∇w|m dx < ∞. (6.4.29) Gd0

Непосредственные вычисления дают

³ ´m 2 2 . |∇w|m = rm(λ−1) λ2 Φ2 + Φ0

(6.4.30)

Следовательно, Z ½ ³ ´m ¾ 2 2 dx 6 Iq [w] = rτ +m(λ−1)+qλ Φm+q (ω) + rτ +m(λ−1)+qλ |Φ|q λ2 Φ2 + Φ0 Gd0 ω Z0 /2

Zd 6 c(λ, m)

r 0

τ +(m+q)λ−m+1

dr

¡ q 0m ¢ |Φ| |Φ | + |Φ|q+m dω.

−ω0 /2

Очевидно, что интеграл Iq [w] сходится в силу леммы 6.4.1. Чтобы доказать второе утверждение леммы, нам требуется показать, что Z ¡ τ −m m ¢ I[w] ≡ r |w| + rτ |∇w|m dx < ∞. (6.4.31) Gd0


117


Имеем I[w] =

¾ Z ½ ³ ´m 2 2 rτ +m(λ−1) λ2 Φ2 + Φ0 + rτ +m(λ−1) Φm (ω) dx 6 Gd0 ω Z0 /2

Zd 6 c (λ, m)

r

τ +mλ+1−m

0

½³

dr

2

2

02

λ Φ +Φ

¾

´m 2

m

+Φ

dω.

−ω0 /2

Интеграл I[w] сходится по лемме 6.4.2. Таким образом, I[w] 6 c(m, λ, N, q, µ, ω0 , d). Лемма доказана. Пример 6.4.1. Пусть m = 2. Рассмотрим краевую задачу (BV P0 ) для уравнения   d (rτ |w|q w ) = a rτ −2 w|w|q − µrτ w|w|q−2 |∇w|2 , x ∈ G , xi 0 0 dxi a > 0, 0 6 µ < 1, q > 0, τ > 0.

(6.4.32)

0

Из соотношений (6.4.8) и (6.1.3) следует, что решением этой задачи является функция  µ ¶ 1 πω   1+q+µ для задачи Дирихле, cos µ ω0 ¶ w(r, ω) = rλ 1 πω π   − для смешанной задачи, cos 1+q+µ 2ω0 4 причем

(6.4.33)

p λ=

τ 2 + (π/θ0 )2 + 4a0 (1 + q + µ) − τ 2(1 + q + µ)

(см. формулу (6.4.10)). Нетрудно проверить, что для такого λ выполнено неравенство (6.1.4). Вычислив Φ0 (ω), можно убедиться, что все свойства функции Φ(ω) выполнены. Кроме того, ¡ 3 ¢ ³ 1−q−µ ´ ( ω Z0 /2 Γ 2 Γ 2(1+q+µ) 1 для задачи Дирихле, π 2 ´ ³ × Φ0 (ω)dω = (6.4.34) 2 (1 + q + µ) ω0 1/4 для смешанной задачи, Γ 2+q+µ 1+q+µ

−ω0 /2

при условии, что q + µ < 1. Этот интеграл расходится при q + µ > 1. С другой стороны, при любом q > 0 мы имеем ω Z0 /2 2

|Φ(ω)|q Φ0 (ω)dω = −ω0 /2

=

π (1 + q + µ)2 ω0

Γ

¡ 3 ¢ ³ 1−µ ´ ( 2 Γ 2(1+q+µ) 1 для задачи Дирихле, ´ × ³ 2+3q/2+µ 1/4 для смешанной задачи, Γ 1+q+µ

(6.4.35)

поскольку µ < 1, что согласуется с леммами 6.4.1–6.4.3, так как ³ ´ ω q+(3+µ)/2 Z0 /2 ω0 Γ (1+q+µ) ³ ´. |Φ(ω)|q+2 dω = √ π Γ 2+3q/2+µ −ω0 /2

1+q+µ

Это показывает, что w ∈ N12,0 (rτ , rτ −m , Gd0 ), если q + µ < 1 и w ∈ / N12,0 (rτ , rτ −m , Gd0 ), если q + µ > 1; в последнем случае мы имеем w ∈ N12,q (rτ , rτ −m , Gd0 ).

118



6.5.

ОЦЕНКИ

СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ РЕБРА

В этом разделе мы получим почти точные оценки слабых решений задачи (BV P ) в окрестности ребра. Для этого мы применим принцип сравнения (см. теорему 6.2.1) и используем барьерную функцию, построенную в разделе 6.4. Легко проверить, что при выполнении условий (8)–(10) также выполнены условия (i)–(iii) применимости принципа сравнения (см. раздел 6.2). Прежде всего, сделаем замену m−1 . (6.5.1) u = v|v|t−1 , t= q+m−1 В силу условия (7) задача (BV P ) принимает вид Z D Z D E E Q(v, φ) ≡ Ai (x, vx )φxi + a0 A(x, v)φ + B(x, v, vx )φ − f (x)φ dx + Σ (x, v) − g(x) φds = 0 (II) G

Γ2

где v ∈ V0 , функция φ ∈ V0 произвольная, ¡ ¢ ¡ ¢ Ai (x, η) ≡ ai x, v|v|t−1 , t|v|t−1 η , A (x, v) ≡ a x, v|v|t−1 , t|v|t−1 η , ¡ ¢ ¡ ¢ B (x, v, η) ≡ b x, v|v|t−1 , t|v|t−1 η , Σ (x, v) ≡ σ x, v|v|t−1 . Из предположений (11)–(14) следует: s N P (11) |Ai (x, η) − tm−1 rτ |η|m−2 ηi |2 6 c1 (r)rτ |η|m−1 + ψ1 (r); i=1

(12) (13) (14)

¯ ³ ´¯¯ ¯ ∂Ai (x, η) j m−1 τ m−4 2 ¯ −t r |η| δi |η| + (m − 2)ηi ηj ¯¯ 6 c2 (r)rτ |η|m−2 + c2 (r)ψ2 (r); ¯ ∂ηj ¯ ¯ ¯ ∂Ai (x, η) ¯ m−1 τ −2 m−2 ¯ ¯ 6 c3 (r)rτ −1 |η|m−1 + ψ3 (r); − τ t r |η| x η i i ¯ ∂xi ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯A(x, v) − rτ −m v|v|m−2 ¯ + ¯B(x, v, η) + µtm rτ v −1 |η|m ¯ 6 c4 (r)rκ |η|m−1 + |v|tq ψ4 (r).

Замечание 6.5.1. Предположения (11)–(14) означают, что оператор задачи (BV P ) аппроксимируется вблизи ребра Γ0 оператором задачи для уравнения (M E). Кроме того, в силу предположения (7) коэффициенты ai (x, u, ux ), i = 1, . . . , N, явно не зависят от v после замены (6.5.1). Покажем, например, что модельное уравнение (M E) удовлетворяет этим предположениям. Действительно, после замены (6.5.1) уравнение (M E) принимает вид ¢ d ¡ τ L0 v(x) ≡ −tm−1 r |∇v|m−2 vxi + a0 rτ −m v|v|m−2 − µtm rτ v −1 |∇v|m = f (x), x ∈ G. dxi Положим a0 = t1−m a0 ,

µ = tµ,

1 λ = λ, t

1

Φ(ω) = Φ t (ω),

(6.5.2)

m−1 . q+m−1 Функция w = rλ Φ(ω) будет играть роль барьерной функции. Учитывая соотношения (StL)– (CP E) и (6.1.3), можно легко проверить, что пара (λ, Φ(ω)) является решением задачи  · ´ m−2 ¸ ³ ´m  d ³ 2 2 2 2 2 02 0 02 2 −1   λ Φ + Φ Φ + µ λ Φ + Φ Φ = a0 Φ|Φ|m−2 −  dω    ³ ´ m−2   2 2 2 02   − λ[λ(m − 1) − m + 2 + τ ]Φ λ Φ + Φ , ω ∈ (−ω0 /2, ω0 /2),    Φ(−ω0 /2) = Φ(ω0 /2) = 0 для задачи Дирихле, (N EV P ) 0   Φ(−ω /2) = Φ (ω /2) = 0 для смешанной задачи,  0  i h 0   2 2 m−4 +∞ Z  (m − 1)y 2 + λ (y 2 + λ ) 2 dy    = θ0 .    (m − 1 + µ)(y 2 + λ2 ) m2 + λ(2 − m + τ )(y 2 + λ2 ) m−2 2 − a0 где t =

0

6.5. ОЦЕНКИ


119

Очевидно, что свойства пары (λ, Φ), рассмотренные в разделах 6.4.1 и 6.4.2, также верны для пары (λ, Φ(ω)). В частности, неравенство (6.1.4) принимает вид m

m−1

Pm (λ) ≡ (m − 1 + µ)λ + (2 − m + τ )λ

− a0 > 0.

