微積分とベクトル解析 (理工系の数学教室)

は

じ

め

に

 本 書 は"理 工 系 の 数学 教 室"の 第4巻

で あ り,微 積 分 学 の初 歩 とベ ク トル解 析

を取 り上 げ て い る.本 来 な らば大 学 の 数 学 で 最 初 に 出 て くる 内 容 で あ るが,筆 者 の都 合 で4番

目 に な っ た.そ

こで,も

し本 シ リー ズ で 数 学 を系 統 的 に勉 強 す

る の で あ れ ば,最 初 に読 む べ き題 材 に な って い る.  さて,大 学 に 入 学 して は じめ に習 う数 学 は微 積 分 学 と線 形 代 数 で あ る.そ れ は,こ れ ら に含 まれ る 内容 が 高 学 年 で習 う数 学 の み な らず,物 理 学 や 工 学 な ど 数 学 に密 接 に 関連 す る分 野 の根 幹 に な っ て い るか らで あ る.そ す で に基 礎 部 分 を高 校 で 習 っ て い る ため,大

の中で微積分 は

学 で はそ れ を発 展 させ た 内容 を勉

強 す る こ と に な る.こ の 場 合 の発 展 とい うこ とば に は2つ の 意 味 が あ る.  一 つ は,本 来 数 学 は厳 密 な学 問 で あ るた め,高 校 の と きの あい ま い な 議 論 を, 寸 分 の 隙 もな い よ うに1か

ら組 み 立 て な おす とい う意 味 で あ る.た

と え ば,高

校 で は極 限 を説 明 す る と き 「xが 限 りな く α に近 づ い た と き… …」 とい う言 い方 を した が,こ の まま で は 数 学 的 に厳 密 な議 論 は で きな い.そ

こで い わ ゆ る 「ε-δ 」

論 法 が 登 場 す る.  も う一 つ は,高 校 の微 積 分 を さ らに 強力 な もの に して 複 雑 な 現 象 に も応 用 が 効 く よ う にす る とい う意 味 で あ る.た と え ば,高 校 の と きの微 積 分 は1変

数の

ス カ ラ ー の 関 数 に限 ら れ た が,そ れ を多 変 数 に拡 張 した り,ベ ク トル の 関 数 に 適 用 した りす る.こ の よ うに す る こ と に よ り,数 学 は い ろ い ろ な 現 象 を解 析 す る道 具 と して 非 常 に 役 立 つ もの にな る.  数 学 に と って は ど ち ら の意 味 も重 要 で あ る が,残 念 な が ら最 初 の 厳 密 性 は あ ま りわ か りや す い もの で は な く,多

くの 学 生 に と って 数 学 に対 す る つ まず きの

原 因 と な っ て い る こ と も確 か で あ る.も

ち ろ ん,数 学 が 厳 密 で あ れ ば こそ,わ

れ わ れ は そ の結 果 を安 心 して使 え る わ け で あ るが,数

学 を専 門 とせ ず そ れ を利

用 す る 立 場 の学 生 に とっ て は,使 い方 を知 っ て い れ ば,少 は 十 分 で あ る と もい え る.そ

な くと も第 一 段 階 で

こで 本 書 で は,他 の 巻 に も共 通 して い え る こ とで

あ る が,後 者 の 意 味 に徹 して 微 積 分 お よび そ の 延 長 で あ るベ ク トル の微 積 分 に

つ い て 執 筆 した. 本 書 の 内 容 は 以 下 の とお りで あ る.第1∼3章 習 った 微 積 分 の 直接 の 延 長 に な って い る.第 あ り,関 数 の連 続 性 や 極 限,合 成 関 数,逆

は微 積 分 学 の基 礎 部 分 で 高 校 で １章 は関 数 につ い て の 基 本 部 分 で

関 数 な どに つ い て 述 べ る.第

２章 で

は １変 数 の 関 数 の微 分 法 につ い て,微 分 可 能 性 や い ろい ろ な 関 数 の 微 分,ま 平 均 値 の 定 理 な ど を説 明 して い る.そ を取 り上 げ る.第

して,微 分 の応 用 と して極 大,極

小 問題

３章 は １変 数 の 関 数 の 積 分 法 で,微 分 の 逆 演 算 と し て不 定 積

分 を定 義 した あ と,い ろ い ろ な 関 数 の 不 定 積 分 の 求 め 方 を例 示 し,さ とい う形 で 定 積 分 を導 入 す る.そ

らに面 積

して,微 積 分 学 の基 本 定 理 と もい うべ き不 定

積 分 と定 積 分 の 間 の 関 係 につ い て述 べ,さ 第4∼6章

た

ら に定 積 分 の応 用 に つ い て もふ れ る.

は い わ ゆ る大 学 で の微 積 分 学 ら し くな る部 分 で あ る.第

４章 で は

無 限級 数 の 基 本 を説 明 した あ と,無 限 回微 分 可 能 な 関 数 をべ き級 数 で 表 すテイ ラー展 開 につ い て述 べ ,指 数 関数 や 三 角 関 数 をべ き級 数 で表 す.第 ５章 で は 多 変 数 の微 分 法 を取 り上 げ る.こ の と き,い わ ゆ る偏 微 分 法 が 現 れ る.ま

た偏 微

分 法 の 応 用 と して 多 変 数 の 関 数 の極 値 問 題 や,条 件 付 き極 値 問 題 を説 明 す る. 第 ６章 は 多 変 数 の積 分 法 につ い て の 部 分 で あ り,２ 重 積 分 や ３重 積 分 の 意 味 を 詳 し く説 明 し,そ の 具 体 的 な計 算 法 や 簡 単 な 応 用 につ い て 述 べ る. 第7∼9章

はベ ク トル解 析 と よ ば れ る ベ ク トル 関 数 の微 積 分 お よ び そ の 応 用

部 分 で あ る.第

７章 はベ ク トル 関 数 の微 積 分 で あ る が,こ

こで は主 に 成 分 ご と

の微 積 分 に帰 着 され る場 合 を取 り扱 う.ま た,応 用 と して 空 間 曲線 や 空 間 曲 面 につ い て も記 述 して い る.第

８章 は物 理 的 に も重 要 な ス カ ラ ー場,ベ

ク トル場

につ い て 述 べ て お り,ベ ク トル解 析 の 中心 部 分 に な っ て い る.微 分 演 算 と して 方 向 微 分,勾 配,発 散,回 転 な どが 登 場 し,積 分 演 算 と して線 積 分,面 積 分,体 積 積 分 な どが 頻 繁 に現 れ る.ま た,こ

う い っ た 積 分 間 の 関係 で あ る ガ ウ ス の 定

理 や ス トー クス の定 理 とい っ た積 分 定 理 に つ い て 説 明 す る.第 解 析 の応 用 と して直交 曲 線 座 標 に つ い て述 べ る.そ

９章 は ベ ク トル

して,微 分 演 算 が こ う い っ

た直交 曲 線 座 標 で ど う表 現 され る か につ い て 説 明 す る. 本 書 に よ っ て 読 者 諸 氏 が 大 学 の微 積 分 とベ ク トル 解 析 の 重 要 部 分 を 習 得 し, さ らに これ に続 く,微 分 方程 式,関

数 論,フ

ー リエ 解 析 な ど にす す む き っか け

に な る こ と を願 っ て い る.な お,本 書 は十 分 に注 意 して執 筆 したが,著

者の 浅

学 か ら思 わ ぬ 不 備 や わ か りづ らい点 な どが あ る こ とを恐 れ て い る.読 者 諸 氏 の

ご 叱正 をお 待 ち し,順 次 改 良 を加 え て い きた い.

最 後 に,本 書 の 校 正 に は お茶 の水 女 子 大 学 大 学 院 数 理 ・情 報 科 学 専 攻 の 鈴 木 静 華 さん,坪 井 美 樹 さ ん,末 永 由紀 さ ん の助 力 を得 た こ と,そ

して 本 書 の 出版

に は朝 倉 書 店 の皆 さん にお 世 話 に な った こ とを 記 して,感 謝 の意 と した い. 2005年

９月 河 村 哲 也

目

次

1.  関 数 と 極 限 

1

1.1  関

数 

1

1.2  極

限 

3

1.3  関 数 の 連 続 

6

1.4  逆

8

関

数 

2.  1変 数 の 微 分 法 

11

2.1  微 分 係 数 と 導 関 数 

11

2.2  微 分 の 公 式 

14

2.3  平 均 値 の 定 理 

18

2.4  微 分 法 の 応 用 

23

3.  1変 数 の 積 分 法 

27

3.1  不 定 積 分 

27

3.2  不 定 積 分 の 性 質 

28

3.3  不 定 積 分 の 計 算 例 

32

3.4  面 積 と 定 積 分 

34

3.5  定 積 分 の 性 質 

36

3.6  不 定 積 分 と 定 積 分 の 関 係 

38

3.7  定 積 分 の 応 用 

41

4.  無 限 級 数 と 関 数 の 展 開  4.1  数

 噸 

47 47

4,2  無 限 級 数 

49

4.3  べ

き 級 数 

54

テ イ ラ ー 展 開 

56

4.4 

4.5  関 数 の 展 開 

58

５. 多 変 数 の 微 分 法 

64

5.1  多 変 数 の 関 数 

64

5.2  偏 導 関 数 

65

5.3  高 次 の 偏 導 関 数 

68

5.4  合 成 関 数 の 微 分 法 

70

5.5  多 変 数 のテイラ

73

5.6  全

微

ー 展 開 

分 

75

5.7  偏 微 分 法 の 応 用 

76

5.8  陰 関 数 定 理 と そ の 応 用 

77

5.9 

78

ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 法 

６. 多 変 数 の 積 分 法  6.1 ２

重 積

分 

82 82

6.2  ２重 積 分 の 性 質 

85

6.3  ２重 積 分 の 計 算 法 

86

6.4  ３ 重

積 分 

90

6.5  変 数 変 換 

93

７.ベ

ク トル の 微 積 分 

98

7.1  ベ ク トル 関 数 

98

7.2  ベ ク トル 関 数 の微 積 分 

99

7.3  空 間 曲 線 

103

7.4  速 度 と加 速 度 

107

7.5  曲

108

面 

８.  ス カ ラ ー 場 と ベ ク トル 場 

112

8.1  方 向 微 分 係 数 

112

8.2  勾

配 

114

8.3  発

散 

116

8.4  回転 

118

8.5 ナ

120

ブ ラ を 含 ん だ 演 算 

8.6  線

積

121

8.7  面 積 分 と 体 積 積 分 

123

8.8  積 分 定 理 

126

９ .直交

曲 線 座 標 

135

9.1  直交 曲 線 座 標 と 基 本 ベ ク トル 

135

9.2  基 本 ベ ク トル の微 分 

139

9.3 ナ

140

ブ ラ を 含 む 演 算 

略解 

索

分 

145

引 

159

１ 関 数 と 極 限

1.1関

数

 時 間 や 数 直 線 上 の位 置,あ

る い は 温 度 な どい ろ い ろ な値 を とる こ と が で きる

数 を変 数 とい う.変 数 はｘ,ｙ,… な ど の 文 字 を用 い て 表 さ れ る.変 数 に対 し １ や2.5あ

るい は 円周 率 な ど常 に一 定 の値 を もつ 数 を定 数 と よぶ.定

数 を表す場

合 に もａ,ｂ,… な どの 文 字 を用 い る こ とが あ る.  さて ２つ の 変 数ｘ,ｙ の 間 にあ る 関係 が あ っ て,ｘ を決 め た と きそ れ に 応 じて ｙが 決 ま る と き,ｙ はｘ の 関 数 で あ る とい う． こ の う ち,ｘ の よ う に値 を変 化 さ せ る変 数 を独 立 変 数 と よび,独 立 変 数 の 変 化 に応 じて値 の 決 ま る 変 数 を従 属 変 数 とよ ん で い る*.た

とえ ば,高

さ １の 三 角 形 の面 積ｙ は底 辺 の 長 さｘ に応 じ

て 決 ま る た め,ｙ はｘ の 関数 に な っ て い る.こ の 場 合,ｘ

とｙ の 関 係 は

とい う式 で表 され る.ま た,ｘ を独 立 変 数,ｙ を従 属 変 数 と した と き

も １つ の 関 数 で あ る.こ

の 場 合 に は,根

x〓1の 範 囲 で 考 え る 必 要 が あ る.こ 間)を

関 数 の 定 義 域 と よ ぶ.ま

の 取 り う る 範 囲(区

間)を

号 内 は 負 に は な れ な い の で,ｘ

の よ う に,独

た 独 立 変 数 が 定 義 域 を 変 化 し た と き,従

値 域 と よ ん で い る.上

は-1〓

立 変 数ｘ の 変 化 す る 範 囲(区 属変 数

の 関 数 の 値 域 は0〓y〓1で

あ る. *数 学的 に関数 とい った場合 には ,独 立変数 と従属変数の間に何 らかの対応関係 があれば よく,そ の 関係が式で表 されてい る必要はない.た とえば,個 人の身長は年齢 の関数であ る.た だ し,本 書 で関数 といった場合 には,何 らかの式 で表せ るもの とす る.

ｙがｘ の 関 数 で あ る 場 合 に, y=f(x)(1 と記 す.こ

こ で,ｆ

と い う 文 字 は 本 質 で は な く,何

.1) で あ っ て も よ い.慣

れない

う ち は 少 し変 に 感 じ る か も しれ な い が,式(1.1)を y=y(x)(1 と 書 く こ と も あ る.こ ａを と っ た と き,ｙ

れ は 式(1.1)と

.2)

同 じ意 味 を も つ.変ｘ

も特 定 の 値 に な る.こ

が あ る特 定 の 値

の 特 定 の 値 をf(a)と

記 す.

例 題1.1 f(x)=√1-x2 の と き,f(1/2),f(1-a),f(cosx)を

求 め よ.

【 解 】

◇ 問1.1◇f(x)=x2+3x+2の

と き,f(2),f(a-2)を

◇ 問1.2◇f(x)=(ex+e-x)/2の

と き,f(x+y)f(x-y)を

ｘがｙ の 関 数y=f(x)の 化 す る と も み な せ る.す る.は

求 め よ.

と き,逆 な わ ち,ｘ

求 め よ.

の 見 方 を す れ ばｙ の 変 化 に 応 じてｘ が 変 をｙ の 関 数x=g(y)と

み なす こ と もで き

う に,独

じめ の 例 で は 高 さ １の 三 角 形 の 底 辺 の 長 さ を 面 積 の 関 数 と す る.こ

の よ

立 変 数 と 従 属 変 数 の 役 割 を 逆 に し た 関 数 を も と の 関 数 の 逆 関 数 と よ び,

特 にy=f(x)の

逆 関 数 で あ る こ と を示 す た め に

と記 す. ◇ 問1.3◇y=(cx+d)/(ax+b)の ｙがｕ の 関 数y=f(u)で

逆 関 数 を求 め よ. あ り,ま たｕ がｘ の 関 数u=g(x)で

あ る とす る .

この と き,ｘ の変 化 に応 じてｕ が 変 化 し,ま たｕ の 変 化 に応 じてｙ が 変 化 す る

た め,ｙ

はｘ の 関 数 と み な せ る.こ

の よ う な 見 方 を し た と き,合

成 関数 とよび

y=f(g(x)) と 記 す. ◇ 問1.4◇

ξ=(x+3)2,y=2ξ+4の

1.2  極

 関y=f(x)に づ く と す る.こ

と き,ｙ

をｘ の 関 数 で 表 せ.

限

対 し て,ｘ の と き,関

が 限 り な くａ に 近 づ く と き,ｙ が 限 り な くｂ に 近

数f(x)は x→aの

極 限 値ｂ を も つ と い い, と き,f(x)→b(1.3)

または (1.4)

で 表 す.た だ し,こ こ で 限 りな く近 づ くとい う表 現 は直 観 的で,数 学 的 に は不 正 確 で あ り,厳 密 な議 論 をす る と きに あ い まい に な る こ とが あ る.そ

こで 式(1.4)

の 数 学 的 に厳 密 な定 義 は 以 下 の よ う に され て い る. 「 任 意 に与 え られ た正 数 εに対 して,正 数 δを定 め る こ とが で き,0＜￨x-a￨＜ で あ る よ う なす べ て のｘ に対 して,￨f(x)-b￨＜ る と き,関 数f(x)はｘ

δ

εが 成 り立 つ よ う にで き

がａ の 極 限 で 極 限 値ｂ を もつ」

とい う(図1.1). ま た,ｘ が 限 り な く大 き くな る と き,f(x)がｂ

に 限 りな く近 づ く場 合 は

と書 く.こ れ も厳 密 に は以 下 の よ うに定 義 され る. 「任 意 に 与 え られ た正 数 εに対 して,正 数Ｍ で あ る よ うな す べ て のｘ に対 して,￨f(x)-b￨＜

を定 め る こ とが で き,x＞M

る と き,関 数f(x)はｘ とい う.

が∞

εが成 り立 つ よ う にで き

の極 限 で 極 限値ｂ を もつ 」

図1.1 

ε-δ

さ ら にｘ が 限 り な くａ に 近 づ く と き,f(x)が

限 り な く大 き く な れ ば,

と書 くが,厳 密 に は 「任 意 に与 え られ た正数 Ｍ に対 して,正 数 δを定 め る こ とが で き,0＜￨x-a￨＜ で あ る よ う なす べ て のｘ に対 して,常 にf(x)＞Mが る と き,関 数f(x)はｘ

δ

成 り立 つ よ うに で き

がａ の 極 限 で無 限 大 に な る」

と定 義 す る. なお,本

書 で は わ か りづ ら くな ら な い よ う に,直 観 的 な定 義 で 済 ませ る こ と

に す る. 以 上 の よ うに 定 義 した 関 数 の 極 限 に対 して 以 下 の事 実 が 成 り立 つ.数 学 的 な 証 明 を行 うた め に は上 記 の厳 密 な定 義 か ら出 発 す る必 要 が あ る が,主 張 して い る こ と は常 識 的 に理 解 で きる こ とな の で,こ

こで は証 明 は しな い.

y=f(u),u=g(x) (yがxの 合 成 関数)の と き limx→ag(x)=b,limu→bf(u)=c であれば

例題1.2 次 の極 限 値 を 求 め よ.

(2)

(1)  【解 】

(1) (2)

例 題1.3 次 の 極 限 値 を求 め よ.

(1)

(2)

【解 】(1)x＞0の △OAC(た

だ し,0＜x＜

が 成 り立 つ.し sinx>0で x →+0の

x=-zと

と き,図12よ π/2).す

り面 積 に対 して △OAB＜

扇 型OAB＜

な わ ち,

た が っ て,sinx＜x＜tanx.

すなわ ち

割 っ て, と き,cosx→1よ

り

お け ば ,sinx/x=sinz/xで

=1.x＜0の

と きは

あ り,x→-0はz→+0と

なる

た め 同 じ 結 果 と な る.

図1.2 

(2)

△OAB＜

扇 形OAB＜

△OAC

◇ 問1.5◇

次 の 極 限 値 を 求 め よ.(１) (２)

1.3 

関

数

の連続

関 数y=f(x)が

点x=aに

おいて

(1.6) で あ る と き,こ

の 関 数f(x)は

点x=aに

お い て 連 続 で あ る と い う.そ

区 間*Ｉ に 属 す る 点 す べ て に お い て 連 続 で あ る な ら ば,f(x)は あ る と い う.ま 続 と い う.関

た 連 続 な 関 数 の こ と を 連 続 関 数 と い う.連

数 が １点x=bに

し か もlimx→bf(b)=f(b)が をf(b)と

し て,

区 間Ｉ で 連 続 で

続 で な い と きは不 連

お い て 不 連 続 で あ る が,そ

の 点 を 除 け ば 連 続 で,

有 限 確 定 値 を も つ 場 合,そ

の １点 で の 関 数 の 値

定 義 しな お せ ば 関 数 は 連 続 に な る.こ

の よ う な場 合 を除 去 可 能 な不 連

続 と よ ぶ. 関 数 が 連 続 で あ る と は 直 観 的 に は 以 下 の よ う な 意 味 を も っ て い る.す

な わ ち,

式(1.6)は limh→0f(a+h)=f(a) と書 き 換 え ら れ る.こ く な る こ と,い

す な わ ちlimh→0(f(a+h)-f(a))=0

の 式 は 点x=aで

増 分ｈ が０ に 近 づ く と 関 数 値 の 差 が な

い か え れ ば 関 数 に 値 の 跳 び が な く切 れ 目 な く つ な が っ て い る こ

と を 意 味 して い る. 以 下 に 連 続 関 数 の 性 質 を い く つ か 述 べ る. 区 間 Ｉに お い て 関 数f(x),g(x)は

連 続 で あ る と す る.こ

の と き,同

じ区 間 に

おい て f(x)+g(x),f(x)-(x),f(x)g(x),〓

た だ しg(x)≠0)

も連 続 で あ る. *{x￨x＜R,a＜x＜b} ,{x￨x＜R,a〓x〓b}な どのよ うな集合 を区間 とよび,ａ,ｂを端 点 と い う.前 者の ように両端点 を含 まないような区間 を開区 間とよび,(a,b)で 表 し,後 者のように両端 点 を含 むような区間を閉区間 とよび,[a,b]で 表す.

