МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государст...
23 downloads
150 Views
837KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики Кафедра мехатроники
В.М. Мусалимов, С.С. Резников, Чан Нгок Чау
УДК 517.432.1: 517.916(078) Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы высшей математики. – СПб: Санкт-Петербургский Государственный Университет Информационных Технологий Механики и Оптики (СПбГУ ИТМО), 2006.-80 с.:ил. В учебном пособии приводятся основные положения некоторых разделов математики, касающихся вопросов исследования характера поведения сложных динамических систем, описываемых посредством обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие предназначено для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
Специальные разделы высшей математики Рецензенты: Часть первая
доктор технических наук, профессор Сизиков В.С. (СПбГУ ИТМО)
Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 200100 «Приборостроение»
кандидат технических наук, доцент Толмачев В.А. (СПбГУ ИТМО)
ISBN
©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2006 © Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау, 2006
Санкт - Петербург 2006 2
Оглавление Глава 1. Топология обыкновенных дифференциальных уравнений ................................................................... 5 1.1. Поля направления дифференциальных уравнений 5 1.2. Фазовое пространство...........................................10 1.2.1. Уравнения с одномерным фазовым пространством ............................................................10 1.2.2. Уравнение нормального размножения..................11 1.2.3. Логистическая кривая, парабола специального вида ..........................................................................12 1.3. Прямые произведения...........................................13 1.4. Уравнения с разделяющимися переменными ...........20 1.5. Функция последования .........................................24 Глава 2. Алгебра потоков в фазовом пространстве........28 2.1. Одномерные динамические системы .......................28 2.2. Двумерные динамические системы .........................28 2.3. Трехмерные динамические системы .......................31 2.4. Странный аттрактор..............................................37 Глава 3. Исследование хаотических режимов ...............39 3.1. Методы вычисления стохастических характеристик .39 3.1.1. Требования к исходным данным ..........................39 3.1.2. Восстановление аттрактора по временному (пространственному) ряду ...........................................40 3.1.3. Выбор временной задержки (сдвига) τ .................41 3.1.4. Алгоритм вычисления корреляционной размерности аттрактора .................................................................42 3.1.5. Алгоритм вычисления корреляционной энтропии аттрактора .................................................................44 3.1.6. Построение динамической модели по экспериментальным данным.........................................44 3.2. Обработка экспериментальных данных с помощью программы Fractan ......................................................45 3.3. Управляющий параметр аттрактора Лоренца...........49 Глава 4. Канонические формы элементарных катастроф ..................................................................54 4.1. Теория особенностей Уитни ...................................55 4.2. Программа исследования потенциальных функций с использованием теории особенностей...........................61 4.3. Функции катастроф...............................................63 3
Глава 5. Операционное исчисление .............................66 5.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу .....................................................................66 5.1.1. Функция-оригинал. ............................................66 5.1.2. Изображение по Лапласу....................................65 5.1.3. Изображения простейших функций .....................67 5.1.4. Изображение составных функций........................70 5.1.5. Изображение периодических функций.................71 5.2. Свойства преобразования Лапласа.........................72 5.2.1. Основные соотношения ......................................72 5.2.2. Таблица стандартных изображений .....................73 5.3. Определение сигнала по его изображению .............74
4
многих случаях удовлетворяются получением решения в неявном виде Ψ( x , y ) = 0 .
Глава 1 Топология обыкновенных дифференциальных уравнений
Пример 1.
1.1 Поля направления дифференциальных уравнений
(1.1)
или уравнение вида:
dx = Φ(t , x ) dt
(1.2)
Решение: Возьмем на плоскости декартовых координат несколько точек, кроме (0,0).
⎧x = 1 ⎩y = 0
a) ⎨
где:
⎧x = 1 ⎩y = 1
x - координата, t - время.
b) ⎨
(1.1) и (1.2) - это записанные в нормальной форме дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Заметим, что точке (x,y). устанавливает
dy = tgα , dx
α
- угол наклона кривой в
Дифференциальное зависимость между
уравнение координатами
(1.1) точек
dy , т.е. в каждой точке (x,y) и значением производной dx (x,y) определяется направление касательной к интегральной кривой , таким образом, дифференциальное уравнение определяет поле направлений. А задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Определение: Линия, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поля, называется интегральной кривой поля направлений. Не всегда удается получить решение дифференциального уравнения в явной форме y = y ( x ) . Во 5
dy y = . dx x
⎛ dy dx ⎞ =∫ ⎟ ⎜∫ x⎠ ⎝ y
Пусть дано уравнение 1-ого порядка:
dy = f ( x, y) dx
Построить поле направлений д. У.
y dy (α = 0 ) = 0 → tgα = =0 x dx dy y = 1 → tgα = = 1 ( α = 45 ) dx x
⎧x = 0 ⎨ ⎩y = 1 ⎧ x = −1 d) ⎨ ⎩y = 1
dy y = ∞ → tgα = =∞ dx x
(α
= 90 )
dy y = −1 → tgα = = −1 dx x
(α
= −45 )
⎧ x = −1 ⎨ ⎩y = 0
dy y = 0 → tgα = =0 dx x
(α
= 180 )
c)
e)
Проведем касательные в указанных точках и покажем направление касательных (кроме точки (0,0) там неопределенность). Аналогичное построение осуществляется для нижней полуплоскости и каждой точки плоскости, кроме (0,0). Полученное поле направлений показано на рис.1.2.
