常微分方程式 (理工系の数学教室)

は じめ に

  本 書 は 工 学 系 な ど微 分 方 程 式 を実 際 に使 う立 場 の学 生 を対 象 と した常 微 分 方 程 式 の解 き方 の 入 門書 で あ る． 物 理 現 象 や 工 学 現 象 な どは微 分 方 程 式 に よ っ て 記 述 さ れ る こ とが 非 常 に 多 い た め,微 分 方 程 式 の 解 法 を 知 っ て お くこ とは 理 工 学 を学 ぶ者 に と っ て,基 礎 の 素 養 と して 必 須 の事 柄 で あ る ． そ こで,本 書 で も この シ リー ズ の 他 の 巻 と同様 に,読 者 と して初 学 者 を想 定 して,題 材 を 限 定 し た 上 で,わ

か りや す さ と簡 潔 さ を第 一 に 考 え て執 筆 した ．

  本 書 は ６つ の章 と付 録 か ら な っ て い る.は 部 分 で あ る.第

じめ の ３章 は基 礎 編 と も い うべ き

１章 は導 入 部分 で,微 分 方 程 式 の種 類 や 用 語,物

理 現 象 との 関

係 な ど に つ い て述 べ る ． 第 ２章 で は １階 微 分 方 程 式 の 標 準 的 な解 法 を述 べ る． 第 ３章 で は ２階微 分 方 程 式 の代 表 的 な取 り扱 い方 に つ い て解 説 す る ． 常 微 分 方 程 式 につ い て の最 低 限 の 知 識 は これ ら の章 だ けで 得 られ る よ う に な っ て い る ．   第 ４章 か ら第 ６章 は発 展 編 の つ も りで書 い た． 第 ４章 で は まず ２階 以 上 の高 階 微 分 方程 式 の 階数 の低 下 法 を述 べ た 後,簡

単 な連 立 微 分 方 程 式 の解 法 につ い

て述 べ る ． 次 に連 立 微 分 方 程 式 の応 用 と して,ラ

グ ラ ン ジュ の 偏 微 分 方程 式 と

よ ば れ る あ る種 の １階偏 微 分 方 程 式 の 解 法 を 解 説 す る ． さ ら に全 微 分 方程 式 に ふ れ た後 で,２ 独 立 変 数 の １階 偏 微 分 方 程 式 の 解 法 を 述 べ る． 第 ５章 で は 定 数 係 数 の線 形 微 分 方 程 式 や 連 立 微 分 方 程 式 が 記 号 法 と よ ば れ る機 械 的 な方 法 で 解 け る こ と を示 す ． 第 ６章 で はべ き級 数 を利 用 した 解 法 を取 り上 げ る． こ の 方 法 は 第 ２,３ 章 で述 べ た 方 法 （ 求 積 法 ） で は解 け な い場 合 に有 力 に な る ． そ して, この 解 法 を使 って,物 理 や工 学 で 重 要 な ル ジ ャ ン ドル とべ ッセ ル の 方 程 式 を解 く． なお,こ

れ らの ３つ の 章 は 互 い に独 立 して読 め る はず で あ る ．

  本 書 は 前 述 の とお り微 分 方 程 式 の 解 き方 を 示 す こ と を 目的 と して い る た め, 機 械 的 あ る い は技 巧 的 な 話 が 中 心 に な っ て い る． そ こ で,付 録Ａ で は 内 容 を少 しで も豊 富 にす る た め,微 分 方 程 式 の 幾 何 学 的 な意 味 の 解 説 や 近 似 解 法 の １つ と して 利 用 可 能 な ピ カー ル の逐 次 近 似 法 と よば れ る近 似 解 法 を紹 介 し,さ

らに

逐 次 近 似 法 の延 長 と して １階微 分 方程 式 の 解 の 存 在 と一 意性 に つ い て議 論 す る．

ま た読 者 の 便 宜 を考 えて,付 録Ｂ で は １,２階微 分 方程 式 に対 して 主 な解 法 の ま とめ を行 っ て い る.   なお,現 実 問 題 に現 れ る微 分 方 程 式 は厳 密 には解 け な い こ とが多 く数 値 解 法 が 多 用 され る ． こ うい っ た 数値 解 法 につ い て は 本 シ リー ズ の 別 の巻 で取 り上 げ る ．   原 稿 は注 意 深 く推 敲 したが,著

者 の 未 熟 か ら思 わ ぬ 不 備 や 誤 りが あ る こ と を

恐 れ て い る ． この 点 に 関 し て は読 者 諸 賢 の 御 批 評 を頂 い た上 で 順 次 改 善 して い く予 定 で あ る ．   最 後 に本 書 の 執 筆 に あ た り,お 茶 の 水 女 子 大 学 大 学 院 数 理 ・情 報 科 学 専 攻 の 坂 本 憲 美 さ ん と傳 保 神 奈 子 さ ん に は校 正 な ど で協 力 して頂 い た ． ま た 朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に は 本 書 の 出 版 に あ た り大 変 お 世 話 に な っ た ． こ こ に記 して感 謝 の 意 を表 した い ． 2003年10月

河村哲 也

目

次

１. 微 分 方 程 式 

１

1.1  微 分 方 程 式 

１

1.2  自然 現 象 と微 分 方 程 式 

６

２. 1階 微 分 方 程 式  2.1  積

分

形 

13 13

2.2  変 数 分 離 形 

14

2.3  同

16

次

形 

2.4  １階 線 形 微 分 方 程 式 

21

2.5  完 全 微 分 方程 式 

25

2.6  積 分 因 子 

30

2.7  非 正 規 形 

34

３. ２ 階微 分 方 程 式 

43

3.1  １階微 分 方 程 式 に帰 着 で きる 場 合 

43

3.2 定 数係数 ２階線形微分 方程 式 

50

3.3  オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 

59

3.4  ２階線 形微 分 方 程 式 

60

４. 高階微分方 程式 ・連立 微分方程式 

68

4.1  特 殊 な 形 の 高 階微 分 方 程 式 

68

4.2  連 立 微 分 方 程 式 

77

4.3  ラ グ ラ ン ジ ュの 偏 微 分 方 程 式 

81

4.4  全 微 分 方程 式 

84

4.5  １階 偏 微 分 方 程 式 の完 全 解 

87

引 A.

５. 記

号

法 

92

5.2 定数係数線形 同次微 分方程式 

96

5.3  逆 演 算 子 

100

5.4  定 数 係 数 非 同 次 線 形 微 分 方 程 式 

103

5.5  定 数係 数 連 立 微 分 方 程 式 

109

６. 級 数 解 法 

付

92

5.1  微 分 演 算 子 

113

6.1  級 数 解 法 の例 

113

6.2  線 形 ２階 微 分 方 程 式 の級 数 解 法 

117

6.3  ル ジ ャ ン ドル の微 分 方 程 式 

124

6.4  ベ ッセ ル の 微 分 方 程 式 

133

録Ａ 

141

1 微分 方程 式 の幾何 学 的意味 

141

A.2  １階 常 微 分 方 程 式 に対 す る逐 次 近似 法 

144

A.3 １ 階 常 微 分 方 程 式 の 解 の存 在 定 理 

146

付 録Ｂ 

150 150

B.2  ２階微 分 方 程 式 の 解 法 の ま とめ 

151

略

B.1 １ 階微 分 方 程 式 の 解 法 の ま とめ 

索

解 

154

169

１ 微 分 方 程 式 1.1  微 分 方 程 式

は じめ に 用 語 の 定 義 や 説 明 を行 い,そ 独 立 変 数 ｘ の 関 数y(x)お

の あ と具 体 的 に例 を示 す こ と にす る.

よびその導関数

の間に関係 式

(1.1) が あ る とす る.こ の 関係 式 を関 数y(x)を 程 式 とい う.そ

して,式(1.1)に

決 め る方 程 式 とみ な した と き,微 分 方

含 ま れ る 最 高 階 の微 係 数 の 階 数 ｎ を微 分 方 程

式 の階 数 とよぶ.微 分 方 程 式(1.1)が 最 高 階 の微 係 数 につ い て 解 か れ た形 を して い る と き,す なわ ち

(1.2) とい う形 を して い る と き正 規 形 とい う.ま た,必 ず し も式(1.2)の 形 で は な くて も,式(1.2)の

形 に直 せ る よ う な微 分 方 程 式 も正 規 形 で あ る.正 規 形 で な い微 分

方 程 式 を非 正 規 形 とい う.微 分 方 程 式 が 未 知 関 数y(x)お て １次 式 の場 合 を線 形,線

よび そ の 導 関 数 に つ い

形 で な い場 合 を非 線 形 とい う.

  微 分 方 程 式 を満 足 す る 関 数 をそ の方 程 式 の 解 とよ び,解 微 分 方 程 式 を解 く,あ るい は積 分 す る とい う.

を求 め る こ と を そ の

例1.1(種

々 の 微 分 方 程 式)

以 下 の ４つ の 微 分 方程 式 を例 に とる.

（ａ）

（ ｂ）

（ｃ）

（ ｄ）

  この うち （ ａ）と （ ｄ）は最 高 階 の 微 係 数 が １階 な の で １階 微 分 方 程 式 で あ り,（ｂ）と （ｃ）は そ れ ぞ れ ２階 と ３階 微 分 方 程 式 で あ る.線 形 の微 分 方 程 式 は （ ｂ）だ けで,そ れ以 外 は 非 線 形 で あ る.ま た,（ａ）は形 の 上 か ら正 規 形 で あ る が,（ｂ）と （ ｃ）も簡 単 に正 規 形 に直 せ る.一 方,（ｄ）は非 正 規 形 で あ る.   式(1.1),(1.2)は 未 知 関 数(従 属 変 数)が

１つ で あ っ たが,未 知 関 数 が複 数 個

の 場 合 もあ る.一 般 に,未 知 関数 が複 数個 あ る場 合,微 同 じ個 数 必 要 で,そ

分 方 程 式 も未 知 関 数 と

れ ら を連 立 させ て解 く.こ の よ う な微 分 方 程 式 を連 立 微 分

方程 式 とい う.   さ らに独 立 変 数 が ｘ だ け で は な く複 数 個 の場 合 も考 え られ る.そ の よ うな場 合 に は,微 分 方程 式 は偏 微 分 を含 む た め,偏 微 分 方 程 式 と よ ん で い る.偏 微 分 方 程 式 の 階 数 と は,そ の方 程 式 に含 まれ て い る最 高 階 の 偏 導 関 数 の 階 数 を指 す. 偏 微 分 方 程 式 に対 して,式(1.1),(1.2)の

よ う に独 立 変 数 が １つ で あ る こ とを特

に強 調 し た い場 合 に は,そ の微 分 方程 式 を常 微 分 方 程 式 とい う.し か し本 書 で は主 と して常 微 分 方 程 式 を取 り扱 うた め,特 に断 らな い 限 り,微 分 方 程 式 とい っ た 場 合 は 常微 分 方 程 式 を指 す もの とす る. 例1.2(１

階 微 分 方 程 式 の 解 の 例)

微 分 方程 式 の 簡単 な例 と して １階微 分 方 程 式

(1.3)

を考 え て み よ う.右 辺 は ｘの み の関 数 で あ る か ら,両 辺 をｘ で 積 分 す れ ば

す な わ ち,

とな る.こ

こで,Ｃ

は定 数 で任 意 の値 を とっ て よ く,任 意 定 数 と よ ば れ る.

なぜ な ら Ｃ が 定 数 で あ れ ば,ど の よ うな値 で あ っ て も微 分 す れ ば ０に な る た め,上 式 を微 分 す れ ば も との 微 分 方 程 式 に もど る か らで あ る.今 後,特 に 断 ら ない 限 り任 意 定 数 を表 す の に,Ａ,Ｂ,Ｃ C1,C2な

ど を用 い る こ とに す る.

例1.3(２ 例1.2と

や そ れ ら に下 添 字 のつ い た

階 微 分 方 程 式 の 解 の例) 同 じよ うな例 と して ２階 微 分 方 程 式

(1.4) を考 え る.こ の 式 を １回積 分 す る と

と な り,も

う １回 積 分 す る と

とな る.こ の 式 が も との 微 分 方 程 式 を満 足 す る こ とは ２回 微 分 す れ ば 確 か め られ る.   こ の よ う に １階 微 分 方程 式 で は １つ の任 意 定 数 を含 ん だ 解 が 得 られ,２ 階微 分 方 程 式 で は ２つ の 任 意 定 数 を含 ん だ解 が 得 られ る.一 般 に ｎ階 微 分 方 程 式 で ｎ 個 の任 意 定 数 を含 ん だ解 の こ とを一 般 解 と よ ん で い る.一 方,任 意 定 数 に あ る特 定 の値 を代 入 して得 ら れ る解 を特 殊 解 ま た は特 解 と よ ぶ.た

とえ ば

は 方 程 式(1.4)の

解 でC1=0,C2=1を

代 入 し て 得 ら れ る た め,方

程 式(1.4)

の 特 解 で あ る.

◇ 問1.1◇

  次 の微 分 方程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(1) 例1.4(非

正 規 形 の １階 微 分 方 程 式 の 解 の 例)

（ａ）

を考 え る.こ

の 方程 式 の 一 般 解 は,

（ ｂ）

で 与 え られ る.実 際,式

と な る が,こ

（ｂ）を微 分 す れ ば

れ を式 （ ａ）に 代 入 す れ ば,式

と が 確 か め ら れ る.一

（ ｂ）と 一 致 す る た め,解

である こ

方, （ｃ）

も方 程 式 の 解 で あ る.こ の こ と は,式

（ｃ）を微 分 して 得 られ る

を式 （ ａ）に代 入 す る こ とで 確 か め られ る.解 ず,し

（ ｃ）は 任 意 定 数 を含 ん で お ら

か も一 般 解 （ ｂ）の任 意 定 数 に い か な る値 を代 入 して も得 られ な い た

め特 解 で は な い.こ

の よ うな 解 の こ と を特 異 解 と よぶ.

  以 下 の 例 に示 す よ う に,任 意 定 数 を含 ん だ 関係 式 が あ る場 合 に,微 分 方 程 式 は任 意 定 数 を含 ん だ式 か ら任 意 定 数 を消 去 す る こ と に よ り得 ら れ る. 例1.5(微

分 方 程 式 の 導 出)

任 意 定 数 を含 ん だ 以 下 の 関 係 式 を例 に とる.

(１)y=Cex/C,(２)(x-C1)2+(y-C2)2=1 (１)に つ い て は,ｘ

と な る.し

で

１回 微 分 す れ ば

たが って

と な り,こ れ ら の 関係 を も との式 に代 入 す れ ば １階 微 分 方 程 式

が 得 ら れ る.   (２)に つ い て は,ｘ

で １回 微 分 して ２ で 割 れ ば

（ａ）

とな り,さ ら に ｘ で 微 分 す れ ば

（ ｂ）

と な る.式

（ ｂ）か ら

（ｃ）

と な り,こ

れ を式 （ ａ）に代 入 す れ ば

（ ｄ）

が得 られ る.式

（ ｃ）,（ ｄ）を も との 式 に代 入 して 整 理 す れ ば,２ 階 微 分 方 程 式

が 得 ら れ る.

◇ 問1.2◇

  次 の 関 係 式 か ら任 意 定 数 を消 去 して 関 数 ｙが 満 た す微 分 方 程 式 を

求 め よ.   (１)ｙ2=4Cx,(２)y=Cle2x+C2e-x

1.2  自然現 象 と微 分 方 程 式

  自然 現 象 を数 学 的 に 記 述 す る と き微 分 方 程 式 が しば しば現 れ る.本 節 で は 主 に 質 点 の 運 動 を例 に とっ て こ の こ とを 説 明 しよ う.   質 点 の 運 動 は質 点 の位 置 や 速 度 に よ って 記 述 され るが,こ で あ る.す な わ ち,独 立 変 数 は 時 間 ｔに な る.そ

れ らは 時 間 の 関 数

して 速 度 は位 置 の 時 間 変 化 で

あ り,質 点 の位 置 を時 間で 微 分 した もの に な る.ま た 加 速 度 は速 度 の 時 間変 化 で,速 度 の 時 間微 分 あ るい は位 置 を時 間 で ２回 微 分 した もの で あ る.   一 直 線 上 を運 動 す る 質 点 を考 え る.こ の 直 線 を ｘ軸 と考 え れ ば 質 点 の 位 置 は ｘ座 標 で与 え られ る.質 点 が運 動 す る と位 置 は時 間 的 に変 化 す る た めx=x(t) と表 現 され る.質 点 の速 度 をυ(t),加 速 度 をa(t)と 書 け ば

(1.5) である．

例1.6(等 速 直 線 運 動) 一 直 線 上 を等 速 度υ0で 運 動 して い る 物 体 の 位 置 を求 め よ う .式(1.5)か

ら

位 置 ｘ は微 分 方 程 式

を満 た す.υ0は 定 数 な の で 両 辺 を ｔで 積 分 す れ ば x=υ0t+C

とい う一 般 解 が 得 られ る.任 意 定 数 Ｃ が現 れ る 物 理 的 な 理 由 は質 点 が 等 速 度 で 運 動 して い る とい うだ け で は位 置 は一 意 に は 決 ま らな い か らで あ る. 一 意 に決 め る た め には た と え ばt=0(時 刻 ０)に お け る質 点 の位 置 を指 定

す る.例

と して,t=0で

質 点 が 原 点x=0に

上 式 に 代 入 す れ ば Ｃ=0と

あ っ た と す る.こ

の条件 を

なるため

x=υ0t

と な る.こ

れ は も と の 方 程 式 の １つ の 特 解 で あ る.