さ ら に,区

間 Ｉに お い てu=f(x)が

連 続 で あ る と す る.こ

の と き,区

連 続 で,ｕ

の 値 域 に お い て,y=g(u)が

間 Ｉに お い て 合 成 関 数y=g(f(x))も

連続 で

あ る． こ れ ら は 連 続 の 定 義 と 極 限 の 性 質 を 用 い れ ば 証 明 で き る.た て は 以 下 の よ う に す る,区 f(x),g(x)は を も つ.ま

間 Ｉ内 の 任 意 の 点 をａ

確 定 値f(a),g(a)を

と す れ ば,そ

もつ た め,f(x)+g(x)も

とえ ば 和 につ い の点 におい て

確 定 値f(a)+g(a)

た,

か ら,極 限 の性 質 を用 い て

と な る.こ

れ ら の こ と は,関

数f(x)+g(x)が

区 間 Ｉで 連 続 で あ る こ と を 意 味

し て い る. さ ら に,連

続 関 数 に は 以 下 の 性 質 が あ る.

「関 数f(x)が f(c)=0を

区 間[a,b]で

連 続 で,f(a)f(b)＜0な

満 足 す る 点x=cが

で あ る か ら,こ た が っ て,少

間[a,b]内

で

少 な く と も １つ あ る」

こ の こ と も 直 観 的 に は 明 ら か で あ ろ う.す あ る か ら,点(a,f(a)),(b,f(b))はｘ

ら ば,区

な わ ち,f(a)とf(b)は

軸 の 両 側 に あ る.一

方,f(x)は

異 符号で 連 続関数

の 関 数 の 表 す 曲 線 は ２ 点 の 間 を 切 れ 目 な く つ な が っ て い る.し な く と も １ 回 はｘ 軸 と 交 わ る が,そ

で あ る(図1.3参

の 点 で 関 数 値 は０ に な る か ら

照).

図1.3 

中間 値 の 定 理

この こ とか ら,た だ ち に 中 間値 の定 理 と よ ば れ る 次 の 定 理 が 導 け る. 「関 数f(x)が

区 間[a,b]で 連 続 で,ｋをf(a)とf(b)の

る.こ の と き,区 間[a,b]内 でf(c)=kを

間 の任 意 の数 とす

満 足 す る点x=cが

少 な くと も

１つ あ る 」 な ぜ な ら,関

数g(x)=f(x)-kを

考 え れ ば,g(a)g(b)＜0と

に 対 し て 上 の 定 理 を あ て は め れ ばg(c)=0を

み た す 点,す

な る た め,ｇ な わ ちf(c)=kを

み た す 点 が 区 間 内 に 少 な く と も １つ 存 在 す る か ら で あ る.

1.4 

逆

関

数

逆 関 数 の 定 義 は 以 前 に 述 べ た.す

な わ ちy=f(x)で,ｙ

属 変 数 とみ な し た と き,x=f-1(y)と

を 独 立 変 数,ｘ

書 き 逆 関 数 と よ ん だ.た

の 関 数 は 見 方 を 変 え た だ けで あ る の で,実 に 逆 関 数 と して,x=f-1(y)に

だ し,こ

際 は 同 じ 関 数 で あ る.そ

お い て,ｘ

を従

の ２つ

こ で,新

た

とｙ 雪 を入 れ 換 え た

y=f1(x)

を も と の 関 数 の 逆 関 数 と 定 義 し な お そ う.た はy=±√x,y=logxで

と え ば,y=x2,y=exの

逆 関数

あ る.

こ の よ う に 定 義 し た 逆 関 数 に は 以 下 の 性 質 が あ る.１ .f(f-1(x))=x,f-1(f(x))=x ２.y=f(x)の

グ ラ フ とy=f-1(x)の

グ ラ フ は 直 線y=xに

関 して対 称 で

あ る(図1.4).y=x2

図1.4 

逆関数

[逆 三 角 関 数] y =sinxの

逆 関 数 をy=sin-1xま

た はy=arcsinxと

記 し,逆

正 弦 関

図1.5 

数 と い う.同

様 に,y=cosx,y=tanxの

逆 正 弦 関数(y=sin-1x)

逆 関 数 も そ れ ぞ れy=cos-1x,

y =tan-1xま

た はy=arccosx

関 数 と い う(な

お,cotx,secx,cosecxの

,y=arctanxと

記 し,逆

余 弦 関 数,逆

逆 関 数 も定 義 で き る が,あ

正接 ま り用

い ら れ な い). y =sin-1xの

グ ラ フ は 図1 .5に 示 す よ う にy=sinxをy=xに

返 し た も の に な る.こ

の 図 か ら,関

数 の 定 義 域 は-1〓x〓1で

つ のｘ に 対 し て 無 数 のｙ が 対 応 す る こ と が わ か る .い (無 限)多

価 関 数 で あ る ． こ の よ う な 場 合 に は,sin-1xの

よ う に 制 限 す る と便 利 で あ る.特

にsin-1xの

と 制 限 し た 場 合 を 主 値 と い う.同

様 にcos-1x,tan-1xの

で定 義 す る.

関 して 折 り あ る こ と や,１

い か え れ ば逆 正 弦 関 数 は 値 を １価 関 数 に な る

値 を

主値 も

例題1.4 tan -11/4+t 【 解 】tanの

◇ 問1.6◇

an-13/5の

値 を 求 め よ.

加法定理 よ り

次 の 値 を 求 め よ.た

だ し 主 値 を と る も の と す る.

章末 問 題

［1 .1］ 次 の 極 限 値 を 求 め よ. (１)(２)(３) ［ 1.2］ 次 の 関 数 がｘ の す べ て の 値 に 対 して 連 続 に な る よ う にａ とｂ の 値 を定 め よ.た だ し,ｎ は 正 の 整 数 と す る.

［ 1.3］ 次 の 関 数 の 逆 関 数 を 求 め よ. (１)(２) ［ 1.4］ 次 の 式 の 値 を求 め よ.た (１)(２) ［ 1.5］ 次 の 方 程 式 を 解 け.

だ し,主 値 を と る もの と す る.

２  1変 数 の微分法

2.1  微 分 係 数 と導 関数

連 続 な 関数y=f④ はf(a)か

を考 え る,xがaか

らf（a+h）

らa+hに

変 化 した と き,関 数 の 値

に変 化 す る.こ の と きyの 変 化 分 をxの 変 化 分 で割 っ た

は,平 均 的 な変 化 の 割 合 とな り,平 均 変 化 率 と よば れ る.平 均 変 化 率 は,図2.1 に 示 す よ うに,関 数 を表 す 曲線 上 の2点A,Bを

直 線 で 結 ん だ と き,そ の 直 線

の傾 き を表 す.

図2.1 

こ こ でhを0に

近 づ け て み よ う.こ の と き,点Bは

均 変 化 率 は 曲線 上 の 点Aに

接 線 の傾 き

点Aに

お け る接 線 の傾 き に近 づ き,h→0の

傾 きに 一 致 す る と考 え られ る.こ の 接 線 の傾 き をf'(a)と

近 づ くか ら,平 極 限で接線 の

記 す こ とにす れ ば,

(2.1)

と な る.こ

のf'(a),す

な わ ち 点Ａ

で の 接 線 の 傾 き を 関 数f(x)の

点x=aに

お け る 微 分 係 数 と よ ん で い る. 微 分 係 数 に つ い て も う少 し 詳 し く見 て み よ う.図2.1で 数 を 求 め る 場 合 に,右 が ら,h→0と

か ら点Ｂ

した.そ

を 点Ａ

は,点Ａ

に 近 づ け た.す

な わ ち,ｈを

での微分係 正 に保 ち な

こ で こ の こ と を 強 調 す る 場 合 に は,式(2.1)でh→+0

と して (2.2) と書 く.一

方,点Ｂ

を 左 か ら 点Ａ

に 近 づ け る こ と もで き る ． こ の 場 合 は,ｈを

負 に 保 ち な が ら 近 づ け る こ と に な る の で,式(2.1)でh→-0と

して (2.3)

と書 く.そ

こ で,こ

の 両 者 が 一 致 す る と き に は,式(2.2)と(2.3)は

要 は な い の で 式(2.1)の う の は,た

よ う に 書 く こ と が で き る.こ

と え ば 図2.2の

の よ う に細 か い こ と をい

よ う に連 続 な関 数 で あ っ て も 曲線 が 折 れ 曲が っ て い

る こ と も あ り得 る か ら で あ る.こ 味 で は-1,式(2.3)の

区別 す る 必

の 図 で は 点 Ａ に お け る 接 線 は,式(2.2)の

意 味 で は １ に な る.し

た が っ て,式(2.1)の

意

意 味 で の微

分 係 数 は存 在 しな い ．

図2.2 

以 下,あ

微分不可能 な点

る 区 間 で 微 分 係 数 が 存 在 す る場 合 を考 え る.そ

可 能 と よぶ.微

分 係 数 は 接 線 の傾 き を表 し,図2.1に

の よ う な場 合 を微 分

示 した よ う な 曲線 で は 点

Ａ の 位 置 が 変 化 す る とそ れ に応 じて 値 も変 化 す る.す な わ ち,微 分 係 数 は 場 所 ｘの 関 数 とみ なす こ とが で き る.微 分 係 数 を この よ うな 見 方 を し た場 合,そ

の

微 分 係 数 を も との 関 数 の導 関 数 と よ びy'(x) ,f'(x),dy/d な どの 記 号 を用 い て 表 す.導 文 字 を 変 数 とみ なせ ば よ い.

x,df/dx

関 数 を求 め る に は定 義 式 を用 い て 計 算 した あ と,

例 題2.1 定 義 に したが っ てy=x3+2xの

◇ 問2.1◇

導 関 数 を求 め よ.

定 義 に し た が っ て 次 の 導 関 数 を 求 め よ.

(１)x2,(２)x4+3x3 こ の よ う に,多

くの 場 合 は

「ｈで 割 り算 して か らｈ を０ と す れ ば よ い 」 が,こ

の 方 法 で は う ま くい か な い こ と も あ る. 例題2.2 y=sinxの 導 関 数 を 求 め よ. 【解】

こ こで

で あ るか ら

そ の 他,初 等 関 数 の 導 関 数 を表2.1に

ま と め て お く.

導 関 数 を １つ の 関数 とす れ ば,そ の 導 関 数 も考 え られ る． これ を ２階 導 関 数 と よび

な ど と 記 す.し

た が っ て,

表2.1 

主 な 関 数 の導 関 数

(2.4) で あ る.2階

導 関 数 を求 め る こ とを2階 微 分 す る とい う.関 数 が 連 続 で あ っ て も

微 分 で きな い こ と が あ っ た よ うに,導 関 数 が 連 続 で あ っ て も微 分 で きな い こ と が あ る.し た が っ て,あ な お,3階

2.2微

微 分,4階

る関 数 が 微 分 で きて も,2階 微 分,…

微 分 で きる と は限 らな い.

も同 様 に定 義 で きる.

分 の 公 式

本 節 で 述 べ る公 式 を用 い れ ば,代 表 的 な 関 数 の 導 関 数 を用 い て,い 関数 の導 関 数 を計 算 す る こ とが で き る. [和 と差 の 導 関 数] a,bを 定 数,f(x),g(x)を

微 分 可 能 な 関 数 とす る.こ の と き

ろいろな

(2.5)

と な る.こ

の こ と は,定

義 を使 え ば

と な る こ と か ら わ か る.特

にa=b=1ま

た はa=1,b=-1と

とれ ば

と な る. [積 と商 の 導 関 数] f(x ),g(x)を

微 分 可 能 な 関 数(商

の と き はg(x)≠0)と

す る.こ

の と き,

(fg)'=f'g+fg'(2.6) (2.7)

が 成 り立 つ.こ

の こ と は,積

の場合 は

の よ うに して 示 す こ とが で き る.商

につ い て は

すなわ ち

(2.8) と な る か ら,商

をf(x)×1/g(x)と

考 え て,式(2.6)を

使 え ば よ い.

ま た ３ つ の 関 数ｐ,ｑ,ｒ の 積 の 微 分 に 対 して も,pq=f,r=gと (2.6)を

繰 り返 して 用 い れ ば よ い.４

考 えて式

つ 以 上 の 場 合 も 同 様 で あ る.

◇ 問2.2◇(pqr)'=p'qr+pq'r+pqr'を

証 明 せ よ.

[合 成 関 数 の 導 関 数] ｙがｘ の 関 数y=f(x)で,さ 化 し た と きｙ が 変 化 し,ま み な せ る.こ

ら にｚ がｙ の 関 数g(y)で

あ る と す る.ｘ

た そ れ に 応 じ てｚ が 変 化 す る た め,ｚ

が変

はｘ の 関 数 と

の 関 数 をｆ とｇ の 合 成 関 数 と よ び, z=g(f(x))

と記 す こ と は 第 １ 章 で 述 べ た.こ に わ ず か に 変 化 し た と き,ｙ もg(f(x))か

と な る.す

らg(f(x+h))に

の 関 数ｚ をｘ で 微 分 し て み よ う.ｘ

はf(x)か

わ ず か に 変 化 す る.し

なわ ち次 式 が 成 り立 つ.

例 題2.3 次 の 関 数 を微 分 せ よ. (１)(x2-3x+2)4,(２)√cosx

らf(x+h)に

がx+h

わ ず か に 変 化 し,ま たが って

たｚ

【解 】(１)((x2-3x+2)4)'=4(x2-3x+2)3(x2-3x+2)' = 4(2x-3)(x2-3x+2)

(２)

◇ 問2.3◇

次 の 関 数 を微 分 せ よ．

(１)ex2+2x,(２)logsin2x [逆 関 数 の 導 関 数] f(x )の 逆 関 数y=f-1(x)は

定 義か ら f(y )=f(f-1(x))=x

を満 足 す る.そ こ で,上 の 式 をｘ で 微 分 す る と合 成 関 数 の微 分 法 か ら

と な る.し

たが って

が 得 ら れ る.た

だ し,g'(y)≠0と

す る.

例 題2.4 次 の 関 数 を 逆 関 数 の 微 分 法 を用 い て 微 分 せ よ. (１)y=√x,(２)y=logx,(３)y=sin-1x(主

値)

【 解 】(１)x=y2よりdy/dx=1/(dx/dy)=1/2y=1/(2√x) (２)x=eyよ

りdy/dx=1/(dx/dy)=1/ey=1/x

(３)x=sinyよ

りdy/dx=1/(dx/dy)=1/cosy =1/√1-sin2y=1/√1-x2

◇ 問2.4◇

次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

(１)y=cos-1x,(２)y=tan-1x [媒 介 変 数 を 含 ん だ 関 数 の 導 関 数]ｘ ,ｙ がｔ の 関 数 で

x=f(t),y=g(t) で あ る と す る.こ

の と き,t=f-1(x)で

あ る か ら,y=g(f-1(x))と

はｘ の 関 数 と な る.ｙ

をｘ で 微 分 す れ ば,合

と な る.す

式 が 成 り立 つ.

な わ ち,次

x=f(t),y=g(t)の

な り,ｙ

成 関 数 お よび 逆 関 数 の 微 分 法 か ら

とき

例 題2.5 x=a(t-sint),y=a(1-cost)と

す る.t=π/2の

と き,dy/dxの

値

を 求 め よ. 【解 】dx/dt=a(1-cost),dy/dt=asintで (1-cost).こ

2.3 

の 式 にt=π/2を

あ る か ら,dy/dx=sint/ 代 入 す れ ば 導 関 数 の 値 は １ と な る.

平 均 値 の 定 理

関 数f(x)が

区 間 Ｉで 微 分 可 能 で あ る と す る.こ

ま た は 最 小 値 を と っ た と す れ ば,f'(a)=0が て 理 由 を 考 え て み よ う.仮 (a+h)〓f(a)す と な る.そ

こで

と な る た め,

定 か らf(a)は

の 関 数 が 点x=aで

成 り立 つ.最 最 大 値 で あ る か らf

な わ ちf(a+h)-f(a)〓0

最大 値

大 値 の場 合 に つ い

とな る.f(x)は

微 分 可 能 な の で,両 方 のf'(a)は 等 し くな り,両 式 が と も に成 り

立 つ た め に はf'(a)=0で

あ る必 要 が あ る.最 小 値 の場 合 も同様 に証 明 で きる.

こ の事 実 を用 い る と次 の定 理(ロル(Rolle)の 関数f(x)が

定 理)が

証 明 で きる.

閉 区 間[a,b]で 連 続 で 開 区 間(a,b)で 微 分 可 能 とす る.こ の と き

も しf(a)=f(b)=0で

あ れ ば,f'(x)=0を

満 足 す るxが

開 区 間(a,b)に

少

な く と も １つ あ る. は じめ に 図2.3を 用 い て定 理 の 意味 を見 て お こ う.定 理 の 仮 定 か らy=f(x) の 形 は 図 の よ うに,点x=a,x=bでｘ

軸 と交 わ って い る.f'(x)=0を

満足

す る とい う こ と は,そ の 点 で の 接 線 の傾 きが ０ を意 味 す るか ら,定 理 は こ の よ う な 曲線 に は 必 ずｘ 軸 と平 行 な接 線 が 引 け る とい う,い わ ば 当然 の こ と主 張 し て い る.

図2.3 ロル

証 明 は次 の よ う にす る.ま ずf(x)が

の 定理

恒 等 的 に０ で あ れ ば定 理 は 正 しい の で,

恒 等 的 に は ０で ない と し よ う,こ の と きf(x)は

ど こか で 正 ま た は 負 に な るが,

区 間 内 で 連 続 で あ る の で,絶 対 値 が 無 限 大 に は な らず,必 ず 最 大 値 ま た は 最小 値 を とる ． そ こで 前 述 した定 理 か ら,最 大 値 また は 最小 値 を とる点 でf'(x)=0 とな る. このロル の定 理 を用 い れ ば,次 の 平 均 値 の 定 理 と よば れ る重 要 な定 理 が 証 明 で きる. 関 数f(x)が

区 間[a,b]で 連 続 で 区 間(a,b)で

微 分 可 能 とす る.こ の と き

f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)(2.9)

を満 足 す る よ うなx=cが

区 間(a,b)に

少 な く と も １つ 存 在 す る.

この 定 理 の 意 味 も図 を描 け ば は っ き りす る.す

なわ ち,

は 図2.4の 点Ａ,Ｂ を通 る直 線 の傾 きで あ る.そ こ で,平 均 値 の 定 理 は 点Ａ,Ｂ の 間 で この 直 線 に平 行 な接 線 がy=f(x)に

対 して 必 ず 引 け る こ と を 主 張 して

い る.

図2.4 

平 均 値 の定 理

証 明 は 次 の よ うに す る.

F(x)=f(b)-f(x)-k(b-x) と お く.こ の 関 数 は 仮 定 か ら微 分 可 能 性 等 の 条 件 を み た し,ま み た す.こ

こ でF(a)=0と

な る よ う に,ｋを

たF(b)=0も

決 める と

(2.10) と な る.し

た が っ て,ｋ

を 満 足 す る 点x=cが

と し て こ の 値 を 用 い れ ば,ロル 区 間 内 に 存 在 す る.一

の 定 理 よ りF'(x)=0

方,

F'(x) =-f'(x)+k であ るか ら F'(c)=-f'(c)+k

と な り,こ の 式 か ら得 ら れ るk=f'(c)を

＝0 式(2.10)に

代 入 す れ ば 式(2.9)に

平 均 値 の 定 理 は よ く用 い ら れ る の で 少 し変 形 し て お こ う.点x=cはx=a とx=bの

間 にあ る か ら

な る.

f(b

c=a＋(b-a)θ(0＜ と 書 け る.こ

θ＜1)

の と き 式(2.9)は

f(b )=f(a)＋(b-a)f'(a＋(b-a)θ)(0＜θ＜1)(2.11) と な る.さ

ら にb=a＋hと

おけば

f(a＋h)=f(a)＋hf'(a＋hθ)(0＜θ＜1)(2.12) と な る.式(2.9)に

お い て,ｂを

変 数 と み な し てb=xと

おけ ば

f(x)=f(a)＋(x-a)f'(c)(a＜c＜x)(2.13) と な る が,こ き る.す

の 式 は 関 数f(x)を

な わ ち,微

１次 関 数 で 近 似 し て い る 式 と み な す こ と が で

分 係 数 と は 関 数 を １次 式 で 近 似 し た と き のｘ の 係 数 で あ る

と い え る. 平 均 値 の 定 理 を 拡 張 す れ ば 次 の 定 理 が 得 ら れ る.

