Дидактические материалы к практическим занятиям по высшей математике по темам ''Векторная алгебра и аналитическая геометрия'' и ''Кривые второго порядка''

Министерство общего и профессионального образования РФ

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» и «Кривые второго порядка»

Составитель: Степанова С.Б.

Улан-Удэ, 2002г.

1. Линейные операции над векторами Задача 1. В треугольнике АВС заданы векторы УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ !

АВ = с и

ВС = а , точка М- середина ВС, точка О- точка пересечения медиан. Найти векторы СА , МО . Решение:

Данное пособие поможет Вам на практических заня-

B

тиях по высшей математике научиться решать задачи по те-

M

мам "Векторная алгебра и аналитическая геометрия" и "Кри-

O

вые второго порядка". К практическим занятиям Вы должны подготовиться, т.е. прочитать соответствующий теоретический материал. Каждой теме соответствует подробное решение типовой задачи, затем нужно решить задачи (для самостоятельного решения) согласно номеру варианта и ответить на вопросы, расположенные в конце темы. Каждую тему Вы должны защитить, т.е. дать подробное объяснение - решение каждой задачи и ответы на вопросы.

C

A

CA = − AC = −( AB + BC ) = −(c + a ) 1 MO = MA, MA = − AM = −( AB + BM ) = 3 1 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ = −⎜ AB + BC ⎟ = −⎜ c + a ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ MO =

1 1⎛ 1 ⎞ 1 1 MA = − ⎜ c + a ⎟ = − c − a 3 3⎝ 2 ⎠ 3 6

НУЖНО ЗНАТЬ: 1. Определение вектора 2. Определение коллинеарных векторов в геометрической и координатной формах.

3. Правило нахождения координат вектора, если известны координаты начала и конца вектора.

Задача 3. Лежат ли точки А(2,4,1), В(3,7,5), С(4,10,9) на

одной прямой?

4. Длина и направляющие косинусы вектора.

Решение: Если точки А,В,С лежат на одной прямой, то век-

5. Связь между направляющими косинусами вектора.

торы AB, AC , BC коллинеарны, т.е. их координаты пропор-

6. Правило сложения векторов в геометрической и координатной формах. 7. Правило умножения вектора на число в геометрической и координатной формах. 8. Как определить направление вектора в пространстве ? Задача 2. Отрезок АВ, где А(7,2,3), В(-5,0,4) разделен точкой

циональны. Найдем координаты векторов : AB =(1,3,4),

AС =(2,6,8), BC =(1,3,4). Сравнивая координаты векторов, видим, что точки А,В,С лежат на одной прямой. Задача 4. Найти координаты вектора , если он составляет с

осями ОХ и OZ соответственно углы

α = 60 0 и γ = 120 0 и a = 2.

AB 1 С в отношении k = = . Найти координаты точки С. BC 4

Решение: Пусть

Решение: Пусть точка С(х, у).

a = ( x , y , z ), тогда x = a cos α , z = a cos γ , z = a cos β

⎛ 12 2 7 ⎞ AB = ( −12,−2,7), AC = ⎜ − ,− , ⎟ . С другой сторо⎝ 5 5 5⎠

Так как по условию

ны, AC = ( x − 7, y − 2, z + 3), значит 12 12 23 ⎧ x − 7 = − , x = 7 − = , ⎪ 5 5 5 ⎪⎪ 2 2 8 ⎨ y−2 = − ,y = 2− = , 5 5 5 ⎪ 7 7 ⎪ z + 3 = , z = −3 + = − 8 ⎪⎩ 5 5 5

a = 2, α = 60 0 , γ = 120 0 , то x = 2 ⋅

a = ⎛ 23 8 8 ⎞ Ответ : ⎜ , ,− ⎟ ⎝ 5 5 5⎠

2

1 ⎛ 1⎞ = 1, z = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 ⎝ 2⎠ 2 2

x2 + y2 + z 2 , a = x2 + y 2 + z 2 , y 2 = a − x2 − z 2 =

= 4 − (1) 2 − (−1) 2 = 2, y = ± 2

(

)

Ответ: a = 1,± 2 ,−1

Задача 5. Даны точки А(1,-3,2), В(1,0,1), С(1,-4,0), Д(0,1,3).

Найти длину и координаты вектора, соединяющего середины векторов AB и СД .

Решение: Пусть т.М- середина АВ, т.О - середина СД, следо-

Задачи для самостоятельного решения Вариант 1

вательно, нужно найти координаты вектора МО. B

C

1. В треугольнике АВС заданы векторы AB = c , AC = b . Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВЕ, СК. Найти

O M D A

векторы OE и OK . 2. Отрезок АВ, где А(3,-2,-5), В(6,4,1), разделен точкой С так, что длина AC составляет одну третью часть длины

МО = МВ + ВС + СО; МВ =

1 АВ. 2

АВ = (0,3,−1),

3. При каких значениях α и β векторы

⎛ 3 1⎞ МВ = ⎜ 0, ,− ⎟ ⎝ 2 2⎠ ВС = (0,−4,−1), СО =

AB . Найти координаты точки С.

a = −2i + 3 j + β k и b = 2i − 6 j + 2 k коллинеарны? 1 СД , 2

СД = (−1,5,−3),

4. Вектор b составляет с осями ОХ и ОУ углы соответственно α=1200 иβ=1350. Какой угол составляет вектор с

⎛ 1 5 3⎞ СО = ⎜ − , ,− ⎟ ⎝ 2 3 2⎠

осью ОZ ?