(6.5.3)

Рассмотрим возмущение задачи · (N EV P ). Пусть ¸ ε ∈ (0, 2π − ω0 ). Рассмотрим следующую задачу ω0 + ε ω0 + ε для пары (λε , Φε ) на отрезке − , : 2 2  · ´ m−2 ¸ ³ ´m  d ³ 2 2 02 2  0 +µ 1 2 Φ2 + Φ0 2 2 = (a − ε)Φ |Φ |m−2 −  λ Φ + Φ Φ λ 0 ε ε  dω ε ε ε ε ε ε ε Φε   ¶ µ  ´ m−2 ³   ω0 + ε ω0 + ε 02 2  2 2  , − λε [λε (m − 1) − m + 2 + τ ]Φε λε Φε + Φε , ω∈ − ,   2 2  µ ¶ µ ¶    ω0 + ε ω0 + ε   = Φε = 0 для задачи Дирихле, Φε − 2 ¶ µ µ 2 ¶ (N EV Pε ) ω0 + ε ω0 + ε 0   Φ − = Φ = 0 для смешанной задачи,  ε ε  2 2    +∞ £ ¤ m−4  Z   (m − 1)y 2 + λ2ε (y 2 + λ2ε ) 2 dy   = θε ,  m−2 m  2 + λ2 ) 2 + λ (2 − m + τ )(y 2 + λ2 ) 2 + ε − a  (m − 1 + µ)(y  ε 0 ε ε 0   P (λ ) + ε > 0. m ε Задача (N EV Pε ) получена из задачи (N EV P ) заменой ω0 на ω0 + ε и a0 на a0 − ε. В силу монотонности функции λ(ω0 , a0 ), установленной в разделе 6.4.2 (см. (6.4.23)), имеем 0 < λε < λ,

lim λε = λ.

ε→+0

(6.5.4)

Обозначим через λ0 величину λ при a0 = 0. Из равенства (6.4.12) следует, что ¯ ¯ λ0 = λ0 ¯ . q=0, µ=µ

Так же, как и в разделе 6.4.2, получим, что λ > λ0 . Из соотношений (6.5.4) вытекает 0 < λ0 /2 < λε < λ

(6.5.5)

для достаточно малых ε > 0. Далее мы рассмотрим отдельно случай задачи Дирихле и случай смешанной краевой задачи. Сначала рассмотрим задачу Дирихле. Лемма 6.5.1. Существует число ε∗ > 0 такое, что ³ω ´ ε 0 Φε > ∀ε ∈ (0, ε∗ ). 2 ω0 + ε

(6.5.6)

Доказательство. В силу соотношения (6.5.3) мы имеем Pm (λ) > 0. Так как Pm (λ) — степенная функция с положительным показателем степени, то вследствие ее непрерывности существует δ ∗ окрестность числа λ, в которой неравенство (6.5.3) сохраняется, т. е. существует число δ ∗ > 0 такое, что Pm (λ) > 0 при |λ − λ| < δ ∗ . Зафиксируем число δ ∗ > 0; в частности, неравенство Pm (λ − δ) > 0 выполнено при любом δ ∈ (0, δ ∗ ). Вспомним, что λ является решением задачи (N EV P ). В силу соотношений (6.5.4), для каждого δ ∈ (0, δ ∗ ) можно положить λε = λ − δ и решить задачу (N EV Pε ) относительно ε; пусть ε(δ) > 0 обозначает полученное решение. Поскольку выполнены соотношения (6.5.4), то lim ε(δ) = +0. δ→+0

Таким образом, мы получили последовательность задач (N EV Pε ) относительно (λε , Φε (ω)),

0 < ε < min(ε(δ); π − ω0 ) = ε∗ (δ) ∀δ ∈ (0, δ ∗ ).

(6.5.7)



Рассмотрим функцию Φε (ω) из (6.5.7). Так же, как и в (6.4.5), убеждаемся в том, что · ¸ ω0 + ε ω0 + ε 00 Φε (ω) < 0 ∀ω ∈ − , . 2 2 · ¸ ω0 + ε ω0 + ε Это означает, что функция Φε (ω) является выпуклой вверх на отрезке − , , т. е. 2 2 · ¸ ω0 + ε ω0 + ε Φε (α1 ω1 + α2 ω2 ) > α1 Φε (ω1 ) + α2 Φε (ω2 ) ∀ω1 , ω2 ∈ − , , 2 2 α1 > 0, α2 > 0, α1 + α2 = 1. Пусть

ω0 ε ε + ω0 , α2 = , ω1 = , ε + ω0 ε + ω0 2 Из задачи (N EV Pε ) получим ³ω ´ ε ε 0 Φε > Φε (0) = . 2 ω0 + ε ω0 + ε Лемма доказана. α1 =

Следствие 6.5.1. Имеют место неравенства ε 6 Φε (ω) 6 1 ∀ω ∈ [−ω0 /2, ω0 /2], ω0 + ε

ω2 = 0.

∀ε ∈ (0, ε∗ ).

(6.5.8)

Теперь рассмотрим смешанную задачу. Лемма 6.5.2. Существует число ε∗ > 0 такое, что ³ ω ´ ε 0 Φε − ∀ε ∈ (0, ε∗ ). > 2 2(ω0 + ε)

(6.5.9)

Доказательство. В силу неравенства (6.5.3) выполнено Pm (λ) > 0. Поскольку Pm (λ) — полином, то вследствие его непрерывности существует δ ∗ -окрестность числа λ, в которой неравенство (6.5.3) сохраняется, т. е. существует число δ ∗ > 0 такое, что Pm (λ) > 0 при |λ − λ| < δ ∗ . Зафиксируем такое δ ∗ > 0; тогда, в частности, выполнено неравенство Pm (λ − δ) > 0 ∀δ ∈ (0, δ ∗ ).

(6.5.10)

Известно, что λ является решением задачи (N EV P ). В силу соотношений (6.5.4) для каждого δ ∈ (0, δ ∗ ) можно записать λε = λ − δ (6.5.11) и решить задачу (N EV Pε ) относительно ε; пусть ε(δ) > 0 полученное решение. Поскольку соотношения (6.5.4) выполнены, то lim ε(δ) = +0. δ→+0

Таким образом, мы получили последовательность задач (N EV Pε ) относительно (λε , Φε (ω)),

0 < ε < min(ε(δ); 2π − ω0 ) = ε∗ (δ) ∀δ ∈ (0, δ ∗ ).

(6.5.12)

Рассмотрим функцию Φε (ω) из µ (6.5.12). Так же, ¶как в неравенстве (6.4.5), убеждаемся в том, ω0 + ε ω0 + ε 00 что Φε (ω) < 0 при любом ω ∈ − , . Это означает, что функция Φε (ω) является 2 · ¸2 ω0 + ε ω0 + ε выпуклой вверх на отрезке − , , т. е. 2 2 ¸ · ω0 + ε ω0 + ε , , Φε (α1 ω1 + α2 ω2 ) > α1 Φε (ω1 ) + α2 Φε (ω2 ) ∀ω1 , ω2 ∈ − 2 2 α1 > 0, α2 > 0, α1 + α2 = 1. Положим α1 =

ω0 + ε/2 , ε + ω0

α2 =

ε , 2(ε + ω0 )

ω1 = −

ε + ω0 , 2

ω2 =

ε + ω0 . 2

6.5. ОЦЕНКИ

121


Из задачи (N EV Pε ) получим µ ¶ ³ ω ´ ε ω0 + ε ε 0 > Φε . Φε − = 2 2(ω0 + ε) 2 2(ω0 + ε) Лемма доказана. Следствие 6.5.2. Имеют место неравенства ε 6 Φε (ω) 6 1 ∀ω ∈ [−ω0 /2, ω0 /2], 2(ω0 + ε)

∀ε ∈ (0, ε∗ ).

