Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 29–35 УДК 517.911+517.923+517.925
РАЗРУШАЮЩИЕСЯ РЕШЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ c 2006 г.
Я. БАРИС, П. БАРИС, Б. РУХЛЕВИЧ
АННОТАЦИЯ. Основной целью работы является исследование существования разрушающихся решений квадратичных систем дифференциальных уравнений, уравнений Риккати и систем Лотки—Вольтерра. Для этой цели мы вводим понятия отрицательного и положительного времени разрушения решений указанных систем и даем оценки снизу и сверху для этих значений времени.
1.
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы, связанные с существованием глобальных решений, появляются практически всегда, когда рассматриваются дифференциальные уравнения, и до сих пор исследованы недостаточно полно. Вот два из них. (i) Когда ограничен или неограничен интервал, на котором существуют некоторые решения системы дифференциальных уравнений? (ii) Как эффективно находить этот интервал? Рассмотрим начальную задачу для квадратичной системы дифференциальных уравнений x0k = xT Ak (t)x + bTk (t)x + ck (t),
x(0) = x0 ,
(1.1)
где Ak : R → Rn×n , bk : R → Rn и ck : R → R при k = 1, . . . , n. Обозначим через x(t) решение этой задачи, существующее на наибольшем интервале (t− , t+ ). Известно, что либо t+ = ∞, либо t+ ∈ R и kx(t)k → ∞ при t → t+ − 0. Аналогичное утверждение имеет место и для t− . В связи с этим мы расширяем понятие «конечного времени исчезновения», рассмотренное в [8]. Под отрицательным (соответственно положительным) временем разрушения решения x(t) задачи (1.1) мы понимаем действительное число τ такое, что kx(t)k → ∞ при t → τ + 0 (соответственно t → τ − 0). Если существует положительное или отрицательное время разрушения x(t), то x(t) называется разрушающимся решением. Основной целью данной работы является изучение поставленных вопросов для квадратичных систем дифференциальных уравнений, в частности для уравнений Риккати [1,3,5] и систем Лотки— Вольтерра [4, 11]. Квадратичные системы дифференциальных уравнений представляют собой простейший случай нелинейных систем. Несмотря на это, они находят широкое применение при исследовании бифуркаций, хаоса, странных аттракторов (см. [7]), динамики популяций, некоторых процессов химических реакций (см. [11]), в теории оптимального управления (см. [8]) и других областях. Эти вопросы для некоторых дифференциальных уравнений, включая неавтономное уравнение Риккати, обсуждались в [2]. Кроме того, в [8] Якобсоном были получены достаточные условия существования положительного времени разрушения решения автономной квадратичной системы дифференциальных уравнений, а также формулы, по которым это время находится. Явление разрушения в некоторых других классах дифференциальных систем рассматривалось многими авторами (см., например, [6, 9, 10] и ссылки в этих работах). Мы хотим распространить результаты [2, 8], связанные со сформулированными выше вопросами, на неавтономные квадратичные системы. Наиболее основательно мы анализируем случаи, когда квадратичная система может быть сведена к уравнениям Риккати и системам Лотки—Вольтерра. В разделах 2 и 3 мы рассматриваем упомянутые вопросы для уравнений Риккати. В разделе 4 получены достаточные условия существования разрушающихся решений в задаче (1.1), найдены множества начальных значений для разрушающихся решений, обсуждается метод нахождения c
2006 РУДН
29
30
Я. БАРИС, П. БАРИС, Б. РУХЛЕВИЧ
положительного и отрицательного времени разрушения в задаче (1.1). В последнем разделе 5 мы применяем развитый подход к исследованию этих проблем для неавтономных систем Лотки— Вольтерра. 2.
АВТОНОМНОЕ
УРАВНЕНИЕ
РИККАТИ
Пусть дана начальная задача y 0 = py 2 + qy + r,
y(0) = y0 ,
где p > 0, q, r и y0 — действительные постоянные. Положим ∆ = q 2 −4pr и y1,2
(2.1) √ = (2p)−1 (−q± ∆).
