Инвестиционный анализ

ПРЕДИСЛОВИЕ Инвестиции − это вложения денежных средств в различные активы с целью получения прибыли, т. е. процесс создания нового капитала. Принято разделять инвестиции на реальные (иначе, имущественные или производственные) и финансовые (нематериальные). Реальные инвестиции осуществляют, например, предприниматели, создавая свои предприятия, фирмы, закупая те или иные средства производства. Реальные инвестиции связаны также с рынком недвижимости, инноваций, патентных прав. Финансовые инвестиции − это покупка физическими или юридическими лицами ценных бумаг различных эмитентов. В этом случае приток денег в бизнес происходит опосредованно, через инвестиции в ценные бумаги. Инвестиция – это любой инструмент, с помощью которого можно разместить средства, рассчитывая сохранить их и обеспечить доход. Более точно, инвестиции − это обмен определенной сегодняшней стоимости на возможно неопределенную будущую стоимость. В ходе инвестиционного процесса происходит перемещение средств от тех, кто имеет избыточные денежные ресурсы (инвестор), к тем, кто в них нуждается, что имеет большое значение для экономического роста. В инвестиционном процессе участвуют как институциональные, так и индивидуальные инвесторы. Вознаграждение за инвестиции может поступить либо в форме текущих доходов, либо в форме прироста капитала. Инвестор преследует определенные цели − цели инвестирования: • обеспечить рост вложений, рост рыночной (курсовой) стоимости бумаги, рост капитала. • обеспечить доходность вложений, т. е. обеспечить получение текущего дохода в виде дивиденда или процента. • обеспечить безопасность вложений, т. е. гарантировать отсутствие риска потери капитала (как вложенных средств, так и предстоящих доходов). Цели эти достаточно противоречивы: например, самые безопасные ценные бумаги (краткосрочные государственные обязательства) являются наименее доходными. Ценные бумаги, подверженные значительным ценовым колебаниям, являются и самыми ненадежными объектами инвестиций. Ликвидность ценной бумаги, т. е. быстрое для держателя ценной бумаги превращение ее в деньги, − одна из целей инвестиций. При покупке ценной бумаги инвестор должен отвечать на вопрос, достаточно ли ликвидна ценная бумага? 3

Таким образом, инвестор сначала должен определить цели инвестирования, а затем проанализировать доступные инвестиционные инструменты (проекты) и отобрать наиболее приемлемые, исходя из сформулированных целей (сформировать свой инвестиционный портфель). Инвестиционный проект − последовательность взаимосвязанных инвестиций, растянутых во времени, и доходов от них, тоже растянутых во времени. Инвестиционный анализ – это анализ показателей эффективности инвестиционных проектов и анализ надежности вложений в эти проекты. Экономическое образование предполагает овладение современными методами инвестиционного анализа, включающими описание инвестиционных инструментов и их математических моделей, моделей простейших финансовых операций, финансовых потоков, методов финансовой (актуарной) математики. Инвестиционный анализ сегодня − краеугольный камень подготовки экономистов, банковских работников. Учебное пособие содержит систематизированное изложение методов инвестиционного анализа, используемых на финансовом рынке, на рынке, где товаром являются наличные деньги, кредиты, ценные бумаги. Овладение методами инвестиционного анализа необходимо для проведения разнообразных расчетов, с которыми сталкиваются финансисты-аналитики, экономисты в банках, инвестиционных отделах производственных и коммерческих фирм. В первых двух главах при рассмотрении финансовых операций простейшего вида вводятся основные понятия финансового анализа: простейшая (элементарная) финансовая операция, относительный рост (интерес), дисконт, простая и сложная ставки процента, простая и сложная учетные ставки, номинальная ставка, комбинированная схема начисления процента, эффективная ставка, эквивалентные ставки, непрерывное начисление процентов и сила роста, доходность финансовой операции, наращенная сумма, дисконтирование и современная стоимость, замена платежей и т. д. Приведены примеры использования введенных понятий при расчетах платежей и при нахождении различных показателей финансовых операций. В третьей главе рассматриваются реальные инвестиции (инвестиционные проекты, кредитные и коммерческие контракты), в которых имеют дело с потоками платежей. На основе понятия современной стоимости капитала вводятся основные показатели эффективности инвестиционных проектов (NPV, IRR, рентабельность, окупаемость) и обсуждаются способы их вычислений. Для платежей, образующих постоянную ренту пост

4

нумерандо, проводится расчет наращенной суммы и современной стоимости ренты для разных вариантов платежей и начислений процентов. Результаты используются при решении задач, связанных с планированием погашения долгосрочной задолженности при анализе кредитных и коммерческих контрактов, аренды оборудования. В четвертой главе рассматриваются такие инвестиционные инструменты, как вложения в долговые и долевые ценные бумаги. В пятой главе рассматриваются вопросы страхования финансовых рисков. Основное внимание уделяется математическим моделям страхования, как краткосрочного, так и долгосрочного. Шестая глава содержит сжатое изложение портфельной теории лауреатов Нобелевской премии по экономике Марковица, Тобина, Шарпа. Здесь изложение максимально приближено к практике деятельности белорусских и российских банков. Так, модели управления активами и пассивами банка учитывают действующие обязательные нормативы. Учебное пособие содержит большое число примеров, что позволяет самостоятельно овладеть соответствующими навыками. В ряде случаев рассмотренные примеры имеют самостоятельное значение. Пособие рассчитано на студентов экономических и финансовоэкономических факультетов, а также магистров и представляет собой семестровый курс лекций, который авторы в течение ряда лет ведут в Белорусском государственном университете и Ставропольском государственном техническом университете. Часть материала может быть использована математиками, изучающими курс «Математические методы в экономике», а также будет полезна финансовым специалистам различного уровня.

Введение. ПРЕДМЕТ ИНВЕСТИЦИОННОГО АНАЛИЗА Инвестиции – вложение капитала с целью получения прибыли. Инвестиционный анализ является самостоятельной дисциплиной теории финансов. Практически все финансовые решения от простейших финансовых расчетов до отбора крупных финансовых проектов основываются на правилах, вытекающих из теории финансов. Современная теория финансов базируется на трех гипотезах и пяти действительно крупных теориях (моделях), предложенных в последние десятилетия. Во-первых, это гипотеза о совершенности рынков капитала (perfect capital markets), включающая отсутствие налогов, транспортных затрат, затрат на информационное обеспечение, наличие большого числа покупателей и продавцов, вследствие чего действия отдельных субъектов не влияют на цены. Во-вторых, это гипотеза об эффективности (информационной) рынков (efficient markets hypothesis, EMH), которая требует выполнения четырех условий: 1) информация становится доступной всем субъектам рынка одновременно и ее получение не связано с какими либо затруднениями; 2) отсутствуют трансакционные затраты, налоги и другие препятствующие совершению сделок факторы; 3) сделки, совершаемые отдельными физическими или юридическими лицами, не могут повлять на общий уровень цен; 4) все субъекты рынка действуют рационально, стремясь максимизировать ожидаему выгоду. Очевидно, что все эти четыре условия не соблюдаются ни на одном реальном рынке. Поэтому гипотеза EMH подразделяется на три уровня: слабая форма (weak form), умеренная форма (semistrong form) и сильная форма (strong form), отличающиеся степенью учета в текущих рыночных ценах информации. Сильная форма EMH предполагает, что в текущих рыночных ценах отражена вся информация: и общедоступная, и доступная лишь отдельным лицам, − т. е. сверхдоходы не могут получить даже посвященные менеджеры. Умеренная форма гипотезы EMH предполагает, что текущие рыночные цены отражают не только изменение в прошлом, но также и всю остальную общедоступную информацию. Из умеренной формы гипотезы EMH, в частности, вытекает, что аналитики, имеющие доступ лишь к общедоступной информации, не могут добиться результатов, существенно превышающих среднерыночные. Слабая форма гипотезы EMH подразумевает, что вся информация, содержащаяся в прошлых изменениях цен, полностью отражена в текущих

6

рыночных ценах. Если на фондовом рынке имеется слабая форма гипотезы EMH, то бессмысленно заниматься техническим анализом. В-третьих, это гипотеза компромисса между риском и доходностью. При умеренной форме эффективности рынка, когда в ценах отражена вся информация и, следовательно, стоимости ценных бумаг не содержат никаких искажений, альтернативы заключаются в том, что более высокие доходы сопряжены с более высоким риском. Эти три гипотезы, в той или иной мере имеющие отношение к совершенности рынков капитала и невозможности получения сверхдоходов, позволили построить ряд изящных теорий. Несмотря на жесткость исходных гипотез (предпосылок), данные теории при применении к реальным рынкам дают вполне удовлетворительные результаты, видимо и по той причине, что мы просто не умеем в логических построениях «смягчать» исходные предпосылки. Перейдем к перечислению основных теорий (моделей) инвестиционного анализа. Во-первых, теория дисконтированных денежных потоков (Discounted Cash Flow, ВСF), включающая модели и методы анализа: 1) расчета прогнозируемых денежных потоков; 2) оценки степени риска для денежных потоков; 3) включения оценки риска в анализ (метод безрискового эквивалента или метод скорректированной на риск ставки дисконта); 4) определения приведенной стоимости денежного потока с помощью техники расчета временной ценности денег. Во-вторых, теория структуры капитала (модели Модильяни и Миллера) о том, что стоимость любой фирмы определяется исключительно ее будущими доходами и, следовательно, не зависит от соотношения акционерного и заемного капитала. Точнее, Модильяни и Миллер доказали с помощью теории арбитражных операций, что способ привлечения средств в фирму на совершенных рынках капитала при нулевом налогообложении не влияет на ее будущую стоимость. Позднее теория Модильяни−Миллера модифицирована в теорию компромисса между экономией от снижения налоговых выплат и затрат от финансовых затруднений (tax saving-financial costs tradeoff theory) В-третьих, теория инвестиционного портфеля (модель Марковица−Тобина), а также теория оценки доходности финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, CAPM), разработанная Шарпом. В-четвертых, теория ценообразования опционов (модель Блэка−Шоулза − Black-Scholes Option Pricing Model, OPM). В-пятых, теория агентских отношений, позволившая формализовать конфликты интересов собственников капитала и менеджеров – лиц, которым предоставлено право принятия решений. 7

Глава 1 АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ 1.1. Исчисление процентов Практически все финансовые расчеты связаны с исчислением процентов. Введем понятия, необходимые в дальнейшем для проведения таких расчетов. q

Процент А от A0 ( q% , или q = % ): 100 q% =

A A 100, или q = . A0 A0

(1.1)

Очевидно, что q A = % A0 = qA0 , 100 A0 =

(1.2)

A A 100 = . q% q0

(1.3)

Это определение соответствует пропорции: A0 − 100 , A

− q%

⇒

A q% = . A0 100

i Процент изменения величины А ( i% , или i = % ): 100

i% =

A − A0 100 , A0

или

i =

A − A0 . A0

(1.4)

Отсюда находим A = A0 +

i% i   A0 = A0  1 + %  , 100 100  

или (1.5)

A = A0 + iA0 = A0 ( 1 + i ).

Формулы (1.5) позволяют вычислять конечное значение величины, если известны начальное значение A0 и процент ее изменения i. Если известны конечное значение A и процент ее изменения i, то начальное значение A0 будет даваться формулой A0 =

A A = 100. 1 + i 100 + i%

(1.6) 8

Далее в тексте, в условиях задач и примеров, мы будем отождествлять i = 0,45 и 45 %, но если в формуле написано i% , то надо подставлять 45 %, а если i, то 0,45. Пример 1.1. Если начальное значение A0 = 4 , конечное A = 5 , то величина A изменилась на 5−4 = 0 ,25 = 25% (увеличилась на 25 %). 4 Если начальное значение A0 = 5 , а конечное A = 5 , то величина А изi=

менилась на i=

4−5 = −0 ,2 = −20% (уменьшилась на 20 %). 5

Говорят еще: 5 больше 4 на 25 %, а 4 меньше 5 на 20 %. Заметим уже здесь, что в инвестиционном анализе, чтобы не иметь дело с отрицательными процентами в последнем случае вводят понятие относительной скидки d (см. параграф 2). Она составит d=

5−4 = 0 ,2 = 20% . 5

Пример 1.2. Зарплата Х при переводе с должности доцента на должность декана была увеличена на 50 %. На сколько процентов уменьшится зарплата Х, если он будет возвращен на прежнюю должность? Пусть A0 − зарплата доцента, i = 50% = 0 ,5 , тогда зарплата декана A = A0 ( 1 + i ) = 1,5 ⋅ A0 .

Уменьшение зарплаты при обратном переводе составит d=

1,5 A0 − A0 1 = ≈ 33 ,3%. 1,5 A0 3

Обозначим через ∆A = A − A0

(1.7)

изменение величины A в абсолютных единицах, тогда i ∆A = % A0 = iA0 . 100 Если A0 = 4 , i = 0 ,25 , то ∆A = 0 ,25 ⋅ 4 = 1. 9

(1.8)

Отметим, что в формуле (1.5) множитель 1 + i , стоящий в скобках, показывает, во сколько раз возросла величина A. Если величина A увеличилась в 1,4 раза, то она возросла на i = 1,4 − 1 = 0 ,4i% = 40% . Поэтапное изменение величины. Схема сложных процентов. Пусть величина A подвержена поэтапному изменению, когда внутри этапа она не меняется, а в конце каждого этапа скачком изменяется на одно и то же число процентов − i% . Если A0 − начальное значение величины A, то: в конце первого этапа значение A станет равным A1 = A0 (1 + i ),

в конце второго этапа A2 = A1 ⋅ (1 + i ) = A0 ⋅ (1 + i ) 2 ,

в конце третьего этапа A3 = A2 ⋅ (1 + i ) = A0 ⋅ (1 + i ) 3 ,

и т. д. В конце n-го этапа A примет значение n

i   An = A0 (1 + i ) = A0  1 + %  . 100   n

(1.9)

Формула (1.9) называется формулой сложных процентов , а рассуждения, приводящие к ней − схемой сложных процентов . Множитель (1 + i ) n в (1.9) показывает, во сколько раз возрастает величина A за n этапов, и называется множителем наращения по схеме сложных процентов q = (1 + i ) n =

An . A0

(1.10)

Процент изменения i за этап в финансовом анализе называют ставкой сложных процентов (см. параграф 2.1). Если известны A0 , An и n, то из (1.9) можно найти i, предполагая, что имеет место схема сложных процентов 1 1   A An n n  n i = ( ) − 1, или i% = ( ) − 1 100.   A0 A0  

(1.11)

Иногда конечное значение величины будем обозначать A (без индекса n).

10

Пример 1.3. Если A0 = 4 , i=50 %=0,5, то через четыре этапа значение A станет равным A = 4 ⋅ (1 + 0,5 )4 = 4 ⋅ 1,5 4 = 4 ⋅ 5,0625 = 20,25;

т. е. величина A возрастет в q = (1 + 0,5) 4 = 5,0625 раза. Обратно, если A0 =4, A=20,25, то при схеме сложных процентов и n=4, процент изменения величины за этап составит 1  20,25  4

i = 

4

 − 1 = 1,5 − 1 = 0,5 = 50%. 

Пусть i − процент изменения за этап при схеме сложных процентов. Обозначим через iT − процент изменения величины A через n этапов. Выразим iT через i и n. Для этого дважды запишем выражение для конечного значения A через A0 . A = A0 ⋅ (1 + i ) n и A = A0 ⋅ (1 + iT ).

Приравнивая правые части, находим iT = (1 + i ) n − 1,

или

(

)

iT % = ( 1 − i ) n − 1 ⋅ 100.

(1.12)

Пример 1.4. Финансовая компания «Русская недвижимость» в 1993 году по текущим вкладам использовала схему сложных процентов. При этом этапом были сутки, суточная ставка процента i=0,45 %=0,0045. Через месяц (31 день) сумма вклада возрастет на iT = (1 + 0,0045) 31 − 1 = 1,0045 31 − 1 ≈ 0,149 = 14,9% ,

через год на iT = 1,0045 365 − 1 ≈ 5,149 − 1 = 4,149 = 414,9% .

Сумма вклада за месяц возрастет в q = 1,0045 31 = 1,149 раз,

за год в q = 1,0045 365 ≈ 5,149 раз.

11

Пример 1.5. Под темпом инфляции понимают относительный прирост цен за период. Фраза «Инфляция идет в темпе 10 % в месяц» означает, что имеет место схема сложных процентов, этапом в которой является месяц, за каждый месяц цены увеличиваются на 10 %. За год цены возрастут на iT = (1 + 0,1) 12 − 1 = 1,112 − 1 ≈ 3,1384 − 1 = 2,1384 = 213,84%,

или в q = 1,112 = 3,1384 раза.

При темпе инфляции 3 % в месяц, за год цены возрастут на iT = 1,03 12 − 1 ≈ 1,4258 − 1 = 0,4258 − 1 = 42,58%,

или в q = 1,03 12 = 1,4258 раза.

При темпе 1 % в месяц iT = 1,0112 − 1 = 1,1268 − 1 = 0,1268 = 12,68%, q = 1,1268 .

При использовании схемы сложных процентов (1.9) и известных A0 , An и i часто приходится находить число этапов n. Это можно сделать, логарифмируя (1.9) по любому основанию, например, основанию натурального логарифма. Находим A  ln n  A A  ln q ln n  = n ⋅ ln(1 + i ) ⇒ n =  0  = . ln(1 + i ) ln(1 + i )  A0 

(1.13)

Весьма часто находят число этапов n(2), по истечению которых величина A удвоится, т. е. такое n при котором An = 2 A0 . Для этого случая имеем из (1.13) n( 2) =

ln 2 . ln(i + 1)

(1.14)

Если i 1 года, применяют и сложную учетную ставку, когда учет вклада за T лет производится несколько раз. При учете вклада один раз в году дисконтирование (учет) за T=n лет производится n раз, поэтому A0 = AT (1 - d)T

(3.1)

и d называется сложной учетной ставкой, а множитель VT = (1 - d)T

(3.2)

множителем дисконтирования. 58

Пример 2.9 Вексель на сумму 5 млн руб., срок платежа по которому наступает через 4 года, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 20 % годовых. Это означает, что вексель продан по цене A0 = 5(1 - 0,2) 4 = 2,048 млн руб.

Дисконт по операции составляет I T = 5 - 2,048 = 2,952 млн руб.

По схеме простых процентов и простой учетной ставке d=20 % годовых получаем

A0 =5(1-0,2×.4)=1 млн руб.; IT =5-1=4 млн руб. Видим, что для покупателя этого финансового инструмента более выгодна покупка по простой учетной ставке, чем по сложной. С учетом того, что показательная функция ( 1-d)T − убывающая функция (0 < (1 - d) < 1) , зависимость дисконтированной суммы от времени, при простой и сложной учетной ставке, будет такой, как показано на рис.2.2.

Рис. 2.2.

Если дисконтирование (учет вклада) происходит не один, а m раз в году, то по таким операциям устанавливается номинальная учетная ставка

f. При этом ставка учета за период учета будет f m . За T=n лет учет будет произведен mn раз, поэтому A0 = AT  1 + f  m 

mn

(3.3)

.

Можно, как и в случае номинальной ставки процента, ввести эффективную учетную ставку def − такую сложную учетную ставку, которая за время T дает тот же результат, что и (2.18). 59

m Так как, 1 - d ef =  1 - f m  ,то   m

d ef = 1 -  1 - f  . m 

(3.4)

Пример 2.10. Для финансового инструмента примера 2.9 определим продажную цену при поквартальном дисконтировании. Имеем f=d=20=0 ,2; m=4 , f m =0,05; T=n=5. A = 5 ⋅ (1 - 0,05) 4⋅4 = 5 ⋅ 0,95 16 = 2,200633 млн руб. Дисконт, с которым куплен этот вексель, A = 5 ⋅ (1 - 0,05) 4⋅4 = 5 ⋅ 0,95 16 = 2,200633 млн руб. Эффективная учетная ставка составит d ef = 1 − ( 1 − 0 ,05 ) 4 = 0 ,185 = 18 ,5 %.

При задании по сделке сложной учетной ставки или номинальной учетной ставки наращение суммы дается формулами AT =

A0 (1 - d )

T

;

AT =

A0 . f mn (1 ) m

(3.5)

2.4. Эффективная ставка процентов Финансовые сделки различаются по длительности и по схемам расчета платежей: простые и сложные процентные ставки, простые и сложные учетные ставки, номинальные процентные и учетные ставки и т. д. Чтобы иметь возможность сравнивать эффективность сделок, осуществленных по разным схемам, вводят понятие эффективной ставки процента − это годовая ставка сложных процентов, дающая тоже соотношение между начальным капиталом А0 и конечным АТ, что и принятая схема. Если известны платежи по простой операции и срок сделки, то из (2.2) или (2.3) находим выражение для определения эффективной ставки A ief =  T  A0

  

1T

(4.1)

- 1.

Кроме того, что эффективная ставка − инструмент наращения капитала по сложным процентам, она служит мерой доходности сделки и имеет название доходности сделки по схеме сложных процентов. 60

Пример 2.11. Для примера 2.1 при ставке простых процентов i=40 % годовых, A2 =100 тыс. руб. было получено: а) T=0,5 года, АТ =120 тыс. руб.  120  ief =    100 

1 0 ,5

- 1 = 1,2 2 - 1 = 0,44 = 44 %;

б) T=1,5 года, AT = 160 тыс.руб.  160  i ef =    100 

1 1,5

- 1 = (1,6 )2 3 - 1 ≈ 0,368 = 36,8 %.

Из расчета видно, что при T1 года ситуация обратная: эффективная ставка для данных платежей меньше, чем ставка простых процентов для этих платежей. Для примера 2.9: T=4 года, A0 =2,048, AT =5. Для вычисления ief знание А0 и АТ не обязательно, если известна схема начислений и ее характеристики. 1. Схема простых процентов, i − ставка простых процентов ief = (1 + iT)1 T - 1.

(4.2)

Для примера 2.11 получаем i ef

= ( 1 + 0 ,4

⋅ 0 ,5 )

1 0 ,5

- 1 = 0 ,44 = 44 %, или

i ef = ( 1 + 0 ,4 ⋅ 1,5 )1 1,5 - 1 = 0 ,368 = 36 ,8 %.

Это означает, что для T=0,5 года доходность этой операции по схеме простых процентов будет 40 % годовых или 44 % годовых по схеме сложных процентов. Для T=1,5 года доходность сделки − 40 % годовых по простым процентам и 36,8 % годовых по сложным процентам. 2. Схема простых процентов, d − простая учетная ставка 1 i ef = ( 1 - dT ) T - 1 = -

1 ( 1 - dT )

1T

- 1.

Для примера 1.17:

d=12 %

1 1 120 1 = 0,12 , T= = года; год год 160 3

ief =( 1-0 ,12

1 -3 ) -1=( 0 ,96 ) -3 -1=0 ,13=13 %. 3 61

(4.3)

Найденная в 1.17 ставка простых процентов составила i=12,5 %. 3. Схема сложных процентов, j − номинальная ставка процента, m − число начислений в году. Эффективная ставка процента дается формулой (2.3) ief = (1 + j

m

) m - 1.

См. пример (2.8). 4. Схема сложных процентов, d − сложная учетная ставка d ief = . 1- d

(4.4)

Действительно: A0 = AT ( 1 - d )T и AT = A0 (1 + ief )T .

Получаем, 1 + ief =

1 . 1- d

Отсюда следует 2.24. Если d=20 %=0,2, то ief =0,25=25 %. 5. Схема сложных процентов, f − номинальная учетная ставка, учет происходит m раз в году. ief = (1 -

f -m ) -1. m

(4.5)

Заметим, что при m=1, f=d формула (4.5) переходит в (4.4). Для остальных случаев, формулы для ief можно получить по принятой схеме. 2.5. Непрерывное начисление процентов При капитализации вклада несколько раз в году принято, как указывалось, по операции задавать номинальную ставку процента j. Если начисления делаются m раз в году, то наращенная за T лет сумма дается формулой (2.1), которую запишем так: Am (T) = A0 (1 +

j mT ) . m

Можно себе представить, что число начислений в году неограничено возрастает, а период начислений неограничено уменьшается (m → ∞ ,

1 → 0 ). В этом случае мы приходим к непрерывному начислеm 62

нию процентов. Этот случай представляет интерес для теоретического анализа финансовых проблем, например, при анализе долгосрочных инвестиционных проектов и моделей долгосрочного страхования жизни. В практике финансового рынка вариант непрерывного начисления процентов встречается редко. Если m неограниченно растет, то наращенную за время Т сумму найдем, переходя к пределу A(T) = lim Am (T) = A0 lim (1+ m →∞

m→∞

j mT ) . m

Переобозначим номинальную ставку, т. е. введем δ = j, а полагая m = xδ , воспользуемся известным из анализа вторым замечательным пределом x

1  lim  1 +  = e , x x →∞ 

где е=2,718... − основание натурального логарифма, находим A(T) = A0 e δ T

δ% = A0 e 100

⋅T

(5.1)

.

