О коэффициентных мультипликаторах пространств Блоха и Харди в поликруге

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1 УДК 517.53 О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ПРОСТРА...

Author: Шамоян Р.Ф.

8 downloads 165 Views 455KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1

УДК 517.53

О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ПРОСТРАНСТВ БЛОХА И ХАРДИ В ПОЛИКРУГЕ Р. Ф. Шамоян Аннотация: Получено полное описание пространств коэффициентных мультипликаторов, действующих из пространств со смешанной нормой H p,q,α и из классов Харди H p в пространства Блоха в поликруге, а также из классов Харди H p в H q при 0 < p < 1, p < q ≤ ∞. Библиогр. 18.

Введение Пусть D = {z : |z| < 1} — единичный круг на комплексной плоскости C, H(D) — множество всех голоморфных в D функций, B(D) — класс Блоха в круге D: B(D) = {f ∈ H(D) : kf kB = sup (1 − |z|2 )|f 0 (z)| < ∞}. z∈D

Хорошо известно, что различные свойства функций из пространств Блоха играют основополагающую роль в теории однолистных функций и в теории конформных отображений (см. [1–4]). Классы Блоха вводились и изучались различными авторами и в многомерных областях в Cn (в шаре, в поликруге) (см. [4–6]). При этом выяснилось, что естественные аналоги пространств Блоха в поликруге Dn не обладают многими свойствами класса Блоха в круге D (см. [4]). Одна из целей работы — нахождение таких аналогов пространств B(D) в поликруге, на которые можно перенести некоторые утверждения недавно появившейся статьи [7], касающиеся коэффициентных мультипликаторов в классы Блоха. Оказалось, что метод, предложенный в работе автора (см. [8]), позволяет проводить прямые и более простые доказательства выше упомянутых результатов, причем при надлежащем выборе классов Блоха в Dn сразу в случае поликруга. Применяя тот же подход во второй части заметки, мы получим полное описание мультипликаторов из класса Харди H p (Dn ) в H q (Dn ) при 0 < p < 1, 0 < p < q ≤ ∞. При n = 1 другим методом этот результат получен в [9]. Отметим также, что мультипликаторам классов Харди посвящено большое количество работ (см. [4, 9]). Результаты о коэффициентных мультипликаторах различных классов аналитических функций, в частности пространств Харди H p (Dn ), в поликруге начали появляться совсем недавно (см. [8, 10]). Для формулировки основных утверждений работы введем обозначения и сформулируем основные определения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01–01–00992).

c 2002 Шамоян Р. Ф.

О коэффициентных мультипликаторах пространств

213

Пусть Dn = {z = (z1 , . . . , zn ) : |zj | < 1, j = 1, . . . , n} — единичный поликруг комплексного пространства Cn , T n = {z = (z1 , . . . , zn ), |zj | = 1, j = 1, . . . , n} — его остов, I n = [0, 1)n , H(Dn ) — множество всех голоморфных в Dn функций. Далее, пусть Z Mp (f, R) =

1/p |f (Rξ)| dmn (ξ) , p

0 < p < ∞;

Tn

M∞ (f, R) =

sup |f (z)|,

R ∈ I n,

|zj |=Rj j=1,...,n

где mn (ξ) — мера Лебега на T n , Rz = (R1 z1 , . . . , Rn zn ), z ∈ Cn , R ∈ I n , |z − ξ|γ =

n Y

|zk − ξk |γ ,

γ ∈ R, ξ, z ∈ Cn , ξk 6= zk , k = 1, . . . , n,

k=1 n = Z+ × · · · × Z+ , Z+ = N ∪ {0}, m2n (w) — 2n-мерная мера Лебега на Dn , Z+ dr = dr1 . . . drn . Введем классы H p,q,α (Dn ): Z p,q,α n H (D ) = f ∈ H(Dn ) : kf kqH p,q,α = Mpq (f, r)(1 − r)αq−1 dr < ∞, In

0 < q < ∞, 0 < p ≤ ∞, 0 < α < ∞ , H p,∞,α (Dn ) = {f ∈ H(Dn ) : kf kH p,∞,α = sup Mp (f, r)(1 − r)α < ∞, r∈I n

0 < α < ∞, 0 < p ≤ ∞}. Свойства пространств со смешанной нормой H p,q,α (D) и их аналогов в поликруге или в шаре B n пространства Cn хорошо изучены (см. [4, 7, 11]). Легко видеть, что H p,∞,0 (Dn ) и H p,p,α (Dn ) — классы Харди и Бергмана — Джрбашяна в поликруге Dn соответственно. Далее X (Dα f )(z), (Dα f )(z), f ∈ H(Dn ), f (z) = ak z k |k|≥1

— операторы дробного дифференцирования (см. [11, 12]): (Dα f )(z) =

X

(k + 1)α ak z k , α ≥ 0,

(k + 1)α =

X |k|≥0

(kj + 1)α ;

j=1

|k|≥0

(Dα f )(z) =

n Y

n Y Γ(α + k + 1) ak z k , α ≥ 0, Γ(k + α + 1) = Γ(kj + α + 1). Γ(α + 1)Γ(k + 1) j=1

Легко видеть, что (Dα f )(z) и (Dα f )(z) ∈ H(Dn ), если f ∈ H(Dn ), и что (Df )(z) =

∂ n (z1 . . . zn f (z)) , ∂z1 . . . ∂zn

Dm f = Dm−1 (Df ),

Введем операторы D−α и D−α , α > 0, так, что D−a (Dα f ) = f,

D−a (Dα f ) = f,

α ≥ 0.

m ∈ N.

