ホップ空間 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國 屋数学叢書 26

編集委員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

三村 護

ホ ップ 空 間 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  位 相 群 の も っ と も よ く知 ら れ た 例 はLie群 的 な 観 点 か ら,と ら ぬHeinz    

die

あ っ た.彼

Topologie

を非解析 な

は論文

der

Verallgemeinerungen,

に お い て,連

のLie群

い う よ りむ し ろ ホ モ トピ ー 論 的 観 点 か ら 研 究 し た の は,他

Hopfで

Uber

で あ る が,こ

Gruppen-Mannigfaltigkeiten

Ann.

Math,

42 (1941),

und

ihre

22-52

続 的 な 積 を も つ 多 様 体 に 注 目 し た.

  連 続 な 積 を も ち(位 相 群 で 要 求 さ れ る)単 位 元 の 存 在 が ホ モ ト ピ ー の 意 味 で 成 り立 つ 位 相 空 間 をH-空  

Homologie 54 (1951),

間,H-espace,と

singuliere

des

espaces

論,こ

あ る の は い う ま で も な い.従

fibres. Applications,

のHがHeinz

っ て,こ

の1941年

Hopfに

Ann.

ら れ た 結 果 の 多 くが,実

か で も,Lie群

間 あるい

間 の理 論 は そ の 誕 生

数 的 位 相 幾 何 学 の 数 多 くの 研 究 に 滲 透 し て 来 て い る が,特

の 発 展 に は 目 覚 ま し い も の が あ る.な

に こ こ数 年

の様 々な性 質 を用 い て え

は 解 析 的 性 質 と は 無 関 係 に,代

数的に あ るいは ホモ

トピ ー 論 的 に 証 明 で き る と い う指 摘 が 少 な か ら ず 出 て 来 て い る.す Hopf空

Math.

ち な んだ もの で

と い う年 がH-空

間 の 誕 生 の 年 と い っ て い い で あ ろ う.Hopf空

以 来,代

Serre

425-505

が 初 め て で は な か ろ うか.勿

はHopf空

名 づ け た の はJ.-P.

間 の 理 論 は 位 相 群,特

に,Lie群

な わ ち,

の 構 造 あ る い は 性 質 を(位 相 幾 何 学 的

に)簡 明 に 説 明 す る の に 非 常 に 役 立 っ て い る と い え よ う.   本 書 で は,Hopf空 に 努 め,各

間 の 基 本 的 性 質 か ら 始 め,最

章 末 に 「補 遺 」 を も う け て,準

近 の 結 果 まで 紹 介 す る よ う

備等 の 関 係 で 詳 述 で き な か った事 実

を 述 べ る こ と に し た が,そ

れ で も 日進 月 歩 の 発 展 の た め に,そ

た か ど うか わ か ら な い.特

に,Hopf空

無 限 ル ー プ 空 間 の 理 論 に つ い て は,紙

の 目的 を 果 し え

間 の 重 要 な 例 で あ る 多 重 ル ー プ空 間, 数 の 関 係 も あ り触 れ る こ とが で き な か っ

た の は は な は だ 残 念 で あ る.   第1章

で はHopf空

間 の 例 お よ び 基 本 的 性 質 に つ い て 述 べ る.第2章

は

Hopf空

間 の(コ)ホ

モ ロ ジ ー環 を モ デ ル と す るHopf代

3章 で はHopf空

間 の 一 般 化 と も い え るGottlieb空

基 本 的 性 質 を 述 べ,有

第5章

で は,各

Bocksteinス torsionの

相 的 局 所 化 の 理 論,そ

項 がHopf代

数 に な る,Hopf空

ペ ク トル 系 列 を 構 成 し,こ

対 性,高

次

間 の分 類 空

ペ ク トル 系 列 と い うよ

ペ ク トル 系 列 を 構 成 す る.第7章

モ トピ ー 可 換 な 有 限Hopf空

間 に

モ ロジ ーに 関 す る

で は 結 合 的Hopf空

合 性 の 一 般 化 で あ る 高 次 結 合 性 を も つHopf空

Hubbuckの

間 の(コ)ホ

で

間 の 例 を 構 成 す る.

れ ら を 用 い てPoincare双

モ ロ ジ ー に 収 束 す るEilenberg-Mooreス

りRothenberg-Steenrodス

は,ホ

間 の

れ ら をHopf空

の ホ モ トピ ー 型 を 持 た な い 有 限Hopf空

存 在 性 等 に つ い て 議 論 す る.第6章

間 の(コ)ホ

間,Whitehead空

理 的 に は こ れ ら の 空 間 は 一 致 す る こ と を 示 す.第4章

は 代 数 的 局 所 化 の 理 論 か ら 始 め,位 応 用 し て,Lie群

数 の 一 般 論 で あ る.第

は ホ モ トピ ー 結

間 の 理 論 を 扱 っ て い る.第8章

間 は トー ラ ス の ホ モ ト ピ ー 型 を も つ と い う

定 理 を 目 的 と し て い る.第9章

で は,群

の 一 般 論 か ら 始 め,Hopf

空 間 の 写 像 の ホ モ トピ ー 類 の な す 群 に つ い て 述 べ て い る.

  第2章 → 第5章 → 第8章

とい う流 れ を 別 に

す れ ば,そ の 他 の 章 は,各 章 ほ ぼ 独 立 に 読 め るが,強

い てい うな らば,各 章 の 相 互 関 係 は

右 図 の よ うで あ る.   Hopf空

間 のEckmann-Hiltonの

の 双 対 概 念 で あ る双 対Hopf空 間)に つ い て も,ほ

意味 で 間(co

H-空

ぼ同様な 議 論 が 展 開 で

き る,と 同 時 に,そ れ 自身 興 味 の あ る 理 論 もあ る.こ れ ら に つ い て は 別 の 機 会 に 譲 り た い.   何 分,短

時 日の 間 に 急 い だ の と,著 者 の浅 学 非 才 の た め,不 充 分 な点 が 多 々

あ る と思わ れ る.大 方 の御 寛恕 を願 う と と もに,読 者諸 氏 の批 判,叱

正 を待 つ

こ とに よ り,よ り良 い もの に し た い と思 う.   最 後 に な ったが,本 書 の執 筆 をす す め て下 さ った京 都 大 学 の戸 田宏 教 授 に 心 か ら お礼 を 申 し 上げ る と とも に,原 稿 並 び に校 正 に 目を通 し て数 多 くの助 言 を 載 いた 徳 島 大 学 の沢 下 教 親,高 知 大 学 の 逸 見 豊,大 阪 府 立 大 学 の 山 口睦,九 州

大 学 の 岩瀬 則 夫 の 諸 氏,並 び に,出 版 に 色 々御 尽 力 い た だ い た 紀 伊 國 屋 書 店 の 水 野 寛 氏 に 感 謝 の 意 を 表 した い.

  1985年 

初秋  

Scotland,

Aberdeenに

て 著

者

目

次

 まえが き 第1章 

基 本 的性 質

  §1  Hopf空

間 

  §2  [  ,Hopf空

1 間]の

 §3  Postnikov系

構造  

11

 

19

 §4  pull-back   補

31

遺 

第2章 

39

Hopf代

数

  §1 代 数 と双 対 代 数  

45

  §2 Hopf代

56

数 

  §3 Lie代 数  

65

  §4 古 典 的 定 理  

67

  §5 filtration   補 第3章

 78

  Gottlieb空

  §1 Gottlieb空   §2 有 理Hopf空   §3 mod  補 第4章

74

遺 間 とWhitehead空

間

間

  83

間 

93

〓 Gottlieb空 間

  99

遺

 105

 局所化

  §1 代 数 的 局所 化     §2 位 相 的 局 所 化

109  

117

  §3  Hopf空

間 の 局所 化  

  §4  局 所 化 のHopf空  補

間 へ の 応 用 

遺  

第5章 

122 128 134

Bocksteinス

ペ ク トル 系 列

  §1  完 全 対  

138

  §2  Bocksteinス   §3  Poincare双

ペ ク トル 系 列 対 性 

  147 158

  §4  filtration 

162

  §5  高 次torsion 

169

 補 第6章

遺

 181

  分 類 空 間

  §1  位 相 的 準 備  

183

  §2  filterつ

189

き 空 間 の ス ペ ク トル 系 列  

  §3  ス ペ ク トル 系 列 の ク ロ ス 積   §4  幾 何 学 的 分 解

 199

  §5  幾 何 学 的 分 解 の ス ペ ク トル 系 列    補

第7章

遺

  高 次 結 合 性 造 とAn形

式

  §2  An写

像 とAn準

同型

  §3  An空

間 のPostnikov系

第8章

206   216

  §1  An構

 補

  193

遺

  219  235   240   244

 ホ モ トピー 可 換 性

  §1  n-可 換 性  

247

  §2  n-置 換 性

 255

  §3  ホ モ トピ ー 可 換 性    §4  Hubbuckの

定理

265   272

 補

遺

第9章 

 

279

ホ モ トピ ー 類 の 群

  §1 群 の 基 本 的 性 質

 282

  §2 [  ,X]の

 286

 §3  Hopf写

巾零 性

像 の群

  292

  §4 準 同型

 300

 補

 307

遺

  あ とが き と参 考 文 献  索

引

  309  319

記

Π={素

数}⊂N={自

⊂C={複

然 数}⊂Z={整

素 数}⊂H={四

Z/m=Z/mZ={整

#A:集

合Aの

  fはgに

号

数}⊂Q={有

理 数}⊂R={実

元 数}⊂ 〓={Cayley数}

数mod

m}

濃度 ホ モ トー プ

 

XはYに

ホ モ トピ ー 同 値

 

XはYに

弱 ホ モ トピー 同値

F(X,Y)={f:X→Y連

続}(CO-位

相)

 ホ モ ト ピ ー 類 の 集 合 iα:X→X×X:第

α 因子 へ の射 入

pα:X×X→X:第

α 因子 へ の射 影

Δ:X→X×X⇔

△(x)=(x,x):対

∇:X∨X→X⇔

∇(x,*)=∇(*,x)=x:折

Λ:X×Y→X∧Y=(X×Y/X∨Y):射 m￨n⇔mはnを Xn=X×

角写像 りた た む 写 像 影

割 り切 る … ×X 

(n個),∧nX=X∧

X[n]={(x1,…,xn)∈Xn￨∃i:xi=*}

… ∧X 

(n個)

数}

第1章  基本的性質

  本 章 で は[Stasheff

0],[W],[Zabrodsky

0]を

参 考 に し な が ら,Hopf

空 間 の 基 本 的 性 質 お よ び 後 の 章 で 用 い る 事 柄 を 紹 介 す る.   §1  Hopf空

間

  定 義 と例   以 下,各

位 相 空 間Xは(Hausdorffで)基

点 を も つ も の と し,(連

続)写 像

や ホ モ ト ピ ー は す べ て 基 点 を 保 つ も の とす る.   X∋e(基

点)に

つ いて

  記 号   ∇:X∨X→X⇔

∇(x,e)=x=∇(e,x)は

map),j:X∨X→X×Xは

射 入.

  定 義   (X,μ):Hopf空 ⇔

μ:X×X→Xは

  こ の と き,μ 位 元(homotopy

μ:X×X→Xは

  こ の と き,μ

を み た す.

の 積 ま た はHopf構

unit)と

  定 義   (X,μ):単 ⇔

間  

をX上

折 りた た む 写 像(folding

造 と い う.ま

た,eを

ホ モ トピ ー 単

い う.

位 元 を も つHopf空

間

μ°j=∇ を み た す. を 厳 密 な 積,eを

  注意  XがHopf空

単 位 元(strict

間 か つ 局所 可 算 なCW-複

unit)と 体 な らばXは

い う. 単 位 元 を もつHopf空

間 で あ る.   実 際,こ の と き,対(X×X,X∨X)は 構 造 μ に 対 し て μ′:X×X→Xが 位 元を もつHopf空

ホ モ トピ ー拡 張 性 質(HEP)を 存 在 し て, μ

もつ か ら,Hopf

′ °j=∇,す なわ ち,(X,μ ′)は単

間 に な る.

  注意  積 の ホ モ トピー類 の 中 に は,少 な く とも 一つ 厳 密 な積 が あ る.   (1.1)  位 相 群 は 単 位 元 を もつHopf空   (1.2)  Hopf空

間YがXを

間 で あ る.

支 配 す る(⇔f:X→Y,g:Y→Xが

存在 し

て  

)な ら ばXはHopf空

  実 際,Yの

間 で あ る.

積 を μYと す る と き,Xの

  (1.2)′

 

  特 に,基

点 に 可 縮 な 空 間 はHopf空

な ら ば,X:Hopf空

  (1.3)  X,Y:(単

積 は μX=g° μY°(f×f)で 与 え ら れ る. 間 ⇔Y:Hopf空

間.

間 で あ る.

位 元 を も つ)Hopf空

間 ⇔X×Y:(単

位 元 を も つ)Hopf

空 間.   (1.4) 

d=dimRFと

単 位 元 を も つHopf空   注 意   Sn:Hopf空

す る と きSd-1={x∈F￨￨x￨=1}は

間 で あ る. 間 ⇔n=0,1,3,7.

  証 明 は[TM]の

第7章,定

理7.1を

参 照.

  (1.5)  実 射 影 空 間P1(R)=S1,P3(R)=SO(3),P7(R)は S7の 積 よ り導 か れ る 積 に よ りHopf空   (1.6)  Xは

そ れ ぞ れS1,S3,

間 と な る.

局 所 コ ン パ ク ト とす る.F(X,X)={f:X→X}と

お く と き,積

μ:F(X,X)×F(X,X)→F(X,X)⇔μ(f,g)=f°g  に よ り(F(X,X),μ)は

単 位 元1Xを

もつHopf空

(合 成) 間 で あ る.

  (1.6)′  F(X,X)⊃Aut(X)={f∈F(X,X)￨f:ホ 位 元1Xを

もつHopf空

モ ト ピ ー 同 値 写 像}は

間 で あ る.

  (1.6)″  F(X,X)⊃Homeo(X)={f∈F(X,X)￨f:同 を も つHopf空

単

間 で あ る.特

に,Xが

相 写 像}は

局 所 連 結 な らばHomeo(X)は

単 位 元1X 位相群 で

あ る.   (1.7)  Xn=X× る と き,2点

… ×X(n重)に

お い て,基

は 同 値 と し て え られ る等 化 空 間 をXnと Xn=Xn×x0⊂Xn+1 

と 考 え て(無 CW-複

限)約

体 で,頂

に よ り(X∞,μ)は   (1.8)  Xnにn次 をSPnX=Xn/Snと finite

点 を 省 け ば 順序 を込 め て一 致 す

symmetric

積(reduced

点 がx0の

(x0:基

し, 点)

product) 

を 定 義 す る.Xが

可算

み な ら ば,積

単 位 元x0を

も つHopf空

対 称 群Snを

座 標 の置 換 とし て作 用 させ た と き の軌 道 空 間

し,SPnX⊂SPn+1Xと product) 

間 で あ る.

自然 に 考 え て,無 を 定 義 す る.Xが

限 対 称 積(in コン パ ク ト

の と き,積

に よ り(SP∞X,μ)は

単 位 元x0を

  定 義   積 μ が μ°(μ×1X)=μ (X,μ)を

結 合 的Hopf空

  S7とP7(R)の

も つHopf空

間 で あ る.

°(1X× μ)をみ た す と き,μ を 結 合 的(associative),

間 と い う.

積 は 結 合 的 で は な い が,逆

積 は 結 合 的 で あ る が,逆

元 を も つ.一

元 を も た な い.

  定 義   積 μ が μ=t° μ(t(x,y)=(y,x))を mutative),(X,μ)を

方,(1.7)∼(1.8)の

可 換 なHopf空

み た す と き,μ

を 可 換 的(com

間 と い う.

  (1.8)の 積 は 可 換 的 で あ る.   (1.9)  ル ー プ 空 間 ΩX=F((I,I),(X,x0))に

お け る積

Add

Add  に よ り(ΩX,Add)はHopf空

間 で あ り,x0へ

の 定 値 写 像x0は

ホ モ トピー 単

位 元 で あ る.   さ ら に,X〓

連 結,可

  定 義   Hopf空

体⇒

間(X,μX),(Y,μY)の

f:X→YはHopf写 H-写

算CW-複

像(H-写

位 相 群G(X)が

存在 して

間 の写 像

像)ま

た は μX-μY

像

  f:X→Yに

つ い て,Ωf:ΩX→

ΩY(⇔(Ωf)(l)(t)=f(l(t)))はHopf写

像 で

あ る.   積 を も つ 球 面S1,S3,S7の ν′ °η6∈ π7(S3)で

あ る(ιk∈ πk(Sk)).こ

  命 題1.9 ⅰ)   ⅱ) 

間 の 自 明 で な い 写 像 の ホ モ ト ピ ー 類 はnι1,nι3,nι7,

nι1はHopf写

nι3はHopf写

 ⅲ) 

nι7はHopf写

 ⅳ) 

ν′°η6はHopf写

  た だ し,ν2(n)はnを

像 ⇔

れ ら につ い て

像 で あ る, ν2(n)≠1,2,

像 ⇔ν2(n)≠1,2,3, 像 で は な い. 素 因 数 分 解 し た と き の2の

巾 の 数 で あ る.

  (証 明 は 定 理 Ⅸ.3.15参

照)

  F(S1,X)={f:I→X￨f(0)=f(1)基

点 を 保 た な い}を

を

射

e0(f)=f(0)を0に   (1.10) 

お け る 評 価 写 像 と す る と き,

XがCW-複

体,Hopf空

ば ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 α:X× X)が

存 在 し て 右 図 は 可 換,た

1因 子 へ の 射 影,i2は

第2因

 [証 明]  α:X×

間 なら

ΩX→F(S1, だ し,p1は

第

子 へ の 射 入.こ

こ で α￨X=χ:X→F(S1,X)は

χ(x)(t)=x(∀t∈I)で

ΩX→F(S1,X)⇔

α￨X=χ.次

μ(x,φ(0))=μ(x,*)=x=p1(x,φ)⇒e0° =μ(*,λ(t))=λ(t)⇒

α=p1.λ

α°i2=i .以

α:ホ

  (1.11) 

XはCW-複

同値 写 像

⇒XはHopf構

  [証 明]  f:X→Yは

対 し て,αi2(λ)(t) たp1,e0は

より  

モ ト ピ ー 同 値 写 像. 

(終) 間,f:X→Yは

造 を も ち,fはHopf写

弱 ホ モ トピー

像 と な る.

弱 ホ モ トピー 同値 写 像 で

一 対 一 対 応 .従

っ て,μX:X×

存 在 し てf*μX=μY°(f×f),す

右 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換 で あ る.こ

な わ ち,

こ で 射 入iα:X→X×X(α=1,2)に

つ い て,   積. 

