МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
П.А.Велъмисов, А.С.С...
5 downloads
173 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
П.А.Велъмисов, А.С.Семенов ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Ульяновск 2001
УДК 519.6(075) ББК22.311я73 В 28 Рецензенты: кафедра математической кибернетики и информатики УлГУ; д-р физгмат. наук, профессор Андреев А.С. Утверждено редакционно-издательским советом УлГТУ в качестве учебного пособия
Белымисов П.А., Семенов А.С. В 28 Численное решение методами взвешенных невязок линейных задач математической физики: Учебное пособие.-Ульяновск: УлГТУ, 2001. - 99 с. ISBN 5-89146-240-0 Содержит изложение алгоритмов численного решения некоторых линейных краевых или начально-краевых задач математической физики, реализующих методы взвешенных невязок. Приведены постановки лабораторных работ, выполняемых в диалоге с ЭВМ при помощи специально разработанных программ. Даны примеры. Пособие предназначено для студентов, изучающих специальные курсы современных численных методов, для аспирантов и инженеров, применяющих численные методы к решению прикладных задач.
УДК 519.6(075) ББК22.311я73
ISBN 5-89146-240-0
© П.А. Вельмисов, А.С. Семенов, 2001 © Оформление. УлГТУ, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
Целый ряд современных методов, предназначенных для решения самых разнообразных задач математической физики, базируется на идеях ученых Б.В.Галеркина и В.Ритца. К этим методам относятся, например, методы взвешенных невязок и вариационные методы [1.,2]. В настоящем пособии представлены возможные алгоритмы применения метода Галеркина и интегрального метода наименьших квадратов, относящихся к группе методов взвешенных невязок, и вариационного метода Ритца при численном решении краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, метода Галеркина при численном решении линейной начально-краевой задачи для одномерного параболического и одномерного гиперболического уравнений. В новом методе можно быстрее разобраться, если решить конкретную задачу. В качестве источников таких задач в пособии описаны задачи одномерной теплопроводности и задачи о колебаниях струн и стержней. Для проведения вычислительного эксперимента согласно алгоритму метода, выбранного для решения конкретной задачи, в пособии приведены постановки лабораторных работ, выполняемых в диалоге с ПЭВМ при помощи специальных программ. Пособие предназначено для студентов вузов, изучающих специальные курсы современных численных методов. Оно будет полезным для аспирантов и инженеров, применяющих численные методы к решению прикладных задач.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ОДНОМЕРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ
1.1. Вывод уравнений теплопроводности Пусть дано материальное тело, расположенное между точками х=а и х=Ь оси х, продольный размер которого значительно превосходит размеры поперечного сечения, например, тонкий стержень, длинный трубопровод и т.д. В дальнейшем будем называть это тело стержнем. Будем считать площадь S(x) поперечного сечения ( перпендикулярного оси Ох) настолько малой , что всем точкам одного сечения в момент времени t можно приписать одну и ту же температуру u(x,t). Будем считать , что стержень теплоизолирован вдоль боковой поверхности, а внутри стержня нет источников или стоков (поглотителей) тепла. Рассмотрим элемент стержня между его сечениями с абсциссами х и x-fdx . Найдем количество тепла, которое накапливается в элементе за время dt. Согласно закону Фурье интенсивность q(x,t) теплового потока в сечении х определяется выражением
где К(х) - коэффициент теплопроводности (К(х) > 0 ). Тогда разность dQ' между количеством тепла , вошедшим в элемент через сечение х и вышедшим через сечение x+dx за время dt, будет равна
Используя формулу Тейлора первого порядка с остаточным членом в форме Пеано для функций
К(x+dx), S(x+dx), u'(x+dx,t), имеем
Напомним, что символом о(х) обозначается величина бесконечно малая более высокого порядка, чем х . С другой стороны, за счет притока тепла температура в элементе изменяется, и количество тепла dQ , поглощаемое элементом за время dt, равно
где С(х)- теплоемкость; р(х)- объемная плотность вещества стержня (С(х) > 0, р(х) > 0). Откуда, на основании теоремы о среднем для определенного интеграла, получаем равенство
которое при помощи теоремы Лагранжа о конечных приращениях преобразуется к виду
Приравнивая, на основании закона сохранения энергии, выражения (1.1),(1.2) и осуществляя предельный переход при dt -> 0, получаем одномерное уравнение теплопроводности в виде (1-3) Предположим теперь , что внутри стержня происходит выделе ние или поглощение тепла ( это имеет место, например , при про хождении по телу электрического тока или вследствие происходящих в нем химических реакций). Тогда количество тепла , накопленное в элементе стержня за время dt за счет внутренних источников,
будет равно тепловых источников внутри
-
плотность
стержня, «уравнение теплопроводности с учетом внутренних источников тепла принимает вид dQ = dQ1 + dQ° или
Предположим далее, что на боковой поверхности стержня происходит теплообмен с окружающей средой. Тогда тепловой поток, проходящий за время dt через боковую поверхность элемента, согласно закону Ньютона пропорционален разности температур поверхности тела и окружающей среды и определяется выражением
где T(x,t) -температура внешней среды; )3#(х)- коэффициент теплообмена, зависящий от свойств материала стержня и внешней среды, режима взаимодействия (условий контакта) стержня с внешней средой, а также от геометрических характеристик поперечного сечения. Уравнение теплопроводности с учетом внутренних источников тепла и теплообмена на боковой поверхности имеет вид
или
Заметим, что если тепло распространяется в жидкости, которая движется со скоростью V(x,t) параллельно оси х ,то уравнение теплопроводности запишется следующим образом :
1.2. Постановка краевой задачи одномерной стационарной теплопроводности Согласно (1.4) стационарное (установившееся во времени) распределение теплового поля в стержне постоянного поперечного сечения (S(x) = const) описывается уравнением
В (1.5) введены обозначения
Перечислим основные типы граничных краевых условий (на примере левого конца стержня при х=а). а) Известна температура при х=а : у(а) = Т . Э
- б) Задана интенсивность теплового потока через торцевое сечение
- 6 -
В частности, если стержень теплоизолирован при х=а, то у_(а)=0. в) На конце х=а имеет место теплообмен с окружающей сре дой известной темпе ратуры Т^ : ' Здесь а коэффициент теплообмена на конце х=а. Последнее уеловне (условие Ньютона) означает, что тепловой поток, передаваемый в единицу времени с единицы площади поверхности в окружающую среду, пропорционален разности температур поверхности тела и окружающей среды. Аналогичные краевые условия могут быть заданы и на правом конце стержня при х=Ь. Например, условие теплообмена при х=Ь имеет вид 3
В
таблице
1.1 приведены возможные варианты краевых условий для определения стационарного распределения температуры в стержне согласно уравнению (1.5). Напомним еще раз используемые в таблице 1.1 обозначения : К = К(а), К = К(Ь) коэффициенты теплопроводности; з
о
а , а - коэффициенты теплообмена на левом и правом концах стержня соответственно; Т , Т -температуры, которые поддерживаются на концах стержня при х=а и при х=Ь ; 3
D
q , q - интенсивности тепловых потоков при х=а и при х=Ь. Очевидно, что все приведенные в таблице 1.1 варианты краевых условий можно записать в виде 3
D
(1-6) при соответствующем выборе значений коэффициентов а^, Ь^. Например , для первого варианта условий из таблицы 1.1 имеем
а для девятого -
- 7 -
Таким образом, математическая задача одномерной стационарной теплопроводности формулируется следующим образом : требуется найти функцию у(х), удовлетворяющую на отрезке [а,Ь] обыкновенному линейному дифференциальному уравнению (1.5 ), а на концах отрезка - граничным условиям (1.6). Таблица 1.1 Варианты краевых условий для уравнения (1.5.)