1 3 5 1 3⎞ ⎛ МО = МВ + ВС + СО = ⎜ 0 + 0 − , − 4 + ,− − 1 − ⎟ = 2 2 2 2 2⎠ ⎝

5. Дан треугольник АВС: А(1,1,-2), В(-5,1,-2), С(7,9,0). Найти длину и координаты вектора, соединяющего вершину А с серединой противоположной стороны.

⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,0,−3 ⎟ ⎝ 2 ⎠

Вариант 2 2

⎛ 1⎞ МО = ⎜ − ⎟ + 0 2 + (−3) 2 = ⎝ 2⎠

1 +9 = 4

37 ⎛ 1 ⎞ Ответ : МО = ⎜ − ,0,−3 ⎟, МО = . 2 ⎝ 2 ⎠

37 2

1. В треугольнике АВС заданы векторы AB = m , BC = n . Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВД, СК. Найти координаты векторов OД и OK .

2. Отрезок АВ, где А(3,-2,5), В(7,6,1), разделен точкой С так, что длина AC составляет одну третью часть длины СB .

5. Даны векторы a =(1,-1,1), b =(0,-4,-2), c =(2,3,0). Найти b и координаты вектора m = a − 0,5b + 3c .

Найти координаты точки С. 3. При каких значениях α и β векторы

a = −i + 3 j + β k и b = 2i − 6 j + 2 k коллинеарны? 4. Вектор составляет с осями ОХ и ОУ углы соответственно 0

0

α=120 иβ=45 . Какой угол составляет вектор с осью ОZ ? 5. Дан треугольник АВС: А(1,1,2), В(-5,1,-2), С(7,9,0). Найти длину и координаты вектора, соединяющего вершину В с серединой противоположной стороны. Вариант 3

1. В треугольнике АВС заданы векторы AB = m , АC = p . Точка О- точка пересечения медиан АА1, ВВ1, СС1. Найти координаты векторов OА и OС . 2. Отрезок ВС, где В(3,-2,-5), С(-2,3,5), разделен точкой Д так, что длина ВД составляет одну пятую часть длины

ВC . Найти координаты точки Д. 3. При каких значениях α и β векторы

a = −2i + 3 j + β k и b = α i − 9 j + 2 k коллинеарны? 4. Может ли вектор a составлять с координатными осями углы α=900 ,β=600, γ=1200?

Вариант 4

1. В треугольнике АВС ,где AB = a , AC = d . Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВК, СД. Найти координаты векторов OК и OМ . 2. Даны точки А(1,-1,3), В(-2,5,3). Найти координаты точки С, если

AB =3 AC

3. Определить при каких значениях m и n векторы a и

b коллинеарны, если a = −2i + 3mj + k , b = 4i + j − 2 kn . 4. Найти углы, образуемые вектором a =(-3,6,2) с осями координат. 5. Даны векторы a1 =(-1,1,1), a 2 =(0,-4,-2), a 3 =(2,3,0). Найти a1 и координаты вектора b = a1 + 0,5a 2 − 2a 3 . Вариант 5

1. В треугольнике АВС сторону АВ точками M и N разделили на три равные части : AM=MN=NB. Найти вектор

CM ,если CA = a, CB = b.

2. А(1,-1,3), В(-2,5,3). Найти координаты точки С, если

AС = 2. CВ

5. Даны векторы b1 =(-4,2,2), b2 =(0,1,3), b3 =(2,-3,0). Найти координаты вектора a = b3 + 2b2 − 0,5b1 .

3. Является ли четырехугольник АВСД, где А(1,1,1), В(2,-4,2), С(3,0,1), Д(-1,-7,3) трапецией ? 0

4. Вектор r составляет с осью ОУ угол β=60 , а с осью ОZ угол γ=1350 длина его равна 8. Найти координаты вектора

r , если его абсцисса отрицательна. 5. Даны векторы a1 =(4,0,-2), a 2 =(0,2,-1), a 3 =(2,3,0). Найти координаты вектора b = 0,5a1 − 2a 2 + a 3 .

Вариант 7

1. В треугольнике АВС сторону АС точками D,E,F разделили на 4 равные части : AD=DE=EF=FC. Найти вектор

BD если BC = a , AF = b. 2. А(2,-1,3), В(-3,4,-2). Найти координаты точки С, если

АВ 5 = . СВ 2 3. Даны векторы a =(3,-1,2), b =(2,-1,3), с =(α,0,-2).При каком значении α вектор ( a - b ) будет коллинеарен векто-

Вариант 6

1. В треугольнике АВС сторону ВС точками M и N разделили на три равные части : ВM=MN=NC. Найти вектор АM , если AB = p, AC = q. 2. М(2,0,-1), В(7,5,-6). Найти координаты точки С, если

МС 3 = . МВ 2 3. Является ли четырехугольник АВСД, где А(1,1,1), В(2,-2,3), С(3,0,1), Д(2,3,-1) параллелограммом? 4. Дан вектор a = 2i − 2 j - k . Найти его единичный вектор и направляющие косинусы.

