材料力学―機械技術者のために (理工学講座)

材料力学 機械技術者のために

山本 善 之 編著 浅 岡照 夫 松 原 典 宏 小久保邦雄 共著

東京電機大学出版局

Ｒ く日本 複 写権 セ ン タ-委 託 出版 物 ・特 別 扱 い〉 本 書 の無 断複 写 は,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じ られて い ます。 本 書 は,日 本複 写 権 セ ン ター 「出 版物 の 複 写利 用 規程 」 で定 め る特別 許 諾 を必 要 とす る 出版物 で す。 本 書 を複 写 され る場合 は,す で に 日本 複 写権 セ ン ター と包 括 契約 を され て い る方 も事 前 に 日本複 写権 セ ンタ ー(03-3401-2382)の 許 諾 を得 て くだ さ い。

■ ま え が き

 材 料 力 学 の 教 科 書 は 世 の 中 に あ ふ れ て い る 。 しか し,筆 者 が 機 械 関 係 の 学 生 に材 料 力 学 を教 え た と き,ど の 教 科 書 を用 い て も 少 な か らず 不 満 を感 じ た た め,あ

え て 本 書 を執 筆 し た 。 本 書 で は,つ

・ 力 学:読

者 諸 氏 が 力 や モ ー メ ン ト に 関 す る 十 分 な 予 備 知 識 を もつ こ

と を期 待 した い が,と で,本

ぎの事項 に留意 した。

くに 「モ ー メ ン ト」 は理 解 し に くい 概 念 で あ るの

・ 設 計:材

書 で は これ を くわ し く説 明 し た 。 料 力 学 は,機 械 構 造 の 材 料 の 選 択,構

械 設 計 と深 い 関 係 が あ る の で,本 書 で は,そ した 。 設 計 に必 要 な 数 値 計 算 に つ い て は,注 ・ 単 位:学

会 中 心 に 「SI単

用 い ら れ て い る が,一

位(Le

systeme

造 寸 法 の 算 定 な ど,機

の よ う な面 に 注 意 して 記 述 意 事 項 を くわ し く述 べ た 。 international d'unite)」 が

方,機 械 関係 の 業 界 で は 「工 学 単 位 」 が 広 く用 い

ら れ て い る 。蓄 積 さ れ て きた 資 料 も,工 学 単 位 に よ る もの が 多 い 。 この よ う な環 境 に 配 慮 して,本 書 で は,SI単

位 と と も に,工 学 単 位 も くわ

し く説 明 し た 。 単 位 の 混 乱 を避 け る た め,問

題 ご と に 「単 位 の 統 一 」 を実 行 す る こ と

をす す め,巻 末 の 「演 習 問 題 解 答 」 で は,「単 位 の 統 一 」 に した が っ て, 数 値 計 算 をお こ な っ た 。 学 習 お よ び 実 用 上 の 便 利 の た め に,「 単 位 の 換 算 」 に 関 す る 表0.1,0.2,お

よ び 「単 位 の 統 一 」 に 関 す る 表0.3を

準

備 し,本 文 中 の ほ か 裏 表 紙 の 見 返 し に の せ た 。 ・ 便 覧:日

本 機 械 学 会 か ら立 派 な 「機 械 工 学 便 覧 」 が 出 版 さ れ て お り,

実 用 に 広 く利 用 され て い る 。本 書 の 副 読 本 と して,こ の 便 覧 に な れ 親 し む こ と をす す め る 。

・ 用 語 。記 号:こ

れ ら は 「機 械 工 学 便 覧 」 に準 拠 した ほ う が,読

氏 に と っ て便 利 で あ る の で,本

者諸

書 で は な る べ く同便 覧 に した が っ た が,

「文 部 省 学 術 用 語 集 機 械 工 学 編(増

訂 版)」,JIS(日

本 工 業 規 格),

さ ら に 広 く用 い られ て い る 用 語 ・記 号 も参 考 に した 。 本 書 独 自 の 記 号 もあ る 。 な お,「機 械 工 学 便 覧 」 は,JISやISO(国 International

Organization

際 標 準 化 機 構,

for Standardization)の

規 格 に,必

ず しも

適 合 して い な い 。 ・ 公 式:実

際 的 な 立 場 か らは,い

わ ゆ る 「公 式 」 の 意 味 を 良 く理 解 し,

「公 式 」 を正 し く応 用 す る 能 力 を高 め る こ と が 望 まれ る 。 そ の た め 本 書 で は,基

礎 的 事 項 は 詳 細 に 述 べ た が,複

雑 な 問 題 は,原

則 と して扱 わ

な い。 「演 習 問 題 」 に つ い て は,巻 を のせ て い る が,通 諸 氏 は,先

常,解

末 の 「演 習 問 題 解 答 」 に,く

法 は唯 一 で は な く,い

わ しい 解 答

くつ か 存 在 す る 。読 者

ず 自分 で 解 き,「解 答 」 を参 考 に し て そ れ を確 か め る こ と に

よ り,材 料 力 学 に 対 す る 理 解 を 高 め て い た だ き た い 。 ・ 座 標:材

料 力 学 で は,主

な荷 重 と して 重 力 を想 定 して い る の で,垂

直

方 向 の荷 重 と変 位 に つ い て は,「下 向 き が 正 」 を原 則 とす る 。 こ の よ う な事 情 に よ り,本 書 で は,ｙ 軸 お よ び は りの た わ み の 正 方 向 を 下 向 き に と っ た 。 一 般 の グ ラ フ に つ い て は,上

向 き を正 に し た 。

紙 面 内 で作 用 す る モ ー メ ン トの 正 方 向 は,座 標 に こ だ わ らな い で,時 計 の 針 の 進 行 と反 対 方 向 に作 用 す る も の を 「正 」 と定 義 した 。 な お,「曲 げ モ ー メ ン トな ど,内 力 に よ る モ ー メ ン トの 符 号 は,そ れ ぞ れ に つ い て 定 義 す る。 座 標 ｘ の 関 数 と して 得 ら れ た 解 を,ｘ 軸 の 向 き と反 対 を 向 く座 標x′ の 関 数 に 変 換 す る手 続 きは,実 用 上 有 用 で あ る の で,は

りの 場 合 に つ い て

くわ し く説 明 した 。 ・ コ ン ピュ ー タ:電 本 書 で は,コ

卓 を始 め と し て,パ ソ コ ン な どが 普 及 して い る の で,

ン ピ ュ ー タ向 き の 考 え 方 を積 極 的 に 取 り入 れ た 。 さ ら に,

簡 単 な 問 題 につ い て,BASICに 者 諸 氏 が,こ

よ る プ ロ グ ラ ム を巻 末 に 載 せ た 。 読

れ らの プ ロ グ ラ ム を発 展 され る こ と を 望 む 。

「有 限 要 素 法 」 の よ う な,コ の 程 度 を こ え る の で,専 ・ ギ リシ ャ文 字:そ

ン ピ ュ ー タ に よ る 先 端 的 な解 析 法 は,本

の 発 音 は 非 常 に 混 乱 して い る 。 英 語 的 発 音 が 広 く用

い ら れ て い る が,そ

れ も多 様 で あ る 。 常 用 の 発 音 が,本

に 異 な る と きは,小

川 陽 弘 氏(日 本 造 船 学 会 誌766,1993年

し た が っ て,か

来 の発 音 と非 常 ４ 月)に

っ こ 内 に示 した

 本 書 で は,「序 章 」 を 設 け,こ

こ で 上 記 の い くつ か の 事 項 を含 め,材

の 重 要 な基 礎 知 識 を 詳 細 に 説 明 して い る の で,読 し なが ら,本

書 を 読 む と便 利 で あ ろ う。

 本 書 は,著

者 の ひ と り山本 が,大

友 人 を 誘 っ て,こ

書

門 の教科 書 に よって勉 強 され たい 。

料力 学

者 諸 氏 は 「序 章 」 を 参 考 に

学 で 「材 料 力 学 」 の 講 義 を 担 当 して い る

の よ う な考 え 方 を 実 現 し よ う と試 み た もの で あ る 。上 記 の

要 件 を 十 分 に は 満 た して い な い と思 うが,そ

れ に近 づ こ う と した 意 欲 は 理 解

して い た だ き た い 。  本 書 の 原 稿 は,本 文 ・図 面 と も,穂 坂 衛 先 生(東 機 大 学 名誉 教 授)と

久 志 本 琢 也 博 士(ス

坂 先 生 の 「支 援 シ ス テ ムIDEARS」 よ っ て,筆

京 大 学 名 誉 教 授 ・東 京 電

タ ン レ ー 電 気)の

ご指 導 を得 て,穂

を 援 用 し,LATEX(LaTeX,ラ

者 が 書 い た 。 出版 に あ た っ て,東

テ フ)に

京電機 大 学出版 局 の植村 八 潮氏

に,全 面 的 に お 世 話 に な っ た 。 こ こ に 記 して 謝 意 を 表 す る 。 1996年

１月

著者代 表 

山本 善之

■ 目

序

次

章 0.1材

料 力 学 と は 

１

0.2力

と モ ー メ ン ト 

１

0.3単

位 

５

0.4支

持 反 力 と 支 持 反 モ ー メ ン ト 

演 習 問 題 

０ 

11 12

第 １章  引 張 り 1.1棒 の 引 張 り 

14

1.2重 ね 合 わ せ 原 理 と静 定 ・不 静 定 

19

1.3ひ ず み エ ネ ル ギ ー 

22

1.4締 結 体 ・熱 応 力 

24

1.5材 料 試 験 と材 料 の 機 械 的 性 質 

27

1.6構 造 設 計:許

37

容 応 力 と安 全 率 

演 習 問 題  １ 

40

第 ２章  せ ん 断 と ね じ り 2.1棒 の せ ん 断 変 形 

42

2.2軸 に斜 交 す る 面 に 働 く応 力 

46

2.3ね

48

じ ら れ た 薄 い 円 筒 の せ ん 断 変 形 

2.4伝 動 軸 

51

2.5コ イ ル ば ね 

54

演 習 問 題  ２  第 ３章

57

組合 せ応 力

3.1平 面 応 力 

59

3.2モ

ー ル の 応 力 円 

62

3.3モ

ー ル の ひ ず み 円 

65

3.4平

面 ひ ず み 

71

演 習 問 題 

３ 

75

第 ４章  静 定 な 真 直 は り 4.1は

り,端 の 条 件 と支 持 反 力 

77

4.2片 持 は り 

81

4.3両 端 支 持 は り 

89

演 習 問題

４ 

93

第 ５章  真 直 は りの 応 力 5.1曲 げ 応 力 

95

5.2断 面 ２次 モ ー メ ン ト と断 面 係 数 

99

5.3ひ ず み エ ネ ル ギ ー 

106

5.4せ ん 断 応 力 

107

5.5複 合 荷 重 と非 対 称 断 面 

110

5.6曲

113

りば り 

演 習 問題

５ 

114

第 ６章  真 直 は りの た わ み 6.1は

りの た わ み 

116

6.2片 持 は りの た わ み 

118

6.3ひ ず み エ ネ ル ギ ー に基 づ く方 法 

122

6.4両 端 支 持 は り 

127

6.5両 端 固 定 は り 

131

演 習 問題

６ 

133

第 ７章  座 屈 7.1長 柱 の 座 屈 

135

7.2棒 の 境 界 条 件 と座 屈 

139

7.3座 屈 応 力 に対 す る 近 似 公 式,短 演 習 問 題  ７ 

柱 

142 146

第 ８章  骨 組 構 造 8.1ト ラ ス 

148

8.2静 定 ト ラ ス の 幾 何 学 的 解 法 

151

8.3ト ラ ス の 切 断 法 

154

8.4変 位 の 算 定 

156

演習 問題

158

８ 

■ 計 算 プ ログ ラ ム プ ロ グ ラ ム １:主

応 力 の 算 定 

160

プ ロ グ ラ ム ２:一

様 断 面 は り 

161

プ ロ グ ラ ム ３:は

りの 断 面 特 性 

165

■ 演 習 問題 解答 演 習 問 題 ０(序 演 習 問題

169

張 り) 

169

演 習 問 題 ２(せ

ん 断 とね じ り) 

171

演 習 問 題 ３(組

合 せ 応 力) 

173

演 習 問 題 ４(静

定 な 真 直 は り) 

175

演 習 問 題 ５(真

直 は りの 応 力) 

178

演 習 問 題 ６(真

直 は りの た わ み) 

179

演 習 問 題 ７(座

屈) 

181

演 習 問 題 ８(骨

組 構 造) 

182

■ 索 引 

１(引

章) 

185

序

  0.1材

章

料 力学 とは

  機 械 工 学 は 「も の つ く り」 の 中 心 で あ る.「 もの 」 は,そ の 形 を 維 持 しな け れ ば な ら な い.「 もの 」 が 壊 れ て し ま う と 「もの 」 で な くな る.こ の よ う な 「もの 」 の 設 計 の 基 礎 の 学 問 が 材 料 力 学(strength

of materials)で

あ る.

  機 械 を構 成 す る 構 造 物 に,外 部 か ら各 種 の 力 な どの 荷 重 が 加 わ る と き,そ の 内 部 に発 生 す る 内 力(材 料 力 学 で は 「内 力 」 を 「応 力 」 と呼 ぶ)の 大 き さ を求 め, そ の構 造 物 が 加 わ る 力 に耐 え られ る か ど うか を判 定 し,さ ら に加 わ る 荷 重 に 耐 え る よ う構 造 物 を設 計 す る こ とが,材

料 力 学 の 第 １の 目的 で あ る .ま た,外

部か ら

加 わ る 荷 重 に よ る構 造 物 の 変 形 量 な ど を 算 定 す る な ど,構 造 物 の 機 能 を確 認 す る こ とが 第 ２の 目的 で あ る.材 料 力 学 で は 通 常 「荷 重 は 静 的,あ

るい は準静 的 に加

わ る 」 と仮 定 す る.   本 書 で は,材 料 力 学 の 入 門 を扱 うの で,な るべ く １次 元 的,２ は 軸 対 象 ま た は こ れ に 近 い 状 況 に つ い て 考 察 す る こ と にす る.

次 元 的,あ

るい

  機 械 を構 成 す る 材 料,ま た,工 作 機 械 な どの 機 械 が 扱 う材 料 と し て は,金 属 の み な らず,セ ラ ミ ッ ク な どの 無 機 材 料,プ ラ ス チ ッ ク な どの 有 機 材 料,な どの よ う に均 質 と考 え られ る材 料,ま

た,木

材,コ

ン ク リ ー ト,FRPな

ど の よ う な複

合 材 料 が あ る.こ の よ う に 機 械 工 学 に お い て扱 わ れ る 材 料 は 多 様 で あ る が ,本 書 で は,金 属 材 料 を 中 心 に 記 述 す る.

  0.2力

とモ ー メ ン ト

  材 料 力 学 で は 力 を扱 うの で,ま ず 「力 」 につ い て 考 察 す る.よ う に力 は,ベ

ク トル と して の 大 き さ,作 用 点(着 力 点),作

く知 ら れ て い る よ

用線 とその向 きに よっ

て確 定 す る.構 造 物 全 体 ま た は そ の 部 分 に各 種 の 力 が 加 わ っ て い る と き,こ れ ら の 力 が 釣 り合 うた め の 条 件,す

な わ ち 「釣 合 い 方 程 式(equilibrium

equation)」

を導 く と き,本 来 「力 に よ っ て 変 形 した 状 態 」 に お け る 釣 合 い を考 え な け れ ば な らな い.し

か し通 常 は,構

 構 造 物 が 変 形 し て も,力

造 物 の 変 形 は ご く小 さ い の で,第 の 大 き さ,作 用 す る 方 向,作

１近 似 と して,

用 点 は変 わ らない

と仮 定 し て,静

的 な 力 の 釣 合 い 方 程 式 を導 く.

 構 造 物 に,い

くつ か の 力 が 加 わ る と きの 釣 合 い の 条 件 は,剛 体 の 力 学 に よ っ て,

     力 の 釣 合 い お よ び 力 に よ る モ ー メ ン トの 鈎 合 い と い う ２つ の 条 件 で 表 す こ とが で き る.   力 の 釣 合 い:  て 考 察 す る.適

まず,図0.1に

つ の力 を 考 え,そ

の 大 き さ を Ｐ とす る.力

て,「力 Ｐ 」 とす る.こ とす る.力

示 す よ うに,２ 次 元 平 面 内 で作 用 す る 力 に つ い

当 な 点 Ｏ を原 点 とす る 直 交 座 標 軸x,yを

の 力 の,ベ

の 名 称 は,そ

の と き力 の釣 合 い の 条 件 は,

「ベ ク トル と して の 和 」 が ０ に な る こ と か ら,「力 の 多 角 形 」 が 閉

じて い る こ と を 意 味 す る.こ

れ を方 程 式 の 形 に 表 す と,「各 座 標 軸 方 向 の 力 の成

どの 総 和 が ０ に な る こ と」 で あ る.よ 力 の 釣 合 い:

が 得 られ る.こ

方 向 の 成 分 をPx,Py

ク トル に な ら っ て,「 成 分 の 向 きが 対 応

す る座 標 軸 の 向 き と 一 致 す る と き,正 」 とす る.こ

分Pxな

表的 な １

の 「大 き さ」 を借 用 し

ク トル と して のx,y軸

の 成 分 の 正 負 に つ い て は,ベ

すべ ての力 の

導 入 す る.代

ぎの釣合 い方程 式

  ΣPy=0

ΣPx=0,

こ に 総 和 Σ は,い

っ て,つ

 (0.1)

ま考 え て い る構 造 物 の 領 域 に作 用 す るす べ て

の 力 に つ い て 行 う.

図0.1力

とモ ーメ ン ト

す べ て の 力 が ｘ 軸 を作 用 線 とす る と き,釣 合 い 方 程 式 力 の 釣 合 い:    ｘ 軸 の 正 方 向 を 向 く力 の 総 和=x軸 が 導 か れ る.こ

こ で は,正

  モ ー メ ン トの 釣 合 い:  求 め る.基 準 点 Ｏ よ り,力 す る と き(図0.1参

の 負 方 向 を 向 く力 の 総 和  

負 の 符 号 は 考 え な い. まず 「力 Ｐ の 基 準 点 Ｏ 周 りの モ ー メ ン トMoP」

を

Ｐ の 作 用 線 に下 した垂 線 の足 Ｈ ま で の 長 さ をroと

照),

点 Ｏ の 周 り の モ ー メ ン ト      MOP=P×ro 

と し,点

(0.2)

(0.3)

Ｏ の 周 りの 「回 転 の 向 き を 示 す 矢 印 つ き の 円 弧 」(以 下,こ

矢 」 とい う)で 表 す.回

転 の 向 きす な わ ち 円 弧 矢 の 向 き を,基

れ を 「円 弧

準 点 Ｏ か ら力 Ｐ

の 作 用 線 へ の 下 した 垂 線 の 足 Ｈ に お け る 力 の ベ ク トル の 向 き と 一 致 させ る.こ の よ うに して,力

の モ ー メ ン トを座 標 軸 と無 関 係 に 定 義 で き た.す べ て の モ ー メ

ン トを,円 弧 矢 の 向 きが 「時 計 の 針 の 回 転 と反 対 方 向 の モ ー メ ン ト」 と 「時 計 の 針 の 同 転 と 同 方 向 の モ ー メ ン ト 」の ２種 類 に分 類 す る と き,釣 モ ー メ ン トの 釣 合 い:  モ ー メ ン トMopの

合 い方程 式

な か で,

時 計 の 針 の 回 転 と反 対 向 き の も の の 総 和 =時 が 導 か れ る.こ

こ で は,正

負 の 符 号 は 考 え な い.

図0.2モ

  図0.2に

計 の 針 の 回 転 と同 じ向 きの も の の 総 和  (0.4)

ー メ ン ト

示 す よ う に,基 準 点 Ｏ を 中 心 に して 半 径r(＞0)の

円 は,自 動 車 の ハ ン ド ル で あ る と考 え れ ば よい.任

円 を描 く.こ の

意 方 向 の 直 径 を 選 び,そ

の両

端 に お い て 円 に接 線 を引 く.こ の １対 の 接 線 を作 用 線 と し,大

き さM/(2r),向

きが ２接 点 を作 用 点 と して,時 計 の針 と逆 の 方 向 を 向 く力 を作 用 さ せ る.こ 対 の 力 は,明

の１

らか に力 の 釣 合 い 方 程 式 を満 た し,１ 対 の 力 に よる モ ー メ ン トの和

は Ｍ に な る.こ

のモーメント Ｍ

は,基

準 点,円,直

径 に無 関 係 に 定 義 さ れ,

対 応 す る 円弧 矢 は Ｍ が 正 の と き時 計 の 針 の 回 転 と反 対 向 きで あ る.Ｍ 的 に考 え,負 値 を と る と きは,対 向 く とす る.ハ ル ク(torque)と

応 す る 円弧 矢 は,時

は代 数

計 の 針 の 回転 と反 対 方 向 を

ン ド ル な どが 基 準 点 の 周 りに 回転 す る と き,こ の モ ー メ ン トを ト 呼 ぶ こ とが あ る.

  力 に よ る モ ー メ ン ト の 符 号 は,図0.2に

示 す よ う に,「時 計 の 針 の 進 む 方 向 と

反 対 向 き に作 用 す る と き,正 」 で あ る と定 め る.よ モ ー メ ン トの 釣 合 い: 

っ て,式(0.4)を

変 形 し,

ΣMOP=0 

(0.5)

とす る こ とが で き る.上 式 の 総 和 は,正 負 を 考 慮 して,す べ て の 力 の モ ー メ ン ト に 対 して 行 う.   荷 重:外

か ら加 わ る 作 用 を うけ る こ とが,構

造 物 の 機 能 で あ る.こ の 作 用 に

よ っ て,構 造 物 が 変 形 し,内 力 が 発 生 す る と き,そ 荷 重 は 外 力(external の仕 方,時

の 作 用 を 荷 重(load)と

force)と 同 義 に 用 い られ る こ と も あ る.分 布 の 仕 方,作

間 的 変 動 の性 質,荷

１)分 布 の 仕 方 に よ る 分 類: ・集 中 荷 重(concentrated

load

引 張 荷 重(tensile 圧 縮 荷 重(compressive

浮 力(bouyant

,線,面 積,ま た は 体 積 に 分 布 す る 荷 重) distributed load ,一 定 の 値 の 分 布 荷 重)

面 に 作 用 す る 水 圧 な ど) force,圧

・モ ー メ ン ト荷 重(荷

点 に 集 中 的 に 加 わ る 荷 重)

load) load

一 様 分 布 荷 重(uniformly ,壁

,１

load)

・分 布 荷 重(distributed

力 に 起 因 す る 力)

重 と し て 加 わ る モ ー メ ン ト)

２)作 用 の 仕 方 に よ る 分 類: ・横 荷 重(lateral ・軸 荷 重(axial

load ,棒 load

,棒

用

重 発 生 の原 因 な ど に よ り分 類 さ れ る.主 な もの を

以 下 に 示 す.

・圧 力(pressure

い う.

の 軸,板

の 面 に 垂 直 方 向 に 加 わ る 荷 重)

な ど の 軸 方 向 に 加 わ る 荷 重)

・死 荷 重(dead

load

・静 荷 重(static

,自

load

３)動 的 な 荷 重: ・活 荷 重(live load

重 な ど)

,準

静 的 な 荷 重 も 静 荷 重 と し て 扱 う)

,死 荷 重 に対 応 す る 名 称)

移 動 荷 重(moving

load,天

・動 荷 重(dynamic

井 ク レ ー ンの 台 車 な ど の 移 動 に よ る)

load)

慣 性 力(inertia

force,「 質 量 × 加 速 度 」 が 加 速 度 と反 対 向 き に働 く)

遠 心 力(centrifugal force,慣 ・繰 返 し荷 重(cyclic load) 交 番 荷 重(alternating 周 期 荷 重(periodic

load,符 load,往

衝 撃 荷 重(impulsive 地 震 荷 重(seismic 風 荷 重(wind

性 力 の １種 で あ る)

号 の 交 代 が 伴 う繰 り返 し荷 重)

復 動 エ ン ジ ン に よ る周 期 的 変 動 力 な ど)

load,時 load,地

load,渦

間 的 に急 激 に 変 化 す る)

盤 の 振 動 に よ っ て発 生 す る)

の 周 期 的 発 生 に よ る もの が 重 要)

４)温 度 変 化 や 変 位 に起 因 す る 荷 重: ・熱 荷 重(thermal ・変 位 荷 重(大 され,内

load ,温 度 変 化 に よ る熱 膨 張 に起 因) 型 タ ン クで は 基 礎 の 不 等 沈 下 な どに よ っ て

,構 造 の 変 位 が 強 制

力 が 発 生 す る)

分 布 荷 重 の 重 心 と合 力: 

自 重 な どの 死 荷 重 は 分 布 荷 重 で あ る.あ

加 わ る 分布 荷 重 を 「分 布 質 量 に よ る 重 力 」 で あ る とみ な す.こ

る 領域 に

の分布 質量 の重 心

を,「分 布 荷 重 の 重 心 」 と定 義 す る.分 布 荷 重 の 重 心 に作 用 す る 「分 布 荷 重 の 合 力 」 は 「分 布 荷 重 と等 価 な 集 中 荷 重 」 で あ る.こ の 考 え 方 に した が う と,そ の 領 域 の境 界 上 ま た は 領 域 外 に お け る分 布 荷 重 の モ ー メ ン トの 値 を容 易 に 算 定 す る こ と が で き,は

0.3単

りの 断 面 に作 用 す る モ ー メ ン トの 評 価 に 応 用 さ れ る.

位

単 位 と して は,Sl単

位 が 広 く用 い られ る よ う に な っ た が,一

般 社 会 で は工 学

本 単 位 は ｍ(メ

あ る が,機

械 の寸 法 には接

示 され る こ とが 多 い.数

値 計算 に当 た っ

単 位 も用 い ら れ て い る. 長 さ:  長 さ のSI基 頭 語 を付 け た単 位cmあ

る い はmmで

ー トル)で

て,基

本 単 位 の ｍ に こ だ わ る と,×10-3な

計 算 間 違 い を 起 こ しや す い.問

ど の 掛 か っ た 数 を 絶 え ず 用 い る の で,

題 の 性 質 を 考 慮 し て,適

当 な接 頭 語 を付 け た 単 位

の 採 用 す る こ と が 望 ま し い.   力:力

のSI単

位 は Ｎ(ニ

学 単 位 が 用 い ら れ て い る.た 10kgf(キ

ロ グ ラ ム 重,ｆ

単 位 で は ほ ぼ98N(ニ (キ ロ グ ラ ム)と

ュ ー ト ン)で

と え ば,質

は 力(force)で ュ ー ト ン)で

呼 ぶ こ と が あ る.ど

あ る が,社

量10kgの

会 一 般 に お い て は,工

物 体 の 重 さ は,工

あ る こ と を 表 す 接 尾 語)で あ る.マ

ス コ ミ は,こ

学単 位 で は あ る が,SI

れ を 間 違 え て10kg

の 単 位 系 に お い て も,kg(キ

ロ グ ラ ム)は

「質 量 の 単 位 」 で あ っ て,「 力 の 単 位 」 で は な い.「 力 」 に 関 す る 工 学 単 位 とSI単 位 の換 算 は 1kgf=9.80665N,1N=(1/9.80665)kgf=0.1019716kgf 1tf=9.80665kN,1kN=0.1019716tf に よ る.こ

こ にtf(ト

ン 重)は

I接 頭 語 「キ ロ 」 で あ る.力 お,概

質 量1tの

重 量,  kNの

ｋ は1000に

に 関 す る 単 位 の 換 算 に は 表0.1を

相 当 す るS

用 い れ ば よ い.な

算 に は 1kgf=9.8N,1N=1/9.8kgf;1tf=9.8kN,1kN=1/9.8tf

が 便 利 に 用 い ら れ る.   モ ー メ ン ト:モ N･mmも

用 い ら れ る.工

比 重 量:死 量)の

ー メ ン トのSI単

位 は Ｎ･ｍ が 基 本 で あ る が,実

学 単 位 と し て はkgf･m,kgf･cm,kgf･mmが

荷 重 の 算 定 に は,比

算 定 が 必 要 に な る.比

重7.8の

重 量(specific 

weight,単

際 に は Ｎ･cm, 用 い ら れ る.

位 体 積 当 た りの 重

鋼 の 比 重 量 は,

比重量

と な る.こ

れ よ り 「単 位 の 乗 除 計 算 」 が で き る こ とが わ か る.

  棒 な ど に加 わ る死 荷 重 は,長 さ方 向 に分 布 す る線 分 布 荷 重(linearly distributed load)(単 に 「分 布 荷 重 」 と呼 ぶ こ と もあ る)と して,単 位 長 さ 当 た りの 荷 重 で 与 え られ,単

位N/cm,kgf/cmな

  単 位 の 統 一:構

どが 用 い られ る.

造 物 の寸 法 は,応 用 分 野 ご とで 異 な っ た 長 さ の 単 位 を用 い る.

表0.1力

表0.2応

ま た,時

の単 位 の換算

力,縦(横)弾

に 混 用 す る こ と も あ る.ダ

性係 数 の単 位 の換 算

ム に対 して は ｍ で あ ろ う し,自 動 車 の 車 体

の 板 厚 に つ い て はmmで

あ ろ う.船 舶 で は,そ の 長 さ に は ｍ を ,板 厚 に はmm を用 い る.材 料 力 学 の １つ の 問 題 に公 式 を適 用 して,間 違 い な く計 算 を実 行 す る

た め に は,「長 さ の 単 位 を唯 一 に 決 め る 」 こ とが 望 ま しい .座 標(x，y)に も,こ の 統 一 さ れ た単 位 を用 い る.た 10cmの

と え ば,単 位cmを

ついて

採 用 す る と き は ,x=

よ う に す る.

  力 につ い て も 「単 位 の 統 一 」 が 必 要 で あ る.   材 料 力 学 と して の 計 算 が 終 わ っ た の ち,必 要 に応 じて,得

られ た 数 値 を適 当 な

単 位 に 換 算 す る.   圧 力 の 単 位:圧 (パ ス カ ル)で

あ る.

力 は単 位 面 積 に作 用 す る力 の 大 き さで,そ

のSI単

位 はPa

と な る.こ

こ に Ｍ は106に

相 当 す るSI接

頭 語 「メ ガ」 で あ る.工

学単 位 との

関係 は

で あ る.圧

力 の 単 位 と して 「気 圧(atm)」

も よ く用 い ら れ,

1atm=1.01325×10-1MPa=1.03323kgf/cm2 で あ る.

例3.2:面

積10cm2の

部 分 に 圧 力 が 作 用 し,そ

の 合 力 が100Nで

あるとき

の圧力 の大 きさは

と 表 さ れ る.こ

の 計 算 の 過 程 よ り,単 位 の 乗 除 計 算 が 可 能 で あ る こ とが わ か る.

応 力:材 料 力 学 に お け る 最 も重 要 な 量 が 応 力 で あ る.応 あ た りの 力 の 大 き さで 表 さ れ る の で,SI単 し,工 学 単 位 と同 じ形 に と られ たSI単

力 の 強 さは,単

位 は 圧 力 と同 じ くPaで

位面 積

あ る.し

か

位 の原 型

N/mm2=MPa,N/cm2=10-2MPa が,JISに

お い て 用 い られ て い る.応

力 に 関 す る 単 位 の 換 算 に は 表0.2を

い れ ば よい.「応 力 の 単 位 と して,気 圧(atm)は

用

絶 対 に 用 い な い 」.

「長 さ 」 と 「力 」 の 単 位 を定 め る と,「応 力 」 の単 位 が 定 ま る. た とえ ば,長 単 位 の 統/の

さ にcm,力 例:一

に Ｎ を採 用 す る と き,応 力 の 単 位 はN/cm2と 般 に,長

な 単 位 は 自 動 的 に定 ま る.長

な る.

さ と力 の 単 位 が 定 ま る と,材 料 力 学 に 現 れ る 主

さ以 外 の 量 σ,Ｅ な ど の 単 位 も,す べ て 「単 位 の

表0.3単

位 の 統 一(注

統 一 」 に した が う.表0.3に 「SI」

意:長

さ の 単 位 ｍ は あ ま り用 い ら れ な い)

単 位 の 統 一 の例 を 示 す.こ

あ る い は 「工 学 」 と と も に,長

単 位 系 「SI(cm)」

こ で は,採

用す る単位 系

さ の 単 位 を か っ こ の 中 に 示 す.た

とえ ば,

を採 用 す る と き は,計 算 に よ っ て 求 め られ た 応 力 の 単 位 は,

自動 的 に1N/cm2=(1/100)MPaに

な っ て い る.な

お,ひ

ず み は無 次 元 数 と し

て 定 ま る.   縦(横)弾

性 係 数 は,応 力 と同 じ単 位 で 与 え られ る が,数 値 が 大 き くな る の で,

機 械 工 学 便 覧 な どで は,SI単

位 を用 い る と きGPa(Ｇ

I接 頭 語 「ギ ガ 」)に

よ っ て 表 示 して い る.表0.3に

る た め に は,表0.2を

用 い て,縦(横)弾

は109に

相 当 す るS

し た が っ て,単 位 を統 一 す

性 係 数 の 単 位 を,応 力 の 単 位 と一 致 さ

せ る.

図0.3二   尺 度 の 変 換 ・二 重 尺 度:あ

重 尺度

る 単位 系,た

と え ばSI単

位 に よってグ ラフ表示

され た応 力 が あ る と き,工 学 単 位 に変 換 した い こ とが あ る.ま た,両

単位系 に よ

る 二 重 の 尺 度 を用 い た い こ とが あ る.こ

示 す.こ

の よ う な場 合 の 例 を 図0.3に

の

例 で は,長

さ3cmを10MPa(10N/mm2)と

の 尺 度 を 添 え て,二   無 次 元 数:無 角 度 のSI単

し た 尺 度 に,工

学 単 位kgf/mm2

重 尺 度 に し て い る. 次 元 数 に 対 し て は,角

位 と し てrad(ラ

い ら れ る こ と が 多 い.単

度 を 除 い て,原

ジ ア ン,radian)が

位radは

だ け 」 用 い ら れ る.π(ギ

「単 位radの

リ シ ャ 文 字 パ イ(ピ

せ ん 断 ひ ず み は 角 度 で あ る が,単

位radを

則 的 に 単 位 を 用 い な い.

あ る が,実

際 に は °(度)が

用

角 度 であ る こ とを強調 す る とき ー))は,radな

し で 角 度 を 表 す.

絶 対 に 付 け な い.よ

く知 ら れ て い る

よ うに 1rad=180°/π で あ る.垂

直 ひ ず み は,長

値 が 小 さ い と き,「10-2」 み 計 測 に あ た っ て は,メ μ(ギ

さ の 比 と し て 定 義 さ れ る の で,無 に相 当 す る ％ ー ターが

リ シ ャ 文 字 ミ ュ ー)に

次 元 数 で あ る.そ

を 用 い て 表 す こ と が あ る.ま

「10-6」

に 相 当 す るSI接

よ っ て 表 示 す る.し

頭 語

た,ひ

の ず

「マ イ ク ロ 」

た が っ て,

0.23=23%,0.001234=1234μ の よ う に な る.計 ま た,単

算 の 過 程 に お い て,数

字 に ％ や

μ を つ け て 計 算 す れ ば よ い.

て,計

位 と 同 じ よ う に 扱 い,「 単 位 の 統 一 」 を 行 う こ と も で き る.必 算 の あ る 段 階 で,「 ％ 」 あ る い は

「10-6」

で 置 換 す る.た

「μ 」 を 対 応 す る 数 値

「10-2」

要 に応 じ あ るい は

と え ば,

23%=23×10-2,1234μ=1234×10-6 (2μ)2=4μ2=4×(10-6)2=4×10-12 と す る.   温 度:温 TK=〓

度 のSI単 ℃(〓

で あ る の で,℃

位 は Ｋ(ケ

ル ビ ン)で

は ギ リ シ ャ 変 形 文 字 シ ー タ(テ

あ る が,℃ ー タ))の

も よ く使 わ れ る.

と き,〓=T-273.15

表 示 の 温 度 の 差 は Ｋ 表 示 の 温 度 差 と 一 致 す る.た 100℃

と え ば,

−20℃=80K

で あ る.   数 値 の 表 示:た る.し

か し,だ

と え ば,2.5×10-1の れ が 見 て も,す

の 場 合 に は,0.25の

ほ う が,は

よ う な表 示 で 数 値 を あ た え る こ とが あ

ぐ 理 解 で き る よ う に 表 示 す る こ と が 望 ま し く,上 る か に 理 解 し や す い.ま

た,い

くつ か の 量 を 比

較 す る 場 合,た

と え ば10の

ベ キ を用 い て 表 示 す る と き,ベ

キ指 数 を共 通 に す る

な ど,表 示 法 をそ ろ え て お き た い.   数 値 計 算 と 四 捨 五 入:材 料 力 学 で は,最 終 的 に必 要 な 数 値 は ３桁 で あ る こ と が 多 い.し か し,数 値 計 算 の 各 段 階 で 四 捨 五 入 を行 い,そ の た び に数 字 を ３桁 に 丸 め て は な ら な い.こ

の よ うに す る と,最 終 結 果 の ３桁 目 に 誤 差 が 入 る.厚

ど の 寸 法 を決 定 す る と きは,無 は な ら な い.ま い る の で,計

さな

条 件 に 四 捨 五 入 を 適 用 して 計 算 値 を切 り下 げ て

た,板 材 な ど に は 規 格 が あ り,板 厚 の 寸 法 が 階段 的 に規 定 さ れ て

算 値 の す ぐ上 の 規 格 値 を採 用 す る こ とが 多 い.材

料力 学 の数値計 算

に お い て は,「機 械 的 に 四 捨 五 入 を行 っ て は な ら な い 」.高 温 に さ ら され る 構 造 物 な どで は,寸 法 を む や み に 増 す と か え っ て 弱 くな る こ とが あ る の で,注

意 を要す

る.一 般 に 「構 造 物 が 安 全 に な る よ う に す る 」 と い う見 地 か ら判 断 して,数 値 の 処 理 を行 う必 要 が あ る.

  0.4支

持 反 力 と支 持 反 モ ー メ ン ト

  図0.4(ａ)に 示 す よ うに,手 の ひ ら を上 に 向 け て 水 平 に保 ち,そ の 上 に重 さ(重 量)5N(質 る.手

量0.51kgに

の ひ ら に5Nの

対 応 す る),工 重 さ を感 ず る.す

向 きの 力 が 手 に 作 用 し,手 は5Nの き の 力5Nは

学 単 位 で い え ば0.51kgf,の

か ら そ の 重 量 に相 当 す る 下

上 向 きの 力 に よ っ て 本 を 支 え る.こ

支 持 反 力 と い わ れ る.こ

す な わ ち 下 向 き の 力5Nと,手

な わ ち,本

本 を載 せ

の と き 「本 に 作 用 す る 力 」 は,本

の上 向 の重 量

に よ る支 持 反 力 す な わ ち 上 向 き の力5Nで

明 らか に 本 の 重 量 と支 持 反 力5Nは

釣 り合 っ て い る.し

た が っ て,本

あ り,

の 重 量 と,

手 に 生 ず る支 持 反 力 は大 き さが 等 し く,作 用 方 向 は 反 対 で あ る.   手 の ひ らで な く,床 の 上 に本 が 置 か れ た 場 合 で あ っ て も ま った く同 様 で,床 作 用 す る本 の 重 量 す な わ ち 下 向 きの 力5Nが よ り上 向 きの 力5Nが,支

に

床 に 作 用 し,そ の 反 作 用 と して,床

持 反 力 と して 本 を支 え る.す

な わ ち,本 に つ い て,そ

の 重 量 と支 持 反 力 が 釣 り合 う.   手 の ひ ら を下 向 き にす る と本 が 落 ち て しま うの で,指 参 照).こ

の と き も本 か ら手 の 指 に5Nの

上 向 き の 力5Nが

発 生 して,こ

  図0.4(ｃ)に 示 す よ う に,手

で 本 を つ か む(図0.4(ｂ)

下 向 き の 力 が 作 用 し,支 持 反 力 と して

の 両 者 に よ っ て 本 が 釣 り合 っ て い る.

で 本 を つ か み,本

が 水 平 に な る よ うに す る.こ

と き手 に発 生 す る 反 作 用 は,本 の 重 量 に相 当 す る支 持 反 力 だ け で は な い.本

の

をつ

か ん だ上 側 の 指 に も反 作 用 が 生 じて い る.本 の 重 量 は,本 の 重 心 に集 中 し て作 用 す る と考 え る こ とが で きる.手

の ひ ら か ら本 の 重 心 まで の 距 離 を5cmと

(ｂ)支 持 反 力

(ａ)支 持反 力

図0.4支 手 の ひ ら の 面(２

(ｃ)支 持 反 モ ー メ ン ト

持 反 力 と支 持 反 モ ー メ ン ト

次 元 的 に 考 え る の で 垂 直 な 線 に な る)と,本

線 の 交 点 を ０ と す る と,本

の 重 量 に よ る 下 向 き の 力5Nと

の 重 心 を通 る 水 平 と も に,点

り に 時 計 の 針 と 反 対 向 き の モ ー メ ン ト(5N)×(5cm)=25N.cmが の 本 が 釣 り合 う た め に は,力

の 釣 合 い と,モ

生 ず る.こ

の 釣 合 い の た め に 必 要 な 力 と モ ー メ ン トが,手

生 す る 反 作 用,す

な わ ち,上

向 き の 支 持 反 力5Nと

の 支 持 反 モ ー メ ン ト25N・cmで お,4.1節

る と,M=-25N・cmで   支 持 反 力,支

あ る.支

０ の 周

ー メ ン トの 釣 合 い を 同 時 に 考 え な け

れ ば な ら な い.こ

ぶ こ と が あ る.な

す る.

の ひ らや 指 に発

時 計 の 針 の 回 転 と 同 じ向 き

持 反 モ ー メ ン ト を固 定 モ ー メ ン ト と 呼

で 述 べ る支 持 反 モ ー メ ン ト Ｍ

の符 号 の規 約 に よ

あ る. 持 反 モ ー メ ン ト は,応

力 と 同 じ く,外

し て 発 生 す る も の で あ る.「 反 」 を 除 い て.こ

か ら の 作 用 の 「反 作 用 」 と

れ ら を 支 持 力,支

持 モ ー メ ン トと

し て も 差 し支 え な い.

  演 習 問 題

０

  １.自 動 車 の ハ ン ド ル を,直

径d=50cmの

ドル の 周 に 沿 っ て 力P=200Nを Ｍ を 求 め な さ い.  ２.長 さl=1m,面

積A=20m㎡,力P=10kgf,モ

応 力 σ=10MPa,縦 (cm)系)に

円 環 で あ る とみ な す.片 加 え る と き,ハ

弾 性 係 数E=80GPaを,長

統 一 し な さ い.

方 の 手 で,ハ

ン

ン ドル の 軸 に 加 わ る モ ー メ ン ト

ー メ ン トM=30N･m, さ と力 の 単 位cm,N(SI

３.長 力

さl=1m,面 σ=10MPa,縦

(mm)系)に

積A=20cm2,力P=10N,モ 弾 性 係 数E=80GPaを,長 統 一 しな さ い 。

ー メ ン トM=30N･m,応 さ と 力 の 単 位mm,kgf(工

学

第 １章

  1.1棒

引 張 り

の 引張 り

  長 さ ｌ,断 面 積 Ａ の 一 様 断 面,一 照).断 め る.そ

面 の 図 心 を つ らね る 軸 を ｘ 軸 と し,ｘ 軸 に 垂 直 な 平 面 内 に ｙ,ｚ 軸 を 定 の 両 端 に 軸 方 向 に作 用 す る 引張 力(引

棒 の 一 端(x=0)を (x=l)に

様 材 質 の 直 線 状 の棒 を考 え る(図1.1(ａ)参

変 形 が 生 じな い 剛体 壁(固

張 り力)Ｐ

を 加 え る.実

定 壁 と呼 ば れ る)に

際 に は,

固 着 し,他 端

加 え た 引 張 力 の 大 き さ を ０ か ら Ｐ ま で次 第 に増 加 す る.引 張 力 Ｐ は,

ｘ 軸 の 正 方 向 を 向 くベ ク トル で あ る.固

定 壁 に棒 が 固 定 され て い る の で,支

力 と して 棒 に は壁 か ら ｘ 軸 の 負 方 向 を向 く力 を,壁 向 く同 じ大 き さ の 力 を受 け る.棒 れ て い な い端 を 自 由 端(free   図1.1(ｂ),(ｃ)に

の 固 定 され た 端 を固 定 端(fixed

end)と

示 す よ う に,棒

end),固

定さ

い う. の左 端 に 生 ず る 支 持 反 力 は 右 端 の外 力 と釣 り

(ａ)引 張 られ た棒

(ｂ)固 定 端 の除 去

(ｅ)伸 び λ (ｃ)応 力

持反

には棒 か ら ｘ 軸 の正 方 向 を

σ

(ｄ)ば ね の挿 入 図1.1棒

の 引張 り

合 って い るの で,固 定 壁 に よ っ て,ｘ 軸 の 負 の 向 きの 大 き さ Ｐ の 引 張 力 が 棒 の 左 端 に作 用 して い る こ と に な る.棒 引 張 ら れ て い る の で,棒 した荷 重(右

の 両 端 に作 用 す る 同 じ大 き さ の 力 Ｐ に よ っ て

の 内 部 に 内 力(internal

端 に加 わ っ た 引 張 力)に

材 料 力 学 で は こ れ を応 力(stress)と

force)が 生 ず る.内 力 は,作

用

対 す る 応 答 と し て 現 れ る もの で あ る た め,

い う.

  棒 の 中 に仮 想 した 面 に作 用 す る 「応 力 の 強 さ 」 は,そ

の作 用 面 の 「単 位 面 積 に

作 用 す る応 力 の大 き さ」 に よ っ て 定 め る.応 力 の 強 さ を,土 木 建 築 関係 の 分 野 で は 応 力 度(stress intensity)と 呼 ぶ が,機 と呼 ぶ.本

書 で は,こ

械 な どの 分 野 で は,こ

の 強 さ も 「応 力 」

の 習 慣 に した が っ て 「応 力 」 に,一 般 的 な 「内 力 」 の 意 味

を もつ 場 合 と,「応 力 の 強 さ」 の 意 味 を持 つ 場 合 が あ る が,混 う に注 意 した.な

お,棒

乱 が起 こ らな い よ

の軸 に垂 直 な断 面 に作 用す る応 力 の合 力 Ｔ を断面 力 と

呼 ぶ こ と が あ る.   棒 の 両 端 に 作 用 す る 引 張 力 Ｐ に よ っ て 生 ず る 応 力 の状 態 は,棒 じで あ る と考 え て よ い.座 ぶ)に

標 ｘ に お い て,軸

に 垂 直 な 面ｓ(「

の 至 る所 で 同

断 面 ｘ」 と も 呼

作 用 す る応 力 は,こ の 面 に垂 直 に 働 き,そ の 強 さ は 一 定 値 を とる.こ

うに,作

用 面 に 垂 直 な 方 向 に作 用 す る 応 力 を垂 直 応 力(normal

σ で 表 す.断

stress)と い い,

面 ｘ で 棒 を 切 断 す る と,２ つ の 棒(１),(ｒ)に 分 割 さ れ,面

の 棒(１)の 右 と,右 の 棒(ｒ)の 左 に対 を な して 現 れ る.こ

力 学 で は,こ

た は棒(ｒ))の

ｓが 左

の ２つ の 面 の 間 に 小 さ

な ば ね が 存 在 して い る と考 え る と,容 易 に理 解 で き る よ うに,棒 る と き,こ の ２面 上 の 応 力 は 棒(１)(ま

のよ

が 引 張 られ て い

外 向 きに 作 用 す る.材 料

とわ ら な い 限 り,こ の よ う な 「引 張 りに 対 応 す る応 力 を 正 」 とす る.