1.3. Вывод уравнений поперечных колебаний струны Рассмотрим тонкую гибкую упругую нить (струну), которая в положении равновесия занимает отрезок [а,Ь] оси Ох и концы которой закреплены. Полагая струну тонкой, пренебрегаем весом струны по сравнению с внутренними силами натяжения и внешней нагрузкой. Полагая струну гибкой, считаем что внутренние усилия, возникающие в струне, направлены по касательной к мгновенному профилю в каждой его точке, т.е. струна не сопротивляется изгибу. Предполагаем также, что внешние силы лежат в вертикальной плоскости, в которой совершают колебания точки струны. Рассмотрим элемент струны между точками х
и x+rtx (рис.1.1) и обозначим смещение точек
струны через u(x,t), а длину элемента струны через ds. Тогда откуда, предполагая смещение струны u(x,t) малыми настолько, что (1-7) получаем ds » dx, т.е. в пределах принятой точности удлинения участков струны в процессе колебаний не происходит. Следовательно, согласно закону Гука величина натяжения в каждой точке струны не меняется со временем и является функцией только х, т.е. Т = Т(х).
Запишем
условия
динамического
равновесия элемента струны, на который действуют в плоскости Охи силы натяжения Т = Т(х), Т = T(x+dx), внешняя распределенная по длине дуги с линейной плотностью P(x,t) поперечная сила и сила инерции, направленная вдоль оси Ои. Проектируя силы на ось Ох, получаем £л
Так как тригонометрии производной ,
, и
(1.8) согласно тождествам геометрического смысла
г
то, учитывая условие (1.7), из (1.8) получим T(x+dx) = Т(х). Откуда, в силу произвольности выбора точек х и x+dx, следует,
что величина натяжения не зависит и от х, т.е.является постоянной, T(x)=TQ=const . Проектируя теперь все силы на ось Ои, получаем
где р(х) - линейная плотность струны. Аналогично формулам (1.9) устанавливаем
откуда , согласно условию (1.7) , имеем
Теперь, применяя для входящих в формулу (1.10) интегралов теорему о среднем, а для u^(x+dx,t) формулу Тейлора первого порядка с остатком в форме Пеано, получаем
где i и £ принадлежат отрезку [x,x+dx]. Почленно деля послед1
^£
нее равенство на dx и осуществляя предельный переход при dx ->0, получаем уравнение колебания струны следующего вида :
Если струна дополнительно по всей длине связана с вязкоуп-ругим основанием, то для описания ее колебаний можно получить уравнение
где j3'(x,t),y(x,t) - коэффициенты жесткости и демпфирования основания; Q(x,t,T) ядро релаксации, учитывающее изменение с течением времени физико-механических свойств материала основания (т.е. его старение). Заметим, что при выводе уравнений (1.12) предполагалось, что реакция основания пропорциональна его деформации (модель Винклера). В статических задачах профиль струны и = и(х) определяется , согласно (1.12), решением уравнения
1.4. Вывод уравнений продольных и крутильных колебании стержня Для вязкоупругого тела при одномерном растяжении (сжатии) связь между деформацией ( относительным удлинением ) c(x,t) и напряжением a(x,t) представляется формулой
где Е - модуль упругости; R - ядро релаксации, учитывающее старение материала тела; « коэффициент внутреннего трения. Заметим, если R 5= о и а = О, то получаем закон Гука для упругого тела. Рассмотрим элемент стержня (рис 1.2), заключенный между его поперечными сечениями с координатами х и x+dx . _____ -t у л. , ь ;________
N(x,t) N(x-Klx,t) ТЗ а х хШх Б i Рис 1.2. Иллюстрация к выводу уравнения продольных колебаний стержня В сечении "х" на элемент действует сила N(x,t) =a(x,t)S(x), где S(x) - площадь сечения, в сечении "x+dx"- сила N(X4-dx,t) ( N(X4-dx,t) = a(x+dx,t) S(x+dx)). Предполагая, что на стержень действует внешняя нагрузка, распределенная по длине стержня с объемной плотностью ?(х,t), аналогично выводу уравнения (1.11). получаем уравнение продольных колебаний стержня следующего вида:
где
р(х) - объемная плотность материала стержня; u(x,t) - продольное смещение сечения стержня с координатой х в момент времени t от положения, которое занимало это сечение, когда стержень находился в ненапряженном состоянии. Учитывая, что
и подставляя (1.14) в (1.15), имеем
Если боковая поверхность стержня скреплена с вязкоупругим основанием (модель Винклера), то приходим к следующему уравнению:
где 0(x,t),y(x,t) - коэффициенты жесткости и демпфирования основания; Q(x,t,r) - ядро релаксации основания. Заметим, что форма записи уравнения (1.16) не изменится, если считать S и р зависящими и от времени t. Статические продольные смещения и(х) сечений стержня определяются, согласно (1.16), решением уравнения
Для вязкоупругого стержня, находящегося в состоянии кручения (рис.1.3), связь между напряжением т, вызванным сдвигом . образующей на угол 0. Напомним, что в отличие от имеющей всегда единственное решение задачи Коши для уравнения (2.1), краевая задача (2.1), (2.2) может иметь или одно решение, или бесконечно много решений, или, наконец, может совсем не иметь решений. Везде далее будем предполагать существование единственного решения Y(x) поставленной краевой задачи, что часто вытекает из физического смысла того явления или процесса, математическое моделирование которого привело к задаче (2.1), (2.2). В методе Галеркина для нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи строится функциональная последовательность (уп(х)}^ из пробных решений Уп(х) следующим образом. Задаемся на отрезке [а,Ь] некоторой системой дважды непрерывно
дифференцируемых функций u (x), ui(x),...,un(x) таких, что и (х) удовлетворяет краевым условиям (2.2), а функции и4(х), u (x),...,u (x) , называемые пробными функциями, линейно независимы на Са,Ь] и удовлетворяют однородным краевым условиям 4f£
Г1
(2.3)
