Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошных сред

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе

________________В.П. Гарькин «____»_______________ 2005 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа (блок «Общепрофессиональные дисциплины»; раздел «Федеральный компонент»; основная образовательная программа специальности 010901 Механика)

Самара 2006

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010901 Механика, утвержденного 15.03.00 (номер государственной регистрации 415 ЕН/СП) и типовой (примерной) программы дисциплины «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа», одобренной Советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию. Составитель рабочей программы ст. преподаватель Т.Б. Лаврова Рецензент д. ф.-м. н., профессор Е. И. Рыжак Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред (протокол № от «____» _________ 2005 г.) Заведующий кафедрой ″____″ _____________ 2005 г.

_______________

Ю.Н. Радаев

Декан факультета ″____″ _____________ 2005 г.

_______________

В.И. Астафьев

Начальник методического отдела ″____″ _____________ 2005 г.

_______________

Н.В. Соловова

________________

И.А. Власова

СОГЛАСОВАНО

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета ″____″ _____________ 2005 г.

2

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины – формирование у студентов понимания и навыков использования аппарата безиндексного тензорного исчисления. Эти навыки затем используются для изучения начал дифференциальной геометрии. Задачи дисциплины: • показать как строится алгебра тензоров над векторным пространством; • детально рассмотреть строение и свойства билинейных функционалов разных типов, построить изоморфизм между пространствами линейных операторов над векторным пространством и смешанных билинейных функционалов, изучить строение и свойства линейных операторов, их приведение к нормальной жордановой форме, акцентировать внимание студентов на особенности строения алгебры тензоров над трехмерным евклидовым векторным пространством; • ввести оператор градиент и правила его действия на тензорные объекты, рассмотреть дифференциальные операции дивергенция и ротор, а также правила их вычисления, построить второй градиент и связанные с ним дифференциальные операции; • построить локальную теорию кривых и поверхностей в трехмерном пространстве. 1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны: Иметь представление: • о тензорах, как о полилинейных функционалах, заданных на векторном пространстве, о свойствах инвариантных операций над тензорами; • об операторе градиент и его свойствах; • о принципах построения локальной теории кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Знать: • основные понятия и методы тензорной алгебры и анализа; • базовую терминологию и математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов тензорной алгебры и анализа; • основные теоремы тензорной алгебры и анализа; 3

• определения кривых и поверхностей в трехмерном пространстве, основные дифференциальные характеристики, определяющие локальные свойства кривых и поверхностей. Уметь: • проводить выкладки, используя аппарат безиндексного тензорного исчисления, проводить расчеты, используя правила работы с операциями градиент, ротор, дивергенция; • решать задачи, связанные с локальными свойствами кривых и поверхностей. 1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Для успешного овладения данной дисциплиной студентам необходимо освоить аналитическую геометрию, линейную алгебру, математический анализ (особенно разделы - дифференцирование функций одной и многих переменных, интегрирование). 1.4. Связь с последующими дисциплинами Понятия, законы и методы, изученные в данном курсе, будут использоваться в базовом курсе "Механика сплошных сред" и в дисциплинах специализации специальности 010901.

4

2. Содержание дисциплины 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах) ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ, 3-й семестр – экзамен. Вид учебных занятий

Количество часов

Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к лекционным и практическим занятиям Подготовка к экзамену Всего часов по дисциплине

90 54 36 50 20 30 140

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий № Раздел дисциплины п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

Полилинейные функционалы над векторным пространством. Тензоры Линейные операторы над векторным пространством Тензоры над евклидовым векторным пространством Тензоры второго, третьего и четвертого ранга над трехмерным евклидовым векторным пространством Тензорный анализ

Количество часов лекции

практические лабораторные занятия занятия

10

---

4

12

---

4

6

---

4

4

---

4

10

---

8

Теория кривых в трехмерном пространстве Теория поверхностей в трехмерном пространстве Контрольные работы