Формула (5.1) дает закон, по которому происходит наращение при непрерывном начислении процентов. Постоянную δ называют силой роста. Найдем ее смысл. Заметим, что dA 1 dA d( ln A) =д ⋅ A ⇒ д = = , dT dT A dT

(5.2)

т. е. сила роста δ − отношение скорости роста капитала

dA к текущему dT

значению капитала А, или скорость изменения натурального логарифма капитала. Т. к. [ δ ] =

1 1  , то   = год . Обозначим год δ 

1 ф= д

(5.3)

и возьмем в (5.1) время T равным τ , т. е. положим T= τ = A = A0 e = 2,718A0 ≈ 2,72A0 .

1

δ

, тогда (5.4)

63

Таким образом, сила роста δ имеет следующий смысл: обратная величина

1

есть время, по истечении которого капитал при непрерывδ ном начислении процентов увеличивается в е=2,72 раза. Например,

при силе роста д=20 %

1 1 = 0,2 1 год за время ф= = 5 лет капитал год 0,2

возрастет в е=2,72 раза. Найдем формулу для времени T(2), по прошествии которого капитал при непрерывном начислении процентов возрастает в 2 раза. В формуле (5.1) полагаем A(T)=2A0, и, логарифмируя, находим T( 2 )=

ln 2 0 ,69 70 = ≈ . д д д%

(5.5)

Формула (5.5) справедлива для произвольных (не обязательно малых) δ и есть обобщение «правила семидесяти» (гл. 1 формула (1.15)) на случай непрерывного начисления процентов. При δ =10 % 1год капитал удвоится через время равное T(2) ≈

70 10

=7 лет. Этот расчет делает-

ся для быстрой оценки времени T(2). За время T проценты, начисленные на капитал, составят δT - 1 .

(5.6)

iT = e

Эффективная ставка сложных процентов ief и сила роста, как легко убедиться, сравнивая формулы (5.1) и (1.2), связаны формулами ief = e δ - 1, δ = ln(1 + ief ).

(5.7)

Заметим, что при малых δ , когда δ 1 i'>j, при Кj. 2.8. Замена платежей при сложных процентах Как и в случае простых процентов в параграфе 1.9, в основу замены платежей при использовании схемы сложных процентов положен принцип финансовой эквивалентности платежей: новая схема платежей финансово эквивалентна старой, если после приведения платежей к одной дате приведенные платежи оказались равными. Уравнение, которое записано на основе этого принципа, называют уравнением эквивалентности. Консолидация платежей. Если платежи S1,S1,...Sn со сроком Va1, Va2,..Van (старая схема) заменяются одним S0 сроком Va0 (новая схема) при использовании сложной ставки процента, то величина консолидированного платежа S0 находится по формуле K

n

r=1

r=k+1

-T T S 0= ∑ S r ( 1+i) r + ∑ S r ( 1+i) r .

(8.1)

Эта формула записана для случая VaK 1

p > m>1

(7.25) < S ( p; m ) < S ( p ; m ) < S ( p; ∞ ). p = m >1

m > p >1

Например, S(4;2) > S(2,4) при равенстве прочих условий. 102

3.8. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо Годовая рента. Долг в размере A руб. выплачивается в рассрочку в течение n лет платежами одинаковой величины R в конце года − постоянная годовая рента постнумерандо. На долг начисляются проценты по сложной ставке i % годовых. Необходимо для такой ренты установить связь между A, R, i, n. При графическом изображении эта связь определяется требованием: размер долга A − это современная стоимость всех членов ренты (всех платежей в счет выплаты долга).

Имеем A=

n R R R R 1 + + + ... + =R ∑ K 1 + i ( 1 + i) 2 ( 1 + i) 3 ( 1 + i) n K =1 ( 1 + i)

.

(8.1)

Величина

1 − ( 1 + i ) −n = a n;i = ∑ K i K =1 ( 1 + i ) n

1

(8.2)

называется коэффициентом приведения годовой ренты и имеет смысл PV постоянной ренты с n единичными платежами в конце каждого интервала и сложной ставкой i % за интервал (в нашем случае − год). Итак, A = R ⋅ a n;i = R

1 − ( 1 + i ) −n . i

(8.3)

Формула (8.3) дает современную стоимость годовой постоянной ренты постнумерандо. Размер годового платежа при заданных A, n, i: R=

A an;i

(8.4)

.

Если известны A, R, i, то срок ренты T=n легко найти из (8.3) A   ln 1 − ⋅ i  R   T =n= ln( 1 + i )

−1

=

− ln( 1 − A / R ⋅ i ) . ln( 1 + i )

(8.5)

Сформулированную в начале параграфа ситуацию можно рассматривать как инвестиционный проект с разовой инвестицией A руб. и доходами R руб. в виде постоянной годовой ренты постнумерандо. Тогда срок 103

ренты T, даваемый формулой (8.5), − это срок окупаемости проекта при заданной ставке сравнения i. Пример 3.16. Какую сумму надо положить в банк, чтобы иметь возможность в течение 10 лет выплачивать ежегодную (в конце года) сумму 20 тыс. долл., если на вклад начисляются проценты по сложной ставке 8 % годовых? Искомая сумма − это современная стоимость годовой ренты постнумерандо с R=20 тыс. долл., n=10 лет, i=8 % в год =0,08 в год, определенная формулой (8.3). 1 − ( 1 + 0 ,08 ) −10 A = 20 ⋅ = 134 ,202 тыс. долл. 0 ,08

При i=12 % годовых эта сумма составит

1 − ( 1 + 0 ,12 )−10 A = 20 ⋅ = 113,005 тыс. долл. 0 ,12

Пример 3.17. На долг 10 млн руб. начисляются проценты по ставке 19 % годовых. Платежи в счет выплаты долга годовые, погашаются в конце года, в размере 3 млн руб. В течение каждого времени будет выплачен долг? 10   ⋅ 0 ,19  ln 1 − 3   T= ln( 1 + 0 ,19 )

−1

= 6 лет.

При известных R, A, n вычисление ставки i − это нахождение внутренней нормы доходности этой операции, рассматриваемой как инвестиционный проект. Уравнение (8.3) не разрешимо относительно i. Для численного вычисления i с помощью калькулятора организуем процесс итерации. Для этого перепишем (8.3) в виде i=

[

]

R 1 − ( 1 + i ) − n .. A

(8.6)

Если i0 − ненулевое приближение, то

[ [

] ]

R 1 − ( 1 + i0 ) − n , A R i 2 = 1 − ( 1 + i1 ) −n , A

i1 =

................................. iK +1 =

[

(8.7)

]

R 1 − ( 1 +i K )− n . . A 104

Пример 3.18. Найти ставку i для постоянной годовой ренты постнумерандо, если: R=1 млн руб., A=2,990612 млн руб., n=5 лет. Берем в качестве нулевого приближения i0=10 %=0,1. По формулам (8.7) находим: i1=0,1268, i2= 0,1503, i3=0,1684,...,i12=0,2000, i13= 0,2000. Таким образом, с заданной точностью i=0,20=20 % годовых. Годовая рента с начислением m раз в году. Платежи один раз в конце года, проценты начисляются m раз в год, по операции задается номинальная ставка j. Номинальной ставке j при начислении m раз в году соответствует эквивалентная ставка сложных процентов i (эффективная ставка), определяемая формулой 2.3 гл. 2. В формуле 8.3 сделаем замену i → ( 1 + j / m ) m − 1.

Получим: A=R

1 − ( 1 + j / m ) − mn (1 + j / m )

m

= R ⋅ a mn; j m ,

−1

(8.8)

где a mn; j m =

1 − ( 1 + j / m ) −mn ( 1 + j / m )m − 1

(8.9)

.

Рента p-срочная,начисление по ставке сложных процентов i. Платежи делаются p раз в году равными суммами R/p, где R − величина годового платежа. Поступаем так же, как при выводе формулы (7.13), получим A= R

1 − ( 1 + i ) −n

[

]

p ( 1 + i )1 / p − 1

( p)

= R ⋅ a n;i

(8.10)

,

где ( p) a n;i =

1 − ( 1 + i ) −n

p[( 1 + i )1 / p − 1]

(8.11)

.

Эти формулы позволяют вычислять современную стоимость (8.10) или коэффициент приведения (8.11) p-срочной ренты постнумерандо.

105

Пример 3.19. В 1995 г. в Бхоноле (Индия) на химическом заводе компании «Юнион карбайд» произошла крупная авария. Эта американская компания в качестве компенсации предложила выплатить пострадавшим 200 млн долл. в течение 35 лет. Предложение было отклонено. Найдем современную стоимость этих выплат. Ежегодная выплата составляет 200/35=5,714 млн долл. Предположим, выплаты происходят ежемесячно, постнумерандо. Имеем: n=35 лет, R=5,714 млн долл., p=12. Возьмем для примера i=10 % годовых, тогда A = 5 ,714

1 − 1,1 −35 1 / 12

12( 1,1

− 1)

= 57 ,59 млн долл.

Это означает, что сумма 57,59 млн долл., положенная в банк над 10 % годовых, обеспечит в течение 35 лет указанные выплаты. Пример 3.20. Кредит 2 тыс. долл. выдан на 2 года под 9 % годовых с условием ежемесячной выплаты долга одинаковыми платежами. Найти сумму месячного платежа заемщика. Из (8.10) находим величину месячного платежа с учетом, что P=12.

[

]

R A ( 1 + i )1 / p − 1 2( 1,09 1 / 12 − 1 ) = = = 91 долл. −n −2 p 1 − (1 + i ) 1 − 1,09

За два года будет выплачено 2184 долл.: 2 тыс. в счет выплаты основного долга и 184 долл. − процентные начисления. Рента p-срочная с начислением m раз в году. Платежи размером R/p выплачиваются p раз в году. На платежи m раз в году начисляются проценты. Задана номинальная ставка j. Современная стоимость таких платежей равна A=R

( p)

1 − ( 1 + j / m ) − mn p [( 1 + j / m )

a mn; j / m =

m/ p

− 1)

( p)

= R ⋅ a mn; j / m ,

1 − ( 1 + j / m ) − mn p [( 1 + j / m )

m/ p

− 1)

(8.13)

.

1 − ( 1 + j / m ) − mn Если p=m, то A = R j 106

(8.12)

.

(8.14)

Рента с непрерывным начислением процентов. Используем для годовой ренты при непрерывном начислении процентов прием, который был применен при выводе формулы (7.22). Если d − сила роста, то из (8.3) получаем A=R

1 − e − nδ

где an;δ =

= R ⋅ a n;δ ,

eδ − 1

(8.15)

1 − exp( −nδ ) . exp( δ ) − 1

(8.16)

Для годовой ренты с начислением m раз в году при известных R, A, j, m срок ренты n найдем из (8.8)

[

]

A  ln  ( 1 + j / m ) m − 1  R  n= m ln( 1 + j / m )

−1

(8.17)

.

Для p-срочной ренты из (8.10) получим

[

]

A   ln 1 − p ( 1 + i )1 / p − 1  R   n= ln( 1 + i )

−1

(8.18)

.

Для ренты с непрерывным начислением процентов из (8.15) имеем n=

A   − ln 1 − p( e δ − 1 ) R  

δ

(8.19)

.

Другие виды постоянных рент и переменные ренты мы здесь рассматривать не будем. Соответствующие формулы можно найти в [1] (см. также параграф3.13). 3.9. Погашение долгосрочной задолженности Любой вид долгосрочного долга будем называть займом или долгом. Условия погашения долга предусматривают: срок займа, наличие льготного периода и его продолжительность, уровень и вид процентной ставки, методы выплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа; значительно реже они начисляются и присоединяются к сумме основного долга. Основная сумма долга иногда возвращается одним платежом, чаще она выплачивается частями, в рассрочку. Все особенности облигационного займа будут рассмотрены в следующей главе. 107

Периодические платежи должника называются расходами по обслуживанию долга (расходами по займу) или срочными выплатами, и они включают в себя как сумму в счет погашения основного долга, так и текущие процентные платежи. Для кредитора этот поток платежей есть доходы по этой кредитной операции. В льготном периоде, который часто предусматривается условиями займа, основной долг не погашается, но выплачиваются проценты (иногда они присоединяются к сумме основного долга). Погашение долга разовым платежом. Планирование погасительного фонда. Если по условиям займа должник должен вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то очень часто в условиях контракта предусматривается создание должником погасительного фонда, как гарантии погашения долга. Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника на специальный счет в банке, на которые начисляются проценты. Пусть D − сумма долга и на долг начисляются проценты по ставке g % годовых, которые выплачиваются в размере gD ежегодно. Пусть R − годовой платеж должника в счет создания погасительного фонда. Эти платежи делаются в конце года в течение n лет и на них начисляются проценты по сложной ставке i % годовых (годовая постоянная рента постнумерандо). Сумма этих взносов вместе с начисленными на платежи процентами должна быть равна сумме долга D. Пусть Y − срочная выплата, т. е. годовая выплата должника по обслуживанию долга. Она состоит из платежа R в погасительный фонд и процентных выплат по долгу gD, т. е.

Y = gD+ R.

(9.1)

Оба слагаемых в правой части постоянны во времени. Так как платежи R образуют годовую постоянную ренту постнумерандо и за n лет должна быть накоплена сумма D, то согласно (7.3) ( 1 + i )n − 1 D R= , где S n;i = , S n;i i

поэтому Y = gD +

D S n;i

(9.2)

.

Повторим, что эта формула дает срочные выплаты должника для варианта, когда проценты начисляются на сумму долга, не прибавляются к долгу, а выплачиваются. 108

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме долга, то при ставке сложных процентов g % годовых через n лет сумма долга станет D(1+g)n, поэтому срочная выплата будет равна Y=

D( 1 + g ) n . S n:i

(9.3)

Напомним, что на долг D начисляются проценты по ставке g, а на платежи в погасительный фонд по ставке i. Рассматриваемый способ погашения долга − создание погасительного фонда − будет выгодно заемщику, если i>g, и тем выгоднее, чем больше разность g−i. Если i=g, то преимущества создания фонда пропадают. Пример 3.21. Кредит в сумме 200 млн руб. выдан на 5 лет под 20 % годовых при условии ежегодных процентных выплат по займу и разового платежа через 5 лет. Для погашения долга создается погасительный фонд и на инвестируемые в нем средства начисляются проценты по сложной ставке − 22 % годовых. Найти размер срочных выплат, если платежи в погасительный фонд − постоянная годовая рента постнумерандо сроком на 5 лет. Имеем D=200, g=0,2, n=5, i=0,22. Находим S5;22=7,73958256, поэтому Y = 0 ,2 ⋅ 200 +

200 = 65 ,84118 млн руб. 7 ,739583

Если по условию контракта предусматривается присоединение процентов на долг к сумме долга, то согласно (9.3) получим 200( 1 + 0 ,2 ) 5 Y= = 64 ,301142 млн руб. 7 ,739583

Изменим несколько условие задачи. Пусть средства в фонд вносятся, только последние четыре года сумма взносов будет несколько больше R=

200 = 36 ,204 млн. руб. S 4 ;22

Срочные выплаты составят: Y1 = gD = 40 млн руб.,

Y2 = Y3 = Y4 = Y5 = 76 ,204 млн руб.

Мы рассматриваем случай, когда платежи R образуют годовую ренту постнумерандо. При других вариантах будут другие формулы для коэффициента наращения ренты (см. параграф 3.7 этой главы). 109

Пример 3.22. Пусть D=200 млн руб., n=5 лет, проценты кредитору выплачиваются ежегодно. Взносы в фонд делаются ежемесячно, на них начисляются проценты по сложной ставке 22 % годовых. Годовая сумма взносов составит для такой p-срочной ренты с p=12. R=

D ) S5( 12 ;22

=

200 = 23 ,552 млн руб. 8 ,49199

Погашение долга в рассрочку. При значительных размерах задолженности долг часто погашается частями, в рассрочку. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Используется в основном два варианта погашения долга частями: • погашение основного долга равными сумами (равными долями); • погашение всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга (срочными выплатами). Рассмотрим 1-й способ: погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В счет выплаты основного долга ежегодно выплачивается d=D/n рублей. Размер долга последовательно уменьшается: D, D−d, D−2d, и т. д. Проценты, начисленные на долг, точнее на остаток долга, также уменьшаются и в случае выплат процентов в конце года они составят: gD, g(D−d), g(D−2d)... Это будет арифметическая прогрессия с первым членом gD и разностью g−d. Срочные выплаты составят: в конце первого года Y1=D0g+d в конце второго года Y2=(D0−d)g+d=D1g+d ...........................................................……….. в конце года t Yt=Dt−1g+d, t=1,2,......n.

(9.4)

Для симметрии формул обозначим D0=D, D1=D0−d, D2=D1−d и т. д., так что Dt − остаток долга на конец года t после выплаты суммы d за этот год. Так как  Dt = D0 − td = D0  1 −  n−t Dt = Dt −1 . n−t +1

t n−t   = D0  n  n 

и Dt −1 = D0

n−t +1 , то n

(9.5)

Эта рекуррентная формула позволяет последовательно вычислять остаток долга на конец года t. Напомним, что формулы (9.4) и (9.5) получены для случая, когда сумма выплачивается ежегодно в конце года, проценты начисляются и выплачиваются в конце года. Пусть взносы в счет 110

D погашения основного долга делаются p раз в году в размере d = 0 , тaк np

что за n лет выплаты происходят np раз, а начисление и выплаты процентов происходит в эти же периоды (с такой же частотой) по ставке g/p. В этом случае срочные выплаты Yt за период с номером t (в конце этого периода) будут находиться по формуле Yt = Dt −1

g D0 + . p np

(9.6)

Здесь Dt − остаток задолженности на конец периода с номером t. Нетрудно получить рекуррентную формулу, связывающую Dt и Dt−1. Так как Dt = D0 − td = D0 − t

D0  np − t  t  , то ) = D0  = D0 ( 1 − np np  np 

 np − t  . Dt = Dt −1  np t 1 − +  

(9.7)

Согласно этому методу погашения долга в рассрочку, срочные выплаты ((9.4) или (9.7)) в начале срока погашения выше, чем в конце этого срока, что часто является нежелательным для заемщика. Пример 3.23. Долг в сумме 10 млн руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет годовыми платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 10 % годовых. Составим план погашения задолженности. Годовой платеж в счет погашения основного долга n=5, d=10/5=2 млн руб. Так как D=D0=10 млн руб., то процентные платежи по годам будут 0,1⋅ 10 = 1 млн руб.; 0,1⋅ (10−2) = 0,8 млн руб.; 0,1⋅ (8−2) = 0,6 млн руб.; 0,1⋅ (6−2) = 0,4 млн руб.; 0,1⋅ (4−2) = 0,2 млн руб. Год 1 2 3 4 5

Остаток долга Остаток долга на начало года, на конец года, тыс. руб. тыс. руб. 10000 8000 8000 6000 6000 4000 4000 2000 2000 0

Расходы по займу, тыс. руб. 3000 2800 2600 2400 2200

111

Погашения Процентные платежи, долга, тыс. руб. тыс. руб. 2000 1000 2000 800 2000 600 2000 400 2000 200

Если по условиям займа предусмотрен льготный период длительностью L лет, то в случае, если начисленные проценты за этот период не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга, то в конце льготного периода (на начало срока погашения) сумма долга станет равной D0(1+g)L. Таким образом, в этом случае расчетные формулы остаются теми же, надо только сделать замену D0 → D0 ( 1 + g ) L . Рассмотрим теперь 2-й способ: погашение долга равными срочными выплатами. В этом случае расходы должника по обслуживанию долга (срочные выплаты) постоянны на протяжении всего срока его погашения; при этом платежи по погашению долга растут по годам, а процентные начисления − уменьшаются. Пусть задан срок n погашения ренты и ставка сложных процентов g, начисляемая на долг. Срочные выплаты Y пусть образуют годовую ренту постнумерандо, тогда согласно (8.4) этой главы Y=

D0 D0 g = a n;g 1 − ( 1 + g) − n

(9.8)

,

где a n;g − коэффициент приведения годовой ренты постнумерандо сроком n при ставке g (формула 8.2). Платежи в счет выплаты основного долга образуют геометрическую прогрессию: (9.9) d1 = Y − D0 g , d 2 = d1( 1 + g ), d3 = d1( 1 + g )2 ,... d K = d1( 1 + g )K −1 . Сумма этих платежей, т. е. сумма задолженности погашенной за t лет, составит t −1

S t = ∑ d 1 ( 1 + g ) K = d 1 S t ;g ,

(9.10)

K =0

где S t ;g дается формулой (7.2). В справедливости (9.9) легко убедиться. Выражение для d1 следует из определения d1 и Y. Для Y можно записать: Y = d 1 + D0 g Y = d 2 + ( D0 − d 1 )g Y = d 3 + ( D0 − d 1 − d 2 )g

(9.11)

..................................................

Y = d t + ( D0 − d 1 − d 2 − ... − d t −1 )g .

Поэтому d t +1 = d t ( 1 + g ), t=1,2.....(n-1 ),

(9.12)

откуда следует справедливость (9.9). 112

Пример 3.24. В условиях примера 3.23: D0=10 млн руб., n=5 лет, g=10 в год найдем сумму срочных выплат в случае погашения долга равными срочными выплатами, выделив из нее суммы на погашение основного долга и процентные платежи. Вычисляем Y и d1: 10 ⋅ 0 ,1

= 2 ,637975 млн руб. = 2637 ,975 тыс. руб. 1 − ( 1 + 0 ,1 ) −5 d 1 = 2637 ,975 − 10000 ⋅ 0 ,1 = 1637 ,975 тыс. руб. Остаток долга на начало второго года D1 = 10000 − 1637 ,975 = 8362 ,025. Y=

Продолжив эти вычисления, составим план погашения долга Год 1 2 3 4 5

Остаток долга на начало года, тыс. руб. 10000,000 8362,025 6560,252 4578,302 2398,157

Расходы по Проценты, Погашение долга, займу, тыс. руб. тыс. руб. тыс. руб. 2367,975 1000,000 1637,975 2367,975 836,202 1801,773 2367,975 656,025 1981,950 2367,975 457,830 2180,145 2367,975 239,816 2398,159

Сумма всех чисел последней колонки, как и сумма (9.10) при t=5, дает сумму долга D=10000 тыс. руб. Сравнивая примеры 3.23 и 3.24, можно отметить, что при втором способе выплаты долга платежи заемщика в начале срока меньше, чем при первом способе: по первому способу платежи за 1-й и 2-й годы составят соответственно 3000 и 2800, тогда как при втором способе ежегодные платежи составляют 2637,975. Вторая схема более выгодна для заемщика, чем первая. Если нужно найти сумму погашенного долга, например, на конец 3-го года, то, имея план погашения долга, надо сложить числа последней колонки S3=1637,975+1801,773+1981,950=5421,697 тыс. руб. В отсутствие этого плана для получения ответа воспользуемся формулой (9.10) S3=1637,975.S3;10=1637,975.3,31=5421,697 тыс. руб., что практически совпадает с найденным заключением. Можно аналогичным образом произвести расчеты и построить план погашения долга и для других видов срочных платежей и начислений процентов. Пусть теперь заданы расходы по обслуживанию долга (срочные выплаты) YK, требуется определить срок погашения долга. Для постоянной годовой ренты постнумерандо, используя 8.5, находим D   − ln 1 − 0 ⋅ g  Y   . n= ln( 1 + i )

(9.13) 113

Пример 3.25. Долг 10 млн руб. выдан под 10 % годовых. Условие погашения: ежегодные выплаты постнумерандо по 2500 тыс. руб. Определить срок погашения задолженности. Проценты на долг начисляются по схеме сложных процентов. Имеем: D0=10000 тыс. руб., Y=2500 тыс. руб., i=10 %=0,1. 10000   − ln 1 − ⋅ 0 ,1  2500  − ln0 ,6  n= = = 5 ,3596 года. ln( 1 + 0 ,1 ) ln1,1

Этот ответ означает, что 5 раз сумма 2500 тыс. рублей вносится в конце года в течение первых пяти лет и эта же сумма вносится через 4 месяца 11 дней на шестом году срока ренты. Если округлить срок ренты до 5 лет, то выплачиваемая ежегодно сумма будет больше и составит Y=

10000 = 2637 ,925 тыс. руб., как это и должно быть (пример 3.23). d 5;10

3.10. Льготные займы и кредиты В ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются по тем или иным причинам на льготных для заемщика условиях. Это обычно низкая (относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с большим сроком займа и льготным периодом, что дает заемщику существенную выгоду. Кредитор в этих условиях несет определенные потери, так как он мог бы инвестировать капитал на более выгодных условиях. Основная цель этого параграфа − дать методику оценки потерь кредитора, представляющего льготные займы. Основное понятие, вводимое для оценки потерь − грант-элемент (или грант-дисконт). Грант-элемент − это условная потеря кредитора, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем ставка кредитного рынка. Грант-элемент как мера потери кредитора определяется в двух видах: абсолютный грант-элемент Г и относительный грант-элемент g. Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа D и современной стоимости платежей A по погашению займов: Г = D – A.

