化学工学の基礎 (応用化学シリーズ)

4  応用化学 シリーズ

化学工学の基礎 柘植秀樹 上ノ山周 佐藤正之 国眼孝雄 佐藤智司 …

…[著]

朝倉書店

応用 化 学 シ リーズ代 表 佐 々 木 義 典  千葉大学名誉教授

第4巻 執 筆者

柘 植

秀

樹 慶應 義塾大学名誉教授

上 ノ 山

国立大学大学 院工学研究院機能の 周 横浜 創生部 門教授

佐 藤

馬大学大学院工学研究科環境 プロセ 之 群 ス工学 専攻教授

正

国

眼 孝 雄 東京農工 大学工学部応用化学科教授

佐

藤

智

千葉大学 大学院工学研究科共生応用化

司 学専攻教授

『応 用 化 学 シ リ ー ズ 』 発 刊 に あ た って

  こ の 応 用 化 学 シ リー ズ は,大

学 理 工 系 学 部2年

・3年 次 学 生 を対 象 に,

専 門 課 程 の 教 科 書 ・参 考 書 と し て 企 画 さ れ た.   教 育 改 革 の 大 綱 化 を受 け,大 学 の 学 科 再 編 成 が 全 国 規 模 で 行 わ れ て い る. 大 学 独 自の 方 針 に よ っ て,応 れ ば,応

用 化 学 科 と,た

用 化 学 科 を そ の ま ま 存 続 させ て い る大 学 もあ

とえ ば 応 用 物 理 系 学 科 を合 併 し,新

し く物 質 工 学

科 と し て 発 足 させ た 大 学 もあ る.応 用 化 学 と応 用 物 理 を 融 合 させ 境 界 領 域 を究 明 す る効 果 を ね ら っ た もの で,こ

れ か らの理工 系の 流れ を象徴 す る も

の の よ うで もあ る.し か し,応 用 化 学 と い う分 野 は,学 科 の 名 称 が ど の よ うに 変 わ ろ う と も,そ の 重 要 性 は 変 わ ら な い の で あ る.そ れ ど こ ろ か,新 しい 特 性 を も っ た化 合 物 や 材 料 が 創 製 さ れ,ま

す ま す 期 待 さ れ る分 野 に な

りつ つ あ る.   学 生 諸 君 は,そ

れ ぞれ の 専 攻 す る分 野 を 究 め る た め に,そ

の土 台で あ る

学 問 の 本 質 と,こ れ を 基 盤 に 開 発 さ れ た 技 術 な ら び に そ の 背 景 を理 解 す る こ とが 肝 要 で あ る.目

ま ぐる し く変 遷 す る 時 代 で は あ る が,ど

の よ う な場

合 で も最 善 を つ く し,可 能 な 限 り専 門 を確 か な も の と し,そ の 上 に理 工 学 的 セ ン ス を 身 に つ け る こ とが 大 切 で あ る.   本 シ リー ズ は,こ

の よ う な 理 念 に 立 脚 して 編 纂,ま

執 筆 者 は教 育 経 験 が 豊 富 で,か

とめ られ た.各

巻の

つ 研 究 者 と し て 第 一 線 で活 躍 して お られ る

専 門 家 で あ る.高 度 な 内 容 を わ か りや す く解 説 し,系 統 的 に把 握 で き る よ う に 幾 度 と な く討 論 を重 ね,こ

こ に 刊 行 す る に 至 っ た.

  本 シ リー ズが 専 門 課 程 修 得 の 役 割 を 果 た し,学 生 一 人 ひ と りが 志 を高 く も っ て 進 まれ る こ と を希 望 す る もの で あ る.   本 シ リー ズ刊 行 に 際 し,朝 倉 書 店 編 集 部 の ご 尽 力 に 謝 意 を表 す る 次 第 で あ る. 2000年9月 シ リー ズ代 表   佐 々 木 義 典

は じ め に

  わ れ わ れ が文 明社 会 の 中 で持 続 的 に快 適 な生 活 を して い くた め に は,こ れ まで 築 き上 げ て き た生 活 や 産 業 に関 係 す る技術 を,環 境 や 資 源 の 厳 し い条 件 の下 で さ らに 向 上 させ,世

界 に 貢 献 す る必 要 が あ る.

  化 学 工 学(ケ ミカ ル エ ン ジニ ア リン グ)は 化 学 系 企 業 や 化 学 製 品 を素 材 と して 扱 う企 業 の エ ン ジ ニ ア と して の プ ロ に な るた め に は,必 ず 習得 して お か な け れ ば な らな い必 須 科 目で あ る.米 英 に お い て は 化 学 系 の 学 生 は工 学 部 の ケ ミカ ル エ ン ジ ニ ア か 理 学 部 の ケ ミス トか の2領 域 に大 別 され て い る.日 本 で は 化 学 系 学 科 が 設 立 され た時 の 歴 史 的 経 緯 か ら応 用 化 学 系 の 教 育 が ウエ イ トを 占め て い るが,こ れ か らは 応 用 化 学 系 の 学 生 も き ち ん と化 学工 学 を履 修 し,そ の 基礎 を習 得 して い る こ とが 要 求 され る.   本 書 は 応 用 化 学 シ リー ズ全8巻 学 系 の 大 学2,3年

中 の1冊 で,応 用 化 学 系,工 業 化 学 系,物 質 化

生 を対 象 に 化 学 工 学 の 基 礎 を 身 につ け て ほ しい と思 い編 纂 さ

れ て い る.化 学 工 学 は そ の カバ ー す る領 域 が 近 年 急 速 に 拡 大 して い るが,化 学 工 学 の 基 本 とな る,化 学 工 学 量 論,流 動,伝 を加 え て,な

熱,分 離 操 作,反

応 工 学 に つ い て例 題

るべ くわ か りや す くを モ ッ トー に 編 集 され て い る.ま た,演 習 問 題

を解 くこ とに よ って,確 実 に 実 力 が 身 につ くよ うに考 え られ て い る.第1章 植,第2章

は 上 ノ 山,第3章

は 佐 藤(正),第4章

は 国 眼,第5章

は柘

は 佐 藤(智)が

担 当 した.各 章 を 通 して 基 本 的 な統 一 を 図 る よ う 多少 の調 整 を した が,む

しろ担

当 執 筆 者 の個 性 を消 さ な い よ うに し た.   本 書 を執 筆 す るに あ た っ て は 千 葉 大 学 名 誉 教 授 の 野 崎 文 男 先 生,朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に 大 変 お世 話 に な っ た.こ

こ に,感 謝 の 意 を表 す る次 第 で あ る.

2000年9月 執筆 者 を代 表 して 柘 植 秀 樹

目

次

1.  化 学 工 学 の 基 礎

 1

  1.1  化 学 工 学 の 魅 力

  1

  1.2  化 学 工 学 計 算 の 基 礎   1.2.1 

単

位

  1.2.2 

次 元 と次 元 解 析

  3  

  4

  1.3  物 質 収 支 お よ び エ ネ ル ギ ー 収 支 存

3

 6

  1.3.1 

保

則

  6

  1.3.2 

物 質 収 支

 7

  1.3.3 

エ ネ ル ギー 収 支

  1.4  気 体 の 状 態 方 程 式   1.4.1 

理想気体 法則

  1.4.2 

実在気体 の状態式

 15   22   22  

22

  1.5  相 平 衡 と単 位 操 作

 25

  1.5.1 

純物質 の蒸気圧

  26

  1.5.2 

理想 溶液の法則

  26

  1.5.3 

平 衡 関 係 と物 質 収 支

  30

2.  流 体

と 流 動

  2.1  流 れ の 基 礎 項 目

 35   35

  2.1.1 

さ ま ざ ま な 流体 と粘 度

  2.12 

レ イ ノ ル ズ数 と流 動 状 態

  2.1.3 

流 線 と流 管

 

40

  2.1.4 

基礎 方程 式

 

41

  2.1.5 

エ ネ ル ギ ー の保 存 則

  2.2  円 管 内 の 流 れ   2.2.1 

管 内 層 流

  35   37

 42  46   46

  2.2.2 

管 内 乱 流

  47

  2.2.3 

管 摩 擦 係 数 と流 体 輸 送

  50

  2.2.4 

粗 面 管 の 場 合 の 流 速 分 布 と管摩 擦 係 数

  52

  2.2.5 

直管部 以外 での圧力損失

  53

  2.3  物 体 ま わ りの 流 れ   2.3.1 

境界層 内の流 れ

  2.3.2 

流 体 中 の 物体 に 作 用 す る力

  2.3.3 

円柱背後 の流 れ

  2.4  流 動 状 態 の 計 測

  56   56  

59

  61  

62

  2.4.1 

流

速

計

 

62

  2.4.2 

流

量

計

 

66

  2.5  流 れ の 可 視 化

 69

  2.5.1  実 験 的 可 視 化 手 法

 69

  2.5.2 

 71

数 値 シ ミュ レー シ ョン

3.  熱 移 動(伝

熱) 

77

  3.1  は じ め に   3.1.1 

 77

伝 熱 機 構 の 概 要 と事 例

  3.2  伝 導 伝 熱

  77   79

  3.2.1 

伝導伝熱 の基本 式

  3.2.2 

無限平板 の定常伝 熱

  3.2.3 

中空 円筒 半 径 方 向 の 定 常 伝 熱

  83

  3.2.4 

中 空 球 半 径 方 向 の定 常 伝 熱

  84

  3.2.5 

非定常熱移動 の考 え方

  84

  3.3  対 流 伝 熱

 

79

  80

  86

  3.3.1 

ニ ュ ー トン の 冷 却 の 法 則

  3.3.2 

強制 対 流 伝 熱

 86

  3.3.3 

自然 対 流 伝 熱

  90

  3.3.4 

水 平 平 板

  91

  3.3.5 

対 流 と伝 熱 の 組 合 せ

  3.4  放 射 伝 熱

  86

 92  93

  3.4.1 

完 全 黒 体 と灰 色 体

  3.4.2 

電 磁 波 の 波 長 と放 射

  3.4.3 

放

  3.4.4 

固 体 表 面 の 形 状 と形 態 係 数

射

  93  94

率 

95

  3.5  そ の 他 の 伝 熱

 96  

100

  3.5.1  沸 騰 伝 熱

  100

  3.5.2  凝 縮 伝 熱

 101

  3.6  熱 交 換 器

  101

  3.6.1 

総 括 熱 伝 達 係 数 の定 義

  3.6.2 

熱交換器 の種類

  102

  3.6.3 

対数平均 温度差

 102

  3.7  温 度 測 定 方 法

4.  物

質

分

  102

 104

離

  112

  4.1  分 離 技 術 序 論

  112

  4.1.1 

分 離 の 原 理 と分 離 技 術

  4.1.2 

分 離 装 置 と分 離 係 数

  113

  4.1.3 

分 離 に 要 す るエ ネ ル ギー

 115

  4.2  平 衡 法 に よ る 分 離 技 術   4.2.1 

蒸

留 

  4.2.2 

ガ ス 吸 収

 112

  116 116   127

  4.3  速 度 差 分 離 技 術 ― 膜 分 離 法

 138

  4.3.1 

膜分離技術

  4.3.2 

濃 度 分 極 と物 質 移 動 係 数

  4.3.3 

阻

  4.3.4 

限 界 流 束 と溶 質 排 除

  4.3.5 

浸

  4.3.6 

膜 分 離 の透 過 モ デ ル

  146

  4.3.7 

膜 の 構 造,素

  147

  4.3.8 

膜 に よ る ガ ス混 合 物 の 分 離

止

透

 139

率 

  140 143

圧 

  144 145

材 とモ ジ ュー ル

  148

5.  反

応

工

学 

154

  5.1  均 一 系 反 応 に お け る 反 応 速 度 論

 154

  5.1.1 

反 応 速 度

  5.1.2 

反応速度 式

  5.1.3 

反応速度定数 の温度依存性

  5.1.4 

反 応 器 の種 類 と反 応 流 体 の 流 れ 形 式

  157

  5.1.5 

微 分 法 に よ る反 応 速 度 解 析

  158

  5.1.6 

積 分 法 に よ る反 応 速 度 解 析

  162

  5.1.7 

複 合 反 応 の反 応速 度解 析

  5.1.8 

連 続 流 通 式 反 応 器 に 関 連 す る諸 量

  5.2  不 均 一 系 反 応 に お け る 反 応 速 度 論

  154  

155

  156

 168   170   171

  5.2.1 

不均一 系反応

 

171

  5.2.2 

気相接 触反応

  5.2.3 

ガ ス境 膜 内物 質 移 動 抵 抗

  5.2.4 

吸 着 平 衡

 175

  5.2.5 

吸 着 速 度

  177

  5.2.6 

ラ ン グ ミュ ア-ヒ ン シ ェ ル ウ ッ ド型 触 媒 反 応 速 度 式

  178

  5.2.7 

反応速度 式の積分形

  172   174

 180

  5.2.8 

固 体 細 孔 内 拡 散 と触 媒 有 効 係 数

 181

  5.2.9 

気 固系 反 応

  183

  5.3  反 応 装 置 ・反 応 操 作 設 計 の 基 本 事 項

 

187

参 考 文 献

  192

演 習 問題 解 答

  194

付

表

  199

索

引

  203

1 化学工学の基礎

  本 章 で は化 学 工 学 の 基 礎 とな る物 質 収 支 お よび エ ネ ル ギー 収 支 な どの化 学 工 学 量 論 な ら び に相 平 衡 論 につ い て勉 強 して み よ う.

