Теория функций комплексной переменной: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Т Е О РИ Я Ф У Н К Ц И Й К О М П Л Е К С Н О Й П Е РЕМ Е Н Н О Й У чебно-метод и ческоепособи ед ля студ ентов, обучающи хся по специ аль ностям: 010701 (010400) – « Ф и зи ка» 010801 (013800) – « Рад и оф и зи ка и электрони ка» 010803 (014100) – « М и кроэлектрони ка и полупровод ни ковы епри боры »

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тверж д ено научно-метод и чески м советом ф и зи ческог о ф акуль тета (протокол№ 2 от24.02.2005)

С остави тель Д еревяг и на Е лена И вановна

У чебно-метод и ческоепособи епод г отовлено на каф ед рематемати ческой ф и зи ки ф и зи ческог о ф акуль тета В оронеж ског о г осуд арственног о уни верси тета. Рекоменд уется д ля студ ентов, обучающи хся по специ аль ностям « Ф и зи ка», « Рад и оф и зи ка и электрони ка», « М и кроэлектрони ка и полупровод ни ковы епри боры ».

3

О гла вление Гла ва 1. К омплексна я переменна я ифункциикомплексной переменной 1.1 Комплексны ечи сла и д ействи я сни ми … … … … … … … … … … … … .… 4 1.2 П ред елпослед ователь ности комплексны х чи сел… … … … … … … … … 7 1.3 П оняти еф ункци и комплексной переменной. Н епреры вность … … … ...8 1.4 Д и ф ф еренци ровани еф ункци и комплексной переменной… … … … … ..9 1.5 И нтег ралпо комплексной переменной… … … … … … … … … … ...… … 11 1.6 И нтег рал Коши … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..15 Гла ва 2. Ряды а на литических функций 2.1 Равномерно сход ящи еся ряд ы ф ункци й комплексной переменной… .17 2.2 С тепенны еряд ы . Ряд Т ейлора… … … … … … … … … … … … … … … … .19 2.3 Е д и нственность опред елени я анали ти ческой ф ункци и … … … … … … 22 2.4 Ряд Л орана… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .25 2.5 Класси ф и каци я и золи рованны хособы хточекод нозначной ф ункци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 28 2.6 Т еори я вы четов. В ы чи слени еопред еленны хи нтег ралов спомощь ю вы четов… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .30 2.7 П реобразовани еЛ апласа… … … … … … … … … … … … … … … … … … ..34 С пи сокли тературы … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...38

4

Гла ва 1. К омплексна я переменна я ифункциикомплексной переменной 1.1 К омплексны е числа идействия c ними П од комплексны м чи слом z пони маютупоряд оченную пару д ействи тель ны хчи сел a и b : z = (a, b ) . Комплексноечи сло z = (a,−b ) = a − ib назы вается комплексно сопряж енны м чи слу z = a + ib . Д ва комплексны хчи сла z1 = (a1 , b1 ), z 2 = (a 2 , b2 ) равны ли шь при a1 = a2 , b1 = b2 . a – д ействи тель ная часть чи сла z , a = Re z , b – мни мая часть чи сла z , b = Im z . z = (1,0 ) =1 , z = (0,1) = i – мни мая ед и ни ца Д ейств и я с к о м плек сны м и чи слам и 1. С лож ен и е. Е сли z1 = a1 + ib1 = a1 b1 , z 2 = a 2 + i b2 = a 2 b2 , то z = z1 + z2 = a1 + a2 + i (b1 + b2 ) , z = (a , b ) , a = a1 + a2 , b = b1 + b2 . Н улем назы вается комплексноечи сло 0 = (0,0), z + 0 = z . 2. Вы ч и т ан и е. Е сли z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + i b2 , то z = z1 − z2 = (a, b ) ,

(

)

(

)

z = (a , b ) , a = a1 − a2 , b = b1 − b2 . 3. П рои зведен и ек ом плек сн ы хч и сел z = z1z 2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 − b1b2 + ia2b1 =

= a1a2 − b1b2 + i (a1b2 + a2b1 ), z = (a , b ) a = a1a 2 − b1b2 , b = a1b2 + a 2 b1 . z z z 4. Делен и е. z= 1 = 1 2 . z2 z 2 2

z a a +b b b a − b2 a1 z= 1 = 1 2 1 2 + i 1 2 . z2 a22 + b22 a22 + b22 Г ео м етр и ческ ая и нтер пр етаци я к о м плек сно го чи сла Е стественной г еометри ческой и нтерпретаци ей является и зображ ени е комплексног о чи сла z = a + ib точкой M ( x, y ) с д екартовы ми коорд и натами x = a, y = b . Ч и сло z = 0 стави тся в соответстви е началу коорд и нат д анной плоскости . Т акая плоскость назы вается комплексной, ось абсци сс – д ействи тель ной, ось орд и нат– мни мой ось ю комплексной плоскости . У станавли вается взаи мно од нозначное соответстви е меж д у множ еством всех комплексны х чи сели множ еством точеккомплексной плоскости .

5 Imz М b ρ

ϕ

a Rez Ри с1. В осполь зуемся связь ю д екартовы х ( x , y ) и полярны х( ρ,ϕ ) коорд и нат: x = ρ cos ϕ , y = ρ cos ϕ ( ρ - расстояни е точки от начала коорд и нат, ϕ - уг ол, которы й составляет рад и ус – вектор д анной точки с полож и тель ны м направлени ем оси абци сс). П олучи м три г онометри ческую ф ормузапи си комплексног о чи сла: z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , O

ρ = z - мод уль комплексног о чи сла z : ρ = a 2 + b 2 , b ϕ = Arg z - арг ументкомплексног о чи сла : tgϕ = . a (П ри вы боре и з послед нег о уравнени я значени я ϕ след ует учесть знаки a и b). П олож и тель ны м направлени ем и зменени я уг ла ϕ счи тается направлени е проти в часовой стрелки ( − ∞ < ϕ < ∞). Arg z опред елен не од нозначно, а с точность ю д о ад д и ти вног о слаг аемог о, кратног о 2π . О бозначи м через arg z значени е арг умента, заключенное в пред елах ϕ 0 ≤ arg z < 2π + ϕ 0 , г д е ϕ 0 - прои зволь ное ф и кси рованноечи сло ( в д аль нейшем счи таем ϕ 0 = − π , тог д а Argz = arg z + 2κπ (κ = 0,±1, ± 2,...) . Арг умент комплексног о чи сла z =0 не опред елен, а ег о мод уль равен нулю. И споль зуя ф ормулу Э йлера e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , получаем показатель ную ф ормузапи си комплексног о чи сла: z = ρ eiϕ . Д ва комплексног о чи сла z1 = ρ1 e iϕ1 и z 2 = ρ 2 e iϕ 2 равны , если ρ1 = ρ 2 , ϕ1 = ϕ 2 . С оответстви емеж д умнож еством всехкомплексны х чи сел и векторами на плоскости позволяет отож д естви ть операци и слож ени я и вы чи тани я комплексног о чи сла ссоответствующи ми операци ями над векторами . П ри этом лег ко устанавли ваются неравенства треуг оль ни ка: z1 + z2 ≤ z1 + z2 , z1 − z2 ≥ z1 − z2 .