Лемма 6.5.3. Для любого ε > 0 выполнены неравенства h ω ω i 0 0 , 0 < Φ0ε (ω) 6 2ε−1 , ω ∈ − , 2 2h 00

−C(q, µ, τ, m, λ, ω0 )ε−3 6 Φε (ω) < 0,

ω0 ω0 i ω∈ − , , 2 2

(6.5.13)

(6.5.14) (6.5.15)

где C(q, µ, τ, m, λ, ω0 ) > 0. Доказательство. Из соотношений (N EV Pε ), (6.5.9) и (6.5.13) следует, что µ ¶ ε ω0 + ε ω0 + ε 0 00 6 Φε (ω) 6 1, Φε (ω) > 0, Φε (ω) < 0 ∀ω ∈ − , , (6.5.16) 2(ε + ω0 ) 2 2 ¶ µ ω0 + ε = 0 ∀ε > 0. Φε − 2 µ ¶ ω0 + ε ω0 + ε 0 Поэтому функция Φε (ω) убывает на интервале − , . По теореме Лагранжа о сред2 2 нем имеем µ ¶ ³ ω ´ ω0 + ε ε 0 Φε − − Φε − = − Φ0ε (ω); 2 2 2 следовательно, εΦ0ε (ω) 6 2 µ ¶ ω0 + ε ω0 при некотором ω ∈ − ,− . Из убывания функции Φ0ε (ω) вытекает (6.5.14). Из уравнения 2 2 для Φε в задаче (N EV Pε ) следует, что ½ ³ ´m 1 00 2 2 02 2 − Φε = µ λ Φ + Φ + ε ε ε £ ¤¡ ¢ m−4 Φε (m − 1)Φ0ε 2 + λ2ε Φ2ε λ2ε Φ2ε + Φ0ε 2 2 ³ ´ m−4 n ³ ´ 2 2 2 + Φ2ε λ2ε Φ2ε + Φ0ε λε [λε (m − 1) − m + 2 + τ ] λ2ε Φ2ε + Φ0ε + ¾ o 2 02 m + (m − 2)λε Φε + (ε − a0 )Φε , (6.5.17) откуда в силу неравенств (6.5.5), (6.5.14) и (6.5.16) имеем £ ¤ 00 02 −3 −Φε (ω) 6 λ2ε (2m − 3 + µ) + (2 − m + τ )λε + ελ2−m Φε + µΦ−1 ε ε Φε 6 C(q, µ, τ, m, λ, ω0 )ε .

Лемма 6.5.4. Существует положительная постоянная c0 = c0 (m, q, µ, τ, ω0 ) такая, что ³ω ´ 0 > c0 εm+3 , 0 < ε ¿ 1. (6.5.18) Φ0ε 2 Доказательство. По теореме Лагранжа о среднем в силу (N EV Pε ) следует µ ¶ ³ ´ ³ ´ ω0 + ε ε 0 ω0 0 0 ω0 = Φε − Φε = − Φ00ε (ω) Φε 2 2 2 2

(6.5.19)

122



µ при некотором ω ∈

ω0 ω0 + ε , 2 2

¶ . Из соотношений (6.5.17), (6.5.10), (6.5.11) и (6.5.3) вытекает

h i³ ´ m−4 00 2 2 2 − Φε Φε (m − 1)Φ0ε + λ2ε Φ2ε λ2ε Φ2ε + Φ0ε > D£ E ¤ m−1 > Φm (µ + m − 1)λm − a0 + ε > εΦm ε ε + (2 + τ − m)λε ε . (6.5.20) µ ¶ ω0 + ε Поскольку функция Φ0ε (ω) убывает и является непрерывной и Φ0ε = 0, имеем 2 µ ¶ ω0 ω0 + ε 0 < Φ0ε (ω) < 1, ω ∈ , , 2 2 для достаточно малых ε > 0. Следовательно, справедливы следующие утверждения: (1) при m > 4 имеем h i³ ´ m−4 h i m−2 2 2 2 2 2 (m − 1)Φ0ε + λ2ε Φ2ε λ2ε Φ2ε + Φ0ε 6 (m − 1)Φ0ε + λ2ε Φ2ε 6 ´ m−2 ¡ ¢ m−2 ³ 2 2 6 m − 1 + λ2ε 2 6 m − 1 + λ ,

µ ω∈

ω0 ω0 + ε , 2 2

¶ ,

вследствие (6.5.4); поэтому из неравенств (6.5.16) и (6.5.20) следует ³ ´ 2−m ³ ´ 2−m 1 00 2 2 2 2 εm , −Φε (ω) > m − 1 + λ εΦm−1 > m − 1 + λ ε [2(1 + ω0 )]m−1 откуда с учетом (6.5.19) получим, что неравенство (6.5.18) верно; (2) при 2 6 m < 4 из соотношений (6.5.16), (6.5.20) и (6.5.5) следует 00

− Φε (ω) > εΦm−1 ε

³ ´ 4−m 2 λ2ε Φ2ε + Φ0ε 2 (m −

1)Φ0ε 2

+

λ2ε Φ2ε >ε

> ελ4−m Φ3ε ε µ

λ0 2

¶4−m

1 2

λ +m−1

> µ

1

3

2

8(λ + m − 1)(1 + ω0 )3

ε ,

ω∈

ω0 ω0 + ε , 2 2

¶ ,

откуда с учетом (6.5.19) снова получим справедливость неравенства (6.5.18). 6.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

Пусть пара (λε , Φε (ω)) является решением задачи (N EV Pε ) при некотором фиксированном ε ∈ (0, ε∗ ), где число ε∗ опредено соотношением (6.5.12). Определим функцию, которая будет играть роль барьерной. Рассмотрим функцию wε (x, r, ω) = Arλε Φε (ω) ∀x ∈ RN −2 , r ∈ [0, d], ω ∈ [−ω0 /2, ω0 /2], где A > 0 — число, которое будет выбрано ниже. Применим принцип сравнения (теорема 6.2.1) к задаче (II), сравнивая ее решение v(x) с барьерной функцией wε (x) в области Gd0 . Непосредственно вычислим ½ · ´ m−2 ¸ d ³ 2 2 2 2 L0 wε (x, r, ω) = (At)m−1 r(m−1)λε −m+τ − Φ0ε − λε Φε + Φ0 ε dω ³ ´ m−2 ´m ¾ 1 ³ 2 2 2 2 2 02 m−1 02 2 − λε [λε (m − 1) − m + 2 + τ ]Φε λε Φε + Φ ε + a 0 Φε −µ λε Φε + Φ ε = Φε = εr(m−1)λε −m+τ (tAΦε (ω))m−1 . В силу соотношений (6.5.1), (N EV Pε ) и (6.5.13) получим · ¸m−1 A(m − 1) m L0 wε (x, r, ω) > ε r(m−1)λε −m+τ . 2θε (q + m − 1)

(6.6.1)

6.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Далее,

¯ ¯ wε (x)¯

123

ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

Aε λ d 2θε Ωd вследствие соотношений (6.5.4) и (6.5.13). Кроме того, мы имеем ³ ´ wε (x) > 0 = v(x), x ∈ ∂Gd0 \ Ωd ∪ Γd2 . >

(6.6.2)

(6.6.3)

Наконец, нетрудно показать, что c0 Aεm+1 rλε −1 6 |∇wε | 6 c1 Aε−1 rλε −1 ,

|∇2 wε | 6 c2 Aε−3 rλε −2

(6.6.4)

(учитывая неравенства (6.5.14), (6.5.15) и (6.5.18)). Пусть функция φ ∈ L∞ (Gd0 ) ∩ W 1,m (Gd0 , ∂Gd0 \ Γd2 ) — произвольная неотрицательная функция. Для оператора Q, определенного равенством (II), получим Z D d E Q(wε , φ) = φ(x) − Ai (x, ∇wε ) + a0 A(x, wε ) + B(x, wε , ∇wε ) − f (x) dx + dxi Gd0

Z +

D E φ(x) Ai (x, ∇wε )ni (x) + Σ (x, wε ) − g(x) ds.

