Электрические цепи: Учебное пособие к лабораторному практикуму по курсу ''Теоретические основы электротехники''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования – «Оренбургский государственный университет» Кафедра теоретической и общей электротехники

С.Н.БРАВИЧЕВ, Г.И.ДЕГТЯРЕВ, В.Н.ТРУБНИКОВА

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Рекомендовано к изданию Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по специальностям «Технология машиностроения» и «Металлообрабатывающие станки и комплексы»

Оренбург 2004

ББК 31.211 Э 45 УДК 621.3(076.5)

Рецензент кандидат технических наук, доцент А.В.Желтяков

Э 45

Бравичев С.Н., Дегтярев Г.И., Трубникова В.Н. Электрические цепи: Учебное пособие к лабораторному практикуму по курсу «Теоретические основы электротехники». – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 111 с.

Учебное пособие охватывает раздел «Электрические цепи» курса «Теоретические основы электротехники» и включает основные теоретические положения по цепям постоянного и переменного синусоидального тока, описание лабораторной установки, порядок выполнения работ и обработки результатов экспериментов, контрольные вопросы. В вводной части учебного пособия содержатся требования по технике безопасности и оформлению отчетов по лабораторным работам

Э

2202010000

ББК 31.211 ©Бравичев С.Н., Дегтярев Г.И., Трубникова В.Н. 2004 © ГОУ ОГУ, 2004

2

1 Лабораторная работа № 1. Экспериментальное определение основных параметров и характеристик активных и пассивных элементов электрической цепи постоянного тока 1.1 Цель работы. Экспериментальное определение основных параметров и характеристик источников и приемников электрической энергии постоянного тока. 1.2 Краткие теоретические и практические сведения

Электрическим током проводимости называется явление движения заряженных частиц под действием электрического поля в веществе, обладающем электропроводностью. Если величина и направление тока неизменны во времени, то такой ток называется постоянным. Для создания электрического тока необходим минимальный набор основных элементов, с помощью которых можно собрать простейшую электрическую цепь в соответствии с рисунком 1.1. В этот набор элементов входят источник электрической энергии, приемник (потребитель) электрической энергии и соединительные провода. Кроме этого минимума элементов электрическая цепь может содержать выключатели, предохранители, электрические измерительные приборы (амперметры, вольтметры, ваттметры и пр.) и другие элементы. + I

E U

R

r0 источник энергии

соединительные провода

приемник энергии

Рисунок 1.1 – Схема простейшей электрической цепи Источники электрической энергии, называемые активными элементами цепи, преобразуют различные виды энергии (механическую, химическую, тепловую и др.) в электрическую. К числу источников электрической энергии относятся источники напряжения и источники ЭДС. Источник напряжения характеризуется величиной электродвижущей силы E и внутренним сопротивлением r0 , значения которых не зависят от величины тока во внешней цепи, подключенной к этому источнику. ЭДС характеризует основное свойство источника электрической энергии – создавать и поддерживать на его зажимах разность потенциалов. Внутреннее со-

3

противление источника r0 определяет потери энергии внутри источника. Как правило, внутреннее сопротивление источника напряжения, по сравнению с сопротивлением внешней цепи, очень мало ( r0 0 , т.е. индуктивный элемент потребляет электрическую энергию от источника. Во вторую четверть периода направления напряжения и тока противоположны и p L < 0 , т.е. индуктивный элемент является источником и высвобождает энергию, запасенную в магнитном поле. Активная мощность P, характеризующая необратимые преобразования энергии и определяемая средним значением мгновенной мощности за период, для индуктивного элемента равна нулю: T

T

1 1 Pcp = P = ∫ ui dt = ∫ UI sin 2ωt dt =0. T0 T0

(5.12)

Таким образом, в цепи с идеальным индуктивным элементом не совершается работа, а происходит только периодический обмен энергией между источником и магнитным полем. Интенсивность этого обмена принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле, которое называется реактивной мощностью, и обозначают QL QL = U L I = X L I 2 , вар.

(5.13)

Реактивная мощность имеет размерность вольт-ампер реактивный, сокращенно – вар. 5.2.3 Цепь с емкостью

Если цепь переменного тока содержит емкость C , к которой приложено синусоидальное напряжение u (рисунок 5.3,а) u = U m sin ωt ,

(5.14)

то мгновенное значение тока в этой цепи i=

π du dq  =C = ωCU m cos ωt = I m sin ωt +  , 2 dt dt 

(5.15)

Амплитудные значения тока и напряжения связаны соотношением I m = ωCU m .

(5.16)

Из (5.15) следует, что ток в цепи с емкостью опережает приложенное напряжение на угол π . 2 Временная и векторная диаграммы представлены на рисунке 5.3,б и 5.3,в. Деля соотношение (5.16) на 2 , получим закон Ома для цепи с емкостью

39

I = ωCU

U =I

или

1 = IX C , ωC

(5.17)

1 имеет размерность сопротивления и называется емкостным ωC сопротивлением.

здесь X C =

i,u,p

p

C

i ~u

uC

= 2

2 а)

I

i

C

t

2

UC в)

б)

Рисунок 5.3 – Схема (а), временная (б) и векторная (в) диаграммы цепи с емкостью. Перейдем к анализу энергетических процессов в цепи с C -элементом. Мгновенная мощность емкостного элемента:

(

pC = ui = U m ⋅ I m ⋅ sin ωt ⋅ sin ωt + π

2

) = UI sin 2ωt ,

(5.18)

изменяется по закону синуса с удвоенной частотой. График мгновенной мощности приведен на рисунке 5.3,б. В первую четверть периода направления напряжения и тока совпадают и pC > 0 , т.е. емкостной элемент потребляет энергию от источника, которая запасается в электрическом поле. Во вторую четверть периода направления напряжения и тока противоположны, pC < 0 , т.е. емкостной элемент является источником и отдает запасенную в электрическом поле энергию. Активная мощность, характеризующая необратимые процессы преобразования энергии и определяемая средним значением мгновенной мощности за период, для емкостного элемента равна нулю: T

T

1 1 Pcp = P = ∫ ui dt = ∫ UI sin 2ωt dt =0. T0 T0

(5.19)

Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом не совершается работа, а происходит только периодический обмен энергией между источником и электрическим полем. Интенсивность этого обмена принято ха-

40

рактеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в электрическом поле, которое называют реактивной мощностью и обозначают QC QC = U C I = X C I 2 , вар.

(5.20)

Реактивная мощность емкостного элемента, так же как и реактивная мощность индуктивного элемента, измеряется в вольт-амперах реактивных. 5.2.4 Цепь с активно-индуктивной нагрузкой

Практически любая катушка обладает не только индуктивностью L , но и активным сопротивлением R (рисунок 5.4,а). По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений приложенное напряжение к зажимам цепи уравновешивается падением напряжения на активном сопротивлении и падением напряжения на индуктивности: u = uR + uL .

(5.21)

Выразив напряжения u R и u L через ток i = I m sin ωt ,

(5.22)

и сопротивления участков цепи R и X L , получим:

π  I m R sin ωt + I m X L sin ωt +  = U m sin(ωt + ϕ ) . 2 

(5.23)

Здесь Um =

(I m R )2 + (I m X L )2 tg ϕ =

= Im R2 + X L2 ,

(5.24)

Im X L X L = . ImR R

(5.25)

Таким образом, напряжение на входе цепи R , L опережает ток на угол ϕ . Временная и векторная диаграммы изображены на рисунке 5.4,б и 5.4,в. Рисунок 5.4 – Схема (а), временная (б) и векторная (в) диаграммы цепи i,u iu UL R R i u ~u U uL L t 2 2 I UR а)

б)

в)

41

с активным сопротивлением и индуктивностью Закон Ома для рассматриваемой цепи на основании (5.24) U U U = = , I= R 2 + (ωL )2 R2 + X 2 Z

(5.26)

L

где Z = R 2 + X L 2 – полное сопротивление цепи. Треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений, построен на рисунке 5.5,б. Как видно из этого треугольника X R sin ϕ = L . cos ϕ = , (5.27) Z Z Для анализа энергетических процессов в цепи R , L мгновенную мощность удобно представить в виде суммы мгновенных значений активной p R = iu R и реактивной (индуктивной) p L = iu L мощностей p = p R + p L . Графики p R (ωt ) и p L (ωt ) изображены на рисунке 5.5,а. p

L

p

p

R

R

Z

Q

XL S

p

L

L

t а)

R

P

б)

в)

Рисунок 5.5 – Временная диаграмма (а) мгновенных значений активной p R и индуктивной p L мощностей. Треугольники сопротивлений (б) и мощностей (в) цепи с активным сопротивлением и индуктивностью Из графика p R (ωt ) видно, что активная мощность непрерывно поступает от источника и выделяется в активном сопротивлении в виде тепла. Мгновенная мощность p L (ωt ) непрерывно циркулирует между источником и катушкой. Умножив все стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока, получим треугольник мощностей (рисунок 5.5,в). Стороны треугольника мощностей представляют: P = U R I = I 2 R – активная мощность цепи, Вт; Q = U L I = I 2 X L – реактивная мощность цепи, вар; S = UI = I 2 Z – полная мощность цепи, ВА; cos ϕ = P S – коэффициент мощности цепи.

42

Параметры реальной катушки ( RK , L ) можно определить экспериментально, если последовательно с ней включить дополнительно активное сопротивление R (рисунок 5.6,а). Измерив ток в цепи, а также напряжения U , U R , U K , можно построить в масштабе векторную диаграмму в соответствии с рисунком 5.6,б (т.е. построить косоугольный треугольник по трем известным сторонам). Тогда RK =

U K .a , I

XL =

UL , I

L=

XL

ω

=

XL . 2πf

(5.28)

Данный метод определения параметров реальной катушки носит название опыта трех вольтметров. RK

R

~u

V

VR

L

VK

UL

U UK

i UR а)

б)

UK.a

I

Рисунок 5.6 – Электрическая схема (а) и векторная диаграмма (б) цепи с резистором и реальной катушкой индуктивности Эти параметры также находятся из очевидных уравнений для цепи рисунка 5.6,а Z=

(R + RK )2 + X L 2

Z K = RK2 + X L 2 =

=

U , I

UK , I

(5.29) (5.30)

UR . (5.31) I Если измерить ток и напряжение на катушке при двух известных частотах f1 и f 2 получим систему двух уравнений с двумя неизвестными параметрами RK , L : R=

43

Z f1 =

Z f2 =

UKf1 I f1 UKf 2 I f2

= R K2 + (2πf1 L )2 ,

(5.32)

= R K2 + (2πf 2 L )2 ,

(5.33)

где U K f 1 , I f1 – напряжение и ток катушки при частоте f1 ; U K f 2 , I f 2 – напряжение и ток катушки при частоте f 2 .

Полагаем, что RK от частоты не зависит. Второй метод носит название опыта двух частот. 5.2.4 Цепь с активно-емкостной нагрузкой

В этом случае уравнение напряжения цепи (рисунок 5.7,а) имеет вид: u = u R + uC .