6

---

4

6

---

8

Итого

54

5 5

36

5

2.3. Лекционный курс ТЕМА 1. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ НАД ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ. ТЕНЗОРЫ Линейные пространства. Подпространства. Пересечение подпространств. Линейные оболочки. Сумма подпространств. Размерность подпространств. Размерность суммы подпространств. Размерность линейной оболочки. Прямые суммы подпространств. Разложение пространства в прямую сумму подпространств. Факторпространства. Гомоморфизмы линейных пространств. Прямые суммы пространств. Сопряженное пространство. Двойственные пространства. Второе сопряженное пространство. Преобразование сопряженного базиса и компонент ковекторов. Аннуляторы. Аннулятор аннулятора и аннуляторы прямых слагаемых. Билинейные функционалы и билинейные формы. Билинейные функционалы в сопряженном пространстве. Смешанные билинейные функционалы. Тензоры. Умножение тензоров. Базис пространства тензоров. Свертка тензоров. Ранговое пространство полилинейного функционала. Ранг полилинейного функционала. Функционалы и подстановки. Альтернирование. Симметрические и кососимметрические билинейные функционалы. Матрица билинейного функционала. Ранг билинейного функционала. ТЕМА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НАД ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Алгебра линейных операторов. Операторы и смешанные билинейные функционалы. Линейные операторы и матрицы. Обратимые операторы. Сопряженный оператор. Инвариантные подпространства и индуцированные операторы. Собственные значения. Характеристические корни. Диагонализируемые операторы. Операторы с простым спектром. Существование базиса, в котором матрица оператора треугольна. Нильпотентные операторы. Разложение нильпотентного оператора в прямую сумму циклических операторов. Корневые подпространства. Жорданова нормальная форма. Теорема Гамильтона—Кэли. Комплексификация линейного оператора. Собственные подпространства, принадлежащие характеристическим корням. Операторы, комплексификация которых диагонализируема. ТЕМА 3. ТЕНЗОРЫ НАД ЕВКЛИДОВЫМ ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Евклидовы пространства. Ортогональные дополнения. Отождествление векторов и ковекторов. Аннуляторы и ортогональные дополнения Билинейные функционалы и линейные операторы. Устранение произвола в отождествлении тензоров различных типов. Метрический тензор . Спуск и подъем индексов. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы. Спектральные свойства самосопряженных операторов. Ортогональная диагонализируемость самосопряженных операторов. Минимаксное свойст6

во собственных значений самосопряженных операторов. Положительные операторы. Изометрические операторы. Полярное разложение обратимых операторов. Геометрическая интерпретация полярного разложения. ТЕМА 4. ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО, ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО РАНГА НАД ТРЕХМЕРНЫМ ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Диадное представление тензоров второго ранга. Операции над тензорами второго ранга, определяемые как операции над диадами. Вектор, двойственный антисимметричному тензору второго ранга. Альтернирующий тензор третьего ранга. Изомеры тензоров третьего ранга. Тензоры четвертого ранга как операторы над пространством тензоров второго ранга. Ортогональные проекторы над пространством тензоров второго ранга. Некоторые тензоры четвертого ранга, играющие особую роль в МСС. ТЕМА 5. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ Градиент тензорного поля. Формула для градиента тензорного поля, зависящего от нескольких скалярных полей. Формула для градиента тензорного поля, зависящего от одного или нескольких векторных полей. Дивергенция и ротор тензорного поля. Теоремы Гаусса – Остроградского и Стокса. Различные формулы для дивергенции и ротора от всевозможных произведений тензорных полей. Формулы для дивергенции и ротора тензорного поля, зависящего от нескольких скалярных полей (криволинейные координаты). Второй градиент. Дифференциальные операторы второго порядка, алгебраически связанные со вторым градиентом. Лапласиан. Лапласиан в криволинейных координатах. Тензорные функции тензорного аргумента. Дифференцирование по тензорному аргументу. Градиент функции, зависящей от тензорного поля. ТЕМА 6. ТЕОРИЯ КРИВЫХ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Непрерывные, гладкие и регулярные кривые. Эквивалентные кривые. Регулярные кривые на плоскости и графики функций. Длина кривой. Кривые на плоскости. Кривые в трехмерном пространстве. Формулы Френе. Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера. Формулы Френе для кривой в n-мерном пространстве. Задание кривой ее кривизнами. ТЕМА 7. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Регулярные поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Индуцированные квадратичные формы. Изометричные поверхности. Поверхности с идентичными квадратичными формами. Касательные векторы. Первая квадратичная форма как метрическая форма пространства касательных векторов. Касательная плоскость и вектор нормали. Кривизна 7

