Надежность. Оценивание вероятностей отказов: Лекция

Библиографический список 1 Гнеденко Б.В. Математические методы в теории надёжности/ Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев − М.: Изд-во "Наука", 1965. 2 Бердичевский Б.Е. Оценка надёжности аппаратуры автоматики. −М.: Изд-во "Машиностроение", 1966. 3 Животкевич И.Н. Надёжность технических изделий/ А.П.Смирнов − М.: Олита, 2003. 4 Решетов Д.Н. Надежность машин/ А.С. Иванов, В.С. Фадеев − М.: Высшая школа, 1988. 5 Сотков Б.С. Основы теории и расчета надёжности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники. − М.: высшая школа, 1970. 6 Беляев Ю.К. Надёжность технических систем: Справочник/ В.А. Богатырев, В.В. Болотин и др./ Под ред. Ушакова И.А. − М.: Радио и связь, 1985. 7 ГОСТ 27.002 - 80. Надёжность в технике. Основные понятия. Термины и определения. 8 МЭК 60050 - 191:1990 9 ГОСТ 15467 - 79. Управление качеством продукции. Основные понятия. Термины и определения. 10 ГОСТ Р ИСО 9000 - 2001. Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь.

24

Министерство образования Российской Федерации Пензенский государственный университет Факультет автоматики и информационной техники Кафедра метрологии и систем качества

Г.П. Шлыков

НАДЁЖНОСТЬ ОЦЕНИВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОТКАЗОВ

Лекция

Рекомендовано к использованию в учебном процессе решением кафедры "Метрология и системы качества" от 4 декабря 2003 г., протокол № 4

2003

УДК 629.13 Шлыков Г.П. Надёжность. Оценивание вероятностей отказов: Лекция.– Пенза: ПГУ, каф. МСК, 2003. – 25 с. (В помощь студенту, серия "Качество", Вып. 1). Лекция по программе учебной дисциплины "Введение в курс обеспечения качества и надёжности" посвящена математическим моделям возникновения отказов, характеризующих один из важнейших показателей надёжности. Рассматривается классификация отказов, функции надёжности при внезапных отказах, характерные этапы эксплуатации с точки зрения частоты отказов, методики вычисления вероятностей безотказной работы, как отдельных изделий, так и систем с резервированием и без резервирования. Лекция предназначена для студентов направления 653800 "Стандартизация, сертификация и метрология" при изучении указанной и последующих дисциплин образовательной программы.

Рецензент: С.В. Сейнов, доктор техн. наук. © Г.П. Шлыков, 2003

Издательский комплекс кафедры МСК ПГУ. Компьютерная верстка Н.Ю. Белоглазовой Технический редактор Н.Ю.Белоглазова Внутрикафедральное издание Заказ №8 от 9 декабря 2003 г. Тираж 15 экз.

http://.stup.ac.ru 2

налов Q = Q1Q2Q3 = Q3 = 0,000862, следовательно вероятность безотказной работы R =1- 0,000862 = 0,999138=0,999. Простой для практики приём. Если имеются элементы с вероятностью безотказной работы за заданный интервал времени R = 0,9 , т.е. одна девятка после запятой, то чтобы получить вероятность безотказной работы с тремя девятками (0,999) нужно тройное резервирование.

23

R (t ) = R1 (t ) + R2 (t ) − R1 (t )R2 (t ) = e −λ1t + e −λ 2t − e − (λ1 +λ 2 ) t ;

(

)(

)

Q(t ) = (1 − R1 (t )) (1 − R2 (t )) = 1 − e −λ1t 1 − e − λ 2t . Если интенсивности обоих элементов одинаковы, то вероятность отказов (функция ненадёжности) изделия

(

)

(

2

)

2 Q(t ) = (Q12 (t )) = 1 − e −λt < Q12 (t ) = 1 − e −λt . При этом вероятность безотказной работы изделия R (t ) = 2 R12 (t ) − (R12 (t ))2 > R12 (t ) . Если применено тройное дублирование (А, В и С), то следует воспользоваться формулой P(A∨B∨C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A)P(B) – –P(A)P(C) – P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C).