関 数f(x)が と す る.こ

区 間[a,b]で

連 続 で,f(x),f'(x)が

区 間(a,b)で

微 分可能

の とき

)-f(a)=(b-a)f'(a)+1/2(b-a)2f"(c)(2.14)

を 満 足 す る よ う なx=cが

区 間(a,b)に

証 明 は 平 均 値 の 定 理 と同 様 に で き る.す

少 な く と も １つ 存 在 す る.

な わ ち,

F(x )=f(b)-f(x)-(b-x)f'(x)-k(b-x)2(2.15) と お け ば,こ こ と)で

の 関 数 は 区 間(a,b)で

あ り,ま

たF(b)=0を

２階 微 分 可 能(f(x)とf'(x)が み た す.こ

微分 可能 な

こで

F(a )=f(b)-f(a)-(b-a)f'(a)-k(b-a)2=0(2.16) と な る よ う にｋ を 選 ぶ(上

式 をｋ に つ い て 解 け ば よ い)と,ロル F'(c) =0

を 満 足 す るｃ が 区 間(a,b)に

存 在 す る.一

方,式(2.15)か

ら

の定理 か ら

F'(x )=-f'(x)+f'(x)-(b-x)f"(x)+2k(b-x) が得 られ るか ら 0=F'(c)=-(b-c)f"(c)+2k(b-c) とな る． この式 をｋ につ い て解 い て式(2.16)に 代 入 す れ ば,証 明 すべ き式(2.14) が 得 られ る. 平 均 値 の 定 理 と同様,上

の定 理 の 関 係 式 は

f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+1/2(b-a)2f"(a+(b-a)θ)(0＜θ＜1)(2.17)

ま た はf (a+h)=f(a)+hf'(a)+1/2h2f"(a+hθ)(0＜ と書 き換 え られ る.式(2.14)でb=xと

θ＜1)(2.18)

お けば

f(x)=f (a)+(x-a)f'(a)+1/2(x-a)2f"(c)(2.19) と な る が,こ

の こ と か ら ２ 階 微 分 係 数(の1/2)は,関

数 を ２次 式 で 近 似 し た

と き の ２ 次 の 項 の 係 数 で あ る こ と が わ か る. 例題2.6 関 数f(x)とg(x)は とと す る.こ

区 間[a,b]で

連 続,(a,b)で

微 分 可 能 で あ り,g'(x)≠0

の と き, (2.20)

を 満 足 す る ξが,ａ シ ー(Cauchy)の

とｂ の 間 に 少 な く と も １つ 存 在 す る こ と を示 せ(コ 平 均 値 の 定 理).

【 解 】 平 均 値 の 定 理 か らg(b)-g(a)=(b-a)g'(ξ)で あ る か ら 式(2.20)の

分 母 は０ で な い.い

ま,

f(b)-f(a)=k(g(b)-g(a))(2.21) と な る よ う にｋ を 決 め て F(x )=f(b)-f(x)-k(g(b)-g(x))

あ り,g'(ξ)≠0で

ー

とお く.F(x)は

区 間[a,b]で 連 続 で,か つ F'(x) =-f'(x)+kg'(x)

で あ る た め,同

じ区 間 で有 限 確 定 値 を とる.ま

た

F(b )=0,F(a)=0 で あ る.し た が っ て,ロル

の定 理 か らａ とｂ の 間 にF'(x)=0を

が 少 な くと も １つ存 在 す る.そ れ をx=ξ 0=F'(ξ)=-f'(ξ)+fg'(ξ),す とな る.そ

こで 式(2.21)に

◇ 問2.5◇f(x)=x2の

み たすｘ

とす れ ば な わ ちk=f'(ξ)/g'(ξ)

こ の値 を代 入 す れ ば よい.

と き,f(a+h)-f(a)=hf'(a+θん)を

満足 す る θ

の 値 を 求 め よ.

2.4  微 分 法 の 応 用

微 分 は 多 方 面 で 利 用 され るが,本

節 で は そ の 中で 関数 の概 形 を描 く方 法 を紹

介 す る. まず,y=f(x)に

対 して,f'(a)＞0で

加 して い る.こ の こ とは,式(2.14)か

あ れ ば,そ の 関 数 はａ の 近 くで 単 調 増 ら関 数 がａ の 近 くで １次 関 数 で 表 さ れ,

そ の傾 きが 正 で あ る こ とか らわ か る.同 様 にf'(a)＜0で の近 くで 単 調 減 少 して い る.f'(a)が 少 に,あ

あ れ ば,そ の 関 数 はａ

符 号 を変 化 させ る と き,関 数 は増 加 か ら減

る い は減 少 か ら増 加 に転 ず る.い

い か えれ ば,関 数 はf'(x)=0を

み

た す 点 で 極 大 値 ま た は極 小 値 を と る.そ の 点 が 極 大 値 で あ る か極 小 値 で あ る か は ２階 微 分係 数 を用 い て判 断 で き る ．式(2.19)よ

り,２ 階微 分係 数 は,関 数 を

２次 関 数 で 近 似 した と きの ２次 の 項 の 係 数 に な っ て い る.放 物 線 を 思 い 出 せ ば, そ の係 数 が 正 な ら ば下 に凸,負 な ら ば上 に 凸 に な る.し た が っ て,f'(x)=0を み た す 点 に お い てf"(x)＞0な

ら ば極 小 値,f"(x)＜0な

ら ば極 大 値 とな る.

こ の よ う な こ と を用 い れ ば以 下 の例題 に示 す よ うに 曲 線 の 概 形 を描 くこ とが で きる ．

例題2.7 曲線y=x5-5x4+5x3+10の

極 値 を 求 め,曲

線 の 概 形 を 描 け.

【 解 】y'=5x4-20x3＋15x2=5x2(x-1)(x-3) で あ る か ら,y'=0を

み た す 点 は,x=0,ま

の 符 号 を 調 べ て 増 減 表 を つ く れ ば 表2.2の の と き 極 大 値11を た だ し,x=0は y→-∞

と り,x=3の

た は １,ま た は ３ で あ る.y' よ う に な る.し

と き 極 小 値-17を

極 大 値 で も 極 小 値 で も な い*.さ

で あ り,x→+∞

慮 し て 概 形 を 描 け ば 図2.5の

の と き,y→+∞

た が っ て,x=1

と る こ と が わ か る. ら にx→-∞

で あ る.以

の と き, 上 の こ と を考

よ う に な る.

表2.2 y=x5-5x4+5x3+10の

増 減 表

図2.5 

曲線 の 概 形

例題2.8 曲 線y=2sinx+sin2xの

*す

なわち

すべ てf(x)を

,f'(x)=0は

概 形 を 描 け.た

だ し,0〓x〓2π

と す る.

極 大 値 ま た は極 小 値 を とる た め の 必 要 条 件 で あ っ て,f'(x)=0の

極 大 また は極 小 に す る と は 限 らな い ．

根が

【 解 】 y' =2cosx+2cos2x=2(cosx+2cos2x-1)=2(2cosx し た が っ て,y'=0を

み た す 点 はcosx=1/2ま

ちx=π/3,π,5π/3.極 はx=5π/3の

-1)(cosx+1)

大 値 はx=π/3の

と き-3√3/2で

慮 し て 増 減 表 を つ くれ ば 表2.3の

あ る.こ

た はcosx=-1 と き3√3/2で

,す

れ ら の こ と と1+cosx〓0を

よ う に な る.ま

た 曲 線 の 概 形 は 図2.6の

よ う に な る.

表2.3 y=2sinx+sin2xの

増減表

図2.6 

◇ 問2.6◇

次 の 関 数 の 概 形 を 描 け.

(１)y=x3-4x,(２)y=ex+e-x,(３)y=log(1+x2)〓章末問題〓

［ 2.1］ 次 の 関 数 を微 分 せ よ. (１)(x3+2x)√2-x2,(２)2x+3/x2-3x+2,(３)x/x+√a2-x2,

なわ

あ り,極 小 値

曲線 の概 形

考

(４)〓(５)log(logx) ［ 2.2］ 関 数logy=g(x)の こ と を示 せ.こ

両 辺 を微 分 す れ ばdy/dx=yg'(x)=g(x)dg/dxと

なる

れ を 対 数 微 分 とい う.

［ 2.3］ 対 数 微 分 を用 い て 次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

(１)〓(２)〓(３)xx ［ 2.4］(１)関 数y=f(x)上

の 点,「x1,f(xl)」

に お け る 接 線 はy=f'(x1)(x-x1)+

f(x1 )で 与 え ら れ る こ と を示 せ. (２)x2/4+y2/8=1のx=1に ［ 2.5］ 弧 の 長 さ が 一 定 値ａ ［ 2.6］y=(x+2)2(x-1)2/3の

対 応 す る 点 にお け る接 線 を求 め よ. あ る 円 弧 と弦 に 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 の 最 大 値 を求 め よ. グ ラ フの概 形 を描 け.次

の 実 根 の 数 をａ の 値 に よ り分 類 せ よ.

に方 程 式(x+2)2(x-1)2/3=a

３  1変 数 の 積 分 法

3.1 不 定 積 分   微 分 の 逆 の 演 算 を考 え よ う.す な わ ち,関 数f(x)が した と き にf(x)と

な る よ うな 関 数F(x)を

も との 関 数f(x)の

原 始 関 数 と よ び,

与 え られ た場 合 に,微 分

求 め る こ とを考 え る.こ

のF(x)を

  とい う記 号 で表 す.し

(3・1)

た が って,定 義 か ら (3.2)

が成 り立 つ.f(x)の

原 始 関 数 を 求 め る こ と を,f(x)を

は 簡 単 に積 分 す る)と い う.こ こ で,f(x)の

不 定 積 分 す る(あ る い

原 始 関 数 は １通 りで は な い こ と に

注意 す る.す な わ ち,Ｃ を任 意 の 定 数 と した場 合,F(x)とF(x)+Cの を微 分 して も同 じf(x)を

どちら

与 え る.い い か えれ ば,原 始 関 数 に は定 数 だ け の 不 定

性 が あ る.不 定 積 分 の 不 定 とい う言 葉 に は この 意 味 が あ る*.   不 定 積 分 は微 分 の 逆 演 算 な の で,簡 (任意 定 数 省 略).こ

単な関数の不定積分 は以下 の ようになる

の こ と は両 辺 を微 分 す る こ と に よ り確 か め る こ とが で きる ．

* 以下 ,不 定積分 を表す場合 に任 意定数Ｃ を書 くのが わず らわ しいときには任 意定数 を省略 するこ とがあるが,不 定積分が現 れた場合 には常 にこのような任意性 があるこ とに注意す る.

3.2  不 定 積 分 の 性 質

本 節 で 述 べ る公 式 を用 い れ ば,代 表 的 な 関 数 の 不 定 積 分 を用 い て,い

ろいろ

な関 数 の不 定 積 分 を計 算 す る こ とが で き る. [和 と差 の 不 定 積 分]ａ ,ｂを定 数 とす る.こ の と き

(3.3)

とな る.こ

の こ とは,両 辺 を微 分 して確 か め る こ とが で き る.式(3.3)を

一般

化す れば

(3.4) が 成 り立 つ こ と もわ か る.た だ し,anは 例題3.1 次 の積 分 を計 算 せ よ. (１)〓,(２)〓 【解 】(１)〓

(２)〓 ◇ 間3.1◇

次 の 不 定 積 分 を求 め よ.

(１)〓,(２)〓,(３)〓

定 数 で あ る.

[置換 積 分] 合 成 関 数 の微 分 法 に 対 応 す る積 分 演 算 に置換 積 分 が あ る.こ れ は 関数f(x)の ｘが別 の 関 数 に よ っ てx=g(t)と

表 せ る と き,次 の よ う な計 算 が で きる こ と を

示 して い る.

(3.5)

なぜ な ら,

とお く と,合 成 関 数 の微 分 法 か ら

と な るが,両 辺 をｔ で不 定 積 分 す る と

と な る.こ

こで

を 上 式 の 左 辺 お よ び 右 辺 に 代 入 す れ ば 式(3.5)が

得 ら れ る.

例題3.2 次 の 積 分 の 値 を 求 め よ. (１)〓,(２)〓,(３)〓 【解 】(１)2x=tと

お く とdx/dt=1/2,し

ま た はd(2x)/dx=2をdx=d(2x)/2と せ ば

たが っ て

考 え て,2xを

１つ の 文 字 とみ な

(２)-3x+1=tと

お く とdx/dt=-1/3,し

ま た はd(-3x+1)/dx=-3をdx=-d（-3x+1）/3と

たが っ て

考 え て,-3x+1

を １つ の 文 字 と み な せ ば

(３)sin2x=tと

お け ば,dt/dx=2cos2xよ

り,dx/dt=1/(2cos2x),

した が っ て

ま た は,dsin2x/dx=2cos2xをdsin2x/2=cos2xdxと

考 え て,sin2x

を １つ の 文 字 と み な せ ば

◇問3.2◇

次 の不 定 積 分 を求 め よ.

(１)〓,(２)〓,(３)〓

[部分 積 分] 積 の微 分 法 の 関係 式 を用 い れ ば,部 分 積 分 と よば れ る次 の公 式

(3.6)

が 得 られ る.な ぜ な ら,

が 成 り立 つ か らで あ る.式(3.6)はf'(x)をf(x)で 定積 分 をF(x)と

して,次

お き換 え れ ば,f(x)の

不

の よ う に書 き換 え られ る. (3.7)

した が っ て, 「fgの 積 分 を計 算 す る場 合,ｆを 積 分 してｇ をか け た もの か ら,積 分 結 果(Ｆ) は そ の ま ま に して そ れ にg'を か け て積 分 した もの を引 け ば よい 」 こ とが わ か る. 例題3.3 次 の積 分 を部 分 積 分 を用 い て計 算 せ よ. (１)(２) 【 解 】(１)

(２)

例題3.4a,b≠0の と き∫eaxsinbxdxを 【解 】

求 め よ.

求 め る 不 定 積 分 をＩ と お く と,

したが っ て,上 式 をＩ につ い て 解 い て

例題3.5 (１)In=∫xneaxdxと (2)I0とI3を

お く.InとIn-1の

関 係 を 求 め よ.

求 め よ.

【解 】(１) (２)

◇問3.3◇

次 の 不 定 積 分 を求 め よ.

(１)〓,(２)〓,(３)〓

3.3  不 定 積 分 の 計 算 例

す で に い くつ か の 初 等 関 数 の 不 定 積 分 は 使 っ て き たが,本 節 で は 公 式 の 形 に ま とめ て お く.こ れ ら は,両 辺 を積 分 す る こ と に よ り直 接 に確 か め られ る.

(１)

(２)(３)(４）

(５)

(６)

(７) (８)

(９)

(10)

(11)

次 に こ れ らの 公 式 や 置 換 積 分,部 分 積 分 を用 い て 求 ま る不 定 積 分 の例 をい く つ か あ げ る. 例題3.6 次 の不 定 積 分 を 求 め よ. (１)〓,(２)〓 【 解】 (１)(２)

◇ 問3.4◇

次 の 不 定 積 分 を 求 め よ.

(１)〓,(２)〓

3.4  面 積 と 定 積 分

連 続 な 関 数y=f(x)と 積(図3.1)を

直 線x=a,x=bお

よびｘ 軸 とで 囲 ま れ た 部 分 の 面

定 積 分 と よび,記 号 (3.8)

で 表 す こ とに しよ う.こ こ でaを(定)積 合,定

積 分 は面 積 を表 す た め,あ

分 の 下 端,ｂを 上 端 と よぶ.こ

の場

く まで１ つ の 数 値 で あ り,不 定 積 分 の よ う な

関 数 と は異 な る.も っ と も,積 分 の 上 端(下 端)を させ れ ば,そ れ に応 じて 面 積 も変 化 す る ため,こ

固 定せ ず にｘ と書 い て 変 化

の よ う な場 合 はｘ の 関 数 とみ

なす こ とが で き る.な お,定 積 分 を不 定 積 分 と似 た よ うな 記号 で 表 す の は,3.6 節 で述 べ る よ う に定 積 分 と不 定 積 分 は密 接 な 関 係 が あ る か らで あ る.

図3.1 

定積分

こ こで,定

積 分 を 数 学 的 に は っ き り と定 義 して お こ う.曲 線y=f(x)と

x=a,x=b(a＜bと

す る)お

よ びｘ

との 間 の 面 積 を以 下 の よ うに 求 め る

こ と にす る.す な わ ち,区 間[a,b]を 図3.1の

よ う にｎ 個 の小 区 間 に分 け,左 か

ら順 に区 分 点 を x0 (=a),x1,x2,…,xn(=b) とす る.各 区 間幅 は 同 じで あ る必 要 は な い が,n→∞ に な る よ うに す る.い

ま左 か らｉ番 目の１ つ の 小 区 間 を取 り出 して考 え る.こ

の小 区 間 の左 右 両 端 の 座 標 を そ れ ぞ れxi-1,xiと b=xnと

な る).そ

す る.こ

の と き最 大 区 間 幅 も０

して小 区 間[xi-1,xi]内

す る(し た が っ て,a=x0,

の 任 意 の 一 点Ｐ の 座 標 をx=ξiと

の と き, Si=f(ξi)(xi-xi-1)

は 図 の 斜 線 部 分 で 示 さ れ た 短 冊 の面 積 の 近 似 値 と考 え られ る*1.求 め るべ き全 体 の 面積Ｓ は,短 冊 をす べ て足 し合 わ せ た もの と考 え られ る た め,

で 近 似 さ れ る*2.Ｓ

がn→

∞の

有 限 確 定 な 値 に 収 束 す る と き,関 (3.8)の

よ う に 記 す.す

と き 区 間 幅 やξiの 選 び 方 に よ らず に,１ 数f(x)が(定)積

つの

分 可 能 で あ る と い い,式

なわち

(3.9)

で あ る.こ 「f (x)が

の と き以 下 の 事 実 が 知 ら れ て い る. 区 間[a,b]に

お い て 連 続 な ら ば,f(x)は

積 分 可 能 で あ る」

証 明 は 難 し く な い が 少 し長 く な る の で 省 略 す る.

*1こ

こで面積 は符号 をもっているこ とに注意 する．す なわちy=f(x)がｘ

面積 は負にな る. *2こ のＳ はリーマ ン(Riemann)和

とよばれる.

軸 の下にあれば

,こ の

3.5  定 積 分 の 性 質

定 積 分 の 定 義 か ら区 間[a,b]で 連 続 な 関 数f(x),g(x)に

対 して 以 下 の こ とが

成 り立 つ.

(3.10)

(3.11)

(3.12) [a,b](a＜bと

す る)に お い てf(x)〓g(x)でf(x)とg(x)2が

恒等 的 に等

し くな け れ ば

(3.13)

(3.14)

こ れ ら の こ と を 納 得 す る た め に は,定

積 分 が 極 限 を と る 前 は 和 で あ る こ と,

あ る い は 面 積 を 表 す こ と を 思 い 出 せ ば よ い.た

と え ば 式(3.10)は

で は

と い う わ か り や す い 関 係 に な っ て い る.次

に 式(3.11)は

極 限 を とる前

図3.2 

式(3.12)の

意 味

を意 味 して い る.ま た式(3.12)は

図3.3 

式(3.14)の

意味

図3.2に 示 す よ うに左 辺 は区 間[a,b]で の 面

積,右 辺 は区 間[a,c]と 区 間[c,b]で の面 積 の和 を意 味 して い る.さ

ら に式(3.13)

は上 に あ る 曲線 の 方 が 下 に あ る 曲線 よ りｘ 軸 との 間 の 面 積 が 大 きい こ と を 意 味 し,式(3.14)は

図3.3か

ら,ｘ 軸 よ り下 の 面 積 は負 に な る こ とに注 意 す れ ば成

り立 つ こ とが わか る. 次 に 定積 分 に対 す る平 均 値 の 定 理 と も よぶ べ き次 の定 理 を証 明 しよ う. f(x)が[a,b]で

連続 な らば (3.15)

を満 足 す るｃ が 区 間(a,b)に

存 在 す る.