(5.34)

Напряжение на активном сопротивлении u R = RI m sin ωt ,

(5.35)

совпадает по фазе с током. Напряжение на емкости

uC =

1 π  I m sin ωt −  , ωC 2 

(5.36)

отстает по фазе от тока на угол π . 2 Таким образом, напряжение u , приложенное к цепи, будет равно u = RI m sin ωt +

1 π  I m sin ωt −  , ωC 2 

(5.37)

На рисунке 5.7,б изображена векторная диаграмма цепи R , C . Вектор напряжения U R совпадает с вектором тока, вектор U C отстает от вектора тока на угол 90о. Из диаграммы следует, что вектор напряжения, приложенного к цепи, равен геометрической сумме векторов U R и U C : U = U R +UC ,

(5.38)

U = U R2 + U C2 .

(5.39)

а его величина

Выразив U R и U C через ток и сопротивления, получим

44

(IR )2 + (IX C )2 ,

U=

(5.40)

откуда U = I R 2 + X C 2 = IZ ,

(5.41)

Последнее выражение представляет собой закон Ома цепи R и C : U

I=

=

R2 + X C 2

U , Z

(5.42)

где Z = R 2 + X C 2 – полное сопротивление, Ом. Из векторной диаграммы следует, что напряжение цепи R и C отстает по фазе от тока на угол ϕ и его мгновенное значение u = U m sin(ωt − ϕ ) .

(5.43)

Временные диаграммы u (ωt ) и i (ωt ) изображены на рисунке 5.7,б. Разделив все стороны треугольника напряжений (рисунок 5.7,в) на ток, получим треугольник сопротивлений (рисунок 5.7,г), из которого можно определить косинус угла сдвига фаз между током и напряжением: cos ϕ = i

UR

~u uC

R 2

R +

X C2

.

(5.44)

I

u

R

R = Z

i,u

R C

UC

U

i

u

в)

а) R

P

3 2

2 Z г)

XС

Q

S

t

C

б) д)

Рисунок 5.7 – Схема (а), временные диаграммы (б) и треугольники напряжений (в), сопротивлений (г) и мощностей (д) цепи с активным и емкостным элементами

45

Энергетические процессы в цепи с R и C можно рассматривать как совокупность процессов, происходящих отдельно в цепи с R и с C . Из сети непрерывно поступает активная мощность, которая выделяется в активном сопротивлении R в виде тепла. Реактивная мощность, обусловленная электрическим полем емкости, непрерывно циркулирует между источником и цепью. Ее среднее значение за период равно нулю. Умножив все стороны треугольника напряжений (рисунок 5.7,в) на ток, получим треугольник мощностей (рисунок 5.7,д). Стороны треугольника мощностей представляют: P = U R I = I 2 R – активную мощность цепи, Вт; QC = U C I = I 2 X C – реактивную (емкостную) мощность цепи, вар; S = UI = I 2 Z – полную мощность цепи, ВА; cos ϕ = P S – коэффициент мощности цепи. 5.3 Описание лабораторной установки

Элементы электрических цепей и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда в соответствии с рисунком 5.8. R1 L1

L2

L3

L4

ГЗ-123

C1

C2

C3

V

П1

C4

mА 1

Рисунок 5.8 – Элементы и измерительные приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе В качестве источника питания синусоидального напряжения в работе используется генератор низкочастотный Г3-123. На панели стенда имеются набор катушек индуктивностей L1 − L4 , магазин емкостей C1 − C 4 и резистор

46

R1 . Для измерения токов служит миллиамперметр М 42300, в качестве вольтметра используется цифровой мультиметр ВР-11А. 5.4 Подготовка к работе

5.4.1 Повторить разделы курса «Электротехника», в которых рассматриваются электромагнитные процессы в цепях с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. 5.4.2 Подготовить бланк отчета лабораторной работы, в котором привести схему испытаний с указанием необходимых приборов, таблицы для записи результатов опытов и расчетов, расчетные формулы. 5.4.3 Ответить на контрольные вопросы. 5 Рабочее задание

5.5.1 Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой рисунка 5.9, включив в цепь индуктивности L1 – L4 . 5.5.2 На генераторе ГЗ-123 установить выходное напряжение 12 В и частоту f =200 Гц. 5.5.3 После проверки электрической цепи преподавателем включить питание переключателем П1 и измерить ток I , напряжения на входе цепи U , на катушке индуктивности U K и на резисторе U R1 . Данные измерений внести в таблицу 5.1. 5.5.4 Заменить в электрической цепи схемы рисунка 5.9 катушку индуктивности на конденсатор, включив в цепь емкости C1 , C 4 и провести серию измерений тока I , напряжений на входе цепи U , на конденсаторе U C и на резисторе U R1 . Данные измерений свести в таблицу 5.1. ГЗ-123

R1

mA 1

I П1

RK

L C

V

Рисунок 5.9 – Электрическая схема опытов трех вольтметров и двух частот

47

Цепь

Таблица 5.1 – Результаты измерений и вычислений параметров катушки и конденсатора методом трех вольтметров U В

Измерено U C U K U R1 В

В

В

I mА

R1 Ом

ZK Ом

Вычислено X L RK L Ом Ом Гн

XC C Ом мкФ

R,

L R, C

5.5.5 Вновь собрать электрическую цепь в соответствии со схемой рисунка 5.9. Измерить напряжение на катушке U K и ток I в цепи при двух частотах генератора f1 =200 Гц, f 2 =500 Гц. Результаты свести в таблицу 5.2.

Цепь

Таблица 5.2 – Результаты измерений и вычислений параметров катушки и конденсатора методом двух частот Частота, Гц

R, L

f1 =200 f 2 =500 f1 =200 f 2 =500

R, C

Измерено UK UC I мА В В

ZK Ом

RK Ом

Вычислено XC XL L Ом Гн Ом

C мкФ

5.5.6 Заменить в электрической цепи схемы рисунка 5.9 катушку индуктивности на конденсатор C . Провести две серии измерений напряжений на конденсаторе U C и тока I в цепи при двух частотах генератора f1 =200 Гц, f 2 =500 Гц. Результаты свести в таблицу 5.2. 5.6 Обработка результатов опытов 5.6.1 Используя опытные данные построить векторные диаграммы напряжений, треугольники сопротивлений и мощностей для исследуемых цепей. 5.6.2 Рассчитать параметры катушки индуктивности и конденсатора по методу трех вольтметров, используя векторные диаграммы и формулы (5.17), (5.28), (5.30), (5.31). 5.6.3 Рассчитать параметры катушки индуктивности и конденсатора по методу двух частот, используя формулы (5.17), (5.32), (5.33). 5.6.4 Сравнить результаты двух опытов и сделать выводы по работе.

48

5.7 Содержание отчета

5.7.1 Цель работы 5.7.2 Схема рисунка 5.9 (цепь R , L и цепь R , C ). 5.7.3 Расчетные формулы. 5.7.4 Таблицы 5.1 и 5.2. 5.7.5 Векторные диаграммы, треугольники сопротивлений и мощностей для цепи R , L и R , C , построенные в масштабе. 5.7.6 Выводы по работе. 5.8 Контрольные вопросы

5.8.1 Объяснить графическое построение векторных диаграмм по результатам измерений. 5.8.2 Как определить параметры катушки методом трех вольтметров? 5.8.3 Как определить параметры последовательной цепи R , C методом двух частот? 5.8.4 Запишите закон Ома для цепи R , L и для цепи R , C .

49

6 Лабораторная работа № 6. Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока с активно-реактивными сопротивлениями 6.1 Цель работы. Исследование цепи с параллельным соединением приемников при различном характере их сопротивлений. 6.2 Краткие теоретические и практические сведения 6.2.1 Параллельное соединение резистора и катушки индуктивности

Разветвленная цепь, состоящая из параллельно соединенных резистора и катушки индуктивности, в соответствии с рисунком 6.1, характеризуется тем, что каждый элемент ее находится под одним и тем же напряжением U , которое создает в резисторе чисто активный ток, совпадающий по фазе с напряжением: I R1 =

U = U ⋅ g1 , R1

(6.1)

где g1 = 1

– проводимость резистора R1 , См. R1 В катушке индуктивности ток равен: IK =

U = U ⋅ yK , ZK

(6.2)

где y K = 1

– полная проводимость катушки. ZK Ток катушки I K отстает от напряжения на угол

ϕ K = arctg

ω⋅L RK

,

(6.3)

и содержит активную составляющую, совпадающую по фазе с напряжением: I a .K = I K ⋅ cos ϕ K = U ⋅ g K ,

где g K = R K

Z K2

(6.4)

– активная проводимость катушки,

и индуктивную составляющую, отстающую от напряжения на угол π . 2 I L = I K ⋅ sin ϕ K = U ⋅ bL ,

где bL = X L

– индуктивная проводимость катушки. Z K2 Общий ток цепи I имеет активную составляющую:

50

(6.5)

I a = I R1 + I a .K = U ⋅ ( g R1 + g K ) = U ⋅ g э ,

(6.6)

где g э – эквивалентная активная проводимость цепи; и индуктивную составляющую, определяемую формулой (6.5). Ia.K

IR1 I

RK R1

~u

I

I

L

IL P

gэ

K

R1

I

б)

IK

U

yэ

bL г)

в)

а)

S

QL

Рисунок 6.1 – Схема (а), векторная диаграмма (б), треугольники проводимостей (в) и мощностей (г) цепи с резистором и катушкой индуктивности Аналитически общий ток цепи выражается как геометрическая сумма активной и индуктивной составляющей: I=

(I R1 + I a .K )2 + I L2

= U ⋅ g э2 + bL2 = U ⋅ y э ,

(6.7)

где y э = 1

– эквивалентная полная проводимость цепи. Zэ Все эти соотношения, очевидно, следуют из рисунка 6.1. В данном случае векторная диаграмма имеет вид треугольника токов. Делением всех сторон треугольника токов на напряжение U получается подобный ему треугольник проводимостей, а умножением сторон на напряжение U – также подобный треугольник мощностей. Из этих треугольников определяются: gэ Ia P P = = = , yэ I S U ⋅I

(6.8)

bL I L Q L Q = = = L , yэ I S U ⋅I

(6.9)

bL I L Q L = = , gэ Ia P

(6.10)

cos ϕ = sin ϕ =

tgϕ =

причем угол ϕ считается в данном случае положительным, так как общий ток отстает от напряжения.