6

y z1 + z2

z2

z1 − z 2

z1 o

x Ри с. 2. Д ля вы полнени я операци и умнож ени я и д елени я уд обно поль зовать ся три г онометри ческой и показатель ной ф ормой комплексног о чи сла z = z1 z 2 = ρ1e iϕ1 ρ 2 eiϕ 2 = ρ1 ρ 2 e i (ϕ1 +ϕ 2 ) = = ρ1 ρ 2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )), г д еϕ - арг ументкомплексног о чи сла z1 ρ1e iϕ1 ρ1 i (ϕ1 − ϕ 2 ) z= = = e = z 2 ρ 2 e iϕ 2 ρ 2 =

ρ1 (cos(ϕ1 −ϕ 2 )+ i sin (ϕ1 −ϕ 2 )). ρ2

Во зведени е в степень и и звлечени е к о р ня и зк о м плек сно го чи сла П ри возвед ени и комплексног о чи сла z1 = ρ1eiϕ1 в целую полож и тель ную

степень n, получаем комплексноечи сло z = ρ eiϕ :

z = z1n = ρ1n einϕ1 = ρ1n (сosnϕ1 + i sin nϕ1 ) , при этом ρ eiϕ = ρ1n einϕ1 , след ователь но, ρ = ρ1n , ϕ = nϕ1. . Комплексное чи сло

z1 = n z

назы вается корнем n-й

степени

из

комплексног о чи сла z, если z = z1n :

ρ1n = ρ ; ρ1 = n ρ ; ρ1n einϕ1 = ρ ei (ϕ + 2 π κ ) , (ϕ + 2πk ) ; k = 0,1, ..., n − 1 . nϕ1 = ϕ + 2πk ; ϕ1 = n 31

i 2π iπ − 3 , ( z1 )3 = e 3 . получаем (z1 )1 =1, ( z1 )2 = e

П ри мер: при нахож д ени и корня Ч и сло разли чны х значени й корня n - ой степени и з комплексног о чи сла z равно n , если арг ументопред елен сточность ю д о 2kπ . Т очки на комплексной плоскости , соответствующи е разли чны м значени ям корня n -ой степени и з

7

комплексног о чи сла z , располож ены в верши нах прави ль ног о n -уг оль ни ка, впи санног о в окруж ность рад и уса n ρ сцентром в точке z = 0 .

1.2 П редел последова тельностикомплексны х чисел Опр еделени е. П оследоват ельн ост ью к ом плек сн ы хч и сел н азы вает ся перен ум ерован н оебеск он еч н оем н ожест во к ом плек сн ы хч и сел. О бозн: {zn}, комплексны ечи сла zn назы ваются ееэлементами . Опр еделени е. Ч и сло z н азы вает ся пределом последоват ельн ост и {zn}, если для любого положи т ельн ого ч и сла ε м ожн о ук азат ь т ак ой н ом ер N(ε), н ач и н ая ск от орого всеэлем ен т ы zn эт ой последоват ельн ост и удовлет воряют н еравен ст ву |z-zn| 0 мож но указать такой номер N , что

rn < ε при n ≥ N . Н еобход и мы м и д остаточны м при знаком сход и мости ряд а (2.1) является

к р и тер и й Ко ши : ∀ε , ∃ N , что

n+ p

∑ ak < ε при n ≥ N , ∀ p.

k =n

Н еобход и мы м услови ем сход и мости ряд а (2.1) является требовани е: lim an = 0 . n →∞

Е сли сход и тся ряд ∞

∑ ak

k =1

(2.2)

сд ействи тель ны ми полож и тель ны ми членами , то сход и тся и ряд (2.1), которы й в этом случаеназы вается абсолютно сход ящи мся. Ф унк ци о нальны е р яды Вы ражен и еви да ∞

∑ un ( z ) ,

n =1

(2.3)

где {un ( z )}- беск он еч н ая последоват ельн ост ь одн озн ач н ы х ф ун к ци й D , н азы вает ся к ом плек сн ой перем ен н ой, определен н ы х в област и

18

ф ун к ци он альн ы м рядом . П ри ф и к си рован н ом зн ач ен и и z 0 ∈ D ряд превращает ся в ч и словой ряд ви да (2.1). Фун к ци он альн ы й ряд (2.3) н азы вает ся сходящи м ся в област и D , если при любом z∈ D соот вет ст вующи й ем у ч и словой ряд сходи т ся. В области D мож но опред ели ть од нозначную ф ункци ю ϕ ( z ) , значени е которой в каж д ой точке области D равно сумме соответствующег о чи словог о ряд а. Э та ф ункци я назы вается суммой ряд а (2.3) в области D . В этом случае д ля ∀ z ∈ D, ∀ε > 0 ∃ N (ε , z ) , что

n

f ( z ) − ∑ uk (z ) < ε . k =1

Рав но м ер ная схо ди м о сть Если для ∀ ε > 0 ∃ N (ε ) т ак ой, ч т о при n ≥ N (ε ) н еравен ст во n

f ( z ) − ∑ uk (z ) < ε k =1

вы полн яет ся сразу для всех z ∈ D , т о ряд (2.3) сходящи м ся в област и D .

н азы вает ся равн ом ерн о

∞

О бозначи м rn ( z ) =

∑ u k ( z ) , тог д а услови еравномерной сход и мости

k = n +1

запи шем в ви д е rn ( z ) < ε при

n ≥ N (ε ) .