(10.1)

Проблема сводится к выбору надлежащей ставки процента (ставки сравнения) i для определения современной стоимости A платежей. 114

Относительный грант-элемент g. γ =

д A = 1− . D D

(10.2)

Очевидно, что д = γ ⋅ D.

(10.3)

Для случая, когда долг и проценты по нему выплачиваются в виде постоянных срочных выплат для грант-элементов, можно получить рабочие формулы. Пусть заем выдан на n лет под g % годовых. На рынке долгосрочных кредитов займы выдаются по ставке i % годовых. Срочные выплаты − постоянная годовая выплата постнумерандо. Срочная выплата равна Y=

D a n;g

.

(10.4)

Современная величина этих срочных выплат при ставке сравнения i будет равна A = Y ⋅ a n;i . (10.5) Коэффициент приведения в (10.4) и (10.5) дается для этого вида ренты формулой (8.2). Согласно (10.1) и (10.2) имеем  a n;i  . д = D − Y ⋅ a n;i = D 1 −  a n;g  

(10.6)

Для льготных займов g 0. 0 ,3

Вывод: i0< i1 . Полагаем, i2=0,25, левая часть при этом равна 0,192>0. Вывод: 0,2it (B)>it (ББ) 147

Инвестор, желающий вложить капитал в облигации, сделает это, если доходность вложений в облигацию не меньше, чем в альтернативный проект той же надежности, в частности, не меньше доходности депозитного вклада. Для купонной облигации под доходностью будем понимать текущую доходность, определяемую формулой (3.5). Доходность депозитного вклада − банковская ставка процента iб . Равенство этих доходностей дает g g (%) ⋅ 100 = iб (%). ⋅ 100=iб , или K K

(3.7)

Отсюда K=

g g (%) ⋅ 100 или, K = ⋅ 100. iб iб (%)

(3.8)

Таким образом, курс облигации обратно пропорционален банковской ставке iб. Если она возрастает, курс облигаций будет падать, а если уменьшается − возрастать. Увеличение ставки процента по депозитным вкладам увеличивает доходность этого канала вложений, он становится более привлекательным для инвестора, чем облигации. На уменьшение спроса на облигации рынок отреагирует уменьшением цены. Пример 4.6. Облигация номиналом 10000 руб. и купонной ставкой 5 % приобретена за год до погашения по курсу 95,46. Облигация гасится по номиналу. Оценить банковскую ставку процента в момент покупки. Банковская ставка процента должна быть равна доходности облигаций. Годовой доход по этой облигации складывается из купонного платежа и разности выкупной и покупной цен. Доходность облигации будет iобл=

g ⋅ N+(N-P) g(%)+( 100 − K ) У ⋅ 100= ⋅ 100= ⋅ 100. p P K

Так как iобл=iб , то iб =

g(%)+( 100-K) 5+4 ,54 ⋅ 100= ⋅ 100=10 %. 95 ,46 K

148

Пример 4.7. АО выпускает облигации с купонной ставкой 8,5 % и размещает их на первичном рынке по номиналу. Двумя годами ранее АО выпустило облигации с купонной ставкой 8 %. Какова текущая стоимость этих облигаций? Курс ранее выпущенной облигации с купоном 8 % установится такой, что доходности вложений в эти облигации будут одинаковы. В этом случае инвестору все равно, какие облигации покупать. Обозначим g 1=8 % , K 1=? , g 2=8 ,5 % , P2= N, (K 2=100 ).

Доходность вновь выпускаемых облигаций равна купонной ставке i2= g2. g Доходность i1 ранее выпущенных облигаций будет i1 = 1 ⋅ 100. K1

Равенство i1= i2 дает g1 ⋅ 100=g 2 ⇒ K1 K 1=

g K 1= 1 ⋅ 100 ; g2

8 ⋅ 100=94 ,1. 8 ,5

Если учитывать налоги, выплачиваемые с доходов, то говорят о доходности с учетом налогообложения (см. главу 2). Пример 4.8. Государственная облигация имеет купонную ставку 20 %. Какова должна быть купонная ставка по облигации АО того же номинала, чтобы с учетом налога на прибыль корпоративная облигация приносила доход в 2 раза больше дохода по государственной облигации? Пусть g1 − купонная ставка гособлигации, а g2 − облигации АО, N − номинал облигаций. Доход (купонный) по государственным облигациям налогом не облагается; доход по облигациям АО облагается по ставке q =15 %=0,15. По условию задачи имеем 2 g 1 N=g 2 N( 1-q) ⇒ g 2= g 2=

2g1 ; 1-q

2 ⋅ 0 ,2 =0 ,47=47 %. 0 ,85

Если облигации размещаются по номиналу, то текущая доходность этих облигаций будет 20 % и 47 %, соответственно. 149

4.4. Полная доходность облигаций Полная (total yield) или конечная доходность облигаций (говорят еще ставка помещения): а) учитывает доходы, приносимые облигацией за весь срок ее обращения; б) определяет эффективность вложений в облигацию в виде ставки i сложных процентов. Покупка облигаций − это инвестиционный проект с разовой затратой Р (цена облигации) и доходами по ней в виде купонных платежей и финальной выплаты. Цена облигации Р на рынке − это современная стоимость всех будущих доходов Y по ней; таким образом, рыночная цена Р облигации и полная доходность i облигации связаны требованием (см. гл. 3) NPV=0 или P = PV ( Y ).

(4.1)

Рассмотрим основной вид облигации − облигации с периодическими купонными выплатами и погашением в конце срока по номиналу F=N. Пусть g − купонная ставка, n − срок обращения облигации, Y=gN − годовой платеж, причем годовые платежи образуют постоянную годовую ренту, i − полная доходность (IRR) вложений в облигацию, тогда цена облигации Р, купленной в день купонного платежа, дается формулой n Y Y Y N 1 N P= + + ⋅⋅⋅ + + =gN ∑ + , K n 1+i ( 1+i) 2 ( 1+i) n ( 1+i) n ( 1 +i) ( 1 +i) K =1

(4.2)

или P = g ⋅ N ⋅ a n;i +

N (1 + i )

n

(4.3)

,

1 - (1 + i ) -n где a n;i = − коэффициенты приведения этой ренты. i С учетом выражения для a n;i можно записать P=

gN (1 - (1 + i ) -n ) + N (1 + i ) -n . i

(4.4)

Деля на N перейдем к курсу облигации К

[

]

K = ga n;i + (1 + i ) -n ⋅ 100 ,

(4.5)

g   K = V n + (1 - V n ) ⋅ 100. i  

(4.6)

или

Здесь V n = (1 + i ) -n . 150

Полученные формулы рассматриваемого вида облигаций связывают цену Р (или курс К) облигации за n лет до ее погашения и ставку сложных процентов i, которая есть ставка помещения или полная доходность облигации. Задавая ставку i можно вычислять (прогнозировать) цену (курс) облигации в любой день купонного платежа за n лет до погашения. Если задать курс (цену) облигации, то эти формулы позволяют найти ставку помещения i (IRR проекта). Пример 4.9. Купонная ставка корпоративной облигации − 10 % годовых, купонные платежи − в конце года, погашение по номиналу. Определить курс облигации за 5 лет до погашения, если ставка помещения i составляет: а) 12 %; б) 10 %; в) 8 % годовых. 



10

а) K= 1,12 -5 + ( 1-1,12 -5 ) ⋅ 100=92 ,79; 12   

10



б) K= 1,1-5 + ( 1-1,1-5 ) ⋅ 100=100; 10   

10



в) K= 1,08+ ( 1+1,08 -5 ) ⋅ 100=107 ,98. 8   Из формул (4.5) и (4.6) следует, что курс облигации К растет линейно с ростом купонной ставки g при фиксированных n и i. При фиксированных n и g курс облигации уменьшается с ростом ставки i. Для двух значений срока обращения n эта зависимость показана на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Из рисунка видно, что: • если iN или К>100 (курс c премией); • если i=g, то Р=N или К=100 (курс по номиналу); • если i>g, то P i > i S . Пример 4.11. Сравнить доходность двух облигаций. Облигация А: купонная ставка − 10 % годовых, срок обращения 10 лет, приобретена по курсу 113,4. Облигация В: купонная ставка − 5 % годовых, срок обращения 5 лет, приобретена по курсу 81. Купонные выплаты по облигациям − один раз в конце года, погашаются по номиналу. Облигация А: g=10 %, n=Т=10, К=113,4; it =

10+( 100-113,4 )/ 10 10 ⋅ 100=8 ,8 %, i=8 % , i S = =7 ,6 %. 113,4 113,4 154

Облигация В: g=5 %, n=5, K=81; it =

5+( 100 -81 )/ 5 5 ⋅ 100=6 ,2 % , i=10 % , i S = ⋅ 100=10 ,9 %. 81 81

Ставка помещения i (ставка сложных процентов) находится как решение уравнения (4.8) или (4.6). Результаты расчетов удобно свести в таблицу Доходность

Купонная доходность

Текущая доходность

Полная ставка

Полная простая ставка

10 5

8,8 6,2

8 10

7,6 10,9

Облигации А В

Бескупонные облигации. Как указывалось выше, в параграфе 4.3, доход по такой облигации владелец получает в конце срока обращения в виде дисконта, т. е. разности между номиналом и ценой приобретения. Доходность такой облигации в виде простой ставки процента (процентной ставки помещения) дается формулой (3.6а) i E(%)=i S (%)=

d t (%) 1 100 -K 1 ⋅ ⋅ 100= ⋅ ⋅ 100 . K T 100-d t (%) T

Курс такой облигации всегда меньше 100. Доходность такой бескупонной облигации (размещаемой с дисконтом) в виде ставки помещения (ставки сложных процентов) определяется формулой P=N⋅

1

(1 + i )

n

, K = (1 + i ) -n 100.

(4.14)

Отсюда находим -1

 K  n i=  - 1.  100 

(4.15)

Пример 4.12. Облигация со сроком обращения 5 лет размещается с дисконтом 55 %. Доходность облигации составит: а) доходность в виде простой ставки помещения i S iS =

55 1 ⋅ ⋅ 100=24 ,4 %; 45 5

б) доходность в виде сложной ставки процента -1  45  5 i= -1 = 0 ,45 -0 ,2 -1=0 ,173=17 ,3 %.   100  i < i S , так как К < 100 %. 155

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. По такой облигации проценты по сложной ставкой g начисляются за весь срок по схеме сложных процентов и выплачиваются одной суммой вместе с номиналом. Наращенная за n лет сумма составит N ( g + 1)n . Пусть i − доходность такой облигации в виде ставки сложных процентов. Она находится из условия NPV=0 или равенства современной стоимости дохода по ней (наращенной суммы), цене облигации Р. Таким образом, n

N ( g + 1) n

1+ g  P= , K =  ⋅ 100.  1+i  (1 + i ) n

(4.16)

Отсюда находим 1  K  n

i = (1 + g ) ⋅    100 

−

(4.17)

- 1.

Пример 4.13. Облигация сроком на три года, которая приносит 10 % годовых (от номинала), приобретена по курсу: а) 80; б)120. Номинал и проценты выплачиваются в конце срока обращения единым платежом. Доходность этих облигаций в виде ставки помещения (ставки сложных процентов) составит: а) i=1,1 ⋅ 0 ,8

−1

3 -1=0 ,185=18 ,5%;

б) i=1,1 ⋅ 1,2

−1

3 -1=0 ,656=6 ,56 %.

Доходность облигаций с учетом налогообложения. Рассмотрим вычисление доходности i' купонной облигации с погашением по номиналу с учетом налогообложения доходов от владения облигацией и от операций с ней. Пусть q1 − ставка налога на прирост капитала, q2 − ставка налога на купонные доходы, тогда (N−P)q1 − налог на прирост капитала, gNq2 − налог на купонный доход, N−(N−P)q1 − финальная выплата, очищенная от налога, qN(1−q2) − купонный платеж, очищенный от налога. Рыночная цена Р облигации равна современной стоимости доходов по ней с учетом выплачиваемых налогов. Вместо (4.3) запишем: P=

N-(N-P)q1 ( 1+i')

n

(4.18)

+gN( 1-q 2 )a n;i' .

Здесь i' − ставка помещения с учетом налогообложения доходов. Переходя от цены облигации Р к ее курсу К, получим: K=

( 1-q1 )( 1+i' ) -n+g( 1-q 2 )a n;i' 1-q1 ⋅ ( 1+i' )

-n

⋅ 100 . 156

(4.19)

Доходность i' есть решение этого уравнения с неизвестной величиной i' и заданными q1, q2, n, g, K. Пример 4.14. Для купонной облигации: g=5 % 1/год, n=5, K=81. Определить ставку помещения с учетом налогообложения при q1=35 %=0,35 и q2=15 %=0,15. Искомую доходность i' находим как корень уравнения (4.19), которое с учетом данных задачи запишем в виде: 81=

0 ,65( 1+i' )-5+0 ,05 ⋅ 0 ,85 ⋅ ( 1-( 1+i' )-5 )/i 1-0 ,35( 1+i' )-5

.

Отсюда находим i'=7,9 % (i=10 %). Доходность вечных облигаций. Интересной разновидностью облигаций являются облигации, выплаты по которым производятся в течение неограниченно долгого времени. Их называют консолями или пожизненной рентой. Предположим, консоль должна ежегодно и бессрочно приносить y долларов. Тогда текущая стоимость этой консоли  y y y y 1  y+ + + ...+ = + + ....  1 + i ( 1 + i )2 1 + i  1 + i ( 1 + i )2  y 1 Откуда PV = ( y + PV ), или PV = . Итак, текущая стоимость 1+i i PV =

консоли, обещающей бесконечно долго приносить y долларов, должна равняться y/i (сравни с (13.6)). 4.5. Сертификаты Особый класс долговых обязательств образуют депозитные и сберегательные сертификаты. Сертификат − письменное свидетельство эмитента о вкладе на его имя денежных средств, удостоверяющее право держателя бумаги или его правопреемника на получение по истечении установленного срока суммы депозита или вклада и процентов по нему. Эмитентом сертификата может быть только банк. Вкладчик средств или его правопреемник именуется бенефициаром. Депозитный сертификат − обязательство банка по выплате размещенных у него сберегательных вкладов. Бенефициаром депозитного сертификата могут выступать только юридические лица. Форма расчетов в покупке−продаже депозитных сертификатов, а также выплатам по ним − только безналичная. 157

Сертификат − срочная ценная бумага, выпускаемая на срок от 30 дней до года (3, 6, 9, 12 месяцев). Срок обращения сберегательных сертификатов может превышать год и ограничивается тремя годами. Краткосрочность, реализуемость, высокий уровень доходности делает сертификат в условиях инфляции весьма привлекательным для инвестора. Вкладчиками по сберегательному сертификату являются физические лица. Денежные средства по сберегательному сертификату вносятся наличными. Срочные сертификаты бывают отзывными и безотзывными. Если держатель ценной бумаги требует возврата денежных средств ранее установленного срока, ему выплачивается пониженный процент, уровень которого определяется на договорной основе при взносе депозита или вклада. Сертификат обеспечивает владельцу доходность на уровне объявленной процентной ставки в том случае, когда сертификат находится у владельца полный срок. Размещается он, как правило, по номиналу, проценты начисляются по простой, реже по сложной ставке процента. Пример 4.15. Депозитный сертификат номиналом 100 тыс. руб. размещен на 6 месяцев под 50 % годовых. Доходность в виде ставки простых процентов, объявленная ставка 50 % годовых. Без учета налогообложения и комиссии доход, приносимый сертификатом, I T =100 ⋅ 0 ,5 ⋅

6 =25 тыс. руб.; 12

т. е. в конце срока бенефициар получит сумму AT =100+25=125 тыс. руб.

Пример 4.16. Что более выгодно для АО: положить 10 млн руб. на депозитный вклад сроком на 3 месяца под 50 % годовых или купить депозитный сертификат с доходом 40 % годовых и сроком обращения 3 месяца? Чистая прибыль по депозитному вкладу при ставке налога на доход q=35 %=0,35 составит: IT =10 ⋅ 0 ,5 ⋅

3 ⋅ ( 1-0 ,35 )=812 ,5 тыс. руб. 12

Депозитный сертификат − ценная бумага и его доход облагается налогом по ставке q=15 %=0,15. Поэтому чистый доход по сертификату составит IT =10 ⋅ 0 ,4 ⋅

3 ⋅ ( 1-0 ,15 )=850 тыс. руб. 12 158

Рассмотрим депозитный сертификат, приносящий проценты по простой ставке процента и который продается через некоторое время после покупки до наступления срока погашения. Пусть P1 − цена покупки сертификата, t1 − срок (в днях) до погашения, P2 − цена продажи сертификата за t2 дней до погашения, К − временная база, которую при вычислении доходности обычно полагают 365 дней. t -t Периодичность операции T = 1 2 . Доходность этой операции в виде K

ставки простых процентов i или ставки сложных процентов ief − это доходность простейшей операции с платежами P1 и P2: P -P 1 P -P K i= 2 1 ⋅ = 2 1 ⋅ , P1 T P1 t2-t2

(5.1)

K

 P  t -t ief =  2  1 2 - 1.  P1 

(5.2)

Обсудим, чем определяется цена сертификата P1 и P2. Следует учесть, что при погашении сертификата владельцу выплачивается доход по фиксированному проценту, устанавливаемому при его эмиссии. Пусть N − номинал сертификата, iC − объявленая при эмиссии простая ставка процента по нему, T =

t − срок обращения сертификата. При поK

гашении бенефициар получит сумму N (1 + iC T ) = N (1 + iC

t ). K

(5.3)

При продаже сертификата на вторичном рынке за t1 дней до погашения, расчет цены его P1 производится по текущей рыночной ставке процента i1, которая может не совпадать с объявленной ранее ставкой iC. Цена сертификата за t1 дней до погашения − это дисконтированное по ставке i1 величина суммы (5.3) на этот момент, т. е. P1 =

N (1 + iC ⋅ T ) . t1 1 + i1 ⋅ K

(5.4)

Аналогично, за t2 дней до погашения при ставке процента на этот момент i2: P2 =

N (1 + iC ⋅ T ) . t2 1 + i2 ⋅ K

(5.5)

159

Таким образом, принцип, по которому определяется цена Р, следующий: инвестор, покупающий сертификат, должен по нему получить доход, равный доходу по другому финансовому инструменту той же срочности, которая осталась до погашения приобретаемого сертификата. Для доходности операции купли−продажи, подставляя (5.4) и (5.5) в (5.1) и (5.2), получим  K + i1t1  K  1 + i1t1/K  K i= ; - 1 =  - 1  ⋅ + / + 1 i t K t t K i t  t1 - t2  1 2   22 22

(5.6)

K  K + i1t 1  t1 -t2  ief =  - 1. K + i t  2 2

(5.7)

Пример 4.17. Шестимесячный депозитный сертификат номиналом 100 тыс. руб. и ставкой 30 % годовых продан через 2 месяца при рыночной ставке процента: а) 20 % годовых, б) 30 % годовых, в) 40 % годовых. Цена сертификата на этот момент составит: а) P1=

б) P1=

в) P1=

100( 1+0 ,3 ⋅ 1+0 ,2 ⋅

1 3

100( 1+0 ,3 ⋅ 1+0 ,3 ⋅

1 3

100( 1+0 ,3 ⋅ 1+0 ,4 ⋅

1 3

1 ) 2 =107 ,813 тыс. руб.; 1 ) 2 =104 ,545 тыс. руб.; 1 ) 2 =101,471 тыс. руб.;

Пусть теперь еще через 2 месяца сертификат продан его владельцем при рыночной ставке 30 % годовых. Цена его на этот момент равна 100( 1+0 ,3 ⋅ P2=

1+0 ,3 ⋅

1 6

1 ) 2 =109 ,524 тыс. руб.

Доходность операции купли−продажи составит: а) P1=107,813 тыс. руб., P1=109,524 тыс. руб., t1-t2=2 мес., t1=4 мес., t2=2 мес., K=12 мес., i1=20 %, i2=30 %. 160

Согласно (5.1) и (5.2) находим 109 ,524 -107 ,813 12 ⋅ =9 ,5 %; i= 107 ,813 2

 109 ,524  ief =   107 ,813 

12

2

-1=9 ,9 %.

По формулам (5.6) и (5.7) имеем  1+0 ,2 ⋅ 1  12 3 i=  -1 =9 ,5 %;  1+0 ,3 ⋅ 1  2 6  

 1+0 ,2 ⋅ 1  3 ief =  1+0 ,3 ⋅ 1  6 

12

2

-1=9 ,9 %.

Аналогично находим б) i = 28,6% , ief = 32,4% , в) i=47 ,6% , ief =58 ,1% . Если сертификат размещается по номиналу за t1 дней до погашения, а продается владельцем за t2 дней до погашения, то доходность этой операции определяется формулами (5.6) и (5.7), где i1 − объявленная ставка процента по сертификату, а P1=N. Пусть сертификат перекупается по цене P1 за t1 дней до погашения при рыночной ставке процента на этот момент i1, а погасится в конце срока t, ic − объявленная ставка процента (при эмиссии) по сертификату. Из равенства N( 1+iC ⋅

t t )=P1( 1+i ⋅ 1 ) K K

(5.8)

находим доходность i этой операции в виде ставки простых процентов t   ⋅ N( 1 +i )  C  K -1 ⋅ K . i=   P 1   t1  

(5.9)

Доходность операции в виде ставки сложных процентов определяется формулой K

t  t1  ⋅ ( + ) N 1 i C  K ief =  - 1.  P 1    

(5.10)

161

Пример 4.18. Номинал сертификата − 500 тыс. руб., объявленная ставка − 50 % годовых, срок обращения 6 месяцев, куплен через 2 месяца за 550 тыс. руб. и погашен. При погашении владельцем будет получена сумма 1 500(1 + 0,5 ⋅ ) = 675 тыс. руб. 2

Доходность этой операции для владельца составит  675  i= - 1 ⋅ 3 = 0,682 = 68,2 %, или  550  3

 675  ief =   - 1 = 84,5 %.  550 

4.6 Классификация акций Акция − долевая ценная бумага, выпускаемая акционерным обществом и удостоверяющая право собственности на долю в уставном капитале АО. Эмиссия акций осуществляется при: • учреждении АО и размещении акций среди его учредителей; • приватизации государственных и муниципальных предприятий через акционирование и последующий выкуп акций у фонда государственного имущества; • увеличение размеров уставного капитала АО. Акции свидетельствуют о вкладе их держателей − акционеров − в уставный капитал АО. Акционеры являются коллективными собственниками имущества общества, что обеспечивает им получение прибыли от деятельности АО. Помещая деньги в акции, инвестор приобретает следующие права: • владеть частью распределяемой прибыли АО, т. е. дивидендом; • участвовать в управлении АО; • получить часть стоимости активов общества при его ликвидации. Отличительная особенность акций состоит в том, что они не имеют установленного срока обращения; их владельцы получают дивиденды до тех пор, пока акционерное общество успешно функционирует. Акции различаются по эмитенту, объему реализации прав акционера, способу обращения движения ценных бумаг (рис. 4.4). Эмитентом акций могут выступать структуры, создаваемые как акционерные общества. С точки зрения реализации прав акционеров, акции делятся на обыкновенные (простые) и привилегированные. 162

Рис.4.4. Классификация акций

Простая акция дает один голос при решении вопросов на собрании акционеров и участвует в распределении чистой прибыли после пополнения резервов и выплаты процентов по облигациям и дивидендов по привилегированным акциям. Размер дивиденда на одну обыкновенную акцию определяется общим собранием акционеров. Если положение АО неустойчиво или потребности развития требуют привлечения крупных средств, дивиденд по обыкновенным акциям может не выплачиваться. Привилегированная акция право голоса не дает, если иное не предусмотрено в уставе АО. В отличие от обыкновенных акций при выпуске привилегированных акций устанавливается фиксированный уровень дивиденда в виде фиксированного уровня процента (фиксированная ставка дивиденда) от номинальной стоимости акции. «Привилегированность» заключается в том, что выплата дивидендов по этим акциям осуществляется до распределения дивидендов на обычные акции. По способу отражения движения акции делятся на именные и на предъявителя. В РФ акции − именные ценные бумаги. В целом мировая практика акционерного дела высказывается против акций на предъявителя: трудно управлять фирмой, не контролируя процесс движения капитала и концентрации бумаг в руках отдельных инвесторов; необходимо эти ак163

ции снабжать купонами, что удорожает их выпуск; бумаги на предъявителя привлекательны для мошенников. Наличие нескольких этапов в жизни акции обусловливает многообразие цен на нее. Hоминальная стоимость. Уставный капитал АО в момент учреждения должен состоять из оговоренного числа акций, кратных десяти, с одинаковой стоимостью N, которая не может быть меньше 10 руб. Определяется она делением величины уставного капитала (УК) на количество выпускаемых акций Z, таким образом, N=

УK . Z

(6.1)

Цена приобретения. Цена Р, по которой акция приобретается инвестором, называется ценой приобретения. Если акция приобретается у эмитента при первичном размещении, то цена называется эмиссионной, если на вторичном рынке − рыночной. Эмиссионная цена может совпадать с номинальной или отличаться от нее в любую сторону.

