Уравнения математической физики: Методическая разработка для практических занятий

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet mehaniko-matemati~eskij fakulxtet kafedra differencialxnyh urawnenij

metodi~eskaq razrabotka dlq prakti~eskih zanqtij po kursu

urawneniq matemati~eskoj fiziki (MAGISTRY)

kazanx { 1998

uTWERVDENO NA ZASEDANII KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pROTOKOL 8 OT 23.03.98. sOSTAWITELI:

DOCENTY sALEHOW l.g., sALEHOWA l.l., bIK^ANTAEW i.a.

R

w METODI^ESKOJ RAZRABOTKE RASSMATRIWA@TSQ DEJSTWIQ NAD OBOB]ENNYMI FUNKCIQMI W n, SWERTKI OBOB]ENNYH FUNKCIJ, SWERTO^NYE ALGEBRY I MODULI, URAWNENIQ (SISTEMY) SWERTOK W SWERTO^NYH ALGEBRAH I MODULQH, A TAKVE IH PRILOVENIQ PRI REENII OBOB]ENNYH ZADA^ kOI DLQ OSNOWNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, NEKOTORYH INTEGRALXNYH I INTEGRO-DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pREOBRAZOWANIE fURXE W PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ MEDLENNOGO (UMERENNOGO) ROSTA PRIWLEKAETSQ KAK METOD OTYSKANIQ \LEMENTARNYH (FUNDAMENTALXNYH) REENIJ URAWNENIJ SWERTOK. oSNOWOJ DLQ \TIH RAZRABOTOK POSLUVILI LEKCII, PRO^ITANNYE DLQ INVENERNOGO POTOKA NA MEHMATE. sOHRANQETSQ SIMWOLIKA PREDYDU]IH IZDANIJ. rASSMOTRENNYJ MATERIAL PREDNAZNA^EN DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ NA WTOROJ STUPENI OBRAZOWANIQ PO KURSU ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" (MAGISTRY), A TAKVE PRI WYPOLNENII SAMOSTOQTELXNYH I KURSOWYH RABOT STUDENTAMI I SLUATELQMI fpk, SPECIALIZIRU@]IMISQ NA KAFEDRE DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ.

c kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET 1999

oBOB]ENNYE FUNKCII I DEJSTWIQ NAD NIMI.

1) pOKAZATX, ^TO:

R R

RR

x v:p: x1 = 1 GDE x 2 : 2) pUSTX fj (x) 2 L1loc( n) I fj ! f W L1loc( n). pOKAZATX, ^TO fj ! f W D ( n), GDE D ( n) | PROSTRANSTWO D ( n), SNABVENNOE SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. 3) pUSTX " > 0 I " ! 0 POKAZATX, ^TO: (x ; ") ; (x + ") ! ; d (x) W D ( ):  2" dx N.B. nAPOMNIM, ^TO SIMWOL d=dx OZNA^AET PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 4) pSEWDO-FUNKCIQ aDAMARA NA + := 0 +1: dLQ L@BOJ FUNKCII ' 2 D( ) POLAGA@T: 0

R

0

0

R

0

R R

R

0Z 1  '(s)ds + '(0) ln "A  @ Pf Y x(x)  ' := lim " 0 s " 1

&

R

R

GDE Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA. pOKAZATX, ^TO Pf Yx ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PORQDKA NE WYE EDINICY NA , TO ESTX Pf Yx 2 D 1( ). oPREDELITX EE SUVENIE NA ] ; 1 0 I NA ]0 +1: nAJTI SOOTNOENIE MEVDU v:p: x1  Pf Yx I Pf Yx , GDE Pf Yx | \LEMENT, SIMMETRI^NYJ \LEMENTU Pf Yx . rEENIE. tAK KAK 0

Z1

R

'(x) ; '(0) = x ' (tx)dt 8' 2 DK ( ) 0

0

GDE K := ;a a] a > 0 TO

0Za 1 a  Z '(0)ds + '(0) ln "A  @ Pf Yx  ' = lim ( s )d s + " 0 s " " R GDE (x) = 01 ' (tx)dx, ILI  Y   Pf  '  6 a sup ess j' j + j'(0)jj ln aj 6 maxfa j ln ajgPK1(') x 0a] &

0

0

3

(1)

R

GDE PK1(') = sup j'(n)(x)j: x K n61 nERAWENSTWO (1) POKAZYWAET, ^TO Pf Yx 2 D 1( ): dALEE, O^EWIDNO, ^TO SUVENIE PF Yx NA ] ;1 0 RAWNO NUL@, A SUVENIE NA ]0 +1 RAWNO OBOB]ENNOJ FUNKCII, POROVDAEMOJ OBY^NOJ FUNKCIEJ NA ]0 +1: f (x) = 1=x. nAPOMNIM, ^TO L@BAQ FUNKCIQ f 2 L1loc(), GDE  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, ESTX OBY^NAQ FUNKCIQ PO OPREDELENI@ l.{WARCA. dALEE, IMEET MESTO SOOTNOENIE: v:p: x1 = Pf Yx ; Pf Yx (PROWERXTE!). 5) nAJTI SOOTNOENIE MEVDU OBOB]ENNOJ FUNKCIJ Pf Yx I PROIZWODNOJ OT OBOB]ENNOJ FUNKCII, PREDSTAWIMOJ ^EREZ FUNKCI@ x 7! Y (x) ln x. rEENIE. dLQ L@BOGO ' 2 D1( ) IMEEM: 2

0

R

Z

Z

R

1

Y (x) ln x ' (x)dx = 0

R

0

Z

1

ln x ' (x)dx := "lim0 ln x ' (x)dx = 0

&

0

"

0 Z '(x)dx 1 A= = lim @;'(") ln " ; 1

" 0 &

x

0 Z 1 = "lim0 @; '(x)dx ; '(0) ln " + '(0) ln " ; '(") ln "A : "

1

&

tOGDA

Z R

iTAK,

x

"



f'(0) ; '(")] ln "g = 0: Y (x) ln x ' (x)dx + Pf Yx  ' = lim " 0 0

&



R



d fY (x) ln xg ' = ; hY (x) ln x ' i = Pf Y  '  8' 2 D1( ) dx x 0

TO ESTX

d fY (x) ln xg = Pf Y : dx x N.B. eSLI WWESTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ ln jxj PO FORMULE

R

Z

hln jxj 'i := v:p: '(x) ln jxj dx 8' 2 D( ) R

4

TO IMEET MESTO FORMULA

d ln jxj = v:p: 1 : dx x

R

(pOKAVITE!) 6) oBOB]ENNAQ FUNKCIQ v:p: x12 NA OPREDELQETSQ FORMULOJ  Z '(x) ; '(0) 1 dx 8' 2 D( ): v:p: 2  ' := v:p: x x2 R

;

R



R

pOKAZATX, ^TO x2v:p: x1 = 1 I IMEET MESTO FORMULA: dxd v:p: x1 = ;v:p: x1 . 7) A) pRINADLEVIT LI FUNKCIQ x 7! 1=jxjn PROSTRANSTWU L1loc( n)? B) pOKAZATX, ^TO FUNKCIONAL Pf x1n , OPREDELQEMYJ FORMULOJ 2

R

2

0 1 Z x + ! '(0) ln "C  8' 2 D( n) Pf jx1jn  ' := "lim0 B @ '(jxx)d A n jn x >" j

j



R R

&

j

j

GDE !n | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY IZ n (PRI n = 1 !1 = 2), QWLQETSQ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ PORQDKA NE WYE 1 NA n. w SLU^AE n = 1 USTANOWITX SOOTNOENIE MEVDU Pf Yx  Pf Yx I Pf x1 . rEENIE. A) fUNKCIQ x 7! 1=jxjn NE PRINADLEVIT L1loc( n), TAK KAK ONA NE INTEGRIRUEMA W OKRESTNOSTI NA^ALA. B) mOVNO ZAPISATX: '(x) ; '(0) = (x), GDE j

(x) =

n X j=1

xj j (x) j (x) =

R

j

R

Z1 @' 0

@xj (tx)dt:

pUSTX TEPERX '(x) 2 DK ( n), GDE K | KOMPAKT IZ B (0 a), GDE B (0 a) | AR S CENTROM W NA^ALE, RADIUSA a. u^ITYWAQ, ^TO

Z

IMEEM:

"6 x 6a j

j

dx = ! jxjn n

Za rn 1dr rn = !n (ln a ; ln ") ;

"



Pf jx1jn  ' = !n '(0) ln a +

x 6a

j

5

R

Z (x)dx n  8 ' 2 D K ( ): n jxj j

dALEE, POLAGAQ

Ia :=

Z ndx jxjn 1  ;

x 6a

j

POLU^AEM OCENKU:

R

j

  1  Pf n  '  6 maxf!nj ln aj IagPK1(') 8' 2 DK1 ( n) jxj

R

TO ESTX Pf x1 n 2 D 1( n). Y (x) nETRUDNO USTANOWITX I FORMULU: Pf x1 = Pf Y (x) x + Pf x . 8) iNDIKATORNAQ (HARAKTERISTI^ESKAQ) FUNKCIQ SEGMENTA ;a a]  , GDE a > 0, POROVDAET OBOB]ENNU@ FUNKCI@ T1a , GDE 1 jxj 6 a 1 = 0

R

j

j

j

j

0 jxj > a

a

OPREDELQEMU@ SOOTNOENIEM:

Z

R

Za

hT1a  'i := 1a'(x)dx = '(x)dx 8' 2 D( ): R

;

a

pOKAZATX, ^TO T1a ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. wYRAZITX EE ^EREZ FUNKCI@ hEWISAJDA. 9) pUSTX Y (x) { REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ hEWISAJDA. nAJDITE dY=dx. 10) pUSTX L1compact() | PROSTRANSTWO KLASSOW INTEGRIRUEMYH NA  FUNKCIJ S KOMPAKTNYMI NOSITELQMI, GDE  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n. pOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE f 7! T NEPRERYWNO IZ L1 f compact() W Cb(), GDE Cb() | PROSTRANSTWO C (), SNABVENNOE ILI SLABOJ, ILI SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. rEENIE. pUSTX K | KOMPAKT IZ . dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO KANONI^ESKOE WLOVENIE L1K () W Cb() QWLQETSQ NEPRERYWNYM, TO ESTX RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA C () SNABVENO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. pUSTX B | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO IZ C (), TOGDA IMEEM:

R

0

0

0

0

0

Z

pB (Tf ) := sup j hTf  'i j 6 sup pK0(') jf (x)jdx ' B

' B

2

2

6

K

NO, TAK KAK B | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO IZ C (), TO sup pK0(') < +1. ' B R s DRUGOJ STORONY, TAK KAK f 7! jf (x)jdx ESTX NORMA, OPREDELQ@]AQ TOK 1 POLOGI@ W LK (), A (pB ) ESTX SEMEJSTWO POLUNORM, OPREDELQ@]EE SILXNU@ DUALXNU@ TOPOLOGI@ W C (), TO OTOBRAVENIE f 7! Tf QWLQETSQ NEPRERYWNYM. sLU^AJ C (), TO ESTX, KOGDA C () SNABVENO SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ, O^EWIDEN. 11) pUSTX ( j )j N | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX. pOKAZATX, ^TO ONA SHODITSQ K MERE dIRAKA  PO SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA C ( n). rEENIE. pO OPREDELENI@ REGULQRIZU@]EJ POSLEDOWATELXNOSTI IMEEM: 2

0

0

R

0

j (x) 2 D(

R

n)

0

2

R

j (x) > 0 NA

R

n

Z

Rn

j (x)dx = 1 supp j  B (0 "j )

GDE "j ! 0 PRI j ! 1, A B (0 "j ) | AR S CENTROM W NA^ALE RADIUSA "j . sLEDOWATELXNO, 8' 2 C ( n) IMEEM:

Z

oTKUDA:

Rn

j (x)'(x)dx ; '(0) =

Z

Rn

j (x)f'(x) ; '(0)gdx:

Z   (x)'(x)dx ; '(0) 6 sup j'(x) ; '(0)j:  j  x 6"j Rn

j

j

kOGDA j ! +1 "j ! 0 I NEPRERYWNOSTX FUNKCII '(x) POKAZYWAET, ^TO PRAWAQ ^ASTX POSLEDNEGO NERAWENSTWA STREMITSQ K NUL@. N.B. rEGULQRIZU@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX ( j (x))j N ^ASTO NAZYWA@T -OBRAZNOJ POSLEDOWATELXNOSTX@. 2

R

12) dIFFERENCIROWANIE KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMOJ FUNK-

CII.

pUSTX f (x) | FUNKCIQ ODNOJ PEREMENNOJ, OPREDELENNAQ NA , S PROIZWODNOJ NEPRERYWNOJ WS@DU ZA ISKL@^ENIEM ODNOJ TO^KI x0, W KOTOROJ f (x) I EE KLASSI^ESKAQ PROIZWODNAQ IME@T RAZRYW PERWOGO RODA. pOKAZATX, ^TO df = f (x) +  (x ; x ) 0 0 dx 0