6
C определяется условием: t = t 0 , x = x 0 .
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Это поле направлений интегральных кривых. Здесь очевидна симметрия интегральных кривых относительно вращения плоскости вокруг т. 0. Вывод: из рисунка можно увидеть, что решение дифференциального уравнения есть y = Cx , зависящее от одного параметра (постоянной C ).
Пример 2.
dx = υ (t ) dt
(1.3)
Решение: Решение этого уравнения находим интегрированием:
Рис. 1.3
Касательная в каждой точке кривой x(t) - это
Говорят, что поле направлений уравнения (1.3) инвариантно относительно сдвигов вдоль оси x , и поэтому интегральными кривыми заполнена вся плоскость xt. Интегральные кривые - семейство решений, зависящее от одного параметра C . Определение: Кривая в каждой точке которой наклон поля один и тотже называется изаклиной этого уравнения.
x = ∫ υ (t )dt + C
dx = υ (t )dt ; 7
υ (t ) .
8
Пример 3.
Если x =
dy = 2x dx
(1.4)
y=x и одновременно любая другая функция y = x + C - это 2
Этому уравнению удовлетворяет функция
2
семейство парабол (рис.1.4) Все параболы обладают одним свойством: в каждой точке М (x,y) любой интегральной кривой угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсцисе этой точки: y ′ = tgα = 2 x . Запишем уравнение изоклины: f ( x, y ) = K . Приравняем в (1.4) правую часть постоянному числу К , т.е. запишем 2 x = K . А это значит, что изоклины прямые, параллельные оси ОУ (рис.1.5).
Рис. 1.4
( tgα = 1 ) ;
1 1 , то наклон будет равен: 2 ⋅ x = 2 ⋅ = 1 , 2 2
Если x = 1 следовательно 2 ⋅ x = 2 ⋅ 2 = 4 , ( tgα = 4 ) ; Если x = 0 следовательно 2 ⋅ 0 = 0 , ( tgα = 0 ). x = 0 - линия экстремумов.
1.2. Фазовое пространство Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Размерность фазового пространства для точки равна 6: x, y, z , x& , y& , z& , а для системы n точек - 6n. Для системы из n твердых тел размерность фазового пространства равна 12n. В каждой точке фазового пространства задан вектор - вектор фазовой скорости. Все вектора фазовой скорости формируют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Снятие фазового пространства сводит изучение процессов, описываемых дифференциальными уравнениями (эволюционные процессы) к геометрическим задачам о кривых, определяемых векторными полями.
1.2.1. Уравнения пространством. Рассмотрим уравнение
с
одномерным
x& = V (x) x ∈ R .
фазовым
оно называется
автономным (нет явной зависимости от t). Решаем его:
Рис. 1.5
dx = V (x) dt dx = d (t ) V ( x) dx t=∫ +C V ( x) Изобразим функцию V(x) на плоскости (рис.1.6)
9
10
ln
x = k (t − t 0 ) x0
x = x 0 e k ( t − t0 )
Рис. 1.7
Рис. 1.6
Точка пересечения кривой V(x) с осью x (точка А) называется особой точкой. Так как
dx = tgα , dt
то
V ( x ) = tgα
и мы можем построить поле направлений, отложив на плоскости углы, полученные из левого рисунка. При этом будем учитывать знак и то, что
Va = 0 => α a = 0
o
Итак, слева мы получили векторное поле фазового пространства, а справа поле направлений. Между ними находится ось, которая определяет особености (V=0) на прямой (на оси).
1.2.2. Уравнение нормального размножения
x& = kr , k > 0 dx dx = kr ; откуда = kdt dt x x t dx ∫ x = k ∫t dt ; x0 0
11
Слева - векторное поле фазовой плоскости, справа поле направлений. На оси стрелочками указано положительное значение V на левом графике V(x) Рис.1.7
1.2.3. Логистическая специального вида
кривая,
x& = (1 − x) x dx = (1 − x) x dt dx ∫ (1 − x) x = ∫ dt x =t Ln 1− x et x= 1 + et 2 правая часть уравнения -парабола: x& = x − x
12
парабола
⎧ x&1 = V ( x1 ) ⎨ ⎩ x& 2 = V ( x2 )
(1.6).