Γd2

Отсюда по определению оператора L0 имеем * Z ¢ d ¡ Ai (x, ∇wε ) − tm−1 rτ |∇wε |m−2 wεxi + Q(wε , φ) = φ(x) − dxi Gd0

+ ¢ ¡ ¢ ¡ m τ m −1 τ −m m−2 |wε | wε + B(x, wε , ∇wε ) + µt r |∇wε | wε − f (x) dx + + L0 wε (x) + a0 A(x, wε ) − r *

Z

φ(x) Σ (x, wε ) − g(x) + tm−1 rτ |∇wε |m−2

+ Γd2

∂wε + ∂n

+ ¡ ¢ + Ai (x, ∇wε ) − tm−1 rτ |∇wε |m−2 wεxi ni (x) ds. (6.6.5)

По условию (2), Σ (x, wε ) = σ(x, wεt ) > 0, поскольку wε (x) > 0. Кроме того, по лемме 6.5.4 ¯ ¯ ³ ´ 1 ∂wε ¯¯ ∂wε ¯¯ λε −1 0 ω0 = = Ar Φε > c0 Aεm+3 rλε −1 . ∂n ¯Γd r ∂ω ¯ω= ω0 2 2

(6.6.6)

(6.6.7)

2

Следовательно, в силу соотношений (6.6.1), (6.6.6) и (6.6.7) из равенства (6.6.5) вытекает * · ¸m−1 Z A(m − 1) m Q(wε , φ) > φ(x) ε r(m−1)λε −m+τ − 2(ω0 + ε)(q + m − 1) Gd0

¯ N ³ ´¯¯ X ¯ ¯ ¯ ∂Ai (x, ∇wε ) j m−1 τ m−4 2 ¯wεx x ¯ · ¯ −t r |∇wε | δi |∇wε | + (m − 2)wεxi wεxj ¯¯ − − i j ¯ ∂wεxj i,j=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂Ai (x, ∇wε ) ¯ ¯ ¯ τ −m m−2 m−1 τ −2 m−2 − ¯¯ |wε | wε ¯¯ − − τt r |∇wε | xi wεxi ¯¯ − a0 ¯¯A(x, wε ) − r ∂xi

124



+ * ¯ ¯ Z ¯ ¯ m τ m −1 − ¯¯B(x, wε , ∇wε ) + µt r |∇wε | wε ¯¯ − |f (x)| dx + φ(x) c0 Atm−1 εm+3 rτ +λε −1 |∇wε |m−2 − Γd2

v + uN ¯ ¯2 uX¯ ¯ − t ¯¯Ai (x, ∇wε ) − tm−1 rτ |∇wε |m−2 wεxi ¯¯ − |g(x)| ds. (6.6.8) i=1

Тогда, учитывая предположения (6.1.16), (11)–(14) и (6.1.5) и неравенства (6.6.4), из неравенства (6.6.8) мы получим Z Q(wε , φ) > C1 (m, q, ε, A, ω0 )

D φ(x)r(m−1)λε −m+τ 1 − c2 (r)r(m−2)(λ−λε ) −

Gd0

E − c(r) − (f1 + k3 )r(m−1)(λ−λε ) − k4 rt(m−1)(λ−λε ) dx + Z D E + C2 (m, q, µ, τ, ε, A, ω0 ) φ(x)rτ +(m−1)(λε −1) 1 − c1 (r) − (k1 + g1 )r(m−1)(λ−λε ) ds, Γd2

где c(r) = c2 (r) + c3 (r) + c4 (r). Фиксируя A > 0 и ε > 0, вследствие непрерывности функций c1 (r), c2 (r), c3 (r) и c4 (r) в нуле можно выбрать число d > 0 столь малым, что будет выполнено неравенство Q(wε , φ) > 0 ∀φ > 0. Кроме того, по теореме 6.3.1 имеем

откуда в силу (6.6.2)

¯ ¯ wε ¯

¯ ¯ v(x)¯

(6.6.9)

1/t

Ωd

6 M0 ,

¯ Aε λ ¯ 1/t d > M0 > v(x)¯ 2θε Ωd Ωd при условии, что число A > 0 достаточно велико, т. е. µ ¶ q+m−1 2θε M0 m−1 A> . ε dλ >

(6.6.10)

(6.6.11)

Таким образом, из соотношений (6.6.9), (6.6.3), (6.6.10) и (II) следует ( Q(wε , φ) > 0 = Q(v, φ) ∀φ > 0, x ∈ Gd0 , wε (x) > v(x), x ∈ ∂Gd0 \ Γd2 . Можно проверить, что остальные условия принципа сравнения (теорема 6.2.1) также выполнены. Применяя принцип сравнения, получим v(x) 6 wε (x),

x ∈ Gd0 .

Аналогично доказывается, что v(x) > −wε (x),

x ∈ Gd0 .

Таким образом, окончательно имеем |v(x)| 6 wε (x) 6 Arλε ,

x ∈ Gd0 .

Возвращаясь к старым переменным по формуле (6.5.1), мы получаем требуемую оценку (6.1.17). Основная теорема доказана.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

125

6.7. ЗАМЕЧАНИЯ Изложение этой главы следует работам [19, 107]. Краевые задачи в гладких областях для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка весьма интенсивно изучаются в последнее время (см. [99–101,114,115,117,123,141,143,144,154,155,195] и обширную библиографию в этих источниках). Задачи такого рода в негладких областях изучены в меньшей степени. В работах [89, 90, 152] получены результаты о существовании решений вырожденных квазилинейных эллиптических краевых задач. В работе [170] в липшицевых областях изучена регулярность решений и корректность задач для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений, возникающих в теории упругости при решении задач о биматериалах. Работы [6,9,12,14,108,122,203] посвящены изучению слабых решений задачи (BV P ) в окрестности конической точки границы в некоторых частных случаях. В работе [111] изучена задача Дирихле для модельного уравнения (M E) вблизи ребра. В работе [138] исследованы свойства решений задачи (BV P ) для оператора Лапласа в плоской области, ограниченной многоугольником (см. главу 4 в [138]). Эти исследования важны для численного решения краевых задач (см., например, [120, 121]). Непрерывность по Гельдеру слабых решений задачи Дирихле для вырожденных линейных и квазилинейных эллиптических уравнений в дивергентной форме была доказана в разделе 3 работы [134] (для линейных уравнений) и в разделе 2 работы [99] (для квазилинейных уравнений при m = 2). Эбмейером и Фрезе [124, 125] недавно была исследована смешанная краевая задача для квазилинейных эллиптических уравнений и систем уравнений в дивергентной форме в многограннике. Ими была доказана W s,2 -регулярность с s < 3/2 и изучены Lp -свойства первой и второй производных решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. I. — М.: Изд–во иностр. лит., 1962. 2. Апушкинская Д., Назаров А. Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений в областях с гладкими ребрами// Теор. функций и приложения. Пробл. мат. анализа. — 2000. — 21. — С. 3–29. 3. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965. 4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966. 5. Бирман М. Ш., Скворцов Г. Е. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой границей// Изв. вузов, сер. мат. — 1962. — 5. — С. 12–21. 6. Борсук М. В. Поведение обобщенных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических дивергентных уравнений второго порядка вблизи конической точки// Сиб. мат. журнал. — 1990. — 31, № 6. — С. 25–38. 7. Борсук М. В. Неулучшаемые оценки решений задачи Дирихле для линейных эллиптических недивергентных уравнений второго порядка в окрестности конической точки границы// Мат. сб. — 1991. — 182, № 10. — С. 1446–1462. 8. Борсук М. В. Оценки решений задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического недивергентного уравнения второго порядка вблизи угловой граничной точки// Алгебра и анализ. — 1991. — 3, № 6. — С. 85–107. 9. Борсук М. В., Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка общего вида вблизи угловой точки// Укр. мат. журнал. — 1992. — 44, № 2. — С. 167–173. 10. Борсук М. В. О разрешимости задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в области с коническими точками// Успехи мат. наук. — 1993. — 48, № 4. — С. 176-177. 11. Борсук М. В. Первая краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими или угловыми точками на границе. — Докторская диссертация. Львовский гос. ун-т, 1993. 12. Борсук М. В. Оценки решений задачи Дирихле для эллиптических недивергентных уравнений второго порядка в окрестности конической точки границы// Дифф. уравн. — 1994. — 30, № 1. — С. 104–108. 13. Борсук М. В. О разрешимости задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического недивергентного уравнения второго порядка в области с коническими точками// Докл. НАН Укр. — 1995. — № 1. — С. 14-15 (на украинском языке).