1.1  化 学 工 学 の 魅 力

  化 学 工 学(ケ ミカ ル エ ン ジ ニ ア リン グchemical

図1.1 

engineering)っ

石 油 精 製 プ ロセ ス(「高純 度 化 技 術 大 系 」(第3巻),p.859,フ

て 何!「 高 校

ジ テ ク ノ シス テ ム,1997).

で 習 わ なか っ た よ な」 と思 う方 が 多 い だ ろ う.し か し,高 校 の 教 科 書 に は 出 て こ な い が,化 学 工 学 は石 油 化 学 を は じめ と して,あ

ら ゆ る化 学 工 業 の発 展 の 基 礎 と

な った 工 学 だ.実 験 室 で の ビー カー を使 っ た実 験 か ら工 業 規模 の化 学 装 置 を設 計 す る場合 に は化 学 工 学 を 身 に つ け て い な い と,化 学 技 術 者 と して,世

界的に認め

て も らえ な い.   図1.1は

石 油 か ら生 産 され る化 学 物 質 の 流 れ 図 とプ ロセ ス を示 し た もの で,ナ

フサ の うち,特

に 沸 点 が30∼100℃

の軽 質ナ フサ の大部 分 は石 油化 学 プ ロセス

を経 て,身 の ま わ りの 家 電 製 品,自 動 車,プ

ラ ス チ ッ ク容 器 な どの 原 料 とな っ て

い る.図1.2に

は こ の石 油 精 製 プ ロ セ ス の 心 臓 部 で あ る常 圧 蒸 留 塔 の 概 略 図 を示

した.図1.3に

は その 写 真 を示 した が,精 製 プ ロセ ス の な か で もひ と きわ 大 き い

こ とが わ か る.   さ らに,機 能 性 材 料,バ

イ オ テ ク ノ ロ ジー,メ

デ ィ カ ル テ ク ノ ロ ジ ー な どの 先

端 技 術 な ら び に地 球 環 境 問題 も,物 質 とエ ネ ル ギ ー の 有 効 利 用 を 目指 した 化 学工 学 的 な見 方 か らの解 決 が 待 ち望 まれ て い る.皆 さ ん が こ う した化 学 工 学 に興 味 を 持 ち,本 書 をマ ス タ ー し,さ らに上 級 コー スへ の 道 を進 まれ る こ と を期 待 して い る.

図1.2 

常圧 蒸留塔の概略図

(提供:日

石 三 菱 株 式 会 社)

図1.3  常 圧 蒸 留 塔(右)と (提 供:日

減 圧 蒸 留 塔(左)

石 三 菱 株 式 会 社)

技術者資格試験   ア メ リ カ で はProfessional

Engineerと

い う技 術 者 資 格 の 制 度 が あ る.通 常 の 場

合 は 認 定 を受 け た 大 学 の コー ス を修 了 し た ら,ま

ずFundamental

の 試 験 を 受 け る.合 格 し た ら企 業 な どの 技 術 者 と し て4年 fessional Engineer

(PE)試

Engineer

(FE)

以 上 の 経 験 を積 み,Pro

験 を受 け,合 格 す れ ば 州 政 府 に 登 録 し,正 式 のPEと

な

り,名 刺 に も肩 書 き と し て 書 く こ とが で き る.社 会 的 に も責 任 あ る 技 術 者 で あ る こ とが 認 め ら れ,尊   さ て,こ 午 後4時

敬 さ れ る.

のFE試

験(1996年)の

内容 を 見 て み よ う.午

前 中4時

間 の 共 通 問 題,

間 の 専 門 問 題 が 試 験 さ れ る.化 学 に 関 係 し た 部 分 を 見 て み よ う.

◆ 共 通 問 題(120題) 120題 の 内 訳 は 以 下 の 通 り. 化 学 …9%,計 算 機 …5%,力 学 …8%,電 …4% ,流 体 力 学 …7%,材 料 科 学 …7%,数 …10% ,熱 力 学 …9%  計100%

気 回 路 …10%,経 学 …20%,材

済 …4%,倫

料 力 学 …7%,静

理 力学

化 学 に 関 連 し た部 分 の 内 容 は 以 下 の よ うに な る. 化 学:酸

塩 基,平

酸 化 ・還 元,周 材 料 科 学:原

気 化 学,無

期 律 表,物

子 構 造,結

熱 力 学:第1法 理 想 気 体,混

衡,式,電

質 の状 態,溶 液,量

晶,腐

則,第2法 合 気 体,相

◆ 専 門 問 題(60題)(ジ

食,拡

則,有 変 化,エ

ャ ン ル:化

物 質 ・エ ネ ル ギー 収 支 …15%,輸 化 学 熱 力 学 …10%,反

機 化 学,動

散,材

力 学,金

相 図,物 イ ク ル,エ

ン タ ル ピー,エ

質 移 動(10%),反

内容 を き っ ち り勉 強 し て,将

熱 …10%,物

ロ セ ス 制 御 …5%,プ

  水 の4℃

単

由エ ネル ギー

質 移 動 …10%, ロ セ ス 設 計 ・経 済 評

ロ セ ス の 安 全 性 …5%,計

応 工 学(10%)と

算 機 ・数 値 解 析

送 現 象(10%),伝

熱

な り,午 後 の 化 学 の 専 門 問 題 の

う し た 資 格 制 度 の 導 入 が 検 討 さ れ て い る.本 書 の

来 に備 え よ う.

1.2 

  1.2.1 

造 法 と試験

ネ ル ギー ・熱 ・仕 事,

ン トロ ピー,自

送 現 象 …10%,伝

応 工 学 …10%,プ

度 と な る.日 本 で も,こ

性,製

学)

  本 書 と 関 連 し た 部 分 は 物 質 ・エ ネ ル ギ ー 収 支(15%),輸

50%程

機 化 学,

論 関係

料,二

効 度-可 逆 性,サ

価 …10%,プ ロ セ ス 装 置 設 計 …5%,プ …5% ,汚 染 防 止 …5%  計100%

(10%),物

属 ・ 非 金 属,有

化 学 工 学 計 算 の基 礎

位 で の 密 度 は1.00g

の 積 で 表 さ れ る.単

位 をkg

cm−3で

あ る が,密

度 の よ う な物 理 量 は数 値 と単位

m−3に 変 え る と 数 値 も1000と

変 わ る.し

た が っ て,

単 位 を統 一 し て計 算 す る必 要 が あ る.現 在 世 界 的 に普 及 して い る の は 国 際 単 位 系 (SI unit)で,表

の よ うな 基 本 単 位 と組 立 単 位 か らで きて い る.本 書 で はSI単

位

系 を主 と して 用 い て い る.

  こ の ほ か に 長 さ,質

量,時

間,温

の 代 わ り に 力(重 量)を 用 い た4つ

度 の4つ

の 基 本 量 か ら な る絶 対 単 位 系,質

の 基 本 量 か ら な る 重 力 単 位 系,さ

量

らに質量 も

力 も 基 本 量 と し た 工 学 単 位 系 も 用 い ら れ て い る.   【例 題1.1】  5000mの

有 用 な鉱 物 資 源 を豊 富 に 含 む マ ン ガ ン 団塊 が あ る と い わ れ る海 底

絶 対 圧Pt[kPa]を

求 め よ.た

だ し,海

水 の 密 度 ρ は1.01×103kg

m−3

と す る.   解.  圧 力Pは 9.81m kg

単 位 面 積 に 働 く力 で,液

柱 の 高 さ(液 高)h,重

s−2)と す る とP=hρg=(5000m)(1.01×103kg

m−1 s−2=4.95×107N

m−3)(9.81m

力 加 速 度g(= s−2)=4.95×107

m−2=4.95×107Pa=49.5MPa

大 気 圧P0=1atm=0.1013MPa.   し た が っ て,海

底 の 絶 対 圧(全

圧)Pt=P+P0=49.5+0.1013=49.6MPa

  こ う し た 計 算 を す る 際 に は 桁 数 に も 注 意 が 必 要 で あ る.例 に 使 用 さ れ る塩 ビ 管 の 直 径 を100cm(=1m)と

え ば,水

す る の と1cmと

道水 の 供 給

す るの で は パ イ

プ の 値 段 や パ イ プ を 地 下 に 埋 め る 工 事 費 を考 え る と大 き な 違 い が で て く る.

  1.2.2 

次 元 と次 元 解 析

  長 さ(length),質

量(mass),時

間(time)の

基 本 量 の 次 元(dimension)をL,

M,Tで な.チ

表 す と,密

度 の 次 元 はML−3,圧

力 の 次 元 はML−1T−2と

な る(本 当 か

ェ ッ ク し て み よ う).

  複 雑 な 現 象 を 理 論 式 で 解 く こ と が で き な い と き に は,次 analysis)を

元 解 析(dimensional

用 い 次 元 的 に 統 一 さ れ た 実 験 式 で 整 理 す る こ と が 多 い.例

式 の 左 辺 が 速 度 の 次 元(=LT−1)の

と き は 右 辺 も速 度 の 次 元 の 項 で な け れ ば な ら

な い.こ

の 式 の 両 辺 を 速 度 の 次 元 で 割 る と 次 元 の な い 無 次 元 数(項)と

れ を1つ

の 変 数 と し て 扱 え る.代

を 示 す レ イ ノ ル ズ 数(Reynolds L),uは

あ る.Reが

  【 例 題1.2 

な り,こ

表 的 な無 次 元数 と して管 内 を流 れ る 流体 の 状 態 number)

流 体 の 速 度(=LT−1),ρ

ML−1T−1)で

えば実 験

Re=Duρ/μ

が あ る.Dは

は 流 体 の 密 度(=ML−3),μ

管 の 直 径(=

は 流 体 の 粘 度(=

無 次 元 数 で あ る こ と を 確 認 し よ う.

次 元 解 析 】  液 体 の 表 面 張 力 を測 定 す る 方 法 に 次 の 液 滴 法 が あ る.

  ①  静 止 空 気 中 に,ノ の 体 積Vは,ノ

ズ ル か ら ゆ っ く り と 液 滴 を 生 成 させ た と き に で き る 液 滴

ズ ル の 直 径d,液

数 で あ る と し て,次

の 密 度 ρ,表 面 張 力 σ,重 力 加 速 度gの

関

元 解 析 を行 え.

  ②   い ろ い ろ な 系 で 実 験 を 行 い,次

の 相 関 式 を 得 た.  (A)

い ま,d=5.0mmの 0.0280cm3で

ノ ズ ル を 用 い,液 あ っ た.液

滴 の 体 積 を 測 定 し た と こ ろ,1滴

体 の 密 度 が800kg

m−3で

あ る と き,そ

が

の 表 面 張 力 σ

[N m−1]を 求 め よ.   解.  次 元 解 析 の 原 理 は 「m個 は,n−m個 am)の   ① 

の 基 本 単 位 を 用 い て 表 せ るn個

の 物 理 量 の 関係

の 無 次 元 数 の 関 数 と し て 表 せ る 」 と い う バ ッ キ ン ガ ム(Buckingh

Π(パ イ)定 理 で 示 さ れ る. V=daρbσcge 

液 滴 体 積Vが

(a)

物 理 量 の べ き 乗 の 積 で 表 せ る と す る.式(a)を

次 元M,L,Tを

用 い 書 き 直 す.  (b) 両 辺 の 次 元 が 等 し く な る 必 要 が あ る か ら,次

の 関 係 がM,L,Tに

つ い て満 足 さ

れ て い な け れ ば な ら な い. M:0=b+c 

(c-1)

L:3=a−3b+e 

(c-2)

T:0=−2c−2e 

(c-3)

基 本 単 位 数 が3で

物 理 量 が5個

だ か ら 無 次 元 数 は5−3=2個

と な る .a,b,cを

eで 表 す と, a=3+2e 

(d-1)

b=e 

(d-2)

c=−e 

(d-3)

と な る.こ

れ を 式(a)に

代 入 し,整

理 す る と

 (e)

し たが っ て2つ

の 無 次 元 数 で整 理 で き る こ とが わ か る.一 般 的 に は 両 者 が 関数 関

係 に あ る と し て次 の よ うに 書 く.  (f)

実 験 式 と して は  (g) と し て,実

験 的 にd,ρ,σ,gを

変 え,液

滴 体 積Vを

測 定 し て ,係

数aと

指 数b

を 決 定 す る こ と に な る.   ② こ こ で は 実 験 相 関 式 と し てa=16.4,b=−1.02と (A)にSI単

位 系 に 統 一 し た 数 値 を 代 入 す る.す

0.028×10−6m3,ρ=800kg   こ れ よ り σ=0.225N

m−3で あ る . m−1と 求 ま る.

1.3 

  1.3.1 

保

存

得 ら れ て い る の で,式 な わ ち,d=5.0×10−3m,V=

物 質 収 支 お よび エ ネ ル ギ ー 収 支

則

  質 量 保 存 則 お よ び エ ネ ル ギ ー 保 存 則(=熱

力 学 第1法

則)を

あ る閉 じ た系 につ

い て考 え る と

系 内の蓄積量=

系 へ の 入 量−

系 か らの 出 量 +

−系内 での消 費量 

系 内での生成量

(1.1)

系 内 で の 生 成 や 消 費 が な け れ ば,式(1.1)は

系 内の蓄積 量=

系 へ の 入 量−

簡 単 に 式(1.2)と

な る.

(1.2)

系 か らの 出 量 

 装 置 内 の 挙 動 が 時 間 的 に変 化 しな い 状 態 を定 常 状 態(steady の 場 合 は 系 内 の蓄 積 量 は0な 系 へ の 入 量=

state)と い う.こ

の で,式(1.2)は

(1.3)

系 か らの 出量 

と な る.