- 19 -
Составляем функцию
(2.4) с неизвестными пока постоянными коэффициентами С , С2,..., Сп. Подчеркнем, что в силу линейности условий (2.2), функция (2.4) при любых значениях С1,...,Сп удовлетворяет этим условиям Подставляя функцию Уп(х; из (2.4) вместо yfxj в уравнение (2.1), ПОЛУЧИМ гТкшктштп
(2.5)
которая называется невязкой. Как видно из (2.5), невязка линейно зависит от параметров С15...,Сп и является характеристикой уклонения функции (2.4) от. точного решения У(х) задачи (2.1), (2.2). Во всяком случае, если при некоторых значениях параметров С ,..,С невязка на- [а,Ы тождественно равна нулю, то Y(x)sy (x) в силу единственности Y(x). п
Однако в общем случае невязка оказывается отличной от нуля. Поэтому подбираем значения параметров С1,..,Сп так, чтобы невязка в каком-то смысле была бы наименьшей. В обобщенном методе Галеркина значения параметров С ,..,С определяются из системы уравнений (2.6)
где
ь (2.7) а
a Wjd),...,W (x) - заданные непрерывные и линейно независимые на [а,ЬЗ функции, часто называемые поверочными функциями. Заметим, что если в качестве поверочных функций взять пробные, то получится метод Галеркина в авторском варианте [1]. Заметим также, что если W (x),...,W (x) входят в полную систему функций, то при п -> со равенства (2.6) свидетельствуют об ортогональности невязки всем элементам полной системы [33. Значит, невязка сходится при п -> со к нулю в среднем, и можно ожидать сходиоп
мости последовательности (2.4) к точному решению Y(x) в среднем, т.е.-
Записав условие (2.6) в развернутом виде, для определения значений параметров С ,..,С получаем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений n-го порядка (2.8) где
r?_Q^
Решив систему (2.8) и подставив определяемые этим решением значения параметров Clf...,Cn в (2.4), заканчиваем построение пробного решения у (х). Опишем теперь возможный алгоритм приближенного решения задачи (2.1), (2.2) методом Галеркина, предполагая, что Уп(х) СХОДИТСЯ К Y(X) При П-> со .
1.Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию и (х), пробные функции и (х),...,и (х) и поверочные функции Wifx;,...,Wnfxj. Находим функцию RO(X) = LCuo3 - f(x) , т.е. невязку от подстановки и (х) в уравнение (2.1). Если v х е [а,Ъ]: RO(X) = 0, то и (х) = 1(х),и вычисления заканчиваем. Если же R (х) ^ 0, то переходим к следующему шагу алгоритма .
2. Первый шаг алгоритма. Строим функцию у (х) = и (х) + + CjUjU), определив значение С из решения системы (2.8) при п=1. Находим невязку R(Ci,x) = L[UQ] - Г(х) + CjLti^] = =Ro(x) + CjLtu^. Есж vx e [a,bl: R(Clfx) = 0, то Y(x) = У4(х), и задача решена, если же R(C ,х) ^ 0, то находим
- 21 -'
или
•
Если
A sе
иж As £ .
111
где е и £
1«32
1
заданные меры
2
точности прибжженного решения, то полагаем Y(x) « у (х) и вычисления заканчиваем, если же А > £ или д > Е , то переходим к 11
1
1 &
^
вычислениям на следующем шаге и т.д. Таким образом, на т- .м (т г 1) шаге алгоритма строим функцию определив значения С ,...,С из решения системы (2.8) при n=m, и определяем невязку
Ест vx e [a,b]: R(C ,...,С ,х) = 0, то Y(x) = у (х), и 1
m
m
вычисления заканчиваем.
Если R(C ,...,G ,х) »* 0, то находим 1
гп
2.2. Построение систем пробных и поверочных функций
Известно, что степенные функции 2 п 1,х,х ,...,х ,... линейно независимы на
всей числовой прямой R и, следовательно, на любом ее отрезке [а,ЪЗ с R. Покажем, что на любом отрезке [а,ЬЗ линейно независима любая система многочленов последовательных степеней. Рассмотрим произвольную систему многочленов :
- 22 -
и решим относительно неизвестных а ,а ,...,« определенное на R тождество ' .о 1 п (2.10) Мв условий тождественного равенства нулю многочлена п-.'й степени (равенство нулю коэффициентов при всех степенях х) последовательно получаем
• Таким образом, условие (2.10) выполняется тогда и только тогда, когда « = «=...=« = 0, т.е. система многочленов 01
п
Р fx),...,P (х) и любая подсистема из них линейно независима на О
п
R и, следовательно, на любом [а,Ы с R . Для построения и (х) и линейно независимой на [а,Ь] системы пробных функций ui(х),...,un(x), являющихся многочленами, можно применить метод неопределенных коэффициентов. Например, положив UQ= А = Р (х), из условий (2.2) получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно А
В том случае, когда эта система совместна, коэффициент А определяется. Если система не совместна, то ищем аналогичным образом и
(х)- в виде и (х) = А + Вх = Р (х) и т.д., до тех пор, пока не будет найдена UQ(X) = Рр(х) , удовлетворяющая условиям (2.2). о
Далее, используя условия (2.3), методом неопределенных коэффициентов определяем последовательно так же, как и ио(х),
Пример 1 Построить и (х) и систему из пяти пробных функций для - 23 -
задачи с краевыми условиями (2.11) Решение. Пусть и (х) = А, тогда ir = 0 и условия (2.11) дают несовместную систему из уравнений А = 1 и А = -4. Пусть ип= А + Вх, тогда ид = В и условия (2.11) дают Итак, UQ = 6 - 5х. Определяем и^х). Если ut= А или ut = A + Вх, то однородные условия, соответствующие условиям (2.11), выполняются, если из 0, что невозможно изза требования линейной независимости пробных функций. Ищем и (х) = А + Вх + Сх2 (С * 0), тогда и^= В + 2Сх , и из однородных условий, соответствующих (2.11), получаем систему
Решая ее методом Гаусса, имеем Видим, что система имеет множество решений
Выбираем одно решение из G при а = 1/3,
тогда
Аналогично, используя формулу uk = AQ+ А^ + ...+ Ak+ixk+J находим
Пример 2. Построить и (х) и систему пробных функций для задачи с условиями
из трех краевыми
(2.12) - 24
-
Решение. Если u (x)= А, то условия (2.12) системе приводят к несовместной Г А = 1, ^ А•= 2.