  (1.12)  MacLane空   実 際,弱

可 換 群 π,n∈Nと 間K(π,n)はHopf空

と き,折

す る.CW-複

体 で,(π,n)型

のEilenberg-

間 で あ る か ら,(1.11)よ

ΩK(π,n+1)が

あ り(1.10)よ

りK(π,n)はHopf空

害 理 論 に よ っ て も直 接 証 明 す る こ と が で き る.X=K(π,n)と りた たむ 写像

(X×X,X∨X;πq(X))=0.全

(終)

間 で あ る.

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像f:K(π,n)→

ΩK(π,n+1)はHopf空   実 は,障

フ ァイ

よ り誘 導 さ れ るf*:[X×X,X]

→[X×X,Y]は X→Xが

∈ ΩXに

上 に よ り上 図 は 可 換.ま

体,(Y,μY)はHopf空

∈ ΩX

に,e0α(x,φ)=α(x,φ)(0)=

バ ー 空 間 で あ る か ら ホ モ ト ピ ー 完 全 系 列 と5-lemmaに ⇒

与 え られ る.

α(x,φ)(t)=μ(x,φ(t)),x∈X,φ

と定 義 す る と き,α(x,*)(t)=x⇒

あ る か ら,fに

考 え る. 

入 と す る.e0:F(S1,X)→X⇔

∇:X∨X→XをX×Xに

り

間. お く

拡 張 す る 障 害 γは γ∈Hq+1

く同 様 に し て,K(π,n)のHopf構

造は ホモ ト

ピ ー の 意 味 で 一 意 的 で あ る こ と が わ か る.   (1.2)″  Hopf空

間Xの

レ ト ラ ク トAはHopf空

  実 際, 

射 入,r:X→Aはretraction,μ

r°μ°(i×i)はA上

の 積 で あ る.

  も っ と 一 般 に,σ:X→

ΩSX⇔

間 で あ る. をX上

の 積 とす る と き,

σ(x)(t)=(x,t)を1SX:SX→SXの

随伴写

像 と す る と き,   定 理1.13  (James) 

Xの

X:Hopf空   [証 明]  [〓]  °(σ×σ)はX上   [⇒]  か れ,こ

基 点 がHEPを

間 ⇔

も つ と き,

σ は ホ モ ト ピー 左 逆 写 像 を も つ.

τ を σ の ホ モ トピ ー左 逆 写 像: 

とす る と,τ °Add

の 積 で あ る.

XがHopf空

間 の と き,積X×X→Xよ

のretractionはretraction

で あ る か ら,σ

X∞ →Xに

りretraction 拡 張 可 能.こ

X2→Xが

は ホ モ トピ ー 左 逆 写 像 τを も っ て, 

  圏HT={位

相 空 間,(連

導

こで   (終)

続)写 像 の ホ モ トピ ー 類},A={可

換 群,準

同 型}を

考 え る.   定 理1.14 

と す る.こ

関 手 π:HT→Aが

積 を 保 つ,す

の と き,(X,μ)がHopf空

は 群 の 和(a,b)→a+bと   [証 明]  第r因

な わ ち,

間 な らば

一 致 す る.

子 へ の 射 入ir:X→X×Xに

つ い て,

は 準 同 型 で,j1(a)=(a,0),j2(b)=(0,b)⇒j1(a)+j2(b)=(a,b).一

方

こ こ で, 

(終)

  ホ モ トピ ー 結 合 性 と ホ モ トピ ー 可 換 性   ΩXの

積 は 結 合 的 で も な く,逆

意 味 で の 結 合 性,逆   定 義   Hopf空

元 も もた な い が,次

の よ う な,ホ

モ トピー の

元 の 存 在 性 が 成 り立 つ.

間Xの

積 μ は ホ モ トピ ー 結 合 的(homotopy

associative)

 定 義   σ:X→Xは積

μ の ホ モ トピ ー 逆 元(homotopy

inverse)

た だ し, △(x)=(x,x)は  定 理1.15 

⇒

対 角 写 像,x0はx0へ

(X,μ)はHopf空

の 定 値 写 像.

間,Xは

弧 状 連 結 なCW-複

σL:X→X(左

ホ モ トピー逆 元)が 存 在 し て

σR:X→X(右

ホ モ トピー 逆 元)が 存 在 して

さ ら に,μ

が ホ モ ト ピ ー 結 合 的 な ら ば,ホ

  [証 明]  μ1=(1× πi(X×X)→

×Xが

モ トピ ー 逆 元 が 存 在 す る.

μ)°(△×1):X×X→X×X×X→X×Xを

πi(X×X)に

ホ モ トピ ー 同 値

体

考 え る と,μ1#:

お い て μ1#(a,b)=(a,a+b)⇒

⇒ 射 入i1:X=X×x0⊂X×Xに

存 在 して  

p2を

ホ モ ト ピ ー 逆 元 と な る.同 に  

第2座

様 に,左

μ1#:同 型 ⇒ 対 し て,写

μ1:

像 σ1:X→X

標 へ の 射 影 とす る と,σR=p2°

σ1は 右

ホ モ ト ピ ー 逆 元 σLの 存 在 が わ か る.さ

ら

が み た さ れ て い る と き,

(終)   定 義   Hopf空 homotopy

間(X,μ)は

ホ モ ト ピ ー 可 換 的(homotopy

commutative,

abelian)⇔

  た だ しt:X×X→X×X⇔t(x,y)=(y,x).   (1.16) 

被 覆 空 間(X,q,X)の

も つHopf空

間 な ら ばXに

て,被

覆 写 像qはHopf写

底 空 間Xが 一意的に積

像 で,次

μ:(ホ

モ ト ピ ー)結 合 的

 ⅱ) 

μ:(ホ

モ ト ピ ー)逆 元 を も つ

 ⅲ) 

μ:(ホ

モ ト ピ ー)可 換 ⇒

  (1.17) 

第2章,定

弧 状 連 結 なCW-複

f*:H*(X)→H*(Y)を

μ が存 在 し

が 成 り立 つ:

 ⅰ) 

  (証 明:[TM上]の

積 μを

⇒ μ:(ホ

⇒ μ:(ホ

μ:(ホ 理4.2,

モ ト ピ ー)結 合 的, モ ト ピ ー)逆 元 を も つ,

モ ト ピ ー)可 換. 4.3)

体 でHopf空

誘導 す る な ら ば,fは

間 の 間 の 写 像f:X→Yが ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.

同型

  [証 明]  Xの

普 遍 被 覆 空 間 は 

rel I,ま

たq:X→X⇔q(l)=l(1),q-1(*)=π1(X)と

考 え ら れ る か ら,Xの

使 っ てXの

積 を μ=X×X→X⇔

∋ α のXへ

の 被 覆 変 換 と し て の 作 用 はLα=μ(α, 

積 μを

μ(l1,l2)(t)=μ(l1(t),l2(t))と定 義 す る.π1(X)

で あ る か ら,π1(X)はH*(X)に

):X→Xで

自 明 に 作 用 す る.同

を 考 え,f:X→Y⇔f(l)=f°lと

定 義 す る.こ

様 にYの

の と き,仮

あ り,  普 遍 被 覆 空 間Y 定 お よび

 

かつ 基 本 群 の 作 用 の 自 明 性 か ら,  X,Yは

単 連 結 で あ る か らWhiteheadの

定 理([KNT])が

使え て  

ホ モ ト ピ ー 同 値.    定 義   (X,μ)はHopf群(H-group)ま

た は 群 状(group-like)

⇔(X,μ)は

間 で,ホ

ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

  (1.9)′  ΩXはHopf群

で あ る.さ

ホ モ ト ピ ー 可 換 で,Add    実 際,l1,l2∈

ΩXに

(終)

モ ト ピ ー 逆 元 を も つ.

ら に,(X,μ)がHopf空

間 な ら ば ΩXは

た だ し,μ ′(l1,l2)=μ°(l1×l2)° △,(li∈

ΩX).

対 して

(終)   定 義  (X,μ)はHopf空

間 と す る と き,写

φ:X×X→X×X⇔ をshear

mapと

  例   Xが に,逆

像

φ(x,y)=(x,xy)

い う(xy=μ(x,y)).

位 相 群 な ら ば φ は 同 相 写 像 で,逆

写 像 φ-1(x,y)=(x,x-1y).さ

ら

元 σ=p2° φ-1°i1.

  命 題1.17 

(X,μ)が

X:Hopf群  [証 明]  [〓]  き,σ:X→X⇔

ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空 ⇔shear

map

φ は ホ モ トピ ー 同 値 写 像.

φ を ホ モ トピ ー 同 値 写 像,ψ σ=p2°ψ

か つ 

間 の と き,

を ホ モ トピ ー 逆 写 像 と す る と

°i1と 定 義 す る とp1°φ=p1か

特 に, 

つ 

同

様 に, 

  [⇒] 

XがHopf群

で,そ

⇔ψ(x,y)=(x,σ(x)y)と

の ホ モ トピ ー 逆 元 を σ と し,ψ:X×X→X×X

定 義 す る と,ψ

はshear

map

φ の ホ モ トピ ー 逆 写

像 で あ る. 

(終)

  補 題1.18 

Hopf空

間Xが

弧 状 連 結 ⇒shear map

φ は 弱 ホ モ トピ ー 同

値 写 像.   [証 明]  第 α 因 子 へ の 射 影pα:X×X→X(α=1,2)の πn(X×X)→

πn(X)に

よ り πn(X×X)は

因 子 へ の 射 入iα:X→X×Xの πn(X×X)は

導 く準 同 型iα#:πn(X)→

直 和 と し て 表 わ さ れ る.積

μ#°i1#=μ#°i2#=id⇒ こ こ で,p1° φ=p1,p2°

μ:X×X→Xに

⇒ φ:弱

Xが

XはHopf群

で あ る.

っ て,命

  retractile部

  (1.20)   

弧 状 連 結CW-複

よ り

πn(X)のshear

mapに

体,ホ

題1.18に

(終)

モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

よ りshear

map

間 な ら ば,

φ は ホ モ トピ ー 同

よ りXはHopf群. 

(終)

写 像 柱 をMp,i,jは

射 入,rはretractionと

す る:

つ い て 次 の 仮 定 を す る:

∀nに つ い て

  補 題1.21 

  [証 明] 

題1.17に

導 く準 同 型p#に

KはCW-複

h:K→Aが

φ#=p1#×p2#

分複体

  写 像p:A→Bの

さ ら に,pの

πn(G)

ホ モ トピ ー 同 値 写 像. 

  [証 明]  定 理 の 仮 定 の 下 で,補 値 写 像,従

よ り

つ い て,

の 下 で,φ#は

  定 理1.19 

た第 α

πn(X×X)に

μ#=p1#+p2#:πn(G×G)→

同 型 

対 応 す る か ら 同型

し て,ま

φ=μ で あ る か ら, p1#°φ#=p1#, p2#°

⇒

導 く 準 同 型pα#:

直 積 πn(X)× πn(X)と

体,Lは

そ の 部 分 複 体 と す る.

f:K→B,g:L→Aはp°g=f￨Lを あ っ て, 

 rel B.そ

拡張

rel L.

に つ い てr°ut=rを

の と き,ut°g′ はf′￨Lか

み た す と す る と,gの

み た すdeformation

ut:Mp→Mpに

こ でg′=i°g:L→Mp,f′=j°f:K→Mpと らg′ へ のdeformationで

あ る か ら,HEPに

お く.こ より

 

た だ し,f″ はg′ の 拡 張 で  

rel L.こ

同 値 で あ る か ら,  g=h￨Lを

こ でrは

rel L.た

み た す 写 像.従

ホ モ トピ ー

だ し,h:K→Aは

っ て, 

rel L. (終)

  補 題1.22  き, 

h0,h1:K→Aはh0￨L=h1￨Lか

つ

 rel Lを

みたす と

rel L.

 [証 明] と 定 義 す る と,仮 K×Iに

定 か ら,p°gはK×Iに

拡 張 さ れ,こ

拡張可能

れ が ホ モ トピ ー 

  (X,μ)はHopf空

間 と し,写

⇒ 補 題1.21に

rel Lを

像u:K→Xを

与 え る. 

考 え る.簡

よ りgは (終)

単 の た め に υ=u￨L

と お く.   命 題1.23 

f:K→X,g:L→Xは

こ の と き,gの

  [証 明]  補 題1.21に =(xy,y)(shear写 す.こ

μ°(g×υ)° △=f￨Lを

拡 張h:K→Xが

存 在 し て, 

み た す 写 像 とす る. rel L.

お い てA=B=X×X,p:X×X→X×X⇔p(x,y)

像)と

お く と,補

題1.18に

よ りpは

条 件(1.20)を

こ で,f′=(f,u)=K→X×X,g′=(g,υ):L→X×Xと

f′￨L.従

っ て,g′

の 拡 張h′:K→X×Xが

 

rel Lか

つ

お く と,p°g′=

あ っ て, 

に よ り定 義 さ れ る 写 像h,w:K→Xを

みた

rel L.h′=(h,w)

考え る と,g=h￨L,υ=w￨L.さ  rel L 

rel L. 

ら に, (終)

  全 く 同 様 に,   命 題1.24 

f:K→X,g:L→Xは

こ の と き,gの

μ°(υ×g)°△=f￨Lを

拡 張h:K→Xが

存 在 して  

  補 題1.21の

代 りに 補 題1.22を

  命 題1.25 

h0,h1:K→Xがh0￨L=h1￨Lか

また は     注 意   命 題1.23,

rel L.

用 いて

rel Lを 1.24, 1.25に

み た す 写 像 と す る.

つ  

rel L

み た す な らば  

お い て,L=*と

rel L.

と る こ とに よ り定 理2.7の

られ る.   定 義  LはKに ⇔K/LはCK/Lに

お い てretractile お い て 可 縮 ⇔SLはSKの

レ トラ ク ト

別証が え

⇔

射 入j:K→(K,L)の

導

くj*:[K,L;Z]→[K,Z]に

つ い て,j*-1(0)

=0.   補 題1.26 

K⊃L:

retractileと rel

  [証 明]  fの

す る.f,f′:K→Zは

零 ホ モ トピ ー をftと

す る と き,HEPに

へ の ホ モ ト ピーf′tが あ っ て,ft￨L=f′t￨L 定値

で あ り,Lはretractileで

.f″

と 定 義 す る と,gtはfか

モ  

定値 ホ モ

ト ピ ーrel 定 理1.27 

ホ モ

らf′

は 零 ホ モ トー プ(rel

す る.次

っ てHEPに

K⊃L:

らf′

間 と す る.f,f′:K→Xは

1.24に

お い てL=*と

と る こ と(ま た は 定 理2.7)に

あ っ て,μ °(f×u),μ°(u×f′)は 零 ホ モ トー プ.従

よ り 

⇒ 命 題1.25よ

LはKに

⇔f:K→Zは

り 

零 ホ モ トピ ーft:K→Zに

HEPに

トー プ,f′0￨Lは

rel L. 

(終)

ず,

み た す 零 ホ モ トピー

拡 張 さ れ て,f1=f.

明 ら か. よ り,gtの

拡 張f′t:K→Zが

定 値 写 像 で あ る か ら, 

存 在 し て,f′1=f.f′0は rel L.従

っ て,零

零ホモ

ホ モ トピ ー

  が 存 在 し て,

後 は,HEPを

よ

っ て,補

お い てretractile

零 ホ モ トー プ,gt:L→Zはg1=f￨Lを

  [証 明]  [〓]は

へ の ホ (終)

  上 の 定 理 は も っ と一 般 に 次 の よ うに 拡 張 さ れ る.ま

  [⇒] 

っ て,

rel L .

り写 像u:K→Xが

な ら ば,gtは

でgt=g1-t.従

よ りgtはfか

retractile,(X,μ)はHopf空

  [証 明]  命 題1.23,

  命 題1.28 

L).f″

に,

変 位 さ れ る. 

トー プ で, 

題1.26に

よ りf′ か ら 例 え ばf″

へ の ホ モ ト ピ ー で,L上

ト ピ ー に 変 位 さ れ,よ

Lに

ト ー プ で, 

は 零 ホ モ トー プ な 写 像 で, 

あ る か ら,f″

か ら定 値 写 像 へ の ホ モ トピ ーrel Lをf″tと

gt￨Lは

零 ホ モ

L.

用 い てftを

変 え て,求

め るftに

す れ ば よ い. 

(終)

  さ ら に,補

題1.22は

次 の よ うに 拡 張 さ れ る(p:A→Bは

条 件(1.20)を

み

た す):   補 題1.22′  h0,h1:K→Aとgt:L→Aはgi=hi￨L(i=0,1)を ら に,jt:K→Bが

あ っ てji=p°hi(i=0,1)か

gtの 拡 張ht:K→Aが

み た し,さ つjt￨L=p°gtを

み た す な らば

あ る.

  命 題1.28と

補 題1.22′

  定 理1.27′ 

K⊃Lはretractile,(X,μ)はHopf空

は ホ モ トー プ で,ホ

を用いて

モ トピ ーgt:L→Xが

間 とす る.f0,f1:K→X あ っ て,gi=fi￨L(i=0,1)な

gtの 拡 張 で あ る ホ モ トピ ーft:K→Xが

らば

あ る.

  証 明 は 読 者 に 任 せ る.   §2  [  ,Hopf空   こ の 節 で は,空

間]の 間Yか

ピ ー 類 の 集 合[Y,X]の か れ る[Y,X]に

構造 らHopf空

間(X,μ)へ

性 質 を 調 べ る.以

お け る2項

下,誤

演 算(binary

の(基 点 を 保 つ)写 像 の ホ モ ト 解 が な け れ ば,積

operation)を"+"で

な わ ち,μ*:[Y,X]×[Y,X]=[Y,X×X]→[Y,X]に α+β=μ*(α,β) 

特 に,定

値 写 像 の 表 わ す 元 を0で

  (2.1)  f:X→X′

がHopf写

μ に よ り導 表 わ す.す

ついて (α,β ∈[Y,X]).

表 わ す と,α+0=0+α=α(∀

α∈[Y,X]).

像 ⇒f*:[Y,X]→[Y,X′]は

準 同 型(2項

演 算 を 保 つ).   定 理2.2  ⇔

X:Hopf空

間

∀Yに 対 し て,自

  [証 明]  [⇒] 

然 な 和(binary

X上

operation)が[Y,X]に

の 積 を μ とす る と き,[Y,X]∋

存 在 す る. α=[f],β=[g]に

対 して α+β=[μ

こ の 和"+"がYに   [〓]  [p1]+[p2]に

°(f×g)°

△Y] 

(△Y:Y→Y×Y).

関 し て 自 然 な こ と も 明 ら か で あ ろ う.