Примем P(A)=P(B)=P(C) – резервирование одинаковыми элементами. Тогда P(A∨B∨C)=3P-3P2+P3. Функция надёжности, например, системы, состоящей из трёх каналов, примет вид: R(t)=3e-λt-3e-2λt+ e-3λt. Практически удобнее производить расчёт через функцию ненадёжности, которая, в общем виде, представляет собой произведение: n

Q(t)=Q1(t)Q2(t)......= ∏ Qi (t ) . i =1

Функцию надёжности рассчитывают по формуле: R(t)= 1−Q(t). Пример. Пусть число параллельных одинаковых каналов системы связи равно трём. Интенсивность отказов любого из них примем равной λ = 0,01 час-1. Тогда вероятность безотказной работы одного канала за t=10 часов равна R1(t = 10) = e-0,1= 0,90484. Вероятность отказа – Q1(t = 10) = 1-R1(t = 10) = 0,09516. По условию три канала включены параллельно с целью резервирования. Вероятность одновременного отказа всех трёх ка22

Введение Приобретая тот или другой товар, мы всегда обращаем внимание на такой рекламируемый показатель, как срок годности, или срок службы. Но указываемые на упаковке или в сопроводительной документации цифры являются приписываемыми. Действительные же значения данного параметра могут отличаться как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения от установленного (приписываемого) значения. При этом для каждого экземпляра продукции данного типа эти отклонения разные. На технические изделия, как правило, указывают еще один параметр - гарантийный срок. Но это, по сути, не гарантия. Это признание того, что изделие может потерять свои свойства до пришествия указанного срока. В данном случае предприятиеизготовитель (или продавец-посредник) гарантирует бесплатный ремонт или замену товара. Очень часто, по тому какие указаны сроки и как часто они выдерживаются (или не выдерживаются) судят о качестве товара. И это правильно, но лишь отчасти, ибо речь идет о надёжности, как одной из характеристик качества. Напомним, что качество есть степень соответствия присущих характеристик требованиям. Это определение приведено в ГОСТ Р ИСО 9000-2001 (Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь). Поясним, ссылаясь на этот же стандарт. Требование - потребность или ожидание, которое установлено, обычно предполагается или является обязательным. Кто же определяет потребность? Это потребитель и другие заинтересованные стороны, включая общество. Характеристика - отличительное свойство. Если рассматривать технические изделия, то согласно ГОСТ 15467-79 (Управление качеством продукции. Основные понятия. Термины и определения) технико-экономические показатели качества включают: - показатели назначения, определяющие основную функцию; 3

- показатели надежности, характеризующие свойства безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости; - показатели технологичности - обуславливающие оптимальное распределение затрат материалов, средств труда и времени при создании и эксплуатации продукции; - показатели стандартизации и унификации, характеризующие насыщенность продукции стандартными, унифицированными и заимствованными элементами; - эргономические показатели, определяющие степень соответствия комплексу гигиенических, физиологических и других требований; - эстетические показатели, характеризующие выразительность и рациональность формы, целостность композиции, дизайн; - патентно-правовые показатели, определяющие новизну и патентную защиту; - показатели транспортабельности, определяющие степень защиты упаковки, условия перевозки и т. д.; - экологические показатели, характеризующие уровень вредных воздействий на окружающую среду; - показатели безопасности, определяющие степень защиты человека от вредных воздействий. Во многих случаях, когда те или иные несоответствия изделий установленным требованиям могут привести к человеческим жертвам, большим материальным потерям, к угрозе безопасности, в широком понимании этого слова, главными показателями качества становятся показатели надёжности. Тому подтверждение увеличивающееся число техногенных катастроф: гибель кораблей и падение самолетов, взрывы в шахтах и пожары в помещениях, "взломы" компьютерных систем и т. п. Обеспечивается надёжность, как важнейший из показателей качества, на всех этапах жизненного цикла изделия (разработка, подготовка производства, закупка материалов и комплектующих, подготовка кадров, производства, контроль, эксплуатация, обслуживание, ремонт). Для этого, в частности, в оборонной промышленности, разрабатывают программы обеспечения 4

- для диодов λд = 0,2·10-5 час-1; - для транзисторов λт = 10-5 час-1; - для резисторов λр = 0,1·10-5 час-1; - для конденсаторов λк = 0,2·10-5 час-1. Суммарная интенсивность определяется суммой произведений числа элементов на свои интенсивности Σ λi = 10λд+4λт+20λр+10λк = 10·10-5 = 10-4, т.е. среднее время безотказной работы 1 m = = 10000 часов. λ Тогда функция надёжности устройства будет равна R(t) = e-0,0001t. Для интервала t =10 часов вероятность безотказной работы R(t =10) = e-0,001 = 0,999.