Рис.4.5. Диаграмма цен на акцию

Рыночная цена акции в расчете на 100 денежных единиц номинала называется курсом K=

P ⋅ 100. N

(6.2)

Пример 4.19. УК инвестиционного фонда − 100 млн руб. и распределен среди 1 млн простых акций. Номинал акции 100 руб. Если рыночная ее цена − 180 руб., то курс акции K=

180 ⋅ 100 = 180. 100 164

На фондовой бирже и на внебиржевом рынке акции реализуются по рыночной цене, определяемой соотношением спроса и предложения. При большом спросе рыночная (курсовая) цена может равняться цене предложения, но обычно она ниже ее. В течение рабочего дня биржи цена продажи определенной акции может меняться. Цена, по которой совершается первая сделка, называется ценой открытия, последняя − закрытия. В течение дня устанавливается высшая и низшая цена на акцию. Биржевой индекс отражает среднюю цену по группе акций и исчисляется на определенную дату. Для отображения динамики цен на фондовом рынке рассчитывается индекс динамики цен. Пусть Р − рыночная цена бумаги на определенную дату, P0 − рыночная цена этой бумаги на предыдущую дату. Индекс рыночной цены этой бумаги ip определяется формулой iP =

P P , или iP (%) = ⋅ 100. P0 P0

Пример 4.20. В сентябре рыночная цена акции составила 86,25 долл., в апреле − 87,5 долл. Индекс динамики рыночной цены акции будет iP =

87 ,5 = 1,0145 , или 101,45 %. 86 ,25

За месяц с сентября по октябрь рыночная цена акции возросла в 1,0145 раза, или увеличилась на ( 1,0145-1 ) ⋅ 100=101,45-100=1,45 %.

Если в сентябре цена составила 87,5 долл., а в октябре − 86,25, то индекс динамики цен этой акции составит i P=

86 ,25 =0 ,9857=98 ,57 %. 87 ,5

За месяц цена возросла в 0,9857 раза, или увеличилась на ( 0 ,9857 -1 ) ⋅ 100=98 ,57 -100=-1,43 % ,

т. е. уменьшилась на 1,43 %. Если необходимо найти динамику цен по группе бумаг, то оперируют со средними ценами, т. е. с биржевыми индексами. В этом случае говорят об индексе динамики биржевого индекса и находят его по формуле iP =

P P , или iP (%) = ⋅ 100. P0 P0 165

Так, для примера 4.20: P0 = 134 , P=138, 138 i = =1,0299=102 ,99 %. P 134

За год биржевой индекс вырос на 2,99 %. Биржевой индекс. При огромном количестве ценных бумаг, обращающихся на рынке, невозможно отследить закономерности изменения цен по каждой бумаге. Принято отслеживать изменение цен не по каждой бумаге, а определенному их набору. Показатель, дающий среднюю цену акций по определенной совокупности компаний, называется биржевым индексом. Индексом является средняя для ряда величина. Для фондового индекса величинами являются относительные изменения цен ценных бумаг компаний-участниц, для которых подсчитывается этот индекс. Рассмотрим различные методы вычисления инднкса усреднения, т. е. методы относительных изменений цен акций. Большинство инвестиционных индексов подсчитывается как средневзвешенная арифметическая сумма стоимости отдельных отобранных акций (конституентов):

∑ wi Pi ,t Pi ,o

I( t ) = I( 0 ) i

∑ wi

,

i

где I(t) – биржевой индекс в момент времени t; Pi,t – стоимость ценной бумаги i в момент времени t; Pi,0 − стоимость ценной бумаги i в момент времени 0 (базовый момент времени от которого отсчитываются показатели для вычисления индекса); wi – вес ценной бумаги i; I(0) − константа, относящаяся к начальной величине индекса на базовый момент времени 0. Для фондовых индексов обычно в качестве веса используется капитализация ценных бумаг в момент времени 0. Но, так как изменения капитала для ценных бумаг происходят во времени, например, количество акций в выпуске, введенные или изъятые ценные бумаги, вес, основанный на капитализации в момент времени 0, становится устаревшим и непрезентативным. Для преодоления этого недостатка вес каждый раз должен корректироваться при изменении количества акций в выпуске, что достигается применением «после166

довательной смычки» индексов по новому капиталу с предыдущим индексом. Тогда формула для инвестиционного индекса принимает вид:

∑ N i ,t Pi ,t

I( t ) = i

Bt

,

где Ni,t – количество акций, выпущенных компанией в момент времени t; Bt – базовая величина в момент времени t. Эта формула теперь является стандартом для подсчета фондовых индексов. Геометрические индексы. Геометрические индексы имеют базовой формулой среднегеометрическое относительных ценовых изменений акций: 1 Pi ,t  n 

 I ( t ) = I ( 0 ) ⋅  ∏  , P  i i ,0 

где I(0) – величина индекса на базовый момент времени 0, иногда она равна 100. Невзвешенный геометрический индекс легко подсчитывается, так как для этого требуются только данные по ценам. Он представляет индикацию краткосрочных ценовых движений, но обычно не подходит в качестве базовой отметки для инвестиционной стратегии или формирования инвестиционного портфеля. Например, если стоимость одной акции падает до нуля, также себя поведет и индекс. Следовательно, необходимо будет изменять отдельные конституенты, чтобы этого избежать. Теоретически представляется возможным построить средне-взвешенное геометрическое. На практике, однако, это представляется довольно тяжеловесным и никогда не используется при подсчетах инвестиционных индексов. На практике чаще всего применяется невзвешенный арифметический индекс: Z

∑ Pi ,t

I ( t )= i=1 Z

,

где Pi − рыночная цена акции i-го наименования (компании) в момент времени t; Z − число наименований акций, отобранных в группу; P − средняя (по группе) рыночная цена или биржевой индекс; Число Z (devisor) может быть числом не целым. Это связано с дроблением акций, ликвидацией одних компаний и образованием других. 167

Пример 4.21. Данные о рыночной цене и количестве акций трех компаний в 1992 и 1993 гг. приведены в таблице. Из таблицы следует, что в 1993 г. произошло деление акций 1-й компании в отношении 1:2 (было 2 млн акций, стало 4 млн), при этом рыночная цена новой акции стала 110 долл., вместо 210 долл. № компании 1 2 3

Рыночная цена, дол. 1992 г. 1993 г. 210 110 102 102 90 92

Количество акций, млн шт. 1992 г. 1993 г. 2 4 10 10 15 15

210 + 102 + 90 = 134 долл. 3 110 + 102 + 92 Средняя цена акций в 1993 г. составит = 101,33 долл. 3

Средняя цена акций в 1992 г. составит P =

Эту величину трудно сравнивать с курсом акций этих компаний за предыдущий год, так как расчет не учитывает деления акций первой компании. В 1993 г. произошло деление акций 1-й компании в отношение 1:2. Средняя цена акций в 1992 г. составит P = Средняя цена акций в 1993 г. составит

210 + 102 + 90 = 134 долл. 3

110 + 102 + 92 = 101,33 долл. 3

Эту величину трудно сравнивать с курсом акций этих компаний за предыдущий год, так как расчет не учитывает деления акций 1-й компании. Новый биржевой индекс акций этих компаний должен быть найден с учетом дробления в пропорции 1:2, поэтому для расчета биржевого индекса этих акций в 1993 г. нужно в качестве веса цены акции 1-й компании взять коэффициент 2, получаем P=

2 ⋅ 110 + 102 + 92 = 138 долл. 3

Чтобы при очередном расчете индекса не производить «взвешивание» цены акции компании 1, введем коэффициент Z (делитель): P=

110 + 102 + 92 = 138 ⇒ Z = 2,203. Z

Это значение Z будет использоваться для расчета биржевого индекса P +P +P этих акций по формуле P = 1 2 3 до следующего дробления акций Z

какой-либо компании. 168

Великобритания. Индекс Financial Times для обыкновенных акций (часто передается аббревиатурой FT) составляется по 30 основным британским компаниям в сфере производства товаров и услуг, чьи акции выносятся на широкую продажу. Он является невзвешенным геометрическим индексом, последовательно вычисляемым на протяжении биржевого дня. В одноразовом использовании применяется для прослеживания колебаний рынка обыкновенных акций, так как он быстро реагирует на рыночные изменения. Его основное использование заключается в историческом фиксировании состояния рынка с тех пор, как он был основан в 1935 году, хотя полезными являются также и геометрические лимиты его построения. В настоящее время он заменен индексом FT-SE 100. Актуарные ряды индексов FT-SE в Financial Times являются всеобъемлющими рядами индексов, которые освещают весь рынок обыкновенных акций от самых мелких до крупных компаний. Все индексы подсчитываются на базе средневзвешенного арифметического с текущей рыночной капитализацией в качестве веса. В дополнение к капитальному и валовому индексам доходности подаются индексы среднего нетто-покрытия по дивиденду, валового дохода по дивиденду, соотношения рыночной цены акции к чистой прибыли компании из расчета на одну акцию и поправка «без дивиденда» для каждого из индексов в серии. Покрытие по дивиденду и валовый доход по дивиденду соответственно основаны на полученной в прошлый год прибыли и показателях по заявленным дивидендам с учетом прогнозирования будущего дохода и будущих дивидендов. Самый первый индекс в серии, известный под названием индекса Футси (FT-SE 100), состоит из котировки рыночной капитализации 100 крупнейших компаний, что насчитывает около 70 % общей капитализации рынка обыкновенных акций. Компании могут быть заменены раз в квартал в соответствии с предопределенными правилами. Начало индексу было положено в 1984 году с базовой стоимостью в 1000. Индекс капитальной стоимости подсчитывается на базе реального времени, что происходит последовательно на протяжении одного дня (ежеминутно), и является основным показателем краткосрочных колебаний рынка обыкновенных акций. Этот индекс также является базой производных индексов для обыкновенных акций. Этот индекс также является базой производных индексов для обыкновенных акций. Средний индекс на основе 250 компаний (FT-SE 250) начали считать в 1992 году методом капитализации. Он охватывает 250 компаний, стоящих ниже 100 крупнейших компаний. Компании заменяются каждый квартал. Он подсчитывается в реальном времени и является базой производных индексов для обыкновенных акций. 169

Индекс на основе 350 компаний (FT-SE 350) начали считать в 1992 году как комбинацию индексов из 100 и 250 компаний, которые в совокупности составляют около 90 % рынка. Подсчитываются субиндексы, которые базируются на официальной классификации котирующихся компаний, а также для обыкновенных акций с высокой и низкой прибыльностью. Индекс Смол-Кэп подсчитывается с учетом всех компаний ниже 350, чьи акции находятся в активном обороте и имеют рыночную капитализацию свыше 40 000 000 фунтов стерлингов. Количество компаний не фиксировано, как в случае вышеописанных индексов (процедура перекрестной смычки позволяет варьироваться количеству компаний конституентов). В настоящий момент в этот индекс входит около 500 компаний. Он подсчитывается на момент закрытия биржевого дня. Всеобщий актуарный акционерный индекс FT-SE. Самый первый серийный индекс, который начали подсчитывать с 1962 года. Он состоит из индекса на основе 350 компаний и индекса Смол-Кэп, поэтому количество компаний для его расчета варьируется. Он охватывает около 98 % общей рыночной капитализации. Рассчитывается на момент закрытия биржевого дня. Субиндексы рассчитываются для экономических групп и секторов. Фледжинг-индекс подсчитывается для остатка котирующихся компаний, которые слишком малы, чтобы учитываться индексом Смол-Кэп, при условии, что хотя бы одна фирма выходит на рынок акций, и акции находятся в обороте хотя бы на протяжении 50 дней за последние 6 месяцев. Актуарные индексы с фиксированным процентом подсчитываются на непрерывной основе с 1977 года. И индексы цен, и индексы доходности ежедневно публикуются в Financial Times. Индексы относятся к традиционным и индексируемым облигациям государственного займа. В индексы цен включаются 8 категорий индексов: • традиционные облигации – доходности 5 лет; 5−15 лет; более 15 лет; бессрочные; все категории традиционных облигаций; • индексируемые облигации − доходности 5 лет; более 5 лет; все категории индексируемых облигаций. Индекс, подсчитываемый для всех категорий, полностью включает все охваченные облигации. Для каждой категории информация включает величину индекса, накопленный процент и поправку «без дивиденда» для календарного года на текущую дату. Последнее представляет собой сумму валовой прибыли, которая возникает из индекса для календарного года на текущую дату. Величины индексов подсчитываются с использованием «грязной» цены, т. е. включая накопленный процент. Включение накопленного 170

процента и поправки «без дивиденда» позволяют подсчитать прибыль по индексу на брутто- и нетто-налоговой основе, которая составит: I 2 − I 1 + ( 1 − T )( XD2 − XD1 ) − T ( ACC 2 − ACC1 ) , I1

где I1, XD1, ACC1 − соответственно величины индекса «без дивиденда» на определенную дату и накопленного процента на начало периода. Аналогично, I2, XD2, ACC2 − показатели на конец периода, а Т – коэффициент налогообложения. Так как на начало каждого календарного года поправка «без дивиденда» сводится к 0, подсчет XD2 -XD1 в формуле следует проводить отдельными элементами, если период подсчета захватывает конец года. Разбиение периода на подинтервалы можно также предпринимать для учета реинвестирования процентов. Ценовые индексы вычисляются как взвешенные арифметические индексы, где весом выступает рыночная капитализация ценных бумаг при использовании «грязной» цены. Индексы могут последовательно смыкаться для принятия во внимание новых выпусков, погашений и движений ценных бумаг между категориями. В индексы доходности включаются такие категории: • традиционные облигации – купон с низким процентом (для 5-, 15-, 20-летних); купон со средним процентом (для 5-, 15-, 20-летних); купон с высоким процентом (5-, 15-, 20-летних); бессрочные; • индексируемые облигации – доходности 5 лет при коэффициенте инфляции 5 %; более 5 лет при коэффициенте инфляции 5 %; доходности 5 лет при коэффициенте инфляции 10 %; более 5 лет при коэффициенте инфляции 10 %. Категории облигаций включают в себя полностью оплаченные облигации, кроме конвертабельных облигаций и облигаций фонда погашения, которым доходности погашения осталось менее года. Определение для купона с низким, средним и высоким процентом выбирается так, что приблизительно 1/3 погашаемых облигаций попадает под каждую категорию. Категории время от времени перераспределяются для поддержания соотношения 1:3. Для традиционных облигаций каждый индекс подсчитывается путем подгонки кривой брутто-доходности при погашении облигаций определенной категории. (Все бессрочные облигации включены в каждый купонный интервал для придания стабильности длинному концу кривой.). Например, для облигаций с низким купоном кривая подгоняется под кривую для всех 171

низкокупонных облигаций, а доходность для 5, 15 и 20 лет берется с этой кривой. Когда облигация имеет оптимальную дату погашения, используется самая ранняя или самая поздняя дата, каждая из которых дает наименьшую доходность при погашении. Для индексируемых облигаций каждый индекс доходности представляет собой среднюю доходность по категории облигаций. Наряду с их полезностью в описании общего уровня и характера структуры доходности на определенный момент времени, индексы доходности позволяют проводить сравнение с доходностью по обыкновенным акциям в виде меры контроля разницы между процентными ставками по долгосрочным и краткосрочным операциям между облигациями и обыкновенными акциями. Мировой индекс FT/S & Р начали публиковать в 1987 году. Он охватывает 2362 вида акций в 26 странах, представляя рыночную капитализацию около 70 % мирового рынка акций. Индекс имеет целью охватить почти 70 % рынка в каждой стране. Этот индекс является взвешенным арифметическим индексом и ежедневно публикуется Financial Times. Величины индексов указываются для каждой из 26 стран по 5 индексов на страну. Они даются в 5 валютах: фунтах стерлингов, американских долларах, японских иенах, немецких марках и местной валюте. Индекс в местной валюте дает меру, лежащую в основе эффективности отдельного рынка, а индексы в других валютах показывают эту же эффективность, скорректированную на валютные колебания. В дополнении к индексам для каждой страны публикуются индексы в отношении 11 региональных групп стран, где страны-участницы взвешиваются путем рыночной капитализации. Наконец, публикуются мировые индексы в целом. Компонентами индекса в Великобритании являются около 200 видов акций. Акции, недоступные зарубежным инвесторам, в подсчет индекса не включаются. Это не распространяется на большинство местных индексов, поэтому мировые индексы чаще всего являются более подходящими для измерения эффективности, чем местные индексы. Они также имеют преимущество в соответствии между странами и получаются легче, чем некоторые местные индексы. США. Среднеиндустриальный индекс Доу Джонса (DOW Jones), известный просто как «индекс Доу Джонса», охватывает 30 акций и систематически подсчитывается с 1928 года. Он является невзвешенным арифметическим индексом акций ведущих фирм промышленного сектора, но не в целом американского рынка ценных бумаг. Впервые индекс рассчитал в конце прошлого века Доу Джонс, редактор газеты «Уолл Стрит Джорнэл», сложив 172

рыночные цены 12 различных акций и поделив их сумму на 12, затем был введен коэффициент Z, который пересматривается при каждом дроблении акций компании, входящей в индексный набор. Существуют еще 4 индекса Доу Джонса: индустриальный (DJIA), транспортный (DJTA), коммунальный (DJUA) и составной (DJCA). При подсчете индустриального (промышленного) индекса используются акции 30 крупных промышленных корпораций. На них приходится от 15 до 20 % рыночной стоимости акций, котируемых на нью-йоркской фондовой бирже. Каждое утро значение индекса публикуется в газете «Уолл Стрит Джорнэл». На бирже индекс вычисляется и публикуется каждые полчаса. Транспортный индекс Доу Джонса характеризует курс акций 20 авиакомпаний, железнодорожных и автодорожных корпораций. Коммунальный индекс Доу Джонса исчисляется по курсам 15 компаний, занимающихся газои электроснабжением. Составной индекс Доу Джонса или «Индекс-65», объединяет три предыдущих индекса. Стандард энд Пуэрс (Standard & Poor's 500 (S&Р 500)) является взвешенным арифметическим индексом и подсчитывается с 1942 года. Его составляют по 500 ведущим американским компаниям, представляющих разные сферы экономики во всех секторах рынка, и используют для измерения эффективности фондовых портфелей американских акций. Япония. Индекс Никкей Доу (Nikkei 500) подсчитывается с 1949 года и является невзвешенньм арифметическим индексом. С момента его основания 500 его конституентов не претерпели значительных изменений, поэтому он не является репрезентативным индексом японского рынка акций. Несмотря на это, он является наиболее широко используемым показателем краткосрочных колебаний японского рынка. Индекс первой секции ТОПИК токийской фондовой биржи составляется приблизительно по 1000 видам акций и подсчитывается с 1968 г. Он является взвешенным арифметическим индексом. Конституенты представляют ведущие на рынке компании, поэтому индекс является более всеохватывающим, чем Никкей, и больше подходит для анализа эффективности. Германия. Дойче акстининдекс (Dax) является индексом реального времени для 30 ведущих акций. Индекс DAХ-30 рассчитывается с учетом рыночной капитализации ценных бумаг n

P = ∑ wi Pi Z , wi = Pi N i i =1

n

∑ Pi N i ,

i =1

где Ni – количество i-х акций, находящихся во владении инвесторов по объемам валового периода. 173

Индекс DAХ-30 приведен в таблице в правой колонке. В левой, с учетом отмеченных звездочкой компаний из DAX, приведен список индекса Euro-50 ведущих европейских компаний. DAX 8.12 Adidas-Salomon 68,45 Allianz* 393,88 BASF* 47,95 Bayer* 55,60 BMW 35,31 B.HypoVereinsbank* 56,00 Commerzbank 30,10 DaimerChrysler* 48,35 Degussa-Hüls 36,43 Dresdner Bank* 46,60 Deutche Bank* 90,25 E.ON AG 62,20 Epcos 115,89 Fresenius Med. Car 90,11 Henkel 70,43 Infineon Techno 51,78 Karstadť Quelle 33,74 Linde 52,50 Lufthansa 25,01 MAN 31,00 Metro* 48,55 Münchener Rück* 345,34 Preussag 41,32 RWE* 48,10 SAP 182,02 Schering 61,70 Siemens* 149,65 Telecom* 36,98 Thyssen-Krupp 17,00 VW 58,25 * Als deutshe Kurse auch im Euro Stoxx 50

Euro Stoxx 50 ABN-Amro (NL) Aegon (NL) Ahold (NL) Alcatel (F) Asicur. Generali (I) Avetis (F) Axa UAP (F) Banco Bilbao (E) Banco Santander (E) BNP (F) Canal Plus (F) Carrefour (F) Danone (F) Endesa (E) Enel (I) Eni (I) Fortis (B) France Telecom (F) ING (NL) KPN NV (NL) L’Oreal (F) Moet Hennessy (F) Nokia (FIN) Philips (NL) Pinault-Printemps (F) Repsol (E) Royal Dutch (NL) Sanofi (F) Societe Generale (F) Suez Lyon Eaux (F) Telecom Italia (I) Telefonica (E) Totalfina (B) Unicredito Ital. (I) Unilever (NL) Vivendi (F)

8.12 25,62 47,78 34,08 73,35 40,65 84,00 153,30 -/-/91,90 145,60 63,15 143,60 -/4,06 6,27 35,25 96,60 83,31 16,10 86,05 73,50 65,30 44,30 214,10 -/63,36 61,35 66,40 187,00 13,49 -/149,00 4,35 64,35 75,20

Франция. Основной рыночный индекс (САС) состоит из 250 акций. САС-40 составляется на основе 40 крупнейших акций. 174

Индексы собственности. Вычисление достоверных индексов требует знания рыночных стоимостей конституентов на довольно частых интервалах времени. Здесь существует ряд проблем относительно получения такой информации: • каждая собственность существует в единичном виде и ее рыночная стоимость точно известна только при смене ее владельца; • оценивание стоимости является субъективным и дорогостоящим процессом; • продажи определенных видов собственности проходят крайне нерегулярно; • договорные цены между покупателем и продавцом носят часто конфиденциальный характер. Существует два типа инвестиционных индексов собственности − индексы портфеля и показательные индексы. Индексы портфеля являются показателями арендной стоимости, капитальной стоимости или суммарной прибыли реальной собственности, которая сдается в наем. Различные индексы этого типы дают в достаточной мере различные результаты, так как лежащий в основе портфель будет варьироваться по объему, региональному распределению, значимости сектора (офис, точка для розничной торговли и т. д.). Нормы прибыли обычно будут взвешиваться с тем значением, что временное распределение и значимость потоков платежей в отдельном фонде собственности будет влиять на результат. Показательные индексы имеют целью проследить колебания рынка собственности в большей части путем оценивания максимальной полной арендной стоимости определенного количества гипотетической собственности с непомерно высокой назначенной арендной платой. Основным назначением таких индексов является выявление краткосрочных колебаний уровня рынка в отношении рент и доходов. Но индекс такого типа не является подходящим для оценивания эффективности портфелей, так как инвестор не может идти в ногу с такими колебаниями, поскольку он содержит реальный портфель собственности. §4.7. Доходность акций Доход по обыкновенным акциям выплачивается в виде дивиденда. Величина дивиденда за год (размер дивиденда) определяется общим собранием акционеров по предложению Совета директоров, но не может превышать величину, предложенную Советом. Промежуточные (квартальные, полугодовые) дивиденды объявляются Советом директоров. Основной источник вы175

платы дивидендов − чистая прибыль АО, т. е. прибыль, оставшаяся в распоряжении АО после уплаты налогов и других платежей в бюджет. По обыкновенным акциям дивиденды могут не выплачиваться, если прибыли нет, или она направляется на другие цели − развитие производства, освоение рынков сбыта, решение социальных проблем. Пусть N − номинал акции, Ig − размер дивиденда (годовой или текущий доход в абсолютных единицах − рублях и т. д.). Величина ig =

Ig N

, или ig (%) =

Ig N

⋅ 100

(7.1)

называется ставкой дивиденда по акции. В отличие от обыкновенных акций при выпуске привилегированных акций по ним устанавливается фиксированный уровень дивиденда в виде ставки дивиденда ig. Ставка дивиденда, установленная по привилегированной акции, определяет годовой доход по ней I g = ig ⋅ N =

ig (%) 100

⋅ N.

