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•¤ÓÔ˜ £·Ó¿Û˘ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ 2Ô˘ §˘Î›Ԣ ™˘ÎÂÒÓ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢
¶Ô‡ÏÔ˜ ∞Ó‰Ú¤·˜ ¢Ú ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÒÓ, ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶ÂÈÚ·Ì·ÙÈÎÔ‡ ™¯ÔÏ›Ԣ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢
∂ÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÂÔÙ›· ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ∂. ª. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
™Ù¿ÌÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ∞ÚÈÛÙÔÙÂÏ›Ԣ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢
ºÈÏÔÏÔÁÈ΋ ÂÈ̤ÏÂÈ· ∞Ï·Ù˙fiÁÏÔ˘ ¶·Ó·ÁÈÒÙ·
∂ÈÎÔÓÔÁÚ¿ÊËÛË - ∂È̤ÏÂÈ· ‡Ï˘ & Â͈ʇÏÏÔ˘ ∂ΉfiÛÂȘ ∑∏∆∏
¶ÚfiÏÔÁÔ˜ TÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· ‚·ÛÈο ÛÙÔȯ›· Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ηٷÓÂÌË̤ӷ Û ‰ÂηÙÚ›· ÎÂÊ¿Ï·È·. TÔ 1Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· Û‡ÓÙÔÌË ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ, ÙË ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· Î·È ÙËÓ ÈÛÙÔÚÈ΋ ÂͤÏÈÍË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. T· ÂfiÌÂÓ· ‰¤Î· ÎÂÊ¿Ï·È· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙËÓ ‡ÏË Ù˘ EȉÔÌÂÙÚ›·˜. ™ÙÔ 2Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È Ì·›ÓÔ˘Ó ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÁÈ· ÙË ÏÔÁÈ΋ ıÂÌÂÏ›ˆÛË Î·È ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ™ÙÔ 3Ô, 4Ô, 5Ô Î·È 6Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ‰È·‰Ô¯Èο Ë ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ÙÚ·¤˙È· Î·È Ù· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Û ·ÎÏÔ Û¯‹Ì·Ù·. ™ÙÔ 7Ô, 8Ô Î·È 9Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, Ë ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÔÈ ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· Î·È ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. ™ÙÔ 10Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÛÙÔ 11Ô Ë Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. T· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÎÂÊ¿Ï·È· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙËÓ ‡ÏË Ù˘ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. ™ÙÔ 12Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Á›ÓÂÙ·È Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Î·È ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ, ÂÓÒ ÛÙÔ 13Ô ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ù· ‚·ÛÈο Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Î·È ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¤Ó· ·Ú¿ÚÙËÌ· ÁÈ· ÙËÓ ·ÍȈ̷ÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô, ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ - ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓˆÓ ·Û΋ÛˆÓ. K¿ı ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘, ÂÚȤ¯ÂÈ Û ÁÂÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ Ù· ÂÍ‹˜: ·) £ÂˆÚ›·, Ë ÔÔ›· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ, ıˆڋ̷ٷ, ÔÚ›ÛÌ·Ù· Î·È ‚·ÛÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Î·È Î·Ù·Û΢ÒÓ. ‚) ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ, Û¯fiÏÈ· Î·È ¤ÓıÂÙ· ÛËÌÂÈÒÌ·Ù·, Ù· ÔÔ›· Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó Î·È ‰È¢ÎÚÈÓ›˙Ô˘Ó Ô˘ÛÈÒ‰Ë ÛËÌ›· Ù˘ ıˆڛ·˜. Á) IÛÙÔÚÈο Û¯fiÏÈ· Î·È ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ ıˆڛ·˜ Û ڷÎÙÈο ˙ËÙ‹Ì·Ù·.
iii
‰) ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Û ˙ËÙ‹Ì·Ù· ıˆڛ·˜ ‹ Ú·ÎÙÈÎÒÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ, ΢ڛˆ˜ ÁÈ· ÂÚ¢ÓËÙÈ΋ ÂÚÁ·Û›· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÛÙËÓ Ù¿ÍË ‹ ÛÙÔ Û›ÙÈ. Â) §˘Ì¤Ó˜ ·Û΋ÛÂȘ (ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜) ÁÈ· ηٷÓfiËÛË Ù˘ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋˜ ‰È·‰Èηۛ·˜. ÛÙ) ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ· ı¤Ì·Ù· Ì ÙÔ ÁÂÓÈÎfi Ù›ÙÏÔ «™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ», Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÎÚ›Ûˆ˜ ÁÈ· ÚÔÊÔÚÈ΋ ¿ÛÎËÛË ÛÂ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜. ˙) ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ· ı¤Ì·Ù· ÁÈ· ÂÍ¿ÛÎËÛË, Ù· ÔÔ›· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ‚·ıÌfi ‰˘ÛÎÔÏ›·˜ Û ·Û΋ÛÂȘ AãÎ·È BãÔÌ¿‰·˜. Ë) ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ· Û‡ÓıÂÙ· ı¤Ì·Ù· ÁÈ· Ì·ıËÙ¤˜ Ì ÂÚ¢ÓËÙÈ΋ ‰È¿ıÂÛË (“°ÂÓÈΤ˜ AÛ΋ÛÂȘ”). ı) EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘. È)
T¤ÏÔ˜, ·Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË, Ë ÔÔ›· Û˘ÓÔ„›˙ÂÈ Ù· ‚·ÛÈο ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘.
∞ÈÛı·ÓfiÌ·ÛÙ ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ó· ¢¯·ÚÈÛÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ·fi ÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹ ÙÔ Ù¯ÓÈÎfi ÂÈÙÂÏÂ›Ô ÙˆÓ ÂΉfiÛÂˆÓ ∑∏∆∏, Î·È È‰È·›ÙÂÚ· ÙÔÓ ÕÚË ™‡ÚÌÔ, Ô˘ ηÙfiÚıˆÛ·Ó Û ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó ¤Ó·Ó ÂΉÔÙÈÎfi ¿ıÏÔ. ∆¤ÏÔ˜, ı· ‹Ù·Ó ÛÔ‚·Ú‹ ·Ú¿ÏÂÈ„‹ Ì·˜ ·Ó ‰ÂÓ ·Â˘ı‡Ó·Ì ÙȘ ¢¯·ÚÈÛٛ˜ Ì·˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÈÙÚÔ‹ ÎÚ›Û˘ ÁÈ· ÙȘ Ôχ ¯Ú‹ÛÈ̘ Î·È È‰È·›ÙÂÚ· ‡ÛÙԯ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Ù˘.
OÈ Û˘ÁÁÚ·Ê›˜
iv
EYK§EI¢EIA °EøMETPIA
¶ÂÚȯfiÌÂÓ· KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1 EÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· 1.1. TÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜
...
1
1.2. IÛÙÔÚÈ΋ ·Ó·‰ÚÔÌ‹ ÛÙË Á¤ÓÓËÛË Î·È ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ...............5
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 T· ‚·ÛÈο °ÂˆÌÂÙÚÈο ™¯‹Ì·Ù· 2.1. OÈ ¶ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ŒÓÓÔȘ 2.2. E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ TÌ‹Ì·
10
....................................................
11
2.2.1. HÌÈ¢ı›· - HÌÈÂ›Â‰Ô E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ........................................... 11 2.2.2. ™‡ÁÎÚÈÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ .............. 12 ¶Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ...... 13 2.2.3. M‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ............................................
15
................
15
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
16 17
M¤ÙÚËÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
2.3. °ˆÓ›Â˜
.................................................................................
17 18
18
2.3.1. H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁˆÓ›·˜ .......................................... 18 2.3.2. ™‡ÁÎÚÈÛË ÁˆÓÈÒÓ ................................................ 19 E›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ
.....................................................
2.3.3. K¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ ................................................... 2.3.4. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÁˆÓ›Â˜ .............................................. ÕÏÏ· ›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ
...........................................
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ............................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
2.4. K‡ÎÏÔ˜
................................................................................
20 21 22 25 28 29 29 29
30
2.4.1. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ......................................... 30 2.4.2. E›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ................................................ 31 ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘
..............................................
2.4.3. M¤ÙÚÔ ÙfiÍÔ˘ Î·È Ì¤ÙÚÔ ÁˆÓ›·˜
¶ÂÚȯfiÌÂÓ·
35 37 37 38 38
2.5. E˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· ....................................39 2.5.1. TÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ....................................39 2.5.2. ¶ÔχÁˆÓÔ ...................................................39 2.5.3. ™ÙÔȯ›· ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ .....................................40 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ..................................41
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ ...................................................41 ..............
AfiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ
M¤ÙÚËÛË ÙfiÍˆÓ ................................................... EÊ·ÚÌÔÁ‹ ............................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
.......................
32 35
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ ..........................................42 AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË.....................................................42
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 TÚ›ÁˆÓ· 3.1. ™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
......................................................
43
3.1.1. E›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ..................................................... 3.1.2. ™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ............................................... 3.1.3. KÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ............................ 3.1.4. KÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ... EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
43 44 45
AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
.........................................................
3.2. B·ÛÈÎÔ› ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› ÙfiÔÈ
.......................................
50 53 55 56 57
58
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ............................................................................ 59 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... 59 AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... 60
3.3. ™˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
...................................................
60
3.3.1. ™¯‹Ì·Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ KÂÓÙÚÈ΋ Û˘ÌÌÂÙÚ›· ............................................... 60 3.3.2. ™¯‹Ì·Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· AÍÔÓÈ΋ Û˘ÌÌÂÙÚ›· ............................................. 60 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................... 62 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... 63
AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜
.........................................................
63
3.4. AÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ
........................................................
64
v
¶ÂÚȯfiÌÂÓ· 3.4.1. ™¯¤ÛÂȘ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ Î·È ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ................................................ 64 3.4.2. ™¯¤ÛÂȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ................................................ 66 3.4.3. TÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ......................................... 66 3.4.4. K¿ıÂÙ˜ Î·È Ï¿ÁȘ ¢ı›˜ ........................... 67
AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
.......................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 4Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
.................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 4Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
108
109
....................
109
.....................................................................
110
ÿ¯ÓÔ˜ Î·È ÚÔ‚ÔÏ‹ Ï¿ÁÈÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
...........................................................
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
3.5. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘
....................
68 71 73 74
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 TÂÙÚ¿Ï¢ڷ
75
5.1. OÚÈÛÌfi˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ......................................................................... 111
76
EÊ·ÙÔ̤ÓË Î·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÚÔ˜ ·ÎÏÔ .................................................... 76 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... 78 AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... 78 AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... 79
3.6. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ‰‡Ô ·ÎψÓ
....................................
79
K‡ÎÏÔÈ ¯ˆÚ›˜ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ........................................ 79 EÊ·ÙfiÌÂÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ..................................................... 80 TÂÌÓfiÌÂÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ........................................................ 81
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ............................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
3.7. °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
81 82 82 82
..........................................
83
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ............................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ...................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ......................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .........................................................
88 89 90 90
°ÂÓÈΤ˜ AÛ΋ÛÂȘ 3Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
....................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ K·Ù·ÓfiËÛ˘ 3Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
90
......................
91
........................................................................
92
....................................
119
MÈ· ÚÒÙË Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔ...............................................................
120
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
121 122
ÁÚ¿Ì̈Ó
122 123
5.3. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ......................................................................... 124 EÊ·ÚÌÔÁ‹ ......................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
5.4. TÚ·¤˙È·
.........................................................................
AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
4.1. OÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
....................
93
.............
93 94
.......................................
95
°ˆÓ›Â˜ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›ÙË £ÂÒÚËÌ· ‡·ÚÍË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
4.2. I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ 4.2.1. K·Ù·Û΢‹ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ¢ı›·˜
......
...................
97
..................
99
4.2.2. °ˆÓ›Â˜ ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ οıÂÙ˜ .................................................................. 99 4.2.3. ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Î˘ÚÙÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ........................................................ EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
vi
5.2. E›‰Ë ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
127 128 128 129
130
I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÙÚ·Â˙›ˆÓ ......................................... 130 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ 131 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... 132
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4 ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜
AÍ›ˆÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜
5.1.1. °ÂÓÈο .................................................................. 111 5.1.2. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ....................................... 112 5.1.3. KÚÈÙ‹ÚÈ· ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ..................... 114 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ 116 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... 117 AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... 117 AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... 118
....................................................... .......................................................
5.5. AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ· ÛËÌ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘
133 133
..........................
134
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ......................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
138
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 5Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
.................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 5Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
138 139 139
140
....................
141
.....................................................................
142
101 104 106 107
EYK§EI¢EIA °EøMETPIA
¶ÂÚȯfiÌÂÓ· 7.3.2. °ÂˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Â›Ó·È Ì/Ó ≠ 1 ..................................... 184
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6 ™¯‹Ì·Ù· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Û ·ÎÏÔ
H ‡·ÚÍË ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·Ì̈Ó
6.1. EÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜
...........................................
143
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
147 149 150 151
6.2. EÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Î·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ .................................................................. 152 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
154 155 155 156
6.3. XÚ‹ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ....................................... 157 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 6Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
.................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 6Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
161 162 163 163
164
....................
165
.....................................................................
166
ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
.......................................................
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ......................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 7Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
.................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 7Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
...................................................
167
7.1.1. °ÈÓfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· .................................................................. 167 ™‡ÌÌÂÙÚ· Î·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· .................................................. 168 7.1..2 §fiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ M‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ................... 169 7.1.3. AÓ·ÏÔÁ›Â˜ - I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ........ 171 7.1.4. ¢È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ‰Ôı¤ÓÙ· ÏfiÁÔ ..................................................... 173
7.2. £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
..................................................
174
7.2.1. I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ô˘ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ................ 174 7.2.2. £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi ÙÔ˘ ................................................. 176 EÊ·ÚÌÔÁ‹ ......................................................................... 179
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
................................................... ....................................................... .......................................................
7.3. K‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ AÔÏÏÒÓÈÔ˘
........................................
7.3.1. £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ™˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÛËÌ›·
EYK§EI¢EIA °EøMETPIA
...........
.............................
179 180 181
182 182 184
190
....................
191 192
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 OÌÔÈfiÙËÙ· 8.1. ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·
...............................
193
8.1.1. ™Ì›ÎÚ˘ÓÛË-MÂÁ¤ı˘ÓÛË Î·È OÌÔÈfiÙËÙ· ..... 193 8.1.2. K·Ù·Û΢‹ fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ................. 195 K·Ù·Û΢‹ fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ....................... 195 ¶ÚÔÔÙÈ΋ ηٷÛ΢‹ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
.......................................................
196
M¤ÙÚËÛË Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ·ÚfiÛÈÙˆÓ ..........................................................
8.2. KÚÈÙ‹ÚÈ· ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
7.1. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
189 189
.....................................................................
ÛËÌ›ˆÓ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7 AÓ·ÏÔÁ›Â˜
186 187 188
197
............................
198
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
200 202
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 8Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
.................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 8Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
203 204
205
....................
206
.....................................................................
207
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9 MÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ 9.1. MÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓ·
...............................
209
9.1.1. MÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· .... 9.1.2. MÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ ÛÂ Ù˘¯·›· ÙÚ›ÁˆÓ· ............ EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
210 216 220 223 225
AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
226
.......................................................
9.2. MÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ
..................................
227
9.2.1. ¢‡Ó·ÌË ÛËÌ›Ԣ ˆ˜ ÚÔ˜ ·ÎÏÔ ................ 227 9.2.2. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘
..................
TÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜
..................
229 230
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ 232 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... 234
vii
¶ÂÚȯfiÌÂÓ· AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
....................................................... .......................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 9Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
.................................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 9Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
235 235
236
....................
237
.....................................................................
238
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10 EÌ‚·‰¿ ............................................
239
10.1.1. EÈÛ·ÁˆÁ‹ .......................................................... 239 10.1.2. EÌ‚·‰¿ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ..................................... 241
10.2. EÌ‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
.....
241
10.2.1. B·ÛÈο ıˆڋ̷ٷ ........................................ 241 10.2.2. ÕÏÏÔÈ ÙÚfiÔÈ ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ...... 244 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ....................................................................... 247
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
.....................................................
248 249
.....................................................
250
..................................................
..............
251
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ .................................................. AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ..................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .....................................................
253
10.3. ™¯¤ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
10.4. TÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
...................................
254 255
...........................................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 10Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
..............................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 10Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
260
260
.................
261
.....................................................................
262
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ .................................................. AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ..................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ ..................................................... .....................................
279 279 280 280
281
11.3.1. ¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ Ì ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ................. 281 11.3.2. EÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· Î·È Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ........................................................... 282 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ....................................................................... 284 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ .................................................. 285
AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
..................................................... .....................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 11Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
..............................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 11Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
286 286
287
.................
287
.....................................................................
288
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12 E˘ı›˜ Î·È Â›Â‰· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ 12.1 ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
.......................................................................
289
12.1.1. EÈÛ·ÁˆÁ‹ .......................................................... 289 12.1.2. TÔ Â›Â‰Ô ÛÙÔ ¯ÒÚÔ .................................... 290 12.1.3. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘ ...... 292
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ....................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ .................................................. AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ..................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .....................................................
293 294 295 295
12.2. ∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ................................................. 296
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11 M¤ÙÚËÛË Î‡ÎÏÔ˘ 11.1. K·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
275
255
256
10.4.1. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ...................... 256 10.4.2. Afi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÂÌ‚·‰ÒÓ .................................. 258
12.2.1. E˘ı›˜ οıÂÙ˜ Û ›‰Ô
...............................................
263
11.1.1. OÚÈÛÌfi˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ....................................................... 263 11.1.2. B·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ...................................................... 265 11.1.3. EÁÁÚ·Ê‹ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û ·ÎÏÔ ........................................................... 267 11.1.4. EÁÁÚ·Ê‹ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÁÒÓÔ˘ .............. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ....................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ .................................................. AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ..................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .....................................................
viii
...........................................................
11.2.1. ¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ................................ 275 11.2.2. M‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙfiÍˆÓ ............................ 276
11.3. EÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘
10.1. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡
AÛ΋ÛÂȘ
11.2. M‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘
269 272 273 274 274
........................
296
12.2.2. ¶·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ................. 298 12.2.3. ¶·Ú·ÏÏËÏ›· ÂȤ‰ˆÓ ................................. 299 ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ........... 299 12.2.4. ¶ÚÔ‚ÔÏ‹ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÛÂ Â›Â‰Ô ................. 302 12.2.5. °ˆÓ›Â˜ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ .................... 303 12.2.6. K·ıÂÙfiÙËÙ· ÂȤ‰ˆÓ ................................... 305 EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ....................................................................... 307 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ .................................................. 310
AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
..................................................... .....................................................
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 12Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
..............................
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 12Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
311 311
312
.................
313
.....................................................................
314
EYK§EI¢EIA °EøMETPIA
¶ÂÚȯfiÌÂÓ· 13.4.1. EÌ‚·‰fi Î·È fiÁÎÔ˜ ÎÒÓÔ˘ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ .................................................................. 336
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13 °ÂˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿ EÈÛ·ÁˆÁ‹
13.5.™Ê·›Ú·
...................................................................................
13.1.¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
..............................
315 316
13.1.1. I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ ............................... 318 13.1.2 EÌ‚·‰fi ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ .............................. 320 13.1.3. ŸÁÎÔ˜ ÛÙÂÚÂÒÓ ................................................. 321 13.1.4 ŸÁÎÔ˜ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ................................ 322 EÊ·ÚÌÔÁ‹ ......................................................................... 324 ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... 324 AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... 325
AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜
13.2.¶˘Ú·Ì›‰Â˜
13.6.¶Ï·ÙˆÓÈο ÛÙÂÚ¿
339
.....................................................
345
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ........................................................................ ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
346
.......................................................
325
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 13Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
......................................................................
326
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 13Ô˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
13.2.1. EÌ‚·‰fi ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È Î·ÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ....................................................... 327 13.2.2. ŸÁÎÔ˜ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚˆÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ ......................................................... 328
AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË
..............................
349 350 351
352
.................
353
.....................................................................
354
¶·Ú¿ÚÙËÌ· 1.
H ·Ó¿ÁÎË ·ÍȈ̷ÙÈ΋˜ ıÂÌÂÏ›ˆÛ˘ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ................................ 355
330 331 331
2.
M›· °ÂˆÌÂÙÚ›· ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ............................................................................ 359
.......................................................
332
E˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ
.......................................................................
332
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ......................................................................... ™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓËÛ ..................................................... AÛ΋ÛÂȘ A′ OÌ¿‰·˜ ....................................................... AÛ΋ÛÂȘ B′ OÌ¿‰·˜ .......................................................
™ÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ 13.3.K‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜
..............................................................................
13.5.1. ™ÙÔȯ›· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ....................................... 339 13.5.2. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘ Ì ÛÊ·›Ú· ........................................................... 341 13.5.3. M¤ÙÚËÛË ÛÊ·›Ú·˜ ............................................ 342 £ÂˆÚ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ¶¿Ô˘ ............................. 343
EYK§EI¢EIA °EøMETPIA
.......................................................................
361
......................
333
A·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ
.................................
335
·Û΋ÛÂˆÓ ............................................................365
13.3.1. EÌ‚·‰fi Î·È fiÁÎÔ˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘
13.4.KÒÓÔ˜ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜
330
ix
¶ÂÚȯfiÌÂÓ·
x
EYK§EI¢EIA °EøMETPIA
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
1
∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙËÓ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·
1.1. ∆Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙȘ ÙÚÂȘ Ù¿ÍÂȘ ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ ÁÓˆÚ›Û·Ì ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ (¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ÁˆÓ›·, ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ, ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ·ÎÏÔ˜, ηÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ, Ú›ÛÌ·, ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜, ˘Ú·Ì›‰·, ÎÒÓÔ˜, ÛÊ·›Ú·). TȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ, ÙȘ ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì Ì ÂÌÂÈÚÈÎfi ÙÚfiÔ, οÓÔÓÙ·˜ ΢ڛˆ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ. A˘Ùfi˜ Ô ÙÚfiÔ˜ ÌÂϤÙ˘ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, Ô˘ Û˘ÓÈÛÙ¿ ÙËÓ ¶Ú·ÎÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ì ÔÏϤ˜ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÁÂÓÈο, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Û¯‹Ì· ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍÂÙ¿˙Ô˘ÌÂ. A˜ ‰Ô‡ÌÂ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙËÓ ÂfiÌÂÓË, Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË (ıÂÒÚËÌ· 3.14.)*: K¿ı Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ (‰ËÏ. ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘) Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·ıÂÌÈ¿˜ ·fi ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÂÛˆÙÂÚÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜.
™
* H ·Ú›ıÌËÛË ·˘Ù‹ ·Ú·¤ÌÂÈ ÛÙÔ 14Ô ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ 3.
∆Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜
1
£EøPIA ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, fiÔ˘ ¤¯Ô˘Ì ۯ‰ȿÛÂÈ ¤Ó· Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, Ë È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ Ê·ÓÂÚ‹, ÂÂȉ‹ οı Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· Â›Ó·È ·Ì‚Ï›· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi οı ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. AÓ, fï˜, ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ¤Ó· ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, ÙfiÙ ÙÈ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠ÁÈ· ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ∧ ∧ ∞ °¯ Î·È ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ∞ Ô˘ Â›Ó·È Î·È ÔÈ ‰‡Ô ·Ì‚Ï›˜; £· ÌÔÚÔ‡Û·ÌÂ, Ê˘ÛÈο, Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ì ¤Ó· ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ. A˘Ù‹ fï˜ Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‰ÂÓ ·Ú¤¯ÂÈ ·ÛʷϤ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ȉȷ›ÙÂÚ· fiÙ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. H ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ Ù˘ ¶Ú·ÎÙÈ΋˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ù· ÂÍ‹˜ ÌÂÈÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù·:
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1
A
B A
B
°
°
x
·) OÈ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ‰ÂÓ ·Ú¤¯Ô˘Ó ·fiÏ˘ÙË ·ÎÚ›‚ÂÈ·. OÈ ¯¿Ú·Î˜ Î·È Ù· ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈ· Ô˘ Û˘Ó‹ıˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠‰ÂÓ Ì·˜ ‰›ÓÔ˘Ó ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ‰‡Ô ‹ ÙÚ›· ‰Âη‰Èο „ËÊ›· Î·È Ë ·Ó¿ÁÓˆÛË Ù˘ ¤Ó‰ÂÈ͢ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· ÂΛÓÔ˘ Ô˘ ‰È·‚¿˙ÂÈ ÙÔ fiÚÁ·ÓÔ. AÓ ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì .¯. ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÔÏÏÒÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ı· ‚Úԇ̠ÁÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘˜ ÔÏϤ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Á‡Úˆ ÛÙȘ 180Æ. A˘Ù‹ Ë ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋ Û ڷÎÙÈο ˙ËÙ‹Ì·Ù·, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ·ÚΛ, ÁÈ· Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ·fiÏ˘Ù· ·ÎÚȂ›˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚‚·ÈˆıÔ‡ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ 180Æ; ‚) T· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÌfiÓÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ıËηÓ. AÓ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ì ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ‰È·ÈÛÙˆı› fiÙÈ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ · = 13 cm, ‚ = 12 cm Î·È Á = 5 cm ›∧ Ó·È A = 90Æ, ÙfiÙ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠¯ˆÚ›˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ó· ·ÏËı‡ÛÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ · = 17, ‚ = 15 Î·È Á = 8. TÚ›ÁˆÓ· Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· 90Æ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿Ú· ÔÏÏ¿ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi Â›Ó·È Ôχ ‰‡ÛÎÔÏË Î·È ÂÈÛÊ·Ï‹˜ Ë ‰È·Ù‡ˆÛË ÁÂÓÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛˆÓ. ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ‚‚·ÈˆıÔ‡ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, fiÙÈ, ·Ó ÁÈ· ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ·2 = ‚2 + Á2, ÙfiÙ ı· ∧ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ A = 90Æ; T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ‰Â›¯ÓÔ˘Ó fiÙÈ, ÁÈ· Ó· ÂÍ·ÛÊ·Ï›ÛÔ˘Ì ·fiÏ˘ÙË ‚‚·ÈfiÙËÙ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Î·È Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ·ÎÚȂ›˜ Î·È ÁÂÓÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÂÈÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÌÂıfi‰Ô˘˜ Ô˘ ‰Â ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÌÂÛË ·Ú·Ù‹ÚËÛË ‹ ÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ. ™ÙÔ ÛË-
2
EI™A°ø°H ™THN EYK§EI¢∂IA °EøMETPIA
£EøPIA
1.1.
ÌÂ›Ô ·˘Ùfi ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·Ú¯›˙ÂÈ Ë ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛË Ù˘ ¶Ú·ÎÙÈ΋˜ ·fi ÙË £ÂˆÚËÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· ‹, fiˆ˜ Û˘ÓËı›Û·Ì ӷ ϤÌÂ, ÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·. H E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÊÂÙËÚ›· ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, fiˆ˜ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌ›Ô, Ë Â˘ı›· Î·È ÙÔ Â›Â‰Ô. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÔÚ›˙ÂÈ ÛÙ·‰È·Î¿ Ó¤· Û¯‹Ì·Ù· (.¯. ÁˆÓ›Â˜, ÙÚ›ÁˆÓ·, ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·) Î·È Â·ÏËı‡ÂÈ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÒÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ê·ÓÂÚÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Î¿ı Ӥ· ȉÈfiÙËÙ· Â›Ó·È ÏÔÁÈ΋ Û˘Ó¤ÂÈ· οÔÈˆÓ ¿ÏÏˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ô˘ ‹‰Ë ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ. A˘Ù‹ Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ·ϋı¢Û˘, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·, ·ÔÙÂÏ› ‚·ÛÈ΋ ·Ú¯‹ ·ÚÔ˘Û›·Û˘ ÌÈ·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ıˆڛ·˜. H E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ, Â›Ó·È ÌÈ· Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ıˆڛ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙËÓ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·, ÁÈ· Ó· ÔÚÁ·ÓÒÛÂÈ Î·È Ó· Ù·ÍÈÓÔÌ‹ÛÂÈ ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Ì·˜ ÁÈ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ÔÈ ÁÓÒÛÂȘ Ì·˜ ‰ÂÓ ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Ï¤ÔÓ ÛÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË Î·È ÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, ·ÏÏ¿ ıÂÌÂÏÈÒÓÔÓÙ·È Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ‚·ÛÈΤ˜ Î·È ·Ï¤˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ (Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù·), ·fi ÙȘ Ôԛ˜ Û˘Ó¿ÁÔÓÙ·È Ì ÏÔÁÈÎÔ‡˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÔÈ Û˘Ó¤ÂȤ˜ ÙÔ˘˜. A˘Ù‹ Ë Û˘ÛÙËÌ·ÙÔÔ›ËÛË Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ıÂÌÂÏȈ̤ÓË Î·È ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈ΋ ÁÓÒÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, Ë ÔÔ›·, ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË Î·È ÙËÓ Ê·ÓÙ·Û›·, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘ÌÂ Î·È Ó· ·ÏËı‡ÛÔ˘Ì Ӥ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. H ÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È, fiˆ˜ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi, ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ (¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ÁˆÓÈÒÓ, ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ, ·ÎψÓ, ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ, Î˘Ï›Ó‰ÚˆÓ, ÛÊ·ÈÚÒÓ Î.Ï.) Î·È ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ Î·È Ù˘ Û‡ÌÙˆÛ˘. H ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ Á›ÓÂÙ·È ÓÔÂÚ¿ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÏÔÁÈÎÒÓ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÒÓ Î·È Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ, ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ‰‡Ô Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, Ó· Û˘ÌÂÚ¿ÓÔ˘Ì ÙË Û‡ÌÙˆÛË ÙˆÓ ˘fiÏÔÈˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Î·È ÙÂÏÈο ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ™ÙËÓ ¶Ú·ÎÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Ë ‰È·‰Èηۛ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ Î·È Û‡ÌÙˆÛ˘ ‰ÂÓ ‹Ù·Ó Û˘Ó¤ÂÈ· ÏÔÁÈÎÒÓ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÒÓ, ·ÏÏ¿ ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· ÔÙÈ΋˜ ·ϋı¢Û˘, Ô˘ Â›Ó·È ˘ÔÎÂÈÌÂÓÈ΋ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·. °È· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì .¯. ÛÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ∧
∧
AB = ¢E, B A° = E ¢ Z Î·È A° = ¢Z Â›Ó·È ›Û·, ÛÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ÌÂÙ·ÙÔ›˙Ô˘Ì ÓÔÂÚ¿ ÙÔ AB° Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ¿Óˆ ÛÙË ¢ Î·È ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿
∆Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜
3
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1
AB ¿Óˆ ÛÙË ¢E. TfiÙÂ ➧
➧
Ë ÎÔÚ˘Ê‹ B Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ E, ÂÂȉ‹ ·˘Ùfi Â›Ó·È Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È ¢E. Ë ÏÂ˘Ú¿ A° ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢Z, ÂÂȉ‹ ·˘Ùfi Â›Ó·È Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ.
➧
Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ Z. A˘Ùfi Â›Ó·È Û˘Ó¤ÂÈ· Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ A° Î·È ¢Z.
➧
Ë ÏÂ˘Ú¿ B° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ EZ, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó Ù· ›‰È· ¿ÎÚ·, ÔfiÙ B° = EZ. A˘Ùfi ›ӷÈ, ¿ÏÈ, Û˘Ó¤ÂÈ· Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.
A
B
° ¢
E
Z
™˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÔÙÈ΋ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ‹ ̤ÙÚËÛË Ì ÙÔÓ ¯¿Ú·Î·. ŒÓ· Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ‰›Ô ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙˆÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ. ™’ ·˘Ù¿ Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ηٷÛ΢‹˜ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ (.¯. ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘) ¯ˆÚ›˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, ·ÏÏ¿ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ıÂÌÂÏȈ‰ÒÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ, fiˆ˜ Â›Ó·È Ë ¯¿Ú·ÍË Â˘ıÂÈÒÓ Î·È Î‡ÎψÓ. °È· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·ÔÎÏÂÈÛÙÈο ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈο fiÚÁ·Ó·, ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· (·‚·ıÌÔÏfiÁËÙÔ˜ ¯¿Ú·Î·˜) ÁÈ· ÙË ¯¿Ú·ÍË Â˘ıÂÈÒÓ Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ÁÈ· ÙË ¯¿Ú·ÍË Î‡ÎÏˆÓ ‹ ÙË ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ Î·È ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÈÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÙÚfiÔ˘˜ ηٷÛ΢‹˜ ÔχÏÔÎˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· Ë ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Â›Ó·È ·Ô‰Â‰ÂÈÁ̤ÓË. H ηٷÛ΢‹, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÚfiÙ·ÛË (fiÚÈÛÌ· 3.3.):
H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∧
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ ıˆÚԇ̠‰‡Ô ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OA Î·È OB. TfiÙÂ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ O‰ ı· Â›Ó·È Ë ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ OAB Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi Ë Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ¢ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ÛÙË ¯¿Ú·ÍË Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ O¢. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ¿ Ì·˜ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ¢ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Â‰Ò Ù˘ ‚¿Û˘ AB ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ OAB. Ÿˆ˜ ı·
4
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EI™A°ø°H ™THN EYK§EI¢∂IA °EøMETPIA
1.2.
£EøPIA ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ (‚Ï. ¨3.7.), ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È, ÙÂÏÈο, ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ÙÔ˘ AB. ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‰È·‰Èηۛ·, fiˆ˜ ‚Ï¤Ô˘ÌÂ, ‰ÂÓ Á›ÓÔÓÙ·È ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈ· ‹ ¯¿Ú·Î˜, ·ÏÏ¿ ·ÍÈÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Î·È Á›ÓÂÙ·È ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË.
1.2. πÛÙÔÚÈ΋ ·Ó·‰ÚÔÌ‹ ÛÙË Á¤ÓÓËÛË Î·È ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ϤÍË «ÁˆÌÂÙÚ›·», Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·, ÛËÌ·›ÓÂÈ ÂÙ˘ÌÔÏÔÁÈο «Ì¤ÙÚËÛË Ù˘ Á˘», ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ Û·Ê¤Ûٷٷ fiÙÈ Ô ÎÏ¿‰Ô˜ ·˘Ùfi˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÊÂÙËÚ›· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ¤ıÂÙÂ Ë ÂÎÌÂÙ¿ÏÏ¢ÛË Î·È Ë ‰È·ÓÔÌ‹ Ù˘ Á˘. AÚ¯·›ÔÈ Ï·Ô›, fiˆ˜ ÔÈ B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ Î·È ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ, ›¯·Ó ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ÔÏϤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ÁÓÒÛÂȘ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Û·Ó Î˘Ú›ˆ˜ ˙ËÙ‹Ì·Ù· ¯ˆÚÔı¤ÙËÛ˘ Î·È Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛ˘. OÈ ÁÓÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ›¯·Ó ÙÔ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· «Ù¯ÓÈÎÒÓ Ô‰ËÁÈÒÓ» ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È fiÁΈÓ, ÔÈ Ôԛ˜ Èı·Ófiٷٷ ÂÈÓÔ‹ıËÎ·Ó Ì¤Û· ·fi Ú·ÎÙÈΤ˜ ‰È·‰Èηۛ˜ ηٿÙÌËÛ˘ Î·È ·Ó·Û‡ÓıÂÛ˘ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. H «ÌÂÁ¿ÏË ¤ÎÚËÍË» ÛÙË ‰È‡ڢÓÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÁÓÒÛÂˆÓ Î·È È‰È·›ÙÂÚ· ÛÙÔÓ ÙÚfiÔ ÌÂϤÙ˘ ÙÔ˘˜ ¤ÁÈÓ ÛÙËÓ ·Ú¯·›· EÏÏ¿‰· Ì ·ÊÂÙËÚ›· ÙÔ ¤ÚÁÔ ÊÈÏÔÛfiʈÓ, fiˆ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ·fi ÙË M›ÏËÙÔ Ù˘ M. AÛ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ· ·fi ÙË ™¿ÌÔ (ÂÚ›Ô˘ 600-500 .X.). H Û‡˙¢ÍË ÙˆÓ ÂÌÂÈÚÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÁÓÒÛÂˆÓ Ì ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ÊÈÏÔÛÔÊ›· ¤ÊÂÚ ÛÙÔ ÚÔÛ΋ÓÈÔ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÏÔÁÈ΋˜ ıÂÌÂÏ›ˆÛ˘ Î·È Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ··›ÙËÛË Ó· ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ÔÈ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÁÂÓÈÎfi ÙÚfiÔ Î·È Ó· ÙÂÎÌËÚÈÒÓÂÙ·È Ë ·Ï‹ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ Ì ÏÔÁÈÎÔ‡˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜, ¤¯ÔÓÙ·˜ ˆ˜ ·ÊÂÙËÚ›· ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ·ÍÈÒÌ·Ù·. A˘Ù‹ Ë ÂͤÏÈÍË ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ÌÈ·Ó ÈÛ¯˘Ú‹ ÂÚ¢ÓËÙÈ΋ ·Ú¿‰ÔÛË, Ì ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÁÓÒÚÈÛÌ· ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÈÊ·ÓÒÓ ÂÚ¢ÓËÙÒÓ Ô˘ ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·Ó Ì ÙË ÌÂϤÙË ÛËÌ·ÓÙÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ˙ËÙËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÙË ÌÂÙ¿‰ÔÛË ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ÁÓÒÛÂˆÓ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘˜. AӷʤÚÔ˘Ì ÂÓ‰ÂÈÎÙÈο ÙÔ ˙‹ÙËÌ· Ù˘ ·Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÎˆÓÈÎÒÓ ÙÔÌÒÓ Î·ıÒ˜ Î·È Ù·
∏
πÛÙÔÚÈ΋ ·Ó·‰ÚÔÌ‹ ÛÙË Á¤ÓÓËÛË Î·È ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜
£·Ï‹˜
¶˘ı·ÁfiÚ·˜
5
£EøPIA ÂÚ›ÊËÌ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙÚȯÔÙfiÌËÛ˘ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·‚Ô˘, Ù· ÔÔ›· ··Û¯fiÏËÛ·Ó ÙÔ˘˜ ÂÚ¢ÓËÙ¤˜ ÁÈ· ÔÏÏÔ‡˜ ·ÈÒÓ˜. I‰È·›ÙÂÚË ¿ÓıËÛË ÁÓÒÚÈÛÂ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤Ú¢ӷ ÛÙÔ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ Ù˘ «Aη‰ËÌ›·˜», Ô˘ ›‰Ú˘ÛÂ Ô ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ ¶Ï¿ÙˆÓ ÛÙËÓ Aı‹Ó· ÙÔ 387 .X. Î·È ÛÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô Ù˘ ÔÔ›·˜ ˘‹Ú¯Â Ë ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ÂÈÁÚ·Ê‹ «Ìˉ›˜ ·Áˆ̤ÙÚËÙÔ˜ ÂÈÛ›Ùˆ». M ÙÔÓ ¶Ï¿ÙˆÓ· Î·È ÙËÓ «Aη‰ËÌ›·» (Ô˘ ÏÂÈÙÔ‡ÚÁËÛ ˆ˜ ÙÔ 529 Ì. X.) Û˘Ó‰¤ıËÎ·Ó ÌÂÁ¿ÏÔÈ Áˆ̤ÙÚ˜ ·’ fiÏÔ ÙÔÓ ÂÏÏËÓfiʈÓÔ ÎfiÛÌÔ, fiˆ˜ Ô £Âfi‰ˆÚÔ˜ ·fi ÙËÓ K˘Ú‹ÓË Ù˘ B. AÊÚÈ΋˜, Ô AÚ¯‡Ù·˜ ·fi ÙÔÓ T¿Ú·ÓÙ· Ù˘ K¿Ùˆ IÙ·Ï›·˜, Ô §Âˆ‰¿Ì·˜ ·fi ÙË £¿ÛÔ, Ô E‡‰ÔÍÔ˜ ·fi ÙËÓ KÓ›‰Ô Ù˘ M. AÛ›·˜, Ô £Â·›ÙËÙÔ˜ ·fi ÙËÓ Aı‹Ó· Î·È ÔÏÏÔ› ¿ÏÏÔÈ. ŒÓ·˜ ·’ ·˘ÙÔ‡˜ ‹Ù·Ó Èı·Ófiٷٷ Î·È Ô E˘ÎÏ›‰Ë˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤˙ËÛ ÛÙËÓ AÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ÙÔ˘ ‚·ÛÈÏÈ¿ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘ ÙÔ˘ Aã ‰ËÏ·‰‹ ÂÚ›Ô˘ ÙÔ 330-275 .Ã. O E˘ÎÏ›‰Ë˜ Û˘Ó¤ıÂÛ ¤Ó· ÌÂÁ·ÏÂÈ҉˜ ¤ÚÁÔ, Ù· «™ÙÔȯ›·», ÛÙÔ ÔÔ›Ô Û˘ÁΤÓÙÚˆÛÂ, ÙÂÏÂÈÔÔ›ËÛÂ Î·È ·ÚÔ˘Û›·Û Ì ¿„ÔÁÔ ÙÚfiÔ ¤Ó· ÌÂÁ¿ÏÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÁÓÒÛÂˆÓ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÙÔ˘. TÔ ¤ÚÁÔ ·˘Ùfi ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 13 ‚È‚Ï›·Ø Ù· ¤ÍÈ ÚÒÙ· ·ÊÈÂÚÒÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÂȉÔÌÂÙÚ›·, ÙÔ 7Ô, 8Ô Î·È 9Ô ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔÓÙ·È Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·), ÙÔ 10Ô ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ ÌÂÁÂıÒÓ Î·È Ù· ÙÚ›· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÛÙË ÛÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·. TÔ 1Ô ‚È‚Ï›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ˆ˜ ·ÊÂÙËÚ›· Ù· «·ÈÙ‹Ì·Ù·» Î·È ÙȘ «ÎÔÈÓ¤˜ ¤ÓÓÔȘ», ‰ËÏ·‰‹ ÙȘ ·Ó·fi‰ÂÈÎÙ˜ ·Ú¯¤˜ ÛÙȘ Ôԛ˜ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È Ë ÏÔÁÈ΋ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ÁˆÌÂÙÚ›·˜:
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1
∂˘ÎÏ›‰Ë˜
AÈÙ‹Ì·Ù· 1. 2. 3. 4. 5.
\∏ÈÙ‹Ûıˆ àfi ·ÓÙfi˜ ÛËÌ›Ԣ â› ÄÓ ÛËÌ›ÔÓ Âéı›·Ó ÁÚ·ÌÌ‹Ó àÁ·ÁÂÖÓ. K·› ÂÂÚ·Ṳ̂ÓËÓ Âéı›·Ó ηٿ Ùfi Û˘Ó¯¤˜ â’ Âéı›·Ó â΂·ÏÂÖÓ. K·› ·ÓÙ› ΤÓÙÚˆ Î·È ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÈ Î‡ÎÏÔÓ ÁÚ¿ÊÂÛı·È. K·È ¿Û·˜ Ù¿˜ çÚı¿˜ ÁˆÓ›·˜ úÛ·˜ àÏϋϷȘ ÂrÓ·È. K·› â¿Ó Â\Ș ‰‡Ô Âéı›·˜ ÂéıÂÖ· âÌ›ÙÔ˘Û· Ù¿˜ âÓÙfi˜ η› â› Ù¿ ·éÙ¿ ̤ÚË ÁˆÓ›·˜ ‰‡Ô çÚıáÓ âÏ¿ÛÛÔÓ·˜ ÔÈ÷‹, â΂·ÏÏÔ̤ӷ˜ Ù¿˜ ‰‡Ô ‡ı›·˜ â’ ôÂÈÚÔÓ Û˘Ì›ÙÂÈÓ, âÊ’ ± ̤ÚË ÂåÛ›Ó ·î ÙáÓ ‰‡Ô çÚıáÓ âÏ¿ÛÛÔÓ˜. KÔÈÓ¤˜ ¤ÓÓÔȘ
1. 2. 3. 4. 5.
6
T¿ Ùˇá ·éÙá úÛ· η› àÏÏ‹ÏÔȘ âÛÙ›Ó úÛ·. K·› â¿Ó úÛÔȘ úÛ· ÚÔÛÙÂı÷É, Ù¿ ¬Ï· âÛÙ›Ó úÛ·. K·› â¿Ó àfi úÛˆÓ úÛ· àÊ·ÈÚÂı÷É, Ù¿ ηٷÏÂÈfiÌÂÓ· öÛÙÈÓ úÛ·. K·› Ù¿ âÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ· â’ ôÏÏËÏ· úÛ· àÏÏ‹ÏÔȘ âÛÙ›Ó. K·› Ùfi ¬ÏÔÓ ÙÔÜ Ì¤ÚÔ˘˜ ÌÂÖ˙fiÓ âÛÙÈÓ.
EI™A°ø°H ™THN EYK§EI¢∂IA °EøMETPIA
£EøPIA
1.2.
T· ÙÚ›· ÚÒÙ· ·ÈÙ‹Ì·Ù· ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ηٷÛ΢‹˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ù˘ ÚÔ¤ÎÙ·Û˘ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Î·È Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì ‰Ôı¤Ó ΤÓÙÚÔ Î·È ‰Ôı›۷ ·ÎÙ›Ó·. ŒÙÛÈ, ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È, ¤ÌÌÂÛ·, Ë ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË ÛÙȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜, ¤Ó·˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ıÂÌÂÏÈ҉˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. H E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·, fiˆ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙ· «™ÙÔȯ›·», ˘‹ÚÍ ÁÈ· ÔÏÏÔ‡˜ ·ÈÒÓ˜ Ë ‚¿ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ÛÙËÚ›¯ÙËÎÂ Ë ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ÙˆÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ ÙÔ˘˜ Û ¿ÏϘ ÂÈÛً̘. O AÚ¯ÈÌ‹‰Ë˜ ·fi ÙȘ ™˘Ú·ÎÔ‡Û˜ Ô˘ ¤Ï˘Û ‰‡ÛÎÔÏ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È fiÁΈÓ, Ô AÔÏÏÒÓÈÔ˜ ·fi ÙËÓ ¶¤ÚÁË Ô˘ ÌÂϤÙËÛ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÎˆÓÈÎÒÓ ÙÔÌÒÓ, Ô ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˜ Î·È Ô Ì˯·ÓÈÎfi˜ ◊ÚˆÓ ·fi ÙËÓ AÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· ÁÓÒÚÈ˙·Ó fiÏÔÈ Û ‚¿ıÔ˜ ÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ·Ó Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ÛÙ· ¤ÚÁ· ÙÔ˘˜. ∆ËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ÙÔ˘ µ˘˙·ÓÙ›Ô˘ ÔÈ Û¯ÔÏÈ·ÛÙ¤˜ Î·È ÔÈ ·ÓÙÈÁÚ·Ê›˜ ‰È·Ù‹ÚËÛ·Ó ÙËÓ ÎÏËÚÔÓÔÌÈ¿ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ̤¯ÚȘ fiÙÔ˘ ·˘Ù‹, ·Ú¯Èο ̤ۈ ÙˆÓ ∞Ú¿‚ˆÓ Î·È Î·ÙfiÈÓ ·Â˘ı›·˜, ÌfiÚÂÛ ӷ ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙË ¢‡ÛË. ∫·Ù¿ ÙËÓ ∂˘Úˆ·˚΋ ∞Ó·Á¤ÓÓËÛË Î·È ÙÔ˘˜ ¡ÂfiÙÂÚÔ˘˜ ÃÚfiÓÔ˘˜ Ë ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ÏÔ˘Ù›ÛÙËΠ̠ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi Ó¤ˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Û·Ó ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. T· ¤ÚÁ· ·˘Ù¿ ‰ÈÂ‡Ú˘Ó·Ó ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ, ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Î·È Ô‰‹ÁËÛ·Ó Û Ӥ· ‰›· ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ Î·È ÛÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›·˜ Ó¤ˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÎÏ¿‰ˆÓ, fiˆ˜ Ë ÕÏÁ‚ڷ Î·È Ô ¢È·ÊÔÚÈÎfi˜ & OÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi˜ §ÔÁÈÛÌfi˜. A˘Ù¿ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ·Ó Ó¤Ô˘˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, fiˆ˜ ÙËÓ AÓ·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙË ¢È·ÊÔÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ ¶ÚÔ‚ÔÏÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Î.Ï. OÈ Ó¤Â˜ ÂÍÂÏ›ÍÂȘ ÂÚÈfiÚÈÛ·Ó ‚·ıÌÈ·›· ÙÔ ÚfiÏÔ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ̤۷ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÁÓÒÛˆÓ, ·ÏÏ¿ Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÍ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ӷ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ÚfiÙ˘Ô ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋˜ ÛΤ„˘ Î·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÛÔ ÁÈ· ÙË Ì‡ËÛË Û’ ·˘Ù‹Ó. O Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ Ù˘ ÏÔÁÈ΋˜ Û˘Ó¤ÂÈ·˜ Ô˘ ··ÈÙÔ‡Ó ÔÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Ì ÙËÓ ÂÔÙ›· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ·Ó¤‰ÂÈÍ·Ó ÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· Û’ ¤Ó· ‚·ÛÈÎfi ·È‰·ÁˆÁÈÎfi Î·È ‰È‰·ÎÙÈÎfi ÂÚÁ·ÏÂ›Ô Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÙËÓ ·Í›· ÙÔ˘ ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·. H Ì¿ıËÛË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÚfiÎÏËÛË ÁÈ· ÙÔ Ó‡̷, ÂÂȉ‹ ··ÈÙ› ı¤ÏËÛË, ÚÔÛ¿ıÂÈ· Î·È ÂÈÌÔÓ‹. H ηٿÎÙËÛ‹ Ù˘ fï˜ ‰›ÓÂÈ Û οı ¿ÓıÚˆÔ ÙËÓ ÈηÓÔÔ›ËÛË ÂÓfi˜ ÚÔÛˆÈÎÔ‡ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ‡ ¿ıÏÔ˘. Ÿˆ˜
πÛÙÔÚÈ΋ ·Ó·‰ÚÔÌ‹ ÛÙË Á¤ÓÓËÛË Î·È ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜
7
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1
·Ó·Ê¤ÚÂÈ Ô ¶ÚfiÎÏÔ˜, fiÙ·Ó Ô ‚·ÛÈÏÈ¿˜ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˜ ˙‹ÙËÛ οÔÙ ·fi ÙÔÓ E˘ÎÏ›‰Ë ¤Ó· Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚÔ ÙÚfiÔ ·fi Ù· «™ÙÔȯ›·» ÁÈ· Ó· Ì¿ıÂÈ °ÂˆÌÂÙÚ›·, Ë ·¿ÓÙËÛË ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ Áˆ̤ÙÚË ‹Ù·Ó ηÙËÁÔÚËÌ·ÙÈ΋:
«¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ‚·ÛÈÏÈ΋ Ô‰fi˜ ÁÈ· ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›·»
¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Û ·ÁÁÂ›Ô Ù˘ ÎÏ·ÛÈ΋˜ ÂÚÈfi‰Ô˘
8
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∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
2
∆· ‚·ÛÈο °ÂˆÌÂÙÚÈο ™¯‹Ì·Ù· ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ȉȷ›ÙÂÚË ÚÔÛÔ¯‹ ÂÂȉ‹ ı· Ì˘Ëıԇ̠ÛÙÔÓ ÙÚfiÔ ·Ó¿Ù˘Í˘ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ı· οÓÔ˘Ì ÌÈ· ÚÒÙË ÁÓˆÚÈÌ›· Ì ٷ ‚·ÛÈο ıˆÚËÙÈο ÂÚÁ·Ï›· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ›, fiˆ˜ ›ӷÈ: ·) ÔÈ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ‚) Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· Á) ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› ‰) Ù· ıˆڋ̷ٷ Î·È ÔÚ›ÛÌ·Ù· Â) ÔÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÛÙ) ÔÈ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› ÙfiÔÈ ˙) ÔÈ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË
√È ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
9
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
2.1. √È ¶ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ŒÓÓÔȘ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ·Ú¯›˙ÂÈ Ì ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌ›Ô, Ë Â˘ı›· Î·È ÙÔ Â›Â‰Ô, ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ ÙȘ ÔÚ›˙Ô˘Ì Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ¿ÏψÓ. ∂›Û˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È Û¯¤ÛÂȘ ÌË ÔÚÈ˙fiÌÂÓ˜, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ. ∞ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó ÙȘ ÌË ÔÚÈ˙fiÌÂÓ˜ Û¯¤ÛÂȘ Î·È ¤ÓÓÔȘ, Ù· ÔÔ›· ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Î·È ÌfiÓÔ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ÔÈ ÚÒÙ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ (ıˆڋ̷ٷ) Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∆· ÚÒÙ· ıˆڋ̷ٷ, ÏÔÈfiÓ, Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È ÏÔÁÈο Û˘ÌÂÚ¿Û·Ù· ÙˆÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ ÂÓÒ ÔÈ ÚÒÙÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ. ¶ÔÏÏ¿ ·fi Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙËÓ ÂÌÂÈÚ›· Ì·˜ Î·È ÙȘ ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·:
H
¢ı›· ÛËÌ›Ô
›‰Ô
›‰Ô
(A.1) Afi ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÈ· ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·. (A.2) °È· οı ¢ı›· ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û’ ·˘Ù‹. (A.3) K¿ı ¢ı›· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ· ÛËÌ›· Î·È ÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· Î·È ÚÔ˜ ÙȘ ‰‡Ô ηÙ¢ı‡ÓÛÂȘ ¯ˆÚ›˜ ÎÂÓ¿. ™ËÌ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘Ó¢ıÂȷο. TÔ ÚÒÙÔ ·Í›ˆÌ· ÂȂ‚·ÈÒÓÂÈ ·˘Ùfi Ô˘ οӷÌ ÛÙËÓ ¶Ú·ÎÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÙÔ ıˆÚԇ̠·˘ÙÔÓfiËÙÔ: ÌÔÚԇ̠ӷ ۯ‰ȿÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ “‚Ï¤Ô˘Ì” fiÙÈ ÂÚÓ¿ ·fi Ù· ‰‡Ô ÛËÌ›·. EÈϤÔÓ fï˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë Â˘ı›· ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋, οÙÈ Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÌÂ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ (¤¯ÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÌfiÓÔ fiÙÈ ·˘Ùfi ÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô Î·È ÂΛÓÔ Â˘ı›·). AÓ¿ÏÔÁ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· Ù· ¿ÏÏ· ‰‡Ô ·ÍÈÒÌ·Ù·. H ‰˘ÛÎÔÏ›· Ó· ηٷÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÚfiÏÔ ÙˆÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ·fi ÙËÓ ¶Ú·ÎÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÚÔÛÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Û˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÙȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Û¯¤ÛÂȘ Î·È ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ıˆÚԇ̠·˘ÙÔÓfiËÙ· fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó. T· ÛËÌ›· Î·È ÙȘ ¢ı›˜ ı· Ù· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ÎÂÊ·Ï·›· Î·È Â˙¿ ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
10
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.2.
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2.2. ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ∆Ì‹Ì· 2.2.1. HÌÈ¢ı›· - HÌÈÂ›Â‰Ô - E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
ª
M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ÛËÌ›Ô, ¢ı›· Î·È Â›Â‰Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ËÌÈ¢ı›·, ËÌÈ›‰Ô, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·.
K¿ı ÛËÌÂ›Ô A ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ Ì ÊÔÚ¤· ÙËÓ Â Î·È ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. K¿ı ÌÈ· ·fi ·˘Ù¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙÈΛÌÂÓË ËÌÈ¢ı›· ‹ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¿ÏÏ˘. H ·Ú¯‹ ÙˆÓ ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜. AÓ B Â›Ó·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜, ÙfiÙÂ Ë ËÌÈ¢ı›· ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ B ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ËÌÈ¢ı›· AB. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÌÈ· ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi Û ‰‡Ô ËÌÈ›‰·. H ¢ı›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÌ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ËÌÈÂȤ‰ˆÓ, ÂÓÒ Î·ı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. E›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ·ÎÌ‹˜ Â›Ó·È Ù· ÌÔÓ·‰Èο ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ‰‡Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓˆÓ ËÌÈÂȤ‰ˆÓ.
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O P I ™ M √ ™ £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘ A Î·È Â
B. TÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· A, B Î·È fiÏ· Ù· ÛËÌ›· Ù˘  Ԣ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ¿ ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ÊÔÚ¤· ÙËÓ Â Î·È ¿ÎÚ· Ù· A, B Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì AB ‹ BA. K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ¿ÎÚ· (Ì ÙÔÓ fiÚÔ «·Ó¿ÌÂÛ·» ‰ÂÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Ù· ¿ÎÚ·) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
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B
™XO§IO:
™ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ A Î·È B ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÏ· ÛËÌ›·. A˘Ùfi, fï˜, ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¤ÂÈ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÛÙËÓ ¨2.1.Ø ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘ÌÂ Î·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ·Í›ˆÌ·: AÓ A, B Â›Ó·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›· ÛËÌ›· K, §, M, ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ·fi Ù· A, B, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ § ·Ó‹ÎÂÈ ÙfiÛÔ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· AB, fiÛÔ Î·È ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· BA, ÙÔ K ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ·ÓÙÈΛÌÂÓË ËÌÈ¢ı›· Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ AB ηÈ, Ù¤ÏÔ˜, ÙÔ M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ·ÓÙÈΛÌÂÓË ËÌÈ¢ı›· Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ BA. TÔ ÛËÌÂ›Ô § ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂӉȿÌÂÛÔ ÛËÌÂ›Ô ÙˆÓ A Î·È B ‹ ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È ·Ó¿ÌÂÛ¿ ÙÔ˘˜.
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11
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
ŒÓ· ¿ÏÏÔ «ÚÔÊ·Ó¤˜» ÁÂÁÔÓfi˜, ÙÔ ÔÔ›Ô, fï˜, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÌÂ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ·fi Ù· ̤¯ÚÈ ÙÒÚ· ϯı¤ÓÙ·, ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ·Í›ˆÌ·: AÓ Â Â›Ó·È ÌÈ· ¢ı›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Î·È P, T Â›Ó·È ‰‡Ô ÛËÌ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ËÌÈ›‰· Ì ·ÎÌ‹ ÙËÓ Â, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÂӉȿÌÂÛÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ PT Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·.
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2.2.2. ™‡ÁÎÚÈÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ OPI™M√™
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È °¢. MÂÙ·ÙÔ›˙Ô˘Ì ÙÔ AB Î·È ÙÔ ÙÔÔıÂÙԇ̠¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· °¢ ηٿ Ù¤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ °. °È· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô B Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù¤˜ ÔÈ ı¤ÛÂȘ: ñ
TÔ ÛËÌÂ›Ô B Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ¢. TfiÙ ϤÌ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì AB = °¢.
ñ
TÔ ÛËÌÂ›Ô B Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ ° Î·È ÙÔ ¢. TfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ AB Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ °¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì AB < °¢.
ñ
TÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ A Î·È ÙÔ B. TfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ AB Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ °¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì AB > °¢.
¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÓÈÛ·.
µ ∞ ∞
µ
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¢
∞
µ
°
°
¢
∞µ < °¢
∞
∞µ = °¢
µ ¢
∞µ > °¢
¶POB§HMA 2.1. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ›ÛÔ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. K·Ù·Û΢‹: ŒÛÙˆ AB ÙÔ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. M ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Â. ¶¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Î·È ıˆÚԇ̠ÙË ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ ÛËÌ›Ô, ¤ÛÙˆ ÙË °¯. TÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ Ó· ·ÎÔ˘Ì¿ ÛÙÔ A Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ÛÙÔ B. ¢È·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË ÛÙ·ıÂÚfi, ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ÛÙÔ ° Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ ¿ÏÏÔ ¿ÎÚÔ Û˘Ó·ÓÙ¿ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· °¯. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ ›ӷÈ, ÚÔÊ·ÓÒ˜, ›ÛÔ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB.
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2.2.
£EøPIA OPI™M√™
M¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ M Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ AM = MB. T· ÛËÌ›· A Î·È B ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ M. ¢Â¯fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ·Í›ˆÌ· fiÙÈ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ¤Ó· ̤ÛÔ. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 (¨3.7.) ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‡ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË.
M A
B
¶Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ G ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰È·‰Ô¯Èο, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ¿ÎÚÔ, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌ›Ô.
µ
°
A
G £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È °¢. ¶¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·  ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· K§ = AB Î·È §M = °¢. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KM (Î·È Î¿ı ›ÛÔ ÚÔ˜ ·˘Ùfi) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È:
µ °
A K§ = ∞µ
∫
KM = AB + °¢
¢
§ª = °¢
§
ª
∫ª = ∞µ + °¢
°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÒÙˆÓ ÙÔ 3Ô, ÛÙÔ Ó¤Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙÔ 4Ô Î.Ô.Î. G £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Î·È ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ó. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KM Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· Ó Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÚÔ˜ ÙÔ AB ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ó Ì ÙÔ ∞µ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È:
A ∫
M ∫ª = 5 Ø ∞µ ∞µ = 1 KM 5
KM = Ó Ø AB
A
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌÂ, ›Û˘, fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KM Â›Ó·È ÙÔ Ó-Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ AB ‹ fiÙÈ ÙÔ AB Â›Ó·È ÙÔ ¤Ó· Ó-ÔÛÙfi ÙÔ˘ KM Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: 1 KM AB = Ø KM ‹ AB = Ó Ó
∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
µ
∫
µ
E
Z
M
EZ = 3AB EZ = 3 KM 5
13
£EøPIA AÓ ÙÒÚ· EZ Â›Ó·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙÂ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
Î
1 EZ = Î Ø AB, ‰ËÏ·‰‹ EZ = Î Ø Ø KM, Ó Î ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ EZ Â›Ó·È Ù· -ÔÛÙ¿ ÙÔ˘ KM Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: Ó Î Î Ø KM EZ = Ø KM ‹ EZ = Ó Ó TÔ EZ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ›Û˘, ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ÚËÙÔ‡ Î ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KM. Ó ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Û¯‹Ì· ‚Ï¤Ô˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È Ó = 5 Î·È Î = 3. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 (¨5.3.) ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÂ Ó ›Û· ̤ÚË Ì ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. G £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È °¢ Ì AB > °¢. ¶¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·  ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· K§ = AB Î·È KM = °¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ M Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· K§. EÂȉ‹ KM < K§, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· K Î·È §. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· M§ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È:
µ ∞
° ¢ ∫
M
§ Â
M§ = ∫§–∫ª = ∞µ–°¢
M§ = AB – °¢
¶APATHPH™H: °È· ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÔÚ›Û·Ì ·Ú·¿Óˆ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÌÂٷ͇ ·ÚÈıÌÒÓ, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·:
14
ñ
AÓ Û ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.
ñ
AÓ ·fi ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î.Ô.Î.
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.2.
£EøPIA
2.2.3. M‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜- AfiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ M¤ÙÚËÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ M¤ÙÚËÛË ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛ‹ ÙÔ˘ Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· OX ÙÔ ÔÔ›Ô Î ÂÎϤÁÂÙ·È ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· (ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·). AÓ Ó Â›Ó·È ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÁÈ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È OX ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· Î AB = Ø OX, Ó ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ AB, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô OX, Â›Ó·È Î Î Ï . AÓ Ô ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È = Ì + , fiÔ˘ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ó Ó Ó Î·È Ï < Ó, ÙfiÙÂ Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÈÛfiÙËÙ· ÁÚ¿ÊÂÙ·È
°È· ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·: ∞µ.
Î Ï AB = Ø OX = Ì Ø OX + Ø OX, Ó Ó Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ì Ï ÌÔÓ·‰È·›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ·fi -ÔÛÙ¿ ÙÔ˘ OX. Ó 27 7 AÓ .¯. Â›Ó·È AB = Ø OX, ÙfiÙ AB = 2 Ø OX + Ø OX, ‰Ë10 10 Ï·‰‹ ÙÔ AB ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 2 ÌÔÓ·‰È·›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·7 Ù· Î·È ·fi ÙÔ˘ OX. ÕÚ· ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ÚËÙfi˜ ·ÚÈı10 27 Ìfi˜ = 2,7. 10 £ÂˆÚÔ‡ÌÂ Û˘Ì‚·ÙÈο fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0 (Ìˉ¤Ó) Â›Ó·È Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ¿ÎÚ· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ŒÓ· Ù¤ÙÔÈÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌˉÂÓÈÎfi (.¯. Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ›ÛˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·). ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 7 ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OX Î·È AB ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ï (fi¯È ··Ú·›ÙËÙ· ÚËÙfi˜), ÒÛÙ AB = Ï Ø OX, ÔfiÙ ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙÔ OX, ÙfiÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ AB Â›Ó·È Ï. H Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó ·Ú·¿Óˆ Ì ηı·Ú¿ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiÔ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ. ¢ËÏ·‰‹, ñ
›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ›Û· Ì‹ÎË,
∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
15
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ñ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜ Î.Ô.Î.
H ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ·˘Ù‹ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ·Ó ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Ú¿ÍË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ÌÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ Ú¿ÍË ÌÂٷ͇ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â›Û˘ Î·È ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ A, B.
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
AÓ A, B, °, ¢ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Ì AB = °¢, ÙfiÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ Î·È B° ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ M ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ B°. Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ AB = °¢ Î·È BM = M° ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ AB+ BM = °¢ + M°, ‰ËÏ·‰‹ AM = M¢. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ M Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Î·È ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ A¢. ™ËÌ›ˆÛË: N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ú·¿Óˆ ÚfiÙ·ÛË Î·È ÁÈ· ¿ÏÏË ÙÔÔı¤ÙËÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ A, B, °, ¢ Ù˘ ¢ı›·˜ Â.
2
A
B M
°
¢ Â
£ÂˆÚԇ̠ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· A, B, °, ¢ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ ª Î·È ¡ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ A° Î·È B¢ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ∞µ = · Î·È °¢ = ‚. §‡ÛË: ∂Âȉ‹ Ù· M Î·È N Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ A° Î·È B¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ¤¯Ô˘ÌÂ: A° B¢ AM = M° = Î·È BN = N¢ = . 2 2
A
B
°
M
¢ N
Â
H ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ M Î·È N Â›Ó·È B¢ A° 2AB+B¢–A° MN = AN – AM = (AB + BN) – AM = AB + – = . 2 2 2 ∂Í¿ÏÏÔ˘ µ¢ = µ° + °¢ Î·È ∞° = ∞µ + µ°, ÔfiÙ 1 1 1 ª¡ = (2∞µ + µ° + °¢ – ∞µ – µ°) = (∞µ + °¢) = (· + ‚). 2 2 2
16
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.1. - 2.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
M ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
4.
AB, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹5 Ì·ÙÔ˜ °¢ , fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ AB = °¢; 3
ÈÛ¯‡ÂÈ AB = · Î·È A° = ‚ Ì ·< ‚. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ B°;
5. 2.
°È· ÙÚ›· ÛËÌ›· A, B Î·È ° ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â
¶ÔȘ ËÌÈ¢ı›˜ Î·È ÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·;
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
A
·) AB, ‚) °¢, Á) EZ;
A °
B
6.
° Â
¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ÙÚfiÔÈ ÒÛÙ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È;
¢
7.
∏ ÁÚ·ÌÌ‹ ∞µ° ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞µ Î·È µ°;
Z
E
3.
B
Â′
AÓ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· K§ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È·›Ô,
B
ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
A
°
1 3 AB = 3K§ + K§ + K§ ; 10 100
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
3.
™¯Â‰È¿ÛÙ ¤ÓÙ ¢ı›˜ Ô˘ Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô, Î·È ·Ó¿ ÙÚÂȘ Ó· ÌË ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. ¶fiÛ· Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜; ™Â ÌÈ· ¢ı›·  ‰›ÓÔÓÙ·È Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢. AÓ M Î·È N Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È °¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 MN = (A° + B¢). 2
4.
ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο Î·È ÙÔ ° Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
£ÂˆÚԇ̠¤ÍÈ ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, Ù· ÔÔ›· ·Ó¿ ÙÚ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο. ¶fiÛ˜ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓ· ·Ó¿ ‰‡Ô;
AÓ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, B° Î·È °¢
√È ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
1 A° > A¢. 2
5.
AÓ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 10 Î·È M Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ 3 MA = MB, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘2 ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ MA Î·È MB.
6.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ M. AÓ O Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ MB, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 OM = (OA – OB). 2
17
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
¶fiÛ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È fiÛ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ó ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜;
2.
ŒÛÙˆ O ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB. AÓ ° Î·È ¢ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È OA, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ OB = 2°¢.
3.
ŒÛÙˆ M ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·5 ÙÔ˜ AB ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ MA = MB. AÓ ° 7 Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ MA Î·È ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MA, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 7 5 °M = °A + °B. 12 12
4.
¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, B° ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ AB < B°. AÓ M, N Î·È P Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB, B° Î·È °A, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· MN Î·È BP ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ.
5.
AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ° ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ AB, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 °M ≤ (°A + °B). 2
2.3. °ˆÓ›Â˜ 2.3.1. H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁˆÓ›·˜ TÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ O¯ Î·È O„ Ì ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÓ›· ̠Ϣڤ˜ ÙȘ O¯, O„ Î·È ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ O. ∧
„ µ √
H ÁˆÓ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ¯O„ Î·È ‰È·‚¿˙ÂÙ·È «ÁˆÓ›· ¯O„». AÓ A Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ O¯ Î·È B ÛËÌÂ›Ô Ù˘ O„, ÙfiÙ ÁÚ¿∧ ∧ ÊÔ˘ÌÂ, ›Û˘, A OB ‹ ·ÎfiÌË Î·È O (fiÙ·Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Û‡Á¯ÈÛË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜) .
§ ∞
¯
Ÿˆ˜ Ë Â˘ı›· ÔÚ›˙ÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ‰‡Ô ËÌÈ›‰·, ¤ÙÛÈ Î·È Ë ÁˆÓ›· ÔÚ›˙ÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ‰‡Ô ¯ˆÚ›·, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ¤Ó· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜. °È· Ó· ·ÔʇÁÔ˘Ì ·Û¿ÊÂȘ ηٿ ÙËÓ ·Ó·ÊÔÚ¿ Ì·˜ ÛÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ·˘Ù¤˜ ı· ÙȘ ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË ·ÎÚ›‚ÂÈ·: ∧
£ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯ O„ Î·È ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ O¯ã Î·È O„ã ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘. AÓ H1 Â›Ó·È ÙÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÎÌ‹ ÙËÓ ¯ã¯ Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ O„ Î·È H2 ÙÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÎÌ‹ ÙËÓ „ã„ Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Ï¢∧ Ú¿ O¯, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¯ O„ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÂΛÓÔ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ÙˆÓ ËÌÈÂȤ‰ˆÓ H1 Î·È H2, ¯ˆÚ›˜ Ù· ÛËÌ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ O¯ Î·È O„.
18
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∏1
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TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.3.
£EøPIA T· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙË ÁˆÓ›· Ô‡Ù ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜. H ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â˘ı›· ÁˆÓ›·. ø˜ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ·˘ı·›ÚÂÙ· ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ËÌÈ›‰· Ì ·ÎÌ‹ ÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘. ŸÙ·Ó ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ O¯ Î·È O„ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÌˉÂÓÈ΋ ÁˆÓ›· ÂΛÓË, Ô˘ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÛËÌ›Ô. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ ÌˉÂÓÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È fiÏÔ ÙÔ Â›Â‰Ô ÂÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ËÌÈ¢ı›·. TÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜, fiˆ˜ ÔÚ›ÛÙËÎÂ, Â›Ó·È Û‡ÓÔÏÔ Î˘ÚÙfi ‹ ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· ÙÔ˘ ı· ·Ó‹ÎÂÈ Û’ ·˘Ùfi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ. EÓÒ ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ÌË Â˘ı›˜ ÁˆÓ›Â˜, ‰ÂÓ Â›Ó·È Î˘ÚÙfi Û‡ÓÔÏÔ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ¿ÓÙÔÙ ے ·˘Ùfi. TÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ (¯ˆÚ›Ô) Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÌÈ· ÁˆÓ›· Î·È ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›·, ÂÓÒ Ë ÁˆÓ›· Î·È ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi Ù˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙË ÌË Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›·.
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2.3.2. ™‡ÁÎÚÈÛË ÁˆÓÈÒÓ ∧
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˙Ô˘Ì ÙËÓ Î ∞Ï Î·È ÙËÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠¿Óˆ ÛÙËÓ ¯ O„ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ AÎ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ O¯ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ÏÂ˘Ú¿˜. °È· ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AÏ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù¤˜ ÔÈ ÂÍ‹˜ ı¤ÛÂȘ: ➧ H ÏÂ˘Ú¿ AÏ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ O„. TfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ¯ O„ Î·È Î ∞Ï Â›Ó·È ›Û˜ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∧
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H ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, fiˆ˜ ÔÚ›ÛÙËÎÂ, Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ΢ÚÙÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÂÂȉ‹ ηٿ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ¤¯Ô˘Ì ۇÌÙˆÛË ÙˆÓ Â›Â‰ˆÓ ¯ˆÚ›ˆÓ. AÓ¿ÏÔÁ·, ∧ ∧ fiÙ·Ó Ë ÁˆÓ›· Î ∞Ï Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙË ¯ O„, ÙfiÙÂ Ë Î˘Ú∧ Ù‹ ÁˆÓ›· Î ∞Ï (ˆ˜ Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘) ÂÚȤ¯ÂÙ·È ∧ ÛÙËÓ Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›· ¯ O„.
E›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ ∧
¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯ O„ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· O‰ ∧ ∧ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ Î·È Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ „ O‰ = ‰ O¯. M ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ΢ÚÙ‹ ÁˆÓ›· Û ‰‡Ô ¿ÏϘ ›Û˜ ΢ÚÙ¤˜ ÁˆÓ›Â˜. ¢Â¯fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ·Í›ˆÌ· fiÙÈ Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ· ‰È¯ÔÙfiÌÔ. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 (¨3.7.) ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ηٷÛ΢‹˜ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Ì ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Ë Î¿ı ÌÈ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. EÂȉ‹ fiϘ ÔÈ Â˘ı›˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È fiϘ ÔÈ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. OÍ›· ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ÔÚı‹, ÂÓÒ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ÔÚı‹. „
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2.3.
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2.3.3. K¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜
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¢‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ΢ÚÙ¤˜ Áˆ∧ ∧ ∧ ∧ ӛ˜, ¯√„, „ √¯′, ¯′ √„′ Î·È „′ √¯. ∞Ó ÌÈ· ·’ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÚı‹, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ˜. °È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â Î·È ‰ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi Â⊥‰. Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜, ·ÏÏ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ ÌfiÓÔ ÌÈ·, Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ A‰ Ù˘ ¢ı›·˜ Áˆ∧ Ó›·˜ Â′ A (Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋), Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. E›Û˘, Î·È ·fi ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌfiÓÔ ÌÈ· οıÂÙË Â˘ı›· ‰ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. °È· Ó· ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·˘Ùfi, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ÂÍ‹˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi: AÓ O Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘  Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ‰, ÙfiÙ ÔÈ ∧ ∧ ÁˆÓ›Â˜ ‰ OÂ Î·È Â O‰′ Â›Ó·È ›Û˜ ˆ˜ ÔÚı¤˜. ¢ÈÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ Â›Â‰Ô Î·Ù¿ ÙËÓ Â˘ı›· Â, ÒÛÙ ٷ ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ËÌÈ›‰· Ó· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó. TfiÙÂ Ë ËÌÈ¢ı›· O‰ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ O‰′, ÂÂȉ‹ ÔÈ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, ÂÓÒ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A′ Ù˘ O‰′. AÓ ˘‹Ú¯Â Î·È ‰Â‡ÙÂÚË Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ A, Ë Â˘ı›· ËO′Ë′, ÙfiÙ Ì ÙË ‰›ÏˆÛË ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ηٿ ÙËÓ Â˘ı›·  ÙÔ A ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ ¿ÏÈ Ì ÙÔ Aã, ÙÔ ÔÔ›Ô fï˜ ı· ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙËÓ O′Ë′. ŒÙÛÈ, ·fi Ù· ‰‡Ô ÛËÌ›· A Î·È A′ ı· ÂÚÓÔ‡Ó ‰‡Ô ¢ı›˜, Ë ‰O‰′ Î·È Ë ËO′Ë′. A˘Ùfi, fï˜, ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ·Í›ˆÌ· (A.1).
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TËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Û ¢ı›· Ì ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË ı· ÙËÓ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 (¨3.7.). OÚı‹ ÚÔ‚ÔÏ‹ ‹ ›¯ÓÔ˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ A ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·  ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ A′ Ù˘ ¢ı›·˜  Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AA′ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ A ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â. MÂÛÔοıÂÙË ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â˘ı›·  Ԣ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ·˘Ùfi Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘. T· ÛËÌ›· A Î·È B ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. EÂȉ‹ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ¤Ó· ̤ÛÔ Î·È Ë Î¿ıÂÙË Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Â˘ı›·˜ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ· ÌÂÛÔοıÂÙË. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 (¨3.7.) ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ηٷÛ΢‹˜ Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. °ˆÓ›Â˜
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
H A¶O¢EIKTIKH ME£O¢O™ TH™ A¶A°ø°H™ ™E ATO¶O O ÙÚfiÔ˜ Ô˘ ÛÎÂÊًηÌ ·Ú·¿Óˆ ÁÈ· Ó· ÂÍËÁ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË ·fi ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ ¢ı›·, ·ÔÙÂÏ› ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· (̤ıÔ‰Ô Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡) Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Î·È ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ X. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ‹‰Ë ÁÓˆÛÙÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì Û ¿ÙÔÔ, ‰ËÏ·‰‹ ÛÂ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙ· ·ÍÈÒÌ·Ù· [¿ÙÔÔ: ·˘Ùfi Ô˘ ‰ÂÓ
¤¯ÂÈ ÙfiÔ, Â›Ó·È ·ÛÙ‹ÚÈÎÙÔ]. TfiÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ X ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ. ™ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ X ‹Ù·Ó «˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ‰Â‡ÙÂÚË Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ A ÛÙËÓ Â˘ı›· ». M ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ‰›ÏˆÛ˘ Î·È ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÈÛfiÙËÙ·˜ ÁˆÓÈÒÓ Ô‰ËÁËı‹Î·Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A Î·È AãÔÚ›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ¢ı›˜. A˘Ùfi, fï˜, ·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ·Í›ˆÌ· (A.1), ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ („¢‰¤˜).
¢ PA ™ T H P I OT H TA
2.1
H «Ì¤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ» ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ¤ÌÌÂÛ· Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ˙ˆ‹˜, ȉȷ›ÙÂÚ·, fiÙ·Ó ÂȯÂÈÚԇ̠ӷ ›ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÈ· ˘fiıÂÛË ‹ ¤Ó·˜ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ‰ÂÓ Â˘ÛÙ·ı›, ÂÂȉ‹ Ô‰ËÁ› Û ÏÔÁÈ΋ ·ÓٛʷÛË. ·) N· ‰ÒÛÂÙ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ù¤ÙÔÈˆÓ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÒÓ ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹. ‚) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙÂ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ, fiÙÈ, ·Ó Û ÌÈ· ÎÔÈÓˆÓÈ΋ ÂΉ‹ÏˆÛË Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó Ó ¿ÙÔÌ·, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ¿ÙÔÌ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÁÓˆÛÙÒÓ Û’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂΉ‹ÏˆÛË.
2.3.4. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÁˆÓ›Â˜
22
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¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ı· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÊÂÍ‹˜ ‹ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›· ‹, fiˆ˜ ϤÌÂ, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Âη٤ڈıÂÓ Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ÏÂ˘Ú¿˜.
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TȘ Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ı· ÙȘ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ΢ÚÙÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÂÂȉ‹ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ·Ó·‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Î·Ï‡ÙÂÚ· Ë ÂÔÙÈ΋ ·ÓÙ›ÏË„Ë Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‹ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿. °È· Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ, Ú¤ÂÈ, fiˆ˜ οӷÌ Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ó· ÙȘ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙË ÌÈ· «‰›Ï·» ÛÙËÓ ¿ÏÏË, ‰ËÏ·‰‹ Ó· ÙȘ ηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜.
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2.3.
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¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ΢ÚÙ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ¯O„ Î·È Î ∞Ï. MÂÙ·ÙÔ›˙Ô˘Ì ∧ ÙË ¯O„ Î·È ÙËÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÂÈ ÂÊÂÍ‹˜ Ì ÙËÓ ∧ Î ∞Ï (.¯. Ë ÏÂ˘Ú¿ O¯ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ AÏ, ÂÓÒ ÔÈ O„ Î·È AÎ Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ËÌÈ›‰· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ∧ ÊÔÚ¤· Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ÏÂ˘Ú¿˜). H ÁˆÓ›· Î ∞„ (Î·È Î¿ı ›ÛË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È: ∧
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∞ ≡O ^ ^ ^ ÎA„ = Î∞Ï + ¯√„
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™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‰È·‰Èηۛ· Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ÚÔ·„Ô˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ: ➧
TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ó· ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ΢ÚÙ‹ ÁˆÓ›· ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ÁˆÓ›· (‚Ï. ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Û¯‹Ì·).
➧
H ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AÎ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ∧ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¯ O„ (‚Ï. ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·). TfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ∧ ∧ Î ∞„ Â›Ó·È ÌÈ· ÌË Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›·. E›Û˘, fiÙ·Ó ÔÈ ¯ O„ Î·È ∧ Î ∞Ï Â›Ó·È Â˘ı›˜ ÁˆÓ›Â˜, ÙfiÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ë (ÌË Î˘ÚÙ‹) Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›· (‚Ï. ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·). ™ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ú¤ÂÈ Ó· ıˆÚËı› ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ÁˆÓ›·.
°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Î˘ÚÙÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÒÙˆÓ Ì ÙËÓ 3Ë ÁˆÓ›·, ÙÔ Ó¤Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Ì ÙËÓ 4Ë Î.Ô.Î. ™’ ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ·, ÂÎÙfi˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·¿Óˆ ÂÚÈÙÒÛˆÓ, ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È Ë ÂÍ‹˜: ➧
H ÏÂ˘Ú¿ οÔÈ·˜ ·fi ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ӷ ‚ÚÂı› ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÚÒÙ˘ ÁˆÓ›·˜ (‚Ï. ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ú¤ÂÈ Ó· ıˆÚËı› ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ Ï‹ÚË ÁˆÓ›·.
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^ ^ ^ ÎA„ = Î∞Ï + ¯√„
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£ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„ Î·È ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ó. ∧ H ÁˆÓ›· ˙ KË Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· Ó ÁˆÓÈÒÓ ›ÛˆÓ ÚÔ˜ ÙËÓ ∧ ∧ ¯ O„ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ó Ì ÙËÓ ¯ O„ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È: ∧
∧
˙ KË = Ó Ø ¯ O„ ∧
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌÂ, ›Û˘, fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ˙ KË Â›Ó·È °ˆÓ›Â˜
23
£EøPIA ∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
∧
ÙÔ Ó-Ï¿ÛÈÔ Ù˘ ¯ O„ ‹ fiÙÈ Ë ¯ O„ Â›Ó·È ÙÔ ¤Ó· Ó-ÔÛÙfi Ù˘ ∧ ˙ KË Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ:
„
∧
∧ 1 ∧ ˙ KË ¯ O„ = Ø ˙ KË = Ó Ó
√
¯ Â
∧
AÓ ÙÒÚ· ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›·  K‰ ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
∧
 K‰ = Î Ø ¯ O„, ‰ËÏ·‰‹
∧ 1 ∧ Â K‰ = Î Ø Ø ˙ KË, Ó
‰
∧ Î ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ Ë Â K‰ Â›Ó·È Ù· -ÔÛÙ¿ Ù˘ ˙ KË Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: Ó ∧
∧
Ë
Î ∧ Î Ø ˙ KË Â K‰ = Ø ˙ KË = Ó Ó ∧
^ 3 ^ Â∫‰ = Ø ˙∫Ë 5
∧
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„ Î·È Î ∞Ï ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ ∧ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· Î ∞Ï > ¯ O„. MÂÙ·ÙÔ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ¯ O„ Î·È ÙËÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ O¯ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ AÎ Î·È Ë O„ Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ AÏ. ∧ ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ Ë O„ ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ Î ∞Ï. H ∧ ÁˆÓ›· „ ∞Ï ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È: ∧
^ ^ ˙∫Ë = 5 Ø ¯√„ ^ 1 ^ ¯√„ = Ø ˙∫Ë 5 ^ ^ Â∫‰ = 3د√„
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ‚Ï¤Ô˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È Ó = 5 Î·È Î = 3. ∧
˙
∫
∧
∧
„ ∞Ï = Î ∞Ï – ¯ O„
Ï
„
∞≡O
¯ Î
^ ^ ^ „AÏ = Î∞Ï – ¯√„
¶APATHPH™H: ™ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ô˘ ÔÚ›Û·Ì ·Ú·¿Óˆ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È ÔÈ ÁÓˆÛÙÔ› ηÓfiÓ˜ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: ·Ó Û ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜Ø ·Ó ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ·Ê·ÈÚÂıÔ‡Ó ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Î.Ô.Î.
™XO§IO:
™Â ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Ë ‰È·›ÚÂÛË ÌÈ·˜ ‰Â‰Ô̤Ó˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÂ Ó ›Û· ̤ÚË ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ‰˘Ó·Ù‹ Ì ¯Ú‹ÛË ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. MÔÚÔ‡ÌÂ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ó· ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì Ì ٷ fiÚÁ·Ó· ·˘Ù¿ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· Û 2 ›Û· ̤ÚË (‰È¯ÔÙfiÌËÛË), ·ÏÏ¿ fi¯È Û 3 ›Û· ̤ÚË (ÙÚȯÔÙfiÌËÛË). H ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÌfiÓÔ Û ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ. M ÙÔ ˙‹ÙËÌ· ·˘Ùfi ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3.
24
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.3.
£EøPIA ÕÏÏ· ›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ Ÿˆ˜ ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÈÔ ¿Óˆ, ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ΢ÚÙ¤˜ ÁˆÓ›Â˜. MÂٷ͇ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ Û¯¤ÛÂȘ, ÙȘ Ôԛ˜ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, οÓÔÓÙ·˜ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎÒÓ ‰È·‰ÈηÛÈÒÓ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. °È· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi ‰›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜: ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, fiÙ·Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÌÈ·˜ Â›Ó·È ÔÈ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ¿Ï∧ ∧ Ï˘. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ¯O„, ¯′ O„′ Î·È ∧ ∧ „ O¯′, „′ O¯ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó.
¯′
„
√
„′
¯
„
¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛÔ Ì ÌÈ· ¢ı›· ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. K·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ ı· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘.
¯′
¯
O
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¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛÔ Ì ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜. K·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ ı· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ ‹ Û˘Ìϋڈ̷ Ù˘ ¿ÏÏ˘.
„ ¯ O
£EøPHMATA KAI A¶O¢EI•EI™ M¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ‰È·Ù˘ÒÛ·ÌÂ, Ì ·ÊÂÙËÚ›· ÙȘ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ, ÛÙȘ Ôԛ˜ ı· ÛÙËÚȯÙ› Ë ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. K·Ù·ÁÚ¿„·ÌÂ, ›Û˘, ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·fi ÚÔÙ¿ÛÂȘ (Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù·), ÙȘ Ôԛ˜ ‰Â¯ı‹Î·Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ¯ˆÚ›˜ ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛË, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· fiÙÈ «Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ· ‰È¯ÔÙfiÌÔ». M ‚¿ÛË Ù· ·Ú·¿Óˆ (ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, Û¯¤ÛÂȘ, ·ÍÈÒÌ·Ù· Î·È ÔÚÈÛÌÔ‡˜) ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹Û·Ì fiÙÈ: Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ÌfiÓÔ ÌÈ· οıÂÙË ÛÙËÓ Â˘ı›·. E›Û˘, ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ Ù˘ ¢ı›·˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË Û’ ·˘Ù‹Ó. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ›¯·Ì ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË (Ì ÙË ÁÚ·ÌÌ·ÙÈ΋ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·) ÛÙËÓ ÔÔ›· ˘ÂÈÛ¤Ú¯ÔÓÙ·È ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Î·È ÔÚÈÛÌÔ›. EȉÈÒÍ·ÌÂ, Ì ·Ó·ÊÔÚ¿ ¿ÓÙÔÙ ÛÙȘ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, Û¯¤ÛÂȘ, ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Î·È Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù·, Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÔ˘Ì Ì ÙË ÏÔÁÈ΋ fiÙÈ ·˘Ùfi Ô˘ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È Ë ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È ·ÏËı¤˜. MÈ· ÚfiÙ·ÛË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Ô˘ Ë ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiˆ˜ ÈÔ ¿Óˆ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ıÂÒÚËÌ·. MÈ· ÚfiÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÂÓfi˜ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È fiÚÈÛÌ·. T· ‰Â‰Ô̤ӷ
°ˆÓ›Â˜
ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ (Â‰Ò ÙÔ ÛËÌ›Ô, Ë Â˘ı›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Î·È Ë Î¿ıÂÙË) Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ÂÓÒ Ù· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· (Â‰Ò Ë ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ‹ ÛÙÔ ÛËÌ›Ô) ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·. ø˜ ·fi‰ÂÈÍË ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙Ô˘Ì ÙË ÏÔÁÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· ÂȂ‚·›ˆÛ˘ fiÙÈ ·˘Ùfi Ô˘ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ‹ fiÚÈÛÌ· Â›Ó·È Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÌÈ· ·ÏËı‹˜ ÚfiÙ·ÛË. ¢ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘ÌÂ: ˘fiıÂÛË – ·fi‰ÂÈÍË – Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ™˘Ó‹ıˆ˜, Ù· ıˆڋ̷ٷ Î·È ÔÚ›ÛÌ·Ù· ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ «AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ X , ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ æ». ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ «AÓ X» ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ˘fiıÂÛË, ÂÓÒ ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ «ÙfiÙÂ æ» ·ÔÙÂÏ› ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·. TÔ ıÂÒÚËÌ· «AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ æ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ X» ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ÈÔ ¿Óˆ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ. T¤ÏÔ˜, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ Î·È Ù· ‰‡Ô ıˆڋ̷ٷ, ‰ËÏ·‰‹ «AÓ X, ÙfiÙ æ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·» ‹ «X ÈÛ¯‡ÂÈ, fiÙ·Ó, Î·È ÌfiÓÔ fiÙ·Ó, ÈÛ¯‡ÂÈ æ» ‹ «X ÈÛ¯‡ÂÈ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó, ÈÛ¯‡ÂÈ æ» ‹ ·ÎfiÌË «X ÈÛ¯‡ÂÈ ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔ, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ æ» ‹ «Ã ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÙÔ˘ æ».
25
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
T· ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ı· ‰È·Ù˘ˆıÔ‡Ó Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜, Ì ÙËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ Î·È Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ «AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ X, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ æ». £EøPHMA 2.1. OÈ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. [AÓ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û˜].
YfiıÂÛË:
∧
∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„ Î·È ¯′ O„′ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó. ∧
∧
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: ¯ O„ = ¯′ O„′. ∧
Afi‰ÂÈÍË: ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ¯ O„, ∧ ∧ „ O¯′ Â›Ó·È Ë Â˘ı›· ÁˆÓ›· ¯ O¯′ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∧ ∧ ∧ „ O¯′, ¯′ O„′ Â›Ó·È Ë Â˘ı›· ÁˆÓ›· „ O„′. EÂȉ‹ fiϘ ÔÈ Â˘ı›˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, Ù· ‰‡Ô ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ı· Â›Ó·È ›Û·, ‰ËÏ·‰‹ ∧
∧
∧
¯′
„
√
∧
¯ O„ + „ O¯′ = „ O¯′+ ¯′ O„′.
„′
¯
¯′
„
AÓ ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ·fi οı ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÁˆÓ›· ∧ „ O¯′, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ∧
∧
▲
¯ O„ = ¯′ O„′.
¶OPI™MA 2.1. ¢‡Ô ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó 4 ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜. [AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, ÙfiÙ ÔÈ Û¯ËÌ·ÙÈ˙fiÌÂÓ˜ (΢ÚÙ¤˜) ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÔÚı¤˜]. £EøPHMA 2.2. OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. [AÓ O‰ Î·È O‰′ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ∧ ∧ ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ ¯O„ Î·È ¯ ′O„′, ÙfiÙ ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜]
YfiıÂÛË:
∧
∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„, ¯′ O„′ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, Ë ∧ O‰ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ¯ O„ Î·È Ë O‰′ ‰È¯Ô∧ ÙfiÌÔ˜ Ù˘ ¯′ O„′.
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: OÈ O‰, O‰′ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. ∧
Afi‰ÂÈÍË: OÈ ‰‡Ô ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ‰ O‰′ , ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·‰Ô¯Èο ÈÛ¯‡ÂÈ: ∧
∧
∧
∧
‰ O‰′ = ‰ O„ + „ O¯′ + ¯′ O‰′ ∧ ∧ 1 ∧ 1 = Ø ¯ O„ + „ O¯′ + Ø ¯′ O„′ 2 2 ∧ ∧ ∧ ∧ 1 1 ∧ = Ø ¯ O„ + „ O¯′ + Ø ¯ O„ (ÂÂȉ‹ ¯ O„ = ¯′ O„′) 2 2 ∧
∧
‰′
‰ √
„′
¯
∧
= ¯ O„ + „ O¯′ = ¯ O¯′
26
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.3.
£EøPIA ∧
¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ‰ O‰′ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÌÈ· ¢ı›· ÁˆÓ›· ηÈ, ¿Ú·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ O‰, O‰′ ı· Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. ▲ £EøPHMA 2.3. ¢‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ [°È· ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ÈÛ¯‡ÂÈ: ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÙfiÙ ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜]. TÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÛΤÏË: (·) YfiıÂÛË:
∧
∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯O„, „ O˙ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: OÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ O¯, O˙ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. Afi‰ÂÈÍË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ‰‡Ô Áˆ∧ ∧ ∧ ÓÈÒÓ, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ¯ O„ Î·È „ O˙ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· ¯ O˙. A˘Ù‹, fï˜, Â›Ó·È Â˘ı›· ÁˆÓ›·, ÂÂȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ÕÚ·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ O¯ Î·È O˙ ı· Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. ▲ (‚) YfiıÂÛË:
∧
„
˙
O
¯
∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„, „ O˙ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ O¯, O˙ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. ∧
∧
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: OÈ ¯ O„, „ O˙ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ∧
∧
∧
Afi‰ÂÈÍË: TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ¯ O„, „ O˙ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· ¯ O˙. A˘Ù‹, fï˜, Â›Ó·È Â˘ı›· ÁˆÓ›·, ÂÂȉ‹ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ Â›Ó·È ∧ ∧ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. ÕÚ·, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„ Î·È „ O˙ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ▲ £EøPHMA 2.4. OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜. [°È· ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ÈÛ¯‡ÂÈ: ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÙfiÙ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜].
YfiıÂÛË:
∧
∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„, „ O˙ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, Ë O‰ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ∧ ∧ ¯ O„ Î·È Ë O ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ „ O˙.
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: O‰⊥OÂ.
°ˆÓ›Â˜
27
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 ∧
Afi‰ÂÈÍË: OÈ ËÌÈ¢ı›˜ O‰, O ۯËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ‰ OÂ, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ:
Â
‰
1 1 ‰ OÂ = ‰ O„ + „ OÂ = Ø ¯ O„ + Ø „ O˙. 2 2 ∧
∧
∧
∧
∧
„
∧
˙
∧
¯
O
EÂȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O„, „ O˙ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈ·Ó Â˘ı›· ÁˆÓ›·, Ù· ÌÈÛ¿ ÙÔ˘˜ ı· ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛÔ Ì ÌÈ·Ó ÔÚı‹ Áˆ∧ Ó›·. H ÁˆÓ›·, ÏÔÈfiÓ, ‰ OÂ Â›Ó·È ÔÚı‹ ηÈ, ¿Ú·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ O‰, O ı· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜. ▲
2.2.
¢ PA ™ T H P I OT H TA N· ‰È·Ù˘ÒÛÂÙ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ 2.1., 2.2. Î·È 2.4. Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó ·ÏËı‡ԢÓ.
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ∧
∧
∧
¢›ÓÔÓÙ·È ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ A OB, B O° Î·È ° O¢ Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ OA⊥O° ∧ ∧ Î·È OB⊥O¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A OB Î·È ° O¢ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜. Afi‰ÂÈÍË:
∧
O
∧
·) OÈ ÁˆÓ›Â˜ A O° Î·È BO¢ ˆ˜ ÔÚı¤˜ Â›Ó·È ›Û˜. EÔ̤ӈ˜, ∧
∧
∧
∧
∧
¢ Â
∧
A OB + B O° = BO° + ° O¢ ‹ A OB = ° O¢. ∧
‚) ŒÛÙˆ O‰ Î·È O ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ A OB ∧ Î·È ° O¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. TfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ∧
∧
∧
° A
‰
B
∧
‰ OÂ = ‰ OB + B O° + ° OÂ = 1 ∧ 1 ∧ 1 ∧ = A OB + 2 Ø B O° + ° O¢ = 2 2 2 ∧ ∧ 1 ∧ 1 ∧ 1 ∧ 1 ∧ = (A OB + B O°) + (B O° + ° O¢) = A O° + B O¢ = 2 2 2 2 ∧ ∧ 1 ∧ = (A O° + B O¢) = A O°, 2
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ O‰⊥OÂ.
28
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2.3.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
TÈ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ‰‡Ô Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ;
2.
Y¿Ú¯ÂÈ ÂÚ›ÙˆÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ó· Â›Ó·È ›Û˜;
3.
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Â˘ı›˜ ¯′O¯, „′O„ Î·È ‰′O‰. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë O‰ Â›Ó·È ‰È∧ ¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ¯ O„ . TÈ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ ÁÈ· ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· O‰′;
y′
x
‰′
‰ √
x′
°ˆÓ›Â˜
y
29
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
2.4. ∫‡ÎÏÔ˜ 2.4.1. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ OPI™M√™
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô K Î·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ ·. K‡ÎÏÔ˜ ‹ ÂÚÈʤÚÂÈ· Ì ΤÓÙÚÔ K Î·È ·ÎÙ›Ó· · ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â›Â‰Ô Û¯‹Ì· Ô˘ fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ K ·fiÛÙ·ÛË ›ÛË Ì ·. AÎÙ›Ó· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ, ›Û˘, οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. O ·ÎÏÔ˜ ΤÓÙÚÔ˘ K Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ · Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì (K, ·).
M · K ·
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ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ, Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ –Î·È ÌfiÓÔ ·˘Ù¿– ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ȉÈfiÙËÙ·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜. ŒÙÛÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi, Ô Î‡ÎÏÔ˜ Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ›ÛË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ¤Ó· ÛËÌ›Ô, Â‰Ò ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TË ÌÂϤÙË Î·È ÙË ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ· ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÛÙ· ÎÂÊ¿Ï·È· 3 Î·È 6. K¿ı ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ KM < · ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÂÓÒ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô N, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ KN > · ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘. O ·ÎÏÔ˜ Ì·˙› Ì ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔÓ Î˘ÎÏÈÎfi ‰›ÛÎÔ. ¢Â¯fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ·Í›ˆÌ· fiÙÈ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ¤Ó· ΢ÚÙfi Û‡ÓÔÏÔ* Î·È fiÙÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ Â›Ó·È ÌÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ ÁÚ·ÌÌ‹ ¯ˆÚ›˜ ‰È·ÎÔ¤˜ Î·È ÎÂÓ¿. A˘Ùfi Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ì ¤Ó· Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ¤¯ÂÈ Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ›Û˜ ·ÎÙ›Ó˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô Ù˘¯·›· ÛËÌ›· A, B ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. K¿ı ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. K¿ı ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ÌÈ·˜ ·ÎÙ›Ó·˜. T· ¿ÎÚ· ÌÈ·˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙȉȷÌÂÙÚÈο ÛËÌ›·.
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KM Ú, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. AÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙfiÙ ı· ‹Ù·Ó KE < Ú, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È, ›Û˘, ¿ÙÔÔ. ) ) EÔ̤ӈ˜ Ù· ÙfiÍ· AB Î·È °¢ ηٿ ÙËÓ ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ›Û·. TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ Ù· ¿ÎÚ· A Î·È ° ηıÒ˜ Î·È Ù· B Î·È ¢ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙfiÍˆÓ Î·Ù¿ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙ ÔÈ Ï¢ڤ˜ KA Î·È KB Ù˘ ÚÒÙ˘ ÁˆÓ›·˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È Ì ÙȘ K° Î·È K¢ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ∧ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. A˘Ùfi, fï˜, ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ A KB ∧ ▲ Î·È ° K¢ Â›Ó·È ›Û˜.
32
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2.4.
£EøPIA ¶OPI™MA 2.2. ™Â ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜, ›Û˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚·›ÓÔ˘Ó Û ›Û· ÙfiÍ·.
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O P I ™ M √ ™ °È· ‰‡Ô ÙfiÍ· AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, Ú) ı·
) ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ÙfiÍÔ AB Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÙfiÍÔ °¢, fiÙ·Ó Ë ) ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ AB Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÂΛ) Ó˘ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ °¢. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌÂ, ›) ) Û˘, fiÙÈ ÙÔ ÙfiÍÔ °¢ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ AB.
T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ·Ó¿ÁÔ˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‹ ‰‡Ô ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ ÛÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ›ÎÂÓÙÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· 2 ÙfiÍ· (Ù· ËÌÈ·ÎÏÈ·) Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Â˘ı›˜ ÁˆÓ›Â˜, ÂÔ̤ӈ˜ ›Û˜. E›Û˘, Ù· 4 ÙfiÍ· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi 2 οıÂÙ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÚı¤˜. K·ı¤Ó· ·fi Ù· ÙfiÍ· ·˘Ù¿ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈÔ. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÙfiÍˆÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÙfiÍÔ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›·-¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ›ÎÂÓÙÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘˜. M ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ù· ÙfiÍ· Î·È ÔÈ ˘fiÏÔȘ Ú¿ÍÂȘ Ô˘ ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó ÁÈ· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙËÓ ¨ 2.3.4.
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K¿ı ÛËÌÂ›Ô ° ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ AB, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi Ù· A Î·È B , ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘. M¤ÛÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ) AB ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ M ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡) ) ÂÈ AM = MB. £EøPHMA 2.6.
K¿ı ÙfiÍÔ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÌfiÓÔ Ì¤ÛÔ.
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (K, Ú) Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ) ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÙfiÍÔ AB Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ̤۷, ¤ÛÙˆ Ù· ÛËÌ›· M Î·È N. ) ) EÂȉ‹ AM = MB, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ı· Â›Ó·È Î·È ∧ ∧ A KM = M KB (·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›ÛˆÓ Ùfi͈Ó). ÕÚ·, ∧ Ë KM Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A KB. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÚÔ·ÙÂÈ ∧ fiÙÈ Î·È Ë KN Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A KB. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ ÂÂȉ‹ οı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌfiÓÔ ‰È¯ÔÙfiÌÔ. EÔ̤ӈ˜, οı ÙfiÍÔ ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ¤Ó· ̤ÛÔ. ▲ ∫‡ÎÏÔ˜
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33
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
H EY£EIA A¶O¢EI•H KAI H EMME™H A¶O¢EI•H ™ÙȘ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ ·fi‰ÂÈ͢ Ô˘ ı· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÔ˘Ì ے fiÏÔ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô. ™Ù· ıˆڋ̷ٷ 2.1., 2.2., 2.3. Î·È 2.4. ÂÍÂÙ¿Û·Ì Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÏÔÁÈÎÒÓ Î·ÓfiÓˆÓ ÙȘ Û˘Ó¤ÂȘ Ù˘ ˘fiıÂÛ˘, ·›ÚÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜, Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· Î·È ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÁÓˆÚ›˙·Ì ̤¯ÚÈ ÂΛÓË ÙË ÛÙÈÁÌ‹. ŒÙÛÈ, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË Î·Ù·Ï‹Í·Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ̤۷ ·fi ÌÈ· ÔÚ›· ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ‚ËÌ¿ÙˆÓ (ÏÔÁÈÎÒÓ Î·ÓfiÓˆÓ). A˘Ùfi˜ Ô ÙÚfiÔ˜ ·fi‰ÂÈ͢ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â˘ı›· ·fi‰ÂÈÍË.
™Ù· ıˆڋ̷ٷ 2.5. Î·È 2.6. ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ (‚Ï. ¨2.3.2.), fiÔ˘: ➧
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Î·È ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ¿ ÙÔ˘, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· Ó¤· ˘fiıÂÛË.
➧
XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Ó¤· ·˘Ù‹ ˘fiıÂÛË Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ¢ı›·˜ ·fi‰ÂÈ͢ ηٷϋÁÔ˘Ì Û ¿ÙÔÔ. TfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.
A˘Ùfi˜ Ô ÙÚfiÔ˜ ·fi‰ÂÈ͢ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤ÌÌÂÛË ·fi‰ÂÈÍË.
¶POB§HMA 2.2. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË ÚÔ˜ ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›·. ∧
K·Ù·Û΢‹: ŒÛÙˆ ¯O„ Ë ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›·. M ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, R) ÌÂ Ù˘¯·›· ·ÎÙ›Ó·, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ Ù˘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÙ· ÛËÌ›· ∫ Î·È § (‰ËÏ. οÓÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ›ÎÂÓÙÚË). ªÂ ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· ∞Î Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (∞, R), ‰ËÏ·‰‹ ›‰È·˜ ·ÎÙ›Ó·˜ Ì ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ∞Î Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô µ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (µ, Ú) Ì ·ÎÙ›Ó· Ú = ∫§, ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (∞, R) Î·È ÂÓÒÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∞ Î·È °. ªÂ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ∧ ∞Ï Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ›ÛË ÚÔ˜ ÙËÓ Î·Ù·Û΢¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· Î ∧ ¯O„. ∏ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› ˆ˜ ÂÍ‹˜: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (∫, Ú), Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô § ÂÂȉ‹ Ú = K§. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÌÂÙ·∧ ÙÔ›˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ¯ O„ Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ √ ¿Óˆ ÛÙÔ ∞ Î·È ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ √¯ ¿Óˆ ÛÙËÓ ∞Î ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ √„ Î·È ∞Ï Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ∞Î. ∆fiÙÂ: √È Î‡ÎÏÔÈ (√, R) Î·È (∞, R) Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ÂÂȉ‹ Ù· ΤÓÙÚ· ÙÔ˘˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·ÎÙ›Ó·. E›Û˘, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ ÂÂȉ‹ √∫ = ∞µ = R. ÕÚ·, ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (∫, Ú) Î·È (B, Ú) Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ÂÂȉ‹ Ù· ΤÓÙÚ· ÙÔ˘˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·ÎÙ›Ó·. TfiÙÂ, fï˜, Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ § ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (√, R), (K, Ú) ı· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ° ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (A, R), (µ, Ú), ‰ËÏ·‰‹ Ë ËÌÈ¢ı›· O„ ı· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ AÏ. ∧ ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ¯O„ Û˘Ì›ÙÂÈ ∧ Ì ÙË ÁˆÓ›· Î ∞Ï Î·È ¿Ú· ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ›Û˜.
34
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2.4.
£EøPIA ¶POB§HMA 2.3. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ÙfiÍÔ ›ÛÔ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ÙfiÍÔ.
)
K·Ù·Û΢‹: ŒÛÙˆ K§ ÙÔ ‰Ôı¤Ó ÙfiÍÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, R) ∧ Î·È ¯O„ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ÙÔ˘. AÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‰È·‰Èηۛ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ∧ ∧ Î ∞Ï=¯ O„ Ô˘ ) Â›Ó·È Â›ÎÂÓÙÚË ) ÛÙÔÓ ) ·ÎÏÔ (A, R) Î·È ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ÙfiÍÔ B°. T· ÙfiÍ· K§ Î·È B° Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ›Û˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜.
™XO§IO:
MÈ· Ôχ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ÙfiÍÔ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ·Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó¿ÌÂÛ· Û ¤Ó· ÙfiÍÔ Î·È ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ¯ÔÚ‰‹. TË Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 (¨3.1.3.).
2.4.3. M¤ÙÚÔ ÙfiÍÔ˘ Î·È Ì¤ÙÚÔ ÁˆÓ›·˜ M¤ÙÚËÛË ÙfiÍˆÓ Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ) ) ·Ó Ì·˜ ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ÙfiÍ· AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ · Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ °¢ = · ØAB ŒÙÛÈ, Ë Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛ‹ ÙÔ˘˜ Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ÂÈϤÍÔ˘Ì ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· (ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙfiÍÔ). O ·ÚÈıÌfi˜ · ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÔÓ¿‰· Ô˘ ÂÈϤͷÌÂ. °È· ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡˜ ÏfiÁÔ˘˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Û¯¤ÛË Ì ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ Ô˘Ú¿ÓÈˆÓ Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Î·Ù¿ ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·, ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· ̤1 ÙÚËÛ˘ ÙfiÍˆÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ÙfiÍÔ Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ 360 ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙfiÍÔ ÌÈ·˜ ÌÔ›Ú·˜ (Û˘Ì‚ÔÏÈο 1Æ). H ϤÍË «ÌÔ›Ú·» Â›Ó·È ·Ú¯·ÈÔÂÏÏËÓÈ΋ Î·È ÛËÌ·›ÓÂÈ «ÙÂÌ¿¯ÈÔ», «ÎÔÌÌ¿ÙÈ»Ø Â‰Ò, ÏÔÈfiÓ, «ÙÂÌ¿¯ÈÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘». H ÌÔ›Ú· ˘Ô‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Û 60 ÚÒÙ· ÏÂÙ¿ (Û˘Ì‚ÔÏÈο 60′) Î·È Î¿ı ÚÒÙÔ ÏÂÙfi Û 60 ‰Â‡ÙÂÚ· ÏÂÙ¿ (Û˘Ì‚ÔÏÈο 60′′). °È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ
)
ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ AB ›ӷÈ12 ÌÔ›Ú˜, 34 ÚÒÙ· ÏÂÙ¿ Î·È 56 ‰Â‡ÙÂÚ· ÏÂÙ¿ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì AB = 12Æ34′56′′. Afi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 360Æ, ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ 180Æ Î·È ¤Ó· ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈÔ 90Æ. TÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÙfiÍÔ ¤¯ÂÈ 0Æ. ∫‡ÎÏÔ˜
35
£EøPIA H ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó¿ÌÂÛ· Û ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ÙfiÍ· ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ·ÎÏÔ˘ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ·Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÛÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ Ùfi͈Ó. £· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ̤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘, fiÙ·Ó ·˘Ù‹ ηٷÛÙ› ›ÎÂÓÙÚË Û’ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ. ŒÙÛÈ, ÏÔÈfiÓ, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ÙË ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ Û ÌÔ›Ú˜, Ë ÁˆÓ›· Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙfiÍÔ ı· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 1Æ (ÌÔÓ·‰È·›· ÁˆÓ›·), Ë ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ı· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 90Æ, Ë Â˘ı›· ÁˆÓ›· 180Æ Î·È Ë Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›· 360Æ. TÔ 0Æ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÌˉÂÓÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜. H Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó ÛÙȘ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜ 2.3.2 & 2.3.4 Ì ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiÔ, ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜: ➧
ÿÛ˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ›Û· ̤ÙÚ·,
➧
ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜ Î.Ô.Î.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
™XO§IO:
ø˜ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙfiÍˆÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Â›Û˘ Î·È ÙfiÍÔ Ì‹ÎÔ˘˜ ›ÛÔ Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TË ÌÔÓ¿‰· ·˘Ù‹, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÙ›ÓÈÔ, ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 11, fiÙ·Ó ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ «·Ó¿Ù˘ÁÌ·» Î·È «Ì‹ÎÔ˜» ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‹ ÙfiÍÔ˘, ηıÒ˜ Î·È ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi .
H ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ·˘Ù‹ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙË ÌÂϤÙË ÌÈ·˜ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ Ú¿Í˘ ÌÂٷ͇ ÁˆÓÈÒÓ Ì ÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ Ú¿Í˘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜. AÓ¿ÏÔÁ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ùfi͈Ó∧Î·È ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜. TÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯ O„ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ›Û˘, ¿ÓÔÈÁÌ· ÙˆÓ ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ O¯, O„. ™XO§I∞ ∧
1. MÈ· ÁˆÓ›· ¯ O„ ÌÔÚ› Ó· ηٷÛÙ› „ ¢ ›ÎÂÓÙÚË Û ·ÎÏÔ˘˜ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ B ·ÎÙ›Ó˜, ¤ÛÙˆ Ú Î·È R, Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ· AB Î·È °¢. T· ÙfiÍ· ·˘Ù¿, ˆ˜ ÁˆO °′ A′ Ú A ° ¯ ÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·, ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘R ÁÎÚÈıÔ‡Ó, ·ÊÔ‡ οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌfiÓÔ ÁÈ· ÙfiÍ· ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ·ÎÏÔ˘. MÔÚÔ‡ÌÂ, fï˜, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ̤ÙÚ· ÙÔ˘˜. AÔ‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: TÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ÙËÓ Î·Ù¤ÛÙËÛ ›ÎÂÓÙÚË. °È· ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ: £EøPHMA. AÓ AB Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú), ÙfiÙÂ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ °¢ Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, R). Afi‰ÂÈÍË: AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ AB = 1Æ, ÙfiÙ ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ABA′ = 180 ØAB, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙfiÍÔ ABA′ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 180 ‰È· ‰Ô¯ÈÎÒÓ ÙfiÍˆÓ ›ÛˆÓ ÚÔ˜ ÙÔ AB. T· ›Û· ·˘Ù¿ ÙfiÍ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú) ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ (fiÚÈÛÌ· 2.2.), ÔÈ Ôԛ˜, ˆ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, R), ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ›Û· ÙfiÍ· ÛÙÔ ËÌÈ Î‡ÎÏÈÔ °¢°′ (ıÂÒÚËÌ· 2.5. Î·È fiÚÈÛÌ· 2.2.). EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ËÌÈ Î‡ÎÏÈÔ °¢°′= 180 Ø °¢, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ °¢ = 1Æ.
36
2. ™ÙËÓ ¨ 2.3.4. ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Ë ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÁˆÓ›Â˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ·fi ÙËÓ Ï‹ÚË ÁˆÓ›·. AÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È Ë ·Ó¿ÁÎË ÁÈ· ÙfiÍ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· ·fi ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ. H ·Ó¿ÁÎË ·˘Ù‹ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È, ›Û˘, Û ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ º˘ÛÈ΋˜, fiˆ˜ Â›Ó·È .¯. Ë ÌÂϤÙË Ù˘ ΢ÎÏÈ΋˜ ΛÓËÛ˘ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÁÂÓÈ·ԢÌ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘, ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ˆ˜ «·Ú¯‹» Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ˆ˜ «Ù¤ÏÔ˜» ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¿Óˆ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·Ù¿ ÌÈ· ÔÚÈṲ̂ÓË ÊÔÚ¿. ™Â οı ٤ÙÔÈÔ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ «ÙfiÍÔ», Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi 360Æ, ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÌÈ· ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓË Â›ÎÂÓÙÚË «ÁˆÓ›·» Ì ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ.
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.4.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ™Â ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ K ıˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ
) )
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Ù· ÙfiÍ· A°, °¢ Î·È ¢B Ó· Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο. AÓ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ A K° Î·È B K¢ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÛÙ· ÛËÌ·›· M Î·È N ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
) 1 ) M°N = 90Æ + °¢. 2 ∧
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Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ ÔÈ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ A KM Î·È ° KM
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M°N = M° + °¢ + ¢N = A° + °¢ + ¢B 2 2
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) 1 ) ) ) 1) 1 ) 1 ) 1) = ( A° + °¢ + ¢B) + °¢ = AB + °¢ = 90Æ + °¢ (ÂÂȉ‹ AB = 180Æ). 2 2 2 2 2
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ B°, °¢, ¢E, EZ Î·È ZA ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·;
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¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ∧ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È ∧ Ê ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, fiÙ·Ó 1 B° = A°; 3
3.