3.2 Надёжность систем при постоянном резервировании

Для повышения надёжности часто применяют дублирование функций элементов систем (изделий), или так называемое резервирование. Приведём простейшие примеры резервирования. Для обеспечения непотопляемости корабля его собирают из нескольких герметизированных друг от друга отсеков. На пассажирском самолёте устанавливают минимум два двигателя. Крепление грузов осуществляют в нескольких местах. Город имеет возможность переключить свою электрическую сеть на другую электростанцию. При двойном резервировании изделие будет работать безотказно, если работает безотказно хотя бы один из элементов, т.е. согласно терминологии логики – один или оба. Нас интересует событие, когда будет работать один из пары элементов или оба элемента, т.е. хотя бы один работает. В этом случае вероятность такого события определяется следующей функцией надёжности: R(t) = R1(t) + R2(t) - R1(t)R2(t). Вероятность того, что откажут оба элемента Q(t) = Q1(t) Q2(t) = 1- R (t). Для экспоненциального закона имеем: 21

P(A∨B)=P(A)+P(B) - P(A)P(B). Если события несовместимы, то вероятность их суммы P(A∨B)=P(A)+P(B). Если события несовместимы и противоположны, то сумма вероятностей P(A)+P(B)=1. Предполагая отказы независимыми, рассмотрим изделие, состоящее из двух элементов (индексы 1 и 2). Вероятность того, что оба элемента будут работать безотказно в течение заданного времени t: R(t)=R1(t)R2(t). Вероятность же того, что один или оба элемента откажут равна: Q(t ) = Q1 (t ) + Q2 (t ) − Q1 (t )Q2 (t ) = 1 − R1 (t ) + 1 − R2 (t ) −

− [(1 − R1 (t )) (1 − R2 (t ))] = 1 − R(t ). Считая интенсивность постоянной и принимая экспоненциальное распределение, получим для рассматриваемых вариантов: R (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t ) = e −λ1t e −λ 2t = e − (λ1 +λ 2 ) t ; Q(t ) = 1 − R(t ) = 1 − e − (λ1 +λ2 ) t . В общем случае для n элементов функции надёжности, когда все элементы будут работать безотказно, имеет вид: n

R(t ) = ∏ Ri (t ) . i =1

Для экспоненциального закона n ⎛ ⎞ R(t ) = e −(λ1 +λ 2 ....λ n )t = exp⎜⎜ − t ∑ λ i ⎟⎟ . ⎝ i =1 ⎠

Пример. Устройство содержит 4 транзистора, 10 диодов, 20 резисторов и 10 конденсаторов. Предположим, что на печатной плате пайки имеют 100 % надёжность и дорожки имеют 100 % надёжность, хотя реально стопроцентной надёжности не бывает. Режим работы и условия эксплуатации соответствуют норме, при которой определялись статистически интенсивности отказов. Для электрорадиоэлементов они оказались следующие: 20

надёжности при разработке (ПОНр), программы обеспечения надёжности при производстве (ПОНп). Накоплен большой опыт и разработаны многочисленные методики, а также стандарты. Среди них государственные стандарты системы стандартов "Надёжность в технике" (ССНТ, класс 27), системы разработки и постановки на производство (СРПП, класс 15). Ниже будут рассмотрены основные показатели надёжности, методы расчета вероятностей отказов как отдельных изделий, так и нерезервированных и резервированных систем.