  1.3.2 

物

質

収

支

  物 質 収 支 は 質 量 保 存 則 の こ と で,英 Balanceと

い わ れ る.化

語 で はMaterial

Balanceあ

る い はMass

学 反 応 を 伴 わ な い 物 理 プ ロ セ ス と 化 学 反 応 を 伴 う化 学

プ ロ セ ス に つ い て 例 を あ げ て 説 明 し よ う.   a.  物 理 プ ロ セ ス   n個

の 成 分 が プ ロ セ ス に 関 係 す る 場 合 は,各

成 分 に つ い て のn個

式 と1個

の 物 質 全 量 に つ い て の 収 支 式 が か け る が,数

あ る.以

下 の 例 題 で そ の 応 用 方 法 を 見 て み よ う.

  【 例 題1.3 

蒸 発 操 作 】 10wt%の

連 続 的 に 蒸 発 さ せ,40wt%の h−1]を 得 た.フ   解.  W[kg

濃 縮 シ ョ糖 水 溶 液L[kg 示 す.お

こ の プ ロ セ ス は 水 と シ ョ糖 の2成 h−1],シ

[wt%]と

ョ 糖 の 組 成 をa[wt%],ま

h−1]と 水 蒸 気V[kg

の お の の 流 量LとVを

分 系 で あ る.原

と シ ョ糖)に

求 め よ.

料 シ ョ糖 水 溶 液 流 量 を

た 濃 縮 シ ョ糖 水 溶 液 の 組 成 をb

つ い て の物 質 収 支 よ り

W=L+V 

(a)

ョ糖)に つ い て の 物 質 収 支 よ り  (b)

図1.4 

で

h−1を 減 圧 蒸 発 缶 で

す る.

  全 量(水

溶 質(シ

学 的 に 独 立 な 式 はn個

シ ョ糖 水 溶 液1000kg

ロ ー シ ー ト を 図1.4に

の物 質収 支

蒸発プ ロセス

これ よ り

V=W−L=1000−250=750kg

  【 例 題1.4  にa[wt%]の

h−1

混合操 作】   あ る水 路 中 を 流 れ る 水 の 流 量W[kg 食 塩(ト

レ ー サ ー)水

溶 液 を 流 量T[kg

流 の 地 点 で 水 中 の 食 塩 濃 度 を 測 定 し た らb[wt%]で

図1.5 

 ①  水 の 流 量Wを

h−1]を 知 る た め

h−1]で 注 入 し,十

分 に下

あ っ た(図1.5).

混合 プロセス

求 め る 式 を 導 け.

 ②  a=10wt%,b=0.1wt%,T=50kg

h−1の と き,水

の 流 量W[kg

h−1]

を 求 め よ.   解.  下 流 で の ト レ ー サ ー を含 む 水 の 流 量 をM[kg

h−1]と す る.

 全 量 につ い て の 物 質 収 支 よ り W+T=M 

(a)

トレー サ ー に つ い て の物 質 収 支 よ り  (b) これ よ り

 (c)

② を解 くた め に 与 え られ た 数 値 を式(c)に 代 入 す る.

  【 例 題1.5 

蒸 留 操 作 】 ベ ン ゼ ン(標 準 沸 点80.1℃)-ト

2成 分 系 混 合 溶 液 を 蒸 留 操 作 で 分 離 す る.混 モ ル 分 率xで F[mol

表 す.図1.6に

示 す よ う に,低

h−1]で 蒸 留 塔 に 送 り,蒸

h−1]で,ま

た 塔 底 よ り組 成xWな

ル エ ン(標 準 沸 点110.6℃)

合 液 の 組 成 は低 沸 点 成 分 ベ ンゼ ンの 沸 点 成 分 の 組 成xFな

留 塔 の 塔 頂 よ り組 成xDな る 缶 出 液 をW[mol

る 原料 を流 量

る 留 出 液 をD[mol

h−1]で 得 た.

図1.6 

  ①  DとWを

蒸 留 プ ロセ ス

求 め る 式 を 導 け.

  ②  xF=0.60,xD=0.95,xW=0.05,F=100mol

h−1で あ る と きDとWを

求 め よ.   解.  ① 全 量 に つ い て の 物 質 収 支 よ り F=D+W 

(a)

低 沸 点 成 分 につ い て の 物 質 収 支 よ り FxF=DxD+WxW 

(b)

これ よ り  (c)

 (d)

② 与 え られ た数 値 を 式(c)と(a)に

代 入 す る.

W=F−D=100−61.1=38.9mol

  【 例 題1.6  液 を 第1精

2本 の 連 続 精 留 塔 を 用 い た 蒸 留 操 作 】 50mol%の

留 塔 に100kmol

液 を40kmol

h−1で 供 給 し,塔

h−1で 留 出 さ せ た.塔

れ て く る30mol%メ さ れ る.第2塔

h−1

頂 よ り80mol%の

底 缶 出 液 は,別

メ タ ノー ル 水 溶

系 統 か ら30kmol

タ ノ ー ル 水 溶 液 と 混 合 さ れ,第2精 で は 塔 頂 よ り60mol%の

メ タ ノー ル 水 溶

留 塔 へ 原 料 と し て供 給

メ タ ノー ル 水 溶 液 を30kmol

出 さ せ る.以

下 の 量 を 求 め よ.

  ①   第1精

留 塔 の 缶 出 液 の 流 量[kmol

  ②  第2精

留 塔 に 供 給 さ れ る 混 合 原 料 の 流 量[kmol

h−1で 送 ら

h−1で 留

h−1]と メ タ ノ ー ル 組 成[mol%] h−1]と メ タ ノ ー ル 組 成

図1.7 

2本 の連 続 精 留塔 に よ る蒸 留 プ ロ セ ス

[mol%]   ③  第2精

留 塔 の 缶 出 液 の 流 量[kmol

  解.  図1.7の 成 分 系 溶 液 で,メ 分 率]を

よ う に 記 号 を 決 め る.メ

に 添 字1と2を

で の 全 物 質 収 支 よ り,第1塔 W1=F1−D1=100−40=60kmol

第1塔

の 塔 底 缶 出 液 量W1は h−1 底 缶 出 液 組 成xW1は

の 原 料 流 量F2は F2=W1+F2′=60+30=90kmol

ま た,xW1,xF2′ ③ 第2塔

メ タ ノー ル 組 成[mol

つ け る.

で の メ タ ノ ー ル の 物 質 収 支 よ り,第1塔

② 第2塔

と も に30mol%な

で の 全 物 質 収 支 よ り,第2塔 W2=F2−D2=90−30=60kmol

第2塔

タ ノ ー ル 水 溶 液 は メ タ ノ ー ル と水 の2

タ ノー ル が 低 沸 点 成 分 で あ る の で,xは

表 し,第1塔,第2塔

  第1塔

h−1]と メ タ ノー ル 組 成[mol%]

h−1 の で,原

料 組 成 はxF2=0.30.

の 塔 底 缶 出 液 量W2は h−1

で の メ タ ノー ル の 物 質 収 支 よ り,第2塔

底 缶 出 液 組 成xW2は

 b.  化 学 プ ロセ ス  化 学 反 応 を伴 うプ ロ セ ス で は,物 質 全 量 に つ い て の 物 質 収 支 が1個,化 に 関 与 し な い 元 素 か ら な る成 分 の物 質 収 支 がm個,化

学反応

学 反応に関与 す る元素か

ら な る 成 分 の 物 質 収 支 がn個 で あ る.以

書 け る が,こ

の う ち 独 立 な 物 質 収 支 式 はm+n個

下 の 例 題 で そ の 応 用 方 法 を 見 て み よ う.

  【 例 題1.7 

燃 焼 反 応 】 エ タ ン(C2H6)100kmol

焼 器 に よ り燃 焼 さ せ た と こ ろ,エ が 反 応(A)でCO2を,ま

h−1を50%の

タ ン の 全 量 が 燃 焼 し,燃

た20%が

反 応(B)でCOを

焼 し た エ タ ン の80%

生 成 し た.こ

り基 準 で 燃 焼 器 出 口 ガ ス 中 の 各 成 分 の 組 成[mol%]を

の と き,湿

求 め よ.

C2H6+7O2/2→2CO2+3H2O 

(A)

C2H6+5O2/2→2CO+3H2O 

(B)

た だ し,過

剰 空 気 率 の 定 義 は 式(C)で

過 剰 空 気 率(%)=[供   解.  式(C)の

与 え ら れ る.

給 空 気 量 −理 論 空 気 量]×

理 論 空 気 量 と は,供

100/

(C)

理論 空気量 

給 さ れ た す べ て のC,Hを

C+O2→CO2 

(a)

H2+O2/2→H2O 

(b)

の 反 応 に よ りCO2,H2Oに

す る の に 必 要 な 空 気 量 を 示 す.

  計 算 基 準 を 問 題 に 示 さ れ て い る エ タ ン100kmol   反 応(A)に

よ り,エ

×(7/2)=350kmol

タ ン100kmol

h−1の 理 論O2が

h−1と す る.

h−1を 空 気 中 のO2で

完 全 燃 焼 す る に は100

必 要 と な る.

  燃 焼 反 応 で は 空 気 はN2:79mol%とO2:21mol%の 理 論 空 気 量 は350×(100/21)=1667kmol   過 剰 空 気 率 が50%で kmol

過剰 空気率 で燃

混 合 物 と 考 え る か ら,

h−1と な る.

あ る か ら 式(C)よ

り供 給 空 気 量 は1667×(1+0.50)=2500

h−1と な る.

  し た が っ て,供

給O2量

×(79/100)=1975kmol

は2500×(21/100)=525kmol

h−1,供

給N2量

は2500

h−1と な る.

  次 の 物 質 収 支 の 表 で 成 分,入 (− は 反 応 で 消 失,+は

量(燃 焼 器 入 口 で の 流 量),燃

反 応 で 生 成),出

焼 器 内で の生成 量

量(燃 焼 器 出 口 で の 流 量)と

出 口組 成 を

示 す.   反 応(A)に

よ り80kmol

h−1のC2H6と280kmol

kmol

h−1のCO2と240kmol

h−1のH2Oが

kmol

h−1のC2H6と50kmol

h−1のO2が

kmol

h−1のH2Oが

生 成 さ れ る.入

h−1のO2が

生 成 さ れ る.ま 消 費 さ れ,40kmol

た,反

消 費 さ れ,160 応(B)か h−1のCOと60

量 と 生 成 量 よ り出 量 が 計 算 さ れ る.

ら20

  湿 り基 準(wet 量 合 計2670kmol

basis)で あ る か ら,反 応(A)と(B)で

生 じ たH2Oを

h−1を 基 準 と して 各 成 分 の 組 成 を 計 算 す る.乾

basis)の 場 合 に は 反 応(A)と(B)で

生 じたH2Oを

含んだ出 き 基 準(dry

含 ま な い 出 量 合 計2370kmol

h−1を 基 準 と して 各 成 分 の 組 成 を計 算 す れ ば よ い.   化 学 プ ロセ ス の構 成 は 次 の よ うに 大 き く分 類 で き る.   ①  直 列 型 プ ロ セ ス(図1.8)   精 製 した 原 料 を 反 応 器 に仕 込 み,反 応 後 生 成 物 を分 離 装 置 で製 品 と副 生 成 物 に 分 離 す る.   ②  リサ イ クルパ ー ジ型 プ ロ セ ス(図1.9)   反 応 器 に 原 料 を仕 込 み,反

応生 成 物 を分 離 装 置 で 製 品 と未 反 応 原 料,不

純物 な

どに 分 離 す る.未 反 応 原 料 を循 環 原 料 と して反 応器 に リサ イ クル す る.反 応 で 製 品 に な っ た 原 料 の 補 給 の た め に補 給 原 料(fresh

feed)を 新 た に 反 応 器 に 供 給 す

る.ま た,不 純 物 が プ ロ セ ス 内 に 蓄 積 す る と触 媒 活 性 が低 下 す る な どの理 由 で 一 部 を系 外 にパ ー ジ(purge・ 放 出)す る.

図1.8 

図1.9 

直 列 型 プ ロセ ス

リサ イ クル パ ー ジ型 プ ロセ ス

物 質 収 支 を 考 え る 際 の 手 順 は 次 の よ う に な る.   ①  プ ロ セ ス の フ ロ ー シ ー ト を書 く.   ②   物 質 収 支 に 関 与 す る デ ー タ(例 え ば 組 成,流   ③  計 算 の 基 準 を 明 確 に す る.例

え ば,原

料100kmol

  ④  基 準 に 基 づ い て 物 質 収 支 式 を た て て,解 変 化 し な い 手 が か り物 質(例   【 例 題1.8 

え ばN2)に

量,圧

く.こ

力,温

度)を

整 理 す る.

h−1を 基 準 と す る. の 際 プ ロセ ス の前 後 で 量 の

着 目 す る.

エ タ ノー ル 製 造 プ ロ セ ス 】 エ チ レ ン を水 和 し て エ タ ノ ー ル を 製 造

す る プ ロ セ ス を 考 え る. C2H4+H2O=C2H5OH 

(A)

こ の 反 応 は 触 媒 反 応 器 を1回

通 過 す る だ け で は 完 結 せ ず,水

ノ ー ル を 凝 縮 分 離 し た 後,未

反 応 エ チ レ ン を循 環 し て い る.反

ン に 対 す る 水 の モ ル 比 は0.6に 率(単 通 転 化 率)は4.2%で

保 た れ て お り,エ

あ る.次

お よ び 生 成 した エ タ

チ レ ン の1回

応器 入 口の エ チ レ 通 過 当 た りの 転 化

の 問 に 答 え よ.

