整数論入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基礎数学シリーズ

編 集 の ことば  近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応 用 も さる こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的精 神 の浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理念 に接 しなけ れ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.  編 者 らは,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に 伝 える こ とを 目的 と して本 シ リー ズ の 刊行 を 企 画 した の で あ る.  上 の 主 旨 に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 し て あ る.高 等 学 校 の 数 学 に直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の 理解 へ の大 道 に容 易 には い れ る よ う書 か れ て あ る.  こ れ に よ っ て,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の人 々の 参 考 書 と し て,ま

た学 生 の入 門書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ とを念 願 と して い る.

 こ の シ リー ズ は,読 者 を 数 学 と い う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る とと も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の 力 を養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

『基礎数学シリーズ 16 頁

18 34 35 39 91 113 115 139 140

行 ↑12 ↓12 ↓5 ↑5 ↑1 ↑7 ↓7 ↑5 ↑4 ↓2

整数論入門』正誤表

誤

正

S を含む x ∈ M をとり，x ∈ Mn N ∼ = F (x) det(θ(i)j−1 )

o を含む x ∈ N をとり，x ∈ Nn M ∼ = F [x] det(θ(i)j−1 )2

基準 補素 整数環 とにかく op の

規準 複素 加法群 とにかく Fp の

Fp

Hp

ま

え

が

き

  本 書 は 代 数 的 整 数 論 に お い て 不 可 欠 の 基 礎 知 識 で あ る 代 数 体 の 理 論 を,近 代 的 視 点 か ら検 討 し,配 列 構 成 しな お して 記 述 した も の で あ る.し か し,入 門 書 とい う性 格 を 考 慮 して,あ

ま り極 端 な 表 現 法 の 変 更 は 避 け,で

き るだ け 普 通 に

見 られ る形 に お さ め る よ うつ とめ た.   整 数 論 は本 来,約

数 ・倍 数,あ

る い は 方 程 式 の 整 数 解 とい った こ とか ら発 展

した も の で あ ろ うが,現

在 で は きわ め て 多 くの 数 学 の分 野 と関 連 を もつ 大 き な

理 論 に 成 長 して い る.そ

して,代 数 体 の 理 論 は,整

にあ た っ て も

数論 の どの部 分 を研 究す る

,当 然 の 常 識 と して 必 要 とな る も の で あ る.し か し,現 在 の 大 学

に お い て は,代

数 体 の 理 論 の 講 義 は あ ま り行 な わ れ ず,そ

の 学 習 は ほ とん ど 書

物 に よ る 独 習 に ゆ だ ね られ て い る.そ の た め に 便 利 な入 門 書 が 望 ま れ る わ け で あ る.   入 門 書に は 大 き くわ け て2つ

の 型 が あ る.1つ

は そ の 理 論 に ま だ 接 す る機 会

の な か っ た 読 者 に 対 して 興 味 を 湧 か せ る た め の も の,他

の1つ

る 程 度 本 格 的 に 習 得 し よ うと す で に 志 した 読 者 に 対 して,し

はそ の理 論 をあ

っか り した 基 礎 知

識 を あ た え る た め の も の で あ る.本 書 は シ リー ズ の 企 画 に 従 っ て,ど い え ば 後 者 の タ イ プ を と った.そ

の た め も あ っ て,い

ち らか と

わ ば 文 法 書 の よ うに 内 容

が か た くな り,読 ん で 面 白 い とい う部 分 を ほ と ん ど 入 れ る こ と が で き な か っ た.し

か し,系 統 的 な 独 習,セ

ミナ ー,ま た は 引 用,参

にお い て な お 多 くの あ ら た め るべ き 点 が あ る に して も

照 等 の た め に は,細

,い

部

く らか の利 用 価 値 を

も つ と信 じ る.   本 書 に お い て は,代

数 体 と い う特 殊 な 対 象 物 の 性 質 を,で

き る か ぎ り数 学 の

基 礎 的 理 論 に 自然 に 吸 収 さ れ た 形 で の べ る こ とを 目標 と した.ま 理 論 も,他 か ら 引 用 しな い 方 針 と した.そ な る第1章

を,代

数,位

の た め,ペ

た そ の基 礎 的

ー ジ数 に して 半 分 近 くに

相 等 の 一 般 論 の 構 成 に あ て な け れ ば な ら な か っ た.こ

れ は 執 筆 に あ た っ て 最 も 困 難 だ っ た 点 で あ る が,そ

の 結 果 と して 第2章 以 下 の

本 論 は 相 当 簡 潔 に す る こ とが で き た.な お,形 の 予 備 知 識 は な くて よい の で あ るが,実

の 上 で は,本

際 に は,代

ご く初 歩 の 予 備 知 識 は 期 待 さ れ て い る.第1章

数,解

書 を 理 解 す るた め

析,位

の 内 容 は,む

相等 に 関す る

しろ 予 備 知 識 の ま

と め な お し と理 解 さ れ るべ き で あ る.  古 田 孝 臣,横 井 英 夫,浅

井 哲 也,小

林 功 武,北

正 刷 の 段 階 で 多 くの 助 力 を あ た え られ た.こ

岡 良 之 の 諸 氏 か ら,原 稿,校

こに 記 して,謝

意 を あ らわ す 一 助

とす る. 1971年

秋

久保 田

富雄

目 1. 

予 備 知 識 の ま と め 

次 1

 1.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

1

 1.2  集 合 論 よ り 

2

 1.3  代 数 学 の 一 般 論 よ り 

7

 1.4  整 数 論 的 な 抽 象 概 念 

18

 1.5  加 群 の 理 論 よ り 

24

 1.6 

41

ガ ロ ア 理 論 よ り 

 1.7  位 相 群 論 よ り 

2. 

代 数 的 整 数 と イ デ ア ル 

56

88

  2.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

88

  2.2  代 数 体 と 代 数 的 整 数 

88

  2.3  代 数 体 の イ デ ア ル 論 

92

  2.4 

ミ ン コ ウ ス キ ーの 定 理 

104

  2.5  単 数 と イ デ ア ル 類 

107

3.  付 値 とp進

114

体 

  3.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

114

  3.2  付 値 とそ の延 長 

115

  3.3  付 値 に 関 す る 完 備 性 

120

  3.4  代 数 体 の 付 値 とp進 体 

126

  3.5  p進 体 の 構 造 

135

4.  相 対 代 数 体 

144

  4.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

144

  4.2  相 対 代 数 体 の イ デ ア ル 

145

  4.3  相 対 ガ ロ ア 体

152

5.  分 岐 理 論 

163

  5.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

163

  5.2  共 役 差 積 と相 対 判 別 式 

163

  5.3  局 所 体 の 分 岐 理 論 

168

  5.4  相 対 代 数 体 の 分 岐 理 論 

173

  5.5  多 項 式 の分 解 と 素 イ デ ア ル の 分 解 

181

6. 

ー ル 

186

 6.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

186

 6.2 

187

イ

デ

イ デ ー ル 群 

  6.3  相 対 代 数 体 の イ デ ー ル 群 

191

  6.4  単 数,イ

196

参 索

考

デ ア ル 類 へ の 応 用 

書 

200

引 

201

* 本 文 中 に お い て 他 の 章,節

を 引 用 す る と き は 章,節

の 番 号 だ け を あ げ る.ま た 同一 の

節 に あ る例 題 を 引用 す る と き は 例 題 の 番 号 だ け を あ げ る.

1.予

備 知 識 の ま とめ

  1.1  本 章 の 内 容 に つ い て   本 書 で は,微

積 分 の 基 礎 知 識,お

既 知 と して 話 を 進 め る.従

よ び そ れ に 続 く1変 数 複 素 関 数 論 の初 歩 は

っ て,そ の 程 度 の 数 学 に あ らわ れ る範 囲 の 集 合 論 も

既 知 とす る.こ れ ら の 予 備 知 識 は,現 在 で は す で に 大 学 の 低 学 年 ま で に ほ とん ど習 得 され る こ とで あ り,ま た 多 くの 教 科 書 に 詳 述 さ れ て い る こ と で あ る か ら,本 書 に お い て そ れ ら を 仮 定 して も別 に 支 障 を 生 じ る こ とは な い で あ ろ う. さ らに 本 書 で は,簡 単 な 抽 象 代 数 学 の 知 識,お

よ び 位 相 空 間 論 の 知 識 も一 応 既

知 とす る.こ れ ら もや は り多 くの す ぐれ た 参 考 書 が 入 手 しや す い 分 野 に 属 す る こ とで あ る し,ま た 完 全 な 知 識 を 要 求 す るわ け で は な い か ら,ひ

と とお りの 素

養 を 期 待 す る こ と は さ しつ か え な い と思 わ れ る.   しか し,そ れ に もか か わ らず,本 備 知 識 の 要 点 を,あ

章 で は,次 章 以 下 を 理 解 す る の に 必 要 な 予

らた め て 系 統 的 に ま とめ な お す.そ

の 目的 は,ひ

とつ に

は,多

くの 分 野 の 知 識 を 総 合 的 に 混 合 し て 用 い る 必 要 の あ る 整 数 論 に おい て

は,代

数 学 で も,位 相 空 間 論 で も共 に 特 殊 な 対 象 と し て あ つ か わ れ て しま う こ

との 多 い,た

と え ば 位 相 体 と い っ た 概 念 を,む

しろ 最 も基 本 的 な,重 要 な 基 礎

概 念 と して,表 面 に 押 し 出 して 十 分 に 論 じ る 必 要 が あ り,そ の よ うな 事 情 の た め に,種

々の 分 野 か ら の 予 備 知 識 を,単

に 知 って い る だ け で な く,重 点 の 置 き

方 を 変 え て 配 列 し直 され た 形 で 再 認 識 す る必 要 が あ る か ら で あ る.さ ひ とつ の 理 由 は,従 来,種

らに も う

々 の 伝 統 の 影 響 も あ っ て,構 成 に 雑 多 な 手 段 が 入 り

乱 れ て い た 代 数 体 の 基 礎 理 論 を,基 礎 数 学 の 一 分 枝 と して,現 代 的 な 抽 象 的 な 手 段 で,一 貫 して 完 全 に 記 述 す る こ とを 目的 とす る 本 書 に お い て は,ど の 予 備 知 識 が,ど

れだ け

の よ うな 順 序 で 積 み 上 げ られ て か ら本 論 に つ な が るか を は っ

き りさせ て お く こ とが 望 ま しい か らで あ る.   本 章 で は 証 明 は で き る だ け 簡 略 に した.し

か し,普 通 と多 少 変 った 仕 方 で 証

明 を の べ た 方 が 適 当 と思 わ れ る定 理 に つ い て は,証

明 を くわ し く付 した 。 ま

た,証

明 を つ け な い 定 理 に つ い て は,そ

の 証 明 を 例 題 と し,解 の 中 に 略 証 が 見

出 せ る よ うに した.

  1.2  集 合 論 よ リ   本 書 で は,現 在 大 体 に お い て 世 界 共 通 の 約 束 に 従 っ て,次

の4つ

は 常 に 一 定 の意 味 に 使 用 す る.R:実

素 数 全 体 の 集 合,

Q:有

理 数 全 体 の 集 合,Z:Qの

数 全 体 の 集 合,C:複

中 の 整 数,す

の太字 記号

な わ ち0,±1,±2,…

全体の

集 合.   また,集

合 論 の 基 本 的 概 念 を あ ら わ す 次 の 記 号 も通 常 の 習 慣 と お り使 用 す

る.す な わ ち,a∈M:aが M:集

合Nが

集 合Mに

集 合Mに

含 まれ る,す

 がMの N:2つ

属 す,た

な わ ちNはMの

部 分 集 合 でMと

の 集 合 の 共 通 部 分.M∪N:2つ

じ集 合 のn個

形 の 組 全 体 の 集 合.ⅡMi:多 の 直 積,す

な わ ちM×

元 全 体 と,も

… ×M,(n個).φ:空

う1つ の 元aと

はcNと

通 常Nの

あ らわ す.た

全 体 の 集 合 がR−Q=cQで

集 合. とえ

あ らわ し,あ るい は あ らわ す,

の よ うな と き に は,

と き,M−Nに

元 全 体 の 集 合 を あ ら わ す.Mが

る と き は,M−Nは

な わ ち(m,n),

か ら な る 集 合 を{M,a}と

そ れ を 便 宜 上 集 合 の 族 とい う.ま た,M⊃Nの

くの

用 い る こ とが あ る.た

等 で あ る.集 合 の 集 合 を 考 え る必 要 も しば しば お こ る.こ

属 さ な いMの

M∩

くの 集 合 の 直 積.Mn:同

い う3つ の 元 か ら な る 集 合 をM={1,2,3}と

集 合Mの

とえ ば 

直 積 集 合,す

  集 合 を そ の 元 で あ らわ す と き に は,記 号{}を ば1,2,3と

異 な る,た

部 分 集 合 で あ る.

の 集 合 の 合 併.∩Mi,∪Mi:多

集 合 の 共 通 部 分 お よび 合 併.M×N:MとNの (m∈M,n∈N),の

とえ ば1∈Z.M⊃N,N⊂

よ って,Nに

あ る議 論 の 中 で 固 定 され て い

補 集 合 と よば れ る 集 合 で あ るが,こ

れ を本 書で

と え ば 実 数 の 集 合 ば か りを 論 じて い る と きに は,無

理数

あ る.

  これ か ら,集 合 に 関 して き わ め て 基 本 的 な 概 念 で あ る写 像,類

別,順

序 につ

い て,本 書 に お け る そ れ ら の あ つ か い 方 を 中 心 に 概 説 し よ う.   集 合Mか

ら 集 合Nへ

の(ま た はNの

中 へ の)写 像 とは,任

意 のa∈Mに

つ い てf(a)∈Nを

一 意 的 に 定 め る操 作fの

こ とで あ り,関 数 に 他 な ら な い.

写 像 を あ らわ す の にa→f(a),f:M→N, 

また は 単 にM→Nと

う よ うな 矢 印 に よ る方 法 を しば しば 用 い る.f(a)をaの の 全 体 の 集 合f(M)をMの るa∈M全

像 とい い,あ

体 の 集 合 をbの

定 義 す る.f(M)=Nの ば 

ときfを

つ い てf(a)=bと

上 へ の 写 像 ま た は 全 写,a,a′ ∈Mが

恒 等 写 像 とい い,idMま

  写 像f:X→Yお

た はidと

よ びg:Y→Zが

らZへ

の 写 像 とな る.こ れ をg°fと

そ れ 自身 に うつ す

書 い て2つ

つ い てx→g(f(x)) の写像 の結合 また は

像 は またx→xfの

に 記 号 を つ け る こ とに よ っ て あ らわ され る こ と も あ る が,こ (xf)gをxfgと

あ らわ す.す

な わ ちxfg=(xf)g.従

の よ うに あ ら わ す とき と,ベ キ の よ うにxfと 見 か け 上 逆 の 順 序 に な る.と 方 を とれ ば よい が,そ

よ うに,右

上

の よ うな と き に は

っ て 通 常 の 関 数 記 号 でf(x) す る と き とで は,写 像 の 結 合 が

りあ つ か う こ とが らに よ っ て,ど

の え らび 方 が,記

異 なれ

記 す.

あ る と き,x∈Xに

積 とい う.す な わ ち(g°f)(x)=g(f(x)).写

な

部 分 集 合 の 逆 像 も 同 じ よ うに

で あ る よ うな 写 像 を 単 写 と い う.a∈Mを

写 像 をMの

はXか

像,f(a),(a∈M),

るb∈Nに

逆 像 と い う.Nの

い

ち らで も適 当 な

述 を 明快 にす る上 に案 外重 要 で あ る こ

とが 多 い.   写 像f:M→Nお

よ び 写 像g:N→Mが

と き,fは1対1の

写 像,gはfの

集 合{f,g}をMとNと

あ っ て,f°g=idN,g°f=idMの 逆 写 像 で あ る とい い,fとgと

の1対1対

応 と い う.1対1の

集 合 は 濃 度 が 等 しい とい わ れ る こ と,Zと れ る こ と,ま

たQは

か らな る

対 応 を もつ2つ

の

濃 度 が 等 しい 集 合 が 可 算 集 合 と よ ば

可 算 で あ るがRやCは

非 可 算 で あ る こ と,等

は くわ

し くの べ る ま で も な い で あ ろ う.   例 題1 ⅰ)集 で あ る.ⅱ)ま

合Mか た,Mか

の 全 写 δ が δ° δ=δ を 満 足 す れ ば δ=idM

ら集 合Nへ

gが あ っ て,g°f=idMな   解   i)x∈Mに

らMへ

らf°g=idNで ついて

ⅱ)f°g°f=f°(g°f)=fが

δ(y)=x 

の 全 写fお

よびNか

らMへ

の写 像

あ る. とす れ ば, 

全 射 だ か らf°gも

全 射.一

方(f°g)°(f°g)

=f°(g°f)°g=f°g.故

  集 合Mを

にⅰ)よ

ど の2つ

らわ す こ とをMの か の 類 に,ま て,そ

りf°g=idN.

 (以 上)

も互 い に 交 わ ら な い い くつ か の 部 分 集 合 の 合 併 と して あ

類 別 とい い,そ

た た だ1つ

の 各 部 分 集 合 を 類 とい う.Mの

の 類 に 属 す.あ

る 類 に 属 す1つ

の 元 を 任 意 に と りだ し

の 元 を そ の 類 の 代 表 元 とい う.各 類 の 代 表 元 の 集 合 を,そ

る代 表 系 とい う.Mの す れ ば,∼

元aとbと

元 は どれ

の類別 に お け

が 同 じ類 に 属 す ときa∼bと

か くこ とに

と い う関 係 は 次 の 条 件 を み た す.1)a∼a,2)a∼bな

a∼b,b∼cな

らa∼c.1),2),3)を

らb∼a,3)

満 足 す る 関 係 ∼ を 同 値 関 係 とい う.集

合

を 類 別 す る こ とは 同 値 関 係 を あ た え る こ とに 他 な らな い.   集 合Mの て, 

元a,bの と 

 はa=bと

間 に 〓 また は 〓 で あ らわ さ れ る関 係 が あ た え られ て い

とは 同 じ こ と を あ らわ す とす る.こ 同 等,2) 

な ら 

に あ る,あ ∈Mの

の と きaはbよ

り前 に あ る,あ

で あ っ て 

か 

の と きa0の

体 で は,任

な りた つ こ と,従

あ り,標 数p>0の

な る.本 書 で は,標 数 が0で

デ ア ル に よ る代 数 体 の 整 数 環 の 剰 余 体,従 あ る.標

位 数 イ デ ア ル を 生 成 す る有 理

意 の2つ

体で

な い 体 は,素

イ

っ て 有 限 体 と して あ らわ れ る だ け で の 元 α,β に つ い て(α+β)p=αp

っ て α→ αpが 部 分 体 の 上 へ の 同 型 写 像 に な る こ と

が 著 しい 事 実 で あ る.   標 数0の

体 はZと

同 型 な 部 分 整 域 を 含 み,従

型 な 体 を 含 む.こ の よ うにQは ら,標

数0の

はZか

素 体 と よ ば れ る.Fを

らFの

有 限 体 は 標 数pの

て,そ

同

す べ て の 体 に 含 まれ る と考 え られ るか

標 数p>0の

体 とす る と,Z∋a→a・1∈F

中 へ の 環 と して の 準 同 型 写 像 で あ り,そ

で あ る.故にFはZ/(p)と

  体Fの

標 数0の

っ て そ の商 体 と してQと

同 型 な 体 を 含 む.こ

の 核 は イ デ ア ル(p)

の 意 味 でp個

の元 か ら な る

素 体 と よば れ る.

