Основные законы и формулы по математике и физике справ. пособие

Н.А. БУЛГАКОВ, И.А. ОСИПОВА

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ФИЗИКА

• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»

Н.А. БУЛГАКОВ, И.А. ОСИПОВА

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ФИЗИКА СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ

Тамбов Издательство ТГТУ 2007 УДК 531(075) ББК В3я73 Б907 Рецензент Доктор технических наук, профессор кафедры «Автоматизированные системы и приборы» ТГТУ, заслуженный изобретатель России М.М. Мордасов

Б907

Булгаков, Н.А. Основные законы и формулы по математике и физике : справ. пособие / Н.А. Булгаков, И.А. Осипова. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. – 136 с. – 500 экз. – ISBN 978-5-8265-0618-9. Представлены в сжатой форме основные законы и формулы по всему курсу физики, а также по школьной и высшей математике, знание которых необходимо для решения задач и осмысления физической сущности явлений. Основное назначение – помочь быстро найти или восстановить в памяти необходимые законы и формулы. Используется современная терминология и обозначения. Привлекателен в качестве справочного материала при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам. Помимо студентов вузов может быть полезен инженернотехническим работникам и учащимся колледжей и школ.

УДК 531(075) ББК В3я73 ISBN 978-5-8265-0618-9

 ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» (ТГТУ), 2007

Справочное издание БУЛГАКОВ Николай Александрович, ОСИПОВА Ирина Анатольевна

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ФИЗИКА Справочное пособие Редактор Е.С. М о р д а с о в а Инженер по компьютерному макетированию Т.А. С ы н к о в а Подписано в печать 8.08.2007. Формат 60 × 84 / 32. 5,9 усл. печ. л. Тираж 500 экз. Заказ № 501 Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета, 392000, Тамбов, Советская 106, к. 14

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ● Числовые неравенства: Если a > b , то b < a . Если a > b и b > c , то a > c . Если a > b , то a + c > b + c . Если a > b и c > 0 , то ac > bc . Если a > b и c < 0 , то ac < bc . Если a > b и c > d , то a + c > b + d . Если a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , причем a > b и c > d , то ac > bd . n

n

Если a > b > 0 и n – натуральное число, то a > b . ● Разложение на множители:

a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) ;

a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b )2 ;

a 3 ± b3 = (a ± b ) (a 2 m ab + b 2 );

a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 = ( a ± b ) ; 3

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) , 2 где x1 и x2 – корни уравнения ax + bx + c = 0 .

● Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 : − b ± D − b ± b 2 − 4ac – формула корней квадратного уравнения. = 2a 2a c b Теорема Виета: x1 + x2 = − , x1 x2 = . a a ● Арифметическая прогрессия: a1 , a2 , ... , an , ... – члены арифметической прогрессии; d – разность арифметической прогрессии; an +1 = an + d – определение арифметической прогрессии; an = a1 + d ( n − 1) – формула n-го члена; x1, 2 =

an = Sn =

an −1 + an +1 – характеристическое свойство; 2 2a1 + d ( n − 1) – формула суммы n первых членов. a1 + an 2

n=

n

2

● Геометрическая прогрессия: a1 , a2 , ..., an , ... – члены геометрической прогрессии; q – знаменатель геометрической прогрессии; bn +1 = b q , b ≠ 0 , q ≠ 0 – определение геометрической прогрессии; bn = b1q n −1 – формула n-го члена;

bn2 = bn −1bn +1 – характеристическое свойство;

bn q − b1 b1 (q n − 1) – формула суммы n первых членов; = q −1 q −1 b S = 1 – формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при q < 1 . 1− q

Sn =

ТРИГОНОМЕТРИЯ

● Свойства тригонометрических функций:

sin (− x ) = − sin x ;

sin( x + 2πk ) = sin x ;

cos( − x ) = cos x ;

cos( x + 2πk ) = cos x ;

tg ( − x ) = − tg x ; ctg (− x ) = −ctg x ; где k – любое целое число. ● Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов Аргумент α Функция

0

π 6

π 4

π 3

π 2

π

3π 2

sin α

0

1 2

2 2

3 2

1

0

–1

cos α

1

3 2

2 2

1 2

0

–1

0

tg ( x + πk ) = tg x ; ctg ( x + πk ) = ctg x ,

tg α

0

3 3

1

3

–

0

–

ctg α

–

3

1

3 3

0

–

0

П р и м е ч а н и е . Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: 1° = π / 180 рад.

● Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента: sin α cos α sin 2 α + cos 2 α = 1; tg α = ; ctg α = ; cos α sin α 1 1 . ; 1 + ctg 2 α = 1 + tg 2 α = sin 2 α cos 2 α ● Формулы двойного угла: 2 tg α sin 2α = 2 sin α cos α = ; 1 + tg 2α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = tg 2α =

1 − tg 2 α ; 1 + tg 2 α

2 tg α ctg 2 α − 1 ; ctg 2α = . 2 2 ctg α 1 − tg α

● Формулы тройного угла:

sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α ; cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α . ● Формулы понижения степени: sin 2 α =

1 − cos 2α 1 + cos 2α ; cos 2 α = . 2 2

● Формулы сложения и вычитания аргументов: sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos (α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ;

tg (α ± β ) =

tg α ± tg β . 1 m tg α tg β

● Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций: sin α + sin β = 2 sin

α+β α −β ; cos 2 2

sin α − sin β = 2 sin

α −β α+β ; cos 2 2

cos α + cos β = 2 cos

α+β α −β ; cos 2 2

cos α − cos β = −2 sin

tg α m tg β =

α +β α −β ; sin 2 2

sin (α ± β ) . cos α cos β

● Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:

● Знаки тригонометрических функций по четвертям Функция

sin cos tg ctg

Четверть I

II

III

IV

+ + + +

+ – – –

– – + +

– + – –

sin α sin β =

1 (cos(α − β) − cos(α + β)) ; 2

cos α cos β =

1 (cos(α − β) + cos(α + β)) ; 2

sin α cos β =

1 (sin (α − β) + sin(α + β)). 2

● Формулы приведения Аргумент t Функция

π −α 2

π +α 2

π−α sin α

π+α

3π 3π −α + α 2π − α 2 2

sin t

cos α

cos α

cos t

sin α

– sin α – cos α – cos α – sin α

– sin α – cos α – cos α – sin α

tg t

ctg α

– ctg α – tg α

tg α

ctg α

– ctg α – tg α

ctg t

tg α

– tg α – ctg α

ctg α

tg α

– tg α – ctg α

sin α

cos α

● Решение простейших тригонометрических уравнений: sin x = a , a ≤ 1, cos x = a , a ≤ 1,

x = ( − 1) arcsin a + πn ; n

x = ± arccos a + 2πn ;

tg x = a , x = arctg a + πn ; ctg x = a , x = arcctg a + πn , n – целое число.

● Обратные тригонометрические функции: −

π π ≤ arcsin x ≤ , 0 ≤ arccos x ≤ π ; 2 2

−

π π < arctg x < , 0 < arcctg x < π ; 2 2

arcsin (− x ) = − arcsin x ; arccos( − x ) = π − arccos x ; arctg (− x ) = −arctg x ; arcctg (− x ) = π − arcctg x . МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ Обозначения: a , b , c – длины сторон ∆ ABC , h – высота, p = a + b + c – полупериметр, S – площадь, R и r – радиусы описанной и вписанной окруж2 ностей.

● Теорема синусов. В любом треугольнике a b c . = = sin α sin β sin γ

● Теорема косинусов. В любом треугольнике a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α .

● Формулы площади любого треугольника:

aha bhb chc 1 abc = = , S = ab sin γ , S = pr , S = , 2 2 2 2 4R

S= S=

p ( p − a )( p − b )( p − c ) – формула Герона. ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

● Линейная функция у = ах + b.

Графиком этой функции является прямая линия. Функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Оси координат пересекаются прямой в точках A(– b/a; 0) и B(0; b). В случае b = 0 получаем прямую пропорциональность у = ах. График функции проходит через начало координат.

● Квадратичная функция у = ах2 + bх + с.

Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 – вниз.

 − b 4ac − b 2   . Абсциссы x1, x2 точек пересечения параболы , 4a   2a

Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина параболы С имеет координаты  с осью Ох определяют по формуле х1,2 =

− b ± b 2 − 4ac 2 . Величины х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax + bx + c = 0 в том случае, когда 2a

оно имеет решения на множестве действительных чисел.

● Многочлен третьей степени y = ax3 + bx2 + cx + d.

2

Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и ∆ = 3ас – b . В случае ∆ ≥ 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же ∆ < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку перегиба K. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума x4 и х5 определяют по формуле

−b ± −∆ . Абсцисса 3a

 b  . Касательная к графику в точке перегиба наклонена к оси Ох под углом α таким, что tg α = ∆ .  3a  3a 

точки перегиба х6 равна  −

● Степенная функция у = ахn (n > 1 – целое)

Графиком функции является парабола n-го порядка, которая проходит через точки О(0; 0) и А(1; а) и касается оси Ох в начале координат. При n четном график функции симметричен относительно оси Оу и в начале координат имеет минимум при а > 0 и максимум при а < 0. При n нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

●●●●●● d = ● x=

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

– расстояние между точками M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) .

x1 + λx2 y + λ y2 – координаты точки, делящей отрезок с концами M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) в отношении λ = M 1M : MM 2 . , y= 1 1+ λ 1+ λ 2

2

● Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой ( A, B, C – любые вещественные числа, A + B ≠ 0) . ● y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k ( b – величина отрезка, отсекаемого прямой по оси Oy ). ● y − y1 = k ( x − x1 ) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку M 1 ( x1 ; y1 ) . ●

y − y1 x − x1 = – уравнение прямой, проходящей через точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) . y2 − y1 x2 − x1

●

x y + = 1 – уравнение прямой в отрезках ( a , b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy ). a b

● d=

Ax0 + Bx0 + C A2 + B 2

● tg ϕ =

– расстояние от точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 .

k 2 − k1 – формула вычисления одного из углов между прямыми y = k1 x + b1 и y = k 2 x + b2 . 1 + k1k 2

●

x2 y2 + = 1 – каноническое уравнение эллипса ( a , b – полуоси). a 2 b2

●

x2 y2 − = 1 – каноническое уравнение гиперболы. a 2 b2 2

2

● y = 2 px , y = −2 px – каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ox ( p > 0 – параметр). АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

● X = x2 − x1 , Y = y2 − y1 , Z = z2 − z1 – выражение координат вектора AB через координаты точек A ( x1 ; y1 ; z1 ) и B ( x2 ; y2 ; z2 ) . ●

a = X 2 + Y 2 + Z 2 – выражение длины вектора a = {X ; Y ; Z } через его координаты.

● d=

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2

– расстояние между точками M1( x1; y1; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) .

● a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ – определение скалярного произведения векторов a и b (ϕ – угол между векторами). ● a ⋅ b = X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2 – выражение скалярного произведения векторов a = {X 1 ; Y1 ; Z1} и b = {X 2 ; Y2 ; Z 2 } через их координаты. ● cos ϕ =

X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2 X 12

+ Y12 + Z12 ⋅ X 22 + Y22 + Z 22

– выражение угла между векторами.

● Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости ( A , B , C – любые вещественные числа, A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ). ● d=

Ax0 + By0 + Cz0 + D – расстояние от точки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 . A2 + B 2 + C 2

x − x0 y − y0 z − z 0 – каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a = {l ; m ; n} , проходящей через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . = = l m n ● x = x0 + lt , y = y0 + mt , z = z0 + nt – параметрические уравнения прямой. ●

●

x2 y 2 z 2 + + = 1 – каноническое уравнение эллипсоида ( a , b , c – полуоси). a 2 b2 c2

●

x2 y 2 z 2 + − = 1 – каноническое уравнение однополосного гиперболоида. a 2 b2 c2

●

x2 y2 z 2 + − = −1 – каноническое уравнение двуполосного гиперболоида. a 2 b2 c2

●

x2 y 2 + = z – каноническое уравнение эллиптического параболоида (p > 0, q > 0 – параметры). 2 p 2q

●

x2 y 2 − = z – каноническое уравнение гиперболического параболоида. 2 p 2q

●

x2 y 2 z 2 + − = 0 – каноническое уравнение конуса второго порядка. a 2 b2 c2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

● lim

x →0

sin x = 1 – первый замечательный предел. x

 x→∞

● lim 1 +

1 x  = e – второй замечательный предел. x

● f ′( x0 ) = lim

∆x→0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) – определение производной функции y = f ( x ) в точке x0 . ∆x

● dy = f ′( x0 ) dx – дифференциал функции f ( x ) в точке x0 . ● Производные простейших элементарных функций: – Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 1)

(u ± v )′ = u′ ± v′ ;

2)

(uv )′ = u ′v + uv′ ;

u ′ u′v − uv′ 3)   = , v ≠ 0. v v2 – Производная постоянной функции

y = f ( x ) = C ⇒ y′ = 0 ,

(Cu )′ = Cu′ . – Производная степенной функции

(x n )′ = nx n−1 ; ( x )′ =  x

1 2

′  = 1 ;  2 x

′  1  = (x −1 )′ = − 1 .   x2  x – Производная показательной функции

(a x )′ = a x ln a ; (e x )′ = e x

.

