小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シ リーズ
編 集 の ことば 近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の基 盤 には,数 学 ...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シ リーズ
編 集 の ことば 近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の基 盤 には,数 学 の知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 き い.理 工 学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な い で あ ろ う. 編 者 らは,こ の よ うな 事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に伝 え る こ と を目 的 と して 本 シ リー ズ の 刊行 を 企 画 した の で あ る. 上 の 主 旨 に した が っ て 本 シ リー ズ で は,重 要 な基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近代 数 学 の 考 え方 を平 易 に 理 解 で きる よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の数 学 に 直結 して,数
学 の 基 本 を 悟 り,更 に進 ん で 高 等数 学 の理 解 へ の大 道 に容 易 に は い れ る
よ う書 か れ て あ る. これ に よっ て,高 校 の数 学 教 育 に携 わ る 人 た ちや 技 術 関係 の 人 々 の 参 考書 とし て,ま
た学 生 の入 門書 とし て,ひ ろ く利 用 され る こ と を 念願 と して い る.
こ の シ リー ズ は,読 者 を数 学 と い う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資す る と と も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の力 を養 う に役 立 つ こ とを 意 図 した もので あ る.
序
抽 象 代 数 学 に お い て 扱 うべ き 対 象 は い ろ い ろ あ る が,そ
れ ら の うち,特
本 的 な も の は,群,環,体
代 の数学 の抽 象 化に
伴 っ て,数
で あ ろ う.こ れ らの も の は,近
に基
学 の い ろ い ろ な 分 野 に 登 場 して き た も の で あ り,現 代 の 数 学 の 理 解
の た め に は 大 変 重 要 な も の で あ る. しか し な が ら,抽 象 代 数 学 の 学 習 に 当 っ て,単
に そ の抽象 化に 慣れ て いな い
だ け の 原 因 で,困 惑 して い る 学 生 が 多 くあ る よ うに 見 受 け られ る.抽 象 化 自体 は,決
して む つ か しい こ とで は な く,そ の こ と は,す べ て の 成 人 が 非 常 に 多 く
の 抽 象 概 念 を 容 易 に 理 解 し,消 化 して い る こ とか ら明 らか で あ ろ う.し た が っ て,要
は,そ
そ こで,本
の 抽 象 化 に 慣 れ る か 否 か で あ る. 書 で は,抽
象 化 に 慣 れ る よ うに と い うこ と を 目標 に した つ も りで
あ る.具 体 的 な こ とに つ い て,も ろ,そ
っ と補 うべ き で あ っ た か も知 れ な い が,む
し
の 面 は,各 読 者 の 知 識 の 範 囲 に 従 って 変 化 す べ き も の で あ るか ら,各
自
に 補 っ て 頂 く方 が よい と思 い,具
体 的 例 な ど に つ い て の 記 述 は,問,注
に お い て ふ れ る の に と どめ た.し
た が っ て,各 読 者 に お い て,新
て く る た び に,ど 他 方,上
しい 概 念 が 出
ん な 例 が あ る か を 考 えて み る努 力 を さ れ る こ とを 希 望 す る.
記 の よ うな 目標 の ゆ え に,抽
象 代数 学 にお い て扱 われ る多数 の素 材
の 紹 介 を す る よ りも,少 数 の 素 材 の 紹 介 を し,そ れ らを 通 して,抽 現 わ れ る,い ろ い ろ な 考 え 方,理 い,本
意 など
書 で は 主 と して,ネ
論 の 組 み 立 て 方 な どを 紹 介 す る 方 が 適 切 と思
ー タ ー 環(第3章),体
(ま た は 左)ア ル テ ィン 環(第5章)を 本 的 概 念 の 一 つ で あ る.準
象代 数 学に
の 代 数 拡 大(第4章),右
素 材 と し,ま た,抽
同 型(第2章)の
象 代 数 学 に お け る基
説 明 に も重 き を お い た.
こ の 小 著 が,抽
象 代 数 学 を 学 ぶ 人 々 の 役 に 立 て ば 幸 い で あ る.
本 書 の 出 版 に つ い て,御
手 数 を わ ず らわ した 朝 倉 書 店 の 方 々 に 謝 意 を 表 し ま
す. 1967年2月
永
田
雅
宜
目 は
じ
め
次
に
1
1. 算 法 を も つ 集 合 1.1 集 合 に つ い て の 基 本 的 事 項 1.2 同 値 律 と類 別
4 4 8
1.3 算 法 の 例
10
1.4 群,準
群 の定 義
13
1.5 環,体
の定 義
19
1.6 環 の 上 の 加 群
23
補 充問題1
27
2. 準
同
型
2.1 剰
余
類
28
2.2 準
同
型
31
2.3 作
用
域
39
2.4 直 積 と 直 和
44
2.5 準 同 型 定 理 と ジ ョル ダ ン‐ヘ ル ダ ー の定 理
50
補 充問題2
3. 可
28
53
換
環
55
3.1 素 イ デ ア ル
55
3.2 多
式
59
3.3 イ デ ア ル 商
64
3.4 極 大 条 件 と極 小 条 件
66
項
3.5
ネ ー タ ー 環 の 例(1)ユ
ー ク リ ッ ド環
3.6
ネ ー タ ー 環 の 例(2)有
限 生成 の環
3.7 商 体,全
商 環,商
68 70
環
71
3.8 素 元 分 解 の 一 意 性 3.9
75
イ デ ア ル の 準 素 イ デ アル 分 解
80
補 充 問 題3
4.
85
体
87
4.1 非 可 換 な 体 4.2 整
拡
87
大
89
4.3 体 に 関 す る 基 本 的 定 義 4.4 分
解
94
体
99
4.5 分 離 的 拡 大
101
4.6 正 規 拡 大
111
4.7 群 の 不 変 体 と ガ ロ ア の 基 本 定 理
113
4.8 方 程 式 の 可 解 性
117
4.9 作 図 の 可 能 性
124
4.10
代 数 的 閉包
129
4.11
超 越 次 数
131
補 充 問 題4
5.
非
可
換
5.1 行 5.2 行
133
環
列 列
135
環
5.3 べ き 零 イ デ ア ル と素 イ デ ア ル 5.4 右 ま た は 左 ア ル テ ィ ン 環
135 140
145
148
5.5 群 多 元 環
156
補 充問題5
6. 関
162
手
165
6.1 基 本 的 定 義
165
6.2 加 群 の テ ンサ ー積
167
6.3 環 の テン サ ー積
171
6.4 完 全 関 手
172
補充 問題6
176
解 答 と ヒ ン ト
事
項
索
引
記
号
索
引
178
187
192
は
じ
め
に
抽 象代数 学 に つい て 抽 象 代 数 学 とは 何 か,と
い うこ とを,ひ
と くち で い え ば,そ
れ は 算法 の学問
で あ る とい っ て も 差 支 え な い で あ ろ う.算 法 と い っ て も い ろ い ろ あ る.数 の 加 法,乗
法 は そ れ ぞ れ 算 法 の 例 で あ る.適 当 な 条 件 を み た す 算 法 を もつ 集 合 に,
算 法 の 性 質 に 応 じて 名 前 が つ け られ て い る.群,環,体(第1章 る)な
で 定 義 を述べ
どは,そ れ ら の うち の 重 要 な も の で あ る.本 書 で は,そ
れ ら の うち,環
と体 とに 主 力 を そ そ ぐ こ とに す る. 数 の加 法,乗
法 で は,い わ ゆ る 交 換 法 則(可
a+b=b+a,ab=ba.し
換 律 と も い う)が
成 り立 つ:
か し抽 象 代 数 学 に 現 わ れ る算 法 に は,交 換 法 則 を み
た さ な い も の が 多 くあ る.そ れ は,対 象 が 数 そ の も の で は な く,何 等 か の 操 作 の 抽 象 化(た わ ち,写 像)が が,帽
とえ ば,あ
る 集 合 の 各 元 に あ る集 合 の 元 を 対 応 さ せ る 操 作,す
群 や 環 の 元 で あ る こ とが 多 い か らで あ る.数
子 を か ぶ る とい う操 作 をaと
す とい う操 作 をbと
し よ う.aを
し,赤
な
学 的対 象 では な い
イン キ を 頭 の 真 上 の 天 井 か ら落 と
行 な っ て か らbを
か ぶ り,帽 子 に 赤 イ ンキ が つ く,と こ ろ が,bを 人 が 帽 子 を か ぶ っ て い る こ とは 同 じで あ るが,赤
行 な えば,人
先 に して,aを
は帽子を
後 で 行 な え ば,
イ ン キ が つ くの は,帽 子 で な
く,頭 な の で あ る.操 作 を 順 次 行 な う こ とを,そ れ らの 操 作 の 乗 法 と 定 め よ う.aを
先 に,bを
後 に と い うの をbaと
側 に か く こ とに し よ う.す る と,ba,ab共 あ る.数 学 的 対 象 で の 簡 単 な 例 は,中 き ま る)と い う操 作 を 考え れ ば,同 な 直 径 を 軸 と して,90° 90° 回 転 す る操 作bを
に 行 な う操 作 を 右
に 定 義 さ れ る が,
心 を 固 定 した 球 の 回 転(軸
様 な 例 が い くつ も 作 れ る.た
回 転 す る 操 作aお と る と き,
い うふ うに,先
よ び 水 平 な1つ で あ る こ と は,鉛
なので と回 転 角 とで と え ば,鉛
直
の 直 径 を 軸 と して, 直 な直 径 の 端 に
あ っ た 点 の 最 後にう つ る位 置 を く らべ れば わ か る. も ち ろ ん,ど あ るか は,応
ん な 算 法 も全 部 扱 う とい うわ け で は な い.ど
んな 算法が 重 要 で
用 な い しは,他 分 野 と の 関 連 に よっ て 判 断 さ れ るべ き で あ ろ う.
抽 象 代 数 学 を 初 め て 学 ぶ 人 が 当 惑 す る こ とは,対 た め に 興 味 が わ か な い とか,新
象 の 具 体 的 意 義 を 知 らな い
し く遭 遇 した 考 え 方 が ピン と こ な い とか い っ た
こ とで あ る と思 う.し か し,抽 象 数 学 の よ さ は,抽 象 化 す る こ とに よ っ て,多 くの 場 合 に あ て は め る こ とが で き る こ とに あ る の で,対 定 す る こ とは,数
学 一 般 に と っ て よい こ とで は な く,抽 象 代 数 学 に お い て 特 に
そ うで あ る の で,そ で,本
象 を具 体 的 な ものに 限
の 点 に 記 述 の む ず か し さ,学 び に くさが あ る と思 う.そ こ
文 の 記 述 の さ い に,問,注
意 な どの 形 で,具
体 的 な 場 合 に ど うな っ て い
るか に 注 意 を む け て も ら う よう 留 意 した つ も りで あ る.読 者 諸 氏 が そ れ らの場 合 か ら出 発 し て,抽 象 化 され た も の の 具 体 的 イ メ ー ジ を つ か ま え る よ うに 努 力 して 下 さ れ ば,こ
れ らの 難 点 は 克 服 され る も の と思 う.
各 章 の内 容 につ い て 第1章 た.こ 第2章
に お い て は,演
算 な い し は,算 法 と よば れ る もの の 紹 介 を 主 目的 と し
の 章 は 以 後 の 章 を 理 解 す る た め の 基 礎 的 事 項 を 含 ん で い る. は,抽
象 代 数 学 の 一 般 論 か らみ て,大 変 基 礎 的 な,準
概 念 の 紹 介 に 主 眼 を お い た.作 す る分(2.3)は
同 型,作
用 域 の 理 解 が 困 難 と感 ず る 読 者 は,作
あ とま わ しに して,先
で は,可
換 環 の イ デ ア ル 論 の 紹 介 を す る.