第i因

子 へ の 射 影 をpi:X×X→Xと

対 し て,μ:X×X→Xが

す る と き,[X×X,X]∋

存 在 し て[μ]=[p1]+[p2].和

性 か ら, [μ]°[i1]=([p1]+[p2])°[i1]=[p1°i1]+[p2°i1]=[1Y]+[0]=[1Y]

の 自然

 

全 く同様 に, 

以 上 よ り 

(終)

  積 μが ホ モ トピー結 合 的 な らば μ*も 結 合 的 で あ る こ とに注 意 し て,   定 理2.3  ∀Yに 対 し て 自然 なmonoid構

造 が[Y,X]に

⇔Xは

ホ モ トピー結 合 的Hopf空

  Hopf空

間(X,μ)が ホ モ トピー 逆元 σ:X→Xを

の 可 換 性 か ら,[σ °f]+f=[0].同   逆 に,[Y,X]が

存在す る

間.

様 に[f]+[σ

群 の と き,1X:X→Xの

もつ と き,次 図

°f]=[0].

逆 元 を[σ],σ:X→X,と

す ると

次 の 合 成 写 像 は い ず れ も 定 値 写 像 に ホ モ トー プ:

以上 より   定 理2.4 

∀Yに

  次 は(1.11)の

対 し て 自 然 な 群 構 造 が[Y,X]に

続 き で あ る:

  (1.11)′  XはCW-複 f:X→Yは

存 在 ⇔XはHopf群.

体,(Y,μY)は

弱 ホ モ トピ ー 同 値 写 像

連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空 ⇒Xは

間,

連 結 な ホ モ トピ ー 結 合 的Hopf空

間.   [証 明]  Yは Yの

連 結

⇒Xも

ホ モ トピ ー 結 合 性 ⇒Xの

  定 理2.4′  Xが し て[Y,X]は   [証 明]  f:X′

連 結.fは(1.11)よ

像 で あ る か ら,

ホ モ トピ ー 結 合 性. 

連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

(終)

間 ⇒

∀CW-複

体Yに

対

自 然 な 積 の 下 で 群 で あ る. →XをCW-近

似,す

ピ ー 同 値 写 像 と す る と,(1.11)′ 間 で, 

な わ ちX′

補 題1.18に

よ りshear

×X′ はCW-複

ー 同 値 写 像 .命

はHopf群

題1.17に

れ に 同 型 な[Y,X]も

はCW-複

体 でfは

弱 ホモ ト

に よ りX′ は 連 結 な ホ モ ト ピ ー 結 合 的Hopf空

X′ は 弱 ホ モ トピ ー 同 値 写 像 で,X′

っ て,そ

りHopf写

よ り,X′

群 で あ る. 

map

φ:X′

×X′→X′ ×

体 で あ る か ら φ は ホ モ トピ で あ る か ら,[Y,X′]は

群,従 (終)

  命 題2.5  ⇔

XはHopf構

∀ 空 間A,Bに

造 を もつ

つ い てi:A∨B→A×Bを

射 入 とす る と き,次

は全 射

i*:[A×B,X]→[A∨B,X].   [証 明]  [⇒]  fB=f￨Bと =i*:全

Xの

お き,f=μ

積 を μ と す る.∀f:A∨B→Xに

対 し て,fA=f￨A,

°(fA×fB):A×B→X×X→Xと

お く と,i*[f]=[f]

射.

  [〓] 

∀A,Bに

A=B=Xの

対 し て,i*:[A×B,X]→[A∨B,X]が

と き,折

全 射 な ら ば,

りた た む 写 像 ∇:X∨X→Xに

つ い てi*-1(∇)はXの

積. (終)

  命 題2.6 

f:A→Bと

す る.f*:[B,X]→[A,X]は

い て 全 射 ⇔Sf:SA→SBは   [証 明]  [⇒]  写 像h:B→

す な わ ち,hの   [〓]  A→X→

ΩSXの

SB→SXと

と き,1SAの

随 伴 写 像 σ:A→

存 在 し て, 

随 伴 写 像ad

Sfの

間Xに

つ

左 ホ モ トピ ー 逆 写 像 を も つ.

X=ΩSAの

ΩSAが

∀Hopf空

対 し て,

随 伴 写 像 を 考 え て,

h:SB→SAがSfの

左 ホ モ ト ピ ー 逆 写 像 をhと

左 ホ モ ト ピ ー 逆 写 像. す る.∀g:A→Xに

随 伴 写 像ad(σ °g):SA→SXとhと

対 し て,σ °g:

の 合 成 をg=ad(σ

す る と, 

°g)°h:

こ の随 伴 写 像 を考 える と

σ°g=(adg)°f:A→B→ よ り写 像r:ΩSX→Xが

ΩSAに

ΩSX.XはHopf空

間 で あ る か ら,定

存在 して  

理1.13に

従 っ て,  (終)

  代 数 的 ルー プ と差   定 義   2項 作 用 を も つ 集 合Lが ⇔L∋

∀α,β に 対 し て,方

代 数 的 ル ー プ(algebraic

程式 α+x=β, 

は 一 意 的 に 解x,y∈Lを   定 理2.7(James)  ∀Yに

対 し て[Y,X]は

対 し てD(α,β)∈[Y,X]が

loop)

y+α=β

も つ. (X,μ)がHopf空

間,Xは

弧 状 連 結,CW-複

代 数 的 ル ー プ で あ る.す 一 意 的 に 存 在 し て, D(α,β)+β=μ*(D(α,β),β)=α.

な わ ち,∀

体 の と き,

α,β ∈[Y,X]に

  [証 明]  [f]=α,[g]=β よ りshear

map

(μ(x,y),y)は

と す る.補

φ:X×X→X×X⇔

題1.18に φ(x,y)=

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ る か ら,右

の 図 のlifting問

題 に お い て,D(f,g):Y→Xが,(f×g)°

△ を み た す 一 意 的 な 解 に と れ る.従

△=φ °(D(f,g)×g)°

っ て,D(f,g)は

μ*(x,β)=α

の一意的な

解 で あ る.    系2.8 

(終)

Xは

弧 状 連 結,CW-複

 ⅰ) ∀α∈[Y,X]は ∈[Y,X]に

体,Hopf空

右 逆 元,左

間 とす る.

逆 元 を そ れ ぞ れ 一 意 的 に も つ.特

対 し て,α-β=α+(β

の 右 逆 元)と

α-β=0⇔  ⅱ)  f:X→X′  ⅲ)  X:ホ

がHopf写

像

モ トピ ー 結 合 的

さ ら に,X:ホ

に,∀ α,β

定 義す る と

α=β,

⇒f*(α-β)=f*(α)-f*(β), ⇒[Y,X]:群,D(α,β)=α-β,

モ トピ ー 可 換

⇒[Y,X]:可

  定 義   D:[Y,X]×[Y,X]→[Y,X]を

換 群.

差(difference)と

い う.こ

れは性質

に よ り一 意 的 に 定 ま る.   定 義   第i因

子 へ の 射 影pi:X×X→Xに

を 普 遍 的 差(universal

difference)と

  こ の と き,D(f,g)=D°(f×g)°

X×Xに

方,μ

→X×Xに

∀f,g:Y→Xに

 

°(0×1)°△=1で

を み た す 一 意 的 な写 像 で あ

,1)は

あ る か ら, 

述 のshear写

像 φ は φ￨X∨X=kを

仮 定 し て よ い.従

っ て,μ

は コ フ ァ イバ ー 空 み た す.こ

こ で,D(x,*)

°(D×1)°(1× △)°i1=1,ま

り,μ °(D×1)°(1× △)°k=∇

ト ピ ー 逆 写 像 を も つ か ら 定 理1.27に

入i2:X

を み た す一 意的 な 写

間 で あ り,上

μ°(D×1)°(1× △)°△=1よ

ま た,射

 

像k:X∨X→X×X⇔k°i1=i1,k°i2=△

,D(x,x)=*と

入i1:X→

をみたす一意的な写

像 で あ る.写

=x

同 様 に,射

 

方,μ °(1×0)°△=1で つ い てD°i2=D(0

対 し て 成 り立 つ.

あ る か ら, 

つ い て,D°i1=D(1,0)は

像 で あ り,一

い う.

△Yが

  D° △=D(1,1):X→Xは る.一

対 し て,D=D(p1,p2):X×X→X

より rel k.

で あ る.Sjは

た

左 ホモ

 

Dの

一意性から

  補 題2.9 

写 像h:Y→Z,Hopf写

  命 題2.10 

Xが

像g:X→X′,∀fi:Z→X,に

弧 状 連 結,CW-複

体 でHopf空

対 して

間 の と き,∀A,Bに

つい

て

は 次 の 意 味 で 短 完 全 系 列 で あ る:   (1)  i*:全

射

  (2)  Λ*:一

  (i:A∨B→A×B射

対一

入)

  (Λ:A×B→A∧B射

影)

  (3)  i*α=i*β ⇔D(α,β)∈ImΛ*  [証 明]  (1)は 命 題2 .5で あ る.   (2)  コ フ ァ イ バ ー 空 間A∨B→A×B→A∧Bに

を 考 え る.Si:S(A∨B)→S(A×B)は 左 逆 写 像 を もつ

左 ホ モ

⇒(Si)*:全

射

な ら ば Λ*D(α1,α2)=D(α1,α2)° α1=α2⇒

Λ*=一

  (3) 

i*α=i*β

関 す るPuppe完

⇒

ト ピ ー 逆 写 像 を も つ ⇒(Si)*は

∂=0⇒

Λ=D(α1°

全 系列

Λ*-1(0)=0.ま

た Λ*α1=Λ*α2

Λ,α2° Λ)=0⇒D(α1,α2)=0⇒

対 一. ⇔0=D(α

°i,β °i)=D(α,β)°[i]=i*D(α,β)

⇔D(α,β)∈ImΛ*. 

 H-偏

(終)

差

  定 義  (X,μ),(X′,μ ′)はHopf空

間 とす る.写

像f:X→X′

のH-偏

deviation) ⇔HD(f,μ,μ′)° =D(f°

Λ μ,μ′°(f×f))

で 定 義 さ れ る 元HD(f)=HD(f,μ,μ′)∈[X∧X,X′].   射 入i:X∨X→X×Xに

⇒D(f° さ ら に,容   f:Hopf写

つ い て, 

μ,μ′ °(f×f))は

Λ:X×X→X∧Xを

易 に わ か る よ うに 像

 

rel X∨X

通 っ て 分 解 す る.

差(H

従 っ て,HD(f,μ,μ で あ る.す

μ-μ ′ Hopf写

像 で あ る た め の 障 害(obstruction)

な わ ち,

  (2.11) 

f:Hopf写

  命 題2.12   (1) 

′)はfが

像

(Xi,μi)はHopf空

f0:X0→X1は

 (2)  f1:X1→X2は

間 と す る(i=0,1,2).

μ0-μ1 Hopf写

像

μ1-μ2 Hopf写

像

 [証 明]  (1)

こ こ で Λ*は 一 対 一 で あ る か ら,   (2)も 同 様.    XがHopf空

(終) 間 の と き,一

般 に そ のHopf構

的 と は 限 ら な い.今,μ:X×X→Xを

造 は ホ モ ト ピ ー の 意 味 で も一 意

一 つ の 積,α

∈[X∧X,X]と

す ると

き, μα=α ° Λ+μ は ま たXのHopf構

造 で あ る.実

j*μα=j*(α °Λ)+j*μ=α

際,射

入j:X∨X→X×Xに

つ い て,

°Λ°[j]+μ °[j]=∇ ∈[X∨X,X] (折 りた た む 写 像)

明 ら か に,D(μ

α,μ)=α°Λ

  XのHopf構

造 の集合は

⇒HD(1,μ

α,μ)=α.

j*-1(∇)⊂[X×X,X] で 与 え ら れ る.今,μ

∈j*-1(∇)を 一 つ と め て お く と,対

φμ:j*-1(∇)→[X∧X,X]⇔

応

φμ(μ)=HD(1,μ,μ)

は 対応 ψ μ:[X∧X,X]→j*-1(∇)⇔ の 逆 で,従

っ て,

ψμ(α)=μα

 定 理2.13 

XがCW-複

[X∧X,X]と

間 な ら ば,XのHopf構

造の集合は

一 対 一 対 応 に あ る.

  補 題2.14  ⇒fの

体,Hopf空

Hopf写

像f:(X,μ)→(X′,μ

ホ モ トピ ー 逆 写 像g:X′

′)が ホ モ トピ ー 同 値 写 像

→XもHopf写

像.

  [証 明]  こ こ で(f∧f)*は Hopf写

′,μ)=0⇒g:

像. 

(終)

  定 義  Xの2つ ⇔

同 型 で あ る か ら,HD(g,μ

のHopf構

造 μ,μ′はH-同

ホ モ トピ ー 同 値 写 像 か つ μ-μ′Hopf写

  記 号   こ の と き,〓

 定義  

値(H-equivalent) 像 で あ るh:X→Xが

存 在.

で 表 わ す.

をXの 本 質的 に異 なるHopf構 造の集合 とい う.

  も っ と一 般 に   定 義  f:(X,μ)→(X′,μ ⇔fは

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像,か

  定 義   (X,μ)と(X′,μ

⇔H-同

値

つHopf写

′)はH-同

値 写 像f:X→X′

  定 義   Hopf空 ⇔

′)はH-同

像.

値, 

また は  

が 存在 す る.

間(X,μ)は ルー プ空 間(ま た は μは ル ー プ積)

空 間YとH-同

値写像

 

が 存在.

 定義 2つのループ空間  ら れ て い る と き,f:X→X′ ⇔

写 像g:Y→Y′

が与え

は ル ー プ写 像

が存在 して

右 の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.   Hopf構

造 の変更

  空 間X,X′

と 写 像f:X→X′

が 与 え ら れ た と き,X,X′

を み つ け て,f:(X,μ)→(X′,μ

′)をHopf写

上 に そ れ ぞ れ 積 μ,μ′

像 に で き る か ど うか を 以 下,調

べ

て み る.   命 題2.15 

(X,μ),(X′,μ

′)はHopf空

  (1)  X′ 上 に 積 μ′が あ っ て,fが

間,f:X→X′

μ-μ′Hopf写

⇔HD(f,μ,μ′)∈Im{(f∧f)*:[X′   (2)  (X′,μ′)はホ モ ト ピ ー 結 合 的,Xは

は 写 像 と す る.

像 とな る

∧X′,X′]→[X∧X,X′]} 有 限 次 元 ま た は πn(X′)=0(n:十

分

大)と す る.こ X上

の と き,

に 積 μ が あ っ て,fが

⇔-HD(f,μ,μ

  (1)  [〓] 

w∈[X′

μ-μ′Hopf写

Λ+μ

お け る和).こ

nに

のHopf構

存 在 し てfは Λ+μ(た

μ-μ′Hopf写 だ し,+は

造 で,fは

像 と す る と,

μ に よ り導 か れ

の とき

し て,D(0,w)=cw∈[X∧X,X]と

-HD(f,μn,μ

元

′)=f°υn 

お くと

υn∈[X∧X,X]が

(f°υn=-wnと

∧n+2X(n+2回

のsmash積)と

あ っ て,次 を み た す:

お く) υn:∧n+2X→Xが

あ っ

υn=υn° αn

  [(2.16)0⇒(2.16)1] 

仮 定 か ら,υ

こ で μ0=μ,υ0=υ

  μ1=μ υ=υ °Λ+μ る 和).

お くと

関 す る 帰 納 法 で 次 の 命 題 を 示 す:

  (ロ)  αn:X∧X→

=f° υ.そ

あ っ て,μ′=μ′wがX′

写 像 μn:X×X→Xと

て

と

μ′=μ ′°(w° Λ × μ′)° △x′ ×x′)と

μ:X×X→Xが

μ に 関 す る 差 をDと

 (イ) 

存 在 し て, 

あ っ て,μ=μw=w°

,X]に

  (2.16)n 

′(⇔

∧X′,X′]が

積

w∈[X∧X,X]が

  [〓] 

∧X′,X′]が

表 わ す.

像 に な る とす る と

  (2)  [⇒] 

る[ 

対 角 写 像 を △Y:Y→Y×Yと

w∈[X′

′w=w°

  [⇒] 

像 となる

′)∈Im{f*:[X∧X,X]→[X∧X,X′]}.

  [証 明]  空 間Yの

す る.μ′=μ

μ-μ′Hopf写

と お く(た

∈[X∧X,X]が

と お く .υ0の だ し,+は

あ っ て-HD(f,μ,μ′)

分 解 は 自 明(f°

υ=-w).

μ に よ り 導 か れ る[ 

,X]に

おけ

 と お く と,写 (X∧X)∧(X×X)が

α1:X∧X→

あ っ て, 

と お く.そ α1=(1∧

像

μ)°α1,υ1=υ

こ で,υ1=υ °(υ∧1)と

  [(2.16)n⇒(2.16)n+1]上   μn+1=(μn)υn=υn°

°(υ∧ μ)°α1=υ

お け ば,υ1=υ1°

°(υ∧1)°(1∧

(+は[ 

,X]に

お き,

α1.

の 議 論 で,μ μn,υ υnと Λ+μn 

μ)°α1と

お き か え て,

お い て μnで 導 か れ る 和)

と お く と,

こ の と き,υn+1=υn°(υn∧1)°(1∧

αn+1=(αn∧1)°   (1) 

dim

  ∧nXは

μn)°α1は

γn,υn+1=υn°(υn∧1)と X=kの

次 の 図 の よ う に 分 解 さ れ る か ら,

お く と,υn+1=υn+1°

αn+1.

場 合.

少 な く と も(n-1)-連

結 で あ る か ら,[X∧X,∧2k+1X]=0,  従 っ て,μ2k-1が

求 め る積

で あ る.   (2) 

πn(X′)=0(n>k)の

場 合. 従 っ て,

μk-1が 求 め る 積 μ で あ る. 

(終)

  §3  Postnikov系   Postnikov系   以下  

の間の写像 連 結,可

算CW-複

体}の

圏 で 考 え る.

μ

  次 の 事 実 を 思 い お こ そ う:   定 義   空 間(n,X),写

像pn:X→(n,X),qn:(n,X)→(n-1,X)の

X),pn,qn}はXのPostnikov系(Postnikov ⇔

系{(n,

system)

次 の 条 件 が み た され て い る:

連結

(1) 

(2) は フ ァイバ ー空 間

(3) 

(4)   注 意   任 意 の 連結 な 空 間Xに

対 しPostnikov系

は 存 在 し, 

な らば

  定 義   写 像f:X→YがX,YのPostnikov系{(n,X),pn(X),qn(X)}, {(n,Y),pn(Y),qn(Y)}上 ⇔

に 導 く写 像

写 像 の 系fn:(n,X)→(n,Y)で

  定 義   写 像f:X→Yはf′:X′ ⇔

次 を み た す:

→Y′ に 同 値

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像hx:X→X′,hY:Y→Y′

が 存 在 し て,右

の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.

  こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (3.1)  右 の ホ モ トピ ー 可 換 な 図 が 与 え ら れ た と き,X,Y,U,Vに とf,g,a,bに

 

ホ モ トピ ー 同 値 なX′,Y′,U′,V′ 同 値 なf′,g′,a′,b′ が 存 在 し て,

  (1) 

右 の 図 は 可 換,

  (2) 

a′,b′

Xは(n-1)-連 結(n,m>1)と

は

フ ァ イ バ ー 空 間. 結,Yは(m-1)-連

し,l=min(n,m)と

お

く.p(X):X→K(πl(X),l),p(Y): Y→K(πl(Y),l)は,そ

m=lの

れ ぞ れn=l,

と き は 基 本 類,n>l,m>lの

と き は 自 明 な 類 を 表 わ す 写 像 と す る.

  (3.2)  る と,前

f:X→Yに

よ り 導 か れ る 写 像 をf#:K(πl(X),l)→K(πl(Y),l)と

す

ペ ー ジ の 下 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換.

  (3.1)を(3.2)に   (3.3) 

適 用 し て

X,Yに

p(Y)′,f′

ホ モ

ト ピ ー 同 値 なX′,Y′

とp(X),p(Y),fに

同 値 なp(X)′,

が 存 在 し て,

  (1)  右 の 図 は 可 換,   (2)  p(X)′,p(Y)′

は フ ァイバ ー

空 間.   p(X)′ の フ ァ イ バ ー をFXと

し,フ

ァ イ バ ー 空 間FX→X′

→K(πl(X),l)に

関

す る完 全 系 列

よ り  

が わ か る.全

る と, 

従 っ て,基

(FY;πl+1(FY))が

存 在 す る.こ

く同 様 に,p(Y)′

の フ ァ イ バ ー をFYと

す

本 類lX∈Hl+1(FX;πl+1(FX)),lY∈Hl+1

の フ ァ イ バ ー 空 間 の 転 入(transgression)を

とす る と,τ(ιX)kl+2(X),τ(ιY)=kl+2(Y)は

そ れ ぞ れX,Yの

第1

τ

Postnikov

不 変 量 で あ る.  

を 同 一 視 し,f#=(f′￨FX)#:πl+1

(FX)→ πl+1(FY)に πl+1(Y))と  (3.4) 

よ り 導 か れ る 係 数 準 同 型 をf*c:Hi(Z;πl+1(X))→Hi(Z;

す る と,自

然 性 か ら,

f*ckl+2(X) =(f#)*kl+2(Y)

. 

さ らに

  (3.5)  右 上 の ホ モ ト ピ ー 可 換 な 図 お よび それ に 同値 な可 換 な 図 が 存 在 す る.た

だ し,u∈Hn(Z;π)に

対 応 す る 写 像 をu:Z→K(π,n)と

表

わ す.  (3.6) 

フ ァ イ バ ー 空 間 

が 存 在 し て,上 ピ ー 可 換,か

つ,特

性 類(k-不

変 量)は そ れ ぞ れ,kl+2(X),kl+2(Y).

の 図は ホ モ ト

  以 上 の 事 実 を使 って   定 理3.7  X→Yに

∀写 像f:

対 し て,X,Y

のPostnikov系{(n, X),pn(X),qn(X)}, {(n,Y),pn(Y),qn(Y)} と写 像 の 系   が

存在

し て,右 の 図 に お い て, 長 方 形 は 可 換,そ

の 他 の 部 分 は ホ モ トピ ー 可 換 に な る.さ

変 量kn(X),kn(Y)に

つ い て,

  [証 明]  fn:(n,X)→(n,Y)のnに り第1段

階 は 成 り立 つ.nま

(n+1,X)→(n+1,Y)を

関 す る 帰 納 法 で 示 す.(3.3), で 成 り立 つ と 仮 定 し,定

(3.4)に

理 の 条 件 を み た すfn+1:

構 成 す る.

  (イ)  帰 納 法 の 仮 定 か ら,右

の 図 は ホ モ トピ

ー 可 換 .従 っ て,(3.1)よ

り,X,

Yに

同 値 なX′,

pn(Y)に

Y′とpn(X),

ら に,Postnikov不

ホ モ トピ ー

同 値 なpn(X′),

pn(Y′)が

存 在 し て,右 の 図 は 可 換,か つpn(X′),

pn(Y′)は

フ ァ イ バ ー 空 間.ま

た,帰

納法の仮定

か ら

pn(X′)の

フ ァ イ バ ー をFn(X)と

表 わ す と完 全 系 列

よ り,

同様に

こ れ ら の 群 を 同 一 視 し て,基

本 類 ιn(X)∈Hn+1(Fn(X);πn+1(X)),ι

n(Y)∈Hn+1

よ

 

(Fn(Y);πn+1(Y))を

え る.こ

の と き,Postnikov不

変 量 はkn+2(X)=τ(ιn(X)),

kn+2(Y)=τ(ιn(Y)).   (ロ) 

(3.4)と

同 様 に し て,

転 入 の 自 然 性 か ら,f*c(kn+2(X))=f*n(kn+2(Y)).   (ハ)  上 の 関 係f*c(kn+2(X))=f*n(kn+2(Y))は る.こ

こ でf#を

ー 空 間 と思 って

下 の ホ モ トピー可 換 な 図 を与 え

フ ァイバ ,ACHP

を 使 っ てkn+2(X)を

同値

な 写 像 で お き か え て,右

上 の 図 を 可 換 と 思 っ て よ い.

  道 の フ ァ イ バ ー 空 間K(πn+1(X),n+1)→pK(πn+1(X),n+2)→K(πn+1(X), n+2),K(πn+1(Y),n+1)→pK(πn+1(Y),n+2)→K(πn+1(Y),n+2)か ぞ れkn+2(X),kn+2(Y)に

よ り 導 か れ る(n,X),(n,Y)上

(n+1,X),(n+1,Y)と

し,射

ら,そ

れ

の フ ァ イバ ー 空 間 を

影 を そ れ ぞ れqn+1(X):(n+1,X)→(n,X),

qn+1(Y):(n+1,Y)→(n,Y)と

す る.こ

の と き,

fn+1:(n+1,X)→(n+1,Y)⇔fn+1(x,a)=(fn(x),pf#(a))

と 定 義 す る と,右

の 図 は 可 換.

  (ニ)  障 害 理 論 を 用 い て,(イ)に お け る 写 像pn(X′),pn(Y′)のlifting pn+1(X′):X′

→(n+1,X),pn+1(Y′):Y′

→(n+1,Y)で

次 の条 件 を み た す もの

を 定 義 で き る:

(ⅰ)   (ⅱ)

 

(Y);πn+1(Y))は

そ れ ぞ れ の 基 本 類 を 基 本類 に写 す.

次 の可 換 な 図 に お い て 横列 は完 全:

これ より, 

全 く同様に,

  従 って,Postnikov系 に

  そ れ ぞ れ(n+1,

X),(n+1,Y)を kov系

加 え て,新 し いPostni

を え る.

  (ホ)  右 上 の 図 の ホ モ トピー可 換 性 を 示 さね ば な らな い.右 の 図 に お い て 上 端 の もの 以 外 は す べ て可換

が 存 在 して, (左 辺 の ・は フ ァ イ バ ー の 作 用) ⇒ 対 応 す るu∈Hn+1(X′;πn+1(Y))が

存 在 し て,

こ こ で 

が

あ っ て,pn+1(X′)*(υ)=u ⇒

右 の 図 は ホ モ トピ ー 可 換.

そ こ で,

と 定 義 す る と,f′n+1は

フ ァ イ バ ー 空 間.ま

(x))・fn+1(pn+1(X′)(x)).一

た,f′n+1°pn+1(X′)(x)=υ(pn+1(X′)

方, 

で あ る か ら,

 (ヘ)  最 後 に,f′n+1=fn+1と

お く.X′

き か え る こ と に よ りえ ら れ た か ら,X′ (x,y)で

表 わ さ れ る.そ

こ で 第1因

はXか

ら 写 像 を フ ァ イバ ー空 間 に お

の点 は対

子へ の射 影 に

よ り標 準 的 ホ モ トピ ー 同 値 写 像hX:X→X′

をえ

る.全

く 同 様 にhY:Y→Y′.こ

そ こ で,X′,Y′

の と き 前 ペ ー ジ の 下 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換.

を そ れ ぞ れX,Yで

お き か え て よ い. 

(終)

  全 く同 様 に し て,   定 理3.8 

写 像f:X→Y,お

よ びX,YのPostnikov系{(n,X),pn(X),

qn(X)},{(n,Y),pn(Y),qn(Y)}が が

与 え ら れ て い る と き,写

存 在 し て,定

理3.7の

の 部 分 は ホ モ ト ピ ー 可 換 に な る.さ

図 に お い て,長

ら に,Postnikov不

像の系  

方 形 は 可 換,そ

の他

変 量kn(X),kn(Y)に

ついて   以 上 の こ と か ら 明 ら か に,   補 題3.9 

XがPostnikov系{(n,X),pn(X),qn(X)},k-不

変 量kn(X)を

も つ な ら ば{(n,X)×(n,X),pn(X)×pn(X),qn(X)×qn(X)}はX×Xの Postnikov系

で,Postnikov不

X×X→Xは

第j因

変 量 はi*1cp*1kn(X)+i*2cp*2kn(X).た

子 へ の 射 影,ij:X→X×Xは

  定 理3.10 

X,YのPostnikov系

(Y),qn(Y)}と

し,f,g:X→Yは

第j因

だ し,pj:

子 へ の 射 入.

を{(n,X),pn(X),qn(X)},{(n,Y),pn 与 え ら れ た 写 像 と す る.こ

の と き, 

な

ら ば,   [証 明]  ま ず,次   (n,X)の

の2つ

の ホ モ トピ ー 可 換 な 図 が あ る:

ホ モ トピ ー

型 を もつCW-複

体X′n

を 考 え,pn(X):X→ (n,X)に り,最

よ り導 か れ る こ の 複 体X′n上 初 か ら(n,X)をCW-複

の フ ァイバ ー空 間 を 構 成 す る こ とに よ

体 と 思 っ て よ い.i:(n,X)(n+1)→Xを(n+1)-

切 片 上 の 断 面 とす る と き,

こ こ で,πi(n,Y)=0(∀i>n)で

あ る か ら,上

の ホ モ トピ ー を(n,X)上

で き て, 

(終)

  概Hopf空

間

  定 義   Xは

概Hopf空

⇔

に拡 張

写 像 μ:X×X→Xが

間(almost あ っ て,射

Hopf

space)

入ij:X→X×Xに

つ い て,μ °ij:X→

 

Xは

ホ モ ト ピ ー 同 値(j=1,2).

  定 義   概Hopf空 (Y,μY)は ⇔

間 の 間 の 写 像f:(X,μX)→

概Hopf写

像(almost

Hopf

map)

右 の 図 は ホ モ ト ピ ー 可 換.

  命 題3.11 

Xは

連 結 な 概Hopf空

  [証 明]  X∋e:基 か ら,l,rは

点 と し,l=μ

間

°i1,r=μ

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.lの

ト ピ ー 逆 写 像 をr-と

⇒XはHopf空

間.

°i2:X→X×X→Xと

お く.仮

左 ホ モ トピ ー 逆 写 像 をl-,rの

定

右 ホモ

し,m:X×X→X⇔m(y,z)=l-(μ(r-°l(y),z))と

定義

す る と,

(終)   従 っ て,一

般 に は,積

は 元 の も の とは 異 な る.

  定 理3.12 

概Hopf空

間XのPostnikov系

∀(n,X)は

概Hopf空

  [証 明]  定 理3.8と

ホ モ トピー可 換,そ

間 で,qnは 補 題3.9に

よ り,次

上 列 を含 む 長 方 形 は

っ て,  こ で(μ °ij)#は同 型,pn#は

について同型

⇒(μn°inj)#は 

し て は,πl(n,X)=0⇒(μn°inj)#は ら,μn°injはホ モ トピー 同 値 Hopf写

す る と き,

像 で あ る.

の 図 が あ り,最

の 他 の 長 方 形 は 可 換.従

こ  

を{(n,X),pn,qn}と

す べ て 概Hopf写

  命 題3.11と

この 定理 よ り

つ ね に 同型. 

⇒(n,X)は

像 で あ る こ とは 明 らか. 

に つ い て 同 型.し か し,∀l>nに

概Hopf空

対

複 体 で あ るか 間.こ の とき,qnが (終)

概

  系3.13 

Hopf空

はHopf空

間XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}に

間.

  系3.14 

kは 完 全 体 とす る.Hopf空

に つ い て,H*((n,X);k)は   証 明 はHopf空

間XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}

単 生 成 の(truncated)多

間(n,X)に

  (X,μ)は 概Hopf空

定 理 Ⅱ.4.9を

間 と す る.よ

つ い て,自

然な分裂

が あ る.こ

の と き,第2因

X;π)と

お い て,∀(n,X)

項 式 環 のtensor積.

適 用 す れ ば よい.

く知 ら れ て い る よ うに,任

意の可換群 πに

子 へ の 射 影 を σ:Hn(X×X;π)→Hn(X×X,X∨

す る と き,

  定 義   Hn(X;π)∋uは   定 理3.15 

Xの

と し,πni=πni(X)と   XはHopf空

π-原 始 的(π-primitive)⇔

σ(μ*(u))=0.

ホ モ トピ ー 群 はn1,…,nk(n1=0 ￨zi￨+￨z′i￨=2n+1と

.

お く と き,

た はl>￨z′i￨)⇒Sqkzi=0(ま

た はSqlz′i=0)  た だ

しc=￨zi￨,d=￨z′i￨.こ

こ

で,

Sqczi=z2i,x∈PH*で ま

あ る こ とか ら 〈z2i,x〉=0.従

って, 

たSqdz′i=(z′i)2:偶数 次 数   につ い て  

(終)   §3 Lie代 数   この 節 で はLie代

数 の復 習 をす る.

  Aを 結 合 的 代 数 とす る.   定義

 

x∈Ar,y∈As.

  この次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 準 同 型[,]をAのLie積 積 を もつ 次 数 つ き ベ ク トル空 間Aを algebra)と

随 伴Lie代

数(associated

Lie

い う.

  定義   LはLie代 ⇔Lは

代 数Aの

とい う.こ のLie

数(Lie

algebra)

準 同型  

を もつ 次 数

つ き ベ ク トル空 間 で,あ

る代 数Aに

対 して,

次 数 つ きベ ク トル空 間 の単 射f:L→Aが

存

在 して 右 図 は 可 換.   定 義 f:L→L′ ⇔fは

はLie代

数 の間 の準 同 型

次 数 つ き ベ ク トル空 間 の 間 の 準 同 型 で,

右 図 は 可換.   記号   L=圏{Lie代   定 義   U(L):代 ⇔U(L)は

Aは き,代

数Lの

数 の準 同型}

包 絡 代 数(universal

次 の 条 件 を み た すLie代

L→U(L)を  

数,Lie代

enveloping

algebra)

数 の 準 同 型iL:

も つ 代 数:

代 数,f:L→AがLie代

数 の準 同型 の と

数 の 準 同 型f:U(L)→Aが

一 意 的 に 存 在 し て,f=f°iL.

 注意   定 義 か ら包 絡 代数 は存 在 すれ ば 一 意 的 で あ る が,存 在 性 は 次 の よ うに 示 され る:  

をtensor代

数,T(L)⊃Iを

idealと す る とき,U(L)=T(L)/I.   Lie代 数L,L′

の 積L×L′

につ い て

元xy-(-1)pqyx-[x,y]で

生成 さ れ る

 (3.1)

  従 って,Lie代 は双 対 積  

数Lに

は 結 合 的Hopf代

対 して,自 然 な 写 像 △:L→L×L⇔ を導 き,こ

数 とな る.こ の双 対 積 は双 対 可 換 で あ る の で,CH=圏{双

可 換 なHopf代

数}と す る とU:L→CHは

  定 義 か ら明 らか に,結 合 的Hopf代 の 部分Lie代

△(x)=(x,x) れ に よ りU(L) 対

関 手 で あ る. 数Aに

数 で あ る の でH=圏{結

対 し,P(A)はAの

合 的Hopf代

随伴Lie代

数

数}と す る と,P:H→Lは

関 手 で あ る.  注意 原始的生成Hopf代 CHの 部 分圏 といえる.

数 は双 対可 換なのでpH=圏{原

始的生成Hopf代

  さ らに 次 が 成 り立 つ:   定 理3.2  p=0と

す る と き,

  (1)  関 手P°U:L→LはLの

恒 等 関 手,

  (2)  関 手U°P:pH→pHはpHの

恒 等 関 手.

  (証 明略)  以 下,pは

素 数 とす る.

 定義  Aは

結 合 的 代 数 とす る.n:偶 ξ:An→Apn⇔

と定 義 す る.Lie積 の 随 伴restricted

  定 義   Lはrestricted ⇔Lはn=偶

ξ(x)=xpn

を も ち,こ Lie代

数 また はp=2の

(x∈An)

の 写 像 ξ を も つ 次 数 つ き ベ ク トル 空 間AをA

数 と い う. Lie代

数

数 ま た はp=2に

対 し て,次

の条件

を み た す 写 像 ξ:Ln→Lpnを

も つLie代

数:

あ る 代 数Aに

数 の 単 射f:L→

対 し て,Lie代

Aが 存 在 し て 右 上 の 図 は 可 換.   定 義   L→L′

はrestricted

⇔fはLie代

数 の 準 同 型 で 右 中 の 図 は 可 換.

  記 号  RL=圏{restricted

Lie代

Lie代

数 の 間 の 準 同型

数,そ

の間の準

同 型}   定 義   V(L):restricted

と き,

Lie代

数Lの

包絡代 数

数}は

⇔V(L)は

次 の 条 件 を み た すrestricted

Lie代

数 の 準 同 型iL:L→V(L)を

も つ 代 数: Aは

結 合 的 代 数 で,f:L→Aがrestricted

数 の 準 同 型f:V(L)→Aが

Lie代

数 の 準 同 型 の と き,代

一 意 的 に 存 在 し てf=f°iL.