фазовым пространством которой является прямое произведение с фазовым пространством V1 ,V2 уравнений (1.5) и (1.5’). Каждое из уравнений (1.5) и (1.5’) - это дифференциальное уравнение с одномерным фазовым пространством. Они определяют векторные поля на прямой (прямые со стрелками). Прямое произведение этих уравнений позволяет перейти к векторным полям на плоскости. Рассмотрим ряд примеров, показывающих связь между теорией бифуркаций, теорией катастроф и теорией устойчивости:
Пример 4
Задана система двух уравнений: Рис. 1.8
Из построения (Рис.1.8, 1.9) видно (по оси), что т. В неустойчивая, т.А - устойчивая.
⎧ x&1 = x1 ⎨ ⎩ x& 2 = kx2 Рассмотрим два случая: (1) когда k>0 (2) когда k0)
Рис. 1.9
1.3 Прямые произведения Рассмотрим два дифференциальных уравнения:
x&1 = ϑ1 ( x1 ) x& 2 = ϑ2 ( x2 )
(1.5), (1.5’)
x1 ∈V1 ; x2 ∈V2
Прямым произведением этих двух дифференциальных уравнений называется система вида:
Рис. 1.10
13
14
(1.7)
направлений,
При k>1 - это семейство парабол, касающихся оси x1 (Рис.1.12) При k ∫ = ∫ dt → x1 = x1 (0)e ( t − t0 ) dt x1 t0 x1( 0 )
x
(1.8)
t
2 dx2 dx2 = x2 k => ∫ = k ∫ dt → x2 = x2 (0)e ( t − t0 ) dt x2 x2 ( 0 ) t0
(1.8’)
где x1(0), x2(0), t0 начальные условия, соответствующие уравнениям (1.5). Чтобы найти траекторию, перейдем к уравнениям (1.8) к координатам x 1 , x2 из первого уравнения
e
k ( t − t0 )
Рис. 1.12
В обоих случаях траекториями системы являются те части парабол (1.8’) и координатных осей x1=0, x2=0. на которых эти кривые разбиваются состоянием равновесия (т.0(0,0)). Состояние равновесия типа рис.1.12 называется неустойчивым узлом. Второй случай: k «Russian Interface». При открытии временного ряда отсчеты трактуются как вещественные, независимо от того, целые они или вещественные на самом деле. При последующей «загрузке» отсчеты преобразуются в целочисленные. Здесь есть два варианта в зависимости от состояния пункта меню «Параметры» => «Целочисленные исходные данные». Если там стоит галочка, либо был открыт звуковой файл, то отсчеты просто округляются до
ближайшего целого. Если нет, либо, если диапазон отсчетов окажется больше 65535, то отсчеты сначала подвергаются линейному преобразованию с тем, чтобы их диапазон после округления стал стандартным: от -32768 до 32767.Открыть временной ряд можно с помощью меню «Файл» => «Открыть» или кнопки «Обработка», но перед началом расчета корреляционного интеграла или показателя Херста из этого временного ряда нужно еще загрузить отсчеты для обработки с помощью пункта меню «Обработка» => «Загрузить отсчеты» или кнопки «Обработка». При этом загружаются отсчеты от «Первый отсчет» до «Последний отсчет», поэтому эти два параметра необходимо выставить до загрузки отсчетов. Либо вручную, либо меняя масштаб рисунка мышкой. Левой кнопкой мыши можно выделять прямоугольник на рисунке и автоматически он показывается на всем окне. Т.е. доступен выбор масштаба. Правой кнопкой мыши можно выполнять прокрутку рисунка по горизонтали и вертикали. Для этого нажимаем правую кнопку, перемещаем мышь и отпускаем кнопку. Вернуться к исходному масштабу можно двойным кликом по рисунку. Кстати, выбор масштаба доступен всегда, что бы ни было нарисовано: отсчеты, автокорреляционная функция, средняя взаимная информация, траектория в фазовом пространстве, корреляционная размерность, корреляционная энтропия или зависимость нормированного размаха для расчета показателя Херста. Во время загрузки отсчетов вычисляются автокорреляционная функция и средняя взаимная информация для первой колонки в файле данных. Предлагаемая автоматически оптимальная временная задержка может соответствовать времени: * первого локального минимума средней взаимной информации; * первого пересечения нуля автокорреляционной функции; * первого локального минимума автокорреляционной функции. Все зависит от того, что окажется меньше. Траектории в двумерном фазовом пространстве для одномерных временных рядов рисуются с учетом временной задержки «Оптим. задержка». Тоже самое применяется и для
45
46
уравнений dx / dt = F ( x ) , где
x
- точка в
n-мерном
фазовом
пространстве. Затем F(x) строится с помощью полиномов от фазовых переменных [10]. В этот способ могут быть добавлены различные усовершенствования, включающие использование разложения временного ряда по некоторой системе базисных функций для облегчения эффективного выбора полиномов для СДУ и фильтрации шума в данных [11]. Можно определять параметры динамической системы по экспериментальному временному ряду и предложенному виду СДУ. Стохастические характеристики "подогнанного" аттрактора могут быть затем сравнены с характеристиками "сырого" аттрактора с целью убедиться в адекватности предложенной модели. В простейшем случае модельные параметры входят линейно в СДУ. Типичные примеры системы Лоренца [8] и Ресслера [8]. В более сложных ситуациях, таких как физический маятник, некоторые модельные параметры входят линейно, в то время как остальные - нелинейно. Применение метода наименьших квадратов для поиска параметров дает хорошие результаты в обоих случаях. Допускается даже присутствие умеренного количества (≤ 1%) аддитивного шума.