  ①  本 プ ロ セ ス の フ ロ ー シ ー トを 書 け.   ②  エ チ レ ン の 循 環 比(=循

環 原 料 中 の エ チ レ ン の モ ル 数/補 給 原 料 中 の エ チ

レ ン の モ ル 数)を 求 め よ.   ③   補 給 原 料 組 成[mol%]を

求 め よ.

  ④  エ チ レ ン の 総 括 転 化 率(=反

応 し た エ チ レ ン の モ ル 数/補 給 原 料 中 の エ チ

レ ン の モ ル 数)を 求 め よ.   解.  ① プ ロ セ ス フ ロ ー シ ー ト を 図1.10に で,補

環 原 料 が エ チ レ ン(C2H4)

給 原 料 が エ チ レ ン と水 で あ る.

  ② 反 応 器 入 口 で のC2H4:100mol 100mol

h−1×0.6=60mol

  C2H4の

単 通 転 化 率 が4.2%で

な わ ち,C2H4の

h−1を 基 準 と す る と,入

h−1と な る.反

消 費 さ れ る こ と に な る.し る.す

示 す.循

量 は

応 器 で の 物 質 収 支 表 を 作 成 す る.

あ る の で 入 量100mol

た が っ て,100−4.2=95.8mol

循 環 比=95.8/4.2=22.8.

図1.10 

口 で のH2O流

エ タ ノー ル製 造 プ ロセ ス

h−1に 対 し4.2mol

h−1が

h−1が リサ イ ク ル さ れ

 ③ 補 給 原 料 組 成 は次 表 で 示 さ れ る.

  ④ 反 応 し た エ チ レ ン の モ ル 数 と補 給 原 料 中 の エ チ レ ン の モ ル 数 は と も に1時 当 た り4.2molだ

か ら総 括 転 化 率 は(4.2/4.2)×100=100%と

な る.

  【 例 題1.9 

メ タ ン と塩 素 の 反 応 】   メ タ ン と 塩 素 か ら,次

チ ルCH3Clと

二 塩 化 メ チ レ ンCH2Cl2が

図1.11は

る.反

の 反 応 に よ り塩 化 メ

生 成 す る.

CH4+Cl2→CH3Cl+HCl 

(A)

CH3Cl+Cl2→CH2Cl2+HCl 

(B)

プ ロ セ ス の 概 略 を 示 し た も の で あ る.b点

応 器 へ の 供 給 モ ル 比 は5:1で,塩

素 の1回

応 器 出 口 で の,CH3ClとCH2Cl2の

に お け る メ タ ン と塩 素 の 反

通 過 当 た り の 転 化 率 は100%で モ ル 比 は4:1で

生 成 物 は 冷 却 器 に 送 ら れ,CH3ClとCH2Cl2は

凝 縮 し,さ

あ っ た.反

た,冷

却 器 を 出 た ガ ス は ガ ス 吸 収 塔 に 送 ら れ,HClは100%吸

CH4は

ガ ス と し て 再 び 反 応 器 に リサ イ ク ル さ れ る.CH3Clを1000kg の 量 を 求 め よ.

  ①  補 給 原 料 の 流 量[kmol   ②   CH4の

h−1]

リサ イ ク ル 流 量[kmol

図1.11 

h−1]

メ タ ン と塩 素 の 反 応 プ ロ セ ス

あ

応器 よ り

ら に 蒸 留 塔 に 送 られ

る.ま

す る と し て,次

間

収 さ れ る. h−1製 造

  解.  1molのCl2の

う ち 反 応(A)で

α[mol],反

応(B)で(1−

α)[mol]が

消 費

さ れ る とす る. CH4+Cl2→CH3Cl+HCl  α 

α 

(A) α 

α

CH3Cl+Cl2→CH2Cl2+HCl  1− α  

b点

で のCH4

1− α  

100mol

1−

(B) α 

1− α

h−1を 基 準 に と る と,メ

る こ とか ら,Cl2は20mol

タ ン と 塩 素 の 供 給 比 が5:1で

あ

h−1と な る.

  反 応 器 で の 物 質 収 支 は 次 表 の よ う に な る.

  反 応 器 出 口 で のCH3ClとCH2Cl2の =20(2α

−1)/20(1−

  CH3Clの kmol

α)=4/1よ

モ ル 比 が4:1で

分 子 量 は50.5,し

た が っ て,CH3Cl:1000kg

h−1を 製 造 す る こ と に な る の だ が,本

基 準 と し て 解 い て き た た め に,生 h−1で あ る.そ と,ス

あ る か らCH3Cl/CH2Cl2

り α=5/6

解 法 で はb点

成 す るCH3Clは

こ で 比 例 計 算 を行 う た め の 比 率(ス

ケ ー ル 因 子 は19.8kmol

h−1/13.3mol

  ① 補 給 原 料 はCH4:100−83.3=16.7mol

h−1=1000/50.5=19.8 で のCH4

100mol

表 か ら わ か る よ う に13.3mol ケ ー ル 因 子 と 呼 ぶ)を

h−1=1.49×103[―]と h−1,Cl2:20mol

h−1だ か ら合 計16.7

h−1ス ケ ー ル 因 子 を 考 慮 し て(36.7)(1.49×103)=54.6×103mol

h−1=54.6kmol

h−1 表 よ り83.3mol

83.3×(1.49×103)=124×103mol

  1.3.3 

h−1だ か ら ス ケ ー ル 因 子 を 考 え る と

h−1=124kmol

h−1

エネルギー収支

  熱 力 学 第1法 balance)を

求 め る

な る.

+20=36.7mol

  ② リ サ イ ク ル す るCH4は

h−1を

則 に よ りエ ネ ル ギ ー は 保 存 さ れ る の で,エ

書 く と 次 式 と な る.

ネ ルギー 収 支(energy

系 内 に蓄 積 され るエ ネ ル ギー 量=系

へ の 流 入 物 質 の有 す るエ ネ ル ギー 量

− 系 か らの 流 出物 質 の 有 す るエ ネ ル ギー 量 ± 系 内 で発 生 ま た は 吸収 され るエ ネ ル ギー 量 ± 系 外 か ら流 入 ま た は 系外 へ 流 出す るエ ネ ル ギー 量  

(1 .4)

  a.  エ ネ ル ギ ー 形 態   化 学 工 学 で は1kgの

物 質 を基 準 に エ ネ ル ギ ー を考 え る.

 ①  運 動 エ ネ ル ギ ー:流

速 をuと

す る とu2/2[J

kg−1]

 ②  位 置 エ ネ ル ギ ー:Zを

基 準 面 か ら の 高 さ とす る とZg[J

 ③  内 部 エ ネ ル ギ ー:E[J

kg−1]

 ④  エ ン タ ル ピ ー:H[J

kg−1]はPを

圧 力[Pa],vを

kg−1]

比 容[m3

kg−1]と

す る

とH=E+Pv  ⑤  熱:Q[J

kg−1](熱

が 系 内 に 流 入 す る と き:+,熱

が 系 外 に流 出す る と

き:−)  ⑥  仕 事:W[J

kg−1](系 が 外 部 よ り 仕 事 を し て も ら う と き:+,系

が外部 に

仕 事 を す る と き:−)  ⑦  全 エ ネ ル ギ ー:U[J

kg−1]は

内 部 エ ネ ル ギ ー,位

置 エ ネ ル ギ ー,運

動 エ

ネ ル ギ ー の 和 で 表 さ れ る.

 (1.5)

  b.  非 流 通 系 の エ ネル ギ ー 収 支   系 の 容 積 が 一 定 の場 合(定 容 系):ΔE=Q 

(1.6)

内部 エ ネ ル ギ ー 変 化 は 系 内外 の 熱 変 化 と等 し い.   系 の 圧 力 が 一 定 の場 合(定 圧 系):ΔH=Q 

(1.7)

系 の エ ン タ ル ピー 変 化 と系 内外 の 熱 変 化 と等 しい.   c.  定 常,流 通 系 の エ ネ ル ギ ー 収 支   定 常 状 態 に あ る流 体1kgに

つ い て 図1.12の

よ うに 断 面1と

断 面2の

間 でエ

ネ ル ギー 収 支 を と る と,系 内 の蓄 積 エ ネ ル ギ ー 量 は0だ か ら, 断 面1よ

り系 内 へ 流 入 す る物 質 の 有 す るエ ネ ル ギー 量 ± 断面1と2の

系 外 か ら系 内へ 流 入 ま た は 流 出 す るエ ネ ル ギー 量(熱,仕 =断

面2よ

り系 外 へ 流 出 す る物 質 の 有 す るエ ネ ル ギ ー 量  

間で

事) (1 .8)

図1.12 

流 通 系 の エ ネ ル ギ ー収 支

す な わ ち,エ ネ ル ギー 収 支 式 は 次 式 で 表 され る.  (1.9)

  【 例 題1.10  kg

パ イ プ 内 の 流 動 】 サ イ ホ ン の 原 理 を 利 用 し て,水(密

m−3)を 十 分 に 大 き い 貯 水 槽Aか

イ プ で くみ 出 し て い る.1.0m3の だ し,パ

ら5.1m下

の 水 槽Bへ

管 断 面 積5.0cm2の

水 を く み 出 す の に 要 す る 時 間[s]を

イ プ 内 の 摩 擦 損 失 は 無 視 で き る と す る.ま

た,貯

度 ρ=1000

水 槽Aと

パ

求 め よ.た 水 槽Bは

と

も に 大 気 圧 下 で 操 作 さ れ る と す る(図1.13).   解.  全 エ ネ ル ギ ー 収 支 は,系 損 失 が 無 視 で き る こ とか ら,次

内 に ポ ン プ,熱

交 換 器 が な く,パ

イプ内 の摩擦

式 で か け る.  (a)

貯 水 槽Aと

水 槽Bは

と もに大 気 圧 下 で操 作 され て い るか ら,

PA=PB=0.1013MPa   エ ネ ル ギー 収 支 を貯 水 槽Aの る と,貯 水 槽Aは

水 面 ① と水 槽Bに

十 分 に 大 き い の でuA=0と

入 るパ イ プ 出 口近 傍 ② で と

して よ いか ら,

uB2/2=(ZA−ZB)g  重 力 加 速 度g=9.81m

(b) s−2で

あ る か ら,

uB=[2(ZA−ZB)g]0.5=[2×5.1×9.81]0.5=10m す な わ ち,パ

イ プ 内 の 水 流 量Qは,パ

Q=uBS=10×(5×10−4)=5×10−3m3 し た が っ て,1m3の 1m3/5×10−3m3

s−1 イ プ の 断 面 積 をSと s−1

水 を く み 出 す の に 必 要 な 時 間 は, s−1=200s

す る と

図1.13 

パ イプ 内 の 流 動

  d. 物 理 プ ロセ ス の エ ン タル ピ ー変 化   物 理 プ ロ セ ス の エ ン タ ル ピー 変 化ΔHは 化 と相 変 化 に よ る潜 熱 変 化Lの

次 式 の よ う に 温 度 変 化 に よ る顕 熱 変

和 で 表 され る.  (1.10)

こ こ で,1molの 熱,分

物 質 の 温 度 を1Kだ

子 熱,分

熱 で あ る.気

子 熱 容 量[J

け 上 昇 さ せ る の に 必 要 な 熱 量 を,モ

mol−1 K−1]と

体 の 定 圧 モ ル 比 熱 は,温

い い,式(1.10)中

度T[K]の

のCpは

定圧 モル比

関 数 と し て 表 さ れ る.

Cp=a+bT+cT2+dT3 

た だ し,a,b,c,dは 1kgの

(1.11)

物 質 に 固 有 の 定 数 で,化

物 質 を 基 準 に 考 え る 時 は 熱 容 量[J

  【 例 題1.11 

学 工 学 便 覧 を 参 照 さ れ た い.な

kg−1 K−1]と

水 蒸 気 の 加 熱 】 0.1013MPa,273.2Kの

蒸 気 に 加 熱 し た い.必

要 な 熱 量[kJ

kg−1 K−1

水 の 蒸 発 潜 熱(373.2K):L=2257kJ 水1kg当

水

mol−1]を 求 め よ.

水 蒸 気 の 定 圧 熱 容 量:CpV=1.97kJ

必 要 な 熱 量Qは

お,

い う. 水1molを500Kの

〔デ ー タ 〕:水 の 定 圧 熱 容 量:CpL=4.187kJ

  解. 

ル比

kg−1 K−1 kg−1

た り で 考 え る と,式(1.10)よ

り

Q=ΔH=CpL(373.2−273.2)+L+CpV(500−373.2) =(4 水1molは18×10−3kgだ

.187)(100)+2257+(1.97)(126.8)=2.925×103kJ

kg−1

か ら

Q=(2.925×103)×(18×10−3)=52.65kJ

mol−1

  e.  化 学 プ ロ セ ス の エ ン タ ル ピ ー 変 化  エ ン タ ル ピ ー 変 化 を 求 め る 際,ヘ

ス(Hess)の

法 則 が 用 い ら れ る .す

な わ ち,

反 応 熱 は そ の 反 応 の 初 め の 状 態 と 終 わ りの 状 態 だ け で 決 ま り,途 な い.し

た が っ て,反

中 の経 路 に よ ら

応 器 内 の 反 応 メ カニ ズ ム が 不 明 で も反 応 器 入 口 と出 口の エ

ン タ ル ピ ー の 差 か ら エ ン タ ル ピ ー 収 支 を 計 算 で き る.エ 学 に お い て は,1atm,25℃

ン タル ピー 計 算 な ど熱化

を 標 準 状 態 と し て い る.ま

ず,エ

ン タ ル ピー 変 化

の 計 算 に 必 要 な 基 本 デ ー タ を あ げ て み よ う.   ①  標 準 生 成 熱(standard molが 25℃

of formation):ΔHf,標

準 状 態 で,物

そ の 元 素 か ら 生 成 さ れ る と き の エ ン タ ル ピ ー 変 化 を 示 す.な で 安 定 な 集 合 状 態 の 元 素 の エ ン タ ル ピ ー の 値 は0と

  ②  標 準 燃 焼 熱(standard molが

heat

heat

質1

お,1atm,

す る.

of combustion):ΔHc,標

準 状 態 で,物

質1

完 全 燃 焼 す る と き に 発 生 す る 熱 量 で あ る.