126

СПИСОК


14. Борсук М. В. Оценки обобщенных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в области с конической граничной точкой// Дифф. уравн. — 1995. — 31, № 6. — С. 1001–1007. 15. Борсук М. В. О разрешимости задачи Дирихле для эллиптических недивергентных уравнений второго порядка в области с конической точкой// Укр. мат. журнал. — 1996. — 48, № 1. — С. 13–24 (на украинском языке). 16. Борсук М. В. О разрешимости первой краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в области с конической точкой на границе// Мат. физ., анализ, геометрия. — 1997. — 4, № 4. — С. 428–452. 17. Борсук М. В. Поведение решений задачи Дирихле для слабо нелинейных эллиптических недивергентных уравнений в окрестности конической точки границы// Дифф. уравн. — 1997. — 33, № 8. — С. 1085–1094. 18. Борсук М. В. Дини-непрерывность первых производных решений задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в негладкой области// Сиб. мат. журнал. — 1998. — 39, № 2. — С. 261–280. 19. Борсук М. В. Поведение слабых решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений с тройным вырождением вблизи ребра на границе области// Нелинейные граничные задачи. — 2002. — 12 — С. 32–43. 20. Борсук М. В., Кондратьев В. А. Поведение решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка вблизи угловой точки// Дифф. уравн. — 1988. — 24, № 10. — С. 1778–1784. 21. Борсук М. В., Плеша М. Оценки обобщенных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в области с конической точкой на границе// Укр. мат. журнал. — 1998. — 50, № 10. — С. 1299–1309 (на украинском языке). 22. Вержбинский Г. М., Мазья В. Г. Асимптотическое поведение решений эллиптических уравнений второго порядка вблизи границы. I// Сиб. мат. журнал. — 1971. — 12, № 6. — С. 1217–1249. 23. Вержбинский Г. М., Мазья В. Г. Асимптотическое поведение решений эллиптических уравнений второго порядка вблизи границы. II// Сиб. мат. журнал. — 1972. — 13, № 6. — С. 1239–1271. 24. Вержбинский Г. М., Мазья В. Г. О замыкании в Lp оператора задачи Дирихле в области с коническими точками// Изв. вузов, сер. мат. — 1974. — 6 (145). — С. 8–19. 25. Воинов Ю. Н. Ограниченность градиентов обобщенных решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений вблизи границы// Вестн. Ленинград. ун-та, сер. мат. мех. астроном. — 1974. — 7. — С. 5–13. 26. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике// Тр. МИАН. — 1965. — 77. — С. 89–112. 27. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989. 28. Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т. 1. Москва—Ленинград: ГТТИ, 1933. 29. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: Изд–во иностр. лит., 1962. 30. Егоров Ю., Кондратьев В., Олейник О. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях// Мат. сб. — 1998. — 189, № 3. — С. 45–68. 31. Заянчковский В., Солонников В. А. О задаче Неймана для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами на границе// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1983. — 127, № 15. — С. 7–48. 32. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях// Докл. АН СССР. — 1963. — 153. — С. 27–29. 33. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1967. — 16. — С. 209–292. 34. Кондратьев В. А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в кусочно гладкой области// Дифф. уравн. — 1970. — 6, № 10. — С. 1831–1843. 35. Кондратьев В. А. Особенности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра// Дифф. уравн. — 1977. — 13, № 11. — С. 2026–2032. 36. Кондратьев В. А. О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1996. — 19. — С. 235–261. 37. Кондратьев В. А., Копачек И., Олейник О. А. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1982. — 8. — С. 135–152.

СПИСОК


127

38. Кондратьев В. А., Копачек И., Олейник О. А. О наилучших показателях Гельдера для обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка// Мат. сб. — 1986. — 131, № 1. — С. 113–125. 39. Кондратьев В. А., Олейник O. A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях// Успехи мат. наук — 1983. — 38, №2. — С. 3–76. 40. Кордес Х. О. О первой краевой задаче для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными// Математика. Сб. переводов. — 1959. — 16, № 2. — С. 75–107. 41. Кроль И. Н. О решениях уравнения div{|∇u|p−2 · ∇u} = 0 с особенностью в граничной точке// Тр. МИАН. — 1973. — 125. — С. 127–139. 42. Кроль И. Н. О поведении решений одного квазилинейного уравнения вблизи нулевых заострений границы// Тр. МИАН. — 1973. — 125. — С. 140–146. 43. Кроль И. Н., Мазья В. Г. Об отсутствии непрерывности и непрерывности по Гельдеру решений одного квазилинейного уравнения// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1969. — 14. — С. 89–91. 44. Кроль И. Н., Мазья В. Г. О гельдеровской непрерывности и разрывности решений квазилинейных эллиптических уравнений вблизи нерегулярной границы// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1972. — 26. — С. 75–94. 45. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. — М.: Наука, 1985. 46. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1988. 47. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. 48. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1968. 49. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. 50. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности// Успехи мат. наук. — 1986. — 41, № 5. — С. 59–83. 51. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Оценки на границе области первых производных функций, удовлетворяющих эллиптическому или параболическому неравенству// Тр. МИАН. — 1988. — 179, № 13. — С. 102–125. 52. Лопатинский Я. Б. Об одном типе сингулярных интегральных уравнений// Теор. и прикл. мат. Львовский гос. ун-т. — 1963. — 2. — С. 53–57. 53. Мазья В. Г. Разрешимость задачи Дирихле для области с гладкой нерегулярной границей// Вестн. Ленинград. ун-та. — 1964. — 19, № 7. — С. 163–165. 54. Мазья В. Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы// Пробл. мат. анализа. — 1966. — С. 45–58. ◦ 55. Мазья В. Г. Разрешимость в W 22 задачи Дирихле для области с гладкой нерегулярной границей// Вестн. Ленинград. ун-та. — 1967. — 22, № 7. — С. 87–95. 56. Мазья В. Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме// Мат. заметки. — 1967. — 2. — С. 209–220. 57. Мазья В. Г. Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами// Функц. анализ и прилож. — 1968. — 2, № 3. — С. 53–57. 58. Мазья В. Г. Непрерывность в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений// Вестн. Ленинград. ун-та. — 1970. — 25, № 13. — С. 42–55. 59. Мазья В. Г. Непрерывность в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений. Erratum// Вестн. Ленинград. ун-та. — 1972. — 27, № 1. — С. 160. 60. Мазья В. Г. Об устранимых особенностях ограниченных решений квазилинейных эллиптических уравнений любого порядка// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1972. — 27. — С. 116–130. 61. Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Изд–во Ленинград. ун–та, 1985. 62. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотическое поведение решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. — Тбилиси: Тбилис. гос. ун-т, Инст. прикл. мат., 1981. 63. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно гладкой границей// Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси, 1971. — 1973. — 1. — С. 171–181. 64. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических краевых задач в окрестности конической точки// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1973. — 38. — С. 94–97.

128

СПИСОК


65. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О фундаментальных решениях эллиптических краевых задач и принцип максимума Миранда—Агмона в областях с коническими точками// Сообщения АН Груз. ССР. — 1974. — 73, № 2. — С. 277–280. 66. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1975. — 52, № 8. — С. 110–127. 67. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями// Пробл. мат. анализа. — 1977. — 6. — С. 85–142. 68. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки функций Грина и шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле// Сиб. мат. журнал. — 1978. — 19, № 5. — С. 1065–1082. 69. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе// Тр. сем. им. С. Л. Соболева. — 1978. — 2. — С. 69–102. 70. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Lp -оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1978. — 37. — С. 49–93. 71. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Асимптотическое поведение фундаментальных решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками// Пробл. мат. анализа. — 1979. — 7. — С. 100–145. 72. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О решениях нелинейной задачи Дирихле с сильными особенностями вблизи конической точки// Успехи мат. наук. — 1982. — 37, № 4. — С. 101. 73. Мазья В. Г., Сапожникова В. Д. Решение задач Дирихле и Неймана в нерегулярных областях методами теории потенциала// Докл. АН СССР. — 1964. — 159. — С. 1221–1223. 74. Матийчук М., Эйдельман С. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость// Укр. мат. журнал. — 1970. — 22, № 1. — С. 22–36. 75. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.: Высш. школа, 1977. 76. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991. 77. Никольский С. М. Задача Дирихле в областях с углами// Докл. АН СССР. — 1956. — 109, № 1. — С. 33–35. 78. Ниренберг Л. О нелинейных эллиптических дифференциальных уравнениях в частных производных и непрерывности по Гельдеру// Математика. Сб. переводов. — 1959. — 3, № 3. — С. 9–55. 79. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966. 80. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988. 81. Сушков В. В. Оценки решений задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в окрестности конической точки. — Дипломная работа. Львовский университет, 1997. 82. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. II. — М.: Физматгиз, 1963. 83. Фуфаев В. К задаче Дирихле для областей с углами// Докл. АН СССР. — 1960. — 131, № 1. — С. 37–39. 84. Харди Г., Литтльвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. — М.: Изд–во иностр. лит., 1948. 85. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений// Тр. ЦАГИ. — 1932. — 130. 86. Чернецкий В. Наилучшие оценки решений смешанной задачи для линейных эллиптических уравнений второго порядка вблизи угловой точки// Укр. мат. журнал. — 1997. — 49, № 11. — С. 1529–1542 (на украинском языке). 87. Эскин Г. И. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плоскости с угловыми точками// Успехи мат. наук. — 1963. — 18, № 3. — С. 241–242. 88. Adolfsson V. L2 -integrability of the second-order derivatives for Poisson’s equation in nonsmooth domains// Math. Scand. — 1992. — 70. — С. 146–160. 89. Akdim Y., Azroul E., Benkirane A. Existence of solutions for quasilinear degenerate elliptic equations// Electron. J. Differential Equations. — 2001. — 71, 1–19. 90. Akdim Y., Azroul E., Rhoudaf M. On the solvability of degenerated quasilinear elliptic problems// Electron. J. Differential Equations. — 2004. — 11. — С. 11–22. 91. Apel T., Nicaise S. Elliptic problems in domains with edges: anisotropic regularity and anisotropic finite element meshes// Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. — 1996. — 22. — С. 18–34. 92. Aronsson G. Construction of singular solutions to the p-harmonic equations and its limit equation for p = ∞// Manuscr. Math. — 1986. — 56. — С. 135–158. 93. Azzam A. Behavior of solutions of Dirichlet problem for elliptic equations at a corner// Indian J. Pure Appl. Math. — 1979. — 10. — С. 1453–1459.