7

GDE df=dx | PROIZWODNAQ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, A f | PROIZWODNAQ W KLASSI^ESKOM SMYSLE 0 | SKA^OK FUNKCII f (x) W TO^KE x0, TO ESTX 0 = f (x0 + 0) ; f (x0 ; 0), A (x ; x0) | MERA dIRAKA (FUNKCIQ dIRAKA) S NOSITELEM W TO^KE x0. N.B. w ^ASTNOSTI, ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, TO 0 = 0 I df=dx = f (x), TO ESTX PROIZWODNAQ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ SOWPADAET S PROIZWODNOJ W KLASSI^ESKOM SMYSLE. 13) pUSTX f (x) | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ NA MNOVESTWE n Nj=1faj g, GDE N | KONE^NOE ^ISLO. pUSTX f I EE PROIZWODNAQ f IME@T W TO^KAH a1 a2 : : :  aN RAZRYWY PERWOGO RODA. pOKAZATX, ^TO 0

0

R

R

0

N d (T ) = T + X j aj  f dx f j=1 0

GDE j = f (aj + 0) ; f (aj ; 0) | SKA^OK FUNKCII f W TO^KE aj  aj | MERA dIRAKA S NOSITELEM W TO^KE aj . N.B. nAPOMNIM, ^TO REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM f ILI Tf , GDE f | OBY^NAQ FUNKCIQ, POROVDA@]AQ REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@. 14) pUSTX f (x) OPREDELENA NA I IMEET k (k 2 ) NEPRERYWNYH PROIZWODNYH WS@DU NA , ISKL@^AQ TO^KU x0, W KOTOROJ FUNKCIQ I WSE EE PROIZWODNYE DO k-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO IME@T RAZRYWY PERWOGO RODA. pUSTX Sj (j = 0 1 2 : : :  k ; 1) | SKA^KI FUNKCII f (j) (x) W TO^KE x0. nAJTI k-U@ PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 15) pOKAZATX, ^TO xn(nx)k = 0 8n 2 := n 0 x 2 . 16) pOKAZATX, ^TO xn dxd n k (x) = 0 k = 1 2 : : :  n 8n 2  x 2 : 17) pOKAZATX, ^TO OB]EE REENIE URAWNENIQ xnU = 0 W PROSTRANSTWE D ( ) IMEET WID:

R R

0

R

N N N RN R 

;



;

n 1 X

k d U = Ck dxk (x) k=0 GDE Ck | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE . n d n 18) pOKAZATX, ^TO x dxn (x) = (;1)nn!(x) x 2  8n 2 : 19) wY^ISLITX PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ OT FUNKCII f (x) = jxj x 2 . 20) wY^ISLITX dxd fsgn xg. ;

R N

R

8

N

21) pOKAZATX, ^TO n+k k d ( n + k )! d n n x dxn+k (x) = (;1) k! dxk (x) 8k n 2 : N.B. rEZULXTATY, POLU^ENNYE W UPRAVNENIQH 15), 16), 18), 21), POZWOLQ@T WY^ISLITX PROIZWEDENIE MNOGO^LENA NA PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA OT MERY dIRAKA. 22) pOLU^ITE FORMULY sOHOCKOGO: 1 = ;i(x) + v:p: 1  1 = i(x) + v:p: 1 : x + i0 x x ; i0 x 23) wY^ISLITX PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ:

R

A) x+ := xY (x) B) x := (;x)Y (;x): 24) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): ;

R

0

U (x) = (x): 25) pUSTX g(x) 2 L1loc( ), A i (i = 1 2 : : :  n) | POSTOQNNYE. pOKAZATX, ^TO RAWENSTWO g(x) +

00

n X i=1

i(x ; xi ) = 0

(1)

IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA g(x) = 0 (2) i = 0 (i = 1 2 : : :  n): (3) rEENIE. pUSTX '(x) 2 D( ) TAKAQ, ^TO supp ' NE SODERVIT TO^EK xi (i = 1 2 : : :  n) TOGDA (1) WLE^ET: hg 'i = 0, OTKUDA SLEDUET, ^TO g(x) = 0 PO^TI WS@DU. pUSTX TEPERX ' 2 D( ) TAKAQ, ^TO supp ' SODERVIT TOLXKO ODNU IZ TO^EK fxig I '(xi ) 6= 0 TOGDA RAWENSTWO i '(xi ) = 0 WLE^ET i = 0, I RAWENSTWO (3) TOVE DOKAZANO. dOSTATO^NOSTX O^EWIDNA. 26) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): xU ; U = x2:

R

R

0

00

0

9

R

pUSTX U = T  TOGDA xT + T = x2. rEAQ SOOTWETSTWU@]EE ODNORODNOE URAWNENIE xT ; T = 0, IMEEM: T0 = Cx. pRIMENQQ METOD WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ, I]EM REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ W WIDE: T = C (x)x: pODSTAWLQQ T = C (x)x W URAWNENIE xT ; T = x2 , POLU^IM: x2(C (x) ; 1) = 0. iSPOLXZUQ REZULXTAT UPRAVNENIQ 17), IMEEM: rEENIE.

0

0

0

0

0

C (x) ; 1 = A0(x) + A1 ddx (x) ILI C (x) = 1 + A0(x) + A1 ddx (x): 0

0

oTKUDA C (x) = x + A0Y (x)+ A1(x)+ A2, GDE A0 A1 A2 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. a TOGDA T (x) = x2 + A0xY (x)+ A1x(x)+ A2x NO x(x) = 0, PO\TOMU T (x) = x2 + A0xY (x)+ A2x. sLEDOWATELXNO, U = x2 + A0xY (x)+ A2x. oKON^ATELXNO NAHODIM: U = x3=3+(1=2)A0 x2Y (x)+(1=2)A2x2 + A3, GDE A0 A2 A3 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. zAMETIM, ^TO PRI POMO]I FUNKCII hEWISAJDA Y (x) \TO REENIE OPREDELENO NA WSEM INTERWALE , TOGDA KAK KLASSI^ESKOE REENIE OPREDELENO TOLXKO NA KAVDOM IZ INTERWALOW ] ; 1 0 I ]0 +1, NA KOTORYH ONO SOWPADAET S OBOB]ENNYM REENIEM, TO ESTX S REENIEM W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 27) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): 0

R

0

xU ; U = 1: 00

0

R R

28) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): 0

xU ; U = (x): rEENIE. pUSTX U = V  TOGDA xV ; V = (x). sOOTWETSTWU@]EE ODNORODNOE URAWNENIE xV ; V = 0 IMEET REENIE V0 = Cx. rEAEM NEODNORODNOE URAWNENIE METODOM WARIACII POSTOQNNOJ, TO ESTX V I]EM W WIDE: V = C (x)x. pODSTAWLQQ W NEODNORODNOE URAWNENIE, IMEEM: x2C (x) = (x). nO, W SILU UPRAVNENIQ 18), IMEEM: x2d2=dx2 = 2!(x). tOGDA x2C (x) = (x2=2!)  x2(C (x) ;  =2) = 0 C (x) ;  =2 = A1(x) + A2 (x) ILI C (x) =  (x)=2 + A1Y (x) + A2(x) + A3. tOGDA U = C (x)x = x (x)=2 + A1xY (x) + xA3, NO, W SILU UPRAVNENIQ 18), x (x) = ;(x), PO\TOMU U = ;(x)=2 + A1xY (x) + A3x. oTS@DA POLU^AEM: U = ;Y (x)=2 + A1x2Y (x)=2 + A3x2=2 + A4, GDE A1 A3 A4 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. 00

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

10

00

0

00

R R

29) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): xU = 1: 30) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): x2U = 1: 0

00

0

00

iSPOLXZUQ OPERACII SDWIGA OBOB]ENNOJ FUNKCII I SHODIMOSTX W PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, MOVNO OPREDELITX PROIZWODNU@ OT OBOB]ENNOJ FUNKCII KAK I W KLASSI^ESKOM SLU^AE. u^ITYWAQ \TO ZAME^ANIE, MOVNO LEGKO RASPROSTRANITX NA SLOVNYE OBOB]ENNYE FUNKCII PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ OBY^NYH SLOVNYH FUNKCIJ. pUSTX u(x) 2 C ( ) I Tf | REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ TOGDA MOVNO NAPISATX SLEDU@]EE PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ: 1

R

R

d T u(x)] = dTf u (x) dx f du KOTOROE IMEET SMYSL, IBO u (x) 2 C ( ): |TO OBOB]ENIE QWLQETSQ ESTESTWENNYM, IBO ONO OHWATYWAET SLU^AJ OBY^NYH FUNKCIJ. 31) pUSTX f (x) 2 C ( ) I f (x) 6= 0 f (x) 6= 0. pOKAZATX, ^TO f (x)] = 0. rEENIE. tAK KAK f (x) 6= 0 , TO f (x) LIBO POLOVITELXNA, LIBO OTRICATELXNA. pO\TOMU 0 f (x) < 0 Y f (x)] = 1 f (x) > 0 dIFFERENCIRUQ FUNKCI@ Y f (x)] W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I ZAME^AQ, ^TO S ODNOJ STORONY dY f (x)]=dx = 0 , A S DRUGOJ STORONY f (x)f (x)] = 0, POLU^AEM, ^TO f (x)] = 0, TAK KAK f (x) 6= 0 . 32) wY^ISLITX (ex). 33) pUSTX W n ZADANY FUNKCII fi(x1 x2 : : :  xn) 2 C ( n) i = 1 : : :  n. pOKAZATX, ^TO ESLI \TI FUNKCII IME@T EDINSTWENNYJ KORENX x0 = (x01 x02 : : :  x0n) I FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX W \TOJ TO^KE OTLI^EN OT NULQ:  @ ( f  f  : : :  f ) 1 2 n J (x0) = @ (x  x  : : :  x )  6= 0 1 2 n x=x0 1

0

R

0

1

0

0

R

0

1

11

R

TO IMEET MESTO FORMULA:

(f1 f2 : : :  fn) = jJ (1x0)j (x ; x0):

(I)

rEENIE. pOLXZUQSX INTEGRALXNOJ SIMWOLIKOJ, MOVNO ZAPISATX:

Z

Rn

(f1 f2 : : :  fn)'(f1 f2 : : :  fn)df1df2    dfn =

R

= '(0 0 : : :  0) 8' 2 D( n) GDE df1df2    dfn = jJ (x)jdx1dx2    dxn, ILI

Z

Rn

(f1 f2 : : :  fn)'(f1 f2 : : :  fn)jJ (x)jdx1dx2    dxn = '(0 0 : : :  0):

zAME^AQ, ^TO FUNKCIQ

R

(x1 x2  : : :  xn ) = '(f1 f2 : : :  fn )jJ (x)j QWLQETSQ OSNOWNOJ, TO ESTX 2 D( n), IMEEM

Z

Rn

(II)

(f1 f2 : : :  fn) (x1 x2 : : :  xn)dx1dx2    dxn = '(0 0 : : :  0):

nO IZ RAWENSTWA (II) IMEEM: tOGDA

Z Rn

'(0 0 : : :  0) = jJ (1x0)j (x01 x02 : : :  x0n):

(f1 f2 : : :  fn) (x1 x2 : : :  xn)dx1dx2    dxn =

1 (x0 x0 : : :  x0 ) = 1 2 n 0)j j J ( x Z 1 = (x ; x0) (x1 x2 : : :  xn)dx1dx2    dxn: j J ( x ) j Rn N.B. |TA FORMULA MOVET BYTX OBOB]ENA NA SLU^AJ, KOGDA FUNKCII fi(x1 x2 : : :  xn ) i = 1 2 : : :  n, IME@T KONE^NOE ILI BESKONE^NOE ^ISLO PROSTYH NULEJ xj . a IMENNO, IMEET MESTO FORMULA: X 1 (f1 f2 : : :  fn) = jJ (xj )j (x ; xj ) x xj 2 n: (III) j =

R

12

w ^ASTNOSTI,

X

f (x)] =

R

1  (x ; xj ) x xj 2 : j jf (x )j 0

j

(IV)

zAMETIM, ^TO \TOT REZULXTAT MOVNO POLU^ITX I PUTEM PRIMENENIQ PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII. 34) wWESTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ Y (x2 ;a2), GDE a > 0 I Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA NA . wY^ISLITX EE PROIZWODNU@ I POLU^ITX WYRAVENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (x2 ; a2). rEENIE. pROIZWODNAQ FUNKCII