例1.7(自

由 落 下 運 動)

ニ ュ ー ト ン(Newton)の

力 学 の 第 ２法 則(運

(質 量)×

動 方 程 式)は

（ 加 速 度 ）=（ 力 ）

で 表 現 さ れ る.い

ま,質

の 位 置 をx(t),そ

の 質 点 に 働 く外 力 を Ｆ(t,x,dx/dt)と

 

量 ｍ の 質 点 が １次 元 運 動 を して い る 場 合,質

（ ａ）

す れ ば,式

点

（ ａ）は

２階微分 方程式 （ ｂ）

に な る.た

だ し質 点 の 質 量 は 運動 中 に変 化 し ない とす る.

 最 も簡 単 な例 と して,質 量 ｍ の 質点 が 重 力 を受 け て鉛 直 下 方 に 自由 落 下 して い る 場 合 を取 り上 げ る.こ の 場 合,慣 例 に従 っ て質 点 の位 置 をz(t)と して,座 標 を鉛 直 上 方 に とれ ば,外 力 で あ る重 力 は下 向 き に働 くた め-mg で あ り,式

（ ｂ）は （ｃ）

と な る.た

だ し ｇ は 重 力 加 速 度 とよ ば れ る定 数 で あ る.上 式 を ｍ で割 っ

て,１ 回 積 分 す れ ば,速 度υ(t)が 求 ま り

とな る.こ

こでυ0は 任 意 定 数 で あ る.こ の任 意 定 数 の値 を １通 りに決 め る

た め に は,た

と え ばt=0の

速 度(初 速 度)を

式 を も う １回積 分 す れ ば,位 置z(t)が 求 ま り

与 えれ ば よい.さ

らに,上

とな る.た t =0で

だ し,z0は

任 意 定 数 で,こ

の 値 を 定 め る た め に は,た

とえ ば

の位 置(初 期 位 置)を 与 え る .こ の よ う に,自 由落 下 運 動 は 初期 速

度 と初 期位 置 を与 え る こ と に よ り １通 り に決 ま る.   こ こ まで は,空 気 抵 抗 を考 え な か っ た が,実 際 には 空 気 抵 抗 が 働 く.空 気 抵 抗 の 大 き さ は 質点 の 速 さ に依 存 す る が,落 下 速 度 が 大 きい 場 合 に は 速 度 の ２乗 に比 例 す る力 が働 くこ とが 知 られ て い る.そ の 場 合,比

例定数 を

ｋとす れ ば式 （ ｃ）は

（ ｄ）

と 修 正 さ れ る.

例1.8(ば

ね の運 動)

 ば ね に質 量 ｍ の お も りをつ け て水 平 面 上 を振 動 させ た とす る(図1.1).お も りと面 の 間 に摩 擦 が な い とす れ ば,質 点 に 働 く力 は ば ね の復 元 力 だ け で あ る.一 方,ば ね の 平 衡 位 置 か らの ず れ を ｘ とす れ ば,フ ッ ク(Hooke)の 法則 か らF=-kxと

書 け る.こ

こでｋ は ば ね の 強 さで 決 ま る定 数 で ば ね

定 数 と よ ば れ る.こ の と きニ ュ ー トンの 運 動 方 程 式 は

（ ａ）

とい う ２階 微 分 方程 式 に な る.  ば ね の お も りは周 期 運 動 す る.そ x=sinωtま

を 仮 定 して み よ う.こ す る と,ど

こ で,式

（ ａ）の特 解 と して三 角 関 数

た はx=cosωt 

こ で ω は 未 定 の 定 数 で あ る.式

ちら も

図 1.1

（ｂ）

（ ｂ）を 式 （ ａ）に 代 入

で あ れ ば,式

（ ａ）を 満 足 す る こ とが わ か る.こ の よ うに 定 数 ω は ば ね の振

動 の周 期 に 関係 す る.さ

ら に,Ａ

と Ｂ を任 意 定 数 と して

（ｃ）

も解 に な る こ とが 式 （ ａ）に 代 入 す る こ と に よ っ て 確 か め ら れ る.こ

の解 は

任 意 定 数 を ２つ 含 ん で い る た め,２ 階 微 分 方 程 式 （ ａ）の 一 般 解 に な っ て い る.   任 意 定 数 を 定 め る た め に,た

と え ばt=0に

お い てx=0,dx/dt=1

とい う条 件 を課 せ ば

であ るか ら 0=A×1+B×0,1=ωB

すなわ ち

とな る.し た が って,こ

の条 件 を満 足 す る 解 は

で あ る.   次 に,別

の 条 件 と してt=0でx=0,t=1でx=1を

0=A×1+B×0,1=Acosω+Bsinω

から

と な る.し

た が っ て,解

と して

課せ ば

が 得 られ る.

例1.9(波

動)

波 が 形 を変 え ず に 一 定 方 向 に伝 わ っ て い く現 象 を考 え よ う.図1.2に よ う に初 期 の 波 形 がf(x)で,そ

れ が 速 さc＞0でｘ

示す

軸 の 正 の方 向 に移 動

す る とす る.

図 1.2

  こ の 波 は た と え ば １秒 後 に は ｃ だ け 進 む が,波 と の 関 数 を 右 に ｃだ け 平 行 移 動 し た も の,す に ２秒 後 に は 右 に2cだ る.同

け 進 む た め,2cだ

様 に 考 え る と ｔ秒 後 に は 右 にct進

わ か る.し

た が っ て,波

形 は 変 化 し な い た め,も

な わ ちf(x-c)と

な る.さ

け 平 行 移 動 し たf(x-2c)と

ら

む た め,

f（x-ct）

な

と な る こ とが

形 を表 す 関 数 ｕ は

u（x,t）=f（x-ct）

  （ａ）

で 与 え ら れ る.こ れ は ２つ の独 立 変 数 の 関数 で あ る.   この 波 動 現 象 を記 述 す る 微 分 方程 式 を求 め て み よ う.式 す るた め に,ξ=x-ctと

（ ａ）を ｘで 微 分

お けば

（ ｂ）

とな り,ｔ で 微 分 す れ ば

（ｃ）

とな る.式

（ｃ）に式 （ ｂ）を ｃ倍 した もの を加 え れ ばdf/dξ が 消 去 で きて

（ ｄ）

とな る.こ の よ う に波 動 現 象 を表 す 微 分 方 程 式 は偏 微 分 方程 式 に な る.  式 （ ｄ）に は も との 波 形 を表 す 関 数 ｆが 現 れ て い な い.こ

の こ と は偏 微 分

方程式 （ ｄ）は,ど の よ うな 波 形 に対 して も,そ の波 が 形 を変 えず に伝 わ っ て い く とい う現 象 を一 般 的 に表 して い る方 程 式 で あ る と解 釈 で き る.

章末 問題 ［ 1.1］ 次 の 微 分 方 程 式 が 括 弧 内 の 一 般 解 ま た は 特 解 を もつ こ と を代 入 す る こ と に よ り 確 か め よ.

(１) 

(２) 

(３) 

(４)

［1.2]  次 の 関 数 を一 般 解 に も つ よ う な微 分 方 程 式 を 求 め よ. (１) 

(２) 

(３) 

(４)

［1.3］  人 口 の 増 加 率 が そ の と き の 人 口 に 比 例 す る と仮 定 す る(マ ル サ ス(Malthus)の 法 則).人

と な る.こ

口 を ｎ とす れ ば 人 口 の増 加 率 はdn/dtと

こ で ａ は比 例 定 数 で 正 の 定 数 で あ る.こ

な る た め,ｎ の満 た す 微 分 方 程 式 は

の微 分 方程式 の一 般解 は

n=Ceat で あ る こ と を確 か め よ.   一 方,人

口 は 限 り な く増 加 す る わ け で は な い.す

足 す る た め,増

この 点 を 考 慮 し て増 加 率 をa-bnと

とな る.こ

な わ ち,人

口 が 増 え る と食 糧 が 不

加 率 が 人 口 の 増 加 に従 っ て 徐 々 に 小 さ く な る と 考 え ら れ る.そ

の方 程式 の解 は

すると

こ で,

と な る こ と を確 か め よ.時 [1.4] V=（u,υ

間 が 無 限 に 大 き く な っ た と き人 口 は ど う な る か.

）(一定 値)の 速 度 で あ る 物 理 量f（x,y,t） が 形 を変 えず に 平 面 内 を移 動

して い く とす る.時 刻 ０に お い て 点 （x,y）に あ っ た量 は 時刻 ｔに お い て 点 （x+ut,y+υt） に 移 動 し て い る こ と,お

よ び 関 数 の 値 は こ の ２つ の 点 で 同 じ で あ る こ と を用 い て 物 理

量 ｆ の 満 た す 微 分 方 程 式 を 求 め よ.

２  １階微分方程式 ｙ を ｘ の 関 数 と した と き,正 規 形 の １階 微 分 方程 式 は 次 の 形 を して い る.

(2.1) こ こ でf(x,y)は

形 の 与 え ら れ たｘ,ｙ の 関 数 で あ り ,こ

関 数 と して 定 め る こ と に な る.式(2.1)は,さ

の 方 程 式 か らｙ をｘ の

ら に 一 般 的 な １階 微 分 方 程 式

(2.2) をdy/dxに が,Ｆ

つ い て 解 い た 形 に な っ て い る.関 数 Ｆ はｘ,ｙ,dy/dxの

関数 で あ る

の形 に よ っ て は,必 ず し も式(2.1)の 形 に な ら ない こ と もあ り,そ の 場

合 は 第 １章 で述 べ た よ う に非 正 規 形 と よば れ る.本 章 で は お も に正 規 形 の 微 分 方 程 式(2.1)に つ い て代 表 的 な解 法 を述 べ,非 正 規 形 につ い て は2.7節 で 簡 単 に 触 れ る に と どめ る.１ 階 微 分 方 程 式 は,以

下 に順 に述 べ る よ う に 方 程 式 の 形 に

よ っ て解 き方 が 決 ま っ て い る た め,ど の 型 に属 す るか を見 極 め る こ とが 大 切 に な る*.

2.1  積

分

積 分 形 とはf(x,y)が

形

ｘ だ け の 関 数f(x)の

場 合,す

なわ ち

(2.3) を 指 す.こ

の と き,両

*  １階微 分 方 程 式 は

辺 を ｘ で 積 分 す る こ と が で き て,

,そ れ が正 規形 で あ って もな くて も,必 ず し も本 章 で 述べ る 方 法(求 積 法)で

解 け な い こ とが あ る ．

は

(2.4) と な る.式(2.4)が

式(2.3)を

満 足 す る こ と は,式(2.4)の

両 辺 を ｘ で微 分 す る

こ と に よ り た だ ち に 確 か め る こ と が で き る.

例 題2.1 次 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.次 に解 がx=0の

と きy=0と

い う条

件 を満 た す と して 任 意 定 数 の値 を定 め よ.

【 解 】 両 辺 を ｘ で 積 分 す れ ば 部 分 積 分 をす る こ と に よ り一 般 解 y=∫xsinxdx+C=-xcosx+∫cosxdx+C=-xcosx+sinx+C

が 求 ま る.こ の 式 にx=0を

代 入 した値 が ０で あ る か ら

0=-0cos0+sin0+C=Cす

な わ ちC=0

と な る.し た が っ て,条 件 を満 足 す る解 は

y=-xcosx+sinx で あ る.

◇ 問2.1◇

  次 の微 分 方 程 式 の 一般 解 を求 めよ. (２) 

(１) 

(３)

2.2  変 数 分 離 形

  １階 微 分 方 程 式(2.1)の 右 辺 が ｘ だ け の 関数 と ｙ だ け の 関 数 の 積 の 形 を して い る と き,す な わ ち

f(x,y)=g(x)p(y) と書 け る場 合,変

数 分 離 形 と よん で い る.も ち ろ ん

で あって も

と考 え れ ば よい か ら変 数 分 離 形 に 分 類 で き る.以 下 こ の 後 者 の 形 で 議 論 す る ． 変 数 分 離 形 は 次 の よ う に して解 くこ とが で き る.

(2.5) の 両 辺 にh(y)を

掛 け た 上 で ｘ につ い て積 分 す れ ば

と な る.一 方,置 換 積 分 法 を用 い れ ば

で あ る た め,式(2.5)の

解 は

(2.6) と な る.実

際,式(2.6)を

  式(2.6)か

ｘ で 微 分 す る と 式(2.5)が

ら わ か る よ う に 式(2.5)を

で 割 っ た も の と み な し,両

辺 にh(y)dxを

得 ら れ る.

解 く に は,dy/dxを,形 掛 け て,左

は ｘ の み の 関 数 と い う形 h(y)dy=g（x）dx

に した 上 で,両

辺 を積 分 す れ ば よ い.

例 題2.2

【 解 】 両 辺 に2y(ま

た は2ydx)を

式 的 にdyをdx

辺 は ｙ の み の 関 数,右

掛 け て積 分 す れ ば

辺

し た が っ て,

y2=x3+C と な る.

例 題2.3

【解 】 両 辺 を ｙで 割 っ て積 分 す れ ば

し た が っ て,

log￨y￨=x2+C1 または y=Cex2（C=eCl） と な る.

◇ 問2.2◇

 次 の 変 数 分 離 形 の 方 程 式 の一 般 解 を 求 め よ．

(１) 

(２) 

2.3  同

次

(３)

形

  微 分 方 程 式(2.1)の 右 辺 の 関 数 がy/xだ がx/yだ

け の 関 数 の場 合,す

け の 関 数,あ

る い は 同 じこ とで あ る

なわち

(2.7) と書 け る 場 合,同

次 形 と よ ん で い る.同 次 形 は y=ux 

とお き,u(x)に

(2.8)

関 す る微 分 方程 式 に変 換 す る こ と に よ り変 数 分 離 形 に な る.実

際,式(2.8)の

両辺 を ｘで微分 する と

と な る が,こ

の 式 と 式(2.8)を

式(2.7)に

代 入す れば

また は

(2.9) が 得 ら れ る.式(2.9)は ち,式(2.9)の

変 数 分 離 形 で あ る た め,2.2節

両 辺 をg(u)-uで

の 方 法 で 解 け る.す

なわ

割 っ て ｘで 積 分 す る と

し た が っ て,

(2.10) と な る.最

終 的 な 解 は,式(2.10)を

積 分 し て 得 ら れ た ｕ の 関 数 を 式(2.8)に

て ｙ に 書 き 換 え た も の に な る.

例 題2.4

【 解】   こ の 方程 式 は右 辺 の 分 母 と分 子 をx2で

割 り算 す れ ば

と な る た め,同

お けば

次 形 で あ る.そ

こ でy=uxと

とな る.こ の式 を変 形 して 積 分 す れ ば

よっ

とな るた め,両 辺 の 積 分 を 実行 して

log(u2+1)=-log￨x￨+C1 または

と な る.最 終 的 な解 は ｕ を ｙで 表 して x2+y2=Cx

で あ る.