51

6.2.2 Параллельное соединение резистора и конденсатора

Разветвленная цепь, состоящая из параллельно соединенных резистора и конденсатора, в соответствии с рисунком 6.2, характеризуется следующими соотношениями: I R1 =

U = U ⋅ g1 , R1

I C = UωC = U ⋅ bC

(6.11)

I = I R12 + I C2 = U ⋅ g12 + bC2 = U ⋅ y ,

(6.12)

1 = ωC – емкостная проводимость конденсатора. XC В этом случае ток в конденсаторе является чисто реактивным (не имеет активной составляющей) и опережает напряжение на угол π . Треугольник 2 токов (рисунок 6.2,б), а из него треугольники проводимостей (рисунок 6.2,в) и мощностей (рисунок 6.2,г) получаются аналогично рассмотренному ранее. где bC =

I

б) I

IС IR1

R1

~u I

R1

U

C

I

S

y

С

а)

g в)

bС 1

г)

QС

P

Рисунок 6.2 – Схема (а), векторная диаграмма (б), треугольники проводимостей (в) и мощностей (г) цепи с резистором и конденсатором Угол сдвига ϕ в этих треугольниках в данном случае считается отрицательным, так как общий ток I опережает напряжение U . Для экспериментального определения параметров катушки ( RK , L ) в данной работе предлагается воспользоваться методом трех амперметров. При этом методе параллельно катушке с полным сопротивлением Z K = RK2 + (ωL )2 включают активное сопротивление R1 (рисунок 6.5) и измеряют три тока: I1 в активном сопротивлении R1 , ток I 2 в катушке индуктивности и общий ток I .

52

О

I1

U

А

б) 2

I

I2

I

I2 I1

О

а)

2

U

А

Рисунок 6.3 – Векторные диаграммы для определения параметров реальной катушки (а) и конденсатора (б) методом трех амперметров Зная эти три тока, можно построить векторную диаграмму, в соответствии с рисунком 3,а, откладывая по горизонтали по направлению вектора напряжения U ток I1 в активном сопротивлении R1 и делая засечки из концов этого вектора (точек O и A ) радиусами, равными токам I и I 2 соответственно. Точку пересечения соединяют с точками O и A . Из векторной диаграммы, используя сведения из тригонометрии по решению косоугольных треугольников, найдем: I 2 − I12 − I 22 cos ϕ 2 = ; 2 I1 I 2

cos ϕ =

I1 + I 2 ⋅ cos ϕ 2 ; I

(6.13)

– напряжение на зажимах цепи: U = I1 ⋅ R1 ;

(6.14)

– полное сопротивление катушки: ZK =

U ; I2

(6.15)

– активное сопротивление катушки: RK = Z K ⋅ cos ϕ 2 ;

(6.16)

– индуктивное сопротивление катушки: X L = ωL = Z K ⋅ sin ϕ 2 ;

(6.17)

– индуктивность: L=

XL

ω

,

ω = 2πf .

(6.18)

Для определения методом трех амперметров неизвестных значений R2 и C в цепи с резистором и конденсатором (рисунок 6.6) поступают аналогично, но векторы токов на диаграмме расположатся выше вектора напряже-

53

ния в соответствии с рисунком 6.3,б. При этом емкостное сопротивление и емкость конденсатора определяются по формулам: XC =

1 , ωC

C=

1 , ωX C

ω = 2πf .

(6.19)

6.3 Описание лабораторной установки Элементы электрических цепей и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда в соответствии с рисунком 6.4. R1 R2 L1 ГЗ-123

L2

L3

1 C1

V

L4

2 C2

mА 1

C3

П1 1

2

mА 2

C4 mА 3 Рисунок 6.4 – Элементы и измерительные приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе Источником синусоидального напряжения служит генератор сигналов Г3-123. В качестве приемников электрической энергии в работе используются резисторы R1 и R2 , батарея конденсаторов C1 − C 4 и набор катушек индуктивностей L1 − L4 . Напряжение измеряется цифровым мультиметром ВР-11А, токи – стрелочными приборами М42300.

6.4 Подготовка к работе

6.4.1 Повторить разделы курса «Электротехника», в которых рассматривается параллельное соединение приемников синусоидального тока.

54

6.4.2 Подготовить протокол испытаний в котором привести схемы опытов, необходимые расчетные формулы и таблицу. 6.4.3 Ответить на контрольные вопросы. 6.5 Рабочее задание

6.5.1 Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой рисунка 5, включить в цепь индуктивности L1 − L4 . Миллиамперметры mA1-mA3 переключить на диапазон × 3 . 6.5.2 На генераторе ГЗ-123 установить выходное напряжение 12 В и частоту f =200 гц. 6.5.3 После проверки электрической цепи преподавателем включить питание переключателем П1 и измерить напряжение U на входе цепи, токи I , I1 и I 2 . Результаты измерений свести в таблицу 6.1. Г3-123

mA1 RK

I

П1

I

I

L

2

1

R1

V

mA3

mA2

№№ измерений

Рисунок 6.5 – Схема опыта для определения параметров реальной катушки Таблица 6.1 – Результаты измерений и вычислений опытов трех амперметров Измерено U

В

f

XL

L

R2

Гц мА мА мА Ом Ом Ом

Гн

Ом Ом мкФ

I

I1

Вычислено I2

R1

RK

XC

C

cos ϕ

R, L R, C

6.5.4 Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой рисунка 6.6, включить в цепь емкости C1 , C 4 . 6.5.5 После проверки цепи преподавателем включить питание переключателем П1 и измерить напряжение U на входе цепи, токи I , I1 и I 2 . Результаты измерений свести в таблицу 6.1.

55

Г3-123

mA1 I2

I

П1

I1 R1

V mA2

R2 C mA3

Рисунок 6.6 – Схема опыта для определения параметров конденсатора 6.6 Обработка результатов опытов 6.6.1 По результатам измерений пункта 6.5.3 построить в масштабе векторную диаграмму токов и определить параметры R1 , RK , X L , L и cos ϕ используя построенную векторную диаграмму и формулы (6.13)-(6.18). 6.6.2 По результатам измерений пункта 6.5.5 построить в масштабе векторную диаграмму токов и определить параметры R1 , R2 , X C , C и cos ϕ используя построенную векторную диаграмму и формулы (6.13), (6.14), (6.19). 6.6.3 Для схем рисунков 6.5 и 6.6 построить треугольники проводимостей и мощностей. 6.7 Содержание отчета

6.7.1 Цель работы 6.7.2 Схемы в соответствии с рисунками 6.5 и 6.6. 6.7.3 Расчетные формулы. 6.7.4 Таблица 6.1 опытных и расчетных данных. 6.7.5 Векторные диаграммы, треугольники проводимостей и мощностей, построенные в масштабе. 6.7.6 Выводы по работе. 6.8 Контрольные вопросы 6.8.1 Как определить экспериментально параметры катушки ( RK , L ) методом трех амперметров? 6.8.2 Как определить активные и реактивные проводимости для схем рисунка 6.5, 6.6? 6.8.3 Напишите формулу определения общего тока в схеме рисунка 6.4. 6.8.4 Как определить cos ϕ в схеме рисунка 6.5.

56

7 Лабораторная работа № 7. Исследование резонанса напряжений 7.1 Цель работы. Изучение явления резонанса напряжений в цепи переменного тока с последовательным соединением R , L и C , приобретение навыков по настройке цепи и по производству измерений, освоение методики и практики вычислений и построений векторных диаграмм по данным измерений. 7.2 Краткие теоретические и практические сведения

Если неразветвленную цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью, в соответствии с рисунком 7.1,а, присоединить к генератору синусоидального напряжения, то в ней установиться синусоидальный ток. uL u i,u i

R

~u

uR i

L

t C а)

б)

2

uC

Рисунок 7.1 – Схема (а) и волновые диаграммы тока и напряжений (б) неразветвленной цепи с R , L , C Выберем начало отсчета времени ( t = 0 ) в момент, когда ток проходит через нулевое значение, т.е. примем: i = I m ⋅ sin ωt ,

(7.1)

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током: u R = i ⋅ R = R ⋅ I m ⋅ sin ωt .

(7.2)

Амплитуда этого напряжения U Rm = RI m , а действующее значение U R = RI . Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол + uL = L

π di  = ωL ⋅ I m ⋅ sin ωt +  . 2 dt 

π

2

.

(7.3)

57

Амплитуда этого напряжения U Lm = ωLI m , а действующее значение U L = ωLI . Напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол − uC =

1 1 π  ⋅ I m ⋅ sin ωt −  . i dt = ∫ ωC 2 C 

Амплитуда этого напряжения U Cm =

π

2

. (7.4)

1 I m , а действующее значение ωC

1 I. ωC На рисунке 7.1,б изображены волновые, а на рисунке 7.2 векторные диаграммы тока и напряжений рассматриваемой цепи. Так как элементы цепи R , L , C соединены последовательно, то напряжение на зажимах цепи в любой момент времени равно сумме трех слагаемых: UC =

u = u R + u L + uC .

UС =IXС

UL =IXL

UL =IXL

(7.5)

UС =IX С

UL =IX L

U I

>0 UR =IR

U=UR

a) XL > XC

UR =IR

I

б) XL = XC

U

0 R

XL - XC

XС

XL

XL

=0

(7.16)

XL

Z=R

R R напряжения U L 0 и U C 0 больше приложенного к зажимам

цепи напряжения в ρ

раз. Таким образом, при резонансе напряжений в цеR пи могут возникать перенапряжения на отдельных участках цепи. Величина, равная отношению ρ

, называется добротностью контура и R обозначается буквой Q . Равенство напряжений U L 0 и U C 0 при сдвиге фаз на половину периода означает, что в любой момент времени мгновенные напряжения на емкости и индуктивности равны по величине, но противоположны по знаку, следовательно, в любой момент времени равны по величине и противоположны по знаку мгновенные мощности реактивных участков цепи:

61

p L = pC .

(7.23)

Это равенство означает, что накопление энергии в магнитном поле происходит исключительно за счет энергии электрического поля и наоборот, а энергия, поступающая от источника, преобразуется в тепло только в активном сопротивлении. Настройка цепи в режим резонанса напряжений может быть выполнена по-разному: в цепи с постоянными значениями L и C , т.е. в цепи с катушкой индуктивности и с постоянным конденсатором, изменением частоты напряжения источника питания до тех пор, пока будет выполняться условие ωL = 1ωC . Из выражения ω 2 LC = 1 или L = 1 2 следует также, что резоω C нанс можно получить при неизменных ω и C изменяя индуктивность катушки, или при постоянных ω и L , изменяя емкость конденсатора ( C = 1 2 ). ω L 7.3 Описание лабораторной установки Элементы электрической цепи и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда в соответствии с рисунком 7.4. R1 L1

ГЗ-123

П1

L2

L3

L4 V

C1

C2

C3 mА 1

C4

Рисунок 7.4 – Элементы и измерительные приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе В качестве источника питания в работе используется генератор синусоидального напряжения Г3-123. На панели стенда имеются набор катушек

62

индуктивностей L1 − L4 , магазин емкостей C1 − C 4 и резистор R1 . Для измерения тока служит стрелочный прибор М 42300 в качестве вольтметра используется цифровой мультиметр ВР-11А. 7.4 Подготовка к работе 7.4.1 Повторить разделы курса «Электротехника», в которых рассматриваются электромагнитные процессы в цепях с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. 7.4.2 Подготовить бланк протокола лабораторной работы, в котором привести схему испытаний с указанием необходимых приборов, таблицу для записи результатов опытов и расчетов, расчетные формулы. 7.4.3 Ответить на контрольные вопросы. 7.5 Рабочее задание

7.5.1 Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой рисунка 7.5. Включить в цепь индуктивности L1 , L2 и емкости C1 , C 4 , движок резистора R1 установить в крайнее левое положение; миллиамперметр mA1 переключить на диапазон × 3 . 7.5.2 На генераторе ГЗ-123 установить выходное напряжение 15 В и частоту f =100 Гц. 7.5.3 После проверки электрической цепи преподавателем включить питание переключателем П 1. При фиксированных значениях параметров R1 , L и C настроить контур в резонанс напряжений (о резонансе можно судить по максимальному показанию миллиамперметра mA1 при изменении частоты генератора ГЗ123).