R

0 jxj < a Y (x2 ; a2) =

1 jxj > a RAWNA 2x(x2 ; a2 ). tAK KAK Y (x2 ; a2) = Y (x ; a)+ Y (;x ; a) I (;x) = (x), TO 2x(x2 ; a2) = d (Y (x ; a) + Y (;x ; a)) = dx = (x ; a) ; (;x ; a) = (x ; a) ; (x + a): tAK KAK FUNKCIQ v(x) = x NE RAWNA NUL@ W TO^KAH x = a, TO (x2 ; a2) = 21x f(x ; a) ; (x + a)g = 21a f(x ; a) + (x + a)g: N.B. pRIMENQQ FORMULU (IV), MOVNO POLU^ITX TOT VE REZULXTAT, NO FORMULU (IV) NELXZQ PRIMENITX K (x2), TAK KAK URAWNENIE x2 = 0 IMEET DWUKRATNYJ KORENX. pO\TOMU OBOB]ENNAQ FUNKCIQ (x2) POKA ^TO LIENA SMYSLA. 35) pOKAZATX, ^TO x(x2 + a2) = 0, GDE x a 2 . rEENIE. rASSMOTRIM OBOB]ENNU@ FUNKCI@ Y (x2 + a2). zAMETIM, ^TO w(x) = x2 +a2 2 C ( ), PO\TOMU, PRIMENQQ FORMULU DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII I U^ITYWAQ, ^TO x2+a2 > 0 8x 2 , IMEEM: x(x2 + a2) = 0. 36) pOLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (sin x). 37) pOLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (cos x). 38) w PROSTRANSTWE 3 POLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ (sin x sin y sin z ). rEENIE. pRIMENQQ FORMULU (III), IMEEM: 1

R

R

R

(sin z sin y sin z ) =

X X X 1

m=

;1

1

n=

1

;1

k=

13

;1

(x ; m y ; n z ; k):

R

39) nAJTI PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (x2 ; a2 y), a > 0. rEENIE. fUNKCII f1(x y) = x2 ; a2 I f2(x y) = y IME@T PROSTYE KORNI (a 0) I (;a 0) I FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX J (x y) = 2x.

pO\TOMU

(x2 ; a2 y) = 21a f(x ; a y) + (x + a y)g: 40) nAJTI PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (x2 ; a2 y2 ; b2 ), a > 0, b > 0. 41) pOLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ: A) (sin x y) B) (x ; a)(x ; b)] a 6= b W) (x)(x ; a)] GDE (x) 2 C ( ) I NE OBRA]AETSQ W NULX. 42) pUSTX Q | OBLASTX IZ I f | KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ KLASSA C 1(Q). iSPOLXZUQ TEOREMU sTOKSA: 1

R

Z

C

!=

@Q

Z

d!

Q

GDE d! | WNENIJ DIFFERENCIAL OT DIFFERENCIALXNOJ FORMY !, @Q | GRANICA Q, DOKAZATX FORMULU:

Z @f Z @z dz ^ dz = f dz

GDE



Q

@Q







@ = 1 @ +i @  @ = 1 @ ;i @ @z 2 @x @y @z 2 @x @y | SIMWOLY wIRTINGERA. N.B. |TA FORMULA QWLQETSQ KOMPLEKSNOJ FORMOJ ZAPISI FORMULY gRINA-oSTROGRADSKOGO. 43) pOKAZATX, ^TO

 @ 1 = (z ): @z z rEENIE.

IMEEM:

C

R

fUNKCIQ 1=z 2 L1loc( ). pO\TOMU DLQ L@BOGO ' 2 D( 2)

 



@ 1  ' = ; 1  @' = ; Z 1 @' dxdy @z z z @z z @z UR

14

GDE UR | KRUG S CENTROM W NA^ALE I DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA R. tOGDA

  Z @ 1  ' = ; lim " 0 @z z

1 @' dxdy = z @z

&

"< z " x >" x =" Z

j

j

Z

j

j

j

j

GDE  | WNENQQ NORMALX K SFERE jxj = ". iLI:

Z

Z @E Z @' E 'dx = E'dx + @ 'ds ; E @ ds: x >" x >" x =" x ="

j

j

Z

j

j

j

20

j

j

j

R

pERWYJ INTEGRAL SPRAWA RAWEN NUL@, TAK KAK E | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W n nf0g, SM. UPR. 48). tRETIJ INTEGRAL SPRAWA STREMITSQ K NUL@, KOGDA " ! 0, TAK KAK ON MAVORIRUETSQ NEKOTOROJ KONSTANTOJ, UMNOVENNOJ NA "n 1  "2 n . pOKAVEM, ^TO WTOROJ INTEGRAL STREMITSQ K '(0). w SAMOM DELE,   ;

;

 Z   @E 'ds ; '(0) =  @  x ="    Z  1 = n 1  '(x) ; '(0)]ds 6 max j'(x) ; '(0)j ! 0 !n"   x =" x =" j

j

;

j

j

KOGDA " ! 0. iTAK, TO ESTX E = :

R

j

j

hE 'i = '(0) = h 'i  8' 2 D( n)

R

R

nEKOTORYE SWEDENIQ, KASA@]IESQ SWERTKI W LEBEGOWYH PROSTRANSTWAH.

A) sLU^AJ KOGDA f 2 Lp( n) I g 2 Lq ( n) GDE p I q QWLQ@TSQ GAR MONI^ESKI SOPRQVENNYMI TO ESTX 1=p + 1=q = 1. tOGDA: 1) sWERTKA Z ,

,

R R R

(f  g)(a) :=

Rn

,

-

f (x)g(a ; x)dx

R

R

SU]ESTWUET WS@DU NA n I QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ I RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA n FUNKCIEJ, PRI^EM kf  gk 6 kf kpkgkq : 2) eSLI p 2]1 1, TO (f  g) 2 C0( n), GDE C0( n) | PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH NA n FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. N.B. nAPOMNIM, ^TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO A NAZYWAETSQ ALGEBROJ, ESLI NA NEM OPREDELENA OPERACIQ UMNOVENIQ, LINEJNAQ OTNOSITELXNO KAVDOGO MNOVITELQ W OTDELXNOSTI. aLGEBRA A NAZYWAETSQ ASSOCIATIW NOJ, ESLI WSEGDA x(yz ) = (xy)z  ALGEBRA A NAZYWAETSQ KOMMUTATIWNOJ, ESLI WSEGDA xy = yx: wEKTORNOE PROSTRANSTWO K( n), NEPRERYWNYH I FINITNYH NA n FUNKCIJ, SNABVENNOE OPERACIEJ SWERKA, QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ SWERTO^NOJ ALGEBROJ BEZ EDINICY.

R

1

R

21

-

eSLI MERA dIRAKA  PRINADLEVIT A, TO A ESTX SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ, ESLI  2= A, TO A ESTX SWERTO^NAQ ALGEBRA BEZ EDINICY. B) sLU^AJ KOGDA f 2 L1( n) g 2 L1( n). tOGDA: 1) sWERTKA (f  g) SU]ESTWUET PO^TI WS@DU NA n I (f  g) 2 L1( n), PRI^EM Z Z Z

R

,

Rn

R

(f  g)(x)dx =

R

Rn

R

R

f (y)dy g(z )dz Rn

I kf  gk1 6 kf k1kgk1. 2) wEKTORNOE PROSTRANSTWO L1( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ SWERTO^NOJ ALGEBROJ BEZ EDINICY. N.B. tAK KAK L1( n) | BANAHOWO PROSTRANSTWO, TO L1( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ BANAHOWOJ SWERTO^NOJ ALGEBROJ BEZ EDINICY. W) sLU^AJ KOGDA f 2 Lp( n) g 2 Lq ( n) GDE p q > 1 TAKIE ^TO 1=p + 1=q ; 1 > 0: tOGDA: 1) sWERTKA (f  g) SU]ESTWUET PO^TI WS@DU NA n. 2) eSLI 1=r = 1=p + 1=q ; 1, TO (f  g) 2 Lr ( n) I kf  gkr 6 kf kpkgkq : G) sLU^AJ KOGDA f 2 Lpcompact( n) g 2 Lqloc( n). pUSTX 1 6 p q r 6 1 PRI^EM 1=p + 1=q ; 1=r = 1: tOGDA SWERTKA (f  g) SU]ESTWUET PO^TI WS@DU NA n I (f  g) 2 Lrloc( n). eSLI r = +1, TO (f  g) OPREDELENA WS@DU I QWLQETSQ NEPRERYWNOJ. D) iMEET MESTO TEOREMA OB APPROKSIMACII aNRI kARTANA. pUSTX (x) | FIKSIROWANNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA n S KOMPAKTNYM NOSITELEM. tOGDA DLQ WSQKOJ FUNKCII f (x), OPREDELENNOJ I NEPRERYWNOJ NA n, SWERTKA

R

R

,

R

,

R

R

g(a) = (  f )(a) =

R

R

Z

Rn

R

,

R RR

,

R

,

R

(x)f (a ; x)dx

R

ESTX PREDEL W TOPOLOGII KOMPAKTNOJ SHODIMOSTI NA n (TO ESTX W TOPOLOGII PROSTRANSTWA C ( n)) LINEJNYH KOMBINACIJ SDWIGOW FUNKCII f . iNA^E GOWORQ, ESLI DLQ " > 0 POLOVITX g"(a) = "n

X

k Zn

("k)f (a ; "k)

2

22

TO:

R

N

R

1) kOGDA " ! 0, TOGDA g"(a) ! g(a) W TOPOLOGII PROSTRANSTWA C ( n). 2) supp g"  supp + supp f 8" > 0: 3) eSLI f 2 C k ( n), TO 8 2 n  jj 6 k Dg"(a) ! Dg(a), PRI " ! 0 W TOPOLOGII KOMPAKTNOJ SHODIMOSTI NA n.

E) eSLI supp f (x) supp g(x)  SU]ESTWUET I IMEET WID :

R R +

:= 0 +1, TO SWERTKA (f  g)

8 Rx < f (t)g(x ; t)dt x > 0 (f  g) = : 0  0 x < 0

R

PRI^EM supp (f  g)  +: V) sWERTKA (f  g) SU]ESTWUET, ESLI f ILI g OBLADAET KOMPAKTNYM NOSITELEM. 50) wY^ISLITX SWERTKU Y (x ; a)  Y (x ; b), GDE 0 6 a 6 b x 2  Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA. 51) dANA FUNKCIQ fa(x) = a e a x  a > 0 x 2 : wY^ISLITX SWERTKU fa(x)  fb(x). 52) pUSTX  1 ex x () Y() (x) = Y (x) ;()   > 0  2 : p

R

2 2

;

;

pOKAZATX, ^TO Y  Y = Y+ . rEENIE.

x Z  1 t ( x ; t )   Y()  Y() = ;();( ) ;

1

;

R

C

e(x t) etdt = ;

0

+ 1 ex Z x = (1 ; u) 1u 1 du ;();( ) 0 ZDESX PROIZWEDENA ZAMENA t = xu. nO 1

;

;

Z1 0

;

(1 ; u) 1u 1 du = B (  ) = ;();( ) : ;( +  ) ;

;

23

w ^ASTNOSTI, REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ

N

n 1 x (n) Y() = Y (x) x e  n 2  (n ; 1)! ;

BUDET n-OJ SWERTO^NOJ STEPENX@ REGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII Y (x)ex. |TI SWERTKI ISPOLXZU@TSQ W TEORII DIFFERENCIROWANIQ NECELOGO PORQDKA I W TEORII WEROQTNOSTEJ. 53) pUSTX G (x) =  12 e x =2   > 0: pOKAZATX, ^TO G (x)  G (x) = G  + . |TA FORMULA IGRAET WAVNU@ ROLX W TEORII WEROQTNOSTEJ. 54) pUSTX ;

p

p

2

2

2

2

Pa(x) = 1 x2 +a a2  a > 0: pOKAZATX, ^TO Pa(x)  Pb(x) = Pa+b(x). 55) wY^ISLITX x 1 a  x 1 b , GDE a I b NEWE]ESTWENNY. rEENIE. tAK KAK x 1 a I x 1 b PRINADLEVAT L2( ), TO IH SWERTKA SU]ESTWUET: Z 1 dt 1  = : x;a x;b (t ; a)(x ; t ; b) ;

R

;

;

;

R

R

|TO INTEGRAL PO OT RACIONALXNOJ FUNKCII, KOTORAQ IMEET POL@SY t = a t = x ; b I SOOTWETSTWU@]IE WY^ETY RAWNY:

1 1 1 1 =  resx b =; (z ; a)(x ; b ; z ) x ; a ; b (z ; a)(x ; b ; z ) x ; a ; b: sUMMA \TIH WY^ETOW RAWNA NUL@. pO\TOMU IMEEM: 8 2i  ESLI Im a > 0 Im b > 0 x a b 1  1 =< ; 2i  ESLI Im a < 0 Im b < 0 x a b x ; a x ; b : 0 ESLI Im a I Im b RAZNYH ZNAKOW:

resa

;

;

;

;

;

56) pOKAZATX, ^TO

m!  n! = (x ; a)m+1 (x ; b)n+1 8 1 ESLI Ima > 0 Imb > 0 (m + n)! < = 2i ;1 ESLI Ima < 0 Imb < 0 (x ; a ; b)m+n+1 : 0 ESLI Ima I Imb RAZNYH ZNAKOW

N

GDE m n 2 .