ру с ? 4. Вектор a образует с осями координат равные углы. Найти его координаты, если a = 3 5. Даны векторы a = (5,2,3), b = ( 6,4,−4), c = (0,−1,−1). Найти длину и координаты вектора c = 0,5b − a + 2c . ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ

1. Какие операции над векторами называются линейными ? 2. Как найти геометрическую сумму более двух векторов ? 3. Когда векторы считаются равными ?

4. Как определяются проекции вектора на координатные оси?

Задача 2. Даны векторы

a =(1,-2,2), b =(2,1,2). Вычислить: 1) ( a , b ), 2)скалярное

5. Какой вектор называется нулевым ?

произведение векторов (2 a -3 b ) и ( a +2 b ), 3) проекцию

6. Дайте определение линейной комбинации системы векто-

вектора (2 a -3 b ) на вектор a , 4) угол между векторами a

ров.

и b.

7. Какая система векторов называется линейно зависимой ? 8. Какая система векторов называется базисной ? 9. Какие векторы образуют декартов базис ? 10. Могут ли 3 вектора, лежащие на одной плоскости, обра-

Решение:

( )

1. a, b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 2 − 2 + 4 = 4 2. 2a − 3b = (2 − 6,−4 − 3,4 − 6) = (−4,−7,−2)

a + 2b = (1 + 4,−2 + 2,2 + 4) = (5,0,6)

зовывать базис ?

(2a − 3b, a + 2b) = −4 ⋅ 5 − 7 ⋅ 0 − 2 ⋅ 6 = −20 − 12 = −32 2. Скалярное произведение двух векторов Задача 1. Векторы a и b образуют угол

ϕ=

2π 3

и a = 2, b = 3 . Найти ( a , b ), ( a , a ), (3 a -2b ,

( )

Решение: a, b = a ⋅ b cos ϕ = 2 ⋅ 3 ⋅ cos

(a, a ) = a

⎛ 1⎞ = 2 ⋅ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ = −3 . ⎝ 2⎠

(3a − 2b, a + 2b) = ⎛⎜⎝ 3 a 2

2

2

2π = 3

= 4.

2 + 6(a, b) − 2(b, a) − 4 b ⎞⎟ = ⎠

= 3 a + 4(a, b) − 4 b = 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ (−3) − 4 ⋅ 9 = −36

(b,2a − 3b) b

,

b = 4 + 1 + 4 = 3, прb (2a − 3b) =

a +2 b ).

2

3. прb (2a − 3b) =

2(−4) + 1(−7) + 2(−2) 19 =− 3 3

⎛ ∧ ⎞ ( a, b) 4 4 4. cos⎜⎜ a, b ⎟⎟ = = = ⎠ a ⋅ b 3⋅3 9 ⎝ НУЖНО ЗНАТЬ: 1. Определение скалярного произведения двух векторов. 2. Свойства скалярного произведения.

3. Выражение скалярного произведения в координатном виде.

3. Найти угол между векторами (2 a - b ) и ( a + b ), если a =(-2,1,2), b =(2,3,6).

4. Признак перпендикулярности двух векторов. 5. Физический смысл скалярного произведения. 6. Почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю ? Задача 3. Найти длину вектора a = 2m − 3n, если ⎛ ∧ ⎞ π m = 1, n = 2, ⎜⎜ m, n⎟⎟ = ⎝ ⎠ 3

⎛ ∧ ⎞ 2π a = 2m + n, если m = 1, n = 2, ⎜ m, n ⎟ = . ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 2. При каком значении m векторы

3. Дан треугольник АВС, где А(1,-1,2), В(3,1,3), С(3,0,3).

(2m − 3n,2m − 3n) = (2m − 3n)

2

Найти косинус угла А.

=

1 = 4 m − 12(m, n) + 9 n = 4 ⋅ 1 − 12 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ + 9 ⋅ 4 = 26 2 2

1. Найти длину вектора

mi + 3 j + 4k = a и b = 4i + m j − 7k перпендикулярны ?

Решение: a = ( a, a ) =

Вариант 2

2

Вариант 3

1. Найти длину вектора ⎛ ∧ ⎞ π a = 2m − n, если m = n = 1, ⎜⎜ m, n⎟⎟ = ⎝ ⎠ 3

Задачи для самостоятельного решения Вариант 1

1. Найти длину вектора ⎛ ∧⎞ π a = 3b + c, если b = 1, c = 1, ⎜⎜ b, c⎟⎟ = . ⎝ ⎠ 3

2. Будут ли перпендикулярны векторы a =(3,7,2) и BC , если В(2,5,6) и С(8,5,3) ?

2. Даны вершины четырехугольника А(1,-2,2), В(1,4,0), С(-4,1,1), Д(-5,2,3). Докажите, что его диагонали перпендикулярны. 3. Найти проекцию вектора с = a + 2b на вектор b, если a = 2i − j + k , b = −i + 3k Вариант 4

1. Найти длину вектора

1. Найти длину вектора

⎛ ∧⎞ π a = b + 2c, если b = 2, c = 1, ⎜⎜ b, c⎟⎟ = ⎝ ⎠ 2

2. Вычислить работу равнодействующих трех сил F1 (3,−4,2), F2 (2,3,−5), F3 ( −3,−2,4) , приложенных к одной точке, при перемещении из точки М1(5,3,7) в точку

⎛ ∧ ⎞ π c = 3b + 2a , если a = 1, b = 1, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 3

, ), a2 = (3,1,−3), a3 = (2,2,−2) . 2. Даны векторы a1 = (2,−11 Определите, какие из них перпендикулярны. 3. В треугольнике АВС даны вершины А(1,-1,2), В(3,1,3),

М2(4,-1,-4).