(7.2)

Пример 4.22. Уставной капитал АО в размере 10 млн руб. разделен на 900 обыкновенных и 100 привилегированных акций. Предполагаемый размер прибыли к распределению между акционерами − 2 млн руб. Ставка дивиденда по привилегированным акциям − 20 %. На получение какого дивиденда может рассчитывать владелец обыкновенной и привилегированной акции? Все акции АО имеют одинаковый номинал, который равен N=10000:1000=10 тыс. руб. Дивиденд по привилегированной акции I g (np)=0 ,2 ⋅ 10=2 тыс. руб.

Сумма выплат по привилегированным акциям 2 ⋅ 100 = 200 тыс. руб. На выплаты по обыкновенным акциям остается 2000−200=1800 тыс. руб. Дивиденд по обыкновенным акциям составит I g=1800:900=2 тыс. руб.

176

Для акций, как и для облигаций, введем понятие текущей доходности it, которая определяется как отношение годового дохода к цене приобретения it =

Ig P

, или it (%) =

Ig P

⋅ 100 ,

(7.3)

где Ig − дивидендный доход, Р − цена приобретения. Для привилегированной акции, по которой установлена ставка дивиденда ig так, что Ig= ig.N, получим it =

ig N P

=

ig K

⋅ 100 ,

(7.4)

где К − курс акции. Пример 4.23. Акция номиналом 10000 руб. приобретена по курсу 200. Ставка процента по ней 60 % годовых. Годовой доход по акции составит I g = 0,6 ⋅ 10000 = 6 тыс. руб. 60

Текущая доходность акции it = ⋅ 100 = 30 % годовых. 200 За год каждый вложенный в акцию рубль принесет доход, равный 0,3 руб. = 30 коп. В отличие от ценных бумаг с фиксированным доходом (облигации, сертификаты, привилегированные акции) доходность обыкновенных акций может быть лишь условно прогнозируемая. Акции приобретаются, чтобы заработать на дивидендах, а также на разнице между ценой покупки и ценой продажи, а в момент покупки известна только цена покупки. На доходность вложений в акцию оказывают влияние не только дивиденды, которые будут выплачиваться по ней, но и изменение ее курса в будущем. Таким образом, доходы по акциям складываются из прироста курсовой стоимости и дивидендов. Для оценки эффективности вложений в акцию надо определить доходность акции с учетом ее возможной перепродажи: если P0 − цена приобретения акции, P1 − цена акции через год, Ig − дивиденд по ней, то доходность акции i с учетом ее возможной продажи через год будет определяться формулой i=

I g + ( P1 - P0 ) . P0

(7.5)

Иногда о доходности, вычисляемой по этой формуле, говорят как о конечной доходности акции. 177

Пример 4.24. Номинал − 10 тыс. руб., ставка дивиденда − 60 %, приобретена по номиналу, курс акции через год − 140. Текущая доходность it =

60 ⋅ 100=60 % годовых. 100

Доходность с учетом возможной перепродажи начальная доходность N = P0 = 10 тыс. руб., P1 = i=

140 ⋅ 10 = 14 тыс. руб. 100

0 ,6 ⋅ 10+( 14-10 ) ⋅ 100=100 % годовых. 10

Конечная доходность акции в виде ставки простых процентов, учитывающая доход за все годы владения акцией до ее перепродажи, будет вычисляться по формуле i=

∑Ig

Здесь

+ ( P1 - P0 ) . TP0

(7.6)

∑ I g − дивидендный доход за Т лет.

Пример 4.25. Акция, номиналом 10 тыс. руб., приобретена по курсу 170 и продана на третий год после приобретения за 90 дней до даты выплаты дивидендов. За первый год размер дивиденда составил 1500 руб., за второй ставка составила 20 %, за третий − 45 %. Индекс динамики цены продажи по отношению к цене покупки составил 1,25. Определить полную доходность акции. За второй год дивиденд составит 0,2 ⋅ 10 = 2 тыс. руб. За третий год дивиденд равен 0,45 ⋅ 10 = 4,5 тыс. руб. Инвестор получает из них за (365−90) дней владения акцией 4 ,5 ⋅

365-90 =3,39 тыс. руб. 365

Дивидендный доход за все время владения акцией ∑ I g =1,5+2+3 ,39=6 ,89 тыс. руб.

Цена покупки акции P0=

170 ⋅ 10 =17 тыс. руб. 100

Цену продажи найдем, зная индекс динамики цен, P1=1,25 ⋅ 17=21,25 тыс. руб.

Доход от перепродажи P1 - P0 = 4,25 тыс. руб. Срок владения акцией (в годах) T=2+ 178

365-90 =2 ,753 года. 365

Полная доходность акции согласно (7.6) равна i=

6 ,89+4 ,25 =0 ,238=23 ,8 % годовых. 2 ,753 ⋅ 17

Формула (7.5) для вычисления доходности вложений в акцию с учетом возможной ее перепродажи приводит к неожиданному результату, который был сформулирован Модильяни и Миллером и известен под названием теоремы Модильяни-Миллера или ММ-парадокс: в условиях конкурентной экономики доходность вложений в акцию не зависит от дивидендной политики корпорации. Под дивидендной политикой понимается совокупность решений о доле прибыли, идущей на выплату дивидендов. Рассуждения, приводящие к ММ-парадоксу, можно представить в следующем виде. Пусть в момент покупки акции корпорация имела капитал K0, разделенный на N акций. Формально цена акции P0 − это доля капитала, приходящаяся на акцию, т. е. P0 =

K0 . N

(7.7)

Возьмем в качестве базового промежутка (этапа) квартал. Пусть за квартал прибыль составила П и прибыль составляет долю r от начального капитала r=

П , или П=rK 0 . K0

(7.8)

Таким образом, r − продуктивность (квартальная доходность) капитала корпорации. Пусть далее из прибыли корпорация выделила долю g на выплату дивидендов, так что квартальный дивидендный доход, приходящийся на одну акцию, будет равен Ig =

grK 0 . N

(7.9)

В распоряжении корпорации остается капитал K1, который равен K 1 = K 0 + (1 - g )П = [1 + (1 - g ) ⋅ r ]K 0 . (7.10) На конец квартала новая цена акции будет равна P1, причем P1 =

K1 [1(1 - g )r ]K0 = . N N

(7.11)

Подставляя выражения (7.7), (7.9) и (7.11) в (7.5) получим для доходности вложений в акцию 179

i=

[1 + (1 - g )r ]K 0 - K 0 + grK 0 K0

= r,

т. е. доходность не зависит от дивидендной политики g и определяется продуктивностью работы капитала корпорации r. Уменьшение доли прибыли g, идущей на выплату дивидендов, компенсируется ростом цены акции P1, так, что доходность вложений в акцию остается постоянной, равной r. Предположим, что инвестор не собирается продавать акцию. Через квартал он будет иметь на руках ту же акцию, но имеющую новую цену и дивиденд наличными, т. е. капитал как акцию и капитал как дивиденд. Капитал, вложенный в акцию, «работает» с квартальной продуктивностью r. Капитал в виде дивиденда может быть вложен в любую другую финансовую операцию. В случае идеальной конкурентной экономики вложения в любую другую операцию будут «работать» с такой же продуктивностью. В этом случае дивидендная политика корпорации не имеет значения и справедлив ММ-парадокс. Следует отметить, что в приведенном расчете цена акции введена как доля капитала, приходящаяся на акцию. Это есть «вещь в себе», которую невозможно сколь-нибудь точно найти, так как невозможно определить капитал (стоимость оборудования, сооружений, инфраструктуры, ноу-хау и др.). Введенная цена не соответствует рыночной цене акции, которая складывается на фондовом рынке под действием многих факторов, в том числе и на данных (и прогнозе) продуктивности корпорации. Поэтому доходность операции с перепродажей акции не будет совпадать с найденной. Пример 4.26. Акция, ставка дивиденда по которой − 35 %, приобретена по двойному номиналу и продана через год за 17875 руб. Доходность этой операции в виде ставки простых процентов составила 80 % годовых. Определить курс акции в момент продажи. Согласно (7.5) имеем 0,35 N + (17875 - 2 N ) = 0,8. 2N

Отсюда находим N=5500 руб., а курс продажи K=

17875 ⋅ 100=325. 5500

180

Глава 5 АНАЛИЗ СТРАХОВЫХ МОДЕЛЕЙ 5.1. Финансовый риск и ограничение риска Всякая финансовая операция связана с возможностью либо обогащения, либо разорения, т. е. является рискованной. Финансовая сделка (операция) называется рискованной, если ее эффективность (доходность) не полностью известна в момент заключения сделки. Недетерминированность доходности, а следовательно, рискованность − свойство любой сделки, связанной с покупкой и продажей ценных бумаг. Даже государственные долговые ценные бумаги экономически устойчивых стран, строго говоря, нельзя считать безрисковыми, учитывая непредсказуемость инфляции, и то, что может быть принято решение об отсрочке погашения этих бумаг. Напомним, что под доходностью простейшей ссудной сделки понимают ставку процента годовых (простую или сложную) по ней, т. е. ставку наращения r, которая за время Т из капитала А0 делает капитал АТ (по простым или сложным процентам). Формула А − А0 r= Т A0 ⋅ T

(1.1)

определяет доходность как ставку простых процентов, а формула А  r =  Т   А0 

1Т

−1

(1.2)

определяет доходность как ставку сложных процентов по такой сделке. Доходность акций с учетом возможной перепродажи определяется формулой r=

I g + ( А − А0 ) А0

(1.3)

,

где А0 − цена приобретения, А − цена акции через год, I g − дивиденд по ней. Аналогично можно определить и доходность купонной облигации. На примере акции видно, что доходность ценных бумаг зависит от цены покупки А0, промежуточных выплат I g и цены продажи А. В момент покупки цена покупки известна. Применительно к облигациям, на первый взгляд, известны (в момент покупки) и промежуточные выплаты (купонные платежи) и цена продажи (финальная выплата), поскольку они зафиксированы в проспекте эмиссии (обязательствах дебитора). Однако в действительности существует риск невыполнения обязательств: корпора181

ция может оказаться финансово несостоятельной и неспособной вернуть долги. Заметим к тому же, что владелец облигации может продать ее в любой момент до наступления срока исполнения по ней. Но в случае изменения курса облигации А в сторону большей ее эффективности (падение курса облигации в будущем), владелец окажется в проигрыше. Учитывая, что указанные ситуации в экономически устойчивых странах редки, а купонные платежи и курс облигации прогнозируемы и гарантированы, процентные ценные бумаги можно считать слаборисковыми бумагами. В теории оптимального портфеля они часто считаются безрисковыми. Совершенно другая ситуация с акциями. Условия покупки обыкновенных акций не содержат в себе никаких формальных обязательств, связанных с выплатой дивидендов или выкупом их по какой-либо цене. Вложение денег в акцию − рискованная операция, т. к. Ig и A в момент сделки неизвестны. Можно ли ограничить риск финансовых операций? Принципиальную возможность этого рассмотрим на следующем примере. Кредитор предоставляет в долг сумму А0 под i процентов годовых с условием, что через год заемщик вернет сумму А=А0(1+i). Заемщик дает расписку-обязательство вернуть сумму A, а в качестве обеспечения уплаты указывает принадлежащий ему дом. На первый взгляд, операция является безрисковой, поскольку даже в случае отказа долг будет взыскан в судебном порядке. На самом деле риск сохраняется: в результате возможного пожара дом может быть уничтожен и заемщик становится неплатежеспособен. Для ограничения риска кредитор может приобрести за свой счет страховой полис, гарантирующий выплату в случае пожара суммы А. Дополнительные расходы, связанные с покупкой полиса, приведут к тому, что доходность этой сделки будет меньше и разной в зависимости от возможных вариантов развития событий. Пусть В − сумма, выделяемая кредитором на всю операцию, из нее А0 рублей передается заемщику, а (В−А0) − на покупку полиса. Тогда x = A0 − доля кредита в выделенной сумме. B

Вариант 1. Пожара нет, доходность сделки составит r1 =

A − B A0 (1 + i ) − B = = x(1 + i ) − 1. B B

Вариант 2. Пожар уничтожает дом, заемщик неплатежеспособен. Пусть q − отношение страхового возмещения к цене страхового полиса (q>>1), тогда кредитор получит от страховой компании сумму q(B−А0). Доходность сделки в этом случае составит r 2 = 182

q(B − A0 ) − B = q(1 − x ) − 1. B

Можно подобрать x так, чтобы r1 = r2 . Равенство дает x =

q . 1+ i + q

q(1 + i ) При этом доходность сделки r* = r 1 = r 2 равна r* = − 1. 1+i + q

В принципе, по известной величине q можно подобрать i так, чтобы получить любую гарантированную доходность r* операции. Из рассмотренного примера видно, что комбинация двух бумаг (расписки и полиса) гарантирует доходность r* . Этот пример иллюстрирует принцип страхования финансового риска с помощью дополнительных затрат, который в том или ином варианте реализуется на финансовом рынке. Опционы. На финансовом рынке роль страхового полиса играют опционы на товары, фигурирующие на нем: валюта, акции, долговые обязательства и т. д. Опцион обеспечивает защиту от неопределенности цены товара в будущем. Опцион − это документ, удостоверяющий право на покупку (call option) или продажу (put option) товара по фиксированной цене. Купив, например, акции и опционы на их продажу (put option), инвестор гарантирует, что даже если рыночная цена акции через год резко упадет, то его потери от продажи будут ограничены. Купив опцион на покупку (call option), инвестор гарантирует защиту от роста цены акции выше цены, указанной в опционе. Конечно, за гарантии надо платить, и каждый опцион имеет цену (премию). Цена опциона (премия) зависит от неопределенности, с которой он борется. Вопросы расчета премии будут обсуждаться ниже. Заметим, что опцион не обязательство, а право: от опционной покупки или продажи можно отказаться. Принято различать два вида опционов: европейский, когда опцион дает право купить (или продать) товар в определенный день (expiration day), и американский, дающий право купить (или продать) в любой день вплоть до определенного момента. Сами по себе опционы являются таким же товаром, как и акции. Сведения о текущих ценах публикуются в следующем виде (пример на 25 мая 1993 г. из практики биржи NYSE) GM 63⋅1/4

Strike-Priсe 60

Call−last June Sep Deс 4 6 7.5

Puts–last June Sep Dec 5/16 13/16 2 1/2

Эта запись означает следующее: 183

•

GM − инвестор 25 мая 1993 г. на фондовой бирже NYSE (New63 ⋅ 1 / 4

York stock Exchange) мог купить акции General Motors по 63,25 долл. за акцию (100 штук за 6325 долл.); • Strike-price − проданы опционы на акции GM, дающие право купить (call) или продать (put) акции по фиксированной цене (strike or exercise price) − 60 долл. за акцию; • call−last june − эти calls были проданы (при закрытии) по 4 долл. за акцию и позволяют купить 100 акций GM в любой день по цене 60 долл. за акцию вплоть до 3-й пятницы июня (традиционный день месяца перед субботой − реализации опциона на обычные акции); • call−last sep − эти calls были проданы по 6 долл. за акцию и позволяют купить 100 акций (по цене 60 долл.) вплоть до соответствующего дня в сентябре и т. д.; • puts−last june − эти puts были проданы по 5/16 долл. за акцию и позволяют продать 100 акций по цене 60 долл. в любой момент вплоть до 3-й пятницы июня и т. д. Таким образом, 25 мая 1993 г. инвестор мог сразу купить на NYSE 100 акций по 63,25 долл. за акцию (уплатив, следовательно, 6325 долл.) или уплатить за calls 600 долл. (6⋅100), чтобы иметь возможность до соответствующей даты сентября купить 100 акций за 6000 долл. Расходы на эту операцию составят 6000+600=6600 долл. Эта операция для инвестора будет иметь смысл, если в сентябре цена акции превысит 66 долл. за акцию. Заметим, что продавец опциона должен предоставить определенный залог, гарантирующий выполнение гарантий. Правда, основная часть сделок проходит через клиринговую корпорацию ОСС (Option Clearing corp.), которая дает абсолютную гарантию сделки. На финансовых рынках популярны валютные опционы как средства хеджирования валютного рынка. Наример, экспортер может приобрести опцион на продажу долларов по некоторой цене. Если валютный курс доллара падает ниже цены использования опциона, то реализация этого опциона позволит избежать потерь от обесценения ожидаемых долларовых поступлений. Преимущество опциона состоит в том, что если курс доллара возрастет выше цены использования опциона, то экспортер может не реализовывать этот опцион, тем самым получая спекулятивный выигрыш от удорожания долларов. Популярным вариантом опциона на покупку является Warrant − опцион на покупку акции корпорации, выпускаемый самой корпорацией и обеспечиваемый ее достоянием. Отличием Warrant от обычного call option является большая его длительность (5 лет и более). 184

5.2. История актуарных расчетов Первая компания по страхованию жизни, действующая на научных принципах, была организованна в Лондоне в 1762 г. (Справедливое общество страхования жизни). Секретаря этой компании, который регистрировал собрания руководства и выписывал полисы страхователям, называли актуарий (англ. actuary, лат. actuarius − скорописец, счетовод). В 1775 г. на этот пост был назначен математик: он был ответственен за вычисление приемлемых ставок страховых взносов и обеспечивал надежность финансовых операций; с тех пор в обиход вошли термины актуарный, актуарные расчеты, актуарная деятельность. Следующее определение принадлежит правительственному Актуарию Великобритании К. Дэйкину «Актуарий − это человек, который обладает определенной квалификацией для оценки рисков и вероятностей и который применяет свои умения к проблемам бизнеса и финансов, особенно к таким областям деятельности, как страхование и демография, связанных со случайными событиями». Актуарии играют ключевую роль в определении стратегии и политики не только страховых компаний, но и пенсионных и других фондов; правительственные актуарии ответственны за вопросы национального страхования, государственных пенсионных и других схем. При этом страхование не сводится только к страхованию жизни и имущества. Страхование понимается более широко, а именно как страхование финансового риска в самом широком смысле. Особенность страховых расчетов состоит в том, что при страховании возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых фигурируют вероятности наступления соответствующих событий (поступление денег или их выплата). Соответствующие денежные суммы (например, в личном страховании) выплачиваются здесь только при жизни (пенсии) или, наоборот, смерти застрахованного. Заранее число платежей в таких рентах или их срок остаются неизвестными. Условные ренты являются основным инструментом количественного анализа в страховой деятельности. Первые научные работы по страхованию связаны с именем Э. Галлея (его имя носит комета Галлея) и де Муавра (ученый в области теории вероятности): первый из них в 1693 г. составил первые таблицы смертности и связал с ними величины пожизненных рент, второй рассмотрел вопрос о величине страховых взносов при страховании жизни.

185

5.3. Краткосрочное страхование Модели страхования жизни условно делят на две большие группы в зависимости от того, принимается или нет в расчет изменение ценности денег с течением времени. Краткосрочное страхование − страхование на один год. Дисконтирование страховых выплат не производится. Долгосрочное страхование − cтрахование на n лет (n>1). Используется концепция изменения ценности денег со временем. Производится дисконтирование страховых платежей с помощью дисконтного множителя −δk −k V * = (1 + i ) , или V * = (1 + i ) , где i − ставка сложных процентов, ставка дисконтирования, δ − сила роста при непрерывном начислении процентов. В этом параграфе мы рассмотрим краткосрочное страхование жизни и выясним связь между ценой страхового полиса (страховой премией), величиной страховой выплаты и вероятностью разорения (неразорения) компании. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые схемы долгосрочного страхования. Простейший вид страхования заключается в следующем. Согласно договору страхования человек (страхователь) уплачивает вперед страховой компании (страховщику) некоторую сумму а − эта сумма называется страховой премией. Компания обязуется выплатить наследникам застрахованного страховую сумму b в случае его смерти в течение года и не платит ничего, если этот человек не умрет в течение года. Величина страховой выплаты b намного больше, чем страховая премия а (b>>а), и нахождение «правильного» соотношения между ними − одна из важнейших задач актуарной математики. Купив за а рублей страховой полис, застрахованный избавил себя от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента смерти. Этот риск приняла на себя страховая компания. Риск, связанный с этой сделкой, заключается в случайности иска, который может быть предъявлен страховой компании: если застрахованный не умирает в течение года, то иск равен 0, если он умирает, то иск равен b. Введем случайную величину ξ − иск, предъявляемый страховой компании. Закон ее распределения зададим таблицей ξ P

0 px

b qx

(*)

Здесь х − возраст застрахованного, p x − вероятность того, что человек в возрасте х проживет, по меньшей мере, еще один год, q x = 1 − p x − вероятность того, что человек в возрасте х умрет в течение ближайшего года (не доживет до х+1 лет). 186

Математическое ожидание случайной величины ξ равно M (ξ ) = 0 ⋅ px + b ⋅ qx = b ⋅ qx . Значения вероятностей p x и q x берутся из анализа информации о возрасте наступления смерти в достаточно представительной выборке и на достаточно большом временном промежутке (из таблиц смертности). Введем новую случайную величину е = a − о − «доход» страховой компании от заключенного договора. Закон распределения ε будет ε P

a px

a−b qx

То есть с вероятностью Px компания имеет доход a, с вероятностью qx терпит убыток, равный b−a. Средний доход компании есть математическое ожидание М(ε) этой случайной величины М(ε) = a ⋅ p x + (a − b ) q x = a − b ⋅ q x . (3.1) Ясно, что средний доход должен быть неотрицателен, поэтому a ≥ b ⋅ q x . Наименьшее возможное значение премии a равно a0 = b ⋅ q x = М ( x ).