  注 意   定 義 か ら包 絡 代 数 は 存 在 す れ ば 一 意 的 で あ る が,存 在 性 は 次 の よ うに 示 され る: V(L)=U(L)/I.た

だ し,Iは,n=偶

数 また はp=2の

ときxp-ξ(x)(x∈Ln)な

る形

の 元 で生 成 され るideal.   restricted

Lie代

数L,L′

  従 っ て,restricted

Lie代

の 積L×L′

について

 (3.3)

数Lに

対 し て 自 然 な 写 像 △:L→L×L⇔L(x)

=(x,x)は

双対積

 

りV(L)は

原 始 的 生 成 な 結 合 的Hopf代

関 手 で あ る.ま た,結 Lie代

合 的Hopf代

数 のrestricted部

  さ ら に,次   定 理3.4 

を 導 き,こ

分Lie代

数 と な る.従

数Aに

れ に よ

っ て,V:RL→pHは

対 し てP(A)は,Aの

数 と な る.従 っ て,P:H→RLは

随 伴restricted 関 手 で あ る.

が 成 り立 つ: p≠0の

と き,

  (1)  関 手P°V=RL→RLはRLの

恒 等 関 手,

  (2)  関 手V°P:pH→pHはpHの

恒 等 関 手.

  (証 明 略)   記 号   Lie代 ま たL#を

数Lを

自 明 なLie積

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 と み な し た も の をL#と を も つLie代

数 と も み な す.こ

表 わ す.

の と き,A(L)=U(L#)

と 表 わ す.

  §4  古 典 的 定 理   以 下,こ

の 節 で は 結 合 的Hopf代

  定 義  augmented代

で 定 義 さ れ るfiltrationを と い う.

数 を 扱 う.

数Aに

入 れ る.こ

れ を,Aのaugmentation

filtration

  こ のfiltrationの

随 伴 双 次 数 つ き 加 群 をE0(A)と

す る と き,次

の命 題 は いず

れ も 定 義 か ら 明 ら か で あ る.   命 題4.1  augmented代   (1)  E0(A)は

数A,Bにaugmentation

filtrationを

入 れ る と き,

filtrationを

入 れ る と き,

連 結 な 双 次 数 つ き 代 数,

 (2)

 (3)   命 題4.2  E0(A)は

結 合 的Hopf代

数Aにaugmentation

原 始 的 生 成 な 双 次 数 つ きHopf代

  AはQ上

の 連 結,可

と お く.π:I(A)→Xは

換,結

合 的Hopf代

数 と し,X=Q(A),A(X)=U(X#)

自 然 な 準 同 型 と す る と き,

  定 理4.3  (Leray)  =1X:X→I(A)→Xを

f:X→I(A)が

次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 で,π

み た す な ら ば,fは

  [証 明]  fが

導 くaugmented代

E0(f):E0(A(X))→E0(A)は 命 題4.1よ

数 で あ る.

代数 の 同 型  

数 の 準 同 型 をf:A(X)→Aと

双 次 数 つ き連 結 なHopf代

°f

を与 え る. す る と き,

数 の 準 同 型 で,従

って

り

右 の 可 換 な 図 に お い て,命 題2.9に よ り,縦 の準 同型 は単 射 ⇒P(E0 (f))は 単 射 ⇒E0(f)は 来,E0(f)は

単 射.元

全 射 で あ る か ら,E0(f):同

型 ⇒f:同

型. 

(終)

  この定 理 の系 とし て   定 理4.4 

Q上

の 連 結,可

換Hopf代

数Aが

ベ ク トル 空 間 と し て 有 限 次 元 な

ら ば,Aは

奇 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ る 外 積 代 数 で あ る.

  実 際,こ

の と き,Q(A)m=0(m:偶

  系4.5 

Xが

有 限 次 元Hopf空

数). 間 な らば

H*(X;Q)=Λ(x1,…,xl), 

￨xi￨=ni:奇

数.

  定 義   こ の と き,lを 有 限 次 元Hopf空 間Xの 階 数(rank)と =lと 表 わ す .ま た(n1,…,nl)をXの 有 理 型 と い う.  定 義   代 数Aの

部 分 空 間Bは

生 成 部 分 室 間(generating

い い,rankX

submodule)

⇔

自 然 な 射 入B→Aの

  定 義   XはAの ⇔Xは

導 く準 同 型T(B)→Aは

生 成 元 の 集 合(a

次 数 っ き で,生

set of generators)

成 部 分 空 間 の 生 成 元 の 集 合.

  注 意   Aが 連 結 の と きは,命 題1.12に   定 義   Aは

代 数,An∋xと

よ り,I(A)に

す る.xの

連 結,結

を も つ な ら ば,Aは

合 的Hopf代 結 合 的,双

 (1)  p=0⇒h(x)=2 

 (2)  p=奇

とす る.

数Aが,代

(n:奇

数)

=∞   (n:偶

数)

素 数 ⇒h(x)=2 

  (3) p=2⇒h(x)=∞

数 と し て 唯 一 つ の 生 成 元x∈An

対 結 合 的Hopf代

=∞

属 す る生 成 元 の集 合 を 選べ る.

高 さ(height)h(x)=min{q￨xq=0}.

こ の よ う な 整 数 の な い と き は,h(x)=∞   命 題4.6 

全 射.

ま た はpr 

数 で 次 を み た す:

(n:奇

数)

(n:偶

数)

また は2r.

  [証 明]  双 対 積 ψ に つ い て   対 結 合 的.n=奇

数,p=0ま

 

た はp=奇

素 数 ⇒x2=0.そ

p=0⇒xq≠0(∀q).p=素

-i)=0⇒q=pr

ψ:双

の 他 の場 合

数 ⇒h(x)=qな

らば(i,q

. 

  定 義   こ の と きAを   命 題4.7 

原始的 ⇒

p≠0と

  (1)  Q(A)r=0 

(終)

単 生 成(monogenic)と す る.連

結,結

(∀r>n) 

合 的,可

い う. 換Hopf代

(2)  あ るmが

数Aが

条件

あ っ て  ξm(I(A))=0

を み た す な ら ば,P(A)r=0,r>pm-1n.   [証 明]  ま ずAは   (ⅰ)  p,k:奇

単 生 成A={x},x∈Ak,と

数 の 場 合;xi=0で

す る.

あ る か らxはI(A)の

基 底 で,命

題 は成

り立 つ.   (ⅱ)  そ の 他 の 場 合;I(A)の

生 成 元 は{x,x2,…,xpm-1}で

が 成 り 立 つ か ら,P(A)の

あ り 

生 成 元 は{x,ξ(x),…,ξm-1(x)}.従

っ て 命 題 は 成 り立 つ.   次 に,生 仮 定 し,Aは

成 元 の 個 数 〓qで 今q+1個

は 最 高 次 数 の 生 成 元.A′

あ る 結 合 的Hopf代

の 生 成 元{x1,…,xq,x}を を{x1,…,xq}で

数 に つ い て 命 題 は 成 り立 つ と も つ と す る.た

生 成 さ れ るAの

だ し,x

部 分Hopf代

数 と

し,  Hopf代

と お く.こ 数 で あ る.こ

の と き,A″

の と き,命

は 条 件(1),(2)を

題1.15′

みたす単生成の

を 少 し 修 正 し て,

0→P(A′)→P(A)→P(A″) は 完 全 系 列.帰

納 法 の 仮 定 か ら,A′,A″

は 有 限 生 成 の 結 合 的Hopf代

数 に 対 し て 成 り立 つ ⇒

の 帰 納 的 極 限 で あ る 有 限 型 のHopf代

Aは

連 結,結

で あ り, 

合 的,可

は 次 数nの

換Hopf代 生 成 元xを

数 とす る.A′

を み た す な ら ば,代

有 限 型 のHopf

は 部 分Hopf代

も つ 単 生 成 で,条

で あ る.Aは

全 系 列,

数 とし て は 自 然 な 準 同 型 と し,f:A″

より  

→Aは

数,p=0ま

み た すyな

  (ⅱ)  h(x)=∞

はA′

群 の同型 が代数 な わ ち,

あ る こ と を 示 せ ば よ い.

た は 奇 素 数 の 場 合;h(y)=h(x)=2で

あ る か ら π(y)

ら ば な ん で も よ い. の 場 合;同

様.

  (ⅲ)  そ の 他 の 場 合;h(x)=pmと お く と,B′

って  

代 数 の 準 同 型 で あ る こ と を 示 せ ば よい.す

存 在 し て,π(y)=x,h(y)=h(x),で

  (ⅰ)  n=奇 =xを

は 代 数 の 準 同 型 で,従

π°f= は 積 とす

は 左A′-加

可 換 で あ る か ら,φ

の 同 型 で あ る た め に は,fが y∈Anが

数

件

1A″ を み た す 次 数 つ き ベ ク トル 空 間 の 準 同 型 と す る.  題1.7に

(終)

(r>n)

  [証 明]  i:A′ →A,π:A→A″

る と き,命

題 数

数 に 対 し て 命 題 は 成 り 立 つ. 

  (1)  0→Q(A′)→Q(A)→Q(A″)→0:完   (2)  Q(A)r=0 

有 限 生 成 のHopf代

数 に 対 し て 成 り立 つ ⇒

代 数 の 帰 納 的 極 限 で あ る 一 般 のHopf代   命 題4.8 

に つ い て 命 題 は 成 り立 つ か ら,命

仮 定 し て さ し つ か え な い.B′=ξm(A′)と

の 部 分Hopf代

数Z/p(ξm(A′))で

あ る.簡

単 の た め に,次

の よ うに お く:

命 題2.6に

よ り,自 然 な 準 同 型A″ →C″ は 同型,従

同 一 視 す る.ま た,C′ はCの Q(C).π ′:C→C″

部分Hopf代

は 自然 な 準 同型,z∈Cnを

っ て,以 下,A″=C″

数 で あ り,Q(A′)=Q(C′),Q(A)= π(z)=x∈C″n=A"nを

みたす元

とす る と,双 対 積 ψ に つ い て,  こ

と

こで0→

P(C′)→P(C)→P(C″)→0は す か ら,P(C)l=0⇒  α:A→Cを

完 全 系 列,C′,C″

は 命 題4.7の

条件 を み た

ξmz=0. 自 然 な 準 同 型,ω ∈Anを

α(ω)=zを

み た す 元 と す る 

命 題2.4に

A′nが 存 在 し て,ξmω0=ξmω

⇒y=ω-ω0と

よ り

ξmω∈B′

お く と,π(y)=xか

⇒

らh(y)=h(x)

=pm. 

(終)

  定 理4.9  (Borel) 

連 結,可

間 と し て 有 限 型 な ら ば,代

換,結

合 的Hopf代

  [証 明]  命 題2.7に 代 数A(n)の

よ りAは(代

帰 納 的 極 限.こ

次 数 つ き ベ ク トル 空

単 生 成Hopf代

数 と し て)有

こ で 命 題4.8よ

後 は 帰 納 的 極 限 を と っ て 一 般 のAに 連 結 なHopf空

数Aが

数 として た だ し,Aiは

  Xは

ω0∈

限 な 可 換,結

りA(n)に

  定 理4.10 

連 結,可

対 し て 定 理 は 成 り立 つ.

有 限 型 な ら ば,Borelの Ai:単

理 を適 用 で き て,代 数 とし て  生 成 元 をxiと

合 的 部 分Hopf

つ い て も 成 り立 つ こ と が わ か る.  (終)

間 とす る.H*(X;Z/p)が

  定 義   Aiの

数.

生 成.

す る と き,{xi￨i∈I}をXのBorel基

換,結 合 的Hopf代

定

底 と い う.

数Aにaugmentation

filtrationを

入 れ る と き,代 数 と し て   [証 明]  一 般 に,augmented代

数Bに

対 し て,ΣE0(B)は

代 数 で,E0(ΣE0(B))=E0(B).今,A={(B,f)￨次 す}と

ま たaugmented

の 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

みた

お く:

  (ⅰ)  BはAの

部 分Hopf代

  (ⅱ)  f:ΣE0(B)→Bは

数 で,0→Q(B)→Q(A)は

完 全 系 列,

代 数 の 準 同 型 で,

E0(f)=id:E0(B)=E0(ΣE0(B))→E0(B),   (ⅲ)  Q(f)n:Q(ΣE0(B))n→Q(A)nが

同型 で な い な らば

Q(ΣE0(B))q=0(q>n).   ((ⅱ)⇒fは 順 序i+1}と

お き,Kの

Ai+1 q+n.今,  度>d+1,言 度 はdで

Aiq⊃K={x∈Aiq￨xλ 補 空 間 をLと

す る と, 

で な い と す る.す い か え れ ば,深

あ る か ら,x-yの

定 が あ る な ら ば,補

度>dの 深 度 もd.一

題1.22よ

こ の と き,λ(L)=

な わ ち,x∈Adqが

元yが

あ っ て,xλ

あ っ て,xλ=yλ.こ

れ は,yの

の深

こ でxの

方,(x-y)λ=0.(1)ま

りx-y=0.こ

の深

深

た は(2)の 仮 深 度=dと

盾. 

な り,矛 (終)

 記号 

はHurewicz準

同 型.素

数pに

ついて

mod wicz準

同 型,   有 理Hurewicz準

  定 理1.25 

p Hure

H*(X)は

同 型.

有 限 生 成 とす る. かつ

 (1)   (2)

  [証 明]  (1)ま た は(2)に と し,fの

応 じ てm=2n+1ま

た は2nと

提 携 写 像 をF:X×Sm→Xと

(λ と(1)λ

す る.  す る と,仮

を 同 一 視 す る).

定 から

 (1)  補 題1.24か

 こ こ で,m:奇

1.23よ

ら

数,dim

A2dq=dim A2d+1q+mで

りχ(X)=χ(H*(X;Z/p))で

 (2)  補 題1.24か

あ る か ら,χ(H*(X;Z/p))=0

あ る か ら,こ

れ は 仮 定χ(X)≠0

Akpq=dim Akp+1q+1=…=dim

に 矛 盾.

H*(X)は

倍 数.こ

有 限 生 成 と す る.χ(X)=1な

  次 にF:X×Sn→Xの

数)

Akp-p+1q+(p-1)nで あ る か ら , 

pの 倍 数 ⇒χ(X)=χ(H*(X;Z/p))はpの   系1.26 

題

ら

(∵m:偶 こ こ で,dim

.補

れ は 矛 盾. 

は (終)

らば

コ ホ モ ロ ジ ー で の 性 質 を 調 べ る:

H*(X;R)∋xに

対 し て, 

表 わ さ れ る が,こ

こ で,y=xλ

は λの 双 対 類)と と お き,準

同型

λ:Hq(X;R)→Hq-n(X;R)⇔xλ=y を 定 義 す る.さ

ら に,帰

納 的 に,xλn=(xλn-1)λ

  (1.27) λ:Hq(X;R)→Hq-n(X;R)は

と 定 義 す る.

λ:Hq(X;R)→Hq+n(X;R)の

対 で あ る.   実 際,

 

H*(X×Sn;R)に

おけ る カ ップ積 は

で与 え られ るか ら,  (1.28)

Fはf:Sn→Xの   (1.29) f*(x)=rλ, 

提

携写 像 と す る と,f=F°i2で ∀x∈Hn(X;R),た

あ る.こ だ し,r=xλ.

の と き,

双

  実 際,

  定 理1.30 

H*(X)は

有 限 生 成 と す る と き,

  [証 明]  Xと

す る.こ

と し,fの の と き,仮

  (1) λ の 双 対 類 を β∈H2n(X;Q)と =1∈H0(X;Q).ま

提 携 写 像 をF:X×Sn→

定 か ら,

ず,次

す る と,1==⇒

βλ

を 示 す:

 (1.30)′

βλ=1で

あ る か ら,上

式 はr=1の

と き は 明 ら か.今,r-1ま

で 成 り立 つ と仮

定 す る と,

ここで,あ るrが あって,βr=0と 仮定すると   こ

れは矛盾.従 って βr≠0(∀r)⇒

H2rn(X;Q)≠0(∀r).こ

れ はXの

  注 意   上 の 議 論 は,Z/p係

ホ モ ロ ジ ー の 有 限 性 に 矛 盾. 

数 の と き,βp=0は

必 ず し も βp-1=0を

(終) 意 味 し な い か ら,

成 り立 た な い.

 §2  有 理Hopf空

間

 高 次Whitehead積  

こ こ で は,特

に 断 ら な い 限 り 基 点 を も つ 連 結,可

  記 号  空 間  

体 の 圏 で 考 え る.

に 対 し て

  Ti(X1,…,Xn)={(x1,…,xn)∈X1×

… ×Xn￨xjの

  従 っ て,T0(X1,…,Xn)=X1× たT1(X1,…,Xn)はfat

算CW-複

う ち 少 な く と もi個

… ×Xn,Tn-1(X1,…,Xn)=X1∨ wedgeと

い わ れ て い る も の で あ り,X1∧

… ∨Xn.ま … ∧Xn=

T0(X1,…,Xn)/T1(X1,…,Xn).   記 号   S=(Sm1,…,Smn),Ti(S)=Ti(Sm1,…,Smn).   m=Σmiと

お き,対(T0(S),T1(S))の

は*}.

ホ モ ト ピ ー 完 全 系 列 を 考 え る:

た だ し,j:T1(S)→T0(S)は

自 然 な 射 入 で あ る. 

元 α の ∂ に よ る 像 をwn=∂

α∈ πm-1(T1(S))と

の生 成

お く.こ

の と き上 の系 列 の 完 全

性 から  (2.1)    例 

j#wn=0.

n=2の

と き,w2=[ι1,ι2]:Sm1+m2-1→Sm1∨Sm2.た

Smk→Sm1∨Sm2は

だ

ιk=[ik],ik:

射 入.

  定 義  φ:T1(S)→X  Whitehead積

に 対 し てW(φ)=φ#wn∈

πm-1(X)をn次

と い う.

  定 義   φ:Ti(S)→X(i0)に

対 して

  系2.7 

(W(φ))*=0:Hn(X;G)→Hn(Sm-1;G).

  系2.8 

懸 垂 準 同 型Sに

  [証 明]  k:X→ W(φ)=0.こ (φ)=W(k°

φ:T1(S)→X→

す る と き,SW(φ)=0⇔k# ΩSX(Hopf空

間)で

あ る か ら,k#W

φ)=0. 

(終)

  通 常 のWhitehead積 よ うに,高

つ い て,SW(φ)=0.

ΩSX⇔k(x)(t)=(t,x)と

こ で,k°

πm-1(Y).

は,写

次Whitehead積

像Sp∨Sq→XをSp×Sqへ

拡 張 す る障 害 で あ る

は あ る 写 像 の 拡 張 に 対 す る 障 害 と 思 え る.そ

こで

r=n-i+1}

 記号    こ の と き,次

が 成 り立 つ:

  (2.9)  ∀k=(k1,…,kr)∈Kniに

対 し て,自

然な埋め込み

hk:T1(Xk1,…,Xkr)→Ti(X1,…,Xn) が あ る.   さ ら に,定

理2.3よ

  定 理2.10 

写 像 Φ:Ti(S)→XはTi-1(S)→Xに

⇔

Φ°hk°wr=0, 

り一 般 に

∀k∈Kni.