Д о стато чны й пр и знак р ав но м ер но й схо ди м о сти . Пр и знак В ейер штр асса Если всюду в област и D ч лен ы ф ун к ци он альн ого ряда (2.3) м огут бы т ь м ажори рован ы ч лен ам и абсолют н о сходящегося ч и слового ряда, т о ряд (2.3) сходи т ся равн ом ерн о в област и D . ∞

Док азат ельст во: по услови ю un ( z ) ≤ an , z ∈ D . Т аккакряд ∑ an сход и тся, n =1

∞

то ∀ ε > 0 ∃ N , что ∑ ak < ε при n ≥ N . Т ог д а k = n +1

∞

∑ uk (z ) ≤

k = n +1

∞

∞

k = n +1

k = n +1

∑ u k ( z ) ≤ ∑ ak < ε , при n ≥ N , что и требовалось д оказать .

Кр и тер и й Ко ши . Необходи м ы м и дост ат оч н ы м услови ем равн ом ерн ой сходи м ост и ряда (2.3) в област и D являет ся сущест вован и е для ∀ ε > 0 т ак ого N (ε ) , ч т о одн оврем ен н о во всех т оч к ах област и D вы полн яет ся соот н ош ен и е Sn + m ( z ) − S n ( z ) < ε при n ≥ N и для любого н ат уральн ого m .

19

∞

Св о йств а р ав но м ер но схо дящ и хся р ядо в . Тео р ем ы В ейер штр асса Тео р ем а 1. Если ф ун к ци и un (z ) н епреры вн ы в област и D , а ряд

∑ un ( z ) сходи т ся в эт ой област и равн ом ерн о к ф ун к ци и f (z ) , т о

n =1

f (z )

т ак жен епреры вн а в област и D . Тео р ем а 2. Если ряд (2.3) н епреры вн ы х ф ун к ци й un (z ) сходи т ся равн ом ерн о в област и D к ф ун к ци и f ( z ) , т о и н т еграл от эт ой ф ун к ци и по любой к усоч н о-гладк ой к ри вой C ∈ D м ожн о вы ч и сли т ь пут ем поч лен н ого и н т егри рован и я ряда (2.3), т .е. ∞

∫ f (ζ )dζ = ∑ ∫ un (ζ )dζ n =1C

С

Тео р ем а 3 (тео р ем а Вейер штр асса). П уст ь ф ун к ци и un ( z ) являют ся ∞

ан али т и ч еск и м и в област и D , а ряд ∑ un ( z ) сходи т ся равн ом ерн о в любой n =1

зам к н ут ой подобласт и D′ област и D к ф ун к ци и f ( z ) . Тогда: 1. f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в област и D . ∞ ( k) 2. f ( z ) = ∑ un(k )( z ) . ∞

n =1

3. Р яд ∑ un(k ) ( z ) сходи т ся равн ом ерн о в любой зам к н ут ой подобласт и D′ n =1

област и D . 2.2 С тепенны е ряды . Ряд Т ейлора Если u n ( z ) = cn ( z − z0 )n , гдеcn - к ом плек сн ы еч и сла, z0 - ф и к си рован н ая т оч к а к ом плек сн ой перем ен н ой, т о ряд (2.3) н азы вает ся ст епен н ы м и и м еет ви д ∞

n ∑ cn ( z − z 0 ) .

(2.4)

n =0

Ч лены ряд а (2.4) являются анали ти чески ми ф ункци ями на всей комплексной плоскости . О бласть сход и мости степенног о ряд а (2.4) опред еляется след ующей теоремой. ∞

Тео р ем а Абеля. Если ст епен н ой ряд ∑ cn ( z − z 0 )n сходи т ся в н ек от орой n =0

т оч к е z1 ≠ z0 , т о он абсолют н о сходи т ся и в любой т оч к е z , удовлет воряющей услови ю z − z 0 < z1 − z 0 , при ч ем в к руге z − z 0 ≤ ρ ради уса ρ , м ен ьш его z1 − z 0 , ряд сходи т ся равн ом ерн о.

20

Док азат ельст во: В ы берем прои зволь ную точку z , уд овлетворяющую услови ю ∞

z − z 0 < z1 − z 0 , и рассмотри м ряд ∑ cn ( z − z 0 )n . n =0

О бозначи м z − z0 = q z1 − z0 , q < 1 . В сечлены ряд а (2.4) стремятся к нулю при n → ∞ . С лед ователь но, ∃ const M такая, что cn ⋅ z1 − z 0 M С лед ователь но, cn ≤ . Т ог д а n z1 − z0 ∞

(

∑ сn z − z0

n=0

)

n

n

≤M .

n

∞

≤ ∑ cn ⋅ z − z 0

n

n=0

z − z0 . ≤M∑ z1 − z0

∞ z − z0 0) расстояни е ли ни и L д о г рани цы области D , т. е. ми ни мум всевозмож ны х расстояни й меж д у д вумя точками , и з которы х од на при над леж и тли ни и L, а д руг ая — г рани цеобласти D . О чеви д но, d круг сцентром в любой точкели ни и L рад и уса цели ком леж и тв области D . 2 В след стви е разобранног о вы ше частног о случая д анны е ф ункци и совпад ают d меж д усобой всюд увнутри круг а сцентром в точке a рад и уса , таккакточка 2 d a есть пред ель ная точка множ ества Е (ри с.6). Заставляя центр круг а рад и уса 2 непреры вно д ви г ать ся по ли ни и L отточки a д о точки b , мы ви д и м, что наши ф ункци и д олж ны совпад ать всевремя меж д у собой внутри круг а, каково бы ни бы ло полож ени еэтог о д ви ж ущег ося круг а.

b а

L

Ри с. 6. С лед ователь но, в частности , и меем: f (b ) = ϕ (b ) , что и нуж но. И так, мы д оказали , что ф ункци я, г оломорф ная в области D , опред елена ед и нственны м образом, если и звестны ее значени я на бесконечной послед ователь ности точек zk , и меющей хотя бы од нупред ель ную точкувнутри D . Как след стви е д оказанной теоремы отмети м, что д ве ф ункци и f ( z ) и ϕ ( z ) , г оломорф ны е в области D , тож д ественно равны меж д у собой в этой области , если : 1) f ( z ) = ϕ (z ) всюд у в прои зволь но малой окрестности некоторой точки области D ; 2) f ( z ) = ϕ (z ) на прои зволь но малой ли ни и , цели ком леж ащей в D . Э то есть од но и з замечатель ны х свойств анали ти чески х ф ункци й, не при сущеепрои зволь ны м непреры вны м ф ункци ям комплексног о переменног о: в случаепрои зволь ной ф ункци и комплексног о переменног о, непреры вной в области D , значени я еев окрестности од ной точки области D ни кои м образом неопред еляютеезначени й во всехточкахэтой области .