定 理 の意 味 は次 の とお りで あ る.左 辺 は 曲線 とx=a,x=bお

よびｘ 軸 で 囲

ま れ た面 積 で あ る.右 辺 は 曲線 上 の一 点Ｐ を通 りｘ 軸 に水 平 な直 線 と,x=a, x=bお

よ びｘ 軸 で つ く られ る長 方 形 の 面 積 で あ る.定 理 は この 両 者 が 等 し く

な る よ うな 点 が 曲線 上 に とれ る こ と を主 張 して い る.こ れ は 結 局,Ｐ 線 よ り上 の 部 分 の 面 積(図3.4の〓 の〓

の 面 積 の 和)と

を通 る直

下 の 部 分 の 面 積(図3.4

の 面 積 の和)が 等 し くな る よ う な直 線 が 引 け る とい う当 然 の こ と を主 張

して い る が,厳 密 に証 明 す る に は 以 下 の よ う に す る.な お,a＜bを る がa＞bの

仮 定 とす

と き も同 様 に証 明 で き る.

も し,区 間[a,b]でf(x)が 合 は 除 外 す る.そ

こでf(x)の

定 数ｃ な ら ば式(3．15)は 当 然 成 り立 つ の で そ の 場 区 間[a,b]で の 最 小 値 と最 大 値 をｍ,Ｍと

こ の と き定 積 分 の性 質(式(3.13))か

ら

す る.

図3.4 

が 成 り立 つ.そ

平均値 の定理

こで (3.16)

とお け ば (b-a)m＜(b-a)k＜(b-a)Mす とな る.一 方,中 る た め,式(3.16)か

な わ ちm＜k＜M

間値 の 定 理 か らf(c)=kを ら式(3.15)が

満 足 す るｃ が 区 間[a,b]に 存 在 す

証 明 され た こ と に な る.

3.6  不 定 積 分 と 定 積 分 の 関 係

定 積 分 の積 分 の 上 端ｂ を変 数ｘ とみ なせ ば,面 積 を表 す 定 積 分 はｘ の 変 化 と と もに値 が 変 化 す る た めｘ の 関 数 とな る.こ れ を (3.17) と記 す.こ

こで 定 積 分 内 の 変 数 名 と積 分 の 上 端 の変 数 名 を区 別 す る た め 定 積 分

内 の 変 数 をｔ と書 い て い る*.こ

の と き,次 の 重 要 な 関係

(3.18)

*定

積 分 内 の変 数 名 はｘ で あ

っ て もｔ で あ って も面 積 で あ る こ と に は 変 わ りが な い た め,何

て も同 じで あ る こ とに注 意 す る.

を用 い

が成り 立 つ.た だ し,f(x)は

区 間[a,b]で 連 続 とす る.

証 明 に は前 節 で 述 べ た平 均 値 の 定 理 を用 い る.す

を満 足 す るx=cが

区 間[x,x+h]に

存 在 す る.こ

な わ ち,平 均 値 の定 理 か ら

こで

であるか ら

と な る.f(x)は

連 続 でh→0の

こ の定 理 は 式(3.17)で を意 味 して い る.す

と きc→xで

あ る か ら,次

定 義 され る 関 数 がf(x)の

式 が 成 り 立 つ.

原始 関数 になって いる こ と

なわ ち,不 定 積 分 と定 積 分 が 関係 づ けら れ た こ と に な る.

実 際 に,定 積 分 を原 始 関数(不

定 積 分)を 用 い て計 算 す る に は以 下 の 関係 を

用 い る.

(3.19)

こ こでf(x)は[a,b]で

連 続 で あ り,F(x)はf(x)の

とを示 す には 以 下 の よ う にす れ ば よい.

原 始 関数 とす る.こ

区 間[a,b]内 にあ る任 意 のｘ に対 して

と お く と,G(x)はf(x)の

１つ の 不 定 積 分 で あ る か ら

G(x)=F(x)+C と な る.し

た が っ て, G(a)=F(a)+C,G(b)=F(b)+C

のこ

す なわ ち G(b)-G(a)=F(b)-F(a) と な る.上

式 は

を 考慮 す れ ば 証 明 す べ き式(式(3.19))に 式(3.19)は,定

な っ て い る.

積 分 を計 算 す る と き １つ の不 定 積 分(ふ

もの)を 求 め て,そ

つ う はC=0と

した

の積 分 区 間 の両 端 の 値 の 差 を とれ ば よい こ と を示 して い る.

さ ら に,不 定 積 分 に対 す る部 分 積 分 や 置 換 積 分 な どの 計 算 方 法 は そ の ま ま定 積 分 に利 用 で き る.す な わ ち,部 分 積 分 は

(3.20)

と な り,置 換 積 分 は

(3.21)

とな る.た だ し,x=h(t)はｘ

がａ か らｂ に変 化 す る と き単 調 に 変化 し,ま た

t1,t2は h(t1)=a,h(t2)=b を満 足 す る数 で あ る. 例題3.7 次 の定 積 分 を求 め よ. (１)〓,(２)〓 【 解 】(１)

(２)

例 題3.8 次 の 定 積 分 を 求 め よ.

(１),(２) 【解 】(１)t=sinxと の と きt=1よ

お く とdt=cosxdx,x=0の

と きt=0,x=π/2

り

(２)

◇問3.5◇

次 の 定 積 分 を求 め よ.

(１),(２)

3.7  定 積 分 の 応 用

定 積 分 の 定 義 の と こ ろ で も述 べ た が,関数f(x)とｘ x=a,x=bに

挟 ま れ た 部 分 の面 積Ｓ は

軸 の間 の部 分 で直 線

で あ る ． こ の こ とを利 用 す れ ば 平 面 図 形 の 面 積 が 定積 分 を用 い て 表 さ れ る. 例題3.9 軸 が2aと2bの

楕 円の 面 積Ｓ を求 め よ(図3.5).

図3.5 

楕 円 の面 積

【 解 】 楕 円の 方 程式 はx2/a2+y2/b2=1で

あ り,こ れ か らy=〓

は 楕 円 のｘ 軸 よ り上 の部 分(上 半 分)を 表 す.ま で あ る.し

たが っ て,

と な る.こ

の 積 分 を 計 算 す る た め に,x=asinθ

acos θ と な り,ま す る.し

たdx=acosθdθ

と お け ば,被

で あ り,θ は-π/2か

積 分関数 は

らπ/2ま

で変化

た が っ て,

◇ 問3.6◇ y=ax-x2(a＞0)とｘ 曲 線 が 媒 介 変 数ｔ(た だ しt1〓t〓t2)を

軸 に 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 を 求 め よ. 用 い てx=g(t),y=f(t)と

て い る と き,こ の 曲 線 と(ｙ 軸 に 平 行 な)直 線x=a,x=b(た b=g(t2))お

たｘ 軸 との交 点 はx=±a

よ びｘ 軸 で 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 は,

表 され

だ し,a=g(tl),

(3.22)

と な る.理

由 は 以 下 の と お り で あ る.g'(t)〓0の

あ り,a＜bで

あ る.ま

た,x=g(t)の

と きｇ はｔ の 増 加 関 数 で

逆 関 数t=g-1(x)を

はy=f(g-1(x))で 表 さ れ る た め,S=〓baf(g-1(x))dxで g-1(x) =tとdx=g'(t)dtを 代入 すれば

が 得 ら れ る.g'(t)〓0の

考 え る と曲 線 あ り,こ

の式 に

と き も 同 様 に し て 示 す こ と が で き る.

例題3.10 式(3.22)を

利 用 し て 楕 円 の 面 積 を 求 め よ.

【解 】 楕 円 の 上 半 分 は 媒 介 変 数 θ を 用 い て,x=acosθ,y=bsinθ

と表

せ る,た

あ る

だ し,0〓θ〓π

で あ る.こ

の 区 間 で はx'=-sinθ〓0で

か ら,

◇ 問3.7◇ 

曲線x=acos3θ,y=asin3θ

に囲 ま れ た部 分 の 面 積 を求 め よ.

次 に立 体 の 体 積 を求 め て み よ う.た だ し,立 体 をｘ 軸 に垂 直 な 面 で 切 っ た と き,そ の 切 り口 の 面 積Ｓがｘ の 関 数 と して 与 え られ て い る もの とす る.そ 図3.6に 示 す よ う にS(x)の 小 な厚 さΔxを

変 域 がa〓x〓bで

もつ 薄 い板 の 体 積S(x)Δxの

して,

あ る とす る.立 体 の 体 積 は微 和 とみ なせ る た め, (3.23)

で 与 え ら れ る.

図3.6 

立体の体積

例題3.11 軸 の 長 さ が2a,2b,2cの

楕 円 体 で 囲 ま れ た 部 分 の 体 積 を 求 め よ.

【解 】 楕 円 体 はx2/a2+y2/b2+z2/c2=1で

表 さ れ る.こ

の楕 円体 を

z=p(-c〓p〓c で 切 っ た 切 り 口 は

と な り,軸

の 長 さ が2a〓

と2b〓

て そ の 面 積 は 例題3.10か

と な る.し

た が っ て,体

で あ る.特

にa=b=c=r(球)の

◇ 問3.8◇

積 は 式(3.23)か

ら

と き,V=4πr3/3と

らx=bの

き に で き る 回 転 体(図3.7)の

し

ら

曲 面z=x2/a2+y2/b2とz=cに

y=f(x)のx=aか

の 楕 円 と な る.そ

な る.

囲 ま れ た 部 分 の 体 積 を 求 め よ. 部 分 を ,x軸

を 回 転 軸 と し て1回

体 積 は,式(3.23)のS(x)が

転 した と

πy2=π(f(x))2で

与 え ら れ る た め,

(3.24) と な る.

図3.7 

回転 体 の体 積

図3.8 

球の一部分

例題3.12 図3.8に

示 す よ う に半 径Ｒ の球 を互 い に 平行 な ２つ の 面 で 切 り取 っ た と き

に で き る立 体 の体 積 を求 め よ.た だ し,切 断 面 に で き る 円 の半 径 をｐ お よ び ｑ とす る. 【解 】 円x2+y2=R2とx=a,x=bお

よ びｘ 軸 で 囲 ま れ た 部 分 をｘ

軸ま わ りに 回転 させ た と き に で きる 立 体 の 体 積 はy2=R2-x2よ

と な る.こ

こ で,p2=R2-a2,q2=R2-b2を

り

考 慮 し てあａ,ｂ を 消去 す

れば

◇ 問3.9◇

下 面 の 半 径 がａ,上 面 の 半 径 がｂ,高

さｈ の 円 錐 台 の 体 積 を 求 め よ.

章末 問 題

[ 3.1]次

の 不 定 積 分 を 求 め よ.

(１),(２)，(３)，(４) [3.2]か

っ こ 内 に示 す よ う な お き換 え を 行 っ て 次 の 不 定 積 分 を 求 め よ.

(１),(２),(３) [3.3]例

題3.4を

参 考 に して 次 の不 定 積 分 を求 め よ.(被

積 分 関 数f(x)を1×f(x)

と 考 え る) (１),(２) [ 3.4]部

分 積 分 を行 う こ と に よ り次 の漸 化式 を 証 明 せ よ.

(１)

(２)

(３)

この式 の 右 辺 第 ２項 を 部 分 積 分する) [ 3.5]次

の 定 積 分 を求 め よ.

(１),(２),(３) [3.6]次

の漸 化式 を 証 明 せ よ.

(１)(２)

(３) [ 3.7]次

の 図 形 の 面 積 ま た は 体 積 を 求 め よ.

(１)y〓x2-2,y〓xで

囲 まれ た領域

(２)y=x2とy=x2+1お

よ びy=2で

で き る立 体

囲 ま れ た 部 分 をｙ 軸 の ま わ りに 回 転 して

４ 無限級数と関数の展開

a1,a2,a3,…,an,…(4.1) の よ う に 数 字 の 組 が あ っ て,番

号 づ けら れ て い る と す る.こ

を 数 列 と い う.そ

ど数 列 を構 成 して い る そ れ ぞ れ の 要素 を項 とい

う.数

し てa1,a2な

列 は 式(4.1)の

書 い た り す る.た

よ う に 書 い た り,{an}の

の よ うな 数 字 の 列

よ う に １つ の 要 素 を 代 表 さ せ て

とえ ば 12,22,32,…

1,1/2,1/3,… な ど は 数 列 で あ り,第

ｎ 番 目 の 項 は そ れ ぞ れ,n2,1/nと

な る.た

だ し,一 般 に

数 列 と い っ た 場 合 に は こ の よ う に 数 字 が 規 則 正 し く並 ん で い な く て も よ い.数 列 が,有 う.本

限 の 項 で 終 わ る 場 合 を 有 限 数 列,無

限 に 項 が 続 く場 合 を 無 限 数 列 と い

節 で は 無 限 数 列 を 考 え る.

無 限 数 列{an}に

お い て,ｎ

を 限 り な く大 き く し た と き,αnが

あ る数 Ａ に 限

りな く近 づ く と き

と書 き,数 列{an}は

収 束 す る とい う.そ してＡ を数 列{an}の

た と え ば上 の ２番 目の 数 列{1/n}の 数 列{an}が

4.1 数列

極 限 値 は ０で あ る.

極 限値 とい う.

を満 足 す る と き,単 調 増 加 す る とい い,数 列{an}は

単 調 増 加 数 列 と よ ば れ る.

逆に

を満 足 す る と き,単 調 減 少 とい い,数 列{an}は

単調減少 数列 とよばれ る． ま

た 任 意 の 番 号ｎ に 対 して,ｎ に依 存 しな い 数 Ｍ が あ り,an〓Mを き数 列{an}は

上 に 有 界,ま

たan〓Mを

み たす と

み た す と き下 に有 界 と い う.こ の と

き以 下 の 重 要 な定 理 が 成 り立 つ こ とが 知 ら れ て い る. 「上 に有 界 な単 調 増 加 数 列 は収 束 す る.ま た 下 に有 界 な単 調 減 少 数 列 も収 束 する 」 ま た 数 列 の 極 限 に対 して 以 下 の こ と も成 り立 つ. １.数 列{an},{bn},{cn}に

お い て,任

意 のｎ に 対 してan〓bn〓cnで

り,か つlimn→∞an=A,limn→∞cn=Aならばlimn→∞bn=Aで ２.limn→∞an=A,limn→∞bn=Bと

あ あ る.

す る.こ の と き,

例題4.1 数 列{(1+1/n)n}は

収 束 す る こ と を示 せ.

【 解 】 こ の こ と を示 す に は,こ の 数 列 が 単 調 増 加 で 有 界 で あ る こ と を示 せ ば よ い. ２項 定 理 を用 い て 展 開 す る と

an+

と な る.同

様 に

とな る.両 式 の 右 辺 を左 か ら順 に比 較 す る と,an+1に

対 す る式 の 項 がan

に 対 す る式 の項 よ り小 さ くな く,し か も １項 余 分 に あ る.し た が っ て 1＞an

と な り,こ

の 数 列 は 単 調 増 加 で あ る こ と が わ か る.一

であり,ま

た3!=1・2・3＞22,4!=1・2・3・4＞23,…

と な っ て 有 界 で あ る こ とが わ か る.し

4.2無

限

級

方,

で あ るか ら

た が っ て,数

列 は 収 束 す る*.

数

無 限 数 列a1,a2,…,an,…

が あ る と き,こ

れ ら を順 に 足 し合 わ せ た もの,す

なわち

を無 限級 数 と よぶ.こ

の 無 限 級 数 の 最 初 のｎ 項 の和 Sn=a1+a2+…+an(4.3)

*こ

の 数 列 の 極 限 値 を ｅ と書 き

e =2.71828182845904…

,自 然 対 数 の 底 と い う.こ れ は 無 理 数 で あ って 収 束 値 は で あ る こ とが 知 られ て い る.

を部 分 和 と よぶ.そ

して,部 分 和 の極 限 値 が 有 限確 定値(Ｓ

とす る)を

とると

き,無 限 級 数 は 収 束 す る とい う. (4.4) この 極 限値 が±∞

で あ っ た り,振 動 した り して有 限 確 定 に な ら な い 場 合 を発

散 す るという． 例 と して無 限等 比 級 数 1+x+x2+…+xn-1+…(4.5) を考 え る．ｎ 項 まで の 部 分 和Snはx≠1の

と な り,x=1の

と き はｎ に な る.一

収 束 し,｜x｜ ＞1の

ま た は-1と

は｜x｜＜1の

と き 収 束 し て1/（1-x）

例題4.2以

方,limn→∞xnは,｜x｜＜1の

と き は 発 散 す る.ま

に よ っ て,１

な る(振

とき

たx=-1の

動 す る).以

と き ０に

と き に はｎ が 偶 数 か 奇 数 か 上 の こ と を 総 合 す れ ば,式(4.5)

となる．

下 の こ と を 示 せ.

(4.6) はp＞1の

と き 収 束 し,0＜p〓1の

図4.1 y=1/2xpの

関 数y=1/xpはp＞0の

と き,x＞0に

と き 発 散 す る.

グ ラ フ

お い て減 少 関 数 で 図4.1の

よう

に な る.こ の 曲 線 とｘ軸 との 間 の 面 積 を,曲 線 よ り下 に あ る 階段 状 の部 分

の 面 積 と比 べ る と前 者 が 後 者 よ り大 きい こ とか ら,不 等 式 (4.7) が 得 られ る.同 様 に 曲線 よ り上 に あ る階 段 状 の部 分 の 面 積 と比 べ る と,不 等式

(4.8)が 得 ら れ る.こ

こで

で あ る か ら,p＞1の

と き は 式(4.7)か

と な り,有 界 で あ る.一 数 列)は 一方

方,左

辺(す

ら

な わ ち 式(4.6)の

単 調 増 加 で あ る か ら,式(4.6)は ,0＜p〓1の

と な り,右 辺 はn→

と き は 式(4.8)か

部 分 和 か らつ くっ た

収 束 す る. ら

∞ の と き無 限 大 に な る.

[級 数 の 性 質] 式(4.2)で 定 義 さ れ た級 数 に は以 下 の 諸 性 質 が あ る. １．級 数(4.2)が 収 束 して そ の 和 をＳ とす れ ば,級 数(4.2)の 各 項 を定 数 倍(ｃ 倍)し た 級 数

も収 束 して 和 はcSに

な る.

２.次 の ２ つ の 級 数 が 収 束 して 和 が Ａ,Ｂ に な る と す る.す

とす る.こ

な わ ち,

の と き,各 項 ど う しの 和 ま た は 差 か ら つ くった 級 数 も収 束 して そ れ

ぞ れA+B,A-Bと

な る.す な わ ち

３.級 数(4.2)が 収 束 す る と き,級 数 か ら有 限 項 を取 り除 い て も,有 限 項 を付 け加 えて もや は り収 束 す る. 1∼3の 性 質 は 無 限 級 数 が 部 分 和 の 極 限 で あ る こ とか ら証 明 で き る. ４.級 数(4.2)が 収 束 す る た め に はlimn→∞an=0で なぜ な ら,limn→∞Sn=Sの

な くて は な らな い* .

と き は,

と な る か ら で あ る. [正 項 級 数] 級 数 の 各 項 が 正 で あ る 級 数 を 正 項 級 数 と よ ぶ.正 か ら単 調 増 加 で あ る た め,Snが

項 級 数 の 部 分 和Snは

上 に 有 界 な ら ば 正 項 級 数 は 収 束 す る.ま

定 義 た,正

項 級 数 が 収 束 す る か 発 散 す る か に 対 し て 次 の 事 実 が 知 ら れ て い る. 「正 項 級 数 a0+a1+a2+…+an+… に お い て,

*逆

は必ず しも真ではない

.た とえば式(4.6)でp=1の

場合,級 数 は発散す るがａn→0で

ある.

とす る.こ の と きr＜1な な お,r=1の

らば 正 項 級 数 は 収 束 し,r＞1な

らば 発 散 す る」

と きは 判 定 で きな い.

正 項 級 数 の 収 束 の 判 定 に は 以 下 の事 実 も よ く使 わ れ る. (4.9)

(4.10)

を 正 項 級 数 と し,cを

定 数 と す る.

１.各 項 に 対 し てbn〓canと (4.10)も

収 束 し,級

２.limn→

す る.こ

数(4.10)が

∞bn/an=cと

も 収 束 し,c≠0で

数(4.9)が

発 散 す れ ば 級 数(4.9)も

す る.こ

級 数(4.9)が

の と き,級

の と き,級 数(4.9)が

発 散 す れ ば 級 数(4.10)も

収 束 す れ ば級 数

発 散 す る. 収 束 す れ ば 級 数(4.10) 発 散 す る.