ГЗ-123

R1

mA1

RK

L C

П1

V I

Рисунок 7.5 – Схема неразветвленной электрической цепи с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором 7.5.4 Измерить напряжения на входе и участках цепи, ток в режиме резонанса ( X L = X C ) и частоту питающего напряжения. Результаты измерений занести в таблицу 7.1. 63

7.5.5 Изменяя частоту генератора вниз от резонансной установить режим работы цепи, при котором X L < X C . Измерить напряжения на входе и участках цепи, ток и частоту питающего напряжения. Результаты измерений занести в таблицу 7.1. 7.5.6 Изменяя частоту генератора вверх от резонансной установить режим работы цепи, при котором X L > X C . Измерить напряжения на входе и участках цепи, ток и частоту питающего напряжения. Результаты измерений занести в таблицу 7.1. 7.6 Обработка результатов опытов 7.6.1 По результатам измерений определить параметры элементов электрической цепи, используя следующие зависимости: 7.6.1.1 Полное активное сопротивление цепи (определяется только из режима резонанса)

Rэ = R1 + R K =

UГ . I0

(7.24)

7.6.1.2 Сопротивление резистора R1

R1 =

U1 . I

(7.25)

7.6.1.2 Активное сопротивление катушки индуктивности

R K = Rэ − R1 .

(7.26)

7.6.2 При известном напряжении на катушке U K , можно найти ее полное сопротивление

UK = R K2 + X L2 , I

(7.27)

X L = Z K2 − R K2 = 2πfL .

(7.28)

ZK = отсюда

7.6.3 Сопротивление конденсатора

XC =

UC 1 . = I 2πfC

(7.29)

7.6.4 Добротность контура

Q=

64

UC0

Uг

.

(7.30)

Таблица 7.1 – Результаты измерений и вычислений Измерено UГ

В

U K U R1 U C В

В

В

Вычислено

I

f

R1

RK

ZK

X L XC

L

C

Q

мА Гц Ом Ом Ом Ом Ом Гн мкФ

X L = XC

XL < XC X L > XC

7.7 Содержание отчета

7.7.1 Цель работы 7.7.2 Схема в соответствии с рисунком 7.5. 7.7.3 Расчетные формулы. 7.7.4 Таблица опытных и расчетных данных. 7.7.5 Векторные диаграммы для цепи R , L и C ( X L = X C ; X L < X C ; X L > X C ), построенные в масштабе. 7.7.6 Выводы по работе. 7.8 Контрольные вопросы 7.8.1 Объясните графическое построение векторных диаграмм по результатам измерений напряжений. 7.8.2 Объясните явление резонанса напряжений, условие резонанса и следствия, вытекающие из явления резонанса. 7.8.3 Напишите аналитическое выражение падения напряжения на катушке и падения напряжения на конденсаторе для резонансной схемы и проанализируйте их численные значения. 7.8.4 Произведите анализ построенных векторных диаграмм до и после резонанса, дайте объяснение, в каком случае напряжение будет опережающим, а в каком – отстающим.

65

8 Лабораторная работа № 8. Исследование резонанса токов 8.1 Цель работы. Изучение явления резонанса токов в разветвленной цепи переменного тока с элементами R , L и C в параллельных ветвях, приобретение навыков по настройке цепи и по производству измерений, освоение методики и практики вычислений и построения векторных диаграмм по данным измерений. 8.2 Краткие теоретические и практические сведения

Явление резонанса токов наблюдается в разветвленных цепях переменного тока, содержащих ветви с индуктивностью и емкостью. Резонанс токов представляет собой такой режим работы цепи, при котором реактивная проводимость всей цепи равна нулю. Соответственно угол сдвига фаз между напряжением и общим током цепи равен нулю и цепь потребляет только активную мощность. В настоящей работе исследуется разветвленная цепь из двух параллельных ветвей, в соответствии с рисунком 8.1. В одну ветвь включена катушка индуктивности ( RK , L ), которая моделирует активно-индуктивную нагрузку электрических сетей большинства промышленных предприятий. Вторая ветвь состоит из батареи конденсаторов емкостью C (активное сопротивление конденсаторов настолько мало, что им можно пренебречь).

I ~u

RK IK

IC C

L

Рисунок 8.1 – Разветвленная электрическая цепь переменного тока с реальной катушкой и конденсатором Условие резонанса в такой цепи – равенство индуктивной проводимости ветви с катушкой ( bL ) и емкостной проводимости ветви с конденсатораX X 1 , то условие резонанса токов выми ( bC ). Так как bL = 2L и bC = C2 ≈ XC ZC ZK ражается формулой

ωL = ωC . RK2 + (ωL )2 66

(8.1)

Частота, при которой в контуре с заданными величинами L и C достигается резонанс токов, называется резонансной частотой контура. Из формулы (8.1) следует, что

L − R K2 1 ⋅ C , L LC C

ω0 =

(8.2)

или L − R K2 1 ⋅ C f0 = . L 2π LC C

(8.3)

Если пренебречь активным сопротивлением RK катушки индуктивности (что можно сделать при условии RK 0 Ia

U

IC

=0 I= Ia

U

I C

IK

б) I L = I C

IL

в) I L < I C

Рисунок 8.2 – Векторные диаграммы разветвленной цепи с R , L , C при различных соотношениях индуктивного и емкостного токов Общий ток цепи выражается формулой: I = Uy = U g 2 + (bL − bC )2 ,

(8.8)

получает при резонансе значение I 0 = Uy 0 = Ug =

UR K

R K2 + (ω 0 L )2

.

(8.9)

Он будет чисто активным, так как полная проводимость цепи y 0 не имеет в этом случае реактивной составляющей. В зависимости от значений RK , L и C ток в конденсаторе и индуктивная составляющая тока в катушке при резонансе токов могут быть во много раз больше общего тока цепи. Эти реактивные токи будут равны друг другу по величине I L = I C , или U

ω0 L

RK2 + (ω 0 L )2

= Uω 0 C ,

(8.10)

и противоположны по фазе. Приведенная на рисунке 8.3 схема включения статических конденсаторов параллельно приемникам служит для решения очень важной энергетической задачи – повышения коэффициента мощности ( cos ϕ ) заводских устано68

вок. Естественный коэффициент мощности большинства промышленных электрических установок не превышает 0,7-0,8 из-за значительного индуктивного тока, потребляемого асинхронными двигателями, наиболее распространенными на предприятиях. При таком коэффициенте мощности установленная мощность трансформаторов на подстанциях использовалась бы только на 70-80 %, так как активная мощность цепи переменного тока зависит в том числе и от cos ϕ : P = UI cos ϕ ,

(8.11)

где UI = S – полная мощность трансформаторов, выражаемая в кВА (киловольт-ампер). Ток, потребляемый электрической установкой I=

P . U cos ϕ

(8.12)

Следовательно, чем меньше cos ϕ , тем больший ток потребуется для передачи той же активной мощности P , а значит, необходимо и большее сечение проводов электрической сети. Наконец, потери мощности в электрических сетях определяются как: 2

∆P = I R =

P2 ⋅ R U 2 ⋅ (cos ϕ )2

.

(8.13)

Значит, при передаче одной и той же активной мощности потери мощности будут обратно пропорциональны квадрату коэффициента мощности. Таким образом, повышение коэффициента мощности ( cos ϕ ) на промышленных электрических установках дает следующие преимущества: – возможность подключения дополнительных приемников при той же мощности трансформаторов, установленных на заводских подстанциях; – возможность уменьшения при той же передаваемой мощности величины тока и соответственно сечений проводов электрических сетей; – уменьшение при прочих равных условиях потерь мощности и энергии в электрических сетях, а значит увеличение КПД.

69

8.3 Описание лабораторной установки Элементы электрической цепи и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда в соответствии с рисунком 8.3. L1

L2

L3

L4

V

ГЗ-123

C1

C2

C3

mА 1

П1 mА 2 C4

mА 3

Рисунок 8.3 – Элементы и измерительные приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе Источником синусоидального напряжения служит генератор сигналов Г3-123. В качестве приемников энергии используются набор катушек индуктивностей L1 − L4 , и батарея конденсаторов C1 − C 4 . Для измерения токов предназначены миллиамперметры М 42300, для измерения напряжения – цифровой мультиметр ВР-11А. 8.4 Подготовка к работе 8.4.1 Повторить разделы курса «Электротехника», в которых рассматриваются параллельное соединение приемников в цепях синусоидального тока, явление резонанса токов и повышение коэффициента мощности. 8.4.2 Подготовить бланк протокола лабораторной работы, в котором привести таблицу опытных и расчетных данных, схему для проведения экспериментов, расчетные формулы 8.4.3 Ответить на контрольные вопросы.

70

8.5 Рабочее задание

8.5.1 Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой рисунка 8.4. Включить в цепь индуктивности L1 , L2 и емкости C1 , C 4 , миллиамперметры mA1-mA3 переключить на диапазон × 3 . 8.5.2 На генераторе ГЗ-123 установить выходное напряжение 15 В и частоту f =100 Гц. 8.5.3 После проверки электрической цепи преподавателем включить питание переключателем П 1. При фиксированных значениях параметров L и C изменением частоты генератора ГЗ-123 настроить исследуемую цепь в резонанс токов (при резонансе значение тока I1 будет минимальным). C Г3-123

mA1

mA2

1

2

L

RK

mA3

I

П1

I

I

3

Рисунок 8.4 – Электрическая схема опыта 8.5.4 Измерить напряжение на входе цепи, токи в ветвях и частоту питающего напряжения в режиме резонанса bL = bC . Результаты измерений свести в таблицу 8.1. 8.5.5 Изменяя частоту генератора вниз от резонансной, установить режим работы электрической цепи, при котором bL > bC . Произвести указанные в п. 8.5.4 измерения и данные свести в таблицу 8.1. 8.5.6 Изменяя частоту генератора вверх от резонансной, установить режим работы электрической цепи, при котором bL < bC . Произвести указанные в п. 8.5.4 измерения и данные свести в таблицу 8.1. Таблица 8.1 – Результаты измерений и вычислений Режимы работы це- U пи В

Измерено

Вычислено

f

I1

I2

I3

g

bL

bC

yK

I1a cos ϕ

Гц

мА

мА

мА

См

См

См

См

мА

bL = bC bL > bC bL < bC

71

8.6 Обработка результатов опытов

8.6.1 По данным опытов вычислить значения активной, реактивных и полной проводимостей, используя следующие зависимости: 8.6.1.1 Активная проводимость цепи (определять только из режима резонанса токов, когда bL = bC ) I 10 . g= U 8.6.1.2 Полная проводимость катушки индуктивности I yк = 3 . U 8.6.1.3 Реактивная индуктивная проводимость катушки bL =

y к2 − g 2 .