元 を 係 数 と す る 多 項 式f(x)=a0xn+a1xn−1+…+an−1x+anに

つい

の 導 関 数 を 形 式 的 にf′(x)=na0xn−1+(n−1)a1xn−2+…+an−1で

定義

す る.f′(x)∈F[x]で (fg)′=f′g+fg′ 代 数 的 閉 拡 大 体Ω

あ り,ま たf,g∈F[x]に

つ い て(f+g)′=f′+g′,

の な りた つ こ とは 容 易 に た しか め られ る.ま

たFの1つ

を と り,f(x)∈F[x]がΩ[x]でf(x)=(x−

の

α)ag(x),

 と分 解 した とす れ ば,f′(x)=a(x−α)a−1g(x)+(x−α)ag′(x) で あ る か ら,a=1な =0が

ら 

な らf′(α)=0と

重 根 を もた な い た め の 必 要 十 分 条 件 が

れ る こ とが わ か る.こ

な る.故

,(f(x),f′(x))=1で

の 性 質 を もつ 多 項 式 を 分 離 多 項 式,そ

にf(x) あた え ら

うで な い も の を

非 分 離 多 項 式 とい う.   体Fに

関 して 代 数 的 な 元 α の,Fに

式 な らば,α

関 す る最 小 多 項 式 がF[x]の

はFに 関 して 分 離 的 で あ る とい い,そ

る と い う.Fの

代 数 的 拡 大 体Kの

を 分 離 的 拡 大 体,そ f(x)がn次

うで な け れ ば 非 分 離 的 で あ

元 が すべ てFに

つ い て 分 離 的 な とき,K/F

うで な い と き非 分 離 的 拡 大 体 とい う.標

数0の

既 約 多 項 式 で あ る とす れ ば,f′(x)はn−1次

(f(x),f′(x))=1で

あ る.故 にf(x)は

分 離多 項

分 離 的 で,従

体 で は,

で あ る か ら,

っ て 標 数0の

体 は 非分 離

拡 大 体 を もた な い.   非 分 離 的 な 拡 大 体 が あ ら わ れ る の は,標

数p>0の

体 特 有 の 現 象 で あ り,そ

の と りあ つ か い は しば しば や っ か い な 問 題 とな る.本 書 で は 非 分 離 的 拡 大 を 用 い る こ と は な い が,分

離 非 分 離 の 区 別 を す る こ とは 必 要 な の で,こ れ か ら しば

ら くそ の 方 向 の 考 察 を 行 う.   可 換 環Fか

らFを 含 む 可 換 環F′

=Dα+Dβ,Dα

β=αDβ+βDα

微 分 とい う.F,F′ の 微 分 全 体 はF′ F=F′

ば,Kの

加 群 を な す.恒

K=F(α)が

微 分DでFに

体Fの

の 条 件:D(α+β)

を み た す と き ,DをFの(F′

を 固 定 す れ ば,(γD)α=γ(Dα)と

の と き の 微 分 を 単 にFの

  定 理1.36 

の 中 へ の 写 像Dが,2つ

等 的 に0を

に 値 を と る)

す る こ とに よ っ て,F

と る微 分 を0微

分 とい う.ま

微 分 とい う. 単 純 代 数 的 拡 大 体 で,α

がF上

分離的なら

制 限 す る と0微 分 に な る も の は0微 分 しか な い.α

非 分 離 的 な ら ば,Kの0で

た

な い 微 分 で あ って,Fに

が

制 限 す る と0微 分 に な る も

の が 存 在 す る.   証 明   α のFに

関 す る最 小 多 項 式 をf(x)=xn+c1xn−1+…+cnと

が 分 離 的 と し,DをKの =Df(α)=f′(α)Dα い.次

で あ るが, 

∈F),と

微 分Dは(f(x))を

あ るか ら,Dγ=0,(γ そ れ 自身 に うつ す.従

微 分 とみ な す こ とが で き,Dα=1,Dγ=0,(γ

  定 理1.37 

体Fの 微 分Dは,α

な る もの とす れ ば,0

だ か らDα=0で

に α が 非 分 離 的 な ら,f′(x)=0で

で 定 ま るF[x]の にKの

微 分 でDγ=0,(γ

がF上

す る.α

∈F),で

な けれ ば な らな ∈F),Dx=1 っ てDを

自然

あ る. (証終)

非 分 離 代 数 的 で な い か ぎ り,Fの

単

純 拡 大 体F(α)の

微 分 に 延 長 で き る.

  証 明   γ∈F(x),(xは F(x)に Dを

変 数),を

値 を と るF[x]の

任 意 に と っ て,Dx=γ

微 分 に 延 長 で き る.従

さ らに 商 体 

とす れ ば,Dは

っ て α がF上

超 越 的 な ら,

ま で通 常 の微 分 の 公 式 に よ っ て 延 長 す る こ と が

で き る.   α がF上 分 離 的 で,f(x)が a(x)∈F[x]に

α のFに

関 す る 最 小 多 項 式 な ら ば,ま ず 任 意 の

つ い て,D(a(x)f(x))=a(x)Df(x)+f(x)Da(x)=a(x)(fD(x)

+f′(x)Dx)+f(x)(aD(x)+a′(x)Dx)が a0xn+a1xn−1+…+an=h(x)な い うこ と で あ る.従

な るFの

の 意 味 は,

な る よ うにDx∈F(x)を

と

α を 代 入 した 結 果 は0で あ る.故 にfD(α)+f′(α)Dα

微 分Dで,も

とのDの 延 長 に な って い る も の が 得 られ る. (証終)

 上 の2定 理 とも,証 明には 定理1.34が   例 題2  体F上

こ でfD等

らhD(x)=(Da0)xn+(Da1)xn−1+…+Danと

ってfD(x)+f′(x)Dx=0と

れ ば,D(a(x)f(x))に =0と

な りた つ.こ

用 い られ てい る.

の 有 理 関 数 体F(x1,…,xn)の

微 分 で あ っ て,Fで0微

分に

な る も の を す べ て 決 定 せ よ.   解   Dixj=δij,(ク F(x1,…,xn)係

数 の1次

  定 理1.38  分 体K0を

体Fの

γ=aβ,ま

これ は 

の 微 分D1,…,Dnの,

結 合 全 体 で あ る. 

代 数 的 拡 大 体Kの

つ い て 分 離 的 なKの

た は γ=α ± β とお く.  つFへ

定 理1.37に と もに0微

定 ま るn個

元 でF上

(以上) 分 離 的 な も の 全 体 はKの

部

な す.

  証 明   K0をFに

あ り,か

ロ ネ ッカ ー の 記 号),で

の 制 限 は0で

よ ってF(α,β)ま

元 の 集 合 とす る.α,β ∈K0の な ら ば,F(γ)の

微 分 で 

あ る も の が 存 在 す る(定 理1.36).Dを で 延 長 す る と,DのF(α),F(β)へ

分 で あ る か ら,DはF(α,β)=F[α,β]に

閉 包 で あ る場 合,K0す 数 的 閉 包 とい う.

で さらに の制 限 は

お い て0微 分 で あ る.

と 矛 盾 す る. 

  こ の 定 理 に い うK0をK/Fの

と き,

(証終) 最 大 分 離 的 部 分 体 とい う.KがFの

な わ ちF上

分 離 的 な 元 全 体 の な す 体 を,Fの

代数的 分離 代

  非 分 離 的 拡 大 体 を もた な い 体 を 完 全 体 とい う.標 数0の しか に 完 全 体 で あ るが,他

の 例 と して 有 限 体,す

が 完 全 体 で あ る.そ れ を い うつ い で に,こ

体 や代 数 的閉 体 はた

なわ ち有 限 個 の元 か らな る体

こ で し ば ら く有 限 体 の 性 質 を しら べ

よ う.   有 限 体Fがq個

の 元 か ら な り,Fの

標 数 がpで

あ る とす れ ば,Fはp個

元 か ら な る 素 体 の上 の ベ ク トル 空 間 で あ る.故 にFの り,q=pfと   Fの0以 ら,F×

の 元 は す べ てxq−1−1=0の

な い か ら,結

とか く と,F×

局 

素 数 と し,q=pfをpの

の 根 は 体 を な す.そ

あ るか

任 意 のベキ と す る.標 数pの 最 小 分 解 体 で も あ り,Fの

ら,素 体 の 代 数 的 閉 包 を1つ 標 数 がpの

と きに は,定

お く と,f′(x)=0と

中 でxq−x=0

の 元 か ら な る 標数pの

数 で な い 既 約 多 項 式f(x)∈F[x]が

必 要 十 分 で あ るが,f(x)=a0xn+a1xn−1

な る た め に は,す べ て のiに

項 の うち,次

数 がpで

つ い て(n−i)ai

らai=0と

なることと

わ り切 れ な い もの はす

べ て0に

な る と きに か ぎ ってf′(x)=0で

あ る.故 にf(x)=f0(xpe)と

うなpの

ベ キpeお

と っ て,f0(x)が

よびf0(x)∈F[x]を

形 に あ らわ さ れ な い よ うに し た と き,f(x)はe≧1の 的 で あ り,ま たf0(x)は

有

の 中 で 一 意 的 に 定 ま る.

必 要 十 分 で あ り,こ の こ とは さ らに,p×n−iな

同 等 で あ る.す な わ ち,f(x)の

素 体 の上 で

素体 の上 の最 小分 解 体 であ るか

あ たえ て お け ば,そ

非 分 離 的 に な る た め に は,f′(x)=0が

  さ て 標 数pの

しか

一 致 しな け れ ば な ら な い.

ベ キqに つ い て,q個

限 体 は 必 ず 存 在 す る.し か も そ れ はxq−1−1の

  一 般 に 体Fの

根 はq−1個

素 体 の上 の 最 小 分 解 体 で あ る.

の 体 は 従 っ てFと

  以 上 の こ とか ら,任 意 のpの

=0が

の 位 数 はq−1で

とい う分 解 が で き る こ とに な

xq−1−1の 最 小 分 解 体Fはxq−xの

+…+anと

キで あ

根 で あ る.xq−1−1=0の

る.こ れ か らわ か る よ うに,Fはxq−1−1の

のq個

元 の 個 数 はpのベ

な る. 外 の 元 の な す 乗 法 群 をF×

  逆にpを

の

なるよ

も は やf1(xp)の と き に か ぎ って 非 分 離

分 離 的 な 既 約 多 項 式 で あ る.

体 に お い て は,qがpの

ベ キ な らばxq−1−1は

分離 的多項 式

だ か ら,有 限 体 の 元 は 常 に 素 体 の 元 を 係 数 とす る分 離 的 多 項 式 の0点

とな る こ

とに な り,従 っ て 有 限 体 が 完 全 体 で あ る こ とが わ か る.   有 限 体Fがq個

の 元 か ら な れ ば,xqf−x=0の

根 全 体 はFを

元 か ら な る 有 限 体 を つ く る.こ れ に よ っ て 有 限 体Fは て,f次

の 拡 大 体 を もつ こ とが わ か る.そ

的 閉 包 の 中 で は,xqf−xの   定 理1.39 

任 意 の 自然 数fに

の つい

の よ うな 拡 大 体 は,Fの1つ

の代 数

最 小 分 解 体 と して 一 意 的 に 定 ま る.

有 限 体 の0以 外 の 元 は 乗 法 に つ い て 巡 回 群 を つ く る.

  証 明   有 限 体Fの0以

外 の 元 の な す 乗 法 群F×

ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理(定 理1.30)に

よ っ て,F×

の 巡 回 群 を 少 な く と も2つ 含 む(1.5例 題3参 い てl2個

含 み,qf個

が 巡 回 群 で な い と す る と, は あ る 素 数lに

照).こ

つ い て 位 数l

れ はxl−1=0がFに

以 上 の 異 な る根 を もつ こ とを 意 味 し,不 合 理 で あ る. 

お (証終)

  有 限 体 の こ とは ひ と まず こ こ ま で と し,ふ た た び 話 を 一 般 の場 合 に も どす.   定 理1.40  がFに

体Fの

代 数 拡 大 体F(α,β)に

関 して 分 離 的 な ら ば,F(α,β)は

お い て,α,β

の 少 な く と も一 方

単 純 拡 大 体 で あ る.ま たFの

有限次

分 離 的 拡 大 体 は 常 に 単 純 拡 大 体 で あ る.   証 明  α がFに 関 して 分 離 的 で あ る と仮 定 す る.α,β 項 式 を そ れ ぞ れf(x),g(x)と て,Ω

し,F(α,β)の1つ

の 中 に お け る.f(x)=0の

β1,…,βmと す る.Fが で あ るか ら,Fが i=i′,j=j′

のFに

の 代 数 的 閉 包Ω

根 を α1,…,αn,g(x)=0の

有 限 体 の と き は 定 理1.39に

無 限 個 の 元 を 含 む とす る.そ

関 す る最 小 多 を 固定 し

互 い に 異 な る根 を

よ って 本 定 理 は あ き らか

うす れ ば 

で な い か ぎ りな りた た な い よ うにc∈Fを

が と る こ とが で き る.

こ れ は−(βj− βj′)/(αi− αi′)の形 の 元 が 有 限 個 しか な い こ とか ら あ き ら か で あ る.今

η=cα+β

とお き,多

F(η)[x]で

あ り, 

方 か ら,α

以 外 のαiに

項 式g(η−cx)=h(x)を

で あ る か ら,h(α)=0と つ い て は,決

こ とは な く,そ れ 故h(αi)=0と

して 

な る こ とは な い.従

と の 共 通 根 は Ω に お い て α しか な く,f(x)=0が とh(x)と

のΩ[x]に

故 にf(x)とh(x)と

考 え る と,h(x)∈ な る.し

とり

とい う関 係 の な りた つ ってf(x)=0とh(x)=0 重 根 を もた な い か ら,f(x)

お け る 最 大 公 約 多 項 式 の1つ がx− のF(η)[x]に

か もcの

α で あ た え られ る.

お け る 最 大 公 約 多項 式 は す べ て γ(x−α),

(γ∈F(η)),の

形 とな り,こ の こ とか ら α∈F(η)で

て 

な け れ ば な らな い.従

で あ り,当 然 

で あ る.

  次 に 定 理 の 後 段 で あ る が,K/Fが

有 限 次 分 離 的 な ら ば,K=F(α1,…,αm)

とな る α1,…,αm∈Kが

す べ てFに

とれ,αiは

つ い て 分 離 的 で あ る.故 に 定

理 の 前 段 の こ とを く りか え して 用 い れ ば,K=F(η)と

な る η∈Kの

か る. 

とを 固 定 し,種

々 の 議 論 に あ ら わ れ る 体 は,こ

そ の1つ

の代数 的 閉包 Ω

とわ らな くて もす べ てFを

含

に 含 まれ る も の とす る.

  KがFの

代 数 的 拡 大 体 で あ る と き,Kか

像 σをKのFの の 元 で,Kが α のFの

上 の 共 役 写 像,Kσ

らあ る体Kσ

をKのFの

α を 含 む 体 で あ る と き,K/Fの

上 の 共 役 元 とい う.KのFの

に よ っ て,Ω

へ のFの

の Ω の 上 へ の 共 役 写 像 で,σ

の こ とか ら,α ∈Ω のFに

上 の同型写

上 の 共 役 体 とい う.ま た α が Ω 共 役 写 像 σに よ る α の 像 ασを,

上 の 共 役 写 像 σは,Ω

像 に 延 長 で き る.な ぜ な ら Ω は 同 時 にK,Kσ

る.こ

存 在 がわ (証終)

  こ れ か ら ガ ロ ア 理 論 の ま とめ に 入 る.以 後 体Fと

み,Ω

っ

のFの 上 の 共 役 写

の 代 数 的 閉 包 だ か ら,定 理1.35 を延 長 す る ものが存 在す る ので あ

関 す る共 役 元 は α を 含 む 代 数 的 拡 大 体Kの

と り方 に 無 関 係 で あ る.   K/F,L/Kが

共 に 代 数 的 拡 大 体 の と き,K/Fの

と し,σiの

Ω へ の延 長 を1つ

とっ て や は り σiで あ ら わ す.ま

な る共 役 写 像 を τ1,τ2,… とす る.こ の と き,Lの がL/Fの

異 な る 共 役 写 像 を σ1,σ2,… たL/Kの

異

写 像 τiσj,(i,j=1,2,…),

異 な る共 役 写 像 の 全 体 で あ る.

  K/Fがn次

の 分 離 的 拡 大 体 な らば,定

役 写 像 の 数 は ち ょ う どnで

K/Fがn次

よ っ て,K/Fの

異 な る共

あ り,ま た 共 役 写 像 の Ω へ の 延 長 の存 在 か ら,す

べ て の 共 役 写 像 で うご か な いKの   定 理1.41 

理1.40に

元 はFの

の 拡 大 体 で,n個

元 に か ぎ る. の 異 な る共 役 写 像 を もて ば,K/F

は 分 離 的 で あ る.   証 明   K/Fが に 入 らな いKの

非 分 離 的 な らば,そ 元 α のK0に

の 最 大 分 離 的 部 分 体 をK0と

関 す る最 小 多 項 式 はxp6−aの

す れ ば,K0 形 で あ る(pは

標 数).xp6−a=(x−

α)p6だ か ら α の 共 役 元 は α しか な く,K/K0の

は 恒 等 写 像 しか な い.故   ガ ロア 理 論 は,体

にK/Fの

的 拡 大 体 で,KのFに

を 固 定 して 考 え る.K/F,(K⊂Ω),が

関 す る 共 役 体(⊂Ω)が

をFの

ガ ロ ア 拡 大 体 とい う.

  F係

数 の 方 程 式f(x)=0のF上

  K/Fが

しか な い.(証 終)

の 分 離 的 拡 大 体 を 群 論 的 に あ つ か う重 要 な 理 論 で あ る.体

Fお よ び そ の 代 数 的 閉 包Ω

あ れ ば,K/Fは

共 役 写 像 は(K0:F)個

共 役写像

す べ てKと

有限 次 分離

一 致 す る と き,K

の最 小 分 解 体KがFの

分離 的 拡大 体 で

ガ ロア 拡 大 体 で あ る.

