Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической и общей эле...
37 downloads
160 Views
514KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической и общей электротехники
Н.И.Усенков В.Н.Трубникова
Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока Методические указания для студентов вечернего факультета
к
выполнению
РГЗ
Оренбург 2000
3
ББК 31.211(Я7) У 74 УДК621.3.01.(07)
Введение Целью расчета цепей синусоидального тока является определение напряжений, токов и мощностей (активных и реактивных) в ветвях электрической цепи. Во многих случаях требуется найти не только значения токов и напряжений, но и сдвиги фаз между ними. Для анализа и расчета цепей синусоидального тока наиболее удобен символический метод, основанный на использовании алгебры комплексных чисел.
1 Основные сведения о символическом методе При использовании символического метода действия с синусоидальными функциями токов и напряжений в ветвях электрической цепи заменяются действиями с комплексными числами, изображающими эти функции. Используются следующие основные положения. Любой вектор A , изображённый на комплексной плоскости, независимо +j от его физического значения, можно А разложить на составляющие A' и A' ' , А’’ направленные по двум осям прямоугольной системы координат (рисунок 1). Ось абсцисс при символическом _ 1 А’ +1 изображении векторов называют осью вещественных (действительных) вели_j чин, а ось ординат – осью мнимых величин, причем, составляющую вектора Рисунок 1 по мнимой оси выделяют посредством особого множителя (символа мнимой единицы j ). Тогда вектор A можно аналитически выразить комплексным числом: A = A' + j ⋅ A' ' . (1) Различают три формы записи комплексного числа. Рассмотрим рисунок 2, на котором изображены три одинаковых по абсолютной величине отрезка, но расположенных различным образом на комплексной плоскости. Отрезок 1 может быть описан с помощью комплексных выражений одним из следующих способов: А = А′ + jА′′ = А(cos α + j sin α ) , (2) первая форма записи называется алгебраической, вторая – тригонометрической. На основании формулы Эйлера: cos α + j sin α = e jα получают по4
казательную форму записи комплексного числа А = A ⋅ e jα . Здесь: +j А А = А = ( А′)2 + ( А′′)2 – модуль ком2 плексного числа А ; ,, А α = arg A = arctg A′′ A′ – аргумент ком1 плексного числа А ; А′ = Re ( А ) – действительная (реальная) >0 _
1 0
X C ) мнимая часть получается со знаком “+”, при емкостной ( Х L < X C ) – со знаком “-“ /2/. Модуль S = P 2 + Q 2 , равный произведению U ⋅ I определяет полную мощность цепи. Пример 4.1. Рассчитать символическим методом цепь синусоидального тока, изображенную на рисунке 5,а. R
XL +j R1 Uэкв
U
XL1 I1
I a)
I2
R2
XC3
U
0 ψ
1
I
I3 _j
I1
I2
Uэкв
+ U _ Uэкв
I3 б)
Рисунок 5 Параметры цепи: U = 268 В, R = 0,8 Ом, R1 = 3 Ом, R2 = 12,5 Ом; Х L = 1,6 Ом, Х L1 = 4 Ом, Х С 3 = 16,7 Ом. Решение: Определяем эквивалентное сопротивление разветвленного участка цепи:
1 Z экв
=
1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = + 0,08 + Z 1 Z 2 Z 3 3 + j 4 12,5 − j16,7 5 ⋅ е j 53,130
9
+
1 16,7 ⋅ e − j 90
0
0
0
= 0,2 ⋅ e − j 53,13 + 0,08 + 0,06 ⋅ e j 90 = 0,12 − j 0,16 + 0,08 + j 0,06 = 0
= 0,2 − j 0,1 = 0,22 ⋅ е − j 26,59 ; 1 j 26,590 Z экв = = 4 , 471 ⋅ e = 3,998 + j 2 . − j 270 0,22 ⋅ е Находим общее сопротивление всей цепи: 0
Z = R + jX L + Z экв = 0,8 + j1,6 + 3,998 + j 2 = 4,798 + j 3,6 = 6 ⋅ e j 36,89 .