нормального сечения. Вторая квадратичная форма поверхности. Индикатриса Дюпена. Главные кривизны. Деривационные формулы Вейнгартена. Коеффициенты связности. Теорема Гаусса. Необходимые и достаточные условия изометричности.. 2.4. Практические (семинарские) занятия Практические занятия не предусмотрены 2.5. Лабораторный практикум № п/п

Тема лабораторных занятия

Но- Колимер чество темы часов

1

1

2

2

2

2

3 4 5 6 7 8 9

3 4 5 5 6 7 7

2 2 2 2 2 2 2

Преобразование компонент полилинейных функционалов при замене базиса Построение простейших проекторов, действующих на векторы трехмерного пространства Алгебра операторов Альтернирующий тензор Дифференцирование тензорных полей Дифференцирование тензорных функций Репер Френе, формулы Френе Первая квадратичная форма поверхности Вторая квадратичная форма поверхности

3.Организация текущего и промежуточного контроля знаний 3.1. Контрольные работы Тематика контрольных работ

Сроки проведения

Темы дисциплины 1. Тензорная алгебра 9-я учебная неделя 1,2,3,4 2. Тензорный анализ 12-я учебная неделя 5 3. Геометрия кривых и поверхностей 17-я учебная неделя 6,7 3.2. Комплекты тестовых заданий • Комплект заданий для домашних контрольных работ.

3.3. Самостоятельная работа 3.3.1. Поддержка самостоятельной работы (сборники тестов, задач, упражнений и др.) Сборники задач, упражнений и др. указаны в разделе «Литература». 8

3.3.2. Тематика рефератов Написание рефератов по курсу не предусмотрено. 3.4. Курсовая работа, её характеристика; примерная тематика Курсовая работа по курсу не предусмотрена. Итоговый контроль проводится в виде экзамена в 3 семестре. Экзаменационная оценка ставится на основании письменного и устного ответов по экзаменационному билету. 4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ Технические средства обучения и контроля, ЭВМ не используются. 5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) Решение задач исследовательского характера на лабораторных занятиях. 6. Материальное обеспечение дисциплины Оборудования для проведения лабораторных занятий по курсу не требуется. 7. Литература 7.1. Основная (одновременно изучают дисциплину

человек).

1. Постников М М Лекции по геометрии Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979. (гриф Минобразова 20 экземпляров) 2. Акивис М.А. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1969. (гриф Минобразования; 10 экземпляров) 3. Феденко А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1979. (гриф Минобразования; 25 экземпляров) 4. Кожевников Е.Н., Степанова Л.В. Задачи по векторному анализу. Изд-во «Самарский университет», 1997. (гриф Минобразования;30 экземпляров) 7.2. Дополнительная 1. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. М.: Просвещение, 1979. 2. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ, 2000. 9

3. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1963. 4. Мисюркевич И.В. Сборник задач по методам математической физики. М.: Просвещение, 1979. 7.3. Учебно-методические материалы по дисциплине Учебно-методические материалы по курсу отсутствуют. ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ за___________/__________________учебный год

В рабочую программу «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа» для специальности 010901 вносятся следующие дополнения и изменения:

10

ТРЕБОВАНИЯ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ КОНТРОЛЮ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА»