214

Р. Ф. Шамоян

Определение. Пусть X и Y — подпространства H(Dn ). Говорят, что последовательность комплексных чисел (ck )k∈Z+n является мультипликатором P из X в Y , если для любой функции f ∈ H(Dn ), f (z) = ak z k , функция h, |k|≥0 P h(z) = ck ak z k , принадлежит Y . Множество всех мультипликаторов из X в |k|≥0

Y обозначим через MT (X, Y ). Введем классы Блоха Bl(Dn ), Bα (Dn ) и B(Dn ) в поликруге Dn : Bl(Dn ) = {f ∈ H(Dn ) : kf kBl = sup M∞ (Df, r)(1 − r) < ∞}, n

r∈I n α

n

Bα (D ) = {f ∈ H(D ) := sup M∞ (D f, r)(1 − r)α < ∞}, r∈I n [ B(Dn ) = Bα (Dn ).

0 < α < ∞,

α>0

Отметим также, что «нормы» для классов Блоха в поликруге можно вводить и другим способом, например, ∂f (z) (1 − |z1 |) . . . (1 − |zj |) < ∞, j = 1, . . . , n, kf k = sup z∈D n ∂zj или kf k = sup |Dn f (z)|(1 − |zn |) < ∞. z∈D n

Легко видеть, что при n = 1 в силу результатов [11] и леммы 1.4 работы [7] Bl(D) = Bα (D) = B(D) = Bβ (D) для любых α, β > 0, B(D) — обычные классы Блоха в круге D. Нетрудно показать также, что имеет место включение Bα (Dn ) ⊂ Bβ (Dn ), β > α > 0, n ∈ N. Рассмотрим для простоты случай двух переменных. Учитывая, что верна оценка (см., например, [13]) M∞ (Dα f, r) ≤ c(α)(1 − r)−α M∞ (f, r),

f ∈ H(D), α > 0,

и очевидное равенство (Dα+β f )(z) = Dα (Dβ f )(z),

α, β > 0, f ∈ H(Dn ),

выводим: sup

sup Dβz1 Dβz2 f (z1 , z2 ) (1 − r1 )β (1 − r2 )β

r1 ∈I, |z1 |=r1 , r2 ∈I |z2 |=r2

= sup sup

sup sup Dβz2 Dβz1 f (z1 , z2 ) (1 − r2 )β (1 − r1 )β

r1 ∈I |z1 |=r1 r2 ∈I |z2 |=r2

= sup sup

β β β sup sup Dzβ−α Dα z2 Dz1 f (z1 , z2 ) (1 − r2 ) (1 − r1 ) 2

r1 ∈I |z1 |=r1 r2 ∈I |z2 |=r2

≤ c(β, α) sup sup

β α β sup sup Dα z2 Dz1 f (z1 , z2 ) (1 − r2 ) (1 − r1 )

r1 ∈I |z1 |=r1 r2 ∈I |z2 |=r2

= c(β, α) sup sup

α β α sup sup Dzβ−α Dα z1 Dz2 f (z1 , z2 ) (1 − r1 ) (1 − r2 ) 1

r2 ∈I |z2 |=r2 r1 ∈I |z1 |=r1

≤ c1 (β, α) sup M∞ (Dα f, r1 , r2 )(1 − r1 )α (1 − r2 )α . r∈I 2


215

§ 1. Описание мультипликаторов из классов Харди H p (D n ) и из пространств со смешанной нормой H p,q,α (D n ) в пространства Bα (D n ) и B(D n ) Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы. Теорема 1. 1. Пусть 0 < p ≤ 1. Тогда последовательность {(ck )k∈Z+n } принадлежит классам MT (H p (Dn )), Bl в том и только том случае, если sup M∞ (DDβ+1/p−2 g, r)(1 − r)β < ∞,

(1)

r∈I n

где 1 < β < ∞,

g(z) ∈ H(Dn ),

g(z) =

X

ck z k .

|k|≥0

2. Пусть β > 0, 1 0

Теорема 2. 1. Пусть 0 < α < ∞, 0 1 — некоторое число. 2. Пусть 0 < α < ∞, 1 < q, p < ∞, S = β + α, β > {α(q − 1)}. Тогда последовательность {(ck )k∈Z+n } принадлежит классам MT (H p,q,α (Dn ), BS (Dn ) в том и только том случае, если sup Mp0 (Dβ+α g, r)(1 − r)β < ∞,

(4)

r∈I n

где g(z) =

X

ck z k ,

g ∈ H(Dn ).

|k|≥0

Замечание 1. Из результатов работ [7, 11] нетрудно вывести, что при n = 1 пространства мультипликаторов MT (H p , Bl), 0 < p < ∞, и MT (H p,q,α , Bl) при 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ 1 (1 < q, p < ∞), описанные в теоремах 1 и 2, совпадают с соответствующими пространствами, описание которых дано в работе [7]. Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться нижеследующей леммой 2 и учесть, что Dα (Dβ g(z)) = Dα+β g(z)(Dα Dβ )g(z) = (Dβ Dα )g(z) = Dβ (Dα g(z)),

α, β > 0.