СПИСОК


129

94. Azzam A. On the first boundary value problem for elliptic equations in regions with corners// Arab. J. Sci. Eng. — 1979. — 4. — С. 129–135. 95. Azzam A. Smoothness properties of bounded solutions of Dirichlet’s problem for elliptic equations in regions with corners on the boundary// Can. Math. Bull. — 1980. — 23. — С. 213–226. 96. Azzam A. On Dirichlet’s problem for elliptic equations in sectionally smooth n-dimensional domains// SIAM J. Math. Anal. — 1980. — 11. — С. 248–253. 97. Azzam A. Smoothness properties of solutions of mixed boundary value problems for elliptic equations in sectionally smooth n-dimensional domains// Ann. Pol. Math. — 1981. — 40, № 1. — С. 81–93. 98. Azzam A., Kondrat’ev V. Schauder-type estimates of solutions of second-order elliptic systems in divergence form in nonregular domains// Comm. Partial Differential Equations. — 1991. — 16. — С. 1857–1878. 99. Baldes A. Degenerate elliptic operators, diagonal systems and variational integrals// Manuscr. Math. — 1986. — 55. — С. 467–486. 100. Below J., Kaul H. Nonlinear degenerate elliptic equations and axially symmetric problems// Calc. Var. Partial Differential Equations. — 1998. — 7. — С. 41–51. 101. Boccardo L., Murat F., Puel J. Existence of bounded solutions for nonlinear elliptic unilateral problems// Ann. Mat. Pura Appl. (4). — 1988. — 152. — С. 183–196. 102. Bochniak M., Borsuk M. Dirichlet problem for linear elliptic equations degenerating at a conical boundary point// Analysis (Munich). — 2003. — 23, № 3. — С. 225–248. 103. Bogovskiy M., Maslennikova V. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries// Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. — 1986. — 106. — С. 125–138. 104. Borsuk M. V. Dini-continuity of first derivatives of solutions of the Dirichlet problem for second-order linear elliptic equations in a nonsmooth domain// Ann. Polon. Math. — 1998. — 69. — С. 129–154. 105. Borsuk M. V. On the behavior of solutions of the Dirichlet problem for elliptic nondivergence second-order equations near the conical boundary point// Mat. Stud. — 1998. — 10, № 2. — С. 163–172. 106. Borsuk M. V. Elliptic boundary value problems in nonsmooth domains// Proc. 5th Environmental Math. Conf., Rzeszow—Lublin—Lesko, 1998, Lublin. — 1999. — С. 33–43 (на польском языке). 107. Borsuk M. V. The behavior of weak solutions to the boundary-value problems for elliptic quasilinear equations with triple degeneration in a neighborhood of a boundary edge// Nonlinear Anal. — 2004. — 56, № 3. — С. 347–384. 108. Borsuk M. V., Dobrovolski M. On the behavior of solutions of the Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic equations in the neighborhood of conical boundary points// Нелинейные граничные задачи. — 1999. — 9. — С. 29–34. 109. Borsuk M. V., Kondrat’ev V. A. On the behavior of solutions of Dirichlet problem for semilinear second order elliptic equations in a neighborhood of conical boundary point// Нелинейные граничные задачи. — 1997. — 7. — С. 47–56. 110. Borsuk M. V., Portnyagin D. Barriers on cones for degenerate quasilinear elliptic operators// Electron. J. Differential Equations. — 1998. — 11. — С. 1–8. 111. Borsuk M. V., Portnyagin D. On the Dirichlet problem for a quasilinear elliptic second-order equation with triple degeneracy and singularity in a domain with edge on the boundary// GAKUTO Internat. Ser., Math. Sci. Appl. — 2000. — 14, № 2. — С. 47–60. 112. Borsuk M. V., Zawadzka A. Best possible estimates of solutions to the Robin boundary value problem for linear elliptic non divergence second order equations in a neighborhood of the conical point// J. Differ. Equations. — 2004. — 207, № 2. — С. 303–359. 113. Burch C. The Dini condition and regularity of weak solutions of elliptic equations// J. Differ. Equations. — 1978. — 30. — С. 308–323. 114. Caldiroli P., Musina R. On a variational degenerate elliptic problem// NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. — 2000. — 7. — С. 187–199. 115. Cirmi G. R., Porzio M. M. L∞ -solutions for some nonlinear degenerate elliptic and parabolic equations// Ann. Mat. Pura Appl. (4). — 1995. — 169. — С. 67–86. 116. Choe H. Degenerate elliptic and parabolic equations and variational inequalities// Lecture Notes Ser. — 1993. — 16. 117. Cuesta M., Taka´ cˇ P. A strong comparison principle for positive solutions of degenerate elliptic equations// Differential Integral Equations. — 2000. — 13, № 4–6. — С. 721–746. 118. Dahlke S., DeVore R. A. Besov regularity for elliptic boundary value problems// Comm. Partial Differential Equations. — 1997. — 22, № 1-2. — С. 1–16. 119. Dauge M. Elliptic boundary value problems on corner domains// Lecture Notes in Math. — 1988. — 1341. — С. 1–257.