Предположим, что и условия (2.12) дают f А + В = 1, А + тоже несовместную систему. Полагаем UQ= А + Вх + Сх* (2.12) дают систему
I
А+Вх, тогда ir= В
UQ=
| А + В = 1, | А + В = 1, I А + В = 2. v
2В - В = 2,
0=1.
тогда и^= В + 2Сх и условия
f А + В = 1,
1
1
( А + В = 1,
А. + 2В + 4С- В40 = 2, которая несовместна. 2 Ищем и (х) в UQ = А + Вх + Сх + Dx , тогда виде ir= В + 2Сх + 3Dx2, и из (2.12) имеем ( А + В = 1, • (А + В= 1'
1 А + 2В 4- 40 + 8D - В - 40 -
v А + В - 4D
12D = 2,
Решаем полученную систему методом Гаусса в матричной форме, чтобы найти все решения системы. Прямой ход метода: ABCD ABCD ADCB f 1 1 0- 0 | 1 1 f 1 1 0 0
| 1 1
I 1 1 0 -4
| 1 J. ~ t 0 -4 0 0 | 1 J
\ 2)
~ I 0 0 0 -4
f1
001 | 11
Видим, что система совместна, ибо ранг матрицы системы (rg) равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Так как число неизвестных системы 4 больше rg=2, то система неопределена , и все множество
решений GQ системы получаем обратным ходом метода Гаусса, придавая двум неизвестным С и В произвольные значения. Получаем G ={(A,B,C,D):A=1-a ,B=a .C=a ,D=4;Va .a с Ю. О
i
л
U
Н"
1
л
Выбираем одно решение из G при о = a = 0. Тогда uo(x) = 1-J х3. W
1
- 25 -
&
Определяем теперь и (х). Есж и4(х)= А * О, то однородные условия, соответствующие условиям (2.12), выполняются при А = О, что недопустимо. Пусть ц^х) = А + Вх, uj = В, и из однородных условий, соответствующих условиям (2.12), имеем
Эта система неопределена, ее множество решений Выбираем одно ненулевое решение при «= -1, тогда ui(x)= 1 - х. Ищем и (х). Пусть и (х) = А + Вх + Сх2, (0*0), тогда £
td
и'= В + 2Сх и однородные условия дают систему со .
1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге определяем значения параметров функционала (3.5) в соответствии с таблицей 3.1. Выбираем функции UQ(X), u.(х),..., un(x) и находим функцию Ro(x) = L(uo)-g(x) = K(x)uj + K'(x)uj(x) - j3(x)uo(x) -g(x), т.е. невязку от подстановки UQ(X) в уравнение (3.1). Если vx ^ [a,bl: RO(X) = 0, то UQ(X) = У (х) - искомое решение и вычисления заканчиваем. Если же R (х) * 0 , то переходим к следующему шагу алгоритма. 2. Первый шаг алгоритма. Строим функцию у (х) = и (х) -ь с и (х), опредежв значение С из решения системы (3.9) при п = 1. Находим невязку
.Есж vx е [а,ЬЗ : ЩС,,х) = 0 ,то Y(x) = у^х), и задача решена. Есж находим j.
иж
Есж А < е иж А < £
, где е и е -заданные меры точноеJ.J.JL
J. £&
Ct
J.
^
ти приближенного решения, то полагаем У(х) « у (х) и вычисления заканчиваем. Есж же А > е или А12> ед , то переходим к вычислениям на следующем шаге. Таким образом, на m - м шаге (т > 1) алгоритма сначала строим функцию определив значения С4,...,С из решения
системы (3.9) при п = m , а затем находим невязку
- 39 -
3.2. Построение систем пробных функций Некоторые методы подбора пробных функций были приведены в разделе 2.2. Подчеркнем здесь, что если пробные функции выбираются на множестве многочленов, то их всегда можно найти методом неопределенных коэффициентов, причем неоднозначно. Одним из возможных наборов пробных функций и (х) (1*1) будут многочлены (3.-11) ИЛИ
(3.12) где
Напомним также, что пробные функции и4(х), 1*1 можно выбрать из собственных функций соответствующей задачи на собственные значения, представляемых в виде
(3.13) Приведем теперь еще несколько примеров построения пробных функций для некоторых вариантов граничных условий (3.2). Пример 1. Построить ио(х) и систему пробных функций для задачи (3.1) с краевыми условиями у(0) =2, у(1) =3. Решение. Пусть UQ= Bx +Сх2. Тогда из граничных условий - 40 -
находим
.
Итак, Функции ub(x), k > 1 будем искать в виде (3.13)
Удовлетворяя однородным граничным условиям, получим В =0, / ' ч
/" "ч
sin (Л х) = 0. Отсюда имеем (kn) , k =1,2,.... k
k
К
/X = kn , X = k
Тогда, обозначая С = В , находим и (х) = С cos(knx) . Таким k
k
k
k
образом, пробное решение можно искать в виде
Если же функции ub(x) (k >1) взять в виде (3.11), то
7
если же
в виде (3.12), то К
= i
Пример 2. Построить ио(х) и систему пробных функций для краевой задачи с условиями у(0) = 2, у(1) - 4. Решение. Положим и (х) = А 4- Вх . Удовлетворяя граничным условиям, находим В = 2, А+В=4 , т.е. А = 2, В = 2, следовательно, ио(х) =
2 + 2х. Зададим Согласно однородным граничным условиям имеем
Вводя обозначение С,_= А,_ , получаем Тогда К=
Используя же пробные функции вида. (3.11), (3.12), получаем
или
1
Пример 3. Построить u (x) и систему пробных функций для для задачи с граничными условиями 2у(0) = у(0) - 1, у(1) =3. Решение. Ищем искомые функции в виде и (х) = А + Вх,
Потребуем, чтобы функция и (х) удовлетворяла неоднородным граничным условиям. Тогда 2В = А - 1. А + В = 3, т.е. А =- д-, В = д, следовательно, Мз соответствующих однородных условий находим
(3.14) для определения собственных значений. Последнее уравнение имеет счетное множество действительных корней X Д ,... , что подтверждает рисунок (3.1). l
^
Корни уравнения (3.14) определяются приближенными численными методами, например, методом хорд, методом Ньютона, методом итерации или методом половинного деления. Таким образом, обозначая С = А , имеем А
k
k
то:
Если использовать пробные функции вида (3.11), (3.12), то получаем
или .