Замечание 2. Методами, применяемыми в доказательствах теорем 1 и 2, по-видимому, можно получить также описание пространств MT (H p,q,α (Dn ), X), где X — одно из введенных выше классов Блоха в Dn , а 1 < q < ∞, 0 < p ≤ 1 или 1 < p < ∞, 0 < q ≤ 1. В дальнейшем через C, C(α), C1 , C2 (p) мы обозначаем различные положительные константы. Для доказательства теорем нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.

216

Р. Ф. Шамоян Лемма 1. Справедливы следующие оценки:

C(p, β) 1 n

(1 − rz)S+1 p n ≤ (1 − r)S+1−1/p , r ∈ I , S > 1/p − 1, H (D ) 1 − zr =

n Y

(1 − rk zk ),

zk ∈ D, k = 1, . . . , n;

k=1

1

(1 − rz)γ

C(p, q, α, γ) , (1 − r)β−1

≤

H p,q,α (D n )

r ∈ I n , 0 < p, q < ∞, 0 < α < ∞, γ = β + α + 1/p − 1, β > 1. Доказательство оценок леммы следует непосредственно из хорошо известных оценок (см. [12]) Z1

(1 − ρr)−λ (1 − r)α dr ≤ c(λ, α)(1 − ρ)−λ+α+1 ,

ρ ∈ I, λ > α + 1, α > −1,

0

Z

dm(ϕ) C(γ) ≤ , iϕ γ |1 − re | (1 − r)γ−1

γ > 1, r ∈ I.

(5)

T

Введем пространства HSp,q,α (Dn ) = {f ∈ H(Dn ) : kDS f kH p,q,α < ∞, S ∈ R}. Лемма 2. 1. Пусть t > 0, g ∈ H(D). Тогда Dt g ∈ H p,q,α (D), 0 < p, q < ∞, 0 < α < ∞, в том и только том случае, если Dt g ∈ H p,q,α (D). 2. Пусть α, β > 0, α − β = S − t, s, t ∈ R, 0 < p, q ≤ ∞. Тогда HSp,q,α (D) = p,q,β Ht (D). 3. Пусть f, g ∈ H(Dn ), α > 0. Тогда Z Z g(rt)f (rt) dmn (t) ≤ C(r, α) |Dα g(w)| |f (w)|(1 − |w|)α−1 dm2n (w), Dn

Tn

причем C(r, α) → C(α) при r → 1. Доказательство утверждений 1–3 приведены в [11, 7, 14] соответственно. Лемма 3. Пусть g ∈ H(Dn ), 0 < p, q ≤ 1, X = H p,q,α (Dn ) или Fαp,q (Dn ), где Fαp,q (Dn ) =

f ∈ H(Dn ), kf kpFαp,q (Dn )

Z Z

|f (Rξ)|q (1 − R)αq−1 dR

= Tn

p/q dmn (ξ) < ∞,

0 < p, q, α < ∞ .

In

Тогда Z

|f (w)|(1 − |w|)α+1/p−2 dm2n (w) ≤ ckf kX ,

f ∈ X.

Dn

Доказательство. Утверждение леммы доказано в [8] при X = Fαpq (Dn ). p,q,α При X = H(D n ) рассуждения не претерпевают значительных изменений.


217

Лемма 4. 1. Пусть (Bγ (Dn ))∗ — пространство всех линейных непрерывных функционалов класса Bγ (Dn ). Тогда каждая функция из класса H11,1,1 (Dn ) порождает линейный непрерывный функционал в пространстве Bγ (Dn ). 2. Имеет место оценка Z |f (w)|(1 − |w|)1/p−2 dm2n ≤ C(p)kf kH p , f ∈ H p (Dn ), 0 < p < 1. Dn

Доказательство. 1. Покажем, что любая функция f ∈ H11,1,1 (Dn ) порождает линейный непрерывный функционал на Bγ (Dn ) по формуле Z g(rt)f (rt) dmn (t), g ∈ Bγ (Dn ). Φf (g) = lim r→1 Tn

Действительно, проводя стандартные рассуждения и учитывая лемму 2, получим Z Z f (rt)g(rt) dmn (t) = (Df (rt))D−1 g(rt) dmn (t) Tn

Tn

Z ≤ C(r, γ)

|Dγ g(w)| |Df (w)|(1 − |w|)γ dm2n (w),

Dn

где C(r, γ) → C1 (γ) при r → 1. Отсюда |Φf (g)| ≤ CkgkBγ (Dn ) kf kH 1,1,1 (Dn ) . 1 2. См. [14]. Лемма 5. Пусть 0 < p, q < ∞, f ∈ H p,q,α (Dn ). Тогда Mp (f, r)(1 − r)α ≤ ckf kH p,q,α ,

r ∈ I n,

для некоторой константы c. Доказательство. Имеем Q = Mp (f, r1 , . . . , rn )(1 − r1 )α . . . (1 − rn )α  1−2−ks,1 −2 1−2−ks,n −2 Z Z ≤ C ··· Mpq (f, r1 , . . . , rn ) 1−2ks,n −1