◇ 問2.3◇

  次 の 同次 形 の 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１) 

(２)

そ の ま まで は 同次 形 で は な いが,同 次 形 ま たは 変 数 分 離 形 に直 せ る場 合 と して

(2.11) が あ る.た

だ しa,ｂ,ｃ,ｐ,ｑ,ｒは 定 数 で ｃ,rは 同 時 に は ０ で な い と す る(同

０ な ら ば 同 次 形).こ

の 場 合,変

時 に

数変換

x=X+ξ,y=Y+η

  (2.12)

を 行 っ て ｃ と ｒ を 同 時 に ０ に す る こ と を 考 え る.式(2.11)の

右 辺 の 引 数 は この

変換 に よ り

と な る た め,ξ,η

と し て 連 立 ２元 １次 方 程 式 ａξ+bη=-c 

(2.13)

Pξ+qη=-r  の 解 を 選 べ ば 目 的 が 達 成 さ れ る.こ が １通 り に 定 ま る.一

方,変

の 連 立 １次 方 程 式 は ａq-bp≠0の

換(2.12)に

よ っ て 方 程 式(2.11)の

左辺 は

と き解

(2.14) と な る た め,結

局

と い う 同 次 形 に 帰 着 さ れ る.   な お,例

外 で あ っ たaq-bp=0の

とお け ば,方

場合 は

と な る.そ

程 式(2.11)は

こで u =ax+by

とお け ば

に 注 意 し て,

が 得 られ る.こ れ は変 数 分 離 形 の特 殊 な 場 合 で あ る た め2．2節 の方 法 で 解 け る. 例 題2.5

【解 】  は じめ に 連 立 ２元 １次 方 程 式 3ξ+η=5  ξ-3η=5

を解 けば ξ=2,η=-1

が 得 ら れ る.そ

こ で,

x=X+2,y=Y-1

を も との 方程 式 に代 入 して,同 次 形

に 直 す.次

にY=uXを

上 式 に代 入 す れ ば

す な わ ち,

とな る.両 辺 を Ｘ で積 分 す れ ば

と な り,形 を整 え る た め ６倍 して 変 数 をX,Yに

が 得 ら れ る.さ

ら に こ の 式 を も と のx,yで

例 題2.6

【解 】  この 場 合 の連 立 １次 方 程 式 2ξ-3η=-1  4ξ-6η=-6

は 解 を もた な い の で

表せ ば

も どせ ば

u=2x-3y

とお く.こ の と き も との微 分 方 程 式 は

とな る(変 数 分 離 形).し

たが って

の 積 分 を 実 行 して 2u-12log￨u+9￨=x+C1 と な る.ｕ

をx,yで

表 して x-2y-4log￨2x-3y+9￨=C

◇ 問2.4◇   次 の微 分 方 程式 を同 次 形 または 変数 分 離 形 に直 して一 般 解 を求 め よ. (２)

(１) 

2.4 １ 階線 形 微 分方 程 式

１階 線 形 微 分 方 程 式 と は,p(x),q(x)を

ｘ の 与 え られ た 関 数 と した と き

(2.15) の こ とを指 す.こ

れ は 式(2.15)が 未 知 関 数 ｙお よび そ の １階 導 関数 に 関 して １

次 式 で あ る こ と に よ る.以 下 に示 す よ うに式(2.15)に

は公 式 の 形 で表 され る一

般 解 が あ る.し か し,複 雑 な形 を して い るた め,そ れ を公 式 の 形 で 覚 え る よ り は,解

き方 を 覚 え る の が よい.

  は じめ に 式(2.15)の 右辺 が ０,す な わ ち

(2.16)

の 場 合 を考 え る.こ

の よ うな 方 程 式 を線 形 方 程 式 に対 す る同 次 方 程 式 と よ ぶ.

この 同次 方程 式 は,変 数分 離 形 の特 殊 な場 合 とみ なせ る た め 以 下 の よ う に して 解 け る.す な わ ち,両 辺 を ｙで 割 っ て ｘ で積 分 す れ ば

し た が っ て,

log￨y￨=-∫p（x）dx+C1 または y=Ae-∫p(x)dx 

(2.17)

と な る.   次 に 式(2.17)を こ の 場 合,式(2.17)の

も と に し て は じ め の 方 程 式(2.15)の

解 を 求 め る こ と を 考 え る.

Ａ を 任 意 定 数 で は な く ｘ の 関 数A(ｘ)と

考 え る.す

な

わ ち, y=A(x)e-∫p（x）dx 

と お い て 式(2.18)が

式(2.15)を

満 た す よ う に す る.こ

(2.18)

の よ うな方 法 を定 数 変 化

法 と よ ぶ*. 式(2.18)を

と な る.し

ｘ に関 して微 分 す れ ば

た が っ て,式(2.15)は

とな る が,左 辺 第 ２項 と第 ３項 が 打 ち 消 し合 っ て

と な る.こ の 方 程 式 は積 分 形 で あ る た め,両 辺 を積 分 して A(x)=∫e∫p（x）dxq（x）dx+C

*  定 数 変 化 法 は １階 微 分 方 程 式 だ け で は な く高 階 の 線 形 微 分 方 程 式 に対 して も適 用 で き る(3 .4節 参 照).

と な る.最

終 的 な 一 般 解 は こ の 式 を 式(2.18)に

代 入 した もの で

y=e-∫p（x）dx（∫e∫p（x）dxq（x）dx+C）

 

(2.19)

で あ る.   ま と め る と定 数 変 化 法 は,ま ず 同 次 方 程 式 の 一 般 解 を求 め,次

に この 一 般 解

に現 れ る任 意 定 数 を関 数 とみ な して非 同 次 方 程 式 に代 入 す る こ とに よ り任 意 定 数 を 関 数 と して定 め る方 法 で あ り,線 形 の 微 分 方 程 式 に対 して 適 用 で きる ． 例 題2.7

【解 】  は じめ に右 辺 を ０ と した 同 次 方 程 式 を解 く.変 数 分 離 形 で あ る こ と に注 意 して変 形 す る と

両 辺 を ｘ で積 分 して log￨y￨=2log￨x￨+C1 す な わ ち,同 次 方 程 式 の 一 般 解 は y=Ax2 

（ａ）

とな る.次

に上 式 の Ａ をｘ の 関 数 とみ な して も との 方程 式 に代 入 す れ ば

と な る.し

た が っ て,

か らA(x)が

求まり A=-2x+C

と な る.こ

れ を式 （ ａ）に代 入 す れ ば 一 般 解 は 次 の よ う に な る.

y=Cx2-2x3

◇ 問2.5◇

  次 の １階 線 形 微 分 方 程 式 の 一般 解 を求 め よ. (２) 

(１) 

(３)

  見 か け は線 形 で な い が,簡

単 な変 数 変換 で １階 線 形 微 分 方 程 式 に 直 せ る微 分

方 程 式 に,次 式 で 与 え られ る ベ ル ヌ ー イ(Bernoulli)の 微 分 方 程 式 が あ る.

(2.20) た だ し,実

数 α が ０ ま た は １ の 場 合 は 式(2.20)は

線 形で あ るた め除外 す る.

α ≠0,１ の と き両 辺 をyα で 割 る と

と な る が, z=y1-α と お く.こ

 

(2.21)

の と き,

に 注 意 して微 分 方 程 式 を書 き換 え れ ば,ｚ に 関す る微 分 方 程 式

が 得 ら れ る.こ

れ は １階 線 形 微 分 方 程 式 で あ り,式(2.15)のp(x)とq(x)を

れ ぞ れ(1-α)p(x)と(1-α)q(x)で (2.19)を

置 き換 え た も の で あ る か ら,一

そ 般 解 は式

参 照 し て,

y1-α=e-∫

（1-α）p（x）dx(∫e∫

（1-α ）p（x）dx(1-α)q（x）dx+C) 

(2.22)

と な る.

例 題2.8

【 解 】  こ の 方 程 式 は ベ ル ヌ ー イ の 微 分 方 程 式(式(2.20)で

α=3)な

の

で,式(2.21)よ

り

z=y1-3=y-2 と お く.

を,も

との 方 程 式 をy3で

と な る.こ

割 っ た 方 程 式 に代 入 して

の 方 程 式 はｚ を ｙ と み な せ ば 例 題2.7と

同 じで あ る た め,例

題

2.7の 結 果 を 用 い て 一 般 解 は

y-2（=z）=Cx2-2x3

と な る.

◇ 問2.6◇

 次 の ベ ル ヌ ー イ の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(１) 

(２)

2.5  完 全 微 分方 程 式

正規 形の微分方程式 は

(2.23) と書 く こ と が で き る.実 そ の も の に な る.た し て も よ い.便

際-P(x,y)=f(x,y),

だ し,必

Q(x,y)=1と

ず し も こ の よ う に み な す 必 要 は な く別 の と り方 を

宜 上,式(2.23)は

分 母 を払 っ た

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 

の 形 に 書 か れ る こ と が あ る が,式(2.23)と さ て,あ

る 関 数f(x,y)の

考 え れ ば 式(2.1)

(2.24)

式(2.24)は

同 じ方 程 式 を 表 す .

全 微 分dfは

(2.25)

で あ る が,全 そ こ で,も

微 分 が ０の と き,す し式(2.24)の

な わ ちdf=0の

と き,関

数 ｆ は 定 数 で あ る.

関 数 Ｐ,Ｑ が

(2.26) を 満 足 し た と す る.こ

の と き,式(2.24)と

式(2.25)を

見 比 べ れ ばdf=0で

あ

るか ら f(x,y)=C 

(2.27)

が 成 り立 つ こ と が わ か る.   式(2.26)か

ら

(2.28) が 成 り立 つ.こ

の よ う な 場 合,式(2.24)を

完 全 微 分 方 程 式 と い う.上

の 条件 の

も とで

(2.29) が,方

程 式(2.24),し

任 意 定 数,ま

た が っ て 方 程 式(2.23)の

だ し,x0,y0は

ん 中 の 式 の 第 １項 は ｙ を 定 数 とみ な し て ｘ で 積 分 す る と 解 釈 す る

(ま ん 中 の 式 の 関 数 Ｑ の 中 が ｘ で は な くx0で   式(2.29)の

一 般 解 に な る.た

あ る こ と に 注 意).

区 間[x0,x]に

形 の 解 が 得 ら れ る の は 次 の 理 由 か ら で あ る.式(2.26)の

第 １式 を

お い て ｘ で積 分 す る と

(2.30) と な る.こ 式(2.30)を と式(2.26)の

こ でg(y)は

ｙ の 任 意 関 数 で あ り,ｘ で 積 分 した た め に 現 れ る(逆

ｘ で 微 分 す れ ば も と の 式 に も ど る).こ 第 ２式 を 用 い れ ば

す な わ ち,

と な る.ｙ

を 区 間[y0,y］

において積分す る と

に

れ を ｙ で 微 分 し て 式(2.28)

と な る た め,式(2.30)に   こ こ で,式(2.29)が よ う,式(2.29)をｘ

代 入 す れ ば 式(2.29)の 確 か に 方 程 式(2.23)の

形 に な る. 一般 解 に な っ て い る こ と を確 か め

で微 分 す れ ば ま ん 中 の 式 の 第 ２項 は ｙの み の 関 数 で あ る

か ら

と な る.ま

た ｙ で 微 分 す れ ば,式(2.28)を

と な る.し

た が っ て,

が 成 り立 つ.す

な わ ち,式(2.29)が

  同 様 に 考 え る と 式(2.29)の

考 慮 して

方 程 式(2.23)の

一 般 解 に な る.

代 わ りに

(2.31) も一 般 解 で あ る こ とが わ か る.

◇ 問2.7◇

  この こ とを 実 際 に確 か め よ.

  １階 微 分 方 程 式(2.23)(ま

た は 式(2.24))が

式(2.28)の

条 件 を 満 た す と き,完

全 微 分 方 程 式 と よ ば れ る.上

の 説 明 か らわ か る よ うに完 全 微 分 方 程 式 の 一 般 解

は 式(2.29)ま

与 え ら れ る.

た は 式(2.31)で

例 題2.9

【 解】   こ の方 程 式 は

(x2-2y)dx+(y2-2x)dy=0 と も書 け る.こ

の と き 式(2.24)か

ら

P(x,y)=x2-2y, Q(x,y)=y2-2x で あ り,

と な っ て 式(2.28)が (2.29)か

成 り立 つ た め 完 全 微 分 方 程 式 で あ る.し

た が っ て,式

ら

す な わ ち,

x3-6xy+y3=C が 一 般 解 と な る.   完 全 微 分 方 程 式 は 式(2.29),(2.30)を こ と が で き る.い

知 ら な くて も以 下 の よ う に し て 解 く

ま の 場 合,

で あ るか ら,こ の 式 を ｘ で 積 分 す る と

（ ａ） ヒな る.た

だ し,g（y） は ｙ の 任 意 関 数 で あ る.ｆ

すな わ ちy2-2xで

あるか ら

を ｙで 微 分 した もの が Ｑ

この 式 か らg(y)が

と な る.こ

定 まって

のg(y)を

式 （ ａ）に 代 入 し て,一

般 解 がf(x,y)=定

と を用 い れ ば

x3-6xy+y3=C と なる．

完全微分方程 式は関係式

な ど を 用 い て 解 く こ と も で き る.な

にdxを

お,こ

れ らの 関 係 式 は

掛 け れ ば 得 られ る.

例 題2.10

(2x-2y+cosx)dx+(4y-2x+siny)dy=0 【 解】   こ の方 程 式 は

(2x+cosx)dx+(4y+siny)dy-2(ydx+xdy) =dx2+dsinx+2dy2-dcosy-2d(xy) =d(x2+sinx+2y2-cosy-2xy)=0 と変 形 で き る た め x2+sinx+2y2-cosy-2xy=C が 一 般 解 で あ る.

◇ 問2.8◇

  次 の完 全 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(１)

(２)(siny+ycosx)dx+(sinx+xcosy)dy=0

数であ る こ

2.6  積

分

因

微 分 方 程 式(2.24),す

子

なわち

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 は 任 意 の 関 数 Ｐ,Ｑ に 対 して 一 般 に は 式(2.28)を

満 足 し な い.し

か し,

(2.32) を満 た す 関 数 λ(x,y)が 見 つ か れ ば,微 分 方程 式 λ(x,y)P(x,y)dx+λ(x,y)Q(x,y)dy=0 

(2.33)

は完 全 微 分 方 程 式 に な り前 節 の方 法 で解 が 求 まる こ と に な る.こ の 関 数 λ(x,y) を積 分 因 子 と よん で い る. 例 題2.11

ydx-xdy=0 【 解 】 P=y,Q=-xで

あ る か ら,∂P/∂y=1,∂Q/∂x=-1と

上 の 方 程 式 は 完 全 微 分 形 で は な い.し

か し,両

辺 をy2で

な り, 割 った

を 考 え る と,

と な り,完 全 微 分 形 とな る.し た が っ て,こ の 方 程 式 の積 分 因子 は1/y2で あ る こ とが わ か る.   一 方,も

と な る が,こ

との 方 程 式 の 両 辺 をx2で

の場合 も

割ると

とな り,完 全 微 分 方 程 式 で あ る.こ の よ うに,あ

る微 分 方 程 式 に対 して積

分 因子 は １つ で は な い こ とが わ か る.   な お,こ

の完 全 微 分 方 程 式 を積 分 す れ ば も との 方 程 式 の 一 般 解 と して

が 求 ま る.

  関数 λ(x,y)が 微 分 方 程 式(2.24)に 対 す る積 分 因 子 に な る た め の条 件 を求 め て み よ う.式(2.32)を

展 開 す れ ば,こ の 条 件 は 関数 λ(x,y)に 対 す る １階 偏 微

分方程式

(2.34) に な る.し た が って,積

分 因子 を求 め る ため に は原 理 的 に は 上 の 偏 微 分 方 程 式

を解 け ば よ い.し か し,こ れ は一 般 に も との １階微 分 方 程 式 を解 く こ と よ り も 困 難 で あ り実 用 的 で は な い.し か し,Ｐ,Ｑ が 特 別 な形 を して い る場 合 に は偏 微 分 方 程 式 は容 易 に解 け て 積 分 因子 が 求 ま る.   い ま,積 分 因 子 λが ｘ の み の 関 数 で あ る と し よ う.こ の と き,

に 注 意 す れ ば,方 程 式(2.34)は

とな る.左 辺 は ｘ の み の 関 数 で あ るか ら,こ の よ う な場 合 に は 右 辺 も ｘの み の 関 数 で あ る必 要 が あ る.そ

こで 右 辺 をg(x)と 書 くこ と にす れ ば,こ の 方 程 式 は

変 数 分 離 形 の方 程 式 で あ り,そ れ を解 け ば積 分 因子 と し て λ(x)=e∫g（x）dx

が 得 られ る.   以 上 の こ と を ま とめ る と

が ｘ の み の 関 数 で あ れ ば,微 分 方 程 式(2．24)の １つ の 積 分 因子 は

(2.35) とな る.同 様 に考 えれ ば

が ｙの み の 関 数 で あ れ ば,微 分 方程 式(2.24)の

１つ の積 分 因 子 は

(2.36) と な る.

◇ 問2.9◇

  式(2.36)が

積 分 因 子 に な る 理 由 を 述 べ よ.