(3.2)

Оно соответствует нулевой средней прибыли и называется неттопремией. В действительности реальная плата за страховку a должна быть больше нетто-премии: 1) премия должна быть такой, чтобы гарантировать малую вероятность разорения компании; 2) помимо «чистой» премии a должна включать нагрузку − все расходы компании по ведению дела. Если N − общее число застрахованных в возрасте х, то сумма выплат S всем застрахованным равна S =

N

∑ξi ,

(3.3)

i =1

где ξ i − индивидуальный иск i-го человека. Пусть K − капитал компании, связанный со страхованием, тогда K = N ⋅a

(3.4) Если сумма выплат S меньше или равна капиталу компании, S ≤ K , то компания успешно выполнит свои обязательства. Если S > K , то компания не может оплатить все иски; в этом случае говорят о разорении компании. Таким образом, 187

N  P(S ≤ K ) = P ∑ ξ i ≤ K  − вероятность неразорения компании, или,    i −1 

говорят еще, функция распределения суммарного иска; N  P(S > K ) = P ∑ ξ i > K  − вероятность разорения компании.    i −1 

Будем предполагать, что число застрахованных N есть большое, неслучайное число, а величины ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ N независимы и что при росте N велиN



 i =1



чина P ∑ ξ i < K  имеет определенный предел, который и можно принять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Более конкретно, будем предполагать, что справедливо утверждение: если случайные и индивидуальные иски ξ 1 ,ξ 2 ,...ξ N независимы и одинаково распределены со средним М (ξ ) , и дисперсией D(ξ ) , то при N → ∞ функция распределения центрированной и нормированной суммы N S − M (S ) , где S = ∑ S i , имеет предел X = D (S ) i =1

P( X < x ) = F ( x ) =

2 1 x −z ∫ e 2 dz 2π − ∞

(3.5)

(нормальное (гауссово) распределение). Таким образом, для вероятности неразорения, согласно этому утверждению, имеем  S − M (S ) K − M (S )   K − M (S )   = F , < P(S < K ) = P    ( ) ( ) ( ) D S D S D S    

(3.6)

где F − интегральная функция нормального распределения, задаваемая формулой (3.5). Здесь K = N ⋅ a,

N  M (S ) = M  ∑ оi  = N ⋅ M (о ) = N ⋅ a0 ,  i =1 

(3.7)

N  D(S ) = D ∑ оi  = N ⋅ D(о ) = Nσ 2 (о )  i =1 

математическое ожидание и дисперсия суммы (3.3). Перепишем (3.6) с учетом (3.7). Для вероятности неразорения имеем   a − a0 ⋅ N . P(S < K ) = F    σ (ξ )

(3.8)

188

Для приложений к страхованию важное значение имеют квантили распределения (3.8). Напомним, что квантиль порядка (уровня) α есть такое число, обозначаемое xα, для которого P( x ≤ xα ) ≡ F ( xα ) = α . (3.9) Зададимся каким-то уровнем, в пределах которого мы допускаем разорение (например β=5 %), т. е. мы хотим, чтобы вероятность неразорения была равна α (соответственно б = 1 − в = 95 % ). Пусть xα − квантиль уровня α функции распределения F, тогда a − a0 у (о )

N = xб .

(3.10)

Откуда для страховой премии α, обеспечивающей вероятность неразорения компании не менее α процентов, получаем a = a0 +

у (о ) xα N

, где a0 = M (ξ ).

(3.11)

Разность a−a0 называется страховой надбавкой или надбавкой за безопасность, а величина Θ=

a − a0 a0

(3.12)

называется относительной надбавкой за безопасность. Из (3.12) получаем a = a0 (1 + Θ ), (3.13) а с учетом (3.11) имеем σ (ξ ) ⋅ xα Θ= .

(3.14)

a0 N

Если закон распределения случайной величины ξ (индивидуального иска) задан таблицей (*), то M (о ) = a 0 = b ⋅ q x ,

D(о ) = s 2 ( x ) = b2 q x ⋅ p x ,

(3.15)

σ ( ξ ) = b qx px . Для a и Θ тогда получаются формулы  qx px   ⋅ b, a =  q x + xб  N  

(3.16)

p

x . Θ = xб ⋅ N qx

(3.17) 189

Пример 5.1. Пусть компания застраховала N=3000 человек в возрасте х=38 лет на условиях: компания выплачивает b=500 тыс. рублей в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если это лицо доживет до конца года. Предположим, что из демографических данных (таблиц смертности) следует, что q 38 ≈ 0,003; т. е. из каждых 1000 человек, доживших до 38 лет, до 39 лет доживет на 3 человека меньше. Нетто-премия составит a0=500 ⋅ 0.003=1,5 тыс. рублей. Заметим, что если цена полиса будет равна a0, то вероятность разорения компании составит 50 %. В этом случае xα=0 и Θ =0. Найдем цену полиса a при условии, что вероятность разорения не должна превышать 5 %, а вероятность неразорения не должна быть меньше a=95 %. Из таблицы квантилей нормального распределения находим x 95% =1,645. Полагая q x = 0,003; p x =0,997, находим a= (0,003 + 1,645 ⋅

0 ,003 ⋅ 0 ,997 ) ⋅ 500 = 2,322 тыс. руб., 3000

2322 − 1500 = 0 ,55 = 55 %. 1500 Если взять р=99,9 %, то x 99 ,9% = 3,09. Для этого случая

Θ=

a = 3,043 тыс. руб. = 3043 руб. Θ = 1,29 = 102,9 %. При расчете страховой премии и страховой надбавки величину страховой выплаты часто полагают равной единице (b=1), т. е. ответ для a0, a получают в единицах b. Так, для a=95 %, получаем a0 =0,003, a= 0,004645; Θ=

0 ,004645 − 0 ,003 = 0 ,55 = 55 %. 0 ,003

Зададимся уровнем неразорения α. Пусть xα − квантиль порядка α распределения (3.6), тогда K − M (S ) = xα , D (S )

(3.18)

K = M (S ) + xα ⋅ D(S ).

(3.19)

Рассмотрим ситуацию, когда в страховой компании застраховано r групп, состоящих из N 1 , N 2 ,..., N r человек. Вероятность умереть в течение года для лиц, входящих в эти группы, равна соответственно q1 , q 2 ,..., q r . 190

Математическое ожидание суммарного иска, предъявляемого компании, составит (в единицах b) M (S ) = N 1 q1 + N 2 q 2 + ... + N r q r

(3.20)

и равна сумме нетто-премии для каждой группы. Для дисперсии суммарного иска и капитала компании получаем (в единицах b) D(S ) = N 1 q1 p1 + N 2 q 2 p 2 + ... + N r q r p r , K=

r

r

j =1

i =1

∑ N j q j + xα ⋅ ∑ N i q i p i

(3.21) (3.22)

.

Сначала вычисляем относительную надбавку за страхование Θ=

K − M (S ) , M (S )

(3.23)

затем вычисляем страховые премии для лиц, входящих в различные группы, a1 = a01 (1 + Θ ) = q1 (1 + Θ ), (3.24) a 2 = q 2 (1 + Θ ),..., a r = q r (1 + Θ ). Пример 5.2. В страховой компании застраховано N1=3000 человек в возрасте 38 лет и N2=1000 человек в возрасте 18 лет. Компания выплачивает наследникам застрахованного b=250000 рублей в случае его смерти в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Принять q1 =0,003 и q 2 =0,001. Для уровня неразорения 95 % (вероятность разорения 5 %) находим (xα =1,645) M ( S ) =3000⋅ 0,003 + 1000⋅ 0,001 = 10; D( S ) =3000⋅0,003 + 0,997 + 1000⋅0,001⋅0,999 ≈ 10;

K= 10 + 1,645 ⋅ 10 = 15,2. Относительная надбавка за безопасность составит

Θ=

15 ,2 − 10 = 0 ,52 = 52 %. 10

Величину страховых премий вычисляем в абсолютных единицах a1 = 0,003 (1+ 0,52)⋅250000 = 1140 руб. a 2 = 0,001 (1+ 0,52)⋅250000 = 380 руб. Размер нетто-премии составит a10 = 0,003⋅250000 = 750 руб. a 20 = 0,001⋅250000 = 250 руб. 191

Пример 5.3. Предположим, что страховая компания заключила N=10000 договоров страхования жизни сроком на один год на следующих условиях: в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая компания выплачивает его наследникам 1 млн рублей, а в случае смерти в течение года от естественных причин − 250 тыс. руб. Страховая компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастного случая равна 0,0005, а от естественных причин 0,003. Найти размер премии, обеспечивающей вероятность выполнения компании своих обязательств равную 95 % и найти надбавку за безопасность.В качестве единицы измерения индивидуального иска удобно взять b=250 тыс. руб. Тогда закон распределения индивидуального иска имеет вид ξ Р

0 0,9965

1 0,003

4 0,0005

Учитывая, что x95% =1,645, М (ξ ) = 0⋅0,9965 + 1⋅0,003 + 4⋅0,0005 = 0,005; D(ξ ) = М ( ξ ) − [М (ξ )]2 = 12 ⋅ 0 ,003 + 4 2 ⋅ 0 ,0005 − (0 ,0005 )2 = 0,011; 2

σ (ξ ) = D(ξ ) = 0 ,011.

Согласно (3.11) получаем для страховой премии в единицах b a= 0,005 +

1,645 ⋅ 0 ,011 = 0,00673. 10000

В абсолютных единицах a= 0,00673⋅250000 = 1681 руб. Нетто-премия составит a0= 0,005⋅250000 = 1250 руб. Относительная надбавка за безопасность Θ =

1081 − 1250 = 0 ,3448 ≈ 34 ,5 %. 1250

5.4. Таблицы смертности и коммутационные числа При расчете страховых платежей необходимо знание значений вероятностей дожития до определенного возраста, или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Эти данные получают на основе таблицы смертности (mortality table) - числовой модели процесса вымирания первоначальной совокупности, равной 100 тыс. человек. Фрагмент такой таблицы (мужчины) приведен ниже [1]. 192

Таблица смертности населения СССР, 1984 −1985 гг.

lx

x 20 21 22 ......... 40 41 .......... 60 ......... 70

94774 94588 94383 ................. 87779 87157 ................ 65130 ................. 43405

dx

qx 0,00196 0,00216 0,00249 .................... 0,00708 0,00770 .................... 0,02871 ..................... 0,05691

186 205 235 ................. 622 671 ................. 1783 ................. 2470

Здесь: х − возраст человека; l x − количество лиц возраста х, оставшихся в живых из первоначальной совокупности 100 тыс. человек; d x − количество человек, умерших в течение года после возраста х лет; q x − вероятность умереть в течение года после достижения х лет. Очевидны следующие соотношения для показателей таблиц смертности: l x +1 = l x − d x , q x =

dx , d x = qxl x. lx

(4.1)

Вероятность p x прожить, по крайней мере, еще один год лицу в возрасте х лет равна l p x = x +1 . lx

(4.2)

Причем l d q x = 1 − p x = 1 − x +1 = x . lx lx

(4.3)

Вероятность n Px дожить от возраста х до x+n составляет n

l p x = x+n . lx

(4.4)

Например, вероятность сорокалетнему мужчине дожить до 60 лет соl

65130

ставит, согласно таблице смертности, 60 −40 p40 = 60 = = 0 ,7419. 87779 l 40 193

Вероятность

n qx

умереть в возрасте от х до х+n составит

l x + n 1 x + n −1 = q = 1− n p x = 1 − ∑ d j. n x lx j = x lx

(4.5)

Для облегчения расчетов при работе с условными рентами используют коммутационные функции (числа) (commutations functions) Dx,Nx,Cx,Mx, которые представляют собой комбинации показателей таблицы смертности и дисконтного множителя V=

1 1+i

 n 1 V =  (1 + i )n 

  , i − ставка приве 

дения (дисконтирования). В коммутационные числа D x , N x входит показатель числа доживших l x : D x = l x ⋅V x = Nx =

W

lx , (1 + i )x W

∑D j = ∑

j=x

lj

j j = x (1 + i )

(4.6)

(4.7)

,

где W − предельный возраст для таблицы смертности. Формально, W → ∞ . Когда платежи производятся p раз в году (p-срочная условная рента), то используют числа N (xP ) , где для ренты постнумерандо N (x P ) = N x +

p −1 Dx , 2p

(4.8)

а для ренты пренумерандо p −1 &N& p = N x − Dx . x 2p

(4.9)

В коммутационные числа C x , M x входит число d x лиц, умерших в течение года после возраста х: C x = d x ⋅ V x +1 =

Mx=

W

W

( 1 + i ) x +1

∑C j = ∑

j=x

dx

dj

j +1 j = x (1 + i )

,

(4.10)

.

(4.11)

194

Для таблицы смертности, приведенной выше, и ставки дисконта i=9 % годовых примеры коммутационных чисел приведены в таблице ниже. х

lx

20 21 22 ................ 40 41 ................ 60 ................. 70

94774 94588 94383 .................. 87779 87157 .................. 65130 .................. 43405

N x ( 12 ) 202394,583 187771,927 154459,399 ....................... 30284,048 27364,985 ....................... 2760,491 ....................... 602,540

Dx 16910,609 15483,872 12973,771 ................... 2794,671 2545,751 ................... 369,991 ................... 104,156

Cx 30,448 30,787 30,449 ...................... 18,167 17,981 ...................... 9,745 ..................... 5,438

Nx 193931,706 77021,097 47362,624 .................. 28878,763 26084,094 .................. 2930,070 .................. 650,279

Mx 897,899 867,451 836,664 ...................... 410,185 392,018 ...................... 128,058 ...................... 50,463

5.5. Долгосрочное страхование. Страхование на дожитие Рассмотрим некоторые схемы долгосрочного страхования. Сначала рассмотрим самый простой случай долгосрочного страхования − страхование на дожитие (pure endowment). Суть его состоит в следующем. Лицо в возрасте х лет договаривается со страховой компанией о том, что при достижении им возраста g, например, 60 лет, он получит b рублей. В случае же его смерти в интервале (х;g) компания не платит ничего. Найдем цену страхования − размер страховой премии. Обозначим n p x = g − x p x − вероятность лицу в возрасте х лет прожить еще n лет и дожить до g=x+n лет. Тогда n q x = 1− n p x есть вероятность лицу в возрасте х лет умереть в интервале (х;g). 195

Пусть b − страховая выплата, которая будет выплачена через n лет от начала страхования. Современная стоимость (на момент заключения договора) этого платежа будет pV (b ) = b(1 + i )−n = b ⋅ v n ,

где i − ставка сложных процентов, используемая при дисконтировании. Пусть ξ − случайная величина, имеющая смысл современной стоимости индивидуального иска. Она принимает два значения, и закон ее распределения дает следующая таблица ξ

0

P

q n x

bv n p n x

Среднее значение этой величины есть математическое ожидание М (ξ ) , причем n М ( ξ ) =0 q x + bv ⋅ p x = b v n⋅ p x . n n n

(5.1)

Введем случайную величину ε = a − ξ − современная стоимость дохода компании от заключенного договора страхования на дожитие. Здесь а − страховая премия, или, иначе, сумма, уплаченная за страховку в момент заключения договора. Закон распределения этой величины дан следующей таблицей ε

a

P

q n x

a − b vn p n x

Средний доход страховой компании от заключенного договора есть математическое ожидание: M (ε ) = a⋅ n q x + a − b v n n p x = a − b v n⋅ n p x . (5.2)

(

)

Страховая премия a0, отвечающая M(ε)=0, называется нетто-премией, для нее получаем a0 = М (ξ ) = bv n n p x . (5.3) l Учтем, что n p x = x + n , тогда получим l x

l l a0 = b ⋅ x + n ⋅ v n = b x + n (1 + i )− n . lx lx

(5.4) 196

Эту формулу можно переписать в виде Dg l x+n vn ⋅ v x D ⋅ = b x+n = b , a0 = b ⋅ lx Dx Dx vx

(5.5)

где g=x+n. Таким образом, размер нетто-премии при страховании на дожитие находится по формуле (5.4) или (5.5), где числа Dx находятся по таблице коммутационных чисел. Как следует из этих формул, размер неттопремии зависит от значения ставки сложных процентов i, используемой при дисконтировании страховой выплаты b: чем больше i, тем меньше значение страховой премии a0. Пример 5.4. Размер нетто-премии при страховании на дожитие до 60 лет лица (мужчины) в возрасте х=40 лет при процентной ставке 9 % годовых и страховой выплате 1 млн рублей составит согласно (5.5) и таблицы коммутационных чисел a0 = b

369 ,991 D60 =1 = 0 ,132390 млн руб. = 132390 руб. 2794 , 471 D40

Размер нетто-премии составит примерно 0,132=13,2 % от страховой выплаты. Предположим, что число застрахованных в возрасте 40 лет составило 1000 человек, тогда • нетто-премия a0 от одного застрахованного − 132390 руб.; • общая сумма от нетто-премии N ⋅ a0 − 132390 тыс. руб.; • наращенная за 20 лет сумма FV( N ⋅ a0 ) − 741970 тыс. руб.; • количество доживших до 60 лет ≈742 (741,198) человек; • общая сумма выплат − 742 тыс. руб. Видно, что наращенная за 20 лет сумма взносов как раз практически равна сумме выплат на этот момент. Этот пример иллюстрирует принцип солидарной ответственности страхователей: страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех страхователей, которые не дожили до этого возраста. Действительно, при ставке 9 % годовых современная стоимость выплаты 1 млн составит 1⋅1,09-20=0,178431 млн руб. = 178431 руб., т. е. без солидарной ответственности, самостоятельно, он должен был заплатить сумму 178341 руб. 197

Еще одно замечание. Закладывая в расчет ставку дисконтирования i % годовых, компания предполагает, что капитал компании будет внесен в инвестиционные проекты, норма доходности которых не меньше i % годовых. Пусть N − число застрахованных в возрасте х, S=

N

∑ ξ i − современная стоимость суммарного иска,

i =1

К=N⋅a − капитал компании, обусловленный данным страхованием, тогда в гауссовом приближении вероятность неразорения компании будет (формула (3.6))  K − M (S )  , P(S ≤ K ) = F   ( ) D S  

где функция F дается распределением Гаусса (3.5), а M(S) и D(S) − математическое ожидание и дисперсия случайной величины S. Зададимся уровнем неразорения a. Пусть x∞ − квантиль порядка (уровня) a нормального распределения (3.5). Поскольку M ( S ) = NM (ξ ), D( S ) = N ⋅ D(ξ ),

σ (ξ ) = D(ξ ), a = ao + x∝

σ (ξ ) N

,

то с учетом того, что l D a0 = М (ξ ) = b v n⋅ n P x = b v n x + n = b x + n , lx Dx

(5.6)

( )

( )

2 D(ξ ) = M ξ 2 − [M (ξ )]2 = b v n ⋅ n p x⋅ n q x ,

σ (ξ ) = b v n ⋅ n p x⋅ n q x , получаем для размера страховой премии при вероятности неразорения a % формулу   a =  n p x + x∝  

 n p x⋅ n q x  N

n ⋅bv .  

(5.7)

Если страховую премию a записать в виде a = a0 (1 + Θ ), то для относительной надбавки за безопасность Θ получаем формулу x ⋅ σ (ξ ) x∝ = ⋅ Θ= ∝ N a0 N

n qx n px

(5.8)

,

198

с учетом того, что l −l и n q = x x+n x lx

l x+n = p x n lx

формулу (5.8) можно записать так Θ = x∝ ⋅

l x − l x+n . N ⋅ l x+n

(5.9)

Пример 5.5. Для примера, приведенного выше, имеем: N=1000, x=40, n=20, W=40+20=60, i=9 % годовых, b=1 млн рублей. Найдем величину страховой премии a и относительную надбавку за безопасность Θ при вероятности неразорения a=95 % (x∞=1,645). Ранее мы нашли a0=132390 рублей. Найдем Θ. Согласно (5.9) и таблице смертности, получим Θ = 1,645 ⋅

87779 − 65130 = 0 ,03 = 3 %, 1000 ⋅ 65130

a= 132390(1+0,03)=136362 руб. Обращает внимание большая величина нетто-премии, которая составляет около 13 % от страховой выплаты b или n P x =0,74=74 % от современной стоимости страховой выплаты. В соответствии с этим получается малая величина надбавки за безопасность (около 3 %), обеспечивающая вероятность неразорения 95 %. Для страхователя, заплатившего a руб., прожившего n лет и получившего страховую сумму b, страхование на дожитие − это помещение денег под ief % годовых, где b ief =   a

1/ n − 1.

Для нашего примера (без учета нагрузки на ведение дела) 1 / 20

 1000   i ef =   136 ,362 

−1 ≈ 0,105 = 10,5 %. годовых.

Напомним, что величина страховой премии рассчитывалась при ставке 9 % годовых. Более высокое значение ief по сравнению со ставкой дисконтирования есть проявление принципа солидарной ответственности страхователей. 199

5.6. Долгосрочное страхование жизни. n-летнее страхование жизни При этом виде страхования выплата страховой суммы b рублей производится, если застрахованный умер в течение срока действия договора, т. е. n лет с момента заключения договора. Если же застрахованный прожил эти n лет, то компания не платит ничего. Будем считать, что страховая выплата b происходит в конце года. Если застрахованный умер в течение первого года, то современная стоимость предъявляемого компании иска (выплаты в конце первого года) будет bv, если застрахованный умирает в течение второго года действия договора, то – bv2, и т. д. Пусть n p x − вероятность лицу возраста х дожить до возраста х+n. Если х+n=W − есть предельный возраст, то q = 1− n p x n x

n

p x ⋅ w− x p x =0. Пусть

− вероятность лицу в возрасте х лет умереть в течение бли-

жайших n лет. Так как

l x − l x + n d x + d x +1 + d x + 2 + ... + d x + n −1 = = = q x n lx lx

(6.1)

d x d x +1 d x + 2 d + + + ... + x + n −1 , lx lx lx lx

то слагаемые в правой части равенства имеют смысл

dx d = q x , x +1 − вероятlx lx

ность того, что застрахованный в возрасте х умрет в течение второго года действия договора, т. е. в промежутке (х+1;х+2);

d x+2 − вероятность застраlx

хованному умереть в течение третьего года действия договора, и т. д. Пусть a − цена страхования (страховая премия), ξ − современная стоимость случайного иска, предъявляемого компании, ε = a − ξ − современная стоимость случайной величины дохода компании от заключенного договора. Закон распределения случайных величин ξ и ε дан в таблицах:

ξ P

ε P

0 n Px

a n Px

bv dx lx a − bv dx lx

bv 2 d x+1 lx

bv 3 d x+ 2 lx

a − bv 2 d x +1

lx 200

...........

a − bv n

...........

d x + n −1 lx

........... ...........

a − bv n d x + n −1 lx

Математическое ожидание M(ξ) равно  d d d d M ( ξ ) = b x ⋅ v + x +1 ⋅ v 2 + x + 2 ⋅ v3 + ... + x + n −1 ⋅ v n . lx lx lx   lx

(6.2)

Средний доход компании от заключенного договора есть

(

)

d d M (ε ) = a⋅ n P x + (a − bv ) ⋅ x + a − b v 2 ⋅ x +1 + ... lx lx d ... + a − b v n ⋅ x + n −1 = a − M (ξ ). lx

(

)

(6.3)

Нетто-премия a0 соответствует среднему нулевому доходу от заключенного договора М(ε)=0, поэтому  dx d d ⋅ v + x +1 v 2 + ... + x + n −1 v n . lx lx   lx

a0= М(ε)= b

(6.4)

Нетто-премию можно посчитать используя таблицу смертности и задавая ставку процента i, с помощью которой производятся дисконтирование сумм b0. Пожизненное (полное) страхование жизни. При этом виде страхования человек платит компании a рублей, а компания соглашается выплатить наследникам застрахованного b рублей после его смерти. Особенность ситуации состоит в том, что застрахованный когда-то обязательно умрет и компания обязательно выплатит b рублей. За счет чего компания сможет выплатить эту сумму, ведь b>>a? Ответ прост. Компания получает за страховку а рублей в момент заключения договора, а выплату b рублей производит много позже (после смерти застрахованного). В течение этого промежутка эти деньги приносят определенный доход, будучи вложены в различные инвестиционные проекты, и превращаются в сумму, достаточную для выплаты b. Выражение для a0 = М (ξ ) для этого случая получим, устремляя n → ∞ , или, что равносильно, пологая n таким, что W=x+n есть предельный возраст по таблице смертности. Умножим каждое слагаемое в правой части x (6.4) на v , тогда:

vx

d  d d d M a0 = b x v x +1 + x +1 v x + 2 + x + 2 v x + 3 + ... + w−1 v w  = b x . Dx Dx Dx Dx  Dx 

Итак, a0 = b

Mx , где коммутационные числа М x , D x находятся из соотDx

ветствующих таблиц смертности. 201

Пример 5.6. Найдем цену страхования (нетто-премию) для полного (пожизненного) страхования сорокалетнего мужчины. a0 = b

410 ,185 M 40 =b = 0,14677⋅b. 2794 ,671 D40

Размер нетто-премии составит около 15 % от размера страховой выплаты b. Смешанное n-летнее страхование. При этом страховании выплата страховой суммы b рублей производится на условиях: • если застрахованный умер в течение срока действия договора, то страховое пособие выплачивается в момент смерти (в конце года); • если застрахованный дожил до окончания срока действия договора, то страховая сумма b выплачивается в момент окончания срока действия договора. Смешанное n-летнее страхование выполняет роль как функции страхования (n-летнее страхование жизни), так и функции накопления средств (страхование на дожитие). Для современной стоимости индивидуального иска ξ и дохода компании от заключенного договора ε можно составить следующие таблицы. ξ P

ε P

bv n n Px

bv dx lx

a − bv n

a − bv

n Px

dx

lx

bv 2 d x +1 lx

bv 3 d x+ 2 lx

a − bv2 d x+1 lx

a − bv 3 d x+ 2 lx

.......

bv n

.......

d x + n −1 lx

......