Лемма 2.1. Задача (2.1) имеет разрушающееся решение для любого y0 , если ∆ < 0, и для y0 > y1 или y0 < y2 , если ∆ > 0. Для максимального интервала I существования этого решения имеем: (a1 ) I = (τ− , τ+ ), если ∆ < 0, (a2 ) I = τ, +∞ , если ∆ > 0 и y0 < y2 , (a3 ) I = − ∞, τ , если ∆ > 0 и y0 > y1 , где 1 y2 − y0 , ∆ > 0, √ ln 1 2py0 + q ∆ y1 − y0 , τ= τ± = √ ±π − 2 arctg √ 2 −∆ −∆ , ∆ = 0. 2py0 + q Более того, решение задачи (2.1) существует на R тогда и только тогда, когда ∆ > 0 и y0 ∈ [y2 , y1 ]. Это решение ограничено, а именно: y(t) ∈ [y2 , y1 ] для любого t ∈ R. Доказательство. Если ∆ < 0, то решение задачи (2.1) дается формулой √ √ −∆ −∆ 2py0 + q q y(t) = tg t + arctg √ − . 2p 2 2p −∆ Ясно, что y(t) → ±∞ при t → τ± , где τ− и τ+ определены выше. Если же ∆ > 0, то √ y1 (y0 − y2 ) + y2 (y1 − y0 ) exp(t ∆) √ . y(t) = y0 − y2 + (y1 − y0 ) exp(t ∆) Нетрудно видеть, что если y0 < y2 , то решение может быть продолжено на +∞ и не может быть продолжено в обратном направлении на −∞, поскольку y(t) → −∞ при t → τ + 0. С другой стороны, если y0 > y1 , то решение продолжается на −∞ и не продолжается на +∞, так как y(t) → +∞ при t → τ. Утверждение для случая ∆ = 0 доказывается аналогично. Таким образом, если решение задачи (2.1) существует на всей оси R, то ∆ > 0 и y0 ∈ [y2 , y1 ]. Наоборот, если выполнены эти уловия, то задача (2.1) имеет ограниченное решение на R. Действительно, предположим, что ∆ > 0 и y0 ∈ [y2 , y1 ]. Очевидно, y(t) → y2 при t → +∞ и y(t) → y1 при t → −∞. Следовательно, y(t) — ограниченное решение задачи (2.1) на R. Если ∆ = 0, то задача (2.1) имеет единственное решение y = y0 на R. Лемма доказана. 3.
НЕАВТОНОМНОЕ
УРАВНЕНИЕ
РИККАТИ
Распространим полученный результат на неавтономное уравнение Риккати. Рассмотрим начальную задачу y 0 = py 2 + q(t)y + r(t), y(0) = y0 , (3.1) где p > 0 и y0 — вещественные постоянные, а q и r — вещественнозначные ограниченные функции на R. √ Пусть ∆ = q 2 − 4pr и ϕ1,2 = (2p)−1 (−q ± ∆). Вначале займемся случаем ∆ < 0. Тогда задача (3.1) может быть записана в виде 2 y 0 = p y − α(t) + pβ 2 (t), y(0) = y0 , (3.2) где α = Re ϕ1 и β = |Im ϕ1 |. Обозначим через ϕM и ϕL соответственно верхнюю и нижнюю грани функции ϕ : R → R.
РАЗРУШАЮЩИЕСЯ РЕШЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
31
Предложение 3.1. Пусть ∆ < 0. Если y0 > αM или y0 < αL , то задача (3.1) имеет разрушающееся решение. Положительное время разрушения t+ и отрицательное время разрушения t− этого решения удовлетворяют следующим оценкам: (b1 ) t+ 6 p−1 (y0 − αM )−1 , если y0 > αM ; (b2 ) t− > p−1 (y0 − αL )−1 , если y0 < αL . Более того, при дополнительном условии βL > 0 имеем (b3 ) t+ 6 τ+ , если y0 > αM ; (b4 ) t− > τ− , если y0 < αL , где 1 y0 − αM 1 y0 − αL τ+ = π − 2 arctg , τ− = − π + 2 arctg . 2pβL βL 2pβL βL Доказательство. Считаем ∆ < 0. Пусть y0 > αM и t > 0. Из задачи (3.2) следует, что решение задачи (3.1) — возрастающая функция. Кроме того, 2 y − α(t) + β 2 (t) > (y − αM )2 . (3.3) Таким образом, мы получаем Zy pt 6
(u − αM )−2 du.
y0
Это означает, что y(t) > (y0 − αM )[1 − pt(y0 − αM )]−1 + αM , и выполняется (b1 ). Предположим, что y0 < αL и t 6 0. Взяв y = −z и t = −s в задаче (3.2), получаем dz/ds = p[z + α(−s)]2 + pβ 2 (−s),
z(0) = z0 = −y0 .