ガ ロア 拡 大 体 な ら ば,K/Fの

任 意 の部 分 体F′

に つ い て,K/F′

も

ガ ロ ア 拡 大 体 で あ る.   K/Fが

ガ ロ ア 拡 大 体 な らば,K/Fの2つ

(ασ)τ,(α∈K),に

よ って σ と τ と の 積 στ を 定 義 す れ ば,K/Fの

像 全 体 は 群 を な す.こ と き,K/Fを

れ をK/Fの

ア ー ベ ル 拡 大 体,巡

  K/Fがn次

の共 役 写 像 σ,τに つ い て,ασ τ=

ガ ロア 群 とい う.ガ

ロ ア 群 の す べ て の 元 で うご か な いKの   定 理1.42 

有 限 群Gの

ロ ア群 が ア ー ベ ル 群 の

回 群 の と き巡 回 拡 大 体,等

の ガ ロ ア拡 大 体 な ら ば,K/Fの

とい う.

ガ ロ ア 群 の 位 数 はnで

元 はFの

共 役写

あ り,ガ

元 に か ぎ る.

各 元 σ が, 

に よ って 体Kか

の 上 へ の互 い に 異 な る 同 型 写 像 を ひ き お こ し,  と き,すべ

て の σ∈Gで

動 か な いKの

は ガ ロ ア 拡 大 体 で,(K:F)=￨G￨で   証 明   θ∈Kに GのHに

はF上

であ る

元 全 体 はKの

部 分 体Fを

な す.K/F

あ る.

つ い て,θ σ=θ とな る σ∈G全

体 の な す 部 分 群 をHと

よ る 左 剰 余 類 の 代 表 元 を σ1,…,σmと して 

ば,g(x)の

係 数 は す べ てGの

分 離 的 で あ る.故

体K′ に つ い て,F(θ)=K′ の 次 数 はnよ ら(K:F)≧n.故 な る.Kは

り,K/FのF上

σ∈GでKの

す れ ば,g(x)

方 共 役 写 像 がn個

∈GがK/Fの

って θ

有 限 次 な任 意 の部 分

とな る よ うに θが とれ る.n=￨G￨と

り大 き くな い か ら,(K:F)≦n.一

し, とお け

元 で うご か な い か ら,g(x)∈F[x].従

に 定 理1.40よ

に(K:F)=nで,σ

らK

あ る こ とか

す べ て の共 役 写像 と

上 へ うつ され て い る か ら,K/Fは

ガ ロア 拡 大 体 で

あ る. 

(証終)

  定 理1.43  (ガ ロ ア の 基 本 定 理)K/Fが で あ る とす る.K/Fの 全 体 の な すGの Hの

部 分 体Lに

つ い て,Lの

部 分 群 をG(L)で

各 元 で うご か な いKの

元 全 体 の な すKの

￨G(L)￨.ま

そ の ガ ロア 群

各 元 を うご か さ な いGの

あ らわ し,逆 にGの

と き,K(G(L))=L,G(K(H))=Hが   証 明   K(G(L))⊃Lは

ガ ロア 拡 大 体,Gが

部 分 群Hに

部 分 体 をK(H)と

元

つ い て, か く.こ の

な りた つ. あ き らか で あ る.前

た￨G(L)￨=(K:L).故

定 理 に よ っ て(K:K(G(L))=

に(K:K(G(L)))=(K:L)で

あ り,

K(G(L))=L.   次 にG(K(H))⊃Hは り,ま

あ き らか で あ る.￨G(K(H))￨=(K:K(H))で

た 前 定 理 か ら(K:K(H))=￨H￨.故

あ

に￨G(K(H))￨=￨H￨で

あ り,

G(K(H))=H. 

(証終)

  こ の 定 理 に よ っ て,K/Fの G(L),H→K(H)が   定 理1.44 

部 分 群 との 間 に1対1の

対 応L→

あ た え られ る. K/Fが

ガ ロ ア 拡 大 体,そ

の 部 分 体,HをLに て,Lσ

部 分 体 とGの

対 応 す るGの

に 対 応 す るGの

Hσ,(σ ∈G),に 

  証 明   α∈L,h∈Hと

につ い てLσ=Lで

た,HがGの

い

正規 部

共 役 写 像 を 対 応 さ せ る こ とに

こ れ で σ−1Hσ がLσ 拡 大 体 で あ る た め に は,す

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ

に つ い て σ−1Hσ=Hで

意 の σ∈Gにつ

同 型 に な る.

す れ ば  にL/Fがガロア

と き,LをK/F

ガ ロ ア拡 大 体 で あ る.そ の とき に は 剰 余 類 とい うL/Fの

ガ ロア 群 はG/Hと

る こ とが い え る.次

部 分 群 とす れ ば,任

部 分 群 は σ−1Hσで あ る.ま

分 群 で あ る と きに か ぎ って,L/Fは

よ っ て,L/Fの

の ガ ロア 群 がGの

の こ と は,す

に対 応す

べ て の σ∈G べ て の σ∈G

あ る こ と と同 等 で あ る.最 後 の 主 張 は 明 白 で あ る. (証終)

  定 理1.45 

K/Fを

あ る代 数 的 閉 体Ω 拡 大 体 で,そ

ガ ロア 拡 大 体,L/Fを

任 意 の 拡 大 体 と し,K,Lが

の 部 分 体 に な っ て い る と す る.こ

の 次 数 は(K:K∩L)に

等 し く,KL/Lの

の と きKL/Lは

共に ガ ロア

共 役 写 像 σに,σ

の

Kへ

の 制 限 を 対 応 させ る こ と に よ っ て,KL/LとK/K∩Lと

の ガ ロ ア群 は

同 型 と な る.   証 明   K=F(α1,…,αn)と る.αiのLに

な る αi∈Kを

関 す る 共 役 元 は αiのFに

に 含 まれ る.故 にKLはKL/Lの に な り,一

よ っ てKL/Lは

ガ ロア 拡 大 体 で あ る こ とが いえ た.次

Hの

て,(K:K∩L)=￨H￨と

分 離 的 で あ る.こ

に,定

ガ ロ ア群 の 部 分 群Hと

各 元 で うご か な いKの

れ でKL/Lが

理 に い う対 応 で,KL/Lの

ガ ロア

元 で あ る か ら,定 理1.42に

な る. 

さ れ る こ と に な る.Hの

部 分 群Bに

ガ ロア 群Hと

対 応 す るK/F,KL/Lの たML⊂Nで

同一 視

部 分 体 をそ れ ぞ

あ るが,M/K∩Lの

共 役 写 像 に 延 長 さ れ る か らML=N.こ

の 部 分 体 とKL/Lの

よっ (証終)

ガ ロ ア群 は,K/K∩Lの

す れ ば,N∩K=M,ま

像 は す べ てN/Lの

っ てK

同 型 に な る こ とは あ き らか で あ る.

元 はK∩Lの

  こ の 定 理 に よ っ て,KL/Lの

れM,Nと

関 す る共 役 元 とな り,従

あ

す べ て の 共 役 写 像 で そ れ 自身 に うつ る こ と

方 定 理1.38に

群 がK/K∩Lの

とれ ば,KL=L(α1,…,αn)で

共 役写

の よ うに,K/K∩L

部 分 体 とが,M→ML,N→K∩Nに

よ って1対1に

対

応 す る の で あ る.   例 題3 

K1,K2が

共 にFの

ガ ロ ア拡 大 体,G1,G2を

の ガ ロア 群 とす れ ば,K1K2/Fも の 部 分 群 と同 型 で あ る.特 ×G2で

そ れ ぞ れK1/F,K2/F

ガ ロ ア拡 大 体 で,そ の ガ ロ ア 群 は 直 積G1×G2

にK1∩K2=Fな

ら ば,K1K2/Fの

ガ ロ ア 群 はG1

あ る.

  解  K1K2/Fの

ガ ロア 群Gの

し, 

元 σの,K1,K2へ

の 制 限 を そ れ ぞ れ σ1,σ2と

とい う写 像 を 考 え れ ば よ い. 

(以上)

  こ こ で 有 限 体 の場 合 に つ い て ガ ロ ア群 を 具 体 的 に きめ て み よ う.Fをq個 元 か ら な る有 限 体 と し,q=pf0,pはFの Kはqf個

の 元 か らな る.Fは

標 数 とす る.K/Fをf次

完 全 体 で あ る か ら,K/Fは

Kはxqf−1−1のF上

の 最 小 分 解 体 で あ るか ら,K/Fは

pの 任 意 の べキpmに

つ い て, 

写 像 と な る が,特

にm=f0と

す れ ば,α

はKか ∈Fに

の

とす れ ば,

分 離 的 であ るが , ガ ロ ア拡 大 体 で あ る . らKの

つ い て αq=α

上 へ の同 型 で あ る か ら,

 はK/Fの

ガ ロ ア 群 の 元 σを 定 め る こ とに な る.σ の 位 数 をf′

とす れ ば,f′ は αqf′=αが す べ て の α∈Kに 然 数 で あ る.α

と して 特 に 定 理1.39に

αqf′−1=1か らf=f′

とな る.故

つ い て な りたつ よ うな 最 小 の 自

よ って,巡 回 群K×

に σの 位 数 はfで

の 生 成 元 を とれ ば,

あ り,Gは

σで 生 成 され た

巡 回 群 とな る.以 上 を ま とめ て 次 の定 理 を 得 る.   定 理1.46 

q個 の 元 か ら な る 有 限 体 のf次

の 拡 大 体 は 巡 回 拡 大 体 で あ り,

そ の ガ ロ ア 群 は α→ αqに よ って 定 ま る 同 型 写 像 で 生 成 され る.   Rを

体Fの

上 のn次 元 の 多 元 環,ω1,…,ωnをR/Fの

意 の α∈Rに

つ い て, 

現 α→A(α)が

に よって α の正 則表

あ た え られ る.A(α)=(aij)と  を α のR/Fに

N(α)=NR/F(α)を NR/Fα る.ま

基 底 とす る と き,任

α のR/Fに

の よ うに()を た 一 般 に,2つ

列A(α)の

関 す る 跡,A(α)の

固有和

行 列 式detA(α)=

関 す る ノ ル ム とい う.そ れ ら を ま たSR/Fα,

つ け ず に か く こ と も あ る.ノ ル ムは 基 底 に 無 関 係 で あ のn次 正 方 行 列A=(aij),B=(bij)に とな り,こ れ はBAの

固有和は 

お き,行

逆 行 列 な ら,P−1・A(α)Pの

つ い て,ABの

固 有 和 と同 じ で あ る.故 にPが

固 有 和 はA(α)P・P−1=A(α)の

従 って 跡 も また 基 底 に 無 関 係 で あ る.α,β ∈Aな

固 有 和 に 等 し く,

らば,あ

が な りた つ.ノ

可

き らか に 

ル ム,跡

は い ず れ も,

ベ ク トル 空 間 の 自己 準 同 型 写 像 に 対 して 定 義 され る 概 念 で あ る.   K/Fが

有 限 次 拡 大 体 の と きに は,KはFの

の 元 のFに α∈Kの

上 の 可 換 多 元 環 と考 え られ,K

関 す る ノ ル ム,跡 が 定 義 で き る.K/Fがn次

正 則 表 現A(α)の

の 拡 大 体 で あ る と き,

特 性 多 項 式p(x)=det(xI−A(α))をK/Fに

る α の 特 性 多項 式 とい う.こ こ にIはn次

の 単 位 行 列 で あ る.行 列 式 の 展 開 か ら

す ぐわ か る よ うに,p(x)=xn−S(α)xn−1+…+(−1)nN(α)で は 単 写 だ か ら,A(α)の に よ り,p(x)はf(x)の   今K/Fが

最 小 多 項 式f(x)は

あ る.α →A(α)

α の 最 小 多 項 式 で あ り,定 理1.32

ベ キ で あ る.

分 離 的 で,Fの1つ

体 がK(1),…,K(n)で

関す

あ り,Kか

の代 数 的 閉 包Ω らK(i)へ

の 中 に お け るK/Fの

の共 役 写 像 が

共役

で あ らわ され て い る とす る と,任 意 の α∈Kに Fに 関 す る最 小 多 項 式f(x)の0点 い る.α

αの

を 同 じ個 数 だ け ずつ 重 複 した も の に な っ て

の 特 性 多 項 式p(x)はf(x)の

べ キ で あ った か ら,結 局p(x)=(x−

α(1))…(x− α(n))と い う分 解 が 得 られ る.故 が 得 ら れ,ノ

つ い て,α(1),…,α(n)は

に 

ル ム,跡 が そ れ ぞ れ 共 役 積,共

役 和 と して の 意 味

を もつ こ とが わ か る.   K/F,L/Kが

共 に 有 限 次 拡 大 体 で,L/Fが

分 離 的 で あ る と し,α ∈Lと す る

と,定 義 の す ぐ次 に の べ た 共 役 写 像 の 簡 単 な 性 質 の1つ に よ っ て,L/Fの 写 像 がK/FとL/Kの =NL/Fα

共 役 写 像 の 結 合 を 行 っ て あ らわ せ る か ら,NK/F(NL/Kα)

が 得 られ る.こ

か え る だ け で,連   定 理1.47 

共役

れ を ノ ル ム の 連 鎖 律 とい う.跡

鎖 律SK/F(SL/Kα)=SL/Fα

K/Fがn次

に つ い て も積 を 和 に

が 得 られ る.

の 分 離 的 拡 大 体 で,K(i)がKのF上

K∋ α→ α(i)∋K(i)が 共 役 写像 とす る.こ の 基 底 と な る た め に は,行

の と き,Kの

列 式det(ωj(i))ま

こ とが 必 要 十 分 で あ る.但

しK(i)は

の 共 役 体, 元 ω1,…,ωnがK/F

た はdet(SK/Fωiωj)が0で

すべ てFの

ない

あ る代 数 的閉 包 の 中で考 え

る も の とす る.   証 明   定 理1.40に K/Fの

よ ってK=F(θ)と

な る θ∈Kが

基 底 を な す. 

あ り,1,θ,…,θn−1が

とな るF上

とれ ば,ω1,…,ωnは 

の と きに か ぎ ってK/Fの

の 行 列Aを

基 底 と な る.一

方

(ωj(i))=(θ(i)j−1)Aで あ り,右 辺 の θ(i)j−1からな る 行 列 の 行 列 式 は  (i>j),に で な い.故

等 し く,(ヴ

に 

ァ ン デ ル モ ン ド(Vandermonde)の

とdet 

とは 同 等 に な る.次

=t(ωj(i))(ωj(i)に よ ってdet(SK/Fωiωj)=(detωj(i))2と を あ らわ す.こ

行 列 式),0 に(SK/Fωiωj)

な る .tは

れ か ら直 ち に 定 理 の 残 りの 部 分 が 出 る. 

  系   有 限 次 拡 大 体K/Fが

分 離 的 な らば, 

転 置行 列 (証終)

とな る α ∈Kが

存在

す る.   例 題4  K/Fが SK/Fα=0で

あ る.

有 限 次 非 分 離 的 拡 大 体 な らば,す

べ て の α∈Kに

つ いて

  解   α の 特 性 多 項 式 を 最 小 多 項 式 の べキ と し て あ ら わ す と,最 の 項 が 必 ず0に   ノ ル ム,跡

な る か ら で あ る. 

う.Rは K/Fの

(以 上)

の 連 鎖 律 は 分 離 的 拡 大 体 に つ い て 証 明 した だ け で あ っ た か ら,こ

の 拡 大 体 は もち ろ ん,ベ   Rが 体Kの

またFの

こで一般

ク トル 空 間 に つ い て も適 用 で き る形 で 別 証 を あ たえ て お こ う.

上 の有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 で あ り,Kが

体Fの

有 限 次 拡 大 体 で あ る と しよ

上 の 有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 と も考 え られ る.R/Kの

基 底 を α1,…,αnと

… ,ωNα1,…,ωNαnを

し,RをK右

加 群 とみ れ ば,R/Fの

と る こ とが で き る.こ

を そ れ ぞ れAR/K,AK,ARで

基 底 を ω1,…,ωN,

基 底 に ω1α1,…,ω1αn,

れ ら3組 の 基 底 に よ っ て 得 られ る 正 則 表 現

あ らわ そ う.R/Kの

自己 準 同 型 写 像aに

つ い て,AR/K(a)=

とす れ ば,

(aij), 

 と な るか ら,AR(a)はAR/K(a)の 次 の 正 方 行 列 で あ る.す

要 素aijを

そ の 表 現Aijで

な わ ちAR(a)=(Aij).故

お きか え て で き るN・n

にAR(a)とAijと

の固有和 の関係

が 得 られ る.ノ

か ら, 

を 証 明 す る に は,行

列 を 標 準 形 に な お して 考 え る のが 便 利 で あ る.す

を 適 当 に と りな お せ ば,上

ル ムの連鎖 律

な わ ちR/Kの

基底

記 のAR/K(a)は

の 形 の 行 列 が い くつ か 対 角 線 型 に 並 ん だ も の とす る こ とが で き る.Aの K/Fに

高 次 の項 の次

各 要 素をそ の

関 す る 正 則 表 現 で お きかえ た 行 列 の 行 列 式 は(−1)dndetAK(ad)と

detA=(−1)dadのK/Fに

関 す る ノル ム と 一 致 す る.故

な る.こ れ は

に ノル ム に つ い て も連 鎖 律 が な

りた つ こ とが わ か った.

  1.7  位 相 群 論 よ り   集 合Rが

位 相 空 間 で あ る,あ

す べ て の 部 分 集 合XにXの

る い はRに

位 相 が 定 め られ て い る と は,Rの

閉 包 と よば れ るRの

部 分 集 合Xが

対 応 させ られ

て い て,そ れ が 次 の 条 件 を 満 足 す る こ と を い う.   1) X⊂X,2) 

X⊂Yな

らばX⊂Y,3) 

や は りRの

部 分 集 合 を,φ

X=X,4) 

X∪Y=X∪Y,5) 

φ

=φ.   こ こでYは 空 間Rの

元 は ま たRの

よ ば れ る.補 集 合cXが

は 空 集 合 を あ らわ す の で あ る.位 相

点 と よば れ る.X=Xと 閉 集 合 で あ る と き,Xは

な る部 分 集 合 はRの

閉集 合 と

開 集 合 で あ る とい う.任 意 個

の 閉 集 合 の 共 通 部 分 は ま た 閉 集 合 で あ る.任 意 個 の 開 集 合 の 合 併 は ま た 開 集 合 で あ る.さ

らに,有

限 個 の 閉 集 合 の 合 併 は 閉 集 合,有

は 開 集 合 で あ る.R自   Rの1点aを 族 をaの

身 お よ び φ は 開 集 合 で も あ り,閉 集 合 で も あ る.

含 む 開 集 合 を 含 む 集 合 をaの

近 傍 系 とい う.aの

を とれ ば,す

含 む.2′) 

ら ばU∩V∈νa.4′) 

べ て のb∈Vに

  4′)につ い て はVと

近 傍 とい う.ま たaの 近 傍 全 体 の

近 傍 系 をνaと

  1′)  任 意 のU∈νaはaを 3′)  U,V∈νaな

限 個 の開 集合 の 共通 部 分

か け ば,νaは U∈νaでU⊂Vな

U∈νaの

対 してU∈νbと

してaを

含 みUに

次 の 性 質 を もつ. らばV∈νa.