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ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ¤ÁÚ·„ ∧ ∧ «AÊÔ‡ ÔÈ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ AO¢ Î·È BO° Â›Ó·È ›Û˜, ı· Â›Ó·È ›Û· Î·È Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ· A¢ Î·È B°». E›Ó·È ÛˆÛÙfi˜ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘;
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65Æ A
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5.
AÓ M Î·È N Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ AB Î·È °¢, Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MN Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¢‡Ô ÙfiÍ· Ì ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›Û·; ¶ÚÈÓ ··ÓÙ‹ÛÂÙÂ, ÌÂÏÂÙ‹ÛÙ ÚÔÛÂÎÙÈο ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·.
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° ∞ ∫
·Æ ·Æ µ
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37
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
3.
¢‡Ô ÛËÌ›· A Î·È B ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ ÛËÌÂ›Ô K, Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· AB. AÓ °, ¢ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ A, B ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ K, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A, B, °, ¢ Â›Ó·È ÔÌÔ΢ÎÏÈο, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘. ™Â ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ K ʤÚÔ˘Ì ÌÈ·Ó ·ÎÙ›Ó· K° Î·È ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ∧ ∧ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ AK° Î·È BK°, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÛÙ· ÛËÌ›· M Î·È N. N· ·Ô‰Â› ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙfiÍÔ MN Â›Ó·È ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈÔ.
ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A, ° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈ∧ ‰È·ÌÂÙÚÈο Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙË ÁˆÓ›· AK¢.
4.
YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ Ù˘ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ·fi ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.
5.
N· ‚ÚÂı› ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ˆ, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë 2 Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Â›Ó·È Ù· Ù˘ ·Ú·ÏËÚˆ11 Ì·ÙÈ΋˜ Ù˘.
6.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ̤ÙÚ· ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ Ùfi ÍˆÓ AB, B°, °¢ Î·È ¢A ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, fiÙ·Ó Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2, 3 Î·È 4.
™Â ·ÎÏÔ (K, Ú) ‰›ÓÔÓÙ·È Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ÙfiÍ· AB = 82Æ, B° = 98Æ Î·È °¢ = 30Æ. N· ·Ô‰Â›-
∧
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
38
£ÂˆÚԇ̠ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ K. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· K°⊥AB Î·È ÌÈ·Ó ·ÎÙ›Ó· K¢, fiÔ˘ ¢ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ A°. AÓ ÔÈ ∧ ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ BK¢ Î·È °K¢ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÛÙ· ÛËÌ›· M Î·È N, Ó· ·Ô‰Â› ÍÂÙ fiÙÈ MN = 45Æ. ™Â ·ÎÏÔ (K, ·) ıˆÚԇ̠ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ÙfiÍ· AB, B° Î·È °¢ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘. AÓ M Î·È N Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ A° Î·È B¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 MN = (AB + °¢). 2
3.
4.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ‰È·‰Ô¯Èο ÙfiÍ· AB Î·È B° ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì AB < B°. AÓ M, N, P Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ AB, B°, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›Í Ù fiÙÈ Ù· ÙfiÍ· BP Î·È MN ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÛÔ. ∧
TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Â›ÎÂÓÙÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ AKB, ∧ ∧ ∧ BK°, °K¢ Î·È ¢KA ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) Â›Ó·È ÌÈ· Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›·. AÓ KE, KZ, KH Î·È K£ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ, ∧ ∧ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ EKZ Î·È HK£ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.5.
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2.5. ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· 2.5.1. TÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ °
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TÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ù· ÔÔ›· ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ‹ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹. T· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ï¢ڤ˜ Î·È Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜. H ÚÒÙË Î·È Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÎÔÚ˘Ê‹ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È, ›Û˘, ¿ÎÚ· Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜.
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¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÌÈ·˜ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘.
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ÌË ·Ï‹ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ B ¢
MÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ï‹, fiÙ·Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û οÔÈÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘˜ ÛËÌ›Ô. MÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙ‹, fiÙ·Ó Ù· ¿ÎÚ· Ù˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ▲
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2.5.2. ¶ÔχÁˆÓÔ OPI™M√™
MÈ· ·Ï‹ Î·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔχÁˆÓÔ. ▲ ™Â οı ÔχÁˆÓÔ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ. T· ÔχÁˆÓ· Ù·ÍÈÓÔÌÔ‡ÓÙ·È Û ηÙËÁÔڛ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜. ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ Ì 3 Ï¢ڤ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ì 4 Ï¢ڤ˜ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ, Ì 5 Ï¢ڤ˜ ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ, ..., ÌÂ Ó Ï¢ڤ˜ Ó-ÁˆÓÔ.
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H ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. T· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÔχÁˆÓÔ Ô‡Ù ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘, ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. E˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·
39
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
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TÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ Î·È Ù· ÂÛˆÙÂÚÈο ÙÔ˘ ÛËÌ›·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÏ˘ÁˆÓÈÎfi ¯ˆÚ›Ô. ŒÓ· Â›Â‰Ô Û¯‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙfi, fiÙ·Ó ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÔÏfiÎÏËÚÔ Û’ ·˘Ùfi. £· ϤÌ fiÙÈ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È Î˘ÚÙfi, fiÙ·Ó ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÔÏ˘ÁˆÓÈÎfi ¯ˆÚ›Ô Â›Ó·È Î˘ÚÙfi. ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· Ù· ÔχÁˆÓ· Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˜ Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜: fiÙ·Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î˘ÚÙfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌË Î˘ÚÙfi ÔχÁˆÓÔ (‹ ÎÔ›ÏÔ ÔχÁˆÓÔ). ™Ù· ÂfiÌÂÓ·, ·Ó ‰Â Á›ÓÂÙ·È ‰È¢ÎÚ›ÓËÛË, ı· ıˆÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È Î˘ÚÙfi.
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ÔÏ˘ÁˆÓÈο ¯ˆÚ›·
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2.5.3. ™ÙÔȯ›· ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ EÎÙfi˜ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜, ¿ÏÏ· ‚·ÛÈο ÛÙÔȯ›· ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜.
¢ ÎÔ›ÏÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ
΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ
O P I ™ M √ ™ ¢È·ÁÒÓÈÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ‰‡Ô ÌË ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·ÌÈ¿ ‰È·ÁÒÓÈÔ. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ 2 ‰È·ÁÒÓȘ, ÙÔ ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ 5 ‰È·ÁÒÓȘ Î·È ÙÔ ÂÍ¿ÁˆÓÔ 9 ‰È·ÁÒÓȘ.
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EÛˆÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. K¿ı ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ Î·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ÁˆÓ›·.
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¶APATHPH™H. TÔ «ÚÔÊ·ÓÒ˜» ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ËÌÈÂȤ‰ˆÓ Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÛÙ· ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ ÔχÁˆÓÔ ÏfiÁˆ ΢ÚÙfiÙËÙ·˜.
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TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
2.5.
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E͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ÙÔ˘.
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2.3.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÂÓfi˜ ÓÁÒÓÔ˘ ÁÈ· ‰È¿ÊÔÚ˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Ó. Y¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· Û¯¤ÛË ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Î·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ; N· ‰È·Ù˘ÒÛÂÙ ÌÈ· Û¯ÂÙÈ΋ ÂÈηۛ· Î·È Ó· ÂȯÂÈÚ‹ÛÂÙ ӷ ÙËÓ ·Ô‰Â›ÍÂÙÂ.
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2.
¶fiÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· Î·È A B ° fiÛ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¢ ∂ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÛËÌ›· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜; MÔÚԇ̠̠ٷ ¤ÓÙ ·˘Ù¿ ÛËÌ›· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ;
3.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, ·Ó Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜;
4.
AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ ÂÓfi˜ Ó-ÁÒÓÔ˘ ·fi ÙË ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ; ™Â fiÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ Ó-ÁˆÓÔ;
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2.
£ÂˆÚԇ̠ÙÚ›· ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, B° Î·È °¢ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â. AÓ E, Z, H, £ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB, B°, °¢, ¢A, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ·) EZ = £H Î·È ‚) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· EH Î·È £Z ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ. ¶fiÛ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘;
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3.
AÓ Ó Â˘ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ÙÔ˘˜ ÛËÌ›ˆÓ.
4.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¯O„ Î·È ¯O˙ Ì ∧ ∧ ∧ ∧ ¯O„ < ¯O˙ Î·È ¯O„ + ¯O˙ < 180Æ. ∧ AÓ O‰ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ „O˙, Ó· ∧ ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ÁˆÓ›· ¯O‰ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ∧ ∧ ¯O„ Î·È ¯O˙.
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41
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∫·Ù·ÓfiËÛ˘ 2Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
2.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ì ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ ϤÁÔÓÙ·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó. ‚) OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. Á) ¢‡Ô Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. ‰) K¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ‰‡Ô ÌË ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘. Â) ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÂÊÂÍ‹˜. ÛÙ) MÈ· ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‚·›ÓÂÈ Û ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈÔ Â›Ó·È ÔÚı‹. ˙) Y¿Ú¯Ô˘Ó ÁˆÓ›Â˜ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Î‡ÎÏÔ˘, ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó (Î·È Ò˜) ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÛˆÛÙ¤˜; N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ı Ê Ê Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÛËÁ ˆ · ˆ ÌÂȈı› Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ‰Èˆ Ï·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· ‚ ‰ Ê ˆ Ê (ηٷÎÔÊ˘Ú‹Ó, ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÂÊÂÍ‹˜). ŸÔ˘ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÌÔ›.
3.
N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˜ ÁÚ·Ì̤˜.
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5.
°. ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ¢. Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô K Î·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·. O ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ K Î·È ·ÎÙ›Ó· ·, Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ A. KM = · B. KM < · °. KM > ·
¢. KM ≤ · E. KM ≥ ·
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎ·Ó ÔÈ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Î·È Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù·. ¢fiıËÎ·Ó ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ı· ÛÙËÚȯÙ› Ë ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. B·ÛÈο Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Ë ÁˆÓ›·, Ô Î‡ÎÏÔ˜ Î·È ÙÔ ÔχÁˆÓÔ. MÂÏÂÙ‹Û·Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Á›ÓÔÓÙ·È Ë Û‡ÁÎÚÈÛË, ÔÈ Ú¿ÍÂȘ Î·È Ë Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Î·È ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘. Aԉ›ͷÌ ÔÚÈṲ̂ӷ ıˆڋ̷ٷ ÁÈ· ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Î·È ÙˆÓ Ùfi͈Ó, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ¢ı›·˜ ·fi‰ÂÈ͢ ‹ Ù˘ ¤ÌÌÂÛ˘ ·fi‰ÂÈ͢ Ì ··ÁˆÁ‹ Û ¿ÙÔÔ. EÍÂÙ¿Û·ÌÂ, ›Û˘, ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ÁˆÓ›·˜ ›Û˘ ÚÔ˜ ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· Î·È ÙfiÍÔ˘ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ÙfiÍÔ.
42
TA BA™IKA °EøMETPIKA ™XHMATA
3.1.
£EøPIA
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
3
∆Ú›ÁˆÓ·
3.1. ™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ 3.1.1. E›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·fi ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Ù·ÍÈÓÔÌÔ‡ÓÙ·È ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ Î·È ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘˜. ŒÙÛÈ, ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ➧ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ‹ ηÓÔÓÈÎfi, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·È ÙȘ ÙÚ›˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜, ➧ ÈÛÔÛÎÂϤ˜, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜, ➧ ÛηÏËÓfi, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ÙÚ›˜ ¿ÓÈÛ˜ Ï¢ڤ˜, ➧ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÁˆÓ›· ÔÚı‹, ➧ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÁˆÓ›· ·Ì‚Ï›· Î·È ➧ Ô͢ÁÒÓÈÔ, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·È ÙȘ ÙÚ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÍ›˜.
Ÿ
™‡Ìʈӷ Ì ·˘Ù¤˜ ÙȘ ‰‡Ô ‚·ÛÈΤ˜ Ù·ÍÈÓÔÌ‹ÛÂȘ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì 7 ›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ: 1. ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ 2. ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ 3. ÙÔ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ 4. ÙÔ Ô͢ÁÒÓÈÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ 5. ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ 6. ÙÔ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ 7. ÙÔ Ô͢ÁÒÓÈÔ ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ ™ÙËÓ ¨ 3.4. ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ‰‡Ô ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô‡Ù ‰‡Ô ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô‡Ù ÌÈ· ·Ì‚Ï›· Î·È ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. EÔ̤ӈ˜, ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ. ™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
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43
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
3.1.2. ™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÔχÁˆÓÔ ÙÚÂȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, B, ∧ ∧ °, ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ AB, A°, B° Î·È ÙÚÂȘ ÁˆÓ›Â˜ B A°, A B°, ∧ A °B. °È· Û˘ÓÙÔÌ›· ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB = Á, A°=‚, ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ B°=· Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ BA°= A, ° BA = B, A °B = °. °È· Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ fiÚÔ˘˜: ·) ÁˆÓ›· ÂÚȯfiÌÂÓË ·fi ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ‚) ÁˆÓ›· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Á) ÁˆÓ›Â˜ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿
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ŒÙÛÈ, .¯. ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, Ë ÁˆÓ›· A Â›Ó·È Ë ÂÚȯfiÌÂÓË ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ηıÒ˜ Î·È Ë ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ∧ ∧ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°, ÂÓÒ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È ° Â›Ó·È ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°.
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™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÂȉÈÎfiÙÂÚ·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙËÓ ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ˜, ÂÂȉ‹ ÔÈ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜, ÂÓÒ Ë ÏÂ˘Ú¿ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·.
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™˘Ó‹ıˆ˜, Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ıˆÚԇ̠fiÙÈ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Ë ·¤Ó·ÓÙ› Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹, ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. MÔÚԇ̠¿ÓÙÔÙ ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ‚¿ÛË, ÔfiÙÂ Ë ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘Ê‹ Â›Ó·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. £ÂˆÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ¿ÓÈÛË ÏÂ˘Ú¿, ÙËÓ ÔÔ›· Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
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H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ·+‚+Á ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÁÈ· Û˘ÓÙÔÌ›· Ì 2Ù (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ù Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ ÙËÓ ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘).
44
TPI°øNA
3.1.
£EøPIA ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó, ›Û˘, ÔÚÈṲ̂ӷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, ΢ÚÈfiÙÂÚ· ·fi Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È oÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ, Ù· ‡„Ë Î·È ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ. °È· ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ‰›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜: ➧
➧
➧
¢È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ · ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ̷. ŸÌÔÈ· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ Ì‚ Î·È ÌÁ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ‚ Î·È Á. ⁄„Ô˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ · ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È ÙËÓ ÔÚı‹ ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B° (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÚÔ˜ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿) Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ˘·. ŸÌÔÈ· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ù· ‡„Ë ˘‚ Î·È ˘Á Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ‚ Î·È Á. ∧
¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ì ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ B° Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ‰·. ŸÌÔÈ· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‚ Î·È ‰Á ∧ ∧ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
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°
A ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ‰· B
M
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3.1.3. KÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ H ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, Ô˘ ÙËÓ ÔÚ›Û·Ì ˆ˜ ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ Î·È Û‡ÌÙˆÛ˘ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ¢‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. TÔ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ ı· Ì·˜ ··Û¯ÔÏ‹ÛÂÈ ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ›ӷÈ: ÔÈ· ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙ· ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ›Û·; T· ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘ÌÂ Î·È ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. £EøPHMA 3.1 (1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¶-°-¶) AÓ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÔÈ ÂÚȯfiÌÂÓ˜ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·.
YfiıÂÛË:
H Û˘ÓÙÔÌÔÁÚ·Ê›· ¶- °- ¶ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ ÏÂ˘Ú¿- ÁˆÓ›·- ÏÂ˘Ú¿.
°È· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
∧
AB = ¢E, A° = ¢Z Î·È B A° = E ¢Z.
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: AB° = ¢EZ.
™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
45
£EøPIA Afi‰ÂÈÍË: MÂÙ·ÙÔ›˙Ô˘Ì ÙÔ AB° Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ¿Óˆ ÛÙË ¢ Î·È ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB ¿Óˆ ÛÙË ¢E. TfiÙÂ, ➧ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ B Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ E ÂÂȉ‹ AB = ¢E, ➧ Ë ÏÂ˘Ú¿ A° ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Â˘ı‡∧ ∧ ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢Z, ÂÂȉ‹ BA° = E¢Z Î·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ Z, ÂÂȉ‹ A° = ¢Z. ∧ ÕÚ·, Ë ÏÂ˘Ú¿ B° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ EZ, Ë ÁˆÓ›· A B° ∧ ∧ ∧ Ì ÙËÓ ¢ EZ Î·È Ë ÁˆÓ›· A °B Ì ÙËÓ ¢ ZE. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Û˘Ì›ÙÂÈ, ÏÔÈfiÓ, Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Â›Ó·È ›ÛÔ ÚÔ˜ ·˘Ùfi. ▲
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
A
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E
Z
¶OPI™MA 3.1. AÓ ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. M ·ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÏËı‡ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ¿ÏÏ· ‰‡Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ·Ú·Î¿Ùˆ (ıˆڋ̷ٷ 3.5. Î·È 3.6.). £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ, fï˜, ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ Î·È Û‡ÌÙˆÛ˘, ÔÚÈṲ̂Ó˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ηıÒ˜ Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ·. £EøPHMA 3.2 AÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ÙfiÙ ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A°. £· ∧ ∧ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ B = °, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ‰‡Ô ηٿÏÏËÏ· ÙÚ›ÁˆÓ· ÛÙ· ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜. º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ë ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ∧ A Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜. TfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È A°¢ Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó AB = A°, A¢ = A¢ ∧ ∧ ∧ ∧ ▲ (ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿) Î·È A1 = A2. ÕÚ·, Â›Ó·È Î·È B = °.
A 1 2
B
¢
°
¶OPI™MA 3.2. OÈ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ¶OPI™MA 3.3. H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ›ӷÈ, ›Û˘, ‡„Ô˜ Î·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜. Afi‰ÂÈÍË: H ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢ Î·È A°¢ (‚Ï. ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·fi‰ÂÈÍË) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÊÂÍ‹˜ ∧ ∧ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ B¢A, A ¢° Î·È ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ B¢, ¢°. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ë ¢A ‰È∧ ∧ ∧ ¯ÔÙÔÌ› ÙËÓ Â˘ı›· ÁˆÓ›· B¢°, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ B¢A, A ¢° Â›Ó·È ÔÚı¤˜ Î·È fiÙÈ ÙÔ ¢ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°. ÕÚ·, Ë A¢ Â›Ó·È ‡„Ô˜ Î·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ▲
46
TPI°øNA
3.1.
£EøPIA £EøPHMA 3.3. K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB , ª ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ Î·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘ Â. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ™A = ™B, fiÔ˘ ™ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â. ∆· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ™AM Î·È ™BM Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ Â›Ó·È ™M = ™M Î·È AM = BM (fiÚÈÛÌ· 3.1.). ÕÚ·, ı· Â›Ó·È Î·È ™A = ™B. ▲
 ™
M
A
B
£EøPHMA 3.4. ™Â ›Û· ÙfiÍ· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‹ ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜.
YfiıÂÛË:
) )
°È· ‰‡Ô )ÙfiÍ· ) AB, °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú) ÈÛ¯‡ÂÈ AB = °¢ .
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: OÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ Â›Ó·È ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ AB = °¢ .
¢
Afi‰ÂÈÍË: º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ OA, OB, O° Î·È O¢. T· ÙÚ›ÁˆÓ· OAB Î·È O°¢ ¤¯Ô˘Ó OA = O°, OB = O¢ (ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ∧ ∧ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ·ÎÏÔ˘) Î·È AOB = ° O¢ (ˆ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚·›ÓÔ˘Ó Û ›Û· ÙfiÍ·). EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· Î·È AB = °¢. H ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ Â›Ó·È ›‰È·. ▲
O A ° B
M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ 1Ô˘ ÎÚÈÙËÚ›Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÒÚ· ÙÔ 2Ô Î·È ÙÔ 3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. £EøPHMA 3.5. (2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. °-¶-°) AÓ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ›Û˜, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·.
YfiıÂÛË:
°È· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ∧ ∧ ∧ ∧ B° = EZ, B = E Î·È ° = Z.
A
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: AB° = ¢EZ. Afi‰ÂÈÍË: AÓ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ AB = ¢E, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ı· Â›Ó·È ›Û·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜. XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ, ‰ËÏ·‰‹ ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ¿ÓÈÛÂ˜Ø ¤ÛÙˆ .¯. fiÙÈ AB > ¢E. TfiÙ ı· ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙËÓ AB ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô H Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ BH = ¢E. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ H°. EÂȉ‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô H Â›Ó·È ÂÛˆÙÂ∧ ∧ ∧ ÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A °B, Ë ÁˆÓ›· H °B < °. T· ÙÚ›ÁˆÓ· HB° ∧ ∧ Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ó BH = ¢E, B° = EZ Î·È B = E. ™‡Ìʈӷ, ÏÔÈfiÓ, Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ›Û· ηÈ, ¿Ú·, ı· ¤¯Ô˘Ó ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Z = H °B. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ ÂÂȉ‹ Z = ° Î·È H °B < °. ™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
BH = ¢E
H
B
E
¢
°
Z
47
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
™ÙÔ ¿ÙÔÔ ·˘Ùfi Ô‰ËÁËı‹Î·ÌÂ, ÂÂȉ‹ ˘Ôı¤Û·Ì fiÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ AB Î·È ¢E Â›Ó·È ¿ÓÈÛÂ˜Ø ¿Ú· AB = ¢E. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ∧ ∧ AB° Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ó, ÏÔÈfiÓ, AB = ¢E, B° = EZ, B = E ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, ı· Â›Ó·È ›Û·. ▲ B
∂
¶OPI™MA 3.4. AÓ Û ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ë ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ÚÔÛΛÌÂÓË Û’ ·˘Ù‹Ó ÔÍ›· ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÂÓfi˜ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ›Û˜ Ì ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÙËÓ ÚÔÛΛÌÂÓË Û’ ·˘Ù‹Ó ÔÍ›· ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·. A
°
¢
∑
£EøPHMA 3.6. (3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¶-¶-¶) AÓ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ٷ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·.
YfiıÂÛË:
°È· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ÈÛ¯‡Ô˘Ó AB = ¢E, B° = EZ Î·È A° = ¢Z.
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: AB° = ¢EZ. ∧
A
∧
Afi‰ÂÈÍË: AÓ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ A = ¢, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ı· Â›Ó·È ›Û·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜. XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠¤Ó· ‚ÔËıËÙÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ ›ÛÔ Ì ÙÔ AB° ÙÔ ÔÔ›Ô Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ˆ˜ ÂÍ‹˜: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ∧ ∧ Z E¯ = B Î·È ¿Óˆ ÛÙËÓ E¯ ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô H Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ EH = AB. º¤ÚÔ˘Ì ÙË ZH. T· ÙÚ›ÁˆÓ· HEZ Î·È AB° ∧ ∧ ¤¯Ô˘Ó EH = AB, EZ = B° Î·È E = B. ÕÚ·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, Â›Ó·È ›Û· Î·È ¤¯Ô˘Ó ∧
B
°
∧
¢
HZ = A° Î·È H = A. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ E¢H Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ÂÂȉ‹ EH = AB Î·È AB = ¢E. EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.2., ı· Â›Ó·È ∧
∧
H1= ¢1 .
2
(1)
E›Û˘, Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Z¢H Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ÂÂȉ‹ HZ = A° Î·È A° = ¢Z, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ∧
1
^ ^ ZE¯ = B EH = AB
∧
H2 = ¢2 .
Z
∂
(2)
Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2), Ì ÚfiÛıÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË, ‚Ú›∧ ∧ ∧ ∧ ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ H = ¢ Î·È ÂÂȉ‹ H = A Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÙÂÏÈο, fiÙÈ ∧ ∧ ı· Â›Ó·È A = ¢. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ó, ÏÔÈfiÓ, ∧
1
∧
AB = ¢E, A° = ¢Z, A = ¢ ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, ı· Â›Ó·È ›Û·.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
2
H ¯
▲
3.1.
™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·fi‰ÂÈÍË Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ‹Ù·Ó Ô͢ÁÒÓÈ·. N· οÓÂÙ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, fiÙ·Ó ∧ ∧ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È E ›ӷÈ: ·)·Ì‚Ï›˜ Î·È ‚) ÔÚı¤˜.
48
TPI°øNA
3.1.
£EøPIA ¢ PA ™ T H P I OT H TA H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ 3Ô˘ ÎÚÈÙËÚ›Ô˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú¯·›Ô ŒÏÏËÓ· Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi º›ÏˆÓ· ÙÔ B˘˙¿ÓÙÈÔ (3Ô˜ ‹ 2Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .X.) O E˘ÎÏ›‰Ë˜ ÛÙ· «™ÙÔȯ›·» (BÈ‚Ï›Ô I, ÚfiÙ·ÛË 8) ›¯Â ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ Î·È Û’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ Î·È ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÈ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È ¢EZ, ÌÂٷΛÓËÛÂ Î·È ÙÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ AB° ÛÙË ı¤ÛË HEZ, fiˆ˜ ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· (EZ = B°, EH = AB = ¢E, HZ = A° = ¢Z), Î·È ¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô H Û˘Ì›ÙÂÈ ˘Ô¯ÚˆÙÈο Ì ÙÔ ¢. MÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù Û ÔÈÔ ¿ÙÔÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ηٷϋÁÔ˘ÌÂ, ·Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ H ‰ÂÓ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ¢;
3.2. A
B
° H
¢
E
Z
M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ 3Ô˘ ÎÚÈÙËÚ›Ô˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: £EøPHMA 3.7 (AÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 3.4.) ™Â ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‹ ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ›Û· ÙfiÍ·.
YfiıÂÛË:
°È· ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ AB, °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú) ÈÛ¯‡ÂÈ AB = °¢.
) )
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: T· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ· Â›Ó·È ›Û·, ‰ËÏ·‰‹ AB = °¢. Afi‰ÂÈÍË: º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ OA, OB, O° Î·È O¢. T· ÙÚ›ÁˆÓ· OAB Î·È O°¢ ¤¯Ô˘Ó OA = O°, OB = O¢, AB = °¢ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, ı· Â›Ó·È ›Û·. ∧ ∧ ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ ) ) AOB = ° O¢. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ù· ÙfiÍ· AB Î·È °¢ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›Û˜. ▲
¢ O A °
¶APATHPH™H. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 (¨ 2.4.3.) ›¯·Ì ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ›ÎÂÓÙÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. T· ıˆڋ̷ٷ 3.4. Î·È 3.7. Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó, ›Û˘, Ó· ·Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ.
B
£EøPHMA 3.8 H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‡„Ô˜ Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A° Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛfi˜ ÙÔ˘ AM. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ABM Î·È A°M Â›Ó·È ›Û·, ۇ̙‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
49
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
ʈӷ Ì ÙÔ 3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó AB = A°, AM = AM Î·È BM = M° (ÙÔ M Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Ù˘ B°). ÕÚ·, ı· ∧ ∧ ∧ ∧ ¤¯Ô˘Ó A1 = A2 Î·È M1 = M2. Afi ÙËÓ ÚÒÙË ÈÛfiÙËÙ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë AM Â›Ó·È ‰È∧ ¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A. Afi ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÈÛfiÙËÙ· fiÙÈ Ë MA ‰È¯ÔÙÔÌ› ∧ ∧ ∧ ÙËÓ Â˘ı›· ÁˆÓ›· BM°, ‰ËÏ·‰‹, fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ M1, M2 Â›Ó·È ÔÚı¤˜ ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ AM Â›Ó·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ▲
A
1 2 1 B
2 M
°
¶APATHPH™H. Ÿˆ˜ Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi ·fi ÙÔ fiÚÈÛÌ· 3.3. Î·È ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Û οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜, Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È.
3.1.4. KÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ £EøPHMA 3.9 ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹Ô٠Ϣڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. Afi‰ÂÈÍË: ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. TfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (fiÚÈÛÌ· 3.1.). ‚) T· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Î·È ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Ù¤ÙÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ∧ ∧ ¢EZ Ì A = ¢ = 90Æ, B° = EZ Î·È AB = ¢E.* £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÒÓÙ·˜ Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ηٿÏÏËÏ· ÙÚ›ÁˆÓ·, fiÙÈ Î·È ÔÈ ÂÚȯfiÌÂÓ˜ ÛÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∧ ∧ ÁˆÓ›Â˜ E Î·È B Â›Ó·È ›Û˜. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, ¢E ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙˆÓ A, ¢ Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ÛÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AK = AB, ¢§ = ¢E. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È AK° Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ (¶-°-¶). ÕÚ·, K° = B°. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢EZ Î·È ¢§Z ¤¯Ô˘Ì §Z = EZ. EÂȉ‹, fï˜, ÛÙȘ ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ÈÛfiÙËÙ˜ Ù· ‰Â‡ÙÂÚ· ̤ÏË Â›Ó·È ›Û·, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ K° = §Z. Œ¯Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· °KB Î·È Z§E ÛÙ· ÔÔ›· Â›Ó·È K° = §Z, B° = EZ Î·È KB = §E (ˆ˜ ‰ÈÏ¿ÛÈ· ÙˆÓ ›ÛˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È ¢E). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ›ӷÈ
°
K
A
B
Z
§
¢
E
* ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È ÌÈ· ÌË ÂÚȯfiÌÂÓË Û’ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›·. ÕÚ·, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜.
50
TPI°øNA
3.1.
£EøPIA ∧
∧
›Û· ηÈ, ¿Ú·, E = B. TfiÙÂ, fï˜, ·fi ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜, Î·È Ù· ·Ú¯Èο ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Â›Ó·È ›Û·. ▲ ¶OPI™MA 3.5. TÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜. A
¶OPI™MA 3.6. H οıÂÙË ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘
∫ B
£EøPHMA 3.10. ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ÙȘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ì ∧
∧
∧
°
∧
BH = ¢E
A = ¢ = 90Æ, B° = EZ Î·È E = B.*
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·ÚΛ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· 3.9., Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ AB=¢E. XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ, ‰ËÏ·‰‹ ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ÔÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ¿ÓÈÛÂ˜Ø ¤ÛÙˆ .¯. fiÙÈ AB > ¢E. TfiÙ ı· ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙËÓ AB ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô H Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ BH = ¢E. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ H°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· HB° Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ó ∧ ∧ BH = ¢E, B° = EZ Î·È B = E.
A H Z
B
¢
E
™‡Ìʈӷ, ÏÔÈfiÓ, Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ›Û· ηÈ, ∧ ∧ ¿Ú·, ı· ¤¯Ô˘Ó H = ¢ = 90Æ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ¿ÁÔÓÙ·È ‰‡Ô οıÂÙ˜ ÛÙËÓ AB. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ▲ ∆· ÂfiÌÂÓ· ıˆڋ̷ٷ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÎÚÈÙËÚ›ˆÓ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. £EøPHMA 3.11. (∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 3.3.) K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Î·È ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ™ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ™A = ™B. º¤ÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ ™ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· AB Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì M ÙÔ ÛË-
™
M
A
B
* ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÌÈ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÚÔÛΛÌÂÓË Û’ ·˘Ù‹Ó. ÕÚ·, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜.
™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
51
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
ÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜. TÔ M ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ‹ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ™AM Î·È ™BM Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ™M ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û˜ ™A Î·È ™B ›Û˜. ÕÚ·, ı· Â›Ó·È AM = MB. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ·ÔÎÏ›ÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ó· Â›Ó·È ÙÔ M Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ AB, ÂÂȉ‹ Ù· ÛËÌ›· A, B Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο. ÕÚ·, ÙÔ M Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ AB ηÈ, ÂÂȉ‹ AM = MB, ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ™M ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ AB. ▲
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M
A
B
£EøPHMA 3.12. K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË:
∧
·) ŒÛÙˆ O‰ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯ O„, ™ ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Î·È A, B ÔÈ ÔÚı¤˜ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ™ ¿Óˆ ÛÙȘ O¯, O„ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. TfiÙ ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AO™ Î·È BO™ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· O™ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ ∧ ∧ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ O1 Î·È O2 ›Û˜. ÕÚ·, ı· Â›Ó·È ™A = ™B, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.
„ B ™
2 1
O
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A
∧
‚) ŒÛÙˆ, ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯ O„ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ™ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ™A Î·È ™B ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ó· Â›Ó·È ›Û˜. TfiÙ ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AO™ Î·È BO™ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· O™ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ™A Î·È ™B ∧ ∧ ›Û˜. ÕÚ·, ı· Â›Ó·È O1 = O2, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜. ▲
¯
£EøPHMA 3.13. TÔ Î¤ÓÙÚÔ Î‡ÎÏÔ˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË: ·) ŒÛÙˆ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ O Î·È ‰‡Ô ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘ AB Î·È °¢. º¤ÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ O ÙȘ οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙȘ AB, °¢ Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì K Î·È § ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ fiÚÈÛÌ· 3.6., ÙÔ K ı· Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ AB Î·È ÙÔ § ̤ÛÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ °¢. ÕÚ·, AK = °§ ˆ˜ ÌÈÛ¿ ›ÛˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. E›Û˘, OA = O° ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.9., Ù· ÔÚ-
52
¢
A
O §
K B
°
TPI°øNA
3.1.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· OKA Î·È O§° ı· Â›Ó·È ›Û· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ OK = O§. ‚) ŒÛÙˆ, ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, fiÙÈ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ OK Î·È O§ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O ·fi ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ Â›Ó·È ›Û˜. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· OKA Î·È O§° Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ›Û·, ÂÂȉ‹ OK = O§, OA = O° Î·È ÂÔ̤ӈ˜ AK = °§. ÕÚ· ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ Â›Ó·È ›Û˜ ˆ˜ ‰ÈÏ¿ÛÈ· ›ÛˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. ▲
O P I ™ M √ ™ TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙËÓ ÔÚı‹ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ Û ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÚÔ˜ ÙË ¯ÔÚ‰‹), ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·fiÛÙËÌ· Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜.
O
A
B
M
M ÙÔÓ ›‰ÈÔ fiÚÔ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘ÌÂ, ›Û˘, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÔÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ·fi ÙË ¯ÔÚ‰‹. ¶APATHPH™H. TÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ·Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ‰‡Ô ¯ÔÚ‰ÒÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÛÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ÔÛÙËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘˜.
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ‡„Ë ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û·. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (AB = A°) Î·È Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ B¢, °E. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ B¢ = °E. T· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· B¢, °E Â›Ó·È Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢, A°E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ›∧ ∧ Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· (¢ = E = 90Æ), ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û˜ (AB = A°) Î·È ÙËÓ ∧ ÔÍ›· ÁˆÓ›· A ÎÔÈÓ‹. ÕÚ·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.10, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ B¢ = °E.
A
E
¢
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: H ·Ú·¿Óˆ ·fi‰ÂÈÍË ¤ÁÈÓ ÁÈ· Ô͢ÁÒÓÈÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›µ ° ÁˆÓÔ. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË, fiÙ·Ó ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ·) ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ‚) ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ. E›Û˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÚfiÙ·ÛË, ÙÈ ÌÔÚ›Ù ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ ÁÈ· Ù· ‡„Ë ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
53
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ›Û˜ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ì ∧
B
∧
1
A = ¢ = 90Æ, AB = ¢E Î·È AB + A° + B° = ¢E + ¢Z + EZ.
EÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È Î·È A° + B° = ¢Z + EZ . (1) A ° H ¶ÚÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ A° Î·È ¢Z ·ÓÙ›ÛÙÔÈE ¯· ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °H = B° Î·È Z£ = EZ, 1 ÔfiÙÂ Ë (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È AH = ¢£. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ABH Î·È ¢E£ Â›Ó·È ›Û· (AB = ¢E Î·È AH = ¢£). ÕÚ·, ∧ ∧ BH = E£ Î·È H = £. ¢ Z £ T· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· B°H Î·È EZ£ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ∧ ∧ ∧ ∧ ¤¯Ô˘Ó BH = E£ Î·È B1 = H = £ = E1. EÔ̤ӈ˜, B° = EZ. ŒÙÛÈ, Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ó AB = ¢E Î·È B° = EZ. ÕÚ·, Â›Ó·È ›Û· (ıÂÒÚËÌ· 3.9).
3
AÓ Û’ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ AB = B° Î·È A¢ = °¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Ì›· ‰È·ÁÒÓÈfi˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ ¿ÏÏ˘. Afi‰ÂÈÍË: TÔ ÛËÌÂ›Ô B ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ÛËÌ›· A Î·È ° (BA = B°) ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ B ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ A°. E›Û˘, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, ·ÊÔ‡ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· A Î·È ° (¢A = ¢°), ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ A°. ŒÙÛÈ, ÏÔÈfiÓ, Ù· B, ¢ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ A° Î·È ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ B¢ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ A°.
4
B
°
A
¢
AÓ A, B Â›Ó·È Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ì ΤÓÙÚ· O, K Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú = OK, Ó· ∧ ∧ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A OB Î·È A KB Â›Ó·È ›Û˜, Ë OK Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ OK⊥AB. Afi‰ÂÈÍË: OÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ Â›Ó·È ›ÛÔÈ Î·È ÔÈ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆA ∧ ∧ ӛ˜ AOB Î·È AKB ÙˆÓ ‰‡Ô ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÙfiÍ· AKB Î·È AOB. T· ÙfiÍ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ¯ÔÚ‰‹ AB ÙˆÓ ‰‡Ô ›ÛˆÓ ·1 ∧ ∧ O 2 K ÎψÓ. ÕÚ·, Â›Ó·È Î·È A OB = A KB. OÈ ¯ÔÚ‰¤˜ KA, KB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O Â›Ó·È ›Û˜, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ K. EÔ̤ӈ˜, ÔÈ Â›ÎÂ∧ ∧ B ÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ O1 Î·È O2, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙȘ ›Û˜ ¯ÔÚ∧ ‰¤˜ KA Î·È KB, Â›Ó·È ›Û˜ ηÈ, ¿Ú·, Ë OK Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A OB. OÌÔ›ˆ˜ ·Ô∧ ‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ë OK Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A KB. T¤ÏÔ˜, ÛÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ OAB (OA = OB ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ·ÎÏÔ˘), Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Áˆ∧ Ó›·˜ O Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ OK⊥AB.
54
TPI°øNA
3.1.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
Y¿Ú¯ÂÈ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î¿ÔÈ· ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘;
2.
AÓ Ì›· ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ›Û˜, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·;
A B AKTH
3.
Y¿Ú¯ÂÈ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰‡Ô ‡„Ë Â›Ó·È Â›Û˘ Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ;
4.
™Â ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ›Û· ÙfiÍ·;
5.
ŒÛÙˆ ¢ ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. BÚ›Ù ÙË ÁÚ·ÌÌ‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ¢, fiÙ·Ó: ·) ¢B = ¢°, ‚) ÙÔ ¢ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ AB Î·È B°.
6.
™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜  Ԣ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· A Î·È B. B
9.
°È· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ¤Ó·˜ ÙÔÔÁÚ¿ÊÔ˜ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÌÈ·˜ Ï›ÌÓ˘, ÙÔÔıÂÙ› ‰‡Ô ‰Â›ÎÙ˜ A, B ÛÙȘ fi¯ı˜ Ù˘ Ï›ÌÓ˘ Î·È ¤Ó· ‰Â›ÎÙË ° Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ °A Î·È °B Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂÙÚËıÔ‡Ó ÛÙËÓ ÍËÚ¿. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·›ÚÓÂÈ ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ °B ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ = °B Î·È ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ °A ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °E = °A. ¶Ò˜ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙÚËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ Ù˘ Ï›ÌÓ˘ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜; A
A
°
Â
B
 B
(·)
7.
(‚)
BÚ›Ù ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜  Ԣ ÈÛ·¤¯ÂÈ ∧ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¯O„. O
 „ ¯
8.
¢‡Ô ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈ· A Î·È B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÎÔÓÙ¿ Û ÌÈ· ·ÎÙ‹, fiÔ˘ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÌÈ· ·Ô‚¿ıÚ· Ô˘ ı· Â͢ËÚÂÙ› Î·È Ù· ‰‡Ô ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈ·. ™Â ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙËı› Ë ·Ô‚¿ıÚ·, ÒÛÙ ӷ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ‰‡Ô ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈ·;
™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
§›ÌÓË
¢
A
E
10. ŒÓ·˜
·Ú·ÙËÚËÙ‹˜, „ ¯ ÁÈ· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙËÓ ¶′ ·fiÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ÏÔ›Ô˘ ¶ ·fi ÛËÌÂ›Ô A Ù˘ ·ÎÙ‹˜, ıˆÚ› Î·È A ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô B B Ù˘ ·ÎÙ‹˜ Î·È Ì ¤Ó· ÁˆÓÈfiÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿ ÙȘ ∧ ÁˆÓ›Â˜ ¶ AB Î·È ¶ ∧ ¶ BA. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ÌÂÙÚ¿ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ BA¯ Î·È A B„ ›Û˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜. ™Â ÙÈ ·Ô‚ϤÂÈ Ì’ ·˘Ùfi ÙÔÓ ÙÚfiÔ; MÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹;
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ‚) ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
9.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÛÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ·) ›Û· ‡„Ë, ‚) ›Û˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È Á) ›Û˜ ‰È¿ÌÂÛÔÈ.
10. ™Â
3.
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ‚) ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.
4.
™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (AB = A°) Ó· ʤÚÂÙ ٷ ‡„Ë B¢, °E Î·È Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E ›ӷÈ, ›Û˘, ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
5.
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ O¯ Î·È O„ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯ O„ ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È OA = OB. ·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M ∧ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ ¯O„ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· A Î·È B. ‚) AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ AM Î·È BM Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ O„ Î·È O¯ ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ i) A° = B¢, ii) ª° = M¢ Î·È iii) B° = A¢.
6.
7.
8.
56
∧
™’ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O ʤÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÌÈ·˜ ·ÎÙ›Ó·˜ OA, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· B Î·È °. N· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙÔ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ABO° ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜. ÌÈ· ¢ı›·  ·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Î·È Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB = 2Ú ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O. °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ, ›Û˘, ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚ· A, B Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú. ŒÛÙˆ °, ¢ Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ·˘ÙÒÓ Ì ÙÔÓ ÚÒÙÔ Î‡ÎÏÔ, Ù· ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ∧ ∧ Ù˘ Â. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ AO° = BO¢.
11. ·)
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ¯ÔÚ‰‹˜ ·ÎÏÔ˘, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜, ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ‚) ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÚfiÙ·Û˘.
12. ™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∧ ∧
AB° Î·È ¢EZ Â›Ó·È B° = EZ, B = E Î·È ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ BM Î·È EP Â›Ó·È ›Û˜. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·.
13. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜
AB Î·È A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘Ó AB° ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ A Î·È ÛÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ = AB Î·È AE = A°. ·) N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢E Î·È B°. ‚) AÓ Ë ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ AM ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ¢E ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô P, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AP Â›Ó·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A¢E. Á) EϤÁÍÙ ·Ó ·ÏËı‡ÂÈ ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ AN ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘. ‚) N· ÁÂÓÈ·ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ȉ›ÔÙËÙ·, ıˆÚÒÓÙ·˜ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘.
14. N·
™¯Â‰È¿ÛÙ ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, ¢B° Ì ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË B° Î·È ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÙ ÙÔ fiÙÈ Ë Â˘ı›· A¢ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ B°.
15. N· ۯ‰ȿÛÂÙ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ·
™Â ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ AB ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ÁÈ· Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ∧ A° = B¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A O° Î·È ∧ BO¢ Â›Ó·È ›Û˜. TÈ Â›‰Ô˘˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÙÔ O°¢;
ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. OAB Î·È O°¢ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ O Ó· Â›Ó·È ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ A° Î·È B¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ OM ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ OAB, fiÙ·Ó ÚÔÂÎÙ·ı›, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ °¢.
TPI°øNA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
3.1.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô A, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O, ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· B Î·È ° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∧ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B A° ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ O.
2.
™ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ A, ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ = AB Î·È AE = A°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ B°, ¢E ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÂ›Ù·È ·’ ·˘Ùfi.
3.
·) AÓ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ AB = ¢E, A° = ¢Z Î·È B = E, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ∧ ∧ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ° Î·È Z Â›Ó·È ›Û˜ ‹ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ‚) ¢‡Ô ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ÛÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ° Î·È Z ¤¯Ô˘Ó AB = ¢E, ∧ ∧ A° = ¢Z Î·È B = E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·.
7.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È Ù· ÛËÌ›· ¢, E, Z ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì B¢ = °E = AZ. T· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢, BE, °Z Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô ÛÙ· ÛËÌ›· H, £, K. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) A¢ = BE = °Z Î·È ‚) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ H£K Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
8.
AÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· B¢ = AB Î·È °E = A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· B°.
9.
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ O¯ Î·È O„ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· A, B Î·È °, ¢ Ì OA = O° Î·È OB = O¢. AÓ E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ A¢, B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ∧ ∧ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ¯O„ Î·È E OZ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‰È¯ÔÙfiÌÔ.
∧
10. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó 4.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ. º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ AH Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ B£ ÙÔ˘ AB°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô K. E›Û˘, ÛÙÔ ¢EZ ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ ¢M Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ EN Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô P. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·) K£ Î·È PN, ‚) KH Î·È PM. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A′B′°′ Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó A = A′ < 90Æ, ˘· = ˘·′ Î·È ˘‚ = ˘‚′.
6.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ µ∞ Î·È °A ÚÔ˜ ÙÔ A Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ = A° Î·È AE = AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ Ë Â˘ı›· ¢E Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ∧
∧
∧
·) A EB = A BE, A E¢ = A B° Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MµE Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ∧
‚) H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ BME ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A.
™‡ÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ
11. AÓ
Ù· ‡„Ë B¢ Î·È °E ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° (AB = A°) Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· AM Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ¢E Î·È B°.
12. ™Â ·ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘
5.
∧
¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ‰È¿ÌÂÛÔ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.
O ·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜, ÔÈ Ôԛ˜, fiÙ·Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó, Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô M ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) TÔ ÛËÌÂ›Ô M ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ·˘ÙÒÓ. ‚) H OM ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ÁˆÓ›· ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ. (°ˆÓ›· ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ÙˆÓ ÊÔÚ¤ˆÓ ÙÔ˘˜).
13. ¢‡Ô ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜
AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô M ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
57
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
3.2. µ·ÛÈÎÔ› ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› ÙfiÔÈ Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ Ô˘ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Î·È ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Ù˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ ·˘Ù‹˜.* ŒÙÛÈ, ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ÔÈÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÔ ÌÈ·˜ ȉÈfiÙËÙ·˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ٷ ÂÍ‹˜:
Œ
➧
ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË È‰ÈfiÙËÙ·.
➧
K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ¤¯ÂÈ ·˘Ù‹ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Û¯‹Ì·.
ŒÙÛÈ, Ô Î‡ÎÏÔ˜ (K, Ú) Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô K ·fiÛÙ·ÛË Ú. T· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Ù· ÌfiÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ·, ÂÂȉ‹ οı ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ K ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙÔ Ú. TÔ ıÂÒÚËÌ· 3.3. Ì·˜ ‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ: ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. EÓÒ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.11. Ì·˜ ‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ: K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘. EÔ̤ӈ˜: O ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘. TÔ ıÂÒÚËÌ· 3.12. Ì·˜ ‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ: T· ÛËÌ›· Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜, Î·È ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¿, ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜. EÔ̤ӈ˜: O ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘. ¶APATHPH™H. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ οı ¤Ó· ·fi Ù· ‚‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó·Ê¤Ú·ÌÂ, ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ·ÔÙÂÏ› ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÔ, ‰›ÓÂÙ·È ·fi ¤Ó· ıÂÒÚËÌ·, Ù· 3.3. Î·È 3.11. ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÂÓÒ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰‡Ô ‚‹Ì·Ù· ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È Û ¤Ó· ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ 3.12.
* ™’ ·Ó·ÏÔÁ›· Ì’ ·˘Ùfi, ÛÙËÓ AÚÈıÌËÙÈ΋ ı· ϤÁ·ÌÂ: ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ N, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ¿ÚÙÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ N2 ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ «·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÙfiÔ» ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2. ŒÙÛÈ, fiÏÔÈ ÔÈ ¿ÚÙÈÔÈ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2 Î·È Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 2 Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ (·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ N2).
58
TPI°øNA
3.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ¢ PA ™ T H P I OT H TA
3.3.
E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ, ·Ó ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Û ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÙfiÔ˘˜, ÙfiÙ ı· ¤¯ÂÈ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· fiÏˆÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙfiˆÓ.* M ‚¿ÛË ·˘Ù‹ ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÙfiÔ˘˜, Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ: ➧ ·fi ÙÚ›· ‰Â‰Ô̤ӷ ÛËÌ›· ➧ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ¢È·Ù˘ÒÛÙ ÙȘ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ Û·˜ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ.
EÊ·ÚÌÔÁ‹ N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ Î¤ÓÙÚˆÓ ÙˆÓ Î‡ÎψÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ‰‡Ô ‰Ôı¤ÓÙ· ÛËÌ›· A Î·È B. §‡ÛË: ŒÛÙˆ K ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ‰Ôı¤ÓÙ· ÛËÌ›· A Î·È B. T· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· KA, KB Â›Ó·È ›Û·, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TÔ ÛËÌÂ›Ô K, ÏÔÈfiÓ, ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· A, B Î·È ÂÔ̤ӈ˜, ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË Â ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘  ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ MA = MB, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Î‡ÎÏÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· A Î·È B. ÕÚ·, ÏÔÈfiÓ, Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙË Â ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB.
Â
K A
B
M
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ ∧
1.
¶ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ Î·È ·¤¯ÂÈ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÛÙ·ıÂÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË ·;
2.
¶Ò˜ ÌÔÚ› Ó· ‚ÚÂı› ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ·fiÛÙ·ÛË ›ÛË Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ AB;
3.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÂΛÓÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ ∧ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘, ·ÏÏ¿ Î·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· A Î·È B ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ O¯ Î·È O„ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·; (OÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·fi Ù· A Î·È B Â›Ó·È ‰È·ÊÔÂÚÂÙÈΤ˜ ·fi ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜).
* ™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù˘ AÚÈıÌËÙÈ΋˜, Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔÈ Î·È ÚÒÙÔÈ. ( ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÒÙÔ˜, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤ÙË ÌfiÓÔ ÙÔÓ 1 Î·È ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘).
µ·ÛÈÎÔ› ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› ÙfiÔÈ
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£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ A ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚ‹ ‚¿ÛË B° = · Î·È ‰Ôı›۷ ‰È¿ÌÂÛÔ Ì· = Ï.
2.
AÓ ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ÛËÌ›· A Î·È B, Ó· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙÔ˘ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ¢ı›˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ B. (°È· ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· ‚Ϥ ÛÂÏ›‰· 21).
3.3. ™˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· 3.3.1. ™¯‹Ì·Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ - KÂÓÙÚÈ΋ Û˘ÌÌÂÙÚ›· Ó· ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô O, fiÙ·Ó ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· OA ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô A′ ·˘ÙÔ‡ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ OA = OA′. TÔ ÛËÌÂ›Ô O ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ÂÓÒ Ï¤Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A Î·È A′ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ O. TÔ Û¯‹Ì· ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È ÎÂÓÙÚÈο Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ‹ fiÙÈ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÎÂÓÙÚÈ΋ Û˘ÌÌÂÙÚ›·. ➧ ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ M. ➧ O ·ÎÏÔ˜ (K, Ú) Â›Ó·È Û¯‹Ì· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ K. TÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ M ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ·ÓÙȉȷÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ M′. ➧ TÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi οı ÛËÌ›Ԣ M ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ›ӷÈ, ›Û˘, ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜. H ¢ı›· ÌÔÚ›, ÏÔÈfiÓ, Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ¤Ó· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· Ì ¿ÂÈÚ· ΤÓÙÚ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ➧ TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¯ˆÚ›˜ ηӤӷ ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
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3.3.2. ™¯‹Ì·Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· - AÍÔÓÈ΋ Û˘ÌÌÂÙÚ›· £ÂˆÚԇ̠ÌÈ·Ó Â˘ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜. º¤ÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ A ÙËÓ Â˘ı›· ‰⊥ Ԣ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ O Î·È ÛÙËÓ ·ÓÙÈΛÌÂÓË ËÌÈ¢ı›· Ù˘ OA ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A′ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ OA = OA′. TÔ ÛËÌÂ›Ô A′ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. E›Û˘, ϤÌ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A, A′ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â.
60
A
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O Â A′
TPI°øNA
3.3.
£EøPIA Afi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÛËÌ›· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘. ŒÓ· ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÌÈ·Ó Â˘ı›· Â, fiÙ·Ó ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi A′ ÙÔ˘ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌÂ, ›Û˘, fiÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ·ÍÔÓÈ΋ Û˘ÌÌÂÙÚ›·. ∧ £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„, ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ O‰ Î·È ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ O¯. º¤ÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ M ÙËÓ Â˘ı›· Â⊥O‰, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ O‰ ÛÙÔ A Î·È ÙËÓ O„ ÛÙÔ M′. Ÿˆ˜ ‡ÎÔÏ· ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Âȯı›, Â›Ó·È AM = AM′ ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M′ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ M ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜. Afi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ: ➧ H ÁˆÓ›· Â›Ó·È Û¯‹Ì· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Ì ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘. TÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi M′ οı ÛËÌ›Ԣ M ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘ ·Ó‹ÎÂÈ Â›Û˘ ÛÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. K¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÌÔÚ›, ›Û˘, Ó· ıˆÚËı› Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘. ÕÚ·: ➧ ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Â›Ó·È Û¯‹Ì· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Ì ‰‡Ô ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙË ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘. E‡ÎÔÏ· ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ›Û˘, Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi οı ÛËÌ›Ԣ M ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ AB, Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M′ Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ, ›Û˘, ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. ➧ O ·ÎÏÔ˜, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi˜ ˆ˜ ÚÔ˜ οı ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘, ¤¯ÂÈ ‰ËÏ·‰‹ ¿ÂÈÚÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ (‚Ï. fiÚÈÛÌ· 3.6.). ➧ TÔ ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¯ˆÚ›˜ Î·Ó¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ➧ TÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ ÊÔÚ¤· Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ (ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜, Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘) Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜. ➧ TÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
™˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
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61
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
TÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô O Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ÛËÌÌÂÙÚÈο A′ Î·È B′ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O ÙˆÓ A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. Afi‰ÂÈÍË: AÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O οı ÛËÌ›Ԣ ° ÙÔ˘ AB Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A′B′ Î·È fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ¢′ ÙÔ˘ A′B′ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ AB.
A
°
¢
B
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➧
EÂȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· OAB Î·È OA′B′ Â›Ó·È ›Û·, ¤¯Ô˘∧ ∧ Ì BAO = B′ A′O. AÓ Ë Â˘ı›· °O Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ A′B′ ÛÙÔ B′ ¢′ °′ A′ ÛËÌÂ›Ô °′, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· OA° Î·È OA′°′ Â›Ó·È ›Û·, ∧ ∧ ∧ ∧ ÂÂȉ‹ OA = OA′, A O° = A′O°′ Î·È B AO = B′ A′O. EÔ̤ӈ˜, O° = O°′, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ °′ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O.
➧
OÌÔ›ˆ˜, ·Ó Ë Â˘ı›· ¢′O Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ AB ÛÙÔ ¢, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AO¢ Î·È A′O¢′ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ ¢′ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ¢ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O.
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: AÔ‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È, ›Û˘, fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο A′ Î·È B′ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â ÙˆÓ A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
2
AÓ ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O, ÙfiÙ ÙÔ O Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. Afi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È Â1, Â2 ÔÈ Î¿ıÂÙÔÈ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È M ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. TÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi N ÙÔ˘ M ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â1 Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. E›Û˘, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi P ÙÔ˘ N ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â2 Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· M, P Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O. Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ OAM, OAN Î·È OBN, OBP ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ∧
∧
OM = ON = OP, O1 = O2
∧
Â2
O 4 3
P
B
1 2
M
A Â1
N
∧
Î·È O3 = O4.
∧
∧
EÂȉ‹ ÔÈ OA Î·È OB Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ M ON Î·È N OP ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. EÔ̤ӈ˜, Ù· ÛËÌ›· M, O, P Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο Î·È ·ÊÔ‡ OM = OP, Ù· M Î·È P Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ O. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ O Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.
62
TPI°øNA
3.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
AÓ ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ı· ¤¯ÂÈ Î·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜;
2.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ËÌÈ¢ı›·˜ O¯ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O;
3.
™¯Â‰È¿ÛÙ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ·) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, ‚) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· B¯, Á) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· AB. B
O ¯ ¯
A
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Â›Ó·È ÙÚ›ÁˆÓÔ ›ÛÔ Ì ÙÔ AB°.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô O Â›Ó·È ›Û·.
™˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
3.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· B° Â›Ó·È ÙÚ›ÁˆÓÔ ›ÛÔ Ì ÙÔ AB°.
63
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
3.4. ∞ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ 3.4.1. ™¯¤ÛÂȘ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ Î·È ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ £EøPHMA 3.14 K¿ı Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·ıÂÌÈ¿˜ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ. Afi‰ÂÈÍË: ™Â ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∧ B° ÚÔ˜ ÙÔ °. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· A °¯ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·ıÂÌÈ¿˜ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ∧ ∧ ∧ A Î·È B. °È· Ó· Á›ÓÂÈ ·˘Ùfi, ı· «ÌÂٷʤÚÔ˘Ì» ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ A Î·È ∧ B Û ٤ÙÔÈ· ı¤ÛË, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë Û‡ÁÎÚÈÛ‹ ÙÔ˘˜ Ì ∧ ÙËÓ A °¯. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A°, ÙfiÙ ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ BM ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ M¢ = BM Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ¢°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ABM Î·È ¢M° Â›Ó·È ›Û·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó AM = M°, ∧ ∧ BM = M¢ Î·È AMB = ¢M° (ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜). ÕÚ·, ı· ∧ ∧ ¤¯Ô˘Ì A = M °¢. EÂȉ‹ ÙÔ ¢ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ÁˆÓ›·˜ A °¯, Â›Ó·È A °¯ > M °¢, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ A °¯ > A. M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÚÔÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ A° Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∧ Ë A °¯ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·È ·fi ÙËÓ B. ▲
A
¢
ª¢ = µª M
°
B
¯
¶OPI™MA 3.7. K¿ı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ Ôχ ÌÈ· ·Ì‚Ï›· ‹ ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. ∧
A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÂÂȉ‹, ·Ó .¯. Ë ÁˆÓ›· A Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ∧ ÙfiÙÂ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ A ı· Â›Ó·È ÔÍ›·. EÔ̤ӈ˜, Î·È ∧ ∧ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È °, ˆ˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ·˘Ù‹˜, ı· Â›Ó·È ÔÍ›˜. £EøPHMA 3.15 (·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 3.2.) AÓ Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜ (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜).
A
A¢ = A°
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ∧
∧
B=° .
(1)
£· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ AB = A°, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ.
64
¢ B
°
TPI°øNA
3.4.
£EøPIA YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° Â›Ó·È ¿ÓÈÛ˜, .¯. fiÙÈ AB > A°. TfiÙ ı· ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙËÓ AB ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ A¢ = A°, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢° ı· Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ηÈ, ¿Ú·, ∧ ∧ (2) A ¢° = A °¢ . ∧
ŸÌˆ˜, Ë A ¢° Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ B¢° ηÈ, ∧ ∧ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ı· Â›Ó·È A ¢° > B. Afi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÓÈÛfiÙËÙ· Î·È ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) ∧ ∧ ∧ ∧ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ A °¢ > °, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ ÁÈ·Ù› A °¢ < °. ▲ ¶OPI™MA 3.8. AÓ ÔÈ ÙÚ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
3.4.
™‡Ìʈӷ Ì fiÛ· ¤¯Ô˘Ì ·Ó·Ê¤ÚÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙÒÚ·, ·Ó Û ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ·, fiˆ˜ Ù· AB° Î·È ¢EZ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Â›Ó·È ∧ ∧ ∧ ∧ B° = EZ, B = E Î·È A = ¢, ÙfiÙ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ı· ∧ ∧ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A Î·È ¢ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ (2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ). E›Ó·È, fï˜, ÁÓˆÛÙfi ·fi ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Î¿ı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ, ÔfiÙ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ˙‡ÁË ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ı· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ Î·È ÙȘ ¿ÏϘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜. A˘Ùfi, fï˜, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ‰ÂÓ ÙÔ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ. MÔÚԇ̠fï˜ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì (Î·È Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ ¤Ó· 4Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ), ÙÔ ÂÍ‹˜:
A
B
° ¢
4Ô KPITHPIO I™OTHTA™ TPI°øNøN AÓ Û ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ë ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿, Ë ·¤Ó·ÓÙ› Ù˘ ÁˆÓ›· Î·È ÌÈ· ÚÔÛΛÌÂÓË Û’ ·˘Ù‹Ó ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÂÓfi˜ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ›Û˜ Ì ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿, ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙ› Ù˘ ÁˆÓ›· Î·È ÌÈ· ÚÔÛΛÌÂÓË Û’ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·.
E
Z
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Î·È ÌÈ· ·ÚfiÌÔÈ· Ù¯ÓÈ΋ Ì’ ·˘Ù‹Ó Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 3.15. N· ‚Ú›ÙÂ, ›Û˘, ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 3.15. ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ 4Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
∞ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ
65
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
3.4.2. ™¯¤ÛÂȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ £EøPHMA 3.16 ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÁˆÓ›· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË: ·) ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A° > AB. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∧ B > °. ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A° Ù¤∧ ÙÔÈÔ, ÒÛÙ A¢ = AB. H ÁˆÓ›· A ¢B Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘ ∧ ∧ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢B° ηÈ, ¿Ú·, ÈÛ¯‡ÂÈ A ¢B > ° (ıÂÒÚËÌ· 3.14). EÂȉ‹, fï˜, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ı· ¤¯Ô˘∧ ∧ Ì A ¢B = AB¢ ηÈ, ¿Ú·, Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ· Á›ÓÂÙ·È ∧ ∧ ∧ ∧ A B¢ > °. EÂȉ‹, fï˜, B > A B¢, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÙÂÏÈο ∧ ∧ fiÙÈ B > °. ∧ ∧ ‚) ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B > °. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ A° > AB, ·ÔÎÏ›ÔÓÙ·˜ ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ A° = AB Î·È A° < AB. ¶Ú·ÁÌ·ÙÈο, ·Ó ‹Ù·Ó AB = A°, ÙfiÙ ı· ›¯·Ì ∧ ∧ B = °, ÂÂȉ‹ ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ ÏfiÁˆ Ù˘ ˘fiıÂÛ˘. E›∧ ∧ Û˘, ·Ó ‹Ù·Ó A° < AB, ı· ›¯·Ì B < °, ÁÈ·Ù› ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÁˆÓ›·. K·È ·˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ ÏfiÁˆ Ù˘ ˘fiıÂÛ˘. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ A° > AB. ▲
A A¢ = AB
¢ B
°
¶OPI™MA 3.9. ·) H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ÙÔ˘. ‚) H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·.
3.4.3. TÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· £EøPHMA 3.17 K¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ∞µ < ∞°. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ A° – AB < B° < A° + AB. ·) £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÚÒÙ· fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ B° < A° + AB. ¢ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· A° + AB ÚÔÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB ÚÔ˜ ÙÔ A Î·È ·›ÚÓÔÓÙ·˜ ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Â˘ı‡ÁÚ·Ì-
66
TPI°øNA
3.4.
£EøPIA ÌÔ ÙÌ‹Ì· A¢ = A°. TfiÙÂ Â›Ó·È B¢ = AB + A° ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ B° < B¢. EÂȉ‹ ÙÔ ÙÚ›∧ ∧ ÁˆÓÔ A¢° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ı· ¤¯Ô˘Ì A ¢° = A °¢ ηÈ, ∧ ∧ ∧ ∧ ÂÂȉ‹ A °¢ < B °¢, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ A ¢° < B °¢. TfiÙ fï˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.16., ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢B° Â›Ó·È B° < B¢. ‚) £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ A° – AB < B°. ¢ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ A°–AB, ·›ÚÓÔÓÙ·˜ ¿Óˆ ÛÙËÓ A° ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AZ = AB, ÔfiÙ Z° = A°– AB. EÔ̤ӈ˜, ·ÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Z° < B°. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ô˘ ÌfiÏȘ ·Ô‰Â›Í·ÌÂ, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È A° < AB + B°, ‰ËÏ·‰‹ AZ + Z° < AB + B°. EÂȉ‹, fï˜, AZ = AB, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÓÈÛfiÙËÙ· fiÙÈ Z° < B°.
¢
A¢ = A°
A
B
°
A
AZ = AB
Z
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È ∞µ>∞°, ÙfiÙ ÔÌÔ›ˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ ∞µ–∞° M° Î·È fiÙÈ Ù· AB, A° ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ∧ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ AM (‚Ï. ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·). EÂȉ‹ Ë B °A Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AM°, ı· ÈÛ¯‡∧ ÂÈ B °A > 90Æ Î·È, ¿Ú·, ·fi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°B ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ AB > A° (fiÚÈÛÌ· 3.9.), Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ŒÛÙˆ ÙÒÚ· fiÙÈ MB > M° Î·È fiÙÈ Ù· AB, A° ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ AM (‚Ï. ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·). ¶¿Óˆ ÛÙË MB ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô °′ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ M°′ = M° Î·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ‰Â›¯ÓÔ˘Ì fiÙÈ AB > A°′. EÂȉ‹, fï˜, ÚÔÊ·ÓÒ˜ Â›Ó·È A°′ = A°, ηٷϋÁÔ˘Ì ¿ÏÈ ÛÙÔ ¿ÙÔÔ AB > A°. ÕÚ·, Î·È Ë ÂÚ›ÙˆÛË MB > M° ·ÔÎÏ›ÂÙ·È. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ MB < M°. ▲
¢ PA ™ T H P I OT H TA
A
 M
°
B A
 B
°′
M
°
3.5.
¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙÈÎÒÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Ô˘ ·Ô‰Â›¯ÙËÎ·Ó Û’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ÌÔÚԇ̠ӷ χÛÔ˘Ì ÔÏÏ¿ ÂӉȷʤÚÔÓÙ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù¯ÓÈÎÒÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ. N· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜, ÁÈ· Ó· χÛÂÙ ٷ ÂÍ‹˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·:
A B
·) MÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ Á ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ Ú‡̷ÙÔ˜ ˘„ËÏ‹˜ Ù¿Û˘ ÂÚÓ¿ ÎÔÓÙ¿ ·fi ‰‡Ô Ó¤Ô˘˜ ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜ A Î·È B. ™Â ÔÈo ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Á Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙËı› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ‹˜ M ¤ÙÛÈ, Á ÒÛÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ηψ‰›Ô˘ Ô˘ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙ› ÁÈ· ÙË Û‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ˘˜ ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ‰˘Ó·Ùfi;
M
‚) ¶ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· Á›ÓÔ˘Ó ·ıÏËÙÈΤ˜ ÂÁηٷÛÙ¿ÛÂȘ Û’ ¤Ó· ¯ÒÚÔ Ô˘ ı· Â͢ËÚÂÙ› Ù¤ÛÛÂÚȘ ÎÔÈÓfiÙËÙ˜ A, B, °, Î·È ¢, ·ÏÏ¿ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ı· Á›ÓÔ˘Ó Î·È Ù¤ÛÛÂÚȘ ‰ÚfiÌÔÈ Ô˘ ı· Û˘Ó‰¤Ô˘Ó ÙȘ ÎÔÈÓfiÙËÙ˜ Ì ÙȘ ÂÁηٷÛÙ¿ÛÂȘ. ¶ÔÈ· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË ÙˆÓ ÂÁηٷÛÙ¿ÛˆÓ, ÒÛÙ ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ ‰ÚfiÌˆÓ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ‰˘Ó·Ùfi;
A
¢
70
B
°
TPI°øNA
3.4.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
AÓ B¢ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙ· ÔÔ›· ·˘Ù‹ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿. ∧
§‡ÛË: ŒÛÙˆ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) Î·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ B¢. £· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ Î·È ¢°. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ∧ Ù˘ B ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ BA Î·È B° Ù˘ ÁˆÓ›·˜. ŒÙÛÈ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì ÙË ¢E⊥B°, ı· ¤¯Ô˘Ì ¢A = ¢E. ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢E° ÈÛ¯‡ÂÈ ¢E < ¢°, ·ÊÔ‡ Ë ¢E Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ¢° Â›Ó·È Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ ¢A < ¢°.
2
B
E
A
∧
∧
AÓ O Â›Ó·È ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A < B O°. Afi‰ÂÈÍË: AÓ Ë Â˘ı›· BO Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, ∧ ÙfiÙ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ O°¢ Ë B O° Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋. ™‡Ìʈ∧ ∧ ∧ Ó· Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.14, ÈÛ¯‡ÂÈ B O° > ¢1. AÏÏ¿ Ë ¢1 Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB¢ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ∧ ∧ ¢1 > A. ∧ ∧ ÕÚ·, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È Î·È B O° > A.
3
°
¢
A
O
¢ 1
B
°
°È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô O ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ·: OA + OB < °A + °B Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ AO Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°. ™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A°¢ Î·È O¢B ÈÛ¯‡Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜
°
OA + O¢ < °A + °¢ Î·È OB < O¢ + ¢B. ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ·˘Ù¤˜ ηٿ ̤ÏË Î·È ¤¯Ô˘Ì OA + O¢ + OB < °A + (°¢ + ¢B) + O¢ ‹
∞ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ
OA + OB < °A + °B.
O
¢
A B
71
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4
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
¢›ÓÂÙ·È Î‡ÎÏÔ˜ (K, ·) Î·È ÛËÌÂ›Ô M ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘. AÓ Ë MK Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÚÒÙ· ÛÙÔ A Î·È ÌÂÙ¿ ÛÙÔ B, ÙfiÙ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÈÛ¯‡ÂÈ MA ≤ M° ≤ MB. Afi‰ÂÈÍË: AÓ ÙÔ ° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ A, ÙfiÙ MA = M° < MB. AÓ ÙÔ ° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ B, ÙfiÙ MA < M° = MB. °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ M°K ÈÛ¯‡ÂÈ MK – °K < M° < MK + °K ‹
MK – · < M° < MK + ·
‹
MA < M° < MB.
° · · M
A
· K
B
ÕÚ· Û οı ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ MA ≤ M° ≤ MB. ™ËÌ›ˆÛË: OÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ MA Î·È MB ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÏ¿¯ÈÛÙË Î·È Ì¤ÁÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ M ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
5
AÓ ÌÈ· ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ A¢ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ A¢ ηٿ ›ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E. Afi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∧ ∧ AB¢ Î·È E°¢ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ AB = °E Î·È E = A1. AÏÏ¿ ∧ ∧ ∧ ∧ A1 = A2, ÔfiÙ A2 = E. ÕÚ·, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°E Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, A° = °E = AB, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
A 1 2
B
°
¢
E
™¯fiÏÈÔ. E‡ÎÔÏ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ô‰ÂȯÙÔ‡Ó Î·È ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: – AÓ ÌÈ· ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. – AÓ ¤Ó· ‡„Ô˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ™˘ÓÔ„›˙Ô˘Ì ٷ fiÛ· ·Ó·Ê¤ÚıËÎ·Ó ¤ˆ˜ ÙÒÚ· ÁÈ· ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (£ÂˆÚ‹Ì·Ù· 3.2, 3.8 Î·È 3.15, ¶ÔÚ›ÛÌ·Ù· 3.3 Î·È 3.5 Î·È ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 5) ˆ˜ ÂÍ‹˜: 1. ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜.
A
2. £ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° Î·È ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ¶1:ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A¢ Â›Ó·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¶2:ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ B ¢ ° ¶3:ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·) AÓ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ Ì›· ·fi ÙȘ ¶1, ¶2, ¶3 , ÙfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÔÈ ¿ÏϘ ‰‡Ô. ‚) AÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ‰‡Ô ·fi ÙȘ ¶1, ¶2, ¶3 , ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
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TPI°øNA
3.4.
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6
AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ÔÈ ÙÚ›Ù˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ¿ÓÈÛ˜, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Û’ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÔÌÔ›ˆ˜ ¿ÓÈÛ˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ì AB = ¢E Î·È A° = ¢Z. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘∧ ∧ Ì fiÙÈ A > ¢, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó B° > EZ. ∧
∧
A
¢
∧
·) ŒÛÙˆ fiÙÈ A > ¢. ™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A ·›ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· A¯ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ∧ ∧ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ B A¯ = ¢ Î·È Â› Ù˘ A¯ ·›ÚÓÔ˘B Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AH = ¢Z. Afi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ABH Î·È ¢EZ ÚÔH ·ÙÂÈ fiÙÈ BH = EZ. ™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°H ÙÔ ‡„Ô˜ A£ (Ô˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Î·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜) Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ K Î·È Â›Ó·È K° = KH. EÂȉ‹ B° = BK + K° = BK + KH Î·È ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BKH ÈÛ¯‡ÂÈ Ú·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ B° > BH, ‰ËÏ·‰‹ B° > EZ.
K £ ¯
E ° Z
BK + KH > BH, Û˘ÌÂ-
‚) ŒÛÙˆ fiÙÈ B° > EZ. ∧
∧
AÓ A = ¢, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ı· Â›Ó·È ›Û·, ÔfiÙÂ Î·È B° = EZ, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ∧
∧
AÓ A < ¢, ÙfiÙ ۇÌʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ·fi‰ÂÈÍË ı· Â›Ó·È Î·È B° < EZ, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ∧
∧
ÕÚ·, ÏÔÈfiÓ, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ A > ¢.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Î·È ÂÓfi˜ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
2.
°È·Ù› Ë ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi οı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘;
3.
°È·Ù› οı ¯ÔÚ‰‹ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ·fi ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ;
4.
5.
A
B
6. °È· ÔÈÔ ÏfiÁÔ Ë ÁˆÓ›· ˆ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·; B
¶ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜  ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ·fi Ù· ÛËÌ›· A Î·È B;
∧
∧
™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È B > ° Î·È ÙÔ A¢ Â›Ó·È ‡„Ô˜. MÔÚ›Ù ӷ ‰È·Ù¿ÍÂÙ ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A°, A¢, B° Î·È AB; B
¢
ˆ A
∞ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ
°
¯
A
°
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A° Î·È Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛËÌ›Ԣ ÌÈ·˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·fi Ù· ¿ÎÚ· Ù˘ ‚¿Û˘.
2.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A°, ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ∧ ∧ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢. N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ¢B < ¢°.
3.
4.
5.
74
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î¿ı ‡„Ô˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰ÂÓ ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ Î·ÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. ‚) ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ‚+Á i) ˘· < , ii) ˘· + ˘‚ + ˘Á < 2Ù. 2 ™Â οı Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ‚+Á–· ·) ˘· > , ‚) ˘· + ˘‚ + ˘Á > Ù. 2 ™’ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A° + B¢ > AB + °¢.
6.
™ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢E < B°.
7.
ŒÛÙˆ ° ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¯ÔÚ‰‹˜ AB ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ∧ ∧ ΤÓÙÚÔ˘ O. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ OA° < O °A.
8.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ B° = 2AB, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB < A°.
9.
· AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ Ì· > , Ó· ·Ô‰Â›∧ ∧ ∧ 2 ÍÂÙ fiÙÈ A < B + °. · TÈ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ì· < Î·È 2 · Ì· = ; 2
10. AÓ Û ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ
∧
∧
AB°¢ ÈÛ¯‡Ô˘Ó A = ° Î·È AB = B°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A¢ = ¢°.
11. AÓ ÛÂ∧ ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∧
AB°¢ Â›Ó·È AB = °¢ Î·È B > °, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A° > B¢.
12. AÓ
Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ʤÚÔ˘Ì ÙË ∧ ‰È¿ÌÂÛÔ AM, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A MB < 90Æ Î·È ∧ A M° > 90Æ.
TPI°øNA
3.4.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
Afi ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A°, Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∂Z < B°.
2.
AÓ Û ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È Ë AB Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË Ë °¢, Ó· ∧ ∧ ∧ ∧ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A < ° Î·È B < ¢.
3.
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B° Î·È °A ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ·›ÚÓÔ˘Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù < AE + BZ + °¢ < 3Ù, fiÔ˘ Ù Ë ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
4.
5.
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· A Î·È B Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â. N· ‚ÚÂı› ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ Â, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ·fi Ù· A Î·È B Â›Ó·È Ì¤ÁÈÛÙË. (N· ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ·Ó Ù· A, B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Âη٤ڈıÂÓ ‹ fi¯È Ù˘ ¢ı›·˜ Â). ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ‚ > Á ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ A¢ = Ì·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ‚ – Á < 2Ì· < ‚ + Á, ∧
∧
‚) BA¢ > ° A¢ Î·È Á) Ì· + Ì‚ + ÌÁ < 2Ù.
6.
7.
AÓ Ù Â›Ó·È Ë ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù < A° + B¢ < 2Ù. ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ ¤¯ÂÈ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
10. AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ ∧
AB° Â›Ó·È ∧
B = 2° Î·È B° = 2AB, ∧
Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A = 90Æ. ∧
11. ™Â
ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„ ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ O˙, Î·È ¤ÛÙˆ M ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∧ ¯O˙. √È Î¿ıÂÙ˜ ·fi ÙÔ ª ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ O¯ Î·È O„ ÙȘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ MA < Mµ.
12. ŒÛÙˆ
Â Ë ÌÂÛÔοıÂÙË ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ MA Î·È MB.
13. ™Â
·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌ›· ¢ Î·È E ÛÙȘ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·)
BE > AB Î·È °¢ > A°,
‚)
BE + °¢ > B¢ + ¢E + E°.
N· ÂϤÁÍÂÙ ·Ó ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ·Ú·¿Óˆ Î·È Û ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.
14. ™Â
·ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ OA. °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi Ù· A Î·È B, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A° < M° < B°.
15. £ÂˆÚÔ‡ÌÂ
‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È A° ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì AB = 2A°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·)
B° > A°,
‚)
AB > 2A°.
)
)
16. ¢‡Ô ÛËÌ›· 8.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢B < ¢°.
9.
¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ‚ > Á. ·) AÓ M Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ A¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ M° – MB < ‚ – Á. ‚) AÓ E Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ Â͈ÙÂ∧ ÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EB + E° > ‚ + Á.
∞ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ
A Î·È B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈ∧ Îfi ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯O„. N· ‚Ú›Ù ٷ ÛËÌ›· M Î·È N ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ O¯ Î·È O„ Ù˘ ÁˆÓ›·˜, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· AM + MN + NB Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ‰˘Ó·Ùfi.
17. °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô √ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: Ù < √∞ + √µ + √° < 2Ù.
75
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
3.5. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ ÙËÓ ¨ 2.4.2. ›‰·Ì fiÙÈ Ë ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. M ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ı¤ÛË ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (K, Ú). Afi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KM ÚÔ˜ ÙËÓ Â. H ·fiÛÙ·ÛË KM ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ›ÛË ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú. EÍÂÙ¿˙Ô˘Ì οı ÂÚ›ÙˆÛË ¯ˆÚÈÛÙ¿.
™
E͈ÙÂÚÈ΋ ¢ı›· ·ÎÏÔ˘ ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó·, ‰ËÏ·‰‹ KM > Ú. TfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ Â Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. AÓ A Â›Ó·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, ÙfiÙ ÙÔ Ï¿ÁÈÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KA Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· KM Î·È ¿Ú· KA > Ú, ‰ËÏ·‰‹ Î·È ÙÔ A Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘  ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ‰ËÏ. Ë Â˘ı›· Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô.
K Ú Â A
M
O P I ™ M √ ™ H ¢ı›· Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ¢ı›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
EÊ·ÙÔ̤ÓË Î·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÚÔ˜ ·ÎÏÔ ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó·, ‰ËÏ·‰‹ KM = Ú. TfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ Â Â›Ó·È Î·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. AÓ A Â›Ó·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, fiˆ˜ Î·È ÚÈÓ, fiÙÈ ÙÔ A Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ë Â˘ı›· Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ M.
K Ú Â A
M
O P I ™ M √ ™ H ¢ı›· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
76
TPI°øNA
3.5.
£EøPIA ™‡Ìʈӷ Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ, ·Ó ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· KM ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, Ú) ÛÙÔ M (‹, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ·Ó Ë ·fiÛÙ·Û‹ Ù˘ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó·), ÙfiÙ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M IÛ¯‡ÂÈ, ›Û˘, Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ: £EøPHMA 3.22 AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û ·ÎÏÔ (K, Ú) ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M, ÙfiÙÂ Ë ·ÎÙ›Ó· KM Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. Afi‰ÂÈÍË: H  ¤¯ÂÈ, ˆ˜ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË, ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÙÔ M, ÂÓÒ Î¿ı ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ÕÚ·, Ë ·ÎÙ›Ó· KM Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi οı ϿÁÈÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔ K ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó (fiÚÈÛÌ· 3.11.). ▲
K
 M
£EøPHMA 3.23 T· ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›Û·.
A
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (K, Ú) Î·È ‰‡Ô ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, A° Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. º¤ÚÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AK Î·È ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ KB, K° ÛÙ· ÛËÌ›· ·ʋ˜. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ABK, A°K Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ÂÂȉ‹, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Â›Ó·È KB⊥AB Î·È K°⊥A°. E›Û˘, ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÙËÓ AK Î·È ›Û˜ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ KB = K°. ÕÚ·, Â›Ó·È ›Û· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ AB = A°. ▲
B
° K
T¤ÌÓÔ˘Û· ·ÎÏÔ˘ ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó·, ‰ËÏ·‰‹ KM < Ú. TfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ Â Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TÔ M ÔÚ›˙ÂÈ ÛÙËÓ Â ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜, ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÚÔ˜ ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ı· ÙÔÓ Ù¤ÌÓÂÈ Û οÔÈÔ ÛËÌ›Ô. E›Ó·È, ÏÔÈfiÓ, Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ë Â ı· ¤¯ÂÈ Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· A Î·È B. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ì·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰Èο.
K Â′
 A
£EøPHMA 3.24 M›· ¢ı›· ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ¤¯ÂÈ Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K, Ú), ÂÎÙfi˜ ·fi Ù· A, B Î·È ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô °, Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ .¯. ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· MÂ. EÂȉ‹ Ù· A, B, ° Â›Ó·È ÛËÌ›· ÙÔ˘ ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘
M
B
K Â A
M
B°
77
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
·ÎÏÔ˘ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ KA = KB = K° = Ú. Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ KA = KB Î·È KA = K° Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ı· Â›Ó·È MA = MB Î·È MA = M° (ıÂÒÚËÌ· 3.20), ‰ËÏ·‰‹ MB = M°. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ·, fï˜, Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ı· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ B. ▲
O P I ™ M √ ™ H ¢ı›· Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ŸÙ·Ó ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÎÂÓÙÚÈ΋ ¢ı›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
°È·Ù› Ë AK Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÙˆÓ ÂÊ·ÙfiÌÂÓˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È A°;
2.
∧
H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ BK° ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A; B
A
A K
B
° K
°
3.
AÓ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌfiÓÔ ÌÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â Û’ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (K, ·), ÔÈ· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ A Î·È Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·˘Ùfi;
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜
78
1.
¢‡Ô ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ∞ Î·È µ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô °. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ ∞µ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô °.
2.
¢›ÓÂÙ·È Î‡ÎÏÔ˜ (∫, ·) Î·È ÌÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â ·˘ÙÔ‡ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ª. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘ Â, Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ª, ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ÂÏ¿¯ÈÛÙ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
3.
∞fi ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ (∫, ·) ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ∞µ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ Î·È ∞∫.
4.
∞˜ Â›Ó·È AB ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) Î·È ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ Â1, Â2 ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· A, B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. MÈ· ¿ÏÏË ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1 , Â2 ÛÙ· ∧ ÛËÌ›· °, ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ° K¢ = 90Æ.
TPI°øNA
3.6.
£EøPIA
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
Afi ÛËÌÂ›Ô M ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ MA Î·È MB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. AÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· KA ηٿ ›ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∧ ∧ BM° = 3KMA.
2.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (K, ·) Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M Ì KM < ·. Afi ÙÔ M ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ¢-
ı›· Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B. AÓ ° Î·È ¢ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ A Î·È B ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ K, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· °¢ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô.
3.
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ A. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ Î¤ÓÙÚˆÓ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Ù˘  ÛÙÔ A.
3.6. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ O P I ™ M √ ™ ¢È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· Ù· ΤÓÙÚ· ÙÔ˘˜.
O1
O2
¶APATHPH™H. EÂȉ‹ ÛÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÙˆÓ Î‡ÎψÓ, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÊÔÚ¤·˜ Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜. H Û¯¤ÛË Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‹ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ™Ù· ÂfiÌÂÓ· ıˆÚԇ̠‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ (O1, R1), (O2, R2) Ì R1 > R2 Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì d ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ Î¤ÓÙÚˆÓ ÙÔ˘˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘ O1O2.
K‡ÎÏÔÈ ¯ˆÚ›˜ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ŸÙ·Ó ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÙfiÙ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) K¿ı ·ÎÏÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ d > R1 + R2. ‚) O ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (·˘Ùfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·ÎÙ›Ó·) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹
™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ‰‡Ô ·ÎψÓ
79
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
ÈÛ¯‡ÂÈ d < R1 – R2. ŸÙ·Ó ÂȉÈο Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ÙfiÙ ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È d = 0.
O1
O2 R1
R2
d > R1 + R2
O1
O2
O
d=0
d < R1 – R2
EÊ·ÙfiÌÂÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì A′ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÊÔÚ¤· Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘. EÂȉ‹ Ô ÊÔÚ¤·˜ Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ÙÔ A′ ı· Â›Ó·È Â›Û˘ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ. Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ, fiÙ·Ó ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÙfiÙ ·˘Ùfi ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜. OÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ› ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔÈ Î·È ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜. Y¿Ú¯Ô˘Ó ÙfiÙ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
A O1
O2 A′
·) K¿ı ·ÎÏÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ d = R1 + R2. ‚) O ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (·˘Ùfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·ÎÙ›Ó·) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ d = R1 – R2. H ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ Î·È ÛÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ, Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙfiÛÔ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ fiÛÔ Î·È ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÔÈÓ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙˆÓ Î‡ÎψÓ. M ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ‹ ·ÎÏˆÓ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 6.
80
O1
O2 R2
R1 Â d = R1 + R2
O1 d = R1 – R2
O2 Â
TPI°øNA
3.6.
£EøPIA TÂÌÓfiÌÂÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ŸÙ·Ó ÔÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›·, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÂÌÓfiÌÂÓÔÈ Î·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· Ù· ÎÔÈÓ¿ ÙÔ˘˜ ÛËÌ›· ÎÔÈÓ‹ ¯ÔÚ‰‹. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ¤Ó· ̤ÚÔ˜ οı ·ÎÏÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Î·È ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ
A R1
R2
O1
O2 B
R1 – R2 < d < R1 + R2
R1 – R2 < d < R1 + R2. Ÿˆ˜ ›‰·Ì ·Ú·¿Óˆ, Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜. ÕÚ·, Ë ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ¯ÔÚ‰‹˜ ÙÔ˘˜. ¶APATHPH™H. ŸÙ·Ó ÂȉÈο ÔÈ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ Â›Ó·È ›ÛÔÈ, ÙfiÙ ηı¤Ó· ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ΤÓÙÚ· ÙÔ˘˜ ηÈ, ¿Ú·, Ë ÎÔÈÓ‹ ¯ÔÚ‰‹ Â›Ó·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÌÂÛÔοıÂÙË ÛÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ.
A R
R
O1
O2 R
R B
EÊ·ÚÌÔÁ‹
AÓ ÙÚÂȘ ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ·Ó¿ ‰‡Ô, ÙfiÙ ٷ ÛËÌ›· ·ʋ˜ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÚÂȘ ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (K, ·), (§, ·) Î·È (M, ·), ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ·Ó¿ ‰‡Ô ÛÙ· ÛËÌ›· A, B Î·È °. T· ÛËÌ›· ·ʋ˜ A, B, ° ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ ÛÙȘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘˜ ÙˆÓ Î‡ÎψÓ. EÂȉ‹ K§ = §M = MK = 2·, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ K§M Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ ∧ ∧ ∧ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, K = § = M. OÈ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Â›ÎÂÓÙÚ˜ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ÔfiÙ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ A°, AB, B° Â›Ó·È ›Û˜. ÕÚ·, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ‰‡Ô ·ÎψÓ
K A
§
° B M
81
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (K, ·) Î·È (§, ·), fiÙ·Ó i)
K§ = ·,
ii)
K§ = 2·,
iii) K§ = 0, iv)
K§ = 3·;
2.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ΤÓÙÚ· K Î·È M ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈο ÛÙÔ A. H ¢ı›· Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ A Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ KM ÙÈ ı¤ÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜;
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ٤ÌÓÂÈ ‰‡Ô ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ÛÙ· ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB = °¢.
2.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ (O, Ú) Î·È (K, R) ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ηı¤Ó·˜ ·’ ·˘ÙÔ‡˜ Ó· Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. AÓ Ë ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ OK Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ, ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (O, Ú) Î·È (K, R) ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ ≥ AB.
3.
82
K
M
A
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (O, ·) Î·È (K, ·), Ì √∫ > 2·, Ó· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ·fi Ù· ÔÔ›· ¿ÁÔÓÙ·È ›Û· ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜.
2.
¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Î·È ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ̋ÎË ·, ‚. N· ‚ÚÂı› ÛËÌÂ›Ô M Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ·fiÛÙ·ÛË · ·fi ÙÔ A Î·È ‚ ·fi ÙÔ B. N· ÂÍÂÙ·ÛÙÔ‡Ó fiϘ ÔÈ ‰˘Ó·Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ.
AÓ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÎÔÈÓ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ·˘ÙÒÓ ÛÙÔ A ‰È¯ÔÙÔÌ› οı ÎÔÈÓfi ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.
TPI°øNA
£EøPIA
3.7.
3.7. °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ Ó· ·fi Ù· ‚·ÛÈο ÁÓˆÚ›ÛÌ·Ù· Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È Ë ·ÍÈÔÔ›ËÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ. ™ÙȘ ηٷÛ΢¤˜ ·˘Ù¤˜ ˘¿Ú¯ÂÈ Ô ‚·ÛÈÎfi˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ‰‡Ô ÌfiÓÔ ÁˆÌÂÙÚÈο fiÚÁ·Ó·, Ô Î·ÓfiÓ·˜ (·‚·ıÌÔÏfiÁËÙÔ˜ ¯¿Ú·Î·˜) Î·È Ô ‰È·‚‹Ù˘. M ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¢ı›˜, ÂÓÒ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ·ÎÏÔ˘˜ ‹ ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. A˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ÛÙȘ Ôԛ˜ ÚÔÛ·ıԇ̠ӷ ·Ó¿ÁÔ˘Ì fiϘ ÙȘ ˘fiÏÔȘ. ŒÓ· Úfi‚ÏËÌ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ηٷÛ΢‹˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ Ù· ÂÍ‹˜ 4 ÛÙ¿‰È·: ·) AÓ¿Ï˘ÛË. ™ÙÔ ÚÒÙÔ ÛÙ¿‰ÈÔ ıˆÚԇ̠ÚÔ˜ ÛÙÈÁÌ‹Ó fiÙÈ ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·ÛÙ› Î·È ÚÔÛ·ıԇ̠ӷ ÂÓÙÔ›ÛÔ˘Ì ÂΛӘ ÙȘ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ·Ó¿ÁÔ˘Ó ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÛÙȘ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ‹ ηٷÛ΢¤˜ Ô˘ ‹‰Ë ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ. ™ÙËÓ ·Ó·˙‹ÙËÛË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ì·˜ ‚ÔËı¿ Ôχ Ë ÁÓÒÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ. ‚) ™‡ÓıÂÛË (‹ ηٷÛ΢‹). ™ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛÙ¿‰ÈÔ, ¤¯ÔÓÙ·˜ Ô‰ËÁfi ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ó¿Ï˘ÛË, ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙȘ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ηٷÛ΢¤˜ Ô˘ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. Á) Afi‰ÂÈÍË. ™ÙÔ ÙÚ›ÙÔ ÛÙ¿‰ÈÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÁÓˆÛÙ¤˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ηٷÛ΢¿Û·Ì ¤¯ÂÈ Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÙȘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜. ‰) ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË. ™ÙÔ Ù¤Ù·ÚÙÔ Î·È ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÛÙ¿‰ÈÔ ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ˘fiÎÂÈÙ·È Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ηıÒ˜ Î·È ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ηٷÛ΢¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÙÚfiÔ).
Œ
™ÙȘ ·Ï¤˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ‰Â ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È Î·È Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ÛÙ¿‰È·, ·ÏÏ¿ Á›ÓÂÙ·È ÌfiÓÔ Û‡ÓıÂÛË.
™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ¤Ó·Ó ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÙˆÓ ÂÍ‹˜ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ: ➧ E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ➧ °ˆÓ›·˜ ›Û˘ ÚÔ˜ ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· ➧ TfiÍÔ˘ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ÙfiÍÔ. £· ·ӷϿ‚Ô˘Ì ÙÒÚ· ÙË ‰Â‡ÙÂÚË Î·Ù·Û΢‹ ·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· 4 ÛÙ¿‰È· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ·Ú·¿Óˆ. °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
83
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
¶POB§HMA 3.1. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË Ì ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›·. ∧
AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·ÛÙ› Ë ÁˆÓ›· Î AÏ ›ÛË ∧ ÚÔ˜ ÌÈ· ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· ¯ O„. AÓ ·˘Ù¤˜ Á›ÓÔ˘Ó Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›ÛˆÓ ·ÎψÓ, ÙfiÙ ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ· ı· Â›Ó·È ›Û· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜. MÔÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, Ó· ·Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ¯ÔÚ‰‹˜ ›Û˘ ÚÔ˜ ‰Ôı›۷ ¯ÔÚ‰‹. ™‡ÓıÂÛË: K¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· ›ÎÂÓÙÚË, ηٷÛ΢¿˙ÔÓÙ·˜ ·ÎÏÔ (O, R) ÌÂ Ù˘¯·›· ·ÎÙ›Ó·, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÙ· ÛËÌ›· K, §. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ËÌÈ¢ı›· AÎ Î·È Î‡ÎÏÔ (A, R) Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ AÎ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô B. TÔ Úfi‚ÏËÌ· χÓÂÙ·È, ·Ó ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ B° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (A, R) ›ÛË Ì ÙË ¯ÔÚ‰‹ K§ ÙÔ˘ (O, R). °È· Ó· Á›ÓÂÈ ·˘Ùfi, ·ÚΛ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ·ÎÏÔ (B, Ú) ÌÂ Ú = K§. AÓ ° Â›Ó·È ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (A, R), (B, Ú) Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ∧ ËÌÈ¢ı›· A°Ï, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· Î AÏ Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË.
„ § R O
Ú R
K
¯
Ï ° R A
Ú
B Î
Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ ÔÈ B° Î·È K§ Â›Ó·È ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ›ÛˆÓ ·) ) ∧ ∧ ÎÏˆÓ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ B° = K§. ÕÚ·, ı· Â›Ó·È Î·È Î AÏ = ¯ O„ ˆ˜ ›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ Ô˘ ‚·›ÓÔ˘Ó Û ›Û· ÙfiÍ·. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: °È· Ó· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·, ı· Ú¤ÂÈ ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (A, R) Î·È (B, Ú) Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. A˘Ùfi, fï˜, Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ¿ÓÙÔÙÂ, ÂÂȉ‹ ÁÈ· ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜ AB = R ÈÛ¯‡ÂÈ R – Ú < R < R + Ú (ÏfiÁˆ Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÈ΋˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OK§). Y¿Ú¯ÂÈ, ›Û˘, Î·È ÌÈ· ‰Â‡ÙÂÚË ÁˆÓ›·-χÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, Ë ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (A, R) Î·È (B, Ú).
¶POB§HMA 3.2. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ÌÂÛÔοıÂÙË ÂÓfi˜ ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ AB ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙ‹ ÙÔ˘ Â. H ¢ı›·  ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘ K, §. EÂȉ‹ fiÏ· Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· K Î·È § Ì KA = KB Î·È §A = §B. ™‡ÓıÂÛË: M ΤÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· A, B ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙfiÍ· ‰‡Ô ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ Ì ·ÎÙ›Ó· Ú Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· K Î·È §. H ¢ı›·  Ԣ ÔÚ›˙Â-
84
TPI°øNA
3.7.
£EøPIA Ù·È ·fi Ù· ÛËÌ›· K, § Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÌÂÛÔοıÂÙË. Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ KA = KB = Ú Î·È §A = §B = Ú, Ù· K, § ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ AB ηÈ, ¿Ú·, ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
K Ú
Ú
A
B
¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: °È· Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (A, Ú) Î·È (B, Ú) ı· Ú¤ÂÈ ÚÔÊ·ÓÒ˜ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ AB.
Ú
Ú §
¶APATHPH™H. M ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Î·Ù·Û΢‹ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È, ›Û˘, Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ M ÙÔ˘ AB, ˆ˜ Ë ÙÔÌ‹ Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. AÓ Â·Ó·Ï¿‚Ô˘Ì ÙËÓ ›‰È· ηٷÛ΢‹ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AM Î·È MB, ÙfiÙ ‰È·ÈÚԇ̠ÙÔ AB Û 4 ›Û· ̤ÚË. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Û 2, 4, 8, 16 ηÈ, ÁÂÓÈο, 2Ó ›Û· ̤ÚË. ™ÙËÓ ¨ 3.4.4. (ıˆڋ̷ٷ 3.18. Î·È 3.19.) ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ ·fi οı ÛËÌÂ›Ô ¿ÁÂÙ·È ÌÈ· ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ¢ı›·. H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ, ›Û˘, ¤Ó· Û‡ÓÙÔÌÔ ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ οıÂÙ˘. ¶·Ú·Ï›ԢÌÂ, ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ Û˘ÓÙÔÌ›·˜, ÙË ÏÂÙÔÌÂÚ‹ ·ÚÔ˘Û›·ÛË fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛÙ·‰›ˆÓ Ù˘ ηٷÛ΢‹˜.
¶POB§HMA 3.3. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Î¿ıÂÙË ·fi ÛËÌÂ›Ô ÚÔ˜ ¢ı›·. ·) ŸÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· K·Ù·Û΢‹: ŒÛÙˆ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ M. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Ù˘  ٤ÙÔÈ·, ÒÛÙ MA = MB (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ M Ó· Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB). K·Ù·Û΢¿˙Ô˘ÌÂ, Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Úfi‚ÏËÌ·, ÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ M ηÈ, ¿Ú·, Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Î¿ıÂÙË.
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‚) ŸÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· K·Ù·Û΢‹: ŒÛÙˆ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜. M ΤÓÙÚÔ ÙÔ M Î·È ·ÎÙ›Ó· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ M ·fi ÙËÓ Â, ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙfiÍÔ Î‡ÎÏÔ˘ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ‰‡Ô ÛËÌ›· A Î·È B. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ηٿ Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ M, ÂÂȉ‹ MA = MB (·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ·ÎÏÔ˘). ÕÚ·, Ë ÌÂÛÔοıÂÙË ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Î¿ıÂÙË.
°ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
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85
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
¶POB§HMA 3.4. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ∧
AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯ O„ Î·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ O‰. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· A, B ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ OA = OB Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì M ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë O‰ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB. ™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ OAB, Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ OM Â›Ó·È Â›Û˘ ‰È¿ÌÂÛÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB. ÕÚ·, Ë Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, ÙÔ ÔÔ›Ô Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·Ó ¿ÚÔ˘Ì ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ‰‡Ô ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OA Î·È OB.
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¶APATHPH™H. AÓ Â·Ó·Ï¿‚Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ‰È¯ÔÙfi∧ ∧ ÌÔ˘ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ¯ O‰ Î·È ‰ O„, ÙfiÙ ‰È·È∧ Úԇ̠ÙËÓ ¯O„ Û 4 ›Û· ̤ÚË. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· Û 2, 4, 8, 16 ηÈ, ÁÂÓÈο, 2Ó ›Û· ̤ÚË.
¶POB§HMA 3.5. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ô˘ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 3 ‰Â‰Ô̤ӷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· B° = ·, A° = ‚ Î·È AB = Á. H ηٷÛ΢‹ ÌÈ·˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÏÂ˘Ú¿˜, .¯. Ù˘ B°, Â›Ó·È Ë ÁÓˆÛÙ‹ ηٷÛ΢‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. EÂȉ‹ Ë ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘Ê‹ A ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ B Î·È ° ÁÓˆÛÙ¤˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ Á Î·È ‚ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ˆ˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (B, Á) Î·È (°, ‚) ™‡ÓıÂÛË: ™Â ÌÈ·Ó Â˘ı›·  ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B° = · Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (B, Á) Î·È (°, ‚). AÓ ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì A ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, A°, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ. Afi‰ÂÈÍË: E›Ó·È B° = · ÂΠηٷÛ΢‹˜ Î·È AB = Á, A° = ‚ ˆ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (B, Á), (°, ‚) ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: °È· Ó· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·, ı· Ú¤ÂÈ ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (B, Á) Î·È (°, ‚) Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ‰ËÏ. ÁÈ· ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜ B° = · Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ‚ – Á < · < ‚ + Á. Y¿Ú¯ÂÈ, ›Û˘, Î·È ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ-χÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (B, Á) Î·È (°, ‚).
86
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TPI°øNA
3.7.
£EøPIA ¶POB§HMA 3.6. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È Ë ÂÚȯfiÌÂÓË Û’ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›· ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: TÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÁˆÓ›·˜ ›Û˘ ÚÔ˜ ÙË ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· ηÈ, ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÚÔ˜ Ù· ‰Ôı¤ÓÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¿Óˆ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘.
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™‡ÓıÂÛË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· Î AÏ ›ÛË ÚÔ˜ ÙË ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· (‚Ï. Úfi‚ÏËÌ· 3.1.) Î·È ¿Óˆ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È A°, ›Û· ÚÔ˜ Ù· ‰Ôı¤ÓÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. º¤ÚÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B° Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ.
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Afi‰ÂÈÍË: ¶ÚÔÊ·Ó‹˜. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: TÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi, fiˆ˜ Î·È ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· 3.1., ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ χÛË.
¶POB§HMA 3.7. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û’ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: TÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ›ÛÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ì ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ùfi ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘, ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ›ÛˆÓ ÚÔ˜ ÙȘ ‰Ôı›Û˜ ÁˆÓ›Â˜. ™‡ÓıÂÛË: ™Â ÌÈ·Ó Â˘ı›·  ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B° ›ÛÔ ÚÔ˜ ÙÔ ‰Ôı¤Ó Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ì ÏÂ˘Ú¿ ÙËÓ B° Î·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· B Î·È °, ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÚÔ˜ ÙÔ ∧ ∧ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘  ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ° B¯ Î·È B °„ ›Û˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì ÙȘ ‰Ôı›Û˜. AÓ ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ B¯ Î·È °„ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô A, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ.
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Afi‰ÂÈÍË: ¶ÚÔÊ·Ó‹˜. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: °È· Ó· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ı· Ú¤ÂÈ ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ B¯ Î·È °„ Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. Ÿˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ (ıÂÒÚËÌ· 4.6.), ·˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, fiÙ·Ó ÙÔ ∧ ∧ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ° B¯ Î·È B °„ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 180Æ. Y¿Ú¯ÂÈ, ›Û˘, ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ-χÛË ÙÔ˘ ÚÔ∧ ∧ ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ° B¯′ Î·È B °„′ Ô˘ ηٷÛ΢¿˙ÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ¿ÏÏÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Â.
°ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
π™∆√ƒπ∫√ ™Ã√§π√ Ÿˆ˜ ¤¯Ô˘Ì ·Ó·Ê¤ÚÂÈ ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 1, Ù· ÙÚ›· ÚÒÙ· ·ÈÙ‹Ì·Ù· Ì ٷ ÔÔ›· ıÂÌÂÏÈÒÓÂÙ·È Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ÛÙ· «™ÙÔȯ›·» ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ηٷÛ΢‹˜ ➧
ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜,
➧
Ù˘ ÚÔ¤ÎÙ·Û˘ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜,
➧
ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì ‰Ôı¤Ó ΤÓÙÚÔ Î·È ‰Ôı›۷ ·ÎÙ›Ó·.
ŒÙÛÈ, ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È ¤ÌÌÂÛ· Ë ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Û fiϘ ÙȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ Ô˘ ‰È·Ú·ÁÌ·Ù‡ÂÙ·È Ë E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·. OÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ Áˆ̤ÙÚ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó, fï˜, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Î·È ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ, Î·È ¿ÏÏ· ›‰Ë ÁÚ·ÌÌÒÓ, fiˆ˜ .¯. ÙȘ ΈÓÈΤ˜ ÙÔ̤˜ (·Ú·‚ÔÏ‹, ˘ÂÚ‚ÔÏ‹, ¤ÏÏÂÈ„Ë), ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓ›˙Ô˘Û· ÙÔ˘ I›·, ÙËÓ ÎÔÁ¯ÔÂȉ‹ ÙÔ˘ NÈÎÔÌ‹‰Ë, ÙËÓ ÎÈÛÛÔÂȉ‹ ÙÔ˘ ¢ÈÔÎÏ‹, ÙËÓ ¤ÏÈη (Û›ڷ) ÙÔ˘ AÚ¯ÈÌ‹‰Ë Î.·. OÈ Î·Ì‡Ï˜ ·˘Ù¤˜ ÂÈÓÔ‹ıËÎ·Ó ÛÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ· Â›Ï˘Û˘ ÙÚÈÒÓ ‰È¿ÛËÌˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, Ù· ÔÔ›·, fiˆ˜ ·Ô‰Â›¯ÙËΠÙÂÏÈο, ‰ÂÓ Ï‡ÓÔÓÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. T· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ ‹Ù·Ó: ➧
O ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ Ë Î·Ù·-
Û΢‹ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi Ì ‰Ôı¤ÓÙ· ·ÎÏÔ. ➧
H ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÌÈ·˜ Ù˘¯·›·˜ ÁˆÓ›·˜, ‰ËÏ·‰‹ Ë 1 ηٷÛ΢‹ ÁˆÓ›·˜ ›Û˘ Ì ÙÔ ‰Ôı›Û˘ ÁˆÓ›·˜. 3
➧
O ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·‚Ô˘, ‰ËÏ·‰‹ Ë Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ fiÁÎÔ ·fi ‰Ôı¤ÓÙ· ·‚Ô.
H ÚÔÛ¿ıÂÈ· Â›Ï˘Û˘ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ˘‹ÚÍ ÂÍ·ÈÚÂÙÈο ·Ú·ÁˆÁÈ΋ ÁÈ· ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Î·È ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·. H ·fi‰ÂÈÍË fiÙÈ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ Â›Û˘ ·‰‡Ó·ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Â›Ï˘Û˘ ÌÈ·˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ‚·ıÌÔ‡ > 4 Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÚÈ˙ÈÎÒÓ (‰ËÏ·‰‹ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ Ù‡Ô˘, fiˆ˜ Â›Ó·È .¯. Ô ‚2 –‚ ± – 4 · Á x= ÁÈ· ÙËÓ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0). 2· H ·fi‰ÂÈÍË ·˘Ù‹ ‰fiıËΠ·fi ÙÔÓ ¡.∏. Abel ÛÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ· Î·È ÂÓÙ¿ÛÂÙ·È ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ ÌÈ·˜ ıˆڛ·˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËΠ·fi ÙÔÓ E. Galois (1811-1832).
EÊ·ÚÌÔÁ‹ N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ·ÎÙ›Ó· Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËÎÂ Ô Î‡ÎÏÔ˜ (K, ·) Ì ·ÎÙ›Ó· ÙÔ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· · ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ‰Ôı¤ÓÙ· ÛËÌ›· A Î·È B. EÂȉ‹ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ·ÚΛ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ÌÂÛÔοıÂÙË Â Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ AB ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. E›Û˘ Â›Ó·È KA = ·, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (A, ·). EÔ̤ӈ˜, ÙÔ K ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ˆ˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ Â Î·È ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (A, ·).
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K · A
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™‡ÓıÂÛË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙË Â ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (A, ·) ‹ (B, ·). AÓ Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· Û ¤Ó·
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3.7.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ÛËÌÂ›Ô K, ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (K, ·).
Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ K ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ AB, ÈÛ¯‡ÂÈ KA = KB. E›Û˘, Â›Ó·È KA = · ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (A, ·). OÈ ÈÛfiÙËÙ˜ KA = KB = · ‰Â›¯ÓÔ˘Ó fiÙÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ô˘ ηٷÛ΢¿ÛÙËÎÂ Â›Ó·È Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: °È· Ó· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·, ı· Ú¤ÂÈ Ë Â˘ı›· Â Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ (A, ·) Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, fiÙ·Ó Ë ·ÎÙ›Ó· · Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‹ AB ›ÛË Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ A ·fi ÙËÓ Â Ô˘ Â›Ó·È . 2 AB AB TÔ Úfi‚ÏËÌ·, ÏÔÈfiÓ, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, fiÙ·Ó · < (Û¯. ·), ¤¯ÂÈ ÌÈ· χÛË, fiÙ·Ó · = 2 2 AB (Û¯. ‚) Î·È ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, fiÙ·Ó · > (Û¯. Á). 2  K
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B · K′
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™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶Ò˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ÙÔ Ì¤ÛÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ·ÎÏÔ˘;
2.
AÓ ÁÚ¿„Ô˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì οÔÈÔ ÓfiÌÈÛÌ·, Ò˜ ı· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘;
4.
AÓ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·Ûı›, Ò˜ ı· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛıÔ‡Ó Ù· ÛËÌ›· B Î·È °, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È AB = B¢ Î·È A° = °E; A
¢
5.
3.
B
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Y¿Ú¯ÂÈ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ 4, 5 Î·È 10;
¶Ò˜ ı· ηٷÛ΢·Ûı› ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ‚¿ÛË Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Û’ ·˘Ù‹Ó ‡„Ô˜;
°ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ηٷÛ΢·Ûı› ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ ·.
2.
¶ÔȘ ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜ ·›ÚÓÂÈ ÙÔ x, ÒÛÙ ӷ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ x, x + 1 Î·È x + 2;
3.
N· ηٷÛ΢·Ûı› ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.
1.
¢›ÓÂÙ·È Î‡ÎÏÔ˜ (K, ·), ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô B ¤Íˆ ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. N· ηٷÛ΢·Ûı› ·ÎÏÔ˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ B Î·È Ó· ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙÔ˘ (K, ·) ÛÙÔ A. TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, ·Ó ÙÔ B Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (K, ·);
2.
N· ‰È·ÈÚÂı› ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Û ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Ó· Â›Ó·È ›ÛË Ì ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·.
3.
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯ O„ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘. N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› ÂΛÓÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ·¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË · ·fi ÙÔ A.
∧
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 3Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
2.
3.
90
∧
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯ O„. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›·
·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ì B¢ = °E. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
A Î·È B ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ O¯ Î·È O„ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ì OA = OB. ™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ O˙ Î·È OÙ Ù¤ÙÔȘ, ∧ ∧ ∧ ¯ O„ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ ¯ O˙= „OÙ < . ™ÙȘ ËÌÈ¢2 ı›˜ O˙ Î·È OÙ ıˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ì OE = OZ Î·È ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ٷ ÛËÌ›· A, B, °, ¢ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ AZ Î·È BE, ∧ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M.
·)
¢E > B° ηÈ
‚)
°¢ < BE, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ AB < A°.
4.
∧
∧
·) AOB > 2AO° Î·È ∧ 1 ∧ ‚) AO¢ < AOB. 4
5.
£ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. AÓ M Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ Â, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÔ˘ A, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MB° ¤¯ÂÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ·fi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°. ™ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ıˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· ¢ Î·È E
AÓ A, B, °, ¢ Â›Ó·È ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, R) Ì AB = 2A° = 4A¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
·) N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰ÒÓ Î‡ÎÏÔ˘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Â›Ó·È Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fiÛÙËÌ· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. ‚) ¢›ÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (O, R) Î·È ¤ÛÙˆ A ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ·˘ÙÔ‡. A’ fiϘ ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ A Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛıÔ‡Ó ÂΛӘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Î·È ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì‹ÎÔ˜.
6.
N· ηٷÛ΢·Ûı› ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ AB Î·È Ë ∧ ÁˆÓ›· °.
TPI°øNA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∫·Ù·ÓfiËÛ˘ 3Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
E›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ;
4.
·) ™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Â›Ó·È Î·È ‡„Ë ÙÔ˘. ‚) Y¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ AB.
TÔÔıÂÙ‹ÛÙ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ (= ‹ < ‹ >) Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ ¢ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÙ ÙȘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ Û·˜. ·) AB…B°
Â)
‚) A¢…¢E
ÛÙ) B°…B¢
Á) °E…°¢
˙)
B ˆ
‰) ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ì AB = ¢E, ∧ ∧ A° = ¢Z Î·È ° = Z Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ›Û·. Â) AÓ ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â, ÙfiÙÂ Ë Â Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB.
5.
6.
3.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ (O, R1) Î·È (K, R2) Ì R1 > R2 Î·È OK = d. N· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ οıÂ Û˘Óı‹ÎË Ù˘ ·′ ÛÙ‹Ï˘ Ì ÌÈ· Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË Ù˘ ‚′ ÛÙ‹Ï˘. ™˘Óı‹ÎË
™¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË Î‡ÎψÓ
d = R1 + R2
T¤ÌÓÔÓÙ·È
d < R1 – R2
EÊ¿ÙÔÓÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈο
R1 – R2 < d < R1 + R2
EÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο
d = R1 – R2
O ¤Ó·˜ ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘
d > R1 + R2
O ¤Ó·˜ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ A¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È A. ÛηÏËÓfi
¢. ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
B. Ô͢ÁÒÓÈÔ
E. ÈÛfiÏ¢ÚÔ
°. ÈÛÔÛÎÂϤ˜
TPI°øNA
E ˆ
ı) TÔ ‡„Ô˜ A¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ‰ÂÓ ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ Î·ÌÈ¿ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A°.
2.
ˆ
A
˙) TÔ ÌfiÓÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB. Ë) K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ A¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A°.
A°…AB.
‰) B¢…¢°
Á) MÈ· ¢ı›·  ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, R), ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ O ·fi ÙËÓ Â ÈÛÔ‡Ù·È Ì R.
ÛÙ) ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Â›Ó·È ›Û·.
A¢…¢°
°
¢
T· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á Ì ‚ ≥ Á Â›Ó·È Ï¢ڤ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ A. · = ‚ + Á
°. · > ‚ + Á
B. ‚ – Á < · < ‚ + Á
¢. · < ‚ – Á
AÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ A¢ Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ηٿ ›ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ A.
°E < Á
B.
2Ì· < ‚ + Á
‚–Á °. Ì· ≤ 2 ‚+Á ¢. Ì· ≥ 2
A
‚ °
Á ¢ B
7.
E
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, Ú) Î·È (A, 2Ú) Ì OA = Ú A. Ù¤ÌÓÔÓÙ·È B. ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· °. ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ¢. ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈο E. Â›Ó·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ.
91
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 8.
AÓ ÙÔ ‡„Ô˜ B¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ·˘ÙÔ‡, ÙfiÙ A. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ B. T· ¿ÏÏ· ‰‡Ô ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘
°. ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙËÓ Â ¢. ¤¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙËÓ Â.
10. N·
°. H ÁˆÓ›· B Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·.
‰È·Ù˘ˆı› ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È Ó· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó ·ÏËı‡ÂÈ
¢. MfiÓÔ ÙÔ ¤Ó· ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘.