1−2ks,1 −1

1/q × (1 − r1 )αq . . . (1 − rn )αq dR1 . . . dRn (2ks,1 +···+ks,n )

,

где ks,j → ∞ при s → ∞; j = 1, . . . , n, rj ∈ [1 − 2−ks,j ; 1 − 2−ks,j −1 ); j = 1, . . . , n. Далее, q

−ks,1 −2 1−2Z

Q ≤ C1

−2 1−2−k Z s,n

Mpq (f, R)(1 − R)αq−1 dR ≤ C2 kf kqH p,q,α .

··· 1−2ks,1 −1

1−2ks,n −1

В силу неравенств Mp (f, R1 ) ≤ Mp (f, R2 ), f ∈ H(Dn ), Rk = Rk1 , . . . , Rkn , k = 1, 2, Rk ∈ I n , k = 1, 2, R1j ≤ R2j , j = 1, . . . , n. Лемма 5 доказана.

218


Доказательство теорем 1 и 2. Доказательство необходимости условий (1) и (3) следует из леммы 1 и из теоремы о замкнутом графике. Докажем, к примеру, необходимость условия (3). Пусть fr (z) =

1 , (1 − rz)γ

r ∈ I n , γ = β + α + 1/p − 1, β > 1.

Тогда функцию h(z) =

X

ak ck z k ,

|k|≥0

где fr (z) =

X

ak z k rk ,

g(z) =

|k|≥0

X

ck z k ,

|k|≥0 γ−1

можно представить в виде hr (z) = D gr (z). Следовательно, используя теорему о замкнутом графике и оценку леммы 1, получаем sup M∞ (D(Dβ+α+1/p−2 gr ), R)(1 − R) R∈I n

= kDβ+α+1/p−2 gr kBl(Dn ) ≤ Ckfr (z)kH p,q,α ≤

C1 . (1 − r)β−1

Отсюда учитывая, что f (r) ≤ sup f (R), где r ∈ I n любое, выводим R∈I n

sup M∞ (D(Dα+β+1/p−2 g), r)(1 − r)β < ∞, r∈I n

и условие (3) установлено. Аналогично, используя оценку 1 леммы 1, можно вывести необходимость условия (1). Докажем необходимость условия (2). Заметим для этого, что если оператор X X X Tg : Tg (f ) = h, h(z) = ck ak z k , g(z) = ck z k , f (z) = ak z k |k|≥0

|k|≥0

|k|≥0

действует из X в Y , где X, Y — квазинормированные подпространства H(Dn ), то сопряженный к нему оператор (Tg )∗ действует из Y ∗ в X ∗ по тому же правилу: X X ˜ ˜ ∈ X ∗ , f˜ ∈ Y ∗ , h(z) ˜ (Tg )∗ f˜ = h, h = ck a ˜k z k , f (z) = a ˜k z k |k|≥0 ∗

|k|≥0

∗

(X и Y — сопряженные пространства к классам X и Y соответственно). Сле0 довательно, Tg — ограниченный оператор из (Bβ (Dn ))∗ в H p (Dn ), p10 + p1 = 1. 0

Поэтому по лемме 4 Tg действует ограниченно из H11,1,1 (Dn ) в H p (Dn ). Остается, используя теорему о замкнутом графике, провести рассуждения, аналогичные проведенным выше при доказательстве необходимых условий (1) и (3), и учесть при этом, что из оценок (5) и леммы 2 следует

n Y

β

β

1 1

kfr (z)kH 1,1,1 = D = D

1 (1 − rw) H 1,1,1 (Dn ) 1 − rk wk H 1,1,1 k=1 1 1

Z

1 dm (w) C1 2n

≤ ≤ , β > 0.

(1 − rw)β+1 1,1,1 n ≤ C(β) β+2 |1 − rw| (1 − r)β H (D ) 1

Dn


219

Установим, наконец, необходимость условия (4). Для доказательства воспользуемся описанием сопряженного пространства класса H p,q,α (Dn ): 0

0

0

(H p,q,α (Dn ))∗ = {g ∈ H(Dn ) : DA+1 g ∈ H p ,q ,(A+1)/q }, 0

0

(6) ∗

где αq − 1 = A, 1 < q, p < ∞, 1/p + 1/p = 1; 1/q + 1/q = 1, а X , как и выше, пространство, сопряженное к подпространству X ⊂ H(Dn ). При n = 1 равенство (6) приведено в [15], при p = q, n ∈ N — в [12]. Вышеприведенное равенство в полидиске нетрудно установить стандартным наращиванием общего числа переменных (см. [16]). Используя п. 1 леммы 4 при γ = α + β и применяя соображения двойственности, аналогичные приведенным выше, и лемму 5, выводим оценки αq

Mp0 (DA+1 (Dγ g), r) ≤ C(1 − r) q0 kDγ+A+1 gr kH p0 q0

(A+1)/q 0

≤ C1 (1 − r)

Z

αq q0

D(fr (z)) dm2n (z), Dn

где f (z) =

X

(k + 1)γ z1k1 . . . znkn = Dγ

k1 ,...,kn ≥0

Из лемм 1 и 2 имеем Z n Z Y |Dfr (z)| dm2n (z) ≤ C1

,

γ > 0.