1 Уровни надёжности и классификация отказов Надёжность - собирательный термин, применяемый для описания свойств готовности и влияющих на него свойств безотказности, ремонтопригодности и обеспеченности технического обслуживания и ремонта (ГОСТ Р ИСО 9000-2001). Как указано в международном стандарте МЭК 60050191:1990, термин надёжность применяется только для общего неколичественного описания свойства. Однако часто устанавливают уровни надёжности для тех или других видов изделий, т.е. своеобразную шкалу. Например, для радиокомпонентов электронной аппаратуры в США были установлены семь уровней, приведенных в таблице 1. Т а бл и ц а 1 - Уровни надежности Уровень надёжности Обозначение Область применения радиокомпонентов В изделиях широкого потребления, Рыночный О критерий надёжности не оговаривается В изделиях неответственного назначеНизкий R ния, в которых задан невысокий критерий надёжности В неответственной аппаратуре, поставСтандартный S ляемой по заказам военного ведомства Разгруженный В обычной аппаратуре, поставляемой DS стандартный по заказам военного ведомства

5

Продолже ние т а бл и ц ы 1 Уровень надёжности Обозначение Область применения радиокомпонентов В ответственной аппаратуре, поставляеВысокий T мой военному ведомству и для ответственной автоматической аппаратуры Разгруженный В особо ответственной аппаратуре DT высокий В аппаратуре жизненно важного значения, от неисправности которой зависит Высший U жизнь людей, целостность важных сооружений и пр.

К количественным показателям надёжности относятся следующие. Безотказность – характеризует свойство изделия сохранять работоспособность в течение некоторого времени или наработки (вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка на отказ и т.д.). Долговечность - свойство сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов (гамма-процентный ресурс, средний ресурс, средний ресурс между ремонтами, средний срок службы и т.д.). Ремонтопригодность – приспособленность к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, повреждений, к устранению их последствий путём ремонтов и техобслуживания (среднее время восстановления, вероятность восстановления в заданное время…). Сохраняемость – свойство непрерывно сохранять исправное и работоспособное состояние в течение и после срока хранения и/или транспортирования (средний срок сохраняемости и гамма-процентный срок сохраняемости). В дальнейшем будем рассматривать методики оценивания вероятности отказов событий, заключающихся в нарушении работоспособного состояния. Поэтому обратимся к классификации отказов (таблица 2), приведенной в книге профессора Б.Е. Бердичевского.

6

Результирующая функция R(t), как произведение двух функций показана пунктиром. R Rи

1

M<m

а) 0,5 0,368

Rв

М m

t

R 1

Rи

Rв

M>m

б)

0,5 0,368

m

М

t

Рисунок 10 - Функция надёжности

3 Надёжность систем 3.1 Надёжность систем из нерезервированных компонентов

Будем считать, что для заданных условий (режимов, внешних воздействий) задана интенсивность отказов каждого элемента и она постоянна (на этапе нормальной работы). При расчёте надёжности используются следующие основные правила теории вероятности. Если А и В – два независимых события, то вероятность того, что имеют место оба события (логическое умножение – конъюнкция), равна P(AB)= P(A)P(B). Если происходит одно из двух совместимых событий или оба вместе (логическое сложение – дизъюнкция), то вероятность 19

To + t

Qи (t ,Т о ) =

∫ f и (T ) dT

To ∞

=

∫ f и (T ) dT

Qи∗ (Tо + t ) − Qи∗ (Tо ) = 1 − Qи (Tо )

To

=

Rи (Tо ) − Rи (Tо + t ) R (T + t ) = 1− и о . Rи (Tо ) Rи (Tо )

Здесь Rи(Т) - функция надёжности от износа в координате Т и Qи(Т) - функция ненадёжности от износа в координате Т (см. рисунок 9,б). Точки 1 и 2 на рисунке соответствуют Rи(То) и Rи(То+ t). Точки 3 и 4 соответственно Qи(То) Qи(То+ t). Таким образом функция ненадёжности при совместном действии внезапных и износовых отказов примет вид:

(

)

(

)

⎛ R (Т + t )⎞ ⎛ R (Т + t )⎞ ⎟⎟ + 1 − e −λt − ⎜⎜1 − u о ⎟⎟ 1 − e −λt = Q(t ,Т о ) = ⎜⎜1 − u о R ( Т ) R ( Т ) u u о о ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ R (Т + t ) = 1 − e − λt u о . Ru ( Т о ) А вероятность безотказной работы за время t, начиная с момента Tо R (T + t ) . R(t ,To ) = 1 − Q(t ,To ) = e −λt и o Rи (To ) Рассмотрим случай, когда среднее время безотказной работы tср= m (для внезапных отказов) и средняя долговечность М (для износовых отказов) соизмеримы. Тогда отсчеты времени по шкале T и t совпадают (T = 0 соответствует t = 0). Это означает, что для Tо = 0 функция надёжности от износов Rи(0) = 1. Воспользуемся полученной выше формулой для вероятности безотказной работы, подставив в нее Tо=0. Тогда получим R(t ) = e − λt Rи (t ) = Rв (t ) ⋅ Rи (t ) . Рисунок 10 иллюстрирует два варианта рассматриваемого случая. Первый, когда М < m (а) и второй – М > m (б). 18