3.3. Задание к лабораторной работе Методом Ритца найти наиболее точное приближенное решение краевой задачи (2.16), построенное при помощи системы из п пробных функций - многочленов и системы из п пробных функций вида (3.13). За меру точности выбрать ( по указанию преподавателя ) или 1.5) или
(3.
Варианты заданий приведены в таблице 2.1. Лабораторная работа выполняется с использованием в диалоге с ПЭВМ специальной программы (RITZ), которая реализует алгоритм построения пробных решений у (х) методом Ритца. В этой программе все определенные интегралы из (3.10) вычисляются приближенно с точностью е
методом Симпсона, а система линейных алгебраических уравнений (3.9) решается методом Гаусса - Жордана с выбором ведущего элемента. Программа включает подпрограмму, являющуюся интерпретатором выражений, аналитически задающих функции одного аргумента. Перед обращением к программе необходимо подготовить вводимые в процессе диалога с клавиатуры дисплея исходные данные числовые и строчные. Числовые данные : - 43 -
a,b - концы отрезка интегрирования [a,bl; Т , Т , « , а , q , q - значения параметров функционала (3.5), a
b
a
D
а
о
найденные в соответствии с таблицей 3.1; е - точность вычисления определенных интегралов; п - максимальное число параметров С1§...,Сп в пробном решении. Значения параметров е и п задает преподаватель. Строчные данные : аналитические выражения для функций К(х), К'(х), р(х) и g(x), входящих в уравнение (3.1); аналитические выражения для пробных функций uo(x),...fum(x) и их производных первого и второго порядка. Заметим, что при необходимости программа может напомнить пользователю правила ввода клавишами дисплея аналитических выражений. В результате расчета программа выводит на экран дисплея значения коэфициентов С,...,С и таблицы всех пробных решений у (х),...,у (х) и их невязок. Анализируя данные этих таблиц, надо найти обоснованный ответ на поставленную задачу лабораторной работы. 3.4. Порядок выполнения лабораторной работы Рекомендуется следующий порядок выполнения лабораторной работы. 1. Изучить разделы 3.1-3.3 настоящей главы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 3.5. 2. Пройти собеседование с преподавателем, получить допуск к выполнению работы на
ПЭВМ, номер варианта задания лабораторной работы и значения параметров п и е. 3. В соответствии с полученным заданием выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Ритца и подготовить, если и (х) не является точным решением задачи, числовые и строчные исходные данные для расчетов на ПЭВМ. 4. Выполнить основную расчетную часть лабораторной работы в диалоге с ПЭВМ. В процессе диалога следует переписать с экрана - 44 -
дисплея значения коэффициентов С пробных решений, а в конце диалога - итоговые таблицы пробных решений и их невязок. 5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи, результаты выполнения подготовительных расчетов, основные результаты расчета на ПЭВМ и обоснованный итоговый ответ. 3.5. Тестирующий пример Методом Ритца найти на [0,1] приближенное решение краевой задачи (2.17). Сводим задачу (2.17) к задаче (3.1),(3.2), определяя, согласно (3.4), Получаем задачу (3.16) где К'(х) =-Зе~3х; /з(х) = -2е~3х; g(x) = (2х 2 6х + 2)е~3х. Напомним, что задача (3.16) имеет точное решение (2.18), значения которого представлены в таблице 2.2. В качестве пробных функций используем те же функции, что и в разделе 2.5:
причем R(u ) * 0. Определяем параметры функционала (3.5). Так как ао= а = Ьо= Ъ = 1 , то в соответствии с таблицей 3.1 - 45 -
имеем
Основные результаты расчета по программе RITZ при п=5, е=0.0001 представлены в таблицах 3.2 и 3.3. Таблица 3.2. Таблица пробных решений X
0. 0. 0. 0. 0. О. 0. 0. 0. 0. 1.
П = 0 6. 5.50е+0 5.006+0 4.506+0 4.006+0 3.506+0 3. 2.506+0 2.006+0 1.506+0 1.006+0
П = 1 1.046+0 1.026+0 9.6Т68.806Т.6066.0764.2162.026-4.966-3.356-6.536-
П = 2 8.3668.6168.9469.2369.3669.2068.636Т.5265.Т563.186-2.896-
П = 3 8.4868.6568.8669.0469.1469.0668.6Т6Т.8266.3263.9865.486-
П = 4 8.4768.6568.8Т69.0569.1469.0468.6467.8066.3364.0366.176-
П = 5 8.4768.6568.8769.0569.1469.0468.6467.7966.3364.0366.226-
х~п = U ' п = 1 п=2 п = 3 "1П= 4 ~~п = 5 ТТЛ!~6~. ООе+00 ~1.04e+OQ 8.366-0f 8.486-0Т 8.476-01 8.476-01 ТТЛ 5f.50e+OQ 1.026+00' 8.6le-0f 8.65e-OT8.65e-OT 8.656-TJT TJ7Z 5.006+00 ' 9.6Te-OT 8.94e-01 З.Вбё^ОТБТВТе-Ш ~g78Te-01 1)7Т~^. 506+00 8.806-OT 9.239-01 9.04ёЧТТ'9"7Ше-01 ~9~.056-01 U74~ "Т. ooe+00 ~7.60e-g1 ' 9.Збе-Q f 9.146-01 9.14e-OT 9.146-ТГГ 0.5 3.506+Og ~6.0Т6-01 ' 9.206-0f 9.066-01 9.046-OT 9.046-ТГГ 0.6 3.006+00 4.216-01 ' 8.63e-0f 8.676-01 8.646-OT 8.64e-Ur
U7T ~^. 5ge+og ~2.026-0 1 т.52e-o f т.82е-о Г т. 80e-oT т. T9e-UT
0.8 2.Ше-ЮО -4.966-ОТ Ь.'Г5е^Ш~ 6.326-01 Б7БЗе-01 ~5ТЗЗв-01 И/д" 1.506+00 ^3.356-01 ' 3.189-Of 3.986-01 4.036-01 4.03е-ТГГ:: TTU"~T700e+00 ^Б.ЬЗе-01 ~-2.89е-О^Г 5.48e-OZ 6.1Те-132" 6.22ё П?'