第4章
で は,体
論 の 概 要 を の べ る.代 数 拡 大 に つ い て の 理 論(い 理 論 を 含 む)お
よび,そ
用域 に 関
へ 進 ん で よい.
第3章
ア(Galois)の
用域 の
わ ゆ るガ ロ
れ の,方 程 式 論 お よび(定 規 と コ ンパ
ス に よ る)作 図 の 可 能 性 の 判 定 問 題 へ の応 用 の 紹 介 が 主 な 部 分 を しめ る . 第5章
で は,非
の 構 造,片
可 換 な 環 の 理 論 の 紹 介 を す る.任 意 の 環 の 上 のn次 全 行 列 環
側 イ デ ア ル に つ い て の 極 小 条 件 を み た す 環 の 構 造 と,そ の よ うな 環
と群 の 行 列 に よ る表 現 と の 関 係 を の べ る の を 主 に す る.
第6章
に お い て は,函
手 と い わ れ る も の の 例 を す こ し の べ る.第2章
し た 準 同 型 を 利 用 し て 与 え ら れ る 例Homと,テ る も の(し
で定義
ンサ ー積 を 利 用 し て 得 ら れ
た が っ て テ ン サ ー 積 の 定 義 は こ の 章 で す る)を
の べ る こ と に す る.
各章 の た め の予 備知 識 第1章
予 備 知 識 は い ら な い.
第2章
第1章
を 理 解 し て お く必 要 が あ る.
第3章
第1章
お よ び 第2章,特
に,行 第4章
に1.4,1.5,1.6,2.1,2.2,2.4(そ
列 式 に つ い て の 知 識 を 必 要 と す る 個 所 が 一 つ だ け あ る)
第1∼3章,特
に,1.4,1.5,1.6,2.1,2.2,3.5,3.7,3.8.
第5章
第1章
お よ び 第2章
第6章
第1章
お よ び 第2章.
と,3.4,4.1.
の他
1.算
1.1
法 を
もつ 集 合
集 合 につ い て の基 本 的 事項
集 合 に つ い て の くわ し い こ と は,ほ 本 書 で 使 用 す る,集
〔記
(1)
(2) 〓:∈
か の 成 書 を み て い た だ く こ と に す る が,
合 に 関 す る 主 な 記 号,定
義,定
理 を 列 挙 し て お く.
号〕 ∈:aが
集 合Aの
元 で あ る と き,a∈Aま
の 否 定.aがAの
た はA∋aと
元 で な い と き,
Aま
か く.
た は
と か く. (3)
⊆,〓:BがAの
部 分 集 合 で あ る と き(で
た は
な い と き),B⊆Aま
と か く.
(4)
⊂:B⊆Aか
つ
る と き)B⊂Aま (5)
∩:共
共 通 集 合 はA1∩
た はA⊃Bと
用 す る こ と が あ る)な (6)
∪:和
∩Anま
真 部分 集 合 で あ
か く.
通 集 合.AとBと …
(す な わ ち,BがAの
の 共 通 集 合 はA∩B.A1,…,Anの
たは
∩ni=1Ai(略
し て,∩iAi,∩Aiな
ども利
ど で 表 わ す.
集 合.A1,…,Anの
和 集 合 はA1∪
…
∪An,∪iAiな
どで
表 わ す. (7)
{│}:集
{a∈A│P}ま ∈Aま ば,正
合Aの
元aで
た は 略 し て,{a│P}で
条 件Pを
み たす もの全 体 と い う と き は
表 わ す.た
と え ば,AUB={a│a
た はa∈B},A∩B={a∈A│a∈B} の 実 数 全 体 は{a∈R│a>0}で
.Rが あ る.ま
合 と い う と き に は{a1,…,an}の
よ うに,{}で
(8)
∃ は"存
在 す る",∀
は"任
意 の"ま
ら ば"を
示 す.た
と え ば,∀a∈A,∃b∈A,b2=aは,"Aの
実 数全 体 で あ れ
た,a1,…,anか
ら成 る集
表 わ す. た は"お
の お の の",⇒
は"な
任 意 の 元aに
対 し て,Aの
(9)
元bが
存 在 し て,b2=aと
は"a>0な
ら ば,
―:BがAの
,す
(10) #():元
で あ る"を
な わ ち,BのAに
数.#(A)はAの
限 の と き は∞
で あ ろ うが,本
意 味 す る.ま
元 数.た
で 示 す こ と に す る.本
た,
意 味 す る.
部 分 集 合 で あ る と き,A−BはAか
っ た 残 り
を 示 す.無
な る"を
らBを
と り去
お け る 補 集 合 を 表 わ す. だ し有 限 の と き は 本 当 の 元 数 当 は 濃 度を 示す こ とに す べ き
書 で は 無 限 の 濃 度 の 比 較 の 必 要 は な い の で,無
限 の濃 度 の区別
を し な い こ と と す る.
問1.つ
ぎ の お の お の は 何 を 示 す か.た
(ⅰ)
{x∈R│x>2か
(ⅱ)
{x∈R│2xが
だ しRは
実 数 全 体 と す る.
つ,x1⇒b2>x>−b2}.
(ⅵ) Ri={x∈R│x>i}(i=1,2,3,…)と
〔用
語〕
(1) Ai)の
A1,…,Anが
…
×Anま
た は
合 の 数 が 無 限 の と き も 同 様 で あ る が,そ
ぎ の よ うに いえ る.Aλ(λ の各元
元a1,…,an(ai∈
体 の 集 合,{(a1,…,an)│a1∈A1,…,an∈An}を
積 集 合 と い い,A1×
)で 示 す.集
き,Λ
集 合 で あ る と き,A1,…,Anの
組(a1,…,an)全
A1,…,Anの
ば,つ
す る と き,
λ にAλ
は あ る 集 合Λ
で 示 す.(元fをAλ
れ を 抽 象的 に 述べ れ
の 中 を 動 く)が
の 元 を 対 応 さ せ る よ うな 対 応fの
の 積 集 合 と い い,
(ま た は
集合 で あ る と
全 体 をAλ(λ
∈ Λ)
の 元 の 組 と 考 え よ う と思 え
* 普 通 の 整 数 は,有 理 数 で あ っ て しか も整 数 で あ る とい うこ とか ら,有 理 整 数 と よ ば れ る.有
理 整 数 以 外 に,代
数 的 整 数 と よば れ る整 数 が あ る(4.2参
照).
ば,番
号 λ の と こ ろ へ,fに
よ っ て λ に 対 応 す るAλ
の 元fλ
を配置 した
も の を 考 え れ ば よい の で あ る.) (2) 集 合Aの
元 の 間 の 関 係,そ
(す な わ ち,a,b∈Aな
らば,a>bで
の3条 件 が 成 立 す る と き,こ (ⅰ)
a∈A⇒a>a,
(ⅲ)
a,b,c∈A,a>b,b>c⇒a>c.
順 序 は,上
あ る か 否 か が 定 ま っ て い る),つ
の 関 係>は
と こ ろ を,〓
と も か く.
集 合Aに
示 そ う,が 定 ま っ て い て ぎ
順 序 で あ る とい う.
(ⅱ) a,b∈A,a>b,b>a⇒a=b,
の>の
か く.(aはbよ
れ を 仮 に>で
と か く の が 普 通 で あ る.
か つ
り大 き い,ま
の と き,a>bま
た は,bはaよ
た はbを
の 関 係>が
導 入 した と き,そ
れ
順 序 で あ る か 否 か を し らべ よ(a,bはC
の 任 意 の 元) (ⅰ)
(││は
絶 対 値)
(ⅱ) a>b⇔a−bが
負で ない実 数
(ⅲ) a>b⇔a−bが
純虚数
(ⅳ) a>b⇔(aの (ⅴ) a>b⇔a2−b2が 問3.
順 序 集 合Aに
新 しい 関 係 で
実 数 部 分)〓(bの
実 数 部 分)
負 で ない実 数 対 して,新
しい 関 係〓
と定 め れ ば,新
を,も
しい 関 係〓
と の 順 序 で
も順 序 で あ る こ とを 示 せ.
こ の新 し い 順 序 を,も (3) 順 序〓
と の順 序 の 双 対(順 序)と
を も つ 順 序 集 合Aに
の 成 立 す る と き,Aは
い う.
お い て,
ま た は
全 順 序 集 合 で あ る とい い,こ
の順 序 は全 順序 で あ
る とい う. 例2.
実 数 全 体 は 普 通 の 大 き さ の 関 係 で 全 順 序 集 合 に な る.
問4.
全 順 序 集 合 の 部 分 集 合 は(同
(4) 順 序 集 合Aの の と き,aはSの
な わ ち,a1と
れ は 正 規 部 分 群 で あ る(補
(イ) K=G1の
と き:こ
の と き はH1=G1で ⊂Gな
あ る.
る 正 規 部 分 群G′
成 列 に 到 達 し,組
成 列 に な れ ば,m=nと
… ,n}の
上 の適 当 な置換
え れ ば,こ
の 場 合 の 証 明 が 完 了 し た こ と に な る.
(ロ)
π に よ り(ⅳ)と
よ り長 さnの
るrを
の 組 成 列 と の 間 に は,(ⅳ)で
考 え て)が
成 り 立 つ か ら((イ)に
の か わ りに
⊃K⊃{1}を る(定
れ を,
と る.
と,こ か わ りにLiを
を 考 え て よ い.他
細 分 し て み る.GとKと
理2.2.9(ⅲ),定
の 間 の 分 は,G/Kの
理2.3.3参
照).G/Kが
さrに
な っ て,も
方,G⊃H1
長 さr(r)と
よ る) ,
うそ れ 以 上 細 分 で き な く な り,そ れ を
と し て み れ ば,{1,2,…,r}の
成 列 だ か ら,帰
の
正 規 鎖に 対応 す
を も つ こ と か ら,G⊃H1⊃Kを ば,長
考
を 細 分 し て 行 け ば,
組 成 列 に 到 達 す る.そ
と す る.Lr=Kな
な り,{2,
同 じ こ とが い え る.π1=1と
の と き:
べ た こ と(Niの
は 存 在 し な い).
帰 納 法 の 仮 定 を 適 用 し,
を 細 分 し て 行 け ば,組
(イ)に
し よ う.
充 問 題2.3).
が 組 成 列 で あ る か らG1⊂G′ し た が っ て,G1に
組 成 列 ゆえ,Gは
お け ば ,(ⅳ)で
に も 成 り立 つ こ と が わ か る.し
…
⊃Mr/KがG/Kの
組
た が っ て, 組 成 列 で あ っ て,
の こ と が,組
成 列M0⊃
た が っ て,
を 考 え て よ い.す
σ に よ り,
Mj …
⊃Mnと
の間
の か わ り に, る と,
={1}のH0とH1と
の 間 を 細 分 し て , と し て み る.す
と 比 べ れ ば,M1が
共 通 ゆ え,(イ)に
を 細 分 し て,組
正 規 部 分 群(補
よ り,
成 列 に す る こ と が で き,そ
(ⅳ)で の べ た こ とが 成 り立 つ.し (ハ) K={1}の
る と,
た が っ て,こ
の 場 合 の 証 明 が 完 了 した.