24

R

nEKOTORYE SWEDENIQ, KASA@]IESQ SWERTKI OBOB]ENNYH FUNKCIJ.

nAPOMNIM (SM. 5], 6]), ^TO ESLI S I T PRINADLEVAT D ( n) I IH NOSITELI OBRAZU@T PARU, DOPUSKA@]U@ SWERTKU, TO



R



0

hS  T 'i := S  T '  ' 2 D( n)

GDE  | SIMWOL TENZORNOGO (PRQMOGO) PROIZWEDENIQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S I T , ' (x y) := '(x + y). pERE^ISLIM NEKOTORYE SLU^AI SU]ESTWOWANIQ SWERTKI. 1) eSLI ODNA IZ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. 2) eSLI NOSITELX ODNOJ ESTX GIPERBOLI^ESKOE MNOVESTWO, A DRUGOJ | PARABOLI^ESKOE MNOVESTWO (SM. 6]). 3) eSLI NOSITELI S 2 D ( ) I T 2 D ( ) SUTX MNOVESTWA IZ OGRANI^ENNYE SLEWA. iZWESTNO, ^TO: 1) pROSTRANSTWO E ( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ (MERA dIRAKA  QWLQETSQ EDINICEJ). 2) pROSTRANSTWO D ( n) QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA SWERTO^NOJ ALGEBRE E ( n). nAPOMNIM, ^TO WEKTORNOE PODPROSTRANSTWO M IZ D ( n), SODERVA]EE SWERTO^NU@ ALGEBRU A S EDINICEJ, NAZYWAETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA ALGEBRE A, ESLI DLQ L@BOGO A 2 A I DLQ L@BOGO M 2 M SU]ESTWUET SWERTKA A  M = M  A 2 M, OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: B  (A  M ) = (B  A)  M GDE A B 2 A M 2 M

R R R

0

R

0

R

R

,

0

0

0

0

R

(A + B )  M = A  M + B  M  A  (M + N ) = A  M + A  N GDE M N 2 M a 2 A:

~ASTO ALGEBRU A NAZYWA@T E]E ALGEBROJ OPERATOROW NA M. 3) wSQKAQ SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA SEBE. 4) pROSTRANSTWO OBOB]ENNYH FUNKCIJ S GIPERBOLI^ESKIMI NOSITELQMI (W SLU^AE n = 1 S NOSITELQMI, OGRANI^ENNYMI SLEWA), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ. |TA ALGEBRA IGRAET WAVNU@ ROLX W TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. 25

R R

R

5) pROSTRANSTWO OBOB]ENNYH FUNKCIJ S PARABOLI^ESKIMI NOSITELQMI QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA ALGEBRE 4). 6) pROSTRANSTWO D ( +) OBOB]ENNYH FUNKCIJ S NOSITELQMI W +, SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ, KOTORAQ ISPOLXZUETSQ W TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. 57) pOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ T 2 D ( n) IME@T MESTO RAWENSTWA: A) a  T = aT a 2 n, GDE a | OPERATOR SDWIGA NA WEKTOR a, TO ESTX a f (x) = f (x ; a) B) D  T = DT  2 n . 58) wY^ISLITX (x ; a)  (x ; b). 59) pOKAZATX, ^TO 8a 2 n 8 2 n  8T 2 D ( n) SPRAWEDLIWO RAWENSTWO: D(aT ) = a DT: 60) pUSTX SU]ESTWUET SWERTKA T1  T2. pOKAZATX, ^TO D(T1  T2) = DT1  T2 = T1  DT2  2 n : 61) pUSTX SU]ESTWUET SWERTKA T1  T2. pOKAZATX, ^TO a(T1  T2) = a T1  T2 = T1  (aT2):  ; 62) wY^ISLITX SWERTKU v:p: x 1 a  x1 b , GDE a 2  b 2= . rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 22), POSLE PRIMENENIQ PREOBRAZOWANIQ SDWIGA a IMEEM: 1 v:p: 1 = lim x ; a " 0 x ; a + i" + ia: 1  1 I   1 SU]ESTWU@T, PO\TOMU zAMETIM, ^TO SWERTKI x a+i" a x b x b MOVNO PO OPREDELENI@ POLOVITX:

1 

1  1 1 1 :  := lim  +  i   v:p: a x ; a x ; b " 0 x ; a + i" x ; b x;b eSLI Im b > 0, TO, SOGLASNO UPRAVNENI@ 55), IMEEM

1  1 v:p:  = 0 + ia 1 = i : x;a x;b x;b x;a;b eSLI Im b < 0, TO

 1 1 ;2i + i 1 = v:p: := lim  a x ; a x ; b " 0 x ; a ; b + i" x;b 0

R N R N 0

;

0

R R

;

&

;

;

&

&

26

R N

;

=;

iTAK,

v:p:

2i i = ; i : + x;a;b x;a;b x;a;b



i  ESLI Im b > 0 x a b = i b x a b  ESLI Im b < 0: v:p: x 1 a v:p: x1 b , GDE a b

1

1

x;a  x;

;

; 63) wY^ISLITX SWERTKU

rEENIE.





; ;

;

;

;





;

R

2 :

;





1 v:p: 1  v:p: 1 := v:p: 1  lim x;a x;b x ; a " 0 x ; b + i" + ib = 1 + iv:p: 1 ; = = v:p: 1  "lim0 x;a x ; b + i" x;a;b ; i 1 = lim +  iv : p : = i(ia+b) = ;2 a+b: " 0 x ; a ; b + i" x;a;b iTAK,

 1  1 v:p:  v:p: = ;2a+b a b 2 : x;a x;b w ^ASTNOSTI,

1 1 v:p:  v:p: = ;2 : x x 64) pUSTX f I g | DWE FUNKCII, OPREDELENNYE NA , TAKIE, ^TO: x f (x) 2 Lp( n) x g(x) 2 Lq ( n) 8 2 n  j j 6 m 2  GDE p I q | GARMONI^ESKI SOPRQVENNYE. pOKAZATX, ^TO 8 2 n  j j 6 m IMEET MESTO RAWENSTWO: X !  x (f  g) = !( ; )! (x f )  (xg): 6 &

&

R

&

R

R R N N

N

R

;

R R

65) w SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) POKAZATX, ^TO OBRATNYM \LEMENTOM DLQ Y (x), GDE Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA, QWLQETSQ  (x). 66) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) OBRATNYM \LEMENTOM DLQ Y (x)ex QWLQETSQ ( ; ). 67) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) OBRATNYM \LEMENTOM DLQ E (x) = Y (x) sin!!x , GDE ! > 0 | POSTOQNNAQ, QWLQETSQ \LEMENT  + !2. 0

0

0

0

27

0

00

R

R

68) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( 2+) OBRATNYM \LEMENTOM (xy) . DLQ \LEMENTA Y (x y) QWLQETSQ \LEMENT @2@x@y w SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( 2+) BUDET LI FUNKCIQ 21 ln r, GDE r = px69) 2 + y 2, OBRATNYM \LEMENTOM DLQ  (x y )? 70) pUSTX W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) \LEMENTY T I S IME@T OBRATNYE \LEMENTY T 1 I S 1. pOKAVITE, ^TO \LEMENT (T  S ) IMEET OBRATNYJ \LEMENT WIDA T  S ] 1 = T 1  S 1 . 71) pOKAZATX, ^TO FUNKCII: 1) e x , 2) e ax2 , GDE a > 0, 3) xe ax2 , GDE 1 ( ). wY^ISLITX SWERTKI: A) a > 0, PRINADLEVAT SWERTO^NOJ ALGEBRE L e x  e x , B) e ax2  xe ax2 , W) xe ax2  xe ax2 . 72) wY^ISLITX SWERTO^NYE STEPENI f n n 2  FUNKCII 1 ;1 < x < 1 f (x) = 0 W OSTALXNYH TO^KAH: kAKOW NOSITELX FUNKCII f n? 0

0

R

0

;

;

;

;

;

;j

;j

j

;j

j

;

;

j

;

;

;

R

N



R



pREOBRAZOWANIE fURXE.

;

nAPOMNIM (SM. 6]), ^TO, ESLI f 2 L1( n), TO PREOBRAZOWANIE fURXE OPREDELQETSQ PO FORMULE: (Ff )( ) :=

P

Z

Rn

f (x)e

;

2ix dx

2

R R R R n

GDE x = nk=1 xk k . ~TO KASAETSQ SWOJSTW PREOBRAZOWANIQ fURXE W L1( n) I OPREDELENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE W PROSTRANSTWE S ( n)  S SMOTRI WYEUKAZANNYE RAZRABOTKI. 73) dANA FUNKCIQ g(x) = e x , GDE  > 0 x 2 . wY^ISLITX PREOBRAZOWANIE fURXE (Fg)( ) = g^( ). rEENIE. pREVDE WSEGO, g(x) 2 L1( ), PO\TOMU g^( ) SU]ESTWUET. iZWESTNOp, ^TO f^( ) = f ( ) = e  , GDE f (x) = e x  TOGDA g(x) = f (kx), GDE k = = . pO\TOMU 0

\

;

2

;

2

R

;

2

 r

g^( ) = f (kx)( ) = k1 f^ k =  e

;

74) wY^ISLITX OBRAZ fURXE FUNKCII

x2  1  (x) = p exp ; 22   2 28

2  2 

:

0

GDE  > 0. oTKUDA WYWESTI FORMULU:

R

   = 

R

2 + 2 

p

GDE  > 0. 75) pUSTX S 2 S ( l) T 2 S ( n). dOKAZATX FORMULU: F (S  T ) = 0

0

(FS )  (FT ). 76) pUSTX S | AWTOMORFIZM PROSTRANSTWA

^TO

S FT F (S T ) = j det Sj t

1

;

R R n, T

2 S ( n). pOKAZATX, 0

GDE tS | TRANSPONIROWANNYJ AWTOMORFIZM. oTKUDA WYWESTI, ^TO ESLI T | RADIALXNAQ, TO I FT | RADIALXNAQ. 77) wY^ISLITX F (v:p: x1 ). rEENIE. tAK KAK v:p: x1 2 S ( ), TO F (v:p: x1 ) SU]ESTWUET. iZWESTNO, ^TO xv:p: x1 = 1. tOGDA (Fx)  F (v:p: x1 ) = . nO Fx = ; 2i  TOGDA fF (v:p: x1 )g = ;2i, OTKUDA F (v:p: x1 )( ) = ;2iY ( )+ C , GDE C | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ, A Y | FUNKCIQ hEWISAJDA. dALEE, v:p: x1 | NE^ETNAQ FUNKCIQ, A TOGDA, W SILU PREDYDU]EGO UPRAVNENIQ, F (v:p: x1 )( ) DOLVNA BYTX NE^ETNOJ, TO ESTX DOLVNO BYTX: ;2iY (; ) + C = 2iY ( ) ; C I PRI  > 0 IMEEM: C = i OTKUDA 0

R

0

0





i  > 0 = ;2iY ( ) + i: F v:p: x1 = ; i  < 0 78) wY^ISLITX F (Y (x)), GDE Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA.

pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE K RAWENSTWU F (v:p: x1 ) = ;2iY + i, POLU^ENNOMU W PREDYDU]EM UPRAVNENII, I U^ITYWAQ FOR 8T 2 S , IMEEM: v:p: x1 = ;2iF (Y ) + i, MULU OBRA]ENIQ: FFT = T ; 1  + 1 . OTKUDA, U^ITYWAQ NE^ETNOSTX v:p: x1 , IMEEM: F (Y ) = v:p: 2ix 2 79) wY^ISLITX OBRAZ fURXE FUNKCII rEENIE.

0

R

cos 2x  x 2 : f (x) = 2 sin 2x(2;x4x )3

80) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, POKAZATX, ^TO eixt lim t x ; i0 = 2i(x): !1

29

R

81) wY^ISLITX KOPREOBRAZOWANIE fURXE FUNKCII u(y) = 2iy +1 42 a2  a > 0 y 2 : rEENIE. pOLOVIM V = Fu. tAK KAK 2iyu(y) + 42 a2u(y) = 1, TO 2iyFV +42a2FV = 1, OTKUDA V +42a2V = , ILI ( +42a2)  V = , 2 a2 ) W SWERTO^NOJ ALGEBRE A OBRATNYM \LEMENTOM K \LEMENTU (  + 4  D ( +) QWLQETSQ V = Y (x)e 42a2x (PROWERXTE!) 82) nAJTI PREOBRAZOWANIE fURXE PO x DLQ FUNKCII 0

R

0

0

0

R

;

 (x t) = exp(;42 tjxj2) t > 0 x 2 n: rEENIE. dOSTATO^NO NAJTI FUNKCI@ u(x t) TAKU@, ^TO 42 t x 2

Fu = e

;

j

j

 4tx 2 : p

=e

;

j

j

wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ



F f (kx)]( ) = k1n (Ff ) k 

GDE f (x) = e

 x 2.