Ток в неразветвленной части цепи по закону Ома: U& 268 − j 36,890 I& = = = 44 , 672 ⋅ e = 35,727 − j 26,817 А, Z& 6 ⋅ e j 36,890 I& = 44,672 А.. Напряжение на зажимах разветвленной части схемы: 0 0 0 0 U& экв = Z экв ⋅ I& = 4,471 ⋅ e j 26,59 ⋅ 44,672 ⋅ e − j 36,89 = 199,73 ⋅ e j (26,59 −36,89 ) = 0
= 199,73 ⋅ e − j10,3 = 196,517 − j 35,71 В, U& экв = 199,73 В.
Выражаем токи в параллельных ветвях схемы: & экв 199,73 ⋅ e − j10,30 U j ( −10,30 −53,130 ) − j 63, 430 I&1 = = = 39 , 946 ⋅ e = 39 , 946 ⋅ e = j 53,130 Z1 5⋅e = 17,868 − j 35,727 А, I&1 = 39,946 А.
& экв 199,73 ⋅ e − j10,30 0 U I&2 = = = 15,978 ⋅ е − j10,3 = 15,721 − j 2,857 А, Z2 12,5 I&2 = 15,978 А. & экв 199,73 ⋅ e − j10,30 U j ( −10,30 +900 ) j 79,70 I&3 = = = 11 , 96 ⋅ e = 12 , 2 ⋅ e = − j 900 Z3 16,7 ⋅ e = 2,138 + j11,767 А, I&3 = 11,96 А. Проверяем правильность расчета: на основании 1-го закона Кирхгофа (14*): I& = I&1 + I&2 + I&3 = 17,868 − j 35,727 + 15,721 − j 2,857 + 2,138 + j11,767 = 0
= 35,727 − j 26,817 = 44,672 ⋅ e − j 36,89 А
10
Полная мощность цепи: * ~ S = U& ⋅ I = 268 ⋅ 44,672 ⋅ е j 36,89 = 11972,096 ⋅ е j 36,89 = 9575 + j 7186,6 ВА, откуда: P = 9,575 кВт – активная мощность; Q = 7,1866 квар – реактивная мощность. Векторную диаграмму токов (рисунок 5,б) строят на основании первого закона Кирхгофа I& = I&1 + I&2 + I&3 . В комплексной плоскости, в выбранном масштабе, строят вектор тока I&1 , начальная фаза которого ψ 1 = −63,43 0 , длина вектора I& = 39 ,946 , из конца вектора тока I&1 строят 1
вектора тока I&2 с начальной фазой ψ 2 = −10 ,30 и длиной I&2 = 15,978 , аналогично строят вектор тока I&3 . Соединив полученную точку с началом координат получают вектор тока I& . Векторная диаграмма напряжений представляет собой разность векторов общего напряжения U& схемы и вектора напряжения на зажимах разветвленной части схемы U& экв . Из начала координат откладывают вектор напряжения U& , совпадающего с действительной осью комплексной плоскости, т.к. начальная фаза его равна нулю. Также из начала координат откладывают вектор напряжения U& экв начальная фаза которого ψ 2 = −10,30 . Вектор, полученный в результате разности векторов, представляет собой вектор напряжения на неразветвленном участке схемы.