130

СПИСОК


120. Dobrowolski M. Numerical approximation of elliptic interface and corner problems. — Bonn: Habschrift, Universität Bonn, 1981. 121. Dobrowolski M. Nonlinear corner problems and finite elements method// ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — 1984. — 64. — С. 270-271. 122. Dobrowolski M. On quasilinear elliptic equations in domains with conical boundary points// J. Reine Angew. Math. — 1989. — 394. — С. 186–195. 123. Drabek P., Kufner A., Nicolosi F. Quasilinear elliptic equations with degenerations and singularities. — ´ Berlin: Walter de Gruyter, 1997. 124. Ebmeyer C. Mixed boundary value problems for nonlinear elliptic systems in n-dimensional Lipschitzian domains// Z. Anal. Awendungen. — 1999. — 18. — С. 539–556. 125. Ebmeyer C., Frehse J. Mixed boundary value problems for nonlinear elliptic equations in multidimensional nonsmooth domains// Math. Nachr. — 1999. — 203. — С. 47–74. 126. Egorov Yu., Kondratiev V. On spectral theory of elliptic operators// Oper. Theory Adv. Appl. — 1996. — 89. 127. Egorov Yu., Kondratiev V. On the asymptotic behavior of solutions to a nonlinear elliptic boundary problem// Нелинейные граничные задачи. — 2000. — 10. — С. 61–74. 128. Egorov Yu. V., Kondrat’ev V. A. On global solutions to a nonlinear elliptic boundary problem in an unbounded domain// Нелинейные граничные задачи. — 2000. — 10. — С. 99–108. 129. Egorov Yu., Kondratiev V. On the asymptotic behavior of solutions of a semilinear elliptic boundary problem in an unbounded cone// C. R. Acad. Sci., Paris Sér. I Math. — 2001. — 332. — С. 705–710. 130. Egorov Yu., Kondratiev V., Schulze B.-W. On completeness of eigenfunctions of an elliptic operator on a ¨ Mathematik. — 2001. manifold with conical points, Preprint. Universitat Potsdam—Institut fur 131. Egorov Yu., Schulze B.-W. Pseudo-differential operators, singularities, applications// Oper. Theory Adv. Appl. — 1997. — 93. 132. Eskin G. I. Boundary values problems for second-order elliptic equations in domains with corners// Proc. Sympos. Pure Math. — 1985. — 43, № 2. — С. 105–131. 133. Evans L. C., Gariepy R. F. Measure theory and fine properties of functions. — CRC Press, Boca Raton, 1992. 134. Fabes E., Kenig K., Serapioni R. The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations// Comm. Partial Differential Equations. — 1982. — 7. — С. 77–116. 135. Fabbri J., Veron L. Singular boundary value problems for nonlinear elliptic equations in nonsmooth domains// Adv. Differential Equations. — 1996. — 1, № 6. — С. 1075–1098. 136. Faierman M. Regularity of solutions of an elliptic boundary value problem in a rectangle// Comm. Partial Differential Equations. — 1987. — 12. — С. 285–305. 137. Garroni M. G., Solonnikov V. A., Vivaldi M. A. On the oblique derivative problem in an infinite angle// Topol. Methods Nonlinear Anal. — 1996. — 7, № 2. — С. 299–325. 138. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. — Pitman Advanced Publishing Program, Boston— London—Melbourne, 1985. 139. Grisvard P. Edge behavior of the solution of an elliptic problem// Math. Nachr. — 1987. — 132. — С. 281–299. 140. Grisvard P. Singular behavior of elliptic problems in non hilbertian Sobolev spaces// J. Math. Pures Appl. (9). — 1995. — 74, № 1. — С. 3–33. 141. Gröger K. A W 1,p -estimate for solutions to mixed boundary value problems for second-order elliptic differential equations// Math. Ann. — 1989. — 283. — С. 679–687. 142. Gronwall T. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations// Ann. of Math. (2). — 1919. — 20, № 2. — С. 292–296. 143. Hong Xie. L2,µ (Ω)-estimate to the mixed boundary value problem for second-order elliptic equations and its application in the thermistor problem// Nonlinear Anal. — 1995. — 24, № 1. — С. 9–27. 144. Huang Y. X. Existence of positive solutions for a class of the p-Laplace equations// J. Aust. Math. Soc. — 1994. — 36. — С. 249–264. 145. Kondrat’ev V. A., Oleinik O. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains// J. Partial Differential Equations. — 1993. — 6, № 1. — С. 10–16. 146. Kondrat’ev V. A., Oleinik O. A. On behavior of solutions of a class of nonlinear elliptic second-order equations in a neighborhood of a conic point of the boundary// Lecture Notes in Pure Appl. Math. — 1995. — 167. — С. 151–159. 147. Kondrat’ev V. A., Oleinik O. A. On asymptotic of solutions of nonlinear second-order elliptic equations in cylindrical domains// Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. — 1996. — 22. — С. 160–173.

СПИСОК


131

148. Kondrat’ev V. A., Veron L. Asymptotic behavior of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations// Asymptot. Anal. — 1997. — 14. — С. 117–156. 149. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities// Math. Surveys Monogr. — 1997. — 52. 150. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossman J. Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations// Math. Surveys Monogr. — 2001. — 85. 151. Kufner A., John O., Fucik S. Function spaces. — Leyden: Noordhoff International Publishing, 1977. 152. Kufner A., Leonardi S. Solvability of degenerate elliptic boundary value problems: another approach// Math. Bohem. — 1994. — 119, № 3. — С. 255–274. 153. Kufner A., Sandig A.-M. Some applications of weighted Sobolev spaces// Teubner-Texte Math. — 1987. — ¨ 100. — С. 1–268. 154. Lee Junjie. Existence of C 1 -solutions to certain nonuniformly degenerate elliptic equations// J. Partial Differential Equations. — 1998. — 11, № 1. — С. 9–24. 155. Leonardi S. Solvability of degenerate quasilinear elliptic equations// Nonlinear Anal. — 1996. — 26, № 6. — С. 1053–1060. 156. Lieberman G. M. The nonlinear oblique derivative problem for quasilinear elliptic equations// Nonlinear Anal. — 1984. — 8. — С. 49–65. 157. Lieberman G. M. Regularized distance and its applications// Pacific J. Math. — 1985. — 117, № 2. — С. 329–352. 158. Lieberman G. M. The Perron process applied to oblique derivative problems// Adv. Math. — 1985. — 55. — С. 161–172. 159. Lieberman G. M. The Dirichlet problem for quasilinear elliptic equations with continuously differentiable boundary data// Comm. Partial Differential Equations. — 1986. — 11. — С. 167–229. 160. Lieberman G. M. Local estimates for subsolutions and supersolutions of oblique derivative problems for general second-order elliptic equations// Trans. Amer. Math. Soc. — 1987. — 304. — С. 343–353. 161. Lieberman G. M. Oblique derivative problems in Lipschitz domains. I. Continuous boundary data// Boll. Unione Mat. Ital. B (7). — 1987. — 1. — С. 1185–1210. 162. Lieberman G. M. Oblique derivative problems in Lipschitz domains. II. Discontinuous boundary data// J. Reine Angew. Math. — 1988. — 389. — С. 1–21. 163. Lieberman G. M. Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations// Nonlinear Anal. — 1988. — 12, № 11. — С. 1203–1219. 164. Lieberman G. M. Hölder continuity of the gradient at a corner for the capillary problem and related results// Pacific J. Math. — 1988. — 133, № 1. — С. 115–135. 165. Lieberman G. M. Optimal Hölder regularity for mixed boundary value problems// J. Math. Anal. Appl. — 1989. — 143. — С. 572–586. 166. Lieberman G. M. The conormal derivative problem for equations of variational type in nonsmooth domains// Trans. Amer. Math. Soc. — 1992. — 330. — С. 41–67. 167. Lieberman G. M. Second-order parabolic differential equations. — Singapore—New Jersey—London—Hong Kong: World Scientific, 1996. 168. Lieberman G. M. The maximum principle for equations with composite coefficients// Electron. J. Differential Equations. — 2000. — 38. — С. 1–17. 169. Lieberman G. M. Pointwise estimates for oblique derivative problems in nonsmooth domains// J. Differential Equations. — 2001. — 173, № 1. — С. 178–211. 170. Liu W. B. Degenerate quasilinear elliptic equations arising from bimaterial problems in elastic-plastic mechanics// Nonlinear Anal. — 1999. — 35. — С. 517–529. 171. Lubuma J., Nicaise S. Regularity of the solutions of Dirichlet problem in polihedral domains// Lecture Notes in Pure Appl. Math. — 1995. — 167. — С. 171–184. 172. Marusi E. On the mixed boundary value problem for Laplace equation in thin domain// Boll. ˇ c-Paloka ´ Unione Mat. Ital. B (7). — 1995. — 9. — С. 1–18. 173. Maz’ya V. G., Morozov N. F., Plamenevskii B. A., Stupialis L. Elliptic boundary value problems. — Trans. Amer. Math. Soc., 123, 1984. 174. Mazja V. G., Nazarov S. A., Plamenevskiy B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär Gestörten Gebieten I, Störungen isolierter Randsingularitäten, Mathematische Lehrbucher und Monographien; Abteilung: Mathematische Monographien. — 82, Berlin: Akademie—Verlag, 1991. 175. Mazja V. G., Nazarov S. A., Plamenevskiy B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär Gestörten Gebieten II, Nichtlokale Störungen, Mathematische Lehrbucher und Monographien; Abteilung: Mathematische Monographien. — 83, Berlin: Akademie—Verlag, 1991.