– Производная логарифмической функции

(log a x )′ =

1 ; x ln a

(ln x )′ =

1 . x

● Производные тригонометрических функций:

(sin x )′ = cos x ;

(arcsin x )′ =

(cos x )′ = − sin x ;

(arccos x )′ = −

1 = sec 2 x ; cos 2 x 1 (ctg x)′ = − 2 = −cosec2 x ; sin x

(arctg x )′ =

( tg x )′ =

1 1 − x2 1

;

1 − x2

;

1 ; 1 + x2 1 . (arcctg x )′ = − 1 + x2

● y′(t0 ) = f ′( x0 ) ϕ′(t0 ) – правило дифференцирования сложной функции y = f [ϕ (t )] в точке t0 ; здесь x0 = ϕ (t 0 ) . ● ϕ′ ( y0 ) = ●

1 – правило дифференцирования обратной функции x = ϕ ( y ) в точке y0 = f ( x0 ) . f ′( x0 )

(uv)( n ) = u ( n )v + nu ( n −1)v′ +

n( n − 1) ( n − 2 ) u v′′ + ... + + uv ( n ) – формула Лейбница. 1⋅ 2

●

f (b ) − f (a ) = f ′(c ) – формула Лагранжа; c ∈ (a , b ) . b−a

●

f (b ) − f ( a ) f ′(c ) – формула Коши; c ∈ (a , b ) . = g (b ) − g ( a ) g ′ (c )

● f ( x ) = f (a ) +

+ ... +

f ′ (a ) f ′′ ( a ) (x − a) + ( x − a )2 + 1! 2!

f ( n ) (a ) f ( n +1) (ξ ) ( x − a )n + ( x − a )n +1 – формула Тейлора; ξ ∈ (a , x ) . n! (n + 1)!

● При a = 0 получаем формулу Маклорена

f ( x ) = f (0 ) +

+

f ′ (0 ) f ′′ (0 ) 2 f ( n ) (0 ) ( n ) x + x+ x + ... + 1! 2! n!

f ( n +1) (0) ( n +1) x . ( n + 1)!

● Неопределенный и определенный интегралы – Табличные интегралы:

∫x

α

dx =

x α +1 + C (α ≠ −1); α +1

∫

ax

dx = ln x + C ; x

∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1); ∫ e dx = e x

x

∫ sin x dx = − cos x + C ; dx

dx

dx

x + C; a

∫ cos2 x = tg x + C;

∫

dx

= arcsin x + C ; a −x 1 − x2 x dx 1 dx ∫ 1 + x 2 = arctg x + C ; ∫ a 2 + x 2 = a arctg a + C ; x−a dx 1 ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C (a ≠ 0); x −1 dx 1 ∫ x 2 − 1 = 2 ln x + 1 + C; dx 1 x dx ∫ x2 + a2 = a arctg a + C (a ≠ 0); ∫ x2 + 1 = arctg x + C; dx 2 ∫ x 2 ± k = ln x + x ± k + C ; dx 2 ∫ x 2 ± 1 = ln x + x ± 1 + C. –

∫ f ( x ) d x x=ϕ(t ) = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t ) dt

–

∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t ) dt

2

2

= arcsin

+ C;

∫ cos x dx = sin x + C;

∫ sin 2 x = −ctg x + C ;

∫

x

– формула замены переменной в неопределенном интеграле.

b

– формула замены переменной в определенном интеграле; ϕ(α) = a , ϕ(β) = b .

a

–

∫ u( x)v′( x) dx = u( x)v( x) − ∫ v( x)u′( x) dx

–

∫ u dv = u v a − ∫ v du

b

b

a

– формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

b

– формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

a

b

●

∫ f ( x ) dx = f (c )(b − a ) – формула среднего значения; c ∈ [a , b] . a

b

●

∫ f ( x ) dx = F (b) − F (a ) = F ( x ) a b

– формула Ньютона-Лейбница.

a

b

● s=

∫ f ( x ) dx – площадь криволинейной трапеции a

0 ≤ y ≤ f ( x ), a ≤ x ≤ b . β

∫

● s = ψ (t ) ϕ′(t ) dt – площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически: x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , α ≤ t ≤ β . α

β

● s=

1 2 ρ (ϕ) dϕ – площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах: ρ = ρ (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β . 2 ∫α b

● L=

∫

1 + ( f ′( x ))2 dx – длина дуги кривой, заданной уравнением y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b .

a

β

● L=

∫

(ϕ′(t ))2 + (ψ′(t ))2 dt

– длина дуги кривой, заданной параметрически: x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , α ≤ t ≤ β .

(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ

– длина дуги кривой, заданной в полярных координатах: ρ = ρ (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β .

α

β

● L=

∫ α

b

∫

● V =π f

2

( x ) dx

– объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 ≤ y ≤ f ( x ) , a ≤ x ≤ b .

a

b

∫

● P = 2π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x )) dx – площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 ≤ y ≤ f ( x ) , a ≤ x ≤ b . 2

a

ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРАХ И СКАЛЯРАХ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

● Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скаляром, называется величина, не обладающая направлением. ● Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным r B

шрифтом, например: a = AB, a = AB или a = AB . ● Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные. ● Сложение векторов по правилу треугольников. Суммой векторов а и b называется третий вектор с, получаемый следующим по-

A

a

строением: из произвольного начала О строим вектор OL , равный а; из точки L, как из начала, строим вектор LM , равный b. Вектор с =

OM есть сумма векторов а и b. ● Сложение векторов по правилу параллелограмма. Если слагаемые а и b не коллинеарны, то сумму а + b можно найти следующим построением: из любого начала О строим векторы OA = а и OB = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ, Вектор диагонали

OC = с есть сумма векторов а и b (так как AC = OB = b и OC = OA + AC ). Обозначение: a2 – a1.

● Вычитание векторов. Вычесть вектор a1 (вычитаемое) из вектора а2 (уменьшаемое) значит найти новый вектор х (разность), который в сумме с вектором а1 дает вектор а2. Отсюда следует, что вычитание векторов есть действие, обратное сложению. построение: из произвольного начала О строим векторы OA1 = a1, OA2 = a2.

Из определения вытекает такое Вектор А1 A2 (проведенный из конца

вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть разность a2 – a1:

А1 A2 = OA2 – OA1 . Другое построение. Чтобы построить разность a2 – a1 векторов a2 и a1, можно взять сумму векторов a2 и –a1, т.е. a2 – a1 = a2 + (–a1). ● Умножение вектора на число. Умножить вектор a (множимое) на число х (множитель) значит построить новый вектор (произведение), модуль которого получается умножением модуля вектора а на абсолютное значение числа х, а направление совпадает с направлением вектора а или противоположно ему, смотря по тому, положительно число х или отрицательно. Если же х = 0, то произведение есть нульвектор. Обозначение: ах или ха. ● Деление вектора на число. Разделить вектор а на число х значит найти такой вектор, который, будучи умножен на число х, даст в произведении вектор а. Обозначение: a : х или Вместо деления

a . x

a 1 можно выполнить умножение а × . x x

● Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними. ∧

ab = |a| ⋅ |b| ⋅ cos ( a, b ).

● Векторным произведением вектора a (множимое) на не коллинеарный с ним вектор b (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его

модуль

численно

равен

площади

параллелограмма

(AOBL

на

чертеже),

построенного

на

векторах

∧

a и b, т.е. он равен |a| ⋅ |b| ⋅ sin ( a, b );

2) его направление перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма; 3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы а, b, с составляли правую систему. • Прямоугольная система координат в пространстве. Три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ, проходящие через некоторую точку О, образуют прямоугольную систему координат. Точка О называется началом координат, прямые OX, OY, OZ – осями координат (OX – ось абсцисс; OY – ось ординат; OZ – ось апликат), а плоскости XOY, YOZ, ZOX – координатными плоскостями. Какой-либо отрезок UV принимается за единицу масштаба для всех трех осей (см. рис. ниже). Отложив на осях OX, OY, OZ в положительном направлении отрезки ОА, ОВ, ОС, равные единице масштаба, получим три вектора OA , OB , OC . Они называются основными векторами и обозначаются соответственно i, j, k. • Правая и левая системы координат.

Положительные направления на осях принято выбирать так, чтобы поворот на 90°, совмещающий положительный луч ОХ с лучом ОY, казался происходящим против часовой стрелки, если наблюдать его со стороны луча OZ. Такая система координат называется правой. Иногда пользуются и левой системой координат. В ней упомянутый поворот совершается по часовой стрелке. • Правая и левая системы трех векторов. Пусть a, b, с – три (ненулевые) вектора, не параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке (т.е. а – первый вектор, b – второй и с – третий.) Приведя их к общему началу О, получим три вектора OA , OB , OC , не лежащие в одной плоскости. Система трех векторов a, b, с называется правой, если поворот вектора OA , совмещающий его по кратчайшему пути с вектором OB , совершается против часовой стрелки для наблюдателя, глаз которого помещается в точке С. Если же упомянутый поворот совершается по часовой стрелке, то система трех векторов a, b, с называется левой.

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ • Среднее арифметическое из n равноточных измерений величины a

n

аср =

∑ аi i =1

.

n

• Абсолютная ошибка отдельного измерения

∆аi = аср − аi . • Средняя квадратичная ошибка n

S=

∑ ∆ai2 i =1

n(n − 1)

.

• Абсолютная погрешность результата измерения

∆а = t (α, n) S , где t – коэффициент Стьюдента; α – надежность. • Относительная погрешность

Е=

∆а . аср

Таблица коэффициентов Стьюдента Надежность

Число измерений

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

2 5 10

1,00 0,74 0,70

1,38 0,94 0,88

2,0 1,2 1,1

3,1 1,5 1,4

6,3 2,1 1,8

12,7 2,8 2,3

31,8 3,7 2,8

ФИЗИКА

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ ● Средняя и мгновенная скорости материальной точки

∆r , ∆t

v =

v=

v =

∆s ; ∆t

dr , dt

где ∆r – элементарное перемещение точки за промежуток времени ∆t; r – радиус-вектор точки; ∆s – путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t. ● Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

a =

∆v dv . , a= ∆t dt

● Полное ускорение при криволинейном движении

a = aτ + an , a = aτ2 + an2 , где aτ =

υ2 dυ – тангенциальная составляющая ускорения; an = – нормальная составляющая ускорения ( r – радиус кривизны траектории в данной dt r

точке). ● Путь и скорость для равнопеременного движения

s = υ0t ±

at 2 ; 2

υ = υ0 ± at , где υ0 – начальная скорость. ● Угловая скорость

ω=

dϕ . dt

ε=

dω . dt

● Угловое ускорение

● Угловая скорость для равномерного вращательного движения

ω=

ϕ 2π = = 2πn, t T

где T – период вращения; n – частота вращения ( n = N / t , где N – число оборотов, совершаемых телом за время t ). ● Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

ϕ = ω0 t ±

εt2 ; 2

ω = ω0 t ± ε t ,

где ω0 – начальная угловая скорость. ● Связь между линейными и угловыми величинами

s = Rϕ ; v = Rω; aτ = Rε ; an = ω2 R , где R – расстояние от оси вращения. 1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ● Импульс (количество движения) материальной точки

p = mv .

● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

F = ma = m

dv dp . = dt dt

● Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

Fτ = maτ = m

dv mv 2 ; Fn = man = = mω2 R . dt R

● Сила трения скольжения

Fтр = fN , где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления. ● Сила трения качения

Fтр = f к N / r ,

где f – коэффициент трения качения; r – радиус качающегося тела. ● Закон сохранения импульса для замкнутой системы n

p = ∑ mi v i = const , i =1

где n – число материальных точек (или тел), входящих в систему. ● Координаты центра масс системы материальных точек:

xC =

Σmi xi ; Σmi

yC =

Σmi yi Σmi zi , ; zC = Σmi Σmi

где mi – масса i-й материальной точки; xC , yC , zC – ее координаты. ● Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)

ma = F + Fp , где реактивная сила Fp = −u

dm ( u – скорость истечения газов из ракеты). dt

● Формула Циолковского для определения скорости ракеты

v = u ln

m0 , m

где m0 – начальная масса ракеты. 1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ● Работа, совершаемая постоянной силой

dA = Fdr = Fs ds = Fds cos α , где Fs – проекция силы на направление перемещения; α – угол между направлениями силы и перемещения. ● Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

A = ∫ Fs ds = ∫ F cos αds . s

s

● Средняя мощность за промежуток времени ∆t

N = ∆A / ∆t . ● Мгновенная мощность

N=

dA , или N = Fv = Fs υ = Fυ cos α . dt

● ● ● П = mgh, где g – ускорение свободного падения. ● Сила упругости

F = − kx , где х – деформация; k – коэффициент упругости. ● Потенциальная энергия упругодеформированного тела

П = kx 2 / 2 . ● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

T + П = Е = const . ● Коэффициент восстановления

ε = υ′n / υn , где υ′n и υn – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара. ● Скорости двух тел массами m1 и m2 после абсолютно упругого центрального удара:

υ1′ = υ′2 =

(m1 − m2 ) υ1 + 2m2υ2 m1 + m2

(m2 − m1 ) υ2 + 2m1υ1 m1 + m2

где υ1 и υ2 – скорости тел до удара. ● Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара

υ= 1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ● Момент инерции материальной точки

m1υ1 + m2 υ2 . m1 + m2

;

,

J = mr 2 , где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения. ● Момент инерции системы (тела) n

J = ∑ mi ri2 , i =1

где ri – расстояние материальной точки массой mi до оси вращения. 2 В случае непрерывного распределения масс J = ∫ r dm .

● Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m – масса тела): Тело

Полый тонкостенный цилиндр радиусом R

Положение оси вращения

Ось симметрии

Сплошной цилиндр или Ось симметрии диск радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Шар радиусом R

Ось проходит через центр шара

Прямой тонкий стержень длиной l

Момент инерции

mR 2

1 mR 2 2 1 ml 2 12 1 2 ml 3 2 mR 2 5

● Теорема Штейнера

J = J C + ma 2 , где J C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела. ● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,

Tвр = J z ω2 / 2 , где J z – момент инерции тела относительно оси z ; ω – его угловая скорость. ● Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T=

1 1 mυC2 + J C ω2 , 2 2

где m – масса тела; υC – скорость центра масс тела; J C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела. ● Момент силы относительно неподвижной точки

M = [rF ] , где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F. ● Модуль момента силы

M = Fl , где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения). ● Работа при вращении тела

dA = M z dϕ , где dϕ – угол поворота тела; M z – момент силы относительно оси z . ● Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

Lz = ∑ mi υi ri = J z , где ri – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; mi υi – импульс этой частицы; J z – момент инерции тела относительно оси z ; ω – его угловая скорость. ● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

M=

dL dω ; M z = Jz = J zε , dt dt

где ε – угловое ускорение; J z – момент инерции тела относительно оси z . ● Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы L = const.

● Напряжение при упругой деформации σ = F / S, где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения. ● Относительное продольное растяжение (сжатие) ε = ∆l / l, где ∆l – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

● Относительное поперечное растяжение (сжатие) ε' = ∆d / d, где ∆d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня. ● Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε' и относительным продольным растяжением (сжатием) ε ε' = µε,

µ ● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия) σ = Eε, где Е – модуль Юнга. ● Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня ∆l

П = ∫ Fdx = 0

Eε 2 1 ES (∆l )2 = V, 2 l 2

где V – объем тела. 1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ● Третий закон Кеплера

T12 R13 = , T22 R23 где T1 и T2 – периоды обращения планет вокруг Солнца; R1 и R2 – большие полуоси их орбит. ● Закон всемирного тяготения

F=G

m1m2 r , r2 r

где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами m1 и m2 , r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная. ● Сила тяжести

P = mg , где m – масса тела; g – ускорение свободного падения. ● Напряженность поля тяготения

g = F/m , где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля. ● Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг от друга,

П = −Gm1m2 / r . ● Потенциал поля тяготения

ϕ = П/m , где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля. ● Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью где i, j, k – единичные векторы координатных осей. ● Первая и вторая космические скорости

υ1 = gR0 , υ2 = 2 gR0 , где R0 – радиус Земли. ● Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета

ma′ = ma + Fин , где a и a′ – соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, Fин – силы инерции. ● Силы инерции

Fин = Fи + Fц + Fк , где Fи – силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением а0: Fи = –ma0; Fц – центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fц = –mω2R; Fк – кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v′ во вращающейся системе отсчета:

Fк = 2m[v′ω]. 1.6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ ● Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h

p = ρgh , где р – плотность жидкости. ● Закон Архимеда

FА = ρgV , где FА – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости. ● Уравнение неразрывности

Sυ = const , где S – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости.

● Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

ρυ2 + ρgh + p = const , 2 2

где р – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости для этого же сечения; ρυ / 2 – динамическое давление жидкости для этого же сечения; h – высота, на которой расположено сечение; ρgh – гидростатическое давление. Для трубки тока, расположенной горизонтально,

ρυ2 + p = const . 2 ● Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

υ = 2 gh , где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде. ● Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

F =η

∆υ S, ∆x

где η – динамическая вязкость жидкости; ∆υ / ∆x – градиент скорости; S – площадь соприкасающихся слоев. ● Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,

Re = ρ < υ > d / η , где ρ – плотность жидкости; < υ > – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например, диаметр трубы. ● Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,

F = 6πηrυ , где r – радиус шарика; υ – его скорость. ● Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,

V = πR 4 ∆pt / (8ηl ) , где R – радиус трубки; ∆p – разность давлений на концах трубки. ● Лобовое сопротивление

Rx = C x

ρυ2 S, 2

где C x – безразмерный коэффициент сопротивления; ρ – плотность среды; υ – скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения тела. ● Подъемная сила

Ry = C y

ρυ2 S, 2

где C y – безразмерный коэффициент подъемной силы. 1.7. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ● Преобразования Лоренца

x′ =

x − υt 2

1− υ / c

2

y′ = y , z′ = z , t ′ =

,

t − υx / c 2

1 − υ2 / c 2

,

где предполагается, что система отсчета K ′ движется со скоростью υ в положительном направлении оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, а оси y′ и y , z ′ и z – параллельны; c – скорость распространения света в вакууме. ● Релятивистское замедление хода часов

τ′ =

τ 1 − υ2 / c 2

,

где τ – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; τ′ – промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами. ● Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

l = l0 1 − υ2 / c 2 , где l0 – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью υ . ● Релятивистский закон сложения скоростей

u′x =

ux − υ ; 1 − υu x / c 2 u′z =

u′y =

u y 1 − υ2 / c 2 1 − υu x / c 2

;

u z 1 − υ2 / c 2 , 1 − υu x / c 2

где предполагается, что система отсчета K ′ движется со скоростью υ в положительном направления оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, оси y′ и y , z ′ и z – параллельны. ● Интервал s12 между событиями (инвариантная величина) 2 2 2 s12 = c 2t12 − l12 = inv ,

где t12 – промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 – расстояние между точками, где произошли события. ● Масса релятивистской частицы и релятивистский импульс

m=

m0 2

1− υ / c

2

, p=

m0 v 1 − υ2 / c 2

,

где m0 – масса покоя. ● Основной закон релятивистской динамики

F=

dp , dt

где p – релятивистский импульс частицы. ● Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы

E = mc 2 = m0c 2 + T , T = (m − m0 ) c 2 . ● Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

E 2 = m02c 4 + p 2c 2 ,

pc = T (T + 2m0c 2 ) .

● Энергия связи системы n

Eсв = ∑ m0i c 2 − M 0c 2 , i =1

где m0i – масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; M 0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц.

2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ ● Закон Бойля-Мариотта рV = const при Т = const, m = const, где р – давление; V – объем; Т – термодинамическая температура; m – масса газа. ● Закон Гей-Люссака

V = V0 (1 + αt ) , или V1 / V2 = T1 / T2 при p = const, m = const;

p = p0 (1 + αt ) , или p1 / p2 = T1 / T2 при V = const, m = const, где t – температура по шкале Цельсия; V0 и p0 – соответственно объем и давление при 0 °С; коэффициент α = 1 / 273 К

−1

; индексы 1 и 2 относятся к

произвольным состояниям. ● Закон Дальтона для давления смеси п идеальных газов n

p = ∑ pi , i =1

где pi – парциальное давление i-го компонента смеси. ● Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева)

pVm = RT (для одного моля газа), pV = ( m / M ) RT (для произвольной массы газа), где Vm – молярный объем; R – молярная газовая постоянная; M – молярная масса газа; m – масса газа; m/M = ν – количество вещества. ● Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры

p = nkT , где k – постоянная Больцмана ( k = R / N A , N A – постоянная Авогадро). ● Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

1 p = nm0 υкв 3

2

,

или

pV =

2  m0 υкв N 3  2

2

 2  = E ,  3

или

pV = где υкв

1 Nm0 υкв 3

2

1 = m υкв 3

2

,

– средняя квадратичная скорость молекул; Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; n – концентрация

молекул, m0 – масса одной молекулы; m = Nm0 – масса газа; N – число молекул в объеме газа V. ● Скорость молекул: – наиболее вероятная

υв = 2 RT / M = 2kT / m0 ; – средняя квадратичная

υкв = 3RT / M = 3kT / m0 ; – средняя арифметическая

υ = 8 RT / ( πM ) = 8kT / ( πm0 ) , где m0 – масса одной молекулы. ● Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

ε0 =

3 kT . 2

● Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям

f ( υ) =

3/ 2 2 m dN ( υ ) = 4π  0  υ2e −m0υ / ( 2 kT ) , N dυ  2πkT 

где функция f (υ) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул dN ( υ) / N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от υ до υ + dυ . ● Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения

f (ε ) =

dN ( ε ) 2 = (kT )−3 / 2 ε1/ 2e −ε / ( kT ) , N dε π

где функция f (ε ) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул dN (ε ) / N из общего числа N мо2

лекул, которые имеют кинетические энергии ε = m0 υ / 2 , заключенные в интервале от ε до ε + dε. ● Барометрическая формула

ph = p0e − Mg ( h−h0 ) / ( RT ) , где ph и p0 – давление газа на высоте h и h0 . ● Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

n = n0e − Mgh / ( RT ) = n0e − m0 gh / ( kT ) , или

n = n0e − П / ( kT ) ,

где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h = 0 ; П = m0 gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения. ● Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с,

z = 2 πd 2 n υ , где d – эффективный диаметр молекулы; п – концентрация молекул; υ – средняя арифметическая скорость молекул. ● Средняя длина свободного пробега молекул газа

l =

υ = z

1 2 πd 2 n

.