5 Пример выполнения задания
Исходные данные: U = 120 В; f = 50 Гц; L1 = 12,75 мГн; R2 = 6 Ом; L2 = 25,5 мГн; R3 = 5 Ом; C3 = 636 мкФ. 1
L1
2* * W
U
C3 R2
a
V
L2
b R3
3
Рисунок 6 1 Определить неизвестные токи в ветвях заданной схемы (рисунок 6) и напряжения на ее элементах символическим методом. 2 Составить уравнение баланса мощностей для данной схемы и про-
11
верить его соблюдение. 3 Записать мгновенное значение токов в ветвях и напряжений на элементах цепи. 4 Построить векторную диаграмму токов и топографическую векторную диаграмму напряжений на одной комплексной плоскости. 5 Определить показание вольтметра и сравнить его с соответствующим вектором напряжения на топографической векторной диаграмме. 6 Определить показания ваттметра и указать мощность какого участка цепи он измеряет. Выполнение задания 1 Исключив из исходной схемы измерительные приборы: вольтметр V и ваттметр W , заменим элементы схемы их комплексными сопротивлениями (рисунок 7). Индуктивное и емкостное сопротивления схемы: X L1 = ω ⋅ L1 = 2πfL1 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 12,75 ⋅ 10 −3 = 4,006 Ом,
X L 2 = ω ⋅ L2 = 2πfL2 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 25,5 ⋅ 10 −3 = 8,011 Ом, 1 1 1 X C3 = = = = 5,005 Ом. ω ⋅ C3 2πfC3 2π ⋅ 50 ⋅ 636 ⋅ 10 −6 1
U
Z1
2
I1 Z2 I3
I2
Z3
3
Рисунок 7 Комплекс полного электрического сопротивления ветвей схемы: 0 Z 1 = R1 + jX L1 = 0 + j 4,006 = j 4,006 Ом, Z 1 = 4,006 ⋅ e j 90 Ом;
Z 2 = R2 + jX L 2 = 6 + j8,011 Ом, Z 3 = R3 − jX C 3 = 5 − j 5,005 Ом,
0
Z 2 = 10,009 ⋅ е j 53,168 Ом; 0
Z 3 = 7,075 ⋅ е − j 45,028 Ом. Комплекс полного электрического сопротивления схемы (входное сопротивление): Z ⋅Z (R + jX L 2 ) ⋅ (R3 − jX C 3 ) Z вх = Z 1 + 2 3 = jX L1 + 2 = (R2 + jX L 2 ) + (R3 − jX C 3 ) Z2 + Z3 (6 + j8) ⋅ (5 − j5) = 6,161 + j3,233 = 6,958 ⋅ е j 27,6890 Ом. = j4 + (6 + j8) + (5 − j5)
12
Общий комплексный ток в цепи: 120 120 ⋅ (6,161 − j 3,233) U& = = I&1 = = Z вх 6,161 + j 3,233 (6,161 + j 3,233) ⋅ (6,161 − j 3,233) 0
= 15,271 − j8,014 = 17,246 ⋅ е − j 27,689 А. Комплексное напряжение U& 23 Комплекс полного напряжения U& есть сумма комплексных напряжений на элементах схемы U& 1 + U& 23 , тогда: U& 23 = U& − U& 1 = U& − I&1 ⋅ jX L1 = 120 − 17,246 ⋅ j 4,006 = 0
= 87,9 − j 61,17 = 107,089 ⋅ e − j 34,834 В. Комплексные токи в параллельных ветвях: & 23 107,089 ⋅ e − j 34,8340 107,089 j ( −34,8340 −53,168) U = I&2 = = ⋅e = j 53,1680 Z2 10 , 009 10,009 ⋅ e = 10,699 ⋅ e − j 88,002 = 0,373 − j10,693 А.