例 題2.12

【 解】   この方程 式(線 形微分 方程式)は

(p(x)y-q(x))dx+dy=0 と 書 く こ とが で き る.こ

と な り,ｘ

の 場 合P=p(x)y-q(x),Q=1で

の み の 関 数 と な る.し

た が っ て,積

あるか ら

分 因 子 の １つ は

λ(x)=e∫p（x）dx 

で あ る.こ

（ ａ）

の とき

e∫p（x）dx（p（x）y-q（x）

は完 全 微 分 方 程 式 に な る.そ

こ で,

）dx+e∫p（x）dxdy=0 

（ｂ）

を ｙ で積 分 す れ ば f（x,ｙ）=ye∫p（x）dx+A（x）

と な る(Ａ

はｘ の 任 意 関数).こ

式 （ ｂ）のdxの

 

（ ｃ）

の式 をｘ で微 分 した も の が 完 全 微 分 方 程

係 数 に等 しい か ら

と な る.   し た が っ て,

よ り A（x）=-∫q（x）e∫p（x）dxdx+C1

が 得 られ る.こ れ を式 （ ｃ）に代 入 してf(x,y)=定 で あ る.見 や す くす る た め に,得

数 と した もの が 一般 解

られ た式 を ｙ につ い て 解 け ば

y=e-∫p（x）dx（∫e∫p（x）dxq（x）dx+C） と な る.こ

れ は す で に 求 め た 式(2.19)と

一 致 す る.こ

の 例 か ら １階 線 形 微

分 方 程 式 は 積 分 因 子 （ａ）を も つ こ と が わ か る.

◇ 問2.10◇

 次 の 微 分 方 程 式 に対 して,積 分 因子 を 求 め た上 で,一 般 解 を 求

め よ.   （１）ydx-(x+y)dy=0, 

（２）(2x2-3xy)dx-x2dy=0

  方 程 式(2.24)は 形 に よ っ て は次 の例 題2.13に 示 す よ う に簡 単 に解 け る こ とが あ る.そ の 場 合,以   （ １）d(xy)=ydx+xdy, 

  （３)

下 の 関係 式 は 有 用 で あ る. （ ２）d(x2±y2)=2xdx±2ydy,

 (４)

 (５)

 (６)

例 題2.13

xdy-ydx-2y(x2+y2)dy=0 【解 】 両 辺 をx2+y2で

と な る.し

割 り,上

の 関 係 式(４)を

用い れば

た が っ て,

また は

と な る.

◇ 問2.11◇

 次 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ．

(１)(3x+y)dx+(3y+x)dy=0, 

2.7  非

正

規

(２)(y2

sin x+y)dx-xdy=0

形

本 節で は

とお くこ とにす る.非 正 規 形 の １階微 分 方 程 式 とは,微 分 方 程 式 がｘ,ｙ,ｐの 複 雑 な関 数 で,ｐ に つ い て 解 く こ とが で き な い場 合 を指 す.た 式 が 正 規 形 で あ って も,い ま まで 述 べ て きた 一 般 的 な方 法(求

とえ １階微 分 方 程 積 法)で

解 が求

ま る とは 限 らな い が,こ の こ とか ら も類 推 され る よ うに,非 正 規 形 の 方 程 式 も

特 殊 な場 合 を除 い て は解 は 求 ま ら な い.こ

こで は 一 般 的 な方 法 で 解 が 求 ま る特

殊 な非 正 規 形 の微 分 方 程 式 に つ い て議 論 す る.   ま ず,非 正 規 形 の 方 程 式 F(x,y,p)=0 

(2.37)

が ｐ につ い て 解 け ない が,ｘ に つ い て 解 け る場 合,す

なわ ち

x=f(y,p) 

の 場 合 を 考 え る.式(2.38)の

と な る.こ

(2.38)

両 辺 を ｙで 微 分 す る と

こで

に注 意 す れ ば,上

の微 分 方 程 式 は

(2.39) と書 き換 え られ る.こ の 微 分 方 程 式 は ｙ を独 立 変 数,ｐ を未 知 関 数 とす る正 規 形 の １階 微 分 方程 式 で あ る,   方 程 式(2.39)が 何 らか の 方 法 で 解 け て,任 意 定 数 Ｃ を含 ん だ一 般 解 z(y,p,C)=0 

が 求 ま っ た と す る.こ

の と き方 程 式(2.38),(2.40)か

方 程 式 の 一 般 解 が ｘ と ｙ の 関 数 と し て 求 ま る.ま ｘ と ｙ は 式(2.38)と(2.40)に

(2.40)

ら ｐ を 消 去 す れ ば,も

との

た ｐの 消 去 が 難 しい場 合 で も

よ り パ ラ メ ー タ ｐ を 介 し て 結 び つ い て い る と解 釈

す れ ば よ い.

例 題2.14 x=p2-y

【解 】 両 辺 を ｙで 微 分 す れ ば

す な わ ち,

と な る.こ れ は変 数 分 離 形 で

と な るが,左

辺は

と い う よ う に 積 分 で き る.し

た が っ て,

p2-2p+log（p+1）2-y=C

と な る た め,こ の 式 と も との 方 程 式

p2=x+y

の両 式 を,ｐ を介 した 関係 式 とみ な せ ば そ れ が 一般 解 と な る. 同 様 に 方 程 式(2.37)が

ｐ に つ い て 解 け な い が,ｙ

につ い て 解 け て

y=f(x,p) 

と な っ た と す る.こ

の 場 合 は 両 辺 を ｘ で 微 分 す れ ば,p=dy/dxで

(2.41)

あるか ら

す な わ ち,ｘ を独 立 変 数,ｐ を未 知 数 とす る 正 規 形 の 方 程 式

(2.42) が得 られ る.こ の 方 程 式 が 何 らか の 方 法 で 解 け て 一般 解 z(x,p,C)=0 

(2.43)

が 得 ら れ た とす る.こ

の と き,式(2.41)と(2.43)か

と の 方 程 式 の 一 般 解 に な る.ま (2.41)と(2.43)を

◇ 問2.12◇

た,前

ら ｐ を 消 去 し た も の が,も

と 同 様 に ｐ が 消 去 で き な い 場 合 に は,式

パ ラ メ ー タ ｐ を 介 した ｘ と ｙ の 関 数 と み な せ ば よ い.

 次 の 非 正 規 形 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(１)xp2=1, 

(２)y=p-p2

微分 方程式 y=xp+f(p) 

(2.44)

を ク レ ロ ー （Clairaut） の 微 分 方 程 式 と よ ぶ.こ に な っ て い る.し

た が っ て,上

の 方 程 式 は ｙ につ い て解 け た形

述 の 方 法 が 使 え る た め,両

辺 を ｘ で 微 分 す る.

そ の 結 果,

す な わ ち,

と な る.こ

の と き 次 の ２ つ の 可 能 性 が あ る.

  ま ず,dp/dx=0の

場 合 に はx=C(定

数)で

あ り,こ

れ を 式(2.44)に

代 入 し

て任 意 定 数 Ｃ を含 む一 般 解

y=Cx+f(C) 

(2.45)

が 得 ら れ る.   一 方,x+df/dp=0の

場 合 に は 式(2.44)を

考 慮 して

(2.46) をパ ラ メ ー タ ｐ を介 した ｘ と ｙの 関 係 式 とみ なせ ば任 意 定 数 を含 まな い 解 が 得 られ る.解(2.46)は

一般 解(2.45)の 任 意 定 数 に どの よ うな 値 を代 入 して も得 ら

れ な い た め 特 異 解 と よん で い る.こ の よ うに非 正 規 形 の方 程 式 は正 規 形 に は現 れ なか っ た特 異 解 を もつ こ とが あ る. 例 題2.15 y=xp+√1+p2

【解 】 ク レ ロ ー の 方 程 式 で あ る た め,両 辺 をxで 微 分 して

と な る.こ

れ よ り

前 者 か らx=Cが

求 ま る た め,そ れ を用 い て 一 般 解 y=Cx+√1+C2 

が 求 ま る.一

方,後

者 か らx=-p/√1+p2を

(a) 用 いて

(b) と な り,ｐ

を消 去 して

が 得 られ る.こ れ は 原 点 中心 の 半 径 １の 円 で あ るが,式(ｂ)か

らy＞0で

あ る た め 上 半 分 に な る.   な お,円

周 上 の 一 点(c,√1-c2)に

お け る 接 線 の 傾 き は-c/√1-c2で

あ る か ら,そ の 点 で の 接 線 の 方 程 式 は

で あ る.こ

の 方 程 式 はC=-c/√1-c2と

お けば

y=Cx+1+C2 と な る.こ 合,特

◇ 問2.13◇

れ は も との 方 程 式 の 一 般 解(ａ)に 一 致 す る.し

異 解 は 一 般 解(直

線 群)の

た が っ て,こ

の場

つ く る 包 絡 線 に な っ て い る こ と が わ か る.

 次 の ク レ ロ ー の微 分 方 程 式 の 一 般 解 と特 異 解 を求 め よ.

(１)

ク レ ロー の微 分 方 程 式 を一 般 化 した次 の形 の 方 程 式 y=xg（p）+f(p) 

を ラ グ ラ ン ジ ュ(Lagrange)の

微 分 方 程 式 とよぶ.こ

(2．47)

の場 合 もyに つ い て 解 か れ

た 形 を して い る た め 両 辺 をｘ で 微 分 す る と

と な る.し

た が っ て,

が 得 ら れ る.は

じ め にg(p)-p≠0の

とな る が,こ れ は ｐ を独 立 変 数,ｘ

場 合には上式 は

を未 知 関 数 とす る線 形 １階微 分 方 程 式 で あ

る ． この と き式(2.19)を 参 考 にす れ ば 次 の形 の 一般 解 を もつ.

こ の式 と式(2.47)か

ら ｐ を消 去 す れ ば(あ る い は 消 去 しな くて も ｐ を パ ラ メ ー

タ とみ なせ ば)任 意 定 数 Ｃ を含 ん だ ラ グ ラ ン ジュ の微 分 方 程 式 の 一 般 解 が 得 ら れ る.   次 にg(p)-p=0の

場 合,こ の 方 程 式 を満 足 す る ｐ をp0と す れ ば,式(2.47)

か ら特 解 ま た は 特 異 解

y=p0x+f(p0) が得 られ る. 例 題2.16 y=3xp+p2

【解 】 両 辺 を ｘ で微 分 して

す なわち

と な る.こ

こでp≠0な

らば 線 形微 分 方 程 式

を解 い て 一 般 解

が 求 まる.こ

の式 と も との 方 程 式 を,パ

ラ メー タ ｐ を介 した 関 係 式 とみ な

せ ば そ れ が 一 般 解 に な る.   ま たp=0の

場 合 に は も との 方程 式 か らy=0と

な る が,こ

れ はパ ラ

メー タ表 示 の 式 の特 別 な 場 合 とみ なせ る た め 一 般 解 の 中 に含 まれ る特 解 で あ る. ◇ 問2.14◇

 次 の ラ グ ラ ンジ ュ の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１)y=xp2-p, 

(２)y=x(1+p)-p2

章末 問題 [2.1]  次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ(変 (１) 

(２) 

数 分 離 形).

(３)

(４)

[2.2]  次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ(同 次 形 と そ の 変 形). (１) 

(２) 

(３)

(４)

[2.3]  次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ(線 形 と ベ ル ヌ ー イ の 微 分 方 程 式).

（１） 

(２) 

(３) 

(４)

[2.4]  次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ(完 全 形).

(１)(-5x+2y)dx+(2x+3y)dy=0, 

(２)(-x2+y2)dx+y(2x+y)dy=0,

(３) 

(４)

[ 2.5]  次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ(積 分 因 子).

(１)5ydx+2xdy=0, 

(２)(x2+y)dx-xdy=0, 

(３)ydx+（-x+y2

cos y）dy=0,

(４)(y-xy2)dx+(x+x2y)dy=0

[2.6]  次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 と特 異 解 を 求 め よ(非 正 規 形);p=dy/dx． (１) 

(２)y=xp+cos

(３) 

p, 

(４)

[2.7]

の 形 の微 分 方 程 式 は リ ッ カ チ(Riccati)の

微 分 方 程 式 と よ ば れ て い る.リ

ッカチの微

分 方 程 式 は 一 般 に 本 章 で 述 べ た 求 積 法 で は 解 が 求 ま らな い が,１ つ の 特 解 ω が 求 ま れ ばy=w+uと

お く こ と に よ り求 積 法 で 解 が 求 ま る.具 体 的 に こ の 手 続 き を行 う こ と

に よ り,上 の リ ッ カ チ の 方 程 式 が ｕ に 関 す る ベ ル ヌ ー イ の 方 程 式 に な る こ と を 示 せ. [2.8]  次 の リ ッ カチ の 方 程 式 を解 け(括

(１) 

弧 内 は １つ の 特 解).

(２)

[2.9]  p=dy/dxと

おい た と き

pn+A1(x,y)Pn-1+…+An-1(x,y)p＋An(x,y)=0

とい う微 分方 程式 が 因数分解 で きて (p-f1(x,y))(p-f2(x,y))…(p-fn(x,y))=0

とな っ た とす る.こ

の と き,１ 階 微 分 方 程 式

p=f1(x,y), 

p=f2(x,y), 

…, 

p=fn(x,y)

の一般 解 を

u1(x,y,C1)=0, 

と す れ ば,も

u2(x,y,C2)=0, 

…, 

un(x,y,Cn)=0

との微 分方程 式 の一般解 は u1(x,y,C1)u2(x,y,C2)…un(x,y,Cn)=0

と な る.こ

の こ と を利 用 して 次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１)x2p2+7xyp+6y2=0, 

(２)p3+(x-y)p2-xyp=0

３  ２階微分方程式   本 章 で は ２階 微 分 方 程 式 の解 法 につ い て 述 べ る．3.1節 で は １階微 分 方 程 式 に 直せ る特 殊 な場 合 を議 論 す る.こ

れ らの方 法 は よ り高 階 の微 分 方 程 式 の 階 数 を

下 げ る方 法 と して も用 い る こ とが で き る(4.1節

参 照).3.2節

で は定 数 係 数 の ２

階線 形 微 分 方 程 式 の 解 法 を述 べ る.定 数 係 数 の 線 形 微 分 方程 式 に は 記 号 法 と よ ば れ る統 一 的 な解 法 が あ り,２ 階 に限 らず 高 階 方 程 式 や 連 立 方 程 式 の場 合 で も 取 り扱 え る.た だ し記 号 法 につ い て は ５章 で 述べ る.3.3節

では定数係数 では な

いが 簡 単 な 置 き換 え に よ っ て定 数 係 数 に帰 着 す る オ イ ラ ー の微 分 方 程 式 を,ま た3.4節 で は定 数 係 数 で は ない 一 般 の 線 形 ２階 微 分 方 程 式 の 取 り扱 い に つ い て 議 論 す る.

3.1  1階 微 分 方 程 式 に帰 着 で き る場 合

①y,dy/dxを

含 まない場合

(3.1) 右 辺 にｙ,dy/dxが

とな る.も

な い た め,ｘ

で積 分 で き て

う一 度 積 分 す れ ば

と な る.

◇ 問3.1◇

  次 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１)

②x,dy/dxを

含まない場合

(3.2) こ の 場 合 は 関係 式

に 着 目 して 式(3.2)の

両 辺 に2(dy/dx)を

掛 け て ｘ で 積 分 す る.こ

の とき

す な わ ち,

とな る.こ

れ は変 数 分 離 形 の １階微 分 方 程 式 な の で 積 分 で きて

(3.3) が 得 ら れ る.

例 題3.1

【 解 】 式(3.3)を

用 いれば

とな る.右 辺 の積 分 を計 算 す る た め に

y=√C1sintし

とお け ば

た が っ て dy=√Clcostdt

と な る.こ

の 式 か ら,一

般解

ｙ=C3

sin(x+C2)

が 得 ら れ る.

例 題3.2 質 点 の 運 動 を例 に してエ ネ ル ギ ー 保 存 則 を導 け. 【 解 】 一 直 線 上 を外 力 を受 け て 運 動 す る 質 量 ｍ の 質 点 を考 え る.た 外 力 は 質 点 の 位 置 の み の 関数 で あ る とす る.た

だ し,

と え ば,重 力 の も とで 自 由

落 下 す る物 体 や ば ね に く く りつ け られ た 物 体 の運 動 な どが この 場 合 に あ て は まる.時 刻ｔ に お け る 質 点 の位 置 をz（t）,その位 置 で の 外 力 をf（z） とす る.質 点 は ニ ュ ー トンの 運 動 方 程 式 （質 量 ）×（加 速 度 ）＝（力 ） に従 っ て 運 動 す る.加 速 度 は位 置 ｚ を使 っ てd2z/dt2と

と な る.い

ま,時

刻t0とｔ

と す る.こ

の 式 の 両 辺 にdz/dtを

表 せ るため

に お い て 質 点 の 位 置 が そ れ ぞ れz0と

て は こ れ に 対 応 す る 区 間[z0,z]で

掛 け て ｔに つ い て は 区 間[t0,t],ｚ

ｚで あ る につ い

１回 積 分 す れ ば

左 辺=

右 辺= と な る.た

だ しv=dz/dtで

あ り,質

点 の 速 度 を 表 す.左

辺 ＝右辺か ら

が 得 られ る.こ の 場 合,左 辺 第 １項 は 質 点 の運 動 エ ネ ル ギ ー,第

２項 は負

の 符 号 を含 め て位 置 エ ネ ル ギ ー(質 点 が 運 動 に よ りな す 仕 事)を 表 す.ま た右 辺 は定 数 で あ る.し た が っ て,時 間 に よ らず （運 動 エ ネ ル ギ ー ）＋ （ 位 置 エ ネ ル ギ ー ）＝ 一 定 で あ る こ とが わ か る.こ の 法 則 を力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保存 則 と よぶ. ◇ 問3.2◇

 次 の微 分 方 程 式 の 一般 解 を求 め よ.