Т а бл и ц а 2 - Классификация отказов Признак деления 1 Характер изменения параметра до момента возникновения отказа 2 Связь с другими отказами 3 Возможность последующего использования после возникновения отказа 4 Характер устранения отказа

5 Наличие внешних проявлений

Вид отказа Внезапный отказ Постепенный отказ Независимый отказ Зависимый отказ Полный отказ Частичный отказ Устойчивый отказ Самоустраняющийся отказ

Сбой Перемежающийся отказ Очевидный (явный) отказ Скрытый (неявный) отказ

6 Причина возникновения Ошибка конструктора При Конструкционный отказ конструиро- Несовершенство вании принятых методов конструирования Ошибка при изготовлении - нарушеПри изготов- ние принятой техТехнологический отказ лении нологии Несовершенство технологии Нарушение правил эксплуатации При эксплуа- Внешние воздейстЭксплуатационный отказ тации вия, не свойственные нормальной эксплуатации Естественный отказ 7 Природа происхождения Искусственный отказ (отказ, вызываемый намеренно) Отказ при испытаниях Отказ периода приработки 8 Время возникновения отказов Отказ периода нормальной эксплуатации Отказ последнего периода эксплуатации

7

2 Надёжность изделий 2.1 Функция надёжности при внезапных отказах

Время безотказной работы изделия (обозначим его τ) - это время до первого отказа. При этом заметим, что время τ может быть календарным с момента выпуска изделия из производства, а может быть суммой интервалов времени, в течение которых изделие использовалось в рабочем состоянии, т.е. функционировало. Параметр τ является случайной величиной и характеризуется, в зависимости от текущего времени, некоторой интегральной функцией распределения. Для многих изделий машиностроения и электронной техники имеет место экспоненциальное распределение F (t ) = P{τ ≤ t} = 1 − e − λt = Q(t ) , где F - функция распределения случайной величины τ; P - вероятность события; {τ ≤ t} - событие, заключающееся в том, что отказ до момента t произошел, т.е. τ ≤ t; t – текущее время, t > 0. λ – параметр экспоненциального распределения, λ > 0. Эту зависимость называют функцией ненадёжности и обозначают Q(t). Её вид показан на рисунке 1. F=Q

1

t Рисунок 1 - Функция ненадёжности изделия

В дополнение к функции ненадёжности используют функцию надёжности, которая характеризует способность 8

момент То >Тнорм, т.е. находится за вторым (нормальным) периодом. Тогда функция ненадёжности от износа (безусловная) Qи∗

Т 0 +t

(t ,Т о ) = ∫ f и (Т ) dТ , T0

где fи(Т) - плотность вероятностей нормального распределения времени до отказа от износа (см. рис. 8,б). Наложим условие, что до момента То отказа не было. Это означает, что рассматривается не вся кривая плотности, а от момента То и более (рисунок 9,а). Известно, что площадь под кривой плотности равна интегралу ∞

∫ f (Т ) dT = 1 . 0

fи(Т)

а)

То t

1

1

М

2

Qи (Т)

Rи(Т) 3

Т

б)

4

М

Т

Рисунок 9 - К определению вероятности отказа за время t, начиная с То

Но для условной плотности единице должна равняться площадь рассматриваемой части (от То до ∞). Приведение этой площади к единице называется нормированием и осуществляется путем деления безусловной функции Qи∗ (t ) на площадь указанной части под кривой плотности: 17

2.5 Совместные действия внезапных и износовых отказов

С позиции математической логики, в данном случае, необходимо рассматривать логическую сумму случайных событий. Напомним, что логическая сумма событий А и В (дизъюнкция А ∨ В , логическая операция ИЛИ) соответствует таблице, приведенной ниже А 0 0 1 1