γ+1 1 dm2 (z) D (1 − rk zk )

k=1 D

Dn

1 1−z

Z

1 dm2n (z) ≤ C3 (1 − r)γ , |1 − rz|γ+2

≤ C2

γ > 0.

Dn 0

Следовательно, получаем Mp0 (Dαq (Dγ g), r)(1 − r)γ+αq/q < C, что равносильно условию sup Mp0 (Dα+β g, r)(1 − r)β < ∞, r∈I n

где β = γ + αq − α > αq − α. Необходимость условия (4) установлена. Займемся доказательством достаточности условий (1)–(4) в теоремах 1, 2. Заметим, что если X X f (z) = ak z k , g(z) = ck z k , |k|≥0

|k|≥0

то h(z) =

X

ck ak z k =

|k|≥0

1 (2π)n

Z

f (rt¯)g(rtξ) dmn (t),

z = r2 ξ, z ∈ Dn .

Tn

Достаточность условия (2) следует из цепочки соотношений Z 1 β D h(rz) = Dβ gr (t¯)f (tz) dmn (t); (2π)n Tn

|Dβ h(rz)|(1 − r)β ≤

1 (2π)n

Z

1/p |f (tz)|p dmn (t)

Tn

Z × Tn

1/p0 p0 ¯ |D gr (t)| dmn (t) (1 − r)β ≤ Ckf kH p (Dn ) . β

220


Для доказательства достаточности условия (1) воспользуемся равенством, установленным в работе [8] при γ = m ∈ N. В общем случае доказательство проходит аналогичным образом: Z 1 fρ (rt)gξ (rt¯) dmn (t) (2π)n Tn

=

γ n π

r1−2γ

. . . rn−2γ

Zr1 Zrn Z ··· fρ (Rt¯)Dγ gξ (Rt)(1 − R)γ−1 dmn (ξ), 0

0

(7)

Tn

γ > 0, fρ (z) = f (ρz), ρ ∈ I n . Учитывая (7), получаем Z 1 h(ρξr2 ) = fρ (rt¯)gξ (rt) dmn (t), r ∈ I n , ρ ∈ I n , ξ ∈ T n , (2π)n Tn

Zr1 Zrn Z |Dhρ (r ξ)| ≤ C(r, β, p) · · · |D(Dβ+1/p−2 gξ )(w)| 2

0 Tn

0

× |fρ (w)|(1 ¯ − |w|)β+1/p−3 dm2n (w), β > 1, 0 < p ≤ 1. (8) Далее, подбираем параметры ρj и rj так, что 1 − ρj ≤ 1 − rj ; j = 1, . . . , n. Тогда из (8) вытекает оценка Zr1 Zrn 2 |Dhp (r ξ)|(1 − ρ) ≤ C3 (r, β, p) · · · M1 (f, |w|) 0 0 1/p−3

× (1 − |w|) |w|d|w1 | . . . d|wn |(1 − ρ) r r 1 n Z Z ≤ C3 (r, β, p) · · · M1 (f, |w|)(1 − |w1 |)1/p−2 . . . (1 − |wn |)1/p−2 0

0

× |w1 | . . . |wn |d|w1 | . . . d|wn | ≤ C4 (r, β, p)kf kH p (Dn ) . В последнем неравенстве мы воспользовались леммой 4. Остается в полученном неравенстве перейти к супремуму и к пределу при rj → 1, j = 1, . . . , n, khkBl(Dn ) ≤ ckf kH p (Dn ) , 0 r, j = 1, . . . , n; (2π)n Tn

Dgr (z) = Dg(rz) и (7), выводим Zr Zr 2 |Dh(r z)| ≤ C(α, β, p, r) · · · |f (w)| ¯ |Dβ+α+1/p−2 (Dgz )(w)| 0 0 β+α+1/p−3

× (1 − |w|)

β > 1, 0 < p ≤ 1, 0 < α < ∞. n Q (1 − |zj |). Из очевидных Умножим обе части полученного неравенства на dm2n (w),

j=1

оценок 1 − |zj | < 1 − r < 1 − |wj |, j = 1, . . . , n, следует, что |Dh(r2 z)|(1 − |z|) ≤ C(α, β, p, r) sup (M∞ (D(Dβ+α+1/p−2 g), ρ)(1 − ρ)β ) ρ∈I n Z × |f (w)|(1 − |w|)α+1/p−2 dm2n (w). Dn


