РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
6. Тригонометрические уравнения
методические указания для абитуриентов физическ...
9 downloads
169 Views
208KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
6. Тригонометрические уравнения
методические указания для абитуриентов физического факультета
Ростов-на-Дону 2002
2
Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ. Составители — А.Н. Румянцев, канд. физ.-мат. наук, доц., Т.Г. Румянцева, канд. физ.-мат. наук, доц., В.В. Махно, 1 курс магистратуры мехмата
Методические указания предназначены для подготовки к вступительному экзамену по математике на физический факультет университета и содержат основные формулы для решения тригонометрических уравнений; задачи для самостоятельного решения с ответами; контрольную работу.
3 1. Основные формулы Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента sin 2 x + cos2 x = 1 ; π sin x tg x = , x ≠ (2 n + 1) , n ∈ Z ; cos x 2 cos x ctg x = , x ≠ πn , n ∈ Z ; sin x πn , n∈Z; tg x ⋅ ctg x = 1 , x ≠ 2 Формулы сложения sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y ; sin(x − y ) = sin x cos y − cos x sin y ; cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y ; cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y ;
tg x + tg y π , x , y , x + y ≠ + π n , n ∈Z; 1 − tg x ⋅tg y 2 tg x − tg y π tg (x − y ) = , x , y , x − y ≠ + π n , n ∈Z; 1 + tg x ⋅tg y 2 tg (x + y ) =
Формулы двойного аргумента
sin2x = 2 sinx cos x ; cos2x = cos 2 x − sin 2 x ; Формулы понижения степени
sin 2
x 1 − cos x = ; 2 2
cos2
x 1 + cos x = . 2 2
Преобразование суммы в произведение
x +y x −y cos ; 2 2 x +y x −y sin x − sin y = 2 cos sin ; 2 2 x +y x −y cos x + cos y = 2 cos cos ; 2 2 x +y x −y cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 sin⎛⎜⎝ x ± y ⎞⎟⎠ π , x , y ≠ + π n , n ∈Z. tg x ± tg y = cosx cos y 2 sin x + sin y = 2 sin
4 Преобразование произведения в сумму
1 (cos(x − y ) − cos(x + y )) ; 2 1 cosx cos y = (cos(x − y ) + cos(x + y )) ; 2 1 sinx cos y = (sin(x − y ) − sin(x + y )) ; 2 sinx sin y =
Формулы приведения Всякая тригонометрическая функция угла 90o n + α по абсолютной величине равна той же функции угла α , если n — чётное, и “ дополнительной ” функции этого же угла, если n — нечётное. При этом, если функция угла 90 o n + α положительна, когда α — острый угол, то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны. Соответствующие этому правилу формулы можно разбить на четыре группы. I группа:
sin( −α ) = − sin(α ) ;
ctg ( −α ) = −ctg (α ) ;
tg ( −α ) = −tg (α ) ;
cos( −α ) = cos(α ) .
Эти формулы позволяют избавиться от рассмотрения отрицательных углов. II группа:
sin ⎫ sin ⎫ cos⎪⎪ cos ⎪⎪ o ⎬(360 k + α ) = ⎬α tg ⎪ tg ⎪ ctg ⎪⎭ ctg ⎪⎭
(здесь k — целое положительное число).
Эти формулы позволяют избавиться от рассмотрения углов, больших, чем 360 o . III группа:
sin ⎫ msin ⎫ cos⎪⎪ − cos⎪⎪ o α k ± = 180 ⎬ ⎬α , tg ⎪ ±tg ⎪ ctg ⎪⎭ ±ctg ⎪⎭ Названия функций сохраняются; знак в правой части берётся тот, который будет иметь левая часть при остром угле α .
(
)
IV группа: sin ⎫ + cos⎫ ⎪ cos⎪ o m sin ⎪⎪ α 90 ± = ⎬α ; ⎬ m tg ⎪ tg ⎪ m ctg ⎪⎭ ctg ⎪⎭
(
)
sin ⎫ − cos⎫ ⎪ cos⎪ ± sin ⎪⎪ o α 270 ± = ⎬α . ⎬ m ctg ⎪ tg ⎪ m tg ⎪⎭ ctg ⎪⎭
(
)
Название функции меняется: вместо каждой функции берётся её “дополнительная”.