В 0 1 0 1

А∨ В 0 1 1 1

Здесь "1" - событие произошло, "0" - событие не произошло. Логическая сумма означает, что хотя бы одно из событий А или В произошло. Вероятность логической суммы определяется выражением: Р( А ∨ В ) = Р( А) + Р(В ) − Р( А)Р(В ) . Воспользуемся этой формулой для определения вероятности отказа ИЛИ внезапного, ИЛИ от износа на третьем периоде. Тогда функция ненадёжности, определяющая отказ по любой причине за интервал времени t, начиная с То, примет вид Q(t ,Т о ) = Qи (t ,Т о ) + Qв (t ) − Qи (t ,Т о ) ⋅ Qв (t ) , где Qи (t ,Т о ) - функция ненадёжности для отказов от износа, начиная с момента То; Qв (t ) - функция ненадежности для внезапных отказов. Внезапные отказы подчинены экспоненциальному закону и интервал времени t считается от начала работы изделия, независимо от того, сколько оно проработало ранее: Qв (t ) = 1 − е − λt , Отказы от износа (третий период) подчиняются нормальному закону распределения и интервал времени t считается от некоторого момента То, которое должно быть известно. Этот 16

изделия не отказать до заданного момента времени. Она определяется выражением R(t ) = P{ τ > t } = 1 − P{ τ ≤ t } = 1 − 1 − e − λt = e − λt = 1 − Q(t ) , и представляется графиком, показанным на рисунке 2.

(

)

R

1

t Рисунок 2 - Функция надёжности изделия

Эта функция монотонно убывает от значения R(0) = 1 и стремится к R(t → ∞) = 0. Вид функции распределения и значение параметра λ получают экспериментально из многочисленных опытов над однотипными изделиями. Например, в течение некоторого интервала времени t1 проводят испытания N однотипных изделий в одинаковых условиях. В результате не отказало n изделий (n < N). Тогда отношение n N , при достаточно большом значении N, даст оценку R(t1), т.е. точку на функции R(t). Фиксируя моменты отказов изделий за длительное время испытаний можно приблизительно восстановить всю функцию R(t). Но вернемся к функции ненадёжности Q(t), которая представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины τ. Как известно, плотность вероятности определяется через вычисление первой производной от функции распределения: f (t ) = F ′(t ) = λe − λt , где t > 0 (см. рисунок 3).

9

f λ

t Рисунок 3 - Плотность вероятностей экспоненциального закона

Особенностью экспоненциального закона распределения является то, что он определяется всего лишь одним параметром λ, который в математике называют интенсивностью потока событий (или отказов). Размерность этого параметра [1 t ]. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение такого закона равны между собой и равны обратной величине интенсивности: 1 m=σ= . λ 1 Величина t ср = есть среднее время безотказной работы, λ или наработки на отказ. Если поставить задачу определить вероятность безотказной работы к моменту tср после включения технического устройства, т.е. принять t = tср, то получим R t = t ср = е − λt = е −1 = 0 ,368 .

(

)

Заметим, что эта вероятность не зависит от того, сколько времени проработало ранее данное устройство до момента включения, о котором шла речь.

10

Вероятность отказа от износа подчиняется нормальному закону. Функция ненадёжности от износа Qи(Т) и ее плотность вероятности fи(Т) показаны на рисунке 8.

Fи

Fи = Qи

1

а)

0,5 Т норм. М

Т

fи б) М

3σ

3σ

Т

Рисунок 8 - Нормальный закон распределения времени до отказа от износа. Интегральная функция - а); плотность вероятностей - б).

Математическое выражение для плотности вероятности имеет вид: ⎡ (T − M )2 ⎤ 1 f и (Т ) = exp ⎢ ⎥, 2 σ 2π ⎦⎥ ⎣⎢ 2σ где σ - среднее квадратическое отклонение; М - математическое ожидание; Т - текущее время от начала второго периода.