  ③  標 準 反 応 熱(standard

heat

of reaction):ΔHR,反

応 生 成 物 と反 応 物 質 の

生 成 熱 の 差 と し て 得 ら れ る.  (1.12)

こ こ で,ΔHf,Pは (reactant)の  ΔHRが

反 応 生 成 物(product)の

標 準 生 成 熱,ΔHf,Rは

反 応 物 質

標 準 生 成 熱.

負 で あ れ ば 発 熱 反 応(exothermic

反 応(endothermic

reaction)で

  し た が っ て,任

正 であ れば 吸熱

あ る.

意 の 温 度T[K]に

標 準 生 成 熱 と,25℃

reaction),ΔHRが

お け る あ る 物 質aの

エ ン タ ル ピーΔHaは,

か ら あ る状 態 ま で の エ ン タ ル ピ ー の 増 加 分 の 和 と し て 与 え

ら れ る. Δ Ha=ΔHf+ΔH298−T 

(1.13)

  化 学 プ ロ セ ス の エ ン タル ピー 変 化 を求 め る こ とは,物 質 収 支 と熱 収 支 の 組 み合 せ 問題 を解 くこ とに ほ か な ら な い.手 順 と して は ま ず,物 質 収 支 を計 算 し,そ れ に基 づ い て熱 収 支 を計 算 す る こ とに な る.   【例 題1.12 

メ タ ン の水 蒸 気 分 解 反 応】  メ タ ン を水 蒸 気 で接 触 分 解 し,

CH4(g)+H2O(g)→CO(g)+3H2(g)  な る 反 応(A)でH2を

(A)

製 造 す る 際 に は,副

反 応 と し て 次 の 水 性 ガ ス 反 応(B)が

時 に 起 こ る. CO(g)+H2O(g)→CO2(g)+H2(g)  CH4

1kmol

h−1に 対 し,H2Oを2.5kmol

で 反 応 器 を 去 る.こ

の と き,CH4は

(B) h−1の 比 率 で300℃ 完 全 に 分 解 す る.ま

た,出

で 供 給 し,1000℃ 口 ガ ス 中 に はCO

同

が15mol%(湿

り基 準)含

ま れ て い た.

  ①   反 応 器 出 口 ガ ス 中 の 湿 り基 準 の 組 成[mol%]を   ②  本 反 応 で は 反 応 器 か ら熱 を 除 去 す る の か,あ   ③  CH4

100 N m3 h−1当 た り の 熱 量[kJ

態(0℃,1atm)で

の 体 積[m3]を

求 め よ. る い は 加 え る の か.

h−1]を 求 め よ.な

お,N

m3は

標 準状

示 す.

  〔デ ー タ 〕

な お,各

成 分 の(g)は

  解.  基 準:CH4

1mol

気 体 で あ る こ と を 示 し て い る.

h−1を 基 準 に と る.CH4は

完 全 に 分 解 す るか ら,

CH4(g)+H2O(g)→CO(g)+3H2(g)  1mol

生 成 し たCO

h−1 

1mol

1mol

h−1 

1mol

h−1の う ちx[mol

(A) h−1 

3mol

h−1

h−1]が 反 応(B)に

進 む と す る.

CO(g)+H2O(g)→CO2(g)+H2(g)  x[mol

h−1]x[mol

h−1] 

x[mol

(B) h−1]x[mol

h−1]

物 質 収 支 の 表 を作 成 す る.

題 意 よ り(1−x)/5.5=0.15し

た が っ てx=0.175.こ

算 し た 結 果 を 出 量 ② に 示 す.反

のxの

値 を 出 量 ① に入 れ 計

応 器 出 口 ガ ス の 湿 り基 準 の 組 成 は 表 に 示 す よ う

に な る.   ② 反 応 器 入 口 の エ ン タ ル ピ ー:ΔH1 CH4:(1)[−74.87+(0.044)(300−25)]=−62.77kJ

h−1

H2O:(2.5)[−241.89+(0.035)(300−25)]=−580.66kJ 合 計:ΔH1=−643.43kJ

h−1

h−1

  反 応 器 出 口 の エ ン タ ル ピ ー:ΔH2 H2O:(1.325)[−241.89+(0.039)(1000−25)]=−270.12kJ CO:(0.825)[−110.53+(0.032)(1000−25)]=−65.45kJ

h−1

CO2:(0.175)[−393.64+(0.050)(1000−25)]=−60.36kJ

h−1

H2:(3.175)[0+(0.030)(1000−25)]=92.87kJ 合 計:ΔH2=−303.06kJ ΔH=ΔH2− ΔHが   ③100 ②

h−1

ΔH1=−(303.06−643.43)kJ

正 だ か ら 吸 熱 反 応 で あ る.し N

m3

1mol

た り だ か ら100

N

h−1)=1.52×106kJ

h−1 m3

ル を 脱 水 素 し て ア セ トア ル デ ヒ ドを 製 造 し て い る.エ タ ノ ー ル の 転 化 率 は40%で

成 物 の 温 度[℃]を

h−1に

つ い て は

h−1

断 熱 型 反 応 器 】  断 熱 型 反 応 器 を 用 い,反

で 供 給 さ れ,エ

h−1

を 反 応 器 に 加 え る.

h−1=4.46×103mol

h−1当

ΔH=(4.46×103)(340.4kJ

h−1=340.4kJ

た が っ て,熱

h−1=100/22.4=4.46kmol

で 求 め た ΔHはCH4

  【 例 題1.13 

h−1

応(A)に

よ りエ タ ノー

タ ノ ー ル は 反 応 器 に325℃

あ る と し た と き,反

応器 出 口での生

求 め よ.

C2H5OH→CH3CHO+H2    な お,各

成 分 の25℃

(A)

で の 標 準 生 成熱

ΔHf[kJ

mol−1]と 平 均 定 圧 モ ル 比熱Cp

[kJ mol−1 K−1]は 次 の よ う に 与 え ら れ る.

  解.  物 質 収 支 を と る 基 準 と し て 反 応 器 入 口 で の エ タ ノ ー ル100mol る.エ

タ ノ ー ル の 転 化 率 が40%で

あ る か ら,反

h−1を と

応器 での物質収支 の表 が次 の よ

う に 書 け る. 物 質 収 支 の 表 と与 え ら れ た 熱 力 学 デ ー タ の 表 よ り以 下 の 計 算 を行 う.反 ガ ス の エ ン タ ル ピー を ΔH1と

す る と,

ΔH1=ΔHf+CpΔT =(100)[−240+(0

.1)(325−25)]

応器入 口

=−21000kJ

h−1

反 応 器 出 口 ガ ス の エ ン タ ル ピ ー をΔH2,出

口 温 度 をt[℃]と

す る と,

断 熱 反 応 器 だ か ら反 応 器 入 口 と出 口で の ガ ス の エ ン タ ル ピー は 等 し くな け れ ば な ら な い.し

た が っ て,ΔH1=ΔH2

す な わ ち, 

−21000=−21200+10.4×(t−25)

こ れ を解 い て しか し,こ

  t=44.2℃

れ で は 温 度 が 下 が り す ぎ る こ と に な っ て し ま う の で,断

熱 反 応 器 を用

い る の が 妥 当 か 否 か を 再 検 討 す る 必 要 が あ る こ と が わ か る.

1.4  気 体 の状 態 方 程 式

  1.4.1 

理 想 気 体 法 則(ideal

gas

law)

  基 本 的 な 理 想 気 体 の 状 態 方 程 式 と し て よ く知 ら れ て い る. pV=nRT 

(1.14)

pv=RT 

(1.15)

こ こ で,pは

気 体 の 圧 力,Vは

りの 体 積,Tは

絶 対 温 度,nは

J mol−1 K−1=82.06cm3

 1.4.2 

体 積,vは

atm

分 子 容 あ る い は モ ル 体 積 で1mol当

モ ル 数,Rは

気 体 定 数(gas

mol−1 K−1=1.987cal

た

constant)で,8.314

mol−1 K−1で あ る.

実在気体 の状態式

  a.  状 態 方 程 式 を 用 い る 方 法   理 想 気 体 法 則 で は 気 体 分 子 自 身 の 体 積bと 無 視 し て い る.そ ワ ー ル ス(van

こ で,1molの

der Waals)の

気 体 分 子 相 互 間 に 働 く 引 力a/v2を

気 体 に つ い て 補 正 し た 式(1.16)を 式,a,bを

フ ァンデル

フ ァ ン デ ル ワ ー ル ス 定 数 と 呼 ぶ.

 (1.16)

  b.  圧 縮 因 子 を 用 い る 方 法   実 在 気 体 の 理 想 気 体 か ら の ず れ を 圧 縮 係 数(compressibility

factor) zで 表 す

と pV=znRT 

(1.17)

pv=zRT 

(1.18)

こ こ で,zは

対 臨 界 圧(reduced

temperature)

Tr(=T/Tc)の

臨 界 点(critical ば,物

point)を

質 に よ ら ずzの

state)が

[m3 mol−1]を

関 数 で,pcとTcは

pr(=p/pc),対

臨 界 温 度(reduced

気 体 と液 体 の 区 別 が な くな る

示 す 臨 界 圧 力 と 臨 界 温 度 で あ る.対

値 は 同 じ と い う対 応 状 態 原 理(principle

成 立 し,図1.14の

  【 例 題1.14 

pressure)

臨界値 が同一 なら of corresponding

圧 縮 係 数 線 図 が か け る.

エ チ レ ン の 分 子 容 】 エ チ レ ン の250℃,1000atmで ① 理 想 気 体 法 則,②

圧 縮 係 数 線 図 を 用 い て 求 め よ.た

レ ン の 臨 界 定 数 はTc=283.1K,pc=50.5atmで   解.  ① 理 想 気 体 法 則(1.15)よ

の 分 子 容v だ し,エ

あ る.

り

 ② 対 臨界温度

 対 臨界圧力

図1.14の

圧 縮 係 数 線 図(b)の

た が っ て 式(1.18)よ

高 圧 範 囲 よ り圧 縮 係 数z=1.73と

り

理 想 気 体 の 場 合 の1.73倍

と な る.

読 み 取 れ る.し

チ

図1.14 

(a)  低 圧 範 囲 圧 縮 係 数 線 図(江 口

彌:化

学 工 学 量 論,化

学 同 人,1973よ

り)

(b)  中 高 圧 範 囲

超 臨界流 体   液 体 と気 体 の 区 別 が な く な る 臨 界 点 を超 え た 温 度,圧 流 体 と呼 ば れ,特 て い る の がCO2(臨 近 傍 で 温 度,圧

力 に 置 か れ た 流 体 は超 臨 界

徴 あ る性 質 で 注 目 さ れ て い る.な か で も,工 業 的 に よ く用 い ら れ 界 温 度31.1℃,臨

界 圧 力72.8atm)で,図

に示 す よ うに臨 界点

力 を若 干 変 化 させ る と密 度 が 大 き く変 化 す る.密

対 応 す る か ら,温

度,圧

力 を 操 作 す る こ とに よ り超 臨 界CO2を

度 は分 子間 距離 に 溶 媒 と して 用 い る

と,固 体 や 液 体 の 溶 解 度 や 拡 散 係 数 を コ ン トロ ー ル す る こ とが で き る.最 に 行 わ れ て い る の が 超 臨 界CO2を ロ セ ス で,現 在 年 間5万

も大 規 模

用 い た コー ヒー や 紅 茶 か ら の カ フ ェ イ ン 抽 出 プ

トン の プ ラ ン トが 稼 動 中 で あ る.

超 臨 界CO2の

密 度 の 圧 力 ・温 度 依 存 性

(化 学 工 学 便 覧(改 訂6版),丸

善,1999)

1.5  相 平 衡 と単 位 操 作

  気 液 系,液 液 系 な ど異相 間 の 物 質 移 動 の 速 度 は他 の 条 件 が 同 じな らば,平 衡 状 態 か らの ず れ に よ り決 ま る.回 分 操 作 の 場 合 は所 要 時 間,連 続 操 作 の 場 合 は装 置 の 大 き さ を決 定 す る際 に,こ の 物 質 移 動 速 度 が 重 要 とな る.相 平 衡 と密 接 に 関 連 し た単 位 操 作 の 関 係 は次 表 の よ うに な る.単 位 操 作 とは化 学 プ ロセ ス で物 質 に 組

成,状

態,エ

 1.5.1 

純物 質の蒸気圧

  温 度Tと  ① 

ネ ル ギー な どの 変 化 を与 え る ため の操 作 法 を ま とめ た もの で あ る.

純 物 質 の 蒸 気 圧Pの

関 係 は 次 の 式 で 与 え ら れ る.

