Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений. Методические указания для выполнения лабораторных и контрольных работ

2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания к лабораторным работам по курсу «Информатика» для студентов строительного факультета

Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений Составители: Даширабданов В.Д. Бундаев В.В. Ергонов В.П.

Методические указания предназначены для студентов строительного факультета очного и заочного отделений для выполнения лабораторных и контрольных работ по курсу «Информатика». Ключевые слова: численные методы, уравнение, корень, приближение, Mathcad, результат, график, интервал, итерация, условие. Работа выполнена к.т.н., доцентами кафедры «Сопротивления материалов» В.Д.Даширабдановым, В.В.Бундаевым, В.П.Ергоновым. Отв. редактор: проф. Г.С.Егодуров Рецензент: к.т.н., доцент А.А.Алтаев кафедра «Системы информатики»

Улан-Удэ 2004г.

4

3

Нелинейные и трансцендентные уравнения

Корнями такого уравнения являются такие значения x, при которых удовлетворяется уравнение (1.1). Графически решением является точка пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс (см. рис 1).

Многие задачи механики сводятся к решению нелинейных алгебраических либо трансцендентных уравнений. При этом зачастую не удается добиться точного решения, поэтому используются итерационные численные методы позволяющие получить приближенное решение с определенной степенью точности. Рассмотрим уравнение в общем виде F(x) = 0 (1.1) где F(x) есть многочлен, либо какая-либо функция от x.

Обычно решение разбивается на два этапа: 1.Отделение корней. 2.Уточнение корней до заданной точности. На первом этапе необходимо выделить такой интервал, на котором существует только один корень. Это можно сделать, используя график, выделив, к примеру, участок [a,b], содержащий точку пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс (см. рис.1). Либо аналитически, используя следующее условие:

Y F(x)

x0

F(b)

x1

x2

b X

0 a

F(a)

Рис.1

F(a)*F(b)0, то x0=a

(1.4)

где FII(a) – вторая производная от F(x) в точке a. И наоборот если F(b)*FII(b)> 0, то x0=b

(1.5)

Затем, преобразуя уравнение 1.3, находим первое приближение x1=x0 - F(x0)/FI(x0) Далее определяем второе приближение x2=x1 - F(x1)/FI(x1) …………………… xn+1=xn - F(xn)/FI(xn)

приближения осуществляются до тех пор, пока разность по модулю между очередным и последующим приближением не станет удовлетворять условию: │ xn+1 – xn │< ε

точность

где ε – заданная

Пример: Лабораторная работа Решение нелинейного уравнения методом Ньютона 1.Определим корень уравнения xr «ручным» способом в среде Mathcad ε := 0.001 3

2

x + 3 ⋅ x − 4.5 ⋅ x + 6

0

3

Зададимся произвольным интервалом x := −5 , −4 .. 5

2

F ( x) := x + 3 ⋅ x − 4.5 ⋅ x + 6

7

x=

8

F ( x) =

Выбираем начальное приближение x0 из следующего условия: F ( x) ⋅ F'' ( x) > 0

где

F'' ( x) :=

2

d

2

F ( x)

dx F ( a) ⋅ F'' ( a) =

то есть

x0 := a

обозначим F' ( x) :=

Построим график функции F(x)

d F ( x) dx

и далее производим последовательные приближения, проверяя условие

20

xn − xn−1 < ε F ( x)

x1 := x0 −

− 30 −9

x

1

x2 := x1 −

Определим искомый интервал из условия F(a)*F(b)