3.2. Обработка экспериментальных данных с помощью программы Fractan
траекторий в трехмерном фазовом пространстве для одномерных и двумерных временных рядов. Если же количество колонок в исходном файле данных позволяет, то для отображения траекторий в 2D или 3D фазовом пространстве используются, соответственно, первые 2 или первые 3 колонки. Начать расчет корреляционного интеграла можно из пункта меню «Обработка» => «Корреляционный интеграл» или нажатием кнопки «Обработка». В случае одномерного ряда данных при этом используется выставленная временная задержка «Оптим. задержка» и максимальная размерность фазового пространства «Макс. размерность».Если «Макс. размерность» не выставлена, либо меньше 2 или больше 37, то она будет найдена автоматически в процессе расчета. В любом случае размерность фазового пространства будет расти от 1 до «Макс. размерность». Однако если нажать кнопку «Стоп», то программа досчитает при текущей размерности фазового пространства и остановится.По корреляционному интегралу находятся корреляционная размерность и корреляционная энтропия. Результаты записываются в два текстовых файла *.dim и *.ent , которые затем могут быть открыты из меню «Файл» => «Открыть», нарисованы и сохранены как черно-белый рисунок *.bmp (меню «Файл» => «Сохранить В случае многомерного ряда данных рисунок»). корреляционная энтропия не рассчитывается. Корреляционная размерность и энтропия рисуются из пунктов меню «Просмотр» => «Корреляционная размерность» и «Просмотр» => «Корреляционная энтропия». При этом учитывается параметр «Макс. размерность». Размерность фазового пространства не будет превышать значение этого параметра. Минимальная длина временного ряда данных для обработки равна 512. Рекомендуемая длина не меньше 10^(2+0.4*D), где D корреляционная размерность аттрактора. Однако если длина временного ряда будет больше 32768, то перед началом вычисления корреляционного интеграла выдается предупреждение, поскольку сложность расчета растет как квадрат количества отсчетов и время расчета может затянуться. Если предупреждение будет проигнорировано,
то расчеты начнутся, причем использоваться будут все загруженные отсчеты, а не только первые 32768! Минимальная размерность фазового пространства - 1. Максимальная размерность фазового пространства - от 2 до 37. Минимальная временная задержка - 1. Максимальная временная задержка - не более 256. Вычислить показатель Херста можно с помощью пункта меню «Обработка» => «Показатель Херста». После расчета на экране рисуется временная зависимость нормированного размаха в двойном логарифмическом масштабе и ее линейная аппроксимация. Наклон аппроксимирующей прямой и есть оценка показателя Херста.В файл показателя Херста пишутся только результаты аппроксимации, а сама временная зависимость нормированного размаха не сохраняется и ее можно нарисовать из пункта меню «Просмотр» => «Показатель Херста» только после соответствующего расчета. Однако после того как она нарисована, ее можно сохранить через меню «Файл» => «Сохранить». Значения корреляционной размерности CorrDim при различных размерностях фазового пространства PhSpDim записаны в этом файле в колонках таблицы. В строках ниже PhSpDim слева записано значение двоичного логарифма расстояния в фазовом пространстве относительно общего размера аттрактора, а правее – соответствующие значения корреляционной размерности. В строке CorrDim записаны значения корреляционной размерности, которые программа автоматически получает по соответсвующей колонке, но не всегда это дает хороший результат. В столбце находится участок, на котором значения размерности более менее одинаковы и затем значения корреляционной размерности из этого участка усредняются. Далее теоретически нужно смотреть получившуюся строку значений слева направо, пока значения размерности не перестанут расти. Вот этот-то предел и есть искомое значение корреляционной размерности. Если предела не существует, то исходные данные представляли собой не динамический ряд, а просто шум. Смысл остальных записей в этом файле следующий:
47
48
и ( 2σ + b) – Каждая из групп параметров – 2r меняются по конкурирующему сценарию так, чтобы была обеспечена самоорганизация процесса. В частности, эти изменения для обоих слагаемых могут быть сигмоидного типа (рис. 3.1). 2
3.3. Управляющий параметр аттрактора Лоренца Аттрактор Лоренца был предметом исследования многих ученых. При этом в качестве управляющего параметра выбирался параметр r:
⎧ x& = −σ x + σ y, ⎪ ⎨ y& = rx − y − xz , ⎪ z& = −bz + xy. ⎩
(3.11)
Введем ряд обозначений с учетом опыта использования физических параметров линейных систем:
⎧ x& = −σ 1 x + r12 y, ⎪ 2 (3.12) ⎨ y& = r2 x − σ 2 y − xz, ⎪ z& = −σ z + xy. 3 ⎩ r1 = r2 = r > 0 – частотные параметры; Примем σ 1 = σ 2 = σ > 0 , σ 3 = b > 0 – параметры демпфирования. По аналогии с управляющий параметр:
линейными
λ = 2r 2 − (2σ + b) 2 . 49
системами
введем (3.13)
2
Параметры
Data = Имя исходного файла данных Left = Номер первого отсчета Right = Номер последнего отсчета Lag = Временная задержка (в отсчетах) MaxDim = Максимальная размерность фазового пространства Range = Диапазон значений отсчетов в исходном файле данных LDist - Левая граница наилучшего интервала расстояний RDist - Правая граница наилучшего интервала расстояний Sigma - Погрешность вычисления корреляционной размерности
Рис. 3.1 Рис.3.1 Сигмоидные кривые конкурирующих параметров Эти соображения выходят за рамки данной монографии и поэтому мы только их отметим. Рассмотрим некоторые предельные случаи значений управляющего параметра (УП). УП1:
2σ + b = 0 ⇒ 2σ = −b;
λ = 2r 2 > 0 . Система (3.12) перепишется в виде
b ⎧ 2 ⎪ x& = 2 x + r y, ⎪ b ⎪ 2 ⎨ y& = r x + y − xz , 2 ⎪ ⎪ z& = −bz + xy. ⎪ ⎩
(3.14)
Имеет смысл рассматривать только случаи положительных значений коэффициентов демпфирования и, значит, вместо (3.14) запишем 50
⎧ x& = r 2 y, ⎪ 2 ⎨ y& = r x − xz, ⎪ z& = xy, ⎩
⎧ x& = −σ x, ⎪ ⎨ y& = −σ y − xz , ⎪ z& = −bz + xy. ⎩
(3.15)
(3.18)
что дает в линейном приближении на плоскости xOy интегральных кривых гиперболу
В линейном приближении здесь реализуется устойчивый трехмерный узел.
x2 y2 − = 1. c2 c2 ⇒ 2r 2 = (2σ + b) 2 ;
Результаты расчетов представлены на рисунках: Рис. 3.2 – результаты расчета классической системы (3.11) при значениях параметров:
r1 = 3,2; r2 = 5,2; σ 1 = 10 Н; σ 2 = 1; σ 3 = 8 / 3;
[r 2 − (2σ + b)][r 2 + (2σ + b)] = 0 .
Рис. 3.3
r 2 = 2σ + b; b = r 2 − 2σ .
Система (3.12) перепишется в виде
⎧ x& = −σ x + r 2 y, ⎪ 2 ⎨ y& = r x − σ y − xz, ⎪ ⎩ z& = −(r 2 − 2σ ) z + xy.
r 2 = −2σ − b;
x(τ)
Система (3.12) перепишется в виде
0
0
5
-50
10
0
5
500
500
0
0
0
5
10
-500
0
5
τ x ′ (x) 10 0 -10
10
-500
τ y ′ (y)
0 -20 -10
-5 y
Рис. 3.2
52
0
5
τ z ′ (z)
20
-8 x
5
10
τ z ′ (τ)
0 -200
0
τ y ′ (τ) z′
x′
0
10
200
-10
51
z(τ) 50
τ x ′ (τ)
x′
УП3:
0 -20
Система (3.12) перепишется в виде
⎧ x& = −σ x + r 2 y, ⎪ 2 (3.17) ⎨ y& = r x − σ y − xz, ⎪ ⎩ z& = (r 2 − 2σ ) z + xy. λ < 0, ⇒ 2r 2 = 0, ⇒ λ = −(2σ + b) 2 ;
50 z
x
b = −r 2 − 2σ .
y(τ)
20
z′
УП2-2:
(3.16)
.
– результаты расчета системы (3.6) при значениях параметров: r1 = r2 = 10; σ 1 = σ 2 = 4 / 3 . Рис. 3.4 – результаты расчета системы (3.17) при тех же значениях параметров, что у системы (3.16.) Данные результаты показывают, что внутренняя динамика процесса чрезвычайно сложна. Тем не менее, данный подход позволяет ввести в обращение при оценке качества поверхностей фрактальные параметры. Более того, модели внутренней динамики дают возможность исследовать эволюцию структуры поверхностей.