15

Аппроксимируя участок кривой прямой линией произведем расчет вероятности безотказной работы для интервалов времени, равных десятой, сотой, тысячной и десятитысячной части от tср = m. Результаты приведены ниже. m t= ⎯ ⎯→ P = 0 ,90 ; 10 m t= ⎯ ⎯→ P = 0,99 ; 100 m t= ⎯ ⎯→ P = 0,999 ; 1000 m t= ⎯ ⎯→ P = 0,9999 . 10000 2.4 Отказы от износа

На третьем периоде начинает сказываться износ. Интенсивность отказов быстро возрастает. Если к началу третьего периода отказывает только небольшой процент общего количества элементов изделия, то из числа проработавших безотказно до третьего периода около половины откажут за период от начала второго периода до некоторого момента М (рисунок 7). Интенсивность отказов λ

Ткр= 0 Тнорм Т M Рисунок 7 - Средняя долговечность М на кривой интенсивности

Время М есть средняя долговечность элементов изделия ограниченная износом. Средняя долговечность, в отличие от средней наработки на отказ, m =1/λ, как правило, значительно больше, т.е. 1 M >> . λ 14

2.2 Три характерных периода интенсивности отказов

Будем рассматривать класс ремонтируемых изделий. Предполагается, что за время работы изделия возможно несколько отказов, после каждого из них осуществляется ремонт и изделие продолжает функционировать с заданными характеристиками. Многочисленные опытные данные показывают, что интенсивность отказов λ не является постоянной во времени величиной (рисунок 4). λ

1

2

3

Рисунок 4 - Характерные периоды интенсивности отказов

Т

Весь интервал времени от выпуска изделия из производства до его списания делят на три периода. Первый – начальный период, или этап приработки. Он может характеризоваться высокой интенсивностью отказов за счёт скрытых дефектов, которые обнаруживают во время тренировочных испытаний или опытной эксплуатации и устраняют путём ремонта. Следовательно, по мере устранения дефектов интенсивность быстро уменьшается и стабилизируется. Второй период называют периодом нормальной работы. Он характеризуется относительно постоянным значением интенсивности отказов. Следовательно можно принять для широкого класса изделий λ(τ) = λ = const . Этот период бывает достаточно продолжительным (в относительных значениях времени) ибо, в зависимости от класса из11

делия и его предназначения, периоды нормальной работы существенно отличаются - на порядок, два). Третий период - период старения. Необратимые физико химические явления приводят к ухудшению характеристик компонентов и изделия в целом, т.е. к ухудшению показателей качества и надёжности в том числе. Интенсивность отказов возрастает. 2.3 Вычисление вероятности безотказности в период нормальной работы

На втором этапе жизненного цикла, когда приработочных отказов уже нет, а отказы от износа ещё не проявляются, интенсивность отказов постоянна (нормальная эксплуатация). Функция надёжности (вероятность безотказной работы) определяется экспоненциальной функцией Rв (t ) = e − λt , Rв (t ) = 1 − Qв (t ) , где Qв(t) - функция ненадёжности (см. 2.1) Рассмотрим пример. Пусть период нормальной эксплуатации изделия Tнорм = 1000 часов, а интенсивность отказов λ = 0,0001 1/час. По приведённой формуле можно определить вероятность безотказной работы для любого интервала в пределах этих 1000 часов. Время t в формуле не текущее, а от начала рассматриваемого интервала (время выполнения задания, работы). Например, надёжность для первых 10 часов будет такой же, как и для последних 10 часов, т.е. от 0 до 10 и от 990 до 1000 часов нормальной эксплуатации и равна Rв (t = 10 ) = Pв = e −0 ,0001⋅10 = e −0 ,001 = 0 ,9990 , т.е. 99,9 %. Вероятность того, что устройство не откажет за весь 1000часовой период нормальной эксплуатации Rв (t = 1000) = Pв = e −0 ,0001⋅1000 = e −0 ,1 = 0 ,9048 . Заметим, что пользоваться этой формулой за периодом 1000 часов нельзя, т.к. там появляются отказы от износа (λ растет). 12

Для наглядности рассмотрим экспоненциальную зависимость подробнее (см. рисунок 5). На нем t - время работы (или время выполнения задания). 1 - среднее время безотказной Напомним, что m = t ср = λ работы (10000 час). Если бы значение λ сохранялось, то за время tср вероятность безотказной работы составила бы 0,368. Rв 1

0,5 0,4

0,368

m=

1 λ

2m

t

Рисунок 5 - Экспоненциальная функция надежности

Начальный участок этой кривой, составляющий одну десятую от среднего времени безотказной работы (t от нуля до m/10) - почти прямая линия, которая показана на рисунке 6. Rв 1

0,999 0,99

0,951

0,905 m/100 m/1000

m/20

m/10

t

Рисунок 6 - Начальный участок экспоненциальной зависимости

13