25

2.4 Ряд Л ора на Рассмотри м ряд ви д а ∞

n ∑ cn ( z − z 0 ) ,

(2.14)

n = −∞

г д е z0 - ф и кси рованная точка комплексной плоскости , cn - некоторы е комплексны е чи сла, а сумми ровани е вед ется какпо полож и тель ны м, таки по отри цатель ны м значени ям и нд екса n . Ряд (2.14) носи тназвани еряд а Л орана. П ред стави м ряд (2.14) в ви д е n ∞ ∞ ∞ c− n n . (2.15) ∑ cn ( z − z0 ) = ∑ cn ( z − z0 ) + ∑ n n = −∞ n=0 n =1 ( z − z0 ) П ервое слаг аемое

∞

∑ cn ( z − z0 )n ряд а (2.15) назы вается прави ль ной

n =0

∞

часть ю ряд а Л орана, а второе слаг аемое ∑

c− n

n n =1 ( z − z0 )

– г лавной часть ю.

∞

О бласть ю сход и мости ряд а ∑ cn ( z − z0 )n является круг с центром в n =0

точке z0 некоторог о рад и уса R1 ( 0 ≤ R1 < ∞ ). В нутри круг а сход и мости этот ряд сход и тся кнекоторой анали ти ческой ф ункци и комплексной переменной: ∞

f1 ( z ) = ∑ cn ( z − z0 )n , z − z0 < R . n =0

∞

Д ля опред елени я области сход и мости ряд а ∑

(2.16) c− n

n n =1 ( z − z0 ) ∞ 1 переменной ζ = . Т ог д а ряд этотпри метви д ∑ c− n ζ n . z − z0 n =1

сд елаем замену

Т о есть получи ли обы чны й степенной ряд . О бозначи м рад и уссход и мости 1 полученног о степенног о ряд а через . R2 ∞ 1 Т ог д а ϕ (ζ ) = ∑ c− n ζ n , ζ < . R2 n =1 В озвращаясь кстарой переменной и полаг ая ϕ (ζ ( z )) = f 2 (z ) , получи м ∞

f 2 (z ) = ∑

c−n

n n =1 ( z − z 0 )

,

z − z0 > R2 (0 ≤ R2 < ∞) .

(2.17)

26

Е сли R2 < R1 , то существуетобщая область сход и мости ряд ов (2.16) и (2.17) - круг овоеколь цо R2 < z − z0 < R1 , в котором ряд (2.14) сход и тся к анали ти ческой ф ункци и ∞

f (z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) = ∑ cn ( z − z 0 )n , R2 < z − z 0 < R1 , n = −∞

Е сли R2 > R1 , то ряд ы (2.16) и (2.17) общей области сход и мости не и меют. Ряд (2.14) ни г д енесход и тся ккакой-ли бо ф ункци и . Разло ж ени е анали ти ческ о й функ ци и в р яд Л о р ана Тео р ем а. Фун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая в к руговом к ольце R2 < z − z0 < R1 , одн озн ач н о предст авляет ся в эт ом к ольцесходящи м ся рядом Л оран а.

R1

C

R2'

z0

z

R2 C

R1'

Ри с. 7. Док азат ельст во: В нутри коль ца R2 < z − z0 < R1 ф и кси руем прои зволь ную точку z , строи м окруж ность C R ' , и C R ' , с центрами в z0 , рад и усы которы х 1

2

уд овлетворяютуслови ям R2 < R2' < R1' < R1 , R2' < z − z 0 < R1' . С ог ласно ф ормуле К оши , д ля мног освязной области и меет место 1 1 f (ζ ) f (ζ )dζ dζ + соотношени е f (z ) = . ∫ ∫ 2πi C ' ζ − z 2πi C − ζ − z R1

1. Н а C R ' вы полняется услови е 1

R2'

z − z0 ≤ q < 1 . П реобразуем д робь ζ − z0 n

∞ z−z  1 1 0 . = ∑  ζ − z ζ − z0 n = 0  ζ − z0  П ровед ем почленноеи нтег ри ровани е (таккакряд сход и тся равномерно), получи м

27

f1( z ) =

∞ 1 f (ζ ) = d ζ cn ( z − z0 )n , ∑ ∫ 2πi C ζ − z n =0 '

(2.18)

R1

  f (ζ )  1  dζ  , n ≥ 0 . г д е cn =  ∫ 2πi C (ζ − z0 )n +1   R1' 2. Н а C R ' ,

вы полняется неравенство

2

ζ − z0 < 1, z − z0

то аналог и чно

n

∞ ζ − z  1 1 0 . пред ы д ущемуи меем =− ∑  ζ −z (z − z0 ) n=0  z − z0  В резуль татепочленног о и нтег ри ровани я этог о ряд а получаем ∞ c− n 1 f (ζ ) , d = f 2 (z )= ζ ∑ ∫ 2πi C − ζ − z n =1 ( z − z 0 )

(2.19)

R2'

г д е c− n = −

1 2πi

n −1 ∫ f (ζ )(ζ − z0 ) dζ =

C −'

R2

=

1 f (ζ )(ζ − z 0 )n−1 dζ , n > 0 . ∫ 2πi C ' R2

Ф ормулы (2.18) и (2.19) мож но объ ед и ни ть ( таккакв си лу теоремы Коши значени я соответствующи х и нтег ралов неи зменяются при прои зволь ной д еф ормаци и контуров и нтег ри ровани я в области анали ти чности под и нтег раль ной ф ункци и ): f (ζ ) 1 cn = dζ , n = 0, ± 1, ± 2,... , ∫ 2πi C (ζ − z0 )n +1 г д е C - прои зволь ны й замкнуты й контур, леж ащи й в коль це R2 < z − z0 < R1 и сод ерж ащи й точку z0 внутри . П олучаем ∞

∞

f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n + ∑ n=0

c− n

∞

= ∑ cn ( z − z0 )n . n

n =1 ( z − z0 )

(2.20)

n = −∞

Ряд (2.20) сход и тся кф ункци и f ( z ) всюд увнутри д анног о коль ца, при чем в замкнутом коль це R2 < R2' ≤ z − z0 ≤ R1' < R1 ряд сход и тся кф ункци и f ( z ) равномерно. Д окаж ем ед и нственность разлож ени я (2.20). П ред полож и м, что и меет место д руг оеразлож ени е: ∞

f ( z ) = ∑ cn' ( z − z 0 )n ,

n = −∞ ' г д ехотя бы од и н коэф ф и ци ент cn ≠ cn .