;

j

j

tOGDA IMEEM: F e

 kx 2 ]( ) =

;

p

j

j

pOLAGAQ ZDESX k = 1= 4t, POLU^IM:



F e j

oTKUDA



;

p

1 4t

1 kn e

 =k 2 :

;

j



j = (p4t)ne

x

2

j

 4t 2 : p

;

j

R R N

u(x t) = p 1 n e ( 4t)

j

x 2=4t :

;j

j

83) pUSTX f ESTX RADIALXNAQ FUNKCIQ NA n, ODNORODNAQ STEPENI m, PREOBRAZOWANIE fURXE KOTOROJ SU]ESTWUET. pOKAZATX, ^TO OBRAZ fURXE Ff QWLQETSQ RADIALXNOJ FUNKCIEJ ODNORODNOJ STEPENI (;n ; m), TO

ESTX

(Ff )(j j) =  n m (Ff )(j j): 84) pUSTX fk (x) = 1=jxjk  x 2 n GDE k 2  k < n. nAJTI F (fk). ;

30

;

R

tAK KAK 0 < k < n, TO fk 2 L1loc( n) I PREDSTAWLQET SOBOJ REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ MEDLENNOGO ROSTA. dALEE, TAK KAK fk | RADIALXNAQ, TO Ffk | RADIALXNAQ I, KROME TOGO, fk | ODNORODNAQ FUNKCIQ STEPENI ;k. sLEDOWATELXNO, Ffk QWLQETSQ ODNORODNOJ FUNKCIEJ STEPENI k ; n, W SILU PREDYDU]EGO UPRAVNENIQ. pO\TOMU (Ffk)( ) = ckn=j jn k, GDE KONSTANTA ckn ZAWISIT OT k I n. dLQ PODS^ETA \TOJ KONSTANTY PRIMENIM FORMULU, OPREDELQ@]U@ PREOBRAZOWANIE fURXE W S : rEENIE.

;

0

hFfk  'i = hfk  F'i  8' 2 S : wZQW W KA^ESTWE '(x) exp(;jxj2) I U^ITYWAQ, ^TO F' = ', A FUNKCII 1=jxjk I 1=jxjn k PRINADLEVAT L1loc( n), IMEEM: ;

Z

ckn j j

iZWESTNO, ^TO

R

R

x k n e  x 2 dx =

Rn

Z Rn

;

;

j

Z

j

Rn

jxj k e ;

Z

 x 2 dx:

;

j

j

()

1

f (x)dx = !n g(r)rn 1dr ;

0

R

ESLI f  = g(r) ZAWISIT TOLXKO OT r, GDE | POLQRNOE PREOBRAZOWANIE n W SEBQ, ! | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY W n, TO ESTX ! = n n n=2 2 =;(n=2) ;(x) | ESTX gAMMA-FUNKCIQ:

Z

1

;(x) = 2 u2x 1e u2 du x > 0 ;

;

0

OBLADA@]AQ SWOJSTWOM: ;(x + 1) = x;(x) x > 0, PRI^EM, ESLI x = 1=2, TO

 Z p 1  p ; = 2 e u2 du = 2 =  2 2 1

;

0

ESLI x = 1, TO ;(1) = 1: tOGDA RAWENSTWO (*) PRIMET WID

Z

1

Z

1

ckn rk 1e ;

r

;

2

dr =

0

0

31

rn

;

k 1 e r2 dr: ;

;

sOWERAQ ZAMENU pr = u, POLU^IM:

Z

1

ckn

ILI oTKUDA

0

Z p k 1 u 2k n u e du = (  ) un 1

;

;

2

;

k  p ckn; 2 = ( )2k

;

k 1 e u2 du ;

;

0 n;

;

n ; k  2

:

;n k p ; ckn = ( )2k n ; k2  : ; ;

;

a TOGDA IMEEM:

2

;n k p ; F (fk ) = ( )2k n ; k2  fn k  ; ;

R R R R CR ;

2

;

GDE 0 < k < n. 85) wY^ISLITX F (1=jxj2) x 2 3. 86) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, REITE URAWNENIE pUASSONA W n, GDE n > 3, W PROSTRANSTWE S ( n):

R

0

n 2 X @ En = (x)  = @x2 : k=1

k

87) wY^ISLITX F (1=jxj) x 2 3. 88) pUSTX S(0 R)(x) | PROSTOJ SLOJ W 3, GDE S (0 R) | SFERA S CENTROM W NA^ALE RADIUSA R. wY^ISLITX F (S(0 R)). 89) wY^ISLITX F (1=z )( ) z  2 . 90) wY^ISLITX F (Y (R;jxj)) x 2  n = 1 Y | FUNKCIQ hEWISAJDA. 91) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, DOKAZATX FORMULU: X !  x (f  g) = ( ;  )! ! (x  f )  (x g)  2 n  f g 2 S ( n):  6 ;

R

N

92) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, REITX ZADA^U kOI: @ 2u = @ 2u  x 2  t > 0 @t2 @x2 u(x 0) = '(x) 2 S ( ) @u @t (x 0) = (x) 2 S ( ):

R

32

R

R

(1) (2)

N

uRAWNENIQ SWERTOK.

pUSTX A | SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ I M | SWERTO^NYJ MODULX NA A. wSQKOE URAWNENIE W Mm m 2 , GDE Mm | SWERTO^NYJ MODULX NA SWERTO^NOJ ALGEBRE Am m WIDA: 

~ A]  X~ = W (I) GDE A] 2 Am m  W~ 2 Mm ZADANY, X~ | ISKOMYJ WEKTOR IZ Mm, NAZYWAETSQ SISTEMOJ IZ m URAWNENIJ SWERTOK S m NEIZWESTNYMI OBOB]ENNYMI FUNKCIQMI. mATRICA A] NAZYWAETSQ MATRICEJ KO\FFICIENTOW SISTEMY (I). eSLI W~ = ~0, TO SISTEMA NAZYWAETSQ SOOTWETSTWU@]EJ ODNORODNOJ SISTEMOJ. eSLI m = 1, TO SISTEMA (I) SWODITSQ K ODNOMU URAWNENI@ SWERTOK. mATRICA E ] 2 Mm m , UDOWLETWORQ@]AQ SISTEME: 



A]  E ] = E ]  A] = ]

GDE ] | DIAGONALXNAQ MATRICA S GLAWNOJ DIAGONALX@, SOSTOQ]EJ IZ MER dIRAKA , NAZYWAETSQ \LEMENTARNYM REENIEM SISTEMY (I). iMEET MESTO tEOREMA. pUSTX SISTEMA (I) IMEET \LEMENTARNOE REENIE E ] PRINADLEVA]EE Am m TOGDA ~ 2 Mm SISTEMA OBLADAET EDINSTWENNYM REENIEM 1) dLQ L@BOGO W KOTOROE IMEET WID X~ = E ]  W~ 2) nE SU]ESTWUET DRUGIH \LEMENTARNYH REENIJ (DAVE W Mm m ) sLEDSTWIE. pRI M = A DLQ SISTEMY (I) W Am IME@T MESTO SLE DU@]IE UTWERVDENIQ 1) sU]ESTWUET SAMOE BOLXEE ODNO \LEMENTARNOE REENIE E ] KO TOROE QWLQETSQ MATRICEJ OBRATNOJ (PO OTNOENI@ K SWERTKE) DLQ MATRICY KO\FFICIENTOW A] SISTEMY (I) ~ 2 2) sISTEMA (I) OBLADAET EDINSTWENNYM REENIEM DLQ L@BOGO W Am ESLI I TOLXKO ESLI SU]ESTWUET \LEMENTARNOE REENIE E ] I TOG DA REENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ X~ = E ]  W~ iZWESTNO, ^TO USLOWIEM OBRATIMOSTI MATRICY S \LEMENTAMI IZ KOMMUTATIWNOJ ALGEBRY A SLUVIT USLOWIE: mATRICA A] 2 Am m | OBRATIMA (W KA^ESTWE \LEMENTA IZ Am m ), ESLI I TOLXKO ESLI EE SWERTO^NYJ OPREDELITELX  OBRATIM (W KA^ESTWE \LEMENTA IZ A). ,



,

:

,

:

.



.

-

:

,

-

,

.

,

,

:



-

.



33

eSLI A] | OBRATIMAQ MATRICA W Am m I  1 | OBRATNYJ \LEMENT K , TO KOMPONENTAMI MATRICY E ] = A] 1 QWLQ@TSQ: 

;

;

Eij =  1  A0ji  i j = 1 2 : : :  m GDE A0ij | ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE (PO SWERTKE) DLQ Aij . ;

kONKRETNYMI REALIZACIQMI URAWNENIJ SWERTOK MOGUT BYTX INTEGRALXNYE URAWNENIQ, URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, W KONE^NYH RAZNOSTQH, INTEGRO-DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ.

R R R R

uRAWNENIQ SWERTOK W

R

D ( +). 0

nAPOMNIM, ^TO A = D ( +) ESTX SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA , NOSITELI KOTORYH SODERVATSQ W + := 0 +1. eSLI A = P, GDE 0

R

m m 1 d d P = dxm + C1 dxm 1 + : : : + Cm 1 ddx + Cm  Ci = const i = 1 2 : : :  m TO URAWNENIE SWERTOK A  X = W , GDE W 2 D ( +) | ZADANO, X | ISKOMAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ IZ D ( +), QWLQETSQ OBYKNOWENNYM LINEJNYM DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM m-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. ;

;

;

0

0

R

iMEET MESTO tEOREMA: oPERATOR P OBLADAET EDINSTWENNYM \LEMENTARNYM RE ENIEM E W D ( +) oNO RAWNO PROIZWEDENI@ FUNKCII hEWISAJDA Y NA KLASSI^ESKOE REENIE e ODNORODNOGO URAWNENIQ Pe = 0 UDOWLETWORQ@ ]EGO NA^ALXNYM USLOWIQM 0

-

.

,

:

-

N RR R

e(0) = e (0) = : : : = e(m 2) (0) = 0 e(m 1) (0) = 1: 93) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxdnn  n 2 , W D ( +). 94) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd + !2 W D ( +), GDE ! | POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ.  d 2 95) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dx ; ! W D ( +), GDE ! | POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ. 1 e ! x TAKVE QWLQETSQ \LEMENTARNYM 96) pOKAZATX, ^TO f (x) = ; 2!  d 2 REENIEM OPERATORA dx ; ! . 97) pUSTX T 2 D ( +) I ! | POLOVITELXNOE ^ISLO. nAJTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ V 2 D ( +) TAKU@, ^TO: d4V + !2 d2V = T dx4 dx2 0

;

;

0

2 2

2 2

0

RR

;

2 2

0

34

j

j

0

0

I RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA T = =2. N.B. dIFFERENCIALXNYJ OPERATOR d4 + ! 2 d 2 dx4 dx2 WYRAVAET DEJSTWIE OSEWOJ SILY, A PRAWAQ ^ASTX T ESTX BOKOWAQ SILA. 98) nAJTI W D ( +) OBOB]ENNYE FUNKCII, OBRATNYE K 1)  ; 5 +6 2) Y +  3) Y (x)ex +  . 99) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +)]2 2 MATRICA      OBRATIMA. nAJTI OBRATNU@ MATRICU. rEITX SISTEMU URAWNENIJ SWERTOK W D ( +)]2:  X + X = 1 2  X + X =0 : 0

00

R

0

0

0

R

R

00

0

00

0

0

00

R

00

0



0

1

2

00

100) rEITX W D ( +)]3 SISTEMU URAWNENIJ SWERTOK: 8 Y (x)e1x  X + Y (x)e2x  X + Y (x)e3x  X = V < 1 2 3 1  x  x  x 3 1 2 : YY ((xx)e)e2x  XX11 ++ YY ((xx)e)e3x  XX22 ++ YY ((xx)e)e1x  XX33 == VV23  GDE 1 2 3 | POSTOQNNYE.  ; 101) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd +  m  m 2 , W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). 102) rEITX ZADA^U kOI DLQ CEPI RLC: d2q(t) L dt2 + R ddt q(t) + C1 q(t) = E (t) t > 0 (1)  d q ( t ) q(t)jt=0 = q0 dt  = i0 (2) t=0 GDE R L C q0 i0 | POSTOQNNYE. 102') nAJTI P (d=dx) S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI, DLQ KOTOROGO SWERTKA Y (x) sin x  Y (x) sin2x SLUVIT \LEMENTARNYM REENIEM W D ( +). wY^ISLITX \TU SWERTKU. nAJTI REENIE ZADA^I kOI: 0

0

0

R

N

R

y(4) ; 3y ; 4y = 0 y(0) = 1 y (0) = y (0) = y (0) = 0: 00

0

35

00

000

R R

103) rEITX URAWNENIE SWERTOK W D ( +): Y (x) cos s  X (x) = W W 2 D ( +) OPREDELIW PREDWARITELXNO \LEMENT, OBRATNYJ K \LEMENTU  + Y . 104) rEITX W D ( +) URAWNENIE SWERTOK: Y (x) sin x  X (x) = 21 Y (x)x sin x: rEENIE. o^EWIDNO, Y (x) sin x] 1 =  + . pO\TOMU X (x) = ( + )  21 Y (x)x sin x = Y (x) cos x. 105) nAJTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ V W D ( +) TAKU@, ^TOBY OBOB]ENNAQ FUNKCIQ E , OPREDELQEMAQ SOOTNOENIEM E (x) = V  Y (x) sin x, QWLQLASX \LEMENTARNYM REENIEM W D ( +) OPERATORA dxd ; 1. 0