● Закон теплопроводности Фурье

Q = −λ

dT St , dx

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT / dx – градиент температуры; λ – теплопроводность:

1 λ = cV ρ υ l , 3 где cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

ρ – плотность газа; υ

– средняя арифметическая скорость теплового движения его моле-

кул; l – средняя длина свободного пробега молекул. ● Закон диффузии Фика

M = −D

dρ St , dx

где М – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; dρ / dx – градиент плотности, D – диффузия:

D=

1 υ l . 3

● Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

dυ S, dx где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dυ / dx – градиент скорости; η – динамическая вязкость: F = −η

1 η= ρ υ l . 3 2.2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ● Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

ε1 =

1 kT . 2

ε =

i kT , 2

● Средняя энергия молекулы

где i – сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы (i = nпост + nвращ + 2nколеб ) . ● Внутренняя энергия идеального газа

i m i RT , U = ν RT = M 2 2 где ν – количество вещества; m – масса газа; М – молярная масса газа; R – молярная газовая постоянная. ● Первое начало термодинамики

Q = ∆U + A , где Q – количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; ∆U – изменение ее внутренней энергии; А – работа системы против внешних сил. ● Первое начало термодинамики для малого изменения системы

dQ = dU + δA. ● Связь между молярной Cm и удельной с теплоемкостями газа

Cm = cM , где М – молярная масса газа. ● Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

CV =

i i+2 R, Cp = R. 2 2

● Уравнение Майера

C p = CV + R . ● Изменение внутренней энергии идеального газа

dU =

m CV dT . M

● Работа, совершаемая газом при изменении его объема,

δA = pdV . ● Полная работа при изменении объема газа

A=

V2

∫ pdV ,

V1

где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа. ● Работа газа: – при изобарном процессе

A = p(V2 − V1 ) , или A =

m R(T2 − T1 ) ; M

– при изотермическом процессе

A=

m V m p RT ln 2 , или A = RT ln 1 . M V1 M p2

● Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

pV γ = const , TV γ −1 = const , T γ p1−γ = const , где γ = C p / CV = (i + 2 ) / i – показатель адиабаты. ● Работа в случае адиабатического процесса

A=

m CV (T1 − T2 ) , M

или

A=

γ −1 γ −1 RT1 m   V1   p1V1   V1   1 −    , 1 −    = γ − 1 M   V2   γ − 1   V2  

где T1 , T2 и V1 , V2 – соответственно начальные и конечные температура и объем газа. ● Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

η=

A Q1 − Q2 Q = = 1− 2 , Q1 Q1 Q1

где Q1 – количество теплоты, полученное системой; Q2 – количество теплоты, отданное системой; А – работа, совершаемая за цикл. ● Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

η=

T1 − T2 , T1

где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника. ● Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2 2

2

dQ dU + δA . =∫ T T 1 1

∆Si→2 = S 2 − S1 = ∫

2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ● Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа

 a   p + V 2  (Vm − b ) = RT ,  m  где Vm – молярный объем; а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов. ● Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа

 ν 2a  V  p + 2   − b  = RT , V  ν   или

 ν 2a   p + 2  (V − νb ) = RT , V  

где ν = т / М – количество вещества. ● Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,

p′ = a /Vm2 . ● Связь критических параметров (объема, давления и температуры) с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса

Vк = 3b ,

pк = a / (27b 2 ), Tк = 8a / ( 27 Rb ) .

● Внутренняя энергия реального газа

U = ν(CV T − a /Vm ) , где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. ● Энтальпия системы

U1 + p1V1 = U 2 + p2V2 , где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы. ● Поверхностное натяжение

σ = F / l , или σ = ∆E / ∆S , где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; ∆Е – поверхностная энергия, связанная с площадью ∆S поверхности пленки.

●

∆p = σ(1 / R1 + 1 / R2 ) ,

где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сферической поверхности

∆p = 2σ / R . ● Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

h=

2σ cos θ , ρgr

где θ – краевой угол; r – радиус капилляра; р – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения. ● Закон Дюлонга и Пти

CV = 3R , где CV – молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел. ● Уравнение Клапейрона-Клаузиуса, позволяющее определить изменение температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе,

dp L , = dT T (V2 − V1 ) где

L

–

теплота

фазового

перехода;

(V2 − V1 )

во вторую; Т – температура перехода (процесс изотермический).

–

изменение

объема

вещества

при

переходе

его

из

первой

фазы

3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

3.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

● Закон Кулона 1 Q1 Q2 r , 4πε0 r r2 где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2 в вакууме; r – расстояние между зарядами; ε 0 – электрическая постоянная, равная 8,85 ⋅

F=

10–12 Ф/м.

● Напряженность и потенциал электростатического поля E = F / Q0 ; ϕ = П / Q0

или

ϕ = A∞ / Q0 ,

где F – сила, действующая на точечный положительный заряд Q0 , помещенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия заряда Q0 ; A∞ – работа перемещения заряда из данной точки поля за его пределы.

● Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда 1 Q r 1 Q E= . ; ϕ= 4πε0 r 2 r 4πε0 r ● Поток вектора напряженности через площадку dΦ E = EdS = En dS , где dS = dSn – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; En – составляющая вектора E по направлению нормали к площадке. ● Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S

Φ E = ∫ EdS = ∫ E n dS . S

S

● Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей n

n

i =1

i =1

E = ∑ E i ; ϕ = ∑ ϕi , где E i , ϕi – соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом.

● Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля ∂ϕ ∂ϕ   ∂ϕ E = −gradϕ или E = − i + j+ k , ∂y ∂z   ∂x где i, j, k – единичные векторы координатных осей.

● В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией, E=−

dϕ . dr

● Электрический момент диполя (дипольный момент) p = Q l, где I – плечо диполя.

● Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов τ=

dQ dQ dQ ; σ= ; ρ= , dl dS dV

т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.

● Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме Φ E = ∫ EdS = ∫ E n dS = S

где ε 0 – электрическая постоянная;

n

∑ Qi

S

1 ε0

n

1

∑ Qi = ε ∫ ρdV , 0 i =1 V

– алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S ; n – число зарядов; ρ –

i =1

объемная плотность зарядов.

● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью E = σ ( 2ε 0 ) . ● Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями E = σ ε0 . ● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R c общим зарядом Q на расстоянии r от центра сферы

E = 0 при r < R (внутри сферы); 1 Q E= при r ≥ R (вне сферы). 4πε 0 r 2 ● Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра шара E=

1 Q при r ≤ R (внутри шара); 4πε0 r 3

E=

1 Q при r ≥ R (вне шара). 4πε0 r 2

● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра, E = 0 при r < R (внутри цилиндра); E=

1 τ при r ≥ R (вне цилиндра). 4πε0 r

● Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

∫ Edl = ∫ El dl = 0 , L

L

где El – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl. Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.

● Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2 2

2

1

1

A12 = Q0 (ϕ1 − ϕ2 ) , или A12 = Q0 ∫ Edl = Q0 ∫ El dl , где El – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl.

● Поляризованность P = ∑ pi V , i

где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i-й молекулы.

● Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля P = χε0E , где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

● Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической восприимчивостью χ : ε = 1+ χ . ● Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью E0 внешнего поля E = E0 − P ε 0 , или E = E0 ε .

● Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля D = ε 0 εE .

● Связь между D , E и P D = ε 0E + P .

● Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике n

Φ D = ∫ DdS = ∫ DndS = ∑ Qi , S

l =1

S

n

где

∑ Qi

– алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных электрических зарядов; Dn – составляющая вектора D по

l =1

направлению нормали к площадке – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности. ● Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ / (ε 0 ε ) , где σ – поверхностная плотность зарядов.

● Электроемкость уединенного проводника C = Q/ϕ , где Q – заряд, сообщенный проводнику; ϕ – потенциал проводника.

● Емкость плоского конденсатора C = ε 0 εS / d , где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами. ● Емкость цилиндрического конденсатора

C=

2πε0εl , ln( r2 / r1 )

где l – длина обкладок конденсатора; r1 , r2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.

● Емкость сферического конденсатора C = 4πε0ε

r1r2 , r2 − r1

где r1 и r2 – радиусы концентрических сфер.

● Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении n 1 1 =∑ C i =1 Ci

n

и

C = ∑ Ci , i =1

где Ci – емкость i-го конденсатора; n – число конденсаторов.

● Энергия уединенного заряженного проводника W=

Cϕ2 Qϕ Q 2 = = . 2 2 2C

● Энергия взаимодействия системы точечных зарядов W=

1 n ∑ Qi ϕi , 2 i =1

где ϕi – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i-го.

● Энергия заряженного конденсатора W=

C ( ∆ϕ)2 Q∆ϕ Q 2 = = , 2 2 2C

где Q – заряд конденсатора; C – его емкость; ∆ϕ – разность потенциалов между обкладками.

● Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора F =

Q2 σ 2 S ε 0 εE 2 S = = . 2 ε 0 ε S 2ε 0 ε 2

● Энергия электростатического поля плоского конденсатора ε 0εE 2 ε εSU 2 ε0εE 2 Sd = 0 V, = 2 2 2 где S – площадь одной пластины; U – разность потенциалов между пластинами; V = Sd – объем конденсатора. ● Объемная плотность энергии W=

w=

ε0εE 2 ED = , 2 2

I=

dQ ; dt

где D – электрическое смещение. 3.2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

● Сила и плотность электрического тока j=

I , S

где S – площадь поперечного сечения проводника. ● Плотность тока в проводнике

j = ne v , где v – скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; n – концентрация зарядов.

● Электродвижущая сила, действующая в цепи, Е = A / Q0 или Е = ∫ Eст dl , где Q0 – единичный положительный заряд; A – работа сторонних сил; Ест – напряженность поля сторонних сил.

● Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость G проводника и удельная электрическая проводимость γ вещества проводника

R = ρl / S ; G = 1 / R ; γ = 1 / ρ , где ρ – удельное электрическое сопротивление; S – площадь поперечного сечения проводника; l – его длина.

● Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении n

R = ∑ Ri i =1

и

n 1 1 =∑ , R i =1 Ri

где Ri – сопротивление i-го проводника; n – число проводников.

● Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры где α – температурный коэффициент сопротивления.

ρ = ρ0 (1 + αt ) ,

● Закон Ома: – для однородного участка цепи

I =U / R ; – для неоднородного участка цепи

I = (ϕ1 − ϕ2 + E12 ) / R ; – для замкнутой цепи

I = E/ R , где U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи); (ϕ1 − ϕ2 ) – разность потенциалов на концах участка цепи; E12 – э.д.с. источников тока, входящих в участок; E – э.д.с. всех источников тока цепи.

● Закон Ома в дифференциальной форме

j = γE , где E – напряженность электростатического поля.

● Работа тока за время t A = IUt = I 2 Rt =

U2 t. R

P = IU = I 2 R =

U2 . R

● Мощность тока

● Закон Джоуля-Ленца Q = I 2 Rt = IUt , где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t . ● Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме w = jE = γE 2 , где w – удельная тепловая мощность тока.

● Правило Кирхгофа n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ Ii = 0 ; ∑ I i Ri = ∑ Ei . 3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, В ВАКУУМЕ И ГАЗАХ

● Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2 ϕ1 − ϕ2 = −

A1 − A2 kT n1 + ln , e e n2

где A1 , A2 – работы выходов свободных электронов из металлов; k – постоянная Больцмана; n1 , n2 – концентрации свободных электронов в металлах.

● Термоэлектродвижущая сила E=

k n (T1 − T2 ) ln 1 , e n2

где (T1 − T2 ) – разность температур спаев.

● Формула Ричардсона-Дешмана jнас = CT 2e − A / ( kT ) , где jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии; C – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов; A – работа выхода электрона из металла. 3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

● Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, M = [p m B] , где B – магнитная индукция; p m – магнитный момент контура с током:

p m = ISn , где S – площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к поверхности контура.

● Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля B = µ 0µH , где µ 0 – магнитная постоянная; µ – магнитная проницаемость среды.

● Закон Био-Савара-Лапласа dB =

µ 0µ I [dl , r ] , 4π r2

где dB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dl проводника с током I ; r – радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция.

● Модуль вектора dB dB =

µ 0µ Idl sin α , 4π r2

где α – угол между векторами dl и r .

● Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей

B = ∑ Bi , i

где B – магнитная индукция результирующего поля; Bi – магнитные индукции складываемых полей.

● Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током B=

µ 0µ 2 I , 4π R

где R – расстояние от оси проводника.

● Магнитная индукция в центре кругового проводника с током B = µ 0µ

I , 2R

где R – радиус кривизны проводника. ● Закон Ампера

dF = I [dI , B] , где dF – сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I , помещенный в магнитное поле с индукцией В.

● Модуль силы Ампера dF = IBl sin α , где α – угол между векторами dl и В.

● Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I 2 dF =

µ 0µ 2 I1I 2 dl , 4π R

B=

µ 0µ Q [ v r ] , 4π r 3

где R – расстояние между проводниками; dl – отрезок проводника.

● ●●

где r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

● Модуль магнитной индукции B=

µ 0µ Qv sin α , 4π r 2

где α – угол между векторами v и r. ● Сила Лоренца

F = Q [v B ] , где F – сила, действующая на заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v.

● Формула Лоренца F = QE + Q [v , B] , где F – результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q, если на него действует электрическое поле напряженностью Е и магнитное поле индукцией В.

● Холловская поперечная разность потенциалов ∆ϕ = R

IB , d

где В – магнитная индукция; I – сила тока; d – толщина пластинки; R = 1 / (en ) – постоянная Холла (п – концентрация электронов).

● Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В) n

Ik , ∫ Bdl = ∫ Bidl = µ0 ∑ k =1 L

L

где µ 0 – магнитная постоянная; dl – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; Bi = B cos α – составляющая вектора В в n

направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранного направления обхода); угол между векторами В и dl ;

∑ Ik k =1

ская сумма токов, охватываемых контуром.

● Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков, B = µ 0 NI / l , где l – длина соленоида.

● Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме) B = µ 0 NI / 2πr .

● Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS dΦ B = BdS = Bn dS ,

– алгебраиче-

где dS = dS n – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; Bn – проекция вектора В на направление нормали к площадке.

● Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S Φ B = ∫ BdS = ∫ BndS . S

S

● Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида) Φ = µ 0µ где µ – магнитная проницаемость среды.

N 2I S, l

● Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле dA = IdΦ , где d Φ – магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

● Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле dA = IdΦ ' , где d Φ ' – изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. 3.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

● Закон Фарадея Ei = −

dΦ , dt

где Ei – э.д.с. индукции.

● Э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B , Ei = BSω sin ω t , где ω t – мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

● Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L, Φ = LI . ● Э.д.с. самоиндукции εs = −L

dI , dt

где L – индуктивность контура.

● Индуктивность соленоида (тороида) L = µ 0µ

N 2S , l

где N – число витков соленоида; l – его длина.

● Токи при размыкании и при замыкании цепи

I = I 0e −t / τ ; I = I 0 (1 − e −t / τ ) ,

где τ = L / R – время релаксации ( L – индуктивность; R – сопротивление).

● Э.д.с. взаимной индукции (э.д.с., индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре) E = − L12

dI , dt

где L12 – взаимная индуктивность контуров.

● Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N 2 , намотанных на общий тороидальный сердечник, N1 N 2 S, l где µ0 – магнитная проницаемость сердечника; I – длина сердечника по средней линии; S – площадь сердечника. ● Коэффициент трансформации L12 = L21 = µ 0µ

N 2 ε 2 I1 = = , N1 ε1 I 2 где N , ε, I – соответственно число витков, э.д.с. и сила тока в обмотках трансформатора.

● Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I, W = LI 2 / 2 .

● Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида w=

B2 µ µH 2 BH = 0 = . 2µ 0µ 2 2

3.6. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

● Связь орбитального магнитного p m и орбитального механического L e моментов электрона p m = − gL e = − где g = e / ( 2m ) – гиромагнитное отношение орбитальных моментов.

e Le , 2m

● Намагниченность J = Pm / V = ∑ p a / V , где Pm = ∑ p a – магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул.

● Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля J = χH , где χ – магнитная восприимчивость вещества.

● Связь между векторами B, H, J B = µ0 (H + J ) , где µ0 – магнитная постоянная.

● Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества µ = 1+ χ . ● Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)

∫ Bdl = ∫ Bl dl = µ0 ( I + I ′) , L

L

где dl – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; Bl – составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной формы; I и I' – соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром.

● Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

∫ Hdl = I , L

где I – алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L. 3.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

● Плотность тока смещения

jсм = где D – электрическое смещение; ε 0

∂D ∂E ∂P , = ε0 + ∂t ∂t ∂t

∂E ∂P – плотность тока смещения в вакууме; – плотность тока поляризации. ∂t ∂t

● Полная система уравнений Максвелла: – в интегральной форме

∂B

∫ Edl = −∫ ∂t dS ; ∫ DdS = ∫ ρdV ; L

S

S

 ∂D  ∫ Hdl = ∫  j + ∂t dS ; L S

V

∫ B dS = 0 . S

– в дифференциальной форме

∂B ; div D = ρ ; ∂t ∂D ; div B = 0 , rot H = j + ∂t

rot E = −

где D = ε0εE; B = µ0µH; j = γE (ε0 и µ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные; (ε и µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ – удельная проводимость вещества).

4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ● Уравнение гармонических колебаний

s = A cos (ω0t + ϕ) , где s – смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω0 = 2π / T = 2πν – круговая (циклическая) частота; ν = 1/T – частота; Т – период колебаний; ϕ0 – начальная фаза. ● Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,

ds π = − Aω0 sin (ω0t + ϕ) = Aω0 cos  ω0t + ϕ +  ; dt 2 

d2s = − Aω0 cos (ω0t + ϕ) = −ω02 s . dt 2 ● Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m

T=

mv 2 mA2ω02 = sin 2 (ω0t + ϕ) . 2 2

● Потенциальная энергия

∏=

mA2ω02 cos 2 (ω0t + ϕ) . 2 Полная энергия

E=

mA2ω02 . 2

● Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой т

m&x& = − kx

(

2

или

&x& + ω02 x = 0 ,

)

где k – коэффициент упругости k = ω0 m . ● Период колебаний пружинного маятника

T = 2π m / k , где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины. ● Период колебаний физического маятника

T = 2π J / ( mgl ) = 2π L / g , где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L = J / (ml) – приведенная длина физического маятника; g – ускорение свободного падения. ● Период колебаний математического маятника

T = 2π l / g , где l – длина маятника. ● Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью контура С,

T = 2π LC . ● Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:

&& + 1 Q = 0; Q = Q cos (ω t + ϕ) , Q m 0 LC где Qm – амплитуда колебаний заряда; ω0 = 1 / LC – собственная частота контура. ● Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,

A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) , где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – их начальные фазы. ● Начальная фаза результирующего колебания

tg ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 . A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

● Период биений

T = 2π / ∆ω . ● Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,

x 2 2 xy y2 + cos ϕ + = sin 2 ϕ . A2 AB B2 где А и В – амплитуды складываемых колебаний; ϕ – разность фаз обоих колебаний. ● Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:

d 2s ds + 2δ + ω02 s = 0 ; 2 dt dt

s = A0e − δt cos (ωt + ϕ) ,

где s – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; δ – коэффициент затухания (δ = r / (2m) в случае механических колебаний и δ = R/(2L) в случае электромагнитных колебаний); ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ω = частота затухающих колебаний; A0e

− δt

ω02 − δ 2 –

– амплитуда затухающих колебаний.

● Декремент затухания

A (t ) = eδT , A (t + T )

где A (t ) и A (t + T ) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период. ● Логарифмический декремент затухания

T 1 A (t ) = δT = = , A (t + T ) τ N

Θ = ln

где τ = 1 / δ – время релаксации; N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. ● Добротность колебательной системы

π ω0 . = Θ 2δ

Q=

● d 2s ds + 2δ + ω02 s = x0 cos ωt ; s = A cos (ω t − ϕ) , dt dt 2 где s – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс ( x0 = F0 / m в случае механических колебаний, x0 = U m / L в случае электромагнитных колебаний);

A=

x0

(

ω02

− ω ) + 4δ ω 2

2

2

ϕ = arctg

;

2δω . − ω2

ω02

● Резонансная частота и резонансная амплитуда

ωрез = ω02 − 2δ 2 ;

Aрез =

x0 2δ ω02 − δ 2

.

● Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U = U m cos ωt , 2

1   2 Z = R2 +  ω L −  = R 2 + ( RL − RC ) , ω C   где RL = ωL – реактивное индуктивное сопротивление; RC = 1 / (ωC) – реактивное емкостное сопротивление. ● Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

tg ϕ =

ω L − 1 / (ω C ) . R

● Действующие (эффективные) значения тока и напряжения

I = Im / 2 ; U = Um / 2 , ● Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

P =

1 I mU m cos ϕ , 2

где

R

cos ϕ =

1  R +  ωL −  ωC   2

2

.

4.2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ ● Связь длины волны λ, периода Т колебаний и частоты ν:

λ = υT ; υ = λν , где υ – скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость). ● Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, ξ ( x, t ) = A cos (ωt − kx + ϕ0 ) ,

где ξ ( x, t ) – смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А – амплитуда волны; ω – циклическая (круговая) частота;

k = 2π / λ = 2π / ( υT ) = ω / υ – волновое число ( λ – длина волны; υ – фазовая скорость; Т – период колебаний); ϕ0 – начальная фаза колебаний. ● Связь между разностью фаз ∆ϕ и разностью хода ∆

∆ϕ = 2π

∆ . λ

● Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн

λ λ ∆ max = ±2m ; ∆ min = ±( 2m + 1) , 2 2

где m = 0, 1, 2, ... . ● Фазовая υ и групповая u скорости, а также связь между ними

υ=

ω dω dυ . ; u= ; u = υ−λ k dk dλ

● Уравнение стоячей волны

2π x cos ωt = 2 A cos kx cos ωt . λ

ξ ( x, t ) = 2 A cos ● Координаты пучностей и узлов

1 λ λ xп = ± m ; xп = ± m +  , 2 2 2 

m = 0, 1, 2, ... .

● Уровень интенсивности звука

L = lg ( I / I 0 ) , где I – интенсивность звука; I0 – интенсивность звука на пороге слышимости (I0 = 1 пВт/м2). ● Скорость распространения звуковых волн в газах

υ = γRT / M , где R – малярная газовая постоянная; М – молярная масса; γ = Сp /СV – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме; Т – термодинамическая температура. ● Эффект Доплера в акустике

(υ ± υпр ) ν 0

ν=

υ m υист

,

где ν – частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; ν0 – частота звука, посылаемая источником; υпр – скорость движения приемника; υист – скорость движения источника; υ – скорость распространения звука. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления. 4.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ● Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде

υ=

1

1

ε 0µ 0

εµ

=

c

,

εµ

где c = 1 / ε0µ 0 – скорость распространения света в вакууме; ε 0 и µ 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и µ – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. ● Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического (Е) и магнитного (H) полей электромагнитной волны

ε 0 ε E = µ 0µ H , где Е и Н – соответственно мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей волны. ● Уравнения плоской электромагнитной волны

E = E0 cos (ωt − kx + ϕ) ; H = H 0 cos (ωt − kx + ϕ) , где Е0 и Н0 – соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω – круговая частота; k = ω / υ – волновое число; ϕ – начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. ● Объемная плотность энергии электромагнитного поля

w=

ε0εE 2 µ 0µH 2 + . 2 2

● S = [EH]. 5. ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ

5.1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ ● Законы отражения и преломления света

i1′ = i1 ; sin i1 / sin i2 = n21 , где i1 – угол падения; i1′ – угол отражения; i2 – угол преломления; n21 = n2 / n1 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой; n1 и n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй среды. ● Предельный угол полного отражения при распространении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную

sin i пр. = n2 / n1 = n21

.

● Преломление на сферической поверхности (для параксиальных лучей)

n2 n1 n2 − n1 , − = b a R где R – радиус сферической поверхности; n1 и n2 – показатели преломления сред по разные стороны сферической поверхности; а – расстояние от точки,

лежащей на оптической оси сферической поверхности, до преломляющей поверхности; b – расстояние от поверхности до изображения. В формуле R > 0 – для выпуклой поверхности, R < 0 – для вогнутой. ● Формула сферического зеркала

1 2 1 1 = = + , f R a b где a и b – соответственно расстояния от полюса зеркала до предмета и изображения; f – фокусное расстояние зеркала; R – радиус кривизны зеркала. ● Оптическая сила тонкой линзы

Φ=

1 1  1 1 1 = ( N − 1)  + = + , f  R 1 R2  a b

где f – фокусное расстояние линзы: N = n / n1 – относительный показатель преломления ( n и n1 – соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды); R1 и R2 – радиусы кривизны поверхностей (R > 0 для выпуклой поверхности; R < 0 для вогнутой); a и b – соответственно расстояния от оптического центра линзы до предмета и изображения. ● Сила излучения

Ie = Φe / ω , где Φ e – поток излучения источника; ω – телесный угол, в пределах которого это излучение распространяется. ● Полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источником,

Φ 0 = 4πI , где I – сила света источника. ● Светимость поверхности

R = Φ/S , где Φ – световой поток, испускаемый поверхностью; S – площадь этой поверхности. ● Яркость В светящейся поверхности в некотором направлении ϕ

Bϕ = I / ( S cos ϕ) ,

где I – сила света; S – площадь поверхности; ϕ – угол между нормалью к элементу поверхности и направлением наблюдения. ● Освещенность Е поверхности

E = Φ/S , где Φ – световой поток, падающий на поверхность; S – площадь этой поверхности. ● Связь светимости R и яркости B при условии, что яркость не зависит от направления,

R = πB . 5.2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ● Скорость света в среде

υ = c/n , где с – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления среды. ● Разность фаз двух когерентных волн

δ=

2π 2π ( L2 − L1 ) = ∆ , λ0 λ0

где L = sn – оптическая длина пути (s – геометрическая длина пути световой волны в среде; п – показатель преломления этой среды); ∆ = L2 − L1 – оптическая разность хода двух световых волн; λ 0 – длина волны в вакууме. ● Условие интерференционных максимумов

∆ = ± mλ 0 , m = 0 , 1, 2 , ... . ● Условие интерференционных минимумов

∆ = ± ( 2m + 1)

λ0 , m = 0 , 1, 2 , ... . 2

● Ширина интерференционной полосы

∆x =

l λ0 , d

где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии l от экрана, параллельного обоим источникам, при условии l >> d. ● Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пленки, находящейся в воздухе (n0 = 1),

2dn cos r ±

2dn cos r ±

λ0 λ = 2d n 2 − sin 2 i ± 0 = mλ 0 , 2 2 m = 0 , 1, 2 , ... ;

λ0 λ λ = 2d n 2 − sin 2 i ± 0 = (2m + 1) 0 , 2 2 2 m = 0 , 1, 2 , ... ,

где d – толщина пленки; n – показатель ее преломления; i – угол падения; r – угол преломления. В общем случае член ± λ 0 / 2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела: если n > n0, то необходимо употреблять знак «плюс», если n < n0 – знак «минус». ● Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем свете)

rm = (m − 1 / 2)λ 0 R , m = 1, 2 , 3 , ... , где m – номер кольца; R – радиус кривизны линзы.