8.6.1.4 Реактивная емкостная проводимость конденсатора I bC = 2 . U 8.6.2 Активная составляющая тока I1a = U ⋅ g . 8.6.3 Коэффициент мощности I1a . I1 8.6.4 Используя опытные данные построить в масштабе векторные диаграммы токов до резонанса, в режиме резонанса и после резонанса. cos ϕ =

8.7 Содержание отчета

8.7.1 Цель работы 8.7.2 Схема цепи в соответствии с рисунком 8.4. 8.7.3 Таблица 8.1 опытных и расчетных данных. 8.7.4 Расчетные формулы. 8.7.5 Построенные в масштабе векторные диаграммы. 8.7.6 Выводы по работе. 8.8 Контрольные вопросы 8.8.1 В каких цепях наблюдается резонанс токов? 8.8.2 Что является основным признаком наличия резонанса в разветвленной цепи? 8.8.3 В чем заключается условие возникновения резонанса в разветвленной цепи? 8.8.4 Что называют резонансной частотой и волновым (характеристическим) сопротивлением контура и как определяются эти величины?

72

8.8.5. Как может быть достигнут резонанс токов при заданной частоте? 8.8.6 Чему равны полная проводимость и общий ток разветвленной цепи при резонансе? 8.8.7 От чего зависят реактивные токи в ветвях цепи при резонансе? 8.8.8 Какое практическое значение имеет включение статических конденсаторов параллельно приемникам энергии на промышленных электрических установках? 8.8.9 Какие преимущества дает повышение коэффициента мощности электрических установок?

73

9 Лабораторная работа № 9. Исследование трехфазной цепи при соединении приемников звездой 9.1 Цель работы. Исследование трехфазной цепи переменного тока при соединении приемников звездой, опытная проверка соотношений между линейными и фазными напряжениями и токами при различных нагрузках в отдельных фазах, представление полученных результатов в виде векторных диаграмм. 9.2 Краткие теоретические и практические сведения

Трехфазная цепь представляет собой совокупность трех электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, отличающиеся одна от другой по фазе на угол 1200 и индуцированные в одном источнике энергии. Каждую из однофазных цепей принято называть фазой. В качестве источника электрической энергии в трехфазных цепях используют трехфазные синхронные генераторы. В трех обмотках генератора, называемых фазами и жестко закрепленных так, что их магнитные оси сдвинуты в пространстве друг относительно друга на угол 2π , индуцируются 3 три ЭДС – e A , e B , eC , образующие симметричную систему. Симметричной системой ЭДС, напряжений или токов условимся называть три ЭДС, напряжения или тока, имеющие одинаковые действующие значения и частоту, но сдвинутые по фазе друг относительно друга на угол 1200. В противном случае система ЭДС, напряжений или токов считается несимметричной. Графики мгновенных значений симметричной системы ЭДС представлены на рисунке 9.1,а, векторная диаграмма – на рисунке 9.1,б. Последовательность прохождения трех ЭДС через одинаковые значения, например, максимальное значение, называется последовательностью фаз. Указанная на рисунке 9.1,а последовательность, в которой ЭДС достигают максимального значения сначала в фазе A , затем в фазе B , и в фазе C , называют прямой последовательностью фаз или прямым порядком чередования фаз. В трехфазных цепях различают симметричную и несимметричную нагрузки. Под симметричной понимают такую нагрузку, комплексы сопротивлений которой во всех фазах одинаковы, т.е. Za = Zb = Zc.

(9.1)

или Za = Zb = Zc ;

74

ϕ a = ϕb = ϕc .

(9.2)

e

eA

e

B

EA

e

C

120 t

а)

EC

0

120 120

0

0

EB

б)

Рисунок 9.1 – Волновая (а) и векторная (б) диаграммы симметричной трехфазной системы ЭДС На рисунке 9.2,а представлена схема соединения приемников звездой в трехфазной цепи переменного тока. К началам фаз приемников подводят линейные провода, концы фаз приемников соединяют в общую нулевую точку, которая может быть подсоединена к нулевой точке генератора. Фазным напряжением называют напряжение между началом и концом отдельных фаз приемника (или источника), а линейным напряжением – напряжения между началами фаз приемника (или источника). Фазные токи – это токи в фазах приемника, линейные токи – токи в линейных проводах, соединяющих источник с приемником. При данной схеме соединения приемников, очевидно, что I л = Iф .

(9.3)

Чтобы найти соотношения между фазными и линейными напряжениями нужно применить второй закон Кирхгофа к контурам AO' BA , BO' CB , CO' AC (рисунок 9.2,а) в соответствии с которым U& AB = U& a − U& b ; U& BC = U& b − U& c ; U& CA = U& c − U& a . (9.4) Если пренебречь сопротивлениями линейных и нейтрального проводов сети, то фазные напряжения приемника будут равны фазным напряжениям источника. Имея векторы фазных напряжений U& a , U& b , U& c и пользуясь соотношениями (9.4), нетрудно построить векторы линейных напряжений U& AB , U& BC , U& CA в соответствии с рисунком 9.2,б. Очевидно, что в этом случае фазные и линейные напряжения нагрузки образуют симметричную систему векторов, где справедливо соотношение U л = 3 ⋅U ф .

(9.5)

Согласно первому закону Кирхгофа для узла O' справедливо уравнение: 75

I&N = I& A + I&B + I&C .

(9.6)

Пусть сопротивление нейтрального провода Z N ≠ 0 , тогда между нейтральными точками источника и приемника возникнет напряжение, которое можно определить по методу двух узлов. U& ⋅ Y + U& B ⋅ Y b + U& C ⋅ Y c , U& N = A a (9.7) Y a +Yb +Yc +Y N где U& A , U& B , U& C – комплексы фазных напряжений источника; Y a , Y b , Y c , Y N – комплексы проводимостей фаз нагрузки и нейтрального провода. В этом случае фазные напряжения нагрузки будут определяться выражениями: U& a = U& A − U& N ; U& b = U& A − U& N ; U& c = U& C − U& N . (9.8) При симметричной нагрузке Y a = Y b = Y c = Y ф , поэтому из (9.7) получим: U& N =

Y ф ⋅ (U& A + U& B + U& C ) 3⋅Y ф + Y N

= 0,

(9.9)

т.к. фазные напряжения источника образуют симметричную систему векторов и их векторная сумма равна нулю. Тогда из (9.8) следует, что фазные напряжения источника будут равны фазным напряжениям нагрузки. Используя уравнения (9.4), строим векторы линейных напряжений (рисунок 9.2,б), которые образуют симметричную систему векторов и для которых справедливо выражение (9.5). Токи нагрузки так же образуют симметричную систему, ток в нейтральном проводе равен нулю и надобности в нейтральном проводе нет. Его убирают и получают трехпроводную трехфазную цепь. Включение несимметричной нагрузки в трехпроводную трехфазную цепь (т.е. при отсутствии нейтрального провода) приведет к появлению напряжения U& N между нейтралями и, как следует из (9.8) фазные напряжения приемника окажутся различными в соответствии с рисунком 9.2,в. Соотношение (9.5) между фазными и линейными напряжениями нарушится. При изменении величины и характера фазных сопротивлений напряжение U& N может изменяться в широких пределах. В соответствии с этим точка O' на диаграмме (рисунок 9.2,в) будет смещаться от центра O и фазные напряжения приемника могут сильно отличаться друг от друга. Это явление называется смещением нейтрали.

76

Uа A б)

IA Za UAB UCA

O’

Uc Zc

IA

UCA IC

Ua

Ub

Uc

UAB IB

O

Ub

UBC UA

Zb

B UBC C

IC

IB a)

в)

UC

UCA

UAB O Uc UBC

UN

Ua O’ Ub UB

Рисунок 9.2 – Схема соединений (а) и векторные диаграммы трехпроводной трехфазной цепи при соединении приемников звездой при симметричной (б) и несимметричной (в) нагрузках Чтобы восстановить равенство фазных напряжений при несимметричной нагрузке фаз, достаточно добавить в систему четвертый нейтральный провод, при этом получают четырехпроводную трехфазную цепь с соответствии с рисунком 9.3,а. В четырехпроводной трехфазной цепи при любой нагрузке фаз справедливо соотношение (9.5), а в трехпроводной трехфазной – только при симметричной нагрузке. Ток в нейтральном проводе в четырехпроводной трехфазной цепи при несимметричной нагрузке определяется формулой (9.6), или геометрической суммой векторов фазных токов, в соответствии с рисунком 9.3,б. При обрыве одной из фаз (разрыв внутри приемника или обрыв линейного провода) в трехпроводной системе, например фазы C , две другие фазы оказываются включенными последовательно на линейное напряжение U AB . При одинаковом сопротивлении этих фаз на каждую из них вместо фазного напряжения придется половина линейного напряжения U AB , что составляет 87 % от напряжения при нормальном режиме (рисунок 9.4,а).

77

A IA UA

Uа

Uа

Za O’

O UB

UC

Zc

C

IC

Zb

IC

B

UCA

Ub

Uc

IA

Uc

IN

UAB

IB

Ub

UBC

IB

a)

O

б)

Рисунок 9.3 – Схема соединений (а) и векторная диаграмма токов и напряжений (б) четырехпроводной трехфазной цепи при соединении приемников звездой В четырехпроводной цепи обрыв одной из фаз не нарушит нормальную работу двух других фаз (рисунок 9.4,б). Uа IA = IB

Uа = Ub =

UCA

UAB

IA O

UAB 2

Uc

a)

UBC

IN UAB IB

Ub

б) Рисунок 9.4 – Векторные диаграммы токов и напряжений трехпроводной (а) и четырехпровдной (б) трехфазной цепи при обрыве фазы С

Зная фазные токи, напряжения и углы сдвига фаз между ними можно рассчитать фазные мощности и мощности трехфазной цепи. Активные мощности фаз: Pa = U a ⋅ I a ⋅ cos ϕ a ;

Pb = U b ⋅ I b ⋅ cos ϕ b ;

Реактивные мощности фаз: 78

Pc = U c ⋅ I c ⋅ cos ϕ c .

(9.10)

Qa = U a ⋅ I a ⋅ sin ϕ a ;

Qb = U b ⋅ I b ⋅ sin ϕ b ;

Qc = U c ⋅ I c ⋅ sin ϕ c .

