Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 87-92
УДК 512.565
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ПОЛУДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ ДЖ.Б.НЕЙШЕН Памяти Виктора Александровича Горбунова
Цель данной работы состоит в демонстрации некоторого способа рас суждений — ранее он уже доказал свою целесообразность и применяется здесь для решения одной достаточно интересной проблемы, а именно, в работе дается отрицательный ответ на вопрос о том, будет ли конечная решетка, в которой выполняются условия (Р) и (Q), близкие к ограничен ности, ограниченной. Необходимая для читателя информация об ограни ченных гомоморфизмах и решетках содержится в [1, глава 2].
§ 1. Неограниченные решетки Вначале приведем один хорошо известный критерий для того, что бы решетка была полудистрибутивной вниз. Пусть L — конечная решетка и а Е J(L). Через к(а) обозначим наибольший элемент, который больше, чем а*, но не больше, чем а (разумеется, в том случае, если такой эле мент существует). Будем рассматривать к : J(L) —> M(L) как частичное отображение. Л Е М М А 1. Пусть L является конечной решеткой. Решетка L удовлетворяет условию SDA в том и только в том случае, если к (а) определено для всех а £ J(L). Более того, если в конечной решетке L выполняется условие SD A , то к отображает J(L) на M(L). Если же в L выполняется еще и условие SD V , то ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
88
Дж. Б. Нейшен
к будет взаимно однозначным отображением, а двойственное отображение Kd : M(L) —>- J(L) — отображением, обратным к отображению к. Отношения зависимости на J(L) определяются стандартным обра зом, а именно (при формулировке трех первых предполагается, что вы полняется условие SD A ): аАЬ (аоЛЬо) Vco- Затем найдем минимальный элемент а такой, что a < оо и a ^ с, и минимальный элемент b такой, что b < bo и b ^ с. • Непосредственно отсюда получаются следующие два результата, ко торые характеризуют полудистрибутивность вниз как своего рода свойство слабой ограниченности снизу. Т Е О Р Е М А 6. Пусть L — конечная региетка. Тогда в L наруша ется условие SDy в том и только в том случае, если существуют раз личные элементы a, b € J(L) и х 6 L, для которых имеют место соот ношения a V х = Ь V х, a j£ Ь* V ж ub j£ a* V x, С Л Е Д С Т В И Е 7. Если L — конечная решетка, в которой наруша ется условие SD V , то L не является ограниченной снизу. Более точно, существуют a, b 6 J(L) такие, что цикл aDbDa и тот Dice элемент х в обоих случаях.
проходит через один
90
Дж. В. Нейшен
Рис. На рисунке представлена решетка, в которой выполняется условие SD V и в которой содержится короткий цикл aDbDa элементы
через различные
хну.
Т Е О Р Е М А 8. Пусть L — конечная решетка, в которой выполня ется условие SD A . Тогда в L условие SD V нарушается в том и только в том случае, если существуют a, b £ J(L) такие, что
аВЫЗа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в L нарушается условие SD V , то най дутся элементы a, b € J(L) и с Е L такие, как в лемме 5. Из соотношения а iBy,
6 2 A6i,
6i Або,
62 А&о
Ъ2Ву,
ЬгВс2,
biBz,
с2Асъ
схАсо,
с2Ас0,
c2Bz,
CiBa2,
c\Bx.
(Именно эти соотношения и следовало ожидать, принимая во внимание ис ходные. Существуют еще три нетривиальных покрытия, которые следуют
92
Дж. Б. Нейшен
из указанных соотношений, а именно: покрытие аг < а0 V Ь\ V у и симмет ричные к нему, но все они не дают новых пар в отношениях зависимости.) Суммируя вышесказанное, заметим, что в К выполняется условие SD V , поскольку отсутствуют циклы вида dBeBd.
Тем не менее, К не
является ограниченной, поскольку имеет место цикл «2 A (Xi В &2 А Ь% В С2 А с\ В а2. Условие (Р) очевидно, условие (Q) легко проверяется после представления
его в виде: к{е) > n{d) влечет dBe.
ЛИТЕРАТУРА 1. R.Freese, J.Jezek, J. В. Nation, Free lattices (Math. Surv. Monogr., 42), Providence, RI, Amer. Math. Soc, 1995. 2. J. B, Nation, Bounded finite lattices, in: Universal Algebra (Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 29), Amsterdam, North-Holland Publ. Co., 1977, 531-533. 3. N. Gaspard, The lattice of permutations is bounded, Discrete Math. Theor. Comput. 8ci,, to appear» 4. N. Caspard) A characterization theorem for all interval doubling schemes of the lattice of permutations, Discrete Math. Theor. Comput. Sci., to appear.
Адрес автора: NATION, James Bryant, Department of Mathematics, University of Hawaii, Honolulu, HI 96822, USA e-mail:
[email protected] Поступило 21 июля 1999 г.