y
УП2-1:
x0 = 0; y0 = 0,01; z 0 = 0
y′
λ = 0,
y′
УП2:
20 0 -20 22 24 26 28 z
10
x(τ)
y(τ)
0
0
2
200
0
z
200
-200
4
τ x 10 x ′ (τ)
0
2
2
0
2
τ
200 x
0
2
2
0 -2 -200
400
0 y
4
τ
z′
x′
y′ 0
4
0 -2
4
4 x 10 y ′ (y)
2
0 -1
2
τ x 10 z ′ (τ)
τ
4 x 10 x ′ (x)
1
2
0 -2
4
0 4
z′
x′
y′ 0
0
4
4
0 -1
2
Канонические формы элементарных катастроф
100
τ x 10 y ′ (τ)
4
1
Глава 4
z(τ)
200 y
x
400
0 -2
200
4 x 10 z ′ (z)
0
100 z
200
На примере универсального квадратичного отображения было показано, что в простой нелинейной модели заложено сложное поведение механической ( или любой другой: биологической, химической и т. д. ) системы. Перечислим еще раз составляющие сложного поведения. λ = 1 происходит 1) При значении параметра бифуркация (первая): кроме одной неподвижной точки
x1* = 0
появляется еще одна
неподвижная точка
Рис. 3.3
появившаяся
0
2
4
5 y′
0 -1
-1000
τ 5 x 10 x ′ (τ)
0
2
2
0
2
τ x 10 x ′ (x)
0
2
200
0
2
4
0 0 y
Рис. 3.4
53
4
τ
x 10 y ′ (y)
-5 -1000
4
τ 22 x 10 z ′ (τ)
1000
x 2* ≠ 0 становится устойчивой. значении параметра λ = 3,0 устойчивых бифуркации
циклов,
происходит происходящее в
S1 → S2 . 4 8 приводит к циклам S , S ,...
удвоения
периода:
Дальнейшие увеличение λ 3) Обобщение результатов с использованием численного эксперимента позволило установить, что качественное поведении при переходе к хаосу описывается универсальными константами, величина которых зависит лишь от характера максимума. Практически для системы
{X n} )
было близко к одномерному с единственным максимумом. При этом фундаментальную роль играет изменения
2 0
x1* = 0 теряет устойчивость, а вновь
достаточно, чтобы ее отображения Пуанкаре (то есть
x 10 z ′ (z) 22
z′
x′
5 y′
0 x
0
2
7
0 -1 -200
результате
τ
5
1
4
4
2) При усложнение
21 x 10 z(τ)
2 0
4
τ 7 x 10 y ′ (τ)
0 -5
4
0
z′
1
0
4 z
0 -200
x′
y(τ) 1000 y
x
x(τ) 200
x 2* ≠ 0 , - в этот момент
0
2 z
4 21
x 10
параметра λ . Все эти составляющие сложной модели являются вехами настоящего курса теории катастроф. Арнольд вводит определение: - перестройки качественной картины движения при изменении параметров изучает теория бифуркаций; - приложения теории бифуркации к исследованию скачкообразных реакций механических, экономических и иных систем на плавное изменение внешних условий получило название теории катастроф. 54
Чтобы нам продвинуться дальше в изучении курса, необходимо привлечь некоторые сведения из теории особенностей дифференцируемых отображений. Именно на этом пути изучение некоторой потенциальной функции, описывающей состояние равновесной динамической системы, приводит к решению задачи о бифуркации и выявлении роли управляющих параметров.
4.1. Теория особенностей Уитни Следует сказать, что теория особенностей - это обобщение исследований функций на максимум и минимум. При перечислении составляющих сложного поведения нелинейного отображения было сказано об универсальном характере качественного поведения одномерных отображений Пуанкаре, которые имеют один максимум (минимум). С точки зрения теории особенностей здесь нет ничего удивительного, потому, что любые такие кривые принадлежат одному классу и имеют общий росток в точке, x (рис.1). А класс эквивалентности ростка в например, ~ критической точке называется особенностью.
Аналитический образ ростка будет дан позднее. Здесь же добавим, что устойчивость одномерного отображения в точке полностью определяется устойчивостью ростка отображения в точке. Теперь расскажем об устойчивых отображениях двухмерных многообразий на двухмерные. Будем рассматривать, следуя [1], отображения поверхности на плоскость. А). В частности рассмотрим сначала особенности, возникающие при проектировании сферы на плоскость (рис.2).
Рис.4.2
Здесь наблюдается особенность первого вида - складка, - она возникает при проектировании сферы на плоскость в точках экватора. В подходящих координатах это отображение задается формулами:
Y1 = x12 ; Y2 = x 2 , здесь
Рис.4.1
Следуя Уитни мы скажем, что росток отображения ( x , это то, что от отображение - это функция) в точке ~ отображения остается, когда бесконечно уменьшаем область определения. 55
m=2 - локальные координаты
n=2 - локальные координаты и в общем случае:
x1 , x 2 ;
Y1 , Y2 ;
⎧Y1 = f 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎩Y2 = f 2 ( x1 , x 2 )
56
(4.1)
(4.2)
Матрица
∂f j ∂xi
называется матрицей Якоби отображения.