0

R

0

;

00

0

R

0

R

0

00

mNOGIE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI PRIWODQT K INTEGRALXNYM URAWNENIQM. nAPRIMER, HOROO IZWESTNY INTEGRALXNYE URAWNENIQ wOLXTERRA I I II RODA:

Zx 0

K (x ; t)y(t) = f (x) x > 0

Zx

y(x) + K (x ; t)y(t) = f (x) x > 0:

(I) (II)

0

pRODOLVAQ FUNKCII K (x) f (x) y(x) NULEWYMI ZNA^ENIQMI DLQ x < 0 I WWODQ SOOTWETSTWU@]IE IM REGULQRNYE OBOB]ENNYE FUNKCII, \TI INTEGRALXNYE URAWNENIQ MOVNO RASSMATRIWATX KAK URAWNENIQ SWERTOK W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +): 0

R

Y (x)K (x)  V (x) = F (x) (I ) K1(x)  V (x) = F (x) (II ) GDE V (x) = Y (x)y(x) F (x) = Y (x)f (x) K1 =  + Y (x)K (x). N.B. uRAWNENIE (I ) NE WSEGDA IMEET REENIE. nAPRIMER, ESLI Y (x)K (x) 2 C ( ). pO^EMU? 106) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA I RODA: 1

R

0

0

0

Zx 0

cos(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0: 36

R

rASSMOTRETX SLU^AJ f (x) = sin x. rEENIE. oNO \KWIWALENTNO URAWNENI@ SWERTOK W D ( +): 0

Y (x) cos x  Y (x)y(x) = Y (x)f (x): u^ITYWAQ UPRAVNENIE 103), IMEEM: Y (x) cos x] 1 =  + Y (x). pO\TOMU ;

0

Zx

Y (x)y(x) =  + Y (x)]  Y (x)f (x) = d(Y (xd)xf (x)) + Y (x) f (t)dt: 0

0

w ^ASTNOSTI, PRI f (x) = sin x IMEEM: Y (x)y(x) = Y (x), TO ESTX y(x) = 1 PRI x > 0. 107) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA I RODA:

Zx

1 sin(x ; t) ; (x ; t) cos(x ; t)]y(t)dt = x x > 0 2 0

R

PREDWARITELXNO OPREDELIW \LEMENT, OBRATNYJ K \LEMENTU ( + ) W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). 108) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE: 0

Zx 0

00

sin(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0:

rASSMOTRETX SLU^AJ f (x) = cos x. 109) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE

Zx 0

(e t ; sin t)y(x ; t)dt = 1 x > 0 ;

R

PREDWARITELXNO POKAZAW, ^TO OBRATNYM \LEMENTOM K \LEMENTU Y (x)(e x ; sin x) W ALGEBRE D ( +) BUDET  + 2 + (4ex ; 1)Y . 110) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA: ;

0

Zx

0

y(x) + ex ty(t)dt = f (x) x > 0: ;

0

37

00

111) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA:

Zx

y(x) + cos(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0: 0

uKAZANIE: U^ESTX UPRAVNENIE 103).

112) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA:

Zx

y(x) + sin(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0: 0

113) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA:

Zx

y(x) ; 2 sin(x ; t)y(t)dt = x cos x x > 0: 0

N.B. dLQ INTEGRALXNOGO URAWNENIQ wOLXTERRA II RODA IMEET MESTO tEOREMA. eSLI QDRO K (x) QWLQETSQ LOKALXNO INTEGRIRUEMOJ FUNKCIEJ, OGRANI^ENNOJ NA KAVDOM INTERWALE, TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ  + Y (x)K (x) 2 D ( +) EDINSTWENNYM OBRAZOM OBRATIMA W ALGEBRE D ( +), PRI^EM OBRATNYJ \LEMENT IMEET WID  + Y (x)K (x)] 1 = (x) + H (x), GDE H 2 D ( +). uRAWNENIQ WIDA: 0

R

0

R

0

;

d

R

d

Zx

P dx y(x) + f (x ; t)Q dt y(t)dt = g(x) x > 0 0

GDE P (d=dx) I Q(d=dx) | DIFFERENCIALXNYE POLINOMY S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI PORQDKA n I m SOOTWETSTWENNO (n > m), NAZYWA@TSQ INTEGRO-DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO f 2 C m ( +) I g 2 C ( +), TO REENIE INTEGRO-DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ SOSTOIT W OTYSKANII FUNKCII y(x) 2 C n ( +), UDOWLETWORQ@]EJ \TOMU URAWNENI@, A TAKVE USLOWIQM TIPA kOI:

R

R

R

y(0) = y0 y (0) = y1 : : :  y(n 1) (0) = yn 1: 0

;

;

iSPOLXZUQ DALEE ZAWISIMOSTX MEVDU PROIZWODNYMI W KLASSI^ESKOM SMYSLE I PROIZWODNYMI W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, ISHODNOE URAWNENIE WMESTE S NA^ALXNYMI USLOWIQMI SWODITSQ K URAWNENI@ SWERTOK W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). 0

R

38

114) rEITX INTEGRO-DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE:

Zx

2y + 3y ; (x ; t)y (t)dt = 2 x > 0 00

0

0

0

ESLI y(0) = y (0) = 0. 115) rEITX ZADA^U kOI: 0

y (x) + y(x) = sin x x > 0 y(0) = 0 y (0) = ; 21 : 00

0

rEENIE. pRODOLVAQ NULEM DLQ x < 0 FUNKCII y(x) I sin x, POLU^IM

REGULQRNYE OBOB]ENNYE FUNKCII V = Y (x)y(x) F = Y (x) sin x, GDE Y | FUNKCIQ hEWISAJDA. wY^ISLQQ PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, IMEEM: 2 dV 1 = ; +Yy : dx2 2

R

00

tOGDA POLU^IM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA : 2 d V + V = ; 1  + F: dx2 2

R

iLI, RASSMATRIWAQ EGO KAK URAWNENIE SWERTOK W ALGEBRE D ( +), IMEEM:

d2

0



1 +   V = ;  + F: dx2 2

o^EWIDNO,

d2 



;

1

+  = Y sin x: dx2 tOGDA V = Y sin x  (;(1=2) + F ). oTKUDA y(x) = ; 21 x cos x x > 0. 116) rEITX ZADA^U kOI: y (x) ; y(x) = 12 ex x > 0 y(0) = y (0) = 0: 117) rEITX ZADA^U kOI: y ; y = 0 x > 0 y(0) = y (0) = y (0) = 1: 118) rEITX ZADA^U kOI: a) y (x) + k2y(x) = f (x) x > 0 y(0) = y (0) = 0 00

0

000

0

00

00

0

39

B) y + 3y = e 2x x > 0 y(0) = 0 0

;

W) y + 5y + 6y = 12 x > 0 y(0) = 2 y (0) = 0 00

0

0

G) y (x) + 5y(x) + 2z (x) = e x z (x) + 2z (x) + 2y(x) = 0 x > 0 0

;

0

y(0) = 1 z (0) = 0 D) u (x) ; av(x) = f (x) au(x) + v (x) = g(x) x > 0 u(0) = v(0) = 0 f g 2 L1loc( +) a = const: 119) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, NAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). rEENIE. rASSMATRIWAQ URAWNENIE dE dx =  , GDE E | ISKOMOE \LEMENTARNOE REENIE ;W D ( +), KAK URAWNENIE SWERTOK W D ( +) : dxd  E = , d 1 W D ( ). pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, IMEWIDIM, ^TO E = dx + 1 . iLI, W SILU UPRAVNENIQ 78), EM: 2i (FE ) = 1. oTKUDA FE = v:p: 2i IMEEM: FE = v:p: 21i = FY ; 12  = F (Y ; 1=2): oTKUDA E = Y ;1=2. nO E DOLVNO BYTX IZ D ( +), PO\TOMU E (x) = Y (x). 120) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, NAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd +1 W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +), A ZATEM REITX URAWNENIE dT + T = F + a , GDE a = const F 2 L1 \ S ( ). + loc dx 0

R

0

0

R R

;

0

R

0

0

R

R RR 0

0

0

|LEMENTARNYE REENIQ NEKOTORYH OPERATOROW W ^ASTNYH PROIZWODNYH S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI.

121) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA kOI-rIMANA:

 @ = 1 @ +i @ : @z 2 @x @y rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 43), IMEEM: E (z ) = 1=z S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ ANALITI^ESKOJ W FUNKCII. pRIWEDEM REENIE, ISPOLXZU@]EE PREOBRAZOWANIE fURXE. pRIMENQQ EGO K OBEIM ^ASTQM RAWENSTWA @E=@z = , POLU^IM: i E^ = 1, GDE  =  + i. oTKUDA E^ = 1=i 2 L1( ). pO\TOMU: Z 1 1 2i(x+y) E (z ) = i  e d d = 2

C

C

R

40

8Z2 Z 1 < = i : e 0 0 1

rASSMOTRIM INTEGRAL

A(z ) =

Z2

j j

;

e i e2i z  cos( ;

0 2 arg z

Z

i e2i z  cos( arg z) d

;

j j

9 =

arg z) d

;

d:

=

;

=

i('+arg z) e2i z  cos ' d' =

e

;

arg z

j j

;

Z

2 arg z ;

=e

iarg z

;

e2i z  cos ' i'd': j j

;

arg z

;

w SILU PERIODI^NOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, IMEEM: A(z ) = e

;

iarg z

Z2

e2i z  cos ' i'd' = e j j

;

iarg z 2 iJ

1 (2

;

0

jz j)

GDE J1 | FUNKCIQ bESSELQ (SM. 7]). pO\TOMU

Z

1

E (z ) = 2e

iarg z

;

0

J1(2jz j)d = 2e

;

iarg z

1 1 = : 2jz j z

R

122) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA W 2. rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 44), IMEEM: p E2(x y) = 21 ln r r = x2 + y2 S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ GARMONI^ESKOJ W 2 FUNKCII. 123) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA W n, GDE n > 3. rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 49), IMEEM: En (x) = ;1=(n;2)!n jxjn 2 n > 3 x 2 n, GDE !n = 2n=2=;(n=2) | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY W n. w ^ASTNOSTI, PRI n = 3 IMEEM: E (x) = ;1=4jxj x 2 3: uKAVEM WTOROJ SPOSOB REENIQ ZADA^I, ISPOLXZU@]IJ PREOBRAZOWANIE fURXE. pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE K RAWENSTWU En = 

R

R R

41

R R

;

R

R

n > 3, IMEEM: ;4j j2(FEn)( ) = 1  2 n. tAK KAK 1=j j2 2 L1loc( n) n > 3, POLU^IM: F (En) = ;1=4j j2. pOLAGAQ W UPRAVNENII 84) n ; k = 2, POLU^IM:

1  p 1 :  ; F jxjn 2 ( ) = (  )n 2 ;(1) n 2 ; 2 j j2 oTKUDA En(x) = ;1=!n (n ; 2)jxjn 2 S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ GARMONI^ESKOJ W n FUNKCII. 124) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE WOLNOWOGO OPERATORA 2 2 @ @ 2 a = @t2 ; a @x2  x 2 : 125) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE WOLNOWOGO OPERATORA n 2 2 X @ @ 2 a = @t2 ; a   = @x2 : k=1 k

R

;

;

;

;

R

126) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI (DIFFUZII): n @2 : @ ;   = X @t @x2 k=1 k rEENIE. iSPOLXZUQ PREOBRAZOWANIE fURXE W n+1, IMEEM:

R

RR

(FE )(  )(2i + 42 j j2) = 1 (  ) 2

tAK KAK 1=(2i + 42j j2) 2 L1loc(

(FE )(  ) =

n+1),

IMEEM:

1 : 2i + 42j j2

n+1 :

fUNKCIQ (FE )(  ) OGRANI^ENA NA BESKONE^NOSTI, SLEDOWATELXNO, ONA POROVDAET REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ MEDLENNOGO (UMERENNOGO) ROSTA. a PO\TOMU E = F (FE ) ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA. wY^ISLIM E = F (FE ). pREVDE WSEGO, RAWENSTWO (FE )(  )(2i + 42j j2) = 1 MOVNO RASSMATRIWATX KAK OBRAZ fURXE OT URAWNENIQ dV + 42j j2V = (t) dt 42

PRI PREOBRAZOWANII fURXE PO t. oTKUDA: V (t) = Y (t)e 4  t. nAJDEM TEPERX PROOBRAZ DLQ V (t) = Vt( ), GDE t RASSMATRIWAETSQ KAK PARAMETR. zAPIEM Vt ( ) W WIDE: 2 j j2

;