ク ラ ペ ー ロ ン(Clapeyron)の

式  (1.19)

こ こ で,λ 子 容[m3

はT[K]に

お け る モ ル 蒸 発 潜 熱[J

mol−1]で,vG≫vL,vG=RT/P(理

mol−1],vG,vLは

想 気 体 法 則),λ

次 の ク ラ ウ ジ ウ ス-ク ラ ペ ー ロ ン(Clausius-Clapeyron)の

気 体,液

体 の分

が 一 定 と仮 定 す る と

式 と呼 ば れ る.  (1.20)

 ②  ア ン トワ ン(Antoine)の

式  (1.21)

こ こ で,Tは

温 度[K],A,B,Cは

液 体 に 固 有 の 定 数 で,化

学 工 学 便 覧 に デー

タ が 収 録 さ れ て い る.

  1.5.2  理 想 溶 液 の 法 則   a.  理

想

溶

液

  理 想 溶 液(ideal solution)は 混 合 して も容 積 の 増 減 が な く,発 熱 や 吸 熱 も起 こ さ な い 溶 液 の こ とで あ る.理 想 溶液 の 例 と し て は ① 希 薄 溶 液,②

化学 的性質 が

非 常 に類 似 して い る同 族 列 炭 化 水 素(例 え ば ベ ン ゼ ン-ト ル エ ン),同 族 ア ル コー ル(例 え ば メ タ ノー ル-エ タ ノー ル)が あ げ られ る.  b.  ヘ ン リ ーの 法 則   気 体 の 液 体 中へ の 溶 解 度Cは

温 度 が 低 い ほ ど,気 体 分 圧pが

大 き い ほ ど大 き

い.一

定 温 度 でCが

(Henry)の

小 さ い 範 囲 で はpとCは

法 則 と い い,式(1.22-1∼3)で

液 中 の 溶 質 の 濃 度[kmol

表 さ れ る.こ

m−3],pは

ン リー 定 数 はH[m3

れ を ヘ ン リー

こ で,Cは

平 衡 に あ る溶

平 衡 に あ る 気 相 中 の 溶 質 の 分 圧[Pa],xは

平 衡 に あ る 溶 液 中 の 溶 質 の モ ル 分 率[―],yは 率[―],ヘ

比 例 す る.こ

Pa

平 衡 に あ る気 相 中 の 溶 質 の モ ル 分

mol−1],K[Pa],m[―]で

表 さ れ る.ヘ

ン

リー 定 数 が 小 さ い ほ ど ガ ス の 溶 解 度 は 大 き い. p=HC 

(1.22-1)

p=Kx 

(1.22-2)

y=mx 

(1.22-3)

  【 例 題1.15】 

1atm,20℃

で 空 気 中 の ア ン モ ニ ア 分 圧 が19.2mm

ア ン モ ニ ア の 水 へ の 溶 解 度 は3.3g

NH3/100g

H2Oで

 ①  ヘ ン リ ー の 法 則 が 成 立 す る と し て,ヘ [Pa],m[―]を  ②  1atm,20℃ kgの

求 め よ.た でNH3

水 と 接 触 さ せ,温

NH3の

だ し,溶 10mol%,空

度,圧

液 相 中 の 濃 度[kmol

積[m3]を

求 め よ.た

だ し,溶

液 の 密 度 は1.00g

m3 mol−1],K

cm−3と す る. 混 合 気 体1.00m3を50

力 一 定 の ま ま 平 衡 に 達 し た と す る.こ m−3]と 気 相 中 の 濃 度[mol%]お 液 の 密 度 は1.00g

cm−3,空

よ び,気

 解.  ① ア ン モ ニ ア の 分 子 量 は17だ か ら,溶 液 中 の 溶質 濃 度Cは

水 銀 柱760mmだ

し た が っ て,

水 の 分 子 量 は18だ

し た が っ て,

から

か ら

の と きの 相 の 容

気 は 水 に 不 溶 と し,

水 の 蒸 発 は な い も の と す る.

1atmは

とき

あ る.

ン リー 定 数H[Pa

気90mol%の

Hgの

 ②NH3と

空 気 の 混 合 気 体 の モ ル 数 は理 想 気 体 法 則 か ら

混 合 気 体 中 のNH3の

モ ル 数 は41.56×0.10=4.16mol,NH3のa[mol]が

け る とす る とy=mxよ

水 に溶

り

こ れ を 解 く とa=4.12mol 気相 中の濃度 は

液相 中の濃 度 は

気相 の容積 は

 c.  ラ ウ ー ル の 法 則   理 想 溶 液 の 気 液 平 衡 関 係 は ラ ウ ー ル(Raoult)の

法 則 で 表 せ る.

pi=Pixi 

(1.23)

す な わ ちpi(気 相 中 の 成 分iの 分 圧)は,Pi(平 とxi(液 相 中 の 成 分iの

衡 温 度 に お け る成 分iの 蒸 気 圧)

モ ル 分 率)の 積 で 表 さ れ る.A-B2成

分 系 につ い て ラ

ウ ー ル の 法 則 を適 用 して み よ う.全 圧 を Π とす る. pA=PAxA 

(1.24-1)

pB=PBxB=PB(1−xA) 

(1.24-2)

Π=pA+pB=PAxA+PB(1−xA) 

 

Aを

低 沸 点 成 分 と し,x,yを Π=PAx+PB(1−x) 

(1.25)

低 沸 点 成 分 の 液 相,気

相 の モ ル 分 率 と す る と, (1.26)

 (1.27)

し た が っ て,  (1.28)

αAB=PA/PBで,相

対 揮 発 度 あ る い は 比 揮 発 度(relative

volatility)と

い う.  (1.29)

例 え ば ベ ン ゼ ン-ト ル エ ン 系 で は   80.1℃(ベ

ン ゼ ン の 標 準 沸 点)で は,αAB=2.60=α0

  110.6℃(ト

ル エ ン の 標 準 沸 点)で

は,αAB=2.36=α1

平 均 相 対 揮 発 度 αavは 両 沸 点 で の α の 相 乗 平 均 を 用 い,式(1.28),(1.29)の

αAB

と し て αavを 使 用 す る.

  d.  非 理 想 溶 液 の 気 液 平 衡   ラ ウ ー ル の 法 則 に 従 わ な い 系 で は,液 γA,γBを 用 い,理

activity

coefficient)

想 溶 液 か ら の ず れ を 示 す.

pA=γAPAxA=ΠyA 

(1.30-1)

pB=γBPBxB=ΠyB 

(1.30-2)

理 想 溶 液 で は γA=1,γB=1と

な る.

  γAxA=aA,γBxB=aBをA,B成 γA,γBを Laar)の

活 量 係 数(liquid

分 の 活 量(activity)と

求 め る た め に マ ー ギ ュ レ ス(Margules)の 式,ウ

て い る.詳

イ ル ソ ン(Wilson)の

式,NRTL式

し く は 化 学 工 学 便 覧 を参 照 さ れ た い.

図1.15 

単蒸留装置

い う.こ 式,フ

やUNIQUAC式

の 液 活 量係 数

ァ ン ・ラ ー ル(van が 用 い られ

  1.5.3  平 衡 関係 と物 質 収 支   a.  単

蒸

留

  図1.15の

よ うな2成

分 系 の 単 蒸 留 を考 え る.単 蒸 留(simple

distillation)は

操 作 が 簡 単 で,実 験 室 で は よ く利 用 され る.工 業 的 に は ウ イ ス キー の 蒸 留 器 と し て用 い られ て い る.   い ま,あ る時 刻 の 蒸 留 器 内 の液 量 をF[mol],液 をx[―],発

相 中 の低 沸 点 成 分 の モ ル 分 率

生 蒸 気 中 の低 沸 点 成 分 の モ ル分 率 をy[―]と

さ らにdF[mol]だ

す る.こ の 状 態 か ら,

け 蒸 気 が 蒸 留 器 よ り発 生 した と きの 液 相 と気 相 の 低 沸 点 成 分

の物質収 支 よ り d(Fx)=ydF 

(1.31-1)

Fdx+xdF=ydF 

(1.31-2)

 (1.31-3)

こ の 関 係 を 最 初 の 状 態(F0,x0)か レ イ リ ー(Rayleigh)の

ら 任 意 の 時 刻 の 状 態(F1,x1)ま

で 積 分 す る と,

式 が 得 ら れ る.  (1.32)

 仕 込 ん だ 原料 の モ ル 数 と蒸 留 器 か ら留 出 し た モ ル数 の 比 を留 出 率 β とい う.  (1.33)

  一 般 的 に は 気 液 平 衡 関 係 か らyとxの る い は 図 積 分 す る こ とに な る.し 与 え ら れ る とす る と 式(1.32)は

関 係 を 式(1.32)に

か し な が ら,気 式(1.34)と

代 入 し,数

値積 分 あ

液 平 衡 関係 が ラ ウー ル の 法 則 で

な る.  (1.34)

し た が っ て,式(1.34)よ

りx0,β

が 与 え ら れ れ ばx1が

求 ま る.

  留 出 液 の 平 均 組 成xDは

物 質 収 支 よ り次 式 で 得 ら れ る.  (1.35)

 【 例 題1.16】  40mol%の

ベ ン ゼ ン-ト ル エ ン2成 分 系 混 合 溶 液300gを

蒸留

器 に入 れ,大 気 圧 下 で 単 蒸 留 し た.蒸 留 器 内 の 残 液 組 成 が ベ ンゼ ン20mol%の と き の 留 出 液 量[g]と

留 出液 平 均 組 成[mol%]を

求 め よ.た だ し,平 均 相 対 揮

発 度 は αav=2.48と

  解.  式(1.34)を

す る.

用 い る と

し た が っ て,

ベ ン ゼ ン(C6H6)と

トル エ ン(C7H8)の

分 子 量 は78と92で

あ る か ら,

し た が っ て,

残 留 液 の 平 均 分 子 量 は0.2×78+0.8×92=89.2で

あ る か ら,

F1=1.342×89.2=119.8g

留 出液量 は F0−F1=300−119.8=180.2g

留 出 液 の 平 均 組 成 は 式(1.35)よ

り求 ま る.

  b.  平 衡 フ ラ ッ シ ュ 蒸 留

  平 衡 フ ラ ッ シュ 蒸 留(equilibrium 供 給,加

flash vaporization, EFV)は

原 料 を連 続 的 に

熱 し,減 圧 弁 か ら低 圧 室 に 噴 射(フ ラ ッ シ ュ)さ せ,蒸

気 と液 に 分 離 す

る操 作 で あ る.こ の と き,得

ら れ る蒸 気 と液 の組 成 は平 衡 で あ る.図1.16の

よ

う に原 料 を連 続 的 に加 熱 し,減 圧 弁 か ら フ ラ ッ シュ 蒸 留 器 に 噴射 す る と,蒸 気 と 液 に分 離 す る.こ の と き,気 液 の組 成 は 平 衡 状 態 に あ る.こ の 方 法 は最 初 は 原 油 の 粗 い分 離 に 用 い られ た.   2成 分 系 の 平衡 フ ラ ッ シ ュ蒸 留 の全 物 質 収 支 は F=V+L 

(1.36)

低沸 点成分の物質収支 FxF=Vy+Lx 

以上 の式 よ り

(1.37)

図1.16 

フ ラ ッ シ ュ蒸 留 器

(1.38) 平 衡 関 係y=f(x)と   【 例 題1.17】  (C8H18,標

式(1.38)の

交 点 よ り(x,y)が

n-ヘ プ タ ン(C7H16,標

準 沸 点125.6℃)60mol%か

求 ま る.

準 沸 点98.4℃)40mol%とn-オ ら な る2成

ク タ ン

分 系 混 合 液100kmol

h−1を 大

気 圧 下 で 平 衡 フ ラ ッ シ ュ 蒸 留 し,平

衡 状 態 に あ る蒸 気 と液 に 分 離 す る.得

蒸 気 流 量 と 液 流 量 が 等 し い と き,液

相 留 分 と気 相 留 分 と の 組 成[mol

求 め よ.な

お,本2成

分 系 の 平 均 相 対 揮 発 度 αavは2.20で,ラ

られ る

fraction]を

ウー ル の 法 則 が

適 用 で き る と す る.   解. 

xF=0.40,L=Vだ

か ら,式(1.38)よ

り

(A) 一方

,ラ

ウー ル の 法 則 よ り

(B) 式(A)と(B)を

解 き,xを

求 め る と,x=0.307,y=0.494.

液 相 留 分 と 気 相 留 分 の 組 成[mol

fraction]は

表 の よ う に な る.

【 演 習 問題 】 1.1  濃 度 の 換 算:  cm3つ

モ ル 分 率 が0.50の

くる に は,95wt%エ

1.2  次 元 解 析: 

エ タ ノー ル 水 溶 液(密 度0.860g

タ ノー ル 水 溶 液 と水 を何gず

液 体 中 を 気 泡 が 上 昇 す る 時 の 速 度uを

μ,液 体 の 密 度 ρ,表 面 張 力 σ,重 力 加 速 度gの

cm−3)を1000

つ 混 ぜ れ ば よ い か.