   左 の 棒 の 右 側 の 面 上 に働 く応 力 と,右 の 棒 の 左 側 の面 上 に働 く応 力 と は,力 学 の 作 用 反 作 用 の 法 則 に よ り,大 て,そ

き さ が 等 し く,作 用 方 向 は 反 対 で あ る.し

たが っ

の 強 さ は,正 負 の 符 号 と と も に,一 致 す る,応 力 が 「ｘ軸 に垂 直 な面 に作

用 す る」 こ と を脚 符 で 示 し,σxと シ ャ 文 字 シ グ マ)は,切 に よ って,容

表 す こ とが あ る.こ

の 応 力 の 強 さ σ(ギ

リ

断 して で きた 自 由 端 の 側 の 棒(ｒ)の 釣 合 い を考 え る こ と

易 に 求 め る こ とが で き る.そ

の 左 側 の 面 上 に作 用 す る応 力 は単 位 面

積 あ た り σ で あ り,そ の 合 力 す な わ ち 断 面 力 が,T=σAと 向 を 向 く.Ｔ の 正 負 は σ の 正 負 と 一 致 す る.棒 り,ｘ 軸 の 正 方 向 に働 くの で,釣 -σA+P=0あ

な り,ｘ 軸 の負 方

の右端 に作用 す る力 は Ｐ で あ

合 い 方程 式 が る い はT≡

σA=P 

(1 .1)

と な り,こ れ よ り応 力(の

強 さ)σ

は =P/A

a=

 (1.2)

T/ A

と 求 ま る.

  応 力 の 単 位 は,序 章 で 述 べ た よ う にPa,MPa,  N/m㎡,kgf/c㎡ る.Ａ は 「力 が 加 わ る 前 の 棒 の 断 面 積 」 で あ る.こ れ が,JISで

な どで あ は,「力 が 加

わ っ て 変 形 した の ち の 面 積 」 に よ っ て 定 義 す る 圧 力 の 単 位Paを,応 して 採 用 し な い 根 拠 で あ る.な   図1.1(a)に

力 の単 位 と

縮 力 で あ る.

平 行 で あ る)に 作 用 す る垂 直 応 力 σyを 定 義 す る と(2.2節,

参 照),い

ま の 場 合 σy=0で

あ る こ とは 容 易 に 理 解 で き る.

  引 張 力 Ｐ が 加 わ る と,図1.1(d),(ｅ)の れ に対 応 して棒 自身 も伸 び て,初 伸 び る.棒

が 負 値 を と る と き は,圧

示 す よ う に,棒 の ｘ 軸 に垂 直 下 向 き に ｙ 軸 を と る ・ この ｙ軸 に垂

直 な 断 面(xに 3.1節

お,Ｐ

よ う に,挿 入 さ れ た バ ネ が 伸 び る.こ

め の 長 さlが,λ(ギ

リ シ ャ文 字 ラ ム ダ)だ け

の左 端 が 固 定 され て い る の で,右 端 は λ だ け 右 に 移 動 す る.λ

の 伸 び(elongation),移

動 量u=λ

は 一 様 な材 料 よ りな る の で,至 軸 方 向 の 伸 び ε(ギ

を右 端 の 変 位(displacement)と

る と こ ろ 一 様 に伸 び る.単 位 長 さあ た りの棒 の ｘ

リ シ ャ文 字 エ プ シ ロ ン)は

strain)あ る い は 縦 ひ ず み(longitudinal

ｘ軸 方 向 の 垂 直 ひ ず み(normal

strain)と 呼 ば れ る.こ

方 向 を 明 示 す る た め に εxと 書 くこ とが あ る.こ さ を 表 す 量 を 一 般 に ひ ず み(strain)と

の垂 直 ひず みの

の よ うな局所 的 な変形 の大 き

い う.こ の と き,関 係 式 λ=εl 

が 成 立 す る の で,垂

を棒

い う.棒

(1.3)

直 ひず み ε は λ ε=

と定 ま る 。lは

「力 が 加 わ る 前 の 棒 の 長 さ」 で あ る.明

け て 伸 び る と き,垂 SI接

 (1.4)

/l

直 ひ ず み は 正 の 無 次 元 量 を と る.ひ

らか に,棒

ず み 計 測 に あ た っ て は,

頭 語 μ を単 位 の よ うに 用 い る こ と もあ る(0.3節

縮 され る と き,伸

が 引張力 を う

参 照).な

お,棒

が圧

び λ と垂 直 ひ ず み ε は負 の 値 を と る.

  一 般 に,垂 直 応 力 σ と垂 直 ひず み ε は,引 張 りあ る い は 伸 び の と き 「正 」 の 値 を と り,圧 縮 あ る い は 縮 み の と き 「負 」 の値 を と る.

  フ ッ ク の 法 則:棒

の 軸 の 方 向 に あ る 値 の 引 張 力 を加 え て,垂

し,垂 直 ひ ず み ε が 生 じた の ち,引 σ,ε

が,さ

き と逆 の 経 路 を た ど っ て,σ,ε

弾 性 変 形(elastic deformation)と

直 応 力 σ に達

張 力 を減 少 させ て,０ に す る.こ

の と き,

が と も に最 初 の値 ０ に戻 る と き

い う.

  実 験 に よ る と,垂 直 応 力 が 小 さ い と き は弾 性 変 形 が 生 じ,垂 直 応 力 σ と 垂 直 ひず み ε が 比 例 し,そ の 比 例 係 数 Ｅ は,材 料 に よ っ て 定 ま る 一 定 値 を とる .す なわ ち σ=Eeあ

と な る.こ

こ に比 例 係

る いは

Ｅ を 縦 弾 性 係 数(longitudinal

は ヤ ン グ 率(Young′s  modulus)と やkgf/c㎡

な どで あ る が,単

機 械 工 学 便 覧 で は,SI接 を 表 示 して い る.そ

ε=

い う.ま た,Ｅ

位Paを

頭 語 Ｇ(ギ

れ ゆ え,数

σ/

 (1.5)

E

elastic modulus)あ

るい

の 単 位 は,応 力 と同 じで, Pa

用 い る と,数 値 が 非 常 に大 き くな る の で, ガ109)を

用 い た 単 位GPaに

よ っ て,Ｅ

値 計 算 の と き,「単 位 の 統 一 」 を お こ な う必 要 が

あ る.   一 般 に,応 力 と ひ ず み が 互 い に線 形 の 関 係 で 結 ば れ て い る と き,こ の 関 係 を フ ッ ク の 法 則(Hooke′s  law)と い う.な お,棒 の 引 張 りの 場 合,フ ッ ク の 法 則 が 成 り立 つ 限 界 の 垂 直 応 力 を 比 例 限(elastic limit)と 呼 ぶ.   フ ッ クの 法 則 が 成 立 す る と き,上 述 の 関係 式 を組 み 合 わせ て =σl

λ=εl / E

= Pl = EA

あ るい は P=

EAλ /l

が 求 ま る.   金 属 材 料 の 縦 弾 性 係 数 Ｅ の値 は,わ ず か に含 ま れ る合 金 成 分 に は 影 響 され な い が,温 度 が 上 昇 す る と,そ の 値 が 減 少 す る.炭 素 鋼 と低 合 金 鋼 は,ほ ぼ 同 じ縦 弾 性 係 数 を もち,室

温では

E=206GPa=2.06x105MPa=21,000kgf/m㎡ と して よい.炭

素 鋼 で 炭 素 成 分 が ご く少 な い と き,あ る い は 合 金 鋼 で ニ ッケ ル な

どの 合 金 成 分 が 多 い と き に は,Ｅ 温 で Ｅ=73.5GPa,ま

た,ポ

の 値 は わ ず か に減 少 す る.ア リ ウ レ タ ン ゴ ム で はE=45 

ル ミニ ウ ム は,室 MPa程

度 で あ る。

 横 ひ ず み:図1.1(e)に 示 す よ うに 棒 が ｘ 方 向 に 伸 び る と,通 常 ｘ 軸 に垂 直 な 方 向(た と え ば,「y軸 方 向 」 とす る)に,棒 の 寸 法 が 一 様 に 縮 む.棒 が 直 径 ｄ の 円 形 断 面 を もつ と き,直 径 が 「λdだ け 減 少 す る 」 とす る.こ

の とき

λd εd=

を定 義 す る と,横 方 向(ｙ 方 向)の   フ ッ ク の 法 則 に よ っ て ， εdも

垂 直 ひ ず み は εy=-εdと σ に 比 例 す る の で,ε εd=ν

と 書 く こ と が で き る.比 ン 比(Poisson′s

ratio)と

例係 数

  荷 重 が 加 わ る 前 に,円 に よって体 積

ν(ギ

い わ れ,通

ク の 法 則 に 関 係 し た Ｅ,ν

 (1.6)

/d な る.

と も 比 例 関 係 に あ り,

ε 

(1.7)

リ シ ャ 文 字 ニ ュ ー)は

無 次 元 量 で ,ボ

常 の 金 属 材 料 で は 正 の 値 を と る .な

な ど の 定 数 を 弾 性 定 数(elastic

形断 面棒 の体積 は

お,フ

constant)と

ν0=l(π/4)d2で

ッ

い う.

あ っ た が,こ

ν=(l+λ)(π/4)(d-λd)2=ν0(1+ε)(1-εd)2に

ア ソ

の変形

な る の で,

体積 増加 は

ν-ν0=ν0[(1+ε)(1-εd)2-1]=ν0(ε-2εd) と な る.し

た が っ て,体

呼 ば れ,こ

の場 合

積 増加 の割 合

ν-ν0 ε ν=

εν は 体 積 ひ ず み(volumetric

strain)と

=ε-2εd=(1-2ν)ε

/ν0

と な る.引

張 り に よ っ て 体 積 が 減 少 す る こ と は,熱

力 学 の 第 ２法 則 に 反 す る の で ,

一般 に ν ＜0.5 

(1.8)

と な る.ν=0.5の

と き は,体

性 係 数 と 同 様 に,ボ

ア ソ ン比 も 合 金 成 分 に は あ ま り 関 係 せ ず,通

0.33で で は

あ る.機 ν=0.5で

積 変 化 が 起 こ ら な い.ま

械 構 造 に よ く使 用 さ れ る 鋼 で は あ る.

ν=0.3で

た,金

属 材 料 で は ,縦 常

あ る .ま

弾

ν=0.25∼ た,ゴ

ム類

  1.2重

ね 合 わ せ 原 理

  材 料 力 学 で は,フ の と き,応

と 静 定

・不 静 定

ッ ク の 法 則 が 成 立 す る 弾 性 変 形 の 範 囲 を 扱 う こ と が 多 い.こ

力 や ひ ず み に 関 す る 関 係 式 は,(1.1)∼(1.5)の

に な る の で,線

形 弾 性(linear

elasticity)で

よ う に,線

あ る と い う.一

形(linear)

般 に線形 の方程 式 にお

い て は,数

学 か ら 知 ら れ る よ う に,理

解 しや す く見 通 し の よ い 結 果 を 導 く こ と が

で き る.こ

の よ う な 場 合 の 利 点 は,重

ね 合 わ せ 原 理(principle

of superposition)

あ り,そ

Ａ),(解

が 成 り 立 つ こ と で,「 問 題(Ａ),(Ｂ)が ま っ て い れ ば,こ

の ２ つ の 問 題 を 合 わ せ た 問 題(Ａ)+(Ｂ)の

問 題(Ａ)+(Ｂ)の

と 与 え ら れ る.」(図2.1(a)参 線形弾 性 の場 合 には

解=(解

ず み,断

と す る と,力PAと

Ａ)+(解

「解 」 と し て 応 力,ひ

面 力,変 力PBが

書 で は,第

Ｂ)

ず み,断

面 力T=σA,変

位 な ど

に 加 わ る ２種 類 の 力PA,PBに

位 を σA,εA,TA,uAお

よび

同 時 に 加 わ る と き の 応 力,ひ

７章 を 除 く と,重

い ち い ち 断 ら な い で,こ

よって生

σB,ε   B.TB,uB

ず み,断

面 力,変

位 は

(1・9)

ね 合 わ せ 原 理 が 一 般 的 に 成 立 す る の で,

の 原 理 を 応 用 す る.

(ｂ)不静定

(ａ)静 定 図1.2静

  静 定:図1.1に

求

解 は

σ=σA+σB,ε=εA+εB,T=(TA+TB,u=uA+uB 

と な る.本

Ｂ)が

照)

に つ い て 重 ね 合 わ せ 原 理 が 成 り 立 つ.棒 ず る 応 力,ひ

れ に 対 し て(解

定 ・不 静 定

示 す 左 端 で 固 定 さ れ た棒 の 場 合,(1.1)式

か ら わ か る よ う に,

棒 の 断 面 力 は釣 合 い 方 程 式 に よ っ て 直 ち に 決 定 す る こ とが で きる.こ

れ よ り,さ

らに 応 力 σ を定 め る こ とが で き る.一 般 に,棒

ま た は 棒 を 結 合 した 構 造 物 で は,

断 面 力 が 釣 合 い 方 程 式 の み に よっ て 定 ま る と き,静

定(statically determinate)

で あ る とい う.   図1.2(a)に

示 す よ うな 左 端 で 固 定 した 断 面 積 Ａ の棒 を 考 え,右 端 に力P0が

加 わ る問 題(Ａ)と,単

位 長 さ あ た り ｑ の 右 向 きの 分 布 力 が 加 わ る 問 題(Ｂ)と

考 え る ． こ れ ら の ２つ の 問 題 に対 して,断

を

面 力 は 値TA=P0,TB=q(l-x)

を と る 。 こ の ２種 類 の 力 が 同 時 に 加 わ る と き,断 面 力 Ｔ は

T=TA+TB=P0+q(l-x)  と な る.こ

の 式 は,(1.9)の

第 ３ 式 と同 じ形 で あ る が,こ

と と も に,「静 定 で あ る 」 こ とに よっ て,フ 立 つ.線

(1.10)

u(l)=

P0l

/ EA

第 １式

ッ ク の 法 則 が 成 立 しな い 場 合 で も成 り

形 弾 性 で あ れ ば,も ち ろ ん,(1.9)の

性 係 数 を Ｅ とす る と,右 端 の 変 位u(l)は

こ で は(1.9)の

第 ２,４ 式 も成 り立 つ.な

お,縦 弾

次 式 の よ う に求 ま る. +

ql2/

2EA

こ の よ う な場 合,右 端 に 加 わ る 力 は,合 力 がP0で

あ り,そ の作 用 線 が 一 致 して お

れ ば,分 布 の 仕 方 に関 係 せ ず,ま っ た く同 じ結 果 が 得 られ,異 な る の は 右 端 の 近 傍 だ け で あ る.こ の よ う な事 実 は一 般 に 成 立 し,サ ンブ ナ ン の 原 理(Saint-venant′s principle)と 呼 ば れ る.   不 静 定:図1.2(b)に

示 す 両 端 が 壁 に 固 定 さ れ た棒 で は,右

支 持 反 力 Ｐ も同 時 に定 め な け れ ば な ら な い の で,断 定 め る こ と は で き な い.こ

の 場 合 不 静 定(statically indeterminate)で

う.右 端 の 「固 定 」 の拘 束 を除 去 し,未 知 の 支 持 反 力P0を 1.2(a)と ま っ た く同 じ問 題 に な る.実 際 に は,こ u(l)=0と

P0l

/ EA

+

ql2 /2EA

の 式 よ り未 知 の 支 持 反 力P0=-ql/2が

例2.1:図1.3(a)に が あ る.底

あ る とい

外 力 と み な す と,図

の 不 静 定 問 題 で は,右 端 の 変 位

な る の で,

u(l)= で あ る.こ

端 に働 く未 知 の

面力 を釣合 い方程 式 だけで

=0

求 まる．

示 す よ う な,直 立 し た高 さ ｈ,断 面 積 Ａ,比

辺 を原 点 と して,上

Ｗ の 物 体 が 載 っ て い る.こ

向 きに 座 標 ｘ を定 め る.そ

重 量 γ の柱

の 頂 点x=hに

重量

の柱 の 断 面 に生 ず る 応 力 を 求 め よ う.座 標 ｘ の 断 面

ｓ と頂 点x=hま

で の 長 さ ん-xの

(図1.3(ｂ)参 照).こ

部 分 と重 量 Ｗ

の 部 分 に は,頂

との釣 合 い方程 式 を求 める

点 に加 わ る 重 量,柱

の 自重,断

面 に 働 く応

力 が ｘ の 負 の 方 向 に 作 用 す る の で, -γA(h-x)-W-σA=0

が 得 ら れ る.こ

れ よ り応 力 σ は ｘ の 関 数 と して W/

σ(x)=-γ(h-x)-

(1.11)

A

と導 か れ る.応 力 が 負 で あ る こ とは,圧 縮 応 力 で あ る こ と を 示 す.な 題 が 静 定 な の で,重

ね 合 わ せ 原 理 が 成 立 す る.し

頂 点 の 重 量 に よ る応 力 を 別 個 に求 め,こ

た が っ て,自

お,こ

の問

重 に よ る 応 力 と,

れ ら を加 え合 わ す と,両 者 が 同時 に作 用

す る と きの 応 力 が 求 ま る.

(ｂ)  釣合い

(ａ) 柱

図1.4  ト ラ ス

図1.3  柱

例2.2: 

図1.4に

示 す よ う に,同

井 に ピ ンで 吊 るす.そ に,下

面 力(こ

じ長 さ の ２本 の 棒(ｌ),(ｒ)を 吊 具 を介 して 天

れ ら の 下 端 も ピ ン(ヒ

向 きの 力 Ｐ を加 え る.こ

象 で あ る.棒

(ｂ)  釣合 い

(ａ) ト ラ ス

ン ジ)で 結 合 さ れ て お り,そ の ピ ン

の 構 造 物 は,下

の ピ ン を通 る 垂 直 線 に 対 して 対

が こ の 垂 直 線 と角 θ を な して い る とす る に 棒(ｌ),(ｒ)に 生 じた 断

の よ う な 構 造 物 で は 軸 力 と も い う)をTl,Trと

び ｙ 軸 方 向 の 釣 合 い 方 程 式 は, -Tlsinθ+Trsinθ=0

Tlcosθ+Trcosθ=P

す る と,ｘ 軸 方 向 お よ

と な る の で, = P

Tl=Tr

/ 2cosθ

が 求 ま る.こ

1.3    1.1節

の よ う な 構 造 物 を ト ラ ス(truss)と

い い,第

８ 章 で く わ し く説 明 す る.

ひず み エ ネ ル ギ ー と 同様,引

っ張 られ た棒 に つ い て 考 え る.着 力 点 が 移 動 して も作 用 方

向 が 変 わ ら な い 力 Ｐ は ポ テ ン シ ャ ル を も っ て い る.「線 形 弾 性 」 を仮 定 す る と, 重 ね 合 わ せ 原 理 が 成 り立 つ.力

が 作 用 して,弾

性 変 形 が 生 じて 着 力 点(x=l)が

変 位 す る と,着 力 点 の 変 位 に よ り,力 の 有 す る ポ テ ン シ ャル が 減 少 し,そ の 減 少 量 は 構 造 物 に 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ ー(elastic strain energy)と 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ ー は,単 力 は値 Ｐ に達 す る ま で,階

示 す よ うに,大

図1.6  ひ ず み エ ネ ル ギ ー

き さ △P=0.2Pの

５個 の 力 が,相

で 加 わ る と し よ う.そ の 着 力 点 す な わ ち 棒 の 右 端 は △Pに す な わ ち ｘ 軸 の 正 方 向 に △ λ=△Pl/(EA)だ ず つ 相 次 い で ５ 個 加 わ る と,重

な る.こ

次い

用線方向

の 力 △Pが

１つ

Ｐ が一 度 に加 わ る場合

端 に ３個 の △Pが

の 状 態 に お い て,さ

右 端 の 変 位 は △ λ だ け 増 加 す る の で,加

よ っ て,作

け 移 動 す る.こ

ね 合 わ せ 原 理 に よ り,力

と最 終 的 な 状 態 が ま っ た く同 じ で あ る.右 働 く力 は 合 計0.3Pに

も呼 ば れ る.

段 的 に 増 加 す る と仮 定 す る.

図1.5  ポ テ ン シ ャ ル の 減 少

  た と え ば,図1.5に

して 蓄 え ら れ る.

に ひ ず み エ ネ ル ギ ー(strain energy)と

加 わ る と,右 端 に

ら に １つ の △Pを

加 え る と,

わ っ て い た 力0.3Pは(0.3P)△

λ だ

け ポ テ ン シ ャ ル を失 う.こ の ポ テ ン シ ャ ル の 減 少 量 が,ひ ず み エ ネ ル ギ ー と して, 棒 に 蓄 え られ る.力

の加 わ っ て い な い 状 態 か ら,こ

の 手 続 き を ５回繰 り返 す と,

図1.5に る.実

示 す 階 段 的 な 線 の 下 部 の 面 積 が,Ｐ 際 に は振 動 が 起 こ る の で,振

に小 さ い,い

に よ る ひず み エ ネ ル ギ ー に 相 当 す

動 が 起 こ ら な い よ う に,増

加 量 △Pが

無限

わ ゆ る準静 的 な過程 が連 続 す る こ とに よって最 終 的 な力 Ｐ に達 す

る と考 え る.こ の と き,ひ ず み エ ネ ル ギ ー は,図1.6の

直角 三 角形 の面積 で与 え

られ る こ と に な る.  棒 に加 わ る力 Ｐ に よ っ て 力 の 作 用 方 向 に 変 位 λ が 生 じて い る こ と に注 意 す る と,ひ ず み エ ネ ル ギ ー Ｕ は, 1/ Pλ   2

U=

と与 え ら れ る.フ

ックの法則 が 成立 す るの で U=

とな る.Ｕ U(P)と

(1.12)

EAλ2/

= P2l

2l

/2EA

を λ の 関 数 と考 え る と きU(λ)と

 (1.13)

表 し,Ｐ

の 関 数 と考 え る と き

表 す こ と に す る と,

(1.14) と な る.

 単 位 体 積 あ た りの ひ ず み エ ネ ル ギ ー υ  (ギ リ シ ャ文 字 ウ プ シ ロ ン(ユ ー プ シ ロ ン))は

(1.15) と な る.

 構 造 物 の 単 位 体 積 あ た りの ひず み エ ネ ル ギ ー υ を 求 め る と,構 に 蓄 え られ た ひ ず み エ ネ ル ギ ーUは,υ U=〓vυdV  が 求 ま る.こ

(1.16)

れ よ り知 ら れ る よ うに,「構 造 物 を 分 割 す る こ と が で き る 場 合 に は ,

分 割 して 得 ら れ た 部 分 構 造 物 ご と に ひず み エ ネ ル ギ ー を 求 め,こ と,も

造物 全体 Ｖ

を Ｖ 全 体 に積 分 して,

と の 構 造 物 の ひず み エ ネ ル ギ ー が 求 ま る 」.

れ を加 え合 わ す

例3.1:  合,υ

1.2節

に 述 べ た 一 様 断 面 の 柱 を 考 え る.フ

の 表 式(1.15)に,式(1.11)を

ッ ク の 法 則 が 成 立 す る場

代 入 し て, 1/

υ=

2E

が 得 られ る.こ

{-γ(h-x)-W/A}2

れ を全 体 に 積 分 し て,

が 求 ま る.

1.4 

締 結 体 ・熱 応 力

  ね じ締 結 体:  を あ け,ボ び,不

機 械 構 造 物 で は,フ

ラ ン ジ 継 手 の よ う に,板

な ど を 重 ね,穴

ル ト を通 し,ね じ締 め して 組 み 立 て る.こ の よ うな 構 造 を締 結 体 と呼

静 定 な構 造 の 例 と して 知 られ て い る.

図1.7  ボ ル トに よ る 締 結 体

図1.8 熱 応 力

  図1.7に 示 す よ う に(演 習 問 題 １ 図1.16も 参 照),ボ ル ト(ｂ)は 有 効 な 直 径 d0の 丸 棒 で,そ の 縦 弾 性 係 数 をEbと す る.板 の 厚 さの 合 計 を ん,ボ ル ト穴 の

直 径 をd1(＞d0)と

す る.板

ル トの 直 径 の2∼3倍 d2-d1は

は 十 分 広 くて も,締

程 度 の 直 径d2(＞d1)の

ボ ル トの 直 径d0と

よ うに,板(ｐ)は 係 数 をEpと

板 厚 ｈ と に よ っ て 定 ま る.し

長 方 形 断 面h×(d2-d1)/2を

す る.板

め付 け に 有 効 に働 く部 分 は,ボ 円 内 の 部 分 に 限 ら れ て い る.幅 た が って,図

もつ 円環 とみ な す.板

の 上 下 に は厚 さ ｃ の ワ ッシ ャ(ｗ)を 入 れ る.ワ

体 で あ る と仮 定 し て,そ

の縦 弾性 ッシャは剛

の 変 形 は 無 視 す る.

  まず ナ ッ ト(ｎ)を 軽 く締 め る が,こ

の 段 階 で は 応 力 は 発 生 しな い と仮 定 す る.

そ の と きの ボ ル トの ヘ ッ ド と ナ ッ ト との 間 の 距 離 を ｌとす る.つ Ｎ 回 転 して,ボ

に示 す

ル ト を締 め 付 け る.ボ

ぎに,ナ

ッ トを

ル トの ネ ジの ピ ッチ を ｐ と す る と,板

を

取 り除 い た と仮 定 した と きの ボ ル トの ヘ ッ ド と ナ ッ ト と の 距 離 はl1=l-pNと な る.   締 め 付 け る こ と に よ り,ボ

ル ト も 板 も変 形 す る.変

ト と の 間 の 距 離 はl2=l-uで 高 さ)の

増 加 量 で,未

な る.ナ

ッ ト の 回 転 に よ り,ボ

だ け 伸 び る.こ

形 後 の ボ ル トの ヘ ッ ド と ナ ッ

あ る と 仮 定 す る.-uは,板

知 で あ る.実

部 の 全 厚 さ(円

環 の

際 に は 板 部 の 厚 さ は ｕ だ け 減 少 し,h-uと

ル ト の ヘ ッ ド と ナ ッ ト間 の 距 離 はl2-l1=pN-u

の 状 態 に お け る ボ ル ト と 板 の 水 平 断 面 に 働 く 断 面 力,応

み をTb,σb,εb,Tp,σp,εpと

す る.フ

力,ひ

ず

ッ ク の 法 則 が 成 立 す る と き,こ

れ

ら の 関 係 は つ ぎ の よ う に な る.

た だ し,

締 結 体 に は 外 力 が 加 わ っ て い な い の で,水

平 面 ｓ で 切 断 して,断

面 力 に関 す る

釣 合 い 方 程 式 を求 め る と, Tb+Tp=0, 

と な る.こ

れ よ り,未

ある いは

知 量 ｕ を 定 め る こ と が で き て,

(1.17)

と な る.こ

れ を 用 い て,ボ

ル ト と板(円

ら の 式 に お い て 近 似 的 にl1=lと

環)に

生 ず る 応 力 が 求 ま る.な

す る こ とが で き る.実

お,こ

れ

際 の 板 の 場 合 に は,こ

こ に 生 ず る応 力 は ボ ル ト穴 の 内縁 よ り外 に 向 か っ て 急 激 に 減 少 す る.   航 空 機 な ど ジ ュ ラ ル ミ ン板 を用 い た構 造 物 で は,板 さ れ る.こ

は ボ ル トや リベ ッ トで 接 合

の よ うな 場 合 の ボ ル トな どの 挙 動 に つ い て は 第 ２章 で 述 べ る せ ん 断 が

関 係 す る(演

習 問 題 ２ 問 ５,６ の フ ラ ン ジ の ボ ル ト に よ る接 合 を 参 照).

  熱 応 力: 

外 力 が 加 わ ら な くて も,温 度 変 化 が 生 ず る と,構 造 物 に 応 力 が 発

生 す る.こ

れ を熱 応 力(thermal

に示 す 構 造 を考 え る.ワ

stress)と い う.前 述 の 締 結 体 と類 似 の,図1.8

ッ シ ャ は 除 き,そ の 代 わ りボ ル トの ヘ ッ ド とナ ッ ト は十

分 広 く,剛 体 で 変 形 しな い と仮 定 す る.ボ

ル ト と円 環 の 熱 膨 張 係 数 を αb,αp

とす る.室 温 〓rで 円 環 の 上 下 を,接 着 剤 を用 い て ボ ル トの ヘ ッ ド と ナ ッ トに接 着 して お く.こ の と き,応 ば,温

力 は す べ て ０ で あ る.ナ

度 が 上 昇 して 〓 に な る と き,ボ

ル トと 円 環 で は 熱 膨 張 が 自 由 に 起 こ り,

λb=αb(〓-〓r)h,λp=αp(〓-〓r)hだ

け 伸 び る.そ

態 に お け る ボ ル ト と 円 管 の 長 さは,そ ナ ッ トが 拘 束 す る の で,ボ 量).し

ッ トに よる拘 束 が ない な ら

れ ゆ え,応

れ ぞ れh+λb,h+λpと

ル トと 円 管 の 長 さ は,と

も にh+uと

力 が ０の状

な る.実

際 には

な る(ｕ

は未知

た が っ て,

と な る.熱

膨 張 は 小 さ い の で,こ

の 分 母 は,近 似 的 にh+λb=h,h+λb=h

で あ る.ボ

ル トに よ る締 結 体 の 場 合 と同 様 な釣 合 い 方 程 式 は

と な る.こ

れ よ り未 知 量 ｕ が 定 ま り,

(1.18) とな る.こ

の ｕ は λb,λpの

め る こ とが で き る が,σbと

中 間 の値 を と る.こ の 値 を用 い る と,熱 応 力 を 求 σpと は 異 符 号 で あ る.温 度 変 化 に よ っ て 「相 対 的

に 長 くな る 部 分 に圧 縮 応 力 が 発 生 す る 」.

  常 温(20℃,293K)に 10-6K-1,オ で あ る.炭

お け る 熱 膨 張 係 数 の 値 は,炭

ー ス テナ イ ト系 ス テ ン レス 鋼(18Cr,8Ni)で

素鋼 で は

α=10.7×

は α=14.7×10-6K-1

素 鋼 で で き た容 器 本 体 の 内 面 に,腐 食 防 止 の た め の ス テ ン レス 鋼 の 内

張 り板(lining

plate)を 張 り合 わ す こ と が あ る.こ

値 の 小 さ い 炭 素 鋼 の 本 体 に引 張 応 力 が,α

の と き温 度 が 上 昇 す る と,α

値 の 大 きい ス テ ン レス 鋼 の 内 張 り板

に圧 縮 応 力 が 生 ず る.熱 膨 張 係 数 の 異 な る ２種 類 の 長 方 形 の板 を 張 り合 わせ た も の が バ イ メ タ ル(bi-metal)で,こ に よ っ て,そ

れ は 板 と して 自 由 に 変 形 で き る.温

度 の上昇

の 両 面 の 板 に 相 対 的 な 伸 び 縮 み が 生 じ,バ イ メ タ ル は 曲 る.こ の 性

質 を利 用 して,温 度 に 関 す る制 御 にバ イ メ タ ル が 用 い られ る.   溶 接 残 留 応 力:機

械 構 造 で は,溶 接(welding)に

よ って 接 合 す る こ とが あ る.

熱 応 力 の場 合 と 同 じ模 型 に よ っ て,こ れ を考 察 す る.ボ 溶 接 金 属(weld

metal)で,温

と き応 力 は ０)に,ボ

度 〓sで 凝 固 す る.凝

ル トに 相 当 す る と こ ろ が

固 し始 め た 瞬 間(〓=〓sの

ル ト と板 を ナ ッ トか ら切 り離 して 考 え る.温

す べ て が 室 温 〓rに 達 し た と き,λb=-αb(〓s-〓r)h,λp=0と

度 が 低 下 し, な る の で,

こ れ ら を(ａ)式 に代 入 す る と,溶 接 部 に は 引 張 り,一 般 部 に は 圧 縮 の,い 溶 接 残 留 応 力(welding

residual stress)が 定 ま る.実

わゆ る

際 に は,溶 接 部 の 周 辺 で は,

塑 性 ひず み が 生 じて フ ッ クの 法 則 が 成 立 しな い た め,溶 接 金 属 部 の 溶 接 残 留 応 力 の 値 は,「降 伏 点 の 程 度 の 引 張 応 力 」 で あ る.

  1.5 

材 料 試 験 と材 料 の 機 械 的 性 質

  (１)引 張 り試 験   今 ま で 理 想 的 な棒 が 引 っ張 られ る 場 合 に つ い て 述 べ た.実 際 の 材 料 の応 力 と ひ

(ａ)試験 片

(ｂ)試験後の試験片 図1.9引

張 試験 片

ず み の 関 係 や 機 械 的 性 質 な ど を調 べ る た め の 引 張 り試 験 法 がJIS(日 格)に

本工 業規

定 め られ て い る の で,金 属 材 料 の た め のJIS(Z2201,Z2241)を

参考

に して 説 明 す る.   引 張 り試 験 に は,JISに 状 ・寸 法 もJISに

した が って 製 作 さ れ た 試 験 機 を用 い る.試 験 片 の 形

定 め ら れ て い る.そ

の 一様 断 面 の 平 行 部 を もち,そ

の 中 央 部 に は,JISで

の 両 側 に は試 験 機 が つ か ん で 引 っ張 る た め,断

が 大 きい つ か み 部 を 設 け る.断 面 積A0の length)l0(〓lp)を で は,け

定 ま っ た 長 さlp

定 め て,そ

平 行 部 に標 点 距 離(標

の 両 端 に 標 点 を,ご

面

点 間 距 離,gage

く細 い 線 で け が く.図1.9

が き線 を便 宜 上 太 い 線 で 示 す.

  試 験 機 で 試 験 片 の 両 端 を つ か み,軸 方 向 に強 制 的 に 引 っ 張 り,伸 び を 与 え,そ の と きの 標 点 の け が き線 間 の 距 離 の 伸 び λ を計 測 す る.同 時 に,試 験 片 に 作 用 して い る 軸 荷 重 Ｐ を 試 験 機 に よ っ て 検 出 す る.標 検 出 した軸 荷 重 Ｐ との 関 係 を 求 め,縦

点 距 離 の 伸 び λ と試 験 機 で

軸 に Ｐ を,横 軸 に λ を と っ て 曲 線 を描

く.こ の 図 を荷 重 伸 び線 図(load-elongation

diagram)と

い う.

  荷 重 Ｐ が 小 さい 間 は,点(Ｐ,λ)の 描 く線 図 は 直 線 的 で,図1.10の 原点 ０ か ら比 例 限(proportional limit)と 呼 ば れ る 点 Ｅ まで は Ｐ と λ は 比 例 して い る.こ

の 点 Ｅ を過 ぎ る と,伸

側 に傾 く よ うに な る.点

び の 増 加 の 割 合 が 速 や か に な り,線 図 は 次 第 に 右

Ｅ を こ え,弾 性 限 と呼 ば れ る点 に 達 す る ま で は,荷

を 減 ず る と き 点(Ｐ,λ)は,先

に得 ら れ た 線 図 を逆 に た ど っ て 原 点 に戻 る.弾

性 限 を 求 め る こ とは 非 常 に 難 しい の で,通 とみ な す.本

書 に お い て は,以

常 「比 例 限 と弾 性 限 と は 同 一 で あ る」

後 こ の よ うに 仮 定 す る.

  機 械 構 造 に よ く用 い られ る低 炭 素 鋼 の 場 合 は,点Suに 連 続 的 に 減 少 し,点Slと は 単 に 降 伏 点(yield

な る.点Suは

point)と

重

上 降 伏 点(upper

呼 ば れ る.こ

力(yield

stress)あ る い は 降 伏 点 と呼 ぶ.ま

point)と

呼 ば れ,対

達 す る と,軸 荷 重 が 不 yield point)あ

の点 に対応 す る応力 た,点Slは

σypは 降 伏 応

下 降 伏 点(lower

応 す る応 力 σylも 下 降 伏 点 と呼 ば れ る.さ

るい

yield

ら に 引 っ張 り続

け て も,軸 荷 重 は あ る 幅 の 間 の 増 減 を繰 り返 す 不 安 定 な 状 態 が 続 く.こ れ は 降 伏(yielding)と

呼 ば れ る 現 象 で,こ

す べ り線 が つ ぎつ ぎ に発 生 す る.そ

の 間,試

験 片 の 平 行 部 に 軸 と45゜

の方 向の

の 間 の 応 力 の 下 限 は σylで あ る と考 え る こ

とが で き る.   平 行 部 が す べ て 降 伏 す る と,試 験 片 の 伸 び と と も に再 び 軸 荷 重 が 安 定 的 に増 加

す る よ う に な る.こ

の 状 態 を ひ ず み 硬 化(strain

(work

い う.こ の 状 態 で は,荷

hardening)と

近 づ き,つ

hardening)あ

重 伸 び 線 図 の傾 斜 は 次 第 に 水 平 に

い に点 Ｍ で 軸 荷 重 Ｐ が 極 大 値 に 達 す る.点

び る と と も に,そ

の 断 面 積 は 一 様 に 減 少 す る が,点

あ る断 面 付 近 で,局 所 的 な 断 面 の 縮 小 が 現 れ,こ な 断 面 の 縮 小 を くび れ(neckling)と 軸 荷 重 は 減 少 す る.線

るい は加 工 硬 化

Ｍ 近 く まで は,棒

の 箇 所 で 破 断 す る.こ

い う.以 後,伸

が伸

Ｍ に 近 づ く と,中 央 近 くの の局所 的

び と と も に く び れ が 進 行 し,

図 も 点 Ｔ に お い て,図1.9(ｂ)に

示 す よ う に,く

び れた

断 面 で 棒 は 切 断 す る.

図1.10  公 称 応 力 ひず み 線 図

図1.11 

0.2%耐

力

荷 重伸 び線 図

  鋼 以 外 の 金 属 で は,降 伏 現 象 が 起 こ ら な い もの が 多 い.ま

た,軸 荷 重 が 極 大 値

を とる こ と な く,破 断 す る材 料 も あ る.   切 断 した 棒 を試 験 機 か ら取 り外 し,破 断 面 を合 わ せ て切 断 直 前 の 状 態 を復 元 し, 標 点 の け が き 線 の 間 隔lfと

最 小 断 面 積Afを

測 定 す る.こ

の 基 本 的 な機 械 的 性 質 で あ る 延 性(ductility)の elongation)δ(ギ 字 フ ァ イ(プ

リ シ ャ文 字 デ ル タ),絞

れ ら を用 い て,材

料

程 度 を表 す 破 断 伸 び(breaking

り(reduction

of area)φ(ギ

リ シ ャ文

ヒ ー))を δ=

lf-l0 /l0

×100単

位 は% 

(1.19)

A0-Af φ=

×100 

/ A0

  単 位 は% 

(1.20)

と定 め る.破 断 伸 び は標 点 距 離 と平 行 部 の 断 面 の 形 状 ・寸 法 に 関係 す る の で,同 じ断 面 の 試 験 片 で も標 点 距 離 が 短 い 方 が 大 きな 破 断 伸 び を 示 す.絞

りはJISで

規 定 され て い る試 験 片 の 範 囲 で は,標 点 距 離 に 関係 しな い.「破 断 伸 び,絞 も に小 さい 材 料 」 で は 破 面 が 光 沢 を も ち,こ 呼 ぶ.ま

た,「破 断 伸 び,絞

と呼 ぶ.機

りが と

れ を 脆 性 材 料(brittle material)と

りが と もに 大 きい 材 料 」 を 延 性 材 料(ductile

械 で 広 く用 い られ る 炭 素 鋼 は,室

material)

温 で は 延 性 材 料 と して 扱 わ れ る が,

温 度 が 低 下 し,あ る温 度 以 下 に な る と,突 然 脆 性 破 壊 を示 す よ うに な る.こ の 温 度 を遷 移 温 度 と い う.   公 称 応 力 ひ ず み 線 図:  1.1節

機 械 的 性 質 を調 べ る た め,荷

て定 め た σ,ε

strain)と 呼 ぶ.す 公 称 応 力 

とす る.な お,本

標 点 距 離l0を

用い

を縦 軸 と横 軸 に と る.垂 直 応 力 と 垂 直 ひず み を こ の 定 義 に よ っ

て定 め た こ と を 強 調 す る た め,こ (nominal

重 伸 び線 図 を描 き 直 し,

の 定 義 に した が っ て,荷 重 を加 え る前 の 断 面 積A0と

れ ら を公 称 応 力(nominal

stress),公 称 ひ ず み

なわ ち

σ=

W

公 称 ひず み  

/ A0’

ε=

λ /l

項 以 外 で 用 い る 「応 力 」 と 「ひず み 」 は,こ

0 (1.21)

こ に い う 「公 称 応

力 」 と 「公 称 ひ ず み 」 に相 当 す る.   こ の よ う に して 定 め た 公 称 応 力 ひ ず み線 図 は,荷 重 伸 び 線 図 の 目盛 り と単 位 を 換 え れ ば,両

者 が ま っ た く同 じ に な る の で,線

1.10で は,A0=300m㎡,l0=200mmの 例 限(弾

図 上 の 点 の 名 称 も一 致 させ る.図

性 限 と一 致 す る と考 え る)を

場 合 の 換 算 を示 して い る.点

Ｅ は比

こ え た 状 態 か ら公 称 応 力 を 減 少 させ る と,

「比 例 限 に達 す る ま で の 直 線 部 に 平 行 に」 下 降 す る.公 称 応 力 が ０ に な っ た と き も,公 称 ひず み は ０ に な らな い.残

留 した公 称 ひず み を 永 久 ひ ず み あ る い は 塑

性 ひ ず み(plastic strain)と 呼 ぶ.し

た が っ て,(公 称)応

力 σ の と き の(公 称)

ひず み ε を

ε=ε(e)+ε(p),こ

こ に

ε(e)=

σ/ E

と 表 す.ε(e)と

ε(p)が 弾 性 ひ ず み(elastic  strain)と

 (1.22)

塑 性 ひ ず み で あ る.こ

の

とき応力 が なす 単位体 積 当た りの 仕事 は

と な る.第

１項 の弾 性 ひ ず み が な す 仕 事 は ひず み エ ネ ル ギ ー と して 蓄 え られ ,第 ２項 の 塑 性 ひ ず み が な す 仕 事 は 塑 性 仕 事 と呼 ば れ,熱 と な っ て 消 散 す る.

  上 述 の よ うに,上

降 伏 点Suに

お け る公 称 応 力 σypが 降 伏 応 力(上

降 伏応 力

(upper yield stress)と 呼 ぶ こ と もあ る)で あ る.降 伏 応 力 は 明 確 に 決 定 で き る の で,材 料 の 強 さ に対 す る １つ の 基 準 と して 用 い ら れ る.   降 伏 現 象 の 現 れ な い 材 料 の と きは,降 伏 応 力 に代 わ る 強 さの 基 準 と して,0.2 %耐 力(0.2%proof

stress)σ0.2が 用 い られ る.こ れ は,塑 性 ひず み ε(p)=0.2%

に相 当す る 公 称 応 力 で,単

に 耐 力 と も呼 ば れ る.こ れ を定 め る た め に は,図1.11

に 示 す 公 称 応 力 ひ ず み 線 図 の ε 軸 上 に ε=0.2%=0.002の に こ の 点 を通 っ て,フ

点 を と り,つ

ッ ク の 法 則 に対 応 す る 線 図 の 直 線 部OEに

線 図 と の交 点 を 求 め る.こ

の 交 点 に相 当 す る 公 称 応 力 が0.2%耐

ぎ

平 行 線 を 引 き, 力 σ0.2で あ る.

  点 Ｍ に対 応 す る 公 称 応 力 の 最 大 値 σBを 引張 強 さ(breaking strength,tensile strength)ま た は 極 限 強 さ(ultimate strength)と 呼 び,降 伏 応 力 と と も に材 料 の 強 さ の 基 準 と し て 用 い ら れ る.切

断 の 発 生 す る 点 Ｔ を破 断 点 とい い,そ

きの 公 称 応 力 σTを 破 断 応 力 とい う.脆 性 材 料 で は,公 る前 に 切 断 す る こ とが あ る が,こ 引 張 強 さ とす る.す 生 ず る まで に,単

の と きは,破

な わ ち σB=σTで

のと

称 応 力 が 極 大 値 に達 す

断 点 Ｔ に お け る 公 称 応 力 σTを

あ る.延

性 材 料 の 試 験 片 で は,破

位 体 積 当 た り仕 事 は 近 似 的 に σB(δ/100)と

与 え られ,こ

断が れ

に 相 当 す る 熱 が 発 生 す る.   金 属 材 料 の 降 伏 応 力 と 引 張 強 さ は,縦 弾 性 係 数 とは 異 な り,微 量 な 合 金 成 分 や 製 造 過 程 に お け る処 理 法 な ど に 著 し く関 係 す る.通 常,降 伏 応 力 と引 張 強 さが 大 き くな る と,破 断 伸 び は 減 少 す る.   応 力集 中:引 張 り試 験 の 試 験 片 で は,そ の 中 央 の 平 行 部 か ら両 端 の つ か み 部 に 移 行 す る 部 分 は,図1.9に 示 す よ う に 一 定 半 径 Ｒ の 円弧 で 表 さ れ,緩 や か に 断 面 積 が 変 化 が す る.こ

の 移 行 部 の 形 状 や 工 作 が 適 当 で ない と きは,平

先 に こ の 移 行 部 に き裂 が 発 生 す る こ とが あ る.こ

行部 よ り

の よ う な現 象 が 起 こ る の は,形

状 の 変 化 に よ っ て 応 力 の 値 が 上 昇 す る 応 力 集 中(stress concentration)と

呼ばれ

る現 象 が あ る こ と に よ る.平 行 部 の 平 均 応 力 σoを 基準 に と っ て考 え る と き,移

行部 の 最大 応力

σmaxが σmax=α

と表 さ れ る と き,α

は 応 力 集 中 係 数(stress

concentration

試 験 片 の 曲 線 部 が 正 し く円 弧 を な す と きは,α の 値 は,1.2程 で,こ

度 で あ る.試

(1.23)

  α ≧1

σo

factor)と 呼 ば れ る.

の 最 大 値 は 円 弧 部 に 現 わ れ,そ

験 片 の 切 削 時 に傷 が で き る と α 値 が 大 き く な る の

の 部 が 起 点 に な って 破 壊 す る こ とが あ る ．

  一 般 に,キ

ー溝 な どの 切 欠 きの 底 部 に は 大 き な応 力 集 中が 発 生 し,そ の 部 の 最

大 応 力 も上 式 と同 様 な式 で 表 され,こ な く大 き くな る.図1.12(ａ)に 無 限 に広 い 平 板,す る場 合 に は,Ａ

の 部 の 曲率 半 径 が 小 さ くな る と応 力 は 限 り

示 す よ う に,一 様 な応 力 σx=σoで

引張 られ た

な わ ち 無 限 板 に,楕 円 形 ま た は そ れ に類 似 した 形 の 開 口 が あ

点 の 応 力 σx=σmaxが

最 大 に な り,基 準 応 力(nominal

stress)

σoに 対 して,

(ｂ)丸め段 付 き半無 限板

(ａ)楕 円孔

図1.12応

σmax=α

と な る.こ

力集中

σo,

 (1.24)

こ に ρ(ギ リ シ ャ文 字 ロ ー)は

Ａ 点 に お け る 曲 率 半 径,ｂ は 加 え られ

た応 力 の 方 向 に 垂 直 な 方 向 の 開 口 の 寸 法 の1/2で,楕 円 の 場 合 は,ρ=a2/b,し

た が っ て √b/ρ=b/aで

力 の 方 向 の 半 径 で あ る.ｘ 軸X-Xよ 力 集 中 係 数 α は 近 似 的 に(1.24)式 き半 無 限 板(X-A-Xの じ,α

上 部)の

あ る.こ

こ に,ａ は 加 わ る応

り上 の 半 無 限 板 に 切 欠 きが あ る 場 合 も,応 で 与 え ら れ る.図1.12(ｂ)の

場 合 に は,最

の 値 は 近 似 的 に 図1.12(ｂ)に

円 の 半 径 に相 当 す る.楕

よ うな 丸 め段 つ

示 す(*)式

大応 力 は Ａ 点 の近傍 の 曲線上 に生 で 与 え られ る.