(9.11)

Для трехфазного приемника активная и реактивная мощности определяются в соответствии с формулами: PΣ = Pa + Pb + Pc ;

QΣ = ±Qa ± Qb ± Qc ,

(9.12)

где в выражениях для реактивной мощности знак «+» берется в случае индуктивной нагрузки и знак «-» при емкостной нагрузке. В случае симметричной нагрузки

PΣ = 3 ⋅ Pф = 3 ⋅ U ф ⋅ I ф cos ϕ ;

QΣ = 3 ⋅ Qф = 3 ⋅ U ф ⋅ I ф sin ϕ .

(9.13)

9.3 Описание лабораторной установки Элементы трехфазной электрической цепи и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда в соответствии с рисунком 9.5. А B C

V

mА 1

N R1

mА 2

R2 R

3

mА 3

mА 4

Рисунок 9.5 – Элементы и измерительные приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе В качестве источника энергии используется трехфазная сеть переменного тока, к которой подключены первичные обмотки трехфазного понижающего трансформатора. На лицевую панель стенда выведены клеммы фаз « A », « B », « C » и нейтральная точка « N » вторичных обмоток этого трансформатора. В качестве приемников используются проволочные резисторы R1 , R2 , R3 . Для измерения токов предназначены миллиамперметры типа М

79

42300, а ВР-11А.

для

измерения

напряжений

–

цифровой

мультиметр

9.4 Подготовка к работе

9.4.1 Повторить разделы курса «Электротехника», в которых изложены трехфазные электрические цепи при соединении нагрузки звездой. 9.4.2 Подготовить бланк отчета по лабораторной работе, в котором привести схему испытаний с указанием используемых приборов, таблицу для записей результатов опытов и расчетов, расчетные формулы. 9.4.3 Ответить на контрольные вопросы. 9.5 Рабочее задание

9.5.1 Собрать четырехпроводную трехфазную цепь в соответствии со схемой рисунка 9.6. Установить движки резисторов R1 − R3 в средние положения, миллиамперметры mA1-mA4 переключить на диапазон × 3 . a

A

mA1

IA

Ua V

R1

IN

R2

mA4

N

R3 c

B C IC

mA3

Uc

Ub

mA2

b

IB

Рисунок 9.6 – Электрическая схема опыта 9.5.2 После проверки электрической цепи преподавателем подключить ее к источнику трехфазного напряжения. Установить поочередно следующие режимы работы трехфазной цепи: симметричную, несимметричную нагрузки и обрыв одной из фаз приемника. Для каждого из режимов работы измерить фазные токи, ток в нейтральном проводе, фазные и линейные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 9.1. 9.5.3 Отсоединить нейтральный провод и установить поочередно указанные в п. 9.5.2 режимы работы трехфазной цепи. Измерить для каждого из

80

режимов фазные токи, фазные и линейные напряжения и напряжение смещения между нейтралями. Результаты измерений свести в таблицу 9.1. 9.6 Обработка результатов опытов

9.6.1 Вычислить активные мощности отдельных фаз и активную мощность трехфазного приемника, используя формулы (9.10), (9.12), (9.13). Результаты вычислений свести в таблицу 9.1. 9.6.2 По данным опытов построить в масштабе векторные диаграммы токов и напряжений для всех исследуемых режимов работы трехфазной цепи. 9.7 Содержание отчета 9.7.1 Цель работы 9.7.2 Схема в соответствии с рисунком 6. 9.7.3 Расчетные формулы. 9.7.4 Таблица 9.1 опытных и расчетных данных. 9.7.5 Векторные диаграммы токов и напряжений, построенные в масштабе. 9.7.6 Выводы по работе. 9.8 Контрольные вопросы 9.8.1 Каковы соотношения между фазными и линейными напряжениями и токами при соединении нагрузки звездой? 9.8.2 Как аналитически рассчитать напряжение между нейтралями? 9.8.3 Как влияет нейтральный провод на работу приемников в трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой?

81

Таблица 9.1 – Результаты измерений и вычислений

2 3 4 5 6

четырехпроводная

1

трехпроводная

№ опыта

Линия

Измерено Нагрузка

симметричная

несимметричная

обрыв фазы

симметричная

несимметричная

обрыв фазы

U ab

U bc

U ca

Ua

Ub

Uc

IA

IB

IC

IN

В

В

В

В

В

В

мА

мА

мА

мА

10 Лабораторная работа № 10. Исследование трехфазной цепи при соединении приемников треугольником 10.1 Цель работы. Исследование трехфазной цепи при соединении приемников треугольником с различной нагрузкой отдельных фаз. Опытная проверка соотношений между линейными и фазными напряжениями и токами, представление результатов экспериментов в виде векторных диаграмм напряжений и токов. 10.2 Краткие теоретические и практические сведения

Трехфазная симметричная система ЭДС состоит из трех ЭДС одинаковых по амплитуде и частоте, но сдвинутых друг относительно друга по фазе (по времени) на угол 1200 (одну треть периода). При соединении приемников трехфазной системы треугольником конец каждой предыдущей фазы приемника соединяется с началом последующей, а к вершинам образовавшегося таким образом треугольника подводятся линейные провода, в соответствии с рисунком 10.1,а. В результате получается трехпроводная трехфазная система. В трехфазных системах различают линейные напряжения между любой парой линейных проводов и фазные напряжения на выводах приемника. При соединении треугольником фазные напряжения всегда равны линейным, так как к началу и концу каждой фазы непосредственно подводятся линейные провода. Следовательно, в такой системе U л = Uф .

(10.1)

Различают также линейные токи в линейных проводах и фазные токи в фазах приемника. Чтобы вывести соотношения между этими токами, надо задаться условными (для переменного тока) направлениями их и применить к каждой вершине треугольника, представляющей собой узел из трех ветвей, первый закон Кирхгофа. При общепринятых условных направлениях и обозначениях линейных и фазных токов (рисунок 10.1, а) получим I A = I ab − I ca ;

I B = I bc − I ab ;

I C = I ca − I bc

(10.2)

Если активные и реактивные сопротивления всех фаз приемника одинаковы ( Rab = Rbc = Rca и X ab = X bc = X ca ), то и токи во всех фазах будут одинаковы и сдвинуты относительно напряжений своих фаз на одинаковый угол. Тогда при симметричной системе ЭДС получится также симметричная система токов в соответствии с рисунком 10.1,б.

a

A IA

IA Iab

I bc

b

B

IB

IB IC

- Ica

- I bc Uca

I bc R bc

C

Uab

Ica R ab

R ca

c

IC

I ab

I ca

a)

- Iab

Ubc

б) IC - I bc

Uab

Ica

- Ica

Uca Iab

I bc IB

- Iab

IA

Ubc

в)

Рисунок 10.1 – Схема трехфазной цепи при соединении приемника треугольником (а) и векторные диаграммы при симметричной (б) и несимметричной (в) нагрузках Легко показать, что в частном случае симметричной системы токов между линейными и фазными токами получается соотношение I л = 3 ⋅ Iф .

(10.3)

При несимметричной нагрузке фаз симметрия токов в трехфазной системе с соединением приемника треугольником будет нарушена, но это не отразится на фазных напряжениях, так как здесь на фазы приемника подается непосредственно линейное напряжение, определяемое источником энергии. Линейные токи в этом случае определяются графически (рисунок 10.1,в) по векторным соотношениям (10.2). Кроме режимов симметричной и несимметричной нагрузки всех трех фаз в настоящей работе исследуются также случаи обрыва одной из фаз приемника и обрыва линейного провода.

При обрыве одной из фаз, например фазы ca (рисунок 10.2,а), режим работы двух других фаз не нарушается, так как на них по-прежнему подаются соответствующие линейные напряжения. Для построения векторной диаграммы (рисунок 10.2,б) в этом случае можно воспользоваться соотношениями (10.2), приняв в них ток фазы, в которой произошел обрыв, равным нулю. - I bc = I C

a

A

Uab

I ab

IA

R ab

c

I bc R bc

B IB

C IC

a)

Iab = IA

Uca b

I bc IB

- Iab

Ubc

б)

Рисунок 10.2 – Схема цепи (а) и векторная диаграмма (б) при обрыве фазы ca При обрыве одного из линейных проводов, например провода C (рисунок 10.3,а), режим работы одной фазы (в данном случае фазы ab ) не изменится, а две другие окажутся включенными последовательно на линейное напряжение. Трехфазная система превращается в однофазную с двумя параллельными ветвями, соответственно чему и строиться векторная диаграмма, представленная на рисунке 10.3,б. a A I ab IA Uab Ica = Ibс Iab I = I R ca R ab A B Uab Uaс I ca Uca R bc Ubc b c б) Ubc B C IB= IА a) Рисунок 10.3 – Схема цепи (а) и векторная диаграмма (б) при обрыве линейного провода C

Зная фазные напряжения и токи, а также углы сдвига фаз между ними, можно определить активные, реактивные и полные мощности фаз приемника: Pab = U ab ⋅ I ab ⋅ cos ϕ ab ;

Pbc = U bc ⋅ I bc ⋅ cos ϕ bc ;

Pca = U ca ⋅ I ca ⋅ cos ϕ ca , Qab = U ab ⋅ I ab ⋅ sin ϕ ab ;

Qbc = U bc ⋅ I bc ⋅ sin ϕ bc ;

Qca = U ca ⋅ I ca ⋅ sin ϕ ca , S ab = U ab ⋅ I ab ;

S bc = U bc ⋅ I bc ;

S ca = U ca ⋅ I ca .

(10.4)

(10.5) (10.6)

Активные и реактивные мощности трехфазного приемника определяются по формулам: PΣ = Pab + Pbc + Pca ;

QΣ = ±Qab ± Qbc ± Qca .

(10.7)

где в выражении для реактивной мощности знак «+» берется в случае индуктивной нагрузки, а знак «-» в случае емкостной нагрузки. 10.3 Описание лабораторной установки Элементы трехфазной электрической цепи и измерительные приборы, используемые в лабораторной работе, размещены на лицевой панели универсального стенда, в соответствии с рисунком 10.4. В качестве источника электрической энергии используется трехфазная сеть переменного тока, к которой подключены первичные обмотки трехфазного понижающего трансформатора. На лицевую панель стенда выведены клеммы фаз « A », « B », « C » вторичных обмоток этого трансформатора. В качестве приемников используются проволочные резисторы R1 , R2 , R3 . Для измерения токов предназначены миллиамперметры типа М 42300, а для измерения напряжений – цифровой мультиметр ВР-11А. 10.4 Подготовка к работе

10.4.1 Повторить раздел курса «Электротехника», в котором изложены трехфазные электрические цепи при соединении нагрузки треугольником. 10.4.2 Подготовить бланк отчета по лабораторной работе, в котором привести схему испытаний с указанием используемых приборов, таблицу для записей результатов опытов и расчетов, расчетные формулы. 10.4.3 Ответить на контрольные вопросы.