28

Т ог д а внутри коль ца R2 < z − z0 < R1 и меетместо равенство ∞

∞

n = −∞

n = −∞

n n ∑ cn ( z − z0 ) = ∑ cn' ( z − z0 )

(2.21)

П ровед ем окруж ность CR рад и уса R , R2 < R < R1 , сцентром в точке z0 . Ряд ы (2.21) сход ятся на CR равномерно. У множ и м и х на ( z − z0 )− m −1 , г д е m ф и кси рованноецелоечи сло, и прои нтег ри руем почленно : 2π 0, n ≠ m, n − m −1 dz = R n − m i ∫ e i (n − m )ϕ dϕ =  ∫ (z − z0 ) CR 0 2π i, n = m . П ослеуказанног о и нтег ри ровани я вы раж ени я (2.21), получаем: ' cm = cm .

2.5 Класси ф и каци я и золи рованны хособы хточекод нозначной анали ти ческой ф ункци и Опр еделени е. Точ к а z0 н азы вает ся и золи рован н ой особой т оч к ой ф ун к ци и f ( z ) , если f ( z ) -одн озн ач н ая и ан али т и ч еск ая в к руговом к ольце 0 < z − z0 < R1 . В самой точке z0 ф ункци я мож етбы ть неопред елена. И зучи м повед ени е ф ункци и f ( z ) в окрестности точки z0 . Ф ункци ю f ( z ) в окрестности точки z0 мож но разлож и ть в ряд Л орана (2.14), сход ящи йся в коль це 0 < z − z0 < R1 . Класси ф и каци я и золи рованны х особы х точекпрои звод и тся в зави си мости отви д а разлож ени я ф ункци и f ( z ) в ряд Л орана. 1. И золи рованная особая точка z0 ф ункци и f ( z ) назы вается устрани мой особой точкой ф ункци и f ( z ) , если разлож ени е f ( z ) в ряд Л орана в окрестности z0 несод ерж и тчленов сотри цатель ны ми степенями разности , т.е. ∞

f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n . П онятно, что lim f ( z ) = c0 .

n =0

z → z0

Е сли ф ункци я f ( z ) не бы ла опред елена в точке z0 , то д оопред ели м ее, полож и в f (z 0 ) = c0 . В окрестности устрани мой особой точки ф ункци я f ( z ) ог рани чена и

мож етбы ть пред ставлена в ви д е f ( z ) = ( z − z0 )m ϕ ( z ) , г д е m ≥ 0 - целоечи сло, а ϕ (z0 ) ≠ 0 . 2. И золи рованная особая точка назы вается полюсом поряд ка m ф ункци и f ( z ) , если ряд Л орана ф ункци и f ( z ) в окрестности ее и золи рованной особой

29

точки z0 сод ерж и т конечное чи сло

членов с отри цатель ны ми степенями

∞

разности ( z − z0 ) , т.е. f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n . n = −m

П овед ени е анали ти ческой ф ункци и в окрестности ее полюса опред еляется теоремой. Тео р ем а. Если т оч к а z0 являет ся полюсом ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) , т о при z → z 0 м одуль ф ун к ци и f ( z ) н еогран и ч ен н о возраст ает н езави си м о от способа ст рем лен и я т оч к и z к z0 . Д оказатель ство: П ред стави м ф ункци ю f ( z ) в окрестности точки z0 в ви д е f (z ) =

c− m

+ ... +

∞ c1 + ∑ cn ( z − z0 )n = z − z0 n =0

(z − z0 )m = ( z − z0 )− m {c− m + c− m +1 ( z − z0 )+ ... + c−1 ( z − z0 )m −1 }+ ∞

∞

n=0

n =0

+ ∑ cn ( z − z0 )n = ( z − z0 )− m ϕ (z ) + ∑ cn ( z − z0 )n . П ри z → z 0 мод уль ф ункци и f ( z ) неог рани ченно возрастаетнезави си мо отспособа стремлени я точки z кточке z0 , что и д оказы ваеттеорему. ψ (z ) Ф ормула д ля f ( z ) мож етбы ть перепи сана в ви д е f (z ) = , (z − z0 )m г д е ψ ( z ) - анали ти ческая ф ункци я и ψ ( z0 ) ≠ 0 , чи сло m назы вается поряд ком полюса. И меетместо и обратная теорема. Тео р ем а. Если ф ун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая в ок рест н ост и своей и золи рован н ой особой т оч к и z0 , н еогран и ч ен н о возраст ает по м одулю при любом способе ст рем лен и я т оч к и z к т оч к е z0 , т о т оч к а z0 являет ся полюсом ф ун к ци и f ( z ) . 3. И золи рованная особая точка z0 назы вается существенно особой точкой ф ункци и f ( z ) , если ряд Л орана ф ункци и f ( z ) в окрестности ееи золи рованной особой точки z0 сод ерж и т бесконечное чи сло членов с отри цатель ны ми ∞

степенями разности ( z − z0 ) , т.е. f (z ) = ∑ cn ( z − z 0 )n . n= −∞

П овед ени еанали ти ческой ф ункци и в окрестности еесущественно особой точки опи сы вается след ующей теоремой. Тео р ем а (Пи к ар а). В ск оль угодн о м алой ок рест н ост и сущест вен н о особой т оч к и ф ун к ци я f ( z ) при н и м ает (и при т ом беск он еч н ое ч и сло раз) любоек он еч н оезн ач ен и е, за и ск люч ен и ем , бы т ь м ожет , одн ого.