  真 応 力 と 自然 ひ ず み:今 基 準 に して,そ

形 前)の

面積 を

の 単 位 面 積 に作 用 す る応 力 の 大 き さ に よ っ て 定 義 した.こ

ま で 扱 っ た 公 称 応 力 は,試

験 前(変

れ に対

して,圧 力 の 定 義 に な らっ て,そ の 応 力 が 作 用 す る 瞬 間 に お け る単 位 面 積 当 た り に作 用 す る応 力 の 大 き さで 定 義 す る と き,こ れ を 真 応 力(true σtで 表 す.横 d(1-εd)と

stress)と い い,

ひ ず み εdの 定 義 に よ り,半 径 ｄ の 丸 棒 の 断 面 の 半 径 が 変 形 後 な る の で,

(1.25) と な る.こ

の 式 は,丸 棒 で な くて も用 い る こ とが で き る.局 所 的 な 断 面 収 縮 が 生

ず る場 合 は,そ の 箇 所 の 横 ひ ず み εdを 用 い る.破 断 時 の 断 面 積 は,ほ 等 しい と考 え ら れ る の で,破

と な る.一

断 点 に お け る真 応 力 は,絞

ぼAfに

り φ を用 い,

般 に 真 応 力 は公 称 応 力 よ り大 き い.

  公 称 ひ ず み ε は 試 験 前 の 長 さ を 基 準 に して 定 義 し た が,ひ 各 瞬 間 の 長 さl0+λ こ とが で き る.こ

と長 さ の 増 加dλ

に よ っ て,ひ

ず み に つ い て も,

ず み の増 加量 を定義 す る

の よ うに 定 義 した ひず み を 自然 ひ ず み(natural

対 数 ひ ず み(logarithmic

strain)と い い,εnで

表 す.し

strain)ま た は

た が っ て,

を積 分す る と

(1.26) とな る.こ

れ よ り自 然 ひ ず み は 公 称 ひ ず み ε よ り小 さ い こ とが わ か る.

  公 称 応 力 ひず み 線 図 を 真 応 力 公 称 ひず み 線 図 に描 き直 す こ とが で き る が,降 伏 応 力 また は0.2%耐 場 合 以 外,真

力 に 達 す る ま で は,両 者 は ほ と ん ど違 い が な い の で,特

別の

応 力 公 称 ひ ず み 線 図 を描 く必 要 は な い.

  (２)圧 縮 試 験   圧 縮 荷 重 を受 け る こ とが 多 い コ ン ク リー トな どの 材 料 で は,圧 縮 試 験 が 行 わ れ る.円

筒 型 の 短 い 試 験 体 を 軸 方 向 に 圧 縮 す る.脆

面 内 で 切 断 す る.

性 材 料 で は,軸

と45°

をなす

(３)曲 げ 試 験   材 料 を 曲 げ 加 工 な ど,い わ ゆ る 塑 性 加 工 を 行 う と き,き 裂 が 発 生 しな い こ と が 必 要 で あ る.こ の よ う な,材 料 の 加 工 性 を 調 べ る た め に,い わ ゆ る 曲 げ 試 験 (bending

test)が 行 わ れ る.JISに

規 定 され た 長 方 形 また は 円 形 の 断 面 の 試 験

片 を 一 対 の ロー ラ ー な ど で水 平 に 支 え,そ つ 押 し金 具 で押 して,規

の 中央 を,定 め られ た半 径 の 先 端 を も

定 の 角 度 に達 す る ま で 曲げ て ,き 裂 の 有 無 を確 認 す る.

き裂 が 発 生 しな い と き合 格 と して,塑

性 加 工 が 可 能 な材 料 で あ る と判 定 す る.

(４)疲 労 試 験   以 上 に お い て は 主 に静 的荷 重 に対 す る材 料 の 強 さ に つ い て 述 べ た.往 復 動 機 関 な ど で は,あ

る値 の 範 囲 を荷 重 が 変 動 す る.こ

き,静 的 荷 重 の 場 合 に比 較 して,低 る い は疲 労(fatigue)と

図1.13繰

の よ う に変 動 す る 応 力 が 加 わ る と

い値 の応 力 で 破 壊 す る.こ

の 現 象 を ,疲 れ あ

い う.

返 し荷 重

図1.14S-N曲

線

  棒 に 加 わ る 応 力 σ を,図1・13に 示 す よ う に,応 力 値 σmaxと 応 力 値 σmin の 間 で 変 化 させ,繰 り返 して 加 え る と,あ る繰 返 し回 数 Ｎ の の ち,棒 は 断 面 収 縮 を 見 せ る こ と な く,破 断 す る.両 対 数 図 ま た は 片 対 数 図(図1・14は に お い て,縦 る.こ

軸 に 値 σR=σmax-σminを,対

の 図 をS-N曲

線(S-N

curve)と

片 対 数 図)

数 目 盛 りの 横 軸 に Ｎ 値 を と い う(図1.14参

照).

  σmin=0の 場 合 の 疲 労 試 験 は 片 振 り試 験 と呼 ば れ る.こ の と き,小 さな Ｎ 値 に対 す る σ 値 は ほ ぼ静 的 な引 張 り強 度 に等 しい.N=103程 度 の Ｎ 値 まで は水

平 で あ る が,あ

る点 で 折 れ て 右 下 方 向 を 向 い た 直 線 に 近 い 線 に な る.N=107程

度 の あ る Ｎ 値 に対 応 す る値 σeに 達 す る と,再 び 折 れ て水 平 な 直 線 に な る.こ の 値 σe以 下 の 応 力 で は疲 労 破 壊 が 発 生 しな い の で,こ limit)あ る い は 耐 久 限 度(endurance   多 くの 場 合,疲

σe=β

と表 さ れ る.β(ギ 呼 ば れ,実

limit)と い う.

労 破 壊 は 応 力 集 中部 に 発 生 す る.こ

す る と き,疲 労 限 度 は,応

の値 を 疲 労 限 度(fatigue

の 箇 所 の 基 準 応 力 を σoと

力 集 中係 数 α に 関 係 づ け て, β=(α

σo,

リ シ ャ文 字 ビ ー タ(ベ

と ３の 小 さ い 方) ー タ))は

 (1.27)

形 状 係 数(shape

factor)と

験 に よ っ て 定 め た値 を 設 計 に用 い る.

  疲 労 限 度 に 比 べ て 大 き い応 力 の 繰 り返 しに よ る疲 労 破 壊 を,繰 返 し数 に応 じ,ほ ぼN〓104の

と き低 サ イ ク ル疲 労(low

cycle fatigue)と 呼 ぶ.荷 重 の 変 動 の 緩 や

か な化 学 装 置 を低 サ イ ク ル疲 労 を考 えて 設 計 す る こ とが あ る.Ｎ

に 対 しS-N曲

線 よ り定 ま る Ｓ 値 を繰 返 し回数 Ｎ に対 す る 時 間 強 度 と い う.   平 均 応 力(mean

stress):こ

れ は 次 式 に よ っ て 定 義 す る(図1.13参

照).

σm=(σmax+σmin)/2

σm=0と

して 行 う疲 労 試 験 を両 振 り試 験 と呼 ぶ.疲 労 は,主

range)σR=σmax-σminに   疲 労 強 度 は,残

支 配 さ れ る が,σmに

留 応 力,材

影 響 さ れ る の で,疲

に応 力範 囲(stress

も関 係 す る.

料 の 表 面 の 仕 上 げ の程 度,温

度 や 湿度 な どに著 し く

労 試 験 の 資 料 を 設 計 に 用 い る と き に は,そ

の 試 験 法,試

験片

の 工 作 法,試

験 の環 境 条 件 が 設 計 の 対 象 に適 合 して い る こ と を確 認 す る必 要 が あ

る.ま

計 に あ た っ て α の 値 が １に近 くな る よ うに す る.な

た,設

面 を硬 くす る と,疲

お,材 料 の 表

労 強 度 が 高 くな る.

(５)衝 撃 試 験   衝 撃 に対 す る 強 さ を調 べ る た め の 試 験 法 と して,シ impact

test)が よ く行 わ れ る.JISに

中 央 に 切 欠 き を 入 れ,そ

ャル ピー 衝 撃 試 験(Charpy

よ る と,一 定 の 正 方 形 断 面 の 棒 の 一 面 の

の 両 端 を軸 に 垂 直 方 向 に支 え,切

欠 きの 背 後 をハ ンマ ー

で た た い て 切 欠 き部 を破 壊 させ る.試 験 前 後 の ハ ン マ ー の 重 心 の 高 さ の差 よ り位 置 の エ ネ ル ギ ー の 減 少 量 を 求 め,こ

れ を切 断 面 の 面 積 で 割 っ た 数 値 を シ ャ ル ピ ー

衝 撃 値(Charpy あ た っ て,使

impact

value)と

い い,衝 撃 に 対 す る強 さ を示 す.材

  (１)で 述 べ た よ う に,低

炭 素鋼 は,常

温 で は延 性 材 料 で あ る が,あ

に な る と不 連 続 的 に 延 性 が 減 少 し,脆 性 材 料 の 性 質 を示 す.こ (transition temperature)の

推 定 に も,シ

る温 度 以下

の よ うな 遷 移 温 度

ャ ル ピ ー衝 撃 値 が 用 い られ る.オ

トナ イ ト系 ス テ ン レス鋼 や ア ル ミニ ウ ム 合 金 な どで は,こ い の で,こ

料 の選択 に

用 環 境 に お け る 衝 撃 試 験 の 結 果 を 十 分 検 討 して お く必 要 が あ る.

ース

の 種 の遷 移 は 起 こ ら な

れ らは 低 温 用 の 機 器 に 用 い られ る.

(６)ク リ ー プ 試 験   高 温 で 使 用 さ れ る ボ イ ラ ー の 材 料 は,材 い 影 響 を うけ る.一

料 の機 械 的性 質 が温 度 に よ って著 し

定 の 温 度 で 一 定 の 引 張 り応 力(引

張 応 力)を

加 え て お く と,

時 間 と と も に ひ ず み が 増 大 す る.こ

の 現 象 を ク リ ー プ(creep)と

い う.一 定 温

度,一

間(約11年

定 応 力 の も とで,100,000時

せ る 応 力(の

推 定 値)を,そ

間)に1%の

ひず み を生 じ さ

の 温 度 に 対 す る ク リ ー プ 制 限 応 力(limiting

creep

stress)と い う. (７)硬 さ試 験   硬 さ(hardness)は,物

体 の 表 面 に,小

き に残 る 凹 み(永 久 変 形)と 高 さ,な

面 に 落 と した棒 の 反 発 した

ど か ら定 め られ,局 所 的 な 機 械 的 性 質 を判 断 す る の に 用 い られ,各

試 験 法 が 考 案 さ れ て い る.た ス試 験 法(Vickers さVHと

さ な球 体 あ る い は 錘 体 を押 し付 け た と

押 し付 け 力 と の 関 係,表

種の

と え ば,微

小 な 領 域 の 硬 さ を測 る た め に は ビ ッ カ ー

test)が 用 い られ,こ

れ に よ っ て 得 られ た硬 さ を ビ ッ カ ー ス硬

い う.局 部 的 に 硬 度 が 高 い とこ ろ が あ る と,き 裂 が 発 生 しや す い.

(８)機 械 的 性 質 に 関 す る 注 意   以 上 に 述 べ た各 種 試 験 法 に よ っ て,金 属 材 料 の 機 械 的 性 質 の値 を 決 定 す る こ と が で き る が,そ

れ は材 料 の 組 成 だ け で は な く,製 造 の 過 程 な どが 関 係 す る の で,

そ れ ら に対 してJISな つ くの で,そ

どの 規 格 が あ る.そ れ で も,機 械 的 性 質 は,か

な りバ ラ

れ に対 して も規 格 が あ る.代 表 的 な金 属 材 料 の 板 材 に つ い て,降 伏

応 力 ま た は0.2%耐

力 お よ び 引 張 強 さ に 関 す るJIS規

(伸 び 率 や 加 工 性 な ど に つ い て も規 定 さ れ て い る).板 て,規 格 値 が 異 な る の で,そ

格 を 表1.1に

例示する

材 の と きは,板

厚 に よっ

れ ぞ れ につ い て １例 の み を示 す.規

格 に合 格 した 構

表1・1金 属 材 料 の機 械 的 性 質-JIS規

造 用 材 は,そ

の 強 さが 保 証 さ れ て い る.強

料 に 対 し て は,加

格   (N/mm2=MPa)

さが 要 求 され な い 箇 所 に用 い られ る材

工 性 だ け が 規 定 され て い る もの もあ る.

  金 属 材 料 の 縦 弾 性 係 数 は 安 定 した値 を 示 す が,1%程 か し,こ の バ ラ つ きは 機 械 構 造 の 応 力 値 に は,通

度 の バ ラ つ きが あ る.し

常 あ ま り関 係 しな い.JIS規

格 を 満 た す 材 料 で も,機 械 的 性 質 の値 に バ ラつ き が あ る.し 値 計 算 は,十 分 な精 度 で 行 う必 要 が あ る.も 精 度 で 計 算 す る と,得

  1.6 

か し,材 料 力 学 の 数

し機 械 的 性 質 の 値 に な ら って2桁

られ た 数 値 の １桁 目 に も誤 差 が 入 る可 能 性 が あ る.

構 造 設 計:許

容 応 力 と安 全 率

  構 造 物 を設 計 す る に 当 た っ て,先 ず 構 造 物 に要 求 され る機 能,そ 考 慮 し,ま た,そ

の

の使用 環 境 を

れ に加 わ る 荷 重 の 性 質 を考 慮 し て,使 用 材 料 を 選 定 す る.つ

に 荷 重 の 性 質 に 基 づ き設 計 に 当 た っ て 考 慮 す べ き 強 さ を定 め,基

ぎ

準 強 さ とす る.

す な わ ち,   ・   静 荷 重 に 対 し:使 用 環 境 下 にお け る,引 張 強 さ σB,降 は0.2%耐 力 σ0.2

伏 応 力 σypま た

  ・   圧 縮 応 力 が 生 じて い る と き:座 屈 応 力   (第 ７章 参 照)   ・   繰 返 し荷 重 に対 し:使 用 環 境 下 に お け る 疲 労 限 度 σe,ま   ・   高 温 環 境 に 於 け る 静 的 荷 重 に 対 し:ク

リー プ 制 限 応 力

な ど基 準 強 さ を 選 定 し,そ れ に 基 づ い て 許 容 応 力(admissible め,実

たは時 間 強度

際 に 加 わ る 想 定 され る 使 用 荷 重(working

load)を

stress)σaを

定

うけ る と き,構 造 物 に

発 生 す る応 力,す

な わ ち,使 用 応 力(working

stress)σ ω の 値 が 許 容 応 力 以 下 に

な る よ うに,構 造 物 の 寸 法 を定 め る.許 容 応 力 は,基 準 強 さ を あ る 数SFで て定 め る が,こ

の 数 が 安 全 率(safety

構 造 で は,基 準 強 さ と して,使 る こ とが 多 い.こ

割っ

factor)と 呼 ば れ る.静 荷 重 を うけ る 機 械

用 材 料 の 「引 張 強 さの 規 格 値 の 最 低 値 σB」 を と

の と き, σB σω 〓

(1.28)

σa≡

/ SF

と書 くこ とが で き る.安 全 率 の 値SFは,使 選 ば れ る.低 炭 素 鋼(軟

鋼)製

用 荷 重 の 性 質 や 基 準 強 さ を考 慮 して

の 機 械 構 造 で は,引 張 強 さ を基 準 強 さ とす る と き, SF=4

が 用 い られ る.以

上 が 強 度(strength)に

  剛 性(stiffness): 

基 づ く設 計 の 手 続 きで あ る.

機 械 構 造 に は,次 章 で 述 べ る コ イル ば ね な どの よ う に,強

さ だ け で な く,変 形 に 関 す る 機 能 を考 え て 設 計 しな け れ ば な ら な い こ とが あ る. と くに,「変 形 の 起 こ りに く さ 」 を 剛 性 とい い,機 に は,強

械 の 重 要 な 機 能 で あ る.一

さ と 同 時 に 剛 性 を考 慮 して 機 械 を設 計 しな け れ ば な ら な い.前

た各 種 の 試 験 機 は,強

さが 大 き い と と も に,剛 性 を 大 き く して,試

般

節 で述 べ

験機 の 変形 が

試 験 片 の 応 答 に 影 響 し な い よ う にす る 必 要 が あ る.機 械 に よ っ て は,剛 性 を評 価 す る 代 わ りに,経 験 的 に定 め ら れ た 大 きな 安 全 率 を 用 い る こ と が あ る.機 能 に と っ て必 要 な 剛 性 の 大 き さ は,個   本 書 で は 述 べ な い が,機

々の 機 械 構 造 に つ い て 経 験 的 に 定 め る.

械 振 動 の 特 性 は 剛 性 に よ っ て 支 配 さ れ る.ま

の座 屈 応 力 の 大 き さ に も構 造 物 の 剛 性 が 関係 す る(第   材 料 の 選 択: 

械の機

た,上

述

７章 参 照).

機 械 構 造 の 寸 法 は,「材 料 」 の 機 械 的 性 質 に 基 づ い て,強

性 を基 準 に して 定 め る わ け で は な い.製 作 過 程 や 使 用 す る 環 境,さ

度 と剛

らに 経 済 性 も

考 慮 して 「材 料 」 を選 択 し な け れ ば な ら な い.   加 工 工 程 で,切 削,プ

レ ス加 工,溶

接 が 行 わ れ る と き は,そ

適 した性 質 を もつ 材 料 で な け れ ば な ら な い.た 量 産 品 の場 合,被

と え ば,大

れ ら に よ る加 工 に

き な 切 削 加 工 を うけ る

削 性 の 高 い(切 削 しや す い)材 料 を 選 ぶ か,被

削 性 の高 め る熱

処 理 を ほ ど こ して加 工 し,そ の 後 で 材 料 が 元 の状 態 に 戻 す よ う な 熱 処 理 を 行 うこ とが 必 要 で あ る ．   深 絞 りで 製 作 さ れ る機 械 部 品,プ

レス 加 工 され る 乗 用 車 の 車 体 な ど は,降 伏 応

力 を犠 牲 に して も,加 工 に 当 た っ て 割 れ が 生 じな い よ う に,硬

さが 低 く,伸 び 率

の 大 きい 材 料 を 選 択 す る 必 要 が あ る(表1.1の のSAPH370を

比 較 せ よ).溶

一 般 構 造 用 のSS400と

接 す る と溶 接 熱 影 響 部(heat

affected zone)は

裂 が 生 じや す く,完 全 な 接 合 が 期 待 で き な い こ とが あ る の で,溶 Ｃ,Ｐ,Ｓ い.ま

接 構 造 用 鋼 は,

が 残 存 して い る と,上 の 微 量 元 素 と同様 な 悪 影 響 を 及 ぼ す の で ,製

に よ っ て 強 さ を 高 め,し

食 疲 労),応

処 理,機

械 的処 理 な ど

か も溶 接 が 容 易 な鋼 材 も あ る.

  腐 食 環 境 下 で は腐 食(corrosion)に

よ る 板 厚 な ど の 寸 法 の 減 少,疲

労 強 度 の低

力 腐 食 割 れ が 起 こ る ． 局 所 的 に孔 が あ く孔 食,応

力 の 高 い箇

所 で は 腐 食 が 進 む応 力 腐 食 な どの 現 象 に も注 意 を 払 う必 要 が あ る.ス 鋼,チ

タ ン の 板,セ

て,環

境 の 影 響 を 遮 断 し,腐 食 を防 ぐ こ と が で き る が,必

ま た,設

き

な どの 微 量 元 素 の 量 が 少 な く,硬 化 し に くい材 料 で あ る こ とが 望 ま し

た,０

鋼 時 に 十 分 な脱 酸 処 理 を行 わ な け れ ば な らな い.な お,熱

下(腐

自動 車 用

ラ ミ ッ ク被 膜 な どで 覆 う とか,メ

計 時 に,使

テ ン レス

ッキ や ペ イ ン ト塗 装 に よ っ ず し も万 全 で は な い.

用 期 間 内 の 予 想 腐 食 量 だ け 寸 法 を増 す こ と も あ る.

  液 体 が 流 動 す る 管 で は,キ

ャ ビ テ ー シ ョ ン に よ る 壊 食(erosion)が

急 激 に 板 厚 が 減 少 す る.こ れ を 防 ぐ た め に は,キ

起 こ る と,

ャ ビテ ー シ ョ ンが 起 ら な い よ う

に す る と と も に,ス テ ン レス鋼 の よ う に壊 食 に対 す る 抵 抗 力 を持 つ 材 料 を 選 ぶ必 要 が あ る.   室 内 の 状 態 で は 延 性 破 壊 を示 す 材 料 で も,低 温,腐

食 環 境,あ

る い は 中性 子 照

射 を うけ る と,脆 性 破 壊 を起 こ す よ う に な る こ とが あ る の で注 意 を 要 す る.ま

た,

硫 化 水 素 濃 度 の 高 い 環 境 な どで は,環 境 か ら侵 入 す る水 素 原 子 が 鋼 を脆 化 させ る 水 素 脆 化 が 知 られ て お り,と 用 応 力 の 下 で,あ

くに 高 強 度 鋼 で は,水 素 の侵 入 が 原 因 に な っ て,使

る時 間 の 後 に 脆 性 破 壊 が 発 生 す る遅 れ破 壊(delayed

が 顕 著 に 現 れ る.酸

fracture)

性 雨 も濃 縮 す る と,遅 れ 破 壊 を 起 こす ．

  解 析 に 基 づ く設 計(design by analysis):  原 子 炉 構 造 で は,安 全 性 の 見 地 か ら詳 細 な 理 論 お よ び 実 験 の 結 果 に 基 づ い て 慎 重 に 設 計 さ れ る.こ の よ う な 場 合 , 実 際 に 発 生 す る と考 え られ る 荷 重 をす べ て 考 慮 し,構 造 物 に発 生 す る 最 大 応 力 値 が,有

限 要 素 法(finite element

密 に算 定 され る.ま

method)と

た,基 準 強 さ を,使 用 環 境 や使 用 期 間 を考 慮 し,実 験 に 基 づ

い て 定 め る.安 全 率 につ い て は,比 様 な事 情 が あ る.こ

呼 ば れ る応 力 解 析 法 な ど に よ っ て 精

較 的 低 い値 を採 用 す る .飛 行 機 や 船 舶 で も同

れ らの 構 造 物 で は,低

製 造 の 管 理 お よ び 定 期 的 検 査(periodical

い 安 全 率 を 採 用 す る代 わ りに,設 inspection)と

計 ・

保 守 を厳 重 に実 施 す る.

さ らに,す べ て の 箇 所,少 て は,装

な く と も損 傷 が 発 生 しや す い と考 え られ る箇 所 に つ い

置 の 運 転 を 止 め る こ と な く行 う使 用 中検 査(in-service-inspection)が

可

能 な よ う に,設 計 して お く必 要 が あ る.   設 計 と安 全:  こ の よ うに して 設 計 され た 構 造 物 は絶 対 安 全 で あ る と して,ど の よ うな 使 い 方 を して も よい と考 え て は,事 故 が 発 生 す る 危 険 性 が あ る .構 造 物 の 設 計 は,荷

重 の性 質 や材 料 の機 械 的特 性 に対 す る仮 定 に基づ い てい るか らで

あ る.

演習 問題   １ 1.海 底 の 調 査 の た め,海

洋 調 査 船 が,一

様 断 面 の 「鋼 線(鋼

製 の 線)」 を3000m海

水 中 に 下 げ る と き,海 面 の位 置 に お け る 鋼 線 の 応 力 の 値 を 求 め な さ い.た だ し,鋼 線 の 比 重 は7.8と し,そ の 伸 縮 と断 面 変 形 は無 視 し,海 水 の 平 均 比 重 は1.03で あ る と仮 定 す る.[例2.1と

同 じ よ う に 考 え な さい(ｘ

端 に作 用 す る 浮 力 は,柱

の 頂 点 に 加 え た重 量 と 同様 に 扱 え ば よ い.]

２.長 さl=1.8m,直

径 ｄ の 軟 鋼(低

用 して い る.(ｉ)応 力 求 め な さい.(ii)伸 求 め な さ い.た ３.図1.4に

張 荷重 が作

下 に す る た め の,直

径 ｄ に対 す る 条 件 を

び λ を0.4mm以

下 に す る た め の,直

径 ｄ に対 す る 条件 を

だ し,縦 弾 性 係 数E=206GPaと

示 す トラ ス で,２

す る.

本 の 棒 の 長 さl=1m,断

面 積A=100mm2,棒

が垂

の 結 合 部 の ピ ン に下 げ ら れ た 力P=1000Nと

き の ひ ず み エ ネ ル ギ ー Ｕ を,単 弾 性 係 数 をE=206GPaと

４.室 温 〓r=20℃

の 丸 棒 にP=80kN引

σ を100MPa以

直 線 と な す 角 θ=30゜,棒 し,縦

炭 素 鋼)製

軸 を下 向 き に と る)． 鋼 線 の 下

位J(=N・m)お

よ びkgf・mで

する と

求 め な さい． た だ

す る.

の と き,図1.2(ｂ)(q=0と

す る)に

様 断 面 の 棒 の 両 端 を,固 定 壁 に 固 定 した.棒 る と き,棒 に 発 生 す る 応 力 を単 位kgf/mm2お 熱 膨 張 係 数a=10.7×10-6K-1,縦

示 す よ う に,軟

鋼 製 の一

の 温 度 を 上 昇 させ て 〓=100℃ よ びMPaで 求 め な さ い.た

弾 性 係 数E=21000kgf/mm2と

とす だ し,

す る.

５.直 径d=14mm,標 こ ろ,荷 重P=80kNの

点 距 離l0=50mmの 試 験 片 を 用 い て 引 張 り試 験 を行 っ た と と き, .伸び λ=0.8mmを 検 出 した． この と きの公称 応 力 σ,公 称 ひ ず み ε,真 応 力 σt,自 然 ひ ず み(対 数 ひ ず み)εnを 求めなさ い.ま た,破 断 した 試 験 片 を再 び 突 き合 わ せ て 計 っ た 標 点 間 の 距 離 はl=58mm で あ っ た ． こ の と きの 破 断 伸 び δ を求 め な さ い.[真 応 力 の 算 定 に 当 た っ て は ,近 似 的 に 体 積 が 変 わ らな い と 仮 定 して,真 所 的 に 断 面 収 縮(く

６.図1.15に

び れ)が

示 す よ う に,使

圧 力 容 器 が あ る.ボ

の 断 面 積 を,A=A0l0/lよ

現 れ る と,こ

用 圧 力p=3MPaが

り求 め る.局

の 式 は 成 り立 た な い.] 作 用 し て い る 内 直 径d=400mm

ル ト ６本 で 蓋 が 締 結 され て い る と き,ボ

ル ト １本 ご とに 生 ず る

引 張 力 を 求 め な さい.ま た,ボ ル トの 引 張 強 さ を σB=392  MPa,安 全 率SF=3 と し て,ボ ル トの 直 径 を求 め な さ い ． な お,蓋 と容 器 の 胴 体(円 筒 部)と の 間 に ,

  図 に 示 す よ う に パ ッキ ンが 入 れ て 気 密 が 保 も っ て い る が,パ   て 計 算 し な さ い. ７.図1.16に

示 す 長 さh=80mmの

ッキ ンは影響 を無視 し

中 空 円 筒(ｐ)の 両 端 を,ボ ル ト孔 を もつ 剛 な 円 板

  状 の ワ ッシ ャ(厚 さc=10mm)を シ ャ が 円 筒 の 両 端 に接 して,荷

介 して,ボ ル ト(ｂ)と ナ ッ トで 締 め つ け る.ワ ッ 重 が か か り始 め た 瞬 間 よ り,さ ら に ナ ッ ト を 半 回 転

(N=1/2)だ け 締 め つ け た と き,ボ ル トお よ び 円 筒 に 生 じ る応 力 σb,σpを 計 算 しな さ い.た だ し,ボ ル トお よ び 円筒 の 断 面 積 を そ れ ぞ れAb=6cm2,Ap=12cm2,縦 弾 性 係 数 をEb=206GPa,EP=120GPaと とす る.

図1.15圧

し,ボ ル トの ね じ ピ ッチ をp=1mm

力容器

８.あ る 材 料 の 引 張 り試 験 を,断

図1.16ボ

面 積A=20mm2の

ル ト

小 型 試 験 片 を 用 い て 行 っ た.ひ

ず み は,試 験 片 の 長 さ の 方 向 に 貼 っ た ひ ず み ゲ ー ジ に よ っ て,荷 重 段 階 ご と に 測 定 し,つ ぎの 結 果 が 得 られ た.こ の 材 料 の 縦 弾 性 係 数 を 求 め な さ い.

荷重   kgf 

ひず み   μ

荷 重   kgf  ひず み   μ ８         32

０          ０ ４          18 ６       

９.図1.9に mm,ま

25

10       

41

12      

50

示 す 円 形 断 面 の 試 験 片 の 平 行 部 とつ か み 部 の 直 径 を そ れ ぞ れ14mm,16 たr=10mmと

す る と き,平

行 部 と つ か み 部 と の接 合 部 に 生 ず る 応 力 集

中係 数 を求 め な さ い.[平 板 に 対 す る 図1.12(ｂ)の な さ い.]

α の 近 似 式(*)を

用 いて概 算 し

第 ２章  せ ん 断 と ね じ り

  2.1 

棒 の せ ん断 変 形

  図2.1に

示 す よ う に,厚 い 平 板 をせ ん断 機(shearing

機 械 に よ っ て 切 断 す る 場 合 につ い て 考 え る.せ に 示 す よ う に,平

machine)と

呼 ばれ る工作

ん は 「剪 」 の 「よみ 」 で あ る.図

板 をせ ん 断 機 に 固 定 し,固 定 部 の 近 くに 切 断 用 の 刃 を 当 て て,

平 板 の 面 に 垂 直 な 力 Ｑ で 押 して 平 板 を 切 断 す る.

図2.1せ

ん断機

  木 の 枝 を き る た め の は さ み を 「剪 定 ば さみ 」 と い うが,こ 「剪(き)る

」 に 相 当 す る.こ の 場 合,木

の幹 ま た は 太 い 枝(あ

さみ の 一 方 の 刃 が 枝 を 固 定 し,他 の 刃 が 切 断 用 に な る.は l0が 大 きい と切 りに くい こ とは,よ る と,棒

の 場 合 の 「き る 」 は る い は 手)と,は

さ み の ２枚 の 刃 の 間 隔

く経 験 す る と こ ろ で あ る.力

は 固 定 端 近 くで 著 し く変 形 し,つ い に は 切 断 され る.し

Ｑ が大 き くな

切 断 を扱 わ な い の で,l0が

極 端 に狭 い 場 合 は 考 え な い.

  図2.2(ａ)に 示 す よ う に,平 取 り付 け,刃

か し,本 節 で は

板 の 代 わ りに 一 様 断 面(h×t)の

棒 をせ ん 断 機 に

を 押 し付 け る 場 合 につ い て,「せ ん 断 」 の メ カ ニ ズ ム を理 想 化 して

考 え る.棒

が 固 定 され て い る 左 端 を 原 点 と して ｘ 軸 を,ま

と っ て,直

交 座 標 系 を 定 め る.棒

し,刃 の 触 れ る 面 積c×tの

を 固定 した 端 とl0だ

部 分 に,合

た,下

向 きに ｙ軸 を

け 離 れ た位 置 に 刃 が 作 用

力 Ｑ の 下 向 き の 荷 重 が 働 く.図 に示 す

よ うに 棒 の 側 面 積c×hの

部 分 を補 強 し,荷 重 Ｑ は 体 積c×h×tの

様 に 分 布 して い る と考 え る.こ ん 断 変 形(shear

の と き,固 定 端 と 刃 の 間 の 部 分 に 現 れ る変 形 を せ

deformation),合

  図2.2(ａ)に 示 す よ うに,軸

力 Ｑ を せ ん 断 力(shearing

あ る.点

Ａ を起 点 と して,せ

の 正 方 向 を 向 き互 い に 直 交 す る ご く短 い ２繊 維 が,変

χ2(χ は ギ リ シ ャ文 字(カ 角 度 χ1+χ2=γ(ギ み(shearing

force)と い う.

方 向 の 座 標 ｘ の 断 面 ｓ上 の １点 Ａ を定 め る.そ

の 部 分 の 拡 大 図 が 図2.2(ｂ),(ｃ)で x,y軸

領 域 に一

イ(ク

ヒー))だ

リ シ ャ 文 字 ガ ンマ)だ

ん断 変形 前 に

形 に よ っ て 角 χ1,

け 内 向 き に 回 転 し,２ 繊 維 の 隅 角 が け 減 少 す る と き,γ

は せん 断 ひず

strain)と 呼 ば れ る．

(ａ)モ デ ル

(ｂ)γ=χ1+χ2

(ｄ)せん 断応 力

(ｃ)せ ん 断 変 形

(ｅ)〓xy=〓yx

図2.2棒

のせ ん 断

  図2.2(ｃ)に 示 す よ う に,側 面 上 で 初 め 長 方 形 で あ っ た 部 分 は,せ ん 断 変 形 に よ っ て 平 行 四 辺 形 に な る.せ ん 断 ひず み の 符 号 に つ い て は,「変 形 前 に,ｘ 軸 と ｙ軸 の正 方 向 を 向 い て い た繊 維 が,変 ん 断 ひず み γ が 正 」 で あ る とす る.材 め て 小 さい.せ

形 に よ っ て 角 度 γ だけ 減 少 す る と き,せ 料 力 学 で 扱 う範 囲 で は,γ,χ1,χ2は

ん 断 ひず み の 単 位 はrad(ラ

省 い て 無 次 元 表 示 を す る.せ

ジ ア ン,radian)で

極

あ る が,radを

ん 断 ひ ず み の 定 義 に 用 い た ２本 の 微 小 繊 維 の 方 向 を

明 示 して γxyあ る い は γyxと

も書 く.し た が って, γ=γxy=γyx

(2.1)

で あ る.   図2.2(ｄ)に 示 す よ う に 棒 を 断 面 ｓ で 切 断 す る と,２ 本 の 棒(ｌ),(ｒ)の 右 ま た は 左 に面 ｓが 現 れ る.せ ん 断 ひず み γ が 生 ず る と,左 の 棒(１)の 右 面 ｓ に作 用 す る 応 力 は ， ｙ 軸 に 平 行 で 正 方 向 に 働 く.こ れ を τ(ギ し,せ ん 断 応 力(shearing

リ シ ャ文 字 タ ウ)と

表

stress)と い う.右 の 棒(ｒ)の 左 の 面 ｓ上 に作 用 す る せ

ん 断 応 力 は ｙ 軸 に 平 行 で 負 方 向 に 働 き,作

用 反 作 用 の 法 則 に よ り,棒(１)の

せ

ん 断 応 力 τ と大 き さ が 等 し く方 向 は 反 対 で あ り,こ れ も τ と表 す.「左 の 棒(１) の 右 の 面 ｓ に作 用 す る せ ん 断応 力 は,作

用 す る 向 きが ｙ 軸 の 正 方 向 で あ る と き,

正 」 で あ る とす る.同 様 に,「右 の 棒(ｒ)の 左 の 面 ｓ に作 用 す るせ ん 断 応 力 は,作 用 す る 向 きが ｙ 軸 の 負 方 向 で あ る と き,正 」 で あ る.こ ず み とせ ん 断 応 力 の 正 負 が 対 応 す る.せ SI単

位 はPa,  N/mm2,工

学 単 位 はkgf/cm2な

示 す.同

１の 脚 符 ｘ は 応 力 が ｘ 軸 に垂

２の 脚 符 ｙ は 応 力 が ｙ軸 に 平 行 に働 く こ と を

様 に ｙ 軸 に 垂 直 な 面 に 作 用 し ｘ 軸 に平 行 に働 く応 力 τyxを 定 義 す る.

こ れ らの 符 号 は,前 形(dx×dy)の 長 さdyの がdxで

直 応 力 と 同 じで,

ど で あ る.

  せ ん 断 応 力 τ を τxyと 書 くこ とが あ る が,第 直 な 面 に 作 用 す る こ と を 示 し,第

の 定 義 に よ り,せ ん 断 ひ

ん 断 応 力 の 単 位 は,垂

述 に 適 合 す る よ うに 定 め る.図2.2(ｅ)に

示 す 厚 さ ｔの 長 方

４周 に作 用 す る せ ん 断 応 力 に よ る モ ー メ ン トの 釣 合 い を考 え る と, ２辺 に 作 用 す る 応 力 の 合 力 は τxydytで

あ る の で,こ

あ り,そ の 作 用 線 間 の 距 離

の応 力 に よ るモ ー メ ン トは τxydyt×dxと

他 の ２辺 に 作 用 す る 応 力 に よ る モ ー メ ン トは-τyxdxt×dyと

な る.同 な る.モ

様 に, ー メン

トの 釣 合 い 方 程 式 τxydyt×dx-τyxdxt×dy=0

が 求 ま る.両

辺 をdxdytで

除 し,移

τ ≡

項 す る と,

τxy=τyx 

(2.2)

が 導 か れ る.   図2.2(ｄ)の

よ う に,せ

ん 断 力 Ｑ が ｙ 軸 方 向 に 加 わ る と き,棒

の 断 面 ｘ に作

用 す る せ ん 断 応 力 は 「一 様 に 分 布 す る 」 と仮 定 す る と,右 側 の 棒(ｒ)の 向 の 釣 合 い 方 程 式 よ り,固 定 端 に 近 い 断 面 に 作 用 す るせ ん 断 応 力 Q=τht 

よ り 

τ=

Q / ht

ｙ軸 方

が 求 ま る.な

お,棒

の 上 下 の 面y=h/2,−h/2で

け れ ば な ら な い の で,こ

の 仮 定 は,上

と な る.比

  ある いは  

of rigidity)と

材 料 な ど の よ う に,特

が成 立 す る.木 材 で は,そ

 (2.3)

modulus),横

弾 性 係数 あ るい は に 示 す よ う に,金

属

個 の 弾 性 係 数 Ｅ,Ｇ ， ｖ

Ｅ

(2.4)

/2(1+υ)

の繊 維 の 方 向 が 機 械 的 性 質 に 関 係 し,等 方 性 で な くな

の 式 は 成 り立 た な い.こ

れ た と き,Ｇ

τ

/G

別 の 方 向 が な い 等 方 性 の 場 合,３

間 の 関係 式

る の で,こ

γ=

呼 ば れ る.3.3節(3.27)式

G=

な

ッ ク の 法 則 が 成 立 し,

例 係 数 Ｇ は せ ん 断 弾 性 係 数(shear

剛 性 率(modulus

ん 断 応 力 τ=0で

下 面 の 近 くで は 成 立 し な い.

  せ ん 断 応 力 の 強 さ が 小 さ い と き は,フ τ=Gγ

は,せ

が 求 ま る.鋼

の 式 を 用 い る と,た

の 場 合 に はE=206 

G=206/2.6GPa=79.23 

と え ば Ｅ,ｖ

GPa,v=0.3と

GPa=8079.3 

が与 え ら

すると

kgf/mm2

と な る,   フ ッ クの 法 則 が 成 立 す る と き,せ ん 断 ひ ず み γ に よ る単 位 体 積 当 た りの ひ ず み エ ネ ル ギ ー υ の 表 式 を求 め る こ とが で き, 1 υ=

1 τy=

/2

/2

Gγ2=

1 r2

とな る.直 応 力 とせ ん 断 応 力 が 同 時 に加 わ る と きは,そ の ひず み エ ネ ル ギ ー を 求 め て,そ

(2.5)

/2 / G

れ ぞ れ 単 独 に加 わ る と き

れ ら を加 え 合 わ せ れ ば よい.

  縦 ひず み εx,εyは 存 在 せ ず,せ ん 断 ひ ず み γxy=χ1+χ2の み が存在 す る と き は,長 方 形(dx×dy)は せ ん 断 変 形 した あ と平 行 四 辺 形 に な るが,そ の 変 形 前 後 の 頂 点 Ａ を 重 ね て 図2.2(ｃ)に 示 して い る.χ1,χ2が 後 の面積 は (dx+χ2dy)(dy+χ1dx)-dxχ1dx-dyχ2dy-2χ1dxχ2dy =dxdy-χ1dxχ2dy=dxdy

小 さ い と き,変 形

と な る の で,微

小 量X1・X2を

省 略 す る と,「せ ん 断 変 形 は 面 積 の 変 化 に 関 係 し

な い 」 こ と に な る.   材 料 の せ ん 断 変 形 に 対 す る 機 械 的 性 質 は,試

験機 お よび試 験 法 が 異 な る こ と

を 除 く と,引 張 りの と き とほ と ん ど 同 じで,せ

ん 断 強 さ τBな

ど も定 義 さ れ て

示 す よ う に,考

え る 点 を含 む 小

い る.

  2.2 

軸 に 斜 交 す る 面 に 働 く応 力

  応 力 を一 般 的 に 定 義 す る に あ た っ て,図2.3に さな 領 域 Ｄ を考 え る.こ

の 領 域 内 で,応

力 の 作 用 す る 面 ｓ を指 定 す る.こ

で 分 割 さ れ る ２つ の 領 域(１),(ｒ)に 分 け る.こ 現 れ る.こ

の 切 断 に よ っ て,両

の面

側 に面 ｓ が

の とき

(ａ)  領域 Ｄ

(ｂ)  断 面ｓ に作用 す る応 力 図2.3 応 力 の 符 号

  ａ)  面 ｓ を 通 し て 領 域(１)に,領 応 力 の 強 さ は,ベ

ク ト ル ｐ で 表 さ れ る.領

軸 が ｘ 軸 と な す 角 を θ,ベ θ な ど は,時

と な る.こ

側 か ら作 用 す る単 位 面 積 当 た りの 域(１)の

計 の 針 と 同 じ方 向 の 回 転 を 正 と す る.y′ 直応 力

σx′=｜p￨cos(θp-θ),τ(θ)≡ こ に ｜p￨は,ベ

外 を 向 き,面

ｓ に 垂 直 なx′

ク ト ル ｐ と ｘ 軸 の な す 角 を θpと す る.た

θ だ け 回 転 し た 向 き に と る.垂 σ(θ)≡

域(ｒ)の

σ(θ),せ

だ し,角

軸 を 面 ｓ 内 に 定 め ,ｙ

ん断応 力

を

τ(θ)は,

τx′y′=｜p￨sin(θp-θ) 

(2.6)

ク ト ル ｐ の 長 さ で あ る.

  ｂ)  面 ｓ を 通 し て 領 域(ｒ)に,領 域(１)の 側 か ら作 用 す る 応 力 は,ベ ク トル ーｐ で 表 さ れ る こ と が ,作 用 反 作 用 の 法 則 に よ っ て わ か る.領 域(ｒ)の 外 を 向 き,

面 ｓ に 垂 直 なx′r軸 と す る と,垂

が ｘ 軸 と な す 角 を θr,ベ

直応 力

σ(θr),せ

ん断 応 力

ク ト ル-pが

ｘ 軸 と な す 角 を θrp

τ(θr)は

σ(θr)=￨-p￨cos(θrp-θr),τ(θr)=｜-p￨sin(θrp-θr) と な る.｜-p｜=￨p｜,θr=θ+π,θrp=θp+π

で あ る の で,上

式 は 式(2.6)と

同 等 で あ る こ と が 確 認 で き る.   こ の よ う に 定 義 し た 垂 直 応 力 とせ ん 断 応 力 の 符 号 は,θ=0,θr=π 1.1節

お よ び2.1節

と す る と,

の 定 義 と 同 じ に な る.

(ａ)  引 っ 張 られ た棒

(ｂ)  斜 め に切 断 され た面 に作 用 す る応 力 図2.4 引 張 られ た 棒

  ｃ)  図2.4(ａ)に 軸 方 向 に ｘ 軸,下

示 す よ う に,力

向 に 角 θ だ け 回 転 さ せ,こ 回 転 後 の 座 標 軸x′,y′ る.図2.3(ｂ)の

Ｐ で 引 っ 張 ら れ た 一 様 断 面 Ａ の 棒 を 考 え,

向 き に ｙ 軸 を と る.ｘ

れ を 断 面 ｓ と す る.座

を 定 め る.断

棒(ｒ)の

軸 に 垂 直 な 断 面 を,時 標 軸x,yも

計 の 針 の 進 む方 θ だ け 回 転 さ せ,

面 ｓ で 分 割 さ れ た 左 右 の 棒 を(１),(ｒ)と

座 標 軸x′r,y′rは,図2.4(ｂ)で

はx′r=-x′,y′r=-y′

ｓ を 通 し て,(ｒ)の

作 用 す る 応 力 は,力

す

で あ る.   棒(１)に

お い て は,面

側 か ら(１)に

の 方 向 す な わ ち ｘ 軸 方 向 を 向 くベ ク ト ル ｐ で 表 さ れ る.し な る.垂

直応 力

σ(θ)と

せ ん 断応力

σ(θ)=｜p￨cos(-θ)=￨p￨cosθ,  と な る.面

ｓ の 面 積 はA/cosθ

τ(θ)は(2.6)式

Ｐ

た が っ て,θp=0と

に よ っ て,

τ(θ)=｜p￨sin(-θ)=-｜p￨sinθ

で あ る の で,応

力 の 強 さ,す

な わ ち単 位 面 積 当 た

り の 応 力 も,ｘ

軸 の 正 方 向 を 向 くベ ク ト ル ｐ で 表 さ れ る.こ

の と き ｘ 軸 に 垂 直 に な る こ と に よ り,断 τ(θ)の

符 号 が1.1節

お よ び2.1節

ｓ の 面 積 がA/cosθ

の 断 面 ｓ は θ=0

面 ｓ上 に作 用す る応 力

σ(θ)お

よび

の 定 義 に 適 合 す る こ と が 確 認 で き る.断

で あ る こ と に よ り,棒(１)に

面

関 す るx′,y′ 軸 方 向 の 釣 合 い 方

程式 は -Pcosθ+σ(θ)(A/cosθ)=-Pcosθ+｜p｜cosθ(A/cosθ)=0

Psinθ+τ(θ)(A/cosθ)=Psinθ-￨p￨sinθ(A/cosθ)=0 と な る.こ

れ ら よ り,

が 求 ま る.棒(１)に

お い て,τ(θ)の

値 が 負 に な る と きは,大

き さ￨τ(θ)￨の

ん断 応 力 がy′ 軸 の 負 の 方 向 に作 用 す る こ と を 意 味 す る.棒(ｒ)に

せ

お い て はy′ 軸

の 代 わ り にy′r軸 を考 え れ ば よ い.

  2.3 

ね じ られ た薄 い 円 筒 の せ ん 断 変 形

  棒 の 上 下 の 面 で は せ ん 断 応 力 は ０ に な る の で,2.1節

の 理 論 は,正

確 に は,

棒 の上 下 の 面 か ら離 れ た領 域 に つ い て の 考 察 で あ る.こ の よ う な 制 限 を 除 くた め に は,深

さ を 無 限 大 に して,有

い て 円 筒 状 に して,上   自動 車 で は,ハ を とる.こ

ン ドル を操 作 して,ハ

さ ｌの 円 筒 で あ る.厚

につ い て 考 察 す る.こ

ン ド ル軸 は,厚

さ ｔが 非 常 に 薄 く,t/R≪1で

場 合 と同 じ に な る.固

筒 の 軸 の 方 向 を 向 く ｘ 軸 を定 め る.ハ

の 上 端 の 断 面x=l内

れ を巻 照).