と き 適 当 に も う1つ のV∈νa な る.

含 まれ る 開 集 合 を とれ ば よい.そ

の他

は すべ て あ き らか で あ る.   今Rを

任 意 の 集 合 と し,各a∈Rに

つ い てRの

部 分 集 合 の 族νaで あっ て,

1′)−4′)をみ た す もの が あ た え ら れ た と し よ う.こ ど のU∈νaを

と って も 

ば,こ

閉 包 の 条 件1)−5)を

のXは

で あ る よ うなa∈Rの

∈νaを と っ て,す べ て のb∈Vに 中 に はXの

りU∈νbの

中 に はXの

と あ わ せ て3)が もXま

た はYと

な る よ うに で き る.仮 定 に

点 が 存 在 す る.そ れ をbと

考 え れば ふた た び仮 定 に よ

点 が 存 在 す る.こ れ でX⊂Xが

出 る.次

にa∈X∪Yと

交 わ る が,も

る.こ

い え た.故

にXかYの

一方 はす べ ての

な りた つ.X∪Y⊃Xお

あ き らか だ か ら,こ れ で4)が

の と き最 初 のνaは 位 相 空 間 とな ったRに

お い て,ち

に な っ て い る の で あ る.そ れ に は,U∈νaとUがaを で い る こ と とが 同 等 で あ る こ とを い え ば よい.ま

いず れ

で あ った とす れ ば

閉 包 と定 義 す る こ とに よ り,Rは

で あ る か らaは 閉 包 の 定 め 方 か らcUに

にX⊂X

す る と任 意 のU,V∈νaは

しU∩X=φ,V∩Y=φ

らX∪Y⊃X∪Yは ってXをXの

な るV

つ い てU∈νbと

U∈νaと 空 で な い 共 通 部 分 を も ち,X∪Y⊂X∪Yが

け で あ る.従

すれ

明 白 で あ る か ら3),

と る.4′)に よ っ てV⊂Uと

 とな り3′)に反 す る.故

よびX∪Y⊃Yか

つ い て,

全 体 をXと

満 足 す る.1),2),5)は

4)を 示 そ う.任 意 のU∈νa,(a∈X),を

よ りVの

の と き,X⊂Rに

属 さ な い.cUの

位 相 空 間 とな

ょ う どaの 近 傍 系

含 むRの ずU∈νaと

い えたわ

開 集合 を含 ん

す る.cU∩U=φ

補 集 合 をVと

すれ

ば,V⊂Uで

あ り,Vは

で,UがVを

含 むRの

に 属 すaに

開 集 合 でaを 含 む.逆

部 分 集 合 で あ る とす る と,cVは

つ い て はW∈νaが

か らUがWを

にVがaを

含 み,従

あ ってW∩cV=φ

間Rの

開集 合

閉 集 合 で あ る か ら,V

とな る.VはWを

っ て2′)か らU∈νaと

  以 上 の こ とか らわ か る よ うに,空

含 むRの

含む

な る.

位 相は 各 点 の近傍 系 を あた えて 定め

る こ と もで き る の で あ る.   位 相 空 間Rの 任 意 のU∈νaは

各 点aに

つ い て,aの

近 傍 系νaの

部 分 族νa′ が あ た え られ,

あ るU′ ∈νa′を 含 ん で い る とす る.こ

の と きνa′ はaの

近

傍 系 の 基 で あ る とい う.νa′ は 次 の 性 質 を もつ.   1″) U∈νa′ な らa∈U,2″) 

U,V∈νa′ な らU∩Vは

あ るW∈νa′

む,3″) U∈νa′ の と き,適 当 に も う一 つ のV∈νa′ を とれ ば,ど つ い て もνb′ はUに   と こ ろ が,あ

のb∈Vに

含 まれ る 集 合 を 含 む.

る 集 合Rの 各 元 に1″),2″),3″)を満 足 す るRの 部 分 集 合 の 族νa′

が あ らわ れ て い る とす れ ば,νa′ に 属 す 集 合 を 含 む 集 合 全 体 の 族 をνaと と き,νaは

を含

あ き らか に 近 傍 系 の 条 件1′)−4′)を 満 足 す る.従

ってRに

定 ま り,そ の 位 相 に つ い て は じめ のνa′は 近 傍 系 の 基 と な っ て い る.こ

お く

位相が のよ う

に 位 相 は 近 傍 系 の 基 を あ た え て定 め る こ と も で き る の で あ る.近 傍 系 の 基 の 条 件3″)は や や め ん ど うで あ る が,3″)が

満 足 され るた め の1つ

の十分 条 件 と し

て 次 の3″a)が あ げ られ る.   3″a)U∈νa′ の と き,任 意 のb∈Uに   位 相 空 間 の 近 傍 系 の 基 の 例 と して は,点

つ い てU∈νb′

で あ る.

の近 傍 で あ って 開 集 合 で あ る も の,

す な わ ち 開 近 傍 全 体 の 族 が あ る.こ れ に つ い て は,1″),2″)お

よ び3″a)が 満 足

され る.   位 相 は さ ら に 閉 集 合 を 出 発 点 と して 入 れ る こ と も で き る.Rを れ ば,Rの

位 相 空 間 とす

閉 集 合 全 体 の 族 Γ は 次 の 性 質 を もつ.

  Ⅰ) Γ に 属 す 集 合 の 任 意 個 の共 通 部 分 は Γ に 属 す.Ⅱ)  Γ に 属 す 集 合 の 有 限 個 の 合 併 は Γ に 属 す.Ⅲ)  R自   と こ ろ で,Rを

身 お よび φ は Γ に 属 す.

集 合 と し,こ のⅠ),Ⅱ),Ⅲ)を

満 足 す るRの

部 分 集合 の族 Γ

が あ た え られ た と し よ う.任 意 のX⊂Rに の 共 通 部 分 をXと

お く と,こ のXが

は 位 相 空 間 とな り,Γ

つ い て,Xを

含 む す べ て のX′ ∈Γ

閉 包 の 条 件 を す べ て 満 足 す る.故 にR

は ち ょ う ど そ の 位 相 に よ る 閉 集 合 全 体 の 族 に な る.

  開 集 合 の 族 を あ た え て 位 相 を 定 め る こ と も同 様 に で き る.そ れ に は,次 条 件 を 満 足 す るRの

部 分 集 合 の 族Δ

を 開 集 合 の 族 と して あ た え れ ば よい.

  Ⅰ′)  Δ に 属 す 集 合 の 任 意 個 の 合 併 はΔ の 共 通 部 分 はΔ

に 属 す.Ⅲ′)  R自

  こ の こ とは,閉   位 相 空 間Rか

に 属 す.Ⅱ′) Δ に 属 す 集 合 の 有 限 個

身 お よび φ はΔ

に 属 す.

集 合 の 補 集 合 が 開 集 合 で あ る こ とを 考 え れ ば 当 然 で あ る. ら も う1つ の 位 相 空 間Sの

Sの 任 意 の 開 集 合 に つ い て そ のfに

中 へ の 写 像fが

よ る 逆 像 がRの

連 続 で あ る とは,

開 集 合 で あ る こ とを い う.

こ れ は 閉 集 合 の 逆 像 が 閉 集 合 で あ る こ と と もい い あ らわ せ る が,さ a∈Rに

の3

つ い て,f(a)の

近 傍 の 逆 像 がaの

らに 任 意 の

近 傍 で あ る とい っ て も 同 じ こ とに

な る.   Rか

らSへ の 写 像fがRの1点aに

お い て,f(a)の

の 近 傍 で あ る とい う条 件 を 満 足 す る と き,fはaに Rか

らSへ の 写 像fが

任 意 の近 傍 の 逆 像 がa

お い て 連 続 で あ る とい う.

連 続 で あ る とい う こ とは,fがRの

すべ て の 点 で 連 続

お い て,fがRか

らTへ

な こ と と もい え る.   位 相 空 間R,S,Tに な らば,g°fはRか   1つ の 集 合Rに 定 義 し よ う.Rに2つ

らTへ

の連 続写 像

の 連 続 写 像 で あ る.

もい くつ か の 位 相 が 入 り うる.そ れ ら の 位 相 に つ い て 強 弱 を の 位 相 が 定 義 され,第1の

相 に よ る 開 集 合 で あ る と き,第2の 第2の

らSへ の,gがSか

位 相 は 第1の

位 相 に よ る 開 集 合 が 第2の 位 相 よ り強 い,第1の

位

位相 は

位 相 よ り弱 い とい う.開 集 合 とい うか わ りに 閉 集 合 とい っ て も全 く同 じ

で あ る.す

な わ ち 位 相 は 閉 集 合 また は 開 集 合 が"多

け で あ る.Rに

入 る 最 も 強 い 位 相 はRの

く"な る ほ ど強 い とい うわ

す べ て の 部 分 集 合 を 開 集 合,従

って閉

集 合 と した 位 相 で あ る.こ れ を 離 散 的 な 位 相 とい う.逆 に 最 も弱 い 位 相 はRと φ だ け を 開(閉)集 合 と した 位 相 で あ る.   例 題1 

同 じ集 合Rに2つ

の 位 相 を 入 れ て 作 られ た 位 相 空 間 をR1,R2と

す

る と き,R1の

位 相 がR2の

位 相 よ り強 い と い う こ とは,恒

等 写 像id:R1→R2

が 連 続 と い う こ と と同 等 で あ る.   解   定 義 の い い か え で あ る.    位 相 空 間R,Sにつ うつ す と き,fは

い て,Rか

たRか

が 共 に 連 続 で あ る と き,fはRか に よ っ て あ た え られ るRとSと

開 集 合 をSの

開集 合に

らSの 上 へ の1対1の

写 像fが

あ り,f,f−1

らSの 上 へ の 同相 写 像 で あ る と い い,f,f−1 の1対1対

応 を 同 相 対 応 とい う.同 相 対 応 を も

の 位 相 空 間 を 同 相 で あ る とい う.

  位 相 空 間Rの

部 分 集 合Xが

閉 集 合 と定 め れ ばXは をRの

らSへ の 写 像fがRの

開 写 像 で あ る とい う.同 様 に 閉 写 像 は 閉 集 合 を 閉 集 合 に うつ

す 写 像 と して 定 義 す る.ま

つ2つ

(以上)

あ る と き,Rの

位 相 空 間 とな る.こ

部 分 空 間 と い う.Xの

る よ うなXの

  位 相 空 間Rの 分 集 合Xに

の 共 通 部 分 をXの

の よ うに して 位 相 を 入 れ た と き,X

こ の 位 相 は,Xか

位 相 の うち,最

の 近 傍 は,aのRに

閉 集 合 とXと

らRへ

の恒 等写 像 が 連続 に な

も 弱 い も の で あ る.部 分 空 間 の 点 と し て のa∈X

お け る 近 傍 とXと

の 共 通 部 分 とな る.

類 別 が あ た え ら れ た と し,そ の 類 の 集 合 をRと

つ い て,Xに

属 す 類 全 体 の 合 併 集 合 がRの

の 閉 集 合 と定 義 す れ ば,Rは 剰 余 空 間 の 位 相 はRか

剰 余 空 間 とい う.

の 標 準 的 写 像 が 連 続 に な る よ うなRの

ってU⊂Rがa∈Rの

の 類 全 体 のRに お け る 合 併 集 合 が 類aに

部

閉 集 合 の と きXをR

位 相 空 間 とな る.こ のRをRの

らRへ

ち最 も強 い も の で あ る.従

し よ う.Rの

位相 の う

近 傍 で あ る た め に は,U

属 す す べ て のRの

点 の近 傍 で あ る こ

とが 必 要 十 分 で あ る.   集 合Rに

い くつ か の 位 相 が 入 って い る とき,そ れ らの どれ よ り も強 い 位 相 の

うち に は,最

も弱 い も の が 存 在 す る.そ れは,ど

れ か の位 相 で 開 集合 で あ る集

合 全 体 の 族 を と り,そ の 族 の 集 合 の 任 意 個 の 合 併 お よび 有 限 個 の 共 通 部 分 を 開 集 合 と して 定 義 され る 位 相 で あ る.ま た,あ も弱 い 位 相 の 中 に は,最

ら か じめ 入 って い る ど の 位 相 よ り

も強 い も の が 存 在 す る.そ れ は,ど

の位 相 で も開集合

で あ る 集 合 を 開 集 合 と して 定 義 さ れ る 位 相 で あ る.こ れ らの こ とに よ り,1つ の 集 合 に 入 る位 相 全 体 を,強

弱 に よ って 順 序 集 合 とみ れ ば,そ

の順 序 集 合の任

意 の 部 分 集 合 は 上 端 お よび 下 端 を もつ こ とが わ か る.   位 相 空 間Rの

開 集 合 の 族Δ′ が あ り,Rの

併 と して あ ら わ さ れ る と き,Δ′ はRの た い くつ か の 位 相 の上 端 位 相 は,ど

任 意 の 開 集 合 がΔ′ の 集 合 の 合

開 集 合 の 基 で あ る とい う.上 に 説 明 し

れ か の 位 相 で 開 で あ る 集 合 の,有

限個 の共

通 部 分 全 体 を 開 集 合 の 基 と して 得 られ て い る の で あ る.   例 題2 

集 合Xか

ら位 相 空 間Rへ うなXの

の 写 像fが

あ る と き,fが

連 続 にな る よ

位 相 の うち 最 も弱 い も の とは,任 意 の 位 相 空 間

Sか らXへ

の 写 像gが

あ る とき,h=f°gの

連続 性か ら

gの 連 続 性 が 結 論 で き る よ うな 位 相 で あ る こ とを 証 明 せ よ.ま

た こ の こ とを,XがRの

適 用 す る と,ど

うい う結 果 が 得 られ る か.

  解   hの 連 続 性 か らgの 連 続 性 が 出 る よ うにXに X,g=idと

部 分空 間 であ る場 合に

お く こ とに よ り,例 題1か

ら,そ

位 相 が 入 って い れ ば,S=

の 位 相 がfが

連 続 に な る位 相 の

うち 最 も 弱 い こ とが わ か る.逆 は 連 続 性 の 定 義 か ら直 接 い え る.特 の 部 分 空 間 とす れ ば,任 意 の 位 相 空 間Sか とみ て 連 続 な ら ば,Sか

らXへ の 写 像 が,Sか

にXをR

らRへ

ら部 分 空 間 へ の写 像 と して 連 続 で あ る,と

い う結 果 が

得 られ る.    例 題3  うなRの

の写 像

(以上)

位 相 空 間Xか

ら集 合Rへ

の写 像fが

位 相 の うち 最 も強 い も の とは,Rか が あ る とき,h=g°fの

あ る と き,fが

連続 に な る よ

ら任 意 の 位 相 空 間Sへ 連 続 性 か らgの

の 写 像g

連続 性 が結 論 で

き る よ うな 位 相 で あ る こ とを 証 明 せ よ.ま た こ の こ とを, RがXの

剰 余 空 間 で あ る 場 合 に 適 用 す る と,ど

うい う結

果 が 得 られ る か.   解   前 半 は 前 例 題 と 同 様 で あ る.ま たRがXの 空 間 な ら,Xか 空 間Sへ

らRへ

の 写 像gを 続 け て 行 っ た もの が,Xか

の 標 準 的 写 像 に,Rか

剰余

らあ る位 相

らSへ の 連 続 写 像 で あ れ ば,g

が 連 続 で あ る,と い う結 果 が 得 られ る.    今 度 は 位 相 空 間 の 積 空 間 とい う も の を 定 義 し よ う.あ る 集 合Aの

(以上) 元 αに対 し

て1つ

ず つ 位 相 空 間Rα

し,1つ

が あ る とき,Rα

のa=(…,aα,…)∈Rお

うに と る.す

の 直 積 集 合 をR=ΠRα,(α

よび 各 α∈Aに

な わ ち α∈Aの

つ い て,Uα

こ の よ うなU全

⊂Rα を 次 の よ

うち 有 限 個 の も の に つ い て はUα

Rα に お け る 開 近 傍 を と り,そ の 他 の も の に つ い て はUα=Rα 体 の な す 族 をνa′ とす る.そ

の 際,有

∈A),と

と してaα の

とお くの で あ る.

限 個 の α∈Aも

あら

ゆ る 可 能 な と り方 で うご か す の で あ る.νa′ は 近 傍 系 の 基 の 条 件1″),2″),3″a) を 満 足 す る.故 にνa′ はRに 間RをRα

位 相 を 定 め る.こ の よ うに して 得 られ た 位 相 空

の 積 空 間 とい う.任 意 のU∈νa′

は そ の各 点の近傍 にな ってい る

か らaの 開 近 傍 で あ る.   有 限 個 の α に つ い て はXα

をRα

Xα=Rα

とお い てX′=ΠXα

うなX′

全 体 の 族 をΔ′ とす る と,Rの

に 属 す 集 合 を 含 む.そ

の 開 集 合 と し,そ

を 考 え れ ば,X′

はRの

の他 の α に つ い て は 開 集 合 で あ る.こ

のよ

任 意 の 開 集 合Xはνa′,(a∈X),

の 集 合 は またΔ′ に 属 す か ら,結 局XはΔ′

合 の 合 併 と して あ らわ され る こ とに な る.す

な わ ちΔ′ はRの

に 属す 集 開集 合 の基 で

あ る.   何 個 か の 集 合Rα,(α

∈A),の

直 積 集 合Rの

aα∈Rα に うつ す 写 像fα をRか る と きに は,すべ

そ の成 分

へ の射 影 とい う.Rα が 位 相 空 間 で あ

て のfα が 連 続 に な る よ うなRの

が 積 空 間 と して のRの   定 理1.48 

らRα

元a=(…,aα,…)を

位 相 の うち,最

も弱 い も の

位 相 で あ る.

位 相 空 間Rα

の積 空 間Rか

らRα

任 意 の 位 相 空 間 をSと

へ の 射 影 をfα

と し,一

方

す る と き,左 の 図 式 が 可 換 な ら,

gが 連 続 で あ る た め に は,す

べ て のhα が 連 続 で あ る こ

とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   hα が 連 続 な ら,Rα

の 開 集 合Xα

hα−1(Xα)の有 限 個 の 共 通 部 分 はSの

を と る とき,

開 集 合 で あ る.R

の 開 集 合 はfα−1(Xα)の 形 の 集 合 の 有 限 個 の 共 通 部 分 を 基 とす るか ら,Rの 意 の 開 集 合Oに

つ い て,g−1(O)はSの

任

開 集 合 で あ る.逆 は あ き ら か で あ る. (証終)

  この定理 でS=R,g=idと ち,最 も弱 いの がRの

お けば,すべ

て のfα が 連続 にな る よ うなRの

位 相 であ る ことが わか る.例 題2,例

位 相空 間 の基 本的 性 質は,こ

位相 の う

題3で もそ うで あ った が,

の よ うに図式 に よ ってた いへ んわ か りやす くされ るので あ

る.さ らに注 目すべ き こ とは,例 題2,3,定

理1.48の 図式 をそれ ぞれ 部分 空 間,剰 余空

間,積 空 間 の定義 とみれ ば,こ れ らの諸概 念が テ ンサ ー積 等 の場 合 と同様,万 有写像 性 に よってあ たえ られ てい る こ とであ る.   積 空 間Rか そ れ はRの

ら成 分Rα へ の 射 影fα は 連 続 で あ る だ け で な く開 写 像 で あ る.