③ｘ,ｙ を含 まない場合

(3.4) こ の場 合 は,p=dy/dxと

お け ば ｐ に 関 す る １階微 分 方 程 式

と な る.こ の 方 程 式 は変 数 分 離 形 で あ る た め

と な り,積

分 する ことによ り

の 形 の 解 が 得 られ る.そ

が 得 ら れ る.

こ で も う一 度 積 分 す れ ば 一般 解

例 題3.3

【 解 】dy/dx=pと

と な る が,こ

おけば

れは変数分離形で あるため

と書 け る.積 分 を実 行 す れ ば

と な り,pに

つ いて解け ば

この 式 の両 辺 を積 分 す れ ば(右 辺 の 積 分 はt=exと

お け ば実 行 で き る)

y=x+C2-log￨1-C1e2x￨

◇ 問3.3◇

 次 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(2)

(1) ④yを 含 まない場合

(3.5) こ の 場 合 もp=dy/dxと

と な り,pに

お けば

関 す る1階 微 分 方程 式 を解 くこ と に帰 着 す る.こ の 方 程 式 の 一 般

解 が 求 ま って,

の形 で得 られ る場 合 に は,も

う一 度 積 分 して 一 般 解

が 得 ら れ る. 例題3.4

【解 】dy/dx=pと

お けば

これ は線 形 微 分 方程 式 で あ る.定 数 変 化 法 を用 い て解 くた め に右 辺 を ０ と した 方 程 式 を解 く と,

次 に こ の解 のＡ を変 数 と して も との 線 形 方 程 式 に代 入 す れ ば

し た が っ て,

も う一度 積 分 して

◇ 問3.4◇

 次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１)

(２)

⑤ｘ を含 まない場合

(3.6)

こ の 場 合 も,p=dy/dxと

お く． こ の と き

に 注 意 す れ ば,式(3.6)は

と な る.ｙ を独 立 変 数,ｐ を未 知 関 数 とみ なせ ば上 式 は ｐ に 関す る １階微 分 方 程 式 と な る． した が っ て,こ の 方 程 式 を何 ら か の 方 法 で 解 い て 得 られ た一 般 解 を

とす れ ば,も

と の方 程 式 の 一 般 解 は

と な る.

例 題3.5

【解 】dy/dx=pと

と な る(p=0と

と な り,も

◇ 問3.5◇ (１) 

お け ば もと の 方程 式 は

い う 解 も あ る が,そ

の 場 合 はy=c).積

う一 度 積 分 して

 次 の微 分 方 程 式 の 一般 解 を求 め よ. (２)

分す れば

3.2  定数 係 数 ２階線 形 微 分 方 程 式

定 数 係 数 ２階 線 形 微 分 方 程 式 はａ,ｂ,ｃを実 定 数 と して

(3.7) で 表 され る.こ こで右 辺 の 関 数f(x)が

０の場 合 は 同次 形(同 次 方程 式),f(x)≠0

の 場 合 を非 同 次 形(非

よ ん で 区 別 す る.本 節 で は は じめ に 同次

同 次 方 程 式)と

方程式

(3.8) に つ い て 考 え る.   式(3.8)の

１つ の 特 解 と し て

(3.9) を 仮 定 し て み よ う.

に 注 意 して,式(3.9)を

式(3.8)に

代 入すれば

(αλ2+bλ+c)eλx=0 と な る.こ

こ でeλx＞0で

あ る か ら,λ

の 満 たす べ き方程 式 と して

αλ2+bλ+c=0 

(3.10)

が 得 ら れ る.こ の 方 程 式 を特 性 方 程 式 と よぶ.   特 性 方程 式 は ２次 方程 式 な の で,簡 単 に解 くこ とが で き る.そ

して 得 られ た

解 を式(3.9)に 代 入 す れ ば微 分 方 程 式(3.8)の 特 解 が 求 ま る.２ 次 方 程 式(3.10) の係 数 か らつ くっ た 判 別 式 D=b2-4ac

の正 負 に よ り,そ の解 が 以 下 の ３つ の場 合 に 分 類 され る.  ①D＞0の

と き方 程 式(3.10)は

異 な る ２実 根 を もつ

 ②D＜0の

と き方 程 式(3.10)は

共 役 ２複 素 根 を もつ

 ③D=0の

と き方 程 式(3.10)は

重 根 を もつ

  この 中で③ の 場 合 を除 き,２ つ の異 な る特 解 が得 られ るが,そ れ ら をy1,y2と おけば y=Cly1+C2y2(Cl,C2:任

意 定 数) 

も微 分 方 程 式 の 解 と な る． な ぜ な ら 式(3.11)を

式(3.8)に

(3.11)

代 入 し てy1,y2が

式

(3.8)の 解 で あ る こ と を 用 い れ ば

と な るか らで あ る.式(3.11)は

２つ の任 意 定 数 を含 んで い るた め 一 般 解 で あ る.

③ に つ い て は解 は １つ しか な い た め,も

う １つ の 解 を見 つ け る必 要 が あ る が,

そ の 求 め 方 に つ い て は後 述 す る． 以 下 に そ れ ぞ れ の場 合 につ い て も う少 し詳 し く調 べ る.   ①D=b2-4ac＞0の

場合

  こ の場 合 は ２実 根 を もつ た め,そ

と な る.一

れ ら を λ1,λ2と す れ ば

般解 は y=C1eλ1x+C2eλ2x 

で あ る.   ②D=b2-4ac＜0の

場合

  こ の 場 合 は 共 役 ２複 素 根 λ1=α+iβ, 

を もつ.こ

こで

で あ る． し た が っ て,一

般解 は

λ2=α-iβ

(3.12)

y=C3e(α+iβ)x+C4e(α-iβ)x=eαx(C3eiβx+C4e-iβx) =eαx(C3(cosβx+isinβx)+C4(cosβx-isinβx)) =eαx(i(C3-C4)sinβx+（C3+C4）cosβx)

と な る.た

だ し,オ

イ ラ ー(Euler)の

公式

e±iθ=cosθ

を用 い た.ま

とめ る とD＜0の

±isin

θ

  (3.13)

と き,特 性 方 程 式 の 共 役 複 素 根 を α±iβ とす

れ ば,一 般解 は y=eαx(C1

sinβx+C2

cosβx) 

(3.14)

と な る.   ③D=b2-4αc=0の

場合

  こ の 場 合 は 重 根 λ=-b/2aを

と な る.も

も つ た め,１

つ の解 は

う １つ の 解 を 求 め る た め

(3.15) と お い て,式(3.8)に

よ り,式(3.8)の

代 入 す る.

左 辺 は

(3.16) とな る が,は

じめ の括 弧 内 は

で あ り,２ 番 目 の 括 弧 内 もy1が た が っ て,d2u/dx2=0と (3.15)に 代 入 す れ ば,も

方 程 式(3.8)の

解 で あ る こ と か ら ０ で あ る.し

な る た め １つ の 解 と し てu=xが

求 ま る.こ

れ を式

と の 方 程 式 の も う １つ の 特 解 は

で あ る こ とが わ か る.以 上 の こ とか らD=0の

場 合の一般解 は

(3.17) と な る.

例 題3.6 (２)

(１)

(３)

【 解 】(１)特 性 方程 式 は λ2-λ-6=(λ-3)(λ+2)=0 と な る.こ

の 方 程 式 の 解 は λ=3,-2で

あ るか ら

y=C1e3x+C2e-2x

(２)特性 方 程 式 は λ2-4λ+4=(λ-2)2=0

とな る.こ の 方 程 式 の 解 は λ=2(重

根)で

あるか ら

y=（C1+C2x)e2x

(３)特性 方程 式 は λ2-2λ+10=0 と な る.こ

の 方 程 式 の 解 は λ=1+3i,1-3iで

あるか ら

y=C3e（1+3i)x+C4e(1-3i)x=ex((C3+C4)cos3x+i(C3-C4)sin3x)

=ex(C1sin3x+C2cos3x) ◇ 問3.6◇

  次 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(１) 

(２)

(３)

  次 に非 同 次 方 程 式(3.7)の 一 般 解 を求 め て み よ う.   具 体 的 な 方 法 を示 す 前 に,非 同次 方 程 式 の 一般 解 は 同 次 方 程 式 の 一 般 解(3.11) に非 同次 方 程 式 の １つ の特 解ypを 加 え た もの y=C1y1+C2y2+yp 

(3.18)

で 表 せ る こ とに注 意 す る.実 際,yg=C1y1+C2y2は

同 次 方 程 式 の 一般 解,yp

は 非 同次 方程 式 の 特 解 な の で

が 成 り立 つ が,こ

れ ら を足 し合 わ せ る と

と な り,式(3.18)が

式(3.7)の

定 数 を ２ つ 含 ん で い る た め,一

解 で あ る こ と が わ か る.し 般 解 で あ る.ま

か も 式(3.18)は

任 意

とめ る と

(非同 次 方 程 式 の 一般 解)＝ （ 同 次 方 程 式 の 一 般解)＋ （ 非 同次 方 程 式 の １つ の特 解)

(3.19) と な る.し

た が っ て,以

  こ の 場 合,同 y=uy1と y=uy1を *実

下 で は 非 同 次 方 程 式 の 特 解 の １つ を 求 め る こ と に す る .

次 方 程 式 の １つ の 特 解y1が

求 ま っ て い れ ば 式(3.15)の

ように

お く こ と に よ り非 同 次 方 程 式 の 解 を 求 め る こ と が で き る*.実 式(3.7)に

代 入 す れ ば,式(3.16)を

際,

参 照 して

は3．4節 で 述べ る よ う に この 方 法 は定 数 係 数 で は な い一 般 の線 形微 分 方 程 式 に も適 用 で きる .

(3.20) とな る.式(3.16)の

２番 目 の 括 弧 が 消 え て い るの はy1が

る か らで あ る.式(3.20)はdu/dx=pと

同次 方 程 式 の解 で あ

お け ば １階 線 形 微 分 方 程 式

(3.21) と な る た め,2.4節

で 述べた よ うに

と い う形 の 解 を もつ.こ

れ を も う一 度 積 分 す る と任 意 定 数 を ２つ 含 ん だ解 が得

ら れ る.非 同 次 方 程 式 の 一 般 解 は こ の解 にy1を 掛 けた も の で あ る.   こ こで 述 べ た方 法 は 原 理 的 な もの で,解 は 求 ま るが 必 ず し も計 算 は 簡 単 で は ない.実

際 に は 以 下 に示 す よ う に,式(3.7)の

右辺 のf(x)の

形 に よ っ て よ り簡

便 な方 法 を用 い る こ とが 多 い.   ①f(x)=（a0+a1x+…+anxn）eαx(α=0を

含 む)の 場 合

  α が 特 性 方程 式(3.10)の 根 と一 致 しな け れ ば y=（b0+b1x+…+bnxn）eαx 

(3.22)

とお く.   α が 特 性 方 程 式 の 根 と一 致 す る場 合 に は次 の よ う にす る.も

し特 性 方程 式 が

重根 を もた な け れ ば

と お き,も

と お く.こ

y=x(b0+b1x+…+bnxn)eαx 

(3.23)

y=x2(b0+b1x+…+bnxn)eαx 

(3.24)

つ場 合 には

れ ら の 式 を 方 程 式(3.7)に

b0,b1,…,bnを

代 入 し て,ｘ

決 め れ ば よ い.

例 題3.7 (１) 

(２)

の べ き を比 較 し て 未 知 の 係 数

【 解 】  (１)同次 方 程 式 の特 性 方 程 式 は λ2-3λ+2=(λ-1)(λ-2)=0

と な る.こ す る.そ

の 方 程 式 の 解 は λ=1,2で こ で 式(3.23)か

重 根 で は な い が,λ=1は

らy=b0xexと

α と一 致

お い て も と の 方 程 式 に 代 入 す る.

で あ る か ら,

2b0ex+b0xex-3(b0ex+b0xex)+2b0xex=-b0ex=ｅx

と な る． し た が っ て,b0=-1と

な り,も

との 方 程 式 の 一 般 解 は次 の よ う

に な る．

y=C1ex+C2e2x-xex (２)同次 方 程 式 の特 性 方 程 式 は λ2-4λ+4=(λ-2)2=0

と な る.こ

の 方 程 式 の 解 は λ=2で

が っ て,式(3.24)か

重 根 で あ り,ま

ら

y=x2(b0+b1x+b2x2)e2x=（b0x2+b1x3+b2x4)e2x

とお い て も との 方 程 式 に代 入 す る.そ の結 果

(2b0+6b1x+12b2x2)e2x=（1-x2）e2x

と な る た め,

が 得 ら れ る.し

た が っ て,一

般解 は

た α と 一 致 す る.し

た

と な る.

  ②f(x)=（a0+a1x+…+anxｎ

）eγxcosβx,ま

+alx+…+anxn）eγxsinβxの

こ の場 合f(x)は

た はf(x)=（a0

場合

オ イ ラ ー の公 式 に よ って f(x)=(a0+a1x+…+anxn)e（γ+iβ)x

の 実 数 部 ま た は 虚 数 部 と み な す こ と が で き る.そ と の 関 係 に よ っ て,特 し,COSの

解 を 式(3.22),(3.23)の

場 合 は 実 部 を,sinの

決 め れ ば よ い.た

こ で,特 性 方 程 式 の 根 と γ+iβ

形 に仮 定 して も との 方 程 式 に代 入

場 合 は 虚 部 を比 較 す る こ と に よ り未 定 の 係 数 を

だ し,式(3.22),(3.23)の

係 数 は 複 素 数 で あ る こ と に 注 意 す る.

例 題3.8

【 解 】 右 辺 は (1+2x)e（1+2i）x

の 実 部 で あ る.一 方,同

次 方 程 式 の特 性 方程 式 は λ2+1=0

で あ り,解

は ±ｉ と な り,α

と 一 致 し な い.そ

こ で,式(3.22)か

y=（b0+iC0+(b1+iC1)x)e(1+2i)x 

とお い て も と の方 程 式 に代 入 す る.そ の 結 果,

((-2+4i)(b0+ic0)+2(1+2i)(b1+ic1) +（-2+4i）(ｂ1+ic1)x)e（1+2i）x=(1+2x)e（1+2i）x

す なわち

ら

(ａ)

-2b0-4c0+2(b1-2c1)+i(4b0-2c0+2(cl+2b1)) +((-2b1-4c1)+i(4b1-2c1))x=1+2x とな る.し た が ってｘ の 係 数 を比 較 して -2b1-4c1=2

と な り,b1=-1/5,

,  4b1-2c1=0

c1=-2/5,さ

と な る た め,b0=17/50,

ら に定 数項 を比 較 して

C0=-3/25が

得 ら れ る.こ

れ ら を 式(ａ)に 代 入

す れば

と な る た め,こ

の式 の 実 部 を とっ て 特 解 と して

(ｂ)

が 得 られ る.   した が っ て， 一 般 解 は y=Cl と な る.た

だ しypは

式(ｂ)で

cos x-C2

sin x+yp

あ る.

  ③f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fm(x)でf1(x),f2(x),…,fm(x) が① ま た は② の 場 合   こ の 場 合 はf(x)の y1,y2,…,ymを

代 わ り にf1(x),f2(x),…,fm(x)と

求 め る.こ

の と き も との 方 程 式 の特 解 は y=y1+y2+…+ym

と な る.