● rm* = mλ 0 R , m = 1, 2 , ... . ● В случае «просветления оптики» интерферирующие лучи в отраженном свете гасят друг друга при условии

n = nc , где nc – показатель преломления стекла; n – показатель преломления пленки. 5.3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ● Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны

ab mλ , a+b

rm =

где m – номер зоны Френеля; λ – длина волны; a и b – соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается. ● Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:

λ λ a sin ϕ = ±( 2m + 1) , a sin ϕ = ±2m , m = 1, 2, 3, ..., 2 2 где a – ширина щели; ϕ – угол дифракции; m – порядок спектра; λ – длина волны. ● Условия главных максимумов и дополнительных минимумов дифракционной решетки, на которую свет падает нормально:

λ d sin ϕ = ±2m , 2

d sin ϕ = ±2m′

m = 0 , 1, 2 , ... ;

λ , m′ = 0 , 1, 2 , 3, ..., кроме 0, N , 2 N , ... , N

где d – период дифракционной решетки; N – число штрихов решетки. ● Период дифракционной решетки

d = 1/ N0 , где N0 – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки. ● Условие дифракционных максимумов от пространственной решетки (формула Вульфа-Брэггов)

2d sin ϑ = mλ, m = 1, 2 , 3 , ... , где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; ϑ – угол скольжения. ● Угловая дисперсия дифракционной решетки

Dϕ =

δϕ m = . δλ d cos ϕ

● Наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек могут быть разрешены в фокальной плоскости объектива,

ϕ ≥ 1,22λ / D . где D – диаметр объектива; λ – длина волны света. ● Разрешающая способность дифракционной решетки

R=

λ = mN , δλ

где λ, (λ + δλ) – длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решеткой; m – порядок спектра; N – общее число штрихов решетки. 5.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ ● Связь угла ϕ отклонения лучей призмой и преломляющего угла А призмы

ϕ = A ( n − 1) , где n – показатель преломления призмы. ● Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества

n= ε . ● Уравнение вынужденных колебаний оптического электрона под действием электрической составляющей поля волны (простейшая задача дисперсии) &x& + ω02 x =

eE0 cos ωt , m

где еЕ0 – амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны; ω0 – собственная частота колебаний электрона; ω – частота внешнего поля; т – масса электрона. ● Зависимость показателя преломления вещества п от частоты ω внешнего поля, согласно элементарной электронной теории дисперсии,

n2 = 1 +

n0 i ε0

∑

e2 / m , ω02 i − ω2

где ε0 – электрическая постоянная; n0 i – концентрация электронов с собственной частотой ω0 i; m – масса электрона; е – заряд электрона. ● Закон ослабления света в веществе (закон Бугера)

I = I 0 e − αx , где I0 и I – интенсивности плоской монохроматической световой волны соответственно на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х; α –

коэффициент поглощения. ● Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме

ν = ν0

1 − υ2 / c 2 , 1 + (υ / c ) cos ϑ

где ν0 и ν – соответственно частоты электромагнитного излучения, испускаемого источником и воспринимаемого приемником; υ – скорость источника электромагнитного излучения относительно приемника; с – скорость света в вакууме; ϑ – угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем. ● Поперечный эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме (ϑ = π / 2 )

ν = ν 0 1 − υ2 / c 2 . ● Эффект Вавилова-Черенкова

cos ϑ = c / ( nυ) , где ϑ – угол между направлением распространения излучения и вектором скорости частицы; n – показатель преломления среды. 5.5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ● Степень поляризации света

P=

I max − I min , I max + I min

где Imax и Imin – соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором. ● Закон Малюса

I = I 0 cos 2 α , где I – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; I0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; α – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора. ● Закон Брюстера

tg iB = n21 , где iB – угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным; n21 – относительный показатель преломления. ● Оптическая разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами на пути l в ячейке Керра

∆ = l (no − ne ) = klE 2 , где no, ne – показатели преломления соответственно обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси; Е – напряженность электрического поля; k – постоянная. ● Оптическая разность хода для пластинки в четверть волны

∆ = (no − ne ) d = ±(m + 1 / 4) λ 0 , m = 0 , 1, 2 , ... , где знак «плюс» соответствует отрицательным кристаллам, «минус» – положительным; λ0 – длина волны в вакууме. ● Угол поворота плоскости поляризации: – для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей

ϕ = αd ; – для оптически активных растворов

ϕ = [α]Cd , где d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; α 0 [α] – удельное вращение; С – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе. 5.6. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ ● Закон Стефана-Больцмана

Re = σT 4 , где Re – энергетическая светимость (излучательность) черного тела; σ – постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура. ● Связь энергетической светимости Re и спектральной плотности энергетической светимости rν ,T (rλ ,T ) черного тела ∞

∞

0

0

Re = ∫ rν ,T dν = ∫ rλ , T dλ . ● Энергетическая светимость серого тела

RTc = AT σT 4 , где AT – поглощательная способность серого тела. ● Закон смещения Вина

λ max = b / T , где λmax – длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b – постоянная Вина. ● Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела от температуры

(rλ ,T ) = CT 5 , где С = 1,30 ⋅ 10–5 Вт/(м3 ⋅ К5). ● Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела

rν ,T =

2πν 2 kT , c2

где k – постоянная Планка. ● Энергия кванта

ε 0 = hν = hc / λ . ● Формула Планка

rν ,T = rλ ,T =

hν 2πν 2 , c 2 e hν / ( kT ) − 1 hν 2πc 2 h . 5 hc / ( kTλ ) λ e −1

● Связь радиационной Тp и истинной Т температур

Tp = 4 Aт T , где Ат – поглощательная способность серого тела. ● Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

ε = hν = A + Tmax , 2

где ε = hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Tmax = mυmax / 2 – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. ● «Красная граница» фотоэффекта для данного металла ν 0 = A / h ; λ 0 = hc / A , где λ0 – максимальная длина волны излучения (ν0 – соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен. ● Масса и импульс фотона

mγ =

ε hν = ; c2 c2

pγ =

hν , c

где hν – энергия фотона.

● p=

Ee (1 + ρ) = w (1 + ρ) , c

где Ee = Nhν – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); ρ – коэффициент отражения; w – объемная плотность энергии излучения. ● Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском рассеянии

ϑ ϑ h 2h (1 − cos ϑ) = sin 2 = 2λC sin 2 , m0c m0c 2 2 где λ и λ′ – длины волн падающего и рассеянного излучения; m0 – масса электрона; ϑ – угол рассеяния; λ C = h / ( m0 c ) – комптоновская длина волны. ∆λ = λ′ − λ =

6. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

6.1. ТЕОРИЯ АТОМОВ ВОДОРОДА ПО БОРУ ● Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода,

1 1 ν = R  2 − 2  , m n  где ν – частота спектральных линий в спектре атома водорода; R – постоянная Ридберга; m определяет серию (m = 1, 2, 3, ...); n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m +1, m + 2, ...): т = 1 (серия Лаймана), m = 2 (серия Бальмера), m = 3 (серия Пашена), m = 4 (серия Брэкета), m = 5 (серия Пфунда), т = 6 (серия Хэмфри). ● Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) me υrn = nh , n = 1, 2 , 3 , ... , где me – масса электрона; υ – скорость электрона по n-й орбите радиусом rn. ● Второй постулат Бора (правило частот)

hν = E n − E m , где En и Em – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). ● Энергия электрона на n-й стационарной орбите

En = −

1 Z 2 me e 4 , n = 1, 2 , 3 , ... , n 2 8h 2ε 02

где Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева; ε0 – электрическая постоянная. 6.2. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ● Связь дебройлевской волны частицы с импульсом p

λ = h / p = h / (mυ) , где m – масса частицы; υ – ее скорость. ● Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью υ частицы массой т

υфаз = ω / k = E / p = c 2 / υ , где E = hω – энергия частицы (ω – круговая частота); p = hk – импульс ( k = 2π / λ – волновое число). ● Групповая скорость свободно движущейся частицы

u=

dω dE = . dk dp

● Соотношения неопределенностей: – для координаты и импульса частицы

∆x∆p x ≥ h , ∆y∆p y ≥ h , ∆z∆p z ≥ h , где ∆x, ∆y , ∆z – неопределенности координат; ∆p x , ∆p y , ∆p z – неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат; – для энергии и времени

∆E∆t ≥ h , где ∆E – неопределенность энергии данного квантового состояния; ∆t – время пребывания системы в данном состоянии. ● Вероятность нахождения частицы в объеме dV 2

dW = ΨΨ dV = Ψ

dV ,

где Ψ = Ψ ( x , y , z , t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы; Ψ* – функция, комплексно сопряженная с Ψ; |Ψ|2 = ΨΨ* – квадрат модуля волновой функции; – для стационарных состояний

dW = ψψ dV = ψ

2

dV ,

где ψ = ψ ( x , y , z ) – координатная (амплитудная) часть волновой функции. ● Условие нормировки вероятностей ∞

∫

Ψ

2

dV = 1,

−∞

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x , y , z от –∞ до +∞. ● Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до х2

W=

x2

∫

ψ( x )

2

dx .

x1

● Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,

+∞

L =

∫L

Ψ

2

dV .

−∞

● где Ψ = Ψ ( x , y , z , t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы; h = h /(2π) ; т – масса частицы; ∆ – оператор Лапласа  ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ   ∆Ψ = 2 + 2 + 2  ; i = − 1 – мнимая единица; U = U ( x , y , z , t ) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется. ∂x ∂y ∂z   ● Уравнение Шредингера для стационарных состояний

∆ψ +

(

2m (E − U )ψ = 0 , h2

где U (r ) – координатная часть волновой функции Ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e

−i ( E / h )t

) ; U = U ( x , y , z) – потенциальная энергия частицы; Е – полная

энергия частицы. ● где А – амплитуда волн де Бройля; p x = kh – импульс частицы; E = h ω – энергия частицы. ● Собственные значения энергии Еn частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»,

En = n 2

π2h 2 , n = 1, 2 , 3 , ... , 2ml 2

где l – ширина ямы. ● Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии,

ψn ( x) =

nπ 2 sin x, n = 1, 2 , 3 , ... . l l

● Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l,

2 D = D0 exp  − 2m(U − E )l  ,  h 

где D0 – множитель, который можно приравнять единице; U – высота потенциального барьера; Е – энергия частицы. ● Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике

∂ 2ψ 2m  mω02 x 2  ψ = 0 , + 2  E − 2 2  ∂x h  2 2

где mω0 x / 2 = U – потенциальная энергия осциллятора; ω0 – собственная частота колебаний осциллятора; m – масса частицы. ● Собственные значения энергии гармонического осциллятора

1 En =  n +  hω0 , n = 1, 2 , 3 , ... . 2  ● Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора

E0 =

1 hω0 . 2

6.3. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ ● Потенциальная энергия U (r ) взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме

U (r ) = −

Ze 2 , 4πε0 r

где r – расстояние между электроном и ядром; Z – порядковый номер элемента; ε0 – электрическая постоянная. ● Собственное значение энергии Еn электрона в водородоподобном атоме

En = −

1 Z 2 me 4 , n = 1, 2 , 3 , ... . n 2 8h 2 ε 02

● Энергия ионизации атома водорода

Ei = − E1 =

me 4 . 8h 2ε02

● Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона

Ll = h l (l + 1) , где l – орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n следующие значения: l = 0 , 1, ... , n − 1 (всего n значений). ● Проекция момента импульса на направление z внешнего магнитного поля

Llz = hml , где ml – магнитное квантовое число, принимающее при заданном l следующие значения: ml = 0 , ± 1, ... , ± l (всего (2l + 1) значений). ● Правила отбора для орбитального и магнитного квантовых чисел

∆l = ±1 и ∆ml = 0 , ± 1 . ● Нормированная волновая функция, отвечающая ls-состоянию (основному состоянию) электрона в атоме водорода,

1

ψ100 ( r ) = 2

(

где a = 4πε0h / me

2

πa

3

e −r / a ,

) – величина, совпадающая с первым боровским радиусом.

