Топология калибровочных полей и конденсированных сред

М.И.Монастырский ТОПОЛОГИЯ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ И КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД М.: ПАИМС, 1995. 478 с.

Систематически изложены современные применения топологии в физике элементарных частиц и конденсированного состояния. Топологические методы позволяют изучить с единых позиций такие различные физические эффекты, как образование сингулярностей в жидких кристаллах и в сверхтекучем гелии, появление экзотических решений типа монополей и инстантонов в уравнениях калибровочных полей. Для научных работников: физиков-теоретиков и математиков, а также аспирантов и студентов старших курсов университетов. Оглавление Предисловие 9 Как пользоваться книгой 12 Глава I. Подготовительный математический материал. Общие 13 структуры §1.1. Многообразия 13 1.1.1. Определение многообразия. Примеры. Основные свойства 13 1.1.2. Функции и векторные поля на многообразиях 24 1.1.2.1. Касательное пространство 25 1.1.2.2. Векторное поле 26 1.1.2.3. Дифференциальные формы 30 §1.2. Группы Ли 33 1.2.1. Группы Ли как группы преобразований многообразия M 34 1.2.2. Алгебры Ли 38 1.2.3. Связь алгебры Ли и группы Ли 41 1.2.4. Дифференциальные формы со значениями в алгебре Ли 45 §1.3. Действие групп 48 1.3.1. Орбиты групп 48 1.3.2. Кристаллографические группы 49 1.3.3. Когерентные состояния 51 1.3.4. Страты 54 1.3.5. Теорема Картана 58 §1.4. Расслоенные пространства 61 1.4.1. Определение расслоенного пространства. Примеры 61 1.4.2. Операции над расслоениями 67 §1.5. Связность в расслоении 72 1.5.1. Связность на двумерных многообразиях 72 1.5.2. Связность в главном расслоении 74 1.5.3. Форма связности 75 1.5.4. Параллельный перенос 76 1.5.5. Форма кривизны 77 1.5.6. Связность и кривизна в касательном расслоении. Локальные 78

координаты 1.5.7. Кривизна линейной связности 1.5.8. Связность и метрика 1.5.9. Геодезические линии 1.5.10. Группа голономии Глава II. Элементы топологии. Как различить два заданных многообразия? §2.1. Теория гомотопий 2.1.1. Гомотопические группы 2.1.2. Гомотопические группы расслоенных пространств 2.1.3. Относительные гомотопические группы 2.1.4. Гомотопические группы накрывающих пространств 2.1.5. Действие фундаментальной группы π1 на высшие гомотопические группы 2.1.6. Произведение Уайтхеда 2.1.7. Обзор вычислений гомотопических групп, встречающихся в физических приложениях §2.2. Теория гомологий 2.2.1. Клеточное разбиение 2.2.2. Операции в клеточных комплексах 2.2.3. Гомологии клеточных компактов §2.3. Теория когомологий 2.3.1. Определение и основные свойства группы когомологий 2.3.2. Группы когомологий дифференцируемых многообразий 2.3.3. Интегрирование дифференциальных форм 2.3.4. Структура алгебры дифференциальных форм §2.4. Соотношения между группами гомотопий и гомологий §2.5. Степень отображения и индексы векторных полей 2.5.1. Определения степени отображения. Примеры 2.5.2. Индекс векторного поля 2.5.3. Эйлерова характеристика §2.6. Инвариант Хопфа 2.6.1. Расслоение Хопфа 2.6.2. Инвариант Хопфа 2.6.3. Интегральное представление инварианта Хопфа 2.6.4. Применение инварианта Хопфа. Новые примеры §2.7. Характеристические классы 2.7.1. Теорема Гаусса - Боннэ 2.7.2. Общая конструкция характеристических классов 2.7.3. Классы когомологий и формы связности 2.7.4. Гомоморфизм Вейля 2.7.5. Характеристические классы Черна 2.7.6. Характеристические классы Понтрягина

84 92 95 98 100 100 101 107 112 114 117 118 121 127 128 129 135 146 146 148 149 152 160 164 164 169 171 177 177 181 183 188 199 199 202 204 206 209 214

2.7.7. Характеристический класс Эйлера 2.7.8. Характеристические классы Штифеля - Уитни 2.7.9. Теория кобордизмов Глава III. Физические принципы и структуры §3.1. Калибровочная инвариантность 3.1.1. Поле Максвелла и Янга - Миллса 3.1.2. Геометрическая интерпретация полей Максвелла и Янга - Миллса §3.2. Системы со спонтанным нарушением симметрии 3.2.1. Спонтанное нарушение дискретной симметрии 3.2.2. Спонтанное нарушение непрерывной группы симметрии 3.2.3. Групповая интерпретация голдстоуновских бозонов 3.2.4. Механизм Хиггса 3.2.5. Эффект Мейснера 3.2.6. Эффект Хиггса и поле Янга - Миллса Глава IV. Топология калибровочных полей §4.1. Монополи в калибровочных теориях поля 4.1.1. Монополь Дирака 4.1.2. Калибровочный монополь (монополь Хоофта - Полякова) 4.1.3. Топологический критерий существования решений типа монополя 4.1.4. Применение топологического критерия в различных физических моделях 4.1.5. SU(3)— монополи 4.1.6. Топология монополей, пересекающих границу фаз §4.2. Инстантоны 4.2.1. Инстантоны в одномерных моделях 4.2.2. Гармонические отображения 4.2.3. Инстантоны в двумерных ферромагнетиках 4.2.4. Инстантоны в двумерных киральных моделях 4.2.5. Инстантоны в уравнениях Янга - Миллса 4.2.5.1. Инстантон БПТШ 4.2.5.2. Инстантонное решение Виттена 4.2.5.3. Пространство инстантонных решений 4.2.6. Топологические заряды в многомерных теориях поля Глава V. Топология конденсированных сред §5.1. Жидкие кристаллы 5.1.1. Классификация жидких кристаллов 5.1.1.1. Классификация особенностей в системах со спонтанным нарушением симметрии 5.1.2. Линейные и точечные дефекты в нематике 5.1.3. Дефекты в холестерике 5.1.3.1. Инвариант Хопфа и дисклинационные петли 5.1.3.2. Метод Вольтерра и классификация линейных особенностей в холестериках 5.1.4. Двумерные структуры в нематике

216 220 225 232 232 232 237 241 245 246 247 249 251 254 257 257 257 262 264 266 268 278 281 281 287 294 297 301 304 307 317 318 326 327 327 329 331 337 341 343 346

5.1.5. Поверхностные особенности в нематиках и холестериках 5.1.6. Топология зацепленных дефектов 5.1.6.1. Зацепленные линейные дефекты 5.1.6.2. Общая теория зацеплений 5.1.6.3. Гомотопические свойства отображений в пространство параметра порядка 5.1.6.4. Дифференциальные формы и высшие коэффициенты зацеплений 5.1.6.5. Пересечение дефектов 5.1.6.6. Произведение Уайтхеда и пересечение многомерных дефектов §5.2. Топология сверхтекучего 3He 5.2.1. Уравнение Гинзбурга - Ландау 5.2.2. Структура фаз в 3He и нейтронной звезде 5.2.2.1. Структура фаз в 3He 5.2.2.2. Нейтронная звезда 5.2.3. А- и В-фазы в 3He 5.2.4. Линейные и точечные особенности в А- и В-фазах 5.2.4.1. Линейные особенности в А-фазе 5.2.4.2. Точечные особенности в A-фазе 5.2.4.3. Линейные особенности в В-фазе 5.2.4.4. Точечные особенности в В-фазе 5.2.5. Поверхностные особенности 5.2.5.1. Поверхностные особенности в А-фазе 5.2.5.2. Бужумы 5.2.5.3. Острова на поверхности 5.2.5.4. Бужумы и затухание сверхтекучего тока 5.2.6. Доменная структура в В-фазе 3He 5.2.7. Одномерные текстуры в А- и B-фазах 5.2.7.1. Одномерные текстуры в А-фазе 5.2.7.2. Одномерные текстуры в В-фазе 5.2.8. Общая конструкция топологических зарядов. Новые примеры 5.2.8.1. Топологические заряды для сингулярностей в общей теории относительности 5.2.8.2. Спиноры и W2 5.2.8.3. Топологические заряды и теория кобордизмов Глава VI. Заключение §6.1. Топология калибровочных полей 6.1.1. Копии By - Янга 6.1.2. Пространство орбит §6.2. Топология конденсированных сред 6.2.1. Жидкие кристаллы 6.2.2. 3He

351 353 353 358 361 364 370 379 383 384 387 387 396 397 405 406 409 410 410 411 411 414 416 421 421 426 426 434 436 436 439 442 447 447 447 451 456 456 458

6.2.3. Теория зацеплений §6.3. Исторические замечания Список литературы

458 462 466