[絶 対 収 束 級 数] 無限級数

(4.11)

が 正 項 級 数 とは 限 ら な い場 合 で も ( 4.12) は正 項 級 数 に な る.式(4.12)が

収 束 す る と き,無 限級 数(4.11)は

絶対収 束す る

とい う.ま た絶 対 収 束 す る級 数 を絶 対 収 束 級 数 とい う.絶 対 収 束 級 数 に対 して 以 下 の事 実 が 知 られ て い る. １.級 数 が 絶 対 収 束 す れ ば,も 式(4.11)も

との 級 数 も収 束 す る(式(4.12)が

収束す れ ば

収 束 す る).

２.級 数 が 絶 対 収 束 す れ ば,も との級 数 の和 の順 序 を任 意 に 入 れ 換 え た級 数 も 収 束 し,収 束 した値 は和 の順 序 に よ らな い. ３.級 数(4.11)お

よび 級 数

(4.13) が 絶 対 収 束 す る と す る.そ

し て 収 束 した 値 を そ れ ぞ れ Ａ と Ｂ とす る.こ

の と き,

(4.14) と お け ば 次 の よ う に な る. c0 +c1+c2+…+cｎ+…=AB(4.15)

4.3 

べ

き

級

数

数 列 と 同 じ よ う に 関 数 の 列f1(x),f2(x),… う.こ

の 関 数 列 に,ｘ

な る た め,関

れ を関 数 列 とい

を あ る 値ａ に 固 定 して 代 入 す る と 数 列f1(a),f2(a)…

数 列 は 数 列 の 一 種 と し て 取 り扱 う こ とが で き る.い

内 の 任 意 の １点 と し た と き,数 こ の と き,関

を 考 え よ う.こ

列f1(a),f2(a),…

数 列 は 区 間 Ｉに お い てf(x)に

がf(a)に

に

まａ を 区 間Ⅰ

収 束 し た と す る.

収 束 す る と い う.

関 数 列 と し て は い ろ い ろ な も の が 考 え ら れ る が,本

節 では

fn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn を 取 り上 げ る.こ

の 関 数 列 でn→

∞

と し た も の,す

なわち

をべ き級 数 とい う.べ き級 数 が指 定 さ れ た 区 間Ⅰ で 関 数f(x)に うか は,も ち ろ ん係 数a0,a1,…の

値 に依 存 す るが,区

この べ き級 数 が 収 束 す るｘ の 全 体 を収 束 域 と よぶ.以

収束す るか ど

間Ⅰ の と り方 に も よる. 下,べ

き級 数 の性 質 をい

くつ か 述 べ よ う.ま ず, 「べ き級 数 がx=c(c≠0)に のｘ に対 して,べ

き級 数

お い て収 束 す れ ば,￨x￨＜￨c￨を

満 足 す る任 意

は収束す る」 した が って,べ あ っ て,｜x｜＜Rの

き級 数 はす べ て のｘ に つ い て 収 束 す る場 合 と,あ るR〓0が と き収 束,￨x￨＞Rの

と き発 散 す る場 合 が あ る.こ

のＲ を

べ き級 数 の 収 束 半 径 とい う.特 にす べ て のｘ につ い て 収 束 す る 場 合 をR=∞ x =0の

と きに だ け 収 束 す る 場 合 をR=0と

求 め られ る こ と が知 られ て い る(ダ

, す る .収 束 半 径 は 以 下 の 関係 か ら

ラ ンベ ー ル(d'Alembert)の

方 法).

(4.16)

例 題4.3 次 の べ き級 数 の 収 束 半 径 を求 め よ. (１)【解】

(１)

(２) こ の 方 法 は 便 利 で あ る が,べ

き級 数 に よ っ て は 使 え な い こ と も あ る .そ

の よ

うな と き に は

(4.17)

が 役 立 つ*(コ

ー シ ー ・ア ダ マ ー ル(Cauchy-Hadamard)の

方 法).

例 題4.4 次 の べ き級 数 の 収 束 半 径 を 求 め よ.

*limは 上極 限を示す .上 極限 をＵ とす る とＵ より大 きなanは 存在 して も有限個 で,任 意 の ε＞0に 対 しU-ε にはanが 無限個 ある.通 常 の極限値 は存在 しな くて も,Ｕ → ∞ を含 める と上 極限 は常 に存在す る.

(１)

【 解 】(１) (２) べ き級 数 は そ れ が 収 束 す る領 域 にお い て 項 別 に微 分 や 積 分 が で きる とい う き わ だ っ た 性 質 を も って い る.す な わ ち, １.べ き級 数 の 収 束 半 径 を Ｒ とす る と き,べ

き級 数 は区 間(-R,R)で

微分

可 能であ り (4.18) とな る.そ

して,右 辺 の べ き級 数 の 収 束 半 径 もＲ とな る.

２ .べ き級 数 の収 束 半 径 をＲ とす る と き,べ

き級 数 は 区 間(-R,R)で

積分

可能 であ り

(4.19) と な る.そ

◇ 問4.1◇

して,右 辺 の べ き級 数 の収 束 半 径 もＲ とな る.

次 の べ き級 数 の 収 束 半 径 を 求 め よ.

(１) (２)

4.4 テイラ

ー 展 開

第 ３章 で は平 均 値 の 定 理 を,ま ず 関 数 の １階微 分 まで 与 え られ た場 合 につ い て 示 し,そ の あ と ２階微 分 まで与 え られ た場 合 に拡 張 した.そ

こで,平 均 値 の定 理

(

を さ ら に 高 階 の 微 分 が 与 え ら れ た 場 合 ま で 拡 張 す る と,次

のテイラ

ー(Taylor)

の 定 理 が 得 ら れ る.

関 数f(x)が こ の と き,区

区 間Ⅰ で 連 続 な 導 関 数f'(x),f"(x),…,f(n)を 間 内 の 任 意 の ２点x=a,x=bに

もつ と す る.

お いて

(4.20) を満 足 す る よ うな ｃがａ と ｂの 間 に あ る. 証 明 は 平 均 値 の 定 理 と同様 に以 下 の よ う にす る.ま ず,ｋ を適 当 に選 べ ば

4.21) と す る こ と が で き る.そ

と お く と,g(b)=0で

で あ る.g(x),g'(x)は

こ で,

あ り,ま

区 間[a,b]に

ロ ル の 定 理 に よ っ て,g'(c)=0と と も １つ あ る.し

た 式(4.21)か

たが っ て

らg(a)=0と

お い て 連 続 でg(a)=g(b)=0で な る よ う な 点x=cがａ

な る.一

方,

あ るか ら, とｂ の間 に 少 な く

か ら,ｋ

が定 ま り

と な る.こ

れ を 式(4.21)に

式(4.20)をｆ

のテイラ

代 入 す れ ば 証 明 す べ き 関 係 式 が 得 ら れ る.

お い て ｂをa+xと

ー 展 開 式,右

辺 の 最 終 項 を 剰 余 項 と い う.式(4.20)に

お くと

(4.22) と な る.た

だ し,0＜

θ ＜1で

あ る.さ

ら に こ の 式 でa=0と

おけば

(4.23) と な る.式(4.23)は

4.5 

関

数

特 に マ ク ロ ー リ ン(Maclaurin)の

の

展

開

テイラー の 定 理(4 .20)でb=xと に な る な ら ば,す

な らば,f(x)は

定 理 と よ ば れ る.

し た 式 に お い て 剰 余 項 がn→

∞ の とき ０

なわち

次 の よ う なべ き級 数 で 表 され る.

(4.24) こ の 右 辺 をテイラ

ー 級 数 と い う.そ

イラー 展 開 す る と い う .同 n→

して,関

数 をテイラ

ー 級 数 で 表 す こ と をテ

様 に マ ク ロー リ ン の 定 理(4.23)に

∞ の と き ０ で あ る な ら ば,す

なわ ち

おい て剰 余項 が

な ら ば,f(x)は

次 の よ う な べ き級 数 で 表 さ れ る.

(4.25)

こ の 右 辺 を マ ク ロ ー リ ン 級 数 と い い,関

数 を マ ク ロ ー リ ン級 数 で 表 す こ と を マ

ク ロ ー リ ン展 開 す る と い う. [代 表 的 な 関 数 の マ ク 口 ー リ ン 展 開]

(4.26) (4.27) (4.28)

例 題4.5 次 の 関 数 を マ ク ロ ー リ ン 展 開 せ よ. (１) 【 解 】(１)(ex)'=ex,(ex)"=ex,… f"(0)=1 ,…

よ り,f(0)=1,f'(0)=1,

した が っ て

(２)(sinhx)'=coshx,(sinhx)"=sinhx,… f"(0) =0 ,ｆ(3)(0)=1,…

よ り,f(0)=0,f'(0)=1,

したが っ て

◇ 問4.2◇

式(4.27),(4.28)を

確 か め よ.

[２項 定 理] α を任 意 の 実 数 と し,ま た-1＜x＜1と

すれば

(4.29)

と な る.こ

の 関 係 を ２項 定 理 と い う.α

が 自 然 数 の と き は,こ

終 わ り,２ 項 展 開 と よ ん で い る が,式(4.29)は 式(4.29)は,マ

の展 開 は有 限 項 で

そ の 実 数 へ の 拡 張 に な っ て い る.

ク ロ ー リ ン 展 開 に お い てf(x)=(1+x)α

とお く と

f(n)(x)=α(α-1)...(α-n+1)(1+x)α-n

と な る こ と か ら わ か る.た

だ し,厳

密 に は 剰 余 項 がn→0の

と き ０に な る こ と

を 証 明 す る 必 要 が あ る. 特 に 式(4.29)で

α=-1の

とき (4.30)

と な り,ま

(4.31) と な る.こ

たｘ の か わ り に-xと

お けば

れ ら を幾 何 級 数 とい う.

マ ク ロ ー リ ン展 開 やテイラ ー展 開 を定 義 式 か ら計 算 す る と計 算 が め ん ど う に な る場 合 に は,既 知 の展 開 を利 用 し た り,幾 何 級 数 を利 用 した り,べ

き級 数 が

項 別 微 分 や項 別 積 分 で きる こ とに着 目 して求 め る 方 法 が あ る.こ の 方 法 は しば しば大 変 有 用 で あ る た め,例 題 を とお して示 す こ と にす る. 例 題4.6 次 の 関 数 を示 さ れ た 点 の ま わ りにマ ク ロ ー リ ン(テイラ (１)e2x(x=1),(２)sin(1-x)(x=1)

ー)展

開 せ よ.

【 解 】 (１)

(２)

例 題4.7 次 の 関 数 を 示 さ れ た 点 の ま わ り に マ ク ロ ー リ ン(テイラ (１)

【解 】(１)

(２ )

(３) 例題4.8 次 の 関 数 を マ ク ロ ー リ ン展 開 せ よ. (１) 【解 】(１)

ー)展

開 せ よ.

(２)

◇ 問4.3◇

次 の 関 数 を マ ク ロ ー リ ン 展 開 せ よ.

(１)

例 題4.9 eix(た

だ し,iは

純 虚 数 でi2=-1を

み た す 数)を

マ ク ロ ー リ ン 展 開 し,

項 を ま と め な お す こ と に よ り次 式 が 成 り立 つ こ と を 示 せ. eix

【解 】iの 5=i4i=i

=cosx+isinx(オ

イ ラ ー(Euler)の

公 式)(4.32)

高 次 の べ き は,i2=-1,i3=i2i=-i,i4=i3i=-i2=1,i ,…

を用 い て ±1ま

た は ±iで 表 せ る こ と に 注 意 す れ ば,指数

関 数 の マ ク ロー リ ン 展 開 よ り

と な る.た

*x=1と

だ し,cosxとsinxの

お け ば 以 下 の 関 係 が 得 られ る .〓

マ ク ロ ー リ ン 展 開 を 用 い た.

章末 問題 [4.1]次

の 級 数 は 収 束 す る か ど う か を調 べ よ.

(１)

(２)

(３) [ 4.2]f(x)とg(x)がｎ

回微 分可 能 であ れば

た だ し,nCr=n(n-1)…(n-r+1)/r!が成り

立 つ こ と を 数 学 的 帰 納 法 を用 い て

示 せ. [ 4.3]次

の 関 数 を マ ク ロー リ ン展 開せ よ.

(１)〓,(２)sinx2,(３)ax,(４)〓 [ 4.4]次

の 関 数 を 示 さ れ た 点 の ま わ り にテイラ ー展 開 せ よ.(１)〓,(２)〓

[ 4.5]次

の 極 限 値 が 有 限 で あ る よ う にａ,ｂの 値 を 定 め よ.

[ 4.6]次

の 積 分 の 値 を無 限 級 数 で 表 現 せ よ(0＜k＜1).

５ 多変数の微分法 5.1  多 変 数 の 関 数

２つ の 変 数ｘ,ｙと１ つ の 変ｚ

の 間 に 関係 が あ っ て,ｘ,ｙ の 値 に応 じてｚ の

値 が 定 ま る と き,ｚ はｘ,ｙ の 関 数 で あ る とい う.そ

して,ｘ,ｙ を独 立 変 数,ｚ を

従 属 変 数 と よ び, z=f(x,y) な どの 記 号 で 表 す.ま

た,独 立 変 数 が 定 義 され て い る領 域 を 定 義 域,そ

れ に対

応 して 従 属 変 数 の と り得 る 範 囲 を値 域 とい う. １変 数 の 関 数y=f(x)の

場 合 に は,ｘ が ａ に 限 りな く近 づ い た と きの 極 限 値

がｃ で あ る とす れ ば

と書 い た.２

変 数 の 場 合 も 同 様 にｘ,ｙ がａ,ｂ に 限 り な く近 づ い た 場 合 に,ｚ

一 定 値ｃ に 限 り な く 近 づ く と す る

.こ

が

の と き, (5.1)

と 書 く*.た

だ し,ｘ,ｙ がａ,ｂ に 近 づ く場 合 に は,近

注 意 が 必 要 で あ る.す

な わ ち,ｘ

軸 に 平 行 な 直 線 に 沿 っ て 近 づ く場 合 も あ る し,

ｙ 軸 に 平 行 な 直 線 に 沿 っ て 近 づ く こ と も あ る.さ

*厳 密 な意味 で,式(5.1)が (x-a)2+(y-b)2＜ をい う.

づ き方 は 無 限 に あ る こ と に

ら に,点(a,b)の

ま わ り をら せ

成 り立っ とは,任 意の正 数 ε に対 して,正 数 δが 定 まって,0＜√

δをみたすｘ,ｙのすべ ての値 に対 して,￨f(x,y)-c｜

＜ ε とで きること

んを描 きなが ら近 づ くこ と も考 え られ る.そ

こで,点(a,b)へ

の 近 づ き方 に よ ら

ず に 一 定 値ｃ に近 づ く場 合 に 上 の 極 限 が存 在 す る とい う こ と にす る.し

たが っ

て,近 づ き方 に よっ て 極 限 値 が 異 な る場 合 は 極 限 値 は存 在 しな い こ と に な る. 例 題5.1 次 の 極 限 値 は存 在 す る か.

【解 】 直 線y=mxに

と な る が,右

沿 ってｘ とｙ が ０に近 づ い た とす れ ば

辺 の 値 はｍ

に よ っ て 変 化 す る.し

た が っ て,極

限 値 は存 在 し

な い.

２変 数 の 関 数 が 定 義 域 内 の 点x=a,y=bで

連 続 で あ る と は, (5.2)

が 成 り立 つ こ とで,ま た 定 義 域 内 の 領 域Ｄ に属 す る す べ て の 点 で 式(5.2)が 成 り立 つ と き,f(x,y)は

領 域Ｄ で 連 続 とい う.

以 上 に述 べ た こ とは,２ 変 数 の 関 数 ば か りで な く ３変 数 以 上 の 関 数(こ を ま とめ て多 変 数 の 関 数 とい う)に

れら

も容 易 に拡 張 で きる.

１変 数 の 関 数 と同 じ く,あ る 領 域 で 連 続 な ２つ 以 上 の 多 変 数 の 関 数 に つ い て, そ れ らの和,差,積,商(分

母 は ０で な い とす る)は 同 じ領 域 で 連 続 で あ る.ま

た,連 続 関数 と連 続 関 数 の 合 成 関 数 も連 続 で あ る.

5.2  偏

導

関

数

２変 数 の 関 数z=f(x,y)は,ｙ

を一 定 値 にす れ ばｘ だ け の 関 数 に な る.こ

関 数 に対 して,微 分 係 数 や 導 関 数 を計 算 して み よ う.い す れ ば,z=f(x,b)と

な る が,こ の 関 数 の 点x=aに

の

ま,一 定 値 をy=bと

お け る微 分 係 数 は次 式 か

ら計 算 で き る.

(5.3)この 値 を 関 数f(x,y)の

点(a,b)に

お け る(ｘ に 関 す る)偏 微 分 係 数 と よび ,ｆ

に 添 え字ｘ をつ け てfx(ａ,b)と 表 す こ と にす る. こ こ で 偏 微 分 係 数 の 幾 何 学 的 な意 味 を考 え て み よ う.ま ず 関 数z=f(x,y) 上 の 点 は３ 次 元 空 間 上 の１ 点 と して ３次 元 座 標(x,y,z)で こ の と きx-y平 定 ま る.そ

表 す こ とが で き る.

面 上 の １点 を指 定 す れ ば そ れ に 応 じて空 間 内 の １点 のｚ 座 標 が

して 図5.1に 示 す よ うにｘ とｙ がx-y面

内 の 曲 線 上 を動 け ば,そ れ

に応 じて 点ｚ は 空 間内 の ３次 元 曲線 を描 く.次 にx-y面 は 曲 線 の 集 ま りとみ なせ る た め,(x,y)が

内 の 面 積 を もっ た領 域

この 領 域 内 を動 け ば,点ｚ

次 元 曲 線 の 集 ま り)上 を動 くこ とに な る.す な わ ち,z=f(x,y)は

は 曲 面(３ 曲面 を表 す.

さて,ｘ に 関 す る偏微 分 係 数 を求 め る と き,ｙ をｂ とい う一 定 値 に固 定 した. こ れ は,x-y面

で はｘ 軸 に平 行 な直 線 上 の 点 を考 え る こ とを 意 味 し,こ の と き

ｚ はｘ の 変 化 に応 じて 空 間 内 の １つ の 曲線 上 を 動 く.い ま,こ の 曲線 を図5 .1 のｙ 軸 の 負 の 側 か ら見 た とす る と,図5.2の

よ う に な る.そ

こで,式(5.3)は

１変 数 の場 合 と同 じ く点Ｐ での 曲線 の接 線 の傾 きを表 す こ とに な る.ま とめ れ ば, ｘに関 す る 偏 微 分 係 数 はy=一

定 の 平 面 と 関数 が 表 す 曲 面 の 交 線 の接 線 の 傾 き

を表 す. 偏 微 分 係 数 は 一定 値ｂ を変 化 させ て も,ｘ の値 を変 化 させ て も,そ れ に応 じて

図5.1  空間内 の曲線 と曲面

図5.2 ｘ

に 関 す る偏 微 分

値 が 変 化 す る ためｘ,ｙ の 関 数 とみ なす こ とが で き る.こ の よ う に偏 微 分係 数 をｘ ,ｙの 関数 とみ な した と き,関 数f(x,y)のｘ

に関 す る偏 導 関 数 と よ び,記 号

な どで 表 す.ま た,ｘ に 関す る偏 導 関 数 を求 め る こ と をｘ で 偏 微 分 す る とい う. 同様 にｙ に 対 して も,偏 微 分 係 数 や偏 導 関 数,偏 微 分 な どが 定 義 で きる.す な わ ち,ｘ を一 定 値 に固 定 す れ ばf(x,y)はｙ

だ け の 関数 とな る ため,こ の 関 数

に対 して微 分 係 数 や 導 関 数 が 定 義 され る.具 体 的 にはf(x,y)の

点(a,b)に

おけ

るｙ に 関 す る偏 微 分 係 数 は (5.4) で定 義 され る.こ

の偏 微 分 係 数 をａ,ｂを変 化 させ て(x,y)の

関 数 とみ なす と き

に はｙ に 関 す る導 関数 と よ び,記 号

で 表 す. 実 際 の 計 算 に お い てｘ に 関 す る 偏 導 関 数 を 求 め る た め に は,ｙ し て,ｘ

に 関 し て 微 分 す れ ば よ い.同

に は,ｘ

を 定 数 と み な し て,ｙ

を定 数 とみ な

様 にｙ に 関 す る 偏 導 関 数 を 計 算 す る た め

に 関 し て 微 分 す る.

例 題5.2 f=√x2+y2

,g=tan-1(y/x)に

対 し て,fx,fy,gx,gyを

求 め よ.

【解】

以 上 の定 義 や 計 算 法 は,多 変 数 の場 合 に も容 易 に拡 張 され る.た 数 の 関 数u=g(x,y,z)の

点(a,b,c)に

と え ば ３変

お け るｘ に 関 す る偏 導 関 数 は (5.5)

で 定 義 され る.ま たｚ に関 す る偏 導 関数fzを み な してｚ で 微 分 す れ ば よ い.