ン ド ル軸 を ね じ り,こ の 操 作 に よ っ て 舵

の 仮 定 に よ り,円 筒 の板 の ひ ず み と応 力 は,平

した 極 限 に 相 当 す る)の

原 点 を も ち,円

り,図0.2に

下 面 が 現 れ な い 円 筒 を 考 え れ ば よ い(図2.5(ａ)参

の 軸 は 下 端 で 固 定 さ れ て い る と仮 定 す る.ハ

均 半 径 Ｒ,長

t/R→0と

限 の 範 囲 に上 下 面 が な い よ う に す る か,そ

さｔ,平 あ る場 合

板(円

筒で

定 され てい る下端 に

ン ド ル の に ぎ り部 は,軸

に あ り,軸 に 固 定 さ れ た 円環 で あ る.両 手 で こ の 円 環 を握

示 す よ うに,そ

の 周 の 方 向 に力 を加 え て,軸

の 上 端 の 断 面x=lに

モ ー メ ン トMtを (torsional

加 え る.こ

moment)あ

の モ ー メ ン ト は 軸 を ね じ る の で,ね

る い は ト ル ク(torque)と

(ａ)  ね じり

じり モ ー メ ン ト

呼 ば れ る(図2.5(ａ)参

照).

(ｂ)  断 面 ｓ に 作 用 す るMt

(ｃ)  ね じ り変 形

図2.5  薄 肉 円 筒 形 の 軸 の ね じ り

  図2.5(ｂ)に 示 す よ う に,断 面 ｓ で 切 断 して(１),(ｒ)に 分 割 す る と き,引 張 り の 場 合 と同 様 に,作 用 反 作 用 の 原 理 に よ り,切 断 して 現 れ た 両 側 の 面 ｓ に,方 向 が 互 い に逆 向 きの ね じ りモ ー メ ンMtが され て い な い が,固

作 用 して い る こ とが わ か る.図

定 端 に も支 持 反 モ ー メ ン トMtが

(ａ)  断面図

(ｂ)  中央 面 の側 面 図

には示

作 用 す る.

(ｃ)  中央 面 の展 開 図

図2.6  薄 肉 の 円 筒 型 の軸 の ね じ り(つ づ き)   図2.6は,薄

肉 円 筒 の 長 さ が 短 い 場 合 を 示 して い る が,長

果 が 得 ら れ る.図2.6(ａ)に シ ー))と

示 す よ う に,角 座 標 を ψ(ギ

す る.板 厚 の 中央 の 面 は 中 央 面(middle

円 筒 形 を な す.薄 の 側 面 図 で,直

肉 円 筒 を,こ

線 ψ=一

い 円 筒 で も 同 じ結

リ シ ャ 文 字 プ サ イ(プ

surface)と 呼 ば れ,半

の 中 央 面 に よ っ て 表 示 す る.図2.6(ｂ)は

定 は,ね

じ り変 形 に よ っ て,せ

径 Ｒ の 中央 面

ん断 ひず み γ に対応

した 変 位 を す る こ と を象 徴 的 に示 して い る(図2.5(ｃ)も

参 照).

  そ の 変 形 の 状 態 を 正 し く示 す た め に,中 央 面 を線 ψ=0で も の が 図2.6(ｃ)で あ る.展 ψ=0に

切 断 し,展

直 線y=2πR(ψ=2π)は

板 状 の 棒 が,上

端 の 断 面x=lに

変 形 と 同 等 に な る.し

τxy=τ

無 関 係 に な り,一 定 値 を と る.も

な け れ ば な ら な い.そ

り,図2.6(ｃ)の

定 は,変

形 後 も同 じ線 上 にあ る.は

ん 断 応 力 に 対 して,第

表 す と,周

方 向 に変 位 φ(x)Rが

γx=Rφ(x)よ た が っ て,断

面x=lの

ッ クの 法 則

angle

φ(x)=γx/R

ね じ り角 φ(l)は

γ=τ/Gを

な わ ち 比 ね じ り 角(specific

け 変位 す

は ギ リシャ文字 フ ァイ

生 じ,両 者 が 一 致 す る の で,

り

φ(l)= と な る.フ

１章 で 述 べ た棒 の 軸 力,

じ り変 形 に よ っ て ｙ 軸 方 向 に γxだ

る,円 筒 の 断 面 ｘ の 回 転 角 を ね じ り角 と い い,φ(x)(φ

と な る.し

の よ うな円筒 のね じ

直 応 力 と 同様 な扱 い が 可 能 に な る.

  展 開 図 上 で 断 面 ｘ の 点 は,ね (プ ヒー))で

直応 力 の値 は

れ ゆ え,断 面 ｘ は,変 形 後 も 同 じ面 内 に と ど ま

じめ 長 方 形 で あ っ た 図 形 は,変 形 後 に平 行 四 辺 形 に な る.こ

縦 ひ ず み,垂

を うけ る と き の

し断 面 ｘ に垂 直 応 力 σxが 現 れ る と

展 開 図 で 変 形 前 の 線x=一

りモ ー メ ン ト,せ ん 断 ひ ず み,せ

限 に深 い 平

開 した 円 筒 の 至 る と こ ろ で 応 力 と ひず み の 値

仮 定 す る と,対 応 す る 引 張 力 が 存 在 しな け れ ば な ら な い の で,垂 σx=0で

に 相 当 す る.直

同 等 で あ る の で,無

一 様 なせ ん 断 応 力

た が って,展

開 した

導 入 す る.座 標 軸 ｘ は 直 線

対 応 し,座 標 ｙ は 中 央 面 上 で 周 方 向 に計 っ た 距 離Rψ

線y=0(ψ=0)と

はx,yに

開 面 上 に,座 標(x,ｙ)を

γl/R

用 い る と,単 of twist)θ

位 長 さ あ た り の ね じ り角,す

θ ≡φ(l)/l=γ/R=τ/GRあ

は

るい は

τ=GRθ 

(2.7)

と な る.   角 座 標 ψ と ψ+dψ

と の 間 の 部 分 の 断 面 積tRdψ

の 円 の 周 方 向 に 作 用 す る こ と に よ り,ね

にせ ん断 応力

τ が半 径 Ｒ

じ りモ ー メ ン ト は

Mt=〓RτtRdψ=2πR2τt=2πGθtR3=Cθ 

(2.8)

こ こ にC=2πGR3t=GIp,Ip=2πR3t と な る.Ｃ moment

は ね じ り 剛 性(torsional of

inertia

rigidity),Ipは

of area)(図5.4(ａ)参

照)と

断 面

２ 次 極 モ ー メ ン ト(polar

呼 ば れ る.こ

れ よ り

 (2.9)

が 求 ま る.A0=πR2は (shear

flow)と

2.4伝

円 筒 の 板 厚 中 央 線 の 囲 む 面 積 で あ り,τtを

せ ん断 流

呼 ぶ.

動軸

  動 力 を機 械 的 に伝 達 す る 要 素 と して 伝 動 軸 が 用 い られ る.大

型 の 伝 動 軸 で は,

製 作 の過 程 で,材 料 の 不 純 物 が 断 面 の 中 央 部 に集 ま りや す い の で,中 央 を く りぬ い た 中 空 の 円 形 断 面 を採 用 す る.

(ａ)中 空 軸

(ｂ)中 空 軸

図2.7伝

  中 空 円 形 断 面 軸 の ね じ り:図2.7(ａ)の 面 の 中 空 の軸 を 考 え る.図2.7(ｂ)に

の 同 心 円 で,ｎ て,前

節 の 理 論 を 応 用 す る.比

と,こ

導軸

よ うな 内径d1外

示 す よ う に,断

個 の 円 筒 に 分 割 す る.半

こ と に 注 意 し て,(2.8)式

(ｃ)中 実 軸

径ri-1と

ね じ り 角 θ は,す

面 を,半

径d2の

半 径riの

径

問 の薄 い 円筒 に対 し

べ て の薄 い円 筒 に 共通 で あ る

にR=(ri+ri-1)/2=ri,t=ri-ri-1=△rと

の 薄 い 円 筒 に 作 用 す る ね じ り モ ー メ ン ト △Mtが △Mt=2πGθri3△r

同 心 円形 断

お く 求 ま り,

と な る.分

割 を 細 か く し た 極 限 に お い て,ri=r,△r=drと

の 積 分 を 実 行 す る と,全

と な る.し

お い て,△Mt=dMt

断 面 に 加 わ る ね じ り モ ー メ ン トMtは

たが っ て

とな る.せ

k=d1/d 2

C=GIp,

Mt=Cθ,

ん断 ひ ず み とせ ん 断 応 力 は(2.7)式

に お い てR=d2/2と

(2.10) お い て求 め

られ, d2

Ymax=θ

(2.11)

/2 

(2.12) と な る.ｋ d2の

の 値 が 大 き く な い 限 り,ね

じ り剛 性 Ｃ と最 大 せ ん 断 応 力

値 に よ っ て 定 ま り,比k=d1/d2は

τaま

あ ま り 影 響 し な い.許

τmaxは,

容 せ ん 断応 力

た は 許 容 し 得 る 比 ね じ り 角 θα お よ び 比 ｋ が 与 え ら れ る と,(2.12)式

τmax=τa,θ=θaと

お い て,d2を

定 め る.

  こ の 軸 に 蓄 え ら れ る 単 位 長 さ 当 た りの ひ ず み エ ネ ル ギ ー Ｕ は,図1.5の の 代 わ り にMt,θ

で

Ｐ,λ

を 用 い て,

(2.13) が得 られ る.こ

の 場 合 に つ い て,(2.5)式

の υ を伝 動 軸 の 全 断 面 に積 分 して も,

Ｕ を 導 く こ とが で き る.   中 実 円 形 断 面 の 伝 動 軸:外 対 す る 結 果 にd1=0,d2=d,し 照).せ

径 ｄ の 中 実 の 伝 動 軸 の 場 合 は,中 た が っ て,k=0と

空 の 伝 動軸 に

置 け ば よ い(図2.7(ｃ)参

ん 断 に対 す る材 料 の 破 壊 強 度 な どの 機 械 的 性 質 お よ び 実 験 法 は,試 験 片

を除 い て,引

張 りの 場 合 と類 似 して い る.フ

ッ ク の 法 則 が 成 立 す る と き,中 実 の

円形 断面軸 では τmax=16Mt/ πd3

(2.14)

とな る こ と を利 用 し て,ね

じ り疲 労 試 験 が 行 わ れ る.

  動 力 とね じ りモ ー メ ン ト:一

端 に ね じ りモ ー メ ン トMtが

回 転 す る こ と に よ り,他 端 に 動 力 Ｈ を伝 達 す る.動 ω(ギ

リ シ ャ 文 字 オ メ ガ)を

加 わ った伝動軸 は

力 は,単

位rad/sの

角 速度

用 い て 表 す こ とが で きて, H=Mtω 

と な る.動

力 のSI単

ど で あ る.実

位 はW(ワ

(2.15)

ッ ト,W=N･m/s),工

用 的 に はkWやPS(馬

力,horse

学 単 位 はkgfm/sな power)が

よ く 用 い ら れ る.単

位 系 に 応 じて

1kW=106N･mm/s=105N･cm/s=103N･m/s 1PS=75,000kgf･mm/s=7,500kgf･cm/s=75kgf･m/s(=735.4988W) を 用 い て 換 算 す れ ば よ い.回 per minutes)Ｎ

転 速 度 を 表 す た め に,毎

分 回 転 数(rpm,revolution

が 用 い ら れ る こ と が 多 い 。 こ の と き ω=(2π/60)Nで

た,「 許 容 し得 る 比 ね じ り角 」 θaの 角 度 の 単 位 と し てradで た と き Θaと

書 く こ と に す る と,明

ら か に θa=(π/180)Θaで

  こ の よ う に 多 様 な 単 位 が 用 い ら れ る の で,整 位kWを

用 い て 表 す と き,HKと

と(Θaの d2,ｋ

単 位 はﾟ/cm),(2.15)式

な く

書 き,そ お よび

あ る.ま °(度)を

あ る.

理 し た 結 果 を 示 す.動

の 他 の 単 位 はSI(cm)系 τaあ

用 い

力 Ｈ を単

る い は Θaが

に した が う 与 え ら れ た と き,

を定 め る 条 件 式 は

(2.16) (2.17) (2.18) とな る.ま

た,動 力 Ｈ を単 位 馬 力(PS)を

の 単 位 は工 学(cm)系 を定 め る 条 件 式 は

に した が う と(Θaの

用 い て 表 す と き,HPと 単 位 はﾟ/cm),(2.15)式

書 き,そ の 他 お よ びd2,ｋ

(2.19) (2.20) (2.21) と な る.

  2.5コ

イル ば ね

  図2.8(ａ)に 示 す よ うに 直 径 ｄ の 円 形 断 面 の 「素 線 」 を 密 に巻 い た コ イル を考 え る(実 際 の コ イル の 間 隔 は,ご く狭 くす る).コ イ ル の 上 下 の 中 心 に 力 を加 え る た め,Ｌ 形 の 剛 体 棒 が 固 着 した も の を,コ イ ル ば ね(coiled spring,coil spring) と い う.

(ａ)４ 巻 コイル ば ね(側 面 図)

(ｂ)１ 巻 の コイル (平面 図)

図2.8円

(ｃ)ｓ 断 面

(ｄ)コ イル を伸 展 した 図

筒 コイル ばね

  コ イ ル の １巻 分 は,半 径 Ｒ を もつ 円 環 とみ な す こ とが で き る.す

べてのコイ

ル の 半 径 が 同 一 の と き,こ れ は 円 筒 形 を な す の で,円 筒 コ イ ル ば ね(cylindrically coiled spring)と

い う.図2.8(ｂ)に

示 す よ うに,素

そ の 切 断 面 を 剛 体 壁 に 固 定 す る(図2.8(ｃ)も

線 を １つ の 断 面 で 切 断 して ,

参 照).剛

体 の 棒 を 介 して,円

の 中 心 点(「 コ イ ル の つ くる 円 筒 の 軸 上 の 点 」 に 相 当)に,紙 に 力 Ｐ を加 え る.こ

の 力 に よ っ て,剛

環

面 に垂 直手 前 方 向

体 棒 と の 固 着 点 に お い て,円

環 にね じり

モ ー メ ン トMt=PR,せ

ん 断 力 Ｐ が 加 わ る.円

環 の す べ て の 断 面 に ,同

じ値

の ね じ りモ ー メ ン ト とせ ん 断 力 が 加 わ る こ と も容 易 に わ か る .   せ ん 断 力 に よ る 変 形 は 無 視 し,ね じ りモ ー メ ン トに よ る 変 形 の み を考 え る.図 2.8(ｄ)の よ う に,一 端 を 固定 した ま ま,円 環 を真 直 ぐ に 引 き伸 ば す .一 般 的 に扱 うた め に,そ

の 長 さ をlと す る.剛 体 棒 の 固 着 点 の 近 くの 素 線 の 横 変 位 を ,ベ ア リ ング に よ っ て 拘 束 し,素 線 は 回 転 の み が 許 さ れ る.こ の と き剛 体 棒 に加 わ る 力 に よ っ て,素

線 全 長 に,ね

じ りモ ー メ ン トMt=PRが

φ=θl だ け 回 転 す る.こ

= PRl

πGd4/

C=

/ C,

32

の 回 転 に よ って 剛体 棒 の 着 力 点 は δ=φRだ

して,円 環 の 伸 ば した 長 さ2πRに 着 力 点 の,紙

加 わ る の で ,こ の 端 は

とる と,図2.8(ｂ)の

面 に垂 直 な 方 向 の 変 位 を 与 え る.円

こ の 式 は 適 用 で き,長

さlと

け 変 位 す る .lと

円 環 に 固 着 した 剛 体 棒 の

筒 コ イル ば ね 全 体 に つ い て も,

し て ,コ

イ ル の 全 長l=2πRNを とれ ば よ い.こ こ に Ｎ は 円 筒 コ イ ル ば ね の 巻 数 で あ る .よ っ て,ば ね の 伸 び δ は

(2.22) と な る.こ

の 式 よ り定 ま る

(2.23) を,円

筒 コ イ ル ば ね の ば ね 定 数(spring

constant)と

呼 び,ば

ね の性 能 を表す 重

要 な 値 で あ る.ば

ね に 蓄 え られ る ひず み エ ネ ル ギ ー Ｕ は

と な る こ とが,棒

の ひ ず み エ ネ ル ギ ー と同 様 に して 導 か れ る(1

素 線 の 最 大 せ ん 断 応 力 は,中

実 伝 動 軸 に対 す る(2.14)式

.3節

参 照)

を用 い て,

16PR τ ｍax=

/πd3 

(2.24)

とな る.せ ん 断破 壊 に対 す る 許 容 せ ん断 応 力 τaが 与 え ら れ る と,素 線 の 直 径 ｄ は

(2.25)

表2.1長

と しな け れ ば な ら な い.素 る.こ

の 値 は,近

慮 して,(2.24)式

方 形 断面 の ね じり

線 に は,せ

ん 断 力 Ｐ に よ っ て も,せ

ん 断応 力 が生 ず

似 的 に Ｐ に よ る平 均 せ ん 断 応 力 で 与 え ら れ る の で,こ

れ を考

の代 わ り に,

(2.26) を用 い る.こ

の 式 を用 い て 素 線 の 直 径 ｄ を決 定 す る た め に は,ま

参 照 して 大 きめ の ｄ値 を 定 め,そ

ず(2.25)式

れ に 対 して 定 め た 正 確 な τmaxが,許

を

容せん

断 応 力 τa以 下 に な る よ うに 繰 り返 し計 算 を 実 行 す る.   長 方 形 断 面:コ る.こ

イ ル ば ね に 長 方 形 断 面(b×h,b〓h)の

素 線 を 用 い る こ とが あ

の と き も円 形 断 面 と 同 様 な 関 係 式 を 求 め る こ とが で き る.す C=k2Gbh3 

と 書 く こ と が で き る.K1,K2は 与 え ら れ る(図2.9(ａ)参

理 論 的 に 求 め ら れ て お り,そ

(2.27) の 値 は 表2.1に

照).

(ａ)長 方 形 断面

(ｂ)山 形材

図2.9長 形 材 の ね じ り:極

な わ ち,

(ｃ)溝 形材

方 形 断 面 と形 材

端 な 場 合 と して,b》hの

長 方 形 断 面 の ね じ りに 対 して, C=(1/3)Gbh3 

(2.28)

と な る.こ

の ３ 式 を 組 み 合 わ せ る と,τmaxの

式 は

τmax=Ghθ

と な る.断

面 が 開 い て お れ ば,形

長 さ に と れ ば,こ た 場 合 に は,こ

 

(2.29)

が 曲 線 的 で あ っ て も,ｂ を板 厚 中 央 線 に 沿 っ た

れ らの 式 を適 用 す る こ とが で き る.た

だ し,円 管 の よ うに 閉 じ

の 式 は 適 用 で き な い.

  形 材 の 断 面 は,こ

の よ う な ｎ 個 の 断 面(bi×hi,i=1,2,…,n)の

組 み合 わせ

と考 え ら れ る の で,

(2.30) と な る.こ

こ にMax(hi)はhi,(i=1,2,…,n),の

中の最大値 を意味 す る .

  断 面 が ２つ の 対 称 軸 を持 つ と き は,棒 の 断 面 は 対 称 軸 の 交 点 の 周 り に 回 転 す る.図2.9(ａ)の 点 Ｓ は そ の 例 で,こ の よ う な 点 を ね じ り中 心(torsion center) あ る い は せ ん 断 中 心(shear 面 形 の 場 合,せ

center)と

呼 ぶ.断

面 が 対称 面 を もたな い一般 の断

ん 断 中心 の 位 置 を 決 定 す る こ と は 難 しい が,山 形 材 の と きは,

図2.9(ｂ)に 示 す よ う に,そ 形 断 面 で は,せ

の 隅 部 の 点 Ｓ が せ ん 断 中 心 で あ る .図2.9(ｃ)に

示す溝

ん 断 中心 は対 称 軸 上 に あ り,

(2.31) だ け フ ラ ン ジ と 反 対 側 に 位 置 す る.

演 習 問 題

２

１.内 直 径d1=100mm,外 ん断応 力

直 径d2=300mmの

τa=50MPa,せ

最 大 ね じ りモ ー メ ン トMtお ２.直 径d=300mmの

容せ

と き,伝 達 し得 る

よ び 比 ね じ り角 θ を 求 め な さ い.

中 実 断 面 の 伝 動 軸 に つ い て,前

し得 る 最 大 ね じ りモ ー メ ン トMtお し て,断

中 空 断 面 の 伝 動 軸 が あ る.許

ん 断 弾 性 係 数G=8×104MPaの

問 と 同 じ条 件 の も と に ,伝 達 問 と比 較

よ び 比 ね じ り角 θ を 求 め な さ い.前

面 を 中 空 に して も性 能 が あ ま り変 化 し な い こ と を確 認 し な さ い ,

３.コ イ ル の 半 径R=60mm,巻 線 は 円 形 断 面(直 許 容せ ん断応 力 (単 位kgf),ば

数N=10の

径d=20mm)で,そ τa=50kgf/m㎡ ね 定 数 Ｋ(単

円 筒 コ イ ル ば ね が あ る.コ の せ ん 断 弾 性 係 数G=8000kgf/m㎡

とす る と き,こ 位kgf/mm)を

イル の素

, の ば ね が 支 え得 る 最 大 の 力 Ｐ

求 め な さ い.

４.コ イル 半 径R=50mmの

円 筒 コ イ ル ば ね に,軸

の び δ=40mmが

生 じ る よ う に,コ

素 線 の 許 容 せ ん 断 応 力 を τa=400MPa,横

図2.10伝 ５.図2.10に

示 す よ う に,２

だ し,

す る.

動 軸 の フ ラ ン ジ継 手

本 の 伝 動 軸 を連 結 す る フ ラ ン ジ 継 手 が あ る.フ す る と き,こ

りモ ー メ ン トMtを

作 用 す る と き,

弾 性 係 数 をc=80GPaと

６本 の ボ ル トで 締 め つ け ら れ て い る.い さ を τB=400MPaと

荷 重P=8kNが

イ ル の 素 線 の 巻 数 Ｎ を 求 め な さい.た

ま,ボ

ル トの 直 径d=10mm,せ

ラ ンジは ん断 強

の継 手 に よって伝 え る こ とので きる最 大 ね じ

求 め な さ い.[ボ ル ト １本 が う け も つ こ と の で き る 最 大 せ ん 断

力 はFB=τBπd2/4.せ ん 断 力 を う け る ボ ル ト継 手 や リ ベ ッ ト継 手 の 強 さ は,こ の よ う な 考 え 方 に 基 づ い て い る.] ６.前 問 に お い て,ボ

ル トの 許 容 せ ん 断 応 力 を τa=80MPaと

動 力 を毎 分 回 転 数N=300rpmで を 求 め な さ い.[ボ

伝 達 し た い.こ

ル トの 平 均 せ ん 断 応 力 が

し,500馬

τa以 下 に な る よ うに 設 計 し な さ い.]

７.自 動 車 の 変 速 機 と後 輪 の 差 動 歯 車 と の 間 の 伝 動 軸 と し て,外 肉 円 管 を使 用 す る(図2.11参 回 転 数 をN=2400rpmと

照).エ

図2.11自

径d2=50mmの

ン ジ ンの 動 力 をH=50kW(約68馬

す る と き,伝 動 軸 の 内 径d1を

の 許 容 せ ん 断 応 力 を τa=80MPaと

力(PS)の

の と き,必 要 な ボ ル トの 直 径 ｄ

求 め な さ い.た

し,減 速 比 を ３ とす る.

動 車 の伝動 軸

薄 力), だ し,軸

第 ３章

  3.1平

組 合 せ応 力

面応 力

  板 厚(一

定)ｔ の 平 板 が,板

え る(図3.1(ａ)参

照).板

な ｚ 軸 を 定 め る.し

の 面 に平 行 な 方 向 に外 力 を うけ る場 合 につ い て 考

厚 の 中 央 の 面 内 にx,y軸

た が っ て,z=±t/2が

を と り,そ れ ら の 軸 に垂 直

板 の 両 面 に な る.

(ａ)平 板

(ｂ)応 力

図3.1平

  第 １章 に な ら っ て,x,y,z軸 ひず み

εx,εy,εzを

ん断応 力 に(2.2)式

面応 力

に 関 し て,垂

τxy,τyx,τyz,τzy,τzx,τxzも

σx,σy,σzお た,第

よび垂 直

２ 章 に な ら っ て,せ

定 義 す る こ と が で き,そ

れ らの間

に 相 当 す る 関 係 が 成 立 し て, τmy=τym, τxy=τyx,τyz=τzy,τzx=τxz  τyz=τzye

と な る の で,せ い.せ

直 応 力

定 義 す る こ と が で き る.ま

ん 断 応 力 と し て は,独

ん 断 ひ ず み も定 義 でき,(2.1)式

立 な

(3.1) (3.1)

tzx=txz

τxy,τyz,τzxの

み を考 え れ ば よ

と 同 様 な 関 係 が 成 り立 つ の で,

γxy=γy詔 γxy=γyx,γyz=γzy,γzx=γxz  ・ γyz=γzy・

γzxニ

γxx

(3.2) (3.2)

で あ り,独

立 な も の は

γxy,γyz,γzxで

あ る.

  応 力 の 定 義 に よ り,σz,τyz,τzxは れ らは 平 板 の 表 面 で ０ に な る.平

部 ま で 成 り立 つ と考 え ら れ る の で,平 と な る.し

た が っ て,応

力

に 等 方 性 の 材 料 の 場 合,フ

板全体 において

σx,σy,τxyの

の 表 面 の条 件 が 内

σz=0,τyz=0,τzx=0

み を 考 え れ ば よ い.金

ッ ク の 法 則 は,応

1/ εx=

ｚ 軸 に 垂 直 な 面 に 作 用 し て い る の で,こ

板 の 板 厚 が 十 分 薄 い と き は,板

力

σxに

属 材料 の よ う

対 して

1/ σx,εy=εz=

E

E

(-ν

σx),γxy=γyz=γzx=0

応 力 σyに 対 して 1/ εx=εz=

応力

τxyに

E

1/ (-ν

σy),εy=

E

σy,γxy=γyz=γzx=0

対 して 1/

εx=εy=εz=0,

と な る.こ

γxy=

G

れ ら の 応 力 が 同 時 に 加 わ る と き,応

relation)(構

成 方 程 式(constitutive

equation)と

τxy,γyz=γzx=0

力 − ひ ず み 関 係 式(stress-strain も 呼 ぶ)は

(3.3)

と な る.こ

の よ う な 応 力 状 態 を 平 面 応 力(plane

stress)と

ν εy,ν

εx+εyを

関 す る 表 式 が 容 易 に 求 ま る.さ

に,γxyの

求 め る と,σx,σyに

表 式 よ りτxyの

い う.(3.3)式

よ り εx+ ら

表 式 も求 ま り

(3.4)

が 得 られ る.

  図3.1(ｂ)に

示 す よ う に,x,y面

に 長 さdyの

２ 辺 を も ち,点

が,大

き く描 い て あ る)を

向)の

長 さ をdsと

す る.斜

上 に お い て,ｘ

軸 方 向 に 長 さdx,ｙ

Ａ を 直 角 の 頂 点 と す る 直 角 ３ 角 形(実 定 め,点

Ａ に お け る 応 力 を 考 察 す る.斜

辺 に 垂 線(x′

θ だ け 回 転 し た 方 位 を も つ の で,明

軸)を

立 て る.x′,y′

軸 方 向 際 は微 小 だ

辺(y′

軸 方

軸 はx,y軸

を角

導 入 す る .直

角 ３角

らか に

dx=dssinθ,dy=dscosθ で あ る.2.2節

と 同 様 に,σx′=σ(θ),τx′y′=τ(θ)を

形 に 作 用 す る 力 に つ い てx′,y′ 軸 の 方 向 の 釣 合 い 方 程 式 を つ く る と,

[σ(θ)ds-(σxcosθ+τxysinθ)dy-(σysinθ+τxycosθ)dx]t=0 [τ(θ)ds-(τxycosθ-σxsinθ)dy+(τxysinθ-σycosθ)dx]t=0

が 得 ら れ る.さ

ら に,両

辺 をdstで

除 し て,

σ(θ)-(σxcosθ+τxysinθ)cosθ-(σysinθ+τyxcosθ)sinθ=0 τ(θ)-(τxycosθ-σxsinθ)cosθ+(τxysinθ-σycosθ)sinθ=0

が 求 ま る,こ

れ らの 式 を 整 理 す る と, σ(θ)=σxcos2θ+σysin2θ+2τxysinθcosθ

τ(θ)=-(σx-σy)Sinθcosθ+τxy(cos2θ-Sin2θ)

さ らに 整 理 して,

(3.5) (3.6) と な る.σ(θ)の

正 負 は 引 張 り ・圧 縮 に よ っ て 定 ま る が ,τ(θ)の

る 座 標 系x′,y′ の 方 位 に 関 連 し て 定 ま る こ と に 注 意 を 要 す る .な 断応 力

τxy,τyｘ(図2.2(ｅ)参

照)と

の 関係 は

τxy=τ(0)=τ(π),τyx=(τxy=)-τ(π/2)=-τ(-π/2)

正 負 は 回転す お,常

用 のせ ん

と な る.

  3.2モ

ールの応 力 円

  (3.5)式 の 右 辺 第 １項 を左 辺 に 移 項 し,得 もの に,(3.6)式

ら れ た 式 の 両 辺 を そ れ ぞ れ 自乗 した

の 両 辺 を そ れ ぞ れ 自乗 し た も の を,辺 辺 を加 え 合 わ す と, (σ(θ)-σ)2+(τ(θ))2=τmax2 

が 求 ま る.こ

(3.7)

こに

(3.8) で あ る.容

易 に わ か る よ う に,τmaxは

に示す よ うに

σ,τ

軸 を そ れ ぞ れ,図3.1(ｂ)の

向 に と る と き,(3.7)式 に あ る.こ

せ ん 断 応 力 の 最 大 値 を 与 え る.図3.2(ａ) ｘ 軸 と 同 方 向,ｙ

の(σ(θ),τ(θ))は,中

心(σ,0),半

の 円 を モ ー ル の 応 力 円(Mohr's

stress circle)あ

径

軸 と反 対 方 τmaxの

円上

る いは単 に応 力 円 と

い う.   図3.2(ａ)よ

り 明 ら か な よ う に,応

力 円 は 点(σx,τxy)と

直 径 の 両 端 と す る 円 に な っ て い る.角2θ り,時

計 の 針 の 進 む 向 き に 測 る.2θ

向(直

応 力

σ(θ)の

作 用 方 向)を

度 は ２倍 で あ る.点(σ(θ),τ(θ))が

点(σy,-τxy)を

は,点(σx,τxy)に

対 応 す る半径 よ

の 増 加 す る 方 向 は,図3.1(ｂ)のx′ 示 す 角 θ の 増 加 方 向 と 同 じ で あ る が,回

σ(θ)の

最 大 値 ≡ σ1=σ+τmax 

(3.9)

σ(θ)の

最 小 値 ≡ σ2=σ-τmax 

(3.10)

が 理 解 で き る.σ1,σ2を

と 定 義 す る.し

転 速

応 力 円 の 上 に あ る こ と よ り,

τ(θ)の 最 大 値=τmax 

し て,角2φ

軸 の 方

主 応 力(principal

stress)と

(3.11) い う.図3.2(ａ)を

参考 に

を

た が っ て,

(3.12)

で あ る.角2φ あ る.よ

の 正 方 向 は,時

っ て,(3.5),(3.6)式

計 の 針 の 進 行 方 向(角2θ

の 正 方 向)と

逆 向 きで

は

(3.13) (3.14) と な る.こ

れ ら の 表 式 よ り,2θ と2φ の 増 加 方 向 に注 意 し て

で あ る こ と が わ か る.こ

れ ら の 関 係 式 は,図3.2(ａ)よ

(ａ)応 力 円 図3.2モ

  図3.1(ｂ)の

点 Ａ に お い て,主

(ｂ)Ａ 点 におけ る主方 向 と主応 力 ー ルの応 力 円

応 力

σ1,σ2が

る 主 方 向(principal

direction)と

す る.明

方 向 は 互 い に 直 交 す る.ま

(θ=θ1に 応),は

ら か に,主 対 応),は

り も確 認 で き る 。

い い,そ

σ 軸 と 重 な り,半

作 用 す る 方 向 を点 Ａ に お け

の 方 向 を そ れ ぞ れ θ=θ1,θ=θ2と た,図3.2(ａ)で,半

径2θ=2θ1,

径2θ=2θ1-π/2,(θ=θ1-π/4に

対

τ 軸 の 方 向 を 向 く.

  図3.2(ｂ)に

示 す よ う に,x,y面

上 で,辺

が 主 方 向 と 平 行 な 正 方 形 を 考 え,１

つ の 対 角 線 で 切 断 し て 得 ら れ た ２ つ の 二 等 辺 直 角 三 角 形 を 描 く.正

方 形 の ２本

の 対 角 線 の 方 向 に,座 タ))を

と る.主

す る.断

リ シ ャ 文 字 グ ザ イ(ク

の 方 向 を 表 す 角 は ± π(=±180ﾟ)だ

τmaxは,断

面 η=0す

す る.図3.1(ｂ)を

面 ξ=0す

な わ ち,角

な わ ち,角

θ=θ1+π/4の

た が っ て,演

η〓=τ

習 問題 解答

図A.4(ｂ)に

け 不 定 で あ る.ま

た,最

面 内 に作用

τmin≡-τmaxが

作用

と な る,φ

よ り φ が 定 ま る と,θ1=φ

作 用 す る. の 決 定 に は 逆 三 角 関 数 を用 い

ン ピ ュ ー タ や 電 卓 で 計 算 す る と き はarctanに ら90ﾟま

で の 値 が 求 ま る.そ

よ ら な け れ ば な ら な い.以 電 卓 に よ っ て,度(ﾟ)表 値)で

「向 き 」 は

示 す よ う に 〓,η 軸 に 平 行 な 辺

  (3.12)式

ま ま の 値(主

ー

〓η ≡-τ(θ1+π/4)=τmax

τmaxが

す な わ ち-90ﾟか

方 向 には

θ=θ1-π/4の

面 には

を もつ 正 方 形 の 辺 上 に 最 大 せ ん 断 応 力

る が,コ

ー タ(エ

参 照 す る と,

τξ η ≡ τ(θ1-π/4)=τmαx,τ と な る.し

シ ー),イ

応 力 は 正 方 形 の ２対 の 対 面 に 作 用 す る.主

関 係 し な い の で,そ 大せ ん断応 力

標 軸 〓,η(ギ

下 で は,逆 示(radで

対 し て,い

の た め,つ

三 角 関 数arctanの 与 え ら れ た と き は,°

わ ゆ る 「主 値 」,

ぎの よ うな 手 続 き に 値 は,コ

ン ピ ュ ー タや

に 変 換 す る)で

求 めた

あ る.

σx,σy,τxyに

対 応 す る主 方 向 の 算 定

  機 械 的 性 質 と ミ ー ゼ スの 相 当 応 力 ：

モ ールの応 力 円上の点 で 表 され るすべ て

の応 力 の 状 態 は 同 等 で あ り,同

じ主 応 力 を もつ.こ

表 現 の 差 が あ る だ け で あ る.等

方 性 の 材 料 の 場 合 に は,機

よ っ て 定 ま る.平

で 求 め た 最 大 主 応 力 σ1の 値 が 引 張 強 さ に 達 す

板 の と き,上

れ らは 座 標 系 が 異 な る た め の 械 的 性 質 は主 応 力 に

る と破 壊 す る と考 え る.塑

性 変 形 や 降 伏 に つ い て は,ミ

が 簡 単 な 形 の 同 等 性 を 示 し た.す

ー ゼ ス(R.υon

Mises)

な わ ち,平 面 応 力 の 場 合 あ るい は

(3.15) を ミ-ゼ き,降

ス の 相 当 応 力(υon

Mises'equivalent

stress)と

呼 び,こ

の値 が 等 しい と

伏 な ど の 塑 性 変 形 に 関 す る 性 質 が 同 等 に な る と 主 張 し た.こ

説(Mises'theory)と

と な る の で,降

い う.ミ

伏 に 対 す る 同 等 性 よ り,「 σx=σy=0の

と き の せ ん 断 応 力 」,す

れ を ミ-ゼ

ス

ー ゼ スの相 当応 力 が

な わ ち 降 伏 せ ん 断 応 力(yield

場 合,降 shear

伏 が発生 す る

stress)τypは

(3.16) と な る.実 験 に よ っ て,こ

の 関 係 は 確 認 さ れ て い る.せ

的 性 質 に本 質 的 な影 響 を持 たず,そ

ん 断 応 力 の 正 負 は,機 械

れ に よ っ て 生 ず るせ ん 断 変 形 の 方 向 を規 定 す

る だ け で あ る.

  3.3モ   図3.3に

ー ル の ひず み 円 示 す よ う に,点

とす る 長 方 形dx×dyを

Ａ に お け る ひず み を 考 察 す る た め に,こ

つ く り,そ の 対 角 線 の 長 さ をds,対

の 点 を頂点

角 線 の 方 向(x′ 軸)

が ｘ 軸 と な す 角 を θ とす る.   ｙ 軸 を,ｘ 軸 と 同 じ角 θ だ け 回 転 した 方 向 にy′ 軸 を と る.明

らか に

dx=dscosθ,dy=dssinθ

で あ る.長

方 形 は 変 形 後 平 行 四 辺 形 に な る.そ

辺 の 回 転 角 をx1,x2と

す る.定

の 対 角 線 の 長 さ をds′,長

義 に よ り γxy=x1+x2で

あ り,さ

方形 の ら にAA′

とAD′

の な す 角X′1が,

長 方 形ABD′B′

εx,εy,X1,X2と

と も に 極 め て 小 さ い こ と に よ り,

を利 用 して,

ds′=AC+C′D′ =(dx+εxdx+x2dy)cosθ+(dy+εydy+X1dx)sinθ =ds[1+εxcos2θ+X2sinθcosθ+εysin2θ+X1sinθcosθ] =ds[1+εxcos2θ+εysin2θ+γxysinθcosθ]

が 得 られ る.よ

っ て 対 角 線 方 向 の 垂 直 ひず み ε(θ)は

ε(θ)≡

と な る.こ

ds′-ds/

=εxcos2θ+εysin2θ+γxySinθcosθ

ds

れ を 書 き直 し て

(3.17) が 求 ま る.

図3.3ひ

つ ぎ に,方

向AA′(x′

軸)と

ず み

そ の 変 形 後 の 方 向AD′

よ う.

X1′ds′=X1′ds(1+ε(θ))=DD′=BC′-BC=B′C″-BC

と の 間 の 角X1′

を求 め

ひ ず み ε(θ)が 微 小 で あ る た め, X1′=[‐BC+BC′]/ds=[-BC+B′C″]/ds =[-(dx+εxdx+x2dy)sinθ+(dy+εydy+x1dx)cosθ]/ds =-[(1+εx)cosθ+x2sinθ]sinθ+[(1+εy)sinθ+x1cosθ]cosθ =-(εx-εy)sinθcosθ

‐x2sin2θ+x1cos2θ

と な る.x′ 軸 に 垂 直 にy′ 軸 の 変 形 に よ る 回 転 角X2′ を求 め る.こ X2と

の 回 転 角 は,

同 じ く,時 計 の 針 の 回 転 と反 対 向 きが 正 で あ る.ｘ 軸 か らx′ 軸 ま で の 角 θ

に 対 応 して,ｘ

軸 か らy′ 軸 ま で の 角 は θ+π/2と

表 式 に お い て,θ で あ る の で,同

に θ+π/2を

代 入 す る.X1′

-X2′=(εx-ε

が 求 ま る.よ

っ て,x′,y′

に 対 す る上 の

は 時 計 の 針 の 進 む 向 き の 回転 角

じ方 向 へ のy′ 軸 の 回転 角 は-X2′

の 代 入 に よ っ て 得 られ たX1′ の 表 式 は-X2′

な る の で,X1′

と な る こ と を 考 慮 す る と,上

を与 え る こ と に な り,

y)sinθcosθ-X2cos2θ+X1sin2θ

に 関 す る せ ん 断 ひず み

γ(θ)の

表 式 は

γ(θ)≡X1′+X2′= -2(εx-ε

と な る.こ

y)sinθcosθ-γxy(sin2θ-cos2θ)

れ を書 き直 して γ(θ)=-(εx-εy)sin2θ+γxycos2θ

が 求 ま る.こ

の式 は

と 書 け る の で,(3.17),(3.18)式 形 に な る.図3.4(ａ)に γ/2を circle)あ

 (3.18)

用 い れ ば,類

は,応

力 に 対 す る(3.5),(3.6)式

示 す よ う に,モ

ール の応 力 円の

似 の 図 形 が 得 ら れ,こ

σ,τ

と ま っ た く同 じ の 代 わ り に,ε,

る い は 単 に ひ ず み 円 と い う.し

れ を モ ー ル の ひ ず み 円(Mohr's

strain

た が っ て,

ε(θ)の 最 大 値 ≡ ε1=ε+γmax/2

 (3.19)

ε(θ)の 最 小 値 ≡ ε2=ε-γmax/2

 (3.20)

γ(θ)の 最 大 値

 (3.21)

が 導 か れ,ε1,ε2を

主 ひ ず み(principal

strain)と

い う。 た だ

し

εx+εy

ε=

 (3.22)

/ 2,

で あ る.ま

た,応

力 の 場 合 と 同 様 に,(3.17),(3.18)式

は

(3.23) γ(θ)=

γmaxsin(2φ

と表 す こ とが で き る.こ

ε-2θ)

 (3.24)

こ に φ∈は,応

力 円 の φ に相 当 し,ひ ず み の 主 方 向 を

与 え, tan2φ

γxy

ε=

 (3.25)

/εx-εy

(ａ)ひ ず み 円 図3.4モ

で あ る.(3.24)式

(ｂ)Ａ 点 にお け る主 方 向 と主 ひず み ールの ひず み円

に よ り,γ(φ ε)=γ(φ ε+π/2)=0と

主 方 向 を 向 い て い た 線 分 は,変

な る が,こ

れ は初 めに

形 後 も 同 じ方 向 を 向 く こ と を 意 味 す る.

  図3.4(ｂ)に 示 す よ う に,応 力 が な い 初 め の 状 態 に お い て 正 方 形 を考 え る.そ の 対 角 線 が 初 め 主 方 向 を 向 く と き は,応 力 が 加 わ っ て 変 形 す る と,正 方 形 は鎖 線 で描 か れ た 菱 形 に な る が,対 は,主

角 線 の 方 向 は 変 わ らず,対

ひ ず み ε1,ε2と 一 致 す る.ま

π/2-γmax,π/2+γmaxに は,直 角 で あ る か(ε1=ε2の

た,主

な る.主 と き),直

角 線 方 向 の 垂 直 ひず み

ひ ず み に対 応 す る 隅 角 は,そ

れ ぞれ

ひず み ε1に 対 応 す る 主 方 向(θ1)の 角 よ り小 さ い.

隅角

  金 属 な ど等 方 性 の材 料 で は(3.3)式 ち 主 応 力 に よ っ て,最

が 成 立 す る の で,最

大 ・最 小 の ひ ず み が 生 ず る.よ

大 ・最 小 の 応 力 す な わ

っ て,等

方 性 材 料 の と き,

ひ ず み の 主 方 向 は応 力 の 主 方 向 と 一 致 し,

(3.26)

φε=φ と な る.こ

の事 実 に基づ き Ｇ と Ｅ と

  σx=0,σy=0,τxy=σ0の あ る.こ

と な る.ま

ν の 関 係 を 導 く こ と が で き る.

と き,明

れ に 対 応 す る 主 ひ ず み は(3.3)式

らか に

σ1=σ0,σ2=‐

σ0で

で 定 ま り,

た,σx=0,σy=0,τxy=σ0に

対 して定 ま る ひず み は

εx=0,εy=0,γxy=σ0/Gで,そ

の と きの 主 ひ ず み は

ε1=σ0/(2G),ε2=-σ0/(2G)=-ε1 と な る.以

上 の ２方 法 で 求 め た 主 ひ ず み が 同 じ で な け れ ば な ら な い の で, 1/G

2(1+ν)/

G=

,

=

E

が 得 られ る.こ

れ は(2.4)式

E/  (3.27)

2(1+ν)

と完 全 に 一 致 す る.Ｅ

と Ｇ が 与 え ら れ る と ,こ の

式 か ら ν が 定 ま る.   ひ ず み 計 測 と主 ひ ず み,主 応 力,主

方 向 の 決 定:構

は,一 般 に微 小 で あ り,無 視 で き る.そ と み なす こ とが で き る.こ

造 物 の表 面 に加 わ る 圧 力

れ ゆ え,表 面 に 働 く応 力 状 態 は 平 面 応 力

の 表 面 に,図3.5(ａ)に

示 す よ う に ニ ッケ ル ・ク ロ ー

ム 線 な ど の細 い電 気 抵 抗 線 を平 た い Ｚ型 に何 重 に も折 り曲げ,一

方 向 にそ ろ えた

形 に作 り,絶 縁 体 の 台 紙 に 貼 り付 け た も の が 電 気 抵 抗 線 型 ひず み ゲ ー ジ(electric resistance strain gage)(単

に ひ ず み ゲ ー ジ(strain gage)と

も呼 ぶ.細

な い で,金 属 箔 を,こ の よ う な形 に腐 食 させ た もの もあ る)で,こ

線 を用 い

れ を構 造 物 の

表 面 に接 着 剤 で貼 り付 け る.電 気 抵 抗 線 の伸 縮 に よ る 電 気 抵 抗 Ｒ の 増 加 量 △ Ｒ (減 少 の と き は 負 値 を とる)を で 測 定 す る.比

ホ イ ー トス ト ン ・ブ リ ッ ジ(Wheatstone

bridge)

△R/Rが

△R/

R =K0ε

 (3.28)

で あ る こ と を利 用 し,ひ ず み ゲ ー ジ の 方 向 の 構 造 物 の 垂 直 ひず み ε を算 定 す る. こ こ にK0を るが,通

ゲ ー ジ係 数(gage

常K0=2程

単 位 で 表 示 され る.な

お,電

気 抵 抗 値 は 温 度 変 化 の 影 響 を うけ

意 を要 す る.

(ａ)ひ ず みゲ ー ジ

図3.5ひ

  図3.5(ｂ)に

に電気 抵抗 線 の材料 に依存 す

度 で あ る.ひ ず み 計 測 用 の 機 器 を 用 い る と,ひ ず み の 値 が

マ イ ク ロ(μ)の や す い の で,注

factor)と い い,主

(ｂ)３ 方 向 の ひず み の計 測

ず み計 測

示 す よ う に ３方 向 の ひ ず み を 計 測 す る た め,３

を ｘ軸 方 向,ｙ 軸 方 向,お

よび そ れ らの 方 向 と45° を な す 方 向 に貼 り付 け る(１

枚 の 台 紙 に ３枚 の ひ ず み ゲ ー ジ を,こ こ れ ら に よ っ て,垂

枚 の ひず み ゲ ー ジ

直 ひず み

の よ う な方 位 に貼 り付 け た もの もあ る).

εx,εy,ε45を

求 め る.(3.17)式

に θ=45°

を代 入 す る と ε45≡ と な る の で,こ

ε(45°)=(εx+εy)/2+γxy/2

の式 よ り

γxy=2ε45-(εx+εy)

を求 め る.よ

っ て,つ

 (3.29)

ぎの 手 続 き が 導 か れ る.