132

СПИСОК


176. Mazja V. G., Nazarov S. A., Plamenevskiy B. A. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains I// Oper. Theory Adv. Appl. — 2000. — 111. 177. Mazja V. G., Nazarov S. A., Plamenevskiy B. A. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains II// Oper. Theory Adv. Appl. — 2000. — 112. 178. Maz’ya V. G., Plamenevskiy B. A. On the coefficients in the asymptotics of solutions of elliptic boundary value problems in domains with conical points// Math. Nachr. — 1977. — 76. — С. 29–60. 179. Maz’ya V. G., Plamenevskiy B. A. Estimates in Lp and in Hölder classes and the Miranda—Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary// Math. Nachr. — 1978. — 81. — С. 25–82. 180. Maz’ya V. G., Plamenevskiy B. A. Weighted spaces with nonhomogeneous norms and boundary value problems in domains with conical points// Trans. Amer. Math. Soc. — 1984. — 123. — С. 89–107. 181. Maz’ya V. G., Rossmann J. Weighted estimates of solutions to boundary value problems for secondorder elliptic systems in polyhedral domains// ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — 2003. — 83, № 7. — С. 435–467. 182. Maz’ya V. G., Rossmann J. Schauder estimates for solutions to boundary value problems for second-order elliptic systems in polyhedral domains// Appl. Anal. — 2004. — 83, № 3. — С. 271–308. 183. Maz’ya V. G., Slutskii A. S. An asymptotic solution of a nonlinear Dirichlet problem with strong singularity at the corner point. — Preprint. LiTH-MAT-R-92-15, Linkoping University, 1992. 184. McIntosh A. Second-order properly elliptic boundary value problems on irregular plane domains// J. Differential Equations. — 1979. — 34. — С. 361–392. 185. McNabb A. Strong comparison theorems for elliptic equations of second order// J. Math. Mech. — 1961. — 10. — С. 431–440. 186. McOwen R. C. The behavior of the Laplacian on weighted Sobolev spaces// Comm. Pure Appl. Math. — 1979. — 32. — С. 783–795. 187. Miranda C. Partial differential equations of elliptic type. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer— Verlag, 1970. 188. Morrey C. B. Functions of several variables and absolute continuity// Duke Math. J. — 1940. — 6. — С. 187–215. 189. Morrey C. B. Multiple integrals in the calculus of variations. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer— Verlag, 1966. 190. Murthy M. K. V., Stampacchia G. Boundary value problem for some degenerate elliptic operators// Ann. Mat. Pura Appl. (4). — 1968. — 80. — С. 1–122. 191. Peano G. Sull’ integrabilità delle equazione differenziali di primo ordine// Atti R. Accad. Torino. — 1885/1886. — 21. — С. 667–685. 192. Petersdorff T., Stephan E. Decompositions in edge and corner singularities for the solution of the Dirichlet problem of the Laplacian in a polyhedron// Math. Nachr. — 1990. — 149. — С. 71–104. 193. Rabinovich V., Schulze B.-W., Tarkhanov N. Boundary value problems in domains with corners// Preprint, Univ. Potsdam. — 1999. — 19. 194. Reisman H. Second-order elliptic boundary value problem in a domain with edges// Comm. Partial Differential Equations. — 1995. — 6. — С. 1023–1042. 195. Sakaguchi S. Concavity properties of solutions to some degenerate quasilinear elliptic Dirichlet problems// Ann. Scuola. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). — 1987. — 14. — С. 403–420 196. Sanchez E. Palencia, Sanchez J. Hubert. Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer—Verlag, 1989. 197. Schulze B.-W. Boundary value problems and singular pseudo-differential operators. — Chichester: J. Wiley, 1998. 198. Shmarev S. I. On a class of degenerate elliptic equations in weighted Hölder spaces// Differential Integral Equations. — 2004. — 17, № 9-10. — С. 1123–1148. 199. Sperner E. Schauder’s existence theorem for α–Dini continuous data// Ark. Mat. — 1981. — 19, № 2. — С. 193–216. 200. Stampacchia G. Some limit cases of Lp -estimates for solutions of second-order elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. — 1963. — 16. — С. 505–510. 201. Stredulinsky E. W. Weighted inequalities and degenerate elliptic partial differential equations// Lecture Notes in Math. — 1984. — 1074. 202. Struwe M. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and hamiltonian systems. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer—Verlag, 2000. 203. Tolksdorf P. On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points// Comm. Partial Differential Equations. — 1983. — 8. — С. 773–817.

СПИСОК

ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

133

204. Trudinger N. S. Local estimates for subsolutions and supersolutions of general second-order elliptic quasilinear equations// Invent. Math. — 1980. — 61. — С. 67–79. 205. Wigley N. Mixed boundary value problem in plane domains with corners// Math. Z. — 1970. — 115. — С. 33–52. 206. Wigley N. Schauder estimates in domains with corners// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1988. — 104, № 3. — С. 271–276. 207. Ziemer W. P. Weakly differentiable functions. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer—Verlag, 1989.

СПИСОК [f ]α;G — 11 [u]A;G — 16 kukC k,A (G) — 17 ∇ω u — 7 Lw — 110 M — 75 M(u) — 76 N1m,q (ν, ν0 , G) — 96 Γ(x − y) — 32 Γba — 7 Γd — 7 ∆ω u — 7 Φ(ω) — 111 Ω—6 Ωρ — 7 θ(r) — 26 θε — 96 ϑ — 25, 25 λ — 25, 96 λ0 — 112–113 ω0 — 6, 8 C l (G) — 11 C0l (G) — 11 C 0,A (G) — 16

ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

C k,A (G) — 16 G(k) — 7 Gba — 6 Gd — 7 Lp (G) — 10 Lu — 40 M0 — 75 k (G) — 13 Vp,α k−1/p

Vp,α (Γ) — 13 W k (G) — 11 W0k (G) — 11 W k,p (G) — 11 W k,p (G \ O) — 11 W0k,p (G) — 11 W k−1/2 (Γ) — 11 W k−1/p,p (Γ) — 11 ◦

W kα (G) — 13 ◦ k−1/2

(Γ) — 13 Wα X(G, Γ) — 96 dΩ — 6 divω — 7 rε (x) — 8

134

ПРЕДМЕТНЫЙ

ПРЕДМЕТНЫЙ α-функция Дини 15 априорная оценка для задачи Дирихле в Lp , вблизи границы 41, 63 в Lp , вблизи конической точки 63, 65 в Lp , глобальная 42 в пространстве Соболева с весом, глобальная 43 локальная 49, 54, 57, 59, 83, 88, 89 для квазилинейной задачи Дирихле градиента решения, локальная 76, 89 степенного модуля непрерывности 89–99 для квазилинейной смешанной задачи слабого решения, глобальная 104 для линейной задачи Дирихле градиента решения, локальная 42 степенного модуля непрерывности 60–62 априорная оценка Бернштейна 42 априорная оценка Гельдера для квазилинейной задачи Дирихле 76 градиента решения 77 для линейной задачи Дирихле 65–67 градиента решения 68–70 задача (BV P ) 95 (BV P0 ) 110 (CP E) 110 (DP E) 40 (EV P ) 25 (L) 3, 40 (P E0 ) 32 (QL) 4, 75 (StL) 110 Дирихле для уравнения Пуассона в гладкой области 32 в конической области 40 однозначная разрешимость в гладкой области 40 в конической области 73 о собственных значениях оператора Лапласа— Бельтрами с краевыми условиями Дирихле 25 смешанная 95 коническая точка 6 конус вращения, выпуклый 8 лемма Стампаккьи 21 метод продолжения по параметру 18, 74 множество типа (A) 76 непрерывность по Гельдеру 10 по Дини 15, 26

УКАЗАТЕЛЬ

УКАЗАТЕЛЬ

неравенство (CP ) 19 Виртингера, краевые условия Дирихле 25, 26 Гельдера 6, 10 дифференциальное 19 для интегралов по поверхности и пространству 12–14, 28, 29 интерполяционное 10, 11, 17 Йенсена 6 Коши 6 Минковского 10 Харди 23–24 Харди—Фридрихса—Виртингера, краевые условия Дирихле 26–31 Юнга 6 ньютоновский потенциал 32 оператор Лапласа—Бельтрами 7 принцип вариационный 18, 26 максимума Александрова 41 локальный 41 Хопфа 41 сильный 103 сравнения для линейной задачи Дирихле 41 для смешанной задачи 100 пространство Соболева с весом 13 функций, непрерывных по Дини 16 решение сильное 43, 77 слабое 98 фундаментальное 32 собственные значения 25, 25 функции, слабые 25 теорема Лере—Шаудера о неподвижной точке 18 Фату 10 Фубини 10 теоремы вложения Соболева 12 уравнение (M E) 4, 98 условие эллиптичности 43 равномерной 40, 76 функция барьерная 78, 110 Грина, в полупространстве 39 Каратеодори 75 квазирасстояния 8

М. БОРСУК

Михаил Борсук Варминско-Мазурский университет, Ольштын, Польша E-mail: [email protected]

135

Вырождающиеся эллиптические краевые задачи второго порядка в негладких областях

Recommend Documents