A. K¿ı ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô A ·¤¯ÂÈ ·fi ÌÈ· ¢ı›·  ·fi-
B. AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.
∧
9.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
ÛÙ·ÛË ›ÛË Ì ·. O ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ A Î·È 3 ·ÎÙ›Ó· · 2 A. ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ Â
°. ¢‡Ô ›Û˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ·ÎÏÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ›Û· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù·. ∧
∧
¢. AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ A > B, ÙfiÙ A° < B°.
B. Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 ·Ô‰Â›Í·Ì ٷ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, Ù· ÔÔ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·ÌÂ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ÁÈ· Ó· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘, Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Î·È ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ Î‡ÎÏÔ˘. Aԉ›ͷÌÂ, ›Û˘, ÛËÌ·ÓÙÈο ıˆڋ̷ٷ ÁÈ· ÙȘ ·ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ηıÒ˜ Î·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· οıÂÙ· Î·È Ï¿ÁÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›·. EÍÂÙ¿Û·Ì ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¤¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ÌÈ· ¢ı›· Î·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ Î‡ÎÏÔ. AÛ¯ÔÏËı‹Î·ÌÂ, ›Û˘, Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘ Î·È Ù˘ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ηٷÛ΢‹˜. Aԉ›ͷÌ fiÙÈ, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ, ‰‡Ô ¿ÏÏÔÈ ‚·ÛÈÎÔ› ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› ÙfiÔÈ Â›Ó·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙË ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜. XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ‚‹Ì·Ù· Ù˘ ·Ó¿Ï˘Û˘, Ù˘ Û‡ÓıÂÛ˘, Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ Î·È Ù˘ ‰ÈÂÚ‡ÓËÛ˘, ÌÂÏÂÙ‹Û·Ì ÙȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ‚·ÛÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜, Ù˘ ÌÂÛÔοıÂÙ˘, Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. °È· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÂÍÂÙ¿Û·Ì ÙÚ›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ηٷÛ΢‹˜, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ٷ ‰Â‰Ô̤ӷ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘.
92
TPI°øNA
4.1.
£EøPIA
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
4
¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜
4.1. √ÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ O P I ™ M √ ™ ¢‡Ô ¢ı›˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËϘ, fiÙ·Ó ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. H ÚÔ¸fiıÂÛË Ó· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÔÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È ‚·ÛÈ΋. Ÿˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 12, ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ÔÈ Ôԛ˜ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô, ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ·ÏÏ¿ Ô‡ÙÂ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ¢‡Ô Ù¤ÙÔȘ ¢ı›˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Û‡Ì‚·Ù˜. °È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â Î·È ˙ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi  // ˙.
 ˙  ˙
°ˆÓ›Â˜ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›ÙË £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ¢ı›˜ Â, ˙ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ÙÚ›ÙË Â˘ı›· ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ™ÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ÔÚ›˙ÔÓÙ·È 4 ÁˆÓ›Â˜ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ A, ÙȘ Ôԛ˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ∧
∧
∧
∧
Ì A1, A2, A3, A4 Î·È 4 ÁˆÓ›Â˜ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ B, ÙȘ Ôԛ˜ ∧
∧
∧
∧
Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì B1, B2, B3, B4. OÚÈṲ̂ӷ ·fi Ù· ˙‡ÁË ÁˆÓÈÒÓ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ηÙËÁÔڛ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ‹‰Ë Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ, fiˆ˜ Â›Ó·È ÔÈ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Î·È ÔÈ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜. °È· ÔÚÈṲ̂ӷ ·fi Ù· ˘fiÏÔÈ· ˙‡ÁË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ fiÚÔ˘˜:
√ÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
93
£EøPIA ∧
∧
∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
∧
T· ˙‡ÁË (A1, B1) Î·È (A2, B2) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í. ∧
∧
∧
‰ B
∧
T· ˙‡ÁË (A1, B2) Î·È (A2, B1) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË. ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
˙ 4
3
1 2
∧
T· ˙‡ÁË (A1, B3), (A2, B4), (B1, A3) Î·È (B2, A4) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË.
2
1
3 4
OÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› Ì¿˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È, ÁÈ· Ó· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ ÛËÌ·ÓÙÈο ıˆڋ̷ٷ ÁÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙˆÓ Î˘ÚÙÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ.
 A
£ÂÒÚËÌ· ‡·Ú͢ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ £EøPHMA 4.1 AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙÚ›ÙË Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ¢ı›˜ Â Î·È ˙, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·Ï∧ ∧ Ï¿Í ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È B1 ›Û˜. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ Â, ˙ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. TfiÙ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô °. EÂȉ‹ ÛÙÔ ÙÚ›∧ ∧ ÁˆÓÔ AB° Ë ÁˆÓ›· A1 Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ Î·È Ë B1 ÂÛˆÙÂÚÈ΋, ∧ ∧ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.14, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ A1 > B1. A˘Ùfi, fï˜, ∧ ∧ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ˘fiıÂÛË A1 = B1. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Â›Ó·È Â // ˙. ▲
‰
˙ B 1
1
°
A
Â
¶OPI™MA 4.1.
·) AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙÚ›ÙË Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ‚) AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙÚ›ÙË Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ.
¶OPI™MA 4.2. ¢‡Ô ¢ı›˜ οıÂÙ˜ Û ÙÚ›ÙË Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.
‰ B
¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ÔÈ Â˘ı›˜ Â Î·È ˙ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ ‰, Ùfi∧ ∧ Ù ÔÈ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È B1 Â›Ó·È ÔÚı¤˜ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ›Û˜. ÕÚ·,  // ˙.
94
1 1
A
 ˙
¶APA§§H§E™ EY£EIE™
4.1.
£EøPIA ∞Í›ˆÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ M ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 4.1. Î·È Ù· ÔÚ›ÛÌ·Ù· 4.1. Î·È 4.2. ηÙÔ¯˘ÚÒÓÂÙ·È fiÙÈ, ·Ó ˙ Â›Ó·È ÌÈ· ¢ı›· Î·È A ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙË ˙. ŒÓ·˜ ‡ÎÔÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÁÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙË ˙, Â›Ó·È Ó· ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ˙ (Ô˘ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋) Î·È Î·ÙfiÈÓ ÙËÓ Â˘ı›·  Ԣ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ‰ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ A (Ô˘ ›ӷÈ, ›Û˘, ÌÔÓ·‰È΋). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ fiÚÈÛÌ· 4.2., ı· Â›Ó·È ÙfiÙ  // ˙. Afi ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Î·Ù·Û΢‹ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Â˘ı›· Â Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ˙ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Â›Ó·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· οıÂÙË ÛÙË ‰. M ٷ ıˆڋ̷ٷ, fï˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ô‰Âȯı› ̤¯ÚÈ ÙÒÚ· ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÁÂÓÈο Ë ÌfiÓË ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ˙ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A. AÓ .¯. ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ÌÈ· ‰Â‡ÙÂÚË ·Ú¿ÏÏËÏË Â′ ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙË ˙, ÙfiÙ ‰ÂÓ Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ Û οÔÈ· ÏÔÁÈ΋ ·ÓٛʷÛË Ì fiÛ· ¤¯Ô˘Ó ÚÔËÁËı›. TÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ÈÛ¯˘ÚÈÛÙÔ‡ÌÂ Â›Ó·È fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ ˙ Î·È Â′ «Ê·›ÓÂÙ·È» fiÙÈ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ·Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó ·ÚÎÂÙ¿. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ·Í›ˆÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Í›ˆÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜: Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ¿ÁÂÙ·È ÌfiÓÔ ÌÈ· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Â˘ı›·.
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π™TOPIKO ™XO§IO
∆Ô 5Ô ·›ÙËÌ· ÙˆÓ «™ÙÔȯ›ˆÓ» ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë
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E˘ÎÏ›‰Ë˜, ÛÙÔ 1Ô ‚È‚Ï›Ô ÙˆÓ «™ÙÔȯ›ˆÓ», ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÁÈ· ÙË ıÂÌÂÏ›ˆÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ¤ÓÙ «·ÈÙ‹Ì·Ù·» Î·È ¤ÓÙ «ÎÔÈÓ¤˜ ¤ÓÓÔȘ», ‰ËÏ·‰‹ ·Ó·fi‰ÂÈÎÙ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÚÔ˜ Ù· ‰Èο Ì·˜ ·ÍÈÒÌ·Ù·. TÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜: Κα ν δ ο ε θεας ε θεα µππτουσα τς ντς κα π τ α τ µρη γωνας δ ο ρθ ν λσσονας ποι!, κβαλλοµνας τς δ ο ε θεας π’ %πειρον συµππτειν, φ’ ' µρη ε(σν α) τ ν δ ο ρθ ν λσσονες. (AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ¢ı›· ¤ÙÛÈ,
√ÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
ÒÛÙ ÔÈ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ Ó· ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜) TÔ ·›ÙËÌ· ·˘Ùfi ··ÈÙ› Ó· ‰Â¯ÙÔ‡ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË, fiÙÈ Î¿Ùˆ ·fi ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Óı‹Î˜ ‰‡Ô ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔ-
A
^
^
A + B < 2 ÔÚı¤˜
B
95
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
ÓÙ·È. Œ¯ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹, ÙË ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ Ì ˘fiıÂÛË Î·È ¤Ó· Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô, fï˜, ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·ıfiÏÔ˘ ÚÔÊ·Ó¤˜, ·ÊÔ‡ Ë Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ ÍÂʇÁÂÈ ·fi ÙÔ ¯ÒÚÔ Ù˘ ¿ÌÂÛ˘ ÂÔÙ›·˜ Ì·˜. EÈϤÔÓ, Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ ÌÔÚ› ‡ÎÔÏ· Ó· ·Ô‰ÂȯÙ›:
T¤ÙÔȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ıˆڛ˜ ·Ó·Ù‡¯ıËηÓ, Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ· Î·È ÔÓÔÌ¿ÛÙËÎ·Ó ÌË-E˘ÎÏ›‰ÂȘ °ÂˆÌÂÙڛ˜. TÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ «·Í›ˆÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜» Ô˘ ‰È·Ù˘ÒÛ·Ì ·Ú·¿Óˆ. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ:
£EøPHMA 4.2. ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÔÔȈӉ‹ÔÙ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜.
➧ Afi ÙÔ ·Í›ˆÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë (‚Ï. ·Ú·Î¿Ùˆ ıÂÒÚËÌ· 4.6).
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°. AÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì .¯. fiÙÈ Â›Ó·È ∧
A
∧
¯
A + B < 180Æ.
^ ^ A + B < 180Æ
B
°
£ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ∧ ∧ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ¯ BA Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.14. ı· Â›Ó·È ∧
∧
∧
∧
∧
∧
A < ¯ BA Î·È ¿Ú· A + B < ¯ BA + B. ∧
∧
EÂȉ‹, fï˜, ¯ BA + B = 180Æ, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÙÂÏÈο, fiÙÈ ∧ ∧ A + B < 180Æ. ▲ T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Ô‰‹ÁËÛ·Ó, ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ·ÎfiÌË, Û ·ÏÏ¿ÏÏËϘ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ 5Ô˘ ·ÈÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ‚¿ÛË Ù· ˘fiÏÔÈ· 9 ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë. ŸÏ˜, fï˜, ÔÈ ÚÔÛ¿ıÂȘ Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó Ì¤¯ÚÈ Î·È ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ· ›¯·Ó ÙËÓ ›‰È· ηٿÏËÍË: ·ÓÙÈηıÈÛÙÔ‡Û·Ó, ‰ËÏ·‰‹, ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· Ì ÌÈ·Ó ¿ÏÏË ÚfiÙ·ÛË Ô˘ ‹Ù·Ó ›Ûˆ˜ Èfi ·ÏËıÔÊ·Ó‹˜ Î·È ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ·Ô‰Âȯı› ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ·Ø ·˘Ù‹ Ë Ó¤· fï˜ ÚfiÙ·ÛË ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ‰˘Ó·Ùfi Ó· ·Ô‰Âȯı› ·fi Ù· ˘fiÏÔÈ· 9 ·ÍÈÒÌ·Ù·. E›Û˘, ÔÈ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·fi‰ÂÈ͢ Ì ··ÁˆÁ‹ Û ¿ÙÔÔ ‰ÂÓ Â›¯·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ÂÂȉ‹ Ë ¿ÚÓËÛË ÙÔ˘ 5Ô˘ ·ÈÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ Ô‰ËÁÔ‡Û Û ÏÔÁÈ΋ ·ÓٛʷÛË. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Ô‰‹ÁËÛ ÙÂÏÈο ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Û ¤Ó· Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ›¯Â ÙÂÚ¿ÛÙÈ· ÛËÌ·Û›· ÁÈ· ÙËÓ ÂͤÏÈÍË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ:
AÊÔ‡ Ë ¿ÚÓËÛË ÙÔ˘ 5Ô˘ ·ÈÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ Ô‰ËÁ› Û ÏÔÁÈ΋ ·ÓٛʷÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ıˆڛ·, ÏÔÁÈο ÂÍ›ÛÔ˘ ¤Á΢ÚË Ì ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë, ÛÙËÓ ÔÔ›· fï˜ ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ı· ¤¯ÂÈ ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙËÓ ¿ÚÓËÛ‹ ÙÔ˘.
96
➧ Afi ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙÔ ·Í›ˆÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜. A˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ŒÛÙˆ ¢ı›· ˙ A Î·È ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜  ·˘Ù‹˜. º¤ÚÔ˘Ì Â' ·fi ÙÔ A ¢ı›· B ˙ ‰⊥˙ ÛÙÔ B Î·È Â˘‰ ı›· Â⊥‰ ÛÙÔ A. TfiÙÂ Â›Ó·È Â // ˙ (fiÚÈÛÌ· 4.2.). £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· Ù˘¯·›· ¢ı›· Â′ ∧ ·fi ÙÔ A. EÂȉ‹  AB = 90Æ Î·È Â′≠Â, Ë Â′ ı· Û¯Ë∧ Ì·Ù›˙ÂÈ Ì ÙË ‰ ÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· (.¯. Â′ AB < 90Æ). ∧ ∧ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â′ AB + A B˙ < 180Æ Î·È ¿Ú·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë, ÔÈ Â′, ˙ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. EÔ̤ӈ˜, Ë Â Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ˙ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. Afi ÙËÓ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›· ÙÔ˘ «·ÍÈÒÌ·ÙÔ˜ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜» Ì ÙÔ «5Ô ·ÈÙ‹Ì·» ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ¿ÚÓËÛË ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ: ñ ·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ÌÈ· ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó ‹ ñ ·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰ÂÓ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Î·ÌÈ¿ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ, ÛÙȘ ÌË-E˘ÎÏ›‰ÂȘ °ÂˆÌÂÙڛ˜ ‰Â¯fiÌ·ÛÙ ›Ù fiÙÈ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ (°ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ Lobatchevsky), ›Ù fiÙÈ ‰Â ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Î·ÌÈ¿ ·Ú¿ÏÏËÏË (°ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ Riemann). TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi Ê·›ÓÂÙ·È ·Ú¿‰ÔÍÔ Ì¤Û· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Ù˘ ¿ÌÂÛ˘ ÂÔÙ›·˜ Ì·˜, ·ÏÏ¿ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ÙÔ˘ ۇ̷ÓÙÔ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ıˆڛ· Ù˘ ÁÂÓÈ΋˜ Û¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ A. Einstein, «Ù·ÈÚÈ¿˙ÂÈ» ηχÙÂÚ· Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ Riemann. ŒÓ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù˘ ÁˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Riemann ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÛÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.
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4.2.
£EøPIA
4.2. π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ £EøPHMA 4.3 (·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 4.1.) AÓ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›ÙË, ÙfiÙ ۯËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â Î·È ˙ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Û¯ËÌ·ÙÈ˙fiÌÂÓ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ Â›Ó·È ›Û˜, .¯. fiÙÈ A1 = B1. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ, ∧ ∧ ∧ ∧ ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Â›Ó·È A1 ≠ B1 (.¯. A1 > B1) . TfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Â˘ı›· ∧ ∧ ¯ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ B, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ¯B‰ = A1. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ Â Î·È ¯ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙË ‰ Î·È ∧ ∧ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È ¯B‰ ›Û˜. ÕÚ·, ı· Â›Ó·È ¯ // Â. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ ·fi ÙÔ A ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÈ· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ▲
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1
1
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A ‰
¶OPI™MA 4.3.
·) AÓ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›ÙË, ÙfiÙ ۯËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜. ‚) AÓ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›ÙË, ÙfiÙ ۯËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
£EøPHMA 4.4. AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÚ›ÙË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ¢ı›˜ Â, ˙, ‰ Ì  // ‰ Î·È ˙ // ‰. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È Â // ˙. AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Â, ˙ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A. ¢ËÏ·‰‹, ·fi ÙÔ A ı· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ ‰, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ▲
 ‰ ˙
£EøPHMA 4.5. AÓ ÌÈ· ¢ı›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÌÈ· ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË.
π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
97
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â, ˙ Î·È ÙËÓ Â˘ı›· ‰ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ÛËÌÂ›Ô A. AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ˙, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó. ¢ËÏ·‰‹, ·fi ÙÔ A ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙË ˙, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ▲
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¶OPI™MA 4.4. AÓ ÌÈ· ¢ı›· Ù¤ÌÓÂÈ Î¿ıÂÙ· ÙË ÌÈ· ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÂÈ Î¿ıÂÙ· Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË.
£EøPHMA 4.6 AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙÚ›ÙË Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 180Æ, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Ù¤ÌÓÔ˘Û·˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ¢ı›˜ Â Î·È ˙ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙË ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÔÈ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› ∧ ∧ Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ A1, B1 Ó· ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 180Æ. Afi ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÚÔ·ÙÔ˘Ó ‰‡Ô Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·:
‰ B 2 1
˙ ^ ^ A1+B1180Æ
·) OÈ Â Î·È ˙ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ÂÂȉ‹, ·Ó ‹Ù·Ó ·Ú¿ÏÏËϘ, ı· ∧ ∧ ›Û¯˘Â A1 + B1 = 180Æ, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ‚) OÈ Â Î·È ˙ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ∧ ∧ ÁˆÓ›Â˜ A1, B1, ÂÂȉ‹, ·Ó Ù¤ÌÓÔÓÙ·Ó Û ÛËÌÂ›Ô ° ÚÔ˜ ÙÔ ∧ ∧ ̤ÚÔ˜ ÙˆÓ A2, B2, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ı· ›¯Â ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙˆÓ 180Æ, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ (ıÂÒÚËÌ· 4.2.). ▲
‰ B
˙ 1
2
°
A2+B2>180Æ
2 1
A
98
Â
¶APA§§H§E™ EY£EIE™
4.2.
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4.2.1. K·Ù·Û΢‹ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ¢ı›·˜ ¶POB§HMA 4.1. Afi ÛËÌÂ›Ô A Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ˙ Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ˙. AÓ¿Ï˘ÛË: AÓ Â Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÏÏËÏË Î·È ‰ ÌÈ· Ù˘¯·›· ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ˙ ÛÙÔ B, ∧ ∧ ÙfiÙ ÔÈ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È B1 Â›Ó·È ›Û˜. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ·Ó¿ÁÂÈ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘  ÛÙË ÁÓˆÛÙ‹ ηٷ∧ ∧ Û΢‹ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ B A ›Û˘ ÚÔ˜ ÙË B1.
B
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1
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1
™‡ÓıÂÛË: £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· Ù˘¯·›· ¢ı›· ‰ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ˙ ÛÙÔ B. M ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ A Î·È ÏÂ˘Ú¿ ÙËÓ AB ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË ÚÔ˜ ÙË ∧ B , ÛÙÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ·fi ·˘Ùfi Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë ∧1 B1 (Úfi‚ÏËÌ· 3.1.) . H ‰Â‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Â˘ı›·.
A
Afi‰ÂÈÍË: E‡ÎÔÏË. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·›ÙËÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, ·˘Ù‹ Ë ·Ú¿ÏÏËÏË Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋.
4.2.2. °ˆÓ›Â˜ ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ οıÂÙ˜ £EøPHMA 4.7 AÓ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·Ú¿ÏÏËϘ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ÁˆÓ›·˜, ÙfiÙ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ›Û˜ ‹ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. Afi‰ÂÈÍË: ™Ù· ÂfiÌÂÓ· Û¯‹Ì·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚ›· ›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ Ì Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ: ∧
∧
·) TȘ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ A1, B1. ∧
∧
∧
∧
EÂȉ‹ A1 = ° Î·È B1 = ° (ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤∧ ∧ ÚË ÁˆÓ›Â˜) , Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È A1 = B1. ∧
∧
‚) TȘ ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜ A2, B2. EÂȉ‹ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∧ ∧ ∧ ∧ A1, B1, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ A2 = B2. π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
B
1
°
B
·
1
A 1 2
2
1
A
‚ 99
£EøPIA ∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4 ∧
Á) TËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· A1 Î·È ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· B2. ∧
∧
∧
B
∧
EÂȉ‹ A1 + A2 = 180Æ Î·È A2 = B2, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∧ A1 + B2 = 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ▲
2
2
Á
1
A
£EøPHMA 4.8. AÓ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· οıÂÙ˜ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ÁˆÓ›·˜, ÙfiÙ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ›Û˜ ‹ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. Afi‰ÂÈÍË: ™Ù· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚ›· ›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ Ì Ï¢ڤ˜ οıÂÙ˜: ∧
˙
Ï
Î „
∧
·) TȘ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ A1, B1.
1
Afi ÙÔ B ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ B¯ // AÂ Î·È B„ // A˙, ∧ ∧ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ A1 = ¯ B„ (1) (‚Ï. ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·). EÂȉ‹ BÎ⊥AÂ, ı· ›ӷÈ, ›Û˘, BÎ⊥B¯ (fiÚÈÛÌ· 4.4.) ∧ ηÈ, ¿Ú·, ¯ BÎ = 90Æ. M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∧ ∧ „ BÏ = 90Æ. ÕÚ·, Â›Ó·È B1 = ¯ B„ (2), ˆ˜ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ∧ Τ˜ Ù˘ „ BÎ. Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ∧ ∧ fiÙÈ Â›Ó·È A1 = B1. ∧
Â
A
1
· 1
A
1
2
‚
∧
‚) TȘ ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜ A2, B2.
¯
B
2
B
2
B
EÂȉ‹ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∧ ∧ ∧ A1, B1, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ A2 = B2.
∧
∧
∧
Á) TËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· A1 Î·È ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· B2. ∧
∧
∧
2
∧
EÂȉ‹ A1 + A2 = 180Æ Î·È A2 = B2, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∧ A1 + B2 = 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ▲
1
A
Á
¶APATHPH™H. Afi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ οıÂÙ˜ Â›Ó·È ›Û˜, fiÙ·Ó Â›Ó·È Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÔÍ›˜ ‹ ·Ì‚Ï›˜, Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, fiÙ·Ó Â›Ó·È Ë Ì›· ÔÍ›· Î·È Ë ¿ÏÏË ·Ì‚Ï›·.
100
¶APA§§H§E™ EY£EIE™
4.2.
£EøPIA
4.2.3. ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Î˘ÚÙÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ Î·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ì¿˜ ·Ú¤¯Ô˘Ó Ù· ̤۷, ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ÁÓˆÛÙfi ·fi ÙËÓ ¶Ú·ÎÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· - ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘: £EøPHMA 4.9. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Î¿ı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 2 ÔÚı¤˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË °¯ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÚÔ˜ ÙÔ °. º¤ÚÔ˘ÌÂ, ›Û˘, ÙËÓ ËÌÈ¢∧ ∧ ı›· °„ // AB. TfiÙÂ Â›Ó·È A = A °„, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ AB Î·È °„ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ A°. E›Û˘, ›∧ ∧ Ó·È B = „ °¯, ˆ˜ ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ AB Î·È °„ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙË B°. ÕÚ·, ı· ›ӷÈ: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ A + B + ° = A °„ + „°¯ + ° = 2 ÔÚı¤˜ = 180Æ. ▲
A
„
B
°
¯
¶OPI™MA 4.5. K¿ı Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ.
¶OPI™MA 4.6. AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜, ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚ›Ù˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ¶OPI™MA 4.7. ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Û˘ÌÏËÚÒÓÂÈ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ô˘ ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÛÙËÓ ¨ 3.1.4. £EøPHMA 4.10. AÓ ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. °
Afi‰ÂÈÍË: T· ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ Î·È ÙȘ ¿ÏϘ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜, ˆ˜ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. ÕÚ·, ¤¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. AÓ, ÏÔÈfiÓ, Î·È ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘, ÙfiÙ ٷ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ı· Â›Ó·È ›Û·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (°-¶-°). ▲ π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
A
Z
B
¢
E
101
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
4.1.
¢ PA ™ T H P I OT H TA AÓ Û’ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ, ÙfiÙ ·˘Ùfi ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÔÏÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘. ÕÚ·, Â›Ó·È ∧
∧
∧
A
B
∧
A + B + ° + ¢ = 180Æ + 180Æ = 360Æ.
N· ÂÚ¢ӋÛÂÙ Ì ·ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ Î·È Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: AÚÈıÌfi˜ Ï¢ÚÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘
AÚÈıÌfi˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
ÕıÚÔÈÛÌ· ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ
¢ °
ÕıÚÔÈÛÌ· Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ
3 4 5 6 7 8 9 10
MÔÚ›ÙÂ, Ì ‚¿ÛË Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÙ οÔÈÔ ÁÂÓÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÁÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘;
£EøPHMA 4.11 TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 2Ó-4 ÔÚı¤˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ΢ÚÙfi Ó-ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· A1, A2,... , AÓ. Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A1 ʤÚÔ˘Ì fiϘ ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ A1A3, A1A4,... , A1AÓ – 1 ÚÔ˜ ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ Ó-ÁÒÓÔ˘. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó – 2 ÙÚ›ÁˆÓ·, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÔÏÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÓÁÒÓÔ˘. EÂȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ οı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÔÚı¤˜, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Ó-ÁÒÓÔ˘ ı· Â›Ó·È ∧
∧
∧
A1 + A2 + ... + AÓ = (Ó – 2)2 ÔÚı¤˜ = 2Ó – 4 ÔÚı¤˜.
102
▲
A2 A1
A3
A4
A5
AÓ
AÓ-1 AÓ-2
¶APA§§H§E™ EY£EIE™
4.2.
£EøPIA £EøPHMA 4.12. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Î¿ı ΢ÚÙÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 4 ÔÚı¤˜ Afi‰ÂÈÍË: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Î¿ı Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜. ÕÚ·, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ Ó-ÁÒÓÔ˘ A1A2…AÓ, ı· ›ӷÈ: ∧
∧
A2
A3
A1 A4
∧
(2 ÔÚı¤˜ – A1) + (2 ÔÚı¤˜ – A2) + ... + (2ÔÚı¤˜ – AÓ) = ∧
∧
∧
Ó Ø 2 ÔÚı¤˜ – (A1 + A2 + ... + AÓ) = 2Ó ÔÚı¤˜ – (2Ó – 4) ÔÚı¤˜ =
¢ PA ™ T H P I OT H TA
AÓ-2
AÓ-1
▲
4 ÔÚı¤˜.
A5
AÓ
4.2.
Ÿˆ˜ ¤¯Ô˘Ì ·Ó·Ê¤ÚÂÈ ÛÙÔ 3Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ (¨ 3.7.), Ë ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ (‰ËÏ·‰‹ Ë ‰È·›ÚÂÛ‹ Ù˘ Û ÙÚ›· ›Û· ̤ÚË) ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ‰˘Ó·Ù‹ Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË. Y¿Ú¯Ô˘Ó, fï˜, ÔÏÏÔ› ÙÚfiÔÈ ÁÈ· Ó· ÙÚȯÔÙÔÌ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÁˆÓ›·, ·Ó ‰Â¯ıԇ̠ӷ «·Ú·‚È¿ÛÔ˘Ì» ÙÔÓ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ˘ ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. ŒÓ· Ù¤ÙÔÈÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È Û ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË ·fi ÙÔ ¤ÚÁÔ «§‹ÌÌ·Ù·» ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ŒÏÏËÓ· Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ AÚ¯ÈÌ‹‰Ë (287-212 .X.). ∧ °È· Ó· ÙÚȯÔÙÔÌ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ÁˆÓ›· ¯ O„ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi, ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ٷ ÂÍ‹˜ ‚‹Ì·Ù·: ∧
1Ô ‚‹Ì·: K¿ÓÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ¯ O„ ›ÎÂÓÙÚË Û ·ÎÏÔ (O, R), ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì A, B Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ A°. 2Ô ‚‹Ì·: M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ¿Óˆ ÛÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ‰‡Ô ÛËÌ›· Ô˘ Ë ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· R. 3Ô ‚‹Ì·: TÔÔıÂÙԇ̠ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ B, Î·È Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ÛËÌÂÈÒÛ·Ì ¿Óˆ Û’ ·˘ÙfiÓ Ó· Û˘Ó·ÓÙÔ‡Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ A° ÛÙ· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
„ B
¢ R
¯
A
R O R
°
E
^ ^ ¢OE = 1 ¯O„ 3
∧
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ¢ OE Ô˘ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È Ì’ ∧ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ù˘ ¯ O„. ‚) N· ‚Ú›Ù Û ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ù‹˜ Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ·Ú·‚È¿˙ÂÙ·È Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋˜ ¯Ú‹Û˘ ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË.
π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
103
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
¢‡Ô ¢ı›˜, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÌÈ· ÙÚ›ÙË Â˘ı›·, Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, fiÙ·Ó ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â Î·È ˙, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¯ Î·È B„ ÙˆÓ ∧ ∧ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓÈÒÓ B AÂ Î·È AB˙′. T· ÌÈÛ¿ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ∧ ∧ ·˘ÙÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ›Û·, ‰ËÏ·‰‹ ˆ = Ê. OÈ A¯ Î·È B„, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ‰, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÂÓÙfi˜ ∧ ∧ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ˆ Î·È Ê ›Û˜. ÕÚ·, Â›Ó·È A¯ // B„.
‰ B ˙′
˙
Ê Ê „
¯
ˆ ˆ
Â′
Â
A
AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: AÓ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ A¯ Î·È B„ ÙˆÓ ÂÓÙfi˜ ∧ ∧ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓÈÒÓ B AÂ Î·È A B˙′ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ı· ∧ ∧ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â // ˙. EÂȉ‹ A¯ // B„, ÔÈ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ˆ Î·È Ê Â›Ó·È ›Û˜. EÔ̤ӈ˜, ∧
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Â // ˙.
2
∧
∧
∧
B AÂ = 2ˆ = 2Ê = A B˙′,
∧
·) ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A°, Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ B. ‚)
N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› Ë ÂÚ›ÙˆÛË AB = A°.
Afi‰ÂÈÍË:
„
∧
·) º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¯ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A. °È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë A¯ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ B° ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ B, ·ÚΛ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 4.6, Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
A
¯
1 1
B
∧
°
A1 + B1 < 180Æ.
¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ ¤¯Ô˘Ì ∧ ∧ 1 ∧ 1 ∧ ∧ A1 = B A„ = (B + °) Î·È B1 = 180Æ – B. 2 2
∧
EÔ̤ӈ˜,
∧
∧
∧
∧
∧ 1 ∧ ∧ B ° B–° A1 + B1 = (B + °) + (180Æ – B) = 180Æ – + = 180Æ – < 180Æ, 2 2 2 2
∧
∧
∧
∧
ÂÂȉ‹ AB < A° Î·È ¿Ú· B > °
104
¶APA§§H§E™ EY£EIE™
4.1. - 4.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ „
‚) ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì ∧ ∧ AB = A° Â›Ó·È B = ° ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ∧
A
¯
∧
1
∧ B –° A1 + B1 = 180Æ – = 180Æ. 2
∧
1
A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ A¯ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË B°.
B
∧
°
™ËÌ›ˆÛË: ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ AB ≠ A°, ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÎÚ· ÙËÓ ÎÔÚ˘∧ Ê‹ A Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù‹˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A Ì ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ∧ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Î·ıÂÌÈ¿˜ ·fi ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ·Ô‰Â›¯ÙËÎ·Ó ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹.
3
∧
∧
OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· ∧
A ›ÛË Ì 90Æ + . 2 Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹
∧
∧
A
B+° B1 + °1 = < 180Æ, 2 ∧
∧
∧
M
ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô M ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. E›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
∧
B+° BM° =180Æ – (B1 + °1) = 180Æ – = 2 ∧
∧
∧
∧
1
B
1
°
∧
180Æ – A A = 180Æ – = 180Æ – 90Æ + = 2 2 ∧ A = 90Æ + 2
√ÚÈÛÌfi˜ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ
105
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
°È· ÔÈÔ ÏfiÁÔ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Ù· ‰‡Ô ‡„Ë ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘; E›Û˘, ÁÈ·Ù› Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ‰È¿ÌÂÛÔÈ ‹ ‰‡Ô ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ;
7.
A E
8. B
2.
¢
°
TÈ Â›‰Ô˘˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÙÔ AB° Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ; ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
·)
A = B + °,
‚)
A > B + °,
Á)
B < ° ° , Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ AE Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Áˆ1 ∧ ∧ Ó›· ›ÛË Ì ( B – °). 2
9.
AÓ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ∧ ∧ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢E = B¢ + °E.
10. AÓ
∧
Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ʤÚÔ˘Ì ÙË ∧
‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ∞¢° ∧ ∧ B–° Â›Ó·È ·Ì‚Ï›· Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ›ÛË Ì 90Æ + . 2
11. AÓ
∧
∧
Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ B – ° = 50Æ Î·È ¢ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A° ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = AB, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ∧ ÁˆÓ›·˜ ¢ B°.
12. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Ì AB < A°. H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∧ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ B ÚÔ˜ ÙËÓ AE Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ∧ Î·È Ë ÁˆÓ›· B¢° ·Ì‚Ï›·.
13. AÓ Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° ÈÛ¯‡ÂÈ · Ì· < , 2 Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ.
107
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ A¯ // B„, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ∧
∧
 A
∧
A °B = ° A¯ – ° B„
„ °
3.
MÈ· ¢ı›· ‰ Ù¤ÌÓÂÈ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â Î·È ˙ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ÙˆÓ Â Î·È ˙ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = A°, BE = B° Î·È Ù· ¢, E Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Âη٤ڈıÂÓ Ù˘ ¢ı›·˜ ‰. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· °, ¢, E Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο. AÓ Ù· ¢, E ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‰, ÙÈ Û˘ÌÂÚ·›ÓÂÙ ∧ ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· ¢ °E;
∧
10. ™’
¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÈ· ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ›ÛË ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘. N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ·˘Ùfi Û ΢ÚÙfi Ó-ÁˆÓÔ ÌÂ Ó ≥ 4.
11. ™Â
οı ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ BE, °Z Î·È Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ A¢, ·Ó ‰Â Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÁˆÓ›· ÎÔÚ˘Ê‹˜ ›ÛË Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
ÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B Î·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Â͈ÙÂ∧ ÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô ¢ Î·È ÈÛ¯‡∧ ∧ A ÂÈ B ¢° = . E›Û˘, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›2 ÁˆÓÔ ¢B° ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ÙË ¢B.
13. ¢‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜
5.
™Â ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì B – ¢ = ˆ ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¯ Î·È °„ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∧ ∧ ÙÔ˘ A Î·È °. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) AÓ Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ÌˉÂÓÈ΋, ÙfiÙ A¯ // °„.
∧
∧
‚) AÓ Ë ÁˆÓ›· ˆ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌˉÂÓÈ΋, ÙfiÙ ÔÈ ˆ A¯ Î·È °„ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ˘fi ÁˆÓ›· . 2
108
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 60Æ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ B¢ Î·È °E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∧ ∧ ·) BE° = A ¢B Î·È ‚) BE + °¢ = B°.
12. ™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ
∧
AÓ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.
7.
9.
™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ‰È¯Ô-
4.
6.
¢›ÓÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A°. AÓ ¢ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = °¢ = B°.
¯
B
2.
8.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Î˘ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·È fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ËÌÈ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘. ∧
∧
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B – ° = 90Æ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ∧ fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÁˆÓ›· 45Æ Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°.
∧
AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ BE. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙË BE ‰È¯ÔÙÔ∧ Ì› ÙË ÁˆÓ›· °A¢.
Â Î·È ˙ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û ÌÈ· ÙÚ›ÙË Â˘ı›· ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. Afi ÙÔ Ì¤ÛÔ M ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‰ ʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ M¯ Î·È M„, ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ οıÂÙ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ Â Î·È ˙ ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ °¢.
14. Afi ÛËÌ›Ô
A ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË AB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ AK ·›ÚÓÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A° = AB Î·È ¤ÛÙˆ ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ B° Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AK¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
15. ¢‡Ô ·ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ‹ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. MÈ· ¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ÛÙ· ÛËÌ›· B Î·È °. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÛÙ· B Î·È ° Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ.
16. N·
ηٷÛ΢·ÛÙ› ·ÎÏÔ˜, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ AB ·˘ÙÔ‡ Î·È ÌÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â // AB.
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 4Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
·) OA < A¢ Î·È ‚) OA + OB + O° < AB + A°.
2.
3.
Ú O° > . O ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ° Î·È ·ÎÙ›Ó· 2 °O Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú) ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E, ÂÓÒ Ë Â˘ı›· °¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú) ∧ ∧ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ AOZ = 3BO¢.
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB > A° > B°. Afi ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô O ·˘ÙÔ‡ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ ÚÔ˜ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· B°. AÓ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘ ¢ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· E Î·È Z, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ BE Î·È °Z Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ∧
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A. N· ηٷÛ΢·Ûı› ¢ı›· Ë ÔÔ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙȘ O¯, O„ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ i) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O, Î·È ii) ÛËÌÂ›Ô Ù˘ O¯ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÔ˘ O.
6.
¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Î·È ÌÈ· ¢ı›· Â. N· ηٷÛ΢·ÛıÔ‡Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ ‰ Î·È ˙ ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙËÓ Â ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.
7.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B = 2° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ B ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BE = B¢. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ¢E ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A°.
∧
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B = 2° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ∧
·) ·Ó B < 90Æ, ÙfiÙ AB = ¢° – ¢B Î·È ∧
‚) ·Ó B > 90Æ, ÙfiÙÂ AB = ¢° + ¢B.
4.
∧
5.
£ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú) Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ OB ÌÂ
∧
∧
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 4Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:
2.
AÓ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ÔÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ò˜ ÌÔÚ› Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘;
·) Y¿Ú¯Ô˘Ó ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ÔÍ›˜.
3.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 80Æ Ë ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰È¯Ô∧ ∧ ÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ
∧
‚) ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜, ̠Ϣڤ˜ οıÂÙ˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
A.
100Æ
¢. 130Æ
B.
120Æ
E. 125Æ
Á) K¿ı ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· ÁˆÓ›· ÔÚı‹ ‹ ·Ì‚Ï›·.
°.
110Æ
‰) ¢‡Ô ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙÚ›ÙË Â˘ı›· Â›Ó·È Î·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ οıÂÙ˜. Â) OÈ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ‡ AB°. ÛÙ) K¿ı Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
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4.
AÓ Â1 // Â2, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· Ê ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ A.
95Æ
¢. 50Æ
B.
85Æ
E. 45Æ
°.
90Æ
45Æ Ê 50Æ
Â1 Â2
109
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5.
AÓ Â1 // Â2, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ˆ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ A. B. °.
25Æ 35Æ 60Æ
¢. 120Æ E. 85Æ
6.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ∧ ·) AÓ Â1 // Â2, ÙfiÙ ¯ = ……… ∧
∧
∧
∧
‚) AÓ · = ˆ, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, Â2………… ∧ ∧ Á) AÓ Â1 // Â2, ÙfiÙ ¯ + ‚ =……………
A
Â1
25Æ ˆ 145Æ B
°
‰) AÓ Á + „ < 180Æ, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, Â2 …
 Â2
·
‚ Á
Â1
‰ ¯
„ ˆ
Ê
Â2
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 4 ÌÂÏÂÙ‹Û·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, ÌÈ· ‚·ÛÈ΋ Û¯¤ÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘. B·ÛÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ ·›˙ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘˜. ™ÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓÈÒÓ, ÙˆÓ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓÈÒÓ, ηıÒ˜ Î·È ÙˆÓ ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓÈÒÓ. TÔ ·Í›ˆÌ· Ô˘ Ú˘ıÌ›˙ÂÈ Ù· ˙ËÙ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â›Ó·È ÙÔ ·›ÙËÌ· Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÔÔ›Ô ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ·fi οı ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÈ· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó. MÂÏÂÙ‹Û·ÌÂ, ›Û˘, ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ηٷÛ΢‹˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÓ·‰È΋˜ ·Ú¿ÏÏËÏ˘. Aԉ›ͷÌ fiÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ οıÂÙ˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜ ‹ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Î¿ı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 2 ÔÚı¤˜. E›Û˘, ·Ô‰Â›Í·Ì ÙÔ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 2Ó–4 ÔÚı¤˜.
110
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5.1.
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
5
∆ÂÙÚ¿Ï¢ڷ
5.1. √ÚÈÛÌfi˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ 5.1.1 °ÂÓÈο ·ÍÈÓÔÌԇ̠ٷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ* Û¯‹Ì·Ù· Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ηÙËÁÔڛ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û¯¤ÛˆÓ. H Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ·˘Ù‹ Â͢ËÚÂÙ› Î·È ÙËÓ ·ÏÔ‡ÛÙ¢ÛË Ù˘ ÌÂϤÙ˘ ÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. T· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ Ù·ÍÈÓÔÌÔ‡ÓÙ·È ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ηÙËÁÔڛ˜:
∆
·) TÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. ‚) TÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÌfiÓÔ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. Á) TÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. T· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ Ù· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÔÓÙ·È ‰È¿ÊÔÚ˜ ÌÔÚʤ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó.
*
YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ì ÙË Ï¤ÍË ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÛÙ· ΢ÚÙ¿ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ.
√ÚÈÛÌfi˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
111
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
5.1.2. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ T· ÂfiÌÂÓ· ÙÚ›· ıˆڋ̷ٷ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó. £EøPHMA 5.1. K¿ı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜. A
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢. AÓ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ∧
∧
∧
B 180Æ–x
x
Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A Â›Ó·È x, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ B = 180Æ – x, ° = x, ∧
¢ = 180Æ – x, ·ÊÔ‡ ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘∧
∧
∧
180Æ–x
∧
Ù¿ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ A = ° Î·È B = ¢. ▲
x
¢
°
£EøPHMA 5.2. K¿ı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢, Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ·. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È B¢° Â›Ó·È ›Û·. IÛ¯‡ÂÈ: ñ ñ
ñ
B¢ = B¢. ∧
A
∧
B 1
B1 = ¢1 , ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Aµ Î·È ¢° Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙË B¢.
∧
2
2
∧
B2 = ¢2 , ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ B° Î·È A¢ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙË B¢.
1
¢
°
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (°-¶-°) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È B¢° Â›Ó·È ›Û·. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = B° Î·È AB = ¢°.
▲
K¿ı ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Î·È ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙ› Ù˘. K¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ÛÙȘ ¢ı›˜ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ Ûã ·˘Ù¤˜ ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. T· ‡„Ë Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Ûã ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È ›Û·. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ Ûã ·˘Ù¤˜, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ.
112
‡„Ô˜ · ‡„Ô˜ ‚ A
Â
B
˙
TETPA¶§EYPA
5.1.
£EøPIA £EøPHMA 5.3. ™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È (‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ). Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ A°, B¢, ÔÈ Ôԛ˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙËÓ AB ∧ ∧ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È B1 Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 180Æ, ˆ˜ ̤ÚË ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ. EÔ̤ӈ˜, ·˘Ù¤˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ O. £· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ O Â›Ó·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ̤ÛÔ. °È· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AOB, ¢O°, ÈÛ¯‡Ô˘Ó:
A
B 1
1 2
2
2
2 1
¢
√ 1
°
AB = ¢°, ÏfiÁˆ Ù˘ 1˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó.
ñ ñ
∧
∧
∧
∧
B1 = ¢1 , ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Aµ Î·È ¢°.
ñ
A1 = °1 , ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ AB Î·È ¢°. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (°-¶-°), Ù·
ÙÚ›ÁˆÓ· AOB Î·È ¢O° Â›Ó·È ›Û·. ™˘ÓÂÒ˜, AO = O° Î·È ¢O = OB. ÕÚ·, ÙÔ O Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Ù˘ A° Î·È Ì¤ÛÔ Ù˘ B¢. ▲ ¶OPI™MA 5.1. TÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. §fiÁˆ Ù˘ ȉÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.
¶›Ó·Î·˜ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜: ➧
OÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.
➧
OÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ Â›Ó·È ›Û˜.
➧
OÈ ‰È·ÁÒÓȘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.
➧
TÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
A˘Ù¤˜ ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Û οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. M‹ˆ˜, fï˜, Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· Â›Ó·È Ù· ÌÔÓ·‰Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·˘Ù¤˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜; H ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Î·Ù·Ê·ÙÈ΋ Î·È ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ıˆڋ̷ٷ, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. OÈ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÎÚÈÙ‹ÚÈ·, ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. √ÚÈÛÌfi˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
113
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
5.1.3 KÚÈÙ‹ÚÈ· ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ £EøPHMA 5.4. (1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ) ∞Ó ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ·Ó¿ ‰‡Ô ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. Afi‰ÂÈÍË: ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 5.1. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢, ·Ó Û˘Ì∧ ∧ ∧ ‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ٷ ̤ÙÚ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ˆ˜ A = ¯, B = „, ° = ¯ Î·È ∧ ¢ = „, ÂÂȉ‹ ∧ ∧ ∧ ∧ A + B + ° + ¢ = 360Æ, ¤¯Ô˘Ì 2¯ + 2„= 360Æ, ‰ËÏ·‰‹ ¯ + „ = 180Æ. ÕÚ·, AB // ¢° Î·È A¢ // B°, ·ÊÔ‡ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ▲
A
B „
¯ ¯
„
¢
°
£EøPHMA 5.5. (2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ) AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ ‰‡Ô ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. Afi‰ÂÈÍË: ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 5.2. ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· A¢B Î·È ¢B° Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ›Û˜. ™˘ÓÂÒ˜, ∧
∧ ∧
∧
∧
B 1
2
2 1
∧
A = °, B1 = ¢1, B2 = ¢2.
∧
A
¢
°
∧
A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ B = ¢ (ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ▲ £EøPHMA 5.6. (3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ) AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Î·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì AB = ¢° Î·È AB // ¢°, (›‰È· ·fi‰ÂÈÍË ·Ó A¢ = B° Î·È A¢ // B°). º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢ Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢, B¢°. IÛ¯‡ÂÈ:
ñ B¢ = B¢. ∧
∧
A
B 1
1
¢
°
ñ B1 = ¢1, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Aµ Î·È ¢°.
ñ AB = ¢° (‰Â‰Ô̤ÓÔ) ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (¶-°-¶), Ù·
114
TETPA¶§EYPA
5.1.
£EøPIA ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È µ¢° Â›Ó·È ›Û·. IÛ¯‡ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹, fiÙÈ A¢=B°, Î·È ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Ì·˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ fiÙÈ ÙÔ ▲
AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
¶APATHPH™H: TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ·˘Ùfi, ÂÂȉ‹ ··ÈÙ› ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÌfiÓÔ ÁÈ· ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û˘¯ÓfiÙÂÚ· ·fi Ù· ¿ÏÏ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤Ó· Û¯‹Ì· Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
£EøPHMA 5.7. (4Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ) AÓ Û’ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È (¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ), ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. Afi‰ÂÈÍË: ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 5.3. ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ A°, B¢, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ
A 2
O
1 1
1
AO = O°, BO = O¢. ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AO¢, BO°. IÛ¯‡ÂÈ:
B
¢
°
ñ AO = O° ‰Â‰Ô̤ÓÔ. ∧
∧
ñ O1 = O2 ˆ˜ ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜. ñ ¢O = OB ‰Â‰Ô̤ÓÔ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (¶-°-¶), Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞√¢ Î·È µ√° Â›Ó·È ›Û·. ™˘ÓÂÒ˜, ∧
∧
¢1 = B1 Î·È A¢ = B°. ∧
∧
EÂȉ‹ ÔÈ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ¢1, B1 Â›Ó·È ›Û˜, ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ // B°. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ▲
¶›Ó·Î·˜ ÎÚÈÙËÚ›ˆÓ ŒÓ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÌÈ· ·fi ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: ➧
OÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ ‰‡Ô ›Û˜.
➧
OÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ ‰‡Ô ›Û˜.
➧
¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È ·Ú¿ÏÏËϘ.
➧
OÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.
√ÚÈÛÌfi˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
115
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, ÂÓÒ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ M ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ∧
∧
A
∧ ∧
ÁˆÓÈÒÓ A Î·È B. OÈ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ A, B ÙÔ˘ ·Ú·Ï-
N 1
1
B 1
ÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ
∧
∧
∧ A+B A1 + B1 = = 90Æ. 2
∧
M
1
¢
°
∧
ÕÚ·, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MAB Â›Ó·È AMB = 90Æ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ AM⊥BM. OÌÔ›ˆ˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ∞ª Î·È ¢¡ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜. ∂Ô̤ӈ˜, ¢N // BM, ˆ˜ οıÂÙ˜ ÛÙËÓ ∞ª.
2
Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ‚¿Û˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È B°, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ A° Î·È AB ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AE¢Z Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹, ‰ËÏ·‰‹ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ·fi ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ¢ ¿Óˆ ÛÙË B°. Afi‰ÂÈÍË: TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AE¢Z ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ·Ú¿ÏÏËϘ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È ›ÛË Ì 2(AZ + ¢Z). ∧ ∧ OÈ ÁˆÓ›Â˜ ° Î·È ¢1 Â›Ó·È ›Û˜, ÂÂȉ‹ ¢Z // A°. E›Û˘, ∧ ∧ Â›Ó·È B = °. EÔ̤ӈ˜, ∧
A
Z
E
∧
B = ¢1 Î·È ¢Z = BZ.
ÕÚ·, Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ AE¢Z ›ӷÈ
1
B
¢
°
2(AZ + ¢Z) = 2(AZ + BZ) = 2AB = ÛÙ·ıÂÚ‹.
116
TETPA¶§EYPA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
5.1.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
2.
3.
AÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ Î¿ı ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ‰‡Ô ˙‡ÁË ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
A
B
4.
°È·Ù› οı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ·;
5.
AÓ ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ Ì ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÙÈ Û˘ÌÂÚ·›ÓÂÙ ÁÈ· Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó;
6.
TÈ ÌÔÚ›Ù ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ ÁÈ· ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘;
7.
MÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘;
8.
Y¿Ú¯ÂÈ ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û’ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ;
5.
ŒÛÙˆ E ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ AB = 2B°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:∧ ·) H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °E Î·È ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ °¢. ∧ ∧ ‚) OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ A Î·È B Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô Ù˘ °¢.
6.
Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // B°. Afi Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ AB Î·È A°, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Â›Ó·È ›Û·.
7.
º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ Â1 Î·È Â2 ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B. ¶¿Óˆ ÛÙȘ Â1 Î·È Â2 ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· ° Î·È ¢, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È A° = B¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë °¢ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ AB ‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
8.
¢‡Ô ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ Ì ΤÓÙÚ· O Î·È K ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô B ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ∧ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë ÁˆÓ›· B A° Ó· Â›Ó·È ÔÚı‹. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ OB°K Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
√ ¢
°
AÓ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È °¢ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ, ÙÈ ÌÔÚ›Ù ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ ÁÈ· ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢; N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ·Ú¿ÏÏËÏ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÌÂٷ͇ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â›Ó·È ›Û·. ™ÎÂÊÙ›Ù ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ.
A
B
°
¢
∂
Z
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì AE = °Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· EZ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.
2.
·) ™ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B°, °¢, ¢A ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· E, Z, H, £ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È AE = °H Î·È A£ = °Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ EZ∏£ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ‚)
¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÁÁÚ¿„Ô˘Ì Û ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ;
3.
¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ B¢ Î·È °E ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢Z = B¢ Î·È EH = °E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∏Z ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÂ›Ù·È ·’ ·˘Ùfi.
4.
™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ‚)
OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.
√ÚÈÛÌfi˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
117
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
Afi ÛËÌÂ›Ô M ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ MA Î·È MB ·˘ÙÔ‡. H ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ OM, Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ MA Î·È MB ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. H ¢ı›· AO Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· ¢E Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
7.
™Â ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙȘ ÚÔ‚ÔϤ˜ E Î·È Z ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ A Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¿Óˆ ÛÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ A° ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· EZ.
4.
AÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A¢ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· BE = B° Î·È ¢Z = ¢° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· °, E, Z Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο.
5.
AÓ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ Î·È ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B°, °¢, ¢A ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· BE = AB, °Z = B°, ¢H = °¢, A£ = A¢
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÌÈ· ∧ ÁˆÓ›· ˆ. ŒÛÙˆ ¢ ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‚¿Û˘ B° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ·) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ (Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË) Ù· ÛËÌ›· E Î·È Z ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ A° Î·È AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∧ ∧ ∧ ¢ E° = ¢ ZB = ˆ.
™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô M Ì BM = B°, ÂÓÒ ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¢A ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô N Ì ¢N = ¢°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ °M Î·È °N Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.
3.
6.
EZH£ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Ì ÙÔ AB°¢.
‚)
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ¢E + ¢Z Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi, ‰ËÏ·‰‹ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ¢ ¿Óˆ ÛÙË B°.
8.
ŒÓ· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ AB Î·È °¢ ›Û˜. ŒÛÙˆ E Î·È Z Ù· ̤۷ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ A¢ Î·È B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· EZ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Ì ÙȘ ¢ı›˜ AB Î·È °¢.
9.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° Î·È ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°. Afi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ AB Î·È A°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ A° Î·È AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB < ¢E + ¢Z < A°.
10. Afi ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌ›Ô
O ÂÓfi˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B° Î·È °A, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ A°, AB Î·È B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙ· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· O¢ + OE + OZ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ AB°.
·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ
118
TETPA¶§EYPA
5.2.
£EøPIA
5.2. ∂›‰Ë ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ · ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ηÙËÁÔڛ˜ (›‰Ë) ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. K¿ı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÁˆÓ›· ÔÚı‹, ÔfiÙ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÔÚı¤˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ‹ ·Ï¿ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚfiÌ‚Ô˜*. EÓÒ, οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ Â›Ó·È Î·È ÚfiÌ‚Ô˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
∆
A
B OÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ
°
¢ B A
¶APATHPH™H: K¿ı ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜. TÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜ Î·È fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.
A
PfîԘ
° ¢
B TÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
°
¢
™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂȉÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó. £EøPHMA 5.8. ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ¤¯ÂÈ ÙȘ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ AB°¢ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ A°, B¢, Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢B, AB° Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ÙËÓ AB Î·È A¢ = B° ˆ˜ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (¶-°-¶) ÈÛ¯‡ÂÈ A ¢B = A B°. ™˘ÓÂÒ˜, A° = B¢.
A
B
¢
°
AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. ŒÛÙˆ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ A° = B¢. T· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢°, B°¢ Â›Ó·È ›Û· ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ÎÚÈÙËÚ›Ô˘ (¶-¶-¶). ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ ¢ = °. ŸÌˆ˜, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ™˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È ÔÚı¤˜. ÕÚ·, ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ▲ £EøPHMA 5.9.
OÈ ‰È·ÁÒÓȘ ÚfiÌ‚Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ˜:
1) Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ·, 2) Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘, 3) Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.
* PfiÌ‚Ô˜ ÛÙ· ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈο ÛËÌ·›ÓÂÈ Û‚Ô‡Ú·. ¶ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ú‹Ì· «Ú¤Ì‚ˆ» Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÔÌ·È.
∂›‰Ë ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
119
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
Afi‰ÂÈÍË: 1) ™ÙÔ ÚfiÌ‚Ô AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ A°, B¢, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O. ™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Ë AO ˆ˜ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ A°, B¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ·. 2) E›Û˘, ÛÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Ë AO ˆ˜ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ∧ Î·È ‡„Ô˜ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ BA¢. M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ A°, B¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘. 3) T· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ A, B, ° Î·È ¢ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· A° Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· A, ¢, °, B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A° Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·, ‰ËÏ·‰‹ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ A° Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ B¢ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ▲
B 2
1 2
1 2
A
√ 1
1
°
2
¢
B
A
¶OPI™MA 5.2. OÈ ‰È·ÁÒÓȘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ·, Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ Î·È Â›Ó·È ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. EÈϤÔÓ, Â›Ó·È ›Û˜.
√
¢
°
MÈ· ÚÒÙË Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ T·ÍÈÓfiÌËÛË ÛÙÔȯ›ˆÓ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ X, Â‰Ò ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, ÛËÌ·›ÓÂÈ ÙÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÌfi ÂΛÓÔ˘ ÙÔ˘ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ A, Â‰Ò ÙÔ˘ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ (‹ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ) Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ ÔÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ X, Î·È ÌfiÓÔ ·˘Ù¿, ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A. ™˘Ó‹ıˆ˜, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ X Â›Ó·È ¤Ó· ¢ڇ Û‡ÓÔÏÔ, Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÂÚÈÔÚÈṲ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi ȉÈÔًوÓ, ÂÓÒ ÙÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ A ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÂΛӷ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ X Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÂÈϤÔÓ È‰ÈfiÙËÙ˜, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‰È·ÁÒÓȘ, ȉÈfiÙËÙ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰Â ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó fiÏ· Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·. ™ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi Ù·ÍÈÓÔÌԇ̠ٷ Û¯‹Ì·Ù·, ÁÂÓÈο Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ·, ·fi Ù· ·Ï¿ ÚÔ˜ Ù· Û‡ÓıÂÙ·. ¢ËÏ·‰‹, ÍÂÎÈÓ¿Ì ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ·ÚÈıÌfi ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ Î·È ÚÔ¯ˆÚԇ̠ÚÔ˜ ·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·ÚÈıÌfi ȉÈÔًوÓ.
120
TETPA¶§EYPA
5.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì ›Û· ‡„Ë Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Û’ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ Ù· ‡„Ë AE Î·È AZ Â›Ó·È ›Û·. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AE¢ Î·È ABZ ›∧ ∧ Ó·È ›Û· (AE = AZ Î·È B = ¢). EÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ AB = A¢, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜, ÙfiÙ ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ∧ ∧ ÙÚ›ÁˆÓ· AE¢ Î·È ABZ Â›Ó·È ›Û· (AB = A¢ Î·È B = ¢) ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, AE = AZ.
2
A
B Z
¢
E
°
TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Î¿ı ÛËÌ›Ԣ Ù˘ ‚¿Û˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi. Afi‰ÂÈÍË: Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ‚¿Û˘ B° ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A°, Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ ÙÔ ¢ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ B, ÙfiÙ ÙÔ ¢E Â›Ó·È ÌˉÂÓÈÎfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ÙÔ ¢Z ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ‡„Ô˜ BH. £· Ú¤ÂÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ı¤ÛË ÙÔ˘ ¢ ÈÛ¯‡ÂÈ ¢E + ¢Z = BH. AÓ Ê¤ÚÔ˘ÌÂ Î·È ÙË ¢£⊥BH, ÙfiÙ ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¢£HZ Â›Ó·È ¢Z = £H. E›Û˘, ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∧ ∧ ∧ BE¢ Î·È B£¢ (B¢ = B¢, B = ° = £¢B), ¤¯Ô˘Ì ¢E = B£. ÕÚ·,
A
E B
£ ¢
H Z °
¢E + ¢Z = B£ + £H = BH = ÛÙ·ıÂÚfi.
∂›‰Ë ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
M ÙÈ ÈÛÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘;
5.
™Â ÔÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘;
2.
Y¿Ú¯ÂÈ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ô˘ Â›Ó·È Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÚfiÌ‚Ô˜;
6.
AÓ Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÚfiÌ‚Ô˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘.
3.
ŒÓ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜;
7.
Y¿Ú¯ÂÈ ÚfiÌ‚Ô˜ Ì fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜;
4.
¶ÔÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ›Û˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜; TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Û’ ¤Ó· ÚfiÌ‚Ô Ì ›Û˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜;
8.
¶ÔÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ¤¯Ô˘Ó ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜;
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙÂ: ·) TÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ·Ó ‰›ÓÂÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ·. ‚) PfiÌ‚Ô, ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ · Î·È ‚. Á) OÚıÔÁÒÓÈÔ, ·Ó ‰›ÓÂÙ·È Ë ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ · Î·È Ë ÁˆÓ›· ·˘Ù‹˜ Ì ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.
2.
ŒÍˆ ·fi ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· ABE, B°Z, °¢H Î·È ¢A£. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ EZH£ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
3.
¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ Î·È Ù· ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· ABE Î·È B°Z, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ¤Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ¤Íˆ ·’ ·˘Ùfi. AÊÔ‡ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ A¢E, BE° Î·È °¢Z, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢, E, Z Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο.
7.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ AB°¢. M ΤÓÙÚ· Ù· A, ° A° Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú ≤ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜, ·fi 2 ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô ÚÒÙÔ˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È A¢ ÛÙ· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÂÓÒ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ B° Î·È °¢ ÛÙ· £ Î·È H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ EZH£ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
8.
™Â ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· E Î·È Z ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ AE = BZ. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AZ = ¢E Î·È AZ⊥¢E.
9.
¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢. ™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AB ÚÔ˜ ÙÔ B Î·È Ù˘ B° ÚÔ˜ ÙÔ ° ıˆÚԇ̠ٷ ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ AE = °Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
ŒÛÙˆ ¢ Î·È E ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ B ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÛÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∧ A. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, ¢, B, E Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ‚) H ¢ı›· ¢E ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A°.
122
6.
4.
AÓ Ì¤Û· Û’ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ABE, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ °¢E Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘.
5.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· ¿ÎÚ· ‰‡Ô οıÂÙˆÓ ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
TETPA¶§EYPA
5.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·Ó¿ ‰‡Ô Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
2.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ Î·È ¤Íˆ ·’ ·˘Ùfi Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ABEZ, B°H£, °¢IK Î·È ¢A§M. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.
3.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ¢ ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‚¿Û˘ B°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ¢ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ AB Î·È A° Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹.
4.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Î¿ı ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi.
5.
ŒÛÙˆ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. OÈ Ï¢ڤ˜ A¢ Î·È B° ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, ÂÓÒ ÔÈ AB Î·È °¢ ÛÙÔ Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∧ Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ E ∧ Î·È Z Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ‡ AB°¢ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÚfiÌ‚Ô˘.
6.
7.
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô O ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ AB°¢. A˜ Â›Ó·È E, Z, H, £ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘ O ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ AB°¢ Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ EZH£. ¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (AB = A°) Î·È Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· AB¢E Î·È A°ZH ÂÎÙfi˜ ·˘-
∂›‰Ë ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
ÙÔ‡. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) H ¢ı›· AM Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ EH. ‚) OÈ Â˘ı›˜ BZ Î·È °¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Â› Ù˘ AM.
8.
OÈ Î¿ıÂÙ˜ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ AB°¢ ÚÔ˜ ÙȘ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ ÛÙ· ÛËÌ›· E, Z, H, £ Î·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ ‰‡Ô Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· K, §, M, N. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· E, Z, H, £ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÂÓÒ Ù· K, §, M, N Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÚfiÌ‚Ô˘.
9.
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ηٿ ›ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· M¢. H οıÂÙË ·fi ÙÔ ¢ ÚÔ˜ ÙË B° Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ Áˆ∧ ∧ ÓÈÒÓ B Î·È ° ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢Z = AB Î·È ¢E = A°.
∧
10. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·Ó¿ ‰‡Ô, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È ›Û˜ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜.
11. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ÂÓfi˜ ÚfiÌ‚Ô˘ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘.
12. ŒÛÙˆ
E ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB ÙÂÙÚ·∧ ÁÒÓÔ˘ AB°¢. AÓ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ E ¢° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢E = AE + °Z.
123
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
5.3. ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
√
È È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ¯ÚËÛÈÌÂ‡Ô˘Ó ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ‰‡Ô ÛÔ˘‰·›ˆÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Û¯ÂÙÈÎÒÓ Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ·.
£EøPHMA 5.10. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ Ì ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘. Afi‰ÂÈÍË: OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì M, N ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, A° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ MN ¤ˆ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô K, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ì MN = NK. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AM°K Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ·ÊÔ‡ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ A°, MK ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È. ŒÙÛÈ, ÈÛ¯‡ÂÈ ∫°// ∞µ Î·È ∫° = ∞ª = ªµ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ µ°∫ª Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ™˘ÓÂÒ˜, MK // B°. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È fiÙÈ MN // B°. MK E›Û˘, MK = B°, ·ÏÏ¿ Î·È MN = . 2 B° ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ MN = . ▲ 2
A
N
M
K
B
°
£EøPHMA 5.11. AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ÙfiÙÂ Ë Â ı· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 5.10. ŒÛÙˆ M ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ë Â˘ı›·  // B° Î·È Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ K. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ A° Ì ··ÁˆÁ‹ Û ¿ÙÔÔ. AÓ ÙÔ K ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ A°, ·˘Ùfi ı· Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ¿ÏÏÔ ÛËÌ›Ô, ¤ÛÙˆ ÙÔ N. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 5.10 Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ MN // B°, ·ÏÏ¿ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ MK // B°. ™˘ÓÂÒ˜, ηٷϋͷÌ Û ¿ÙÔÔ, ‰ÈfiÙÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙË B°. ▲
A
M
B
N
K
Â
°
£EøPHMA 5.12. H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ∧
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A=90Æ. º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM ÙËÓ ÔÔ›· ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ¤ˆ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, ÒÛÙ AM = M¢. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB¢° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·Ï∧ ÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ·ÊÔ‡ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È Î·È A = 90Æ.
124
TETPA¶§EYPA
5.3.
£EøPIA B° A¢ = B° ‹ 2AM = µ° ‹ AM = . 2 ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: ∞Ó ÁÈ· ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞ª ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° µ° ÈÛ¯‡ÂÈ ∞ª = Î·È ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ∞ª ¤ˆ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, 2 ÒÛÙ ∞ª = ª¢, ÙfiÙ ÙÔ ∞µ¢° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÂÂȉ‹ ÔÈ ‰È·∧ ÁÒÓȤ˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È Î·È Â›Ó·È ›Û˜. ÕÚ·, A = 90Æ. ▲ ÕÚ·,
B
¢
M
A
°
¶OPI™MA 5.3. AÓ Û ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ÈÛÔ‡Ù·È Ì 30Æ, ÙfiÙÂ Ë ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ·˘Ù‹Ó ÏÂ˘Ú¿ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. £EøPHMA 5.13. AÓ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Û ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û· ¢ı›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó Î·È Û οı ¿ÏÏË Ù¤ÌÓÔ˘Û· ¢ı›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· *. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ·, ‚, Á **, ÔÈ Ôԛ˜, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Ì, ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, B°. ŒÛÙˆ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Ó, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÛÙ· ÛËÌ›· ¢, E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¢E = EZ. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ¢K//AB, fiÔ˘ K ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‚ Î·È ÙËÓ E§//B°, fiÔ˘ § ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Á. EÂȉ‹ Ù· ABK¢, BE§° Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·, ÈÛ¯‡ÂÈ AB = ¢K Î·È B° = E§. TfiÙÂ, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢EK, E§Z Â›Ó·È ›Û· ÏfiÁˆ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ AB = B° Î·È ÏfiÁˆ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜. Afi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ¢E = EZ, ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ô˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍ‹ Ì·˜. ▲
A
·
¢
B
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° §
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¶POB§HMA 5.1. N· ¯ˆÚÈÛÙ› ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÛÂ Ó ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. K·Ù·Û΢‹: H ȉ¤· Ù˘ Â›Ï˘Û˘ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜ ËÁ¿˙ÂÈ ¿ÌÂÛ· ·fi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 5.13. AÓ ‰Ôı› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ËÌÈ¢ı›· A¯ Î·È ¿Óˆ Ûã ·˘Ù‹ Ó· ¿ÚÔ˘ÌÂ Ó ‰È·‰Ô¯Èο Î·È ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ A. ™˘Ó‰¤Ô˘Ì ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙÔ B Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â˘ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·˘Ùfi. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 5.13, ÛÙÔ ÙÌ‹Ì· AB ı· ¤¯Ô˘Ó ÔÚÈÛÙ› Ó ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.
¯ AÓ+1
A2 A
A3
A4
B
* TÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È ·ÛıÂÓ¤˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹. H ÔÓÔÌ·Û›· ·˘Ù‹ ı· ηٷÓÔËı› ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 7. ** H ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Â›Ó·È ÂÓÙÂÏÒ˜ fiÌÔÈ·.
∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
125
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
¶POB§HMA 5.2. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù· ÔÔ›· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜. AÓ¿Ï˘ÛË: AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ · // ‚ Î·È Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ¿ÁÓˆÛÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·Ú·ÏϋψÓ, ÂÂȉ‹ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ‰ÂÓ ı· È۷›¯Â ·fi ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ MA, MB ÚÔ˜ ÙȘ ¢ı›˜ ·, ‚ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÈÛ¯‡ÂÈ MA = MB, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB. TÔ Â‡ÚËÌ· ·˘Ùfi Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ È‰¤· ·Ó·Î¿Ï˘„˘ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘. K·Ù·Û΢‹: ŒÛÙˆ AB Ë ·fiÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ A Ù˘ ¢ı›·˜ · ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ‚. Afi ÙÔ Ì¤ÛÔ M ÙÔ˘ AB ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· Ì ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ·, Ë ÔÔ›· ÚÔÊ·ÓÒ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Î·È ÛÙËÓ Â˘ı›· ‚. IÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ¢ı›·˜ Î·È ÌfiÓÔ ·˘Ù¿ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÙfiÔ˘. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô N Ù˘ ¢ı›·˜ Ì Î·È ·˜ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË N°¢ ÛÙȘ ·, ‚ Ì ٷ ÛËÌ›· °, ¢ Ó· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Ûã ·˘Ù¤˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 5.13 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ °N = N¢, Û˘ÓÂÒ˜ ÙÔ N, fiˆ˜ Î·È Î¿ı ¿ÏÏÔ Ù˘ ¢ı›·˜ Ì Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘. ™‡Ìʈӷ, ›Û˘, Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 5.13, Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È Î·È ·fi ¿ÏÏ· ÛËÌ›·.
A
·
M ‚ B
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¶POB§HMA 5.3. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù· ÔÔ›· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜. AÓ¿Ï˘ÛË - ™‡ÓıÂÛË *: ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ ·, ‚ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O. ™¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ˙‡ÁË Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ·ÔÙÂÏ› ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÔ, ·ÊÔ‡ Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘. ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ Â˘ı›˜ ·, ‚ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ˙ËÙÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ÙfiÔ˘. E›Û˘, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.12 Ù· ÛËÌ›· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ Â›Ó·È Ù· ÌÔÓ·‰Èο Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ·.
‰2
·
‰1 O ‚
¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ ·, ‚ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ ·, ‚, ‰1, ‰2 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÎÙÒ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ 45Æ. * §fiÁˆ Ù˘ ·ÏfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ÔÈ Ê¿ÛÂȘ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È ™‡ÓıÂÛË ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·Áη›Ô Ó· ‰È·¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó.
126
TETPA¶§EYPA
5.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ¢ PA ™ T H P I OT H TA
5.1.
N· ·ÍÈÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Û·˜ ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ‚·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ 3 ÁÈ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ·, ÒÛÙ ӷ ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È: ·) ÌÈ· ÁˆÓ›· Î·È ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, ‚) ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ Î·È ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, Á) ÔÈ ‰‡Ô ‰È·ÁÒÓȘ Î·È Ë ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘.
EÊ·ÚÌÔÁ‹
T· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î¿ı ΢ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È E, Z, H, £ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î˘ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A°, ÙfiÙ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· EZ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, B° Î·È ÂÔ̤ӈ˜ A° EZ // A° Î·È EZ = . 2 OÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°¢ ›ӷÈ
E
A
B
£ Z ¢ H
° A° £H // A° Î·È £H = . 2 / / EÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ EZ £H Î·È EZ = £H. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ EZH£ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
127
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
2.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 90Æ ∧ Î·È B = 30Æ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM. ™Â ÙÈ Â›‰Ô˘˜ ÙÚ›ÁˆÓ· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ AB°;
5.
¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ‰ÔṲ̂ÓË ·fiÛÙ·ÛË · ·fi ¢ı›· Â;
6.
AÓ ¢, E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÙÈ Û¯¤ÛË ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ¢EZ Î·È AB°;
∧
B
M
A
¢
°
A
B
3.
4.
AÓ E, Z Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È M ÛËÌÂ›Ô Ù˘ B°, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AM Î·È ÁÈ·Ù›;
E
Z
°
A
E
Z
B
M
7.
AÓ ÛÂ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
B
ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ∧ (A = 90Æ) ÈÛ¯‡ÂÈ B° AB = , 2 Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù›
°
°È·Ù› ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ù· ̤۷ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ Î˘ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘;
∧
° = 30Æ.
M
°
A
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ıˆÚԇ̠ٷ ‡„Ë B¢ Î·È °E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Û ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ Î·È Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘, Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜, ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÔÍÂÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
3.
4.
5.
128
6.
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ ÚÔ˜ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. AÓ E Î·È Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ E¢Z Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¶fiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜;
7.
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘ÌÂ
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÚfiÌ‚Ô˘, ÂÓÒ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÚfiÌ‚Ô˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘.
8.
ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ B = 15Æ, ·Ó Î·È 1 ÌfiÓÔÓ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = B°. 4 AÓ ¢ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ AM ÙÚÈÁÒÓÔ˘
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î˘ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÙÔ AB°¢ ¤¯ÂÈ ›Û˜ Î·È Î¿ıÂÙ˜ ‰È·ÁÒÓȘ.
9.
AÓ E Î·È Z Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AZ Î·È °E ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢ Û ÙÚ›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.
∧
∧
AB° Î·È E ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ B¢ Î·È A°, 1 Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AE = °E. 2 ¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜. AÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M ÎÈÓÂ›Ù·È ¿Óˆ ÛÙËÓ Â, Ó· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AM.
10. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Û οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ ‰È¯ÔÙÔÌ› Î·È ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ Î·È Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·.
TETPA¶§EYPA
5.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 11. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Ì AB < A°, Î·È ¤ÛÙˆ ¢
12. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Û οı ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ
ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°. Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ B ∧ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙË ‰Ô¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ A, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ ·˘Ù‹ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. N· ·ÔA° – AB ‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢E = . 2
ÔÈ Â˘ı›˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ Î·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ ÁÒÓÔ˘ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ · ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È · A¢ = BE = °Z = . 3 N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ Ì Ï¢ڤ˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
1.
A˜ Â›Ó·È E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È B° ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ AB°¢. AÓ H Î·È £ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ A Î·È ° ¿Óˆ ÛÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ EH Î·È Z£ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.
2.
N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ó· Â›Ó·È ÙÚ›· ‰Ôı¤ÓÙ· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·.
10. ™ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜. AÓ E Î·È Z Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ¢ ÛÙȘ AB Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EZ⊥AM.
11. ™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ
3.
4.
EÎÙfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· AB¢E Î·È A°ZH. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B° Î·È K, § Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ K§M Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
5.
™Â Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ° = 45Æ Ê¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë A¢ Î·È BE. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ AB, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ M¢E Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
6.
™’ ¤Ó· ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ù· ‡„Ë B¢ Î·È °E Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ B° Î·È AZ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢E.
7.
∧
∧
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 60Æ Î·È AB < A° ʤÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë B¢ Î·È °E. AÓ M Î·È N Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, A° – AB Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EM = ¢N = . 2
8.
9.
∧
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È B = 60Æ Î·È B° AB = , Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ›2 Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ™ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B° Î·È °A ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈ-
∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
AB Î·È A° ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ıˆÚԇ̠‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙ¿ ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È A¢ = °E. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢E. ∧
AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙȘ A¢⊥B°, ¢E⊥AB Î·È ¢Z⊥A° (¢, E, Z ÛËÌ›· ÙˆÓ B°, AB, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·). AÓ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ AM ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ¢Z ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô H, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ BEZH Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
12. A˜
Â›Ó·È O Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ¢, E, Z Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ K, §, M Â›Ó·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘ O ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· ¢, E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ AK, B§, °M ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
13. ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Ì AB < A° ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Ì¤-
ÛÔ ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô E ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AB, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ A° ¢E = . OÈ Î¿ıÂÙ˜ ·fi Ù· B Î·È E ÛÙË ‰È2 ∧ ¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ A° ÛÙ· ÛËÌ›· Z Î·È H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: A° – AB ·) BE = ZH = , 2 ‚) Ë EH ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°.
14. ™Â
ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ıˆÚԇ̠ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. AÓ E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ∧ ∧ ∧ ¢EZ = B – °.
129
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
5.4. ∆Ú·¤˙È· ˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Ì ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Â›‰Ô˜, ·˘Ùfi Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÌfiÓÔÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. K¿ı ٤ÙÔÈÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÚ·¤˙ÈÔ *. OÈ ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘, ÂÓÒ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‰È¿ÌÂÛÔ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. ŒÓ· ÙÚ·¤˙ÈÔ Ì ÙȘ ÌË ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ.
™
‚¿ÛË
‡„Ô˜
ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ
‰È¿ÌÂÛÔ˜
‚¿ÛË
I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÙÚ·Â˙›ˆÓ £EøPHMA 5.14 H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ οı ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ËÌÈ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‚¿ÛˆÓ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ AB°¢ ÙÚ·¤˙ÈÔ Ì ‚¿ÛÂȘ AB, °¢ Î·È M, N Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ A¢, B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. °È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë MN Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ AN, ÒÛÙ ӷ ÙÌ‹ÛÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· ¢° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ABN, N°E. IÛ¯‡ÂÈ:
A
B 1
M
N 2 1
1) BN = N° (‰Â‰Ô̤ÓÔ), ∧
∧
2) B = °1 ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ AB Î·È ¢°, ∧
¢
°
E
∧
3) N1 = N2, ˆ˜ ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (°-¶-°), ÈÛ¯‡* TÚ·¤˙ÈÔ ÛÙ· ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈο Â›Ó·È ·˘Ùfi Ô˘ ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚ· fi‰È·. ŒÙÛÈ, ÂÍËÁÂ›Ù·È Î·È ÙÔ ÁÈ·Ù› ÙȘ ÌË ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÙȘ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È fi‰Â˜ (fi‰È·) ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘.
130
TETPA¶§EYPA
5.4.
£EøPIA
ÂÈ A BN = N °E. ™˘ÓÂÒ˜ AB = °E Î·È AN = NE, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ N Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AE. ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MN Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘, ¿Ú· MN // ¢E (Ôfi¢E Ù MN // ¢°) Î·È MN = . 2 AB+¢° AÏÏ¿, ¢E = ¢° + °E = ¢° + AB. ™˘ÓÂÒ˜, MN = . 2 ▲ ¶OPI™MA 5.4. H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ οı ÙÚ·Â˙›Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘.
£EøPHMA 5.15. OÈ ÁˆÓ›Â˜ Û οı ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ›Û˜.
B
A 2
2
1
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ AB°¢ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ Ì A¢ = B°. º¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë ÙÔ˘ AA′, BB′. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢A′, B°B′ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û˜ Î·È ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ οıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ›Û˜. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ∧ ∧ ∧ ∧ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ¢ = °. OÈ ÁˆÓ›Â˜ A, B Â›Ó·È ›Û˜ ˆ˜ ·Ú·∧ ∧ ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ¢, °. ▲
¢
1
A′
B′
°
¶OPI™MA 5.5. AÓ Ûã ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜, ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ.
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ οı ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Î·È ›ÛÔ Ì ÙËÓ ËÌȉȷÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ MN ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ E Î·È Z ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ B¢ Î·È A°. E›Û˘, Â›Ó·È MN // AB // °¢, ÔfiÙÂ Î·È EZ // AB // °¢. AB ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ ÈÛ¯‡ÂÈ ME // AB Î·È ME = , 2 °¢ ÂÓÒ ÛÙÔ A°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ MZ // °¢ Î·È MZ = . 2
A M
¢
B
E
Z
N
°
¢° AB ¢° – AB EÔ̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ì EZ = MZ – ME = – = . 2 2 2
∆Ú·¤˙È·
131
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
AÓ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ ›Û˜ ‰È·ÁÒÓȘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì A¢ = B°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢° Î·È B¢° Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ∧ ∧ A¢ = B°, ¢° = ¢° Î·È ¢ = ° (ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘). ÕÚ·, A° = B¢. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: ŒÛÙˆ fiÙÈ ÛÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ A° = B¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë AE Î·È BZ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘, ÙfiÙ ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AE° Î·È BZ¢ Â›Ó·È ›Û· ∧ ∧ (AE = BZ Î·È A° = B¢). EÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È Î·È A °E = B¢Z. T· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢° Î·È B¢° Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› A¢ = B°, ∧ ∧ A° = B¢ Î·È A °¢ = B ¢°. ÕÚ·, A¢ = B°, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
¢
A
B
E
Z
°
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
Y¿Ú¯ÂÈ ÙÚ·¤˙ÈÔ, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È;
2.
¶fiÛ˜ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ;
3.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ME, EZ Î·È ZN ÛÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢; A M
¢
4.
132
Z ‚
Y¿Ú¯ÂÈ ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û’ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ;
6.
AÓ Û ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ (AB // °¢) ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ E Ù˘ A¢ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘, ÂÍËÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› ·˘Ù‹ ı· ÂÚ¿ÛÂÈ Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B°. A
B
·
E
5.
B
E
N
°
¢
°
OÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÚfiÛÎÂÈÓÙ·È ÛÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‚¿ÛË ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ÔÍ›˜;
TETPA¶§EYPA
5.4.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
¢›ÓÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì AB // °¢ Î·È AB > °¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë AE Î·È BZ, AB – °¢ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ¢E = °Z = . 2
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘.
3.
AÓ Û’ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ Ë ÌÈ· ‚¿ÛË Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù˘ ¿ÏÏ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÙÚȯÔÙÔÌÔ‡Ó ÙË ‰È¿ÌÂÛfi ÙÔ˘.
4.
™Â οı ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ›¯ÓÔ˜ ÂÓfi˜ ‡„Ô˘˜ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘.
5.
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ·˘Ù¤˜. ‚) AÓ ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ AB ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Â›Ó·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ›ÛÔ Ì ÙÔ AB.
6.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÚfiÌ‚Ô˘, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
7.
™Â ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ¤¯Ô˘Ì AB // °¢ Î·È A¢ = AB + °¢. AÓ E Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B°, Ó· ∧ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· AE¢ Â›Ó·È ÔÚı‹.
8.
H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‚¿ÛË ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ô˘ ÚfiÛÎÂÈÓÙ·È ÛÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‚¿ÛË Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ ‚¿Û˘.
9.
AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙËÓ Â Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ·fi ÙËÓ Â.
10. ŒÛÙˆ
∧
∧
ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì A = ¢ = 90Æ Î·È B° = 2°¢. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∧ ∧ B°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AM° = 3BAM.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÌÈ· ¢ı›·  Ԣ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B° ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ B Î·È ° ¿Óˆ ÛÙËÓ Â.
2.
AÓ Û ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi E Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ B°E¢ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ.
3.
ŒÛÙˆ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì AB // °¢. Afi ÙÔ Ì¤ÛÔ E Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ A¢, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· °¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BZ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
4.
™Â ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ë ÏÂ˘Ú¿ A¢ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ AB Î·È °¢. N· ·Ô∧ ∧ ‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ A Î·È ¢ Ù¤-
∆Ú·¤˙È·
ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°.
5.
N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÚ·¤˙ÈÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÚfiÛÎÂÈÓÙ·È Û ÌÈ· ‚¿ÛË.
6.
AÓ Û ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = AB + °¢ Î·È ∧ ∧ B = ° = 90Æ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ A¢ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ°.
7.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O Î·È ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB. ™ÙËÓ AB ıˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· ° Î·È ¢ Ì A° = B¢ Î·È ·’ ·˘Ù¿ ʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë EZ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ E° Î·È Z¢.
8.
N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÚ·¤˙ÈÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÌÈ· ‚¿ÛË, ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Ì ÙË ÁÓˆÛÙ‹ ‚¿ÛË.
133
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
5.5. ∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ· ÛËÌ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘  οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó οÔÈ· ÛËÌ›· Ì ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ ȉÈfiÙËÙ˜. K¿ÔȘ ·ã ·˘Ù¤˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙȘ ›¯·ÌÂ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ ÛÙ· Ì·ı‹Ì·Ù· °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ›¯·Ì ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ Ù˘¯·›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌ›Ô. E›Ó·È, ÏÔÈfiÓ, ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¤Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ÂÓÙÔ›ÛÔ˘ÌÂ Î·È ı· ÂÚÌËÓ‡ÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ οÔÈˆÓ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜.
™
£EøPHMA 5.16 OÈ ÙÚÂȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¢, BE, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô I (ÁÈ·Ù›;). £· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›∧ ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ë ÙÚ›ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ (·˘Ù‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ° ) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ I. O ÛÙfi¯Ô˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÛËÌÔ˜ Ì ÙÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ I Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Î·È Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘. ŒÛÙˆ IA′, IB′, I°′ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ I ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, A°, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. IÛ¯‡ÂÈ:
A
B′ E
°′ I
ñ IB′ =I°′, ÂÂȉ‹ ÙÔ I Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ A¢. ñ I°′ = IA′, ÂÂȉ‹ ÙÔ I Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Î·È Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ BE.
B
A′ ¢
°
™˘ÓÂÒ˜ IA′ = Iµ′, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ I ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙËÓ ÙÚ›ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ. ÕÚ·, ÔÈ ÙÚÂȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô I. ▲
H ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÈ ÌÈ· Ù¯ÓÈ΋ ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ¢ı›˜, ÔÈ Ôԛ˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô (Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Û˜). EÂȉ‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÂΛÓÔ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ‰›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙÔ fiÓÔÌ· ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÒÛÙ ӷ ÙÔÓÈÛÙ› Ë Ó¤· ȉÈfiÙËÙ¿ ÙÔ˘.
134
A
I B
°
TETPA¶§EYPA
5.5.
£EøPIA ¢ PA ™ T H P I OT H TA
5.2.
N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó ÔÈ Â˘ı›˜ ÛÙȘ Ôԛ˜ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÔÈ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó¿ÏÔÁË È‰ÈfiÙËÙ· Ìã ·˘Ù‹ ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ‰È¯ÔÙfïÓ. E›Û˘, Ó· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÈ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Ë ·¤Ó·ÓÙÈ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó. AÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ·˘Ùfi, Ì‹ˆ˜ Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ٷ ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ‰È¯ÔÙfïÓ;
£EøPHMA 5.17 OÈ ÙÚÂȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ÌÂÛÔηı¤Ù˜ Ì1, Ì2 ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ B°, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù¯ÓÈ΋ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÁÈ· ÙȘ Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Û˜ ¢ı›˜, ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ AB ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ O. º¤ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OA, OB, O°. IÛ¯‡ÂÈ:
A
Ì2 O
OB = O°, ÂÂȉ‹ ÙÔ O Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Ì1, OA = O°, ÂÂȉ‹ ÙÔ O Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Ì2.
B
EÂȉ‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ÌÂÛÔηı¤ÙˆÓ ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ã ·˘Ù¤˜. §fiÁˆ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ȉÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÙÔÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
°
Ì1
™˘ÓÂÒ˜, OA = OB. ÕÚ·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ AB. ▲ A
B
°
5.3.
™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Û¯‹Ì· ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ›Ûˆ˜ ÂÂȉ‹ ·˘Ùfi Â›Ó·È Ô͢ÁÒÓÈÔ. N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›ÁˆÓ· ÛÙ· ÔÔ›· ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¤Íˆ ·fi ·˘Ù¿ ‹ ¿Óˆ Û οÔÈ· ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜. M ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ¤ÚÂ˘Ó¿˜ Û·˜ ‰È·Ù˘ÒÛÙ οÔÈÔ ÁÂÓÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÁÈ· ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÂÚÈΤÓÙÚÔ˘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ.
∞ÍÈoÛËÌ›ˆÙ· ÛËÌ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘
135
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
£EøPHMA 5.18 ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Â˘ı›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. Afi‰ÂÈÍË: H ÎÂÓÙÚÈ΋ ȉ¤· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ Â›Ó·È Ó· ·ÍÈÔÔÈËı› ÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ fiÙÈ ÔÈ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Â˘ı›˜ Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Û˜. ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È A¢, BE ‰‡Ô ·fi Ù· ‡„Ë ÙÔ˘, Ù· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô H. Afi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, B, ° ʤÚÔ˘Ì ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, A°, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. OÈ Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· A′, B′, °′. M·˙› Ì ÙÔ Ó¤Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ A′B′°′ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÙÚ›· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·. T· A°B°′, AB°B′ Î·È ABA′° Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. EÂȉ‹ ÈÛ¯‡ÂÈ A°′ = B° Î·È AB′ = B°, ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ A°′ = AB′, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ A Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B′°′. AÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ B Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ A′°′ Î·È ÙÔ ° Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ A′B′. ÕÚ·, Ë A¢ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ B′°′, Ë BE Ù˘ A′°′ Î·È Ë °Z Ù˘ A′B′. EÔ̤ӈ˜, Ù· ‡„Ë ¢A, BE Î·È °Z Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A′B′°′ Î·È ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· ÛËÌ›Ô, ÙÔ H. ▲
°′
B′
A
Z B
H
E
°
¢
A′
TÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
5.4.
™ÙÔ Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›ÁˆÓ· ÛÙ· ÔÔ›· ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‹ ¿Óˆ Û οÔÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. M ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ¤ÚÂ˘Ó¿˜ Û·˜ ‰È·Ù˘ÒÛÙ οÔÈÔ ÁÂÓÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÁÈ· ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ˘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ.
£EøPHMA 5.19 OÈ ÙÚÂȘ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. TÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ ·¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·fiÛÙ·ÛË ·fi οı ÎÔÚ˘Ê‹ ·’fiÙÈ ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ÏÂ˘Ú¿˜. Afi‰ÂÈÍË: £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÚÒÙ· fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ £ ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ AM, BN ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ·, ÂÂȉ‹ ·˘Ù‹ ı· Â›Ó·È Î·È Ë ÎÔÈÓ‹ ȉÈfiÙËÙ· Î·È Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘. º¤ÚÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MN. EÂȉ‹ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù·
136
TETPA¶§EYPA
5.5.
£EøPIA ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ AB°, ÈÛ¯‡ÂÈ
A
AB MN // AB Î·È MN = . 2 AÓ K, § Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ A£, B£ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB£ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ
K
AB K§ // AB Î·È K§ = . 2 ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ K§MN Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ¿Ú· ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔ› ÙÔ˘ KM, §N ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ K£ = £M Î·È §£ = £N. EÔ̤ӈ˜,
ηÈ
2 A£ = 2 Ø £M = AM 3
(1)
2 B£ = 2 Ø £N = B¡. 3
(2)
™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ £ ¤¯ÂÈ Î·ıÔÚÈṲ̂ÓË ı¤ÛË Â› Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ AM (Î·È Â› Ù˘ BN). EÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÁÈ· ÙȘ ‰È¿ÌÂÛÔ˘˜ AM Î·È °P, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ £′ ı· ¤¯ÂÈ ¿ÏÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· 2 A£′ = 2 Ø £′M = AM , 3 Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ £ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ £′. ÕÚ·, ÔÈ ÙÚÂȘ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó. ▲
N £ § M
B
°
A
P £′
B
M
°
TÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‹ ΤÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÔ˘. H Ê˘ÛÈ΋ ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ˆ˜ ÌÈ· «ÏÂÙ‹» Â›Â‰Ë Ï¿Î· ·fi ÔÌÔÁÂÓ¤˜ ˘ÏÈÎfi, ÙfiÙÂ Ë Ï¿Î· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ÈÛÔÚÚÔ‹ÛÂÈ Û ¤Ó· ηٷÎfiÚ˘ÊÔ ÛÙ‹ÚÈÁÌ·, ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. E›Û˘, ·Ó ÎÚÂÌ¿ÛÔ˘Ì Ì Ӌ̷ٷ ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ Ͽη ‰È·‰Ô¯Èο ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù˘, ÔÈ Â˘ı›˜ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È Ù· Ó‹Ì·Ù·, ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
5.5.
N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›ÁˆÓ·, ÛÙ· ÔÔ›· ‰‡Ô ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ {‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ, ¤ÁÎÂÓÙÚÔ, ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ, ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ} Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.
∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ· ÛËÌ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘
137
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
EÊ·ÚÌÔÁ‹
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ Ù˘ Ì ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. §‡ÛË: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›Û·. H ÈÛfiÙËÙ· · + ‚ + Á = 2Ù ÁÚ¿ÊÂÙ·È
A ¯
2¯ + 2„ + 2ˆ = 2Ù ‹ ¯ + „ + ˆ = Ù.
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E
I
¯ + „= Á, ¯ + ˆ = ‚ Î·È „ + ˆ = ·. ÕÚ· Â›Ó·È ¯ = Ù – ·, „ = Ù – ‚
ηÈ
ˆ
„
ˆ=Ù–Á
B
„
¢
°
ˆ
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
2.
™Â Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘. ™˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ;
3.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
4.
°È·Ù› ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ Î·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›· ÙÔ˘;
5.
™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ, ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ, ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ Î·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·. ¶ÔÈ· Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ë Â˘ı›·; TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ٷ ÛËÌ›· ·˘Ù¿ Û ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ;
6.
138
AÓ H Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ‚Ú›Ù ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ HAB, HB° Î·È HA°. E·Ó·Ï¿‚ÂÙ ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. M ÙËÓ ·¿ÓÙËÛË Ô˘ ı· ‚Ú›ÙÂ, ı· ηٷϿ‚ÂÙ ÁÈ·Ù› ϤÌ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A, B, °, H ·ÔÙÂ-
ÏÔ‡Ó ÔÚıÔÎÂÓÙÚÈ΋ ÙÂÙÚ¿‰·. A E Z H
B ¢
7.
°
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Ë A¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ 2 ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È AK = A¢. OÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ·fi 3 ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ B Î·È ° ı· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ·fi ÙÔ K; A
K B ¢
°
TETPA¶§EYPA
5.5.
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∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1. 2.
3.
4.
AÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ›Û˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) H ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ A¢. ‚) TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ Ì ÙÔ AB°. Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô E Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ B¢ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB Î·È ·fi ÙÔ B ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â˘ı›· AE. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÔÈ ‰‡Ô οıÂÙ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È·ÁˆÁ›Ô˘ A°. ŒÛÙˆ O ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ Î·È E ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ °¢. AÓ Ë AE Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B¢ ÛÙÔ Z, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AZ = 2EZ Î·È O¢ = 3OZ.
5.
¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BE = AB. H ¢ı›· E° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· A¢ ÛÙÔ Z. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È Ë OE Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô H, 1 Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·) °E = °Z Î·È ‚) BH = °H. 2
6.
AÓ I Â›Ó·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, K Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ I ÛÙË B° Î·È A¢ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘, ∧ ∧ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ BI¢ = K I°.
7.
ŒÛÙˆ ¢, E, Z ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ÂÁΤÓÙÚÔ˘ I ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô I Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ÌÂÛÔηı¤ÙˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ.
8.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ∧
·ÎÏÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ( ∞= 90Æ) 1 Â›Ó·È Ú = (‚ + Á – ·). 2
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
3.
4.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ¤ÛÙˆ M ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢∞ ηٿ ›ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AE. AÓ Z Î·È H Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ B Î·È M ¿Óˆ ÛÙȘ °E Î·È AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ A¢, BZ Î·È MH Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó. ¢›ÓÂÙ·È Î˘ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì ∧ ∧ B = ¢ = 90Æ. AÓ E Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ AB, °¢ Î·È Z ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ A¢ Î·È B°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ A ÛÙËÓ EZ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ °. AÓ ¢, E, Z Â›Ó·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘ ÂÚÈΤÓÙÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Â›Ó·È ›Û·. ¢›ÓÂÙ·È Î˘ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì ∧ ∧ B = ¢ = 90Æ. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· BE = AB Î·È ¢Z = A¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ EZ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ °.
∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ· ÛËÌ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘
5.
A˜ Â›Ó·È E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È A¢ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ B¢ ÙÚȯÔÙÔÌÂ›Ù·È ·fi ÙȘ ¢ı›˜ °E Î·È °Z.
6.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ‚ > Á, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ì‚ < ÌÁ.
7.
AÓ H Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì ∧ ∧ B – ° = 90Æ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∏µ° Â›Ó·È ›Û·.
8.
MÈ· ¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ B, ° ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Â. N· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ A ·fi ÙËÓ Â ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ B Î·È ° ·fi ÙËÓ Â;
9.
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM. AÓ E, Z Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ¢ ÛÙȘ AB, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È H ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ AB, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ B ÚÔ˜ ÙËÓ ∂Z ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ A¢ Î·È MH.
∧
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 5Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
AÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ›Û˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
9.
™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢ ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
2.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
3.
EÎÙfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· AB¢E Î·È A°ZH. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ BZ Î·È °¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ A£ (ÛËÌÂ›Ô Vecten).
4.
5. 6.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ B¢ Î·È °E. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ M ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢E ·fi ÙË B° ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ M ·fi ÙȘ AB Î·È A°. ∧
∧
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ B – ° = 120Æ, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ‰· = 2˘·. ™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· 7Æ30′ ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM ÚÔ˜ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· B°. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ·fi1 ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ¢ ·fi ÙËÓ AM Â›Ó·È ›ÛË Ì B°. 8
7.
EÎÙfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· AB¢E Î·È A°ZH. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢Z, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MB° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
8.
AÓ AB = ·, B° = ‚ Î·È ¢E = Á, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ EZ.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ E°¢ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
10. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧
¯O„ = „O˙ = 60Æ. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Î¿ı ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÛËÌ›∧ Ô˘ A Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ ·fi ÙȘ O¯ Î·È O„ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ·ÔÛÙ·ÛË ÙÔ˘ A ·fi ÙËÓ O˙.
11. ™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° (AB = A°) ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ B¢ Î·È ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∧ ∧ A ¢B Î·È B ¢°, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›· B° ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ EZ = 2B¢.
12. N· ηٷÛ΢·Ûı› ÙÚ·¤˙ÈÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È: ·) ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, ‚) ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Î·È ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔ› ÙÔ˘.
13. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Ì A° > B°. AÓ ¢, E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È H ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ A°B (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∏ Ù˘ ∞° Ì ∞∏ = ∏° + °µ), Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ZH Â›Ó·È ∧ ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ °£ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ° ∧ Î·È fiÙÈ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¢ ZE.
14. £ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
A
¢
140
∧
E AB = E BA = 15Æ.
B
E
°
AB° Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ ¢ ·˘ÙÔ‡ Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢ Î·È A°¢ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Ù˘ A¢ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
Z O
TETPA¶§EYPA
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 5Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
2.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) OÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ‚) AÓ Ù· ‡„Ë A¢ Î·È BE ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô H, ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· °H Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB. Á) TÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ‰) AÓ ÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 60Æ, ÙfiÙÂ Ë ÚÔÛΛÌÂÓË ÛÙË ÁˆÓ›· ·˘Ù‹ οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜. Â) T· ‡„Ë ÂÓfi˜ ÚfiÌ‚Ô˘ Â›Ó·È ›Û·. ÛÙ) ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì οıÂÙ˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. ˙) T· ̤۷ ÙˆÓ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·. Ë) TÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. OÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÚfiÛÎÂÈÓÙ·È ÛÙË ÌÂÁ¿ÏË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ ¤¯Ô˘Ó ̤ÙÚÔ A. 45Æ, B. 60Æ, °. 50Æ, ¢. 55Æ, E. 65Æ
A
·
OÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ A, B, ° ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· 8 cm, 4 cm, 3 cm. H ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‚·Ú˘Î¤ÓÙÚÔ˘ G ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ·fi ÙËÓ Â Â›Ó·È A. 6 cm B. 7 cm °. 5 cm ¢.7,5 cm
A
E
2·
¢
4.
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B = 30Æ + ° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢, Î·È E, Z Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ∧ ÙˆÓ AB, B°. H ÁˆÓ›· ¢EZ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ °. 20Æ,
B′ E′ A′ G′
∧
¢. 25Æ,
E. 35Æ
A
Â
°′
B O
E E
TETPA¶§EYPA
¢′
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ Ì °¢ = 3AB Î·È E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘. ¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·ÏËı‡ԢÓ; ·) H ¢ı›· EZ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ A¢ Î·È B°. 1 ‚) IÛ¯‡ÂÈ EZ = °¢ . 2 Á) TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ABZE Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ‰) OÈ Â˘ı›˜ AE Î·È BZ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙË ¢°.
A
B
¢
B
7.
∧
G
·
OÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ A. Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ B. ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È °. Â›Ó·È ›Û˜ ¢. ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘.
B. 15Æ,
6.
°
3.
A. 30Æ,
AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ¤¯ÂÈ ›Û˜ Î·È Î¿ıÂÙ˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜, ÙfiÙ ٷ ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ A. ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ B. ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ °. ÚfiÌ‚Ô˘ ¢. ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ E. ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘.
B
· °
5.
¢
Z
°
¢
Z °
141
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 8.
AÓ ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È ∧ ∧ B1 = 15Æ, Ë ÁˆÓ›· ˆ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ A. 90Æ
B. 85Æ
°. 95Æ
A
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
10. TÔ
¢. 100Æ
ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ BE = °Z. N· Û˘ÌÏËÚÒÛÙ ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ.
B
·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· BE° Î·È ………… Â›Ó·È ›Û·. ∧
40Æ
1 30Æ
‚) H ÁˆÓ›· B °E Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙË ÁˆÓ›· ……, ·ÏÏ¿ ›ÛË Î·È Ì ÙË ÁˆÓ›· ……… . Á) OÈ Â˘ı›˜ E° Î·È ¢Z Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó …… ÁˆÓ›·.
ˆ
¢
°
E
A
9.
AÓ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È E Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ 2 A. OZ = BZ °. OZ = OB 3 1 1 B. OZ = ZB ¢. OZ = B¢ . 2 4
A
E
B
E
°
¢ HZ
B Z
O ¢
°
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ÂÍÂÙ¿Û·Ì ÙȘ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Î·È ·Ú¿ÏÏËÏ· Ìã ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ (Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ·), ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù·ÍÈÓÔÌ‹Û·Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Û ηÙËÁÔڛ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ·ÚÈıÌfi ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ Ô˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· ÙË ÌÂÙ¿‚·ÛË ·fi ÙË ÌÈ· ηÙËÁÔÚ›· ÛÙËÓ ·Ì¤Ûˆ˜ ÂfiÌÂÓË (Ï¿ÁÈÔ, ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÚfiÌ‚Ô˜, ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ). OÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÌÈ·˜ ÛÂÈÚ¿˜ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Ù· ÔÔ›· ·ÊÔÚÔ‡Ó Û ÙÚ›ÁˆÓ·, ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÙfiÔ˘˜ Î·È Î·Ù·Û΢¤˜. T· ÙÚ·¤˙È· Â›Ó·È ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ Â›‰Ô˜ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÌÂÏÂÙ‹Û·Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ÌÂÏÂÙ¿Ì ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, fiˆ˜ ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ, ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ, ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ Î·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·˘ÍË̤ÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔÙ‹ÙˆÓ ÁÈ· ÙËÓ ÂÍÔÈΛˆÛË Ì ÙÔÓ ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·È ÙËÓ ÔÈÎÈÏ›· ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ìã ·˘Ùfi.
142
TETPA¶§EYPA
6.1.
6
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
™¯‹Ì·Ù· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Û ·ÎÏÔ
6.1. ∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ Ô˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Û ·ÎÏÔ. ™ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÌÔÚÔ‡ÌÂ, fiˆ˜ ı· ‰Ô‡ÌÂ, Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·˘ÙfiÓ, ÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÔχÁˆÓÔ. B·ÛÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi Â›Ó·È Ë ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· Û ·ÎÏÔ. MÈ· ÁˆÓ›·, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. TÔ ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ‹, fiˆ˜ ϤÌÂ, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‚·›ÓÂÈ Ë ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ÁˆÓ›·˜. ) ∧ H ÁˆÓ›· B K° ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ)¤Ï·ÛÛÔÓ ÙfiÍÔ B° Î·È Ë ÁˆÓ›· ∧ B§° ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ Ì›˙ÔÓ ÙfiÍÔ B° Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ Ë ¯ÔÚ‰‹. H ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ÁˆÓ›·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â›ÎÂÓÙÚË Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘.
™
A EÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· ÛÙÔ B°
B A
° E›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ÛÙÔ B°
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B °
B
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¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Û¯‹Ì·Ù· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Û ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ B° ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ÛÙËÓ ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ‰‡Ô ÙfiÍ·, ÙÔ Ì›˙ÔÓ Î·È ÙÔ ¤Ï·ÛÛÔÓ, ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ‰‡Ô ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȘ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. ∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜
143
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
£EøPHMA 6.1 H ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· οı ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÙfiÍÔ. Afi‰ÂÈÍË: ) ·) £· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÚÒÙ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ÙfiÍÔ AB Â›Ó·È ¤Ï·ÛÛÔÓ. ŒÛÙˆ K ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·) ÎÏÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ¤Ï·ÛÛÔÓ ÙfiÍÔ AB. £· ·Ô∧ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· A OB Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù˘ ∧ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ÁˆÓ›·˜ AKB. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ OA, OB ∧ ∧ Î·È OK. AÓ O AK = ¯ Î·È OBK = „, ÙfiÙ ·fi Ù· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· AOK Î·È BOK ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: ∧
O
K ¯
„ B
A
∧
K OA = 180Æ – 2¯ Î·È K OB = 180Æ – 2„, ÔfiÙ ∧
∧
∧
A OB = K OB – K OA = 180Æ – 2„ – (180Æ – 2¯) = 2(¯ – „). ∧
∧
∧
EÍ¿ÏÏÔ˘, A KB = A KO – B KO = ¯ – „. EÔ̤ӈ˜ Ë Â›ÎÂ∧ ∧ ÓÙÚË ÁˆÓ›· AOB Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ AKB.
)
‚) ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ÙfiÍÔ AB Â›Ó·È Ì›˙ÔÓ, ı· ·Ô‰Â›∧ ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÌË Î˘ÚÙ‹ ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· A OB Â›Ó·È ‰ÈÏ¿∧ ÛÈ· Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ AKB. °È· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ KO Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ̤¯ÚÈ Ó· ÙÌ‹ÛÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË (·) ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ∧
∧
∧
™
O
∧
A O™ = 2A KO Î·È B O™ = 2B KO.
A
B
∧
EÔ̤ӈ˜, ÁÈ· ÙË ÌË Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›· A OB ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
∧
∧
∧
K
∧
A OB = A O™ + B O™ = 2AKO + 2B KO = ∧
∧
∧
= 2(A KO + B KO) = 2A KB.
▲
¢ PA ™ T H P I OT H TA
6.1.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 6.1 fiÙ·Ó: ·) Ë ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ‚) Ë ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ›ÎÂÓÙÚ˘.
¶OPI™MA 6.1. ŸÏ˜ ÔÈ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚·›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÙfiÍÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. A
144
B
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.1.
£EøPIA ¶OPI™MA 6.2. OÈ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚·›ÓÔ˘Ó Û ›Û· ÙfiÍ· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‹ Û ›Û· ÙfiÍ· ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ Â›Ó·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ (Û¯. ·). ∂
Z
A
¢ A ·)
B
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B
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° ‚)
¶OPI™MA 6.3. H ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· Ô˘ ‚·›ÓÂÈ Û ËÌÈ·ÎÏÈÔ Â›Ó·È ÔÚı‹ (Û¯. ‚).
¶OPI™MA 6.4. ·fi 180Æ.
K¿ı ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË
£EøPHMA 6.2 H ÔÍ›· (·ÓÙ. ·Ì‚Ï›·) ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¯ÔÚ‰‹ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì οı ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ¤Ï·ÛÛÔÓ (·ÓÙ. Ì›˙ÔÓ) ÙfiÍÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ ·˘Ù‹˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ Â Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â˘ı›· ÛÙÔ ¿ÎÚÔ A Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ AB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú) Î·È ¯ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∧ ∧ B AÂ. EÂȉ‹ OA⊥Â, Â›Ó·È O AB = 90Æ – ¯. Afi ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ∧ ÙÚ›ÁˆÓÔ AOB, ¤¯Ô˘Ì ›Û˘, O BA = 90Æ – ¯. EÔ̤ӈ˜, Ë ) ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ÙfiÍÔ AB Â›Ó·È ∧
A OB = 180Æ – 2(90Æ – ¯) = 2¯,
B O 2¯
¯
Â′
Â
A
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Â›Ó·È ›ÛË Ì ¯. ▲ ¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: ∏ ·Ú·¿Óˆ ·fi‰ÂÈÍË ¤ÁÈÓ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ∧ Ù˘ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜. ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· B AÂ′, ÙÔ ÙfiÍÔ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ¯ÔÚ‰‹ AB Â›Ó·È ÙÔ Ì›˙ÔÓ Î·È ÂÔ∧ ̤ӈ˜ Ë Â›ÎÂÓÙÚË Â›Ó·È Ë ÌË Î˘ÚÙ‹ A OB. IÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚË∧ Ì· Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ·ÊÔ‡ B AÂ′ = 180Æ– ¯ Î·È Ë ÌË ∧ ΢ÚÙ‹ ›ÎÂÓÙÚË B OA Â›Ó·È 360Æ –2¯ = 2(180Æ– ¯). ™ÙËÓ OÙÈ΋ (º˘ÛÈ΋) fiÙ·Ó ·Ú·ÙËÚԇ̠¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ, .¯. ¤Ó· ‰¤ÓÙÚÔ, ÔÈ ÊˆÙÂÈÓ¤˜ ·ÎÙ›Ó˜ Ô˘ ÍÂÎÈÓÔ‡Ó ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ó ÛÙÔ Ì¿ÙÈ ÙÔ˘ ·Ú·ÙË-
∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜
145
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
ÚËÙ‹ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ÁˆÓ›· Ê. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ «Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÁˆÓ›· Ê». Ÿˆ˜ ·Ó·Ê¤Ú·ÌÂ Î·È ÛÙÔ ÈÛÙÔÚÈÎfi Ì·˜ ÛËÌ›ˆÌ·, Ë E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ÌÂÏÂÙ¿ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ, ·ÊÔ‡ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ··ÏÏ¿ÍÂÈ Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ·fi Ù· Ê˘ÛÈο ÙÔ˘˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο, ‰ËÏ·‰‹ ·ÊÔ‡ Ù· ηٷÛÙ‹ÛÂÈ ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·. ŒÙÛÈ, ÛÙÔ Ó‡̷ ·˘Ùfi, ÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ ÁÈ· ÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· Â›Ó·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ÙÔ Ì¿ÙÈ ÙÔ˘ ·Ú·ÙËÚËÙ‹ ¤Ó· ÛËÌ›Ô. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÛÙË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÁÏÒÛÛ· ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô K ˘fi ÁˆÓ›· ∧ Ê, fiÙ·Ó Ë A KB = Ê.
K Ê
A
B
¶POB§HMA 6.1. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, ·fi Ù· ÔÔ›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÁˆÓ›· Ê. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB, ÙÔ ÔÔ›Ô Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ˘fi ÁˆÓ›· Ê. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ fiÚÈÛÌ· 6.1, ·Ó ÙÔ AB ‹Ù·Ó ¯ÔÚ‰‹ Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ, ÒÛÙ ·fi οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·Ó ˘fi ÁˆÓ›· Ê, ÙfiÙÂ Î·È ·fi fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ™ ı· Ê·›ÓÔÓÙ·Ó ˘fi ÁˆÓ›· Ê. £· Ú¤ÂÈ ÏÔÈfiÓ Ó· ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB™. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 6.1, ı· Â›Ó·È ∧
∧
™ Ê O A
2Ê
B
∧
A OB = 2Ê Î·È OAB = O BA = 90Æ – Ê. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ O ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ı· Â›Ó·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ OAB, Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ ·ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙË ‚¿ÛË Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘. O
™‡ÓıÂÛË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AOB Ì ÏÂ˘Ú¿ AB ÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Î·È ∧
∧
90Æ–Ê
O AB = O BA = 90Æ – Ê. A
90Æ–Ê B
°Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, OA) Î·È ÈÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ AB (ÙÔ˘ Ì›˙ÔÓÔ˜, ·Ó Ë ÁˆÓ›· Ê Â›Ó·È ÔÍ›·, ÙÔ˘ ÂÏ¿ÛÛÔÓÔ˜, ·Ó Ë ÁˆÓ›· Ê Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·) Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘. E›Û˘, ·Ó O′ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ O ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ AB, ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O′, OÕ). ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Û˘ÌÌÂ) ÙÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ∞µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ¯ÔÚ‰‹ ∞µ Â›Ó·È Â›Û˘ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘.
146
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.1.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ Afi‰ÂÈÍË: YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô P, Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ AB Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÁˆÓ›· Ê. AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ AP Î·È ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, OA), ∧ ÙfiÙ ı· Ú¤ÂÈ Ë ÁˆÓ›· AKB = Ê (·fi ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹). H ÁˆÓ›· fï˜ ·˘Ù‹ Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ BKP, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ APB = Ê, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÍÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ AB Â›Ó·È Â›Û˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜. ∂›Û˘, ·Ó ÙÔ P Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ηٷϋÁÔ˘Ì Û ¿ÙÔÔ.
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¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ù· ÛËÌ›· A, B ˆ˜ ÔÚȷο ÛËÌ›· Ú¤ÂÈ Ó· ÂÍ·ÈÚÂıÔ‡Ó ·fi Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÙfiÔ˘. K·Ù¿ ÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, ÛȈËÚ¿ ıˆڋ۷Ì fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· Ê Â›Ó·È ÔÍ›·. TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ fï˜, ·Ó, Ê > 90Æ; ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ú¤ÂÈ Ê < 180Æ, ·ÏÏÈÒ˜ ‰Â ı· ›¯Â ÓfiËÌ· ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ì·˜ (ı· ˙ËÙÔ‡Û·Ì ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙˆÓ 180Æ). AÓ, fï˜, ¤¯Ô˘Ì 90Æ < Ê < 180Æ, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È Ù· ÂÏ¿ÛÛÔÓ· ÙfiÍ· ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (O, OA) Î·È (O′, OÕ). T¤ÏÔ˜, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÛÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Î·Ù¿ ÙËÓ ÔÔ›· Ê = 90Æ, ÙÔ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ı· Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, OA) Î·È Ô ÙfiÔ˜ ı· Â›Ó·È fiÏÔ˜ Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ì ÂÍ·›ÚÂÛË ¿ÏÈ Ù· ÛËÌ›· A Î·È B.
B
√ A
B O ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜
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A
B
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EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
¢‡Ô ÙfiÍ· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û·. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó ‰‡Ô ÙfiÍ·, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÌË ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ Î‡ÎÏÔ˘, Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙ ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. Afi‰ÂÈÍË: AÓ ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ A¢, ÙfiÙ ÔÈ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ∧ ∧ ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È ¢1 Â›Ó·È ›Û˜. OÈ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜, fï˜, Â›Ó·È ) ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ‚·›ÓÔ˘Ó ÛÙ· ÙfiÍ· B¢ Î·È ) ) ) A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ÕÚ·, Â›Ó·È B¢ = A°.
) )
∧
∧
A
°
B
1
1
¢
AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó B¢ = A°, ÙfiÙ A1 = ¢1 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, AB // °¢.
∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜
147
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
MÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Î‡ÎÏÔ˘ Û ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ M Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ AB ÙÔ˘
)
·ÎÏÔ˘, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÙÔ M Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ AB. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ M Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ¯ÔÚ‰‹ AB. Tfi∧ ∧ Ù ÔÈ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ A1 Î·È M1 Â›Ó·È ›Û˜. H Áˆ∧ Ó›· M1, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ¯ÔÚ‰‹ AM Î·È ÙËÓ ∧ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â, Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· B1 ) ∧ ∧ Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ÙfiÍÔ AM. EÔ̤ӈ˜, A1 = B1, Ô˘ ÛËÌ·›) ) ÓÂÈ fiÙÈ MA = MB ηÈ, ¿Ú·, MA =MB, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ M Â›Ó·È ) ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB. ) AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB, ÙfiÙÂ
A
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M
∧
∧
MA = MB, ‰ËÏ·‰‹ MA = MB Î·È ¿Ú· A1 = B1.