С(3,0,3). Найти косинус угла между векторами

Примечание: Работа силы F при перемещении S вычис-

BA и BC .

ляется по формуле: А( F , S ). 3. Найти угол между векторами a и с = 2a + b, если a = (2,1,-1), b = (1,0,1) Вариант 5

1. Найти длину вектора

Вариант 7

1. Найти длину вектора

⎛ ∧ ⎞ 2π a = 2c + 3d , если c = 2, d = 1, ⎜ c, d ⎟ = ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 2. Даны векторы a = 2mi − 3 j + k и b = −i − 3 j + mk . Оп-

⎛ ∧ ⎞ π a = p − q, если p = 2, q = 2, ⎜ p, q ⎟ = ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 2. Определить косинус угла А в треугольнике АВС, если А(3,2,-3), В(5,1,-1), С(1,-2,1).

ределите при каком значении m эти векторы перпендикулярны. 3. Найти угол С в треугольнике АВС, если известны его вершины А(1,-1,2), В(3,1,3), С(3,9,3) Вариант 8

3. Найти проекцию вектора с = 2a − b на вектор b, если a = (1,0,1), b = (2,−11 ,) Вариант 6

1. Найти длину вектора ⎛ ∧ ⎞ 2π m = b − 3a , если b = a = 1, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = 3 ⎝ ⎠

2. Дан четырехугольник АВСД, где А(1,1,1), В(2,1,0),

С(-

3,2,1), Д(2,3,4). Будут ли перпендикулярны его диагонали ? 3. Найти угол между векторами a =(-2,2,1) и b =(2,3,-6).

( )

⎛ ∧ ⎞ 12 3 a, b откуда cos⎜⎜ a, b ⎟⎟ = = = . ⎝ ⎠ a ⋅ b 2 ⋅ 10 5 ∧

∧

sin(a , b) = ± 1 − cos2 (a , b) = ± 1 −

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

9 4 =± 25 5

Знак возьмем только "+", т.к. находим модуль векторного

1. Что называется скалярным произведением двух векторов ? 2. Скалярное произведение равно 0. Что это значит ? 3. Как определяется проекция вектора на вектор ? 4. Почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю ?

произведения.

[a, b] = 10 ⋅ 2 ⋅ 45 = 16 Ответ: [a , b] = 16 Задача 2. Даны векторы a = (2,3,1), b = (11 , ,0) Найти

5. Почему (i , j ) =0 ? 6. Что такое скалярный квадрат ? 3. Векторное произведение двух векторов Задача 1. Найти модуль векторного произведения векторов

a и b, если a = 10, b = 2 и скалярное произведение этих векторов равно 12.

[ a , b]

Решение: i j k 3 1 2 1 2 3 a, b = 2 3 1 = i ⋅ − j⋅ +k⋅ = −1 ⋅ i + 1 ⋅ j − 1 ⋅ k 1 0 1 0 1 1 1 1 0

[ ]

[ a , b] = − 1 ⋅ i + 1 ⋅ j − 1 ⋅ k = Ответ:

( −1) 2 + 12 + ( −1) 2 = 3

3

НУЖНО ЗНАТЬ:

⎛ ∧ ⎞ Решение: По формуле: a , b = a ⋅ b ⋅ sin⎜⎜ a , b⎟⎟ ⎝ ⎠

2. Определение векторного произведения двух векторов.

Угол между векторами определим из условия:

3. Свойства векторного произведения.

(a, b) = 12, но (a, b) = a ⋅ b ⋅ cos⎛⎜⎜ a, b ⎞⎟⎟,

4. Выражение векторного произведения двух векторов в

[ ]

∧

⎝

⎠

1. Скалярное произведение двух векторов.

координатном виде.

5. Длина вектора.

Вариант 4

Задачи для самостоятельного решения Вариант 1

1. Даны векторы a = (3,−1,−2), b = (1,2,−1) . Найти модуль

⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти a + b, a − b , если a = 2, b = 1, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 6

[

]

2. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(2,-1,2), В(1,2,-1), С(3,2,1).

векторного произведения векторов (2a − b) и (a + b) ⎛ ∧ ⎞ π 2. Найти a + b, a − b , если a = 2, b = 3 , ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 3

[

]

Вариант 2 ⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти 2b + a , a , если a = 2, b = 1, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 6

[

]

2. Найти площадь параллелограмма АВСД, если А(1,-2,1),

Вариант 3 1 ⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти a ,2a + b , если a = 1, b = , ⎜ a , b⎟ = 3 ⎜⎝ ⎟⎠ 3

]

2. Найти координаты вектора с , который имеет длину, равную 1 и перпендикулярен векторам a = i + j + 2k и

⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти a − 2b, a + b , если a = b = 1, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 2

[

]

2. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(1,1,1), В(2,1,1), С(1,0,-1). Вариант 6 ⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти 2a + b, a − b , если a = 1, b = 2, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 6

[

В(2,-2,1), Д(0,2,3).

[

Вариант 5

b = 2i − j − k

]

2. Найти площадь параллелограмма , построенного на векторах a = (2,1,0), b = ( −3,0,1)

Вариант 7 ⎛ ∧ ⎞ 5π 1. Найти a ,2a − b , если a = 2, b = 3, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = 6 ⎝ ⎠

[

]

2. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(2,1,0), В(3,1,1), С(1,2,-3).