と き:H1,G1はGの
正 規 部 分 群 で あ る か ら,H1G1は
充 問 題2.3).H1={1}な
と 仮 定 し よ う.G1よ
の 組 成 列 に つ い て,
ら(ⅰ),(ⅱ)は
明 白.そ
り本 当 に 大 き い 正 規 部 分 群 はG以
外に な い の だ
か ら,G1H1=G.
(準 同 型 定 理).
そ こ で,H1は {1}も
こ で,
単 純 で あ り,
組 成 列 と な り(ⅳ)が
分 でき る(
で あ り,n=2な
そ の と き 成 り立 つ.n>2な
ゆ え).し
ら れ る((ハ)の
ら ば,G⊃H1⊃ ら ば,G⊃H1が
た が っ て,(イ)か(ロ)の
場 合 はm=2ゆ
細
場合 に 帰 着 さ せ
え).
(証 終)
補 充 問 題2
1 準 同 型,同
型 の 定 義 で,f(ab)=(fa)(fb)と
な っ て い る と こ ろ を,f(ab)=
(fb)(fa)と
い うふ うに,演 算 の 順 序 を 逆 に 変 更 した も の が 成 りた つ と き,逆 を つ け た 言
葉 で よ ぶ(準
同 型 → 逆 準 同 型,同
型 → 逆 同 型).
(ⅰ) (作 用 域 を 考 え な い)群Gか
らG自
身 へ の 写 像a→a−1はGとG自
身 との
逆 同 型 を 与 え る こ とを 示 せ. (ⅱ) 群Gか はGの
ら群G′
の 中 へ の 逆 準 同 型fが
正 規 部 分 群 で あ り,fGとG/Nと
あ る と き,fの
の 逆 同 型 がfに
核
よ っ て 定 ま る.fGとG/N
とは 同 型 で も あ る. 2 群Gか
ら準 群Sの
り,fはGか
らfGの
3 H,Kが
群Gの
中 へ の(準 上 へ の,群
群 と して の)準
同 型fが
あ れ ば,fGは
群 であ
と して の 準 同 型 を 与 え る.
正 規 部 分 群 に あ る とき,H∩K,HK共
にGの
正規 部 分 群 で あ
る. 4 Rが
環,Iが
との 間 にr(s+I)=rs+Iな
イ デ ア ル で あ る と き,Rの
任 意 の 元rとR/Iの
任 意 の 元s+I
る算 法 を 導 入 す る こ とが で き,こ れ に よ り,R/Iが,Rを
作用 環 に も つ 加 群 とな る. 5 Gが
有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群,
f∈Hom群(G,Z)と
な らば,適
当 な 有 限 巡 回 群Zと,適
当な
に よ り,
6 G1,…,Gnが
群 で,そ れ ぞ れ の 中 心 がZ1,…,Znで
直積G1×
… ×Gnの
中 心 はZ1×
7 Rが
可 換 環,M,NがR‐
… ×Znで
あ る と き,G1,…,Gnの
あ る,
右 加 群 で あ る とき,HomR(M,N)は,次
の算法 に よ
り,R‐ 右 加 群 で あ る: (イ) 加 法 は 普 通 の よ うに,Nの
算 法 で 導 入 す る.
(ロ)
の と き,frは
ま るMか
らNの
次 に,Rが 8 Hが
で定
中 へ の 写 像.
可 換 で な い と き は,ど 群Gの
ん な 点 が 支 障 に な るか を 論 ぜ よ.
部 分 群 で そ の指 数#(G/H)が2な
らば,HはGの
正規 部 分 群 で あ
る. 9 群Gに Sの
お い てS⊆Gの
と き,a∈Gに
よ りa−1Saの
形 で 得 られ る部 分 集 合 を
共 役 と い う.
(イ) Sの
共 役 の 数 は,Sの
正 規 化 群 をN(S)と
した が っ て,Gが
有 限 群 の と き,Sの
(ロ) SがGの
部 分 群 な らばSの
10 群Gに [a,b]で
お い て,二
元a,bに
す る と き,
共 役 の 数 は 共 役 もGの
に 等 しい.
の約 数 で あ る.
部 分 群 で あ る.
対 し て,a−1b−1abをaとbと
の 交 換 子 とい い
示 す.
(イ) ab=ba[a,b]. (ロ) c∈Gの 11 群Gの
と き, 二 つ の部 分 群H,Kに
つ い て,
分 群 を,HとKと
の 交 換 子 群 とい い,[H,K]で
(イ) [G,G]は
正 規 部 分 群 で あ る.も
(ロ) N,N′
がGの
で生成 された 部 示 す.
っ と一 般 に,
正 規 部 分 群 で あれ ば,[N,N′]もGの
正 規 部 分 群 で あ っ て,
3. 可
3.1
素
イ
デ
は じ め に,記
ア
環
ル
号 の 約 束 を1つ
き,SRはSで
換
し て お く.Sが
可 換 環Rの
生 成 さ れ た イ デ アル
可 換 環Rに い う.た
お い て,0以
と え ば,有
を 示 す も の と す る.
外 の 零 因 子 が 存 在 し な い と き,Rは
理 整 数 環Z,複
の イ デア ルIにつ
部 分集 合 で あ る と
い て,R/Iが
素 数 体Cな
整域 で あ る と
ど は 整 域 で あ る.可
整 域 で あ る と き,IはRの
換 環R
素 イデ アル で あ
る と い う.
注 意 整 域Rに
る(証
お い て は,
で あ
明:a(b−c)=0∴b−c=0).
定 理3.1.1
可 換 環Rの
イ デ ア ルIに
つ い て,
とす る.こ
の と き,
つ ぎ の 各 条 件 は た が い に 同 値 で あ る. (ⅰ) Iは
素 イ デ ア ル で あ る.
(ⅱ)
ま た はb∈I
(ⅲ) J,J′
がRの
イ デ ア ル,
(ⅳ) J,J′
がRの
イ デ ア ル,
証 明 (ⅰ)と(ⅱ)と の 証:
は,定
義 に よ り,明
ま た はJ′ ⊆I.
らか に 同 値 で あ る.(ⅱ)⇒(ⅲ)
と す る と, は 明 白.(ⅳ)⇒(ⅱ)の
証:a,b∈R,ab∈I,
と す る.J=aR+I,J′=bR+Iと
お け ば,
し た が っ て,(ⅳ)⇒(ⅱ).
環Rの
部 分 集 合Sが,乗
な わ ち,a,b∈S⇒ab∈Sの
法 に 関 し てRの
(証 終)
部 分 準 群 に な っ て い る と き,す
成 り 立 つ と き,Sは
積 閉 集 合 で あ る と い う.
積 に 関 し て 閉 じ て い る と も い う.Iが 合R−Iが
積 閉 集 合 で あ る こ とは,上
近 い こ と と して,つ 定 理3.1.2 Sと
記 定 理(ⅱ)に
可 換 環Rの
の補 集
よ って わ か る.そ の 逆 に
空 で な い 積 閉 部 分 集 合Sを
共 通 元 を も た な い とす る.こ の と き,Iを す れ ば,Fの
の が あ る.そ の 極 大 な も のPは
内 に(包
と る.イ
含 みSと
デ ア ルIが
共 通元 を もた ない イ
含 関 係 に よ る順 序 で)極
大なも
必 ず 素 イ デ ア ル で あ る.
こ の よ うな 素 イ デ ア ルPをSに き,単に
素 イ デ ア ル に あ れ ば,そ
ぎ の こ とが 成 り立 つ.
デ ア ル 全 体 の 集 合 をFと
関 す る 極 大 イ デ ア ル とい う.S={1}の
と
極 大 イ デ ア ル とい う.
証 明 Fが
帰 納 的 集 合 で あ る こ と は 容 易 に 知 られ る.し
ン の 補 題 に よ り,Fに Sが
環Rの
は 極 大 元 が あ る.PがFの
空 で な い の だ か ら, I,Jが
た が っ て,ツ
ォル
極 大 元 で あ っ た と し よ う.
イ デ ア ル で,
の
極 大 性 に よ り).し
たが
っ て 前 定 理 の(ⅳ)に
よ り,Pは
問1.
可 換 環Kが
体⇔0が
問2.
前問 を 利 用 して,可
素 イ デ ア ル で あ る.
(証終)
極 大 イ デ ア ル. 換環 の極大 イ デ アルが 素 イ デ アルで あ る こ と を
示 して み よ. 問3.
有 理 整 数 環Zに
で あ り,0は 問4.
環Rの
き,P∩SはSの
イ デ ア ルIに
定 理3.1.3
素 数 で あ れば,pZは
極大イデアル
素 イ デ ア ル で あ る.
Pが
と い い,
お い て,pが
素 イ デ ア ル で,SがRの
部 分 環 で,
であ る と
素 イ デ ア ル で あ る.
対 して,Iを
含 む 素 イ デ ア ル す べ て の 共 通 集 合 を,Iの
で 示 す.* 可 換 環Rの
* 素 イ デ ア ル0個
イ デ ア ルIの
根基
の 共 通 集 合 は 環 自体 と み な す .こ
の意 味 で,
根基
イ デア ル の と き(1.6参
照)に
準 じて,∃n,xn∈Iの
し て べ き 零 で あ る と い う.す る と,上 の こ とは
と き,xはIを はIを
法と
法 として べ き零
な 元 全 体 と一 致 す る こ とを 示 して い る. 証明
素 イ デ ア ル
素 イ デ ア ル ⊇I,
逆 に,
は 積 閉 集 合{xn│n=1,2,…}
と交 わ らな い ⇒∃ 素 イ デア ル =空(定
理3. (証終)
を み た す イ デ ア ルI(す
合 と して 得 られ る イ デ ア ル)を 系3.1.4 (x∈R)な
可 換 環Rに らばx∈I"が
問5.
可 換 環Rに
な わ ち,素
イ デ ア ル の い くつ か の 共 通 集
半 素 イ デ ア ル と い う.す な わ ち,
お い て,イ
デ ア ルIが
半 素 イ デ ア ル ⇔"xn∈I
成 立 す る.
お い て,0が
半素 イデ アル ⇔
べ き 零 元 が0し
かな
い.
可 換 環Rに
お い て,イ
零 元 で あ る と き,Iを 環Zに
デ ア ル
に つ い て,R/Iの
準 素 イ デ ア ル とい う.pが
お い て,pnZ(n=1,2,…)は
零 因子 が 必 ず べ き
素 数 で あ る と き,有
準 素 イ デ ア ル で あ る(証
理整数
明 は 各 自試 み
よ). 定 理3.1.5
可 換 環Rの
イ デ ア ルIが
準 素 イ デ ア ル で あ れ ば,
は素
イ デ ア ル で あ る. こ の と き,Iは
素 イ デ ア ル
に 属 す る 準 素 イ デ ア ル で あ る,ま
た は,
‐準 素 イ デ ア ル で あ る とい う. 証 明
つ ぎに,a,b∈R,ab
(φはRか
らR/Iへ
の 自 然 準 同 型)⇒(φa)nは
零因
子 で な く, (証 終)
定 理3.1.6
可 換 環Rの
イ デ ア ル
に つ い て,つ
ぎの三 条 件 は 互 に
同 値 で あ る. (ⅰ) Iは
準 素 イ デ ア ル で あ る.
(ⅱ) (ⅲ) (ⅳ)
証 明 前 定 理 の 証 明 に 似 た 方 法 で 容 易 に で き る.各
自演 習 問 題 と して,行
な
っ て み よ.
問6.