А B V

C

mА 1

R

1

mА 2

R2 mА 3

R3

mА 4

Рисунок 10.4 – Элементы и измерительные приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе 10.5 Рабочее задание

10.5.1 Собрать трехфазную цепь в соответствии со схемой рисунка 10.5. Установить движки резисторов R1 − R3 в средние положения, миллиамперметры mA1-mA4 переключить на диапазон × 3 . а

A IA

mA3 mA1

I ab

I ca V R3

C

R1

I bc

IC c

mA4

mA2

b R2

B IB

Рисунок 10.5 – Электрическая схема опыта

10.5.2 После проверки электрической цепи преподавателем подключить ее к источнику трехфазного напряжения. 10.5.3 Установить симметричную нагрузку трехфазного приемника и измерить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 10.1. 10.5.4 Установить несимметричную нагрузку трехфазного приемника и измерить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 10.1. 10.5.5 При отключенном питании произвести обрыв одной из фаз приемника и, после проверки схемы преподавателем, включить питание и измерить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 10.1. 10.5.6 При отключенном питании произвести обрыв одного из линейных проводов и, после проверки схемы преподавателем, включить питание и измерить фазные и линейные токи, и фазные напряжения. Результаты измерений свести в таблицу 10.1. 10.6 Обработка результатов опытов 10.6.1 Вычислить активные мощности отдельных фаз и активную мощность трехфазного приемника. Данные расчетов свести в таблицу 10.1. 10.6.3 Построить векторные диаграммы токов и напряжений в масштабе для всех исследуемых режимов работы трехфазной цепи. 10.7 Содержание отчета

10.7.1 Цель работы 10.7.2 Схема в соответствии с рисунком 10.5. 10.7.3 Расчетные формулы. 10.7.4 Таблица 10.1 опытных и расчетных данных. 10.7.5 Векторные диаграммы токов и напряжений, построенные в масштабе. 10.7.6 Выводы по работе. 10.8 Контрольные вопросы 10.8.1 Каковы соотношения между фазными и линейными токами в трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником? 10.8.2 Какая нагрузка называется симметричной? 10.8.3 Каковы соотношения между величинами фазных токов при симметричной нагрузке и обрыве одного из линейных проводов?

11 Лабораторная работа № 11. Переходные процессы в линейных электрических цепях 11.1 Цель работы. Экспериментальные исследования переходных процессов в линейных электрических цепях с постоянными параметрами R , L , C при питании от источника прямоугольных импульсов. 11.2 Краткие теоретические и практические сведения

Процессы, протекающие в электромагнитных системах при переходе из одного установившегося состояния к другому, при которых энергия электрического и магнитного полей и обусловливающие их величины – напряжение и ток изменяются, называются переходными или неустановившимися. В электрических цепях, содержащих в общем случае резистивный, индуктивный и емкостный элементы, переходный процесс возникает при включении, выключении и изменении параметров цепи. Такие действия называют коммутацией электрической цепи. Переходные процессы могут происходить и при возникновении аварийных режимов, когда происходит обрыв или короткое замыкание части электрической цепи. Во многих электротехнических устройствах и, особенно часто в устройствах промышленной электроники, переходные процессы являются основными процессами работы, а не свидетельством аварийного режима. Так, переходные процессы, связанные с зарядом и разрядом конденсатора, лежат в основе работы некоторых типов электронных генераторов. Переходные процессы возникают в цепях, содержащих индуктивные и емкостные элементы. Это связано с тем, что указанные элементы обладают способностью накапливать и отдавать энергию соответственно магнитного и электрического полей. Возникновение переходных процессов объясняется тем, что индуктивные и емкостные элементы являются инерционными, так как изменение энергии электрического и магнитного полей не может происходить мгновенно. Накопление энергии за счет источника или отдача ее в электрическую цепь происходит хотя и в очень малые, но конечные промежутки времени. В электрических цепях, содержащих только резистивные элементы, переходные процессы не возникают, в них мгновенно устанавливаются стационарные режимы. В ряде случаев в переходных режимах величины токов и напряжений некоторых элементов цепи могут во много раз превышать номинальные значения. В связи с этим, при эксплуатации электротехнических устройств необходимо знание максимальных значений токов и напряжений, возникающих в переходном режиме и время, за которое они их достигают. Рассмотрим более подробно переходные процессы в простейших электрических цепях.

11.2.1 Переходные процессы в цепи постоянного тока с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности

11.2.1.1 Короткое замыкание цепи При коротком замыкании цепи с последовательным соединением R и L (рисунок 11.1, а) уравнение переходного тока i , равного в этом случае свободному току iсв , имеет вид: L

di + Ri = 0 . dt

(11.1)

Характеристическое уравнение Lp + R = 0 ,

(11.2)

имеет один корень p = − R L , тогда pt

i = iсв = A ⋅ e

=

R − ⋅t A⋅e L .

(11.3)

Если до момента короткого замыкания по цепи протекал постоянный ток

I0 =

U0 , R

(11.4)

где U 0 – постоянное напряжение цепи (рисунок 11.1,6). то это значение тока сохранится и для первого мгновения после замыкания цепи, откуда определяется постоянная интегрирования:

i (0 ) = I 0 = A ,

(11.5)

R − ⋅t ⋅e L ,

(11.6)

Следовательно

i = I0

это выражение изображается затухающей кривой – экспонентой, ордината которой при t =0 равна I 0 . Уменьшение тока i происходит тем быстрее, чем больше коэффициент затухания R L или чем меньше обратная величина τ = L R , имеющая размерность времени и называемая постоянной времени. Постоянная времени равна длине подкасательной в любой точке кривой i (риснок 11.1,6). За время, равное (4-5) ⋅ τ переходный процесс практически заканчивается. Напряжение на индуктивности в короткозамкнутой цепи изменяется согласно выражения

t

R

− − ⋅t di R U u L = L0 ⋅ = L ⋅   ⋅ 0 ⋅ e L = −U 0 ⋅ e τ . dt L R

(11.7)

и принимает значение – U 0 при t = 0 (рисунок 11.1, б). K

uL

i i

R

K

I0

U0 L

i t

0

U0

uL б)

а)

Рисунок 11.1 – Схема (а) и переходный процесс (б) при коротком замыкании цепи с R , L 2.1.2 Включение цепи на постоянное напряжение При включении цепи с R и L на постоянное напряжение U 0 (рисунок U 11.2, а), принужденный ток iпр = 0 , а переходный ток R t

− U (11.8) i = iпр + iсв = 0 + A ⋅ e τ . R Ток переходного процессам в первый момент после включения цепи равен нулю:

i (0 )L =

U0 + A = 0. R

(11.9)

отсюда

A=−

U0 . R

(11.10)

Тогда R

− ⋅t U U U i = 0 − 0 ⋅e L = 0 R R R

R R   − ⋅t  − ⋅t     ⋅ 1− e L = I0 ⋅ 1− e L  ,        

(11.11)

т.е. переходный ток постепенно нарастает до своего окончательного значения I 0 и тем медленней, чем больше постоянная времени τ = L (рисунок R

11.2,6); здесь показаны также принужденная и свободная составляющие переходного тока. Напряжения на участках цепи R  − ⋅t  U 0 = R ⋅ i = U 0 ⋅ 1 − e L  ;    

R

− ⋅t di U L = L ⋅ = U0 ⋅e L . dt

(11.12)

Следовательно, в первый момент напряжение цепи целиком сосредоточено на индуктивности и затем постепенно переходит на активное сопротивление. K

i uL i

iпр i

R

U0

U0 L

U0 R

uL

U0 R t

0

iсв б)

а)

Рисунок 11.2 – Схема (а) и переходный процесс (б) при включении цепи с R , L 11.2.2 Переходные процессы в цепи постоянного тока с последовательным соединением активного сопротивления и емкости

11.2.2.1 Короткое замыкание цепи При коротком замыкании цепи с последовательным соединением R , и C (рисунок 11.3,а) имеем

R ⋅ i + uC = 0 .

(11.13)

du C , уравнение для переходного емкостного напряжения dt u C , равного в этом случае его свободному значению u Cсв , будет иметь вид Так как i = C

R ⋅C

du C + uC = 0 . dt

(11.14)

Характеристическое уравнение

RCp + 1 = 0 .

(11.15)

имеет корень p = −

1 , тогда RC

U C = U Cсв = A ⋅ e

p⋅t

= A⋅e

−

1 ⋅t RC

= A⋅e

−

t

τ

.

(11.16)

где τ = RC – постоянная времени этой цепи. Если начальное напряжение на емкости было равно U 0 , оно сохранится и для первого мгновения после замыкания, откуда определится постоянная интегрирования:

U C (0 ) = A = U 0 .

(11.17)

Следовательно, напряжение на емкости убывает по экспоненте (рисунок 11.3,6) в соответствии с выражением

UC = U0 ⋅ e

−

t RC

(11.18)

.

Ток t

t

− du U  1  − RC i = C C = CU 0  − = − 0 ⋅e τ . ⋅e dt R  RC 

(11.19)

изменяется при коротком замыкании цепи скачкообразно, принимая значение U − 0 , а затем убывает по тому же экспоненциальному закону. Так как это R ток разряда, знак его отрицательный. K uС i i K

R

U0

U0 C

а)

U0 R

uС t

0

i б)

Рисунок 11.3 – Схема (а) и переходный процесс (б) при коротком замыкании электрической цепи с R , C 11.2.2.2 Включение цепи на постоянное напряжение При включении цепи R , C на постоянное напряжение U 0 (рисунок 11.4,а) емкость будет заряжаться до принужденного напряжения U Cпр = U 0 .

Тогда переходное напряжение

U C = U пр + U св = U 0 + A ⋅ e K

−

t RC

(11.20)

.

i uС

uС

i

uС

U0 R

R U0 C

пр

i

U0 t

0

uС

U0

св

б)

а)

Рисунок 11.4 – Схема (а) и переходный процесс (б) при включении цепи с R , C Напряжение на емкости до переходного процесса, а, следовательно, и в первый момент после включения равно нулю:

U C (0 ) = U 0 + A = 0 ,

(11.21)

откуда A = −U 0 . Тогда UC = U0 −U0 ⋅ e

−

t RC

t  −  RC = U0 ⋅ 1− e  

 ,  

(11.22)

т.е. напряжение на емкости постепенно нарастает до своего окончательного значения и тем медленней, чем больше постоянная времени τ = RC . Ток заряда t

t

du  1  − RC U 0 − RC i = C C = −C ⋅ U 0 ⋅  − = ⋅e , ⋅e dt R  RC 

(11.23)

при включении цепи изменяется скачком и затем убывает по тому же показательному закону, что и ток разряда, но имеет положительный знак в соответствии с рисунком 11.4,б. 11.3 Описание лабораторной установки На лицевой панели универсального лабораторного стенда установлены элементы для опытов и приборы для измерений в соответствии с рисунком 11.5.