∧
B
1 1
) )
∧
1
∧
∧
AÏÏ¿ B1 = M1 (ÁˆÓ›· ·fi ¯ÔÚ‰‹ Î·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË). EÔ̤ӈ˜, A1 = M1, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ AB // Â.
3
AÓ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ‹ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· «‚·›ÓÂÈ» Ë ÁˆÓ›·. §‡ÛË: ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) AÓ Ë ÁˆÓ›· Â›Ó·È Â›ÎÂÓÙÚË, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ Ù˘. ‚) AÓ Ë ÁˆÓ›· Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ, ÙfiÙ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‚·›ÓÂÈ.
·)
‚)
M
^ = ·Æ ˆ
^ = 1 ·Æ ˆ 2
Á)
°
ˆ
ª
‚Æ ˆ
B
A ·Æ
B
A
·Æ
B
A ˆ ·Æ ¢
°
1
1
A
M ˆ
M
‰)
1
ˆ
‚Æ ¢
1
·Æ ^ = 1 (·Æ+ ‚Æ) ˆ 2
B
^ = 1 (·Æ– ‚Æ) ˆ 2
∧
Á) AÓ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (·ÏÏ¿ fi¯È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ∧ ∧ ∧ ∧ ÙÔ˘), ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ MB¢ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ˆ = B1 + ¢1. ∧
∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ B1 Î·È ¢1 Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ‚·›ÓÔ˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙ· ÙfiÍ· ) ) ∧ ∧ ∧ 1 1 1 A¢ Î·È B°. EÔ̤ӈ˜, B1 = ·Æ, ¢1 = ‚Æ Î·È ˆ = (·Æ + ‚Æ). 2 2 2 ∧
‰) AÓ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙfiÙ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MA¢ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 1 1 1 ÈÛ¯‡ÂÈ ¢1 = ˆ + A1. AÏÏ¿ ¢1 = ·Æ, A1 = ‚Æ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, ˆ = ¢1 – A1 = (·Æ – ‚Æ). 2 2 2
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™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.1.
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™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
AÓ ‰Ôı› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB, ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙÔ˘ ∧ ÂȤ‰Ô˘, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ AMB = 90Æ;
5.
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯¤ÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, fiÔ˘ ÔÈ MA Î·È MB Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤Ó˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘;
M
N
B Ê
A
2. 3.
B
ˆ
A
¶fiÙ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘; °È·Ù› ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ Â›Ó·È ›Û˜; £· Û˘Ó¤‚·ÈÓ ÙÔ ›‰ÈÔ, ·Ó ∧ ∧ K = M ≠ 120Æ;
6.
M
AÓ ÔÈ AB Î·È A° Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤Ó˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ) 1 ) ı = ( BE° – B¢°). 2 A
M 120Æ
°
B
¢
¯
K
ı ¢
120Æ
A
4.
E
B
°
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ B ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.
„
Â
A K
∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜
B
149
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·È Ì ÌÈÎÚ¿ ÁÚ¿ÌÌ·Ù·.
·
2.
A
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô οıÂÙ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ) A° = 50Æ Î·È B A° = 45Æ. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ A°B¢. °
44Æ K
„
B
K
130Æ
A
°
¢
¯
K „ ˆ 60Æ
¢
M
¢
B
‚
°
3.
£ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È AB < A°. º¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢, Î·È ¤ÛÙˆ E ÙÔ ·ÓÙȉȷÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ∧ ∧ ÙÔ˘ A. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A Î·È ¢AE ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‰È¯ÔÙfiÌÔ.
4.
A˜ Â›Ó·È ¢, E, Z Ù· ÛËÌ›· ·ʋ˜ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ‡ AB°.
5.
AÓ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· A, B, Î·È °, ¢ Â›Ó·È Ù· ·ÓÙȉȷÌÂÙÚÈο ÛËÌ›· ÙÔ‡ A ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· °¢ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô B.
6.
™Â ·ÎÏÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Ó· ʤÚÂÙ ¯ÔÚ‰‹ A° ∧ ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ BA° = 30Æ. H ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· AB ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°¢ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
7.
N· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· KA ·ÎÏÔ˘ (K, ·). N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î¿ı ¯ÔÚ‰‹ AB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) ‰È¯ÔÙÔÌÂ›Ù·È ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ Î‡ÎÏÔ.
8.
A˜ Â›Ó·È E, Z, H, £ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ ) ) ) ) ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÙfiÍˆÓ AB, B°, °¢, ¢A ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EH⊥Z£. ™˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ fiÙ·Ó Ù· E, Z, H, £ Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ Aµ, B°, °¢ Î·È ¢A;
9.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ·ÎÏÔ˘, οıÂÙ˜ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÚ›Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜, Â›Ó·È ›Û˜.
„
A 55Æ ¯
Á
B
A
¯
B
K
A
‰
B ı
Ê
Ú
K
20Æ „ 32Æ ˆ 150Æ ¯ °
¢
K
 B
¯ A
M Â
¯
A B
15Æ K 120Æ
¢
150
°
ÛÙ
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6.1.
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∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
£ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ (O, R) ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘ H. Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ B ʤÚÔ˘Ì ÙË ¯ÔÚ‰‹ B¢ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, οıÂÙË ÛÙË B°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:
)
Ô‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ B°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ MB + M° = MA.
6.
Afi ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË AB Î·È ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢. AÓ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ∧ ÁˆÓ›·˜ °B¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË °¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AE = AB.
7.
¢‡Ô οıÂÙ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ ·ÎÏÔ˘ (K, ·) Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. AÓ M Î·È N Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ A¢ Î·È B° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ KMEN Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
8.
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ M ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ A°.
9.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, Ú) Î·È (K, ·) ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. MÈ· ¢ı›·  ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙÔ˘ (O, Ú) ÛÙÔ B Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ (K, ·) ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë AB Â›Ó·È Ë ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A°¢.
·) A¢⊥A°, ‚) B¢ = AH Î·È AH Á) OM = , fiÔ˘ M ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B°. 2
2.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ‹ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. Afi ÙÔ A ʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· B, ° Î·È ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ÛÙ· ¢, E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ B° // ¢E.
3.
™Â ·ÎÏÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB ʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¯ÔÚ‰¤˜ A° Î·È B¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) A° = B¢ Î·È ‚) Ë °¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
4.
™ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ B¢ Î·È °E ·Ú¿ÏÏËϘ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ A° Î·È AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ¯ÔÚ‰‹ ¢E Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A.
5.
£ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. AÓ M Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈ-
∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜
10. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ›ÛÔ˘˜ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜.
151
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
6.2. ∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Î·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ fi ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÛËÌ›· ·ÎÏÔ˘ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ÌÂÛÔηı¤ÙˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. ¶ÚÔ·ÙÂÈ ÏÔÁÈο ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·, ·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ٷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Î·È ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· Ì ٷ ÔχÁˆÓ·. °È· ÙË ÌÂϤÙË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ˙ËÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‰›ÓÔ˘Ì ·Ú¯Èο ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi: ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ fiϘ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Â›Ó·È ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÔχÁˆÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·˘Ùfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÂȉÈο Ù· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Û ·ÎÏÔ.
∞
B ° A O ¢
E
£EøPHMA 6.3 AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ, ÙfiÙ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙË
)
‰È·ÁÒÓÈÔ A°. AÓ Â›Ó·È x ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ A ¢°, ÙfiÙ ı·
)
¤¯Ô˘Ì A B°= 360Æ – x. ™˘ÓÂÒ˜, ∧ ∧ x x A B° = Î·È A ¢° = 180Æ – . 2 2 ∧
∧
A ¯ 2 180Æ–
¢
B
¯ 2
°
ÕÚ·, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A B°, A ¢° Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. EÂȉ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È 360Æ, ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ˙‡ÁÔ˜ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ▲ ŒÓ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ (ÁÂÓÈο ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ë ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ·ÎÏÔ˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ã fiϘ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘. TÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ‰ËÏÒÓÂÈ ÂÌ̤ۈ˜, ·ÏÏ¿ Ì ۷ʋ ÙÚfiÔ, fiÙÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÏ· Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· Û ·ÎÏÔ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Â›Ó·È ÌË ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ. Y¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ‰È·ÊÔÚ¿ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¤ÍÂˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ ÔχÁˆÓÔ. M ÙËÓ ÚÒÙË ÂÓÓÔԇ̠ÌÈ·Ó ˘·ÚÎÙ‹ ηٿÛÙ·ÛË (¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Â›Ó·È ÛËÌ›· ·ÎÏÔ˘) Î·È Ì ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÂÓÓÔԇ̠¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· ˘¿ÚÍÂÈ Î‡ÎÏÔ˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘, Ó· Á›ÓÂÈ ‰ËÏ·‰‹ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ. Œ¯Ô˘Ó,
152
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.2.
£EøPIA fï˜, ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· fiÏ· Ù· ÔχÁˆÓ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ; TÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ·˘Ùfi ÂÚÒÙËÌ· ··ÓÙ¿Ù·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Î·È Û˘ÓÔ„›˙ÂÙ·È ÛÙ· ·ÎfiÏÔ˘ı· ıˆڋ̷ٷ. £EøPHMA 6.4 (1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÂÁÁÚ¿„ÈÌˆÓ ÙÂÙڷχڈÓ). AÓ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ. Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ (¤ÛÙˆ ∧ ∧ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ A, °) Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÙÔ ›‰ÈÔ ı· Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·È Ì ÙÔ ¿ÏÏÔ ˙‡ÁÔ˜. AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ AB°¢ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ, ı· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ¿ÙÔÔ. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB¢ (ÁÓˆÛÙ‹ ηٷÛ΢‹). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·˘Ùfi˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. EÂȉ‹ ÙÔ ABE¢ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ, ÈÛ¯‡ÂÈ (ıÂÒ∧ ∧ ÚËÌ· 6.3) fiÙÈ A + E = 180Æ. Afi Â‰Ò ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·∧ ∧ ∧ ÛÌ· fiÙÈ ° = E. A˘Ùfi Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ Ë E Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢E°. ÕÚ·, ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ. AÓ Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ B° ÛÙÔ E, ÙfiÙ ¿ÏÈ Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì Û ·ÓٛʷÛË. ▲ ¶OPI™MA 6.5. AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, οı ÁˆÓ›· ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›·˜.
E
B
¢
A
A
B
¢
°
¶OPI™MA 6.6. AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ, ÙfiÙ οı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ˘fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.
£EøPHMA 6.5 (2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÂÁÁÚ¿„ÈÌˆÓ ÙÂÙڷχڈÓ). ŒÓ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, fiÙ·Ó ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ˘fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ B A° = B ¢°. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· 6.1, Ù· ÛËÌ›· A, ¢ ı· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ÙfiÍÔ Î‡ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ¯ÔÚ‰‹ ÙË B°, ‰ËÏ·‰‹ Ù· ÛËÌ›· A, B, °, ¢ ı· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·˘Ùfi. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ. ▲ ∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Î·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ
°
A
B
° ¢
A
¢
B
°
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ. TfiÙÂ Â›Ó·È ∧
∧
∧
A
B
¢
°
∧
A = ° Î·È A + ° = 180Æ,
∧
∧
‰ËÏ·‰‹ A = ° = 90Æ. ÕÚ·, ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ∫¿ı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, ·ÊÔ‡ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
2
T· ‡„Ë A¢, BE, °Z ÂÓfi˜ ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ H ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. EÂȉ‹ ∧ ∧ B ¢H + B ZH = 180Æ,
A E
ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ B¢HZ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ. ÕÚ·, Ë ÏÂ˘Ú¿ HZ Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘∧ ∧ ʤ˜ ˘fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜, ‰ËÏ·‰‹ B1 = ¢1. OÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ ∧ ∧ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¢°EH ÈÛ¯‡ÂÈ ¢2 = °1. ™ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ B°EZ Ë ÏÂ˘Ú¿ B° Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ E, Z ˘fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜, ·ÊÔ‡ ∧
Z 1
B
H 1 2
1
¢
°
∧
B E° = B Z° = 90Æ. ∧
∧
∧
∧
EÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ B1 = °1. ÕÚ·, Â›Ó·È ¢1 = ¢2, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ ∧ fiÙÈ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ. OÌÔ›ˆ˜, Á›ÓÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· Ù· ‡„Ë BE Î·È °Z. ™ËÌ›ˆÛË: H ·fi‰ÂÈÍË ·Ú·¿Óˆ ¤ÁÈÓ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ Ô͢ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. H ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·Ê‹ÓÂÙ·È ˆ˜ ¿ÛÎËÛË. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ›¯ÓË ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ϤÁÂÙ·È ÔÚıÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ.
154
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· Û ·ÎÏÔ;
2.
¶fiÙ ¤Ó·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˜ Û ·ÎÏÔ;
3.
OÈ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô K. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ;
4.
AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ K, ÔÈ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Û˜ ¢ı›˜;
A
B
6.
K
¢
5.
°
A
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë A¢, BE, °Z, Î·È ¤ÛÙˆ H ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘. °È· ÔÈÔ ÏfiÁÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· Û ·ÎÏÔ Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ AEHZ, B¢HZ, °¢HE, AB¢E, B°EZ Î·È A°¢Z;
Z H
E
B ¢ °
·) °È·Ù› ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Û ·ÎÏÔ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘; ™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ; ‚) ¶Ò˜ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ;
B A
¢
A
K
B K
¢
°
°
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ, ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.
3.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B. ¢‡Ô ¢ı›˜, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· A Î·È B, Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· °, ¢ Î·È ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ÛÙ· E, Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ °¢ // EZ. ™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È °¢ = EZ;
4.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë A¢ Î·È BE. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ¢E Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ÂÚÈÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °.
∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Î·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ
5.
A˜ Â›Ó·È E ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ A¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Z, H ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ‡ E ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î‡ÎÏÔ˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· B, °, H, Z.
6.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Î˘ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·Ó¿ ‰‡Ô Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ.
7.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ B ∧ Î·È ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô I, ÂÓÒ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ∧ ∧ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ B Î·È ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô K. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ BI°K Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡.
∧
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· ¿ÎÚ· ‰‡Ô οıÂÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ÙÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ›¯ÓÔ˜ ÂÓfi˜ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘.
3.
£ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ (K, R) ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë ÙÔ˘ µ¢ Î·È °∂. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· KA Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ¢E.
4.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ οı ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¿Óˆ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ (¢ı›· ÙÔ˘ Simson).
5.
156
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο οı ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· (¢ı›· ÙÔ˘ Steiner).
6.
™Â ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ıˆÚԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ Î·È ÙˆÓ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ ÚÔÛΛÌÂÓˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘.
7.
£ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ A¢, BE. AÓ H Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Z ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A° Î·È £ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AH, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¢ZE£ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ.
8.
¢›ÓÂÙ·È ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È ÌÈ· ¢ı›·  Ԣ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢. A˜ Â›Ó·È E Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ A ¿Óˆ ÛÙËÓ Â Î·È Z, H ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ °, ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¿Óˆ ÛÙËÓ AB. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∧ ∧ A EH = A ZE.
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.3.
£EøPIA
6.3.
XÚ‹ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ë ·Ó¿ÁÎË Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ë ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ª ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÏÏ· ÁÓˆÛÙ¿ ÛËÌ›· ‹ Û¯‹Ì·Ù·. °È· ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ı¤Û˘ ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ‰‡Ô ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ª ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÙfiÔ˘˜ Û οı ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª. ∆Ô ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌ›Ô.
™
H
̤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ Î·È ™‡ÓıÂÛ˘, ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· ÎÔÈÓ‹ Ûã fiϘ ÙȘ ÂÈÛً̘, ¤¯ÂÈ ÙËÓ Î·Ù·ÁˆÁ‹ Ù˘ ÛÙËÓ ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈ΋ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÛΤ„Ë. ™ÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û˘¯Ó¿ ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È È‰È·›ÙÂÚ· ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Û¯ÂÙÈÎÒÓ Ì ÙȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜. ◊‰Ë, ·fi ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 ·Ó·ÊÂÚı‹Î·Ì ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË-™‡ÓıÂÛË Î·È Û˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ó·ÊÔÚ¿ Ì·˜ ÏfiÁˆ Ù˘ ȉȷ›ÙÂÚ˘ ÛËÌ·Û›·˜ Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘. AÓ¿Ï˘ÛË Â›Ó·È Ë ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ‹ ‰Â Ì·˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ÌÈ· ·ÏÁÔÚÈıÌÈ΋* ‰È·‰Èηۛ· Â›Ï˘Û‹˜ ÙÔ˘. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Ù˘ ·Ó¿Ï˘Û˘ Â›Ó·È Ë ‰È¿Û·ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Û ˘ÔÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Ë ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙˆÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û¯¤ÛÂˆÓ Î·È Ù˘ Û¯¤Û˘ ÙÔ˘˜ Ì ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÈχÛÔ˘ÌÂ. ™‡ÓıÂÛË Â›Ó·È Ë ‰È·‰Èηۛ· Û˘Û¯ÂÙÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ì ¿ÏÏ· ‹‰Ë ÁÓˆÛÙ¿, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ¯Ú‹ÛÈÌ· ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ¶·Úã fiÙÈ ÔÈ Ì¤ıÔ‰ÔÈ Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ Î·È ™‡ÓıÂÛ˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ·ÓÙ›ıÂÙ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ù·ÎÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÌÈ·˜ χÛ˘, ÛÙËÓ Ô˘Û›· ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÂÓÈ·›· ‰È·‰Èηۛ·, ÙËÓ ÔÔ›· ÂÌ›˜ ÁÈ· ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÏfiÁÔ˘˜ ‰È·¯ˆÚ›˙Ô˘Ì Û ‰‡Ô ÛÙ¿‰È·. H ̤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ ÌÔÚ› Ó· ÔÓÔÌ·Ûı› Î·È Â˘ÚÂÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô˜ ‹ ̤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ ·Ó·Î¿Ï˘„˘, ÂÂȉ‹ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ¿ Ù˘ ÚÔÛ·ıԇ̠ӷ ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ì ÂΛӘ ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ı· Ì·˜ ÂÈÙÚ¤„Ô˘Ó Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ¿ Ì·˜. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ë Û‡ÓıÂÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È Ì¤ıÔ‰Ô˜ ·ÚÔ˘Û›·Û˘, ÂÂȉ‹ Ìã ·˘Ù‹Ó ÂÎı¤ÙÔ˘Ì (·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ) Ù· ‚‹Ì·Ù· Ù˘ Â›Ï˘Û˘ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜
Ì·˜. ™˘ÓÔÙÈο, AÓ¿Ï˘ÛË ÛËÌ·›ÓÂÈ ·Ó·˙‹ÙËÛË Î·È ™‡ÓıÂÛË ÛËÌ·›ÓÂÈ ·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ÙˆÓ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ·Ó·˙‹ÙËÛ˘. OÈ ÌÂÁ¿ÏÔÈ ¤ÏÏËÓ˜ Áˆ̤ÙÚ˜ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘-™‡ÓıÂÛ˘. O ¶¿Ô˜ Ô AÏÂÍ·Ó‰ÚÈÓfi˜, (4Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì.X) ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «M·ıËÌ·ÙÈ΋ ™˘Ó·ÁˆÁ‹» ÁÚ¿ÊÂÈ: ·Ó¿Ï˘ÛË Â›Ó·È ÌÈ· ̤ıÔ‰Ô˜ ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· ·›ÚÓÔ˘Ì ·˘Ùfi Ô˘ „¿¯ÓÔ˘Ì ˆ˜ ÁÓˆÛÙfi Î·È ÚÔ¯ˆÚԇ̠̤ۈ ÙˆÓ Û˘ÓÂÂÈÒÓ Ù˘, ÁÈ· Ó· Êı¿ÛÔ˘Ì Û οÙÈ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ™‡ÓıÂÛ˘. O ›‰ÈÔ˜, ·Ó·Ê¤ÚÂÈ Â›Û˘, fiÙÈ AÓ¿Ï˘ÛȘ ÛËÌ·›ÓÂÈ «AÓ¿·ÏÈÓ Ï‡ÛȘ», ‰ËÏ·‰‹ ·Ó¿Ô‰Ë χÛË, ÊÚ¿ÛË Ë ÔÔ›· Û˘Ì˘ÎÓÒÓÂÈ ÙËÓ Ô˘Û›· Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘. O ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ ¶Ï¿ÙˆÓ ·Ó¤‰ÂÈÍ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹ ˆ˜ ‚·ÛÈ΋ ÁÈ· ÙËÓ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ¤Ú¢ӷ. H ̤ıÔ‰Ô˜ ›¯Â ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Î·È ÚÈÓ ÙÔÓ ¶Ï¿ÙˆÓ·, ·ÏÏ¿ ·˘Ùfi˜ ‹Ù·Ó Ô˘ Ù˘ ¤‰ˆÛ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È ÙËÓ ·Ó¤Ï˘Û ÊÈÏÔÛÔÊÈο. Ÿˆ˜ ÚԷӷʤÚıËÎÂ, Ë AÓ¿Ï˘ÛË-™‡ÓıÂÛË ‰ÂÓ ÂÚÈÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›·, ·ÊÔ‡ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ûã fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. O ‰ËÌÈÔ˘ÚÁfi˜ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ºÚ·ÓÛÔ˘¿ BȤ٠(Francois Viete 1540-1603) fiÚÈÛ ÙËÓ ÕÏÁ‚ڿ ÙÔ˘ ˆ˜ «AÓ·Ï˘ÙÈ΋ T¤¯ÓË». ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, Û οı ·ÏÁ‚ÚÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· ıˆÚԇ̠ÙȘ ¿ÁÓˆÛÙ˜ ÔÛfiÙËÙ˜ ˆ˜ ÁÓˆÛÙ¤˜ (Ô ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ ¯) Î·È ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ Ìã ·˘Ù¤˜ Û·Ó Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó, ̤¯ÚÈ Ó· Êı¿ÛÔ˘Ì Û οÔÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È Ì¤¯ÚÈ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ı· ·Û¯ÔÏËıÔ‡ÌÂ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο Ì ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· (΢ڛˆ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ) Ô˘ ÂÈχÔÓÙ·È Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘-™‡ÓıÂÛ˘.
* AÏÁÔÚÈıÌÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο ÂÓÓÔԇ̠οı ÛÂÈÚ¿ ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Ì ÛÎÔfi ÙËÓ ÂÍ·ÁˆÁ‹ ÂÓfi˜ ÂÈı˘ÌËÙÔ‡ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·ÏÁÔÚÈıÌÈ΋˜ ‰È·‰Èηۛ·˜ Â›Ó·È Ë ÁÓˆÛÙ‹ Ì·˜ «‰È·›ÚÂÛË» ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ.
XÚ‹ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
157
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
¶POB§HMA 6.2. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ‰Ôı› ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿Û·Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∧ AB° Ì A = 90Æ Î·È B° = ·, A° = ‚ ‰Â‰Ô̤ӷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. TfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: H ÎÔÚ˘Ê‹ ° ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ A Î·È ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ A ·fiÛÙ·ÛË A° = ‚. TÔ ÛËÌÂ›Ô B ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ¿ÏÏË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A Î·È ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ ° ·fiÛÙ·ÛË B° = ·. A˘Ù¤˜ ÔÈ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Ì·˜ ‰›ÓÔ˘Ó ÙËÓ È‰¤· Ù˘ Û‡ÓıÂÛ˘ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜. ™‡ÓıÂÛË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô οıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜ A¯, A„. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ A¯ ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô °, ÒÛÙ A° = ‚. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (°, ·), Ô ÔÔ›Ô˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A„ ÛÙÔ B. Afi‰ÂÈÍË: TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ, ÂÂȉ‹ ∧ A = 90Æ, A° = ‚, B° = ·.
A ‚ B
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A
¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: O ·ÎÏÔ˜ (A, ‚) ¿ÓÙ· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· A¯. ŸÌˆ˜, ÁÈ· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ Ô Î‡ÎÏÔ˜ (°, ·) ÙËÓ A„ ı· Ú¤ÂÈ · > ‚. A˘Ù‹ Â›Ó·È Î·È Ë ··Ú·›ÙËÙË ÚÔ¸fiıÂÛË Î·Ù·Û΢‹˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ·ÊÔ‡ ÛÙ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜.
¶POB§HMA 6.3. N· ·¯ı› Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÁÓˆÛÙfi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ·˘ÙÔ‡. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ Ô ‰Â‰Ô̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ (O, Ú), ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ·˘ÙÔ‡ Î·È AB Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘. T· ÛËÌ›· O Î·È A Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¿, ÔfiÙÂ Î·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· OA ¤¯ÂÈ ÁÓˆÛÙfi Ì‹ÎÔ˜. H ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÎÔÚ˘Ê‹ B Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· OA Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÁˆÓ›· 90Æ. EÔ̤ӈ˜, Ë ÎÔÚ˘Ê‹ B ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ OA Î·È ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú). ™‡ÓıÂÛË - Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Ì¤ÛÔ M ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ OA Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (M, MO), Ô ÔÔ›Ô˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ (O, Ú) ÛÙ· B Î·È B′. H AB Â›Ó·È Ë ˙Ë∧ ÙÔ‡ÌÂÓË ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÂÂȉ‹: B = 90Æ Î·È OB = Ú. ŒÙÛÈ, ÔÏÔÎÏËÚÒıËÎÂ Ë Î·Ù·Û΢‹ Ì·˜ Î·È ·Ô‰Â›¯ıËÎÂ Ë ÔÚıfiÙËÙ¿ Ù˘.
158
B A
Ú O
B
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A
B′
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.3.
£EøPIA ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: °È· Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËı› Ë Î·Ù·Û΢‹ Ì·˜ ·ÚΛ OA > Ú. TÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ OA, ÙËÓ AB Î·È ÙËÓ AB′.
¶POB§HMA 6.4. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰‡Ô ·ÎψÓ. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ Ë ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË AB ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (O, Ú), (K, Ù), ÌÂ Ú > Ù. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·Ó ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ K°⊥OA ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ÌÂٷʤÚÂÙ·È (·Ú¿ÏÏËÏ·) ÛÙËÓ K°, ·ÊÔ‡ ÙÔ ABK° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. EÂȉ‹ OA = Ú Î·È KB = Ù , ÈÛ¯‡ÂÈ O° = Ú – Ù. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ O°K Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi Ì ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Î·È Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ O° Ì‹ÎÔ˘˜ Ú – Ù. ™ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ·˘Ù‹ ı· ÛÙËÚ›ÍÔ˘Ì ÙËÓ È‰¤· Ù˘ Û‡ÓıÂÛ˘ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜, ·ÊÔ‡ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ O°K.
™XO§IO:
∏ ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ (·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ) ·Ê‹ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘, ÂÓÒ Ë ÎÔÈÓ‹ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ·Ê‹ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Âη٤ڈıÂÓ ·˘Ù‹˜.
A ¯
B
Ú °
Ù
O K
™‡ÓıÂÛË - Afi‰ÂÈÍË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›Áˆ∧ ÓÔ O°K Ì ° = 90Æ Î·È O° = Ú – Ù, (ÁÓˆÛÙ‹ ηٷÛ΢‹ 6.1). E›Û˘, ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (O, Ú), (K, Ù). ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ O°, ÒÛÙ ӷ ÙÌ‹ÛÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú) ÛÙÔ A. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· A¯ οıÂÙË ÛÙËÓ OA, ‰ËÏ·‰‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÛÙÔÓ (O, Ú). º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË KB ·fi ÙÔ ∫ ÛÙËÓ A¯. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Aµ∫° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÂÂȉ‹ ∧ ∧ ∧ ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ ÁˆÓ›Â˜ ÔÚı¤˜ (A = B = ° = 90Æ). ÕÚ· BK = A° = Ù. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ B Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (K, Ú) Î·È Ë A¯ Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·˘Ùfi. ÕÚ· Ë AB Â›Ó·È Ë ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: H ‚¿ÛË Ù˘ Û‡ÓıÂÛ˘ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ OK°. °È· Ó· Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ ·˘Ù‹ Ë Î·Ù·Û΢‹, Ú¤ÂÈ Ë ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ OK ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ Ú – Ù, ˆ˜ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Ú = Ù, Ë Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Â›Ó·È ·ÏÔ‡ÛÙ·ÙË. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ›Û˘, fiÙÈ Ë ÎÔÈÓ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ú > Ù, Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· OK ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ K, ÂÓÒ, ·Ó Ú < Ù, ÙËÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ O. E›Û˘, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ OK. T¤ÏÔ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Ë ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ Ó· ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈο. H ÎÔÈÓ‹ ÙÔ˘˜ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.
XÚ‹ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
A ¯
B
Ú °
Ù
O K A′
B′
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159
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
¶POB§HMA 6.5. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›‰ÔÓÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ∧ B° = ·, ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ = ˘ Î·È Ë A = Ê. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ∧
A
B° = ·, A¢ = ˘ Î·È A = Ê. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜: 1) ∞¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘ B° ‰ÔṲ̂ÓË ·fiÛÙ·ÛË, 2) µÏ¤ÂÈ ÙÔ B° ˘fi ‰ÔṲ̂ÓË ÁˆÓ›·.
Ê ˘ ¢
B
A˘Ù¤˜ ÔÈ ‰‡Ô ȉÈfiÙËÙ˜ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ηٷÛÙÚÒÛÔ˘Ì ÙË Û‡ÓıÂÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜.
A′
A
™‡ÓıÂÛË: £ÂˆÚԇ̠¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B° = ·. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ, ÒÛÙ ÙÔ B° Ó· Ê·›ÓÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ˘fi ÁˆÓ›· Ê. X·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ¢ı›·  // B° Î·È Û ·fiÛÙ·ÛË ˘ ·fi ·˘Ù‹Ó, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È A′. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ.
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Ê ˘
B
° §
Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ B° = ·, Ë∧ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ A ·fi ÙËÓ B° (ÙÔ ‡„Ô˜) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ˘ Î·È A = Ê. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: H Û‡ÓıÂÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜ ¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο Ô ÂÓÙÔÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ A, ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ, ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Î·È ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘. ™ÙÔ ÛÙ¿‰ÈÔ, ÏÔÈfiÓ, ·˘Ùfi ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜ ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙȘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ÙÔÌ‹ ·˘Ù‹. £· Ú¤ÂÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ B° ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Ó· Â›Ó·È ÙÔ Ôχ ›ÛË Ì K§, fiÔ˘ K§ Ë ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ B°, K ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B°, § ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤Ù˘ Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi Ù· ‰‡Ô ÙfiÍ· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÈ Ë ¯ÔÚ‰‹ B°. ŒÙÛÈ, ·Ó K§ > ˘ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ¿ Ì·˜ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ (‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ›Û· Î·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ K§, Ù· AB° Î·È A′B°). AÓ K§ = ˘, Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A Ó· Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ §. AÓ K§ < ˘, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
°
B
K
°
6.2
N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ Î‡ÎÏÔ˘, fiÙ·Ó ·˘Ù¤˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô.
160
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
6.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
N· ηٷÛ΢·Ûı› ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ Î·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ∧ ∧  ‰ AB + B° + °A = 2Ù, B = ˆ Î·È ° = Ê. ™ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ Ù˘ A ÏÂ˘Ú¿˜ B° ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ê ˆ B¢ = AB, °E = °A, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ¢E = 2Ù. ™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ∧ ¢ B ° E ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Ë B = ˆ Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ηÈ, ÂÔ∧ ˆ ∧ Ê Ì¤Óˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ ¢ = . OÌÔ›ˆ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì E = . ŒÙÛÈ, 2 2 ÏÔÈfiÓ, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ¢E = 2Ù Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ Ï¢∧ ˆ ∧ Ê Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ¢ = Î·È E = . A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. 2 2 ∧ ∧ Ê ˆ ™‡ÓıÂÛË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E Ì ¢E = 2Ù, ¢ = Î·È E = . 2 2 H ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ¢E ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô B, ÂÓÒ Ë ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ AE Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ¢E ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ. Afi‰ÂÈÍË: IÛ¯‡ÂÈ BA = B¢, ·ÊÔ‡ ÙÔ B ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ A¢. E›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ °A = °E ηÈ, ¤ÙÛÈ, Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È AB + B° + °A = B¢ + B° + °E = ¢E = 2Ù ∧
™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Ë B Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ∧ ∧ ∧ ∧ ˆ B = ¢ + ¢ AB = 2 ¢ = 2 Ø = ˆ. ∧ 2 OÌÔ›ˆ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ° = Ê. ∧
∧
¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: TÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, fiÙ·Ó ˆ + Ê < 180Æ. Y¿Ú¯ÂÈ Î·È ÌÈ· ‰Â‡ÙÂÚË Ï‡ÛË, Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E ·fi ÙÔ ¿ÏÏÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ¢E.
2
N· ηٷÛ΢·Ûı› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÂÙ·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·fi ÙË ‰È·ÁÒÓÈfi ÙÔ˘. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë ‰È·ÊÔÚ¿ B¢ – AB Â›Ó·È ›ÛË Ì ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·. ¶¿Óˆ ÛÙË B¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BE = BA, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ¢E = ·. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ∞∂, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙË °¢ ÛÙÔ ∑. ∧ ∧ ∧ ∧ Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ A1 = Z1 (ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í), A1 = E1 ∧ ∧ ∧ ∧ (·ÊÔ‡ BA = BE) Î·È E1 = E2, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Z1 = E2 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ¢Z = ¢E = ·. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ, ·ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Î·È ÙËÓ
XÚ‹ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
A
B 1
1
E ·
¢
2 45Æ 1 ·
Z
°
161
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
∧
ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· E ¢Z = 45Æ. ™‡ÓıÂÛË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Ì ¢E = ¢Z = ·
ηÈ
∧
E ¢Z = 45Æ.
H οıÂÙË ·fi ÙÔ ¢ ÚÔ˜ ÙË ¢Z Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ZE ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. H οıÂÙË ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙËÓ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¢E ÛÙÔ B, ÂÓÒ Ë Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ B ÚÔ˜ ÙËÓ AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¢Z ÛÙÔ °. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. Afi‰ÂÈÍË: TÔ AB°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ·ÊÔ‡ ·fi ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ∧ ÔÚı¤˜. EÂȉ‹ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ B¢ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ÁˆÓ›· ¢, ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜ ηÈ, ¿Ú·, Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. E›Û˘, Â›Ó·È ∧
∧
∧
∧
∧
Z1 = E2 = E1 Î·È Z1 = A1,
‰ËÏ·‰‹
∧
∧
E1 = A1 , ÔfiÙÂ BE = BA.
ÕÚ·, B¢ – BA = B¢ – BE = ¢E = ·. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ χÛË.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶Ò˜ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È Ë ÎÔÈÓ‹ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ‹ ÂÛˆÙÂÚÈο ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·;
O
A
·
O
K
‚
K
3.
™ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· 6.4 ηٷÛ΢¿Û·Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË AB ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (O, Ú) Î·È (K, Ù) ÌÂ Ú > Ù. EÍËÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› Ë AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· OK ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ K; A
A °
B
O K
2.
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ‰‡Ô ›ÛˆÓ ·ÎψÓ, Ò˜ ı· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ·˘ÙÒÓ; ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ı¤ÛË Ì ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ; A
B
O
K
°
162
¢
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
6.3.
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ B° = ·, ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ = ˘ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ AM = Ì.
2.
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ O¯. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ·ÎÏÔ˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.
3.
4.
°. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· B Î·È °. TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ·Ó Ù· A, B, ° Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο; (MÂÏÂÙ‹ÛÙÂ Î·È ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ B Î·È °).
∧
·) N· ‰È·ÈÚÂı› ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Û ÙÚ›· ›Û· ̤ÚË. ‚) N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·˘Ù‹˜.
5.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ∧ Ë A = 90Æ, Ë ÏÂ˘Ú¿ AB = Á Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ AM = Ì.
6.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È Ë ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈfi˜ ÙÔ˘.
7.
N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ Î¤ÓÙÚˆÓ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ‰ÔṲ̂Ó˘ ÁˆÓ›·˜.
¢›ÓÔÓÙ·È ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· A, B ηÈ
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ (K, ·) Î·È (O, Ù) Ì OK > · + Ù. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ÎÔÈÓ‹ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ·˘ÙÒÓ.
2.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ B° = ·, ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ = ˘ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ BE = Ì.
3.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
4.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ·fi Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ B° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ A° Î·È AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AE¢Z.
5.
N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ
XÚ‹ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Û ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜
·fi Ù· ÔÔ›· ¿ÁÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ˜ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÚÔ˜ ‰ÔṲ̂ÓÔ Î‡ÎÏÔ.
6.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ∧ Ë ÏÂ˘Ú¿ B° = ·, Ë ÁˆÓ›· B = ˆ Î·È Ë ·ÎÙ›Ó· R ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘.
7.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔ› ÙÔ˘.
8.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ù· ‡„Ë ÙÔ˘.
9.
N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·.
10. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ ÙˆÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ Î‡ÎÏÔ˘, ÔÈ Ôԛ˜ ¤¯Ô˘Ó Ì‹ÎÔ˜ ·.
163
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 6Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, R) Î·È (K, Ú) ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, ÂÓÒ ÌÈ· ¢ı›·  ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÛÙ· ÛËÌ›· B Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ∧
·) H ÁˆÓ›· B A° Â›Ó·È ÔÚı‹ Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ B° ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ OK ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A.
¢. AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Â›Ó·È ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ KB°.
8.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ∧ ∧ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ A, B Î·È Ë ·ÎÙ›Ó· Ú ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘.
9.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A° > B°. AÓ M Â›Ó·È ) ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ A°B ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ¢ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ M ÛÙËÓ A°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙËÓ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ A°B.
∧
‚) H ÁˆÓ›· OMK, fiÔ˘ M ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B°, Â›Ó·È ÔÚı‹ Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ OK ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M.
2.
3.
4.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Û οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ, ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· (¢ı›· ÙÔ˘ Euler). N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Û οı ÙÚ›ÁˆÓÔ Ù· ›¯ÓË ÙˆÓ ˘„ÒÓ, Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ (·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ Euler). N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÚÈÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ (‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯ÂÈ Î‡ÎÏÔ˜ Ô˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û’ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘), ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ·) OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. ‚) T· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û·.
5.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ (O, R) Î·È (K, Ú) Ì OK > R + Ú. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ ÂÛˆÙÂÚÈΤ˜ Î·È ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Î·È ıˆÚԇ̠ٷ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· A, B, °, ¢ οı ÎÔÈÓ‹˜ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Ì οı ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘.
10. AÓ
(I, Ú) Â›Ó·È Ô ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ¢, E Ù· ÛËÌ›· ·ʋ˜ ·˘ÙÔ‡ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ AI, ¢E Î·È Ë Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ B ÛÙËÓ AI ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô
11. ¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB°, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î¿ı ÁˆÓ›· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙˆÓ 120Æ. E͈ÙÂÚÈο ·˘ÙÔ‡ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB°′, A°B′ Î·È B°A′. ·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AA′, BB′ Î·È °°′ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô M Î·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ AA′ = BB′ = °°′ = MA + MB + M°. ‚) £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô P ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A°B′ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÚ›ÁˆÓÔ AB′N ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°P (AP = AN). N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ PA + P° = PN + NB′. Á) N· ‚Ú›Ù ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÛËÌÂ›Ô P Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· PA + PB + P° Ó· Â›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ (ÛËÌÂ›Ô Fermat).
6.
7.
164
∧
∧
AÓ Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ B – ° = 90Æ, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘. ∧
H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌ›Ô
12. AÓ
ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B° Î·È °A ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ıˆڋÛÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙfiÙ ÔÈ ÂÚÈÁÂÁÁڷ̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ A¢Z, B¢E Î·È °EZ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô (ÛËÌÂ›Ô Miquel).
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 6Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ.
3.
) )
AÓ Ù· ÙfiÍ· AB, °¢ ¤¯Ô˘Ó ̤ÙÚ· 20Æ, 30Æ ·ÓÙ›∧ ÛÙÔȯ·, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ˆ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ A. B. °. ¢. E.
·) ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ‚) AÓ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Î‡ÎÏÔ˘, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
30Æ 20Æ 25Æ 50Æ 10Æ
¢
A 20Æ B
30Æ
ˆ O
°
Á) K¿ı ÚfiÌ‚Ô˜ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˜ Û ·ÎÏÔ. ‰) K¿ı ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
4.
Â) MÈ· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· ·ÎÏÔ˘, Ô˘ ‚·›ÓÂÈ Û ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈÔ, Â›Ó·È ÔÚı‹.
2.
∧
ÛÙ) ¢‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˘ Û ·ÎÏÔ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
5.
˙) Y¿Ú¯Ô˘Ó ΢ÚÙ¿ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· Û ·ÎÏÔ
A. ° B¢ > 180Æ
)
O ° ¢
AÓ Ù· ÛËÌ›· °, ¢ Â›Ó·È Ù· ·ÓÙȉȷÌÂÙÚÈο ÙÔ˘ A ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜, ÙfiÙ ∧
A
B. ° B¢ < 180Æ
B. 90Æ + ÌÆ
6.
B O
°. 90Æ – ÌÆ
ÌÆ
°
M
¢
B
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A° > B° ʤÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë A¢ Î·È BE. N· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ (< ‹ > ‹ =) ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ ∧
A
K
O
∧
°. ° B¢ = 180Æ ¢. °¢ = 3OK
A. ÌÆ
™XHMATA E°°E°PAMMENA ™E KYK§O
B 100Æ
∧
AÓ ÙÔ ¤Ï·ÛÛÔÓ ÙfiÍÔ AB ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÌÆ, ÙfiÙÂ Ë ∧ ÁˆÓ›· AMB ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ
¢. 180Æ – ÌÆ ÌÆ E. 90Æ + 2
A
H ÁˆÓ›· ° ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ A. 100Æ B. 80Æ °. 90Æ ¢. 110Æ
∧
∧
·. A … B ∧
∧
Á. B … ¢ E° ∧
‚. A … E ¢°
∧
∧
‰. E ¢° … ¢E°
165
£EøPIA
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ANAKEºA§AIø™H B·ÛÈ΋ Û¯¤ÛË ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È Ë Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ Î·È Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÙfiÍÔ. M ٷ ıˆڋ̷ٷ ÙˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·È Â›ÎÂÓÙÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÈÏ‡Ô˘Ì ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ. T· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÔχÁˆÓ· Û ·ÎÏÔ, ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Î·È Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÂÁÁÚ¿„ÈÌˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ· ¿ÏÏË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÎÂÙ¤˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜, ÔÈ Ôԛ˜ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜ Û ·ÎÏÔ.
166
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7.1.
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
7
∞Ó·ÏÔÁ›Â˜
7.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ 7.1.1. °ÈÓfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 (¨ 2.2.2.) ÔÚ›Û·Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ‹, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ıÂÙÈÎÔ‡ ÚËÙÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. O ÙÚfiÔ˜ ηٷÛ΢‹˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙ÂÙ·È ÁÂÓÈο ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ Úfi‚ÏËÌ·.
™
¶POB§HMA 7.1. AÓ · Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙÔ‡Ó Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì‹ÎÔ˘˜: ·) 2·, 3·, 4·, ..., Ó·, Ó∈ 1 1 Ì ‚) Ø ·, Ø ·, ..., Ø ·, Ì∈, Ó∈* 2 3 Ó K·Ù·Û΢‹: ·) ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ Ó Ø · Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ó Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ì‹ÎÔ˘˜ ·. °È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· K§ Ì‹ÎÔ˘˜ Ó Ø ·, fiÔ˘ Ó Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·  ·›ÚÓÔ˘ÌÂ Ó ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· Ì ÙÔ AB. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ·˘Ù‹ Ë Î·Ù·Û΢‹ ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ó = 5.
∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
A
B ·
K
§
 K§ = 5 Ø ·
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£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
‚) ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ Ì Ø · Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ì Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ K§ Ó Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ¤Ó· Ó-ÔÛÙfi ÙÔ˘ AB.
A
K
§
B 1 K§ = – · 5
AB = · M
°È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì MN Ì‹ÎÔ˘˜ Ø ·, ¯ˆÚ›˙Ô˘Ì ÚÒÙ· ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Ó ÙÌ‹Ì· AB ÛÂ Ó ›Û· ̤ÚË (‚Ï. ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 5, Úfi‚ÏËÌ· 5.1.). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·›ÚÓÔ˘Ì Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ¤Ó· Ó-ÔÛÙfi ÙÔ˘ AB. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ·˘Ù‹ Ë Î·Ù·Û΢‹ ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ó = 5 Î·È Ì = 3.
N 3 MN = – · 5
∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÁÈ· ¤Ó· ‰ÔṲ̂ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Î·È ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi Ï ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· K§ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ K§ = ÏAB. H ηٷÛ΢‹, fï˜, Ù¤ÙÔÈˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ‰˘Ó·Ù‹. MÔÚÔ‡ÌÂ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁ3
Ì·, Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ 2 Ø AB. Ø AB, ·ÏÏ¿ fi¯È Î·È ÙÔ 2 TË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÌÂÚÈÎÒÓ ·fi Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Â›Ó·È ¿ÚÚËÙ· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ‰ÔÛÌ¤ÓˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì Û ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ.
™‡ÌÌÂÙÚ· Î·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, °¢ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û‡ÌÌÂÙÚ·, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· K§ Î·È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì, Ó Ù¤ÙÔÈÔÈ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ AB = Ì Ø K§ Î·È °¢ = Ó Ø K§. TÔ K§ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È °¢. Afi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ, ·Ó AB, °¢ Â›Ó·È Û‡ÌÌÂÙÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ı· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ Ì ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙÂ Ó Ì AB = Ø °¢. Ó
K
§
A
B
°
¢ °¢ = 5ØK§ 1 AB = – Ø°¢ 5
¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ·. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. (‚Ï. ÙÔ ÂȉÈÎfi ÛË-
168
ANA§O°IE™
7.1.
£EøPIA Ì›ˆÌ· «H ‡·ÚÍË ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ», ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘). AÓ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È °¢ Â›Ó·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ·, ÙfiÙÂ Ô ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ù, ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ AB = Ù Ø °¢, Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜.
·
‰
H ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ
7.1.2. §fiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ - M‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ O P I ™ M √ ™ OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÏfiÁÔ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È °¢ ÙÔ ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ∞B = Ï Ø °¢ Î·È ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘ÌÂ
AB = Ï.* °¢
EÔ̤ӈ˜, AB = Ï ⇔ AB = Ï Ø °¢ °¢ Afi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ‰‡Ô ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ ›ÛÔ Ì 1. E›Û˘, Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÂÓÒ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ 2.2.3. ÔÚ›Û·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜. E‰Ò ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ:
O P I ™ M √ ™ M‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ¤Ó· ¿ÏÏÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ (ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·). ø˜ ¿ÌÂÛ˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: £EøPHMA 7.1. O ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘, Î·È Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ˜ ·fi ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ̤ÙÚËÛ˘. AB * H ÁÚ·Ê‹ ‰ÂÓ ÛËÌ·›ÓÂÈ ‰È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ·ÏÏ¿ Â›Ó·È Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ÁÚ·Ê‹ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ °¢ AB = Ï Ø °¢. ™ËÌ·›ÓÂÈ ‰È·›ÚÂÛË, fiÙ·Ó Ù· ıˆڋÛÔ˘Ì ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.
∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
169
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È °¢ Ì ̋ÎË Î Î·È Ï ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· K§. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ı· Â›Ó·È AB °¢ = Î Î·È = Ï, K§ K§ ‰ËÏ·‰‹ AB = Î Ø K§ Î·È °¢ = Ï Ø K§. H ÈÛfiÙËÙ· AB = Î Ø K§ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î Î AB = Ø (Ï Ø K§), ‰ËÏ·‰‹ AB = Ø °¢. Ï Ï Afi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ AB Î = . °¢ Ï ¢ËÏ·‰‹, Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜. AÓ ÂÈϤÍÔ˘Ì ÌÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘, ¤ÛÙˆ OM, ÙfiÙÂ, ÂÂȉ‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ K§ = Ì Ø OM, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ AB = Î Ø K§ = ÎÌ Ø OM
ηÈ
°¢ = Ï Ø K§ = ÏÌ Ø OM.
T· Ì‹ÎË ÙˆÓ AB, °¢ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ó¤Ô ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ›ӷÈ, ÏÔÈfiÓ, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÎÌ, ÏÌ Î·È, ¿Ú·, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ A B ÎÌ Î = = . °¢ ÏÌ Ï ¢ËÏ·‰‹, Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ, ▲ fiÙ·Ó ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. ¶OPI™MA 7.1. ¢‡Ô ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ›Û· Ì‹ÎË Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, °¢ Ì ̋ÎË Î, Ï ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £· Â›Ó·È ÙfiÙ AB = 1 Î·È °¢
AB Î = . °¢ Ï
Î Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ¤¯Ô˘Ì = 1 ηÈ, ¿Ú·, Î = Ï. Ï TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜.
170
▲
ANA§O°IE™
7.1.
£EøPIA ¶APATHPH™EI™ 1) ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ (ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· Î·È ·ÚÈıÌfi˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·), ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È fiˆ˜ Î·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. ŸÔ˘, fï˜, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È Û‡Á¯˘ÛË, ı· ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÚËÙ¿ Ô fiÚÔ˜ «Ì‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜». 2) Ÿ,ÙÈ ·Ó·Ê¤ÚıËΠÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ¿ÏÏ· ÁˆÌÂÙÚÈο ÌÂÁ¤ıË Î·È ÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜, fiˆ˜ Ë ÁˆÓ›·, ÙÔ ÙfiÍÔ, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È Ô fiÁÎÔ˜.
7.1.3. AÓ·ÏÔÁ›Â˜ - I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ O P I ™ M √ ™ ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, °¢ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· EZ, H£, fiÙ·Ó Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ AB ÚÔ˜ ÙÔ EZ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ H£, ‰ËÏ·‰‹, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ AB °¢ = . EZ H£
(1)
A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ï Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ AB = Ï Ø EZ Î·È °¢ = Ï Ø H£. H ÈÛfiÙËÙ· (1) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, °¢, EZ Î·È H£. EȉÈÎfiÙÂÚ·, Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, H£ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÎÚÔÈ fiÚÔÈ Î·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢, EZ ̤ÛÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· H£ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ›Û˘, ٤ٷÚÙË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB, °¢, EZ. ™Â ÌÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ AB °¢ ÌÔÚÊ‹˜ = (ÛÙËÓ ÔÔ›·, ‰ËÏ·‰‹, ÔÈ Ì¤ÛÔÈ fiÚÔÈ Û˘Ì›°¢ EZ ÙÔ˘Ó), ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB, EZ. EÂȉ‹, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 7.1., Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Û οı ·Ó·ÏÔÁ›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÈÛfiÙËÙ· ËϛΈÓ. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û ÌÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙȘ ÁÓˆÛÙ¤˜ ·fi ÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ «È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ», ÂÊfiÛÔÓ ¤¯Ô˘Ó ÓfiËÌ·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÁÈ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, °¢, EZ, H£ Ì ̋ÎË ·, ‚, Á Î·È ‰ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ·fi ÙȘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›Â˜
∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
171
£EøPIA
· Á = ⇔ ‚ ‰
ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ
AB EZ = ⇔ °¢ H£
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
· ‚ = Á ‰ ‰ Á = ‚ · · + ‚ Á+‰ = ‚ ‰ · Á = ·+‚ Á+‰ · Á ·+Á = = ‚ ‰ ‚+‰
AB °¢ = EZ H£ H£ EZ = °¢ AB AB + °¢ EZ + H£ = °¢ H£ AB EZ = AB + °¢ EZ + H£ AB EZ AB + EZ = = . °¢ H£ °¢ + H£
¶APATHPH™H. EÎÙfi˜ ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ηٷ¯ÚËÛÙÈο Î·È ÙȘ ÂÍ‹˜:
AB E Z = ⇔ °¢ H£
AB Ø H£ = °¢ Ø EZ |AB – °¢| |EZ – H£| = °¢ H£ AB EZ = . |AB – °¢| |EZ – H£|
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ì ¿ÓÙÔÙ ˘fi„Ë fiÙÈ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÔÚÈÛÙ› ÁÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, fiˆ˜ «ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ» ‹ «·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ», ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ·ÔÎÏÂÈÛÙÈο ÛÙ· Ì‹ÎË ÙÔ˘˜.
172
ANA§O°IE™
7.1.
£EøPIA
7.1.4. ¢È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ‰Ôı¤ÓÙ· ÏfiÁÔ ™Â ÌÈ· ¢ı›·  ıˆÚԇ̠¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ M. TÔ M ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ AB Û ‰‡Ô ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ ›ÛÔ Ì 1. AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ M, ÙfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÏfiÁÔÈ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, fiÙÈ ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Î¿ı ‰È¿ÌÂÛÔ Û ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. AÓ, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È G ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È AM ÌÈ· ‰È¿ÌÂÛfi˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÏfiÁÔ˘˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ¿Óˆ ÛÙËÓ AM: AG GM 1 = 2, = , GM AG 2
AG 2 = , AM 3
A
M
B Â
AM –=1 MB A
G
B
°
M
AM 3 = . AG 2
¢›ÓÔ˘Ì ÁÂÓÈο ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi:
O P I ™ M √ ™ £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ÌÈ·˜ ¢-
A
ı›·˜ Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M Ù˘  ٤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ AM = Ï. MB
M
B Â
A
B
M Â
AÓ ÙÔ M Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ AB, ı· ϤÌ fiÙÈ ‰È·ÈÚ› ÂÛˆÙÂÚÈο ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Û ÏfiÁÔ Ï. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, ·Ó ÙÔ M Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ AB, ı· ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ‰È·ÈÚ› Â͈ÙÂÚÈο Û ÏfiÁÔ Ï. ™‡Ìʈӷ, ÏÔÈfiÓ, Ì’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ G ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ‰È·ÈÚ› ÂÛˆÙÂÚÈο ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM Û ÏfiÁÔ 2, ÂÓÒ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ A ‰È·ÈÚ› Â͈ÙÂÚÈο ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹2 Ì· GM Û ÏfiÁÔ . 3 ™‡Ìʈӷ Ì ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ, ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· AM Ï = MB 1 ÚÔ·ÙÂÈ Ë Û¯¤ÛË AM Ï = AM + MB Ï + 1 Î·È ·fi ·˘Ù‹Ó Ë Û¯¤ÛË ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
173
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
Ï AM = Ø AB. Ï+1 H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Ì¿˜ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ ÛÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ M ÁÈ· ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ï. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘, ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Ô˘ ‰È·ÈÚ› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο Û ‰Ôı¤ÓÙ· ÏfiÁÔ.
7.2. £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ 7.2.1. I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ô˘ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 5, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ, ·Ó ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Û ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û· ¢ı›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó Î·È Û οı ¿ÏÏË Ù¤ÌÓÔ˘Û· ¢ı›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. ¢ËÏ·‰‹, ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ù˘ ÌÈ·˜ Ù¤ÌÓÔ˘Û·˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ ›ÛÔ Ì 1 ·ÓÙÈÛÙÔȯԇÓ, ̤ۈ Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, Û ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ù˘ ¿ÏÏ˘ Ù¤ÌÓÔ˘Û·˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó, ›Û˘, ÏfiÁÔ ›ÛÔ Ì 1. TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi ÁÂÓÈ·ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÏfiÁÔ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹.
™
£EøPHMA 7.2. T· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Û ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜ Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó, Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ¢ı›˜ Â, ˙ Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ‰1, ‰2, ‰3 ÛÙ· ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢, E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó·ÏÔÁ›·
A
AB B° A° = = . ¢E EZ ¢Z YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È B° Â›Ó·È Û‡ÌÌÂÙÚ·. Y¿Ú¯ÂÈ ÙfiÙ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· K§ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ AB = Ì Ø K§
ηÈ
B° = Ó Ø K§
(fiÔ˘ Ì, Ó Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›), ÔfiÙÂ
174
B K §
°
Â
¢
‰1
E
‰2
M N
˙
Z
‰3
ANA§O°IE™
7.2.
£EøPIA AB Ì = . B° Ó
(1)
¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ÛÂ Ì Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· ÚÔ˜ ÙÔ K§, Î·È ÙÔ B° ÛÂ Ó Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· ÚÔ˜ ÙÔ K§, Î·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ‰È·›ÚÂÛ˘ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ ‰1, ‰2, ‰3. Ÿˆ˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi, ÔÈ
A
ηÈ
M N
EZ = Ó Ø MN, Â
‰ËÏ·‰‹ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ¢E Ì = . EZ Ó
‰1
B E
·Ú¿ÏÏËϘ ·˘Ù¤˜ ı· ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E ÛÂ Ì ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÙÔ EZ ÛÂ Ó ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. AÓ ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì MN ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·fi ·˘Ù¿ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È ¢E = Ì Ø MN
¢
°
‰2
K §
Z
‰3 ˙
(2)
Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ AB ¢E = B° EZ Î·È ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ AB B° AB + B° A° = = = . ¢E EZ ¢E + EZ ¢Z Ÿˆ˜ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi, Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ó·ÏÔÁ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È fiÙ·Ó ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ÙÚÂȘ. ▲ ¶APATHPH™EI™ 1) ŸÙ·Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È B° Â›Ó·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Î·È ¿ÏÈ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ó·ÏÔÁ›·. H ·fi‰ÂÈÍË ·˘Ù‹, Ë ÔÔ›· ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ·Í›ˆÌ· Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ ¢ı›·˜, ·Ú·Ï›ÂÙ·È. 2) Afi ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· AB B° A° = = , ¢E EZ ¢Z ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Û¯‹Ì·Ù· ÈÛ¯‡Ô˘Ó, ›Û˘, ÔÈ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ AB ¢E AB ¢E = Î·È = . B° EZ A° ¢Z £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
175
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
7.2.2. £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi ÙÔ˘ £EøPHMA 7.3. AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ‰È·ÈÚ› ÙȘ ‰‡Ô ¿ÏϘ Ï¢ڤ˜ ÂÛˆÙÂÚÈο ‹ Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÌÈ· ¢ı›·  ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È A° ÂÛˆÙÂÚÈο ‹ Â͈ÙÂÚÈο ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÙËÓ Â˘ı›· ˙, ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ B° Î·È Â, ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:
A ¢
E
Â
·
B E
AE A¢ = . E° ¢B
 ˙
‚ B
°
¢ A
H ·Ó·ÏÔÁ›· ·˘Ù‹ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÂÛˆÙÂÚÈο (Û¯‹Ì· ·) ‹ Â͈ÙÂÚÈο (Û¯‹Ì· ‚) ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ. ▲
¢ PA ™ T H P I OT H TA
˙
°
7.1.
AÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ·Ó¿ÏÔÁ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙȘ ¿ÏϘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. TÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ Â›Ó·È ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹ ·Ó Ë ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÛÙȘ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘˜ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿. N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÈηۛ·, Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÙ ÌÈ· Û¯ÂÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË Î·È Ó· ÚÔÛ·ı‹ÛÂÙ ӷ ÙËÓ ·Ô‰Â›ÍÂÙÂ.
176
ANA§O°IE™
7.2.
£EøPIA K·Ù·Û΢‹ ٤ٷÚÙ˘ ·Ó·ÏfiÁÔ˘ ÙÚÈÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ¶POB§HMA 7.2. ¢›ÓÔÓÙ·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á. N· ηٷÛ΢ ·ÛÙ› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· x Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ · Á = . ‚ x ∧
K·Ù·Û΢‹: ™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ O¯ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OA = ·, AB = ‚. ™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ O„ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· O° = Á Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ A°. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ A°, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ B Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ O„ ÛÙÔ ¢. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Ù¤Ù·ÚÙË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ·, ‚, Á.
· ‚
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¢
Á
Á
°
O·A
‚
B
¯
Afi‰ÂÈÍË: AÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OB¢ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ÂÂȉ‹ B¢ // A°, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ OA O° = , AB °¢
‰ËÏ·‰‹
Á · = . ‚ °¢
Ì ¢È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο Û ÏfiÁÔ ≠ 1 Ó ¶POB§HMA 7.3. (EÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AM Ì AB ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ = (Ì∈,, Ó∈**, Ì≠ÓÓ). MB Ó K·Ù·Û΢‹: M ·Ú¯‹ ÙÔ ¿ÎÚÔ A ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ηٷÛ΢¿˙Ô˘ÌÂ Ù˘¯·›· ËÌÈ¢ı›· A¯ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A° Î·È °¢ Ì‹ÎÔ˘˜ Ì Î·È Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B¢ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ° Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ AB ÛÙÔ M.
¢
¯
Ó Ì A
° M
B
Afi‰ÂÈÍË: AÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ÂÂȉ‹ M° // B¢, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ AM A° = , °¢ MB
£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
‰ËÏ·‰‹
AM Ì = . Ó MB
177
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
¶POB§HMA 7.4. (E͈ÙÂÚÈ΋ ‰È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È ¿Óˆ ÛÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙÂ Ì AM Ó) . = (Ì∈,, Ó∈**, Ì≠Ó Ó MB K·Ù·Û΢‹: £· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ì Î·È ·) > 1 ‹ Ì > Ó Ó Ì ‚) < 1 ‹ Ì < Ó Ó ·) AÓ Ì > Ó, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È AM > MB ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô B ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ A Î·È M. M ·Ú¯‹ ÙÔ A ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ËÌÈ¢ı›· A¯ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A° = Ì
ηÈ
¯ ° Ì
A¢ = Ì – Ó.
™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ ° ÚÔ˜ ÙË B¢ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘ AB ÛÙÔ M. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È
Ó
¢
·
Ì–Ó A
B
M
AM A° Ì = = . MB °¢ Ó ‚) AÓ Ì < Ó, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È AM < MB ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ M Î·È B. M ·Ú¯‹ ÙÔ B ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ËÌÈ¢ı›· B„ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· B° = Ó
ηÈ
B¢ = Ó – Ì.
™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ ° ÚÔ˜ ÙËÓ ∞¢ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘ AB ÛÙÔ M. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È
„
°
‚ M
Ì
¢
Ó
Ó–Ì A
B
AM °¢ Ì = = . MB B° Ó
178
ANA§O°IE™
7.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ‹ Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. E›Û˘, Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ ¢ ÚÔ˜ ÙËÓ AE Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BE Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ BZ Î·È B°. Afi‰ÂÈÍË: AÚΛ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· BE BZ = . B° BE ñ ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BAE Â›Ó·È ¢Z // AE ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ÈÛ¯‡ÂÈ B¢ BZ (1) = BA BE ñ OÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BA° Â›Ó·È ¢E // A° ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, BE B¢ = B° BA
A ¢
B
Z
E
°
(2)
Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ
BZ BE = . BE B°
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
AM 5 AÓ = , ÔÈÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ÏfiÁÔÈ MB 2 MB · ) , AM
AM ‚) , AB
A
2.
3.
MB Á) ; AB M
4.
¶Ò˜ ı· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Û ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘;
5.
AÓ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ÈÛ¯‡ÂÈ ¢E // B°, Ó· Û˘ÌÏËÚˆı› Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ·Ó·ÏÔÁ›·.
B
°
AÓ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2, 3, 4 Î·È Ë ÂÚ›ÌÂÙÚfi˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È 27 cm, ÔÈ· Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ;
B ¢
E° =
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË x Î·È y ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·;
6. 3 6
£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
¯ „
6
B E
· A
AB
‚
A ¢
AE
A
° B
°
E
Á
= ¢°
AB = A°
¢
E
AÓ Ù· ·, ‚, Á ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó Ù· Ì‹ÎË ÙÚÈÒÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, Ò˜ ı· ηٷÛ΢·Ûı› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ̋ÎÔ˜ ·Ø‚ x = ; Á
179
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 7.
AÓ ¢ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚ· G1 Î·È G2 ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢ Î·È A°¢ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°;
8.
A
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
AÓ ÛÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ÈÛ¯‡Ô˘Ó EZ // AB
ηÈ
A E
AE 2 = , E¢ 3 G1 B
E
¢
ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
G2 Z
AM ·) , A°
°
¢M ‚ ) , MB
¢
B
M
Z
°
B° Á) ; Z°
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
Afi ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ G ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ A¢ + AE A¢ A° ·) , ‚ ) , Á) . AB + A° ¢B E°
B
·
E Z
8
°
Â2
‚
Â4
„
E
B
6.
ŒÛÙˆ O ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ A¢ Î·È B° ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢. Afi ÙÔ B ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· A¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. AÓ Â›Ó·È OA = · Î·È A¢ = ‚, Ó· OB ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢O° ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ OE.
EZ//AB//°¢
3
Z ¯
7
K
°
B¢ 3 –––= = – ¢° 2
B
Á
N· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Û ÙÚ›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ̋ÎË ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2, 3 Î·È 5.
£
6
¢
H
4
5.
Â3
£ A
AB K£ = . A° ZH
6
H5
„
¢
Â1 Â1//Â2//Â3//Â4
4
¯
10
¯
7.
AÓ ÌÈ· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ AB, B° Î·È °A ÛÙ· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB Ø AZ = A° Ø A¢.
8.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È AB // ¢E, B° // EZ Î·È ÔÈ Â˘ı›˜ A¢, BE, °Z Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A° // ¢Z.
¢ 3
A
E
„ °
™’ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢, Ù· ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È A¢° Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
Afi ‰‡Ô ÛËÌ›· ¢ Î·È E Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ AB, Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ A° ÛÙ· ÛËÌ›· Z Î·È H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÔ Ù· ¢ Î·È E ʤÚÔ˘ÌÂ, ›Û˘, ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ A°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ AB ÛÙ· ÛËÌ›· £ Î·È K ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ Ì‹ÎË x Î·È y Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. A
3.
4.
EZ // B¢.
180
ANA§O°IE™
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
7.1. - 7.2.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ΢ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ E ÚÔ˜ ÙË °¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Â˘ı›˜ A¢ Î·È BZ.
2.
MÈ· ¢ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ B¢, °¢ Î·È B° ÛÙ· ÛËÌ›· E, Z Î·È H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AE Â›Ó·È Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ EZ Î·È EH.
3.
5.
Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ° ΢ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ AB, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· B¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. OÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ·fi Ù· B Î·È E ÚÔ˜ ÙȘ °¢ Î·È A¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· A, °, Z ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.
6.
¢›ÓÂÙ·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô E Ô˘ ‰È·ÈÚ› ÂÛˆÙÂÚÈο ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A° 1 Û ÏfiÁÔ . AÓ Ë Â˘ı›· ¢E Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ AB 3 ÛÙÔ Z Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ B° ÛÙÔ H, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 ·) EZ = ¢Z Î·È 4 3 ‚) EH = ¢H. 4
MÈ· ¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ° ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ AB Î·È A¢ ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) AÓ Ë Â ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, AB A¢ ÙfiÙ + = 1. AE AZ
7.
2 ‰È·ÈÚ› ÂÛˆÙÂÚÈο ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B° Û ÏfiÁÔ . 3 AÓ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ BM ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ÏfiÁÔ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÙÔ E ‰È·ÈÚ› ÙË BM.
‚) AÓ Ë Â Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÙfiÙ AB
A¢
AE – AZ = 1. 4.
AÓ ÌÈ· ¢ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AE BE = . AZ °Z
∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ - £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
£ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ô˘
8.
H ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ A¢ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÎÏÔ˘ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛËÌÂ›Ô E. Afi ÙÔ E ʤÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ AB Î·È A°, Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÛÙ· ÛËÌ›· Z H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ZH // B°.
·ÛÙÔ ÛÙȘ ηÈ
181
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
7.3. ∫‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ∞ÔÏÏÒÓÈÔ˘ 7.3.1. £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ £EøPHMA 7.4 H ÂÛˆÙÂÚÈ΋ Î·È Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο Û ÏfiÁÔ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÚÔÛΛÌÂÓˆÓ Ï¢ÚÒÓ. Afi‰ÂÈÍË: ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ ∧ A¢ Î·È ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ AE Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜: B¢ AB = , ¢° A°
A 1 2
E
BE AB = . E° A°
°È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘, ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ B ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ A¢ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A° ÛÙÔ Z. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ °BZ, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ B¢ ZA = . ¢° A° ∧
¢
°
Z A 1
1 2
B ¢ ° £ÂÒÚËÌ· ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘
(1) ∧
B
∧
EÂȉ‹ Ë A¢ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ A1 = A2. ∧
∧
∧
∧
E›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ B1 = A1 (ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í) Î·È Z = A2 (ˆ˜
1
ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË) . Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ Û˘∧ ∧ ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ B1 = Z ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AZB Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ ZA = AB, ÔfiÙÂ Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) Á›ÓÂÙ·È B¢ AB = . ¢° A°
2
E
A H 1
B ° £ÂÒÚËÌ· Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘
°È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘, ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ B ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ AE Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ H Î·È ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ. ▲ ¶APATHPH™H. ŸÙ·Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜, ÙfiÙÂ Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ.
182
ANA§O°IE™
7.3.
£EøPIA ¢ PA ™ T H P I OT H TA
7.2.
N· ‰È·Ù˘ˆı› Î·È Ó· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ·, ‚, Á. £ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ Î·È ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ, ‰È·‰Ô¯Èο ¤¯Ô˘ÌÂ: B¢ Á = ‹ ¢° ‚
B¢ Á = ¢°+B¢ ‚ + Á
‹
Á B¢ = , ‚+Á ·
‰ËÏ·‰‹
·Á B¢ = . ‚+Á
E›Û˘:
·Á ·‚ + ·Á – ·Á ¢° = B° – B¢ = · – = , ‚+Á ‚+Á
‰ËÏ·‰‹
·‚ ¢° = . ‚+Á
A Á E
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‚ ¢ ·
°
AÓ AE Â›Ó·È Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Î·È ‚>Á, ÙfiÙ ‰È·‰Ô¯Èο ¤¯Ô˘ÌÂ: BE Á = E° ‚
‹
BE Á = E° – BE ‚ – Á
‹
BE Á = , · ‚–Á
‰ËÏ·‰‹
·Á BE = . ‚–Á
E›Û˘:
·Á ·Á + ·‚ – ·Á E° = EB + B° = + · = , ‚–Á ‚–Á
‰ËÏ·‰‹
·‚ E° = . ‚–Á
ŸÙ·Ó Â›Ó·È ‚ < Á, ÙfiÙ ÛÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜ ·ÓÙ› ÁÈ· ‚ – Á ı· ¤¯Ô˘Ì Á – ‚.
∫‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ∞ÔÏÏÒÓÈÔ˘
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£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
™˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÛËÌ›· Ÿˆ˜ ›‰·Ì ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Ù· ›¯ÓË ¢, E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù˘ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ Î·È Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ Áˆ∧ Ó›·˜ A ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¤¯Ô˘Ó ÌÈ·Ó ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙË È‰ÈfiÙËÙ·: XˆÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ B° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ
A 1
E
B
2
¢
°
B¢ BE = . ¢° E° T· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ B, °. AÓ¿ÏÔÁ· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ fiÙ·Ó Ù· ¢, E Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ B, ° ÙfiÙÂ Î·È Ù· B, ° Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ ¢, E. §¤Ì ›Û˘, fiÙÈ Ù· B, °, ¢, E ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ·Ó ·ÚÌÔÓÈ΋ ÙÂÙÚ¿‰· ÛËÌ›ˆÓ.
7.3.2. °ÂˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ô˘ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘˜ Ì ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Â›Ó·È ≠ 1 (·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ∞ÔÏÏÒÓÈÔ˘) Ó ¶POB§HMA 7.5. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·fi ‰‡Ô ‰Ôı¤ÓÙ· ÛËÌ›· A, B ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ì ¤¯Ô˘Ó ÁÓˆÛÙfi ÏfiÁÔ ≠ 1. Ó §‡ÛË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ȉÈfiÙËÙ·, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ MA Ì = . MB Ó AÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MAB ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ M¢ Î·È ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ ME, ÙfiÙ ٷ ÛËÌ›· ¢, E Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ A, B Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ¢A EA Ì = = . ¢B EB Ó
M
E
A
¢
B
(1)
T· ¢, E Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›·, Ù· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ
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7.3.
£EøPIA Ì ÏfiÁÔ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¿. E›Û˘, Â›Ó·È Ó ∧ EM¢ = 90Æ, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· E¢ Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. ÕÚ·, ı· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙÔ E¢. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ E¢ ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘. A˘Ùfi ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È E, ÏfiÁˆ ÙˆÓ ÈÛÔÙ‹ÙˆÓ (1). ŒÛÙˆ N ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi Ù· ¢, E. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÚÒÙ·, fiÙÈ Ë N¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Áˆ∧ Ó›·˜ A NB. AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë N¢ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∧ Ù˘ A NB, ÙfiÙ ı· ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô °, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ B ∧ ∧ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ¢ N° = ¢ NA. ¢ËÏ·‰‹ Ë N¢ ı· Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AN°. EÂȉ‹, fï˜, E N¢ = 90Æ, Ë NE ı· Â›Ó·È ÙfiÙ Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ÕÚ·, Ù· ¢, E ı· Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ A, ° ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ¢A EA (2) = . ¢° E° Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ¢A ¢B ¢A ¢° = Î·È = EA EB EA E° Î·È ·fi ·˘Ù¤˜ ‰È·‰Ô¯Èο ¤¯Ô˘ÌÂ: ¢B ¢° = EB E°
‹
¢B ¢° = EB – ¢B E° – ¢°
‹
¢B ¢° = , E¢ E¢
‰ËÏ·‰‹ ¢B = ¢°. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ ÙÔ ° Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ B. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ·fi Ù· ·Ú·¿Óˆ fiÙÈ Ë N¢ ›∧ Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A NB ηÈ, ¿Ú·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfïÓ, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ANB ı· Â›Ó·È NA ¢A = . N B ¢B H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË, ÏfiÁˆ Ù˘ (1), Á›ÓÂÙ·È NA Ì = , NB Ó ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô N ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘. ÕÚ·, Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ E¢ Â›Ó·È Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜.
∫‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ∞ÔÏÏÒÓÈÔ˘
E
A ¢
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I™TOPIKO ™XO§IO. O AÚÈÛÙÔÙ¤Ï˘ (384-322 .X.) ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÔ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «MÂÙˆÚÔÏÔÁÈο», ÁÈ· Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÈ ÙËÓ ËÌÈ΢ÎÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ Ô˘Ú¿ÓÈÔ˘ ÙfiÍÔ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ AÚÈÛÙÔÙ¤ÏË, ÔÈ ÊˆÙÂÈÓ¤˜ ·ÎÙ›Ó˜ ·fi ÙÔ ◊ÏÈÔ Î·È ·fi ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ·Ú·ÙËÚËÙ‹ ¿Óˆ ÛÙË °Ë ÚÔ˜ οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Ô˘Ú¿ÓÈÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÏfiÁÔ. O ÌÂÁ¿ÏÔ˜ Áˆ̤ÙÚ˘ AÔÏÏÒÓÈÔ˜ (ÂÚ. 262190 .X.), ·fi ÙËÓ ¶¤ÚÁË Ù˘ ¶·ÌÊ˘Ï›·˜ (ÎÔÓÙ¿ ÛÙË ÛËÌÂÚÈÓ‹ AÙÙ¿ÏÂÈ· Ù˘ M. AÛ›·˜), ÌÂϤÙËÛ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·˘Ùfi ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «¶ÂÚ› ÂȤ‰ˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ». E›Û˘, ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «KˆÓÈο», ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ٷ ÛËÌ›· Ô˘ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÂÛˆÙÂÚÈο Î·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ (‰ËÏ·‰‹ Ù· Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÛËÌ›·) ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓˆÓ ÛÙËÓ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ Î·È ÙËÓ ¤ÏÏÂÈ„Ë.
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H ‡·ÚÍË ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AÓ ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢ Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB, ı· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÌÔÚ› Ó· ÙÔÔıÂÙËı› ÛÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ Ì›· ÊÔÚ¿ (BE = AB), ÂÓÒ ˘ÔÏ›ÂÙ·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· E¢, ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ AB. H ÎÔÈÓ‹ ÏÔÁÈ΋ Ô‰ËÁ› ÛÙË ÛΤ„Ë fiÙÈ ı· ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ηٿÏÏËÏË ˘Ô‰È·›ÚÂÛË Ì Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB (ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÌÈÎÚ‹) Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ∂¢ = Ó Ø Ì, fiÔ˘ Ó Ê˘ÛÈÎfi˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì Ô˘ Â›Ó·È ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ AB Î·È B¢, ‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î, Ï Ù¤ÙÔÈÔÈ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ AB = Î Ø Ì Î·È B¢ = Ï Ø Ì. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ı· Â›Ó·È Û‡ÌÌÂÙÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ Ô ÚËÙfi˜ Ï ·ÚÈıÌfi˜ . Î £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ‰Â Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ. ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Û¯‹Ì· ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. A˜ Â›Ó·È Z ÙÔ ÛËÌ›Ô, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë Î¿ıÂÙË ·˘Ù‹ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ °¢. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¢EZH. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· °BZ Î·È EBZ Â›Ó·È ›Û· (BZ ÎÔÈÓ‹, BE = B°) ηÈ, ¿Ú·, Z° = ZE. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÙÒÚ· fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ
A
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E¢ = B¢ – BE = B¢ – AB = Ï Ø Ì – Î Ø Ì = (Ï – Î) Ø Ì = Î1 Ø Ì Z¢ = ¢° – Z° = AB – ZE = AB – E¢ = Î Ø Ì – Ï Ø Ì + Î Ø Ì = = (2Î – Ï) Ø Ì = Ï1 Ø Ì, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ¢EZH ¤¯Ô˘Ó, ›Û˘, ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì. ™˘Ó¯›˙Ô˘Ì ·˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ·, ·›ÚÓÔÓÙ·˜ ÛÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ¢Z ÙÔ˘ ¢EZH ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Z£ = E¢ Î·È Î·Ù·Û΢¿˙ÔÓÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¢£IK. H ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Î·È ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ £¢ = Z¢ – Z£ = Z¢ – E¢ =Ï1 Ø Ì – Î1 Ø Ì = (Ï1 – Î1) Ø Ì = Î2 Ø Ì I¢ = E¢ – EI = E¢ – I£ = E¢ – £¢ = Î1 Ø Ì – Ï1 Ø Ì + Î1 Ø Ì = = (2Î1 – Ï1) Ø Ì = Ï2 Ø Ì E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘ÌÂ
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7.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ¿ÂÈÚ· Ù¤ÙÔÈ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ‰È·ÚÎÒ˜ ÂÏ·ÙÙÒÓÔÓÙ·È, ·ÏÏ¿ ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·Î¤Ú·È· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ Ì. EÂȉ‹, fï˜, ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì Â›Ó·È ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ˘Ô‰È·›ÚÂÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB, ı· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì οÔÙ ے ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ˘ Ì. TÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ı· ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ·Î¤Ú·ÈÔ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ Ì Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ˘ Ì, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ AB Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ B¢ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÙÌ‹Ì·Ù· ·Û‡ÌÌÂÙÚ·. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 9 ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ B¢ = 2 Ø AB.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
7.3.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Û ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ‚¿Û˘ Â›Ó·È 36Æ, Ë ÏÂ˘Ú¿ AB Î·È Ë ‚¿ÛË B° Â›Ó·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.
EÊ·ÚÌÔÁ‹
Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ·ÎÏÔ˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB ʤÚÔ˘Ì ÙË °E⊥AB. AÓ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AB ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢, E Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ A, B. ∧
Afi‰ÂÈÍË: H ÁˆÓ›· B °¢, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ¯ÔÚ‰‹ °B Î·È ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË °¢, Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ∧ ∧ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· ° AB. OÈ ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ° AB Î·È ∧ B °E ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ οıÂÙ˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ∧ (°E⊥AB Î·È °A⊥°B, ·ÊÔ‡ Ë A °B Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Î·È ‚·›ÓÂÈ Û ËÌÈ·ÎÏÈÔ). EÔ̤ӈ˜, ∧
∧
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B
¢
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B°E = ° AB = µ °¢, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë °B Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ °E¢. E›Û˘, Ë °A, ˆ˜ οıÂÙË ÛÙË °B, Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ °E¢. ÕÚ·, Ù· ÛËÌ›· A, B Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ¢, E.
∫‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ∞ÔÏÏÒÓÈÔ˘
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™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë A¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ∧ A;
A
6 4
B
2.
3.
™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∧ AB° (A = 90Æ), Ë B¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Áˆ∧ Ó›·˜ B. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ Î·È ¢°.
2
¢
3
4.
Y¿Ú¯Ô˘Ó ÌÔÓ·‰Èο Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ‰‡Ô ‰ÔÛÌ¤ÓˆÓ ÛËÌ›ˆÓ A Î·È B;
5.
º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¢, BE Î·È °Z ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ AB < A° < B°. N· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ÏfiÁÔ˘˜ ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
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¢° ·) = … , ¢B
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™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, Ì AB < A°, ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢. N· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ (< ‹ > ‹ =) Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿. ·) ¢µ ... ¢°, ‚) ¢µ ... ∞µ, Á) ¢° ... ∞°.
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6.
‚
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ZB Á) = … . ZA
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MÈ· ¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¢, AE ∧ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A Î·È ÙËÓ AB ÛÙ· ÛËÌ›· K, M Î·È § ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ÛËÌ›· °, §, K, M ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÚÌÔÓÈ΋ ÙÂÙÚ¿‰·;
A A Â M §
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 7Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
·) ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ıˆÚԇ̠ÛËÌ›· ¢, E, Z ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ¢, E, Z ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢B ¢°
·) ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ıˆÚԇ̠ÛËÌ›· ¢, E, Z ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ A¢, BE, °Z ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢B E° ZA Ø Ø = 1 (£ÂÒÚËÌ· Ceva) ¢° EA ZB ‚) AÓ ¢, E, Z Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ·ʋ˜ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ A¢, BE, °Z ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
3.
190
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ù· ‡„Ë A¢, BE, °Z Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô H. H ¢ı›· EZ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô N. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÛÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚÂȘ ·ÚÌÔÓÈΤ˜ ÙÂÙÚ¿‰Â˜ ÛËÌ›ˆÓ.
5.
º¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ AE ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì AB ≠ A°. H ÂÛˆÙÂÚÈ΋ Î·È Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›· AE ÛÙ· ÛËÌ›· I Î·È K ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ Z, H Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ I, K ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¿Óˆ ÛÙË B°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
E° ZA Ø Ø = 1 (£ÂÒÚËÌ· MÂÓ¤Ï·Ô˘) EA ZB
‚) AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, Ì AB ≠ B°, ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ÂÛˆÙÂÚÈΤ˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¢, °Z Î·È ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ BE, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢, E, Z ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.
2.
4.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ∧ AM ÙÚȯÔÙÔÌÔ‡Ó ÙË ÁˆÓ›· A ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
¢Z Ø EH = ¢H Ø EZ.
6.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ B°, ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
7.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°. Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ AB ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ E. H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ E ÚÔ˜ ÙËÓ AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ Z, Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ Z ÚÔ˜ ÙËÓ A° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ AB ÛÙÔ ∏, Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ H ÚÔ˜ ÙË B° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ £ Î·È Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ £ ÚÔ˜ ÙËÓ AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ K. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ K ÚÔ˜ ÙËÓ A° ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢.
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 7Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
E›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ;
2.
·) AÓ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ‰È·ÈÚ› ÂÛˆÙÂÚÈο ÙÔ ÙÌ‹Ì· AB Û ÏfiÁÔ Ï, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ï Ø MA = AB. ‚) ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë A¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfi∧ ÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ A.
A
AÓ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ‰È·ÈÚ› Â͈ÙÂÚÈο ÙÔ Â˘ı‡Ì ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Û ÏfiÁÔ > 1, ÙfiÙÂ: Ó A. TÔ M ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ A. Ì B. AM = AB Ì–Ó °. Ì Ø AM = Ó Ø MB
2Ï
2Î
B
Î
¢
¢. AM < AB. Ï
°
3.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ A¢, BE Î·È °Z, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜
Á) AÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡Ô˘Ó ¢E // B° Î·È EZ // AB, ÙfiÙÂ Î·È ¢Z // A°. ›ӷÈ:
A
A. ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜
¢
E
B
Z
·Ø‚ B. ›ÛÔ˜ ÌÂ Á2 °. ›ÛÔ˜ ÌÂ 1 °
¢. ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ 1.
‰) AÓ ÙÔ ° Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB, ÙfiÙ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ٷ °, ¢ Ó· Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ A, B. A
°
4.
B
Â) O ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ 1 ·fi ‰‡Ô ‰ÔṲ̂ӷ ÛËÌ›·, Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ AÔÏÏÒÓÈÔ˘. ÛÙ) ™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ÙÌ‹Ì·Ù· ·Û‡ÌÌÂÙÚ·.
˙) AÓ ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡∧ ÂÈ B = 30Æ, ÙfiÙÂ Ô A° ÏfiÁÔ˜ Â›Ó·È ¿ÚB° ÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜.
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B¢ Ø °E Ø AZ °¢ Ø AE Ø BZ A E
Z
B
¢
°
AÓ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ ∧ ∧ ÁˆÓÈÒÓ A Î·È ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô E Ù˘ B¢, ÙfiÙÂ: A. AB Ø °¢ = A¢ Ø B°
A
B. T· ÛËÌ›· A, E, ° ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·
E
°. TÔ ÛËÌÂ›Ô E Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Ù˘ B¢
B ¢
°
AB °¢ ¢. = . B° A ¢
B
5. A
°
‰Ô˘ Ù· ÔÔ›· ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· °A ¢A ÈÛ¯‡ÂÈ = ≠ 1, ÙfiÙÂ: °B ¢B A. T· °, ¢ Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ A, B
B
B. T· °, ¢ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó °. T· °, ¢ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB
30Æ
A
AÓ ÁÈ· Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›· A, B, °, ¢ ÙÔ˘ ÂȤ-
°
¢. T· A, B ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ¿ÎÚ· ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ Ù· Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ °, ¢.
191
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 7 ÔÚ›ÛÙËÎÂ Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÂÓfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ (ÚËÙÔ‡ ‹ ¿ÚÚËÙÔ˘) Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. ™¯ÂÙÈ΋ Ì ·˘Ù‹Ó Â›Ó·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. H ÈÛfiÙËÙ· ‰˘Ô ÏfiÁˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ·Ó ·Ó·ÏÔÁ›·. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÂÓÈο ˆ˜ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. EÂȉ‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, fiÙ·Ó ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰˘Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¿Óˆ Û’ ·˘Ù¤˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. M ‚¿ÛË ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤ÁÈÓÂ Ë Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ٤ٷÚÙ˘ ·Ó·ÏfiÁÔ˘ ÙÚÈÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Î·È Ë ‰È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÂÛˆÙÂÚÈο ‹ Â͈ÙÂÚÈο Û ‰Ôı¤ÓÙ· ÏfiÁÔ. Aԉ›¯ÙËΠ›Û˘ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó Ù· Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÛËÌ›· Î·È ÌÂÏÂÙ‹ıËÎÂ Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰Ôı¤ÓÙ· ÏfiÁÔ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· (·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ AÔÏÏÒÓÈÔ˘).
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8.1.
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
8
√ÌÔÈfiÙËÙ·
8.1. ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· 8.1.1. ™Ì›ÎÚ˘ÓÛË-MÂÁ¤ı˘ÓÛË Î·È OÌÔÈfiÙËÙ· È· ÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ÎÂÊ¿Ï·È· 2 Î·È 3 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ Î·È ÙÔÔı¤ÙËÛ˘ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ. K·Ù¿ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ·ÏÏ¿˙ÂÈ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ÌÂÙ·ÎÈÓÂ›Ù·È Â›Ó·È Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛÙÔ ¯ÒÚÔØ Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ÌÂÁ¤ıË, fiˆ˜ .¯. Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ‹ Ù· ̤ÙÚ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙ·. ™ÙËÓ Ú¿ÍË, fï˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Û˘¯Ó¿ ‰È·‰Èηۛ˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜*, ÛÙȘ Ôԛ˜ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó ÔÚÈṲ̂ӷ ÌÂÁ¤ıË ÙÔ˘, ÌÂ Û˘Ó¤ÂÈ· Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘. T¤ÙÔȘ Â›Ó·È .¯. Ë ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ‹ Ë ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ÂÓfi˜ ۯ‰›Ô˘ Î.Ï. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙÔ Â›‰ˆÏfi ÙÔ˘ ̤ۈ ÂÓfi˜ ÌÂÁÂı˘ÓÙÈÎÔ‡ Ê·ÎÔ‡, Ô˘ ÌÂÁÂı‡ÓÂÈ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ηٿ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜. E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ì ÙË ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ·˘Ù‹ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È. TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, fï˜, Ì ٷ ̤ÙÚ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘, ‰Â‰Ô̤ÓÔ˘ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘˜ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ 180Æ;
°
A B
° B
°
* ™ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÁÏÒÛÛ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È «ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ».
ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·
193
£EøPIA AÓ Û¯Â‰È¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ B ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Â›‰ˆÏÔ ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‰ÈÏ·∧ ÛÈ¿˙ÂÙ·È. TÔ Ì¤ÙÚÔ, fï˜, Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ÂÂȉ‹, fiˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Á›ÓÂÙ·È Â›ÎÂÓÙÚË (Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ· Â›Ó·È ¿ÓÈÛ·, ·ÏÏ¿ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔØ Ì ÌÔÓ¿‰· ÂÓÓÔÂ›Ù·È ÙÔ ÙfiÍÔ 1Æ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û οı ·ÎÏÔ). TÔ Â›‰ˆÏÔ, ÏÔÈfiÓ, ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛȘ Ï¢ڤ˜ ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·ÏÏ¿ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Ì’ ·˘Ùfi. Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·Ù¿ ÙË ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË (‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË) ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜ Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡. TÔ ÎÔÈÓfi ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Â›Ó·È fiÙÈ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ¤Ó· Û¯‹Ì· Ô˘ «ÌÔÈ¿˙ÂÈ» Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi, ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È Î·Ù’ ·Ó¿ÁÎËÓ ›ÛÔ ÚÔ˜ ·˘Ùfi. °È· Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ·˘Ù¿ Ù· Û¯‹Ì·Ù· ‰›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi:
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
A
A B
° °
O P I ™ M √ ™ ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ϤÁÔÓÙ·È fiÌÔÈ·. O ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ ¤ÌÌÂÛ· fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ۷ʋÓÂÈ· Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. O ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ŒÙÛÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, ➧
¢‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ fiÌÔÈ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.
➧
¢‡Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ fiÌÔÈ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.
➧
AÓÙ›ıÂÙ·, ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÂÂȉ‹ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ˜.
ŒÓ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ‚Ï¤Ô˘ÌÂ, ›Û˘, ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·. ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ¤¯Ô˘Ì ʤÚÂÈ ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ B¢, °E (ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ G Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘) Î·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E. TfiÙ ÁÈ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· GB° Î·È G¢E ÈÛ¯‡ÂÈ: ∧ ∧ B G° = ¢GE (ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó) ∧
∧
∧
E
B° GB G° = = = 2 ¢E G¢ GE
¢ G
∧
GB° = G ¢E, G°B = G E¢ (ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í)
194
A
B
°
OMOIOTHTA
8.1.
£EøPIA ™‡Ìʈӷ, ÏÔÈfiÓ, Ì ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi, Ù· ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ı· Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ 2. °È· Ó· Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì GB°G¢E. Afi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi Á›ÓÂÙ·È, ›Û˘, ·Ì¤Ûˆ˜ Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ: ➧
¢‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È Î·È fiÌÔÈ·, Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ 1.
➧
¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· fiÌÔÈ· ÚÔ˜ ÙÚ›ÙÔ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.
8.1.2. K·Ù·Û΢‹ fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ K·Ù·Û΢‹ fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ¤Ó·Ó ‡ÎÔÏÔ ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ fiÌÔÈÔ˘ ÚÔ˜ ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. £EøPHMA 8.1. AÓ ÌÈ· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË Û ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ‰‡Ô ¿ÏϘ Ï¢ڤ˜, ÙfiÙ ۯËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ¤Ó· Ó¤Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi. Afi‰ÂÈÍË: ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A¢E ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÂÂȉ‹: ∧
∧
A
¢
E
A = A (ÎÔÈÓ‹),
∧
∧
∧
∧
B
B = A¢E, ° = A E¢ (ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿) ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ¤¯Ô˘ÌÂ: AB A° = . A¢ AE
Z
°
(1)
AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ EZ // AB, ÙfiÙ ÙÔ ¢BZE Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÂÔ̤ӈ˜ BZ = ¢E (2) ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ı· Â›Ó·È A° B° = . AE B Z
(3)
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) Î·È (3) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ AB A° B° = = , A¢ AE ¢E ‰ËÏ·‰‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A¢∂ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ▲ ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·
195
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
¶ÚÔÔÙÈ΋ ηٷÛ΢‹ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ H ηٷÛ΢‹ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙÔ˜ Ï, Á›ÓÂÙ·È ÁÂÓÈο Ì ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÙÚfiÔ: ŒÛÙˆ .¯. ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Î·È ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô O. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O Î·È ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, B, °, ¢ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ıˆÚԇ̠·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· A1, B1, °1, ¢1 Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ
O
B A
OA1 = Ï Ø OA, OB1 = Ï Ø OB, O°1 = Ï Ø O° Î·È O¢1 = Ï Ø O¢.
° ¢
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ OA OB O° O¢ 1 = 1 = 1 = 1 = Ï. OA OB O° O¢ ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· OA1B1, OB1°1, O°1¢1, OA1¢1 Î·È ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Â›Ó·È
B1
A1
°1
¢1
AB //A1B1, B° // B1°1, °¢ // °1¢1 Î·È A¢ // A1¢1. Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 8.1. Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· fiÌÔÈ· ÚÔ˜ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· OAB, OB°, O°¢, OA¢ Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï. ÕÚ·, ¤¯Ô˘Ì A B B ° ° ¢ A ¢ 11 = 11 = 11 = 11 = Ï. AB B° °¢ A¢ ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ AB°¢ Î·È A1B1°1¢1 ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. E‡ÎÔÏ· ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ›Û˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ¶.¯. ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ÁˆÓÈÒÓ ∧
∧
∧
∧
OA1¢1 = OA¢ Î·È O A1B1 = O AB ∧
∧
Ì ·Ê·›ÚÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ A1 = A. T· ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¤¯Ô˘Ó, ÏÔÈfiÓ, ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
™XO§IO:
O ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ηٷÛ΢‹˜ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ fiÌÔÈÔ˘ ÚÔ˜ ‰Â‰Ô̤ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· Â›Ó·È ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÌÈ·˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ÌÂıfi‰Ô˘, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÔÔÙÈ΋ ηٷÛ΢‹. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ۯ‰ȷÛÙ¤˜, ÙÔ˘˜ ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˘˜ Î.Ï., ÁÈ· Ó· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÔ˘Ó ¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ¿Óˆ Û ÌÈ· ‰ÈۉȿÛÙ·ÙË ÂÈÊ¿ÓÂÈ·.
H Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ, ›Û˘, Î·È ÁÈ· ÔÚÈṲ̂ӷ ¿ÏÏ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜, fiˆ˜ Â›Ó·È ÔÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔÈ ÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ, Ù· ‡„Ë ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Î.Ï. AÓ .¯. ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ 2, ÙfiÙÂ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ı· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù˘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ
196
OMOIOTHTA
8.1.
£EøPIA £EøPHMA 8.2 O ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ AB°¢ Î·È A1B1°1¢1. AÓ Ï Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÂÙڷχڈÓ, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ A B B ° ° ¢ A ¢ 11 = 11 = 11 = 11 = Ï. AB B° °¢ A¢
B
A
¢
° B1
A1
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÁÓˆÛÙ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: A1B1 + B1°1 + °1¢1 + A1¢1 = Ï. AB + B° + °¢ + A¢
¢1
°1
H Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. AÓ¿ÏÔÁ· Á›ÓÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍË Î·È ÁÈ· Ù˘¯·›· fiÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·. ▲
ª¤ÙÚËÛË Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ·ÚfiÛÈÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙËÓ ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ÔÏÏ¿ Ú·ÎÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ̤ÙÚËÛ˘, fiˆ˜ Â›Ó·È ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô ·ÚfiÛÈÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ A, B ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ° Î·È ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ °A Î·È °B. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·›Ú1 ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ °A, .¯. ÙÔ °¢ = °A 4 1 Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ °B, ÙÔ °E = °B. TfiÙÂ, 4 Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙÔ AB ηÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 8.1., Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· °¢E, °AB Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÔfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ 1 ¢E = AB. 4 ŒÙÛÈ, ÏÔÈfiÓ, ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ¢E ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ·Ì¤Ûˆ˜ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·ÚfiÛÈÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ A Î·È B. (°È· ÌÈ· ¿ÏÏË Ï‡ÛË, Ì ¯Ú‹ÛË ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ‚Ϥ ¨3.1, ÂÚÒÙËÛË 9 «™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ»). ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·
§›ÌÓË A B
¢
E °
™XO§IO:
TËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¯ÓÈ΋ ̤ÙÚËÛ˘ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô ·ÚfiÛÈÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ Ô ·Ú¯·›Ô˜ ŒÏÏËÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ Î·È Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ◊ÚˆÓ Ô AÏÂÍ·Ó‰Ú‡˜ (ÂÚ›Ô˘ 1Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì. X.) ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «¶ÂÚ› ¢ÈfiÙÚ·˜». ™ÙÔ ¤ÚÁÔ ·˘Ùfi Ô ◊ÚˆÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ¤Ó· Ï‹ıÔ˜ Â˘Ê˘ÒÓ ÌÂıfi‰ˆÓ Â›Ï˘Û˘ Ù¯ÓÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ (.¯. Ë ‰È¿ÓÔÈÍË ÌÈ·˜ Û‹Ú·ÁÁ·˜ Û’ ¤Ó· ‚Ô˘Ófi), ÛÙȘ Ôԛ˜ Á›ÓÂÙ·È Â˘Ú›· ¯Ú‹ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜.
197
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
8.2. ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ˆ˜ ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, Ë ÌÂϤÙË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ‰È¢ÎÔχÓÂÙ·È ÛËÌ·ÓÙÈο Ì ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ÎÚÈÙËÚ›ˆÓ ÈÛfiÙËÙ·˜, ‰ËÏ·‰‹ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì Ì ۇÓÙÔÌÔ ÙÚfiÔ ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·. AÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰È¢ÎÔχÓÂÙ·È Ë ÌÂϤÙË Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ٷ ÙÚ›· ıˆڋ̷ٷ-ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Ô˘ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ.
Ÿ
£EøPHMA 8.3 ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A1B1°1, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ ∧ ∧ A = A1, B = B1. ∧
∧
TfiÙ ı· Â›Ó·È ˘Ô¯ÚˆÙÈο Î·È ° = °1. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÙfiÛÔ ÚÔ˜ ÙÔ A1B1°1 fiÛÔ Î·È ÚÔ˜ ÙÔ AB°. ™ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· AB ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ A¢ = A1B1 Î·È ·fi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ¢E ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ B°. TfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 8.1., ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ AB°. ∧ ∧ E›Û˘, ¢ = B (ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿) Î·È ÂÂȉ‹ ∧ ∧ ∧ ∧ B = B1, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ¢ = B1. ÕÚ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢E Î·È A1B1°1 Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ (A¢ = A1B1) Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û’ ·˘Ù‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜. ÕÚ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ AB°A¢E Î·È A¢EA1B1°1 Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È AB°A1B1°1.
A
¢
E
B
° A1
B1
°1
▲
™XO§IO:
Ÿˆ˜ Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi ·fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· fiÌÔÈ·, ·ÚΛ Ó· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· ÙËÓ ‡·ÚÍË fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Û ¤Ó· Û¯‹Ì·.
198
OMOIOTHTA
8.2.
£EøPIA MÈ· Ù¤ÙÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ Û˘¯Ó¿ ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·. TÔ AB° Â›Ó·È ¤Ó· ∧ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ÙËÓ A Î·È A¢ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· B°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È AB° Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ·fi ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· Î·È ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÁˆÓ›·. °È· ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÏfiÁÔ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A°¢ Î·È AB°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È A°¢, ˆ˜ fiÌÔÈ· ÚÔ˜ ÙÔ AB°, ı· Â›Ó·È Î·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ fiÌÔÈ·. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÛÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›· fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, Ù· AB°, AB¢ Î·È A°¢.
A
B
¢
°
£EøPHMA 8.4 ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ÂÚȯfiÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, A1B1°1, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ AB A° (1) = A1B1 A1°1 ∧
ηÈ
A
B
∧
A = A1.
™ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· AB ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ A¢ = A1B1. Afi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ¢E ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°. TfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 8.1., ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ AB°. E›Û˘, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹, ÈÛ¯‡ÂÈ
E A1
B1
AB A° = . A¢ AE EÂȉ‹, fï˜, A¢ = A1B1, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÁÚ¿ÊÂÙ·È AB A° = . A1B1 AE
°
¢
°1
(2)
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) Î·È (2) Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Â›Ó·È AE = A1°1. ÕÚ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢E Î·È A1B1°1 Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÂÚȯfiÌÂÓ˜ Û’ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›Â˜, ›Û˘, ›Û˜. £· ›ӷÈ, ÏÔÈfiÓ, Î·È fiÌÔÈ·. Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ AB°A¢E Î·È A¢EA1B1°1 Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È AB°A1B1°1.
▲
£EøPHMA 8.5 ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.
∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
199
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, A1B1°1 Ì AB A° B° = = . A1B1 A1°1 B1°1
A
(1)
AB A° B° = = . A¢ AE ¢E
E
¢
™ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· AB ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ A¢ = A1B1. Afi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ¢E ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°. TfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 8.1., ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ AB° ηÈ, ¿Ú·, ÈÛ¯‡ÂÈ
B
°
A1
2) °1
B1
EÂȉ‹ A¢ = A1B1, ·fi ÙȘ (1) Î·È (2) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È AE = A1°1 Î·È ¢E = B1°1. ÕÚ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢E Î·È A1B1°1 Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. £· ›ӷÈ, ÏÔÈfiÓ, Î·È fiÌÔÈ·. Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ AB°A¢E Î·È A¢EA1B1°1 Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È AB°A1B1°1. ▲
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
O ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÙÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Ì A = ¢, B = E Î·È ° = Z. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ AM, ¢N. AB AM £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ = . ¢E ¢N EÂȉ‹ AB B° 2Bª BM = = = , ¢E EZ 2EN EN
¢
A E
B
M
N
Z
°
Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ABM Î·È ¢EN ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. ∧ ∧ E›Û˘, ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÂÚȯfiÌÂÓ˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ ( B = E). ÕÚ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ AB AM = . ¢E ¢N ¢È·Ù˘ÒÛÙÂ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ·Ó¿ÏÔÁË ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· Ù· ‡„Ë Î·È ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
200
OMOIOTHTA
8.1. - 8.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2
AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ οıÂÙ˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ (Û¯. 1) ‹ οıÂÙ˜ (Û¯. 2) Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ̠Ϣڤ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ οıÂÙ˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Â›Ó·È ›Û˜ ‹ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ŒÙÛÈ, ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ‰˘Ó·Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧ ∧
A + ¢ = 180Æ, B + E = 180Æ Î·È ° + Z = 180Æ,
i) ii)
1
¢
A
B
° E
Z
A
2
A + ¢ = 180Æ, B + E = 180Æ Î·È ° = Z, ∧
∧
iii) A + ¢ = 180Æ, B = E Î·È ° = Z, iv)
∧
∧
∧
A = ¢, B = E Î·È ° = Z.
B
OÈ ÂÚÈÙÒÛÂȘ (i) Î·È (ii) ·ÔÎÏ›ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ ÙfiÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ ı· ‹Ù·Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙˆÓ 360Æ. H ÂÚ›ÙˆÛË (iii) ·ÏËı‡ÂÈ, ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó ∧ ∧ A = ¢ = 90Æ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, Ù· ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
3
°
E
¢
Z
H ·fiÛÙ·ÛË Î¿ı ÛËÌ›Ԣ M ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ M ·fi ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· ¿ÎÚ· Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜. Afi‰ÂÈÍË: º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ‰ Î·È Â ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· ¿ÎÚ· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ AB. AÓ M¢⊥AB, ME⊥‰ Î·È MZ⊥Â, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ME M¢ = . M¢ MZ
¢
A
B
T· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ A¢ME Î·È B¢MZ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ· Û ·ÎÏÔ, ·ÊÔ‡ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ·∧
∧
Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. EÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡Ô˘Ó M ¢E = M AE Î·È ∧
∧
E
M
Z
∧
M Z¢ = M B¢. H ÁˆÓ›· M AE Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ· ·fi ÙË ¯ÔÚ‰‹ ∧
∧
AM Î·È ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰, ÔfiÙ M AE = M B¢. ∧
∧
ÕÚ·, M ¢E = M Z¢. ∧
∧
∧
‰
Â
∧
OÌÔ›ˆ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì M E¢ = M A¢ = M BZ = M ¢Z. T· ÙÚ›ÁˆÓ· M¢E Î·È MZ¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. EÔ̤ӈ˜, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ME M¢ = . M¢ MZ
ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· - ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
2.
·) N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‚) ™˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ‹ ‰‡Ô ÚfiÌ‚Ô˘˜; AÓ fi¯È, ÙÈ, ηٿ ÙË ÁÓÒÌË Û·˜, ı· ‹Ù·Ó ·ÚÎÂÙfi, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È fiÌÔÈ·;
AB°, AB¢, A°¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜: AB A° AB … A B B¢ ·) = , ‚) = , Á) = . B¢ … A¢ A° … A¢
6.
E›Ó·È fiÌÔÈ· Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· AB°¢ Î·È EZH£, ÛÙ· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ∧
AÓ Ù· ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ÙÔ EZH£ ¤¯ÂÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ 28 cm, ÔÈ· Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ EZH£;
AB A¢ Î·È = ; EZ E£
∧
A=E
¢ E A
¢
3.
E
A
Z
3
2
B
°
£
4
5
Z
B
°
£
7.
H
TÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ ÂÓfi˜ ‰¤Ó‰ÚÔ˘, ÌÈ· ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÈÁÌ‹ Ù˘ ̤ڷ˜, Â›Ó·È 7,5 m. TËÓ ›‰È· ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ÌÈ· ηٷÎfiÚ˘ÊË Ú¿‚‰Ô˜ ‡„Ô˘˜ 2 m Ú›¯ÓÂÈ ÛÎÈ¿ 1 m. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤Ó‰ÚÔ˘;
H
AÓ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A°¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· EZH Î·È EH£ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ AB°¢ Î·È EZH£. Z B ° A
H E
¢
8. 2m
™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙȘ A¢⊥B°, ¢E⊥AB Î·È ¢Z⊥A°. ¶ÔÈ· fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Û¯‹Ì·;
1m
7,5m
£ ∧
A Z
4.
5.
202
MÈ· ʈÙÂÈÓ‹ A ·ÎÙ›Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È B ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, ·Ó·ÎÏ¿Ù·È ° K ¢  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô K Ù˘ ¢ı›·˜ Â Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô B. AÓ A° = K¢ = 6 cm Î·È K° = 9 cm, ÔÈ· Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË B¢; ™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ∧ (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ·
E B
9.
¢
°
™ÎÂÊÙ›Ù ¤Ó·Ó ÙÚfiÔ ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ÚÔ‚ÔϤ·.
B ¢
A
°
OMOIOTHTA
8.1.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 10. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ¢E . °È·Ù› ‰Â ÌÔÚÔ‡B° Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢E;
1
B
¢
A
4
11. N·
ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AE° Î·È ¢EB Â›Ó·È fiÌÔÈ·. AÓ AE = 1, BE = 2 Î·È °E = 2,5, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ¢E.
6
E 1,5
¢ A
B E
°
°
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ AB°. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜;
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ‰È·ÈÚ› οı ‰È·ÁÒÓÈÔ Û ÙÌ‹Ì·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘.
3.
AÓ H Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ A¢, BE, °Z ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) HA Ø H¢ = HB Ø HE = H° Ø HZ. ‚) ¢‡Ô ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.
4.
∧
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ( A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙȘ A¢⊥B° Î·È ¢E⊥AB. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A¢2 = A° Ø ¢E.
5.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Û ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚ· B¢ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È A°¢ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì . 3
6.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Ì ›Û˜ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
ŸÌÔÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· - ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
7.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ÙÔ˘.
8.
AÓ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ A¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ BE2 = AE Ø ¢E.
9.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ AE ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB Ø A° = A¢ Ø ∞∂.
10. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·È ÙˆÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÙÔ˘˜.
11. AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° ʤÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë B¢ ηÈ
°E, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB A¢ = . A° AE
12. ™Â
∧
∧
ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B – ° = 90Æ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A¢2 = B¢ Ø °¢.
203
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ O ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË AB, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ A¢ Î·È B° ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
6.
£ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ¢E ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°. AÓ Ë Â˘ı›· ∞∂ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A¢ Ø AZ = AB Ø A°.
·) OE = OZ, OA AB ‚) = Î·È A° AB + °¢
7.
2AB Ø °¢ Á) EZ = . AB + °¢
2.
Afi ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ٷ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, A° Î·È ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û· A¢E ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È AEB ¤¯Ô˘Ó ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜.
·) A£ = AK, ‚) B£ Ø °K = A£2.
8.
ŒÛÙˆ ¢ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. Afi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A Î·È B ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· °¢, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ ¢ı›˜ B° Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AE Ø BZ °¢ = . AE + BZ
4.
5.
204
MÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ B° Î·È °¢ ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ BE Ø ¢Z Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi. AÓ Û ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ˘ÔÙÂÈÓÔ˘ÛÒÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ‰‡Ô οıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ AB = · Î·È °¢ = ‚. ™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A¢ ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ì E Ô˘ ÙË ‰È·ÈÚ› ÂÛˆÙÂÚÈο Û ÏfiÁÔ . H ·Ó Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ E ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛȘ, Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
‚) IÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· B¢ Ø °E = BE Ø °¢.
3.
ŒÍˆ ·fi ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ∧ ( A = 90Æ) ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· AB¢E Î·È A°ZH. AÓ ÔÈ °¢ Î·È BZ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· £ Î·È K ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:
Ó· + Ì‚ EZ = . Ì+Ó
9.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ì ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜. AÓ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ‰‡Ô ÔÌfiÏÔÁˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
10. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Ì AB < A°. OÈ Î¿ıÂÙ˜ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ B Î·È ° ÚÔ˜ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ A¢ ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· E, Z Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο ÙˆÓ A, ¢.
OMOIOTHTA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 8Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ AB, A° ıˆÚԇ̠‰‡Ô ÛËÌ›· ¢, E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì B¢ = °E. AÓ Ë Â˘ı›· ¢E Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: BZ AE EZ AB = Î·È = . °Z A¢ ¢Z A°
2.
7.
¢›ÓÔÓÙ·È ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ‰, Â Î·È ˙. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÛÙ·ıÂÚ¿ ÛËÌ›· A, B Ù˘ ‰ Î·È ¤Ó· ÌÂÙ·‚ÏËÙfi ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ˙. AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ MA Î·È MB Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi Ì‹ÎÔ˜.
8.
™ÙȘ fi¯ı˜ ÌÈ·˜ ΢ÎÏÈ΋˜ Ï›ÌÓ˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ù¤ÛÛÂÚ· ÏÈÌ¿ÓÈ· A, B, ° Î·È ¢. ¢‡Ô ÏÂÔ‡ÌÂÓ· ¶1 Î·È ¶2, ÎÈÓÔ‡ÌÂÓ· Ì ÛÙ·ıÂÚ¤˜ Ù·¯‡ÙËÙ˜, ÍÂÎÈÓÔ‡Ó Ì·˙› ·fi Ù· ÏÈÌ¿ÓÈ· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È ÊÙ¿ÓÔ˘Ó Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÛÙ· ÏÈÌ¿ÓÈ· ¢ Î·È °. M ٷ ‰Â‰Ô̤ӷ ·˘Ù¿, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ, ·Ó Ù· ¶1 Î·È ¶2 οÓÔ˘Ó Î·Ù¢ı›·Ó ÙȘ ‰È·‰ÚÔ̤˜ A° Î·È B¢, ÙfiÙ ı· Û˘ÁÎÚÔ˘ÛÙÔ‡Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E Ù˘ Ï›ÌÓ˘.
∧
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ A = 120Æ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
3.
ÎÔ˜ Á. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘, ηıÒ˜ ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È.
‚Á ‰· = . ‚+Á ∧
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ B¢. Afi ÙÔ Ì¤ÛÔ E Ù˘ B¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙË B¢, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È B° ÛÙ· ÛËÌ›· Z Î·È H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ BH¢Z Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜. ‚) AZ Ø °H = BH2. Á) °H Ø A¢ Ø AB = °¢ Ø AZ Ø B°. 1 1 1 ‰) + = . AB B° BZ
4.
TÚÂȘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜ ‰ Î·È ˙ ÛÙ· ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢, E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:
¶2 B
¶1 A
·) AÓ ÔÈ Â1 , Â2, Â3 ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ // ˙, ÙfiÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ‰ Î·È ˙ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ‚) AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ // ˙ Î·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙȘ ‰, ˙ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, Â2, Â3 ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô ‹ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. Á) AÓ ÔÈ Â1 , Â2, Â3 ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙȘ ‰, ˙ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÙfiÙ ‰ // ˙.
5.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ Û ÙÌ‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·.
6.
™Â ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ AB Î·È °¢ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚ¿ Ì‹ÎË · Î·È ‚ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÂÓÒ Ë ÏÂ˘Ú¿ A¢ ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ ı¤ÛË Î·È ÛÙ·ıÂÚfi Ì‹-
E ° ¢
9.
TÚÂȘ ¯ÔÚ‰¤˜ AB, °¢ Î·È ∂Z ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô O. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: A° Ø BE Ø ¢Z = AZ Ø B¢ Ø °E.
10. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ
I ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ £ ·˘ÙÔ‡ Î·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ K ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ AB°. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· I, £ Î·È K ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.
11. AÓ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ,
OMOIOTHTA
ÙfiÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ (1Ô £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘).
205
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 8Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
E›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ; ∧
3.
∧
·) AÓ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ó A = ¢ ∧ ∧ Î·È B = Z, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ AB B° A° = = . ¢E EZ ¢Z
‰) ¢‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ÙË ÁˆÓ›· Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ›ÛË Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
4.
Â) AÓ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· OAB Î·È ∫EZ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙÂ Î·È Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· AB°¢ Î·È EZH£ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. A
E
B
Z
3 ¢. cm 5
B. 2,5 cm
5 E. cm 3
A
¢
5
60Æ
E
H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ AM ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›·, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B° Î·È °A ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙ· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
B
3
°
Z A ¢
B
E
M
°
·) N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜
O ¢
K
° £
2.
A. 2 cm
15 °. cm. 8
‚) ¢‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Á) ¢‡Ô ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË Â›Ó·È fiÌÔÈ·
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ B¢ ›ӷÈ:
¢E … … i) = = AM … …
H
EZ … … Î·È ii) = = . AM … …
‚) TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ¢E + EZ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ O ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË EZ ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ì‹ÎË 4 cm Î·È 6 cm ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ı· ÚÔ·„ÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ EZ. A
4cm
B
A. AM, B. 2AM, °. B°, ¢. 2A°, E. 2¢Z.
5.
∧
·) N· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ∧
E
O
∧
™Â Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B = 2° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. ™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AB ıˆÚԇ̠ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BE = B¢. AÓ Ë Â˘ı›· ¢E Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z, ÙfiÙÂ:
Z
∧
∧
∧
∧
B = 2E, ° = E = ¢2 Î·È °Z = ¢Z = AZ. A Z
¢
6cm
° B
206
·)
AO AB = = … , O° …
‚)
AO AO = = … , A° AO+ …
Á)
EO … = Î·È EO = … cm, … A°
‰)
OZ BO … = = Î·È OZ = … cm, 6 … A°
Â)
EZ = EO + … = … cm.