半 素 イ デ ア ル で あ り,し
素 イ デ ア ル に つ い て の1つ 定 理3.1.7 がPiの
P1,P2…,Pnが
か も準 素 イ デ ア ル で あ る ⇔
の 重 要 な 性 質 を 述 べ て お こ う. 可 換 環Rの
ど れ に も 含 ま れ な い も の と す る.こ
合 に 含 ま れ な い.す
証 明 n=1の
仮 定 で,す
素 イ デ ア ル で あ り,イ
デ ア ルI
の と き,IはP1,…,Pnの
和集
な わ ち,
と き は 明 白 で あ る.nに
と し よ う.P1,…,Pn−1の 除 い たn−1個
素 イ デ ア ル.
うち に,Pnに
以 内 の 素 イ デア ルPiに ん で い る.し
つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.n>1 含 ま れ る も の が あ れば,そ つ い て い え れ ば よ く,そ
た が っ て,
お けば
ゆえ,
素 イ デ ア ル で あ る か ら). b,c∈Iゆえa∈I.各i=1,…,n−1に
れ は帰 納 法 の
と 仮 定 し よ う. な らb=aと
し よ う.
れを と り
よ い.b∈Pnと が と お く.
つ い て は,
ゆえ
Pnに
つ い て は,b∈Pn,
ゆ え,
し た が っ て,aが
求 め る も の で あ る.
問7.
(証 終)
可 換 環Rの
素 イ デ ア ルP1,…,Pnに
あ る と す る.{1,2,…,n}の
問8.
問4をPが
3.2 Rが
多
任 意 の 部 分 集 合Sに
対 し て,
式
可 換 環,X1,…,Xnが(互
に 異 な る)記 号 で あ る と き,X1,…,Xnに
数 の 多 項 式 は,つ
… ,dn),diは
で
準 素 イ デ ア ル の と き に 一 般 化 せ よ.
項
つ い て のR係
つ い て,
ぎ の よ うに 定 義 さ れ る.(1)ま
負 で な い 有 理 整 数 の とき,X1d1…Xndnな
ず,(d)=(d1, る 記 号 を 考 え る.
こ の 形 の も の をX1,…,Xnにつ
い て の 単 項 式 と い う.X(d)で
Σdiを,そ
般 に,集
の 次 数 と い う.(2)一
r1,…,rm∈Rに
よ り,Σrisiの
R係
あ る と き,s1,…,sm∈S,
形 で 表 わ さ れ た も の を,Sの
の 一 次 結 合 と い う.riをsiの 項 は,あ
合Sが
係 数 と い う.各risiを
数 の 一 次 結 合Σr(d)X(d)を,X1,…,Xnに 応,形
うに 考え る と き は,有
限 個 のr(d)だ
あ る も の と 考え る.実
質 的 に は,有
あ る).係 式fの
数〓0で 次 数 はdeg
い て,そ
数 の多 項式
な く,大
の よ
部 分 のr(d)は0で
限 個 の 項 の 和 で あ る も の だ け を 考え る の で
現 わ れ る 項 の 次 数 の 最 大 を こ の 多 項 式 の 次 数 と い う.多 fで
示 す.た
示 さ れ た と き 現 わ れ る 項 の 次 数(係 と い う.(4)2つ
数 が0の
つ い て の 和 と考 え て よ い が,そ
け が0で
数
つ い て の 単 項 式 の, つ い て のR係
と し て は す べ て の(d)に
元 のR係
項 と い う.係
っ て も な く て も 同 じ と考 え る.(3)X1,…,Xnに
と い う.(一
略 記 す る.
だ し0の 数0の
次 数 は 不 定 と す る.有
限和 の形 で
を 含 め て)の 最 大 を 見 か け 上 の 次 数
の 多 項 式
の 間 の 加 法,乗
項
法 は つ ぎ の よ うに 定 め る:
は 係 数)に
つ
〔こ の よ うに 定 め る 理 由:(イ)r(d)X(d)はr(d)とX(d)と た が っ て,配
の 積 と 考 え る.し
分 法 則 が 成 り立 つ よ うに し よ う とす れ ば,加
法 の定 義は 必 然的 と
い え よ う.X(d)=X1d1…Xndnが,X1をd1回,…,Xnをdn回
かけ た も
の と 考 え る こ と に す れ ば, こ と と,配
と す る の は 当 然 で あ り,そ
分 法 則 を 考 え れ ば,乗
の
法 の 定 義 も 必 然 的 と い え よ う.〕
こ の 定 義 に よ り,こ れ ら 多 項 式 全 体 が 環 に な る こ と は 容 易 に 知 ら れ る.(各 た し か め よ.)そ
の 環 を,Rの
上 の(ま
環 と い い,R[X1,…,Xn]で Rを
示 す.Rの
た はR係
数 の)X1,…,Xnの
上 のn変
自
多項式
数 の 多 項 式 環 と も い う.
こ の 多 項 式 環 の 係 数 環 と い う.
定 理3.2.1
上 の 記 号 の 下 で,さ
へ の 準 同 型 で あ る と き,fは (fR)[X1,…,Xn]の
らにR′
が 可 換 環,fがRか
らR′
つ ぎ の よ うに し て,R[X1,…,Xn]か
ら
上 へ の 準 同 型 に 拡 張 す る こ と が で き る.
証 明 各 自 演 習 問 題 と し て,行
Rが
可 換 環Kの
号)R[a1,…,an]で
示 す(下
の 問1の(ハ)参
上 に,a1,…,anで
定 理3.2.2
が 同 じ単 位 元 を もつ
で 生 成 さ れ た 部 分 環 を,(多
れ る 環(a1,…,anは
項 式 環 の とき と 同 じ記
照).こ
生 成 さ れ た 環 と い う.一
い ろ い ろ か え て)を,Rの 上 の 記 号 の 下 で,R[X1,…,Xn]の
にR[a1,…,an]の
の と き,R[a1,…, 般 に この 形 で 作 ら
上 に 有 限 生 成 の 環 と い う. 元
元
を 対 応 さ せ る 写 像fはR[X1,…,Xn]か 型 で あ る.
な っ て み よ.
部 分 環,a1,…,an∈K,RとKと
と き,Rとa1,…,anと
an]を,Rの
の中
らR[a1,…,an]の
上 へ の 準 同
証 明 各 自演 習 問 題 と し て,行 上 の 記 号 で,fが る と い う;さ
な っ て み よ.
同 型 で あ る と き,a1,…,amはRの
らにn=1の
と き,a1はRの
上に 代 数 的 独立 で あ
上 に 超 越 的 で あ る とか,Rの
上
の 超 越 元 で あ る とい う.代 数 的 独 立 で な い と き,代 数 的 従 属 で あ る とい う. 問1.
(イ) (多項 式 環 と して).
(ロ)
(ハ)
(R[X1,…,Xn]の
部 分 環 と し て)RとX1,…,Xnと
た 環 は 多 項 式 環R[X1,…,Xn]自
定 理3.2.3
Rが
で生 成 され
身 で あ る.
整 域 で あ れ ば,そ
の 上 の 多 項 式 環R[X1,…,Xn]も
整
域 で あ る. 証 明 nに し て よ い.2つ
つ い て の 帰 納 法 と,問1の(イ)と の0で
を 利 用 し て,n=1と
な い 多 項 式
考 え る.
と し て よ い.そ
と の 積 の
とを の 係 数 は
し た が っ て, 系3.2.4 Xn]に
仮 定
(証 終) Pが
可 換 環Rの
お い て,Pで
素 イ デ ア ル で あ る と き,多
生 成 さ れ た イ デ ア ルPR[X1,…,Xn]は
項 式 環R[X1,…, 素 イ デ ア ル で
あ る. 証 明 Rか
らR/Pへ
の 自 然 準 同 型 をfと
よ うにR[X1,…,Xn]か る.fの
核N⊇Pは
ら(R/P)[X1,…,Xn]の
定 理3.2.1に
おけ る
上 へ の準 同 型 に 拡 張 す
明 ら か. ゆ え,
(前 定 理).し
す る.fを
た が っ て,Nは
は 整域 素 イ デア ル.
(証 終)
問2.
Rが
整 域 で あ る と き,Rの
(X−a)R[X](a∈R)は
数 の 多 項 式 環R[X]に
お い て,
素 イ デ ア ル で あ り,
る こ と を 示 せ.ま
た,Rが
有 理 整 数 環Zで
デ ア ル ⇔aが
平 方 数 で な い.
定 理3.2.3の
証 明 か ら,た
定 理3.2.5
上 の1変
整 域Rの
R[X1,…,Xn]に
であ
あ る と き,(X2−a)Z[X]が
素イ
だ ち に,
上 の,文
字X1,…,Xnに
つ い て の 多 項 式 環
お い て は,f,g∈R[X1,…,Xn]⇒
deg(fg)=degf+degg 系3.2.6
上 と 同 じ 仮 定 の 下 で,f∈R[X1,…,Xn]がR[X1,…,Xn]
に お け る 正 則 元 な ら ば,fはRの
正 則 元 で あ る.
証 明 fg=1⇒degf+degg=0.∴degf=degg=0.∴f,g∈R (証 終) 問3.
上 の 定 理3.2.5お
よ び 系3.2.6は,Rが
も 成 立 し な い こ と を 示 せ.[ヒ て ば,反
理3.2.5は,Rが0以
例 が す ぐ つ くれ る が,系3.2.6の
可 換 環Rの
考 え る.こ
定 理3.2.7
dmがRの
外 の零 因子を も き 零 元 を 利 用 す る].
証 明 nに
の と き,
正 則 元 で あ れ ば,f(x)=q(x)g(x)+r(x),
degr(x)<degg(x)な
る2つ
の 多 項 式q(x),r(x)が
つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.n<mな
よ い .
と,degf1(x)#(H1)=lengthFH1
し た が っ て,こ
あ っ た と して み
Kの
不 変 体 はMで
あ る.
応 で あ る こ と が わ か っ た.(イ),
証 明 を し よ う.MがFの 由:
正 規 拡 大 ⇒
(b→
σbに
よ り)ゆ
え,
共 役] (σ−1も
考 え に 入 れ れ ば これ が 出 る).]こ
こ で 注 意 を1つ: で あ る か ら,
はGの Mの
正 規 部 分 群.]さ
元 を ひ き お こ す.こ
て,G∋
れ に よ りGか
σ を と れ ば,a→
らAutF
Mの
中 へ の 準 同 型 を 得 る.
そ の 核 は 明 ら か に G/H⊆AutF
Mと
σaはAutF
で あ る.し
た が っ て,
考 え ら れ る. ゆ え,G/H=
AutF
Mを
得 る.上
の 注 意 に よ り(ハ)の〓
問1.
上 の 定 理 の 用 語 で,Gの2つ
がM1,M2で
あ れ ば,H1∩H2に
(証 終)
の 部 分 群H1,H2に は 合 成 体M1(M2)が
で 生 成 さ れ た 部 分 群 に は 共 通 集 合.M1∩M2が σH1σ −1に は σM1が
が 出 る.
対 応 す る.[σM1の
対 応 す る 部 分 体 対 応 し,H1とH2と
対 応 す る.ま 形 の 体 をM1の(Fの
た σ ∈Gの
と き,
上 の)共
役
とい う.] 問2.
有 理 数 体Qの
上 で 考 え て.
(イ) Q め,次
は 正 規 拡 大 体 で あ る こ とを 示 し,そ の ガ ロ ア 群 を 求
に,QとQ
の 中 間 体Mを
(ロ) Q
全 部 求 め よ.
を 含 む 最 小 の 正 規 拡 大 体Kと
た,QとKと
そ の ガ ロ ア 群 とを 求 め よ.ま
の 中 間 体 は い くつ あ るか(Q,Kも
含 め て 数 え る).