等 方性 材 料 の場合,ひ ず み の測 定値 よ り主 ひず み な どの算定 １.γxyの

算 定: γxy=2ε45-(εx+εy)

２.主 方 向(arctanは 位 は 度(°)表

コ ン ピ ュ ー タ や 電 卓 で 求 め た ま ま の 数 値(主 示 で あ る と す る):

値)で,単

εx=εyで

γxy＞0の

と き,θ1=45°, 

εx=εyで

γxy＜0の

と き,θ1=-45°, 

εx=εyで

γxy=0の

と き,θ1は

θ2=-45° θ2=45°

任 意(近

傍 の 点 の θ1と 連 続 す る よ

う に 定 め る).θ2=θ1+90° ３.主 ひ ず み

４.主 応 力

ε1,ε2,せ

σ1,σ2,せ

ん断 ひず み の最大値

ん断応 力 の最 大値

γmax:

τmax:

または (巻 末 の プ ロ グ ラ ム

3.4    3.1節 σzに

１ 参 照)

平面 ひず み と同 様 に 等 方 性 の 材 料 を考 え,応 力 σzが

０ で な い とす る と,応

力

よ っ て

が 生 ず る.こ

の ひ ず み の 値 を(3.3)式

に加 算 す る と,

(3.30)

が 導 か れ る.と

く に,εz=0と

な る よ う に σzを 定 め る と,

(3.31)

が 求 ま り,こ

の 表 式 を(3.30)式

に 代 入 し て,

(3.32)

が 得 ら れ る.こ

こに  (3.33)

で あ る.こ

の 応 力 − ひ ず み 関 係 式 を 平 面 ひ ず み(plane

面 ひ ず み の 状 態 が 実 現 す る こ と は 多 く な い が,(3.30)式 状 態 は,タ

strain)と

い う.実

で,σz=一

際 に平

定

となる

ン ク な ど に 起 こ る.

  薄 い 肉 厚 の 円 筒 形 タ ン ク:  円 筒 形 の タ ン ク に,あ 合 を考 え る.プ

る圧 力 の ガ ス を 内 蔵 す る場

ロパ ン ガ ス の容 器 の 肉 厚 は あ ま り薄 くは な い が,近

の タ ン ク と して扱 うこ とが で きる.タ

似 的 には薄 肉

ン クの 外 面 に は 大 気 圧 が 外 圧 と して 加 わ っ

て い る の で,内

圧 か ら外 圧 を差 し引 い た,い

わ ゆ る 圧 力 差 を ｐ とす る.化

学機

械 な ど に は,外

圧 を うけ る タ ン ク が あ る.圧

力 差 ｐ 値 の 正 負 に し た が っ て,正

圧 あ る い は負 圧 とい う.薄 肉 タ ン クの 場 合 に は,正 圧 あ る い は負 圧 で あ る か に し た が っ て,圧

力 差 の絶対 値 ｜ ｐ｜が 内 圧 あ る い は 外 圧 と して 作 用 す る と 考 え る .

  図3.6(ａ)に 示 す よ う に 円 筒 形 タ ン ク は 薄 い 板 を 曲 げ て 製 作 され,そ 剛 体 よ りな る蓋 に 固 着 して い る.タ 常 に 長 く(l≫a),ま

た,板

を円 筒 の 軸 に と る.タ

ン ク の 内 半 径 を ａ とす る.そ

厚 ｔは 半 径 に 比 べ て 薄 い(t≪a)と

の 両端 は

の 長 さ ｌは 非 仮 定 す る.ｚ 軸

ン ク の 蓋 か ら十 分 離 れ た箇 所 の 状 態 は,す べ て 同 じ応 力 状

態 に な る と考 え ら れ る.代

表 と して,ｘ 軸 が タ ン クの 板 を貫 く点 の 近 傍 の 小 さ い

領 域 を 考 え る.板 厚 方 向 の 応 力 σxは 非 常 に 小 さ く(板 の 内 面 で σx=-p,外 面 で σx=0),応

力 σy,σzに

応 力 を 表 し,周 応 力(hoop

比 較 して 無 視 す る こ とが で き る.σyは

stress)と 呼 ば れ,σhと

表 す.ま

た,σzは

周方向 軸応 力

(ａ)断 面 図 (ｂ)釣 合 い

(ａ)断 面 図 図3.6円

(axial

stress)と

(ｂ)釣 合 い

(ｃ)釣 合 い

筒 形 タ ンク

図3.7球

呼 ば れ る 。 σ ん,σzは,蓋

形 タ ンク

か ら離 れ た 位 置 に お い て は 一 定 値 を

と る.

図3.6(ｂ)に 示 す よ う に,軸

に垂 直 なx,y面

の部 分 の ｚ方 向 の釣 合 い 方 程 式 を 求 め る.タ

で タ ン ク を切 断 し,タ

ン クの 切 断 面 に 薄 い 膜 を仮 定 し,そ

の表 裏 両 面 に 同 じ圧 力 ｐ を加 え る と,静 圧 の 性 質 に よ っ て,タ 肉面 に 加 わ る圧 力 は 釣 り合 っ て い る.し る もの だ け を 算 入 す れ ば よ い.ま は 内 半 径 と等 しい と して,r=aと 芯力 σzは,面

積2πatに

ンクお よび膜 の

た が っ て,圧 力 と して は 膜 の 外 面 に 加 わ

た,t≪aで

あ る の で,タ

ンクの平均 半 径 ｒ

考 え る こ と が で き る.ｚ 軸 方 向 に作 用 す る軸

作 用 す る の で,釣 σz2πat-Pπ

が 得 られ,こ

ン クの 下 方

合い 方程 式 ａ2=0

れ よ り軸 応 力 の 表 式 σz=

pa/ 2t

(3.34)

が 求 ま る.つ

ぎに,図3.6(ｃ)に

示 す よ う に,タ

ン ク の 両 端 の 蓋 を取 り外 し,x,z

面 で 切 断 し,そ の 一 方 の 半 円 形 断 面 を もつ 曲 り板 の ｙ 軸 方 向 の 釣 合 い 方 程 式 を 求 め る.タ で,静

ン ク は 非 常 に 長 く,蓋 と の接 合 部 に加 わ る 応 力 の 影 響 は 無 視 で き る の

圧 の 性 質 を用 い て,釣

合 い方 程 式 σ ん2tl-p2al=0

が 得 ら れ,こ

れ よ り周 応 力 の 表 式 σh=

が 求 ま る.こ

れ らの 結 果 よ り,a/tが

pa/ =2  t

σz 

大 きい 場 合,周

(3.35)

応 力 お よ び軸 応 力 は 内 圧 に

比 べ て 著 し く大 き くな る こ とが わ か る. 円 筒 形 タ ン ク に 生 ず る軸 方 向 お よ び周 方 向 の ひず み は,蓋

の近 くを除 き

(3.36) と な る.

  厚 い 円 板 状 の 蓋: 

図3.6(ａ)に 示 す よ うな 厚 い 円 板 を蓋 と し て採 用 す る と き,

円 板 が 円 周 上 で 支 持 され て い る と仮 定 す る と,絶 対 値 最 大 の 応 力 は,円 板 の 中 央 の 表 面 に 生 じ,

(3.37) で あ る.実 際 の 蓋 の 縁 は 円 筒 部 に よ っ て 拘 束 さ れ て お り,応 力 の 最 大 値 は,こ 式 の 値 よ り減 少 す る.最

大 応 力 の 正 確 な 算 定 に は,詳

  薄 い肉 厚 の 球 形 タ ン ク:  t'(≪a)と

す る.そ

も同 等 で あ る.円

図3.7(ａ)に 示 す 球 形 タ ン ク の 内 半 径 をa,板

の 中心 を原 点 とす る 直 交 座 標 系x,y,zは

筒 の 場 合 と同 様 に,周

方 向 の 応 力 を定 め,こ

円筒 形 タ ン ク の 場 合 と 同 様 な考 察 に よ っ て,x,y面 方 向 の 釣 合 い 方 程 式 をつ くる と(図3.7(ｂ)参

の

細 な理 論 が 必 要 で あ る. 厚を

どの よ うに選 ん で れ を σsと す る.

で 切 断 し,下

の半球 の ｚ軸

照),

σst′2πa-pπa2=0

が 得 ら れ,こ

れ よ り周 方 向 の 応 力 の 表 式 σs=

pa / 2t′

(3.38)

が 求 ま る.ま

た,対

応 す る ひず み は (1-υ)pa/

εs=

(3.39)

2t′E

と な る.

  図3.8に 示 す よ う に,円 筒 形 の タ ン ク に 半 球 形 の 蓋 が 用 い られ る と きは,タ ン ク蓋 の 周 方 向 の 応 力 は,本 体 と蓋 との 接 合 部 の 近 傍 を 除 い て(3.38)式 で 与 え ら れ る.t′=t/2に

選 ぶ と,円 筒 の 部 分 の 最 大 応 力 と球 形 蓋 の 部 分 の 最 大 応 力 が 一

致 す る こ とが わ か る.こ の よ う に す る と き,円 筒 部 の 近 くで は,蓋 の 板 厚 を 次 第 に 増 して,接 合 部 で 不 連 続 が 起 こ ら な い よ う に す る.実 際 に は,蓋 の 板 厚 を 円 筒 部 と 同 じ に し,断 面 が 浅 い 半 楕 円 に 似 た 形 状 の 軸 対 称 殻 に す る こ とが あ る.

演習問題   ３ １.σx=40MPa, 

σy=0MPa, 

τxy=20MPaの

と き の 主 応 力 ,主

方 向 を求 め

な さ い.

２.平 板 内 の ひ ず み が

εx=800μ,εy=200μ,γxy=600μ

み 円 お よ び 応 力 円 を描 き な さ い.た υ=0.3と

す る.ま

た,主

で あ る と き,ひ ず

だ し,縦 弾 性 係 数E=206GPa,ボ

ひず み,主

応 力 を 求 め な さ い.さ

ら に,x,y面

ア ソ ン比 に主方

向 を図 示 し な さ い. ３.E=20000 

kgf/mm2,υ=0.3,εx=-400μ,εy=400μ

の と き の 主 方 向 を 度(°)単

位 で,主

,ε45=400μ 応 力 ・最 大 せ ん 断 応 力 をkgf/mm2単 位 で求

め な さ い.

図3.8半

球 形 蓋 を もつ タ ンク

図3.9水 力発 電所 の導水 管

４.  図3.8に atmと

示 す 半 球 形 の 蓋 を もつ 長 い 円筒 形 タ ン ク で,d=2m,  し た と き,円 筒 部 お よ び 球 部 に 生 ず る 応 力 を,SI単

単 位kgf/㎜2で,求

t=t′=1cm,p=20 位N/c㎡

お よび工学

め な さい.

５.  前 問 の タ ン ク の 蓋 を,図3.6(ａ)に 中 央 に 発 生 す る 応 力 σmaxが,前 板 の 蓋 の 板 厚tcを

示 す よ う な 平 た い 円 板 とす る.こ

の と き,そ

の

問 の 半 球 形 の 蓋 の 応 力 と等 し く な る よ う に,円

求 め な さ い.

６.  図3.9に 示 す よ う に,水 力 発 電 所 で は,ダ ム か ら下 方 に あ る 発 電 所 に 向 か っ て 鋼 製 の 導 水 管 が 設 け ら れ て い る.今,ダ ム の 水 面 か ら鉛 直 距 離H=200m下 方 にお け る 管 の 内 径 をd=80cmと す る と き,管 の 厚 さ ｔ は い く ら に す れ ば よ い か.た だ し,水 の 密 度 ρ=1000kg/m3,許 容 応 力 σa=40MPaと す る.[導 水 管 の 周 応力

σhは,円

σz=0で

筒 形 タ ン ク 周 応 力 に対 す る(3.35)式

あ る.圧

７.  内 径d=1.5m,板

を 用 い て 定 め る.軸

厚t′=3cmの

球 形 タ ン ク が あ る.許

とす る と き,こ の タ ン ク が 耐 え 得 る 最 高 の 内 圧 ｐ を,SI単 位kgf/c㎡

で,求

応力 は

力 の 公 式:p=ρgH]

め な さ い.

容 応 力 σa=60MPa 位MPaお

よび工 学単

第 ４章  静 定 な真 直 は り

  4.1 

は り,端

の 条 件 と支 持 反 力

  棒 の 断 面 の 「図 心 を つ ら ね る軸 は 直 線 で あ る 」 と仮 定 す る.こ 方 向 を横 方 向(lateral direction)と い う.棒 が,主 重(lateral load)を beam)あ

の軸 に垂 直 な

と して 横 方 向 に 作 用 す る 横 荷

うけ て,横 方 向 に 変 位 す る と き,こ の棒 を 真 直 は り(straight

る い は 単 に は り(beam)と

呼 ぶ.は

りの 横 変 位 は,そ

で 一 定 値 を と る と仮 定 し,こ れ を た わ み(deflection)と ず る と き,た わ む とい う.車 両 は,前

れ ぞれ の 断面 内

い う.ま た,た

わみ が生

後 方 向 の 牽 引 力 に よ っ て 移 動 す る こ とが で

き る が,縦

方 向 の 変 形 は わ ず か で あ る の で,車

み なす.船

の よ う に,全 体 と して 自 由 に運 動 で き る も の を 自 由 は り と呼 ぶ.こ

ら の 例 か ら知 ら れ る よ う に,は る と して,差

輪 に よ って 支 え られ た 「は り」 と れ

りの 軸 は,変 形 が 生 ず る前 に は水 平 に 位 置 して い

し支 え な い.横 荷 重 と して は,自 重 な ど単 位 長 さ あ た り ω(x)の 分

布 荷 重,重

い 積 荷 な どの 集 中 荷 重 Ｐ が あ る.本

察 す る.は

りで は,軸

符 号 は,下

向 き(ｙ 軸 方 向)を

方 向 に ｘ 軸 を,下

  は りは,支 点(support)に

章 で は,静

定 な は りにつ い て考

向 き に ｙ 軸 を とる.た

わ み と横 荷 重 の

「正 」 とす る.

お い て,図4.1に

示 す ３種 類 の支 持 法 に よ っ て,変

位 が 拘 束 され る.

図4.1  は り と支 持 法

・ 回 転 支 持(hinged

support)は,図4.1に

イ フエ ッ ジ に よ っ て 支 え られ,は 変 位 を 拘 束 す る.こ

示 す よ うに,ヒ

ンジに相 当す るナ

りの 軸 の 軸 方 向 お よ び 軸 に 垂 直 な 方 向 の

れ ら の ２方 向 に 支 持 反 力 が 発 生 す る.こ

の 支 点 を回 転

支 点 と い う. ・ 移 動 支 持(movable れ,軸

support)は,下

に コ ロ を 入 れ た ナ イ フ エ ッ ジで 支 え ら

方 向 に 移 動 で き る よ う な 回 転 支 持 で,軸

方 向 の 支 持 反 力 は 生 じ な い.

こ の 支 点 を移 動 支 点 と い う.回 転 支 持 と移 動 支 持 と を あ わ せ て,単 あ る い は 自 由 支 持(free support)と は りは,あ

る 深 さ を もつ た め,軸

に支 持

い う. 方 向 の 支 持 反 力 が 発 生 し な い よ う に,回

転 支 持 に よる 変 位 の拘 束 は １支 点 に 限 る.そ

の他 の支 点 は移動 支持 で なけ

れ ば な ら な い. は りの 端 が,こ end,hinged ・ 固 定 端(fixed

の 種 の 支 持 法 で 支 持 され る と き,支 持 端(freely

end)と

い う.

end)は,は

りの 端 面 を 固 定 壁 に 貼 り付 け る か,固

け た 穴 に差 込 む こ と に よ っ て,実 も に軸 の 回 転,軸

supported

現 で き る.こ

こ で は,横

方 向 の変位 と と

方 向 の 変 位 が 拘 束 さ れ る.固 定 壁 に は,支

反 モ ー メ ン ト(固 定 モ ー メ ン ト と もい う)が 生 ず る.こ え る こ と を固 走 す る とい う.な お,端

は り を切 断 して,別

持 反 力 と支 持

の よ うな拘 束 を加

以 外 の 支 点 に お い て も,は

お よ び 変 位 を拘 束 す る こ とが で き る が,こ

の 場 合 に は,そ

定壁にあ

りの 回転

の 支 点 に お い て,

々 の は り と考 え る.

・ は りの 端 が何 らの 拘 束 を うけ な い と き,そ の 端 を 自由 端(free end)と 釣 合 い 方 程 式 を 導 くに 当 た っ て は,ナ 未 知 の 支 持 反 力,支 図4.2に

い う.

イ フエ ッジ や 固定 壁 を除 き,そ の 代 わ りに,

持 反 モ ー メ ン トを作 用 させ て 考 察 す る.

示 す よ うに,座

標 ｘ の 位 置 に は りの 断 面 ｓ を 定 め る と き,こ の 断 面

を便 宜 上 「断 面 ｘ」 と呼 ぶ.断 面 ｘ に作 用 す る 垂 直 応 力 は,軸 が 断 面 ｘ と交 わ る 点(断

面 の 図 心 と仮 定 して い る)に

作 用 す る 断 面 力 Ｔ と,そ

の 点 を通 り紙 面 に

垂 直 な 軸 の 周 りの モ ー メ ン ト Ｍ に よ って 表 さ れ る.軸 方 向 の荷 重 は 考 え な い の で,断 面 に垂 直 な合 力T=0で moment)と

呼 ば れ る.断

あ る.モ ー メ ン ト Ｍ は 曲 げ モ ー メ ン ト(bending

面 上 で 面 に 平 行 に作 用 す る せ ん 断 応 力 の 分 布 は 複 雑 で

あ る が,そ

の 合 力 Ｆ は せ ん 断 力(shearing

force)と

呼 ば れ,断

面 に平 行 に作 用

す る.

(ａ)  問題

(ｂ)  分割 図4.2  せ ん 断 力 ・曲 げ モ ー メ ン ト

  曲 げ モ ー メ ン ト と せ ん 断 力: 

図4.3  釣 合 い

図4.2(ａ)の 断 面 ｘ で 切 断 して 生 ず る ２つ の は

りを(１),(ｒ)と す る と き,(１)の 右 の 面 と(ｒ)の 左 の 面 と で,こ 義 が 異 な る.こ れ らの 面 に 働 く曲 げ モ ー メ ン トは,は 引 張 応 力 が 生 ず る と き,「正 」 と定 義 す る.せ せ ん 断 応 力 の 正 負 の 向 き と一 致 す る.し

れ らの符号 の定

りの 下 面 が 軸 方 向 に 伸 び て

ん 断 力 に つ い て は,断

た が っ て,図4.2(ｂ)に

  ・ は り(１)の 右 の 面 に作 用 す る 曲 げ モ ー メ ン トは,時

面 ｘ に働 く

示 す よ う に,

計 の 針 の 進 行 方 向 と逆

向 き の と き 「正 」,せ ん 断 力 は 下 向 き(ｙ 軸 方 向)の

と き 「正 」 と す る.

 ・ は り(ｒ)の 左 の 面 に 作 用 す る 曲 げ モ ー メ ン トは 時 計 の 針 の 進 行 方 向 を向 く と き 「正 」,せ ん 断 力 は 上 向 き(ｙ 軸 と反 対 方 向)の

と き 「正 」 と す る.

 ・ 自 由 端 の せ ん 断 力 と 曲 げ モ ー メ ン ト,支 持 端 の 曲げ モ ー メ ン トは,そ の 端 に 直 接 荷 重 が 作 用 しな い 限 り,０ で あ る.す 自由 端 で  

F=0, 

支 持端 で  

M=0.

さ れ,支

持 端,固

な わ ち,

M=0,

  支 持 反 力 と 支 持 反 モ ー メ ン ト(固 定 モ ー メ ン ト):    ・ は りの 支 点,支

れら

図4.1を

参 照 し て,

定 端 に 生 ず る垂 直 方 向 の支 持 反 力 はRAな

どで表

持 反 力 が 上 向 きの と き 「正 」 とす る.支 持 反 力 が 負 の と き は,は

りが 浮 き上 が ら な い よ う に,は

りの 上 に ナ イ フエ ッ ジ を 設 け る こ と が あ る.

・ は りの 左 端 Ｃ が 固 定 端 の と き,支

持 反 モ ー メ ン トMCの

正 負 は,時

計の

針 の 進 行 方 向 を向 く と き 「正 」 とす る. ・ は りの 右 端 Ｄ が 固 定 端 の と き,支 持 反 モ ー メ ン トMDの

「正 負 」 は,時

計 の 針 の 進 行 方 向 と逆 向 きの と き 「正 」 とす る. ・ 拘 束 を 除 い て,釣 は,そ

合 い 方 程 式 を求 め る と き,支 持 反 力 と支 持 反 モ ー メ ン ト

の ま ま未 知 の 外 荷 重 と して 扱 う.数 値 的 に は,支

持 反 力 は,逆

の符

号 の 集 中 荷 重 とす る. 釣 合 い: 

図4.3に

示 す よ う に,断

め る)が 加 わ る と き,断 面(x-dx/2)と 分 を考 え る.幅dxの

範 囲 に は,他

定 値 を とる と仮 定 で き る.dxの

面 ｘ に 集 中 荷 重 Ｐ(P=0の 断 面(x+dx/2)と

に集 中 荷 重 が 存 在 せ ず,ま

き,dxの

た,分

部 分 の 力 の 釣 合 い 方 程 式,お

さの 中 央 の 点(ｘ,０)の 周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式(以 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い方 程 式 」 と い う)は,図4.3を

場 合 も含

の 間 の,幅dxの

部

布荷 重 は一

よび軸上 で そ の長 下 で は 「断 面 ｘ 周

参 考 に して導 くこ とが で

範 囲 の 左 ま た は 右 の 位 置 を,肩 付 きの(-)と(+)で

示 す と,一 般 の 釣

合 い 方 程 式 と して

が 求 ま る.P=0の

場 合,せ

ん 断 力 Ｆ と 曲 げ モ ー メ ン ト Ｍは

連続 的 に変化 す

る と考 え られ る の で,

と な る.こ し,dx→0と

れ ら の表 式 を,上 記 の 一 般 の 釣 合 い 方 程 式 に代 入 し,両 辺 をdxで す る と,集

除

中荷 重 の な い 場 合 の 釣 合 い 方 程 式

(4.1)

が 導 か れ る.集

中 荷 重 の あ る 断 面 で は,一

と し,移 項 す る と,集

中荷 重 の 作 用 点 に お け る 釣 合 い 方 程 式

Ｆ(集 中 荷 重 の 左)=

Ｍ(集 中荷 重 の左)= が 得 ら れ る.(4.1)式

Ｆ(集中荷重 の 右)+Ｐ 

(4.2)

Ｍ(集 中荷 重 の右) 

(4.3)

は,M(x),F(x),w(x)問

  せ ん 断 力 図 と 曲 げ モ ー メ ン ト 図:せ を グ ラ フ に 描 く と き,こ

の 関 係 式 を 与 え る. ん 断 力F(x)お

れ を せ ん 断 力 図(shearing

げ モ ー メ ン ト 図(bending ・

般 の 釣 合 い 方 程 式 に お い て,dx→0

moment

よ び 曲 げ モ ー メ ン トM(x) force diagram,S.F.D.),曲

diagram,B.M.D.)と

い う.

せ ん 断 力 は 集 中 荷 重 の 作 用 す る 断 面 に お い て,「集 中 荷 重 の 値 」 だ け 不 連 続 的 に 減 少 す る.せ

ん 断 力 図 の傾 斜 の 「正 負 」 は,分 布 荷 重 の 「正 負 」 と逆

に な る. ・

曲 げ モ ー メ ン トは,モ

ー メ ン ト荷 重 が 作 用 しな い 限 り,連 続 的 に 変 化 す る.

曲 げ モ ー メ ン ト図 の 傾 斜 は,集 負 」 は,せ ・

中荷 重 の 作 用 点 で 不 連 続 に な る.そ

左 端 が 拘 束 さ れ て い る と き,支 持 反 力(RA,RC)と は Ｆ,Ｍ

と一 致 す る.(図4.1参

絶 対 値 最 大 の せ ん 断 力Fmaxは,は い 範 囲 に 現 れ る.ま 端,ま

4.2片

支 持 反 モ ー メ ン ト(Mc)

と 一 致 す る.右 端 が 拘 束 され て い る と き,支 持 反 力(RD)と

反 モ ー メ ン ト(MD)は-F,Ｍ ・

の 「正

ん 断 力 の 「正 負 」 と同 じで あ る.

りの 両 端,ま

照)

た は分布 荷 重が 加 わ らな

た,絶 対 値 最 大 の 曲げ モ ー メ ン トMmaxは,は

た は せ ん 断 力 図 がx軸

支持

りの 両

と交 わ る 点 に現 れ る.

持 は り

は りの 左 右 の 端 の ど ち らか が 固 定 され,他 を片 持 は り(cantilever)と

の 端 が 自 由 端 で あ る と き,こ の は り

い う.片 持 は りは 静 定 で あ り,荷 重 とせ ん 断 力,曲

モ ー メ ン トの 関 係 に は 重 ね 合 わ せ 原 理 が 応 用 で き る.

げ

図4.4右

図4.4と

端 固定 の片持 は り

図4.5に,片

図4.5左

端 固 定 の片持 は り

持 は りの ２つ の 場 合 を対 応 す る よ う に描 く.

(１)右 端 固 定:図4.4(図4.6(a)も

参 照)に

た 長 さlの 片 持 は り を考 え,は 垂 直 下 向 き に ｙ 軸 を と る.よ

示 す よ う な,右

りの 自 由 端 に 原 点 を お き,は っ て,x=0は

ｙ 軸 を 下 向 きに と る こ とは,横

端 が 固定 され

りの 軸 を ｘ 軸 と し,

自 由 端 で,x=lは

固 定 端 と な る.

荷 重 とた わ みの正 方 向が ｙ軸 の正 方 向 とな る こ

と に対 応 す る. 簡 単 の た め に,断 よ っ て,断

面x=aに

集 中 荷 重 Ｐ が 加 わ る とす る.こ

面 ｘ に 生 ず るせ ん 断 力F(x)と

に,断 面 ｘ の 自 由 端 を含 む側(左 そ の た め,図4.6(d)に

側)の

示 す よ う に,条

曲 げ モ ー メ ン トM(x)を

の 集 中荷 重 に 求 め る ため

長 さ ｘ の 部 分 の 釣 合 い 方 程 式 を求 め る. 件 ｘ ＜aお

よ び ｘ ＞aの

２つ の場 合 に

分 け て 考 え る と,ｙ 方 向 の 力 の 釣 合 い 方 程 式 は, F(ｘ)=O  F(x)+P=O  が 得 られ る.断

面x=aで,F(a)は

とき

x＞aの

とき

不 連 続 で あ る の で,そ

た め に,x＜a,x＞aをx〓a,x〓aに

置 き換 え て,せ

の こ と を明 確 に す る

ん断力 の表 式

F(x)=0x〓aの

とき 

F(x)=-px〓aの

とき

が 求 ま る.断 面x=aに 中 荷 重 は,断

x＜aの

お い て,F(x)は

(4.4)   (4.5)

数 学 的 に は 不 連 続 に な るが,実

際 には集

面 ｘ の 近 傍 の 微 小 な 有 限 幅 に 分 布 して作 用 す る の で,F(x)は

狭 い 範 囲 で,(4.4)式 で 与 え ら れ るF(a)=0か ら,(4.5)式 へ 変 化 す る.し たが っ て,集 中荷 重 Ｐ が 自由 端x=a=0に

この

で 定 ま るF(a)=-P 加 わ る と き は,明

ら

(ａ)片 持 は り

(ａ)片 持 は り

(ｂ)せ ん 断力 図

(ｂ)せ ん断力 図

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト図

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト図

(ｄ)釣 合 い

図4.6右

(ｄ)釣 合 い

端 固定 の片 持 は り

か に,F(0)=-Pと

な る.

  同 様 に 図4.6(d)を

参 考 に し て,断

図4.7左

面 ｘ の周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式

M(x)=0,  M(x)+P(x-a)=0,  が 求 ま る.曲

と な る.絶

端 固定 の片持 は り

げ モ ー メ ン トの 連 続 性 に よ り,曲

x＜aの

とき

x＞aの

と き

げ モ ー メ ン トの 表 式 は

M(x)=0, 

x〓aの

と き

  (4.6)

M(x)=-P(x-a), 

x〓aの

と き

  (4.7)

対 値 最 大 の せ ん 断 力 と 曲 げ モ ー メ ン ト は 固 定 点x=lに

Fmax=F(l)=-P=-RB,Mmax=M(l)=-P(l-a)=MB 

生 じ, (4.8)

で あ る.   (4.4)∼(4.7)式 のF(x),M(x)お よび 図4.6(b),(ｃ)に 描 い た せ ん 断 力 図 お よ び 曲げ モ ー メ ン ト図 は,前 節 末 に 述 べ た 性 質 を 満 足 して い る こ と が 確 か め ら れ る.ま

た,集

  な お,自

中 荷 重 の 作 用 点 に お け る 不 連 続 の 模 様 を示 して い る.

由 端 に 集 中荷 重 が 加 わ る と きは,上

の 結 果 に お い てa=0と

すれば

よい.   (２)左 端 固 定:図4.5(図4.7(a)も され た 片 持 は り を考 え る.こ を 含 む側(右

側)の

参 照)に

の と き に も,前

示 す よ うな,断

面x=0で

釣 合 い 方 程 式 を用 い て,せ

の 場 合 と同 様 に,断

固定

面 ｘ の 自由 端

ん 断 力 お よび 曲 げ モ ー メ ン トの 表

式 を求 め る こ とが で き る.座 標 系 ｘ,ｙ の代 わ り に,座 標 系x′,ｙ を,原 点 を右 端 (自 由 端)に

と り,x′ 軸 を左 向 き と な る よ うに 定 め る.こ の 図4.5を

ら眺 め る と,記

号 や 符 号 が 異 な る こ と を 除 い て,図4.4と

り,こ れ らは い わ ゆ る鏡 像 の 関 係 に な っ て い る.す 図4.4の

紙 面 の裏 か

同 じ関 係 に な っ て お

な わ ち,

ｘ,ａ,Ｍ,Ｆ,(x-a),x＜a,x＞aが

図4.5の(l-x),(l-a),Ｍ,-F,(a-x),a＜x,a＞xに

対 応 す る こ とが 容 易 に 確 か め られ る.こ

の よ う な 関 係 は,原

方 向 を 変 え た と き 一 般 的 に成 立 す る の で,そ を用 い る と,(4.4)∼(4.7)式

れ を表4.1に

点 お よび ｘ 座 標 の

ま とめ て お く.表4.1

より

(4.9) (4.10) (4.11) (4.12) が 直 ち に 導 か れ る(図4.7(b),(ｃ)参 に お い て,F(x)は 自由 端 で はF(l)=Pと ン ト は 固 定 点x=0に

照).こ

の 場 合 に も集 中荷 重 の作 用 点x=a

Ｐ か ら ０へ 変 化 す る.荷 重 が 自 由 端 に 加 わ る と き(a=l), な る.絶

対 値 最 大 の せ ん断 力 と絶 対 値 最 大 の 曲げ モ ー メ

生 じ,

(4.13)

 (4.13)

で あ る.

表4.1記

  図4.6(b)と

号 の 対 応:は

図4.7(b)を

り Ａ,Ｂ

は鏡像 の 関係 にあ る

比 較 す る とわ か る よ う に,こ

の ２つ の は りの ａ,Ｐ が

等 しい と き に は,右 端 を 固 定 した 片 持 は りの せ ん 断 力 図 を,垂 直 方 向 に 平 行 移 動 して,右

端 に お け る値 が ０ に な る よ う に 調 節 す る と,左 端 を 固 定 した 場 合 の せ

ん 断 力 図 と な る.   (３)多 数 の 集 中 荷 重:片 持 は りの 軸 上 の 点x=ai(i=1,2,..,n)に,集 重Piが

加 わ る と き,は

りの せ ん 断 力 Ｆ,曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ は,重

理 に よ っ て,各 集 中 荷 重 が 単 独 に加 わ る と きのFi,Miを られ る.す

中荷 ね合 わせ 原

すべ て加 え合 わせ て得

な わ ち,

(ａ)多 数 の 集 中荷 重

(ａ)多 数 の集 中荷 重

(ｂ)せ ん 断力 図

(ｂ)せ ん 断力 図

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト図

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト図

図4.8右

端 固定 の片持 は り

右 端 固 定 の 片 持 は り(図4.8参

照):こ

図4.9左

端 固定 の片 持 は り

の と き,

(4.14)

で あ る.総

和 は,与

荷 重(ai〓x)に

え られ た ｘ に 対 して,断

面 ｘ 内 ま た は,そ

つ い て行 う.条 件(ai〓x)を(ai＜x)と

の左 側 に加 わ る

置 き換 え て も,F(x)

の 値 が 集 中 荷 重 の 作 用 点 で 異 な る こ と を 除 い て ま っ た く同 じ で あ る. 左 端 固 定 の 片 持 は り(図4.9参

照): 

この と き,

(4.15) で あ る.条 とのai,Piが

件(ai〓x)を(ai＞x)に

置 き換 え て も よ い.な

等 しい と き,図4.8(ｂ)の

お,図4.8と

図4.9

せ ん 断 力 図 を垂 直 方 向 に 平 行 移 動 させ ,

右 端 で ０ に な る よ う に す る と,図4.9(ｂ)の

せ ん 断 力 図 が 得 ら れ る.

  各 種 の 境 界 条 件 の 場 合 に つ い て,集 中荷 重 を うけ る は りの せ ん 断 力,曲 げ モ ー メ ン トお よ び た わ み を 求 め る た め の プ ログ ラ ム を,巻 末 の プ ロ グ ラ ム ２ に示 し た.こ

の と き,集

中 荷 重 の 作 用 点 に お け る不 連 続 性 に 注 意 を 要 す る.

  (４)モ ー メ ン ト 荷 重:図4.10(ａ)に l-△,(△

はF(x)=0,M(x)=P1× .P1→ 重M0が

示 す よ う に,２

＞0);a2=l;P1+P2=0で

∞,△

△

→0と

個 の 集 中 荷 重 が 加 わ り,a1=

あ る と す る.こ

す る と,こ

と な る.M0=P1×

の と き0＜x＜a1で

△ を 一 定 値 に保 ち な が ら

の 左 端 固 定 の 片 持 は り の 右 端 に,モ

加 わ る こ と に な る(図4.10(ｂ)参

照).こ

ー メ ン ト荷

の とき

(4.16) で あ る(図4.10(ｃ)参   (５)分 布 荷 重: 

照). 図4.11(ａ)に

示 す よ う に,右 端 固 定 の 片 持 は り に 単 位 長 さ当

(ｂ)モ

ー メ ン ト荷 重 を うけ る は り

(ａ)モ ー メ ン ト と 同 等 な 荷 重

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト図

図4.10モ

ー メ ン ト荷 重 を う け る 片 持 は り

た り ω の 一 様 分 布 荷 重 が 加 わ る と き は,断

面 ｘ の 左 側 の は り に つ い て,ｙ 方 向

の 力 の釣 合 い と,ｘ 軸 と断 面 ｘ 周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い の 方 程 式 を求 め る(図 4.11(ｂ)参 照).断

面 ｘ の 左 側 の 領 域(長

重 心 の 座 標 はx/2,で

さ ｘ)に 加 わ る 分 布 荷 重 の 合 力 は ωx,

あ る の で,

(ａ)片 持 は り (ａ)片 持 は り

(ｂ)釣 合 い

(ｃ)せ ん 断 力 図,曲 げ モー メ ン ト図

図4.11一

様分 布 荷 重

wx+F(x)=0,  と な る(0.2節

(ｂ)等 価 な 集 中荷重

図4.12一

般 の分 布 荷 重

wx・x/2+M(x)=0  参 照).こ

(ω は 一 定 値)

れ よ り

F(x)=-ωx, 

ωx

M(x)=-

2/2

が 求 ま る.こ れ らの 表 式 は,(4.1)式 容 易 に確 認 で き る.図4.11(ｃ)に

を満 た し,自 由 端x=0で

せ ん 断 力 図,曲

 (4.17)

０ に な る こ とが

げ モ ー メ ン ト図 の 概 要 を示 す.

  図4.12に 示 す よ う に,単 位 長 さ 当 た り ω(x)の 分 布 荷 重 が 範 囲(ａ,ｂ)に 加 わ る と きは,こ の 範 囲 以 外 で は ω(x)=0で あ る と定 義 して,(4.1)式 を 積 分 し,

F(x)=-

M(x)=

〓 〓F(x)dx=- 〓dx 〓 ω(x)dx+c0

ω(x)dx+c0x+c1

が 得 ら れ る.こ M(0)=0」

こ にc0,c1は

積 分 定 数 で あ る.こ

れ ら を 自 由 端 の 条 件 「F(0)=0,

に よ っ て 定 め る と,

F(x)=-

〓 〓F(x)dx=- 〓dx 〓 ω(x)dx

M(x)= と な る.こ

 (4.18)

ω(x)dx

の 積 分 を実 行 す れ ばF(x),M(x)が

ω で あ る と き,ω(x)=ω

求 ま る.特

 (4.19)

に,分 布 荷 重 が 一 定 値

と して 積 分 を実 行 す る と,(4.17)式

が 得 ら れ る.

  分 布 荷 重 と等 価 な集 中 荷 重:  本 項 で は,数 値 解 析 の た め の 手 続 き を説 明 す る 荷 重 の 分 布 す る 範 囲(ａ,ｂ)を,分 分 割 す る.範

囲(xi-1,xi)で

割 点x0=a,x1,...,xn=bに

ω(x)が,な

範 囲 に 作 用 す る 分 布 荷 重 の 合 力Piは,近 Pi=ω(ai)(xi-xi-1), 

め らか な 曲線 で 表 さ れ る と き は,こ

標x=aiの

な 集 中荷 重Piが

こ こ に   ai=

点 は 範 囲(xi-1,xi)の

分 割 点a1,…,anに

式 に よ ってF(x),M(x)を

1

値 を与 え る.ω(x)が

(xi+xi-1)

中 点 で あ る.数

 (4.20)

値 解 析 で は,等

よ うな 不 連 続 性 を 示 す が,座

標xiの

の 結 果 をグ ラ フ に 点 で は,良

い 近似

階 段 状 に な る な ど,不 連 続 な形 で 与 え ら れ る と き は,不

続 点 を 分 割 点 に す れ ば よい.な

お,こ

価

加 わ る右 端 固定 の 片 持 は り と して,(4.14)

近 似 的 に算 定 す る こ とが で き る.こ

描 く と 図4.8(ｂ),(ｃ)の

の

似的に

/2

と な る.座

おい て ｎ 個 に

の 手 続 き は,ど

連

の よ うな 境 界 条 件 の と き に

も応 用 で き る.  左 端 固 定 の 片 持 は りの と き は,こ 分 割 数 ｎ を ∞ に 増 大 す れ ば,Ｍ,Ｆ て,a=0, 

b=lと

の 集 中荷 重Piを(4.15)式

の 正 しい 値 に 近 づ く.一 般 的 な 方 法

み な して,xi,(i=1,…,n-1)を

分 割 点 とす る こ とが で きる.こ

に用 い れ ば よ い

は りの 全 長(0,  l)のｎ等

の 手 続 き は,数 値 解 析 の 基 礎 で あ り,第 ６章のた

わ み の 算 定 に 対 し て も応 用 で き る. 例2.1一

様 分 布 荷 重 が 加 わ る左 端 固 定 の 片 持 は り:右

表 式(4.17)を,表4.1を

端 固 定 の 片 持 は りに対 す る

用 い て 変 換 す る と,左 端 固 定 は りに 対 す るF(x),M(x)

の表式 F(x)=ω(l-x), 

M(x)=−

ω(l-x)2 /2

 (4.21)

が 得 ら れ る. 例2.2一 n+1個

様 分 布 荷 重 を う け る 右 端 固 定 の 片 持 は り:  の 分 割 点 は ｘ0=0, 

x1=h, 

全 長ｌ を ｎ 等 分 す る と き,

x2=2h,…,xn=l,(h=l/n)と

な り,分

割 点 にお いて は ω(ih)2 F(Xi)=-ωih, 

M(xi)=-

  xi=ih 

(i=0,1,…,n)

/2 で あ る.xi=xと

書

く と, ωx

F(x)=-ω(x),  で あ る の で,h→0の

M(x)=-

  x=ih

2/ 2'

と き ωx

F(x)=-ωx,  と な る.(4.22)式

  4.3 

は(4.17)式

M(x)=-

2/2

 (4.22)

と 完 全 に 一 致 す る.

両 端支 持 は り

  図4.13(ａ)に 示 す 両 端 で 回 転 支 持 され,集 中 荷 重 Ｐ を うけ る は りを 考 え る.こ の よ うな 両 端 支 持 は り は静 定 で あ り,荷 重 とせ ん 断 力,曲 げ モ ー メ ン トの 関 係 に は 重 ね 合 わ せ 原 理 が 応 用 で き る.   まず,両 端 Ａ,Ｂ に お け る 支 持 反 力RA,RBを

求 め る.右 端 Ｂ お よ び 左 端 Ａ

(ｃ)釣 合 い(x＜a)

(ａ)集中荷 重

(ｂ)せ ん 断力 図 曲げ モ ー メ ン ト図

(ｄ)釣 合 い(a＜x)

図4.13  両 端 支 持 は り

の 周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 -RAl+Pb=0

よ り,直

, 

ち に 支 持 反 力RA,RBの

値 Pb

RA= が 求 ま る.以   図4.8に

-Pa+RBa=0

/l

 

下 の 考 察 で は,-RA,-RBを

集 中 荷 重 と して 扱 う.

作 用 し,断 面x=a2=aに

由 端x=a1=0に

/l Pa

F(x)=RA-P=-RB=-

/l

Pbx/

M(x)=RAx=

れ ら を 図4.13(ｂ)に

  x〓a

 (4.24)

  x〓a

 (4.25)

  x〓a 

l

(4.26)

Pa(l-x)/l

M(x)=RAx-P(x-a)=RB(l-x)= と な る.こ

端 支 持 は りのせ ん 断 力

一 致 し,そ の 表 式 は

Pb

F(x)=Ra=

作 用 さ せ る と,

な り,支 持 端 の 条 件 を み た す.そ

の 片 持 は りの せ ん断 力 と曲 げ モ ー メ ン トは,両

曲げ モ ー メ ン トM(x)と

集 中荷 重

集 中 荷 重P2=Pを

右 端 の 支 持 反 モ ー メ ン ト はRAl-Pb=0に れ ゆ え,こ

 (4.23)

/l

示 す 右 端 固 定 の 片 持 は り に お い て,自

P1=-RAが

F(x)と

Pa

RB=

  x〓a(4.27)

図 示 した.図4.13(ｃ),(ｄ)に

示 す よ う に,こ

の

両 端 支 持 は り を断 面 ｘ で 切 断 し,左 側 の は りの 力 お よ び モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 を 求 め る と,こ

れ ら の 表 式 を 容 易 に 導 くこ と が で き る.断

りの 釣 合 い を考 え て も,上 の 表 式 を導 くこ とが で き る.ま

F(0)=RA, 

で あ る こ とが わ か る.絶

F(l)=-RB, 

で あ る.絶

M(0)=M(l)=0 

対 値 最 大 の 曲げ モ ー メ ン トはx=aで

Mmax=M(a)= 対 値 最 大 の せ ん 断 力 は,RAま

面 ｘ の右側 の は

た,

(4.28)

生 じ,

Pab  (4.29)

/l た は-RBで

あ る.

  一 様 分 布 荷 重:図4.14(ａ)に

示 す よ う な,単

位 長 さあ た り Ｗ の一様 分 布荷

重 が 加 わ る 両 端 支 持 の は り を考 え る.対 称 性 よ りRA=RBで して,は

あ る こ とに注意

り全 体 の 釣 合 い 方 程 式 を 考 え る と,

(ｂ)せ ん 断 力 図,曲 げ モ ー メ ン ト図

(ａ)一 様 分布 荷 重

図4.14両

端支 持 は り

(4.30) が 求 ま る.断

面 ｘ で 切 断 し,左 側 の は り を 考 え,分

に そ の 合 力Wxが,RA,F(x), 

M(x)と

布 荷 重 に つ い て は重 心x/2

と も に 作 用 す る と きの 釣 合 い 方 程 式

よ り,せ ん 断 力 Ｆ お よ び 曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ の 表 式

(4.31) (4.32) が 求 ま る(図4.14(ｂ)参

照).こ

れ らの 表 式 は(4.1)式

を満 た し て い る.

  多 数 の 集 中 荷 重 を うけ る両 端 支 持 は り:  図4.15(ａ)に 易 に わ か る よ うに,支

よ っ て 考 察 す る と,容

持 反 力RA,RBは

(4.33) で あ り,重 ね 合 わ せ 原 理 に よ っ て,せ

ん 断 力 と 曲げ モ ー メ ン トは

(4.34) (4.35)

と 与 え ら れ,概

要 を 図4.15(ｂ),(ｃ)に

  こ の 場 合 のai,Piが,図4.8と

示 す(巻

末の プ ログ ラム

図4.9のai,Piと

の せ ん 断 力 図 は,図4.8(ｂ)と

図4.9(ｂ)の

動 す る と 一 致 す る.図4.15で

は,せ

２ 参 照).

等 し い と き は,図4.15(ｂ)

せ ん 断 力 図 を適 当 に 垂 直 方 向 に 平 行 移

ん 断 力 図 と ｘ 軸 の 間 の 面 積 に つ い て,ｘ

軸

の 上 の 部 分 と 下 の 部 分 が 等 し い.

(ｂ)せ ん 断力 (ａ)多 数 の集 中荷 重

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト図

図4.15両

端 支持 は り

  両 端 に モ ー メ ン ト荷 重 を うけ る 両 端 支 持 は り:図4.16(ａ),(ｂ)に 示す よう に,支 持 端 の 外 側 の 断 面 に モ ー メ ン ト荷 重M0,M1が 加 わ る場合 につ い て考 え る.こ

の と き も,支 持 反 力RA,RBが

加 え られ た モ ー メ ン トM0,M1と

生 ず る の で,ナ 支 持 反 力RA,RBに

イ フ エ ッ ジ を 取 り除 い て, つ い て,Ａ

点 お よび Ｂ 点

周 りの モ ー メ ン トに 関 す る 釣 合 い 方 程 式 を求 め る と, M0+M1+RBl=0, 

と な り,こ

M0+M1-RAl=0

れ よ り

(4.36) が 得 ら れ る.た で,ナ

と え ば,M0,M1の

和 が 正 値 を と る と き はRBが

イ フ エ ッ ジ を上 側 に 設 置 しな け れ ば,は

負 値 に なる の

りを 支 持 す る こ とが で き な い.

  断 面 ｘ に お け る せ ん 断 力F(x)と 曲 げ モ ー メ ン トM(x)を 定 め る た め に は, は りを 断 面 ｘ で 切 断 し,そ の左 側(ま た は 右 側)の は りの 釣 合 い を考 え れ ば 容 易 に 定 ま り,

Mo+MI

F(x)=RA= と な る.な

Moll-x) 1

M(x)=RAx-Mo=一

l'

vhx

」

十

一

l

(4.37)

お,

M(り=M、

ハ4(0)=一M′b,

(4.38)

で あ る.

(a)モ

ー メ ン ト荷 重

(b)モ

(c)せ ん 断力 図

〔d)曲 げ モ ー メ ン ト図

ー メン ト

n

(e)張

図4.16両

り出 し

端 に モ ー メ ン ト荷 重 を うけ る 両 端 支 持 は り

図4と16(c),(d)にMa=M1の

と きの せ ん 断 力 図 と 曲げ モ ー メ ン ト図 を示 す.

図4・16(e)に 示 す よ う に,2点

で 支 持 され た は りの 両 側 に 張 り出 した 箇 所 に集 中

荷 重 が 加 わ る と き,図 に示 したMo,MIを と 同等 に な る.な お,張 力,曲

用 い る と,支 持 点 問 の 部 分 は 図4・16(a)

り出 しの 部 分 に つ い て は,片 持 は りとみ な して,せ

ん断

げ モ ー メ ン ト を定 め る こ とが で き る.