(3.4)
Здесь можно применить оценку (b1 ). Действительно, поскольку sup(−α(−s)) = − inf α(−s) = −αL и inf β(−s) = βL , мы заключаем, что положительное время разрушения s+ решения задачи (3.4) удовлетворяет оценке s+ 6 p−1 (z0 + αL )−1 , если только z0 + αl > 0. Для получения (b2 ) достаточно заметить, что t− = −s+ и z0 = −y0 . Предположим, что βL > 0, y0 > αM и t > 0. Тогда из (3.2) и (3.3) следует, что Zy pt 6 [(u − αM )2 + βL2 ]−1 du. y0
Это приводит к неравенству y(t) > βL tg[βL pt + arctg (y0 − αM )/βL ] + αM , что дает (b3 ). Для доказательства (b4 ) предположим, что βL > 0 и y0 < αL . После подстановки y = −z и t = −s в (3.2) приходим к (3.4). Из (b3 ) следует, что положительное время разрушения s+ в задаче (3.4) удовлетворяет оценке s+ 6 (2pβL )−1 π + 2 arctg (y0 − αL )/βL , как только z0 + αL > 0. Отсюда следует (b4 ). Теперь рассмотрим случай ∆ > 0. Предложение 3.2. Пусть ∆ > 0. Если y0 > ϕ1M или y0 < ϕ2L , то задача (3.1) имеет разрушающееся решение. Если y0 > ϕ1M , то это решение имеет положительное время разрушения t+ , причем y0 − ϕ2M (c1 ) t+ 6 p−1 (ϕ1M − ϕ2M )−1 ln , если ∆ > 0; y0 − ϕ1M (c2 ) t+ 6 p−1 (y0 − ϕ1M )−1 , если ∆ = 0.
32
Я. БАРИС, П. БАРИС, Б. РУХЛЕВИЧ
Если y0 < ϕ2L , то это решение имеет отрицательное время разрушения t− , причем y0 − ϕ2L (c3 ) t− > p−1 (ϕ1L − ϕ2L )−1 ln , если ∆ > 0; y0 − ϕ1L (c4 ) t− > p−1 (y0 − ϕ2L )−1 , если ∆ = 0. Доказательство. Пусть ∆ > 0, y0 > ϕ1M и t > 0. Тогда можно переписать задачу (3.1) в виде y 0 = y − ϕ1 (t) y − ϕ2 (t) , y(0) = y0 . (3.5) Отсюда следует, что решение задачи (3.1) — возрастающая функция. Кроме того, y − ϕ1 (t) y − ϕ2 (t) > (y − ϕ1M )(y − ϕ2M ). Следовательно, Zy pt 6
−1 −1 u − ϕ1M (t) u − ϕ2M (t) du.
y0
Это означает, что y > [ϕ1M (y0 − ϕ2M ) − etν ϕ2M (y0 − ϕ1M )][y0 − ϕ2M − etν (y0 − ϕ1M )]−1 , где ν = p(ϕ1M − ϕ2M ). Поэтому y → ∞ при t → t+ − 0, где t+ удовлетворяет (c1 ). Предположим, что ∆ > 0, y0 < ϕ2L и t 6 0. Полагая y = −z и t = −s в задаче (3.5), приходим к начальной задаче dz/ds = z + ϕ1 (−s) z + ϕ2 (−s) , z(0) = z0 = −y0 . Принимая во внимание равенства sup(−ϕ(−s)) = − inf ϕ(−s) = −ϕL , видим, что в случае z0 + ϕ2L > 0 решение этой задачи имеет положительное время разрушения s+ такое, что z0 + ϕ2L . s+ 6 p−1 (ϕ1L − ϕ2L )−1 ln z0 + ϕ1L Поскольку z0 = −y0 и s+ = −t+ , убеждаемся в выполнении (c3 ). Оставшаяся часть доказательства аналогична доказательству предложения 3.1. Из предложений 3.1 и 3.2 вытекает следующий результат. Следствие 3.1. Пусть p, q, r и y0 такие же, как и выше. Если ∆ < 0 (соответственно ∆ > 0) и задача (3.1) имеет решение y(t) на R, то начальное значение y0 принадлежат отрезку [αL , αM ] (соответственно y0 принадлежит отрезку [ϕ2L , ϕ1M ]). Следующий пример показывает, что обратное утверждение неверно. Пример 3.1 (см. [2]). Рассмотрим задачу y 0 = (y − arctg t)2 + (1 + t2 )−1 ,
y(0) = y0 .