分 離 的 で な い 場 合 に つ い て の 注 意 を つ け 加 え よ う.4.5問8に 体Kの
代 数 拡 大 体 で あ る と き,KのLに
ば,LはLs上
純 非 分 離 的,LsはK上
代 数 拡 大 は,分
離 的,純
は 逆 に で き な い が,Lが 定 理4.7.4 変 体 をLiと
Lが
お け る 分 離 代 数 閉 包Lsを 分 離 的 で あ る.こ
とれ
の よ うに,一般
に
非 分 離 的 な 二 段 階 の 拡 大 に 分 解 で き る.順 序 は 一 般 に 正 規 拡 大 の と き は,逆 順 の 分 解 もで き る.す な わ ち,
体Kの
す る.す
よ り,Lが
有 限 次 正 規 拡 大,*G=AutKLと
る と,LiはK上
的 で あ る.LsがKのLに
お き,Gの
純 非 分 離 的 で あ り,LはLi上
不 分離
お け る 分 離 代 数 閉 包 で あ れば,LはLiとLsと
の 合 成 体 で あ る. 証 明 Li∋
α に つ い て,そ の 最 小 多 項 式f(x)を
る 根 β を も てば,∃ σ∈HomK(K(α),K(β)),σ と し,gi(x)が
とる.f(x)が
α=β.L=K(α1,…,αs)
αiの 最 小 多 項 式 で あ れ ば,LはΠgi(x)の
るか ら,定 理4.4.3に
よ り,∃ τ ∈AutKL,τ
α=β.こ
の 不 変 体 で あ る こ とに 反 す る.し た がっ てLiはK上 上 分 離 的 な こ と は 定 理4.7.1.LiとLsと と の 証 明 を し よ う.LsはK上
れ はLiがAutKL 純 非 分 離 的.LがLi
の 合 成 体Li(Ls)がLに
らに,AutKLsとAutKLと
σ→(σ のLsの
* 単 に 正 規 拡 大 で も正 し い が
最 小分 解 体 で あ
な るこ
分 離 的 で あ る だ け で な く正 規 拡 大 で あ る(分
離 的 元 の 共 役 は 分 離 的 ゆ え).さ られ る.(AutKL∋
α と異 な
,証
制 限)∈AutKLsは
は同一 と考 え 同 型
明 の都 合 上 有 限 とい う仮 定 を つ け て お く.
(σ のLsへ こ ろ で,Li(Ls)=Lの い.AutK
の 制 限)〓1(4.5,問7か
た め に はlengthLi
L=AutLi
Lゆえ,定
ら 出 る)).と
L=lengthLi
理4,7.1に
Li(Ls)を
い えば よ
よ り し た が っ て,lengthK
=lengthLi
Li(Ls)を
定 理4.7.5
い えば よ い .そ
L,Mが
体Kの
証 明 L=K(α)な 項 式f(x)と
る元
れ は つ ぎ の 定 理 か ら 直 ち に 出 る:
拡 大 体 で,L∩M=K,LがKの
離 的 正 規 拡 大 体 で あ る と す る.こ
の と き,lengthK
α(存
α の 共 役)ゆ
L=lengthM
f(x)と
の最 小多
既 約 で あ る こ と
な っ て,証
明 さ れ る.f(x)=
で の α の 最 小 多 項 式)と す る.f(x)=Πi(x−
え,g(x)は{x−
αi}の
一 部 分 に 積 で あ る.し
係 数 は い ず れ も α の 共 役 の 整 式 で 表 わ し 得 る.ゆ (α の 共 役
M(L). のK上
え,f(x)がM上
の 両 辺 い ず れ もdeg
g(x)h(x)(g(x)はM上
有 限 次分
在 は 定 理4.5.12)と,α
を と る.M(L)=M(α)ゆ
を い えば,上
∈Lゆ
え).し
た が っ て,g(x)の
係数
αi)(αiは
た が っ て,そ
え にg(x)の
係数
∈L∩M(も
∈L
(証 終)
方 程式 の可 解 性
標 数0の
場 合,二
次 方 程 式ax2+by+c=0
の 根 に は 公 式
が あ る こ と は よ く 知 ら れ て い る.三 程 式 に つ い て も,い
く こ と と,加,減,乗,除 と)が,そ
次 方 程 式,四
わ ゆ る 代 数 的 解 決 の 存 在 は 知 ら れ て い る.こ
程 式 が 代 数 的 に 解 け る こ と(定
し,五
の
と も とM
上 の 多 項 式 ゆ え).∴f(x)=g(x).
4.8
Ls
義 は あ と で の べ る が,要
次方
こ で は,方
す る に,n乗
根に ひ ら
の い わ ゆ る 四 則 算 法 とに よ っ て 根 が 求 め ら れ る こ
の 方 程 式 の 最 小 分 解 体 の ガ ロ ア 群 の 性 質 で 特 徴 づ け られ る こ と を 示
次 以 上 の 方 程 式 が 一 般 に は 代 数 的 に は 解 け な い こ との 理 由 を の べ る こ と
に す る. Lが
体Kの
分 離 的 正 規 拡 大 で あ っ て;そ
の ガ ロ ア 群AutK
Lが
巡回群 で
あ る と き,LはKの
巡 回 拡 大(体)で
と き,LはKの
あ る と い う,AutK
ア ー ベ ル 拡 大 で あ る と い う.巡
Lが
アー ベ ル 群 の
回 拡 大 に つ い て の 準 備 か ら始
め よ う.
定 理4.8.1 き,a∈Kに
体Kに
が0で
お い て,
つ い て,aのn乗 あ る か,ま
K(β)は
根 の1つ
た はnが,pの
で あ り,(ロ)一
を
β と す れば,(イ)Kの
正 規 拡 大 体 で,そ
巡 回 群 で あ る.
巡 回拡大
の ガ ロ ア 群AntK
し た が っ て,aのn乗
根
あ る.
注 意 xn−aが
証 明 a=0な
既 約 の と き,そ
ら根 は す べ て0で
の 根 の1つ
あ り,定
を
で 示 す.
理 は 明 白.し
た が っ て,
と 仮 定 す る.
した
が っ て,K(β)はKの こ ろ で,定
正 規 拡 大 体 で あ り,β
理4.5.13に
よ り,ζi全
と す る.H={ζs│ζsβ
の 共 役 は ζiβ の 形 で あ る.と
体 は 巡 回 群Zを
が β の 共 役}と
(定 理4.4.2).さ
な す.Zの
生 成 元 を ζ
お く.
ら に
た が っ て ζ−sζt∈H.∴HはZの
し 部 分 群.Hの
生 成 元 を
る.
η=φuと
す
ゆえ に この
ガ ロ ア 群AutK ⇔nがpの
K(β)はφuで
生 成 さ れ た 巡 回 群 で あ る.xn−aが
倍 数 ( ゆえ).し
非分 離 的 た が っ て(イ)
も 証 明 さ れ た. 定 理 4.8.2
(証 終) Kが
体,Dがxn−1の
ー ベ ル 拡 大 体 で あ る .Kの nと
の と
標 数p
倍 数 で な い と き はK(β)はKの
般 に は,K(β)はKの
は,ζiβ(i=1,…,n)で
と す る.こ
素 な も の の 数 をφ(n)と
* こ のφ(n)をnの
最 小 分 解 体 で あ れ ば,DはKの
標 数 をpと
し,1か
らnま
す れ ば,*(イ)p=0ま
函 数 と考 え る と き
,オ
イ ラ ー(Euler)の
ア
で の 自 然 数 の う ち, た はnがpと 函 数 と い う.
た が い
に 素 ⇒1の (ロ)特
原 始n乗
にKが
=psn′(n′
根
有 理 数 体Qの
,s自
え).し
(イ),(ロ)を
が1の
根 は1に
原 始n乗
原 始n乗
根
原 始n乗
多 項 式 と い い,い
原 始n乗
根 は ち ょ う ど φ(n)個
D∋
σは
す る 類 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ,τ ∈AutK →(s+n)ZはAutK 有 理 整 数 環).特
補 題4.8.3 K=Qの
総 称 し て,円 σα=αsな
らZ/nZの
にAutK
正 則 元 のなす 群 の中へ の
Dは
ア ー ベ ル 群 で あ る.(イ),
π[x](π
は 素 整 域)で
つ い て は 正 し い と す る.xn−1=ΠmFm(x)(mはnの
納 法 の 仮 定 に よ り,右
り,し
辺 で は,Fn(x)以
た が っ て,Fn(x)=(xn−1)/f(x),f(x)∈
+r(x)(degr(x)<degf(x))を
あ る.特
の 原 始n乗
り 約
外 の因子 は π[x]の
上 の 多 項 式 と し て)割 得 れ ば,D上
と き は 明 白.nよ
π[x]に
形 で あ り,他
っ て,xn−1=f(x)g(x)
の 多項 式 と し て も 同 じで あ
た が っ て,
後 半:1つ
に,
既 約 で あ る.
小 さ い 自 然 数mに
方,xn−1をf(x)で(π
法 と
τ)α=σ(αt)=αts.
つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.n=1の
属 す る.し
分
周 等 分 多 項
るsのnを
証 明 前 半:nに
数 を 動 く).帰
根全体
ぎ の こ と を 示 せば よ い.
円 周 等 分 多 項 式Fn(x)∈
と き は,Fn(x)はQ上
の共 役
原 始n乗
D,τ α=αt⇒(σ Dか
と,つ
存 在 す る.α
え にD=K(α).1の
つ い て のFn(x)を
え,AutK
(ロ)を 示 す た め に は,あ
が たが い
と お く.こ れ を 円 周n等
ろ い ろ なnに
同 型 で あ る(Zは
根全 体
根 ⇔sとnと
し よう.
式 と い う.D=K(α)ゆ
い え る.
α の 存 在 は 系4.5.15.1のn乗
根 で あ る こ と は 明 ら か.ゆ
を ζn1,…,ζnφ(n)と
限 る((x−1)p=
し た が っ て(ハ)が
あ る.αsが1の
た が っ て,1の
,n
最 小 分 解 体).
た が っ て,
示 そ う.1の
し た が っ て,σ
D=φ(n).(ハ)
ら 始 め よ う.xp=1の
を は α,α2,…,αn=1で に 素.し
し て,
と き は,lengthQ
然 数)⇒D=(xn′−1の
証 明 ま ず(ハ)か xp−1ゆ
α に よ り,D=K(α).そ
根 α の 最 小 多 項 式 をg(x)と
す る.g(x)はFn(x)の
約 元 で あ る(Fn(α)=0,Fn(x)∈Q[x]ゆ り,αqの
え).nと
最 小 多 項 式 をh(x)と
成 り立 つ ⇒nと
す る.も
素 な 任 意 のmに
う で な い と し よ う.∃m,(nと
s−1と お く.仮
の 共 役.そ
素)
と 仮 定 し よ う(こ
た が っ て,そ
る と,1の
た が っ て,
原 始n乗
根 は
た が っ て,∃q(nを
割 ら
れ が 矛 盾 で あ る こ と を 示 せば
は 共 通 根 α を も つ.し
わ りき れ る(g(x)が
よ い).
式 と し て 分 解 す れ ば,Q上 で,係 数 をqを
有 理 整 数 環Zの
上 の多 項
の 分 解 が 得 られ る こ と に よ る(補 題3.8.4)).そ
法 と し て 考え る:a∈Z⇒aq≡a(modq)(定
え にh(xq)≡(h(x))q(modq).ゆ た が っ て,h(x)とg(x)と
た が っ て,
α の 最 小 多 項 式 で あ る か ら):
係 数 は 整 数(xn−1を
は,qを
法 と し て,Z/qZの
理4.5.8).ゆ
上 で 考 え れば 共 通 根 を
考 え る と,xn−1をZ/qZの
上 で 考え る と 重 根 を も つ こ と に な り,こ
れ はnがqの
倍 数 で な い か ら矛 盾
で あ る.