таолица невязок пробных решении П = 4 п = 2 П = 3 х П = 0 П = 1 1 286+0 -2.896- 3.5760 2.506+ 0. 1.826+ 0. 1.326+ -7 9460. 9.606+ 4.7760 6.956+ 7.196О 5.026+ 7.7960. 3.626+ 7.426O 2.606+ 6.5960. 1.866+ 5.6060. 1.336+ 4.6161. 9.466- 3.706-
1 616- 2.846-2.696-3.556-2.876-1.696-5.1664.4261.1261.5461.746-
8.1664.7161.896-2.626-3.286-2.276-3.0262.0164.216-
-1.006-5.9362.9265.4062.626-1.506-3.886-3. 1.1267.826-
П = 5 -1.0561.8661.7365.1869.076-1.216-2.146-4.716-4.5361.9961.716-
Табжца 3.3. Таблица невязок пробных решений х ~п"= о п = 1 п = 2 п = :Г~ п_= 4 ~~п = 5 0.02. sge+gr ":1571 ое+оо 1.28е+оо -2.89е-о 1 з. 5Te-oZ -1. Обе-Ш" 0.1 1.82ёТСТТ-1.16е+00 1.616-01 ~2.84е-02 -1.0Qe-02 LSee-W ТГГ 1.326+01 ^7.946-02 -2.696-01 г S.jbe-'UZ -5.93ё^ПТ73е-03 ТЗТТ^7бРё+ЦР'^7 ГТе-01 -3.559-01 ~4.71е02 2.926-05" 5.18е-"04~ 0.4 6.95ёТШ'~ТГ199-01 -2.876-01 ~ 1.899-02 5.409-03" 9.0Те-'Р5' "Ц7Б" 5.02е+00 Т. 796-01 ~1.69е-01 -2.62е-02" 2.62ё^ ':=Т721 е-05 ТЗТБ' ^Б2е4-00 7.426-01 ^5". 1 бе-02 -3.289-02 -1. 5Qe-OJ -2.149-04 U7T?75ge4-gg'~~g.596-01 ~4.42е-02 -2.2'Ге-Ш'3.88ё::РЗ':=1Т71е-д4
0.8 i.86e+gg~5'.6ge-gi " 1.129-01 -з.02е-Ш"-з.озё:Ш'^:4Т53е-04
0.9 1.33ё1Ш~4~516-01 1.546-01 ~2.016-02 1.126-05" 1.99e-U4~ ТЛГ 9.466-01 ~57ГОе-01 ~Т.'Г49-01 4.216-02 7.826-03 1.Tie-US'
Анализируя их, устанавливаем, что наилучшее приближение к точному решению Y(x) дает решение у (х), для которого W
3.6. Вопросы для самоконтроля 1. Опишите алгоритм решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка аналитическим методом. - 2. Каким образом уравнение (2.1) свести к равносильному уравнению типа (3.1) ? 3. В чем основная идея вариационного подхода к решению краевой задачи (3.1), (3.2) ? 4. Проверьте правильность данных, представленных в таблице 3.1. , 5. Какими свойствами должны обладать пробные функции в методе Ритца? 6. Как в методе Ритца находится невязка пробного решения ? 7. Докажите, что ортогональная на [а,ЬЗ система функций, среди которых нет тождественно равной нулю, линейно независима. 8. Как в методе Ритца строится система алгебраических уравнений для определения коэффициентов пробного решения? Проверьте справедливость соотношений (3.9),(3.10). 9. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи (3.1),(3.2) методом Ритца.
10. Приведите пример пробных функций для решения задачи методом Ритца. 11. Проверьте, что функции (3.13) являются собственными функциями задачи (2.13). 12. Опишите алгоритм метода хордкасательных для приближенного вычисления корней уравнения Г(х) = 0. 13. Опишите алгоритм метода половинного деления для приближенного вычисления корней уравнения 1(х) = 0. 14. Опишите алгоритм метода итераций для приближенного вычисления корней уравнения f(x) = 0.
РЕЖИМЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ' ДТШЕРЕНГЩЛЪНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ИНТЕГРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ
4.
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
4.1. Постановка задачи и алгоритм метода Снова рассмотрим краевую задачу: найти на отрезке [а,ЬЗ решение Y(x) дифференциального уравнения (4.1) удовлетворяющее условиям
(4.2) где p(x),q(x),f(x) - заданные функции, непрерывные на отрезке [а,ЬЗ;у ao,ai,a2,bo,bi,ba - заданные числа, причем а^ + а2 > О, Ь2 + tf > 0. О
1
Заметим здесь, что краевая задача (3.1),(3.2) может быть сведена к задаче (4.1),(4.2). Для этого достаточно разделить обе части уравнения (3.1) на К(х) и ввести обозначение Для нахождения приближенного решения задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов строится функциональная последовательность (yjx))® из пробных решений вида
(4.3)
где uQ (.х),Uj (х),...,и (х) - функции,
удовлетворяющие таким же условиям и требованиям, что и аналогичные функции в методах Галеркина и Ритца. Подставляя пробное решение (4.3) вместо у(х) в уравнение (4.1), получим невязку (4.4) Напомним, что функция (4.4), линейно зависящая от парамет- 48 -
.