& 23 107,089 ⋅ e − j 34,8340 107,089 j ( −34,8340 + 45,028) U = I&3 = = ⋅e = 0 Z3 7,075 7,075 ⋅ e − j 45,028 = 15,137 ⋅ e j10,194 = 14,898 + j 2,679 А. Комплексные напряжения на отдельных участках 0 0 U& L1 = jX L1 ⋅ I1 = 4,006 ⋅ e j 90 ⋅ 17,246 ⋅ e − j 27,689 = 0
= 69,081 ⋅ e j 62,311 = 32,1 + j 61,17 В, 0
0
U& R 2 = R2 ⋅ I 2 = 6 ⋅ 10,699 ⋅ e − j 88,002 = 64,197 ⋅ e − j 88,002 = 2,238 − j 64,158 В, 0
0
U& L 2 = jX L 2 ⋅ I 2 = 8,011 ⋅ e j 90 ⋅ 10,699 ⋅ e − j 88,002 = 0
= 85,714 ⋅ e j1,998 = 85,662 + j 2,988 В, 0
0
U& С 3 = jX С 3 ⋅ I 3 = 5,005 ⋅ e − j 90 ⋅ 15,137 ⋅ e j10,194 = 0
= 75,76 ⋅ e − j 79,806 = 13,408 − j 74,565 В, 0
0
U& R 3 = R3 ⋅ I 3 = 5 ⋅ 15,137 ⋅ e j10,194 = 75,687 ⋅ e j10,194 = 74,492 + j13,395 В.
2 Составить уравнение баланса мощностей для данной схемы и проверить его соблюдение Комплексная полная мощность цепи: * ~ S = U& 13 ⋅ I 1 = 120 ⋅ 17 ,246 ⋅ e − j 27 ,689 = 1,833 ⋅ 10 3 + j 961,682 , откуда: активная мощность источника Pист = 1,833 ⋅ 10 3 Вт; реактивная мощность источника Qист = j 961,682 вар.
13
Активная мощность потребителей цепи: 2
2
Pпот = I 2 ⋅ R2 + I 3 ⋅ R3 = 10 ,699 2 ⋅ 6 + 15,137 2 ⋅ 5 = 1,833 ⋅ 10 3 Вт Реактивная мощность потребителей цепи: 2
2
0
2
Qпот = I1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX L 2 + I 3 ⋅ ( − jX C 3 ) = 17 ,246 2 ⋅ 4 ,006 ⋅ e j 90 + 0
0
+ 10,699 2 ⋅ 8,011 ⋅ е j 90 + 15,137 2 ⋅ 5,005 ⋅ е − j 90 = j1,191 ⋅ 10 3 +
+ j 917 ,092 − j1,147 ⋅ 10 3 = j 961,682 3 Записать мгновенные значения токов в ветвях и напряжений на элементах цепи. Мгновенные значения токов в ветвях схемы i1 = I1 ⋅ 2 sin( ωt + ψ i1 ) = 24,39 sin( 314t − 27 ,689 ) А; i2 = I 2 ⋅ 2 sin( ωt + ψ i2 ) = 15,131 sin( 314t − 88,002 ) А; i3 = I 3 ⋅ 2 sin( ωt + ψ i1 ) = 21,407 sin( 314t + 10 ,194 ) А. Мгновенные значения напряжений на участках схемы Комплексное напряжение на участке 1-2 соответствует комплексному напряжению на катушке индуктивности:U& 12 = U& L1 . u12 = U L1 ⋅ 2 sin(ωt + ψ U L1 ) = 97,695 sin(314t + 62,311) В; u 23 = U 23 ⋅ 2 sin( ωt + ψ U 23 ) = 151,447 sin( 314t − 34 ,834 ) В.