2. Задачи для самостоятельного решения
5 Решить уравнения:
π
4 ctg x + sin 2 2x + 1 = 0 ; 2 1 + ctg x t 2). ctg t − sin t = 2 sin 2 ; 2
Ответ: − + πk , k ∈ Z
1).
4
Ответ:
π 4 −
+ πk , k ∈Z;
π
+ 2πk , k ∈Z.
2
π
3). sin⎛⎜ + 2x ⎞⎟ ctg 3x + sin(π + 2x ) − 2 ⋅ cos 5x = 0 ; ⎝ ⎠ 2
Ответ: 4).
(1 + cos 4x ) ⋅ sin 2x
π 10
+
πk 5
, k ∈Z; ( −1) ⋅
π
k
π
12
+
πk 3
, k ∈Z.
1 + πk , k ∈ Z; 4 2 π 1 (−1) k 12 + 2 πk , k ∈Z.
= cos 2 2x ;
Ответ:
5). sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 5x = 2 ; π
Ответ:
2
+ πk , k ∈Z;
π
π
1 + πk,k ∈ Z; 14 7
1 + πk , k ∈ Z; 4 2
6). 2 ctg 2 x ⋅ cos2 x + 4 cos2 x − ctg 2 x − 2 = 0 ; Ответ: 7).
0,5(cos 5x + cos 7x ) − cos 2 2x + sin 2 3x = 0 ;
Ответ: 8). sin x cos x cos 2x cos 8x = sin 12x ;
1 4
Ответ:
9). 3 sin 2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0 ;
Ответ:
π
1 + πk , k ∈ Z; 4 2
π 2
+ πk , k ∈Z;
2πk , k ∈Z. 11
1 πk , k ∈Z; 8 π 1 + πk , k ∈ Z; 4 2
1 π πk , k ∈Z. πk , k ∈Z; ± + 12 2 2 2π Ответ: ± + 2πk , k ∈Z; 3
10). sin 3x cos 3x = sin 2x ;
Ответ:
11). 5(1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos4 x ; 12). cos2 x = 2 (cos x − sin x ) ;
Ответ:
π
4
+ πk , k ∈Z;
13). sin 2z + cos 2z = 2 ⋅ sin 3z ; Ответ: x x 14). sin 2 x + 2 sin 2 − 2 sin x ⋅ sin 2 + ctg x = 0 ; 2 2
π 4
+ 2πk , k ∈Z;
π
3π 2 π k + , k ∈Z. 20 5
Ответ: − + πk , k ∈Z; 4
6 15). 8cos x − 8cos x − cos x + 1 = 0 ; 4
2
Ответ:
2 2 πk , k ∈Z; π k , k ∈Z. 5 3
16). tg x + tg α + 1 = tg x tg α ; π
π
4
4
Ответ: 1) − − α + π k , k ∈Z при α ≠ 2) при α =
π 4
;
решений нет.
3. Контрольная работа Решить уравнения: 1). 6 sin 2 x + 2 sin 2 2 x = 5 ;
⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2). cos t ⋅ sin ⎜ + 6 t ⎟ + cos ⎜ − t ⎟ ⋅ sin 6t = cos 6t + cos 4t ; ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 3). sin 3x + sin 5 x = 2 (cos 2 2 x − sin 2 3 x ); 4).
sin z − sin 2 z = cos 2 z − cos z ;
5).
⎛π ⎞ tg ⎜ + x ⎟ − ctg 2 x + sin − 2 x ⋅ (1 + cos2 x ) = 0 ; ⎝2 ⎠
6).
cos 2 x + cos 6 x + 2 sin 2 x = 1 ;
7).
1 − cos (π + x ) − sin
8).
sin 4 x + cos 4 x = cos 2 2 x + 0,25 ;
9).
cos z ⋅ cos 2 z ⋅ cos 4 z ⋅ cos 8 z = 1 16 ;
10).
11).
3π + x = 0; 2
cos (3 x − 30 o ) − sin (3 x − 30 o ) ⋅ tg 30 o = ⎧ 2 ⋅ sin x = sin y, ⎨ ⎩ 2 ⋅ cos x = 3 ⋅ cos y.
1 ; 2 ⋅ cos 210 o
⎧⎪ 9 2 tg x +cos y = 3, 12). ⎨ cos y tg x ⎪⎩9 − 81 =2.