計 算 す る た め に は,ｘ,ｙ を定 数 と

◇ 問5.1◇

次 の 関 数 をｘ お よ びｙ に つ い て 微 分 せ よ.

(１)u=e-xsin2y,(２)u=logxy

5.3 

高 次 の 偏 導 関数

f(x,y)のｘ

に 関 す る 偏 導 関 数fx(x,y)は,ｘ,ｙ

の 関 数 で あ る か ら,さ

fx のｘ やｙ に 関 す る 偏 導 関 数 も 考 え ら れ る.そ

と記 す.同

様 に,f(x,y)のｙ

に 関 す る 偏 導 関fy(x,y)もｘ,ｙ

fy のｘ やｙ に 関 す る 偏 導 関 数 も 考 え ら れ る.そ

と 記 す.こ

こ でfxy,fyxが

らに

れ らを

の 関 数 で あ り,

れ らを

連 続 で あ れ ばfxy=fyxが

成 り立 つ.証

明は以下の

よ う に す る. い ま,領

域Ｄ

１点 と し て,こ (α+h,b+k)と

内 でfxy,fyxが

連 続 で あ る と す る .点(a,b)を

の 点 を 中 心 と す る 小 円 をＤ す る.こ

と お く こ と に す る.こ

内 に 考 え る.こ

領 域Ｄ

内の

の 小 円 内 の １点 を

の とき

の 式 の 両 辺 をｘ で 微 分 す れ ば

p' (x)=fx(x,b+k)-fx(x,b) と な る.そ

こ で,１

変 数 の 関 数p(x)に

対 して平 均 値 の 定 理 を適用 す れ ば

p(a+h)-p(a)=hp'(a+θ1h)=h(fx(a+θ1h,b+k)-fx(a+θ1h,b)) と書 く こ と が で き る(0＜

θ1＜1).さ

ら に,上

式 の 最 右 辺 の か っ こ内 の 式 に平

均 値 の 定 理 を 適 用 す る とkfxy(a+θ1h,b+θ2k)と

な る た め,

p(a+h)-p(a)=hkfxy(a+θ1h,b+θ2k) と 書 け る(0＜

θ2＜1).

次 に q(y)=f(a+h,y)-f(a,y) と お い て,上

と同 様 に平 均 値 の定 理 を ２回適 用 す れ ば

q(b+k)-q(b)=kq'(b+θ3h)=k(fy(a+h,b+θ3k)-fy(a,b+θ3k)) =khfyx(a+θ4h,b+θ3k) と な る(0＜

θ3＜1,0＜

θ4＜1).と

こ ろ が,

p(a+h)-p(a)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)=q(b+k)-q(b) で あるか ら fxy(a+θ1h,b+θ2k)=fyx(a+θ4h,b+θ3k) が 成 り立 つ.し

た が っ て,h→0,k→0の

極 限で

fxy(a,b)=fyx(a,b) が 成 り立 つ. 一般 に

,次

の こ と が 成 り 立 つ.

「fがx1,…,xn関

で あ る(微

数 の と きｆ をxi,xjで

偏 微 分 した 関 数 が 連 続 で あ れ ば

分 の 順 序 は 交 換 で き る)」

例 題5.3 f=x3-3xy2

,g=exsinyの

と き,fxx+fyy,gxx+gyyを

【解 】fx=3x2-3y2,fxx＝6x,fy=-6xy,fyy=-6xよ

求 め よ. り

fxx +fyy=0 gx=exsiny

,gxx=exsiny,gy=excosy,gyy=-exsinyよ

り

gxx +gyy=0

◇ 問52◇u=1/√x2+y2+z2に

5.4 

対 し て,ux,uxxを

求 め よ.

合 成 関 数の 微 分 法

は じ め に,２ 変 数 の 関 数z=f(u,v)の 変 数ｘ の 関 数 に な っ て い る 場 合,す

独 立 変 数ｕ,ｖ の そ れ ぞ れ が,別

の独 立

なわ ち

u=u(x),v=v(x) で あ る 場 合 を 考 え よ う.こ

の と き, z=f(u(x),v(x))

と 書 け る た め,ｚ

は １つ の 独 立 変 数ｘ の 関 数 と み な す こ と が で き る.そ

をｘ で 微 分 す る と ど う な る か を 考 え て み よ う.ｘ き,そ

がｘ か らx+hに

れ に 応 じ てu(x),v(x)もu(x+h),v(x+h)に

変 化 す る.こ

Δ u=u(x+h)-u(x),Δv＝v(x+h)-v(x) と 記 す こ と に す れ ば,ｚ

と な る.こ

こ でh→0の

の 変 化 をｈ で 割 っ た も の は

と き,△u→0,△v→0で

あ る か ら,

こ で,ｚ

変 化 した と の変化分 を

と な る.す

な わ ち,次

の 公 式 が 得 ら れ る.

(5.6) 次 に 関 数z=f(u,v)に

お い て,u,vが

そ れ ぞ れx,yの

関数

の場 合 につ い て 考 え よ う.こ の ときzはx,雪

の 関 数 とな る.そ こ でz=f(u,v)

をxとyで

偏 微 分 す る場 合 はyを

偏 微 分 す る こ と を考 え よ う.xで

て微 分 す れ ば よ く,yで か ら,式(5.6)か

偏 微 分 す る場 合 に もxを

定 数 と考 え

定 数 と考 えて 微 分 す れ ば よ い

ら た だ ち に次 式 が 得 られ る.

(5.7) (5.8)

例 題5.4 z=f(x,y),y=g(x)の

と き

を 求 め よ.

【解 】

例 題5.5 z=f(x,y),x=γcosθ,y=γsinθ

の と き,

を 示 せ. 【 解】

式(5.7),(5.8)でｕ

と な る が,こ

の 式 に,問

をｒ,ｖ

を θ とす れ ば

題 の 式 か ら得 ら れ る 関 係 (5.9)

お よび

とな る. ２階微 分 に対 して は 以 下 に示 す よ うに,こ の 関係 を ２回 使 う.す なわ ち,

と な り,ま

た 同様 に して

が得 ら れ る.こ れ ら ２式 を加 え れ ば

◇ 問5.3◇z=f(x,y),x＝r(t)cosθ(t),y=r(t)sinθ(t)の

と きdz/dtを

求 め よ.

5.5 

多 変 数 のテイラ

ー展 開

は じ め に,z＝f(x,y),x=a+ht,y=b+ktの 法 を 用 い てｚ をｔ で 微 分 し て み よ う.式(5.6)か

と な る.さ

ら に,も

場 合 に ,合

成 関数 の微 分

ら

う 一 度ｔ で 微 分 す れ ば

と な る.こ の 関 係 を

と記 す こ と にす る.こ の 記 法 で は∂/∂x,∂/∂yを １つ の 文 字 とみ な して 積 を計 算 す る もの とす る. 一般 に

(5.10) が 成 り立 つ こ と は 数学 的 帰 納 法 を用 い て 示 す こ とが で きる.

さ て,f(x,y)は

領 域Ｄ

内 で 連 続 で,ｎ

階 ま で 連 続 な 導 関 数 を もつ と す る.こ

の と き, f(x+ht,y+kt)=z(t) と お き,z(t)を

と な る.た

マ ク ロ ー リ ン展 開 す る と

だ し,0＜

が 得 ら れ る.こ

θ＜1で

の 式 でt=1と

あ る.し

た が っ て,式(5.10)か

ら

お け ば,

(5.11)

と な る.こ

の 式 はテイラ

特 に 式(5.11)でn=2と

ー の 定 理 を ２変 数 に 拡 張 した もの で あ る. おけば

(5.12) と な る. 式(5.11)の

右 辺 の 最 終 項 がn→

∞ の と き ０ に な る な ら ば,式(5.11)は

(5.13)

と な る.こ

れ を ２変 数 のテイラ

ー 展 開 と い う.

5.6  全

微

分

関数z=f(x,y)が

連 続 な偏 導 関 数 を もつ 領 域Ｄ に お い て,△x,△yを

な数 と して,ｘ がx+△xに,ｙ 変 化 に応 じてｚ もz+△zに

がy+△yに

変 化 した とす る.こ

微小

の と き,そ の

変 化 す る が,こ のｚ の 変化 分 を見 積 も って み よ う.

前 節 の 最 後 に 述 べ た公 式 か ら

と な る が,￨△x￨,￨△y￨が ￨△x △y￨,￨△y￨2は の 項 を 省 略 し,ま

小 さ い 場 合 に は,こ

非 常 に 小 さ い と 考 え ら れ る.そ たｚ の 増 分 をdzと

dz=f(x+△x と な る.こ

れ ら の 数 に 比 べ て,２ 次 の 項￨△x￨2 こ で,そ

,

の よ う な 場 合 に ２次

記す と

,y+△y)-f(x,y)∼△xfx(x,y)+△yfy(x,y)

のdzをz=f(x,y)の

全 微 分 と い う.特

に は,fx=1,fy=0で

あ る か ら,dz=dx=△xと

合 に はdz=dy=△yと

な る,し dz=fx(x

た が っ て,上

に 上 の 式 でz=xの な り,同

場 合

様 にz=yの

場

式 は 次 式 の よ う に 表 せ る.

,y)dx+fy(x,y)dy(5.12)

[全 微 分 の 幾 何 学 的 意 味] 曲 面z=f(x,y)上

の 点 Ｐ の 座 標 を(a,b,c)と

し た と き,点

Ｐ に お け る 曲面

の接 平 面 の 方程 式 は z-c=fx(a で あ る.い

ま,こ

,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)

の 曲 面 上 の 点(a+△x,b+△y,c+△z)(図5.3の

り,ｚ 軸 と 平 行 な 直 線 が 接 平 面 と交 わ る 点 を Ｒ,点 交 わ る 点 を Ｍ と す る(図5.3).MRをdzと は 接 平 面 上 に あ る か ら,

Ｐ を 通 りx-y面

点 Ｑ)を

通

に平 行 な面 と

記 せ ば,点(a+△x,b+△y,c+dz)

図5.3  全微分 の幾何 学的 な意味

c+dz-c=fx(a,b)△x+fy(a,b)△yす

な わ ちdz=fx(a,b)△x+fy(a,b)△y

と な る.し た が っ て,全 微 分 は幾 何 学 的 に は 図5.3のMRの

長 さ を表 す こ とに

な る.

5.7  偏 微 分 法 の 応 用

偏 微 分 の応 用 と して,極 値 問題 を取 り上 げ る.テイラ

ー展 開 の公 式 か ら次 式

が 成 り立 つ.

た だ し,Ｐ=fx(a,b),Q=fy(a,b),A=fxx(a,b),B=fxy(a,b),C= fyy(a ,b)で

あ り,h(x,y)は

点(x,y)が

速 く)０ に な る 関 数 で あ る,こ 面(１

次 式)で 近 似 さ れ る こ と,よ

こ と を 意 味 し て い る.こ

点(a,b)に

の 式 は 関 数f(x,y)が

近 づ い た と き(２ 次 式 よ り も 点(a,b)の

り正 確 に は ２次 曲 面(２

こ で,fx(a,b)=0,fy(a,b)=0で

近 く で,ま

次 式)で

ず平

近似 される

あ れ ば,点(a,b)

で の接 平 面

f(x,y)=f(a,b)+Ｐ(x-a)+Q(y-b) の 傾 きが ０ で あ る と考 え ら れ る た め,極 し て,そ

値 を と る こ と が わ か る(必

要 条 件).そ

の 点 が 極 大 か 極 小 か を 調 べ る に は ２ 次 曲 面 を 調 べ れ ば よ い.２

次 曲面

の 性 質 を用 い れ ば 以 下 の こ と が わ か る. １.AC-B2＞0の

場 合,も

しA＞0な

ら極 小 値 を と り,A＜0な

ら ば極

大 値 を と る. ２.AC-B2＜0の

場 合 に は,(鞍

３.AC-B2=0の

場 合 に は,ど

点 と な り)極

大 で も極 小 で も な い.

ち ら と もい え な い.

例 題5.6 u=x3+y3-3xyの

極 値 を 求 め よ.

【解 】f(x,y)=x3+y3-3xyと

お くと

fx (x,y)=3x2-3y,fy(x,y)=3y2-3x

fx= 0,fy=0を

解 く と,y=x2,x=y2よ

り,(x-y)(x+y+1)=0

これ を み た す 実根 は

(ａ)x=y=0ま

た は(ｂ)x=y=1

(ａ)の 場 合 はA=fxx(0,0)=0,B=fxy(0,0)=-3,C=fyy(0,0)=0 よ りAC-B2=-9と

な り極 値 で は な い.(ｂ)の

B=fxy(1,1)=-3,C=fyy(1,1)=6よ て,極

5.8陰

りAC-B2=27.し

小 値 と し てf(1,1)=-1を

◇ 問5.4◇x2+xy+2y2の

場 合 はA=fxx(1,1)=6, たが っ

と る.

極 値 を 求 め よ.

関 数定 理 とそ の 応用

ｙがｘ の 関 数 で あ る と き に は,多 含 ま れ な い 形 で 表 さ れ て い る.し

く の 場 合y=f(x)の

か し,ｘ

とｙ の 間 に 関 数 関 係 が あ っ て,し

もｙ に つ い て 解 き に くい 形 を し て い る 場 合 が あ る.た x3+y3-3xy=0

は そ の 例 で あ る 。 こ の よ う に,関

数が

よ う に 右 辺 に はｙ が

とえ ば

か

f(x,y)=0(5.13) の 形 で 与 え ら れ てｙ に つ い て 解 き に くい と き,式(5.13)を

陰 関 数 表 示 と い う.

陰 関 数 表 示 さ れ た 関 数 に 対 し て 以 下 の 定 理 が 成 り立 つ こ と が 知 られ て い る. 「関 数f(x,y)=0は

あ る 領 域 に お い て 連 続 で,か

を も つ と す る.さ

ら に,領

こ の と き,fy(a,b)≠0と

域 内 の 一 点(a,b)に す れ ば,点x=aの

つ 連 続 な 偏 導 関 数fx,fy お い てf(a,b)=0と

す る.

近 くで

f(x,u(x))=0,b＝u(a) を 満 足 す る 関 数ｕ が 一 意 に 決 ま り,ま

たｙ のｘ に 関 す る 導 関 数 は

に よ り計 算 で き る 」 こ の 定 理 を 陰 関 数 定 理 と い う. 例 題5.7 次 の 関 数 を 微 分 せ よ. (１)ax2+2bxy+cy2=1,(２)y＝xy 【解 】(１)f=ax2+2bxy+cy2-1と

お くと

(２)両 辺 の 対 数 を と れ ばlogy=ylogxと

な り,f=logy-ylogxをｘ

お よ びｙ で微 分 し て

◇ 問5.5◇x3+y3-3xy=0の

と き,dy/dxを

求 め よ.

5.9  ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定乗 数法

関数z=f(x,y)の

極 値 を,あ る与 え られ たｘ とｙ の 間の 条 件(こ れ をg(x,y)=

0と す る)の

も と で 求 め る こ と を考 え よ う.た

と い う 関 係 が あ る と き,z=x+yの

と え ばｘ とｙ の 間 にx2+y2＝c2

極 値 を 求 め る と い う の が そ の 例 で あ る.こ

の よ う な 問 題 を 条 件 付 き の 極 値 問 題 と い う. g＝0か

と な る.し

ら0＝dg＝gxdx+gydyが

成 り立 つ た め,gy(x,y)≠0の

と き

た が っ て,

と い う 関 係 が 得 ら れ る.極

値 を も つ と こ ろ で は,dz/dx＝0で

ある必要が ある

た め,

g(x,y)=0,fxgy-fygx=0 の 根 が 極 値 を と る と き のｘ,ｙ にな る.な る か はd2z/dx2の

に す るｘ とｙ は,gxとgyが る 必 要 が あ る.こ

い う 条 件 の も と でz=f(x,y)を

極 大 また は極 小

同 時 に ０ で な い と き はfxgy-fygx=0の

の 関 係 は λ を 定 数 と して,u=f(x,y)+λg(x,y)と

=0とuy＝0か し た が っ て,以

れ が 極 大 値 で あ る か極 小 値 で あ

正 負 を 調 べ る な ど の 方 法 を 用 い る.

ま と め る と,g(x,y)=0と

ux

お,そ

根 であ おい て

ら λ を 消 去 し て も 導 け る. 下 の 結 論 を 得 る.

g(x,y)=0の

と き,f(x,y)を

と お い た と き,連

極 大 ま た は 極 小 に す るｘ,ｙ の 値 はu=f+λg

立 方程 式 g(x,y)=0,ux(x,y)=0,uy(x,y)=0

の 根 で あ る,た

だ し,g2x+g2y≠0と

す る.

こ の よ う に し て 条 件 付 き の 極 値 問 題 を解 く方 法 を ラ グ ラ ン ジ ュ(Lagrange)の 未 定 乗 数 法 と い う. ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 法 は,最 題 に 対 し て,そ

大 値 や 最 小 値 を もつ こ と が わ か っ て い る 問

れ ら の 具 体 的 な 値 を 求 め る 場 合 に 便 利 な 方 法 で あ る.

例 題5.8 あ る材 料 で 一 定 の容 量Ｖ を もつ,ふ た の な い 円柱 形 の 容 器 をつ くる とす る. 側 面 の 厚 さ を ａ,底 面 の 厚 さ をｂ に固 定 した場 合,材 料 の 量 を最 小 に す る に は容 器 の 半 径 と高 さ を どの よ う にす れ ば よい か. 【 解 】 図5.4に

示 す よ う に,内径

をｘ,深

さ をｙ とす れ ば,必 要 な材 料 の

量 Ｑ と容 器Ｖ の 容 積 は

図5.4  円柱 形の容器の材料 の量 の最小値

Q=π(x+a)2(y+b)-V,V＝ と な る,ラ

πx2y

グ ラ ン ジュ の 未 定 乗 数 法 に した が っ て u＝π(x+a)2(y+b)-V+λ(πx2y-V)

と お く(Ｖ

は 定 数).こ

と な る か ら,ux=uy=0な

の とき

らば

(x+a)(y+b)=-λxy,(x+a)2=-λx2 第 １式 を 第 ２式 で 割 っ て λ を 消 去 す れ ば

とな る.幾

何 形 状 か ら最 小 値 を と る こ と は 明 ら か な の で,x:y=a:bと

す れ ば よ い.

な お,３

変 数 以 上 の 関 数 に 対 して も 拡 張 が で き て,た

と え ば ３変 数 の 場 合 に

は 以 下 の よ う に な る. (１)g(x,y,z)=0の ｚの 値 は,λ

条 件 の も と で,f(x,y,z)を

極 大 ま た は 極 小 に す るｘ,ｙ,

を 定 数 と し て,u=f(x,y,z)+λg(x,y,z)と

お い た と き,連

立方

程式 g(x,y,z)=0,ux(x,y,z)=0,uy(x,y,z)=0,uz(x,y,z)=0 の 根 で あ る.た

だ し,u2x+u2y+u2z≠0と

(２)g(x,y,z)=0お

す る.

よ びh(x,y,z)=0の

た は 極 小 に す るｘ,ｙ,ｚ の 値 は,λ

条 件 の も と でf(x,y,z)を

極大 ま

と μ を 定 数 と し て,

u=f(x,y,z)+λg(x,y,z)+.μh(x,y,z) と お い た と き,連

立 方 程 式g(x

,y,z)=0,h(x,y,z)=0,ux=0,uy=0,uz=0 の 根 で あ る.た

だ し,(gyhz-gzhy)(gzhx-gxhz)(gxhy-gyhx)≠0と

す る.

章末 問 題

[ 5.1]u=x/(x2+y2)の [5.2]関

と き,ux,uy,uxy,uxx+uyyを

数f(x,y)がf(tx,ty)=tnf(x,y)を

が 成 り立 つ こ と を 示 せ(同

計 算 せ よ.

満 足 す る と す る.こ

の とき

次 関 数 に 対 す る オ イ ラ ー の 定 理).

[ 5.3]半

径 が 一 定 の 円 に 内 接 す る三 角 形 の 面 積 が 最 大 の もの を 求 め よ.

[ 5.4]空

間 内 の 固 定 点Ｐ

小 値 を求 め よ.