4 Построить векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений на одной комплексной плоскости. Построение векторной диаграммы токов рассмотрено выше в примере 4.1. Построения топографической диаграммы напряжений для данной схемы начинают с построения вектора напряжения на катушке индуктивности U L1 в соответствии с взаимным положением вектора тока и напряжения на этом участке. Из полученной точки откладывают два вектора напряжения U R 2 и U C 3 . Из конца вектора напряжения U R 2 откладывают вектор напряжения U L 2 , а из конца вектора U C 3 – вектор напряжения U R 3 . Два последних вектора сходятся в одной точке плоскости, соединив полученную точку с началом координат получают вектор напряжения, приложенного к зажимам схемы (рисунок 8). 5 Определить показания вольтметра, включенного между точками “а” и “b” цепи
14
+j UL1 UR 2
UC3
I3 U
0
UL2 I1
+1
UR 3 I2
Рисунок 8 Выделим на заданной схеме контур а–3–b–а (рисунок 9). На основании второго закона Кирхгофа для выбранного контура запишем уравнение: U& ab + R3 I&3 − jX L 2 I&2 = 0 , откуда 0 0 0 U& ab = − R3 I&3 + jX L 2 I&2 = −5 ⋅ 15,137 ⋅ e j10 ,194 + 8,011 ⋅ e j 90 ⋅ 10 ,699 ⋅ e − j 88 ,002 = 0
0
= −75,687 ⋅ e j10 ,194 + 85,714 ⋅ e j1,998 = −74 ,492 − j13,395 + 85,662 + j 2 ,998 = 0
I2 a
Uab
b
I3
= 11,17 − j10 ,407 = 15,267 ⋅ e − j 42 ,974 В. Вольтметр показывает действующее значение комплексного напряжения U ab , которое равно его модулю, т.е. 15,267 В.
6 Определить показания ваттметра
Ваттметр имеет две обмотки: токовую (послеR3 довательную) и обмотку напряжения (параллельjXL2 ную). Начала обмоток обозначены звездочками и называются «генераторными зажимами». Положи3 тельное показание ваттметра соответствует протеканию потока мощности со стороны его генераторРисунок 9 ных зажимов. Для схемы (рисунок 6) ваттметр показывает активную мощность равную произведению модуля комплексного тока во второй ветви I&2 , модуля комплексного напряжения на зажимах U 23 и косинуса угла сдвига фаз между током и напряжением: Pw = U& 23 ⋅ I&2 ⋅ cos ϕ = 107 ,089 ⋅ 10 ,699 ⋅ cos(− 34 ,834 + 88,002 ) = 686 ,869 Вт.
15
Список использованных источников 1 Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 247 с. 2 Сборник задач по электротехнике и основам электроники /Под ред. В.С.Пантюшина. – М.: Высшая школа, 1979. – 183 с. 3 Общая электротехника /Под ред. А.Т.Блажкина. – М.: Высшая школа, 1983. – 365 с 4 Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: «СК Пресс», 1997. – 336 с.
16
Приложение А Задание начального индекса первого элемента массива
Производится набором с клавиатуры слова ORIGIN. Знак присвоения «:=» набирается «мышью» с наборной панели арифметических операторов на экране монитора или клавишей «:» (двоеточие) с клавиатуры. ORIGIN:=1 Задание параметров элементов цепи
Задание параметров начинают с буквенного обозначения параметра. Затем следует присвоение числового значения. При наборе десятичных дробей знак, разделяющий целую и дробную части набирается с наборной панели на экране монитора клавишей «.» (точка). Показатель степени (верхний индекс) набирается также с наборной панели, в зависимости от показателя степени, либо клавишей «ху», либо клавишей «х2». U:=120
L1:=12.75·10-3
R2:=6
f:=50
L2:=25.5·10-3
R3:=5
С3:=636·10-6
Определение реактивных сопротивлений элементов цепи