● Вероятность обнаружить электрон в атоме водорода, находящемся в ls-состоянии, в интервале от r до r + dr

dW = ψ100

2

dV = ψ100

2

4πr 2dr .

● Спин (собственный механический момент импульса) электрона

Ls = h s ( s + 1) , где s – спиновое квантовое число (s = 1/2). ● Проекция спина на направление z внешнего магнитного поля

Lsz = hms , где ms – магнитное спиновое квантовое число (тs = ±1/2). ● Принцип Паули

Z ( n, l , ml , ms ) = 0 или 1 , где Z ( n, l , ml , ms ) – число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n – главного, l – орбитального, ml – магнитного, тs – магнитного спинового. ● Максимальное число электронов Z(n), находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом n, n −1

Z ( n ) = ∑ 2( 2l + 1) = 2n 2 . l =0

● Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра

λ min = ch / (eU ) ,

где е – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке. ● Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характеристического рентгеновского излучения,

1 1 2 ν = R ( Z − σ )  2 − 2  , m n  где R – постоянная Ридберга, Z – порядковый номер элемента в периодической системе; σ – постоянная экранирования; m определяет рентгеновскую серию (т = 1, 2, 3, ...); n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m + 1, т + 2, ...). ● Закон Мозли для линии Kα (σ = 1)

1 1 ν = R ( Z − 1)2  2 − 2  . 1 2  6.4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ ● Распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

1 , e( Ei −µ ) / ( kT ) + 1 – соответственно средние числа бозонов и фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei ; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая Ni =

где N i

температура; µ – химический потенциал. При e

N i = Ae

− Ei / ( kT )

µ / ( kT )

, где A = e

1 e( Ei −µ ) / ( kT ) − 1

( Ei −µ ) / ( kT )

и

Ni =

>> 1 оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

.

● Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в металле

N (E ) =

1 , e( E − EF ) / ( kT ) + 1

где EF – энергия Ферми. – При Т = 0 К

1 при E < FF , N (E ) =  0 при E > FF . ● Характеристическая температура Дебая (при T 0 – экзотермическая реакция, Q < 0 – эндотермическая реакция. ● Энергия ядерной реакции представляется также в виде

Q = (T1 + T2 ) − (T3 + T4 ) ,

где T1, T2, T3, T4 – соответственно кинетические энергии ядра-мишени, бомбардирующей частицы, испускаемой частицы и ядра продукта реакции.

● Скорость нарастания цепной реакции

dN N ( k − 1) ( k -1) t / T , откуда N = N 0e , = dt T где N0 – число нейтронов в начальный момент времени; N – число нейтронов в момент времени t; T – среднее время жизни одного поколения; k – коэффициент размножения нейтронов.

ПРИЛОЖЕНИЯ Основные физические постоянные (округленные значения) Физическая постоянная

Обозначение

Значение

Нормальное ускорение свободного падения

g

9,81 м/c2

Гравитационная постоянная

G

6,67 ⋅ 10–11 м3/(кг ⋅ с2)

Постоянная Авогадро

NA

6,02 ⋅ 1023 моль–1

Постоянная Фарадея

F

96,48 ⋅ 103 Кл/моль

Молярная газовая постоянная

8,31 Дж/моль

Молярный объем идеального газа при нормальных условиях

Vm

22,4 ⋅ 10–3 м3/моль

Постоянная Больцмана

k

1,38 ⋅ 10–23 Дж/К

Скорость света в вакууме

с

3,00 ⋅ 108 м/с

Постоянная Стефана-Больцмана

σ

5,67 ⋅ 10–8 Вт/(м2 ⋅ К4)

Постоянная закона смещения Вина

b

2,90 ⋅ 10–3 м ⋅ К

Постоянная Планка

h ħ = h/2π

6,63 ⋅ 10–34 Дж ⋅ с 1,05 ⋅ 10–34 Дж ⋅ с

Постоянная Ридберга

R

1,10 ⋅ 107 м–1

Радиус Бора

а

0,529 ⋅ 10–10 м

Масса покоя электрона

me

9,11 ⋅ 10–31 кг

Масса покоя протона

mp

1,6726 ⋅ 10–27 кг

Масса покоя нейтрона

mn

1,6750 ⋅ 10–27 кг

Масса покоя α-частицы

mα

6,6425 ⋅ 10–27 кг

Атомная единица массы

а.е.м.

1,660 ⋅ 10–27 кг

Отношение массы протона к массе электрона

mp/me

1836,15

Элементарный заряд

e

1,60 ⋅ 10–19 Кл

Отношение заряда электрона к его массе

e/me

1,76 ⋅ 1011 Кл/кг

Комптоновская длина волны электрона

Λ

2,43 ⋅ 10–12 м

Энергия ионизации атома водорода

Ei

2,18 ⋅ 10–18 Дж (13,6 эВ)

Магнетон Бора

µВ

0,927 ⋅ 10–23 А ⋅ м2

Электрическая постоянная

ε0

8,85 ⋅ 10–12 Ф/м

Магнитная постоянная

µ0

12,566 ⋅ 10–7 Гн/м

Единицы и размерности физических величин в СИ Величина Наименование

Единица Размерность

ОбознаНаименование чение

Основные единицы

Длина

L

метр

м

Масса

M

килограмм

кг

Время

T

секунда

с

Сила электрического тока

I

ампер

A

Термодинамическая температура

Θ

кельвин

K

Количество вещества

N

моль

моль

Сила света

J

кандела

кд

Выражение через основные и дополнительные единицы

Дополнительные единицы

Плоский угол

–

радиан

рад

Телесный угол

–

стерадиан

ср

Производные единицы

Частота Сила, вес

T –1 LMT

–2

герц

Гц

с–1

ньютон

Н

м ⋅ кг ⋅ с–2

Давление, механическое напряжение

L–1MT –2

паскаль

Па

м–1 ⋅ кг ⋅ с–2

Энергия, работа, количество теплоты

L2MT –2

джоуль

Дж

м2 ⋅ кг ⋅ с–2

Мощность, поток энергии

L2MT –3

ватт

Вт

м2 ⋅ кг ⋅ с–3

Количество электричества (электрический заряд)

TI

кулон

Кл

с⋅А

Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила

L2MT –3I –1

вольт

В

м2 ⋅ кг ⋅ с–3 ⋅ A–1

Электрическая емкость

L–2M –1T 4I 2

фарад

Ф

м–2 ⋅ кг–1 ⋅ с4 ⋅ A2

Электрическое сопротивление

L2MT –3I –2

ом

Ом

м2 ⋅ кг ⋅ с–3 ⋅ A–2

Электрическая проводимость

L–2M –1T 3I 2

сименс

См

м–2 ⋅ кг–1 ⋅ с3 ⋅ A2

Магнитный поток

L2MT –2I –1

вебер

Вб

м2 ⋅ кг ⋅ с–2 ⋅ А–1

Магнитная индукция

MT –2I –1

тесла

Тл

кг ⋅ с–2 ⋅ А–1

L2MT –2I –2

генри

Гн

м2 ⋅ кг ⋅ с–2 ⋅ А–2

Световой поток

J

люмен

лм

кд ⋅ ср

Освещенность

L–2J

люкс

лк

м–2 ⋅ кд ⋅ ср

Активность изотопа (активность нуклида в радиоактивном источнике)

T –1

беккерель

Бк

с–1

Поглощенная доза излучения

L–2T –2

грей

Гр

м–2 ⋅ с–2

Индуктивность, взаимная индуктивность

Соотношения между единицами измерения СИ и некоторыми единицами других систем, а также внесистемными единицами Физическая величина

Длина Масса Время Объем Скорость Угол поворота Сила Давление

Работа, энергия

Мощность Заряд Напряжение, э.д.с. Электрическая емкость Напряженность магнитного поля

Соотношения

1 Å = 10–10 м 1 а.е.м. = 1,66⋅10–27 кг 1 год = 3,16⋅107 с 1 сутки = 86 400 с 1 л = 10–3 м3 1 км/ч = 0,278 м/с 1 об = 6,28 рад 1 дин = 10–5 Н 1 кГ = 9,81 Н 1 дин/см2 = 0,1 Па 1 кГ/м2 = 9,81 Па 1 ат = 9,81⋅104 Па 1 атм = 1,01⋅105 Па 1 мм рт. ст = 133,3 Па 1 эрг = 10–7 Дж 1 кГ⋅м = 9,81 Дж 1 эВ = 1,6⋅10–19 Дж 1 кал = 4,19 Дж 1 эрг/с = 10–7 Вт 1 кГ⋅м/с = 9,81 Вт 1 СГСЭq = 3,33⋅10–10 Кл 1 СГСЭU = 300 В 1 см = 1,11⋅10–12 Ф 1 Э = 79,6 А/м

Астрономические величины Период Средняя вращения плотность, вокруг оси, г/см3 сутки

Космическое тело

Средний радиус, м

Масса, кг

Солнце

6,95 ⋅ 108

1,99 ⋅ 1030

1,41

25,4

Земля

6,37 ⋅ 10

5,98 ⋅ 1024

5,52

1,00

Луна

1,74 ⋅ 10

7,35 ⋅ 10

3,30

27,3

6 6

22

Расстояние от центра Земли до центра Солнца: 1,49 ⋅ 1011 м. Расстояние от центра Земли до центра Луны: 3,84 ⋅ 108 м.

Планета Солнечной системы

Среднее расстояние от Солнца, 106 км

Период обращения вокруг Солнца, в годах

Масса в единицах массы Земли

Меркурий

57,87

0,241

0,056

Венера

108,14

0,615

0,817

Земля

149,50

1,000

1,000

Марс

227,79

1,881

0,108

Юпитер

777,8

11,862

318,35

Сатурн

1426,1

29,458

95,22

Уран

2867,7

84,013

14,58

4494

164,79

17,26

Нептун

Плотности веществ Твердое вещества

г/см3

Жидкость

г/см3

Алмаз

3,5

Бензол

0,88

Алюминий

2,7

Вода

1,00

Вольфрам

19,1

Глицерин

1,26

Графит

1,6

Касторовое масло

0,90

Железо (сталь)

7,8

Керосин

0,80

Золото

19,3

Ртуть

13,6

Кадмий

8,65

Сероуглерод

1,26

8,9

Спирт

0,79

Кобальт Лед

0,916

Медь

8,9

Молибден

10,2

Натрий

0,97

Никель

8,9

Олово

7,4

Платина

21,5

Пробка

0,20

Свинец

11,3

Серебро

10,5

Титан

4,5

Уран

19,0

Фарфор

2,3

Цинк

7,0

Тяжелая вода

1,1

Эфир

0,72

Газ (при нормальных условиях)

кг/м3

Азот

1,25

Аммиак

0,77

Водород

0,09

Воздух

1,293

Кислород

1,43

Метан

0,72

Углекислый газ

1,98

Хлор

3,21

Упругие постоянные. Предел прочности Материал

Алюминий Медь Свинец Сталь (железо) Стекло Вода

КоэффиМодуль Модуль циент Юнга Е, сдвига G, Пуассона ГПа ГПа

70 130 16 200 60 –

26 40 5,6 81 30 –

µ

Предел прочности на разрыв σm, ГПа

Сжимаемость β, ГПа–1

0,34 0,34 0,44 0,29 0,25 –

0,10 0,30 0,015 0,60 0,05 –

0,014 0,007 0,022 0,006 0,025 0,49

Тепловые постоянные твердых тел Удельная Удельная ТемпеДебаевская теплоемтеплота ратура температура кость плавления, плавления θ, К °С с, Дж/(г ⋅ К) q, Дж/г

Вещество

Алюминий Железо Лед Медь Свинец Серебро

0,90 0,46 2,09 0,39 0,13 0,23

374 467 – 329 89 210

660 1535 0 1083 328 960

321 270 333 175 25 88

П р и м е ч а н и е . Значения удельных теплоемкостей соответствуют нормальным условиям.