30

Рассмотренны е три случая и счерпы вают возмож ны й ви д разлож ени я анали ти ческой ф ункци и в ряд Л орана в окрестности ее и золи рованной особой точки . 2.6 Т еори я вы четов. В ы чи слени еопред еленны хи нтег ралов спомощь ю вы четов Опр еделени е. Вы ч ет ом ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) в и золи рован н ой особой т оч к е z0 н азы вает ся к ом плек сн ое ч и сло, равн ое зн ач ен и ю и н т еграла 1 ∫ f (ζ )dζ , взят ом у в положи т ельн ом н аправлен и и по любом у лежащем у в 2πi γ област и ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) зам к н ут ом у к он т уру γ , содержащем у еди н ст вен н ую особую т оч к у z0 ф ун к ци и f ( z ) . О бозначени евы чета (residu) Вы ч [ f ( z ), z 0 ] и ли res [ f (z ), z0 ] . Д ля вы чи слени я вы чета ф ункци и f ( z ) в ееи золи рованной особой точкемож ет бы ть при менена ф ормула 1 Вы ч [ f ( z ), z0 ]= ∫ f (ζ )dζ = c−1 . 2πi C О д нако в ряд е случае мож ет бы ть указан более простой способ вы чи слени я вы чета. 1. П усть точка z0 является полюсом первог о поряд ка ф ункци и f ( z ) . Т ог д а в окрестности этой точки и меетместо разлож ени е f (z ) = c−1 (z − z 0 )−1 + c0 + c1 (z − z0 )+ ... (2.23) У множ и м обечасти (2.23) на (z − z0 ) и , перейд я кпред елупри z → z0 , получи м (2.24) c−1 = lim ( z − z0 ) f ( z ) . z → z0

В д анном случаеф ункци я f ( z ) в окрестности точки z0 мож етбы ть пред ставлена в ви д еотношени я д вух анали ти чески хф ункци й: ϕ (z ) f (z ) = , (2.25) ψ (z ) при чем ϕ (z0 ) ≠ 0 , а точка z0 является нулем первог о поряд ка ф ункци и ψ ( z ) , т.е. ψ '' ( z0 ) ψ ( z ) = (z − z 0 )ψ ( z0 ) + (z − z0 )2 + ..., 2 ' ψ (z0 ) ≠ 0 . Т ог д а и з (2.24) - (2.26) получаем ф ормулу ϕ (z0 )  ϕ (z )  Вы ч [ f ( z ), z0 ] =  f ( z ) = . ' ψ ( z )  ψ (z0 )  '

(2.26)

31

2. П усть z0 является полюсом поряд ка m ф ункци и f ( z ) . В окрестности этой точки и меетместо разлож ени е f (z ) = c− m (z − z 0 )− m + ... + c−1 (z − z0 )−1 + c0 + c1 (z − z 0 ) + ... (2.27)

У множ и в обечасти (2.27) на ( z − z0 )m , получи м

(z − z0 )m f (z ) = c− m + c− m +1 (z − z0 ) + ... + c−1 (z − z0 )m −1 + ... В озь мем прои звод ную поряд ка (m − 1) от обеи х частей этог о равенства,

перейд ем кпред елу при z → z0 , получи м ф ормулу д ля вы чи слени я вы чета в полюсепоряд ка m : Вы ч [ f ( z ), z0 ] =

[

]

1 d m −1 (z − z0 )m f (z ) . lim m − 1 (m − 1)! z → z 0 dz

О сн овн ая т еорем а т еори и вы ч ет ов Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой всюду в зам к н ут ой област и D , за и ск люч ен и ем к он еч н ого ч и сла и золи рован н ы хособы х т оч ек z k (k = 1,..., N ) , лежащи хвн ут ри област и D . Тогда ∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч [ f ( z ), z k ], N

k =1

Г+

где Г + предст авляет собой полн ую гран и цу област и D , проходи м ую в полож и т ельн ом н аправлен и и . Док азат ельст во:

γN

⋅ zN

⋅ z1

γ1

γk

Г

⋅ zk

Ри с.8. В ы д ели м каж д ую и з особы х точекzk ф ункци и f ( z ) замкнуты м контуром γ k , не сод ерж ащи м внутри д руг и х особы х точек, кроме точки zk . Рассмотри м мног освязанную область , ог рани ченную контуром Г и всеми контурами γ k (ри с.8). В нутри этой области ф ункци я f ( z ) является всюд уанали ти ческой. П оэтомупо теоремеКоши получи м N

∫ f (ζ )dζ + ∑ ∫ f (ζ )dζ = 0 .

Г+

k =1γ − k

П еренеся второе слаг аемое направо, мы в си лу ф ормулы (2.22) и получи м утверж д ени етеоремы :

32

∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч [ f ( z ), z k ]. N

k =1

Г+

Вы ч и слен и еопределен н ы хи н т егралов спом ощью вы ч ет ов Ра ссмотрим два вида интегра лов: −∞

1. И нтег ралы ви д а ∫ f ( x )dx . −∞

Л ем м а 1.

П усть

ф ункци я

f (z )

является анали ти ческой в верхней

Im z > 0 всюд у, за и сключени ем полуплоскости конечног о чи сла и золи рованны х особы х точек, и существуют таки е полож и тель ны е чи сла R0 , M , δ , что д ля всех точек верхней полуплоскости , уд овлетворяющи х услови ю z > R0 , и меетместо оценка M f (z ) < 1+δ , z Т ог д а lim ∫ f (ζ )dζ = 0 ,

z > R0 .

R →∞ C' R

г д еконтур и нтег ри ровани я C R' пред ставляетсобой полуокруж ность z = R , Im z > 0 в верхней полуплоскости z (ри с8 ). C'R R z=0

x

Ри с.8. Док азат ельст во: ∫ f (ζ )dζ ≤ ∫ f (ζ ) dζ
0 , при ч ем ееан али т и ч еск оепродолжен и е, ф ун к ци я f ( z ) , удовлет воряет услови ям лем м ы 1 и н еи м еет особы хт оч ек н а дейст ви т ельн ой −∞

оси . Тогда н есобст вен н ы й и н т еграл первого рода ∫ f ( x )dx сущест вует и равен −∞

33 ∞

N

−∞

n =1

∫ f (x )dx = 2πi ∑ Вы ч [ f (z ), z k ] ,

г д е zk особы еточки ф ункци и f ( z ) в верхней полуплоскости . Док азат ельст во: Рассмотри м замкнуты й контур, состоящи й и з отрезка д ействи тель ной оси − R ≤ x ≤ R (R > R0 ) и полуокруж ности C R' , z = R в верхней полуплоскости . В си луосновной теоремы теори и вы четов R

∫ f ( x )dx + ∫ f ( z )dz = 2πi ∑ Вы ч [ f (z ), z k ]. N

−R

(2.25)

k =1

C R'

П ред ел второг о слаг аемог о в левой части (2.25) при R → ∞ равен нулю; правая часть (2.25) при R > R0 от R незави си т. С лед ователь но, пред ел первог о слаг аемог о существует и ег о значени е опред еляется ф ормулой (2.25). Т еорема д оказана. ∞