2 1
¢
°
E
‚) AÊÔ‡ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È AZE Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ AB … … = = . … AE … Á) TÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ABØAE ÈÛÔ‡Ù·È Ì A. AB2
B. AZ2
°. 2AZ2
¢. ¢Z2
OMOIOTHTA
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
ANAKEºA§AIø™H KÂÓÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ 8 Â›Ó·È Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó: ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ §fiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ Ï¢ÚÒÓ O ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ H ÚÔÔÙÈ΋ ηٷÛ΢‹ Â›Ó·È ÌÈ· ̤ıÔ‰Ô˜ ηٷÛ΢‹˜ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ H ÔÌÔÈfiÙËÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û ڷÎÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·, fiˆ˜ .¯ ÛÙË Ì¤ÙÚËÛË Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ·ÚfiÛÈÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ O ¤ÏÂÁ¯Ô˜ Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Á›ÓÂÙ·È Ì ٷ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó : ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ ‹ ¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ÂÚȯfiÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ ‹ TȘ Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜
ANAKEºA§AIø™H
207
£EøPIA
208
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
OMOIOTHTA
9.1.
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
9
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ
9.1. ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓ· · ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ‰È·Ù˘ÒıËÎ·Ó Ì¤¯ÚÈ ÙÒÚ·, ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È, ΢ڛˆ˜, Û ۯ¤ÛÂȘ ÈÛfiÙËÙ·˜ (‹ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜) ÌÂٷ͇ ÁˆÓÈÒÓ, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, Ùfi͈Ó. ¶Ôχ Ï›Á· ·fi ·˘Ù¿ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó (fiˆ˜ Ù· ıˆڋ̷ٷ 5.10 Î·È 5.12) Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. OÈ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È Û ٤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ì ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓ· ÂÓÓÔԇ̠ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ Î‡ÚÈˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ (ÁˆÓÈÒÓ, Ï¢ÚÒÓ) Ì ٷ ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· (‡„Ë, ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜, Î.Ï.), fiˆ˜ Î·È ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ ‰Â˘ÙÂÚ¢fiÓÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¢È¢ÎÚÈÓ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Û fiÛ˜ ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ, .¯. AB Ø A°, ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌËÎÒÓ (‰ËÏ·‰‹ ·ÚÈıÌÒÓ) Î·È fi¯È ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. £· ÚÔÙ¿ÍÔ˘Ì ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ, ÔÈ Ôԛ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÂȉÈο ÁÈ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, ÂÂȉ‹ Â›Ó·È ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ˜ ·fi Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÛÂ Ù˘¯·›· ÙÚ›ÁˆÓ·. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù¤ÙÔÈˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜. TËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜ ÛËÌ›Ԣ Û ¢ı›· ÙËÓ ÔÚ›Û·Ì ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ 2.3.3. EÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ·˘Ù‹ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Û ÌÈ· ¢ı›·  ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A′B′ Ù˘ ¢ı›·˜ Â, fiÔ˘ A′, B′ Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ A, B ÛÙËÓ Â.
∆
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
B A
A′
B′ Â
A B′ Â
A′ B
209
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
9.1.1. ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· £EøPHMA 9.1 AÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÙfiÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÌÈ·˜ οıÂÙ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· › ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. ∧
Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, Ì A = 90Æ, ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. ZËÙÂ›Ù·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ AB2 = B¢ Ø B° (1)
ηÈ
¢
£· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÌfiÓÔ ÙË Û¯¤ÛË (1), ·ÊÔ‡ Ë ‰È·‰Èηۛ· ·fi‰ÂÈ͢ Â›Ó·È Ë ›‰È· Î·È ÁÈ· ÙË Û¯¤ÛË (2). £ÂˆÚԇ̠ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢, AB°, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÂÂȉ‹ ∧
∧
B
A°2 = ¢° Ø B° (2).
∧
∧
1 2
A
A = ¢ = 90Æ Î· È A1 = °
°
ˆ˜ ÁˆÓ›Â˜ ̠Ϣڤ˜ οıÂÙ˜ (‹ ˆ˜ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Ù˘ ∧ ÁˆÓ›·˜ A). Afi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢, AB° ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: AB B° ▲ = , ‰ËÏ·‰‹ AB2 = B¢ Ø B°. B¢ AB ¶OPI™MA 9.1. ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ Î¿ıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÚÔ‚ÔÏÒÓ ÙÔ˘˜ ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: °È· ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ˙ËÙÂ›Ù·È Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: AB2 B¢ = . A°2 ¢° H Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÚÔ·ÙÂÈ Ì ‰È·›ÚÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ (1), (2) ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 9.1. ▲
£EøPHMA 9.2 (¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·). ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ Î¿ıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. ∧
Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 90Æ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢, ÈÛ¯‡Ô˘Ó, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 9.1, ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ AB2 = B¢ Ø B° (1) ηÈ
B ¢
A°2 = ¢° Ø B° (2).
M ÙËÓ ÚfiÛıÂÛ‹ ÙÔ˘˜ ηٿ ̤ÏË ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: AB2 + A°2 = B¢ Ø B° + ¢° Ø B° = (B¢ + ¢°) Ø B° = B°2.
210
▲
A
°
METPIKE™ ™XE™EI™
9.1.
£EøPIA £EøPHMA 9.3 (AÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜). AÓ Ûã ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ÔÚı‹ ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ B°2 = AB2 + A°2.
¯
(1)
£· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. A˘Ùfi ı· Á›ÓÂÈ Ì ÙË ∧ ̤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ. AÓ BA° < 90Æ (·Ó¿ÏÔÁË ·fi∧ ‰ÂÈÍË ·Ó B A° > 90Æ), ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· A¯ οıÂÙË ÛÙËÓ AB Î·È ¿Óˆ Ûã ·˘Ù‹ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù¤ÙÔÈÔ, ∧ ÒÛÙ A° = A¢. °È· ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ (Ì A = 90Æ) ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·, B¢2 = AB2 + A¢2
°
¢
A
(2).
B
§fiÁˆ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ (1), (2) Î·È Ù˘ A° = A¢ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ B¢ = B°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, AB¢ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ›Û·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ (¶-¶-¶) ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ÕÚ·, ∧ ∧ ∧ B A° = BA¢, Û¯¤ÛË ·‰‡Ó·ÙË, ·ÊÔ‡ ‰Â¯ı‹Î·Ì fiÙÈ BA° < 90Æ. ∧ ▲ ÕÚ·, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì A=90Æ ¶APATHPH™H: M ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·Ó ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ (Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÔÚıÒÓ ÁˆÓÈÒÓ). ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÁÈ· ÙË ‰È·›ÛÙˆÛË ·˘Ù‹ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÌfiÓÔ ÌËÎÒÓ Î·È fi¯È ÁˆÓÈÒÓ. TÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· (Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi ÙÔ˘) ·ÔÙÂÏ› ÙË ‚¿ÛË ÁÈ· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÔÏÏÒÓ ÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Û ÙÚ›ÁˆÓ·, ÔχÁˆÓ· Î·È Î‡ÎÏÔ˘˜. H ·Í›· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È ÌÂÁ¿ÏË, fiˆ˜ ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·, Ë ‰Â ·Ó·Î¿Ï˘„‹ ÙÔ˘ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚ· ·fi ÙË ™¿ÌÔ (6Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .X.). ™‹ÌÂÚ·, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi, Ì ÙËÓ ›‰È· ÔÓÔÌ·Û›·, Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi Î·È ÛÙË ‰ÈÂıÓ‹ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·.
£EøPHMA 9.4 ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÚÔ‚ÔÏÒÓ ÙˆÓ Î¿ıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·.
B ·
Á
‚
A
°
∧
A=90Æ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ·2 = ‚2 + Á2
B ¢
∧
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ AB° ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì A = 90Æ Î·È A¢ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ A¢2 = B¢ Ø ¢°. ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
1
A
°
211
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9 ∧
∧
T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢, A¢° Â›Ó·È fiÌÔÈ· ÂÂȉ‹ B = A1 ∧
ˆ˜ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ °. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó·ÏÔÁ›· A¢ ¢° = , B¢ A¢ ·ã fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ
▲
A¢2 = B¢ Ø ¢°. ∧
¶OPI™MA 9.2. ™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 90Æ Î·È ‡„Ô˜ A¢ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË:
A° Ø AB = B° Ø A¢
‹
‚ Ø Á = · Ø ˘·.
¶›Ó·Î·˜ ÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ÁÈ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB2 = B¢ Ø B°
‹
Á2 = B¢ Ø ·
A°2 = °¢ Ø B°
‹
‚2 = °¢ Ø ·
B°2 = A°2 + AB2
‹
·2 = ‚2 + Á2
A¢2 = B¢ Ø ¢°
‹
˘·2 = B¢ Ø ¢°
A° Ø AB = B° Ø A¢
‹
‚ Ø Á = · Ø ˘·
B ¢
A
°
¶POB§HMA 9.1. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó: i) Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Î·È ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, fiÙ·Ó ‰›ÓÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ · ÙˆÓ Î¿ıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘, ii) ÙÔ ‡„Ô˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ̋ÎÔ˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. E›Ï˘ÛË: i) ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A° = ·, ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ¤¯Ô˘Ì B°2 = ·2 + ·2 = 2·2, Û˘ÓÂÒ˜
B° = ·2
B
.
·
ii) ŒÛÙˆ ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B° = · Î·È A¢ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘. EÂȉ‹ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi οı ‡„Ô˜ Â›Ó·È Î·È · ‰È¿ÌÂÛÔ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = . EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ 2 ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢°, ¤¯Ô˘Ì A°2 = A¢2 + ¢°2
ÕÚ·,
212
‹
·2 3·2 A¢2 = ·2– = ‹ 4 4
·2 ·2 = A¢2 + . 4 ·3 A¢ = 2
A
°
·
A
·
B
¢
·/2
°
.
METPIKE™ ™XE™EI™
9.1.
£EøPIA ¶POB§HMA 9.2. AÓ ‰Ôı› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ó Ø· fiÔ˘ Ó Ù˘¯·›Ô˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. AÓ¿Ï˘ÛË: YÔı¤ÙÔ˘Ì ÛÙËÓ ·Ú¯‹ fiÙÈ Ô Ó Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ÔÈÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡: Ó = Ï2. TfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ
Ó·= Ï Ø ·. H ηٷÛ΢‹, fï˜, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ̋ÎÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ · Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹. M¤ÓÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ë Î·Ù·Û΢‹, fiÙ·Ó Ô Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. AÓ Ó = 2, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· 2 ·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· 9.1. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ
3Ø·
·
2Ø·
·2 + (2 ·)2 = 3·2 = (3 ·)2. H Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ 3 ·. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ · Î·È 2 ·, ÙfiÙÂ Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Ë 3 · (¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·). °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘
ÓØ·
·
Ó–1Ø·
·2 + (Ó –1 ·)2 = (Ó·)2, ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ · Î·È Ó –1 ·, ÔfiÙÂ Ë ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Ó ·. ™‡ÓıÂÛË: ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë ‰È·‰Ô¯È΋ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ («Û·Ï›ÁηÚÔ˜»), ̤¯ÚÈ Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÙËÓ ÂÈı˘ÌËÙ‹ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. ¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: ™Â ÂȉÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Ó Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ Ó · ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË Î·È Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÚË. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ ÙÌ‹Ì· 1 0 · Â›Ó·È ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ · Î·È 3·, ·ÊÔ‡
·
· · 7·
6·
8·
·
5· 4·
·
3·
·
2·
· ·
(3·)2 + ·2 = (1 0 ·)2.
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
213
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
¶POB§HMA 9.3. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Ó· Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ · Î·È ‚. AÓ¿Ï˘ÛË: AÓ Ì Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ˘Ì¤ÓÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ
B
·
Ì2 = · Ø ‚.
¢ ‚
H ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ûã ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÙÔ˘ ›Ó·Î· 9.1. E‰Ò ı· οÓÔ˘Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜
Ì A
A¢2 = B¢ Ø ¢°.
°
AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ B¢ = · Î·È ¢° = ‚, ÙfiÙ ı· Ú¤ÂÈ A¢ = Ì. TÔ Úfi‚ÏËÌ·, ÏÔÈfiÓ, Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ Ù˘ ̤Û˘ ·Ó·ÏfiÁÔ˘ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ·, ‚ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· · + ‚. ™‡ÓıÂÛË: ¶·›ÚÓÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B° = · + ‚ Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ (M, MB) Ì M ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B°. £ÂˆÚԇ̠ÛËÌÂ›Ô ¢ ÛÙÔ B°, ÒÛÙ B¢ = · (¿Ú· ¢° = ‚) Î·È ·ã ·˘Ùfi ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· οıÂÙË ÛÙË B°. H ¢ı›· ·˘Ù‹ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. TÔ ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê‹ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ Ô˘ ‚·›ÓÂÈ ÛÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ B°. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A¢ Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ B¢ = · Î·È ¢° = ‚.
A
B
¢ ·
M
° ‚
Afi‰ÂÈÍË: A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, ÂÂȉ‹ ÙÔ BA° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ A¢2 = B¢ Ø ¢°, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 9.4. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: TÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ̋ÎË ·, ‚. ™ÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ · = ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ Ì2 = · Ø ‚ = ·2, ‰ËÏ·‰‹ Ì = ·. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ·Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙÂ Î·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁfi˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛË Ìã ·˘Ù¿.
214
METPIKE™ ™XE™EI™
9.1.
£EøPIA π™∆√ƒπ∫√ ™Ã√§π√ H ·Ó·Î¿Ï˘„Ë Î·È Ë Î·Ù·ÓfiËÛË Ù˘ ·Í›·˜ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ‰Â›ÁÌ· Ù˘ ÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ì ٷ ÔÔ›· ·Û¯ÔÏ‹ıËÎÂ Ë ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÊÈÏÔÛÔÊÈ΋ Û¯ÔÏ‹ ·fi ÙÔÓ 6Ô .X. ·ÈÒÓ·. ¶·Úã fiÙÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ÔÏϤ˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ¶˘ı·ÁÔÚ›ˆÓ, ÏfiÁˆ Ù˘ Ì˘ÛÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙËÓ ÔÔ›· ÙËÚÔ‡Û·Ó Ù· ̤ÏË Ù˘, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ, fiÙ·Ó Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ·Ó·Î¿Ï˘„ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi, Ù›ÌËÛ ÙËÓ ·Ó·Î¿Ï˘„‹ ÙÔ˘ Ì ÌÈ· ı˘Û›· ÂηÙfi ‚Ô‰ÈÒÓ. ŒÙÛÈ, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ʤÚÂÈ ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘, ·ÔηÏÂ›Ù·È Î·È ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÂηÙfî˘ ‹ ·Ï¿ ÂηÙfiÌ‚Ë. AÓ¿ÌÂÛ· ÛÙ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Â›Ó·È Î·È ·˘Ùfi Ù˘ ·Ó·Î¿Ï˘„˘ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ Ô˘ ‰›ÓÂÈ fiÏ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ̋ÎÔ˜ Ï¢ÚÒÓ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. TÚÂȘ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Â›Ó·È Ì‹ÎË Ï¢ÚÒÓ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. M·˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ·fi ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ ÔÈ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ 3, 4, 5 Î·È 5, 12, 13, ·ÊÔ‡ 32 + 42 = 52 Î·È 52 + 122 = 132. OÈ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ Â›¯·Ó ·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Ù‡Ô Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ï¢ÚÒÓ Ì ̋ÎË ·Î¤Ú·È·:
Ì2–1 Ì2+1 Ì, , , 2 2
fiÔ˘ Ì ÂÚÈÙÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∞ӷʤÚÂÙ·È fiÙÈ Ô ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ (5Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .X.) ·Ó·Î¿Ï˘„ ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ Ù‡Ô Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ·Î¤Ú·ÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Ï¢ÚÒÓ ÁÈ· Ì ¿ÚÙÈÔ ·ÚÈıÌfi. O Ù‡Ô˜ ·˘Ùfi˜ ›ӷÈ:
Ì2 Ì2 Ì, –1 , +1 . 4 4
AÚÁfiÙÂÚ·, Ô Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜ (̤۷ ÙÔ˘ 3Ô˘ Ì.X. ·ÈÒÓ·) ‚ڋΠfiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó Ï¢ڤ˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ Ì‹ÎÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ï˘Û ÙËÓ Â͛ۈÛË ¯2 + „2 = ˆ2 Ì ¯, „, ˆ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ¤ÙÛÈ ·Ó·Î¿Ï˘„ fiϘ ÙȘ «¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜». H ÎÂÓÙÚÈ΋ ȉ¤· ÙÔ˘ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘ ‹Ù·Ó Ë ·ÍÈÔÔ›ËÛË Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ (2ÌÓ)2 + (Ì2 – Ó2)2 = (Ì2 + Ó2)2, Ë ÔÔ›· ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ‹ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·Ï·ÈfiÙÂÚˆÓ ÂÔ¯ÒÓ. H χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ¯2 + „2 = ˆ2 Â›Ó·È ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÁÂÓÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ¯Ó + „Ó = ˆÓ fiÔ˘ Ó Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ô °¿ÏÏÔ˜ ¶È¤Ú ºÂÚÌ¿ (Pierre de Fermat, 1601-1665) ›¯Â ‰È·Ù˘ÒÛÂÈ ÙËÓ ÂÈηۛ· fiÙÈ ‰ÂÓ Â›¯Â ¿ÏϘ χÛÂȘ ÂÎÙfi˜ ·fi ·˘Ù¤˜ Ô˘ ‚Ú‹ÎÂ Ô ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜. H Ï‹Ú˘ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÂÈηۛ·˜ ÙÔ˘ ºÂÚÌ¿, ¤Ó· ÙÚÔÌÂÚ¿ ‰‡ÛÎÔÏÔ
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ ‚·Û¿ÓÈÛ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÁÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi 300 ¯ÚfiÓÈ·, Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ıËΠÌfiÏȘ ÙÔ 1995 ·fi ÙÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Andrew Wiles. TÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ‡·Ú͢ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì Ï¢ڤ˜ ·Î¤Ú·È˜ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÂÚÒÙËÌ·: fiÏ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ï¢ڤ˜ Ì ̋ÎÔ˜ ÚËÙfi; ¢ËÏ·‰‹, Ì‹ˆ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, Ô˘ Ë ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘˜ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi; TËÓ ·¿ÓÙËÛË Î·È ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ·˘Ùfi ‚Ú‹ÎÂ Ô ›‰ÈÔ˜ Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜, ·ÊÔ‡ ·Ó·ÁοÛÙËΠӷ ·Ó·ıˆڋÛÂÈ Ì›· ‚·ÛÈ΋ ·Ú¯‹ Ù˘ ÊÈÏÔÛÔÊ›·˜ ÙÔ˘, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÙÔ ˘¤ÚÙ·ÙÔ ŸÓ ›¯Â ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ÛÂÈ ÙÔ ™‡Ì·Ó Ì ٤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ó· ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ‹ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜. H ·ÎfiÏÔ˘ıË ÚfiÙ·ÛË ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ·Ó·Î¿Ï˘„˘ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ· Ì ÁÏÒÛÛ· Ì·ıËÌ·ÙÈ΋. H ÚfiÙ·ÛË ·˘Ù‹, ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÂÈ Î·È Ô ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ AÚÈÛÙÔÙ¤Ï˘, Ì·˜ ·Ú¤¯ÂÈ ¤Ó· ˘fi‰ÂÈÁÌ· ¯Ú‹Û˘ Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ, ÎÏ·ÛÈ΋˜ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋˜ ÌÂıfi‰Ô˘ ÙˆÓ EÏÏ‹ÓˆÓ, Î·È Û˘Ó·ÓÙ¿Ù·È Ûã fiÏ· Ù· ‚È‚Ï›· ıˆڛ·˜ ·ÚÈıÌÒÓ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ·ÚÚËÙfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 2.
¶POTA™H O ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ οı ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔ˜ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ ¿ÚÚËÙÔ˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ Ì AB = · Î·È ‰È·ÁÒÓÈÔ B° = ‰. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ‰2 = ·2 + ·2
‹
‰2 = 2·2.
(1)
AÓ Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÂÙÚ·ÁÒ‰ Ì ÓÔ˘ ‹Ù·Ó ·ÚÈıÌfi˜ ÚËÙfi˜, ı· ¤Ú = , fiÔ˘ Ì, · Ó Ó ÔÈ fiÚÔÈ ÂÓfi˜ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ (ÌË ·ÏÔÔÈ‹ÛÈÌÔ˘) ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ‰2 Ì2 = . Ó2 ·2 Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ
(2)
Ì2 Ì 2 = 2 ‹ 2 = , Ó Ó Û¯¤ÛË Ë ÔÔ›· Ì·˜ Ô‰ËÁ› Û ¿ÙÔÔ, ·ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·fi ÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2 ‰ÂÓ Â›Ó·È ÚËÙfi˜. ™˘ÓÂÒ˜, Ô ÏfiÁÔ˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ·ÚÈıÌfi˜ ¿ÚÚËÙÔ˜. H ·fi‰ÂÈÍË fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2 Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÏÁ‚ÚÈο ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÏÈ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ··ÁˆÁ‹˜ Û ¿ÙÔÔ. MÈ· ¿ÏÏË ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÚfiÙ·Û˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 7, ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ÁÈ· ÙËÓ ‡·ÚÍË ·Û‡ÌÌÂÙÚˆÓ ÌÂÁÂıÒÓ.
215
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
9.1.2. MÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ ÛÂ Ù˘¯·›· ÙÚ›ÁˆÓ· °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔ ÁÈ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·. M‹ˆ˜, fï˜, ÛÙ· ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î¿ÔÈ· ·Ó¿ÏÔÁË Û¯¤ÛË; H ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Î·Ù·Ê·ÙÈ΋ Î·È ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÛÙȘ ‰‡Ô ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ Ôԛ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ ÚÔÊ·ÓÔ‡˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·˜ ÙÔ˘˜ Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È «ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·», ÁÈ· ÔÍ›· Î·È ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £EøPHMA 9.5. TÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ë ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÔÍ›· ÁˆÓ›·, ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ, ÂÏ·Ùو̤ÓÔ Î·Ù¿ ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Ù˘ ÌÈ·˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ·˘Ù¤˜ › ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ¿ÏÏ˘ ¿Óˆ Ûã ·˘Ù‹Ó, ‰ËÏ·‰‹
AB2 = A°2 + B°2 – 2B° Ø ¢°. ∧
A
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ° ‚2 + Á2, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ∧ ∞ > 90Æ.
A°2 = AB2 + B°2 – 2AB Ø B° Ø Û˘ÓB B°2 = AB2 + A°2 – 2AB Ø A° Ø Û˘ÓA
TÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ÙÔ (Á.¶.ı.) Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘ÌÂ Î·È ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. TÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ (̤ۈ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ ÙÔ˘˜) ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, ‹ ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ÙÔ˘. ∆Ô fiÚÈÛÌ· 9.3. Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
¶POB§HMA 9.4. AÓ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ Ù· Ì‹ÎË ·, ‚, Á ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ Ù‡ÔÈ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ·, ‚, Á.
A
·
E›Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È A¢ ¤Ó· ·fi Ù· ‡„Ë ÙÔ˘, Û¯‹Ì·Ù· ·) Î·È ‚). ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ ÈÛ¯‡ÂÈ A¢2 = AB2 – B¢2
(1)
§fiÁˆ ÙÔ˘ (Á.¶.ı.) ÁÈ· ÙÔ Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙË Û¯¤ÛË A°2 = AB2 + B°2 – 2B° Ø B¢
B ¢
‚
Î·È ·ã ·˘Ù‹Ó ÙË Û¯¤ÛË: AB2 + B°2 – A°2 B¢ = . 2B °
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
(2)
° A
B
°
¢
217
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
M ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË Ù˘ (2) ÛÙËÓ (1) ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: AB2 + B°2 – A°2 A¢2 = AB2 – 2B°
2
=
AB2 + B°2 – A°2 AB2 + B°2 – A°2 = AB + Ø AB – = 2B° 2B°
[(AB + B°)2 – A°2] Ø [A°2 – (AB – B°)2] = = 4B°2 (AB + B° + A°)(AB + B° – A°)(A° + B° – AB)(A° + AB – B°) = 4B°2 TÂÏÈο ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔÓ Ù‡Ô Ù( Ù – · )Ø (Ù – ‚) Ù – Á) 2 Ø ( ˘· = ·
,
fiÔ˘ Ù Â›Ó·È Ë ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ‚ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ B¢ ·fi ÙË Û¯¤ÛË A°2 = AB2 + B°2 – 2B° Ø B¢ Î·È Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. ¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: OÈ Ù‡ÔÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ˘‚ Î·È ˘Á Â›Ó·È ·ÚfiÌÔÈÔÈ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ ˘· ÌfiÓÔ Ô˘ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Ë ÏÂ˘Ú¿ B° ·ÓÙÈηı›ÛÙ·Ù·È ·fi ÙȘ A°, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
£EøPHMA 9.7 (1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ). ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘, ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·˘ÙÒÓ, ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜, ‰ËÏ·‰‹
B°2 AB2 + A°2 = 2AM2 + . 2 Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. MÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ (Á.¶.ı.) ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· ABM Î·È AM° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÁÈ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ ∧ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó Ù· AB Î·È A°. AÓ Ë ÁˆÓ›· A MB Â›Ó·È ÔÍ›·, ∧ ÙfiÙÂ Ë A M° Â›Ó·È ·Ì‚Ï›· Î·È Ù· ıˆڋ̷ٷ 9.5 Î·È 9.6 Ì·˜
218
A
B ¢
M
°
METPIKE™ ™XE™EI™
9.1.
£EøPIA ‰›ÓÔ˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ: AB2 = AM2 + MB2 – 2MB Ø M¢
(1)
A°2 = AM2 + M°2 + 2M° Ø M¢
(2)
AÓ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) ηٿ ̤ÏË, Î·È ÂÂȉ‹ MB = M°, ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: B° AB2 + A°2 = 2AM2 + 2MB2 = 2AM2 + 2 2
2
B°2 = 2AM2 + . 2 ∧
H ·fi‰ÂÈÍË ‰ÂÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, fiÙ·Ó Ë ÁˆÓ›· A MB Â›Ó·È ·Ì∧ ∧ ‚Ï›·. ∂›Û˘ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È fiÙ·Ó ∞ ªµ = ∞ ª° = 90Æ, ÂÂȉ‹ ÙfiÙ ÙÔ ¢ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ª. ▲ ¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: TÔ ıÂÒÚËÌ· 9.7 ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Î·È ÁÈ· ÙȘ ¿ÏϘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. OÈ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ, Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ·fi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 9.7 ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ Ù‡ÔÈ: 2‚2 + 2Á2 – ·2 2·2+2Á2–‚2 Ì2· = , Ì2‚ = , 4 4 2·2 + 2‚2 – Á2 Ì2Á = . 4 £EøPHMA 9.8 (2Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ). H ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ › ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ¿Óˆ Ûã ·˘Ù‹Ó,‰ËÏ·‰‹
A°2 – AB2 = 2B° Ø M¢. Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È AB < A°, ÔfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ ∧ ∧ Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 6 Ù˘ ¨3.4, ÈÛ¯‡ÂÈ M1 < M2. ŒÙÛÈ, ·Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ (Á.¶.ı) ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· AMB, AM°, ı· ¿ÚÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ: (1) AB2 = AM2 + MB2 – 2MB Ø M¢ A°2 = AM2 + M°2 + 2M° Ø M¢.
1
(2)
M ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛ‹ ÙÔ˘˜ ηٿ ̤ÏË Î·È, ·Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë B° Ì·˜ fiÙÈ MB = , ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: 2 A°2 – AB2 = 4MB Ø M¢ ‹ A°2 – AB2 = 2B° Ø M¢. ▲ ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
A
B ¢
2
M
°
219
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EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
T· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ AB°¢ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ 2 . N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ A Î·È ° ÛÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ B¢ ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ·˘Ù‹ Û ÙÚ›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. AB ∞fi‰ÂÈÍË: AÓ ı¤ÛÔ˘Ì A¢ = ·, ÙfiÙÂ, ÂÂȉ‹ = 2 , ÈÛ¯‡A¢ 2. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·, ÛÙÔ ÔÚÂÈ AB = · ıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ ¤¯Ô˘ÌÂ
A
B
· 2
Z ·
B¢2 = AB2 + A¢2 = 2·2 + ·2 = 3·2
E
ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, B¢ = ·3 . ™ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ A¢2 = B¢ Ø ¢E, ÔfiÙ ·2 ·3 B¢ A¢2 ¢E = = = = . B¢ ·3 3 3
¢
°
OÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ B°¢ (‹ ÂÂȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢E Î·È B°Z Â›Ó·È ›Û·) ÚÔB¢ ·ÙÂÈ fiÙÈ BZ = . 3 B¢ EÔ̤ӈ˜ Î·È EZ = , ‰ËÏ·‰‹ ¢E = EZ = ZB. 3
2
AÓ E, Z Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ A°, B¢ ÂÓfi˜ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ AB2 + B°2 + °¢2 + ¢∞2 = A°2 + B¢2 + 4EZ2 (ıÂÒÚËÌ· Euler). Afi‰ÂÈÍË: ™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A¢°, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ, ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜
A
A°2 AB2 + B°2 = 2BE2 + , 2
EÔ̤ӈ˜,
B
Z
A°2 °¢2 + ¢A2 = 2¢E2 + . 2
E
¢
AB2 + B°2 + °¢2 + ¢A2 = 2(BE2 + ¢E2) + A°2.
°
(1)
EÂȉ‹ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· EZ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ EB¢, ÈÛ¯‡ÂÈ
ηÈ, ¤ÙÛÈ, Ë (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È
B¢2 BE2 + ¢E2 = 2EZ2 + 2
B¢2 AB2 + B°2 + °¢2 + ¢A2 = 2 2EZ2 + + A°2 = 4EZ2 + B¢2 + A°2. 2
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3
AÓ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ
A
AB2 + °¢2 = B°2 + A¢2 ‹ ñ
ñ
AB2 – A¢2 = B°2 – °¢2
(1)
Z M E
¢
AÓ AB = A¢, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ (1) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ B° = °¢. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ A° Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ B¢, ·ÊÔ‡ ηı¤Ó· ·fi Ù· A, ° ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· B Î·È ¢.
B
°
AÓ AB ≠ A¢, .¯. AB > A¢, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ (1) ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È B° > °¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ AE⊥B¢ Î·È °Z⊥B¢, ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ 2Ô ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ, ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜ AB2 – A¢2 = 2B¢ØEM, B°2 – °¢2 = 2B¢ Ø ZM. EÔ̤ӈ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ (1), ¤¯Ô˘Ì EM = ZM, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· E, Z Û˘Ì›ÙÔ˘Ó (·ÊÔ‡ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Î·È Ù· ‰‡Ô ÌÂٷ͇ ¢ Î·È M). ÕÚ·, ÏÔÈfiÓ, Ë A° Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË B¢.
4
AÓ ‰›ÓÔÓÙ·È Ù· ÛËÌ›· A, B Î·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ Î, Ó· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÛËÌ›· ÈÛ¯‡ÂÈ: ·) MA2 + MB2 = Î2
‹
‚) MA2 – MB2 = Î2.
§‡ÛË:
M
·) ŒÛÙˆ M ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÌÂ
MA2 + MB2 = Î2.
AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB, ÙfiÙ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MAB ÈÛ¯‡ÂÈ AB2 MA2 + MB2 = 2MO2 + 2 2 A B ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Î2 = 2MO2 + , 2 2 2 Î AB ‰ËÏ·‰‹ MO = – = ÛÙ·ıÂÚfi (fiÙ·Ó AB ≤ Î2 ). 2 4
N A
O
A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ R =
B
Î2 AB2 – . 2 4
AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô N ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, R) ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· NA2 + NB2 = Î2. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ NAB Ë ·ÎÙ›Ó· NO Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
221
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
AB2 Î2 AB2 AB2 NA2 + NB2 = 2NO2 + = 2 – + = Î2. 2 2 4 2
O ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜, ÏÔÈfiÓ, ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ Ì¤ÛÔ O ÙÔ˘ AB ηÈ
Î2– A4B. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È AB > Î2, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. 2
·ÎÙ›Ó· R =
2
, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ √ ÙÔ˘ ∞µ. ∂›Û˘, fiÙ·Ó ∞µ= Î2 ‚) ŒÛÙˆ M ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ì MA2 – MB2 = Î2. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË M¢⊥AB, Ùfi-
 M
Ù ÈÛ¯‡ÂÈ MA2 – MB2 = 2AB Ø O¢ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Î2 = 2AB Ø O¢, ‰ËÏ·‰‹
Î2 O¢ = = ÛÙ·ıÂÚfi. 2AB
A
TÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi, ÂÂȉ‹ ·¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô O Î·È ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· OB (·ÊÔ‡ MA > MB).
O
¢
B
¡
ÕÚ·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  Ԣ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ¢ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ AB. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô N Ù˘ ¢ı›·˜  ÈÛ¯‡ÂÈ Î2 NA2 – NB2 = 2AB Ø O¢ = 2AB Ø = Î2. 2AB O ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜, ÏÔÈfiÓ, ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È Ë Â˘ı›· Â. ™ËÌ›ˆÛË: °È· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ ··ÈÙÂ›Ù·È Ë Î·Ù·Û΢‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ì ̋ÎË R = ‰È·‚‹ÙË;
222
2–4 Î·È O¢ = 2AB . ¶Ò˜ Á›ÓÂÙ·È Ë Î·Ù·Û΢‹ ·˘ÙÒÓ, Ì ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ Î2
AB 2
Î2
METPIKE™ ™XE™EI™
9.1.
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™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·;
6.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ·) ·2 = 2‚2 + Á2, ‚) ·2 = ‚2 – Á2, Á) ·2 < ‚2 – Á2;
7.
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ë AM Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ÙÔ A¢ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° Î·È ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
B B 4
A
2.
B
· 4
4Ï
°
‚
A 3Ï
60Æ
°
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘;
Á
3 3
A
A
°
B
· ‰
·
¢
3.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘;
8.
°
A
·
˘
·
B ·/2 ¢ ·/2 °
4.
5.
AÓ ·, ‚, Á Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· x Î·È „ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ηٷÛ΢·ÛÙ› ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·;
¢ Á „
B
¯
‚ ·
A
9.
M ÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢; O ·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· 5 cm Î·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B¢ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2 cm. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ° ·fi ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB;
6
8
B ¢ 2 M
°
A
B 3
5
O 3
5
¢
°
°
A
O
¢
B
°
10. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Û˘ÓÈÛٷ̤Ó˘
F ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ F1 Î·È F2 ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ;
¶·Ú·Î¿Ùˆ ‰›ÓÂÙ·È, Ì ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜, Ë Î·Ù·Û΢‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ̋ÎÔ˜ 2 cm. EÍËÁ‹ÛÙ ÙȘ ηٷÛ΢¤˜ ·˘Ù¤˜ Î·È ÛÎÂÊÙ›Ù ·Ó¿ÏÔÁ˜ ηٷÛ΢¤˜ ÁÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ̋ÎË ·) 3 cm,
A
F1
F
F1
F 120Æ
F2
F2
‚) 5 cm,
Á) 1 5 cm, ‰) Î , Î > 0.
2
1 1
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
11. AÓ
A° = 2AB, ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· B¢ Î·È °¢;
2 2
1
B ¢
A
°
223
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 12. ·)
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
‚) AÓ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ù˘ ÂÚÒÙËÛ˘ 11 ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB°, AB¢ Î·È A°¢ Â›Ó·È R, R1 Î·È R2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› i) R < R1 + R2 Î·È ii) R2 = R12 + R22.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
16. ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÁÓˆÛÙ‹ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ·, ¯ˆÚ›˜ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÔÍÂÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘;
A
B ·
13. AÓ Ë ¯ÔÚ‰‹
°¢ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› A¢2 + A°2 = AB2.
° A
17. ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÂÙ ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ ÚÔ‚ÔÏÒÓ ÙˆÓ AB, A° ÛÙË B°, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ·, ‚, Á ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
¢
A B
O
Á
‚
B
¢
° ·
14. ¢‡Ô
·ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο Î·È ¤¯Ô˘Ó ·ÎÙ›Ó˜ 9 cm Î·È 6 cm. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB; A
¯
B
18. TÚÂȘ ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·ÎÙ›Ó·˜
R ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ·Ó¿ ‰‡Ô. N· ‰Ôı›, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ R, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ οı ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.
° O
9
6
K O R
R
15. AÓ
·, ‚ Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ‰‡Ô ÁÓˆÛÙÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, Ò˜ ı· ηٷÛ΢·ÛÙÔ‡Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ̋ÎË
R
¯
R K
M
‚2, y = · ‚2 –· x = · 2+ ‚ Î·È ˆ = · 2+ ‚;
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METPIKE™ ™XE™EI™
9.1.
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∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ AB = 4 cm, °¢ = 10 cm Î·È ÌË ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ 5 cm.
10. AÓ Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∧AB°
ÈÛ¯‡ÂÈ Á2 = ·2 + ‚2 – ·‚, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ° = 60Æ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.
11. ™Â Ô͢ÁÒÓÈÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° ʤÚÔ˘ÌÂ
ÙÔ ‡„Ô˜ °¢. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
2.
3.
4.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ ·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ B ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ A¢. ∧
¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 90Æ, ∧ B = 60Æ Î·È AB = Î. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ Î, ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ Î¿ıÂÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. T· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È · = 8, ‚ = 6 ÁÈ· Á = 5. ·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ. ‚) N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÚÔ‚ÔϤ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ A° Î·È B°.
5.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ‚ = 2· Î·È Á = · 7.
6.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A° = 3, B° = 8 Î·È ∧ ° = 60Æ. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ Ì‹ÎË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB Î·È Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ AM.
7.
8.
™Â ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ · ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙË B° ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ = ·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ A¢ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ·. AÓ ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: AB2 + °¢2 = A¢2 + B°2.
9.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ÚÔ‚ÔÏÒÓ ÙÔ˘˜ ÛÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿.
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ
B°2 = 2AB Ø B¢.
12. N·
·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ.
13. °È· οı ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌ›Ô
O ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ AB°¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: OA2 + O°2 = OB2 + O¢2.
14. AÓ
Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ ‚2 + Á2 = 2·2, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÁÈ· ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜ ·)
Ì2‚ + Ì2Á = 2Ì2· ηÈ
‚)
3 Ì Ì Ì · = ‚ = Á = . · Á ‚ 2
15. AÓ
G Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: 1 GA2 + GB2 + G°2 = (·2 + ‚2 + Á2). 3
16. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Û οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∧ AB° (A = 90Æ) ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ·)
‚ Ø Á = · Ø ˘· ηÈ
‚)
1 1 1 2 + 2 = 2 . ‚ Á ˘· ∧
17. ¢›ÓÂÙ·È
ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ). ŒÛÙˆ ¢ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB. AÓ E Â›Ó·È Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ¢ ÛÙË B°, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ E°2 – EB2 = A°2.
18. N·
˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ‡„Ë ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì AB = A° = · Î·È B° = ‚.
225
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ ∧
1.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B < 90Æ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ AB2 = B° Ø B¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
2.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Â›Ó·È Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ B¢, °¢ Î·È ÙÔ ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂ∧ ٷ͇ ÙˆÓ B Î·È °, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ A = 90Æ.
3.
4.
‚Á AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ ˘· = , Ó· ·Ô‰ÂÈ· ¯ı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÛÙÔ A. ™Â οı ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ AB Î·È °¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: A°2 + B¢2 = A¢2 + B°2 + 2AB Ø °¢.
5.
6.
MÈ· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË B° ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ BE2 = °E2 + B° Ø ¢E. ™Â Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ó· ʤÚÂÙ ٷ ‡„Ë B¢, °E Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: AB Ø BE + A° Ø °¢ = B°2.
7.
AÓ Ù· ÛËÌ›· ¢, E ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· B° ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Û ÙÚ›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: 5 A¢2 + AE2 = B°2. 9
8.
AÓ ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÁÓˆÛÙÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ̋ÎË ·) x = · 2–‚Á , ‚2, ‚) x = 2 · 2+3 Á) x = · 2+ 2 ‚2 –3 Á2.
9.
H ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛÙ·ıÂÚÒÓ ÛËÌ›ˆÓ A Î·È B ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Â›Ó·È ·. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 ·) MA2 + MB2 = 2·2, ‚) MA2 – MB2 = . 2
10. ¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° Î·È Ù· ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· B°¢, B°E Âη٤ڈıÂÓ Ù˘ B°. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ A¢2 + AE2 = AB2 + B°2 + °A2.
226
¶ÔÈ· Û¯¤ÛË Ú¤ÂÈ Ó· ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ A¢⊥AE;
11. ™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜
A¢ ÚÔ˜ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. AÓ E Î·È Z Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ¢ ÛÙȘ AB Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, BE AB3 Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ = . °Z A°3
12. ¢‡Ô
·ÎÏÔÈ (O, R) Î·È (K, Ú) Ì R > Ú ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ R Î·È Ú, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÔÈÓÔ‡ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.
13. ¢›ÓÂÙ·È
·ÎÏÔ˜ (O, R) Î·È ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ AB ·˘ÙÔ‡. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ OA Î·È OB. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ·ÎÏÔ˜ Ô˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Î·È ÛÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÎÏÔ˘˜.
14. £ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ
∧
∧
AB° Ì B – ° = 90Æ. ∞Ó R Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB2 + A°2 = 4R2.
15. ¢›ÓÂÙ·È Î‡ÎÏÔ˜
(O, R) ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ OA. Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ OA ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ AB, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÌÈÎÚfi ·ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Î·È ÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ Î·È AE Â›Ó·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ·.
16. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB°, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ B° = ·, ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ = ˘, Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ AB2 + A°2 = Î2, fiÔ˘ Î ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÁÓˆÛÙÔ‡ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
17. ™Â
ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB < A° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM. AÓ E Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ B° Ì ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ M¢ ‚ + Á ·) = Î·È ‚) M¢ ≤ 2 ME. ME ·
18. AÓ
¢ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ AB2 Ø °¢ + A°2 Ø B¢ = A¢2 Ø B° + B° Ø B¢ Ø °¢ (ıÂÒÚËÌ· Stewart).
METPIKE™ ™XE™EI™
9.2.
£EøPIA
9.2. ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ 9.2.1. ¢‡Ó·ÌË ÛËÌ›Ԣ ˆ˜ ÚÔ˜ ·ÎÏÔ ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ, ÔÈ Ôԛ˜ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ı· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ‰È¿ÊÔÚ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ.
™
£EøPHMA 9.9. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ™ Ì ™√ = ·. °È· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¢ı›·, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ™ Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ™∞ Ø ™µ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi. EȉÈÎfiÙÂÚ·:
ñ
™A Ø ™B = ·2 – Ú2, fiÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘,
ñ
™A Ø ™B = Ú2 – ·2, fiÙ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
Afi‰ÂÈÍË: ŸÙ·Ó ÙÔ ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú), ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Ù¤ÌÓÔ˘Û· ™¢°, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ O ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™ÙÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ∧ ∧ ∧ ∧ B = A ¢™ Î·È ° = ™ A¢. EÔ̤ӈ˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· B°™ Î·È ¢A™ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜. Afi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ Ë ·Ó·ÏÔÁ›· ™A ™¢ = , ‰ËÏ·‰‹ ™A Ø ™B = ™¢ Ø ™°. ™° ™B EÂȉ‹ ™° = ™O + O° = · + Ú Î·È ™¢ = ™O – O¢ = · – Ú, ÁÈ· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ™A Ø ™B ÈÛ¯‡ÂÈ ™A Ø ™B = (· + Ú) Ø (·–Ú) = ·2 – Ú2.
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ
A
°
¢
O
™
B
¢ 1
A
ŸÙ·Ó ÙÔ ™ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (O, Ú), ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ °¢ Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ ™. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ™A¢, ™°B ›∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Ó·È fiÌÔÈ·, ·ÊÔ‡ ™1 = ™2 (ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó), A = ° Î·È ¢ = B (‚·›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÙfiÍÔ). EÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó·ÏÔÁ›· ™¢ ™B = ‹ ™¢ Ø ™° = ™A Ø ™B. ™A ™° EÂȉ‹ °™ = °O + O™ = Ú +· Î·È ™¢ = √¢–√™ = Ú–·, ÁÈ· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ™A Ø ™B ÈÛ¯‡ÂÈ ™A Ø ™B = (Ú – ·) Ø (Ú + ·) = Ú2 – ·2.
B
2
™ O
°
▲
227
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
¶APATHPH™H: TÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. TfiÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ™A Ø ™B (ÁÈ· οı ٤ÌÓÔ˘Û·) Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó.
O P I ™ M √ ™ AÓ ‰Ôı› ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ™ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú) Ì ™O = ·, ÙfiÙÂ Ô ÛÙ·ıÂÚfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ · 2 – Ú2 , ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú). ∆Ô ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·2 – Ú2 ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. ŒÙÛÈ, ñ ·Ó ·2 – Ú2 > 0, ÙfiÙ ÙÔ ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ñ ·Ó ·2 – Ú2 = 0, ÙfiÙ ÙÔ ™ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ñ ·Ó ·2 – Ú2 < 0, ÙfiÙ ÙÔ ™ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¶OPI™MA 9.4. AÓ ™ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú), ÙfiÙÂ Ë ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ (O, Ú) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ™E2, fiÔ˘ ™E ÙÔ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ ™ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
µ O Ú
∞
·
E
™
™∂2 = ·2–Ú2 = (·–Ú) Ø (·+Ú) = ™∞Ø ™µ
Afi‰ÂÈÍË: Afi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ™EO ¤¯Ô˘ÌÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·, ™E2 = ™O2 – OE2 = ·2 – Ú2, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ™E2 Â›Ó·È Ë ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú). ▲
¢ PA ™ T H P I OT H TA
9.1.
N· Ï˘ı› ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Úfi‚ÏËÌ·:
Y¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ¿Á·ÏÌ· ‡„Ô˘˜ ·, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÛÙË̤ÓÔ ¿Óˆ Û ¤Ó· ‚¿ıÚÔ ‡„Ô˘˜ ‚. ŒÓ·˜ ı·ً˜ ‡„Ô˘˜ ˘, ·Ú·ÙËÚ› ÙÔ ¿Á·ÏÌ· fiˆ˜ ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·. N· ‚ÚÂı› ÂΛÓË Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ı·ً ·fi ÙÔ ¿Á·ÏÌ·, ÒÛÙ ·˘Ùfi˜ Ó· ÙÔ ·Ú·ÙËÚ› ˘fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‰˘Ó·Ù‹ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›·. ∏ ÂÌÂÈÚ›· Ì·˜ ·fi ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ì·˜ ‰È‰¿ÛÎÂÈ fiÙÈ, ·Ó ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ì Ôχ ÎÔÓÙ¿ ¤Ó· ¿Á·ÏÌ·, ‰ÂÓ ı· ÙÔ ‚Ï¤Ô˘Ì «Î·Ï¿» Î·È ·Ó ·ÔÌ·ÎÚ˘Óıԇ̠Ôχ, ı· Û˘Ì‚Â› ÙÔ ›‰ÈÔ, ÂÂȉ‹ Ë ÔÙÈ΋ Ì·˜ ÁˆÓ›· ÛÙÂÓ‡ÂÈ.
228
· Ê ‚
˘
METPIKE™ ™XE™EI™
9.2.
£EøPIA
9.2.2. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ™Â ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Â›¯·Ì ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÈ Ûã ¤Ó· ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, Ô ÔÔ›Ô˜ ‹Ù·Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜. AÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, ·Ó ‰Ôı› ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‰ÔṲ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi. ŒÓ· ÎÏ·ÛÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ‰ÔṲ̂Ó˘ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘, ‰ËÏ·‰‹ Ë Î·Ù·Û΢‹ (Ì ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiÔ) ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ì ̋ÎË ›Û· ÚÔ˜ ÙȘ ıÂÙÈΤ˜ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ı· ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ù¤ÙÔÈˆÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ.
¶POB§HMA 9.5. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ıÂÙÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + 2· Ø x = ‚2, fiÔ˘ ·, ‚ Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. AÓ¿Ï˘ÛË: H ·Ú¯È΋ Â͛ۈÛË Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙË ¯ Ø (¯ + 2·) = ‚2.
(1)
A˘Ù‹ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù˘ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙË ™A Ø ™B = ™E2
(2)
fiÔ˘ ™E ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ̋ÎÔ˜ ‚, ™A ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ™B ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ̋ÎÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ¿ÁÓˆÛÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Î·È ÙÔ˘ 2·. H Û¯¤ÛË (2) Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ¤¯ÂÈ ÚÔ·„ÂÈ Â›Ù ·fi οÔÈ· ¿ÁÓˆÛÙ· fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ™AE Î·È ™BE ‹ ·fi ÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ οÔÈÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ Î‡ÎÏÔ, ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô Ë ™AB Â›Ó·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· Î·È ÙÔ ™E ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·. ™‡ÓıÂÛË: ™Â ÌÈ· ¢ı›·  ·›ÚÓÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· E™ = ‚. º¤ÚÔ˘Ì ËÌÈ¢ı›· E„ οıÂÙË ÛÙËÓ Â Î·È Ûã ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô O, ÒÛÙ EO = ·. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, ·), Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ˜ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›·, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ™, O. A˘Ù‹ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ (O, ·) ÛÙ· ÛËÌ›· A, B. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ™A Â›Ó·È Ë ıÂÙÈ΋ χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (1).
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ
„ B O · E Â
A ™ ‚
229
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
Afi‰ÂÈÍË: H ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ™ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ (O, ·) ÈÛÔ‡Ù·È Ì ™E2 = ™A Ø ™B, ·ÏÏ¿ ™E = ‚ Î·È AB = 2· ˆ˜ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ÕÚ·, (3) ‚2 = ™A Ø (™A + 2·). Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (3) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ¯ = ™A, ¿Ú·, Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ™A Â›Ó·È Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (1). ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: H Â͛ۈÛË (1), Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ì·˜, ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ χÛË, ·ÊÔ‡ ¿ÓÙ· ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ™ ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔ fiÛÔ ·¤¯ÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ٤ÌÓÔ˘Û· ¢ı›· ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. H ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ·˘Ù‹ ηٷÛ΢‹ ÂȂ‚·ÈÒÓÂÈ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·fi ÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ, fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË ¯2 + 2· Ø ¯= ‚2 ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Ú›˙˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÌfiÓÔ Ë ÌÈ· Â›Ó·È ıÂÙÈ΋.
TÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜ ŒÓ· Úfi‚ÏËÌ· ÁÓˆÛÙfi ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·, Â›Ó·È ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ. TÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi Û‹ÌÂÚ· Î·È ˆ˜ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜. H ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË.
¶POB§HMA 9.6. (¢È·›ÚÂÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ). N· ‰È·ÈÚÂı› ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÙÌ‹Ì· Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÒÛÙ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ó· Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙÔ˘ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜. AÓ¿Ï˘ÛË: AÓ AB = · ÙÔ ‰ÔṲ̂ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È A° = ¯ > °B = · – ¯, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË ¯ ·–¯ = · ¯ H (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ˆ˜
‹
¯2 = (· – ¯) Ø ·
(1)
¯2 = ·2 – · Ø ¯ ‹ ¯2 + · Ø ¯ – ·2 = 0. O˘ÛÈ·ÛÙÈο, ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· 9.5. MfiÓÔ Ô˘, ·ÓÙ› ÁÈ· ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· 2·, ¤¯Ô˘Ì ÙÔ · ηÈ, ·ÓÙ› ÁÈ· ÙÔ ‚, ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ·.
230
METPIKE™ ™XE™EI™
9.2.
£EøPIA
™‡ÓıÂÛË–Afi‰ÂÈÍË: TÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ ¯ˆÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ, ÂÊã fiÛÔÓ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ Î·Ù·ÓÔËÙ‹ Ë Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ 9.5.
· 2 E
¯ A
¯
°
K
· 2
· 2 B
I™TOPIKO ™XO§IO OÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ÊÈÏÔÛÔÊÔÈ Ô˘ ÌÂÏÂÙÔ‡Û·Ó Ù· ‰È¿ÊÔÚ· Ê˘ÛÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Î·È ÚÔÛ·ıÔ‡Û·Ó Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜ Î·È ÙËÓ ·ÚÌÔÓ›· Ù˘ º‡Û˘, ‰È·›ÛÙˆÛ·Ó fiÙÈ, fiÔ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Ë ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ȉȷ›ÙÂÚË ·ÈÛıËÙÈ΋ ·Í›·. TËÓ ¿Ô„Ë ·˘Ù‹ ˘ÈÔı¤ÙËÛ·Ó Î·È ÔÚÈṲ̂ÓÔÈ ·Ú¯ÈÙ¤ÎÙÔÓ˜ Î·È Î·ÏÏÈÙ¤¯Ó˜, ÁÈã ·˘Ùfi Î·È Û ÔÏÏ¿ ¤ÚÁ· ÙÔ˘˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Ë ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜. H ıÂÙÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ¯2 + · Ø ¯ – ·2 = 0 Â›Ó·È Ë 1 ¯ = · ( 5 – 1). 2 √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ
∞° Î·È °µ ÙÔ˘ ·Ú·¿Óˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ô
5 +1 ¯ = = 1,61803. ·–¯ 2 ™ÙË ‰ÈÂıÓ‹ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ Û˘Ì‚ÔÏÔÁÚ·Ê›· Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· Ê, ÂÂȉ‹ Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙfi˜ ÛÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ÁχÙË Î·È ·Ú¯ÈÙ¤ÎÙÔÓ· ºÂȉ›·, Ô ÔÔ›Ô˜ ηٷÛ··Û ÙÔÓ ¶·ÚıÂÓÒÓ· ÛÙËÓ AÎÚfiÔÏË ÙˆÓ AıËÓÒÓ. O ºÂȉ›·˜ ·ÍÈÔÔ›ËÛ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ¯ˆÚÈÛÌfi ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ. TÔÓ ·ÚÈıÌfi ·˘Ùfi ı· Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ¿ÏÈ ÛÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ Î·È ÛÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ‰ÂοÁˆÓÔ.
231
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
AÓ O Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢, ÙfiÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ OA Ø OB = O° Ø O¢. Afi‰ÂÈÍË: AÓ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (K, R), ÙfiÙ ηı¤Ó· ·fi Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· OA Ø OB Î·È O° Ø O¢ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ O ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ OA Ø OB = O° Ø O¢.
O
A E
AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: ŒÛÙˆ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ OA Ø OB = O° Ø O¢. (1) B £ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ (K, R) ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ O° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. ŒÙÛÈ, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°E Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K, R) Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ OA Ø OB = O° Ø OE.
¢ K °
(2)
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) Î·È (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ O¢ = OE, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢, E Û˘Ì›ÙÔ˘Ó Î·È, ¿Ú·, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K, R). ¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: M ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË: AÓ O Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ OA Ø O° = OB Ø O¢, ÙfiÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. √È ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ.
2
AÓ Ë ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ A¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, ÙfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ: A¢ Ø AE = AB Ø A°,
A¢2 = AB Ø A° – B¢ Ø ¢°.
§‡ÛË: H ÈÛfiÙËÙ· A¢ Ø AE = AB Ø A° ÁÚ¿ÊÂÙ·È A¢ A° = AB AE Î·È ·ÏËı‡ÂÈ, ·ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È AE° Â›Ó·È ∧ ∧ ∧ ∧ fiÌÔÈ· (A1 = A2 Î·È B = E). OÈ ¯ÔÚ‰¤˜ AE Î·È B° ÙÔ˘ ·-
A 1 2
B
ÎÏÔ˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ Ø ¢E = B¢ Ø ¢°.
¢
°
E
H ÈÛfiÙËÙ· A¢ Ø AE = AB Ø A° ÁÚ¿ÊÂÙ·È A¢ Ø (A¢ + ¢E) = AB Ø A° ‹ A¢2 + A¢ Ø AE = AB Ø A° ‹ A¢2 = AB Ø A° – A¢ Ø AE = AB Ø A° – B¢ Ø ¢°
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9.2.
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3
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ·ÎÏÔ˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÁÓˆÛÙ¿ ÛËÌ›· A, B Î·È ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÁÓˆÛÙ‹˜ ¢ı›·˜ Â. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ C Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· A, B Î·È ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. AÓ Ë Â˘ı›· AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ
A C
M°2 = MA Ø MB.
B
A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· M° Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË Â M ° °′ ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ MA, MB ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È. ÕÚ·, Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ° ¿Óˆ ÛÙËÓ Â Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹. ™‡ÓıÂÛË: ŒÛÙˆ M ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ AB Î·È Â. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙË Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ Î ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ MA, MB. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â ıˆÚԇ̠ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· M° = Î Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ C ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È Î·È Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜. Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ M°2 = MA Ø MB, ÙÔ M° Â›Ó·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ C ηÈ, ¿Ú·, Ô Î‡ÎÏÔ˜ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ Â. E›Û˘, Ô Î‡ÎÏÔ˜ C ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· A Î·È B. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AB Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ·ÊÔ‡ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â Î·È Âη٤ڈıÂÓ ÙÔ˘ B A M ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ° Î·È °′ Ì C
M°2 = M°′2 = MA Ø MB. OÈ ‰‡Ô χÛÂȘ Â›Ó·È ÔÈ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È AB°′. AÓ Ë Â˘ı›· AB Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘  Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ ÌÈ· χÛË. T¤ÏÔ˜, ·Ó Ù· A, B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Âη٤ڈıÂÓ Ù˘ Â, ÙfiÙ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, ·ÊÔ‡ οı ·ÎÏÔ˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· A, B Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·.
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ
Â
°
A Â B
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¢‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ‰‡Ó·ÌË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ;
2.
AÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M ¤¯ÂÈ ‰‡Ó·ÌË R2 ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (O, R), ÔÈ· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ M ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È Ì ÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È Ë ·fiÛÙ·ÛË OM;
3.
6.
·) AÓ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο, ÂÍËÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› οı ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ ·˘ÙÒÓ ¤¯ÂÈ ›Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜. ‚) ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ˆ˜ ÚÔ˜ ‰‡Ô ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ˘˜ ÂÛˆÙÂÚÈο ·ÎÏÔ˘˜;
°Ú¿„Ù fiϘ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·.
 M
M A
A
O B
O
¢
4.
K
°
E
7.
AÓ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô M ¿ÁÂÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MB ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ›ÛÔ Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘, ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ M ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ;
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, fiÔ˘ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÛÙÔ A, Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ë ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Â›Ó·È ›ÛË Ì B°2 – AB2. B
B R A
M
A
°
O
8.
5.
N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ‰È¯ÔÙÔÌ› Ù· ÎÔÈÓ¿ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·˘ÙÒÓ. °
M
¢
M
°
¢
A O
K B
A O
T· ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· M° Î·È M¢ Â›Ó·È ›Û·; ¢ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
K B
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∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
R ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô A ·¤¯ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ 2 ΤÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R. MÈ· ¯ÔÚ‰‹ B° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ‰È·È1 ÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ A Û ÏfiÁÔ . N· ‚ÚÂı› ÙÔ 4 Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ ·˘Ù‹˜. H ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ AM ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢M, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
9.2.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ·ÎÏÔ˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ̤ÚË ·Ó¿ÏÔÁ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Â›Ó·È ›Û˜.
2.
AÓ Ë ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ A¢ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 A¢ Ø AE = (‚2 + Á2). 2
3.
Afi ÛËÌÂ›Ô M ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, R) ʤÚÔ˘Ì ¤Ó· ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MA Î·È ÌÈ· Ù¤ÌÓÔ˘Û· MB° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂMB A B 2 Ù fiÙÈ = . M ° A°2
3.
™Â ·ÎÏÔ (O, R) ıˆÚԇ̠ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ AB = · Î·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· Bx⊥AB. E› Ù˘ Bx ıˆÚԇ̠ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B° = · Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = 2·, Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÂÙ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· R Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ·.
4.
Afi ÛËÌÂ›Ô M ÂÎÙfi˜ ·ÎÏÔ˘ (O, R) ʤÚÔ˘Ì ¤Ó· ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· MA Î·È ÙËÓ Ù¤ÌÓÔ˘Û· MB° ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘. AÓ Ë Î¿ıÂÙË ·fi ÙÔ M ÚÔ˜ ÙË MB Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A° Ø °¢ = M°2 – MA2.
4.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ù˘ ÎÔÈÓ‹˜ ÙÔ˘˜ ¯ÔÚ‰‹˜ B°. Afi ÙÔ A ʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô ¢ı›˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ Ë ÚÒÙË Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Ë ‰Â‡ÙÂÚË ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ÛÙ· ÛËÌ›· Z, H. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ¢, E, Z, H Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ˘ Û ·ÎÏÔ ÙÂÙڷχÚÔ˘.
5.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢. AÓ ÔÈ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢ Î·È A°¢ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ ¢ı›˜ A° Î·È AB ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ BZ = °E.
6.
¢›ÓÂÙ·È Î‡ÎÏÔ˜ (O, OA) Î·È Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ OA ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰Â‡ÙÂÚÔ Î‡ÎÏÔ. AÓ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô B ÙÔ˘ ÌÈÎÚÔ‡ ·ÎÏÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ °¢ ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ B° Ø B¢ = AB2.
7.
AÓ H Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ Ô͢ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AH Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
8.
AÓ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚÂı› Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ Î·È ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÚË, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ AB.
9.
¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, R) Î·È (K, Ú) Ì R > Ú ¯ˆÚ›˜ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›·. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜. (A˘Ùfi˜ Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ϤÁÂÙ·È ÚÈ˙ÈÎfi˜ ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ).
5.
6.
∧
£ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„ Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ O¯. N· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÛËÌ›· °, ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ O„ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ OA Ø OB = O° Ø O¢. N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÁˆÌÂÙÚÈο Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ì‹ÎË ÙȘ ıÂÙÈΤ˜ Ú›˙˜ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ: ·) x2 – 10x + 16 = 0, ‚) x2 + 8x – 25 = 0, Á) x2 – 8x – 25 = 0.
ªÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ
235
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 9Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
7.
AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ AB3 + A°3 = B°3,
‚2 + Á2 = Ï2 Î·È ‚2 – Á2 = Ì2 (‚ > Á),
Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È Ô͢ÁÒÓÈÔ.
2.
™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ıˆÚԇ̠ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ (O, R) Î·È ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ (I, Ú). N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ OI2 = R
3.
fiÙ·Ó ‰›ÓÂÙ·È Ë ÏÂ˘Ú¿ µ° Î·È Ù· Ì‹ÎË Ï, Ì ‰‡Ô ÁÓˆÛÙÒÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.
8.
Ø (R – 2Ú).
º¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë B¢, °E Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM Ì ̤ÛÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ∧
AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È M ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙÔ˘, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: 1 MA2 + MB2 + M°2 = 3M∫2 + (·2 + ‚2 + Á2) 3 Î·È Ó· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ M, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ MA2 + MB2 + M°2 = Ï2,
4.
AÓ M Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ 5 MA2 + MB2 + M°2 = ·2. 4
5.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ‚·Ú˘Î¤ÓÙÚÔ˘ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
236
∧
£ÂˆÚԇ̠ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ‚2 + Á2 = 2·2.
·) A < 90Æ 3 · ·2 ‚) AE = Î·È AM = 2Á 2 ·Á ·‚ Á) EZ = Î·È Z¢ = 4‚ 4Á ·3 ‰) E¢ = . 2 ‚Á
fiÔ˘ Ï ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÁÓˆÛÙÔ‡ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
6.
¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ
∧
AÓ Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ A = 2B, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·2 – ‚2 = ‚Á Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.
Â) T· ÛËÌ›· ¢, E, Z ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ÛÙ) AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÙfiÙ ÔÈ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ KAB Î·È KA° ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Ù˘ B°.
9.
AÓ ‰›ÓÔÓÙ·È Ù· Ì‹ÎË ·, ‚ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ì · > ‚, Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ̋ÎË 4
x = · ‚4 Î·È 4–
4
y = · ‚4. 4+
10. ™Â
·ÎÏÔ (O, R) ıˆÚԇ̠‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È A° Ì ̋ÎË · Î·È ‚ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ B° Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ·, ‚ Î·È R (Úfi‚ÏËÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ).
METPIKE™ ™XE™EI™
9.2.
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∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 9Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
AÓ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È · = 4Ï, ‚ = 5Ï Î·È Á = 6Ï, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ›ӷÈ: A. ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
B. Ô͢ÁÒÓÈÔ
5.
·) TÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì · 3· °. A. · B. 2 2
°. ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ
M‹ˆ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ··ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘;
2.
· 3 ¢. 2
¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚÈ¿‰Â˜ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó Ì‹ÎË Ï¢ÚÒÓ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
‚) 3 , 4 , 5 Á) Ï, 2Ï, 3Ï
Á) OÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ÌÂÁ¿ÏË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ›ӷÈ
‰) ·2 – ‚2, 2·‚, ·2 + ‚2 (· > ‚) ·2 ·2 Â) – 1, ·, + 1 (· > 2) 4 4 ÛÙ)
3.
‚2,
·2 + ‚2.
6.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. ·) K¿ı ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ¤¯ÂÈ ıÂÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
Â) AÓ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô E ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ °¢2 < 4EA Ø EB. ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ÔÈ·˜ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÔÈ Ú›˙˜ ¤¯Ô˘Ó ηٷÛ΢·ÛÙ›; A. x2 – 2Îx – Ï2 = 0 B.
x2 +2Îx – Ï2 = 0
°. x2 – 2Îx + Ï2 = 0 ¢.
x2 + 2Îx + Ï2 = 0.
METPIKE™ ™XE™EI™
B. 60Æ
¢. 100Æ
E. 90Æ
°. 30Æ
TÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ B¢ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢ Â›Ó·È A. 10
B. 8
¢. 21 3
E. 3 4
°. 21 7
3 ¯
O
¢
7.
B
6
4
Á) H ÎÔÚ˘Ê‹ A Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¤¯ÂÈ ·ÚÓËÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ B°. ‰) H ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ οıÂÙ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿.
A. 45Æ
A
‚) ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ Û ·ÎÏÔ, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ¤¯ÂÈ ‰‡Ó·ÌË Ìˉ¤Ó ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
4.
· 5 E. 2
‚) H ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ÙÔÌ‹˜ O ÙˆÓ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·fi ÙËÓ AB Â›Ó·È ›ÛË Ì 3 2 · · · A. B. · °. 2· ¢. E. 2 2 2
·) 3, 4, 5
·2,
™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì AB // °¢ ‰›ÓÔÓÙ·È AB = ·, °¢ = 2· Î·È A¢ = ·.
°
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ‰›A ÓÂÙ·È ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ E ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÏÂ˘Ú¿˜ Z · Î·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°. B M ° OÈ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ABM Î·È A°M Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ A° Î·È AB ÛÙ· ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ·) BZ Ø BA = …
Ï
‚) °E Ø °A = … ¯1
¯2 2Î
Á) (BZ + °E) Ø AB = (… + …) Ø B° ‰) BZ + °E = … = ÛÙ·ıÂÚfi.
237
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ 8.
™ÙÔ ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÂÎÊÚ¿ÛÙ Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜ ÙÔ ·2 Î·È ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢, AE Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. B · Á
¢
‚
A E
°
9.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯¤ÛÂȘ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó Û’ ∧ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A > 90Æ; ·)
·>‚+Á
‚)
· > ‚ Î·È · > Á
Á)
·2 > ‚ 2 – Á2
‰)
‚2 + Á2 > ·2
Â)
·3 > ‚3 + Á3
ÛÙ)
·3 = ‚3 + Á3
˙)
·4 > ‚4 + Á4.
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ÁÓˆÚ›Û·Ì ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÛÙ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÙÔ ÂÚ›ÊËÌÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·. TÔ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È Ù· ıˆڋ̷ٷ ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Û οı ÙÚ›ÁˆÓÔ. °ÓˆÚ›Û·Ì (ˆ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙˆÓ ÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯¤ÛˆÓ) ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÙfiÔ˘˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È Û ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. OÈ ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ·ÎÏÔ Î·È Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÛËÌ›Ԣ ˆ˜ ÚÔ˜ ·ÎÏÔ, ··Û¯ÔÏÔ‡Ó ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ Î·È ¤Ó· ‚·ÛÈÎfi ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÂÁÁÚ¿„ÈÌˆÓ ÙÂÙڷχڈÓ. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜, ·Û¯ÔÏËı‹Î·Ì Ì ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜ ıÂÙÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Î·È Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜.
238
METPIKE™ ™XE™EI™
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
10
∂Ì‚·‰¿
10.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ 10.1.1. ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹  ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Â›¯·Ì ·Ó·ÊÂÚı› ÛÙË Ì¤ÙÚËÛË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. OÚ›Û·Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÌÈ·˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠¤Ó· ¿ÏÏÔ ÌÂÙÚÈÎfi ̤ÁÂıÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ÛËÌ·Û›· ÁÈ· ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›·. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ŒÓ·˜ ·˘ÛÙËÚ¿ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ·˘Ù‹˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ‰Ôı› Ì ÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÁÓÒÛÂȘ Ô˘ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ì ¤ˆ˜ ÙÒÚ·. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ì ·Ïfi, ÂÚÈÁÚ·ÊÈÎfi ÙÚfiÔ. N· ÙÔÓ›ÛÔ˘Ì ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi, fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÛÙËÓ E˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ¤¯ÂÈ ¤ÓÓÔÈ· ÌfiÓÔ, fiÙ·Ó ÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ ÁÚ·ÌÌ‹ Î·È ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ ¯ˆÚ›Ô Ô˘ ·˘Ùfi ÔÚ›˙ÂÈ. ø˜ ÂÌ‚·‰fi ÏÔÈfiÓ, ÂÓfi˜ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÂÓÓÔԇ̠ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ ÙÔ˘. M¤ÙÚËÛË ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ԣ ¯ˆÚ›Ô˘ A ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛ‹ ÙÔ˘ Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›Ô X, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÎϤÁÔ˘Ì ˆ˜ ÌÔÓ¿‰·. AÓ, ÏÔÈfiÓ, ηٿ ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ·˘Ù‹ ÚÔ·„ÂÈ ÌÈ· Û¯¤ÛË
™
X
A
A = Ï Ø X, fiÔ˘ Ï ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡
239
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
A, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÔÓ¿‰· X, Â›Ó·È Ï. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ì ¤Ó·Ó ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. °È· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ™ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ E™. EȉÈο, ·Ó ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÔχÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ A1, A2, … AÓ, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì EA1A2,…AÓ. ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜, ÁÈ· Ó· ·ÔʇÁÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÔχÏÔÎÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ·Ï¿, ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· E. Ÿˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· Û‡ÁÎÚÈÛË, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ‰˘Ó·Ù‹. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÌË Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ Ô Î‡ÎÏÔ˜, ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi. ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË, fï˜, Ô ÔÚÈÛÌfi˜ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ӷ ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜ (·ÍÈÒÌ·Ù·), ÙȘ Ôԛ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ÌfiÓÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. ➧ ➧
(∂.1) K¿ıÂ Â›Â‰Ô ÔχÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi Î·È Â›Ó·È ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. (∂.2) AÓ ¤Ó· Â›Â‰Ô ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È ¤ÓˆÛË ‰‡Ô ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›·, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ.
➧
(∂.3) ÿÛ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ›Û· ÂÌ‚·‰¿.
➧
(∂.4) TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ 1 Â›Ó·È 1.
E2
E1
E = E1+E2 1 1
E=1
1 1
¢Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· (Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÌÈ· ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹), Ô˘ Â›Ó·È ÂÎÊ˘ÏÈṲ̂ÓÔ ÔχÁˆÓÔ, ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi Ìˉ¤Ó. T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·ÍÈÒÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ÏÔÁÈΤ˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ÙȘ Ôԛ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË.
240
➧
(¶.1) AÓ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ¯ˆÚÈÛı› Û ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Ï‹ıÔ˜ ÔχÁˆÓ· Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›·, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Û˘Ùfi Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙÔÓ ÙÚfiÔ ¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘.
➧
(¶.2) AÓ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ¶ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ P, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¶ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ P.
¶ ƒ
EMBA¢A
10.2.
£EøPIA ¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi ı· Ù· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· (‹ ÈÛÂÌ‚·‰Èο). ¢‡Ô ›Û· Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi. AÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, ·Ó ‰‡Ô Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ÈÛÂÌ‚·‰Èο, ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ùã ·Ó¿ÁÎË ›Û· (‚Ϥ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·).
10.1.2. ∂Ì‚·‰¿ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. M ÏÔÁÈο ‚‹Ì·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ·˘Ù¿ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı‹Û·Ì ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ 7.2, Î·È ‚·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙ· ·ÍÈÒÌ·Ù· Î·È ÛÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Û˘Ó¤ÂȤ˜ ÙÔ˘˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ · Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. TÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi, ·Ú’ fiÙÈ Â›Ó·È ‚·ÛÈÎfi ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ Û˘ÓÙÔÌ›·˜ ‰ÂÓ ÙÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ. £EøPHMA 10.1
TÔ ÂÌ‚·‰fi οı ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · ÈÛÔ‡Ù·È Ì ·2.
·
O ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰È¿ÊÔÚˆÓ ÌÔÚÊÒÓ ÔÏ˘ÁˆÓÈÎÒÓ ¯ˆÚ›ˆÓ ‰È¢ÎÔχÓÂÙ·È, ·Ó ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì οÔÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. H Ù¯ÓÈ΋ ·˘Ù‹ ·ÍÈÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ.
·
E = ·2
· ·
10.2. ∂Ì‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ 10.2.1. µ·ÛÈο ıˆڋ̷ٷ £EøPHMA 10.2 TÔ ÂÌ‚·‰fi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ̠Ϣڤ˜ · Î·È ‚ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô E = · Ø ‚. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ Ì AB = · Î·È B° = ‚. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· BEZ° Î·È °¢I£ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›· Ì ÙÔ AB°¢. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ EZ Î·È I£, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô H. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ °£HZ Â›Ó·È ÔÚ∧ ıÔÁÒÓÈÔ, ÂÂȉ‹ Ë ÁˆÓ›· Z °£ = 90Æ Î·È ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ›Û˜. E›Û˘, ÙÔ AIHE Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿∂Ì‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
·
A
E
B ‚
‚ ·
¢ ·
I
Z
‚
° ·
·
‚
·
£ ‚ H
241
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
∧
ÁˆÓÔ, ·ÊÔ‡ A = 90Æ, AE // IH Î·È AI // EH. E›Û˘, AB°¢ = °£HZ, ÂÂȉ‹ °¢ = °£ = ·, B° = °Z = ‚. IÛ¯‡ÂÈ: EAIHE = EAB°¢ + EB°ZE + E°£HZ + E°¢I£ ‹, ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, (· + ‚)2 = 2 Ø EAB°¢ +‚2 + ·2. Afi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË, ÌÂÙ¿ ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÂÏÈο EAB°¢ = · Ø ‚.
▲
£EøPHMA 10.3 TÔ ÂÌ‚·‰fi (Ï¿ÁÈÔ˘) ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Ì ‚¿ÛË ‚ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜ ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì E = ‚ Ø ˘. A
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ Î·È Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ AZ, BH. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢Z, BH° Â›Ó·È ›Û·. EÔ̤ӈ˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ EA¢Z = EBH°. £· ¤¯Ô˘Ì ÙÒÚ· EAB°¢ = EABHZ.
˘ ¢
Z
°
ŸÌˆ˜, EABHZ = ‚ Ø ˘, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ì EAB°¢ = ‚ Ø ˘.
B
‚
H
E = ‚Ø˘
▲
¶OPI™MA 10.1. ™Â οı ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ › ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ûã ·˘Ù‹Ó ‡„Ô˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ › ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ûã ·˘Ù‹Ó ‡„Ô˜.
˘2
B Ø ˘1 = ‚ Ø ˘2
˘1
‚
B
£EøPHMA 10.4 AÓ · Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ˘ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 E = · Ø ˘ . 2 Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì B° = · Î·È ‡„Ô˜ AE = ˘. Afi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, ° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÚÔ˜ ÙȘ B°, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÔÈ Ôԛ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ¢. TÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ A B° = A ¢°. EÂȉ‹ EAB°¢ = EAB° + EA¢°,
242
▲
¢
˘ B
ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ EAB°¢ = 2 Ø EAB°, ‹ · Ø ˘ = 2 Ø EAB°. 1 OfiÙ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙË Û¯¤ÛË EAB° = · Ø ˘. 2
A
E
·
°
1 E = · Ø ˘ 2
EMBA¢A
10.2.
£EøPIA ¶OPI™MA 10.2. TÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ › ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ·˘· = ‚˘‚ = Á˘Á = 2E. A
EAB¢ = EA°¢
¶APATHPH™H: K¿ı ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛÂÌ‚·‰Èο ÙÚ›ÁˆÓ·. A˘Ù‹ Ë ·Ï‹ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û˘¯Ó¿ Û ·Û΋ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ (‚Ï¤Â Î·È ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1). B
¢
°
¶OPI™MA 10.3. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · ÈÛÔ‡Ù·È Ì ·2 Ø 3 E = . 4 Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ÏÂ˘Ú¿ · Î·È ‡„Ô˜ ˘. IÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ˘ EAB° = · Ø (1) 2
ηÈ
3 ˘ = · Ø (2). 2
·
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) Î·È (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ·2 Ø 3
EAB° = . 4
A
▲
˘
·
B · – ¢ · – ° 2 2
¶OPI™MA 10.4. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÂÙڷχÚÔ˘ Ì ‰È·ÁÒÓȘ οıÂÙ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ËÌÈÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ A°, B¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O. £ÂˆÚԇ̠ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A°¢ ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ, EAB°¢
A° Ø BO A° Ø ¢O = EAB° + EA°¢ = + = 2 2 (BO + ¢O) A° Ø B¢ = A° Ø = . 2 2
▲
A ¢
O
B
°
¶APATHPH™H: TÔ ÂÌ‚·‰fi ÚfiÌ‚Ô˘ Ì ‰È·ÁÒÓȘ ‰1 Î·È ‰2 ÈÛÔ‡Ù·È Ì ‰1 Ø ‰2 . E= 2
∂Ì‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
243
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
£EøPHMA 10.5 TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Ì ‚¿ÛÂȘ B, ‚ Î·È ‡„Ô˜ ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ˘ E = (B + ‚) Ø . 2 Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ¢EZH Ì ‚¿ÛÂȘ ¢E = ‚, ZH = B. ™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢E Î·È ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ E Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· EK = ZH. OÌÔ›ˆ˜, ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ HZ Î·È ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Z Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Z§ = ¢∂. IÛ¯‡ÂÈ
¢
H
¢E + EK = HZ + Z§, ‰ËÏ·‰‹ ¢K = H§. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¢K§H Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ (¤¯ÂÈ ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ Ï¢ÚÒÓ ›Û˜ Î·È ·Ú¿ÏÏËϘ). T· ÙÚ·¤˙È· ¢EZH, EK§Z Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ÕÚ·,
E
K
Z
§
˘ E = (µ + ‚) Ø 2
E¢K§H = E¢EZH + EEK§Z = 2 Ø E¢EZH. AÏÏ¿ ÈÛ¯‡ÂÈ ∂¢∫§∏ = (‚ + B) Ø ˘ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘ E¢EZH = (‚+B) Ø . 2
¢ PA ™ T H P I OT H TA
▲
10.1.
N· ‚Ú›Ù ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚ·Â˙›Ô˘, ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ˆ˜ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ۯ‹Ì·Ù· ÁÓˆÛÙÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ (ÙÚ›ÁˆÓ·, ÔÚıÔÁÒÓÈ·, Î.Ï) Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜.
10.2.2 ÕÏÏÔÈ Ù‡ÔÈ ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ T· ÂfiÌÂÓ· ıˆڋ̷ٷ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Ì ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ËÌÈÁÈÓfiÌÂÓÔ ‚¿Û˘ › ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜. A˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô. MÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ΢ÚÙÔ‡ Î·È ÌË΢ÚÙÔ‡ ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. A˘Ù‹ Ë ‰È·‰Èηۛ·, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË Ú·ÎÙÈ΋ ÛËÌ·Û›·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÚÈÁˆÓÈÛÌfi˜. ™Â ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚ·Â˙›ˆÓ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·.
244
EMBA¢A
10.2.
£EøPIA £EøPHMA 10.6
TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì E = Ù Ø Ú,
fiÔ˘ Ù Â›Ó·È Ë ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ Î·È Ú Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ Ú. ™‡Ìʈӷ Ì ٷ ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 10.4, ¤¯Ô˘ÌÂ:
A Ú O
EAB° = EAOB + EBO° + E°OA =
°
B
Ú Ú Ú = AB Ø + B° Ø + A° Ø = 2 2 2
E = ÙØÚ
Ú = (AB + B° + A°) Ø = Ù Ø Ú. 2
£EøPHMA 10.7
Ú Ú
▲
TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ·Ø‚ØÁ E = , 4R
fiÔ˘ ·, ‚, Á ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Î·È R Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ A¢ Î·È ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ (O, R). IÛ¯‡ÂÈ Ô Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ 1 (1) E = · Ø ˘ . 2 ∞Ó Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ AE ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È AE° Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÂÂȉ‹ ∧
∧
B ¢A = A °E = 90Æ
A
O B
°
¢ E
∧
(Ë ∞ °∂ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÁˆÓ›· Î·È ‚·›ÓÂÈ Û ËÌÈ·ÎÏÈÔ) Î·È ∧
)
∧
B = E, ÂÂȉ‹ ‚·›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ ÙfiÍÔ A°. Afi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ·Ó·ÏÔÁ›· A¢ AB = A° AE
‹
˘ Á = ‚ 2ØR
‹
‚ ØÁ ˘ = . 2R
·‚Á E = 4R
(2)
ÕÚ·, ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) Î·È (2) ¤¯Ô˘Ì 1 ‚Á ·‚Á ∂ = · Ø = 2 2R 4R ∂Ì‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
▲
245
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
£EøPHMA 10.8 TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ ·, ‚, Á ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ*: E = ÙØ (Ù ) Ø (Ù –· –‚) ) Ø (Ù–Á Afi‰ÂÈÍË: H ·Ô‰ÂÈÎÙ¤· Û¯¤ÛË ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÌÂÛ· ·fi ÙÔ˘˜ ·˘ Ù‡Ô˘˜ E = Î·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ 9.4 ÁÈ· ÙÔ 2 2 ÙØ (Ù – · )Ø (Ù –‚) ) Ø (Ù–Á ▲ ‡„Ô˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˘· = . · £EøPHMA 10.9 °È· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi E ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ: 1 1 1 E = · Ø ‚ Ø ËÌ° = ‚ Ø Á Ø ËÌA = · Ø Á Ø ËÌB . 2 2 2 Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ = ˘. IÛ¯‡ÂÈ A¢ ˘ ËÌ° = = , ¿Ú·, ˘ = ‚ Ø ËÌ°. ‚ A° ·Ø˘ 1 EÂȉ‹ E = , ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ E = · Ø ‚ Ø ËÌ°. AÓ¿ÏÔÁ· ·Ô2 2 ‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ¿ÏϘ ÈÛfiÙËÙ˜. ▲
A
˘
B ¢
°
AÓ Î¿ÓÔ˘Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ 10.7 Î·È 10.9, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ fiÚÈÛÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÁÈ· ÙËÓ TÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚ›·, ÂÂȉ‹ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· R ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¶OPI™MA 10.5. (NfiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ). ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ: · ‚ Á = = = 2R. ËÌA ËÌB ËÌ° ¶APATHPH™H: Afi Ù· ıˆڋ̷ٷ 10.6 ¤ˆ˜ 10.9 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÌÂ: ·) ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ E, ‚) ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· R ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Á) ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ‰) ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. * O Ù‡Ô˜ ·˘Ùfi˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ ¤ÚÁÔ «MÂÙÚÈο» ÙÔ˘ ◊ÚˆÓ· ÙÔ˘ AÏÂÍ·Ó‰ÚÈÓÔ‡ (1Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì.Ã.). °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ ◊ÚˆÓ·. O ›‰ÈÔ˜ Ù‡Ô˜, fï˜, ·Ô‰›‰ÂÙ·È Î·È ÛÙÔÓ AÚ¯ÈÌ‹‰Ë.
246
EMBA¢A
10.1. - 10.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
OÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ·˘Ù¤˜. Afi‰ÂÈÍË: H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ AM ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Û ‰‡Ô ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË, ·ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ABM Î·È A°M ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‚¿ÛÂȘ (MB = M°) Î·È ÎÔÈÓfi ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜ A¢. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ME⊥AB Î·È MZ⊥A°, ÙfiÙÂ Ë ÈÛfiÙËÙ· EABM = EA°M ÁÚ¿ÊÂÙ·È
A
B ¢
1 1 ME A° AB Ø ME = A° Ø MZ ‹ = , 2 2 MZ AB
A
M
°
Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ. Z
E B M
2
°
AÓ ÂÓÒÛÔ˘Ì ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙÚ›ÁˆÓ·. Afi‰ÂÈÍË: AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ EKAB = EKA° = EKB°. H ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AK Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ M. H ‰È¿ÌÂÛÔ˜ AM ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛÙ· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙÚ›ÁˆÓ· ABM Î·È A°M. OÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ KB° Ë KM Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· KBM, K°M Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜
A
K B M °
EABM = EA°M Î·È EKBM = EK°M, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ EABM – EKBM = EA°M – EK°M ‹ EKAB = ∂KA°. OÌÔ›ˆ˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ë ÈÛfiÙËÙ· EAKB = EKB°, ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ BK Ì ÙËÓ A°. ¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∏: MÈ· ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÚfiÙ·Û˘ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: OÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ¤ÍÈ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙÚ›ÁˆÓ·.
∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ - ∂Ì‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
247
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
3
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Î¿ı ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ M ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: AÓ ˘ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ ·, ÙfiÙÂ Ë ÈÛfiÙËÙ·
A
EAB° = EMAB + EMA° + EMB° ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 1 1 1 · Ø ˘ = · Ø MZ + · Ø ME + · Ø M¢ 2 2 2 2 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ˘ = MZ + ME + M¢.
E
Z M B
¢
°
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ A
1.
M ÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚ·Â˙›Ô˘ Ì ‰È¿ÌÂÛÔ Ì Î·È ‡„Ô˜ ˘;
B Ì
E
3.
AÓ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ Ù· Ì‹ÎË ·, ‚, Á ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ò˜ ı· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ Ú Î·È R ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;
7.
AÓ ÛÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ AE = °Z, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚ·Â˙›ˆÓ ABZE Î·È °¢EZ.
Z ˘
¢
2.
6.
¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Û 2 ‹ 3 ‹ 4 ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË Ì ¢ı›˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘;
° A
B
8. °È·Ù› ÛÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‡„Ô˜;
5.
248
AÓ ÛÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ÈÛ¯‡ÂÈ AB > A¢, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ AB, °¢ Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ A¢, B°. ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ B°EZ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË ÙË B°. ¶fiÙÂ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·;
E Z ¢
Â
°
¶fiÙÂ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· °AB, ¢AB, EAB Î·È ZAB; ¢
E
Z Â
A
¢
B
A
°
9.
A Z
B
°
°
4.
A
E
°È·Ù› ÛÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ: ·)
˙
B
A
B M
EA°¢ = EB°¢
Î·È B
°
‚) EMA¢ = EMB°;
¢
°
EMBA¢A
10.1. - 10.2
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: AB = ·, A° = 2· Î·È A = 150Æ
‚)
A = 90Æ, AB = A° Î·È B° = · AB = A° = B° Î·È ˘· = Ï
‰)
2 A = 90Æ, AB = Ï Î·È ˘· = Ï. 3 ∧
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÚfiÌ‚Ô˘ AB°¢ ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·)
AB = 10 Î·È A° = 16,
‚)
AB = · Î·È A = 45Æ.
∧
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ (AB // °¢) ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ∧
∧
∧
·)
A = ¢ = 90Æ, B = 120Æ Î·È B° = °¢ = ·
‚)
AB = 4, °¢ = 10 Î·È A¢ = B° = 5.
4.
ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ · Î·È ÙÔ ¤Ó· ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
5.
N· ¯ˆÚ›ÛÂÙ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Û ٤ÛÛÂÚ· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ¯ˆÚ›· Ì ¢ı›˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.
6.
¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¿ÏÏÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÂÌ‚·‰fi
7.
AÊÔ‡ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘.
∧
Á)
·)
‰ÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ AB°¢,
‚)
ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ AB°¢.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, fiÙ·Ó ∧ ∧ B° = ·, B = 45Æ Î·È ° = 30Æ.
∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ - ∂Ì‚·‰¿ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
¢›ÓÂÙ·È Î˘ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì AB = 4, A¢ = 3, °¢ = 2 1 0, A° = 7 Î·È B¢ = 5.
∧
·)
™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘.
3.
8.
9.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈ∧ ÁÒÓÔ˘ AB° Ì A = 90Æ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô E = Ù(Ù – ·).
10. T· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ó·È
AB° ›-
· = 10, ‚ = 12 Î·È Á = 14.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi, Ù· ‡„Ë Î·È ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
11. ™’ ¤Ó· ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ
AB° ʤÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë B¢ Î·È °E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EA¢E = EAB° Ø Û˘Ó2A.
12. ¢›ÓÂÙ·È
¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ AB, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ M°¢ ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi ÂÌ‚·‰fi.
13. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ·¤˙ÈÔ
AB°¢ (AB // °¢). Afi ÙÔ Ì¤ÛÔ E Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ A¢, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È °¢ ÛÙ· ÛËÌ›· Z Î·È H ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. E›Û˘, Ë ¢E Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ AB ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô £. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢, ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AZH¢ Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A£¢ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·.
14. ŒÛÙˆ
Ú· Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ÙˆÓ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ Î·È ∞° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°. (√ ·ÎÏÔ˜ ·˘Ùfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·∧ ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ÛÙË ÁˆÓ›· A ). ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∂∞µ° = (Ù – ·) Ø Ú·.
249
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ ÓÔ˘ ÛÙ· ÛËÌ›· ¢, E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ E B° MA Ø MB Ø M° = . A E¢EZ M¢ Ø ME Ø MZ
1.
AÓ M Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EMAB + EM°¢ = EMA¢ + EMB°.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î¿ı ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
3.
N· ¯ˆÚ›ÛÂÙ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ¯ˆÚ›· Ì ¢ı›˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙË ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.
11. AÓ
ŒÓ· ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ ¤¯ÂÈ ‚¿ÛÂȘ AB = · Î·È 3 °¢ = 2·, ÂÓÒ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·. N· ˘ÔÏÔ2 Á›ÛÂÙ ٷ ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ·fi ÙȘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜ ÙÔ˘.
12. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ
10. ™Â
ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ (AB // °¢) ʤÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ AE. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: EAµ°¢ = 2EEA°.
4.
5.
AÓ ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ Î˘ÚÙÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· 30Æ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi 1 A° Ø B¢. 4
6.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ AB = 4, °¢ = 8 Î·È ÌË ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ A¢ = 5 Î·È B° = 7.
7.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·’ fiÏ· Ù· ΢ÚÙ¿ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Ì ›Û˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜, ̤ÁÈÛÙÔ ÂÌ‚·‰fi ¤¯ÂÈ ·˘Ùfi Ô˘ ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔ› ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.
8.
M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A¢ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ Ì AB // °¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: 1 EMB° = EAB°¢. 2 AB°, ÙÔ Ì¤ÛÔ ¢ Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ AM, ÙÔ Ì¤ÛÔ E ÙÔ˘ ¢° Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Z ÙÔ˘ BE. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: 1 E¢EZ = EAB°. 8
13. ™ÙȘ
Ï¢ڤ˜ AB Î·È B° ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢
ÏÂ˘Ú¿˜ · ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È 2 AE = BZ = ·. 3 ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AZ⊥¢E Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ¯ˆÚ›ˆÓ, ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
14. ™ÙÔ
·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, fiÔ˘ ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: EMA° = EMAB + EMA¢.
O ·ÎÏÔ˜ (K, x) ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÙˆÓ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ AB Î·È A°. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· x Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·, ‚, Á ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
M B
A
B
A
K °
9.
250
AÓ M Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÔÈ Â˘ı›˜ AM, BM, °M Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒ-
¢
°
15. ¢‡Ô ·ÎÏÔÈ
(K, R) Î·È (§, Ú) ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο Î·È AB Â›Ó·È ¤Ó· ÎÔÈÓfi Â͈ÙÂÚÈÎfi ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ (ÙÔ ∞ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (K, R) Î·È ÙÔ µ ÙÔ˘ (§, Ú)). N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ KAB§ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ R Î·È Ú.
EMBA¢A
10.3.
£EøPIA
10.3. ™¯¤ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ó· ÂӉȷʤÚÔÓ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ EȉÔÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È Ë Â‡ÚÂÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ™Ù· ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ.
Œ
£EøPHMA 10.10 AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ï2. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ٷ fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï. º¤ÚÔ˘Ì ٷ ‡„Ë ÙÔ˘˜ AK Î·È ¢§ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÔfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÈÛÔ‡Ù·È, ›Û˘, Ì Ï. Œ¯Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›·,
™˘ÓÂÒ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ
B° AK = = Ï. E Z ¢§
1 B° Ø AK 2 E B° B° = = A 1 E¢EZ EZ EZ Ø ¢§ 2
A ¢ °
B K
E §
AK Ø = Ï2. ¢§
Z
▲
¶OPI™MA 10.6. AÓ ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ï2. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ٷ fiÌÔÈ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ AB°¢ Î·È EZH£ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ A°, EH Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È EZH. IÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ AB B° = = Ï Î·È B = Z. EZ ZH T· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È fiÌÔÈ·. EÂȉ‹ ÈÛ¯‡ÂÈ
A
B
¢
E
Z
°
∧ ∧ A¢ ¢° = = Ï Î·È ¢ = £, E£ £H ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢°, E£H Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ÏfiÁÔ
£ H
ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï. ÕÚ· EAB° = Ï2 Ø EEZH Î·È EA¢° = Ï2Ø EE£H, ‰ËÏ·‰‹,
EAB° + EA¢° = Ï2 Ø (EEZH + EE£H).
EAB°¢ 2 ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ EAB°¢ = Ï2 Ø EEZH£, ‹ = Ï . EEZH£
▲
°ÂÓÈο, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÚfiÙ·ÛË: O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ï2. ™¯¤ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
251
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
T· ÂfiÌÂÓ· ‰‡Ô ÔÚ›ÛÌ·Ù· ‰›ÓÔ˘Ó ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ ‹ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ›Û·. ¶OPI™MA 10.7. AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË (‹ ›Û˜ ‚¿ÛÂȘ), ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘˜. ™ÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË Î·È ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·.
A ¢ ˘1 ˘2 B
°
¶OPI™MA 10.8. AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ›Û·, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜. ¶ÔÈ· ›ӷÈ, fï˜, Ë Û¯¤ÛË ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ Â›Ó·È fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ ÁˆÓÈÒÓ ›Û˜; TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Ô˘ Â›Ó·È ÌÈ· ÁÂӛ΢ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 10.10, ‰›ÓÂÈ ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ·.
EAB° ˘1 = E¢B° ˘2
A
EAB° B° = E¢∂∑ EZ
¢
˘
˘
B
°
E
Z
£EøPHMA 10.11 AÓ ÌÈ· ÁˆÓ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜. ∧
∧
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, ¢EZ Ì A = ¢. AÓ E1 Î·È E2 Â›Ó·È Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ: E AB Ø ∞° 1 = . E2 ¢E Ø ¢Z E› ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, A° (‹ ÛÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘˜) ıˆÚԇ̠·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· K, §, ÒÛÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AK§ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ. £ÂˆÚԇ̠ٷ ‡„Ë KM Î·È BN ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AK§ Î·È AB° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· AKM Î·È ABN Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó·ÏÔÁ›· BN AB = . KM AK
M §
N
K
°
B ¢
(1)
°È· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È AK§ ı· ¤¯Ô˘Ì E1 A° Ø BN = E2 A§ Ø KM ‹, ÏfiÁˆ Ù˘ (1), ¤¯Ô˘Ì E 1 A° Ø A B = . (3) E2 A§ Ø AK
252
A
E
Z
EMBA¢A
10.3.
£EøPIA H Û¯¤ÛË, fï˜, ·˘Ù‹ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë ·Ô‰ÂÈÎÙ¤·, ·ÊÔ‡ A§ = ¢Z Î·È AK = ¢E. ▲ ¶OPI™MA 10.9. AÓ ÌÈ· ÁˆÓ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ì ÌÈ· ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
¶APATHPH™H: ª›· ¿ÌÂÛË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 10.11 Î·È ÙÔ˘ ÔÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ 10.9 Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 10.9.
10.2.
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ·fi ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛÂÌ‚·‰Èο ¯ˆÚ›·. ‚) ¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÁˆÌÂÙÚÈο ·˘Ù‹ ÙËÓ Â˘ı›·.
EÊ·ÚÌÔÁ‹ ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·
1 1 1 1 + + = . ˘· ˘‚ ˘Á Ú
Afi‰ÂÈÍË: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi E ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ 1 1 1 E = ·˘· = ‚˘‚ = Á˘Á Î·È E = ÙÚ. 2 2 2 ∂Ô̤ӈ˜, 1 1 1 · ‚ Á 2Ù Ù 1 + + = + + = = = ˘· ˘‚ ˘Á 2∂ 2∂ 2∂ 2∂ ÙÚ Ú
A Ú I B
Ú Ú °
MÔÚÔ‡ÌÂ, fï˜, Ó· ‰ÒÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË: Ú Ú Ú £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ + + = 1. ˘· ˘‚ ˘Á H ·ÎÙ›Ó· Ú ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È ‡„Ô˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ IB°, IA° Î·È IAB. Ú T· ÙÚ›ÁˆÓ· IB° Î·È AB° ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË B° ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ˘· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜. Ú E ° Ú E B . OÌÔ›ˆ˜, = IA η È = IA ˘‚ EAB° ˘Á EAB° ÕÚ·,
Ú Ú Ú EIB° + EIA° + EIAB EAB° + + = = = 1. EAB° EAB° ˘· ˘‚ ˘Á
™¯¤ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
253
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
AÓ ¢E // B° Î·È A¢ = 2¢B, ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ A¢E Î·È AB°;
6.
A
¢
E
B
°
¶Ò˜ ı· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›·  // B° Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E Ó· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ B¢E°;
A
¢ E Â
B
°
2.
AÓ ¢, E, Z Â›Ó·È Ù·
A
̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÔÈÔ˜ E EZ Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ¢ ; EAB°
3.
7. Z
°È· ÔÈÔ x ÈÛ¯‡ÂÈ 1 EA¢E = EAB°; 9
E
B ¢
¯
‚1
°
E B° AÓ Â//˙, Ó· ‚ÚÂı› Ô ÏfiÁÔ˜ A . EA°¢ A
O
¢
5
B
8.
B
E
5
™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢, Ì ÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È Ô ÏfiÁÔ˜
A
¯
¢
°
E O AB ; EO°¢
¢
7
Â
‚2
° 5
B
4.
A
¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ °¢E Î·È AB°; A
9.
˙
°
AÓ Ù· ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÔÈ· Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘;
E 3 B
·
3 ° ·/3 ¢
E
4
4E
5
5.
E›Ó·È fiÌÔÈ· Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· AB°¢ Î·È AEZH; °È· ÔÈÔ x ÙÔ AB°¢ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ÙÔ AEZH;
A
E
B ¯
¯
· H ¢
254
¯
Z
¯ ·
°
EMBA¢A
10.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ A¢ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
4.
AB Î·È A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ 1 1 A¢ = AB Î·È AE = A°. 3 4 N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ 1 EA¢E = EAB°. 12
Á2
E B¢ = . A EA°¢ ‚2
2.
·) A˜ Â›Ó·È A¢, BE, °Z Ù· ‡„Ë Ô͢ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È H ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
5.
H¢ HE HZ + + = 1. ˘· ˘‚ ˘Á
YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ EZ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. A
‚) AÓ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ Ì ∧ A > 90Æ, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
70Æ
¢
H¢ HE HZ – – = 1. ˘· ˘‚ ˘Á
3.
£ÂˆÚԇ̠ٷ ÛËÌ›· ¢ Î·È E ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ
12
70Æ
E
AÓ M Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÚ·Â˙›Ô˘ AB°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ AB Î·È °¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ EMAB AB = . EMB° °¢
100Æ ¯
B
6
80Æ 5
°
Z
°ÂÓÈο, ·Ó Û ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ ∧ ∧ A = ¢ Î·È B + E = 180Æ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ A° ¢Z = . B° EZ
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜.
2.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.
3.
¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, °A, AB ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·
5.
AH = A¢, B£ = BE Î·È °K = °Z. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ H£K Î·È AB°.
6.
°¢ = B°, AE = °A Î·È BZ = AB.
MÈ· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· ¢ Î·È E ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 2 . E2ABE = EA¢EØEAB° = EA°¢
™¯¤ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B° Î·È °A ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È 2 1 1 A¢ = AB, BE = B° Î·È °Z = A°. 3 4 2 N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·, ‚, Á ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
N· ‚Ú›Ù ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ¢EZ Î·È AB°.
4.
¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ A¢, BE, °Z ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ οı ÎÔÚ˘Ê‹˜ Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·
7.
AÓ M Î·È N Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ B° Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ AB°¢, Ó· 3 ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EAMN = EAB°¢. 8
255
£EøPIA 8.
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB, B°, A° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· ¢, E, Z Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
9.
A¢ = Ï Ø AB, BE = Ï Ø B° Î·È °Z = Ï Ø °A, fiÔ˘ 0 < Ï < 1. ·) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ¢EZ Î·È AB°.
Afi ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË Û οı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. AÓ E1, E2, E3 Â›Ó·È Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È E ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ E1 + E2 + E3 = E.
‚) N· ‚ÚÂı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï, ÒÛÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ‰˘Ó·Ùfi ÂÌ‚·‰fi.
10.4. TÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ 10.4.1. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ·Ïfi Ù‡Ô E = ·2. °È· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÂȉÈÒÎÔ˘Ì Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙËÓ ·Ó·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘˜ Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·. Ÿˆ˜ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ë ·Ó·ÁˆÁ‹ ·˘Ù‹ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. A˘Ù‹ Ë ÚÔÛ¿ıÂÈ· ·Ó·ÁˆÁ‹˜ ÔÚÈÔıÂÙ› ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ: ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡. ¶·Û›ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ì ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ. ◊‰Ë ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘, Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο, ÂȯÂÈÚԇ̠ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘ÌÂ Î·È ÂÈÏ‡Ô˘Ì ·ÔÎÏÂÈÛÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡.
°
£EøPHMA 10.12 °È· οı (΢ÚÙfi) ÔχÁˆÓÔ ÌÂ Ó Ï¢ڤ˜ ÌÔÚ› Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ìã ·˘Ùfi ÔχÁˆÓÔ ÌÂ Ó – 1 Ï¢ڤ˜.
µ ∞ °
Afi‰ÂÈÍË: ¢›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ ΢ÚÙÔ‡ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË. £ÂˆÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ¤Ó· ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ ∞µ°¢∂. ∏ ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ° ÚÔ˜ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ µ¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ∂¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∑. º¤ÚÔ˘Ì ÙË µ∑ Î·È ı· ·Ô-
256
∂
¢
∑
EMBA¢A
10.3.
£EøPIA ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∂∞µ°¢∂ = ∂∞µ∑∂. ∆· ÙÚ›ÁˆÓ· µ¢∑ Î·È µ°¢ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË ÙË µ¢ Î·È ›Û· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Û’ ·˘Ù‹Ó ‡„Ë (ˆ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ µ¢ Î·È °∑). ∂Ô̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ ∂∞µ°¢∂ = ∂∞µ¢∂ + ∂µ°¢ = ∂∞µ¢∂ + ∂µ¢∑ = ∂∞µ∑∂. ▲
¢ PA ™ T H P I OT H TA ŒÓ· ÁÓˆÛÙfi ·ÏÈfi KÈÓ¤˙ÈÎÔ ·È¯Ó›‰È Â›Ó·È ÙÔ Ù·ÓÁÎÚ¿Ì. ™ÙÔ ·È¯Ó›‰È ·˘Ùfi Ô ·›ÎÙ˘ ‹ ÔÈ ·›ÎÙ˜ ÚÔÛ·ıÔ‡Ó Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ó 7 Û¯‹Ì·Ù· Ì ٤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛı› ¤Ó· ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÂÎ ÙˆÓ ÚÔÙ¤ÚˆÓ Û¯‹Ì·. OÈ Î·ÓfiÓ˜ ÙÔ˘ ·È¯ÓȉÈÔ‡ Â›Ó·È ÌfiÓÔ ‰‡Ô: ·) Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È Ù· ÂÙ¿ Û¯‹Ì·Ù·, ‚) Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ó· ÌËÓ ÂÈηχÙÔÓÙ·È. ¶ÚÔÛ·ı‹ÛÙ ӷ ÂÈχÛÂÙ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Úfi‚ÏËÌ·, ˆ˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ηٷÓfiËÛ˘ Ù˘ ‰È·‰Èηۛ·˜ AÓ¿Ï˘ÛË-™‡ÓıÂÛË: M ‰Â‰Ô̤ӷ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Î·È ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·Ó·ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ ÙÔ˘ Ù·ÓÁÎÚ¿Ì.
10.3. 2
2
8
8 2
2
1 1
1
2
2
1
1
2
2 2
2
1
1
1
2
1 1
¶POB§HMA 10.1. AÓ ‰Ôı› ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÂÌ‚·‰fi ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. §‡ÛË: TÔ ıÂÒÚËÌ· 10.12 ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÌÂÙ·ÙÚÔ‹˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÌÂ Ó Ï¢ڤ˜ Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÔχÁˆÓÔ ÌÂ Ó – 1 Ï¢ڤ˜. ªÂ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ے¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ÔχÁˆÓÔ. TÔ ·Ú¯ÈÎfi Úfi‚ÏËÌ·, ÏÔÈfiÓ, ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ‰ÔṲ̂ÓÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. °È· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ıˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°, ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ A¢ Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ M ÙÔ˘ A¢. M ÏÂ˘Ú¿ ÙË B° Î·È ‡„Ô˜ M¢ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ B°ZE. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi ›ÛÔ
TÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
A E
B
M
¢
Z
°
257
£EøPIA Ì B° Ø M¢. TÔ ·Ú¯ÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· ÙÒÚ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˘ Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ BEZ°. ™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ °B ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ B ıˆÚԇ̠ÛËÌÂ›Ô H, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ BH = BE. £ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ H° Î·È ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ H° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô B, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡. ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›∧ ÁˆÓÔ NH° ( N = 90Æ) ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
N Z
E H
B
O
°
NB2 = HB Ø B°. ŸÌˆ˜, HB = BE. EÔ̤ӈ˜, NB2 = BE Ø B° . TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÏÔ˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ Û¯¤Û˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ B°ZE. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ NB.
10.4.2. Afi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÂÌ‚·‰ÒÓ TÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Â›Ó·È ¤Ó· ·fi Ù· ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚ· ıˆڋ̷ٷ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. H ·Í›· ÙÔ˘ ÙÚ¿‚ËÍ ÙËÓ ÚÔÛÔ¯‹ ÔÏÏÒÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ‰Ôı› ¿Ú· ÔÏϤ˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 9 ·Ô‰Â›Í·Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi Ì ÙË ¯Ú‹ÛË fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ™Ù· «™ÙÔȯ›·» ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: «EÓ ÙÔȘ ÔÚıÔÁˆÓ›ÔȘ (ÙÚÈÁÒÓÔȘ) ÙÔ ·fi Ù˘ ÙËÓ ÔÚı‹Ó ÁˆÓ›·Ó ˘ÔÙÂÈÓÔ‡Û˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔÓ ›ÛÔÓ ÂÛÙ› ÙÔȘ ·fi ÙˆÓ ÙËÓ ÔÚı‹Ó ÁˆÓ›·Ó ÂÚÈÂ¯Ô˘ÛÒÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ», ÚfiÙ·ÛË Ë ÔÔ›· Û ÂχıÂÚË ÌÂÙ·ÁÚ·Ê‹ ÛÙË ÓÂÔÂÏÏËÓÈ΋ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û¿ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ï¢ڤ˜ ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ŒÙÛÈ, ηٿ ÙÔÓ E˘ÎÏ›‰Ë, «ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜» Â›Ó·È Ú¿ÁÌ·ÙÈ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È fi¯È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ˘„ˆÌ¤ÓÔ ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ‰‡Ó·ÌË, fiˆ˜ ıˆÚԇ̠ۋÌÂÚ·. ∏ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË: ∧ ŒÛÙˆ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì A = 90Æ. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· A°I£, ABZH, Î·È B°¢E. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ: (1) EB°¢E = EABZH + EA£I° .
258
EMBA¢A
10.4.
£EøPIA º¤ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AE, A¢, BI Î·È °Z. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì § Î·È K Ù· ›¯ÓË Ù˘ οıÂÙ˘ Ô˘ ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ÚÔ˜ ÙȘ (·Ú¿ÏÏËϘ) ¢ı›˜ B° Î·È E¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ÙÚ›ÁˆÓ· BZ° Î·È ABE Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹, AB = BZ ˆ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ABZH, B° = BE ˆ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ B°¢E Î·È ∧ ∧ A BE = Z B° ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛˆÓ ÁˆÓÈÒÓ (ÌÈ·˜ ÔÚ∧ ı‹˜ Î·È Ù˘ ÁˆÓ›·˜ AB°). ÕÚ·, EBZ° = EABE.
£ H
A I Z
B
°
§
(2)
M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ‰Â›¯ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A°¢ Î·È BI° Â›Ó·È ›Û·, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì EA°¢ = EBI° .
(3) E
¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ, EB°¢E = EB§K∂ + E§°¢K .
K
¢
(4)
ŸÌˆ˜, EB§KE = BE Ø B§ = 2 Ø EABE. OÌÔ›ˆ˜, ¤¯Ô˘Ì E§°¢E = 2 Ø EA°¢. EÔ̤ӈ˜, Ë Û¯¤ÛË (4) ÁÚ¿ÊÂÙ·È EB°¢E = 2 Ø EABE + 2 Ø EA°¢.
(5)
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (2), (3) Î·È (5) ·›ÚÓÔ˘Ì EB°¢E = 2 Ø EBZ° + 2 Ø EBI°.
(6)
£ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞µ∑∏ Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BZ° ¤¯Ô˘Ì EABZH = ZB Ø AB = 2 Ø EB°Z.
(7)
OÌÔ›ˆ˜, ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ A°I£ Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BI°, ¤¯Ô˘Ì ÙË Û¯¤ÛË EA£I° = °I Ø A° = 2 Ø EBI°.
(8)
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (6), (7) Î·È (8) ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÔÚıfiÙËÙ· Ù˘ Û¯¤Û˘ (1).
TÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
259
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
∞Û΋ÛÂȘ 1.
N· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÙ› ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ AB = Á Î·È A° = ‚.
2.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÚ·¤˙ÈÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‚¿ÛÂȘ ·, ‚ Î·È ‡„Ô˜ ˘.
3.
4.
Ϥ˜ ÙˆÓ B, ¢ ÛÙËÓ EZ. AÊÔ‡ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, B£E, °H¢ Î·È ¢KE Â›Ó·È ›Û·, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÌ‚·‰ÒÓ, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·. E
N· ‰È·ÈÚÂı› ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Û ‰‡Ô ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË Ì ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.
B
£
K
∧
¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° (A = 90Æ) Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ B°¢E. A˜ Â›Ó·È Z, H ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙˆÓ E, ¢ ÛÙËÓ Â˘ı›· A° Î·È £, K ÔÈ ÚÔ‚Ô-
A
°
¢
Z
H
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 10Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
2.
3.
4.
AÓ G Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ì EGAB = EGA° = EGB°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ G Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. ¢›ÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ AB°¢ Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ABEZ. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EABEZ ≥ EAB°¢. ¶fiÙ ٷ ‰‡Ô ÂÌ‚·‰¿ Â›Ó·È ›Û·; AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÂÙڷχÚÔ˘ AB°¢, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EOAB + EO°¢ = EOA¢ + EOB°. ™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ıˆÚԇ̠ٷ ÛËÌ›· ¢ Î·È E Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ B A¢ = ° AE. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢B EB AB2 . Ø = ¢° E° A°2
5.
6.
260
7.
A K H 1 ¢
4
E
M 9
B
£
Z
°
Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
8.
T· ‡„Ë A¢, BE, °Z Ô͢ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÛÙ· ÛËÌ›· H, £, K ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô¢H E£ ZK ‰Âȯı› fiÙÈ + + = 1. A¢ BE °Z
9.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÔÚıÈÎÔ‡ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÂÓfi˜ Ô͢ÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ·, ‚, Á ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. ¢›ÓÂÙ·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢. MÈ· ¢ı›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¢° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· BEZ Î·È ¢°E ¤¯Ô˘Ó ›Û· ÂÌ‚·‰¿.
AÓ ¢E // B°, ZH // A°, £K // AB, E¢MH = 1, EKME = 4 Î·È E£MZ = 9,
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô M ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ¢, E, Z ÙˆÓ AM, BM, °M Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EABM B¢ B¢ AZ °E ·) = Î·È ‚) Ø Ø = 1. EA°M °¢ °¢ BZ AE
9.
AÓ ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ A° ABØA¢+°BØ°¢ = B¢ BAØB°+¢AØ¢° (2Ô ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘).
EMBA¢A
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 10Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:
5.
·) ¢‡Ô ›Û· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. ‚) ¢‡Ô ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ›Û·.
·) TÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯Ô˘Ó ›Û· ÂÌ‚·‰¿.
Á) AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘˜.
‚) TÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¤¯ÂÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
‰) AÓ ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ¤¯Ô˘Ó ›Û· ‡„Ë, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ‚¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘˜.
Á) TÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
Â) AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜. ÛÙ) AÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘˜.
‰) ¢ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ÂÌ‚·‰¿.
6.
‚) Á)
Ë) ¢‡Ô ‡„Ë ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.
‰)
ı) AÓ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ · < ‚, ÙfiÙ ˘· > ˘‚.
2.
3.
4.
‰)
7.
8.
°. 3(8 + 73 )
EMBA¢A
°
‚)
1 E > ·‚ 2
‰)
·˘· = ‚˘‚ = Á˘Á
ÛÙ)
· ˘ < 1 ⇔ · > 1 ‚ ˘‚
B
A. 59 B. 45
‰) ¤Ó· ΢ÚÙfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ;
E B
™ÙÔ ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ AB°¢E ÈÛ¯‡ÂÈ A° // ¢E. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ›ӷÈ
·) ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ;
Á) ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ;
¢
¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯¤ÛÂȘ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ÂÌ‚·‰fi E;
¶Ò˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ‚) ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ;
A
1 EABE = EAB¢ 2 2 EBAE = EAB° 3 1 EA¢E = EAB° 4 EA¢E = EABE.
1 ·) E = ·‚ 2 1 Á) E ≤ ·‚ 2 · ˘· Â) = ‚ ˘‚
O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÂÓfi˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · Î·È ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · Â›Ó·È 3 3 1 A. 1 B. 3 °. ¢. E. 2 2 4 O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ∞µ°¢ Î·È µ¢∂∑ Â›Ó·È 2 2 1 1 A. B. °. ¢. 2 E. 3 2 4 2
¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯¤ÛÂȘ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·; ·) EAB° = 2EAB¢
˙) H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÛηÏËÓÔ‡ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Û ‰‡Ô ÈÛÂÌ‚·‰Èο ÙÚ›ÁˆÓ·.
È) O ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË Â›Ó·È ‰‡Ô ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÛÙË ‚¿ÛË.