2. Почему векторное произведение не подчиняется переместительному свойству ?

Вариант 8

[ ]

3. Докажите, что i , j = k

⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти 3a − b,2b , если a = 2, b = 3 , ⎜⎜ a , b⎟⎟ = ⎝ ⎠ 3

4. Как определяется направление векторного произведе-

2. Найти площадь параллелограмма , построенного на векто-

5. Каков геометрический смысл модуля векторного произ-

[

]

, ,−4), b = (2,1,3) рах a = (11

ния? ведения? 6. Каков физический смысл векторного произведения?

Вариант 9 1 ⎛ ∧ ⎞ π 1. Найти a + 2b,2a − b , если a = 1, b = , ⎜ a , b⎟ = 3 ⎜⎝ ⎟⎠ 3

[

]

2. Найти площадь параллелограмма , построенного на векторах a = (3,3,1), b = (2,0,3)

4. Смешанное произведение трех векторов Задача 1. Найти объем треугольной пирамиды с вершина-

ми А1(2,-1,1), А2(5,5,4), А3(3,2,-1), А4(4,1,3). Решение: Найдем векторы AB, AC ,AD совпадающие с ребрами пирамиды, сходящиеся к вершине А:

Вариант 10 ⎛ ∧ ⎞ π 1 1. Найти a − 3b,2a + b , если a = , b = 2, ⎜⎜ a , b⎟⎟ = 3 ⎝ ⎠ 3

[

]

2. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(0,-1,2), В(2,-1,1), С(1,0,1). ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ: 1. Что называется векторным произведением ?

AB = (3,6,3), AC = (1,3,-2),AD = (2,2,2) Находим смешанное произведение векторов AB, AC ,AD : 3 6 3 3 −2 1 −2 1 3 AB ⋅ AC ⋅ AD = 1 3 − 2 = 3 ⋅ − 6⋅ + 3⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 3 ⋅ 10 − 6 ⋅ 6 + 3 ⋅ ( −4) = 30 − 36 − 12 = −18

Так как объем пирамиды равен 1/6 части объема параллеле-

Показать, что точки А1(5,7,-2), А2(3,1,-1), А3(9,4,-4),

пипеда, построенного на векторах AB, AC ,AD , т.е.

А4(1,5,0) лежат в одной плоскости.

V =±

Вариант 3

1 AB ⋅ AC ⋅ AD = 3 6

Лежат ли точки А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1), Д(2,1,3) в одной плоскости ?

Ответ : 3 (куб. ед.)

Вариант 4

НУЖНО ЗНАТЬ: 1. Определение векторного произведения трех векторов.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

2. Свойства смешанного произведения.

a = i − j + k , b = i + j + k , c = 2i + 3 j + 4k .

3. Определение компланарных векторов.

Вариант 5

4. Признак компланарности векторов.

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

5. Выражение смешанного произведения в координатном ви-

А(2,-1,1), В(5,5,4), С(3,2,-1), Д(4,1,3).

де.

Вариант 6

6. Геометрический смысл смешанного произведения.

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2,3,1),

7. Что означает знак смешанного произведения ?

В(4,1,-2), С(6,3,7), Д(-5,-4,8).

8. Правило разложения определителя по элементам какойлибо строки или столбца.

Вариант 7

Объем пирамиды равен 5, три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,1,0), С(2,-1,3). Найти координаты его

Задачи для самостоятельного решения Вариант 1

четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси ОУ.

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А1(0,0,1), В(2,3,5), С(6,2,3), Д(3,7,2). Вариант 2

Вариант 8

Даны точки А(2,1,-1), В(3,0,1), С(2,1,3), Д(Х,0,0). Найти Х, если AB ⋅ AC ⋅ AD = 8 Вариант 9

Точки А(1,2,-1), В(0,1,5), С(1,2,3), Д(0,У,0) лежат в одной

б) уравнение стороны, проходящей через точку С парал-

плоскости. Найти У.

лельно прямой АВ, Вариант 10

с) уравнение высоты, опущенной из точки С на основание

Объем треугольной пирамиды с вершинами А(2,-1,1),

АВ,

В(2,1,1), С(3,1,2), Д(0,0,z)равен 4

г) длину высоты.

Найти z.

Решение:

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

а) составляя уравнение стороны АВ, используем уравнение

1. Что называется смешанным произведением трех векторов?

прямой, проходящей через две данные точки:

2. Смешанное произведение имеет знак "-", что это значит? 3. Почему a ⋅ b ⋅a = 0?

x − xA y − yA = , xB − x A yB − y A

4. Почему смешанное произведение компланарных векторов

или y = −2 x + 8, следовательно, k AB = -2,

x−3 y−2 = , откуда y + 2 x − 8 = 0 5− 3 − 2 − 2

б) запишем уравнение прямой, проходящей через данную

равно 0? 5. Подчиняется ли смешанное произведение переместительному закону? 6. Какую геометрическую величину можно найти с помощью смешанного произведения?