◇ 問3.7◇

  次 の 定 数 係 数 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

した 方 程 式 の 特 解

(２)

(１) 

3.3  オ イ ラー の 微 分 方程 式

ａ ,ｂ,ｃを 実 定 数 と し た と き,微

分方程式

(3.25) をオ イ ラ ーの 微 分 方 程 式 とい う*.こ の微 分 方 程 式 は 次 の独 立 変 数 の 変 換

x=et(t=logx)

(3.26)

に よ って 定 数 係 数 の 微 分 方 程 式 に帰 着 す る.実 際,変

換(3.26)に

より

とな る た め,こ れ らを 式(3.25)に 代 入 す れ ば 定 数 係 数微 分 方 程 式

(3.27) が得 られ る.   オ イ ラー の 微 分 方 程 式 を解 く場 合 に は,上 述 の とお り定 数 係 数 の微 分 方 程 式 に変 換 して 解 け ば よ い.し か し,右 辺 が ０の 同 次 方 程 式 の 一 般 解 を求 め る場 合 に は,定 数係 数 の 方程 式(3.27)で は解 をy=eλtと y=eλt=（et）

お く こ と に対 応 して

λ=xλ

とお い て λ を決 め て も よ い.非 同 次 方 程 式 の場 合 に は,何

らか の 方 法 で １つ の

特 解 を見 つ け,同 次 方 程 式 の 一般 解 に足 し合 わ せ れ ば よい. * 一般 に次 の形 のｎ 階微 分方程式

(3.28) も オ イ ラー の 微 分 方 程 式 と よ ぶが,こ 形 で き る.

の 場 合 も変 換(3.26)に

よ りｎ 階 の定 数 係 数線 形微 分 方 程 式 に 変

例 題3.9 (１) 

（２）

【解 】  ど ち ら の 場 合 もy=xλ

と お き,も

と の 方 程 式 に 代 入 す る.

こ の と きxdy/dx=λxλ,x2d2y/dx2=λ(λ-1)xλ

で あ る か ら次 の よ う

に な る. (１)(λ(λ-1)-3λ+3)￠ し た が っ て,一

λ=(λ-1)(λ-3)xλ=0か

般 解 はC1,C2を

ら λ=1,3と

y=

Clx十C2x3

(２)(λ(λ-1)-3λ+4)xλ=(λ-2)2xλ=0か

ら λ=2(重

定 数 係 数 の 方 程 式 で 重 根 の 場 合 に は も う １つ の 解 がteλtで 応 して,xλlogxと

な る.し

な る.

任 意 定 数 と して

た が っ て,こ

根)と

な る.

あ っ た こ と に対

の場 合 の 一 般 解 は

y=C1x2+C2x2logx 上 の例 で は現 れ な か った が,λ に 関 す る ２次 方 程 式 が 複 素 根 α±iβ を もつ こ と もあ る.こ の と き形 式 的 に は 複 素 数 指 数 の べ き関 数 xα+iβ, xα-iβ

が 現 れ る.そ の場 合 に は xα±iβ=xαe±iβlogx=xα

（cosβlogx)±sin（βlogx)) 

(3

.29)

と解 釈 す れ ば よ い. ◇ 問3.8◇

  次 の オ イ ラー の 微 分 方 程 式 の一 般 解 を求 め よ.

(１) 

(２)

3.4  ２階線 形 微 分 方 程式

  本 節 で 取 り上 げ る変 数 係 数 の ２階線 形 微 分 方 程 式 とは式(3.7)に お い て,ａ,ｂ,ｃ が 定 数 で は な くて,ｘ の 関 数 で あ る場 合 を指 す.本 節 で は一 般 形 と して,式(3.7)

の 両 辺 をａ で 割 っ た 形 の

(3.30) を用 い る.定 数 係 数 の場 合 と同 じ く式(3.30)に お い てr(x)=0の 形,r(x)≠0の

場 合 を 同次

場 合 を非 同 次 形 と よん で 区 別 す る．

  まず は じめ に ２つ の 関 数 の １次 独 立 性 とい う こ と に つ い て 説 明す る.い 意 の ２つ の 関 数y1(x)とy2(x)の

間に関係式

Cly1(x)+C2y2(x)=0 

が あ る と す る.こ ら れ る 場 合,２

ま任

(3.31)

の 関 係 式 が 恒 等 的 に 成 り立 つ の がC1=C2=0の

つ の 関 数y1(x)とy2(x)は

場合 に限

１次 独 立 で あ る と い う.ま

た １次 独

立 で な い 場 合 を １次 従 属 と よ ぶ.   い ま,２ つ の 関 数y1,y2か

ら次 の行 列 式

(3.32) を 定 義 す る.こ

の 行 列 式 を ロ ン ス キ(Wronski)の

行 列式 または ロンスキア ンと

よ ぶ.

で あ るか ら,も

しy2がy1の

定 数 倍(す

な わ ち, y1とy2が

１次 従 属)で

あれ

ば ロ ンス キ ア ンは ０に な る こ とが わか る.こ の 対 偶 か ら ロ ンス キ ア ンが ０で な け れ ばy1とy2は

１次 独 立 で あ る とい え る が,こ

の事 実 は ２つ の 関 数 が １次 独

立 か ど う か の 判 別 に用 い られ る.な お,２ つ の 関 数 が １次 独 立 で あ っ て もロ ン ス キ ア ンが ０ に な る場 合 もあ る.   方程 式(3.30)に 対 す る 同次 方 程 式

(3.33) の ２つ の 特 解 をy1,y2と

す る.こ

の と き,も

を計 算 し て そ れ が ０ で な け れ ば,y1とy2は に し て 示 せ る.

しあ る １点 ｘ で ロ ン ス キ ア ン の 値 １次 独 立 で あ る こ と が 以 下 の よ う

関 数y1とy2は

が 成 り立 つ.し

式(3.33)の

解で あるか ら

たが って

とな る.こ の 式 を積 分 す れ ば W=Ce-∫p(x)dx 

と な る.こ の 式 はC≠0で

(3.34)

あ れ ば Ｗ は ０に な ら ない こ とを 意 味 して い る.Ｃ

の 値 は あ る １点 で の ｘの 値 か ら式(3.34)に よ り計 算 で きるが,そ の 点 でW≠0 な らばC≠0で W≠0で

あ る.し た が っ て,そ の よ うな場 合 には い か な る ｘ に対 して も

あ る た め,関 数y1とy2は

１次 独 立 で あ る.

  こ の よ うに あ る １点 に お い て ロ ンス キ ア ンを計 算 す る こ と に よ り関 数 の独 立 性 が確 か め られ る.そ

して,同 次 方 程 式(3.33)の

１次 独 立 な ２つ の特 解 をy1と

y2と した場 合,定 数 係 数 の 場 合 と同 様 に 方 程 式(3.33)の 一 般 解 はC1とC2を 任 意 定 数 と して y=Cly1+C2y2 

(3.35)

で表 され る. ◇ 問3.9◇

  3.2節 で 求 め た 同 次 方 程 式 の ２つ の特 解 は １次 独 立 に な っ てい る こ

と を確 か め よ.   定数 係 数 の場 合 と同様 に,変 数係 数 の 場 合 も同 次 方 程 式 の解 を(少 な く と も １ つ)求

め る こ とが 最 も重 要 に な る.な ぜ な ら以 下 に示 す よ う に 同 次 方 程 式 の 特

解 が １つ 求 ま れ ば,非

同次 方 程 式 の 一 般 解 を求 め る こ とが 容 易 に な る か らで あ

る.そ の 意 味 で 同次 方程 式 の 解 の こ と を基 本 解 と よぶ こ とが あ る.た だ し,定 数 係 数 の場 合 と異 な り変 数 係 数 の 同次 方程 式 を解 く一 般 的 な方 法 は存 在 しな い. ま た,非 同 次 方 程 式 の特 解 は 同 次 方 程 式 の 解 を 求 め る の に は役 に立 た な い こ と に注 意 すべ きで あ る．   以 下 に 同 次 方 程 式(3.33)の 解 が わ か っ て い る場 合 に非 同次 方 程 式(3.30)の 一 般 解 を求 め る 方 法 を述 べ る.   ① 同 次 方 程 式 の 特 解 が １つ 求 ま って い る場 合   特 解 をy1と

す る.こ の場 合 は,定

数係 数 の 場 合 と同 様 に

y=u(x)y1(x) と 仮 定 し て 式(3.30)に

代 入 す る.こ

の と き式(3.16)を

導 い た の と ま った く同様

の 手 続 きで

と な るが,左 辺 の ２番 目の括 弧 内 は ０で あ る.さ

ら にdu/dx=vと

おけば上式

はｖ に 関す る 線 形 １階微 分 方程 式

(3.36) と な り,2.4節

で 述 べ た 方 法 で 解 く こ と が で き る． こ こ で 用 い た 方 法 は ダ ラ ン

ベ ー ル(d'Alembert)の

階 数 降 下 法 と よ ば れ る .こ

階 線 形 微 分 方 程 式 をn-1階

の 方 法 を用 い れ ば 一般 に ｎ

線 形 微 分 方 程 式 に 直 す こ と が で き る.

例 題3.10

【解 】 y=xが y=xuと

右 辺 を ０ と お い た 同 次 方 程 式 の １つ の 特 解 で あ る.そ

お い て,も

で あ る か ら,

と の 方 程 式 に 代 入 す る.

こで

と な る.v=du/dxと

お け ば,線

が 得 ら れ る.式(2.18)を

とな る.こ

形 １階 微 分 方 程 式

用 い て一 般 解 を求 め れ ば

の式 を積 分 す れ ば

と な る た め,一

般 解 と して

が 求 ま る.

 ② 同次方程 式の特解 が ２つ求 まっている場合   同次 方 程 式 の 一 般 解 は 式(3.35)で 与 え られ るが,非 同 次 の方 程 式 の 解 を求 め る た め に線 形 １階 方 程 式 の 解 法 で用 い た 定 数 変 化 法 を拡 張 して み よ う.す ち,式(3.35)の

定 数C1,C2を

ｘ の 関数A1(x),A2(x)と

なわ

み な し,非 同次 方程 式

の解 を y=A1(x)y1(x)+A2(x)y2(x) 

と 仮 定 す る.こ

（3.37）

の とき

(3.38) と な る が,こ

こ でAl,A2に

関 す る 新 た な条 件

(3.39) を課 す こ と にす る.こ の 条 件 の も とで 式(3.38)を

も う一 度 微 分 す れ ば

(3.40) と な る.式(3.37)∼

（3.40） を 式(3.30)に

と な る が,y1,y2が

方 程 式(3.30)の

代 入 す れ ば

解 で あ る か ら,上

式 は

(3.41) と 簡 単 化 さ れ る.式(3.39),(3.41)をdA1/dx, な し てdA1/dx,

と な る.こ

dA2/dxに

こ でW[y1,y2]は

dA2/dxに

対 す る連 立 方程 式 とみ

つ い て 解 け ば,

式(3.32)で

定 義 した ロ ン ス キ ア ン で あ り,y1,y2が

基 本 解 で あ る こ と か ら ０ に は な ら な い.上

の 方 程 式 を 積 分 す れ ば,

が得 られ る.こ の式 を式(3.37)に 代 入 す れ ば,非

同次 方程 式 の 一 般 解 と して

(3.42) が 得 ら れ る. 例 題3.11

【解 】 まず,右 辺 を ０ と した 同 次 方 程 式 を解 く.こ れ は オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式で あるか ら y=xλ

とお い て 代 入 す る.そ の 結 果

(λ2-3λ+2)xλ=0

と な る た め,λ=1,2と

な り,一

般 解

y=Alx+A2x2  が 得 ら れ る.こ

こ で 上 式 をA1,A2を

(ａ)

ｘの 関 数 とみ な して 微 分 す る と

(ｂ) と な る が,条

件

(ｃ) を 課 して,式(ｂ)を

も う一 度 微 分 す る． そ の 結 果,

(d) と な る.式

（ ａ）∼ （ ｄ）を も との微 分 方 程 式 に代 入 す れ ば

(e) と な る.式

（ｃ）,（ｅ）か ら

が 得 られ る た め,こ

の方 程 式 を解 い て

A1=-(x-1)ex+C1, と な る.し

た が っ て,こ

A2=ex+C2

の 関 係 を式 （ａ）に 代 入 す れ ば,一

般解

y=Clx+C2x2+xex が 求 ま る.

◇ 問3.10◇

  次 の微 分 方 程 式 の一 般 解 を,括 弧 内 に示 した 同 次 方 程 式 の １つ ま

た は ２つ の特 解 を利 用 して求 め よ. (１)

(１）

(２)

 ２階 の 変 数 係 数 線 形微 分 方 程 式 は物 理 学 や工 学 で は しば しば 現 れ る た め,そ れ を解 くこ とは 非常 に重 要 に な る.こ の と き,上 述 の よ う に 同次 方 程 式 の 解 を 求 め る こ とが 実 用 上 非 常 に大 切 で あ る.そ の うち２,３の代 表 的 な 方 程 式 に つ い て は 第６ 章 で述 べ る こ とに す る.

章末 問題 ［ 3.1］ 次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１）

(２)

（４ )

(３)

［ 3.2］ 次 の 定 数 係 数 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

(２)

(３)

（４ )

［ 3.3］ 次 の オ イ ラ ー の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

(１) 

(２)

［3.4］  同 次 方 程 式 の １つ の 特 解(括 求 め よ.

(１)

(２)

弧 内)を

用 い て,次

の線形微 分 方程 式 の一般 解 を

４ 高階微分方程式 ・連立微分方程式 4.1 特殊な形の高階微分方程式   高 階 微 分 方 程 式 を 解 く場 合 に は,ま ず微 分 方 程 式 の 階 数 を下 げ る こ と を考 え る の が ふ つ うで あ る.こ の 場 合,微 分 方程 式 が 特 殊 な形 を して い れ ば,す で に 3.1節 で 述 べ た ２階 微 分 方 程 式 を １階微 分 方 程 式 に書 き換 え る方 法 が そ の ま ま 使 え る.本 節 で は 主 に ｎ 階微 分 方 程 式 をn-1階

微 分 方 程 式 に 書 き換 え る方 法

を紹 介 す る.

① 積 分形 の場 合

(4.1) 両 辺 を １回 積 分 して

も う １回積 分 す る と

と な る(A0,A1は

任 意 定 数).同

様 に 続 け る と, C0,C1,…,Cn-1を

意 定 数 と し て,

y=∬

… ∫f(x)dx…dxdx+Cn-1xn-1+…+C1x+C0

が 得 られ る.た ◇ 問4.1◇

だ し右 辺 の積 分 は ｎ 回行 う もの とす る．

 次 の微 分 方 程 式 の 一般 解 を求 め よ.

適 当 な任

②y(ｎ)がy(n-2)の

関数の場 合

(4.2) こ の 方 程 式 は,dn-2y/dxn-2=pと

と な る.一 る.そ

方,上

おけば

の 方 程 式 は ２ 階 微 分 方 程 式 で あ り,3.1節

の 解 をp=F(x,C1,C2)と

と な る た め,①

で述べ た方法で解 け

すれ ば

の 方 法 に 従 っ てn-2回

積 分 す れ ば よ い.

例 題4.1

【解 】 d2y/dx2=pと

お けば

とな り,こ の 方 程 式 を解 け ば

と な る(最 終 結 果 が 簡 単 に な る よ う に任 意 定 数 を選 ん で い る).こ 回 積 分 して y=C1 ◇ 問4.2◇

sin 2x+C2

cos 2x+C3x+C4

 次 の微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ．

の式 を ２

③ｋ が １以上の整数 の場合

(4.3) この 方 程 式 はp=dky/dxkと

と な る た め,n-k階

お けば

微 分 方 程 式 に な る.

例 題4.2

【解 】 d2y/dx2=pと

お け ば １階 微 分 方 程 式

に な る.こ

れ は 変 数 分 離 形 で あ り,解 は

で あ り,さ

ら に ２回 積 分 して

y=C1x3+C2x+C3 ◇ 問4.3◇

  次 の微 分 方 程 式 の一 般 解 を求 め よ.

④ｘ を含ま ない場 合

(4.4) こ の 場 合 に は,p=dy/dxと こ の と き,

お い て,ｙ

を 独 立 変 数,ｐ

を 従 属 変 数 と み な す.

と な る か ら,こ

れ ら の 関 係 を 式(4.4)に

代 入 す れ ば,n-1階

方程 式

が 得 ら れ る.