(証 終)
注 意 つ ぎ の こ と が 成 り立 つ が,本 有 限 体,Kが
Lが
体Kの
こ
え に,(h(x))q≡g(x)h′(x)(modq).し
た が っ て,xn−1=g(x)h(x)k(x)を
問1.
α
積 で わ り き れ る:xn−1=g(x)h(x)k(a)(k(x)∈Q[x]).
h(xq)はg(x)で
Lが
れ は
た が い に 素 で あ る か ら,xn−1は
g(α)=h(αq)=0ゆえ,g(x)とh(xq)と
も つ.し
す る.m′
共 役 で あ る.し
知 る.し
素 元 分 解 環 で あ り,g(x),h(x)が
g(x),h(x)の
え,αqsの
定 に 反 す る).す
根 と な り,g(x)=Fn(x)を
な い 素 数), Q(x)は
の 共 役)qsゆ
由:そ
数 と し,s
ら 仮 定 に 反 す る.s>1と
な く て は な ら ず,仮
す べ てg(x)の
根 で あ る(理
根.し
と
関 係 な く
.m=q1…qs,qi素
定 に よ り αm′ はg(x)の
こ で,αmは(α
g(αm)=0で
し,g(x)=h(x)がqに
つ い て,αmはf(x)の
に つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.s=1な =q1…q
素 な 任 意 の 素 数qを
書 で は そ の 証 明 は し な い.
そ の 部 分 体 で あ る と き,LはKの
巡 回 拡 大 体 で あ る と き,LとKと
巡 回 拡 大 に あ る.
の 中 間 体MはK
の 巡 回 拡 大 体 で あ る.ま た,LはMの
つ ぎ に 定 理4.8.1の 定 理4.8.4 い(p=0ま のn乗
巡 回 拡 大 体 で も あ る.
逆 とい え る も の を 証 明 し よ う.
体Kの
標 数 がpで
た は,pとnと
あ る とす る.自
が 素,と
然 数nがpの
い っ て も 同 じ で あ る)と
根 を す べ て 含 む も の とす る.体LがKのn次
証 明 Lの 原 始n乗
元 α を と る.ま
生成 元
と お く.θ
と 仮 定 し よ う.a=θnと
∈L.す
る と, さ ら に,
で あ り,(ζ
が い に 異 な る.す
な わ ち,θ
が1の
の 共 役 はn個 は
あ る よ うに
σ を と る.1の
お けば,
は そ れ ぞ れ
こ で,θ〓0で
し,Kは1
巡 回 拡 大 体 で あ れ ば,
た ガ ロ ア 群AutKLの
根 ζ に 対 し て,
根 で あ る こ と か ら)た
倍数 でな
原 始n乗 あ る.
θ の 最 小 多 項 式.そ
α が と れ る こ と を い えば よ い.そ
の た め に は,次
の こ と を 示 せ ば よ い.
(*) こ れ が 正 し く な い と 仮 定 し よう.{σi}を と し,
が ど れ も0で
の な り 立 つ よ うな も の を 考 え,rの あ っ た と す る.r=0で
適 当 な 順 序 で 番 号 を つ け て, な く,
最 小 な の を と る.そ
は あ り得 な い.τ0=1と
し て よ い(
え て). 0=Σciτiα
を考 これ と
と の 差 を と り,
最 小 性 に 反 す る.し
た が っ て,上
こ れ はr の(*)が
い え,特
に
θ〓0な
い え た.
群Gに
れ が Σciτiで
る α の存在 が (証 終)
お い て,そ
Gi(i〓1)がGi−1の
の 部 分 群 の 列 正 規 部 分 群 で あ り,さ
で,各 ら に,Gi−1/Giが
アーベ ル群 で あ
る よう な も の が 存 在 す る と き,Gは
問2.
3次 対 称 群,4次
問3.
可 解 群 の 部 分 群,準
問4.
Hが
問5.
有 限 群Gに
…
群Gの
⊃Gn={1}
可 解 で あ る とい う.
対 称 群 は共 に 可 解 で あ る. 同 型 に よ る像 は い ず れ も 可 解 群 で あ る.
正 規 部 分 群,G,G/H共 つ い て は,Gが
可解 ⇔
,各GiはGi−1の
以 下 こ の 節 で は,有
理 数 体Qを
含 む 体Kに
巡 回 群.
係数 を も つ 一 変 数 の 多 項 式
つ い て 考 え よ う.Q(c1,…,cn)上
最 小 分 解 体 の ガ ロ ア 群 を,f(x)の
問6.
解.
∃部 分 群 の 列G=G0⊃G1⊃
正 規 部 分 群,Gi−1/Giが
f(x)=xn+c1xn−1+…+cn(ci∈K)に のf(x)の
に 可 解 ⇒G可
ガ ロ ア 群 と よ ぶ.
つ ぎ の 多 項 式 の ガ ロ ア群 を し らべ よ.
(イ) x2−2 問7. n次
(ロ) x3−2 式f(x)の
(ハ)
ガ ロ ア 群 は,{1,2,…,n}の
上 の適 当 な 置 換群 と
同 型 で あ る こ と を 証 明 せ よ.
多 項 式f(x)=xn+c1xn−1+…+cn(ci∈K)の と は,Q(c1,…,cn)の と き に い う*.例
元 と,根 号 え ば
f(x)が
証 明 ⇒:α
−aiは
既 約)の
* 始n乗
と 四 則 算 法 と に よ り α が 表 わ し得 る
∈Km,Ki=Ki−1
形 の 列 が あ る の が 仮 定 で あ る .1の
の約束 は 根 を
,xn−aが
ガ ロ ア 群 が 可 解.
任 意 の根 で あ る と き,K0=Q(c1,…,cn)か
… ⊆Km,α
ら出 (ai∈Fi−1,xri
原 始Πiri乗
既 約 で あ る こ とを 普 通 含 ん で い る.し
とは か か な い.
す べ
代 数 的 に 解 け る と い う.
代 数 的 に 解 け る ⇔f(x)の
がf(x)の
発 し て,K0⊆K1⊆
α が 根 号表 示 され る
は 根 号 表 示 さ れ た 数 で あ る.f(x)の
て の 根 が 根 号 表 示 さ れ る と き,f(x)は 定 理4.8.5
根
根 ζ を と り, た が って,1の
原
を 考 え る.定 隣 り合 う2つ 解 体D*の Hiと
は,後
よ り,
者 が 前 者 の ア ー ベ ル 拡 大 で あ る.
ガ ロ ア 群G=AutK0D*の
の最小 分
部 分 群 で,Ki(ζ)に
す る.(Hi=AutKi(ζ)D*).す
はK0)の
理4.8.1,4.8.2に
対応 す る も の を
る と,Ki(ζ)がKi−1(ζ)(i=0の
と き
ア ー ベ ル 拡 大 で あ る こ と は,
で あ り,
が い ず れ も ア ー ベ ル 群 で あ る こ と を 示 す.次 他 のf(x)の
根 β に よ り同 様 の 列
を 得 れ ば, を 作 る.H′iか
へ の 自 然 準 同 型 をHm∩H′iに
正 規 部 分 群 で あ り,
は ア ー ベ ル 群H′i/H′i+1の も ア ー ベ ル 群 で あ る.ほ の よ うな 列 を の ば し て 行 け ば,{1}とD*と
し,し
合 成 体 はD*で
(α を 動 か あ る.し
つ い て,AutK0D(K0=Q(c1,…,cn))が し,1の
原 始t乗
最 小 分 解 体 で あ る.AutK0D(η)の す れ ば,N=AutDD(η)ゆ
さ ら に
え,Nは
可 根 を η とす る . 中 でDに
ず,1の
原 始m乗
根 ζmが(K0の
つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.m′<mな つ い て,
上 で)根
φ(m)(オ
可解 群 で あ 号 表 示 で き るこ
らζm′ は 根 号 表 示 可 能 と す の 上 で,L(ζm)を
数〓
対
ア ー ベ ル 群,
し た が っ て,AutK0D(η)も
は ア ー ベ ル 拡 大 で,次 AutLL(ζm)の
べ て の根に つ い ての
相 当 す る も の の 共 通 集 合)は{1}で
の 最 小 分 解 体Dに
応 す る 部 分 群 をNと
る.ζmに
次 こ
可 解 群 で あ る こ と を 知 る.
D(η)はf(x)(xt−1)の
と を,mに
か の 根 を 使 っ て,順
が 対 応 し,す
解 群 と い う の が 仮 定.#(AutK0D)をtと
る(問4).ま
部 分 群 と 考え ら れ る.
あ る こ とか ら,
た が っ て 得 られ るHmに
た が っ て,Gが
らHi′/H′i+1
制 限 し て み れ ば ,
を 得 る の だ か ら,Hm∩H′i+1はHm∩H′iの
同 様 なKm(ζ)の
に,
イ ラ ー の 函 数)〓m−1
組 成 列 に 対 応 して 中 間 体 の 列
考え .ア
る と ,こ
れ
ーベ ル 群
を とれ ば,各LiがLi−1のri次
巡 回 拡 大 で,
した が っ て,
(定理4.8.4).ゆ 能.し た が って,特
に ηは 根 号 表 示 可 能.さ
そ の 部 分 群G0=AutK0(η)D(η)も
可 解.し
え に ζmは 根 号 表 示 可
て,AutK0D(η)が た が っ て,そ
可 解 ゆ え,
の 部 分 解 の 列
が あ り,Gi−1/Giが 巡 回 群 問5),そ 位 数 はtの
約 数 で あ る.(理
由;DとK0(η)と
={1}(4
.7,問1).し
2.1.2に
よ り,各#(Gi−1)はtの
した が っ て,Giに の 形(定
の 合 成 体 がD(η)ゆ
た が っ て,
理4.8.4).ゆ
え に,各K*iの
え に#(Gi−1/Gi)もtの
約 数).
元 は 根 号 表 示 で き,特 にf(x)の
任意の (証終)
こ こ で は 証 明 しな い が,
の と き,n次
次 多 項 式 で そ の ガ ロ ア 群 がn次 の こ とが,5次
理
η)を と る と,各K*iは
根 が 根 号 表 示 され る.
い る.こ
えG0∩N よ っ て,定
約 数.ゆ
対 応 す る体Ki*(∋
の
対 称 群 は 可 解 で な い こ と と,n
対 称 群 に な る も の の 存 在 す る こ とが 知 ら れ て
以 上 の 方 程 式 が 一 般 に は 代 数 的 に は 解 け な い こ とを 示
す の で あ る.