開 集 合 が 前 に の べ た よ うに 基Δ′ を も つ こ とか ら あ き ら か で あ る.

  位 相 空 間Rの

部 分 集 合Xに

つ い て,X=Rと

あ る とい う.ま たcXがRで

な る と き,XはRで

稠 密 で あ る と き,XはRで

Rの 点aの 任 意 の 近 傍にa以

外 のXの

稠密で

疎 で あ る とい う.

点 が 含 まれ て い る と き,aはXの

集積 点

で あ る とい う.Xの

集 積 点 は 必 ず し もXに 属 さ な い.Xの

点 で な い も の をXの

弧 立 点 と い う.部 分 空 間 と し てXが 離 散 的 な 位 相 空 間 に な

る た め に は,Xの

点 で あ ってXの

集積

点 が す べ て 弧 立 点 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  位 相 空 間Rが そ れ 自身 お よ び 空 集 合 以 外 に は 開 で あ りか つ 閉 で あ る部 分 集 合 を もた な い と き,Rは がRの

連 結 で あ る とい う.2つ

連 続 像 で あ った とす る.す

な わ ちRか

の 位 相 空 間R,Sに

つ い て,S

らSの 上 へ の 連 続 写 像fが

した とす る.こ の と きRが 連 結 な ら,定 義 か ら直 ち にSも

存在

連 結 で あ る こ とが わ

か る.   例 題4  は,Rの

位 相 空 間Rの 閉 集 合M,Nを

つ い てM′

部 分 空 間Xが

連 結 で あ る た め の1つ

の必要 十 分条 件

ど の よ うに と っ て も,M′=X∩M,N′=X∩Nに

∩N′=φ,M′∪N′=Xで

あ る か ぎ り,XがMかNの

ど ち らか

一 方 に 含 ま れ て し ま う こ とで あ る .   解   位 相 空 間 が 連 結 とは,互

い に 交 らず,ま

た 空 で な い2つ

の 閉(開)集 合 の

合 併 に な ら な い と い う こ と だ か ら で あ る.    位 相 空 間Rの1点aを

含 む す べ て の 連 結 部 分 集 合 の 合 併 は またRの

集 合 で あ る(上 の 例 題 参 照).こ

れ はaを

連 結 成 分 と よば れ る.Rの2点a,bに と きa∼bと

す れ ば,∼

(以上) 連 結 部分

含 む 最 大 の 連 結 部 分 集 合 で あ り,aの つ い てa,bを

は 同値 関 係 とな り,Rは

含む 連結 部 分 集合 が あ る

類 別 され る.そ

の各 類 をRの

連 結 成 分 とい う.各 点 の 連 結 成 分 が そ の 点 だ け か ら な る よ うな 空 間 を 完 全 不 連 結 な 空 間 とい う.   位 相 空 間Rの1点aを

含 み,開

閉 集 合 で あ る か ら,aの

連 結 成 分 はXの

の こ とか ら,aの に 含 ま れ る.こ   例 題5 

連 結 成 分 は,aを

中 に 含 ま れ て し まわ ね ば な ら な い.こ

準 連 結 成 分 とい う.

位 相 空 間 の 連 結 成 分 は 閉 集 合 で あ る.

い え ば よい.今2つ

つ い て,X⊂Y⊂Xと

の 閉 集 合M,Nが

∩N′=φ,M′∪N′=Yと

に つ い て もM″ XはMま

な るYが

な り,Y⊂M.故

位 相 空 間Rの

つい

な った とす る と,M″=X∩M,N″=X∩N

含 ま れ る.そ

にYは

連 結 で あ る こ とを

あ り,M′=Y∩M,N′=Y∩Nに

∩N″=φ,M″∪N″=Xが

た はNに

  例 題6 

とれ ば,cXも

含 み 開 で も閉 で もあ る 集 合 全 体 の 共 通 部 分

の 共 通 部 分 をaの

  解   連 結 部 分 集 合Xに

てM′

で も閉 で もあ る 部 分 集 合Xを

な りた つ か ら,Xの こ で た とえ ばX⊂Mと

連 結性 か ら

す る とX⊂Mと

連 結 で あ る. 

(以上)

連 結 成 分 を そ れ ぞ れ1つ

の 類 と して 得 られ る剰 余 空 間

は 完 全 不 連 結 で あ る.   解   Rの い.前

部 分 集 合Sで2点

以 上 を 含 む も の は 連 結 で は な い こ とを い え ば よ

例 題 に よ りSは 閉 集 合 と して よい.Rか

の 逆 像 をTと

す れ ば,TはRの

T1∪T2,T1∩T2=φ

空 で な い2つ

とあ らわ され る.Rの

わ る こ とは あ りえ な い か ら,T1,T2はRの で あ る.故

にT1,T2の

=S,T1∩T2=φ.故   例 題7 

分 がaの と,R′

の 閉 集 合 の 合 併 と し て,T=

連 結 成 分 がT1と

も交

連 結 成 分 を い くつ か 合 併 した も の

標 準 的 写 像 に よ る 像T1,T2はRの にSは

もT2と

閉 集 合 で,T1∪T2

連 結 で な い . 

(以上)

連 結 空 間 の 積 空 間 は また 連 結 で あ る.

  解   R=ΠRα とす る.今

らRへ の 標 準 的 写 像 に 関 す るS

が 連 結 空 間Rα

α の うち の1つ

α0を 固 定 し,Rの

α 成 分 に 一 致 し,α0成 はRα0と

異 な る よ うなRの

の 積 で あ る と し,Rの1点 点 で 

に つ い て は α成

分 は 任 意 で あ る も の 全 体 の 集 合 をR′

同 相 で あ る か ら連 結 で あ る.故 にaと 点a′ はaの

をa=(…,aα,…)

連 結 成 分 に 属 す.こ

とす る

α0成 分 に お い て だ け の こ とを つ づ け て 適 用 す

れ ば,aと

有 限 個 の 成 分 だ け で 異 な る よ うなRの

す こ と が わ か る.こ れ は,積

元 は す べ てaの

空 間 の 位 相 の 入 れ 方 か ら,Rの

連結成 分 に属

す べ ての 点 の任意

の 近 傍 にaの 連 結 成 分 の 点 が 存 在 す る こ とを 意 味 す る.す な わ ちaの 連 結 成 分 はRに

お い て 稠 密 で あ る.aの

そ れ はRと   例 題8  のRα

一致 しな け れ ば な らな い.  位 相 空 間Rα

局

(以上)

の 積 空 間 の 点a=(…,aα,…)の

に お け る 連 結 成 分Xα

  解   X⊃ΠXα Xの

連 結 成 分 は 閉 集 合 で あ る か ら(例 題5),結

連 結 成 分Xは,aα

の 直 積 集 合 と一 致 す る.

は 前 例 題 に よ りあ き らか.も

像 を 考 え る こ とに よ り,あ

るaα がXα

し 

な ら,射

影 に よる

よ り大 き い 連 結 成 分 を もつ こ と

に な る. 

(以上)

  位 相 空 間Rの

部 分 集 合 の 族 で,そ の 合 併 がRの

部 分 集 合Xを

の 被 覆 とい う.開 集 合 か らな る 被 覆 を 開 被 覆 とい う.R自 と っ て も,そ の 適 当 な 有 限 部 分 族 が す で にRの

身 の どんな 開被 覆を

開 被 覆 に な っ て い る と き,Rは

コ ン パ ク トで あ る とい う.こ れ は,補 集 合 を 考え て み れ ば,Rの あ り,そ の うち の 任 意 の 有 限 個 が 共 有 点 を も て ば,そ が あ る,と い うこ と と 同 等 で あ る.位 存 在 す る と き,Rを

含 む も の をX

相 空 間Rの

閉集 合 の族 が

の族 の集 合全体 の共有 点

各 点 に コ ンパ ク トな 近 傍 が

局 所 コ ン パ ク トな 位 相 空 間 とい う.

  位 相 空 間 の フ ィル ター とは,Rの

部 分 集 合 の 族〓

で,次

の条件 を満 足す る

も の を い う.   1) 

U⊂Vな

らば 

2)U, 

な ら ば 

3) 

  あ る フ ィル タ ー が そ れ と異 な る どん な フ ィル タ ー に も 含 ま れ な い と き,〓 は 極 大 フ ィル タ ー で あ る とい う.1点 る.あ

る フ ィル ター〓

が1点aの

う.フ

ィル タ ー の 基 とは,Rの

の近 傍 系 は た しか に1つ 近 傍 系 を 含 む と き,〓

部 分 集 合 の 空 で な い 族Bで

の フ ィル タ ー とな

はaに

収 束 す る とい

あ っ て,次 の 条 件

を 満 足 す る もの を い う.   1′)  U,V∈Bな

らばU∩VはBの

  フ ィル タ ー の 基Bの ー を な す.

あ る集 合 を 含 む. 2′) 

あ る集 合 を 含 むRの

部 分 集 合 全 体 は,Rの

フ ィル タ

  フ ィル タ ー〓 のす べ て の 集 合 と交 わ る集 合Xが〓 集 合 とXと

の 共 通 部 分 全 体 を〓

に 属 さ な け れ ば,〓

に つ け 加 え れ ば,〓

よ り大 き い フ ィル タ ー

の基 が で き る.故 に フ ィル タ ー が 極 大 で あ る か ど うか は,〓 る集 合 が 常 に〓

な す.こ

ま た,そ

つ い て,Rか

に 属 す 集 合 のfに の 基 の 定 め るSの

ら わ す.fが

の 集 合 全 体 と交 わ

に 属 す か ど うか で 見 わ け られ る の で あ る.

  位 相 空 間R,Sに ル タ ー〓

の

全 射 な ら ば〓

の と き〓

らSの

中 へ の 写 像fが

よ る 像 全 体 はSに フ ィル タ ー を〓

あ る と き,Rの

お い て1つ のfに

フィ

の フ ィル タ ー の 基 を

よ る 像 とい い,f(〓)で

の 集 合 の像 全 体 の 族 が す で にf(〓)と

が 極 大 フ ィル タ ー な らばf(〓)も

あ

一 致 す る.

極 大 フ ィル タ ー とな る.

これ は 上 に のべ た 極 大 フ ィル タ ー の 判 定 法 か らわ か る.   定 理1.49 

位 相 空 間Rが

コ ンパ ク トで あ る た め に は,Rの

極 大 フ ィル タ ー

が すべ て 収 束 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   Rが

コ ンパ ク トで,〓

合 の 閉 包 の 全 体 は 共 有 点aを 個 の 集 合 を と り,そ に な っ て い る.〓

がRの

極 大 フ ィル タ ー で あ る とす る.〓

もつ.aの

近 傍 系νaお

の 共 通 部 分 全 体 の 族 を〓

が 極 大 で あ る か らνaは〓

大 フ ィル タ ー が 収 束 す る とす る.Rの 共 有 点 を もつ も のmを る 集 合 全 体 の 族 を〓

と り,mの

とす る と〓

か ら任 意 に 有 限

は フ ィル タ ー の 基

に 含 まれ る.逆 にRの

閉 集 合 の族 で,そ

任 意 の極

の うち の 任 意 有 限 個 が

集 合 の 有 限 個 の 共 通 部 分 と して あ らわ され

と か け ば,〓

は フ ィル タ ー の 基 を な す.〓

フ ィル タ ー は ツ ォル ン の 補 題 に よ っ て 存 在 す る が,そ はmの

よ び〓

れ は1点aに

を 含む 極 大 収 束 し,a

集 合 全 体 の 共 有 点 と な る. 

  定 理1.50 

Rが

る た め に は,Rα

(証終)

何 個 か の 位 相 空 間Rα

へ の 射 影 で あ る とき,Rの

の集

フ ィル タ ー〓

の 積 空 間 で あ り,fα がRか がRの

点a=(…,aα,…)に

らRα 収 束す

の フ ィル タ ーfα(〓)が す べ てaα に 収 束 す る こ とが 必 要 十 分

で あ る.   証 明  〓 がaに 収 束 す れ ば〓

はaの

近 傍 系 を 含 み,aの

る 像 はfα が 開 写 像 で あ る こ とか らRα fα(〓)はaα

に 収 束 す る.逆

にfα(〓)が

近 傍 系 のfα に よ

に お け るaα の近 傍 系 と な る.故 す べ てaα に 収 束 す る と し,α

に の う

ち の1つ

α0を 固 定 してRα0に

fα0(U)=U0と

お け るaα0の1つ

な る あ る 集 合Uを

意 で あ る よ うなRの

含 む.α0成

元 全 体 の 集 合 はUを

の 近 傍 をU0と

分 がU0に

す る.〓

属 し,他 の 成 分 は 任

含 む か ら〓 に 含 ま れ る.従

はaの 近 傍 系 を 含 む. 

って 〓 (証終)

  定 理1.51  (テ ィホ ノ フ(Tihonov)の 空 間 で あ る と き,Rが

は

定 理)Rが

何 個 か の 位 相 空 間Rα

コ ンパ ク トで あ る た め に は,Rα

の積

が すべ て コ ン パ ク トで

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   Rが

コ ンパ ク トな ら,Rか

らRα

へ の 射 影fα

は 連 続 だ か らRα

コ ン パ ク トで あ る.逆 にRα が す べ て コ ンパ ク トな らば,Rの 〓 に つ い て,Rα

の 極 大 フ ィル タ ーfα(〓)が 定 理1.49に

す るか ら 前 定 理 に よ って 〓 が 収 束 す る.故 にRは   位 相 空 間Rの U∩V=φ

異 な る2点a,bに

つ い てa,bの

と で き る と き,RはT2空

間,あ

空 間,ま た は 分 離 的 空 間 と よ ば れ る.T2空 な る2点 に 収 束 しな い,と   定 理1.52 

Rが

は

極 大 フ ィル タ ー よって す べ て 収束

コ ンパ ク トで あ る. (証終) 近 傍U,Vを

そ れ ぞ れ と り,

る い はハ ウ ス ドル フ(Hausdorff) 間 の 条 件 は1つ

の フ ィル タ ー が 異

も い い あ らわ せ る.

分 離 的 位 相 空 間 な ら ば,Rの

コ ンパ ク ト部 分 空 間XはR

の 閉 集 合 で あ る.   証 明  Xの1点

をaと す る.aの

近 傍 とXと

の 共 通 部 分 全 体 はXの

ー を な す か ら,そ れ を 含 む 極 大 フ ィル タ ー 〓 が 存 在 し,Xの1点bに る.も

し 

な ら ば,a,bの

フ ィル タ 収 束す

近 傍 で共 通 点 の な い も の が とれ る こ と に よ っ て

 とな り不 合 理 で あ る.故 にa=b,a∈X,従

ってX=Xと

な る. (証終)

  こ の定 理 の1つ の 応 用 と して   定 理1.53 

コ ンパ ク トな 空 間Rか

ら分 離 的 空 間Sの 上 へ の1対1連

続 写像

は 同 相 写 像 で あ る.   証 明   Rの

閉 集 合Xを

と る とf(X)は

Sの 閉 集 合 で あ る.故 にf−1は   T2空 の1つ

間 の 条 件 は,位 で あ る.T0空

コ ンパ ク トだ か ら 前 定 理 に よ っ て

連 続 で あ る. 

(証終)

相 空 間 の 分 離 条 件 と よ ば れ る 条 件T0,T1,T2,T3,T4

間 とは 任 意 の2点a,bに

つ い てaを 含 ま な いbの

近傍ま

た はbを

含 ま な いaの

近 傍 がと れ る よ うな 空 間 で あ る.こ れ は 異 な る2点 の 閉

包 が 異 な る,あ る い は 異 な る2点 T1空 間 は 異 な る2点a,bに

の 近 傍 系 が 異 な る,と

つ い て,aを

の 近 傍 も とれ る よ うな 空 間 で あ って,こ あ る.T3空

間 とは1点

され る 空 間 を い う.T4空

間 とは2つ

空 間 を い う.T0,T1,T2は り,T4は

らT2で

  定 理1.54 

Rが

位 相 空 間,MがRの

間Sの

い てaの

f(U∩M)⊂Vと よ ってzの

近 傍 とMと

し,V′

をf(a)の

含 む.仮

の と き,も

(証終)

し任 意 のa∈Rに

フ ィル タ ー 〓

近 傍 とす る.SはT3で

定 に よ ってaのRに

のfに

よ

あ る か ら,V′

お け る 開 近 傍Uを

す る とf(z)の

つ い てf(W∩M)を

と り,

近傍 で もあ る

ってf(z)の

にf(U)⊂f(U∩M).こ

とな りfは

稠 密 な 部 分 集 合Mか

は

任 意 の 近 傍 は や は り仮 定 に 含 む.Uはzの

点 が 含 まれ る こ と に な る.故

つ

連 続 で あ る.

含 ま れ る よ うに と る こ とが で き,従

位 相 空 間Rの

収

稠 密 な 部 分 空 間 で あ り,fがRか

閉 で あ る こ と とか らf(U)⊂V⊂V′

  定 理1.56 

フ ィル タ

収 束 す る.同 様 にg(〓)はg(a)に

収 束 して い る な らばfは

あ る 近 傍Wに

にf(U∩M)の

の 共 通 部 分 全 体 の な すMの

の共 通 部 分 全 体 の な すMの

で き る.z∈Uと

か らWはUに

Vが

稠 密 な 部 分 空 間 で あ り,f,gがR

位 相 空 間,MがRの

近 傍 とMと

閉 近 傍Vを

あ ってT3な

は 同 じ フ ィル タ ー で あ る か らf(a)=g(a). 

る 像f(〓)がf(a)に

f(a)の

か しT1で

必ず

あ る こ とは あ き らか で あ る.

中 へ の 写 像 で あ る とす る.こ

  証 明   a∈Rと

と閉 集 合 とが 開 集 合 で 分 離

一 致 す る.

し,aの

Rが

れ ぞ れ を含 み互

中 へ 連 続 写 像 で あ る とす る.こ の と き,f,gのMへ

束 す る.f(〓)とg(〓)と

らT3空

らT3で

とす る と,f(〓)はf(a)に

 定 理1.55 

な わ ち1点

り強 くな い.し

あ っ てT4な

の 制 限 が 一 致 す ればf,gは

ーを 〓

が閉集 合 を なす こ とと同等 で

だ ん だ ん 強 くな っ て い る 条 件 で あ る が,T3は

か ら分 離 的 位 相 空 間Sの

  証 明  a∈Rと

れ は1点

の 交 らな い 閉 集 合 が 開 集 合 で 分 離 され る

必 ず し もT3よ

あ り,T1で

含 ま な いbの 近 傍 もbを 含 ま な いa

とそ れ を 含 ま な い 閉 集 合 に つ い て,そ

い に 交 わ ら な い 開 集 合 が とれ る 空 間,す

し もT2よ

い う こ とを 意 味 す る.