例 題4.3

【解 】 独 立 変 数ｘ を 含 ま な い た め,p=dy/dxと に 注 意 す れ ば,１

お く.d2y/dx2=pdp/dy

階 微 分 方程 式

が 得 られ る.こ の 方 程 式 は 変 数 分 離 形 で あ り,解 は

と な る.こ

の式 か ら

と な るが,こ

れ も変 数 分 離 形 で あ り,そ の 解 は

と な る． こ の式 か ら y=±

◇ 問4.4◇

√x2+C1x+C2

  次 の微 分 方 程 式 の 一 般解 を求 め よ．

⑤ｙ について同次関数の場合

(4.5) に お い て,関 数 Ｆ が

とい う置 き換 え を行 っ た と き に

とい う関 係 を満 たす と し よ う.こ の と き,Ｆ はｙ につ い て(ｍ

次 の)同 次 関 数

で あ る と よ ば れ る.   Ｆ が ｙ につ い て 同 次 関 数 の 場 合 に は従 属 変 数 の 変 換 y=ez 

を行 う と③ でk=1の

場 合 に 帰 着 す る.な ぜ な ら,

で あ る か ら,こ れ らの 関係 を式(4.5)に 代 入 す れ ば

(4.6)

と な る.こ の 方 程 式 を整 理 す れ ば

とい う形 に な る た め,従 属 変 数 ｚが 陽 に含 まれ な い 形 に な る. 例 題4.4

【 解】   この 方 程 式 はdu/dx=yと

とな る た め,こ

と な り,λ2で

おけば

の方 程 式 を考 え る.ｙ の 代 わ りに λｙ を代 入 す る と

割 れ ば も と の 方 程 式 に も ど る.し

に 関 して 同 次 で あ る.そ

た が っ て,こ

こ で 従 属 変 数 の 変換y=ezを

の方程式 は ｙ

行 えば

す なわち

と な る.こ

の 方 程 式 はp=dｚ/dxと

と な る.そ

こ でq=p1-2=p-1と

に変 換 され て,解

と して

お け ば ベ ル ヌ ー イ の方 程 式

い う変 換 を行 え ば 線 形 微 分 方程 式

q=C1x3-x が 求 ま る.し

たが って

を積 分 して

と な る た め,

が 得 ら れ る.も

と の 方 程 式 の 解 は,こ

の た め に,s=√A1x2-1と

の 式 を も う 一 度 積 分 す れ ば よ い.そ

行 う と

と な る.

◇ 問4.5◇

 次 の 方程 式 が ｙ に つ い て 同次 で あ る こ とを 用 い て 解 け.

⑥ ｘ について同次関数の場 合 独 立変数 の変換 x→

μx

に よ り,微 係 数 は

と変 換 さ れ る.こ の 変 換 を行 った 場 合 に,関 数 Ｆ が

とい う関係 を満 たす とす る.こ の と き,関 数 Ｆ は ｘ につ い て 同次 関 数 で あ る と よば れ,独 立 変 数 の 変 換 x=et 

(4.7)

に よ り階 数 を下 げ る こ とが で きる.  実 際,

で あ る か ら,こ

とな る.こ

れ ら を も と の 微 分 方 程 式(4.5)に

代 入 して

の方程式 は

と変 形 で き るが,独

立 変 数 を陽 に含 ま な い た め,④

に帰 着 さ れ る.

例 題4.5

【解 】 こ の方 程 式 は例 題4.4の

なか で す で に取 り上 げ た が,ｘ に 関 して も

同 次 で あ る た め上 に 述 べ た方 法 が使 え る.こ の こ とは ｘ の代 わ りに μxを 代 入す る と

と な る こ と か ら わ か る.そ

こ でx=etと

お くと

よ り,

と な る.こ

こ でdy/dt=pと

おいて

を用 い て も との 方 程 式 を 変 形 す れ ば

と な る.こ

れ か ら

とな り,前 者 か らy=ｃ

で あ り,後 者 は １階 線 形 方 程 式 な の で 簡 単 に解

けて

と な る.こ の 方 程 式 は 変 数 分 離 形 で,解

と な る.t=log

とな る.な お,こ

xで

あ る た め,任

は

意 定 数 を適 当 に 選 べ ば

の 解 は任 意 定 数 の 表 現 は異 な る が 例 題4.4の

なかの ｙと

同 じで あ る こ と は容 易 に確 か め られ る． ◇問4.6◇

 次 の 方 程 式 が ｘ につ い て 同 次 で あ る こ と を用 い て解 け．

4.2  連 立 微 分 方程 式

  １つ の変 数 ｘ を独 立 変 数 とす るい くつ か の 未 知 関 数y1(x),…,yn(x)が

あ り,

そ れ らの 関 数 の 間 に導 関 数 を含 ん だ い くつ か の 関係 式 が あ る とす る.そ れ らの 関 係 式 を,未 知 関数 を決 め る方 程 式 とみ な した と き,連 立 微 分 方程 式 と よぶ.本 節 で は次 の形 の１ 階 の連 立微 分 方 程 式

(4.8)

を 考 え る.   簡 単 な 場 合 と し てn=2の

場 合,y1=y,y2=z,f1=f,f2=gと

書 くこ と

に す れ ば,式(4.8)は

(4.9) と な る.式(4.9)の

第 １式 をｘ で 微 分 す れ ば,

(4.10) と な る.た

だ し,式(4.9)を

用 い てdy/dx,dz/dxをｆ,ｇ

の 式 の 右 辺 はｘ,ｙ,ｚ の み の 関 数 で あ り,dz/dxを 式(4.9)の

で 置 き換 え て い る.こ 含 ん で い な い た め,こ

第 １式 か ら 原 理 的 に はｚ を 消 去 で き る.そ

微 分方程式

の 結 果,ｙ

の式 と

に 関 す る ２階 の

が 得 られ る.こ の ２階 方 程 式 を解 け ば,２ つ の 任 意 定 数 を含 ん だ 解

y=ψ1(x,C1,C2)

が 得 ら れ る.こ

の 解 を 式(4.9)の

第 １式 の 左 辺 に 代 入 し,そ

れ を ｚに つ い て 解

け ば, z=ψ2(x,C1,C2)

とい う形 の 解 が 得 られ る.こ の 場 合,積 分 を行 って い な い た め,ｙ に 現 れ た も の と同 じ任 意 定 数 が含 ま れ る こ と にな る.こ の よ う に方 程 式(4.9)は

２つ の任

意 定 数 を含 む解 を もつ. 例 題4.6 次 の 連 立 微 分 方 程 式 の 一般 解 を 求 め よ.

【解 】

式(4.10)でf=z/x,g=4y/xと

おけ ば

す な わ ち,

と な る.た

だ し,ｚ を 消 去 す る た め,連

立 方 程 式 の 第 １式 を 用 い て い る.こ

れ は オ イ ラ ー の 微 分 方 程 式 で あ る か ら,y=xλ

(λ(λ-1)+λ-4)xλ=0 し た が っ て,λ=±2で

とお い て

とな る.こ の 関 係 を ｙに 関 す る も との 微 分 方程 式 に代 入 して

◇ 問4.7◇

 次 の 連 立 微 分 方 程 式 の 一般 解 を求 め よ. (２)

(１)

  次 に連 立 ｎ 元 微 分 方 程 式(4.8)が

１つ の 従 属 変 数(未 知 関数)に

微 分 方 程 式 に書 き換 え る こ とが で き る こ と を示 す.式(4.8)の

対す る ｎ階

第 １式 を ｘ に 関

して微 分 す れ ば,

と な る.こ

の 式 の 右 辺 第 ３項 よ り後 のdy2/dx,…,dyn/dxの

第 ２式 以 下 の 式 の 右 辺 で 置 き 換 え れ ば,次

項 を,式(4.8)の

の 形 の ２ 階 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る.

この 式 を も う一 度ｘ で 微 分 す れ ば

とな る.こ の 式 の 右 辺 第 ４項 よ り後 のdy2/dxな を用 い て 書 き換 え れ ば

と な る.以 下 同 様 に続 け る と

どの項 を式(4.8)の 第 ２式 以 下

と な る.ま

とめ る と,以 上 の手 続 き に よ り関係 式

(4.11)

が 得 ら れ る.そ

こ で,式(4.8)の

第 １式 お よ び 式(4.11)に

合 わ せ た ｎ 個 の 式 か らy2,…,ynを

消 去 す れ ば, y1に

お け るn-1個

の式 を

関 す る ｎ 階微 分 方 程 式

(4.12) が 得 ら れ る.   式(4.12)は

一般解 y1=ψ1(x,C1,C2,…,Cn)

を も つ.こ

の 解 か らdy1/dx,d2y1/dx2,…,dny1/dxnを

入 す れ ば,導

関 数 を含 ま な いn-1個

求 め て,式(4.11)に

の 関 係 式 が 得 ら れ る.こ

代

れ ら をy2,…,yn

に つ い て 解 け ば 上 式 と 同 じ任 意 定 数 を 含 む

yi=ψi(x,Ci,C2,…,Cn) 

(i=2,…,n)

が 得 られ る.こ れ らが 連 立 方 程 式(4.8)の ｎ 個 の 任 意 定 数 を もつ 一 般 解 で あ る.   最 後 に,い

ま まで 述 べ た こ と と は逆 に ｎ階 微 分 方程 式

(4.13) が,ｎ

元 連 立 １階 微 分 方 程 式(4.8)の

形 に 書 き換 え ら れ る こ と を 示 す .い

ま,

(4.14) と お く.こ

の と き,dyn/dx=dny/dxn仰

で あ る か ら,式(4.13)は

(4.15)

と な る.ま

た 式(4.14)か

ら

(4.16)

で あ る.方 程 式(4.16)と(4.15)を

合 わ せ れ ば ｎ 元 １階 連 立 微 分 方 程 式 に な る.

 以 上 の こ とか ら高 階 微 分 方 程 式 と連 立 微 分 方 程 式 の 間 に は 密 接 な 関 係 が あ る こ とが わ か る.な お,定

数 係 数 の 高 階 微 分 方程 式 や 定 数 係 数 の 連 立 微 分 方 程 式

は比 較 的容 易 に解 くこ とが で きる.実 際 の解 き方 につ い て は 第 ５章 で 示 す.

4.3  ラ グ ラ ン ジ ュの 偏 微 分 方 程 式

連立微 分方程式 の応 用 と して次 の形 の偏微 分方程式

(4.17) を 取 り上 げ る.こ

こ でz(x,y)が

,ｙ,ｚ の 関 数 で あ る.こ

未 知 関 数 で あ り,Ａ,Ｂ,Ｃ

は 形 の 与 え ら れ たｘ

の 形 の偏 微 分 方程 式 を ラ グ ラ ン ジ ュ の偏 微 分 方 程 式 と

よ ぶ.   い ま,ｘ

と ｙ が パ ラ メ ー タ ｓ を 介 し て 関 係 づ け ら れ て い る と 考 え て*,  ｚ を ｓ

で微 分 す れ ば

と な る.こ

の 式 と式(4.17)を

比 較 す れ ば,

(4.18)

*  関 数z=x(x わ ち,ｘ

,y)は

と ｙ がx-y面

３ 次 元 空 間 でｘ,ｙ を与 え た 場 合 に,そ 上 を動 く と き,(x,y,z)は

して ｘ と ｙ が 結 び つ い て い る と き に は,ｘ z=z(x(s),y(s))もｓ

と ｙ はx-y面

の 関 数 と な り,点(x,y,z)は

れ に対 応 す るｚ

空 間 上 の 曲面 を描 く.一 方,パ

を指 定 す る.す

上 の １ つ の 曲 線 を表 す.こ

空 間上 の 曲線 を表 す.

な

ラ メ ー タｓ を 介 の よ う な場 合

が 成 り立 つ 場 合 に は 両 者 は 一 致 す る.た の 関 数 で あ る.Ａ

だ し,λ

が ０ で な い と き 式(4.18)の

は 恒 等 的 に は ０ で な いｘ,ｙ,ｚ

第 ２式 を 第 １式 で 割 れ ば

(4.19) と な り,同

様 に Ａ が ０ で な い と き 式(4.18)の

第 ３式 を 第 １式 で 割 れ ば

(4.20) ど な る. 式(4.19),(4.20)は

連 立 ２元 の １階 微 分 方 程 式 で あ る.そ

y=α(x,C1,C2), 

z=β(x,C1,C2) 

と い う形 の 解 が 得 られ る.こ れ らの 式 をC1,C2に C1=ξ(x,y,z), 

と な る.こ の と き,ラ

れ を解 け ば

(4.21)

ついて解 けば

C2=η(x,y,z)

グ ラ ン ジ ュ の偏 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は

η(x,y,z)=ψ(ξ(x,y,z))ま

た は

で 与 え ら れ る こ と が 知 ら れ て い る*.た

ψ(ξ(x,y,z),η

だ し,ψ,ψ

（x,y,z））=0 

(4.22)

は 任 意 関 数 で あ る.

例 題4.7

【解 】 式(4.18)は

と な り,こ

*  証 明 で は な い が

の式 か ら

,こ

の こ とが もっ と も ら しい こ と はC1とC2は

定 数 を関 連 づ け て,C2=ψ(C1)ま

た は ψ(Cl,C2)と

任 意 で な け れ ば な らな い とい う こ とか ら理 解 で き る.

任 意 定 数 で あ る た め,こ

書 い た と き,φ

れ らの

と ψ は特 定 の 関数 に は な らず

が 得 られ る.こ れ らの 式 は容 易 に積 分 で きて

と な る か ら,一

とな る(ψ ◇ 問4.8◇

般 解 は

は 任 意 関 数).

  上 の 例 題 で 得 られ た 解 が 実 際 に も との 偏 微 分 方 程 式 を満 足 す る こ

と を確 か め よ.   式(4.18)はｘ,ｙ,ｚ

に つ い て 対 等 な 形 を し て い る.そ

こ で 第 １式 と 第 ３式 を 第

２式 で 割 れ ば

(4.23) とな り,ま た 第 １式 と 第 ２式 を 第 ３式 で 割 れ ば

(4.24) と な る.こ

れ らの どの 方 程 式 を 解 い て も,上

形 の 解 が 得 ら れ る． し た が っ て,偏

と 同 様 の 議 論 か ら式(4.21)の

よう な

微 分 方 程 式 の 解 を 求 め る 場 合 に は 式(4.19),

(4.20)ま

た は 式(4.23),(4.24)の

な か で 最 も 簡 単 な も の を 選 ん で 解 け ば よ い.そ

こ で,こ

れ ら の 方 程 式 をｘ,ｙ,ｚ が 対 等 な

(4.25) の 形 に 書 い て お く と 便 利 で あ る.こ そ れ は 適 宜,式(4.19),(4.20)ま   な お,こ

の 方 程 式 は 補 助 方 程 式 と よ ば れ る.そ

た は 式(4.23),(4.24)を

表 す も の と 解 釈 す る.

れ ら の 式 で 分 母 が ０ で あ れ ば 分 子 も ０ と す る.た た が っ てz=定

して

と え ばC=0な

ばdz=0で

あ り,し

数 と な る.

◇ 問4.9◇ 

次 の ラ グ ラ ンジ ュ の 偏 微 分 方程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

ら

ラ グ ラ ン ジ ュの 偏 微 分 方程 式 は 一 般 的 に は

(4.26) の 形 を し て い る.こ

こ でf1,…,fn,ｇ

はx1,…,xn,ｕ

の 与 え ら れ た 関 数 ,ｕ は

未 知 関 数 で あ る.こ

の 方 程 式 は ２独 立 変 数 の 場 合 と 同 様 に,以

下 の よ うに して

解 く こ と が で き る.   す な わ ち,方

程 式(4.26)に

対 す る補 助 方 程 式

(4.27) を解 い て,ｎ 個 の独 立 な解

ξ1(x1,…,u)=C1,ξ2（x1,…,u）=C2,…,ξn(x1,…,u)=Cn 

を 求 め る.こ

の と き式(4.26)の

(4.28)

一般 解 は

ψ(ξ1,ξ2,…,ξn)=0 

(4.29)

で 与 え られ る.た だ しψ は任 意 関 数 で あ る.

4.4  全 微 分 方 程 式

本 節 で は2.6節 の 積 分 因子 の とこ ろ で 議 論 した 微 分 方 程 式 の 拡 張 で あ る f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz=0 

(4.30)

の 形 の 微 分 方程 式 を考 え る.こ の 形 の微 分 方 程 式 を全 微 分 方 程 式 と よぶ .い ま, 関 数 ｆ,ｇ,ｈが そ れ ぞ れ あ る関 数F(x,y,ｚ)のｘ,ｙ,ｚ

に 関 す る偏 導 関 数 に比 例 す

る と仮 定 しよ う.す な わ ち,

(4.31) が 成 り立 つ と しよ う.関 数 Ｆ の 全 微 分dFは

(4.32)

で あ る か ら,式(4.31)が

成 り立 つ 場 合 に は

f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz

と な る.し

た が っ て, F(x,y,z)=C 

(4.33)

が 解 とな る.た だ し,Ｃ は 任 意 定 数 で あ る.   以 上 の こ とか ら,全 微 分 方程 式 を解 くため に は この よ う な 関 数 μ(x,y,z)を 見 つ け れ ば よい こ と に な るが,関 係 式(4.31)を 満 たす 必 要 が あ る た め,常 能 とい うわ け で は な い.こ

に可

の 関係 を別 の 形 で表 現 して み よ う.