L1 Г-5-63

L2

L3

L4

С-1-83

C1

C2

C3

П1

R

4

R

5

C4

Рисунок 11.5 – Элементы и приборы универсального стенда, используемые в лабораторной работе В работе используются катушки индуктивности с параметрами Rк , L1 − L4 , батарея конденсаторов C1 − C 4 , магазины сопротивлений R4 , R5 электронный осциллограф С-1-83, генератор прямоугольных импульсов Г-5-63. Длительное наблюдение кривых тока и напряжения на экране осциллографа обеспечивается периодическим повторением переходных процессов с помощью генератора Г-5-63, который с частотой f Г производит включение цепи на напряжение + U 0 и - U 0 . 11.4 Подготовка к работе 11.4.1 Повторить раздел курса «Электротехника», в котором изложены переходные процессы в линейных электрических цепях с R , L и R , C . 11.4.2 Подготовить бланк отчета по лабораторной работе, в котором привести схемы опытов с указанием используемых приборов. 11.4.3 Подготовить кальки для снятия переходных процессов с экрана осциллографа 11.4.4 Ответить на контрольные вопросы. 11.5 Рабочее задание Опыт 1 – Переходные процессы в цепи с резистивным элементом и катушкой индуктивности

11.5.1 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 11.6, включив в цепь катушку индуктивности L1 . На генераторе Г-5-63 установить выходное напряжение амплитудой U 0 =6 В и периодом 8 мс. 11.5.2 После проверки цепи преподавателем включить питание переключателем П1 и экспериментально подобрать параметры цепи так, чтобы переходный процесс заканчивался в течение полупериода прямоугольного напряжения генератора. Подбор параметров цепи осуществляется изменением сопротивления R4 . Г-5-63 R4

i( t)

П1 UГ

L1 Rк

uк (t)

Рисунок 11.6 – Схема опыта с последовательным соединением резистора и катушки индуктивности 11.5.3 Определить на осциллографе С-1-83 масштабы времени и напряжения и снять на кальку осциллограммы тока i (t ) и напряжения на катушке u к (t ) при включении и отключении цепи. Зафиксировать в лабораторном журнале параметры элементов исследуемой цепи. Следует отметить, что осциллограмма напряжения на катушке u к (t ) будет отличаться от теоретической u L (t ) вследствие падения напряжения на активном сопротивлении катушки Rк . Опыт 2 – Переходные процессы в цепи с резистивным элементом и конденсатором 11.5.4 Собрать электрическую цепь в соответствии с рисунком 11.7, включив в цепь конденсаторы C1 − C 4 . 11.5.5 После проверки цепи преподавателем включить питание переключателем П1 и повторить эксперимент по п.11.5.2 и 11.5.3 для цепи R , C . Подбор параметров цепи осуществляется изменением сопротивления R5 . 11.6 Обработка результатов опытов 11.6.1 Перенести с калек осциллограммы переходных процессов в лабораторный журнал. Нанести на графиках масштабы измеренных величин.

11.6.2 Определить по графикам i L (t ) и u C (t ) постоянные времени для цепей R , L и R , C . Г-5-63 R5

П1

i( t)

UГ C

u C (t)

Рисунок 11.7 – Схема опыта с последовательным соединением резистора и конденсатора 11.6.3 По известным параметрам элементов R , L , C рассчитать постоянные времени цепей R , L и R , C и сравнить полученные данные с экспериментальными. 11.7 Содержание отчета 11.7.1 Цель работы. 11.7.2 Схемы в соответствии с рисунками 11.6 и 11.7. 11.7.3 Расчетные формулы. 11.7.4 Полученные экспериментально в соответствующих масштабах кривые переходных процессов. 11.7.5 Определенные расчетным и опытным путем постоянные времени цепей R , L и R , C . 11.7.6 Выводы по работе. 11.8 Контрольные вопросы 11.8.1 Какие законы коммутации вы знаете? 11.8.2 Какова физическая и математическая сущность принужденных и свободных составляющих? 11.8.3 Что такое постоянная времени цепи? 11.8.4 Чем определяется периодичность и апериодичность переходного процесса? 11.8.5 Что такое начальные условия? Как они определяются? 11.8.6 Как определить постоянные интегрирования общего решения переходного тока (напряжения)? 11.8.7 Каким образом проводится осциллографирование токов и напряжений?

11.8.8 Как установить масштаб измеряемых величин на экране осциллографа? 11.8.9 Как по опытным данным определить постоянную времени?

12 Лабораторная работа № 12. Электрические цепи с взаимной индуктивностью 12.1 Цель работы. Исследование влияния взаимной индукции на соотношения между токами и напряжениями индуктивно-связанных катушек и экспериментальное определение коэффициента взаимной индуктивности. 12.2 Краткие теоретические и практические сведения

Элементы, между которыми существует электромагнитная связь из-за наличия взаимной индукции между ними, называются индуктивносвязанными. Если ток i1 в первой катушке (рисунок 12.1) создает магнитный поток Φ11 , часть которого Φ12 сцеплена с витками второй катушки, то взаимной индуктивностью или коэффициентом взаимной индуктивности этих катушек называют M 12 =

w2 Φ12 . i1

(12.1)

Аналогично можно определить взаимную индуктивность M 21 по потоку Φ 21 , который создается в первой катушке с числом витков w1 от тока i2 во второй катушке M 21 =

w1Φ 21 . i2

(12.2)

Можно показать, что для линейной среды M 12 = M 21 . Отношение взаимной индуктивности двух катушек к среднему геометрическому из их индуктивностей называют коэффициентом связи, который характеризует степень индуктивной связи двух элементов цепи kc =

M . L1 ⋅ L2

(12.3)

Коэффициент связи k c всегда меньше единицы и может равняться единице лишь в теоретическом случае полного совпадения магнитных потоков катушек, когда весь поток одной катушки сцеплен с витками другой. Две индуктивно связанные катушки, к каким бы ветвям или цепям они не принадлежали, могут быть включены двумя способами: согласно или встречно. При согласном включении потокосцепление и ЭДС самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению. При встречном включении потокосцепление и ЭДС взаимной индукции направлены навстречу потокосцеплению и ЭДС самоиндукции. Таким образом,

eсогл = e L + e M = − L

di di −M ; dt dt

(12.4)

eвстр = e L − eM = − L

di di +M . dt dt

(12.5)

Учитывая, что ЭДС взаимной индукции на участке цепи может складываться с ЭДС самоиндукции или вычитаться из нее, можно взаимную индуктивность M рассматривать как величину положительную или отрицательную. При согласном включении M >0, при встречном включении M R5 > 0

4 5

К.З. ( R5 = 0 ) 12.6 Обработка результатов опытов

12.6.1 Определить параметры первой и второй катушек индуктивности по результатам первого опыта. Параметры катушек Rк и L по методу двух частот определяются из решения системы двух уравнений: Z кf 1 = Z кf 2 =

U f1 I f1 Uf2 If2

= Rк2 + (2πf1 L )2 ,

(12.19)

= Rк2 + (2πf 2 L )2 ,

(12.20)

12.6.2 Определить одноименные зажимы двух катушек, коэффициент M взаимной индуктивности и коэффициент k c связи по результатам второго опыта. Одноименные зажимы при последовательном соединении двух катушек можно определить по величине тока в цепи, если поменять местами зажимы одной из катушек. При согласном включении показания амперметра будут меньше.

Коэффициент k c связи катушек и коэффициент M взаимной индуктивности определяются по формулам (12.3) и (12.10) соответственно. 12.6.3 Определить коэффициенты связи и взаимной индуктивности воздушного трансформатора по результатам третьего опыта. Коэффициент M взаимной индуктивности определяется по данным опыта холостого хода трансформатора из формулы (12.13). Коэффициент связи k c по формуле (12.3). 12.6.4 По данным таблицы 12.3 построить в масштабе внешнюю характеристику U 2 = f (I 2 ) воздушного трансформатора. 12.7 Содержание отчета 12.7.1 Цель работы. 12.7.2 Схемы в соответствии с рисунками 12.9, 12.10, 12.11. 12.7.3. Таблицы 12.1, 12.2, 12.3 опытных и расчетных данных. 12.7.4 Расчетные формулы. 12.7.5 Построенная в масштабе внешняя характеристика воздушного трансформатора. 12.7.6 Выводы по работе. 12.8 Контрольные вопросы 12.8.1 Как опытным путем определить M и k c индуктивно связанных катушек? 12.8.2 Что такое коэффициент связи? Может ли он быть больше единицы? 12.8.3 Что такое согласное и встречное включение индуктивно связанных катушек? Какие зажимы этих катушек называются одноименными? 12.8.4 Как по величине тока при последовательном включении индуктивно связанных катушек определить характер включения (согласное или встречное)? 12.8.5 Нарисуйте векторную диаграмму при согласном и встречном включении катушек. 12.8.6 Как опытным путем определить M воздушного трансформатора? 12.8.7 Напишите основные уравнения воздушного трансформатора. 12.8.8 Нарисуйте векторную диаграмму воздушного трансформатора при произвольной активной нагрузке.

Список использованных источников 1 Касаткин А.С. Электротехника: Учеб. для вузов.- 6-е изд., перераб.– М.: Высш. шк., 2000. – 136 с. 2 Бессонов Л.А., Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Гардарики, 2000. – 220 с. 3 Кузовкин В.А. Теоретическая электротехника. – М.: Логос, 2002. – 98 с. 4 Методические указания и консультации к самостоятельному изучению раздела курса ТОЭ Ч.1. «Методы расчета электрических цепей постоянного тока» / Б.И.Огорелков, А.Н.Ушаков, Н.Ю.Ушакова. – Оренбург: ОрПИ, 1988. –34 с. 5 Методические указания и консультации к самостоятельному изучению раздела курса ТОЭ Ч.2. «Методы расчета электрических цепей синусоидального тока» / Б.И.Огорелков, А.Н.Ушаков, Н.Ю.Ушакова. – Оренбург: ОрПИ, 1991. –46 с. 6 Методические указания и консультации для самостоятельной работы по разделу курса ТОЭ «Расчет линейных электрических цепей с установившимися синусоидальными токами» / Ж.Г.Пискунова, С.Н.Бравичев. – Оренбург: ОГУ, 1997. – 42 с. 7 Бравичев С.Н., Пискунова Ж.Г. Расчет линейных электрических цепей с установившимися синусоидальными токами: Методические указания и консультации к самостоятельному изучению курса ТОЭ. – Оренбург: ОГУ, 1996. – 44 с. 8 Желтяков А.В., Усенков Н.И., Фатеев В.Б., Хрипко В.Л. Электрические цепи. Учебное пособие к лабораторному практикуму по курсу «Электротехника». – Оренбург: ОГУ, 1998. –65 с. 9 Методические указания к лабораторному практикуму «Исследование линейных электрических цепей в системе «ELECTRONICS WORKBENCH» / Л.В.Быковская, С.А.Воробьева – Оренбург: ОГУ, 2001.-35 с.