ров С ,...,С .является характеристикой уклонения пробного решения (4.3) от точного решения задачи Y(x). Поэтому подберем значения С ,...,С так, чтобы они доставляли глобальный минимум сле1
п
дующей функции переменных С ,... ,С
(4.5)
Заметим, что так как $>(С ,...,Сп) из (4.5) неотрицательная квадратичная функция п переменных, то глобальный минимум ее существует и совпадает с локальным. Необходимые условия локального минимума функции (4.5) дают
(4.6) Записав условия (4.6) в развернутом виде, для определения значений переменных С ,...,С получаем неоднородную систему 1
п
линейных алгебраических уравнений n-го порядка
(4.7) где
b
(4.8)
Решив систему (4.7) и подставив определяемые этим решением значения параметров С ,...,С в (4.4), завершаем построение пробного решения у (х). Этапы возможного алгоритма приближенного решения задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов качест- 49 -
венно полностью совпадают с этапами алгоритма решения задачи методом Галеркина. Имеется только одно количественное различие, связанное с тем, что параметры С ,...,С пробного решения на первом и последующих этапах определяются решением системы (4.7), а не системы (2.8), как было в методе Галеркина. Подчеркнем, что пробные функции можно подбирать так же, как и в методах Галеркина и Ритца. " 4.2. Задание к лабораторной работе Интегральным методом наименьших квадратов найти наиболее точное решение краевой задачи (2.16), построенное при помощи системы из п пробных функций многочленов. За меру точности выбрать (по указанию преподавателя) или е . или е из (3.15). Ва1
&
рианты заданий приведены в таблице 2.1. Лабораторная работа выполняется с использованием в диалоге с ПЭВМ специальной программы (INMSQ), которая реализует алгоритм построения пробных решений интегральным методом наименьших квадратов. Конструктивно программа IMSQ повторяет программу GALERC. Перед обращением к этой программе необходимо подготовить следующие числовые и строчные данные. Числовые данные: а,Ь - концы отрезка интегрирования; е - точность вычисления определенных интегралов; п - максимальное число параметров С, в пробном решении.
Значения параметров е и п дает преподаватель. Строчные данные: аналитические выражения для функций и (х),...,un(х); аналитические выражения для функций i(x) - L[UQ], Ltu ],..,L[u ]. 1
n
- 50 -
4.3. порядок выполнения лабораторной раооты Рекомендуется такой порядок выполнения лабораторной работы. 1. Изучить разделы 4.1,4.2 настоящей главы, повторить разделы 2.2, 3.2 и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 4.5. 2. Пройти собеседование с преподавателем; получить допуск к выполнению работы в диалоге с ПЭВМ, номер варианта задания и значения параметров п и е. 3. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода наименьших квадратов и подготовить, если и (х) не является точным решением задачи, все числовые и строчные исходные данные для расчетов на ПЭВМ. 4. Выполнить расчетную часть работы на ПЭВМ, переписав с экрана дисплея значения коэффициентов С. пробных решений и итоговые таблицы пробных решений и их невязок. 5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе такого же содержания, что и отчеты по работам предыдущих глав. 4.4. Тестирующий припер Интегральным методом наименьших квадратов найти приближенное решение краевой задачи (2.17), используя пробные функции из раздела (2.5). Основные результаты расчета по программе INMSQ при п = 5, е = 0.0001 представлены в таблицах 4.1 и 4.2. Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение у_(х), для о
которого
- 51 -
4.1 Таблица пробных решений П = 0 6.006+0 5 506+0 U 5 006+0 0 4.506+0 0 4 006+0 0 3.506+0 3 и O 2 506+0 0 2.006+0 0 1 506+0 1. 1.006+0
П = 1 4.866+0 5 196+0 3 1564.7563 9762.8361 336-5 496-2.796-5 406-
~Y~ п = 0
п_= 1
X
0 0
ЮТ 1 0-1 TJ72" TJ73" 0.4 "OTF ThF U7T ТСТ "079"
-
п 8 8 686- 8 9 086- 8 П = 2 8.416-
= 3 466636826-
Таблица
п = 4 П = 5 8 476- 8 4768 656- 8 656-
8 8669.0569 1469 026- 9.0368 646- 8 6367 816- 7 7966 346- 6.3364 016- 4 0364 346- 5 936- 6.2069.4769 7169.6869 2268 2066.4963 956-
' п=2
9.0069 096-
п =~3~"
п=4
8 8769.0569 1469.0468 6467 7966.3364 0366.216-
~"п = 5
6.006+00 4.866+03" 8.416-01 8~ 466-01 ~8.4Ye-01 8.476-01 5 50е+ш 5.199+00 8.689-01 8.636-01 8.656-01 8.656-01 5.006+00" 3.1ЬёЧЛ9TD86-01 "Б".826-01 8.869-01 8.876-01 4.506+00 4.756-01 9.476-01 9.00е-01 ~9.056-01 9.056-01 4.QOe+"DO" 3.976-01 ~9"Л1б-01 ~^Г.09е-01 ~9.146-01 9.146-01 3.506+00 2.836-01 ""Р7Б86-01 ~9~. 026-01 ~9.036-01 9.046-01 3.00eTDG"~T733e-01 9.226-01 8.646-0Г 8.бЗе-ЭТ 8.646-Q1 2.506+00" -5.49ё=ОТ 8.206-01 ~Т. 816-01 ~7. 796-01 7. 796-01 2.00е+"ОТГ-2.79§::ОТ5ТД96-01 ~5". 346-01 6.336-016.336-01 1.50e+W^57106-01 ~3.956-01 '::4.01е-0Г 4.ОЗе-^РТ 4.ОЗе"11^ ::
ТПГ 1.006+00"-8.386-137 4.34е' д2"~5795ё 02'~БТ20е-02 6.216-02
Таблица 4.2 Таблица невязок пробных решений П = 0
П = 1 2 506+ 2.466+ 2 416+ -2 8662.366+ -1 3460 2 316+ 6 8060 2.256+ 1.366+0 0 2 196+ 2 546+0 0 2.126+ 3.616+0 0 2 056+ 4 576+0 0. 1.986+ 5.416+0 1 1.906+ 6. X 0 0. 0 0.
П = 2 1 876+0 5.386-3 976-
П = 3 -4 686-4.1561 906-
П= 4 3 246-2.146-1 526-
-9 626- 1 956- 9 896-7 086-6.6368 0961.896+0 3.156+0
8 816-6.066-1 876-2.336-1 4661.2066.076-
2 7662.5664 146-2.526-4 036-1.0161.056-
П = 5 3 096-5.056-3 6062.0167 4868.8364 036-5.386-1 306-6.2263.456-
4.5. Вопросы для самоконтроля 1. Как в методе наименьших квадратов строится система линейных уравнений для определения параметров пробного решения ? 2. Получите самостоятельно развернутый вид
условий (4.6), проверив тем самым справедливость формул (4.7),(4.8). 3. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов. 4. Приведите примеры пробных функций для решения задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов.