4.9 作 図 の 可 能 性 初 等 平 面 幾 何 学 に お け る 作 図 問 題 で は,定 視 と コン パ ス で 作 図 で き るか ど う か が 問 題 で あ る.ど の よ うな も の が 作 図 で き て,ど い か は,理 論 的 に は,は
の よ うな も の が 作 図 で き な
っ き り して い る.そ れ を 紹 介 し よ う.考 察 は 平 面 に 限
る こ とに す る.こ れ か ら紹 介 す る 解 答 の 述 べ 方 を か ん た ん に す る た め に,準
備
的 考 察 を 行 な って お こ う. 作 図 で,円 を か く とい うこ とは,中 い.直 線 を か く こ とは,そ か な らな い.そ
心 と半 径 とを 与え る こ と に ほ か な ら な
の 直 線 上 の 既 知 の 距 離 を もつ 二 点 を 与 え る こ とに ほ
こで,平 面 上 に 有 限 個 の 点(0個
で も よい),ま
たは 単位 長 を
与 え,そ
れ か ら 出 発 して 作 図 も得 る点 ま た は 長 さを 知 れ ば よい こ とに な る.長
さ だ け が 与 え られ た 時 は,1本 定 す れ ば,Oか い.し
固 定 し,さ らに そ の 上 の1点Oを
らの 距 離 が 与 え られ た 長 さ の,l上
た が っ て,座
の 点 は,初
の 直 線lを
標 原 点 と,点(1,0)お
固
の 点 を 与 え る こ と に して よ
よ び 有 限 個 の 点 を 与 え て(有 限 個
め に 与え る 条 件 に よ っ て 定 ま る),作
図 し得 る 点 を 知 る とい う問 題
と考 え て よい. た と えば,正
多 角 形 の 作 図 な ら,原
点 と(1,0)だ
け が 与え て あ る と考 え ら
れ る.与 え られ た 角 の 等 分 な ら,与 え られ た 点 は,原 よ び,つ ぎ に い う点P,の3つ
と考 え られ る.(0,0)を
を 通 る,与 え られ た 大 き さ の 角 の,ほ か の 辺lを (0,0)か
ら の距 離 が1の
点 をPと
注 意 こ の後 の 例 の 場 合,頂
点(0,0)と,(1,0)お 頂 点 と し,辺 が(1,0)
考え た と き,l上
に あ っ て,
す る. 点 お よ び,各 辺 上 の 任 意 の 点 を1つ
以 上ず つ
と っ た も の を 与 え た と し て よ い で は な い か とい う疑 問 が お こ る か と思 う.し か し,任 意 の 点 で は 距 離 が わ か って い な い.し に,使
い よ うが な い の で あ る.(問
上 の 特 定 の 点 は1つ
た が っ て,あ
題 の 条 件 に,辺
も与 え て な い.し
と作 図 に 使 うの
は 与 え て あ って も,そ の
た が っ て,距 離 の わ か っ て い る辺 上 の
点 は 作 図 で き る か ら そ れ は 与え られ た と考 え て よい が,距
離 不 明 の 点 を,与
え られ た とみ な す と,そ の 距 離 を 示 す 長 さ が 与え られ た と考 え る こ とに な っ て よ くな い.) さ て,記
述 を 少 しか ん た ん に す る た め,普
使 うこ とに す る. す も の と考え るの で あ る.す
(a,b実
を 利 用 して,定
数)の
と き,α
が 点(a,b)を
も よい)が
与 え ら れ た と き,そ
表わ
れ ら
規 と コ ンパ ス とで 作 図 で き る複 素 数 を 求 め る.」 の
が 作 図 問 題 とい え る.以 下 この 立 場 で 考 え よ う.す る と,つ あ る.
素数 を
る と,
「 有 限 個 複 素 数 α1,…,αn(n=0で と,0,1と
通 の 平 面 座 標 を 使 わ ず,複
ぎ の よ うな 解 答 が
定 理4.9.1 実 部,虚
上 の 条 件 の 下 で,複
素数
β が作 図 で き る ⇔
部 を そ れ ぞ れa1,…,an,b1,…,bnと (Qは
α1,…,αnの
す る と き,
有 理 数 体)か
ら 出 発 し て,つ
ぎの よ うな 数 体 の
列 の あ る こ と で あ る:
こ の 定 理 の 証 明 の た め の 準 備 を す る. (イ)
λ1,…,λs∈C(複
素 数 体)が (λ2〓0の
γ∈Q(λ1,…,λs)な 証 明 0と
ら ば,γ
とき)は
か ら,Σaiλiは
作 図 可 能.2数
作 図 可 能.し
数 分 の1は
た が っ て,
い ず れ も 作 図 可 能.し
の 和 は 平 行 四 辺 形 の 作 図 に よ っ て 作 図 でき る
作 図 可 能.λ1λ2(λ1λ2−1)は0と
λ1,λ2の そ れ の 和(差)で
有 理 数
は 作 図 可 能.
λiを 結 ぶ 線 分 の 整 数 倍,整
た が っ て,aiλiは
が
作 図 可 能,a1,…,asが
結 ぶ 線 分 の 実 軸 と の 角(偏
長 さ が
角)
で あ る もので あ る か ら
作 図 可 能.
(証 終)
(ロ) λ ∈Cが
作 図 可 能 ⇒ λ の 平 方 根 μ お よ び,λ
の 複 素 共 役λ
も作 図
可 能. 証 明 0を 頂 点,1,λ はl上
を そ れ ぞ れ 辺 上 に も つ 角 の 二 等 分 線lを
に あ っ て,0と
の 作 図 は でき る.与 通 る 直 線)に
と 対 称 な 点.し
μ)を
γ で あ れ ば,γ
β)を
∈Q(λ,μ,α,β,λ,μ,α,β)(‐ (∃t,u実
実 数 で あ る か ら,
の二 等 分 線
は 実 軸(0,1を
た が っ て こ れ も 作 図 可 能.
通 る 直 線lと,α,β(α〓
証 明 t,uが
平 方 根 に な る 点 で あ る.角
え ら れ た 長 さ の 平 方 根 の 作 図 も で き る.λ
関 し,λ
(ハ) λ,μ(λ〓 の 交点 が
の 距 離 が│λ│の
と る と,μ
(証 終)
通 る 直 線l′(l〓l′) は 複 素 共 役)
数). で あ る.
も し
と す る と, と な り,
な り,仮
定 に 反 す る.し
が 実 数,し
た が っ て,上
のtの
た が っ て,l,l′
係 数 は0で
な く,t∈Q(λ,μ,
α,β,λ,μ,α,β).し
た が っ て,γ
∈Q(λ,μ,α,β,λ,μ,α,β).
(ニ) (ハ) に お い て
λ,μ,α,β
が 作 図 可 能 ⇒ γ も 作 図 可 能.
証 明 (ロ) の 後 半 に よ りλ,μ,α,β り,γ
も 作 図 可 能.し
が 平行 に
(証 終)
た が っ て,(イ)に
は 作 図 可 能.
(ホ) α が 中 心,半
よ
(証 終) 径 がrの
円 と,λ,μ(λ〓
μ)を
が γ で あ る と き,K=Q(α,r,λ,μ,α,λ,μ)と
通 る 直 線 と の 交 点 の1つ
お け ば,lengthKK(γ)は
1ま た は2. 証 明 条 件 は,
(t実
し た が っ て,
こ れ はK上
つ い て の 二 次 方 程 式 で あ る.し
(ヘ) (ホ)に 証 明 γ ∈Kな 5に
お い て,α,r,λ,μ
よ り正 し い. は(ロ)に
が
(証 終)
と し よ う.定
β),半
た
(証 終)
径 が そ れ ぞ れr,sの2円
γ で あ る と す る.K=Q(α,β,r,s,α,β)と
証明 条件は
理4.8.
よ り作 図 可 能.し
の 元 は 作 図 可 能.
α,β(α〓
γに
が 作 図 可 能 ⇒ γ も 作 図 可 能.
ら(イ),(ロ)に
(ト) 中 心 が そ れ ぞ れ 1つ
た が っ てlengthKK(γ)〓2.
よ り,
が っ て,
数).
お け ば,
の交点 の
こ れ はK上
γ に つ い て の 二 次 方 程 式
(チ) (ト)に 証
お い て,α,β,r,sが
明 (ヘ)と
(証 終)
作 図 可 能 ⇒ γ も 作 図 可 能.
同 様.
定 理4.9.1の
(証 終)
証 明.⇒:β
と す る.sに
を 作 図 す る の に,順
次 求 め た 点 を
つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.β1は(ハ),(ホ),(ト)の
ど れ か で,α,β,λ,μ,r,sが β1は 作 図 可 能 ゆ え,与
既 知 で,γ
の 形 の も の で あ る.β1∈K0な
え られ た も の の 中 に 入 れ て 考 え れ ば,sに
ら,
つ い て の 帰
納 法 に よ り が あ る. お い て,帰
の と き,(ホ)ま
た は(ト)に
よ りK0(β1)=K1と
納 法 を 使 え ば よ い.
〓:Kiの
元 が 作 図 可 能 な こ と を,iに
な ら よ い.i>0と
す る と,
(イ),(ロ)に
よ りKiの
系4.9.2
つ い て の 帰 納 法 で 証 明 し よ う.i=0 の 形 で あ る か ら,
元 も 作 図 可 能.
(証 終)
前 定 理 と 同 じ条 件 の 下 で,K0上
の 既 約 多 項 式
の 根 が 作 図 で き る た め に は,tが2の
べ き2sで
あ る こ
とが 必 要 で あ る.* 証 明 f(x)の Kmゆ
根
β が 作 図 でき る ⇒ 前 定 理 の よ うなKiが
え,lengthK0Km=lengthK0K(β)・lengthK(β)Km(定
辺 が2の
べ き ゆ え,そ
はdegf(x)に 例 題1.
の 約 数 で あ るlengthK0K(β)も2の
等 し い(定 pが
あ る.K0(β)⊆ 理4.3.6).左 べ き で あ り,そ れ
理4.3.7).
素 数 で あ る と き,正p多
(証 終) 角 形 が 作 図 で き る ⇒p−1が2の
べ
き.** * 十 分 で は な い . ** こ の逆 も成 り立 つ こ とが 知 られ て い る .こ
れ はQ(ζ)がQの
アーベ ル拡 大 であ
る こ とを 利 用 す れ ば 大 し て む ず か し くな く証 明 で き る(補 充 問 題 に 入 れ て お く).
〔解 〕 正p多
角 形 を 作 図 す る こ と と,1の
とは同 値 で あ る.ζ は 円 周p等 既 約 で,そ =p−1
分 多 項 式Fp(x)の
の 次 数 はφ(p)=(1か
らpま
.し た が っ て 系4.9.2に
問1. φ(9)=6を 問2.
原 始p乗
根 ζ を 作 図す る こ と
根 で あ り,Fp(x)はQ上
で の 自 然 数 でpと
よ り,p−1=2s(∃s自
し らべ,正9角
素 な も の の 数)
然 数).
(以上)
形 の 作 図 が 不 可 能 で あ る こ とを 示 せ.
前問 を 利 用 し,角 の 三 等 分 は 一 般 に は 作 図 で き な い こ とを 示 せ.
4.10 代
数
的 閉
包
こ こ で は つ ぎ の 定 理 を 証 明 す る こ とを 目的 とす る. 定 理4.10.1
任 意 の 体Kの
代 数 的 閉 包K*は
同 型 の 意 味 で 一 意 的 で あ る.す な わ ち,K′ れ ば,K*とK′
存 在 す る.そ
がKの,ほ
して,そ れ は
か の代 数 的 閉包 で あ
とはK‐ 同 型 で あ る.