2. И нтег ралы ви д а ∫ ei a x f ( x )dx . −∞

Л ем м а 2. (лем м а Ж ордан а ). П усть ф ункци я f ( z ) является анали ти ческой в верхней полуплоскости Im z > 0 , за и сключени ем конечног о чи сла и золи рованны х особы х точек, и равномерно относи тель но arg z (0 ≤ arg z ≤ π ) стреми тся кнулю при z → ∞ . Т ог д а при a > 0 ∞

lim ∫ ei a ζ f (ζ )dζ = 0 ,

(2.26)

R →∞ C'

R

г д е C R' - д уг а полуокруж ности z = R в верхней полуплоскости z . Д оказатель ство: f ( z ) < µ R , z = R , г д е µ R → 0 при R → ∞ . О цени м и сслед уемы й и нтег рал. С д елаем заменупеременной: ζ = Reiϕ , 2 π восполь зуемся очеви д ны м соотношени ем sin ϕ ≥ ϕ при 0 ≤ ϕ ≤ . Т ог д а π 2 получи м π

i aζ f (ζ )dζ ≤ µ R ⋅ R ∫ e i ∫e

C R'

aζ

π

dϕ = µ R ⋅ R ∫ e − a R sin ϕ dϕ =

0 π /2

= 2µ R ⋅ R ∫ e 0

− a R sin ϕ

0 π /2

dϕ < 2 µ R ⋅ R ∫

0

2a R π − π ϕ e dϕ =

a

(

)

µ R 1 − e− a R → 0 . R→∞

Е сли a < 0 , а ф ункци я f ( z ) уд овлетворяет услови ям леммы Ж орд ана в ни ж ней полуплоскости Im z ≤ 0 , то ф ормула (2.26) и меет место при и нтег ри ровани и по д уг еполуокруж ности CR' в ни ж ней полуплоскости z .

34

Аналог и чны е утверж д ени я и меют место и при a = ±iα (α > 0 ) при и нтег ри ровани и соответственно в правой части (Re z ≥ 0) и ли в левой части (Re z ≤ 0) полуплоскости z . Л емма и споль зуется при вы чи слени и ши роког о класса несобственны х и нтег ралов. Т еорема . П уст ь ф ун к ци я f (x ) , задан н ая н а дейст ви т ельн ой оси − ∞ < x < ∞ , м ожет бы т ь продолж ен а н а верхнюю полуплоск ост ь Im z ≥ 0 , при ч ем ее ан али т и ч еск ой продолжен и е, ф ун к ци я f ( z ) , в верхней полуплоск ост и удовлет воряет услови ям лем м ы Ж ордан а и н е и м еет особы х т оч ек

на

дейст ви т ельн ой оси .

Тогда

и н т еграл

−∞

iax ∫ e f ( x )dx, a > 0 ,

−∞

сущест вует и равен ∞

n

−∞

k =1

[

]

iax iaz ∫ e f ( x )dx = 2πi ∑ Вы ч e f (z ), z k ,

где zk - особы ет оч к и ф ун к ци и f ( z ) в верхней полуплоск ост и z . Док азат ельст во. П о услови ю теоремы особы е точки zk ф ункци и f ( z ) в верхней полуплоскости уд овлетворяют услови ю zk < R0 . Рассмотри м в верхней полуплоскости z замкнуты й контур, состоящи й и з отрезка д ействи тель ной оси − R ≤ x ≤ R (R > R0 ) и д уг и C R' , полуокруж ности z = R в верхней полуплоскости z . В си луосновной теоремы теори и вы четов R

n

[

]

iax iaζ iaz ∫ e f (x )dx + ∫ e f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч e f ( z ), z k .

−R

C R'

k =1

(2.27)

П о леммеЖ орд ана пред елвторог о слаг аемог о в левой части (2.27) при R → ∞ равен нулю.

2.7 П реоб ра зова ние Л а пла са Опр еделени е. П реобразован и еЛ апласа ст ави т в соот вет ст ви еф ун к ци и f (t ) дейст ви т ельн ой перем ен н ой t ф ун к ци ю F ( p ) к ом плек сн ой перем ен н ой p спом ощью соот н ош ен и я ∞

F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt . 0

(2.28)

О пред ели м класс ф ункци й f (t ) . Буд ем рассматри вать ф ункци и f (t ) , опред еленны е д ля всех значени й д ействи тель ной переменной − ∞ < t < ∞ и уд овлетворяющи еслед ующи м услови ям: 1. при t < 0 f (t ) ≡ 0 ;

35

2. при t ≥ 0 ф ункци я f (t ) на любом конечном участкеоси t и меетнеболее чем конечноечи сло точекразры ва первог о род а; 3. при t → ∞ ф ункци я f (t ) и меет ог рани ченную степень роста, т.е. д ля каж д ой ф ункци и рассматри ваемог о класса существуют таки е полож и тель ны е постоянны е M и a , что д ля всех t > 0 f (t ) ≤ M eat . (2.29) Т очная ни ж няя г рань тех значени й a , д ля которы х и меет место неравенство (2.29), назы вается пок азат елем ст епен и рост а ф ункци и f (t ) . ∞

Тео р ем а 1. И н т еграл F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt сходи т ся в област и Re p > a , где 0

a - пок азат ель ст епен и рост а ф ун к ци и f (t ) , при ч ем в област и Re p ≥ x0 > a эт от и н т еграл сходи т ся равн ом ерн о. ∞

Тео р ем а 2. И зображен и е Л апласа F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt ф ун к ци и

f (t )

0

являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей к ом плек сн ой перем ен н ой p в област и Re p > a , где a - пок азат ель ст епен и рост а ф ун к ци и f (t ) . И зо бр аж ени е элем ентар ны х функ ци й

0 , t < 0 , 1. Еди н и ч н ая ф ун к ци я Х еви сайда. П усть f (t ) = σ 0 =  1, t ≥ 0. ∞ 1 Т ог д а f (t ) ⋅ =⋅ F ( p )= ∫ e − pt dt = , при чем ф ункци я F ( p ) , очеви д но, опред елена p 0 в области Re p > 0 . И так, 0, t < 0 ⋅ 1 σ 0 (t ) =  , Re p > 0 . ⋅= , t ≥ 1 0 p  2. П ок азат ельн ая ф ун к ци я f (t ) = eα t В ы чи сляя и нтег рал(2.28), получаем: ∞ 1 F ( p ) = ∫ e − pt eα t dt = , Re p > Re α ; p −α 0 1 eα t ⋅ =⋅ , Re p > Re α . p −α

3. С т епен н ая ф ун к ци я f (t ) = t n . n! tn = , Re p > 0 . n +1 p 4. Три гон ом ет ри ч еск и еф ун к ци и f (t ) = sin ωt , f (t ) = cos ωt .