Используя формулу ω=2πf задаем формулы для определения реактивных сопротивлений. Число π задается с наборной панели на экране монитора. Для вывода результатов вычислений необходимо, чуть ниже расчетной формулы, набрать буквенное обозначение определяемой величины и поставить знак равенства с наборной панели или клавиатуры. 1 XC3 := XL1:=2·π·f·L1 XL2:=2·π·f·L2 2 ⋅ р ⋅ f ⋅ C3 XL=4.006 XL2=8.011 XC3=5.005 Определение полных электрических сопротивлений ветвей цепи
Полное электрическое сопротивление ветви задается как сумма активных и реактивных сопротивлений элементов ветви. Причем операция умножения величины реактивного сопротивления на мнимую единицу производится с оператора на экране монитора клавишей «i». Z1:=i·XL1 Z2:=R2+i·XL2 Z3:=R3-i·XC3 Z1=4.006i Z2=6+8.011i Z3=5-5.005i Определение полного (входное сопротивление)
Zвх := Z1 +
Z2 ⋅ Z3 Z2 + Z3
электрического
сопротивления
цепи
Zвх=6.161+3.233i
17
Определение комплексного тока в неразветвленной части цепи
I1 :=
U Zвх
I1=15.271-8.014i
Определение комплексного напряжения на зажимах 2-3
U23:=U-Z1·I1
U23=87.9-61.17i
Определение токов в параллельных ветвях цепи
U23 Z2 U23 I3 := Z3
I2 :=
I2=0.373-10.693i I3=14.898+2.679i
Определение комплексных напряжений на отдельных элементах схемы
UL1:=I1·i·XL1 UR2:=I2·R2 UL2:=I2·i·XL2 UC3:=I3·(-i·XC3) UR3:=I3·R3
UL1=32.1+61.17i UR2=2.238-64.158i UL2=85.662+2.988i UC3=13.408-74.565i UR3=74.492+13.395i
Определение максимальных (амплитудных) значений синусоидально изменяющихся величин
При определении амплитудных значений используются модули определяемых величин, знак модуля, как и знак квадратного корня, набирают с панели арифметических операторов клавишами «| |» и « ». I1max:=|I1|· 2 I2max:=|I2|· 2 I3max:=|I3|· 2 UL1max:=|UL1|· UR2max:=|UR2|· UL2max:=|UL2|· UC3max:=|UC3|· UR3max:=|UR3|·
I1max=24.39 I2max=15.131 I3max=21.407 2 UL1max=97.695 2 UR2max=90.788 2 UL2max=121.218 2 UC3max=107.141 2 UR3max=107.037
Определение начальных фаз синусоидально изменяющихся величин
Обозначать начальные фазы можно как латинскими (с клавиатуры), так и греческими (с оператора греческих букв и символов) буквами. Начальная фаза является аргументом комплексного числа, поэтому формула ее определения имеет вид шI:= arg(I) . Необходимо знать, что для получе-
18
ния результата вычисления начальной фазы в градусах, в формулу вводят множитель 180/π (для перевода из радианой меры измерения угла). 180 шI1:= arg(I1) ⋅ шI1= -27.689 р 180 шI2:= arg(I2) ⋅ шI2 = -88.002 р 180 шI3:= arg(I3) ⋅ шI3 = 10.194 р 180 шUL1= 62.311 шUL1:= arg(UL1) ⋅ р 180 шUR2 = -88.002 шUR2:= arg(UR2) ⋅ р 180 шUL2 = 1.998 шUL2:= arg(UL2) ⋅ р 180 шUC3:= arg(UС3) ⋅ шUC3=-79.806 р 180 шUR3 = 10.194 шUR3:= arg(UR3) ⋅ р Баланс мощностей
Для проверки правильности расчета схемы составляют уравнения, определяющие мощность источников энергии и приемников схемы. В уравнении мощности источников сопряженный комплекс тока задается комбинацией клавиш «Shift»+«Э». Sist:=U· I1 Sist=1.833·103+961.682i P:=(|I2|)2·R2+(|I3|)2·R3 P=1.833·103 Q:=(|I1|)2·i·XL1+(|I2|)2·i·XL2+(|I3|)2·(-i·XC3) Q=961.682i Определение показаний вольтметра
Uab:=I2·i·XL2-I3·R3 Uab=11.17-10.407i |Uab|=15.267 180 шUab = -42.974 шUab:= arg(Uab) ⋅ р Определение показания ваттметра
U23:=I2·Z2
U23=87.9-61.17i
ϕ := шU23− шI2 р Pw:=|U23|·|I2|·cos ϕ ⋅ 180 Pw1:=Re(U23· I2 )
шU23:= arg(U23) ⋅
ϕ = 53.168
180 р
Pw=686.869 Pw1=686.869 19