演習問題 1.図4.17に 2.長

4 示 す 両 端 支 持 は りの せ ん 断 力 と 曲 げ モ ー メ ン トの 表 式 を 求 め な さ い ∴

さ1=100cmの

右 端 固 定 の 片 持 は りが あ る.一

自 由 端 に集 中荷 重P=100Nが 断 力F(勾

の,絶

加 わ る と き の,曲

様 分 布 荷 重w=1N/cmと, げ モ ー メ ン トM(勾

対 値 と し て 最 大 に な る値 を 求 め な さ い.

お よびせ ん

3.長 さl=200cmの 右 端 固 定 の 片 持 は りに,一 様 分 布 荷 重W=0.2kgf/cmが る.は り を ４分 割 し,分 割 点 をx0=0,x1=50,…,x5=200cmと 分 布 荷 重 と等 価 に な る よ うに,集

中荷 重P1,…,P5(kgf)と

加わ す る と き,

そ の 作 用 点a1,…,a5

(cm)を 定 め,図4.8に な ら っ て,せ ん 断 力 図 と 曲 げ モ ー メ ン ト図 を 描 き,(4.17) 式 と比 較 し な さ い.[こ の 手 続 きが,数 値 解 法 の 基 礎 で あ る.] ４.図4.18に

示 す 片 持 は りの,せ

ん 断 力 お よ び 曲 げ モ ー メ ン トの 表 式 を 求 め な さ い.

図4.17集

図4.18線

中荷 重 と分布 荷重

図4.19部 分 的 に加 わ る分布 荷 重

形 分布 荷 重

５.図4.19に 示 す 片 持 は りの,せ だ し,l=1m,W=2kgf/cmと ６.天 井 ク レ ー ン の 桁 は,両

ん 断 力 及 び 曲 げ モ ー メ ン トの 表 式 を 求 め な さ い.た す る.

端 支 持 は り と み な す こ と が で き,荷

を 釣 り上 げ た 台 車 が,

桁 の あ る 範 囲 を移 動 す る.こ の 桁 の 長 さ を10m,台 車 は 桁 の 中 央6mの 部分 だけ を 移 動 す る こ とが で き る.台 車 と荷 の 重 量 は 合 わ せ て1000kgfで あ る と して,台 車 の 位 置 を色 々 と変 え て 曲げ モ ー メ ン ト図 を １つ の 図 に 重 ね て 描 き,そ れ らの 包 絡 線 の 概 要 を描 き な さい.こ の 包 絡 線 を 最 大 曲 げ モ ー メ ン ト 図(maximum bending moment diagram)と い う.同 様 に して,最 大 せ ん断 力 図(maximum shearing force diagram)を

描 き な さい.

７.左 端 固 定 の 片 持 は り(長 さｌ)に,単 の せ ん 断 力 と 曲げ モ ー メ ン トは

位 長 さ当 た りW(x)の

と な る こ と を 確 か め な さ い.[自 由 端 の 条 件F(l)=0,M(l)=0お を 満 た す こ と を示 せ ば よい.]

分布 荷 重 が加 わ る と き

よ び,(4.1)式

第 ５章  真 直 は りの 応 力

5.1 

曲げ応 力

図5.1(ａ)に ら に,は

示 す よ う に,両

端 で 支 持 さ れ た 一 様 断 面 の 真 直 は り を 考 え る .さ

りの材 料 も一 様 で あ る と仮 定 す る.

(ａ)一 様 曲げ を うけ る は り

(ｂ)一 定 曲 げ モ ー メ ン ト

(ｃ)断 面

(ｄ)側 面 と応 力

図5.1は

(ｅ)曲げ とひず み

りの 曲げ 変 形

  こ の は り の 両 端 に 曲 げ モ ー メ ン トM0=-M,M1=Mを 断 力 はF(x)=0に

な り,図5.1(ｂ)に

示 す よ う に,曲

と り,M(x)=Mと

な る(図4.16も

参 照).図5.1(ｃ)に

は ｙ 軸 に 関 し て 対 称 で あ る 」 と 仮 定 す る.は

加 え た と き,せ

ん

げ モ ー メ ン トは 一 定 値 を 示 す よ う に ,「断 面 形

りの ｘ 軸 か ら ｙ だ け 離 れ た 位 置 の

断 面 の 幅 をb(y)と

す る と,ｘ 軸 が 断 面 の 図 心 で あ る と仮 定 して い る の で, y=0

は横 断 面 の 図 心 Ｇ を通 る.   図5・1(ｃ)に お い て,厚 さdy幅b(y)の そ れ ぞ れ を 断 面 全 体 に 積 分 し,

乗 じ,

断 面積=

 (5.1)

断 面 の 面 積 モ ー メ ン ト=

 (5.2)

断 面 ２次 モ ー メ ン ト=

 (5.3)

が 得 られ る.こ る.後

部 分 の 面 積b(y)dyに1,ｙ,y2を

こ にe1,e2はz軸

よ り断 面 の 下 端 あ る い は 上 端 ま で の 距 離 で あ

に示 す よ う に,曲 げ モ ー メ ン トが 加 わ っ た と き,ｚ 軸 上(y=0)で

方 向 の 応 力 ・ひ ず み が 発 生 しな い.こ び,NAと

略 記 す る.棒

の よ うなz軸

の 軸(x軸,y=0)も

は ｘ軸

を中 立 軸(neutral  axis)と 呼

中 立 軸 と呼 ぶ.

  曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ を うけ た と き,図5.1(ｅ)の 上 図 の 真 直 は りは 変 形 して 下 図 の よ うに 円 環 状 に な り,中 立 軸(ｘ 軸)は 半 径 ｒ の 円 弧 に な る.初 め ｘ 軸 に 垂 直 で あ っ た 断 面 は,変

形 後 も変 形 した 中 立 軸 に 垂 直 で あ る.変

形 前 の 長 さdx

の繊 維 は,変 形 後 に は 中 心 角dθ の 円 弧 とな る.中 立 軸 の 定 義 に よ り ｘ 軸 は伸 縮 しな い の で, rdθ=dx で あ る ． 変 形 前 に,は

りの ｘ 軸 か ら ｙ だ け 離 れ た 位 置 に あ っ た 長 さdxの

は,変

の ｙ 軸 方 向 の 距 離 は 変 わ ら な い 。 上 の 仮 定 に よ り,こ の

形 に よ っ て,そ

繊 維 は,中

立 軸 上 の 繊 維 と同 じ中心 角dθ の 円 弧 に な り,そ の 長 さがdsに

とす る.dsとdxと こ と が で き る.す

の 関係 よ り繊 維 の 伸 び,さ

ら に,ひ ず み εx=ε

繊維

なる

を定 め る

な わ ち,

ds=(r+y)dθ=dx+ydθ,ds=(1+ε)dx 

より y/

εdx=ds-dx=(r+y)dθ-rdθ=ydθ=

dx

r

と な る ． よ っ て,変

形 後 の は りの 曲 率(curvature)を

ε=

y/ =ky,こ r

こ に

κ ≡

κ と す る と, 1 /r

 (5.4)

が 得 ら れ る.応 力 σ に,第

１章 で 述 べ た 引 張 りの 場 合 の 応 力 ー ひず み 関 係 式 を

用 い る と, Ey/

σ=Eε=

=Eky 

(5.5)

r

と な る.図5.1(ｄ)を

参 考 に す る と,応

力

σ は ｙ の 関 数 で あ り,σ

にb(y)dyを

乗 じ て 積 分 し て,

断 面 力 Ｔ= とな る ． 曲げ モ ー メ ン ト Ｍ は σ にyb(y)dyを

乗 じた 式 を積 分 して 得 ら れ,

が 導 か れ る.変 形 後 の は りの 曲 率 κ は,

(5.6) と な る.こ

の 式 を(5.5)式

に 用 い る と,応

力 の表 式

(5.7) が 得 ら れ る.こ 力(bending y=0上

の よ う な 曲 げ モ ー メ ン ト に よ っ て 生 ず る 応 力 を,一

stress)と に お い て,ひ

い う.(5.4),(5.7)式

よ り,曲

般 に曲 げ応

げ 変 形 に お い て は,中

立軸

ず み ・応 力 が 生 じ な い こ と が 確 認 で き る ．

  最 大 あ る い は 最 小 の 曲 げ 応 力 は,は

りの 断 面 の 縁y=e1あ

る い はy=‐e2に

生 じ,

M σ1= Z1，

M/ σ2=

Z2，

Z1=

I/ el，

Z2=

y=e1に

お いて  

I / e2，

y=-e2に

おい て  

とな る.実 際 に は,曲 げ モ ー メ ン ト Ｍ の 正 負 を考 慮 して,σ1,σ2の 張 ・圧 縮)を 力 σmaxが

定 め る 必 要 が あ る.構

(5.8)

造 物 の 設 計 に,便 宜 上,絶

(5.9)

正 負(引

対値 最大 の 曲げ応

用 い ら れ る こ とが あ る ． そ の 値 は, M σmax=

/Z，

Z=[Z1とZ2の

内,小 小 さ 内, さい い 方] 方](5.10)

(5.10)

と な る.こ

の 値 も単 に 「曲げ 応 力 」 と い う こ とが あ る か ら注 意 を 要 す る.Ｚ

を断 面 係 数(section

modulus)と

は 断 面 ２次 モ ー メ ン ト(moment よ う に,Ｉ で,曲

い い,は

りの 強 度 設 計 に 重 要 な役 割 を もつ.Ｉ

of inertia of area)で

と縦 弾 性 係 数 Ｅ と の 積EIは,は

げ 剛 性(flexural

の値

あ る.第

６章 で 知 ら れ る

りの た わ み の 大 き さ を 支 配 す る 量

rigidity)と 呼 ば れ る.

  は りの 軸 方 向 に 曲げ 応 力 が 生 ず る と,ポ 向 に ひず み が 生 ず る.す

ア ソ ン比 の た め に軸 に垂 直 な ｙ,ｚ 方

なわ ち

(5.11) と な る.(5.4)式 vκ=v/rの

と比 較 す る と理 解 で き る よ うに,ｙ,ｚ 面 内 で,ｚ 軸 方 向 に 曲 率 変 形 が 生 じ(図5.2(ａ)参

照),図5.2(ｂ)の

ような馬 の鞍形 に な

る.直 方 体 の 消 しゴ ム を 曲 げ る と,実 際 に直 方 体 が 馬 の 鞍 形 に な る こ と を確 か め る こ とが で きる．   平 板 の よ うに,板 厚 に比 べ て 幅 が 大 き い は りの 場 合 に は,図5.2(ｃ)に 示 す よ う に,中 央 部 は 平 ら な ま ま で あ り,断 面 の 縁 の 厚 み と同 程 度 の 部 分 だ け に,ボ ア ソ ン比 の 影 響 に よ る 変 形 が 現 れ る ． こ の 現 象 は,平 る.こ

の よ うな 平 板 に対 して は,(5.6)式

板 を 曲げ 加 工 す る と き に,現 れ

に お い て,Ｅ

の代 わ りにE/(1‐

ν2)

とお け ば よ い こ とが 示 され て い る.   以 上 に お い て は,一

様 断 面 の は りが 一 定 の 曲げ モ ー メ ン トを うけ る 場 合 の 関

(ａ)断 面 内変 形

(ｂ)馬 鞍形 変 形

(ｃ)曲 げ られ た平 板の 断面 形

図5.2は

りの 断 面 内 の 変 形

係 で あ る が,曲 げ モ ー メ ン トが 一 定 で な い と き に も,ま た,断 と き に も,こ

5.1(ｅ)が 表 す 仮 定 「は りの 軸 に垂 直 な 断 面 は,変

お,図

形 後 も変 形 した 軸 に 垂 直 で あ

る」 は,ベ ル ヌ イ ・オ イ ラ ー の仮 定(Bernoulli-Euler's

  5.2断

面形 が一様 で ない

の 式 が 十 分 な 精 度 で 成 立 す る こ と が 確 か め ら れ て い る.な

assumption)と

いわれ る．

面 ２次 モ ー メ ン ト と断 面 係 数

  は りの 曲 げ 応 力 を求 め る た め に は,断 定 す る必 要 が あ る.本 示 す よ うに,断

節 で は,こ

面 ２次 モ ー メ ン ト お よ び 断 面 係 数 を 決

れ らの 算 定 の 手 続 き を 説 明 す る ． 図5.3(ａ)に

面 内 に 座 標 Ｙ,Ｚ を 定 め る 。 た だ し,Ｙ

軸 は 断 面 の 対 称 軸 に平 行

で あ る とす る ． 座 標 Ｚ は 断 面 係 数 と同 じ記 号 で あ る が,混 して 記 述 した.断

面 の 下 縁 と上 縁 の Ｙ 座 標 をYi,Y2と

乱 しな い よ う に注 意

す る.

(ａ)断 面 ２次 モ ー メ ン ト

(ｂ)相 似 形 (ｃ)断 面 形 状の 加 減

図5.3断

面 ２次 モ ー メ ン トと 断 面 係 数

断 面 ２次 モ ー メ ン ト と断 面 係 数 の 決 定(図5.3(ａ)参 １．断 面 の 中 立 軸 の Ｙ 座 標YG,中

照)

立 軸 か ら縁 ま で の 距 離e1,e2:

B(Y)は,直

線Y=一

定 に お け る 断 面 の横 幅 で,積

分 は断面 の 上縁 か ら

下 縁 ま で 行 う. ２.断 面 ２次 モ ー メ ン ト Ｉ:

３.断 面 係 数Z1,Z2,Z:

  断 面 ２次 モ ー メ ン ト に 関 す る 定 理 ： 平 行 軸 の 定 理:  [Z軸

図5.3(ａ)よ

り,y=y+YGと

して

の 周 り の 断 面 ２次 モ ー メ ン トIz] =[z軸

の 周 り の 断 面 ２次 モ ー メ ン トI]+AYG2 

で あ る.b(y)≡B(Y)=B(y+YG)と

し,(5.2)式

を 用 い て,こ

(5.12) の定 理 は

と 証 明 で き る. 相 似 形 に 関 す る 定 理:元 こ れ を 示 す.元 (b(y)=βb0(y0))し

の 断 面 形 に 関 す る 寸 法 な ど に は,脚

の 断 面 の寸 法 を ｙ 方 向 に

α 倍(y=αy0),ｚ

符

０ を 付 け て, 方 向 に β 倍

て 得 ら れ た 断 面 の 断 面 ２次 モ ー メ ン ト と 断 面 係 数 は I=α3βI0  Z1=α2βZ01，Z2=α2βZ02 

(5.13) (5.14)

と な る.図5.3(ｂ)で

は,半

径roの

円 が 元 の 断 面 形 で,長

径 αγo,短 径 βγoの 楕 円

を 断 面 形 と す る 場 合 を 例 示 す る.y=αyo,b(y)=βbo(yo),e1=αeo1,e2=αeo2 と す る と,

と な る. 断 面 形 状 の 加 減:「 状,面

中 立 軸 を 共 通 に す る と き,そ

の と き に 限 り 」 図 形1,2の

積 お よ び 断 面 ２次 モ ー メ ン ト を 加 減 す る こ と が で き る.図5.3(ｃ)は

の 例 で,b(y)=b1(y)-b2(y)と

形 「減 」

す る と,

(5.15) (5.16) で あ る.積 e1,e2は,加

分 は そ れ ぞ れ の 図 形 に 応 じて 行 う.断 面 係 数 を求 め る た め に必 要 な 減 して 得 られ た 図 形 よ り判 断 して 定 め る こ と を推 奨 す る.な

面 係 数 に 関 して は,断 直 交 軸 の 定 理:断

お,「断

面 形 状 の 加 減 の 方 法 は 適 用 で き な い 」.

面 ２次 極 モ-メ

ン ト(polar moment

of inertia of area)は,

図5.4(ａ)を 参 照 して,

(5.17) に よ っ て 定 義 さ れ る.こ あ る い は Ｙ 軸 周 りの,断

で あ る.よ

っ て,円

め る こ と が で き る.す

こ に 積 分 は 断 面 全 体 に対 して 行 う.IZ,IYは

Ｚ 軸 周 り,

面 ２次 モ ー メ ン トで

形 断 面(半

径 ｒ)の

と き は,Ipを

用 い てI≡IZ=IYを

求

な わ ち

(5.18) と な る.

(ａ)断 面 ２次 極 モ ー メ ン ト(ｂ)手

続 き

(ｃ)基 本 図形

図5.4断

 強 軸,弱

軸:仮

面 ２次 モ ー メ ン ト と断 面 係 数(つ

づ き)

定 に した が い,ｙ 軸 が 対 称 軸 で あ り,そ れ に 対 応 す る 中 立 軸

上 に ｚ 軸 を 定 め る.こ

の と き ｙ 軸 は,ｚ

こ れ らの 軸 に 対 して,断

軸 方 向 に た わ む と き の 中 立 軸 に な る.

面 ２次 モ ー メ ン ト

(5.19) を定 め る.こ れ ら の 大 小 関係 に した が って,対 応 す る 中 立 軸 を 強 軸(strong 弱 軸(week

axis)と 呼 ぶ こ と が あ る.た

で,ｙ 軸 が 弱 軸 で あ る.第

と え ば,Iz＞Iyの

７章 で 述 べ る座 屈 の 発 生 限 界 は,通

２次 モ ー メ ン トに 支 配 され る.Ｈ

形(フ

axis)・

と き は,ｚ 軸 が 強 軸 常 弱 軸 周 りの 断 面

ラ ン ジ の 幅 が 広 い Ｉ形)断

面 の棒 の 形状

は,弱 軸 周 りの 断 面 ２次 モ ー メ ン トが 小 さ くな ら な い よ う に 設 計 す る 。   基 本 図 形 の 断 面 ２次 モ ー メ ン ト と断 面 係 数:図5.4(ｃ)に 面 ２次 モ ー メ ン ト,断 面 係 数 な ど を,つ   ・ 長 方 形(平 I=

示 す 基本 図 形 の断

ぎの よ う に 求 め る こ とが で き る.

板 を含 む)(h×b): bh3 /12'

Z=Z1=Z2=

bh2 /6'

h e1=e2=

/2

・ 円(半

径 γ,直 径d=2γ):

・ 半 円(半

径 γ):

・ 楕 円(長

短 半 径 ａ,ｂ,大 小 関 係 は 不 問):

・ 三 角 形(高

さ ｈ,幅

ｂ):

  こ れ ら の 定 理 な ど を用 い て,平 板 な どの 図 形 要 素 を 組 み 合 わ せ た 断 面 の 桁 に つ い て,断

面 ２次 モ ー メ ン トを 求 め る た め の,実

用 的 な 手 続 きが 導 か れ る.

    断 面 が ｎ 個 の 図 形 要 素 よ りな る 場 合 の 断 面 ２次 モ ー メ ン ト Ｉ の 算 定   図5.4(ｂ)に 示 す よ う に,断

面 の 図 形 は,各

図 形 要 素 は 互 い に結 合 され て い る とす る.各 各 図 形 要 素 の 図 心(中 要 素 に つ い て,そ Ii,i=1,...,ｎ,と

立 軸nai)の

種 の 図 形 要 素 よ り構 成 さ れ て い る. 図 形 要 素 の 面 積 をAi,i=1,...,ｎ,

Ｙ 座 標 をYGi,i=1,...,ｎ,と

し,各

図形

の 図 心 を 通 り Ｚ 軸 に 平 行 な 軸 周 りの 断 面 ２次 モ ー メ ン ト を, す る と,

(5.20) で あ る.総

和 は ｎ 個 の 全 図 形 要 素 に対 して 行 う.既 知 の 断 面 ２次 モ ー メ ン トを

もつ 図 形 要 素 の 場 合,そ

の 中 立 軸 が Ｙ 軸 に対 し て角 ψ だ け傾 い て い る な ら ば,

(5.39)式 のIzの

表 式 を 用 い てIiを

定 め る.e1,e2は,断

面 の形 状 の図 面 を参

考 に して 定 め る の が 実 際 的 で あ り,か つ 最 も確 実 で あ る.   は りの 断 面 特 性 を 求 め る 手 続 き を,巻

末 の プ ロ グ ラ ム ３ に 具 体 的 に示 す.

(ａ)箱 形 断 面(ｂ)せ

ん断応 力(ｃ)隅

図5.5箱 例2.1: 

図5.5(ａ)の

フ ラ ン ジ(頂 こ の と き,つ

形断 面 は り

箱 形 断 面 の は り の 場 合,中

板,flange),垂

部 のせ ん断応 力

立 軸 に 平 行 な 図 形 要 素1,4を

直 な 図 形 要 素2,3を

ウ ェ ブ(腹

板,web)と

い う.

ぎ の 関 係 式 が 求 ま る.

A1=bt1,A2=A3=ht2,A4=bt4 A=A1+2A2+A4 YG1=

t1 / 2'

bt31 I1=

h

YG2=YG3=

/12'

YG4=h-

/2'

I2=I3=

h3t2 /12'

I4=

t4 /2

bt34 /1 2

ＭA=A1YG1+2A2YG2+A4YG4 YG=

MA / A

I=I1+A1(YG1-YG)2+2[I2+A2(YG2-YG)2] +14+A4(YG4-YG)2 I/

e1=h-YG,e2=YG,Z1=

e

1'

Z2=

I/ e2

フ ラ ン ジ に 対 す るI1,I4は

一 般 に小 さ い.実

際 の 箱 形 は りで は,ウ

ェブ の板 厚

は フ ラ ン ジ の 板 厚 よ り 薄 く 選 ば れ る の で,近

似 式

I=A1(YG1-YG)2+2I2+A4(YG4-YG)2 

も成 立 す る.さ

ら に,2I2も

知 られ る よ う に,箱

(5.21)

省 略 す る こ とが で き る場 合 もあ る.こ

形 は りで は,深

れ らの 式 か ら

さ ん を 大 き くす る と,断 面 ２次 モ ー メ ン ト

と 断 面 係 数 の 値 が 増 大 す る.   フ ラ ン ジ の 幅 を広 くす る と,ウ ェブ か ら離 れ た 箇 所 は 有 効 に働 か な い.便 宜 上, 実 際 よ り狭 い 有 効 幅(effective breadth)だ りの 長 さ の20%以

下 で あ る た め,フ

け が 寄 与 す る と考 え る.有 効 幅 は,は

ラ ン ジ の 幅 を広 く して も,は

りの 強 さ に貢

献 しな い こ と が あ る.   サ ン ドウ ィッ チ構 造(sandwich

structure):箱

形 は りの ウ ェ ブ は,せ

うけ る と と も に,２ 枚 の フ ラ ン ジ の 間 隔 を 一 定 に 保 ち,は もつ こ と に 貢 献 して い る.同 様 な機 能 を もつ もの と して,サ り,ウ ェブ の代 わ りに,プ

ん断 力 を

りが 大 き な 強 度 と剛 性 ン ド ウ ィッチ構 造 が あ

ラ ス チ ッ クス な どで 構成 さ れ た ハ ニ カ ム(honeycomb)

を ２枚 の フ ラ ン ジ の 間 に 入 れ て 接 着 させ る.こ れ は,軽 量 化 が 要 求 さ れ る構 造 に 用 い ら れ る. 例2.2:平 0(=a)に

等 強 さの は り:図4.6に

示 す 右 端 固 定 の片 持 は りが,自

作 用 す る 集 中荷 重 Ｐ を うけ る場 合 に つ い て 考 え る.こ

由 端x=

の と き 曲げ モ ー

メ ン トは, M(x)=-Px で あ る.断

面 が 寸 法 が ｘ の 関 数 の 長 方 形b(x)×h(x)(図5.4(ｃ)参

と,断 面 ｘ の 絶 対 値 最 大 応 力(曲

と 与 え ら れ る.h(x)=ho(一

定)の

合,幅

定)と

ある

げ 応 力)σ(x)は,

場 合

あ るい は で あ れ ば,σ=σo(一

照)で

な る.一

般 に,深

(5.22) さが 一 定 の 長 方 形 断 面 は りの 場

が 曲 げ モ ー メ ン トの 分 布 に 比 例 す る な ら ば,各

断 面 に おけ る絶対 値 最 大

の 曲 げ 応 力 が 全 長 に わ た っ て 一 定 に な る.こ strength)の

の よ う な は り を平 等 強 さ(uniform

は り とい う.幅 が 一 定 で 深 さが ｘ の 関 数 の 場 合 は,h2(x)∝￨M(x)￨

で あ る と,各 断 面 の 絶 対 値 最 大 の 曲 げ 応 力 が 一 定 値 を とる .実 際 に は,集 の 作 用 点x=0で,せ

ん 断 応 力 が 無 限 に 大 き くな る の で,こ

中荷 重

の部分 の 断面 積 を

増 加 す る 必 要 が あ る.

5.3ひ

ず みエ ネル ギー

単 位 体 積 あ た りの ひ ず み エ ネ ル ギ ー ν は,(1.15)式

とな る.ν

を横 断 面 全 体 に積 分 す れ ば,(5.6)式

に(5.7)式

を用 い て,は

を代 入 して,

りの 単 位 長 さ あ た

りの ひ ず み エ ネ ル ギ ー よ り

(5.23) が 得 ら れ る.こ

こ に κ は,は

りの 曲 率 で あ る.さ

ら に こ の 表 式 を,は

りの 全 長

に わ た っ て 積 分 す る と,ひ ず み エ ネ ル ギ ー Ｕ が 得 られ,

(5.24) と 表 さ れ る. 例3.1:図4.4に

示 し た 一 様 断 面 の 右 端 固 定 の 片 持 は り の 座 標x=aの

集 中 荷 重 Ｐ が 加 わ る 場 合 に つ い て 考 え る.(4.6),(4.7)式

で あ る.こ

の 表 式 を(5.24)式

蓄 え ら れ た ひず み エ ネ ル ギ ー

よ り,Ｍ

点 に, は

に 代 入 す る と,曲 げ モ ー メ ン トに よ っ て,は

りに

が 得 られ る.Ｕ

を 集 中 荷 重 Ｐ の 関 数 とみ な す と き,U(P)と

片 持 は りの 場 合 も,ま

  (1.12)式 に な ら っ て,Ｕ U= とす る と,λ

  5.4せ

表 す.左

端 固定 の

っ た く同 じ ひ ず み エ ネ ル ギ ー の 表 式 が 求 ま る. の 表 式 を書 き直 し,

1 Pλ,こ

こ に

λ=

/2

Pb3 / 3EI

は 集 中荷 重 Ｐ の作 用 点 の 変 位(た

わ み)で

あ る.

ん断応 力

  せ ん 断 力F(x)を う け る と き,断 面 ｘ にせ ん 断 応 力 τxy≡ の と き,平 均 せ ん 断 施 力 τmは,

τ が 生 ず る.こ

F(x)/A τm=

で あ る.は

 (5.25)

り の 表 面 に は ｘ 軸 方 向 の 力 が 作 用 して い な い の で,「 は りの 表 面 に作

用 す るせ ん 断 応 力 は ０ で な け れ ば な ら な い 」 と い う制 約 が あ る.そ 般 の 断 面 形 の は りに つ い て,せ

ん 断 応 力 の 分 布 を求 め る こ と は 容 易 で な い.さ

に,薄 い板 よ りな る は り以 外 で は,せ な い の で,通

の た め,一 ら

ん 断 応 力 の 分 布 状 態 の 影 響 は あ ま り重 要 で

常 平 均 せ ん 断 応 力 を設 計 の 目安 に す る.

  簡 単 な場 合 に は,最

大 せ ん 断 応 力 τmaxが

(ａ)せ ん 断 応 力

求 ま っ て い る.

(ｂ)断 面 のせ ん断 に よ る付 加 変位

図5.6長 方 形 断面 のせ ん断変 形 長 方 形 断 面(h×b)(図5.6(a)参

照):

(5.26)

F(x)/A τmax=1.5τm=1.5

例2.1で

述 べ た よ う に,平

(自 由 端)の

近 くで,著

 (5.27)

等 強 さの は りで は,せ

ん断応 力 が集 中荷 重 の 作 用 点

し く大 き く な る こ とが わ か る.

  せ ん 断 力 に よ る ひ ず み エ ネ ル ギ ー と 有 効 な せ ん 断 ひず み:せ ず み エ ネ ル ギ ー も存 在 す る の で,こ

ん断 力 に よ る ひ

れ を Ｕ に加 え な け れ ば な ら な い こ とが あ る 。

  長 方 形 断 面(h×b)の は りを 考 え る.(5.26)式 で 与 え ら れ るせ ん 断 応 力 に よ る は りの 単 位 長 さあ た りの ひ ず み エ ネ ル ギ ーUsは,A=bhと す る と,

と な る.曲

げ モ ー メ ン ト に 対 す る(5.23)式 1 US=

2

に な ら っ て,

Y,F(x)

と表 す と,長 方 形 断 面 は りの 有 効 な せ ん 断 ひ ず み γeは, たτ㎜

)'e=

とな る.こ

こ にk=1.2で

応 じて 定 ま り,(5.28)式 の で あ る の で,せ

あ る.一

(5.28)

G

般 の 場 合,こ

の 係 数 ｋ の 値 は,断

面形状に

が 成 立 す る.こ の 式 は エ ネ ル ギ ー の 考 え よ り導 か れ た も

ん 断 変 形 の 影 響 を 含 め た 単 位 長 さあ た りの 全 ひず み エ ネ ル ギ ー

の 表式 は,

(5.29) とな る.自

由端 に集 中 荷 重 が 加 わ る 片 持 は りで は,曲 げ モ ー メ ン トは 自由 端 か ら

の 距 離 に比 例 す る が,せ

ん 断 力 は 一 定 値 で あ る.こ

の よ うな 状 況 と(5.29)式

よ

り,せ ん 断 力 の ひ ず み エ ネ ル ギ ー に対 す る貢 献 度 を 判 定 す る.   (5.26)式 の τ に 対 応 す るせ ん 断 ひ ず み γ は,

(5.30) とな る.最

大 せ ん 断 ひ ず み は,中

立 軸y=0上

で 生 じ,

(5.31)

と な る.   5.1節 で 考 え た 曲 げ 変 形 に 加 え て,せ ん 断 変 形 に よ って 図5.6(b)に 示 す よ う な ｘ 軸 方 向 の付 加 変 位usが 生 ず る.よ っ て,せ ん 断 変 形 に よ り,ベ ル ヌ イ ・オ イ ラ ー の 仮 定 は 修 正 さ れ,「荷 重 が 加 わ る 前 に 中 立 軸 に垂 直 で あ っ た 断 面 は,変 形 後 も平 面 を保 つ が,中

立 軸 と の 間 の 角 は π/2-γeと

同 様 な付 加 変 位 が 生 ず る の で,変 形 前,は 部)は,せ

な る 」.す べ て の 断 面 に

りの側 面 図 で 長 さ の 短 い 長 方 形(斜 線

ん 断 に よ り平 行 四 辺 形 に な る(図5.6(b)の

点 線 参 照).ま

が 剛 体 の と き,変

形 後 の 断 面 も 固 定 壁 に接 着 して い る の で,曲

る 「中 立 軸 は,変

形 後,固

た,固 定 壁

げ 応 力が ０ にな

定 壁 と角 γeだ け 傾 く」 こ と に な る.

  薄 い 板 の 箱 形 断 面 の は り(図5.5参

照):板

軸 方 向)を

と垂 直 な 平 板 要 素 を フ ラ ン ジ とい う.図

向 く平 板 要 素 を ウ ェブ,力

5.5(a)の 場 合,要

の 面 が,力

の 作 用 す る 方 向(y

素 １,４ が フ ラ ン ジ,要 素 ２,３ が ウ ェブ で あ る.ｙ 軸 方 向 の

せ ん 断 力 は ウ ェ ブ だ け で う け る と考 え,ウ

ェブ の 全 断 面 積 をAω

とす る と,最

大せ ん断応 力 は 近似 的 に  (5.32)

と な る.こ 合,ウ

の こ と は,k=A/Aω

に 対 応 す る.図5.5(a)の

ェ ブ が ２ 枚 あ る の で,Aω=2ht2と

箱 形 断 面 の は りの 場

な り,

 (5.33)

で あ る.図5.5(b)に

せ ん断 応 力 の 分 布 の よ うす を,模 型 的 に示 す.こ の と き ウ ェ

ブ の 上 下 端 で せ ん 断 応 力 が ０ に な らな い の は,水 平 の 板 に生 じて い る τzxと 釣 り合 っ て い る こ とに よる.こ

れ らの接 合 点 に お け る せ ん 断 応 力 の釣 合 い 条 件 に相

当 す る連 続 条 件(図5.5(c))τzxt1=τxyt2な   箱 形 断 面 は りの 設 計:図5.5に t4)と す る.は

ど が 成 立 して い る.

お い て,上 下 の フ ラ ン ジ の板 厚 が 等 しい(t1=

りの 高 さ ｈ は 与 え ら れ て い る とす る.一 般 に ウ ェ ブ の 板 厚 は フ ラ

ン ジ の板 厚 よ り薄 い の で,設

計 に あ た っ て,(5.21)式

を用 い る こ と に す る.

と す る と,

YG=h/2,I=2bt1(h/2)2+2h3t2/12=2bt1(h/2)2, 

で あ る.許

容 応 力 を σa,τaと

と な る.こ

れ よ り

が 求 ま る.こ

す る と,応 力 集 中 の た め,円 お,開

5.5複

形 の 開 口 の 場 合 そ の 周 に4τmの

A=2πat,肉

じ ら れ,同

時 に せ ん 断 力 お よ び 曲げ モ ー メ ン ト を う け る 場

れ ぞ れ が 単 独 に 作 用 す る と きの 応 力 を 求 め,加

と え ば,半

径 ａ,厚

さ ｔの 薄 肉 円 管 状 の 棒 を考 え る.こ

厚 中 央 線 の 囲 む 面 積A0=πa2,断

こ の 棒 の あ る断 面 に,軸 ん 断 力 Ｆ,曲

え合 わせ て求 め の 棒 は,断

面 係 数Z=πa3/4で

方 向 に 作 用 す る 引 張 りの 断 面 力 Ｔ,ね

げ モ ー メ ン ト Ｍ が 加 わ っ て い る.こ

値 最 大 の 垂 直 応 力 σmaxは,中 じて,曲

直応 力 が発 生 す

合荷 重 と非 対称 断 面

合 の 応 力 は,そ

Mt,せ

口 の な い と き の せ ん 断 応 力 を τmと

口 の 周 を 補 強 す る と,こ の 値 は 減 少 す る.

  棒 が 引 張 られ,ね

る.た

ん 断 力 図 に比 例 して 定 め れ ば よ く,フ

曲 げ モ ー メ ン ト図 に 比 例 させ れ ば よい こ とが わ か る.

  車 両 な どで は ウ ェブ に 開 口 を明 け る.開 る.な

=bt1h

す る と,

れ よ り,ウ ェ ブ の 板 厚 は,せ

ラ ン ジ の 断 面 積t1bは

I /h/2

Z=

あ る.

じ りモ ー メ ン ト

の 断面 に生ず る絶 対

立 軸 よ り一 番 離 れ た 点 で,断

げ 応 力 が 正 あ る い は 負 に な る 側 に現 れ る.そ

面積

面 力 Ｔ の正 負 に応

の値 は

(5.34) で あ る.最 大 せ ん 断 応 力

τmaxは,中

立 軸 上 に 現 れ,正

確 な理論 に よ り

(5.35) と な る.こ

の 式 の 第 ２項 は,ウ

ェ ブ の 面 積Aω=A/2に

相 当 し て い る.

非 対 称 断 面:図5.7(ａ)を

参 考 に し て,図

心G(YG,ZG),を

定 め る.

(5.36)

  図 心G(YG,ZG)を

原 点 とす るy=Y-YG,z=Z-ZG軸

を定 め る と,

Iz=〓y2dA,Iy=〓z2dA,

Iyz=〓yzdA,(y=Y-YG,z=Z-ZG

で あ る.こ

こ に,Iyzを

,dA=dxdy)(5.37)

断 面 相 乗 モ ー メ ン ト(product

of inertia

(ａ)非 対 称 断面(山 形材)

図5.7非

  Ｇ を 原 点 と し て,Ｙ,Ｚ

い う.

(ｂ)荷 重

対 称 断面 棒 の 曲げ

軸(ｙ,ｚ軸)と

ζ は ギ リ シ ャ 文 字 イ ー タ(エ

of area)と

(5.37)

ー タ),ゼ

Iη ζ が ０ に な る よ う に 定 め る と き,断

角 ψ を な す 方 向 に,η,ζ ー タ)を,対

軸(η,

応す る断面 相乗 モ ー メン ト

面 の 主 軸 と い う .す

なわ ち

η=ycosψ-zsinψ ζ=ysinψ+Zcosψ Iζ=Izcos2ψ-2Iyzcosψsinψ+Iysin2ψ(5

.38) (5.38)

で あ る.し

た が っ て,角

に よ っ て 定 ま る.こ

ψ は

の ψ 方 向 と そ れ に 垂 直 な 方 向 が 断 面 主 軸 で あ る.

  主 軸 に 関 す る 断 面 ２ 次 モ ー メ ン トIζ,Iη

が 与 え ら れ る と き,Iz,Iy,Iyzは

(5.39)

とな る.断

面 を 構 成 す る長 方 形a×bが,そ

の 図 心 が 点 Ｇ に位 置 し,長

さ ａ,ｂ

の辺 が そ れ ぞ れ η,ζ 軸 と平 行 で あ る と き,

(5.40)

と な る.   図5.7(ｂ)に 示 す よ う に,棒 と きは,そ

の あ る断 面 に,Ｙ

の 断 面 に η 軸 方 向 にPη=Pcosψ

面 ２次 モ ー メ ン トIζ を用 い,断

軸 周 りの 断

面 の 回 転 が 伴 わ な い η 軸 が 対 称 軸 で あ る場 合

の 曲 げ の 理 論 を 適 用 す れ ば よ い.同 して,η

軸 方 向 の 集 中荷 重 Ｐ が 加 わ る が 加 わ る と して,ζ

様 に ζ 軸 方 向 にPζ=Psinψ

が加 わ る と

軸 周 りの 断 面 ２次 モ ー メ ン トIη を 用 い,断 面 の 回 転 が 伴 わ な い ζ 軸

が 対 称 軸 で あ る 場 合 の 曲 げ の 理 論 を 適 用 す れ ば よい.   せ ん 断 中 心 Ｓ 周 りの ね じ りモ ー メ ン トMt=Prが(図5.7(ｂ)参 荷 重 Ｐ と 同 じ断 面 内 に 加 わ る と して,第 この と き,せ る.集

照),集

中

２章 に 述 べ た ね じ りの 理 論 を 適 用 す る.

ん 断 中心 Ｓ は 変 位 しな い で,断

面 は せ ん 断 中 心 Ｓ の 周 りに 回 転 す

中荷 重 の 作 用 線 が せ ん 断 中 心 Ｓ を通 る と き は,ね

じ り変 形 は 生 じな い.

  こ の よ う にせ ん 断 中 心 の 位 置 が 重 要 な役 目 をす る こ とに 注 意 を要 す る.山 形 断 面 は りの と き は,図5.7に

示 す よ う に せ ん 断 中 心 の 位 置 は 隅 部 で あ る.Ｔ

形断

面 は りの と き も,２ つ の 平 板 の 板 厚 中 央 線 の 交 点 が せ ん 断 中心 で あ る(図5.10 参 照).さ

き に述 べ た よ う に,断 面 が 対 称 軸 を持 つ と き は,せ

上 に あ る.ま

た,対

称 軸 が ２つ あ る と き は,そ

  5.6曲

りば り

ん断 中心 はそ の軸

の 交 点 が せ ん 断 中 心 で あ る.

  図5.8(ａ)に 示 す フ ッ ク の よ う な も の を 曲 りば り(curved

beam)と

い う.こ の

フ ッ ク に 「重 り」 を下 げ る 場 合 に つ い て 考 え る.

(ａ)フ ッ ク

(ｂ)内 力 の 正方 向 図5.8曲

(ｃ)断 面 と曲げ応 力

りば り

  曲 りば りの 断 面 の 図 心 Ｇ を通 る 軸 の 半 径 を Ｒ と し,角 る と き,重

りに よ る 下 向 き の 集 中 荷 重 Ｐ が 作 用 して,曲

よ び軸 方 向 の 断 面 力T(θ),せ

θ を図 の よ う に 定 め

げ モ ー メ ン トM(θ)お

ん 断 力F(θ)は

M(θ)=PRsinθ,T(θ)=Psinθ,F(θ)=Pcosθ(5.41)

(5.41)

と な る.   曲 りば りの 曲 げ モ ー メ ン トな どの 符 号 は,図5.8(ｂ)に 側(曲

率 中 心 Ｃ の 側)が

示 す よ う に,は

りの 内

引 張 に な る 曲 げ モ ー メ ン ト を 「正 」 とす る.せ

ん断力

の 「正 」 も,こ れ に 対 応 して 定 め る.   こ の 曲 り ば りの 断 面 の 寸 法 が,は え ば,図5.8(ｃ)の

りの 曲 率 半 径 Ｒ に較 べ て小 さい と き,た

よ う な半 径 ｄ の 円 形 断 面 の と き,d/(32R)≪1で

あ れ ば,真

と

直 は りの 理 論 に した が っ て,応

力 σ,τ

面 積 Ａ,断 面 係 数 Ｚ に 対 して,最 T/

σmax=

と な る.中

を 定 め る こ とが で き る.す

A+M/Z,

心 角 θ に 対 して,曲

な わ ち,断

大応 力 は近似 的 に

kF/A 

τmax=

(5.42)

りば りの 内 縁 と外 縁 に沿 っ た 長 さが 異 な る の で ,

曲 げ モ ー メ ン トに よ っ て 生 ず る応 力 は,直

線 的 な分 布 で は な く,内 縁 の応 力 の 絶

対 値 は 真 直 は りに 対 す る 理 論 値 よ り大 き くな り,曲 げ 応 力 が ０ に な る 中立 軸 は, 図 心 Ｇ の 位 置 か ら 曲 率 中心 Ｃ の 側(ｙ

の 正 方 向)に

移 動 す る(図5.8(ａ),(ｃ)

参 照).

演習 問題

５

１.図5.9に 示 す箱 形 断 面の は りの Ｉ,Ｚ を求 め な さい.

図5.9正 方形箱 形 断 面 ２.問 題 １ に,近

似 式(5.21)を

応 用 して 解 い て,そ

の精度 を確 認 しな さい.

３.問 題 １ を,「図 形 の 加 減 」 を応 用 し て 解 き な さ い.[板 厚 が 薄 く な る と,著

し く計 算:

精 度 が 低 下 す る.] ４.図5.10の

よ うな Ｔ 形 断 面 は りの 中立 軸 の位 置 を 定 め な さ い .ま た,中 立 軸 周 りの 断 面 ２次 モ ー メ ン トお よ び 断 面 係 数 を 求 め な さ い.[Ｔ 形 断 面 で も,中 立 軸 に 平 行 な 断 面 要 素 １ が フ ラ ン ジ,垂

直 な 断 面 要 素 ２ が ウ ェ ブ で あ る.]

５.前 問 の 断 面 形 状 を も つ 長 さl=80cmの は りが,両 端 で 単 純 に 支 持 さ れ て い る.こ の は りの 中 央 にP=1kNの 集 中 荷 重 が 下 向 き に作 用 して い る と きの 最 大 応 力 を 求 め な さ い. ６.内 径di=30mm,外

径d0=40mm,長

し た.材 料 の 許 容 応 力 を σa=100MPaと し た は り と仮 定 して,そ

さl=2mの す る と き,こ

鋼 製 パ イプ で 鉄 棒 を製 作

の 鉄 棒 を ,両 端 回 転 支 持 の 中 央 に 加 え る こ との で き る最 大 荷 重 を 求 め な さ い .

７.図5.11に

示 す よ う な集 中 荷 重 と分 布 荷 重 を うけ る片 持 は りの,最

る 位 置 と,そ の 大 き さ を 求 め な さい.た mmの 長 方 形 で あ る.

図5.10Ｔ

形 断面

大曲げ 応力 の生 じ

だ し,断 面 は 幅b=30mm,厚

図5.11集

中 荷 重 と分 布 荷 重

さh=40

第 ６章

  6.1は

り の た わ み

  は り の 軸 上 で,座 υ(x)で

真 直 は りの た わ み

表 す.た

標(x,0)の

点 の ｙ 方 向 の 変 位 を た わ み(deflection)と

わ み の 形 状y=υ(x)を

た わ み 曲 線(deflection

(ａ)た わみ とたわ み角

は 変 形 し て,下

知 ら れ る よ う に,曲

わ み 曲線

げ モ ー メ ン ト が 正(M＞0)の

向 き(ｙ 軸 の 正 の 向 き)に

の 円 弧 は,図6.1に に 接 す る と き,中

い い, い う.

(ｂ)曲 率

図6.1た

  前 章 の 図5.1で

curve)と

凸 な,半

示 す よ う に 座 標(x0,y0)に 心 が 点(x0,y0-γ)に

径 γ(γ ＞0)の

と き,は 円 弧 に な る.こ

お い て ｘ 軸 に 平 行 な 直 線y=y0

位 置 す る 半 径 γ の 円 に な り,

(x-x0)2+(υ-y0+γ)2=γ2 と 表 わ さ れ る.こ

れ よ り, (x-x0)2+(υ-y0)(2γ+υ-y0)=0

と な る,節

点 の 近 くで は,υ-y0≪2γ

で あ る の で,2γ+υ-y0=2γ

と し て,

り

が 求 ま る.ｘ

をx0の

ご く近 傍 に 限 る と,=を

の 表 式 を ｘ で ２度 微 分 す る と,右

辺 は-1/γ

等 号=に

し て も 差 し支 え な い.こ

と な る.よ

っ て,曲

率

κ=1/γ

を

与 える式

(6.1) が 得 られ る.こ

の 式 はx0を

含 ま な い の で,至

る と こ ろ で 成 立 す る.(6.1)式

と

(5.6)式 と を 組 み 合 わ す と,た わ み の 微 分 方 程 式

(6.2) が 求 ま る.こ

れ は ２階 常 微 分 方 程 式 で あ る の で,解

が 含 まれ,そ

の 値 は ２つ の境 界 条 件 に よ っ て 定 まる.こ

が,た

わ み υ で あ る.(6.2)式

と呼 ば れ,た

に は ２つ の 未 知 の 積 分 定 数

の 右 辺 の 分 子EIは,曲

の よ う に して 得 られ た 解 げ 剛 性(flexural

わ み に 対 して 重 要 な 役 割 を演 ず る.EIを

rigidity)

両 辺 に乗 ず る と,

(6.3) が 得 ら れ る.EIが

一 定 の と き は,(6.3)式

式 を 微 分 し,(4.1)式

を 直 接 積 分 す る こ と が で き る.(6.3)

を 用 い る と,

(6.4) が 導 か れ る.た

わ み を求 め る た め に,Ｆ,Ｍ

らの 式 を積 分 して も よ い.こ

に 関 す る境 界 条 件 も考 慮 して,こ

れ らの 式 は 線 形 弾 性 に基 づ い て い るの で,重

れ

ね合 わ

せ 原 理 が 成 り立 つ.   た わ み 曲 線 の 傾 斜 θ(x)は,た

わ み 角(slope)と

い わ れ,

(6.5) で あ る.   た わ み 曲 線 の 微 分 方 程 式(6.2)に 4.1節

対 す る境 界 条 件(boundary

に 述 べ た 支 持 法 の 定 義 よ り,導

くこ とが で き る.集

condition)を,

中荷 重 の作 用点 な ど

Ｍ の 表 式 が 変 化 す る 点 で は り を分 割 し,そ の 両 側 の は りの た わ み を別 々 に求 め, 連 続 条 件(condition よ うに な る.

of continuity)を

用 い て接 続 す る.こ れ ら の 条 件 は,つ

ぎの

た わみ υ とた わみ 角 θ に対 す る境界 条件 と連続 条件 ● 固定 端 の境界 条件: dυ υ=0,

θ≡

=0

/ dx

● 回転 支点(支 持端)の 境 界 条件: υ=0

● 自 由 端 に対 して は,た ● 連 続 条 件:は

わ み に 対 す る境 界 条 件 は 存 在 し な い .