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·, ‚ Î·È ¤Ó· ÌË ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ · Î·È ‚. ¶ÔÈ· ÚfiÙ·ÛË ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÏËı‡ÂÈ;
¢. 10(1 + 3 )
8 A 60Æ
E. 24 – 23
°
10 120Æ
E
4
¢
261
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
ANAKEºA§AIø™H ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi, ‚·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Î·È ÛÙÔ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · ÈÛÔ‡Ù·È Ì E = ·2, ·Ô‰Â›Í·Ì ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÁÓˆÛÙÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ŒÌÊ·ÛË ‰fiıËΠÛÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ‰fiıËÎ·Ó ·ÚÎÂÙÔ› Ù‡ÔÈ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌÂÙÚÈο ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘. T· ıˆڋ̷ٷ ÁÈ· ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ÂÌ‚·‰ÒÓ fiÌÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙ· ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ. H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡, Ë ÔÔ›· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Ûã fiÏÔ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ, ·ÍÈÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È Û ÌÈ· ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· Ì ÂÌ‚·‰¿.
262
EMBA¢A
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
11
ª¤ÙÚËÛË Î‡ÎÏÔ˘
11.1. ∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· 11.1.1. OÚÈÛÌfi˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ fi Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ Î·È ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ÌÂÏÂÙ‹ÛÂÈ ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·, ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È Ù· ÌfiÓ· Ô˘ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÙËÓ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ·: fiϘ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È fiϘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. TÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ Â›Ó·È ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó (Î·È ·Ó ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ηٷÛ΢·ÛÙÔ‡Ó Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË) ¿ÏÏ· ÔχÁˆÓ· Ì’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ·. ŒÓ·Ó ÙÚfiÔ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ˙ËÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·:
∞
£EøPHMA 11.1 AÓ ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Û ›Û· ÙfiÍ·, ÙfiÙ ٷ ¿ÎÚ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚÂı› ÛÂ Ó ›Û· ÙfiÍ· Ì ٷ ÛËÌ›· A1, A2, …, AÓ. OÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ A1A2…AÓ Â›Ó·È ›Û˜ ˆ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ›ÛˆÓ Ùfi͈Ó. E›Û˘, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜, ÂÂȉ‹ οı ÌÈ· ·’ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ‚·›ÓÂÈ Û ÙfiÍÔ Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ó – 2 ▲ ›ÛˆÓ Ùfi͈Ó. ∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
A1
AÓ
A2
A3
263
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ë Î·Ù·Û΢‹ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙË ‰È·›ÚÂÛË ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Û ›Û· ÙfiÍ·. Ÿˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ·Ú·Î¿Ùˆ, Ë Ï‡ÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ‰˘Ó·Ù‹ Î·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙfiÍˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. T· ÔχÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó È‰È·›ÙÂÚÔ ÂӉȷʤÚÔÓ, ÁÈ·Ù› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. °È· Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÔ˘Ì ٷ ÔχÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ȉÈfiÙËÙ·, ‰›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi:
O P I ™ M √ ™ ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈÎfi, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Î·È fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ™’ ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ ÌÂ Ó Ï¢ڤ˜ (ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ), ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÏÓ Î·È Î·∧ ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Ì ÊÓ.
£EøPHMA 11.2
™Â οı ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ 360Æ ÊÓ = 180Æ – . Ó
∧
Afi‰ÂÈÍË: ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 4 (ıÂÒÚËÌ· 4.11.) ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 2Ó – 4 ÔÚı¤˜. Afi ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Î¿ı ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó1 4 ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì (2Ó – 4) = 2 – ÔÚı¤˜. Ó Ó ÕÚ·, ÙÔ Ì¤ÙÚÔ, Û ÌÔ›Ú˜, Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ∧ 4 360Æ ÊÓ = 2 – Ø 90Æ = 180Æ – . Ó Ó ▲
¶OPI™MA 11.1. H Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ 360Æ Â›Ó·È ›ÛË Ì . Ó
264
METPH™H KYK§OY
11.1.
£EøPIA
11.1.2. B·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ EÂȉ‹ ÛÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ Î·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, Ô ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ Â›Ó·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˜ Ì ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ. E›Û˘, Û οı ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Î·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. ¢ËÏ·‰‹, ÙfiÛÔ ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ fiÛÔ Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ÂÁÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Î·È Ó· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Û ‰‡Ô ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·.
A
O B
° A
B
O
£EøPHMA 11.3 K¿ı ηÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ ÂÁÁÚ¿ÊÂÙ·È Û’ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Î·È ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Û’ ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ, ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ AB°¢E … ™ ∧ ∧ Î·È ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ A Î·È B. EÂȉ‹ Â›Ó·È ∧ ∧ A = B, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∧ ∧ ∧ 360Æ A1 + B1 = 2A1 = A = 180Æ – < 180Æ. Ó ¢ËÏ·‰‹, ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙËÓ AB ‰‡Ô ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 180Æ. ÕÚ·, ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô O ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ (ıÂÒÚËÌ· 4.6.). º¤ÚÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙËÓ O° Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· OAB Î·È OB°. A˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È B° ∧ ∧ ›Û˜, ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ B1 Î·È B2 ›Û˜, ηıÒ˜ Î·È ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ OB ∧ ∧ ∧ 1 ∧ ÎÔÈÓ‹. ÕÚ·, ı· Â›Ó·È °1 = A1. EÂȉ‹, fï˜, A1= A Î·È 2 ∧ ∧ ∧ 1∧ A = °, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È °1= °, ‰ËÏ·‰‹ Ë O° ›2 ∧ Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ °. M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O. Afi Ù· ›Û· Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· OAB, OB°, O°¢, … Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ›Û˘, fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ OA = OB = O° = O¢ = … , ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ O ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. ÕÚ·, Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·’ fiϘ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. TÔ O, ˆ˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfïÓ, ¤¯ÂÈ, ›Û˘, ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ OK = O§ = OM = ON = … . ÕÚ·, ÙÔ O ›ӷÈ, ›Û˘, ΤÓÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û’ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. ▲ ∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
¢
°
A
™ 2
1 1
B
O
2
E
1
°
A
¢
K
™
§ O
B M °
N
¢
265
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
¢Â›Í·ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Î¿ı ηÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ¤Ó·Ó ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘. TÔ ÎÔÈÓfi ΤÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹, ‰ËÏ·‰‹ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, ÂÓÒ ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÚÔ˜ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿, ‰ËÏ·‰‹ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·fiÛÙËÌ· ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. TÔ ·fiÛÙËÌ· ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ·Ó. T¤ÏÔ˜, Ë ÁˆÓ›· Ô˘ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ Ô∧ Ï˘ÁÒÓÔ˘ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ˆÓ. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÙÔ Ì¤ÙÚÔ (Û ÌÔ›Ú˜) Ù˘ ÎÂÓÙÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ∧ 360Æ ˆÓ = Ó
A
™
ˆÓ
B
O
ÏÓ
E
·Ó
°
¢
.
¶OPI™MA 11.2. ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· ‰‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ó Ï¢∧ ∧ Ú¤˜. AÓ ÏÓ, ÏÓ′ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÊÓ, ÊÓ′ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: ➧ ➧
360Æ ∧ ÊÓ = 180Æ – = ÊÓ′. Ó
∧
Ï O ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÏfiÁÔ Ó . ÏÓ′
¢ËÏ·‰‹, Ù· ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ▲
™
A ÊÓ B
A′
ÏÓ °
¢
™′
Ê′Ó
B′
Ï′Ó °′
¢′
Ÿˆ˜ ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ÏÓ Î·È ÙÔ ·fiÛÙËÌ· Ì ·Ó. ™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Ì PÓ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Ì EÓ. IÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ:
266
METPH™H KYK§OY
11.1.
£EøPIA £EøPHMA 11.4 ™Â οı ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ: 2
Ï Ó 2
·)
+ ·2Ó = R2
‚)
PÓ = Ó Ø Ï Ó
Á)
1 EÓ = PÓ·Ó. 2
Afi‰ÂÈÍË: ·) Afi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ O°K ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ì °K2 + OK2 = O°2, ‰ËÏ·‰‹ Ï Ó 2
2
A
™
+ ·2Ó =R2. O
B
‚) H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ ›ӷÈ
R
PÓ = ÏÓ + ÏÓ + … + ÏÓ = Ó Ø ÏÓ.
·Ó
Á) ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ÛÂ Ó ›Û· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, ‚¿ÛË ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜ ÙÔ ·fiÛÙËÌ· ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. ÕÚ·, ı· ›ӷÈ
° ÏÓ K 2
¢
1 1 1 EÓ = Ó Ø ∂O°¢ = Ó ÏÓ·Ó = Ó ÏÓ ·Ó = PÓ ·Ó. 2 2 2
▲
11.1.3. EÁÁÚ·Ê‹ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û ·ÎÏÔ ¶POB§HMA 11.1. N· ÂÁÁÚ·Ê› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (O, R). EÂȉ‹ AB = B° = °¢ = ¢A, ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, B, °, ¢ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ٤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙfiÍ· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 90Æ. ÕÚ·, ÔÈ Î¿ıÂÙ˜ ‰È·ÁÒÓȘ A° Î·È B¢ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ¯ÔÚ‰¤˜ ÙfiÍˆÓ 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, R). ™‡ÓıÂÛË: ™ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, R) ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ‰È¿ÌÂÙÚÔ A° Î·È ÙËÓ Î¿ıÂÙË Û’ ·˘Ù‹Ó ‰È¿ÌÂÙÚÔ B¢. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ
∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
A
B
O
¢
°
267
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
AB°¢ Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. Afi‰ÂÈÍË: T· ¿ÎÚ· A, B, °, ¢ ÙˆÓ ‰‡Ô οıÂÙˆÓ ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ٤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙfiÍ· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜ (ıÂÒÚËÌ· 11.1.), ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: ™Â ‰Â‰Ô̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÁÁÚ¿„Ô˘Ì ¿ÂÈÚ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·. ¶OPI™MA 11.3. ™Â ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û¯¤ÛÂȘ: ·) Ï4 = 2 Ø R,
2 ‚) ·4 = Ø R. 2
¶POB§HMA 11.2. N· ÂÁÁÚ·Ê› ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ AB°¢EZ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (O, R). OÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ¤ÍÈ ›Û· ÙfiÍ· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 60Æ. TfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OAB Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ, ÂÂȉ‹ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ (OA = OB = R) Î·È ∧ AOB = 60Æ (›ÎÂÓÙÚË Ô˘ ‚·›ÓÂÈ Û ÙfiÍÔ 60Æ). ÕÚ·, ı· Â›Ó·È Î·È AB = R, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ηÓoÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
E
¢
O
Z R A
60Æ
° R B
™‡ÓıÂÛË: M ·Ú¯‹ ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, R) ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¤ÍÈ ‰È·‰Ô¯Èο ÙfiÍ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¯ÔÚ‰‹ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· R. TÔ ÔχÁˆÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ.
)
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ AB ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ·fi Ù· ¤ÍÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÙfiÍ·. Afi ηٷÛ΢‹ Â›Ó·È AB = OA = OB = R, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ∧ ÙÚ›ÁˆÓÔ OAB Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, A OB = 60Æ. ) 1 ÕÚ·, ÙÔ ÙfiÍÔ AB ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 60Æ, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ 6 ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. M ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‰È·‰Èηۛ· Ô Î‡ÎÏÔ˜ ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È, ÏÔÈfiÓ, Û ¤ÍÈ ›Û· ÙfiÍ· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÂÍ¿ÁˆÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi. ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: E›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ Û ‰Ôı¤ÓÙ· ·ÎÏÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÁÁÚ¿„Ô˘Ì ¿ÂÈÚ· ηÓÔÓÈο ÂÍ¿ÁˆÓ· Ô˘ ı· Â›Ó·È fiÏ· ›Û· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.
268
METPH™H KYK§OY
11.1.
£EøPIA ¶OPI™MA 11.4. ™Â ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û¯¤ÛÂȘ: ·) Ï6 = R,
3 ‚) ·6 = Ø R. 2
¶POB§HMA 11.3. N· ÂÁÁÚ·Ê› ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (O, R). OÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ÙÚ›· ›Û· ÙfiÍ· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 120Æ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ¯ÔÚ‰‹ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘. ™‡ÓıÂÛË: K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì Ì ÙÔ ÁÓˆÛÙfi ÙÚfiÔ ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ AB°¢EZ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, R). ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A°E Î·È B¢Z Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ڷ.
E
¢
°
Z
B
A
H ·fi‰ÂÈÍË Î·È Ë ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó›˜.
¶OPI™MA 11.5. ™Â ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û¯¤ÛÂȘ: ·) Ï3 = 3 Ø R,
1 ‚) ·3 = R. 2
11.1.4. EÁÁÚ·Ê‹ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÁÒÓÔ˘ ¶POB§HMA 11.4. N· ÂÁÁÚ·Ê› ηÓÔÓÈÎfi ‰ÂοÁˆÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. AÓ¿Ï˘ÛË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÙËΠ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ‰ÂοÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (O, R). OÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ‰ÂηÁÒÓÔ˘ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ‰¤Î· ›Û· ÙfiÍ· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 36Æ. AÓ AB Â›Ó·È ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ‰ÂηÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÛÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ OAB Â›Ó·È ∧
A OB = 36Æ
ηÈ
∧
∧
Z
OAB = OBA = 72Æ.
AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ BZ, ÙfiÙ ›ӷÈ
∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
O
A
B
72Æ 36Æ
269
£EøPIA ∧
∧
Z BO = 36Æ = Z OB
ηÈ
∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
∧
B AZ = 72Æ = B ZA.
™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ZOB Î·È BZA Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ηÈ, ¿Ú·, ÈÛ¯‡ÂÈ OZ = ZB = AB. E›Û˘, ·fi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BZA ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ AB > ZA, ‰ËÏ·‰‹ OZ > ZA. Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OAB ¤¯Ô˘Ì OZ OB OZ OA = ηÈ, ¿Ú·, = , ZA AB ZA OZ ÔfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ OZ2 = ZA Ø OA. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Z Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· OA ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ (Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜). ™‡ÓıÂÛË: £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· Ù˘¯Ô‡Û· ·ÎÙ›Ó· OA ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, R) Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì Ì ÙÔ ÁÓˆÛÙfi ÙÚfiÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Z Ô˘ ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ (ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 9, Úfi‚ÏËÌ· 9.6.). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ‰¤Î· ‰È·‰Ô¯Èο ÙfiÍ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¯ÔÚ‰‹ ›ÛË Ì ÙÔ OZ, ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi Ù· ‰‡Ô ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›ÛÙËÎÂ Ë ·ÎÙ›Ó·. TÔ ÔχÁˆÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ‰ÂοÁˆÓÔ.
O
Z
)
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ AB ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ·fi Ù· ‰¤Î· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÙfiÍ·. EÂȉ‹ ÙÔ Z ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· OA Û ̤ÛÔ Î·È OZ OA ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ, ÈÛ¯‡ÂÈ = ηÈ, ÂÂȉ‹ ·fi ηٷÛ΢‹ ›ZA OZ AB OB Ó·È OA = OB, AB = OZ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ = . ZA AB ∧
∧
∧
∧
A
B
Afi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Î·È ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· Z AB = OBA, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· BAZ Î·È OAB Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ÕÚ·, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BAZ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È A OB = A BZ. ∧
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÚÔ·ÙÂÈ Â‡ÎÔÏ· fiÙÈ A OB = 36Æ,
) 1 ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙfiÍÔ AB Â›Ó·È ÙÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 10 ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË: ¶ÚÔÊ·Ó‹˜.
¶APATHPH™H: Afi ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ‰ÂοÁˆÓÔ Î·Ù·Û΢¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÚfiÔ Ô˘ ηٷÛ΢¿ÛÙËΠÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·fi ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ.
270
METPH™H KYK§OY
11.1.
£EøPIA ¢ PA ™ T H P I OT H TA
11.1.
XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚıËÎ·Ó ÛÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿, ÙÔ ·fiÛÙËÌ·, ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
I™TOPIKO ™XO§IO ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁÓˆÚ›Û·Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Û 4, 6, 3, 10 Î·È 5 ›Û· ÙfiÍ· Î·È ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. E›Û˘, ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 1 1 1 – = 6 10 15 ÚÔ·ÙÂÈ, fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Û 15 ›Û· ÙfiÍ·, ·Ó ·fi ÙÔ ÙfiÍÔ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙfiÍÔ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰Âη1 ÁÒÓÔ˘. H ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È ÙÔ 15 ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È Ë ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘. E›Ó·È, ›Û˘, Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ¯ˆÚ›ÛÂÈ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ÛÂ Ó ›Û· ÙfiÍ·, ÙfiÙÂ, ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ Î·ıÂÓfi˜ ·fi ·˘Ù¿, ‰È·ÈÚԇ̠ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û 2Ó ›Û· ÙfiÍ·. Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, Û ›Û· ÙfiÍ· Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ fiÙ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È: ·) 4, 8, 16, 32, … , ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2Ó, Ó=2, 3, 4, 5, … ‚) 3, 6, 12, 24, 48, … , ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 3.2Ó, Ó=0, 1, 2, 3, … Á) 5, 10, 20, 40, 80, … , ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 5.2Ó, Ó=0, 1, 2, 3, … ‰) 15, 30, 60, 120, … , ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 3.5.2Ó, Ó=0, 1, 2, 3, … OÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ηٷÛ΢¤˜ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ¤˜ ηÈ
∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
ÛÙÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ ŒÏÏËÓ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜, ·ÏÏ¿ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Û ·ÚÈıÌfi ›ÛˆÓ ÙfiÍˆÓ Ô˘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ›Ó·Î· (.¯. 7, 9, 11, 13, 14, 17, 18, 19, Î.Ô.Î.) ·Ú¤ÌÂÈÓ ¿Ï˘ÙÔ ÁÈ· ÔÏÏÔ‡˜ ·ÈÒÓ˜. TÔ 1796 Ô C. F. Gauss, Û ËÏÈΛ· 19 ÂÙÒÓ, ¤Î·Ó ÙÔ ÚÒÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ‚‹Ì·, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ fiÙÈ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë Î·Ù·Û΢‹, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, Î·È ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÂÙ·ÁÒÓÔ˘. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ¤Ï˘Û ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÙÔ˘ ÌÔÚÊ‹, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹, fiÙ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È: ·) ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 2, ‚) ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ p = 2Ï + 1, fiÔ˘ Ï Â›Ó·È ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 2, Á) ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÚÒÙˆÓ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÌÔÚÊ‹˜ › ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 2. E›Ó·È ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙÔ fiÙÈ ÔÈ ÌÔÓ·‰ÈÎÔ› ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ p = 2Ï + 1 ÌÂ Ï = 2Ó Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‚ÚÂı› ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ· Â›Ó·È ÔÈ 3, 5, 17, 257 Î·È 65537 (·˘ÙÔ› ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË ÁÈ· Ó = 0, 1, 2, 3 Î·È 4 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·). ÕÚ·, Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË Ë Î·Ù·Û΢‹, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Ì ϋıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, Î.Ô.Î., ‰ËÏ·‰‹ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ‰ÂÓ ÂÌ›ÙÂÈ Û ηÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ηÙËÁÔڛ˜.
271
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. N· ÂÁÁÚ·Ê› ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·˘Ùfi ηÓÔÓÈÎfi 2Ó-ÁˆÓÔ Î·È Ó· ·Ô‰Âȯı› Ô ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ AÚ¯ÈÌ‹‰Ë: Ï2Ó =
2R 2–R 4 R 2–Ï2Ó .
§‡ÛË: ŒÛÙˆ A1A2…AÓ Î·ÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K,) R). AÓ) ıˆڋÛÔ˘Ì ) Ù· ̤۷ M1, M2, …, MÓ ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ A1A2, A2A3, …,AÓA1 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙfiÙÂ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û 2Ó ›Û· ÙfiÍ· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi 2Ó-ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K, R). H ·ÎÙ›Ó· KM1 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ N Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ A1A2 Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ·˘Ù‹Ó. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ NA1M1 ¤¯Ô˘ÌÂ
AÓ
A3 K
MÓ
M2
R N A1
A2 M1
2 1 1 A1M21 = A1¡2 + M1N2 = ÏÓ + (R – ·Ó)2 = Ï2Ó + R2 + ·2Ó – 2R·Ó 2 4 1 2 2 2 AÏÏ¿, ·Ó = R – Ï Ó, ÔfiÙÂ Ë (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 4 Ï22Ó = 2R2 – 2R·Ó = 2R2 – R4 R 2–Ï2Ó
ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜,
2
Ï2Ó =
(1)
2–Ï2Ó . 2R 2–R 4R
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ, ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (K, R), ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ ÏÓ Î·È ·fiÛÙËÌ· ·Ó. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ Ï′Ó ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·ÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô
ÂÓÒ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô
Ï Ï′Ó = R Ø Ó , ·Ó 1 Ï E′Ó = ÓR2 Ø Ó . 2 ·Ó
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ A1A2…AÓ ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ, Ô˘ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K, R). OÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· A1, A2, …, AÓ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ B1B2…BÓ Ô˘ Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. T· ‰‡Ô ηÓÔÓÈο Ó-ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ï¢ÚÒÓ. O ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÔÛÙËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘˜. TÔ ·fiÛÙËÌ·, fï˜, ÙÔ˘ B1B2…BÓ Â›Ó·È KA1 = R ηÈ, ¤ÙÛÈ, ¤¯Ô˘-
272
K AÓ
A4 B3
BÓ A1 B1 A2 B2
A3
METPH™H KYK§OY
11.1.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· Ï′ R Ï Ó = ‹ ÏÓ′ = R Ø Ó . ÏÓ ·Ó ·Ó O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜, ‰ËÏ·‰‹ E′ R 2 Ó = . EÓ ·Ó
EÔ̤ӈ˜,
R2 . EÓ′ = EÓ Ø ·2Ó
EÂȉ‹
1 EÓ = Ó ÏÓ ·Ó, 2 1 Ï EÓ′ = ÓR2 Ø Ó . 2 ·Ó
ı· ¤¯Ô˘ÌÂ
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶ÔÈ· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ·Ì‚Ï›˜;
2.
MÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÙÔ ·fiÛÙËÌ· ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Î·È Ù˘ ÎÂÓÙÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ˆ;
3.
4.
XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 1 1 1 – = , 6 10 15 Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÁÁÚ¿„Ô˘Ì ηÓÔÓÈÎfi 15-ÁˆÓÔ Û ·ÎÏÔ (K, R);
5.
¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ ÌÈ· ÁˆÓ›· 18Æ Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ÎÂÓÙÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÁÒÓÔ˘, ÌÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ËÌ18Æ Î·È Û˘Ó18Æ; „
R=1 AB = Ï10
K R ˆ ·Ó R 2 M
A
A B
Ï10
K
O 18Æ
B
¯
6.
¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, fiÙ·Ó Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ;
7.
MÔÚԇ̠ӷ Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Î·È ÙÔ ·fiÛÙËÌ· ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘;
Ï6
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯¤ÛË ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÓÁÒÓÔ˘ Ì ÙËÓ ÎÂÓÙÚÈ΋ ÙÔ˘ ÁˆÓ›·;
∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
273
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
·) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÁˆÓ›· Î·È Ë ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ˆ‰ÂηÁÒÓÔ˘.
5.
N· ÂÚÈÁÚ¿„ÂÙ ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ Û ·ÎÏÔ (K, R) Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R.
6.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
7.
™Â ·ÎÏÔ (K, R) ıˆÚԇ̠‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¯ÔÚ‰¤˜ AB = Ï4 Î·È °¢ = Ï6. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB¢° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R.
8.
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. ŒÍˆ ·fi ÙÔ ÂÍ¿ÁˆÓÔ Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ̠Ϣڤ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘.
‚) ¶ÔÈÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· 18Æ; Á) Y¿Ú¯ÂÈ Î·ÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ Ì ÁˆÓ›· 100Æ;
2.
¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ϋıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Ó Î·È Ì Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ. AÓ Ó > Ì, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·)
ÏÓ < ÏÌ,
‚)
·Ó > ·Ì
Á)
ÏÌ2 – Ï2Ó
Î·È = 4(·2Ó – ·Ì2)
E›Û˘, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ÙȘ ÎÂÓÙÚÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ.
3.
4.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Û ·ÎÏÔ (O, R).
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ, Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Î·ÓÔÓÈÎfi ‰ˆ‰ÂοÁˆÓÔ.
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi ‰ˆ‰ÂοÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· 2 cm Î·È ÂÌ‚·‰fi 12 cm2. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÔÛÙ‹Ì·Ùfi˜ ÙÔ˘.
‚) N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ‰ˆ‰ÂηÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
Á) T· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘.
·) N· ÂÁÁÚ¿„ÂÙ Û ·ÎÏÔ (K, R) ηÓÔÓÈÎfi ÔÎÙ¿ÁˆÓÔ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿, ÙÔ ·fiÛÙËÌ· Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R.
‰) OÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ A° Î·È B¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô M Ô˘ ÙȘ ‰È·ÈÚ› Û ̤ÛÔ Î·È ¿ÎÚÔ ÏfiÁÔ.
‚) TÔ ›‰ÈÔ Úfi‚ÏËÌ· ÁÈ· ηÓÔÓÈÎfi ‰ˆ‰ÂοÁˆÓÔ.
2.
3.
AÓ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Î·È ÂÚÈÁÚ¿„ÈÌÔ Û ‰‡Ô ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÔχÁˆÓÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi. N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ηÓÔÓÈÎfi ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ AB°¢E ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (K, R) Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) K¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. ‚) A°2 – AB2 = AB Ø A¢.
274
4.
™Â ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÂÁÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ϋıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Ó Î·È 2Ó. AÓ E2Ó Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ 2Ó-ÁÒÓÔ˘ Î·È PÓ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Ó-ÁÒÓÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ 1 E2Ó = PÓ Ø R. 2
5.
·) N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù· ·2Ó Î·È ·Ó ‰‡Ô ηÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ì 2Ó Î·È Ó Ï¢ڤ˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ô˘ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂ
METPH™H KYK§OY
11.2.
£EøPIA
1 2 ÙË Û¯¤ÛË · 2Ó = R(R + ·Ó). 2 ‚) N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÙÔ ·fiÛÙËÌ· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘.
6.
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi ÂÓÙ¿ÁˆÓÔ AB°¢E Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (K, R). N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ) ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ B° ·fi Ù· A Î·È B ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ›ÛË Ì R.
7.
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ AB°¢EZ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R. AÓ ÔÈ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ AB Î·È ¢° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ªB° Î·È MEZ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ R.
8.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Î¿ı ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi.
11.2. ª‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘ 11.2.1. ¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ (¨2.4.4.) ÔÚ›Û·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙfiÍˆÓ ÙË ÌÔ›Ú·, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ÙfiÍÔ Ô˘ Â›Ó·È 1 ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi, ÙÔ 360 ̤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È 360Æ. ŒÓ·˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi˜ ÙÚfiÔ˜ ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙˆÓ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÙfiÍˆÓ ÌÔÚ› Ó· ‰Ôı› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. £ÂˆÚԇ̠·ÎÏÔ (O, R), ¤Ó· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û’ ·˘ÙfiÓ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È ÙÔ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ K§M, ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙ· ÛËÌ›· A, B, °. MÔÚԇ̠ÙÒÚ·, Û‡Ìʈӷ Ì fiÛ· ·Ó·Ê¤ÚıËÎ·Ó ·Ú·¿Óˆ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ, Ó· ÂÁÁÚ¿„Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, R) ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi 6ÁˆÓÔ, 12ÁˆÓÔ, 24ÁˆÓÔ, 48ÁˆÓÔ, 96ÁˆÓÔ, Î.Ô.Î., ηıÒ˜ Î·È Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·. ŸÏ· Ù· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·ÎÙ›Ó·, ÂÓÒ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ ÂÏ·ÙÙÒÓÔÓÙ·È ‰È·ÚÎÒ˜ Î·È Ù· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘˜ Ù›ÓÔ˘Ó Ó· Ù·˘ÙÈÛÙÔ‡Ó Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. E›Û˘, fiÏ· Ù· ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ·fiÛÙËÌ·, Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ ÂÏ·ÙÙÒÓÔÓÙ·È ‰È·ÚÎÒ˜ Î·È ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘˜ Ù›ÓÔ˘Ó Ó· Ù·˘ÙÈÛÙÔ‡Ó Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
™
ª‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘
M A K O
°
B §
275
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
K·ıÒ˜, ÏÔÈfiÓ, ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ‰È·ÚÎÒ˜ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙ÂÙ·È, Ù· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ó· «ÌÔÈ¿˙Ô˘Ó» Î·È Ó· «ÚÔÛÂÁÁ›˙Ô˘Ó» fiÏÔ Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÙÔ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. A˘Ù‹, fï˜, Ë ‰È·‰Èηۛ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÂÓfi˜ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, fiˆ˜ Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜, ·fi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·, fiˆ˜ Â›Ó·È Ù· ÔχÁˆÓ·, ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÔÚÈÛı› Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·. M ÙÔ ‰È·‰Ô¯ÈÎfi ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Ì fiÚÔ˘˜, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙȘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘˜ ÙˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ÚÒÙË ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û·, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ οı ӤԢ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ηٷÛ΢¿˙Ô˘ÌÂ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ·Ì¤Ûˆ˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘, ÂÓÒ Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·ÎÔÏÔ˘ı›· Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û·, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ οı ӤԢ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ·Ì¤Ûˆ˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘. E›Û˘, οı fiÚÔ˜ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi οı fiÚÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. E›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÁÈ· ÙÔÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi οı fiÚÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi οı fiÚÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î¿ı ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î¿ı ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ̋ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· L. E›Û˘, ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ L ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
11.2.2. M‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙfiÍˆÓ ¶·›ÚÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë fiÛ· ·Ó·Ê¤ÚıËÎ·Ó ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ L ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ·Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ¿ ÙÔ˘ Ì’ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÈϤÁÂÙ·È ˆ˜ ÌÔÓ¿‰· (·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ·, ·Ó ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·). °È· Ú·ÎÙÈÎÔ‡˜ ·ÏÏ¿ Î·È ıˆÚËÙÈÎÔ‡˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÂÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ˆ˜ ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ıÂÒÚËÌ·,
276
METPH™H KYK§OY
11.2.
£EøPIA ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË: £EøPHMA 11.5. O ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜ ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜. O ÏfiÁÔ˜ ·˘Ùfi˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi (‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· Î·È Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·Û‡ÌÌÂÙÚ·) Î·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘, Ì ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË 40 ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ, Â›Ó·È 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41972 O ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· , ·Ú¯ÈÎfi Ù˘ Ϥ͢ «ÂÚÈʤÚÂÈ·», ÙËÓ ÔÔ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ, ÁÈ· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘.*
* O N. X·Ù˙ȉ¿Î˘ (1872-1942), ηıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ AıËÓÒÓ, ÂÈÓfiËÛ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÌÓËÌÔÙ¯ÓÈÎfi ÙÂÙÚ¿ÛÙȯÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÙˆÓ Ï¤ÍÂÒÓ ÙÔ˘ ‰›ÓÂÈ Î·Ù¿ ÛÂÈÚ¿ Ù· 23 ÚÒÙ· „ËÊ›· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ : A› Ô £Âfi˜ Ô Ì¤Á·˜ ÁˆÌÂÙÚ›. 3, 1 4 1 5 9 TÔ Î‡ÎÏÔ˘ Ì‹ÎÔ˜ ›Ó· ÔÚ›ÛË ‰È·Ì¤ÙÚˆ, 2 6 5 3 5 8 ¶·Ú‹Á·ÁÂÓ ·ÚÈıÌfiÓ ·¤Ú·ÓÙÔÓ 9 7 9 K·È ÔÓ Ê‡! Ô˘‰¤ÔÙ fiÏÔÓ ıÓËÙÔ› ı· ‡ڈÛÈ. 3 2 3 8 4 6 2 6
¶OPI™MA 11.6. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Â›Ó·È L = 2 Ø R Afi‰ÂÈÍË: EÂȉ‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, L = . 2R ÕÚ·, ›ӷÈ
▲
L = 2R.
)
AÓ AB Â›Ó·È ¤Ó· ÙfiÍÔ Î‡ÎÏÔ˘, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠̠·ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ¿ ÙÔ˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˜ ÁÚ·Ì̤˜ Ì ¿ÎÚ· Ù· ÛËÌ›· A, B. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· S.
A
B
EÂȉ‹ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (O, R) ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 360Æ Î·È Ì‹ÎÔ˜ L = 2R, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ¤Ó· ÙfiÍÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ 1Æ ı· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2R R S = = . 360 180 O
ÕÚ·, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÌÆ ı· ›ӷÈ
ÌÆ
Ì S = R 180
ª‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘
. A
B
277
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
™XO§IO:
OÈ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ‹ ÙfiÍÔ˘ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙË ÌÔ›Ú· Ô˘ ˘Ô‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, Î·È ÌÈ· Ó¤· ÌÔÓ¿‰·, ÙÔ ·ÎÙ›ÓÈÔ, Ô˘ ˘Ô‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙfiÍÔ ÂÓfi˜ ·ÎÙÈÓ›Ô˘ (1 rad), ÙÔ ÙfiÍÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ™‡Ìʈӷ Ì’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜˜ RÌ L = 2R Î·È S = 180 Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: ➧
ŒÓ·˜ ·ÎÏÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2 rad, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ L = 2 (rad)
➧
.
Ì ŒÓ· ÙfiÍÔ ÌÆ ÈÛÔ‡Ù·È Ì · = rad, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ 180 S = ·R (rad)
.
Afi ÙËÓ ÚÒÙË Û¯¤ÛË ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙfiÍÔ ÂÓfi˜ ·ÎÙÈÓ›Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È 1 Ì ÙÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ÕÚ·, Ë Û¯¤ÛË ·ÎÙÈÓ›Ô˘ Î·È ÌÔ›Ú·˜ ›ӷÈ: 2 1 1 1 rad = 360Æ = 180Æ. 2 XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË = 3,14159, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ 1 180 = 57,295828 ηÈ, ÌÂÙ·ÙÚ¤ÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ¤¯Ô˘Ì 1 rad 57Æ17′45′′
.
E›Û˘, ·Ó · Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ Û ·ÎÙ›ÓÈ· Î·È Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ì ÙÔ˘ Û ÌÔ›Ú˜, ÙfiÙ ·fi ÙË Û¯¤ÛË · = ¤¯Ô˘Ì 180 · Ì = 180
.
EÂȉ‹ Ô Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ Û ·ÎÙ›ÓÈ· ‰ÂÓ ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ·ÚÈıÌËÙÈο, ·ÏÏ¿ ÙÔ ‰›ÓÔ˘Ì ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ 30 . ¶.¯. ÙÔ ÙfiÍÔ 30Æ ÈÛÔ‡Ù·È Ì = 0,5236 rad, ·ÏÏ¿ ÙÔ ÂÎ180 6 ÊÚ¿˙Ô˘Ì ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· ˆ˜ rad. T¤ÏÔ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·˜ ÙfiÍˆÓ 6 Î·È Â›ÎÂÓÙÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÙÔ ·ÎÙ›ÓÈÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Î·È ÁÈ· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ.
278
METPH™H KYK§OY
11.2.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
EÊ·ÚÌÔÁ‹ TÚÂȘ ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Â͈ÙÂÚÈο ÛÙ· ÛËÌ›· A, B Î·È °. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ «Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘» AB°. §‡ÛË: T· ΤÓÙÚ· O, K Î·È M ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Î‡ÎÏˆÓ Â›Ó·È
)
ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ 2R. T· ÙfiÍ· AB,
)
)
O
A° Î·È B° ¤¯Ô˘Ó ̤ÙÚÔ 60Æ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Î·Ì˘ÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ «ÙÚÈÁÒÓÔ˘» AB° ›ӷÈ
A
°
RÌ RÌ R Ø 60 3 Ø = = = R. 180 60 60
K B
M
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¢‡Ô ÙfiÍ· Ì ›Û· ̤ÙÚ· ¤¯Ô˘Ó ›Û· Ì‹ÎË;
2.
ŒÓ· ÙfiÍÔ 1Æ ÙÈ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÙÈÓ›Ô˘ ›ӷÈ; ŒÓ· ·ÎÙ›ÓÈÔ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ ›ӷÈ;
3.
AÓ ¤Ó· Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ ‰È·Ó‡ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 1 m Û 20 sec, Û fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ‰È·Ó‡ÛÂÈ ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜;
4.
ŒÓ· ÙfiÍÔ 30Æ Î‡ÎÏÔ˘ (O, R) ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ Ì‹ÎÔ˜ ·fi ¤Ó· ÙfiÍÔ 30Æ Î‡ÎÏÔ˘ (K, Ú). ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯¤ÛË ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ R Î·È Ú;
3m
4m 7m
2m
4m
3m
6m Kϛ̷η 1:300
ª‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘
279
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·˜ M¤ÙÚÔ ÁˆÓ›·˜ Û ·ÎÙ›ÓÈ·
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
1.
M¤ÙÚÔ ÁˆÓ›·˜ Û ÌÔ›Ú˜
™Â ·ÎÏÔ (K, R) ıˆÚԇ̠‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ AB = R, B° = R2 Î·È °¢ = R3 .
) ) N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ AB, B°, ) )
180Æ
°¢ Î·È ¢A.
2 90Æ /6
2.
¢‡Ô ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, Î·È B° Â›Ó·È ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ·˘ÙÒÓ. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
3.
R ¢‡Ô ·ÎÏÔÈ (K, R) Î·È §, 2
/4 60Æ 0 2/3 270Æ /36
5/6 210Æ
)
3.
°È· ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË 36 Km Ô ÙÚÔ¯fi˜ ÂÓfi˜ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ οÓÂÈ 16500 ÛÙÚÔʤ˜. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÔ¯Ô‡.
)
280
4.
M ΤÓÙÚ· ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒ· ÓÔ˘ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ · Î·È ·ÎÙ›Ó· ÁÚ¿2 ÊÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·ÎÏÔ˘˜. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Â͈ÙÂÚÈο Î·È ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Î‡ÎψÓ.
5.
¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. M ΤÓÙÚ· ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, B Î·È ·ÎÙ›Ó· · ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈ· ̤۷ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ °E¢.
)
)
4.
£ÂˆÚԇ̠ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· A1, A2, …, AÓ (Ó ≥ 3) ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Ì ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ A1A2, A2A3, …, AÓ–1AÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ A1AÓ.
5.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, fiÙ·Ó ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘ AB Î·È A° ¤¯Ô˘Ó Ì‹ÎË 6 cm Î·È 8 cm ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
6.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·) ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ 3 cm Î·È 4 cm, ‚) ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·, Á) ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ‚¿ÛË 12 cm Î·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜ 10 cm.
)
ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ AB Î·È A°.
¢‡Ô ÙfiÍ· AB Î·È °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, R) ¤¯Ô˘Ó ̤ÙÚ· 36Æ Î·È rad ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ ÙÔ 8 ) AB ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ , Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ °¢.
ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È
ÂÛˆÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. Afi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ K ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· K¯, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÌÈÎÚfi ·ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô B Î·È ÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ Ì‹ÎË
3Æ
2.
METPH™H KYK§OY
11.3.
£EøPIA
11.3. ∂Ì‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ 11.3.1. ¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ Ì ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·  ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ٷ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·, ÁÈ· Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. M ·ÊÂÙËÚ›· ÙÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È Ì ‰È·‰Ô¯ÈÎfi ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È ‰‡Ô ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜. H ÚÒÙË ·’ ·˘Ù¤˜, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û·, ¤¯ÂÈ ˆ˜ fiÚÔ˘˜ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. H ‰Â‡ÙÂÚË, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û·, ¤¯ÂÈ ˆ˜ fiÚÔ˘˜ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÂÚÈÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. K·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÁÈ· ÙÔÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi οı fiÚÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi οı fiÚÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. ¢ËÏ·‰‹, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi οı ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi οı ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. TÔÓ ·ÚÈıÌfi ·˘Ùfi ÙÔÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ Î·È ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· E. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ¤Ó·Ó ÙÚfiÔ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘:
ª
M A K O
°
B §
£EøPHMA 11.6 TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· Î·È ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
¶OPI™MA 11.7. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Â›Ó·È E = R2 Afi‰ÂÈÍË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 11.6., Â›Ó·È 1 1 E = L Ø R = 2R Ø R = R2. 2 2 EÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘
▲
281
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
11.3.2. EÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· Î·È Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AÓ OAB Â›Ó·È ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ÙÔ̤·˜ ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ (O, R), ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠̠·ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ OAB ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˜ ÁÚ·Ì̤˜. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì EÙ. EÂȉ‹ ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ (O, R) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ÙÔ̤·˜ Ì ÙfiÍÔ 360Æ Î·È ÂÌ‚·‰fi E = R2, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ô Î˘ÎÏÈÎfi˜ ÙÔ̤·˜ Ì ÙfiÍÔ 1Æ ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi
O ÌÆ A
B
R2 E Ù = . 360 ÕÚ·, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· Ì ÙfiÍÔ ÌÆ ı· Â›Ó·È Ì EÙ = R2 360 ŸÙ·Ó ÙÔ ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Û ·ÎÙ›ÓÈ·, ÙfiÙÂ Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË, ·Ó ÏËÊı› ˘fi„Ë Ë Û¯¤ÛË Ì · = , Á›ÓÂÙ·È 180 1 EÙ = ·R2 2
.
TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ A™B ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ›, ·Ó ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· OAB ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ) ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ OAB. AÓ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ AB Â›Ó·È ÌÆ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì Ì EÙÌ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ÙfiÙ ¤Ó·˜ ‡¯ÚËÛÙÔ˜ Ù‡Ô˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜: EÙÌ = EÙ – ∂OAB
Ì R2Ì 1 1 = – R2 ËÌÌÆ = R2 – ËÌÌÆ . 360 2 2 180
O ÌÆ A
™
B
I™TOPIKO ™XO§IO H ̤ÙÚËÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ·fi Ù· ·Ú¯·ÈfiÙÂÚ· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Ë ·Ó·˙‹ÙËÛË ÌÈ·˜ ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Î·È ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ··Û¯fiÏËÛ ÔÏÏÔ‡˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ Ï·Ô‡˜. ™Â ·ÈÁ˘ÙÈ·Îfi ¿˘ÚÔ, Ô˘ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi ÙÔ 1650 .X., ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi ¯ˆÚ›Ô ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ 9 ÌÔÓ¿‰ˆÓ ÂÍÈÛÒÓÂÙ·È Ì’ ¤Ó· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi
282
¯ˆÚ›Ô ÏÂ˘Ú¿˜ 8 ÌÔÓ¿‰ˆÓ. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ 9 2 Ø = 82, 2 ·’ fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈ΋ ÙÈÌ‹ = 3,16. E›Û˘, Û ÌÈ· ‚·‚˘ÏˆÓȷ΋ ÈӷΛ‰· Ù˘ ›‰È·˜ ÂÚÈfi‰Ô˘, Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘
METPH™H KYK§OY
11.3.
£EøPIA ‰›ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂÍËÎÔÓÙ·‰È΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË 36 57 + 2 = 0,96. 60 (60) A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ 6R = 0,96, 2R ·’ fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÙÈÌ‹ = 3,125. OÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ Â͢ËÚÂÙÔ‡Û·Ó Ú·ÎÙÈΤ˜ ·Ó¿ÁΘ, fiˆ˜ .¯. ηٷÛ΢¤˜ Ù¯ÓÈÎÒÓ ¤ÚÁˆÓ, ηıÒ˜ Î·È ·ÛÙÚÔÓÔÌÈΤ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ. ™ÙËÓ ·Ú¯·›· EÏÏ¿‰· Ë Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·¤ÎÙËÛÂ Î·È ıˆÚËÙÈÎfi ÂӉȷʤÚÔÓ, ηıÒ˜ Û˘Ó‰¤ıËΠ̠ÙËÓ ··›ÙËÛË ·˘ÛÙËÚ‹˜ ·fi‰ÂÈ͢ ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛˆÓ, ·ÏÏ¿ Î·È Ì ÙÔ ÂÚ›ÊËÌÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. O E˘ÎÏ›‰Ë˜ ÛÙ· «™ÙÔȯ›·» (‚È‚Ï›Ô XII, ÚfiÙ·ÛË 2) Ì ˘Ô‰ÂÈÁÌ·ÙÈ΋ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ·˘ÛÙËÚfiÙËÙ· Î·È ¯ˆÚ›˜ ηÌÈ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿ Û ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ «OÈ Î‡ÎÏÔÈ ÚÔ˜ ·ÏÏ‹ÏÔ˘˜ ÂÈÛ›Ó ˆ˜ Ù· ·fi ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·», ÂÓÒ Ô AÚ¯ÈÌ‹‰Ë˜ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «K‡ÎÏÔ˘ ̤ÙÚËÛȘ», ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· (6ÁˆÓÔ, 12ÁˆÓÔ, 24ÁˆÓÔ, 48ÁˆÓÔ Î·È 96ÁˆÓÔ), ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ 10 ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi Ù· 3 Ù˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ 71 1 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· 3 ·˘Ù‹˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ 7 3,1408 < < 3,1429. O ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Û˘Ó›ÛÙ·Ù·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi Ì ‰Ôı¤ÓÙ· ·ÎÏÔ, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì· . O˘ÛÈ·ÛÙÈÙÔ˜ · Ù¤ÙÔÈÔ˘, ÒÛÙ ·2 = R2 ‹ · = R ο, ÏÔÈfiÓ, Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì‹. EÂȉ‹ ÁÈ· ‰ÔṲ̂ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· · ÎÔ˘˜ ÌÔÚԇ̠¿ÓÙÔÙ ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ · , Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·Ó¿ÁÂÙ·È, ÙÂÏÈο, ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì‹ÎÔ˘˜ . TÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi Ô‰‹ÁËÛ ÛÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ʇÛ˘ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Î·È ÛÙËÓ Â›Ù¢ÍË ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚˆÓ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂÒÓ ÙÔ˘.
O KÈÓ¤˙Ô˜ Tsu Chung-Chi (5Ô˜ ·È. Ì.X.) ÁÓÒÚÈ˙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ 3,1415926 < < 3,1415927, ÂÓÒ Ô ÕÚ·‚·˜ Al-Kashi (15Ô˜ ·È.) ›¯Â ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙÔ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· 16 ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ. M ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Î·È Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ ÂÈÓÔ‹ıËÎ·Ó ‰È¿ÊÔÚ˜ ̤ıÔ‰ÔÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ . TÔÓ 18Ô ·ÈÒÓ· ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ¿ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi 100 ‰Âη‰Èο „ËÊ›· ÙÔ˘ . ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô J.H. Lambert ·¤‰ÂÈÍ ÙÔ 1761 fiÙÈ Ô Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ (ηÈ, ¿Ú·, ı· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ·, ÌË ÂÚÈÔ‰Èο „ËÊ›·), ÔÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› ·˘ÙÔ› Û˘Ó¯›ÛÙËηÓ, ΢ڛˆ˜ ˆ˜ ¤Ó· ̤ÛÔ ÂϤÁ¯Ô˘ Ó¤ˆÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÈÎÒÓ ÌÂıfi‰ˆÓ. TÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·Ô‰Â›¯ıËÎÂ, ÌfiÏȘ ÙÔ 1882, fiÙÈ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ Ó· Ï˘ı› fiÙ·Ó Ô F. Lindemann ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ô Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ú›˙· ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË Ë Î·Ù·Û΢‹ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ̋ÎÔ˜ .* H ·Ó·˙‹ÙËÛË ÌÂÁ¿ÏÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ‰Âη‰ÈÎÒÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Û˘Ó¯›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙȘ ̤Ú˜ Ì·˜, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·Ó›Û¯˘ÚˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ. ™‹ÌÂÚ·, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi 50 ‰ÈÛÂηÙÔÌ̇ÚÈ· „ËÊ›·! OÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› ·˘ÙÔ› Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó ‚·ÛÈο ‰‡Ô ·Ó¿ÁΘ: ·) TË ÛÙ·ÙÈÛÙÈ΋ ÌÂϤÙË Ù˘ ηٷÓÔÌ‹˜ ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ̤۷ ÛÙÔ ·¤Ú·ÓÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ . Œ¯ÂÈ ‰È·ÈÛÙˆı› .¯. fiÙÈ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· 10 „ËÊ›· ¤¯ÂÈ ÙËÓ ›‰È· Û˘¯ÓfiÙËÙ· ÂÌÊ¿ÓÈÛ˘. E›Û˘, ÛÙ· „ËÊ›· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·, Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· „ËÊ›ˆÓ 0123456789 ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È 6 ÊÔÚ¤˜, ÂÓÒ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓË ·fi 12 Û˘Ó¯fiÌÂÓ· 9. ‚)
TÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô Ù˘ ·ÍÈÔÈÛÙ›·˜ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ, ·ÊÔ‡ Ô ÛˆÛÙfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÂÓfi˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ô ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ ¤¯ÂÈ ÂÎÙÂϤÛÂÈ, ¯ˆÚ›˜ ÛÊ¿ÏÌ·, ‰ÈÛÂηÙÔÌ̇ÚÈ· Ú¿ÍÂȘ.
∞Ú¯ÈÌ‹‰Ë˜
* ŸÙ·Ó ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ú›˙· ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜, 3 fiˆ˜ .¯. ÔÈ 2 Î·È 2 Ô˘ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ú›˙˜ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ x2 – 2 = 0 Î·È x3 – 2 = 0. Afi ·˘ÙÔ‡˜ Ô ÚÒÙÔ˜ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÂÓÒ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fi¯È.
EÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘
283
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ¢ PA ™ T H P I OT H TA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
11.2.
¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˘ ÚÔ˜ ‰Â‰Ô̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÏÏ· Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÙÔ‡Ó. T¤ÙÔÈ· Â›Ó·È .¯. ÔÈ ÌËÓ›ÛÎÔÈ, ‰ËÏ·‰‹ ›‰· ¯ˆÚ›· Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÔÓÙ·È ·fi ÙfiÍ· ·ÎψÓ. H ϤÍË «ÌËÓ›ÛÎÔ˜» Â›Ó·È ˘ÔÎÔÚÈÛÙÈÎfi Ù˘ ·Ú¯·›·˜ Ϥ͢ «Ì‹ÓË» (ÛÂÏ‹ÓË) Î·È ÛËÌ·›ÓÂÈ ÙÔ ÊˆÙÂÈÓfi ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˘ Ù˘ Á˘, fiÙ·Ó Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙËÓ ·ÓÛ¤ÏËÓÔ ‹ ÙËÓ ËÌÈÛ¤ÏËÓÔ. O IÔÎÚ¿Ù˘ ·fi ÙË X›Ô (Ù¤ÏË 5Ô˘ ·È. .X.) ‹Ù·Ó Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÌËÓ›ÛÎˆÓ Î·È ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ÔÚÈṲ̂ÓÔÈ ·’ ·˘ÙÔ‡˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÙÔ‡Ó. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 1 ¤¯Ô˘Ì ηٷÛ΢¿ÛÂÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÌËÓ›ÛÎÔ˘˜, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ Ù¤ÛÛÂÚ· ËÌÈ·ÎÏÈ· Ì ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Û ·ÎÏÔ. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÌËÓ›ÛÎˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 2 ¤¯Ô˘Ì ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ‰‡Ô ÌËÓ›ÛÎÔ˘˜, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ ÙÚ›· ËÌÈ·ÎÏÈ· Ì ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÌËÓ›ÛÎˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÙÂ, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÌËÓ›ÛÎÔ˘˜.
A
¢ √
Û¯. 1
B
° °
Û¯. 2
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B
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙˆÓ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ ·ÎÙ›Ó·˜ R ·fi ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ AB = R. §‡ÛË: TÔ ÂÌ‚·‰fi ∂1 ÙÔ˘ ÌÈÎÚÔ‡ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ KAB ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· ∫∞µ, ‰ËÏ·‰‹
R2 Ø 60 R2 3 E1 = EÙ KAB – EKAB = – 360 4 3 R2 R2 R2 = – = (2 – 33 ) 6 12 4 TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ E1 ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ R2 R2 E2 = R2 – (2 – 3 3) = (10 + 33 ). 12 12
284
K R
60Æ R
R A
B
METPH™H KYK§OY
11.3.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2
™Â ·ÎÏÔ (K, R) ıˆÚԇ̠‰‡Ô οıÂÙ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ AB Î·È °¢. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔ ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (A, A°), Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· Ù· °, ¢ Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ AB ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ÌËÓ›ÛÎÔ˜ °E¢B° ÙÂÙÚ·ÁˆÓ›˙ÂÙ·È. Afi‰ÂÈÍË: TÔ ÂÌ‚·‰fi E ÙÔ˘ ÌËÓ›ÛÎÔ˘ °E¢B° ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ E2 ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢E° ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi E1 ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ °¢. H ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (A, A°) Â›Ó·È ∧
R2+ Ú = R 2 = R2
A
Ú °
Î·È Ë ÁˆÓ›· ° A¢ Â›Ó·È ÔÚı‹. EÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ
R
R K
¢
E
E2 = EÙ A°¢ – EÙÚÈÁ. A°¢ Ú2 Ø 90 1 Ø 2R2 1 R2 = – °¢ØAK = – Ø 2R Ø R = – R2. 360 2 4 2 2 ÕÚ·,
B
1 R2 E = E1– E2 = R2 – – R2 = R2, 2 2
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô ÌËÓ›ÛÎÔ˜ °E¢B° ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ R, ‰ËÏ·‰‹ ÙÂÙÚ·ÁˆÓ›˙ÂÙ·È.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi;
3.
¶fiÙ ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ÙÔ̤·˜ · rad ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, R) Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˜ Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ R;
2.
™Â ·ÎÏÔ (K, R) ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ÙÔ̤·˜ ÌÆ ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ¯ÔÚ‰‹ AB = ÏÓ Û ‰‡Ô ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË. EÎÊÚ¿ÛÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÏÓ Ø ·Ó Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ R Î·È Ì.
4.
TÔ ¯ˆÚ›Ô Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÔÌfiÎÂÓÙÚˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (΢ÎÏÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜) ÙÂÙÚ·ÁˆÓ›˙ÂÙ·È;
EÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘
∫ ÌÆ ∞
µ
R
Ú
285
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
M ΤÓÙÚ· ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢
1.
· ÏÂ˘Ú¿˜ · Î·È ·ÎÙ›Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÂÙ·Ú2 ÙÔ·ÎÏÈ· ̤۷ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ ÛÙ·˘ÚÔ‡ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, R) Î·È (K, R) Ì OK = R3 . AÊÔ‡ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·’ ·˘ÙÔ‡˜.
2.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô οıÂÙ˜ ·ÎÙ›Ó˜ KA, KB ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (K, R) Î·È ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (A, R), Ô ) ÔÔ›Ô˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ¤Ï·ÛÛÔÓ ÙfiÍÔ AB ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ «ÌÈÎÙfiÁÚ·ÌÌÔ˘» ÙÚÈÁÒÓÔ˘ KB°.
3.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (K, R) Î·È ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘ AB = R2 Î·È °¢ = R 3, ÔÈ Ôԛ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ K.
™Â ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ R ÂÁÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢. ·) N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. ‚) ™ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÁÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ Ú. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ R.
3.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙÚÂȘ ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ·ÎÙ›Ó·˜ R, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Â͈ÙÂÚÈο.
4.
M ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ËÌÈ·ÎÏÈ· ̤۷ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÂÙÚ¿Ê˘ÏÏÔ˘ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
4.
N· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ ¤Ó·Ó ΢ÎÏÈÎfi ‰›ÛÎÔ (K, R) Ì ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË.
5.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ΢ÎÏÈÎfi ÙÔ̤· ·ÎÙ›Ó·˜ R Î·È ÁˆÓ›·˜ 90Æ.
5.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ Ì ÂÌ‚·‰fi ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‹ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ‰ÔÛÌ¤ÓˆÓ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ‰›ÛΈÓ.
6.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ù· ÙfiÍ·
6.
7.
286
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
) )
)
AB, B° Î·È A°
A B ° Â›Ó·È ËÌÈ·ÎÏÈ·. N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ¯ˆÚ›Ô ΛÙÚÈÓÔ˘ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ΢ÎÏÈÎÒÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ÛÙ· ÔÔ›· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ·fi ÙË ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Û’ ·˘ÙfiÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.
7.
T· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È 5 · = 2, ‚ = Î·È Á = 3. 2 N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·˘ÙÔ‡.
¢›ÓÂÙ·È ËÌÈ·ÎÏÈÔ Î¤ÓÙÚÔ˘ O Î·È ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB = 2R. AÓ ÁÚ¿„Ô˘Ì ËÌÈ·ÎÏÈ· Ì ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ OA Î·È OB ̤۷ ÛÙÔ ÚÒÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙ· ÙÚ›· ËÌÈ·ÎÏÈ·.
8.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ·ÎÙ›Ó˜ R Î·È 3R ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ A. ∞Ó B° Â›Ó·È ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘˜, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
METPH™H KYK§OY
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 11Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
¢ı›·˜ OK. ŒÍˆ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ B°. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ¯ˆÚ›Ô Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi Ì ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ OB°K.
ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ Î·È ¤¯ÂÈ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: ·) AÓ ¤¯ÂÈ ¿ÚÙÈÔ Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ, ÙfiÙ ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ‚) AÓ ¤¯ÂÈ ÂÚÈÙÙfi Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ, ÙfiÙ ÙÔ ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi.
2.
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ 2Ó-ÁÒÓÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (O, R), Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ηÓÔÓÈÎÒÓ Ó-ÁÒÓˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, R).
3.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ΢ÎÏÈÎÒÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ÛÙ· ÔÔ›· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (O, R) ·fi ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙË ÌÈ·˜ ·ÎÙ›Ó·˜ ÙÔ˘.
4.
5.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· °, ¢ Ù˘ AB. °Ú¿ÊÔ˘Ì ٷ ËÌÈ·ÎÏÈ· ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ A°, B¢ ̤۷ ÛÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ËÌÈ·ÎÏÈÔ Î·È ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ °¢ ¤Íˆ ·’ ·˘Ùfi. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘, Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È Î·È ·fi Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ËÌÈ·ÎÏÈ·, ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙË Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙˆÓ A¢ Î·È B°.
6.
ŒÓ· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ (O, Ú). £ÂˆÚÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÎÏÔ˘˜ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÙÔ˘ (O, Ú) Î·È ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Î‡ÎÏˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (O, Ú).
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, R) Î·È (K, R) ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. º¤ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÎÙ›Ó˜ OB Î·È K° ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 11Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:
·) ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‚)
¢‡Ô fiÌÔÈ· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.
Á) ¢‡Ô fiÌÔÈ· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ 1 Â›Ó·È ›Û·. ‰) H ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 36Æ. Â)
K¿ı ÁˆÓ›· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 360Æ = 72Æ. 5 ÛÙ) ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·ÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ Ì ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· 10Æ. ˙)
K¿ı ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ.
Ë) O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ηÓÔÓÈÎÒÓ ÂÍ·ÁÒÓˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÔÛÙËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘˜. ı)
AÓ ‰‡Ô ηÓÔÓÈο ‰ÂοÁˆÓ· Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤-
METPH™H KYK§OY
Ó· ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ, ÙfiÙÂ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, È)
AÓ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·ÎÙ›Ó· ·fi ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ Î‡ÎÏÔ, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ Î·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fi.
È·) £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙfiÍÔ Î‡ÎÏÔ˘ (O, R) Î·È ¤Ó· ÙfiÍÔ Î‡ÎÏÔ˘ (K, Ú) Ì ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ. O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ R ÌËÎÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙfiÍˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì . Ú È‚) ™Â ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ 2 cm, ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ÙÔ̤·˜ x rad ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi x cm2. ÈÁ) E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ‰ÔṲ̂ÓÔ Î‡ÎÏÔ. ȉ) ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ Ì ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi. ÈÂ) ŒÓ· ÔχÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ Ì Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi.
2.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ϋ∧ ∧ ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Ó, Ì Î·È ÎÂÓÙÚÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆÓ, ˆÌ ∧ ∧ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ ˆÓ = 2 Ø ˆÌ, ÙfiÙ A. Ì < Ó
°. Ó = 2Ì
B. Ô Ì Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜
¢. Ô Ì Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜.
287
ANAKEºA§AIø™H 3.
ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ Î·È ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi Ì-ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ. AÓ Ó > Ì, ÙfiÙÂ
5.
O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ›ӷÈ
A. TÔ Ó-ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· ·fi ÙÔ Ì-ÁˆÓÔ.
A. 2
B. 3
°.
¢. 2
B. ÏÓ < ÏÌ (ÏÓ, ÏÌ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜).
E. 3
°. ·Ó < ·Ì (·Ó, ·Ì Ù· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘˜). ¢. H ÁˆÓ›· ÙÔ˘ Ó-ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘ Ì-ÁÒÓÔ˘.
4.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
AÓ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ڷ, ÙfiÙ A. Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜ 1 Â›Ó·È 6
¢
A E B
O
6.
A. 2R2 Z
¢. Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È ¢E Â›Ó·È ·Û‡ÌÌÂÙÚ·.
A
B. R2
B
O
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›· ËÌÈA ·ÎÏÈ· Ì ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ B°, AB Î·È A°. TÔ B R O R ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÌËÓ›ÛÎˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ
°
1 B. Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 4 ∧ ∧ °. ¢OE > BO°
°
°
1 °. R2 2
R 2 ¢. E. ( – 1)R2 2 ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û¯‹Ì· Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ηı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÌËÓ›ÛÎÔ˘˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓ›˙ÂÙ·È. ¶ÂÚÈÁÚ¿„Ù ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ηٷÛ΢‹.
ANAKEºA§AIø™H TÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 11 ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Î·È ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. °È· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·, ‰ËÏ·‰‹ ÔχÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. K¿ı ηÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ Î·È ÂÚÈÁÚ¿„ÈÌÔ Û’ ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ, ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘. ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. TÔ Úfi‚ÏËÌ· ηٷÛ΢‹˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÛÂ Ó ›Û· ÙfiÍ·. H χÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ó. °ÓˆÚ›Û·Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘, ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÁÒÓÔ˘, ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ Î·È Î·ÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ÂηÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘. O ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· . TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Â›Ó·È L=2R. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· Î·È ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Â›Ó·È E=R2. ø˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
288
METPH™H KYK§OY
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
12
∂˘ı›˜ Î·È Â›Â‰· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
12.1. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
12.1.1 EÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È· ÌÂÏÂÙ‹Û·Ì ÌfiÓÔ Â›Â‰· Û¯‹Ì·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘˜ Ó· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô. ¶·Ú·‰Â¯ı‹Î·Ì ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ‰È·Ù˘ˆÌ¤ÓÔ, fiÙÈ fiÏ· Ù· ›‰· Û¯‹Ì·Ù· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û’ ¤Ó· ÌfiÓÔ Â›Â‰Ô. ™ÙËÓ Ô˘Û›·, ÁÈ· ÙË ÌÂϤÙË Â›Â‰ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ›‰·, ıˆڋ۷Ì ÌÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ·˘ÙÒÓ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô. H ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ·˘Ù‹ Á›ÓÂÙ·È Ì ٤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ ÌË ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô Ù˘¯·›ˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¢ËÏ·‰‹, ηٿ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ·ÏÏÔÈÒÓÂÙ·È Ë ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi Ú¤ÂÈ Ó· ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì fiÙÈ ‰ÂÓ ÔÚ›Û·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, ·ÏÏ· ‰Â¯ı‹Î·Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË (‹ ÙË ÌÔÚÊ‹) ·˘ÙÔ‡ Ì ÙÚfiÔ ÂÌÂÈÚÈÎfi. ¶Ú¤ÂÈ ·ÎfiÌË Ó· ÙÔÓ›ÛÔ˘ÌÂ, fiÙÈ fiÙ·Ó ÌÈÏ¿Ì ÁÈ· «Â›Â‰Ô» ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi «ÂÎÙ›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ». ¢ÂÓ ıˆÚԇ̠‰ËÏ·‰‹ ÌfiÓÔ ¤Ó· ÂÚÈÔÚÈṲ̂ÓÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘. O Ê˘ÛÈÎfi˜ ÎfiÛÌÔ˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ˙Ô‡ÌÂ Â›Ó·È ¯ÒÚÔ˜ «ÙÚÈÒÓ ‰È·ÛÙ¿Ûˆӻ. ™ÙÔ ¯ÒÚÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Û¯‹Ì·Ù· Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È Â›Â‰·. M·˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ ·fi ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ Û¯‹Ì·-
™
™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
¢ °
E A
B
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289
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
Ù·, fiˆ˜ Ë ÛÊ·›Ú·, Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜, Ô Î‡‚Ô˜, Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â›Â‰·. H ÌÂϤÙË Ù¤ÙÔÈˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô‰‹ÁËÛ ÛÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ‹ Ù˘ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. ∆· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÌÂÏÂÙÔ‡ÓÙ·È ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿ ‹ Û‡ÓÙÔÌ· ÛÙÂÚ¿. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ηıÒ˜ Î·È ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Î·È ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ. ∫·Ù¿ ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÁÎË, ÁÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË ‰È¢ÎfiÏ˘ÓÛË, Ó· «Û¯Â‰È¿ÛÔ˘Ì» Ù· Û¯‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Û ¤Ó· ›‰Ô. ªÈ· Ù¤ÙÔÈ· ۯ‰›·ÛË ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ‡ÎÔÏË ˘fiıÂÛË. ¡· ÙÔÓ›ÛÔ˘Ì ·ÎfiÌË ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜, fiÙÈ ÛÙËÓ «Â›Â‰Ë ÂÈÎfiÓ·» ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ·‡Ô˘Ó Ó· ‰È·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ‚Ï¤Ô˘Ì ÙË Û¯Â‰›·ÛË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁÓˆÛÙÒÓ ÛÙÂÚÂÒÓ.
12.1.2 TÔ Â›Â‰Ô ÛÙÔ ¯ÒÚÔ °È· ÙËÓ ÔÈÎÔ‰fiÌËÛË Ù˘ EȉÔÌÂÙÚ›·˜ ÔÈ ¤ÓÓÔȘ «ÛËÌ›Ի Î·È «Â˘ı›·» Â›Ó·È ıÂÌÂÏȷΤ˜. K¿ıÂ Â›Â‰Ô Û¯‹Ì· ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ ‹ ¢ıÂÈÒÓ. ™ÙË ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·, ıÂÌÂÏȷΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Â›Ó·È ÙÔ «ÛËÌ›Ի, ‹ «Â˘ı›·» Î·È ÙÔ «Â›Â‰Ô». TȘ ¤ÓÓÔȘ ·˘Ù¤˜ ‰ÂÓ ÙȘ ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ, ·ÏÏ¿ ÙȘ ‰Â¯fiÌ·ÛÙ ÂÌÂÈÚÈο. ¢È·ÈÛıËÙÈο, ÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È ÌÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¿ÂÈÚÔ Û‡ÓÔÏÔ Â˘ıÂÈÒÓ Î·È Í¯ˆÚ›˙ÂÈ ·fi ÙȘ ¿ÏϘ ÂÈÊ¿ÓÂȘ (.¯. ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘) ÏfiÁˆ Ù˘ ·ÎfiÏÔ˘ı˘ ȉÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘: οı ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈη ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi. T· ·ÎfiÏÔ˘ı· ·ÍÈÒÌ·Ù· Ì·˜ ‚ÔËıÔ‡Ó ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÂÈÎfiÓ· ÁÈ· ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙË ‚¿ÛË ÁÈ· ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. 1) TÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· ÔÚ›˙Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ›‰Ô. 2) ™Â οıÂ Â›Â‰Ô ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·.
A¥I¿MATA TOY X¿POY
™ËÌ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘Ó›‰·. 3) Y¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û’ ¤Ó· ‰Â‰Ô̤ÓÔ Â›Â‰Ô. 4) H ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi.
290
EY£EIE™ KAI E¶I¶E¢A ™TO XøPO
12.1.
£EøPIA 5) AÓ ‰‡Ô ›‰· ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ¢ı›· ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi. ∏ ÎÔÈÓ‹ ·˘Ù‹ ¢ı›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ. Ÿˆ˜ ÌÈ· ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ËÌÈ›‰·, ¤ÙÛÈ Î·È ¤Ó· Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ËÌȯÒÚÔ˘˜. OÈ ‰‡Ô ËÌȯÒÚÔÈ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÌfiÓÔ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Î·È ÙÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ ÎÔÈÓfi Û‡ÓÔÚÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ËÌȯÒÚˆÓ. ÕÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙˆÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ, ÙȘ Ôԛ˜ ·Ú·ı¤ÙÔ˘Ì ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó·Ó ÚÔÊ·Ó‹ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·: ➧
∫¿ıÂ Â›Â‰Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ¿ÂÈÚ· ÛËÌ›·.
➧
∫¿ıÂ Â›Â‰Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜.
➧
°È· οıÂ Â›Â‰Ô ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ÛËÌ›· Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û’ ·˘Ùfi.
➧
➧
ªÈ· ¢ı›· Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ›‰Ô. [¢‡Ô ÛËÌ›· Ù˘ ¢ı›·˜ Î·È ÙÔ ‰ÔṲ̂ÓÔ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â›Â‰Ô].
ËÌȯÒÚÔ˜ ¯2
ËÌȯÒÚÔ˜ ¯1 p
A
 ° B
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¢‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ›‰Ô. [∆Ô ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ ∞ Î·È ·fi ¤Ó· Û οı ¢ı›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÔ˘ ∞ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â›Â‰Ô].
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° Â
£EøPHMA 12.1. ¢‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ›‰Ô. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â, ˙. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Â˘ı›˜ Û˘Ó›‰˜. ŒÛÙˆ p ÙÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó. A˘Ùfi Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· A, B Ù˘ ˙ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ Â, ÙÔ ·Í›ˆÌ· 1 Ì·˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ ÙË ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· A, B Î·È °. ▲
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™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÔÚ›Û·Ì ¤Ó· Â›Â‰Ô Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈο οı ÊÔÚ¿ ‰Â‰Ô̤ӷ. °È· ÏfiÁÔ˘˜ Û˘ÓÙÔÌ›·˜ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜: 1. TÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â, ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ Â›Â‰Ô (Â, A). 2. TÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ‹ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â, Ï ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ Â›Â‰Ô (Â, Ï). ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
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3. TÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· A, B, ° ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ Â›Â‰Ô (A, B, °).
12.1.3. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ Ÿˆ˜ ›‰·Ì ÛÙËÓ EȉÔÌÂÙÚ›·, fiÙ·Ó ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ¢ı›˜ ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘, ÙfiÙ ·˘Ù¤˜ ‹ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. T›ıÂÙ·È ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·, ·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙÔ ¯ÒÚÔ: Y¿Ú¯Ô˘Ó ¢ı›˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ·ÏÏ¿ Ô‡ÙÂ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È; MÈ· Ó‡ÍË ÁÈ· ÙËÓ ‡·ÚÍË Ù¤ÙÔÈˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ¤ÁÈÓ ÛÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ 4, ¯ˆÚ›˜ ¿ÏϘ ‰È¢ÎÚÈÓ‹ÛÂȘ. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú¿ÁÌ·ÙÈ ·˘Ù‹ Ë ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ·.
O P I ™ M √ ™ ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Û‡Ì‚·Ù˜. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ‰›ÓÂÈ ¤Ó·Ó ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜ (Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ). £EøPHMA 12.2. ¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜. ∫¿ı ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ∞ Î·È ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô (Â, ∞) Â›Ó·È ·Û‡Ì‚·ÙË Ì ÙËÓ Â.
B A Â
∞fi‰ÂÈÍË: À¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ Â›Â‰Ô (Â, ∞). ∞Ó µ Â›Ó·È ¤Ó· ·fi Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿, ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· ∞µ Â›Ó·È ·Û‡Ì‚·ÙË Ì ÙËÓ Â. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ ·Û‡Ì‚·Ù˜ Ì ÙËÓ Â. ▲
 Ï
¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ. °È· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË, ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜, ηٿÏÏËÏ· Û¯‹Ì·Ù· Ì·˜ ‚ÔËıÔ‡Ó Ó· ‰È·ÌÔÚÊÒÛÔ˘Ì ÂÈÎfiÓ˜ ÁÈ· ÙËÓ ÔÚ›· ÙˆÓ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÒÓ Ì·˜. AÓ Û¯Â‰È·ÛÙÔ‡Ó ‰‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ¢ı›˜ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÛÙ·Û˘, ·˘Ù¤˜ ı· Ê·›ÓÔÓÙ·È fiÙÈ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó ‹ fiÙÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ‹ fiÙÈ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ¶Ò˜ ı· ۯ‰ȿÛÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Â›Ó·È ·Û‡Ì‚·Ù˜; T· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· Ù¯ÓÈ΋.
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12.1.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ °È· ÙË ı¤ÛË ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· Â›Â‰Ô p ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) ∏  ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p (Û¯‹Ì· ·) ‚)
∏  ٤ÌÓÂÈ ÙÔ p, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙÔ p (Û¯‹Ì· ‚)
Á)
∏ Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔ p, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ì ÙÔ p (Û¯‹Ì· Á)
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°È· ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) ∆· ‰‡Ô ›‰· Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È (ηٿ Ì›· ¢ı›·).
·
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‚) ∆· ‰‡Ô ›‰· Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÔfiÙ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ·.
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
TÚÂȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Î·È ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô, ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Â1, Â2,  Ԣ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô, ·ÏÏ¿ ·Ó¿ ‰‡Ô Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. OÈ Â˘ı›˜ Â1 Î·È Â2, ˆ˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ Û ÛËÌÂ›Ô A, ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙË ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ p. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë Â ‰Â ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A. ∆fiÙ ı· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1 Î·È Â2 Û ‰‡Ô ¿ÏÏ· ÛËÌ›· B Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. EÂȉ‹, fï˜, Ù· B, ° Â›Ó·È ÛËÌ›· ÙÔ˘ p, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ÕÚ·, ÏÔÈfiÓ, Ë Â ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Â1 Î·È Â2.
2
 A °
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N· ÂÍÂÙ·Ûı› ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó›‰˜ ¢ı›˜, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· Ù¤ÌÓÔ˘Ó Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜. §‡ÛË: YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó›‰˜ ¢ı›˜ ‰1 Î·È ‰2 Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ Â1, Â2 ÛÙ· ÛËÌ›· A, B Î·È °, ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. EÂȉ‹ Ù· ÛËÌ›· A, B, °, ¢ ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ‰1 , ‰2 ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ Â›Â‰Ô p ÙˆÓ ‰1 Î·È ‰2, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ÔÈ Â˘ı›˜ A° Î·È B¢, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ Â1 Î·È Â2, ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ Â›Â‰Ô p, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ÕÚ·, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó›‰˜ ¢ı›˜, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· Ù¤ÌÓÔ˘Ó Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜.
‰1 A
‰2 °
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B ¢ Â2
¶APATHPH™H: ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ·Ó Û˘Ì›ÙÔ˘Ó Ù· ÛËÌ›· A, ° ‹ Ù· B, ¢, ÙfiÙ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.
™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
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¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ Â1, Â2 Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û ηÌÈ¿ ·’ ·˘Ù¤˜. N· ηٷÛ΢·ÛÙ›* ¢ı›·, Ë ÔÔ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2. §‡ÛË: H ¢ı›· Â1 Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ÔÚ›˙Ô˘Ó Â›Â‰Ô p, ÂÓÒ Ë Â2 Î·È ÙÔ A ÔÚ›˙Ô˘Ó Â›Â‰Ô q. EÂȉ‹ Ù· p, q ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô A, ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÌÈ· ¢ı›· Â, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A. AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Â // Â1 ‹  // Â2, ÙfiÙ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. AÓ Ë Â1 Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô B, ÂÓÒ Ë Â2 Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °, ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· AB°, ‰ËÏ·‰‹ Ë Â, Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË.
p Â1 A B
° Â Â2
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* ŸÙ·Ó ϤÌ «Î·Ù·Û΢‹ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ», ÂÓÓÔԇ̠ÙÔ ıˆÚËÙÈÎfi ηıÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÛÙÔȯ›ˆÓ Ì ٷ ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÔÚÈÛı› ÙÔ Û¯‹Ì·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ıˆÚԇ̠fiÙÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô Î·Ù·Û΢¿˙ÂÙ·È, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· ·˘ÙÔ‡.
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ¢ı›˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ·ÏÏ¿ Ô‡ÙÂ Î·È Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È;
2.
Y¿Ú¯ÂÈ ÂÚ›ÙˆÛË ÌÈ· ¢ı›· Î·È ¤Ó· Â›Â‰Ô Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›·;
3.
5.
MÔÚ› ¤Ó· Â›Â‰Ô Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Û ‰‡Ô ÛËÌ›·; AÎÚÈ‚Ò˜ Û’ ¤Ó· ÛËÌ›Ô; TÈ ı· Û˘Ì‚Â› ·Ó ÙÔ Â›Â‰Ô Î·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÙÚ›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·; A·ÓÙ‹ÛÙ ÛÙ· ›‰È· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ÌÂ Â›Â‰Ô Î·È ÙÚ›ÁˆÓÔ.
6.
AÓ Ù· ÛËÌ›· A, B, A °, ¢ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ·) AB B ¢ Î·È °¢, ‚) A¢ Î·È B°, Á) A° Î·È B¢; ° (TÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· AB, B°, °¢, ¢A ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙÚ‚Ïfi ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ).
7.
AÓ Ù· ÛËÌ›· A, B, °, ¢ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÙÚ›· ·’ ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó¢ıÂȷο;
8.
AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ Â, ˙ Â›Ó·È ·Û‡Ì‚·Ù˜, fiÛ· Î·È ÔÈ· ›‰· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· A, B, °, ¢;
™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ O¯, O„ ÔÚ›˙Ô˘Ó Â›Â‰Ô p, ÂÓÒ ÔÈ O˙, Oˆ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ¿ÏÏÔ Â›Â‰Ô q. T· ‰‡Ô ›‰· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ O ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÏ· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›·; AÓ Ó·È, ÔÈ· Â›Ó·È ·˘Ù¿; O ˆ q ¯
p „
4.
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AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ ‰, Â Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜ Î·È ÔÈ ˙, Â Â›Ó·È ·Û‡Ì‚·Ù˜, ÙÈ ÌÔÚ›Ù ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ ÁÈ· ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ ‰, ˙;
˙
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B Â
° ¢ ˙
‰ p
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9.
™¯Â‰È¿ÛÙ ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜ ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ÙÔ˘˜.
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12.1.
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10. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·Û‡Ì-
A
‚·Ù˜ ¢ı›˜ ‰ Î·È Â. ‰ AÓ p Â›Ó·È ÙÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ A Ì B ÙËÓ Â, ÂÓÒ q Â›Ó·È ÙÔ Â Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ B Ì ÙË ‰, ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ p Î·È q;
11. ¶fiÛ· ›‰· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÚ›· Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·;
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
1.
AÓ Ó Â˘ı›˜ (Ó ≥ 3) Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Î·È ·Ó· ÙÚÂȘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
2.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÛÙÚ‚ÏÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È Û˘Ó›‰· ÛËÌ›· Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ÎÔÚ˘Ê¤˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.
2.
£ÂˆÚԇ̠٤ÛÛÂÚȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3, Â4 Ì Â1 // Â2. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›·, Ë ÔÔ›· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ·˘Ù¤˜ ¢ı›˜.
3.
N· ‚ÚÂı› ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ, ηٿ ÙȘ Ôԛ˜ ¤ÓÙ ›‰· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô.
3.
AÓ ÙÚ›· ›‰· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ÙÔ̤˜ ÙÔ˘˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô ‹ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ·Ó¿ ‰‡Ô.
4.
£ÂˆÚԇ̠ÙÔ Â›Â‰Ô p ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2, ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Ù˘ Â1 Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· °, ¢ Ù˘ Â2. AÓ E Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ EAB Î·È E°¢.
4.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›·, Ë ÔÔ›· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÚÂȘ ‰ÔṲ̂Ó˜ ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ Â1, Â2 Î·È Â3.
5.
AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ٤ÌÓÂÈ Â›Â‰Ô p, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·ÌÈ¿ ¢ı›· ÙÔ˘ p ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â.
5.
£ÂˆÚԇ̠ÙÔ Â›Â‰Ô p ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1, Â2 Î·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ Â1. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A, Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â1, Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ p, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó Ë Â˘ı›· AM Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· Â2.
™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
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£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
12.2. ∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
12.2.1 E˘ı›˜ οıÂÙ˜ ÛÂ Â›Â‰Ô ·Ù¿ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ‰È¿ÊÔÚˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ‹ ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÌÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ∆· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ Ô˘ ÁÓˆÚ›Û·Ì ÛÙËÓ ∂ȉÔÌÂÙÚ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ‡¯ÚËÛÙ·. £· Ì·˜ ¯ÚÂÈ·ÛÙ› ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ηıÂÙfiÙËÙ·˜ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘. ¢›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÔÚÈÛÌfi.
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O P I ™ M √ ™ MÈ· ¢ı›· ϤÁÂÙ·È Î¿ıÂÙË Û ¤Ó· ›‰Ô, fiÙ·Ó ÙÔ Ù¤ÌÓÂÈ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û fiϘ ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜. AÓ Ë Â˘ı›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ·˘Ùfi, ϤÁÂÙ·È Â˘ı›· Ï¿ÁÈ· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Â›Â‰Ô. °È· ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ı›·˜ Â Î·È ÂȤ‰Ô˘ p ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ Â⊥p ‹ p⊥Â
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£EøPHMA 12.3. (KÚÈÙ‹ÚÈÔ Î·ıÂÙfiÙËÙ·˜ ¢ı›·˜ Û ›‰Ô). MÈ· ¢ı›· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ¤Ó· ›‰Ô, fiÙ·Ó Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Î·È ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ Â Ë Â˘ı›· Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô p ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ™ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ¢ı›˜ Ì Î·È Ó ÙÔ˘ p, ÔÈ Ôԛ˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ™. £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· Ù˘¯·›· ¢ı›· ¯ ÙÔ˘ p, Ë ÔÔ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ™ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ ·˘Ù‹˜. ŒÛÙˆ ∧ A ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ A ™¢ = 90Æ. £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ¢ı›· · ÙÔ˘ p, Ë ÔÔ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ¢ Î·È Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¢ı›˜ Ì, Ó ÛÙ· ÛËÌ›· B, ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì A′ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ™, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· A™B, B™A′ Â›Ó·È ›Û·, fiˆ˜ Â›Ó·È ›Û· Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A°™, °™A′, Û‡Ìʈӷ Ì ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ™˘ÓÂÒ˜, Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, A′B° Â›Ó·È ›Û·, ¿Ú· ›∧ ∧ Ó·È ›Û˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ A B¢, ¢ BA′. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Î·È Ù· ÙÚ›-
296
 A
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A′
EY£EIE™ KAI E¶I¶E¢A ™TO XøPO
12.2.
£EøPIA ÁˆÓ· AB¢, B¢A′ Â›Ó·È ›Û·, ·’ fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ A¢ = A′¢. ÕÚ·, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢A′ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. EÂȉ‹ fï˜ Ë ™¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ·ÏÏ¿ Î·È ‡„Ô˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÚÔ·ÙÂÈ ∧ ▲ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· A ™¢ Â›Ó·È ÔÚı‹. Ÿˆ˜ ÛÙËÓ ∂ȉÔÌÂÙÚ›· ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰È΋ οıÂÙË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó, ¤ÙÛÈ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi οıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó. ¢ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·. £EøPHMA 12.4. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô Î¿ıÂÙÔ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó. ∞fi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Î·È ‰‡Ô ›‰· p, q Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â. ∂›Û˘, ıˆÚԇ̠ÙȘ ¢ı›˜ ‰ Î·È ˙ ÙˆÓ p Î·È q ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∆Ô Â›Â‰Ô t ÙˆÓ ‰ Î·È ˙, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 12.3, Â›Ó·È ¤Ó· οıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∆Ô Â›Â‰Ô ·˘Ùfi ÂÚȤ¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ¢ı›˜ Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ¤ÛÙˆ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ¢ı›· Ë Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô t. ∆Ô Â›Â‰Ô (Â, Ë) Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ t ηٿ ÌÈ· ¢ı›· Ë′, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. ∞˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ ÛÙÔ Â›Â‰Ô (Â, Ë) ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ¢ı›˜ Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ▲ ➧
 q ˙ A ‰ p
Â Ë Ë′ t
A
∂›Û˘, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰È΋ οıÂÙË Û ‰ÔṲ̂ÓÔ Â›Â‰Ô.
TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Â›Ó·È ¤Ó· ·fi Ù· ÈÔ ‚·ÛÈο Ù˘ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. E›Ó·È ¤Ó· ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÁÈ· ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘. £EøPHMA 12.5. (TˆÓ ÙÚÈÒÓ Î·ı¤ÙˆÓ). AÓ ÌÈ· ¢ı›· Ï Ù¤ÌÓÂÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô p Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô B, A Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Ï,  ÌÈ· ¢ı›· ÙÔ˘ p Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ B Î·È ° ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, ÙfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:
i) AÓ AB⊥p Î·È B°⊥Â, ÙfiÙ A°⊥Â. ii) AÓ AB⊥p Î·È A°⊥Â, ÙfiÙ B°⊥Â. iii) AÓ A°⊥Â, B°⊥Â Î·È AB⊥B°, ÙfiÙ AB⊥p.
∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
297
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
Afi‰ÂÈÍË: i) £ÂˆÚÔ‡ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ Â. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∧ ∞°¢ = 90Æ. EÂȉ‹ AB⊥p Î·È B°⊥Â, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, AB¢, B°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·. ™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ: AB2 = A°2 – B°2
(1)
A¢2 = AB2 + B¢2
(2)
B¢2 = B°2 + °¢2,
(3)
Ï A
Â
B
¢
p
°
ÔfiÙ A¢2 = AB2 +(B°2 + °¢2) = (AB2 + B°2)+°¢2 = A°2 +°¢2, ‰ËÏ·‰‹
A¢2 = A°2 + °¢2 .
(4)
™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ∧ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ° = 90Æ, ¿Ú· A° ⊥Â. ii) §fiÁˆ Ù˘ ˘fiıÂÛ˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) Î·È (4). Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ‡ÎÔÏ· ÚÔ·ÙÂÈ Ë (3), Ú¿ÁÌ· Ô˘ ÛË∧ Ì·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ B°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ° = 90Æ. EÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ B°⊥Â. iii) §fiÁˆ Ù˘ ˘fiıÂÛ˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ (1), (3), (4). A’ ·˘Ù¤˜ ÚÔ·ÙÂÈ Ë Û¯¤ÛË (2), Ë ÔÔ›· Ì·˜ ‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ∧ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì B = 90Æ. TfiÙÂ, fï˜, Ë Â˘ı›· Ï Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ p (ÙȘ B° Î·È B¢), ÔfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 12.3, ı· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô p. ▲ ŸÙ·Ó ‰Ôı› ¤Ó· Â›Â‰Ô p Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A, ÙfiÙ fiˆ˜ ·Ó·Ê¤Ú·ÌÂ, ·fi ÙÔ A ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰È΋ οıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô. A˜ Â›Ó·È B ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ù‹˜ Ì ÙÔ p. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ A ·fi ÙÔ Â›Â‰Ô p.
A
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B
12.2.2 ¶·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì οÔÈ· ıˆڋ̷ٷ, Ù· ÔÔ›· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Â¤ÎÙ·ÛË ÙˆÓ ÎÚÈÙËÚ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ ¢ıÂÈÒÓ Ù˘ ›‰˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ¶ÚÔËÁÂ›Ù·È fï˜, ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ‚ÔËıËÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ·˘Ù¿. £EøPHMA 12.6. AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ¤Ó· Â›Â‰Ô Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÌÈ· ·fi ·˘Ù¤˜, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË.
298
EY£EIE™ KAI E¶I¶E¢A ™TO XøPO
12.2.
£EøPIA Afi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È Â Î·È Ï ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È p ¤Ó· Â›Â‰Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ A. OÈ Â˘ı›˜ Â, Ï , Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 12.1, ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô (Â, Ï). T· ›‰· p Î·È (Â, Ï) ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ A Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·Í›ˆÌ· 5, ı· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÌÈ· ¢ı›·, ¤ÛÙˆ ÙË ¯ . OÈ Â˘ı›˜ Â, Ï, ¯ Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜. H ¢ı›· ¯ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â, ¿Ú· Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙË Ï. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â›Â‰Ô p Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙËÓ Â˘ı›· Ï. ▲
Â
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Ï
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£EøPHMA 12.7. AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Û ÌÈ· ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ Î·È ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û ·˘Ùfi, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔ Â›Â‰Ô. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Â˘ı›· Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Ï ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ p. TfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ Â, Ï ˆ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· Â›Â‰Ô q. H ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ p, q Â›Ó·È Ë Â˘ı›· Ï. AÓ Ë Â˘ı›·  ¤ÙÂÌÓ ÙÔ p, ÙfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ı· ‹Ù·Ó ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ Ï, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ÕÚ·, Ë Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔ p. ▲
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Ï
p q
ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È Î·È Ù· ÂÍ‹˜: ➧
AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È Ë ÌÈ· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ¤Ó· ›‰Ô, ÙfiÙÂ Î·È Ë ¿ÏÏË Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi.
➧
AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ¤Ó· ›‰Ô, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.
12.2.3 ¶·Ú·ÏÏËÏ›· ÂȤ‰ˆÓ ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ T· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ‰È¿ÊÔÚ˜ ÌÔÚʤ˜ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ¢ı›˜ Î·È ¿ÏÏ· ›‰· Ù· ÔÔ›· Ù· Ù¤ÌÓÔ˘Ó. ∂‡ÎÔÏ· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ, ·Ó ¤Ó· Â›Â‰Ô p Ù¤ÌÓÂÈ ¤Ó· ¿ÏÏÔ Â›Â‰Ô q, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÂÈ Î·È Î¿ıÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÛÙÔ q.
p q
q1
q2
q3
p
∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
299
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
£EøPHMA 12.8. √È ÙÔ̤˜ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ·fi ÙÚ›ÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È Â˘ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. ∞fi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· p, q Î·È ¤Ó· Â›Â‰Ô t, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ Ù· p Î·È q ηٿ ÙȘ ¢ı›˜ ‰ Î·È Â ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. √È Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜, ÂÂȉ‹ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ Â›Â‰Ô t, Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜. ∞ÔÎÏ›ÂÙ·È, fï˜, Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ÂÂȉ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ı· ·Ó‹ÎÂ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÛÙ· ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· p Î·È q, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ÕÚ·, ÔÈ Â˘ı›˜ ‰ Î·È Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ▲
‰ p  q t
°È· ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· p Î·È q, Ë ·fiÛÙ·ÛË Î¿ı ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ·fi ÙÔ ¿ÏÏÔ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ∞ Î·È µ Â›Ó·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ p Î·È ∞°, µ¢ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·fi ÙÔ Â›Â‰Ô q, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ ∞° Î·È µ¢ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, Ò˜ οıÂÙ˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô. √È Â˘ı›˜ ∞µ Î·È °¢ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ¢° Â›Ó·È ÔıÚÔÁÒÓÈÔ Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· ÈÛ¯‡ÂÈ ∞° = µ¢. ∏ ÛÙ·ıÂÚ‹ ·˘Ù‹ ·fiÛÙ·ÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ.
A B
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£EøPHMA 12.9. AÓ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ›‰· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ· Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙ ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËÏ·. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ٷ ›‰· p, q Î·È ÙËÓ Â˘ı›·  ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Â⊥p, Â⊥q. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì A, B Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ Ù˘  Ì ٷ ›‰· p, q ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∆· ∞, µ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο, ÁÈ·Ù› ·Ó Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·Ó, ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘  ı· ›¯·Ì ‰‡Ô οıÂÙ· ›‰· ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó. AÓ Ù· ‰‡Ô ›‰· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·È Ë ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È ÌÈ· ¢ı›·, ¤ÛÙˆ Ë Ï. ¶·›ÚÓÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ Ï Î·È ıˆÚԇ̠ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÔÚı¤˜, ·ÊÔ‡ A°⊥Â Î·È B°⊥Â. K·Ù·Ï‹ÁÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, Û ¿ÙÔÔ. EÔ̤ӈ˜, Ù· p Î·È q Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·. ▲
 Ï
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£EøPHMA 12.10. AÓ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ¤Ó· Â›Â‰Ô p, ÙfiÙ ÙÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ Ì ÙÔ p. Afi‰ÂÈÍË: A˜ Â›Ó·È Â Î·È Ï ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜, ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô p. TÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â, Ï ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì q. AÓ Ù· ›‰· p, q ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·, ÙfiÙ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·Ù¿ Ì›· ¢ı›· Ì. OÈ Â˘ı›˜ Â, Ï Î·È
300
EY£EIE™ KAI E¶I¶E¢A ™TO XøPO
12.2.
£EøPIA Ì Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜. TÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ·fi ÙȘ ¢ı›˜ Â, Ï ı· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Ì. TfiÙÂ, fï˜, ÌÈ· ·fi ÙȘ ¢ı›˜ Â, Ï ı· ¤ÙÂÌÓ ÙÔ p, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ ÔÈ Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔ p. ▲
Â Ï q p
Afi ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ›ÛˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó Ù· ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰·, ÚÔ·ÙÂÈ ÌÈ· Ó¤· ȉÈfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜. TËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ·fi ÙËÓ EȉÔÌÂÙÚ›·.
Ì
£EøPHMA 12.11. AÓ ÙÚ›· ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷ ·ÔÎÔÙfiÌÂÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ·fi Ù· ›‰· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. Afi‰ÂÈÍË: OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì p, q, Ù ÙÚ›· ›‰· ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ p // q // Ù. AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ Â, Ï Ù¤ÌÓÔ˘Ó Ù· ›‰· ·˘Ù¿ ÛÙ· ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢, E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ AB ¢E = . B° EZ
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Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ¯ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∂Âȉ‹ Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ Ù· ›‰· q, r Î·È Ë Â˘ı›· ¯// ı· Ù¤ÌÓÂÈ Ù· ›‰· ·˘Ù¿. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì B′, °′ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ¯ Ì ٷ ›‰· q, Ù. OÈ Â˘ı›˜ Â, ¯ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ›‰Ô, Û˘ÓÂÒ˜ Ù· ÛËÌ›· A, ¢, B, B′, °, °′ Â›Ó·È Û˘Ó›‰·. ∂Âȉ‹ Â//¯, ÈÛ¯‡ÂÈ ∞µ//¢µ′ Î·È µ°//µ′°′. ∂›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ ∞¢//µµ′ Î·È µµ′//°°′, ˆ˜ ÙÔ̤˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤˆÓ p, q, r ·fi ÙÔ Â›Â‰Ô (Â, ¯). ™˘ÓÂÒ˜, Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞¢µ′µ Î·È µµ′°′° Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·. Afi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ AB = ¢B′
(1)
B° = B′°′.
(2)
q B
Ù °
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B′
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OÈ Â˘ı›˜ ¯, Ï (ÂÂȉ‹ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È) ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ›‰Ô, ‰ËÏ·‰‹ Ù· ÛËÌ›· ¢, B′, E, °′, Z Â›Ó·È Û˘Ó›‰·. E›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ B′E // °′Z, ÂÂȉ‹ ÛÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË Ù· ›‰· Ù, q ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ÁÈ· ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ B′E, °′Z , ¤¯Ô˘Ì ¢B′ ¢E = . B′°′ EZ ∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
(3)
301
£EøPIA AB ¢E Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) Î·È (3) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ = . B° EZ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
▲
¶APATHPH™H: TÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÔÏÏÒÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ÛÙËÓ EȉÔÌÂÙÚ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ.
12.2.4 ¶ÚÔ‚ÔÏ‹ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÛÂ Â›Â‰Ô ™ÙËÓ EȉÔÌÂÙÚ›· ›¯·Ì ÔÚ›ÛÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜ ÛËÌ›Ԣ Û ¢ı›·. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ÔÚ›˙Ô˘Ì ·Ó¿ÏÔÁ· ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Û’ ›‰Ô. K·ÙfiÈÓ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Û’ ¤Ó· Â›Â‰Ô Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ‰‡Ô ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Û¯¤ÛË Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Û’ ¤Ó· ›‰Ô. AÓ ‰Ôı› Â›Â‰Ô p Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ·˘ÙÔ‡, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ A ÛÙÔ p, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ p Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË Â˘ı›· ÛÙÔ p Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A. TËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ A ÛÙÔ Â›Â‰Ô p ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÚÔ‚ (A, p). AÓ ™ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô Û¯‹Ì·, ÙfiÙ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ™ ÛÙÔ p ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÚÔ‚ÔÏÒÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ™ ÛÙÔ p Î·È ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÚÔ‚ (™, p).
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ÚÔ‚(Á, p)
IÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·: £EøPHMA 12.12. H ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Û’ ¤Ó· ›‰Ô, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË, Â›Ó·È Â˘ı›·.
ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ے ¤Ó· Â›Â‰Ô p, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· Ù˘ ¢ı›·˜  Ì ÙÔ Â›Â‰Ô p. ¢›ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÔÚÈÛÌfi. B Â
O P I ™ M √ ™ °ˆÓ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Î·È ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ ‹ ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Â›Â‰Ô ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ë Â˘ı›· Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô. E›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ, ·Ó  // p ‹  ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p, ÙfiÙÂ Ë ÎÏ›ÛË Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. AÓ Â⊥p, ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÎÏ›ÛË Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p ÙË ÁˆÓ›· ÙˆÓ 90Æ. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ ÁÈ·
302
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EY£EIE™ KAI E¶I¶E¢A ™TO XøPO
12.2.
£EøPIA ÙËÓ ÎÏ›ÛË Î ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· Â›Â‰Ô ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 0Æ ≤ Î ≤ 90Æ. °È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë ÎÏ›ÛË Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚË ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·. £EøPHMA 12.13. ŒÛÙˆ  ÌÈ· ¢ı›·, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô p Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A. TfiÙÂ Ë ÎÏ›ÛË Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p Â›Ó·È Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ë Â Ì ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ p Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ A. Afi‰ÂÈÍË: AÓ Â⊥p, ÙfiÙÂ Ë ÈÛ¯‡˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó‹˜. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Â ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ p. £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ Â′ Ù˘  ÛÙÔ p Î·È ÌÈ· ¢ı›· Ï ÙÔ˘ p, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. A˜ Â›Ó·È B Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â Î·È B′ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô p. E› Ù˘ Ï ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô °, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ A° = AB′. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ABB′ Â›Ó·È ∧ ∧ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì B′ = 90Æ, Î·È Ë ÁˆÓ›· B′AB Â›Ó·È Ë ÎÏ›ÛË Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p. E›Û˘, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BB′° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ∧ B′ = 90Æ. IÛ¯‡ÂÈ BB′ < B° (Ë B° Â›Ó·È ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘). £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÙÒÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB′B Î·È A°B, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë AB Â›Ó·È ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘˜, AB′ = A° Î·È BB′ < B°. TfiÙ fï˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 6 Ù˘ ¨3.4, «∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ÔÈ ÙÚ›Ù˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ¿ÓÈÛ˜, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ∧ ∧ Û’ ·˘Ù¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÔÌÔ›ˆ˜ ¿ÓÈÛ˜», ı· ÈÛ¯‡ÂÈ °AB > B′AB. ▲
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12.2.5 °ˆÓ›Â˜ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ AÓ ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ ‹ ÌÈ· ¢ı›· Î·È ¤Ó· Â›Â‰Ô ‹ ‰‡Ô ›‰· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠۠οı ÂÚ›ÙˆÛË Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ Î·Ù¿ ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÙÚfiÔ:
·) °ˆÓ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·Ó ÔÈ Â˘ı›˜ Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜ ‹ ·Û‡Ì‚·Ù˜. ™ÙËÓ ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÁˆÓ›· ·˘ÙÒÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Ô˘ ÔÚ›ÛıËΠÛÙËÓ EȉÔÌÂÙÚ›·. ™ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ ‰ Î·È Â. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ Ù˘  ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ˙ //‰. ∏ ÁˆÓ›· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ˙ Î·È Â ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÓ›· ÙˆÓ ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ ‰ Î·È Â. ∏ ÁˆÓ›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ·fi ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞. AÓ Ë ÁˆÓ›· ∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
‰ A p
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ÁˆÓ›· ÙˆÓ ·Û˘Ì‚¿ÙˆÓ
303
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
ÙˆÓ ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ Â›Ó·È ÔÚı‹, ÙfiÙ ·˘Ù¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÚıÔÁÒÓȘ ·Û‡Ì‚·Ù˜ ‹ ·Ï¿ ÔÚıÔÁÒÓȘ.
‚) °ˆÓ›· ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘ A˘Ù‹ ÔÚ›ÛıËΠÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ.
Á) °ˆÓ›· ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ TË ÁˆÓ›· ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ÙËÓ ÔÚ›˙Ô˘Ì Ì ÙÚfiÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ Ìã ·˘ÙfiÓ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ËÌÈ›‰· p1 Î·È p2 Ì ÎÔÈÓ‹ ·ÎÌ‹ ÌÈ· ¢ı›· Â. ∆Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ·˘Ùfi Û¯‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·. H ¢ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÌ‹ Î·È Ù· ËÌÈ›‰· p1 Î·È p2 ¤‰Ú˜ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜. ŸÙ·Ó Ù· ËÌÈ›‰· ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Â›Â‰Ô, ÙfiÙÂ Ë ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ¯ÒÚÔ Û ‰‡Ô ̤ÚË, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È Î˘ÚÙfi Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ÌË Î˘ÚÙfi. ∏ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· Ì·˙› Ì ÙÔ Î˘ÚÙfi ̤ÚÔ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ Î˘ÚÙ‹ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·, ÂÓÒ Ë ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· Ì·˙› Ì ÙÔ ÌË Î˘ÚÙfi ̤ÚÔ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ÌË Î˘ÚÙ‹ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· Â›Â‰Ô q οıÂÙÔ ÛÙËÓ Â. A˜ Â›Ó·È Â1 Î·È Â2 ÔÈ ÙÔ̤˜ ÙÔ˘ q Ì ٷ p1 Î·È p2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∏ ΢ÚÙ‹ Î·È Ë ÌË Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›‰˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ΢ÚÙ‹˜ Î·È ÌË Î˘ÚÙ‹˜ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜. ∆Ô Ì¤ÙÚÔ Î¿ı ›‰˘ ÁˆÓ›·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜. ¢‡Ô ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ›Û˜, ·Ó ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›‰˜ ÁˆÓ›Â˜ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ›Û˜. ™ÙÔ ÂÍ‹˜, fiÙ·Ó Á›ÓÂÙ·È ·Ó·ÊÔÚ¿ Û ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·, ı· ÂÓÓÔԇ̠΢ÚÙ‹ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·. AÓ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â›Â‰Ë ÁˆÓ›· ÌÈ·˜ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ÔÍ›·, ÔÚı‹ ‹ ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙÂ Ë ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÍ›·, ÔÚı‹ ‹ ·Ì‚Ï›· ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·. AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ›‰·, ÙfiÙ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ù¤ÛÛÂÚȘ ΢ÚÙ¤˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜. AÓ Ù· ›‰· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ·, ÙfiÙ οı ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· ÈÛÔ‡Ù·È Ì 90Æ. AÓ Ù· ›‰· ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ·, ÙfiÙ ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÈ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜. K·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ. ∆Ô Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ›‰˘ ÁˆÓ›·˜ ÌÈ·˜ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ÙÔ˘ οıÂÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘.
304
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Â1 p1
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p2
180Æ
EY£EIE™ KAI E¶I¶E¢A ™TO XøPO
12.2.
£EøPIA £EøPHMA 12.14.
·) AÓ ‰‡Ô ÔÍ›˜ ‹ ·Ì‚Ï›˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ, ÙfiÙ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›‰˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. ‚) AÓ ÌÈ· ÔÍ›· Î·È ÌÈ· ·Ì‚Ï›· ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ, ÙfiÙ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›‰˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
12.1.
N· ÔÚ›ÛÂÙÂ, ηÙã ·Ó·ÏÔÁ›· Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ E›Â‰Ë˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, ÙȘ ÂÍ‹˜ ¤ÓÓÔȘ: ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜, ‰È¯ÔÙfiÌÔ Â›Â‰Ô ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜, ÂÊÂÍ‹˜, ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜, Ó· οÓÂÙ ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÙ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÂÈηۛ˜ Ì ÌÔÚÊ‹ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ. I‰È·›ÙÂÚË ÚÔÛÔ¯‹ Ó· ‰ÒÛÂÙ ÛÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÂȤ‰Ô˘.
12.2.6. K·ıÂÙfiÙËÙ· ÂȤ‰ˆÓ ¢‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ›‰·, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÌÈ· ·fi ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Â›Ó·È ÔÚı‹ (ÔfiÙ fiϘ ı· Â›Ó·È ÔÚı¤˜) ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· ›‰·. °È· ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì οÔÈ· ıˆڋ̷ٷ, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ‚·ÛÈο ÁÈ· ÙË ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·. £EøPHMA 12.15. AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û’ ¤Ó· Â›Â‰Ô p, ÙfiÙ οıÂ Â›Â‰Ô Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÚÔ˜ ÙÔ Â›Â‰Ô p. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ  ÌÈ· οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙÔ Â›Â‰Ô p Î·È A ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· Â›Â‰Ô q Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· Â. T· ›‰· p, q, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ¢ı›·, ¤ÛÙˆ ÙË Ï. EÂȉ‹ Ë Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ p, ı· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Î·È ÛÙË Ï. £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· ÙËÓ Â˘ı›· Ì ÙÔ˘ p, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË Ï. H ¢ı›· Ì Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô q, ÂÂȉ‹ ›ӷÈ, ›Û˘, οıÂÙË ÛÙËÓ Â. T· ›‰· p, q Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜, ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ›‰˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ›-
∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
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£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
Ó·È ÔÚı¤˜, ÂÂȉ‹ Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ Â˘ı›˜ Â, Ì Â›Ó·È ÔÚı‹. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ›‰· p Î·È q Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ οıÂÙ·. ▲
£EøPHMA 12.16. AÓ ‰‡Ô ›‰· p Î·È q Â›Ó·È Î¿ıÂÙ· Î·È ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ p ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ q, ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· ·˘Ù‹ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ Â Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ Î·ı¤ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ p Î·È q. ™ÙÔ Â›Â‰Ô p ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ A ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â, Ô˘ ÙËÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô B. Afi ÙÔ B Î·È ÛÙÔ Â›Â‰Ô q ʤ∧ ÚÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· B¯ οıÂÙË ÛÙËÓ Â. H ÁˆÓ›· AB¯ Â›Ó·È ÔÚı‹, ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â›Â‰Ë Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ p Î·È q. EÂȉ‹ AB⊥Â Î·È AB⊥B¯, ÈÛ¯‡ÂÈ AB⊥q. H οıÂÙË ÏÔÈfiÓ ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙÔ q Â›Ó·È Ë AB Î·È ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p. ▲
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£EøPHMA 12.17. AÓ ‰‡Ô ›‰· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ· Û’ ¤Ó· Â›Â‰Ô p, ÙfiÙ ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËÏ· ‹, ·Ó Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, Ë ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Â˘ı›· οıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô p. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ›‰· q, w. H ÂÚ›ÙˆÛË Ù· ›‰· q, w Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ· ÛÙÔ p Î·È Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Ù· ›‰· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·. EÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÒÚ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù· q, w Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ηٿ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ· ÛÙÔ Â›Â‰Ô p. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ù˘ ÙÔÌ‹˜ Â ÙˆÓ ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ·fi ·˘Ùfi ÙËÓ Î¿ıÂÙË Â˘ı›· ÚÔ˜ ÙÔ Â›Â‰Ô p. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Ë Â˘ı›· ·˘Ù‹ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Â˘ı›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ q, ·ÏÏ¿ Î·È ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ w, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ë Â˘ı›· Â. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô p. ▲
306
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12.2.
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1
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· Â›Â‰Ô p Î·È ÌÈ· ¢ı›·  // p. AÓ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ p ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ‰ // Â. ÙfiÙÂ Ë ‰ Â›Ó·È Â˘ı›· ÙÔ˘ p. Afi‰ÂÈÍË: AÚΛ Ó· ·ÔÎÏÂÈÛÙ› Ë ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë Â˘ı›· ‰ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô p ÛÙÔ A. AÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ·˘Ùfi, ÙfiÙÂ Î·È Ë Â˘ı›· Â, Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË ‰, ı· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ p, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. ÕÚ·, Ë ‰ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p.
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AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ›‰·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Î·È ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ›‰· p, q Î·È ÌÈ· ¢ı›·  ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù¿. AÓ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ù˘ ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ p Î·È q ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ‰ // Â, ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1, Ë ‰ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ p Î·È ÛÙÔ q, ·ÊÔ‡ ÙÔ A Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ p Î·È ÙÔ˘ q. ÕÚ·, Ë ‰ Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ // Â.
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3
N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, Ù· ÔÔ›· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ‰‡Ô ‰ÔṲ̂ӷ ·) ÛËÌ›· A Î·È B, ‚) ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· p Î·È q. §‡ÛË: ·) £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ MA = MB. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB, ÙfiÙ ÛÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ MAB ÈÛ¯‡ÂÈ MO⊥AB. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ MO, ¿Ú· Î·È ÙÔ M, ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô p Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ O ÙÔ˘ AB Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙÔ AB.
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AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜: AÓ N Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ p, ÙfiÙ NO⊥AB Î·È ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ NAB Ë NO Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ‡„Ô˜. ÕÚ·, NA = NB. O ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜, B ÏÔÈfiÓ, ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ Â›Â‰Ô p, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ O ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙÔ AB. TÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi ϤÁÂÙ·È ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB.
∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
307
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™ ‚) ŒÛÙˆ AB = · Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ p Î·È q. K¿ı ÛËÌÂ›Ô M Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· p Î·È q, ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· p Î·È q ÛÙ·ıÂÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË · ηÈ, ¿Ú·, ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô r Ô˘ ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· 2 · p Î·È q ·fiÛÙ·ÛË . E›Û˘, οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ r 2 ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· p Î·È q. ∞Ó ∫ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ r Î·È ∫∫′⊥q, ÙfiÙ ∫∫′ = ªµ Î·È ∫∫′//ªµ.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
A
p
M r
§
q
§′
K
K′
B
∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ∫ªµ∫′ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÔfiÙ ∫ª//∫′µ. √ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô § ÙÔ˘ r Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË §§′⊥q, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ §ª//§′µ. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ r//q (ÔfiÙÂ Î·È r//p), ÂÂȉ‹ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ÙÔ˘ r Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔ q.™˘ÓÂÒ˜, Ô ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ Â›Â‰Ô r, Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ Ù· p, q Î·È ÈÛ·¤¯ÂÈ ·’ ·˘Ù¿. TÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi ϤÁÂÙ·È ÌÂÛÔ·Ú¿ÏÏËÏÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ p Î·È q.
4
AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô. Afi‰ÂÈÍË: YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ÙȘ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ‰ Î·È ˙ ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ p. Afi ÙÔ ›¯ÓÔ˜ A Ù˘  ÛÙÔ p ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÙÔ˘ p, ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ ¢ı›˜ ‰ Î·È ˙ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. EÂȉ‹ Ë Â Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ÙȘ ‰ Î·È ˙, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ Â1 Î·È Â2, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô p.
 p
Â1
‰ ˙
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¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: ∞Ó ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ÌÈ· ¢ı›· ‰ ÂȤ‰Ô˘ p Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· ˙ ÙÔ˘ p (˙ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙË ‰), ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Â⊥p.
5
AÓ ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ: ·) Y¿Ú¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰·, ηı¤Ó· ·fi Ù· ÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÈ ·fi ÌÈ· ·Û‡Ì‚·ÙË. ‚) Y¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·, ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ÛÙȘ Â1 Î·È Â2. Á) A’ fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó ÛËÌ›· ÙˆÓ Â1 Î·È Â2, ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Â›Ó·È ÙÔ ÎÔÈÓfi οıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙˆÓ Â1 Î·È Â2. Afi‰ÂÈÍË: ·) Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A Ù˘ Â1 ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰1 // Â2, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô B Ù˘ Â2
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12.2.
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ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰2 // Â1. £ÂˆÚԇ̠ٷ ›‰· p p A Â1 Î·È q ÙˆÓ ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1, ‰1 Î·È Â2, ‰2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ›‰· ·˘Ù¿ (Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙȘ ‰1 ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·) Â›Ó·È ·‰2 q Ú¿ÏÏËÏ·, ·ÊÔ‡ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ Â›Ó·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â2 ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. AÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏÔ Â›Â‰Ô p′ // q ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Â1, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È p // p′. A˘Ùfi, fï˜, Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ·ÊÔ‡ Ù· p, p′ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ¢ı›· ÙËÓ Â1. ÕÚ·, ÏÔÈfiÓ, Ù· ›‰· p Î·È q Â›Ó·È ÌÔÓ·‰Èο. ‚) £ÂˆÚԇ̠ٷ ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· p Î·È q Ô˘ Âp ÚȤ¯Ô˘Ó ÙȘ Â1 Î·È Â2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. Afi Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô A′ A ° Â1 ° Ù˘ Â1 ʤÚÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ ÚÔ˜ ÙÔ q. TÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ Â1 Î·È °¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ q ηٿ ¢ı›· ‰. EÂȉ‹ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, ‰ Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜ Î·È Â1 // q, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Â1 // ‰. E›Û˘, ÔÈ Â˘Â2 B′ ‰ ¢ ı›˜ ‰ Î·È Â2 Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô B (·Ó ‹Ù·Ó ·B q Ú¿ÏÏËϘ, ÙfiÙ ı· ‹Ù·Ó Î·È Â1 // Â2, ‰ËÏ·‰‹ ¿ÙÔÔ). ™ÙÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ Â1, °¢ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙÔ B ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË °¢, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A. EÂȉ‹ °¢⊥q, Â›Ó·È AB⊥q Î·È AB⊥p. EÔ̤ӈ˜, Ë AB Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ Â1 Î·È Â2. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ÌÈ· ¿ÏÏË ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË A′B′ ÙˆÓ Â1 Î·È Â2. ∂Âȉ‹ ∞′µ′⊥Â1 Î·È Â1//‰, Ë ∞′µ′ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÛÙË ‰. TfiÙÂ Ë A′B′, ˆ˜ οıÂÙË ÛÙËÓ Â2 Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÛÙË ‰, Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ q, ¿Ú· Î·È ÛÙÔ p. EÔ̤ӈ˜, AB // A′B′, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ AA′ Î·È BB′, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ Â1 Î·È Â2, Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜, Ú¿ÁÌ· ¿ÙÔÔ. ÕÚ·, Ë AB Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ÙˆÓ Â1 Î·È Â2. Á) £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Ì ٷ ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ° Î·È ¢ ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ AB < °¢, fiÔ˘ AB ÙÔ ÎÔÈÓfi οıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙˆÓ Â1 Î·È Â2. H οıÂÙË ·fi ÙÔ ° ÚÔ˜ ÙÔ q Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ q ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ABE° ÈÛ¯‡ÂÈ AB = °E, ÂÓÒ ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ °E¢ Ë Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ °E Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· °¢. ÕÚ·, ÈÛ¯‡ÂÈ AB < °¢. TÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ϤÁÂÙ·È ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2.
∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
A
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B
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË Ë ·fiÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ·fi ¤Ó· Â›Â‰Ô Â›Ó·È Ìˉ¤Ó;
2.
°È·Ù› ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ ÂȤ‰Ô˘ p ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›· οıÂÙË ÛÙÔ p;
3.