 証 明 の 方 針 は 定 理2.3の

場 合 と同 様 で あ るか ら読 者 に任 せ た い.

∀ri∈N,∀

  定 理2.11 

head積[α1,…,αq]⊂πr1+…+rq-1(X)が ∨Smn→Xに →Xに

対 し て,自

拡 張 可 能.

拡張 可 能

然 数Nが

αi∈ πri(X) 

に 対 し て,q次White

有 限 位 数 で あ る な ら ば,∀ 存 在 し て,Nθ=θ+…+θ

はSm1×

θ:Sm1∨

…

… ×Smn

  [証 明]  簡 単 の た め に,Ti=Ti(S),Ak=Smk-1,と iに

関 す る 逆 向 き の 帰 納 法 で 示 す.帰

→Xに

対 し て,N>0が

とす る.仮 Mkと

お き,i=n-1か

納 法 の 仮 定 と し て,与

存 在 し て ,Nθ:Tn-1→Xは

定 か ら,∀

お き,M=M1Smiと

表 わ す.Tjは

え ら れ た θ:Tn

η:Ti→Xに

η°hk°wrは 有 限 位 数Mkで

ら始 め て

あ る.そ

-1

拡 張 され る

こ で,M=Πk∈Kni

関 手 で あ る か ら,次

の可 換 な図 が あ

る:

  た だ し,Aj=Smj-1,r=n-i+1, k=(k1,…,kr).Mの

定 義 か ら,

Mη°hk°wr=0(∀k∈Kni) ⇒

上 の図 で

η°Ti(M,…,M)°hk°wr=Mrη°hk°wr=0(∀k∈Kni) ⇒ 定 理2.10か ⇒

ら,η°Ti(M,…,M):Ti→Xは

ξ:Ti-1→Xに

拡 張 可 能

右 上 の 図 は 可 換.

こ こ で,(Nθ)°Tn-1(M,…,M)=MNθ   mod 0

Hopf空

  記 号  F:有

⇒MNθ

拡 張 可 能.(終)

間 限 可 換 群 のSerreク

  定 義   写 像f:A→BはQ-同

ラ ス.

値(Q-equivalence)ま

equivalence)⇔f*:Hn(A)→Hn(B)はF-同 ⇔f#:πn(A)→

  補題2.12 

はTi-1に

フ ァ イバー空

Hi(E),Hi(B)は

型  (∀n) πn(B)はF-同

間 

有 限 生 成(∀i)な

に お い て,F,

値,

  (2)  H*(F;Q)=0⇒p:Q-同

値. Hopf空間(有

型  (∀n)

E, Bは1-連

結,Hi(F),

らば

  (1)  H*(B;Q)=0⇒i:Q-同

  定 義   Xはmod 0

た は 有 理 同 値(rational

理Hopf空

間,mod, F Hopf空

間)

⇔

写 像m:X×X→Xが

→X×X射

入) .

 注 意  1-連 結,CW-複 ⇔

体XはHopf空

写 像m:X×X→Xが

  例   位 相 群,奇 様 体 はmod 0

間

あって 数 次 元 の 球 面 の 積,複

Hopf空

 定 理2.13  き,次

(ik:X

あ って, 

素Stiefel多

様 体,四

元 数Stiefel多

間 で あ る.

Xは1-連

結,有

限CW-複

体 と 同 じ ホ モ トピ ー 型 とす る.こ

の 条 件 は 同 値:

  (1)  X:

mod 0

Hopf空

  (2)  H*(X;Q)は

間,

奇 数 次 数 の 元 で 生 成 さ れ る 外 積 代 数,

 (3)  写 像 

(ni:奇

数)が

存 在 し て,

 (4)  写 像 

(ni:奇

数)が

存 在 し て,

 (5)  Xの

変 量 は 有 限 位 数 の コ ホ モ ロ ジ ー 元,

∀Postnikov不

Hurewicz準同

 (6)   (7)  Ker{Ωn:Hn(ΩX)→Hn+1(X):ホ wicz準

はXのホ

有 限 個 の 奇 数kを

Xは1-連

る 帰 納 法 で 次 を 示 す:nは し て,f:X→Snが   ま ず,Hopfの て,πi(Sn)は

無 限 位 数 のHure

モ ト ピ ー 懸 垂}は

有 限 群  (∀n), つ

除 い て 有 限 群. 定 理(系Ⅱ.4.5).

結,有

限CW-複

奇 数,生

体 と し,Xのi-切

片X(i)に

関す

成 元Hn(X;Q)∋x,Hn(Sn;Q)∋sに

対

存 在 し て,f*(s)=x. 定 理 よ りfn:X(n+1)→Snが 有 限 群 で あ る か ら,そ

の 写 像 とす る と,ri° α=0(∀

存 在 し て,f*n(s)=x.i>nに

の 位 数 をriと

α∈ πi(Sn)).従

の 拡 張 をfn+1:X(n+2)→Snと

dim  X), 

(∀n),

モ トピ ー 群 の 有 限 位 数 の 元 の 集 合,か

  [証 明]  [(1)⇒(2)]はHopfの  [(2)⇒(4)] 

有 限 群 

モ ロ ジ ー 懸 垂}は

πn+1(SX):ホ

 (9)  高 次Whitehead積   πk(X)は

型}は

同 型 の 像 の 元 を 含 ま な い  (∀n),

  (8)  Ker{S:πn(X)→

で,そ

の と

す る.こ

と お け ば,f:X→Snが

し,ri:Sn→Snを

っ て,rn°fnはX(n+2)に

つい 次数2ri 拡張可能

の 操 作 を 繰 返 し て,f=fm-1(m= 求 め る 写 像 で,f*(s)=Nx.

特 に,Hn(X;Q)∋x(n:奇 =xと

数)に

対 し て,写

数 と な っ て い る と き,上 (si∈Hni(Sni;Q)生

の 事 実 よ り,各xiに

成 元)を

存 在 し て,f*(s)

 [(4)⇒(6)]は

対 し てfi:X→Sni,f*i(si)=xi

み た す 写 像 を 考 え, 

と定 義 す れ ば よい.(△lはl重

対 角 写 像).

明 ら か.

 [(6)⇒(5)]XのPostnikov分

解 を{(n,X),pn,qn},Postnikov不

をkn+1∈Hn+1((n-1,X);πn(X))と

F-単

像f:X→Snが

な っ て い る こ と が わ か る.今,H*(X;Q)=Λ(x1,…,xI),￨xi￨=ni:奇

射 で あ る か ら,フ

す る.仮

変 量

は

定 か ら, 

ァ イ バ ー 空 間  in*:Hn(ΩK;Q)→Hn((n,X);Q)は

に お い て, i*n:Hn((n,X);Q)→Hn(ΩK;Q)は

全 射.Serreの

単射 ⇒

定 理 か ら,次

の可 換 な図

に お い て 上 の 横 列 は 完 全:

従 っ て,(kn+1)*=0⇒kn+1は   [(5)⇒(1)]  ΩBに

有 限 位 数.

Serreの

よ り導 か れ るA上

て,Q-同

道 の 空 間 Ω2B→ Ω(ΩB,ΩB,*)→ の フ ァ イ バ ー 空 間 をEfと

値 ρ:Ef→Emfが

kn+1,m=(kn+1の が 存 在 す る.こ

とれ ば,Q-同

す る と き,∀m∈Nに

対 し

値 ρ:(n,X)→(n-1,X)×K(πn(X),n)

こ で合 成 写 像

(た だ し,ξ はK(πn(X),n)に

現 わ れ るK(Z,n)へ

… ×K(Z,n))はF-同

型

  以 上 で(1)⇔(2)⇔(4)⇔(5)⇔(6)が   [(3)⇒(1)]は

の 射 影)の 導 く準 同 型 λ#: ⇒X

mod 0

Hopf空

間.

証 明 さ れ た.

明 ら か.

  [(1),(4)⇒(3)](4)に

の次 数 の み.そ こで, 

を え る.こ

らf:A→

存 在 す る.A=(n-1,X),B=K(πn(X),n+2),f=

位 数)と

πn(X)→ πn(K(Z,n)×

mod 0の

ΩBか

積m:X×X→Xを の と き,ml°(f1×

よ り,Xが

無 限 な ホ モ トピ ー 群 を も つ の は 有 限 個

の 自 由 な 直 和 因 子 の 生 成 元 をf1,…,flと 繰 り返 し 用 い て,写 … ×fl):ΠSni→Xl→Xは

像ml:Xl=X×

す る.

… ×X→X

明 ら か に,H*( 

;Q)

の 同 型 を 与 え る.   以 上 で(1)∼(6)の   [(6)⇔(8)] 

同 値性 が い え た. e:X→

ΩSXを

標 準 的 射 入(1SXの

随 伴 写 像)と

し,次

の可

換 な 図 を 考 え る:

  Pontrjagin代 し て,e* 

数H*(ΩSX;Q)はH*(X;Q)のtensor代

1に よ り埋 め 込 ま れ たH*(X;Q)を

[(1)⇒(6)]は e#  1:単

含 む,す

S:πn(X)→

単 射.こ

πn+1(SX)に

こ で,懸

つ い て,右

で あ る か ら,Ker 〓n:有

分空間 と

な わ ち,e* 1は

ル ー プ 空 間 に つ い て も 成 り立 つ か ら, 

射 

Ker S:有

数 で,部

単 射.

は 単 射.従

っ て,

垂

図 は可 換

限 群 ⇔Ker

e#=

限 群.

  [(6)⇔(7)]  い て 

右の可換な図にお

は単 射 で あ る か ら,右 図

の 可 換 性 よ り明 らか.  [(9)⇒(3)]  底f1,…,flが

→Xと

存 在 す る:[fi]∈

お く と き,自

え ら れ る.こ

の 自由 な 直 和 因 子 の生 成 元 の有 限 個 の基

仮 定 か ら, 

然 数Nが

πni(X),ni:奇

数.θ=f1∨

… ∨fl:Sn1∨

存 在 し て,Nθ

は 拡 張 さ れ て, 

…∨Snl

が

で あ る か ら,θ′*:

こ で, 

Hn(ΠSni;

  [(3)⇒(9)] 

仮 定 か ら,πn(X)は

ま た(3)⇔(8)で

あ り,系2.8よ

ら,∀ 高 次Whitehead積

  §3  mod 〓

は π*(X)の

Gottlieb空

  こ の 節 で は 

  mod 〓

Gottlieb空

間

りS(高

除 い て 有 限 群.

次Whitehead積)=0で

あ る か

有 限 位 数 の 元 か ら な る 集 合. (終)

間 連 結,可

考 え る.

有 限 個 の 奇 数 次 数nを

算CW-複

体;(X,*)はHEPを

もつ}で

  〓 は 可 換 群 の あ るSerreク   定 義   X:mod 〓   特 に 

ラ ス と す る.

Gottlieb空

の と き,mod 0

間 Gottlieb空

間(有 理Gottlieb空

  道 の 空 間 の フ ァ イ バ ー 空 間 ΩY→ Ω(Y,Y,*)→Yか れ る 主 フ ァ イ バ ー 空 間 をq:Ef→Xと  (3.1) gk:Ak→Ef 

す る と き,次

間)と い う.

らf:X→Yに

よ り導 か

が 成 り立 つ:

をみ た す

(k=1,2),g:A1×A2→Efが 

⇒h:A1×A2→Efが

存 在 し て,

  障 害 理 論 か ら,   (3.2)  Xはr-連

結 で,  はX×Smに

  XのPostnikov系   補 題3.3 

拡 張 可 能.

を{(n,X),pn,qn}と

X:r-連

結

す る と き,(3.2)か

ら

⇒Gm(2r+s,X)=πm(2r+s,X),

  特 に,Gm(m,X)=πm(m,X)(∀m).   補 題3.4    [証 明] 

pn#(Gm(X))⊂Gm(n,X)(∀m,n). Gm(X)∋

SmのPostnikov系

∀β=[b]と

し,bの

提 携 写 像 をF:X×Sm→Xと

を{(n,Sm),rn,sn}と

qn×sn}はX×SmのPostnikov系 ×(n,Sm)→(n,X)を

す る.

す る と き,{(n,X)×(n,Sm),pn×rn, で,定

理I.3.8に

よ り 写 像FはFn:(n,X)

導 き,qn+1°Fn=Fn-1°(qn+1×sn+1), 

を み た す.F′=Fn°(1×rn):(n,X)×Sm→(n,X)×(n,Sm)→(n,X)と と,F￨X=1xで

あ る か ら,F′￨(n,X)=id, 

∨Sm)はHEPを

お く ((n,X)×Sm,(n,X)

も つ か ら,pn#[b]∈Gm(n,X). 

  こ の 補 題2.4よ

(終)

り次 の 図 は 可 換:

 (3.5)

こ こ で,(pn#)″

は 全 射.ま

た,

  従 っ て,   定 理3.6 

X:

mod 〓

Gottlieb空

間

⇒

∀(n,X):mod 〓

Gottlieb空

間.

  Xに

つ い て 次 の 条 件 を 考 え る:

  (3.7.π) 

πr(X)=0 

  (3.7.H) 

(∀r:十

Hr(X)=0 

  定 理3.8 

(∀r:十

条 件(3.7.π)ま

X),pn,qn}に

分 大). 分 大).

た は(3.7.H)を

お い て ∀(n,X)がmod

Gottlieb空

み た すXのPostnikov系{(n, 〓 Gottlieb空

間 な ら ば,Xはmod

〓

間.

  [証 明] 

次 を 示 せ ば よ い.

  (3.8)′  ∀mに

対 し て, 

  (1)  (3.7.π)を (n,X)は

が 存 在 し て,

み た す 場 合:こ

の と き,十

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,(3.8)′

  (2)  (3.7.H)を

み た す 場 合:mを

ん で, 

分 大 き いnに

対 し て,pn:X→

は 成 り立 つ.

任 意 に と り,固

定 す る.N(>m)を

とす る. 

(pN#)′:Gm(X)→Gm(N,X)は

単 射.従

(N,X)∋

β=[b]を

β′に 対 し て πm(X)∋

き,β ∈Gm(X)を

選

で あ る か ら,

っ て,(pN#)′:全

射 を 示 せ ば よ い.Gm

選 ん で,pN#(β)=β

′と す る.こ

示 せ ば よ い.今,F:(N,X)×Sm→(N,X)をpN°bの

提携

写 像 と し,FN=F°(pN×id):X×Sm→(N,X)×Sm→(N,X)と 出 発 し て,(3.1)を

使 っ て,帰

の と

お く.Nか

納 的 に 写 像Fn:X×Sm→(n,X)が

ら

え ら れ て,

次 を み た す:

そ こ で, 

(射 影 的 極 限)と お く と{Fn},{pn}は

を 定 義 す る.こ

こ でp∞

ら,F′:X×Sm→Xが を

は ホ モ トピ ー 同 値 で あ る か 存 在 し て, 

み た す.ホ

ー 逆 写 像 をf:X→Xと HEPを

モ ト ピ ー 同 値F′￨Xの す る と,F′

ホ モ トピ

°(f×1):X×Sm→X. 

も つ か ら, bの 提 携 写 像F′:X×Sm→Xを

  定 理3.9  ば,Xはmod

Xがmod

0 Hopf空

0 Gottlieb空

  [証 明]  定 理2.8に (n,X)がmod

それ ぞれ 写 像

間 で(3.7.π)ま

え る

は ⇒ β∈Gm(X).(終)

た は(3.7.H)を

間.

よ り,XのPostnikov系{(n,X),pn,qn}に

0 Gottlieb空

みたす なら

間 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.こ

お い て,∀ れ をnに

関す る 帰

納 法 で 示 す.n=2の

と き,(2,X)=K(π2(X),2)は

間.πm(n,X)は

∀mに

∀β ∈ πm(n,X)に

  実 際,こ

存 在 し て,tβ

と き は 補 題3.3よ

0

間 と す る と,s∈ZとF:(n-1,X)×Sm→(n-1,X)が

0 Hopf空

数,そ

∈Gm(n,X).

り 明 ら か.今(n-1,X)はmod 存 在 し て,

F￨(n-1,X)=id,F￨Sm=b′,[b′]=sqn#(β)∈ mod

0 Gottlieb

を 示 せ ば よ い:

対 し て,t≠0∈Zが

れ は,m=nの

Gottlieb空

0 Gottlieb空

つ い て 有 限 生 成 で あ る か ら,(n,X)がmod

空 間 で あ る こ と を 示 す に は,次   (3.9)′ 

明 ら か にmod

れ をrと

πm(n-1,X).仮

間 で あ る か ら,定

理2.13よ

りPostnikov不

し,r:Sm→Smを

写 像 度rの

定 か らXは 変 量kn+1は

有 限 位

写 像 と す る.Kunneth公

式Hn+1

((n-1,X)×Sm;  に お い て,F￨(n-1,X)=idで (sm∈Hm(Sm):生

あ る か ら, 

成 元).qn*(kn+1)=0で

あ る か ら, 

⇒ X)×Sm→(n,X)が

あ っ て,qn°F′=F°(qn×r)を

F″:(n,X)×Sm→(n,X)が

⇒(3.1)よ

あ っ て,F″￨(n,X)=id,F″￨Sm=b.た

こ で, 

はrsqn#(β)を

で

みたす

写 像F′:(n, り写 像 だ し,こ

表 わ す. 

あ る か ら,[b]=rsβ. 

  以 下,Xはmod

0 Gottlieb空

(終)

間,Hi(X)は

各iに

つ い て 有 限 生 成 と し,さ

ら に 次 の 条 件 を み た し て い る とす る:   (3.10) 

Hurewicz準

  注 意   K(Z,2)の

同型  

例 が 示 す よ う に,任

を み た さ な い が,πn(X)/Gn(X)∈Fで 複 体 のmod 限CW-複

に つ い て,

0 Gottlieb空 体 のmod

意 のmod

間 は(3.10)を

0 Gottlieb空

0 Gottlieb空

あ る か ら,定 理1.30に み た す.す

間Xは

必 ず し も(3.10)

よ れ ば 任 意 の 有 限 次 元CW-

な わ ち,以

下 の 議 論 は,1-連

結,有

間 に つ い て 成 り 立 つ.

 補題3.11 

に対して,写 像  が 存 在 し て,F￨Y=1Y,F￨Smi=F′￨Smiは

 

を表

わ す.   [証 明]  kに

関 す る 帰 納 法.k=1の

立 つ と仮 定 す る: 

と き は 定 義 よ り明 ら か.k-1ま が 存 在 し て, 

で成 り

βk=[gk]の

提 携 写 像 をf:Y×Smk→Yと

す る

と き,

(終)  系3.12 

Gottlieb空

間 に つ い て は,球

面 か ら の 写 像 の 高 次Whitehead積

は つ ね に 自 明 で あ る.   記 号   πm(X)は

有 限 生 成 で あ る か ら,

  Km=K(πm(X),m)=K(Z,m)×

… ×K(Z,m)×K(π,m) 

こ の と き,ρ(m)=rankπm(X)と

  XのPostnikov系   補 題3.13  X×

お き,

を{(n,X),pn,qn}と ∀nに

(π:有 限 群)

す る.