り を長 さ方 向 に 分 割 す る と き,た わ み 角 θ と た わ み υ の ,

分 割 点 の 両 側 に お け る 値 が そ れ ぞ れ 等 し くな る.

  6.2片

持 は りの た わ み

  図6.2,図6.3に

示 す よ う な 片 持 は り を考 え る.右

端 固 定 の は り を紙 面 の 裏

か ら見 る と,左 端 固 定 の は り とみ な す こ とが で き る の で,表4.1に 6.1が 得 ら れ る.対 応 す る 点 の た わ み は 同 符 合 で あ るが,た る こ と に注 意 を 要 す る.こ

  図6.3に

わ み角 は異 符号 に な

れ らの 図 は 集 中 荷 重 が 加 わ る場 合 を示 す が,複

重 が 加 わ る場 合 に つ い て も,こ

図6.2右

な ら っ て,表

端 固定 の片持 は り

図6.3左

示 す 左 側 固 定 の 片 持 は り の 断 面x=aに,荷

げ モ ー メ ン ト は,(4.11),(4.12)式

雑 な荷

の 表 は 応 用 で き る.

端 固定 の片 持 は り

重 Ｐ を 加 え た と き,曲

で 与 え ら れ る の で,(6.2)式

は

x〓a

 (6.6)

a〓x

 (6.7)

表6.1記

と な る.0〓x〓aに

号 の対 応:は

お い て は,(6.6)式

り Ａ,Ｂ

は 鏡 像 の 関係 に あ る

を 積 分 す る と,

(ａ) と な る.こ

こ にc0,c1は

積 分 定 数 で,境

dv

固 定 端x=0で,

と な る.α

〓x〓lに

と な る.こ

な る.よ

こ にc2,c3は

と な り,こ

に よ る υ(a)]=

は,(6.7)式

P/

と な る.絶

α

 (6.8)

を 積 分 す る と,

(c2x+c3)

6EI

積 分 定 数 で あ る.連

/6EI

2a3=[(b)式

れ ら の 式 よ りc2=3a2,c3=-a3が

υ(x)=

は

(3ax2-x3),0〓x〓

P [(6.8)式

っ て,(ａ)式

P/ 6EI

おい

υ(x)=

=0,υ=0

/ dx

に よ っ て 定 ま り,c0=c1=0と

υ(x)=

界 条件

 (ｂ) 続 条件 は

に よ る υ(a)]= 定 ま る.よ

P /6EI

(c2a+c3)

っ て,(ｂ)式

は

P /6EI

(3a2x-a3),a〓x〓1 

対 値 最 大 の た わ み と た わ み 角 υmax,θmαxは,自

(6.9)

由 端x=lに

生 じ,

(6.10)

と な る.θ   図6.2に

は,集

中 荷 重 の 作 用 点 と 自 由 端 と の 間 で,一

定値

示 す 右 側 固 定 の 片 持 は り を 考 察 す る.(6.8),(6.9)式

換 を 行 う と,こ

θmaxを

とる.

に,表6.1の

変

の は りの た わ み

 (6.11)

 (6.12) が 求 ま る.υmax,θmaxも

同 様 に し て,

(6.13) と な る.   は りに 多 数 の 集 中 荷 重 が 加 わ る と きの た わ み は,集 の た わ み を 重 ね 合 わ せ て 求 め る こ とが で きる.各

中荷 重 が 単 独 に 加 わ る と き

種 の 境 界 条 件 の 場 合 に つ い て,

曲げ モ ー メ ン ト,せ ん 断 力 と もに た わ み を 求 め る た め の プ ロ グ ラ ム を,巻

末 のプ

ロ グ ラ ム ２に 示 した. 例 ２.1:図6.4(a)に

示 す 一 様 断 面 の右 端 固 定 の 片 持 は り が 一 様 分 布 荷 重 ω を

うけ る と き,曲 げ モ ー メ ン トM(x)が,4.2節(4.17)式

で 与 え られ,(6.2)式

は

(6.14) と な る.こ

の 式 を 積 分 す る と,

と な る.こ

こ にc0,c1は

に,上

積 分 定 数 で,右

端 固 定 の 片 持 は りの 条 件

の 積 分 を代 入 して

に よ っ て 定 め,c0=-l3,c1=-l4-4c0l=3l4と

な る.よ

っ て ,一

様 分布荷 重

ω を う け る右 端 固 定 の 片 持 は りの た わ み と た わ み 角 は

(6.15)

と な る.こ

の と き 絶 対 値 最 大 の た わ み と た わ み 角 の 絶 対 値 υmax,θmaxは,自

由 端 に あ ら わ れ,

(6.16) と な る.

(ｂ)左 端固 定

(ａ)右 端 固定

図6.4一 例2.2:一

様 分布荷 重 を うけ る片持 は り

様 断 面 の 左 端 固 定 の 片 持 は り(図6.4(b)参

ω を う け る と き,曲

げ モ ー メ ン トM(x)が,4.2節(4.21)式

れ を 多 項 式 で 表 す と,(6.2)式

とな る.こ

の 式 を積 分 す る と,

と な る.こ

こ にc0,c1は

照)が,一

様 分布 荷重

で 与 え ら れ る.こ

は

積 分 定 数 で,片

持 は りの 条 件

固 定 端x=0で, に積 分 を代 入 し て,c0=0,c1=0が

求 ま る.よ

っ て,一

様分 布荷 重 ω を うけ

る左 端 固 定 の 片 持 は りの た わ み は

(6.17) と な る.こ

の と き も 絶 対 値 最 大 の た わ み と た わ み 角 の 絶 対 値 υmax,θmaxは,

自 由 端 に あ ら わ れ,

(6.18)

と な る.

(6.17)式 に 表6.1を

用 い る と,右 端 固 定 の 片 持 は りの た わ み の 表 式

(6.19) が 求 ま る に こ の 式 の 方 が(6.15)式 理 す る と(6.15)式 例2.3:第

お,こ

の表式 を整

と 一 致 す る.

５章 例2.1で

考 察 し た 深 さh=h0(一

絶 対 値 最 大 の 曲 げ 応 力 が,全 で あ る.し

よ り便 利 な こ と が あ る.な

長 で 一 定値

た が っ て,(6.2)式

定)の

σ0を

平 等 強 さ の は り を 考 え る.

と る と,Z=2I/h0=￨M(x)￨/σ0

よ りた わ み 曲 線 の 曲 率 は

(一 定)

と な り,±

は,M(x)の

符 号 と 一 致 す る.

  せ ん 断 変 形 に よ る 付 加 た わ み:5.4節 中 立 軸 に垂 直 で あ っ た 断 面 は,せ 断 ひ ず み γeだ け 傾 き,た

に 述 べ た よ うに,荷

重が 加 わる前 に

ん 断 変 形 に よ っ て,平 面 を 保 ち な が ら有 効 せ ん

わ み 角 は γeだ け 増 加 す る.せ

ん 断 変 形 に よる 付 加

た わ み を υsと す る と, dυs/

=γe=

kF/  (6.20)

GA

dx

と な る.

6.3ひ

ず み エ ネ ル ギ ー に基 づ く方 法

  前 節 で 述 べ た よ う に,図6.3に

示 す 左 側 固 定 の 片 持 は りのx=aの

断 面 に,荷

重 Ｐ を加 え た と き の た わ み の 式 を再 録 す る と

(6.8) (6.9) で あ る.す

ぐ わ か る よ う に,(6.8)式 「変 換x→a,a→xに

と(6.9)式 よ っ て,お

は, 互 い に移行 」

す る.こ

れ を 相 反 定 理 あ る い は マ ク ス ウ ェ ル ・ベ ッ チ の 相 反 定 理(Maxwell-Betti′s

reciprocal

theorem)と

い う.

(ａ)右 端 固定 の は り

(ａ)荷 重 と変 位

(ｂ)曲 げ モ ー メ ン ト

(ｂ)第 １段

(ｃ)第

図6.5相

  図6.5(a)に PX,PAを

２段

(ｃ)左 端 支持 ・右 端 固 定

示 す よ う に,弾

作 用 させ た と き,点

を λx,点

図6.6カ

反定 理

スチ リア ノの定 理

性 体 の ２点 Ｘ と Ａ を 選 び,そ Ｘ の 変 位(正

Ａ の 変 位(正 確 に はPAの

確 に はPXの

れ ぞ れ に集 中 力

作 用 方 向 の 変 位 成 分)

作 用 方 向 の成 分)を

λAと す る と,線 形

弾 性 の た め, λX=CXXPX+CXAPA 

(6.21)

λA=CAXPX+CAAPA 

(6.22)

が 成 立 す る.   荷 重 状 態PX=P0,PA=Pに を 保 ち な が ら,PXを

お け る ひ ず み エ ネ ル ギ ー を 求 め る.ま ０ よ りP0ま

で 増 加 さ せ る(第

に 達 し た と き,変

位 は 初 期 状 態(λX=0,λA=0)か

λAO=CAXP0に

な る.こ

  つ ぎ にPX=P0を 6.5(c)).PX=P0,PA=Pに

の 間,力PXの

保 ち な が ら,PAを

ず,PA=0

１段,図6.5(b)).PX=P0 ら,λX0=CXXP0,

な す 仕 事 は,CXXP20/2で ０ か ら Ｐ ま で 増 加 さ せ る(第

達 す る 間 に,変

位

λX,λAは

あ る. ２段,図

△ λX=CXAP,

Δ λA=CAAPだ

け 増 加 す る.こ

.PAの な す 仕 事 はCAAP2/2と

の 間,力PXの

な す 仕 事 は,CXAPPOで

あ り,

な る.

よ っ て,PX=PO,PA=Pに

達 す る ま で に 力 の なす 仕 事,す

なわ ち弾性 体 に

蓄 え られ る ひ ず み エ ネ ル ギ ーU(PO;P)は

(6.23) と な る.

最 初 にPA=Pを

加 え,つ

い でPX=POを

加 え た と き,蓄

え られ る ひず み エ

ネルギ ー

は,(6.23)式

と 同 じ に な る は ず で あ る.こ

と比 較 す る と,

=CAX 

CXA が 得 ら れ る.こ

の 式 を(6.23)式

(6.24)

の 関 係 式 は 相 反 定 理 の 一 般 的 な形 で,こ

の 式 の 両 辺 に Ｐ を乗 ず

る と,「点 Ａ に 力 Ｐ が 加 わ る と き の 点 Ｘ の た わ み 」 が,「点 Ｘ に 力,Ｐ が 加 わ る と き の 点 Ａ の た わ み 」 に 等 しい こ と に な り,脚 符 Ｘ,Ａ を,座 標 ｘ,ａ とみ な す と,(6.8)式

と(6.9)式

 点 Ｘ に 力Px=Qが

との 関 係 と同 等 に な る. 加 わ る と き は,ひ

ず み エ ネ ル ギ ー の 表 式 でP0→Qと

変 換 し.

(6.25) とな る.こ

の 力 Ｑ は 変 数 で あ る.し

∂U(Q;P)/

∂Q

=CxxQ+CXAP= =[点

が 求 ま る.λxは,力PX=Qの 置 く と,点

た が っ て,

Ａ に 加 わ る 力PA=Pに

よ る 点 Ｘ の 変 位 λx] 

方 向 の 変 位 成 分 で あ る.(c)式

Ｘ で 支 持 され た と き の 支 持 反 力 はRX=-Qと

 と くに,点

(c)

[力 Ｑ,Ｐ に よ る点 Ｘ の 変 位 λX] 

Ｘ と点 Ａ が 一 致 す る と き は,P=Qと

(6.26)

で λx=0と

な る. み な して,

と表 す と, ∂U(P)/ ∂P

=[点

Ａ に 加 わ る力PA=Pに

よ る 点 Ａ の 変 位 λA] 

(6.27)

と な る.あ

る １点 の 変 位 を 求 め る た め の 公 式(6.26),(6.27)は

理(Castigliano'stheorem)と る.Ｑ

呼 ば れ,一

が モ ー メ ン トで あ る と き は,対

カ ス チ リア ノ の 定

般 の 荷 重 が 加 わ っ た と きに も応 用 で き

応 す る λ が,モ

ー メ ン ト Ｑ の作 用点 の

周 りの 回 転 角 と な る. 例3.1: 

一 様 断 面 の 右 端 固 定 の 片 持 は り(図6.6(ａ)参

が 加 わ る と き,自 x=0に,集

由 端x=0の

照)に

一様 分 布荷 重 ω

た わ み を 求 め よ う.分 布 荷 重 の ほ か に,自

由端

中荷 重 Ｑ を加 え た と仮 定 し,曲 げ モ ー メ ン トを 求 め る と, ωx

M(x)=

-Qx

 (ｄ)

2/2

で あ る.こ

の ときの ひず みエ ネルギ ーは

で あ る.よ

っ て,自

由 端 の た わ み υ(0)≡

λ は

(6.28) こ こに

∂M(x)

=[力Q=1の

み に よ る 曲 げ モ ー メ ン ト]

/∂Q と な る(図6.6(ｂ)参

と な り,(6.16)式

照).こ

の 式 に,(ｄ)式

と一 致 す る.カ

き,指 定 され た １点(た の 定 理 に よ っ て,ひ

のM(x)を

代 入 す る と,

ス チ リ ア ノの 定 理 は,EIが

ｘ の関 数 であ る と

と え ば 点 Ｘ)の た わ み の 算 定 に,便 利 に 応 用 で き る.こ

ず み エ ネ ル ギ ー と い う 「ス カ ラ ー量 」 を用 い て,「 ベ ク トル

量 」 で あ る 変 位 が 算 定 さ れ る.   た わ み に 対 す る せ ん 断 変 形 の 影 響:例3.1の 定 理 を応 用 して,せ

問 題 につ い て,カ

ん 断 ひ ず み に よ る付 加 た わみ λSを 求 め る.分

集 中 荷 重 Ｑ に よ るせ ん 断 力 は F(x)=-ωx-Q

ス チ リア ノ の 布荷 重 ω と

と な る.(5.29)式

で あ る.せ

に よ り,せ

ん 断 変 形 に よ る 自 由 端x=0に

と な る.(6.27)式

とな る.こ

ん 断 変 形 に よ る ひ ず み エ ネ ル ギ ーUsは

お け る付 加 た わ み λsは,

で 与 え られた た わみ

λ と 比 較 す る と,

れ よ り,短 い は り(l/ん ≦3)を

除 く と,た わ み に 対 す るせ ん 断 変 形 の

影 響 は無 視 で き る こ と が わ か る. 例3.2:一 る.こ

端(左

端)支

持,他

端(右

端)固

定 の は り(図6.6(ｃ)参

の は りは 不 静 定 で あ る.支 持 端 Ａ の 支 持 反 力 をRA=-Qと

3.1と 同 じ く,右 端 固 定 の は りの 問 題 に な る.よ U(Q)は,(ｄ)式

で 与 え られ る.(6.28)式

っ て,ひ

照)を

ず みエ ネ ルギ ーの 表式

と同 様 な式 に お い て,Q=0と

と な く,Ｑ の 値 を未 知 変 数 の ま ま に して,λ

考え

お く と,例

するこ

の 表 式 を 求 め る と,(ｃ)式 に 対 応 す

る 表 式 が 求 ま り,

(6.29) と な る.(ｄ)式

と な り,こ

のM(x)を

代 入 して 積 分 を 実 行 す る と,支 持 端 の 条 件 は ,

れ よ りQ=(-3/8)ωlが

定 ま る.こ

れ を(ｄ)式

に 代 入 す る と,曲

げ

モ ー メ ン ト

M(x)= が 求 ま る.こ

の と き,右

ω(3lx-4x2)/ 8

端 に お け る 支 持 反 力 はRA=-Q=(3/8)ωlと

 (6.30)

な る.

6.4両

端 支持 は り

 一 様 分 布 荷 重 ω を うけ る一 様 断 面 の 両 端 支 持 は り(図6.7(ａ)参 照)を 考 え る. この と き,(4.32)式 で あ た え られ る 曲げ モ ー メ ン トを(6.2)式 に代 入 して,

が 得 られ る.こ

れ を 積 分 す る と,

(ａ)一 様 分布荷 重

(ｃ)荷 重 Ｐ,RBを (Ｐ,RBは(ｂ)図

う け る片 持 は り と 同 じ)

(ｂ)集 中荷 重

図6.7両 と な る.両

端 支持 は り

端 支持 の境界 条件

(6.31) を 用 い る と,

が 求 ま る.こ

れ を 上 の 積 分 に代 入 す る と,

(6.32)

と な る.こ

の た わみ 曲線 は 左 右 対 称 で あ る こ とは 容 易 に わ か る.絶 対 値 最 大 た わ

み υmaxはx=l/2,絶

対 値 最 大 た わ み 角 θmaxはx=0,lに

現 れ, l 3

l4

5

υmax=υ(l/2)=

/ 384EI

ω

θmax=θ(0)=-θ(l)=

,

/24EI

と な る.

  既 知 の 解 の 利 用:一 わ る場 合(図6・7(ｂ)参

様 断 面 の 両 端 支 持 は りの 断 面x=aに 集 中荷 重 Ｐ が 加 照)に つ い て 考 え る.こ の と き 曲げ モ ー メ ン トが(4 .26),

(4.27)式 で 与 え られ る.こ

の は り と 同 じは り を考 え,図6.7(ｃ)に

端 の 回 転 支 持 を 除 き,左 端x=0を 端 固 定 の 片 持 は りの 断 面x=aに と,右 端x=lに

RA,F(x)も,図6.7(ｂ)の

自 由 に す る.こ

の左

集 中荷 重 Ｐ を加 え た と き の 曲 げ モ ー メ ン ト

集 中荷 重-RB=-Pa/lを

加 え合 わ す と,(4.26),(4.27)式

上,支

固 定 し,右 端x=lを

示 す よ う に,両

加 えた ときの曲げ モ ー メン トとを,

と一 致 す る こ と は容 易 に 確 認 で き る.こ

の と き,

両 端 支 持 は り と ま っ た く同 じに な る は ず で あ る.便

持 反 力RA,RBの

宜

表 式 を 再 録 して お く.

RA=Pb/l,RB=Pa/l  片 持 は り に,集

(ｅ)

中荷 重 Ｐ,-RBが

きの た わ み は,(6.8),(6.9)式

別 々 に,x=aあ を 援 用 して,容

る い はx=lに

作用す ると

易 に求 め る こ とが で き る .そ れ ぞ

れ の た わ み を 加 え 合 わ せ た もの を υCと す る と,

(ｆ)

(ｇ) が 得 ら れ る.前

述 に よ り,た わ み υC(x)に

対 す る 曲 げ モ ー メ ン ト は,(4

式 の 曲 げ モ ー メ ン ト と 完 全 に 一 致 す る.し と 片 持 は りの た わ み υC(x)と み で あ る.し

た が っ て,両

の 差 υ(x)-υC(x)は,曲

た が っ て,υ(x)-υC(x)=c0x+c1,あ υ(x)=υC(x)+c0x+c1, 

と な る.こ み υ(x)を

こ にc0,c1は

積 分 定 数 で あ る.こ

げ モ ー メ ン ト0よ

るた わ

るい は 0〓x〓l  の 関 係 式 は,両

求 め る に あ た っ て,「 片 持 は り の た わ み υC(x)を

得 る 」 こ と を 示 す.

.26),(4.27)

端 支 持 は りの た わ み υ(x)

(6.33) 端 支 持 は りの た わ 不 定 積 分 と して 用 い

  (6.33)式

を,両

(ｆ),(ｇ)式

で 与 え ら れ る の で,x=0に

端 支 持 の 境 界 条 件(6.31)式

と な る.ま

た,x=lに

と な り,こ

れ よ り

に 代 入 す る.(6・33)式

お け る 支 持 の 条 件 υ(0)=0よ

お け る 支 持 の 条 件 は,(ｇ)式

が 求 ま る.(6.33)式

の υ に,(ｇ)式

と と も に,こ

の υC(x)が りc1=0

を 用 い て,

れ ら の 積 分 定 数 を 用 い,整

理す

る と,

(6.34) が 求 ま る.こ

の 式 に 相 反 定 理 を 適 用 し て,x→a,a→xと

す る と,

(6.35) と な る.(6.35)式 (6.34),(6.35)式 a〓l/2の れ,絶

は,(6.34)式 は,x=aに

と き,絶

と 同 様 に し て,(6.33)式

か ら 導 く こ と も で き る.

お け る υ と θ の 連 続 条 件 も満 た し て い る.

に現

対 値 最 大 の た わ み υmaxは,

対値 最 大 の傾斜

θmaxは,右

端x=lの

値 で,

(6.36) と な る.た

だ し,b=l-aで

あ る.a〓l/2の

と き は,(6.36)式

に,表6.1を

適

用 す れ ば よ い. 例4.1:一

様 断 面 の 両 端 支 持 は り の 両 端 に モ ー メ ン ト荷 重M0,M1が

場 合 の た わ み を 求 め る.曲 (6.2)式

げ モ ー メ ン トM(x)は(4.37)式

加 わ る

で 与 え ら れ る の で,

は

(6.37) で あ る.こ

の 式 を 積 分 し,

と な る.こ

れ ら を境 界 条 件(6.31)式

に代 入 した式

よ り,積 分 定 数 が 定 ま り,

(6.38) と な る.と

く に,M1=-M0の

と き は, M0/ υ=-

で あ る.た

2Ell

(l2x-lx2)

 (6.39)

わ み 曲 線 は左 右 対 称 で あ り,絶 対 値 最 大 た わ み と た わ み 角 は , - M0l3/ ,

υmax=υ(l/2)=

8EIl

θmax=θ(0)=

- M0l2/  (6.40)

2EIl

と な る.

(ａ)幅 広 は り

(ｃ)板 ばね

(ｂ)３ 枚 重 ね ば り 図6.8重

ねば り

  重 ね ば り:図6.8(ａ)の よ う な 幅 の 広 い 長 方 形 断 面(b×h)の は りの場 合,た と え ば 幅 を ３等 分 して ３本 の(b/3)×hの は り と し,こ の ３枚 を重 ね て ,隙 間 は 生 じな い よ うに 束 ね た と き,重 ね ば り とい う(図6.8(ｂ)参 け る と き,接 触 面 は す べ る の で,そ た く同 じで あ る.重

の た わ み は,初

照).こ

れ が荷重 を う

め の １枚 の は りの と き と ま っ

ね ば りは,全 長 に わ た って 重 ね る必 要 は な い の で ,深

さ一 定 の 平 等 強 さの は り の よ うに 幅 が 長 さ方 向 に 変 化 す る と き,重 ね ば り に よ っ て 近 似 的 に 実 現 す る こ と が で き る.こ

の よ うな 重 ね ば りを 板 ば ね を と し て使 用 す る と,

接 触 面 の 摩 擦 が 減 衰 力 と して 作 用 す る と い う利 点 が あ る の で,車 シ ョ ンな ど と して 使 用 さ れ て き た(図6.8(c)参

  6.5両

両 のサ ス ペ ン

照).

端 固 定 は り

  両 端 固 定 は りは代 表 的 な不 静 定 は り で あ り,釣 合 い 方 程 式 だ け に よ っ て,曲 げ モ ー メ ン トを 決 定 す る こ と は で き な い の で,た

わ み を考 慮 し な け れ ば な ら な い.

そ の代 表 的 な 方 法 を,一 様 分 布 荷 重 を うけ る 一 様 断 面 の 両 端 固 定 は り(図6.9(a) 参 照)に

つ い て 考 え る.

  既 知 の 解 の 利 用:こ

の は り は不 静 定 で あ る の で,変 形 の 条 件 を用 い な け れ ば,

曲 げ モ ー メ ン トが 定 ま らな い.こ もに 固 定 モ ー メ ン トMA,MBが

の は りの 両 端 に お い て 支 持 反 力RA,RBと 発 生 す る.こ

と

の 問 題 を直 接 解 く代 わ りに,対

称

性 を考 慮 して 問 題 を ２つ に分 け,   (１)両 端 支 持 の は りに 一 様 分 布 荷 重 ω が 加 わ る 問 題(図6.9(b))   (２)両 端 支 持 の は りに 両 端 に 未 知 の モ ー メ ン ト荷 重M0,M1(=-M0)が る 問題(図6.9(c))

(a)=(b)+(c)

加わ

(ｂ)一 様 分布 荷 重

(ａ)両 端 固 定 は り

(ｃ)曲 げ モ ー メ ン ト

(ｄ)せ ん 断 力図 曲 げモ ー メ ン ト図

図6.9両 と す る.こ (6.39)式

れ ら の 問 題 は,前 で 与 え ら れ,こ

端 固定 の は り

節 に お い て 解 か れ て い る.こ

れ ら を υw,υMと

す る と,そ

れ ら の 解 は(6.32),

れ ら の 和 υ=υ ω+υMは

(6.41) と な る.両

端 固定 の境 界 条件 は

(6.42)

で あ る が,υw,υMは

と も に 両 端 支 持 は りの た わ み で あ る の で,た

る境 界 条 件 を満 た して い る.ま

た,左 右 対 称 で あ る た め,x=0に

角 の 条 件 の み 考 え れ ば よい.す

な わ ち,

よ り,M0=ωl/12と

れ を(6.41)式

な る.こ

わみ υに関す お け るたわ み

に 代 入 す る と,

(6.43) が 得 られ る.た

わ み 曲 線 は左 右 対 称 に な り,絶 対 値 最 大 た わ み とた わ み 角 は,

(6.44) と な る.   曲 げ モ ー メ ン ト と せ ん 断 力 は,(6.3),(6.4)式

に(6.43)式

を 用 い て,容

易 に定

め る こ と が で き,

(6.45) と な る.曲

げ モ ー メ ン ト図 とせ ん 断 力 図 を 図6.9(d)に

A.7も

参 照).こ

は,は

りの 両 端 に 生 じ,

示 す(演

習問 題 解 答 図

れ よ り絶 対 値 最 大 の 曲げ モ ー メ ン ト とせ ん 断 力Mmax,Fmax

(6.46) で あ る.な    図6.9(d)を

お,は

り の 中 央x=l/2でM(l/2)=-Mmax/2=ωl2/24と

両 端 支 持 は り に 対 す る 図4.14(b)と

は 両 者 ま っ た く等 し い こ と が わ か る.ま 端 で ０ に な る ま で,上

比 較 す る と,せ

た,図6.9(d)の

向 き に 移 動 す る と,図4.14(b)の

な る. ん 断力 の分布

曲 げ モ ー メ ン ト図 を両 対 応 す る 図 が 得 ら れ る.

  カ ス チ リ ア ノ の 定 理 の 応 用:問 Q1,Q2を

題(１),(２)の

未 知 モ ー メ ン ト と し て,両

と す る と,(4.37)式

曲 げ モ ー メ ン ト を 加 え 合 わ せ る.

端 の 固 定 モ ー メ ン ト をM0=Q1,M1=Q2

を 用 い て,

(6.47) が 得 られ る.こ

れ を用 い て ひず み エ ネ ル ギ ーU(Q1,Q2,ω)を

求 め る.カ

スチ リ

ア ノの 定 理 に よ り,固 定 端 が 回 転 しな い た め の 条 件 υ(0)=υ(l)=0は

と な る の で,こ

れ よ り,Q1,Q2を

演 習 問 題

定 め る こ と が で き る.(演

習 問題

問 ４ 参 照)

６

１.左 端 固 定 の 長 さl=2aの EI=2El0,右

片 持 は りが あ る.左 半 分 の 長 さl/2の

半 分 の 長 さl/2の

部 分 で はEI=EI0と

部分 の 曲 げ剛 性 を

す る.こ

の は りに 一 様 分

布 荷 重 ω が 加 わ る と き,自 由 端 の た わ み λ を 求 め る 表 式 を 導 き な さ い.[6.3節 例3.1の

解 法 に な ら っ て,カ

２.長 さl=1m,一

ス チ リ ア ノの 定 理 を 適 用 す れ ば,容

様 分 布 荷 重 ω=1000N/mの

両 端 固 定 の は りが あ る.断 面 は正

方 形(h×b=5cm×5cm)で,E=206GPaと モ ー メ ン ト図 を描 き な さい. ３.長 さl(単

位mm),一

位 Ｎ)を に,丸

す る と き,た

重 を加 え た端 の た わ み が υmax〓l/100を

棒 の 直 径 ｄ(単 位mm)を

求 め る 式 を導 き な さい.な

す る.[単 位 系SI(mm)を

４.図6.6(c)に

あ る.カ

げ 剛 性EIは

に,一

端 Ｂ が 固 定 の は りが,ｆ

定 モ ー メ ン トMB,た 一 定 で あ る とす る.[例3.2と

分布

わ み 曲 線 υ(x) 同 じ問題 で

示 す よ う に,左 端 固 定 の 片 持 は りに,線 形 に分 布 した 荷 重 ω(x)=ω0(1作 用 して い る.た

６.図6.11に

満 たす よ う 鋼 に 対 して は

ス チ リア ノの 定 理 を 用 い な い で 解 き な さ い.]

５.図6.10に X/l)が

だ し,曲 げ 剛 性EIは

お,軟

用 い な さ い.]

示 した よ うに,左 端 Ａ が 回 転 支 点,右

荷 重 ω を うけ て い る.支 持 反 力RA,RB,固 を 求 め な さ い.た

わ み の 形 状 と 曲げ

様 断 面 の 軟 鋼 製 丸 棒 の 一 端 を固 定 し,他 端 に 集 中 荷 重 Ｐ(単

うけ る とす る.荷

E=206GPaと

易 に 求 ま る.]

わ み 曲 線 と最 大 た わ み υmaxを

求 め な さ い.た

だ し,曲

一 定 値 を と る とす る. 示 す よ う な 長 さlの

左 端 固 定 の 片 持 は りの,左

側 半 分 の 長 さl/2の

部分

様 分 布 荷 重 ω が 作 用 す る と き,先 端 の た わ み λBを 求 め な さ い.[こ の よ う

な 荷 重 が 加 わ る と き,は は,直 線 を 保 ち ま す.]

りの 右 半 分 に は 曲げ モ ー メ ン トが 生 じな い の で,こ

の 部分

７.長 さlの

左 端 固 定 の 片 持 は りの,断

た わ み υ(x)お よ び た わ み 角 一 定 値 を と る とす る .

図6.10線

形分 布荷 重

面x=aに

モ ー メ ン ト荷 重M0が

θ(x)の 表 式 を 求 め な さ い.た

図6.11部

加 わ る と き,

だ し,曲 げ 剛 性EIは

分 的分 布荷 重

第 ７章

  7.1長

座

屈

柱 の座屈

  直 線 状 の 軸 を もつ 真 直 ぐ 棒 が圧 縮 さ れ る と きは,引 異 な る 挙 動 を 示 す.圧

か ら加 わ る 重 量 物 を支 え る.ギ す る と考 え て,建 の 場 合 に は,へ い い,座

っ張 られ た と き と ま っ た く

縮 され る棒 の典 型 的 な例 は,建 築 物 の 柱(column)で,上 リ シ ャ 人 は,柱 は 「人 の 胴 体 を支 え る 足 」 に相 当

築 物 の美 と強 さ の 見 地 か ら,寸 法 を決 定 し た と い う.細 長 い柱 し折 れ る こ とが あ る.こ の 「へ し折 れ 」現 象 を 座 屈(buckling)と

屈 が 発 生 し な い よ う に,柱

を設 計 し な け れ ば な ら な い .

(ａ)真 直 ぐ棒

(ｂ)釣 合い

図7.1圧

縮 さ れ た真 直 ぐ棒

  第 １章 の 考 え 方 に よ る と,真 直 ぐ 棒 の 両 端 で,そ

図7.2た

の 軸 上 に 圧 縮 力 を加 え る と,

棒 は た わ む こ と な く,単 純 に圧 縮 され る は ず で あ る.し 折 れ,今

わ みの 成長

か し,実 際 に は 棒 は へ し

ま で の 理 論 で は こ の 現 象 を説 明 す る こ とは で き な い.今

い て は,釣

までの理論 にお

合 い 方 程 式 を導 く と き ,内 力 お よ び荷 重 が 「荷 重 が 加 わ る前 の位 置 」

にお い て 作 用 す る と仮 定 して い る.本 章 で は,両 端 で 圧 縮 され た 棒 が,た

わんで

い る と仮 定 して,そ の 釣 合 い を考 え る.こ

の よ う な理 論 の 立 場 を ,幾 何 学 的 非 線

形(geometrical

の 問 題 を正 確 に 扱 う た め に は,非

nonlinearity)と

い う.こ

の 釣 合 い 方 程 式 が 必 要 に な る が,そ 理 的 な近 似 を行 っ て,線

の 式 の 取 扱 は 困 難 で あ る の で,本

形 の 方 程 式 を導 く.し た が っ て,本

線形

章 で は,合

章 に お い て は,重

ね

合 わ せ 原 理 は 成 り立 た な い.   軸 方 向 に圧 縮 さ れ た棒 を,幾 何 学 的 非 線 形 の 立 場 か ら扱 う と き,そ の 方 位 に 関 係 な く,こ の 棒 を柱(column)と

呼 ぶ.細

長 い 柱 を長 柱(long

長 柱 の 座 屈 を 理 論 的 に調 べ る た め に,図7.1(ａ)に

column)と

示 す よ う に,一 様 断 面,長

呼 ぶ. さｌ

の 真 直 ぐ 棒 を横 向 き に 置 き,両 端 で 支 持 し,そ の 軸 上 に ｘ 軸 を定 め る.棒

の両

端 に お い て,ｘ 軸 上 に 圧 縮 力 Ｐ が 作 用 す る と き,棒 に 生 ず る 断 面 力 は-Pで

あ

る.こ

の 棒 に 「た わ み υ(x)が 生 じた と仮 定 」 して,釣 合 い 方 程 式 を 導 く.ま ず,

は りの 場 合 と 同 じよ うに,支 を考 え る と(図7.1(a)参

持 反 力RA,RBを

求 め る た め に,棒

全体 の釣 合 い

照), し た が っ て,

と な る.初

め に断 面 ｘ の 位 置 を 占 め た 質 点 の 構 成 す る 面 を,変 形 後 も断 面 ｘ と

呼 ぶ こ と に す る.図7.1(b)に の 釣 合 い を考 え る.左

示 す よ う に,変

端 に作 用 す る 外 力 は,左

Ｐ だ け で あ り,ま た,RA=0で

の 断 面 ｘ よ り左 側 の 部 分

端 に作 用 す る ｘ 軸 方 向 の 圧 縮 力

あ る の で,断 面 ｘ に作 用 す る力 の ｘ 軸 方 向 の 成

分 は 圧 縮 力 Ｐ,ｙ 軸 方 向 の 成 分 は0で が 存 在 す る の で,モ

形 後,棒

あ る.こ の 断 面 に は 曲 げ モ ー メ ン トM(x)

ー メ ン トに 関 す る 釣 合 い 方 程 式 は (7.1) (7.1)

あ る いは と な る.前

章 まで の 考 え 方 で は,こ

モ ー メ ン トと の 間 に 線 形 関 係(6.3)式 と,た

の 式 の υ は ０で あ る.た

わみ の 曲率 と曲げ

が 成 り立 つ と し て,(7.1)式

と組 み 合 わ す

わ み が 生 じた 状 態 に お け る釣 合 い の微 分 方 程 式 (7.2)

(7.2) が 導 か れ る.こ

こで と お く と,

(7.3) (7.3)

と な る.こ

こ に,c0,clは

積 分 定 数 で あ る.こ

を満 た さ な け れ ば な ら な い.解 り立 つ と,Ｍ

υ は(7.1)式

の 解 は,両

端が 支持 の条 件

を満 た す の で,υ に 関 す る 条 件 が 成

に 関 す る 条 件 も 自 動 的 に成 り立 つ こ とが わ か る.よ

っ て,両

端支

持 の条件 は (7.4)

と等 価 に な る.(7.4)式

と な る.こ

の,ど

に υ(x)を 代 入 す る と,

の 第 ２式 よ り,

ち ら か の 条 件 が 成 立 しな け れ ば な ら な い.第

と,υ(x)=0と

な り,た わ み が 生 じな い こ と に な る.第

成 立 す る た め に は,αlの

と き は,υ(x)=0と

も 除 く.よ

っ て,

の と き,た

わ み が 生 ず る 可 能 性 が あ る.こ

重(elastic

load)と

初 め て 求 め ら れ た の で,オ わ み の 形 状 υE(x)は,座 る.し

た が っ て,弾

２の 条 件sinαl=0が

呼 ば れ る.こ

な る の で,こ

の よ う に し て ,た

わ み が 生 ず る 最 小 の 圧 縮 力PEは,αl=π

buckling

成立する

値が

で な け れ ば な ら な い.αl=0の

が 座 屈 で,た

１の 条 件c1=0が

の 値 は,オ

イ ラ ー 荷 重(Euler

load)と

の 値 αl=0

わ みが現 われ る現象

に 対 応 し,弾

性 座屈 荷

イ ラ ー(L.Eider)に

よ って

も 呼 ば れ る.対

応 す るた

屈 モ ー ド あ る い は 座 屈 波 形(buckling

mode)と

呼 ばれ

性 座 屈 荷 重 と座 屈 モ ー ド は,

 (7.5)

と与 え ら れ る.こ

こ に,υmは

￨の 値 は 不 定 で,い

絶 対 値 最 大 の た わ み に 相 当 す る定 数 で あ る.￨υm

く ら で も大 き くな る(￨υm￨が

の 範 囲 を こ え る).し

た が っ て,圧

非 常 に 大 き く な る と,こ

縮 力 Ｐ が 弾 性 座 屈 荷 重PEに

の理 論

達 す る と,座

屈 モ ー ド νE(x)に 比 例 す る た わ み が 現 わ れ る.図7.2で

は,釣

点(υm,P)は,原

で直 線 的 に上昇 したの

ち,こ

点 ０ か ら Ｏ で 示 さ れ る 点(0,PE)ま

の 点 で,釣

合 い 状 態 が ２つ に 分 岐 し,υm0=0で

を右,(υm0＞0),ま

た は 左,(υm0＜0),へ

岐 座 屈(bifurcation

buckling)と

示 した 直 線P=PE上

移 動 す る.そ

呼 ぶ こ と が あ る.な

合 い状 態 を表 す

れ ゆ え,こ

お,弾

まで は,幾 何 学 的 非 線 形 の 影 響 は ま っ た く存 在 しな い,竹

の現 象 を分

性 座屈 荷 重 に達 す る を細 く削 っ て 作 っ た細

工 用 の 「ひ ご 」 の 両 端 を 手 で 圧 縮 す る と,座 屈 の 発 生 が 容 易 に確 か め ら れ る.  棒 の 断 面 積 を Ａ とす る と き,弾

性 座 屈 荷 重PEに

相 当す る圧 縮応 力

 (7.6)

を 弾 性 座 屈 応 力(elastic

buckling

  元 た わ み を も つ 棒:図7.3に に た わ ん で お り,そ

stress)と

い う.

示 す よ う に,棒

が 圧 縮 力 を う け る 前 に,わ

ず か

の たわ み の形状 が

図7.3元

た わ み の あ る棒

 (7.7)

で あ る と 仮 定 す る.こ

の た わ み υ0(x)を

deflection)と

た わ み を 含 む 全 た わ み υ(x)が,(7.1)式,し

(7.2)式

い う.元

の 右 辺 の υ に 対 応 す る が,(7.2)式

の 増 加 量 △ υ(x)≡

υ(x)‐ υo(x)の

元 た わみ

あ る い は 初 期 た わ み(initial

の 左 辺 のd2υ/dx2は,元

２ 階 微 分 と 考 え る.よ

っ て,元

た が っ て, た わみ か ら たわみ の存 在

す る と きの 釣 合 い の 微 分 方 程 式

(7.8)

が 求 ま る.つ

ぎ に,

(7.9) と 仮 定 す る.こ

と な る.さ

こ に △ υm≡

ら に,(7.5)式

υm=-P(υm

υm0P / PE-P

あ るい は

の 式 よ り,P→PEの

参 照).υm0の   な お,た

の 表 式 を(7.8)式

に 代 入 す る と,

0+△

υm)

た が っ て,

△ υm=

と な る.こ

あ る.こ

を 用 い て 書 き 直 す と,

-PE△

と な り,し

υm-υm0で

υm=υm0+△

と き￨υm￨→

値 の 正 負 に 応 じ て,棒

∞

 (7.10)

/ PE-P

と な る こ と が わ か る(図7.2

の た わ み υmが

わ み と し て 実 際 に 観 測 さ れ る 量 は,た

υm0PE υm=

正 ま た は 負 に な る.

わ み の 増 分 △ υ(x)≡

υ(x)-υ0(x)

で あ る.

  安 定 ・不 安 定 と釣 合 い 状 態 の 分 岐:前 な 釣 合 い 状 態 の 分 岐 点(図7.2の P＜PEの

述 の よ う に,こ

Ｏ で 表 さ れ る 点)と

の よ うな 座 屈 は,安

と き は,た わ み の な い釣 合 い 状 態(υ(x)=0)が

安 定 で あ る,P＞PE

に な る と,た わ み の な い 釣 合 い 状 態 は 不 安 定 に な っ て,実 現 しな い こ とが,詳 な 理 論 に よ っ て 示 さ れ て い る,前 態 が 分 岐 す る(図7.2参

述 の よ う に,P=PEに

細

達 し た と き,釣 合 い 状

照).

  元 た わ み υm0が 存 在 す る と,そ の 正 負 に応 じて,正 み が 成 長 す る.図7.2に

定

して 定 義 さ れ て い る.

示 す よ う に,元

あ る い は 負 の側 に,た

た わ み υm0→0の

わ

と き,直 線P=PE

に 漸 近 す る.

7.2棒

の境 界条件 と座 屈

 圧 縮 され た 棒 の 境 界 条 件 は,は

り と同 じ く種 々 あ り,そ れ ぞ れ の 場 合 に 異 な っ

た弾 性 座 屈 荷 重 と座 屈 モ ー ド を示 す.図7.4(a)は,前

節 に述べ た両端 支持 の場

合 を示 す.こ

の 支 持 壁 は ｘ 軸 方 向 に移 動 可 能 で あ る とす る.後 述 の(２)∼(３)の

場 合 に つ い て も,同 様 に 考 え る.   (１)一 端 固 定,他

端 自 由:こ

の場 合 の 境 界 条 件 は,下 端 が 基 礎 地 盤 に 固 定 さ

れ た 柱 の 境 界 条 件 と同 等 で あ る.こ

の 場 合,図7.4(b)に

ｘ 軸 と平 行 に 作 用 す る 圧 縮 力 Ｐ が 作 用 す る の で,断 の 部 分 の 釣 合 い を考 え る と,釣

示 す よ う に,自

由端 に

面 ｘ か ら 自 由 端x=lま

で

合 い方程 式 は

 (7.11)

と な る.こ あ る.よ

で あ る.こ

こ に υlは 自 由 端x=lの っ て,境

た わ み に 相 当 す る 未 定 定 数 で,υ(l)=υ1で

界 条件 は

の 場 合,x=lに

式 に よ り,M(l)=0が

お け る 条 件 と し て は,υ(l)=υ1が 成 立 す る.よ

っ て,境

成 り立 つ と,(7.11)

界 条件 は

(7.12)

と等 価 で あ る.(7.l1)式

の解 は P / EI

と与 え ら れ る.こ

の 表 式 を境 界 条 件(7.12)に

が 得 ら れ る.P≠0,し

と な る.た

た が っ て,α

わ み υ(x)=0で

た め に は,c0=-υl=-υ(l)≠0で

≠0と

あ る と,座

代 入 す る と,

す る と,上

の条 件 よ り

屈 が 生 じ な い こ と に な る.座

な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,

屈 が生 ず る

で あ る,こ

れ よ り座 屈 荷 重 と座 屈 モ ー ド は

(7.13) と 定 ま る.明

ら か に,最

大 た わ み は νm=νlで

あ る.

(ａ)両 端 支持

(ｃ)両 端 固定

(ｂ)固 定 ・自 由

(ｄ)固 定 ・支 持

図7.4境 (２)両 端 固 定:一

界 条 件 と座 屈 モ ー ド

方 の 固 定 壁 が ｘ 軸 方 向 に 移 動 可 能 で あ る と仮 定 す る.境 界

条件 は dν/ x=0,lで

=0

ν=0,

 (7.14)

dx

で あ る.こ

の 場 合 の 座 屈 荷 重 と座 屈 モ ー ドは,

(7.15) と な る.x=l/2で,た

わ み が 最 大 値 νmを

(３)一 端 固 定 ・他 端 支 持:棒 る と仮 定 す る.両

とる(図7.4(c)参

照).

を 支 持 して い る 壁 が,ｘ 軸 方 向 に 移 動 可 能 で あ

端 に 未 知 の 支 持 反 力,左

端x=0に

未 知 の 固 定 モ ー メ ン トが

現 れ, dν(0) x=0で

と な る.こ で,境

ν(0)=0,

=0;

x=lで

/ dx

の と き も,ν(l)=0が

ν(l)=0,M(l)=0

成 立 す る と,M(l)=0が

自動 的 に成 立 す る の

界条 件 は

dv(0)/ x=0で

=0;

ν(0)=0,

dx

x=lで

ν(l)=0 

(7.16)

と等 価 で あ る.こ

の 条 件 を考 慮 して 解 く と,座 屈 荷 重 と座 屈 モ ー ド は

(7.17) (7.18) と な る.x=0.6017lで,最

大 た わ み νmが

で,4.493(=α)は,tanα=α

生 ず る(図7.4(d)参

の 解 で あ る.な

照).(7.18)式

お,lπ/α=l/1.430は,つ

ぎに

述 べ る 座 屈 長 さ で あ る.   座 屈 長 さ:弾

性 座 屈 荷 重PEは,ど

場 合 の 弾 性 座 屈 荷 重 の 表 式(7.5)と

の よ う な 境 界 条 件 の 場 合 も,両 同 じ形 に 表 す こ と が で き る.座

端支 持 の

屈応 力 につ い

て も 同 様 で あ る.

(7.19) とな る.lbは

座 屈 長 さ(bukling

length)と

呼 ば れ,ｋ は 境 界 条 件 に応 じて 定 ま る

定 数 で, ・一 端 固 定 ・他 端 自 由

 k=1/4

・両 端 支 持k=1 ・両 端 固 定k=4 ・一 端 固 定 ・他 端 支 持k=2

.046,√k=1.430

で あ る.座 屈 長 さ と等 しい 両 端 支 持 の 棒 と座 屈 荷 重 が 等 しい の み な らず,図7.4 か ら推 測 さ れ る よ うに,座

屈 モ ー ドの 一 部 の 形 状 は,長

さlbの 両 端 支 持 の 棒 の

座 屈 モ ー ド とほ ぼ 一 致 す る.

7.3座

屈 応 力 に 対 す る 近 似 公 式,短

柱

両 端 支 持 の棒 の 弾 性 座 屈 応 力 の 式(7.6)は

(7.20) (7.21)

と 表 す こ と が で き る.ρ tion)と

呼 ば れ,断

(slenderness

は 断 面 の 環 動 半 径 ま た は 断 面 ２次 半 径(radius

面 ２ 次 モ ー メ ン ト を 考 慮 し た 断 面 の 寸 法 で あ る.λ

ratio)と

呼 ば れ,棒

図7.5テ

の

stress)σcrを

じた と認 め られ た と きの 平 均 圧 縮 応 力(圧

ま た,こ

図7.6ジ

ョン ソ ンの 公 式

の 座 屈 の 理 論 と実 験 の 結 果 を表 示 す る た め に,細 長 比 示 す よ う に,横 軸 に棒 の λ を と り,縦 軸 に は 実 験 に

よ っ て 得 られ た 座 屈 応 力(buckling

実 験 に お い て は,急

は細長 比

「細 長 さ 」 の 程 度 を 表 す 量 で あ る.