任 意 の近 傍 れと

連 続 で あ る.  (証終)

らT3空

間Sの

中へ の連

続 写 像fが

あ た え られ,すべ

部 分 全 体 の な すMの る な らば,そ れ る.fは

て のa∈Rに

フ ィル タ ー〓

の 点 をf(a)と

のSへ

つ い てaの

の 像f(〓)がSの

お く こ とに よ ってRか

連 続 で あ り,fの

近 傍 とMと

らSへ

延 長 を あ た え る.特にSが

の 共通

点に収 束 す の 写 像fが

定めら

分 離 的 な ら ば,fのR

へ の 延 長 は こ の よ うに して あ た え られ る も の だ け で あ る.   証 明   前 定 理 か ら 直 ち に 得 られ る.最

後 の 一 意 性 は 定 理1.54に

よ る. (証終)

  群Gが

同 時 に 位 相 空 間 で あ り,G×Gか

空 間G×Gか

らGへ

らGへ

の 写 像(x,y)→x−1yが

の 写 像 と して 連 続 で あ る と き,Gは

積

位 相 群 で あ る とい

う.   群 の 元a,bを a,bに

固 定 して 考 え た と き,x→xa,y→byの

よる 右 移 動,左

そ れ ぞ れ 右,左

移 動 と よぶ.群

の 部 分 集 合Mに

移 動 とい う.群 が 可 換 な らば,右

形 の写像 をそれ ぞれ つ い て も,Ma,bMを

左 の 区別 は 必 要 な い か ら単 に

移 動 とい う.   移 動 は 位 相 群Gに

お い て は 同 相 写 像 で あ る か ら,Gの

単位 元 の近傍 系 を あ

た え れ ば そ れ を 移 動 した も の が 各 点 の 近 傍 系 と な る.故 にGの

位相 は 単位 元 の

近 傍 系 だ け を あ た え れ ば 定 ま る.   Gの 単 位 元 の 近 傍 系 をν と し,ν に よ っ てGに

位 相 を あ た え る こ と を も う少

し くわ し く考 え よ う.ν は ま ず 次 の性 質 を もつ.   1) U∈ν な ら ば1∈U.2)  ばU∩V∈ν.4)  る.W−1はWの

任 意 のU∈ν

U∈ν.U⊂Vな

ら ばV∈ν.3) 

に つ い てW−1W⊂Uと

元 の 逆 元 全 体 の 集 合 で あ る.(1.3参

U,V∈ν

な るW∈ν

なら

が存 在す

照)  5) a∈G,U∈

ν

な ら ばa−1Ua∈ν.   1),2),3)は

あ き らか,4),5)は

に 他 な ら な い.条   と こ ろ が 群Gに

件4)か

そ れ ぞ れ(x,y)→x−1y,x→a−1xaの

ら特 にU∈ν

つ い て1)‐5)を

る と,そ れ に よ ってGに

な ら ばU−1∈ν

連続性

で あ る.

満 足 す る集 合 族ν が あ た え られ て い る とす

位 相 を 定 め,そ

の 位 相 に 関 す る1の 近 傍 系 が ち ょ うど

は じめ のνに な り,ま た そ の 位 相 に つ い てGが 位 相 群 に な る よ うに す る こ とが

で き る.こ れ を た しか め るた め に,ま ずν が あ た え られ た と し,任 意 のa∈G に つ い てνに 属 す 集 合 を す べ てaで 左 移 動 し て 得 られ る族 をνaと

お く.こ の

と きνaが 近 傍 系 の 条 件1′)‐4′)を 満 足 す る こ と を 示 そ う.1′),2′),3′)はあ き らか で あ る.4′)を い うに は 任 意 のaU∈νa,(U∈

ν),に 対 し,W−1W⊂Uと

な るW∈

つ い てbW⊂aW−1W⊂aU

ν を と る.こ

で あ るか らaU∈ さ れ た.Gは

の と き任 意 のb∈aW−1に

νb.一 方W−1∈ν

で あ る か らaW−1∈

νa.こ れ で4′)が 証 明

従 って 位 相 空 間 と な り,νaが そ の 各 点 の 近 傍 系 とな る.こ

相 に よ ってGが

位 相 群 で あ る こ と を い う に は,x−1yの

に お い て(x,y)の

近 傍 の 逆 像 がG×G

近 傍 で あ る こ とを い え ば よい.x−1yの1つ

(U∈ ν),と し,W−1W⊂Uと

な るW∈

ν を と る.5)に

∈νで あ る か ら,x・x−1yW(x−1y)−1はxの

の位

の 近 傍 をx−1yU,

よ ってx−1yW(x−1y)−1

近 傍 で あ る.故 に(x・x−1yW(x−1y)−1 ,

yW)⊂G×Gは(x,y)の

近 傍 で あ る.こ

の 近 傍 の(x,y)→x−1yと

に よ る像 はx−1yW−1Wに

等 し く,こ れ はx−1yUに

含 ま れ る.こ

い う写 像 れ でGが

位 相 群 と な る こ とが わ か っ た.   位 相 群 の 部 分 群 は 部 分 空 間 と して の 位 相 で ま た 位 相 群 とな る.普 通 位 相 群 の 部 分 群 といえ ば こ の 位 相 を 考 え て い る もの とす る.位 相 群 の 直 積 は 積 空 間 と し て の 位 相 で 位 相 群 と考 え られ る.制 限 直 積 の 場 合 も 同 様 で あ る.次 に 位 相 群G の 正 規 部 分 群Nが 群 に な る.こ

あ った と き,剰

余 群G/Nは

の と きG∋x→xN∈G/Nは

も ち ろ ん 連 続 写 像 で あ る が,こ れ は

さ らに 開 写 像 で あ る.な ぜ な らGの 集 合XNの

剰 余 空 間 と して の 位 相 で 位 相

開 部 分 集 合Xの

こ の 写 像 に よ る 像 は,開

像 に 等 しい か ら で あ る.

  一 般 に 位 相 群Gか

ら位 相 群Hへ

Gか

の写 像 と し て 連 続 開 写 像 で あ る と き,fをGか

らf(G)⊂Hへ

の 写 像fが

群 の 準 同 型 写 像 で あ り,さ ら に

中 へ の 位 相 群 の 準 同 型 写 像 とい う.こ の と き も しfがHの fの 核 をNと f(a),f(a)→aNは

す る と,定 理1.1に

よ っ て 群 と して 

い ず れ も開 写 像 で あ る か ら, 

相 対 応 に も な って い る.群

らHの

上 へ の 写 像 な らば, で あ る が,aN→ は位 相空 間 の 同

と して の 同 型 対 応 が 位 相 空 間 の 同 相 対 応 に も な って

い る と きそ れ を 位 相 群 の 同 型 対 応 とい う こ とに す れ ば,準

同 型定 理は 位相 群 に

つ い て もな りた つ.   Hが

位 相 群Gの

定 理1.2に

正 規 部 分 群,Hの

よ り,群

部 分 群Nが

またGの

と して 

G/N→(G/N)/(H/N)と

正 規 部 分 群 な らば,

で あ り,こ

の 同 型 はG→

い う標 準 的 準 同 型 写 像 を つ づ け て 行 う こ と に よ っ て

得 られ た.こ れ らの 標 準 的 写 像 は い ず れ も連 続 開 だ か ら,上 の 同 型 は 位 相 群 と して の 同 型 に な って い る.す

な わ ち,第1同

型 定 理 は 位 相 も考 え て な りた つ.

  第2同 型定 理は位 相群 につ い ては無 条件 では な りたた ない.   位 相 群G1,…,Grの

正 規 部 分 群N1,…,Nrが

あ る と き に は,位

相 群 と して

 で あ る.   位 相 群 の 直 積 分 解 に つ い て は ま た 次 の 定 理 が な りた つ.   定 理1.57  G=N1×

Gが

… ×Nrと

N1,…,Nrの

位 相 群,N1,…,NrがGの

正 規 部 分 群 で,Gは

直 積 分 解 され て い る とす る.こ

直 積 で あ る た め に は,Gか

の と きGが

群 と して

位 相 群 と して も

らNi,(i=1,…,r),へ

の 射 影fiが

す べ て 連 続 な こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   必 要 な こ とは あ き ら か で あ るか ら十 分 な こ とを 証 明 す る.a∈Gを a=a1…ar,(ai=fi(a)),と

あ らわ す と,fiの

直 積 位 相 よ り強 い.と aiのGに =Viと

こ ろ が,aの

お け る近 傍Uiを

連 続 性 か らGの

任 意 の 近 傍Uに

と り,U1…Ur⊂Uと

す れ ばViはaiのNiに

… ×Nrの

  例 題9 

単 位 元 の 連 結 成 分 をDと

G/Dは

の連続 性 か ら

す る こ とが で き る.Ui∩Ni … ×V

rはUに

お け る近 傍 の 直 積 集 合 を 含 む.故

相 は 位 相 群 の 直 積N1× 位 相 群Gの

対 して,積

お け る近 傍 でV1×

る.す な わ ちUはaiのNiに

位 相 はNiの

にGの

位 相 と一 致 す る.  す れ ば,Dは

含 まれ 位

(証終) 正 規 部 分 群 で,

完 全 不 連 結 で あ る.

  解   任 意 のa∈Gに

つ い てa−1Daは1を

で あ る.後 半 は 例 題6に   例 題10 

位 相 群 はTs空

  解   Xが 単 位 元1を る も の が 存 在 す る.1の

含 む 連 結 集 合 でDに

よ る. 

含 まれ る か ら (以上)

間 で あ る.

含 ま な い 閉 集 合 な ら ば,1の 近 傍WでW−1W⊂Uで

近 傍UでU∩X=φ

とな

あ る も の を と れ ば,W−1W

∩X=φ

か らW∩WX=φ

で あ る.故 に1とXが

開 集 合 で 分 離 され る. (以上)

  例 題11 

位 相 群GはT0な

  解   a,b∈Gに

ら ば 分 離 的 で あ る.

つ い て,1の

で あ る.故 にGはT1で   例 題12 

近 傍Uを

と っ て 

前 例 題 に よ りT2と

位 相 群Gが

とで きれ ば 

な る. 

分 離 的 で あ る た め に は,単

(以上)

位 元 が 閉 集 合 を な して い る

こ とが 必 要 十 分 で あ る.   解   例 題10よ

りGの

各 点 が 閉 集 合 を な す こ と とGがT2で

あ る こ ととは

同 等 で あ る.    例 題13 

(以上)

位 相 群Gの

は,NがGの

正 規 部 分 群Nに

つ い て,G/Nが

分 離 的 で あ るため に

閉 集 合 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.

  解   前 例 題 に よ る.    例 題14 

Nが

  解   a,b∈Nな 含 み,部

位 相 群Gの

含 む.故

上 へ の 同 相 写 像fが

=f(u)f(u′)が

正 規 部 分 群 で あ る.

点 が 属 す か らNはa−1bを つ い て,a−1NaはNを

にa−1Na=N.  適 当 な1の

近 傍U1,U2を

ら にfの

含 む閉 (以上)

あ り,u,u′ ∈U1でuu′

な りた ち,さ

る と き,G1とG2と

任 意 の 近 傍 にNの

た す べ て のa∈Gに

  2つ の 位 相 群G1,G2の U2の

正 規 部 分 群 な らば,閉 包Nも

らa−1bの

分 群 で あ る.ま

集 合 だ か らNを

(以上)

そ れ ぞ れ え ら び,U1か ∈U1で

ら

あ る か ぎ りf(uu′)

逆 写 像 も 同 様 の 性 質 を もつ よ うに で き

は 局 所 同 型 で あ る とい う.

  Gが 局 所 コ ン パ ク トな 位 相 群 な ら ば,単

位 元1の

近 傍 で コ ンパ ク トな もの が

存 在 し,そ れ と1の 閉 近 傍 と の 共 通 部 分 は コ ンパ ク ト空 間 の 閉 部 分 集 合 だ か ら コ ン パ ク トに な る.GはT3空 あ るか ら,1の

間 で,1の

近 傍 系 の 基 は 閉 近 傍 で とれ る の で

近 傍 系 の 基 は また コ ン パ ク トな 近 傍 で とれ る こ とに な る.故 に

Gが 局 所 コ ンパ ク トで あ る た め に は1の

任 意 の 近 傍 が コ ンパ ク トな 近 傍 を 含 む

こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ れ か ら直 ち に わ か る よ うに,2つ

の位 相 群 が局所 同

型 な と き に は,一 方 が 局 所 コ ンパ ク トな ら他 方 も そ う で あ る.   Gが

位 相 群,NがGの

正 規 部 分 群 で しか も離 散 的,す

なわ ち弧 立 点 ばか り

か らな る も の とす る.こ め に はGの

の と きG/NはGと

単 位 元 の 近 傍UでU−1Uが1以

り,a∈UにaN∈G/Nを

位 相 空 間Rが

外 のNの

元 を含 まない ものを と

相 体 も 考 え られ る.こ

こ に 定 義 を の べ て お こ う.

同 時 に 環 で あ り,x−y,xy,(x,y∈R),が

の 連 続 写 像 で あ る と き,Rは

共 に 直 積 空 間R×R

位 相 環 で あ る とい う.Rは

は 位 相 群 とな る.次

に 位 相 空 間Fが

で,し

か もFの0以

外 の 元 の な す 乗 法 群Fxに

Fxへ

の 連 続 写 像 で あ る な ら ば,Fは

法 群 お よびFxは

れ をみ るた

対 応 させ れ ば よい.

  位 相 群 と同 時 に 位 相 環,位

か らRへ

局 所 同 型 で あ る.そ

同 時 に 体 で あ り,Fが

加 群 と して

環 と して は 位 相 環

つ い て,x→x−1がFxか

ら

位 相 体 で あ る とい う.こ の と き,Fの

加

共 に 位 相 群 と な る.加 群 で あ る 位 相 群 を 位 相 加 群 と い う.

  位 相 空 間 の 一 般 的 説 明 の 最 後 に の べ る べ き こ と は,完 備 性 とい う重 要 な 概 念 で あ る.た

と え ば,実

3.1,3.14,…

数 の 中 で は π に 収 束 す る が,有

理 数 に は 収 束 しな い3,

と い う 数 列 の 存 在 は,有

理 数 の集 合 が 実 数 の集 合 とは か な り位

相 的 性 格 を 異 に して い る こ と を 示 す.こ

の よ うな こ とを 正 確 に と ら え る た め 完

備 性 とい う概 念 が 用 い られ る の で あ る が,完

備 性 は 一見 簡 単 に 見 え て 実 は 相 当

高 度 な 概 念 で あ り,各 点 の近 傍 の 状 態 が 互 い に 比 較 で き る よ うな,い

わ ゆ る一

様 位 相 空 間 を 用 い て 初 め て 明 確 に で き る も の で あ る.し か し,本 書 で は,そ れ ほ ど一 般 な こ とは 必 要 で な い の で,一 様 位 相 空 間 の 特 別 の 場 合 で あ る 可 換 位 相 群 と,距 離 空 間 とだ け に つ い て,完 備 性 を 説 明す る.位 相 群 に お い て は,単 元 の 近 傍 の 移 動 に よ っ て 各 点 の 位 相 が き ま り,ま た 後 に の べ る よ うに,距

位

離空

間 で は 距 離 とい う関 数 に よ っ て,空 間 全 体 に わ た って 一 度 に 位 相 が 定 め られ る か ら,い ず れ の 場 合 に も各 点 の 近 傍 の状 態 が 互 い に 比 較 で き る の で あ る.   Gを 可 換 位 相 群,ν をGの (U∈ν,a∈G),の 部 分 空 間Xの き,〓

単 位 元 の近 傍 系 とす る.Gの

形 の 集 合 に 含 まれ る と き,MをU位 フ ィル タ ー〓

を コ ー シ ー(Cauchy)フ

る た め の 条 件 は,任 に つ い てx−1y∈Uと

意 のU∈ν

が 任 意 のU∈ν

の 集 合 とい う.Gの

に つ い てU位

ィル タ ー とい う.〓 に つ い てM∈〓

部 分 集 合MがaU,

の 集 合 を含 む と

が コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ

が 存 在 し,す べ て のx,y∈M

な る こ と と い っ て も 同 じで あ る.収

束 す る フ ィル タ ー は

必 ず コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ る.Xの

す べ て の コ ー シ ー フ ィル タ ー がXの

収 束 す る と きXは

完 備 で あ る とい う.Gの

い て 有 限 個 のU位

の 集 合 の 合 併 に 含 ま れ る と き,Xは

  定 理1.58 

分 離 的 可 換 位 相 群Gの

  証 明   aをHの

部 分 集 合Xが

とbと a=bで

を な し,〓

はHの

点bに

  定 理1.59 

す る.νaは

収 束 す る.も

し 

コー

な ら ばa

が 空 集 合 を 含 む.故

な る. 

可 換 位 相 群Gの

コー

の 共 通 部 分 全 体 はHの

の 近 傍 を 交 わ らな い よ うに と る こ と に よ り,〓 あ り,a∈H,H=Hと

閉 集 合 で あ る.

お け る 近 傍 系 をνaと

シ ー フ ィル タ ー で あ る か らνaに 属 す 集 合 とHと

につ

全 有 界 で あ る とい う.

完 備 な 部 分 集 合Hは

点 と し,aのGに

シ ー フ ィル タ ー〓

任 意 のU∈ν

点に

に

(証終)

部 分 集 合Xが

コ ンパ ク トで あ る た め に は,Xが

全 有 界 で あ り同 時 に 完 備 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   Xが

コ ンパ ク トで あ る と し,Gの

る と,aU,(a∈X),の の 合 併 にXが

全 体 の 合 併 にXが

含 ま れ る.故 にXは

ィル タ ー とす れ ば,〓 〓の 集 合 のXに Vを

単 位 元1の 含 ま れ,従

全 有 界 で あ る.ま

と な る.故

た〓

をXの

コー シ ー フ

の 集 合 をM⊂bW,(b∈G),と が 交 わ り,b∈aWW−1,従

にaのXにお

もつ.Gの1の

な るGの1の

け る任 意 の 近 傍 が〓

な わ ちXは

完 備 で あ る.