そ の 証 明 の た め,つ 定 理4.10.2
ぎ の こ と を 先 ず 示 そ う:
体Lが
式
体Kの
代 数 拡 大 体 で あ っ て,K上
が 必 ずLで
少 な く と も1つ
の一 変 数 の 多 項
の 根 を も つ ⇒LはK
の 代 数 的 閉 包. 証 明 α がLの
代 数 拡 大 体L′
代 数 的(系4.2.3).α 考 え,そ
のK上
の 中 でf(x)のK上
規 拡 大 体 ゆえ,純
式g(x)と
の 最 小 分 解 体Dを
分 離 的 正 規 拡 大Dsと
る.仮 定 に よ りg(x)は 少 な く も一 根 β′をLに
はK上
上 の 分 解 体 を1つ
と る.DはK上
る β(存 在 は 定 理4.5.12)を
と こ ろ が, =Ds∴
い えば よい.α
の 最 小 多 項 式f(x)のL′
非 分 離 拡 大Diと
理4.7.4).Ds=K(β)な
の 元 ⇒ α ∈Lを
有限次正
の 合 成 体 に な る(定 と り,β
の最 小多 項
もつ.K(β′)⊆L.
,lengthKK(β)=lengthKK(β′)ゆえ,K(β′) Ds⊆L.つ
小 多 項 式h(x)を
ぎ に ,Di∋
とれ ば,h(x)の
γを と る.γ はK上 根 は γ 以 外 に な い.し
純 非 分 離 的.γ
の最
た が っ て,γ ∈L,
そ れ とDs⊆Lと れ る.α
∈Dゆ
え,α
こ れ を 使 っ て,ま K[x]の
か ら,DiとDsと
の 合 成 体DはLに
∈L.
(証 終)
ず 代 数 的 閉 包 の 存 在 証 明 を し よ う:
既 約 多 項 式 の 集 合 をSと
し,S∋s(x)に
に つ い て の 多 項 式 環Pを
対 し て 文 字Xsを
考 え る(定
ゆ え,算 に 対 し て,Fs=s(Xs)と
と れ ば,
法 は 普 通 の 通 りに 定 義 さ れ る).各s(x)∈S
お き,こ
含 む 極 大 イ デ ァ ルMを
考 え,
義 は,P=
二 元f,gを
Iを
含 ま
れ らFs全
と る.(I〓Pを
体 で 生 成 さ れ たPの
イ デ アル
示 す 必 要 が あ る が,そ
れは つ ぎ
の よ うに さ れ る: s1(x)…sn(x)の
分 解 体D(⊇K)内
代 入 す れ ば,0=1と Mが
で,si(x)の
な っ て 矛 盾.し
極 大 イ デ ア ル で あ る か らK*は
γsを も つ か ら,定
意 のK上
理4.10.2に
考 え,考 (イ)L⊆L′
順 序 を 入 れ る(こ
代 数 的 ゆ え,K*
既 約 な 多 項 式s(x)はK*に
らK′
え 得 る(L,σ)全
の 中 へ のK‐
体 をFと のL′
に よ り定 め る.(こ
より
この順序 に よ 整 列部 分集 に,σ*∈ れ がa∈Lλ
な
の 定 義)
る と 容 易 に わ か る よ うに,(L*,σ*)∈F.し のFに
σ の
へ の 制 限=σ′,に
整 列 集 合}がFの
る λ に 関 し な い こ と は
同型
す る.Fに
で あ っ た とす る.L*=UλLλ
Homset(L*,K′)を,
お い て 根
代 数 的 閉 包 で あ る.
部 分 体Lか
か つ,(ロ)σ
明:{
合
が
法 と す る 類 を γsと
れ が 順 序 に な る こ と は 各 自 た し か め よ).Fは
り帰 納 的 集 合 に な る.(証
に よ る.)す
お く.
γsはK上
よ り,K*はKの
つ ぎ に 一 意 性 を 示 そ う.K*の あ る と き,組(L,σ)を
た が っ て,I〓1.)P/M=K*と
生 成 さ れ,各
代 数 的 で あ る.任
αiを 考 え,Xsi=αiを
体 で あ る.XsのMを
す る と,K*はK上{γs│s∈S}で はK上
根
お け る 上 限 で あ り,Fは
た が っ て,(L*,σ*) 帰 納 的 集 合 で あ る.)し
た が っ て,ツ τ)と
ォ ルン の 補 題 に よ り,Fに
す る.
と す る.α
を と る と,定
理4.4.3に
上 の τf(x)の ∈Fと
な り(M,τ)の
超
体Kの
そ のM上
の 最 小 分 解 体Dか
越
次
上 の 超 越 次 数 と はLの
れば
定 め る.
問1.
Lの
trans.
degK
代 数 的 独 立 と は,Sの
最 大(最
大 がな け
体Kの
任 意 の有 限部 分集 合 が 代 数
代 数 的 独 立 な 部 分 集 合Sを
拡 大 体,x1,…,xnが
代 数 的 独 立 で あ れ ば,適
で あ り,
含 み,LがK(S)の
上 の 超 越 基 と い う.
当 な{1,2,…,n}の
がLのKの
超 越 基,y1,…,yr∈L 上 の 置 換 π に よ り,
上 の 超 越 基 に な る.し
た が っ て,
も 超 越 基. よ り少 な いLの
る. s=0の
元x1,…,
上 に 代 数 的.
上 に 代 数 的 で あ る と き,SはLのKの
証 明 ま ず,n個
の よ うなnの
L=0⇔LがKの
的 独 立 の と き に い う,Lが
がK上
証 終)
示 す.
部 分 集 合SがK上
定 理4.11.1 Lが
る と(D,τ*)
数 つ い て,LのKの
Lで
ら τMの
(定 理4.10.1の
代 数 的 独 立 な も の が あ る と き,そ
degK
を(M,
代数 的 閉体 ゆ
τK*=K′.
xnでK上
trans.
あ る.す
極 大 性 に 反 す る.∴M=K*.K*が
拡 大 体Lに
∞)と
の1つ
の 最 小 多 項 式f(x)と
の 上 へ の τ 拡 張 τ*が
代 数 的 閉 体.∴
4.11
∈K*と
よ り,f(x)のM上
最 小 分 解 体D′
え,τK*も
は 極 大 元 が あ る.そ
元 は 決 して 超 越 基 に な り得 な い も の と す
が 超 越 基 で あ っ た と し よ う.(定 と き).ys+1は
理 で の 仮定 は
の 上 に 代 数 的 ゆ え, (多 項 式 環), は 代 数 的 独 立 ゆ え,Xs+1,…,Xn
の う ち に,本 て,Xs+1が
当 にf(X1,…,Xr+1)に
現 わ れ る も の が あ る.番
号 を と りか え
本 当 に 現 わ れ る と し て よ い.
も し,g0(y1,…,ys,xs+2,…,xn,ys+1)=0な の か わ り にg0を
使 っ て,同
ら,上
のf
様 に す る こ と に よ り,
と 仮 定 し て よ い(あ は 代 数 的 独 立 で あ る が,ま
と で 示 す よ う に,y1,…,ys,xs+2,…,xn,ys+1
だ そ れ を つ か
う わ け に は い か な い).す
る と,
f(y1,…,ys,xs+1,…,xn,ys+1)=0は,xs+1がK(y1,…,ys,xs+2,…,xn, ys+1)の
上 に 代 数 的 で あ る こ と を 示 す(上
ys+1,xs+2,…,xn)のLに
お け る 代 数 的 閉 包 はxs+1を
K(y1,…,ys,xs+1,…,xn)を
含 み,し
た が っ てLと
LはK(y1,…,ys+1,xs+2,…,xn)の …
,xmが
上 に 代 数 的.も
代 数 的 独 立 で な い な ら ば,上
な っ て,初 Lの
る と,最
後 にnよ
が 超 越 基 に な
る.し
し,y1,…,ys+1,xs+2, わ れ るxi
つ ま で
も 残
し
り少 い 個 数 の 元 か ら 成 る 超 越 基 が 得 られ る こ と に た が っ て,y1,…,ys+1,xs+2,…,xnは
た が っ て, 超 越 基
性 に よ り,u=n.し
た て,初
ま た,r=u⇔y1,…,yrも
=n
な わ ち,
つ い て の 帰 納 法 に よ り,y1,…,yr,xπ(r+1),…,Xπn
さ て,z1,…,zuが
系4.11.2
た が っ て,
一 致 す る.す
代 数 的 独 立 ゆ え,い
め に し た 仮 定 に 反 す る.し
超 越 基 で あ り,sに
含 み,し
と 同 様 の こ と を 適 用 し て,現
の 数 を 順 次 へ ら し て 行 く.(y1,…,ys+1は う る).す
の 等 式 の 右 辺 に よ る).K(y1,…,
x1,…,xnが
.
証 明 は や さ しい の で 略 す.
で あ る.
⇒z1,…,zuは め にnに 超 越 基,も
体Kの
代 数 的 独 立
⇒
nの
最 小
つ い て 仮 定 し た こ と は 不 要 で あ っ た. 上 の こ と か ら 明 白.
拡 大 体Lの
超 越 基 な ら ばtrans.
(証 終) degK
L
補 充 問 題4
1 Kが
斜 体 で あ る と き,K上
のn次
α(αn+c1αn−1+…+cn=0な
多 項 式
の根
る 元 α)の 数 がn個
よ り多 い こ と もあ り得 る こ と を
例 示 せ よ. 2 体Kの のm重
上 の 多 項 式
に つ い て,(Kの
あ る拡 大 体 内 で)α
根⇔αが,
3 nが (mが
がf(x)
の 共 通 根 で あ る.
平 方 数 で な い 有 理 整 数 で あ る と き,
平 方 因 子 を も た な い)と
の整 数 環 を 求 め よ.[n=a2m
い う形 に し て お い て,mが4を
法 と し て1,−1,2,の
ど
れ と合 同 で あ るか に 分 け て 考 え よ.] 4 L,Mが
体Kの
代 数 拡 大 体 で,L,Mの
一 方 がK上
分 離 的,他
方 がK上
純非
分 離 的 で あ る と き, (イ) L∩M=Kで
あ る.
(ロ) lengthK 5 L,Mが
L=lengthM
体Kの
M(L).
有 限 次 分 離 的 正 規 拡 大 体,L∩M=Kと
の 分 離 的 正 規 拡 大 で あ り,そ AutK
Mの
す る.L(M)はK
L(M)はL,Mの
ガ ロ ア 群AutK
L,
直 積 と同 型 で あ る.
6 L1,…,Lnが LもKの
体Kの
有 限 次 ア ーベ ル 拡 大 で あ る と き,L1,…,Lnの
合成 体
有 限 次 ア ー ベ ル 拡 大 で あ る.
7 Lが
体Kの
有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ る と き,LがKの
と の 中 間 体 の 数 が 有 限.こ (イ) L=K(α)の のM上
の ガ ロ ア群AutK
単 純 拡 大 体 ⇔LとK
れ を つ ぎ の方 針 で 証 明 し て み よ.
と き,α
の 最 小 多 項 式f(x)を
の 最 小 多 項 式fM(x)はf(x)の
とれ ば,中
間 体Mに
約 元 で あ り,MとfMと
対 し て,α
の 対 応 は 一 対 一(こ
れ に よ り ⇒ を 証 明) (ロ) 単 純 拡 大 で な い ⇒∃ 中 間 体M,LはMの αp∈M,βp∈M(pは 対 応 させ れ ば,異 8 K,Lが Lの
標 数).こ な るcに
単 純 拡 大 で な く,L=M(α,β),
の と き,各c∈Mに
対 して,中 間 体M(α+cβ)を
対 し て は 異 な る中 間 体 が 対 応 す る(こ れ に よ り〓 を 証 明).
そ れ ぞ れ 定 数pn,pmの
有 限 体(pは
中 へ の 同 型 が 存 在 す るた め のm,nに
標 数)で
あ る と す る と き,Kか
つ い て の 条 件 はmがnの
ら
倍数 で あ る こと
で あ る. 9 (イ) pが
素 数 で あ る と き,正p角
(ロ) 正n角
形(n自
数2