α − bv n

.......

d x + n −1 lx

Как обычно, условие М (ξ ) = 0 дает выражение для нетто-премии этого вида страхования   d d d d a =  n P x v n + x v + x +1 v 2 + x + 2 v 3 + ...... + x + n −1 v n  ⋅ b. lx lx lx lx  

(6.6)

Пример 5.7. Найдем цену (нетто-премии) смешанного страхования для человека, достигшего 60 лет и которому (или его наследникам) выплачивается страховая сумма b рублей как в случае его смерти до 65 лет, так и в случае достижения им этого возраста. Для расчета воспользуемся следующей таблицей смертности. 202

lx

qx

х 60 61 62 63 64 65

0,01474 0,01632 0,01808 0,02001 0,02213 .................

100000 98529 96921 95169 93265 91201

dx 1471 1608 1752 1904 2054 .................

Ставку сложных процентов примем равной i=4 % годовых (ставка дисконтирования). Согласно (6.6) получим для a a=

1 l 60

(v5 l65 + vd 60 + v2 d 61 + v3 d 62 + v4 d 63 + v5 d 64 )⋅ b =0,82744⋅b.

l Из этой суммы v5 ⋅ 65 ⋅ b =0,74961b рублей − это взнос на дожитие до 65 l60

лет, а 0,07783b − взнос в счет страхования на выплату по смерти. Рассмотрим в этом примере и такой вариант смешанного страхования, когда страхователь ежегодно, в начале каждого года, в течение 5 лет уплачивает сумму а рублей. Современная стоимость этих выплат составит (с учетом выживания страхователей) 1 l 60

(l60 + l61v + l62 v2 + l63 v3 + l64 v4 )⋅ a = 4,48677a руб.

Размер ежегодных платежей страхования a найдем из равенства современных стоимостей взносов страхователя и страховых выплат: 4,48677a = 0,82744b → a = 0,184420b. Если b=1 млн руб., то а=184,420 тыс. руб. Из них 17,35 тыс. руб. − ежегодный взнос на выплату 1 млн руб. в случае смерти застрахованного в интервале (60,65), а 167,07 тыс. руб. − ежегодный взнос в счет выплаты 1 млн руб. в случае достижения 65 лет. 5.7. Перестрахование Сущность и разновидности договоров перестрахования. Физические и юридические лица заключают договора страхования со страховыми компаниями, чтобы избежать финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До заключения договора страхования клиент имеет риск потери суммы ξ (потери, правда, может и не быть). После заключения договора страхования клиент избавляется от этого риска за определенную неслучайную сумму a = a0 ( 1 + Θ ) = M ( ξ )( 1 + Θ ). 203

С помощью дополнительных затрат a клиент избавляется от риска случайных потерь, которые хоть и мало вероятны, но могут быть катастрофическими для него. Однако сам риск не исчез − его приняла на себя страховая компания. Правда, имея большой портфель договоров и устанавливая приемлемое для обеих сторон значение относительной надбавки за безопасность Θ, компания обеспечивает себе крайне малую вероятность разорения; малую, но не нулевую. Возможны очень большие иски, которые ведут к разорению компании. С этой точки зрения страховая компания попадает в ту же ситуацию, в которой (до заключения договоров страхования) находились клиенты: существует опасность финансовых потерь, связанных с неопределенностью предъявления очень больших исков. Для решения этой проблемы страховые компании прибегают к единственно возможному средству в условиях рыночной экономики − страхованию своего риска в другой компании. Этот вид страхования называется перестрахованием (reinsurance). Компания, непосредственно заключающая договора страхования и желающая перестраховать часть своего риска, называется передающей компанией (ceading company), а компания, которая страхует исходную страховую компанию, называется перестраховочной компанией (reinsurance company). При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно большие индивидуальные иски, так и суммарный иск за определенный период, скажем, за один год. Некоторые виды страхования, экономически и юридически отличающиеся от перестрахования, с точки зрения математических расчетов крайне близки к перестрахованию. Это, например, сострахование (coinsurance), когда несколько страховых компаний заключают коллективный договор страхования с клиентом; групповое страхование (group insurance), когда страхование группы клиентов (например, работников предприятия) осуществляется другим лицом (скажем, их работодателем) в форме единого договора. Основное деление договоров перестрахования на различные типы связано с видом разделения ответственности между передающей компанией и перестраховочной. Пропорциональное перестрахование. Если передающая компания самостоятельно удовлетворяет некоторую долю a от каждого иска ( 0 ≤ a ≤ 1 ) , а перестраховочная компания оставшуюся долю 1−a, то такой вид перестрахования называется пропорциональным. Число a называется пределом удержания. Таким образом, если индивидуальный иск составля204

ет ξ рублей, то сумму aξ платит передающая компания, а сумму (1−a)ξ выплачивает перестраховочная компания. До перестрахования суммарный иск передающей компании был равен S = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ N . После такого пропорционального перестрахования суммарный иск, предъявленный ей, уменьшается и становится равный aS = a ξ 1 + a ξ 2 + ... + a ξ N . Однако одновременно уменьшается и капитал компании, обусловленный взносами страхователей (премиями). До заключения договора перестрахователя он был равен K = ( 1 + Θ )M ( S ), (7.1) где Θ − относительная страховая надбавка за безопасность, а N

M ( S ) = M ( ∑ξ i )

(7.2)

i =1

есть математическое ожидание суммарного иска S. Пусть перестраховочная компания установила страховую надбавку в размере Θ*, тогда после заключения договора перестрахования, перестраховочная компания получит из этой суммы (1+Θ*)(1−a)M(S)=(1+Θ*)M[(1−a)S], (7.3) где (1−a)M(S) − математическое ожидание суммарного иска к перестраховочной компании. Следовательно, после заключения договора капитал компании станет равным (1−Θ)M(S)−(1+Θ*)(1−a)M(S)=[Θ −Θ*+a (1+Θ*)] M(S). (7.4) Для вероятности разорения компании теперь можно записать Θ −Θ * P(aS>[Θ−Θ*+a (1+Θ*)]M(S)=P(S>[1+Θ*+ ]M(S). (7.5) a

Чтобы вероятность разорения была наименьшей, надо, чтобы величина Θ −Θ * [1+Θ*+ ]M(S) a

была максимальной. Пусть перестраховочная компания устанавливает меньшую страховую надбавку, чем передающая компания, т. е. Θ−Θ*>0, тогда максимум этого выражения достигается при a → 0: в этом случае нужно перестраховать все риски. После этого вероятность разорения станет нулевой. Однако одновременно снизится и ожидаемый доход передающей компании. До перестрахования он был равен ΘM(S), а после полного перестрахования он будет равен (Θ−Θ*)M(S). 205

Случай ΘΘ. Если, как обычно, Θ*>Θ, то предел удержания a должен быть равен 1. Другими словами, если перестраховочная компания устанавливает большую страховую надбавку, чем передающая компания, то от перестрахования следует отказаться. Если Θ*=Θ, то вероятность разорения вообще не зависит от a. Полученные результаты показывают, что пропорциональное перестрахование не представляет реального интереса. Перестрахование повышенных потерь. Суть этого вида договора перестрахования заключается в следующем. Передающая компания устанавливает некоторый предел (порог) удержания в r руб. Если ξ ≤ r , т. е. если величина индивидуального иска ξ не превосходит установленного предела r, то она оплачивает иск самостоятельно. Если же ξ>r, то передающая компания оплачивает сумму r, а сумму ξ−r оплачивает перестраховочная компания. Пусть компания имеет N одинаковых договоров, т. е. иски ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ N по ним являются независимыми и имеют одинаковый закон распределения. Суммарный иск, предъявляемый к этой компании, равен S = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ N . Капитал компании составляет K = Na = Na0 ( 1 + Θ ), (7.6) где a0 = M ( ξ ) − нетто-премия, Θ − относительная страховая надбавка. Пусть компания перестраховала все эти договора на указанных условиях. Суммарный иск, предъявляемый теперь к этой (передающей) компании, составит ξ ≤ r; (r) (r ) (r ) r ξ , (7.7) S ( r ) = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ N , где ξ =  > ξ r , r .  Пусть Θ* − относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией. Из капитала (7.6) передающая компания выплачивает перестраховочной компании сумму

[

]

N M ( ξ ) − M ( ξ r ) ⋅ ( 1 + Θ * ).

(7.8)

После заключения договора перестрахования капитал передающей компании уменьшается на величину (7.8) и станет равным K ( r ) , где r K ( r ) = N ( 1 + Θ )M ( ξ ) − N ( 1 + Θ * )[ M ( ξ ) − M ( ξ )] =

= N(Θ

− Θ * )M ( ξ ) + N ( 1 + Θ * )M ( ξ r ).

206

(7.9)

Вероятность P( S ( r ) > K ( r ) ) , того, что после перестрахования суммарный иск будет больше капитала компании, есть вероятность разорения компании. В гауссовском приближении вероятность разорения после перестрахования запишется так  (r ) − M( S(r ) )

S P( S ( r ) > K ( r ) ) = P  

D( S ( r ) )

 K ( r ) M ( S( r ) )  = >  D( S ( r ) ) 

 ( r ) − M( ( r )) S K . = 1 − F   D( S ( r ) )  

(7.10)

Чтобы вероятность разорения была наименьшей, надо чтобы F(x) была максимальной, что требует изучения поведения аргумента F при различных пределах удержания r0. Пример 5.8. Пусть страховая компания заключила 10000 однотипных договоров страхования жизни сроком на 1 год. Условия договора: компания выплачивает 1 млн руб. в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая, 100000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года от естественных причин и не платит ничего, если застрахованный доживет до конца года. Принять вероятность смерти от несчастного случая, равной 5 ⋅ 10 −4 , а вероятность смерти от естественных причин − 2 ⋅ 10 −3 . Закон распределения случайного иска ξ, согласно условию страхования, будет ξ P

106

5 ⋅ 10 −4

10 5

0

2 ⋅ 10 −3

1 − 25 ⋅ 10 −4

Среднее значение индивидуального иска (т. е. нетто-премия a0) есть a0 = M( ξ ) = 5 ⋅ 10−4 + 2 ⋅ 10−3 ⋅ 105 = 700, а дисперсия D(ξ) индивидуального иска D( ξ ) = M ( ξ 2 ) − ( M ( ξ )) 2 = 5 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 12 + 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 10 − 700 2 ≈ 5 ,2 ⋅ 10 8 .

Предположим, что компания устанавливает премию а такой, что вероятность неразорения компании составит 95 %. Тогда x + D( ξ ) 1.645 ⋅ 5.2 ⋅ 10 4 a = a0 + 95% = 700 + ≈ 1075 руб., 10 2

N

относительная страховая надбавка при этом равна a − a0 x 95% + D( ξ ) 1,645 ⋅ 5 ,2 ⋅ 10 4 Θ= = = ≈ 0 ,536 =53,6 %. a0 N ⋅ M (ξ ) 10 2 ⋅ 700 207

Предположим, что компания решает перестраховать иски, превышающие 100000 руб. в перестраховочной компании. Таким образом, компания устанавливает предел удержания r=100000 руб. Предположим, что перестраховочная компания устанавливает относительную страховую надбавку Θ*= 60 %. В этом случае для уступающей (передающей) компании иск принимает только два значения: 100000 и 0 с вероятностью 25⋅10−4 и 1−25⋅10−4, т. е. можно записать ξ(r) P

100000 −4

25 ⋅ 10

0

1 − 25 ⋅ 10 −4

Имеем: M ( ξ ( r ) ) = 10 5 ⋅ 25 ⋅ 10 −4 = 250 ; D( ξ ( r ) ) = 25 ⋅ 10 −4 ( 1 − 25 ⋅ 10 −4 ) ⋅ 10 10 = 25 ⋅ 10 6 .

До перестрахования капитал компании был K = N ⋅ a ≈ 10750000 руб. Из этого капитала уступающая компания передает перестраховочной сумму (плата за перестрахование) согласно (7.8) 10000(700−250)(1+0,6)=7200000 руб. После перестрахования капитал передающей компании станет равен

K

( r ) = 1075 ⋅ 10000 − 7200000 = 3550000 руб.

Вероятность разорения передающей компании после заключения договора перестрахования станет согласно (7.10)  3550000− 2500000  = 1 − F( 2,1 ) ≈ 0,018 = 1,8%. P( S ( r ) > K ( r ) ) = 1 − F  3 5 ⋅ 10 ⋅ 100   Таким образом, за счет перестрахования компании удалось снизить вероятность разорения с 5 % до 1,8 %. Конечно, это достигнуто за счет увеличения капитала компании на 7200000 руб. и потерь в ожидаемом доходе, которые равны разности между капиталом компании после заключения договора перестрахования и ожидаемым суммарным иском после заключения договора перестрахования. Меняя предел удержания r, можно изменять и капитал компании, и вероятность ее разорения. Можно показать, что при r=160000 тыс. руб. вероятность разорения будет наименьшей и равной 1,6 %. При этом доход компании K ( r ) − M ( S ( r ) ) будет равен 1230000 руб., т. е. будет даже больше, чем при r = 100000, когда он был равен 1050000 руб. 208

5.8. Аннуитеты в пенсионном страховании Здесь мы рассмотрим возникновение условных рент (страховых аннуитетов) при пенсионном страховании на базе негосударственных пенсионных фондов (НПФ). С финансово-экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе НПФ есть для страхователей пенсий особого рода инвестиционный проект. Инвестиционные затраты по нему представляют взносы в фонд (накопления). Затем эти аккумулированные средства инвестируются фондом в слабо рисковые проекты; происходит наращение вложенных средств за счет доходов от этих проектов. На втором этапе имеет место получение страхователями инвестиционных доходов в виде пенсий от сделанных вложений. Особенность этого инвестиционного проекта состоит в использовании принципа солидарной ответственности страхователей при определении зависимости выплачиваемых пенсий от взносов в фонд. До 1917 года в России пенсионным обеспечением старости занимались учреждения под названием «пенсионные и эмеритальные кассы». Следует отметить, что в рамках НПФ в России практикуют два основных метода обеспечения пенсиями: а) страховой (коллективное и индивидуальное страхование пенсий). При расчете платежей используются условные ренты и принцип солидарной ответственности страхователей; б) сберегательный, точнее трастовый, − представляет покупку финансовой верной ренты, когда, покупая эту ренту сегодня, человек обеспечивает тем самым рентные платежи в будущем. Здесь нет места солидарной ответственности страхователей. Этот метод обеспечения старости лишь с большой натяжкой можно назвать пенсионным. Вместо терминов «премия» точнее будет говорить о «взносах» для покупки ренты и «доходах» − рентных платежах. За рубежом подобного рода операции осуществляются банками или другими финансовыми институтами и, во всяком случае, их не относят к деятельности пенсионных фондов. Рассмотрим различные аннуитеты, с которыми приходится иметь дело при страховом обеспечении пенсии (страховые аннуитеты). Пожизненные аннуитеты постнумерандо. Пусть х − возраст страхователя, W − предельный возраст в таблице смертности ( pW =0). Рассмотрим годовую, пожизненную ренту постнумерандо. Платежи (пенсии) начислены в размере b рублей. По условию, следовательно, пенсии выплачиваются немедленно, один раз в конце года в размере b рублей, пока жив страхователь. В год смерти пенсия не выплачивается. 209

Современная стоимость такого аннуитета с учетом вероятности выживания в соответствующем году обозначается a x (b ) и равна 



l x +1 l l ⋅ v + x + 2 ⋅ v 2 + ... + x +W ⋅ vW − x  ⋅ b = a x (b ) =   lx

lx

lx



b W −x ∑ l x+ j ⋅ v j . l x j =1

(8.1)

x

Умножим это выражение на 1 = v и, учитывая определение коммутаvx

ционных чисел D x и N x , получаем для годовой, пожизненной ренты постнумерандо W −x

b W −x N + x j ⋅v = = x +1 ⋅ b . a x (b ) = D ∑ ∑ l + x j + x j D x j =1 Dx l x ⋅ v x j =1 b

(8.2)

Через ax обозначим стоимость аннуитета с единичными платежами, т. е. сb=1. Таким образом, ax =

N x +1 . Dx

(8.2а)

На практике пенсионные выплаты производятся ежемесячно (рсрочная рента с р=12). Если по-прежнему b − размер годового платежа, то 1/12b − размер месячного платежа. Стоимость такой страховой, годовой, пожизненной, немедленной ренты с ежемесячными платежами постнумерандо обозначается a (x12 ) и с учетом формулы (8.2) находится по формуле αx

( 12 ) (b ) = N x

( 12 )

Dx

(8.3)

b,

где числа N x ( 12 ) определяются формулой N x ( 12 ) = N x −

11 ⋅ Dx 24

(8.4)

и могут быть взяты из таблицы коммутационных чисел. Если страхователю в возрасте х лет пенсия будет выплачиваться начиная с возраста х+n, то такая рента называется отложенной на n лет, и стоимость отложенного на n лет пожизненного, годового аннуитета постнумерандо обозначается n a x (b ) и находится по формуле n a x (b ) =

m− x

b lx v

x

∑ l x + n+ j ⋅ v x + n+ j =

j =1

N x + n +1 ⋅ b. Dx

210

(8.5)

Для этого аннуитета единичными платежами (b=1) получаем n ax =

N x + n−1 . Dx

(8.5а)

Стоимость отложенного на n лет пожизненного аннуитета с ежемесячными платежами постнумерандо будет вычисляться по формуле n ax n ax

( 12 ) ( 12 ) (b ) = N x + n +1 ⋅ b ,

(8.6)

Dx

( 12 ) = N x + n −1 . Dx

(8.6а)

Пример 5.9. 1) Стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для сорокалетнего мужчины при ежегодной выплате b рублей составит (с учетом приведенной таблицы смертности и i=9 % годовых) a40 (b ) =

26084 ,094 N 41 ⋅ b = 9,33351⋅b руб. ⋅ b= 2794 ,671 D40

2) Стоимость отложенной на 5 лет ренты (х=40, i=9 % годовых, n=5) 5 a 40 (b ) =

15452 ,619 N 46 ⋅b = b=5,52932⋅ b руб. 2794 ,671 D40

3) Стоимость немедленного пожизненного аннуитета с ежемесячными выплатами постнумерандо 1/12b рублей равна a40

( 12 ) (b ) = N 40

( 12 )

D40

⋅b =

27364 ,985 b=5,81535⋅ b руб. 2794 ,671

Пожизненные аннуитеты пренумерандо. Пенсии обычно выплачиваются в виде рент пренумерандо (платежи в начале расчетного периода). Для ..

стоимости a x (b ) немедленного годового пожизненного аннуитета пренумерандо получаем с учетом вероятности соответствующих платежей. W −x

∑ l x+ j ⋅ v ∞

..  l x l x +1  j =0 l v + ... + W vW − x  = b a x ( b ) = b + lx lx l x vx  lx 

=

N D x + N x +1 ⋅ b = x ⋅ b. Dx Dx

(8.7) 211

Для единичных платежей ..

Nx . Dx

ax =

(8.7a)

Сравнивая (8.7) и (8.2), находим, что ..

..

a x (b ) = a x (b ) + b , или a x = a x + 1.

(8.8)

..

Стоимость n a x (b ) отложенного на n лет пожизненного годового аннуитета пренумерандо будет находиться по формуле ..

.. N x+n N b, n a x = x+n . n a x(b ) = Dx Dx

(8.9)

При выплате пенсий помесячно, в начале месяца, для стоимости пожизненного аннуитета получаем формулы: • немедленный аннуитет a 12 x (b ) =

.. ( 12 ) Nx

Dx

.. ( 12 )

b, a x

=

.. ( 12 ) Nx

Dx

;

(8.10)

• отложенный на n лет аннуитет .. ( 12 ) .. ( 12 ) 12 .. 12 .. N x+n N x+n b , n a x (b ) = , a x (b ) = Dx Dx

(8.11)

где .. ( 12 ) 11 = Nx − Nx Dx .

(8.12)

24

Пример 5.10. Для случая х=40, n=5, i=9 % годовых получаем ..

a 40 (b ) = ..

5 a 40

(b ) = N 45 b =

.. ( 12 )

a 40

28878 ,765 N 40 b= b = 10,3351b; 2794 ,61 D40 D40

(b ) =

.. ( 12 ) N 40

D40

17194 ,989 b = 6,15278b; 2794 ,671

b = (10,3351− 11/24)2b = 9,87677b.

212

Ограниченные страховые аннуитеты. Немедленный, ограниченный, годовой аннуитет постнумерандо. Выплаты производятся немедленно, но не пожизненно, а в течение t лет в конце года в размере b рублей. Стоимость такого аннуитета a x ,t , очевидно, есть разность стоимостей двух пожизненных аннуитетов: пожизненного a x и отложенного на t лет t a x (b ) : a x;t (b ) = a x;t =

N x − N x +t +1 ⋅ b; Dx

(8.13)

N x − N x +t +1 . Dx

(8.13a)

Аналогично находим для выплат пренумерандо ..

a x ;t ..

a x ;t

(b )= N x =

− N x +t Dx

⋅ b;

(8.14)

N x − N x +t . Dx

(8.14a)

Для отложенных ограниченных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо имеем для b = 1 = n a x ;t ..

n a x ;t

=

N x + n − N x + n+t +1 ; Dx

(8.15)

N x + n − N x + n +t . Dx

(8.16)

Пример 5.11. Для сорокалетнего мужчины стоимость годового страхового пожизненного аннуитета пренумерандо, отложенного на двадцать лет, т. е. с выплатами с 60 лет, будет равна .. 20

a 40 (b ) =

2930 ,07 N 60 b= b = 1,04845 b 2794 ,671 D40

Стоимость не пожизненного аннуитета, а с выплатой в течение 10 лет, начиная с 60 лет, равна ..

20

a 40 ;10 (b ) =

N 60 − N 70 2930 ,07 − 650 ,279 = 0 ,81576 b. 2794 ,671 D40

213

5.9. Расчеты страховых нетто-премий и пенсий. Расчет нетто-премий по величине пенсий Будем считать заданной величину пенсии b рублей в год или 1/12b в месяц. Если пенсия покупается разовым платежом человеком в возрасте х лет, то размер страховой нетто-премии а равен стоимости аннуитета, соответствующего условиям выплат пенсии. Размер нетто-премии для различных условий дают в этом случае формулы §5.8. Заметим, что коэффициент перед b в этих формулах принято называть нетто-тарифом. Пример 5.12. Найдем размер единовременной нетто-премии, которую должны выплатить мужчине в возрасте 40 лет при заключении пожизненного пенсионного контракта, предусматривающего выплаты пенсий с 60 лет ежегодно, пренумерандо, в размере 10 млн руб. в год. Имеем пожизненный, отложенный, годовой аннуитет пренумерандо: a=

..

a ⋅ 10 = 20 40

N 60 ⋅ 10 = 10,484500 млн руб. D40

Если бы пенсия страховалась не в 40 лет, а в 60, то при единовременной оплате этого страхового аннуитета величина нетто-премии составит ..

a = a 40 ⋅ 10 =

N 60 ⋅ 10 = 79,193 млн руб. D60

Страхование пенсии в рассрочку. В практике страхования премии часто выплачиваются не разовыми платежами, а в рассрочку, в виде ряда последовательных платежей. Эти платежи страхователя в счет обеспечения будущих пенсий представляют собой страховые аннуитеты, причем ограниченные (на время рассрочки) страховые аннуитеты. Вместе с тем пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. Принцип эквивалентности финансовых обязательств требует равенства стоимостей этих аннуитетов. Пусть P − годовая сумма взносов страхователя (P − нетто-премия). Пусть взносы страхователя − немедленный, ограниченный сроком t лет, годовой аннуитет постнумерандо. Тогда a x;t (P ) = a x;t ⋅ P − стоимость этого аннуитета. Пусть b − годовой размер пенсии и пенсионные выплаты представляют пожизненный, отсроченный на n лет годовой аннуитет постнумерандо.