точку C(x c , y c ): y - y c = k(x - x c ) . Так как искомая прямая параллельна прямой АВ, то их угловые коэффициенты равны, поэтому k=kAB=-2. Итак, у-0=-2(х-1) или у=-2х+2, в) воспользуемся тем же уравнением, но, так как высота,

5. Аналитическая геометрия Задача 1. В треугольнике АВС даны вершины А(3,2), В(5,-2),

С(1,0). Найти: а) уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент,

опущенная из точки С, перпендикулярна АВ, то k=−

1 k AB

=

1 1 1 1 , поэтому y − 0 = ( x − 1) или y = x − , 2 2 2 2

г) длину высоты, опущенной из точки С, можно определить как расстояние от прямой АВ до точки С, для чего общее

уравнение прямой АВ у+2х-8=0 приведем к нормальному виду, определив нормирующий множитель μ:

μ=

1 ± A2 + B 2

=

1 12 + 2 2

=

1 . 5

Нормальное уравнение прямой АВ будет иметь вид: y + 2x − 8 = 0. 5

Следовательно, hc =

( x − 1)

2 0 −2 2 −2 0 =0 + ( z − 1) − y⋅ −1 −1 −1 − 2 −1 − 2

( x − 1)( −4) − y 4 + ( z − 1)4 = 0, ( x − 1)( −1) − y + ( z − 1)1 = 0, x + y − z = 0 - уравнение плоскости АВС, где N = (А,В,С)= (1,1,-1). б) используем уравнение плоскости, проходящей через

yc + 2 xc − 8 6 = . 5 5

данную точку Д: А(х-хД)+В(у-уД)+С(z-zД)=0. Так как искомая плоскость па-

Задача 2. Даны точки А(1,0,1), В(-1,2,1), С(0,-1,-1).

раллельна плоскости АВС, то нормальные векторы плоско-

Найти:

стей должны быть коллинеарны, следовательно,

а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С; б) уравнение плоскости, проходящей через точку Д(-1,0,-2)

A B C = = , поэтому 1 1 −1

параллельно плоскости АВС;

1⋅ ( x + 1) + 1⋅ ( y − 0) − 1⋅ ( z + 2) = 0 или x + y − z − 1 = 0

в) расстояние от точки Д до плоскости АВС;

в) приведем общее уравнение плоскости АВС к нормально-

г) уравнение прямой АД; д) угол между прямой АД и плоскостью АВС.

му виду: μ =

1 ± A2 + B 2 + C 2

=

x + y − z −1 1 =0 тогда 3 3

Решение: а) Уравнение плоскости, проходящей через три

-нормальное уравнение плоскости АВС.

данные точки, имеет вид:

Расстояние от точки Д до плоскости АВС будет равно

x − x1 x2 − x1 x3 − x1 или

y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 , y3 − y1 z3 − z1

x −1 y − 0 z −1 − 1−1 2 − 0 1− 1 = 0 0 − 1 − 1− 0 − 1− 1

d=

1 xD + yD − zD = . 3 3

г) за направляющий вектор прямой АД возьмем вектор AD = (−2,0,−3) , поэтому прямая АВ имеет уравнение:

Задачи для самостоятельного решения

x +1 y − 0 z + 2 x +1 y z + 2 = = = = , . −3 −2 0 2 0 3

Задача 1. Дан треугольник АВС с вершинами А,В,С. Найти

⎛ ⎞ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + (−1) ⋅ 3 −1 д) sin ϕ = cos⎜⎜ N ABC , S AD ⎟⎟ = = = 1+1+1 ⋅ 4 + 0 + 9 3 ⋅ 13 ⎝ ⎠

1) уравнение стороны АВ,

∧

=−

1 39

НУЖНО ЗНАТЬ:

: 2) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, 3) уравнение высоты, опущенной на основание АВ и ее длину,

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

Задача 2. Даны точки А1, А2, А3, А4. Найти:

2. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и

1) уравнение плоскости А1 А2 А3,

плоскости. 3. Расстояние от точки до прямой.

2) уравнение плоскости, проходящей через точку А4 параллельно плоскости А1 А2 А3,

4. Виды уравнений плоскости.

3) расстояние от точки А4 до плоскости А1 А2 А3,

5. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравне-

4) уравнение прямой, проходящей через точку А4 и А1,

нии плоскости.

5) угол между прямой А1А4 и плоскостью А1 А2 А3.

6. Расстояние от точки до плоскости.

Вариант 1

7. Канонические уравнения прямой в пространстве.

1. А(1,-1), В(2,2), С(3,1).

8. Угол между прямой и плоскостью.

2. А1(1,0,1), А2(-1,2,1), А3(0,2,-1), А4(2,2,2)

9. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

Вариант 2

1. А(1,1), В(2,2), С(1,3). 2. А1(2,1,-3), А2(3,-1,3), А3(2,-1,1), А4(3,1,1) Вариант 3

1. А(-1,-1), В(1,1), С(2,2). 2. А1(1,0,1), А2(-1,2,1), А3(0,1,-1), А4(1,1,1) Вариант 4

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ: 1. Запишите виду уравнений прямой на плоскости. 2. Каков геометрический смысл углового коэффициента

1. А(1,-1), В(2,1), С(-1,3). 2. А1(1,-3,1), А2(-3,2,-3), А3(-3,-3,3), А4(-2,0,-4) Вариант 5

1. А(0,5), В(12,0), С(18,8). 2. А1(1,1,1), А2(3,4,0), А3(-1,5,6), А4(4,0,5) Вариант 6

прямой ? 3. Как связаны угловые коэффициенты параллельных и перпендикулярных прямых ? 4. Как записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки ? 5. Как записывается уравнение плоскости, проходящей че-

1. А(8,0), В(-4,2), С(-8,2). 2. А1(0,0,0), А2(5,2,0), А3(2,5,0), А4(1,2,4) Вариант 7

рез данную точку перпендикулярно данному вектору ? 6. Чем определяется положение прямой в пространстве ?