と平 面ax+by+cz+d=0上

に あ る点 Ｑ の 間 の 距 離 の 最

６ 多変数の積分法 6.12 

重

積

分

定 積 分 を ２変 数 の 関 数 に拡 張 して み よ う.は

じめ に 定 積 分 に つ い て 簡 単 に復

習 して お く.定 積 分 と は積 分 区 間 を[a,b]と した と き,曲 線y=f(x)とｙ

軸に

平行 な ２直 線x=a,x=bお

して

よ びｘ 軸 で 囲 まれ た部 分 の 面 積 で あ った.そ

こ の 面積 を求 め るた め に,積 分 区 間 を微 小 な 区 間 に分 割 し,そ れ を底 辺 とす る細 長 い 短 冊 の 面 積 の 和 と して全 体 の 面 積 を求 め た.す

なわ ち,小 区 間 を[xj-1,xj]

と した と き,短 冊 の 面 積 は f(ξj)(xj-xj-1)(xj-1〓

ξj〓xj)

とな る た め,定 積 分 は

に よ り定 義 され た. ２変 数 の 関 数z=f(x,y)に を表 す た め,曲 当 で あ る.こ

定 積 分 を拡 張 す る 場 合 に は,ま ずf(x,y)が

面 と底 面(x-y面)の

曲面

間 に で き る立 体 の 体 積 と定 義 す る の が 妥

の と き立 体 の側 面 と して 底 面 の 境 界 に 沿 っ て,x-y面

に垂 直 な面

を とる の が 自然 で あ る. そ こ で は じめ に最 も単 純 に底 面 の形 を ２辺 がｘ 軸 とｙ 軸 に平 行 な 長 方 形 に し て み よ う(図6.1).こ

の と き,ｘ とｙ はa〓x〓bとc〓y〓dの

範囲で変化

す る.１ 変 数 の 場 合 と同様 に この領 域 を微 小 な領 域 に区 切 るが,そ れ に はｘ 方 向 の 区 間 とｙ 方 向 の 区 間 を細 か く区切 っ て微 小 な 長 方 形 に分 け る こ とに す る.求

図6.12 

重積 分(長

方 形 領 域)

め る 体 積 は,こ の微 小 長 方 形 を底 面 と し,f(x,y)を

上 側 の面 と し,さ らにx-y

面 に垂 直 な側 面 を もつ 細 長 い柱 体 を領 域 全 体 で足 し合 わ せ た もの で近 似 で きる. そ こで,細 長 い柱体 の体 積 を具 体 的 に 式 で 表 して み よ う. い ま,１ つ の微 小 長 方 形 を取 り出 して そ の 辺 の長 さが△xj =xj-xj-1,△yk=yk-yk-1 で あ る とす る.こ の と き,こ の 長 方 形 内 の １点 を ξj,ηk,と す る とxj1〓ξj〓xj,yk-1〓 で あ る.こ

ηk〓yk

の小 長 方 形 を 底 面 とす る細 長 い柱体 の 体 積 は,細 長 い 直 方 体 の体 積 Vj k=f(ξj,ηk)△xj△yk=f(ξj,ηk)(xj-xj-1)(yk-yk-1)

で近 似 で きる.そ 合 計mn個

こで,全 体 の体 積 は,こ れ らをｘ 方 向 にｍ 個,ｙ 方 向 にｎ 個,

足 し合 わせ た

(6.1)

と な る.た だ し,ｍはｘ

方 向 の 区 間 の 数,ｎ はｙ 方 向 の 区 間 の数 で あ る.

この と き,式(6.1)がm→

∞ お よびn→

∞ の極 限 で(△xj→0

,△yk→0

の 条件 の も とで),微 小 長 方 形 の と り方 に か か わ らず,一 定値 に収 束 した とす る. そ の場 合,極 限 値(す

と 記 す こ と に して,２

な わ ち体 積)を

重 積 分 と よ ぶ.

図6.22 

重 積 分(一

般 の 領 域)

x-y面 で の 積 分 領 域 の 形 が 長 方 形 以 外 の 閉 じた領 域(閉 領 域:閉 囲 まれ た 領 域)の 場 合(図6.2)に

つ い て も,Ｄ

この 小 領 域 に番 号 を つ け て,D1,D2,…,Dnと の 面 積 を△S1,△S2,…,△sNと

をＮ 個 の 微 小 領 域 に 分 割 す る. す る .そ して,そ れ ぞ れ の 領 域

す る.微 小 領 域 の 分 割 の 仕 方 は任 意 で あ る が ,

N→ ∞ の と きす べ て ０に な る よ う に分 割 す る .そ して,領 域Diに 点 を(ξi,ηi） とす る.こ の と き,底 面 が領 域Diの 側 面 がDiの

じた 曲 線 で

境 界 線 を通 っ てx-y面

含 まれ る１

形 で,上 の 面 がf(x,y),ま

た

に垂 直 な面 で あ る よ う な柱体 を考 え る.こ

の柱体 の 体 積 はf(ξi,ηi)△siで 近 似 で き る.し た が って,領 域 全 体 で の 体 積 は こ の細 長 い柱体 を足 し合 わ せ た もの

(6.2)

で 近 似 され る.そ

こ で,N→

∞ の 極 限 に お い て(△Si→0の

微 小 領 域 の と り方 に か か わ らず 式(5.2)が

条 件 の も とで),

一 定 値 に 収 束 す る 場 合,そ

の 極 限値

(す な わ ち体 積)を

と記 す こ と に して,２ 重 積 分 と よぶ.は dxdy)は,こ な お,こ

じめ に述 べ た長 方 形 領 域 で の 定 義(dS=

こで 述 べ た定 義 の 特 殊 な場 合 に な っ て い る. の 定 義 で特 にf(x,y)=1と

お け ば,２ 重 積 分 した結 果 は 閉 領 域Ｄ

の面 積 に等 し くな る.

6.22 

重 積 分 の 性質

証 明 は行 わ な い が ２重 積 分 に 関 す る基 本 的 な定 理 に以 下 の もの が あ る. 「閉 領 域 Ｄ にお い てf(x,y)が

連 続 な らば,f(x,y)は

領 域 Ｄ で ２重 積 分 可

能 で あ る」 さ ら に,２ 重 積 分 に は以 下 に列 挙 す る 諸 性 質 が あ る.こ

れ らを 理 解 す る た め

に は,２ 重 積 分 が微 小 な面 積 に関 数 の 値 をか け た もの の 総 和 で あ る こ とや 曲 面 とx-y面

の 間 の 体 積(符

(x,y),g(x,y)は

号 つ き)で あ る こ と を思 い 出せ ば よい.f

領 域Ｄ

に お い て連 続 関 数 で あ る とす る.ま

定 数 とす る.こ の と き以 下 の 関係 が 成 り立 つ.

１. ２.Ｄ

を ２ つ の 領 域D1,D2に

３.Ｄ

内 でf(x,y)〓g(x,y)と

分 割 した と き

すれ ば

た α,β は

4.

6.32 

重積 分 の 計 算 法

は じめ に 図6.1に 示 した 長 方 形 領 域 に お け る ２重 積 分 を考 え よ う.定 義 か ら,

(6.3) と な る が,右

辺 に お い て,ま

を 計 算 し て か ら,ｊ

ずｊ(し

た が っ てxj)を

に つ い て 総 和 を 計 算 し て み よ う.こ

固 定 してｋ に つ い て 総 和 の とき

とな る.た だ し,１ 変 数 の 定 積 分 の定 義 を用 い た.上 式 の最 右 辺 の か っ こ内 はｘ を定 数 と してｙ で 定 積 分 す る こ と を意 味 し,そ の結 果 はｘ の式 で 表 せ る.そ 式 を も う一 度ｘ で定 積 分 す る こ と を意 味 して い る.そ

こで,よ

の

りわ か りや す く (6.4)

と記 す こ ともあ る.こ の式 で は,は じめ に 右 辺 の 右 側 のｙ に つ い て積 分 を計 算 し て か ら,ｘ につ い て積 分 す る. 以 上 の こ と はｘ とｙ の 役 割 をか え て も成 り立 つ.す にお い て,ｋ(し

たが っ てyk)を

な わ ち,式(6.3)の

右辺

固 定 してｊ につ い て総 和 を計 算 して か ら,ｋ に

つ い て総 和 を計 算 す る.こ の と き

とな る.上 式 の最 右 辺 の か っ こ内 はｙ を定 数 と してｘ で定 積 分 す る こ と を意 味 し,そ の 結 果 はｙ の 式 で 表 せ る.そ の 式 を も う一 度ｙ で定 積 分 す る こ と を意 味 して い る.そ こ で,よ

(6.5) と 記 す こ と も あ る.こ 算 し て か ら,ｙ

りわか りや す く

の 式 で は,は

じめ に 右 辺 の 右 側 のｘ に つ い て の 積 分 を 計

に つ い て 積 分 す る.

特 にf(x,y)=g(x)h(y)で

あ れ ば,式(6.4),(6.5)は

と い う よ う に ２つ の 積 分 の 積 に な る. 例 題6.1 座 標 軸 とx=a,y=b(a＞0,b＞0)で 積 分 を 計 算 せ よ. (１)

【解】 (１)(２)

囲 ま れ た 長 方 形 領 域Ａ

で次 の

図6.3 

◇ 問6.1◇Ａ

2重 積 分 の計 算

図6.4 凹

を座 標 軸 とx=a,y=b(a＞0,b＞0)で

領域 の分割

囲 まれ た領 域 と した

と き,次 の積 分 を求 め よ. (１)

次 にx-y面

で の 領 域 の形 が 長 方 形 で な い 場 合 を考 え る.図6.3の

よ う に,領

域 に接 す る長 方 形 Ｒ を 考 え る.た だ し,領 域 は 凸 で あ る とす る.こ の と き,長 方 形 の 左 右 の 辺 がx=a,x=bに,上 る.そ

下 の 辺 がy=c,y=dに

してｘ 方 向 の 区 間[a,b]に お い て,も

な っ た とす

との 領 域 の上 側 の 曲 線 と下 側 の 曲

線 が そ れぞ れ y=g(x)

,y=h(x)

で 表 され た とす る.同 様 に,ｙ 方 向 の 区 間[c,d]に お い て,も

との領 域 の 左 側 の

曲 線 と右 側 の 曲 線 が そ れ ぞ れ x =p(y),x=q(y) で 表 され た とす る.も

との 領 域 の形 は指 定 され て い る た め,こ

知 の もの で あ る.な お,領 領 域 の形 が 図6.4に い もの が あ るが,そ

れ らの 関 数 は既

域 は 凸 で あ る た め 関 数ｇ,ｈ,ｐ,ｑは１ 価 関 数 で あ る.

示 す よ う にへ こ ん で い る場 合 に は,１ 価 関 数 に は な らな の場 合 に は 図 の よ う に領 域 を い くつ か の部 分 に分 け て そ れ

ぞ れ の 領 域 で は へ こ ま な い よ う にす れ ば よい.全 体 の 積 分 値 は,各 領 域 の 積 分

値 の和 にな る. こ こ で,領 域Ｄ 内 で は値 が １,そ れ以 外 の 部 分 で は値 が ０ と な る よ う な関 数 H(x,y)を

考 え る.こ の 関 数 は 領 域 の境 界 で 厳 密 に は不 連 続 に な り,急 激 に変

化 す るが,と

りあ えず 連 続 に つ な が っ て い る もの と しよ う.こ の よ う な 関 数Ｈ

を用 い る こ とに よ り,

とな る.な ぜ な らfHは

領 域Ｄ の外 で は ０で あ り,そ の部 分 の 積 分 は ０ とな っ

て積 分 結 果 に寄 与せ ず,ま た 領 域Ｄ 内 で はfHとｆは

一致 す る か らで あ る.一

方,右 辺 の積 分 は長 方 形 領 域 で の 積 分 で あ る か ら,前 に述 べ た結 果(6.4),(6.5) を使 うこ とが で き る.た

と な る.こ

こ で,H(x,y)の

とえ ば 式(6.4)を 用 い れ ば

定 義(Ｄ

の 外 で は ０)か ら

に な る こ とに 注 意 し,こ れ を も と の ２重 積 分 の 式 に代 入 す れ ば

(6.6)

とな る こ とが わ か る.た だ し,前 と同様 に こ の 式 の 右 辺 を計 算 す る に は ,ま ず 右 側 の定 積 分 を計 算 す る.そ の 結 果 はｘ の 関数 と な る た め,そ れ を も う 一 度ｘ で 定 積 分 す れ ば よい. 同 様 に式(6.5)を

も と にす れ ば,関 係 式

(6.7)

が 得 られ る.そ こ で,式

の右 側 を定 積 分 してｙ の 関 数 を得 た あ と,そ れ を も う

一 度ｙ で 定 積 分 す れ ば よ い . 例 題6.2 次 の 積 分 を求 め よ. (１)

(２) 【 解 】(１)

(２)領 域Ａ は 直 線x=0,x=1,y=x+2および

半 円y√1-x2で

囲 まれ た領 域 で あ る か ら

◇ 問6.2◇

次 の 積 分 を 求 め よ.

(１) (２)

6.4  ３

重

積

分

２重 積 分 の 考 え 方 は,３ 変 数 以 上 の 関 数 に もそ の ま ま拡 張 で きる.本 節 で は,

３変 数 の 関数 u=f(x,y,z ) につ い て 説 明 す る.３ 次 元 の 領 域Ｖ 考 え る.ま ず,こ

に お い て 以 下 の よ う な計 算 を行 う こ と を

の 領 域 を小 さ な領 域Vl,V2,…,VNに

△V1,△V2,…,△VN とす る.た

分 割 し,そ の 体 積 を

だ し,こ れ らの体 積 はN→

∞ の と きす べ て

０に な る もの とす る.ま た,１ つ の小 領 域Viに 含 まれ る 任 意 の １点Ｐ の 座 標 を (ξi,ηi,ζi)と す る.こ の と き,そ の 点 にお け る関 数 値f(ξi,ηi,ζi)と体 積 △Viの 積 を計 算 し,そ れ を全 部 の 小 領 域 につ い て足 し合 わせ る.

上式が、Ｎ→∞の極限において小領域のとり 方 に よ らず 一 定値 に収 束 す る な らば,そ

と 記 す.す

れ を 領域Ｖ で のf(x,y,z)の

な わ ち,次

３重 積 分 と よ び

式 の よ う に な る.

２重積 分 の 場 合 と同 様 に,３ 重 積 分 は 関 数f(x,y,z)が とが 知 られ て い る.ま

連 続 な場 合 に存 在 す る こ

た5.2節 で 述 べ た 諸 性 質 も ３重 積 分 に読 み か え る こ と に

よ りそ の ま ま成 り立 つ. ３重 積 分 の計 算 法 も ２重積 分 に準 じる.す な わ ち,直 方 体 領 域(x1〓x〓x2), (y1〓y〓y2),(z1〓z〓z2)で

は

とな る.直 方 体 で な い 場 合 に も,領 域Ｖ に接 す る直 方 体Ｒ を考 え,さ 内 で １,Ｖ外 で ０ と な る 関 数 H(x,y,z)=1 を導 入 す る こ とに よ り

ら にＶ

と いう よ う に 直 方 体 で の 積 分 に 帰 着 で き る.そ う にＶ

こ で,た

が２ つ の 曲 面z=g1(x,y),z=g2(x,y)(g1〓g2)で

の 曲 面 の 境 界 のx-y面

に 対 す る 正 射 影Ｃ

と え ば 図6.5に

示す よ

表 さ れ,こ

の ２つ

が,y=h1(x),y=h2(x)(h1〓h2)

で 表 され る な らば

に よ り計 算 で きる.た

だ し,上 式 の 最 右 辺 は 右 か ら計 算 す る.す な わ ち,ま ず

ｚに 関 して 定 積 分 を計 算 す れ ば,結 果 はｘ,ｙ の 関 数 とな り,さ らに そ れ をｙ に 関 して定 積 分 す れ ばｘ の 関 数 に な り,最 後 にそ の 結 果 をｘ に 関 して 定 積 分 す れ ば よ い.

図6.53 

重積 分 の 計 算

例 題6.3 次 の 曲面 で 囲 ま れ た 部 分 の 体 積 を求 め よ.

【解 】 体 積 をＶ とす る.こ

の と き,第

１象 限 の部 分 の 体 積 はV/8で

ある

から

6.5  変

数

変

換

１変 数 の積 分 の 置 換 積 分 を ２変 数 の 場 合 に拡 張 して み よ う.す な わ ち,関 数 z=f(x

,y)の 独 立 変 数x,yが,他

の独 立 変 数ｕ,ｖ の関 数 x=x(u,v),y=y(u,v) (6.8)

に な っ て い る場 合,も

との 関 数 のx-y面

で の 積 分 が,u-v面

の積分 で どの よう

に表 され る か を考 え て み よ う. は じめ に式(6.8)が

線形 変換 x=au+bv,y=cu+dv(adbc≠0)(6.9)

の 場 合 を調 べ る.線 形 変 換 に よ っ て,x=m,y=nと

い うｙ 軸 お よびｘ 軸 に

平 行 な直 線 は,２ 直 線

au+bv=m,cu+dv=n に 写 像 さ れ る た め,長 め,図6.6に

方 形 は 平 行 四 辺 形 に 写 さ れ る.面

示 す よ う にx-y面

に お い て(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)に

も つ 面 積 １の 正 方 形 を 考 え る.こ

の 正 方 形 は 式(6.9)に

(d/J,-c/J),((d-b)/J,(a-c)/J),(-b/J,a/J)に 写 像 さ れ る.た てx-y面

よ っ てu-v面

あ る.し

た が っ て,線

され る こ と が わ か る.こ

積 素 に 対 応 す る 面 積 素 をu-v面

頂 点 を で(0,0),

頂 点 を もつ 平 行 四 辺 形 に

だ しJ=ad-bcで

の 領 域 の 面 積 が1/J倍

あ る(7.5節,8.7節,9.1節

積 の 拡 大 率 を調 べ る た

形 変 換(6.8)に

よっ

の こ と か らx-y面

の面

に お い て 考 え る 場 合 に はJdudvと

参 照).以

上 の 考 察 か ら,線

す る必 要 が

形 変換 によ り

と な る こ と が わ か る.

図6.6  線形変換 線 形 変 換 で な い 場 合 で も,x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0)と

し た と き,(u0,v0)

の 近 くで

と な る.そ

こで,前 述 の とお りx-y面

￨J￨dudv に とる必 要 が あ る.た だ し

の 微 小 面 積dxdyは,u-v面

にお い て は

(6.10) で あ り,変

換 の ヤ コ ビ ア ン(ヤ

以 上 の こ と か らＤ

をx-y面

コ ビ(Jacobi)行

で の 領 域 と す れ ば,次

で の 領 域,Ｅ

列)と

よ ば れ る.

を 変 換 に よ っ て 写 像 さ れ たu-v面

式 が 成 り立 つ こ と が わ か る.

(6.11)

例 題6.4 (１)式(6.11)はx=rcosθ,y=rsinθ(極 (２)球 面x2+y2+z2=1と

座 標)の 円 柱 面x2+y2=xに

と き ど う な る か. よ っ て 囲 まれ た部 分 の

体 積 を 求 め よ. 【解 】(１)式(6.10)でu=r,v=θ

とみ な せ ば

し た が っ て,式(6.11)は

と な る. (２)x=rcosθ,y=rsinθ

と お く と 球 面 はr2+z2=1と

を 考 え てx〓0,y〓0,z〓0の z=√1-r2と て,体

積 をＶ

な る .一

な る.対

部 分 の み を 考 え る と,z〓0で 方,半

と し て(１)の

径 １の 円柱 面 はz=cosθ

結 果 を使 え ば

称 性

あ る た め,

と な る.し

たが っ

図6.7 

球 と円 柱 か ら で き る 立体

章末 問 題

[6.1]次

[ 6.2]次

の 積 分 を計 算 せ よ.

の 積 分 を 計 算 せ よ.

(１)

(２) [ 6.3]極

座 標x=rcosθ,y=rsinθ

の 値 を計 算 せ よ.こ の 結 果 か ら

を用 いて

の 値 を 求 め よ. [6.4]回

転 放 物 面z=1-x2-y2と

円柱x2+y2=xお

よ び 平 面z=0で

囲 まれ た

部 分 の 体 積 を 求 め よ. [6.5]図

に 示 す よ う な 密 度 が 一 様 な半 球 の 重 心 を 求 め よ.た

だ し,密 度 が 一 様 で 体 積

Ｖの 物 体 の 重 心 の 座 標(xG,yG,zG)は

で 与 え ら れ る.