  式(4.31)の 第 １式 を ｙで 偏 微 分 す れ ば

と な る.さ

ら に 式(4.31)の

第 ２式 を ｘ で 偏 微 分 す れ ば

と な る.こ れ らの 両 式 は等 しい か ら

と な る.同 様 に 式(4.31)の 第 ２式 を ｚで偏 微 分 した もの と第 ３式 をｙ で 偏 微 分 した もの が 等 し く,式(4.31)の

第 ３式 を ｘ で偏 微 分 した もの と第 １式 をｚ で 偏

微 分 した もの が 等 しい か ら

が 得 ら れ る.こ け て,そ

れ ら の ３つ の 式 か ら μ を 消 去 す る た め,上

のあ と μで割 れば

か ら順 に ｈ,ｆ,ｇを 掛

(4.34) と な る.式(4.34)は

全 微 分 方 程 式(4.30)が

の 必 要 条 件 に な っ て い る.こ (4.33)が

式(4.32)の

こ で は 示 さ な い が,逆

全 微 分 方 程 式(4.30)の

形 に書 き換 え られ る た め に 式(4.34)が

解 で あ る こ と も証 明 で き る.式(4.34)は

能 条 件 と よ ば れ る.

例 題4.8 次 の方 程 式 が 積 分 可 能 で あ る こ と を確 か め た 上 で 解 け.

(x+y)dx+xdy+zdz=0 【 解 】 式(4.30)と

見比べて

f=x+y, 

g=x, 

で あ る か ら,式(4.34)は

と な り,積

分 可 能 条 件 を 満 た す.こ

こ で,

に注意 すれば

(x+y)dx+xdy+zdz=xdx+(ydx+xdy)+zdz

と な る.し

成 り立 て ば 式

た が って 解 は

x2+2xy+ｚ2=C

h=z

積分 可

で あ る.

◇ 問4.10◇

 次 の 全 微 分 方程 式 の 解 を求 め よ.

(1)xdx+ydy+zdz=0, 

(2)yzdx+zxdy+xydz=0

4.5  １階 偏 微 分 方 程 式の 完 全 解

  本 節 で は連 立 微 分 方 程 式 お よび 全 微 分 方 程 式 の 応 用 と して,２ つ の独 立 変 数 に関 す る 一 般 の １階 偏 微 分 方 程 式 の 解 を求 め る方 法 で あ る シ ャ ル ピ(Charpit) の 方 法 を紹 介 す る.   未 知 関 数 ｚ(x,y)に 対 す る １階 偏 微 分 方 程 式 は

(4.35) とお い た と き F(x,y,ｚ,p,q)=0 

(4.36)

と い う 形 を し て い る.   さ て,未

知 関 数z(x,y)の

で あ る が,こ

全微 分 は

の式 を pdx+qdy+(-1)dｚ=0 

と 書 き 換 え れ ば 式(4.30)の

形 に な る.た

(4.37)

だ し,こ

と して 定 め ら れ て い る と解 釈 す る.式(4.37)が よ う な 解 が 求 ま る.積

分 可 能 条 件(4.34)を

の 場 合,ｐ,ｑ

はｘ,ｙ,ｚ の 関 数

積 分 可 能 で あ れ ば,式(4.33)の 式(4.37)に

対 し て 具 体 的 に 書 け ば,

い まの 場 合

f=p,g=q,h=-1 で あ る か ら,

(4.38)

と な る.   こ こ で,ｐ,ｑ

の 間 に補 助 に な る方 程 式

ψ(x,y,z,p,q)=C(C:任 を 仮 定 し て み よ う.こ

意 定 数) 

の よ う に 仮 定 し た 理 由 は,も

決 定 で き れ ば,式(4.36)と(4.39)を

(4.39)

し ψ がｘ,ｙ,ｚ の 関 数 と し て

ｐ,ｑに 関 す る 連 立 方 程 式 と み な し て,ｐ,ｑ

に つ い て 解 く こ と が で き る か ら で あ る． そ し て,こ ば 積 分 可 能 な 全 微 分 方 程 式 が 得 ら れ,そ

れ ら を 式(4.37)に

代 入す れ

れ を解 くこ と に よ っ て 解 が 求 ま る こ と

に な る.   未 知 関 数 ψ を 決 め る に は 積 分 可 能 条 件(4.38)を 算 す る た め,ま

と な る.た

ず 方 程 式(4.36),(4.39)をｘ

用 い る.式(4.38)の

で偏 微 分 す れ ば

だ し,ｐ,ｑ はｘ,ｙ,ｚ の 関 数 で あ る こ と を 用 い て い る.こ

を ∂p/∂x,∂q/∂xに

関 す る 連 立 １次 方 程 式 と み な して 解 け ば,

と な る.た

だ し,

で あ る.同

様 に 方 程 式(4.36),(4.39)をｙ

が 得 ら れ,方

が 得 ら れ る.こ

程 式(4.36),(4.39)を

で偏 微 分 した式 か ら

ｚで 偏 微 分 した 式 か ら

れ ら の 関 係 を 式(4.38)に

各 項 を計

代 入す れば

の ２つ の 式

(4.40) と な る.こ の 方 程 式 は未 知 関 数 ψ に関 す る ラ グ ラ ン ジ ユ の偏 微 分 方程 式 にな っ て い る.そ

こ で補 助 方 程 式(4.27)を つ くれ ば,

(4.41) と な る.   １階 偏 微 分 方 程 式 の 解 を 求 め る 場 合,方 な ぜ な ら,必 (4.36)か

程 式(4.41)を

要 な の はｐ,ｑ の 間 の １つ の 関 係 式 で,そ

れ と も との偏 微 分 方 程 式

らｐ,ｑ をｘ,ｙ,ｚ の 関 数 で 表 せ ば よ い か ら で あ る.

  以 上 の 解 法 を ま と め る と 以 下 の よ う に な る.１ に は,対

完 全 に 解 く必 要 は な い.

階 偏 微 分 方 程 式(4.36)を

応 す る ラ グ ラ ン ジ ユ の 偏 微 分 方 程 式 の 補 助 方 程 式(4.41)を

間の １つ の 関 係 式 を 定 め る.こ し て 定 め る.そ

の 関 係 式 と式(4.36)か

解 く

用 い てｐ,ｑ

らｐ,ｑ をｘ,ｙ,ｚ の 関 数 と

れ を  p=ｐ(x,ｙ,z),ｑ=q(ｘ,y,ｚ)

と す れ ば,方

程式

 p(ｘ,y,ｚ)dｘ+q(ｘ,y,ｚ)dｙ-dｚ=0  は 積 分 可 能 と な り,こ

れ を解 け ば よ い(シ

ャ ル ピ の 方 法).

例 題4.9  xｐ+yｑ=pｑ 【解 】 F=ｘp+yｑ-pｑ=0と

と な る.し

た が っ て,式(4.41)は

お く． こ の と き

(4.42)

  とな る.一 番 最 後 の 等 式 か ら

 

とな り,積 分 を 実 行 す る と

  とな る.こ の式 と も との 方 程 式 か ら

 

と な る.し

た が っ て,式(4.42)は

 

と な る.こ

の式 は

  と変 形 で きる た め,解

は

  と な る.   この 例 で示 した よ うに,シ

ャルピ の 方 法 で １階偏 微 分 方 程 式 を解 く と,２ つ

の任 意定 数 を含 む解 が得 られ る.こ の よ うな解 を完 全 解 と よん で い る. ◇ 問4.11◇

  次 の偏 微 分 方 程 式 の 完 全 解 を シ ャルピ の方 法 を用 い て 求 め よ. pｑ=xｙ

章末 問題

【4.1】 次 の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を 求 め よ.

【4.2】 次 の 連 立 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

【4.3】 次 の ラ グ ラ ン ジ ユ の 偏 微 分 方 程 式 の 一 般 解 を求 め よ.

【 4.4】 次 の １階 偏 微 分 方 程 式 の 完 全 解 を求 め よ. (p2+ｑ2)z2=1

号

５ 記   本 章 で は,第

法

３章 で も取 り上 げ た定 数係 数 の微 分 方 程 式 を再 度 取 り上 げ る.

た だ し,第 ３章 で は ２階 微 分 方 程 式 で あ っ た が,本 章 で は よ り高 階 の微 分 方 程 式 や 連 立 微 分 方程 式 に つ い て議 論 す る.こ の よ うな 定 数 係 数 の 常 微 分 方 程 式 に は記 号 法 また は 演 算 子 法 と よ ば れ る方 法 が 適 用 で き,積 分 演 算 を ほ とん ど行 う こ と な く代 数 演 算 で 機 械 的 に微 分 方 程 式 が 解 け る.

5.1  微 分 演 算 子

 xの

関 数y(x） をｘ で微 分 す る と は,ｙ に あ る演 算 を行 っ て 別 の 関 数dy/dx

をつ くる操 作 とみ なす こ とが で きる.こ の操 作 を記 号Ｄ で 表 す こ とに す る.す な わ ち,

で あ る.こ のＤ の こ と を微 分 演 算 子 とい う.少 る 関 数 を微 分 し,そ れ をa倍

し複 雑 に して,た

と え ば,「 あ

した 上 で そ の 結 果 に も との 関 数 の ｂ倍 を 加 え る 」

とい う操 作 を考 え よ う.こ の 操 作 を ふ つ うの 式 で表 せ ば次 の よ う に な る.

この操 作 はＤ を用 い て表 せ ばaDy+byと 子aD+bを

な る が,こ の 手 続 き を あ らた な演 算

用 いて

 

(aD+b)y

と表 す こ と もで き る.こ の よ うに記 した場 合 にはＤ を単 な る文 字 とみ な して 分 配 法則 に よ り括 弧 をは ず す.

  あ る 関数ｙ の ２階 微 分 と は そ の 関 数 を １階微 分 したDyを す る こ とな の でDDyで

あ る が,こ れ をD2yと

も う一 度 １階微 分

記 す こ と にす る.さ

らに ３階微

分 は ２階 微 分 を も う一 度 微 分 した もの な の で,DDDyま

た はDD2yで

こ れ をD3yと

記 す こ とに す る.ま

記 す こ とに す る .同 様 にn階

微 分 はDnと

あ るが

とめ れ ば

(5.1) で あ る.ひ

とた び この よ うに演 算 子 を定 義 す れ ば Ｄ を単 な る文 字 の よ うに取 り

扱 え る こ とが こ の記 法 の 利 点 で あ る.   た と え ば 「あ る 関数 を足 す.得

を微 分 して ２倍 した もの に も との 関 数 を ３倍 した もの

られ た 関 数 を ｕ と して,ｕ を微 分 して ３倍 した もの か ら ｕ の ４倍 を

引 い た もの をｖ とす る」 とい う操 作 を ふ つ う の数 式 で 書 け ば

(ａ)

こ れ か ら ｕ を消 去 す れ ば

(ｂ)

と な る.一 方,先

ほ ど定義 した 演 算 子 Ｄ を用 い れ ば 式(ａ)は u=（2D十3)y,v=(3D-4)u

とな り,ｕ を消 去 す れ ば v =（3D一4）

とな る.一 方,式(ｂ)を

（2D十3）y

(ｃ)

演 算 子 Ｄ を用 い て 表 現 す れ ば v =（6D2+D-12)y 

(ｄ)

とな る.式(ｃ)と(ｄ)は

等 しい か ら,そ れ ぞ れ の 右 辺 のｙ に か か っ て い る演 算

子 を比 べ れ ば,式(ｃ)に

お い て 演 算 子 Ｄ を単 な る文 字 とみ な して分 配 法 則 で式

を展 開 した 結 果 と一 致 す る こ とが わ か る.

  この よ うに Ｄ は 文 字 とみ な して計 算 して もよ い が,Ｄ Ｄ 単 独 で は意 味 を も た ず,あ

は演算子 で ある ため

くまで 関 数 に作 用 して は じめ て 意 味 を もつ こ と に

注 意 しな け れ ば な らな い.  ｎ 階 定 数 係 数 線 形 微 分 方 程 式 とは (5.2) と い う形 を した 微 分 方 程 式 で あ る.た だ し,an,an-1,…,aoは

定 数 で あ る.式

(5.2)は 演 算 子 Ｄ を用 い れ ば (5．3) と書 くこ とが で き る.い

ま式(5.3)のｙ

の係 数 に着 目 してｎ 次 多 項 式P(x)を

次 式 で 定 義 し よ う. (5.4) 本 章 で は今 後P(x)と

書 い た場 合 はｎ 次 多 項 式(5.4)を 意 味 す る こ と にす る.こ

の と き式(5.3)は 簡 単 に  P(D)y=f(x) 

(5.5)

と書 くこ とが で きる.   次 に演 算 子P(D)の

性 質 を調 べ よ う(α は 定 数).

 ① (5.6)   なぜ な ら,

②(5.7)   こ の 場 合 は,帰  n=1の

とき

納 法 を 利 用 す る.

n=kの

と き成 り立 っ た とす れ ば   D(eαxf(x))=eαx(D+α)kf(x)

と な る か ら,n=k+1の

とき

③ (5.8) なぜ な ら,① を用 い れ ば

④ (5.9) こ の 場 合 は,②

⑤2つ

を 用 い る.す

の 多 項 式P1(x),P2(x)に

な わ ち,

対 し て,

Pl(D)P2(D)y=P2(D)Pl(D)y 

(5.10)

  す で に述 べ た よ うに 演 算 子 Ｄ は文 字 の よ う にみ な して計 算 で きる.一 方,Ｄ が文 字 で あ れ ばP1(D)P2(D)=P2(D)P1(D)が

成 り立 つ こ と は分 配 法 則 を用

い て 式 を 展 開 す る こ と に よ り確 か め ら れ る.し

た が っ て ,式(5.10)が

成 り立 つ

こ と が 理 解 さ れ る.

5.2 定数係数線形同次微分方程式  本節で は定 数係 数線 形同次微分方程 式

(5.11) す な わ ち, P(D)y=0 

(5.12)

を解 くこ と を考 え る.  ① まず は じめ に Dny=0 

(5･13)

は,ｎ 階微 分 方 程 式

を 意 味 す る か ら,ｎ 回積 分 す る こ と に よ りた だ ち に解 け て,一 般 解 y=c0十c1x+…+cn

が 求 ま る.た

だ しc0,c1,…,cn-1は

回 微 分 す る０

-1xn-1 

任 意 定 数 で あ る.こ

(5.14)

の こ と は 式(5.14)をｎ

に な る こ と か ら も容 易 に 確 か め ら れ る.

 ② 次 に 方 程 式(5.13)の

代 わ りに 方 程 式

Dn(e-αxy)=0 

を 考 え る と,こ

の 方 程 式 の 一 般 解 は 式(5.14)か

(5.15)

ら

y =（c0十clx＋…＋cn-1xn-1)eαx 

と な る.一

方,微

分 演 算 子 の 性 質(5.7)を

利 用 す れ ば 式(5 .15)は

Dn（e-αxy)=e-αx(D一α)ny

(5.16)

と な る.こ

の こ とか ら (D-α)ny=0 

の 一 般 解 は 式(5.16)で ば,方

与 え ら れ る こ と が わ か る.特

程 式(5.17)と(5.13)は

方 程 式(5.17)と

(5.17)

解(5.16)は

一 致 し,そ

に こ の 式 で α=0と

の 解(5.16)も(5.14)に

そ の 特 殊 な 場 合 と し て 方 程 式(5.13)と

おけ

一 致 す る た め, 解(5.15)を

含

ん で い る.   ③ さ ら に,方

程 式 (D2＋aD＋b)ny=0 

は,式(5.10)を

(5.18)

参 照 して

(D-p)n(D-q)ny=(D-q)n(D-p)ny=0  と な る.た

(5.19)

だ し,ｐ,ｑ は ２次 方 程 式

t2+at+b=0 

の ２根(重

根 を 含 む)で

あ る.(D-α)n0=0で

(5.20)

あ る た め(α

はｐ ま た はｑ),

式(5.19)は (D-q)ny=0ま

た は(D-p)ny=0 

を 意 味 して い る.ｐ,ｑ が 異 な る 場 合 に は 式(5.21)は

(5.21)

それぞ れ

y1=(c0+clx+...+cn-1xn-1)eqx 

(5.22)

y2=(d0+d1x+…+dn-1xn-1)ePx  (た だ し,c0,…,cn-1,d0,…,dn-1は き,式(5.18)の

任 意 定 数)と

(5.23) い う 一 般 解 を も つ.こ

y=y1+y2  と な る.な

の と

一般解 は

ぜ な ら,こ

の 解 は2n個

の 任 意 定 数 を 含 ん で お り,さ

(D2+aD+b)n(y1+y2)=(D-p)n(D-q)ny1+(D-q)n(D-p)ny2=0 が 成 り立 つ か ら で あ る.

(5.24) らに

 

重 根,す

な わ ちp=qの

と き は 式(5.18)は

(D-p)2ny=0

と な る た め,方  

こ こ でｐ,ｑ

程 式(5.17)を

解 く こ と に 帰 着 す る.

が 共 役 複 素 数 の 場 合(す

を 書 き 換 え て お こ う.こ

な わ ち,a2-4b