Коэффициент теплопроводности

χ, Дж/(м ⋅ с ⋅ К)

Вещество

Вода 0,59 Воздух 0,023 Дерево 0,20 Стекло 2,90 Некоторые постоянные жидкостей Вязкость

Жидкость

η, мПа ⋅ с

Вода Глицерин Ртуть Спирт

10 1500 16 12

Поверхностное натяжение α, мН/м

Удельная Удельная теплота теплоемкость парообразования с, Дж/(г ⋅ К) q, Дж/(г ⋅ К)

73 66 470 24

4,18 2,42 0,14 2,42

2250 – 284 853

П р и м е ч а н и е . Приведенные значения величин соответствуют:

η и α – комнатной температуре (20 °С), с – нормальным условиям, q – нормальному атмосферному давлению.

Постоянные газов

мВт м ⋅К

χ,

Не (4) Аr (40)

1,67 1,67

141,5 16,2

Постоянные Ван-дер-Ваальса

Диаметр молекулы d, нм

Теплопроводность

Вязкость η, мкПа ⋅ с

Газ CP (относительная γ= молекулярная CV масса)

моль 2

18,9 22,1

0,20 0,35

– 0,132

– 32

а,

b,

Па⋅м 6

10

−6

м3 моль

Н2 (2)

1,41

168,4

8,4

0,27

0,024

27

N2 (28)

1,40

24,3

16,7

0,37

0,137

39

О2 (32) СО2 (44)

1,40 1,30

24,4 23,2

19,2 14,0

0,35 0,40

0,137 0,367

32 43

Н2О (18)

1,32

15,8

9,0

0,30

0,554

30

Воздух (29)

1,40

24,1

17,2

0,35

–

–

П р и м е ч а н и е . Значения γ, χ и η – при нормальных условиях.

Давление водяного пара, насыщающего пространство при разных температурах t, °C

pн, Па

t, °C

pн, Па

t, °C

pн, Па

–5

400

8

1070

40

7 335

0

609

9

1145

50

12 302

1

656

10

1225

60

19 817

2

704

12

1396

70

31 122

3

757

14

1596

80

47 215

4

811

16

1809

90

69 958

5

870

20

2328

100

101 080

6

932

25

3165

150

486240

7

1025

30

4229

200

1 549 890

Диэлектрические проницаемости Диэлектрик

Вода Воздух

ε

81

Диэлектрик

Полиэтилен

1,00058 Слюда

ε

2,3 7,5

Воск

7,8

Спирт

26

Керосин

2,0

Стекло

6,0

Парафин

2,0

Фарфор

6,0

Плексиглас

3,5

Эбонит

2,7

Удельные сопротивления проводников и изоляторов Удельное сопротивление (при 20°С), нОм ⋅ м

Температурный коэффициент а, кК–1

Алюминий

25

4,5

Бумага

1010

Вольфрам

50

4,8

Парафин

1015

Железо

90

6,5

Слюда

1013

Золото

20

4,0

Фарфор

1013

Медь

16

4,3

Шеллак

1014

Свинец

190

4,2

Эбонит

1014

Серебро

15

4,1

Янтарь

1017

Проводник

Удельное сопротивление, Ом ⋅ м

Изолятор

Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков

µ – 1, 10–6

Парамагнетик

µ – 1, 10–6

Диамагнетик

Азот

0,013

Водород

Воздух

0,38

Бензил

–7,5

Кислород

1,9

Вода

–9,0

Эбонит

14

Медь

–10,3

Алюминий

23

Стекло

–12,6

Вольфрам

176

Каменная соль

–12,6

Платина

360

Кварц

–15,1

3400

Висмут

–176

Жидкий кислород

–0,063

Показатели преломления n n

Газ

n

Жидкость

n

Твердое тело

Азот

1,00030 Бензол

1,50

Алмаз

2,42

Воздух

1,00029 Вода

1,33

Кварц плавленый

1,46

1,47

Стекло (обычное)

1,50

Кислород 1,00027 Глицерин Сероуглерод

1,63

П р и м е ч а н и е . Показатели преломления зависят и от длины волны света, поэтому приведенные здесь значения n следует рассматривать как условные.

Для кристаллов с двойным лучепреломлением Исландский шпат

Длина волны λ, нм

Кварц

Цвет

ne

no

ne

no

687

Красный

1,484

1,653

1,550

1,541

656

Оранжевый

1,485

1,655

1,551

1,542

589

Желтый

1,486

1,658

1,553

1,544

527

Зеленый

1,489

1,664

1,556

1,547

486

Голубой

1,491

1,668

1,559

1,550

431

Сине-фиолетовый

1,495

1,676

1,564

1,554

400

Фиолетовый

1,498

1,683

1,568

1,558

Вращение плоскости поляризации Естественное вращение в кварце Длина волны λ, нм

Постоянная вращения α, град/мм

275

120,0

344

70,6

373

58,8

405

48,9

436

41,5

49

31,1

590

21,8

656

17,4

670

16,6

Магнитное вращение (λ = 589 нм) Постоянная Верде V, угл. мин/А

Жидкость

Бензол

2,59

Вода

0,016

Сероуглерод

0,053

Спирт этиловый

1,072

П р и м е ч а н и е . Приведенные значения постоянной Верде соответствуют комнатной температуре

Работа выхода электрона из металлов Металл

А, эВ

Алюминий

Металл

А, эВ

3,74 Калий

Металл

А, эВ

2,15 Никель

4,84

Барий

2,29 Кобальт

4,25 Платина 5,29

Висмут

4,62 Литий

2,39 Серебро 4,28

Вольфрам

4,50 Медь

4,47 Титан

3,92

Железо

4,36 Молибден

4,27 Цезий

1,89

Золото

4,58 Натрий

2,27 Цинк

3,74

Энергия ионизации Вещество

Ei, Дж

Ei, эВ

Водород

2,18 ⋅ 10

13,6

Гелий

3,94 ⋅ 10

24,6

Литий

1,21 ⋅ 10

75,6

Ртуть

1,66 ⋅ 10

10,4

–18 –18 –17 –18

Подвижность ионов в газах, м2/(В ⋅ с) Газ

Положительные ионы

Отрицательные ионы

Азот

1,27 ⋅ 10

1,81 ⋅ 10–4

Водород

5,4 ⋅ 10–4

7,4 ⋅ 10–4

Воздух

1,4 ⋅ 10–4

1,9 ⋅ 10–4

–4

Край K-полосы поглощения

Z

Элемент

λк, пм

Z

Элемент

λк, пм

23 26 27 28 29 30 42

Ванадий Железо Кобальт Никель Медь Цинк Молибден

226,8 174,1 160,4 148,6 138,0 128,4 61,9

47 50 74 78 79 82 92

Серебро Олово Вольфрам Платина Золото Свинец Уран

48,60 42,39 17,85 15,85 15,35 14,05 10,75

Массовые коэффициенты ослабления (рентгеновское излучение, узкий пучок)

λ, пм 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Массовый коэффициент ослабления µ / ρ, см2/г Воздух

Вода

Алюминий

Медь

Свинец

0,48 0,75 1,3 1,6 2Д

0,16 0,18 0,29 0,44 0,66 1,0 1,5 2,1 2,8

0,16 0,28 0,47 1Д 2,0 3,4 5,1 7,4 11

0,36 1,5 4,3 9,8 19 32 48 70 98

3,8 4,9 14 31 54 90 139

100 150 200 250

2,6 3,8 15 131 8,7 12 46 49 21 28 102 108 39 51 194 198 Константы двухатомных молекул

Молекула

Межъядерное расстояние d, 10–8 см

Частота колебаний ω, 1014 с–1

Молекула

Межъядерное расстояние d, 10–8 см

Частота колебаний ω, 1014 с–1

Н2

0,741

8,279

HF

0,917

7,796

N2

1,094

4,445

HCl

1,275

5,632

О2

1,207

2,977

НВr

1,413

4,991

F2

1,282

2,147

HI

1,604

4,350

S2

1,889

1,367

СО

1,128

4,088

Cl2

1,988

1,064

NO

1,150

3,590

Вr2

2,283

0,609

ОН

0,971

7,035

I2

2,666

0,404

Периоды полураспада радионуклидов Кобальт 60Со

5,2 года (β) Радон 222Rn

3,8 сут (α)

Стронций 90Sr

28 лет (β)

Радий 226Ra

1620 лет (α)

Полоний 10Ро

138 сут (α)

Уран 238U

4,5 ⋅ 109 лет (α)

Массы легких нуклидов

Z

Нуклид

Избыток массы нуклида М–А, а.е.м.

0

n

0,00867

1

2

С

0,01143

0,00783

12

С

0

2

Н

0,01410

13

С

0,00335

3

Н

0,01605

13

N

0,00574

Не

0,01603

14

N

0,00307

0,00260

15

N

0,00011

0,01513

15

О

0,00307

0,01601

16

О

–0,00509

0,01693

17

О

–0,00087

0,00531

19

3

Не

6

7 8 9

Li Li

Ве Ве Ве

10

5

11

Н

7

4

6

Избыток массы нуклида М–А, а.е.м.

1

4

3

Z Нуклид

10 11

Ве Ве Ве

7

8

9

F

–0,00160

10

20

Ne

–0,00756

11

23

Na

–0,01023

0,01294

24

Na

–0,00903

0,00930

24

Mg

–0,01496

0,01219 0,01354

12

П р и м е ч а н и е . Здесь М – масса нуклида в а.е.м., А – массовое число.

Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц Множитель

Приставка

10–18 10–15 10–12 10–9

атто фемто пико нано

Обозначение приставки международное

русское

a f p n

а ф п н

Множитель

Приставка

101 102 103 106

дека гекто кило мега

Обозначение приставки международное

русское

da h k M

да г к М

10–6 10–3 10–2 10–1

микро милли санти деци

µ m c d

мк м с д

109 1012 1015 1018

гига тера пета экса

G T P E

Г Т П Э

Греческий алфавит Обозначения букв

Название букв

Обозначения букв

Α, α

альфа

Ν, ν

ню

Β, β

бета

Ξ, ξ

кси

Название букв

Γ, γ

гамма

Ο, ο

омикрон

∆, δ

дельта

Π, π

пи

Ε, ε

эпсилон

Ρ, ρ

ро

Ζ, ζ

дзета

Σ, σ

сигма

Η, η

эта

Τ, τ

тау

Θ, θ, ϑ

тета

Υ, υ

ипсилон фи

Ι, ι

йота

Φ, φ

Κ, κ

каппа

Χ, χ

хи

Λ, λ

ламбда

Ψ, ψ

пси

Μ, µ

мю

Ω, ω

омега

ОГЛАВЛЕНИЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ………………… ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА …………………….. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ……………… ФИЗИКА …………………………………………... 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ …… 1.1. Элементы кинематики …………………… 1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела 1.3. Работа и энергия …………………………. 1.4. Механика твердого тела …………………. 1.5. Тяготение. Элементы теории поля ……… 1.6. Элементы механики жидкостей ………… 1.7. Элементы специальной (частной) теории относительности …………………………. 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ ………………………… 2.1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов ………………………….. 2.2. Основы термодинамики …………………. 2.3. Реальные газы, жидкости и твердые тела 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ………. 3.1. Электростатика …………………………... 3.2. Постоянный электрический ток ………… 3.3. Электрические токи в металлах, в вакууме и газах …………………………………….. 3.4. Магнитное поле ………………………….. 3.5. Электромагнитная индукция ……………. 3.6. Магнитные свойства вещества ………….. 3.7. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля ………………… 4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ……………………. 4.1. Механические и электромагнитные колебания …………………………………. 4.2. Упругие волны …………………………… 4.3. Электромагнитные волны ……………….. 5. ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ …………………………………. 5.1. Элементы геометрической и электронной оптики …………………………………….. 5.2. Интерференция света ……………………. 5.3. Дифракция света …………………………. 5.4. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом ………………………………. 5.5. Поляризация света ……………………….. 5.6. Квантовая природа излучения …………... 6. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ …. 6.1. Теория атомов водорода по Бору ……….. 6.2. Элементы квантовой механики …………. 6.3. Элементы современной физики атомов и молекул …………………………………… 6.4. Элементы квантовой статистики ………... 6.5. Элементы физики твердого тела ………... 7. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА 7.1. Элементы физики атомного ядра ……….. ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………..

3 13 28 29 29 29 31 32 35 39 41 44 47 47 52 55 59 59 66 69 70 75 77 79 80 80 85 87 89 89 91 93 95 97 99 102 102 103 107 110 112 113 113 116