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА» Линейные пространства. Подпространства. Пересечение подпространств. Линейные оболочки. Сумма подпространств. Размерность подпространств. Размерность суммы подпространств. Размерность линейной оболочки. Прямые суммы подпространств. Разложение пространства в прямую сумму подпространств. Факторпространства. Гомоморфизмы линейных пространств. Прямые суммы пространств. Сопряженное пространство. Двойственные пространства. Второе сопряженное пространство. Преобразование сопряженного базиса и компонент ковекторов. Аннуляторы. Аннулятор аннулятора и аннуляторы прямых слагаемых. Билинейные функционалы и билинейные формы. Билинейные функционалы в сопряженном пространстве. Смешанные билинейные функционалы. Тензоры. Умножение тензоров. Базис пространства тензоров. Свертка тензоров. Ранговое пространство полилинейного функционала. Ранг полилинейного функционала. Функционалы и подстановки. Альтернирование. Симметрические и кососимметрические билинейные функционалы. Матрица билинейного функционала. Ранг билинейного функционала. Алгебра линейных операторов. Операторы и смешанные билинейные функционалы. Линейные операторы и матрицы. Обратимые операторы. Сопряженный оператор. Инвариантные подпространства и индуцированные операторы. Собственные значения. Характеристические корни. Диагонализируемые операторы. Операторы с простым спектром. Существование базиса, в котором матрица оператора треугольна. Нильпотентные операторы. Разложение нильпотентного оператора в прямую сумму циклических операторов. Корневые подпространства. Жорданова нормальная форма. Теорема Гамильтона—Кэли. Комплексификация линейного оператора. Собственные подпространства, принадлежащие характеристическим корням. Операторы, комплексификация которых диагонализируема. Евклидовы пространства. Ортогональные дополнения. Отождествление векторов и ковекторов. Аннуляторы и ортогональные дополнения Билинейные функционалы и линейные операторы. Устранение произвола в 11

отождествлении тензоров различных типов. Метрический тензор . Спуск и подъем индексов. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы. Спектральные свойства самосопряженных операторов. Ортогональная диагонализируемость самосопряженных операторов. Минимаксное свойство собственных значений самосопряженных операторов. Положительные операторы. Изометрические операторы. Полярное разложение обратимых операторов. Геометрическая интерпретация полярного разложения. Диадное представление тензоров второго ранга. Операции над тензорами второго ранга, определяемые как операции над диадами. Вектор, двойственный антисимметричному тензору второго ранга. Альтернирующий тензор третьего ранга. Изомеры тензоров третьего ранга. Тензоры четвертого ранга как операторы над пространством тензоров второго ранга. Ортогональные проекторы над пространством тензоров второго ранга. Некоторые тензоры четвертого ранга, играющие особую роль в МСС. Градиент тензорного поля. Формула для градиента тензорного поля, зависящего от нескольких скалярных полей. Формула для градиента тензорного поля, зависящего от одного или нескольких векторных полей. Дивергенция и ротор тензорного поля. Теоремы Гаусса – Остроградского и Стокса. Различные формулы для дивергенции и ротора от всевозможных произведений тензорных полей. Формулы для дивергенции и ротора тензорного поля, зависящего от нескольких скалярных полей (криволинейные координаты). Второй градиент. Дифференциальные операторы второго порядка, алгебраически связанные со вторым градиентом. Лапласиан. Лапласиан в криволинейных координатах. Тензорные функции тензорного аргумента. Дифференцирование по тензорному аргументу. Градиент функции, зависящей от тензорного поля. Непрерывные, гладкие и регулярные кривые. Эквивалентные кривые. Регулярные кривые на плоскости и графики функций. Длина кривой. Кривые на плоскости. Кривые в трехмерном пространстве. Формулы Френе. Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера. Формулы Френе для кривой в n-мерном пространстве. Задание кривой ее кривизнами. Регулярные поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Индуцированные квадратичные формы. Изометричные поверхности. Поверхности с идентичными квадратичными формами. Касательные векторы. Первая квадратичная форма как метрическая форма пространства касательных векторов. Касательная плоскость и вектор нормали. Кривизна нормального сечения. Вторая квадратичная форма поверхности. Индикатриса Дюпена. Главные кривизны. Деривационные формулы Вейнгартена. Коэффициенты связности. Теорема Гаусса. Необходимые и достаточные условия изометричности..

12

ПРИМЕР ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА

1. Диагонализируемые операторы. Операторы с простым спектром. 2. Ротор тензорного поля. Условие потенциальности скалярного поля. 3. Вторая квадратичная форма поверхности.