気 泡 の 直 径d,液

体の粘度

関 数 で あ る と し て 次 元 解 析 を行

え. 1.3  燃 焼 反 応:  給 し,プ

プ ロパ ン100kmol

h−1を4500kmol

ロ パ ン を燃 焼 させ る.プ

h−1の 空 気 と一 緒 に 燃 焼 炉 に 供

ロ パ ン は100%反

応 せ ず,CO2,COとH2Oが

生 成 す る.こ れ ら の デ ー タか ら過 剰 空 気 率 を 計 算 し た い が で き るか.計 場 合 に は 過 剰 空 気 率 を求 め よ.ま

た,で

き な い とす れ ば,他

算できる

に どの よ うなデー タ

が 必 要 か 述 べ よ. 1.4  反 応 系 の 物 質 収 支: 

反 応(A),(B)に

よ りブ タ ン,ブ

テ ン か らブ タ ジ エ ン が 製

造 さ れ て い る. C4H10→C4H8+H2 

(A), 

補 給 原 料 は 純 粋 な ブ タ ン で,リ 反 応 器 に 送 られ る.反 反 応(B)に

C4H8→C4H6+H2 

応 器 中 で は 反 応(A)に

よ る ブ テ ン の 単 通 転 化 率 は70%で

離 装 置 で ブ タ ジ エ ン,ブ ル さ れ る.補

(B)

サ イ ク ル さ れ た ブ テ ン と混 合 さ れ,加

あ っ た.反

テ ン と水 素 に 完 全 に 分 離 さ れ,ブ

給 原 料 ブ タ ン100kmol

熱 炉 を経 て,

よ る ブ タ ン の 単 通 転 化 率 は100%, 応 器 を 出 た ガ ス は,分 テ ン は す べ て リサ イ ク

h−1を 基 準 に と り,次 の 問 に 答 え よ.

  ①  本 プ ロ セ ス の フ ロー シ ー トを書 け.   ②  反 応 器 で の 入 量,生 ブ テ ン 流 量[kmol

成 量,出

量 の 物 質 収 支 の 表 を 書 き,リ サ イ ク ル さ れ る

h−1]を求 め よ.

  ③  反 応 器 出 口 ガ ス の 組 成[mol%]を 1.5  エ ン タ ル ピー 計 算: 

を 生 産 し て い る.水1kmol当 熱 器 に1.00×104kJ  

の 水 か ら160℃

た り必 要 な エ ン タ ル ピー[kJ]を

で の 平 均 分 子 熱 はCp=75.6×10−3kJ

で の 潜 熱 はL=40.7kJ

×10−6T+1.12×10−9T2[kJ 1.6  エ ン タ ル ピー 収 支: 

の スチー ム

求 め よ.ま

h−1の 熱 を加 え た と き の ス チ ー ム 発 生 流 量[kg

〔 デ ー タ 〕 水 の25∼100℃

の100℃

求 め よ.

大 気 圧 下 で 加 熱 器 に よ り25℃

た,加

h−1]を 求 め よ. mol−1 K−1,水

mol−1,水 蒸 気 の 分 子 熱 はCp=30.2×10−3+9.93 mol−1 K−1]

エ タ ノー ル は エ チ レ ン の 水 和 反 応 で 製 造 さ れ て い る.

C2H4(g)+H2O(g)=C2H5OH(g) 

(A)

エ タ ノー ル の 一 部 は 副 反 応 に よ り ジエ チ ル エ ー テ ル に な る. 2C2C5OH(g)=(C2H5)2O(g)+H2O(g) 

(B)

反 応 器 に 供 給 さ れ る 原 料 は54mol%のC2H4,37mol%のH2Oと 物 質(記 号 はIを で操 作 さ れ,出 率 は5%で,エ

用 い る)か ら な り,310℃ 口 温 度 も310℃

で 供 給 され る.反 応 器 は310℃

で あ る.エ チ レ ン の 反 応 器1回

タ ノー ル の 収 率(=生

残 りは 不 活 性 の等温

通 過 当 た りの転化

成 し た エ タ ノー ル の モ ル 数/消 費 さ れ た エ チ

レ ン の モ ル 数)は0.9で て,以

あ っ た.反 応 器 に 供 給 さ れ る 原 料100mol

h−1を 基 準 と し

下 の 問 に 答 え よ.

 ①  反 応 器 入 口 と 出 口で の 物 質 収 支 の 表 を書 け.  ②  反 応 器 出 口 で の 生 成 物 の エ ン タ ル ピ ー ΔH2と 反 応 器 入 口で の 原 料 の エ ン タ ル ピー ΔH1と

の差 ΔH[kJ

h−1]を 求 め よ.

 ③  この プ ロ セ ス で は 反 応 器 を加 熱 して い るの か,冷   ④   なぜ エ チ レ ン の 転 化 率 を5%に

却 して い る の か を示 せ.

抑 え て い るの か.考

え られ る理 由 を述 べ よ.

  ⑤   反 応 器 の 後 に どの よ う な プ ロ セ ス が 必 要 に な る か を,フ

ロ ー シー トを 書 い

て 説 明 せ よ.

1.7  z因 子: 

125m3(0℃,1atmの

力 は40atmで して,次

あ っ た.O2の

条 件 下)のO2が

装 置内の圧

界 温 度 は154.4Kで

あると

の 問 に 答 え よ.

 

(a)  装 置 内 の 温 度[K]を

 

(b)  こ の 温 度 を保 っ た ま まO2を

1.8  理 想 溶 液: 

求 め よ.

ヘ キ サ ン50mol%と

を1atm,85℃

液 化 す る に は,ど

う し た ら よ い か を述 べ よ.

ヘ プ タ ン50mol%か

ら な る 混 合 蒸 気100mol

の 容 器 に 入 れ た と こ ろ 気 液 に 分 離 し た.ヘ

合 溶 液 は 理 想 溶 液 と み な せ る と し て,平 お よ び 気 相 と液 相 の 各 組 成[mol%]を  

入 っ て い る1m3の

臨 界 圧 力 は49.7atm,臨

〔デ ー タ 〕 85℃

キ サ ン-ヘ プ タ ン の 混

衡 状 態 に お け る 液 相 と 気 相 の 量[mol],

求 め よ.

で の ヘ キ サ ン の 蒸 気 圧 は1233mmHg,85℃

で のヘ プ タ ン の

蒸 気 圧 は503mmHg. 1.9  単 蒸 留: 

A成 分40mol%か

蒸 留 し た.留 fraction]で よ.た

あ っ た.こ

だ し,必

ら な るA-B2成

出 率 β=0.4の

分 系 混 合 液900gを

と き 留 出 液 中 のA成

大 気 圧 下 で単

分 の 平 均 組 成 はxD=0.7[mol

の 系 は 理 想 溶 液 とみ なせ る と し て,平 均 比 揮 発 度 α を求 め

要 が あ れ ば,Aお

よ びB成

分 の 分 子 量 は 各 々30お

よ び40と

す

る. 1.10  フ ラ ッ シ ュ 蒸 留:  2成 分 系 混 合液100kmol

A成

分(低 沸 点 成 分)40mol%とB成 h−1を 操 作 圧 力0.125MPaで

分60mol%か

らな る

平 衡 フ ラ ッ シ ュ 蒸 留 し,蒸

気 と液 に分 離 す る.こ の と き得 られ る蒸 気 と液 の 組 成 は 平 衡 状 態 に あ る.蒸 気 中 の 成 分Aの

組 成 が60mol%で

求 め よ.な

お,A-B2成

で き る とす る.

あ る と き,得

られ る液 と蒸 気 の 流 量[kmol

分 系 の 平 均 相 対 揮 発 度 は2.5で,ラ

h−1]を

ウー ル の法 則が 適用

2 流 体 と 流 動

  流 れ は 風 の そ よ ぎや 川 のせ せ ら ぎか ら台風 や 竜巻 に見 られ る大 規 模 な もの に至 る まで,私 達 の ご く身 近 に 見 られ る 自然 現 象 の1つ

で あ り,普 段,私 達 は何 気 な

く これ に 接 して い る.し か しな が ら化 学 工 業 の 生産 ラ イ ン 上 に 並 ぶ 様 々 な装 置 内 に お い て は,こ の 流 動 が決 定 的 な役 割 を果 た して い る もの が 少 な くな い.   本 章 で は流 体 と流 動 の 基 本 的 な性 質 を学 ぶ こ とか ら始 め て,こ

れ を定 量 的 に 表

現 あ るい は計 算 す る方 法 に つ いて 述 べ る.

2.1  流 れ の 基 礎 項 目

  2.1.1 

さ ま ざ ま な流 体 と粘 度

  孔 子 の 「川 上 の 嘆 」や,方 "流 れ"は

丈 記 の 冒 頭 の 一 節 を 引 き 合 い に 出 す ま で も な く,

古 来 か ら 多 くの 人 々 の 関 心 を 引 きつ け て き た

最 大 の 天 才Leonardo

da

Vinciも

そ の 一 人 で あ り,彼

.ル

ネ ッサ ン ス が 生 ん だ

は 川の流 れに立 てた物体

ま わ り の 流 れ の 様 子 を 精 緻 な ス ケ ッ チ に し て 残 し て い る.   流 体(fluid)と く さ,す

は 気 体 と 液 体 の 総 称 で あ る が,そ

の 流 れ や す さ あ るい は 流 れ に

な わ ち 流 体 の 内 部 摩 擦 に 基 づ く粘 性(viscosity)に

的 な 記 述 を し た の は,Newtonで

あ っ た.彼

つ い て,初

め て定 量

は 万 有 引 力 を世 に 知 ら しめ た 大 著

『Principia』 の 中 で 次 の よ う な 仮 説 を 述 べ て い る.   「流 体 の 諸 部 分 の 間 に 滑 りや す さ が 欠 け て い る こ と に よ っ て 生 じ る 抵 抗 は,そ の 他 の 条 件 が 等 し け れ ば,流

体 の 諸 部 分 が 互 い に 引 き離 さ れ て い く速 度 に 比 例 す

る.」 こ れ は 今 日 ニ ュ ー トン の 粘 性 法 則(Newton's れ て い る も の で,式

に 表 せ ば 式(2.1)の

law

よ う に な る.

of viscosity)と

して 知 ら

(2.1) こ こ で,τ

は 剪 断 応 力(shear

stress) [Pa]と

呼 ば れ,上

さ が 欠 け て い る こ と に よ っ て 生 じ る 抵 抗"に (shear

相 当 す る.ま

たdu/dyは

りや す

剪断速 度

rate) [s−1]ま た は ず り 速 度 と呼 ば れ る 量 を 最 も単 純 な 場 合 に つ い て 表 記 し

た も の で あ り,"流

体 の 諸 部 分 が 互 い に 引 き 離 さ れ て い く速 度"に

な わ ち 剪 断 速 度 と は,あ 垂 直 な 方 向(こ

る 方 向(こ

こ で はy方

勾 配 を 表 し て お り,γ

般 に 式(2.1)が

向)の 流 速u[m

で 表 示 さ れ る こ と も 多 い.式(2.1)は

成 り 立 ち,μ

流 体(Newtonian

こ で はx方

fluid)と

相 当 す る.す

s−1]が,そ

れ と

向)に 沿 っ て ど の よ う に 変 化 す る か と い う 速 度 の 空 間

関 係 に あ る こ と を 示 し て お り,そ

は,ニ

記 し た 仮 説 の"滑

の 比 例 定 数 μ が 粘 度[Pa

こ の τと γ が 比 例 s]と 定 義 さ れ る.一

が 剪 断 速 度 に よ ら ず 一 定 と な る 流 体 は,ニ 呼 ば れ る.水,油,空

ュ ー トン 流 体 と考 え て よ い.ち

ュー トン

気 な どで高分 子 で は な い流体

な み に 常 温 で の 水 の 粘 度 は 約10−3Pa

sで

あ る.   一 方,液

体 の 一 部 や 混 相 流 の 中 で,μ

が 一 定 と な ら ず,γ

す る 流 体 は 非 ニ ュ ー トン 流 体(non-Newtonian

fluid)と

を 体 系 的 に 取 り扱 う 学 問 は レ オ ロ ジ ー(rheology)と

や 時 間t[s]に

呼 ば れ る.同

流体 の 特 性

呼 ば れ,Binghamに

よって

20世

紀 前 半 に 創 始 さ れ た.図2.1に

Aの

よ う に 原 点 を 通 る 直 線 で 表 さ れ る の が ニ ュ ー ト ン 流 体 で あ り,直

が 粘 度 と な る.一 線 上 の あ る1点

方,B,Cは

は τ と γ と の 関 係 を 模 式 的 に 示 し て い る.

原 点 は 通 る が 曲 線 と な る 流 体 で あ り,原

に 引 い た 直 線 の 勾 配 は,見

は 非 ニ ュ ー トン 粘 度 η[Pa s]と

図2.1 

依存

か け 粘 度(apparent

呼 ば れ る.こ

線 の 勾配 点 か ら曲

viscosity)あ

るい

の ηが γ の 増 大 と と も に 減 少 す る

純 粘 性 非 ニ ュ ー トン流 体 の 流 動 特 性 曲線

流体Bは,擬

塑 性 流 体 と呼 ば れ,高 分 子 水 溶液 や コ ロ イ ド溶 液 に 多 く見 られ る.

これ とは 逆 に,η が γ の 増 大 と と もに 増 大 す る 流体Cは ば れ,微 か らCま

ダ イ ラ タ ン ト流 体 と呼

小 な 固 体 粒 子 を 多 量 に含 む 塗 料 な ど の 懸 濁 液 に 多 く見 られ る.流 体A で の レオ ロ ジー 流 動 特 性 は 式(2.2)で

ま とめ て表 現 す る こ とが で き る.

η=kγn−1  式(2.2)は 1の

(2.2)

パ ラ メ ー タ ーnの

値 に よ り,00   今,上

下 面 の 位 置 高 さ は 同 じ で あ る と し て,ベ

用 い て,翼

ル ヌ ー イ の 定 理,式(2.11)を

上 下 面 の 圧 力 の 大 小 を比 較 す る と,

で あ る.下 面 側 の 圧 力 の 方 が,上 面 側 の そ れ よ り も大 き くな るの で,翼

は下 か ら

上 向 きに 揚 力 を受 け る こ と に な る.