1. А(1,5), В(13,0), С(19,8).

7. Как определить угол между двумя плоскостями ?

2. А1(4,-3,-2), А2(2,2,3), А3(2,-2,-3), А4(-1,-2,3)

8. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и

Вариант 8

1. А(1,6), В(-6,-4), С(-10,-1). 2. А1(7,1,2), А2(-5,3,-2), А3(3,3,5), А4(4,5,-1) Вариант 9

плоскости. 9. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 10. Как найти линию пересечения двух плоскостей ?

1. А(-1,5), В(11,0), С(17,8).

11. Как найти точку пересечения прямой и плоскости ?

2. А1(-2,3,-2), А2(2,-3,2), А3(2,2,0), А4(1,5,5)

12. Как найти точку пересечения трех плоскостей ?

Вариант 10 6. Кривые второго порядка

1. А(6,5), В(-6,0), С(-10,3). 2. А1(3,1,1), А2(1,4,1), А3(1,1,7), А4(3,4,-1)

Окружность

Задача. Составить уравнение окружности, если она проходит

через точку А(2,6), а ее центр совпадает с точкой

С(6,-8).

Решение: Уравнение окружности с центром в точке (а,в) и

Решение: Приведем данное уравнение эллипса к каноническому виду

x2 a2

y2

+ 2 = 1 , для этого почленно разделим на b

радиусом R имеет вид: (x-a)2+(y-b)2=R2

По условию а=2, в=6, поэтому радиус R определим из того, что данная окружность проходит через точку (6,-8): (2-6)2+(6+8)2=212=R2, R2=212.

144:

Итак, уравнение окружности имеет вид: (х-6)2+(у+8)2=212

9 x 2 25 y 2 x2 y2 12 + = 1, + = 1, откуда a = 6, b = , 144 144 36 144 5 25

F1(-C,0), F2(C,0) - фокусы эллипса, где

Эллипс 2

Задача. Дано уравнение эллипса: 9х +25у =144. 1. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса. Сделать чертеж. y

4

2

144 189 3 21 = = ; 25 5 5 ⎛ 3 21 ⎞ ⎛ 3 21 ⎞ F1⎜ − ,0⎟ , F2 ⎜ ,0⎟ . Эксцентриситет 5 ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠

c = a 2 − b 2 = 36 −

12/5 F1 -6

0

e=

F2 6

x

F1

c 3 21 21 = = . a 5⋅ 6 10 -3

3

F2 x

4 -4

Гипербола

Задача. Составить уравнение параболы, вершина которой

Задача. Дано уравнение гиперболы 16х2-9у2=144. Найти ее

находится в начале координат, зная, что парабола располо-

полуоси, фокусы и эксцентриситет.

жена симметрично относительно оси ОХ и проходит через

Решение: Приведем данное уравнение к каноническому виду

точку В(-1,3). Решение: Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, с вершиной в начале координат имеет вид: у2=2рх, поэтому нужно найти р - параметр параболы. Так как парабола проходит через точку В(-1,3), то подставляя ее координаты в уравнение, получим 9=2р(-1), откуда 2р=-9. Окончательно уравнение параболы имеет вид: у2=-

x2

y2

x2 y2 − = 1, откуда − = 1 , разделив почленно на 144: 9 16 a 2 b2

а=3, в=4.

9х.

у 3 2

НУЖНО ЗНАТЬ: 2

В c = a + b = 5 т.е. F1(-5,0), Фокусы: F1(-C,0), F2(C,0), где

1.Определение окружности.

c 5 х F2(5,0). Эксцентриситет : e = -1 = , уравнения асимптот: a 3

2. Каноническое уравнение окружности.

b 4 y = ± x , y = ± x. a 3

3. Определение эллипса. 4. Каноническое уравнение эллипса, его характеристики. 5. Определение гиперболы. 6. Каноническое уравнение гиперболы, ее характеристики. 7. Уравнения асимптот гиперболы.

Парабола

8. Определение параболы, ее уравнение.

3. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каж-

Задачи для самостоятельного решения

дой точки которой до точек (-3,0) и (3,0) равна 10.

Вариант 1

1. Составить уравнение окружности, если она проходит через

го лежат в фокусах эллипса х2+5у2=20, а две другие сов-

точку А(2,6), а ее центр совпадает с точкой С(-4,3). 2. Построить окружность по ее уравнению y = ± 25 − x 2 3. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/5. 4. Дан эллипс 9х2+5у2=1. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах, а две другие совпадают с концами его малой оси. Сделать чертеж.

падают с концами его малой оси. 5. Составить уравнение гиперболы с центром в т. (0,0), проходящей через точку М(3,2), если ее эксцентриситет равен 2. 6. Определить полуоси и уравнения асимптот гиперболы 9х2-25у2=9. Сделать чертеж. 7. Составить уравнение параболы, если ее фокус F(7,2) и

5. Найти полуоси и фокусы гиперболы 25х2-9у2=36. 6. Составить уравнение гиперболы, если уравнения ее асим4 птот y = ± x и расстояние между фокусами равно 20. 3 7. Составить уравнение параболы, если известен ее фокус F (4,3) и уравнение директрисы у+1=0.