トマ イ ヤ の 公 式

  図7.5に 示 す よ うに,棒 λ が 用 い られ る.図7.5に

of gyra

と る.座 屈 応 力 は,「座 屈 が 生

縮 荷 重 を 断 面 積 で 除 した 値)」 で あ る .

速 な た わ み の 成 長 を確 認 した 状 況 を,座 屈 の発 生 点 とす る.

の 図 に(7.13)式

を オ イ ラ ー 曲 線(Euler

を用 い て,σcr=σEを curve)と

図 示 した と き,こ の 理 論 曲線

呼 ぶ.

  両 端 支 持 の 棒(柱)に 対 して 多 くの 座 屈 実 験 が 行 わ れ,座 屈 荷 重 が 求 め られ て い る.そ の 結 果 を オ イ ラ ー 曲 線 と比 較 す る と,細 長 比 の 大 き い 範 囲 で は オ イ ラ ー 曲線 と,実 験 上 の バ ラ ツ キ を 除 い て よ く一 致 す る.細

長比 が小 さな範囲 で は オイ

ラ ー 曲 線 の値 よ りは る か に小 さ くな る が,座 屈 応 力 が 降 伏 点 を こ え る の は ,ご 短 い棒 に限 ら れ る.こ

の よ う に,細 長 比 が 小 さい 棒(柱)を

短 柱(short

く

column)

と呼 ぶ こ とが あ る.   短 柱 の座 屈 応 力 を,材 料 の応 力 ー ひ ず み 曲線 を用 い て 定 め る 接 線 応 力(tangent modulus stress)と 呼 ば れ る値 で 評 価 す る こ とが で き る.こ れ を 変 形 し た オ メ ガ 法(omega

method)が

土 木 ・建 築 方 面 で は よ く用 い られ る.機

ぎ に述 べ る よ うな 近 似 式 が 用 い ら れ る.な

お,こ

械 関 係 で は,つ

の よ う に,応 力 ー ひ ず み 関 係 が

非 線 形 に な る た め の 影 響 を考 慮 す る 立 場 を,材 料 非 線 形(material

nonlinearity)

と い う. 境 界 条 件 が 両 端 支 持 と異 な る と き も,弾 性 座 屈 応 力 σEは, σE=

π2E  (7.22)

/λ2b lb/

ここ に

λb=

 (7.23) ρ

と 表 さ れ る.   テ トマ イ ヤ の 公 式:テ

トマ イヤ(Tetmajer)は,両

端 支 持 の 短 柱 の座 屈 応 力

が 細 長 比 の １次 式 に な る と仮 定 し, σcr=a-bλ  の 形 に,実

(7.24)

験 値 を 近 似 す る こ と を推 奨 した.a,bは

よ っ て 定 め られ る.現 在 で は,こ   ジ ョ ン ソ ン の 公 式:ジ

正 値 を と る 係 数 で,実

の 公 式 は あ ま り用 い られ な い(図7.5参

ョ ン ソ ン(Johnson)は,両

験に 照).

端支 持 の短柱 の座 屈 応力

を,最 大 値 は 降 伏 点 に 一 致 し,細 長 比 の １次 の 項 を もた な い ２次 式 に 仮 定 し,オ イ ラ ー 曲 線 と接 す る よ う に 定 め,

(7.25) を 得 た.こ

の 式 は,σcr=σyp/2の

す な わ ち,σcr＞

σyp/2の

根 拠 を も た な い が,ご  λ の 代 わ り に

σEを

と き オ イ ラ ー 曲 線 に 一 致 し,か

範 囲 に 対 応 す る 式 で あ る.こ

く短 い 棒 を 除 く と,実 用 い る と,一

の 式 は,十

験 値 と よ く 一 致 す る(図7.6参

照).

般 的 な ジ ョ ン ソ ン の 公 式 が 得 ら れ,

σcr=σE,

σE QE

〓σ yP yP

の のと と き き(7.26)

(7.26)

yP の のと とき き(7.27) 2

(7.a7)

/ 22

σE>

と な る.境

つ 接 す る. 分 な理 論 的

界 条 件 が 両 端 支 持 と異 な る と き も,対 応 す る弾 性 座 屈 応 力 σEを 用

い る と,(7.26),(7.27)式

に よ っ て 座 屈 応 力 σcrを 求 め る こ とが で き る.

  偏 心 荷 重 を うけ る棒,座

屈 曲 げ:図7.7に

直 棒 が,軸

示 す よ うに,両 端 で 支 持 され た 真

か ら上 方 向 に ｅ だ け 偏 心 し た荷 重 を うけ る 場 合 を考 え る.こ

の と き,

両 端 に は 圧 縮 力 Ｐ と モ ー メ ン トM0=-Pe,M1=Peが 状 況 を 座 屈 曲 げ と い う.た

加 わ る.こ

の よ うな

わ み ν に よ る 圧 縮 力 Ｐ に よ る モ ー メ ン トPν

端 に 加 わ る モ ー メ ン トPeと

に よ っ て,曲

げ モ ー メ ン ト Ｍ

と,両

は,

M=Pν+Pe=P(ν+e)

と な る.こ

の と き,絶

対 値 最 大 た わ み νmaxは

で 述 べ た 元 た わ み ν0の 影 響 と,係

の 式 よ りP→PEの

と き,νmax→

図7.7偏

似 的 に

P/PE /1-P/PE

νmax=1.1e

と な り,7.1節

棒 の 長 さ の 中 央 に 生 じ,近

∞

数 を 除 い て 同 じ に な る.こ

と な る こ と が わ か る.

心 圧 縮 荷 重 を うけ る棒

 偏 心 と と も に 元 た わ み も考 慮 す る と,応 力 は圧 縮 力 お よ び 曲 げ モ ー メ ン トに よ って 生 じ,最 大 の 圧 縮 応 力 は

とな る.こ

の 値 が 降 伏 応 力 σypよ り小 さけ れ ば,座

応 力 をP/A=σ

と書 くと,こ

屈 は発 生 しな い.平

均 圧縮

の条件 は

(7.28) と表 さ れ る.実 際 の 圧 縮 荷 重 を うけ る棒 で,初 容 量 が 与 え られ ると,(7.28)式 きる.ま

た,(7.28)式

期 た わ み の 量 と,荷 重 の偏 心 の 許

に よ っ て座 屈 に 対 す る 安 全 性 を確 認 す る こ とが で

の 不 等 号 を 等 号 で 置 き換 え る と,平 均 圧 縮 応 力 σ の 限 界

値 が 定 ま る.こ の 値 は,短 柱 の 場 合 に は弾 性 座 屈 応 力 よ りは る か に小 さ な値 に な り,図7.6に

描 く と,ジ

ョ ン ソ ンの 公 式 と同 じ よ う な傾 向 を もつ.

  壁 面 座 屈:箱 形 断 面 の 柱 の 場 合,フ ラ ン ジ(頂 板)や ウ ェ ブ(腹 板)に 相 当 す る 板 面 が 軸 方 向 の 圧 縮 応 力 を うけ て,座 屈 す る こ と が あ る.こ れ を 壁 面 座 屈 (local buckling)と 方 向 に,フ

い う.こ の 場 合,圧

縮 応 力 の 方 向 の み な らず,そ

れ と垂 直 な

ラ ン ジ を構 成 す る 板 な どが 曲 り,こ れ に よ っ て 座 屈 の発 生 が 抑 制 さ れ

る.フ

ラ ン ジ な ど を,接 合 線 に そ っ て切 断 して 得 られ た 長 方 形 の 板 を ,棒 とみ な した と き の座 屈 応 力 の値 に 比 べ て,座 屈 応 力 が 高 くな る.は りで も,大 き な圧 縮

応 力 を うけ る フ ラ ン ジ お よ び ウ ェブ に,こ

の よ うな 座 屈 が 起 こ り得 る し,大 せ ん 断 応 力 を うけ る ウ ェブ も座 屈 す る こ とが あ る .

演 習 問題

７

１.正 方 形 断 面(2cm×2cm),長

さ100cmの,両

屈 を 応 力 と座 屈 荷 重 を 求 め な さい.た 230MPaと す る.

端 で 支 持 され た 鋼 製 の 棒 の ,座

だ し,鋼 の 縦 弾 性 係 数 を206GPa

２.前 座 問 と同 じ棒 が,両 端 で 固 定 され て い る と き(軸 屈 荷 重 を 求 め な さ い. ３.内 径(直 て,そ

きな

径)d1,外

径d2の

,降 伏 応 力

方 向 に は 移 動 可 能) ,座 屈 応 力 と

断 面 を有 す る 長 さ ｌの 軟 鋼 製 円 管 が,剛

の 両 端 を 回 転 自 由 な 関 節 に よ っ て 支 持 し,室 温〓o(=20℃)の

体 壁 にお い 状 態 にお か

  れ て い た.こ の 円 管 の 温 度 が,△ 〓Kだ け 上 昇 し た と き弾 性 的 に 座 屈 した とい う, △ 〓Kを 表 す 式 を 導 き な さ い.た だ し,室 温 の 近 傍 にお け る 縦 弾 性 係 数 を Ｅ ,線 膨 張 係 数 を α とす る. ４.下 端 固 定,上

端 自 由 の 軟 鋼 製 柱 を 考 え る.そ

圧 縮 荷 重P=200kNが と し て,こ て,求 ５.図7.8に

加 わ っ て い る.断

方向 に作 用す る 長方 形 で あ る

の 荷 重 を支 え る こ と の で き る柱 の 長 さの 最 大 値 を,オ

イ ラ ー 荷 重 を用 い

め な さい, 示 す よ うに,上

鋼 製 円柱 が,は

下 端 に お い て 回 転 が 自由 な 関 節(ヒ

りの 分 布 荷 重 ω=80kN/mを

縦 弾 性 係 数E=206GPa,安 ６.図7.9の

の 自 由 端 に お い て,軸 面 は60mm×40mmの

全 率SF=5と

よ う な Ｉ形 断 面 を も ち,長

る 圧 縮 荷 重P=10tfを と きの 安 全 率SF値

を 求 め な さ い.た

して,柱

さl=4mの

支 え て い る.両

ン ジ)で 連 結 さ れ た 軟

支 え て い る.柱

の 高 さl=1 .5m, の 直径 ｄ を求 め な さい .

軟 鋼 製 の柱 が,軸

方 向 に作 用す

端 を 回 転 自 由 な ヒ ン ジ で 支 え られ て い る

だ し,縦 弾 性 係 数E=21,000kgf/m㎡

と

す直 る.[Ｉ 形 断 面 の 場 合,強 軸(中 立 軸NA)に 平 行 な ２つ の 断 面 要 素 が フ ラ ン ジ , 垂 な 断 面 要 素 が ウ ェブ で あ る.弱 軸 周 りの 曲 げ を伴 う座 屈 が 生 ず る.弱 軸 周 りの 断 面 ２次 モ ー メ ン トを 高 め る た め,フ ラ ン ジ の 幅 を 広 く し,か つ 薄 くす る と,こ の 部 分 に,壁 面 座 屈 が 起 こ る 可 能 性 が あ る.]

図7.8は

りを 支 え る柱

図7.9Ｉ

形断 面

第 ８章

8.1ト

骨 組 構 造

ラ ス

  骨 組 構 造 の 典 型 的 な も の が トラ ス(truss)で あ る.ト ラ ス は,図8.1(a)に 示す よ う に,真 直 ぐ な 棒 を 部 材(member)と し,そ の 端 部 が 他 の 部 材 ま た は 剛 体 壁 と ピ ン(ヒ

ン ジ)で 結 合 さ れ た 構 造 で あ る.こ の 剛 体 壁 を固 定 壁 と呼 ぶ .一 般 に

部 材 の 結 合 点 を節 点(joint)と

い う.各 部 材 ご と に 断 面 形 が 一 定 で,そ

端 の節 点 をつ な ぐ 直 線 上 に あ る と仮 定 す る.ト に作 用 す る 」 と考 え る の で,部 現 れ,曲 参 照).実

材 に は 断 面 力 す な わ ち 軸 力(axial

げ モ ー メ ン トは生 じな い.軸

の軸 は両

ラ ス で は,通 常 「集 中 荷 重 は 節 点 force)の み が

力 の 正 負 は 引 張 を 「正 」 とす る(図8

際 の 骨 組 構 造 で は,溶 接 接 合 さ れ た節 点 や,小

.1(b)

さ な ブ ラ ケ ッ トな ど を

挿 入 した ボ ル ト接 合 の 節 点 な ど が あ る が,「節 点 との 接 続 部 で 部 材 の 曲 げ モ ー メ ン トが ご く小 さ くな る よ うに 設 計 され た構 造 は トラ ス 」 と して 扱 わ れ る .し た が っ て,ト ラ ス の 解 析 に あ た り,つ ぎ の よ う に仮 定 す る こ とが で き る . 仮 定 １:荷

重 は,節

仮 定 ２:ト

ラ ス の 変 形 は 小 さ く,変 形 量 を無 視 して 「釣 合 い 」 を考 え る 。

(ａ)ト

点 に 加 わ る 集 中 荷 重 で あ る.

(ｂ)軸 力 の正 方向

ラス

図8.1ト

ラ ス と軸 力

  本 書 で は,ト A,B,…

ラ ス を 図 に表 す と き,節 点 を ピ ン に対 応 した 「黒 丸 」 で 表 し,O,

の よ うに 英 大 文 字 で 命 名 す る.部 材 の番 号 は,1,2,…

字 の 数 字 で 表 し,対 応 す る軸 力 は,部 材 番 号 を 脚 符 と して,T1T2,…

の よ う に太

る.部 材 の 名 称 は,部 材ABな   図8.1(b)に

示 す よ うに,部

な ど とす

ど の よ う に 両 端 の 節 点 名 で 表 す こ と もで き る. 材 を 節 点 の 近 くで 切 断 し て 取 り除 く と き,切

断面

に作 用 す る軸 力 を表 す ベ ク トル が,節 点 か ら出 て い く方 向 を向 くと き 「正 」 で あ る.ま

た,取

り除 い た 部 材 の 断 面 に作 用 す る 軸 力 は,そ

の ベ ク トル が,作

用す る

断 面 に対 す る 節 点 の 方 向 に 向 く と き 「正 」 で あ る.   図8.2に

示 す よ うに,部 材 相 互 ま た は 部 材 と固 定 壁 が,溶

接 あ るいは ブ ラケ ッ

トに よ っ て 固 着 さ れ て い る骨 組 構 造 をラ ー メ ン(rigid frame,Rahmen(独))と 呼 ぶ.乗 用 車 の 車 体 は,ド み な す こ とが で きる.ラ で,こ

ア を外 し,横 か ら眺 め る と,近 似 的 に ラ ー メ ン構 造 と

ー メ ンで は,節 点 近 傍 で 曲げ モ ー メ ン トが 大 き くな る の

の 箇 所 に 応 力 集 中 が 起 こ り,破 壊 が 発 生 す る可 能 性 が あ る.こ

状 お よ び接 合 法 の 設 計 に あ た って,十

の部分 の形

分 な 注 意 を は らわ な け れ ば な ら な い.し

し,ラ ー メ ン構 造 を詳 細 に議 論 す る こ とは 本 書 の 程 度 を こ え て い る の で,以 お い て,ト

か

下に

ラ スの み を扱 う.

  実 際 に 用 い られ る トラ ス の 多 くは,釣 合 い 方 程 式 だ け で 応 力 を 定 め る こ とが で き る,い

わ ゆ る 「静 定 構 造 」 で あ るの で,本

書 で は,こ

の よ う な静 定 トラ ス につ

い て 考 察 す る. な お,不

静 定 ト ラ ス の 例 を 演 習 問 題 問 ５ に示 す.

図8.3に

示 す よ うな,同

図8.2ラ

じ寸 法 を もち 一 直 線 上 にあ る ２部 材 か ら な る トラ ス を

ー メ ン

図8.3一

直 線 上 にあ る ２部 材

考 え る.そ

の 節 点 に,軸

に 垂 直 方 向 の 力P(＞0)が

加 わ る と き,こ

の力 を支 え

る た め に は,節 点 が 有 限 な距 離 だ け 変 位 して,部 材 が 伸 び,軸 力 が 発 生 す る こ と が 必 要 で あ る.着

力 点 が ｙ 軸 方 向 に λ だ け 変 位 して,ト

ラ ス は細 い 線 で 示 す 形

状 に な り,部 材 に 垂 直 ひ ず み ε お よ び 軸 力 Ｔ が 生 じた とす る と,幾 何 学 的 関 係 と応 力 − ひ ず み 関 係 よ り, λ2=[l(1+ε)]2-l2=2l2ε

あ る い は

ε=

λ2/

よ り

2l2 EAλ2

T=EAε=

 (8.1)

/2l2

と な る.図8.3に

示 す よ うに,力

状 態 の 釣 合 い 方 程 式 を,図1.4を

で あ る.よ

Ｐ が 節 点 に 加 わ っ て,そ 参 考 に して 導 き,こ

の 着 力 点 が 変 位 した

れ に(8.1)式

を用 い る と,

が 求 ま る.こ

っ て,

こ に,l,A,Eは

変 形 を 考 慮 し な け れ ば,応

そ れ ぞ れ 部 材 の 長 さ,断 面 積,縦

弾 性 係 数 で あ る.

力 状 態 を定 め る こ と が で き な い の で,「 一 直 線 上 に あ

る ２部 材 よ り な る ト ラ ス は不 静 定 」 で あ る.

(ａ)同 等 な荷重 の 決定

図8.4ト

(ｂ)節 点 に作 用 す る力

ラ ス 部 材 に加 わ る 荷 重

  トラスの部材 に直接 に荷 重が 加 わる とき,こ の部材 を両端 回転 支持(軸 方 向 の 変位 を許 さない ので軸 方向 の応力 も生 じ得 る)の は りと仮 定 し,支 持反 力 の符 号

を 変 え た力 は,力

学 的 に荷 重 と同 等 で あ る.そ

「荷 重 と 同 等 な 力 」 が,集

中 荷 重 と して,対

れ ゆ え,こ

の よ うに して定 め た

応 す る 節 点 に加 わ る と考 え る.こ

の

と き部 材 に 生 じた 応 力 を,「 トラ ス の 解 析 」 に よ っ て 得 られ た 軸 力 に 対 応 す る 応 力 に,加 例1.1: 

え合 わ す と実 際 の 応 力 が 求 ま る. 図8.4(a)に

示 す 部 材 の 中 央(〇 点)に,軸

方 向 に100Nの

集 中 荷 重 が 加 わ る と きは,図

で,図8.4(b)に

示 す よ う に,そ

ら れ た力 が,対

方 向 に60N,軸

に垂 直 な

に示す よ うな支持 反 力 が生 ず る の

れ ら の 「ベ ク トル と して の 向 き」 を反 転 して 得

応 す る 節 点 に 作 用 す る 同 等 な 荷 重 とな る.

  一 平 面 内 に あ る トラ ス を平 面 トラ ス(plane  truss)と い う・ 平 面 トラ ス が 「静 定 トラ ス 」 で あ る こ と を判 定 す る た め に,つ 静 定 ト ラ ス の 判 定 法(十

ぎの 方 法 が 便 利 で あ る. 分 条 件)

  節 点 が ２本 の 部 材 の 接 合 点 に な っ て お り,か つ,こ き,そ の ２本 の 部 材 を 除 去 す る.こ た は 固 定 壁 が 残 る と き,こ

こ の 条 件 を 満 た す トラ ス で は,節

照)

の 条 件 を 満 た さ な い 静 定 トラ ス も存 在 す る.

点 が 溶 接 接 合 され て い て も,こ

械 で よ く用 い ら れ る リ ン ク機 構 は,運

部 材 を追 加 しな け れ ば,ト 不 安 定(unstable)で

の よ う な手 続 き を続 け,最 後 に １本 の 部 材 ま

の トラ ス は 「静 定 」 で あ る ・(例2.3参

こ の 条 件 は 十 分 条 件 で あ る の で,こ

メ ン トは ご く小 さ い.機

の ２部 材 が 一 直 線 に な い と

ラ ス と して 扱 う こ とが で きな い.リ

こ に 生 ず るモ ー 動 が 可 能 で あ り,

ンク ような構造 を

あ る と い う．

  ト ラス を 設 計 す る と き,軸 力 が 正 値 を と り,引 張 力 に な る 部 材 につ い て は,降 伏 応 力 あ る い は0.2%耐

力 を 基 準 強 さ と して 設 計 す る.ま た,軸 力 が 負 値 を と り,

圧 縮 力 に な る 部 材 に つ い て は,両 端 支 持 の 棒 と して の 座 屈 が 部 材 に 生 じな い よ う に,部 材 の 断 面 積 と断 面 形 状 を定 め な け れ ば な ら な い.起 を トラ ス で 作 る場 合 に は,部 材 ご と の座 屈 と と もに,ブ

重 機 の ブ ー ム(boom)

ー ム を 圧 縮 力 を うけ る棒

とみ な し,ブ ー ム 全 体 と して の 座 屈 も考 慮 して 設 計 し なけ れ ば な ら な い.

  8.2 

静 定 トラ ス の 幾 何 学 的 解 法

  図8.1に 壁 面OBと

示 す ト ラ ス を模 式 的 に描 い た もの が 図8.5(a)で 直 交 して い る.

あ る.部

材OAは,

  節 点 Ａ に 下 向 き(ｙ 作 用 す る 力 は,(集 T1,T2が

軸 方 向)の

中)荷

正 値 で あ る と 仮 定 し,ベ

号 の 規 約 に よ り,軸

力T1は,ｘ

を な す 方 向 を 向 く.よ

ク ト ル と し て 図8.5(b)に

の と き節 点 Ａ に あ る 。未 知 の 軸 力

図 示 す る.軸

力 の 符

軸 の 負 方 向 と角 θ

軸 方 向の力 の釣 合 い方 程 式 は ,T2sinθ-P=0

負 値 を と る の で,圧

図8.5の

縮 力 で あ る.

ト ラ ス でP=100N,/0A=300cm,/0B=225cmの

sinθ=3/5,cosθ=4/5で

あ る の で,x,y軸

-T1-T24/5=0 で あ る.こ

力T1，T2で

れ よ り,

が 求 ま る.T1は 例2.1: 

よ び,軸

軸 の 負 方 向 を 向 き,T2は,ｘ

っ て,ｘ,ｙ

-Tl-T2cosθ=0 と な り,こ

荷 重 Ｐ が 作 用 し て い る.こ

重P(>0)お

方 向の 力 の釣 合 い方程 式 は

,T23/5-100N=0

れ よ り T1=-133.3N,T2=166.7N

が 求 ま る.

(ａ)問 題

(ｂ)正 の軸 力

図8.5ト

(ｄ)節 点 に作 用 す る力

ラスの幾 何 学 的解 法

と き,

  図 式 解 法: 

ま ず トラ ス を,図8.5(a)の

よ うに 描 く． ２本 の 部 材 １,２ は,節

点 Ａ で 交 わ る.ま

ず,「力 ま た は 荷 重 の 大 き さ 」 と 「ベ ク トル の 長 さ 」 と の 割 合

を定 め て お く.力

Ｐ の ベ ク トル の 両 側 に 文 字 Ａ,０

の 両 側 に ０,Ｂ;Ｂ,Ａ 小 文 字 の 対 で,力 Ｐ を,そ

の位 置 を定 め る.図8.5(c)で

ま た は 部 材 の 軸 力 を表 す ． こ の 図 で,節

作 用 線 は,そ

の 交 点 を,点

合 う． す な わ ち,ベ 当 す る.し

ｂ とす る.ベ

ク トル →ao,→ob,→baで表 さ れ る 力 は 「閉 じた

重 Ｐ は,ベ

ク トル →ob,→baで 表 され る 力 と釣 り れ ぞ れ ｜P｜,｜T1｜,｜T2｜ に相

た が っ て, 長 さ 」 × 「荷 重 ｜P｜」/「 ベ ク ト ル →aoの 長 さ 」

  ｜T2｜=「 ベ ク ト ル →baの 長 さ 」 × 「荷 重 ｜P｜/「 で あ る 。 上 述 に お い て,力

ベ ク ト ル →aoの 長 さ 」

Ｐ を ベ ク ト ル →oaで 表 し,点o,aを

た は ２ に 平 行 線 を 引 き,そ

の 交 点 を ｂ と し て も,ま

  ベ ク トル→ob,→baの 方 向 が,節 る か ど う か を,図8.5(b)を

ク トル →obの方 向 は,軸

を 表 す. 節 点 Ｂ に作 用 す る軸

照)

は,軸 力 を表 す ベ ク トル の 長 さ は,荷 重 Ｐ と同 じ寸 法 比 で与 式 的 に,軸

例2.2:図8.5(c)で,P=100Nと 170Nと

た,

対 応 す る ベ ク トル の 向 き と 「反 対 の 向 き」 を もつ ベ ク トル

さ は ｜T1｜,｜T2｜ に な る ．(図8.6(b)参

え られ る の で,図

力T1の

」 に 対 応 す る(-T1=｜T1｜).ま

  軸 力 の 符 号 の 規 約 に よ り,節 点 ０ に 作 用 す る軸 力T1と

  図8.5(b),(ｃ)で

正 方 向 と一 致 す

正 方 向 と一 致 す る の で,「力 の 三 角 形 の ベ ク トル →ba

点 Ａ に作 用 す る 部 材 ２ の 軸 力T2」

力T2は,図8.5(c)の

材 １ ま

示 す よ う に 「力 の 三 角 形 の ベ ク トル →obは,節

点 Ａ に 作 用 す る 部 材 １ の 軸 力T1=-｜T1｜ ベ ク トル →baの方 向 はT2の

通 り,部

っ た く 同 じ 結 果 に な る.

点 Ａ に作 用 す る 軸 力T1,T2の

参 照 して 定 め る.ベ

正 方 向 と反 対 なの で,図8.5(d)に

で,長

点 Ａ に

ａ を通 り,部 材 ２ に平 行 な 直 線 と を引

ク トル→ao， →ob,→baの長 さ は,そ

  ｜T1｜=「 ベ ク ト ル→obの

は,節

点 Ａ に 作 用 す る荷 重

れ ぞ れ 部 材 １ と部 材 ２ に 平 行 で あ る の で,

点 ０ を 通 り,部 材 １ と平 行 な 直 線 と,点

力 の 三 角 形 」 を つ くる の で,荷

材 １,２

は,両 側 の 文 字 に 対 応 す る

の 荷 重 に対 応 す る 長 さ を もつ ベ ク トル →abと して 図 示 す る.節

作 用 す る 軸 力T1，T2の

き,そ

を 位 置 させ る.部

力 の 値 を定 め る こ とが で き る ． して,尺 度 を定 め る と,｜T1｜＝130N,｜T2｜ ＝

な る ． 図 面 を大 き く描 く と,実 用 上 十 分 な精 度 を もつ 解 が 求 ま る ．

例2.3:図8.6(a)に

示 す ト ラ ス を 考 え る.OCBDは

図8.5(a)のOABと

同 じ形 で あ る と す る.静

2;3,4;5,６

定 の 判 定 法 を 適 用 す る と,部

の 順 に 除 去 す る と 固 定 壁 だ け に な る の で,こ

あ る.図8.6(b)に

示 す よ う に,力P(→ac)に

T1(→cb),T2(→ba)は,図8.5と こ と が で き る.こ

よ っ て,節

ま っ た く 同 様 に し て(Ｏ

れ ら の 軸 力 が 節 点 Ｂ,Ｃ

こ れ ら の 軸 力T1(→ac),T2(→ab)を が 求 ま る ． ま た,節

め る

用 方 向 が,節

点

を 除 去 し た ト ラ ス に, 力T3(→bd),T4(→da)

点 Ｃ に 加 わ る 荷 重 と し て 作 用 す る 軸 力T1(→bc),T3(→db)を

力T5(→od),T6(→co)を

求 め る こ と が で き る.

(ｂ)部 材 １,２ の 除 去 モ デ ル

図8.6ト   こ の よ う な 手 続 き は,ク

ラス の 図式解 法

レ モ ナ の 図 式 解 法(Cremona's

graphic

method)と

呼

築 技 術 者 が よ く用 い る ．

8.3ト

ラ ス の 切 断 法

  １つ の 断 面 (method

ｓ で 切 断 さ れ た ト ラ ス の 部 材 の 軸 力 を 求 め る た め に は,切

of section)を

ｓ に よ っ て,３ 図8.7(b)に

力T4,  T5,T6を

同 じ ト ラ ス で あ る.図8.7(a)に

部 材 ４,５,６

示 す よ う に,断

あ る部材

断 法

用 い る の が 便 利 で あ る.

  図8.7(a)は,図8.6(a)と

側)に

材 １,２

１,

Ａ に作 用 す る 軸 力

を Ｃ と 交 換 す る)定

荷 重 と し て 作 用 さ せ る と,軸

(ａ)問 題

ば れ,建

点

材

の トラス は静定 で

に 作 用 す る と き は,作

Ａ に 作 用 す る と き と 逆 に な る こ と に 注 意 す る.部

用 い て,軸

長 方 形 を な し,CABは

１,２,３

が 切 断 さ れ る.３ 面

ｓ の 片 側 で,固

示 す よ う に,断

軸 力T4，T5,T6を

定 壁 に 固 定 さ れ て い な い 側(右

が 構 成 す る ト ラ ス を １つ の 剛 体 と み な し て,未

含 む 釣 合 い 方 程 式 を 導 き,こ

面

求 め る た め,

れ を 解 い て,軸

力T4,T5,T6を

知 の軸 求

め る.釣

合 い を 考 え る と き部 材 １,２,３

よ り な る ト ラ ス の 代 わ り に,切 断 面 Ｓ

の 右 側 の 構 造 を す べ て 剛 体 とみ な し て も よ い(演   まず,モ

習 問 題 ８ 問 ３ 参 照)．

ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 を考 え る.２ つ の 軸 力 の 作 用 線 の 交 点 周 りの

「モ ー メ ン トの釣 合 い 方 程 式 」 よ り,第 ３の 軸 力 を 直 ち に 定 め る こ とが で き る.こ の 手 続 き に よ って,２ で あ るか,交

つ ま た は ３つ の 軸 力 が 定 ま る ． ２つ の 軸 力 の 作 用 線 が 平 行

点 が 遠 方 で あ る と きは,モ

３の 軸 力 は 定 ま ら な い か,定

ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 に よ って は,第

ま っ て も精 度 が 悪 くな る の で,「力 の 釣 合 い 方 程 式 」

を用 い る ．

(ａ)問 題

(ｂ)切 断

図8.7切 断法 に よる軸 力 の決 定   図8.7(b)に

よ り,軸 力T4とT5の

作 用 線 の 交 点 で あ る節 点 Ｄ 周 りの モ ー メ ン

トの 釣 合 い 方 程 式 は -T6×/OD-P×OA=0 で あ る.こ れ よ り軸 力T6が

求 ま る.同 様 に,軸 力T5とT6の

作 用線 の交 点 であ

る 節 点 Ｃ 周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 は T4x/CB-Px/CA=O で あ る 。 こ れ よ り軸 力T4が   軸 力T4,T6の

求 ま る.

作 用 線 の 交 点 は 存 在 しな い の で,軸 力T5を

メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 を用 い る こ とが で きな い.そ 用 い る.こ

定 め る た め に,モ ー

れ ゆ え,力 の 釣 合 い 方 程 式 を

れ には ｘ軸 方 向 の力 の釣合 い方程 式 と ｙ軸 方 向 の力 の釣 合 い方程式

が あ る が,実

際 に は ｙ 軸 方 向 の 力 の 釣 合 い 方 程 式 の 方 が 便 利 で あ る.こ -T5sin∠OCD+P=0

れは

で あ り,直

ち に 軸 力T5が

得 ら れ る.ｘ

軸方 向 の力 の釣合 い 方程 式 は

-T4-T5cos∠OCD-T6=0

で あ る.こ

の 式 か ら も,前

例 ３.1:図8.7(ａ)の CB=225cmの

と 同 じ結 果 が 求 ま る.

ト ラ ス でP=100N,OA=450cm, 

CA=300cm,OD=

と き,sin∠OCD=3/√13,cos∠OCD=2/√13で

あ る の で,節

点 Ｄ 周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 は -T6×225cm-100N×450cm=0

で あ る.こ

れ よ り軸 力T6=200Nが

求 ま る.同

様 に,軸

力T5,T6の

作 用線 の

交 点 で あ る節 点 Ｃ 周 りの モ ー メ ン トの 釣 合 い 方 程 式 は T4×225cm-100N×300cm=0 で あ る.こ

れ よ り軸 力T4=30000/225=133.3Nが

求 ま る,ｙ

軸 方 向 の力 の釣

合 い方程 式 は

で あ り,直 ち に 軸 力T5=120.2Nが

得 られ る.ｘ 軸 方 向 の 力 の 釣 合 い 方 程 式 を

用 い て も,同

じ結 果 が 得 ら れ る.

  8.4変

位 の算 定

  静 定 ト ラ ス の 節 点 の 変 位 を 求 め る た め の 図式 解 法 も あ る が,カ 理 を 応 用 す る の が 便 利 で あ る.図8.8(ａ)に (こ の 図 の 場 合 は ｙ 軸 方 向)の   まず,図8.8(ａ)に る.つ

変 位 λ を求 め る.

よ り,求 め る べ き節 点 Ｃ の 変 位

Ｑ を作 用 させ る.た

ず る 部 材 の 軸 力TQi,(i=1,…,6)を そ の 比 例 係 数TQiを

点 Ｃ の １方 向

よ り,こ の トラ ス の 全 部 材 の軸 力Ti,(i=1,…,6)を

ぎ に,図8.8(ｂ)に

方 向 に,力

示 す 問 題 を考 え る.節

ス チ リア ノの 定

「Q=1に

と え ばQ=1Nと 求 め る.軸

す る.こ 力TQiは

求め

λ と 同 じ節 点,同

じ

の力 Ｑ に よって生 Ｑ に 比 例 す る の で,

よ る 軸 力i」 とい う.す な わ ち,

(8.2)

で あ り,こ の 値 は,Ｑ で あ っ て も,同

が ０ 以 外 の,ど

の よ うな 数 値 で あ っ て も,ま た,単 位 が 何

じ無 次 元 の 値 を与 え る.Ｑ

て 生 ず る 軸 力 はQTQiと

が 一 般 の 値 を と る と き,力

Ｑ に よっ

な る,

  与 え ら れ た 荷 重 Ｐ と力 Ｑ が 同 時 に加 わ る と き の 軸 力 はTi+QTQiと

な り,対

応 す る ひず みエ ネルギ ーは

で あ る.こ

こ に,Ei,Ai,liは,部

材 ｉの 縦 弾 性 係 数,断

ス チ リ ア ノ の 定 理 を 適 用 す る と,変

位

面 積,長

さ で あ る.カ

λ は

(8.3) に よ っ て 算 定 で き る.こ

の 式 の 項(Tili)/(EiAi)は,荷

重 Ｐ に よ る 部 材iの

伸

び で あ る.

(ａ)問 題

(ｂ)カ スチ リア ノの定 理 の応 用

図8.8変

  λ が,Ｐ TQiと

の 着 力 点 の 変 位 で あ り,方

位 の算 定

み な し,(8.3)式

向 も 一 致 す る と き は,Ｐ

TQi= を用 い れ ば よ い.

とTiと

をQと

に Ti / P

(8.4)

演 習 問 題

８

１.図8.9(ａ)に の,軸

示 す ト ラ ス の 節 点 Ｃ に,下

力T5,T6を

OC=150cm, 

求 め な さ い.た OD=225cmで

向 き の 荷 重P=100kgfが

だ し,線 分OCとODと

加 わ る とき

は 互 い に 垂 直 で あ り,

あ る と す る.[図8.9(ｂ)を

参 考 に して,釣

合 い方

程 式 を 求 め な さ い.] ２.問 題 １ に お い て,部 106kgf/c㎡

材 の 断 面 寸 法 を す べ て1cm×1cm,縦

と す る と き,節

点 Ｃ の 下向 きの変位

弾 性 係 数 をE=

λ を求 め な さ い.

(ｂ)釣 合 い

(ａ)問 題 図8.9幾

３.図8.10の 材1,3,4の ４.図8.11に

何 学的 方 法

図8.10切

ト ラ ス の 節 点 Ａ に,鉛

断法

直 下 向 きの 荷 重P=1kNが

作 用 し て い る.部

軸 力 を 切 断 法 に よ っ て 求 め な さ い.[断 面 Ｓ で 切 断 し て 考 え な さ い.] 示 す 両 端 支 持 の トラ ス の 中 央 に,荷 重P=1000Nが

加 わ る と き,各 部

材 の 応 力 を 求 め な さ い.部 材 の 長 さ は す べ て 等 し く,そ れ らの な す 角 は す べ て60ﾟ で あ る.[は り と 同 じ よ う に,ま ず 支 持 反 力RA,RBを 求 め,支 持 拘 束 を 取 り除 い て,支

持 反 力 を外 荷 重 と して トラ ス に 作 用 させ る.形 状 と荷 重 の 対 称 性 に よ り,部

材1,7;部

材2,6;部

材3,5の

軸 力 は,そ

図8.11両

れ ぞ れ 等 しい.]

端 支 持 の トラ ス

５.図8.12(ａ)に

示 す 正 方 形 の トラ ス(斜

に鉛 直 下 向 き の 荷 重P=10kNが

部 材 は 交 点 で 接 合 さ れ て い な い)の

作 用 して い る.こ

,節 点 Ａ の と きの 各 部 材 の 軸 力 を 求 め

な さ い.た

だ し,各 部 材 の 断 面 積 を.A=100m㎡,縦 弾 性 係 数E=206GPa , 正 方 形 の 辺 の 長 さl=1mと す る.[不 静 定 ト ラ ス の 例 で あ る.図8.12(ｂ)に 示す よ う に 節 点 Ｄ に お い て 部 材5(AD)を は ず し,そ の 代 わ り に 未 知 の 軸 力 Ｑ を 導 入 す る と,静 定 に な る.こ

の 手 続 き を静 定 化 と い う.Q=0と

し て ,荷 重 Ｐ に よ

る 軸 力TPiと 節 点 Ａ のAD方 向 の 変 位 λｐ を カ ス チ リ ア ノ の 定 理 に よ っ て 求 め る.つ ぎ にP=0と して 「Q=1に よ る 軸 力 」TQi=TQi(Q=1)と ,節 点 Ａ のAD方 向 の 対 応 す る 変 位 λ(Q=1)(l/Pと 同 じ単 位 に な っ て い る)を 定 め る と 実際 , の 軸 力 Ｑ(単 位 付 き)に よ る 変 位 はQλ(Q=1)と な る .同 様 な 手 続 き に よ り, 軸 力Q=N5=1に よ る 部 材 ５ の 伸 び を △l(Q=1)5と す る と,実 際 の Ｑ に よ る 伸 び はQ△l(Q=1)5と

な る.２

つ の 方 法 で 求 め た 節 点 Ａ,Ｄ

等 置 して,Q=-λP/(λ(Q=1)+△l(Q=1)5(Pと る.部 材1,…,4の 軸 力 はTi+QTQiで

(ａ)問 題 図8.12正

あ る.]

(ｂ)部 材5(AD)を 方 形 の トラス

間 の距 離 の減 少量 を

同 じ単 位 に な っ て い る)が 定 ま

開放,静 定化

■ 計 算プ ログ ラム

  本 プ ロ グ ラ ム は マ イ ク ロ ソ フ ト社 のQuick る と きは,適

 プ ロ グ ラ ム   まず,使

BASICに

よ る.他

のBASICに

よ

当 に 書 き直 す 必 要 が あ る. １ ：

主 応 力の算 定

用 す る 単 位 系 を 表0.3に

した が っ て 定 め る.

  縦 弾 性 係 数 の 数 値 を換 算 して お く.機 械 工 学 便 覧 で は 「縦 弾 性 係 数 Ｅ の 単 位 がGPa=1000MPaで

与 え られ て い る 」 の で,採

して お く.表0.3に

用 し た 単 位 系 に 応 じて,換 算

した が っ て 定 め た応 力 の 単 位 を[応

  測 定 し た 「ひず み 」 は,「マ イ ク ロ(μ=10-6)」

力]と

す る.

を単 位 と 同 じ よ うに 扱 っ て 整

理 して お く.

PRINT〝****主 PAINT〝

応 力****〟

表0.3の

単 位 系 を 定 め,応

力 の 単 位 を[応

力]と

す る.〟

Pi=3.1416 mu=10^(-6) INPUT〝

ボ ア ソ ン比

INPUT〝

縦 弾 性 係 数E(単

PRINT〝

材 料 特 性 ：-〟

PRINT〝

ポ ア ソ ン比

PRINT〝

ν 〟;nu 位 は[応

ν=〟;nu,〝

力])〟;Ｅ

縦 弾 性 係 数E=〟;Ｅ;〝[応

３ 方 向 ひ ず み ゲ ー ジ の 測 定 値(単

INPUT〝

ひず み

εx(単

位

μ)〟;epsx

INPUT〝

ひず み

εy(単

位

μ)〟;epsy

INPUT〝

ひず み

ε45(単

PRINT〝 εx=〟;epsx;〝 〝 ε45=〟;eps45;〝 ,せ

ん断 ひず み

γxyの

位

位

μ=10^(-6))を

μ)〟;eps45

μ 〟,〝

εy=〟;epsy;〝

μ 〟,

μ

,μ=10^(-6)〟 算定

gamma=2*eps45-epsx-epsy PRINT〝 せ ん 断 ひ ず み γxy=〟;ga㎜a;〝 IFepsa＞epsyTHEN theta1=.5*ATN(gamma/(epsx-epsy))*(180/pi)

μ,μ=10^(-6)〟

力]〟 入 力 〟

theta2=theta1+90 ELSEIF

epsx＜

＞epsy

THEN

theta2=.5*ATN(gamma/(epsx-epsy))*(180/pi) theta1=theta2-90 ELSEIF

gamma＞0THEN thetal=45 theta2=-45

ELSEIF

gamma＜0

THEN

theta1=-45 theta2=45 ELSE

theta1=0 theta2=90

END

IF

PRINT〝

主 方 向:-〟

PRINT〝 θ1=〟;theta1;〝゜ ′ 最 大 せ ん 断 ひ ず み γmaxの

〟,〝 θ2=〟;theta2;〝゜ 算 定

〟

gammam=SQR((epsx-epsy)^2+gamma^2) ′主 ひず み ε1 ,ε2の 算 定 eps1=(epsx+epsy+gammam)/2 eps2=(epsx+epsy-gammam)/2 PRINT〝

最 大せ ん断 ひず み

PRINT〝

主 ひ ず み:‐ 〟

PRINT〝

ε1=〟;eps1;〝

γmax=〟;gammam;〝μ,μ=10^(-6)〟

μ 〟,〝

ε2=〟;eps2;〝

μ〟

taum=gammam*E*10^(-6)/2/(1+nu) PRINT〝

最 大 せ ん断 応力

τmax=〟;taum;〝[応

力]〟

sigma1=(eps1+eps2*nu)*E*10^(-6)/(1-nu^2)  sigma2=(eps1*nu+eps2)*E*10^(-6)/(1-nu^2) PRINT〝 主 応 力:〟 PRINT〝

σ1=〟;sigma1,〝

入 力 例 と し て,演

習 問題

σ2=〟;sigma2;〝[応

３ 問 ２ を 用 い な さ い.

プ ロ グ ラ ム ２:一

様断面は り

 一 様 断 面 の 長 さ Ｌ の は りに

,ｎ 個 の 集 中荷 重 Ｐ が 加 わ る と き,NE+1個

点 に お け る た わ み ｖ,曲 げ モ ー メ ン トBM,せ は,縦

力]〟

ん 断 力SFを

弾 性 係 数 Ｅ と 断 面 ２次 モ ー メ ン ト Ｉ と の積 で あ る.

境 界 条 件:４

種 類 の 条 件 に 応 じ てBEの

値 を 定 め る.

両 端 支 持 は りBE=1;右

端 固 定 片 持 は りBE=2;

左 端 固 定 片 持 は りBE=3;両

端 固 定 は りBE=4

単 位 の 統 一:表0.3に

した が っ て 単 位 を 統 一 す る.

求 め る.曲

の算 定 げ 剛 性EI

単 位統 一 例:長

さ,座 標,た わ み

集 中荷 重,せ ん断力

曲げ モ ー メ ン ト

曲げ剛 性

L,x,a,v 

P,SF 

BM 

EI

SI(cm) 

cm 

N 

N・cm 

N・c㎡

工 学(mm) 

mm 

kgf 

kgf・mm 

kgf・m㎡

DECLARE

SS(BM!,SF!,v!)

DECLARE DECLARE

RCNT(BM!,SF!,v!) LCNT(BM!,SF!,v!)

DECLARE

CLMP(BM!,SF!,v!)

DIM

SHARED 

x!,xx!,a!,b!,P!,L!,EI!

PRINT〝**一

様 断 面 の は りの 曲 げ モ ー メ ン ト,せ ん 断 力,た

わ み**〟

PRINT〝

両 端 支 持 は りBE=1;右

端 固 定 片 持 は りBE=2〟

PRINT〝

左 端 固 定 片 持 は りBE=3;両

端 固 定 は りBE=4〟

INPUT〝BE=:-〟;BE IF

BE=1THEN

PRINT〝***両

端 支 持 は り***〟

IF

BE=2THEN

PRINT〝***右

端 固 定 片 持 は り***〟

IF

BE=3THEN

PRINT〝***左

端 固 定 片 持 は り***〟

IF

BE=4THEN

PRINT〝***両

端 端 固 定 は り***〟

INPUT〝

は り の 長 さ 〟;L

INPUT〝

集 中荷重 の数

INPUT〝

分 割 数NE(算

INPUT〝 PRINT〝

〟;n

定 点 の 数 はNE+1)〟;NE

曲 げ 剛 性EI〟;EI 長 さ 〟;L;〝

PRINT〝I番

集 中 荷 重 の 数 〟;n;〝

目 の 集 中 荷 重P(I)と

′便 宜 上P1(I),a1(I)に

分 割 数 〟;NE;〝

そ の作 用 点 位 置a(I)の

曲 げ 剛 性 〟;EI

入 力:‐ 〟

入力 す る

FOR 0I=1TOn PRINT〝I=〟;I INPUT〝P(I)";P1(I) INPUT〝a(I)〟;a1(I) NERT

FOR

I=1TOn

PRINT〝

集 中 荷 重P(〝;I;〟)=〝;P1(I),〟

作 用 点a(〝;Ｉ;〟)=〟;a1(I)

NERT PRINT〝 FOR

座標

J=0

x=L*J/NE xx=L-x

TO

ｘ,た NE

わ みv,曲

げ モ ー メ ン トBM,せ

ん 断 力SF〟

BM=O SF=O v=0 C=0 FORI=

1TOn

a=al(1) b=L-a

P=P1(1) 1THEN

ⅠFBE置

BM,n)

THENCALL

RCNT(SF, LCNT(SF,

THENCALL

CLMP(SF,

BM,v)

THENCALL

IFBE=3 IFBE=4 IFx=

BM,v)

CALLSS(SF,

ⅠFBE冒2

BM,v)

aTHENC=一P

NERT

IFJ=OTHEN RA=SF MA冒BM ENDIF IFJ=NETHEN RB=一SF-C MB讐BM END工F

IFBE=2

THE餌RA=0

IFBE=3

THENRB=0

PR.1珂Tl。x雷

。,;x,こlv胃,曾;v,1騨M=・,;

BM,IIF=1.;SF;1「+(1,;C;曾o),1

NEXT

"左 か ら点Xを

PRINT

こ え る と き Fは()内 の値 だけ 不連 続 的 に増 す" , 連 続 で あ る こ とを意味 す る"

はFが

PRINT"(0)

"支 持 反 力RA=・1;

PRINT

RA;

"支 持 反 力RB='; PRINT"

fMn=of;

「MH摺0」

PRINT"BRA=0, SUBSS(SF, 'BE=1 IFa