Точка x является критической, если ранг матрицы Якоби в этой точке не максимален. Образ критической точки называется критическим значением. В рассматриваемом случае критические значения отображения проектирования сферы на плоскость образуют окружность видимого контура сферы. Приведем некоторые определения, принадлежащие Уитни: - точка x называется критической точкой функции f, если в этой точке производная функции f равна нулю; - критическая точка гладкой функции называется невырожденной (общего положения), если второй дифференциал функции в этой точке - невырожденная квадратичная форма; с “точностью до обратного” определяются вырожденные критические точки. B). Наряду с особенностями типа особенности проектирования на экваторе сферы, встречаются особенности еще одного типа. Они получаются при проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис.4.3.
Эта поверхность задается формулами
⎧Y1 = x13 + x1 ⋅ x2 ⎨ ⎩Y2 = x 2
(4.3)
а особенность называется сборкой. При фиксировании графика рис.3а значения x2 (т.е.при пересечении вертикальной плоскостью x2 = const)
Y1 = x13 + x1 x 2 определяет кубическую параболу. Если x2 0 и σ 0 ≥ 0 , что
| f (t ) | ≤ M ⋅ e σ 0 t ; 3.
Где Cat(l,k) - функция катастроф. По определению
Cat (l , k ) = CG (l ) + Pert (l , k ) , где Pert(l,k) - возмущение катастрофы.
5.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу
(4.16)
Примеры:
На
любом
отрезке
[a, b ] ( 0 ≤ a < b < ∞ )
функция
удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).
1. Функция катастрофы
D− n : f ( x , y , a1 , a 2 , a 3 ) = x 2 y − y 3 + a1 x + a 2 y + a 3 y 2 ⎛ l = 2,⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k = 3⎠
Cat (l , k )
CG (l )
Pert (l , k )
2. Пусть ∏( x , c) зависит от x1...x10 n от C1, C2, C3 (n=10, k=3). Пусть (x0,c0)- неморсовская критическая точка в λ 1 = λ 2 = 0 , λ 3 = λ 4 = λ 5 = −1 и которой
λ 6 = λ 7 = λ 8 = λ 9 = λ 10 = +1 , Определим локальных характер функции в точке (x0,c0). По таблице (l=2,k=3) видим, что Cat(2,3)=D ± 4, то есть Рис. 18
Cat (l , k ) 10
∏ =& ( x 2 y m y 3 ) + (a1 x + a2 y + a3 y 2 ) + ∑ λ j (c) y 2j j =3
CG (l )
Pert (l , k ) 65
5.1.2. Изображение по Лапласу
Изображением по Лапласу функции-оригинала f ( t) (или преобразованием Лапласа функции f ( t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством 66
+∞
F ( p) = ∫ e − pt ⋅ f (t ) dt .
Единичный импульс:
0
Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке p, удовлетворяющей неравенству Re p ≥ σ1 , где σ1 - произвольной число, такое, что
σ1 > σ 0 .
⎧0, t < 0; ⎪ f (t ) = ⎨1, 0 ≤ t ≤ 1; ⎪0, t > 1; ⎩
5.1.3. Изображения простейших функций Единичная ступенчатая функция несмещенная ∞
1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = − ⋅ e − st s 0
∞ 0
1 1 = − (0 − 1) = s s
помощью
функции
Хевисайда
эта
функция
1 • ; по теореме записывается так: f (t ) = 1(t ) − 1(t − 1) . 1(t ) → p
смещенная
L[1 (t-t0)]=
С
1 − st 0 e . s
запаздывания
Единичная импульсная функция: Смещенная
(t 0 = 1)
1 e− p 1 − e− p f (t ) → − = p p p •
Запаздывающий ∞
L[δ (t − t 0 )] = ∫ δ (t − t 0 ) ⋅ e − st dt = e − st 0 0
несмещенная
e− p 1(t − 1) → , p •
. прямоугольный
⎧0, t < T ; ⎪ f (t ) = ⎨b, T ≤ t ≤ T + τ ; ⎪0, t > T + τ ; ⎩
L[δ(t)]=1
Здесь 67
поэтому
68
импульс:
• f (t ) = b ⋅ (1(t − T ) − 1(t − (T + τ ) )→
⎛ e − pT e − p (T +τ ) • → b ⋅ ⎜⎜ − p ⎝ p
(
и,
)
⎞ b ⋅ e − pT ⋅ 1 − e − pτ . ⎟⎟ = p ⎠
⎧0, t < T ; ⎪b ⎪ (t − T ), T ≤ t < T + τ ; ⎪τ f (t ) = ⎨ ⎪− b (t − T − 2τ ), T + τ ≤ t < T + 2τ ; ⎪ τ ⎪0, t > T + 2τ . ⎩
=
τ
(t − T − 2τ ) − b (t − T ) = − 2b (t − T − τ ) ; τ
τ
t > T + 2τ изменение ⎤ b ⎡ b 0 − ⎢− (t − T − 2τ )⎥ = (t − T − 2τ ) , ⎣ τ ⎦ τ
участку
+
b
τ
b
τ
при
переходе
функции поэтому
(t − T ) ⋅η (t − T ) − 2b (t − T − τ ) ⋅1(t − T − τ ) + τ
,
(t − T − 2τ ) ⋅1(t − T − 2τ )
69
1 , p2
b
τ
(t − T ) ⋅1(t − T )→ b ⋅ e
−Tp
•
τ
p2
,
то
b
τ
⋅e
−Tp
(
1 − 2e −τp + e −2τp b −Tp 1 − e −τp ⋅ = ⋅e ⋅ p2 τ p2
)
2
.