  逆 にXが

全 有 界 で 完 備 で あ る とす る.Uを1の

aU,(a∈G),の

って そ の うち の 有 限 個

中 に 共 有 点aを

任 意 に と り,さ らにWW−1W⊂Vと

わ る か らbWとaWと

す

に 属 す 集 合 の 任 意 の 有 限 個 が 共 有 点 を もつ こ と に よ り,

お け る 閉 包 全 体 はXの

に 含 まれ るW位

任 意 の 開 近 傍 をUと

形 の 集 合 の 有 限 個a1U,…,arUの

近 傍Wを

は交

っ てM⊂aWW−1W⊂aV に 属 し,〓 はaに

収 束 す る.す

任 意 の近 傍 とす れ ば,Xは 合 併 に 含 まれ る.Xの

極大

交 わ らな い 集 合Ai∈〓

がと

つ い てaiUと

れ る な らば,∩Aiの

ど れ に も 属 さ な い か ら,XがaiUの

含 ま れ る こ とに 反 す る,故 の す べ て の 集 合 と交 わ り,〓

に 少 な く と も一 つ のaiUに の 極 大 性 か ら〓

と る.〓

す れ ば,MとaWと

フ ィル タ ー〓 を と る と き,各iに 点 はaiUの

近傍

つ い てaiU∩Xは

に 属 す.従

合 を 含 む こ とに な り,コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ る.故

合併 に

に〓

っ て〓 はU位 は 収 束 し,Xは

〓 の集 コ

ンパ ク トに な る.    例 題15 

(証終)

可 換 位 相 群Gの

全 有 界 部 分 集 合Xに

お い て は,極 大 フ ィル タ ーは

必 ず コー シ ー フ ィル タ ー で あ る.逆 にXの 極 大 フ ィル タ ー が 必 ず コー シ ー フ ィ ル タ ー な ら ばXは

全 有 界 で あ る.

  解   前 半 は 定 理1.59の

証 明 に 含 ま れ て い る.後 半 を い うた め に,Xを

界 で な い とす れ ば,Gの

単 位 元 の あ る近 傍Uに

限 個 の 合 併 に な ら な い か ら,XのU位 族 を とれ ば,そ 体 はXの

の 部 分 集 合 のXに

の集 合 の有

おけ る補集 合 全体 の

の 族 に 属 す 集 合 の 有 限 個 の 共 通 部 分 と して あ らわ され る集 合 全

あ る フ ィル タ ー の 基 に な る.そ

タ ー を〓

つ い てXはU位

とす れ ば,〓

はU位

の フ ィル タ ー を 含 むXの

の 集 合 を1つ

も含 ま な い.故

極 大 フ ィル

に〓

は コー シ

ー フ ィル タ ー で な い .    定 理1.60 

(以上)

局 所 コ ン パ ク トな 可 換 位 相 群Gは

  証 明  〓 をGの 傍 とす る.A∈〓

に 属 す.ま

でU′

近 傍Wを

分 集 合 と してU′ Gの

と る と,GのW位 位 で あ る.故

部 分 集 合 と して のXの

に 注 意 す れ ば,定

理1.58,定

部分 集 合 なる

の 共 通 部 分 はHの

部 分 集 合Xの

理1.60か

のこと

ら直 ち に 本 定 理 が 得 られ る. (証終)

閉 部 分 集 合Hは

  解  Hの

コ ー シ ー フ ィル タ ー〓

のHか

の コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ り,a∈Gに

部

コ ー シー フ ィル タ ー は

コ ー シ ー フ ィル タ ー と 同 じ も の で あ る.こ

完 備 な 可 換 位 相 群Gの

に 属 す.Hは

閉 集 合 で あ る.

で あ る.ま たW−1W⊂Uと

  例 題16 

の 共 通 部 分 は〓

(証終)

と お く とHの

の 集 合 とHと にHの

に属 す集 合 と

もaに 収 束 す る. 

つ い て,U∩H=U′

部 分 集 合 と してU位

コ

コ ー シ ー フ ィル タ ー だ か

分 離 的 可 換 位 相 群Gの 局 所 コ ン パ ク ト部 分 群Hは

位 の も の はGの

Gの1の

完 備 で あ る.〓

はBの

だ か ら〓

  証 明   Gの 単 位 元 の 近 傍Uに

コ ンパ ク トな 近

な る も の が 存 在 し,x0U=Bは

とす る と,〓

収 束 す る. 

  定 理1.61 

単 位 元1の

た 前 定 理 に よ ってBは

Bと の 共 通 部 分 全 体 の 族 を〓 るa∈Bに

完 備 で あ る.

コ ー シ ー フ ィル タ ー,UをGの でA⊂x0U,(x0∈G),と

ンパ ク トで〓

ら,あ

全有

らGへ

完 備 で あ る. の 標 準 的 写 像 に よ る像 はG

収 束 す る.故 にaの

閉 集 合 で あ る か らa∈Hで

任 意 の 近 傍 とHと あ り,〓

はaに

収

束 す る. 

(以上)

  例 題17 

完 備 な 可 換 位 相 群Gaの

  解   Gの

コ ー シ ー フ ィル タ ー〓

り,収 束 す る.故 に〓   位 相 体 は 加 法 群,乗

よ る〓′ の 像 を〓

れ に つ い て は 次 の 定 理 が あ る. 加 法 群 が 完 備 な ら ば,Fの0以

コ ー シー フ ィル タ ー と し,Fxか とす る.〓 が 加 法 群Fの

しな い こ とを 示 せ ば よい.Fの0の と な るFの0の

近 傍Wが

と りだ して,す

に で き る.aをAの の0の

(以上)

外 の元 の な

完 備 で あ る.

  証 明  〓 ′をFxの

集 合Aを

の 射 影 は コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ

法 群 が 共 に 位 相 群 で あ る か ら,完 備 性 に つ い て も両 方 を

分 離 的 な 位 相 体Fの

す 乗 法 群Fxも

のGaへ

完 備 で あ る.

が 収 束 す る. 

考 え な け れ ば な ら な い.こ   定 理1.62 

直 積G=ΠGaは

らFへ

コ ー シ ー フ ィル タ ー で,0に

任 意 の近 傍Uに

とれ る.1+Wは1の べ て のx,y∈Aに

て す べ て のx,y∈Bに

近 傍 で あ る か ら,〓 つ い てx−1y∈1+Wと あ る.こ

な る よ うに す る.任

から

な るよう こ で さ らにF

な る よ うに と り,〓 ′か ら集 合B⊂Aを つ い てx−1y∈1+Vと

収束

対 して,W⊂U,WW⊂U

任 意 の 点 とす れ ばA⊂a+aWで

近 傍VをaV⊂Wと

の標 準 的 写 像 に

と りだ し 意 のb∈Bを

とれ ば,  と な る.こ れ で ま ず 〓 が コー シ ー フ ィル タ ー で あ る こ とが わ か っ た.次

に 上 のWは

離 性 か らWは A⊂a+aWに

位 相 群 の 性 質(例 題10)か −1を 含 ま ず,従

よ って0の

ら 閉 集 合 で とれ る.ま たFの

ってa+aWは0を

あ る 近 傍 はAと

含 ま な い と して よい.

交 わ らず,従

っ て〓

は0に

な い. 

あ た え られ

稠 密 な 部 分 群 と して 含 む 完 備 な 分 離 的 可 換 位 相 群GをGの

化 と い い,Gを

あ た え てGを

  可 換 位 相 群Gか

つ く る こ とをGを完

ら 可 換 位 相Hへ

の よ うに と って も,Gの1の よ る 像 がV位

収束 し (証終)

  これ か ら可 換 位 相 群 の 完 備 化 を 論 じ よ う.分 離 的 可 換 位 相 群Gが た と き,Gを

分

近 傍Uを

に な って い る と き,fは

の 写 像fが

完備

備 化 す る とい う の で あ る. あ り,Hの1の

適 当 に 定 め れ ばGのU位

近 傍Vを

ど

の 集 合 のfに

一 様 連 続 で あ る とい う.一

様 連続 写像

に よ る コ ー シ ー フ ィル タ ー の 像 は コ ー シー フ ィル タ ー で あ る.ま た 一 様 連 続 写 像 は 連 続 で あ る.   定 理1.63 

Gが 完 備 な 可 換 位 相 群,Gが

か ら完 備 な 分 離 的 可 換 位 相 群Hの Gか らHの

し,aの

従 っ てf(〓a)はHの f(〓a)はHの1点

延 長 で あ る もの が 一 意 的 に 定 ま る.

近 傍 とGと

を 〓aと す る.こ れ はGの

写 像fが

中 へ の 一 様 連 続 写 像 で あ る とす る.こ の と き

中 へ の 一 様 連 続 写 像fでfの

  証 明   a∈Gと

そ の稠 密 な 部 分 群 で あ り,fがG

の 共 通 部 分 全 体 の な すGの

フ ィル タ ー

コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ り(定 理1.61の

証 明 参 照),

コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ る.Hは に 収 束 す る.そ

得 られ る.fの

の 点 をf(a)と

一 意 性,連

分 離 的 で 完 備 だ か ら,

お くとGか

続 性 は 定 理1.54,定

らHの

理1.55か

中へ の

ら あ き らか

で あ る.   fの 一 様 連 続 性 を い うに は,Hの1の な るHの1の のfに

近 傍Wを

定 め,Gの1の

よる 像 が す べ てW位

と って,GのU位

近 傍Vに 近 傍Uを

で あ る よ うに す る.さ

の 集 合 とGと

f(M)はW位

らにGの1の

の集合 開 近 傍Uを

で あ る よ うに して お

傍 に は い った と し,aU∩G=Mと

も 〓bに も入 る か らf(M)はf(〓a)に で あ り,f(〓a),f(〓b)が

か らf(a)W,f(b)Wは ⊂f(a)Vと

と ってGのU位

の 共 通 部 分 が す べ てU位

く.こ の と きb∈Gがa∈GのU近 ばMは〓aに

対 しWW−1WW−1⊂Vと

共 にf(M)と

もf(〓b)に

そ れ ぞ れf(a),f(b)に

おけ もは い る.

収束すること

交 わ る.故 にf(b)∈f(a)WW−1WW−1

な る.こ れ はf(aU)⊂f(a)Vを

意 味 し,fは

一 様 連続 で あ る. (証終)

  可 換 位 相 群Gか

ら可 換 位 相 群 へ の 群 と し て の 準 同 型 写 像fで

き ら か に 一 様 連 続 で あ る.従 っ てHが 上 の 定 理 に よ りfはGか

らHへ

g(x,y)=f(x)f(y)f(xy)−1と x,y∈Gな

らg(x,y)=1で

上 で 恒 等 的 に1で

完 備 分 離 的 で,Gが

の 一 様 連 続 写 像fに

い うG×Gか あ る.故

らHへ

にg(x,y)は

連続 な ものは あ

完 備 化Gを 延 長 され る.と

もて ば, ころで

の 連 続 写 像 を 考 え る と, 定 理1 .54に

よ っ てG×G

あ る.す な わ ち 群 と して の 準 同 型 写 像 は 必 ず 群 と して 準 同 型

写 像 に 延 長 され る の で あ る.

  定 理1.64 

Gが

可 換 位 相 群Gの

稠 密 な 部 分 群 で あ る とす る.こ の と きGの

コ ー シー フ ィル タ ー を 基 とす るGの

フ ィル タ ー が す べ て 収 束 す れ ばGは

完備

で あ る.   証 明   〓 をGの びM∈

任 意 の コ ー シ ー フ ィル タ ー とす る.Gの1の

〓 に つ い てMWの

を 〓0と す る.〓0は

や は りGの

な す.gはGの

フ ィル タ ーgは

近 傍 とgと

コー シ ー フ ィル タ ー で あ る.Gの

の 共 通 部 分 は 空 で な く,従

フ ィル タ ーgを

す るGの

の 任 意 の 集 合 とが 必 ず 交 わ る.Gの1の

cW−1Wで

点aに

属 し空 で な い.従

近 傍WをWW−1W−1W⊂Vと

近 傍Vを

収 束 す る.故 にaの

な る よ うに と る.〓 か らW位

含 み,従

基 と 任意 の

任 意 に と り,さ らにGの1の

はMの

あ る か らM⊂aWW−1W−1W⊂aVと

に 収 束 し,Gは

って そ の よ うな 集 合 全 体

っ て ま たaの 任 意 の 近 傍 と 〓0

あ る 点bを 含 む.bW−1に

傍 が 〓 の 集 合Mを

稠 密性 に

コ ー シ ー フ ィル タ ーで あ り,gを

仮 定 に よ っ てGの

の 共 通 部 分 はgに

とれ ば,MW∩aWは

よ

形 の 集 合 を つ く り,こ れ ら全 体 の な す フ ィル タ ー

よ っ て 〓0の 集 合 とGと はGの

近 傍Wお

の 集 合Mを

点cが 含 まれ,M⊂

な る.こ

れ はaの 任 意 の 近

って 〓 に 属 す こ とを 示 して い る.故 に 〓 はa

完 備 で あ る. 

(証終)

  こ こ で さ らに 次 の こ とを 注 意 して お こ う.任 意 の 位 相 空 間Rに お い て1点a か ら な る 集 合 の 閉 包 をaで れ ば,Rは

類 別 され て 剰 余 空 間Rが

閉 包 を も ち,従 してT0空

あ ら わ し,a=bの

ってRはT0空

間Rが

は そ れ ぞ れT3,T4と

と きaとbと

で き る.Rに

間 で あ る.こ

つ くれ る.RをRのT0化

が 同 値 で あ る とす

お い て は 異 な る2点 は 異 な る の よ うに 任 意 の 空 間Rを と い う.T3,T4空

類別

間 のT0化

な る.

  これ か ら位 相 群 の 完 備 化 の 本 論 に は い る.   定 理1.65  たGの2つ

Gが

分 離 的 可 換 位 相 群 な らば,Gの

の 完 備 化 の 間 に は,Gの

完 備 化 は 必 ず 存 在 す る.ま

元 を そ れ 自身 に うつ す よ うな 位 相 群 と して

の 同 型 対 応 が 一 意 的 に 定 ま る.   証 明   Gの の近 傍Uに

コ ー シ ー フ ィル タ ー 全 体 の 集 合 をGと つ い て,〓

とU位

し,〓 ∈Gお

よ びGの1

の 集 合 を 共 有 す る よ うな 〓′ ∈Gの

全 体 の集

合 をU〓

と す る.ま

を 証 明 す る.近

ずU〓

傍 系 の 基 の 条 件1″),2″),3″)に つ い て み れ ば よい が,1″),2″)

は あ き ら か で あ る.3″)に 〓′ ∈W〓

が 〓 の 近 傍 系 の 基 と して の 条 件 を 満 足 す る こ と

に つ い てW〓

が そ れ ぞ れW位

つ い て はW−1W⊂Uと

な る1の 近 傍Wを

′を 考 え る.〓″ ∈W〓′ とす れ ば 〓′と 〓′,〓′と 〓″

の 集 合M,M′

を 含 み,M⊂aW−1W,M′

を 共 有 す る.M∩M′

⊂aW−1Wで

∈〓′は 空 で な く,点a

あ るか らM∪M′

はU位

で,し

〓 と 〓″ との 共 有 集 合 で あ る.こ れ か らW〓 ′ ⊂U〓 と な り,3″)が た.こ

れ でGは

な るGの1の

の 近 傍U〓 近 傍Wを

でCと

る 〓∈Cに

とB,Bと〓

〓 と〓

つ い てW〓

とが

の 集 合.M,N

と に 共 有 され,W−1W位,従

っ てU位

と,W〓,(〓

∈C),全

体 の合 併 と し

含 む 開 集 合 とが 交 わ ら な い.

  次 にGをT0化

す る.こ

れ は 〓,〓′ ∈Gが

任 意 のUに

合 を 共 有 す る と き 同 値 と して 類 別 す る こ とに 他 な ら な い.こ 得 られ る.Φ ∈Gと

す る と,Gか

で あ る こ とか ら,〓 ∈Φ お よ びGの1の の 集 合 の,Gへ

とW〓

が そ れ ぞ れW位

と な り不 合 理 で あ る.故 に 〓 の 近 傍W〓 て 定 義 され たCを

閉集 合

交 わ ら な い も の が 存 在 す る.W−1W⊂Uと

と っ た と き,あ

を 共 有 す る か ら,M∪Nは

  Gは

証 明 され

間 で あ る.な ぜ な ら 〓 をGの1点,CをGの

共 通 元 〓 を も った とす る と,〓

空 間Gが

かも

位 相 空 間 と な る.

  さ らにGはT3空 とす る と,〓

と り,

の 標 準 的 像U〓

実 はT1空

らGへ 近 傍Uに

つ い てU位

の集

の よ うに してT0

の標 準 的写 像 が連 続 開写像 つ い て つ く ったU〓

の形

が Φ 近 傍 系 の 基 を な す.

間 で あ る.そ れ は 次 の よ うに して わ か る.Φ,Φ ′∈Gと

し,

Φ′が Φ の 任 意 の 近 傍 に は い って い る とす る.〓 ∈Φ,〓 ′∈Φ′を と る とGの 1の 任 意 の 近 傍Wに

つ い て 〓 とW位

〓′ と 〓″ とは や は りW位

の 集 合 を 共 有 す る 〓″∈Φ′が あ り,

の 集 合 を 共 有 す る.こ

れ か ら 〓 と 〓′とは い く

ら で も小 さ い 位 の 集 合 を 共 有 す る こ と に な り,〓′ ∈Φ,Φ ′=Φ で な け れ ば な ら な い.   以 上 の こ と に よ ってGはT1で (分 離 的)に もな るわ け で あ る.

も あ りまたT3で

も あ る.従

ってGはT2

  Gの

フ ィル タ ー の うちGの

そ の 点 をaと

か く.一 般 にGの

の 集 合 をMと らば 

点aに 収 束 す る も の はGの 部 分 集 合Mに

か く こ とに す る.Gは

で あ り,Gはa→aに

ろ でaに

よ ってGの

中 に1対1に

な るGの1の

はaに

対 し,Gの1の

りあ た え られ たUに

対 しVを

G∋a→a∈GはGか

らGの

と考 え られ る,さ a∈Gを し,従

ってaを

こ でGの

あ た え ら れ た1の 近 傍Uに

え ら ん で,aとbと

あ るか ぎ りaとbと

た やは

を 代 表 す る フ ィル タ ーが

中 へ の 同 相 写 像 で あ る.故 にGはGの

含 むGの

を

な る よ うに で き る.こ れ らの こ とか ら

ら に 任 意 の Φ∈Gに

とれ ば,aを

近傍

近 傍Vで

の 集 合 を 共 有 す る よ うに で き る.ま

V位 の 集 合 を 共 有 す る か ぎ りb∈aUと

こ

し,Uを

近 傍 とす れ ば,aの

適 当 に え らべ ば,b∈aVで

代 表 す る 任 意 の フ ィル タ ーがU位

写 像 され る.と

な る か らaの 任 意 の 近 傍 が 〓

収 束 す る の で あ る.そ

近 傍Vを

な

の 共 有 集 合 を もつ か ら,aの

の も の が 〓 に 属 す.V⊂aW−1W⊂aUと

に 属 し,〓

全体

収 束 す る.な ぜ な ら 〓 ∈aと

近 傍,WをW−1W⊂Uと

系 の な す フ ィル タ ー と 〓 とはW位 W位

つ い てa,(a∈M),の

分 離 的 で あ る か ら 

属 す フ ィル タ ー は す べ てaに

Gの1の

同 じ点 を 代 表 す る.