Vt( ) = Y (t)e  2 t : dALEE, WpSILU FORMULY F (f (kx)) = k n(Ff )(=k), GDE k POLAGAEM RAWNYM 1=2 t, A f (x) = e  x  x 2 n, IMEEM: x =4t Y ( t )e Y ( t ) t  x=2 = p n  n2 : E (t x) = p n e (2 t) ( 4t) 127) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE PO x, NAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA @t@ ; a2, GDE  | OPERATOR lAPLASA W n. 128) pUSTX n = 2 z = x + iy f 2 C 1(Q) I f = 0 W Q1 = 2 n Q, GDE Q | OBLASTX, OGRANI^ENNAQ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ L S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OBHODA. pOLU^ITX FORMULU: @ (T ) = T f f @f=@z ; cos(~n x) + i cos(~n y )]  @z 2 GDE  | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ NA L ~n | WNENQQ NORMALX K L. uKAZANIE. fORMULA WYTEKAET IZ UPRAVNENIQ 45). 129) pOLU^ITX INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE W KONE^NOJ OBLASTI Q  , OGRANI^ENNOJ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ L, DLQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ W Q FUNKCII f (z ), GDE z = x + iy (FORMULA bORELQ-pOMPE@): f (z) z 2 Q 1 Z f ( )d 1 Z @f d d ; = 0 z 2= Q  2i  ; z  @z  ; z ;

j

p

R

2

j

;

2

j

;

p

;

j

2

;j

N RR

2

j

j

j

L

L

C

L

Q

GDE  =  + i.

rEENIE. wWEDEM FUNKCI@

f (z) z 2 Q F (z ) = 0 z 2= Q :

tOGDA, W SILU UPRAVNENIQ 128), IMEEM:

@ (T ) = T f F @F=@z ; cos(~n x) + i cos(~n y )] : @z 2 L

43

rASSMATRIWAQ POSLEDNEE RAWENSTWO KAK URAWNENIE SWERTOK:

@  T = T f F @F=@z ; cos(~n x) + i cos(~n y )]  @z 2 ;  I U^ITYWAQ, ^TO @z@  z1 = , IMEEM:  f 1 TF = z  T @F@z ; 2 cos(~n x) + i cos(~n y)] : L

L

pOLU^IM TEPERX INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE DLQ PRAWOJ ^ASTI, U^ITYWAQ, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ DEJSTWUET PO FORMULE:



; f2 cos(~n x) + i cos(~n y)]  ' = Z Z 1 i = ; f ( )cos(~n x) + i cos(~n y)]'( )ds = f ( )'( )d 2 2 L

C

L

GDE d = d + id ' 2 D( ). iMEEM: Z F (z ) = 21i

L

L

f ( )d ; 1 Z @F d d :  ; z  @z  ; z Q

oTS@DA WYTEKAET FORMULA bORELQ-pOMPE@. N.B. pRI DOPOLNITELXNOJ GIPOTEZE REGULQRNOSTI (GOLOMORFNOSTI) f W Q IZ NEE POLU^AETSQ INTEGRALXNAQ FORMULA kOI: 1 2i

Z f ( )d f (z) z 2 Q  ; z = 0 z 2= Q : L

iNTEGRALXNAQ FORMULA kOI WYPOLNQETSQ PRI BOLEE SLABYH OGRANI^ENIQH NA GLADKOSTX FUNKCII f (z ) NA GRANICE OBLASTI Q, ^EM TE, PRI KOTORYH USTANOWLENA FORMULA bORELQ-pOMPE@, A IMENNO: ESLI f (z ) GOLOMORFNA W Q I NEPRERYWNA W Q. 130) pOKAZATX, ^TO W 3 FUNKCII

R

ik x ik x e e E3 (x) = ; 4jxj I E 3(x) = ; 4jxj j

j

;

j

j

QWLQ@TSQ \LEMENTARNYMI REENIQMI OPERATORA gELXMGOLXCA ( + k2), GDE k | POSTOQNNAQ. 44

R

FUNKCIQ E (x) = ; 41x cos kjxj TOVE QWLQETSQ \LEMENTARNYM REENIEM TOGO VE OPERATORA gELXMGOLXCA. 132) iSPOLXZUQ FUNKCII E3(x) I E 3(x), NAJDITE NETRIWIALXNOE REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ gELXMGOLXCA. 133) nAJDITE \LEMENTARNOE REENIE BIGARMONI^ESKOGO OPERATORA , GDE  = @x@ + @y@ + @z@ . rEENIE. eSLI h 2 C ( 3), A T 2 D ( 3), TO IMEET MESTO SOOTNOENIE: (hT ) = ht + T h + 2(grad h grad T ), GDE (grad h grad T ) | SKALQRNOE PROIZWEDENIE W 3. tOGDA, POLAGAQ h = 12 r2, GDE r2 = x2 +y2+z 2, A T = ;1=4r | \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA , IMEEM: 131) pOKAZATX, ^TO W

2 2

2 2

3

j

2 2

R

1

R

0

1

j

R



1 1  r2 ; =; : 2 4r 4r oTKUDA E (x y z ) = ;r=8: 134) nAJDITE \LEMENTARNOE REENIE W 2 BIGARMONI^ESKOGO OPERATORA .

R R R

R

RR

oBOB]ENNAQ ZADA^A kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.

w DALXNEJEM TO^KU PROSTRANSTWA n+1 BUDEM OBOZNA^ATX (x t), GDE x = (x1 2 : : :  xn ) 2 n t 2 . nAPOMNIM, ^TO MNOVESTWO IZ n+1, SODERVA]EESQ W OBRAZE PRI SDWIGE POLUPROSTRANSTWA f(x t) 2 n+1j t > 0g, NAZYWAETSQ PARABOLI^ESKIM MNOVESTWOM, A WSQKOE MNOVESTWO IZ n+1, SODERVA]EESQ W OBRAZE PRI SDWIGE KONUSA f(x t) 2 n+1j at > jxjg, GDE a2 | KO\FFICIENT, WHODQ]IJ W DALAMBERIAN a = @t@ ;a2 , NAZYWAETSQ GI PERBOLI^ESKIM MNOVESTWOM. iZWESTNO, ^TO MNOVESTWO A OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA n+1 S GIPERBOLI^ESKIMI NOSITELQMI, SNABVENNOE OPERACIEJ SWERTKA, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ, A MNOVESTWO M OBOB]ENNYH FUNKCIJ S PARABOLI^ESKIMI NOSITELQMI QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA ALGEBRE A, ILI A ESTX ALGEBRA SWERTO^NYH OPERATOROW NA M. kONUS f(x t) 2 n+1j at > jxjg NAZYWA@T KONUSOM WOLN BUDU]EGO W n+1 u DALAMBERIANA  = @ ; a2   n = 1 2 3, SU]ESTWUET I PRITOM a @t n EDINSTWENNOE \LEMENTARNOE REENIE En(x t) S NOSITELEM, SODERVA]IMSQ W KONUSE WOLN BUDU]EGO W n+1. oNO IMEET WID:

R

R

.

2 2

R

R

R

2 2

E1(x t) = 21a Y (at ; x) n = 1 1 pY (at ; jxj)  n = 2 E2(x t) = 2a (at)2 ; jxj2 45

R

-

E3(x t) = 4Ya(t2)t S(0 at)(x) n = 3 GDE Y | FUNKCIQ hEWISAJDA, A S(0 at)(x) | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ NA SFERE jxj = at.

R

pOSTANOWKA OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.

R

R R R R R RR RR

pUSTX U0 U1 | ZADANNYE OBOB]ENNYE FUNKCII NA n, A T | ZADANNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NA n+1 S NOSITELEM W POLUPROSTRANSTWE f(x t) 2 n+1j t > 0 x 2 ng. i]ETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ U 2 D ( n+1) S NOSITELEM W UKAZANNOJ POLUPLOSKOSTI, UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@: aU = T + U0   (t) + U1  (t) n = 1 2 3 (1) W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA n+1, GDE SIMWOL  OZNA^AET TENZORNOE (PRQMOE) PROIZWEDENIE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. N.B. tAK KAK supp fU0 (t)+U1(t)g  nf0g, TO U UDOWLETWORQET URAWNENI@ aU = T W n  , GDE = n f0g. rASSMATRIWAQ URAWNENIE (1) KAK URAWNENIE SWERTOK NA M: a  U = T + U0   (t) + U1  (t) n = 1 2 3 I ZAME^AQ, ^TO \LEMENTARNOE REENIE En (x t) 2 A, ZAKL@^AEM, ^TO SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNOE REENIE OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI, OPREDELQEMOE FORMULOJ: 0

0

0





0

U = En  T + U0   (t) + U1  (t)]: u^ITYWAQ POLEZNYE NA PRAKTIKE FORMULY: 0

(2)

@ E (x t)U (x)] En(x t)U1(t) = En(x t)U1(x) En(x t)U0 (t) = @t n 0 (3) REENIE (2) MOVNO ZAPISATX W WIDE: @ E (x t)  U (x)]: U = En  T + U1(x)] + @t (4) n 0 N.B. oTMETIM, ^TO En  T | SWERTKA PO x I t, A En  U1(x) I En  U0(x) | SWERTKI PO x. 135) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W 1, ESLI T (x t) = 0, A U = 0 U (x) =  (x). 0 1 0

R

46

R

rEENIE. uRAWNENIE (1) NA 2 PRIMET WID:

@ 2U ; a2 @ 2U = (x)  (t) @t2 @x2 TO ESTX IMEEM URAWNENIE, OPREDELQ@]EE \LEMENTARNOE REENIE WOLNOWOGO OPERATORA W SLU^AE 1. nAPOMNIM, ^TO RAZMERNOSTX WOLNOWOGO OPERATORA (DALAMBERIANA) OPREDELQETSQ RAZMERNOSTX@ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ. iZWESTNO, ^TO U DALAMBERIANA SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNOE \LEMENTARNOE REENIE W A, TO ESTX NE SU]ESTWUET DRUGIH \LEMENTARNYH REENIJ DAVE W M. pO\TOMU U = E1(x t) = 2a1 Y (at ; jxj). 136) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0 = 0 U1(x) = (x ; x0) PRI t = t0. rEENIE. w USLOWIQH ZADA^I URAWNENIE (1) PRIMET WID: @ 2U ; a2 @ 2U = (x ; x )  (t ; t ): 0 0 @t2 @x2

R

oTKUDA

U = E1(x t)  (x ; x0)  (t ; t0) = 21a Y (a(t ; t0) ; jx ; x0j):

137) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0 = (x) U1(x) = 0 PRI t = 0. 138) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0 = 0 U1(x) =  (x) PRI t = 0. 139) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = (x)!(t), GDE !(t) 2 C (t > 0) !(t) = 0 t < 0, A U0 = (x) U1(x) = (x) PRI t = 0 rEENIE. w USLOWIQH ZADA^I URAWNENIE (1) PRIMET WID: @ 2U ; a2 @ 2U = (x)  !(t) + (x)   (t) + (x)  (t): @t2 @x2 pO\TOMU FORMULA (4) DAET: @ E (x t)  (x)] = U = E1(x t)  ((x)  !(t)) + E1(x t)  (x) + @t 1 = E1 (x t)  !(t) + E1 (x t) + @ E1(x t): @t 0

0

47

nO

Z 1 Y (at ; jxj) E1(x t)  !(t) = 2a Y (at ; jxj)  !(t) = !( )d 2a 0  @ 1 1 t x =a ;j

tOGDA

j

@t 2a Y (at ; jxj) = 2 (at ; jxj):

Z 1 1 Y (at ; jxj) ! ( )d + Y (at ; jxj) + (at ; jxj): U (x t) = 2a 2a 2 t x =a ;j

j

0

140) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = (x)  Y (t), A U0(x) = (x ; x0) U1(x) = x(x) PRI t = 0. 141) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0(x) = Y (x) U1(x) = Y (x) PRI t = 0. 142) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = (x ; 1)  Y (t), A U0(x) = x U1(x) = sgn x PRI t = 0. 143) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERp NOSTI 1, ESLI T (x t) = Y (t)tx, A U0 = 0 U1(x) = Y (x)= x PRI t = 0. 144) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1 I POKAZATX, ^TO POLU^ENNOE REENIE QWLQETSQ REENIEM I KLASSI^ESKOJ ZADA^I kOI, ESLI T (x t) = Y (t)(x + t), A U0(x) = ex  = const U1(x) = 0 PRI t = 0. 145) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1 I POKAZATX, ^TO POLU^ENNOE REENIE QWLQETSQ REENIEM I KLASSI^ESKOJ ZADA^I kOI, ESLI T (x t) = Y (t)x2, A U0(x) = cos x U1(x) = cos x PRI t = 0. 146) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 2, ESLI T (x t) = (x)  Y (t), A U0(x) = (x) U1(x) = (x) PRI t = 0. 147) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 3, ESLI T (x t) = (x)  Y (t), A U0(x) = (x) U1(x) = (x) PRI t = 0. 48

R RR R R N RR R R R N

oBOB]ENNAQ ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (ILI DIFFUZII).

pUSTX T (x t) | ZADANNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NA n+1 S NOSITELEM W POLUPROSTRANSTWE f(x t) 2 n+1j t > 0 x 2 ng, A U0(x) | ZADANNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NA n. i]ETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ U (x t) S NOSITELEM W UKAZANNOM POLUPROSTRANSTWE, UDOWLETWORQ@]AQ NA n+1 URAWNENI@