36

sin ωt ⋅ =⋅

ω2 2

p +ω

2

, Re p > Imω ; cos ωt ⋅ =⋅

p 2

p +ω

2

, Re p > Imω .

Св о йств а и зо бр аж ени я 1. Л и н ейн ост ь и зображ ен и я. Е сли Fi ( p ) ⋅ =⋅ f i (t ), Re p > ai (i =1,...,n ), то n

n

i =1

i =1

F ( p )= ∑α i Fi ( p ) ⋅ =⋅ ∑α i f i (t ) , Re p > max ai , г д еα i - зад анны епостоянны ечи сла (д ействи тель ны еи ли комплексны е), ai показатели степени роста f i (t ). 2.П усть F ( p ) ⋅ =⋅ f (t ), Re p > a , тог д а 1  p ⋅ F   ⋅ = f (αt ), α > 0, Re p > a. α α 

3. (Теорем а запазды ван и я). П усть F ( p ) ⋅ =⋅ f (t ), Re p > a и зад ана ф ункци я 0, t < τ , τ > 0, fτ (t ) =   f (t − τ ), t ≥ τ . 4. И зображен и епрои зводн ой. Е сли ф ункци я f ' (t ) уд овлетворяетуслови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то f ' (t ) ⋅ =⋅ p F ( p )− f (0 ), Re p > a . Е сли ф ункци я f (n )(t ) уд овлетворяетуслови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то

 f (0 ) f ' (0 ) f (n ) (0 ) − − ... − f (n ) (t ) ⋅ =⋅ p  F ( p )− , Re p > a. 2 n p   p p Ф ормула (2.30) особенно упрощается в том случае, ког д а f (0 ) = f ' (0 ) = ... = f (n −1)(0) : 5. И зображен и еи н т еграла.

(2.30)

f (n ) (t ) ⋅ =⋅ p n F ( p ) .

П усть f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a . Т ог д а t

ϕ (t )= ∫ f (τ )dτ ⋅ =⋅

1 F ( p ) , Re p > a . p 0 6. И зображен и есверт к и . С верткой ф ункци й f1(t ) и f 2 (t ) назы вается ф ункци я ϕ (t ) , опред еленная соотношени ем t

t

ϕ (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ = ∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ . 0

⋅

0

⋅

Е сли f1 (t ) ⋅ = F1 ( p ), Re p > a1 , f 2 (t ) ⋅ = F2 ( p ), Re p > a1 , то

37 t

ϕ (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ⋅ =⋅ F1 ( p ) F2 ( p ), Re p > max {a1 ,a2 }. 0

7. Ди ф ф ерен ци рован и еи зображ ен и я. П усть F ( p )⋅ =⋅ f (t ) , Re p > a . Т ог д а F ' ( p )⋅ =⋅ − t f (t ) , Re p > a f (t ) 8. И н т егри рован и еи зображен и я. Е сли ф ункци я уд овлетворяет t услови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то ∞ f (t ) ⋅ ∞ − pt f (t ) = e dt = ∫ F (q )dq . ⋅ ∫ t t 0 p

9. Теорем а см ещен и я. Е сли f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то д ля любог о комплексног о чи сла λ

F ( p + λ ) ⋅ =⋅ e − λ t f (t ), Re p > a − Re λ .

Опр еделени е и нтегр ала по и зо бр аж ени ю П ри решени и конкретны х зад ачуд ается найти вы раж ени е ори г и нала д ля полученног о и зображ ени я в соответствующем справочни ке. С войства и зображ ени й во мног и х случаях позволяют реши ть и обратную зад ачупостроени я ори г и нала по зад анномуи зображ ени ю. Э ти метод ы являются метод ами под бора. О бщи й метод построени я ори г и нала по и зображ ени ю опи сы вается ф ормулой М елли на. Форм ула Мелли н а. П усть по услови ю зад ачи и звестно, что зад анная ф ункци я F ( p ) комплексной переменной p является и зображ ени ем кусочно-

г лад кой ф ункци и f (t ) с ог рани ченной степень ю роста f (t ) < M e a t , при чем значени е постоянной a зад ано. Т ребуется по зад анной ф ункци и F ( p ) построи ть и скомую ф ункци ю f (t ) . Э та зад ача решается спомощь ю след ующей теоремы . Тео р ем а. П уст ь и звест н о, ч т о задан н ая ф ун к ци я F ( p ) в област и Re p > a являет ся и зображен и ем к усоч н о-гладк ой ф ун к ци и f (t ) дейст ви т ельн ой перем ен н ой t и обладает ст епен ью рост а a . Тогда 1 x + i∞ pt f (t ) = (2.31) ∫ e F ( p )dp, x > a . 2πi x − i∞ Ф ормула (2.31) назы вается ф ормулой М елли на. О на является обратной преобразовани ю Л апласа.

Вы чи слени е и нтегр ала М елли на П усть ф ункци я F ( p ) , первоначаль но зад анная в области Re p > a , мож ет бы ть анали ти чески прод олж ена на всю плоскость p . П усть ееанали ти ческое

38

прод олж ени еуд овлетворяетпри Re p < a услови ям леммы Ж орд ана. Т ог д а при t > 0 ∫ e pt F ( p )dp → 0,

R →∞,

C R''

г д е C R'' - д уг а полуокруж ности p − x = R в левой полуплоскости . В этом случае и нтег рал(2.31) мож етбы ть вы чи слен спомощь ю теори и вы четов.

С писок использова нной литера туры 1. П ри валов И .И . В вед ени е в теори ю ф ункци й комплексног о переменног о. – И зд . 13-еМ .: Н аука, 1984. – 432 с. 2. Л авренть ев М .А., Ш абатБ.В . М етод ы теори и ф ункци й комплексног о переменног о: У чеб. пособи ед ля ун-тов.- 5-еи зд ., и спр – М .: Н аука, 1987 – 688 с. 3. С вешни ков А.Г ., Т и хонов А.Н . Т еори я ф ункци й комплексной переменной. – И зд . 2-е. – М .: Н аука, 1970.- 340с.

39

С остави тель : Д еревяг и на Е лена И вановна Ред актор: Т и хоми рова О .А.