13

СРЕДСТВА ДИАГНОСТИКИ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Контрольная работа № 1 1.Записать явно, используя те или иные диады и единичный тензор: а) зеркальное отражение относительно плоскости с нормалью n; б) поворот вокруг оси m на угол ϕ . 2.Найти собственные векторы и собственные числа симметричного тензора второго ранга А=m ⊗ n+ n ⊗ m. 3.Найти полярное разложение тензора второго ранга А=a l ⊗ l + b m ⊗ m - c n ⊗ n, где a, b, c – положительные числа, а l, m, n – ортонормированный базис. Контрольная работа № 2 № 1003, 1004, 1031, 1043, 1051. Контрольная работа № 3 № 497, 672, 758, 779. В контрольных работах № 2 и № 3 указаны номера заданий из «Сборника задач по дифференциальной геометрии » под ред. А.С. Феденко. Из этого же сборника даны номера задач для ПРИМЕРА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ по теме № 7: №442, 449, 473, 494, 505, 512, 515.

14

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ.

При изучении курса «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа» должны быть активизированы остаточные знания студентов по таким математическим дисциплинам, как линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения. При чтении лекционного курса необходимо постоянно подчеркивать геометрическое содержание вводимых понятий и связей между ними, создавать ощутимые, понятные и запоминающиеся геометрические образы, апеллировать к основанной на повседневном опыте геометрической интуиции слушателей. В процессе проведения практических занятий необходимо добиваться формирования устойчивых навыков оперирования с понятиями и формулами тензорного исчисления, умения проверять на качественном уровне правильность проводимых выкладок, например, сравнивать ранги тензоров в разных частях тензорного равенства. В силу того, что студенты встречались с понятием векторного пространства и его свойствами и в изучаемых ранее курсах, представляется целесообразным вовлекать студентов в дискуссию, предлагать им высказать свою точку зрения по обсуждаемым вопросам. В качестве раздаточного материала предлагается использовать макет рабочей программы. Целесообразно акцентировать практическую значимость соответствующих проблем, обратить внимание на требования, предъявляемые современному специалисту-механику, пояснить необходимость использования полученных знаний при изучении последующих курсов, при выполнении студентами дипломной работы. При организации самостоятельной работы студентов следует указать им на наличие в сети Интернет полного описания всех ГОС и многих программ учебных дисциплин, находящихся в «страничках» Российского образовательного портала (www.education.ru). ЛИТЕРАТУРА. 1. Протокол заседания Учебно-методического совета СамГУ от 18.11.05. 2. ГОСТ высшего профессионального образования. Специальность 010901 «механика»

15

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОГО КУРСА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА» К моменту изучения данной дисциплины вы уже освоили большинство дисциплин. Поэтому советуем Вам просмотреть конспекты Ваших лекций по изученным дисциплинам и освежить знания. Проработку лекционного материала можно проводить как после каждого занятия, так и по завершению темы. Это позволит связать воедино полученные сведения и составить цельную картину. Не следует стремиться к механическому запоминанию формулировок приведенных определений и положений, если требования к Вам прямо не указывают на это. Вполне эффективной может оказаться попытка понять суть явления, выработать свое отношение к нему, опираясь на материал, содержащийся в рекомендованной литературе. Сказанное особенно эффективно, когда речь идет о таких требованиях, как «понимает» или «имеет представление». Напротив, если Вы имеете дело с требованием к деятельности «должен уметь», то рекомендуется поупражняться в соответствующем виде деятельности. Все это имеет непосредственное отношение к подготовке к семинарским занятиям. Старайтесь быть активным участником занятия. Это нужно не преподавателю, а в первую очередь Вам, поскольку умение обосновывать свою точку зрения, найти компромиссное решение в этически выдержанной дискуссии не только важно для лучшего усвоения материала, но и ценится в реальной жизни. Литература. 1. Протокол заседания Учебно-методического совета СамГУ от 18.11.05. 2. ГОСТ высшего профессионального образования. Специальность 010901 «механика»

16