221

Остается воспользоваться леммой 3 и перейти к пределу при r → 1: khkBl(Dn ) ≤ ckf kH p,q,α (Dn ) . При max(p, q) ≤ 1 утверждение теоремы 2 установлено. Замечание. Аналогичными рассуждениями легко установить следующий результат: {(ck )k∈Z+n } ∈ MT Fαp,q (Dn ), Bl(Dn )),

0 < max(p, q) ≤ 1,

тогда и только тогда, когда sup M∞ (D(Dβ+α+1/p−2 g), r)(1 − r)β < ∞, r∈I n

где β > 1 — некоторое число. Отметим также, что применяемыми в данной работе методами нами получены многие утверждения работы [7] о коэффициентных мультипликаторах, действующих между классами H p,q,α в Dn (см. [17]). Достаточность условия (4) вытекает из следующих оценок: Z 1/p ν 2 ν ν−αq−γ p |D h(r ξ)|(1 − r) ≤ |D f (rξ)| dmn (ξ) Tn

1/p0 0 |Dαq+γ g(rξ)|p dmn (ξ) (1 − r)ν

Z × Tn

ν−αq−γ

≤ C4 Mp (D

0

0

f, r)(1 − r)ν−αq/q −γ Mp0 (Dαq+γ g, r)(1 − r)αq/q +γ .

Остается положить ν = αq + γ, γ = β + α − αq и использовать оценку леммы 5 Mp0 (f, r)(1 − r)α ≤ Ckf kH p,q,α , r ∈ I n . Теоремы 1 и 2 доказаны полностью. Установим еще одно утверждение о коэффициентных мультипликаторах пространств Блоха в поликруге. P Теорема 3. Пусть g ∈ H(Dn ), g(z) = ck z k . Тогда |k|≥0

1) {(ck )k∈Z+n } ∈ MT (H ∞ , Bl) в том и только том случае, если sup M1 (DDβ f, r)(1 − r)β+1 < ∞,

(9)

r∈I n

где β — некоторое положительное число. 2) {(ck )k∈Z+n } ∈ MT (B, B) тогда и только тогда, когда sup M1 (Dβ f, r)(1 − r)β < ∞

(10)

r∈I n

для некоторого β > 0. Замечание. Используя результаты работы [7] и лемму 2, легко показать, что пространства MT (B, B) и MT (H ∞ , Bl) при n = 1 совпадают с соответствующими пространствами, описание которых дано в работе [7]. Доказательство теоремы 3. 1. Докажем сначала необходимость условия (9). Заметим сначала, что sup |fw (z)| ≤ sup |fw (z)| = |fw (z0 )|, |z| 0.

r∈I n

Докажем, что это условие является также достаточным. Из равенства Z 2 hR (r ξ) = gR (rt)fξ (rt¯) dmn (t), r ∈ I, R ∈ I n , ξ ∈ T n , Tn

используя соотношение (7), выводим Z 2 ¯ |DhR (r ξ)| = fξ (rt)DgR (rt) dmn (t) Tn

Zr ≤ C(r)

Zr Z ···

|Dβ (DgR )(w)|(1 − |w|)β−1 |fξ (w)| ¯ dm2n (w)

0 Tn

0

Zr ≤ C(r)kf k∞

Zr Z ···

0

|Dβ DgR (w)|(1 − |w|)β−1

0 Tn β+1

× (1 − R|w|)

(1 − R|w|)−β−1 dm2n (w)

≤ C(r)kf k∞ sup (M1 (Dβ DgR , |w|))(1 − R|w|)β+1 |wi | 0,

k=1

где последнее неравенство следует из оценок (5) и соотношений sup M1 (Dβ Dg, R|w|)(1 − R|w|)β+1 ≤ |wj | 0, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве первой части теоремы 3, и применяя лемму 2, имеем

n Y γ β

β

1 1 D D

D

≤ (1 − |zk |)γ sup

0 1 − wz Bγ (1 − w z ) k k z ∈D k=1 k n Y γ+β 1 (1 − |zk |)γ sup D ≤C (1 − wk zk ) zk ∈D k=1 n n Y Y 1 1 ≤ C ≤C sup sup 1 β+1 β+1 zk ∈D |1 − wk zk | zk ∈D |1 − wk zk | k=1

k=1

≤C

n Y

1 , 0 β+1 k=1 1 − wk z

zk0 ∈ T, k = 1, . . . , n, β > 0.

k

Для получения нужного условия остается проинтегрировать обе части неравенства по T n и положить rk = |wk |, k = 1, . . . , n. Теорема 3 доказана полностью. § 2. О коэффициентных мультипликаторах из H p (D n ) в H q (D n ) Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 4. Пусть g ∈ H(Dn ),

g(z) =

X

Ck z k ,

|k|≥0

Тогда следующие условия равносильны: 1) {(ck )k∈Z+n } ∈ MT (H p (Dn ), H q (Dn ));

0 1/p − 1. r∈I n

Замечание. При n = 1 этот результат установлен в работе [9]. Рассуждения существенным образом опираются на теоремы Харди — Литтлвуда о действии дробной производной в пространствах аналитических функций, суммируемых по площади. При q > 1 наше доказательство использует соображения двойственности, что, на наш взгляд, упрощает вышеупомянутое доказательство и позволяет перенести его в поликруг Dn . При q ≤ 1 мы применяем подход, предложенный в работе [8]. Доказательство теоремы 4. Доказательство необходимости условия sup Mq (Dβ g, r)(1 − r)β+1−1/p < ∞,