つ い て 弱Q-同

値f2n+1:ΠS2n+1→K2n+1と

ΠS2n+1→X,F′2n+1:ΠS2n+1→Xが

存 在 し て,次

 (1) 

写 像F2n+1: を み た す:

(ιn:Kn→(n,X)射

入),

 (2)   [証 明] 

ρ(2n+1)=0の

分 解 に 出 て く る 第i番

と き は 明 ら か な の で,ρ(2n+1)>0と 目 の 因 子 をK(Z,2n+1)iと

を 生 成 元 と す る.こ

の と き,β

′i∈ π2n+1(X)が

(p2n+1)#(β

Xはmod (X).集

0 Gottlieb空 合{βi}に

し,γ′i∈ π2n+1(K(Z,2n+1)i) 存 在 し て,

′i)=(ι2n+1)#(γ

間 で あ る か ら,ti≠0∈Zが

補 題3.11を

だ し,Π

よ う に,∀m>2n+1に っ て,f2n+1は

弱Q-同

ιは 射 入.よ

つ い て πm(S2n+1)∈Fで 値 で あ る.ま

あ り,ti≠0で

た,∀m>2n+1に

あ る か ら,障

す る.

し て

く知 ら れ て い る あ る か ら ∀ci,従

つ い て,πm(2n+1,X) 害 理 論 か ら(1)は

出 る.(2)は

ら か.    命 題3.14 

′i∈G2n+1

適 用 し て え ら れ る 写 像 をF2n+1,F′2n+1と

に お け る積 は  

=0,(p2n+1)#(βi)=(ι2n+1)#(γi)で

′i).

存 在 し て,βi=tiβ

γi=tiγ ′iを 表 わ す 写 像 をci:S2n+1i→K(Z,2n+1)iと

と お く.た

す る.K2n+1の

明

(終) XのPostnikov系

を{(n,X),pn,qn}と

す る.∀nに

つ い て,

q2nは 弱Q-同

値 で,写

像g2n+1:ΠSri→Xが

値 で あ る.た

だ し,ΠSriは

存 在 し て,p2n+1°g2n+1は

一 点 ま た は 奇 数 次 元 球 面 の 有 限 個 の 積 

  [証 明]  nに 関 す る帰 納 法.g3=F′3は 補題3.13で が

弱Q-同

え られ る写 像. 

値 で あ る こ とを示 す に は,ι3が 弱Q-同

せ ば よい.Hurewiczの

値 で あ る こと を示

定 理 か ら, 

また 仮 定

(3.10)か ら   Q)=0⇒

弱Q-同

で あ るか ら,H*(K2;

ι3は弱Q-同 値.

  帰 納 法 の仮 定 と して,写 像g2n-1:ΠSri→X(  て,p2n-1°g2n-1は 弱Q-同

た だ し,F2n+1,f2n+1は

)が 存 在 し

値 で あ る とす る.写 像

補 題3.13で

え られ た 写 像

→(2n+1,X)はK2n+1の(2n+1,X)へ   [ 

奇 数 

μ2n+1:(2n+1,X)×K2n+1

の作 用 . の 証 明] 

μ2n+1￨(2n+1,X)=id,μ2n+1￨K2n+1=ι2n+1で

る か ら, 

あ

ま た は=ΠS2n+1).∀m>2n+1に

つ い て πm(2n+1,X)=0⇒

上 の ホモ

ト ピ ー を ΠSri×

ΠS2n+1に

拡 張 す る障

害 は な い   [g′2n+1は 弱Q-同

値 の 証 明] 

q2n°p2n°g2n-1=p2n-1°g2n-1⇒q2n*:H2n+1((2n,

X);Q)→H2n+1((2n-1,X);Q)は

全 射.ま

→(2n-1,X)のSerre完 X);Q)は

単 射.次

r=2nの

と き, 

全 系 列([TM])か

た,フ

ァ イ バ ー 空 間K2n→(2n,X)

ら,ι2 n*:H2n(K2n;Q)→H2n((2n,

の 可 換 な 図 を 考 え る:

は 単射

H*(K2n;Q)=0⇒q2n:弱Q-同

値 ⇒p2n°g2n-1:弱Q-同

  次 の 図 を 考 え る,た

だ し,π

は 射 影.q2n+1°p2n+1=p2nか

K2n+1の(2n+1,X)へ

の 作 用 は フ ァ イ バ ー を 保 つ か ら,次

⇒

π2n(X)∈F,

値. つ μ2n+1に の図 は 可 換

よ り

⇒g2n+1は

フ ァイバ ー空 間 の写 像

⇒g′2n+1は

弱Q-同

  q2nが 弱Q-同

値.

値 で あ る こ とは 上 の証

明 の 過 程 か ら 明 ら か で あ ろ う. 

(終)

  注 意   証 明の 中 か ら,次 の こ とが わ か る:   (1)  π2n(X)∈F  (∀n),  (2) 

単 射  (∀n).

  定 理2.13に   命 題3.15  き,Xはmod

よ れ ば 結 局 次 を 証 明 し た こ と に な る: mod

0 Gottlieb空

0 Hopf空

間Xが(3.7.π)ま

た は(3.7.H)を

みたす と

間 で あ る.

  特 に,   定 理3.16 

Xは1-連

X:mod

結,有

限CW-複

0 Gottlieb空

体 とす る と き,

間 ⇔X:mod

0 Hopf空

間.

  これ ら の 応 用 と し て 次 の 命 題 を 証 明 し よ う.   命 題3.17

Xは1-連

m=X×X→Xが

結,有

限CW-複

あ っ て,m°i1=1x,m°i2:Q-同

  [証 明]  X→ ΠSmiは Xはmod

は 定 理2.13に 0 Gottlieb空

∈Gmi(X).補

体,mod

0 Hopf空

像

値.

π*(X)の

自 由 直 和 因 子 の 基 底 と し,f:

よ り与 え ら れ るQ-同

値 とす る.定 理3.16に

間 で あ る か ら, 

題3.11を{βi}に

間 な ら ば,写

よれ ば,

が 存 在 し て,βi=tiαi

適 用 す る と,写

像F:X×

ΠSmi→Xが

あ る.

こ の と き, m=F°(1×f):X×X→X が 求 め る 写 像. 

  補

(終)

遺

  A  Whitehead積   Xは

の 一 般 化[Arkowitz

位 相 空 間,A,Bは

射 影 とす る.[SA,X]∋

有 限CW-複

お く.た

体,pA:A×B→A,pB:A×B→Bは

α=[f],[SB,X]∋

(A×B)→Xとg′=g°SpB:S(A×B)→Xの S(A×B)→Xと

だ し,積

1]

β=[g]を

考 え,f′=f°SpA:S

交 換 子 をk=(f′-1・g′-1)・(f′ ・g′): ・お よ び 逆 元 はS(A×B)の

懸 垂構 造 か ら定

義 され てい る もの で あ る. 

で あ るか ら,対  

のHEPに

存在 し て  

よ り,写 像k:S(A×B)→Xが

を

射 影 とす る とき,kは

を導 き,k=k°Sq.こ

の と き,kの

 

ホ モ トピ ー類 はkの

選 び 方 に よ らな い こ と

が わ か る.  定 義  α と β の 一 般Whitehead積

を[α,β]=[k]∈[S(A∧B),X]と

定義

す る.   次 に,α=[f],f:(CA,A)→(X,*),β=[g],g:(CB,B)→(X,*)と し,CA×CB⊃Q=CA×B∪A×CBに

と定 義 す る.こ

表わ

つ い て,

の と き,ν は 同 相 写 像 で あ る.AとBは

か ら 射 影 μ′:A*B→S(A∧B)は 写 像 を μ:S(A∧B)→A*Bと

有 限CW-複

ホ モ ト ピ ー 同 値.そ

こ で,そ

体 である

の ホ モ トピー逆

す る.

  定 義   α と β の 一 般Whitehead積

を[α,β]=[h°ν

°μ]∈[S(A∧B),X]と

定 義 す る.   (A.1) 

上 の2つ

の 定 義 は 一 致 す る.

  (A.2) 

XがHopf空

  (A.3) 

S:[S(A∧B),X]→[S2(A∧B),SX]を

間

⇒[α,β]=0,∀

S[α,β]=0    (A.4) ⅰ)   ⅱ)  AとBが

β∈[SB,X].

懸 垂 準 同 型 とす る と, ∀α,β.

[β,α]=-(Sσ)*[α,β],(σ:B∧A→A∧B:交

換 写 像)

懸 垂 空 間 な らば

[α1+α2,β]=[α1,β]+[α2,β],    (A.5) 

α∈[SA,X],∀

[α,β1+β2]=[α,β1]+[α,β2]

[α,β]=0⇔m:SA×SB→Xが

存在 して

[m￨SA]=α,[m￨SB]=β.   (A.6) 

射入  

は ホ

モ トピ ー 同 値.  (A.7) 

Xに

お い て す べ て の 一 般Whitehead積

が 自明 ⇔

任意の有限

CW-複

体Pに

  (A.8) 

対 し て[SP,X]は

ι=[1SA]に

可 換 群.

つ い て[ι,ι]=0⇒SAはHopf空

間.

  B  一 般 高 次Whitehead積[Porter]   [Porter]に

お い て ま ず,次

  (B.1) 

空間  

… ,SAn)が

あ る.

  定義

の こ と が 示 さ れ て い る. に 対 し て 写 像wn:Sn-1(A1∧

 

… ∧An)→T1(SA1,

に 対 し て,W(φ)=φ*wn∈[Sn-1(A1

∧ … ∧An),X]をn次

一 般Whitehead積(generalized

Whitehead

product)

と い う.   定 義  φ:Ti(SA1,…,SAn)→X(inに

つ い て

πi(SnP),πi(Ω2S2SnP)はP-torsion群

πi(Ω2S2SnP,SnP)はP-torsion群.さ

に お い て σ#は

ら に,完

⇒

つ い て

つ い てP-torsion群

で あ る

全 系 列 

同 型 で あ る か ら,πi(Ω2S2SnP)は

こ と が わ か る.nN(X),

(FCπ) 

自 然 数N(X)が

あ って 

πn(X)=0,∀n>N(X).

Hopf空

ψ)はHopf空   (C.2) 

間 の 問 のQ-同

値 写 像 ψ:X→X0がHopf写

間 で あ り,ψ ′,ψ″ はHopf写 ψ:X→X0がQ-同

像 で あ る.

値 写 像, 

ψ″i:X(Pi,ψ)→X0のpull-backで

が Π の 分 割 な ら ば,Xは

あ る.

 は Π の 分 割,Xi,  空 間 とす る.こ

像 な ら ばX(P,

はQ-同

値 写 像 ψi:Xi→X0を

の とき

  定 義   写 像 ψ″i:Xi(Pi,ψi)→X0のpull-backをmix(Xi,Pi,ψi)と ホ モ トピ ー 型Xiの   (C.3) 

Xiが

もつ

混 合(mixing

homotopy

types)と

普 遍 空 間([TM])で,(FCH)ま

表 わ し,

い う.

た は(FCπ)を

み た す な ら ば,

次 が 成 り立 つ:  ⅰ)  mix(Xi,Pi,ψi)はXiにPi-同

値, ⅱ

)  ∀iに 対 し てXiがmod )  ∀iに

 D  Hopf空  

Xは

Pi Hopf空

対 し てXi=X,ψi=ψ

間 のgenus

間 ⇒mix(Xi,Pi,ψi)はHopf空

⇒mix(Xi,Pi,ψi)=X.

[Zabrodsky 11]

普 遍 空 間 で 条 件(FC)を

み た し て い る と す る.

 定義 

をXのgenusと

  空 間 の ホ モ ト ピ ー 型 の 性 質Pはgeneric⇔[X]∈Pな   例   Hopf空  (D.1) 

Xが(FCπ)を

み た すHopf空

Xi,Pi, 

在 し て ∀iに つ い てXi∈G(X)を   Q-同

い う.

ら ばG(X)⊂P.

間 で あ る こ と はgeneric.

[Y]∈G(X)⇔Hopf空   (D.2) 

間, ⅲ

間Zが は(C.3)の

間 な らば あ っ て, 条 件 を み た す と き,も

値 写 像 ψ:X→X0=K(QH*(X)/torsion)を

F,mi=min{n￨nπi(F)=0}と

し 空 間Xが

存

み た す な ら ばmix(Xi,Pi,ψ)∈G(X). 固 定 し,そ

お く.H*(X)のtorsionに

 で 割 り切 れ る 自然 数tに 対 し て [X,X]t={f:X→X￨fはp同

と お く とき,次 の形 の完 全 系 列 が あ る: [X,X]t→[(Z/t)*/{±1}]l→G(X)

の フ ァイバ ーを

現 れ る ∀ 素 数 お よび

値 写 像,∀p￨t}

 ⅲ)

こ こ で(Z/t)*={Z/tの

単 元},l=#{ni￨QHni(X)/torsion≠0}.

 例  φ をEuler関

数 と す る と き,

  E  p-torsionを

も つ 有 限Hopf空

  任 意 の 奇 素 数pに

対 し て1-連

間[Harper 結,有

0]

限CW-複

(p); 

体K(p)が

存 在 し てH*(K

た だ しp1x3=x2p+1,βx2p+1

=x2p+2

.こ

  (E.1) 

のK(p)を 積mを

 ⅰ)  m*の

用 い ホ モ トピ ー 型 を 混 合 し て

も つ1-連

結 有 限CW-複

下 でH*(X(p);Z/p)は

体X(p)が

存在 して

原 始 的 生 成,

 ⅱ )

  次 の 仮 定 と 命 題 を 考 え る:   仮 定(0)   

(1)    (2) 

  命 題(Ⅰ)   

な し, 積 は 結 合 的 ホ モ ロ ジ ー 環mod 積 のpに

  (Ⅲ)  X上

導 く,

お け る 局 所 化 は ホ モ トピ ー 結 合 的.

H*(X)はp-torsionを

(Ⅱ)  X上

pを

も た な い,

に 積 π が あ っ て,π*の

下 でH*(X;Z/p)は

に 積 κが あ っ て κ*の 下 でH*(X;Z/p)は

原 始 的 生 成, 可 換.

  こ の と き,こ れ ら の 命 題 の 間 に は 次 の 関 係 が あ る:   仮 定(0):κ=π

と とれ ば,π*は

あ る か ら 系 Ⅱ.2.10に

結合的かつ可換で

よ り(Ⅱ)⇒(Ⅲ).上

は  

の(E1)

を 示 し て い る.ま た,

Zabrodskyに

よれ ば,(Ⅲ)を

み た す 積 κ で,κ*

が 原 始 的 生 成 で は な い も の が あ る と の こ と で あ る.   仮 定(1):こ

の と き,m*が

始 的 で あ る と い う の は,定

結 合 的 な ら ばm*は 理 Ⅱ.4.16で

か に,  [Kane

あ る.明

一 方,[Lin 1]に

原 ら 3],

よれ ば κ*が 可 換 か つ 結 合 的 な ら ば κ*の 下 で 原 始 的 生 成.

  仮 定(2):[Zabrodsky

1]に

よ れ ば(Ⅱ)⇒(Ⅰ).上

の 図 は す べ て 同 値.

第5章 

  本 章 で はBrowderの

Bocksteinス

ペ ク トル 系 列

仕 事[Browder

2,5,6]を

中 心 に し てBocksteinス

ペ

ク トル 系 列 を 解 説 す る.

  §1  完 全 対   鎖複 体   定 義   Aは

鎖 複 体(chain

⇔A=ΣAiは

complex)

次 数 つ きZ-加

群 で,次

数s=±1の

d:Ai→Ai+s,    A:自

由(ま

た はtorsionを

境 界 作 用 素dを

も つ:

d2=0.

も た な い)⇔

∀Ai:自

由(ま

た はtorsionを

も

た な い).   記 号   Cn=Ker{d:An→An+s},Bn=Im{d:An-s→An}.   定 義  H(A)=C/B:Aの   A,A′

ホ モ ロ ジ ー.

は 次 数￨d￨=-1の

微 分 作 用 素dを

もつ 鎖 複 体 とす る(￨d￨=1の

場合

も 同 様).   Cn=Ker{d:An→An-1},C′n=Ker{d:A′n→A′n-1},Bn=Im{d:An+1→An}, B′n=Im{d:An+1→An}と   命 題1.1  な ら ば,鎖

お く.

φ:H(A)→H(A′)は 写 像(chain

  [証 明]  仮 定 か らAは

ホ モ ロ ジ ー の 準 同 型 と す る.も

map)f:A→A′

自 由 で あ る か ら,∀nに

た,0→Bn→Cn→Hn(A)→0は

しAが

自由

が 存 在 し て,H(f)=φ. つ い て,Bn,Cnは

完 全 系 列.さ

自 由.ま

らに 完全 系 列

(1.2) に お い て,Bn-1は

自 由 で あ る か ら,ρ:Bn-1→Anが

わ ち,(1.2)は

分 裂 完 全 系 列 で あ る.ま

が 存 在 し て,次

の 図 は 可 換.帰

完 全 系 列(1.2)を

使 っ て ∀An上

たCnは

納 法 でfはBn-1上 でfは

存 在 し て,d° ρ=id.す

な

自 由 で あ る か ら,f:Cn→C′n で も 定 義 さ れ る か ら,分

定 義 さ れ る こ と が わ か る.ま

た,定

裂 義

か ら,fはdと   命 題1.2 

可 換 で あ る こ と もわ か り,fは

求 め る 鎖 写 像. 

鎖 複 体A′ が 与 え ら れ た と き,自 由 な 鎖 複 体Aと

(終)

鎖 写 像f:A→A′

が 存 在 し て,   [証 明]  命 題1.1に

よ り,与

え ら れ た ホ モ ロジ ーH(A′)を

を構成す れば よい.Hn(A′)の 自由分解: 

もつ 自由鎖 複 体

を考 え, 

とお き,境 界 作 用 素 を

と定 義 す る.    命 題1.3 

(終)

f:A→A′

は 鎖 写 像,Aは

とす る.g:Bn-1→C′nが れ ば,f+gは

自 由, 

は(1.2)の

写 像 の と き,g:An→C′n⇔g(c,b)=g(b)と

分 裂 定義す

鎖 写 像 で,H(f+g)=H(f):H(A)→H(A′).