- 52 -
5. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ГАЛЕРКМНА
5.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим следующую начально-краевую задачу. Требуется в плоской области D = ((x,t)e R2: a<x0> найти решение U(x,t) дифференциального уравнения (5.1) удовлетворяющее двум краевым или граничным условиям
(5.2)
и начальному условию (5.3) где K(x,t), Kx(x,t), |3(x,t), g(x,t), aa(t), b2(t) -заданные, непрерывные на D функции (K(x,t) > 0); aQ, aiS bQ, bj заданные действительные числа, причем а2 + а2 > 0, b2 + b2 > 0; х
01
О
1
Г(х)- заданная функция, непрерывная на [а,Ь] вместе с Г'(х) и такая, что
(5.4)
Напомним, что в такой форме может быть поставлена задача одномерной нестационарной теплопроводности [1]. Например, типичная задача о нестационарной теплопередаче путем теплопроводности в однородном стержне единичной длины, концы которого поддерживаются при темературах Т и Т , при начальном распределении температуры вдоль стержня по закону II
«5
- 53 -
получается как частный случай сформулированной задачи при
(5.5) В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (5.1)+(5.4) строится функциональная последовательность (un(x,t)}* из пробных решений un(x,t) следующим образом. Задаемся в области D некоторой системой дважды дифференцируемых функций u (x,t), и4(х),..., ип(х) таких, что uo(x,t) удовлетворяет краевым условиям (5.2), а пробные функции u (х) (1*1) являются линейно независимыми на [а,Ы и удовлетворяют однородным краевым условиям
(5.6) Составляем функцию (5.Т ) II •-.
U л
л
k= 1
с неизвестными пока функциями v (t),...,v (t), зависящими только от аргумента t. Подчеркнем, что в силу линейности условий (5.2) и (5.6), функция (5.7) удовлетворяет условиям (5.2) при любых функциях vi(t)s...,vn(t). Значит, следует так определить v (t) (1*1) и количество (п) этих функций, чтобы u (x,t) из (5.7) удовлетвоп
ряла уравнению (5.1) и начальному условию
(5.3) с заданной точ-,ностью.
или
- 54 -
_q
Подставляя u (x,0), полученную из (5.7) при t=0f в (5.3). n
находим
невязку Невязки R и R2 являются характеристиками уклонения функции (5.7) от точного решения U(x,t) задачи (5.1)+(5.4). Во всяком случае, если при некотором наборе функций vi(t),...,vn(t) R4= О и R = о , то функция u (x,t) из (5.7) - точное решение U(x,t). 2
n
В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэтому накладываем дополнительные условия на функции vfc(t) и их начальные значения v (0) так, чтобы невязки в каком-то смысле k
были бы наименьшими. В обобщенном методе Галеркина эти условия определяются системами уравнений :
где w (x),...,w (х) - заданные линейно независимые на Са,Ь] 1
n
поверочные функции;
Напомним здесь, что если поверочные функции wa(x),...wn(x) входят в полную на [а,Ь1 систему функций, то можно ожидать сходимости последовательности (u (x.t))00 в среднем к точному n
О
решению U(x,t) [13. Запишем условия (5.10) в развернутом виде - 55 -
или
или (5.12) где (5.13) h
(5.14 )
(5.15)
Если ввести в рассмотрение матрицы то система (5.12) в матричном виде запишется так (5.16) Покажем, что матрица А всегда невырожденная, т.е. detA*0. Рассмотрим однородную линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных X,, Х„,... Д Если detA=0 , то система (5.17) имеет множество ненулевых - 56 -
решений. Пусть одним из таких решений является совокупность X Д ,...Д , где, например, X * 0. Подставляя это решение в уравнения системы (5.17), суммируя все получившиеся при этом равенства и используя свойства скалярного произведения, получаем Так как функции w (х) линейно независимы, то w + ...+ w * 0 . Значит, должно выполнятся тождество Xu+...+ Xu = 0, Х*0. Но 11
n n
m
это невозможно из-за линейной независимости функций ulf...,un. Значит,ненулевых решений у системы (5.17) нет, а для этого необходимо и достаточно, чтобы detA*0. Таким образом, матрица А невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу А'1. Теперь из (5.16) получаем (5.18) Таким образом, функции v.(t) должны удовлетворять нормальной системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений пго порядка. Заметим, что если функции K(x,t), 0(x,t) зависят только от х, то система (5.18) - система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы А и А'1 являются диагональными матрицами. Запишем теперь в развернутом виде условия (5.11). Получаем
или
или
(5.19)
- 57 -
где au, определяются формулами (5.13), а
Если ввести матрицу D = (d ) (5.19) получаем •"-
"
, то из
k n , 1
(5.20)
Таким образом, для нахождения функций k(t) Д = 1,п, определяющих пробное решение (5.7), получаем задачу Коши для нормальной системы (5.18) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с начальными условиями (5.20). Решив указанную задачу Коши и подставив определяемые этим решением функции v (t) в (5.7), заканчиваем построение пробного решения un(z,t). Опишем возможный алгоритм построения проиближенного решения задачи (5.1) + (5.3) методом Галеркина, предполагая, что последовательность {u (x,t)>* сходится равномерно к точному решению U(x,t). 1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию u (x,t) и находим невязку R (x,t) = Ltu ] - g(x,t) от подстановки функции u (x,t) в уравнение (5.1). Находим невязку R (х) = u (х,0) i(x) для условия (5.3). Определяем v
л w
LJ
max|Rio(x,t)| = AIO и ^ах,iR2o(x)i = Д20 . Если A se и Д20 ££2, где е и е2 заданные меры точности приближенного решения, то полагаем U(x,t) * u (x,t). В противном случае переходим к следующему шагу алгоритма, предварительно выбрав пробные u (х) и поверочные w (х) функции.
2. Первый шаг алгоритма. Определив функцию v (t) из решения задачи Коши (5.18), (5.20) при п=1, строим функцию uu(x,t) = UQ+ +vi(t)ui(x). Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки Rii(vi(t),x,t), R2j(vi(0),x) и определяем mgx|Rii(vi,x,t)| = АМ и lR (v (0) x)l = A Есж А £ £ И A £ £ [5?5i 2i i » 2iи 1 2i 2' то пола -гаем U(x,t) « u (x,t),H вычисления заканчиваем. В противном случае переходим к вычислениям на втором шаге алгоритма и т.д. - 58 -
Таким образом, на т->м (т>1') шаге алгоритма строим функцию
определив предварительно функции v (t),...,v (t) из решения задачи Коши (5.18),(5.20) при п = т. Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки R (v (t),...,v (t),x,t), R (v (0),...,v (0),x), 1 т
1
т
' .
"
2m
т
1
а затем вычисляем max |R (v (t),...,v (t),x,t)| = А и D
max |R [а,Ь]
2m
1
1m
1
m
(v (0),...,v (0),x)| = A o . Есж А m
2m
1m