β > 1/p − 1,

r∈I n

легко получить, используя теорему о замкнутом графике и повторяя рассуждения соответствующих импликаций предыдущих теорем. Докажем теперь, что это же условие будет достаточным. Пусть 0 1/p − 1. (11)

Dn

Устремляя ρ → 1 и возводя обе части неравенства в степень q, получим Z q q β β−1 |h(rt)| ≤ C1 (β) |D grt (w)||f ¯ (w)|(1 − |w|) dm2n (w) . Dn

Следующая оценка установлена в работе [8] методами, изложенными в [12]: Z q β q β−1 |D grt (w)||f ¯ (w) (1 − |w|) dm2n (w) Dn

Z ≤ c(q)

|Dβ grt (w)| ¯ q |f (w)|q (1 − |w|)(β+1)q−2 dm2n (w),

β > 1/q − 1.

Dn

Следовательно, Z |h(rt)|q dmn (t) Tn

Z Z ≤ C2 (q, β)

|Dβ grt (w)| ¯ q |f (w)|q (1 − |w|)(β+1)q−2 dm2n (w) dmn (t).

T n Dn

Применяя теорему Фубини и учитывая условие 2 теоремы, получаем Z Z q |h(rt)| dmn (t) ≤ C2 (q, β) |f (w)|q (1 − |w|)q/p−2 dm2n (w), 0 < p < q ≤ 1. Tn

Dn

Докажем теперь, что справедливо неравенство Z |f (w)|q (1 − |w|)q/p−2 dm2n (w) ≤ C(q)kf kH p (Dn ) , Dn

0 < p < q ≤ 1.

(12)


225

Воспользуемся индукцией по n. При n = 1 неравенство (12) — следствие теоремы вложения Карлесона (см. [13]). Далее, учитывая следствие 2.7 работы [14] и тот факт, что для k = n − 1 оценка (12) верна, приходим к неравенству Z Z · · · |f (w1 , . . . , wn )|q ((1 − |w1 |)(1 − |w2 |) . . . (1 − |wn |))q/p−2 dm2n (w) D

D

Z ≤ C1 ×

(

|f (w1 , . . . , wn )|p dm1 (ξ1 ) . . . dm1

sup

R1 ,...,Rn−1 ∈(0,1) D (ξn−1 ))q/p (1 − |wn |)q/p−2

dm2 (wn ) ≤ C2 kf kH p (Dn ) ,

0 < p < q ≤ 1.

В случае 0 < p < q ≤ 1 теорема доказана. Пусть теперь 0 < p < 1 < q < ∞. Используя двойственность пространств 0 H q (Dn ), H q (Dn ), 1/q 0 + 1/q = 1, имеем Z

1/q Z ¯ |h(r ξ)| dmn (ξ) = ψ(rξ)h(rξ) dmn (ξ) , 2

q

Tn

Tn 0

где ψ ∈ H q (Dn ), kψkH q0 (Dn ) = 1. Далее, применяя теорему Фубини, неравенство Г¨ельдера, условие 2 теоремы и лемму 4, окончательно получаем 1/q Z ¯ dmn (ξ) |h(r ξ)| dmn (ξ) ≤ C |ψ(rξ)| |h(r2 ξ)|

Z

3

q

Tn

Tn

C(β, n) ≤ (r1 . . . rn )2β ≤

Z Z

˜ |f (Rξ)| ˜ dmn (ξ)(1 ˜ − R)β−1 R dR|ψ(rξ)| dmn (ξ) |Dβ g(Rξ˜ξ)|

T n Dn

C(β, n) (r1 . . . rn )2β Z ×

Z Z T n In

Z 1/q ˜ |f (Rξ)| |Dβ g(Rt)|q dmn (t) Tn

1/q0 q0 ˜ dR |ψ(rt) | dmn (t) (1 − R)β−1 dmn (ξ)R

T

C(β, n) ≤ (r1 . . . rn )2β

Z

|f (w)|(1 − |w|)1/p−2 dm2n (w) ≤

Dn

C(β, n) kf kH p (Dn ) . (r1 , . . . , rn )2β

Остается перейти к пределу при rj → 1, j = 1, . . . , n. При q = ∞ из (11) вытекает, что Z khkH ∞ (Dn ) ≤ c(β) |f (w)|(1 − |w|)1/p−2 dm2n (w) ≤ C(β)kf kH p . Dn

Теорема 4 доказана. Пусть, далее, Hβp (Dn ) = {f ∈ H(Dn ) : kDβ f kH p < ∞, 0 < β < ∞}. Незначительно модифицируя доказательство, легко доказать несколько более общий результат.