4.
5. 6.
310
p
B
8.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë q  ¢ı›· Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔ Â›Â‰Ô p p Î·È ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ q. N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ë Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙˆÓ p Î·È q.
9.
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ M ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÛÙÔ Â›Â‰Ô p;
°
°
B A M
p A′
B′
10. ¶ÔÈÔ˜
Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË · ·fi ‰ÔṲ̂ÓÔ Â›Â‰Ô p;
A p B q
E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ÛÂ Â›Â‰Ô p Ó· Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌ›Ô; AÓ Ë Â˘ı›· AB Â›Ó·È B A Ï¿ÁÈ· ÚÔ˜ ÙÔ Â›Â‰Ô p Î·È A′B′ Â›Ó·È Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ B′ p A′ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÛÙÔ Â›Â‰Ô p, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È A′B′. ™ÎÂÊÙ›Ù Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ ·) AB = A′B′,
¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ·: AÓ ‰‡Ô ›‰· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ·, ÙfiÙ οı ¢ı›· ÙÔ˘ ÂÓfi˜, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜, Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Â›Â‰Ô.
A
Afi ÛËÌÂ›Ô A ÂÎÙfi˜ A ÂȤ‰Ô˘ p ʤÚÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Î·È B p ¤Ó· Ï¿ÁÈÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A° ÚÔ˜ ÙÔ p. N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB Î·È A°. AÓ Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ p Î·È q Â›Ó·È ·, ÙÈ ÌÔÚ›Ù ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÓÂÙ ÁÈ· ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB Ì ٷ ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ÛÙ· p Î·È q;
7.
11. ¶fiÙ ÌÈ· ¢ı›· ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÚÔ˜ ›‰Ô
p ÎÏ›ÛË
i) 0Æ Î·È ii) 90Æ;
12. ¶ÔÈ·
Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ Ô˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡Ó: ·) ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚) ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜;
13. ¶fiÛ˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ›‰·; ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ Ô˘ ÙȘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡Ó;
‚) A′B′ = 0.
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∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
3.
4.
6.
AÓ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÛÙÚ‚ÏÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ë ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ·˘ÙÒÓ.
7.
Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ · ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ì A¢ = 2·. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ¢ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· B°.
AÓ ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ οıÂÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2 ʤÚÔ˘ÌÂ Â›Â‰Ô p ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙȘ Â1 Î·È Â2, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ٷ ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ÛÙȘ Â1 Î·È Â2 ‰È¯ÔÙÔÌÂ›Ù·È ·fi ÙÔ p.
8.
AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È Ï¿ÁÈ· ÚÔ˜ Â›Â‰Ô p, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›· ÙÔ˘ p οıÂÙË ÛÙËÓ Â Î·È Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋.
AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È Ï¿ÁÈ· ÚÔ˜ Â›Â‰Ô p, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Â Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙÔ p.
9.
·) N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ÙÔ̤˜ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ Ì ÙÚ›ÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È Â˘ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ. ‚) AÓ ‰‡Ô ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ·Î̤˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ.
¢›ÓÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A° Î·È ¤ÛÙˆ ¢ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°. Afi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Û’ ·˘Ù‹Ó ıˆÚԇ̠¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô M. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Â˘ı›· B° Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A¢M.
¢‡Ô ›‰· p Î·È q Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÌÈ· ¢ı›· Â. ŒÓ· ÙÚ›ÙÔ Â›Â‰Ô r Ù¤ÌÓÂÈ Ù· p Î·È q ηٿ ¢ı›˜ ‰ Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì ‰ // Ë. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Â˘ı›· Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔ Â›Â‰Ô r.
10. TÔ
Â›Â‰Ô ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÏÂ˘Ú¿˜ · Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· 30Æ ÌÂ Â›Â‰Ô p, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Â˘ı›· B°. ·) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ A ·fi ÙÔ Â›Â‰Ô p. ‚) N· ‚ÚÂı› Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô p.
AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó  // r, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ‰ // Ë.
5.
AÓ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB 1 ÛÂ Â›Â‰Ô p Â›Ó·È A′B′ = AB, Ó· ˘ÔÏÔÁÈ2 ÛÙ› Ë ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ AB ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p.
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô p ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÙÔ ›¯ÓÔ˜ O Ù˘  ÛÙÔ p Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘  ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O Â›Ó·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ·) N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Ô˘ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. ‚) AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ۯËÌ·Ù›˙ÂÈ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Ì ÙÚÂȘ ¢ı›˜ ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ p Î·È ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ p, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Â⊥p.
∫·ıÂÙfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÏÏËÏ›· ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ
3.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ¤‰Ú˜ Ù˘, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ‰È¯ÔÙfiÌÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ‰È¤‰Ú˘.
4.
H ÁˆÓ›· ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È 60Æ, ÂÓÒ Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È AB = ·. ™ÙȘ Â1 Î·È Â2 ıˆÚԇ̠ٷ ÛËÌ›· ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì A° = · Î·È B¢ = 2·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢.
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∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
£ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ¯O„ Î·È ÙËÓ ÚÔ∧ ‚ÔÏ‹ Ù˘ ¯′O′„′ ÛÂ Â›Â‰Ô p. N· ·Ô‰Âȯı› ∧ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ¯′O′„′ Â›Ó·È ÔÚı‹, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ∧ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ¯O„ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔ p. AÓ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó Â›Â‰Ô p, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÙÔ p Â›Ó·È ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›·.
9.
7.
¢›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô ÛËÌ›· A, B Î·È ÌÈ· ¢ı›· Â. N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ›‰Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Â Î·È Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· A Î·È B.
11. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ·fi ÛËÌ›Ô
8.
ŒÛÙˆ Â Ë ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓˆÓ ÂȤ‰ˆÓ p Î·È q. Afi ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ÛÙ· p Î·È q, Ô˘ Ù· Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Î¿ıÂÙ˜ ·fi Ù· A Î·È B ÚÔ˜ ÙËÓ Â ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
12. £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›·
6.
AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓȘ, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙË ÌÈ· Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ ¿ÏÏË.
10. ¢›ÓÔÓÙ·È
¤Ó· Â›Â‰Ô p Î·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB ¤Íˆ ·fi ÙÔ p. N· ‚ÚÂı› Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙÔ˘ p ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ ∞µ Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. A ÂÎÙfi˜ ÂȤ‰Ô˘ p ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙÔ p. ∧
¯O„ Î·È ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· O˙ οıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ÁˆÓ›·˜. AÓ A, B, ° Â›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· ÙˆÓ O¯, O„, O˙ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ O ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·˘ÙÔ‡.
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 12Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù¤ÛÛÂÚ· ‰ÔṲ̂ӷ ÌË Û˘Ó›‰· ÛËÌ›·.
2.
AÓ ÌÈ· ¢ı›· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Ì ÙȘ ¤‰Ú˜ ÌÈ·˜ ‰È¤‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ›¯ÓË Ù˘ ¿Óˆ ÛÙȘ ¤‰Ú˜ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙËÓ ·ÎÌ‹ Ù˘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.
6.
™ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÔÚıfiÎÂÓÙÚ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È ¢B° Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢B°.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ›Û· ÔÚıÔÁÒÓÈ· AB°¢ Î·È EB°Z, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ›‰·. AÓ K, § Ù· ΤÓÙÚ· ÙÔ˘˜ Î·È M, N Ù· ̤۷ ÙˆÓ B°, K§ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ B°, K§ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓȘ Î·È Ë ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Ë MN.
7.
£ÂˆÚԇ̠ÙÚ›· ÌË Û˘Ó›‰· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OA, OB, O° Î·È Ù· ÛËÌ›· A′, B′, °′ ·˘ÙÒÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÌÂ
3.
4.
5.
312
ÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹ ıˆÚÔ‡ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô M. AÓ ¢ Î·È E Â›Ó·È ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ A ÛÙȘ MB Î·È M° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë MB Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A¢E.
1.
OA′ = Ï Ø OA, OB′ = Ï Ø OB Î·È O°′ = Ï Ø O°, AÓ ‰‡Ô ÛÙ·ıÂÚ¿ ÛËÌ›· A Î·È B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÂȤ‰Ô˘ p, Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÛËÌÂ›Ô M ÙÔ˘ p Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MAB Ó· Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÛÙÔ M. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ AB Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ·˘ÙÔ‡. Afi ÙÔ A ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂ-
fiÔ˘ 0 < Ï < 1. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È A′B′°′ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰·. ‚) H ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È A′B′°′, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Î·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O.
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8.
9.
¢‡Ô ›Û· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢B° Ì ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË B° ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙ· οıÂÙ· ›‰· p Î·È q ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ Ë ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·, Ì ·ÎÌ‹ ÙËÓ A¢ Î·È ¤‰Ú˜ Ù· ›‰· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢ Î·È A°¢, Â›Ó·È ÔÚı‹, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ B° ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ AB = ·.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ B ·fiÛÙ·ÛË Î.
10. ŒÛÙˆ
p ÙÔ Â›Â‰Ô ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. Afi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ A, B, ° Î·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ p ʤÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ÛÙÔ p, ÛÙȘ Ôԛ˜ ıˆÚԇ̠·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A¢ = B°, BE = °A, °Z = AB.
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· Â›Â‰Ô p, ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô A ÙÔ˘ p Î·È ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô B ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ p. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›· ÙÔ˘ p, Ë ÔÔ›· Ó·
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ Â›Ó·È Ô͢ÁÒÓÈÔ.
∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 12Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
2.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. ·) ¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ‹ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ‹ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ‚) H ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ÛÂ Â›Â‰Ô Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È Â˘ı›·. Á) AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ÌÈ· ¢ı›· ÂȤ‰Ô˘ p, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Â⊥p. ‰) AÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÂ Â›Â‰Ô p, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Â1⊥Â2. Â) AÓ ÌÈ· ¢ı›·  ٤ÌÓÂÈ Â›Â‰Ô p ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, ÙfiÙ οı ¢ı›· ÙÔ˘ p Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ‹ Â›Ó·È ·Û‡Ì‚·ÙË Ì ÙËÓ Â. ÛÙ) AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ Â›Â‰Ô p, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔ ¤Ó· Â›Â‰Ô q // p Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Â. ˙) OÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Û ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ (fiÙ·Ó Ë Â˘ı›· ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙ· ›‰·). Ë) AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÂ Â›Â‰Ô p, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ‹ ÔÚıÔÁÒÓÈ· Û οı ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔ p. ı) AÓ ¤Ó· Â›Â‰Ô Ù¤ÌÓÂÈ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰·, ÙfiÙ ÔÈ Û¯ËÌ·ÙÈ˙fiÌÂÓ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. È) AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ Â›Â‰Ô p, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ· ¢ı›· ÙÔ˘ p ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ÙËÓ Â. AÓ ÌÈ· ¢ı›· Â Â›Ó·È Ï¿ÁÈ· ÚÔ˜ Â›Â‰Ô p,
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ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·ÏËı‡ÂÈ; ·) ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Â˘ı›· ÙÔ˘ p οıÂÙË ÛÙËÓ Â. ‚) Y¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ· ¢ı›· ÙÔ˘ p οıÂÙË ÛÙËÓ Â. Á) Y¿Ú¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ p οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â. ‰) MfiÓÔ ÌÈ· ¢ı›· ÙÔ˘ p Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ÙËÓ Â.
3.
4.
5.
¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜; ·) Y¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ›‰· Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙË ÌÈ· Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ÚÔ˜ ÙËÓ ¿ÏÏË. ‚) AfiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ٷ ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ÛÙȘ ‰‡Ô ·Û‡Ì‚·Ù˜. Á) Y¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ·˘ÙÒÓ. AÓ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB ÛÂ Â›Â‰Ô p Â›Ó·È 1 A′B′ = AB , 2 ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Ë ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ AB ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ p; ·) 60Æ ‚) 30Æ Á) 45Æ ‰) 15Æ AÓ ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢B° ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË ÙË B° Î·È Ù· ›‰¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο, ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ A¢ Î·È B° Â›Ó·È ·) ·Ú¿ÏÏËϘ Á) ·Û‡Ì‚·Ù˜ ÌË ÔÚıÔÁÒÓȘ ‚) Û˘Ó›‰˜ ‰) ÔÚıÔÁÒÓȘ.
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7.
T· ÌÂÛÔοıÂÙ· ›‰· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·) Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ‚) ¤¯Ô˘Ó ÌfiÓÔÓ ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Á) ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ›‰È· ¢ı›· ‰) Â›Ó·È ·Ó¿ ‰‡Ô οıÂÙ·. ∧
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ¯O„ = 45Æ Î·È ÙÔ ÛËÌ›Է A Ù˘ O¯ Ì OA = 2·. Afi ÙÔ A ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È Û’ ·˘Ù‹Ó · ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô B Ì AB = . H ·fi2 ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ B ·fi ÙËÓ O„ Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ: ·) ·
‚) 1,5·
· Á) 2
· ‰) 4
3· Â) . 4
8.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
ŒÛÙˆ AB ÙÔ ÎÔÈÓfi οıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2. °È· ÔÔÈ∧ Ô‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ Â1 Ë ÁˆÓ›· °µÂ2 Â›Ó·È ·) ÔÍ›·
9.
‚) ·Ì‚Ï›·
Á) ÔÚı‹.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ° A Â1 ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜ Â1, Â2 Ì ÁˆÓ›· 45Æ Î·È ¤ÛÙˆ AB ÙÔ ÎÔÈÓfi οıÂÙÔ B Â2 ¢ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·˘ÙÒÓ. AÓ A° = B¢ = · Î·È °¢ =·2 , ÙfiÙÂ Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È 4
·) · Ø 2
2 · ‚) 2
Á) ·
· ‰) 2
3 · Â) . 2
ANAKEºA§AIø™H ™ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ·˘ÙÔ‡ ηٷÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ ‚·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ‰È·ÛÙ¿ÛˆÓ, ·ÍÈÒÌ·Ù· Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ˆ˜ ‚·ÛÈ΋˜ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘ Î·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ. T· ıˆڋ̷ٷ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ Î·È Î·ıÂÙfiÙËÙ·˜ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ E›Â‰Ë˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. T· ıˆڋ̷ٷ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘, Ù˘ ηıÂÙfiÙËÙ·˜ ¢ıÂÈÒÓ Î·È ÂȤ‰ˆÓ Î·È Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ Î·È Î·ıÂÙfiÙËÙ·˜ ÂȤ‰ˆÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙË ‚¿ÛË ÁÈ· ÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË Ó¤ˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ. B·ÛÈÎfi ıÂÒÚËÌ· ‰Ò, Â›Ó·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Î·ı¤ÙˆÓ. OÈ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Û ›‰Ô, Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ÌÂٷ͇ ¢ıÂÈÒÓ, ÁˆÓ›·˜ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘ Î·È ÁˆÓ›·˜ ÌÂٷ͇ ÂȤ‰ˆÓ ›ӷÈ, ›Û˘, ¤ÎÙ·ÛË Î·È ÁÂӛ΢ÛË ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ EȉÔÌÂÙÚ›·˜. ™ËÌ·ÓÙÈ΋ Ó¤· ¤ÓÓÔÈ· Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜.
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∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ
13
°ÂˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿
EÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı¤Û·Ì ÙȘ ‚¿ÛÂȘ Ù˘ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. £ÂˆÚ‹Û·Ì ¢ı›˜ Î·È Â›Â‰· ÛÙÔÓ ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙÔ ¯ÒÚÔ Î·È ·Ô‰Â›Í·Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, ÔÈ Ôԛ˜ ›¯·Ó Û¯¤ÛË Ì ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· Î·È ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ, ηıÒ˜ Î·È Ì ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ·ã ·˘Ù¿ Ù· Û¯‹Ì·Ù·. ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙË ÌÂϤÙË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ. ¢ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ·˘ÛÙËÚ¿ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Î·È ¿ÏϘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ. ŒÙÛÈ, ı· ‰Â¯ıԇ̠ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÚfiÔ ÂÌÂÈÚÈÎfi. ŸÏÔÈ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì .¯. ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ Î‡‚Ô˜ ‹ ÛÊ·›Ú·. °È· Ó· ÔÚÈÛı›, fï˜, Ë ÌÔÚÊ‹ (ÙÔ Û¯‹Ì·) ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ··ÈÙÂ›Ù·È Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡. TËÓ ¤ÓÓÔÈ· ·˘Ù‹ ı· ÙË ‰Â¯ıÔ‡ÌÂ, ›Û˘, ÂÌÂÈÚÈο. H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÔÚÈÔıÂÙ› ÙÔ «ÂÛˆÙÂÚÈÎfi» Î·È ÙÔ «Â͈ÙÂÚÈÎfi» ·˘ÙÔ‡. ¢ËÏ·‰‹, Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ÛËÌÂÈÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· «¯ˆÚ›˙ÂÙ·È» Ô ¯ÒÚÔ˜, fiÙ·Ó ‰Ôı› ¤Ó· ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ·. T· ÛÙÂÚ¿ ÛÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ¿ÂÈÚ·. ∂Ì›˜ ı· ÂÈϤÍÔ˘Ì ÁÈ· ÌÂϤÙË ÔÚÈṲ̂ӷ ÛÙÂÚ¿ ÛÒÌ·Ù· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ‰‡Ô ÌÂÁ¿Ï˜ ηÙËÁÔڛ˜. H ÚÒÙË Î·ÙËÁÔÚ›· ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· ÛÙÂÚ¿, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Â›Ó·È ¤ÓˆÛË ÔÏ˘-
™
¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
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£EøPIA ÁˆÓÈÎÒÓ ¯ˆÚ›ˆÓ (Ôχ‰ڷ). ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÛÙÂÚÂÒÓ Ù˘ ηÙËÁÔÚ›·˜ ·˘Ù‹˜ Â›Ó·È Ù· Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÔÈ ˘Ú·Ì›‰Â˜. H ‰Â‡ÙÂÚË Î·ÙËÁÔÚ›· ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· ÛÙÂÚ¿, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÌÈ·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· ¢ı›· (ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜). ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ù¤ÙÔÈˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ Â›Ó·È Ë ÛÊ·›Ú· Î·È Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜. ŸÙ·Ó ϤÌ Ôχ‰ÚÔ, ÂÓÓÔԇ̠¤Ó· ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÔÏ˘ÁˆÓÈο ¯ˆÚ›·. H ÙÔÌ‹ Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ÌÂ Ù˘¯·›Ô ›‰Ô, fiÙ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ÔχÁˆÓÔ ‹ ÎÏÂÈÛÙ¿ ÔχÁˆÓ·. EȉÈο, ¤Ó· Ôχ‰ÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙfi, fiÙ·Ó Î¿ıÂ Â›Â‰Ë ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ‹ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Â›Ó·È Î˘ÚÙfi ÔχÁˆÓÔ. T· ÔÏ˘ÁˆÓÈο ¯ˆÚ›· ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¤‰Ú˜, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘˜ ηÏÔ‡ÓÙ·È ·Î̤˜ Î·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. TÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ Î·È ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘: ÙÂÙڿ‰ÚÔ Â›Ó·È ¤Ó· Ôχ‰ÚÔ Ì ٤ÛÛÂÚȘ ¤‰Ú˜, ÂÓٿ‰ÚÔ Ì ¤ÓÙ ¤‰Ú˜, ÁÂÓÈο Ó-‰ÚÔ Â›Ó·È ÙÔ Ôχ‰ÚÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ó ¤‰Ú˜. Afi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ ÂÈϤÁÔ˘Ì ÁÈ· ÌÂϤÙË ‰‡Ô ÛËÌ·ÓÙÈο ˘ÔÛ‡ÓÔÏ·, ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È Ù· Ú›ÛÌ·Ù·.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
Ôχ‰ÚÔ
¤‰Ú·
ÎÔÚ˘Ê‹
·ÎÌ‹ ÂÓٿ‰ÚÔ
13.1. ¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ ÂˆÚԇ̠¤Ó· Â›Â‰Ô p, ÌÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ p Î·È ÌÈ· ¢ı›·  Ԣ ¤¯ÂÈ Ì ÙÔ p ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô (Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘). Afi οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË Â˘ı›· ÚÔ˜ ÙËÓ Â. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·. K¿ı ٤ÙÔÈ· ¢ı›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ·, ÂÓÒ Ë ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ p Ô˘ ıˆڋ۷Ì ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ô‰ËÁfi˜ Ù˘ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. EȉÈο, ÔÈ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù˘ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Î̤˜ Ù˘ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÁÂÓÂÙÂÈÚÒÓ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤‰Ú· Ù˘ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. AÓ Ë ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹, ÙfiÙÂ Ë ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÔÓÔÌ¿-
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316
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13.1.
£EøPIA ˙ÂÙ·È Î˘ÚÙ‹ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·. ™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÌfiÓÔ Û ΢ÚÙ¤˜ ÚÈÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ. AÓ ‰Ôı› ÌÈ· ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Î·È ¤Ó· Â›Â‰Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÌÈ· ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ·, ÙfiÙ ÙÔ Â›Â‰Ô, ÏfiÁˆ Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜ ÙˆÓ ÁÂÓÂÙÂÈÚÒÓ, ı· Ù¤ÌÓÂÈ fiϘ ÙȘ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ˜. H ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ì ÙËÓ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ı· Â›Ó·È ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ. AÓ ÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙȘ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ˜, ÙfiÙÂ Ë ÙÔÌ‹ ηÏÂ›Ù·È Î¿ıÂÙË ÙÔÌ‹. £ÂˆÚԇ̠ÙÒÚ· ÌÈ· ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Î·È ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ˜. TÔ ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Â›Ó·È ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ, Î·È Ù· ÔÏ˘ÁˆÓÈο ¯ˆÚ›· Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÔÈ ÙÔ̤˜ ÙˆÓ ÂȤ‰ˆÓ Ì ÙËÓ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ú›ÛÌ·. OÈ ‰‡Ô ÙÔ̤˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ Ì ÙËÓ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ‚¿ÛÂˆÓ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ∞Ó ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙȘ ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ˜ ÙÔ Ú›ÛÌ· ϤÁÂÙ·È ÔÚıfi. AÓ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·, ÙfiÙ ÙÔ Ú›ÛÌ· ηÏÂ›Ù·È ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô. AÓ, ÂÈϤÔÓ, ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÚıfi, ÙfiÙ ÙÔ Ú›ÛÌ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô. ŒÓ· ÔÚıfi Ú›ÛÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î‡‚Ô˜. OÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ηÏÔ‡ÓÙ·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. T· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ, Ù˘ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜, ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ Â‰ÚÒÓ ÔÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Ì·˙› Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ ·Î̤˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ Ì·˙› Ì ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ›‰È· ‚¿ÛË ‹ ÛÙËÓ ›‰È· ·Ú¿Ï¢ÚË ¤‰Ú· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. K¿ı ›‰Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ›‰È· ·Ú¿Ï¢ÚË ¤‰Ú· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÁÒÓÈÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ŒÓ· ÔÚıfi Ú›ÛÌ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈÎfi Ú›ÛÌ·. TÔ ÂȉÈÎfi fiÓÔÌ· οı ڛÛÌ·ÙÔ˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ‚¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘. ŒÙÛÈ, .¯. ÂÍ·ÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· Â›Ó·È ·˘Ùfi ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÂÍ¿ÁˆÓ·, ÂÓÒ Î·ÓÔÓÈÎfi ÂÓÙ·ÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚıfi Ú›ÛÌ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ·.
¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
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317
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
13.1.1. I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ ∂Âȉ‹ ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰·, ‡ÎÔÏ· ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜. ➧
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√È ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·.
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√È ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û˜.
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√È ‚¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û· ÔχÁˆÓ·.
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∂ȉÈο ÁÈ· Ù· ·Ú·ÏÏËÏ›‰· ÂӉȷʤÚÔ˘Û· Â›Ó·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ·.
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£EøPHMA 13.1. √È ·¤Ó·ÓÙÈ ¤‰Ú˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Â›Ó·È ›Û· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·. ∞fi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô ∞µ°¢∂∑∏£ Î·È ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ∞¢£∂ Î·È µ°∏∑ Â›Ó·È ›Û·. ∞fi Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ∞µ∑∂ Î·È ∂∑∏£ ¤¯Ô˘Ì ∞µ//=∂∑ Î·È £∏//=∂∑. ∂Ô̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ ∞µ//=£∏, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ∏£ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ∞£ = µ∏. ∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞∂£ Î·È µ∑∏ Â›Ó·È ›Û·, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ∂Âȉ‹, fï˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞∂£ Î·È ∞¢£, ηıÒ˜ Î·È Ù· µ∑∏ Î·È µ°∏ Â›Ó·È ›Û·, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ∞¢£∂ Î·È µ°∏∑ Â›Ó·È ›Û· (ÂÂȉ‹ Ì ηٿÏÏËÏË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÌÔÚ› Ó· Ù·˘ÙÈÛÙ› ÙÔ ¤Ó· Ì ÙÔ ¿ÏÏÔ). ▲
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¶OPI™MA 13.1. √È ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·.
AÓ ‰Ôı› ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô Î·È ıˆڋÛÔ˘Ì ÙȘ ÙÚÂȘ ·Î̤˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ ·ÎÌÒÓ Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ·: ÔÈ ·Î̤˜ οı ÙÚÈ¿‰·˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ›Û˜ Ì ÌÈ· ·ÎÌ‹ Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÙÚÈ¿‰·˜ ·ÎÌÒÓ. EÔ̤ӈ˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘, ÙfiÙ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ì‹ÎË fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ ÙÔ˘. °Èã ·˘Ùfi ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË «‰›ÓÂÙ·È ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô Ì ·Î̤˜ ·, ‚, Á». IÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·.
318
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.1.
£EøPIA £EøPHMA 13.2. ŸÏ˜ ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Â›Ó·È ›Û˜. AÓ ·, ‚, Á Â›Ó·È ÔÈ ·Î̤˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ οı ‰È·ÁÒÓÈfi˜ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2 + Á2. ‰ = · 2+‚
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô AB°¢EZH£ Ì ̋ÎË ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ AB, A¢ Î·È AE ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·, ‚ Î·È Á. £ÂˆÚԇ̠ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ AH ÙÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ̋ÎÔ˜ ‰. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· E£H, AEH Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ EH2 = ·2 + ‚2, (1) Á2 + EH2 = ‰2.
(2)
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M ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ (1) ÛÙËÓ (2) ÚÔ·ÙÂÈ Ë Û¯¤ÛË ‰2 = ·2 + ‚2 + Á2, ‰ËÏ·‰‹ ‚2 + ‰ = · 2+ Á2. M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙÂ Î·È ÁÈ· ÙȘ ¿ÏϘ ‰È·ÁÒÓȘ Î·È ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È ¿ÏÈ Ì ‚2 + · 2+ Á2.
▲
¶OPI™MA 13.2. K¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ Ì ·ÎÌ‹ · ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ‰ = ·3 . ∫·Ù¿ ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ‰È·ÊfiÚˆÓ ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ, ΢ڛˆ˜ fiÙ·Ó ·Ó·˙ËÙÔ‡ÌÂ Û˘Óı‹Î˜ ÁÈ· ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ·˘ÙÒÓ, Â›Ó·È ¯Ú‹ÛÈÌË Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÛÙÂÚ‹˜ ‹ Ôχ‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜. ∂ȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÛÙÂÚ‹˜ ÁˆÓ›·˜, Ô˘ ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Û˘Ó·ÓÙ¿Ù·È ÛÙË ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·, Â›Ó·È Ë Ùڛ‰ÚË ÁˆÓ›· Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂˆÚԇ̠ÙÚÂȘ ÌË Û˘Ó›‰˜ ËÌÈ¢ı›˜ √¯, √„, √ˆ Ì ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ √, ÔÈ Ôԛ˜ ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙȘ ΢ÚÙ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ∧ ¯ O„, ¯ √ˆ Î·È ˆ√¯. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Î˘ÚÙÒÓ ·˘ÙÒÓ ÁˆÓÈÒÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ùڛ‰ÚË ÁˆÓ›· Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ √ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì √¯„ˆ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÔÚ˘Ê‹, ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ √¯, √„, √ˆ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Î̤˜ Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ΢ÚÙ¤˜ ›‰˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ÔÈ ·Î̤˜ ·Ó¿ ‰‡Ô ÔÚ›˙Ô˘Ó, ¤‰Ú˜ Ù˘ Ùڛ‰Ú˘. √È ÙÚÂȘ ‰›Â-
¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
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319
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Ì ·Î̤˜ ÙÔ˘˜ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ Ù˘ Ùڛ‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ¤‰Ú˜ Ù· ËÌÈ›‰· Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙȘ ¤‰Ú˜ Ù˘ Ùڛ‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜, ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ Ùڛ‰Ú˘. ∞Ó ‰‡Ô ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ÌÈ·˜ Ùڛ‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ÔÚı¤˜, ÙfiÙÂ Ë Ùڛ‰ÚË ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰ÈÛÔÚıÔÁÒÓÈ·. ∞Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÔÚı¤˜, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈ·. ¶APATHPH™H: OÈ Ùڛ‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Ûã ¤Ó·Ó Î‡‚Ô ‹ Ûã ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô Â›Ó·È fiϘ ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓȘ Ùڛ‰Ú˜. MÈ· Ùڛ‰ÚË ÌÔÚ› Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙÚÂȘ ›Û˜ ‰›Â‰Ú˜. E›Û˘, ÌÈ· Ùڛ‰ÚË ÌÔÚ› Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙÚÂȘ ‰›Â‰Ú˜ ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜, fiˆ˜ Â›Ó·È ÔÈ Ùڛ‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ‰ˆ‰Â礉ÚÔ˘ (‚Ï. ¨13.6).
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13.1.2. EÌ‚·‰fi ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ O ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ÂÈχÂÈ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜ (ÔÈÎÔ‰fiÌËÛË ÎÙÈÚ›ˆÓ, ‚·Ê‹ ÚÈÛÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ, Î.Ï.), ·ÏÏ¿ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙˆÓ ÂÊ·ÚÌÔÛÌ¤ÓˆÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ ·Ú¿Ï¢Ú˘ Î·È ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ø˜ ÂÌ‚·‰fi ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ –ı· ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ E– ÂÓÓÔԇ̠ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. AÓ ÛÙÔ ÂÌ‚·‰fi ·˘Ùfi ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙˆÓ ‰‡Ô ‚¿ÛˆÓ, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ EÔÏ. £EøPHMA 13.3. AÓ ¶ Î·È E Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ù˘ ‚¿Û˘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ˘ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ Î·È Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ·Ó›·˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜: E = ¶ Ø ˘ (1) Î·È EÔÏ = ¶ Ø ˘ + 2E (2) Afi‰ÂÈÍË: OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì A1, A2, … AÓ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÂÓfi˜ Ó-ÁˆÓÈÎÔ‡ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ‡„Ô˜ ˘. TfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ·Ó›·˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì A3
E = A1 A2 Ø ˘ + A2 A3 Ø ˘ + … + AÓ–1 AÓ Ø ˘ = = (A1 A2 + A2 A3 +…+ AÓ–1 AÓ) Ø ˘ = ¶ Ø ˘. O Ù‡Ô˜ (2) Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó‹˜.
320
A2
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A4 ˘ ˘
A5
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°EøMETPIKA ™TEPEA
13.1.
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13.1.3. ŸÁÎÔ˜ ÛÙÂÚÂÒÓ MÈ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ¤ÓÓÔÈ·, Ë ÔÔ›· Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ٷ ÁˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿, Â›Ó·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘. °È· ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠·Ó¿ÏÔÁ· ‚‹Ì·Ù· Ìã ·˘Ù¿ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı‹Û·Ì ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ 10, ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›Û·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. A˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ìو̷ÙÈÎfi. Ÿˆ˜ Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙËÓ «¤ÎÙ·ÛË» ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, Ì ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙËÓ «¤ÎÙ·ÛË» ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. £· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÙÔÓ fiÁÎÔ ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È «ÎÏÂÈÛÙ¿» ÛÙÂÚ¿ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ›‰·. O fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi οÔÈ· ̤ÙÚËÛË. M¤ÙÚËÛË ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ¶ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛ‹ ÙÔ˘ Ìã ¤Ó· ¿ÏÏÔ Ôχ‰ÚÔ X, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÎϤÁÔ˘Ì ˆ˜ ÌÔÓ¿‰·. AÓ, ÏÔÈfiÓ, ηٿ ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ·˘Ù‹ ÚÔ·„ÂÈ ÌÈ· Û¯¤ÛË ¶ = Ï Ø X, fiÔ˘ Ï ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ¶, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÔÓ¿‰· X, Â›Ó·È Ï. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ Ìã ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. OÈ ÂfiÌÂÓ˜ ·Ú·‰Ô¯¤˜ (·ÍÈÒÌ·Ù·) Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙ˜ ÁÈ· ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘.
X
¶
I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ➧
(√.1) O fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.
➧
(√.2) AÓ ¤Ó· Ôχ‰ÚÔ Â›Ó·È ¤ÓˆÛË ‰‡Ô ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›·, ÙfiÙÂ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ.
➧
(√.3) ÿÛ· Ôχ‰ڷ ¤¯Ô˘Ó ›ÛÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜.
➧
(√.4) O fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ ·ÎÌ‹˜ 1 Â›Ó·È 1.
V1
V2 V = V1+V2
¢Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ Ô˘ Â›Ó·È ÂÎÊ˘ÏÈṲ̂ÓÔ Ôχ‰ÚÔ ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ Ìˉ¤Ó. T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·ÍÈÒÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ÏÔÁÈΤ˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ÙȘ Ôԛ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË. ➧
(¶.1) AÓ ¤Ó· Ôχ‰ÚÔ ¯ˆÚÈÛı› Û ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Ï‹ıÔ˜ Ôχ‰ڷ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›·, ÙfiÙÂ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙˆÓ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ. ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙÔÓ ÙÚfiÔ ¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘.
¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
321
£EøPIA ➧
(¶.2) AÓ ¤Ó· Ôχ‰ÚÔ ¶ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘ P, ÙfiÙÂ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ¶ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ P.
➧
(¶.3) O fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ ·ÎÌ‹˜ · ÈÛÔ‡Ù·È Ì ·3.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
V = ·3 ·
¢‡Ô Ôχ‰ڷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ fiÁÎÔ Ù· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. O fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ™ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì V™.
13.1.4. ŸÁÎÔ˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓˆÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ (Ì‹ÎË ·ÎÌÒÓ) ·, ‚, Á ÈÛÔ‡Ù·È Ì V = · Ø ‚ Ø Á.
Á ‚
V = ·Ø‚ØÁ ·
¢ËÏ·‰‹ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ · Ø ‚ (Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·, ‚) › ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜ Á. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË ÈÔ ÁÂÓÈο fiÙÈ: √ fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ › ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‡„Ô˜. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÂfiÌÂÓÔ˘, ‚·ÛÈÎÔ‡ ÁÈ· ÙËÓ ÔÁÎÔÌÂÙÚ›·, ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ: £EøPHMA 13.4. ∫¿ı ϿÁÈÔ Ú›ÛÌ· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ¤Ó· ÔÚıfi, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ‚¿ÛË Ì›· οıÂÙË ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ Ï¿ÁÈÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ‡„Ô˜ Ì›· ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ ÙÔ˘.
£EøPHMA 13.5. ∫¿ı ‰È·ÁÒÓÈÔ Â›Â‰Ô ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ ÙÔ ‰È·ÈÚ› Û ‰‡Ô ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ú›ÛÌ·Ù·. ∞fi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô AB°¢EZH£ Î·È ÌÈ· οıÂÙË ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ ∫§ª¡, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ (·Ú¿ÏÏËϘ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜). ∆Ô ‰È·ÁÒÓÈÔ Â›Â‰Ô ¢µ∑£ Ù¤ÌÓÂÈ ·˘Ù‹ ÙËÓ ÙÔÌ‹ Û ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ∫§¡ Î·È §¡ª. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ù· ÙÚÈÁˆÓÈο Ú›ÛÌ·Ù· AB¢EZ£ Î·È ¢B°£ZH ¤¯Ô˘Ó fiÁÎÔ˘˜
E
322
Z
¡
∫
M ¢
V1 = ∂∫§¡ Ø µ∑ Î·È V2 = ∂§¡ª Ø µ∑ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ó ›ÛÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜.
H
£
A
§
°
B
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.1.
£EøPIA ŸÙ·Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÙfiÙ ٷ ‰‡Ô ÔÚı¿ ÙÚÈÁˆÓÈο Ú›ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ Ì ÌÈ· ·Ï‹ ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. ▲
£EøPHMA 13.6. √ fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ‚¿Û˘ › ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ∞fi‰ÂÈÍË: £· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÚÒÙ· ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÚÈÁˆÓÈÎÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ∞˜ Â›Ó·È ∞µ°¢∂∑ ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ Ú›ÛÌ·. ™ÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ‚¿Û˘ ∞µ° ıˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∏, ÒÛÙ ÙÔ ∞µ∏° Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. √ÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ‚¿Û˘ ∂∑¢ ıˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô £, ÒÛÙ ÙÔ ∂∑£¢ Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ∂‡ÎÔÏ· ÌÔÚ› ηÓ›˜ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÈ fiÙÈ ÙÔ ∞µ∏°¢∂∑µ Â›Ó·È ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô. ∆Ô Â›Â‰Ô °µ∑¢ Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·ÁÒÓÈÔ Â›Â‰Ô ·˘ÙÔ‡. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Ù· ‰‡Ô Ú›ÛÌ·Ù· ∞µ°¢∂∑ Î·È °µ∏£¢∑ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. ∞Ó V0 Â›Ó·È Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Î·È V Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ∞µ°¢∂∑, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ V0 = 2V
£
¢ E
Z
° A
H B
(1)
°ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, fï˜, fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ∂0 Ù˘ ‚¿Û˘ ∞µ∏° › ÙÔ ‡„Ô˜ ˘. πÛ¯‡ÂÈ ‰ËÏ·‰‹ V0 = E0 Ø ˘
(2)
ŸÌˆ˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È µ∏° Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. ∞Ó ∂ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ∂0 = 2∂
(3)
∆fiÙ ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) Î·È (3) ÚÔ·ÙÂÈ V= E Ø ˘
(4)
∞Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ú›ÛÌ· ‹Ù·Ó Ù˘¯·›Ô (fi¯È ηْ ·Ó¿ÁÎË ÙÚÈÁˆÓÈÎfi), ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· Û ¿ÏÏ· ÙÚÈÁˆÓÈο Ú›ÛÌ·Ù· Î·È Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË (¶.1). £· ηٷϋÍÔ˘Ì ÛÙÔ ›‰ÈÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. ▲
¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
EÊ·ÚÌÔÁ‹
OÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È ·’ ·˘Ùfi. Afi‰ÂÈÍË: OÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ £ AB°¢EZH£ Â›Ó·È Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AH, B£, °E Î·È ¢Z. EÂȉ‹ BZ // ¢£ Î·È BZ = ¢£, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ E B¢£Z Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔ› ÙÔ˘ B£ Î·È ¢Z ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O. O OÌÔ›ˆ˜, ÛÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ABH£ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ AH ¢ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ O Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ B£ ·˘ÙÔ‡. T¤ÏÔ˜, ÛÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ A°HE ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ °E Î·È A AH ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ̤ÛÔ ÙÔ O. ÕÚ·, ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô O, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Î¿ı ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ Î·È Ï¤ÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘.
H Z
° B
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
¶fiÛ˜ ¤‰Ú˜, ·Î̤˜ Î·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô;
2.
AÓ ¤Ó· Ú›ÛÌ· Ù¤ÌÓÂÙ·È ·fi Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘, ÙÈ Û¯¤ÛË ¤¯ÂÈ Ë ÙÔÌ‹ Ì ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜;
3.
324
7.
AÓ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô ÙÌËı› ·fi Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙȘ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÙÔ˘, ÙÈ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜;
4.
ŒÓ·˜ ·‚Ô˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô; TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÈÛ¯‡ÂÈ;
5.
¶Ò˜ ÌÔÚ› Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó·˜ ·‚Ô˜, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ‰ ÌÈ·˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ÙÔ˘;
6.
TÔ ‰Ô¯Â›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÓÂÚfi ̤¯ÚÈ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙˆÓ 40 cm. AÓ ÙÔÔıÂÙËı› Û’ ·˘Ùfi ÌÈ· ¤ÙÚ·, ÙfiÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ·Ó‚·›ÓÂÈ ÛÙ· 50 cm. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô fiÁÎÔ˜ Ù˘ ¤ÙÚ·˜;
ŒÓ· ‰Ô¯Â›Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ Ì ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ 1 m.
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ˙‡ÁË ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ Û’ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô; ™¯Â‰È¿ÛÙ ٷ ‰È·ÁÒÓÈ· ›‰· ·˘ÙÔ‡, ηıÒ˜ Î·È ÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜.
£
H Z
E
¢ A
° B
8.
™Â ÔÈ· ·Ú·ÏÏËÏ›‰· ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ Â›Ó·È ›Û˜;
9.
T· ÙÚÈÁˆÓÈο Ú›ÛÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÁÒÓÈ· ›‰·;
°EøMETPIKA ™TEPEA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
13.1.
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2, 3, 4 Î·È Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi 208 cm2.
·, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·ÎÌ‹, Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜, Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ·‚Ô˘.
4.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁˆÁÈÎÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ ‚¿Û˘ · Î·È ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ 2·.
5.
ŒÓ· ÔÚıfi Ú›ÛÌ· ‡„Ô˘˜ · ¤¯ÂÈ ‚¿ÛË ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ ·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜.
6.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÌÈ·˜ ·ÎÌ‹˜ ·‚Ô˘ 1 Û ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈfi ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ù˘ ‰È·Áˆ3 Ó›Ô˘.
OÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ‚¿Û˘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘ AB°¢EZH£ Â›Ó·È AB = 4 cm ηÈ
A¢ = 3 cm,
ÂÓÒ Ë ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi 84 cm2. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó: ·) TÔ ‡„Ô˜, Ô fiÁÎÔ˜, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘. ‚) H ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ AE Î·È B£.
3.
AÓ ¤Ó· ‰È·ÁÒÓÈÔ Â›Â‰Ô Î‡‚Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
3.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ηÓÔÓÈÎfi ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· Ì ÏÂ˘Ú¿ ‚¿Û˘ ·. ŒÓ· Â›Â‰Ô p ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ·ÎÌ‹ Ù˘ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ Î·È ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ¿ÏÏ˘ ‚¿Û˘, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·ÌÈ¿ ·Ú¿Ï¢ÚË ¤‰Ú· ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ∞Ó ÙÔ p Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÁˆÓ›· 60Æ Ì ÙË ‚¿ÛË, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. OÈ ‚¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ Ï¿ÁÈÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ‰‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ Ì ÏÂ˘Ú¿ ·, ÂÓÒ ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÙÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÁˆÓ›· 45Æ. AÓ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ¢ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ ‚¿Û˘ AB° Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ηÓÔÓÈο Ú›ÛÌ·Ù· Ì ‡„Ë ˘1, ˘2 Î·È ‚¿ÛÂȘ ηÓÔÓÈο Ó-ÁˆÓ·, Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ·ÔÛÙ‹Ì·Ù· ·1 Î·È ·2. AÓ ÔÈ fiÁÎÔÈ ÙˆÓ
¶Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ
‰‡Ô ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔÈ Ì ٷ ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ ÙÔ˘˜, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· 1 1 1 1 + = + . ˘1 ·1 ˘2 ·2
4.
N· ‰È·ÈÚÂı› ÔÚıfi ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ú›ÛÌ·Ù· Ì ›‰· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ ÙÔ˘.
5.
£ÂˆÚԇ̠ÙȘ ÙÔ̤˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·Ï¢ÚÈÎÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ٷ ‰È·ÁÒÓÈ· ›‰¿ ÙÔ˘. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ÙÔÌÒÓ ·˘ÙÒÓ ·¤¯Ô˘Ó fiÛÔ Î·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘.
6.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÙÚÈÁˆÓÈÎÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ٷ ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ Â‰ÚÒÓ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
325
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
13.2. ¶˘Ú·Ì›‰Â˜ ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ÌÂÏÂÙԇ̠ÌÈ· ›Û˘ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ηÙËÁÔÚ›· ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ, ÙȘ ˘Ú·Ì›‰Â˜. ™ã ¤Ó· Â›Â‰Ô p ıˆÚԇ̠¤Ó· ÔχÁˆÓÔ. Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô K ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ p ʤÚÔ˘Ì fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ¿ÏÏ· ¿ÎÚ· Â›Ó·È ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘. TÔ ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, Î·È ÙÔ ¯ˆÚ›Ô Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÔχÁˆÓÔ Î·ÏÂ›Ù·È ˘Ú·Ì›‰·. TÔ ÛËÌÂ›Ô K ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, ÙÔ ¯ˆÚ›Ô ÙÔ˘ ÔχÁˆÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚¿ÛË Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, ÂÓÒ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÎÚ· ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. T· ÙÚÈÁˆÓÈο ¯ˆÚ›· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¤‰Ú˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. H ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ·fi ÙË ‚¿ÛË Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‡„Ô˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. ∞fi ÙÔ Â›‰Ô˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ‰›ÓÔ˘Ì ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ÙËÓ ·Ó¿ÏÔÁË ÔÓÔÌ·Û›· ÛÙËÓ ˘Ú·Ì›‰·. ŒÙÛÈ, ·Ó Ë ‚¿ÛË Ù˘ Â›Ó·È ÂÍ¿ÁˆÓÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÍ·ÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰·. AÓ Ë ‚¿ÛË Ù˘ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ Î·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÚÔ‚¿ÏÏÂÙ·È ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, ÙfiÙÂ Ë ˘Ú·Ì›‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈ΋. EÓÒ Ë ÙÔÌ‹ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ÌÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÂÈ ‰‡Ô ÛÙÂÚ¿, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È Î·È Ù· ‰‡Ô Ú›ÛÌ·Ù·, Ë ÙÔÌ‹ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÌÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË Ù˘ ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ˘Ú·Ì›‰· Î·È ¤Ó· ÛÙÂÚÂfi ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È ˘Ú·Ì›‰·. TÔ ÛÙÂÚÂfi ·˘Ùfi ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÎfiÏÔ˘ÚË* ˘Ú·Ì›‰·. H ‚¿ÛË Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È Ë ÙÔÌ‹ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ì ÙÔ Â›Â‰Ô (Ë ÔÔ›· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È, ›Û˘, ÔχÁˆÓÔ), ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂȘ Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, ÂÓÒ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‡„Ô˜ Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. ∞fi ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ ‰›ÓÔ˘ÌÂ Î·È ÙËÓ ·Ó¿ÏÔÁË ÔÓÔÌ·Û›· ÛÙËÓ ÎfiÏÔ˘ÚË ˘Ú·Ì›‰·. AÓ Ë ·Ú¯È΋ ˘Ú·Ì›‰· Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈ΋, ÙfiÙÂ Ë ÎfiÏÔ˘ÚË ˘Ú·Ì›‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈ΋ ÎfiÏÔ˘ÚË ˘Ú·Ì›‰·. ™Â ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· Ì ÙËÓ ˘Ú·Ì›‰·, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ: ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹, ·Ú¿Ï¢ÚË ¤‰Ú·, ‚¿ÛË Î·È ·ÎÌ‹ Ù˘ ‚¿Û˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. √È ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È ›Û· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ·¤˙È·.
™
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KÔÚ˘Ê‹
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Œ‰Ú· ‚¿ÛË
‡„Ô˜
* KfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÛÙ· ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈο ÛËÌ·›ÓÂÈ «¯ˆÚ›˜ Ô˘Ú¿», ‰ËÏ·‰‹ ÎÔÏÔ‚fi˜.
326
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.2.
£EøPIA OÈ ‚¿ÛÂȘ ÌÈ·˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È ÔχÁˆÓ· fiÌÔÈ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ (·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÚԤ΢„Â Ë ÎfiÏÔ˘ÚË) ·fi ÙȘ ‚¿ÛÂȘ Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. TÔ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ Â›Â‰Ô Û¯‹Ì· ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔÌ‹ ÙÚÈÒÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â›Ó·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. TÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁÈ· ÙË ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›· Â›Ó·È ÌÈ· ˘Ú·Ì›‰· Ì ‚¿ÛË ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÂÂȉ‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔÌ‹ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ÂȤ‰ˆÓ, Ù· ÔÔ›· ·Ó¿ ÙÚ›· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. MÈ· ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È ÙÂÙڿ‰ÚÔ, ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ¤‰Ú˜. ŒÓ· ÙÂÙڿ‰ÚÔ Ì fiϘ ÙȘ ·Î̤˜ ÙÔ˘ ›Û˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈÎfi. T· ÙÂÙڿ‰ڷ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÛÔ˘‰·›· ȉÈfiÙËÙ·, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÔ˘ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Î·È ‡„Ô˘˜ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ·.
A
ÙÂÙڿ‰ÚÔ
¢
B °
13.2.1. EÌ‚·‰fi ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È Î·ÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ, ı· ‚ÚÔ‡ÌÂ Ù‡Ô˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜, ‰ËÏ·‰‹ ı· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ Â‰ÚÒÓ Ù˘. O Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ ÔÏÈÎÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÌÈ·˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘. Y¿Ú¯Ô˘Ó ‰È¿ÊÔÚÔÈ Ù‡ÔÈ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ ‹ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ٷ ÛÙÔȯ›· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È. ™ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ Ô˘ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì Á›ÓÂÙ·È ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ·Ú¿Ï¢ÚÔ˘ ‡„Ô˘˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ ‹ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. ™ÙËÓ ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓÓÔԇ̠ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ·fi ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘, fiˆ˜ ·Ú·ÛÙ·ÙÈο Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÂÍ·ÁˆÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜, ÂÓÒ ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ (ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜) ÙÚ·Â˙›Ô˘ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜.
h
h
h h
h
h
h h
·Ó¿Ù˘ÁÌ· ˘Ú·Ì›‰·˜
TÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ì ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ h Î·È ‚¿ÛË Î·ÓÔÓÈÎfi Ó-ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ Ï Î·È ·ÔÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ · ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô h
EÔÏ
¶˘Ú·Ì›‰Â˜
1 = Ó Ø Ï Ø (h + ·) 2
.
· Ï
327
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
∞Ó ¶ Â›Ó·È Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, ÙfiÙÂ Ë ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ Ù˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi ¶Øh E = 2
.
TÔ ÂÌ‚·‰fi E Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ì ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ h, Ù˘ ÔÔ›·˜ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈο Ó-ÁˆÓ· ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ¶ Î·È ¶′, ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô 1 E = (¶+¶′) Ø h 2
.
13.2.2. ŸÁÎÔ˜ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚˆÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ ¢Â¯fiÌ·ÛÙ ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË ÙËÓ ÈÛ¯‡ Ù˘ ÚfiÙ·Û˘: ÙÚÈÁˆÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Ì ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ ‚¿ÛÂȘ Î·È ›Û· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ¤¯Ô˘Ó ›ÛÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜. πÛ¯‡ÂÈ Î¿ÙÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ Ì ÙË ÁÓˆÛÙ‹ Ì·˜ ÚfiÙ·ÛË ·fi ÙËÓ Â›Â‰Ë °ÂˆÌÂÙÚ›·: ∆Ú›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‚¿ÛÂȘ Î·È ›Û· ‡„Ë, ¯ˆÚ›˜ ··Ú·›ÙËÙ· Ó· Â›Ó·È ›Û·, ¤¯Ô˘Ó ›Û· ÂÌ‚·‰¿. ™ÙËÚÈ˙fi̤ÓÔÈ ÛÙËÓ ÚfiÙ·ÛË ·˘Ù‹, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ‚·ÛÈÎfi ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ. £EøPHMA 13.7. K¿ı ÔÚıfi ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ÙÚÂȘ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ ÙÚÈÁˆÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ ÔÚıfi ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· AB°¢EZ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÁÒÓȘ ¢B, ¢° Î·È ZB ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ Â‰ÚÒÓ ∞µ∂¢, ∞°∑¢ Î·È µ°∑∂ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. OÚ›˙ÔÓÙ·È, ¤ÙÛÈ, ÙÚÂȘ ÙÚÈÁˆÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜, ÔÈ B¢EZ, ¢B°Z , ¢AB°, ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÂÎÙfi˜ ·fi ·˘Ù¿ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ¢BZ (ÁÈ· ÙȘ ‰‡Ô ÚÒÙ˜) Î·È ¢B° ÁÈ· ÙË ‰Â‡ÙÂÚË Î·È ÙÚ›ÙË. E›Û˘, ÔÈ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜ «Î·Ï‡ÙÔ˘Ó» ÙÔ ÔÚıfi Ú›ÛÌ·, ÂÊfiÛÔÓ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÙÒÚ· ÙȘ ˘Ú·Ì›‰Â˜ ¢AB°, B¢EZ, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ‚¿ÛÂȘ (·ÊÔ‡ AB° = ¢EZ ) Î·È ÎÔÈÓfi ‡„Ô˜ ÙÔ A¢, ·ÊÔ‡ ÙÔ Ú›ÛÌ· Â›Ó·È ÔÚıfi. ™˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ V¢AB° = VB¢EZ.
328
B A °
E ¢ Z
(1) °EøMETPIKA ™TEPEA
13.2.
£EøPIA H ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ BZ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ B°ZE Û ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ·, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ¤‰Ú˜ ÙˆÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ B¢EZ Î·È ¢B°Z. M¿ÏÈÛÙ·, Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ¢ ÙˆÓ ‰‡Ô ˘Ú·Ì›‰ˆÓ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ¤‰Ú˜ ·˘Ù¤˜. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú·‰Ô¯‹ ÁÈ· ÙÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÈÎÒÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ, ÈÛ¯‡ÂÈ VB¢EZ = V¢B°∑.
B
°
E
(2)
Afi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1), (2) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ V¢AB° = VB¢EZ = V¢B°∑,
¢
Z A
Û¯¤ÛË Ë ÔÔ›· ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ηıÂÌÈ¿˜ ·fi ÙȘ ÙÚÈÁˆÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ▲ ÕÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi fiÚÈÛÌ·.
B
¢
Z
B °
¢
¶OPI™MA 13.3. O fiÁÎÔ˜ οı ˘Ú·Ì›‰·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ ÙÔ˘ (ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙÔ˘) ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘ › ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘, ‰ËÏ·‰‹ 1 V = E‚ Ø ˘ . 3 Afi‰ÂÈÍË: M fiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ Ì′ ·˘ÙfiÓ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ÙÚÂȘ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ ÙÚÈÁˆÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜. E›Û˘, ·ÍÈÔÔÈԇ̠ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË «ÙÚÈÁˆÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Ì ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ ‚¿ÛÂȘ Î·È ›Û· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ¤¯Ô˘Ó ›ÛÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜». ▲ O fiÁÎÔ˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ì ÂÌ‚·‰¿ ‚¿ÛÂˆÓ B, ‚ Î·È ‡„Ô˜ ˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: 1 V = (B+‚+µ Ø ‚ ) Ø ˘. 3
¶˘Ú·Ì›‰Â˜
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
EÊ·ÚÌÔÁ‹ N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ ·ÎÌ‹˜ ·. §‡ÛË: H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ ·ÎÌ‹˜ · ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù¤ÛÛÂÚ· ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· ÏÂ˘Ú¿˜ · Î·È ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi ·23
E = 4 Ø = 3 . 4 AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ AK ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘, ÙÔ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ B°¢ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ
A
· ˘
·2
B
¢
K
M °
· 3 2 2 ·3 BK = BM = Ø = . 3 3 3 2 ·6 ·2 2·2 EÔ̤ӈ˜, ˘2 = AB2 – BK2 = ·2 – = , ÔfiÙ ˘ = . 3 3 3 ÕÚ·, Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ Â›Ó·È 6 ·3 2 · 1 1 ·23 V = E‚ Ø ˘ = Ø Ø = . 3 3 4 3 12
™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛÂ
330
1.
H ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ì ÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È ÔÍ›·, ÔÚı‹ ‹ ·Ì‚Ï›·;
2.
N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ì ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ Î·È Ì ÙÔ ·fiÛÙËÌ· Ù˘ ‚¿Û˘.
3.
EÍËÁ‹ÛÙ ÁÈ·Ù› Ë ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ ¤¯ÂÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ÙË ‚¿ÛË Ù˘.
4.
OÈ ¤‰Ú˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ÂÌ‚·‰¿ ·Ó¿ÏÔÁ· ‹ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘; (TÔ ÙÂÙڿ‰ÚÔ ıˆÚÂ›Ù·È ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÔÚ˘Ê‹).
5.
E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Û ÌÈ· ηÓÔÓÈ΋ ÂÍ·ÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ Ó· Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·;
6.
¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ Û A οı ηÓÔÓÈÎfi ÙÂÙڿ‰ÚÔ Ù· ¿ÎÚ· ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ·ÎÌ‹˜ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi Ù· ¿ÎÚ· B ° Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ·ÎÌ‹˜, ¢ Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ·Î̤˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓȘ (ÔÚıÔÎÂÓÙÚÈÎfi ÙÂÙڿ‰ÚÔ).
7.
TÈ Â›‰Ô˘˜ Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜;
8.
MÈ· ηÓÔÓÈ΋ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈÎfi ÙÂÙڿ‰ÚÔ;
°EøMETPIKA ™TEPEA
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È Ô fiÁÎÔ˜ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÂÍ·ÁˆÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ ‚¿Û˘ 5 cm Î·È ‡„Ô˜ 6 cm.
2.
™Â ÌÈ· ηÓÔÓÈ΋ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· Ì ÏÂ˘Ú¿ ‚¿Û˘ ·, ÙÔ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ Â›Ó·È 5 ·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, 6 ·Ó Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ Ù˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi 24 cm2.
3.
™Â ÌÈ· ηÓÔÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· Ë ‚¿ÛË Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ · Î·È ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ Ù˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›· 30Æ.
1.
4.
2.
MÈ· ˘Ú·Ì›‰· OAB°¢ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ AB°¢ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. H ·ÎÌ‹ OA Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË Î·È ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜.
3.
MÈ· ÎfiÏÔ˘ÚË Î·ÓÔÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÌÂÁ¿ÏË ‚¿ÛË ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Ù˘ ¤¯Ô˘Ó Ì‹ÎÔ˜ · , ÂÓÒ ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ Ù˘ Û¯ËÌ·Ù›2 ˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· 60Æ Ì ÙË ‚¿ÛË. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜.
4.
Afi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ʤÚÔ˘ÌÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ Ù˘. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÙÔÌ‹˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‚¿ÛˆÓ.
5.
·) N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ÎÚ· ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ Î·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ¤‰Ú·˜, ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô (‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘).
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ · = 8, ‚ = 5 Î·È Á = 7. EÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O Ì OA = OB = O° = 6. ·) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ O ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ‚) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ OAB°.
5.
£ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ˘Ú·Ì›‰· Ì ‚¿ÛË ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó Ë ˘Ú·Ì›‰· ¤¯ÂÈ ›Û˜ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜.
¶˘Ú·Ì›‰Â˜
·) N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ̤۷ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ ·ÎÌÒÓ Î·ÓÔÓÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ Â›Ó·È Ë ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ·˘ÙÒÓ. ‚) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ ·ÎÌÒÓ Î·ÓÔÓÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ ·ÎÌ‹˜ ·.
·) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ·. ‚) AÓ ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÌÈ·˜ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ·ÎÌ‹˜ ʤÚÔ˘ÌÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
13.2.
‚) N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÙÂÙڿ‰ÚÔ Ù· ›‰· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi οı ·ÎÌ‹ Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ·ÎÌ‹˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
6.
™Â ÙÂÙڿ‰ÚÔ OAB° ÔÈ ·Î̤˜ OA, OB, O° Â›Ó·È ·Ó¿ ‰‡Ô οıÂÙ˜. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÁÈ· ÙÔ ‡„Ô˜ OK ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· 1 1 1 1 2 = 2 + 2 + 2 . OK OA OB O°
331
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
™ÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ MÈ· ÌÂÁ¿ÏË Î·È ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ηÙËÁÔÚ›· ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜. ŒÓ· Ù¤ÙÔÈÔ ÛÙÂÚÂfi ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂˆÚԇ̠ے ¤Ó· Â›Â‰Ô ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Ù˘ ÔÔ›·˜ Ù· ‰‡Ô ¿ÎÚ· Â›Ó·È ÛËÌ›· Ù˘  ‹ ÌÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ ÁÚ·ÌÌ‹. ∞Ó ÙÒÚ· ÂÚÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì ÙË ÁÚ·ÌÌ‹ ηٿ ÁˆÓ›· 360Æ (Ï‹Ú˘ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹) Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â, ÙfiÙÂ Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ·Ú¿ÁÂÈ ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜. ∏ ¢ı›·  ϤÁÂÙ·È ¿ÍÔÓ·˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡. ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ηٿ ÙËÓ Ï‹ÚË ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Ù˘ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ. ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔÈ Î‡ÎÏÔÈ Î·È ÙÔ ÛÙÂÚÂfi ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¿ÂÈÚÔ˘˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡˜ ‰›ÛÎÔ˘˜. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÚ›· ·fi Ù· ÁÓˆÛÙfiÙÂÚ· ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜: ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ, ÙÔÓ ÎÒÓÔ Î·È ÙË ÛÊ·›Ú·.
13.3. ∫‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ Ó ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢ ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ηٿ ÁˆÓ›· 360Æ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘, .¯. ÙËÓ ∞¢, ÙfiÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ∞µ°¢, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÚıfi ·ÏÈÓ‰ÚÔ Î·È ÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹ ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. AÓ ¤Ó·˜ ÔÚıfi˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÙÌËı› ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰·, Ù· ÔÔ›· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ¿ ÙÔ˘ ÁˆÓ›· fi¯È ÔÚı‹, ÙfiÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï¿ÁÈÔ˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜*. OÈ Î˘ÎÏÈÎÔ› ‰›ÛÎÔÈ Ô˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÂÚ› ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. H ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ë ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. ŒÓ· ÔÚıfi Ú›ÛÌ· ı· ϤÁÂÙ·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ, fiÙ·Ó ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÔχÁˆÓ· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ
∞
ÕÍÔÓ·˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ A
B ‡„Ô˜
¢
° K‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜
¶Ï¿ÁÈÔ˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜
* ™ÙÔ ÂÍ‹˜, fiÙ·Ó ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÛÂ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘˜, ı· ÂÓÓÔԇ̠ÔÚıÔ‡˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘˜, ÂÎÙfi˜ ·Ó Á›ÓÂÙ·È Û·Ê‹˜ ·Ó·ÊÔÚ¿ Û ϿÁÈÔ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ.
332
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.3.
£EøPIA ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. ŒÓ· ÔÚıfi Ú›ÛÌ· ı· ϤÁÂÙ·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ, fiÙ·Ó ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÔχÁˆÓ· ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ӷ ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. OÈ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ ¤¯Ô˘Ó ·Í›· ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚˆÓ.
B
° ¢
A E
B′
°′ ¢′
A′ E′
13.3.1. EÌ‚·‰fi Î·È fiÁÎÔ˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ¤Ó· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ¤Ó· ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÔÚıfi Ú›ÛÌ· Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ÈÛ¯˘ÚÈÛÙÔ‡ÌÂ, ‚·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙȘ ·Ú·‰Ô¯¤˜ (·ÍÈÒÌ·Ù·) Ô˘ ‰Â¯ı‹Î·Ì ÁÈ· ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘, fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ. TÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·È Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. AÓ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙ÂÙ·È, ÒÛÙ ·˘Ù¤˜ Ó· ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, Î·È Ë ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ·ӷÏËÊı› ¿Ú· ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·‰Â¯ıԇ̠fiÙÈ Ù· ‰‡Ô Ú›ÛÌ·Ù· ı· ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. M¿ÏÈÛÙ·, Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ ·fi ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ ı· Â›Ó·È ·ÎfiÌË ÌÈÎÚfiÙÂÚË. ¢ËÏ·‰‹, ÌÔÚԇ̠ӷ ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠fiÙÈ ¤Ó·˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ‰È·Ê¤ÚÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ·fi ¤Ó· Ú›ÛÌ· Ì «ÌÂÁ¿ÏÔ» ·ÚÈıÌfi ·ÎÌÒÓ Î·È ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÔχÁˆÓ· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ӷ (‹ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ӷ) ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Ì ›Û˘ «ÌÂÁ¿ÏÔ» ·ÚÈıÌfi Ï¢ÚÒÓ. EÂȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÈÛÔ‡Ù·È Ì E = ¶ Ø ˘
ηÈ
EÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ
V = E‚ Ø ˘,
fiÔ˘ ¶ Â›Ó·È Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Î·È ˘ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ù‡ÔÈ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ÔÈ: E = 2 Ø R Ø ˘
∫‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜
ηÈ
V = Ø R2 Ø ˘,
333
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
·ÊÔ‡ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶ Ù˘ ‚¿Û˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, ÙÂÏÈο, ı· ÂÍÈÛˆı› Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. E›Û˘, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙˆÓ ‰‡Ô ‚¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘ E = 2 Ø R Ø ˘ + 2 Ø R2 = 2 Ø R(˘ + R). TË ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿„·Ì ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ ̤ۈ ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·È ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ ı· ÙËÓ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ÁÈ· ¿ÏÏ· ÁˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜. MÔÚÔ‡ÌÂ, fï˜, Ó· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÔ˘ÌÂ, ÂȉÈο ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, ÙËÓ ÂÍ‹˜ Ù·ÎÙÈ΋: N· ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË (¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fi) Ì’ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÌÈ· ‰È¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Î·È Ë ¿ÏÏË Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÙÔ˘, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È Î·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·. A˘Ùfi˜ Ô ÙÚfiÔ˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· Ù˘ ÔÔ›·˜ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, Ì·˜ Ô‰ËÁ› Û ÌÈ·Ó ¿ÏÏË ·ÓÙ›ÏË„Ë ÁÈ· ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ Î·È ÁÂÓÈο ÁÈ· ÙȘ ΢ÏÈÓ‰ÚÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ, ˆ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ ¢ıÂÈÔÁÂÓ›˜, ‰ËÏ·‰‹ ÂÈÊ¿ÓÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂȘ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Ì οÔÈÔÓ ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÙÚfiÔ. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÔ˘ÌÂ, fï˜, fiÙÈ, ÂÓÒ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ Â›Ó·È ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ˜, Ô ÚÒÙÔ˜ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È Û ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿ Â›Ó·È ÔχÏÔη, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤Ó· ÂÏ·ÛÙÈÎfi ÙÚÔ¯Ô‡ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ (Ë Û·ÌڤϷ).
334
˘
˘ R 2R AÓ¿Ù˘ÁÌ· Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.4.
£EøPIA
13.4. KÒÓÔ˜ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜ ∧
Ó ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ KAB ( A = 90Æ) ÂÎÙÂϤÛÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ (.¯. ÙËÓ KA), ÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÛÙÂÚÂfi ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ KBA ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÚıfi ÎÒÓÔ*. TÔ ÛËÌÂ›Ô K Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ̤ÓÂÈ ·Î›ÓËÙÔ Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ Î˘ÎÏÈÎfi ¯ˆÚ›Ô ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ AB ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘. ⁄„Ô˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ KA Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÂÙ·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÎÔÚ˘Ê‹˜-‚¿Û˘. TËÓ Â˘ı›· Ë ÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÂÚÈÛÙÚÂÊfiÌÂÓË ÏÂ˘Ú¿ (ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘), ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÎÚ· ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ù˘ ‚¿Û˘, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘. H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ë ÔÔ›· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘. OÈ Û˘Ó¯›˜ ·Ó·ÊÔÚ¤˜ ÛÙÔÓ fiÚÔ «ÔÚıfi˜» ÚÈÓ ÙË Ï¤ÍË ÎÒÓÔ˜ ˘Ô‰ËÏÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÎÒÓÔÈ ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚıÔ›. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÎÒÓÔÈ «Ï¿ÁÈÔÈ», ‰ËÏ·‰‹ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ÚÔ‚¿ÏÏÂÙ·È ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘˜. ∏ ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ Ï¿ÁÈÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·fi Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ Â›Ó·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‚¿Û˘. ∏ ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘, fiˆ˜ Î·È Ë ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ÙÌ‹Ì·Ù· ¢ıÂÈÔÁÂÓÒÓ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ. EÂȉ‹, ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÌfiÓÔ Ì ÔÚıÔ‡˜ ÎÒÓÔ˘˜, Ì ÙÔÓ fiÚÔ «ÎÒÓÔ˜» ı· ÂÓÓÔԇ̠ÙÔÓ ÔÚıfi ÎÒÓÔ, ÂÎÙfi˜ ·Ó Á›ÓÂÙ·È Û·Ê‹˜ ·Ó·ÊÔÚ¿ Û ϿÁÈÔ ÎÒÓÔ. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. E›Û˘, ÙÔ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi Ì‹ÎÔ˜. ∧ ∧ ∞Ó ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ ( ∞ = µ = 90Æ) ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Ï‹Úˆ˜ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ∞µ, ÙfiÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ∞µ°¢, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÚıfi ÎfiÏÔ˘ÚÔ ÎÒÓÔ. OÈ Î˘ÎÏÈÎÔ› ‰›ÛÎÔÈ
A
K ÎÔÚ˘Ê‹ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜
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ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜
* KÒÓÔ˜ ÛÙ· ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈο Â›Ó·È ÙÔ ÎÔ˘ÎÔ˘Ó¿ÚÈ, Ô Î·Úfi˜ ÙˆÓ ÎˆÓÔÊfiÚˆÓ ‰¤Ó‰ÚˆÓ. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ÚfiÙ˘Ô ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Â›Ó·È ÙÔ ÎÔ˘ÎÔ˘Ó¿ÚÈ.
∫ÒÓÔ˜ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜
335
£EøPIA ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Î·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘. H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ °¢ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘. A˘Ùfi˜ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ ¤¯ÂÈ Û¯¤ÛË Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹. ŒÓ·˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ¤Ó·Ó ÎÒÓÔ Î·È ÌÈ· ÙÔÌ‹ ·˘ÙÔ‡ Ì ¤Ó· Â›Â‰Ô Î·Ù¿ ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÙÚfiÔ: ∏ ÙÔÌ‹ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ ÌÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ ÔÚ›˙ÂÈ ‰‡Ô ÛÙÂÚ¿. A˘Ùfi Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÎÒÓÔ˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ÔÚıfi˜ ÎÒÓÔ˜. TÔ ¿ÏÏÔ ÛÙÂÚÂfi, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ‰‡Ô ΢ÎÏÈÎÔ‡˜ ‰›ÛÎÔ˘˜, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÚıfi ÎfiÏÔ˘ÚÔ ÎÒÓÔ. MÈ· ˘Ú·Ì›‰·, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘ Î·È Ë ‚¿ÛË Ù˘ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÔχÁˆÓÔ ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘, ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ˘Ú·Ì›‰· Û ÔÚıfi ÎÒÓÔ. OÈ ·Î̤˜ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙˆÓ ÎÒÓÔ˘. ∞Ó Ë ‚¿ÛË Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÔχÁˆÓÔ ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘, ÙfiÙÂ Ë ˘Ú·Ì›‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ÎÒÓÔ. OÈ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Û ÎÒÓÔ Â›Ó·È ¯Ú‹ÛÈ̘ ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ÂÈÊ·Ó›·˜ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘. O ÙÚfiÔ˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ˜ Ì’ ·˘ÙfiÓ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿„·Ì ÁÈ· ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÔÚÈṲ̂Ó˜ ‰È·‰Èηۛ˜ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È Û˘ÓÔÙÈο.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
ÔÚıfi˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜
EÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ˘Ú·Ì›‰· Û ÎÒÓÔ
13.4.1. EÌ‚·‰fi Î·È fiÁÎÔ˜ ÎÒÓÔ˘ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Î·È ÌÈ· ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Î·ÓÔÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· Û ÎÒÓÔ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ıˆÚԇ̠ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ ÛÙÔ ÎÒÓÔ ·˘Ùfi ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ Ù˘ ‚¿Û˘ ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. M ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ıˆÚÔ‡ÌÂ Î·È ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔÓ ÎÒÓÔ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ. TfiÙ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ E Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ οı ˘Ú·Ì›‰·˜ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ οı ˘Ú·Ì›‰·˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘.
336
K
˘
h O
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.4.
£EøPIA M ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ı· Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ fiÁÎÔ Î¿ı ˘Ú·Ì›‰·˜ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Î·È ·ÚÈıÌfi˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ fiÁÎÔ Î¿ı ˘Ú·Ì›‰·˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ. ŒÙÛÈ, ÔÈ Ù‡ÔÈ ¶Øh ¶ Ø (h+·) 1 E = , EÔÏ = Î·È V = Ø E‚ Ø ˘, 2 2 3 ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÁÈ· ÙȘ ηÓÔÓÈΤ˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ E = Ø R Ø h,
(1)
EÔÏ = Ø R Ø (h + R),
(2)
1 V = Ø Ø R2 Ø ˘, 3
(3)
ηÈ
Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÁÈ· ÙÔÓ ÎÒÓÔ. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ, ÂÂȉ‹ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶ Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ù›ÓÂÈ Ó· ÂÍÈÛˆı› Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÙÔ ·fiÛÙËÌ· · Ù›ÓÂÈ Ó· ÂÍÈÛˆı› Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Ù›ÓÂÈ Ó· ÂÍÈÛˆı› Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. H ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÙ·È Î·È Ì¤Ûˆ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ùfi˜ Ù˘. MÔÚԇ̠ӷ ÙË ıˆڋÛÔ˘ÌÂ, ‰ËÏ·‰‹, ˆ˜ ¤Ó·Ó ΢ÎÏÈÎfi ÙÔ̤· Ì ̋ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ 2 Ø R Î·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· ÙÔ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ h. O ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· ÚÔ˜ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙÔ˘˜. ŒÙÛÈ, E h Ù = ‹ EÎ R
˘
h
h
EÙ h = , 2 ØR R
‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ Ø R2 Ø h EÙ = = Ø R Ø h. R
(4)
2R R 2R
O Ù‡Ô˜ (4) Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô (1). £ÂˆÚԇ̠ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Î·ÓÔÓÈ΋ ÎfiÏÔ˘ÚË ˘Ú·Ì›‰· Û ÎfiÏÔ˘ÚÔ ÎÒÓÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È Ú Î·È R ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙÔ ‡„Ô˜ Â›Ó·È ˘ Î·È ÙÔ ·∫ÒÓÔ˜ Î·È ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜
337
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜* h. TÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ ı· ‰È·Ê¤ÚÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙˆÓ ‰‡Ô ÎfiÏÔ˘ÚˆÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ fiÙ·Ó ·˘Ù¤˜ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙Ô˘Ó Û˘Ó¯Ҙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ Î·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔÓ ÎfiÏÔ˘ÚÔ ÎÒÓÔ. EÂȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È 1 E = (¶1 + ¶2) Ø h′ , 2 (fiÔ˘ h′ ÙÔ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ Ù˘) ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ ̤ۈ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ı· Â›Ó·È 1 E = (2Ø R + 2Ø Ú)Ø h = Ø (R + Ú) Ø h 2
(5)
™ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ·˘Ùfi, ·Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ‚¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘, ı· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ ÔÏÈÎÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘, EÔÏ. = Ø (R + Ú) Ø h + Ø R2 + Ø Ú2
(6)
EÂȉ‹ Ô fiÁÎÔ˜ Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È 1 V = (B + B ‚ + ‚) Ø ˘, 3 ̤ۈ Ù˘ ‰È·‰Èηۛ·˜ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂˆÓ ı· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ Ù‡Ô ÁÈ· ÙÔÓ fiÁÎÔ ÂÓfi˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘, 1 V = ( Ø R2 + Ø R2 Ø Ø Ú2+ Ø Ú2) Ø ˘ = 3 1 = ( Ø R2 + Ø R Ø Ú + Ø Ú) Ø ˘ , 3 ‰ËÏ·‰‹
1 V = (R2 + R Ø Ú + Ú2) Ø ˘ 3
* ø˜ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ ÔÚıÔ‡ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ ÂÓÓÔԇ̠ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ ˘„ÒÓ ÙˆÓ ÎÒÓˆÓ ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ¤¯ÂÈ ÚÔ·„ÂÈ. EÂȉ‹ Ù· ‡„Ë ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¿ Î·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹.
338
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.5.
£EøPIA
13.5. ™Ê·›Ú· ÛÊ·›Ú·, ÙÔ ÁÓˆÛÙfi Û fiÏÔ˘˜ Ì·˜ ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ·, ›¯Â ÌÂÏÂÙËı› ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ·ÎfiÌË Î·È ÔÏϤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ·˘Ù‹˜ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ¤˜ Û ÔÏÏÔ‡˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜. ◊Ù·Ó Ôχ Ê˘ÛÈÎfi Ó· ÚÔÛÂÏ·ÛÂÈ ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÔÏÏÒÓ ÂÚ¢ÓËÙÒÓ, ΢ڛˆ˜ ÁÈ· ÙËÓ ·fiÏ˘ÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›· Ô˘ ¤¯ÂÈ, ·ÏÏ¿ Î·È ÁÈ·Ù› Ë ÁÓÒÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ù˘ ‹Ù·Ó Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌË Û ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜. H ÛÊ·›Ú· ÌÔÚ› Ó· ÔÚÈÛı› ˆ˜ ÛÙÂÚÂfi ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜, ·ÏÏ¿ Î·È ˆ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜. °È· ÙÔÓ ÚÒÙÔ ÔÚÈÛÌfi, ·Ó ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Ï‹Úˆ˜ Á‡Úˆ ·fi ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÛÊ·›Ú·. H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ‹ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. TÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜, ÂÓÒ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Ì ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. H ÛÊ·›Ú·, ˆ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô K Î·È ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi R. ™Ê·›Ú· ΤÓÙÚÔ˘ K Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ R ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ K ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË Ì R. T· ÛËÌ›· Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Â›Ó·È ·˘Ù¿ Ù· ÔÔ›· ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ K ·fiÛÙ·ÛË ›ÛË Ì R. MÈ· ÛÊ·›Ú· ΤÓÙÚÔ˘ K Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ R, ηÙã ·Ó·ÏÔÁ›· Ì ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ı· ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ™(K, R).
∏
ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·
R
·ÎÙ›Ó· ÛÊ·›Ú·˜
K ΤÓÙÚÔ ÛÊ·›Ú·˜
B A E
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13.5.1. ™ÙÔȯ›· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi, ȉȷ›ÙÂÚ· ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙË ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ˆ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙfiÔ ÛËÌ›ˆÓ Ù· ÔÔ›· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÛËÌ›Ô, fiÙÈ ·ÚΛ Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ·˘ÙÔ‡ (ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜) Î·È Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÂÓfi˜ ÌfiÓÔ ÛËÌ›Ԣ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘. TÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ Ù›ıÂÙ·È Â›Ó·È ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜. AÓ ·Ó·ÏÔÁÈÛÙԇ̠ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ·ÚÎÔ‡Ó ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·, ÁÈ· Ó· ÙÔÓ ÔÚ›ÛÔ˘Ó, Ú¤ÂÈ Ó· ÂÍÂÙ¿™Ê·›Ú·
339
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·, fiÛ· ÛËÌ›· Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘*. E›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ, ÂÂȉ‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ÌÈ· ÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ. AÓ ‰Ôı› ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ˜ ÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ Ô˘ ÙÔÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó. T· ΤÓÙÚ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ¢ı›· οıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ··ÓÙ¿ Û ÂÚÒÙËÌ· Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ Î·È ÙË Û¯¤ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù· ÔÔ›· ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi ÌÈ·˜ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜.
K
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£EøPHMA 13.8. AÓ ‰ÔıÔ‡Ó Ù¤ÛÛÂÚ· ÌË Û˘Ó›‰· ÛËÌ›·, ÙfiÙ ·˘Ù¿ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÌÈ· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·. Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ٷ ÌË Û˘Ó›‰· ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢. TÔ ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ A° Ù¤ÌÓÂÈ Ù· ›‰· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È A°¢ ηٿ ÙȘ ¢ı›˜ Â Î·È ‰ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. T· ÂÚ›ÎÂÓÙÚ· K Î·È § ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È A°¢ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ ÛÙȘ ¢ı›˜ Â Î·È ‰ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. OÈ Â˘ı›˜ ¯ Î·È „, Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â›Â‰Ô Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙȘ Â Î·È ‰ ÛÙ· ÛËÌ›· K Î·È § ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô O. TÔ ÛËÌÂ›Ô O ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· A, B, ° Î·È A, °, ¢. EÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢. AÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏË ÛÊ·›Ú· ΤÓÙÚÔ˘ O′ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ȉÈfiÙËÙ·, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ O′A = O′B = O′° = O′¢. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô O′ ı· ·Ó‹ÎÂÈ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÛÙȘ ¢ı›˜ ¯ Î·È „, ‰ËÏ·‰‹ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ O. ÕÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ ÛÊ·›Ú· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· A, B, ° Î·È ¢. ▲
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K¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· ¿ÎÚ· Â›Ó·È ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¯ÔÚ‰‹ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ÛÊ·›Ú·˜. AÓ ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜, ÙfiÙ ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. K¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÌÈ·˜ Î·È ÌÔÓ·‰È΋˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. ŸÏ˜ ÔÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ Â›Ó·È ›Û˜, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Ù˘.
* Œ¯ÂÈ ·Í›· Ó· ÛËÌÂÈÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Û ÌÈ· ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›· Ë ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›·. H ȉÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 3.24, Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο ·fi ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘.
340
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.5.
£EøPIA K¿ı ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÛÊ·›Ú·˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‹ ›ÛË ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¯ÔÚ‰‹ Ù˘. ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Î¿ı ·ÎÏÔ˜ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜, ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ (Û˘ÓÂÒ˜ Î·È ·ÎÙ›Ó·) ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi οı ¿ÏÏÔÓ Î‡ÎÏÔ Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÌÈ· ¿ÏÏË ¯ÔÚ‰‹ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. K‡ÎÏÔ˘˜ Ìã ·˘Ù‹ ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ̤ÁÈÛÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜.
13.5.2. ™¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘ Ì ÛÊ·›Ú· TȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È ÛÊ·›Ú·˜ ÙȘ ·Ó¿ÁÔ˘Ì ÛÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘, ÙȘ Ôԛ˜ ÂÍÂÙ¿Û·Ì ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ 3.5. H ·Ó·ÁˆÁ‹ ·˘Ù‹ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË fiÙÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ K ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ ™(K, R) Î·È ÌÈ· ¢ı›· Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ K ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô p. H ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ p Ì ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ™(K, R) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ̤ÁÈÛÙÔ˜ ·ÎÏÔ˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· ÙËÓ ÙÔÌ‹ ¢ı›·˜ Î·È ÛÊ·›Ú·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ‰ Ù˘  ·fi ÙÔ K. ·) ‰ > R, Ù· ‰‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. ‚) ‰ = R, Ù· ‰‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ì ÙË ÛÊ·›Ú· ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌ›Ô. Á) ‰ < R, Ù· ‰‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›·. A A A
R
R K
‰>R
B R K
K ‰=R
°
‰ R, Ë ÛÊ·›Ú· Î·È ÙÔ Â›Â‰Ô ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ·ÊÔ‡ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fiÛÙ·ÛË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi R, ·fi fiÛÔ ‰ËÏ·‰‹ ·¤¯Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜.
A
p
R K
‚) ‰ = R, Ë ÛÊ·›Ú· Î·È ÙÔ Â›Â‰Ô ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. Á) ‰ < R, Ë ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Î·È Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ Ì ·ÎÙ›Ó· Ù = R 2–‰2, ÂÂȉ‹ Ù· ÛËÌ›· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË Ù ·fi οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘. ™ÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ‰ = 0, fiÙ·Ó ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Â›Â‰Ô p ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜, Ë ÙÔÌ‹ Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ì ÙÔ p Â›Ó·È Ì¤ÁÈÛÙÔ˜ ·ÎÏÔ˜, ÂÂȉ‹ Ù = R.
A
p
K
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B
A ‰ K
r
°
R
13.5.3. M¤ÙÚËÛË ÛÊ·›Ú·˜ °È· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÛÊ·›Ú·˜, ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ Ù˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ‹‰Ë ÁÓˆÛÙ‹ Ù¯ÓÈ΋ ÙˆÓ ÂÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î·È ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ŒÙÛÈ, ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ «ÌÈÛfi» ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ¿ÁˆÓÔ B°¢A ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÛÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ AB, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· OB°, O°¢, O¢A. H Ï‹Ú˘ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÂÚ› ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· AB ·Ú¿ÁÂÈ ¤Ó· ÛÙÂÚÂfi, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È Ô fiÁÎÔ˜ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ÛÊ·›Ú·˜. MÂ Û˘Ó¯‹ ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ı· ηٷϋÍÔ˘Ì Ûã ¤Ó· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ ÔχÁˆÓÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ı· ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ. TÔ ÔχÁˆÓÔ ·˘Ùfi ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Ï‹Úˆ˜ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· AB, ·Ú¿ÁÂÈ ¤Ó· Ï‹ıÔ˜ ÎfiÏÔ˘ÚˆÓ ÎÒÓˆÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÈηÓÔÔÈËÙÈο ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. MÂÙ¿ ·fi Û¯ÂÙÈÎÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÔÈ Ù‡ÔÈ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ ÛÊ·›Ú·˜ ·ÎÙ›Ó·˜ R ›ӷÈ: E = 4 Ø R2
342
ηÈ
4 V = Ø Ø R3 3
A ¢ O ° B
.
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.5.
£EøPIA 13.1.
¢ PA ™ T H P I OT H TA
R
YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Â›Ó·È Î·Ù·Û΢·Ṳ̂ӷ ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÌÔÁÂÓ¤˜ Û˘Ì·Á¤˜ ˘ÏÈÎfi.
R
·) ·ÏÈÓ‰ÚÔÈ ‡„Ô˘˜ R Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ ‚¿Û˘ ›Û˘ R, ‚) ËÌÈÛÊ·›ÚÈ· ·ÎÙ›Ó·˜ R, R
Á) ÎÒÓÔÈ ‡„Ô˘˜ R Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ ‚¿Û˘ ›Û˘ R. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ οı ›‰Ô˘˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ··ÈÙ›ٷÈ, ÁÈ· Ó· ÈÛÔÚÚÔ‹ÛÂÈ Û ÌÈ· ˙˘Á·ÚÈ¿ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ›‰Ô˘˜;
R R R
£ÂˆÚ›ٷÈ, fï˜, ÛÎfiÈÌÔ Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙ› Î·È ÌÈ· ¿ÏÏË Ì¤ıÔ‰Ô˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÛÊ·›Ú·˜, Ù¯ÓÈ΋ ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·Î¿Ï˘„Â Ô ÌÂÁ¿ÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ¶¿Ô˜ Ô AÏÂÍ·Ó‰ÚÈÓfi˜ (4Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì.X.). £· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË, Ù· ‰‡Ô ıˆڋ̷ٷ (·fi Ù· ∞ÓÒÙÂÚ· ª·ıËÌ·ÙÈο) ÁÈ· ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜, Ù· ÔÔ›· ʤÚÔ˘Ó ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ ¶¿Ô˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· Ù· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Î·È ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ¿ÏÏˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ.
£EøPHMATA TOY ¶A¶¶OY £EøPHMA 13.9. AÓ ÌÈ· Â›Â‰Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Ï‹Úˆ˜ Á‡Úˆ ·fi ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ù˘, Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›·, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ › ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜. ™˘ÓÔÙÈο: E = ¶ Ø 2 Ø Ú, (1) fiÔ˘ ¶ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Î·È Ú Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜.
ÕÍÔÓ·˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜
K¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜
K
£EøPHMA 13.10. AÓ ¤Ó· Â›Â‰Ô Û¯‹Ì· ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Ï‹Úˆ˜ Á‡Úˆ ·fi ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓ¿ ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›· Ì ÙÔ Û¯‹Ì·, ÙfiÙÂ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ › ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ™˘ÓÔÙÈο: V = E Ø 2 Ø Ú′,
(2)
fiÔ˘ ∂ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ú′ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜.
™Ê·›Ú·
343
£EøPIA
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
O˘ÛÈ·ÛÙÈο Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ·Ó¿ÁÂÈ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È fiÁÎˆÓ ÛÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ›‰ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· Ë ÔÔ›· ‹Ù·Ó Û ¢Ú›· ¯Ú‹ÛË ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ ¤ÏÏËÓ˜ ÂÈÛÙ‹ÌÔÓ˜. AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· ˆ˜ ÌÈ· «ÏÂÙ‹» Ͽη ·fi ÔÌÔÈÔÁÂÓ¤˜ ˘ÏÈÎfi, ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÂΛÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· «ÈÛÔÚÚÔ‹ÛÂÈ» ÙÔ Û¯‹Ì·. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ ÌÈ·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, ÙËÓ ÔÔ›· ıˆÚԇ̠ηٷÛ΢·Ṳ̂ÓË ·fi ÔÌÔÁÂÓ¤˜ ˘ÏÈÎfi, Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ÔÈ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊˆÓ ÓËÌ¿ÙˆÓ Ì ٷ ÔÔ›· ÎÚÂÌ¿Ì ÙË ÁÚ·ÌÌ‹ ·fi ‰È¿ÊÔÚ· ÛËÌ›· Ù˘. °È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R, ˘ÔÏfiÁÈÛ·Ó fiÙÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ 2R Î·È Û ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ›ÛË ÌÂ Ú = . AÓÙÈηıÈ ÛÙÒÓÙ·˜ ÙÔ Ú ÛÙÔÓ Ù‡Ô (1) Î·È ÂÂȉ‹ ¶ = R ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔÓ Ù‡Ô E = 4R2 Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. °È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏÈÎÔ‡ ¯ˆÚ›Ô˘ ˘ÔÏÔÁ›ÛÙËΠ4R fiÙÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ ·¤¯ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË Ú′ = ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ 3 ÙÔ˘. ∞ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ ÛÙÔÓ Ù‡Ô (2) ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔÓ Ù‡Ô 4 V = R3, 3 Ô ÔÔ›Ô˜ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÛÊ·›Ú·˜
¢ PA ™ T H P I OT H TA
13.2.
XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ٷ ıˆڋ̷ٷ ÙÔ˘ ¶¿Ô˘, ÁÈ· Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÂÙ ÙÔ˘˜ ‹‰Ë ÁÓˆÛÙÔ‡˜ Ù‡Ô˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÙ ӤԢ˜ Ù‡Ô˘˜ ÁÈ· ÙÔÓ fiÁÎÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙˆÓ ÂÍ‹˜ ÛÙÂÚÂÒÓ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜: ·) ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, ‚) ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ ÎÒÓÔ˘, Á) ÌÈ·˜ Û·ÌڤϷ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ Ï‹ÚË ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ·ÎÏÔ˘ Á‡Úˆ ·fi ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ.
344
°EøMETPIKA ™TEPEA
£EøPIA
13.6.
13.6. ¶Ï·ÙˆÓÈο ÛÙÂÚ¿ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ Ù· ηÓÔÓÈο ‹ Ï·ÙˆÓÈο* ÛÙÂÚ¿. ŒÓ· ΢ÚÙfi Ôχ‰ÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈÎfi, fiÙ·Ó ÔÈ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È (΢ÚÙ¿) ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ›Û· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. O ÔÚÈÛÌfi˜ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ·, ÂÂȉ‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Î·ÓÔÓÈÎfi Ôχ‰ÚÔ, Ë Î·ÓÔÓÈ΋ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰·, ÔÈ ¤‰Ú˜ Ù˘ ÔÔ›·˜ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·. ™Â οı ηÓÔÓÈÎfi Ôχ‰ÚÔ ÔÈ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. TÔ ›‰ÈÔ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ÙȘ ÛÙÂÚ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘¤‰ÚÔ˘. H ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ·, «fiÛ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ηÓÔÓÈο ÛÙÂÚ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó», ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ˆ˜ ÚfiÙ·ÛË ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ 13Ô˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙˆÓ «™ÙÔȯ›ˆÓ» ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰Ë. H ÚfiÙ·ÛË ·˘Ù‹ Ô˘ Â›Ó·È ¤Ó· ÎfiÛÌËÌ· ÛÙÔ ıËÛ·˘Úfi ÙˆÓ EÏÏËÓÈÎÒÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌfiÓÔÓ ¤ÓÙ ηÓÔÓÈο ÛÙÂÚ¿. A˘Ù¿ ›ӷÈ:
∏
·) ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÙÂÙڿ‰ÚÔ, Ì ¤‰Ú˜ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·. ‚) ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÂͿ‰ÚÔ, Ì ¤‰Ú˜ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·. Á) ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÔÎٿ‰ÚÔ, Ì ¤‰Ú˜ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·. ‰) ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ‰ˆ‰Âο‰ÚÔ, Ì ¤‰Ú˜ ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ·. Â) ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÂÈÎÔۿ‰ÚÔ, Ì ¤‰Ú˜ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ·. T· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó Ù· ¤ÓÙ ηÓÔÓÈο ÛÙÂÚ¿. T· ηÓÔÓÈο Ôχ‰ڷ, fiˆ˜ Î·È Î¿ı ¿ÏÏÔ Î˘ÚÙfi Ôχ‰ÚÔ, ÈηÓÔÔÈ› ÙË Û¯¤ÛË: K + E = A + 2 **, fiÔ˘ K = ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘, E = ·ÚÈıÌfi˜ ‰ÚÒÓ, A = ·ÚÈıÌfi˜ ·ÎÌÒÓ.
*
∆· ηÓÔÓÈο Ôχ‰ڷ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È «Ï·ÙˆÓÈο ÛÙÂÚ¿» ÂÂȉ‹ Ô ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ ¶Ï¿ÙˆÓ (427-347 .Ã.) Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÛÙÔ ‰È¿ÏÔÁfi ÙÔ˘ «∆›Ì·ÈÔ˜» ˆ˜ ÌÔÓ٤Ϸ ÙˆÓ ‰ÔÌÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ ÎfiÛÌÔ˘ (ʈÙÈ¿: ÙÂÙڿ‰ÚÔ, ·¤Ú·˜: ÔÎٿ‰ÚÔ, ÓÂÚfi: ÂÈÎÔۿ‰ÚÔ, ÁË: ·‚Ô˜ Î·È Û‡Ì·Ó: ‰ˆ‰Âο‰ÚÔ).
** O Ù‡Ô˜ ·˘Ùfi˜ ÛÙË ‰ÈÂıÓ‹ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi˜ ˆ˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Euler, ·fi ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ EÏ‚ÂÙÔ‡ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ Leonhard Euler (1707-1783), Ô ÔÔ›Ô˜ ÙÔÓ ÌÂϤÙËÛÂ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο. £ÂˆÚ›ٷÈ, fï˜, Èı·Ófi fiÙÈ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙfi˜ Î·È ÛÙÔÓ AÚ¯ÈÌ‹‰Ë.
¶Ï·ÙˆÓÈο ÛÙÂÚ¿
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
™Â οı ηÓÔÓÈÎfi ÛÙÂÚÂfi ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ˜: ➧
ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi fiϘ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘,
➧
ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘,
➧
ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ ·Î̤˜ ÙÔ˘.
K
A˘Ù¤˜ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó Ó¤Â˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÛÙ· ηÓÔÓÈο ÛÙÂÚ¿, ÔÈ Ôԛ˜ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË ÛÊ·›Ú·. ™Â οı ϷوÓÈÎfi ÛÙÂÚÂfi ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚÂȘ ÛÊ·›Ú˜, Ë ÚÒÙË Â›Ó·È Ë ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË, ·ÊÔ‡ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi fiϘ ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘, Ë ‰Â‡ÙÂÚË Â›Ó·È Ë ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË, ÂÂȉ‹ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙ· ›‰· ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙÔ˘ Î·È Ë ÙÚ›ÙË Â›Ó·È Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÛÙ· ̤۷ ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ ÙÔ˘. TÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙˆÓ ÛÊ·ÈÚÒÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÛÙÂÚÂÒÓ.
EÊ·ÚÌÔÁ¤˜
1
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È Ô fiÁÎÔ˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ηÓÔÓÈÎfi ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· Ì ·ÎÌ‹ ‚¿Û˘ · Î·È ‡„Ô˜ ·2 . §‡ÛË: O ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜ Ì ÙÔ Ú›ÛÌ·. H ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Â›Ó·È ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ AB°¢ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì ·2 . O ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜, ÏÔÈfiÓ, ·2 ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ ˘ = ·2 Î·È ·ÎÙ›Ó· ‚¿Û˘ R = . 2
£ E Z ¢
EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÙÔ˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Â›Ó·È 2 ·2 · E = 2R(R + ˘) = 2 Ø + ·2 = 3·2, 2 2 ÂÓÒ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ›ӷÈ
· 2 V = R2 Ø ˘ = Ø 2
346
2
H
°
A B
·32 = . Ø ·2 2
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.3 - 13.5.
EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
2
AÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B° = ·, ÙfiÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ 1 1 1 V = · Ø ˘·2 = EAB Ø ˘Á = EA° Ø ˘‚, 3 3 3 fiÔ˘ EAB Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ AB. Afi‰ÂÈÍË:
∧
∧
·) AÓ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È ° Â›Ó·È ÔÍ›˜, ÙfiÙ ÙÔ ·Ú·ÁfiÌÂÓÔ ÛÙÂÚÂfi ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ÎÒÓÔ˘˜ Ì ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË Î·È ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ 1 1 V = Ø A¢2 Ø B¢ + Ø A¢2 Ø °¢ = 3 3 1 1 = ˘·2 Ø (B¢ + °¢) = ˘2· Ø ·. 3 3 ∧
∧
A
B
¢
E ∧
‚) AÓ ÌÈ· ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È ° Â›Ó·È ÔÚı‹, .¯. Ë B, ÙfiÙ ÙÔ ·Ú·ÁfiÌÂÓÔ ÛÙÂÚÂfi Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÎÒÓÔ˜ Ì fiÁÎÔ 1 1 V = Ø AB2 Ø B° = Ø ˘·2 Ø ·. 3 3 ∧
°
A
B
∧
Á) AÓ ÌÈ· ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ B Î·È ° Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, .¯. Ë ∧ B, ÙfiÙÂ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÁfiÌÂÓÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ÎÒÓˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È Ì ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË, ‰ËÏ·‰‹ 1 1 V = Ø A¢2 Ø °¢ – Ø A¢2 Ø B¢ = 3 3 1 1 = Ø ˘2· Ø (°¢ – B¢) = ˘2· Ø ·. 3 3 EÂȉ‹ ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÈÛ¯‡ÂÈ
°
E A
¢
B
°
E
· Ø ˘· = Á Ø ˘Á = ‚ Ø ˘‚ = 2E , (E ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘), 1 Ô Ù‡Ô˜ V = · Ø ˘·2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 3 1 1 1 1 V = (·˘·) Ø ˘· = (Á˘Á) Ø ˘· = (Á˘Á) Ø ˘Á = ∂AB Ø ˘Á, 3 3 3 3 ·ÊÔ‡ Ë ÏÂ˘Ú¿ AB ÁÚ¿ÊÂÈ ÙËÓ ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÎÒÓÔ˘ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ
OÌÔ›ˆ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ
∫‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ - ∫ÒÓÔ˜, ∫fiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜ - ™Ê·›Ú·
EAB = Rh = Á˘·. 1 V = EA° Ø ˘‚. 3
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EºAPMO°E™ - A™KH™EI™
3
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
AÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· ¢ı›· Â, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÙfiÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ 1 V = EB° Ø ˘·. 3 Afi‰ÂÈÍË:
B
·) H ÂÚ›ÙˆÛË Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ë Â˘ı›·  Ì ÙËÓ Â˘ı›· B° ·Ô‰Â›¯ıËΠÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹. ‚) ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢. O fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÁfiÌÂÓÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÂÈÓ·È 1 1 VAB° = VAB¢ – VA°¢ = EB¢ Ø ˘· – E°¢ Ø ˘· = 3 3 1 1 = (EB¢ – E°¢) Ø ˘· = EB° Ø ˘·. 3 3 Á) ŒÛÙˆ fiÙÈ Â // B°. º¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ÙȘ BE, °Z οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â.
˘·
° Â
A B
¢ ¢
°
˘· Â E
A
Z
– AÓ ÙÔ ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ B Î·È °, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ 1 1 VAB° = VB°ZE – VABE – VA°Z = Ø ˘·2 Ø B° – ˘·2 Ø AE – ˘·2 Ø AZ = 3 3 1 1 1 = ˘·2 Ø [3B° – (AE + AZ)] = ˘·2 Ø 2B° = EB° Ø ˘·, 3 3 3 ·ÊÔ‡ Ë µ° ÁÚ¿ÊÂÈ ÙËÓ ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ∂µ° = 2R˘ = 2˘·Øµ° – OÌÔ›ˆ˜, ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ B°.
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°EøMETPIKA ™TEPEA
13.3 - 13.5.
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™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ 1.
OÈ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔÈ, Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ì ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ AB°¢ Á‡Úˆ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ AB Î·È A¢, ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ fiÁÎÔ;
¢
°
‚ · A
B
2.
¶Ò˜ ı· ÌÂÙ·‚ÏËı› Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, fiÙ·Ó ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ·) ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ‚) ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘, Á) ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘;
3.
MÈ· ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ¤¯ÂÈ ‚¿ıÔ˜ 4 m Î·È fiÁÎÔ 4 m3. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘;
4.
¶Ò˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Ù˘ ‚¿Û˘ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÙÔ˘;
5.
TÈ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ ÌÂ Â›Â‰Ô ·) οıÂÙÔ ÛÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ‚) ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÛÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘;
6.
7.
8.
9.
E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌÈ· ¢ı›· Ó· ¤¯ÂÈ ÙÚ›· ‹ Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÌÈ· ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·; ¶Ò˜ ı· ÌÂÙ·‚ÏËı› Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘, ·Ó ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ·) ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ‚) ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘, Á) ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘; AÓ ÙÚÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÂÓfi˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘, ÙÈ ı· Û˘Ì‚Â› Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿˜ ÙÔ˘; ¶Ò˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ˘ Î·È Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘;
10. TÈ
ÛÙÂÚÂfi ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÌÂÛÔοıÂÙË ÙˆÓ ‚¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘;
11. TÈ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ Î·È ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘;
∫‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ - ∫ÒÓÔ˜, ∫fiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜ - ™Ê·›Ú·
12. ™’
¤Ó·Ó ÎfiÏÔ˘ÚÔ ÎÒÓÔ Ò˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ë ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ h Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ˘ Î·È ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ R Î·È Ú ÙˆÓ ‚¿ÛˆÓ;
A
B
Ú E ˘
h R
¢
Z
13. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÙÂ
°
A
‰‡Ô ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÎÒÓÔ˘ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ‰˘Ó·Ù‹ ÁˆÓ›·.
°
B ¢
14. TÈ
Û¯‹Ì· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÂÓfi˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Î·È ÂÓfi˜ ÂȤ‰Ô˘ ·) Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘, ‚) Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘;
15. E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÙÚ›· ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·) ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· ‚) ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ;
16. AÓ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÂÚÈÛÙÚ·ÊÔ‡Ó Á‡Úˆ ·fi ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘˜ OK, ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ÛÊ·ÈÚÒÓ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó;
A K
O
17. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ·fi Ù· ÔÔ›· ‰ÔṲ̂ÓÔ Â˘ı‡A ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÔÚı‹ ÁˆÓ›·;
B
M
B
18. ¶ÔÈ·
Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ̤ÁÈÛÙˆÓ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ‰›ÛÎˆÓ ÛÊ·›Ú·˜;
19. ™Â ÌÈ· ÛÊ·›Ú·
(O, R) ıˆÚԇ̠‰‡Ô ·ÓÙȉȷÌÂÙÚÈο ÛËÌ›· A, B Î·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. ·) ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÔÌ‹ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Ì ÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ABM; ‚) TÈ Â›‰Ô˘˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÙÔ ABM;
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20. MÈ·
¢ı›·  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô A ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ (O, R) Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ OA⊥Â. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË Ù˘ ¢ı›·˜  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÛÊ·›Ú·;
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
22. AÓ ÌÈ· ÛÊ·›Ú· Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ·‚Ô ·ÎÌ‹˜ · (‰ËÏ·‰‹ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙȘ ¤‰Ú˜ ÙÔ˘ ·‚Ô˘), ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿˜ Ù˘;
21. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ‰‡Ô ÛÊ·ÈÚÒÓ
(O, R) Î·È (K, Ú) Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ; ·) OK = R + Ú
‰) OK < |R – Ú|
‚) OK = |R – Ú|
Â) |R – Ú| < OK < R + Ú
23. ¶ÔÈ·
Â›Ó·È Ë ·ÎÙ›Ó· ÛÊ·›Ú·˜, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ ˘ Î·È ·ÎÙ›Ó· ‚¿Û˘ Ú;
Á) OK > R + Ú
O
∞Û΋ÛÂȘ ∞ã √Ì¿‰·˜ 1.
AÓ ÂÚÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ AB°¢ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ AB, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ÛÙÂÚÂfi Ì fiÁÎÔ 18 m3. AÓ, fï˜, ÂÚÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A¢, ÙÔ ÛÙÂÚÂfi Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ 12 m2. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘.
7.
2.
N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ηÓÔÓÈÎfi ÂÍ·ÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· fiÁÎÔ˘ 2 3 cm3.
8.
3.
EӉȷÊÂÚfiÌ·ÛÙ ӷ ηχ„Ô˘Ì ÙËÓ ÔÏÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ΢ÏÈÓ‰ÚÈÎÔ‡ ‰Ô¯Â›Ô˘ ‡„Ô˘˜ 10 cm Î·È ·ÎÙ›Ó·˜ 4 cm Ì ¯Ú˘Ûfi ¿¯Ô˘˜ 0,1 mm Î·È ÂȉÈÎÔ‡ ‚¿ÚÔ˘˜ 19,3 kp/dm3. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯Ú˘ÛÔ‡ Ô˘ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı›.
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì AB = A¢ = ·, ∧ ∧ ∧ A = ¢ = 90Æ Î·È ° = 60Æ. AÓ ·˘Ùfi ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· A¢, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ.
9.
N· ‚ÚÂı› Ô fiÁÎÔ˜ ÛÊ·›Ú·˜ Ì ÂÌ‚·‰fi ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ 36 cm2.
4.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 3 cm Î·È ÂÌ‚·‰fi ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ 20 cm2.
5.
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔÓ fiÁÎÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.
AÓ Â›Ó·È V, V1, V2 ÔÈ fiÁÎÔÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ∧ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° (A=90Æ) Á‡Úˆ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, AB, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ 1 1 1 + . 2 = V V21 V22
10. ™Â ÌÈ· ¢ı›·
 ıˆÚԇ̠‰‡Ô ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB = ·, B° = 2· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ٷ ËÌÈ·ÎÏÈ· ‰È·Ì¤ÙÚˆÓ AB, B° Î·È A° ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Â. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi Ù· ÙÚ›· ËÌÈ·ÎÏÈ·.
11. N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜, Ë ÔÔ›· ›ӷÈ:
6.
350
¢›ÓÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì AB = A° = · ∧ Î·È A = 150Æ. AÓ ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· AB, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ.
·)
EÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ Ì ·ÎÙ›Ó· R.
‚)
¶ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ·‚Ô ·ÎÌ‹˜ ·.
°EøMETPIKA ™TEPEA
13.3 - 13.5.
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∞Û΋ÛÂȘ Bã √Ì¿‰·˜ 1.
2.
3.
Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Â›Ó·È Ú, ÂÓÒ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Â›Ó·È R, Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Â›Ó·È ˘. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ú, R Î·È ˘.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ú¿ÁÂÙ·È Â› ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Ì ∧ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· B° = · Î·È B = 30Æ. AÓ ¢, E Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E, fiÙ·Ó ÙÔ Û¯‹Ì· ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙË B°. ¢‡Ô ÛËÌ›· A, B Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·fi ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ÙÔÌ‹ Ù˘ ¢ı›·˜ AB Ì ηı¤Ó· ·fi Ù· ›‰· ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘.
4.
£ÂˆÚԇ̠‰‡Ô ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· AB = · Î·È B° = ‚ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Î·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘  ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È B°E. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ A¢E° Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â.
5.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È 1 Ì ÙÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿3 ÓÂÈ¿˜ ÙÔ˘ › ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ Ù˘
9.
A
K
H
B
Z
M
¢
E
°
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì ∧
AB // °¢, A¢ = ¢° = °B = · Î·È A = 60Æ. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°.
10. Afi
¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B° = · ÈÛfi-
Ï¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ʤÚÔ˘Ì ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙȘ AB, A° Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙȘ A°, AB ÛÙ· ÛËÌ›· E, Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ë ı¤ÛË ÙÔ˘ ¢ ÛÙË B°, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ, Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Á‡Úˆ ·fi ÙË B°, Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔ ÙÂ2 ÙÚ¿Ï¢ÚÔ AE¢Z Â›Ó·È Ù· ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÙÔ˘ 3 ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°.
11. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÛÊ·›Ú·, Ë ÔÔ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÚ›· ‰ÔṲ̂ӷ ÛËÌ›· A, B, ° Î·È Ë ÔÔ›· Ó· ¤¯ÂÈ ÁÓˆÛÙ‹ ·ÎÙ›Ó· R.
‚¿Û˘ ·fi ÌÈ· ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹.
6.
7.
8.
12. N· N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ú¿ÁÂÙ·È, › ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° Î·È Ù· ̤۷ ¢, E ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ AB, A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ ÙÔ Û¯‹Ì· ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· B°, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ B¢E° ·Ú¿ÁÂÈ ÙÔÓ ›‰ÈÔ fiÁÎÔ Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E. ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ¤Ó·˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ÛÙÔÓ ÎÒÓÔ. H ·ÎÙ›Ó· ‚¿Û˘ ÙÔ˘
∫‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ - ∫ÒÓÔ˜, ∫fiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜ - ™Ê·›Ú·
ηٷÛ΢·ÛÙ› ÛÊ·›Ú·, Ë ÔÔ›· Ó· Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ‰ÔṲ̂ÓÔ ÙÂÙڿ‰ÚÔ AB°¢.
13. MÈ· ÛÊ·›Ú· Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ÎÒÓÔ ·ÎÙ›Ó·˜ Ú Î·È ‡„Ô˘˜ ˘. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·ÎÙ›Ó· R Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ Ú Î·È ˘.
14. £ÂˆÚÔ‡ÌÂ
¤Ó·Ó ·‚Ô ·ÎÌ‹˜ · Î·È ÙÔÓ ÁÂÌ›· ˙Ô˘Ì Ì ΠÛÊ·›Ú˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ , fiÔ˘ Ó ıÂÓ ÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜. N· ‚ÚÂı› ÙÔ Ï‹ıÔ˜ Î ÙˆÓ ÛÊ·ÈÚÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ Ó Î·È Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ fiÁÎÔ Ù˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ÛÊ·›Ú·˜ ÛÙÔÓ Î‡‚Ô.
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
°ÂÓÈΤ˜ ∞Û΋ÛÂȘ 13Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
ŒÓ· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ · ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÂÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· ¢ı›· Â, Ë ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ‰ÂÓ ÙÔ Ù¤ÌÓÂÈ. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi E = 6·Ú, fiÔ˘ Ú Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â.
2.
¢›ÓÂÙ·È ÙÚ·¤˙ÈÔ AB°¢ Ì A = ¢ = 90Æ, Î·È ¤ÛÙˆ M ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ B°. Afi ÙÔ M ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙË B°, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô K. AÓ ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ÂÚÈÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ A¢, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È E = 2 Ø MK Ø A¢.
3.
∧
™’ ¤Ó· ÙÂÙڿ‰ÚÔ AB°¢ ÔÈ ·Î̤˜ AB Î·È °¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓȘ Î·È ¤¯Ô˘Ó ·fiÛÙ·ÛË ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ ›ӷÈ
4.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ (O, R) Î·È (K, Ú) ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A, Î·È B° Â›Ó·È ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ·˘ÙÒÓ. AÓ ÂÚÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· Á‡Úˆ ·fi ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ OK, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ Ë B° ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi ÙË Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÛÊ·ÈÚÒÓ (O, R) Î·È (K, Ú).
5.
£ÂˆÚԇ̠¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ Ì A = 90Æ, AB = A¢ = · Î·È B° = B¢ = °¢. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ›, Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ·, Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· AB.
∧
™Â ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô AB°¢EZH£ ÔÈ AB, A¢, AE Â›Ó·È ÔÈ ·Î̤˜ Î·È Ë AH Â›Ó·È ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ·˘ÙÔ‡. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë AH ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ B¢E Î·È ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi Û ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹1 Ì·Ù· Ì ÏfiÁÔ . 2
7.
352
¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÎfiÏÔ˘ÚË ˘Ú·Ì›‰· Ì ‚¿ÛÂȘ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ, Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ÂÌ‚·‰¿ E1 Î·È E2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ì E1 > E2. Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ʤÚÔ˘ÌÂ Â›Â‰Ô ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙËÓ ¤‰Ú· B°ZE, ÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ AB Î·È A° ÛÙ· ÛËÌ›· K Î·È M ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜ Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ ¢AKM Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ E1, E2 Î·È ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ˘ Ù˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜.
9.
N· ‰È·ÈÚÂı› ÌÈ· ˘Ú·Ì›‰· Ì ‚¿ÛË ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË Ì ›‰· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ Ù˘.
∧
1 V = · Ø ∞µ Ø °¢. 6
6.
8.
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Û οı Ùڛ‰ÚË ÛÙÂÚ‹ ÁˆÓ›· Ù· ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ· ›‰· ÙˆÓ ‰›Â‰ÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ù˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.
10. £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÛÊ·›-
A
Ú· (O, R) Î·È ÌÈ· ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›· ̤ÙÚÔ˘ Ê, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ·ÎÊ O Ì‹ Â›Ó·È ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ AB Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. TÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ B ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ϤÁÂÙ·È ÛÊ·ÈÚÈ΋ ¿ÙÚ·ÎÙÔ˜, ÂÓÒ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi, Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙȘ ¤‰Ú˜ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ Î·È ÙË ÛÊ·ÈÚÈ΋ ¿ÙÚ·ÎÙÔ, ϤÁÂÙ·È ÛÊ·ÈÚÈÎfi˜ fiÓ˘¯·˜. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fi Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ·ÙÚ¿ÎÙÔ˘ Î·È Ô fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡ fiÓ˘¯·, ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙˆÓ R Î·È Ê.
11. ·)
™ÙȘ ·Î̤˜ OA, OB Î·È O° ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ OAB° ıˆÚÔ‡ÌÂ Ù˘¯·›· ÛËÌ›· ¢, E Î·È Z ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·¤‰ÚˆÓ √¢EZ Î·È OAB° ÈÛÔ‡Ù·È Ì O¢ Ø OE Ø OZ . OA Ø OB Ø O°
‚) £ÂˆÚԇ̠ÙÚÂȘ ËÌÈ¢ı›˜ O¯, O„ Î·È O˙, Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ·Ó¿ ‰‡Ô Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· 60Æ. ™ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ ·˘Ù¤˜ ıˆÚԇ̠ٷ ÛËÌ›· A, B Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì · OA = ·, OB = 2· Î·È O° = . 3 N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙڿ‰ÚÔ˘ √∞µ°.
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∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘ 13Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 1.
N· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ (™) ‹ Ï·Óı·Ṳ̂ÓË (§) ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) TÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ Ï¿ÁÈÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì οı ·Ú¿Ï¢ÚË ·ÎÌ‹ ÙÔ˘. ‚) T· ·Ú¿Ï¢ڷ ‡„Ë ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜ Â›Ó·È ›Û·. Á) OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·. ‰) E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ›Û· ÔχÁˆÓ·. Â) ŒÓ· ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â›Â‰Ô ÛÊ·›Ú·˜ ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ì ÙË ÛÊ·›Ú·. ÛÙ) H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ¤Ó· ̤ÁÈÛÙÔ Î‡ÎÏÔ Ù˘. ˙) ¢‡Ô ̤ÁÈÛÙÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÛÊ·›Ú·˜ Ì ‰‡Ô ÎÔÈÓ¤˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. Ë) OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÂÓfi˜ Ï¿ÁÈÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÏ›ÛË ˆ˜ ÚÔ˜ οı ‚¿ÛË. ı) AÓ Û ÌÈ· ˘Ú·Ì›‰· Ì ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AB°¢ ÔÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Â›Ó·È ›Û˜, ÙfiÙ ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜. È) E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ηٷÛ΢ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Ë ·ÎÌ‹ ·‚Ô˘, Ô ÔÔ›Ô˜ Ó· ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ fiÁÎÔ ·fi ‰ÔṲ̂ÓÔ Î‡‚Ô.
2.
AÓ ¤Ó·˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ Â›Ó·È ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ÛÊ·›Ú· ·ÎÙ›Ó·˜ R, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Î·È Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ›ӷÈ: 2 A. 3
3.
4.
3 B. 2
°. 1
¢. 2
4 E. 3
AÓ ¤Ó·˜ ·‚Ô˜ ·ÎÌ‹˜ · Â›Ó·È ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ÌÈ· ÛÊ·›Ú·, ÙfiÙÂ Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ›ӷÈ: 3 · · B. · °. ¢. 2· E. · 3 A. 2 2 MÈ· ηÓÔÓÈ΋ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰· Ì ÏÂ˘Ú¿ ‚¿Û˘ · Î·È ‡„Ô˜ 3· ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ: 3 A. ·3 4
3 33 B. ·3 °. ·2 4 4
¢. ·33
3 E. ·3 2
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5.
N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) M ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ · Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ …………… Ì fiÁÎÔ …………… Î·È ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· …………… . ‚) TÔ Ôχ‰ÚÔ Ì ‚¿ÛÂȘ …………… Î·È ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ …………… ϤÁÂÙ·È Ú›ÛÌ·. ŒÓ· ÔÚıfi Ú›ÛÌ· Ì ‚¿ÛÂȘ ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· ϤÁÂÙ·È …………… . Á) K¿ı ڛÛÌ· Ì ‚¿ÛÂȘ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ϤÁÂÙ·È …………… . ‰) M ÙËÓ ÂÚÈA 2 B ÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ …………… 4 AB°¢ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ A¢ ÚÔ·ÙÂÈ 5 ¢ ° …………… Ì fiÁÎÔ …………… Î·È ÂÌ‚·‰fi ·Ú¿Ï¢Ú˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ………… . Â) ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô Ì ›Û˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È …………… . ÛÙ) AÓ O Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô Î·È · ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÁÓˆÛÙÔ‡ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ …………… Â›Ó·È Ë ÛÊ·›Ú· …………… . ˙) K¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÎÚ· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÛÊ·›Ú·˜ ϤÁÂÙ·È …………… . Ë) AÓ ¤Ó·˜ ̤ÁÈÛÙÔ˜ ·ÎÏÔ˜ ÛÊ·›Ú·˜ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 2 cm, ÙfiÙÂ Ë ÛÊ·›Ú· ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· …………… , ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ………… Î·È fiÁÎÔ …………… .
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™ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ οı ÛÙÂÚÂfi Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ Ì ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi ·˘Ùfi ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÛÙ‹ÏË. ™ÙÂÚÂfi
I‰ÈfiÙËÙ· 1) OÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È ›Û· ÔχÁˆÓ·
·) K‡‚Ô˜
2) OÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È Î·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·
‚)
3) OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ Â›Ó·È ›Û· ÙÚ·¤˙È·
K·ÓÔÓÈ΋ ˘Ú·Ì›‰·
Á) ¶Ú›ÛÌ· ‰) OÚıfi Ú›ÛÌ·
4) OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙË ‚¿ÛË 5) H ÎÔÚ˘Ê‹ ÚÔ‚¿ÏÏÂÙ·È ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ‚¿Û˘ 6) ŸÏ˜ ÔÈ ¤‰Ú˜ Â›Ó·È ›Û· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·
Â)
K·ÓÔÓÈÎfi Ú›ÛÌ·
ÛÙ) ™Ê·›Ú· ˙)
KfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜
Ë) OÚıfi˜ ÎÒÓÔ˜
4 7) Œ¯ÂÈ fiÁÎÔ ÊÔÚ¤˜ ÙÔÓ fiÁÎÔ Î‡‚Ô˘ ·ÎÌ‹˜ R 3 8) ¶ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ 9) OÈ ‚¿ÛÂȘ Â›Ó·È ¿ÓÈÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ 10) OÈ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Ì ÙÔ ‡„Ô˜
ANAKEºA§AIø™H TÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙ· ÁˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿, Ù· ÔÔ›· Ù·ÍÈÓÔÌÔ‡ÓÙ·È Û ‰‡Ô ÌÂÁ¿Ï˜ ηÙËÁÔڛ˜, ÛÙ· Ôχ‰ڷ Î·È ÛÙ· ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜. Afi Ù· Ôχ‰ڷ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Ú›ÛÌ·Ù· Î·È ÔÈ ˘Ú·Ì›‰Â˜. B·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È: ¤¯Ô˘Ó ·Ú¿Ï¢Ú˜ ¤‰Ú˜ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·, ›Û˜ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ Î·È ›Û˜ ¤‰Ú˜. EÈÛ¿ÁÂÙ·È Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Ùڛ‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ˜ ¤ÎÙ·Û˘ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·. O Ù‡Ô˜ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fi Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È EÔÏ = ¶ . ˘ + 2 . E. M ·ÊÂÙËÚ›· ÙÔÓ fiÁÎÔ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È fiÙÈ Ô fiÁÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔ‡ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È V = E . ˘. OÈ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Î·È ÔÈ ÎfiÏÔ˘Ú˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Â›Ó·È ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Â›‰Ô˜ ÔÏ‡Â‰ÚˆÓ Ô˘ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È. ¢È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È Î·È ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÌÈ·˜ ηÓÔÓÈ΋˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ηıÒ˜ Î·È ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ Â‰ÚÒÓ Ù˘. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· fiÙÈ Î¿ı ÔÚıfi ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙÂÙڿ‰ڷ. Afi Ù· ÛÙÂÚ¿ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜, Ô ÎÒÓÔ˜, Ô ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜ Î·È Ë ÛÊ·›Ú·. I‰È·›ÙÂÚË ‚·Ú‡ÙËÙ· ‰›ÓÂÙ·È Û ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜. √È Ù‡ÔÈ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Î·È ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÛÙÂÚÂÒÓ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÁÈ· Ù· Ú›ÛÌ·Ù·, ÙȘ ˘Ú·Ì›‰Â˜ Î·È ÙȘ ÎfiÏÔ˘Ú˜ ˘Ú·Ì›‰Â˜. T· ıˆڋ̷ٷ ÙÔ˘ ¶¿Ô˘ ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·È ˆ˜ ÌÈ· ¿ÏÏË Ì¤ıÔ‰Ô˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÂÌ‚·‰ÒÓ Î·È fiÁÎˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜.
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∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ
A ¿ıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ, 23 “ ¢ı. ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, 13 ·›ÙËÌ· E˘ÎÏ›‰ÂÈÔ, 95 “ Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, 96 ·ÎÌ‹ ËÌÈÂȤ‰ˆÓ, 11 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 “ ˘Ú·Ì›‰·˜, 326 ¿ÎÚÔ Â˘ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 11 ·ÎÙ›Ó· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 266 “ ·ÎÏÔ˘, 30 “ ÛÊ·›Ú·˜, 339 ·ÎÙ›ÓÈÔ, 36, 278 ·ÏÁÔÚÈıÌÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·, 157 ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›·, 20 ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, 43 ·Ó·ÏÔÁ›·, 171 ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ·ÎÏÔ˘, 276 ¿ÓÈÛ· ¢ı. ÙÌ‹Ì·Ù·, 12 ¿ÓÈÛ˜ ÁˆÓ›Â˜, 20 ¿ÓÔÈÁÌ· ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ, 36 ·Í›ˆÌ·, 10 ·Í›ˆÌ· ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, 95 ·ÍÈÒÌ·Ù· ÂȤ‰Ô˘, 290 ·ÍÈÒÌ·Ù· Hilbert, 357 ¿ÍÔÓ·˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, 332 ¿ÍÔÓ·˜ ÎÒÓÔ˘, 335 ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, 60, 61 ··ÁˆÁ‹ Û ¿ÙÔÔ, 22, 36, 215 ·Ï‹ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, 39 ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·, 3 ·fi‰ÂÈÍË, 25 ·fi‰ÂÈÍË ¤ÌÌÂÛË, 34 ·fi‰ÂÈÍË Â˘ı›·, 34 ·fiÛÙ·ÛË ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ ¢ıÂÈÒÓ, 309 ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ, 16 ·fiÛÙ·ÛË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÂȤ‰ˆÓ, 300 ·fiÛÙ·ÛË ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ, 112 ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ›‰Ô, 298 ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›·, 21 ·fiÛÙËÌ· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 266 ·fiÛÙËÌ· ¯ÔÚ‰‹˜, 53 ·ÚÈıÌfi˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜, 283 ·ÚÈıÌfi˜ , 277, 282
∂YK§EI¢EIA °EøMETPIA
·ÚÈıÌfi˜ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜, 283 ·ÚÈıÌfi˜ Ê, 231 ·ÚÌÔÓÈ΋ ÙÂÙÚ¿‰· ÛËÌ›ˆÓ, 184
B ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘, 331 ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 137 ‚¿ÛÂȘ ÙÚ·Â˙›Ô˘, 130 ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 44 “ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, 326 “ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘, 336 “ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, 332 “ ÎÒÓÔ˘, 335 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 “ ˘Ú·Ì›‰·˜, 326 “ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 44
° ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ· ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, 316 °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, 290 °ÂˆÌÂÙÚ›· Ú·ÎÙÈ΋, 1 °ÂˆÌÂÙÚ›· E˘ÎÏ›‰ÂÈ·, 3 °ÂˆÌÂÙڛ˜ ÌË E˘ÎÏ›‰ÂȘ, 95, 359 ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÚÈ˙ÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ, 229, 231 ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ, 294 ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ηٷÛ΢‹˜ ÛÙ¿‰È·, 83, 157 ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÛÙÂÚÂfi, 290 ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜, 32, 63 ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡ › ÁˆÓ›·, 23 ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ¢ı. ÙÌ‹Ì·, 13, 167 ÁˆÓ›·, 18 “ ·¤Ó·ÓÙÈ, 44 “ ‚·›ÓÂÈ Û ÙfiÍÔ, 31 “ ‰›Â‰ÚË, 304 “ ‰‡Ô ÂȤ‰ˆÓ, 304 “ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ, 303 “ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ·ÎÏÔ, 143 “ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÔÎı„ÒÓÔ˘, 41 “ ›ÎÂÓÙÚË, 31 “ ›ÎÂÓÙÚË ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘, 143 “ Â›Â‰Ë Ù˘ ‰›Â‰Ú˘, 304 “ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 40 “ ¢ı›·˜ Î·È ÂȤ‰Ô˘, 302 “ ÂÚȯfiÌÂÓË, 44
361
∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ ÁˆÓ›·, ÛÙÂÚ‹, 319 ÁˆÓ›Â˜ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜, 22 “ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í, 94 “ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿, 94 “ ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿, 94 “ ÂÊÂÍ‹˜, 22 “ ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó, 25 “ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, 25 “ ÚÔÛΛÌÂÓ˜, 44 “ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜, 25 ÁˆÓÈÒÓ Û‡ÁÎÚÈÛË, 19
¢ ‰È·ÁÒÓÈÔ Â›Â‰Ô Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 40 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 ‰È·›ÚÂÛË Â˘ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÛËÌ›Ô, 173, 177, 178 ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ˜ ·ÎψÓ, 79 ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘, 130 “ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 45 ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ·ÎÏÔ˘, 30 “ ÛÊ·›Ú·˜, 340 ‰È·ÊÔÚ¿ ÁˆÓÈÒÓ, 24 “ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, 14 ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ ·‚Ô˘, 88 ‰ÈÛÔÚıÔÁÒÓÈ· Ùڛ‰ÚË ÁˆÓ›·, 320 ‰È¯ÔÙfiÌÔ Â›Â‰Ô ‰›Â‰Ú˘, 305 ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜, 20 “ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 105 “ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 45 ‰‡Ó·ÌË ÛËÌ›Ԣ ˆ˜ ÚÔ˜ ·ÎÏÔ, 227
E ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ˘Ú·Ì›‰· Û ÎÒÓÔ, 336 ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 134 ¤‰Ú· Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 ¤‰Ú· ˘Ú·Ì›‰·˜, 326 ¤‰Ú˜ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜, 304 ÂÌ‚·‰fi ηÓÔÓÈ΋˜ ˘Ú·Ì›‰·˜, 327 “ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘, 338 “ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘, 281 “ “ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 282 “ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤·, 282 “ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, 333 “ ÎÒÓÔ˘, 336 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 320 “ » ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, 342 “ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, 239 ÂÌ‚·‰Ô‡ ·ÍÈÒÌ·Ù·, 240 ¤ÓÓÔÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋, 10 Â͈ÙÂÚÈ΋ ÁˆÓ›· ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 41 Â͈ÙÂÚÈÎfi ÁˆÓ›·˜, 19 “ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 39 “ ÛËÌÂ›Ô Î‡ÎÏÔ˘, 30 Â͈ÙÂÚÈ΋ ¢ı›· ·ÎÏÔ˘, 76 ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›·, 31 ›‰· οıÂÙ·, 305 ›‰· ·Ú¿ÏÏËÏ·, 293 ›‰Ô, 290, 291 “ ÌÂÛÔοıÂÙÔ Û ¢ı. ÙÌ‹Ì·, 307 “ ÌÂÛÔ·Ú¿ÏÏËÏÔ, 308 ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ¢ıÂÈÔÁÂÓ‹˜, 334, 335
362
ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁˆÓ›·˜, 18 “ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 39 “ ÛËÌÂ›Ô Î‡ÎÏÔ˘, 30 “ ÛËÌÂ›Ô ÙfiÍÔ˘, 33 ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ˘fi ÁˆÓ›·, 146 ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ÌˉÂÓÈÎfi, 15 ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ·, 171 “ ÙÌ‹Ì·Ù· ·Û‡ÌÌÂÙÚ·, 168, 186 “ ÙÌ‹Ì·Ù· ‰È·‰Ô¯Èο, 13 “ ÙÌ‹Ì·Ù· Û‡ÌÌÂÙÚ·, 168 ¢ı›· ÁˆÓ›·, 19 “ ‰È·ÎÂÓÙÚÈ΋ ·ÎÏÔ˘, 87 “ Â͈ÙÂÚÈ΋ Û ·ÎÏÔ, 76 “ ÂÊ·ÙfiÌÂÓË Û ·ÎÏÔ, 76 “ οıÂÙË Û ›‰Ô, 296 “ ·Ú¿ÏÏËÏË Û ›‰Ô, 293 “ Ï¿ÁÈ· Û ›‰Ô, 296 “ Ù¤ÌÓÔ˘Û· ·ÎÏÔ, 78 “ ÙÔ˘ Euler, 164 “ ÙÔ˘ Simson, 156 “ ÙÔ˘ Steiner, 156 ¢ı›˜ ·Û‡Ì‚·Ù˜, 93, 292 ¢ı›˜ ÔÚıÔÁÒÓȘ, 304 “ ·Ú¿ÏÏËϘ, 93 “ Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Û˜, 134 ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, 76
H ËÌÈ›‰Ô, 11 ËÌÈ¢ı›·, 11 ËÌÈ·ÎÏÈÔ, 31 ËÌÈÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 75 ËÌȯÒÚÔ˜, 291
£ ıÂÒÚËÌ·, 25 ıÂÒÚËÌ· 1Ô ‰È·Ì¤ÛˆÓ, 218 “ 2Ô ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ, 219 “ 1Ô ÙÔ˘ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘, 205 “ 2Ô ÙÔ˘ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘, 260 “ Ceva, 190 “ Euler ÁÈ· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ, 220 “ Stewart, 226 “ ‰È¯ÔÙfïÓ, 182 “ £·Ï‹ ·ÛıÂÓ¤˜, 125 “ £·Ï‹, 174 “ MÂÓ¤Ï·Ô˘, 190 “ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ, 216 “ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ, 210 “ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ, 217 “ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Î·ı¤ÙˆÓ, 297 “ ‡·Ú͢ ·Û˘Ì‚¿ÙˆÓ, 292 ıˆڋ̷ٷ ¶¿Ô˘, 343
I ȉÈfiÙËÙ˜ fiÁÎÔ˘, 321 ȉÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, 112 ›Û· ¢ı. ÙÌ‹Ì·Ù·, 12 “ ÙÚ›ÁˆÓ·, 45 “ ÁˆÓ›Â˜, 19 ›Û˜ ‰›Â‰Ú˜ ÁˆÓ›Â˜, 304 ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ›‰· Û¯‹Ì·Ù·, 241
∂YK§EI¢EIA °EøMETPIA
362
∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ Î˘ÚÙ‹ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, 317 ΢ÚÙfi ÔχÁˆÓÔ, 40 “ Û‡ÓÔÏÔ, 19, 30 ÎÒÓÔ˜, 335
ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ôχ‰ڷ, 322 ›ÛÔÈ Î‡ÎÏÔÈ, 30 ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, 43 ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, 43 “ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ȉÈfiÙËÙ˜, 43 IÛfiÙËÙ· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, 3 ›¯ÓÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 69 “ ¢ı›·˜, 68
§ ÏfiÁÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, 169 “ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜, 194
K
M
οıÂÙ˜ ¢ı›˜, 21 οıÂÙË ÙÔÌ‹ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, 317 ηٷÛ΢‹ ıÂÌÂÏÈ҉˘, 4 “ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 267, 271 ηٷÛ΢‹ ÚÔÔÙÈ΋, 196 ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›· ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 266 ΤÓÙÚÔ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 137 “ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘, 266 “ ·ÎÏÔ˘, 30 “ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, 113 “ » ·Ú·ÏÏËÏÂȤ‰Ô˘, 324 “ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, 60 “ ÛÊ·›Ú·˜, 339 ÎÏÂÈÛÙ‹ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, 39 ÎÏ›ÛË Â˘ı›·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ›‰Ô, 302 ÎÔ›ÏÔ ÔχÁˆÓÔ, 40 ÎÔÈÓ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â˘ı›· Û ·ÎÏÔ˘˜, 81 “ οıÂÙË Â˘ı›· ·Û‡Ì‚·ÙˆÓ, 308 “ ¯ÔÚ‰‹ ·ÎψÓ, 81 ÎÔÈÓfi ̤ÙÚÔ Â˘ı. ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, 168 ÎfiÏÔ˘ÚË ˘Ú·Ì›‰· ηÓÔÓÈ΋, 326 ÎfiÏÔ˘ÚÔ˜ ÎÒÓÔ˜, 335 ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, 39 ÎÔÚ˘Ê‹ ÁˆÓ›·˜, 18 “ ÎÒÓÔ˘, 335 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 “ ˘Ú·Ì›‰·˜, 320 “ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 44 ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁ., 50, 51 “ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, 45, 47, 48, 65 “ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, 198, 199 “ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, 114, 115 “ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ, 298 ·‚Ô˜, 317 ΢ÎÏÈÎfi ÙÌ‹Ì·, 31 ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, 285 “ ‰›ÛÎÔ˜, 30 “ ÙÔ̤·˜, 32 ·ÎÏÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔÈ Â͈ÙÂÚÈο, 80 “ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔÈ ÂÛˆÙÂÚÈο, 80 “ ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔÈ, 80 ·ÎÏÔÈ ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ, 80 ·ÎÏÔ˜, 30 ·ÎÏÔ˜ ̤ÁÈÛÙÔ˜ ÛÊ·›Ú·˜, 341 “ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ÔχÁˆÓÔ, 152 “ ·ÚÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ, 249 “ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Û ÙÚ›ÁˆÓÔ, 135 “ ÙÔ˘ Euler, 164 “ ÙÔ˘ AÔÏÏÒÓÈÔ˘, 184 ·ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÔÚıfi˜, 332 “ Ï¿ÁÈÔ˜, 332 ΢ÚÙ‹ ÁˆÓ›·, 19 “ ‰›Â‰ÚË ÁˆÓ›·, 304
̤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜, 171 ̤ÛÔ Â˘ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 13 “ ÙfiÍÔ˘, 33 ÌÂÛÔοıÂÙË Â˘ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 21 ̤ÙÚËÛË Â˘ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 15 “ ÛÊ·›Ú·˜, 342 “ ÙfiÍÔ˘, 35 ÌÂÙÚÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Û ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, 210 “ Û¯¤ÛÂȘ Û ÙÚ›ÁˆÓ·, 209 ̤ÙÚÔ ÁˆÓ›·˜, 36 “ ÙfiÍÔ˘, 35 ÌË Î˘ÚÙfi ÔχÁˆÓÔ, 40 ÌˉÂÓÈ΋ ÁˆÓ›·, 19 Ì‹ÎÔ˜ ¢ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 15, 169 “ ·ÎÏÔ˘, 276, 277 ÌËÓ›ÛÎÔ˜, 384 ÌÔ›Ú·, 35
N ÓfiÌÔ˜ ËÌÈÙfiÓˆÓ, 246
O fiÁÎÔ˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, 329 “ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘, 338 “ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, 333 “ ÎÒÓÔ˘, 337 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 322 “ ˘Ú·Ì›‰·˜, 329 “ ÛÙÂÚÂÔ‡, 321 “ ÛÊ·›Ú·˜, 342 “ ÚÈÛÌ·ÙÈ΋˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, 316 ÔÍ›· ÁˆÓ›·, 20 Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, 43 fiÌÔÈ· Û¯‹Ì·Ù·, 194 ÔÚı‹ ÁˆÓ›·, 20 ÔÚı‹ ÚÔ‚ÔÏ‹ ÛËÌ›Ԣ, 21 ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô, 317 ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, 119 ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, 43 ÔÚıÔÎÂÓÙÚÈ΋ ÙÂÙÚ¿‰· Û ÙÚ›ÁˆÓÔ, 138 ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 136 fiÚÔÈ ·Ó·ÏÔÁ›·˜, 171
¶ ·Ú·ÏÏËÏ›‰Ô, 317 ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, 111 ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, 332 “ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÎÒÓÔ˘, 335 ·Ú¿Ï¢ÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 ·Ú¿Ï¢ÚÔ ‡„Ô˜ (ÔÚıÔ‡) ÎÒÓÔ˘, 335 ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ˘Ú·Ì›‰· Û ÎÒÓÔ, 336 ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 135
363
∂YK§EI¢EIA °EøMETPIA
363
∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ
A¶ANTH™EI™ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, 39 Ï·ÙˆÓÈÎfi ÛÙÂÚÂfi, 345 Ï¢ڤ˜ ÁˆÓ›·˜, 18 Ï¢ڤ˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, 35 Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›·, 19 ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, 39 ÔÏ˘ÁˆÓÈÎfi ¯ˆÚ›Ô, 40, 239 ÔχÁˆÓÔ, 39 ÔχÁˆÓÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÎÏÔ, 152 “ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ Û ·ÎÏÔ, 152, 153 “ ηÓÔÓÈÎfi, 264 Ôχ‰ÚÔ, 316 fiÚÈÛÌ·, 25 Ú¿ÍÂȘ Ì ÙfiÍ· ·ÎÏÔ˘, 33 Ú›ÛÌ·, 317 Ú›ÛÌ· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ, 333 “ ηÓÔÓÈÎfi, 317 “ ÔÚıfi, 317 “ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û ·ÏÈÓ‰ÚÔ, 333 ÚÈÛÌ·ÙÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, 316 Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜, 230 “ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡, 256 “ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ, 236 ÚÔ‚ÔÏ‹ ÛËÌ›Ԣ Û ›‰Ô, 302 “ ÛËÌ›Ԣ Û ¢ı›·, 68, 209 “ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Û ›‰Ô, 302 ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·, 215 ˘Ú·Ì›‰·, 326 “ ηÓÔÓÈ΋, 326 “ ÎfiÏÔ˘ÚË, 326
P ÚÈ˙ÈÎfi˜ ¿ÍÔÓ·˜ ‰‡Ô ·ÎψÓ, 235 ÚfiÌ‚Ô˜, 119
™ ÛËÌ›· ·ÌÙȉȷÏÂÙÒÈÍ ·, 30 ÛËÌ›· Û˘˙˘Á‹ ·ÚÌÔÓÈο, 184 “ Û˘Ó¢ıÂȷο, 10 “ Û˘Ó›‰·, 290 ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ ¢ı›·˜ Ì ·ÎÏÔ, 80 “ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ¢ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 11 “ ÙÔ˘ Fermat, 164 “ ÙÔ˘ Miquel, 164 “ Vecten, 140 ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, 43 ÛÙÂÚÂfi ÂÎ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜, 332 ÛÙÂÚÂfi ηÓÔÓÈÎfi, 345 ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·, 290 ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 44 Û‡ÁÎÚÈÛË ÁˆÓÈÒÓ, 19 Û‡ÁÚÈÛË Â˘ı. ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, 12 Û‡ÁÎÚÈÛË Ùfi͈Ó, 33 Û˘ÌÌÂÙÚ›· ·ÍÔÓÈ΋, 61 “ ÎÂÓÙÚÈ΋, 60 Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌ›Ԣ ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›·, 21 Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ·, 60 “ Û¯‹Ì· ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ, 60 Û‡ÓÔÚÔ ËÌȯÒÚˆÓ, 291 ÛÊ·›Ú·, 339 ÛÊ·›Ú· ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ÛÙÂÚÂfi, 346 “ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓË Û ÛÙÂÚÂfi, 346
364
ÛÊ·ÈÚÈ΋ ¿ÙÚ·ÎÙÔ˜, 352 “ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, 339 ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÁˆÓ›·, 360 ÛÊ·ÈÚÈÎfi ÙÌ‹Ì·, 360 ÛÊ·ÈÚÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, 360 ÛÊ·ÈÚÈÎfi˜ fiÓ˘¯·˜, 352 Û¯‹Ì·Ù· fiÌÔÈ·, 194
T Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, 120 ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹, 39 ٤ٷÚÙË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜, 171, 177 ÙÂÙ·ÚÙÔ·ÎÏÈÔ, 33 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ·ÎÏÔ˘, 88, 283 ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, 119 ÙÂÙڿ‰ÚÔ, 316, 327 ÙÂÙڿ‰ÚÔ Î·ÓÔÓÈÎfi, 327 ÙÂÙڿ‰ÚÔ ÔÚıÔÎÂÓÙÚÈÎfi, 330 ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ, 39 ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÛÙÚ‚Ïfi, 294 ÙÂÙÚ¿Ê˘ÏÏÔ, 286 ÙÔÌ‹ ¢ı›·˜ Î·È ÛÊ·›Ú·˜, 341 “ ÂȤ‰ˆÓ, 291 ÙfiÍÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜, 31 “ ¤Ï·ÛÛÔÓ Î‡ÎÏÔ˘, 31 “ ·ÎÏÔ˘, 31 “ Ì›˙ÔÓ Î‡ÎÏÔ˘, 31 “ ÌˉÂÓÈÎfi, 32 “ ÌÈ·˜ ÌÔ›Ú·˜, 35 ÙÚ·¤˙ÈÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜, 130 ÙÚ·¤˙ÈÔ, 130 ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ·, 66, 67 ÙÚÈÁˆÓÈÛÌfi˜, 244 ÙÚ›ÁˆÓÔ, 39 ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÚıÈÎfi, 154 Ùڛ‰ÚË ÁˆÓ›·, 319 ÙÚÈÛÔÚıÔÁÒÓÈ· Ùڛ‰ÚË ÁˆÓ›·, 320 ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÁˆÓ›·˜, 88 Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Euler, 345 “ ÙÔ˘ AÚ¯ÈÌ‹‰Ë ÁÈ· ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·, 272 “ ÙÔ˘ ◊ÚˆÓ·, 245
Y ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·, 44 ‡„Ô˜ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, 326 “ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, 332 “ ÎÒÓÔ˘, 335 “ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, 112 “ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ˘Ú·Ì›‰·˜ ηÓÔÓÈ΋˜, 327 “ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜, 317 “ ˘Ú·Ì›‰·˜, 326 “ ÙÚ·Â˙›Ô˘, 130 “ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 45
º ÊÔÚ¤·˜ ¢ı. ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 11
X ¯ÔÚ‰‹ ·ÎÏÔ˘, 30 “ ÛÊ·›Ú·˜, 340
∂YK§EI¢EIA °EøMETPIA
364
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2 2.1-2.2
AÓ ÙÔ ° ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ AB, ı· ‚Ú›Ù 1 1 1 °M = (°A – °B) ‹ (°B – °A) < (°A + °B) 2 2 2
A′ OMA¢A
2.3
1. 15 ¢ı›˜.
A′ OMA¢A
2. 10.
∧
1. °Ú¿„Ù Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜ ÙË ÁˆÓ›· ‰O˙ (‚Ï. Î·È ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1).
3. MN = MB + B° + °N Î.Ï. AB 2
2. °Ú¿„Ù ÙË ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô
A¢ 2
4. £· ‚Ú›Ù A° = + .
ÁˆÓÈÒÓ. 5 4
5. MA = 6 Î·È MB = 4.
3. ÔÚı‹˜.
6. OM = OA – AM Î.Ï.
∧
4. H ÁˆÓ›· „O„′ Â›Ó·È Â˘ı›·. ∧
5. AÓ∧ OE Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ BO°, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∧
B′ OMA¢A
AOE = EO¢.
Ó(Ó – 1) 1. ·) ¢ı. ÙÌ‹Ì·Ù·. 2 ‚) 2Ó ËÌÈ¢ı›˜.
B′ OMA¢A ∧
OB 2. °¢ = A° – A¢ = … = . 2 5 3. °M = °A + AM = °A + (°B – °M) Î.Ï. 7 4. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ BP, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ MB = PN.
1. ·) AÓ O‰ ∧ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ¯′O„′, ·Ô‰Â›Í∧ Ù fiÙÈ ¯O‰ = ‰O„.
‚) ∧
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
365
∧
∧
∧
∧
∧
5 7
∧
2. AOB = ¯OB + ¯OA = ¯OB + „OA = ∧ ∧ 5 ∧ = ¯OB + („OB – AOB) Î.Ï. 7
5. AÓ ÙÔ ° ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ AB, ÙfiÙ ı· ‚Ú›Ù 1 °M = (°A + °B). 2
∧
¯O„ + ¯′O„′ = … = 2¯O¯′.
∧
∧
∧
3. AO° + BO¢ = 2¯O„ = ¢ı›· ÁˆÓ›·.
365
A¶ANTH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
2.4
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
A′ OMA¢A
3.1 1. IÛ¯‡ÂÈ KA = KB = K° = K¢.
)
1
A′ OMA¢A
)
2. MN = AB
)
2
1. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ B¢ Î·È °E (‹ ‰È·Ì¤-
∧
3. AB° = 180Æ Î·È AK¢ = 150Æ.
ÛÔ˘˜), ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Aµ¢ Î·È A°E Â›Ó·È ›Û·.
4. 90Æ.
2. ™Â ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ʤÚÔ˘Ì ٷ
5. 70Æ.
‡„Ë (‹ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ‹ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜) AK, ¢M Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ABK, ¢EM.
6. 36Æ, 72Æ, 108Æ, 144Æ.
3. ·) AÓ ¢, E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ B°,
B′ OMA¢A
)
) )
)
) )
1 2
) )
‚)
1. MN = ¢M – ¢N = ( ¢B – ¢°) Î.Ï.
)
1 2
)
1 2
) )
1 2
)
2. MN = ( AB + BN) –AM = AB + ( AB + B¢) – A° Î.Ï.
)
) )
3. AÓ § Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ BP, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ MB = PN. 4. K¿ı ›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ Ì ÙÔ ÙfiÍÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‚·›ÓÂÈ.
°A, AB Î·È AB = A°, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· B¢Z, °¢E Â›Ó·È ›Û·. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
4. T· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∞°∂ Â›Ó·È ›Û·. 5. ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· OAM Î·È OBM Â›Ó·È ›Û·. ‚)
i) T· ÙÚ›ÁˆÓ· OA° Î·È OB¢ Â›Ó·È ›Û·. ii) ¢È·ÊÔÚ¤˜ ›ÛˆÓ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. iii) T· ÙÚ›ÁˆÓ· MA¢ Î·È MB° Â›Ó·È ›Û·.
6. ™‡ÁÎÚÈÛË ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
7. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù˘
A° A° 1. ·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ EZ = Î·È £H = . 2 2 ‚) AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ £Z, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ EM = MH.
›Û· ÙfiÍ·. ∧
∧
∧ ¯O„ + ¯O˙ ¯O‰ = . 2 ∧ AÓ Ë O„ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ¯O˙, ÙfiÙ ∧
¯O˙ – ¯O„ ¯O‰ = . 2 ∧
O°¢ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
10. E›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ Ô˘ ‚·›ÓÔ˘Ó ÛÂ
4. AÓ Ë O„ Â›Ó·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ¯O˙, ÙfiÙÂ
∧
8. T· ÙÚ›ÁˆÓ· OA° Î·È OB¢ Â›Ó·È ›Û·. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ 9. TÔ Ì¤ÛÔ M Ù˘ OA Â›Ó·È Î·È Ì¤ÛÔ Ù˘ B°.
Ó(Ó – 1) 2 Ó(Ó – 1) 3. ÛËÌ›·. 2
2. ¯ÔÚ‰¤˜.
∧
ÌÂÛÔοıÂÙ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
11. BÏ¤Â Î·È ¿ÛÎËÛË 8. ∧
∧
12. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ° = Z. 13. ·) ¢E = B°.
∧
∧
‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ A P¢ = AMB. Á) AÏËı‡ÂÈ.
14. OÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ. 15. £· οÓÂÙÂ Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. B′ OMA¢A
1. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë AO Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ∧ BA°.
366
366
Y¶O¢EI•EI™ 2. AÓ M, P Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ B°, ¢E ı· ·Ô‰Â›ÍÂ∧ ∧ Ù ÙÂÏÈο fiÙÈ AM = AP Î·È B AM = ¢ AP. ∧
∧
3. ·) AÓ B° = EZ, ÙfiÙ ° = Z. AÓ B° > EZ, ıˆڋ-
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
2. Œ¯Ô˘Ó Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. 3. AÓ ¢ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ A ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË B°, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, ¢B° Â›Ó·È ›Û·.
ÛÙ ÛÙË B° ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BH = EZ ∧ ∧ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ ÙÂÏÈο fiÙÈ ° + Z = 180Æ. ‚)
∧
AÔÎÏ›ÂÙ·È Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ° + Z = 180Æ, ÔfiÙ ∧ ∧ ° = Z.
4. ·) TÚ›Á. AB£ = ÙÚ›Á. ¢EN ηÈ
A′ OMA¢A
1. AÓ ¢ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ AB, ÙfiÙ ¢B < ¢°.
ÙÚ›Á. AK£ = ÙÚ›Á. ¢PN. ‚)
3.4
∧
∧
5. £· οÓÂÙ ‰‡Ô Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ∧ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ∧
3. ·) N· ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÁÈ· ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ∧ ∧
ÁˆÓÈÒÓ B, ° Î·È ı· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ˘· ≤ ‚ Î·È ˘· ≤ Á.
·’ fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ AB = A′B′ Î·È B = B′.
6. ·) TÚ›Á. AB° = ÙÚ›Á. AE¢. ‚)
‚)
N· ʤÚÂÙ ÙË MA Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∧ ∧ BMA = EMA.
7. ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢, B°E Î·È A°Z Â›Ó·È ›Û·. ‚)
∧
2. IÛ¯‡ÂÈ ¢ °B < ¢ B°.
TÚ›Á. ABH = ÙÚ›Á. ¢EM.
T· ÙÚ›ÁˆÓ· AKZ, B¢H Î·È °£E Â›Ó·È ›Û·.
8. N· ʤÚÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙÔ A Î·È Ó· οÓÂÙÂ Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
9. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ A¢ Î·È B°, ∧
·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë OM Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙˆÓ ¯O„ ∧ Î·È EOZ.
10. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ›Û˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ AM, ¢P ηٿ ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Î¿ÓÔ˘ÌÂ Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
11. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È Ë AM Â›Ó·È ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A.
EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ·) Î·È ÁÈ· Ù’ ¿ÏÏ· ‡„Ë.
4. ·) AÓ A¢ = ˘·, ÙfiÙ ˘· > Á – B¢ Î·È ˘· > ‚ – ¢°. ‚)
EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ·) Î·È ÁÈ· Ù’ ¿ÏÏ· ‡„Ë.
5. AÓ O ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ, ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· OAB Î·È O°¢.
6. ¢E < BE < B°. 7. IÛ¯‡ÂÈ OA > O°. 8. B° < AB + A° Î.Ï. ∧
∧
∧
∧
9. B > B A¢ Î·È ° > °A¢ (A¢ = Ì·). ∧
∧
10. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ¢ A° = ¢ °A. 11. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 6. 12. OÌÔ›ˆ˜ Ì ÙËÓ 11.
12. N· ʤÚÂÙ ٷ ·ÔÛÙ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰ÒÓ.
B′ OMA¢A
13. Ÿˆ˜ Ë 12.
1. ¢E < ¢B, ¢Z < ¢° Î·È ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢EZ.
3.2
2. º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ∧ ∧ ∧ ∧
A°, ¢ A° < A °¢, B A° < B °A Î.Ï.
A′ OMA¢A
1. O ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B° Î·È ·ÎÙ›Ó· Ï. 2. O ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ B Î·È ·ÎÙ›Ó· AB.
3.3.
‚+Á–· 2
1. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ BA Î·È °A ηٿ ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·. ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
367
¤¯Ô˘ÌÂ
‚+Á+· 2
3. Aԉ›ÍÙ ÚÒÙ· fiÙÈ < AE < . 4. ·) AÓ Ù· A, B Â›Ó·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Â, Ùfi-
‚)
A′ OMA¢A
ÔfiÙÂ
Ù ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ AB Ì ÙËÓ Â. AÓ Ù· A, B Â›Ó·È Âη٤ڈıÂÓ Ù˘ Â Î·È B′ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ B ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙfiÙ ÙÔ M Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ AB′ Ì ÙËÓ Â.
5. ·) ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ A¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ
367
A¶ANTH™EI™ ÙÌ‹Ì· ¢E = A¢. ∧
∧
B′ OMA¢A ∧
BA¢ = ° E¢ > ° A¢. ‚+Á Á) Ì· < Î.Ï. 2
‚)
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3
∧
∧
∧
1. BMK = KMA = AM°. 2. ¢È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ M ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ K.
6. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Û η-
3. H οıÂÙË ÛÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ A.
Ù¿ÏÏËÏ· ÙÚ›ÁˆÓ·.
3.6
7. AÓ H, £, I Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ¢E, EZ, Z¢ Ì ÙȘ B°, °A, AB ÙfiÙ ¢H = ¢E + EH < ¢I + IB + BH Î.Ï.
8. ™ÙËÓ A° ıˆڋÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô E Ì AE = AB,
1. N· ʤÚÂÙ ÙËÓ KM⊥Â. 2. O° + °¢ + ¢K ≥ OK.
ÔfiÙÂ ¢B = ¢E Î.Ï.
9. ·) ™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A° ıˆڋÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô P Ì ‚)
A′ OMA¢A
AP = AB. ™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ °A ıˆڋÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô P Ì AP = AB.
10. º¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ B¢ Î·È ıˆÚԇ̠ÙÔ Ì¤ÛÔ
3. MB = MA = M°. B′ OMA¢A
1. H ÌÂÛÔοıÂÙË Ù˘ ‰È·Î¤ÓÙÚÔ˘ OK ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.
M Ù˘ B°.
11. Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ° Ù˘ MB Ì ÙËÓ O˙ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ O¯.
12. AÓ ÙÔ M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ·ÎÌ‹˜ Â, ÛÙÔ
2. ™ËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ (A, ·) Î·È (B, ‚). N· ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Û˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ ÙË ‰È¿ÎÂÓÙÚÔ AB Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ.
ÔÔ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ A, ÙfiÙÂ MA < MB.
3.7
13. ·) ™Â ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ‚)
Â›Ó·È ………… . µE + °¢ > AB + A°, ¢E < ¢A + AE Î.Ï
A′ OMA¢A
14. TÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MO°.
1. MÂÚÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÓˆÛÙ‹˜ ηٷÛ΢‹˜.
15. ·) TÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°.
2. x = 2, 3, 4, … .
) )
‚) A° < B°
3. £· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÚÒÙ· Ì·È ÔÚı‹ ÁˆÓ›·.
16. AÓ A′ Î·È B′ Â›Ó·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ A Î·È B ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ O¯ Î·È O„ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙfiÙ ٷ M Î·È N Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ Ù˘ A′B′ Ì ÙȘ O¯ Î·È O„.
17. ÃÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙÂ Î·È ÙËÓ ÂÊ·ÚÓÔÁ‹ 3.
3.5
B′ OMA¢A
1. TÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· KA Î·È ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ AB.
2. ™ÙÔ AB ıˆÚԇ̠¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· A¢ = · Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ ° ÙÔ˘ B¢. TfiÙ A° – B° = ·. ∧
3. KÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ ¯O„ Î·È ÙÔ˘ ·-
A′ OMA¢A
ÎÏÔ˘ (A, ·).
1. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ °AB Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. 2. H ·ÎÙ›Ó· KM Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈ-
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
ÁÒÓÔ˘.
1. N· ʤÚÂÙ ÙËÓ OM∧Î·È ÌÂ∧Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
3. AB < AK. 4. √È ∫°, ∫¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÂÊÂÍ‹˜ ·Ú·ÏËڈ̷-
ı· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EOM = ZOM.
∧
2. H Â Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ÁˆÓ›·˜ A (‚Ï.
ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ.
368
368
Y¶O¢EI•EI™ ¿ÛÎËÛË 9, B′ ÔÌ·‰·˜ ¨ 3.4)
B′ OMA¢A
3. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 6 Ù˘ ¨ 3.4. ‚)
∧
∧
IÛ¯‡ÂÈ Î·È AO° > 2AO¢.
∧
2. ·) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ A°¢ = B °E.
5. ·) XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ·: «A¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÁˆÓ›· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜». ‚)
1. Afi ÙÔ ° Ó· ʤÚÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ A¯ Î·È B„.
4. ·) Aԉ›ÍÙ ÚÒÙ· fiÙÈ A° < B°. ∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
MÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ¯ÔÚ‰‹ Â›Ó·È Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A, ÂÓÒ ÌÈÎÚfiÙÂÚË Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·fiÛÙËÌ· ÙÔ OA. ∧
‚)
∧
¢ °E = 90Æ.
3. AÓ B„ Î·È °¯ Â›Ó·È ÔÈ ‰‡Ô ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ, ÙfiÙ ∧ ∧ ∧ ∧ ° ° B„ + B °¯ < 180Æ. E›Û˘, B°¢ = 90Æ + > 90Æ 2 ∧
∧
4. OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ .¯. ÙˆÓ B Î·È ° Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙË B° ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ.
∧
6. N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÚÒÙ· ÁˆÓ›· ¯ B„ = °.
5. ·) OÈ ‰‡Ô ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ, ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙË °¢, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÂÓÙfi˜, ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4
YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙË ÁˆÓ›· ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ·fi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
6. OÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ A Î·È B
A′ OMA¢A ∧
∧
1. IÛ¯‡ÂÈ B = ¢. 2. OÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ABE Î·È A°¢ Â›Ó·È 30Æ, 40Æ Î·È 110Æ, ÂÓÒ ÙÔ˘ A¢E Â›Ó·È 40Æ, 70Æ Î·È 70Æ.
3. ·) ¢ÂοÁˆÓÔ. ‚)
‚)
Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÙËÓ AB ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· ∧ ∧ A+B 180Æ – . 2 ∧ ∧ ∧ A ∧ 7. AÓ A¢ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A, ÙfiÙ A ¢B = + ° 2 Î.Ï.
8. ™ÙÔ Û¯‹Ì· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Î·È ∧ ∧
OÎÙ¿ÁˆÓÔ.
ÈÛ¯‡ÂÈ B ¢° = 2A. TÂÏÈο ı· ‚Ú›Ù A = 36Æ Î·È ∧ ∧ B = ° = 72Æ.
4. Ó = 20. 5. ·) ™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜. ‚)
M·˙› Ì ÙËÓ Ù¤ÌÓÔ˘Û· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.
6. OÈ ‰‡Ô ∧ÁˆÓ›Â˜, ÛÙȘ Ôԛ˜∧‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ ∧ ÁˆÓ›· A, Â›Ó·È ›Û˜ Ì ÙȘ B Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∧
∧
∧
∧
ÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È¯ÔÙfïÓ). ∧
10. A ¢° = B + B A¢ Î.Ï. ∧
∧
B–° 11. ¢B° = = 25Æ. 2 ∧ ∧ A 12. B ¢° = 90Æ + . 2 ∧
∧
∧
10. K¿ı ÁˆÓ›· ΢ÚÙÔ‡ Ó-ÁÒÓÔ˘ ÌÂ Ó ≥ 4 Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘.
∧
9. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ B¢ = ¢M Î·È °E = ME (M ÙÔ ÛË-
∧
‚)
°Z, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ¤¯ÂÈ ÁˆÓ›Â˜
∧
8. ¢ AE = B AE – B A¢ Î.Ï.
∧
∧
11. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢ Î·È Ù· ‡„Ë BE ηÈ
7. A ¢B = ¢A¯ Î.Ï.
∧
∧
° 2 £ÂˆÚ‹ÛÙ ÛÙË B° ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BH = BE. ∧
9. ·) BE° = A ¢B = 60Æ + .
∧
∧ A A 90Æ – , 90Æ – Î·È A. 2 2 ∧ ∧ ∧ ∧ B 12. AÓ AZ⊥BE, ÙfiÙ Z AE = Î·È B = ¢ A°. 2 13. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ M ·fi ÙË °¢ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· MA ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. £ÂˆÚ‹ÛÙÂ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ˙ Î·È M°. ∧
∧
14. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ K ¢° + K °¢ = 90Æ. 15. AÓ K Î·È § Â›Ó·È Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ,
∧
13. B < B AM Î·È ° < °AM (M ̤ÛÔ Ù˘ B°).
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
369
·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ KB // §°.
369
A¶ANTH™EI™ 16. TÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ‰ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ AB Î·È ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙÔ˘ A° (° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰ Î·È Â).
∧
B′ OMA¢A
Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ OE⊥¢E.
∧
∧
∧
∧
∧ ° B 2. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ B°N = Î·È B °M = . 2 2 ∧
1. ·) AO¢ > AE¢ > A ¢E. ‚)
∧
8. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ O + K = 180Æ.
1. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ A°E¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ ∧
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
OB < O¢ + B¢, O° < OE + °E. E›Û˘, ¢E < AE.
3. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AE°Z Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ. ∧
∧
2. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ BE⊥AE, °Z⊥AZ Î·È E AZ = 180Æ.
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ E °Z = 180Æ.
3. ·) ™ÙË ¢° ıˆÚԇ̠¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
5. AÓ AB = °¢ Î·È A = °, ·ÊÔ‡ ʤÚÂÙ ÙȘ BE⊥A¢
‚)
∧
¢E = ¢B. ™ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ °¢ ıˆÚԇ̠¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢E = ¢B.
∧
∧
Î·È ¢Z⊥B°, ı· ·Ô‰Â›ÍÂÙ ÙÂÏÈο fiÙÈ A¢ = B°.
6. TÔ EZH£ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜. TÔ A£°Z Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
∧
4. O Z° = O ¢° = °O¢. ∧
5. ·) H οıÂÙË ·fi ÙÔ A ÛÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ Ù˘ ¯O„. ‚)
∧
BϤ ÂÚÒÙËÛË 11 «™Î¤„Ô˘ Î·È ·¿ÓÙËÛ».
7. ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· B¢Z Î·È °¢E Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌ· (‚Ï. ¨3.7). ‚)
6. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ K§M Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ §M ÛÙËÓ Â. Afi ÙÔ A ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰ // K§, ÂÓÒ ·fi ÙÔ B ÙËÓ ˙ // KM. Y¿Ú¯ÂÈ Î·È ‰Â‡ÙÂÚË Ï‡ÛË (‰ // KM Î·È ˙ // K§).
7. ∞Ó ª Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ¢∂ Î·È ∞°, ÙfiÙ ª° = ¢ª = ∞¢.
N· ʤÚÂÙ ÙȘ BH // ¢E Î·È ¢£ // A° (∏∈A° Î·È £∈BH) Î·È ÙÂÏÈο ı· ‚Ú›Ù ¢E + ¢Z = BH.
8. N· ʤÚÂÙ ÙȘ∧ ZH //∧=AB, Z£ //=°¢ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ H ZE = £ ZE.
9. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ BZ < ¢Z Î·È ¢E < °E. 10. £ÂˆÚ‹ÛÙ ٷ ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ O¢ Î·È OE Ì ÙȘ B° Î·È A° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
5.2.
5.1.
A′ OMA¢A
A′ OMA¢A
1. AϤ˜ ηٷÛ΢¤˜.
1. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ AE°Z Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
2. Œ¯ÂÈ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜.
2. ·) Œ¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.
3. ·) Œ¯ÂÈ ÙÚÂȘ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜. ‚)
3. AZ //=B° Î·È AH //=B°.
∧
∧
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ¢A° = A ¢E.
4. ·) ™¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜.
4. 15Æ, 15Æ Î·È 150Æ.
5. ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· BE° Î·È B°Z Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹ (Z ∧
5. Œ¯ÂÈ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜.
ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ B Ì ÙË °¢).
‚)
∧
7. IÛ¯‡ÂÈ A° //=B¢. N· ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ.
370
370
∧
7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ EZ //=£H Î·È E£⊥EZ. ∧
∧
8. A ¢E = BAZ.
ÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·.
∧
= 75Æ + 60Æ + 45Æ = 180Æ.
∧
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë AZ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ÁˆÓ›· A.
6. T· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ AB¢E Î·È A°¢Z Â›Ó·È ·Ú·Ï-
∧
6. ¢ EZ = ¢ EA + A EB + B EZ =
∧
∧
9. ° ¢Z = A ¢E.
Y¶O¢EI•EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5
B′ OMA¢A
8. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Ì¤ÛÔ Z ÙÔ˘ °E.
1. E›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜.
9. H ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È
2. Œ¯ÂÈ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜.
‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ οıÂÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AN ÚÔ˜ ÙËÓ Â.
3. EÚÁ·ÛÙ›Ù fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2.
10. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ BA¢ = °AM (A¢⊥B°, M ̤ÛÔ Ù˘
4. E›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ (‚Ï. 5. AÚΛ ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ·˘ÙÔ‡ Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· Î·È ∧
6. Aԉ›ÍÙ .¯. fiÙÈ EB = BZ Î·È E BZ = 180Æ.
AÓ £ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ BZ Î·È °¢, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ £B = £°.
8. ·) OE = OZ = OH = O£ (O ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ AB°¢). XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1 ÙˆÓ ¨ 5.1 Î·È 5.2 ∧
Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
∧
‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. B′ OMA¢A
7. ·) AE = ∞H Î·È ME = MH.
∧
B°).
12. T· ̤۷ ‰‡Ô ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ÚÒÓ Î·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ
Ó· ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.
‚)
∧
10. EÚÁ·ÛÙ›Ù fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3 Ù˘ ¨ 5.2. 11. OÈ ‰È·ÁÒÓÈÔ› ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È.
2. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∧
∧
·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ¢H = °Z. H ¢ı›· AH Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ¢Z ÛÙÔ K Î·È ÙË °¢ ÛÙÔ £ Î.Ï.
°E 2
BH 2
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ KM //= , §M //= , °E = BH Î·È °E⊥BH. AB 2
∧
∧
5. M¢ = ME = Î·È BM¢ + AME = 90Æ.
12. ™ÙË ¢E ıˆڋÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô H Ì EH = AE ηÈ
6. AÓ M Î·È N Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ B° Î·È AZ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ M¢ = ME Î·È N¢ = NE. A° 2
AB 2
7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ AE = Î·È A¢ = .
5.3.
8. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Ì¤ÛÔ M Ù˘ B° Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ
A′ OMA¢A
1. OÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
2. YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙË ÁˆÓ›· ·fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
B° AM = . 2 9. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Ì¤ÛÔ H ÙÔ˘ B¢ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ B¢ EH = . 2
10. E›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÎÚ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ
3. ·) Œ¯ÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.
∞µ, ∞°.
OÈ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.
4. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙÂ Î·È ÙËÓ ¿ÛÎËÛË 3. 5. H °E ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ BH Î.Ï. ∧
∧
1. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ EHµ + B£Z = 90Æ.
3. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ M A° + E ZA = 90Æ.
∧
9. ¢ Z° = ¢ °Z Î·È BE¢ = EB¢.
‚)
∧
11. AÓ Ë BE Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ Z, ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ABZ
ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2).
‚)
∧
∧
6. E ¢A = B A¢ Î.Ï. E›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ fiÙ·Ó Î·È ÙÔ AB° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
11. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ BE // HZ Î·È BE = HZ. 12. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ABK§ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Î.Ï.
13. ·) AB = AZ Î·È AE = AH. ‚)
7. N· ʤÚÂÙÂ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM ÙÔ˘ AB°. ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
371
TÔ H Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ °Z. ∧
∧
∧
∧
14. πÛ¯‡ÂÈ µ ∂∑ = ∞ Î·È µ ∂¢ = 180Æ–2 µ.
371
A¶ANTH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 ∧
∧
ÁÓˆÛÙ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ B A¯ = ˆ Î·È AB„ = Ê. ™Â ·fiÛÙ·ÛË ˘ ·fi ÙËÓ AB ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó.
5.4. A′ OMA¢A
1. AB = °¢ + 2¢E.
5.5
2. AB < OA + OB (O ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ) Î.Ï. 3. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘.
1. £· οÓÂÙ ۇÁÎÚÈÛË ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
4. K·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÌË ·Ú¿ÏÏËϘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÛfi ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ AB°.
5. ·) AÓ E, Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ AB, °¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢Z Î·È B°Z Â›Ó·È ›Û·, ÂÓÒ ÙÔ ZAB Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ‚)
∞′ √ª∞¢∞
EÊ·ÚÌfiÛÙÂ ÙÔ (·).
2. ‚) OÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ (E, Z ̤۷ ÙˆÓ AB, A°) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ ÛÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÔ˘ AB°.
3. OÈ ‰‡Ô οıÂÙ˜ Î·È Ë A° Â›Ó·È ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ABE.
4. TÔ ÛËÌÂ›Ô Z Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
6. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2. 7. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. ∧
8. H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A Ù¤ÌÓÂÈ ÙË °¢ ∧ÛÙÔ E. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë BE Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ B.
9. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ
A¢°.
5. ‚) TÔ ÛËÌÂ›Ô H Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A°E. ∧
∧
A +B 2
6. K¿ı ÁˆÓ›· Â›Ó·È ›ÛË Ì . 7. TÔ I Â›Ó·È ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ.
·fi ÙË ‰È¿ÌÂÛfi ÙÔ˘.
8. Ú = Ù – · (‚Ï. ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1). 10. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ MN ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. µ′ √ª∞¢∞ B′ OMA¢A
1. E›Ó·È ÔÈ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ABM.
1. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B°, Ó· ʤÚÂÙ ÙË MZ⊥Â.
2. OÈ A°, ZB, E¢ Â›Ó·È ÔÈ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈ-
2. N· ʤÚÂÙÂ Î·È ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A°.
ÁÒÓÔ˘ AEZ.
3. Œ¯Ô˘Ó Ï¢ڤ˜ ‰ÈÏ¿ÛȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈ-
3. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ EH ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘, ÔfiÙ EZ = ¢H Î.Ï. ∧
4. H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ A Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ E Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¢° ÛÙÔ Z. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ A¢ = ¢Z, AB = °Z Î·È AE = EZ.
5. N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÚÒÙ· ÙË ÌÂÁ¿ÏË ‚¿ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û’ ·˘Ù‹Ó ÁˆÓ›Â˜.
6. H ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ O ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·fi ÙË A¢ B° Â›Ó·È ›ÛË Ì . 2
ÁÒÓÔ˘ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙȘ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ˘ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ AB°.
4. OÈ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AEZ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌ›Ô.
5. N· ʤÚÂÙÂ Î·È ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A°. EÓÙÔ›ÛÙ ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î.Ï.
6. AÓ A¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È K ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ∧ ∧ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ A ¢B < A ¢° Î·È KB < K°.
7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ AB = BH.
7. TÔ ·fiÛÙËÌ· OK Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ EZ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘.
8. K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙË ÁÓˆÛÙ‹ ‚¿ÛË AB Î·È ÙȘ
372
372
8. ™ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ A¢ (ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ K) ıˆڋÛÙÂ Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ E ÙÔ˘ AK. N· ÚÔ‚¿ÏÂÙÂ Î·È Ù· ÛËÌ›· ¢, E ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.
Y¶O¢EI•EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
9. A¢, MH Â›Ó·È ‰‡Ô ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ABM. AÚΛ
12. ·) H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ B ÚÔ˜ ÙËÓ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ
Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ AM⊥EZ (‚Ï. ¿ÛÎËÛË 3 B′ ÔÌ¿‰·˜ ¨ 5.3).
ÙË °¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BE° Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ B ÚÔ˜ ÙËÓ A° Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· °¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô E. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ B¢E Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
‚) °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ¤¯ÂÈ∧›Û˜∧ ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜
B¢ Î·È °E. YÔı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÙÈ B > °, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ °¢ > BE. K·Ù·Û΢¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ B¢ZE, ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ °EZ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢°Z ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ < ¢Z = BE, ¿ÙÔÔ.
13. N· ÚÔÂÎÙ›ÓÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ A° ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °K = B°.
14. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1 Ù˘ ¨ 5.5.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
2. AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ A¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢H = K¢. EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÛÙËÙ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BKH ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ |Ì‚ – ÌÁ| < Ì· < Ì‚ + ÌÁ.
3. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ BK⊥°¢ Î·È °§⊥BZ, Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›· A£ ÛÙ· ÛËÌ›· M Î·È M′ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. MÂ Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ AM = B° Î·È AM′ = B°. ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ MB° ÔÈ A£, BZ, °¢ Â›Ó·È ÔÈ ÊÔÚ›˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ ÙÔ˘.
4. TÔ ¢ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ AB Î·È B°, ÂÓÒ ÙÔ E ·fi ÙȘ A° Î·È B°. H ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ M ·fi ÙË B° Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘. ∧
5. AÓ AE = ˘· Î·È A¢ = ‰·, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ A ¢E = 30Æ. 6. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ¢Z ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A¢M Î·È ∧ Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ A Z¢ = 30Æ.
6.1 A′ OMA¢A ∧
∧
∧
∧
1. ·) ¯ = 88Æ, „ = 136Æ ‚) Á)
∧
¯ = 65Æ, „ = 25Æ, ˆ = 30Æ
∧
∧
¯ = 110Æ, „ = 70Æ
∧
∧
∧
∧
∧
‰) ¯ = 15Æ, „ = 32Æ, Ê = 75Æ, ı = 35Æ, ˆ = 23Æ, ∧ Ú = 73Æ ∧
¯ = 30Æ
Â)
∧
ÛÙ) ¯ = 45Æ. ∧
∧
∧
∧
2. A = ° = 110Æ Î·È B = ¢ = 70Æ. ∧
3. AÓ∧ A‰ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ¢ AE, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ∧ B A¢ = ° AE
7. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙȘ ÚÔ‚ÔϤ˜ K, §, P, N ÙˆÓ A, ¢, M, Z ÛÙË B° Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ P Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Ù˘ B° B° Î·È MP = . 2 8. N· ʤÚÂÙ ٷ ·ÔÛÙ‹Ì·Ù· ÙˆÓ B° Î·È EZ. £· ‚Ú›Ù EZ = 2· + ‚ – 2Á.
9. N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ̤۷ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ °¢E Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∧ ∧ E AB = E BA = 15Æ.
∧
A 2
∧
∧
B 2
∧
∧
∧
° 2
4. ¢ = 90Æ – , E = 90Æ – Î·È Z = 90Æ – . ∧
∧
∧
∧
5. A B° = 90Æ Î·È A B¢ = 90Æ. 6. A °¢ = 120Æ Î·È ¢ = 30Æ. ∧
7. K MA = 90Æ. 8. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3. 9. ™¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
10. Afi ÙÔ A Ó· ʤÚÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ O˙, ÔfiÙ ̷˙› Ì ÙȘ O¯, O„ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2 Ù˘ ¨ 5.2.
11. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Ì¤ÛÔ M Ù˘ EZ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ EZ ¢M = Î·È ¢M = B¢. 2
B′ OMA¢A
1. ·) °¢ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ‚)
A¢BH ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
B¢ Á) OM = . 2
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
373
373
A¶ANTH™EI™ 2. N· ʤÚÂÙ ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ÛÙÔ ∞.
) )
3. ·) A° = B¢ ‚)
∧
° A¢ = 90Æ.
4. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙȘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ 1 Î·È 2. 5. ™ÙË MA ıˆڋÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ì M¢ = MB. ∧
∧
6. AEB = ABE.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6
4. AÓ M Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¢, E, Z ÔÈ ÚÔ‚ÔϤ˜ ÙÔ˘ M ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ B°, °A, AB ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÂÁÁÚ¿„ÈÌˆÓ ÙÂ∧ ÙڷχڈÓ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ¢ EZ = 180Æ. AÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó Ù· ¢, E, Z ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
5. T· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÚ›˙Ô˘Ó Â˘ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Simson.
7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ EM⊥B° Î·È EN⊥A¢. 8. IÛ¯‡ÂÈ AM⊥B°. AÓ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ M Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ ¢, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ¢° = ¢M.
9. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Î·È ¤ÛÙˆ E ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ¢A ∧ ∧ Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (O, Ú). Aԉ›ÍÙ fiÙÈ B AE = ° AB.
6. T· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ·Ó¿ ‰‡Ô ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘. ∧
∧
∧
7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ¢ Z° = E£H = 2E B°. 8. T· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ AZ°E, AE¢H Î·È A°¢B Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌ·.
10. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÔÈ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó
6.3
›Û˜ ·ÎÙ›Ó˜. A′ OMA¢A
6.2
1. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢M Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
A′ OMA¢A
2. TÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ ∧
1. OÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.
2. AÓ ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È, ı· Â›Ó·È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÔfiÙÂ Î·È ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∧
∧
3. ° + E = 180Æ . ∂›Ó·È °¢ = EZ fiÙ·Ó °E // ¢Z. ∧
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ° ¢E Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ë B° Ì ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ °. ∧
∧
5. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ B = ZHA. 6. OÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ∧
∧
7. I BK = I °K = 90Æ. K¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ IK.
‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘ ¯O„ Î·È Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙËÓ O¯.
3. ‚) AÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ B° Î·È ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ B¢ Î·È °E, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ KB° Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ, fiÔ˘ K ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
4. ¢‡Ô χÛÂȘ: ·) H ¢ı›· Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ A Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B°. ‚) H ¢ı›· Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ A Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B°.
5. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ABM Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. 6. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È Ù˘ ÁÓˆÛÙ‹˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
7. H ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.
B′ OMA¢A
1. OÈ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.
B′ OMA¢A
2. ¢Â›Ù ÙȘ ·Û΋ÛÂȘ 4 A′ ÔÌ¿‰·˜ ¨ 5.4 Î·È 1 A′ ÔÌ·-
1. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ K°⊥OA Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ O°K ›ӷÈ
‰·˜ ¨ 6.2.
ηٷÛ΢¿ÛÈÌÔ
3. ¢Â›Ù ÙËÓ ¿ÛÎËÛË 4 Ù˘ A′ ÔÌ¿‰·˜.
374
374
2. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ EZ⊥B° Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BEZ ›ӷÈ
Y¶O¢EI•EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
ÓˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·fi Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
ηٷÛ΢¿ÛÈÌÔ.
3. AÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· AB + B° Î·È ÙȘ Áˆ∧ ∧ ӛ˜ A, B, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ AB ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· B¢ = B°. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A°¢ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
4. TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ÙˆÓ AB, A°.
∧
5. O AK = 90Æ (ÁˆÓ›· ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÂÊÂÍ‹˜ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ). ∧
∧
6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ° = B A¢. 7. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ¢K = ¢B = ¢°.
5. O ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ·ÎÙ›Ó· ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì · (· Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘).
6. AÓ K Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ K¢⊥B°, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ K¢° Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
7. AÓ £ Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ A¢ ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¢H = ¢£. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ B£H Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
8. AÓ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ Ù· ‡„Ë A¢ Î·È BE (AB = A°), ʤÚÔ˘Ì ÙË ¢Z⊥A° Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢Z Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ.
9. O ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
8. AÓ I Â›Ó·È ÙÔ ¤ÁÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ¢ IA Î·È ¢ IB Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜.
9. N· ÚÔÂÎÙ›ÓÂÙ ÙËÓ A° ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °E = B° Î·È Ó· ıˆڋÛÂÙ ÙÔÓ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ABE.
10. AÓ P Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ AI Î·È ¢E, ·Ô∧ ‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ B PA = 90Æ.
11. ·) £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ M ÙˆÓ BB′, °°′ Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÁÁÚ¿„ÈÌˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ ∧ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ A MA′ = 180Æ. E›Û˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ¿ÛÎËÛË 5, B′ ÔÌ¿‰·˜, ¨ 6.1. ‚)
TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ APN Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
Á) E›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ, fiÙ·Ó Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· BB′. TÔ ÛËÌÂ›Ô P Â›Ó·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙˆÓ AA′, BB′ Î·È °°′.
10. E›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ (K, Ï), fiÔ˘ Ï Ë ÌÈ· οıÂÙË
12. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ª (ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ¢) ÙˆÓ
ÏÂ˘Ú¿ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· R · Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ . 2
ÂÚÈÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞¢∑ Î·È µ¢∂. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ °∂ª∑ Â›Ó·È ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ.
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
1. ·) O ·ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ B° ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7
Î·È ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ÙË MA⊥OK (M ̤ÛÔ Ù˘ B°). ‚)
O ·ÎÏÔ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ OK ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ M Î·È ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ÙË MN⊥B° (N ̤ÛÔ Ù˘ OK).
7.1-7.2
2. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ Î·È H ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ
A′ OMA¢A
ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ £ Ù˘ OH Ì ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ A£ = 2£M.
1. ·) 2.
3. £ÂˆÚԇ̠ٷ ‡„Ë A¢, BE Î·È °Z, ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ H, Ù· ̤۷ K, §, M ÙˆÓ B°, °A, AB Î·È Ù· ̤۷ N, ™, T ÙˆÓ HA, HB, H°. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ M§T™ Î·È MNTK Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·.
4. ·) XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜. ‚)
XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÊ·ÙÔ̤-
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
375
‚)
3.
2 Á) . 3 16 20 3 3 9 14 ‚) ¯ = , „ = . 2 3 15 Á) ¯ = , „ = 4. 2
2. ·) ¯ = , „ = .
375
A¶ANTH™EI™ 3. N· ʤÚÂÙ ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ BM Î·È ¢M ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB° Î·È A¢°.
4. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· £·Ï‹ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 ·‚
·‚
‚+Á
·+Á
3. °¢ = , °E = Î.Ï.
5. ™Â ËÌÈ¢ı›· A¯ ıˆڋÛÙ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· A° = 2, °¢ = 3 Î·È ¢E = 5 Î.Ï. OB
·
·2
O°
·+‚
· +‚
AB
BM
A¢
ME
A¢
AE
¢B
E°
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = . BE
AZ
5. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = . T· E, Z Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó E¢ Z° ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÚfiÌ‚Ô˜.
6. = Î·È OE = .
6. H ¢E Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
7. = Î.Ï. O¢
OZ
OA
O°
B¢°, ÂÓÒ Ë ¢Z Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ AB¢.
8. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ = .
A°
°B
3 2
7. °ÓˆÛÙ‹ ηٷÛ΢‹ = > 1 . B¢ BA
B′ OMA¢A
°¢ °A
· ‚+Á
8. = = < 1. OA OZ
O¢ OB
EZ AE
AE EH
1. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ = . B′ OMA¢A
2. N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ = .
·‚ 2‚ – ·
1. AÓ A° > °B, ÙfiÙÂ A¢ = . AÓ A° < °B, ÙfiÙÂ
3. ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì AB Z° A¢ °E = Î·È = . AE ZE AZ ZE AE BE
·‚ A¢ = . · – 2‚ B° B¢
AZ °Z
B¢ ¢E
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = .
2. ‚) Aԉ›ÍÙ fiÙÈ B¢ = E° Î·È = .
5. H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ E ÚÔ˜ ÙËÓ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ
3. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ ÙˆÓ A Î·È ° Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ∧
∧
¢ı›· A° ÛÙÔ Z. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ OZ OB BZ // °¢, ‰ËÏ·‰‹ = . O° O¢
∧
ÛËÌÂ›Ô E Ù˘ B¢. AÓ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ B Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A° ÛÙÔ Z, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ¢Z Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∧ Ù˘ ¢. ∧
4. ·) MB, MA ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Ù˘ M ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ MEZ.
EZ EA 1 6. ·) = = . E¢ E° 3 ¢E AE ‚) = . EH E°
‚)
OE Ø OZ = R2.
BE BA
BM B¢
5. = Î.Ï.
4 BE EM 3 ÚÔ˜ ÙËÓ A¢).
AK AI KM I¢ ÛÔ˜, I ¤ÁÎÂÓÙÚÔ Î·È K ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ).
7. = (N· ʤÚÂÙ ·fi ÙÔ M ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË
6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = (A¢ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜, AM ‰È¿ÌÂ-
8. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ EH // °¢ Î·È EZ // B¢.
7. OÈ O°, O¢ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Ù˘ O ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
∧
EOM.
7.3
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
A′ OMA¢A 8 3
1. ·) H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ A ÚÔ˜ ÙË ¢E Ù¤ÌÓÂÈ E° ¢° ZA ¢H ÙË B° ÛÙÔ H. IÛ¯‡ÂÈ = , = Î.Ï. EA ¢H ZB ¢B ‚) EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ (·).
7 3
1. ¢B = , ¢° = Î·È E° = 35. ·(‚–Á) 2(‚+Á)
2. ‚) ¢M = .
2. ·) AÓ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô O, ÂÊ·ÚÌfi-
376
376
Y¶O¢EI•EI™
‚)
ÛÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· MÂÓ¤Ï·Ô˘ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È A°¢. EÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ (·). A°
3. IÛ¯‡ÂÈ B¢ = ¢M, A¢ = Î·È ÙÂÏÈο ı· ‚Ú›ÙÂ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
8. T· ÙÚ›ÁˆÓ· BE¢ Î·È AEB Â›Ó·È fiÌÔÈ·. 9. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È AE° Â›Ó·È fiÌÔÈ·. 10. ·) AÓ I, K Â›Ó·È Ù· ¤ÁÎÂÓÙÚ· ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒ-
2 A = 90Æ, B = 60Æ Î·È ° = 30Æ. ∧
∧
∧
4. AÚÌÔÓÈΤ˜ ÙÂÙÚ¿‰Â˜ Â›Ó·È ÔÈ (M, N, E, Z), (M, ¢, A,
‚)
H) Î·È (B, °, ¢, N). ¢Z
AI AI
AB
EZ
IE IE
BE
5. IÛ¯‡ÂÈ = , = Î.Ï. AB A°
ÓˆÓ AB°, ¢EZ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ IM⊥B°, KN⊥EZ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· IBM, KEN Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î.Ï. AÓ O, K Â›Ó·È Ù· ÂÚ›ÎÂÓÙÚ· ÙˆÓ fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB°, ¢EZ ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· OB° Î·È KEZ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
11. ™ÙÔ ÂÁÁÚ¿„ÈÌÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∧ ∧
B°¢E
ÈÛ¯‡ÂÈ
B = A ¢E.
Ì Ó
6. ŒÛÙˆ = .
12. T· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢B Î·È °¢A Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
·) AÓ Ì = Ó, Ë Î·Ù·Û΢‹ Â›Ó·È ·Ï‹. ‚)
AÓ Ì ≠ Ó, ÙÔ A ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔÓ AÔÏÏÒÓÈÔ Î‡ÎÏÔ ………, ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B° Û ·fiÛÙ·ÛË ……… .
7. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ K¢ // A°, ‰ËÏ·‰‹ A¢ °K = . ¢B KB
B′ OMA¢A OE ¢°
AO A°
BO B¢
OZ ¢°
1. ·) = = = Î.Ï. ∧
∧
2. ·) B EA = ¢ BA ‚)
B¢ AB = Î.Ï. BE AE °¢ AE
°¢ BZ
3. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ + = 1.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8
4. BE Ø ¢Z = AB Ø A¢ = ÛÙ·ıÂÚfi. ∧
∧
5. ™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È ¢EZ ¤¯Ô˘Ì A = ¢ = 90Æ A′ OMA¢A
B° AB Î·È = . ™ÙȘ B°, BA ıˆڋÛÙ ٷ ÛËÌ›· EZ ¢E H, £ Ì BH = EZ, B£ = ¢E Î.Ï.
1. Œ¯Ô˘Ó Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. 2. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AOB Î·È °O¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· (O ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ).
fiÌÔÈ·.
3. ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· HAE Î·È HB¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î.Ï. ‚)
6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢B Î·È A°Z ›ӷÈ
A¢ A° Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = . BE B°
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢E Î·È A°¢ ›ӷÈ
‚Á ‚+Á
7. ·) A£ = = AK. ‚)
Á2 ‚2 B£ = Î·È °K = . ‚+Á ‚+Á
fiÌÔÈ·.
5. AÓ K, M Â›Ó·È Ù· ‰‡Ô ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚ· Î·È E ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ A°, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· EKM Î·È EB¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜. 7. N· ʤÚÂÙ ٷ ‡„Ë AE, AZ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
8. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô M ÙˆÓ EZ, A° Î·È Ì‚ ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ EM = Î.Ï. Ì+Ó
9. Aԉ›ÍÙÂ, Ì ÔÌÔÈfiÙËÙ˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, fiÙÈ Ù· ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. EA E¢
AE B° = . AZ °¢
ZA Z¢
10. Aԉ›ÍÙ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· = .
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
377
377
A¶ANTH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ £ Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°.
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
1. N· ʤÚÂÙ ÙȘ °H // AB Î·È E£ // AB. 2. N· ÚÔÂÎÙ›ÓÂÙ ÙË °A ηٿ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AE = AB Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· °A¢ Î·È °EB Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
∧
∧
11. ∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÁˆÓ›· ¢∞¯ = µ∞°. ∞Ó ∂ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ∞∫ Î·È µ¢, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂, ∞°µ ηıÒ˜ Î·È Ù· ¢∞°, ∂∞µ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
3. ·) TÔ E Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ZH. ‚)
°H A¢ Á) BÚ›Ù ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ Î·È . °¢ AZ BZ BZ ‰) + = … = 1. A B B°
4. ·) ¶ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÔÌÔÈfiÙËÙ˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ‚)
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
T· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢Z, ¢°H Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
AÓ ÔÈ A¢, BE Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Î·È ÔÈ BE, °Z Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. AÓ ÔÈ A¢, BE Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ O, ÂÓÒ ÔÈ BE, °Z ÛÙÔ O′, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· O, O′ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.
Á) Afi ÙÔ A ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰′// ˙, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â2, Â3 ÛÙ· B′, °′. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ A B AB′ = , ‰ËÏ·‰‹ BB′// °°′, ¿ÙÔÔ. B° B′°′
5. Afi Ù· A Î·È ° Ó· ʤÚÂÙ ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙË B¢.
6. Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ O ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Ó· ʤÚÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘, Ë ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ A¢ ÛÙÔ E. TfiÙ ı· ‚Ú›Ù ·‚ ·Á EO = Î·È AE = . ·+‚ ·+‚ O ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ O Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·‚ E, . ·+‚
7. £ÂˆÚ‹ÛÙÂ Î·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô M′ Ù˘ ˙, ÔfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °′¢′ Ù˘ Â. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ °¢ = °′¢′.
8. AÊÔ‡ ÂÎÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ ‰È·‰ÚÔ̤˜ A¢, B° ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ A¢ ¯ÚfiÓÔ t, ÈÛ¯‡ÂÈ A¢ = ˘1 Ø t, B° = ˘2 Ø t Î·È = B° ˘1 AE ˘1 . AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ = . ˘2 BE ˘2
9. M ÔÌÔÈfiÙËÙ˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ A° BE ¢Z , Î·È . B¢ AZ °E
9.1 A′ OMA¢A
1. ⁄„Ô˜ 4 cm Î·È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ 6 5 cm. 7 · 2. . 4
Î 2
3Î 2
3. Î·È . 1 4
53 16
4. ‚) A¢ = Î·È BE = . ∧
5. ° = 120Æ. 6. AB = 7 Î·È AM = 1 3 . 7. A¢ = ·3 . 8. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·. 9. A°2 – AB2 = ¢°2 – ¢B2 (A¢ ‡„Ô˜). ∧
10. N· ʤÚÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢ Î·È ı· ‚Ú›Ù ¢ A° = 30Æ. 11. B°2 = AB2 + A°2 – 2AB Ø A¢ Î.Ï. 12. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ. 13. ™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· OA° Î·È OB¢ ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ. 3 3 · Á ‚3 14. Ì· = , Ì‚ = Î·È ÌÁ = . 2
2
2
2 3
15. GA = Ì· Î.Ï. 16. ·) T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È °BA Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‚)
¶ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ (·).
17. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·.
10. AÓ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ IK ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô £,
378
378
1 2
‚ 2·
18. ˘· = 4 ‚2 Î·È ˘‚ = ˘Á = 4 ‚2. · 2– · 2–
Y¶O¢EI•EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9
B′ OMA¢A
17. ·) 2Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°.
1. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È °BA Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
18. °Âӛ΢ÛË ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È A°¢.
2. T· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢B Î·È °¢A Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∧
9.2
3. YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ A ≠ 90Æ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË BE⊥A°. T· ÙÚ›ÁˆÓ· BE° Î·È A¢° Â›Ó·È fiÌÔÈ· (A¢⊥B°). A′ OMA¢A
4. °Âӛ΢ÛË ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· A¢° Î·È B°¢.
4
5. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 2Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BE°.
6. A°2 = AB2 + B°2 – 2AB Ø BE Î.Ï. 7. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E.
8. ·)
¯2
‚)
¯2
·2
2. . 2 + 2Á2 – ·2 22 ‚ · 10 3. R = . 2
4. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙÂ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1. =
·2 – ‰2,
‰2
fiÔ˘
=
Î2+Ï2,
fiÔ˘ Î = ·2 , Î·È Ï = ‚3
= ‚Á.
5. N· ʤÚÂÙ ÙȘ A°⊥O„ Î·È B¢⊥O¯.
Á) ¯2 = ·2 + Î2 – Ï2 = Ì2 – Ï2, fiÔ˘ Î = ‚2 , Ï = Á3 ηÈ
Ì2
=
B′ OMA¢A
·2 + Î2.
3 ·
1. AÓ ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ AB, °¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ E, ÙfiÙÂ
9. ·) O ·ÎÏÔ˜ O, , fiÔ˘ O ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB. ‚)
5R3 1. .
2
H ¢ı›· Â⊥AB, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛË· ÌÂ›Ô ¢ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ O Î·È B Ì O¢ = (¢ 4 ̤ÛÔ ÙÔ˘ OB, O ̤ÛÔ ÙÔ˘ AB).
AE °E = Î·È AE Ø BE = °E Ø ¢E. BE ¢E
2. A¢ Ø AE = A¢ Ø (A¢ + ¢E) = … . 3. IÛ¯‡ÂÈ MA2 = MB Ø M° Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· MAB, M°A Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
10. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢E. £· ÈÛ¯‡ÂÈ A¢⊥AE, fiÙ·Ó ‚2 + Á2 = 2·2.
4. M°2 – MA2 = … =M° Ø B° Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· M°¢, A°B Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
B¢ AB2 11. B¢2 = AB Ø BE, °¢2 = A° Ø °Z Î·È = 2 . °¢ A°
5. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙˆÓ B Î·È ° ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜
12. AÓ AB Â›Ó·È ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ ÙÌ‹Ì·, Ó·
‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜.
ʤÚÂÙ ÙËÓ K°⊥OA.
6. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OBA Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
R 3 ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· OE⊥AB.
7. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1 Î·È ı· ‚Ú›ÙÂ
13. H ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Â›Ó·È Î·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È
14. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ A¢ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ AB = °¢.
·(‚2 + Á2 – ·2) AH = . 4 Ù( Ù – · )( Ù – ‚) (Ù – Á)
8. N· ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ. 9. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 5 Ù˘ ¨ 9.1.
15. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ AE2 = 2A¢2.
1 2
2 – ·2 16. H ÎÔÚ˘Ê‹ A ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ M, 2 Î
(M ̤ÛÔ Ù˘ B°) Î·È ÛÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙË B° Û ·fiÛÙ·ÛË ˘ ·’ ·˘Ù‹Ó.
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
379
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ ∧
1. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÁˆÓ›· Â›Ó·È Ë A Î·È ·2 < ‚2 + Á2.
379
A¶ANTH™EI™ 2. H οıÂÙË ·fi ÙÔ O ÛÙË B° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ·
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
10. ÃÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙË ÁÂÓÈ΋ ¿ÛÎËÛË 11, ÎÂÊ 8.
E, Z. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ IH⊥B° Î·È I£⊥EZ. EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OIE. E›Û˘, ÈÛ¯‡ÂÈ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
IE = BE = °E Î·È °E2 = EZ Ø E¢.
3. £ÂˆÚ‹ÛÙÂ Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ E ÙÔ˘ AK. AÓ ¢ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ B°, ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· MB°, MAK Î·È M¢E. O ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙÔ˘ M Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ K Î·È ·ÎÙ›Ó·
Ï2 1 – (·2 + ‚2 + Á2). 3 9
4. TÔ ‡„Ô˜ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ 3 · E Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ Ú = O¢ = OE = AE = . EÊ·ÚÌfi6 ÛÙ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· MB°, MAO Î·È M¢E.
5. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ AM, ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ K Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ¢ ÙÔ˘ AK. EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· OAK Î·È O¢M, ı· ‚Ú›Ù 1 OK2 – R2 = – (·2 + ‚2 + Á2). 9
6. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ A¢, ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ °M Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ °E. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ¢M // °E ‚ Î·È ME = . 2
10.1.-10.2. A′ OMA¢A ·2
1. ·) . 2
8. ·) ·2 < ‚2 + Á2. ‚)
°ÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È 1Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ.
Á) TÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· EZ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AEM. ∧
∧
‰) IÛ¯‡ÂÈ B = E ¢A Î·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AB°, A¢E Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Â)
EZ + ¢Z = ¢E.
ÛÙ) MK Ø MA = MB2 = M°2.
9. ·) ¯2 = Î Ø Ï Ì Î2 = ·2 + ‚2 Î·È Ï2 = ·2 – ‚2. ‚)
¯4 = Î4 – Ì4, fiÔ˘ Î2 = ·2 + ‚2 Î·È Ì2 = ·‚ 2.
380
380
Ï25 ‰) . 5
2. ·) TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ 96 Î·È Ë ·fiÛÙ·ÛË d = 9,6. ‚)
2 ·22 · E = , d = . 2 2
3·23 3. ·) . 8
‚)
28.
· 3
· 6
4. Î·È . 5. H ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙÚ›ÁˆÓ·.
6. ·) Œ¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ · 2. ‚)
7. TÔ A ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ Ì¤ÛÔ M 1 Ù˘ B° Î·È ·ÎÙ›Ó· 2 Ï2–· 2. E›Û˘, ·Ó‹ÎÂÈ 2 ÛÙËÓ Â˘ı›· Â⊥B°, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ B° ÌÂٷ͇ ÙˆÓ B Î·È M, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Ì2 ÈÛ¯‡ÂÈ ¢M = . 2·
Ï23 Á) . 3
·2 ‚) . 4
· 2 Œ¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ . 2
7. YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ ‡„Ô˜ A¢. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Â›Ó·È ·2( 3 – 1) . 4
∧
∧
8. A = ¢ = 90Æ Î·È E = 3(2 + 1 0 ). 1 2
9. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù(Ù – ·) = ‚Á. 246 246 10. E = 246 , ˘· = , ˘‚ = 46 , ˘Á = , 5
46
7
356
Ú = , R = . 12 3 ∧
11. N· ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· A Î·È 1 Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÔÓ Ù‡Ô E = ‚ÁËÌA. 2 1 12. EM°¢ = EAB°¢. 2
13. T· ÙÚ›ÁˆÓ· BEZ, °EH ηıÒ˜ Î·È BE£, °E¢ Â›Ó·È ›Û·.
Y¶O¢EI•EI™ 14. ∂∞µ° = ∂√∞µ + ∂√∞° – ∂√B°, fiÔ˘ √ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 10
13. AÓ H Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ AZ Î·È ¢E, ı· ‚Ú›ÙÂ
ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
1. EMAB + EM°¢ = EAB°¢.
13 13 13 · 3· 4· ¢E = AZ = , ¢H = , EH = , 3 13 39 1 2· 3 3·2 4·2 AH = , EA¢H = , EAHE = , 13 39 13
2. N· ʤÚÂÙ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ A° ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘
3·2 17·2 EBEHZ = Î·È E°¢HZ = . 13 39
B′ OMA¢A 1 2
AB°¢ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB° ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fi ·fi ÙÔ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ Û’ ·˘Ùfi ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
14. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ °°′⊥MA, BB′⊥MA Î·È ¢¢′⊥MA.
3. OÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È ÔÈ AE Î·È AZ, fiÔ˘
15. AÓ R ≠ Ú, ÙfiÙ E = (R + Ú) Ø R Ú. AÓ R = Ú Â›Ó·È
E Î·È Z Ù· ÛËÌ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ B° Î·È °¢ 2 2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì BE = B° Î·È ¢Z = °¢. 3 3 ·2 4 M ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ).
·2 2
AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ °°′ = BB′ + ¢¢′ .
E = 2R2.
10.3.
4. EMAB = , EM°¢ = ·2, EM¢A = EMB° = (fiÔ˘ A′ OMA¢A
1. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢ Î·È A°¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
5. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ BE⊥A° Î·È ¢Z⊥A°, ÔfiÙ EAB°¢ = EAB° + EA¢° Î.Ï.
2. T· ÙÚ›ÁˆÓ· HB° Î·È AB° ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË ÙË
6. H ·Ú¿ÏÏËÏË ·fi ÙÔ B ÛÙËÓ A¢ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË °¢ ÛÙÔ E. YÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ ‡„Ô˜ BZ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ BE°. £· ‚Ú›Ù EAB°¢ = 126 .
7. TÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ì οıÂÙ˜ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜ ‰1 Î·È ‰2 1 ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi ‰1 Ø ‰2. AÓ ÔÈ ‰È·ÁÒÓÈÔÈ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó 2 ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Â›Ó·È 1 1 ‰1 Ø ‰2 Ø Ë̈ < ‰1 Ø ‰2. 2 2
E B° H¢ B°, ÔfiÙÂ H = Î.Ï. EAB° ˘·
3. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙÂ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 10.11. E EAB°
1 12
¢E 4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ A = .
5. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· 10.11. Î·È ı· ‚Ú›Ù ¯ = 10. B′ OMA¢A
2Ù( Ù–· )(Ù–‚) (Ù –Á) 8. ¯ = .
1. √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ-
‚+Á–·
̤ÙÚˆÓ.
·‚ Á 9. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙÔÓ Ù‡Ô E = . E›Û˘, 4R AB MA = Î.Ï. ¢E ME
10. N· ʤÚÂÙ ›Û˘ ÙÔ ‡„Ô˜ BZ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ EAB°¢ = E° Ø AE. 1 2
11. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ EMAB + EM°¢ = EAB°¢. 12. K¿ı ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ÈÛÔ‰‡1 1 Ó·Ì· ̤ÚË. ŒÙÛÈ, E¢EZ = E¢BE = EB¢° Î.Ï. 2 4
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
381
2. H ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·3 . 3. E°¢E = 2EAB° Î.Ï. E EA¢E
AB A¢
BE 4. A = Î.Ï.
5. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È H£K Â›Ó·È fiÌÔÈ· Ì ÏfiÁÔ 2 ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ . 5 E EAB°
5 24
EZ 6. ¢ = Î.Ï.
381
A¶ANTH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11 ‚2+Á2–·2 E›Û˘ AE = Î.Ï. 2‚
7. EAMN = EAM° + EA¡° – E°MN, 1 EAM° = EAB° Î.Ï. 2
8. ·) 3Ï2 – 2Ï + 1. ‚)
E
BE E
°¢
E°EZ
°E
°Z
EZ °E 6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ B = , ¢ = Î.Ï.
1 Ï = . 2
E°EZ
7. E = 36 (‚Ï. ¿ÛÎËÛË 9, B′ ÔÌ¿‰·˜ ¨ 10.3).
9. T· ÙÚ›ÁˆÓ· MZK, AB° Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ô ÏfiÁÔ˜
8. AÓ O Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·Ô‰Â›Í¢H E B° Ù fiÙÈ O¢ = ¢H Î·È = O . A¢ EAB°
ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È E1 ZK ZK 2 E 1 = , ÔfiÙ = Î.Ï. B° E E B°
B¢ °¢
E EA°¢
B¢ °¢
E E°¢M
B¢ B ¢M 9. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = A Î·È = .
10.4. 1. H ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
1 ÙˆÓ ‚ Î·È Á. 2
11.1.
2. H ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ·+‚ ÙˆÓ Î·È ˘. 2
A′ OMA¢A
3. N· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÚÒÙ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ.
∧
‚)
4. AÓ E Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ηıÂÓfi˜ ·fi Ù· ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ·, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ AH¢EB ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·2 + 2E, ·ÏÏ¿ Î·È 2E + Á2 + ‚2.
K·ÓÔÓÈÎfi ÂÈÎÔÛ¿ÁˆÓÔ.
Á) ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ.
2. ·) MÈÎÚfiÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ ¤¯ÂÈ ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÔχÁˆÓÔ Ì ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÎÂÓÙÚÈ΋ ÁˆÓ›·. IÛ¯‡ÂÈ ∧ ∧ ∧ ∧ ˆÓ < ˆÌ Î·È ÊÓ > ÊÌ.
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
1. AÓ Ë AG Ù¤ÌÓÂÈ ÙË B° ÛÙÔ ¢, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ
∧
1. ·) Ê12 = 150Æ Î·È ˆ12 = 30Æ.
3 4
3 2
3. E3 = R23 Î·È E6 = R23 .
B¢ = °¢.
4. Ï12 = 22 – 3 Î·È ·12 = (2 +3 ) Ø 2– 3.
1 1 4 2 ÂÌ‚·‰¿ Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
2R3 5. Ï′6 = Î·È E′6 = 2R23 .
2. EABEZ = (A°2 + B¢2) Î·È EAB°¢= A° Ø B¢. T·
1 2
3. AÚΛ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ EOAB + EO°¢ = EAB°¢. 4. T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB¢, AE° ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÙÔ ‡„Ô˜ ·fi ∧
ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ A, ·ÏÏ¿ Î·È ›Û˜ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ B A¢ , ∧ AB Ø A¢ B¢ ° AE. EÔ̤ӈ˜, = . OÌÔ›ˆ˜ ÁÈ· Ù· AE Ø A° °E ÙÚ›ÁˆÓ· ABE Î·È A°¢.
5. AÓ A¢, BE, °Z Â›Ó·È Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· AEZ Î·È AB° Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÔfiÙ E EZ AE 2 = . A EAB° AB
382
382
3
1 6. . 4 R2 4
R2 4
7. ( 2 + 1) Ø ( 2 + 3) ‹ ( 2 + 1)( 3 – 2). 8. ·) K¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì Ï6 = R Î·È Î¿ı ÁˆÓ›· ÙÔ˘ 150Æ. ‚)
3R2(3 + 2).
B′ OMA¢A
1. ·) EÚÁ·ÛÙ›Ù fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1 Î·È ı· ‚Ú›ÙÂ
Y¶O¢EI•EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 11
R Ï8 = R 2 – 2, ·8 = 2 + 2 Î·È E8 = 2R2 2. 2 R ‚) Ï12 = R2 – 3, ·12 = 2+ 3 Î·È 2 E12 = 3R2.
2. OÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¯ÔÚ‰¤˜ ·ÎÏÔ˘ Ì ›Û· ·Ô-
5. L = 10 cm. 6. ·) 2 cm Î·È 5 cm ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ‚)
·3
2·3
3
3
Î·È .
Á) 6 cm Î·È 12,5 cm ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
ÛÙ‹Ì·Ù·. B′ OMA¢A
3. ·) IÛ¯‡ÂÈ .¯. A° // ¢E. ‚)
EÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ 2Ô ıÂÒÚËÌ· ‰È·Ì¤ÛˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AB°.
Á) ¶ÚÔ·ÙÂÈ ÌÂ Û˘ÁÎÚ›ÛÂȘ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Î·È ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÁˆÓÈÒÓ. ‰) T· ÙÚ›ÁˆÓ· AB° Î·È BM° Â›Ó·È fiÌÔÈ·
)
4. AÓ AB = ÏÓ Î·È M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB, ÙfiÙ E2Ó = Ó Ø EOAMB.
)
5. ·) AÓ AB = ÏÓ, ° Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB, OM⊥AB Î·È °E = 2R, AE = 2·2Ó. ‚)
ÙfiÙÂ
R R ·5 = (1 + 5 ), Ï5 = 4 2
AE2 = °E
Ø EM
ηÈ
R R 2R
R
1. , , Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. 3
2
3
2
2. R( + 2). ∧
∧
3. AÓ A KB = ÌÆ, ÙfiÙ A §B = 2ÌÆ. 4. AÓ (K, ¯) Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ô˘ ÂÊ¿ÙÂÙ·È Î·È ÛÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÎÏÔ˘˜, ÙfiÙ ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ AK¢ (¢ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ AB) ÈÛ¯‡ÂÈ · + ¯ 2 AK K¢ = = . TÂÏÈο ı· ‚Ú›Ù 2 2 · · ¯ = (23 – 3) Î·È L = (23 – 3). 6 3
10–2 5.
)
6. AÓ M Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ B° Î·È Z ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ MA Î·È KB, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ MB = MZ Î·È AZ = AK.
7. TÔ MB° Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÂÌ‚·‰fi R23
· 3
5. ( + 3).
11.3. A′ OMA¢A
, ÂÓÒ ÙÔ MEZ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Ì ÂÌ‚·‰fi 4
1. (4 – ).
3R23 . 4
2. ·) R2( – 2). 2E ÏÓ
8. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ Ó .
·2 4
‚)
R2 L = R2 , E = . 2
R2 2
3. (23 – ).
11.2.
R R 3 6 4. OÈ Î‡ÎÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó ·ÎÙ›Ó˜ Î·È . 3
A′ OMA¢A
3
5. O ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ¯ = R 2+Ú2 ‹ ¯ = R 2–Ú2 (R > Ú).
1. 180Æ = rad Î.Ï. 2. ¶ÂÚ›Ô˘ 70 cm.
–2 3 + 2
6. .
5 3. . 8
15 7 7. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi E = . OÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘
4. IÛ¯‡ÂÈ Ø A1A2 + Ø A2A3 + … + Ø AÓ–1AÓ = Ø A1AÓ.
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
383
16 ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘
383
A¶ANTH™EI™ 7 47 Â›Ó·È Ú = Î·È R = ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. 4 7 B′ OMA¢A
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
Ó
ÓR2Ï
Ó
2. EÓ = ÏÓ·Ó, E2Ó = ÏÓR Î·È E′Ó = Ó (‚Ï. 2 2 2·Ó ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2 Î·È ¿ÛÎËÛË 4 B′ ÔÌ¿‰·˜ ¨ 11.1).
3. AÓ OA Â›Ó·È Ë ·ÎÙ›Ó·, B° Ë ¯ÔÚ‰‹ Î·È ¢ ÙÔ ÛË-
1. H ÎÔÈÓ‹ ¯ÔÚ‰‹ ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ Â›Ó·È ›ÛË Ì R Î·È ÙÔ R2 ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ̤ÚÔ˘˜ Â›Ó·È (2 – 33 ). 6
ÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜, ÙfiÙ O¢ = ·3 Î·È B° = Ï3. O Ïfi4 – 33 ÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ Â›Ó·È . 8 + 33
2. TÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ KA° Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÏÂ˘Ú¿˜ R ηÈ
4. AÓ .¯. Ë B° Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (K, R) ÛÙÔ ÛËÌ›Ô
R BK° = 30Æ. H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È ( + 2), ÂÓÒ ÙÔ 2 R2 3 – ). ÂÌ‚·‰fi (3 12
1 ¢, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ E = E1 – E2 + E3, fiÔ˘ E1 = R2, 2 E2 ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¢° Î·È E3
∧
ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB¢.
3. Afi ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤· K°¢ ı· ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ K°¢ Î·È ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¯ÔÚ‰‹˜ AB, ÔfiÙ ı· ‚Ú›Ù R2 E = ( + 6 – 33 ). 12 ·2 4. H ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ 2· Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ( – 2). 2
5. Afi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ı· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔÓ Î˘ÎÏÈÎfi ÙÔ̤·. TÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È E = R2(3 – 2 2).
1 4
R 3
8. IÛ¯‡ÂÈ
∧
∧
BOK = 60Æ, AK° = 120Æ, AB = 3R, A° = R3 Î·È B° = 2R3 . O ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ¤¯ÂÈ 3 ÂÌ‚·‰fi R2(2 – 3 ), ÂÓÒ Ô ÂÚÈÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ 2 2 3R .
1 3 Î·È ÂÓfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÎÏÔ˘˜ Ó· ʤÚÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÚÈÚ ÁÒÓÔ˘. H ·ÎÙ›Ó· ÙˆÓ ÌÈÎÚÒÓ Î‡ÎÏˆÓ Â›Ó·È R = . 3
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 12
7. H ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Ú = .
2
6. IÛ¯‡ÂÈ Ú = Ì·. Afi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Â·Ê‹˜ ÙÔ˘ (O, Ú)
6. ¢ÂÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓ›˙ÂÙ·È, ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fi 1 B¢ 2 E = Ø AB Ø B° = , 4 2 fiÔ˘ ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ A° Î·È Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ÙÔ B ÚÔ˜ ÙËÓ A°.
A ¢ ØB° 2
5. E = A¢ Ø B° = .
12.1. A′ OMA¢A
1. Ÿˆ˜ Ë ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1. 2. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì ¿ÎÚ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
3. TÔ Ôχ 10 ¢ı›˜. 4. H ¢ı›· EO, fiÔ˘ O ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ Â1 Î·È Â2. B′ OMA¢A
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
1. °Âӛ΢ÛË Ù˘ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ 1.
1. ·) ∧AÓ ∧A1A2…AÓ Â›Ó·È ÙÔ ÔχÁˆÓÔ, ÂÂȉ‹
2. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Â›Â‰Ô p ÙˆÓ Â1, Â2 Î·È ÂÍÂÙ¿ÛÙÂ
A2 = A3, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ A1A2 = A3A4 Î.Ï.
‚)
Aԉ›ÍÙ fiÙÈ A1A2 = A3A4 = … = A2Ó–1A1 Î·È A2A3 = A4A5 = … = A2Ó–2A2Ó–1 = A1A2.
384
384
ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ Â3, Â4 Ì ÙÔ p.
3. OÈ ÙÔ̤˜ Â›Ó·È ÙÚ›˜ ¢ı›˜, Ô˘ Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜ ·Ó¿ ‰‡Ô, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÛÙÔ ›‰ÈÔ
Y¶O¢EI•EI™ ›‰Ô.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
‚)
4. AÚΛ Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›·, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô (‚Ï. ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3).
5. YÔı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈ· ¢ı›· ‰, ı· ηٷϋÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘  Ì ÙÔ p ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙË ‰.
12.2.
ÚÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ÛÙȘ ¤‰Ú˜ Ù˘, ÙfiÙ ÙÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ Î·ı¤ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ ·ÎÌ‹ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘.
‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ AB, ÙfiÙ °¢ = 2·. AÓ Ù· °, ¢ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Âη٤ڈıÂÓ Ù˘ AB, ÙfiÙ °¢ = 2·2 .
1. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ª¢⊥B°. 19 · 2. .
5. AÓ .¯. O¯ // p, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ OO′⊥O′¯′ Î·È Ë O„
2
Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÛÙËÓ O′¯′.
3. Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘  ӷ ʤÚÂÙ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙÔ p.
∧
6. AÓ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ ¯O„ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙÔ p ÛÙ· ÛËÌ›· A, B Î·È OO′⊥p, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ AB2 > √′A2 + O′B2.
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ‰ // q Î·È ‰ // Â. 5. 60Æ.
7. TÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ Â›Â‰Ô p,
6. K¿ı ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ‚¿ÛË ÙË ÌÈ· ‰È·ÁÒÓÈÔ Î·È ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ¿ÏÏ˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
7. £ÂˆÚ‹ÛÙ ٷ ·Ú¿ÏÏËÏ· ›‰· Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙȘ ·Û‡Ì‚·Ù˜ ¢ı›˜.
8. AÓ A Â›Ó·È ÙÔ ›¯ÓÔ˜ Ù˘  ÛÙÔ p Î·È ·fi ÛËÌÂ›Ô B Ù˘  ʤÚÔ˘Ì ÙË B°⊥p, ÙfiÙ ÙÔ Â›Â‰Ô AB° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ.
9. ·) OÈ ÙÔ̤˜ Â›Ó·È Û˘Ó›‰˜ ¢ı›˜ Î·È ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È.
·) ·Ó Ù· A, B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ p, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Â Î·È ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ AB ·fi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, ‚)
·Ó Ù· A, B ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Âη٤ڈıÂÓ ÙÔ˘ p, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Â Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ AB.
8. N· ʤÚÂÙ ÙËÓ A°⊥Â Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ B°⊥Â. 9. TÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ÌÈ· Î·È ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ οıÂÙË ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.
10. O ·ÎÏÔ˜ (E, ·) ÛÙÔ p, fiÔ˘ E Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘
EÊ·ÚÌfiÛÙÂ ÙÔ (·).
̤ÛÔ˘ ¢ ÙÔ˘ AB ÛÙÔ p Î·È · = AB ¢E ≤ . 2
3 ·
10. ·) . 4
‚)
3. AÓ ·fi ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ʤ-
4. N· ʤÚÂÙ ÙȘ B¯ // Â1 Î·È °E⊥B¯. AÓ Ù· °, ¢
A′ OMA¢A
‚)
£ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ›¯ÓÔ˜ O Ù˘  ÛÙÔ p, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô M Ù˘ Â Î·È ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ O¯, O„, O˙ ∧ ∧ ∧ ÛÙÔ p Ì MO¯ = MO„ = MO˙. ™ÙȘ O¯, O„, O˙ ıˆڋÛÙ ÛËÌ›· A, B, ° ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì OA = OB = O° Î·È ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ (·).
A B2 – ¢E2 ÌÂ 4
11. £ÂˆÚ‹ÛÙ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ÙÔ˘ p Î·È ·fi
23
.
ÙÔ A Ó· ʤÚÂÙ ÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ Û’ ·˘Ù¤˜.
3
12. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ H ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë OH Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
B′ OMA¢A
1. £· ÂÊ·ÚÌfiÛÂÙ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Î·ı¤ÙˆÓ Î·È ı· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·.
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
2. ·) H ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘
1. E›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ÌÂÛÔοıÂÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘
ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚfi ÙÔ˘.
ÙÔ˘ A¢ Î·È Ù˘ ¢ı›·˜, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Â-
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
385
385
A¶ANTH™EI™
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
Ú›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ AB°.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
2. AÓ Ë Â˘ı›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¤‰Ú˜ p Î·È q Ù˘ ‰›Â‰Ú˘ ÁˆÓ›·˜ ÛÙ· ÛËÌ›· A Î·È B ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ó· ʤÚÂÙ ÙȘ A°⊥q, B¢⊥p, AE⊥Â Î·È BZ⊥Â, fiÔ˘ Â Ë ∧ ∧ ·ÎÌ‹ Ù˘ ‰›Â‰Ú˘. OÈ ÁˆÓ›Â˜ A E° Î·È B Z¢ Â›Ó·È ›Û˜.
3. N· ʤÚÂÙ ٷ ‡„Ë AE Î·È BZ ÙÔ˘ AB°. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ AE⊥B° Î·È Ë Â˘ı›·, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ‰‡Ô ÔÚıfiÎÂÓÙÚ·, Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÚÔ˜ ÙȘ B° Î·È °¢.
4. TÔ ÛËÌÂ›Ô M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙÔ˘ p Ì ÙÔ ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ AB. E›Û˘, ÙÔ M ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ ° ÙÔ˘ ̤ÛÔ˘ O ÙÔ˘ AB ÛÙÔ p Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú = Ï 2–Î 2, fiÔ˘ AB Ï = Î·È Î = O°. 2
5. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Û ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· MB° Î·È ME¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ M°⊥B° Î·È MB⊥¢E.
6. H B° Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ MK§.
7. ·) IÛ¯‡ÂÈ AB // A′B′ Î.Ï. ‚)
13.1 A′ OMA¢A
1. 192 cm3. 2. ·) Á = 6 cm, V = 72 cm3, EÔÏ = 108 cm2 Î·È ‰ = 6 1 cm. ‚)
E›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AK⊥B¢, AK = 2,4 cm.
·(2 ·(2 – 1) – 1)3 3. AÎÌ‹ , ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ , 2
2
·3
3·2
fiÁÎÔ˜ (52 – 7) Î·È EÔÏ = (3 – 22 ). 8 2
4. V = 3·33 Î·È EÔÏ = 3·2(4 + 3 ). ·3 2
5. V = Î·È E = 2·22 . 6. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÌÂÙÚÈ΋ Û¯¤ÛË Û ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘ ·ÎÌ‹˜ ÙÔ˘ ·‚Ô˘. B′ OMA¢A
AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ AB° Î·È Ë OK Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ °′¢′ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ A′B′°′ °′K′ 2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô K′, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ = . ¢′°′ 3
8. £ÂˆÚ‹ÛÙ ٷ ̤۷ O, M ÙˆÓ B°, A¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ∧
∧
Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ AO¢ = 90Æ Î·È BM° = 90Æ. TÂ2·3 ÏÈο, ÈÛ¯‡ÂÈ B° = . 3
9. H ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ A Î·È ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (°, ·), fiÔ˘ ° Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ B ÛÙÔ p, B° = Ï Î·È · = Î 2–Ï2.
10. YÔÏÔÁ›ÛÙ ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¢EZ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ·, ‚, Á ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ AB°. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ EZ2 < E¢2 + ¢Z2 Î.Ï.
3·
1. TÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ˘ = , ÔfiÙ 2 3·33 ·2 V = Î·È EÔÏ = (9 + 3 ). 2
8
2. AÓ K Â›Ó·È ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°, ÙfiÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È · 3 ·3 ¢K = AK = Î·È V = . 4 3
3. OÈ ÔÏÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ ¤¯Ô˘Ó ÂÌ‚·‰¿ E1 = ÓÏÓ(˘1 + ·1), E2 = ÓÏ′Ó(˘2 + ·2) Î·È ÔÈ fiÁÎÔÈ Â›Ó·È 1 1 V1 = ÓÏÓ·1˘1, V2 = ÓÏ′Ó·2˘2. 2 2
4. AÚΛ Ó· ‰È·ÈÚÂı› Ë ‚¿ÛË ÙÔ˘ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Û ÙÚ›· ÈÛÂÌ‚·‰Èο ̤ÚË.
5. AÓ K, § Â›Ó·È Î¤ÓÙÚ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÔÌÒÓ (Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ) Î·È M, N Ù· ̤۷ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÌÈ·˜ ‚¿Û˘, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ù· K, §, M, N Â›Ó·È ÎÔÚ˘Ê¤˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.
386
386
Y¶O¢EI•EI™ 6. AÓ¿ ‰‡Ô ·˘Ù¿ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
‚)
¢È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘.
6. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ OA¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, fiÔ˘ ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ Ù˘ AK Ì ÙË B°. E›Û˘, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ B°⊥O¢.
13.2.
13.3. - 13.5.
A′ OMA¢A 153 1. E = (5 + 7 3 ) cm2 Î·È V = 753 cm3. 2
1. · = 2 Î·È ‚ = 3.
2. · = 3 cm Î·È V = 6 cm3.
4
·33
·2
18
3
2. cm3.
3. ·) V = Î·È E = (23 + 3). 3 ·2 ‚) V = Î·È E = (5 + 23 ). 7·3
72
4
4. ·) TÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB°. ‚)
A′ OMA¢A
105 9 V = . 3
3
3. ¶ÂÚ›Ô˘ 675,5 kp. 4. 16 cm3. 1 4
5. V = ·3 Î·È E = ·23 . 1 12
5. ŸÙ·Ó Ë ‚¿ÛË Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
1 3
7. V = ·2˘· Î.Ï.
B′ OMA¢A
1. ·) AÓ E Î·È Z Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ ·ÎÌÒÓ A¢ Î·È B°, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ BE° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ‚)
1 2
6. V = ·3 Î·È E = ·21+ 2 + 3 .
1 9
2 9
8. V = ·3 (10 + 3 3) Î·È E = ·2 3(6 + 3). 9. 36 cm3. 10. 3·3.
2 · EZ = . 2
4 3 1 2 E = 3· , V = ·33 . 2
11. ·) E = 4R2, V = R3.
2. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ OB⊥B° Î·È O¢⊥°¢. TÂÏÈο Â›Ó·È E = ·2(2 + 5 ).
‚)
3. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ O ÙˆÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚˆÓ
B′ OMA¢A
·ÎÌÒÓ AA′, BB′, °°′ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. AÓ M ›∧ Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ AB, ÙfiÙ OM° = 60Æ. TÂÏÈο ÈÛ¯‡ÂÈ EÔÏ = ·23 .
4. H ÙÔÌ‹ Â›Ó·È ÔχÁˆÓÔ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙȘ ‚¿ÛÂȘ. K¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘. AÓ E1, E2 Â›Ó·È Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Î·È E ÙÔ ÂÌ‚·‰fi 1 Ù˘ ÙÔÌ‹˜, ı· ‚Ú›Ù fiÙÈ E = (E 1 + E 2)2. 4
5. ·) £ÂˆÚ‹ÛÙ ٷ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚ· K Î·È § ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ AB° Î·È OB° ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ OAB°. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· OK Î·È A§ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô P Ì 3 3 OP = OK Î·È AP = A§. 4 4
∞·ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
387
1. O ·ÎÏÔ˜ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘. 3 · ·23 · 2. E¢E = 2 Ø = . 8
2
8
3. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙȘ ·Ú¿Ï¢Ú˜ ·Î̤˜ ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, ÔÈ Ôԛ˜ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· A Î·È B.
4. TÔ ÛÙÂÚÂfi ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ÎÒÓÔ˘˜ Î·È ¤Ó·Ó 1 ÎfiÏÔ˘ÚÔ ÎÒÓÔ. V = (· + ‚)(·2 + ‚2) Î·È 4 1 3 [·2 + ‚2 + (· + ‚)· ‚2 –· E = 2+ ‚]. 2 5. XÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÌÂÙÚÈ΋ Û¯¤ÛË Û ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.
387
A¶ANTH™EI™ 6. M ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ ‚·Ú‡ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, 1 Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘. 3
7. VB¢E°
1 = ·˘·2 Î·È VA¢E = VAB° – VB¢E°. 6
8. Afi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AKZ Î·È AM° ˘(R – Ú) ı· ‚Ú›Ù KM = . R
2. E = 2 Ø OM Ø B° Î·È ·Ô‰Â›ÍÙÂ, Ì ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ, fiÙÈ OM Ø B° = MK Ø BZ, fiÔ˘ BZ⊥°¢.
3. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ E Ù˘ °¢ Ì ÙÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ AB Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙË °¢. N· ʤÚÂÙ ÙËÓ EZ⊥AB, ÔfiÙ EZ = ·. AÓ ÙÔ E Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ °¢, ÙfiÙ V = VAB°E + VAB¢E Î.Ï.
4. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ EB° = Ø B°2 Î·È B° = 2R Ú.
9. IÛ¯‡ÂÈ A°⊥B°, AB = 2·, A° = ·3 Î·È VAB°¢ = VA°¢ + VAB°. XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3, ı· ‚Ú›Ù 11 VAB°¢ = ·3. 4 ·3 4 · 2· Î·È ÙÂÏÈο B¢ = ‹ B¢ = . 3 3
10. VAB° = Î·È VAE¢Z = VAB° – VB¢Z –V¢E°
5. £· ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔÓ fiÁÎÔ ÂÓfi˜ ÎÒÓÔ˘ ·fi ÙÔÓ fiÁÎÔ ÂÓfi˜ ÎfiÏÔ˘ÚÔ˘ ÎÒÓÔ˘ Î·È ı· ‚Ú›Ù 1 V = ·3(5 + 33 ). 6 6. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ K ÙÔ˘ AB°¢ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô EM ÙÔÌ‹˜ M ÙˆÓ AH Î·È EK. Aԉ›ÍÙ fiÙÈ = 2. MK
7. £ÂˆÚ‹ÛÙ ÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙˆÓ ‰È¯ÔÙfiÌˆÓ ÂȤ‰ˆÓ ‰‡Ô
11. TÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜, ·ÊÔ‡ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· A, B Î·È °, ÙÂÏÈο ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÂÚ›ÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
12. TÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  (fiˆ˜ ÔÚ›ÛıËΠÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¿ÛÎËÛË) Î·È ÛÙÔ ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ A¢.
13. M ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ڢ R = . Ú + Ú2+ ˘2
14. Î =
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 13
‰›Â‰ÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Î·È ·Ô‰Â›ÍÙ fiÙÈ ·’ ·˘Ù‹Ó ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Î·È ÙÔ ÙÚ›ÙÔ ‰È¯ÔÙfiÌÔ Â›Â‰Ô.
8. Afi ÙȘ ÔÌÔÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AKM, AB°, ¢EZ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì EAKM = (E 1 – E 2)2 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ 1 V = (E 1 – E 2)2 Ø ˘. 3
9. AÚΛ Ë ‚¿ÛË Ó· ‰È·ÈÚÂı› Û ÙÚ›· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ̤ÚË Ì ¢ı›˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘. Ê 360
4 3
Ê 360
10. E = 4R2 Ø Î·È V = R3 Ø . 11. ·) N· ʤÚÂÙ ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‡„Ë ¢£ Î·È AH ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÂÙÚ·¤‰ÚˆÓ Î·È Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ E EZ OE Ø OZ O¢ ¢£ = Î·È = . O EOB° OB Ø O° OA AH
Ó3
°ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ
1. ∞ԉ›ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ·fi ÙËÓ Â Â›Ó·È 3Ú.
388
388
‚)
£ÂˆÚ‹ÛÙ ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÙÂÙڿ‰ÚÔ OA¢E ·ÎÌ‹˜ · Î·È ÂÊ·ÚÌfiÛÙ ÙÔ (·). £· ‚Ú›Ù 2 ·3 VOAB° = . 18