  式(2.11),(2.12)は,機

械 的 エ ネ ル ギ ー の バ ラ ン ス の み を 考 慮 し,粘

づ く摩 擦 な ど に よ る エ ネ ル ギ ー を 考 慮 し て い な い.こ え て,失

わ れ る こ と に な る.実

き に は,ポ

れ は 熱 エ ネ ル ギ ー に 形 を変

際 に 流 体 を あ る 点Aか

ら 他 の 点Bに

ン プ や ブ ロ ワ ー な ど の 輸 送 機 を 用 い て 動 力W[J

の 損 失 分F[J

kg−1]を

エ ネ ル ギ ー で,損

カ バ ー す る こ とが 必 要 と な る.こ

失 頭 と 呼 ば れ る.W,Fを

性 に基

輸送 す る と

kg−1]を 供 給 し,こ こ で,Fは

頭 換 算 した

組 み 入 れ た バ ラ ン ス 式 は 式(2.13)

の よ う に な る.

(2.13)   式(2.13)は,流

体 の 温 度 変 化 が 無 視 で き,式(1.9)に

お い て,熱

エ ネ ル ギー

で の 損 失 は 別 と し て 系 外 と の 積 極 的 な 熱 交 換 を 行 わ な い 場 合 に 相 当 す る.   【 例 題2.3 

エ ネ ル ギ ー 保 存 則 】 密 度 ρ=1025kg

圧 しQ=0.14m3

s−1の 流 量 で 輸 送 し て い る.ポ

口 の 管 内 径 は0.13mで

あ る.出

メー タ ー の 読 み は −190mm 失 頭 は68.6J 率 η=80%と

kg−1で

す る と き,ポ

  た だ し1mm   解. 

式(2.13)よ

Hg=133.3Paで り,

口 は 入 口 よ り1.8m上

Hg,出

あ っ た.入

m−3の

口,出

口 の そ れ は420mm

方 に あ り,入 Hgで

ン プ で昇

口の マ ノ

あ っ た.ま

口 の 温 度 は 同 一 で あ る と し,ポ

ン プ の 所 要 動 力Wp[kW]は あ る.

海 水 を,ポ

ン プ 入 口 の 管 内 径 は0.20m,出

い く らか.

た損

ン プ の効

単位 系 あれ これ   本 書 で は 単 位 と し て,第1章 本 量 と し た 国 際 単 位 系(Le

に 述 べ た とお り,長 さ,質

Systeme

International

こ れ ら の 基 本 量 を組 み 合 わせ た 組 立 単 位,例 (=[kg

m s−2]),圧 力 に は パ ス カ ル(pascal)

  こ れ に 対 して,力(重

量,時

d'Unites;

間,温

え ば 力 に は ニ ュー ト ン(newton) [Pa](=[N

(LMFT)が

あ り,力

力 換 算 係 数(gravitational

は[Kg]あ

る い は[kgf]な

ど と表 記 さ れ る.こ

conversion

[N]

m−2])な ど を 用 い て い る.

力)を 基 本 量 の 一 つ とす る重 力 単 位 系(LFT)や

合 に は,重

度 な どを基

SI)を 使 用 して お り,

factor) gc[kg

い て 計 算 を行 わ ね ば な ら な い とい う 煩 わ し さが あ る が,1Kg

工 学単 位 系

れ ら を 用 い る場 m Kg−1 s−2]を 用

cm−2が 約1気

圧に等

し い こ とか ら,現 在 も慣 用 的 に これ らの 単 位 系 が 使 わ れ て い る.   こ の ほ か に 英 国 式 の[ft]や[lb]な

ど を用 い る ヤ ー ド ・ポ ン ド法(1yd=3ft)が,

ひ と頃 は 化 学 工 学 で も 多 用 さ れ て い た.こ れ て い る.ア で あ る.こ

れ は,人 体 の 各 部 に 因 ん だ単 位 系 と い わ

メ リカ ン フ ッ トボ ー ルや ゴ ル フ な ど は,こ

の ヤ ー ドを基 準 と した 競 技

の ほ か に も飛 行 距 離 を示 す さ い の マ イ ル や,ガ

の ガ ロ ン な ど もヤ ー ド ・ポ ン ド法 の 単 位 の1つ

で あ り,現 在 も広 く使 わ れ て い る.

  日本 に も わ が 国 固 有 の 尺 貫 法 な る 単 位 系 が あ っ た.和 作 られ た1尺2寸5分

ソ リン の 販 売 単 位 と して

裁 の 分 野 で は,鯨

の 長 さ の 鯨 尺 な る もの が 使 わ れ て い た.ヤ

尺 貫 法 も過 去 の も の と な りつ つ あ る が,そ

の ひげで

ー ド ・ポ ン ド法 も

れ ぞ れ の 国 の 文 化 を色 濃 く反 映 し た もの

と い え よ う.

よ って ポ ンプ を用 い て 海 水 に加 え るべ き単 位 時 間 当 た りの仕 事Wp[kW]は,

2.2 

  2.2.1  管

内

層

円 管 内 の 流 れ

流

  断 面 が一 様 な 円管 内 に,流 体 が完 全 に満 ち た状 態 で 流 れ る場 合 の 流 速 分 布 や 圧 力 損 失 につ い て 考 え よ う.ま ず 層 流 の場 合 につ い て 見 る こ とに し よ う.   図2.5に

示 す よ うに,半 径Rの

とす る.い

管 が 水 平 に 置 か れ て お り,そ の 中心 線 をz軸

ま管 内 に 半 径r[m],長

さL[m]の

仮 想 的 な 円 管 を考 え,同 円 管 ま

わ りの 力 のバ ラ ン ス を考 え る.上 流 側 の端 面Aに 端 面Bに

作 用 す る圧 力pよ

作 用 す る流 体 圧 は,下 流 側 の

り も Δpだ け 高 い とす る.ま

た,円 管 側 面 に 働 く剪

断 応 力 の 大 き さ を τ と し,各 面 に 働 く力 の 方 向 を考 慮 す る と,次 の よ うに な る. 端 面Aに

働 く力:πr2(p+Δp)

端 面Bに 働 く力:−

πr2p

側 面 に働 く剪 断 力:−2πrLτ こ れ らの 総 和 が全 体 と し て0に πr2(p+Δp)−

πr2p−2πrLτ=0, 

(rの た だ し,τw=τ￨r=R=(管 る 流 動 の 式(2.15)を

な る こ とか ら,式(2.14)が

導 か れ る.

∴rΔp=2Lτ

位 置 に 依 ら ず)一 定

壁 に お け る 剪 断 応 力)で

 (2.14)

あ る.こ

れ に 式(2.1)に

相 当す

考 え る.

(2.15) 式(2.15)の

負 号 は 軸 方 向 の 速 度uが

に よ る.同 式 に 式(2.14)を

管 中心 か ら管 壁 に 向 か っ て,減 少 す る こ と

代 入 す れ ば,次

の 常 微 分 方程 式 を得 る.

(2.16)

図2.5 

円 管 内層 流 定 常 流 れ

境 界 条 件 と して 管 壁 に お け る速 度 を0と

し,上 式 を積 分 す る と,管 の 半 径 方 向 に

沿 っ た流 速 分 布

(2.17) を得 る.こ れ よ り,層 流 定 常 状 態 の管 内 流 速 分 布 は,管 中 心 を最 大 流 速 と し,壁 面 で流 速 が0と な る放 物 線状 で あ る こ とが わ か る.同 最 大 流 速 をumax[m

s−1]と

す る と,

管 内 の 平 均 流 速 をuav[m

s−1]と し,管

断 面 の 流 量 をQ[m3

s−1]と す る と,

(2.19) と な り,こ

こ で,2R=Dよ

り,式(2.20)が

得 ら れ る.

(2.20) す な わ ち,流 体 の 圧 力 損 失Δpは 管 長Lに 式(2.20)は

ドイ ツ の 学 者Hagenと

比例 し,管 径Dの2乗

フ ラ ン ス の 医 師Poisuilleに

に 反 比 例 す る. よ っ て 同 じ頃,

別 々 に 実 験 的 に 確 か め ら れ た も の で ハ ーゲ ン-ポ ア ズ イ ユ の 法 則(Hagen -Poiseuille's law)と 呼 ば れ る.同 式 は 流 量 測 定 あ るい は 毛 細 管 を用 い た粘 度 測 定 に適 用 され る.

  2.2.2  管

内

乱

流

  円 管 内 の よ うに単 純 な剪 断場 の 場 合 で あ っ て も,乱 流 を解 析 的 に 取 り扱 う こ と は きわ め て 困難 な もの とな る.円 管 内 に お け る非圧 縮 性 流 体 の乱 流 状 態 に 対 応 す る運 動 方程 式 は,通 常,式(2.9)のN-S式 軸 方 向,半 径 方 向 の 流 速 と して,系

の 時 間 平 均 を と り,u,ν

をそれ ぞれ

の対 称 性 を考 慮 す れ ば 式(2.21)の

ように な

る.

(2.21) 式(2.21)中 呼 ば れ る.こ

の 項 − ρu′ν′ が 実 は 難 物 で,レ

イ ノ ル ズ 応 力(Reynolds

stresses)と

れ は 軸 方 向 と 半 径 方 向 の 時 間 平 均 的 な 流 速 か ら の ず れu′

とν′ と の

積 の 時 間平 均u′ν′を含 ん で お り,同 量 はu′ とν′の そ れ ぞれ の時 間 平 均 の積u′ ・ν′ とは 本 質 的 に 異 な る もの で あ る.し た が っ て,こ の ま ま で は この 方 程 式 の解 は得 られ ず,何

らか の 形 で 方 策 を講 じ る こ とが 必要 に な る.通 常,次

に述べ る二

つ の ア プ ロー チ 法 が 取 られ て い る.   ①   理 論 式 を用 い ず,実 験 的 考 察 か ら流速 分 布 を 経 験 的 に 与 え る方 法   ②   理 論 的考 察 に基 づ き レイ ノル ズ応 力 を半 経 験 的 に 算 定 す る 方法 以 下 に 述 べ る よ うに ① に は 指 数 法 則(power

law),②

に は 対 数 法 則(log

law)

と呼 ば れ る手 法 が あ る.   a.  指

数

法

則

  これ は 軸 方 向 の 流 速uを

経 験 的 に 式(2.22)に

示 す べ き指 数 法 則 で 表 す もの で

あ る.

(2.22) こ こ で,y[m]は,壁 通 常6∼10の

か ら管 中 心 に 向 か っ て の 距 離 を 表 す .nは

値 と さ れ て お り,n=7と

  u+=u/u*,y+=yu*/ν

す る 場 合 に は7分

と す る と,7分

の1乗

の1乗

パ ラ メー ター で 則 と呼 ば れ る.

則 は 次 式 の よ うに も書 き改 め ら

れ る こ とが 知 ら れ て い る. u+=8.74(y+)1/7    こ こ で,u*[m

(2.23)

s−1]は,

(2.24) と 定 義 さ れ,摩

擦 速 度(friction

応 力 で あ る.ま

た,ν

あ り,y+=yu*/ν   式(2.22)を

velocity)と

は μ/ρ[m2 s−1],す

呼 ば れ る.τw[Pa]は

な わ ち 動 粘 度(kinematic

管 壁 で の剪 断 viscosity)で

は レ イ ノ ル ズ 数 と 同 等 な 無 次 元 数 で あ る. 用 い た 場 合 の 管 断 面 平 均 流 速uav[m

s−1]は,nを

用 い て,次

式の

よ う に な る.

(2.25) n=6の (2.19)に

と きuav=0.79umax,n=10の

と きuav=0.87umaxで

示 し た 層 流 の 場 合(uav=0.5umax)と

比 較 し て,乱

付 近 に お い て 著 し く平 坦 な 速 度 分 布 と な る こ とが わ か る.こ

あ る .す

な わ ち 式

流 の 場 合 は,管

中心

れは軸方向の運動 量

が,乱

流 内 で 発 生 す る渦 に よ り,半 径 方 向 に運 ば れ,管

内 の他 の部 分 と混 ざ り合

う ため と解 釈 す る こ とが で き る.   b.  対

数

法

則

  乱 流 の 場 合 の剪 断 応 力 τは式(2.21)右

辺 の 括 弧 内,

(2.26) に 相 当 し,第1項

は 粘 性 応 力 で あ り,第2項

  円 管 内 流 れ の 実 験 結 果 に よれ ば,管

は レ イ ノル ズ 応 力 で あ る.

中心 で は 乱 流 が発 達 して お り,レ イ ノル ズ

応 力 は粘 性 応 力 に 比 較 し て 卓 越 し た 大 き さ と な って い る(内 層(inner 一 方 ,管 壁 近 傍 で は,レ

イ ノル ズ応 力 の影 響 は 小 さ く,ほ とん ど粘 性 応 力 支 配 と

考 え られ る(粘 性 底 層(viscous

sublayer)).ま

て い る遷 移 域 と考 え られ る(中 間 層(buffer の3つ

layer)).

た,そ の 中 間領 域 は両 者 が 拮 抗 し

layer)).そ

こ で 円 管 内 を径 方 向 に こ

の 領 域 に 分 け て 考 え,各 領 域 で 流 れ の 特 徴 を よ く表 現 す る よ う,式

(2.26)を 単 純 化 して取 り扱 うの が対 数 法 則 モデ ル で あ る.   考 えて い る点 が どの領 域 に 入 るか はy+の

値 で判 断 さ れ る.同 値 を用 い て 領 域

を判 別 し,各 領 域 で の 流 速 は 次 の よ うに 計 算 さ れ る.   ①  y+