@U = a2 U + T (x t) + U (x)  (t) n 2 : n @t N.B. pOSKOLXKU supp fU0(x)  (t)g  n  f0g, TO U (x t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ @U=@t = a2U + T W n  , GDE = n f0g. iZWESTNO (SM. UPRAVNENIE 126)), ^TO \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI @t@ ; a2n n 2 , IMEET WID: En(x t) = pY (2t) n e x =4a t: ( 4a t) 

;j

tOGDA FORMULA

2

j



2

N

U (x t) = En(x t)  fT (x t) + U0(x)  (t)g = = En(x t)  T (x t) + En(x t)  U0(x) n 2 

(1) DAET EDINSTWENNOE REENIE OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, DLQ KOTORYH SU]ESTWU@T SWERTKI, FIGURIRU@]IE W FORMULE (1). N.B. zAMETIM, ^TO W FORMULE (1) PERWAQ SWERTKA OSU]ESTWLQETSQ PO x I t, A WTORAQ | PO x. 148) nAJTI REENIQ OBOB]ENNYH ZADA^ kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI RAZMERNOSTI n n 2 , ESLI:

N

1) T (x t) = 0 A U0(x) = (x) PRI t = 0: 2) T (x t) = 0 A U0(x) = (x ; x0) PRI t = t0 t0 > 0: 3) T (x t) = 0 A U0(x) = @(x)=@xk  PRI t = 0: 4) T (x t) = (x)   (t) A U0(x) = 0 PRI t = 0: 5) T (x t) = (x)Y (t) A U0(x) = 0 PRI t = 0: 0

49

@(x)   (t) A U (x) = 0 PRI t = 0: 0 @xk 7) T (x t) = (x ; x0)  Y (t ; t0) A U0(x) = 0 PRI t = 0: 8) T (x t) = (x ; x0)   (t) A U0(x) = (x)  PRI t = 0: @xk 9) T (x t) = (x)  !(t) GDE !(t) 2 C (t > 0) !(t) = 0 PRI t < 0 A U0(x) = 0 PRI t = 0: 6) T (x t) =

0

0

R

gIPO\LLIPTI^NOSTX.

pUSTX X | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, A

@ X C(x)D P x @x =  6m

j

j

N

| LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR PORQDKA m m 2  W ^ASTNYH PROIZWODNYH S KO\FFICIENTAMI IZ KLASSA C (X ), ZADANNYJ NA X . oPERATOR P (x @=@x) NAZYWA@T GIPO\LLIPTI^ESKIM NA X , ESLI DLQ L@BOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA  IZ X I WSQKOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII T 2 D (X ) UTWERVDENIE: P (x @=@x)T 2 C () WLE^ET UTWERVDENIE: T 2 C (). w SLU^AE OPERATOROW P (@=@x) = P  6m CD S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI, ESLI SU]ESTWUET \LEMENTARNOE REENIE E (x) IZ KLASSA C NA DOPOLNENII K NA^ALU W n, TO OPERATOR P (@=@x) QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM W n. pRIWEDITE PRIMERY GIPO\LLIPTI^ESKIH OPERATOROW! a TAKVE KONTRPRIMER! 149) pUSTX P1(x @=@x) I P2(x @=@x) | DWA OPERATORA W ^ASTNYH PROIZWODNYH S KO\FFICIENTAMI IZ KLASSA C ( n). pOKAZATX, ^TO ESLI P1 I P2 | GIPO\LLIPTI^ESKIE NA n, TO OPERATOR P1P2 QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM NA n. 150) pUSTX P1(x @=@x) I P2(x @=@x) | DWA OPERATORA W ^ASTNYH PROIZWODNYH S KO\FFICIENTAMI IZ KLASSA C ( n). pOKAZATX, ^TO ESLI P1P2 | GIPO\LLIPTI^ESKIJ NA n, TO OPERATOR P2 QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM NA n. 151) iSPOLXZUQ GIPO\LLIPTI^NOSTX OPERATORA lAPLASA (LEMMA wEJLQ) I UPRAVNENIE 150), POKAZATX, ^TO OPERATOR kOI-rIMANA @=@z = (@=@x + i@=@y)=2 QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM W . 1

0

1

1

R

R R

R

R

j

j

1

R

1

1

R R

C

50

152) pOKAZATX GIPO\LLIPTI^NOSTX OPERATORA kOI-rIMANA, PRIWLEKAQ EGO \LEMENTARNOE REENIE.

R

nX@TONOWY POTENCIALY.

pUSTX E | KAKOE-NIBUDX \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA, A T 2 E ( n), TO ESTX T | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. tOGDA IZWESTNO, ^TO FUNKCIQ U = E  T QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ U = T , A SWERTKU U = E  T NAZYWA@T POTENCIALOM OBOB]ENNOJ FUNKCII T . nAPOMNIM, ^TO E ESTX FUNKCIQ IZ KLASSA C ( n n f0g). oNA QWLQETSQ SUMMOJ NEKOTOROJ GARMONI^ESKOJ W n FUNKCII (I SLEDOWATELXNO, IZ KLASSA C ( n)) I FUNKCII E0, GDE 0

R R

R

1

1

E0 (x) = ; (n ; 2)1! jxjn 2  n > 3 E0(x) = 21 ln jxj n = 2: n w SLU^AE, KOGDA POTENCIAL U BERETSQ OTNOSITELXNO E0, TO ON NAZYWAETSQ NX@TONOWYM POTENCIALOM, A grad U NAZYWA@T NX@TONOWYM PRITQVENIEM. iME@T MESTO SLEDU@]IE SWOJSTWA. I.eSLI f | FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM, IZMERIMAQ I SU]ESTWENNO OGRANI^ENNAQ, TO EE OB_EMNYJ POTENCIAL U QWLQETSQ FUNKCIEJ KLASSA C ( n), PREDSTAWIMOJ W WIDE: ;

1

R

U (a) =

I

Z

Rn

E0(a ; x)f (x)dx a 2

@ U (a) = Z @ E (a ; x)f (x)dx a 2 0 @ai @a i n

R

R

R

n

R

n

i = 1 2 : : :  n:

N.B. 1) wOOB]E GOWORQ, OB_EMNYJ POTENCIAL U NE QWLQETSQ FUNKCIEJ KLASSA C 2( n). 2) eSLI  | OTKRYTOE MNOVESTWO, OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W n, A FUNKCIQ g SU]ESTWENNO OGRANI^ENA W  I f | PRODOLVENIE FUNKCII g NULEM NA n n , TO f QWLQETSQ FUNKCIEJ, WOOB]E GOWORQ, RAZRYWNOJ NA n. oDNAKO, EE OB_EMNYJ POTENCIAL QWLQETSQ FUNKCIEJ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ NA n, PRI^EM U = g W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA , A TAKVE U = 0 W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA DOPOLNENII  DO n. |TI REZULXTATY HOROO IZWESTNY W TEORETI^ESKOJ FIZIKE.

R R R R

R

51

R

pUSTX TEPERX S | GIPERPOWERHNOSTX, KOMPAKTNO PRINADLEVA]AQ n, KLASSA C 1, A  | NEPRERYWNAQ (GIPOTEZA NE SU]ESTWENNAQ) FUNKCIQ NA S . pUSTX T = S | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ NA S S PLOTNOSTX@ , KAK IZWESTNO, OPREDELQETSQ FORMULOJ hS  'i := R '(x)(x,)dKOTORAQ S ' 2 D( n). tOGDA: S II.eSLI T = S TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ QWLQETSQ NEPRERYW NOJ FUNKCIEJ NA n OPREDELQEMOJ FORMULOJ

R

R

,

R

-

,

U (a) =

Z

:

E0(a ; x)(x)dSx:

S

N.B. wOOB]E GOWORQ, POTENCIAL PROSTOGO SLOQ NE PRINADLEVIT KLASSU

R

C 1( n).

dALEE, ESLI GIPERPOWERHNOSTX S | ORIENTIRUEMAQ, KOMPAKTNO PRINADLEVA]AQ n, A (x) | NEPRERYWNAQ (GIPOTEZA NE SU]ESTWENNAQ), TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ DWOJNOGO SLOQ: ; @ @ (S ) OPREDELQETSQ PO FORMULE:

R R

R



Z @' @ ; @ (S ) ' := (x) @ (x)dSx ' 2 D( n): S

tOGDA: III.eSLI T = ; @ @ (S ) TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ ESTX FUNKCIQ KLASSA C ( n n S ) OPREDELQEMAQ FORMULOJ 1

,

,

Z @E0 U (a) = @ (a ; x)(x)dSa: :

S

N.B. wOOB]E GOWORQ, POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ U NE PRINADLEVIT KLASSU C ( n). iMEET MESTO PREDSTAWLENIE REENIQ URAWNENIQ pUASSONA U = f ^EREZ POTENCIALY. tEOREMA. pUSTX OTKRYTOE MNOVESTWO  KOMPAKTNO PRINADLEVIT n I S | EGO ORIENTIROWANNAQ GRANICA KLASSA C 1. pUSTX U 2 C 2() I UDOWLETWORQET URAWNENI@ U = f W , GDE f 2 C 1(). pUSTX E | KAKOE-NIBUDX \LEMENTARNOE REENIE URAWNENIQ lAPLASA W n. tOGDA DLQ L@BOGO a 2  IMEEM: Z Z Z @E @U U (a) = E (a ; x)f (x)dx ; E (a ; x) @ (x)dSx + @ (a ; x)U (x)dSx:

R

R



S

S

52

R

R

w ^ASTNOSTI, WSQKAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W  KLASSA C 2() MOVET BYTX RASSMATRIWAEMA KAK SUMMA POTENCIALOW PROSTOGO I DWOJNOGO SLOQ. 153) w PLOSKOSTI 2 ZADAN SEGMENT I = f(x y) 2 2j y = 0 ;1 6 x 6 1g. wY^ISLITX NX@TONOW POTENCIAL U (x y), SOZDAWAEMYJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ PROSTOGO SLOQ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@  = 1, RASPOLOVENNOJ NA I . iZU^ITX NEPRERYWNOSTX U @U=@x @U=@y. rEENIE. iMEEM: 1 Z U (x y) = 4 ln(x ; s)2 + y2]ds = ; 1 + 1 4; x ln(1 ; x)2 + y2]+ 1

1



;



+ 1 + x ln(1 + x)2 + y2] + y arctg 1 ; x + arctg 1 + x  4 2 y y ESLI y 6= 0. a TAKVE

U (x 0) = 21

Z1

;

1

ln js ; xjds = ; 1 + 1 ; x ln j1 ; xj + 1 + x ln j1 + xj:  2 2

R

tEPERX O^EWIDNO, ^TO U (x y) NEPRERYWNA NA 2 n I . oTMETIM NEPRERYWNOSTX U (x 0) DAVE NA SEGMENTE I . iZU^IM TEPERX NX@TONOWSKOE PRITQVENIE. dIFFERENCIRUQ, IMEEM: ESLI y 6= 0, I

@U (x y) = 1 ln (1 + x)2 + y2  @x 4 (1 ; x)2 + y2





@U (x 0) = 1 ln  1 + x  : @x 2  1 ; x  2 n f(;1 0) (1 0)g. oTKUDA WIDNO, ^TO @U @x (x y ) NEPRERYWNA NA tEPERX RASSMOTRIM POWEDENIE @U @y (x y ). iMEEM:



R



@U (x y) = 1 arctg 1 + x + arctg 1 ; x  @y 2 y y = ;1 1]. a ESLI x 2 ;1 1], ESLI y 6= 0. tOGDA @U @y (x 0) = 0, ESLI y = 0 I x 2 TO @U (x +0) = 1  @U (x ;0) = ; 1 : @y 2 @y 2 53

sLEDOWATELXNO, KOGDA PERESEKAEM NOSITELX OBOB]ENNOJ FUNKCII PROSTOGO SLOQ, TOGDA NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ @U=@y NX@TONOWSKOGO PRITQVENIQ grad U TERPIT RAZRYW, RAWNYJ 1. 154) pUSTX W 2 ZADAN SEGMENT I = f(x y) 2 2j y = 0 ;1 6 x 6 1g. rASSMOTRETX ZADA^U IZ UPRAVNENIQ 153), ZAMENQQ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ PROSTOGO SLOQ NA OBOB]ENNU@ FUNKCI@ DWOJNOGO SLOQ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@  = 1.

R

R

54

lITERATURA 1] wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1988. 2] wLADIMIROW w.s., mIHAJLOW w.p. I DR.sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1974. 3] kE^ w., tEODORESKU p. wWEDENIE W TEORI@ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S PRILOVENIQMI W TEHNIKE. m.: mIR, 1978. 4] kOME^ a.i. pRAKTI^ESKOE REENIE URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: mgu, 1993. 5] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX I. kAZANX: kgu, 1986. 6] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX II. kAZANX: kgu, 1987. 7] tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1977.

55