Если y0 < −π/2, то решение задачи имеет отрицательное время разрушения t− > (y0 + π/2)−1 . Если y0 > π/2, то решение задачи имеет положительное время разрушения t+ 6 (y0 − π/2)−1 . Это следует из предложения 3.1. С другой стороны, решение находится по формуле y = y0 (1 − ty0 )−1 + arctg t. Значит, любое решение с начальным значением y0 из множества [−π/2, π/2] \ {0} не существует на всей оси R.
РАЗРУШАЮЩИЕСЯ РЕШЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.
КВАДРАТИЧНЫЕ
33
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этом разделе мы имеем дело с начальной задачей (1.1). Матрицы Ak , k = 1, . . . , n, без ограничения общности считаются симметрическими. Для любого постоянного вектора ω = (ω1 , . . . , ωn )T ∈ Rn определим A=
n X k=1
ω k Ak ,
b=
n X
ω k bk ,
c=
k=1
n X
ωk ck .
(4.1)
k=1
Мы будем считать выполненными следующие три условия. (Q1 ) Функции Ak , bk и ck непрерывны и ограничены, k = 1, . . . , n. (Q2 ) Существуют вектор ω = (ω1 , . . . , ωn )T ∈ Rn и положительная постоянная λ такие, что z T A(t)z > λz T z для любого z ∈ Rn . (Q3 ) Функция ∆ = λ(ω T ω)−1 (bT A−1 b−4c) всюду отрицательна или неотрицательна, т. e. ∆(t) < 0 или ∆(t) > 0 на R. Используя предложения 3.1 и 3.2, мы можем оценить отрицательное и положительное время разрушения τ− и τ+ решения задачи y 0 = py 2 + q(t)y + r(t),
y(0) = ω T x0 ,
(4.2)
где 1 1 q = p ω T A−1 b, r = p (ω T A−1 b)2 − bT A−1 b + c. 4 4 p − q(t) ± ∆(t) , L = inf Re ϕ2 (t) и M = sup Re ϕ1 (t).
p = λ/ω T ω, Пусть ϕ1,2 (t) = (2p)−1
(4.3)
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (Q1 ), (Q2 ) и (Q3 ). Если ω T x0 < L или ω T x0 > M , то задача (1.1) имеет разрушающееся решение. Отрицательное время разрушения t− и положительное время разрушения t+ этого решения удовлетворяют следующим оценкам: (A1 ) t− > τ− , если ω T x0 < L; (A2 ) t+ 6 τ+ , если ω T x0 > M . Здесь τ− и τ+ — отрицательное и положительное время разрушения решения задачи (4.2). Следовательно, если задача (1.1) имеет решение x(t) на R, то ω T x0 ∈ [L, M ]. Доказательство. Из (1.1) вытекает, что ω T x0 = xT A(t)x+bT (t)x+c(t) с A, b и c из (4.1). Поскольку матрица A невырождена, можно переписать это уравнение в виде h iT h i −1 −1 −1 ω T x0 = x + 2A(t) b(t) A(t) x + 2A(t) b(t) − bT (t)(4A(t) b(t) + c(t). Заметим, что z T Az > λz T z и (z T z)(ω T ω) > (ω T z)2 для любого z ∈ Rn . Это означает, что функция z = ω T x(t) удовлетворяет соотношениям z 0 > pz 2 + q(t)z + r(t),
z(0) = ω T x0
(4.4)
с p, q и r, определенными в (4.3). Но тогда получаем неравенство y 0 (t) 6 z 0 (t), где y(t) удовлетворяет (4.2). Предположим, что ω T x0 < L. Пусть J = (τ− , 0) ∩ (t− , 0). Тогда z 0 (t) > y 0 (t) > 0 для всех t ∈ J. Полученное неравенство вместе с равенством z(0) = y(0) дают неравенство y(t) > z(t) для всех t ∈ J. В силу предложений 3.1 и 3.2 будем иметь y(t) → −∞ при t → τ− + 0. Следовательно, выполняется оценка (A1 ). Случай t+ 6 τ+ разбирается аналогично.
34
Я. БАРИС, П. БАРИС, Б. РУХЛЕВИЧ
5.