  証 明 は 明 ら か.   注 意   命 題1.3に

お い て,整

係 数 ホ モ ロジ ー の 準 同 型 とし て は 同 じ で あ るが,他 の 係

数 で は 必 ず し も同 じ準 同型 を 導 くとは 限 らな い.   命 題1.4 

Aは

自 由,A′

をtorsionを

系列   系 列 か ら,A′ A→A′

も た な い 鎖 複 体 と す る.係

(p:素 数)から生じるAの ホモロジー完全 の ホ モ ロ ジ ー 完 全 系 列 へ の 準 同 型 を φ とす る と き,鎖

が 存 在 し て,f*=φ.

  [証 明]  命 題1.1に

よ り鎖 写 像h:A→A′

が 存 在 し て,H(A)でh*=φ.普

遍 係 数 定 理 か ら 生 じ る 短 完 全 系 列 上 の 準 同 型 と し て φ-h*を

H(A)上

数の完全

で φ=h*で

従 っ て,φ-h*は,準

あ る か ら,上 同型 ξを

図 で,両

考 え る:

端 の 準 同 型 は 自 明:φ-h*=0.

写 像f:

に よ り定 義 す る.こ

の と き,ξ はwell-definedで, α °ξ°β=φ-h*.

 次 の図 を 考 え る:

た だ し,上 図 に お け る準 同 型 は 次 の よ うに定 義 され る:   (イ)  μ はTorを

定 義 す る系 列 か ら生 じ る も の:

  (ロ)  γ′は 上 の 系 列 に お い てA〓A′   (ハ)  ν,ν ′:mod

と と りか えた も の

p還 元

  (ニ)  μ は 一 対 一 で あ る か ら,Tor(Hm-1(A),Z/p)はBm-  因 子 で,従

っ て,準

Z/pの

同 型 τ: 

直和 が あ っ

て,τ °μ=1  (ホ)  ξ′=ξ°τ   (ヘ) 

は 全 射,Bm-1は

 

はliftさ

  命 題1.3と

同 様,分

鎖 写 像 で,整

係 数 ホ モ ロ ジ ー 上 でf*=h*.ま

=α

°(α-1°(φ-f*)°

裂(1.2)を

β-1)° β .こ

さ ら に,ξ=α-1°

な わ ち,H(A)お   Bocksteinス

れ て ψ:Bm-1→C′mが

使 っ てf=h+ψ

と お く.命

同型

あ る.

題1.3に

た, 

よ りfは

上 で,φ-f*

こ で, 

ψ*° β-1を

よ び 

確 か め ら れ る か ら,φ-f*=0.す

上 で φ=f*. 

(終)

ペ ク トル 系 列

  ま ず,Bocksteinス Aはtorsionを

自 由 で あ る か ら,準

ペ ク トル 系 列 の 定 義 を 思 い お こ そ う.以

も た な い 鎖 複 体,dは

  に つ い て,{jc}=xと

次 数￨d￨=s=±1の

を 表 わ す 鎖 をc∈A,す す る.d(jc)=jdc=0で

な わ ち,mod

下,pは

素 数,

境 界 作 用 素 とす る. p還 元j: 

あ る か ら,e∈Aが

存 在 し て,

dc=pe.d2=0で

あ る か ら,0=d2c=pde⇒de=0.こ

と 定 義 し て,β1を

第1次Bockstein準

dc=pre,e∈A,の

  以 下,こ

同 型 と い う.定

と き,βr(x)={je}と

義 よ り β12=0.一

般 に,

定 義 す る:

れ を 関 手 的 に 定 義 す る.

  定 義   C=〈D,E;i,j,k〉 (exact ⇔D,E:可

は完全対

couple) 換 群,i:D→D,j:D→E,k:E→D

は 準 同 型 で,右 Im

の と き,

k=Ker

の 図 は 完 全 な 三 角 形(⇔Im

i=Ker

j, Im

j=Ker

k,

i).

  こ の 完 全 対 か ら,導

来 対C′=〈D′,E′;i′,j′,k′ 〉 を 次 の よ う に し て 定 義 す

る:

(kか ら 自然 に導 か れ る)

これ を 繰 り返 し て,完

全 対 の 列Cn=〈Dn,En;in,jn,kn〉

dn=jn°kn:En→Enは

微 分 作 用 素 で,H(En:dn)=En+1.す

に 随 伴 し た ス ペ ク トル 系 列{En}を   今,Aをtorsionを

を え る.こ な わ ち,完

の と き, 全 対C

え る.

も た な い 鎖 複 体 と し,こ れ に 完 全 系 列0→Z→Z→

Z/p→0をtensor積

し て,鎖

複 体 の 完 全 系 列 を え る:

 これ よ りえ られ る ホ モ ロジ ー完 全 系 列 か ら生 じ る完 全 対

 (1.5)

  定 義  完 全 対(1.5)をBockstein完 {Er,dr}をAのmod

p

全 対,こ

Bocksteinス

  容 易 に 確 か め ら れ る よ う に,こ

れ に 随 伴 し ス ペ ク トル 系 列

ペ ク トル 系 列 と い う.

の と き の 微 分 作 用 素drはBockstein作

用 素

βrで あ る.ま も 次 数sで

た,Aは

次 数 つ き,dは

次 数sで

あ る か ら,Erも

次 数 つ き,dr

あ る.

  注 意   この ス ペ ク トル 系 列 の 構成 に お い て はfiltrationは な い.ま た,∀mに Hm(A)が

有 限 生 成 の と き,十 分大 き いrに つ い て,Er+1(A)=Er(A)で

つ い て,

あ る か ら,E∞(A)

を 定 義 で き る.す なわ ち,ス ペ ク トル系 列 は 収 束 す る.   記 号   torsionの て,ス

な い 鎖 複 体 の 間 の 鎖 写 像f:A→A′

ペ ク トル 系 列 の 間 の 準 同 型 を 導 く,こ

は 完 全 対 の,従

れ をfr:Er(A)→Er(A′)と

っ 表わ

す.   補 題1.6 

A,A′

はtorsionを

体, 

も た な い 鎖 複 体,A 

で,境

A′ はAとA′

の直和複

界 作 用 素 は そ れ ぞ れ の 境 界 作 用 素 の 和 と す る.

こ の と き,

  証 明 は 明 ら か.   補 題1.7 

torsionを

も た な い 鎖 複 体 の 間 の 鎖 写 像f:A→A′

が 同 型 

を導 くな らば

  [証 明] 

で あ る か ら,frは

∀rに つ い てEr上

型. 

で同 (終)

  以 下,特

に 断 ら な い 限 り,鎖

複 体 と い え ば,自

由 な 鎖 複 体 で,ホ

モ ロジ ーは

各 次 元 で 有 限 生 成 な も の と す る.   こ の と き,補

題1.7と

命 題1.2と

か ら,任

意 の 鎖 複 体A′

は 唯 一 つ の 自 明 で な い ホ モ ロ ジ ー を も つ 鎖 複 体,で さ よ り,鎖

ら に,補

題1.6よ

写 像f:A→

g*=id.今,鎖

り 

存 在 し て,完

与 え ら れ た と き(Cに

k*=id,l*=idが

と定 義 す る と,右

図 は 可 換.従

系 列 上 で,ξ′*=ξ*.す き か え る と き,こ

存 在 し て),

っ て,ス

な わ ち,Aを

の お き か え は,与

ペ ク トル

ΣAiで

お

え られ た 鎖 写

Ai

お き か えて よ く,  が 成 り立 つ.実

ΣAi,g:ΣAi→Aが

写 像 ξ:A→Cが

を 

際,命

題1.4

全 対 上 でf*=id, つ い て も, 

像 と 可 換 で あ る と し て よ い.  定義

 

とす る.

  A(n,l):初

等 的 鎖 複 体(elementary

chain

complex)

生 成 元u 生成 元 υ

  従 っ て,

(た だ し,Z0=Z)

  以 上 よ り,   定 理1.8 

与 え ら れ た 鎖 複 体 を 同 型 なBocksteinス

的 鎖 複 体 の 直 和 で お き か え て よ い.さ ペ ク トル 系 列 で 導 く準 同 型 と,お

ら に,与

ペ ク トル 系 列 を も つ 初 等

え ら れ た 鎖 写 像 がBocksteinス

き か えの 際 に ,こ

の 鎖 写 像 か ら生

じる 鎖 写 像

が 導 く準 同 型 と は 同 じ で あ る.   補 題1.9 

(l,p)=1⇒E1(A(n,l))=E∞(A(n,l))=0.

 [証 明] 

(終)

  補 題1.10

 [証 明]  次 数nに

お い て の み  (終)

  補 題1.11 

(a,p)=1, 

か らA(n,apm+1)の   [証 明] 

と す る と き,A(n,apm)のBockstein完

導 来 対 へ の準 同型

は 各 項 で 同型 .

簡 単 の た め に 次 の よ う に お く:

  A=A(n,apm+1),生   A′=A(n,apm),生   q:A′

φ が あ っ て,φ

全 対

成 元u,υ;関 成 元u′,υ

→A⇔q(u′)=pu,q(υ

=i(H(A))⇒q*はi(H(A))の

係 式   dυ=apm+1u,￨u￨=￨υ￨-1=n,

′;関

係 式   dυ ′=apmu′,￨u′￨=￨υ

′)=υ と 定 義 す る とqは

鎖 写 像 で,q*(H(A′))

上 へ の 同型 .

と 定 義 す る.  [m>0の

と き] 

に お い てd=0か

つE1(A)に

′￨-1=n.

おいて

 [m=0の とき] 

:同型. 上で 上で

と定 義す る とき,φ が 完 全 対 の準 同型 で あ る こ とを示 せ ば よい:

  q:鎖

写像

⇒i°q*=q*°i⇒i′

  {u′}はH(A′)を せ ば よ い.ま

°φ=φ °i.

生 成 す る か ら,{u′}上

ず,j{u′}={u′}p(mod

でj′ °φ=φ °jが 成 り立 つ こ と を 示

p還 元)⇒

一 方,j′ °φ{u′}=j′{pu}=j′{i(u)}={j(u)}={u}   最 後 に,∂p{u′}p=0=∂′p{u}p.従 せ ば よ い.m>0従 {apmu}.こ

φ°j{u′}=φ{u′}p={u}p p.す

って,φ

な わ ち,j′ °φ=φ °j.

°∂p{υ}p=∂′p° φ{υ′}p=∂′p{υ}pを示

っ て{υ′}p≠0な ら ば ∂′p{υ ′}p={apm-1u′}.一

こ で,φ{u′}={pu}で

方,∂′p{υ}p=

あ る か ら,φ °∂p=∂′p° φ.

  以 上 よ り φ は 完 全 対 の 同 型.    定 理1.12  対 か らAの

与 え ら れ た 鎖 複 体Aに

対 し て,鎖

写 像f′:A′

  [証 明]  前 半 は 補 題1.11と 題1.4か

(終) 対 し て,鎖

複 体A′

導 来 対 へ の 完 全 対 の 準 同 型 φ が 存 在 し て,φ

像f:A→Bに

.

お よ びA′ は 同 型.ま

の完 全 た,鎖

写

→B′ が 存 在 し て,φ°f′*=f2° φ.

定 理1.8か

ら 出 る.ま

た,後

半 のfの

存在 は 命

ら 出 る. 

(終)

  補 題1.13

 [証 明]  補 題1.9と1.11お

よびaに

関す る帰 納 法. 

 鎖複体Cに 完全系列 

をtensor積

(終) して

る完 全 対 お よび,そ れ か ら生 じるBocksteinス

ペ ク トル系 列{Er,βr}を

る.射 影jは  

を 導 く.ま た,Im j1⊂Ker

えら れ

考え β1

で あ る か ら,j1はj2:pH(C)→E2を

導 く.以

で あ る か ら,jr:pr-1H(C)→Erを

導 く.そ

下,帰

納 的 に,Im

jr⊂Ker

βr

こ で,

kr:H(C)→Er⇔kr(x)=jr(pr-1x) と 定 義 す る と き,   (1.14) 

Ker

kr=pH(C)+Tr-1,た

  (仮 定 か ら)各mに

つ い てHm(C)は

い てE∞=Er.従

っ て,k∞=krと

  命 題1.15   (2) 

だ し,Tr-1={x∈H(C)￨pr-1x=0}.

(1) 

Ker

有 限 生 成 で あ る か ら,十 お い てk∞:H(C)→E∞

分 群,

っ て,

  [証 明]  補 題1.9,1.10,1.13お

  命 題1.16 

つ

を 定 義 す る.

k∞=pH(C)+T,T:H(C)のtorsion部

E∞=k∞(H(C)),従

  k:Z/pr→Z/pは

分 大 き いrに

よ び 定 理1.8か

ら 出 る. 

(終)

自 然 な 写 像 と す る. (1)  Er(C)∋x≠0に

対 し て, 

が 存 在 し てx=

{k*x′}.   (2)  H(C)の

直 和 因 子Z/prの

生 成 元 をyと

  [証 明]  (1)  補 題1.9,1.10,1.13お   (2)  Z/pr={y}を (C)→Z/pr,β A(n,pr)が

す る と き,kr(y)≠0∈Er.

よび 定 理1.8か

ら 出 る.

直 和 因 子 と し て 表 わ す 写 像 を α:Z/pr→Hn(C),β:Hn

°α=1と

す る.命

題1.1よ

り,鎖

写 像f:A(n,pr)→C,g:C→

存 在 し て,f*=α,g*=β,g*°f*=1⇒Er(C)はEr(A(n,pr))を

直 和 因 子 と し て もつ.こ

の と き,補

題1.13か

らjr{u}≠0∈Er(A(n,pr)).一

方,f*{u}=y⇒kr(y)≠0∈Er(C).    定 義   鎖 複 体C,Dのtensor積C 

  記 号   鎖 複 体Aに

つ い て,定

(終) D

理1.12に

よ り対 応 す る 鎖 複 体 をA′

と 表 わ す.

こ の 記 号 の 下 に,   補 題1.17   [証 明]  ば よ い.(こ

C=A(n,mpa),D=A(s,tpb),(m,p)=(t,p)=1の の と き,C′=A(n,mpa-1),D′=A(s,tpb-1).a=1ま

と き は,   

Cの

場 合 に証 明す れ

生 成 元   u,υ;dυ=mpau,C′

で あ る か ら,a>1,b>1と の 生 成 元   u′,υ ′;dυ

た はb=1の 仮 定 し て よ い: ′=mpa-1u′,

  Dの

生 成 元  w,z;dz=tpbw,D′

一 般 性 を失 う ことな く  

の 生 成 元   w′,z′;dz′=tpb-1w′. と す る .ま

た,次

が あ って

従 っ て  従 っ て 

⇒{x,y}は(C  υ′,w′,z′)と

D)n+s+1の

が あ って

基 底.同

様 に,(x,y,u,υ,w,z) 

と り か え る と,{x′,y′}は(C′

と定義すれば,qは

の よ う に お く:

  D′)n+s+1の

鎖写像で, 

(x′,y′,u′,

基 底.さ

ら に,

さらに,鎖 写 像

siを,

と 定 義 し,s=s1 

s2と お け ば,

上で 上で と定 義 す る と,補

題1.11の

場 合 と 同 様,φ

は 完 全 対 の 準 同 型,従

対 の 同 型 で あ る こ と が わ か る. 

(終)

 定義  た だ し,  こ の と き,Z/p上

のKunneth公

式に より

 (1.18)   命 題1.19 

  [証 明] 

κ はBocksteinス

(1.18)に

よ り,

っ て,完

ペ ク ト ル 系 列 の 準 同 型 κrを 導 き,

全

さ ら に,直

接 計 算 す る こ と に よ り β1が 微 分 作 用 素 で あ る こ とが わ か る.後

定 理1.12と

補 題1.17か

  命 題1.20 

ら 帰 納 法 に よ り 出 る. 

い て ホ モ ロ ジ ーZ/lを

初 等 的 鎖 複 体 で,l≠0の

p

般 の 場 合 は,定

Bocksteinス

H(C)はp-torsionを

Er(C)∋xに

の 場 合,命

理1.8を

元n+1に

お

題 が 成 り立

用 い れ ば よ い . (終)

ペ ク トル 系 列{Er(C)}に

お い て,

も た な い ⇔E1(C)=E∞(C).

  [証 明]  補 題1.9,1.10,1.13お   定 理1.22 

と き,次

も つ(境 界 作 用 素 の 次 数=1).こ

つ こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.一 mod

(鎖 複 体 と し て),

随 伴.

  [証 明]  Hom(A(n,l),Z)は

  定 理1.21 

(終)

Er=Er(Hom(C,Z))=Hom(Er(C),Z/p) 

ま た,βr=(βr)*:βrの

は

よ び 定 理1.8か

ら 出 る. 

(終)

つ い て, が あ って

  [証 明]  初 等 的 鎖 複 体Cに

つ い て は 明 らか.一

般 の 場 合 は,定

理1.8を

用 す れ ば よ い. 

  §2  Bocksteinス   微 分Hopf代   以 下,Kは   定 義   K-加 ⇔

(終)

ペ ク トル 系 例

数 体 とす る. 群Mは

微 分 加 群(differential

微 分 作 用 素d:M→Mが

  記 号   Z(M)=Ker

module)

存 在 し て,d2=0.

d,B(M)=Im

  定 義   H(M)=Z(M)/B(M):Mの   MとNが

d. ホ モ ロ ジ ー 加 群.

微 分 加 群 の と き,

と 定 義 す る こ と に よ り,M 

Nは

微 分 加 群 に な る.こ

の と き,Kunnethの

式に よ り  (2.1)

  定 義   (A,φ,d)は ⇔Aは

適

微 分 代 数(differential

積 φ を も つ(K上

の)代 数 で,微

algebra) 分 作 用 素dを

も ち,d°

φ=φ °d.

公

  定 義   (C,ψ,d)は ⇔Cは

微 分 双 対 代 数(differential

双 対 積 ψ を も つ(K上

  この と き,次   補 題2.2 

の)代 数 で,微

coalgebra) 分 作 用 素dを

も ち,d° ψ=ψ °d.

は 定 義 よ り明 ら か.

(1)  Aは

微 分 代 数 とす る.A∋x,y,dx=yな

らば

x∈D(A)⇒y∈D(A).   (2)  Cは

微 分 双 対 代 数 とす る.C∋x,y,dx=yな

らば

x∈P(A)⇒y∈P(A).   補 題2.3 

(1)  A:微

  さ ら に,結

合 性,可

分 代 数 ⇒H(A):代

数.

換 性 な ど は 保 た れ る.

  (2)  C:微

分双対代数

  さ ら に,双

対 結 合 性,双

  補 題2.4 

(C,ψ,d)は

⇒H(C):双

対 代 数.

対 可 換 性 な ど は 保 た れ る.

微 分 双 対 代 数,C0=K,d(Ci)=0∀i