図6.8 

半球の重心

７ ベク トルの微積分

7.1  ベ ク ト ル 関 数

空 間内 を運 動 す る点 の 軌跡 を考 え よ う.た だ し,そ の 特殊 な場 合 と して 平 面 内 の 運 動 も含 む もの とす る.あ

る 時 刻 の 点 の座 標 を(x,y,z)と r＝xi+yj+z

す る と,こ の 点 は

k

とい う位 置 を表 す ベ ク トル の 終 点 と して表 示 で き る.点 の位 置 は時 々 刻 々変 化 す る た め,座 標(x,y,z)は

時 間ｔ の 関 数(x(t),y(t),z(t))に

な っ て お り,し た

が っ てベ ク トルｒ もｔの 関 数 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k (7.1) とみ な す こ とが で きる.こ の よ うに ベ ク トル(位 置 ベ ク トルで な くて も よい)の 成 分 が,あ

る独 立 変 数(時

間 で な くて も よい)の

トル 関 数 と よぶ.一 般 にベ ク トル 関 数r(t)は

関 数 に な っ て い る場 合 をベ ク

独 立 変 数ｔ を変 化 させ る こ と に よ

り空 間 内 の 曲線(２ 次 元 ベ ク トル の 場 合 は平 面 内 の 曲線)に

な る.な お,各

成

分 が 独 立 変 数 の連 続 関 数 で あ る と き,ベ ク トル 関 数 も連 続 で あ る とい う. 空 間 内 の点 の位 置 が ２つ の 独 立 変 数ｕ,ｖ の 場 合 に は位 置 ベ ク トルｒ もｕ,ｖの 関数 r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k(7.2) に な る.こ の よ う な場 合 もベ ク トル 関 数 と よぶ.こ

の と き,ｖを 一 定 値 に 固定

す れ ば,ｒ はｕ だ け の 関 数 とな り,そ の 結 果,１ つ の空 間 曲線 を描 く(図7.1). そ して,ｖを 別 の 一 定 値 に と れ ば 別 の 空 間 曲線 に な る.そ

こ で,ｖを 変 化 させ

図7.1 

空 間 曲線 と曲 面

る と 曲線 群 が で き るが,徐 々 に連 続 的 に 変 化 させ れ ば 曲 線 も徐 々 に変 化 して,１ つ の 面 を描 く と考 え られ る.す な わ ち,ベ ク トル関 数r(u,v)は

空 間 内 の 曲面 を

表 示 す る こ とに な る.

7.2  ベ ク トル 関 数 の 微 積 分

独 立 変 数 が １つ の場 合 に も どっ て,ｔがt+△tに 点 の 位 置 はr(t)か

らr(t+△t)に

変 化 す る.そ

変 化 した とす る.こ の と き こ で,ｒ の 変 化 分 をｔ の 変 化 分

で割 った

に 対 して△t→0で

の 極 限値 が 存 在 す る と き,こ れ をベ ク トル 関 数 の 点ｔ にお

け る微 分 係 数 とよ び,r'ま

た はdr/dtと

記 す.す

な わ ち, (7.3)

で あ る.こ れ は 図7.2か

らｒ が 表 す 曲線 の 点Ｐ で の接 線 と平 行 な ベ ク トル で あ

る.微 分 係 数 をｔ の 関 数 と考 え た と き,導 関 数 と よび,導 微 分 す る とい う. r(t)の 成 分 表 示 がr(t)=r1(t)ｉ+r2(t)j+r3(t)k

関 数 を求 め る こ と を

図7.2 

接線 ベ ク トル

で あ る場 合 に は,導 関 数 の 定 義 式 に この 関係 式 を代 入 す る こ と に よ り (7.4) が 成 り立 つ こ とが わ か る.す 分 す れ ば よい.な

なわ ち,導 関 数 を計 算 す る場 合 に は 成 分 ご とに微

お,こ の こ とは 基 本 ベ ク トル(i,j,k)が

定 数 ベ ク トル の と き

に限 られ る. Ｋを定 数,Ｋ 数,A(t),B(t)を

を一 定 のベ ク トル(定 数 ベ ク トル),ｆ をふ つ うの ス カ ラ ー の 関 ベ ク トル 関 数 と した と き,以 下 の 諸 公 式 が 成 り立 つ.

(１)〓,(２)〓,(３)〓, (４)〓,(５)〓,

(６)〓,

(７)〓 ２階 以 上 の 導 関数 も同 様 に定 義 で きる.た

と え ば ２階 導 関 数 は 導 関 数 の 導 関

数 と して ( 7.5) に よ って 定 義 され る. ベ ク トル 関 数 が ２変 数(以 上)の 場 合 に は微 分 は偏 微 分 にな る.た に 関 す る 偏 微 分 はｖ を固 定 して微 分 す る こ とで あ るか ら(7.6)

と え ば,ｕ

で 定 義 で きる.同 様 に,ｖに 関 す る偏 微 分 は (7.7) に よ り定 義 す る.ス

カ ラ ー 関 数 の 場 合 と同様 に

が連続 であ れば

が 成 り 立 ち,微

分 の 順 序 が 交 換 で き る.

例 題7.1 (１)A=acosui+asinuj+bukの

１階 お よ び ２ 階 導 関 数 を 求 め よ.

(２)A=ui+vj+(u2+v2)kの

１階 お よ び ２ 階 偏 導 関 数 を 求 め よ.

【解 】(１)〓 (２)〓

◇問7.1◇ 

A=e-2ui+sinuj+coshukのｕ

に 関 す る １階 お よ び ２ 階 導 関

数 を 求 め よ. あ る ベ ク トル 関 数F(t)の をf(t)の

導 関 数 が ベ ク トル 関 数f(t)に

な っ て い る と き,F(t)

不 定 積 分 と よ び,

(7.8) で 表 す.Ｃ

を 任 意 の 定 数 ベ ク トル と した と き,F(t)+Cもf(t)の

な っ て い る.す

な わ ち,不

定 積 分 は い く ら で も あ る.f(t)の

不定積分 に 成分表示 が

f(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k で あ る とす れ ば (7.9)

と な る.す Ａ,Ｂを

な わ ち,成

分 ご と に 積 分 す れ ば よ い.

ベ ク トル 関 数,kを

定 数,Ｋを

定 数 ベ ク トル と し た と き,以

下の関

係 式 が 成 り立 つ. (１)〓(２)〓

(３)〓(４)〓 ベ ク トル 関 数 の 定 積 分 も ふ つ う の ス カ ラ ー 関 数 の 定 積 分 と 同 様 に 次 の よ う に し て 定 義 で き る.ベ

ク トル 関 数f(t)が

間 を微 小 区 間△t1,△t2,…,△tnに n→ ∞ の と き,す 一点 を

区 間[a,b]で

分 割 す る,こ

連 続 で あ る と す る.こ

の 分 割 の 仕 方 は 任 意 で よ い が,

べ て の 区 間 幅 は ０ に な る と す る.さ

,ξ1,ξ2,…,ξnと

す る.こ

の区

らに 各 区 間 内 の任 意 の

の と き,

とす れ ば,こ の和 はn→ ∞ の と き一 定 値 に収 束 す る こ とが 証 明 で き る.そ の 一定 値 をベ ク トル 関 数f(t)の 定 積 分 と よ び, (7.10) で表 す.ベ

ク トル 関 数 を成 分 表 示 す れ ば,定 義 か ら定 積 分 も成 分 ご と に行 え ば

よ い こ とが わ か る.す

なわち (7.11)

が成 り立 つ. さ らにF(t)をf(t)の

１つ の 不 定 積 分 とす れ ば,ス

カ ラ ー 関 数 と同 様 に (7.12)

が 成 り立 つ. 例 題7.2 A=u2i-(u+1)j+2uk,B=(2u-1)i+j-ukの 分 を 求 め よ.

と き,次

の定 積

(１)〓(２)〓(３)〓 【 解】(１)

(２)A・B=u2(2u-1)-(u+1)-2u2=2u3-3u2-u-1

(３)

◇ 問7.2◇ 

A(u)=(u2-u)i+2u3j+aukの

と き,〓,〓

を求

か らｂ に 増 加 す る と き,描

いた曲線 の長 さ

め よ.

7.3 

空

間

曲

線

前 述 の よ う に ベ ク トル 関 数 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k は 空 間 内 の 曲 線 を 描 く,い (弧長)を

求 め て み よ う.そ

まtがａ

れ に は 区 間[a,b]を

微 小 な 弧 に 分 け て,そ

の弧 の長

さを 足 し合 わ せ れ ば よ い.そ

こ で,全

体 をｎ 個 の 弧 に 分 け た と し て,先

数 え てｉ 番 目 の 弧 に 対 応 す るｔ の 区 間 を[ti-1,ti]と れ ば,弧

の 長 さ と,弧

わ ち 弧 の 長 さ を△Siと

す る.区

頭 か ら

間幅 が 十 分 に短 け

の 両 端 を 結 ぶ 弦 の 長 さ は ほ ぼ 等 し い と 考 え ら れ る.す

な

す れ ば△

si∼√(x(ti)-x(ti-1))2+(y(ti)-y(ti-1))2+(z(ti)-z(ti-1))2 と な る.こ

こ で,△ti=ti-ti-1と

お い てテイラ

ー 展 開 を 用 い れ ばx

(ti)-x(ti-1)=x(ti-1+△ti)-x(ti-1)

と な る.同

様 に

と な る か ら,

と近 似 で き る.そ

こ で こ れ ら を 足 し合 わ せ て,n→

∞

と す れ ば,弧長ｓ

は定

積分 の定義 か ら

(7.13)

と な る こ と が わ か る. 例 題7.3 曲 線 γ=acosti+asintj+btk上

の 点t=0とt=Tの

間 の 弧長 を 求

め よ. 【解 】x=acost,y=asint,z=btで

あ る か ら,弧長

をｓ と す る と

◇ 問7.3◇r=t2i+2sintj+2costkのt=0とt=1の

間 の 弧 長ｓ を 求

め よ.

 弧 長 を求 め る式 で積 分 区 間 の 上 端 を変 数ｔ とお け ば,弧 長 はｔ の 関 数

(7.14) とな る.被 積 分 関 数 は正 で あ る か ら,関 数s(t)はtの す る.し

増 加 に と も な い単 調 増 加

たが っ て,γ（ｔ） に対 して 独 立 変 数 と してｔ の か わ りにsを

とれ ば γ(ｓ)

に変 え る こ と もで き る.こ の と きγ を ｓで 微 分 す れ ば

と な る が,そ の 大 き さは

と な る.一

方,dγ/dsはγ

の 描 く接 線 の 方 向 を 向 い て い る(図7.2参 t =dγ/ds 

照).そ

こで (7.15)

は 単 位 接 線 ベ ク トル と よ ば れ る.   t・t=1を

も う 一 度 ｓ で 微 分 し て み よ う.こ

と な る か ら,dt/dsは

接 線 に 垂 直 に な る.し

の とき

た が っ て,

(7.16) は大 き さが1で 接 線 に 垂 直 なベ ク トル を表 し,単 位 法 線 ベ ク トル と よば れ る.   こ こでdt/dsの

幾 何 学 的 な意 味 を考 え て み よ う.ｔ は単 位 接 線 ベ ク トル で あ

図7.3 

図7.4 

弧の長 さ

曲

率

るか ら △ t=t(s+△s)-t(s) は 接 線 の 方 向 の 変 化 で あ り,図7.4か と ほ ぼ 等 し い.そ

ら(￨t￨=1で

あ る か ら)ｔ の 回 転 率△ θ

こで (7.17)

で 定 義 さ れ るｋ は 曲 線 の 曲 が り方 の 指 標 と な る 数 で 曲 率 と い う.ま

た,曲

率の

逆数 (7.18)

を 曲 率 半 径 とい う(た ば,単

だ し κ=0の

と き は ρ=∞

とす る).曲

率 半 径 を用 い れ

位 法 線 ベ ク トル(7.16)は (7.19)

と書 け る. 以 上 を ま と め る と 次 の よ う に な る.

例 題7.4 曲 線r=acosti+asintj+btkの

単 位 接 線 ベ ク トル,単

位 法 線 ベ ク トル

お よ び 曲 率 を 求 め よ. 【解 】 例 題7.3よ

り弧長ｓ

とｔ の 間 に はs=√a2+b2tの

関 係 が あ る.し

た が っ て,

◇問7.4◇ r=ti+(t2/2)j+2tkの

単 位 接 線 ベ ク トル と 曲率 を 求 め よ.

7.4  速 度 と 加 速 度

空 間 中 を あ る軌 道 を描 き なが ら運 動 す る 質 点 を考 え よ う.ｔを 時 間 と して 質 点 の位 置 をベ ク トル r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k で表 す.こ

の と き速 度 ベ ク トルv(t)は,位

置 を時 間 で 微 分 した もの で あ る か ら, (7.20)

と な る.￨t￨=1で

あ る か ら,速

度 の 大 き さ,す

な わ ち 速 さ￨v￨=vは

(7.21) と 書 け る.し

た が っ て,速

度 ベ ク トル は

(7.22) とな る.   加 速度 は速 度 の 時 間微 分 で定 義 さ れ るか ら上 式 を時 間微 分 す る.こ こで 注 意 す べ き 点 は,単位 接 線 ベ ク トル は 定 数 ベ ク トル で は な く一 般 に時 間 の 関 数 で,時 間 ご と に方 向 を変 え る こ とで あ る。 い い か え れ ばｔ の 時 間微 分 は0で 際 に微 分 を 実行 す れ ば,加 速 度 ベ ク トル をaと

な い.実

して,積 の 微 分 法 か ら

(7.23) が 得 ら れ る.た

だ し,

を 用 い た(式(7.16),(7.20)参 分(dv/dt)と

法 線 方 向 の 成 分v2/ρ)で

度 ベ ク トル はtとnの

7.5 

照).こ

曲

の 式 は,加

速 度 ベ ク トル を 接 線 方 向 の 成

表 し た 式 で あ る.ま

た こ の 式 か ら,加

速

つ く る 平 面 内 に あ る こ と が わ か る.

面

  あ る 点 の 位 置 ベ ク トル が ２ つ の 独 立 変 数 の 関 数 γ（u,v）=x（u,v）i+y（u,v）j+z（u,v）k で あ る と き,u,vの はvを

変 化 に と も な い,そ

固 定 し た と き に で き る 曲 線 群(ｕ

き る 曲 線 群(ｖ ∂γ/∂uは

曲 線 と い う)と

曲 線 とい う)と

が つ く る 曲 面 に な っ て い る.こ

の ２つ の 接 線 が な す 角 度 が0ま

れ ら の ベ ク トル は １つ の 平 面 を 指 定 す る.こ

の 曲面

ｕ を固 定 した と き に で

ｕ 曲 線 の 接 線 方 向 の ベ ク ト ル で あ り,∂γ/∂vはv曲

ベ ク トル に な っ て い る.こ は,こ

の 点 は 空 間 内 の 曲 面 を 描 く.こ

こで 偏 微 分 係 数 線の接線 方向 の

た は π で な い と きに

の 平 面 は 曲 線 に 接 して い る

た め接 平 面 と よ ば れ る.接 ク トル と よ び,ｎ

平 面 に 垂 直 で 大 き さ １ の ベ ク トル を 曲 面 の 法 単 位 ベ

と記 す こ と に す る.こ

の と き

(7.24) と な る*.な

ぜ な ら,ベ

垂 直 で あ り,さ

ク トル 積 の 定 義 か ら,こ

ら に 大 き さ も １で あ る か ら で あ る.

図7.5 

図7.5に

の ベ ク トル は ２つ の ベ ク トル に

面積素

示 す よ うにｕ 曲線 とｖ 曲線 か ら構 成 さ れ る微 小 な平 行 四 辺 形 の面 積

△Sを求 め て み よ う.こ れ は,ベ

ク トル 積 の定 義 か ら￨A×B￨と

な り,

を代 入す れば (7.25) とな る.こ れ を面 積 素 とい う.面 積 素 に単 位 法 線 方 向 の 向 き を付 加 した もの を ベ ク トル 面 積 素 と よ び ,dSで

表 す.こ の と き ( 7.26)

*分

母 は ０で な い と して い る

つ くる こ と は で き な い.

.も

し ０ な ら ば ２ つ の ベ ク トル の な す 角 が ０ また は π に な り平 面 を

と な る.   曲面 上 の 領 域 Ｄ の 表 面 積 は,こ

の面 積 素 を領 域 Ｄ で 積 分 す れ ば 求 ま り

(7.27) と な る.

例 題7.5 曲 面γ=cosu

sinvi+sinu

単 位 法 線 ベ ク トル,面

sinvj+cosvk

積 素dSお

(0〓u(81/16)(9/16)1/3の

(グ ラ フ の 概 形 は 次 頁 の 図 を 参 照)

第 ３章 問3.1(１) (２) (３) 問3.2(１)

(２)

∞ と き ４. と き .２

図 章 末 問題[2.6]

(３)t=sin2x,dt=2cos2xdx,

問3.3(１)

(２)

(３) 問3.4(１)

(２)

問3.5(１)

(２)

問3.6

問3.7 

dx/dθ=-3acos2θsinθ＜0(0＜

θ＜ π/2)

問3.8 x2/(a√z)2+y2/(b√z)2=1→S=πa√zb√z=πabz

問3.9〓

をｘ 軸 ま わ りに 回 転

章末 問 題 [3.1](１) (２)

(３) (４) [3.2] 

(１)ex=t→dt/dx=ex=t→dt/t=dx

(２)x2=t→dt/dx=2x→xdx=dt/2

(３)1+logx=t→dt/dx=1/x→dx/x=dt

[3.3](１)

(２)

[3.4](１)

[3.6]

(２)

(３)

[3.5] 

(１)x=1/t,dx/dt=-1/t2→dx=-dt/t2

(２)

(３)

(１) (２)

(３)

[3.7](１)

(２)

第 ４章 問4.1(１) (２)

問4.2 

(1)(sinx)'=-cosx,(sinx)"=-sinx,(sinx)(3)=-cosx,(sinx(4) =sinxにx=0を

代 入 し て,sinx=x-x3/3!+x5/5!-…

(２)(cosx)'=-sinx,(cosx)"=-cosx,(cosx)(3)=sinx,(cosx)(4) =cosxにx=0を

代 入 し て ,cosx=1-x2/2!+x4/4!-…

問4.3(１) (２)log(1-x2)=-x2-x4/2-x6/3-x8/4-…(例 x→(-x2)と

題4.8(2)に

おい て

す る)

章末 問 題 [ 4.1](１)〓

で 右 辺 は収 束 す る た め,左

辺 も収束

(２)〓

で 右 辺 が 発 散 す る た め,左

発 散 (３)〓 [ 4.2](fg)(n+1)=((fg)(n))'=(fg(n)+…+f(n)g)' =(fg(n+1)+…+f(n)g')+(f'g(n)+…+f(n+1)g) =fg(n+1)+(nC1+nC0)f'g(n)+…+(nCr+1+nCr)f(r)g(n-r+1)+… +(nCn+nCn-1)f(n)g'+f(n+1)g こ こ で ，〓

[ 4.3](１)

(２) (３) (４)

より収束

辺 も

2-y2-z2)

[4.4](１) (２)

[4.5]

[ 4.6]  ２項 定 理 か ら

第

５章

問5.1 

(１)ux=-e-xsin2y,uy=2e-xcos2y (２)

問5.2 ux=-(2x/2)(x2+y2+z2)-3/2=-x(x2+y2+z2)-3/2uxx=-(x2+y2+z2)-3/2+3x2(x2+y2+z2)-5/2

問5.3 問5.4

ux=2x+y,uy=x+4y,uxx=2,uxy=1,uyy=4,AC-B2=8-1 =7＞0.ux=uy=0→x=y=0,A＞0よりx=y=0のとき極小値

問5.5 fx=3x2-3y,fy=3y2-3x→dy/dx=-fx/fy=-(x2-y)/(y2-x) 章末 問 題 [5.1]

[ 5.2] xt=u,yt=vと す れ ば 式(5.10)を

お く とf(u,v)=tnf(x,y)と 参 照 して〓 と な り,t=1と

お く

[ 5.3]  円の 中心 をＯ,半 径 をａ,内 接 三 角 形 をABC,面 と お く(ｘ,ｙ は 鋭 角 とす る).こ と な り,v=y=π/3の

な り,こ れ をｔ でｒ 回 微 分

積 をＳ,角AOB=x,角AOC=y

の と き,S=(a2/2)(sinx+siny-sin(x+y))

と き最 大 値 を と る.す

な わ ち,正三角

形 の と き最 大.

[5.4]  点Ｐ の 座 標 を(x1,y1,z1)と λ(ax+by+cz+dと

す る.u=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2+

お い て(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2の

ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 法 に よ り求 め る と(ax1+by1+cz1+d)/√

最小値 をラグ α2+b2+c2

第 ６章 問6.1(１)

(２)

問6.2(１) (２)

章末 問 題 [ 6.1](１)

(２)

[6.2](１)

(２) [6.3] 

[ 6.4]x-z面

dxdy=rdrdθ

で 第 １象 限 で は0