226

Р. Ф. Шамоян Теорема 5. Пусть g(z) ∈ H(Dn ), g(z) =

ck z k . Тогда равносильны

P |k|≥0

следующие условия: 1) {(ck )k∈Z+n } ∈ MT Hβp (Dn ), Hαq (Dn ) , 0 1/p − 1. В заключение отметим, что из теорем 1–5, используя результаты работы [18], можно получить различные достаточные условия о действии мультипликаторов из классов Hαp в поликруге в пространствах l2 (Dn ) и l1 (Dn ), где n o X lp (Dn ) = ak = (ak1 ,...,kn , kj ∈ Z + , j = 1, . . . , n; |ak1 ,...,kn |p < ∞ , |k|≥0

при 1 ≤ p < ∞, а также утверждения о действии дробной производной между классами Блоха и H p,q,α (Dn ), H p (Dn ), между классами Харди H p (Dn ) и Харди — Соболева Hαp (Dn ). Приведем два следствия такого рода. С учетом теоремы 5 и результата работы [18] получаем n Следствие 1. Если λk = ck ak , k ∈ Z+ , N1 X k1 =0

···

Nn X

k12 . . . kn2 |ak1 ...kn |2 = O N12 . . . Nn2 ,

g(z) =

X

ck z k

|k|≥0

kn =0

и выполнено условие 2 теоремы 5 при α = 0, q = 1, то {(λk )k∈Z+n } ∈ MT Hβp , l2 , 0 < p < 1. Из теорем 1 и 4 вытекает Следствие 2. 1. Пусть 0 < p, q ≤ 1, 0 < s ≤ 1, γ = 1/s, β = α + 1/p. Тогда kG(z)kBl(Dn ) ≤ CkDβ Gk

H p,q,α (D n ) Fαp,q

,

kG(z)kBl(Dn ) ≤ C 0 kDγ GkH s .

2. Пусть 0 < p < q < ∞, α = 1/p − 1/q. Тогда kG(z)kH q (Dn ) ≤ C1 kDα G(z)kH p (Dn ) . Замечание. Утверждение 2 следствия 2 при n = 1 — хорошо известная теорема Харди — Литтлвуда о действии дробной производной в пространствах Харди (см. [12, 14]). ЛИТЕРАТУРА 1. Anderson J. M. Bloch function: the basic theory // Proc. Conf. «Operators and function theory». Univ. Lancaster, 1984. P. 4–6. 2. Anderson J. M., Clunie J., Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal functions // J. Reine Angev. Math. 1974. Bd 270. S. 12–37. 3. Макаров Н. Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений // Алгебра и анализ. 1989. V. 1, вып. 1. С. 3–59. 4. Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре // Математический анализ. М: ВИНИТИ, 1985. Т. 23. С. 3–123. (Итоги науки и техники). 5. Timoney R. M. Bloch functions in several complex variables // J. Bull. London Math. Soc.. 1980. V. 12, N 4. P. 241–267. 6. Zhu K. Multipliers of BMO in the Bergman metric with application to Toeplitz operators // J. Funct. Anal.. 1989. V. 87, N 12. P. 31–50.


227

7. Jevtic M., Pavlovic M. Coefficient multipliers on spaces of analytic functions // Acta Sci. Math.. 1998. V. 64. P. 531–545. 8. Шамоян Р. Ф. О мультипликаторах из пространств типа Бергмана в пространства Харди в поликруге // Укр. мат. журн.. 2000. № 10. С. 1392–1401. 9. Mateljevic M., Pavlovic M. Multipliers of H p and BMOA // Pacif. J. Math.. 1990. V. 146. P. 71–84. 10. Тригуб М. Мультипликаторы в пространствах Харди Hp (Dm ) при p ∈ (0, 1] и аппроксимативные свойства методов суммирования степенных рядов // Мат. сб.. 1997. Т. 188, № 4. С. 145–160. 11. Buckley S. M., Koskela P., Vicotic D. Fractional integration, differentiation, and weighted Bergman spaces // Proc. Camb. Soc.. 1999. V. 126, N 2. P. 369–385. 12. Djrbashian A., Shamoian F. A. Topics in the theory of Apα spaces. Leipzig: Teubner texte zur Math., 1988. V. 105. 13. Duren P. L. Theory of H p spaces. New York; London: Acad. Press, 1970. 14. Aleksandrov A. V. Essays on non locally convex Hardy classes // Lecture Notes in Math.. 1981. V. 864. P. 1–90. 15. Ahern P., Jevtic M. Duality and multipliers for mixed norm spaces // Lecture Michigan Math. J.. 1983. V. 30, N 1. P. 53–64. 16. Шамоян Ф. А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн.. 1990. Т. 31, № 2. С. 197–215. 17. Шамоян Р. Ф. Непрерывные функционалы и мультипликаторы степенных рядов одного класса аналитических в поликруге функций // Изв. вузов. 2000. № 7. С. 67–69. 18. Oberlin D. M. Two multiplier theorems for H 1 (U 2 ) // Proc. Edinburgh Math. Soc.. 1979. V. 22, N 1. P. 43–47. Статья поступила 16 ноября 2000 г. Шамоян Роми Файзоевич Брянский гос. педагогический университет, кафедра математического анализа ул. Бежицкая, 16, Брянск 241036 [email protected]

О коэффициентных мультипликаторах пространств Блоха и Харди в поликруге

Recommend Documents