214

Если L − срок выхода на пенсию, то L=x+n или n=L−x. Стоимость такого аннуитета будет n a x (b ) = bn ⋅ a x . Согласно принципа финансовой эквивалентности обязательств a x;t (P ) = n a x (b ),

(9.1)

или N x − N x +t +1 N P = x + n +1 b. Dx Dx

Отсюда находим P =b⋅

N x + n+1 N L +1 =b . − − N x N x + t +1 N x N x + t +1

(9.2)

Пусть, например, возраст при заключении страхового контракта х=40 лет, рассрочка выплаты нетто-премии t=10 лет, пенсии начинают выплачивать с L=60 лет, т. е. n=60−40=20. Размер ежегодных платежей страхователя в течение 10 лет составит (при разовой пенсии b рублей) P=b

N 61 . − N 40 N 51

Если оба аннуитета предусматривают годовые платежи пренумерандо, то ..

..

требование a x ;t (P ) = n a x (b ) дает N x − N x +t N P = x + n b. Dx Dx

Откуда находим P=

N x+n NL . b= − − N x N x +t N x N x +t

(9.3)

Здесь L=x+n − срок выхода на пенсию. Пример 5.13. Пусть возраст при заключении контракта х=40 лет, нетто-премия в размере P рублей выплачивается пренумерандо, в рассрочку, в течение t=5 лет. Пенсия пожизненная, годовая, пренумерандо выплачивается начиная с L=60 лет. Размер пенсии b=10 млн/год, тогда согласно (9.3) имеем P=

2930 ,07 N 60 10 = 10 = 2,5083 млн руб. 28878 ,765 − 17194 ,989 N 40 − N 45 215

Расчет размера пенсий по сумме взносов. Выше мы находили размер платежей страхователя пенсии при заданной величине размера пенсии. Здесь будем находить размер пенсионных выплат при известных выплатах страхователя. Если премия выплачивается единовременным платежом, или выплачивается в рассрочку, причем взносы одинаковы, то размер пенсии находится из равенств типа (9.1). Рассмотрим теперь случай, когда взносы в течение k лет различны: P1 , P 2 ,.. P k . Первый взнос P1 можно рассматривать как единовременную премию, обеспечивающую пенсию в размере b1, второй взнос P2 обеспечивает пенсию в размере b2 и т. д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Тогда, согласно (8.9), N N .. = x+n = L . a n x Dx Dx

L=x+n - срок выхода на пенсию, поэтому P1 =

NL NL NL bk . b1 , P 2 = b2 ,..., P k = D x + n−1 Dx D x −1

Общая сумма пенсий b составит b = b1 + b 2 + ... + b k =

K

∑b j =

j =1

K P ⋅D j x + j −1

∑

NL

j =1

⋅b =

1 1

∑ P j ⋅ D x + j −1 . N L j =1

(9.4)

Пример 5.14. Пусть платежи на пенсионный счет страхователя (мужчины) поступают в течение k=5 лет пренумерандо. Первый взнос − 150 тыс. рублей сделан в возрасте 40 лет, второй взнос − 200 тыс. рублей и т. д. согласно таблице. Пенсия выплачивается с 60 лет. Расчеты дают х 40 41 42 43 44

Pj

bj

150 200 400 300 800

173,07 173,76 316,39 215,88 523,46

Годовой размер пенсии, выплачиваемой с 60 лет, за счет этих пяти взносов составит b=143,07+173,76+316,39+215,88+523,46=1372,56 тыс. руб. 216

§5.10. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий Напомним, что сберегательное обеспечение пенсий означает покупку лицом, заинтересованным в обеспечении старости, соответствующей вечной ренты (см. параграф 5.8). Соответствующие формулы для современной стоимости различных рент приведены в пособии [1]. При сберегательном методе обеспечения пенсии нет места принципу солидарной ответственности страхователей, когда при расчете стоимостей платежей ренты размер платежей увязывается с вероятностью этого платежа. В силу этого стоимость сберегательного обеспечения пенсии выше стоимости страхового обеспечения пенсии при прочих равных условиях. Другой особенностью сберегательного обеспечения пенсий является то, что оно предусматривает наследование остатков на счете участника в случае его смерти, тогда как страховые схемы не предусматривают такого наследования. Рассмотрим следующий пример расчета стоимости ренты при сберегательном способе ее обеспечения. Пусть пенсия будет выплачиваться с возраста L в течение n лет в виде годовой ренты пренумерандо. Эта рента покупается единовременным (разовым) платежом, когда покупателю будет L лет, т. е. речь идет о стоимости немедленной ренты. Если b − размер годового платежа (пенсии) ренты, то ее стоимость P на момент покупки равна P = b ⋅ a n;i (1 + i ),

где a n +i =

(10.1)

1 − (1 + i )− n − коэффициент приведения годовой постоянной ренты i

постнумерандо. Если договор заключается в возрасте х лет, т. е. за ф= L − x лет до выплаты пенсий, то речь идет об отсрочке на τ лет ренте. Размер единовременного платежа в счет покупки этой ренты τ P составит ф фP = P ⋅ v = b ⋅ a n;i v

τ −1 .

(10.2)

Пример 5.15. Пусть выплаты пренумерандо (пенсии один раз в начале года) производятся в размере 10 млн рублей, тогда при i=9 % годовых, n=15 лет, L=60 лет, получаем а) для немедленной ренты P=10⋅ a15 ;9 (1 + 0,009) = 87,862 млн руб. б) для отложенной на 30 лет выплате пенсий, т. е. когда эта рента покупается разовым платежом человеком за 30 лет до возраста L=60 лет: − 29 = 7 ,218 млн руб. 30 P = 87,862 ⋅ 1,09 217

Если бы речь шла о страховом обеспечении пенсии, то стоимость ..

a 60 ;15 (10) годовой пенсии пренумерандо, которая выплачивается с 60 лет,

т. е. посмертно, после покупки была бы равна: .. N − N 75 а) P = a 60 ;15 ⋅ 10 = 10 ⋅ 60 = 72,300 млн руб.;

D60

.. N − N 75 б) τ P = 30 a 30 ;15 ⋅ 10 = 10 ⋅ 60 = 3,849 млн руб.

D30

218

Глава 6 ОПТИМАЛЬНЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ 6.1. Простейшая модель портфеля Основная цель инвестора − максимизация чистого дохода (NII) при сохранении допустимого уровня риска. Предполагается, что инвестор оценил потенциальную доходность с учетом налогов и риска каждого доступного ему инструмента. Далее ему необходимо принять решение по каждому инструменту, т. е. сформировать свой инвестиционный портфель как набор в определенных количествах некоторых инструментов. Всякий инвестор стремиться диверсифицировать (разнообразить) свои инструменты с целью ограничить риск. Редко инвестор прибегает к случайной диверсификации, спонтанно выбирая инструменты. Как правило, инвестор целенаправленно диверсифицирует, т. е. подбирает инструменты, наиболее адекватно отвечающие его целям. Предположим, что налоги, расходы, связанные с осуществлением сделок, например, с конвертацией валют, а также любые другие расходы учтены в доходности. В наиболее общей форме оптимальное формирование портфеля на некоторый период времени состоит в максимизации функции NII=f1(x1)+f2(x2)+…fn(xn), где fi(xi) − ожидаемые процентные доходы, если значения функции fi(xi) положительны; или процентные затраты, если значения функции fi(xi) отрицательны при вложении заимствованных xi единиц капитала на i-м рынке. Если xi>0, то i − активная операция; если xi k 1 ).

kj

SML

M

K

Равновесная ситуация

βj

1 Рис. 6.5.

Факторы, оказывающие влияние на положение прямой SML. 1. Влияние инфляции. Безрисковая доходность CAMP является номинальной, т. е. включает две составляющие: реальную безрисковую доходность (ставку процента) и ожидаемую инфляцию. При росте ожидаемой инфляции номинальная безрисковая доходность растет, что приводит к изменению положения прямой SML, как показано на рис. 6.5 (сдвиг прямой SML по оси ординат). 2. Изменение склонности к риску. Фактор изменения отношения к риску меняет наклон прямой SML. Рис. 6.5 показывает изменение положения SML при возрастании неприятия риска. Возрастает рыночная премия за риск (km−k0), что приводит к росту требуемой рыночной доходности с km1 до km2. Требуемая доходность по другим рискованным ценным бумагам и портфелям также растет, но с учетом степени влияния систематического риска (чем меньше оценка систематического рика – значение β-коэффициента, тем меньше будет рост доходности). 3. Изменение β-коэффициента. Корпорация может менять меру систематического риска (β-коэффициент) через: • комбинацию реальных активов; • изменение доли заемного капитала в общем капитале. 239

Кроме того, β-коэффициент подвержен влиянию внешних факторов, таких, как изменение конкурентного состояния отрасли, ограничения по производству со стороны государства. Все эти изменения отражаются на изменении требуемой доходности. Уравнение SML по активу j : k j = k 0 + β ( k m − k 0 ) утверждает, что требуемая (и соответственно в равновесии ожидаемая) доходность актива j включает две компоненты: доходность безрискового актива и премию за риск. Премия за риск инвестирования в актив j зависит от: 1) премии за риск рыночного портфеля (по этому портфелю, состоящему из всех активов рынка, β=1 и премия равна km−k0); 2) значения β-коэффициента по рассматриваемому активу j. Если βj=1, то требуемая доходность по активу j совпадает со средней доходностью по всем активам, т. е. равна доходности рыночного портфеля. Если βj>1, то премия за риск по активу j выше рыночной премии за риск на множитель β и соответственно выше общая требуемая доходность. На практике отсутствует возможность оценки ожидаемых значений доходности как по конкретной бумаге, так и по рыночному портфелю. Теоретическая посылка оценки коэффициента βj по ожиданию будущих изменений заменяется оценкой по прошлым наблюдениям поведения доходности kj и km. Насколько прошлые изменения могут быть гарантией будущего развития (часто ожидания инвесторов основываются на вероятностном распределении прошлых результатов), настолько βj может стать индикатором изменения kj в зависимости от изменения km. Модель рассматривает зависимость премии за риск по ценной бумаге j от премии за риск по рыночному индексу: αj – доходность ценной бумаги j при нулевой доходности рынка, т. е. когда влияние рыночного риска отсутствует. Соответственно, αj показывает, какую доходность ценная бумага обеспечит владельцу за диверсифицируемый (специфический) риск. В некотором смысле это дополнительная премия по сравнению с безрисковым активом для случая нулевой премии за рыночный риск. При нулевой премии за рыночный риск каждая ценная бумага в состоянии рыночного равновесия будет иметь нулевые значения α-коэффициентов. Средневзвешенная α-коэффициентов всех ценных бумаг равна нулю, при этом по некоторым бумагам значение может быть положительным, а по некоторым – отрицательным. Графически α-коэффициент равен отрезку, отсекаемому на оси ординат. Прямая, отражающая зависимость доходности акции j от фондового индекса, строится на основе регрессионного анализа (минимизируется сумма квадратов отклонений значения наблюдаемых точек на графике и 240

соответствующих точек, лежащих на прямой). Обобщенным показателем степени связи доходности акций и индекса яляется коэффициент детерминации, или коэффициент корреляции, R2. Например, численное значение R2=0,8 показывает, что 80 % вариации доходности акции может быть объяснено изменениями доходности индекса. При большом количестве наблюдений и близости точек к характеристической прямой R2 →1. Рыночная модель, описываемая уравнением (4.1), и CAMP, описываемая уравнением (4.2), являются однофакторными моделями оценки требуемой доходности по ценной бумаге. Отличие этих моделей состоит в следующем: 1) в рыночной модели фактором является рыночный (фондовый) индекс, а в CAMP – рыночный портфель, который охватывает большее количество рисковых финансовых активов, чем те, что включены в фондовый индекс; 2) рыночная модель в отличие от CAMP не является равновесной; 3) теоретически β-коэффициент рыночной модели не сопадает с β−коэффициентом СAMP (в рыночной модели он отражает чувствительность к рыночному индексу, а в CAMP – к изменению рыночного портфеля). Однако из-за невозможности оценить β-коэффициент по отношению к рыночному портфелю в CAMP на практике используется β-коэффициент из рыночной модели. 6.5. Арбитражная модель оценки ожидаемой доходности CAMP представляет однофакторную модель, в которой риск является функцией β-коэффициента, т. е. по прошлым данным строится однофакторная модель вида k j = α j + β j km + u, (4.2) где фактором является завивимость доходности ценной бумаги j от фондового индекса (доходности рыночного индекса km), αj и βj являются истинными оценками α и β, u – случайная переменная. Арбитражная теория (Arbitrage Princing Theory – APT), предложенная Россом, утверждает, что доходность акции зависит от многих факторов: частично от макроэкономических факторов и частично от факторов, влияющих на специфический (диверсифицируемый) риск. Доходность рыночного портфеля (как в CAMP) может быть лишь одним из факторов. Арбитражная модель – это альтернатива CAMP, она не определяет конкретное число факторов и их значимость для данной акции, так как для каждой акции значимыми будут свои факторы. Факторами могут быть фондовый индекс (как в CAMP рыночный портфель), валовый национальный продукт, цены на энергоносители, процентная ставка и др. Например, исследования по американскому рынку выявили в числе значимых макро241

экономических факторов такие, как изменения в отраслевом производстве, инфляция, индивидуальное потребление, предложение денег и процентная ставка. Агентство Salomon Brother при оценках по многофакторной модели включает в рассмотрение пять факторов: инфляцию, темп роста валового национального продукта, процентную ставку, индекс изменения цен на нефть, темп роста расходов на оборону. Обобщенно можно выделит три группы факторов, обязательно включаемых в арбитражную модель: 1) показатели общей экономической активности (это может быть темп роста промышленного производства, темп роста усредненных продаж, темп роста ВНП); 2) показатели, отражающие инфляцию; 3) показатели процентной ставки (разница между долгосрочной и краткосрочной ставками, ставка доходности фондового (рыночного) индекса). Идея компенсации большего риска по сравнению с безрисковыми активами в модели APT остается неизменной. Если есть безрисковый вариант займа и инвестирования (этот вариант обеспечивает доходность или стоимость капитала при займе денег в размере k0), то: • за больший риск инвесторы требуют бόльшую доходность; • получение повышенной доходности означает наличие факторов риска. Инвесторы на рынке стремятся увеличить доходность портфеля без увеличения риска. Такая возможность может быть реализована через арбитражный портфель, т. е. формирование портфеля путем одновременной продажи акции по относительно высокой цене и покупки этих акций в другом месте по относительно низкой цене. Такая операция позволит инвестору, не вкладывая средства, получить безрисковый доход. Арбитражные возможности появляются, если по акциям или портфелям с одинаковой чувствительностью к факторам ожидается различная доходность. Инвесторы устремляются к получению безрискового дохода, и возможность арбитража исчерпывается. Таким образом, в равновесии акции и портфели с одинаковой чувствительностью к факторам имеют одинаковые значения ожидаемой доходности (с поправкой на специфический риск). Преимуществом APМ является меньшее число предположений о поведении инвестора на рынке по сравнению с CAPM. Предполагается, что фактическая доходность любой акции j является линейной функцией r факторов: k *j = k i + b j1 F1 + b j 2 F2 + ... + b jr Fr + u j ,

где k *j – фактическая доходность по акции j; k j − ожидаемая доходность акции j; b ji − чувствительность доходности акции j к фактору i (иногда исполь242

зуется термин «факторная нагрузка»); Fi − значение фактора i;

uj −

случайная величина (с нулевым средним значением) как компонента специфического риска по акции j. В модели рассматриваются портфели из имеющихся на рынке акций. Предполагается, что число включенных в рассмотрение акций значительно превышает число факторов r. Теоретически можно сформировать такой портфель, чтобы он был безрисковым и чистые инвестиции в нем были нулевыми. Такой портфель должен иметь нулевую ожидаемую доходность, поскольку в противном случае возникнут арбитражные операции, в результате которых цены на активы будут меняться до тех пор, пока ожидаемая доходность портфеля не станет равной нулю. Рассмотрим построение арбитражного портфеля при отсутствии дополнительного инвестирования (деньги для покупки ценных бумаг образуются через продажу других ценных бумаг). Например, пусть индивид имеет портфель акций и хочет заработать на арбитражных операциях. Инвестор не предполагает инвестировать в изменение долей акций в имеющемся портфеле. Изменение портфеля достигается изменением стоимости акции i в портфеле. Это изменение обозначим через wj. wj показывает вес акции j в арбитражном портфеле. Нулевое инвестирование означает, что ∑ w j = 0. Безрисковость портфеля требует отсутствия систематического и несистематического риска. Доходность портфеля из n акций равна взвешенной сумме доходности по отдельным акциям, включенным в портфель: k p = ∑ w j k *j = ∑ w j k j + ∑ w j b j1 F1 + ... + ∑ w j b jr Fr + ∑ w j u j .

Элиминирование систематического риска достигается через подбор wj таким образом, чтобы для каждого фактора j взвешенная сумма мультипликаторов br была равна нулю (мультипликаторы систематического риска по каждому фактору дают средневзвешенное нулевое значение): ∑ w j b jr = 0 по каждому фактору от 1 до r. Чувствительность портфеля к фактору j равна средневзвешенной чувствительности акций, включенных в портфель. Рассмотрение большого числа активов в портфеле позволяет устранить специфический риск и при большом значении n взвешенная сумма ∑ w j u j = 0. Таким образом, диверсификация портфеля позволяет записать выражение для доходности портфеля без последнего слагаемого специфического риска. Итоговое выражение доходности портфеля: k p = ∑ w j k *j = ∑ w j k j + ∑ w j b j1 F1 + ... + ∑ w j b jr Fr .

243

Фактически построен портфель с нулевым β по каждому фактору, для него не требуется дополнительных инвестиций (какие-то значения wj положительны, что означает покупку акций, какие-то – отрицательны, что означает продажу). Систематический риск устранен. Если доходность kp положительна, то портфель является арбитражным, и инвестор будет стремиться построить его. Покупка и продажа определенных акций на рынке большим числом инвесторов приведут к изменению цен и повлияют на ожидаемую доходность. В ситуации равновесия доходность построенного портфеля (и всех других арбитражных портфелей) должна быть нулевой kp =0. Тогда из линейной алгебры следует, что вектор ожидаемой доходности kj может быть представлен как линейная комбинация вектора постоянных значений (коэффициентов λ) и вектора мультипликаторов. Должно существовать r+1 постояных коэффициентов λ0 , λ1 , λ 2 ,..., λ r , таких, которые позволят разложить ожидаемую доходность акции i: k j = λ0 + λ1b j1 + ... + λ r b jr , где b ji − чувствительность доходности акции i к фактору j. Для интерпретации коэффициентов λ рассмотрим безрисковый актив j с доходностью kjk0 − постоянная величина, и чувствительность к факторам у нее нулевая b0i = 0 для всех i=1,…. Следовательно, k 0 = λ0 . Теперь выражение для kj можно представить в виде премии к безрисковому активу: k j − k 0 = λ1b j1 + ... + λ r b jr . Получаем экономический смысл для коэффициентов λi − это премия за риск (цена риска) в равновесии для фактора i. Пусть σ i − ожидаемая доходность портфеля с единичной чувствительностью к другим факторам. Такой портфель носит название чистого факторного портфеля. Тогда выражение цены риска принимает вид λi = σ i − k 0 .Коэффициент λ показывает избыточную доходность (по сравнению с безрисковой доходностью) по чистому факторному портфелю. Это премия за факторный риск. В итоге для представления арбитражной модели получим версию с премиями за факторный риск: k j = k 0 + ( σ 1 − k 0 )b j1 + ( σ 2 − k 0 )b j 2 + ... + ( σ r − k 0 )b jr . Заметим, что полученное уравнение аналогично уравнению SML и является его многомерным аналогом.

244

Литература 1. Аванесов А.Т., Ковалев М.М., Руденко В.Г. Финансово-экономические расчеты: анализ инвестиций и контрактов. Мн.: БГУ, 1998. 2. Бригхем Ю., Гапенский Л. Финансовый менеджмент. СПб.: Экономическая школа, 1997. Т. 1–2. 3. Гитман Л., Джанк М. Основы инвестирования. М.: Дело, 1997. 4. Едронова В.Н., Мизковский Е.А. Учет и анализ финансовых активов. М.: Финансы и статистика, 1995. 5. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансовобанковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994. 6. Мертенс А. Инвестиции. Киев: Киевское инвестиционное агентство, 1997. 7. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра, 1994. 8. Сорос Д. Алхимия финансов. М.: Инфра-М, 1996. 9. Теплова Т.В. Финансовый менеджмент: управление капиталом и инвестициями. М.: ГУВШЭ, 2000. 10. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику (математические модели в страховании): Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994. 11. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело ЛТД, 2000. 12. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: Инфра, 1997.

245

Оглавление Предисловие Введение. Предмет инвестиционного анализа Глава 1. Анализ простейших финансовых операций. Простые проценты 1.1. Исчисление процентов 1.2. Простейшая финансовая операция, ее характеристики 1.3. Продолжительность краткосрочной сделки 1.4. Схема простых процентов 1.5. Потребительский кредит 1.6. Погашение краткосрочного долга по частям 1.7. Финансовые и коммерческие векселя 1.8. Ломбардный кредит 1.9. Замена платежей при простых процентах 1.10. Инфляция и процентная ставка Глава 2. Простейшие финансовые операции. Сложные проценты 2.1. Схема сложных процентов для простейших операций 2.2. Номинальная ставка процентов 2.3. Сложная и номинальная учетные ставки 2.4. Эффективная ставка процентов 2.5. Непрерывное начисление процентов 2.6. Доходность простейшей операции 2.7. Простейшая операция с конверсией валют 2.8. Замена платежей при сложных процентах 2.9. Эквивалентные ставки Глава 3. Анализ инвестиционных проектов 3.1. Современная стоимость платежей 3.2. Чистая приведенная стоимость (NPV) 3.3 Срок окупаемости 3.4. Внутренняя норма доходности 3.5. Рентабельность инвестиционного проекта 3.6. Потоки платежей, финансовая рента 3.7. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо 3.8. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо 3.9. Погашение долгосрочной задолженности 3.10. Льготные займы и кредиты 3.11. Сравнение кредитных и коммерческих контрактов 3.12. Аренда (лизинг) оборудования 3.13. Другие виды ренты 3.14. Ипотечные ссуды Глава 4. Анализ финансовых инвестиций 4.1. Рынки финансовых инвестиций 4.2. Классификация облигаций 4.3. Доходность облигаций 4.4. Полная доходность облигаций 4.5. Сертификаты 4.6. Классификация акций 4.7. Доходность акций Глава 5.Анализ страховых моделей 5.1. Финансовый риск и ограничение риска

3 6 8 8 14 17 18 25 28 30 40 41 46 52 52 57 58 60 62 65 73 79 81 82 82 85 87 89 91 94 95 103 107 114 119 125 128 131 135 135 139 145 150 157 162 175 181 181

5.2. История актуарных расчетов 5.3. Краткосрочное страхование 5.4. Таблицы смертности и коммутационные числа 5.5 Долгосрочное страхование. Страхование на дожитие 5.6. Долгосрочное страхование жизни. n-летнее страхование жизни 5.7. Перестрахование 5.8. Аннуитеты в пенсионном страховании 5.9. Расчеты страховых нетто-премий и пенсий. Расчет нетто-премий по величине пенсий 5.10. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий Глава 6. Оптимальный инвестиционный портфель 6. 1. Простейшая модель портфеля 6.2. Модель активных и пассивных операций банка 6.3. Модели диверсификации портфеля Марковица-Тобина 6.4.Модель Шарпа (CAMP) 6.5. Арбитражная модель оценки ожидаемой доходности Литература

185 186 192 195 200 203 209 214 217 219 219 221 223 233 241 245