СИСТЕМА ЛОТКИ—ВОЛЬТЕРРА
Рассмотрим начальную задачу для системы Лотки—Вольтерра x0k = xk bk1 (t)x1 + · · · + bkn (t)xn + dk (t) , xk (0) = xk0 ,
(5.1)
где bkj и dk — вещественнозначные функции на R, k, j = 1, . . . , n. Через Bk обозначим (n × n)матрицу со строками B1k , . . . , Bnk , где Bik = 0 для i 6= k и Bkk = (bk1 , . . . , bkn ). Пусть ek — вектор-столбец, все элементы которого, кроме k-го, — нули, а k-й равен единице. Подставляя в (1.1) выражения 1 Ak = (Bk + BkT ), bk = dk ek , ck = 0, (5.2) 2 мы получаем (5.1). В этом разделе мы предполагаем, что (L1 ) функции bk1 , . . . , bkn и dk непрерывны и ограничены, k = 1, . . . , n; (L2 ) существуют вектор ω = (ω1 , . . . , ωn )T ∈ R и положительная постоянная λ такие, что матрицафункция A = ω1 A1 +· · ·+ωn An удовлетворяет неравенству z T A(t)z > λz T z для любых z ∈ Rn и t ∈ R. Используя предложения 3.1 и 3.2, можно оценить отрицательное и положительное время разрушения решения задачи y 0 = py 2 + q(t)y + r(t), y(0) = ω T x0 , (5.3) где p = λ/ω T ω, q = p ω T A−1 b, 1 1 r = p(ω T A−1 b)2 − bT A−1 b, b = ω1 b1 + · · · + ωn bn . 4 4 p −1 Пусть ϕ1,2 (t) = (2p) − q(t) ± ∆(t) , L = inf ϕ2 (t), а M = sup ϕ1 (t).
(5.4)
Следствие 5.1. Пусть выполнены условия (L1 ) и (L2 ). Если ω T x0 < L или ω T x0 > M , то задача (5.1) имеет разрушающееся решение. Отрицательное время разрушения t− и положительное время разрушения t+ этого решения подчиняются следующим оценкам: (B1 ) t− > τ− , если ω T x0 < L, (B2 ) t+ 6 τ+ , если ω T x0 > M , где τ− и τ+ — отрицательное и положительное время разрушения решения задачи (5.3). Следовательно, если задача (5.1) имеет решение x(t) на R, то ω T x0 ∈ [L, M ]. Авторы благодарны организаторам Четвертой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2005 г.), на которой были представлены изложенные в данной работе результаты. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Барис Я. С. Интегральные многообразия и решения матричного уравнения Риккати// ДАН УССР, Сер. A. — 1986. — 11. — C. 7–10. 2. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1972. 3. Adamjan V. M., Langer H., Tretter Ch. Existence and uniqueness of contractive solutions of some Riccati equations// J. Funct. Anal. — 2001. — 179. — C. 448–473. 4. Baris J., Baris P., Wawiorko E. Asymptotic behavior of solutions of Lotka—Volterra systems// Nonlinear ´ Anal. Real World Appl. — В печати. 5. Baris J., Buraczewski A. Periodic solutions of the Riccati equation in Banach spaces// Demonstratio Math. — 2003. — 36, №. 2. — C. 355–365. 6. Goriely A., Hyde C. Necessary and sufficient conditions for finite time singularities in ordinary differential equations// J. Differ. Equations. — 2000. — 161. — C. 422–448. 7. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. — New York: Springer, 1993. 8. Jacobson D. H. Extensions of linear-quadratic control; optimalization and matrix theory. — London: Academic Press, 1977.
РАЗРУШАЮЩИЕСЯ РЕШЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
35
9. Kim K. I., Lin Z. Blow-up in three-species cooperating model// Appl. Math. Lett. — 2004. — 17. — C. 89–94. 10. Li D., Huang H. Blow-up phenomena of second-order nonlinear differential equations// J. Math. Anal. Appl. — 2002. — 276. — C. 184–195. 11. Murray J. D. Mathematical Biology. — Berlin: Springer, 1989.
Jakow Baris Faculty of Mathematics and Computer Sciences, University of Warmia and Mazury, Olsztyn, Poland Piotr Baris Faculty of Mathematics and Computer Sciences, University of Warmia and Mazury, Olsztyn, Poland Beata Ruchlewicz Faculty of Mathematics and Computer Sciences, University of Warmia and Mazury, Olsztyn, Poland E-mail:
[email protected] 