つ い て 〓∈Φ のU位

部 分 集 合 全 体 はaに

代 表 す る か ら,a∈U〓.故

部分 空間 の集 合 に属す

収 束 す る フ ィル タ ー を な

にGはGで

稠 密 で あ る.

  これ か らGに

群 の 構 造 を あ た え よ う.Gの

任 意 の コ ー シ ー フ ィル タ ー を 〓

と し,M,(M∈

〓),の 全 体 を 基 とす るGの

フ ィル タ ー を 〓 とす る.Uを

Gに

お け る1の 任 意 の 近 傍 と し,〓

る.U〓

は 〓 とU位

い る.U〓 し,〓

れ はM⊂U〓

の 集 合Mに

で あ る こ と,す

を考え

属 すa∈Gに

な わ ちU〓

つ い て はa∋U〓

∈〓 で あ る こ と を 示 して

は Φ の 近 傍 系 の 基 を な す か ら,結 局 Φ の す べ て の 近 傍 が 〓 に 属

は Φ に収 束 す る.す な わ ちGをGの

ー シ ー フ ィル タ ー を 基 とす るGの あ る.逆

元 Φ の近 傍U〓

の 集 合 を 共 有 す る コ ー シ ー フ ィル タ ー で 代 表 され るG

の 点 全 体 か ら な る.故 に 〓 のU位 と な る.こ

の 代 表 す るGの

に Φ∈Gを

の1の 近 傍Uに

代 表 す るGの

対 して1の 近 傍Vを

部 分 空 間 と考 え た と き,Gの

フ ィル タ ーは す べ てGの

コ

点 に収 束す るので

コ ー シ ー フ ィル タ ー を 〓 とす る と き,G 適 当 に あ た えて お け ば,〓

とa,(a∈G),

の あ る 代 表 元 と がV位

の 集 合 を 共 有 す る か ぎ りaは〓

含 まれ る よ うに で き る.従 の 共 通 部 分 は〓 併 集 合 はUの

に 属 す す べ て のU位

とGの

の 共 通 部 分 はGの

点

コ ー シ ー フ ィル タ ー に な り,そ れ を 基 と

す る.〓a,〓bはGの

MN,(M∈〓a,N∈〓b),の を な し,〓

はGの1点

の 共 通 部 分 の な す フ ィル タ ー

コー シ ー フ ィル タ ー で あ る か ら,

形 の 集 合 全 体 はGの を 定 め る.そ の 点 をabと

コ ー シ ー フ ィル タ ー〓 定 義 す る.abは〓

フ ィル タ ー が 収 束 す る 点 で も あ る.Gに

へ の 連 続 写 像 で あ った か ら,定

理1.55に

の 写 像 と して 連 続 とな る.Gに

点 をa−1と

を基 と

お け る 積 はG×Gか

らG

よ っ て 今 定 義 した 積 はG×Gか

ら

な す コ ー シ ー フ ィル タ ー が 定 め るGの

定 義 す る こ とに よ っ て, 

た た び 定 理1.54に

の基

お け る結 合 律 お よび 可 換 性 は 定 理1.54か

ら 得 られ る.ま たM−1,(M∈〓a),の

れ,ふ

の よ うな 合

フ ィル タ ーが Φ に 収 束 す る の で あ る.

を そ れ ぞ れ〓a,〓bと

Gへ

部 分 空 間 と して のGと

の 集 合 の 合 併 に 含 まれ,こ

  さ てa,b∈ …Gに つ い て そ れ らの 近 傍 系 とGと

す るGの

の集合 に

と り方 に よ って い く ら で も小 さい 位 に で き る.す な わ ちGの

Φ の 近 傍 系 とGと す るGの

って Φ の 近 傍V〓

に 属 すU位

がGま

よ っ て 常 にaa−1=a−1a=1と

換 分 離 的 位 相 群 に な った の で あ る.定

理1.64に

で連 続 に延長 さ

な る.こ

よ っ てGは

れ でGが

可

完 備 で あ るか ら

以 上 で 完 備 化 の 存 在 が 証 明 され た.   今 度 は 一 意 性 の 証 明 で あ る.G1,G2をGの2つ に よ ってG1か

らG2の

の が 存 在 し,f1は

中 へ の 連 続 写 像f1でGの

群 の 準 同 型 写 像 とな る.G2か

が 存 在 す る.f2°f1はG1か ら,定 理1.54に

よ っ てG1の

等 写 像 に な る.故 にG1とG2は

らG1へ

f=f′

れ ら をf,f′

で あ る. 

  定 理1.65は

元 を そ れ 自 身 に うつ す も らG1の

の 連 続 写 像 でGの

中 へ も 同様 な写 像f2 元 を うご か さな い か

恒 等 写 像 と一 致 す る.同 様 にf1°f2はG2の 位 相 群 と して 同 型 で あ る.ま

の 上 へ の 位 相 群 と して の 同 型 写 像 でGの っ た と し,そ

の 完 備 化 とす る.定 理1.63

たG1か

恒 らG2

元 を そ れ 自身 に うつ す もの が2つ

とす れ ば,f−1°f′

はG1の

あ

恒 等 写 像 と な り, (証終)

位 相 群 の 完 備 化 に 関 す る 基 本 定 理 で あ り,こ れ が 証 明 され た 上

は 位 相 環,位   Rを Rは

相 体 の 完 備 化 は 簡 単 に 論 じ る こ とが で き る.

分 離 的 な 位 相 環 と し,Rを

ま ず 加 群 と考え て そ の 完 備 化Rを

完 備 な 加 群 で あ る.今〓,〓

の 近 傍Uに

をRの

つ い て,VV⊂Uと

コー シ ー フ ィル タ ー とす る.Rの0

な る0の 近 傍Vを

と りだ して,M0の

どの2元

質 を も つ 集 合N0を

と りだ す.a0∈M0,b0∈N0に

W⊂Vで

の 差 もVに

あ る よ うな0の 近 傍Wを

∈Nと

の 差 がWに

部 分 集 合M,N 属 す よ うに す る.

す れ ばab−a′b′=a(b−b′)+(a−a′)b′

∈(a0 全

コ ー シー フ ィル タ ー の 基 を な す こ と を 示 して い る.故 にa,b∈Rに の 共 通 部 分 の な すRの

し,MN,(M∈〓a,N∈〓b),の 元 をabと

れ る.こ

つ い てa0W⊂V,Wb0⊂V,

れ はMN,(M∈〓,N∈〓),の

つ い て そ れ ら の 近 傍 系 とRと

Rの

か らも同様 の性

と り,〓,〓 か らM0,N0の

+V)W+W(b0+V)⊂U+U+U+U.こ 体 がRの

と り,〓 か ら集 合M0を

属 す よ うに す る.〓

を そ れ ぞ れ と りだ して,両 方 と も そ れ に 属 す2点 こ の と きa,a′ ∈M,b,b′

つ く る.

全 体 を 基 とす るRの

定 義 す る こ とに よ って,R×Rか

の 写 像 は 定 理1.65の

連 続 写 像 と な る.こ 定 理1.65の

フ ィル タ ー を〓a,〓bと フ ィル タ ー の 収 束 す る

らRへ

の 写 像 が1つ

証 明 に お け る と 同 じ よ うに 定 理1.55に

決定 さ よ って

の よ うに 定 義 され た 積 に つ い てRが 環 とな る こ とは や は り

証 明 に お け る と 同 じ よ うに 定 理1.54か

ばa(b+c)−(ab+ac)はR×R×Rにお 合 律 が 出 る の で あ る.こ のRをRの

い て0だ

ら直 ち に わ か る.た か らR×R×Rで

完 備 化 とい う.Rは

とえ

も0で 結

加 群 と して 一 意 的 に 定

ま り,そ の 積 の 入 れ 方 は 積 の 連 続 性 か ら一 意 的 に 定 ま る か ら,Rは

環 と して 一

意 的 に 定 ま る.   Fが 分 離 的 位 相 体 の と きに は,Fを う.Fは

完 備 化 とい

一 般 に は 体 に な ら ない.

  例 題18 

位 相 体Fの

フ ィル タ ー〓 mを

環 と して 完 備 化 したFをFの

完 備 化Fが

体 で あ る た め に は,Fの

加 法群 の コー シー

で0に 収 束 しな い も の に つ い て,M−1,(M∈〓),の

基 とす るFの

全 体 の族

フ ィル タ ー が す べ て また コ ー シ ー フ ィル タ ー とな る こ とが

必 要 十 分 で あ る.   解  〓 が0に

収 束 し な け れ ば,〓

を 基 とす るFの

フ ィル タ ー も0に 収 束 し

な い.故

に0で

意 の 近 傍Uに

な いFの

点aに

の あ る 集 合 を 含 む.こ

フ ィル タ ーはa−1に

しな い 任 意 の〓

M−1MがFの

収 束 し,コ

に つ い て,mを

ィル タ ー で あ れ ば,〓

ー シー フ ィル タ ー で あ る.逆

基 とす るFの

任

なるよう

の こ とか らmを

基 とす る に0に

収束

フ ィル タ ー〓′ が コ ー シ ー フ

に 属 す 十 分 小 さ い 位 の 集 合Mを

と る こ とに よ っ て,

単 位 元 の 任 意 に あ た え られ た 近 傍 に は い る よ うに で き る こ とか

ら,〓′ を 基 にす るFの

フ ィル タ ー の 収 束 す るFの

の フ ィル タ ー の 収 束 す る 点aの   Fが

体 で あ った とす れ ばa−1の

つ い てaの 近 傍 で0を 含 ま な い も のVをV−1⊂Uと

に と る こ とが で き,Vは〓 Fの

収 束 す る.Fが

体 で あ れ ばFの0で

備 で あ り,従 っ てF×   集 合Rの2つ

を 基 とす るF

乗 法 に 関 す る 逆 元 で あ る. 

な い 元 の なす 乗 法 群F×

はF×

(以上)

は 定 理1.62に

よって完

の 完 備 化 に な っ て い る わ け で あ る.

の 元a,bに

件 を 満 足 す る と き,Rに

点a′ は〓

負 で な い 実 数d(a,b)が

は 距 離dが

対 応 させ られ,次

の条

あ た え ら れ た とい い,d(a,b)をaとbと

の 距 離 と い う.   1) d(a,b)=0とa=bと +d(b,c)≧d(a,c),(3角

が 同 等 で あ る.2)  d(a,b)=d(b,a).3)  不 等 式),(a,b,c∈R).

  εを 正 の 実 数 と し,Rの 体 の 集 合 をaの 件 を 満 足 し,Rは

d(a,b)

元aに

つ い てaと

ε近 傍 と い う こ と に す れ ば,aの 位 相 空 間 に な る.こ

の 距 離 が εよ り小 さいRの

元全

ε近 傍 全 体 は 近 傍 系 の 基 の 条

の よ うに位 相 が 距 離 で あ た え られ た 空 間

を 距 離 空 間 と い う.距 離 空 間 の 部 分 空 間 は 自然 に 距 離 空 間 に な る.   例 題19 

距 離 空 間 はT1か

つT4で

あ る.

  解   T1で あ る こ と は あ き らか.ま たX,Yを ば,す べ て のa∈X,b∈Yに 交 わ らず,bの

つ い て εa,εb>0を と ってaの

εb近 傍 がXと

εa/2近 傍 全 体 の合 併 をX′,b∈Yの Y′ は そ れ ぞ れX,Yを   距 離 空 間Rに

互 い に 交 わ らな い 閉 集 合 とす れ

交 わ らな い よ うに で き る.そ εb/2近 傍 全 体 の 合 併 をY′

含 む 開 集 合 で,互

εa近 傍 がYと こでa∈Xの とす る と,X′,

い に 交 らな い. 

お い て は 位 相 群 と同 じ よ うに コ ー シ ー フ ィル タ ー,完

有 界 等 の 概 念 が 定 義 で き る.

(以上) 備,全

  ま ずRの

部 分 集 合 に お い て そ の 任 意 の2点

間 の 距 離 が εよ り小 さい と き,そ

れ を ε位 の集 合 と い う.次 に 任 意 の ε>0に ー を コー シ ーフィ ル タ ー とい い Rを

,すべ

完 備 と い う.ま たX⊂Rが

で 被 覆 され る と きXを d,gを

つ い て ε位 の 集 合 を 含 む フ ィル タ

て の コー シー フ ィル タ ー が 収 束 す る と き

ど ん な ε>0に

つ い て も有 限 個 の ε位 の 集 合

全 有 界 と い うの で あ る.さ

も っ た 距 離 空 間 で,fがRか

らSへ

ら にR,Sが

それ ぞれ距 離

の 写 像 で あ る と き,任

意 の ε>0

な らg(f(a),f(b))0を

定 め,d(a,b)0を aの

か く.Rが

定 ま り,n>Nな

収 束 す る.あ

る い はaは

あ り,aの

どん な 近 傍U

らばan∈Uと

そ の 点 列 の 極 限 で あ る とい

距 離 空 間 で あ る と きに は,liman=aと

あ た え て も そ れ に つ い て 自然 数Nが

なると

定 ま り,n>Nな

は,ど

ん

らばanが

ε近 傍 に 入 る とい うこ と に な る.

  距 離dを Nを

はaに

応 を指定 され た部 分集 合 を 点列 と

もつ 空 間Rの

定 め れ ばm,n>Nで

列 とい う.

点 列a1,a2,…

で,ど ん な ε>0に

あ る か ぎ りd(am,an)0を

任 意 の 点 と の 距 離 は ε よ り小 さ く な り,AiはUε

任 意 に 固定

に 含 ま れ る.故

に〓

完 備 で あ る.逆

完

に つ い てMn={an,an+1,…},(n= 収 束 し,

も と の 点 列 も 収 束 す る. 

場 合 で あ るか ら,両

はaの

にRが

体 を 基 と し て で き る コ ー シ ー フ ィ ル タ ー は あ るa∈Rに

  可 換 位 相 群 と距 離 空 間 は,前

はあ

交 わ る か らaとAiの

な わ ちRは

ー シ ー 点 列a1,a2,…

コー シ

収 束 す る 正 数 列 と す れ ば,

は コ ー シ ー 点 列 で あ る.故

ε近 傍 をUε

をRの

(証 終)

に も の べ た よ うに 一 様 位 相 空 間 と よば れ る も の の 特 別 な

者 に類 似 点 の 多 い の は 当 然 で あ る.位

相 群 に つ い て の べ た 定 理 で,

距 離 空 間 に つ い て も ほ とん どそ の ま まな りた つ もの を こ こで い くつ か あ げ て お こ う.   定 理1.58に

相 当 す る こ とは 一 般 の 距 離 空 間 で な りた つ.す

な わ ち 距 離 空 間 の(部 分 空

間 と し て)完 備 な 部 分 集 合 は 閉 集 合 で あ る.こ れ は あ る集 合 の 閉 包 の 点 は そ の 集 合 に 属 す 点 か らな る コ ー シ ー点 列 の極 限 で あ る こ とか ら あ き ら か で あ ろ う.ま た 定 理1.59に

相当

す る こ と も証 明 で き る.な ぜ な ら全 有界 で 完 備 な ら コ ン パ ク トで あ る こ とは 定 理1.59の 証 明 と 同 様 で あ り,コ

ン パ ク トな ら全 有 界 で あ る こ と もあ き らか で あ る.コ

ら完 備 で あ る こ とは 同 定 理 の 証 明 と同 じ よ うに して も い え る が,次 で あ る.Rを とす る と,Aiは

コ ン パ ク ト と し,a1,a2,…

をRの

ンパ ク トな

の よ うに す れ ば 簡 単

コ ー シ ー 点 列 とす る.{ai,ai+1,…}=Ai

任 意 有 限 個 が 共 有 点 を もつ 族 を な す か ら,Aiの

し,a1,a2,…

はaに

  定 理1.64に

相 当 す る こ と も 一 般 の 距 離 空 間 で な りた つ.証

閉 包 に 共 有 点aが

存在

収 束 す る. 明 は 大 体 同 様 で よい.距

離

空 間 の 完 備 化 も コ ー シ ー フ ィル タ ーを 適 当に 類 別 した 空 間 を 用 い て つ く る こ とが で き る.   定 理1.60は 位 相 群 で な け れ ば 必 ず し もな りた た ず,従 っ て 定 理1.61も て しか 一 般 に は な りた た な い.た とえ ば 実 直 線 上 で1/n,(n=1,2,…),の

部分 群に つ い 全 体は あ きら

か に 局 所 コ ンパ ク トな 空 間 と な るが 完 備 で は な い.

  位 相 群Gの

位 相 が 距 離 に よ っ て あ た え られ て い る と き に は,Gの

完備性 は 位

相 群 と して の も の と距 離 空 間 と して の も の と2通 備 性 は 一 般 に は 一 致 しな い が,任 意 の ε>0に 定 め,U位

り考 え られ る.こ の2つ

つ い てGの

の 集 合 が 必 ず ε位 の 集 合 で あ り,逆 にGの

に つ い て ε>0を な らば,当

定 め,ε 位 の 位 の 集 合 が 必 ずU位

の完

単 位 元 の 近 傍Uを

単 位 元 の 任 意 の 近 傍U

の 集 合 で あ る よ うに で き る

然 両 完 備 性 は一 致 す る.位 相 群 の 位 相 を あ た え る 距 離 が こ の よ うな

性 質 を も っ て い る と き 一 様 な 距 離 と い う.Gの わ ち 任 意 のa,x,y∈Gに

距 離dが

つ い てd(x,y)=d(ax,ay)で

不 変 距 離 の 場 合,す

な

あ る場 合 が そ の1例

で

あ る.実 数 の 加 法 群 な ど た しか に そ うで あ る.   Gを 一 様 な 距 離dで

位 相 の あ た え られ た 可 換(分 離 的)位 相 群 と し,Gを

完 備 化 とす る.d(x,y),(x,y∈G),をG×Gか

ら 実 数 の 加 法 群Rの

写 像 とみ れ ば そ れ は 一 様 連 続 で あ る.故 に 定 理1.63が か らRの

中 へ の 一 様 連 続 写 像dに

こ とを 示 そ う.d(x,y)=0な し く,Gの1の

任 意 の 近 傍Uに

y=xU,(x,y∈G),の な らyはxの ⊂Uと

と り,さ らに3ε

に 含 まれ る.故 にy∈xWW−1WW−1⊂xUと   こ れ でGは の ε>0に

距離dを

近 傍Uを

から

しd(x,y)=0

部 分 集 合 は す べ てW

とす る と,xWの

で あ る か らa,bは1つ

中 に はd(x,a) とな るb∈G のW位

の集合

な る. 一 様 連 続 で あ るか ら,任 意

定 め,x,y∈GがU位

とな る よ うに で き る.こ れ は,上

Gの 一 様 な 距 離 で あ る こ と を 示 す もの で あ る.従   定 理1.67 

うす れ ば,も

位 のGの

も った 空 間 とな る が,dは

つ い てGの1の

れ ばd(x,y)