⎧0, t < 0; ⎪ f (t ) = ⎨sin t , 0 ≤ t ≤ π ; ⎪0, t > π . ⎩
переписать
f (t ) =
• t→
Синусоидальный импульс.
Изменение функции на переходе от участка T ≤ t ≤ T + τ к участку T + τ < t ≤ T + 2τ равно
b
как
b e −Tp 2b e − (T +τ ) p b e − (T + 2τ ) p • f (t ) → ⋅ − ⋅ + ⋅ = τ p2 τ p2 τ p2
Треугольный импульс. Аналитически эта функция записывается так:
−
так
к
равно можно
Здесь • f (t ) →
f (t ) = sin t ⋅1(t ) + sin(t − π ) ⋅1(t − π ) ,
поэтому
1 e −πp 1 + e −πp + = . p2 + 1 p2 + 1 p2 + 1
5.1.4. Изображение составных функций
Пусть f ( t) задаётся разными выражениями на различных участках области определения:
⎧0, t < t 0 = 0; ⎪f ,0≤t 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f 1 ( t) функцию, описывающую первый период функции f ( t):
⎧ f (t ) при 0 ≤ t ≤ T ; f1 (t ) = ⎨ . ⎩0 при t < 0 и при t ≥ T
F1 ( p) . 1 − e − pT
e α t f (t ) f (t − t 0 ) ⋅1(t − t 0 ) t
∫ f (τ )dτ 0
f ′(t ) f ( n ) (t ).
Изображение
αF ( p ) + β G ( p ) ⎛ p⎞ F⎜ ⎟ λ ⎝λ⎠ F(p −α ) 1
e − t0 p ⋅ F ( p ) F ( p) p pF ( p) − f (+0) p n F ( p) − p n−1 f (+0) − p n− 2 f ′(+0) − − p n −3 f ′′(+0) − ... − pf ( n −2 ) (+0) − f ( n −1) (+0).
Теперь
f (t ) = f1 (t ) ⋅1(t ) + f1 (t − T ) ⋅1(t − T ) +
f1 (t − 2T ) ⋅1(t − 2T ) + K + f1 (t − nT ) ⋅1(t − nT ) + K =
f (t ) t − t ⋅ f (t )
∞
∫ F (q)dq p
F ′( p )
∞
= ∑ f1 (t − nT ) ⋅1(t − nT ) (каждое слагаемое описывает n =0
соответствующий период). Пусть
F1 ( p ) =
+∞
T
0
0
− pt − pt ∫ e ⋅ f1 (t ) dt = ∫ e ⋅ f1 (t ) dt - изображение
функции f 1 ( t). Тогда 71
72
5.2.2. Таблица стандартных изображений
f (t ) 1. 1 2. 3.
tn eαt
4.
e αt ⋅ t n 5. 6.
7. 8.
sin βt
cos βt sh β t
ch βt
F ( p) 1 p n! p n+1 1 p −α n! ( p − α )n+1
β p +β 2
f (t ) 9.
e ⋅ sin βt
10.
eαt ⋅ cos β t
11.
eαt ⋅ sh β t
12.
eαt ⋅ ch β t
αt
t ⋅ sin βt
13. 2
p 2 p +β2
14.
β
15.
t ⋅ cos β t t ⋅ sh β t
p2 − β 2 p p −β2
5.3. Определение сигнала по его изображению
t ⋅ ch βt
16.
2
F ( p)
β ( p − α )2 + β 2 p −α ( p − α )2 + β 2 β ( p − α )2 − β 2 p −α ( p − α )2 − β 2
(p
2 pβ 2
+β2
(p
)
+ β2) 2 pβ
2
−β2
)
2
p2 − β 2
(p
2
−β2)
2
1 F ( s ) ⋅ e st ds 2πj c−∫j∞
представляет собой контурный интеграл - интеграл Бромвича по простому контуру в плоскости s-комплексного аргумента; контур охватывает все особые точки изображения
2
2
2
c + j∞
f (t ) =
f (t ) =
p2 − β 2
(p
Обратное преобразование Лапласа - формула МеллинаФурье
1 F ( s ) ⋅ e st ds . ∫ 2πj
Если изображение имеет вид дробно-рациональной функции
F (s) = =
bm s m + bm−1 s m−1 + ... + b1 s + b0 = s n+ a + an−1s n−1 + ... + a1 s + a0
( s − s10 )...( s − sm 0 ) Bm ( s ) , = bm ( s − s1 )...( s − sn ) An ( s )
у которой s1, s2…sn - полюса (особые точки), s10, s20…sm0 - нули (m