уравнение директрисы у-5=0. Вариант 3

1. Составить уравнение окружности, если ее центр находится в точке С(1,-1), а прямая 5х-12у+9=0 является ее касательной.

Вариант 2

1. Составить уравнение окружности, если ее центр совпадает с началом координат, а прямая 3х-4у+20=0 является ее ка-

2. Построить окружность по ее уравнению x = ± 9 − y 2 . 3. Составить уравнение эллипса, если его большая ось равна 20, а эксцентриситет равен 3/5.

сательной. 2. Построить окружность по ее уравнению y = 1 ± 4 − x

4. Найти площадь четырехугольника, две вершины которо-

2

4. Дано уравнение эллипса 4х2+9у2=36. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и верхнюю вершину малой оси. Сделать чертеж.

5. Дано уравнение гиперболы 9у2-4 х2=36. Найти уравнение асимптот и сделать чертеж.

ной в т.0(0,0), если ее фокус совпадает с точкой (0,-3) и

6. Определить площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах гиперболы

7. Составить уравнение параболы ветвями вниз и с вершисимметричной относительно оси ОУ.

x2 y2 − = 1 , а две 16 9

другие - в вершинах малой оси. 7. Составить уравнение параболы, если известны ее фокус F(-2,1) и уравнение директрисы х-2=0. Вариант 4

1. Составить уравнение окружности с центром в точке (2,2)и проходящей через точку М(2,0) 2. Построить окружность по ее уравнению x = ± 1 − y 2 . 3. Составить уравнение эллипса, если его малая ось равна 6, а эксцентриситет равен 3/5. 4. Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в вершинах полуосей эллипса 4 х2 +у2 =8. 5. Составить уравнение гиперболы, разность расстояний от каждой точки которой до точек (-6,0) и (6,0) равна 10. Сделать чертеж. 6. Составить уравнения асимптот и найти эксцентриситет

Вариант 5

1. Дано уравнение окружности (х-3)2+у2=9. Лежат ли точки А1(0,-3), А2(-3,0), А3(3,0), А4(0,0) на этой окружности ? 2. Построить окружность по ее уравнению x = ± 2 − y 2 . 3. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки А(2,3) и В(0,4). Написать его уравнение. 4. Дано уравнение эллипса 4 х2 +у2 =1. Найти его полуоси и эксцентриситет. Сделать чертеж. 5. Составить уравнение гиперболы, асимптоты которой 1 имеют уравнения y = ± x , а мнимая ось равна 6. 2 6. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах гиперболы 9 х2 -16у2 =144, а две другие в вершинах мнимой оси. 7. Составить уравнение параболы, проходящей через точки А(-2,4) и В(2,4) и имеющей вершину в начале координат.

гиперболы 4 х2 -у2 =1. Вариант 6

1. Составить уравнение окружности, если ее центр совпадает с точкой А(1,0), а прямая 3х+4у=-1 является ее касатель-

4. Дано уравнение эллипса 9 х2 +4у2 =1. Найти его полуоси и сделать чертеж. 5. Составить уравнение гиперболы, вершины и фокусы ко-

ной. 2. Построить окружность по ее уравнению: y = 1 ± x 2 − 8

торой находятся в соответствующих фокусах и вершинах

3. Составить уравнение эллипса, если сумма расстояний от

эллипса

каждой точки которого до точек (-4,0) и (4,0) равна 10. 4. Найти площадь четырехугольника, вершины которого на2

2

ходятся в вершинах эллипса х +9у =1. 5. Эксцентриситет гиперболы равен 5/4, а его действительная ось равна 8. Составить уравнение гиперболы. 6. Дано уравнение гиперболы х2-9у2 =-9.Составить уравнения его асимптот и сделать чертеж. 7. Дано уравнение параболы х2 =-8у. Найти ее фокус и уравнение директрисы.

x2 y 2 + = 1 . Сделать чертеж. 8 5

6. Найти уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы 9 х2 -16у2 =1 7. Дано уравнение параболы 4х2 =-у. Найти ее фокус и уравнение директрисы. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ: 1. Дайте определение окружности. 2. Дайте определение малой и большой полуосей эллипса и его эксцентриситета. 3. Почему эксцентриситет эллипса меньше 1 и как он характеризует форму эллипса ?

Вариант 7

1. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки О(0,0) и В(0,6) и имеет радиус R=3. 2. Построить окружность по ее уравнению: x = ± 3 − y

2

3. Составить уравнение эллипса, если ее эксцентриситет равен 3/4, а малая ось равна 4,5.

4. Можно ли окружность считать эллипсом ? Если да, то почему ? 5. Почему оси гиперболы называются действительной и мнимой ? Как по данному уравнению гиперболы определить, какая из осей будет мнимой ? 6. Почему эксцентриситет гиперболы больше 1 ?

7. Что называется асимптотой гиперболы ? 8. Почему окружность, эллипс, гипербола и парабола являются кривыми второго порядка ? 9. Как определяется ось симметрии и направление ветвей параболы ? 10. Запишите общее уравнение линии второго порядка. 11. Как алгебраическое действие нужно произвести, чтобы привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду ?