АДАПТИВНЫЕ ПОРОГОВЫЕ УРОВНИ
А.А. Трухачев
АДАПТИВНЫЕ ПОРОГОВЫЕ УРОВНИ В УСТРОЙСТВАХ ОБНАРУЖЕНИЯ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ
А.А. Трухачев
АДАПТИВНЫЕ ПОРОГОВЫЕ УРОВНИ В УСТРОЙСТВАХ ОБНАРУЖЕНИЯ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ
Москва Научно-производственное объединение «Алмаз» имени академика А.А. Расплетина 2017 1
ББК 32.95 УДК 621.396.96:519.245 Т80
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рецензенты: доктор технических наук Г.В. Зайцев; доктор технических наук, профессор А.А. Парамонов
Трухачев А.А. Адаптивные пороговые уровни в устройствах обнаружения радиолокационных сигналов. ― М.: НПО «Алмаз», 2017. ― 344 с.: ил. ISBN 978-5-9908060-2-3 Излагаются вопросы применения адаптивных пороговых уровней, позволяющих осуществлять радиолокационный обзор при наличии пассивных помех. Представлены различные методы анализа характеристик обнаружения сигналов, когда в устройствах обнаружения используются адаптивные пороговые уровни. Материалы исследований характеристик обнаружения сигналов содержат результаты в виде таблиц и графиков. В процессе исследований осуществляется сравнение эффективности различных способов формирования адаптивных пороговых уровней. Изложение ведётся применительно к радиолокаторам наземного базирования. Для научных работников и радиоинженеров, занимающихся проектированием радиолокационных станций, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Ил. 69. Табл. 49. Библ. 279 назв.
ББК 32.95
ISBN 978-5-9908060-2-3
2
А.А. Трухачев, 2017 ПАО «НПО «Алмаз», 2017
Обнаружение полезных сигналов на фоне пассивных помех представляет собой одну из важнейших радиолокационных задач. При ухудшении погодных условий пассивными помехами становятся отражения от метеообразований (например, от дождевого облака). Если при обнаружении целей используются импульсные зондирующие сигналы и не принимается никаких защитных мер, то пассивные помехи приведут к увеличению количества ложных тревог, большое количество которых повлечёт за собой ухудшение характеристик радиолокатора. Чтобы сохранить постоянный уровень ложных тревог, необходимо применять специальные процедуры обнаружения. Обнаружение цели в обзорном радиолокаторе выполняется в каждом элементе разрешения путём сравнения результата обработки входной реализации с некоторым пороговым уровнем. Значение порогового уровня определяется заданной вероятностью ложной тревоги и интенсивностью собственных шумов и внешних помех. Интенсивность внешних помех может меняться в процессе работы радиолокатора. Если многофункциональный радиолокатор осуществляет обзор большого углового сектора, то воздействию помех будет подвержена только часть области обнаружения. Поэтому значение порогового уровня необходимо каждый раз адаптировать к текущей помеховой обстановке. Только в тех угловых направлениях, в которых помеха окажется очень интенсивной, в дальнейшем придётся увеличивать время наблюдения и применять специальные меры по выделению полезных сигналов на фоне пассивных помех. Адаптивный пороговый уровень формируется на основе результатов, получаемых в элементах разрешения, соседних с проверяемым элементом. Применение адаптивных порогов не вызывает особых затруднений, когда помеховый фон однородный. Трудности возникают, когда пассивная помеха неоднородная и интенсивность помехи в соседних элементах разрешения отличается от интенсивности в проверяемом элементе, в котором осуществляется сравнение с порогом. Не исключено и наличие мешающей цели в одном из соседних элементов разрешения. При неоднородной помехе либо увеличится количество ложных тревог, либо ухудшатся условия для обнаружения полезного сигнала. Поэтому возникает стремление найти достаточно гибкий способ формирования порога, чтобы обеспечить успешную работу в различных условиях. 3
Эффективно работающие схемы формирования адаптивных пороговых уровней позволят сохранить уровень ложных тревог практически постоянным. Уменьшится зависимость радиолокатора от погодных условий. При этом не будет существенно снижаться скорость обзора углового сектора. Сохранится и способность радиолокатора обнаруживать малоразмерные цели. Выбор способа формирования адаптивного порогового уровня является сложной технической задачей, идеального решения которой, как это часто бывает в инженерной практике, нет. Каждый способ формирования порога обладает не только преимуществами, но и определёнными недостатками. Поэтому к настоящему времени появилось большое количество работ, посвящённых построению и анализу процедур обнаружения сигналов с использованием адаптивных пороговых уровней. В данной книге предпринята попытка обобщить наиболее важные результаты исследований способов формирования адаптивных пороговых уровней. Также рассмотривается применение различных методов анализа соответствующих процедур обнаружения. Материалы исследований иллюстрируются таблицами и графиками. В процессе исследований осуществлялось сравнение эффективности различных способов формирования адаптивных порогов. Изложение ведётся применительно к радиолокаторам наземного базирования. Книга не преследует цели дать безоговорочные рекомендации по выбору способа формирования адаптивного порогового уровня. Однако, по мнению автора, выполненная систематизация известных способов, а также изложенные методы анализа процедур формирования порогов окажутся полезными при разработке и испытаниях реальных радиолокационных приёмных устройств. Принята тройная нумерация формул. При ссылках на формулы из других параграфов используется полный номер. Ссылки внутри параграфа содержат только номер формулы.
1. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА НА ФОНЕ ШУМА С ИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ 1.1. Представление импульсных сигналов Излагаемые в книге материалы относятся преимущественно к радиолокаторам, применяющим импульсные сигналы. Поэтому вначале рассмотрим свойства импульсных сигналов и схемы их обработки. Свойства квазинепрерывных сигналов будут излагаться по мере необходимости в последующих главах. Будем полагать, что принимаемый полезный сигнал является известной функцией времени t, зависящей также от нескольких неизвестных параметров. На входе приёмника действует аддитивная смесь полезного сигнала и нормального (гауссовского) белого шума. Эту смесь в случае импульсного сигнала запишем в виде s( t ) 2 E V 0 (t с ) cos [ с t 0 (t с ) ] N ш n (t ) ,
(1.1.1)
где E, с, с, — энергия, задержка, частота и случайная фаза сигнала; V0(t) и 0(t) — функции, определяющие амплитудную и фазовую модуляции сигнала; Nш — спектральная плотность мощности шума; n(t) — шумовой процесс. Начальная фаза считается независимой от времени, независимой по отношению к остальным параметрам сигнала и равномерно распределённой на интервале от 0 до 2. Для удобства записи математических выражений обычно используют комплексную огибающую сигнала U0(t) V0(t) exp{i0(t)}. С учётом этого выражения формулу (1) можно переписать в виде s(t ) 2 E Re U 0 (t с ) exp[i( с t )] N ш n (t ) .
(1.1.2)
В формулах (1) и (2) огибающая сигнала и шумовой процесс нормированы таким образом, что
2
U 0 (t ) dt 1 ,
n ( t ) n (t ) ( ) ,
(1.1.3)
где () — дельта-функция. Черта над выражением означает усреднение по случайным переменным. Физически реализуемые импульсные сигналы имеют конечную длительность, т. е. функция U0(t) отлична от нуля на конечном интервале, поэтому интегрирование в (3) осуществляется фактически в конечных пределах. Однако для удобства записи математических преобразований бесконечные пределы в аналогичных выражениях целесообразно формально сохранять. 4
5
Представленная модель полезного сигнала включает в себя, прежде всего, простые импульсные сигналы, в которых отсутствует фазовая модуляция, т. е. 0(t) 0. Типичными сигналами с фазовой модуляцией являются фазокодоманипулированные сигналы и частотно-модулированные сигналы. В рамках рассматриваемой модели могут быть представлены и когерентные пакеты импульсов. Нормировка огибающей сигнала и шумового процесса, представленная в формулах (1)—(3), довольно часто встречается в научно-технической литературе. Математические преобразования, в которых присутствует огибающая сигнала, при этом оказываются более компактными. Однако есть и некоторое неудобство — огибающая сигнала V0(t), представляющая амплитудную модуляцию, имеет неестественную размерность.
времени (дискретизатор). Тем самым будет обеспечена обработка сигнала с неизвестными параметрами. Структурная схема устройства, получаемого в результате, представлена на рис. 1.1. СФ
6
Д
1 s(t)
1.2. Структурные схемы обработки сигналов Основное назначение устройства обнаружения сигналов — установление факта наличия полезного сигнала в случайной реализации, поступающей на вход приёмного устройства. При наличии полезного сигнала входная реализация является смесью полезного сигнала и помеховой компоненты. Вопросы синтеза оптимальных приёмников, осуществляющих обнаружение сигнала, подробно исследованы. Если параметры сигнала (задержка и частота) известны, то оптимальная обработка сигнала сводится к вычислению так называемого корреляционного интеграла [45, с. 438]. Вычисление может быть реализовано фильтровым или корреляционным методом. Основой фильтрового метода служит частотный фильтр, который называется согласованным (иногда оптимальным). Частотной характеристикой согласованного фильтра является комплексно сопряжённая функция спектра полезной компоненты входного сигнала. Высокочастотный сигнал с выхода фильтра подаётся на детектор огибающей. Детектор формирует амплитуду колебания, подаваемого на его вход. В некоторый момент времени амплитуда достигает своего максимального значения. Момент времени, когда амплитуда полезной компоненты на выходе фильтра достигает своего максимального значения, взаимно однозначно определяется задержкой входного сигнала. Если задержка сигнала неизвестна, то необходимо обеспечить считывание амплитуды на выходе детектора в дискретные моменты времени, которые соответствуют задержкам сигнала ; 1, 2, . Диапазон задержек определяется размером области обнаружения по задержке. Если частота сигнала неизвестна, то понадобится набор согласованных фильтров. Фильтр с номером ( 1, 2, ) является согласованным по отношению к полезному сигналу с частотой . На выходе каждого фильтра необходимо иметь детектор и устройство, обеспечивающее считывание амплитуды в дискретные моменты
ДО
1, 2,
СФ
ДО
Д
2
1, 2,
СФ
ДО
Д
n
1, 2,
Рис. 1.1. Фильтровой метод обработки сигнала: СФ — согласованный фильтр; ДО — детектор огибающей; Д — дискретизатор
При неизвестной начальной фазе сигнала корреляционный метод реализуется в виде квадратурного корреляционного приёмника. Обработка сводится к умножению принятой реализации на квадратурные составляющие ожидаемого сигнала, интегрированию и образованию квадрата модуля получающейся комплексной величины. Любая взаимно однозначная функция квадрата модуля может служить выходной величиной. Обработка входной реализации этим методом представлена на рис. 1.2 схемой, состоящей из двух квадратурных каналов.
X
s(t)
X 2 Y2 2 2
V1 (t 1 ) cos[1t 1 (t 1 )]
R
Y
V1 (t 1 ) sin[ 1t 1 (t 1 )]
Рис. 1.2. Математическая модель корреляционной обработки сигнала
Схема на рис. 1.2, вообще говоря, не является оптимальной. В качестве ожидаемого сигнала используется опорный сигнал, отличающийся от полезной компоненты принятой реализации. Отличие 7
введено в представленную схему обработки по той причине, что в дальнейшем будет осуществляться анализ, учитывающий подобные отклонения от оптимальной обработки. В частном случае, при 1 с, 1 с и U1(t) U0(t), где U1(t) V1(t) exp{i1(t)}, схема будет оптимальной. Величины 1 и 1 являются параметрами сигнала, на которые настроена схема обнаружения. Предполагается, что огибающая опорного (ожидаемого) сигнала U1(t) нормирована так же, как это определено формулой (3) по отношению к огибающей полезного сигнала U0(t). Нормирующий множитель 1/(22) введён в последний каскад схемы обработки, чтобы получить более компактные математические выражения, описывающие выходную величину. Выходная величина становится безразмерной. Величина 2, входящая в выражение для нормирующего множителя, является дисперсией шумовых компонент на выходах квадратурных каналов и пропорциональна спектральной плотности мощности шума Nш. В данном случае 2 Nш /2. Если U1(t) U0(t), 1 с, 1 с, то схема на рис. 1.2 является оптимальной при общих условиях. Так, в [84, § 6.3] показано, что подобная схема обработки оптимальна и в том случае, если амплитуда принимаемого сигнала (в нашем случае амплитудой можно считать величину 2 E ) является случайной величиной с произвольной плотностью распределения вероятностей, а начальная фаза распределена равномерно. При известной амплитуде и неизвестном распределении начальной фазы синтез схемы обработки по методу максимума правдоподобия также приводит к схеме, изображённой на рис. 1.2 [84, § 19.3]. К аналогичному выводу можно прийти и при неизвестных законах распределения как амплитуды, так и начальной фазы. Схема на рис. 1.2 соответствует приёмнику с квадратичным детектором огибающей. Схема с квадратичным детектором удобнее для теоретических исследований. На практике чаще всего используется линейный детектор огибающей. В приёмнике с линейным детектором выходная величина формируется по правилу R X 2 Y 2 . Если осуществляется обнаружение сигнала на фоне шума с известной интенсивностью, то схемы с квадратичным и линейным детекторами имеют одинаковые характеристики обнаружения когерентного сигнала. Представленный на рис. 1.2 коррелятор предназначен для обнаружения сигнала с задержкой 1 и частотой 1. В случае приёма сигнала с неизвестной задержкой необходимо иметь набор корреляторов, отличающихся друг от друга настройкой по задержке. Такой набор корреляторов в дальнейшем будем называть линейкой каналов обнаружения. Когда помимо задержки неизвестна ещё и частота сигнала, необходимо иметь набор линеек, отличающихся настройкой по частоте. 8
Получающаяся матрица каналов обнаружения может применяться для обнаружения сигнала с неизвестными задержкой и частотой. Если фильтровая и корреляционная схемы настроены на один и тот же сигнал, то результаты обработки будут совпадать. Поэтому далее при изложении тех или иных вопросов можно принимать ту схему, которая обеспечивает лучшую наглядность. При представлении некоторых структурных схем обнаружителей в литературе часто используется согласованный фильтр. Теоретический анализ нагляднее, если использовать корреляционную схему. В [60, 19] отмечается, что реализация фильтрового и корреляционного методов может быть сопряжена с затруднениями, и поэтому на практике часто используется корреляционно-фильтровой метод обработки. Описание этого метода представлено в [60, 19]. В настоящее время обработка сигнала в радиолокационных приёмных устройствах осуществляется в цифровом виде. Тем не менее в дальнейшем изложении различных вопросов будут использоваться схемы, подобные изображённым на рис. 1.1 и 1.2. Это допустимо по двум причинам. Первая причина состоит в том, что представленные методы обработки являются прототипом для вычислительных процессов, реализуемых в цифровом устройстве обработки сигналов. Поэтому по окончательным результатам цифровое устройство обработки сигналов должно быть эквивалентным любому другому аналоговому способу вычисления корреляционного интеграла. Когда мы будем анализировать свойства результата обработки принимаемого сигнала, то нас не будет интересовать, какой схемой получен этот результат. Во-вторых, в данной книге не рассматриваются вопросы реализации конкретной аппаратуры. Представляемые схемы используются в качестве пояснительных иллюстраций к процедурам формирования адаптивных пороговых уровней. Можно предполагать, что анализируемые далее процедуры реализуются в цифровых устройствах. 1.3. Выходные случайные величины Рассмотрим статистические характеристики случайных величин X и Y на выходах квадратурных каналов (см. рис. 1.2). Поскольку значения n(t) являются нормальными случайными величинами, а X и Y получены в результате линейных преобразований n(t), то при детерминированных значениях параметров сигнальной компоненты входного процесса случайные величины X и Y будут также нормальными. В этом случае для нахождения плотности распределения вероятностей X и Y нужно определить их средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции. Обстоятельный анализ статистических характеристик случайных величин X и Y представлен в [73, 74]. Окончательные выводы, сделанные по результатам этого анализа, состоят в следующем. 9
Шумовые компоненты Xш и Yш выходных случайных величин X и Y статистически независимы между собой, имеют нулевое среднее значение и одинаковую дисперсию 2 X ш2 Yш2 Nш /2 .
(1.3.1)
Выходные случайные величины можно представить в виде
где
X ( 2 q cos x ) , Y ( 2 q sin y ) ,
(1.3.2) 2
q q0 C10 ( 1 с , 1 с ) ,
(1.3.3)
q0 E/(2Nш),
(1.3.4)
C10() — взаимно корреляционная функция принимаемого и опорного сигналов,
C10(, )
U (t ) U 1
0 (t
) e i t dt ,
(1.3.5)
— некоторая фаза; x и y — независимые нормальные случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. Фазу можно представить в виде выражения, в которое случайная начальная фаза полезного сигнала входит в качестве слагаемого. Если фаза будет распределена равномерно, то и будет случайной фазой, равномерно распределённой на интервале от 0 до 2. 1.4. Многоканальная система Если параметры сигнала (задержка, доплеровская частота) неизвестны, то обнаружение сигнала осуществляется многоканальной системой, в которой каждый канал является приёмником обнаружения, рассчитанным на оптимальную работу при некоторых фиксированных значениях параметров сигнала. Выходные величины в каналах сравниваются с пороговым уровнем. Решение о наличии сигнала принимается при наличии хотя бы одного превышения порога. Если сигнал обнаружен, то на основании полученной картины превышений и непревышений порога принимается решение о значениях параметров сигнала. Одновременно может решаться задача обнаружения и разрешения нескольких сигналов [21, с. 164]. При исследовании различных вопросов, связанных с обнаружением сигнала многоканальной системой, а также при статистическом моделировании процесса обнаружения сигнала возникает необходимость в описании случайных величин на выходах каналов. В общем случае выходные величины статистически зависимы между собой. 10
Пусть, как и ранее, с, с, U0(t) — задержка, частота и комплексная огибающая принимаемого сигнала. Во всех каналах обнаружения используется один и тот же опорный сигнал с комплексной огибающей U1(t). Огибающая U1(t) нормирована так же, как это определено формулой (1.1.3) по отношению к U0(t). Обозначим через , , , задержки и частоты, на которые настроены -й и -й каналы обнаружения; , 1, 2, . Используя метод, изложенный в [73], квадратурные составляющие сигнала на входах детекторов огибающей можно представить в виде X (x a) , Y ( y b) , где x, y — нормальные случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией; a i b 2 q0 e i e i( с ) C10 ( с , с ) ; q0 — отношение сигнал/шум (см. § 1.3); — начальная фаза принимаемого сигнала; функция C10() определена формулой (1.3.5); N ш 2 ; Nш — двусторонняя спектральная плотность мощности шума. Коэффициенты корреляции нормальных случайных величин определяются соотношениями x x y y c , x y y x s ; i( ) c Re{e C11 ( , )}; i( ) s Im{e C11 ( , )},
(1.4.1)
где
C11(, )
U (t ) U 1
1 (t
) e i t dt .
(1.4.2)
Из формулы (1), в частности, следует x y x y 0 . Если C11( , ) 0, то случайные шумовые компоненты x и y статистически независимы от x и y. Теперь полагаем, что начальная фаза принимаемого сигнала распределена равномерно. Амплитуда принимаемого сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону. В таком случае сигнальные компоненты a, b, a, b являются нормальными случайными величинами с нулевыми средними значениями. Найдём коэффициенты корреляции сигнальных компонент. Рассматриваемые выражения необходимо усреднять по случайным величинам q0 и . Поскольку exp( 2 i ) 0 , то ( a i b )( a i b ) 0 . Отсюда следует a a bb ; a b a b . (1.4.3) 11
Далее 1 a a i ab (a i b )( a i b ) 2 i 0 e C10 ( с , с ) C10 ( с , с ) .
(1.4.4)
Здесь ( с ) ( с ) , 0 q 0 — среднее значение отношения сигнал/шум, звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. Соотношения (1), (3) и (4) определяют корреляционную матрицу квадратурных составляющих. Попытки найти многомерное распределение статистически зависимых случайных величин, наблюдаемых на выходах детекторов огибающей, приводят к весьма громоздким результатам, которые вряд ли могут быть использованы в практических приложениях. При рэлеевских флуктуациях амплитуды полезного сигнала можно получить сравнительно несложное выражение для двумерной плотности распределения вероятностей. Выражение для этой двумерной плотности приведено в [74]. Однако представленных данных достаточно для того, чтобы осуществить статистическое моделирование совокупности квадратурных составляющих для многоканальной системы.
(1.5.1)
где q — отношение сигнал/шум, определяемое формулой (1.3.3); I0() — функция Бесселя мнимого аргумента. 12
e
R
dR e .
При заданной вероятности ложной тревоги находим порог ln(1/F ), а затем — вероятность правильного обнаружения полезного сигнала D J (, q),
(1.5.2)
Проблема состоит в том, чтобы на основании принятой реализации сформировать наилучшее решение о наличии или отсутствии в этой реализации полезного сигнала. В практических задачах в качестве критерия обнаружения используется критерий Неймана — Пирсона. В этом случае задаётся вероятность ложной тревоги F, а эффективность устройства обнаружения оценивается вероятностью обнаружения полезного сигнала D. Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается по результатам сравнения с порогом случайной величины, полученной на выходе канала обнаружения. Для оценки эффективности обнаружения необходимо вначале по заданному значению F находить величину порога , с которым сравниваются результаты обработки входной реализации, а затем вычислять вероятность обнаружения сигнала D. Выходная величина R выражается через X и Y формулой R (X 2 Y 2) /(22). Случайные переменные X и Y определены формулами (1.3.2). Плотность распределения выходной величины R не зависит от начальной фазы полезного сигнала и имеет вид R 0,
F
где J () — спецфункция, определяемая соотношением
1.5. Характеристики обнаружения сигнала
W ( R ) e R q I 0 ( 2 qR ) ,
Заметим, что в данной книге, как и в [73], случайные переменные и их реализации будут для удобства обозначаться одинаковыми символами. Запись R 0 в формуле (1) означает, что случайная переменная может принимать только положительные значения. Это также означает, что во всех аналитических преобразованиях нужно полагать W(R) 0 при R 0. В дальнейшем для простоты, когда очевидно, что плотность распределения вероятностей относится к положительной случайной величине, записи типа R 0 будем опускать. Разумеется, в случае необходимости область определения плотности распределения вероятностей будет задаваться корректно. Если полезный сигнал отсутствует, то q 0, W(R) exp(R). Вероятность ложной тревоги (вероятность превышения порога при отсутствии полезного сигнала) будет равна
J (x, y)
e
t y
I 0 ( 2 ty ) dt ,
(1.5.3)
x
x и y — вещественные неотрицательные переменные. В [243, 72, 73] приведены рекомендации по составлению процедур вычисления интеграла (3). Формула (2) представляет собой вероятность обнаружения нефлуктуирующего сигнала. Если амплитуда сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону, то отношение сигнал/шум q является случайной величиной, распределённой по экспоненциальному закону w(q) (1/) exp(q/), где — среднее значение отношения сигнал/шум ( q ). Плотность распределения вероятностей случайной величины на выходе приёмника и вероятность обнаружения сигнала будут определяться соотношениями
W ( R)
e
R q
I 0 ( 2 Rq ) w( q ) dq
0
D
R 1 exp , 1 1
J (, q) w(q) dq exp 1 .
(1.5.4)
0
13
Результаты расчётов по формулам (2) и (4) представлены на рис. 1.3. D 0,99 0,98
10
6
0,95
10
0,90 0,80
10
0,70 0,60 0,50 0,40
5
4
10
103 F 10
10
2
0,30
10
7
8
9
0,20
10
0,10 2
6
10
10
14
а)
10 lg q
D 0,99 0,98
10
0,95
10
0,90
10 0,80
10
0,70 0,60 0,50 0,40
F 10
6
4
10
3
7
108
2
9
10 10
0,20
10
0,10 0
10
20
б)
30
10 lg
Рис. 1.3. Характеристики обнаружения: а — нефлуктуирующий сигнал; б — рэлеевские флуктуации амплитуды сигнала
14
Отношение сигнал/шум. Величина q0, определяемая формулой (1.3.4), называется отношением сигнал/шум [21]. Для определения отношения сигнал/шум чаще пользуются другим соотношением: q0 E/Nо (см., например, [77, 24]), где Nо — односторонняя спектральная плотность шума. Так как Nо 2Nш, то оба соотношения для q0 совпадают между собой. Заметим, что односторонней спектральной плотностью мощности шума здесь названа величина, характеризующая интенсивность шума, который имеет ненулевые спектральные составляющие только на положительных частотах. Именно эта величина может быть получена по результатам измерений физическими приборами. Но преобразование Фурье реальных сигналов отлично от нуля как на положительных, так и на отрицательных частотах. Поэтому математический анализ часто упрощается, если полагать, что спектральные составляющие шума отличны от нуля на всей частотной оси от до . Спектральная плотность мощности двустороннего шума будет равна Nш Nо /2. Приведённое определение отношения сигнал/шум не единственное. Плотность распределения выходной величины, формируемой в соответствии с формулой R X 2 Y 2 в оптимальном приёмнике с линейным детектором, будет иметь вид W ( R ) R exp{ ( R 2 V 2 ) 2 } I 0 ( RV ) ,
5
0,30
1.6. Определения отношения сигнал/шум, автокорреляционной и взаимно корреляционной функций, коэффициента потерь
где V E N ш 2q0 . Величина V является отношением амплитуды сигнальной компоненты на выходе согласованного фильтра к среднеквадратичному значению шумовой компоненты. Это отношение также может служить основой для определения отношения сигнал/шум. Отношением сигнал/шум в монографиях [51, 67, 68] называют величину V или V 2. Нетрудно заметить, что это отношение сигнал/шум отличается на 3 дБ от отношения сигнал/шум, определённого формулой (1.3.4). Во избежание недоразумений подчеркнём, что в дальнейшем под отношением сигнал/шум всегда будет подразумеваться величина, определяемая формулой (1.3.4), т. е. отношение энергии сигнала к односторонней спектральной плотности шума. В зарубежной литературе [9, 59] также отмечается, что используются два определения отношения сигнал/шум. К сказанному добавим, что недоразумения, порождаемые наличием двух определений отношения сигнал/шум, усугубляются существованием двух спектральных плотностей: односторонней и двусторонней. Так, определение отношения сигнал/шум в виде отношения 15
энергии сигнала к спектральной плотности шума не вносит ясности, если не уточнить, какая спектральная плотность имеется в виду. Автокорреляционная функция и взаимно корреляционная функция. Определением автокорреляционной функции принимаемого сигнала является формула
C00(, )
U
0 ( t ) U 0 (t
) e i t dt .
(1.6.1)
Функция C10(, ), определяемая формулой (1.3.5), является взаимно корреляционной функцией опорного и принимаемого сигналов. Функция C11(, ), определяемая формулой (1.4.2), является автокорреляционной функцией сигнала, по отношению к которому приёмное устройство является оптимальным. Если огибающие опорных сигналов в каналах одинаковы с огибающей принимаемого сигнала, то функции C10(, ) и C11(, ) совпадают с автокорреляционной функцией сигнала C00(, ). Из формулы (1.4.1) следует, что коэффициенты корреляции шумовых компонент на входах детекторов огибающей в каналах обнаружения определяются с помощью автокорреляционной функции опорного сигнала. Поэтому при анализе многоканальных систем необходимо знать аналитические выражения для функции C11(, ). Взаимно корреляционная функция C10(, ) часто встречается при изучении различных радиотехнических проблем. Амплитуда сигнальной компоненты на выходе канала обнаружения пропорциональна величине |C10(1 с, 1 с)|, где 1 и 1 — параметры (задержка, частота), на которые настроен канал обнаружения; с и с — параметры сигнала на входе приёмника. От амплитуды сигнала на выходе канала зависит вероятность обнаружения цели. Функция |C10(, )|, а также сечения |C10(, 0)| и |C10(0, )| этой функции используются при анализе точности измерений параметров сигнала и разрешающей способности радиолокатора. Для функции C00(, ) здесь применено название «Автокорреляционная функция» [17, т. 3]. Однако это название не единственное. Например, в [21] аналогичная функция называется функцией автокорреляции, а в [61, т. 1] — функцией неопределённости. В [66] автокорреляционной функцией называется модуль соответствующей двумерной функции. В [61, т. 1] автокорреляционной функцией называется функция неопределённости, когда одна из координат ( или ) равна нулю, а взаимно корреляционная функция называется взаимной функцией неопределённости. В [17, т. 3] используются одновременно два названия: автокорреляционная функция и функция неопределённости, причём функция неопределённости является квадратом модуля автокорреляционной функции. Функция, называемая здесь автокорреляционной, в отечественной литературе обычно обозначается через C(, ), а в англоязычной — через (, ) (см., например, [21; 61, т. 1]). 16
Помимо отличий в названии, существует разнообразие и в формулах, посредством которых в различных монографиях определяется автокорреляционная функция. Затруднений из-за различий в определении обычно не возникает, так как квадрат модуля автокорреляционной функции оказывается при этом для разных определений одинаковым, а автокорреляционная функция используется, как правило, в виде модуля или квадрата модуля. Хотя, как показано в [247], из-за различий в определениях возможны и недоразумения. В некоторых случаях всё же необходимо обязательно иметь в виду эти различия. В § 1.4 проведён анализ многоканальной системы. В выражения, описывающие взаимные корреляционные связи случайных величин в двух каналах, входят не только модули комплексных значений взаимно корреляционной функции, но и аргументы. Поэтому окончательные аналитические выражения в подобных случаях могут зависеть от вида формулы, посредством которой определена автокорреляционная или взаимно корреляционная функция. В определениях (1), (1.3.5) и (1.4.2) учтены рекомендации из [247]. Обозначим U(t) и U(t) комплексные огибающие -го и -го сигналов,
C(, )
U
(t ) U ( t
) e i t dt .
Огибающие U(t) и U(t) нормированы так же, как это определено формулой (1.1.3) по отношению к U0(t). Можно показать, что
1 2
2
C ( , ) d d 1 .
Объём, охватываемый поверхностью функции |C(, 2f )|2, является постоянной величиной. Это свойство выполняется для любых комплексных огибающих сигналов U(t) и U(t). Объём равен 1, если огибающие нормированы. Если выполняется условие U(t) U(t), то автокорреляционную функцию C(, ) можно представить в виде C ( , ) e i 2 D ( , ) ,
где D(, ) — действительная функция. Взаимно корреляционные функции удовлетворяют равенствам C ( , ) e i C ( , ) ;
C ( , ) C ( , ) .
Поэтому формулу (1.3.3) можно переписать в виде 2
q q0 C01 ( с 1 , с 1 ) .
17
Если U0(t) — действительная функция, то модуль автокорреляционной функции не зависит от знаков аргументов, т. е. |C00( , )| = |C00(, )|. Этим свойством обладает, например, автокорреляционная функция фазокодоманипулированного (ФКМ) импульса. Фазовая модуляция импульса не влияет на вид сечения C00(0, ), поэтому зависимости C00(0, ) для ФКМ импульса и для импульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) будут такими же, как для импульса без внутриимпульсной модуляции. Пусть S(i) — изображения по Фурье комплексных огибающих:
S(i)
U
(t ) e
i t
dt .
(1.6.2)
В формулу для C(, ) подставим
U (t
Тогда
1 ) S (i ) e i ( t ) d . 2
C(, )
1 U (t ) S (i ) e i ( t ) d e i t dt 2
i( ) t dt S (i ) e i d . U (t ) e Окончательно получаем ещё одну формулу для взаимно корреляционной функции:
1 2
C(, )
1 S (i i ) S (i ) e i d . 2
(1.6.3)
Заметим, что из условия нормировки огибающих U(t) и из формулы (2) следует, что изображения по Фурье тоже нормированы:
2 1 S (i ) d 1 . 2
По сути, это утверждение является теоремой Парсеваля. Коэффициент потерь. Чтобы пояснить некоторые понятия, которые часто применяются в инженерной практике, рассмотрим отношение q/q0. Согласно формуле (1.3.3) это отношение равно |C10(1 с, 1 с)|2. Используя интегральную форму неравенства Коши — Буняковского и условие нормировки огибающих U0(t) и U1(t), можно убедиться, что |C10(1 с, 1 с)|2 1, причём равенство в этой формуле достигается при оптимальной обработке, когда U1(t) U0(t), 1 с, 1 с. Если обработка оптимальная, то q q0. 18
Теперь заметим, что вероятностное описание случайной величины на выходе рассматриваемого приёмника при произвольном виде опорного сигнала будет совпадать с соответствующим описанием для оптимального приёмника, если предположить, что на вход оптимального приёмника полезный сигнал поступает с уменьшенной энергией. Поэтому величину |C10(1 с, 1 с)|2, характеризующую уменьшение энергии, можно назвать коэффициентом энергетических потерь из-за неоптимальной обработки сигнала или просто коэффициентом потерь. Если U1(t) U0(t), то взаимно корреляционная функция C10() принимаемого и опорного сигналов в формуле (1.3.3) заменяется автокорреляционной функцией C00(). Величину |C00(1 с, 1 с)|2 при с 1 и (или) при с 1 тогда можно назвать коэффициентом потерь из-за расстройки сигнала по задержке с и частоте с относительно параметров 1 и 1, на которые настроен приёмник. Если же с 1 и с 1, то величина |C10(0, 0)|2 представляет собой коэффициент потерь из-за отличия огибающих опорного и принимаемого сигналов. Далее считается, что в общем случае коэффициентом энергетических потерь служит некоторая величина, значение которой удовлетворяет условиям 0 1, 10 lg 0. Когда будет употребляться выражение «Энергетические потери», то будет подразумеваться |10 lg |, т. е. значение коэффициента потерь в децибелах и с отброшенным знаком. Если коэффициент потерь уменьшается, то энергетические потери растут. Отношение сигнал/шум на выходе приёмника. Величину q, определяемую формулой (1.3.3), можно тоже назвать отношением сигнал/шум, но при этом необходимо иметь в виду, что это отношение сигнал/шум получено с учётом соответствующего коэффициента потерь. Величину q называют отношением сигнал/шум на выходе приёмника. В общем случае определением отношения сигнал/шум на выходе приёмника является формула 2
X Y q 2 2
2
| X iY |2 X ш2 Y ш2
,
(1.6.4)
которая следует непосредственно из формулы (1.3.2). При зондировании объёмно-распределённых или поверхностнораспределённых объектов сигнал на входе приёмника представляет собой суперпозицию элементарных сигналов, имеющих разные параметры. Неясно, каким образом для такого составного сигнала можно определить отношение сигнал/шум на входе приёмника. В подобных случаях при анализе интенсивности отражений целесообразно использовать отношение сигнал/шум на выходе приёмника. 19
2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕДУР ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ 2.1. Предварительные замечания о методах анализа процедур обнаружения сигналов В гл. 3 будет рассмотрен пример с оценкой эффективности обнаружения сигнала при использовании адаптивного порога. Этот пример является одним из редких исключений, когда удаётся получить аналитическое решение. В большинстве случаев точные аналитические решения недоступны. Приходится применять численные методы с большим объёмом вычислений или какие-либо приближённые методы. Сложность состоит в том, что при оценках вероятности ложной тревоги необходимо осуществлять контроль точности вычислений, а погрешность вычислений в большинстве случаев должна быть чрезвычайно малой. Если необходимо оценить вероятность, равную 106, то абсолютная погрешность вычислений не может быть больше, чем, например, 108 или 1010. Если в процессе вычислений погрешность накапливается, то требования к точности значительно возрастают. Можно применять лишь те методы, которые позволяют получать результаты с любой заранее заданной точностью. Альтернативой приближённым методам часто служит статистическое моделирование (метод Монте — Карло). В данном случае применение этого метода ограничивается тем, что для оценки вероятности ложной тревоги понадобится очень большое число экспериментов. Чтобы оценить низкую вероятность, необходимо провести очень большое количество независимых статистических испытаний. Сложности возникают не только из-за больших затрат машинного времени для статистического моделирования. Представляется, что использование штатных датчиков, встроенных в используемые системы программирования, связано с некоторым риском. Может оказаться, что датчики случайных чисел необходимо разрабатывать самостоятельно. Случайные числа, генерируемые в вычислительной машине, правильнее называть псевдослучайными. Они формируются с помощью рекуррентных алгоритмов. Из-за этого последовательности псевдослучайных чисел являются периодическими последовательностями. По этой причине результаты оказываются сомнительными, когда для их получения требуется большое число статистических испытаний. Но и в тех случаях, когда период последовательности большой, всё равно справедливы сомнения относительно качества датчиков псевдослучайных чисел. Необходимо иметь датчики, обладающие высоким качеством. В [56] со ссылками на строгие математические теоремы высказывается предположение, что получение «настоящих» случайных чисел возможно только с помощью достаточно длинной 20
программы. Поэтому можно прийти к выводу, что усилия, затраченные на разработку хороших датчиков псевдослучайных чисел, могут быть сопоставимы с усилиями на получение результатов каким-либо другим способом. К оценкам вероятности ложной тревоги с помощью обычного статистического моделирования следует прибегать лишь в крайних случаях, когда невозможно применение каких-либо других методов оценки. Заслуживают внимания две модификации метода статистических испытаний. В [161, 210, 31] описано применение метода существенной выборки (выборки по важности) для оценок малых вероятностей с помощью статистического моделирования. Этот метод основан на изменении масштаба случайных переменных. Он позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты. В [159, 262, 277] метод существенной выборки применялся для оценок вероятности ложной тревоги. Представлены результаты исследований характеристик обнаружения. В этих работах полагалось, что выходные величины во всех каналах статистически независимы между собой. Использовалось изменение масштаба только в канале обнаружения. Следует заметить, что в тех случаях, когда выходная величина в канале обнаружения и адаптивный пороговый уровень являются независимыми между собой случайными величинами, предпочтительнее применять предложенный в [194] метод статистического моделирования. Позже этот метод был назван квазианалитическим (см., например, [199]). В этом методе осуществляется статистическое моделирование только порогового уровня, а вероятность превышения случайного порога вычисляется в каждой реализации по аналитической формуле. В [89] квазианалитический метод с успехом применялся для анализа характеристик обнаружения. А в [199] представлены результаты, из которых следует, что вычислительные затраты при квазианалитическом методе оказываются на порядок меньше, чем при методе существенной выборки. Можно попытаться применить метод существенной выборки и в тех случаях, когда сигналы и шумы во всех каналах являются статистически зависимыми случайными величинами. Для этого необходимо иметь возможность вычислять многомерную плотность распределения квадратурных составляющих. Это осуществимо, например, когда шумы гауссовские. Тогда метод существенной выборки реализуется путём изменения статистических характеристик входного сигнала. Применения квазианалитического метода статистического моделирования и метода существенной выборки детально изложены в гл. 8 и 10 данной книги. 21
Традиционный метод статистических испытаний допустим в тех случаях, когда решены все задачи, связанные с формированием пороговых уровней и оценкой вероятности ложной тревоги. При оценке вероятности обнаружения сигнала требования к абсолютной погрешности не являются такими высокими, как при оценке вероятности ложной тревоги. Следовательно, оценивать вероятность обнаружения сигнала можно любым методом статистических испытаний. Для этого не понадобится чрезмерно большого количества испытаний. На основании изложенного можно сделать вывод, что целесообразно искать и другие дополнительные возможности для анализа характеристик обнаружения. Такие возможности появляются при использовании преобразования Лапласа, с помощью которого можно находить какие-либо статистические характеристики функций от случайных переменных. Иногда оказывается, что с помощью преобразования Лапласа можно получить аналитическое решение, несмотря на то что не удаётся найти это решение прямыми математическими методами. Преобразование Лапласа позволяет успешно решать различные радиотехнические задачи. Оно будет неоднократно применяться в следующих главах. Далее излагаются основные свойства преобразования Лапласа, а также иллюстрируется его применение при решении различных задач. 2.2. Преобразование Лапласа и теория вычетов Эффективным инструментом в теории вероятностей является аппарат характеристических функций, применение которого во многих случаях облегчает процесс нахождения плотности распределения вероятностей. Характеристические функции можно использовать в различных функциональных преобразованиях. Однако использование характеристических функций может ограничиваться тем, что они являются по определению функциями действительного переменного. Ощутимое расширение возможностей в функциональных преобразованиях предоставляет применение преобразования Лапласа вместо характеристических функций. Применение преобразования Лапласа оказывается возможным благодаря тому, что в задачах обнаружения сигналов приходится иметь дело, в основном, с положительными случайными величинами, и поэтому плотности распределения вероятностей таких случайных величин тождественно равны нулю на отрицательной полуоси. Изображение по Лапласу плотности распределения вероятностей положительной случайной величины и плотность распределения связаны между собой функциональными преобразованиями
F ( p ) exp( px )
e
px
w( x ) dx ,
(2.2.1)
c i
w( x )
1 e px F ( p ) dp , 2 i c- i
(2.2.2)
где c — некоторая константа. Черта над выражением означает усреднение этого выражения по всем случайным переменным, входящим в выражение. Функцию F( p) называют также преобразованием Лапласа функции w(x). Функцию w(x) по отношению к изображению называют функцией-оригиналом или просто оригиналом. Изображение F( p) является функцией комплексного переменного. Интегрирование в формуле (2) осуществляется вдоль прямой, соединяющей точки c i и c i . При c 0 эта прямая называется контуром Бромвича [3]. Значение константы c в формуле (2) может быть выбрано произвольным при условии, что особые точки подынтегрального выражения будут расположены слева от контура интегрирования. Например, если интеграл (1) сходится при некотором отрицательном значении Re( p), то константа c может быть отличной от нуля и отрицательной, хотя и сколь угодно малой по абсолютной величине. Аналитическое выражение изображения по Лапласу может быть использовано для нахождения начальных моментов случайной величины. Если -й момент существует, то его значение можно определить по формуле m ( 1) F ( ) (0) , где F ( ) ( p ) — -я производная изображения. Если существуют все (т. е. при любом ) моменты распределения, то изображение в большинстве случаев (но не всегда) может быть представлено в виде ряда Маклорена:
F ( p)
( p) m . ! 0
(2.2.3)
При исследованиях случайных величин, когда приходится иметь дело с плотностью распределения вероятностей, приближённо равной нормальной плотности, используются коэффициенты разложения в ряд логарифма характеристической функции. При использовании преобразования Лапласа эти коэффициенты определяются разложением в ряд: ( p) ln F ( p ) . ! 1
Коэффициенты называются семиинвариантами (или кумулянтами) распределения. Зная семиинварианты, можно найти разложение плотности распределения в ряд по ортогональным полиномам Эрмита (ряды Грама — Шарлье и Эджворта).
0
22
23
Изображение F( p) может быть использовано в различных аналитических преобразованиях. Рассмотрим простой пример. Известна плотность распределения вероятностей случайной величины w(x), и задана функция (x) 0. Необходимо найти W( y) — плотность распределения вероятностей случайной величины y (x). Изображение плотности W( y) можно найти по формуле
e
F ( p ) exp( py )
p ( x )
w( x ) dx .
Затем обратным преобразованием Лапласа находим требуемую плотность. Во многих случаях нахождение оригинала w(x) по формуле обращения (2) осуществляется с помощью теoрии вычетов. Пусть p — особые точки функции f ( p), являющиеся полюсами порядка n ( 1, 2, ). В окрестности точки p функция f ( p) может быть представлена в виде ряда Лорана: f ( p)
c n ( p p ) n
c 1 c0 c1 ( p p ) . p p
Если особыми точками F( p) являются полюсы, то теорема о вычетах может с успехом применяться при вычислении таких интегралов, как в формуле (2). Представим себе контур L, состоящий из прямой, соединяющей точки c i и c i , и дуги окружности бесконечно большого радиуса с центром в начале координат. Дуга расположена слева от этой прямой и дополняет прямую до замкнутого контура. Контур Бромвича в (2) можно заменить контуром L, так как в теории функций комплексного переменного доказывается, что интеграл по дуге будет равен нулю. Тогда все особые точки подынтегрального выражения в (2) находятся внутри области, охватываемой контуром L, и следовательно, (2.2.7) w( x ) res {e px F ( p )} ,
где p — полюса изображения F( p). Если p — полюс первого порядка, т. е. n 1, то можно записать F ( p)
(2.2.4)
res f ( p ) c1 .
Применение теории вычетов основывается на теореме о вычетах, позволяющей вычислять контурные интегралы
res
p p
f ( p) .
(2.2.5)
В этой формуле интегрирование осуществляется вдоль замкнутой кусочно гладкой кривой L. Особые точки p функции f (p) расположены внутри области, охватываемой контуром интегрирования. Функция f (p) предполагается непрерывной на границах и аналитической внутри этой области (разумеется, за исключением особых точек p). В формуле (5) контур L при интегрировании обходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Если интегрирование производится в обратном направлении, то при движении по контуру особые точки будут расположены справа, а теорему о вычетах следует записать в виде 1 2 i
24
res {e px F ( p )} e p x f ( p ) .
f ( p ) dp
res
p p
f ( p) .
(2.2.9)
p p
(2.2.6)
res e px F ( p )
p p
f ( p ) dp
(2.2.8)
Если же n 1, то соответствующий вычет может быть найден по формуле
p p
f ( p) , p p
где f ( p) — функция, аналитическая в окрестности точки p. Тогда
Вычетом функции f ( p) в точке p называется коэффициент c 1 в разложении (4). Это определение будем записывать в виде
1 2 i
p p
1 d n 1 e px f ( p ) ( n 1) ! dp n 1
,
(2.2.10)
p p
n
где f ( p) ( p p ) F ( p ) . Вертикальная черта с пометкой p p в конце формулы (10) означает, что выражение, расположенное между знаком равенства и вертикальной чертой, берётся в точке p p. Рассмотрим ещё одну особенность применения преобразования Лапласа. Обычной задачей при исследовании характеристик обнаружения сигналов является нахождение вероятности превышения некоторого порога случайной величиной, распределённой по закону w(x). Эта вероятность выражается в виде интеграла
D ( )
w( x) dx .
(2.2.11)
Зная изображение по Лапласу F( p) плотности w(x), можно изложенными выше методами найти w(x), а затем по формуле (11) найти 25
вероятность превышения порога. Однако можно обойтись без промежуточных операций по нахождению w(x). Для этого нужно по заданному изображению F( p) найти изображение FD ( p) функции D (), а затем для нахождения D () применить к FD ( p) теорию вычетов. Интеграл
FD ( p )
e
p
p1 1/a — полюс первого порядка. Формула (2.2.8) преобразуется к виду F( p) (1/a)/( p p1), а из (2.2.7) и (2.2.9) теперь следует, что изображению (1) соответствует плотность распределения w(x) (1/a) exp(x/a), Пусть теперь
D ( ) d
F ( p)
0
сходится при Re( p) c, c 0 и вычисляется по частям: FD ( p )
1 p
D( ) d e 0
FD ( p )
p
1 1 p p
p
w( ) d ;
res e p y F ( p )
0
p p1
1 1 F ( p) . p p
Учитывая, что оригиналом для 1/p является 1, можно записать
(2.2.12)
Вычет подынтегрального выражения в точке p 0 равен 1, поэтому i
D ( )
1 1 e p F ( p ) dp, 0 . 2 i i p
(2.2.13)
Константа , задающая контур интегрирования, теперь отрицательна. Её значение может быть любым при условии, что все особые точки F( p) располагаются слева от контура интегрирования. 2.3. Применение теории вычетов Вначале проиллюстрируем применение теории вычетов на примерах вычисления плотностей распределения вероятностей. Помимо того, что примеры поясняют применение теории, результаты будут использоваться в последующих разделах. Обратим внимание на то, что в рассматриваемых примерах F( p) удовлетворяет условию F(0) 1, которое следует из формулы (2.2.1). В качестве первого примера рассмотрим изображение F ( p)
1 , 1 p a
(2.3.1)
где a — любое положительное число, являющееся параметром распределения. Изображение (1) имеет единственную особую точку 26
1 d N 1 ( N 1) ! dp N 1
1 y N 1 p y e ( N 1) ! a N
ci
1 1 D ( ) 1 e p F ( p ) dp, c 0 . 2 i c i p
1 . (1 p a ) N
(2.3.2)
Изображение (2) имеет единственную особую точку p1 1/a — полюс N-го порядка. Воспользовавшись формулой (2.2.10), запишем
e
x 0.
p p1
py 1 e aN
p p1
y N 1 e y a . N ( N 1) ! a
Изображению (2) соответствует плотность распределения W ( y)
y N 1 e y a . N ( N 1) ! a
(2.3.3)
Заметим, что если вместо (N1)! в формуле (3) написать гаммафункцию (N ) и предположить, что N может быть нецелым (положительным) числом, то всё равно непосредственным вычислением изображения от оригинала y N 1 W ( y) e y a ( N ) a N получим формулу (2). Это обстоятельство следует учитывать при применении теории вычетов. Получаемые с помощью теории вычетов выражения для частных значений параметров могут быть справедливыми и в общем случае. Рассмотрим ещё один пример. Используя преобразование Лапласа, найдём плотность распределения вероятностей случайной величины R (X 2 Y 2) /(22), где X и Y определяются формулой (1.3.2). Величины q и в формуле (1.3.2) считаем заданными. Поскольку случайные величины x и y в формуле (1.3.2) статистически независимы, то при заданных q и случайные величины X и Y будут тоже независимыми. Вначале ищем изображение по Лапласу искомой плотности:
F ( p ) e pR exp{ p X 2 ( 2 2 )} exp{ p Y 2 (2 2 )} ; 27
Если учесть разложение в степенной ряд функции Бесселя мнимого аргумента, то плотность распределения вероятностей, соответствующую изображению (4), можно записать в виде
exp{ p X
2
( 2 q cos x ) 2 ( 2 )} exp p w( x ) dx , 2 2
где w( x ) (1 2 ) exp( x 2 2) — плотность распределения вероятностей случайной величины x. Последний интеграл вычисляется аналитическим путём:
x2 ( 2 q cos x ) 2 exp p exp dx 2 2 2
1
pq exp cos 2 . 1 p 1 p 1
Аналогично получаем exp{ p Y 2 ( 2 2 )}
pq 1 exp sin 2 1 p 1 p
pq 1 exp . 1 p 1 p
c i
(2.3.4)
Обращаем внимание на то, что F( p) не зависит от фазы . Теперь представим изображение (4) в виде ряда F ( p) eq
q q q 1 1 . exp e 1 1 p 1 p 0 ! (1 p )
Используя обратное преобразование Лапласа, для соответствующей плотности распределения можно записать
W (R) e
q
0
c i
q 1 1 e p R dp . 1 ! 2 i c i (1 p )
Из (2) и (3) следует, что c i
1 1 R R pR e dp e , 2 i c i (1 p ) 1 !
поэтому
W ( R ) e R q
0
28
qR . ! !
R 0.
Вычислением плотностей распределения вероятностей не ограничивается круг задач, в которых может использоваться теория вычетов. Теорема о вычетах может применяться при вычислении различных интегралов, когда интегрирование осуществляется вдоль прямой, соединяющей точки c i и c i . Представим контур, состоящий из прямой, соединяющей точки c i и c i , и дуги окружности бесконечно большого радиуса с центром в начале координат. Дуга расположена слева от этой прямой и дополняет прямую до замкнутого контура. Тогда, если f ( p ) p r 0 при Re( p) c, r 1, p , то интеграл от f ( p) по дуге можно принять равным нулю и 1 f ( p ) dp 2 i c i
и, наконец, F ( p)
W ( R ) e R q I 0 ( 2 qR ) ,
res f ( p) .
p p
(2.3.5)
Штрих у знака суммы в формуле (5) означает, что суммируются только вычеты в особых точках p, расположенных слева от контура интегрирования, т. е. при выполнении условия Re( p) c. Если же f ( p ) p r 0 при Re( p) c, r 1, p , то для вычисления интеграла можно использовать формулу ci
1 f ( p ) dp 2 i c i
res f ( p) .
p p
Теперь два штриха у знака суммы означают, что учитываются только те особые точки, для которых Re( p) c. Дополнительные сведения о применении теории вычетов к расчёту характеристик обнаружения сигналов можно найти в [176]. 2.4. Характеристики суммы статистически зависимых случайных величин, являющихся выходными величинами в каналах с квадратичным детектором На рис. 1.2 представлена схема канала обнаружения, в которой выходная величина нормирована по отношению к 2 — дисперсии шумовых компонент на выходах квадратурных каналов. На практике такая нормировка возможна в том случае, если известна интенсивность входного шума и, следовательно, известно значение 2. Если интенсивность шума неизвестна, то выходной величиной схемы 29
может служить величина R ( X 2 Y 2 ) 2 . При вынесении решения о наличии полезного сигнала выходная величина сравнивается с порогом, значение которого зависит от интенсивности входного шума. Поэтому процедура обнаружения полезного сигнала должна включать в себя также и процедуру измерения интенсивности шума. Основой многих схем формирования порогового уровня является суммирование выходных величин в каналах, входящих в многоканальную систему. Среднее значение выходных величин пропорционально значению 2. Среднеарифметическое значение отсчётов, полученных на выходах каналов, можно считать замером интенсивности шума. В данном параграфе исследуются статистические свойства суммы выходных величин. Рассматриваемый далее пример может послужить отправной точкой для исследования некоторых свойств адаптивных пороговых уровней. Считаем, что полезный сигнал отсутствует. Пусть N — число каналов, выходные величины которых суммируются. Нормальные случайные величины на выходах квадратурных каналов записываем в виде X x , Y y ( 1, 2, , N ). Средние значения нормальных случайных величин x и y равны 0, дисперсии равны 1, а коэффициенты корреляции определяются формулами (1.4.1). Для случайных величин x1, x2, , xN, y1, y2, , yN введём единое обозначение z1, z2, , z2N , а именно 1 i N, x , если zi i yi N , если N 1 i 2 N , i 1, 2, , 2N. Матрицу, составленную из коэффициентов корреляции случайных величин zi , записываем в виде A R rij zi z j 1 A2
A2 , A1
(2.4.1)
где A1 c ; A 2 s ; c и s — коэффициенты корреляции, определяемые формулами (1.4.1). Такая запись возможна благодаря свойствам коэффициентов корреляции, приведённым в (1.4.1). Элементы обратной матрицы R 1 обозначим rij(1) , det R — определитель матрицы R. Тогда плотность распределения вероятностей случайных величин zi имеет следующий вид: w( z1 , , z 2 N )
30
1
2
2N
1 2 N ( 1) exp rij zi z j . 2 i , j 1 det R
Сумму выходных величин в каналах выражаем через квадратурные составляющие N X 2 Y2 S 2 1
и затем записываем в виде S 2 S , где N
S
1
X 2 Y2 2 2
N
1
x2 y 2 1 2 2
2N
z
2 i
.
i 1
Ищем изображение по Лапласу плотности распределения вероятностей нормированной суммы:
F ( p ) exp{ pS}
1
2
2N
1 exp p 2
i 1
) dz1 dz 2 N
1 2 N ( 1) exp g ij zi z j dz1 dz2 N , 2 i , j 1
2 i w( z1 , z 2 N
det R
2N
z
где gij(1) — элементы матрицы G 1 pE R 1 , E — единичная матрица. Будем использовать равенство
1 2 N ( 1) exp g ij zi z j dz1 dz 2 N 1 . (2.4.2) 2N 2 i , j 1 2 det G Формально левая часть равенства (2) является интегралом от многомерной плотности распределения вероятностей. Поэтому, если переменная p не принимает комплексных значений и не отрицательна, то справедливость формулы (2) не вызывает сомнений. В [11, 42] содержится утверждение, что подобные формулы справедливы и для матриц gij(1) с комплексными элементами. При этом необходимо, чтобы матрица, составленная из действительных частей этих элементов, была положительно определённой. В данном случае формула (2) справедлива при Re p c, где c — некоторая константа. Если все каналы настроены на разные значения параметров сигнала, то det R 0. Тогда константа c может быть даже отрицательной, хотя и сколь угодно малой по абсолютной величине. В результате получаем 1
F ( p)
det G 1 1 1 . 1 1 det R det(E pR ) det R det G det(RG )
31
Учитывая (1), запишем E pA 1 det( E pR ) det pA 2 E pA 1 i pA 2 det pA 2 i E i pA 1 E pA 1 i pA 2 det 0
Функция C11(, ) определяется с помощью формулы (1.4.2) и представляет собой автокорреляционную функцию опорного сигнала в каналах обнаружения. Значения , , , являются значениями параметров, на которые настроены каналы с номерами и . Если матрица R определена формулой (1), то det R det A . Для обратной матрицы тоже справедливо представление [173]
pA 2 E pA1 pA 2 E pA1
pA 2 E pA1 i pA 2
det( E pA1 i pA 2 ) det( E pA1 i pA 2 )
det(E pA ) det(E pA ) , где A A 1 iA 2 , A A1 iA 2 , звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. Поскольку матрица A1 симметрическая, а A2 — кососимметрическая (антисимметрическая), то A и A*— эрмитовы матрицы. Определители эрмитовых матриц являются действительными числами. Определители det A и det A* равны между собой. Собственные значения матрицы A* совпадают с собственными значениями матрицы A. Если — собственные значения матриц A и A* ( 1, 2, , N ), то 1 p — собственные значения матриц E pA и E pA*. Учтём ещё, что определитель матрицы равен произведению собственных значений этой матрицы. Из сказанного следует, что det(E pA ) det(E pA ) и det( E pR ) det(E pA ) det(E pA ) .
Окончательно получаем F ( p)
a e
32
C11 ( , ) ,
, 1, 2, , N.
N 1 1 ( 1) exp a ( x i y )( x i y ) , N ( 2 ) det A 2 , 1
1 N 2 exp p ( x y 2 ) 2 1 1 w( x1 , , x N , y1 , , y N ) dx1 dx N dy1 dy N N (2 ) det A F ( p ) exp{ pS}
(2.4.3)
(2.4.4)
(1) ( 1) ( 1) ) a где a — элементы матрицы A 1 . Поскольку ( a , то мнимые слагаемые в показателе экспоненты в формуле (4) взаимно сокращаются, и выражение в показателе принимает действительные значения. Если для нахождения изображения по Лапласу плотности распределения суммы использовать формулу (4), то преобразования будут более короткими. Для иллюстрации этого утверждения обозначим через элементы единичной матрицы ( 1 при и 0 при ). Затем, используя формулу (4), получаем
1 . det(E pA )
Важной особенностью подобных задач является то, что A — эрмитова матрица. Матрица называется эрмитовой (самосопряжённой), если её элементы удовлетворяют условию a a . При использовании эрмитовых матриц приходится иметь дело с комплексными величинами, но зато порядок матриц уменьшается в два раза. Используемые выражения оказываются более компактными. В данном случае элементы матрицы A ||a|| можно находить по формуле i( )
T T2 ( 1) , R 1 r 1 T2 T1 причём T T1 iT2 является эрмитовой матрицей, и выполняется соотношение T A 1 . В [173, 15] рассматривается совокупность нормальных (гауссовских) случайных величин, у которых корреляционная матрица имеет такой же вид, как в формуле (1). Там отмечается, что плотность распределения вероятностей таких случайных величин можно записывать в виде w( x1 , , x N , y1 , , y N )
1 N ( 1) exp ( p a )( x i y )( x i y ) dx1 dy N 2 , 1
det( pE A 1 ) 1 1 1 . 1 det A det A det( pE A ) det(E pA )
33
Более коротким путём мы получили прежнее выражение для F( p). Если — собственные значения матрицы A ( 1, 2, , N ), то 1 p — собственные значения матрицы E pA. Заменяя определитель det(E pA) произведением собственных значений матрицы E pA, получим N 1 . (2.4.5) F ( p) 1 p 1
Дисперсия суммы равна N
2S ( S S ) 2 2 T2
В общем случае, когда случайные величины на выходах каналов частично коррелированы, все собственные значения матрицы A положительны и отличаются между собой. Плотность распределения суммы выходных величин определяется формулами 1 W (S ) 2 i
ci
S e F ( p ) dp b exp , 1 c- i
b
1
N
1
1 1
k
N
2S
|2 .
(2.4.7)
N
2S
N
N 1
2
( N | k | ) 2k .
k ( N 1)
1 1
При малых расстройках сумму можно заменить интегралом 2S
N2 2 Tи
Tи
(T | | ) C
11 ( , 0)
и
2
d ,
Tи
где Tи N — длительность интервала задержек, перекрываемых каналами обнаружения. В практических случаях оказывается, что Tи
| | C
2
Tи
d
Tи
T
и
2
C11 ( , 0) d ,
Tи
поэтому 2S
1 N Tи
Tи
2
2
C11 ( , 0) d .
(2.4.8)
Tи
Величину
N 1
Теперь предположим, что все каналы настроены на одно и то же значение доплеровской частоты. Каналы расставлены по задержке равномерно, т. е. расстройка по задержке между соседними каналами является постоянной величиной. Пусть — расстройка между соседними каналами обнаружения 2 по задержке. Обозначим 2k 2 k C11 ( k , 0) . Тогда из формулы (2.4.3) следует
11 ( , 0)
a
N
|a 1 1
1
S 1 T1
.
a
Поскольку a a , то
( k 1)! Tk ,
где Tk — след матрицы Ak. След матрицы равен сумме диагональных элементов матрицы, поэтому для определения семиинвариантов можно не вычислять собственные значения. Достаточно вычислить степени матрицы, а затем просуммировать диагональные элементы степеней. Среднее значение суммы равно
a 1
.
N
k ( k 1)!
N (2) a
(2.4.6)
Семиинварианты случайной величины S определяются формулой
,
(2) где a — диагональные элементы матрицы A2,
| a |2 2 ,
N
pS
(2)
1
Для вычисления обратного преобразования Лапласа от изображения, представленного формулой (5), можно использовать теорию вычетов. Если все случайные величины на выходах каналов статистически независимы между собой, то матрица A превращается в единичную матрицу. Все собственные значения единичной матрицы равны 1. При этом 1 S N 1 S W ( S ) e . , F ( p) ( N 1)! (1 p ) N
a
N.
T
Tэфф
2
C11 ( , 0) d
T
34
35
назовём эффективной длительностью автокорреляционной функции опорного импульса. Здесь T — длительность импульса. Если T, то C11(, 0) 0, поэтому при Tи T интеграл в (8) равен Tэфф. Если каналы предназначены для обнаружения импульсов с внутриимпульсной модуляцией (ФКМ, ЛЧМ) и длительность интервала Tи существенно превышает длительность «сжатого» импульса, то интеграл в (8) также можно заменить эффективной длительностью импульса. Тогда Tэфф 2S N 2 . (2.4.9) Tи
в качестве C11(, ) следует подставлять автокорреляционную функцию C00(, ), определяемую формулой (12). Для уменьшения боковых лепестков сечения взаимно корреляционной функции вдоль оси задержек применяют частотную весовую обработку принимаемых сигналов. Частотная весовая обработка заключается в том, что преобразование Фурье от комплексной огибающей опорного сигнала U1(t) принимается равным S1(i) A()S0(i), где A() — весовая функция, S0(i) — преобразование Фурье от комплексной огибающей принимаемого сигнала U0(t). Для прямоугольных ЛЧМ импульсов часто используется весовая функция типа косинус-квадрат
Используя полученные результаты, рассмотрим два крайних случая. В первом случае предполагаем, что шумовые компоненты в каналах обнаружения статистически независимы от канала к каналу. Этот случай относится, например, к устройствам, предназначенным для обнаружения простых прямоугольных импульсов, когда расстройка между каналами по задержке равна длительности импульса. Учитывая, что 20 1 , 2k 0 при k 0, S N , 2S N , получаем
A() [a (1 a) cos2(/)],
2S 1 (2.4.10) . 2 N (S ) Во втором случае предполагаем, что корреляция шумовых компонент в соседних каналах обнаружения значительна. Этот случай относится к устройствам, предназначенным для обнаружения ФКМ или ЛЧМ импульсов, когда расстройка между каналами по задержке меньше длительности «сжатого» импульса. Из формулы (9) следует 2S (S )2
Tэфф Tи
где — нормировочный множитель; a — параметр весовой функции («пьедестал») (0 a 1); 2F; F — девиация частоты. Нормировочный множитель определяется соотношением
1 2 S1 (i ) d 1 2
и равен 2 (1 a ) 2 (1 a ) 2 2 . При a 0,08 имеем весовую функцию Хемминга. Если используется частотная весовая функция типа косинусквадрат, то при обработке ЛЧМ импульса автокорреляционная функция опорного сигнала будет иметь вид [74] 1
C11 ( , )
1
m n
e i m C00 ( n m, ) ,
(2.4.13)
m 1 n 1
.
(2.4.11)
Теперь предположим, что многоканальная система предназначена для обнаружения ЛЧМ импульса. Автокорреляционная функция ЛЧМ импульса имеет вид [74] i xy B sin[( x y )(1 | x | B )] при | x | B, e C00 ( , ) (2.4.12) ( x y ) 0 при | x | B, где B FT — база сигнала, F — девиация частоты, x /(1/F ), y /(2/T ). Если осуществляется оптимальная обработка ЛЧМ импульса, т. е. комплексная огибающая опорного сигнала совпадает с комплексной огибающей принимаемого сигнала, то автокорреляционная функция опорного сигнала совпадает с автокорреляционной функцией ЛЧМ импульса. В таком случае в представленные выше формулы 36
где C00() определяется формулой (12); 0
1 1 2
2
;
1 1 a 2 1 ; 1 1 0 ; . 2 1 a F
Таким образом, если известна автокорреляционная функция опорного сигнала C11(), то с помощью формулы (3) можно составить корреляционную матрицу A. Если найдены собственные значения матрицы A, то по формуле (5) находим изображение плотности распределения вероятностей суммы. В компьютерных программах Mathcad имеется встроенная функция eigenvals, вычисляющая собственные значения матрицы. На рис. 2.1 и 2.2 представлены результаты расчётов. На основании численных оценок (см. также графики на рис. 2.1 и 2.2) можно сделать следующие выводы. Если весовая обработка ЛЧМ импульса не применяется, то эффективная длительность автокорреляционной функции опорного 37
импульса составляет примерно 1/F. Когда расстройка между соседними каналами по задержке не превышает 0,8 0,9 от значения 1/F, можно пользоваться формулой (11). При этом формула (11) принимает вид 2S 1 . 2 Tи F (S ) 2
S /( S )
2
2
S / ( S )
0,12
2S 1,8 . 2 Tи F (S )
2
0,12
0,08
0,08
1
1 2
0,04
3 0
2
1
3
0,04
3
4 1/F
2
0
2
1
3
4 1/F
а) б) Рис. 2.1. Относительная дисперсия накопленной суммы при фиксированной длительности интервала задержек Tи; — расстройка между соседними каналами по задержке. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с хемминговской частотной весовой обработкой (б). Расчёты осуществлялись при FT 32, Tи T: 1 — вычисление дисперсии по формуле (2.4.7); 2 — вычисление относительной дисперсии по формуле (2.4.10); 3 — вычисление относительной дисперсии по формуле (2.4.11) 2
S /( S )
2
2
S / ( S )
0,12
0,08
2 0,04 0
2
0,12
0,08
1
0,04
3 1
2
3
4 1/F
1
3
2
3
2 0 1
4 1/F
а) б) Рис. 2.2. Относительная дисперсия накопленной суммы при фиксированном числе каналов N; — расстройка между соседними каналами по задержке. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с хемминговской частотной весовой обработкой (б). Расчёты осуществлялись при FT 32, N 32: 1 — вычисление дисперсии по формуле (2.4.7); 2 — вычисление относительной дисперсии по формуле (2.4.10); 3 — вычисление относительной дисперсии по формуле (2.4.11)
38
Если многоканальная система рассчитана на обнаружение ФКМ импульса, то Tэфф Tд , где Tд T n д — длительность дискрета ФКМ импульса; T — длительность ФКМ импульса; nд — число дискретов. Если применяется весовая обработка, то эффективная длительность Tэфф увеличивается. При хемминговской частотной весовой обработке ЛЧМ импульсов имеет место Tэфф 1,8/F. Поэтому
Формула пригодна, когда расстройка между соседними каналами по задержке не превышает значения 1,4(1/F ). В начале параграфа говорилось о том, что среднеарифметическое значение отсчётов, полученных на выходах каналов, можно считать замером интенсивности шума, поэтому величина 2s (S ) 2 является относительной ошибкой измерения интенсивности шума. Если корреляция шумовых компонент в соседних каналах обнаружения значительна, то относительная ошибка измерения интенсивности шума не будет зависеть в явном виде от реального числа каналов N. В таком случае можно записать 2S 1 , 2 N эфф (S )
(2.4.14)
где Nэфф Tи /Tэфф. Если сравнить формулу (14) с формулой (10), то величину Nэфф можно назвать эффективным числом каналов. Эффективное число каналов является отношением длительности интервала наблюдения Tи к эффективной длительности автокорреляционной функции опорного импульса Tэфф. В заключение сделаем два замечания. В аналогичных задачах могут встретиться матрицы, у которых два или более собственных значения близки между собой. При этом коэффициенты b в формуле (6) будут иметь большие значения. Слагаемые в формуле для плотности распределения вероятностей будут большими по абсолютной величине. Знаки у слагаемых будут разные, поэтому они будут частично вычитаться друг из друга. В таких условиях слагаемые нужно вычислять с большой точностью. При очень близких между собой собственных значениях использование аналитического выражения для плотности распределения становится невозможным. Применительно к подобным случаям в литературе неоднократно встречаются рекомендации использовать для обратного преобразования Лапласа численные методы. Исследование характеристик суммы в данном параграфе выполнено в предположении, что на входе каналов обнаружения сигнальная компонента отсутствует (присутствует только шумовая компонента). Изложенный метод применим также к случаю, когда на входе 39
присутствуют и шум, и гауссовский сигнал (амплитуда сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону). Можно решать эту задачу и применительно к случаю, когда на входе присутствуют и шум, и нефлуктуирующий сигнал. При этом востребованными будут встречающиеся в литературе методы вычисления интегралов от экспоненты, показатель которой содержит квадратичную форму. В качестве примера можно сослаться на работы [229, 73]. Можно получить аналитическое выражение для изображения плотности распределения суммы, но обратное преобразование Лапласа придётся осуществлять численными методами. 2.5. Оценка максимального правдоподобия неизвестной интенсивности шума В предыдущем параграфе полагалось, что оценкой интенсивности шума служит среднеарифметическое значение отсчётов, получаемых на выходах каналов. Там же исследованы статистические характеристики такой оценки, однако ничего не сказано о том, насколько хороша такая оценка. Может быть, существуют какие-то другие способы оценивания, обладающие лучшими характеристиками. В статистической радиотехнике широко используется метод максимального правдоподобия [54] (метод максимума правдоподобия [84, 52]). Метод позволяет находить процедуры обработки наблюдений для получения хороших оценок неизвестных параметров. На практике такие оценки оказываются наилучшими. В данном параграфе метод максимального правдоподобия применяется для нахождения процедуры оценивания интенсивности шума. Особенностью данного исследования является то, что принимается во внимание статистическая зависимость отсчётов от канала к каналу. Нормальные случайные величины на выходах квадратурных каналов записываем в виде X x, Y y ( 1, 2, , N ). Здесь, как и прежде, N — число каналов. Плотность распределения вероятностей нормальных случайных величин x и y можно выразить формулой (2.4.4). Тогда плотность распределения вероятностей случайных величин на выходах квадратурных каналов X и Y будет иметь вид W ( X 1 , , X N , Y1 , , YN )
1 1 exp 2 (2 2 ) N det A 2
( 1) a ( X i Y )( X i Y ) , , 1 N
(2.5.1)
(1) где a — элементы матрицы A1, а элементы корреляционной матрицы A ||a|| определяются формулой (2.4.3). Представим себе, что теперь символами X и Y обозначены не случайные величины, а результаты наблюдения этих случайных величин, т. е. отсчёты квадратурных составляющих. Дисперсия 2 40
неизвестна, и нам предстоит определить значение этой дисперсии по полученным в результате эксперимента результатам наблюдений X и Y. Используем метод максимального правдоподобия. Значения отсчётов X и Y подставим в правую часть формулы (1). Получившееся выражение будет представлять собой функцию одной переменной — функцию неизвестного параметра 2. Эта функция называется функцией правдоподобия, а значение параметра, при котором она достигает наибольшего значения, — оценкой максимального правдоподобия параметра. Пусть теперь ˆ 2 означает решение уравнения 1 d 1 exp 2 d ( 2 ) ( 2 2 ) N det A 2
N
a
( 1) ( X
, 1
i Y )( X i Y ) 0
относительно переменной 2. Это решение является оценкой максимального правдоподобия неизвестной дисперсии и имеет вид ˆ 2
1 2N
N
a
( 1) ( X
i Y )( X i Y ) .
(2.5.2)
, 1
Если отсчёты результатов обработки шума статистически независимы от канала к каналу, то диагональные элементы матриц A и A1 равны 1, а остальные элементы этих матриц равны 0. При этом ˆ 2
1 N
N
1
X 2 Y2 . 2
(2.5.3)
Величина ( X 2 Y2 ) 2 представляет собой результат обработки входной реализации, отсчитываемый в -м канале после квадратичного детектора. Правая часть (3) представляет собой среднее значение отсчётов, получаемых на выходах всех каналов. Отсчёты X и Y, значения которых подставляются в формулу (2), являются случайными величинами, подчиняющимися распределению (1). Поэтому получаемое значение ˆ 2 будет обладать случайными ошибками. Чтобы получить представление о статистических характеристиках замера ˆ 2 , вычисляемого по формуле (2), будем искать изображение по Лапласу F( p) плотности распределения вероятностей замера. Осуществляем преобразования F ( p ) exp( pˆ 2 )
1 N ( 1) exp p a ( X i Y )( X i Y ) 2 N , 1 W ( X 1 , , X N , Y1 , , YN )dX 1 dYN .
(2.5.4) 41
Подставив (1) в (4), после некоторых преобразований можно записать 2 F ( p ) 2
N
W ( X 1 , , X N , Y1 , , Y N ) dX 1 dY N ,
где 2 2 (1 p2 N ) , а W (X 1 , , Y N ) представляет собой некоторую плотность распределения вероятностей. Выражение для W(X1, , YN) формально отличается от W(X1, , YN) из формулы (1) тем, что вместо 2 в выражении присутствует 2. Многомерный интеграл в последнем промежуточном выражении для F( p) равен 1, поэтому окончательно получаем N
2 F ( p ) 2 1
N
p 2 1 . N
(2.5.5)
Пусть m1, m2, — моменты случайной величины ˆ 2 . Сравнивая формулы (5) и (2.2.3), получаем m1 2 ,
m2 m12 4 N .
(2.5.6)
Из формул (6) следует, что среднее значение оценки измеряемого параметра m1 совпадает с истинным значением 2 измеряемого параметра, а дисперсия ошибок обратно пропорциональна числу каналов и не зависит от того, коррелированы отсчёты или нет. Влияние корреляции квадратурных составляющих устраняется в процессе обработки результатов наблюдения. Если отсчёты некоррелированы, то рассмотренный в предыдущем параграфе способ оценки интенсивности шума обладает такими же характеристиками, как и оценка методом максимального правдоподобия. При наличии корреляции оценка методом максимального правдоподобия оказывается точнее, чем оценка, получаемая непосредственным усреднением отсчётов, получаемых на выходах каналов. 2.6. Численные методы преобразования Лапласа и вычисления контурных интегралов Если аналитическое решение какой-либо задачи получить не удаётся, то могут использоваться численные методы преобразования Лапласа и обращения изображений. Далее при использовании численных методов будем предполагать, что вычислительная машина приспособлена для работы с функциями комплексных переменных. При вычислениях интегралов может использоваться какая-либо квадратурная формула. 42
Предполагаем, что используется квадратурная формула Симпсона. При этом интервал интегрирования разбивается на чётное число 2M частичных интервалов. Формула Симпсона имеет вид b
a
f ( x ) dx
h 3
2M
y i
i 0
i
h ( y 0 4 y1 2 y 2 4 y 3 4 y 2 M 1 y 2 M ) , 3
где h (b a ) ( 2 M ) ; yi f (xi); xi a ih; 1 при i 0 и при i 2 M , i 4 при нечётных i , (2.6.1) 2 в других случаях . Чтобы получить приемлемую точность вычислений, число частичных интервалов 2M должно быть достаточно большим. При практических вычислениях можно осуществлять контроль точности пробными вычислениями интеграла при разных значениях 2M. Если при увеличении значения 2M, например, в два раза значение интеграла практически не меняется, то получаемый результат можно считать удовлетворительным. Бесконечный предел интегрирования необходимо заменять некоторым большим числом. Правильность выбора этого числа также можно проверять путём пробных вычислений при нескольких значениях подбираемого предела интегрирования. Если обратное преобразование Лапласа осуществляется численными методами интегрирования, то исходную формулу (2.2.2) целесообразно переписать в виде
w( x )
1 e ( c i t ) x F (c i t ) dt . 2
Затем этот интеграл можно вычислить с помощью квадратурных формул. В [189] предложен более эффективный численный метод обращения преобразования Лапласа. Метод основан на конформном отображении контура Бромвича на единичную окружность. Суть метода состоит в следующем. Полагаем, что c 0. В (2.2.2) от переменной интегрирования p перейдём по формуле p 2cz ( z 1) (2.6.2) к новой переменной z. Обратное преобразование Лапласа (2.2.2) запишется в виде dz c . (2.6.3) w( x ) e px F ( p ) i ( z 1) 2
43
Посредством замены переменной интегрирования контур Бромвича оказался преобразованным в окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 1. Контур интегрирования в (3) обходится против часовой стрелки. Особые точки, располагавшиеся ранее слева от контура Бромвича, оказываются внутри окружности. После замены z ei (2.6.4) получаем формулу c w( x )
2
e 0
px
F ( p)
z d, ( z 1) 2
(2.6.5)
в которой p и z определяются формулами (2) и (4). Применительно к интегралу (5) квадратурная формула Симпсона записывается в виде c 2 M 1 (2.6.6) w( x ) i i , 3M i 1 где zi 2 2czi , pi , zi e i i , i i h , h , i e pi x F ( pi ) 2 2M zi 1 ( zi 1)
а коэффициенты i определяются по формуле (1). Если 0 или 2, то z 1 и один из сомножителей в подынтегральном выражении (5) обращается в бесконечность. Однако если F( p) достаточно быстро стремится к нулю при | p | , то в точках 0 и 2 подынтегральное выражение обращается в ноль. В большинстве практических случаев именно это и происходит. Поэтому слагаемые, соответствующие индексам i 0 и i 2M, в формуле (6) отсутствуют. Изложенный метод пригоден и для случая, когда интегрирование при обратном преобразовании Лапласа осуществляется вдоль прямой, соединяющей точки i и i , причём 0. Все формулы применимы, если в них положительное c заменить отрицательным . В этом случае после конформного преобразования контур интегрирования обходится по часовой стрелке. Если необходимо оценить вероятность превышения порога, то можно воспользоваться квадратурной формулой и формулой (2.2.12) или (2.2.13). При малых вероятностях превышения порога (например, при вычислении вероятности ложной тревоги) лучше пользоваться формулой (2.2.13). Метод, основанный на конформном отображении, обладает определёнными достоинствами. Интегралы, которые вычисляются численными методами, не содержат бесконечных пределов. Точки pi располагаются на контуре Бромвича более плотно в области малых значений | p |. Эта область даёт больший вклад в окончательный 44
результат, поэтому неравномерное расположение точек pi на контуре Бромвича способствует улучшению точности вычислений. Численные методы можно применять и для вычисления изображения по Лапласу. Если в формуле (2.2.1) сделать замену переменной y 1 1, 1 y 1 y
1 , (2.6.7) (1 y ) 2 то преобразование Лапласа от плотности w(x) записывается в виде
x
dx
1
y y 1 F ( p ) exp p w dy . (2.6.8) 1 y 1 y (1 y ) 2 0 При использовании квадратурной формулы для вычисления интеграла (8) точка y 1 исключается из суммирования. При y 1 подынтегральное выражение стремится к нулю. Изложенные здесь численные методы применяются в пятой и последующих главах для расчёта характеристик обнаружения сигналов. В гл. 5 представлены некоторые рекомендации по выбору значений констант c и . В работах [105, 107, 109] подробно исследуется ещё один способ вычисления характеристик обнаружения сигнала, в том числе и для процедур обнаружения с использованием адаптивного порога. Вероятность обнаружения ищется в виде ряда Фурье. При числовом анализе используется конечное число членов ряда. Коэффициенты ряда Фурье выражаются через значения изображения по Лапласу при некоторых значениях аргумента.
2.7. Двумерное преобразование Лапласа Двумерное преобразование Лапласа может применяться в тех случаях, когда вероятность какого-либо события выражается через двумерную плотность распределения статистически зависимых случайных величин (случайные величины принимают положительные значения). Такими случайными величинами могут быть, например, выходная величина в канале обнаружения и адаптивный пороговый уровень. Рассмотрим вычисление интеграла P W ( x, y )dx dy . 0 y Здесь P — вероятность того, что x y, где x и y — положительные случайные величины с распределением W(x, y). Двумерное преобразование Лапласа функции W(x, y) определяется формулой 45
Можно получить другие выражения для P. Если формулу (2) записать в виде
F ( p, q )
e px qy W ( x, y ) dx dy .
i
0 0
Будем считать, что существует такое 0, что интеграл для F( p, q) сходится, если Re p и Re q . Абсолютное значение может быть сколь угодно малым. Воспользуемся формулой для обратного преобразования Лапласа. Подставим 1 W ( x, y ) ( 2 i) 2
i i
e
px qy
F ( p, q ) dp dq
i i
F ( p, q) e qy e px dx dy dp dq . 0 i i y Учитывая, что Re p 0, можно записать 1 ( 2 i) 2
i i
e
px
dx
y
i i
i i
i
(2.7.1)
1 F ( p, q) dp dq . p( p q )
1 1 F ( q, q ) dq . 2 i i q
(2.7.4)
Пусть c (c 0). Из формулы (4) следует 1 1 1 P 1 Res F ( q, q) F ( q, q ) dq . q 0 q 2 i c i q
Поскольку вычет равен 1, то (2.7.2)
c i
P
i
1 1 f ( p) F ( p, q) dq . 2 i i p q
i
1 1 P F ( p, p ) dp . 2 i i p
46
i
c i
При вычислении f ( p) опять же необходимо учесть, что Re p 0. Из этого следует, что F( p, q) как функция от q справа от контура интегрирования особых точек не имеет. Подынтегральное выражение имеет справа от контура только один полюс в точке q p. Применяя теорию вычетов, вычисляем интеграл в выражении для f ( p). В результате получим f ( p) F( p, p) и
i
i
Это выражение запишем в виде 1 1 P f ( p ) dp , 2 i i p
и учесть, что в интеграле для (q) справа от контура два полюса ( p 0 и p q), то получим 1 1 ( q ) F (0, q) F ( q, q ) , q q
P 1
Аналогично можно произвести интегрирование по y, после которого получаем 1 P ( 2 i)2
В первом интеграле справа от контура одна особая точка q 0, поэтому
1 py e . p
1 1 ( q ) F ( p, q) dp 2 i i p ( p q)
1 1 1 1 P F (0, q ) dq F ( q, q) dq . 2 i i q 2 i i q
в выражение для P и поменяем порядок интегрирования: P
i
1 P ( q) dq , 2 i i
(2.7.3)
1 1 F ( q, q) dq . 2 i c i q
(2.7.5)
Если в интеграле (5) сделать замену переменной интегрирования q p, то получим формулу (3). Окончательными выражениями для P являются формулы (3)—(5). Заметим, что для сходимости интеграла (1) при интегрировании по x необходимо 0. В связи с этим аппарат характеристических функций для данного способа решения задачи неприменим. Кроме того, отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемый способ применим, если существует такое 0, что при любых Re p и Re q изображение F( p, q) не имеет никаких особенностей. В качестве дополнительных примеров, когда вместо двумерной характеристической функции необходимо использовать двумерное преобразование Лапласа, можно упомянуть работы [70, 71, 73].
47
3. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА НА ФОНЕ МЕШАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 3.1. Введение Для обнаружения полезных сигналов при заданной вероятности ложной тревоги необходимо знать интенсивности шума и помех, по которым нормируется пороговый уровень. Применительно к простейшим случаям, когда отсутствуют внешние помехи, обычно предполагается, что интенсивность собственного шума приёмного устройства известна. Эту интенсивность можно измерить заранее, перед включением радиолокатора в основную работу по обнаружению полезных сигналов. Однако на практике оказывается, что коэффициент усиления аналоговой части приёмного устройства обладает некоторой нестабильностью (подобное утверждение содержится, например, в [19]). Реальная интенсивность шума на входе устройства обнаружения с течением времени будет меняться и в результате будет отличаться от предполагаемой интенсивности. Пусть kн — номинальный (расчётный) коэффициент усиления приёмника (по мощности). Полагаем, что при этом коэффициенте усиления дисперсия шумовых компонент квадратурных составляющих X и Y (см. рис. 1.2) равна 2н . Плотность распределения выходной случайной величины R ( X 2 Y 2 ) ( 2 2н ) будет определяться формулой W(R) exp(R). При заданной вероятности ложной тревоги Fн пороговый уровень, с которым должна сравниваться выходная величина, равен ln(1/Fн). Теперь представим, что реальный коэффициент усиления kр стал отличаться от номинального. Дисперсия шумовых компонент будет равна 2р (k р k н ) 2н . Плотность распределения вероятностей выходной случайной величины R ( X 2 Y 2 ) ( 2 2н ) при отсутствии полезного сигнала будет определяться формулой 1 R 1 R w( R ) 2 2 exp 2 2 exp . р н k р k н р н k р k н Если пороговый уровень оставить без изменения, то вероятность ложной тревоги составит F w( R ) dR exp k р k н и будет отличаться от заданного значения Fн .
48
Реальную вероятность обнаружения полезного сигнала можно найти по прежним формулам, если в эти формулы в качестве порогового уровня вместо подставить ( k р k н ) . На рис. 3.1 проиллюстрированы нежелательные эффекты, которые будут проявляться при использовании фиксированного порогового уровня, когда реальный коэффициент усиления приёмника kр начнёт отличаться от расчётного коэффициента усиления kн. При подготовке данных для рис. 3.1 фиксированный пороговый уровень ln(1 Fн ) находился исходя из заданной вероятности ложной тревоги Fн , равной 106. F 10
D 0,9
4
1
0,7 10
6
0,5
2
0,3 10
8
2
0
2
10 lg
kр 0,1 kн
2
0
2
10 lg
kр kн
Рис. 3.1. Зависимости вероятности ложной тревоги F и вероятности обнаружения нефлуктуирующего сигнала D от реального коэффициента усиления приёмника kр: 1 — при отношении сигнал/шум q 20,81 (D 0,9 при kр kн); 2 — при отношении сигнал/шум q 13,31 (D 0,5 при kр kн)
При увеличении спектральной плотности мощности шума (например, из-за температурного «ухода» коэффициента усиления) будет наблюдаться рост числа ложных тревог. Даже при небольшом увеличении коэффициента усиления число ложных тревог может возрасти на несколько порядков. При уменьшении коэффициента усиления не будут в полной мере реализованы потенциальные возможности обнаружителя. Ухудшение свойств обнаружителя можно оценить коэффициентом энергетических потерь. Оказывается, если оставить без внимания уменьшение коэффициента усиления на 1 дБ, то результатом будут энергетические потери, равные примерно 1 дБ. Поэтому в процессе работы радиолокатора приходится периодически повторять измерения интенсивности шума. В более сложных случаях на входе приёмника помимо полезных сигналов могут присутствовать внешние шумовые помехи, а также пассивные помехи, представляющие собой отражения от объектов — источников помех, обнаружение которых не входит в задачи функционирующего радиолокатора. Источниками пассивных помех могут 49
быть, например, дождевые зоны или подстилающая поверхность (земная или морская). Если не принимать никаких мер, то пассивные помехи, складываясь с собственным шумом приёмника, приведут к увеличению вероятности ложной тревоги. Задача осложняется тем, что пассивные помехи неоднородны. Их интенсивность меняется в зависимости от углового направления, а также от задержки и доплеровской частоты, на которые настраивается канал обнаружения. Выставлять фиксированный порог, ориентируясь на самую интенсивную помеху, нерационально (подробнее см. [140]). Разумеется, таким способом можно избежать излишнего количества ложных тревог. Однако в большей части области обнаружения помеха не будет столь интенсивной, и пороговый уровень по отношению к такой помехе будет неоправданно завышен. Имеющиеся возможности по обнаружению полезных сигналов окажутся нереализованными. Радиолокатор не сможет обнаруживать малоразмерные цели. В общем случае выставка фиксированного порога, одинакового для всех каналов обнаружения и для всех зондирований, приведёт к следующему. В областях с помехами будут наблюдаться многочисленные ложные тревоги. В областях без помех вероятность обнаружения целей будет занижена. Многочисленные ложные тревоги могут привести к перегрузке отдельных звеньев радиолокационной системы и в целом к ухудшению рабочих характеристик (вплоть до нарушения работоспособности). Возникает необходимость определять интенсивность шума и помех в процессе обнаружения полезных сигналов. Для обнаружения полезных сигналов в сложных помеховых условиях применяются специальные процедуры обнаружения, которые не должны допускать возрастания вероятности ложной тревоги (сверх заданного значения). В то же время условия для обнаружения полезных сигналов не должны существенно ухудшаться по сравнению с теми случаями, при которых характеристики помех являются известными. 3.2. Предварительный пример Чтобы получить начальные представления о методах обнаружения сигнала на фоне помех с неизвестными свойствами, рассмотрим наглядный пример. В простейшей схеме обнаружения сигнала величина порогового уровня берётся пропорциональной измеренному среднему значению отсчётов шума. Схема обнаружения сигнала для этого случая представлена на рис. 3.2. Здесь r — случайная величина на выходе канала, предназначенного для обнаружения полезного сигнала; N — число отсчётов шума; — постоянный коэффициент (будем называть его пороговым множителем). Случайные отсчёты шума r ( 1, 2, , N ) являются выходными величинами каналов, идентичных каналу, 50
предназначенному для обнаружения сигнала. Эти случайные величины представляют собой данные для оценки интенсивности шума. Решение о наличии полезного сигнала принимается при r h, где h s; s — сумма всех отсчётов шума. r Многоканальное приёмное устройство
N
1
r
Пороговое устройство
s
h
Рис. 3.2. Схема обнаружения сигнала с простым адаптивным пороговым уровнем
Обычно считают, что измерение интенсивности шума должно производиться путём обработки входного процесса в такой области частот и задержек, в которой сигнал не может появиться. Статистические характеристики случайных величин r не должны зависеть от наличия или отсутствия полезного сигнала. В [33] предложено определение адаптивности. Согласно этому определению первичной характеристикой адаптивной системы является её способность функционировать достаточно хорошо при изменяющихся и (или) неполностью известных свойствах окружающей среды. Обнаружитель, выполненный в соответствии с представленной на рис. 3.2 схемой, хорошо функционирует при неизвестной спектральной плотности мощности нормального (гауссовского) белого шума. Пороговый уровень, формирующийся в подобных схемах, называют адаптивным пороговым уровнем или адаптивным порогом (AVT, Adaptive Video Threshold [248]; Adaptive Threshold [237]). В [53, с. 428] представлена схема, аналогичная схеме на рис. 3.2. Отмечено, что «условная вероятность ложной тревоги фиксируется за счёт адаптивного подбора порогов обнаружения». В схеме на рис. 3.2 адаптивным пороговым уровнем является величина h. При изменении коэффициента усиления предварительных каскадов приёмного устройства изменится масштаб переменной r. Однако точно такое же изменение коснётся и переменной s, поэтому вероятность превышения переменной r порога h s останется неизменной. Когда нет мешающих сигналов, накопленная сумма s является результатом измерения интенсивности шума. Если на выходах каналов обнаружения используется линейный детектор, то среднее значение накопленной суммы пропорционально средней амплитуде шумовых компонент. При квадратичном детекторе среднее значение пропорционально спектральной плотности мощности шума. 51
Сложность анализа характеристик обнаружения сигнала в значительной мере зависит от вида детекторной характеристики (например, линейная или квадратичная). Традиционно считается, что на выходах каналов должен быть линейный детектор. Линейный детектор использовался из-за меньшего динамического диапазона результатов обработки. Вместе с тем, в литературе высказываются соображения и в пользу квадратичного детектора, поскольку при этом отпадает необходимость в вычислении квадратного корня из суммы квадратов квадратурных составляющих [19]. В [62, кн. 1, с. 189] также говорится о том, что квадратичные детекторы являются предпочтительными для некоторых современных процессоров с плавающей запятой. Анализ схем с квадратичным детектором оказывается значительно проще анализа схем с линейным детектором. В данном параграфе будем считать, что используется квадратичный детектор. Случайная величина на выходе канала обнаружения, представленного на рис. 1.2, вычисляется по формуле R (X 2 Y 2 )/(22 ), где X и Y — квадратурные составляющие; 2 — дисперсия шумовых компонент квадратурных составляющих. Использование 2 для нормировки выходной величины делает компактнее математические выражения при анализе схемы, представленной на рис. 1.2. Дисперсия 2 пропорциональна спектральной плотности мощности шума. Поэтому в данном случае 2 является неизвестной величиной, и подобная нормировка на практике нереализуема. Чтобы соблюсти корректность, изменим способ формирования выходной величины. В данном параграфе считается, что выходной величиной является r (X 2 Y 2 )/2. Рассмотрим обнаружение рэлеевского сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью. Дисперсия 2 неизвестна. Плотность распределения результата обработки полезного сигнала r определяется формулой 1 r , w( r ) exp 2 2 (1 ) (1 ) где — среднее значение отношения сигнал/шум. Плотность распределения накопленной суммы результатов обработки шума имеет вид s N 1 s exp 2 . 2N ( N 1)! Если пороговый уровень равен h, то вероятность превышения порога случайной величиной r определяется формулой W ( s)
h . D(h ) exp 2 (1 )
52
Если порог h тоже является случайной величиной, то для получения вероятности обнаружения сигнала условную вероятность D(h) необходимо усреднить. В нашем случае h s, поэтому для вероятности обнаружения сигнала можно записать
D
0
0
s
exp (1 )
2
W ( s ) ds
s s N 1 s exp exp 2 ds . 2 2N (1 ) ( N 1)!
Сделав замену переменной интегрирования s t2, получим
D
0
t t N 1 exp exp t dt . 1 ( N 1)!
Величина 2 в полученном выражении отсутствует. Следует вывод, что в теоретических исследованиях при математическом представлении выходной величины можно для нормировки по-прежнему использовать значение 2. Это относится и к случаю, когда 2 является неизвестной величиной. Единственным побудительным мотивом для такой нормировки является то, что математические выражения становятся компактнее. Особенно это ощутимо, когда математические выражения бывают довольно громоздкими. Можно осуществлять любое изменение масштаба переменных в приёмных каналах (без изменения порогового множителя ). При этом необходимо, чтобы изменение масштаба в канале формирования адаптивного порога было точно таким же, как и в канале обнаружения полезного сигнала. Интеграл для D вычисляется аналитическим путём. Если затем в выражении для D положить 0, то получим вероятность ложной тревоги F. Окончательные выражения имеют вид N
D 1 1 (3.2.1) F 1 (1 ) N . ; 1 На рис. 3.3 приведены примеры оценки характеристик по полученным формулам. Если число отсчётов шума N неограниченно увеличивать, то ошибки измерения интенсивности шума стремятся к нулю. Поэтому, если иметь в виду только характеристики обнаружения, то случай N эквивалентен обычной процедуре обнаружения сигнала на фоне шума с известной интенсивностью. Если число отсчётов ограничено, то для обеспечения заданной вероятности обнаружения сигнала потребуется большее отношение сигнал/шум. Следовательно,
53
D 0,99 0,98
D F 10
0,99 0,98
6
0,95
16
32
0,90
N
0,80
8
N4
0,60 0,50 0,40
0,30
0,30
0,20
0,20
10 lg
0,10 15
20
25
30
N4
10 lg
0,10 10
35
15
20
25
30
35
Рис. 3.3 (окончание). Характеристики обнаружения рэлеевского сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью
D 0,99 0,98
8
0,70
0,60 0,50 0,40
10
16
N
0,80
0,70
10
0,95
32
0,90
F 10
F 10
8
0,95
32
можно говорить о наличии энергетических потерь, которые обусловлены тем, что вместо фиксированного порогового уровня (в виде константы) используется адаптивный пороговый уровень. Энергетические потери проявятся и в том случае, когда интенсивность шума известна, но в процедуре обнаружения используется адаптивный пороговый уровень. Если интенсивность шума неизвестна, то использование адаптивного порогового уровня является вынужденной мерой. С энергетическими потерями приходится мириться. Чем меньше число отсчётов N, тем больше энергетические потери (см. рис. 3.3). Более полное исследование схемы обнаружения сигнала, в которой адаптивный порог формируется путём усреднения отсчётов шума, будет выполнено в гл. 5.
16
0,90
N
8
0,80
N4
0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20
10 lg
0,10 10
15
20
25
30
35
Рис. 3.3. Характеристики обнаружения рэлеевского сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью
54
3.3. Некоторые исторические заметки Из работ, известных автору, можно отметить публикации, содержащие различные сведения по адаптивным пороговым уровням. Если отмеченные материалы расположить в хронологическом порядке, то первыми опубликованными работами можно назвать [130, 246]. В [130] контроль изменений интенсивности гауссовского шума осуществляется сравнением огибающей шума с вспомогательным порогом. Определяется число пересечений вспомогательного порога 55
за некоторый интервал времени. Получаемое число пересечений усредняется в течение длительного времени. Полученный результат служит для автоматического определения основного порогового уровня. В работе Сиберта [246] рассматривалось обнаружение когерентной пачки импульсов на фоне стационарного гауссовского шума с неизвестной интенсивностью. Методом максимального правдоподобия синтезирован обнаружитель (см. рис. 3.4), который получил впоследствии название «Обнаружитель Сиберта» [158].
СФ
КН
КД
КД
НН
ПУ
СФ
КД
ПУ
СД ШФ
Рис. 3.4. Обнаружитель Сиберта: СФ — фильтр, согласованный с одним импульсом когерентной пачки; СД — селектор дальности; КН — когерентный накопитель (узкополосный фильтр); КД — квадратичный детектор огибающей; НН — некогерентный накопитель (фильтр нижних частот); — пороговый множитель; ПУ — пороговое устройство (сравнение с порогом)
Каждый импульс пачки вначале подвергается согласованной обработке. Селектор дальности выделяет комплексные результаты обработки импульсов. Дальнейшая обработка осуществляется в двух параллельных каналах. В первом канале производится когерентное суммирование результатов обработки импульсов с последующим квадратичным детектированием. Результат на выходе первого канала ничем не отличается от результата обработки когерентной пачки в приёмном устройстве, осуществляющем обнаружение сигнала на фоне шума с известной интенсивностью. Во втором канале осуществляется некогерентное накопление импульсов. При этом результаты согласованной обработки импульсов подвергаются квадратичному детектированию, после чего суммируются. Накопленная сумма выступает в роли оценки интенсивности шума. Умножением накопленной суммы на некоторый множитель формируется пороговый уровень, с которым сравнивается результат когерентного накопления пачки. Вероятность ложной тревоги регулируется подбором порогового множителя. Следует отметить, что в работе Сиберта [246] приведены формулы для вычисления вероятности ложной тревоги и вероятности обнаружения полезного сигнала, когда обнаружение сигнала осуществляется схемой, представленной на рис. 3.4. 56
В [76, 77] рассматривается обнаружение произвольного сигнала с ограниченной длительностью на фоне гауссовского белого шума с неизвестной интенсивностью. Предполагается, что время наблюдения совпадает с длительностью сигнала. Структура синтезированного обнаружителя состоит из двух каналов (см. рис. 3.5). Один канал является обычным приёмником, согласованным с сигналом. Второй канал предназначен для формирования порогового уровня. Фильтр нижних частот осуществляет интегрирование на промежутке времени, длительность которого совпадает с длительностью интервала наблюдения.
КД
ФНЧ
Рис. 3.5. Обнаружитель Фальковича: СФ — согласованный фильтр; ШФ — широкополосный фильтр; КД — квадратичный детектор огибающей; ФНЧ — фильтр нижних частот; — пороговый множитель; ПУ — пороговое устройство (сравнение с порогом)
Произведение ширины полосы широкополосного фильтра на время наблюдения является большим числом. Судя по приведённым в [76, 77] формулам, при неограниченном увеличении этого произведения характеристики обнаружения сигнала рассматриваемой схемой приближаются к характеристикам обнаружения сигнала при известной интенсивности шума. В патенте [256] предложена схема, в которой сигнал после детектирования сглаживается двумя фильтрами. Один из фильтров имеет сравнительно большую постоянную времени и, следовательно, вырабатывает средний уровень амплитуды шума. Постоянная времени второго фильтра имеет меньшее значение. Кроме того, коэффициенты усиления в сглаживающих цепях могут отличаться между собой. Разность выходных напряжений двух фильтров сравнивается с постоянным пороговым уровнем, который имеет нулевое значение. Такое устройство обеспечивает компенсацию изменений уровня шума и обнаружение полезного сигнала. В работе [64] исследуется схема, похожая на схему из патента [256]. Числовые значения энергетических потерь, обусловленных использованием адаптивного порогового уровня, представлены впервые, по-видимому, в [155]. В этой работе дана таблица с потерями для различных вероятностей ложной тревоги и различных значений числа отсчётов шума (при вероятности обнаружения, равной 0,5). 57
На рис. 3.6 приведена схема обнаружителя, исследованного в [253]. ЛЗ СФ
ПУ
КД СгФ
Рис. 3.6. Среднеуровневый обнаружитель: СФ — согласованный фильтр; КД — квадратичный детектор огибающей; ЛЗ — линия задержки; СгФ — сглаживающий фильтр; — пороговый множитель; ПУ — пороговое устройство (сравнение с порогом)
В этой схеме согласованный фильтр и квадратичный детектор осуществляют выделение полезного сигнала из шума. На выходе квадратичного детектора наблюдается случайный процесс, у которого время корреляции примерно равно длительности полезного сигнала. Сглаживающий фильтр усредняет реализацию на интервале времени, длительность которого значительно превышает длительность сигнала и время корреляции (например, в 10 или 40 раз). Результат на выходе сглаживающего фильтра является оценкой интенсивности шума (помехи) и, после умножения на пороговый множитель, служит пороговым уровнем. Линия задержки предназначена для того, чтобы результат обработки полезного сигнала располагался на временнóй оси посередине интервала усреднения реализации. Необходимость в линии задержки появляется в тех случаях, когда с изменением анализируемой задержки ожидаемого сигнала меняется и интенсивность принимаемой помехи. Оценка интенсивности помехи должна производиться на участках временнóй оси, максимально приближённых к местоположению полезного сигнала. Процедура обнаружения сигнала, представленная схемой на рис. 3.6, имеет принципиальное отличие от процедуры, представленной схемой на рис. 3.5. Нагляднее всего отличие видно, когда осуществляется приём импульсного сигнала без внутриимпульсной модуляции. В схеме, представленной на рис. 3.6, оценка интенсивности шума производится на временнóм интервале, длительность которого значительно превышает длительность полезного сигнала. Для приёма сигнала и оценки интенсивности шума используется одна и та же полоса частот. В другой процедуре для оценки интенсивности шума и для выделения сигнала из шума используется одна и та же входная реализация случайного процесса, длина которой совпадает с длительностью сигнала. Но для оценки интенсивности шума используются частотные составляющие в широкой полосе частот, а выделение сигнала осуществляется в узкой полосе частот. 58
В [130] неоднократно используется сочетание слов constant false alarm rate. В [155] появляется аббревиатура CFAR — constant false alarm rate. В дальнейшем термин CFAR присутствует практически во всех работах, в которых излагаются те или иные вопросы, связанные со стабилизацией вероятности ложной тревоги. К сожалению, в отечественной литературе нет устойчивого перевода этого термина на русский язык. Существуют несколько вариантов перевода. Из них можно порекомендовать перевод, используемый в работах П.А. Бакулева [6—8]: ПУЛТ — постоянный уровень ложных тревог. В [155] используется термин CFAR loss (ПУЛТ потери). В [185] уровень ложных тревог (false alarm rate) определяется как число ложных тревог, происходящих в пределах заданного временнóго интервала. Уровень ложных тревог (FAR) вычисляется по формуле FAR PFA M TM N D PFA , где PFA — вероятность превышения порога в одном испытании при отсутствии полезного сигнала; M — число элементов разрешения, опрошенных в пределах некоторого временного интервала TM ; N D M TM — число сравнений с порогом в единицу времени. Ранние схемы стабилизации вероятности ложной тревоги реализовывались в аналоговой аппаратуре. Оценки интенсивности шума (или помехи) осуществлялись путём интегрирования амплитуды шума на выходе согласованного фильтра (см. рис. 3.6). Интегрирование выполнялось узкополосным аналоговым фильтром. Подобные схемы получили название «Среднеуровневый обнаружитель» (mean level detector [256], MLD). В более поздних схемах для суммирования амплитуд стали использоваться дискретные и цифровые устройства. Схемы, аналогичные схемам MLD, стали называться Cell Averaging CFAR или CA CFAR (cell averaging — поячеечное усреднение, т. е. усреднение амплитуд по элементам разрешения). Тем не менее, наряду с CA CFAR, название MLD встречается довольно часто и в сравнительно поздних работах, анализирующих устройства, использующие для усреднения амплитуд цифровую технику. В [87, 126, 89, 127, 186] подразумевается, что названия MLD и CA CFAR означают одно и то же. В [7] для схемы формирования порога на основе усреднения амплитуд используется название «УС-ПУЛТ-процессор». В данной книге схема с адаптивным порогом, формируемым на основе усреднения амплитуд, в ряде случаев для краткости будет называться схемой УС или среднеуровневым обнаружителем. Из первых работ, в которых рассматривается адаптивное обнаружение сигнала, следует упомянуть отечественную статью [43]. В [43] предложено оценивать не только интенсивность помехи. Можно оценивать и другие параметры помехи, если они неизвестны, но необходимы для построения оптимальной процедуры обнаружения сигнала. Незнание параметров помехи может быть восполнено, если есть ещё несколько реализаций помехи. Эти реализации служат для оценки параметров. Затем неизвестные, но необходимые параметры помехи 59
подменяются в процедуре обнаружения оценками неизвестных параметров. В числе первых отечественных работ, посвящённых оценкам характеристик обнаружения сигнала при неизвестной интенсивности шума, необходимо отметить [26]. В этом кратком сообщении получены аналитические выражения для вероятностей обнаружения независимо флуктуирующей некогерентной пачки импульсов и представлены графики коэффициента потерь. В [75, 40] рассматриваются процедуры обнаружения сигнала на фоне коррелированной помехи с неизвестной интенсивностью, а в [266] анализируются статистические характеристики случайных величин на выходе соответствующего адаптивного приёмника. В [27] приведены характеристики обнаружения сигнала на фоне коррелированной помехи с неизвестной интенсивностью. Теоретические основы синтеза систем обнаружения сигналов в условиях априорной неопределённости заложены в монографии [54]. Большое влияние на развитие методов обнаружения сигналов с применением адаптивных пороговых уровней оказала обстоятельная работа [141]. Этот труд оставался цитируемым в течение длительного времени. В нём убедительно обоснована необходимость применения пороговых уровней, регулируемых в процессе обзора углового сектора. Полагалось, что для оценки интенсивности помехи служит среднее значение результатов обработки сигнала в элементах разрешения, расположенных вблизи проверяемого элемента (в котором ожидается полезный сигнал). Оценены характеристики обнаружения сигнала при использовании регулируемого порога. Часть вопросов, изложенных в [141], была опубликована чуть ранее в [139, 140]. В [139, 141] заострено внимание на главных недостатках схемы с усреднением по элементам разрешения. Эффективность схемы ухудшается, когда помеха неоднородна, т. е. когда интенсивность помехи в проверяемом элементе отличается от интенсивности в соседних элементах. Кроме того, ухудшаются характеристики обнаружения полезного сигнала и в том случае, если в соседних элементах находится сигнал, отражённый от какой-либо другой цели. Наличие такой мешающей цели приводит к увеличению порогового уровня, используемого в проверяемом элементе разрешения. Существует большое количество публикаций, посвящённых изложенной проблеме. Известные процедуры обнаружения сигналов позволяют в той или иной степени решать задачу обнаружения полезных сигналов. Много работ посвящено оценке эффективности обнаружения сигналов при использовании этих процедур. Дальнейший анализ следующих публикаций, посвящённых адаптивным пороговым уровням, будет осуществляться по мере возможностей в процессе изложения материалов данной книги.
60
3.4. Приёмное устройство с жёстким ограничителем Известным техническим устройством, применяемым в радиолокационных приёмниках, является жёсткий ограничитель, называемый ещё широкополосным ограничителем или идеальным ограничителем. В ранних работах [124, 110, 125], посвящённых анализу жёсткого ограничителя, ложные тревоги не упоминаются. Поэтому можно предположить, что жёсткий ограничитель появился в качестве одного из нелинейных преобразователей, предназначенных для сжатия динамического диапазона амплитуд в тракте обработки радиолокационных сигналов. Несколько позже было отмечено (см., например, [81]), что c помощью жёсткого ограничителя можно стабилизировать вероятность ложной тревоги, когда неизвестна интенсивность входного шума. Имеются данные [46], что жёсткий ограничитель также защищает от достаточно коротких импульсных помех (от широкополосных помех). Схема приёмного устройства с жёстким ограничителем для приёма импульсов без внутриимпульсной модуляции представлена на рис. 3.7. Эту схему часто называют схемой ШОУ.
Ш
О
У
Рис. 3.7. Устройство с жёстким ограничителем: Ш — широкополосный фильтр; О — ограничитель; У — узкополосный фильтр
Функции широкополосного фильтра может выполнять предварительный усилитель. Под узкополосным фильтром подразумевается, как правило, фильтр, согласованный с принимаемым сигналом. Ограничитель — это безынерционное устройство с характеристикой 1 при x (t ) 0 ; y (t ) 0 при x (t ) 0 ; 1 при x (t ) 0 , где x(t) — входное воздействие; y(t) — отклик на выходе. В [80, 81] показано, что ограничитель может быть линейным устройством по отношению к сигнальной компоненте. Для этого необходимо, чтобы на входе ограничителя выполнялось условие A2(t)/2 1/2, где A(t) — амплитудная модуляция сигнала; 2 — дисперсия шума. Увеличить дисперсию шума до необходимых значений можно путём расширения частотной полосы широкополосного фильтра. При приёме импульсов без внутриимпульсной модуляции ширина полосы широкополосного фильтра должна быть по крайней мере на два порядка больше ширины спектра сигнала. 61
Применительно к широкополосным сигналам с внутриимпульсной модуляцией (например, ФКМ или ЛЧМ импульсы) схема ШОУ перестаёт оправдывать своё название. Если база сигнала (произведение ширины спектра на длительность импульса) достаточно велика, то полосы широкополосного и согласованного фильтров могут иметь одинаковую ширину (ширина полосы, в которой производится жёсткое ограничение, может быть равной ширине полосы входного сигнала) [248, p. 394; 99, p. 92]. При этом необходимое отношение мощностей сигнала и шума на входе ограничителя будет выполняться. Шум приёмника ограничивается. В результате дисперсия шумовой компоненты на выходе согласованного фильтра всегда постоянна. Дисперсия не зависит от спектральной плотности мощности шума на входе широкополосного фильтра. Следовательно, подобное устройство может применяться для обнаружения сигналов на фоне шума с неизвестной интенсивностью. Вероятность ложной тревоги будет сохраняться при любых изменениях интенсивности шума. Ограничитель вносит энергетические потери. В [124, 110, 81] оценивается влияние ограничителя на отношение сигнал/шум. Если входное отношение сигнал/шум достаточно мало, то отношение сигнал/шум на выходе ограничителя оказывается меньше входного. Коэффициент потерь в отношении сигнал/шум составляет /4 (1,049 дБ). Однако следует иметь в виду, что в этих работах в качестве отношения сигнал/шум принималось отношение мощности сигнала к дисперсии шума. Но такое отношение сигнал/шум не может однозначно определять характеристики обнаружения сигнала, которые определяются другим отношением сигнал/шум — отношением энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума. В [202] оцениваются потери в отношении энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума. Эти потери зависят от формы спектра входного шума. Рассмотрены три примера с различными формами спектра. В примерах потери оказываются самыми большими, когда спектр шума имеет прямоугольную форму. При этом коэффициент потерь составляет 0,6 дБ. Следовательно, можно утверждать, что схема с ограничителем ведёт себя почти так же, как согласованный фильтр. Имеются лишь два отличия: нечувствительность к изменениям уровня входного шума и наличие сравнительно небольших энергетических потерь. Теперь возникает вопрос, может ли широкополосный ограничитель служить основой для стабилизации вероятности ложной тревоги при наличии пассивных помех. Вероятность ложной тревоги считаем постоянной, если в отсутствие полезного сигнала вероятность превышения порога не зависит от наличия или отсутствия пассивной помехи в составе входной реализации. Вначале представим, что интенсивность помехи небольшая. Помеха представляет собой отражение от какого-либо пространственно распределённого объекта (например, от зоны дождя). 62
Если отношение энергии сигнала помехи к спектральной плотности мощности шума (отношение помеха/шум) сравнимо с единицей, то мощность помехи на входе ограничителя будет значительно меньше мощности широкополосного шума. Будут выполняться условия, при которых жёсткий ограничитель является линейным устройством по отношению к сигналу помехи. В [80] особо отмечалось, что жёсткий ограничитель является линейным устройством по отношению к сигналу и в том случае, когда сигнал на входе ограничителя является смесью любого количества каких-либо других сигналов. В частности, это имеет отношение к отражениям от пространственно распределённого объекта. Такой объект можно представлять в виде большого количества точечных объектов, распределённых в пространстве. Отражённый от точечного объекта сигнал аналогичен полезному сигналу. Поэтому такой сигнал не будет подавляться, и на выходе приёмного устройства будет присутствовать помеховая компонента. По отношению к слабому сигналу пассивной помехи схема с ограничителем ведёт себя почти так же, как согласованный фильтр. Отличие заключается в наличии небольших энергетических потерь. Причём коэффициент потерь для сигнала помехи совпадает с коэффициентом потерь для полезного сигнала. Появление помеховой компоненты на выходе приёмного устройства будет приводить к увеличению вероятности превышения порога. Это будет происходить независимо от того, есть ли в составе приёмного устройства жёсткий ограничитель. Теперь предположим, что пассивная помеха интенсивная. Отношение помеха/шум сопоставимо с отношением сигнал/шум, требующимся для обнаружения полезного сигнала. В таких случаях на первый план выходят вопросы обнаружения полезного сигнала на фоне пассивной помехи. Пассивная помеха будет маскировать полезный сигнал. Чтобы подавить пассивную помеху и выделить полезный сигнал, необходимо применять специальные методы. Если используются импульсные сигналы, то для подавления пассивных помех применяется селекция движущихся целей (СДЦ) на основе череспериодного вычитания. В случаях, когда используются непрерывные или квазинепрерывные сигналы, возможна отстройка от пассивной помехи по доплеровской частоте. И в том, и в другом случае оказывается возможным наблюдать сигнал, отражённый от цели, движущейся с ненулевой радиальной скоростью. Успешное применение СДЦ совместно с жёстким ограничителем описано в литературе (см., например, [180, 255]). Однако в [248] сочетание СДЦ с жёстким ограничителем не рекомендовано. При использовании квазинепрерывных сигналов оказывается возможным отстроиться по доплеровской частоте от пассивной помехи. При обнаружении движущейся цели на фоне помехи, отражённой от неподвижных объектов, отношение помеха/шум может достигать 63
нескольких десятков децибел. Если же в состав приёмного устройства ввести жёсткий ограничитель, то, вероятнее всего, приёмный тракт не будет линейным по отношению к интенсивным помеховым сигналам. При нарушении линейности тракта будет невозможно подавить пассивную помеху в каналах обнаружения, настроенных на ненулевое доплеровское смещение. В заключение можно сделать следующий вывод. Жёсткий ограничитель обеспечивает стабилизацию вероятности ложной тревоги при обнаружении сигнала на фоне широкополосного шума с неизвестной интенсивностью. Если же в составе входного сигнала есть пассивная помеха, являющаяся совокупностью отражённых сигналов, то применение жёсткого ограничителя может не привести к желаемым результатам. 3.5. Формирование порогового уровня на основе карты помех На рис. 3.2 представлена схема с усреднением интенсивности помех по каналам. Схема эффективна в случае помех, отражённых от однородных пространственно распределённых объектов (например, от дождевой зоны). Однако подобные схемы при наличии отражений от земной поверхности могут не дать желаемого эффекта, если для обнаружения целей используются импульсные сигналы. Из-за тех или иных особенностей ландшафта отражения могут сильно и непредсказуемо меняться при изменении дальности. Поэтому усреднение интенсивности помехи по каналам не всегда позволяет установить правильный порог. В [145] утверждается, что схемы формирования порога, содержащие усреднение по элементам разрешения, не применяются для борьбы с помехами от земной поверхности. К исключениям можно отнести [203]. В этой работе исследуются схемы, в которых отражения от земной поверхности усредняются по элементам разрешения и порог определяется по оценкам помех в элементах, окружающих проверяемый элемент, как по дальности, так и по азимуту. Для стабилизации вероятности ложной тревоги при наличии отражений от земной поверхности необходимо применять другие методы. В общем случае эффективность работы радиолокатора в значительной мере зависит от окружающей помеховой обстановки. При этом помеховая обстановка может измениться не только при изменении расположения радиолокатора, но и в ходе работы. Чтобы повысить эффективность работы радиолокатора, в процессе работы осуществляют сбор и обработку данных о помехах. Полученные данные хранят в так называемой карте помех (Clutter Map). Структура карты помех во многом зависит от того, для решения какой задачи она предназначена. В частности, в радиолокаторах наземного базирования, когда при обнаружении целей на фоне 64
отражений от земной поверхности применяются импульсные сигналы, используют амплитудную карту помех от местных предметов, причём карта помех служит для стабилизации вероятности ложной тревоги [99]. Если карта помех предназначена для стабилизации вероятности ложной тревоги, то она представляет собой таблицу, в каждой клетке которой хранится значение амплитуды помехи, соответствующее отдельному элементу разрешения или группе соседних элементов разрешения. Хранящиеся значения амплитуды постоянно корректируются: запоминаются амплитуды, усредненные за несколько последних циклов обзора углового сектора. Корректировка и усреднение делаются для того, чтобы отследить изменения и устранить флуктуационные ошибки измерения. Подобный способ можно считать реализуемым, например, когда отсутствует сканирование по углу места. При этом угловое пространство осматривается антенным лучом, широким в вертикальной плоскости. Каждый пространственный элемент разрешения характеризуется только азимутом и дальностью. Общее число элементов разрешения оказывается не столь уж велико, поэтому появляется возможность запоминать амплитуды наземных помех в каждом элементе разрешения. В таких случаях память карты создаётся на равномерной сетке элементов разрешения по дальности и азимуту [265, 245, 249, 62]. Если известна амплитуда помехи, то можно определить пороговый уровень, необходимый для принятия решения о наличии или отсутствии полезного сигнала. Каждый раз в текущем зондировании очередного азимутального направления пороговые уровни находятся для каждого дальностного элемента разрешения. Если в каком-либо элементе разрешения цель будет обнаружена, то случайная величина, получаемая на выходе детектора в этом элементе, в корректировке карты помех не участвует. В [245] говорится, что карта помех может рассматриваться как разновидность методов стабилизации вероятности ложной тревоги, в которой отсчёты помехи, необходимые для оценки уровня помех, собираются в проверяемом элементе разрешения (в канале обнаружения) в течение предыдущих циклов сканирования. Поскольку цели перемещаются от цикла к циклу на несколько элементов разрешения, то маловероятно, что отсчёты помехи будут существенно искажены отражениями от цели. В [249] отмечается, что обнаружитель с методом стабилизации вероятности ложной тревоги на основе карты помех не подвержен негативному влиянию кромки помех (подробнее о кромке помех см. гл. 5). В [245] сообщается, что амплитудную карту помех можно сочетать с селекцией движущихся целей (СДЦ). Тогда в карте помех должны храниться амплитуды неподавленных остатков помехового сигнала. 65
В отсутствие СДЦ амплитудная карта помех обеспечивает так называемую надпомеховую видимость (superclutter visibility) [50, 245]. Если отражающая поверхность движущейся цели превышает отражающую поверхность участка земной поверхности, над которым цель перемещается, то цель может быть обнаружена. В работе [218] выполнен анализ характеристик обнаружения полезного сигнала при использовании карты помех (см. также [190]). Случайные величины, получаемые на выходе детектора, усредняются в каждом элементе разрешения. Усреднение рекуррентное: применяется весовое сглаживание амплитуд, получаемых в последовательных циклах обзора. Результат усреднения после умножения на соответствующий коэффициент служит в качестве адаптивного порогового уровня. Помеха гауссовская и статистически независима от цикла к циклу (несущая частота меняется от цикла к циклу). Получены необходимые формулы, и приведены графики с зависимостями вероятности обнаружения сигнала от отношения сигнал/помеха при различных значениях весового коэффициента сглаживания. Приведены графики с зависимостями энергетических потерь от значения весового коэффициента сглаживания. Характеристики обнаружения при использовании карты помех оценивались в работе [218] для одноимпульсного сигнала. В [187, 103] рассматриваются характеристики обнаружения некогерентной пачки импульсов, когда для стабилизации уровня ложных тревог применяется предложенный в [218] способ. Отметим ещё работу [198], в которой также содержится анализ характеристик для метода стабилизации вероятности ложной тревоги, когда адаптивный пороговый уровень формируется по данным, получаемым в различных циклах обзора. Оценивается ухудшение характеристик обнаружения цели, если цель медленно перемещается от одной ячейки карты помех к другой ячейке. Если местность холмистая, то в некоторых угловых направлениях будут экранироваться определённые участки земной поверхности (см. рис. 3.8). На соответствующих дальностях полезный сигнал будет наблюдаться без пассивных помех. Мешающее воздействие будет оказывать только собственный шум приёмного устройства. Возможность обнаружения цели на таких участках дальностей называется межпомеховой видимостью (interclutter visibility) [255]. Межпомеховая видимость также являлась одной из причин использования карты помех от земной поверхности.
Рис. 3.8. Межпомеховая видимость
66
В литературе имеются описания когерентной карты помех [106, 137, 138]. Если в рассмотренной выше амплитудной карте помех запоминаются только амплитуды помеховых сигналов, то в когерентной карте содержится информация не только об амплитудах, но и о фазах. При формировании когерентной карты помех запоминаются комплексные величины, получаемые на выходах каналов. При обработке сигналов в очередном зондировании из вновь полученных комплексных амплитуд вычитаются комплексные амплитуды, хранящиеся в карте и соответствующие проверяемому элементу разрешения (каналу обнаружения). В результате помеховая компонента компенсируется (точнее, помеховая компонента будет существенно уменьшена). Если в каком-либо элементе разрешения сигнал появился в текущем зондировании, а ранее сигнала в этом элементе разрешения не было, то при его обнаружении пассивная помеха не будет оказывать сильного влияния. Если сигнал не был обнаружен, то карта помех корректируется по результатам текущего зондирования. Чтобы обеспечить компенсацию пассивной помехи с помощью когерентной карты помех, необходимо излучать зондирующие сигналы с одной и той же начальной фазой. Медленные изменения параметров приёмного тракта, проявляющиеся из-за температурных нестабильностей, автоматически учитываются в процессе постоянной корректировки карты. Когерентная карта помех обеспечивает подпомеховую видимость (subclutter visibility) [108, 138]. В современных многофункциональных радиолокационных станциях обзор осуществляется по двум угловым координатам. Количество дальностных элементов разрешения может быть довольно большим. К тому же могут применяться сигналы, позволяющие осуществлять разрешение как по задержке, так и по доплеровской частоте. Общее число элементов разрешения, которые в совокупности составляют всю область обнаружения, оказывается очень большим. Запоминать наземные помехи в каждом элементе разрешения будет затруднительно. Следует также заметить, что большое число каналов обнаружения можно реализовать лишь с помощью современной цифровой техники. Принимаемые сигналы обрабатываются специальными процессорами, позволяющими выполнять большой объём вычислительных операций [28]. Каналы обнаружения реализуются в цифровом виде. Вычисляются амплитуды на выходах каналов, и производится сравнение их с пороговым уровнем. В спецпроцессоре может производиться практически любая межканальная обработка амплитуд. Однако цифровые процессоры обработки сигналов не обладают собственными запоминающими устройствами для хранения информации, получаемой в предыдущих зондированиях. Следовательно, процессоры обработки сигналов не имеют возможности автономно осуществлять какую-либо межобзорную обработку данных. Адаптивные пороговые уровни могут формироваться в том случае, если 67
для этого потребуются данные, вычисленные только в текущем зондировании. Поэтому, когда область обнаружения состоит из большого количества элементов разрешения, реализация адаптивных пороговых уровней на основе карты помех оказывается затруднительной. В [265] отмечается, что хотя карты помех могут быть использованы в радиолокаторах с быстрой перестройкой несущей частоты и в радиолокаторах на движущихся платформах, они не так эффективны, как в стационарных радиолокаторах с постоянной несущей частотой. Адаптивные пороговые уровни на основе амплитудной карты помех далее рассматриваться не будут. Данный параграф представлен здесь с целью общего ознакомления. В качестве средства борьбы с отражениями от земной поверхности будет предполагаться когерентно-импульсный метод селекции движущихся целей с использованием квазинепрерывных сигналов. При этом адаптивные пороговые уровни всё равно будут необходимы, но для их формирования амплитудная карта помех не понадобится. В последующих главах будут рассматриваться процедуры формирования адаптивных пороговых уровней, которые используют информацию о помехах, получаемую только в текущем зондировании. Если радиолокатор предназначается для работы в сложных условиях, то выбор процедуры формирования порога не может быть сведён к одному варианту. Выбор той или иной процедуры должен осуществляться в процессе работы радиолокатора в зависимости от помеховой обстановки в текущем угловом положении сектора обзора, а также от используемого вида сигнала и способа его обработки. Необходимая информация для выбора вида сигнала, способа его обработки, а также для выбора процедуры формирования порога должна подготавливаться и храниться в соответствующей карте помех. Такая карта помех будет существенно отличаться от карты, которая была описана выше в данном параграфе. Описание карты помех, предназначенной для выбора вида сигнала, способа обработки сигнала и для выбора процедуры формирования адаптивного порога, будет представлено в следующей главе. 3.6. Параметрические, непараметрические и робастные обнаружители В [264, 265, 102] отмечается, что существуют три основных направления стабилизации вероятности ложной тревоги: адаптивные пороговые уровни, непараметрические обнаружители и карты пассивных помех. В [201] основными направлениями названы адаптивные пороговые уровни и непараметрические обнаружители, а также нелинейные методы, реализуемые в приёмных трактах и направленные на то, чтобы нормировать среднеквадратичное значение амплитуды помехи. 68
Использование карт пассивных помех, предназначенных для стабилизации вероятности ложной тревоги, рассмотрено в предыдущем параграфе. Ранее в качестве одного из нелинейных методов рассмотрено применение жёсткого ограничителя. Прототипом разнообразных схем формирования адаптивного порогового уровня служит схема, показанная на рис. 3.2. Схема, представленная на рис. 3.2, хорошо известна в литературе. При её синтезе предполагалось, что мешающий шум — гауссовский, а спектральная плотность мощности шума неизвестна. Если на входе приёмника присутствует только шум, то выражение для плотности распределения вероятностей выходной случайной величины будет, вообще говоря, известно. За исключением того, что в это выражение будет входить один параметр, значение которого неизвестно. Чтобы правильно выставить пороговый уровень, необходимо в процессе обнаружения полезного сигнала оценить этот неизвестный параметр. Если плотность распределения вероятностей шумовой случайной величины известна, за исключением одного или нескольких неизвестных параметров, то используются обнаружители, называемые параметрическими. В этих обнаружителях осуществляется оценка неизвестных параметров. Результаты оценки используются в процедурах обнаружения полезного сигнала. Схема, представленная на рис. 3.2, является однопараметрическим обнаружителем. В данном случае неизвестным параметром является один параметр — спектральная плотность мощности гауссовского шума на входе приёмника. Когда неизвестны не только параметры законов распределения помех, но и сами законы распределения, то говорят о непараметрической априорной неопределённости. Обнаружение полезных сигналов в таких условиях осуществляется непараметрическими обнаружителями. Обнаружители, не зависящие от вида распределения (непараметрические), принимают решения на основе того или иного массива данных [35, 69, 25, 79]. Массив данных включает в себя некоторый подмассив (часть массива), данные из которого могут содержать сигнальную компоненту. Непараметрический обнаружитель, применяя те или иные критерии, может принять решение, что статистические характеристики элементов подмассива не отличаются от характеристик всего массива. Такое решение соответствует решению об отсутствии сигнала. Альтернативное решение эквивалентно решению о наличии сигнала. В качестве примера непараметрического обнаружителя радиолокационной цели можно привести ранговый обнаружитель некогерентной пачки импульсов. Описание этого обнаружителя приведено, например, в [61, т. 1]. Рангом отдельного элемента массива называется общее число элементов этого массива, значения которых не превышают по величине значение отдельного элемента. 69
Ранговый обнаружитель некогерентной пачки импульсов может применяться в обзорном радиолокаторе с вращающейся антенной. За время, когда антенный луч пересекает цель, излучается некоторая последовательность импульсов. Отражённые импульсы принимаются многоканальной системой, каналы которой расстроены между собой по дальности. В каждом зондировании результаты, получаемые на выходах каналов, ранжируются, т. е. находятся ранги выходных случайных величин. Затем в каждом канале ранги накапливаются — осуществляется суммирование по импульсам (в скользящем окне, охватывающем отражённые от цели импульсы). Накопленные суммы сравниваются с порогом. Если в каком-либо дальностном канале сумма рангов превысит порог, то принимается решение о наличии цели. Основной недостаток непараметрических обнаружителей — большие энергетические потери. Обширная библиография по непараметрическим обнаружителям содержится в [184]. В литературе определённое внимание уделяется робастным процедурам обнаружения сигналов. Обстоятельный обзор робастных процедур представлен в [36]. Слово «робастный» означает устойчивый [63]. Робастные обнаружители предназначены для работы в помехах с некоторыми характеристиками. При изменении характеристик помех в тех или иных пределах, работоспособность таких обнаружителей практически сохраняется.
4. РАДИОЛОКАЦИОННЫЙ ОБЗОР ПО УГЛАМ ПРИ НАЛИЧИИ ПАССИВНЫХ ПОМЕХ 4.1. Введение Проблема стабилизации вероятности ложной тревоги при обнаружении радиолокационных сигналов является сложной. Проблема сформулирована давно, и для её решения предлагалось большое количество способов. Круг вопросов по стабилизации вероятности ложной тревоги оказывается столь большим, что охватить все интересующие вопросы в одной книге оказывается невозможным. Это может оказаться и нецелесообразным, так как применимость того или иного способа зависит от вида радиолокационного приёмника и возможностей по обработке принимаемой информации. Не менее существенной является зависимость от вида помех и характера окружающей обстановки. Поэтому необходимо ограничить круг вопросов вполне конкретными условиями. С этой целью в данной главе перечислены характеристики предполагаемого радиолокатора. Заданы виды пассивных помех, на фоне которых необходимо обнаруживать полезный сигнал. В общих чертах описаны способы формирования адаптивных пороговых уровней. Детальный анализ конкретных схем стабилизации вероятности ложной тревоги применительно к условиям, оговорённым в данной главе, осуществляется в последующих главах. 4.2. Основные параметры гипотетического радиолокатора
70
Во многих публикациях для демонстрации получаемых результатов рассматривались конкретные радиолокационные станции. Для изложения материала данной книги необходимо представление о радиолокационной станции ещё и для того, чтобы осуществить выбор способов формирования пороговых уровней. Поэтому дальнейшее изложение будет осуществляться применительно к некоторому гипотетическому радиолокатору. Гипотетический радиолокатор первоначально был представлен в [74]. Как и в [74], оговоримся, что совпадение того или иного параметра гипотетического радиолокатора с соответствующим параметром какой-либо реальной радиолокационной станции следует считать случайным. В гипотетическом радиолокаторе используются квазинепрерывные сигналы (КН сигналы), ЛЧМ и ФКМ импульсы, а также прямоугольный импульс без внутриимпульсной модуляции. Остановимся кратко на описании КН сигналов. При использовании КН сигнала передающее устройство непрерывно излучает когерентные импульсы в течение всего рабочего 71
интервала (в текущем зондировании). В приёмном устройстве смесь сигнала и шума отбирается для обработки на некотором интервале (на интервале обработки), начало которого смещено по времени относительно начала рабочего интервала (начала излучения импульсов в текущем положении антенного луча). Смещение по времени должно быть достаточным, чтобы излучённые импульсы, отразившись от цели, успели заполнить интервал обработки. Расположение сигналов во времени показано на рис. 4.1. Вертикальные пунктирные линии ограничивают временной интервал, с которого смесь сигнала и шума отбирается для обработки в устройстве обнаружения сигналов. а) б) в) г) д) Рис. 4.1. Квазинепрерывный сигнал: а — зондирующий сигнал; б — сигнал, принятый от близко расположенной цели; в — сигнал, принятый от удалённой цели; г — опорный сигнал в канале обнаружения, настроенном на минимальную дальность; д — опорный сигнал в канале обнаружения, настроенном на максимальную дальность
Свойства КН сигналов подробно исследованы в [74]. Значения параметров для одного из вариантов КН сигнала представлены в табл. 4.1. Из представленных в табл. 4.1 данных следует, что скважность излучения импульсов равна 20. Таблица 4.1 Параметры КН сигнала гипотетического радиолокатора
72
Наименование параметра КН сигнала
Значение
Частота повторения импульсов Fп, кГц Период неоднозначности R, км Длительность импульса T, мкс Импульсный интервал r, м
100 1,5 0,5 75
Представленные в табл. 4.1 период неоднозначности измерений дальности и импульсный интервал определяются формулами R cTп /2; Tп 1/Fп; r cT/2, где c — скорость света; Tп — период повторения импульсов. Длительность обрабатываемой пачки импульсов составляет 3 мс. Обработка КН сигналов осуществляется с использованием временны́х весовых функций. При этом уровень боковых лепестков взаимно корреляционной функции КН сигналов вдоль частотной оси составляет 90 дБ. Такой уровень лепестков позволяет наблюдать сигнал от движущейся цели на фоне интенсивных отражений от неподвижных объектов. Динамический диапазон приёмного устройства таков, что позволяет обрабатывать КН сигналы с отношением сигнал шум 80 дБ. При бóльших отношениях сигнал/шум может происходить нарушение линейности тракта обработки, что не позволит обеспечить уровень боковых лепестков, равный 90 дБ. Следовательно, не будет обеспечиваться отстройка от пассивных помех по доплеровской частоте. Следует заметить, что сигнал, называемый здесь КН сигналом, часто не имеет специального названия. Радиолокаторы, использующие такие сигналы, называются импульсно-доплеровскими радиолокаторами [57, § 4.5; 61, т. 3, гл. 7]. Теперь перейдём к описанию импульсных сигналов. В дальнейшем будем полагать, что в гипотетическом радиолокаторе используются импульсные сигналы с различными длительностями. Длительности импульсов могут составлять, например, 50 и 100 мкс. Девиация частоты ЛЧМ импульсов составляет 2 МГц. Приём отражённых ЛЧМ импульсов может осуществляться как без весовой обработки, так и с частотной весовой обработкой (с весовой функцией Хемминга). Длительность дискрета ФКМ импульса равна 0,5 мкс. Внутриимпульсное заполнение ФКМ импульса — рекуррентная бинарная фазовая последовательность. Если зондирования осуществляются импульсными сигналами, то при приёме отражённых сигналов производится бланкирование близлежащих дальностей. Тем самым исключаются отражения от земной поверхности, принимаемые боковыми лепестками антенной диаграммы. Наблюдение за низколетящими целями и за целями, находящимися на малых дальностях, осуществляется с использованием КН сигналов. Ширина луча радиолокатора (ширина главного лепестка диаграммы направленности антенны) по уровню половинной мощности составляет 1. Длина волны гипотетического радиолокатора составляет 0,03 м. В расчётах по оценке интенсивностей отражённых сигналов могут использоваться значения потенциала . Простым примером использования потенциала служит формула для расчёта отношения 73
сигнал/шум применительно к сигналу, отражённому от нефлуктуирующей цели: q 4 . r Здесь — потенциал радиолокатора для рассматриваемого сигнала; — отражающая поверхность цели; — коэффициент энергетических потерь, не учтённых при оценке потенциала (изменяющиеся потери); r — дальность до цели. В § 4.3 будут представлены оценки отношений помеха/шум для тех случаев, когда помехой являются отражения от зоны дождя. Расчёты осуществлялись применительно к ЛЧМ импульсу (50 мкс), при этом использовалось значение потенциала 6 1021 м 2 . Коэффициент потерь учитывает различные изменяющиеся потери. К ним относятся, например, потери из-за несовпадения линии визирования и направления на цель, потери из-за расстройки параметров цели относительно параметров, на которые настроен канал обнаружения, и др. Как уже отмечалось, при использовании КН сигналов приемлемыми могут быть отношения помеха/шум до 80 дБ. Такая помеха за счёт скоростной селекции будет подавлена на 90 дБ. Уровень неподавленных остатков составит не более 10 дБ. Такой уровень остатков не помешает успешной работе по сигналам, отражённым от движущихся целей. В случае ЛЧМ сигнала условия другие — скоростная селекция отсутствует совсем. Можно показать, что если интенсивность помехи заранее известна (используется не адаптивный, а фиксированный порог), амплитуда помехи флуктуирует по рэлеевскому закону, а отношение помеха/шум на выходе канала обнаружения составляет 10 дБ, то обусловленный наличием помехи коэффициент энергетических потерь при обнаружении полезного сигнала будет равен 0,4 дБ. Если в каком-либо угловом элементе сектора обзора пассивная помеха интенсивная и закрывает большой интервал дальностей, то в этом угловом элементе вместо ЛЧМ сигнала необходимо использовать КН сигналы. Если в угловом секторе обзора находится зона дождя, то в соответствующих угловых положениях будет наблюдаться интенсивная пассивная помеха. Но если зона дождя имеет ограниченные размеры, то интенсивная помеха будет закрывать на дальностном интервале небольшой участок. Если этот участок без особого ущерба может быть исключён из области обнаружения, то и в таких случаях можно использовать импульсные сигналы. При этом для успешной работы необходимо иметь эффективно работающие адаптивные пороги. В подобных случаях пассивная помеха не должна являться причиной увеличения количества ложных тревог. 74
4.3. Пассивные помехи В § 3.2 мы осуществляли анализ в предположении, что помехой является стационарный гауссовский шум с неизвестной интенсивностью. Предположение в полной мере справедливо в тех случаях, когда есть внешний источник шума и осуществляется обзор углового сектора. Интенсивность помехи может меняться от одного углового положения к другому, но за время одного зондирования в фиксированном угловом положении антенного луча интенсивность шума остаётся неизменной. Иная ситуация складывается, когда помехой являются отражения от гидрометеоров (дождь, град, снег, туман). Подобные источники пассивных помех распределены в пространстве неравномерно, поэтому интенсивность помехи может меняться в зависимости от дальности, на которую настроен канал обнаружения. Можно ориентироваться на то, что источником помехи является дождевая зона. Принимаемый сигнал является аддитивной смесью отражений от большого количества мельчайших дождевых частичек и поэтому считается гауссовским. Обычно полагают, что результаты обработки пассивной помехи в многоканальной системе обладают статистическими характеристиками, сходными с соответствующими характеристиками результатов обработки собственного шума приёмного устройства. Отличие от случая, когда помехой является только стационарный шум, состоит в том, что дисперсия смеси шума и пассивной помехи на выходе канала может меняться от канала к каналу. Считаем, что результат, получаемый на выходе любого из каналов, вычисляется по формуле R (X 2 Y 2 )/(22 ), где X и Y — квадратурные составляющие; 2 — дисперсия шумовых компонент квадратурных составляющих. Подразумеваем, что величина 2 относится только к собственному шуму приёмного устройства и не включает в себя пассивную помеху. Значение 2, хотя и может быть неизвестным, одинаково для всех каналов. В § 3.2 показано, что в теоретических исследованиях схем с адаптивным порогом подобная нормировка выходных величин допустима и в тех случаях, когда дисперсия 2 является неизвестной величиной. Если на входе нет ни полезного сигнала, ни пассивной помехи, то плотность распределения вероятностей выходной случайной величины равна W(R) exp(R). При появлении пассивной помехи дисперсия квадратурных составляющих станет равной 2(1 ), где — среднее значение отношения сигнал/шум для помехового сигнала. Плотность распределения вероятностей будет определяться формулой W(R) [1/(1 )]exp{R/(1 )}. Среднее значение отношения сигнал/шум для помехового сигнала будем называть отношением помеха/шум. Если помимо шума на входе присутствует пассивная помеха, а полезный сигнал отсутствует, то превышение порога в канале 75
обнаружения будем отождествлять с традиционной ложной тревогой. И называть такое превышение порога будем также ложной тревогой. При наличии пассивной помехи выходную случайную величину можно было бы нормировать с учётом суммарной помехи. Тогда выходная величина определялась бы формулой R
X 2 Y 2 R . 2 2 (1 ) (1 )
Аналитические выражения для плотности распределения вероятностей выходной случайной величины R будут такими же, как для R при отсутствии помех. При наличии полезного сигнала вместо отношения сигнал/шум q, определяемого формулой (1.6.4), придётся использовать величину 2
2
X Y q qп 2 . 2 (1 ) 1
Величину qп будем называть отношением сигнал/помеха. Слово «помеха» в данном случае означает аддитивную смесь собственного шума и внешней пассивной помехи. Среднее значение отношения сигнал/помеха п qп будем называть также отношением сигнал/помеха. Если интенсивности шума и пассивной помехи известны, то характеристики обнаружения полезного сигнала останутся прежними (т. е. как при обнаружении сигнала на фоне шума с известной интенсивностью), только в роли отношения сигнал/шум будет выступать отношение сигнал/помеха. Аналогичное утверждение справедливо при неизвестных интенсивностях шума и помехи только в том случае, если помеха однородна, т. е. интенсивность помехи одинакова для всех элементов разрешения, анализируемых совместно в процессе формирования адаптивного порога. Если применяется адаптивный порог и помеха однородная, то вероятность обнаружения полезного сигнала определяется отношением сигнал/помеха qп. При этом если помеха отсутствует, то отношение сигнал/помеха qп подменяется отношением сигнал/шум q. Необходимо иметь представление о том, какие значения отношения помеха/шум могут встретиться в реальных условиях. Оценкам отношения помеха/шум посвящены две главы книги [74]. Представлены данные применительно к гипотетическому радиолокатору, параметры которого воспроизведены здесь в § 4.2. В частности, отношение помеха/шум для ЛЧМ импульса, когда отражения от источника пассивной помехи (дождь, снег) принимаются главным лепестком диаграммы направленности антенны, в [74] оценивалось по формуле 76
V A rэфф
, (4.3.1) r2 где — потенциал радиолокатора для рассматриваемого сигнала (см. § 4.2); V — коэффициент (размерность м2/м3), характеризующий эффективную поверхность рассеяния единицы объёма; A — эффективная площадь главного лепестка двусторонней диаграммы направленности антенны; rэфф — эффективный импульсный интервал ЛЧМ импульса; r — дальность, на которую настроен канал обнаружения. В [97, 98, 100, 101] даны формулы для коэффициентов обратного рассеяния дождя
V 5,7 1014 rm1,6 / 4
и снега V 1,2 10 13 rm2 / 4 ,
где rm — интенсивность выпадения осадков [мм/час]; — длина волны в метрах. При определении интенсивности выпадения снега подразумевается высота водяного столба, образующегося в результате таяния снега. Под двусторонней диаграммой направленности антенны подразумевается произведение двух односторонних диаграмм, одна из которых соответствует передающей антенне, другая — приёмной антенне. Формула для эффективной площади главного лепестка двусторонней диаграммы имеет вид [74] A , 1,33 1,33 где и — ширины главного лепестка односторонней диаграммы (в наклонной и вертикальной плоскостях) по уровню половинной мощности. В формулу для A нужно подставлять и , выраженные в радианах. Если ширины и равны 1, то A 1,72104. Эффективный импульсный интервал ЛЧМ импульса равен rэфф cTсж /2; c — скорость света; Tсж — длительность сжатого импульса. Если приём ЛЧМ импульсов осуществляется без весовой обработки, то Tсж 1/F; F — девиация частоты ЛЧМ импульса. Формулу (1) можно преобразовать для случая, когда антенный луч направлен в свободное пространство, а подсвет метеообразований осуществляется только боковыми лепестками антенной диаграммы. С этой целью эффективную угловую площадь главного лепестка двусторонней диаграммы направленности антенны A необходимо заменить угловой площадью зоны осадков S /r2, где S — метрическая площадь сечения объёма, занимаемого зоной осадков (сечение производится на дальности r); r — дальность, на которую настроен канал
77
обнаружения. Кроме того, в числитель формулы вводится множитель g4, где g2— средний уровень боковых лепестков односторонней диаграммы направленности антенны в направлении на зону осадков (по мощности). В результате получим формулу для отношения помеха/шум, когда отражения, рассеиваемые метеообразованиями, принимаются боковыми лепестками антенной диаграммы направленности. На рис. 4.2, заимствованном из [74], представлены оценки интенсивности пассивных помех для гипотетического радиолокатора. 10 lg
10 lg
10 lg
60
35
15
50
25
5
40
15
5
30
5
15
20
5 20
40 а)
60
r, км
25 20
40 б)
60
r, км
20
40 в)
60
r, км
Рис. 4.2. Дождь; площадь сечения зоны осадков составляет 510 км. ЛЧМ импульс длительностью 50 мкс. Зависимости отношения помеха/шум от дальности, на которую настроен канал обнаружения, при приёме отражений главным лепестком диаграммы направленности антенны (а) и боковыми лепестками со средним уровнем 25 дБ (б) и 35 дБ (в). Кривые (сверху вниз) соответствуют интенсивностям осадков 4; 2 и 1 мм/час
Характеристики дождей можно найти в [213]. Согласно [213] интенсивность небольшого дождя составляет 1 мм/час, умеренного или среднего — 4 мм/час, проливного — 16 мм/час. Наибольшая интенсивность дождя, зафиксированная в радиолокационных экспериментах, составляет 150 мм/час [195, 123]. В обзоре работ по рассеянию сантиметровых и миллиметровых волн в дожде и граде [220] максимальное значение рассматриваемых интенсивностей дождя составляет также 150 мм/час. В [57, с. 642; 61, т. 1, с. 255] сказано, что интенсивность снегопадов обычно бывает меньше, чем интенсивность дождей. 4.4. Выбор вероятности ложной тревоги при обзоре по угловым координатам Результат обработки сигнала, получаемый на выходе канала обнаружения, сравнивается с порогом. Величина порога определяется заданной вероятностью его превышения в случае отсутствия полезного сигнала. Вероятность превышения порога на выходе одного из задан78
ных каналов называют вероятностью ложной тревоги, приходящейся на один канал обнаружения. Эффективность применения адаптивных пороговых уровней существенно зависит от заданной величины вероятности ложной тревоги. Поэтому для осуществления исследований адаптивных пороговых уровней необходимо определиться, какими же значениями вероятности ложной тревоги необходимо задаваться. В [122] утверждается, что вероятность ложной тревоги F 106 является типичной величиной для первой оценки характеристик радиолокационной станции. Действительно, при ознакомлении с различными публикациями складывается впечатление, что представленное значение наиболее часто встречается в качестве вероятности ложной тревоги для одного канала обнаружения. Значение F 106 применимо особенно в тех случаях, когда облик радиолокатора известен весьма ориентировочно. На такой вывод могло повлиять и то, что радиолокационные приёмники ранее выполнялись в виде аналоговых устройств. Существовали ограничения по числу каналов обнаружения, а это, в свою очередь, влияло на вероятность ложной тревоги в одном канале обнаружения. В настоящее время обработка сигналов реализуется в цифровом виде [28]. Возможности приёмных устройств значительно расширились. Применительно к гипотетическому радиолокатору оценим значение вероятности ложной тревоги, которое необходимо задавать. Параметры гипотетического радиолокатора были приведены ранее. При оценке вероятности ложной тревоги для простоты полагаем, что обзор по углам осуществляется с использованием ЛЧМ импульсов. В литературе существуют различные определения временнóго интервала ложных тревог [174]. Значения временного интервала несколько отличаются в зависимости от того, каким определением руководствоваться. Поскольку наши оценки в данном случае ориентировочные, мы не будем придерживаться какого-либо единственного строгого определения временного интервала ложных тревог. Будем руководствоваться самыми простыми представлениями. Предположим, что значение Nлт задаёт приемлемое среднее число ложных тревог за время Tлт. Пусть F — вероятность ложной тревоги в одном канале обнаружения, nк — число каналов обнаружения. В [73] показано, что при оценках числа ложных тревог (числа превышений порога) в многоканальной системе можно пренебречь статистической зависимостью случайных величин на выходах каналов (в том числе соседних каналов). В таком случае среднее число ложных тревог в одном зондировании будет равно nкF. Среднее число ложных тревог за одну секунду будет равно nкFFп, где Fп — частота повторения импульсов, Fп 1/Tп, Tп QT, Tп — период повторения импульсов, Q — скважность, T — длительность импульса. Среднее число ложных тревог за время Tлт составит nк F Fп Tлт. 79
Теперь можно записать F N лт ( n к Fп Tлт ) . Оценим возможное число каналов nк . Предполагаем, что имеющимся числом каналов nк можно перекрыть весь интервал задержек полезных сигналов. В ориентировочных оценках можно считать, что интервал задержек равен периоду повторения ЛЧМ импульсов Tп. Расстройка между соседними каналами по задержке не должна превышать значения 1/F, где F — девиация частоты. На практике расстройка по задержке составляет k/F, где k — некоторый коэффициент, меньший единицы. В результате nк F Tп k . Учтём, что F 2 МГц, Tп 1 мс. При k 0,5 получаем nк 4000. Для оценки вероятности F осталось задать среднее число ложных тревог Nлт за время Tлт. На практике подбор параметров F, Nлт и Tлт происходит несколько иначе. Если в действующем радиолокаторе установить довольно малое значение F, то ложных тревог почти не будет, но зато будет неоправданно заниженной вероятность обнаружения полезных сигналов. С другой стороны, при довольно больших вероятностях F ухудшается функционирование радиолокатора. Появляется много ложных тревог. Из-за этого часть ограниченных ресурсов радиолокатора расходуется впустую, на экранах индикаторов появляется ложная информация, а вычислительные средства перегружаются из-за необходимости хранения и обработки большого количества ненужных данных. Поэтому стараются установить вероятность F как можно большей, но при этом сохранить комфортную обстановку при эксплуатации радиолокатора. В данном случае целесообразно обратиться к ранее опубликованным источникам. В [177, p. 6] в качестве примера говорится о пяти ложных тревогах в минуту. Исходя из этого, по представленным выше формулам получаем F 2108. В [57, с. 678] средний период ложных тревог принимается равным удесятерённому периоду обзора. Наши оценки ориентировочные, поэтому будем считать, что среднее число ложных тревог за 10 периодов обзора равно 1. В [57, с. 679], а также в [85] для времени обзора приведено значение 12 с. В результате получаем F 2 109 . В [65] сообщаются данные об интенсивности ложных тревог при обнаружении (завязке) траекторий. На основании этих данных можно предположить, что происходит 60 первичных ложных отметок за период, составляющий 4,8 с. Исходя из Nлт 60, Tлт 4,8 с получим F 3 106 . В дальнейшем анализ эффективности применения адаптивных порогов будем оценивать для некоторого диапазона вероятностей ложной тревоги в одном канале обнаружения F. Полученные результаты указывают на то, что в этом диапазоне должны быть значения F 10 6 10 9 . 80
Если результаты, получаемые при обнаружении полезных сигналов с использованием ЛЧМ импульсов, используются непосредственно для инициализации сопровождения цели, то значения F 10 6 10 9 могут быть приняты в качестве основных при оценке эффективности применения адаптивных порогов. Обнаружение в каждом угловом элементе может быть реализовано в виде двухэтапной процедуры, за счёт применения которой можно получить энергетический выигрыш. Если на втором этапе обнаружения использовать ФКМ импульс или КН сигнал, то появляется возможность устранить дальностно-скоростную неоднозначность, присущую ЛЧМ импульсам. При наличии доплеровской информации в составе параметров обнаруженной цели можно упростить процесс передачи цели на автосопровождение. Если общая вероятность ложной тревоги в одном канале обнаружения составляет F 108, то при nк 4000 оптимальное значение вероятности ложной тревоги на первом этапе составит ориентировочно F1 105. Вероятность ложной тревоги на втором этапе будет равна F2 103. Рассмотренный пример с двухэтапным обнаружением показывает, что могут встретиться значения вероятности превышения порога порядка 10 3 105 . Однако следует ожидать, что оценки характеристик обнаружения для каждого из этапов по отдельности не будут отражать полностью всей картины. Необходимо оценивать двухэтапную процедуру обнаружения в целом. При этом снова придётся ориентироваться на малые значения вероятности ложной тревоги порядка F 108. Необходимо учесть, что довольно трудной задачей являются вычисления именно малых вероятностей. Поэтому при описании вычислительных методов основное внимание будет уделяться примерам с малыми вероятностями ложной тревоги. Диапазон рассматриваемых вероятностей будет несколько расширен (до значений F 10 6 10 10 ). 4.5. Адаптивное обнаружение целей В гипотетическом радиолокаторе имеются два вида сигналов (см. § 4.2): импульсные и квазинепрерывные. Квазинепрерывные сигналы позволяют обнаруживать движущиеся цели на фоне отражений от земной поверхности, диполей или метеообразований. Однако у КН сигналов имеются и недостатки. В частности, длительность рабочего интервала КН сигналов в несколько раз превышает длительность рабочего интервала импульсных сигналов. 81
Длительностью рабочего интервала здесь называется время, затрачиваемое на излучение и приём сигналов в текущем угловом положении. Длительность рабочего интервала КН сигналов состоит из двух частей: времени ожидания прихода отражённых импульсов и длительности обрабатываемой пачки импульсов. Прежде чем начать отбор импульсов для обработки, необходимо дождаться прихода первого импульса, отражённого от удалённой цели (а также от удалённого метеообразования, от которого необходимо отстроиться по доплеровской частоте). Длительность обрабатываемой пачки импульсов в гипотетическом радиолокаторе составляет 3 мс. Если принять, что время ожидания прихода первого импульса составляет 1 мс, то длительность рабочего интервала КН сигналов будет равной 4 мс. Для импульсных сигналов длительность рабочего интервала равна произведению длительности импульса и скважности излучения. Если при обзоре применяются импульсы длительностью 50 мкс, а скважность излучения равна 20, то длительность рабочего интервала составляет 1 мс. Из этого следует, что скорость обзора углового сектора при использовании импульсных сигналов оказывается в четыре раза выше, чем при использовании КН сигналов. Чтобы повысить пропускную способность радиолокатора, необходимо применять импульсные сигналы во всех тех случаях, когда можно обойтись без КН сигнала [74]. Полный отказ от импульсных сигналов приведёт к ухудшению характеристик радиолокатора. В тех угловых направлениях, в которых наблюдаются интенсивные пассивные помехи, необходимо применять КН сигнал. В других угловых направлениях, свободных от интенсивных помех, применяются импульсные сигналы, отличающиеся сравнительно малыми затратами времени на зондирования. Правильно назначить сигнал для зондирования можно только в том случае, если помеховая обстановка в текущем угловом направлении заранее известна. Для обеспечения этого условия необходимо целенаправленно производить сбор и накопление информации, относящейся к результатам применения тех или иных сигналов в различных угловых направлениях. Массив информации о пассивных помехах хранится в специальной карте пассивных помех. В § 3.5 отмечалось, что структура карты помех зависит от того, для решения каких задач она предусмотрена. В данном случае необходима такая карта помех, которая позволит уменьшить затраты времени на обзор углового сектора и обеспечить включение того или иного режима подавления пассивных помех в тех угловых направлениях, в которых пассивная помеха присутствует. О том, что такие карты помех давно применяются на практике, можно судить по источникам [273, 197, 99, 274]. Так, например, в [99, p. 84] сообщается, что карта помех может быть использована для выбора вида зондирующего сигнала в зависимости от текущей помеховой обстановки. 82
Доклад [273] посвящён радиолокатору с фазируемой антенной решёткой (см. также [274]). В компьютере, управляющем работой этого радиолокатора, формируется и хранится карта пассивных помех. В тех угловых элементах, в которых нет пассивных помех, применяется метод некогерентного последовательного обнаружения (процедура Вальда). Последовательное обнаружение позволяет повысить поисковые способности радиолокатора в зоне, свободной от пассивных помех. В угловых элементах с помехами излучается когерентная последовательность импульсов. Число излучаемых импульсов зависит от мощности помехи. Последующая обработка последовательности импульсов позволяет отфильтровать полезный сигнал от сигнала пассивной помехи. В [197] излагается формирование карты помех, состоящей из двух частей: карты местных предметов и карты атмосферных пассивных помех. Подавление пассивных помех и в том, и в другом случае осуществляется методами селекции движущихся целей. При выборе излучаемых сигналов и их последующей обработке учитываются особенности пассивных помех. Пассивные помехи от местных предметов более мощные, но имеют нулевую доплеровскую частоту, а при работе в зоне атмосферных помех необходимо оценивать доплеровское смещение, появляющееся при наличии ветра, и затем учитывать эту оценку при выделении полезных сигналов. Далее будем полагать, что в гипотетическом радиолокаторе карта пассивных помех начинает формироваться сразу после включения радиолокатора, т. е. перед основной работой. Затем в процессе работы радиолокатора, на основании получаемой информации, карта помех может корректироваться. Карта помех должна обеспечивать правильный выбор зондирующего сигнала в каждом элементе углового сектора обзора, поэтому набор угловых направлений, в которых осуществляются зондирования, целесообразно сохранять в процессе работы. Для каждого углового направления карта помех должна содержать номер сигнала, рекомендуемого для использования в этом угловом направлении. В карте помех также должна содержаться информация о параметрах обработки принимаемых сигналов. Следует отметить, что сведения об интенсивности пассивной помехи в данном угловом направлении применительно к тому или иному конкретному сигналу корректны лишь в том случае, если они получены при предварительном зондировании текущего углового положения именно этим сигналом. Так, например, при использовании КН сигнала на малых углах места пассивная помеха формируется в основном из отражений от участков земной поверхности, расположенных на дальностях нескольких сотен метров или нескольких километров. Пассивная помеха от более удалённых участков пренебрежимо мала. При использовании импульсных сигналов отражения от участков, расположенных в пределах нескольких километров, бланкируются. В этом случае пассивная помеха, поступающая 83
в приёмное устройство, формируется за счёт отражений от удалённых участков. Если сектор обзора содержит направления с малыми углами места, то целесообразно отдельно рассматривать строки, состоящие из нижних угловых элементов (например, из двух нижних элементов). Подразумеваем, что в нижних строках сектора обзора применяются КН сигналы. Импульсные сигналы в данном случае менее предпочтительны, так как из-за большой протяжённости мёртвой зоны сокращается дальностный интервал, на котором можно наблюдать низколетящую цель. Если всё же в нижних угловых элементах использовать импульсные сигналы, то может оказаться, что низколетящая цель, появляясь из-за радиогоризонта, почти сразу попадает в мёртвую зону импульсных сигналов. Работа радиолокатора начинается с того, что в каждом азимутальном направлении нижней строки сектора обзора исследуется интенсивность отражений от земной поверхности. Для исследований нижней строки выделяются специальные зондирования с использованием КН сигналов. В [34] рекомендовано интенсивность отражений определять по значениям амплитуд на выходах дальностных каналов, настроенных на нулевую доплеровскую частоту. Уровень помехи в нижней строке сектора обзора зависит от угла наклона луча по углу места и от отражательных свойств окружающей местности. Необходимо исходить из того, что земная поверхность не является однородной, и следовательно, уровень помехи будет меняться при перемещении антенного луча по азимуту. Кроме того, отражательные свойства местности могут со временем измениться, например, после дождя или снега. Чтобы создать благоприятные условия для обнаружения низколетящих целей, желательно опустить антенный луч на малые углы места. Однако при чрезмерно малых углах места интенсивность отражений от земной поверхности оказывается столь большой, что обрабатываемый сигнал выходит за пределы динамического диапазона приёмного устройства. Приёмный тракт по отношению к помехе будет нелинейным. Меры, принимаемые для подавления пассивной помехи (весовая обработка сигнала), становятся неэффективными. Обнаружить полезный сигнал на фоне неподавленной помехи невозможно. Уменьшить интенсивность пассивной помехи можно путём увеличения угла места, на который настраивается антенный луч. Увеличение угла места должно быть минимальным и в то же время достаточным для того, чтобы обрабатываемый сигнал укладывался в динамический диапазон. Угломестное положение луча, удовлетворяющее этим требованиям при любом КН сигнале, ищется в каждом азимутальном элементе нижней строки сектора обзора методом пробных зондирований. В зоне прямой видимости могут находиться местные предметы (например, водонапорная башня). Сигнал, отражённый от местного 84
предмета, является интенсивной помехой. Попытки уменьшить интенсивность этой помехи путём увеличения угла места антенного луча могут оказаться непродуктивными. В данном случае подбор угла места луча необходимо сочетать с бланкированием каналов обнаружения, в которых наблюдается интенсивный сигнал от местного предмета. При наличии местного предмета для каждого КН сигнала определяются номера каналов дальности, подлежащих в дальнейшем бланкированию [34]. Чтобы измерять уровень отражений от земной поверхности, в радиолокаторе должны быть предусмотрены соответствующие возможности. Например, можно производить зондирования и измерения при искусственно заниженном потенциале радиолокатора, когда сигнал помехи не выходит за пределы динамического диапазона приёмного устройства. Кроме того, по результатам каждого зондирования в дальностных каналах приёмного устройства могут вырабатываться признаки, информирующие о выходе сигнала помехи за пределы динамического диапазона. Угловые направления сектора обзора, не входящие в нижние строки, будем называть верхними угловыми направлениями. Выбор вида зондирующего сигнала, способа обработки принимаемых сигналов (включая процедуру их обнаружения) в верхних угловых положениях осуществляется по данным карты пассивных помех. Карты помех могут быть разнообразными, поэтому приведённое ниже описание карты помех следует рассматривать в качестве иллюстрирующего примера. Предполагаем, что угловой сектор имеет большие размеры. В верхних угловых элементах возможны четыре сценария работы. Самый простой сценарий представляет собой обнаружение целей на фоне собственного шума приёмного устройства. Интенсивность собственного шума известна. Какие-либо внешние пассивные или активные помехи отсутствуют. В ближайших угловых направлениях отсутствуют сопровождаемые цели. Для реализации этого сценария необходимо предусмотреть возможность измерения в автоматическом режиме интенсивности собственного шума. Первое измерение осуществляется перед началом обзора углового сектора. Кроме того, если возможны температурные уходы коэффициента усиления приёмного устройства, то такие измерения необходимо периодически производить в процессе работы (например, каждые 15 минут). Применяются более короткие ЛЧМ импульсы (50 мкс). Зондирования в таких угловых положениях осуществляются только для того, чтобы зафиксировать факт появления какой-либо цели (если такая цель появится). Поэтому весовая обработка принимаемых сигналов нежелательна, так как она внесёт существенные энергетические потери. При этом весовая обработка не даёт никакого положительного эффекта. 85
Второй сценарий отличается от предыдущего тем, что осуществляется в угловых направлениях с пассивными помехами. Интенсивность помех не столь большая, чтобы отказаться от использования импульсного сигнала. Вместе с тем интенсивность помех такова, что использование фиксированного порога не представляется возможным — пассивные помехи приведут к росту числа ложных тревог. Принятие решения о наличии полезного сигнала осуществляется на основании сравнения результатов обработки принятых сигналов с адаптивными пороговыми уровнями. Адаптивные пороги позволят стабилизировать вероятность ложной тревоги. Второй сценарий может применяться и в тех случаях, когда интенсивная пассивная помеха закрывает сравнительно небольшой дальностный интервал, причём исключение этого дальностного интервала из области обнаружения не повлияет существенно на характеристики обнаружения приближающейся цели. Отметки от цели, расположенные на участке с интенсивной пассивной помехой, могут исключаться из дальнейшего рассмотрения (см., например, [143]). Может осуществляться бланкирование каналов, подверженных воздействию интенсивных пассивных помех [74]. Следует заметить, что если в устройствах обнаружения полезных сигналов используются эффективно работающие адаптивные пороговые уровни, то какие-либо меры, подобные бланкированию каналов обнаружения, в большинстве случаев могут оказаться излишними. Адаптивные пороговые уровни предназначены именно для того, чтобы обнаруживать полезный сигнал и исключать превышения порога результатами обработки пассивной помехи. Бланкирование соответствующих участков дальностей часто применяют, чтобы предотвратить нарушение работы приёмного устройства по причине выхода сигнала за пределы динамического диапазона. Но в верхних угловых положениях отражения не столь сильные, чтобы прибегать к подобной мере. Высказанное замечание не всегда оказывается верным. В [213] представлены ссылки на публикации, в которых показано, что при ливне в штормовых условиях распределение амплитуды пассивной помехи будет отличаться от рэлеевского распределения. Распределения амплитуды помехи будут иметь длинные «хвосты», и если адаптивные пороги проектировались для работы в гауссовских помехах, то в таких случаях существенно возрастёт количество ложных тревог на участке дальностей с помехами от штормовой зоны. Участок дальностей со штормовой зоной целесообразно бланкировать. В [217] рассматривается процедура обнаружения сигнала, в которой при каждом зондировании в реальном времени определяются участки дальностей, свободные от помех. На таких участках результаты обработки сигнала сравниваются с фиксированным порогом, на других участках используются адаптивные пороги. Третий сценарий может появиться, когда на автосопровождении имеются цели. Он исполняется только в тех угловых положениях 86
сектора обзора, которые близки к угловым направлениям на ту или иную сопровождаемую цель. Сопровождаемые цели могут оказывать мешающее воздействие на процесс обнаружения новых целей. Главная особенность этого сценария состоит в использовании более длинного зондирующего импульса (100 мкс) и применении весовой обработки принимаемых сигналов. Весовая обработка существенно уменьшает боковые лепестки взаимно корреляционной функции. Уменьшение боковых лепестков необходимо для устранения маскировки слабого полезного сигнала интенсивным сигналом от мешающей цели. Несмотря на наличие потерь из-за весовой обработки, использование более длинного импульса приведёт к увеличению вероятности обнаружения полезных сигналов. Если цели появляются в области обнаружения группами, то вероятность обнаружения хотя бы одной цели из группы будет большой (существенно больше вероятности обнаружения какой-либо наперёд заданной цели). После обнаружения хотя бы одной цели вероятность обнаружения остальных будет определяться энергией более длинного импульса. В результате оказывается, что «пустые» угловые элементы осматриваются короткими импульсами, а угловые элементы с целями — длинными импульсами (с большей излучаемой энергией). В третьем сценарии также могут использоваться адаптивные пороги, если есть пассивные помехи (такие же помехи, как во втором сценарии). В четвёртом сценарии зондирующими являются КН сигналы. Информация о том, по какому сценарию должна осуществляться предстоящая работа в текущем угловом элементе сектора обзора, содержится в карте атмосферных пассивных помех. Формирование карты атмосферных пассивных помех для верхних угловых направлений совмещается с основной работой (специальные зондирования для формирования карты не выделяются). Перед первым циклом обзора карта заполняется так, чтобы работа в каждом угловом направлении осуществлялась в соответствии со вторым сценарием. При работе по второму сценарию излучается импульсный сигнал с меньшей длительностью. Обнаружение полезных сигналов производится с использованием адаптивных пороговых уровней. Одновременно с обнаружением полезных сигналов происходят контроль и анализ помеховой обстановки. Замером интенсивности помехи может служить значение адаптивного порогового уровня. Адаптивный порог h необходимо сравнивать с некоторым дополнительным порогом . Дополнительным порогом может служить среднее значение адаптивного порога, который выставлялся бы при отсутствии внешних помех. Если, например, адаптивный порог h оказался в два раза больше дополнительного порога , то при использовании линейного детектора это значит, что 87
среднее значение амплитуды смеси шума и помех (на выходе детектора) в два раза больше средней амплитуды шума. Если в приёмном устройстве используется линейный детектор, то отношение помеха/шум находится из уравнения 1 h . При выставке дополнительного порога необходимо учитывать температурные уходы интенсивности собственного шума приёмного устройства. Результаты обработки входной реализации сравниваются не только с адаптивными, но и с фиксированными порогами. Если в текущем угловом положении не было превышений фиксированного порога, то в следующих циклах обзора работа в этом угловом положении осуществляется по первому сценарию (когда пассивные помехи отсутствуют). Если при работе по второму сценарию в текущем угловом положении использовался импульс с малой длительностью, и при этом были множественные превышения фиксированного порога, но не было превышений адаптивного порога, то может оказаться целесообразным использование в следующих циклах обзора в этом угловом положении импульса с большей длительностью. Увеличение длительности импульса позволит уменьшить влияние пассивной помехи, а также скомпенсировать энергетические потери, обусловленные применением адаптивных пороговых уровней. Чтобы обеспечивать в дальнейшем изменения сценариев, в карте помех делаются соответствующие корректировки. Если на большей части дальностного интервала адаптивные пороги принимают такие большие значения, что обнаружение целей при использовании импульсных сигналов оказывается неперспективным, то в этом угловом положении в следующих циклах обзора применяется КН сигнал. Если в каком-либо угловом положении при работе по первому сценарию происходят превышения порога (порог фиксированный), а затем оказывается, что эти превышения являются ложными тревогами, то в следующих циклах обзора в этом угловом положении используются адаптивные пороги (второй сценарий). В угловых направлениях, осматриваемых с использованием импульсных сигналов, можно контролировать изменения помеховой обстановки одновременно с обнаружением полезных сигналов. По результатам контроля осуществляется необходимая корректировка карты атмосферных помех. В зондированиях с использованием КН сигналов такой возможности нет. Атмосферная пассивная помеха маскируется отражениями от подстилающей поверхности, принимаемыми боковыми лепестками антенной диаграммы. Если дождь прекратится, то атмосферная пассивная помеха перестанет поступать. Убедиться в этом можно лишь в том случае, если для соответствующих угловых направлений изредка будут выделяться специальные зондирования с использова88
нием импульсных сигналов. Если специальное зондирование покажет отсутствие интенсивной пассивной помехи, то далее в этом угловом направлении для обнаружения полезных сигналов можно использовать импульсные сигналы. Из сказанного следует, что для повышения скорости обзора углового сектора необходимо по возможности использовать импульсные зондирующие сигналы, а для предотвращения появления большого количества ложных тревог при обнаружении импульсных сигналов следует применять эффективно работающие адаптивные пороги. Разумеется, адаптивные пороги нужны и при обнаружении КН сигналов. В заключение отметим особенности использования информации из карты атмосферных пассивных помех. В процессе формирования карты атмосферных пассивных помех может осуществляться измерение скорости ветра. При наличии ветра отражения от движущегося метеообразования будут смещены по доплеровской частоте. В таких случаях можно попытаться соответствующим образом сместить по частоте и зону режекции пассивной помехи. Такие попытки не будут лишены смысла, если для отстройки от пассивных помех в качестве зондирующего сигнала используется когерентная пачка импульсов (см. [273, 274]). При использовании КН сигналов необходимо учитывать ещё одну особенность. Совместно с отражениями от движущихся метеообразований будут приниматься и отражения от близлежащих неподвижных участков земной поверхности (по боковым лепесткам антенной диаграммы направленности). При появлении ветра зону режекции пассивной помехи придётся расширять. Следует также иметь в виду, что ширина спектра атмосферной пассивной помехи зависит от характера турбулентности воздушных потоков в зоне метеообразования. 4.6. Обобщённая схема формирования адаптивного порогового уровня При формировании адаптивного порогового уровня участвуют отсчёты шума (помехи), получаемые в элементах разрешения, соседних с проверяемым элементом. В общем случае используемые элементы разрешения могут отличаться угловыми координатами, задержкой и доплеровской частотой. Схемы формирования порога, в которых объединяются отсчёты помехи, получаемые в различных угловых элементах, упоминаются сравнительно редко. В качестве одного из примеров применения таких схем можно упомянуть [203]. В этой работе рассматриваются процедуры обнаружения сигналов на фоне отражений от земной поверхности. При формировании адаптивных порогов используются элементы разрешения, отличающиеся настройкой по дальности и (или) азимуту. 89
В различных зарубежных публикациях встречаются упоминания о схемах, в которых адаптивный порог формируется усреднением 40 отсчётов шума. О происхождении числа 40 можно получить представление по работе [270]. В [270] рассматриваются схемы, использующие семь элементов доплеровской частоты и семь элементов задержки сигнала. В центре этого квадрата расположен проверяемый элемент разрешения. Девять центральных элементов (проверяемый элемент и восемь примыкающих к нему) для формирования порогового уровня не используются. В формировании порога участвуют 40 элементов разрешения. В качестве ещё одного примера можно привести работу [141], в которой полагается, что при формировании адаптивного порога используются элементы разрешения, отличающиеся задержкой и доплеровской частотой (см. также [230]). Как правило, все элементы разрешения, в том числе и проверяемый, расстроены между собой только по одному параметру. Таким параметром чаще всего является дальность. В [97, 100] это объясняется тем, что в большинстве радиолокаторов дальность имеет лучшее разрешение, чем другие координаты. Следует также заметить, что если осуществляется обнаружение полезных сигналов на фоне мешающих отражений от метеообразований, то для формирования адаптивного порога может оказаться неприемлемым использование элементов разрешения, расстроенных по доплеровской частоте. Замер интенсивности помехи будет существенно зависеть от настройки элемента разрешения по доплеровской частоте. Такие замеры не будут являться характеристикой интенсивности помехи в проверяемом элементе. Но если, например, применяется ФКМ импульс, а обнаружение полезных сигналов осуществляется на фоне широкополосного гауссовского шума с неизвестной интенсивностью, то для формирования порогового уровня можно использовать элементы разрешения, расстроенные и по задержке, и по доплеровской частоте. Под отсчётом здесь подразумевается результат обработки входной реализации, получаемый для соответствующего элемента разрешения. Этот результат может быть сформирован различными способами. Так, при реализации фильтрового метода обработки сигнала отсчёты считываются с выхода детектора огибающей в дискретные моменты времени (см. рис. 1.1 и 4.3). Отсчёты, соответствующие разным задержкам полезного сигнала, благодаря многоотводной линии задержки доступны одновременно для совместной обработки. Центральный отвод относится к проверяемому элементу разрешения. При обнаружении сигнала многоканальной системой (см. § 1.4 и рис. 4.4) отсчёты являются выходными величинами каналов. Область, в которой измеряется интенсивность помехи, в англоязычной литературе называется опорным окном (reference window). Каждый отсчёт огибающей на выходе согласованного фильтра, а также на выходе канала обнаружения принято называть ячейкой 90
Проверяемый отсчёт r Решение СФ
ДО
Многоотводная линия задержки
Д
СФ — согласованный фильтр, ДО — детектор огибающей, Д — дискретизатор, ПУ — пороговое устройство (сравнение с порогом)
r0 r1
Отсчёты
ПУ rN
Процедура измерения интенсивности помехи
Порог h s
Показатель интенсивности s f(r0, r1, , rN) Пороговый множитель Рис. 4.3. Согласованный фильтр и обобщённая схема обнаружения сигнала с адаптивным пороговым уровнем
Детекторная характеристика
Выход канала обнаружения r Сравнение с порогом
Каналы в скользящем окне r0 r1
Выходы каналов
Решение
rN Порог h s
Процедура измерения интенсивности помехи
Показатель интенсивности s f (r0, r1, , rN)
Пороговый множитель
Рис. 4.4. Многоканальная система и обобщённая схема обнаружения сигнала с адаптивным пороговым уровнем
91
(cell). Проверяемой ячейкой (test cell) обозначается отсчёт, подвергаемый сравнению с адаптивным пороговым уровнем, опорной ячейкой (reference cell) — отсчёт, используемый для измерения интенсивности помехового фона. Следует также заметить, что термин «ячейка» во многих случаях можно приравнивать к термину «элемент разрешения». Оба термина подходят для обозначения фрагмента области обнаружения, каждый размер которого представляет разрешающую способность по соответствующей координате. Рассматриваемые в дальнейшем схемы формирования адаптивных пороговых уровней в равной степени относятся к любому способу получения отсчётов. Тем не менее для большей ясности мы конкретизируем вид приёмного устройства обнаружения сигналов. Будем считать, что обнаружение сигналов осуществляется многоканальной системой, в которой каждый канал рассчитан на работу при некоторых фиксированных значениях параметров сигнала. В § 1.4 рассматривалась многоканальная система. Предполагалось, что каждый канал этой многоканальной системы предназначен для обнаружения сигнала. Эти каналы в гл. 1 иногда назывались каналами обнаружения. При исследованиях адаптивных пороговых уровней будем иметь в виду точно такую же многоканальную систему, но теперь будем представлять, что каждый канал предназначен не только для обнаружения сигнала, но и для измерения интенсивности помехи. Поэтому каналы, из которых состоит многоканальная система, в общих случаях называются просто каналами. Далее будем считать (если заранее не оговорено иное), что каналы настроены на одно и то же значение доплеровской частоты и расстроены друг относительно друга по задержке (как при обнаружении ЛЧМ импульса). Вся область обнаружения по задержке перекрывается большим количеством каналов. Интенсивность пассивных помех меняется в зависимости от дальности. Поэтому для оценки интенсивности помехи в канале обнаружения необходимо привлекать близлежащие каналы. Представим скользящее окно, перемещающееся по каналам от одной границы диапазона задержек к другой (см. рис. 4.4). Отсчёты с выходов каналов, попадающих в окно, используются в процедуре обнаружения полезного сигнала. Каналы, предназначенные для измерения уровня помех, далее будем называть измерительными каналами. Канал, выходная величина которого сравнивается с адаптивным порогом, будем называть каналом обнаружения (или проверяемым каналом). Измерительные каналы разбиваются на две половины. Одна половина каналов настроена на задержки, меньшие той, на которую настроен канал обнаружения. Другая половина расположена симметрично на бóльших задержках. Случайные величины на выходах измерительных каналов (будем называть их измерительными отсчётами) являются основой для оценки интенсивности помех и для вычисления адаптивного порога. Если 92
случайная величина на выходе канала обнаружения превышает порог, то принимается решение о наличии полезного сигнала. После того как сравнение с порогом было выполнено, скользящее окно перемещается на один канал. Тот канал, который в предыдущем положении скользящего окна являлся каналом обнаружения, теперь становится измерительным. Каналом обнаружения становится следующий канал, который в предыдущем положении был измерительным. В представленном описании остаются неохваченными случаи, когда каналы обнаружения находятся на том или ином краю диапазона задержек. Расположить канал обнаружения в центре скользящего окна оказывается невозможным. Для этих случаев необходимы специальные решения. В [196] описаны два подхода к решению данной проблемы. Первый состоит в том, что для крайних каналов обнаружения скользящее окно фиксируется на краю диапазона задержек. Канал обнаружения будет расположен не в центре скользящего окна. Во втором подходе предлагается уменьшить размер скользящего окна на краях диапазона задержек — тогда уменьшится и число проблемных каналов обнаружения. В [196] содержится вывод о том, что алгоритм с фиксацией окна несколько предпочтительнее. В дальнейшем будем полагать, что канал обнаружения находится не на краю диапазона задержек. Такой подход позволит не осложнять изложение частными деталями. Схема, изображённая на рис. 4.4, применима и для ФКМ импульсов. Применительно к квазинепрерывным сигналам и прямоугольному импульсу без внутриимпульсной модуляции в дальнейшем будут рассматриваться схемы, отличающиеся от представленной на рис. 4.4. Эффективность обнаружения полезных сигналов на фоне помех с неизвестными характеристиками зависит от ряда факторов. Сказываются как характеристики помехи, так и структура схемы формирования порога. Основой схемы является алгоритм, с помощью которого вычисляется показатель (или параметр), характеризующий интенсивность помехи. Кроме того, при анализе схем обычно принято отдельно оговаривать ещё и вид детекторной характеристики. Запишем в общем виде математические выражения для вероятности превышения порога. Обозначения (см. рис. 4.4): r — выходная случайная величина в канале обнаружения; s — результат оценки интенсивности помехи; h s — адаптивный пороговый уровень; — пороговый множитель. В качестве результата s может выступать любая ненормированная величина, которая после соответствующей нормировки (т. е. после умножения на известный множитель) являлась бы измеренным значением того или иного параметра, характеризующего интенсивность помехи. Под помехой подразумеваем аддитивную смесь собственных шумов приёмника и внешних помех. 93
Значение порогового множителя зависит в первую очередь от процедуры измерения интенсивности помехи. Необходимо учитывать и то, что в реальных устройствах обнаружения сигналов значение порогового множителя зависит от вида зондирующего сигнала и способа обработки принимаемых сигналов. Рассмотрим вначале самый простой случай. Полагаем, что детектор квадратичный. Амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону. Выходные величины во всех каналах статистически независимы между собой. Если пороговый уровень в канале обнаружения равен h, то вероятность превышения порогового уровня будет равна exp{h/(1 )}, где — отношение сигнал/помеха полезного сигнала. В нашем случае h s, а s является случайной величиной. Поэтому для получения окончательного результата вероятность exp{h/(1 )} необходимо усреднить по флуктуациям результата оценки интенсивности помехи. Тогда вероятность превышения порогового уровня будет определяться интегралом
s P exp w( s )ds , 1 0
где w(s) — плотность распределения вероятностей оценки интенсивности помехи. Если известно преобразование Лапласа F( p) плотности w(s), то вероятность превышения адаптивного порогового уровня можно записать в виде P F . 1
(4.6.1)
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть w(r, s) — совместная плотность распределения вероятностей случайных величин r и s. Превышение порога фиксируется, если r s. Вероятность превышения порога выражается в виде
P
w( r, s ) dr ds . s
0
Пусть далее F( p, q) — двумерное преобразование Лапласа плотности w(r, s). Используя методы, изложенные в § 2.7, можно получить i
P
1 1 F ( p, p ) dp , 0. 2 i i p
(4.6.2)
Особые точки подынтегрального выражения, находящиеся в левой полуплоскости, должны располагаться слева от контура интегрирования. Это выполнимо, так как абсолютное значение константы может быть сколь угодно малым. 94
Если w(r, s) относится к случаю, когда на входе приёмника полезный сигнал отсутствует, то вероятность превышения порога P является вероятностью ложной тревоги. При наличии полезного сигнала вероятность P является вероятностью правильного обнаружения сигнала. В большинстве публикаций, посвящённых анализу эффективности характеристик обнаружения с адаптивными пороговыми уровнями, предполагается, что все случайные величины на выходах каналов r0, r1, , rN статистически независимы между собой. Такое предположение в некоторой степени правомерно, если расстройка между соседними каналами удовлетворяет определённым условиям. В книге [10] при анализе одной из задач используется термин «интервал корреляции». Согласно [10] интервалы корреляции соответствуют разности времён или частот между измерениями, при которых измерения можно рассматривать как некоррелированные. Этот термин будет использоваться и в данной книге. Под интервалами корреляции будем подразумевать расстройки между соседними каналами, при которых случайные величины на выходах каналов практически независимы между собой. В определении интервалов корреляции имеются в виду минимальные значения расстроек между соседними каналами. Если расстройка между соседними каналами меньше интервала корреляции, то следует отказываться от предположения о статистической независимости. Если осуществляется приём прямоугольного импульса без внутриимпульсной модуляции, то интервал корреляции по задержке совпадает с длительностью импульса. Если осуществляется приём КН сигнала, то интервал корреляции по задержке также совпадает с длительностью импульса, а интервалом корреляции по частоте может служить величина k /Tобр . Здесь Tобр — длительность обрабатываемой пачки импульсов, k — некоторый коэффициент, учитывающий расширение главного лепестка взаимно корреляционной функции (из-за весовой обработки). В § 2.4 рассматривалась многоканальная система при произвольных расстройках между соседними каналами. На основании представленных там данных можно сделать следующий вывод. Если осуществляется приём ЛЧМ импульса без весовой обработки, то интервалом корреляции по задержке может служить величина 1/F, где F — девиация частоты в пределах длительности импульса. Если осуществляется приём ЛЧМ импульса с хемминговской частотной весовой обработкой, то интервалом корреляции по задержке может служить величина 1,8/F. Представленные величины интервалов корреляции являются ориентировочными и в некоторой степени условными. Поэтому эти величины уместно называть условными интервалами корреляции. Предположение о статистической независимости выходных величин существенно упрощает анализ, позволяет сравнивать между 95
собой различные схемы формирования порога. Оказывается возможным сделать самые необходимые выводы. На практике каналы расставляются более плотно, поэтому выходные величины в соседних каналах статистически зависимы. В таких случаях подразумевают, что число каналов, используемое при анализе характеристик обнаружения, не соответствует реальному числу каналов в приёмном устройстве. При анализе в качестве числа каналов используют число интервалов корреляции, укладывающихся на интервале, закрываемом измерительным окном. Далее первичный анализ и сопоставление между собой различных схем будем производить, предполагая статистическую независимость выходных величин. Затем, по мере возможностей, результаты будут уточняться путём учёта статистической зависимости. 4.7. Заключительные замечания При проектировании схем формирования пороговых уровней необходимо обращать внимание на величину энергетических потерь, обусловленных наличием адаптивного порогового уровня. В [78, с. 201] говорится, что в системах космической связи 1 дБ энергетического потенциала стóит примерно 1 млн долларов. Если говорить о радиолокации, то очевидно, что чем больше излучаемая мощность радиолокатора, тем больше будет его энергетический потенциал и тем выше его стоимость. Чем меньше потенциал, тем дешевле радиолокатор. Но это не значит, что если из-за недостаточно тщательного проектирования мы увеличим энергетические потери и тем самым уменьшим потенциал, то радиолокатор станет дешевле. В действительности увеличение потерь приведёт к тому, что стоимость изготовления радиолокатора останется прежней, а его оценочная стоимость снизится до размеров, сопоставимых с приведёнными в [78] цифрами. Тем не менее сделаем следующую оговорку. В [213, p. 142] акцентируется внимание на том, что энергетические потери происходят прежде всего из-за природы окружающей обстановки и только во вторую очередь из-за недостаточной квалификации проектировщика. Это необходимо иметь в виду, и поэтому не следует относить высокие потери исключительно к несовершенству схемы оценки параметров помехи.
5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА С АДАПТИВНЫМ ПОРОГОВЫМ УРОВНЕМ НА ОСНОВЕ УСРЕДНЕНИЯ ВЫХОДНЫХ ВЕЛИЧИН ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ 5.1. Усреднение выходных величин измерительных каналов Рассмотрим схему, представленную на рис. 4.4. Полагаем, что процедура измерения неизвестной интенсивности помехи состоит в усреднении N выходных величин, отсчитываемых на выходах измерительных каналов. В § 3.3 отмечалось, что в различных публикациях для схем, подобных схеме на основе усреднения по каналам, можно встретить следующие названия: MLD, CA CFAR, УС-ПУЛТ. Случайные величины r 0 , r 1 , , r N (отсчёты) наблюдаются на выходах каналов. Для оценки интенсивности помехи вычисляется сумма s
( N 2 ) 1
N
ri
i 0
N
r .
ri
i ( N 2 ) 1
i
(5.1.1)
i 0 iN 2
Отсчёт rN 2 относится к каналу обнаружения. В дальнейшем удобнее обозначать его r (опускаем индекс). Принято считать, что канал, предназначенный для обнаружения полезного сигнала, не должен одновременно являться каналом для измерения интенсивности шума. Рассматриваемые в публикациях процедуры обнаружения строятся по таким правилам, чтобы результат обработки полезного сигнала r не участвовал в суммировании. В действительности подобные правила построения процедур являются необязательными. Чтобы в этом убедиться, сравним представленную формулой (1) процедуру с другой процедурой, в которой отсчёт на выходе канала обнаружения включается в суммирование для формирования порогового уровня. В результате такого суммирования получаем N
s
r s r . i
(5.1.2)
i 0
Пороговый множитель в прежней схеме обозначался через . Превышение порога фиксировалось, если r s. Пороговый множитель в новой схеме обозначим через . Превышение порога будет фиксироваться при выполнении неравенства r s . Последовательно можно выполнить следующие преобразования последнего неравенства: r ( s r ) ; r(1 ) s ; r [ (1 )]s . 96
97
Теперь пороговый множитель в новой схеме выберем таким, чтобы выполнялось равенство (1 ) . Равенство выполняется при (1 ) . Если в прежней схеме порог не будет превышен, то порог не будет превышен и в новой схеме. Если в прежней схеме порог превышен, то и в новой схеме порог превышен. Характеристики обнаружения в обеих схемах будут идентичными. Таким образом, отсчёт на выходе канала обнаружения можно включать в суммирование для формирования порогового уровня. Схема с суммированием по формуле (2) выгодно отличается от схемы с суммированием по формуле (1) в тех случаях, когда окно не является скользящим и для вычисления порога используются все имеющиеся каналы. Пороговый уровень можно вычислить один раз и затем использовать его для всех каналов обнаружения. Если же основываться на формуле (1), то для каждого канала обнаружения придётся отдельно вычислять свой пороговый уровень. Тем не менее теоретический анализ далее будет выполняться применительно к формуле (1). Во-первых, такой подход привычен. Во-вторых (и это главное), аналитические преобразования будут проще. 5.2. Усреднение после квадратичного детектора Предположим, что помехой является стационарный гауссовский шум с неизвестной интенсивностью. Выходные величины всех измерительных каналов (измерительные отсчёты) статистически независимы между собой и имеют одинаковые статистические характеристики. При таких предположениях можно осуществить синтез схемы обнаружения сигнала методом максимального правдоподобия. В результате оказывается, что для формирования замера интенсивности помехового фона необходимо использовать сумму измерительных отсчётов, причём детекторная характеристика в каналах должна быть квадратичной. Можно считать, что при однородной гауссовской помехе с неизвестной интенсивностью схема формирования адаптивного порога путём усреднения отсчётов после квадратичного детектора является наилучшей (подробнее см. [149]). Подобная схема может служить эталоном при исследовании каких-либо других схем. Схема с усреднением после квадратичного детектора может оказаться неудовлетворительной в тех случаях, если исходные предположения о характеристиках помех не будут выполняться. Рассмотрим обнаружение полезного сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью. Выходные величины в каналах формируются квадратичным детектором. В § 3.2 показано, что математические выражения будут компактнее, если полагать, что случайные величины, представляющие результаты обработки, определённым образом нормированы. 98
Нормировку можно использовать и в тех случаях, когда интенсивность шума неизвестна. Полагаем, что амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону. Плотность распределения нормированного результата обработки полезного сигнала r определяется формулой wr ( r )
1 r exp , 1 1
где — среднее значение отношения сигнал/шум (или просто отношение сигнал/шум). Изображение по Лапласу плотности wr (r) имеет вид
Fr ( p1 ) exp( p1r ) wr ( r )dr 0
1 . 1 p1 (1 )
Изображение плотности распределения вероятностей накопленной суммы s имеет вид Fs ( p2 ) 1 (1 p2 ) N . Теперь двумерное преобразование Лапласа Frs ( p1 , p2 ) Fr ( p1 ) Fs ( p2 )
1 1 1 p1 (1 ) (1 p2 ) N
совместной плотности распределения вероятностей w(r, s) случайных величин r и s подставим в формулу (4.6.2). Получим формулу для вероятности обнаружения полезного сигнала i
1 1 1 1 D dp , 2 i i p 1 p(1 ) (1 p ) N
0.
Слева от контура интегрирования есть только одна особая точка p 1 (1 ) — полюс первого порядка. Вычисляя вычет, получим N
D 1 1 . 1
(5.2.1)
Если в (1) положить 0, то получим формулу для вероятности ложной тревоги F 1 (1 ) N . Если вероятность ложной тревоги F задана, то пороговый множитель будет определяться формулой (1
N
F ) 1 .
(5.2.2)
Заметим, что в § 3.2 и здесь мы получили одни и те же формулы, но при этом использовались разные способы. Вывод формул (3.2.1) в § 3.2 основывался на преобразованиях с плотностями распределения вероятностей, а другой вывод представлен здесь лишь для того, 99
чтобы на простейшем примере продемонстрировать использование преобразования Лапласа. В дальнейшем мы убедимся, что в некоторых более сложных случаях результаты можно получить только с помощью преобразования Лапласа. Если необходимо показать числовые результаты анализа, то целесообразно пороговый множитель записать в виде /N, где — пороговый коэффициент. Затем имеющиеся результаты выражаются с использованием коэффициента . Диапазон значений порогового коэффициента N оказывается сравнительно небольшим, и представляемые результаты становятся более наглядными для восприятия. В аналитических преобразованиях удобнее использовать пороговый множитель . Формулы для вероятности обнаружения и вероятности ложной тревоги запишем в виде N
F 1 1 . N
(5.2.3)
N
/ ln(1/F ) F 10
10
1,2
Рис. 5.1. Зависимости порогового коэффициента
6
4
N N
F ) 1 1 . D ) 1
(5.2.6)
k ( F , D, N ) 1 (5.2.8) lg , N F где k (F, D, N ) — некоторая функция. На рис. 5.2 представлены топографические диаграммы этой функции. 10 lg
D
0,9
0,9
0,7
0,7 5,2
5,4
5,15
0,5
0,5
5,3
5,2
N 16
32
64
128
0,3
0,3 k 5,1
0,1
По заданным значениям F и D можно найти требуемое отношение сигнал/шум (1 N F ) 1 N 1. (5.2.4) (1 D ) 1 100
(1 (1
Вывод формулы (7) можно найти, например, в [216, 82]. Учтём вид приближённой формулы (7). Точную формулу для коэффициента потерь запишем в виде
5,3
10
1,0
0 ln(1 F ) 1 ln(1 D )
D
10
(5.2.5)
При N 1 из (6) можно получить довольно простую приближённую формулу 5 1 10 lg lg . (5.2.7) N F
10 8
1,4
ln(1 F ) 1. ln(1 D )
Коэффициент потерь, обусловленный незнанием интенсивности шума, определяется формулой
x lim 1 e x , N N то предельным переходом при N из выражений (3) можно получить D exp{ /(1 )} и F exp{}. Если вероятность ложной тревоги F задана, то пороговый коэффициент определяется формулой N [(1 N F ) 1] . Если N , то ln(1/F ); см. рис. 5.1.
1,6
0
N
N D 1 1 , 1 Если теперь учесть, что
1,8
Если бы интенсивность шума была известна, и обнаружение сигнала осуществлялось бы путём сравнения с фиксированным порогом, то вероятность ложной тревоги и вероятность обнаружения сигнала определялись бы формулами F exp{0}, D exp{0 /(1 0)}, где 0 — фиксированное значение порога, 0 — отношение сигнал/шум. Отсюда получаем, что при известной интенсивности шума требуемое отношение сигнал/шум равно
16
32 6 а) F 10
64
N
k 5,15
0,1 16
32 8 б) F 10
N
64
Рис. 5.2. Линии равных уровней функции k k (F, D, N )
101
Анализ рис. 5.2 показывает, что коэффициент потерь можно аппроксимировать ещё одной простой и наглядной формулой 10 lg
5,2 1 lg . N F
(5.2.9)
Формула (9) точнее, чем формула (7). В практических случаях погрешность приближённой формулы (9) составляет по порядку величины 0,01 дБ. Так, например, при N 32, F 106, D 0,5 0,9 по точной формуле получаем 0,968 0,971 дБ. Приближённая формула даёт 0,975 дБ. При N 32, F 10 8 , D 0,5 0,9 по точной формуле получаем 1,305 1,309 дБ, а приближённая формула даёт 1,300 дБ. Мы рассмотрели случай рэлеевских флуктуаций амплитуды сигнала. Но флуктуации реальных сигналов бывают не только рэлеевскими. В одной из работ Сверлинга [254] амплитуду сигнала предложено представлять как модуль вектора с независимыми гауссовскими компонентами. Эта модель включает в себя как частный случай рэлеевские флуктуации амплитуды (если число компонент равно 2). Случаю 1 по Сверлингу соответствует некогерентная дружно флуктуирующая пачка импульсов с рэлеевскими флуктуациями [55; 61, т. 1]. Случаю 2 соответствует некогерентная пачка импульсов с рэлеевскими флуктуациями амплитуд, статистически независимых от импульса к импульсу. Для 3-го и 4-го случаев Сверлинга амплитуду импульсов некогерентной пачки можно представить как модуль вектора с четырьмя независимыми гауссовскими компонентами. В [208] отмечается, что модели 3 и 4 по Сверлингу обычно связывают со стабилизированной ступенью ракеты. В [122] утверждается, что модель 3 справедлива для небольших ракет. Если амплитуда сигнала представима в виде модуля вектора с четырьмя гауссовскими компонентами, то плотность распределения вероятностей отношения сигнал/шум q имеет вид
1 p . 1 p(1 2) 2
Затем по формулам из § 2.2 находим вероятность превышения фиксированного порога 2 exp D( ) 1 , 2 1 2 (1 2)
(5.2.10)
где — пороговый уровень, ln(1/F ); F — вероятность ложной тревоги. Двумерное преобразование Лапласа плотностей распределения вероятностей выходной случайной величины (в канале обнаружения) и накопленной суммы измерительных отсчётов имеет вид Frs ( p1 , p2 )
1 p1 1 . 2 1 p1 (1 2) (1 p2 ) N
Теперь, воспользовавшись формулой (4.6.2), можно получить формулу для вероятности превышения адаптивного порога N 1
N 2 1 , (5.2.11) D 1 2 1 2 1 2 (1 2) где определяется формулой (2). К такому же результату можно прийти, если выполнить усреднение:
D
D(s) w( s)ds , 0
w( q )
где D(s) — условная вероятность превышения случайного порога s; w(s) — плотность распределения вероятностей накопленной суммы, s N 1 s (5.2.12) w( s ) e ; s 0. ( N 1)!
Fr ( p )
Функция D() представлена формулой (10). Если в формулу (11) для D подставить N и допустить, что является постоянной величиной, а затем выполнить предельный переход N , то получим формулу (10) для D(). Теперь предположим, что заданы вероятность ложной тревоги F и вероятность обнаружения сигнала D. Если интенсивность шума заранее известна, то отношение сигнал/шум, требуемое в таком случае, можно определить с помощью формулы (10). Обозначим это отношение через 0 . Если интенсивность шума неизвестна
q q , exp 2 ( 2) 2 где — среднее значение отношения сигнал/шум. Изображение по Лапласу плотности распределения вероятностей выходной случайной величины находим усреднением изображения F( p /q), соответствующего нефлуктуирующему отношению сигнал/шум:
F ( p q)w( q)dq . 0
Подставляя вместо F( p /q) выражение из правой части формулы (2.3.4), получаем 102
Fr ( p )
103
и обнаружение сигнала осуществляется с помощью адаптивного порога, то требуемое отношение сигнал/шум определяется с помощью формулы (11). Отсюда находим коэффициент энергетических потерь, обусловленных незнанием интенсивности шума, когда амплитуда сигнала представима в виде модуля вектора с четырьмя гауссовскими компонентами: мв 0 . Интересно сравнить полученный коэффициент потерь мв с соответствующим коэффициентом потерь при рэлеевских флуктуациях амплитуды сигнала. Коэффициент потерь в данном случае необходимо определять по точной формуле (6). Результаты сравнения представлены в табл. 5.1.
Рассмотрим другие вычислительные методы. При наличии нефлуктуирующего сигнала с отношением сигнал/шум q вероятность превышения порога на выходе канала обнаружения равна J (, q), где J () — интеграл, представленный формулой (1.5.3). В нашем случае s, где — пороговый множитель, определяемый формулой F 1 (1 ) N ; s — сумма измерительных отсчётов. Сумма s является случайной величиной с плотностью распределения вероятностей, определяемой формулой (12). Вероятность обнаружения сигнала теперь записывается в виде
Таблица 5.1
D
Значения 10 lg(мв /) D
F 10
6
F 10
8
0
F 10
10
16 32 64
0,009 0,002 0,001
0,012 0,003 0,001
0,016 0,004 0,001
0,5
16 32 64
0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000
0,9
16 32 64
0,009 0,002 0,001
0,013 0,003 0,001
0,016 0,004 0,001
0,1
s
N 1
g
g 0 j 0
[k (1 k )q] j j C g (1 k ) g j , j!
N 1
w(t )dt 1
s
! e
s
,
0
0
в формуле (14) можно произвести интегрирование по частям. После преобразований окончательно получаем N 1
D 1 e q /(1 )
0
Результаты, представленные в табл. 5.1 показывают, что коэффициенты потерь мв и практически не отличаются. Перейдём теперь к обнаружению сигнала с нефлуктуирующей амплитудой. В [216] приведена формула для вероятности обнаружения нефлуктуирующего сигнала, когда обнаружение осуществляется с применением адаптивного порога. В принятых здесь обозначениях эту формулу можно переписать в виде D 1 k exp[ q(1 k )]
(5.2.14)
Значения интеграла (14) можно находить численными методами интегрирования. Используя
10 lg(мв /)
N
J (s, q) w( s) ds .
(5.2.13)
где q — отношение сигнал/шум, C gj — биномиальные коэффициенты, а k находится из уравнения F (1 k)N. Здесь и в последующих главах используется обозначение n! n( n 1) ( n m 1) . Cnm ( n m )! m! 1 2 m 104
m , ! (1 ) 1
m
t
e t Q I 0 ( 2 tQ ) dt ,
0
Q q/(1 ), m0 1, m1 1 Q, , m1 (2 1 Q)m 2m1. Если вычислительная машина приспособлена для работы с комплексными числами, то для различных оценок можно использовать способ, основанный на численных методах интегрирования с предварительным применением конформного преобразования. Рассмотрим его подробнее применительно к оценкам характеристик обнаружения нефлуктуирующего сигнала при использовании адаптивного порога. Двумерное преобразование Лапласа плотностей распределения вероятностей выходной величины в канале обнаружения и накопленной суммы выходных величин измерительных каналов имеет вид Frs ( p1 , p2 )
pq 1 1 . exp 1 N 1 p1 1 p1 (1 p2 )
Подставим это выражение в формулу (4.6.2). В данном случае формула (4.6.2) представляет собой вероятность обнаружения сигнала D. В получившемся интеграле сделаем замену переменной интегрирования 105
2z z ei . ; z 1 Интегрирование по p от i до i свелось к интегрированию по от 0 до 2. Значение интеграла вычисляем с помощью квадратурной формулы Симпсона: p
D
3M
j j ,
(5.2.15)
pj
2z j z j 1
,
2 . 2M Слагаемые с индексами j 0 и j 2M в формуле (15) отсутствуют, так как они превращаются в ноль (подробнее см. § 2.6). Если интенсивность шума известна, то отношение сигнал/шум q0, необходимое для обеспечения заданной вероятности обнаружения D, находится из уравнения D J (0, q0), где 0 ln(1/F ), F — вероятность ложной тревоги. Если обнаружение сигнала осуществляется с использованием адаптивного порога, то необходимое отношение сигнал/шум q находится с помощью какой-либо одной из формул (13)—(15). Коэффициент энергетических потерь, обусловленных незнанием интенсивности шума, для нефлуктуирующего сигнала равен нф q0 q . Результаты расчётов представлены в табл. 5.2 и 5.3. По данным табл. 5.1 и 5.3 видно, что для рассмотренных моделей флуктуаций сигнала коэффициенты потерь практически не отличаются. Подобное утверждение содержится и в [216]. Попробуем привести доводы в пользу аналогичного заключения применительно к любым законам флуктуаций сигнала. В табл. 5.2 представлены коэффициенты потерь для нефлуктуирующего сигнала. Замечаем, что при фиксированных значениях F и N коэффициент потерь нф отличается незначительно при различных вероятностях обнаружения D. Например, диапазон изменений коэффициента потерь при N 32 и F 108 составляет ориентировочно 1 %. Это эквивалентно тому, что коэффициент потерь меняется незначительно при изменениях отношения сигнал/шум q. Если в качестве исходных данных принять, что коэффициент потерь нф не зависит от отношения сигнал/шум q, то с помощью
106
,
N
нф
D F 10
j 1
zj 1 j F ( p j ,p j ) , pj ( z j 1) 2 ij
Таблица 5.2 Коэффициенты потерь нф для нефлуктуирующего сигнала
2 M 1
где 2M — число частичных интервалов интегрирования; j — весовые коэффициенты квадратурной формулы, j 4 при нечётных j и j 2 при чётных j ( j 0 и j 2M );
zj e
строгих математических соотношений можно показать, что коэффициент потерь при любом законе флуктуаций сигнала будет совпадать с коэффициентом потерь при нефлуктуирующем сигнале.
j jh ,
h
6
F 10
8
F 10
10
16
0,1 0,5 0,9
0,642 0,632 0,623
0,548 0,535 0,524
0,465 0,450 0,437
32
0,1 0,5 0,9
0,804 0,801 0,797
0,745 0,741 0,736
0,690 0,684 0,679
64
0,1 0,5 0,9
0,897 0,896 0,895
0,865 0,863 0,862
0,833 0,831 0,830
Таблица 5.3 Значения 10 lg(нф /) D
10 lg(нф /)
N F 10
6
F 10
8
F 10
10
0,1
16 32 64
0,040 0,010 0,003
0,065 0,017 0,004
0,093 0,025 0,006
0,5
16 32 64
0,005 0,001 0,000
0,007 0,002 0,000
0,008 0,002 0,001
0,9
16 32 64
0,047 0,012 0,003
0,074 0,019 0,005
0,104 0,028 0,007
Подобный вывод тривиален в тех случаях, когда какой-либо коэффициент энергетических потерь явно не зависит от интенсивности сигнала. Например, принято считать, что коэффициент потерь из-за поглощения энергии радиолокационных сигналов в атмосфере один и тот же и для слабых, и для сильных сигналов. Очевидно, что этот же коэффициент потерь будет иметь место и в тех случаях, когда интенсивность сигнала является случайной величиной. 107
В [209] представлены методы расчёта характеристик обнаружения сигналов. В частности, рассматривается обнаружение некогерентных пачек импульсов с использованием адаптивных порогов. Произведены расчёты характеристик обнаружения для трёх моделей целей: нефлуктуирующая цель, 1-я модель Сверлинга (рэлеевские флуктуации, дружно флуктуирующая пачка), 2-я модель Сверлинга (рэлеевские флуктуации, независимо флуктуирующая пачка). Результаты расчётов характеристик представлены в виде таблиц. Характеристики обнаружения для различных моделей цели отличаются. В [160] результаты расчётов из [209] обобщены, и характеристики представлены в графическом виде. На графиках построены зависимости коэффициента потерь от числа импульсов в пачке. Параметром для кривых являлось число контрольных ячеек (число измерительных каналов). Каждая кривая относится к любой из этих трёх моделей цели. Это значит, что в [160] сделан вывод, что энергетические потери, обусловленные использованием адаптивных порогов при обнаружении некогерентных пачек импульсов, практически одинаковы для трёх рассмотренных моделей цели. Заметим, что представленные в [209] характеристики обнаружения были рассчитаны в [236] другим способом. 5.3. Обнаружение сигнала в неоднородных пассивных помехах Как уже отмечалось, схема формирования порога путём усреднения выходных величин после квадратичного детектора является наилучшей в том случае, если помеха однородна, т. е. интенсивность помехи на выходах всех совместно анализируемых каналов одинакова. Если помеха неоднородна, то может оказаться, что интенсивность помехи в проверяемом канале (канале обнаружения) отличается от интенсивности в измерительных каналах. Тогда пороговый уровень будет выставлен неверно. В данном параграфе анализируются последствия, которые могут произойти, если при формировании порогового уровня предполагается однородность помехи, а в действительности помеха оказалась неоднородной. Помехой является гауссовский сигнал с неизвестной интенсивностью. Интенсивность наблюдаемой помехи меняется при изменении номера канала. Можно, например, предполагать, что объектом, отражающим помеху, является дождевая зона. Интенсивность принимаемых отражений меняется при изменении дальности до наблюдаемого фрагмента дождевой зоны. Пусть i — отношение помеха/шум в i-м канале; i 0, 1, , N. Канал с номером i N/2 является каналом обнаружения, отношение помеха/шум в этом канале N/2 будем обозначать без индекса. Изображения по Лапласу плотностей распределения вероятностей измерительных отчётов имеют вид 108
Fi ( p )
1 , 1 p (1 i )
i 0, 1, , N/2 1, N/2 1, , N.
Если амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону, то изображение для канала обнаружения имеет вид 1 Fr ( p ) , 1 p (1 ) где — отношение сигнал/шум для полезного сигнала на выходе канала обнаружения. Подставляя двумерное преобразование Лапласа совместной плотности распределения отсчёта r и накопленной суммы s Frs ( p1 , p2 ) Fr ( p1 ) Fs ( p2 )
1 1 p1 (1 )
iN 2
1 1 p2 (1 i )
в (4.6.2), получим формулу для вероятности превышения адаптивного порога при наличии полезного сигнала D 1
1 i
1 1 .
(5.3.1)
iN 2
Пороговый множитель в (1) определяется по формуле (5.2.2). Формула (1) при 0 даёт вероятность ложной тревоги F 1
1 i
1 1 .
iN 2
Обращаем внимание на то, что символом F обозначается вероятность ложной тревоги, задаваемая для проектирования схемы формирования адаптивного порогового уровня. Эту вероятность обеспечивает адаптивный пороговый уровень при однородном помеховом фоне. При неоднородном помеховом фоне реализующаяся вероятность ложной тревоги будет отличаться от заданной вероятности. Реализующаяся вероятность ложной тревоги при неоднородном помеховом фоне здесь и далее обозначается через F. Если используется адаптивный порог, то вероятность обнаружения полезного сигнала при неоднородном помеховом фоне будем обозначать через D. В частном случае, когда все i одинаковы и равны , вероятность обнаружения определяется формулой N
, D 1 1 1 п где п /(1 ) — отношение сигнал/помеха.
109
Задаваясь различными значениями i , можно оценить вероятность ложной тревоги и вероятность обнаружения сигнала. По полученным оценкам можно судить о том, насколько ухудшается работоспособность схемы обнаружения, если помеха становится неоднородной. Для исследования схем обнаружения с адаптивными порогами издавна используется понятие «кромка помех» (clutter edge [139]) или «граница помех» (clutter boundary [245, 272]). При этом предполагается, что объект, отражающий пассивную помеху, имеет кромку с чёткими очертаниями. Если канал обнаружения или измерительный канал настроен на точку пространства, находящуюся по одну сторону кромки, то пассивные помехи этим каналом не принимаются. Если настройка находится по другую сторону кромки, то пассивные помехи принимаются. Отношение помеха/шум одинаково для всех каналов, принимающих пассивные помехи. Кромку помех могут создавать, например, края движущихся дождевых полос. В большинстве случаев (но не всегда) полагают, что размер объекта, являющегося источником пассивной помехи, превышает размер скользящего измерительного окна. В таких случаях в окне наблюдается только одна кромка помех, вторая кромка оказывается за пределами окна. Подобное допущение можно считать правомерным, если учесть, что типичные диаметры ливневых зон составляют от двух до трёх морских миль [255]. В [97, p. 91] отмечается, что скачок уровня помех может произойти, когда включается и выключается постановщик активных помех. В [89] также сказано, что скачок помехового фона, аналогичный кромке помех, может наблюдаться при организованных помехах. Каналы в скользящем окне имеют номера от 0 до N. Один из этих каналов настроен на кромку помех; пусть m — номер этого канала. Отношения помеха/шум для каналов в скользящем окне задаём формулой 0, если i m ; (5.3.2) i п , если i m , где п — отношение помеха/шум при настройке канала на область пассивных помех. Иллюстрации к формуле представлены на рис. 5.3. На рис. 5.4 и 5.5 представлены результаты расчётов. Для расчётов были заданы F 108, N 32, п 10. Пороговый множитель вычислялся по формуле (5.2.2). Пунктирная зависимость на правом рисунке рассчитывалась по формуле
110
0 , если m N 2 ; exp 1 п D exp 0 , если m N 2 , 1
где 0 ln(1/F), п /(1 п), а значение выбиралось таким, чтобы при m N/2 вероятность обнаружения D составляла 0,9. Это же значение использовалось при расчёте вероятности D по формуле (1). п
i
п
а)
i
б) i
0 0
m
N /2
i
0
N
N /2
0
m
N
Рис. 5.3. Отношения помеха/шум при m N/2 (а) и при m N/2 (б)
s 300
Рис. 5.4. Зависимость среднего значения адаптивного порогового уровня от номера канала m, задающего положение кромки помех
225 150 75 0 0
104
8
16
24
32
m
F
D , D 0,9
10
8
0,7
10
12
0,5
10
16
0,3
10
20
m 0
8
16
24
32
0,1
m 0
8
16
24
32
Рис. 5.5. Вероятность ложной тревоги F и вероятности обнаружения сигнала D и D в зависимости от положения кромки помех относительно настройки канала обнаружения; пунктиром на левом рисунке отмечено среднее значение вероятности ложной тревоги (усреднение по m), пунктир на правом рисунке — вероятность обнаружения сигнала D при известных интенсивностях шума и помех
Если m N/2, то ровно половина измерительных каналов пассивную помеху не принимает. Остальные измерительные каналы, а также канал обнаружения помеху принимают. Измеренная 111
мощность помехи будет примерно в два раза меньше, чем мощность помехи в канале обнаружения. В результате F m N 2 F ,
где F — задаваемая вероятность ложной тревоги, реализующаяся при однородной помехе. Таким образом, оказывается, что при неоднородных пассивных помехах количество ложных тревог существенно возрастает. Причём увеличение количества ложных тревог происходит на кромках помех. Наихудшая ситуация при наличии кромки помех создаётся, когда половина измерительного окна заполнена смесью помехи и шума, другая половина — только шумом, а канал обнаружения находится в области помех. В тех случаях, когда общий анализ какой-либо схемы обнаружения оказывается сложным, целесообразно осуществить оценку хотя бы для этой наихудшей ситуации. Теперь предположим, что m N/2. Это значит, что в канале обнаружения помеха отсутствует, а порог оказывается завышенным из-за наличия помех в некоторой части измерительных каналов. Вероятность ложной тревоги будет значительно меньше заданной. Однако практической пользы от этого уменьшения не будет, а существенно то, что будет занижена вероятность обнаружения сигнала. Вероятность обнаружения сигнала уменьшается не только в самой зоне помех, но и в некоторой области, примыкающей к ней. Размер этой области составляет половину размера скользящего окна. Можно сделать вывод, что кромка помех даёт два отрицательных эффекта. В каналах обнаружения, настроенных на область помех вблизи кромки, возрастает вероятность ложной тревоги (по сравнению с заданным значением). В каналах обнаружения, настроенных на область, не содержащую помех, но находящуюся вблизи кромки, уменьшается вероятность обнаружения полезного сигнала — происходит маскирование цели близлежащей зоной помех. Следует отметить, что существенный рост вероятности ложной тревоги наблюдается именно при резких перепадах интенсивности помехи. Если же интенсивность помехи меняется в пределах измерительного окна монотонно, то вероятность ложной тревоги тоже увеличивается, но в допустимых пределах. Так, например, если N 32, а вероятность ложной тревоги при однородных помехах составляет F 108, то при i (i/N )100, т. е. при линейном изменении отношения помеха/шум в пределах измерительного окна от 0 до 100, вероятность ложной тревоги увеличится до значения F 107,50. Чтобы уменьшить влияние неоднородностей помех, необходимо уменьшить размер скользящего окна. Однако при уменьшении окна возрастают энергетические потери, обусловленные флуктуационными ошибками измерения интенсивности помех. Поэтому размер окна выбирается при проектировании путём компромисса. 112
В [255, 265] отмечается, что хорошее эмпирическое правило состоит в том, чтобы измерительных каналов было достаточно для того, чтобы потери не превышали 1 дБ, и в то же время измерительные каналы не должны быть настроены далее 1 морской мили в ту или другую сторону от настройки канала обнаружения. Посмотрим, как выполняется это правило для гипотетического радиолокатора. Рассматриваем зондирования с использованием ЛЧМ импульса, девиация частоты для которого приведена в § 4.2. Примем, что при отсутствии весовой обработки сигнала статистически независимые отсчёты помехи можно получить, если каналы обнаружения расставлены по дальности с шагом r cTсж /2, где c — скорость света; Tсж 1/F — длительность сжатого импульса; F — девиация частоты ЛЧМ импульса. Получаем r 75 м. Одна морская миля (1852 м) вмещает примерно 25 интервалов, имеющих размер r. Следовательно, в каждой половине скользящего окна можно разместить 25 измерительных каналов, общее число которых составит 50. С другой стороны, по формуле (5.2.9) получаем, что при F 108 потери 1 дБ обеспечиваются, когда общее число измерительных каналов составляет 40. Сформулированное эмпирическое правило для гипотетического радиолокатора выполняется, причём выполняется с некоторым запасом. Однако не следует забывать, что формула (5.2.9) относится к схеме формирования порога, обеспечивающей наилучшие показатели при работе в простой помеховой обстановке. Для работы в сложной помеховой обстановке придётся применять сложные процедуры формирования адаптивного порогового уровня. Энергетические потери, обусловленные неполным знанием параметров помех, увеличатся. Запас окажется израсходованным. В заключение отметим, что в работах [214, 215] рассматриваются различные модели неоднородных помех, отличающиеся от модели с кромкой помех. Под эти модели были синтезированы схемы, выполнено исследование схем. 5.4. Обнаружение сигнала при наличии мешающей цели В одном из измерительных каналов может наблюдаться сигнал, отражённый от какой-либо цели. Этот сигнал будет вносить искажение в оценку неизвестной интенсивности шума, в результате чего вероятность ложной тревоги в проверяемом канале будет отличаться от заданного значения. Поэтому такой сигнал называется мешающим. Если отражённый от цели сигнал наблюдается измерительным каналом, то эта цель называется мешающей. Если на входе приёмного устройства находятся несколько сигналов, отражённых от разных целей, то в процессе обнаружения одного из этих сигналов остальные временно становятся мешающими, так как могут оказывать воздействие на формирование порогового 113
уровня. По мере продвижения скользящего окна по каналам роли меняются. Сигнал, выступавший в качестве полезного, становится мешающим. Сигнал, ранее оказывавший мешающее воздействие, становится полезным. Теперь предположим, что мешающий сигнал наблюдается только в одном измерительном канале, а отсчёты на выходах остальных измерительных каналов являются результатами обработки шума. Двумерное преобразование Лапласа от совместной плотности распределения вероятностей отсчёта на выходе канала обнаружения r и накопленной суммы s имеет вид Frs ( p1 , p2 ) Fr ( p1 ) Fs ( p2 )
1 1 1 , N 1 1 p1 (1 ) (1 p2 ) 1 p2 (1 м )
10 lg м 0
2
2
N 64
4
N 64
4
16
6
32
16
6
8
32
8
D = 0,5
10 0
10
20
30
10 lg м 10
D = 0,9 0
10
10 lg м 20
30
Рис. 5.6. Коэффициент потерь при наличии одной мешающей цели; F 10
(5.4.1)
где — отношение сигнал/шум для полезного сигнала, м — отношение сигнал/шум для мешающего сигнала. Используя это выражение, получаем формулу для вероятности обнаружения полезного сигнала при наличии мешающего сигнала N 1 1 м (5.4.2) 1 . 1 1 1 Аналогичным образом может быть получена вероятность обнаружения полезного сигнала при наличии, например, двух мешающих сигналов, принимаемых двумя разными измерительными каналами. Как и прежде считаем, что процедура обнаружения разработана в предположении отсутствия мешающих целей. Пороговый множитель задаётся в процессе разработки, поэтому по-прежнему определяется формулой (1 N F ) 1 , где F — заданная вероятность ложной тревоги. Вероятность ложной тревоги при наличии мешающей цели будет равна Fм 1 [(1 ) N 1 (1 (1 м ))] .
Dм 1
При появлении мешающей цели вероятность ложной тревоги уменьшается. Однако при этом уменьшается вероятность обнаружения сигнала, и увеличиваются энергетические потери. Коэффициент потерь, обусловленный незнанием помеховой обстановки, будет равен м 0 /. Здесь 0 определяется по-прежнему формулой (5.2.5), а является отношением сигнал/шум, при котором обеспечивается заданная вероятность обнаружения сигнала в новых условиях (т. е. при наличии мешающей цели). При м 0 исследуемый здесь коэффициент потерь м совпадает с коэффициентом потерь , определяемым по формуле (5.2.6). Примеры с результатами расчётов представлены на рис. 5.6 и 5.7. 114
10 lg м 0
8
Dм 0,9
N
0,7
64
0,5
32
0,3
N 16
0,1
10 lg 10
20
30
Рис. 5.7. Вероятность обнаружения полезного сигнала при наличии одной мешающей цели. Условия: отношение сигнал/шум для мешающего сигнала м равно отношению сигнал/шум для полезного 8 сигнала ; F 10
Если N является конечным числом и м , то при вероятность Dм на рис. 5.7 стремится к значению, которое меньше 1. Результаты позволяют прийти к выводу, что при наличии интенсивного мешающего сигнала, наблюдаемого измерительным каналом, работоспособность схемы ухудшается. Такие случаи будут иметь место, например, при использовании для зондирований ЛЧМ импульсов, когда в одном угловом направлении присутствуют несколько целей. Если расстояние между целями меньше половины размера измерительного окна, то будет происходить взаимное маскирование целей. Нетрудно убедиться, что, несмотря на наличие мешающего сигнала, при N вероятность обнаружения полезного сигнала асимптотически стремится к значению, которое имеет место при известной интенсивности шума. Так как [ln(1/F )]/N при N , формула для вероятности обнаружения (2) превращается в обычную формулу для вероятности обнаружения рэлеевского сигнала. Вопросы обнаружения сигнала при наличии мешающих целей неоднократно рассматривались в различных публикациях. Имеются исследования, посвящённые обнаружению в том числе и некогерентных сигналов [231, 90]. Так, например, в [90] рассмотрены характеристики обнаружения полезного сигнала при наличии мешающих сигналов, а сигналами являются некогерентные пачки 115
импульсов. Флуктуации всех сигналов соответствуют случаю 3 Сверлинга. Приведена формула для вероятности превышения порога. Построены графики с вероятностями ложной тревоги и вероятностями обнаружения полезного сигнала. Графики иллюстрируют случаи, когда в измерительном окне могут присутствовать одна, две или три мешающие цели. Для сравнения даны графики с характеристиками при отсутствии мешающих целей. При использовании квазинепрерывных сигналов для измерения интенсивности помех целесообразно использовать линейку каналов, настроенных на одно и то же значение дальности и расстроенных по доплеровской частоте. Если обработка принимаемых сигналов производится с весовой функцией Дольфа — Чебышёва, то уровень неподавленных остатков пассивных помех во всех измерительных каналах будет одинаковым. Для измерения можно привлекать все каналы линейки (кроме настроенных на частоты вблизи нулевой частоты и вблизи частоты повторения импульсов). Можно вычислять только один пороговый уровень и использовать его для всех каналов линейки. Разумеется, и при такой схеме формирования порога для обнаружения КН сигналов нельзя исключать возможность влияния отражений от мешающих целей. Однако следует иметь в виду, что мешающий сигнал будет оказывать влияние, если он неразличим с полезным сигналом по задержке, а доплеровские частоты сигналов отличаются. Если скважность излучения импульсов большая, то такой случай следует признать маловероятным, а если он всё же произойдёт, то не будет постоянным. Из-за различий по доплеровской частоте полезный и мешающий сигналы в большинстве следующих циклов обзора будут наблюдаться в разных дальностных каналах. Обнаружение нескольких целей квазинепрерывными сигналами с применением адаптивных пороговых уровней будет рассмотрено более подробно в § 5.9. 5.5. Методы анализа при произвольной характеристике детектора Помимо квадратичного, могут применяться и другие детекторы. На практике применяется, как правило, линейный детектор. Не исключается применение логарифмического детектора. Чтобы оценить характеристики обнаружения полезных сигналов при произвольном детекторе, необходимо иметь в своём распоряжении соответствующие методы анализа. В научно-технической литературе постоянно уделяется внимание данной проблеме [159, 219, 241, 128, 227]. Для оценки характеристик обнаружения чаще всего применяется метод статистических испытаний (метод Монте — Карло). Используются и приближённые методы. В дополнение к упомянутым работам ниже приведено общее описание нескольких численных методов анализа. Рассматриваются 116
методы, позволяющие оценивать характеристики при малых вероятностях ложной тревоги (например, при значениях 1010 ). Кроме того, эти методы позволяют получать практически точные результаты. В следующих параграфах данной главы, а также в последующих главах представленные методы используются для различных оценок. Символом x здесь будем обозначать случайные величины, являющиеся квадратами огибающей на выходе канала. Символом r будем обозначать случайные величины на выходе канала с произвольной детекторной характеристикой. Если детектор квадратичный, то x является выходной случайной величиной. Детектор с произвольной характеристикой эквивалентен тому, что после квадратичного детектора размещается нелинейный элемент, который осуществляет некоторое нелинейное преобразование r f (x ) . Полагаем, что функция f (x ) является монотонной. Наряду с функцией r f (x ) будем использовать обратную ей функцию x (r) — такую, что f ((r)) r и ( f (x)) x. При f ( x ) 2 x и (r) r2/2 будем говорить о линейном детекторе, при f ( x) ln(x) и (r) exp(r) — о логарифмическом детекторе. Если wкв(x) — плотность распределения случайной величины на выходе квадратичного детектора, то плотность распределения случайной величины на выходе произвольного детектора w(r) находится из уравнения w( r )dr wкв ( x )dx r x x ( r )
и имеет вид w( r ) wкв (( r ))
d ( r ) . dr
При формировании адаптивного порогового уровня мы имеем дело с совокупностью независимых случайных величин, наблюдаемых на выходе многоканальной системы. Поэтому обозначения выходных величин снабжаем индексами, указывающими на номера каналов: r0, r1, , rN. При этом одна из случайных величин rN 2 r является выходной величиной канала обнаружения. Сумму остальных случайных величин обозначаем через s (как и в § 5.1). Если детектор не является логарифмическим, то в общем случае решение о наличии полезного сигнала принимается при выполнении неравенства r s, где — пороговый множитель. Вид неравенства при логарифмическом детекторе будет представлен в одном из последующих параграфов. Неравенство r s можно переписать в виде x (s). Условная вероятность превышения адаптивного порога равна 117
P( s )
wкв ( x )dx ,
( s )
где wкв(x) — плотность распределения квадрата огибающей сигнала на выходе канала обнаружения. Если амплитуда полезного сигнала флуктуирует, то в практических случаях вероятность обнаружения сигнала P(s) выражается через элементарные функции. При рэлеевских флуктуациях P(s) exp((s)/(1 )), где — среднее значение отношения сигнал/шум. Если амплитуда сигнала не флуктуирует, то P(s) J ((s), q), где J () — спецфункция, определяемая формулой (1.5.3); q — отношение сигнал/шум. Если полезный сигнал отсутствует, то P(s) является вероятностью ложной тревоги и определяется формулой P(s) exp((s)). Сумма s является случайной величиной, поэтому безусловная вероятность превышения порога находится усреднением:
P P( s ) W ( s ) ds ,
(5.5.1)
где W(s) — плотность распределения вероятностей суммы случайных величин. Если детектор логарифмический, то вероятность превышения адаптивного порога можно представить формулой, которая по внешнему виду совпадает с формулой (1). При этом интегрирование осуществляется в пределах от до . Суть первого метода, рассматриваемого здесь, состоит в том, что значения интеграла (1) находятся численными методами. При этом имеется в виду как вычисление самого интеграла, так и вычисление плотности W(s). Пусть w0(r0) и w1(r1) — плотности распределения случайных величин r0 и r1 в каналах с номерами 0 и 1. Плотность распределения суммы этих двух случайных величин равна
W2 ( s2 ) w0 ( s2 r1 ) w1 ( r1 ) dr1 .
(5.5.2)
Вычислим значения плотности w0(r0) на сетке возможных значений r0, а значения плотности w1(r1) — на сетке возможных значений r1. Шаг изменения значений r0 и r1 постоянный. Используя численные методы интегрирования, получим значения плотности W2(s2) на сетке значений s2. Если бы адаптивный порог формировался на основе суммы двух случайных величин (N 2), то полученный массив значений W2(s2) можно было бы использовать для вычисления интеграла (1) численными методами. Если N 2, то далее вычисляется массив значений плотности суммы случайных величин r0, r1 и r2:
W3 ( s3 ) W2 ( s3 r2 ) w2 ( r2 ) dr2 . 118
Процесс вычислений необходимо повторять до тех пор, пока не получим массив значений плотности W(s) WN (s). Затем вычисляем вероятность P. Если все выходные величины измерительных каналов имеют разные плотности распределения (неоднородный помеховый фон), то необходимо вычислить N 1 интегралов, подобных интегралу (2). В другом крайнем случае, когда помеховый фон однородный, итерационный процесс можно сократить до log 2(N ) вычислений. Так, например, при N 8 вначале вычисляется массив значений плотности суммы любых двух случайных величин. Этот массив используется сразу для вычисления плотности распределения суммы четырёх случайных величин. На третьем этапе вычисляется массив значений плотности восьми случайных величин. Вычисленные массивы необходимо записать в долговременную память (на жёсткий диск). Затем, при возобновлении исследований, для экономии машинного времени массивы не вычисляются, а считываются из памяти. В статье [154], опубликованной в 1958 году, оценивались вероятности ложной тревоги и вероятности обнаружения некогерентной пачки импульсов, принимаемой на фоне гауссовского шума с известной интенсивностью. В процедуре обнаружения с постоянным пороговым уровнем сравнивалась сумма случайных величин, получаемых на выходе логарифмического детектора. Если число суммируемых случайных величин не превышало 10, то при оценке характеристик для вычисления плотности распределения суммы применялся численный метод, подобный изложенному выше. При этом нелишне представить, какие новые возможности приобрела вычислительная техника за время, прошедшее после выхода этой статьи. Следующий метод, рассматриваемый далее, основан на численных методах прямого и обратного преобразований Лапласа. В общем виде численные методы рассмотрены в § 2.6. Аналитические выражения, относящиеся к этому методу, трудно представить в универсальном виде, поэтому метод будет проиллюстрирован в общих чертах применительно к случаю, когда решение о наличии сигнала принимается при выполнении неравенства r s. Применение метода, когда в схеме используется логарифмический детектор, будет изложено в § 5.7. В данном случае отправной точкой служит формула (4.6.2). Применительно к рассматриваемым в данной главе задачам случайная величина s является суммой независимых случайных величин. Выходная величина в канале обнаружения и переменная s также статистически независимы. Поэтому двумерное преобразование Лапласа можно записать в виде N
F ( p1 , p2 ) Fr ( p1 )
F
ri ( p2 )
,
(5.5.3)
i 0 iN 2
119
где Fr ( p1 ) — преобразование Лапласа плотности распределения вероятностей выходной случайной величины в канале обнаружения; Fri ( p2 ) — преобразование Лапласа плотности распределения вероятностей выходной случайной величины в i-м измерительном канале. Далее F( p 1 , p 2 ) из формулы (3) подставим в интеграл (4.6.2). В подынтегральном выражении сделаем замену p 2z/(z 1). Контур интегрирования оказывается преобразованным в окружность на z-плоскости. Сделаем ещё одну замену z exp(i ) . Для интегрирования воспользуемся квадратурной формулой Симпсона. В результате получим zj 1 2 M 1 j P F ( q j , q j ) , (5.5.4) 3M j 1 q j ( z j 1) 2
Когда вероятность превышения порога мала (вероятность ложной тревоги), лучше пользоваться формулой (4). При вероятностях, близких к 1 (вероятность обнаружения сигнала), лучше пользоваться формулой (6). Если для функций, входящих в правую часть (3), имеются аналитические выражения, то формулы (4) и (5) готовы к непосредственному применению. Но такие случаи редки, поэтому преобразование Лапласа приходится осуществлять тоже численными методами. Если за основу взять формулу (2.6.8), то
F ( p)
qj
2z j z j 1
,
zj e
ij
,
j j h ,
h
2 , 2M
а коэффициенты j квадратурной формулы определяются по формуле (2.6.1). Применительно к формуле (4) коэффициенты j при нечётных индексах j принимают значение 4, а при чётных индексах — значение 2. Коэффициенты 0 1 и 2N 1 в данном случае не используются (подробнее см. § 2.6). В формуле (4.6.2) 0. Следовательно, контур интегрирования находится в левой полуплоскости. Если контур интегрирования переместить из левой полуплоскости в правую, получим c i
1 1 P 1 F ( p, p ) dp , 2 i c i p
(5.5.5)
где c — некоторая положительная константа. Квадратурная формула будет иметь вид P 1
1 3M
2 M 1
j 1
j
zj
q j ( z j 1) 2
F ( c q j , c q j ) .
(5.5.6)
В формуле (4.6.2) контур интегрирования находится в левой полуплоскости ( 0). После замены переменной интегрирования окружность на z-плоскости при интегрировании обходится против часовой стрелки. В формуле (5) контур находится в правой полуплоскости (c 0), и после замены переменной окружность обходится по часовой стрелке. Именно этим объясняется то, что в (4) и (6) перед суммой стоят разные знаки (в формуле (4) — минус, в формуле (6) — плюс). 120
pr
w( r ) dx
0
где 2M — общее число частичных интервалов интегрирования,
e
1 6M Л
2 M Л 1
j 0
p yj exp 1 y (1 y j ) j j
2
yj w 1 y j
,
(5.5.7)
где 2MЛ — число частичных интервалов; y j j ( 2 M Л ) ; j — коэффициенты квадратурной формулы Симпсона. В формулу (7) вместо w(r) может подставляться плотность распределения вероятностей случайной величины на выходе любого канала. Это относится и к измерительным каналам, и к каналу обнаружения. Тогда F( p) будет представлять собой преобразование Лапласа соответствующей плотности распределения вероятностей. Метод, основанный на численных методах прямого и обратного преобразований Лапласа, обладает некоторой универсальностью, и его можно применять при решении различных задач. Он позволяет получать большой объём результатов в тех случаях, когда не удаётся найти приемлемое аналитическое решение. Однако и при использовании этого метода могут встретиться затруднения. Поясним это на простом примере. Представим, что мы решили бы применить рассматриваемый метод, когда двумерное преобразование Лапласа задано формулой (5.4.1). Это двумерное преобразование можно подставить либо в (4.6.2), либо в (5). В обоих случаях в подынтегральном выражении особые точки будут располагаться по обе стороны от контура интегрирования и в то же время сравнительно недалеко от начала координат. Следовательно, и контур интегрирования должен проходить в непосредственной близости от начала координат. Константы и c должны быть маленькими по абсолютной величине. Однако существенно уменьшать константы (по абсолютной величине) нельзя, так как будет увеличиваться диапазон изменений подынтегрального выражения. Тогда, чтобы не допустить больших вычислительных погрешностей, придётся значительно увеличивать общее число частичных интервалов интегрирования. Объём вычислений может оказаться неприемлемо большим. 121
К тому же в сложных случаях не всегда бывает ясно, какие значения констант и c можно использовать в расчётах. Если значение используемой константы будет задано неправильно, то и окончательные результаты расчётов могут оказаться непригодными. Поэтому, если возникают какие-либо сомнения в правильности выбора константы, целесообразно осуществить проверку результатов в нескольких контрольных точках. Проверку можно осуществить расчётами при уменьшенном абсолютном значении константы и при увеличенном числе частичных интервалов интегрирования, а также с помощью каких-либо других методов. Теперь рассмотрим метод, основанный на аппроксимации плотности распределения вероятностей суммы случайных величин s. Во многих практических задачах, когда число случайных слагаемых большое, плотность распределения суммы можно аппроксимировать гауссовским законом. Но применительно к исследованиям адаптивных пороговых уровней аппроксимация гауссовским законом не даёт желательного результата. Гауссовский закон плохо аппроксимирует «хвосты» распределений. Чтобы оценить малые значения вероятности ложной тревоги, необходима высокая точность вычислений, которую гауссовская аппроксимация обеспечить не может. Аппроксимацию гауссовским законом можно применить, если, например, понадобится оценить значения вероятности ложной тревоги в диапазоне 101 103. Плотность распределения вероятностей W(s) суммы случайных величин разлагаем в ряд по ортогональным полиномам. Весовой функцией является плотность распределения нормальной случайной величины (гауссовский закон). При этом ортогональными полиномами являются полиномы Эрмита. Излагаемый метод пригоден, если сумма s не содержит доминирующих слагаемых. Метод можно применять, например, для тех случаев, когда все суммируемые случайные слагаемые распределены по одному и тому же закону. Метод можно также применять, когда примерно половина случайных слагаемых распределена по одному закону, а остальные случайные слагаемые — по другому закону. Весовую функцию записываем в виде ( s m) 2 g (s) exp , 2 2 2 где m и — параметры весовой функции. Полиномы Эрмита H (z) определяются соотношениями 1
( ) ( z ) (1) H (z) (z); ( ) ( z )
122
d ( z) ; dz
0, 1, 2, ;
( z)
1 2
e z
2
/2
,
(5.5.8)
причём
H1(z) z, H2(z) z2 1, ,
H0(z) 1,
H 1 ( z ) zH ( z ) H 1 ( z ) .
Если параметры m и выбрать такими, чтобы первые два момента весовой функции (8) совпали с соответствующими двумя моментами плотности распределения W(s), то первый и второй коэффициенты ряда обратятся в ноль. Получающийся ряд называется рядом Грама — Шарлье. Коэффициенты этого ряда удобно выражать через семиинварианты случайной величины s. В [12] показано, что имеется возможность записать члены ряда в виде рекуррентных формул. Используя изложенный в [12] метод, для ряда Грама — Шарлье можно получить следующее выражение: W ГШ ( s )
1 ( z ) 1 c H ( z ) , 3
(5.5.9)
где z (s m)/, а коэффициенты c определяются формулами c
3 1 c , 3
( 1) !
,
причём m 1, 2 . Здесь — семиинварианты распределения W(s) (см. § 2.2). В формуле для c при 6 сумму следует полагать равной нулю; по общепринятому правилу считается, что сумма равна нулю, если верхний предел меньше нижнего. В частности, для первых коэффициентов c можно записать c3 3 ,
c4 4 ,
c8 8 5 3
24
c5 5 ,
2! ,
c10 10 7 3 6 4
c6 6 23 2 ! ,
c9 9 6 3 5 4 52
2!
4 32
c7 7 4 3 ,
33
3! ,
2!
и т. д. В этих формулах / /(! ). Нулевой член ряда (9) представляет собой аппроксимацию гауссовским законом. Следующие члены ряда являются своего рода поправками к гауссовской аппроксимации. В представленных формулах являются семиинвариантами суммы случайных величин. Чтобы найти семиинварианты суммы, необходимо вначале определить семиинварианты слагаемых. Если i — -й семиинвариант i-го слагаемого, то -й семиинвариант суммы равен сумме -х семиинвариантов слагаемых:
i
.
i
123
Суммирование осуществляется по всем слагаемым, составляющим сумму. Если семиинварианты случайной величины неизвестны, но известны начальные моменты этой случайной величины, то для нахождения семиинвариантов необходимо использовать рекуррентную формулу 1
h g
g
h ,
(5.5.10)
1
где 0, h i /(1)! и g mi /!. В формуле (10) mi — моменты случайной величины, i — семиинварианты этой же случайной величины. При 1 сумму следует полагать равной нулю. Формула (9) даёт разложение плотности в виде бесконечного ряда. Однако этот ряд может оказаться расходящимся. В [42] содержится утверждение, что ряд Грама — Шарлье для случайной величины x с ограниченной дисперсией сходится в каждой точке непрерывности плотности распределения, если сходится интеграл
exp ( y
2
4) w( y ) dy ,
где w( y) — распределение нормированной случайной величины y (x mx)/x; mx и 2x — среднее значение и дисперсия случайной величины x. В противном случае ряд может расходиться. Ряд Грама — Шарлье может оказаться расходящимся. Тем не менее расходящийся ряд тоже пригоден для практического использования. Ряд Грама — Шарлье обладает свойствами асимптотических рядов Пуанкаре. Применение таких рядов основано на том, что при больших значениях параметра ряда (в данном случае — при большом числе суммируемых случайных величин) учёт конечного числа первых членов ряда даёт хорошее приближение для аппроксимируемой функции. Вспомним, что учёт только одного нулевого члена ряда представляет собой гауссовскую аппроксимацию плотности распределения суммы случайных величин. Члены расходящихся асимптотических рядов вначале убывают по абсолютной величине, а затем, начиная с некоторого номера, неограниченно возрастают. Именно с этого номера необходимо исключать из учёта возрастающие по абсолютной величине члены ряда, чтобы получившаяся сумма конечного числа первых членов ряда давала хорошее приближение для функции, представленной в виде асимптотического ряда. Ряд (9) может использоваться при вычислениях вероятности превышения порога по формуле (1). Интегрирование осуществляется численными методами. В § 5.2 были представлены сравнительно несложные аналитические выражения, позволяющие точно оценивать эффективность 124
обнаружения полезного сигнала, когда усреднение выходных величин измерительных каналов производится после квадратичного детектора. Для оценок схемы с квадратичным детектором можно попробовать применить ряд Грама — Шарлье, а затем сравнить получаемые результаты с точными результатами. Сравнение показывает, что ряд Грама — Шарлье применительно к квадратичному детектору обладает весьма ограниченными возможностями. Применительно к квадратичному детектору ряд оказывается расходящимся, поэтому необходимо использовать ограниченное количество членов ряда. Число используемых членов ряда следует принимать равным половине числа измерительных отсчётов. Но и в этом случае оценки могут оказаться приемлемыми, если оцениваемая вероятность ложной тревоги сравнительно большая — превышает 104. 5.6. Усреднение после линейного детектора Предположим, что все случайные величины на выходе измерительных каналов имеют одинаковую плотность распределения вероятностей. При линейной детекторной характеристике эта плотность является рэлеевской плотностью wi ( ri ) ri exp( ri2 2) .
(5.6.1)
Если на входе приёмного устройства присутствует полезный сигнал с амплитудой, флуктуирующей по рэлеевскому закону, то плотность распределения случайной величины на выходе канала обнаружения имеет вид r r2 , w( r ) exp (5.6.2) 1 2(1 ) где — среднее значение отношения сигнал/шум. Вероятность превышения порога s определяется формулой
( s ) 2 . P ( s ) w( r )dr exp 2(1 ) s
(5.6.3)
Разложим P(s) в ряд:
( s ) 2 ( 1) 2 s 2 . P ( s ) exp 2(1 ) 0 ! 2 (1 ) Усредняя по случайным переменным, получим
( 1) D P( s) 0 !
2 M 2 2 (1 ) ,
(5.6.4) 125
где M 2 s 2 — моменты суммы, состоящей из N независимых и одинаково распределённых рэлеевских случайных величин с распределением (1). Теперь, чтобы воспользоваться формулой (4), необходимо найти моменты суммы рэлеевских случайных величин. Моменты m рэлеевских случайных величин равны 2 !! при нечётных и !! — при чётных . Зная моменты случайной величины, по рекуррентной формуле (5.5.10) можно найти семиинварианты этой случайной величины . Затем находим семиинварианты суммы N случайных величин: K N. Используя значения K, с помощью всё той же формулы (5.5.10) находим моменты суммы случайных величин M. Значения моментов M при чётных индексах подставляются в формулу (4). При ненулевом отношении сигнал/шум формула (4) представляет собой вероятность обнаружения полезного сигнала. Если отношение сигнал/шум принять равным нулю, то получим вероятность ложной тревоги. Расчёт вероятности ложной тревоги имеет ограничения. Члены ряда вначале возрастают (по абсолютной величине), затем убывают. Если вероятность ложной тревоги мала, то значение 2/2 сравнительно большое. Члены ряда могут возрасти до столь большой величины, что происходит переполнение разрядной сетки вычислительной машины. Но даже если переполнение и не происходит, будут сказываться вычислительные погрешности. Члены ряда знакопеременные. Точность разности двух больших чисел, примерно равных по абсолютной величине, становится неудовлетворительной. По этой причине расчёт вероятности ложной тревоги по теоретической формуле (4) может осуществляться лишь для сравнительно больших вероятностей. Хорошие результаты получаются, например, для вероятности ложной тревоги 103, а вероятность, равную 104, оценить не удаётся. Значение вероятности 103 не имеет практического применения. Тем не менее расчёты для больших значений вероятности могут быть использованы для контроля каких-либо других методов оценки вероятности ложной тревоги. Вероятность обнаружения сигнала можно оценивать по формуле (4) без каких-либо ограничений. Теперь, применительно к линейному детектору, дадим краткую характеристику методов, изложенных в § 5.5. С использованием выражения (1) по формуле (5.5.2) находим (в виде таблицы) плотность распределения W2(s) суммы двух рэлеевских случайных величин. Затем, подставляя в подынтегральное выражение W2(s) вместо w0() и w1(), находим плотность распределения W4(s) суммы четырёх рэлеевских случайных величин. Аналогично находилим плотности W8(s), W16(s), W32(s), W64(s). 126
Если в формулу (5.5.1) подставить P( s ) exp( ( s ) 2 2) , то в левой части формулы вместо вероятности превышения порога следует записать вероятность ложной тревоги F. Если затем вместо W(s) в формулу подставить WN (s), то получим вероятность ложной тревоги при использовании N измерительных каналов. Чем меньше шаг s изменения дискретного аргумента s в таблице функции WN (s), тем точнее вычисления вероятности ложной тревоги. Исследования, выполненные при различных значениях s, показали следующее. При s 0,01 в значении lg(1 F ) оказываются точными примерно 6 знаков после запятой. Разумеется, такая точность для практических применений не требуется. Такая точность может быть полезной, если одни и те же оценки производятся двумя или тремя независимыми способами. Совпадение нескольких знаков в результатах, полученных разными способами, подтверждает, что в процессе исследований не было допущено ошибок. Если в формулу (5.5.1) подставить P(s) из (3), то в левой части формулы (5.5.1) вместо вероятности превышения порога P следует записать вероятность обнаружения сигнала D. При использовании численных методов преобразования Лапласа в формуле (5.5.7) принималось 2MЛ 2000. При вычислениях вероятностей ложной тревоги по формуле (5.5.4) принималось 2M 4000, 1. Тогда в значениях величины lg(1 F ) оказывались верными примерно 6 знаков после запятой. При вычислениях вероятностей обнаружения по формуле (5.5.6) принималось 2M 4000; константа c может принимать любое значение на интервале от 0,5 до 1. Исходными данными для вычислений с помощью ряда Грама — Шарлье в случае линейного детектора служат моменты m рэлеевской случайной величины на выходе измерительного канала. Моменты равны 2 !! при нечётных и !! — при чётных . Оказывается, что в данном случае ряд Грама — Шарлье обладает хорошей сходимостью. В вычислениях использовались 32 члена ряда. Когда применялась аппроксимация плотности W(s) рядом Грама — Шарлье, при вычислениях по формуле (5.5.1) нижний предел в интеграле принимался равным m k, а верхний предел — равным m k. Здесь m — среднее значение суммы s, — среднеквадратичное отклонение суммы s, k — некоторый коэффициент. Чтобы получить достаточно точные оценки вероятности ложной тревоги, принималось k 10. Тогда при N 16, 32 и 64 значения k были ориентировочно равны 26, 37, 52 соответственно. Заметим, что в [73] рассматривалось обнаружение некогерентной пачки импульсов на фоне нормального (гауссовского) шума с известной интенсивностью. Оценивались пороговые уровни при заданных вероятностях ложной тревоги, когда с порогом сравнивалась сумма случайных величин, получаемых на выходе линейного детектора. 127
При этом использовалась аппроксимация плотности распределения суммы рядом Грама — Шарлье. Результаты расчётов представлены в табл. 5.4—5.7. Таблица 5.4
По данным табл. 5.6 можно судить, насколько коэффициент потерь для схемы с линейным детектором лин отличается от коэффициента потерь для схемы с квадратичным детектором кв. Видно, что в результате замены квадратичного детектора линейным эффективность обнаружения сигнала ухудшается незначительно.
Линейный детектор. Значения N
Таблица 5.6 Значения 10 lg(лин /кв)
N
N F 10 16 32 64 N
6
F 10
5,3191 4,7109 4,4422 4,1941
8
F 10
6,7013 5,6696 5,2339 4,8429
10
N
8,1960 6,6110 5,9719 5,4146
F 10
Линейный детектор. Значения 10 lg(), требуемые при заданных вероятностях обнаружения сигнала D 10 lg()
N F 10
6
F 10
8
F 10
10
0,1
16 32 64 N
9,0692 8,0206 7,5034 6,9897
11,2704 9,8367 9,1386 8,4510
13,1253 11,2886 10,4054 9,5424
0,5
16 32 64 N
14,8918 13,8135 13,2883 12,7719
16,9501 15,4780 14,7695 14,0782
18,7278 16,8447 15,9487 15,0812
0,9
16 32 64 N
23,2784 22,1892 21,6611 21,1436
25,2925 23,8063 23,0940 22,4014
27,0455 25,1453 24,2446 23,3755
Предельный случай N можно оценить с помощью приведённых выше формул для вероятности превышения порога P(s), если в этих формулах случайную величину s заменить средним значением этой же случайной величины. При этом вместо s следует записать ( N ) 2 . Тогда из формулы для вероятности ложной тревоги по заданному значению F находим соответствующее значение N. Затем из формулы для вероятности обнаружения находим среднее значение отношения сигнал/шум , соответствующее полученному значению N и заданному значению вероятности обнаружения сигнала. 128
6
F 10
8
F 10
10
16
0,1 0,5 0,9
0,1149 0,1242 0,1277
0,1410 0,1523 0,1566
0,1622 0,1750 0,1799
32
0,1 0,5 0,9
0,0710 0,0738 0,0748
0,0908 0,0945 0,0958
0,1090 0,1133 0,1149
64
0,1 0,5 0,9
0,0393 0,0401 0,0404
0,0514 0,0524 0,0528
0,0630 0,0643 0,0647
Таблица 5.5
D
10 lg(лин /кв)
D
Так же, как при использовании квадратичного детектора, точную формулу для коэффициента потерь при линейном детекторе можно записать в виде (5.2.8). Отличие состоит в том, что функция k(F, D, N ) будет другая. Некоторые значения этой функции представлены в табл. 5.7. Таблица 5.7 Значения функции k(F, D, N ) для линейного детектора D
k(F, D, N )
N F 10
6
F 10
8
F 10
10
0,1
16 32 64
5,55 5,50 5,48
5,64 5,54 5,50
5,73 5,59 5,52
0,5
16 32 64
5,65 5,56 5,51
5,74 5,60 5,53
5,83 5,64 5,55
0,9
16 32 64
5,69 5,58 5,52
5,78 5,62 5,54
5,87 5,66 5,56
129
На основании данных, представленных в табл. 5.7, можно сделать вывод, что коэффициент потерь для схемы с линейным детектором можно аппроксимировать формулой 10 lg
5,6 1 lg . N F
(5.6.5)
При замене квадратичного детектора линейным можно одновременно увеличить число каналов. Причём увеличение должно быть таким, чтобы вероятность обнаружения полезного сигнала осталась прежней. Тогда увеличение числа каналов можно записать в виде отношения Nлин /Nкв, где Nлин и Nкв — значения числа каналов в двух схемах с разными детекторами, но с одинаковыми значениями отношения сигнал/шум , вероятности ложной тревоги F, вероятности обнаружения D. Оценить значения можно следующим образом. Зададим значения Nлин, F и D. Предполагая, что детектор линейный, находим требуемое отношение сигнал/шум . Затем, фиксируя значения F, D и , по аналитическим формулам из предыдущего параграфа находим соответствующее значение Nкв. При этом, чтобы ошибки округления не вносили нечёткость, целесообразно допустить, что в аналитических формулах для квадратичного детектора число каналов Nкв может быть нецелым. Результаты такой оценки представлены в табл. 5.8. Таблица 5.8 Значения Nлин /Nкв Nлин /Nкв
Nлин
D
16
0,1 0,5 0,9
1,056 1,059 1,060
1,049 1,052 1,053
1,044 1,046 1,047
32
0,1 0,5 0,9
1,072 1,074 1,074
1,068 1,069 1,070
1,064 1,065 1,066
64
0,1 0,5 0,9
1,082 1,083 1,083
1,079 1,080 1,081
1,077 1,078 1,078
F 10
6
F 10
8
F 10
10
Подобная задача рассматривалась в [159] для логарифмического детектора. Характеристики обнаружения оценивались статистическим моделированием с применением метода существенной выборки. Для приближённой оценки отношения Nлог /Nкв, характеризующего логарифмический детектор, там был проведён анализ теоретических 130
выражений для первых двух моментов случайных величин, получаемых суммированием выходных величин в измерительных каналах. При большом числе измерительных каналов вероятностное описание флуктуаций адаптивного порогового уровня близко к гауссовскому закону. Это утверждение относится ко всем схемам формирования порогового уровня. В [159] полагали, что характеристики обнаружения в двух разных схемах будут близкими, если в этих схемах будут совпадать отношения дисперсии порогового уровня к квадрату среднего значения порогового уровня. Добиться совпадения отношений можно путём соответствующего подбора числа измерительных каналов в одной из сравниваемых схем формирования порогового уровня. Такой же анализ можно выполнить и для линейного детектора. В результате для линейного детектора можно найти аналитическую формулу N лин N кв 2
2 8 12 3 2 (16 20 5 2 ) N лин 2( 4 ) N лин . ( 4 N лин ) 2
(5.6.6)
Формула (6) приближённая. По мнению авторов статьи [159], аналогичная формула для логарифмического детектора становится точной при неограниченном увеличении числа каналов. В данном случае для линейного детектора имеем 4(4 ) lim 1,093 . N лин Если же теперь воспользоваться предложениями, сделанными в [159] для логарифмического детектора, то для линейного детектора взамен (6) можно записать
или
N лин 1,093N лин N кв 0,093 N лин
N лин 1,093N кв 0,093 .
Из последних формул следует, что в предельном случае схема с линейным детектором, обладающая такими же характеристиками, как схема с квадратичным детектором, использует для формирования адаптивного порога число каналов, увеличенное примерно на 9 %. Приведённые выше (в данном параграфе) результаты, относящиеся к вероятности обнаружения полезного сигнала, соответствуют рэлеевским флуктуациям амплитуды сигнала. Если же амплитуда полезного сигнала не флуктуирует, то для вычисления вероятности превышения адаптивного порога может использоваться формула (5.5.1). При этом условная вероятность превышения адаптивного порога определяется формулой 131
P ( s ) J (( s ) 2 2 , q) . Здесь по-прежнему — пороговый множитель, s — сумма измерительных отсчётов, q — отношение сигнал/шум. Интеграл J () определяется формулой (1.5.3). Плотность W(s) в формуле (5.5.1) определяется только характеристиками шума и не зависит от модели флуктуаций полезного сигнала. Таким образом, можно находить вероятности обнаружения нефлуктуирующего сигнала при использовании адаптивного порога. Следовательно, можно вычислить и соответствующие коэффициенты потерь. Результаты таких расчётов представлены в табл. 5.9. Таблица 5.9 Линейный детектор. Коэффициенты потерь нф для нефлуктуирующего сигнала N
нф
D F 10
6
F 10
8
F 10
10
16
0,1 0,5 0,9
0,627 0,615 0,603
0,532 0,517 0,503
0,450 0,433 0,417
32
0,1 0,5 0,9
0,791 0,787 0,783
0,731 0,725 0,719
0,674 0,667 0,660
64
0,1 0,5 0,9
0,889 0,888 0,887
0,855 0,853 0,851
где x — случайная величина на выходе квадратичного детектора в канале обнаружения; xi — случайные величины на выходах квадратичного детектора в измерительных каналах; i — номер измерительного канала. Представим, что самопроизвольно изменился коэффициент усиления приёмника и вместо прежних x и xi поступают kx и kxi, где k — некоторый множитель (коэффициент). Тогда на выходах каналов получим ri( k ) ln k ln xi .
Из выходной величины канала обнаружения вычтем среднее значение выходных величин измерительных каналов. При изменившемся коэффициенте усиления приёмника получим величину r (k )
0,821 0,819 0,817
N
132
Логарифмический детектор условно представляем в виде последовательного соединения двух устройств: квадратичного детектора и логарифмического усилителя. Случайные величины на выходах каналов записываем в виде r ln x ; ri ln xi ,
r ( k ) ln k ln x ;
Анализ результатов показывает, что при фиксированных значениях F и N коэффициент потерь меняется незначительно при изменении отношения сигнал/шум. Напомним, что аналогичный вывод был сделан ранее по отношению к коэффициенту потерь для нефлуктуирующего сигнала при использовании квадратичного детектора. В заключение данного параграфа остановимся на одном приближённом методе расчёта вероятности ложной тревоги для схемы, использующей линейный детектор. На основании некоторых сравнительно несложных преобразований и рассуждений в [128] предложена приближённая формула для вероятности ложной тревоги в зависимости от порогового коэффициента N (обозначения из [128] здесь изменены). Без какого-либо ухудшения точности эту формулу можно ещё упростить: 2 F 1 . N ( 4 ) При N формула (7) становится точной.
5.7. Усреднение после логарифмического детектора
(5.6.7)
1 N
N
1 N
ri( k ) (ln k ln x )
i 0 iN 2
N
(ln k ln x ) , i
i 0 iN 2
не зависящую от коэффициента усиления k. Отсюда следует, что решение о наличии сигнала следует принимать при выполнении неравенства ln x s N ,
где — постоянный пороговый уровень, N
s
ln x
i
,
i 0 iN 2
x и xi — выходные величины до логарифмирования. Вероятность выполнения этого неравенства не будет зависеть ни от коэффициента усиления приёмного устройства, ни от интенсивности шума или гауссовской помехи. В общем случае детекторная характеристика до логарифмирования может быть либо квадратичной, либо линейной. После логарифмирования результаты для этих двух характеристик будут отличаться масштабным множителем и смещением отсчётов по оси абсцисс. Если используется адаптивный пороговый уровень, то характеристики обнаружения сигналов не зависят от масштабного множителя 133
и смещения, поэтому окончательные результаты справедливы и для квадратичной характеристики, и для линейной. Для упрощения записи математических выражений целесообразно при анализе считать, что логарифмирование осуществляется после квадратичного детектора огибающей. Критерий обнаружения перепишем в виде Если на входе приёмника присутствует рэлеевский сигнал, то в канале обнаружения случайная величина на выходе квадратичного детектора распределена по закону 1 x exp , 1 1
x 0,
(5.7.1)
где — среднее значение отношения сигнал/шум (или просто отношение сигнал/шум). При условии, что сумма логарифмов равна s, вероятность выполнения критерия обнаружения при использовании логарифмического детектора будет равна 1 1 (5.7.2) P ( s ) exp exp s . N 1 Безусловную вероятность превышения порога получаем усреднением P(s) по случайным переменным xi. Разложим P(s) в ряд и преобразуем: e ( 1) 1 P( s ) exp exp s N 0 ! 1
( 1) e exp ! 1 N 0
1 exp N s
( 1) e N ri exp ri ! 1 i 0 N i 0 0 iN 2 iN 2
( 1) ! 0
e 1
N
e 1
N
(x ) i
N
.
i 0 iN 2
Случайные величины xi на выходе квадратичного детектора в измерительных каналах имеют плотности распределения вероятностей exp(xi). Усредняем по случайным переменным:
134
( 1) e D P( s) ! 1 0
N
(x )
N
i
exp( xi ) dxi .
i 0 0 iN 2
Окончательно получаем
x exp( s N ) .
wкв ( x )
( 1) e D ! 1 0
N
1 , N
(5.7.3)
где () — гамма-функция. При ненулевом отношении сигнал/шум формула (3) представляет собой вероятность обнаружения сигнала. Если отношение сигнал/шум принять равным нулю, то получим вероятность ложной тревоги. Расчёт вероятности ложной тревоги по формуле (3) имеет такие же ограничения, как и расчёт по формуле (5.6.4) для схемы с линейным детектором. Члены ряда вначале возрастают (по абсолютной величине), затем убывают. По этой причине расчёт может осуществляться только для сравнительно больших вероятностей ложной тревоги, например, для 102. Вероятность ложной тревоги, равную 103, оценить по формуле (3) не удаётся. Вероятность обнаружения сигнала можно оценивать по формуле (3) без каких-либо ограничений. Чтобы оценить малые значения вероятности ложной тревоги, необходимо использовать методы, краткое описание которых дано в § 5.5. Для оценки вероятности превышения адаптивного порога при использовании логарифмического детектора можно воспользоваться формулой (5.5.1). При этом вероятность P(s) определяется формулой (2), а для нахождения плотности распределения вероятностей суммы W(s) необходимо последовательно применить несколько раз формулу (5.5.2). В формулу (5.5.2) подставляются плотности распределения вероятностей случайных величин на выходах измерительных каналов, которые в случае логарифмического детектора имеют вид wi ( ri ) exp( ri exp( ri )) ,
ri .
Если таблица плотности распределения W(s) составлена с шагом s 0,01, то в значении lg(1 F ) оказываются точными примерно шесть знаков после запятой (как и в случае линейного детектора). В предыдущих главах и параграфах предполагалось, что случайные величины на выходах каналов положительны. В случае логарифмического детектора это предположение недействительно. Случайные величины после логарифмирования могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Применение 135
традиционного преобразования Лапласа будет невозможным. Необходимо переходить к применению так называемого двустороннего преобразования Лапласа [16, 41]:
через wu (u) плотность распределения вероятностей случайной величины u. Чтобы получить двустороннее преобразование Лапласа плотности wu (u), необходимо выполнить усреднение
Fu ( p ) exp( pu) exp( pr ) exp( p( s N )) ,
e pr w( r ) dr ,
(5.7.4)
F ( p ) dp .
(5.7.5)
F ( p ) exp( pr )
w( r )
1 2 i
c i
e
pr
c- i
Если w(r) 0 при r 0, когда применяется обычное (одностороннее) преобразование Лапласа, областью сходимости интеграла (4) является полуплоскость Re( p) c, где c — некоторая положительная константа (c 0). В случае двустороннего преобразования Лапласа областью сходимости интеграла (4) может быть некоторая полоса на p-плоскости. Тогда ограничения для константы c в формуле (5) будут иметь вид c1 c c2 , где c1 и c2 — некоторые значения. Если на входе приёмника есть полезный сигнал, флуктуирующий по рэлеевскому закону, то случайная величина на выходе логарифмического детектора будет распределена по закону wлог ( r )
1 1 r exp r e , 1 1
а для этого необходимо вычислить два интеграла. Один из этих интегралов уже вычислен — см. формулы (6) и (7). Второй интеграл вычисляется по схожим правилам. В полосе N Re p 1 сходятся оба интеграла. Окончательная формула для двустороннего преобразования Лапласа имеет вид N
1 p (5.7.8) Fu ( p ) (1 p ) 1 . p (1 ) N Используя результаты § 2.2, для вероятности превышения порога
P
можно записать две формулы: c i
P 1
r .
e pr wлог ( r ) dr
(5.7.6)
сделаем замену переменной интегрирования r ln x :
Fлог ( p )
e
p ln x
wкв ( x ) dx .
0
В подынтегральном выражении плотность распределения вероятностей wкв(x) определяется формулой (1). Вычисляя интеграл, получим
Fлог ( p )
0
1 1 x 1 exp (1 p ) , dx p 1 1 x (1 ) p
1 1 e p Fu ( p) dp, N 0 . 2 i i p
(5.7.9)
Далее подробно рассмотрим применение формулы (9) для расчёта вероятности превышения порога. В интеграле (9) от переменной интегрирования p перейдём по формуле 2z p (5.7.10) z 1 к новой переменной z. В результате этой замены контур интегрирования оказался преобразованным в окружность. После замены
(5.7.7)
где () — гамма-функция. Интеграл (6) сходится при Re p 1. Обозначим через u разность двух случайных величин r и s/N. Решение о наличии полезного сигнала принимается, если u r s N , где — постоянный пороговый уровень. Обозначим 136
1 1 e p Fu ( p ) dp, 0 c 1 , 2 i c i p
i
P
u
В формуле для двустороннего преобразования Лапласа Fлог ( p )
w (u) du
z ei
(5.7.11)
получаем формулу P
2
0
1 z Fu ( p ) e p d, p ( z 1) 2
(5.7.12)
в которой p и z определяются формулами (10) и (11). 137
Применительно к интегралу (12) квадратурная формула Симпсона записывается в виде 2 M 1 (5.7.13) P i i , 3M i 1
где 2M — число частичных интервалов для применения квадратурной формулы, 2 z i 1 zi , , pi i Fu ( pi ) e pi 2 pi ( zi 1) zi 1 2 z i e i i , i i h , h , 2M а коэффициенты i определяются по формуле (2.6.1). Слагаемые с индексами i 0 и i 2M в формуле (13) отсутствуют, так как в точках 0 и 2 подынтегральное выражение в (12) обращается в ноль. При анализе схемы с логарифмическим детектором численные методы интегрирования приходится применять для вычисления только обратного преобразования Лапласа. Результаты применения прямого преобразования удалось выразить через гамма-функцию. В компьютерных программах Mathcad имеется встроенная функция, вычисляющая значения гамма-функции, в том числе и при комплексном аргументе. Поэтому вычисления по формуле (13) с помощью Mathcad-программ не вызывают каких-либо затруднений. Если при вычислении вероятности ложной тревоги F по формуле (13) принять 2 и M 600, то в значении lg(1 F ) оказываются точными примерно шесть знаков после запятой. Теперь рассмотрим ряд Грама — Шарлье для аппроксимации распределения суммы случайных величин после логарифмического детектора. Для среднего значения случайной величины, когда отсутствует полезный сигнал, получаем [23]
ln ( z 1) C z
( 1) 2
z ( ) .
Необходимые значения дзета-функции Римана можно вычислять с помощью содержащихся в [86] формул: ( 2)
2 , 6
(1 21 ) ( ) 1
1 1 1 , 2 3 4
2.
Используя формулу (5.5.9), ряд Грама — Шарлье для плотности вероятностей суммы случайных величин s запишем в виде W ( s)
1 ( z ) c H ( z ) . 0
Здесь z (s m)/, m — среднее значение суммы, — среднеквадратичное отклонение суммы, (z) — весовая функция, H(z) — полиномы Эрмита, c0 1, c1 c2 0. Формулы для вычисления следующих коэффициентов c даны в § 5.5. Графики на рис. 5.8 позволяют получить представление, как ведут себя члены ряда при увеличении номера члена ряда. 1
cH(z)
0,75
N 32
0,50 0,25 0
Формула для семиинвариантов приведена в [154] без доказательства. В справедливости формулы (14) можно убедиться, если в правой части (7) положить 0, а затем воспользоваться формулой [23]
0,25 00
x
m1 ln( x ) e dx C, 0
где C — постоянная Эйлера; C 0,577 215 664 901 5325. В [154] приведена формула для семиинвариантов случайной величины на выходе логарифмического детектора (для случая отсутствия сигнала). Применительно к принятому здесь масштабированию случайных величин эта формула имеет вид ( 1) ( 1)! ( ) , 1,
(5.7.14)
10
20
30
40
50
Рис. 5.8. Логарифмический детектор. Зависимости cH(z) от при s m (сплошная кривая) и при s m 3 (пунктир)
На основании этих, а также аналогичных графиков при других значениях N можно сделать вывод, что ряд Грама — Шарлье для суммы логарифмов является расходящимся рядом. Число суммируемых членов ряда необходимо ограничивать.
где () — дзета-функция Римана. 138
139
Наилучший результат при N 16 получается, если суммировать 15 членов ряда. Тогда при F 106 в значении lg(1/F ) оказываются точными примерно четыре знака после запятой, а при F 1010 — примерно два знака. При N 32 целесообразно суммировать 25 членов ряда (см. рис. 5.8). При N 64 целесообразно суммировать 35 членов ряда. В этих случаях точность вычисления lg(1/F ) приближается к шести знакам после запятой. Применение ряда Грама — Шарлье в расчётах вероятности обнаружения полезного сигнала, когда в измерительных каналах используется логарифмический детектор, даёт результаты, точность которых не вызывает сомнений. Сравнивая между собой изложенные методы анализа при логарифмическом детекторе, можно прийти к следующему выводу. Оценивать вероятность ложной тревоги или находить необходимый пороговый уровень при заданной вероятности ложной тревоги удобнее всего с применением формулы (13), т. е. применением преобразования Лапласа в сочетании с численными методами интегрирования. Проверку получаемых результатов целесообразно осуществлять методом, в котором для нахождения вероятностного распределения суммы случайных величин используется численное интегрирование. Для оценки вероятности обнаружения полезного сигнала пригоден любой из изложенных методов. Результаты оценок для логарифмического детектора представлены в табл. 5.10—5.13. Результаты, относящиеся к характеристикам обнаружения, соответствуют рэлеевским флуктуациям амплитуды полезного сигнала. В табл. 5.12 коэффициент энергетических потерь для схемы с логарифмическим детектором лог сравнивается с соответствующим коэффициентом потерь кв для схемы с квадратичным детектором. По данным этой таблицы видно, что в результате замены квадратичного детектора логарифмическим эффективность обнаружения сигнала ухудшается существенно. Так же, как при использовании квадратичного и линейного детекторов, точную формулу для коэффициента потерь при логарифмическом детекторе записываем в виде (5.2.8). Разумеется, при логарифмическом детекторе функция k(F, D, N ) будет отличаться. Некоторые значения этой функции представлены в табл. 5.13. На основании данных табл. 5.13 можно сделать вывод, что коэффициент потерь для схемы с логарифмическим детектором можно аппроксимировать формулой 10 lg лог
140
8,3 1 lg . N F
Таблица 5.10 Значения порогового уровня для логарифмического детектора N
F 10
16 32 64 N
6
F 10
3,8751 3,5364 3,3688 3,2030
8
F 10
4,4166 3,9477 3,7172 3,4907
10
4,8979 4,2961 4,0015 3,7138
Таблица 5.11 Логарифмический детектор. Значения 10 lg(), требуемые при заданных вероятностях обнаружения сигнала D D
10 lg()
N F 10
6
F 10
8
F 10
10
0,1
16 32 64 N
10,0039 8,5140 7,7563 6,9897
12,5331 10,5017 9,4782 8,4510
14,7151 12,1272 10,8325 9,5424
0,5
16 32 64 N
15,8710 14,3197 13,5447 12,7719
18,2691 16,1598 15,1136 14,0782
20,3842 17,7037 16,3814 15,0812
0,9
16 32 64 N
24,2738 22,7001 21,9187 21,1436
26,6320 24,4942 23,4397 22,4014
28,7260 26,0118 24,6794 23,3755 Таблица 5.12
Значения 10 lg(лог /кв) N
10 lg(лог /кв)
D F 10
6
F 10
8
F 10
10
16
0,1 0,5 0,9
1,0497 1,1034 1,1231
1,4037 1,4713 1,4961
1,7520 1,8313 1,8604
32
0,1 0,5 0,9
0,5643 0,5800 0,5858
0,7559 0,7762 0,7837
0,9476 0,9724 0,9814
64
0,1 0,5 0,9
0,2923 0,2965 0,2980
0,3910 0,3965 0,3986
0,4901 0,4970 0,4995
141
Таблица 5.13 Значения функции k(F, D, N ) для логарифмического детектора D
k(F, D, N )
N F 10
6
F 10
8
F 10
0,1
8,04 8,13 8,18
8,16 8,20 8,22
8,28 8,27 8,26
0,5
16 32 64
8,26 8,25 8,24
8,38 8,33 8,28
8,48 8,39 8,32
0,9
16 32 64
8,35 8,30 8,27
8,46 8,37 8,31
8,56 8,44 8,35
5.8. Сравнительные характеристики в сложной помеховой обстановке
Таблица 5.14 Значения Nлог /Nкв Nлог /Nкв
Nлог
D
16
0,1 0,5 0,9
1,501 1,508 1,510
1,478 1,485 1,487
1,457 1,463 1,466
32
0,1 0,5 0,9
1,567 1,571 1,573
1,554 1,558 1,560
1,541 1,545 1,547
64
0,1 0,5 0,9
1,605 1,607 1,608
1,598 1,600 1,601
1,591 1,593 1,594
F 10
8
F 10
10
В [159] анализом на основе моментов случайных величин для логарифмического детектора показано, что lim
N лог
142
2 1,65 . 6
N лог 1,65N кв 0,65 .
Из приближённой формулы следует, что дополнительные энергетические потери, обусловленные заменой квадратичного детектора логарифмическим, могут быть компенсированы увеличением числа измерительных каналов на 65 %. Точные оценки, приведённые в табл. 5.14, показывают, что потребуется несколько меньшее увеличение числа измерительных каналов.
Чтобы сохранить характеристики обнаружения при замене квадратичного детектора логарифмическим, можно увеличить число каналов, участвующих в формировании порогового уровня. Оценки коэффициента увеличения числа каналов даны в табл. 5.14. Здесь Nлог /Nкв, Nкв и Nлог — число каналов в схемах с квадратичным и логарифмическим детекторами, когда характеристики обнаружения сигнала для этих двух схем одинаковы.
6
1,65N лог , 0,65 N лог
10
16 32 64
F 10
Кроме того, в [159] предложены приближённые формулы
Сравним три схемы стабилизации вероятности ложной тревоги. Схемы отличаются детекторными характеристиками — рассматриваем схемы с квадратичным детектором, с линейным детектором и с логарифмическим детектором. Полагаем, что амплитуды полезного и мешающего сигналов, а также амплитуды пассивных помех флуктуируют по рэлеевскому закону. Случайные величины на выходах каналов подчинены распределению, которое определяется видом детекторной характеристики. Параметр распределения, вообще говоря, меняется от канала к каналу. Изменения параметра распределения обусловлены как неоднородностью помехового фона, так и наличием целей. Если детектор линейный, то для оценки вероятностей превышения адаптивного порога подходит изложенный в § 5.5 метод, основанный на численных методах прямого и обратного преобразований Лапласа. Необходимо учесть, что случайные величины на выходах каналов имеют разные плотности распределения вероятностей. Отправной точкой служат формулы (4.6.2) и (5.5.3). Изображения для (5.5.3) вычисляются по формуле (5.5.7). Плотность распределения вероятностей случайных величин на выходе линейного детектора определяется формулой (5.6.2). При этом следует иметь в виду, что параметр в формуле (5.6.2) для каждого канала имеет свой смысл. Если распределение (5.6.2) относится к i-му измерительному каналу, то вместо в этой формуле будем записывать i. Если в i-м измерительном канале наблюдаются и помеха с отношением помеха/шум i, и мешающий сигнал с отношением сигнал/шум м, то для этого канала i i м. Если мешающий сигнал в i-м измерительном канале не наблюдается, то i i. Если распределение (5.6.2) относится к каналу обнаружения, то вместо в эту формулу будет подставляться величина с, которая характеризует аддитивную смесь помехи и полезного сигнала. Эта 143
величина равна с N/2 , где N/2 — соответствующее отношение помеха/шум; — отношение сигнал/шум для полезного сигнала. Если детектор логарифмический, то вероятность превышения адаптивного порога вычисляется по формуле (5.7.13). Но изображение Fu ( p), используемое при вычислениях промежуточных величин для формулы (5.7.13), теперь определяется не формулой (5.7.8), а новой формулой Fu ( p )
1 (1 p ) (1 с ) p
N
(1 ) i
i 0 iN 2
p N
p 1 . N
(5.8.1)
Прежняя формула (5.7.8) является частным случаем формулы (1). Ранее применительно к логарифмическому детектору была получена теоретическая формула для вероятности обнаружения в виде ряда (при однородных помехах). Используя этот же метод, можно получить аналогичную формулу при наличии неоднородных помех: N ( 1) e N N (5.8.2) D (1 i ) 1 . ! 1 с i 0 N 0 iN 2 Чтобы не усложнять изложение анализом общего случая, далее рассмотрим две отдельные задачи с упрощёнными исходными данными (как в § 5.3 и 5.4). В первой задаче рассматриваем только неоднородность помехового фона (мешающие цели отсутствуют). Рассматриваем влияние кромки помех на вероятность ложной тревоги. Отношения помеха/шум i в зависимости от номера канала i определяются формулой (5.3.2) (см. также рис. 5.3). Положение кромки помех задаётся номером канала m. Если какой-либо канал настроен на область пассивных помех, то отношение помеха/шум для этого канала равно п. На рис. 5.9 представлены результаты расчётов. Для расчётов были заданы N 32, п 10. Пороговые множители вычислялись исходя из значения F 108.
F 10
4
лин
108 10
12
10
16
10
20
144
Рис. 5.9. Вероятность ложной тревоги F в зависимости от положения кромки помех:
лог кв
лог лин
кв — для квадратичного детектора; лин — для линейного детектора; лог — для логарифмического детектора
кв m 0
8
16
24
32
На рис. 5.9 видно, что вероятность ложной тревоги в канале, расположенном на кромке помех, возрастает. Причём для линейного и логарифмического детекторов вероятность увеличивается больше, чем для квадратичного детектора. Чтобы понять, почему возрастание вероятности зависит от вида детекторной характеристики, рассмотрим следующую упрощённую модель. Пусть m N/2. В первой половине скользящего окна пассивная помеха отсутствует. Во второй половине скользящего окна, а также в канале обнаружения наблюдается пассивная помеха. Теперь представим, что интенсивность пассивной помехи настолько большая, что результаты на выходах каналов в первой половине окна пренебрежимо малы по сравнению с результатами на выходах во второй половине окна. Усреднение выходных величин всех измерительных каналов даст оценку среднего значения выходной случайной величины. Эта оценка будет примерно в два раза меньше истинного среднего значения случайной величины на выходе канала обнаружения. Если детектор квадратичный, то результат на выходе канала в среднем пропорционален мощности помехи на входе канала. При квадратичном детекторе мы получим двукратную ошибку измерения мощности пассивной помехи на входе канала обнаружения, расположенного на кромке помех. При линейном детекторе мы получим двукратную ошибку измерения амплитуды помехи, что эквивалентно четырёхкратной ошибке измерения мощности. Выставляемый в канале обнаружения пороговый уровень в случае линейного детектора будет не соответствовать уровню помехи значительнее, чем в случае квадратичного детектора. Если F — задаваемое значение вероятности ложной тревоги, то в пределе при п в случае квадратичного детектора вероятность превышения порога на кромке (m N/2) будет составлять F (при любых N ). В случае линейного детектора при п и N вероятность превышения порога на кромке будет составлять 4 F . В случае логарифмического детектора при п вероятность превышения порога на кромке будет стремиться к 1 (при любых N ). Во второй задаче полагаем наличие лишь одной мешающей цели. Пассивная помеха отсутствует, т. е. i 0 при любом i. Рассматриваем случай, когда отношение сигнал/шум для мешающей цели м совпадает с отношением сигнал/шум для полезного сигнала . Расчёты для представленных ниже графиков в случае линейного детектора были выполнены, в основном, с помощью формулы (5.5.6). В данном случае необходим тщательный выбор значения константы c (по причинам, изложенным в § 5.5). Расчёты осуществлялись при c 0,01 и M 2000. При выбранных значениях c и M вычислительные ошибки вероятности превышения порога находились в четвёртой значащей цифре. 145
Изложим ещё два дополнительных метода, которые применимы для оценки вероятности превышения порога в схеме с линейным детектором, когда присутствует одна мешающая цель. В одном из этих методов используется ряд Грама — Шарлье. Обратимся к формуле (5.6.3), в которой представлено выражение для условной вероятности превышения порога P(s). Сумму s, являющуюся аргументом условной вероятности, запишем в виде двух слагаемых: s r u. Слагаемое r в данном случае является результатом обработки мешающего сигнала. Слагаемое u является, в свою очередь, суммой из N 1 слагаемых, каждое из которых представляет собой результат обработки шума. Результат обработки полезного сигнала в сумму s не входит. Чтобы получить безусловную вероятность превышения порога, необходимо усреднить условную вероятность P(s) по двум случайным переменным r и u. Усреднение по r выполняется аналитически. Плотностью распределения вероятностей w(r) случайной величины r может служить формула (5.6.2), если в этой формуле под величиной подразумевать отношение сигнал/шум для мешающего сигнала. В случае, когда отношение сигнал/шум для мешающего сигнала совпадает с отношением сигнал/шум для полезного сигнала, результат усреднения по r имеет вид
Pu (u ) P ( r u ) w( r )dr 0
2 2 2 1 e au {e b u bu [1 erf(bu )]} , 2 1
где — пороговый множитель; erf() — интеграл ошибок, erf( x )
2
x
0
exp( t 2 ) dt ;
a
2 1 ; 2 1 2(1 )
b2 2 a .
Плотность распределения вероятностей wu (u) случайной переменной u является плотностью распределения вероятностей суммы статистически независимых и одинаково распределённых рэлеевских случайных величин. Как отмечалось в § 5.6, плотность распределения вероятностей суммы рэлеевских случайных величин можно с успехом аппроксимировать рядом Грама — Шарлье. Используя вместо wu (u) соответствующий ряд Грама — Шарлье, усреднение
Dм P ( s ) Pu (u ) Pu (u ) wu (u )du 0
можно выполнить численными методами. В результате получим вероятность обнаружения полезного сигнала Dм , когда присутствует мешающий сигнал (в данном случае отношение сигнал/шум для мешающего сигнала м совпадает с отношением сигнал/шум для полезного сигнала). 146
Использование ряда Грама — Шарлье не требует существенных вычислительных затрат и обеспечивает хорошую точность результатов (например, не менее шести десятичных знаков). Во втором дополнительном методе используется представление вероятности превышения порога в виде ряда. Исходной является формула (5.6.4). Но в данном случае требуются только некоторые изменения методики вычисления коэффициентов ряда. При вычислениях коэффициентов ряда теперь необходимо учитывать, что случайные слагаемые, из которых составлена сумма s, имеют разные распределения вероятностей, а значит, и разные семиинварианты. Если является -м семиинвариантом результата обработки шума при отсутствии мешающего сигнала, то при наличии мешающего сигнала с отношением сигнал/шум м соответствующий семиинвариант результата обработки будет равен (1 м ) 2 . Следовательно, -й семиинвариант суммы s следует вычислять по формуле K (1 м ) 2 ( N 1) . Все остальные вычисления осуществляются по прежней схеме. Использование метода с представлением вероятности превышения порога в виде ряда также не требует существенных вычислительных затрат и обеспечивает высокую точность результатов. Данные для графиков, относящиеся к логарифмическому детектору, были получены по формуле (5.7.13), в которую подставлялось изображение (1). Расчёты производились при 2 и M 2000. Контроль получаемых результатов осуществлялся с помощью формулы
N ( 1) e (1 м ) N 1 , Dм ! 1 N 0
(5.8.3)
которая является частным случаем формулы (2). Для расчётов были заданы N 32 и F 108. Результаты показаны сплошными кривыми на рис. 5.10. Кроме того, на этом же рисунке пунктиром показана вероятность обнаружения полезного сигнала при фиксированном пороговом уровне, когда интенсивность шума в канале обнаружения заранее известна и наличие каких-либо других сигналов никак не влияет на эффективность обнаружения полезного сигнала. По графикам видно, что при наличии мешающей цели лучше использовать логарифмический детектор. В [263] в качестве одного из способов уменьшения подавления одной цели другой целью также рекомендовано использование логарифмического видео. Аналогичный вывод о предпочтительности логарифмического суммирования результатов обработки некогерентного сигнала для формирования адаптивного порога при наличии мешающих целей был сделан в [219]. 147
Dм
Рис. 5.10. Вероятность обнаружения полезного сигнала при наличии мешающей цели с отношением сигнал/шум м : кв — квадратичный детектор, лин — линейный детектор, лог — логарифмический детектор;
0,9
лог
0,7
лин
0,5
кв
0,3 0,1
10 lg 10
20
30
пунктир — при известной интенсивности шума
Логарифмические приёмники применяли для сжатия динамического диапазона обрабатываемых сигналов. В данном случае логарифмическое преобразование «сжимает» отклик от мешающей цели, в результате чего мешающий сигнал не оказывает сильного влияния на результат измерения интенсивности помехи. Схема обнаружения не теряет своей работоспособности. Если применяется адаптивный пороговый уровень, то при м вероятность обнаружения полезного сигнала не всегда стремится к 1 при неограниченном увеличении отношения сигнал/шум (см. рис. 5.10). Оценим предельные значения вероятности обнаружения. Рассмотрим схему с линейным детектором. Накопленную сумму s в формуле (5.6.3) запишем в виде s r u, где r — случайная величина на выходе измерительного канала, в котором наблюдается мешающий сигнал; u — сумма выходных величин остальных измерительных каналов. Теперь представим, что отношение сигнал/шум м настолько большое, что суммой u можно пренебречь по сравнению с величиной r. Тогда в формуле (5.6.3) вместо s можно записать r. Далее, учитывая выражение (5.6.2) для плотности распределения вероятностей случайной величины r, можно произвести усреднение безусловной вероятности превышения порога:
Dм P ( s ) P ( r ) P ( r ) w( r )dr 0
1 . 1 2
(5.8.4)
Аналогично для квадратичного детектора можно получить 1 . (5.8.5) 1 Будем считать, что при м и приближённые формулы (4) и (5) становятся точными. Обращаем внимание на то, что пороговый множитель в формуле (5) имеет другое происхождение, чем множитель в (4). Значения множителей, подставляемые в эти формулы, отличаются между собой. Поясним это на примере с учётом условий, для которых был построен рис. 5.10. 148 Dм
Если детектор линейный, то значение находим по табл. 5.4. Для данного случая 5,6696/N 0,1772. По формуле (4) находим предельное значение вероятности обнаружения Dм 1/(1 2) 0,9696. Если детектор квадратичный, то значение находим по формуле (5.2.2). Для данного случая получаем 0,7783. По формуле (5) находим предельное значение вероятности обнаружения Dм 1/(1 ) 0,5623. Если детектор логарифмический, то из формулы (3) следует, что при м и вероятность обнаружения сигнала стремится к 1. В этом случае целесообразно оценивать дополнительные потери, обусловленные наличием мешающего сигнала. «Дополнительные» указывает здесь на то, что мы имеем уже некоторые первоначальные энергетические потери, обусловленные использованием адаптивного порогового уровня. Первоначальные потери соответствуют однородному помеховому фону, когда случайные величины на выходах всех без исключения измерительных каналов имеют одно и то же вероятностное распределение. Если появится мешающий сигнал, то общие энергетические потери увеличатся. К первоначальным потерям добавятся некоторые дополнительные. Обозначим через отношение сигнал/шум для полезного сигнала, обеспечивающее заданную вероятность обнаружения при отсутствии мешающей цели (при м 0). Пусть далее см — отношение сигнал/шум для полезного сигнала, требуемое для получения той же вероятности обнаружения при наличии мешающей цели. Условие: отношение сигнал/шум для сигнала от мешающей цели м во втором случае совпадает с отношением сигнал/шум для полезного сигнала см. В обоих случаях (при наличии и отсутствии мешающей цели) порог адаптивный. Из формулы (3) следует, что вероятность обнаружения в обоих случаях будет совпадать, если (1 см ) ( N 1)
N
1 .
Отсюда получаем формулы для коэффициента дополнительных потерь (1 см )( N 1) N 1 . (5.8.6) доп см (1 ) N ( N 1) 1 см Зависимости коэффициента дополнительных потерь, полученные с помощью формул (5.7.3) и (6), представлены на рис. 5.11. Представленные в данном параграфе результаты позволяют сделать вывод, что заранее нельзя отдать предпочтение какому-либо детектору. Всё зависит от помеховой обстановки. Так, например, при обнаружении цели на кромке помех вероятность ложной тревоги увеличивается меньше всего, если используется квадратичный детектор. Если помеха однородная, но присутствует мешающая цель, 149
то наблюдается маскирование (затенение) полезного сигнала. Причём наибольшее маскирование будет происходить при использовании квадратичного детектора. По отношению к логарифмическому детектору выводы будут прямо противоположные. При использовании логарифмического детектора наблюдается самое большое увеличение вероятности ложной тревоги на кромке помех. А при наличии мешающей цели логарифмический детектор оказывается наиболее предпочтительным. Если приходится делать выбор из нескольких схем формирования адаптивного порога, то, разумеется, в первую очередь необходимо сравнивать их в условиях, при которых обнаружение полезного сигнала осуществляется на фоне однородных помех. Затем можно сравнивать их применительно к сложной помеховой обстановке. 10 lg доп 0
64
0,5
32
1,0
N 16
1,5 2,0
D 0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
Рис. 5.11. Коэффициент дополнительных потерь, обусловленных наличием одной мешающей цели. Условия: логарифмический детектор; отношение сигнал/шум для мешающего сигнала равно отношению сигнал/шум для полезного 8 сигнала; F 10
5.9. Адаптивные пороговые уровни при обнаружении квазинепрерывных сигналов В большинстве случаев полагают, что измерительные каналы представляют собой линейку каналов, расставленных вдоль оси задержек. Но применительно к многоканальной системе, осуществляющей обнаружение квазинепрерывных сигналов, такой выбор измерительных каналов оказывается неподходящим. При обнаружении КН сигналов каналы обнаружения перекрывают по задержке только один интервал неоднозначности измерений. Количество интервалов корреляции, которые помещаются на интервале неоднозначности, совпадает со скважностью излучения импульсов. Поэтому если для формирования порога использовать линейку каналов, расстроенных по задержке, то число статистически независимых отсчётов, участвующих в формировании порога, окажется ограниченным. Энергетические потери, обусловленные применением адаптивного порогового уровня, могут оказаться большими. К тому же при обнаружении КН сигналов при малых углах места необходимо учитывать, что интенсивность отражений от земной поверхности может существенно меняться даже при незначительных 150
изменениях дальности. Вплоть до того, что в исключительных случаях придётся бланкировать каналы, в которых наблюдаются интенсивные отражения (такое утверждение содержится, например, в [34]). Формирование пороговых уровней по способу, реализованному в обнаружителе Сиберта (см. рис. 3.4), также неприемлемо. Обнаружитель Сиберта предназначен для обнаружения когерентных пачек импульсов на фоне широкополосной помехи с неизвестной интенсивностью. А КН сигналы применяются для обнаружения движущихся целей на фоне узкополосных пассивных помех, когда пассивные помехи являются отражениями от неподвижных или малоподвижных объектов (например, от дождевой зоны). Если импульсы КН сигнала, отобранные для обработки, накопить некогерентно (как в обнаружителе Сиберта), то результат накопления может служить замером интенсивности пассивной помехи на нулевой доплеровской частоте. Такой замер не может быть использован для оценки интенсивности смеси шума и неподавленных остатков пассивной помехи для канала обнаружения, настроенного на ненулевую доплеровскую частоту. Для формирования порогового уровня необходимо использовать линейку каналов, расставленных вдоль частотной оси. Канал обнаружения и измерительные каналы будут настроены на одно и то же значение дальности. Формирование порогового уровня существенно упрощается, если при обработке КН сигналов применяется подходящая весовая функция. Если применяется весовая функция Дольфа — Чебышёва, то частотные боковые лепестки взаимно корреляционной функции имеют одинаковый уровень. Интенсивность смеси шума и неподавленных остатков помехи будет одинаковой для всех каналов. Для формирования порога можно суммировать выходные величины каналов, расположенных на интервале неоднозначности по доплеровской частоте. Этот интервал начинается от нулевой доплеровской частоты и заканчивается частотой повторения импульсов КН сигнала. Разумеется, в суммировании не должны участвовать каналы, настроенные на доплеровские частоты, находящиеся вблизи нулевой доплеровской частоты и вблизи частоты повторения импульсов. При наличии сильного ветра доплеровская частота пассивной помехи, отражённой от дождевого облака, будет отличаться от нуля. Поэтому в суммировании также не должны участвовать каналы, которые могут оказаться «закрытыми» при появлении сильного ветра. В § 5.1 было показано, что выходная величина в канале обнаружения может участвовать в суммировании. Это обстоятельство существенно упрощает процедуру формирования пороговых уровней при обнаружении КН сигналов. Можно один раз просуммировать выходные величины в каналах, настроенных на одну и ту же задержку. Полученная сумма после умножения на пороговый множитель будет служить пороговым уровнем для всех без исключения каналов обнаружения, настроенных на соответствующую задержку, но на разные доплеровские частоты. 151
Если расстройка между соседними каналами по доплеровской частоте меньше половины ширины главного лепестка взаимно корреляционной функции, то при появлении полезного сигнала выходная величина будет увеличиваться не только в канале обнаружения, но и в соседних измерительных каналах. Увеличится и адаптивный пороговый уровень. Чтобы не допустить увеличения порогового уровня, в некоторых публикациях рекомендуется исключать из суммирования выходные величины измерительных каналов, соседних с каналом обнаружения. Но, как это будет показано в § 9.3, делать это не обязательно, а может быть, даже и нежелательно. Это обстоятельство также указывает на целесообразность использования единого порога для всех каналов одной линейки. Перейдём к вопросу обнаружения двух целей. Если разность задержек сигналов от целей не кратна периоду повторения импульсов, то сигналы от целей будут наблюдаться в разных дальностных каналах. При обнаружении сигналов будут использоваться два разных пороговых уровня. Сигнал от одной цели никак не будет влиять на величину порогового уровня, используемого для обнаружения другой цели. Если разность задержек сигналов кратна периоду повторения импульсов, и при этом доплеровские частоты сигналов одинаковы, то получим обычное неразрешение целей. Свойства порогового уровня будут такими же, как при наличии одной цели. Теперь представим, что разность задержек сигналов кратна периоду повторения импульсов, а доплеровские частоты сигналов отличаются. В таких случаях общий пороговый уровень будет несколько завышен по сравнению с теми пороговыми уровнями, которые реализовались бы при разрешении целей по задержке. Из-за этого явления характеристики обнаружения несколько ухудшатся. Но следует иметь в виду, что если доплеровские частоты сигналов отличаются, то цели перемещаются с разными радиальными скоростями. В следующем цикле обзора по угловым координатам разность задержек сигналов будет другой, и в обнаружении сигналов будут участвовать два независимых пороговых уровня. Вероятность того, что в данном цикле обзора разность задержек сигналов окажется кратной периоду повторения импульсов, будет равна 1/Q, где Q — скважность излучения импульсов, Q Tп /Tи; Tп — период повторения импульсов; Tи — длительность импульсов. Состояния, когда в одной линейке каналов будут приниматься два сигнала с разными доплеровскими частотами, оказываются врéменными. К тому же, если значения скважности большие, то такие состояния будут появляться редко. Поэтому можно не придавать им особого значения. Если всё же возникнет необходимость устранить нежелательное влияние двух сигналов на общий пороговый уровень, то перед суммированием отсчётов, считанных с выходов каналов, можно произвести удаление некоторого количества самых больших отсчётов. 152
Эти отсчёты не будут участвовать в суммировании. Но и в этом случае для всех каналов обнаружения, настроенных на одно и то же значение задержки, будет применяться одно и то же реализовавшееся значение адаптивного порогового уровня. Теперь оценим энергетические потери, обусловленные применением адаптивных пороговых уровней при обнаружении КН сигналов. Длина интервала неоднозначности по частоте равна частоте повторения импульсов Fп. Условный интервал корреляции равен f k /Tобр , где Tобр — длительность обрабатываемой пачки импульсов, k — некоторый коэффициент. Коэффициент k учитывает увеличение интервала корреляции из-за весовой обработки принимаемого сигнала. Наши оценки ориентировочные, поэтому без какого-либо обоснования примем, что k 2. Количество статистически независимых отсчётов шума (помехи), которые можно получить на выходах каналов линейки, равно Fп / f FпTобр /k. При Fп 100 кГц, Tобр 3 мс получим FпTобр /k 150. Из рассуждений, изложенных выше, следует, что некоторая часть каналов должна быть исключена из участия в формировании адаптивного порогового уровня. Предположим, что из 150 отсчётов могут использоваться, например, 100 или 125. Тогда при F 108 и N 100—125 по формуле (5.6.5) получим, что коэффициент энергетических потерь составит 10 lg 0,35 0,45 дБ . Подбор значения порогового множителя можно осуществить опытным путём в условиях, когда помеховым воздействием является только собственный шум приёмного устройства. В реальных условиях при малых углах места в составе помехового воздействия могут присутствовать неподавленные остатки нефлуктуирующих отражений от земной поверхности. Такая помеха называется райсовской. Из представленных в [139, 141] данных следует, что если схема рассчитана на рэлеевскую помеху, а помеха в действительности райсовская, то вероятность ложной тревоги будет меньше расчётной. Однако неподавленные остатки помех малы по сравнению с шумом приёмного устройства. Поэтому можно считать, что отличия между реальной вероятностью и расчётной вероятностью будут несущественными.
153
6.2. Общие соотношения 6. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРОГА С ВЫБОРОМ БОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ 6.1. Введение Простая схема формирования адаптивного порога, основанная на непосредственном суммировании всех выходных величин измерительных каналов, обеспечивает постоянный уровень ложных тревог только в тех случаях, когда помеховый фон является однородным. При неоднородных помехах реальная вероятность ложной тревоги будет, как правило, отличаться от заданной. В некоторых каналах обнаружения вероятность ложной тревоги будет занижена, а в ряде других каналов — завышена. Вероятность ложной тревоги, усреднённая по каналам обнаружения, оказывается завышенной. При эксплуатации радиолокатора прежде всего обращают внимание на рост числа ложных тревог при появлении каких-либо атмосферных явлений, поэтому первые предложения по совершенствованию схемы были направлены на ограничение количества ложных тревог в неоднородных помехах. Одна из таких схем впервые была предложена в статье [179]. В этой схеме отсчёты видеосигнала с выхода логарифмического детектора подаются на многоотводную линию задержки. Центральный отвод линии задержки используется для проверки на наличие полезного сигнала. Раздельно усредняются сигналы, снимаемые с отводов, расположенных перед центральным отводом и после него. Из полученных двух результатов усреднения в дальнейшем используется тот, который больше. Больший результат вычитается из сигнала, снимаемого с центрального отвода линии (осуществляется вычитание вместо умножения на пороговый множитель, так как используется логарифмический детектор). Получаемая разность сравнивается с постоянным пороговым уровнем. Если пороговый уровень превышен, то принимается решение о наличии полезного сигнала. Предложение в статье [179] осталось малозаметным, а широкую известность способ формирования порога с выбором большего значения получил после того, как в [160] была рассмотрена аналогичная схема, в которой используется квадратичный детектор огибающей. В более поздних публикациях подобные схемы обозначаются аббревиатурами GO CFAR или GO-CFAR: GO — greatest of (больший из). В некоторых публикациях используется аббревиатура MX-MLD: maximum mean level detector (см., например, [233—235]). О терминах CFAR и MLD см. § 3.3. В обзоре [7] такая схема называется БИ-УС-ПУЛТ-процессором. Фрагмент «УС» в названии акцентирует внимание на том , что в каждом из полуокон осуществляется усреднение отсчётов. В дальнейшем анализируемая схема с выбором большего значения может называться схемой с выбором «большего из» или, для краткости, схемой БИ. 154
Предполагаем, что детекторная характеристика является квадратичной или линейной. Тогда применительно к рассматриваемому в данной книге виду приёмного устройства и с учётом принятых обозначений схема с выбором большего значения имеет вид, представленный на рис. 6.1. Детекторная характеристика
Выход канала обнаружения r Сравнение с порогом
Каналы в скользящем окне Выходы каналов
r0 r1
Решение
rN Порог h s N
( N 2 ) 1
s1
ri
s2
i 0
ri i ( N 2 ) 1
s1
s2
s max{s1, s2}
s Пороговый множитель
Рис. 6.1. Формирование порога схемой с выбором большего значения
Заметим, что если в схеме на рис. 6.1 операцию выбора максимума s max{s1, s2} заменить операцией суммирования s s1 s2, то получим рассмотренную в гл. 5 схему с адаптивным пороговым уровнем на основе усреднения отсчётов по каналам (схему MLD или CA CFAR). Для удобства записи формул обозначим n N/2. Случайные величины r0, r1, , rN являются выходными величинами каналов, случайная величина rn — выходной величиной канала обнаружения. Как и в гл. 5, rn для удобства обозначаем через r (опускаем индекс). В процедуре измерения интенсивности помехи вычисляются две суммы, а затем находится большее значение из этих двух сумм: n 1
s1
i 0
N
ri ,
s2
r , i
s max{s1, s2}.
(6.2.1)
i n 1
Предположим, что в одной половине измерительного окна интенсивность пассивной помехи незначительная, а в другой половине 155
присутствует интенсивная пассивная помеха. Информация об интенсивностях помехи в полуокнах содержится в значениях сумм s1 и s2. Канал обнаружения находится между полуокнами, и об интенсивности помехи в канале обнаружения ничего неизвестно. Если мы хотим подстраховаться от появления ложной тревоги, то целесообразно руководствоваться предположением, что каналом обнаружения принимается такая же интенсивная пассивная помеха, как в каналах полуокна с наибольшим значением суммы. Иными словами, при формировании адаптивного порогового уровня необходимо принимать во внимание только большее из двух значений s1 и s2. Можно предположить, что подобные соображения принимались во внимание при конструировании схемы с выбором «большего из» (GO CFAR). При анализе схемы БИ в данной главе будем полагать, что случайные величины r0, r1, , rN статистически независимы между собой. Решение о наличии полезного сигнала принимается, если выполняется неравенство r max{s1, s2}, что эквивалентно одновременному выполнению неравенств r s1 и r s2. Последние два неравенства переписываем в виде s1 r/ и s2 r/. Теперь замечаем, что вероятность превышения адаптивного порога можно представить формулой r
r P ws1 ( s1 )ds1 ws 2 ( s2 )ds2 wr ( r ) dr , (6.2.2) 0 0 0 где ws1(s1) и ws2(s2) — плотности распределения вероятностей сумм s1 и s 2 ; w r (r) — плотность распределения вероятностей выходной случайной величины в канале обнаружения. Используя d wr ( r ) wr (t ) dt , dr r в формуле (2) осуществим интегрирование по частям. После преобразований и замены переменной интегрирования r u получим
u u (6.2.3) P ws1 (u ) ws 2 (t ) dt ws 2 (u ) ws1 (t ) dt wr (t ) dt du . 0 0 0 u Далее будем полагать, что применяется квадратичный детектор. Выходные величины в каналах нормированы по отношению к интенсивности собственного шума приёмного устройства. Рассмотрим вначале случай, когда помеховый фон однородный. Для упрощения примем, что внешние помехи отсутствуют. Пусть,
156
как и прежде, — отношение сигнал/шум для полезного сигнала, флуктуирующего по рэлеевскому закону. Подставляя в формулу (3) wr ( t )
1 t exp , 1 1 u
ws1 (u ) ws 2 (u )
u
n 1
ws1 (t )dt ws 2 (t )dt 1 e u
0
0
0
u n 1 u e , ( n 1)!
u , !
после преобразований получим
n 1 u n 1 u u u e 1 e u e du , ( n 1 )! ! 0 0 где (1 ). Окончательное выражение имеет вид
P2
P
n 1 2 1 . 2 Cn1 n (1 ) ( 2 ) n 0
(6.2.4)
Формула (4) неоднократно встречалась в литературе (см., например, [162, 271]). В § 6.4 будет показано, что для вероятности превышения порога при отсутствии внешних помех справедлива ещё одна формула: n 1
P2
C 0
n 1
1 . ( 2 ) (1 ) n n
(6.2.5)
Результаты вычислений, получаемые по формулам (4) и (5), оказываются идентичными. Теперь рассматриваем общий случай, когда помеховый фон может быть неоднородным. Целесообразно использовать преобразование Лапласа. Если F( p) — изображение плотности w(x), то
0
ci
1 1 w( x ) dx e p F ( p ) dp, c 0 . 2 i c i p
Применим это соотношение к исходной формуле (2) для вероятности превышения порога: ci 1 1 P e p1 r Fs1 ( p1 ) dp1 2 i p1 0 c i
157
1 ci p r 1 e 2 Fs 2 ( p2 ) dp2 wr ( r ) dr , 2 i p2 c i
где Fs1() и Fs2() — изображения по Лапласу плотностей распределения вероятностей ws1() и ws2(). Плотность распределения случайной величины на выходе канала обнаружения запишем в виде wr ( r )
1 r exp , 1 1
p
где и — отношение сигнал/шум и отношение помеха/шум в канале обнаружения. Обозначим (1 ) и сделаем замену переменной r t (1 ):
1 P (2 i) 2
ci ci
z ei ,
c i c i
c i
1 1 P Fs1 ( p ) Fs 2 ( p ) dp, c 0 . 2 i c i p p
(6.2.6)
Эта общая формула является исходной для дальнейших исследований. Обращаем внимание на то, что в формулу (6), справедливую для общего случая, следует подставлять (1 ). А формулы (4) и (5) относятся к случаю, когда внешние помехи отсутствуют ( 0), и в эти формулы следует подставлять (1 ). Вероятность превышения порога при отсутствии пассивных помех выражается контурным интегралом (6), в котором Fs1 ( p ) Fs 2 ( p )
1 . (1 p ) n
dp 2c , dz ( z 1) 2
dp 2 i cz , d ( z 1) 2
получаем P
2
c
0
1 z Fs1 ( p ) Fs 2 ( p ) d. p p ( z 1) 2
Теперь осуществляем численное интегрирование: P
1 3M
2 M 1
1
1 z , Fs1 ( cb ) Fs 2 ( cb ) b cb ( z 1) 2
(6.2.7)
где 2M — число интервалов, на которые разбивается отрезок [0, 2]; — коэффициенты, получаемые из квадратурной формулы Симпсона ( 4 при нечётных значениях и 2 при чётных ),
Fs1 ( p1 ) Fs 2 ( p2 ) dp1dp 2 . p1 p 2 p1 p2
Интегрируем по p2. Учитываем особые точки справа от контура интегрирования. Особые точки функции F s2 ( p 2 ) лежат в левой полуплоскости. Точка p2 0 лежит слева от контура. Справа от контура интегрирования лежит единственная особая точка p2 p1. При интегрировании по p2 используем теорию вычетов. После этого вместо p1 под интегралом запишем p. Получаем
158
2cz , z 1
c i c i
exp t 1 p1 p2 dt Fs1 ( p1 ) Fs 2 ( p 2 ) dp1dp2 . p1 p2 c i c i 0 Затем изменим порядок интегрирования и выполним вначале интегрирование по t: 1 P ( 2 i) 2
Затем, если воспользоваться теорией вычетов, можно получить аналитическое выражение для вероятности превышения порога. Аналитические выражения для вероятности превышения порога при отсутствии пассивных помех были приведены выше. Если изображения Fs1() и Fs2() имеют сложный вид, то находить значения контурного интеграла (6) целесообразно численными методами. Выполняя в (6) замену переменной интегрирования
b
2 z , z 1
z exp(i ) ,
h ,
h
2 . 2M
В формуле (7) слагаемые с индексами 0 и 2M отсутствуют, так как они превращаются в ноль (подробнее см. в § 2.6). Константа c положительна, а в остальном она может быть любой, лишь бы в (6) все особые точки подынтегрального выражения, находящиеся в правой полуплоскости, располагались правее контура интегрирования. При вычислении контурных интегралов численными методами необходимо располагать контур ещё и так, чтобы особые точки не были расположены близко от контура. Иначе подынтегральное выражение вблизи особых точек будет принимать большие значения, что увеличит вычислительные погрешности в окончательных результатах. В данном случае контур можно расположить на равном удалении от особых точек p 0 и p . Тогда в выражение (7) следует подставлять c /2. Далее будут представлены различные характеристики для схемы с выбором «большего из» (GO CFAR). Если при оценках этих характеристик вероятность превышения порога находилась численными методами, то при вычислениях принималось M 2000. При этом в получаемых значениях вероятности в большинстве случаев оказывались верными по крайней мере 10 первых значащих цифр. 159
Таблица 6.3
6.3. Основные характеристики при отсутствии помех Результаты оценок для схемы с выбором большего значения представлены в табл. 6.1—6.4. Таблица 6.1
Значения 10 lg(БИ /УС); квадратичный детектор 10 lg(БИ /УС) N
D
16
F 10 6
F 10 8
F 10 10
0,1 0,5 0,9
0,1886 0,2191 0,2317
0,2125 0,2470 0,2612
0,2288 0,2661 0,2814
32
0,1 0,5 0,9
0,1397 0,1534 0,1587
0,1637 0,1798 0,1861
0,1820 0,1999 0,2070
64
0,1 0,5 0,9
0,0914 0,0969 0,0990
0,1104 0,1172 0,1198
0,1260 0,1337 0,1367
Значения n, при которых обеспечивается заданная вероятность ложной тревоги F (n N/2) n N 16 32 64 N
F 10 6
F 10 8
F 10 10
19,3556 15,7242 14,3513 13,8155
30,7291 22,8102 19,9615 18,4207
45,9331 31,0273 26,0180 23,0259 Таблица 6.2
Значения 10 lg(БИ), требуемые при заданных вероятностях обнаружения сигнала D 10 lg(БИ) D
N
F 10 6
F 10 8
F 10 10
0,1
16 32 64 N
9,1429 8,0894 7,5554 6,9897
11,3418 9,9096 9,1976 8,4510
13,1919 11,3616 10,4684 9,5424
0,5
16 32 64 N
14,9867 13,8930 13,3451 12,7719
17,0448 15,5633 14,8343 14,0782
18,8189 16,9313 16,0181 15,0812
0,9
16 32 64 N
23,3824 22,2730 21,7197 21,1436
25,3972 23,8966 23,1610 22,4014
27,1471 25,2374 24,3166 23,3755
В табл. 6.2 и 6.3 УС и БИ являются отношениями сигнал/шум, требуемыми при заданной вероятности обнаружения сигнала. При этом УС относится к рассмотренной в гл. 5 схеме с усреднением по каналам, а БИ — к схеме с выбором «большего из» (БИ). Отношение сигнал/шум УС определяется правой частью формулы (5.2.4), а отношение сигнал/шум БИ вычисляется с помощью соотношений, представленных в предыдущем параграфе. Данные табл. 6.3 показывают, насколько придётся увеличить отношение сигнал/шум, если от схемы УС перейти к схеме БИ. 160
Заметим, что если обозначить через БИ и УС коэффициенты потерь для двух схем, то можно записать 10 lg( БИ / УС ) 10 lg(БИ /УС ). Следовательно, по табл. 6.3 можно сравнивать и коэффициенты потерь. Во многих публикациях содержится утверждение, что при переходе от схемы CA CFAR к схеме GO CFAR энергетические потери увеличиваются на 0,1 0,3 дБ (см., например, [162]). Представленные в табл. 6.3 данные полностью согласуются с этим утверждением. Так же, как для схемы с усреднением по каналам, точную формулу коэффициента потерь для схемы с выбором большего значения можно записать в виде (5.2.8). Но функция k(F, D, N ) теперь будет другая. Некоторые значения этой функции представлены в табл. 6.4. Таблица 6.4 Значения функции k(F, D, N ) для схемы с выбором большего значения k(F, D, N ) D
N
0,1
F 10 6
F 10 8
F 10 10
16 32 64
5,74 5,87 6,03
5,78 5,83 5,97
5,84 5,82 5,93
0,5
16 32 64
5,91 5,98 6,11
5,93 5,94 6,05
5,98 5,92 6,00
0,9
16 32 64
5,97 6,02 6,14
5,99 5,98 6,08
6,03 5,96 6,02
161
На основании данных табл. 6.4 можно сделать вывод о том, что коэффициент потерь для схемы с выбором большего значения можно аппроксимировать формулой 5,94 1 10 lg lg . N F При этом для вероятностей обнаружения D 0,5 0,9 погрешность в оценке коэффициента потерь составит ориентировочно 0,01 дБ. При переходе от схемы с усреднением по каналам к схеме с выбором большего значения можно одновременно увеличивать число каналов. Причём увеличение должно быть таким, чтобы вероятность обнаружения полезного сигнала осталась прежней. Тогда увеличение числа каналов можно записать в виде отношения NБИ /NУС, где NБИ и NУС — значения числа каналов в двух схемах с разными алгоритмами формирования порогов, но с одинаковыми значениями отношения сигнал/шум , вероятности ложной тревоги F, вероятности обнаружения D. Аналогичное отношение для значений числа каналов рассматривалось в § 5.6 при сравнении схемы с линейным детектором со схемой с квадратичным детектором. Там же изложена методика оценки отношения. Эту методику можно применить и к оценке отношения NБИ /NУС. Результаты такой оценки представлены в табл. 6.5. Таблица 6.5 Значения NБИ /NУС
Предельное значение коэффициента существенно отличается от представленных в табл. 6.5 значений. Поэтому для схемы с выбором большего значения простые аппроксимации зависимости коэффициента от числа измерительных каналов, основанные на методе моментов, дают большие погрешности. В [160] высказывалось предположение, что энергетические потери для схемы GO CFAR можно оценивать методом пересчёта. При этом потери для схемы GO CFAR с реальным числом измерительных отсчётов приравниваются к потерям для схемы CA CFAR с числом отсчётов, уменьшенным в 2 раз. В принятых здесь обозначениях предложенный метод пересчёта эквивалентен тому, что для коэффициента принимается значение 1,414. Сравнение значения 1,414 с представленными в табл. 6.5 данными показывает, что такой метод пересчёта даст завышенную оценку потерь для схемы GO CFAR. В заключение параграфа отметим, что в [2, 234] анализируются характеристики схемы GO CFAR (MX-MLD), предназначенной для обнаружения некогерентного сигнала. 6.4. Исследование характеристик при наличии кромки помех В модели неоднородных помех, представленной в гл. 5, подразумевается скачкообразное изменение интенсивности пассивных помех в пределах измерительного окна. Иллюстрации к кромке помех даны на рис. 5.3 и 6.2.
0
NБИ
D
16
0,1 0,5 0,9
1,092 1,103 1,108
1,074 1,084 1,088
1,061 1,069 1,073
32
0,1 0,5 0,9
1,142 1,153 1,157
1,122 1,131 1,135
64
0,1 0,5 0,9
1,190 1,200 1,203
1,170 1,179 1,182
F 10
6
F 10
8
F 10
lim
162
N БИ
N УС 2 ( 1) 1,363 .
2
3
4
5
6
7
8
n N2
10
m3
mn
m4
mn
1,106 1,114 1,118
m5
mn1
1,153 1,161 1,164
m6
mn1
По данным табл. 6.5 видно, что значения коэффициента изменяются при изменении числа измерительных каналов. При дальнейшем увеличении числа каналов коэффициент будет ещё увеличиваться. Применяя метод моментов, изложенный в статье [159], можно показать, что N БИ
1
Рис. 6.2. Измерительные каналы, канал обнаружения и кромка помех. Заштрихованные прямоугольники являются условным отображением каналов, находящихся в зоне пассивных помех
Измерительные каналы и канал обнаружения в скользящем окне имеют номера от 0 до N. Номер канала, настроенного на кромку помех, обозначен символом m. Отношения помеха/шум для каналов в скользящем окне в зависимости от номера канала задаются 163
формулой (5.3.2). Если канал настроен на зону пассивных помех, то отношение помеха/шум в этом канале равно п. Случаи m 1 и m 2n относятся к однородной помехе. При m 1 все каналы подвержены воздействию помехи, при m 2n все каналы свободны от помех. Вероятность обнаружения полезного сигнала при m 1 можно оценивать по формулам, относящимся к случаю без помех, если в эти формулы вместо подставлять /(1 п). Поэтому далее в процессе анализа схем при неоднородных помехах будем полагать 1 m 2n . В модели неоднородных помех можно выделить три случая. Первый случай. Если m n, то m каналов левого полуокна находятся в «чистой» зоне, остальные n m каналов левого полуокна — в зоне помех. Канал обнаружения, а также все n каналов правого полуокна находятся в зоне помех. Изображения по Лапласу плотностей распределения вероятностей сумм s1 и s2, вычисляемых по формулам (6.2.1), имеют вид Fs1 ( p )
1 1 , m (1 p ) [1 p (1 п ) n m
Fs 2 ( p )
1 . [1 p(1 п ) n
Второй случай. При m n или m n 1 все каналы левого полуокна находятся в «чистой» зоне, а все каналы правого полуокна — в зоне помех. При m n канал обнаружения находится в зоне помех, при m n 1 — в «чистой» зоне. Изображения по Лапласу имеют вид Fs1 ( p )
1 , (1 p ) n
Fs 2 ( p )
1 , (1 p ) n
Fs 2 ( p )
В первом случае, когда кромка помех расположена в левом полуокне, вероятность превышения порога определяется формулой P
1 1 . m n 1 (1 p ) [1 p(1 п ) 2 n 1 m
Представленные формулы для Fs1( p) и Fs2( p) могут использоваться для нахождения вероятностей превышения порога P путём вычисления контурного интеграла численными методами. При этом вероятность превышения порога будет определяться формулой (6.2.7). При m n в формулы (6.2.6) и (6.2.7) подставляется (1 п), а при m n подставляется (1 ). Если при вычислении интеграла (6.2.6) использовать теорию вычетов, то для вероятности превышения порога можно найти аналитические выражения. Эти выражения приведены далее. 164
p2n m p1n m p3m
n 1 Cm 1 1 1 . m n p1n 0 (1 p1 ) p2 Вероятность превышения порога для второго случая расположения кромки помех имеет вид n 1 1 1 1 P p2n Cn1 n . n n p3 1 p1 p1 0 Если в этой формуле положить п 0, то получим формулу (6.2.5) для вероятности превышения порога при отсутствии помех. В третьем случае, когда кромка помех расположена в правом полуокне, вероятность превышения порога определяется формулой n 1
p22 n m
Cn1 m nm 0 ( p1 p2 )
1 P p22 n 1 m 2 n 1 m m n 1 p3 p1
1 . [1 p (1 п )]n
Случаи m n и m n 1 отличаются между собой тем, что при m n в формулы (6.2.6) и (6.2.7) подставляется (1 п), а при m n 1 подставляется (1 ). В третьем случае (m n 1) часть каналов правого полуокна находится в зоне помех (число таких каналов равно 2n 1 m), а все остальные каналы — в «чистой» зоне. При этом Fs1 ( p )
Чтобы сделать формулы компактнее, будут использоваться обозначения 1 1 p3 1 . , , p1 p2 1 п 1 п
n 1 C m n 2 1 . 1 m n 1 n p 0 (1 p3 ) 3 Значения вероятности превышения порога можно вычислить двумя способами: вычислением по представленным аналитическим формулам или численным интегрированием с помощью формулы (6.2.7). Сравнивая результаты, полученные двумя различными способами, можно подтвердить достоверность расчётов. На рис. 6.3 представлены некоторые результаты. Для расчётов были заданы F 108, N 32, п 10. Пороговый множитель заимствовался из табл. 6.1. Напомним, что символом F обозначается вероятность ложной тревоги, задаваемая для проектирования схемы формирования адаптивного порогового уровня. Реализующаяся вероятность ложной тревоги при неоднородном помеховом фоне обозначается через F. Значение выбиралось для расчётов D таким, чтобы при отсутствии помех и при известной интенсивности шума (при фиксированном пороговом уровне) вероятность обнаружения полезного сигнала n 1
C 2n m 2 n 1 m 0 (1 p1 )
165
составляла 0,9. Заметим, что это же значение использовалось и при построении рис. 5.5. Зависимости, изображённые на рис. 6.3 пунктиром, были представлены ранее на рис. 5.5. 104
F
D 0,9
10
8
0,7
10
12
0,5
10
16
0,3
10
20
m 0
8
16
24
0,1
32
m 0
8
16
24
32
Рис. 6.3. Вероятность ложной тревоги F и вероятность обнаружения сигнала D в зависимости от положения кромки помех относительно настройки проверяемого канала; сплошные кривые — для схемы с выбором большего значения, пунктир — для схемы с усреднением по каналам
Из данных, использовавшихся для построения рис. 6.3, можно получить следующее. Если помехи однородные, то вероятность ложной тревоги в канале обнаружения равна номинальному значению F 108. Если одна половина измерительного окна свободна от помех, другая половина находится в зоне помех с отношением помеха/шум, равным 10 дБ, а канал обнаружения находится на кромке помех, то вероятность ложной тревоги возрастает в схеме УС до значения 104,48. В схеме БИ вероятность ложной тревоги в таких же условиях возрастает меньше — до значения 106,16. Теперь обратим внимание на график вероятности ложной тревоги для схемы с выбором большего значения (рис. 6.3). Наиболее интересной точкой этого графика является m n, когда канал обнаружения находится на кромке помех. При этом вероятность ложной тревоги достигает своего максимального значения. В [211] отказались от построения полных графиков вероятности ложной тревоги и ограничились оценкой вероятности ложной тревоги только на кромке помех. Для такой оценки предложили приближённый и довольно простой способ. Рассмотрим этот способ. При m n все слагаемые суммы s1 (см. рис. 6.1 и 6.2) являются результатом обработки собственного шума приёмного устройства, а слагаемые суммы s2 — результатом обработки аддитивной смеси шума и мощной пассивной помехи. С вероятностью, близкой к 1, будет выполняться неравенство s2 s1. Поэтому оценку вероятности выполнения неравенства r max{s1, s2} можно заменить оценкой вероятности выполнения неравенства r s2. При m n вероятность выполнения неравенства r s2 не зависит от интенсивности пассивной помехи и составляет Fкп 1 (1 ) n .
166
(6.4.1)
Формула для вероятности Fкп похожа на формулу (3.2.1) для вероятности ложной тревоги, относящейся к схеме с усреднением по всем каналам. Отличие состоит в том, что здесь в формулу (1) подставляется n — число каналов в одной половине измерительного окна (n N/2), а пороговый множитель находится применительно к алгоритму с выбором большего значения и с учётом всех измерительных каналов. Необходимые значения приведены в табл. 6.1. Так, например, если заданное (номинальное) значение вероятности ложной тревоги составляет 108, то при N 32 в (1) следует подставить n 16 и 22,8102/16. В результате получим приближённое значение вероятности ложной тревоги на кромке помех 106,16. Как уже отмечалось, соответствующее точное значение вероятности ложной тревоги при п 10 составляет тоже 106,16. Дополнительные расчёты показывают, что различия между точным и приближённым значениями вероятности ложной тревоги начнут проявляться, если отношение помеха/шум уменьшить до значения п 2 4. Основной вывод данного параграфа состоит в следующем. В схеме с выбором большего значения сдерживается рост числа ложных тревог на кромке помех. Это является достоинством схемы. В то же время, судя по рис. 6.3, более ощутимо наблюдается маскирование цели, находящейся в свободной от помех зоне, но вблизи кромки помех. А это является недостатком схемы. 6.5. Вероятность превышения порога при наличии мешающих целей Представим себе модель неоднородных пассивных помех, в которой m 2n. Мешающий сигнал помехи наблюдается только в одном измерительном канале. Если руководствоваться только математическими представлениями, то происхождение мешающего сигнала не имеет значения. Все характеристики останутся прежними, если в качестве мешающего сигнала подразумевать отражение от некоторой цели, находящейся в измерительном окне. Для оценки характеристик можно использовать приведённые выше формулы, если в эти формулы при m 2n вместо отношения помеха/шум п для пассивной помехи подставлять отношение сигнал/шум м для мешающей цели. Формулы при m 2n 1 пригодны для оценок при наличии двух мешающих целей только в том случае, если обе цели находятся в одной и той же половине измерительного окна и имеют одинаковые отношения сигнал/шум. При необходимости можно записать формулы для изображений Fs1() и Fs2(), соответствующие общему случаю, когда мешающие цели произвольно расположены в измерительном окне и отношения сигнал/шум для мешающих целей отличаются. Затем вероятности превышения порога можно находить по формуле (6.2.7). Формула (6.2.7) представляет собой численный метод вычисления контурного интеграла (6.2.6). 167
В простейших случаях контурный интеграл (6.2.6) вычисляется аналитически с помощью теории вычетов. Получаемые формулы не оказываются слишком громоздкими. Так, например, если пассивные помехи отсутствуют, а в измерительном окне присутствует только одна мешающая цель, то вероятность превышения порога определяется формулой P
1 p1
n 1
Cn2 n 1
p1
1 , 1 м
p2 n 1 0 ( 2 ) p3
p p2 n 1 , n (1 p1 ) p3
где , 1
p2
1 , 1 м
p3 1 .
Примеры с результатами расчётов представлены на рис. 6.4 и 6.5. 10 lg
10 lg
0
0
2
2
N 64
4
N 64
4
16
6
32
16
6
8
32
8
D = 0,5
10
0
10
20
30
10 lg м 10
D = 0,9 0
10
10 lg м 20
30
Рис. 6.4. Коэффициент потерь при наличии мешающей цели с отношением 8 сигнал/шум м; схема с выбором большего значения при F 10 Dм 0,9
N
0,7 0,5
64
0,3
32
0,1
N 16 10
20
30
10 lg
Рис. 6.5. Вероятность обнаружения полезного сигнала при наличии одной мешающей цели; схема с выбором большего значения. Условия: отношение сигнал/шум мешающего сигнала м равно отношению сигнал/шум полезного 8 сигнала ; F 10
В гл. 5 проводился анализ схемы с усреднением по каналам, когда при обнаружении полезного сигнала в измерительном окне присутствует один мешающий сигнал (см. рис. 5.6 и 5.7). Условия, применительно к которым проводился анализ в гл. 5, совпадают с условиями для анализа в данном параграфе. Отличие состоит в том, что анализировались разные схемы. 168
Сравнивая рис. 6.4 и 6.5 с соответствующими рисунками для схемы с усреднением по каналам, убеждаемся в том, что схема с выбором большего значения сильнее подвержена мешающему воздействию посторонних (мешающих) целей. 6.6. Применение логарифмического детектора Процедура формирования адаптивного порога, основанная на среднем значении выходных величин в измерительных каналах, обладает двумя недостатками. В неоднородных помехах происходит существенное увеличение числа ложных тревог. А при наличии двух целей, расположенных в пределах измерительного окна, происходит взаимное маскирование одной цели другой целью, что приводит к уменьшению вероятности обнаружения этих целей. Последствия могут быть столь значительными, что можно говорить о нарушении работоспособности радиолокатора. Из анализа, проведённого в § 6.4, следует, что если от процедуры усреднения по каналам перейти к процедуре с выбором большего значения, то вероятность ложной тревоги на кромке неоднородных помех можно существенно снизить (почти на два порядка). А в § 5.7 показано, что если всё же осуществлять формирование адаптивного порога на основе усреднения по каналам, но на выходах каналов устанавливать логарифмический детектор, то можно исключить катастрофические последствия от взаимного влияния целей. Можно предположить, что работоспособность радиолокатора сохранится, если применить и логарифмический детектор, и процедуру формирования порога с выбором большего значения. Исследованию такой схемы и посвящён данный параграф. Как и в § 5.7, логарифмический детектор условно представляем в виде последовательного соединения двух устройств: квадратичного детектора и логарифмического усилителя. В схеме БИ с логарифмическим детектором цель считается обнаруженной, если одновременно произойдёт выполнение двух неравенств: n 1 N ln x s1 n , s1 ln xi , s2 ln xi , ln x s2 n i 0 i n 1
где x — случайная величина на выходе предварительного квадратичного детектора в канале обнаружения; xi — случайные величины на выходе квадратичного детектора в измерительных каналах; — постоянный пороговый уровень. Случайные величины x и xi представим в виде x t (1 ) и xi ti (1 i), где и — отношение сигнал/шум и отношение помеха/шум в канале обнаружения; i — отношение помеха/шум в i-м измерительном канале. В общем случае i является характеристикой любых рэлеевских помех — как сигналов пассивных помех, 169
так и сигналов, отражённых от мешающих целей. В новых обозначениях критерий обнаружения имеет вид ln t u1 n 1 , ln t u2 n 2
n 1
u1
N
ln ti ,
u2
i 0
ln ti ,
i n 1
n
Fu ( p ) e wu (u ) du exp( pu ) exp( p ln(ti )) t p e t dt . 0 Окончательное выражение для изображения имеет вид
pu
где
2 ln(1 )
Fu ( p ) (1 p ) ,
n 1
ln(1 ) ,
1 N ln(1 i ) . n i n 1
0
G (n ln t n1 ) G ( n ln t n 2 ) e t dt ,
G (u )
ci
и осуществим интегрирование по t. Получим 1 P 2 i
wu ( )d . (6.6.2)
Вычисление интегралов (1) и (2) можно осуществить численными методами. Для нахождения значений wu () используются заранее вычисленные таблицы (для каждого значения n своя таблица). Способ составления таких таблиц изложен в § 5.5 и 5.7. Более того, в данном случае пригодны те же таблицы, которые использовались для получения результатов в § 5.7. Имея в своём распоряжении таблицы значений wu () и используя численные методы, можно составить таблицы функции G(). Теперь рассмотрим ещё один способ вычисления вероятности выполнения критерия. Этот способ основан на применении двустороннего преобразования Лапласа, которое уже применялось в наших исследованиях (см. § 5.7). Вычисляем изображение по Лапласу (двустороннее преобразование) плотности wu ():
2 c i c i
Fu ( p1 ) exp( p1n1 ) p 1 c i c i
F (p ) exp( p2 n 2 ) u 2 (1 np1 np 2 ) dp1dp 2 . p2 Используя изложенный в § 2.6 метод численного интегрирования, получим P
u
(6.6.1)
z
1 1 wu (u ) du e p z Fu ( p ) dp, 0 c n 2 i c i p
n ln t n1 n ln t n 2 P(t ) wu (u )du wu (u )du . Безусловная вероятность выполнения критерия:
(6.6.3)
где () — гамма-функция. В формулу (1) подставим
i
i 0
Все случайные величины t i независимы между собой и имеют одинаковую экспоненциальную плотность распределения вероятностей wti exp(ti). Поэтому и суммы u1 и u2 одинаково распределены. Плотность распределения сумм будем обозначать через wu (). Нормированная случайная величина t на выходе предварительного квадратичного детектора в канале обнаружения также имеет экспоненциальную плотность распределения вероятностей exp(t). Если зафиксировать t, то условная вероятность выполнения критерия обнаружения имеет вид
170
n
1 1 ln(1 ) n
P
n
1 3M
2 M 1
1 3M
exp( n cq ) 1
1
2 M 1
exp(n cq ) 2
1
Fu ( cq )
Fu ( cq ) z q ( z 1) 2
(1 cnq cnq ) , (6.6.4) ( z 1) z
2
q
где 2M — общее число частичных интервалов интегрирования, qj
2z j z j 1
,
zj e
ij
,
j j h ,
h
2 . 2M
Значения Fu (cq) и Fu (cq) в (4) вычисляются по формуле (3). При выполнении расчётов по формуле (4) было установлено, что целесообразно принять M 8N. Выбор значения константы c не является очевидным. Константа c подбиралась опытным путём таким образом, чтобы несколько знаков результатов при численном интегрировании по формуле (4) совпадали с соответствующими знаками результатов, получаемых по формуле (2). Оказалось, что при вычислениях вероятности ложной тревоги хорошие результаты получаются, если в формуле (4) при N 16 171
принять c 1/2, при N 32 принять c 3/8, при N 64 принять c 1/4. При вычислениях вероятности обнаружения полезного сигнала следует принимать c 2/N. Совпадение результатов, получаемых двумя способами, свидетельствует об отсутствии каких-либо вычислительных ошибок. Результаты оценок для логарифмического детектора представлены в табл. 6.6—6.8. Оценки относятся к случаю отсутствия помех. Характеристики обнаружения соответствуют рэлеевским флуктуациям амплитуды полезного сигнала. Таблица 6.6 Значения порогового уровня для схемы с выбором большего значения при использовании логарифмического детектора
УС/кв для схемы с усреднением по каналам после квадратичного детектора. По данным этой таблицы можно оценить, насколько ухудшается эффективность обнаружения сигнала в результате замены простого усреднения выбором «большего из» и замены квадратичного детектора логарифмическим. Так, например, в результате этих двух замен при N 32 и F 108 почти на 1 дБ увеличиваются энергетические потери. Таблица 6.8 Значения 10 lg(БИ/лог /УС/кв) 10 lg(БИ/лог /УС/кв) N
D
16
F 10 6
F 10 8
F 10 10
0,1 0,5 0,9
1,1855 1,2810 1,3190
1,5391 1,6518 1,6963
1,8812 2,0075 2,0572
32
0,1 0,5 0,9
0,7211 0,7602 0,7754
0,9320 0,9790 0,9974
1,1363 1,1901 1,2110
64
0,1 0,5 0,9
0,4131 0,4279 0,4337
0,5332 0,5514 0,5584
0,6488 0,6698 0,6779
N 16 32 64 N
F 10 6
F 10 8
F 10 10
3,6589 3,3947 3,2692 3,2030
4,2015 3,8116 3,6231 3,4907
4,6820 4,1637 3,9118 3,7138
Таблица 6.7 Значения 10 lg(), требуемые при заданных вероятностях обнаружения сигнала D. Схема с выбором большего значения при использовании логарифмического детектора 10 lg() D
N
F 10 6
F 10 8
F 10 10
0,1
16 32 64 N
10,1398 8,6708 7,8772 6,9897
12,6685 10,6778 9,6204 8,4510
14,8443 12,3160 10,9912 9,5424
0,5
16 32 64 N
16,0486 14,4998 13,6761 12,7719
18,4496 16,3625 15,2685 14,0782
20,5603 17,9214 16,5542 15,0812
0,9
16 32 64 N
24,4697 22,8897 22,0543 21,1436
26,8323 24,7078 23,5996 22,4014
28,9229 26,2414 24,8578 23,3755
В табл. 6.8 коэффициент энергетических потерь БИ/лог для схемы с выбором большего значения («большего из») и логарифмическим детектором сравнивается с соответствующим коэффициентом потерь 172
В табл. 6.9 представлены данные, позволяющие осуществить ещё одно сравнение. Сравниваются две схемы, в которых используется логарифмический детектор. В одной из схем производится суммирование выходных величин по всем измерительным каналам. Эта схема анализировалась ранее в § 5.7. Коэффициент энергетических потерь для этой схемы в табл. 6.9 обозначен через УС/лог. Другой вариант — это анализируемая здесь схема с логарифмическим детектором и логикой БИ. Ранее применительно к квадратичному детектору отмечалось, что при переходе от схемы с усреднением по каналам к схеме с логикой БИ потери увеличиваются на 0,1 0,3 дБ (см. табл. 6.3). Данные табл. 6.9 позволяют распространить такую оценку и на логарифмический детектор. В [162] исследовались характеристики обнаружения при использовании адаптивного порога. Рассматривались схемы с усреднением (CA CFAR) и с логикой БИ (GO CFAR). Оценки осуществлялись применительно к однородному помеховому фону. Рассматривались квадратичный и логарифмический детекторы. В случае логарифмического детектора применялось статистическое моделирование с использованием метода существенной выборки (с последующим представлением результатов моделирования в виде графиков). Данные, представленные в табл. 6.9, вполне согласуются с выводами, сформулированными в [162]. 173
Таблица 6.9 Значения 10 lg(БИ/лог /УС/лог) 10 lg(БИ/лог /УС/лог) N
D
16
32
64
F 10 6
F 10 8
F 10 10
0,1 0,5 0,9
0,1358 0,1776 0,1958
0,1354 0,1805 0,2002
0,1293 0,1762 0,1968
0,1 0,5 0,9
0,1568 0,1801 0,1897
0,1761 0,2028 0,2137
0,1887 0,2177 0,2296
0,1 0,5 0,9
0,1209 0,1315 0,1356
0,1423 0,1549 0,1598
0,1587 0,1729 0,1785
F
D
8
0,7
10
12
0,5
10
16
0,3
10
20
m 0
8
16
24
32
0,1
m 0
8
16
24
5
10
6
10
7
10
8
1 3
0
10
10 lg п
10
Рис. 6.7. Вероятность ложной тревоги в канале обнаружения, настроенном на кромку помех 8 (при m n, N 32, F 10 ): 1 — усреднение по каналам, квадратичный детектор; 2 — с выбором большего значения, квадратичный детектор; 3 — с выбором большего значения, логарифмический детектор
На этом рисунке представлено сравнение трёх схем формирования адаптивного порогового уровня. Судя по представленным данным, наиболее устойчивой к перепаду интенсивности помехи является схема с выбором большего значения при использовании квадратичного детектора. Далее на рис. 6.8 и 6.9 представлены результаты анализа для рассматриваемой здесь схемы. Предполагалось, что при обнаружении полезного сигнала в измерительном окне присутствует один мешающий сигнал (м — отношение сигнал/шум для мешающего сигнала). Условия, применительно к которым проводился анализ, совпадают с условиями, при которых были получены данные, представленные на рис. 5.6 и 5.7.
32
Рис. 6.6. Вероятность ложной тревоги F и вероятность обнаружения сигнала D в зависимости от положения кромки помех относительно настройки канала обнаружения; сплошные кривые — для схемы с выбором большего значения при использовании логарифмического детектора, пунктир — для схемы с усреднением по каналам при использовании квадратичного детектора
Значение выбиралось для расчётов D таким, чтобы при известной интенсивности шума (при фиксированном пороговом уровне) и отсутствии помех вероятность обнаружения полезного сигнала составляла 0,9. Заметим, что это же значение использовалось и при построении рис. 5.5 и 6.3. Более того, зависимости, изображённые на рис. 6.6 пунктиром, были представлены ранее на рис. 5.5 и 6.3. 174
10
2
0,9 10
F
104
На рис. 6.6 представлены результаты расчётов для кромки помех. Для оценок были заданы N 32, F 108, п 10. Пороговый уровень был заимствован из табл. 6.6. 104
На рис. 6.7 представлены оценки вероятности ложной тревоги в канале обнаружения, когда одна половина измерительного окна свободна от помех, другая половина находится в зоне помех с отношением помеха/шум п , а канал обнаружения находится на кромке помех. При п 0 вероятность ложной тревоги в канале обнаружения равна номинальному значению F 108.
10 lg
10 lg
0
0
64
2
32
4
32
4
N 16
6
N 16
6
8 10
64
2
8
D = 0,5 0
10
20
30
10 lg м 10
D = 0,9 0
10
10 lg м 20
30
Рис. 6.8. Коэффициент потерь при наличии мешающей цели; схема с выбором большего значения при использовании 8 логарифмического детектора, F 10
175
Dм 0,9 0,7 0,5
N 64
32 N 16
0,3 0,1
10 lg 10
20
30
Рис. 6.9. Вероятность обнаружения полезного сигнала при наличии одной мешающей цели; схема с выбором большего значения при использовании логарифмического детектора. Условия: отношение сигнал/шум мешающего сигнала м равно отношению сигнал/шум 8 полезного сигнала ; F 10
Анализируя рис. 6.8 и 6.9 в сравнении с соответствующими рисунками для схемы с усреднением по каналам после квадратичного детектора (рис. 5.6 и 5.7), убеждаемся в том, что при использовании схемы с выбором большего значения в сочетании с логарифмическим детектором появление мешающей цели не приводит к нарушению работоспособности радиолокатора. Но энергетические потери всё же возрастают. 6.7. Заключение Схема с выбором большего значения сдерживает рост числа ложных тревог на кромке помех. Но если используется квадратичный или линейный детектор, то при наличии мешающей цели происходит существенное ухудшение работоспособности радиолокатора. Устранить негативное влияние мешающей цели удаётся при использовании логарифмического детектора. Схема с выбором большего значения в сочетании с логарифмическим детектором даёт возможность сохранить работоспособность радиолокатора как при наличии кромки помех, так и при появлении мешающих целей. Но при этом имеют место значительные энергетические потери. Следовательно, эта схема не может рассматриваться в качестве окончательного варианта, пригодного для эксплуатации в сложной помеховой обстановке. Целесообразно искать более эффективные варианты схем формирования адаптивных пороговых уровней. Следует отметить, что схемам с выбором большего значения уделяется большое внимание в научно-технической литературе. Анализ этих схем позволяет выделить основные особенности, проявляющиеся при использовании адаптивных пороговых уровней. Схема формирования порогового уровня с выбором большего значения служит ориентиром при поиске новых и более эффективных схем.
176
7. РАЗНОВИДНОСТИ СХЕМ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРОГОВЫХ УРОВНЕЙ 7.1. Введение Схема, в которой адаптивный пороговый уровень формируется путём усреднения выходных величин измерительных каналов, обладает существенными недостатками. Это обстоятельство привело к тому, что появились разнообразные модификации схем, формирующих пороговый уровень. Схема с выбором большего значения является первой попыткой улучшить характеристики. Однако простые модификации не решают сразу всех проблем. Поэтому в научно-технической литературе представлено большое количество других схем. В данной главе будут рассмотрены самые известные разновидности схем формирования пороговых уровней и изложены методы анализа схем, будет сделана оценка основных характеристик. При оценке характеристик предполагается, что детектор квадратичный. Амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону, обнаружение полезного сигнала осуществляется на фоне гауссовских помех. Материалы главы должны помочь ориентироваться в большом разнообразии вопросов применения адаптивных пороговых уровней. 7.2. Формирование порога с выбором меньшего значения В статье [261] выполнено исследование разрешающей способности по дальности. Решение о наличии одной или двух целей принималось на основании картины превышений порога на выходах каналов обнаружения. Если превышения порога образовывали единую «слитную» группу, то принималось решение о наличии одной цели. Если образовывались две группы каналов с превышениями порога, разделённые хотя бы одним каналом, в котором не было превышения порога, то принималось решение о наличии двух целей. Автор статьи [261] усложнил свою задачу, предполагая, что обнаружение полезных сигналов осуществляется на фоне шума с неизвестной интенсивностью. В процедурах принятия решения о наличии целей использовались адаптивные пороговые уровни. При статистическом моделировании полагалось, что на входе приёмника присутствуют полезные сигналы, отражённые от двух целей. В подобных условиях алгоритмы формирования порогов CA CFAR (усреднение по каналам) и GO CFAR (с выбором большего значения) приводят к плохим результатам, так как адаптивный порог, формируемый для обнаружения какой-либо одной цели, оказывается существенно завышенным из-за присутствия сигнала от другой цели. 177
Использовалась схема формирования адаптивного порогового уровня, исключающая взаимное маскирование целей. В дальнейшем эта схема получила название SO CFAR или SO-CFAR: SO — smallest of (меньший из). В обзоре [7] такая схема называется МИ-УС-ПУЛТпроцессором. Попутно заметим, что в [261] был сделан следующий вывод: когда используется алгоритм совместного обнаружения и разрешения, то при заданной вероятности разрешения целей 0,9 цели разрешаются, если разность задержек отражённых сигналов составляет 2,5 длительности импульса. Обнаружители, рассматриваемые в [261], используют линейный или логарифмический детектор. При использовании квадратичного или линейного детектора рассматриваемая далее схема с выбором «меньшего из» (МИ) может быть получена из представленной на рис. 6.1 схемы с выбором «большего из» (БИ), если в схеме на рис. 6.1 операцию s max{s1, s2} заменить операцией s min{s1, s2}. Итак, в схеме с выбором меньшего значения вычисляются две суммы — s1 и s2. Одна из них представляет собой сумму выходных величин каналов, расположенных в одной половине измерительного окна, вторая относится ко второй половине измерительного окна. Если в наличии есть только одна цель, а сигнал от этой цели наблюдается каналом обнаружения, то и сумма s1, и сумма s2 являются оценками неизвестной интенсивности шума. Значения s1 и s2 по отдельности или вместе могли бы использоваться для формирования порогового уровня, с которым сравнивается выходная величина r в канале обнаружения. Но если помимо обнаруживаемой цели в измерительном окне наблюдается вторая цель, то в одну из сумм будет входить результат обработки сигнала от второй цели. Значение этой суммы увеличится, и сумма уже не может служить оценкой неизвестной интенсивности шума. Оценкой может служить та сумма, которая имеет меньшее значение. Решение о наличии полезного сигнала в схеме с выбором меньшего значения принимается, если выполняется неравенство r min{s1, s2}. Методы анализа характеристик для схемы с выбором меньшего значения не отличаются от рассмотренных в предыдущей главе методов для схемы с выбором большего значения, поэтому далее будут представляться сразу окончательные результаты. Полагаем, что детектор квадратичный. Амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону. Если помеховый фон однородный и нет мешающих целей, то вероятность превышения порога в схеме с выбором меньшего значения определяется формулой n 1
P2
C 0
178
n 1
1 , ( 2 ) n
(7.2.1)
где n — число каналов в каждой половине измерительного окна, n N/2; N — общее число измерительных каналов; (1 ); — пороговый множитель; — отношение сигнал/шум для полезного сигнала, наблюдаемого каналом обнаружения. При 0 формула (1) представляет собой выражение для вероятности ложной тревоги, при 0 — выражение для вероятности обнаружения сигнала. Если задаться значением вероятности ложной тревоги F, то из (1) находится (при 0) необходимое значение порогового множителя . Если затем задаться вероятностью обнаружения сигнала D, то с учётом найденного значения можно найти требуемое отношение сигнал/шум. По данным табл. 7.1 можно судить, насколько требуемое отношение сигнал/шум МИ для схемы с выбором «меньшего из» отличается от требуемого отношения сигнал/шум УС для рассмотренной в гл. 5 схемы с усреднением по каналам. Видно, что при переходе от схемы УС к схеме МИ эффективность обнаружения сигнала ухудшается существенно. Таблица 7.1 Значения 10 lg(МИ /УС); квадратичный детектор N
10 lg(МИ /УС)
D F 10
6
F 10
8
F 10
10
16
0,1 0,5 0,9
1,7515 1,7669 1,7709
2,6064 2,6385 2,6481
3,5444 3,5940 3,6095
32
0,1 0,5 0,9
0,7116 0,7041 0,7012
1,0549 1,0482 1,0455
1,4345 1,4303 1,4283
64
0,1 0,5 0,9
0,2961 0,2910 0,2892
0,4337 0,4274 0,4251
0,5881 0,5809 0,5783
В [2] анализируются характеристики схемы МИ, предназначенной для обнаружения некогерентного сигнала. Сравнение схем формирования порогового уровня в предыдущей главе осуществлялось не только путём сопоставления энергетических потерь, но и в виде отношения двух значений числа каналов. Применительно к схеме с выбором «меньшего из» рассматриваем отношение NМИ /NУС, где NМИ — число каналов в схеме с выбором «меньшего из», NУС — число каналов в схеме с усреднением по каналам. В отношение NМИ /NУС входят значения числа измерительных каналов в двух схемах с разными алгоритмами формирования порогов. Причём для этих схем задаются одинаковые значения отношения сигнал/шум , вероятности ложной тревоги F, вероятности обнаружения D. 179
Результаты оценки отношения N МИ /N УС представлены в табл. 7.2. Если при переходе от схемы УС к схеме МИ поставить условие, чтобы характеристики полезного сигнала не ухудшились, то придётся увеличивать число измерительных каналов. По данным табл. 7.2 видно, что число каналов увеличится в 1,6 1,9 раза. Таблица 7.2 Значения NМИ /NУС
NМИ
D
16
0,1 0,5 0,9
1,825 1,801 1,792
1,870 1,850 1,842
1,899 1,882 1,876
32
0,1 0,5 0,9
1,713 1,691 1,683
1,768 1,748 1,741
1,810 1,793 1,786
64
0,1 0,5 0,9
1,612 1,596 1,590
1,662 1,646 1,640
1,707 1,691 1,686
F 10
6
F 10
8
F 10
10
В качестве дополнительной иллюстрации к результатам, представленным в табл. 7.2, рассмотрим пример. В [144, 13, 181] есть алгоритмы формирования адаптивных пороговых уровней, в которых суммируются результаты выбора минимума из двух выходных случайных величин. Используя подобные элементы построения схем, можно составить следующий алгоритм формирования адаптивного порогового уровня. Все измерительные каналы разбиваются на пары. В каждую пару входят каналы, расположенные в разных половинах измерительного окна. В каждой паре каналов выходные величины сравниваются между собой, и затем отбирается меньшее значение. Сумма отобранных меньших значений служит для оценки неизвестного уровня шума. Устройство обнаружения сигналов с таким алгоритмом формирования порогового уровня будет удовлетворительно работать в многоцелевой обстановке. Результаты обработки мешающих сигналов будут отсеиваться при отборе меньшего значения. Последствия маловероятных случайных попаданий в одну пару сигналов от двух мешающих целей можно свести на нет, если разбиение на пары менять каждый раз в начале очередного цикла обзора по угловым координатам. Обозначим через ri(1) и ri( 2 ) случайные величины на выходах каналов i-й пары (i 0, , n 1). Пусть ri( м ) min{ri(1) , ri( 2 ) }. Нетрудно 180
показать, что если ri(1) и ri( 2 ) являются рэлеевскими случайными величинами, то ri( м ) тоже рэлеевская случайная величина. Среднее значение случайной величины ri( м ) будет в 2 раз меньше, чем среднее значение случайных величин ri(1) и ri( 2 ) . Для оценки неизвестной интенсивности шума будет использоваться сумма, составленная из n рэлеевских случайных величин ri( м ) . Поскольку пороговый уровень адаптивный, уменьшение среднего значения суммируемых случайных величин в данном случае можно не принимать во внимание. Это уменьшение будет учтено при подборе значения порогового множителя. В результате оказывается, что характеристики схемы с составленным здесь алгоритмом формирования порогового уровня оцениваются так же, как характеристики схемы с простым усреднением по каналам. Отличие состоит в том, что число суммируемых величин n будет в два раза меньше числа измерительных каналов N. Если мы поставим условие, чтобы характеристики обнаружения в рассматриваемой схеме не отличались от характеристик обнаружения в схеме с усреднением по каналам, то отношение двух значений числа измерительных каналов в этих схемах будет равно 2. Полученное значение не сильно отличается от значений, представленных в табл. 7.2. Закончим обсуждение примера и вернёмся к анализу классической схемы. Схема формирования адаптивного порога c выбором меньшего значения (МИ) будет давать хорошие результаты только в том случае, если все мешающие сигналы находятся в одной половине измерительного окна. Представим, что наблюдаются три цели, расположенные в пределах измерительного окна. При движении скользящего окна вдоль линейки каналов процедуре обнаружения вначале подвергнется первая цель. При этом одна половина измерительного окна будет свободна от мешающих сигналов. Затем, в результате продвижения скользящего окна, окажется, что канал обнаружения будет настроен на вторую цель. На этот раз в разных половинах измерительного окна будут находиться мешающие сигналы от первой и третьей целей. Адаптивный пороговый уровень будет завышен, и характеристики обнаружения второй цели окажутся неудовлетворительными. При обнаружении третьей цели половина измерительного окна вновь будет свободна от мешающих сигналов. Следует также отметить, что схема МИ не приспособлена для работы в неоднородных помехах (например, при наличии кромки пассивных помех). Кроме того, в статье [261], в которой была предложена схема МИ, говорится, что эта схема не может использоваться без селекции движущихся целей в области пассивных помех.
181
7.3. Формирование порога на основе порядковой статистики Как и прежде, результаты обработки входной реализации, отсчитываемые на выходах измерительных каналов, обозначаем r0, r1, , rn1, rn1, , rN. Упорядочим эти отсчёты в порядке возрастания. В результате каждый отсчёт получает новый номер. Чтобы отличать отсчёты с новыми и старыми номерами, необходимо для обозначения упорядоченных отсчётов использовать другой символ. Теперь результаты обработки на выходах измерительных каналов обозначаем через zj, j 1, 2, , N. Перенумерованные результаты обработки, отсчитываемые на выходах измерительных каналов, удовлетворяют условию z1 z 2 z N . (7.3.1) В обозначении z j отсутствует информация о номере измерительного канала, на выходе которого наблюдался этот результат обработки. В [37, с. 446] содержится утверждение, которое с учётом принятых здесь обозначений можно сформулировать в следующем виде. Результаты zj ( j 1, 2, , N ), расположенные в порядке возрастания их величин, уже не будут статистически независимыми случайными величинами, даже если первоначальные наблюдения r0, r1, , rn1, rn1, , rN были независимы. Напомним, что статистикой называют функцию от результатов наблюдения (или функционал от принятой реализации). В это понятие входит, например, сумма выходных величин измерительных каналов, которая после её умножения на пороговый множитель служит адаптивным пороговым уровнем (в схеме с простым усреднением по каналам). Сам адаптивный пороговый уровень можно также назвать статистикой. Если элементы последовательности zj ( j 1, 2, , N ) удовлетворяют условию (1), т. е. последовательность zj является упорядоченной, то значение zk называется k-й порядковой статистикой. В статье [237] предложено для оценки неизвестной интенсивности помехового фона использовать k-ю порядковую статистику. В таком случае адаптивным пороговым уровнем является произведение zk , где — пороговый множитель, zk — порядковая статистика. Значение номера k порядковой статистики определяется в процессе проектирования процедуры обнаружения сигнала. Предложенная схема была названа автором статьи [237] OS CFAR (Ordered Statistic — порядковая статистика). В обзоре [7] эта схема называется ПС-ПУЛТ-процессором (схема с постоянным уровнем ложных тревог на основе порядковой статистики). В [237] отмечается, что схема формирования порога на основе порядковой статистики применяет ранжирование (т. е. упорядочивание) отсчётов. Затем в [237] подчёркивается, что обнаружители с адаптивным порогом на основе порядковой статистики не следует 182
путать с так называемыми ранговыми обнаружителями. Ранговые обнаружители являются непараметрическими — они не требуют знания плотности распределения вероятностей помехи. А обнаружитель OS CFAR предполагает использование соответствующих плотностей. Для нахождения порогового множителя необходимо знать плотность распределения вероятностей помехи. В используемой плотности распределения вероятностей помехи неизвестен только один параметр, задающий интенсивность помехи, на фоне которой необходимо обнаружить полезный сигнал. Если вид плотности распределения помехи изменится, то изменится и значение порогового множителя. С учётом принятых в данной книге обозначений схема обнаружения OS CFAR (ПС-ПУЛТ) имеет вид, представленный на рис. 7.1. Выход канала обнаружения r Сравнение с порогом
Каналы в скользящем окне r0 r1
Выходы каналов z1 z2 zN
Решение
rN Порог h zk
zk Пороговый множитель Рис. 7.1. Схема обнаружения сигнала с адаптивным пороговым уровнем на основе порядковой статистики
Найдём функцию распределения порядковой статистики. Чтобы наши рассуждения были нагляднее, вместо (1) будем иметь в виду z1 z 2 z N . Знак мы заменили знаком . Это допустимо, так как функция распределения случайных величин на выходах каналов является непрерывной функцией. Поэтому выполнение любого равенства в (1) наверняка не случается. Полагаем, что помеховый фон однородный. Обозначим через wи (r) плотность распределения вероятностей случайных величин 183
на выходах измерительных каналов. Пусть fи(r) — функция распределения выходных случайных величин, r
f и ( r ) wи (t ) dt . 0
Разобьём всю совокупность из N измерительных каналов на две группы. В первую группу произвольно отберём каких-либо каналов. В другую группу войдут (N ) оставшихся каналов. Зададимся некоторым значением u (0 u ). Вероятность того, что во всех каналах первой заданной группы выходные величины не превысят u, а во всех каналах второй группы выходные величины окажутся больше u, будет равна [ f и (u )] [1 f и (u )] N . Однако подобное разбиение на две группы не единственное. Число таких разбиений равно числу сочетаний из N по . Поэтому вероятность того, что только в каналах выходные величины не превысят u, будет определяться формулой P (u ) C N [ f и (u )] [1 f и (u )] N .
wk (u ) N C Nk 11 [ f и (u )]k 1 [1 f и (u )]N k wи (u ) .
Теперь представим себе событие, состоящее в том, что число измерительных каналов, в которых выходные величины не превысили значение u, равно . Если при этом k N, то это означает, что и k-я порядковая статистика не превысила значение u. Вероятность того, что k-я порядковая статистика не превысила значение u, является функцией распределения k-й порядковой статистики. При вычислении этой вероятности необходимо учесть составляющие P(u) для всех , удовлетворяющих условию k N. Поэтому функция распределения k-й порядковой статистики имеет вид N
f k (u)
N
P (u ) C
k
N
[ f и (u )] [1 f и (u )] N .
Порядковая статистика попадает в диапазон от u до u du, если случайная величина на выходе одного измерительного канала попадает в диапазон от u до u du, случайные величины на выходах k 1 каналов оказываются меньше u, а случайные величины в оставшихся N k каналах превысят u. Вероятности трёх перечисленных простых событий равны wи(u) du, [ f и (u )]k 1 и [1 f и (u )]N k . Вероятность того, что одновременно произойдут эти три события, равна произведению трёх вероятностей. Поскольку k-я порядковая статистика может реализоваться на выходе любого из N измерительных каналов, к полученному произведению трёх вероятностей необходимо добавить множитель N. Кроме того, необходимо добавить ещё один множитель — число сочетаний или количество вариантов разбиения N 1 каналов на две группы. Полученное выражение будет представлять собой безусловную вероятность того, что k-я порядковая статистика попадает в диапазон от u до u du. Приравняв это выражение к wk (u) du и сократив обе части получившегося равенства на du, окончательно получим
(7.3.2)
k
Используя выражение (2), можно попытаться найти плотность распределения вероятностей порядковой статистики дифференцированием d wk (u ) f k (u ) , du но проще составить выражение для wk(u) с помощью рассуждений, подобных тем, которые использовались при нахождении выражения для fk(u) (см. также [42, 29]). Рассмотрим вероятность того, что k-я порядковая статистика попадает в диапазон от u до u du. При известной плотности wk (u) эту вероятность можно записать в виде wk (u) du. При неизвестной плотности wk (u) для нахождения вероятности необходимо привлечь к анализу wи(r) — плотность распределения вероятностей случайных величин на выходах измерительных каналов. 184
(7.3.3)
Схема формирования порогового уровня, основанная на порядковой статистике, обладает важным свойством. Характеристики обнаружения полезного сигнала не зависят от вида применяемой детекторной характеристики. Если во всех каналах приёмного устройства заменить квадратичный детектор, например, линейным, то потребуется только изменить значение порогового множителя. Поэтому дальнейшее изложение будет ориентировано на квадратичный детектор. Если помеха гауссовская и выходные величины в каналах соответствующим образом нормированы, то wи ( r ) e r ,
fи (r) 1 e r ,
wk (u ) N C Nk 11 [1 e u ]k 1 [e u ]N k 1 .
(7.3.4)
Если u — реализовавшееся значение порядковой статистики, u — адаптивный пороговый уровень, то при рэлеевских флуктуациях амплитуды полезного сигнала условная вероятность превышения порогового уровня в канале обнаружения будет равна u P (u ) exp , 1 где — среднее значение отношения сигнал/шум. Безусловную вероятность превышения порога находим усреднением по случайной переменной u:
185
P P (u ) wk (u )du N C Nk 11 [1 e u ]k 1 [e u ] N k 1 du ,
0
0
(7.3.5)
где (1 ). С помощью соотношения 3.312 из [23] интеграл в формуле (5) сводится к бэта-функции. Бэта-функция, в свою очередь, выражается через гамма-функцию (соотношение 8.384). Окончательное выражение имеет вид
Таблица 7.4 Оптимальные значения номера порядковой статистики k и значения порогового множителя при оптимальном номере порядковой статистики k N F 10
N ! ( N k 1) . P ( N k )! ( N 1)
(7.3.6)
Используя свойство (x 1) x(x), из (6) получаем приведённую в [244, 94] формулу k 1 N i . (7.3.7) P i 0 N i
Формула (7) позволяет найти все необходимые характеристики при однородном помеховом фоне. При формула (7) устанавливает зависимость вероятности ложной тревоги от параметров схемы формирования адаптивного порогового уровня. Задавшись значениями F, N и k, с помощью (7) можно вычислить необходимое значение порогового множителя . Пример с результатами подобных расчётов представлен в табл. 7.3. Таблица 7.3 Фрагмент зависимости порогового множителя 8 от номера порядковой статистики при F 10 , N 32. Квадратичный детектор k
12 95,4957
13 80,1806
14 68,4328
15 59,1745
16 51,7113
17 45,5783
18 40,4542
k
19 36,1102
20 32,3799
21 29,1389
22 26,2927
23 23,7681
24 21,5072
25 19,4629
k
26 17,5964
27 15,8741
28 14,2654
29 12,7398
30 11,2618
31 9,7786
32 8,1691
При (1 ) вероятность превышения порога P в формуле (7) является вероятностью обнаружения сигнала. При заданной вероятности обнаружения сигнала D можно найти необходимое отношение сигнал/шум , которое зависит от номера используемой порядковой статистики. Существует оптимальное значение номера, при котором необходимое отношение сигнал/шум минимально. Расчёты при вероятностях обнаружения 0,1; 0,5 и 0,9 показали, что оптимальное значение номера порядковой статистики оказывается одним и тем же при разных значениях вероятности обнаружения сигнала. Результаты оптимизации номера порядковой статистики представлены 186
в табл. 7.4, необходимые отношения сигнал/шум при оптимальных номерах порядковой статистики — в табл. 7.5.
16 32 64
6
F 10
14 27 53
15 28 53
8
F 10 15 28 54
10
F 10
6
13,6894 10,7176 9,4319
F 10
8
17,7412 14,2654 13,2669
F 10
10
27,1288 19,7772 16,6147
Таблица 7.5 Схема с использованием порядковой статистики. Значения 10 lg(), требуемые при заданных вероятностях обнаружения сигнала D D
10 lg()
N F 10
6
F 10
8
F 10
10
0,1
16 32 64
9,5651 8,3403 7,6864
11,8640 10,2430 9,3769
13,8052 11,7748 10,6959
0,5
16 32 64
15,4349 14,1495 13,4762
17,6209 15,9073 15,0140
19,4913 17,3571 16,2470
0,9
16 32 64
23,8408 22,5315 21,8509
25,9957 24,2446 23,3408
27,8440 25,6680 24,5460
В табл. 7.6 представлены результаты сравнения схемы формирования адаптивного порога на основе порядковой статистики (ПС) и схемы с усреднением по каналам (УС). Подразумеваемое в табл. 7.6 отношение сигнал/шум УС является отношением сигнал/шум, определяемым правой частью формулы (5.2.4), а отношение сигнал/шум ПС определяется по табл. 7.5. По данным табл. 7.6 видно, что если от рассмотренной в гл. 5 схемы с усреднением по каналам перейти к рассматриваемой в данном параграфе схеме с использованием порядковой статистики, то при F 108 и N 32 энергетические потери увеличатся примерно на 0,5 дБ. Теперь будем искать плотность распределения вероятностей порядковой статистики при неоднородном помеховом фоне. Вначале рассмотрим простейший случай неоднородной помехи. Полагаем, что пассивная помеха отсутствует, но одним измерительным каналом наблюдается мешающая цель. 187
Таблица 7.6 Значения 10 lg(ПС /УС) N
10 lg(ПС /УС)
D F 10
6
F 10
8
F 10
10
16
0,1 0,5 0,9
0,6108 0,6673 0,6901
0,7347 0,8231 0,8598
0,8421 0,9385 0,9783
32
0,1 0,5 0,9
0,3907 0,4098 0,4172
0,4972 0,5238 0,5341
0,5952 0,6257 0,6376
64
0,1 0,5 0,9
0,2223 0,2280 0,2302
0,2897 0,2969 0,2996
0,3535 0,3626 0,3661
Функцию распределения и плотность распределения вероятностей выходных величин в каналах, не подверженных воздействию мешающего сигнала, будем по-прежнему обозначать через fи(u) и wи(u). Применительно к каналу, в котором наблюдается мешающая цель, будем использовать обозначения fм(u) и wм(u). Найдём вероятность события, состоящего в том, что k-я порядковая статистика попадает в диапазон от u до u du. Событие распадается на три составные части. В первом частном событии порядковая статистика реализуется в измерительном канале с мешающим сигналом. Остальные N 1 каналов могут образовывать сочетания такие, что в k 1 каналах выходные величины не превышают u, а в N k каналах выходные величины превышают u. Вероятность этого события равна C Nk 11 [ f и (u )]k 1[1 f и (u )]N k wм (u ) du .
Во втором частном событии порядковая статистика реализуется в любом из N 1 измерительных каналов, не принимающих мешающий сигнал. В канале с мешающим сигналом выходная величина превышает значение u. Соответствующая вероятность будет определяться выражением
Сумму этих трёх вероятностей приравниваем к wk(u) du и сокращаем обе части получившегося равенства на du. Получаем плотность распределения вероятностей k-й порядковой статистики для случая, когда одним измерительным каналом наблюдается сигнал от мешающей цели
wk (u ) C Nk 11 [ f и (u )]k 1 [1 f и (u )] N k wм (u ) ( N k )[ f и (u )]k 1 [1 f и (u )] N k 1[1 f м (u )]wи (u )
(k 1)[ f и (u )]k 2 f м (u )[1 f и (u )] N k wи (u ) .
Если мешающий сигнал отсутствует, то в формуле (8) wм(u) и fм(u) следует заменить на wи(u) и fи(u). Получающееся выражение совпадает с формулой (3) для плотности распределения k-й порядковой статистики при однородном помеховом фоне. Рассмотрим теперь вероятностные распределения порядковой статистики при наличии кромки пассивных помех. Обозначим через число измерительных каналов, в которых пассивная помеха не наблюдается. Число отличается от номера измерительного канала, расположенного на кромке помех: m, если m N 2 ; m 1, если m N 2 (см. рис. 6.2). Функцию распределения и плотность распределения вероятностей выходных величин в каналах, не подверженных воздействию помех, мы ранее обозначили через fи(u) и wи(u). Для выходных величин в каналах с помехами будем применять обозначения fп(u) и wп(u). С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались при выводе формулы (8), можно получить следующее выражение для плотности распределения вероятностей k-й порядковой статистики при наличии кромки помех: min{ k 1, 1}
( N 1) C Nk 22 [ f и (u )]k 2 f м (u )[1 f и (u )]N k wи (u ) du .
188
wk ( u )
Ci 1 [ f и (u )] i [1 f и (u )] 1 i wи (u )
i max{ 0, k 1 N }
( N 1) C Nk 12 [ f и (u )]k 1 [1 f и (u )] N k 1 [1 f м (u )] wи (u ) du .
В третьем частном событии порядковая статистика также реализуется в любом из N 1 измерительных каналов, не принимающих мешающий сигнал, а в канале с мешающим сигналом выходная величина теперь не превышает значение u. Вероятность третьего частного события равна
(7.3.8)
C Nk i1 [ f п (u )] k i 1 [1 f п (u )] N k i 1 min{ k 1, N 1}
( N )
C Nj 1 [ f п (u )] j [1 f п (u )] N 1 j wп (u )
i max{ 0 , k 1}
Ck j 1 [ f и (u )]k j 1 [1 f и (u )] k j 1 ,
0 m N.
(7.3.9) 189
В [223] дана формула для функции распределения k-й порядковой статистики при наличии кромки помех. В принятых здесь обозначениях эта формула имеет вид min{i , } j C [ f и (u )] j [1 f и (u )] j i k j max{ 0, i N }
Аналитическими преобразованиями из (11) можно получить
C Ni j [ f п (u )] i j [1 f п (u )] N i j . (7.3.10) Поскольку мы предполагаем использование квадратичного детектора, то в формулы (9) и (10) следует подставлять
wи (u ) e ,
f и (u ) 1 e ,
u P (u ) exp , 1 где — среднее значение отношения сигнал/шум, — отношение помеха/шум в канале обнаружения. Если m N/2, то п; иначе 0 (см. рис. 6.2). Безусловную вероятность превышения порога получаем усреднением
P P (u ) wk (u )du .
(7.3.11)
0
Пусть r — случайная величина на выходе канала обнаружения, u — порядковая статистика. Адаптивный порог превышен, если u r/. Условная вероятность превышения порога равна f k (r/). Усредняя эту вероятность по случайной переменной r, можно получить в виде интеграла ещё одну формулу для безусловной вероятности превышения порога. После некоторой замены переменной интегрирования получим
Ci 1 C Nk i1
i max{ 0 , k 1 N }
i k i 1 ( 1) j1 j 2 Ci j1C kj2i 1 i j 1 ( N k i 1 j 2 ) ( 1 ) п j 1 0 j 2 0
min{ k 1, N 1}
( N )
C Nj 1 Ck j 1
i max{ 0 , k 1 }
u
1 u u wп (u ) exp f п (u ) 1 exp , , 1 п 1 п 1 п где п — отношение помеха/шум при настройке канала на область помех. Теперь можно искать вероятность превышения адаптивного порогового уровня. Условная вероятность превышения адаптивного порогового уровня u определяется формулой
P e u f k (u ) du ,
0
u
min{ k 1, 1}
P P(u ) wk (u )du
N
f k (u)
(1 ).
(7.3.12)
i k i 1 ( 1) j1 j 2 Ci j1C kj2i 1 . j 1 N i ( 1 )( k i 1 j 2 ) п j1 0 j 2 0
(7.3.13)
В [146] использовалась представленная в [223] формула для функции распределения. Аналитическими преобразованиями была получена формула для вероятности превышения порога. В принятых здесь обозначениях эта формула имеет вид
P e u f k (u )du
0
N
min{ i , }
Cj C Ni j
i k j max{ 0, i N }
j i j ( 1) j1 j 2 C jj1Ci j2j . j1 0 j 2 0 j j1 ( j 2 N i j ) /(1 п )
(7.3.14)
Формулы (13) и (14) имеют вычислительные ограничения. В этих формулах вероятность превышения порога P выражается суммой большого числа знакопеременных слагаемых. Абсолютные значения слагаемых увеличиваются при увеличении числа измерительных каналов N. Поэтому при больших значениях N начинают сказываться вычислительные погрешности, вплоть до того, что окончательный результат оказывается неприемлемым. При N 16 точность формул (13) и (14) не вызывает вопросов, при N 24 вычислительные погрешности только начинают сказываться. А уже при N 32 формулами (13) и (14) пользоваться нельзя. В [134] представлены формулы для оценки характеристик алгоритма OS CFAR при обнаружении некогерентной пачки импульсов. Рассматривались различные модели флуктуаций (по Сверлингу). При этом модель флуктуаций обнаруживаемой цели могла отличаться от модели флуктуаций мешающих целей. Графики с характеристиками обнаружения построены для значения N 24.
0
190
191
При получении представленных в данном параграфе результатов использовались формулы (11) и (12). Интегралы в этих формулах вычислялись численными методами. Вывод формул (9) и (10) осуществлялся применительно к кромке помех. Однако эти формулы можно использовать и для тех случаев, когда пассивная помеха однородная, но в измерительном окне присутствует несколько мешающих целей с одинаковыми отношениями сигнал/шум. При этом если nм — число мешающих целей, то в выражения для wk(u) и fk(u) вместо m необходимо подставлять N 1 nм (или вместо подставлять N nм), вместо отношения помеха/шум п необходимо подставлять м — отношение сигнал/шум для каждой из мешающих целей. Откорректированные таким образом формулы (9) и (10) могут быть использованы для численного интегрирования в (11) или (12). В предельном случае, когда интенсивность мешающих сигналов неограниченно возрастает, оценка характеристик обнаружения упрощается [191, 244]. Если в n м каналах выходные величины значительно увеличиваются, то после упорядочивания эти выходные величины в последовательности zj ( j 1, 2, , N ) будут иметь самые большие номера. Следовательно, эти выходные величины не будут участвовать в формировании порядковой статистики. Порядковая статистика будет формироваться из выходных величин в каналах, не подверженных мешающим воздействиям. Число таких каналов равно N nм. Вероятность превышения порога будет определяться формулой k 1 N nм i , P i 0 N nм i
где (1 ); — пороговый множитель, получаемый путём решения уравнения k 1 N i . F N i i 0
На рис. 7.2 представлены оценки коэффициента потерь при отсутствии мешающих целей и при их наличии. Для оценок были заданы N 32, F 108, D 0,5. Пороговые множители были заимствованы из табл. 7.3. Зависимости коэффициента потерь для случаев nм 2 и nм 3, когда м , на рис. 7.2 отсутствуют, так как они сливаются с соответствующими кривыми 3 и 4. Это обстоятельство позволяет сделать вывод, что при отношении сигнал/шум для мешающей цели 20 дБ или более наступает случай м . На рис. 7.3 представлены результаты расчётов для кромки помех. Для оценок были заданы N 32, F 10 8 , п 10. Пороговые множители заимствованы из табл. 7.3. Значение отношения сигнал/шум для расчётов вероятностей обнаружения принималось 192
равным 173,83. Значение было выбрано таким, чтобы при известной интенсивности шума (при фиксированном пороговом уровне) и отсутствии помех вероятность обнаружения полезного сигнала составляла 0,9. 10 lg , 10 lg м 1,5
Рис. 7.2. Зависимости коэффициента потерь от номера порядковой статистики при отсутствии пассивных помех: 1 — при отсутствии мешающих целей; 2 — nм 1, 10 lg(м) 10 (сплошная кривая) и м (пунктир); 3 — nм 2, 10 lg(м) 20; 4 — nм 3, 10 lg(м) 30
1
2,0
2
2,5
3
3,0
4
3,5 4,0
k 16
24
28
32
F
102 10
20
D , D
k 17 24
6
10
10
10
14
10
18
0,9 0,7
17
24
28
k 17 24
0,5 28
0,3
24 0
8
16
m
24
28
32
24
0,1
m 0
8
16
24
32
Рис. 7.3. Вероятность ложной тревоги F и вероятности обнаружения сигнала D и D в зависимости от положения кромки помех относительно настройки канала обнаружения; пунктир — вероятность обнаружения D при известных интенсивностях шума и помех
Результаты, представленные на рис. 7.3 и 7.4, показывают, что при уменьшении номера используемой порядковой статистики вероятность ложной тревоги на кромке помех возрастает. F 10
1
10
3
10
5
10
7
k 17 24
Рис. 7.4. Вероятность ложной тревоги в канале обнаружения, настроенном на кромку помех; 8 m N /2, N 32, F 10
24 28 32
10
0
10
20
10 lg п
193
Совместный анализ рис. 7.2—7.4 позволяет сделать следующие выводы. Схема обнаружения с адаптивным порогом на основе порядковой статистики сохраняет работоспособность при наличии мешающих целей в измерительном окне. В тех случаях, когда возможно появление мешающих целей, номер используемой порядковой статистики необходимо уменьшить (по сравнению с оптимальным номером при однородном помеховом фоне). При наличии кромки помех следует ожидать увеличения числа ложных тревог. В этом случае характеристики схемы с использованием порядковой статистики будут схожи с соответствующими характеристиками схемы с усреднением по каналам. При наличии кромки помех можно уменьшить число ложных тревог, если увеличить номер порядковой статистики, вплоть до значения k N (см. нижнюю кривую на рис. 7.4), но при этом существенно возрастут энергетические потери. Рассмотрим способы практической реализации схемы, основанной на порядковой статистике. В схеме, представленной на рис. 7.1, предполагается формирование последовательности zj, упорядоченной по значениям элементов ( z1 z 2 z N ). Входными данными для формирования упорядоченной последовательности являются случайные величины, отсчитываемые на выходах измерительных каналов. При этом во многих публикациях отмечается, что упорядочивание требует больших вычислительных затрат, в особенности при большом числе упорядочиваемых элементов. Как справедливо замечено в [258] (см. также [193, 47]), само значение k-й порядковой статистики нам и не нужно. Необходимо знать, превысила ли порядковая статистика некоторый порог. С учётом замечания [258] можно видоизменить процедуру принятия решения. Обозначим h r/. Здесь по-прежнему r — случайная величина на выходе канала обнаружения, — пороговый множитель. Случайные величины ri, отсчитываемые на выходах измерительных каналов, последовательно сравниваем с порогом h. Пусть K — число случаев, в которых выполнилось неравенство ri h. С числом K будет совпадать число случаев, в которых выполнится неравенство r ri. Если бы использовалась упорядоченная последовательность zj, то число случаев, в которых выполнилось бы неравенство r zj, также совпало бы с числом K. При этом выполнение неравенства K k означает, что результат обработки полезного сигнала r превышает адаптивный пороговый уровень zk, где zk — k-я порядковая статистика. Таким образом, в видоизменённой процедуре отсутствует упорядочивание отсчётов. Подсчитывается число случаев K, в которых выполнилось неравенство ri r/. Если K k, то принимается решение о наличии полезного сигнала. 194
Если в какой-либо схеме придётся упорядочивать отсчёты, то можно воспользоваться изложенными в [32] рекомендациями по выбору метода упорядочивания. В [1] содержится алгоритм упорядочивания отсчётов (алгоритм 175б). Теперь остановимся на некоторых публикациях, в которых представлены модификации схемы формирования порога на основе порядковой статистики. В предложенной в [104] схеме измерительное окно, состоящее из N ячеек, делится на подокна по M ячеек в каждом (см. также [172]). Отсчёты в каждом из подокон суммируются. Суммы упорядочиваются по величине, и k-е значение из упорядоченной последовательности служит основой для адаптивного порога. Представлены некоторые результаты для F 104, N 16. По этим результатам можно сделать вывод, что характеристики обнаружения предложенной схемы занимают промежуточное положение между характеристиками традиционных схем на основе усреднения по каналам и на основе порядковой статистики. Схема работоспособна при наличии мешающих целей. В [200] рассматривается алгоритм, в котором осуществляется оценка числа мешающих целей. Затем для формирования порога используется порядковая статистика. Если по результатам оценки число мешающих целей небольшое, то номер порядковой статистики принимается равным k 3N/4. При большом числе мешающих целей номер порядковой статистики соответствующим образом корректируется (в сторону уменьшения). 7.4. Удаление отдельных слагаемых (цензурирование) При использовании адаптивных порогов может произойти подавление (маскирование) одной цели другой целью. В [263] отмечается, что существуют три способа решения этой проблемы: применение карты помех, у которой нет опорных элементов (измерительных каналов); удаление больших отражений из данных, предназначенных для вычисления адаптивного порога; применение логарифмического видео. Использование карты помех и логарифмического детектора рассматривалось в той или иной мере в предыдущих главах. В данном параграфе мы рассмотрим несколько алгоритмов, в которых удаляются самые большие значения отсчётов, получаемых с выходов измерительных каналов. Когда необходимо охарактеризовать массив данных, из которого удалили те или иные отсчёты, в англоязычной литературе используется термин censored — просмотрено цензурой, изменено по цензурным соображениям (см., например, [231, 232]). Русскоязычный термин «цензурирование» появился, по всей видимости, в переводной литературе [38]. В настоящее время термин «цензурирование» можно встретить и в отечественной научно-технической литературе, посвящённой обработке радиолокационных сигналов, принимаемых на фоне помех. 195
При формировании порога на основе порядковой статистики самые большие отсчёты тоже не участвуют в процессе. Однако когда говорят об алгоритмах с цензурированием, то, как правило, подразумевают явное удаление отсчётов. Если из массива отсчётов удаляются несколько самых больших отсчётов, то такие действия в [29] называются простым цензурированием. Если удаляются и самые маленькие отсчёты, то говорят о двойном цензурировании. В [119, 212] эти процедуры удаления отсчётов называются односторонним цензурированием (one-sided censoring) и двусторонним цензурированием (two-sided censoring). Схема обнаружения сигнала с простым цензурированием называется Censored CFAR detector (обнаружитель ПУЛТ с цензурированием). В названии схемы с двойным цензурированием может использоваться термин trimmed (от слова trim, которое для данного случая можно перевести и как «подравнивать», «приводить в порядок», и как «придерживаться нейтралитета»). Тогда соответствующий обнаружитель называется Trimmed-Mean Detector или TMD [259]. В более поздних публикациях (см., например, [146]) встречается название Trimmed Mean CFAR (TM-CFAR). Оставшиеся после цензурирования упорядоченные отсчёты (порядковые статистики) участвуют в формировании адаптивного порогового уровня. При этом оставшиеся отсчёты можно просто просуммировать [231, 146, 119, 133]. В [232] при суммировании после простого цензурирования самый большой отсчёт учитывается с увеличенным весом. В [212, 4] рассматривается двойное цензурирование, и с увеличенными весовыми коэффициентами суммируются крайние отсчёты, т. е. самый большой и самый маленький (из числа оставшихся упорядоченных отсчётов). Если после двойного цензурирования осуществляется весовое суммирование оставшихся отсчётов (крайние отсчёты суммируются с увеличенными весами), то для соответствующего обнаружителя названия TMD или TM CFAR могут не применяться. Тогда обнаружитель может называться LCOS [212] (Linearly combined order statistic CFAR detector) или, в русскоязычном варианте, «Устройство стабилизации вероятности ложной тревоги, использующее линейную комбинацию порядковых статистик» [4]. Перейдём к изложению метода, с помощью которого можно оценивать характеристики обнаружения сигналов при использовании подобных способов формирования адаптивных пороговых уровней. Как и в предыдущем параграфе, через zj ( j 1, 2, , N ) обозначаем элементы упорядоченной последовательности отсчётов, удовлетворяющие условию (7.3.1). Полагаем, что адаптивный пороговый уровень h формируется по правилу h s,
s c1 z1 c2 z2 c N z N ,
(7.4.1)
где — пороговый множитель; cj — заранее выбранные весовые коэффициенты, j 1, 2, , N. 196
Подбирая соответствующим образом весовые коэффициенты, можно получить тот или иной алгоритм формирования пороговых уровней. Так, например, если обнулить несколько первых и несколько последних весовых коэффициентов, а остальные коэффициенты принять равными 1, то получим обнаружитель с двойным цензурированием (Trimmed-Mean Detector). Ищем изображение по Лапласу F ( p ) e ps
e ps W ( z1 , z 2 ,, z N ) dz1dz 2 dz N ,
( z1 , z 2 ,, z N ) Z
где W() — совместная плотность распределения вероятностей порядковых статистик, Z — область определения плотности распределения. Необходимо выписать выражение для совместной плотности распределения вероятностей порядковых статистик. В [29] приведено выражение для совместной плотности. Если в исходном наборе случайных величин (до упорядочивания) все N случайных величин статистически независимы между собой и имеют одинаковую плотность распределения w(), то совместная плотность распределения всех порядковых статистик имеет вид z1 z2 z N .
N! w(z1) w(z2) w(zN),
В нашем случае, если в каналах используется квадратичный детектор, то все исходные случайные величины ri (i 0, 1, , N/2 1, N/2 1, , N ) положительны и распределены по экспоненциальному закону w(ri) exp(ri). Тогда изображение можно представить в виде следующего интеграла: F ( p) N!
exp 0 z1 z 2 z N
N
z j
j 1
j dz1dz 2 dz N
,
где j 1 pc j . Интегрируем вначале по zN. Пределы интегрирования: от zN1 до . Вычисление частного интеграла даёт
exp
N zN
dz N
z N 1
1 exp N z N 1 . N
Затем интегрируем по zN1. При этом выполняем следующие действия:
exp
N 1 z N 1
zN 2
1 N ( N 1 N )
1 exp N z N 1 dz N 1 N
exp ( N 1 N ) z N 2 .
197
Интегрируем по zN2, а затем, продолжая интегрирование по следующим переменным, приходим к последнему интегралу по z 1 (в пределах от 0 до ). После завершения интегрирования получаем F ( p)
N! . N ( N 1 N )( N 2 N 1 N ) ( 1 2 3 N )
Учитывая, что j 1 pc j , окончательное выражение можно записать в виде N 1
(1 pc j ) . j N
F ( p) N !
(7.4.2)
Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть cj 1 для всех j. Тогда N!
F ( p)
N
( N 1 )
1 1 . N (1 p ) (1 p ) N
Получили преобразование Лапласа от плотности распределения вероятностей суммы случайных величин. Адаптивный пороговый уровень формируется путём усреднения по каналам. Теперь допустим, что переменная s является k-й порядковой статистикой. Тогда c j 1 при j k , 0 при j k .
N
N
s
1
N
s
1
F ( p)
,
k 1
s ( N k )!
1
N! ( N k )!
( N 1 p) . 1
1 k
( N 1 p)
k 1
N i
N i p
.
i 0
1
Если полученное выражение для F( p) подставить в формулу (4.6.1), то получим вероятность превышения порога (7.3.7). В [136] рассматривался вопрос о наилучшей оценке неизвестного масштабного параметра экспоненциального распределения (напри198
(7.4.3)
ck c ,
ck 1 ck 2 cN 0 .
Получим F ( p ) N !
N
s 1
,
s N 1 при k , N 1 k cp ( k )(1 p ) при k , k , [ N 1 k cp ( k )( 1 p )] 1
N! F ( p ) ( N k )!
k
s
c N 1 k,
где k — число отсчётов, оставшихся после простого цензурирования. В [232] содержится детальный анализ характеристик обнаружения сигнала, когда при формировании порогового уровня суммирование осуществляется по формулам (3). В [175] показано, что при одностороннем цензурировании, когда помеховый фон однородный, суммирование порядковых статистик по формулам (3) обеспечивает максимальную вероятность обнаружения полезного сигнала (при заданной вероятности ложной тревоги). Подставим в (2)
N! F ( p ) ( N k )!
s N 1 при k , N 1 p при k .
k
s z1 z2 zk 1 c zk ,
c1 c2 ck 1 1 ,
1
F ( p ) N !
мер, среднего значения случайной величины), когда в распоряжении имеются цензурированные данные. Было показано, что после простого цензурирования наилучшую оценку можно получить, если самый большой отсчёт (из числа оставшихся) суммировать с некоторым весовым коэффициентом. Приведено и значение этого весового коэффициента. Если учесть сделанные в [136] выводы, то применительно к нашей задаче оказывается, что при оценке интенсивности шума суммирование отсчётов следует осуществлять по формулам
k [ N 1 ( c k ) p ] , 1
1
k
ck (7.4.4) 1 N 1 p . 1 Полученное выражение (4) совпадает с формулой (28) из статьи [232]. Заметим, что формула для изображения по Лапласу в [232] была получена другим путём. В рассмотрение вводились случайные переменные yj ( j 1, 2, , N ), связанные со случайными переменными zj соотношениями F ( p)
j
y j (n 1 j )( z j z j 1 ) ; z0 0,
zj
y
( N 1 ) ,
j 1, 2, , N.
1
199
Далее использовалось свойство совокупности случайных величин yj, состоящее в том, что все случайные величины yj статистически независимы между собой и имеют одинаковую плотность распределения вероятностей, которая совпадает с экспоненциальной плотностью распределения исходных неупорядоченных случайных величин (о свойствах случайных величин y j см. также [29]). Вычисление изображения сводилось к вычислению произведения одномерных интегралов. Если в (4) положить c N 1 k, то получим F( p) 1/(1 p)k. Вид изображения F( p) показывает, что при c N 1 k характеристики обнаружения будут совпадать с соответствующими характеристиками среднеуровневого обнаружителя (обнаружителя MLD, CA CFAR или УС-ПУЛТ) с числом суммируемых отсчётов, равным k. В [231] полагалось, что при формировании порогового уровня результаты, оставшиеся после простого цензурирования, просто суммируются, т. е. s z1 z2 zk . (7.4.5) Преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины s будет определяться формулой (4), если в эту формулу подставить c 1. При анализе алгоритмов с двойным цензурированием будем полагать, что число удаляемых самых маленьких отсчётов равно b. По-прежнему считаем, что номер k является номером наибольшей порядковой статистики, принимаемой в расчёт при формировании порога. Таким образом, при формировании порога суммируются порядковые статистики с номерами, начиная с b 1 и заканчивая номером k включительно. В [238] (см. также [18]) применительно к двойному цензурированию показано, что наилучшую оценку неизвестного масштабного параметра экспоненциального распределения можно получить, если наибольшую и наименьшую порядковые статистики (из числа оставшихся) суммировать с увеличенными весами. При этом весовой коэффициент при k-й порядковой статистике оказывается таким же, как соответствующий оптимальный весовой коэффициент при простом цензурировании, т. е. ck N 1 k. Весовой коэффициент при наименьшей порядковой статистике должен быть равен cb1 1
U ( N b) , V
b 1
U
1
( N i 1) ,
b 1
V
i 1
1
( N i 1)
2
.
i 1
Остальные весовые коэффициенты равны 1. Таким образом, при весовом суммировании после двойного цензурирования осуществляется вычисление s cb 1 zb 1 zb 2 zk 1 ck zk .
200
(7.4.6)
Как уже отмечалось выше, схемы, в которых для формирования порога используется сумма (6), называются обнаружителями LCOS (устройствами, использующими линейную комбинацию порядковых статистик). В [212, 4] рассматривается формирование пороговых уровней с использованием соотношений, отличающихся от (6) только обозначениями. Если мы будем говорить о простом суммировании после двойного цензурирования, то это будет означать, что s zb 1 zb 2 zk 1 zk .
В [119, 133] содержится анализ характеристик обнаружителя, в котором применяется простое суммирование после двойного цензурирования. В [207] рассматривается алгоритм с квазиоптимальным взвешиванием (quasi best weighted) порядковых статистик. В алгоритме QBW s zb 1 zb 2 zk 1 ck z k , где осуществляется вычисление ck N 1 k. Отличие от алгоритма LCOS с оптимальным взвешиванием состоит в том, что оптимальный весовой коэффициент при наименьшем суммируемом отсчёте заменяется единицей. В [207] выполнено сравнение алгоритмов QBW и LCOS. Как и следовало ожидать, энергетические потери при QBW больше, чем при LCOS. Однако отличие несущественное. При однородном помеховом фоне различие в потерях составляет несколько тысячных долей децибела. При появлении мешающих целей различие в потерях увеличивается, но тем не менее не превышает десятой доли децибела. Учитывая формулы (4.6.1) и (2), можно записать выражение для вероятности обнаружения рэлеевского полезного сигнала при однородном шуме (пассивная помеха отсутствует) N 1
N
(1 c ) ,
(7.4.7) где (1 ), — пороговый множитель, — отношение сигнал/шум полезного сигнала. Полагая 0, из (7) получаем вероятность ложной тревоги D N!
F N!
N 1
j
j
N
(1 c j
j )
.
(7.4.8)
Формулы (7) и (8) справедливы для однородного помехового фона. Они позволяют оценивать характеристики схем, в которых пороговый уровень формируется по данным, подвергшимся цензурированию. Весовые коэффициенты cj определяются структурой схемы. Задавшись значением вероятности ложной тревоги F, из (8) находим 201
пороговый множитель . После этого, задавшись требуемой вероятностью обнаружения полезного сигнала D, с помощью формулы (7) находим необходимое отношение сигнал/шум . Затем находим коэффициент энергетических потерь 0 , обусловленный незнанием интенсивности помехового фона. Здесь по-прежнему 0 — отношение сигнал/шум, необходимое для обеспечения заданных вероятностей D и F при известной интенсивности фона. Отношение сигнал/шум 0 определяется формулой (5.2.5). Формулу (7) для вероятности обнаружения полезного сигнала нетрудно преобразовать применительно к случаю, когда в измерительном окне, помимо однородного помехового фона, наблюдаются несколько мешающих целей с неограниченно большими отношениями сигнал/шум. В таких случаях результаты обработки сигналов от мешающих целей при цензурировании автоматически удаляются. Пусть nм — число мешающих целей. Число отсчётов, участвующих в формировании порогового уровня, будет равно N nм. Причём эти N nм отсчётов получены в результате обработки однородного помехового фона. Следовательно, вероятность обнаружения полезного сигнала будет такой же, как при использовании схемы с N nм отсчётами в однородной помеховой обстановке. Эта вероятность обнаружения определяется формулой Dм ( N n м )!
N nм 1
N nм
(1 1 c
j ) ,
10 lg , 10 lg м 1,5 2,5 3,5
nм N k .
(7.4.9)
Обращаем внимание на два обстоятельства. Формула (9) справедлива, если число мешающих целей не превышает число удаляемых больших отсчётов. Пороговый множитель находится путём решения уравнения (8) и не зависит от числа мешающих целей. Если nм N k, т. е. число мешающих целей превышает число удаляемых отсчётов, то при неограниченном увеличении отношений сигнал/шум мешающих сигналов вероятность обнаружения полезного сигнала будет стремиться к нулю. В [232] содержится анализ схемы, в которой при формировании адаптивного порога применяется весовое суммирование после простого цензурирования. Получена формула для вероятности превышения порога при наличии мешающих целей с произвольными отношениями сигнал/шум (т. е. отношения сигнал/шум не являются неограниченно большими). Эта формула довольно сложная, но представленные там же графики показывают, что предельный случай с неограниченно большими отношениями сигнал/шум наступает, когда отношения сигнал/шум начинают превышать 10 дБ. Удаление больших отражений из данных, предназначенных для вычисления адаптивного порога, направлено на устранение влияния мешающих целей, наблюдаемых в измерительном окне. Одной из схем с удалением больших отражений является рассмотренная
202
в предыдущем параграфе схема, основанная на единственной порядковой статистике (OS CFAR). Другой схемой с удалением больших отражений является схема с весовым суммированием после простого цензурирования. На рис. 7.5 сравниваются коэффициенты потерь в этих схемах. Видно, что энергетические потери в схеме с цензурированием меньше, чем в схеме на основе порядковой статистики. Это естественно, так как в схеме с цензурированием используется информация об интенсивности помехового фона, содержащаяся в порядковых статистиках с малыми номерами, а в схеме, формирующей порог на основе единственной порядковой статистики, значения остальных порядковых статистик не учитываются. Для построения рис. 7.5 и 7.6 были заданы N 32, F 108, D 0,5.
k 16
j
20
24
28
32
Рис. 7.5. Зависимости коэффициента потерь от номера наибольшей суммируемой порядковой статистики при отсутствии пассивных помех. Сплошные кривые — схема с простым цензурированием и последующим весовым суммированием, пунктир — схема на основе k-й порядковой статистики. Верхние кривые — при отсутствии мешающих целей, нижние — при трёх мешающих целях (nм 3) с большими отношениями сигнал/шум
10 lg , 10 lg м
10 lg , 10 lg м
1,5
1,5
2,5
2,5
3,5
3,5
k 16
20
24
а)
28
32
k 16
20
24
28
32
б)
Рис. 7.6. Зависимости коэффициента потерь от номера наибольшей суммируемой порядковой статистики при отсутствии пассивных помех: а) простое цензурирование с весовым суммированием (сплошные кривые) и с простым суммированием (пунктир); б) весовое суммирование после простого цензурирования (сплошные кривые) и после двойного цензурирования (пунктир). Верхние кривые — при отсутствии мешающих целей, нижние — при трёх мешающих целях (nм 3) с большими отношениями сигнал/шум
203
На рис. 7.6а сравниваются коэффициенты потерь для схем с весовым и простым суммированием. Если нет мешающих целей, то, как и следовало ожидать, схема с весовым суммированием всегда оказывается не хуже, чем схема с простым суммированием, но при наличии мешающих целей схема с простым суммированием иногда оказывается предпочтительнее. В целом энергетические потери для этих схем отличаются незначительно. На рис. 7.6б сравниваются коэффициенты потерь для схем с простым и двойным цензурированием. В расчётах для двойного цензурирования полагалось, что b N/2, т. е. количество удаляемых самых маленьких отсчётов составляет половину измерительных отсчётов. Сравнение показывает, что энергетические потери для этих схем практически одинаковые. Перейдём к анализу эффективности схем с цензурированием при наличии кромки пассивных помех. Одним из основных недостатков многих схем, формирующих адаптивный пороговый уровень, является существенный рост количества ложных тревог на кромке помех. Если настройка канала обнаружения находится в зоне помех, а часть измерительных каналов — вне зоны помех, то значения адаптивного порога могут оказаться заниженными по отношению к реальному уровню помех в канале обнаружения. Тогда вероятность ложной тревоги в канале обнаружения значительно увеличится по сравнению с заданным значением. В статье [146] объясняется, зачем при цензурировании нужно удалять самые маленькие отсчёты: маленькие отсчёты занижают порог, поэтому применение двойного цензурирования можно объяснить стремлением не допустить роста количества ложных тревог в неоднородной помеховой обстановке. Чтобы упростить анализ, мы воспользуется методом, предложенным в [111]. Суть этого метода состоит в следующем. При подготовке иллюстраций, относящихся к кромке помех, мы, как правило, задавались значением отношения помеха/шум на кромке помех. Это значение составляло п 10. Но, судя по рис. 7.4, во многих случаях вероятность ложной тревоги на кромке помех при п 10 отличается несущественно от соответствующей вероятности при п 1. В [111] исследуются схемы, основанные на порядковых статистиках. Предполагается, что результаты обработки наблюдений вне зоны пассивных помех пренебрежимо малы по сравнению с результатами внутри зоны. Такое допущение позволяет преобразовать формулу (8) для кромки помех, когда п 1. Положение кромки помех мы задавали номером канала m, настроенного на кромку помех. Иллюстрацией к кромке помех является формула (5.3.2) (см. также рис. 5.3 и 6.2). Число каналов, находящихся вне зоны пассивных помех, совпадает с номером m. Канал обнаружения, на выходе которого осуществляется сравнение с адаптивным порогом, имеет номер N/2. 204
Применяемый далее метод пригоден только в том случае, если настройка канала обнаружения находится в зоне помех. Следовательно, приведённой далее формулой можно пользоваться только при m N/2. Метод позволяет оценить максимальное увеличение вероятности ложной тревоги из-за наличия кромки помех. Если m отсчётов получены вне зоны помех и они пренебрежимо малы, то пороговый уровень будет формироваться по N m отсчётам из зоны помех. Причём эти отсчёты получены в однородной помеховой зоне. Следовательно, в (8) N следует заменить на N m. Кроме того, следует осуществить некоторую корректировку массива c j. Но более удобной формула будет, если ещё заменить m (тогда для вычислений по формуле потребуется исходный массив cj). После некоторых дополнительных преобразований получим окончательную формулу для вероятности ложной тревоги F при наличии кромки помех. Эта формула имеет следующий вид: N N m N/2, п 1. (7.4.10) (1 c j ) , m 1 j При m 0 формула (10) совпадает с (8). Если m N/2, то канал обнаружения находится в зоне, свободной от пассивных помех. Для этого случая формула (10) неприменима. Вместе с тем очевидно, что при наличии кромки помех и при m N/2 вероятность ложной тревоги F будет всегда меньше заданного (проектного) значения вероятности ложной тревоги F. На рис. 7.7 представлены оценки вероятности ложной тревоги при наличии кромки помех. Оценки осуществлялись по формуле (10). Для оценок были заданы N 32, F 108, k 27.
F ( N m )!
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
F
1 3
2
m 0
4
8
12
16
Рис. 7.7. Вероятность ложной тревоги в зависимости от положения кромки помех относительно настройки канала обнаружения. Схемы: 1 с весовым суммированием после простого цензурирования; 2 с весовым суммированием после двойного цензурирования (b N/2); 3 на основе порядковой статистики
Судя по рис. 7.7, схема на основе порядковой статистики меньше других подвержена воздействию кромки помех. Но следует иметь в виду, что если несколько уменьшить значение k, то вероятность ложной тревоги в схеме на основе порядковой статистики увеличится. Так, например, если на рис. 7.7 дополнительно построить кривую для схемы на основе порядковой статистики при k 24, то эта кривая 205
практически сольётся с уже представленной на рис. 7.7 кривой для схемы с двойным цензурированием (при k 27). Выше отмечалось, что удаление самых маленьких отсчётов (при цензурировании) можно объяснить стремлением не допустить роста количества ложных тревог в неоднородной помеховой обстановке. Верхняя кривая на рис. 7.7 соответствует схеме, в которой при цензурировании маленькие отсчёты не удаляются. Две другие кривые относятся к схемам с удалением маленьких отсчётов. Действительно, судя по представленным на рис. 7.7 результатам, удаление маленьких отсчётов уменьшает рост вероятности ложной тревоги. Остановимся на вопросе, связанном с реализацией цензурирования. Прямой путь реализации схемы с цензурированием предполагает предварительное упорядочивание измерительных отсчётов по величине (ранжирование). В различных публикациях часто говорится о том, что ранжирование представляет собой довольно трудоёмкую вычислительную операцию. В предыдущем параграфе отмечалось, что применительно к схеме на основе порядковой статистики можно обойтись без ранжирования. Оказывается, что и при реализации схемы с цензурированием также можно обойтись без ранжирования. Покажем это на простом примере. Рассмотрим схему с весовым суммированием после простого цензурирования, в которой удаляются два самых больших отсчёта. Осуществим просмотр массива измерительных отсчётов, в результате которого находим номер самого большого отсчёта. Найденный номер используется для того, чтобы в массив вместо самого большого отсчёта записать ноль. Просмотр массива повторяется, и по результатам второго просмотра обнуляется второй самый большой отсчёт. После третьего просмотра будет найден номер отсчёта, который необходимо суммировать с весовым коэффициентом. Этот отсчёт считывается из массива, умножается на весовой коэффициент и затем записывается снова в массив по соответствующему номеру, после чего суммируем все элементы откорректированного массива. Результат будет таким же, как в схеме с ранжированием. 7.5. Цензурирование в схеме с выбором большего значения Простая схема с выбором большего из двух значений (GO CFAR, БИ) уменьшает рост числа ложных тревог на кромке помех, но если в измерительном окне будут присутствовать сигналы от посторонних (мешающих) целей, то ухудшится вероятность обнаружения полезного сигнала. С другой стороны, схема на основе порядковой статистики, а также схема с простым цензурированием успешно решают свою задачу при наличии мешающих целей. Но при наличии в измерительном окне кромки помех будет происходить увеличение количества ложных тревог. Целесообразно осуществить объединение этих схем для того, чтобы в новой схеме одновременно сочетались перечисленные полезные свойства. 206
Впервые подобное предложение было высказано в статье [271]. В этой статье в качестве основы принималась обычная схема БИ. Но алгоритм формирования порогового уровня предлагалось подвергнуть сравнительно простой корректировке, суть которой состоит в следующем. В каждой половине измерительного окна осуществляется последовательный опрос выходов измерительных каналов. Выходные величины суммируются. Одновременно с суммированием выходные величины обрабатываются в схеме, выявляющей максимальное значение. Когда в полуокне закончится опрос всех каналов, в распоряжении будут два результата: сумма всех выходных величин и самая большая выходная величина. Разность этих двух результатов представляет собой цензурированную сумму. Наибольшая из двух цензурированных сумм, умноженная на пороговый множитель, является адаптивным пороговым уровнем. В [271] данный метод представлен наглядной блок-схемой. Характеристики обнаружения, соответствующие этому методу, не анализировались, но было высказано предположение, что схема формирования порога будет выполнять свою задачу в неоднородной среде, включая кромку помех и мешающую цель. В [271] рассматривалось удаление только одного самого большого значения, поскольку предполагалось, что реализация будет осуществляться с помощью радиотехнических устройств. Реализация не будет сложной, если удаляется только одно самое большое значение. В современных условиях реализация таких схем осуществляется с помощью цифровой техники. Удаление нескольких самых больших значений не является сложной задачей. Это необходимо, если в одной половине измерительного окна могут наблюдаться, например, две или три цели. В работах [89, 233], а затем в [272] осуществлялся анализ схемы, в которой в каждой половине окна удаляются несколько самых больших значений. В докладе [182] представлены обобщённые схемы формирования порога. В каждом полуокне осуществляется весовое суммирование порядковых статистик. Рассматриваются три способа объединения двух получаемых сумм: непосредственное суммирование, выбор большей из двух сумм, выбор меньшей из двух сумм. Частным случаем одной из представленных в [182] обобщённых схем является схема с выбором большей из двух цензурированных сумм. Рассматриваемая далее схема обнаружения представлена на рис. 7.8. Применяется квадратичный детектор. В этой схеме измерительные отсчёты r0, r1, , rn1, относящиеся к левому полуокну, упорядочиваются в порядке возрастания (здесь, как и прежде, n N/2, N — общее число измерительных отсчётов). В результате упорядочивания каждый отсчёт получает новый номер. Упорядоченные и перенумерованные отсчёты левого полуокна 207
обозначаем через ui , i 1, 2, , n. При этом u1 u2 un . Затем отсчёты подвергаются цензурированию, в результате которого удаляются самые большие отсчёты. Для дальнейшего использования отбираются наименьших отсчётов (u1, u2, , u), где — параметр алгоритма обработки ( является номером наибольшей порядковой статистики из числа участвующих в формировании порога). Обработка отсчётов левого полуокна заканчивается вычислением суммы 1
s1
u c u i
,
i 1
где c — весовой коэффициент при -й порядковой статистике.
Выход канала обнаружения r Сравнение с порогом
Каналы в скользящем окне Выходы каналов
r0 r1
Решение
rN
на фоне однородного шума с неизвестной интенсивностью, то весовой коэффициент должен быть равным вполне определённому значению. Можно предположить, что для рассматриваемой здесь задачи это значение составляет c n 1 . При этом, если откажемся от цензурирования, то получим естественный результат n, с 1. Если с 1, то можно говорить, что сумма s1 получена в результате весового суммирования после простого цензурирования. Схема, в которой есть удаление самых больших отсчётов, но используется значение с 1 (простое суммирование), тоже имеет практический смысл. На основании результатов, изложенных в предыдущем параграфе, можно предположить, что при однородном шуме такая схема будет показывать некоторое увеличение энергетических потерь по сравнению со схемой с весовым суммированием. Но при появлении мешающих целей схема с простым суммированием может оказаться эффективнее схемы с весовым суммированием (аналогичные предположения высказывались в работе [272]). Из результатов предыдущей главы следует, что если адаптивным пороговым уровнем является величина s, где — пороговый множитель, s max{s1, s2}, то вероятность превышения порога в канале обнаружения будет определяться формулой
Порог h s u1 u2 un
v1 v2 vn
c1 i
P
1 1 F1 ( p ) F2 ( p ) dp, c1 0 , 2 i c i p p
(7.5.1)
1
1
1
s1 ui c u i 1
s 2 vi c v i 1
s1 s max{s1, s2}
s2
s Пороговый множитель
Рис. 7.8. Схема обнаружения сигнала с выбором большей из двух цензурированных сумм (схема ЦБИ)
Аналогично осуществляется обработка отсчётов в правом полуокне. В результате этой обработки вычисляется сумма s2. Основой для формирования адаптивного порогового уровня является величина s max{s1, s2}. Представленную на рис. 7.8 схему, в которой выбор большего из двух значений сочетается с цензурированием, будем называть схемой ЦБИ. О выборе весового коэффициента при весовом суммировании говорилось в предыдущем параграфе. Если мы хотим минимизировать энергетические потери при обнаружении полезного сигнала 208
где (1 ), и — отношение сигнал/шум и отношение помеха/шум в канале обнаружения, F1() и F2() — преобразования Лапласа плотностей распределения случайных величин s1 и s2. В предыдущем параграфе рассматривалось преобразование Лапласа плотности распределения суммы цензурированных отсчётов. Результат, применимый для однородных помех, выражен формулой (7.4.4). Но здесь мы рассматриваем не полную сумму, когда суммируются отсчёты, оставшиеся после цензурирования всех отсчётов измерительного окна. Здесь в каждой половине окна отсчёты цензурируются отдельно и затем отдельно суммируются, поэтому для данного случая формула (7.4.4) требует корректировки. Корректировка незатруднительная и заключается в подмене параметров, входящих в формулу. Вместо полного числа отсчётов N в измерительном окне в формулу следует подставить n — число отсчётов в половине измерительного окна. Вместо количества статистик k, суммируемых в полном окне, записываем количество статистик , суммируемых в одной половине окна. После такой корректировки имеем следующее выражение: 1 c F1 ( p ) F2 ( p ) 1 p (7.5.2) n 1 . 1
209
Вначале будем использовать представленные результаты для того, чтобы оценить характеристики обнаружения при однородном шуме (пассивная помеха отсутствует). Рассмотрим схему, в которой осуществляется весовое суммирование. Полагая в (2) c n 1 , получим F1 ( p ) F2 ( p ) 1/(1 p). Теперь видим, что формула для изображений в данном случае оказывается похожей на соответствующую формулу для рассмотренной в предыдущей главе схемы с выбором большего значения (схема БИ). Отличие в формулах для этих двух случаев состоит в том, что в одном случае в формулу подставляется величина n — полное число отсчётов в половине измерительного окна, а в другом случае вместо n подставляется — число отсчётов, остающихся в половине окна после цензурирования. Поэтому можно заимствовать из предыдущей главы окончательные формулы, применявшиеся для непосредственных расчётов. В качестве исходной возьмём формулу (6.2.5) и заменим в ней n на . Получим формулу для вероятности превышения адаптивного порога 1
P2
C 1
0
1 , (1 ) ( 2 )
(1 ) .
(7.5.3)
Эта формула относится к схеме ЦБИ, т. е. к схеме, в которой в каждой половине окна осуществляется весовое суммирование после простого цензурирования, а затем следует выбор большей суммы. Если нет полезного сигнала, то в (3) , а вероятность превышения порога P представляет собой вероятность ложной тревоги F. Задаваясь параметрами схемы и вероятностью ложной тревоги, из (3) можно найти необходимое значение порогового множителя . Затем, задаваясь значением вероятности обнаружения полезного сигнала, можно найти требуемое отношение сигнал/шум и оценить коэффициент энергетических потерь. Некоторые результаты таких расчётов представлены в табл. 7.7—7.9. Таблица 7.7 Схема с выбором большей из двух цензурированных сумм. Значения n (n N/2) N
n F 10
16 32 64
6 12 24
6
29,9986 22,4054 19,6975
F 10
8
50,8483 33,4602 27,7798
F 10
Таблица 7.8 Схема ЦБИ. Значения 10 lg(), требуемые при заданных вероятностях обнаружения сигнала D D
N
81,4992 46,9019 36,7169
10 lg() F 10
6
F 10
8
F 10
10
0,1
16 32 64
6 12 24
9,8510 8,4408 7,7350
12,3232 10,3833 9,4360
14,4666 11,9624 10,7661
0,5
16 32 64
6 12 24
15,7292 14,2562 13,5288
18,0683 16,0515 15,0776
20,1425 17,5489 16,3217
0,9
16 32 64
6 12 24
24,1382 22,6408 21,9050
26,4368 24,3903 23,4063
28,4893 25,8615 24,6225 Таблица 7.9
Значения 10 lg(ЦБИ /УС) N
10 lg(ЦБИ /УС)
D F 10
6
F 10
8
F 10
10
16
6
0,1 0,5 0,9
0,8967 0,9616 0,9875
1,1939 1,2705 1,3009
1,5035 1,5896 1,6237
32
12
0,1 0,5 0,9
0,4912 0,5165 0,5265
0,6375 0,6679 0,6799
0,7828 0,8175 0,8311
64
24
0,1 0,5 0,9
0,2709 0,2806 0,2843
0,3488 0,3606 0,3651
0,4237 0,4373 0,4426
10
По данным табл. 7.9 можно судить, насколько коэффициент потерь ЦБИ для схемы ЦБИ отличается от коэффициента потерь УС для рассмотренной в гл. 5 схемы с усреднением по каналам. 210
Данные для табл. 7.9 определялись по формуле 10 lg(ЦБИ /УС) 10 lg(ЦБИ /УС). Здесь через ЦБИ обозначены требуемые отношения сигнал/шум для схемы ЦБИ (т. е. отношения сигнал/шум, представленные в табл. 7.8). Отношения сигнал/шум УС являются отношением сигнал/шум для схемы с усреднением по каналам. Значения УС определяются правой частью формулы (5.2.4).
Перейдём к анализу кромки пассивных помех. Будем рассматривать наиболее показательный случай — канал обнаружения находится на кромке помех. Все каналы одной половины окна настроены на зону, свободную от помех. Каждый канал из другой половины окна, а также канал обнаружения принимают 211
помеху с отношением помеха/шум п. Именно в такой ситуации будет наблюдаться наибольшее увеличение вероятности ложной тревоги в канале обнаружения. Если же кромка помех будет смещена относительно параметра сигнала, на который настроен канал обнаружения, то вероятность ложной тревоги увеличится меньше. Рассматриваемый случай является не только наиболее показательным, но и наиболее простым для анализа. Все измерительные отчёты в одной половине окна распределены по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром. Среднее значение любого отчёта в левом полуокне равно 1, а в правом полуокне равно (1 + п). Все математические соотношения, относящиеся к весовому суммированию после цензурирования, останутся в силе. Необходимо только учесть изменение среднего значения отчётов в правом полуокне, поэтому в данном случае в формулу (1) следует подставлять F1 ( p) 1/(1 p), F2 ( p) 1/[1 p(1 п)]. Затем контурный интеграл в (1) можно вычислить с помощью теории вычетов. Аналогичная математическая задача решалась в § 6.4 (см. второй случай), поэтому можно воспользоваться готовой формулой и откорректировать её применительно к рассматриваемой здесь задаче. Коррекция заключается в замене n на . В результате получим формулу для вероятности превышения порога, когда канал обнаружения находится на кромке помех: 1
P p2
C
1
0
1 1 p1
1 1 , p3 p1
(7.5.4)
где p1
1 , 1 п
p2
1 , 1 п
p3 1 ,
. 1 п
При 0 вероятность превышения порога (4) представляет собой вероятность ложной тревоги F при наличии пассивных помех. Результаты оценок этой вероятности представлены на рис. 7.9.
ложной тревоги на кромке помех из-за цензурирования возрастает, но это возрастание можно считать несущественным. Перейдём к оценке характеристик при наличии мешающих целей. Представим, что помеховый фон однородный, но в левой половине измерительного окна присутствуют мешающие цели с большими отношениями сигнал/шум. Если число таких целей равно n1, то n1 отсчётов на выходах каналов будут большими и, если n 1 n , то в процессе цензурирования все большие отсчёты почти наверняка будут удалены. Цензурированная сумма s 1 будет формироваться из n n1 отсчётов, причём все эти отсчёты будут распределены по одному и тому же вероятностному закону. Изображение по Лапласу F1( p) распределения цензурированной суммы s1 можно получить из формулы (2), если в этой формуле n заменить на n n1. Весовой коэффициент c является параметром алгоритма обработки отсчётов. Он не зависит от числа мешающих целей и всегда равен c n 1 . Аналогично можно получить и изображение по Лапласу распределения суммы s2 в правом полуокне при наличии в этом полуокне n2 мешающих целей. В результате получим 1 n 1 F1 ( p ) 1 p , n n , 1 n n1 1 1 1 n 1 F2 ( p ) p , n2 n . 1 n n2 1 1
Подставляя выражения (5) в формулу (1), получаем вероятность превышения порога при наличии мешающих целей (вероятность превышения порога выражается в виде контурного интеграла). Интеграл (1) можно вычислить с помощью теории вычетов. Если n1 n2 0, то получим формулу (3). Если же n1 0 и n2 0, то все особые точки слева от контура являются полюсами первого порядка, а результатом применения теории вычетов будет следующая формула:
P F2 ()
F 10
16
14 10
7
10
8
10
0
10
Рис. 7.9. Вероятность ложной тревоги в канале обнаружения, настроенном на кромку помех; 8 m N /2, N 32, F 10 10 lg п
При N 32 и 16 цензурирование отсчётов фактически отсутствует. Поэтому результаты на рис. 7.9 показывают, что вероятность 212
a 1
12
6
(7.5.5)
F2 ( a )
a 1
a , a
(7.5.6)
где F2() определяется формулой (5), a
n n1 1 , n 1
a
n n1 1 . n 1
Если n2 0, а n1 0, то интеграл (1) можно выразить через вычеты особых точек, расположенных справа от контура интегрирования. Получаемая при этом формула будет аналогична формуле (6). Отличия в этих формулах будут состоять в том, что n1 и F2() в одной формуле поменяются на n2 и F1() в другой. 213
Формула (6) имеет такие же вычислительные ограничения, как у формул (7.3.13) и (7.3.14). При больших значениях N сказываются вычислительные погрешности. При N 32 формулой (6) пользоваться нельзя, а при N 16 формула (6) обладает хорошей точностью и поэтому может использоваться для контроля результатов, получаемых каким-либо другим методом. В формуле (1) можно осуществить численное интегрирование. Для непосредственных вычислений подходит формула (6.2.7). При этом следует учесть, что в качестве Fs1() и Fs2() в формулу (6.2.7) следует подставлять F1() и F2(), определяемые формулами (5). Применять численное интегрирование для вычисления вероятности превышения порога можно без каких-либо ограничений. Именно с использованием этого метода численного интегрирования были получены результаты, представленные далее в табл. 7.10. Таблица 7.10 Коэффициент потерь 10 lg(м /ЦБИ), обусловленный 8 наличием мешающих целей при F 10 , N 32, 12 n1
n2
1 2 3 4
10 lg(м /ЦБИ) D 0,1
D 0,5
D 0,9
0 0 0 0
0,3020 0,7262 1,3527 2,4110
0,2895 0,7096 1,3444 2,4401
0,2859 0,7062 1,3458 2,4580
1 2 3 4
1 1 1 1
0,5502 0,9130 1,4723 2,4636
0,5190 0,8714 1,4367 2,4725
0,5090 0,8589 1,4284 2,4843
2 3 4
2 2 2
1,2012 1,6720 2,5632
1,1393 1,6057 2,5411
1,1196 1,5861 2,5425
3 4 4
3 3 4
2,0267 2,7676 3,2738
1,9371 2,7022 3,1771
1,9089 2,6875 3,1497
Данные табл. 7.10 показывают, как изменяются потери при появлении мешающих целей. В представленных в табл. 7.10 значениях 10 lg(м /ЦБИ) величина ЦБИ является коэффициентом потерь при отсутствии мешающих целей, т. е. когда n1 n2 0. Величина м является коэффициентом потерь при наличии мешающих целей, т. е. когда n1 n2 0. По результатам, полученным в данном параграфе, можно сделать следующие выводы. 214
При обнаружении цели на кромке помех схема с выбором большего значения в сочетании с цензурированием не допускает чрезмерного роста вероятности ложной тревоги. В то же время при наличии мешающих целей не нарушается работоспособность схемы обнаружения. Из всех рассмотренных выше схем такими же свойствами обладала только одна. Это рассмотренная в § 6.6 схема с выбором большего значения в сочетании с логарифмическим детектором на выходах измерительных каналов (ЛогБИ). Основные количественные характеристики для схемы ЛогБИ представлены в табл. 6.8, на рис. 6.7 и 6.8. Аналогичные характеристики для схемы с выбором большего значения в сочетании с цензурированием (ЦБИ) представлены в табл. 7.9, 7.10 и на рис. 7.9. Сравнение соответствующих характеристик позволяет прийти к заключению, что схема ЦБИ предпочтительнее схемы ЛогБИ. 7.6. Схема с выбором большей из двух порядковых статистик Схема с выбором большей из двух порядковых статистик отличается от схемы с выбором большей из двух цензурированных сумм (см. рис. 7.8) тем, что выходными величинами в полуокнах являются -е порядковые статистики s1 u и s2 v. Адаптивный пороговый уровень равен max{s1, s2}, где — пороговый множитель. Схему с выбором большей из двух порядковых статистик будем для краткости (в случае необходимости) называть схемой ПСБИ. Схема с выбором большей из двух порядковых статистик рассматривалась в статьях [131, 235, 272, 129, 132, 156, 135]. По результатам, изложенным в предыдущих параграфах, можно прийти к выводу, что устройства обнаружения со схемами, основанными на порядковых статистиках, сохраняют работоспособность при появлении мешающих целей. В данном случае работоспособность сохраняется, если число мешающих целей в одной половине окна не превышает n , поэтому, чтобы не усложнять анализ, ограничимся двумя задачами. В первой задаче оценим энергетические потери при обнаружении полезного сигнала, когда отсутствуют неоднородные помехи и мешающие цели. Во второй задаче оценим рост вероятности ложной тревоги для самого показательного случая, когда все каналы левой половины окна свободны от пассивных помех, все каналы правой половины принимают пассивную помеху, а канал обнаружения находится на кромке помех и тоже принимает помеху. Во второй задаче плотности распределения случайных величин, наблюдаемых в разных полуокнах, отличаются. В пределах одного полуокна случайные величины на выходах каналов имеют одинаковые плотности распределения вероятностей. Поэтому для вероятностных характеристик порядковых статистик в обеих задачах можно использовать соотношения, приведённые в предыдущих параграфах. 215
Преобразования Лапласа плотностей распределения порядковых статистик будем искать сразу для второй задачи. Если затем в одном из найденных выражений отношение помеха/шум принять равным нулю, то получим соответствующее выражение для первой задачи. Используя результаты из § 7.4, можно записать преобразование Лапласа F1( p) плотности распределения порядковой статистики s1 F1 ( p )
n! (n )!
1
(n 1 p)
n i
n i p i 0
1
и преобразование Лапласа F2( p) плотности распределения порядковой статистики s2 1 ni , F2 ( p ) F2 ( p, п ) i 0 n i p (1 п )
где п — отношение помеха/шум для сигнала помехи, принимаемого каждым измерительным каналом правой половины окна. Теперь для вычисления вероятности превышения адаптивного порогового уровня можно воспользоваться формулой (7.5.1). При этом в формулу (7.5.1) следует подставить приведённые здесь (в предыдущем абзаце) выражения для изображений по Лапласу F1( p) и F2( p) плотностей распределения вероятностей порядковых статистик. Если для вычисления контурного интеграла в (7.5.1) использовать вычеты, расположенные слева от контура, то для вероятности превышения порога получим следующую формулу: P F2 ()
F2 ( n 1 ) n! (n )! 1 ( n 1 )( n 1 )
1
,
(7.6.1)
1
где (1 п), и п — отношение сигнал/шум и отношение помеха/шум в канале обнаружения. В [131, 272] тоже были получены формулы для вероятности превышения адаптивного порога в схеме с выбором большей из двух порядковых статистик. Но эти формулы были получены другим путём и имеют другой вид. Применительно к однородному помеховому фону вероятность превышения порога выражается в виде двойной суммы. При анализе первой задачи полагаем п 0 в формуле (1). При 0 формула (1) устанавливает зависимость вероятности ложной тревоги F от порогового множителя . Задавшись значением F, находим . При 0 формула (1) устанавливает зависимость вероятности обнаружения полезного сигнала D от отношения сигнал/шум . Задавшись значением D, находим необходимое отношение сигнал/шум. Сравнивая необходимое отношение сигнал/шум для анализируемой схемы с соответствующим отношением сигнал/шум при известной интенсивности шума, находим коэффициент потерь ПСБИ. 216
По данным, представленным в табл. 7.11, можно судить, насколько коэффициент потерь ПСБИ для анализируемой в данном параграфе схемы ПСБИ отличается от коэффициента потерь УС для схемы с усреднением по каналам. Данные для табл. 7.11 определялись по формуле 10 lg(ПСБИ /УС) 10 lg(ПСБИ /УС). Здесь через ПСБИ обозначены требуемые отношения сигнал/шум для схемы ПСБИ, при которых достигаются заданные значения вероятности обнаружения полезного сигнала D. Отношения сигнал/шум УС определяются правой частью формулы (5.2.4). Таблица 7.11 Значения 10 lg(ПСБИ /УС) N
10 lg(ПСБИ /УС)
D F 10
6
F 10
8
F 10
10
16
6
0,1 0,5 0,9
1,0573 1,1538 1,1936
1,3754 1,4868 1,5325
1,6991 1,8223 1,8725
32
12
0,1 0,5 0,9
0,6311 0,6719 0,6882
0,8044 0,8526 0,8719
0,9714 1,0257 1,0474
64
24
0,1 0,5 0,9
0,3669 0,3826 0,3887
0,4675 0,4865 0,4939
0,5623 0,5842 0,5927
Ранее в табл. 7.9 были представлены значения 10 lg(ЦБИ /УС), где ЦБИ — коэффициент потерь для схемы с выбором большей из двух цензурированных сумм (ЦБИ). Сравнивая данные табл. 7.9 и 7.11, убеждаемся, что при переходе от схемы ЦБИ к схеме ПСБИ энергетические потери увеличиваются. Это объясняется тем, что в одной схеме при оценке уровня шума в усреднении участвуют порядковых статистик, в другой схеме оценка осуществляется по единственной -й порядковой статистике. Однако увеличение потерь незначительно. Это можно объяснить тем, что порядковые статистики, участвующие в усреднении, являются статистически зависимыми случайными величинами. По данным, представленным в табл. 7.9 и 7.11, увеличение потерь находится в диапазоне от 0,10 до 0,25 дБ. По мнению, высказанному в [272], схема ЦБИ также предпочтительнее схемы ПСБИ. В [272] это мнение обосновывается тем, что схема ЦБИ обладает плавным снижением эффективности, когда число мешающих целей превышает число удаляемых больших отсчётов. Упорядочивание измерительных отсчётов требует больших вычислительных затрат. В § 7.3 показано, что при практической реализации схемы на основе порядковой статистики можно обойтись без упорядочивания отсчётов. Покажем, что и при реализации схемы ПСБИ также можно обойтись без упорядочивания. 217
В схеме ПСБИ решение о наличии полезного сигнала принимается при выполнении неравенства. r max{u, v}. Это неравенство выполняется, если одновременно выполнится и неравенство r u, и неравенство r v. Проверим n неравенств r ui, i 1, 2, , n. Обозначим через nв число случаев, в которых это неравенство выполнилось. Очевидно, что если выполнилось неравенство r u, то неравенство r ui выполнится для всех i . Следовательно, если выполнилось неравенство r u, то nв . Справедливо и обратное: если nв , то r u. Теперь отмечаем, что массив u1, u2, , un составлен из тех же значений, что и массив r0, r1, , rn1. Отличие состоит лишь в том, что значения из одного массива являются переставленными в другом порядке значениями из другого массива. Поэтому проверку n неравенств r ui (i 1, 2, , n) можно заменить проверкой такого же количества неравенств r ri (i 0, 1, , n 1). От такой замены результат не изменится. Следовательно, можно исключить трудоёмкую вычислительную операцию упорядочивания отсчётов. При этом значение -й порядковой статистики останется неизвестным. Но будет известно, выполняется или не выполняется неравенство r u. Точно так же, проверку неравенства r v для правой половины измерительного окна можно заменить подсчётом количества выполнившихся неравенств r ri (i n 1, n 2, , N). Если процессор обработки сигналов имеет ограничения по количеству вычислительных операций, то при некоторых условиях схема ПСБИ может оказаться предпочтительнее схемы ЦБИ. При анализе второй задачи полагаем 0. Тогда по формуле (1) при п 0 получаем вероятность ложной тревоги F в канале обнаружения, настроенном на кромку пассивных помех. Результаты оценок этой вероятности представлены на рис. 7.10. F 10
12
6
10
10
Рис. 7.10. Вероятность ложной тревоги в канале обнаружения, настроенном на кромку помех (m N /2); схема с выбором большей из двух порядковых 8 статистик при N 32, F 10
14
13 7
8
10
0
10
10 lg п
Сравнение рис. 7.10 и. 7.9 показывает, что вероятность ложной тревоги на кромке помех для схем ПСБИ и ЦБИ практически одинакова. 218
8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР РАЗНОВИДНОСТЕЙ СХЕМ 8.1. Введение Рассмотренные ранее алгоритмы формирования пороговых уровней имели фиксированные параметры. Так, например, в алгоритме ПС-ПУЛТ (OS CFAR) номер порядковой статистики, отбираемой для формирования порога, является фиксированной величиной, а в алгоритмах с цензурированием параметром является количество удаляемых отсчётов. Параметры схем выбираются при проектировании алгоритма в результате компромисса. При выборе параметров приходится задаваться предполагаемой помеховой обстановкой. В [185] такие алгоритмы названы робастными (т. е. устойчивыми). Если характеристики реальных помех начнут существенно отличаться от характеристик предполагаемых помех, то могут ухудшиться характеристики обнаружения цели или даже может нарушиться работоспособность радиолокатора. Поэтому было предпринято большое количество попыток усовершенствовать схемы формирования порога, чтобы они автоматически адаптировались к изменениям помеховой обстановки. Соответствующие алгоритмы стабилизации уровня ложных тревог в [185] названы адаптивными. В данной главе дано краткое описание опубликованных работ, в которых предлагаются и исследуются различные адаптивные схемы формирования порогового уровня. Число опубликованных работ, посвящённых адаптивным схемам, чрезвычайно велико. Ознакомиться со всеми работами и тем более пересказать их содержание хотя бы в кратком виде практически невозможно. Поэтому в данной главе перечислены наиболее значимые и цитируемые работы. Помимо краткой характеристики адаптивных схем формирования пороговых уровней, в данной главе дано описание квазианалитического метода статистического моделирования. Представлены примеры применения этого метода для исследования рабочих характеристик адаптивных схем. 8.2. Схемы с автоматическим определением положения кромки помех Представим, что в измерительном окне есть кромка помех. Если был бы известен номер канала m (см. рис. 5.3), начиная с которого наблюдается интенсивная помеха, то не было бы особых проблем при формировании порога. По значению m можно установить, находится ли канал обнаружения в зоне, свободной от помех, или канал обнаружения подвержен воздействию помех. Тогда для формирования порога можно осуществить суммирование выходных величин в каналах, расположенных в той же зоне, в которой расположен канал 219
обнаружения. При этом не увеличивалось бы количество ложных тревог, отсутствовал бы маскирующий эффект кромки помех. Увеличились бы только энергетические потери, так как число каналов, участвующих в формировании порога, было бы меньше общего числа каналов в измерительном окне. Если кромка помех будет находиться за пределами измерительного окна, то и энергетические потери не будут увеличиваться и будут такими же, как в среднеуровневом обнаружителе. Поэтому перед формированием порогового уровня целесообразно попытаться определить положение кромки помех. Подобная задача решается в [142]. На основе отсчётов и с использованием метода максимального правдоподобия находится разделительная точка между двумя шумовыми полями (т. е. между шумовыми полями до и после кромки помех). В [117] изложен алгоритм, состоящий из двух этапов. Вначале определяются участки, на которых помехи однородны. Затем полученные оценки используются для вычисления порогового уровня. В [224] определение положения кромки помех осуществляется другим способом. Предлагается адаптивный алгоритм, в котором выполняются проверки ячейки за ячейкой (cell-by-cell tests). Во время очередной проверки сравниваются два соседних отсчёта, причём тот или иной отсчёт (по очереди) учитывается с некоторым весовым множителем. По результатам такой проверки принимается решение о наличии или отсутствии скачка мощности помехи в проверяемых отсчётах. Измерительные отсчёты в этом алгоритме не ранжируются. Анализ опубликованных результатов исследований (см. упомянутые выше работы, а также [268]) позволяет высказать следующее предположение. Подобные алгоритмы будут хорошо распознавать скачок мощности помехи, если при скачке мощность изменяется существенно. Если же мощность изменяется мало (например, на 2…5 дБ или даже на 10 дБ), то такой скачок может оказаться нераспознанным. В то же время даже небольшие скачки мощности помехи могут заметно увеличивать количество ложных тревог. 8.3. Схемы формирования порога при наличии мешающих целей Если помеховый фон однородный, но в измерительном окне есть мешающие цели, то характеристики обнаружения простой схемы, основанной на непосредственном усреднении отсчётов по всем каналам, могут существенно ухудшиться. Чтобы этого не происходило, в [204] предложено корректировать пороговый множитель в сторону уменьшения, если в измерительном окне есть мешающие цели. Представлены формулы для корректировки. Чтобы осуществить корректировку, должны быть известны средние значения отношения сигнал/шум для мешающих целей. Предполагается, что необходимые сведения о мешающих целях содержатся в результатах, получаемых в процессе их автосопровождения. 220
Корректировка порогового множителя в [204] рассмотрена применительно к среднеуровневому обнаружителю. В [88] корректировка порогового множителя была обобщена на обнаружители с выбором большего значения и с выбором меньшего значения (GO CFAR и SO CFAR). В [93] анализируется алгоритм, в котором отсчёты в одной половине измерительного окна суммируются отдельно от отсчётов в другой половине окна. Затем осуществляется весовое суммирование двух полученных результатов (weighted cell-averaging CFAR). Полагается, что известно, в какой половине измерительного окна есть мешающая цель, и что известно её отношение сигнал/шум. В таких условиях ищутся оптимальные значения весовых коэффициентов при заданной вероятности ложной тревоги. Затем находится вероятность обнаружения сигнала. Показано, что при наличии мешающей цели обнаружитель WCA CFAR превосходит по характеристикам обнаружители CA, GO, SO CFAR. В [118] предложена схема (см. также [6, с. 189]), в которой интенсивные отражения от целей исключаются из оценки уровня помех. В этой схеме нет деления измерительного окна на две половины. Все измерительные каналы расположены на дальностной оси по одну сторону от канала обнаружения. Отсчёт, снимаемый с выхода канала обнаружения, после сравнения с порогом поступает к следующему такту работы в измерительное окно. Если не было превышения порога, то этот отсчёт поступает без изменений. Если превышение порога было, то отсчёт заменяется оценкой среднего значения, имеющейся в схеме в текущий момент времени. Во многих случаях, чтобы при наличии мешающих целей характеристики обнаружения не ухудшались, применяют схему на основе порядковой статистики или осуществляют удаление самых больших измерительных отсчётов. При проектировании схемы приходится выбирать число удаляемых отсчётов. Если число мешающих целей превысит число удаляемых самых больших отсчётов, то произойдёт нарушение работоспособности радиолокатора. Однако чрезмерное увеличение числа удаляемых самых больших отсчётов тоже нежелательно, так как это приведёт к увеличению энергетических потерь. Поэтому в опубликованной литературе предлагаются схемы с автоматическим определением числа удаляемых отсчётов. В [92] описана итеративная процедура, в которой измерительные отсчёты, превысившие порог, вычисленный с заранее заданным масштабным пороговым множителем, исключаются из исходного набора отсчётов. Затем по оставшимся отсчётам и с использованием другого порогового множителя вычисляется новый порог. С этим новым порогом сравниваются оставшиеся отсчёты. Процедура совершает последовательные приближения и завершается, когда не остаётся измерительных отсчётов, превысивших текущий вычисленный порог. После этого формируется окончательный пороговый уровень для обнаружения полезного сигнала. Применительно к этой 221
процедуре выведены соответствующие формулы и представлены в графическом виде характеристики обнаружения. В статье [151] предложен и исследован обнаружитель Excision CFAR (см. также [120, 121, 152]). В обнаружителе Excision CFAR (excision — вырезание, удаление) измерительные отсчёты сравниваются с предварительным порогом. Отсчёты, превысившие предварительный порог, удаляются. Адаптивный пороговый уровень получается в результате умножения среднего значения оставшихся отсчётов на соответствующий пороговый множитель. В описаниях обнаружителя Excision CFAR не содержится какихлибо строгих правил по выбору предварительного порога. Но в статье [157] говорится, что при вырезании с предварительным фиксированным порогом в представляющих интерес случаях вероятность ложной тревоги нечувствительна к уровню шума. Это также подтверждается графиками в статье [186]. В [93, 168] представлен обнаружитель GCMLD (generalised censored mean level detector — среднеуровневый обнаружитель с предварительным обобщённым цензурированием), предназначенный для работы при наличии мешающих целей. Измерительные отсчёты упорядочиваются в порядке возрастания и затем подвергаются специальному анализу. При этом проверяется, не содержит ли упорядоченная последовательность резкого скачка амплитуд. Если устанавливается наличие такого скачка, то большие отсчёты, расположенные после скачка, удаляются. Оставшиеся отсчёты используются для вычисления адаптивного порогового уровня. Утверждается, что при малом числе отсчётов N и малых значениях вероятности ложной тревоги рассмотренный алгоритм превосходит алгоритм из статьи [92]. В [148, 222] рассматривается разновидность схемы с простым суммированием после двойного цензурирования. Количество удаляемых малых порядковых статистик b фиксируется. Количество удаляемых больших порядковых статистик выбирается в каждом положении скользящего измерительного окна. Выбирается такое k, при котором выполняется неравенство zk (1 ) zb 1 zk 1 ,
где zj ( j 1, 2, , N ) — упорядоченные отсчёты; — константа, подбираемая в процессе исследования характеристик схемы. Для формирования порогового уровня используется сумма s zb 1 zb 2 zk 1 zk .
Такая схема должна обладать хорошими характеристиками при работе в однородных помехах и при наличии мешающих целей (причём возможное количество мешающих целей может быть заранее неизвестным). В [222] при выборе параметров схемы учитывается также увеличение вероятности ложной тревоги при наличии кромки помех. 222
В схемах с адаптивными пороговыми уровнями обычно выполняются следующие операции. В каждом такте работы схемы отсчёт из канала обнаружения сравнивается с порогом. После сравнения с порогом отсчёты перемещаются в измерительном окне на одну позицию. Будем считать, что отсчёты перемещаются в правую сторону блок-схемы. В результате отсчёт из канала обнаружения становится последним измерительным отсчётом в правой половине окна, а первый измерительный отсчёт из правой половины окна вытесняется и в дальнейшем анализе не участвует. Одновременно на одну позицию смещаются отсчёты и в левой половине окна. После этого снова вычисляется адаптивный порог, и отсчёт из нового канала обнаружения сравнивается с порогом. В [163] предложено изменение изложенного порядка перемещения отсчётов. Если в канале обнаружения не было превышения порога, то сохраняется прежний порядок перемещения отсчётов. Если было превышение, то фиксируется наличие полезного сигнала (как обычно), затем к следующему такту работы отсчёты в левой половине окна перемещаются на одну позицию, а отсчёты в правой половине остаются без изменений. При этом отсчёт, превысивший в канале обнаружения порог, автоматически удаляется из дальнейшего анализа. В результате оказывается, что среди отсчётов в правой половине окна нет интенсивных отражений. Можно считать, что отсчёты в правой половине окна подверглись автоматическому цензурированию. Изменённый порядок перемещения отсчётов применяется во всех схемах, рассматриваемых в [163—166, 205, 167, 206]. В этих схемах алгоритм обработки отсчётов в одной половине окна отличается, вообще говоря, от алгоритма обработки в другой половине окна. Затем два результата обработки отсчётов объединяются по какому-либо логическому правилу или суммируются. В алгоритмах из статьи [163] в левом полуокне ищется k-я порядковая статистика, в правом полуокне — l-я порядковая статистика. Далее возможны три варианта объединения статистик: суммирование, выбор большей статистики, выбор меньшей статистики. В схемах из [164, 165, 167] в левом полуокне ищется k-я порядковая статистика, в правом полуокне — среднее значение отсчётов. Затем в схемах из [164, 167] осуществляется выбор большего результата, а в схеме из [165] — суммирование результатов. В схеме из доклада [166] в каждом полуокне осуществляется усреднение после двойного цензурирования (trimmed mean). Затем два результата суммируются. В схеме из доклада [205] в левом полуокне ищется k-я порядковая статистика, в правом полуокне осуществляется усреднение после двойного цензурирования. Затем два результата суммируются. В докладе [206] в общем случае полагается, что в каждой половине измерительного окна вычисляется линейная комбинация порядковых статистик, т. е. осуществляется весовое суммирование. Для выставки 223
адаптивного порога отбирается та сумма, значение которой оказалось больше. Далее рассматриваются два частных случая обработки отсчётов в полуокнах: простое суммирование после двойного цензурирования и весовое суммирование после двойного цензурирования. Выполненный в [163—166, 205, 167, 206] анализ показывает, что при наличии мешающих целей схемы обладают хорошими характеристиками. Как уже отмечалось, в [164, 167, 206] для объединения результатов обработки отсчётов в полуокнах используется выбор большего значения. Можно ожидать, что такие схемы покажут удовлетворительные результаты при наличии кромки помех. Однако работа обнаружителей при таких условиях в [164, 167, 206] не анализировалась. В схемах из [166, 205] результаты обработки отсчётов в двух полуокнах суммируются. Проведён анализ влияния кромки помех. Представленные результаты похожи на аналогичные результаты для большинства других схем, в которых отсутствует выбор большего значения. В докладах [112, 113] предлагается и анализируется «алгоритм с переключением» (Switching CFAR, S-CFAR). Алгоритм использует выходную величину в канале обнаружения r, чтобы рассортировать отсчёты r i в измерительных каналах (i — номер измерительного отсчёта). В процессе сортировки отсчёты делятся на два множества S1 и S0. Отсчёт ri принадлежит к множеству S0, если он меньше, чем порог r, и к множеству S1 в ином случае. Здесь — масштабный множитель ( 1). Затем, в зависимости от полученных результатов, осуществляется «переключение» на те или иные отсчёты для дальнейшего вычисления порогового уровня. Если число отсчётов в множестве S 0 оказалось больше некоторой целочисленной пороговой величины, то для формирования адаптивного порогового уровня используются среднее значение отсчётов из множества S0 и некоторый пороговый множитель. В противном случае используются все измерительные отсчёты и другой пороговый множитель. Судя по представленным результатам исследований, алгоритм S-CFAR работоспособен при наличии мешающих целей. Результаты дальнейших исследований алгоритма S-CFAR изложены в работах [226, 115]. Кроме того, в [115] выполнено обстоятельное сравнение с рядом других алгоритмов формирования адаптивных пороговых уровней. В [257] предлагается алгоритм с переключением порядковых статистик (SW-OS). Находятся две порядковые статистики zl и zk, l 3N/4, k N/2. Если zl zk, то помеховый фон считается неоднородным, а основой для адаптивного порога служит zk. В противном случае используется zl. Здесь — константа ( 1). На графиках сравниваются характеристики алгоритмов SW-OS и S-CFAR при наличии мешающих целей. В [252] представлен алгоритм с переключением, отличающийся от S-CFAR. Вначале, как и в алгоритме S-CFAR, осуществляется 224
сортировка отсчётов, и при большом числе отсчётов в множестве S0 для формирования адаптивного порогового уровня используется среднее значение отсчётов из множества S0. В противном случае осуществляется переключение на алгоритм с выбором большей из двух порядковых статистик. Алгоритм, предложенный в [276], использует выходную величину в канале обнаружения для сортировки отсчётов отдельно в одной половине измерительного окна, а также для отдельной сортировки в другой половине окна. По результатам двух сортировок осуществляется выставка адаптивного порогового уровня для обнаружения полезного сигнала. Усложнение алгоритма обусловлено намерением улучшить характеристики обнаружителя при наличии кромки помех. 8.4. Схемы с автоматическим определением положения кромки помех и числа мешающих целей В докладах [147, 148] предложен адаптивный обнаружитель на основе порядковой статистики (adaptive order statistic — AOS). Этот обнаружитель действует как OS CFAR, но номер порядковой статистики k выбирается в каждом измерительном окне по результатам проверки на предмет наличия скачка мощности помехи. Каждый раз перед сравнением с порогом автоматически устанавливается, есть ли кромка помех, или помеховый фон равномерный. Если кромки помех нет, то может использоваться оптимальное значение номера порядковой статистики. Если установлено наличие кромки, то используется увеличенное значение номера порядковой статистики. В [169, 171] представлен следующий алгоритм. В каждом из полуокон осуществляется автоматическое удаление самых больших отсчётов. Алгоритм автоматического удаления такой же, как в обнаружителе GCMLD (краткое описание GCMLD см. в предыдущем параграфе). Оставшиеся отсчёты усредняются, затем следует выбор большей из двух цензурированных оценок. Выполнено сравнение с другими схемами формирования порогов. Представлены характеристики обнаружения для случаев, когда в наличии и кромка помех, и мешающие цели. В [170] рассматриваются алгоритмы автоматического анализа упорядоченной последовательности отсчётов. Отдельно рассматривается алгоритм для выявления кромки помех (если она есть). Также рассматривается алгоритм выявления мешающих целей, затем — алгоритм, предназначенный для работы при одновременном наличии кромки помех и мешающих целей. Для различных сложных случаев помеховой обстановки представлены характеристики обнаружения (в графическом виде). В докладе [225] предлагается алгоритм обработки измерительных отсчётов, который выполняет два прохода по отсчётам. В первом проходе удаляются возможные мешающие отражения от целей, которые могут присутствовать в измерительных каналах. Во втором проходе алгоритм определяет, находится ли канал обнаружения 225
в области помех или в «чистой» области, и отбирает отсчёты из той области, в которой находится канал обнаружения. Отобранные отсчёты используются для формирования порогового уровня. Предложенный обнаружитель назван обнаружителем с распознаванием данных (data discrimination CFAR). Обнаружителю DD-CFAR в процессе работы ранжирование отсчётов не требуется. В [157] выполнено обобщение обнаружителя Excision CFAR (excision — вырезание, удаление), краткое описание которого приведено в предыдущем параграфе. В обобщённом алгоритме удаление отсчётов и усреднение оставшихся отсчётов осуществляются в каждой половине измерительного окна. Больший из двух полученных результатов усреднения является основой для формирования адаптивного порогового уровня. В [250, 251] предложен обнаружитель Variability Index CFAR (см. также [267]). Variability Index — индекс изменчивости. Обнаружитель VI-CFAR предположительно основан на следующем: если статистические характеристики отсчётов отличаются, то 2 m12 принимает большое значение. Здесь 2 m2 m12 , m 1 — среднее значение отсчётов, m2 — среднее значение квадратов отсчётов. В обнаружителе VI-CFAR в каждом из полуокон вычисляются среднее значение отсчётов m1, среднее значение квадратов отсчётов m2 и индекс изменчивости vi m2 m12 . Если средние значения в полуокнах мало отличаются друг от друга и индекс изменчивости в обоих полуокнах не превышает некоторого порогового значения, то принимается решение, что помеховая обстановка однородная. При однородной помеховой обстановке адаптивный пороговый уровень вычисляется так же, как в среднеуровневом обнаружителе (CA CFAR). Если помеховая обстановка не является однородной, то осуществляются дальнейшие проверки, по результатам которых выбирается способ формирования адаптивного порога. Если индекс изменчивости в обоих полуокнах не превышает порогового значения, но средние значения отличаются существенно, то адаптивный пороговый уровень вычисляется так же, как в обнаружителе с выбором большего значения (GO CFAR). Если индекс изменчивости небольшой только в одной половине окна, то основой для адаптивного порога служит среднее значение отсчётов в этой половине окна. Если индекс изменчивости большой в обеих половинах окна, то адаптивный пороговый уровень вычисляется так же, как в обнаружителе с выбором меньшего значения (SO CFAR). Обнаружитель VI-CFAR обеспечивает устойчивость в неоднородной помеховой обстановке, в том числе в присутствии мешающих целей (если все цели находятся в одной половине окна) и при наличии кромки помех. В [178, 275] отмечается, что работоспособность обнаружителя VI-CFAR нарушается, когда мешающие цели находятся в обеих половинах измерительного окна. Чтобы устранить этот недостаток, 226
в [178, 275] были предложены улучшенные версии алгоритма. В версии, предложенной в [178], средние значения отсчётов используются только для оценки помеховой обстановки, а в процедурах вычисления адаптивного порогового уровня средние значения отсчётов заменены соответствующими порядковыми статистиками. В докладе [278] предложен алгоритм ODV-CFAR (Ordered Data Variability CFAR), основанный на изменчивости упорядоченных данных. Как и в [250, 251], при анализе отсчётов используется индекс изменчивости (Variability Index). Все отсчёты в обеих половинах измерительного окна рассматриваются как единый массив данных. Если индекс изменчивости, вычисленный по всем отсчётам измерительного окна, не превышает порогового значения, то принимается решение, что помехи однородные. Тогда пороговый уровень вычисляется так же, как в среднеуровневом обнаружителе (CA CFAR). Если индекс изменчивости превышает пороговое значение, то принимается решение, что помехи неоднородные. Измерительные отсчёты упорядочиваются (ранжируются). Затем весь массив упорядоченных отсчётов делится на две части. В первую часть массива входят порядковые статистики с меньшими номерами, во вторую — с большими. Граница раздела между этими двумя частями выбирается так, чтобы сумма двух значений индекса изменчивости была минимальна. При этом одно из этих значений индекса изменчивости находится по значениям порядковых статистик первой части массива, другое — по значениям порядковых статистик второй части массива. Далее используется только та часть массива, которая состоит из большего количества порядковых статистик. Среднее значение этих порядковых статистик служит основой для формирования адаптивного порогового уровня. В алгоритме, представленном в [188], размер измерительного окна адаптивный. Размер окна может меняться в зависимости от наблюдаемых результатов. В однородной обстановке размер автоматически увеличивается и может оказаться больше, чем в традиционном среднеуровневом обнаружителе (CA CFAR). Благодаря этому можно улучшить характеристики обнаружения (по сравнению с обнаружителем с фиксированным размером окна). Дополнительные сведения о других разновидностях схем формирования порогов можно найти, например, в докладах [114, 116]. 8.5. Квазианалитический метод статистического моделирования и комбинированная схема Анализ схем, рассмотренных в предыдущих главах, осуществлялся либо аналитическими методами, либо с использованием каких-либо численных методов интегрирования. В данной главе представлено краткое описание более сложных схем, применить к которым аналитические и численные методы не удаётся. Такие схемы исследуются только статистическим моделированием. 227
При непосредственном статистическом моделировании возникает проблема оценки вероятности ложной тревоги. Чтобы достоверно оценить эту вероятность, необходимо получить приемлемое количество фактов превышения порога. Если при вероятности ложной тревоги 108 количество статистических испытаний составит 1010, то получим около 100 превышений порога. При таком количестве превышений оценки будут ориентировочными, не говоря уже о том, что выполнение 1010 реализаций оказывается нереальным. При исследовании сложных схем целесообразно использовать квазианалитический метод статистического моделирования. В § 2.1 даны ссылки на публикации, в которых предлагался этот метод, а также на работы, в которых метод применялся для исследования характеристик обнаружения. В данном параграфе детально рассмотрим квазианалитический метод. Затем применим этот метод для исследования схем. Схемы будут таковы, что для их исследования оказывается невозможным применить какие-либо аналитические или численные методы. Метод называется квазианалитическим предположительно потому, что при определении вероятности превышения порога аналитические выражения сочетаются с усреднением по случайным числам, которые вырабатываются обычными датчиками случайных чисел. Первоочередной задачей при исследовании схем является определение необходимого значения порогового множителя, которое должно быть таким, чтобы при работе в однородной помеховой обстановке вероятность ложной тревоги была равна заданной величине. Для этого строится зависимость вероятности ложной тревоги F от порогового множителя . Затем с использованием этой этой зависимости находится значение порогового множителя, при котором вероятность ложной тревоги будет равна заданной величине. В реальных схемах проверяется выполнение неравенства r s, где r — случайная величина на выходе канала обнаружения, s — оценка неизвестной интенсивности шума. Если при моделировании воспроизводить все реальные процессы, то в каждой реализации с помощью датчика случайных чисел необходимо вырабатывать случайное число r, а затем сравнивать его со случайным пороговым уровнем. При моделировании подсчитывается доля реализаций, в которых произошло превышение порога. Если случайные числа r и s статистически независимы, то при подсчёте этой доли можно использовать аналитические соотношения. При фиксированном пороге s эта доля совпадает с вероятностью превышения порога и при квадратичном детекторе равна exp(s). Поэтому нет необходимости моделировать случайную величину на выходе канала обнаружения и подсчитывать количество произошедших маловероятных событий. Последовательность выполняемых операций при квазианалитическом методе моделирования выглядит следующим образом. В каждой реализации вырабатываются случайные числа, являющиеся имитацией выходных величин в измерительных каналах. 228
Затем, по имеющимся выходным величинам, в соответствии с алгоритмом формирования адаптивного порогового уровня находится оценка неизвестной интенсивности помехового фона. В обозначение для этой оценки добавим индекс l — номер реализации при статистическом моделировании. При квадратичном детекторе вероятность превышения порога в l-й реализации будет равна exp(sl). Поскольку s l является случайной величиной, то и вероятность превышения порога в l-й реализации будет случайной величиной. Для получения искомого результата необходимо произвести моделирование некоторого количества реализаций и затем осуществить усреднение. Вероятность ложной тревоги при квазианалитическом методе находится по формуле 1 L (8.5.1) F exp ( sl ) , L l 1
где L — общее количество реализаций. Чем больше число реализаций L, тем точнее формула (1). Если детектор не квадратичный, то вместо exp (sl) необходимо использовать другое аналитическое выражение, соответствующее применяемой детекторной характеристике. На рис. 8.1 представлены результаты оценок для схемы на основе усреднения по каналам (УС-ПУЛТ). Полагалось, что детектор квадратичный, а число измерительных каналов равно N 32. Значение sl в формуле (1) представляло собой сумму из N случайных чисел, имеющих экспоненциальное распределение с единичным средним значением. Теоретическая кривая рассчитывалась по формуле F 1/(1 )N. 106 10
7
10
8
10
9
10
F
1 2
10
0,6
0,8
1,0
Рис. 8.1. Зависимости вероятности ложной тревоги от порогового множителя: 1 — теоретическая (гладкая кривая); 2 — полученная квазианалитическим методом моделирования при числе 4 реализаций, равном 10
Анализ различных результатов, получаемых квазианалитическим методом моделирования, позволяет сделать следующий вывод. Необходимое число реализаций зависит от значения оцениваемой вероятности ложной тревоги. Если F 106, то приемлемые результаты получаются при числе реализаций не менее 104. При F 108 необходимы по крайней мере 106 реализаций. При F 1010 необходимы 108 реализаций. Результаты, представленные на рис. 8.1, не противоречат этому выводу. 229
В следующем параграфе квазианалитический метод моделирования демонстрируется на примере анализа достаточно сложной схемы, обладающей хорошими характеристиками в неоднородной помеховой обстановке. Однако прежде чем переходить к анализу такой схемы, рассмотрим предварительный вариант схемы формирования адаптивного порогового уровня. Этот вариант схемы является частью сложной схемы, рассматриваемой в следующем параграфе. В [279] предложено комбинировать две известные схемы с целью улучшения характеристик обнаружения. Одни и те же отсчёты, снимаемые с выхода канала обнаружения и выходов измерительных каналов, поступают на две параллельные схемы. Первая схема представляет собой обнаружитель с адаптивным порогом на основе усреднения по каналам. Вторая схема является обнаружителем с адаптивным порогом на основе порядковой статистики. По результатам, полученным на выходах обеих схем, выносится окончательное решение о наличии полезного сигнала. В первом варианте комбинирования для принятия решения о наличии сигнала необходимо, чтобы произошло превышение обоих пороговых уровней. Во втором варианте окончательное решение о наличии сигнала принимается, если сигнал будет обнаружен хотя бы в одной из схем. При теоретическом анализе в [279] предполагалось, что оценка неизвестной интенсивности шума в одной схеме статистически независима от оценки интенсивности в другой схеме. Такое предположение позволяет получить необходимые аналитические соотношения для анализа комбинированной схемы. Но поскольку исходными данными для обеих схем являются одни и те же измерительные отсчёты, то оценки интенсивности не могут быть независимыми. Поэтому результаты, представленные в [279], могут оказаться некорректными. А учёт статистической зависимости настолько усложняет задачу, что не представляется возможным выполнить исследования в аналитическом виде. Для исследования именно таких схем наиболее подходящим является квазианалитический метод статистического моделирования. Рассмотрим второй вариант комбинирования схем, когда окончательное решение о наличии сигнала принимается, если сигнал будет обнаружен хотя бы в одной из схем. Внесём в этот вариант две корректировки. Будем полагать, что во второй комбинируемой схеме применяется более эффективный алгоритм формирования порогового уровня. Вместо использования порядковой статистики осуществляется весовое суммирование после простого цензурирования (подробнее о весовом суммировании после простого цензурирования см. § 7.4). Кроме того, изменим способ задания пороговых множителей. В [279] полагалось, что пороговые множители в обеих комбинируемых схемах совпадают. Мы же будем задавать пороговые множители так, чтобы в обеих схемах совпадали вероятности превышения порога при условии, что входным воздействием является только однородный шум. 230
Пусть, как и прежде, F — вероятность ложной тревоги. Обозначим через F 1 вероятность превышения порога шумами в одной комбинируемой схеме. Справедливо равенство F F1 F1 P, где P — вероятность превышения порога в двух схемах одновременно. Учитывая, что превышение порога в одной схеме и превышение порога в другой схеме являются частично зависимыми событиями, можно записать F1 P F12 . Из представленных соотношений можно получить F/2 F1 F. Неравенство F/2 F1 F позволяет сделать предварительные выводы об эффективности комбинированной схемы. Представим, что осуществляется работа в однородной помеховой обстановке. В обнаружение полезного сигнала вносят вклад обе комбинируемые схемы, но мы не будем учитывать вклад, вносимый второй схемой (тем самым несколько ухудшим оценку характеристик обнаружения). В таком случае при оценке вероятности обнаружения принимаются во внимание только результаты работы первой схемы. А в первой схеме пороговый уровень формируется на основе среднего значения отсчётов. Отличие первой комбинируемой схемы от схемы УС-ПУЛТ (CA CFAR) состоит в том, что в первой схеме вероятность превышения порога шумами равна F1, а в схеме УС-ПУЛТ равна F. Но если в схеме УС-ПУЛТ менять задаваемую вероятность превышения порога шумами в диапазоне от F/2 до F, то характеристики обнаружения полезного сигнала изменятся мало. Следовательно, можно сделать вывод, что в однородной помеховой обстановке рассматриваемая комбинированная схема имеет почти такие же характеристики, как и схема формирования порогового уровня на основе усреднения по каналам (УС-ПУЛТ). Теперь представим, что осуществляется работа при наличии мешающей цели. Отражения от мешающей цели увеличат пороговый уровень в первой комбинируемой схеме. При неограниченном увеличении отношения сигнал/шум мешающей цели первая схема перестанет вносить какой-либо вклад в процесс обнаружения полезного сигнала. Комбинированная схема превратится в простую схему с весовым суммированием после простого цензурирования. Отличие будет состоять в том, что для этих схем задаются разные вероятности превышения порога шумами. Задаваемые вероятности отличаются незначительно, поэтому можно считать, что при наличии мешающих целей комбинированная схема будет иметь почти такие же характеристики обнаружения, как схема с весовым суммированием после простого цензурирования. Теперь рассмотрим применение квазианалитического метода моделирования к анализу схемы. При описании схемы мы считали, что осуществляются два сравнения с пороговыми уровнями — в двух комбинируемых схемах. Но квазианалитический метод применим только к тем схемам, в которых осуществляется только одно сравнение с порогом. Поэтому представленную комбинированную схему необходимо преобразовать 231
к некоторому другому виду, в котором будет только одно сравнение с порогом, но при этом характеристики обнаружения не изменятся. В эквивалентной схеме по-прежнему вычисляются два адаптивных пороговых уровня. Затем из этих двух уровней отбирается тот, который имеет минимальное значение. С отобранным уровнем сравнивается выходная величина, полученная в канале обнаружения. Если порог превышен, то принимается решение о наличии полезного сигнала. Теперь проиллюстрируем применение квазианалитического метода к оценке комбинированной схемы. Рассмотрим алгоритм оценки зависимости вероятности ложной тревоги от пороговых множителей. В качестве свободной переменной целесообразно выбрать пороговый множитель в более сложной комбинируемой схеме. Мы будем полагать свободной переменной пороговый множитель в той схеме, в которой для формирования порога осуществляется весовое суммирование после простого цензурирования. Общее число измерительных отсчётов равно N. Число отсчётов, остающихся после цензурирования, равно k. Пороговый множитель в схеме с цензурированием обозначаем символом , пороговый множитель в другой схеме — символом . Полагаем, что детектор квадратичный. Задаём значение свободной переменной — пороговый множитель . В предположении, что помеховый фон однородный, по формуле F1 1/(1 )k находим вероятность превышения порога в схеме с весовым суммированием после простого цензурирования (подробнее об этой формуле см. § 7.4). Пороговый множитель находим из уравнения F1 1/(1 )N. В каждой реализации вырабатываем N статистически независимых случайных чисел, распределённых по экспоненциальному закону с единичным средним значением. Полученные случайные числа имитируют результаты на выходах измерительных каналов. Массив случайных чисел упорядочиваем, располагая числа в порядке возрастания. Упорядоченные и перенумерованные результаты обработки, отсчитываемые на выходах измерительных каналов, удовлетворяют условию z1 z2 zN. В схеме с цензурированием адаптивный порог вычисляется по формуле (z1 z2 zk1 czk), где c N 1 k . В схеме с непосредственным суммированием всех отсчётов адаптивный порог вычисляется по формуле (z1 z 2 zN1 zN). Итоговый пороговый уровень в текущей реализации min{, }. Вероятность превышения случайного адаптивного порога равна exp(). Выполняем L таких реализаций. Если итоговый пороговый уровень в l-й реализации обозначить через l, то вероятность превышения порога в l-й реализации равна exp(l). Вероятность ложной тревоги находится по формуле 1 L F exp( l ) . L l 1 232
Эта вероятность ложной тревоги будет соответствовать значению порогового множителя , заданному перед моделированием. Осуществляя моделирование при различных значениях порогового множителя, получим зависимость вероятности ложной тревоги от порогового множителя. Вероятность обнаружения полезного сигнала при заданном значении порогового множителя находится по формуле D
1 L
L
l
exp 1 , l 1
где — отношение сигнал/шум для полезного сигнала. Таким образом, можно найти любые характеристики обнаружения и интересующие коэффициенты энергетических потерь. Далее в табл. 8.1 представлены некоторые результаты исследований. Таблица 8.1 Комбинированная схема, однородный помеховый фон. Результаты, полученные с помощью квазианалитического метода статистического моделирования (N 32, k 24, D 0,5) Результаты оценок
Оцениваемые величины
F 10
10 lg(КС ) 10 lg(КС /УС)
0,810 13,835 0,096
6
F 10
8
1,201 15,498 0,114
F 10
10
1,675 16,858 0,127
Если применяется исследуемая здесь комбинированная схема, то заданная вероятность обнаружения D 0,5 обеспечивается при значениях отношения сигнал/шум КС, представленных в табл. 8.1. Если применяется схема формирования порогов на основе усреднения по каналам, то заданная вероятность обнаружения обеспечивается при значениях отношения сигнал/шум УС, определяемых формулой (5.2.4). Величина 10 lg(КС /УС) представляет собой относительные энергетические потери для комбинированной схемы. Эти относительные энергетические потери являются результатом сравнения анализируемой схемы со схемой, которая является оптимальной для обнаружения сигналов в однородной помеховой обстановке. Результаты, представленные в табл. 8.1, позволяют сделать вывод, что при однородных помехах комбинированная схема формирования порогов мало отличается по эффективности от оптимальной схемы. Если помеховая обстановка включает в себя какое-то количество мешающих целей с рэлеевским распределением амплитуды отражённого сигнала, то в каждой реализации увеличиваем значения такого же количества выработанных случайных чисел. Коэффициент увеличения равен 1 м, где м — отношение сигнал/шум для сигнала от каждой мешающей цели. 233
В табл. 8.2 представлены данные, позволяющие сравнить две схемы, для случая, когда в измерительном окне присутствуют сигналы от мешающих целей. Обозначение КС относится к коэффициенту потерь для комбинированной схемы. Значения КС получены при сравнении комбинированной схемы с оптимальным приёмником, осуществляющим обнаружение полезного сигнала на фоне шума с известной интенсивностью (используется фиксированный порог). Коэффициент потерь Ц соответствует схеме, в которой для формирования порога осуществляется весовое суммирование после простого цензурирования. Заданная вероятность обнаружения D 0,5 обеспечивается при значениях отношения сигнал/шум КС (комбинированная схема) или Ц (схема с цензурированием). Таблица 8.2 Энергетические потери при наличии трёх мешающих сигналов с неограниченно большими отношениями сигнал/шум (N 32, k 24, D 0,5) Результаты оценок
Оцениваемые величины
F 10
10 lg(Ц ) 10 lg(КС ) 10 lg(КС /Ц)
2,160 2,339 0,179
6
F 10
8
2,611 2,788 0,177
F 10
10
3,079 3,254 0,175
Характеристики обнаружения при наличии мешающих целей оценивались в предположении, что отношения сигнал/шум для мешающих целей удовлетворяют условию м 1. При вычислении значений Ц и Ц использовались аналитические соотношения, приведённые в § 7.4. Значения КС определялись квазианалитическим методом статистического моделирования. Значения КС находились по формуле КС 0 /КС, где 0 — необходимое отношение сигнал/шум в случае оптимального приёмника, предназначенного для обнаружения полезного сигнал на фоне шума с известной интенсивностью. Применительно к условиям, когда в измерительном окне есть сигналы от мешающих целей, схема с простым цензурированием является одной из лучших. Как видно по результатам, представленным в табл. 8.2, при наличии мешающих целей комбинированная схема обладает характеристиками, близкими к характеристикам схемы с простым цензурированием. Комбинированная схема в некоторой степени универсальна в том смысле, что она обладает хорошими характеристиками как при однородном помеховом фоне, так и при наличии мешающих целей.
234
8.6. Схема, составленная из двух комбинированных схем, объединённых выбором большего значения Рассмотренная в предыдущем параграфе комбинированная схема не лишена и недостатков. При наличии кромки помех будет наблюдаться рост количества ложных тревог, поэтому схема требует дальнейшего совершенствования. По опубликованным результатам многочисленных исследований можно сделать вывод, что при наличии кромки помех хорошие характеристики имеют те схемы, в структуре которых есть выбор большего значения. Поэтому рассмотрим схему с выбором большего из двух пороговых уровней. Один из этих пороговых уровней находится по результатам наблюдений в одной половине окна, другой — по результатам наблюдений во второй половине окна. Формирование каждого из этих двух пороговых уровней осуществляется по алгоритму, который применялся в рассмотренной в предыдущем параграфе комбинированной схеме. Соответствующая схема обнаружения представлена на рис. 8.2. Схема включает в себя две комбинированные схемы. Результаты, получаемые на выходах схем, объединены выбором большего значения. Большее значение является адаптивным пороговым уровнем. Такую объединённую схему для краткости будем называть схемой КБИ. Рассмотрим порядок вычислений при статистическом моделировании. Пусть по-прежнему N — общее число измерительных отсчётов. Число отсчётов в каждой половине измерительного окна равно n N/2. Полагаем, что все параметры схемы и все алгоритмы обработки отсчётов в одной половине окна совпадают с соответствующими параметрами и алгоритмами во второй половине окна. Обозначаем через число отсчётов в каждой половине окна, отбираемых после цензурирования для комбинируемой схемы с цензурированием. Пороговый множитель в схеме с цензурированием обозначаем символом , пороговый множитель в другой комбинируемой схеме — символом . Задаём значение . В предположении, что помеховый фон однородный, по формуле F1 1/(1 ) находим вероятность превышения порога шумами в комбинируемой схеме с весовым суммированием после простого цензурирования. Пороговый множитель находим из уравнения F1 1/(1 )n. В каждой реализации вырабатываем N статистически независимых случайных чисел. Эти случайные числа распределены по экспоненциальному закону с единичным средним значением. Случайные числа являются имитацией отсчётов на выходах измерительных каналов и имеют обозначения r0, r1, , rn1, rn1, , rN. Случайное число rn в этом ряду отсутствует, так как номер n закреплён за каналом обнаружения, а отсчёт на выходе канала обнаружения не имитируется. 235
Выход канала обнаружения r Сравнение с порогом
Каналы в скользящем окне r0 r1
Выходы каналов
rN
Ранжирование
Ранжирование
u1 u2 un
v1 v2 vn
Вычисление двух порогов
Вычисление двух порогов
(u )
) (u
u min{(u ) , (u ) }
(v )
Решение
Порог
Откорректированные значения случайных чисел имитируют выходные величины измерительных каналов при наличии помех. Полученный массив случайных чисел делится на две половины. Одну половину составляют числа r0, r1, , rn1, вторую половину — числа rn1, , rN. Отсчёты в каждой половине далее обрабатываются по одному и тому же алгоритму. Отсчёты в каждой половине упорядочиваем, располагая их в порядке возрастания. Упорядоченные и перенумерованные отсчёты получают новые обозначения: ui и vi (см. рис. 8.2). Отсчёты u1, u2, , un получены в результате упорядочивания отсчётов r0, r1, , rn1, отсчёты v1, v2, , vn — в результате упорядочивания отсчётов rn1, , rN. Отсчёты в новых обозначениях удовлетворяют условиям u1 u2 un, v1 v2 vn. В комбинируемых схемах с цензурированием промежуточные пороги вычисляются по формулам (u ) (u1 u2 u 1 c u ) ,
(v )
(v ) ( v1 v 2 v 1 c v ) ,
v min{(v ) , (v ) }
u max{u, v}
v
где c n 1 . В схемах с непосредственным суммированием всех отсчётов промежуточные пороги вычисляются по формулам (u ) (u1 u 2 un 1 un ) ,
Рис. 8.2. Схема, составленная из двух комбинированных схем, объединённых выбором большего значения (схема КБИ)
Если помеховая обстановка включает в себя кромку помех с рэлеевским распределением амплитуды помехи, то случайные числа корректируются. Все те значения ri , индекс которых удовлетворяет условию i m, увеличиваются. Здесь m — номер канала, настроенного на кромку помех. Коэффициент увеличения равен 1 п , где п — отношение помеха/шум при настройке канала на область пассивных помех (см. рис. 5.3). Помеховая обстановка может включать в себя мешающие цели. В общем случае корректируются все те случайные числа, которые имитируют выходные величины каналов, подвергшихся мешающим воздействиям. Если измерительный канал находится под воздействием только пассивной помехи, то коэффициент увеличения соответствующего случайного числа равен 1 п. Если измерительный канал находится под воздействием только мешающей цели, то коэффициент увеличения соответствующего случайного числа равен 1 м, где м — отношение сигнал/шум для сигнала от мешающей цели. Если измерительный канал находится под воздействием пассивной помехи и мешающей цели, то коэффициент увеличения равен 1 п м.
(v ) (v1 v 2 v n 1 v n ) .
Итоговый пороговый уровень в текущей реализации max{ u , v } ,
где u min{ (u ) , (u ) } , v min{ (v ) , (v ) } .
Теперь пороговый уровень будем снабжать индексом. Итоговый пороговый уровень в l-й реализации — l. Отношение помеха/шум в канале обнаружения мы ранее обозначали символом . Если пассивных помех нет, то 0. Если предполагаем наличие кромки помех, но канал обнаружения находится в свободной от помех зоне (т. е. когда m n), то и в этом случае 0. Если канал обнаружения находится в зоне помех, то п. Выполнив L реализаций моделирования, получаем вероятность ложной тревоги и вероятность обнаружения полезного сигнала F
1 L
L
exp l , 1 l 1
D
1 L
L
l
exp 1 , l 1
где — отношение сигнал/шум для полезного сигнала. 236
237
На первом этапе исследований необходимо найти значение порогового множителя . Для этого задаётся отсутствие полезного сигнала ( 0) и помех (м 0, п 0). Затем по результатам моделирования находится такое значение порогового множителя, при котором вероятность превышения порога будет равна заданной вероятности ложной тревоги F. После этого, осуществляя моделирование при найденном пороговом множителе, можно исследовать характеристики обнаружения (в том числе и при наличии помех). В табл. 8.3 и 8.4 представлены некоторые результаты, полученные с помощью квазианалитического метода статистического моделирования. Таблица 8.3 Пороговые множители и коэффициенты потерь для схемы КБИ. Квадратичный детектор, N 32, 12, D 0,5 Оцениваемые величины 10 lg(КБИ )
Результаты оценок F 10
6
1,548 1,196
F 10
8
2,338 1,567
F 10
10
3,313 1,936 Таблица 8.4
Сравнительные характеристики (N 32, D 0,5) Условия
Оцениваемые величины
Результаты оценок F 10
6
F 10
8
F 10
10
10 lg(КБИ )
13,968
15,646
17,017
10 lg(КБИ /УС) 10 lg(КБИ /БИ) 10 lg(КБИ /БИ/лог) 10 lg(КБИ /Ц) 10 lg(КБИ /ЦБИ)
0,229 0,075 0,532 0,107 0,288
0,262 0,082 0,717 0,197 0,406
0,286 0,086 0,904 0,303 0,532
Три мешающие цели (1, 2)
10 lg(КБИ ) 10 lg(КБИ /Ц)
15,585 0,653
17,416 0,727
18,954 0,793
Три мешающие цели (0, 3)
10 lg(КБИ ) 10 lg(КБИ /Ц)
15,980 1,048
17,797 1,108
19,324 1,164
Без помех
В табл. 8.4 символ относится к обозначениям отношения сигнал/шум, требуемого для обеспечения заданной вероятности обнаружения полезного сигнала. При этом КБИ является требуемым отношением сигнал/шум при использовании рассматриваемой в данном параграфе схемы, составленной из двух комбинированных схем, объединённых выбором большего значения (N 32, 12). Отношение сигнал/шум УС относится к схеме с усреднением по каналам. 238
Отношение сигнал/шум БИ относится к рассмотренной в гл. 6 схеме БИ (данные заимствованы из табл. 6.2), БИ/лог — к рассмотренной в § 6.6 схеме БИ с логарифмическим детектором, Ц — к рассмотренной в § 7.4 схеме с весовым суммированием после простого цензурирования (N 32, k 24), а ЦБИ — к рассмотренной в § 7.5 схеме ЦБИ при N 32 и 12 (цензурирование в схеме с выбором большего значения). Отношение сигнал/шум БИ/лог, как уже было сказано, относится к схеме с логарифмическим детектором, остальные отношения сигнал/шум — к схемам с квадратичным детектором. Запись (1, 2) в табл. 8.4 означает, что одна мешающая цель находится в одной половине измерительного окна, а в другой половине окна находятся две мешающие цели. Строки с записью (0, 3) представляют характеристики для случая, когда все три мешающие цели находятся в одной половине измерительного окна. Заметим, что Ц зависит только от общего числа мешающих целей и не зависит от того, как они распределены в пределах измерительного окна (в схеме с суммированием после цензурирования нет разделения окна на половины). При оценках характеристик полагалось, что отношения сигнал/шум для мешающих целей принимают неограниченно большие значения. Отсчёты, соответствующие результатам обработки сигналов мешающих целей, почти наверняка удаляются в процессе цензурирования. При появлении мешающих целей характеристики обнаружения ухудшаются. Как видно по результатам, представленным в табл. 8.4, характеристики ухудшаются существеннее, если все мешающие цели сосредоточены в одной половине измерительного окна. На рис. 8.3 представлены результаты моделирования для кромки помех. Для моделирования были заданы F 10 8 , N 32, 12, п 10. Пороговый множитель заимствовался из табл. 8.3. Значение выбиралось для расчётов D таким, чтобы при отсутствии помех и при известной интенсивности шума (при фиксированном пороговом уровне) вероятность обнаружения полезного сигнала составляла 0,9. Из данных, использовавшихся для построения рис. 8.3, можно получить следующее. Если одна половина измерительного окна свободна от помех, другая половина находится в зоне помех, а канал обнаружения находится на кромке помех, то вероятность ложной тревоги в канале обнаружения возрастает в схеме КБИ до значения 106,06. Ранее путём расчётов (см. § 6.4) было получено, что в схеме БИ вероятность ложной тревоги в таких же условиях возрастает до значения 10 6,16 . Поэтому можно заключить, что схема КБИ успешно сдерживает рост количества ложных тревог на кромке помех. В то же время из графиков вероятностей обнаружения видно следующее. Если зона помех занимает в измерительном окне 239
небольшое количество каналов (m 24—32), то в схеме КБИ маскирующий эффект кромки менее заметен. Объясняется это тем, что в процессе цензурирования большие отсчёты удаляются, поэтому помехи меньше увеличивают адаптивный порог. 104
F
D 0,9
10
8
0,7
10
12
0,5
10
16
0,3
10
20
m 0
8
16
24
32
8.7. Обнаружение сигнала при негауссовских помехах
0,1
m 0
8
16
24
32
Рис. 8.3. Вероятность ложной тревоги F и вероятность обнаружения сигнала D в зависимости от положения кромки помех относительно настройки проверяемого канала. Сплошные кривые — для схемы, составленной из двух комбинированных схем, объединённых выбором большего значения (КБИ); пунктир — для схемы с выбором большего значения (БИ, GO CFAR)
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Рассмотренная в данном параграфе схема КБИ сохраняет работоспособность при наличии мешающих целей и кромки помех. Схема ЦБИ, рассмотренная в § 7.5, тоже сохраняет устойчивость в подобной помеховой обстановке. Причём схема ЦБИ более простая, так как в каждой половине измерительного окна находится только по одной ветви вычисления порога. Но, как следует из данных в строке 10 lg(КБИ /ЦБИ) табл. 8.4, требуемые отношения сигнал/шум для схемы КБИ оказываются меньше соответствующих отношений сигнал/шум для схемы ЦБИ. Разница составляет 0,3 0,5 дБ, поэтому можно считать, что усложнение схемы за счёт использования в каждой половине окна двух ветвей вычисления порогов вызвано стремлением уменьшить энергетические потери при обнаружении целей в однородной помеховой обстановке и сохранить работоспособность, если помеховая обстановка вдруг усложнится. По результатам данного параграфа можно сделать вывод, что объединённая схема КБИ имеет хорошие характеристики и обладает устойчивостью к изменениям помеховой обстановки. Однако эти выводы следует считать предварительными. В § 9.6 будет проанализирована схема ЦБИ. При анализе будет осуществляться более точный учёт процессов обработки принимаемых сигналов в реальных многоканальных системах. Будут высказаны доводы в отношении того, что в схемах с цензурированием число удаляемых отсчётов необходимо увеличивать. Если расстройка между соседними каналами совпадает с интервалом корреляции, то число удаляемых 240
отсчётов должно быть больше числа мешающих целей по крайней мере в два раза (о термине «интервал корреляции» см. § 4.6). Если расстройку между соседними каналами уменьшить по сравнению с интервалом корреляции, то число удаляемых отсчётов должно быть ещё увеличено. В § 9.8 при более точном анализе будет показано, что преимущества схемы КБИ могут оказаться незначительными.
Вместе с полезным сигналом могут приниматься отражения от земной или морской поверхности. Эти отражения являются пассивными помехами, которые зачастую оказываются негауссовскими. Плотность распределения вероятностей амплитуды негауссовской помехи будет отличаться от рэлеевского закона. Негауссовским (нерэлеевским) помехам посвящено большое количество публикаций. Анализируются различные законы распределения амплитуды помехи. В [7, 83] отмечается, что наибольшее распространение получили модели вейбулловского и логарифмически нормального распределений амплитуды помехи. Эти две модели и будут рассмотрены в данном параграфе. Некоторые сведения о других моделях распределения амплитуды помехи можно найти в [5]. В радиолокаторах, предназначенных для обнаружения кораблей, а также для обнаружения целей, летящих над морем, в качестве пассивной помехи принимаются отражения от морской поверхности. Если морская поверхность под воздействием ветра становится взволнованной, то количество ложных тревог может существенно увеличиться. Ранее при анализе схем мы полагали, что объект, отражающий пассивную помеху, состоит из большого количества мельчайших отражателей. Типичным примером такого объекта может служить дождевое облако. Отражённая от дождевого облака пассивная помеха является суперпозицией сигналов, отражённых от независимых рассеивателей. В силу центральной предельной теоремы суммарный отражённый сигнал будет гауссовским. Амплитуда такого сигнала распределена по рэлеевскому закону, а фаза высокочастотного колебания — по равномерному закону. Отражения от взволнованной морской поверхности подобными свойствами могут не обладать. Во многих случаях отражения от морской поверхности оказываются значительнее собственных шумов приёмника [61, т. 1, с. 320], поэтому в задачах обнаружения сигналов при наличии отражений от морской поверхности собственные шумы приёмника могут не приниматься во внимание. Тогда случайная величина на выходе линейного детектора приёмного устройства будет представлять собой амплитуду пассивной помехи. 241
Характер отражений от морской поверхности в значительной мере зависит от разрешающей способности радиолокатора и от состояния моря. В [61, т. 1, гл. 8; 62, кн. 2, гл. 15] подробно описано влияние различных факторов (состояние моря, углы наблюдения, поляризация излучения и др.) на отражательные характеристики морской поверхности. За время облучения структура морской волны меняется мало [260]. Если размеры разрешаемых элементов по азимуту и дальности сравнительно большие, а море относительно спокойное, то принимаемый сигнал будет складываться из отражений от различных и независимых между собой фрагментов морской поверхности. Принимаемый суммарный сигнал будет гауссовским. Но если радиолокатор имеет высокое разрешение по азимуту и дальности и при сильном волнении длина морской волны сопоставима с шириной облучаемой зоны, то иногда при определённой ориентации поверхности морской волны в принимаемом сигнале будет преобладать сильное обратное отражение от плоской поверхности морской волны. Принимаемый сигнал не будет гауссовским. Считается, что при высокой разрешающей способности радиолокатора и при сильном волнении на море амплитуда отражённого сигнала распределена по логарифмически нормальному закону. Отличительной особенностью логарифмически нормальной помехи является то, что в помехе иногда образуются короткие и мощные выбросы. Логарифмически нормальной (логнормальной) называют такую случайную величину, логарифм которой распределён по нормальному (гауссовскому) закону. Иногда говорят, что логарифмически нормальное распределение имеет длинный «хвост». В [39] теоретическим путём установлено, что при последовательном дроблении частиц (при неограниченном продолжении дробления) их размеры подчиняются логарифмически нормальному закону. По-видимому, нечто подобное происходит и при сильном морском шторме. Под воздействием стихии огромные массы морской воды последовательно дробятся. В результате случайные размеры водяных образований оказываются распределёнными по логарифмически нормальному закону. Если размеры образований сравнимы с размерами разрешаемых элементов по азимуту и дальности, то мощность отражений будет распределена по логарифмически нормальному закону. Логарифм мощности сигнала пропорционален логарифму амплитуды сигнала, поэтому и амплитуда сигнала будет подчиняться логарифмически нормальному закону. Считается, что логарифмически нормальное и рэлеевское распределения амплитуды отражений являются крайними случаями. Чаще всего для характеристики флуктуаций амплитуды в промежуточных случаях применяют распределение Вейбулла. 242
Плотность распределения вероятностей рэлеевской случайной величины является функцией с одним параметром. Этот параметр определяет масштаб случайной переменной. Измерив параметр масштаба, можно выставить адаптивный пороговый уровень. Логарифмически нормальная и вейбулловская плотности распределения вероятностей случайных величин являются функциями с двумя параметрами. В таких случаях для выставки адаптивного порогового уровня необходимо измерять два параметра. Соответствующие методы стабилизации уровня ложных тревог называются двухпараметрическими [97] (Two-Parameter CFAR). Процедуру обнаружения сигнала на фоне логарифмически нормальной помехи можно представить по материалам статей [153, 239]. Приёмное устройство должно включать в себя либо логарифмический усилитель, либо логарифмический детектор. Измерительные отсчёты ri будут представлять собой нормальные случайные величины. Оцениваются два параметра — среднее значение отсчётов и их дисперсия: 1 1 mr ri , 2r ( ri mr ) 2 , N N где N — число измерительных отсчётов в скользящем окне. Пороговый уровень находится по формуле mr r , где — множитель, значение которого задаётся вероятностью ложной тревоги. Поскольку оцениваются два параметра, энергетические потери в данном случае оказываются больше энергетических потерь в однопараметрических схемах. В статье [239] исследуются схемы обнаружения сигнала на фоне логарифмически нормальных помех. Энергетические потери представлены в виде графиков. По этим графикам можно оценить характеристики, например, когда число измерительных отсчётов составляет 32, заданные значения вероятности ложной тревоги и вероятности обнаружения составляют 106 и 0,9. Если бы дисперсия логарифма амплитуды помехи была известна, то при применении соответствующей однопараметрической схемы энергетические потери составили бы 1,5 дБ. Если же неизвестны два параметра, то потери составляют 13 дБ. В таких же условиях, но при рэлеевских помехах потери составляют 1 дБ. При вейбулловских помехах плотность распределения вероятностей амплитуды помехи имеет вид
1
r exp , r 0. (8.7.1) b Здесь и b являются параметрами распределения ( 0 и b 0). Параметр b называют параметром масштаба. От значения зависит форма кривой плотности распределения, поэтому называют параметром формы. 243 w( r )
r bb
Если в (1) принять 2 и параметр масштаба представить в другом виде с учётом b 2 , то получим классическое рэлеевское распределение. При 1 имеем экспоненциальное распределение. В [183, с. 297—299] показано, что если на вход квадратичного детектора поступает вейбулловская случайная величина, то случайная величина на выходе детектора тоже будет вейбулловской. Параметр формы у новой случайной величины будет в два раза меньше, а параметр масштаба следует возвести в квадрат. Например, если на входе квадратичного детектора действует рэлеевская случайная величина, то случайная величина на выходе детектора будет экспоненциальной. Обе эти случайные величины вейбулловские. Вероятность превышения порога h случайной величиной r определяется формулой F exp{ (h b) } . (8.7.2) Моменты случайной величины выражаются через гамма-функцию: 2
2
m2 r b (1 2 ) .
m1 r b(1 1 ) ,
m12
(8.7.3)
Замечаем, что отношение m2 не зависит от параметра масштаба и является функцией только параметра формы. Можно заранее запрограммировать зависимость параметра формы от отношения m12 m2 (например, в виде таблицы или в виде аппроксимирующего полинома). Тогда в реальном приёмном устройстве необходимо вычислять среднее значение измерительных отсчётов и среднее значение квадратов измерительных отсчётов. Затем эти средние значения используются вместо теоретических моментов, чтобы с помощью запрограммированной зависимости найти параметр формы. Таким образом, параметр формы можно вычислить по отсчётам, получаемым на выходе линейного детектора. В [6] изложен ещё один способ, в котором параметр формы вычисляется по отсчётам на выходе логарифмического детектора. Если известен параметр формы, то для поддержания постоянного уровня ложных тревог можно использовать, например, любой алгоритм с усреднением (или суммированием) измерительных отсчётов. Умножая среднее значение отсчётов на пороговый коэффициент, получаем адаптивный пороговый уровень. Отличительной особенностью такого среднеуровневого обнаружителя является то, что пороговый коэффициент теперь не является константой. Пороговый коэффициент является функцией от измеренного значения параметра формы. Если параметр формы неизвестен, то среднеуровневый обнаружитель не может поддерживать уровень ложных тревог постоянным. Представим, что в схеме с линейным детектором вычисляется mˆ — среднеарифметическое значение отсчётов на выходах измерительных каналов. Адаптивный пороговый уровень принимается 244
равным h mˆ , где — пороговый коэффициент. Пренебрежём флуктуационными ошибками определения mˆ и заменим получаемые значения mˆ соответствующим теоретическим значением m1. Значение m1 выражается формулой (3). Подставим h m1 в (2). После этого, решая уравнение (2) относительно , получаем
[ln(1 F )]1 . (1 1 )
(8.7.4)
На рис. 8.4 представлены примеры расчётов по формуле (4). 20 lg() 60 50 F 10
40
10
30 20 10
10
Рис. 8.4. Зависимости порогового коэффициента от параметра формы вейбулловского распределения
10 8
6
0,5
1,0
1,5
2,0
При изменении параметра формы вейбулловского распределения на интервале от 0,4 до 2 пороговый уровень изменяется на 40 дБ, поэтому отказ от учёта параметра формы оказывается неприемлемым. Настройка алгоритма формирования порога на худший случай может привести к значительным энергетическим потерям. В научных публикациях содержатся описания различных схем формирования пороговых уровней при обнаружении сигнала на фоне вейбулловских помех. Необходимо отметить следующую особенность некоторых схем. Для определения параметра формы могут использоваться непосредственные отсчёты, снимаемые с выходов измерительных каналов. После того как параметр формы будет найден, отсчёты подвергаются логарифмическому преобразованию [240]. Затем осуществляются все те действия, которые необходимы, чтобы обеспечить постоянный уровень ложных тревог. Основой для построения схемы формирования адаптивного порогового уровня служит предложенная в [159] схема с усреднением после логарифмического детектора. В § 5.8 было показано, что при возможных появлениях большой выходной величины в каком-либо измерительном канале лучше использовать логарифмический детектор, «сжимающий» большую выходную величину и уменьшающий её влияние на адаптивный пороговый уровень. В § 5.8 предполагалось, что большая выходная величина может появиться из-за мешающей цели. При вейбулловских 245
помехах большая выходная величина может появиться случайно, так как плотности распределения Вейбулла имеют длинные «хвосты». И в том, и в другом случае логарифмический детектор позволяет не завышать чрезмерно пороговый уровень при появлении большого измерительного отсчёта. Усреднение измерительных отсчётов осуществляется, как правило, после их логарифмического преобразования (см., например, [6]). В [269] предложено обобщение метода OS CFAR для обнаружения сигнала на фоне вейбулловских помех. Результатом такого обобщения явился двухпараметрический алгоритм WH CFAR (Weber — Haykin algorithm), в котором две порядковые статистики служат исходными данными для нахождения порогового уровня при вейбулловских помехах. В [192, 183] выполнено исследование этого алгоритма. В [192] есть рисунок с зависимостями вероятности обнаружения от отношения сигнал/помеха. Рисунок построен при следующих исходных данных. Число измерительных отсчётов равно 16, вероятность ложной тревоги составляет 10 5 , параметр формы равен 2. Значение параметра формы указывает на то, что рассматривались вероятности обнаружения сигнала для рэлеевских амплитуд помехи. Есть зависимость для традиционного однопараметрического алгоритма OS CFAR, а также зависимость для исследуемого двухпараметрического алгоритма WH CFAR. Расстояние между зависимостями вдоль оси отношений сигнал/помеха составляет 7 дБ (при вероятности обнаружения сигнала 0,5). В [183] есть аналогичный рисунок, построенный для вероятности ложной тревоги 106. На этом рисунке расстояние между зависимостями составляет 10 дБ. Всё это свидетельствует о том, что двухпараметрические методы стабилизации уровня ложных тревог вносят большие потери. Статья [153] посвящена в первую очередь процедуре обнаружения сигнала на фоне логарифмически нормальных помех. Затем говорится о том, что рассматриваемая процедура приближённо обеспечивает постоянный уровень ложных тревог и в случае вейбулловских помех. В [150] также делается вывод о том, что процедура, предназначенная для обнаружения сигнала на фоне логарифмически нормальных помех, может использоваться и при вейбулловских помехах. В статье [228] исследуется обнаружитель, основанный на оценке параметров вейбулловского распределения методом максимального правдоподобия. Уравнение для параметра формы решается итерационным методом. При известном параметре формы находится параметр масштаба. Адаптивный порог, основанный на оцениваемых этим методом параметрах, подвержен меньшим ошибкам и, следовательно, ведёт к меньшим потерям по сравнению с алгоритмами, основанными на моментах или порядковых статистиках. Потери уменьшаются и при увеличении числа измерительных отсчётов. 246
Дополнительные сведения о методах обнаружения сигнала на фоне негауссовских помех можно найти в многочисленных статьях и книгах, из которых отметим [221, 242]. Описания ряда схем обнаружения сигнала на фоне негауссовских помех содержатся в обзорных статьях [20, 7]. Теперь сделаем следующее замечание. В начале изложения основного материала этой книги была сделана оговорка о том, что будут рассматриваться вопросы, относящиеся к радиолокаторам наземного базирования. В данном параграфе рассмотрена морская тематика, что вступает в противоречие с этой оговоркой. На самом деле никакого противоречия нет. Радиолокатор наземного базирования может оказаться на морском берегу. Если этот берег высокий, то дальность до радиогоризонта увеличится. Отражения от морской поверхности не будут бланкироваться по дальности. Отражения будут приниматься боковыми лепестками антенной диаграммы направленности. Во время сильного шторма на вход приёмного устройства будут поступать негауссовские пассивные помехи. Если радиолокатор не рассчитан на работу при негауссовских помехах, то уровень ложных тревог может возрасти. Вполне возможно, что высказанные опасения не оправдаются, и рост количества ложных тревог не будет катастрофичным. Тогда данный параграф следует воспринимать в качестве ориентира в огромном потоке публикаций, посвящённых вопросам поддержания постоянного уровня ложных тревог. Не будет большого преувеличения, если сказать, что в половине подобных публикаций рассматриваются именно негауссовские помехи.
247
9. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА С УЧЁТОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТСЧЁТОВ 9.1. Введение Практически во всех публикациях при анализе эффективности схем обнаружения с адаптивными порогами предполагается, что случайные величины, наблюдаемые на выходах каналов (отсчёты), статистически независимы между собой. Это допущение существенно упрощает анализ. Не исключено, что оцениваемые при таком анализе характеристики могут несколько отличаться от реальных. Однако при таком анализе можно выявить основные преимущества и недостатки различных схем. Оказывается возможным провести сравнение схем, что позволяет сделать выбор из имеющихся вариантов. Но не все вопросы оказываются разрешёнными. Так, например, совершенно ясно, что при анализе без учёта статистической зависимости нельзя использовать истинное число каналов в измерительном окне. В таких случаях приходится использовать некоторое уменьшенное число каналов. Получаемое при теоретическом анализе значение порогового множителя придётся уточнять экспериментальным путём. Желательно также иметь в своём распоряжении точное значение коэффициента энергетических потерь, обусловленных использованием адаптивных порогов. В данной главе рассматриваются вопросы учёта статистической зависимости отсчётов при анализе схем с адаптивными порогами. В простейшем случае, когда детектор квадратичный, а пороговый уровень формируется путём усреднения отсчётов, оказывается возможным осуществлять исследования аналитическими методами. В других случаях, когда порог формируется по сравнительно сложным алгоритмам, приходится использовать статистическое моделирование. При этом основные затруднения возникают при оценке вероятности ложной тревоги. Поэтому большое внимание в данной главе уделяется методам оценки вероятности ложной тревоги при статистическом моделировании. 9.2. Аналитический метод применительно к схеме с усреднением отсчётов после квадратичного детектора Полагаем, что детектор квадратичный. Случайные величины на выходах каналов r0 , r 1, , r N статистически зависимы между собой. Одна из этих случайных величин r rN/2 является выходной величиной канала обнаружения, остальные используются для формирования адаптивных пороговых уровней. Сумма этих случайных величин s после умножения на пороговый множитель является адаптивным пороговым уровнем. 248
В гл. 2 анализировались статистические характеристики суммы зависимых случайных величин. Следует отметить, что в рассматриваемых в данной главе задачах порядок отбора случайных величин отличается от порядка отбора в задачах из гл. 2. Предполагаем, что измерительные каналы и канал обнаружения представляют собой линейку одинаковых каналов, расставленных с равномерным шагом по оси задержек. Вначале для формирования порога отбираются отсчёты в одной половине окна, затем один канал (канал обнаружения) пропускается, после чего отбираются остальные отсчёты. Если мы будем суммировать отобранные отсчёты, то статистические характеристики получаемой таким способом суммы N отсчётов будут отличаться от статистических характеристик суммы при суммировании отсчётов на выходах каналов, когда все N каналов расставлены строго с равномерным шагом (как в гл. 2). Если известно двумерное преобразование Лапласа совместной плотности распределения случайных величин r и s, то вероятность превышения адаптивного порога можно представить в виде контурного интеграла (4.6.2). Будем искать выражение для двумерного преобразования Лапласа. Выходная величина в канале обнаружения r и сумма выходных величин в измерительных каналах s являются функциями квадратурных составляющих в каналах, поэтому вначале необходимо выписать совместную плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих. Сделаем дополнительные предположения, упрощающие анализ. Полагаем, что все каналы скользящего окна настроены на одно и то же значение доплеровской частоты. Доплеровская частота полезного сигнала совпадает с доплеровской частотой, на которую настроены каналы. Помеховую обстановку считаем однородной, т. е. дисперсия шумовых компонент квадратурных составляющих не меняется от канала к каналу. Для упрощения записи выражений полагаем, что дисперсия шумовых компонент равна 1. Полагаем, что амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону, а фаза полезного сигнала распределена по равномерному закону. В таких случаях сигнальные компоненты квадратурных составляющих будут нормальными случайными величинами с нулевыми средними значениями. Следовательно, и квадратурные составляющие будут нормальными случайными величинами с нулевыми средними значениями. Для описания квадратурных составляющих понадобится их корреляционная матрица. Каждая квадратурная составляющая является суммой шумовой и сигнальной компонент. Шум и сигнал статистически независимы между собой, поэтому корреляционная матрица квадратурных составляющих будет являться суммой двух корреляционных матриц. Одна матрица будет состоять из коэффициентов корреляции шумовых компонент, вторая — из коэффициентов корреляции сигнальных компонент. 249
При составлении корреляционных матриц будем использовать результаты, изложенные в § 1.4. Обозначим X и Y квадратурные составляющие в -м канале, 0, 1, …, N. Имеет место X x a, Y y b , где x и y — шумовые компоненты (результаты обработки шума), a и b — сигнальные компоненты. Далее используем соотношения, представленные в § 1.4. При этом учитываем, что доплеровская частота сигнала совпадает с доплеровской частотой, на которую настроены канал обнаружения и измерительные каналы. Для шумовых компонент получаем x x y y c ,
x y y x s ;
c i s C11 ( , 0) ;
a a i a b
(9.2.2)
1 (a i b )( a i b ) 2
0C10 ( с , 0) C10 ( с , 0) .
(9.2.3)
Здесь 0 q0 — среднее значение отношения сигнал/шум; C10() — взаимно корреляционная функция опорного и принимаемых сигналов; с — задержка принимаемого полезного сигнала. Звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. Для случайных величин X0, X1, , XN, Y0, Y1, , YN вводим единое обозначение Z0, Z1, , Z2N1 в соответствии с формулой 0 i N, N 1 i 2 N 1,
i 0, 1, , 2N 1. Матрицу, составленную из коэффициентов корреляции случайных величин Zi, записываем в виде A R rij Z i Z j 1 A2
A2 , A1
(9.2.4)
где A1 c a a ; A 2 s b b . Такая запись возможна благодаря соотношениям (1) и (2). 250
1
w( X 0 , , X N , Y 0 , , Y N )
, 0, 1, , N,
a b a b ;
если X , Zi i Y , i N 1 если
1 2 N 1 ( 1) exp rij Z i Z j . (9.2.5) 2N 2 2 i , j 0 2 det R В § 2.4 отмечалось, что плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих можно записывать в другой форме, более удобной для дальнейшего анализа. Применительно к данному случаю имеет место w( Z 0 , , Z 2 N 1 )
(9.2.1)
где C 11 () — автокорреляционная функция опорного сигнала; и — задержки, на которые настроены -й и -й каналы. Для сигнальных компонент получаем a a b b ;
Элементы обратной матрицы R 1 обозначим rij(1) . Тогда плотность распределения вероятностей случайных величин Zi имеет вид
1 N ( 1) exp a ( X i Y )( X i Y ) , ( 2 ) N 1 det A 2 , 0 1
(9.2.6)
где A a , a C11 ( , 0) 0 C10 ( с , 0) C10 ( с , 0) ,
(9.2.7)
(1) a — элементы матрицы A 1 . Формулы (5) и (6) представляют собой две формы записи одной и той же плотности распределения вероятностей. Случайную величину на выходе канала обнаружения представляем в виде r rn ( X n2 Yn2 ) 2 , n N/2. Записываем исходное выражение для двумерного преобразования Лапласа
N X n2 Yn2 X 2 Y2 F ( p1 , p 2 ) exp( p1 r p2 s ) exp p1 p2 2 2 0 n
N X 2 Y 2 X n2 Yn2 exp p1 p2 2 2 0 n
w( X 0 , , X N ,Y0 , , YN )dX 0 dYN .
Пусть B b — матрица, определяемая соотношением D A1 B1, где D — диагональная матрица с элементами
251
p d ii 1 p2
при i 0. Слева от контура интегрирования находится единственная особая точка p 1/0. Поэтому
при i n , при i n .
N
Тогда det(B) F ( p1 , p2 ) wb ( X 0 , , YN )dX 0 dYN , det( A )
где wb ( X 0 , , Y N )
1 N ( 1) exp b ( X i Y )( X i Y ) , N 1 ( 2) det B 2 , 0 1
(1) — элементы матрицы B1. b
Так как wb() является некоторой плотностью распределения вероятностей, то интеграл равен 1. В результате получаем F ( p1 , p2 )
det( B) 1 1 1 . 1 det( A ) det( A ) det( B ) det( E AD) det( E DA )
Умножение матрицы на диагональную матрицу сводится к умножению строк (или столбцов) на соответствующий диагональный элемент, поэтому
F ( p, p )
1 ; det( E pA )
a00 a10 A an 0 a N 0
a01 a11 an1 a N 1
a0 N a1N . anN a NN
Подставляя F() в (4.6.2), получим вероятность превышения порога i
i
1 1 1 1 1 P F ( p, p ) dp dp . 2 i i p 2 i i p det(E pA )
Определитель матрицы равен произведению собственных значений матрицы, поэтому i
1 1 P 2 i i p
N
1
1 p i 0
dp ,
0,
i
где i — собственные значения матрицы A. Анализ совокупности собственных значений матрицы A показывает, что положительно только одно собственное значение, а остальные отрицательны (справедливость этого утверждения проверялась каждый раз после нахождения собственных значений). Перенумеруем собственные значения таким образом, чтобы 0 0. Тогда i 0 252
P
i 1
0 . 0 i
(9.2.8)
При 0 0 вероятность P представляет собой вероятность ложной тревоги. Поэтому, полагая 0 0, по формуле (8) можно установить зависимость вероятности ложной тревоги F от порогового множителя . Используя эту зависимость, находим требуемое значение порогового множителя при заданной вероятности ложной тревоги. Затем, используя найденное значение порогового множителя , по формуле (8) при 0 0 получаем зависимость вероятности обнаружения полезного сигнала от отношения сигнал/шум 0. В конечном счёте получаемые результаты можно использовать для нахождения коэффициента энергетических потерь применительно к схеме с усреднением статистически зависимых отсчётов. При этом необходимо ещё учитывать коэффициент энергетических потерь из-за весовой обработки сигнала. Обозначим через УС значение отношения сигнал/шум 0 , при котором обеспечивается необходимая вероятность обнаружения полезного сигнала схемой с адаптивным пороговым уровнем (схема с усреднением измерительных отсчётов). Если нет весовой обработки, то коэффициент потерь, обусловленный адаптивным пороговым уровнем, будет равен /УС, где — необходимое отношение сигнал/шум при известной интенсивности шума (при фиксированном пороговом уровне), УС — необходимое отношение сигнал/шум при работе с адаптивным пороговым уровнем. Отношение сигнал/шум определяется выражением в правой части формулы (5.2.5). Если нет весовой обработки, то функции C10 (, ) и C11 (, ) совпадают с автокорреляционной функцией сигнала C00(, ). Если есть весовая обработка, то /УС во, где во — коэффициент потерь из-за весовой обработки. Поэтому (/во)/УС. Здесь коэффициент потерь из-за весовой обработки определяется формулой во |C10(0, 0)|2. Далее представлены результаты расчётов, относящиеся к обнаружению ЛЧМ импульса. Выражения для автокорреляционных функций C00(, ) и C11(, ) представлены формулами (2.4.12) и (2.4.13). Взаимно корреляционная функция C10() при частотной весовой обработке ЛЧМ импульса определяется формулой [74] 1
C10 ( , )
m
e i m C00 ( m, ) .
(9.2.9)
m 1
Выражения для m и приведены в формуле (2.4.13). В расчётах полагалось, что задержка полезного сигнала с совпадает с задержкой n , 253
на которую настроен канал обнаружения. При весовой обработке сигнала применяется весовая функция Хемминга. При анализе многоканальной системы, осуществляющей приём ЛЧМ импульсов, расстройку между соседними каналами по задержке будем выражать в относительных единицах. Для этого определим условную единицу измерения задержки и примем её равной 1/F (F — девиация частоты). Тогда относительная расстройка между соседними каналами по задержке будет равна , где — абсолютная расстройка между каналами по задержке. Все результаты расчётов, представленные в данной главе, получены при базе сигнала B FT 100, где F — девиация частоты, T — длительность ЛЧМ импульса. Если B 100, то 10 lg(во) 1,302 дБ. На рис. 9.1 изображены зависимости вероятности ложной тревоги от порогового множителя. По оси абсцисс отложено произведение N. Учитывая, что адаптивный пороговый множитель в данном случае равен s, где s — сумма выходных величин в измерительных каналах, и что среднее значение случайной величины на выходе квадратичного детектора равно 1, получаем, что в данном случае среднее значение адаптивного порогового уровня равно N. F 10
6
10
7
3 10
8
10
9
10
10
2 1
10
15
20
25
30 35
Рис. 9.1. Зависимости вероятности ложной тревоги от N при статистически независимых (пунктир) и статистически зависимых отсчётах (сплошные кривые). Пунктир: N 32. Сплошные кривые: 1 N 32, 1 без весовой обработки; 2 N 64, 0,5 без весовой обработки; 3 N 64, 0,5 с весовой обработкой
Пунктирная кривая на рис. 9.1 относится к случаю, когда все выходные случайные величины статистически независимыми между собой. Эта кривая построена с помощью формулы (5.2.2). Одним из параметров других зависимостей (представленных сплошными кривыми) является относительная расстройка между соседними каналами по задержке . Интервал задержек, перекрываемых измерительным окном, равен N. Для кривых 1—3 этот интервал оказывается одинаковым и равным 32/F. Кривые 1—3 иллюстрируют варианты, отличающиеся числом измерительных каналов и способом обработки импульса. В § 4.6 обсуждался заимствованный из [10] термин «интервал корреляции». Под интервалом корреляции подразумевалась минимальная расстройка между соседними каналами, при которых случайные величины на выходах каналов практически независимы между собой. В § 4.6 утверждалось, что если осуществляется приём 254
ЛЧМ импульса без весовой обработки, то интервалом корреляции по задержке может служить величина 1/F. На рис. 9.1 кривая 1 практически сливается с пунктирной кривой. Из этого следует, что если приём ЛЧМ импульса осуществляется без весовой обработки и расстройка между соседними измерительными каналами равна 1/F, то при оценках порогового множителя выходные величины в каналах можно считать статистически независимыми. Это означает, что представленные на рис. 9.1 результаты полностью согласуются с утверждением из § 4.6. Кривая 2 соответствует схеме, в которой отсчёты в соседних каналах статистически зависимы между собой. При этом кривая 2 смещена относительно кривой 1 и пунктирной кривой в сторону меньших значений порогового уровня. Этому явлению можно дать следующее объяснение. Ложная тревога возникает, когда случайная величина на выходе канала обнаружения принимает большое значение. В таких случаях при наличии статистической зависимости между соседними отсчётами в измерительных каналах, соседних с каналом обнаружения, также будут наблюдаться большие выходные величины. Тогда увеличится и пороговый уровень. Увеличение порогового уровня может частично нейтрализовать выброс выходной величины в канале обнаружения. Поэтому, чтобы вероятность ложной тревоги не оказалась меньше заданного значения, придётся уменьшить пороговый множитель . Следовательно, уменьшится и среднее значение порогового уровня. Весовая обработка приводит к усилению статистической зависимости выходных величин в соседних каналах. Поэтому кривая 3 смещена влево ещё сильнее по сравнению с кривой 2. Предположим, что выходные величины (отсчёты) в соседних измерительных каналах статистически зависимы. Руководствуясь интуитивными соображениями, реальной схеме будем ставить в соответствие некую эквивалентную схему, в которой измерительные отсчёты шума (помехи) полагаются статистически независимыми, но вместо истинного числа отсчётов используется уменьшенное число. Число отсчётов в эквивалентной схеме принимается равным числу интервалов корреляции, укладывающихся в интервал задержек, закрываемый скользящим измерительным окном. Теперь представим, что задана вероятность ложной тревоги и для реальной схемы необходимо оценить пороговый множитель или среднее значение порогового уровня . Возникает вопрос, можно ли в этом случае для приближённых оценок реальную схему заменять эквивалентной. Представленные на рис. 9.1 результаты показывают, что осуществлять такую замену нельзя. Кривые 1 и 2 относятся к реальным схемам с одним и тем же интервалом корреляции, который при отсутствии весовой обработки равен 1F, а пунктирная кривая относится к эквивалентной схеме, 255
соответствующей этим двум реальным схемам. Как видно по кривой 2, при заданной вероятности ложной тревоги средние значения пороговых уровней для реальной схемы отличаются существенно от среднего значения порогового уровня для эквивалентной схемы. Тем не менее приведём пример, когда эквивалентная схема может послужить для приближённой оценки энергетических потерь, обусловленных применением адаптивного порогового уровня. В табл. 9.1 содержатся данные об энергетических потерях для 16 реальных схем. Знак «1» в колонке «ВО» (весовая обработка) означает, что соответствующая строка относится к схеме, в которой при обнаружении ЛЧМ импульса используется частотная весовая обработка. Знак «0» указывает на отсутствие весовой обработки. Таблица 9.1 Коэффициенты энергетических потерь, обусловленные 8 применением адаптивного порогового уровня при F 10 , D 0,5 N
ВО
10 lg
N
ВО
10 lg
32 32 32 32
9 9 3 3
0 1 0 1
1,309 1,307 1,329 1,310
64 64 80 80
0,5 0,5 0,4 0,4
0 1 0 1
1,354 1,350 1,357 1,356
32 32 40 40
1 1 0,8 0,8
0 1 0 1
1,361 1,330 1,347 1,336
160 160 320 320
0,2 0,2 0,1 0,1
0 1 0 1
1,365 1,365 1,369 1,370
Всем этим реальным схемам поставим в соответствие единственную эквивалентную схему, в которой при формировании адаптивного порога суммируются 32 статистически независимых отсчёта. Коэффициент энергетических потерь экв для эквивалентной схемы определяется правой частью формулы (5.2.6). При N 32, F 108, D 0,5 получаем 10 lg экв 1,305 дБ. Потери в реальных схемах и в эквивалентной схеме оказываются примерно одинаковыми. Можно полагать, что потери в реальных схемах превышают потери в эквивалентной схеме ориентировочно всего на 0,05 дБ. В § 2.4 было показано, что если для оценки интенсивности шума применять суммирование отсчётов, снимаемых на выходах каналов, то результаты существенно ухудшаются, если применять весовую обработку. В данном параграфе рассматривается суммирование отсчётов для формирования порогового уровня. И выводы, касающиеся весовой обработки, оказываются совсем другими. По данным, представленным в табл. 9.1, можно сделать вывод, что энергетические потери из-за применения адаптивного порога практически не зависят от того, применяется или нет весовая 256
обработка ЛЧМ импульса. Это обстоятельство можно объяснить следующим образом. При весовой обработке сказываются два фактора. Весовая обработка приводит к расширению автокорреляционной функции опорного сигнала и, следовательно, к усилению статистической зависимости измерительных отсчётов. Из-за этого возрастают ошибки измерения интенсивности помехового фона (подробнее см. § 2.4), что способствует увеличению вероятности ложной тревоги. Вместе с тем весовая обработка приводит к усилению статистической зависимости между отсчётом на выходе канала обнаружения и адаптивным пороговым уровнем, а это способствует уменьшению вероятности ложной тревоги. Эти два фактора, влияя на характеристики обнаружения, приводят к последствиям, которые взаимно компенсируются. Может быть, именно поэтому весовая обработка практически не влияет на коэффициент энергетических потерь, обусловленных применением адаптивного порогового уровня. Отметим, что вывод о том, что весовая обработка не влияет на коэффициент потерь, относится только к рассмотренной здесь схеме. По отношению к другим схемам вопрос остаётся открытым. К сказанному сделаем уточнение. Если нет весовой обработки, то коэффициент энергетических потерь равен . При применении весовой обработки общий коэффициент энергетических потерь равен во. И в том, и в другом случае означает коэффициент потерь, обусловленный применением адаптивного порогового уровня. Коэффициент потерь из-за весовой обработки во учитывает потери из-за отхода от оптимальной обработки ЛЧМ импульса. Эти потери будут проявляться как в схемах с адаптивным порогом, так и в схемах с фиксированным порогом. При анализе результатов из табл. 9.1 было отмечено, что потери практически не зависят от вида обработки импульса. Подчеркнём, что это утверждение относится только к коэффициенту потерь . Общий коэффициент потерь, разумеется, существенно зависит от наличия весовой обработки. В предыдущих главах, когда анализировались схемы в предположении, что отсчёты на выходах каналов статистически независимы, неоднократно приводились приближённые формулы для коэффициента потерь . Из этих формул следовало, что 10 lg пропорционально значению lg(1/F ). Если, например, известно значение потерь в децибелах для вероятности ложной тревоги F 104, то удвоением этого значения можно получить соответствующее значение потерь для F 108. Проверка таких оценок с помощью точных формул показывала, что погрешность получаемых значений потерь составляет несколько сотых долей децибела. Если подобный характер зависимости потерь от вероятности ложной тревоги справедлив для любых схем, то это обстоятельство 257
можно использовать при анализе сложных схем, когда оценки можно получить только методами статистического моделирования. Чтобы оценить потери, вначале необходимо установить значение порогового множителя, при котором обеспечивается заданная вероятность ложной тревоги. Если, например, F 108, то для такой оценки методами статистического моделирования потребуется слишком большое количество статистических испытаний. Прямое применение методов статистического моделирования оказывается невозможным. Если задаться значением F 10 4 , то в большинстве случаев применительно к этому значению вероятности ложной тревоги можно получить любые оценки. Тогда, удваивая значение потерь, найденное при F 104, получим приближённое значение потерь при вероятности ложной тревоги F 108. Ещё раз отметим, что изложенные выше рассуждения основаны на результатах, полученных при анализе схем, в которых все отсчёты были статистически независимыми. По данным из табл. 9.2 можно судить о возможности применения такого правила пересчёта потерь для схем при статистически зависимых отсчётах. Таблица 9.2 Схема с усреднением по каналам при статистически зависимых отсчётах (квадратичный детектор). Пороговые множители и коэффициенты энергетических потерь при D 0,5
N
— ВО
F 10 N
4
10 lg , дБ
F 10 N
6
10 lg , дБ
F 10 N
8
10 lg , дБ
F 10 N
10
10 lg , дБ
0 1
10,64 0,658 17,19 1,003 24,73 1,361 33,43 1,731 9,64 0,596 14,66 0,942 19,86 1,330 25,28 1,767
40 0,8
0 1
10,08 0,642 15,75 0,986 21,87 1,347 28,45 1,729 9,16 0,596 13,54 0,944 17,83 1,336 22,07 1,781
64 0,5
0 1
9,30 8,51
0,644 13,86 0,990 18,33 1,354 22,69 1,740 0,599 12,12 0,951 15,42 1,350 18,46 1,807
80 0,4
0 1
9,06 8,31
0,646 13,32 0,992 17,39 1,357 21,25 1,745 0,601 11,71 0,955 14,75 1,356 17,50 1,816
32
1
Анализ различных данных, в том числе и данных из табл. 9.2, показывает, что при статистически зависимых отсчётах погрешность оценки потерь при F 10 8 , полученной удвоением потерь при F 104, несколько увеличивается по сравнению с погрешностью при независимых отсчётах. Если весовая обработка не применяется, то погрешность такой оценки при статистически зависимых отсчётах всё же не превышает 0,1 дБ. Если весовая обработка применяется, то погрешность оценки потерь находится в диапазоне 0,1 0,2 дБ. 258
9.3. Защитные элементы скользящего окна В [7] отмечается, что для исключения влияния полезного сигнала на формирование порога в большинстве случаев не используются результаты обработки входной реализации в элементах разрешения, расположенных рядом с проверяемым элементом. Не принимаемые в расчёт элементы разрешения в зарубежной литературе получили название guard cells [237, 230, 185]. В [7] этот термин переведён как защитные элементы скользящего окна. Такие меры обусловлены тем, что при «плотной» расстановке каналов сигнальная компонента будет наблюдаться не только на выходе канала обнаружения, но и на выходах каналов, соседних с ним. Если выходные величины соседних каналов участвуют в формировании порогового уровня, то адаптивный пороговый уровень будет автоматически увеличиваться при появлении полезного сигнала [213]. Существует устойчивое мнение, что такое увеличение порогового уровня приведёт к ухудшению характеристик обнаружения полезного сигнала. В данном параграфе анализируется влияние защитных элементов на характеристики обнаружения полезного сигнала. Порядок отбора отсчётов для формирования адаптивного порога можно представить в следующем виде. По-прежнему считаем, что все каналы расставлены по оси задержек с равномерным шагом. Вначале в одной половине окна для формирования порога отбираются n N/2 каналов. Затем k каналов пропускаются, т. е. в текущем положении скользящего окна выходные величины в этих каналах не принимаются во внимание. Следующий канал является каналом обнаружения. Затем уже во второй половине окна пропускаются ещё k каналов, и отбираются ещё N/2 каналов для формирования порогового уровня. В принятых обозначениях для формирования порога используются N отсчётов. Количество защитных элементов составляет 2k. Количество каналов, охватываемых скользящим окном, составляет N 2k 1. В частном случае, когда k 0, получаем рассмотренную в предыдущем параграфе схему формирования порога. Изложенный в предыдущем параграфе аналитический метод обобщим для оценки схемы с защитными элементами. При этом потребуется внести небольшую корректировку в формирование корреляционной матрицы квадратурных составляющих. Простой способ формирования необходимой корреляционной матрицы состоит в следующем. Вначале учитываем все N 2k 1 каналов скользящего окна (включая каналы, именуемые защитными элементами). Корреляционную матрицу квадратурных составляющих в этой многоканальной системе обозначим || g ||. Примем во внимание формулу (9.2.7). Тогда элементы матрицы || g || вычисляются по формуле 259
g C11 ( , 0) 0C10 ( с , 0) C10 ( с , 0) , , 0, 1, , N 2k,
где C 11 () — автокорреляционная функция опорного сигнала; C10() — взаимно корреляционная функция опорного и принимаемых сигналов; 0 — среднее значение отношения сигнал/шум принимаемого полезного сигнала; и — задержки, на которые настроены -й и -й каналы; с — задержка принимаемого полезного сигнала. Как и прежде полагаем, что задержка принимаемого полезного сигнала совпадает с задержкой, на которую настроен канал обнаружения. В рассматриваемой в данный момент многоканальной системе, состоящей из N 2k 1 каналов, канал обнаружения имеет номер N/2 k. Из полученной матрицы || g || удаляются k столбцов, расположенных слева от центрального столбца, и k столбцов, расположенных справа от центрального столбца. Аналогично удаляются k k строк, соседних с центральной строкой. В результате получается матрица размера (N 1)(N 1). Новая матрица содержит статистические характеристики квадратурных составляющих только в измерительных каналах и канале обнаружения. Полученную таким образом матрицу можно обозначить через A. Эта новая матрица A должна использоваться вместо прежней матрицы A в аналитических выражениях, представленных в предыдущем параграфе. В конечном счёте вероятность превышения порога будет определяться формулой (9.2.8). Далее, как и в предыдущем параграфе, является относительной расстройкой между соседними каналами по задержке. При этом — абсолютная расстройка между каналами по задержке, 1/F — условная единица измерения задержки, F — девиация частоты. На рис. 9.2 представлены результаты расчётов, из которых следует, что наличие защитных элементов ведёт к увеличению значений адаптивного порогового уровня. Происходит это потому, что выходные величины в измерительных каналах, соседних с каналом обнаружения, не участвуют в формировании порога. Ослабевает статистическая зависимость между выходной величиной в канале обнаружения и адаптивным порогом. Интенсивный «выброс» на выходе канала обнаружения уже не приводит к увеличению порогового уровня. Если порог не увеличивается, то появляется ложная тревога. Поэтому, чтобы обеспечить заданный уровень ложных тревог, при наличии защитных элементов приходится увеличивать адаптивные пороговые уровни путём увеличения порогового множителя . Можно констатировать наличие двух явлений. Если нет защитных элементов, то при появлении полезного сигнала пороговый уровень автоматически возрастает из-за проник260
новения сигнала на выход нескольких измерительных каналов. Если есть защитные элементы, то влияние полезного сигнала на пороговый уровень устраняется, но пороговый уровень всё равно приходится увеличивать из-за уменьшения статистической зависимости между пороговым уровнем и отсчётом на выходе канала обнаружения. F 10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
3 1
k0
15
10
2
4
20
25
Рис. 9.2. Зависимости вероятности ложной тревоги от среднего значения адаптивного порогового уровня при различных значениях числа защитных элементов. ЛЧМ импульс с частотной весовой обработкой; FT 100; 0,5; N 64; N 32/F
30 35
Заранее нельзя сказать, какое из этих двух явлений будет оказывать преобладающее влияние на характеристики обнаружения, поэтому нет однозначного ответа на вопрос о необходимости применения защитных элементов скользящего окна. Необходимы дополнительные количественные оценки. В табл. 9.3 представлены примеры таких оценок. Таблица 9.3 Коэффициенты потерь при различных значениях числа защитных 8 элементов. ЛЧМ импульс; FT 100; 0,5; F 10 , D 0,5 10 lg N
k
32
0 1 2
10 lg
Без весовой С весовой обработки обработкой 3,017 2,795 2,877
3,661 3,097 3,435
N
k
64
0 1 2
Без весовой С весовой обработки обработкой 1,354 1,330 1,342
1,350 1,463 1,838
В табл. 9.3 представлены варианты схемы обнаружения сигнала, отличающиеся числом измерительных каналов, а также наличием или отсутствием частотной весовой обработки сигнала. Обратим внимание на вариант, в котором число измерительных каналов равно N 64 и при обнаружении сигнала используется весовая обработка. В этом варианте измерительное окно перекрывает интервал задержек, равный N 32F. Оказывается, что если в рассматриваемом варианте схемы отсутствуют защитные элементы, то энергетические потери минимальны. Коэффициент потерь составляет 1,350 дБ. Если же в схему ввести два защитных элемента (k 1), то потери возрастут, и коэффициент потерь составит 1,463 дБ. При реализации четырёх защитных элементов (k 2) коэффициент потерь составит 1,838 дБ. 261
Таким образом, в рассматриваемом варианте схемы обнаружения использование защитных элементов нецелесообразно. Но, как следует из табл. 9.3, в других вариантах при формировании порога целесообразно не принимать в расчёт каналы, соседние с каналом обнаружения (по одному каналу с каждой стороны от канала обнаружения). Теперь обратим внимание на следующее. Мы полагали, что число измерительных каналов, участвующих в формировании порога, является постоянной величиной и не зависит от наличия или отсутствия защитных элементов. Если ввести в схему защитные элементы, то общая длина интервала задержек, закрываемого всеми каналами скользящего окна, несколько увеличится. Эту длину нельзя бесконтрольно увеличивать, если в радиолокационной обстановке возможно появление неоднородных помех. Поэтому можно несколько изменить постановку задачи. Предположим, что на длину интервала задержек, закрываемого всеми каналами, наложены ограничения. Если нет защитных элементов, то многоканальная система состоит из канала обнаружения и N измерительных каналов. Если k 1, то многоканальная система состоит из канала обнаружения, N 2 измерительных каналов и двух каналов, выходные величины которых не используются. При k 2 число измерительных каналов уменьшается до N 4 и т. д. Во всех случаях общее число каналов скользящего окна равно N 1. При откорректированной постановке задачи появляется дополнительный фактор. Уменьшение числа измерительных каналов приводит к ухудшению характеристик обнаружения, поэтому предпочтения смещаются в пользу отказа от защитных элементов. В подтверждение сказанного приведём числовой пример. Оцениваем потери при B FT 100; 0,5; F 108, D 0,5. Весовая обработка ЛЧМ импульса не применяется. Если число измерительных каналов постоянно и равно 64, то, судя по данным из табл. 9.3 (N 64, столбец «Без весовой обработки»), целесообразно выбрать k 1, т. е. применение защитных элементов даёт положительный эффект. Если же зафиксировать общее число каналов, то число измерительных каналов будет равно N 2k. Расчёты при N 64 показывают, что коэффициент энергетических потерь при k 0 равен 1,354 дБ, при k 1 равен 1,375 дБ, при k 2 равен 1,438 дБ. Целесообразно отказаться от применения защитных элементов. Применительно к схеме, в которой отсутствуют защитные элементы, сделаем следующее замечание. При анализе мы полагали, что задержка полезного сигнала точно совпадает с задержкой, на которую настроен канал обнаружения. В действительности, как правило, задержка полезного сигнала будет смещена в сторону задержки, на которую настроен один из соседних измерительных каналов. Сигнальная составляющая в этом измерительном канале увеличится, что будет способствовать увеличению адаптивного порогового уровня. В другом соседнем измерительном 262
канале, расположенном по другую сторону от канала обнаружения, сигнальная составляющая уменьшится, что будет способствовать уменьшению порогового уровня. Поэтому можно предположить, что при изменениях задержки полезного сигнала характеристики адаптивного порогового уровня существенно не изменятся. Далее в данной книге будет предполагаться, что в схемах формирования порога защитные элементы отсутствуют. Следует отметить, что в схемах с цензурированием отсчёты в каналах, соседних с каналом обнаружения, могут удаляться по результатам цензурирования. Удаление этих отсчётов будет приводить к увеличению адаптивных пороговых уровней. Не исключено, что запрет на удаление отсчётов в каналах, соседних с каналом обнаружения, может улучшить характеристики обнаружения. 9.4. Моделирование совокупности коррелированных нормальных случайных величин Для осуществления моделирования при статистически зависимых отсчётах необходим алгоритм, формирующий реализации совокупности коррелированных нормальных случайных величин. Корреляционная матрица этих случайных величин задана заранее. Чтобы составить такой алгоритм воспользуемся изложенными в [22, 14] рекомендациями. Вначале генерируем независимые нормальные случайные числа z0, z1, , zK с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Затем вектор z (z0, z1, , zK) подвергаем линейному преобразованию Z Gz. Компоненты Z0, Z1, , ZK вектора Z будут коррелированными. Матрицу преобразования G || g ij || выбираем такой, чтобы коэффициенты корреляции компонент вектора Z совпадали с элементами заданной корреляционной матрицы H || hij ||. Матрица преобразования полагается треугольной: Z 0 g 00 z0 , Z1 g10 z0 g11 z1 , Z 2 g 20 z0 g 21 z1 g 22 z2 , . . . i
Zi
g
ij z j
,
i 0, 1, , K.
j 0
Элементы первой строки матрицы находим из условия 2 . h00 ( Z 0 ) 2 ( g 00 z0 ) 2 g 00
Получаем g 00 h00 . Условия для определения элементов второй строки: h10 Z1Z 0 g10 g 00 ,
2 2 . h11 Z12 g11 g10
263
Учитывая, что g00 уже известно, получаем g10 h10 g 00 ,
2 g11 h11 g10 .
Условия для определения элементов третьей строки: h20 Z 2 Z 0 g 20 g 00 , h21 Z 2 Z1 g 20 g10 g 21 g11 , 2 2 2 . h22 Z 22 g 22 g 21 g 20
Получаем g 20 h20 g 00 ,
2 2 g 22 h22 g 21 g 20 .
g 21 ( h21 g 20 g10 ) g11 ,
Аналогично находим элементы i-й строки g i 0 hi 0 g 00 ,
g ij
1 g jj
j 1 hij g ik g jk k 0
при j 1, 2, , i 1, i 1
g ii hii
g
2 ik
.
k 0
Матрица преобразования G удовлетворяет уравнению H GGT, где GT — матрица, транспонированная к G. Представление матрицы H в виде H GGT в зарубежной литературе называется разложением Холецкого [49]. В Mathcad имеется встроенная функция cholesky, осуществляющая вычисление матрицы G по заданной матрице H. Теперь можно сделать следующее заключение. Если G cholesky(H), а z — вектор, компонентами которого являются независимые нормальные случайные величины (0, 1), то компонентами вектора Z Gz будут нормальные случайные величины с корреляционной матрицей H. 9.5. Применение статистического моделирования к анализу схем обнаружения с адаптивным пороговым уровнем Схема с суммированием отсчётов на выходе квадратичного детектора отличается тем, что при анализе этой схемы удаётся получить необходимые аналитические соотношения. Можно исследовать схему и тогда, когда отсчёты на выходах каналов являются статистически зависимыми случайными величинами. Если отсчёты статистически независимы, то пригоден квазианалитический метод моделирования. Подобные примеры были рассмотрены в предыдущей главе. Если выходная величина в канале обнаружения и адаптивный пороговый уровень являются статистически 264
зависимыми случайными величинами, то квазианалитический метод неприменим. Можно предположить, что этот метод неприменим и в тех случаях, когда процедура обнаружения довольно сложная (например, когда пороговый уровень невозможно выразить в виде явной функции от отсчётов шума). В общем случае при зависимых отсчётах приходится обращаться к традиционному статистическому моделированию. При подготовке к моделированию выполняются следующие действия. Вычисляем корреляционную матрицу R, состоящую из коэффициентов корреляции квадратурных составляющих в реальной многоканальной системе. Вычисление элементов матрицы R изложено в § 9.2. Если оценивается вероятность ложной тревоги, то при вычислении матрицы R необходимо учесть, что 0 0. Корреляционная матрица R является характеристикой реальной многоканальной системы. Её размер равен (2N 2)(2N 2). При этом столбцы матрицы с номерами N/2 и N/2 N 1, а также строки матрицы с этими же номерами содержат коэффициенты корреляции, относящиеся к каналу обнаружения. Для корреляционной матрицы R вычисляем треугольную матрицу G, удовлетворяющую уравнению R GGT. Порядок вычисления матрицы G был представлен ранее в § 9.4. Матрица G необходима для генерирования совокупности коррелированных квадратурных составляющих в многоканальной системе. Следует иметь в виду, что матрицы R и G зависят от отношения сигнал/шум 0. Матрицы необходимо вычислять для каждого нового значения отношения сигнал/шум. Выражение для вероятности ложной тревоги записываем в виде
F U ( r h ) w( Z 0 ,, Z 2 N 1 ) dZ 0 dZ 2 N 1 .
(9.5.1)
Здесь U() — единичная функция, определяемая формулой 1, если t 0, (9.5.2) U (t ) 0, если t 0; r — выходная величина в канале обнаружения; h — адаптивный пороговый уровень; w() представляет собой плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих. Плотность w() определяется формулой (9.2.5). Алгоритм формирования адаптивного порога определяется функцией h h(r 0 , r 1 , , r N ). Переменные r i являются отсчётами на выходах каналов. На функцию h() не накладывается никаких ограничений, поэтому представленный метод моделирования пригоден для любых схем. Необходимо либо задать аналитическое выражение для h(), либо представить алгоритм вычисления значений функции. 265
Во многих случаях вместо U(r h) в формуле (1) можно записать U(r s). При этом имеем в виду, что — пороговый множитель, s — оценка неизвестной мощности шума (помех). Не исключены такие случаи, когда в схеме пороговый уровень в явном виде не формируется. Тогда следует использовать функцию U(r0, r1, , rN), которая отличается от нуля и принимает значение 1 только тогда, когда при соответствующих значениях аргументов выполняется критерий обнаружения полезного сигнала. При статистическом моделировании в каждой реализации осуществляются следующие операции. Генерируется совокупность независимых нормальных случайных величин. Количество генерируемых случайных величин совпадает с количеством квадратурных каналов и составляет 2(N 1). Эту совокупность случайных величин записываем в виде вектора z. Линейным преобразованием Z Gz получаем вектор, компонентами которого являются квадратурные составляющие в многоканальной системе. Эти квадратурные составляющие переписываем в виде Xi Zi,
Yi Zi N 1,
i 0, 1, , N.
Затем вычисляем реализацию случайных величин на выходах каналов. Если детектор квадратичный, то ri ( X i2 Yi 2 ) 2 . Если детектор линейный, то ri X i2 Yi 2 . Выходная величина в канале обнаружения r rN/2. Полученные выходные величины позволяют вычислить значение порогового уровня и реализовавшееся значение функции U(). По результатам статистического моделирования находим оценку вероятности превышения порога P
1 L
L
U ( r h )
l
,
(9.5.3)
l 1
где L — количество реализаций, l — номер реализации. Вертикальная черта со знаком l в этой формуле означает следующее. В качестве аргументов r и h в l-м слагаемом под знаком суммы используются соответствующие значения случайных величин, которые были вычислены в l-й реализации статистического моделирования. При 0 0 формула (3) представляет собой оценку вероятности ложной тревоги F. При 0 0 получаем вероятность обнаружения полезного сигнала D. Если пороговый уровень записывается в виде h s, то при 0 0 можно попробовать осуществить экономию машинного времени. Для этого в каждой реализации вначале следует вычислять значения r и s, а затем подсчёт суммы (3) выполнять параллельно для ряда значений порогового множителя . Тогда по окончании статистического 266
моделирования сразу будет получена зависимость вероятности ложной тревоги от порогового множителя. В результате мы должны найти значение порогового множителя , при котором вероятность ложной тревоги будет равна заданному значению. После того как будет найдено необходимое значение порогового множителя, можно приступать к оценкам вероятности обнаружения полезного сигнала. При этом необходимо найти зависимость вероятности обнаружения сигнала от отношения сигнал/шум. Затем находится коэффициент энергетических потерь. Теперь остановимся на одном обстоятельстве, позволяющем в некоторых случаях упростить представленные соотношения. Мы ранее предполагали самый общий случай, когда все квадратурные составляющие представляют собой единую совокупность коррелированных случайных величин. Теперь представим, что осуществляется обнаружение ЛЧМ импульса. Все измерительные каналы и канал обнаружения настроены на одно и то же значение доплеровской частоты и представляют собой линейку каналов, расставленных вдоль оси задержек. Доплеровская частота полезного сигнала совпадает с доплеровской частотой, на которую настроены каналы. При таких предположениях оказывается, что значения C00(, 0), C10(, 0), C11(, 0) являются действительными числами. Отсюда следует, что при любых номерах i и j квадратурные составляющие Xi и Yj статистически независимы. Совместная плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих превращается в произведение плотностей w(X 0, , XN) и w(Y 0, , Y N), задаваемых одним и тем же математическим выражением и одной и той же корреляционной матрицей A. Корреляционная матрица будет иметь размер (N 1)(N 1). Элементы матрицы A находятся по формуле (9.2.7), причём все эти элементы будут являться действительными числами. Статистическое моделирование в рассматриваемом упрощённом частном случае осуществляется в следующем порядке. При подготовке к моделированию вычисляется корреляционная матрица A и находится матрица преобразования G, удовлетворяющая условию A GG T. В каждой реализации генерируем вектор x, компоненты которого представляют собой совокупность независимых нормальных случайных величин. Число компонент равно N 1. Осуществляем линейное преобразование X Gx. Затем генерируем вектор y и осуществляем линейное преобразование Y Gy. Компоненты полученных векторов X и Y являются реализацией квадратурных составляющих. Квадратурные составляющие далее используются для вычисления значений отсчётов на выходах каналов. Затем вычисляется порог h и находится значение U(r h).
267
9.6. Цензурирование в схеме с выбором большего значения (статистически зависимые отсчёты) В § 7.5 рассматривалась схема, в которой выбор из двух значений сочетался с цензурированием (схема ЦБИ, рис. 7.8). Было показано, что схема обладает хорошими характеристиками как при однородных, так и при неоднородных помехах. В данном параграфе мы снова возвращаемся к этой схеме, но исходные данные для анализа будут усложнены. Раньше полагалось, что отсчёты на выходах каналов статистически независимы между собой. Теперь полагаем, что каналы расставлены на оси задержек «с перекрытием» (что, как правило, присуще реальным схемам). В таких случаях учёт статистической зависимости необходим. Вначале будем полагать, что в процессе цензурирования удаляется четверть измерительных отсчётов. Анализ в § 7.5 осуществлялся в предположении, что детектор квадратичный. В каждой половине измерительного окна применялось весовое суммирование после простого цензурирования. Здесь будем полагать, что детектор линейный. Так же после простого цензурирования осуществляется весовое суммирование. В каждой половине окна для суммирования отбирается наименьших отсчётов. Если детектор квадратичный и отсчёты статистически независимы между собой, то оптимальное значение весового коэффициента при -й порядковой статистике выражается несложной формулой. В данном случае оптимальное значение весового коэффициента неизвестно. Чтобы упростить исследования, было принято, что и в данном случае (т. е. при линейном детекторе и при статистически зависимых отсчётах) значение весового коэффициента c при -й порядковой статистике определяется прежней формулой c n 1 , где n — число отсчётов в половине измерительного окна, n N/2, N — общее число отсчётов. На отдельном примере было проверено, что если отказаться от подобного весового суммирования и перейти к простому суммированию, то при вероятности ложной тревоги 108 энергетические потери увеличатся на 0,2 дБ. Вначале необходимо найти значение порогового множителя . Значения множителей находятся по результатам статистического моделирования. Множители должны быть такими, чтобы при отсутствии полезного сигнала и в однородной помеховой обстановке вероятность ложной тревоги была равна заданному значению. На рис. 9.3 представлен пример с результатами, полученными методом статистического моделирования. Знак «1» около кривой на рис. 9.3 означает, что соответствующая кривая относится к схеме, в которой при обнаружении ЛЧМ импульса используется частотная весовая обработка (с весовой функцией Хемминга). Знак «0» указывает на отсутствие весовой обработки. 268
F 10
2
10
4
10
6
10
1 8
2
3
4
0 5
n
Рис. 9.3. Зависимости вероятности ложной тревоги от пороговых множителей при однородном помеховом фоне. ЛЧМ импульс, линейный детектор, N 64, n N /2, 24, 0,5
6
Напомним, что является относительной расстройкой между соседними каналами по задержке. При этом — абсолютная расстройка между каналами по задержке, 1/F — условная единица измерения задержки, F — девиация частоты. Верхние участки зависимостей на рис. 9.3 (сплошные линии) получены в результате статистического моделирования, нижние (пунктир) — путём экстраполяции имеющихся результатов моделирования. Экстраполяцию приходится применять в данном случае из-за невозможности оценить очень маленькие вероятности превышения адаптивного порога. Для таких оценок понадобится слишком большое число статистических испытаний. Используя зависимости, подобные тем, которые представлены на рис. 9.3, можно находить значения пороговых множителей, при которых обеспечивается заданная вероятность ложной тревоги F. При известном значении порогового множителя с помощью статистического моделирования находятся характеристики обнаружения полезного сигнала. Сравнивая эти характеристики с соответствующими характеристиками при известной интенсивности шума, когда используется фиксированный порог, можно найти коэффициент потерь, обусловленный незнанием интенсивности шума. Примеры с результатами, полученными таким способом, представлены в табл. 9.4. Знак «1» в колонке «ВО» (весовая обработка) означает, что соответствующая строка относится к схеме, в которой при обнаружении ЛЧМ импульса используется частотная весовая обработка. Знак «0» указывает на отсутствие весовой обработки. Отметим, что представленные в табл. 9.4 данные получены статистическим моделированием и поэтому могут содержать случайные погрешности. На результаты при вероятности ложной тревоги F 108 влияют и погрешности, вносимые в процессе экстраполяции зависимостей (см. рис. 9.3). Тем не менее можно надеяться, что в большинстве случаев погрешность данных не превышает 0,01 при F 104 и не превышает 0,1 при F 108. Интервал задержек, перекрываемых измерительным окном, равен N. Для всех вариантов, представленных в табл. 9.4, этот интервал 269
оказывается одинаковым и равным 32/F. Иллюстрируются варианты, отличающиеся числом измерительных каналов и способом обработки импульса (без весовой обработки или с весовой обработкой). Таблица 9.4 Пороговые множители и коэффициенты потерь для схемы ЦБИ. ЛЧМ импульс, линейный детектор, n N /2, FT 100, D 0,5 N
ВО
F 10
4
F 10
8
n
10 lg
n
10 lg
32
1
0 1
3,93 3,87
1,06 1,48
6,2 6,1
2,0 2,6
40
0,8
0 1
3,81 3,84
1,00 1,44
5,8 6,1
1,9 2,5
64
0,5
0 1
3,74 3,78
0,93 1,38
5,7 6,0
1,8 2,5
80
0,4
0 1
3,72 3,76
0,92 1,37
5,7 6,0
1,8 2,4
При одном и том же способе обработки импульса энергетические потери практически не зависят от числа измерительных каналов. Это ещё раз подтверждает, что энергетические потери определяются, в основном, не числом измерительных отсчётов, а числом интервалов корреляции, укладывающихся в интервал задержек, который закрывается скользящим измерительным окном. В § 7.5 теоретический анализ схемы ЦБИ проводился в предположении, что все отсчёты статистически независимы между собой. Там были представлены значения отношения сигнал/шум, требуемые для обеспечения заданных вероятностей обнаружения сигнала. Используя эти данные, нетрудно найти коэффициент энергетических потерь, обусловленных незнанием интенсивности шума. Для схемы с параметрами N 32 и 12 коэффициент потерь при F 10 8 и D 0,5 составляет 1,97 дБ. Для реальной схемы, представленной верхней строкой табл. 9.4, соответствующее значение коэффициента потерь, полученное статистическим моделированием, составляет 2,0 дБ. Различие между этими двумя значениями коэффициента потерь находится в пределах статистической погрешности. Этот факт ещё раз свидетельствует о том, что если расстройка между соседними каналами составляет 1/F, то при отсутствии весовой обработки отсчёты можно считать статистически независимыми. Перейдём к анализу влияния мешающих целей на характеристики обнаружения полезного сигнала. Прежде всего обратим внимание на одну особенность, присущую как рассматриваемой здесь схеме ЦБИ, так и любым другим схемам с цензурированием. 270
Судя по результатам, представленным в § 7.4 и 8.6, схемы с цензурированием устойчиво работают в том случае, если число мешающих целей не превышает число удаляемых самых больших отсчётов. Аналогичные утверждения можно встретить в опубликованных работах (см., например, [231, 232]). К такому выводу можно прийти, когда при анализе предполагается выполнение двух условий. Считается, что все измерительные отсчёты статистически независимы между собой. Кроме того, подразумевается, что задержка сигнала от мешающей цели точно совпадает с задержкой, на которую настроен некоторый измерительный канал. В таких условиях одна мешающая цель искажает только один измерительный отсчёт. Если число мешающих целей не превышает число удаляемых отсчётов, то после цензурирования все искажённые отсчёты будут удалены. Оценим справедливость этого вывода по отношению к схеме, результаты оценки которой представлены в самой первой строке табл. 9.4. В схеме весовая обработка принимаемых сигналов не осуществляется. Схема содержит 32 измерительных канала. Соседние измерительные каналы расстроены между собой по задержке на величину 1/F. Первые нули взаимно корреляционной функции принимаемого и опорного сигналов расположены относительно главного максимума на оси задержек на расстоянии 1/F. Пренебрежём влиянием боковых лепестков взаимно корреляционной функции. Тогда окажется, что если задержка мешающего сигнала точно совпадает с задержкой, на которую настроен измерительный канал, то будет искажён только один измерительный отсчёт. Половина измерительного окна состоит из 16 каналов. В соответствующей ветви схемы в процессе цензурирования будут удалены четыре отсчёта (выше было сказано, что удаляется четверть отсчётов). Если число мешающих сигналов не превышает 4, а задержка любого мешающего сигнала совпадает с задержкой, на которую настроен какой-либо измерительный канал, то все искажённые измерительные отсчёты будут удалены. В действительности задержка мешающего сигнала будет почти наверняка не совпадать с любой задержкой, на которую настроен какой-либо измерительный канал. Поэтому один мешающий сигнал будет искажать два измерительных отсчёта. При наличии двух мешающих сигналов могут оказаться искажёнными четыре отсчёта. При наличии трёх мешающих сигналов число искажённых отсчётов может превысить число удаляемых. Тогда, если эти три мешающих сигнала находятся в одной половине измерительного окна, произойдёт ухудшение работоспособности схемы обнаружения. Оказывается, ухудшение работоспособности может происходить в тех случаях, когда число мешающих целей в одной половине измерительного окна превышает половину числа удаляемых отсчётов. Следует вывод о том, что при практической реализации тех или иных схем с цензурированием необходимо критически относиться к существующим рекомендациям по выбору числа отсчётов, удаляемых в процессе цензурирования. В данном случае, если приём 271
ЛЧМ импульса осуществляется без весовой обработки, число удаляемых отсчётов не должно быть меньше удвоенного числа мешающих целей. Перейдём к схеме, результаты оценки которой представлены во второй строке табл. 9.4. Эта схема отличается от рассмотренной схемы наличием весовой обработки сигнала. Частотная весовая обработка приводит к расширению главного лепестка взаимно корреляционной функции. Если база ЛЧМ импульса достаточно большая (например, FT 100), то ширина главного лепестка по нулевому уровню увеличится почти вдвое. Тогда при наличии полезного сигнала и одного мешающего сигнала могут оказаться искажёнными более четырёх измерительных отсчётов. Аналогичные рассуждения применимы, например, по отношению к схеме с параметрами N 64 и 0,5. Нетрудно заметить, что число удаляемых отсчётов необходимо увеличивать при уменьшении расстройки между соседними каналами. В схеме с относительной расстройкой 0,5 число удаляемых отсчётов должно быть в два раза больше, чем в схеме с расстройкой 1. Кроме того, при 0,5 следует иметь в виду, что если весовая обработка не применяется, то полезный сигнал будет искажать отсчёт в измерительном канале, соседнем с каналом обнаружения. А если приём ЛЧМ импульса осуществляется с весовой обработкой, то полезный сигнал исказит в каждой половине окна по три измерительных отсчёта. Для иллюстрации сделанных выводов необходимо осуществить статистическое моделирование, чтобы оценить характеристики обнаружения при наличии мешающих целей. Далее представлены некоторые результаты, полученные моделированием. По-прежнему считаем, что детектор линейный и в схеме формирования адаптивного порогового уровня осуществляется весовое суммирование после простого цензурирования. Полагаем, что амплитуда полезного сигнала и амплитуды мешающих сигналов флуктуируют по рэлеевскому закону. В таких условиях квадратурные составляющие сигнала на входах детекторов огибающей будут нормальными случайными величинами с нулевым средним значением. Чтобы осуществить статистическое моделирование совокупности квадратурных составляющих для многоканальной системы, необходима корреляционная матрица квадратурных составляющих. Будем полагать, что все каналы скользящего окна настроены на одно и то же значение доплеровской частоты. Доплеровская частота полезного сигнала и мешающих сигналов совпадает с доплеровской частотой, на которую настроены каналы. В таком случае плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих будет определяться формулой (9.2.6). Только теперь выражение для элементов a корреляционной матрицы необходимо откорректи272
ровать с учётом того, что добавились гауссовские компоненты, обусловленные появлением мешающих сигналов. Корреляционная матрица квадратурных составляющих будет являться суммой нескольких корреляционных матриц. Одна матрица будет состоять из коэффициентов корреляции шумовых компонент, вторая — из коэффициентов корреляции компонент полезного сигнала. Каждая из остальных матриц будет состоять из коэффициентов корреляции компонент соответствующего мешающего сигнала. Матрица компоненты того или иного мешающего сигнала определяется теми же соотношениями, которые определяют матрицу компонент полезного сигнала. Отличия состоят в том, что в этих соотношениях вместо параметров полезного сигнала должны использоваться параметры мешающего сигнала. За основу для нахождения коэффициентов корреляции квадратурных составляющих можно взять формулу (9.2.7). Затем в правую часть формулы необходимо добавить несколько слагаемых. Число добавляемых слагаемых равно числу мешающих целей. Слагаемое, относящееся к соответствующей мешающей цели, имеет вид м C10 ( м , 0) C10 ( м , 0) ,
где м — отношение сигнал/шум для мешающего сигнала, C10() — взаимно корреляционная функция принимаемого и опорного сигналов, и — задержки, на которые настроены -й и -й каналы, м — задержка мешающего сигнала. Звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. Далее всегда полагалось, что отношение сигнал/шум для мешающего сигнала м совпадает с отношением сигнал/шум для полезного сигнала. Характеристики обнаружения, полученные статистическим моделированием, представлены на рис. 9.4. Эти характеристики относятся к схеме обнаружения с параметрами N 64, 24, 0,5. Вероятность ложной тревоги задавалась равной F 108. Пороговые множители заимствовались из табл. 9.4. При расчёте кривых 2 полагалось, что задержка мешающего сигнала точно совпадает с задержкой, на которую настроен один из измерительных каналов. Кривые 3 относятся к случаю, когда задержка мешающего сигнала смещена на половину расстройки между соседними каналами относительно задержки, на которую настроен измерительный канал. При расчёте кривых 4 и 5 полагалось, что задержки мешающих сигналов отличаются в достаточной мере, чтобы мешающие сигналы наблюдались в разных измерительных каналах. При расчёте кривых 4 полагалось, что задержка каждого мешающего сигнала точно совпадает с задержкой, на которую настроен тот или иной измерительный канал. Условия для расчёта кривых 5 отличались от условий для расчёта кривых 4 тем, что задержка одного мешающего сигнала была смещена на половину расстройки между соседними измерительными каналами. 273
Dм
Dм
0,9
0,9
1
0,7
3
2
0,5 0,3
0,5
5
4
10 lg 20
4
0,3
0,1 10
2 3
1
0,7
а)
30
5
0,1
10 lg 10
20
б)
30
Рис. 9.4. Вероятность обнаружения полезного сигнала при известной интенсивности шума (пунктир) и при формировании порога схемой ЦБИ с параметрами N 64, 24, 0,5. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с хемминговской частотной весовой обработкой (б). Условия: 1 — мешающих целей нет, 2 и 3 — одна мешающая цель, 4 и 5 —две мешающие цели в одной половине измерительного окна
На рис. 9.4а кривая 3 расположена ниже кривой 2, на рис. 9.4б — выше кривой 2. Поведение кривых 2 и 3 на рис. 9.4а на первый взгляд может показаться странным. Так, например, из приведённых ранее рассуждений следует, что один мешающий сигнал искажает три измерительных отсчёта (кривая 2) или четыре измерительных отсчёта (кривая 3). А по результатам цензурирования удаляются восемь измерительных отсчётов. Тем не менее при неограниченном одновременном увеличении отношения сигнал/шум для полезного и мешающего сигналов вероятность обнаружения полезного сигнала не стремится к 1. Этому явлению можно дать следующее объяснение. Если учитывать только главный лепесток автокорреляционной функции, то можно прийти к выводу, что мешающий сигнал искажает три или четыре отсчёта (в данном случае взаимно корреляционная функция совпадает с автокорреляционной). Если принять во внимание и боковые лепестки, то оказывается, что мешающий сигнал искажает и другие отсчёты. Влияние мешающего сигнала по боковому лепестку будет значительно меньше, чем по главному лепестку. Но имеет значение то, что искажаются все отсчёты. Если осуществлять весовую обработку принимаемого сигнала, то боковые лепестки взаимно корреляционной функции уменьшатся. Тогда при наличии одной мешающей цели вероятность обнаружения полезного сигнала при больших отношениях сигнал/шум тоже увеличится. Это нетрудно заметить, если сравнить рис. 9.4б и 9.4а. Тот факт, что вероятность обнаружения полезного сигнала не стремится к 1, не следует считать серьёзным недостатком. Обнаружение приближающейся цели и её передача на устойчивое сопровождение происходят на таких дальностях, на которых вероятность обнаружения цели за один цикл обзора находится в диапазоне от 0,2 до 0,5. 274
Отмеченная особенность характеристик обнаружения накладывает ограничение на значение вероятности обнаружения, задаваемое для оценки коэффициентов потерь. Раньше, при сравнительно простых условиях, мы могли оценивать коэффициенты потерь, соответствующие вероятности обнаружения полезного сигнала D 0,9. В данном случае для оценок коэффициентов потерь при наличии мешающих целей необходимо задаваться вероятностью D 0,5. Полученные результаты позволяют сделать следующий вывод. Если возможно появление мешающих целей, то схема ЦБИ, представленная в § 8.6 и рассмотренная здесь, нуждается в корректировке. Необходимо увеличить как размер измерительного окна, так и число отсчётов, удаляемых по результатам цензурирования. В § 5.3 осуществлялась оценка приемлемого числа измерительных каналов. Такую же оценку можно осуществить применительно к многоканальной системе, в которой каналы расставлены с относительным шагом 0,5. Тогда окажется, что подходящим числом каналов в измерительном окне является значение N 96. Некоторые результаты исследований схемы с увеличенным числом отсчётов представлены в табл. 9.5 и на рис. 9.5 и 9.6. Таблица 9.5 Пороговые множители и коэффициенты потерь 8 при отсутствии пассивных помех; n N /2, F 10 , D 0,5 N
ВО
96
0,5
0 1
32
40
n
10 lg
n
10 lg
5,8 6,0
1,2 1,8
5,2 5,5
0,9 1,7
Dм
Dм
0,9
0,9
1
0,7 0,5
1
0,7
4 5 2 3
5
2и3
4
0,5
0,3
0,3
0,1
10 lg 10
20
а)
30
0,1
10 lg 10
20
б)
30
Рис. 9.5. Вероятность обнаружения полезного сигнала при известной интенсивности шума (пунктир) и при формировании порога схемой ЦБИ с параметрами N 96, 40, 0,5. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с весовой обработкой (б). Условия: см. подрисуночную подпись и комментарий к рис. 9.4
275
Dм
Dм
Dм
0,9
0,9
0,9
1
0,7
2
3 4 5
1
0,7
0,5
4и5
10 lg 10
20
30
0,1
10 lg
5
10
20
30
Представленные результаты подтверждают известное свойство рассматриваемой схемы. Если уменьшить число суммируемых статистик, то энергетические потери возрастут, но схема будет сохранять работоспособность при появлении мешающих целей. 9.7. Схема с выбором большей из двух порядковых статистик (статистически зависимые отсчёты) В предыдущем параграфе, применительно к схеме с выбором большей из двух цензурированных сумм, рекомендуется увеличить размер измерительного окна. В настоящем параграфе эта рекомендация применена к схеме с выбором большей из двух порядковых статистик (схеме ПСБИ). Детальное описание схемы ПСБИ содержится в § 7.6. Но прежде сравним характеристики обнаружения этих двух схем при параметрах, которые задавались при первоначальном анализе. Характеристики обнаружения полезного сигнала схемой ЦБИ были представлены ранее (см. рис. 9.4). Аналогичные характеристики для схемы ПСБИ представлены на рис. 9.7. Характеристики обнаружения на этих рисунках в целом похожи. Теперь перейдём к анализу схем ПСБИ при N 96. Особо отметим, что при анализе схем ПСБИ с параметрами N 96 и 0,5 оценки вероятности ложной тревоги при заданном значении порогового множителя осуществлялись статистическим моделированием с использованием метода существенной выборки. Этот метод позволяет оценивать малые значения вероятности ложной тревоги. При этом нет необходимости осуществлять экстраполяцию зависимостей на малые значения вероятности (примеры с экстраполяцией содержатся на рис. 9.3). При моделировании для каждого значения порогового множителя осуществлялось
0,3
10 lg 10
20
30
2
3
4
5
0,5
4
0,1
1
0,7
3
0,3
а) б) Рис. 9.6. Вероятность обнаружения полезного сигнала при известной интенсивности шума (пунктир) и при формировании порога схемой ЦБИ с параметрами N 96, 32, 0,5. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с весовой обработкой (б). Условия: см. подрисуночную подпись и комментарий к рис. 9.4
276
2
0,5
0,3
0,1
0,9
1
0,7
2и3
0,5
0,3
Dм
0,1
10 lg 10
20
30
а) б) Рис. 9.7. Вероятность обнаружения полезного сигнала при известной интенсивности шума (пунктир) и при формировании порога схемой ПСБИ с параметрами N 64, 24, 0,5. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с хемминговской частотной весовой обработкой (б). Условия: см. подрисуночную подпись и комментарий к рис. 9.4
108 реализаций. При этом оказывалось возможным получать с приемлемой точностью оценки вероятности ложной тревоги порядка 108. В процессе эксплуатации статистических моделей складывается впечатление, что для оценки малых вероятностей ложной тревоги метод существенной выборки предпочтительнее традиционного метода (с последующей экстраполяцией зависимостей). Можно получать более точные и достоверные результаты. Кроме того, не приходится осуществлять экстраполяцию, и поэтому в погрешностях окончательных оценок отсутствует субъективный фактор. Метод существенной выборки довольно подробно излагается в следующей главе. Поэтому сейчас ограничимся простым упоминанием этого метода и перейдём к изложению полученных результатов. Первым шагом в исследовании схем с порядковыми статистиками является вычисление значений порогового множителя в зависимости от номера порядковой статистики. Зависимости порогового множителя для рассматриваемой схемы представлены на рис. 9.8. На рис. 9.9 представлены оценки коэффициентов потерь. «Изломы» на графиках обусловлены статистическими погрешностями в вычислениях. Если при линейном детекторе пороговый множитель определить с ошибкой 1 %, то это приведёт к ошибке в определении коэффициента потерь, равной примерно 0,09 дБ. Сравнивая коэффициенты потерь, представленные в табл. 9.5 и на рис. 9.9а, убеждаемся, что энергетические потери в схеме ПСБИ несколько больше, чем в схеме ЦБИ. Однако отличия небольшие. Частотная весовая обработка приводит к увеличению энергетических потерь, обусловленных применением адаптивных пороговых уровней (см. рис. 9.9). Это можно объяснить тем, что весовая обработка приводит к уменьшению числа интервалов корреляции, укладывающихся в интервал задержек, закрываемый скользящим измерительным окном. 277
7
Рис. 9.8. Схема ПСБИ. Зависимости порогового множителя от номера порядковой статистики. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (сплошная линия) и с хемминговской частотной весовой обработкой (пунктир), линейный детектор. F 108, N 96, 0,5
6 5 4 3 2
23
28
33
38
43
48
10 lg
10 lg
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
23
28
33
38
43
3,0
48
23
28
33
38
43
48
а) б) Рис. 9.9. Зависимости коэффициента потерь при отсутствии помех (а) и при наличии одной мешающей цели (б). Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (верхние кривые) и с частотной весовой обработкой (нижние кривые). Линейный детектор, F 108, D 0,5, N 96, 0,5 Dм
Dм
0,9
0,9
1
0,7
2
0,5
0,5
0,3
0,3
0,1
10 lg 10
20
а)
30
1
0,7
3 4 5
4и5 2и3
0,1
10 lg 10
20
б)
30
Рис. 9.10. Вероятность обнаружения полезного сигнала при известной интенсивности шума (пунктир) и при формировании порога схемой ПСБИ с параметрами N 96, 32. Приём ЛЧМ импульса без весовой обработки (а) и с весовой обработкой (б). Условия: см. подрисуночную подпись и комментарий к рис. 9.4
278
По результатам, представленным на рис. 9.10, видно, что схема ПСБИ с изменёнными параметрами обладает хорошими характеристиками обнаружения полезного сигнала и при наличии мешающего сигнала. 9.8. Две комбинированные схемы, объединённые выбором большего значения (статистически зависимые отсчёты) В § 8.6 рассматривалась схема, составленная из двух комбинированных схем, объединённых выбором большего значения (схема КБИ, рис. 8.2). Было показано, что схема обладает хорошими характеристиками как при однородных, так и при неоднородных помехах. Здесь мы снова возвращаемся к этой схеме, но теперь будем учитывать статистическую зависимость отсчётов. Полагаем, что в схеме применяется линейный детектор. После простого цензурирования осуществляется весовое суммирование. Применение статистического моделирования изложено в § 9.5. Оцениваемая здесь процедура обнаружения сигнала детально изложена в § 8.6. К сказанному в § 8.6 необходимо добавить следующее. В рассматриваемой схеме используются два пороговых множителя: и . Значения множителей должны быть такими, чтобы вероятность ложной тревоги была равна заданному значению. При подборе значений множителей в § 8.6 полагалось, что свободной переменной является множитель , а второй множитель связан с первым некоторой зависимостью. Наличие зависимости между множителями упрощает подбор их значений, так как вероятность ложной тревоги фактически становится функцией одного множителя. В общем случае необходимо учитывать, что от соотношения между множителями и зависят свойства схемы обнаружения. Рассмотрим это утверждение подробнее. В схеме на рис. 8.2 есть ветви, в которых вычисляются промежуточные пороговые уровни (u ) и (v ) . Формирование этих порогов состоит в весовом суммировании отсчётов после простого цензурирования с последующим умножением полученной суммы на пороговый множитель . Если пороговый множитель выбрать слишком большим, то ветви с весовым суммированием отсчётов после простого цензурирования перестанут «работать». Вся схема будет вести себя так, как будто эти ветви совсем отсутствуют. Схема не будет отличаться от рассмотренной в гл. 6 схемы формирования порога с выбором большего значения (БИ, GO CFAR). Схема будет обладать теми же недостатками, которые присущи схеме БИ. Появление в измерительном окне мешающего сигнала приведёт к ухудшению характеристик обнаружения полезного сигнала. При большом пороговом множителе схема по существу не будет отличаться от представленной в § 7.5 схемы ЦБИ (цензурирование в схеме с выбором большего значения). Устойчивость обнаружителя 279
в неоднородной помеховой обстановке сохранится, но, как отмечено в § 8.6, увеличатся энергетические потери при обнаружении полезного сигнала в однородной помеховой обстановке. Далее, если будут обсуждаться какие-либо вопросы, относящиеся в равной степени как к порогу (u ) , так и к порогу (v ) , то будет использоваться единое обозначение , относящееся к любому из этих порогов. Аналогичное замечание относится и к порогам (u ) и (v ) . Ранее в § 8.5 и 8.6 полагалось, что множители должны быть такими, чтобы при отсутствии полезного сигнала и в однородной помеховой обстановке были одинаковыми вероятности превышения порогов и в двух комбинируемых ветвях. Это условие определяет взаимную зависимость между множителями и . Когда отсчёты полагались статистически независимыми, взаимную зависимость между множителями можно было выразить в виде несложных аналитических соотношений. При статистически зависимых отсчётах задача подбора множителей существенно усложняется. Значения множителей находятся по результатам моделирования. Множители должны быть такими, чтобы выполнялись два условия. При отсутствии полезного сигнала и в однородной помеховой обстановке вероятности превышения порогов и должны быть одинаковыми. Вероятность ложной тревоги в однородной помеховой обстановке должна быть равна заданному значению F. На рис. 9.11 представлены результаты, полученные методом статистического моделирования. Эти результаты позволяют установить необходимую зависимость между множителями. 10
1
10
2
10
3
10
4
F, F
F
F
n, n 2
3
4
Рис. 9.11. Зависимости вероятностей превышения порогов от пороговых множителей при однородном помеховом фоне. ЛЧМ импульс с хемминговской частотной весовой обработкой, линейный детектор, N 64, n N /2, 0,5
5
Задаёмся пороговым множителем для ветви, в которой для вычисления промежуточного порога используется весовое суммирование после простого цензурирования. Для заданного значения множителя по соответствующей кривой находим F — вероятность превышения порога . Поскольку вероятности превышения порогов в обеих ветвях должны быть одинаковыми, то полагаем F F . Для полученного значения F по другой кривой находим соответствующее значение n. Так, например, для n 3,85 можно найти F 103,07. Затем полагаем F 103,07 и находим n 3,29. 280
Осуществляя моделирование с использованием найденной пары пороговых множителей, находим вероятность ложной тревоги. Так, например, если n 3,85 и n 3,29, то можно получить F 104,00. Изложенные действия можно осуществить для набора значений порогового множителя , а полученные данные затем использовать для построения необходимых зависимостей. Результат представлен на рис. 9.12. F 10
2
10
4
10
6
10
8
n
Рис. 9.12. Зависимости между необходимыми значениями пороговых множителей и вероятностью ложной тревоги. ЛЧМ импульс с весовой обработкой, линейный детектор, N 64, n N /2, 0,5
n
n, n 2
3
4
5
6
Верхние участки зависимостей на рис. 9.12 (сплошные линии) получены статистическим моделированием, нижние участки (пунктир) — путём экстраполяции имеющихся результатов. Зависимости на рис. 9.12 используются для нахождения пороговых множителей и при заданной вероятности ложной тревоги F. Если для обнаружителя с рассматриваемой здесь схемой КБИ задана вероятность F 104, то с помощью полученных зависимостей (см. рис. 9.12) можно найти необходимые значения параметров: n 3,85 и n 3,29. При F 108 получаем n 6,3 и n 4,9. Когда найдены значения пороговых множителей, методом статистического моделирования можно построить характеристики обнаружения полезного сигнала и затем найти коэффициент энергетических потерь, обусловленный использованием адаптивного порогового уровня. В табл. 9.6 представлены результаты оценок для различных вариантов схемы КБИ. Реальное устройство обнаружения сигналов может иметь отличия, которые не были учтены при моделировании. Поэтому пороговые множители и , найденные при моделировании, необходимо проверить в действующем радиолокаторе и, при необходимости, откорректировать. Проверку можно выполнить следующим образом. Один из пороговых множителей временно заменяется большим числом. Пусть этим пороговым множителем будет . При однородном помеховом фоне (например, при отсутствии внешних пассивных помех) осуществляется измерение уровня ложных тревог. Затем восстанавливается исходное значение порогового множителя , пороговый множитель заменяется большим числом, и снова 281
измеряется уровень ложных тревог. Если второй замер уровня ложных тревог совпадает с первым, то это свидетельствует о том, что соотношение между значениями множителей и правильное. В противном случае значение подбирается таким, чтобы замер уровня ложных тревог совпадал с первоначальным замером, полученным при исходном значении и большом значении . Затем устанавливаются исходное значение и подобранное значение . Измеряется уровень ложных тревог. Если измеренное значение уровня ложных тревог отличается от заданного, то пороговые множители соответствующим образом корректируются в нужную сторону. Таблица 9.6 Пороговые множители и коэффициенты потерь для схемы КБИ. ЛЧМ импульс, линейный детектор, n N /2, FT 100, D 0,5 N
ВО
F 10
4
F 10
8
n
n
10 lg
n
n
10 lg
Сравнение данных из табл. 9.4 и 9.6 показывает, что потери для схемы КБИ всего на 0 0,2 дБ меньше, чем потери для схемы ЦБИ. Учитывая сложность схемы КБИ (по сравнению со схемой ЦБИ), вывод о целесообразности её применения можно поставить под сомнение. 9.9. Адаптивный порог на основе оценки интенсивности гауссовского шума методом максимального правдоподобия В данном параграфе предполагается, что помеховый фон однородный, т. е. отсутствует кромка помех, нет мешающих целей. Число каналов в скользящем окне равно N 1. Используя формулы, представленные в § 1.4, можно записать выражение для плотности распределения вероятностей квадратурных составляющих X и Y ( 0, 1, , N ) в каналах скользящего окна. Пусть 2 — дисперсия шумовых компонент на выходах квадратурных каналов; A — корреляционная матрица шумовых компонент; (1) — элементы матрицы A1; A a ; a
1
0 1
4,07 3,98
3,53 3,42
0,92 1,20
6,6 6,5
5,5 5,3
1,8 2,5
0,8
0 1
3,91 3,94
3,43 3,38
0,86 1,22
6,0 6,4
5,1 5,1
1,7 2,3
64
0,5
0 1
3,80 3,85
3,34 3,29
0,83 1,18
5,9 6,3
5,0 4,9
1,8 2,4
C11() — автокорреляционная функция опорных сигналов; , , , — значения задержки и частоты, на которые настроены -й и -й каналы. Обозначим Z X iY. Тогда
80
0,4
0 1
3,79 3,84
3,32 3,27
0,86 1,20
5,9 6,2
4,9 4,9
1,8 2,3
Z 2 q0 e i e i( с ) C10 ( с , с ) A ,
32 40
Теперь оценим, насколько результаты для рассмотренной в данном параграфе схемы КБИ лучше результатов для других более простых схем. В табл. 8.4 содержится сравнение энергетических потерь, обусловленных применением адаптивного порогового уровня. При N 32 и F 108 потери для схемы КБИ на 0,412 дБ меньше, чем потери для схемы ЦБИ. На основании такого результата можно сделать вывод, что целесообразно применять схему КБИ. Представленные в табл. 8.4 результаты получены в предположении, что все отсчёты статистически независимы между собой и применяется квадратичный детектор. В данной главе схемы анализируются в предположении, что отсчёты зависимые, а детектор линейный. Результатам для N 32 из табл. 8.4 можно ставить в соответствие результаты для схем, в которых на интервале, закрываемом окном, укладываются 32 интервала корреляции. Этому условию удовлетворяют строки табл. 9.4 и 9.6 со знаком «0» в колонке «ВО». 282
a e
i( )
C11 ( , ) ;
, 0, 1, , N;
где q0 — отношение сигнал/шум, — начальная фаза принимаемого полезного сигнала, C10() — взаимно корреляционная функция принимаемого и опорных сигналов, A e i( с ) C10 ( с , с ) , 2q0 , e i . Плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих запишем в виде W ( X 0 , , YN , )
1 N ( 1) exp a ( Z A )( Z A ) . 2 ( 2 2 ) N 1 det A 2 , 0 Звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. При обнаружении сигнала необходимо сравнивать с пороговым уровнем отношение правдоподобия или логарифм отношения правдоподобия. Если используется логарифм отношения правдоподобия, то решение о наличии полезного сигнала принимается при выполнении неравенства
1
283
W ( X 0 , , YN , ) , ln (9.9.1) W ( X 0 , , YN ,0) где — постоянный пороговый уровень. В левую часть (1) подставляются значения Z X iY ( 0, 1, , N ), полученные в процессе обработки принятой реализации и наблюдаемые на выходах квадратурных каналов. Кроме того, логарифм отношения правдоподобия зависит ещё от трёх неизвестных параметров , q0 и . Вместо них в логарифм отношения правдоподобия необходимо подставлять их максимально правдоподобные оценки. Максимально правдоподобные оценки параметров находятся путём решения системы из трёх уравнений W ( X 0 , , YN , ) / 0, W ( X 0 , , YN , ) / q0 0, W ( X 0 , , YN , ) / 0
(9.9.2)
относительно неизвестных , q0 и . Если решить систему уравнений (2), решения подставить в (1), то после преобразований критерий обнаружения (1) можно представить в виде u s , (9.9.3) где — некоторый множитель, u
1 R R , 2 s
N
N
R
l Z
,
0
1 N ( 1) a Z Z . 2 , 0
l
a
( 1) A
,
0
(9.9.4)
Коэффициенты l являются константами. В § 2.5 представлена формула (2.5.2) для оценки максимального правдоподобия неизвестной дисперсии 2 квадратурных составляющих. Из этой формулы следует, что если изменить рассматриваемую здесь задачу и предположить, что полезный сигнал отсутствует, а все N 1 каналов скользящего окна используются только для оценки неизвестной дисперсии, то s/(N 1) является оценкой максимального правдоподобия неизвестной дисперсии. Но применительно к условиям задачи, рассматриваемой в данном параграфе, в случае наличия сигнала оценка s/(N 1) будет искажена сигнальной компонентой. Отмечаем, что процедура обнаружения сигнала использует квадратурные составляющие. Поэтому при таком подходе вид детекторной характеристики не имеет значения. Критерий обнаружения (3) по внешнему виду напоминает соответствующие критерии для различных схем, рассмотренных ранее. 284
Поэтому константу будем называть пороговым множителем, случайную величину s — адаптивным порогом. Выполнение неравенства (3) будем называть превышением порога. Такие аналогии позволят нам и в данном случае использовать выведенные ранее общие соотношения для вероятности превышения порога, включающие в себя двумерное преобразование Лапласа. Напомним, что в § 5.1 использовались два обозначения для порогового множителя. Если выходная величина канала обнаружения участвовала в формировании порогового уровня, то пороговый множитель обозначался символом , если не участвовала — символом . В данном случае выбор символа для обозначения порогового множителя был обусловлен тем, что квадратурные составляющие в канале обнаружения входят в выражение для адаптивного порога s. Будем искать вероятность выполнения критерия обнаружения (3). Теперь полагаем, что амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону. В таком случае и при наличии полезного сигнала квадратурные составляющие являются нормальными случайными величинами с нулевыми средними значениями. При анализе придётся использовать две корреляционные матрицы квадратурных составляющих. Необходимость в этом обусловлена тем, что при проверке критерия обнаружения (3) используется корреляционная матрица A, соответствующая случаю отсутствия полезного сигнала. А при оценке характеристик обнаружения используется корреляционная матрица для общего случая, т. е. как при отсутствии сигнала (когда отношение сигнал/шум равно нулю), так и при наличии флуктуирующего сигнала. Плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих для общего случая записываем в виде Ws ( X 0 , , YN )
1 1 exp 2 2 N 1 (2 ) det S 2
N
s
( 1) Z Z ,
, 0
(1) где Z X iY; s — элементы матрицы S 1 ; S || s || ;
s e
i( )
C11 ( , )
0C10 ( с , с ) C10 ( с , с ) ;
C11() — автокорреляционная функция опорных сигналов; C10() — взаимно корреляционная функция принимаемого и опорного сигналов; с и с — задержка и частота полезного сигнала, 0 — среднее значение отношения сигнал/шум. Чтобы аналитические выражения были компактнее, положим 2 1. Вывод формулы для вероятности превышения порога будем осуществлять с помощью двумерного преобразования Лапласа. Поэтому записываем 285
F ( p1 , p2 ) exp( p1u p2 s ) N l l Z Z N a ( 1) Z Z exp p1 p2 2 2 , 0 , 0
N l l Z Z N a ( 1) Z Z exp p1 p2 2 2 , 0 , 0
WS ( X 0 , , YN ) dX 0 dYN .
F ( p1 , p 2 )
1 N ( 1) exp b Z Z dX 0 dY N , N 1 2 , 0 ( 2 ) det S 1
( 1) ( 1) ( 1) p1l l p2 a s где b . ( 1) p1L p2 A 1 S 1 . Выполняя Обозначим L ll ; B 1 b интегрирование, получим
1 1 1 , F ( p1 , p2 ) 1 1 det S det B det(SB ) det( p1SL p2SA 1 E)
где E — единичная матрица. Воспользовавшись формулой (4.6.2), получим i
1 1 1 P dp , 2 i i p det(E pA )
0,
где A SL SA 1 . Учитывая, что определитель матрицы равен произведению собственных значений матрицы, получаем i
1 1 P 2 i i p
N
1
1 p i 0
dp , i
где i — собственные значения матрицы A. При решении задач в данном параграфе оказывалось, что положительно только одно собственное значение матрицы A. Перенумеруем собственные значения так, чтобы 0 0. Слева от контура интегрирования находится единственная особая точка p 1/0, поэтому N
P
i 1
286
0 . 0 i
При 0 0 вероятность P представляет собой вероятность ложной тревоги F. Теперь конкретизируем условия рассматриваемой задачи. Далее в данном параграфе будем полагать следующее. Все измерительные каналы и канал обнаружения настроены на одно и то же значение доплеровской частоты и представляют собой линейку каналов, расставленных вдоль оси задержек. Доплеровская частота полезного сигнала совпадает с доплеровской частотой, на которую настроены каналы. Задержка полезного сигнала совпадает с задержкой, на которую настроен n-й канал (канал обнаружения, n N/2). При таких предположениях все элементы a корреляционной матрицы являются действительными числами, а при отсутствии полезного сигнала все квадратурные составляющие X статистически независимы от квадратурных составляющих Y. Вначале предположим, что все каналы скользящего окна являются оптимальными устройствами — огибающая опорных сигналов совпадает с огибающей принимаемого сигнала. В таком случае функции C00(, 0), C10(, 0), C11(, 0) совпадают и являются действительными функциями. Тогда с помощью непосредственных вычислений можно убедиться, что N 1 при n, ( 1) (9.9.5) l a A 0 в других случаях. 0
Поэтому R Z n X n i Yn . При оптимальной обработке принимаемого сигнала критерий обнаружения приобретает вид (9.9.6) r s , 2 2 где r ( X n Yn ) 2 . Случайная величина r совпадает со случайной величиной на выходе канала обнаружения, если в канале обнаружения используется квадратичный детектор. Если 0 0, то S A, A AL E. Тогда, если элементы матрицы L l l находятся с учётом формулы (5), то при любых матрицах A одно собственное значение матрицы A равно 1 , остальные собственные значения равны . Поэтому вероятность ложной тревоги определяется формулой N
F 1 1 (9.9.7) . 1 Если в формуле (7) формально перейти от порогового множителя к пороговому множителю (формулы перехода см. в § 5.1), то получим F 1/(1 )N. Новая формула для вероятности ложной тревоги полностью совпадает с полученной в § 5.2 формулой для вероятности ложной тревоги, когда при формировании порогового уровня используется сумма N статистически независимых отсчётов.
287
Если задана вероятность ложной тревоги F, то необходимое значение порогового множителя находится по формулам /(1 ),
(1
N
F ) 1.
Теперь перейдём к вопросам оценки вероятности превышения порога при наличии полезного сигнала. По-прежнему считаем, что все каналы скользящего окна являются оптимальными устройствами. Были получены следующие результаты. Численный анализ собственных значений матрицы A позволил установить, что эти собственные значения можно определять с помощью простых формул. Оказалось, что одно собственное значение матрицы A равно (1 )(1 0), остальные равны . Поэтому вероятность обнаружения полезного сигнала определяется формулой N
N
1 1 1 . D 1 1 (9.9.8) 1 1 0 1 0 Полученная формула оказалась такой же, как формула (5.2.1) для вероятности обнаружения сигнала при формировании порога на основе усреднения N статистически независимых отсчётов. Применительно к рассматриваемому случаю оказывается, что если при формировании порога определённым образом учитывать статистическую зависимость квадратурных составляющих шума, то эффективность обнаружения сигнала будет определяться только числом измерительных каналов. Представленный алгоритм формирования порога можно считать оптимальным. Эффективность обнаружения сигнала не будет зависеть от расстройки между соседними каналами. При этом расстройка между соседними каналами может быть меньше интервала корреляции. Похожий результат был получен в § 2.5. Там было показано, что при однородных помехах точность максимально правдоподобной оценки дисперсии шумовых компонент квадратурных составляющих не зависит от того, коррелированы отсчёты шума или некоррелированы. Оценка интенсивности шума (4) оптимальна при отсутствии полезного сигнала. Но полезный сигнал наблюдается на выходах измерительных каналов, и поэтому будет искажать оценку. При появлении полезного сигнала адаптивный порог будет увеличиваться. При отсутствии весовой обработки, когда появляется полезный сигнал, выходная величина в канале обнаружения и адаптивный порог изменяются в таком соотношении, что увеличение адаптивного порога не приводит к ухудшению эффективности обнаружения сигнала. Напомним, что аналогичный вывод был сделан в § 5.1. Было показано, что если все отсчёты на выходах каналов статистически независимы между собой, то отсчёт на выходе канала обнаружения можно включать в суммирование для формирования адаптивного порогового уровня.
288
Представленные выше результаты были получены, в основном, применительно к ЛЧМ импульсу. Можно предположить, что эти результаты справедливы для любого импульсного сигнала (при условии, что огибающая опорных сигналов совпадает с огибающей принимаемого сигнала). Далее полагаем, что полезным сигналом является ЛЧМ импульс. При частотной весовой обработке автокорреляционная функция C11() определяется формулой (2.4.13), а взаимно корреляционная функция C10() — формулой (9.2.9). Эти две функции отличаются, и формула (5) не будет выполняться. Следовательно, при весовой обработке критерий обнаружения (6) применять нецелесообразно. Если всё же применить частный критерий (6) и при наличии весовой обработки, то энергетические потери окажутся даже больше, чем для схемы с самым простым алгоритмом формирования порога, когда порог формируется усреднением измерительных отсчётов. Только при большом числе измерительных каналов и при их плотной расстановке может наблюдаться некоторый положительный эффект (по сравнению со схемой с усреднением отсчётов). При частотной весовой обработке необходимо применять критерий обнаружения (3). В табл. 9.7 представлены некоторые результаты оценок характеристик обнаружения ЛЧМ импульса. Строки с признаком ВО 0 относятся к случаю, когда нет весовой обработки. Строки с признаком ВО 1 содержат результаты оценок для случая, когда применяется хемминговская частотная весовая обработка, а при вынесении решения используется критерий обнаружения (3). Как и ранее, означает относительную расстройку между каналами по задержке. При этом — абсолютная расстройка между каналами по задержке, 1/F — условная единица измерения задержки, F — девиация частоты. Длина интервала задержек, закрываемого измерительными каналами, для всех вариантов одна и та же (N 32). В этой таблице о означает «общий» коэффициент потерь. Коэффициент учитывает потери, обусловленные незнанием интенсивности шума. Если используется весовая обработка принимаемого сигнала, то этот коэффициент дополнительно учитывает и потери из-за весовой обработки, т. е. учитывает обе причины, из-за которых ухудшаются характеристики обнаружения сигнала. Анализ данных табл. 9.7 позволяет выявить интересное явление. Отношение сигнал/шум на выходе канала обнаружения, в котором применяется весовая обработка, отличается от отношения сигнал/шум на входе приёмного устройства. Отличие можно учесть в виде коэффициента потерь во из-за весовой обработки. Коэффициент потерь из-за весовой обработки во определяется формулой во |C10(0, 0)|2 и при B 100 равен 10 lg(во) 1,302 дБ. Строки с признаком ВО 0 содержат только коэффициент потерь, обусловленный незнанием интенсивности шума. Если бы выраженные 289
в децибелах потери, обусловленные двумя причинами, объединялись аддитивно, то потери в смежных строках с признаками ВО 0 и ВО 1 отличались бы на 1,302 дБ. В действительности, как это видно из таблицы, отличие значительно меньше. Более того, при 1 и 0,5 отличий нет. При 1 и 0,5 применение весовой обработки принимаемых сигналов не сопровождается энергетическими потерями из-за весовой обработки. Таблица 9.7 Обнаружение ЛЧМ импульса с оценкой интенсивности шума методом максимального правдоподобия. Пороговые множители и коэффициенты потерь при D 0,5
N
— ВО
F 10
4
F 10
6
F 10
8
F 10
10
N
10 lg о, 10 lg о, 10 lg о, 10 lg о, N N N дБ дБ дБ дБ
0 1
8,00 8,00
0,638 11,22 0,968 14,01 1,305 16,42 1,650 0,638 11,22 0,968 14,01 1,305 16,42 1,650
40 0,8
0 1
8,23 8,00
0,508 11,68 0,769 14,76 1,035 17,51 1,306 0,632 11,35 0,893 14,35 1,159 17,02 1,430
64 0,5
0 1
8,58 8,58
0,316 12,43 0,476 16,01 0,639 19,34 0,803 0,316 12,43 0,476 16,01 0,639 19,34 0,803
80 0,4
0 1
8,70 8,64
0,252 12,69 0,380 16,45 0,509 20,01 0,639 0,284 12,59 0,412 16,33 0,541 19,86 0,671
32
1
На самом деле при 1 и 0,5 отличия всё же есть, но они проявляются, например, в 8-м знаке после десятичной запятой. Если бы в таблице были данные для 0,5 и N 16, то отличия наблюдались бы во втором знаке после десятичной запятой. Чтобы понять причину этого явления, обратимся к истокам весовой обработки. Как отмечалось в § 2.4, частотная весовая обработка заключается в том, что преобразование Фурье от комплексной огибающей опорного сигнала принимается равным произведению двух функций. Одним из сомножителей является весовая функция, другим — преобразование Фурье от комплексной огибающей принимаемого сигнала. В [74, § 4.3] показано, что если используется весовая функция типа косинус-квадрат, то есть ещё один вариант практической реализации частотной весовой обработки. Основа этого варианта состоит в следующем. Создаётся многоканальная система, в каждом канале которой опорный сигнал совпадает по форме с принимаемым (весовой обработки в каналах нет). Расстройка между соседними каналами такова, 290
что для канала обнаружения, настроенного на задержку 1, должны быть найдены каналы, настроенные на задержки 1 1/F и 1 1/F. Обозначим X1, Y1, X0, Y0, X1, Y1 квадратурные составляющие в этих каналах (X0 и Y0 — в канале, настроенном на задержку 1). Используем выражения для m, приведённые в формуле (2.4.13). Тогда 1
X iY
X m
m
i Ym
(9.9.9)
m 1
будет совпадать с выходной величиной в некотором условном канале обнаружения, в котором реализована частотная весовая обработка. Этот канал настроен на задержку 1. Теперь предположим, что в каждом канале осуществляется весовая обработка. Методом максимального правдоподобия синтезируется процедура обнаружения сигнала, причём входными данными для процедуры являются квадратурные составляющие в каналах многоканальной системы. Весовая обработка сигнала вносит энергетические потери. Поэтому, чтобы максимизировать вероятность обнаружения полезного сигнала, процедура обнаружения сигнала будет стремиться осуществить операции, обратные к тем, которые были выполнены в соответствии с формулой (9). Наиболее благоприятные условия для этого складываются, если в многоканальной системе есть каналы, расстроенные относительно канала обнаружения по задержке на величину, кратную 1/F. Такие условия складываются в многоканальных системах, результаты оценки которых представлены в табл. 9.7 в строках 1 и 0,5. Поэтому происходит не уменьшение или устранение энергетических потерь из-за весовой обработки. Происходит частичная или практически полная ликвидация весовой обработки. В обычных устройствах обнаружения сигналов весовая обработка осуществляется для того, чтобы уменьшить боковые лепестки взаимно корреляционной функции. За уменьшение лепестков приходится расплачиваться энергетическими потерями. Поэтому применительно к рассматриваемой задаче можно предположить, что применение критерия обнаружения (3) при наличии весовой обработки приведёт к явлениям, устраняющим преимущества весовой обработки. Боковые лепестки не будут уменьшены. В заключение параграфа обратим внимание на то, что анализ характеристик обнаружения сигнала в данном параграфе осуществлялся в предположении, что отсутствует кромка помех и нет мешающих целей. Поэтому исследованные процедуры следует расценивать как иллюстрацию того, что можно повысить эффективность обнаружения полезного сигнала путём учёта статистической зависимости измерительных отсчётов.
291
Пусть теперь W(x) — ещё одна плотность распределения вероятностей. Выполняется следующее условие: если w(x) 0, то и W(x) 0. Интеграл можно переписать в виде
10. МЕТОД СУЩЕСТВЕННОЙ ВЫБОРКИ 10.1. Общие сведения о методе существенной выборки Непосредственное применение метода статистического моделирования для оценки вероятности ложной тревоги требует очень большого числа испытаний, поэтому оказывается невозможным осуществить оценку значений вероятности ложной тревоги, которые обычно встречаются на практике. Приходится видоизменять традиционный метод Монте — Карло. В гл. 8 для оценки характеристик обнаружения применялся квазианалитический метод статистического моделирования, позволяющий существенно сократить число испытаний. Однако этот метод имеет ограничения. Метод применим, если случайная величина на выходе канала обнаружения статистически независима от порогового уровня. Для уменьшения числа испытаний применяют ещё один метод, получивший в зарубежной литературе название importance sampling (см., например, [161, 210]). В [58, 30, 31] это название переводится как метод существенной выборки. В § 2.1 упомянуты работы, в которых приведены результаты исследований, полученные с использованием метода существенной выборки. В § 9.7 представлены результаты анализа схемы обнаружения, полученные методом существенной выборки. В данном параграфе излагаются основные принципы, на которых строится этот метод. Рассмотрим математическую задачу вычисления интеграла
P
( x) w( x) dx ,
(10.1.1)
где (x) — некоторая функция, w(x) — плотность распределения вероятностей случайной величины. Разумеется, во многих случаях подобный интеграл вычисляется аналитическим путём или численными методами, но могут встретиться сложные обобщения этого интеграла на многомерный случай. К тому же область интегрирования может иметь непростую конфигурацию. Тогда для вычисления интеграла приходится применять метод Монте — Карло. В данном случае приближённой оценкой интеграла может служить P
1 L
L
( x ) , i
(10.1.2)
i 1
где xi — реализации независимых случайных чисел, вырабатываемые датчиком случайных чисел, L — количество реализаций. При этом случайные числа x i распределены в соответствии с плотностью распределения вероятностей w(x). 292
P
( y )W ( y ) dy ,
( y ) ( y )
w( y ) . W ( y)
Приближённой оценкой интеграла теперь является P
1 L
L
( y ) , i
(10.1.3)
i 1
где yi — случайные числа, распределённые в соответствии с плотностью распределения вероятностей W( y). Таким образом, оказывается, что оценку интеграла можно осуществить по формуле (2) или (3). В зависимости от того, какая формула будет принята за основу, понадобится тот или иной датчик случайных чисел. Возникает вопрос выбора формулы. Чем больше число реализаций L, тем точнее формулы (2) и (3). При этом оказывается, что при одном и том же значении L точность одной формулы, вообще говоря, отличается от точности другой формулы. Если задаться некоторой требуемой точностью оценки интеграла, то при использовании одной формулы понадобится одно число реализаций, а при использовании другой формулы — другое число. Представим, что плотность распределения вероятностей w(x) и случайные числа xi таковы, что большинство значений (xi) имеют малую величину и поэтому не оказывают существенного влияния на оценку, осуществляемую по формуле (2). Основной вклад в оценку (2) вносит небольшая доля слагаемых. Чтобы точность оценки была приемлемой, приходится увеличивать общее число реализаций, чтобы количество получаемых существенных слагаемых было достаточно для уменьшения статистической погрешности. Оценка (3) зависит от значений ( yi). Выборка yi (i 1, 2, , L) может оказаться такой, что большинство значений ( yi) оказывает существенное влияние на величину оценки. Тогда при статистическом моделировании потребуется меньшее число реализаций. Метод статистического моделирования, включающий в себя подобную замену плотности распределения вероятностей, называется методом существенной выборки. В [161, 210] вторая плотность распределения вероятностей, используемая в методе существенной выборки, названа модифицированной (modified). При фиксированном числе реализаций L, когда исходный интеграл (1) оценивается по формуле (3), погрешность оценки можно уменьшить путём разумного подбора модифицированной плотности распределения вероятностей W(x). 293
Считается, что метод существенной выборки может обеспечить значительное уменьшение необходимого числа реализаций при статистических испытаниях. Так, например, по данным из [180] необходимое число испытаний уменьшается в 1000 раз. В [210] также отмечается, что для метода существенной выборки точность статистических характеристик генерируемых псевдослучайных чисел уже не столь критична, как это было бы для обычного метода Монте — Карло. Для более полного понимания метода рассмотрим ещё один вопрос. Рассматриваем интеграл
0
F U ( x ) w( x ) dx w( x )dx ,
(10.1.4)
где U() — единичная функция, определяемая формулой (9.5.2). Плотность распределения вероятностей случайной величины x имеет вид w(x) exp(x). Значение таково, что F 108. Все вопросы, относящиеся к интегралу (4), можно решить аналитическим путём, но мы рассмотрим вычисление интеграла методами статистического моделирования. С помощью датчика экспоненциально распределённых случайных чисел вырабатываем значения xi (i 1, 2, , L). Оценку интеграла (4) осуществляем по формуле F
1 L
L
U ( x
i
) .
(10.1.5)
i 1
Под знаком суммы в (5) присутствуют либо нули, либо единицы. Причём единиц окажется значительно меньше нулей. Чтобы оценка F по формуле (5) хотя бы примерно соответствовала истинному значению F, число единиц ориентировочно должно быть равно хотя бы 100. При F 10 8 это условие выполняется, если число реализаций составляет L 1010. Если при L 1010 в одной реализации (возможно, и в нескольких реализациях) случайно вместо нуля под знаком суммы (5) появится единица, то оценка F заметно изменится (примерно на один процент). Именно этим можно объяснить низкую точность оценки вероятности ложной тревоги при использовании непосредственного метода статистического моделирования. Теперь применим к интегралу (4) метод существенной выборки. Интеграл (4) переписываем в виде
F U ( y ) 0
294
w( y ) W ( y )dy . W ( y)
Оценкой этого интеграла является 1 L (10.1.6) U ( yi )( yi ) , L i 1 где yi — выборка случайных чисел, подчиняющихся модифицированной плотности распределения вероятностей W( y) (i 1, 2, , L); ( yi) w( yi)/W( yi) — весовые множители. В [210] рассматривается пример, не отличающийся по существу вопроса от вычисления интеграла (4). Применялся метод существенной выборки, который, как было изложено выше, включает в себя использование модифицированной плотности распределения вероятностей. В принятых здесь обозначениях модифицированная плотность распределения вероятностей из рассматриваемого в [210] примера выражается формулой W( y) (1/a) exp(y/a), где a — параметр распределения. В [210] было показано, что наилучшую точность оценки вероятности F можно получить, если a . Было также показано, что метод относительно нечувствителен к выбору параметра a, который изменяет масштаб случайной переменной y. Это значит, что при одном и том же выбранном значении a можно осуществлять моделирование для различных значений порога (или порогового множителя) и строить зависимость вероятности от порога. Положим a . Значения U( yi ) под знаком суммы в (6) являются либо нулями, либо единицами. Единица появляется в тех случаях, когда yi . Случайная величина y распределена по закону W( y) (1/) exp(y/), поэтому единица появляется с вероятностью 1/e, т. е. 37 %. Доля единиц составляет в среднем 37 %. Единицы суммируются с весами ( yi). При этом ( yi) (). Если F 108 и ln(1/F ), то () 5107. Под знаком суммы в формуле (6) нет слагаемых, появляющихся с малой вероятностью, но оказывающих большое влияние на значение суммы. Из-за этого снижается погрешность оценки. Число реализаций при моделировании можно уменьшить на несколько порядков. В общем случае применение метода существенной выборки начинается с выбора модифицированной плотности распределения вероятностей. Желательно выбрать такую плотность, чтобы значительно уменьшить необходимое число реализаций при статистическом моделировании. Выбор наилучшей плотности можно осуществить теоретическим путём только в том случае, если все вопросы, относящиеся к исследуемому интегралу, решаются аналитическим путём. Разумеется, подобные исследования имеют исключительно познавательный смысл, так как при наличии аналитических решений нет необходимости в статистическом моделировании. Если заранее ничего неизвестно о свойствах исследуемого интеграла, то при выборе модифицированной плотности распределения вероятностей приходится руководствоваться какими-либо простыми 295 F
соображениями. Самый распространённый и самый простой способ выбора плотности, предлагаемый в различных публикациях, состоит в изменении масштаба случайной величины, сравниваемой с порогом. Изменение масштаба приводит к увеличению среднего значения модифицированной случайной величины и, следовательно, к увеличению вероятности превышения порога. Исследования, выполненные в предположении статистической независимости отсчётов, показывают [159, 48], что этот способ даёт хорошие результаты. Однако, как будет показано в § 10.3, при статистически зависимых отсчётах этот способ может не дать положительного эффекта. 10.2. Применение метода существенной выборки к анализу схем обнаружения с адаптивным пороговым уровнем Полагаем, что отсчёты на выходах каналов являются статистически зависимыми случайными величинами, пассивные помехи отсутствуют. Метод существенной выборки применяется только для оценки вероятности ложной тревоги, т. е. когда полезный сигнал отсутствует. При наличии полезного сигнала, когда вероятность превышения порога не является малой величиной, вероятность обнаружения сигнала оценивается обычным методом статистического моделирования. Как уже отмечалось, ключевым вопросом применения метода существенной выборки является выбор модифицированной плотности распределения вероятностей. Применительно к условиям задачи, рассматриваемой в данном параграфе, исходная и модифицированная плотности являются многомерными плотностями. Они определяют статистические свойства квадратурных составляющих. Общее число квадратурных составляющих равно 2(N 1), при этом две составляющие из общего числа относятся к каналу обнаружения. В описании способа построения модифицированной плотности будут участвовать две многоканальные системы. Одна из них является именно той системой, характеристики которой необходимо оценить. Вторая система является виртуальной. Плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих в виртуальной системе принимается в качестве модифицированной плотности. Примеры построения конкретных виртуальных многоканальных систем будут представлены в следующем параграфе. Здесь необходимо отметить следующее. Прообразом для виртуальной системы является оцениваемая реальная система. После умозрительного внесения в оцениваемую реальную систему некоторых изменений или добавлений, новая система принимается в качестве виртуальной. Вносимые изменения или добавления не должны содержать никаких нелинейных элементов, поэтому квадратурные составляющие в виртуальной системе остаются нормальными (гауссовскими). Виртуальная система включает в себя некоторый изменяемый параметр, с помощью которого можно регулировать вероятность 296
превышения адаптивного порогового уровня. Выбор значения этого параметра осуществляется по результатам предварительного статистического моделирования. Вероятность превышения адаптивного порога в виртуальной многоканальной системе не должна быть слишком малой и слишком близкой к единице. Будем ориентироваться на то, что вероятность превышения адаптивного порога в виртуальной системе находится в пределах от 0,1 до 0,4. При подготовке к моделированию выполняются следующие действия. Вычисляем корреляционную матрицу R, состоящую из коэффициентов корреляции квадратурных составляющих в реальной многоканальной системе. Вычисление элементов матрицы R изложено в § 9.2. В данном случае необходимо учесть, что 0 0, так как предполагаем отсутствие полезного сигнала. Затем вычисляем корреляционную матрицу H квадратурных составляющих для виртуальной многоканальной системы. При вычислении матрицы H учитываются изменения или добавления, посредством которых была сконструирована виртуальная многоканальная система. Для корреляционной матрицы H вычисляем треугольную матрицу G, удовлетворяющую уравнению H GGT. Порядок вычисления матрицы G был представлен ранее в § 9.5. Матрица G необходима для генерирования совокупности коррелированных квадратурных составляющих в виртуальной многоканальной системе. Вычисляем обратные матрицы R1 и H1. Выражение для вероятности ложной тревоги теперь записываем в виде
F
U (r h)
w( Z 0 ,, Z 2 N 1 ) W ( Z 0 ,, Z 2 N 1 ) dZ 0 dZ 2 N 1 . W ( Z 0 ,, Z 2 N 1 )
Здесь U() — единичная функция, определяемая формулой (9.5.4); r — выходная величина в канале обнаружения, h h(r0, r1, , rN) — адаптивный пороговый уровень. Выражения w() и W() представляют собой плотности распределения вероятностей квадратурных составляющих Z0, , Z2N1. Плотность w() относится к реальной многоканальной системе и определяется формулой (9.2.5). Плотность W() относится к виртуальной многоканальной системе и определяется формулой W ( Z 0 , , Z 2 N 1 )
1
2
2N 2
1 2 N 1 ( 1) exp hij Z i Z j , 2 i , j 0 det H
где hij(1) — элементы обратной матрицы H1. 297
При статистическом моделировании в каждой реализации осуществляются следующие операции. Генерируется совокупность независимых нормальных случайных величин, количество которых совпадает с количеством квадратурных каналов и составляет 2(N 1). Эту совокупность случайных величин записываем в виде вектора z. Линейным преобразованием Z Gz получаем вектор, компонентами которого являются квадратурные составляющие в виртуальной многоканальной системе. Эти квадратурные составляющие переписываем в виде Xi Zi, Yi Zi N 1, i 0, 1, , N. Затем вычисляем реализацию случайных величин на выходах каналов. Если детектор квадратичный, то ri ( X i2 Yi 2 ) 2 . Если детектор X i2
2
Yi . Выходная величина в канале обнаружелинейный, то ri ния r rN/2. Полученные выходные величины позволяют вычислить оценку порога h h(r0, r1, , rN), а затем — реализовавшееся значение функции U(). По результатам статистического моделирования находим оценку вероятности ложной тревоги F
1 L
L
w( Z 0 ,, Z 2 N 1 ) , 0 , , Z 2 N 1 ) l
U ( r h ) W ( Z l 1
(10.2.1)
где L — количество реализаций, l — номер реализации. Вертикальная черта со знаком l в этой формуле означает следующее. В качестве аргументов r, h, Zi в l-м слагаемом под знаком суммы используются соответствующие значения случайных величин, полученные в l-й реализации статистического моделирования. Если для адаптивного порога справедливо h s, где — пороговый множитель, s — результат оценки интенсивности помехи, то получаемый по формуле (1) результат является оценкой вероятности ложной тревоги при заданном значении порогового множителя . Если многоканальная система предназначена для обнаружения ЛЧМ импульса, то при моделировании можно использовать более простые соотношения. В § 9.5 отмечалось, что в этом случае при определённых условиях квадратурные составляющие X0, , XN статистически независимы от квадратурных составляющих Y0, , YN. Поэтому оценку вероятности ложной тревоги можно осуществлять по формуле F
298
1 L
L
w( X 0 ,, X N ) w(Y0 ,, Y N ) . 0 , , X N ) W (Y0 , , Y N ) l
U ( r h ) W ( X l 1
(10.2.2)
Теперь через w() обозначена плотность распределения вероятностей X0, , XN или Y0, , YN в реальной многоканальной системе, через W() — плотность распределения вероятностей X0, , XN или Y0, , YN в виртуальной многоканальной системе. Плотность распределения вероятностей w() нормальных случайных величин, используемая в формуле (2), задаётся корреляционной матрицей A, элементы которой находятся по формуле (9.2.7). Плотность распределения вероятностей W() задаётся корреляционной матрицей, которую можно найти после того, как будет определён способ построения виртуальной многоканальной системы. Моделирование реализаций случайных переменных X0, , XN и Y0, , YN осуществляется по примеру, изложенному в конце § 9.5. 10.3. Пример применения метода существенной выборки В § 9.2 исследовалась схема, в которой для формирования порогового уровня использовалась сумма случайных величин, отсчитываемых на выходах измерительных каналов. Особенность исследования состояла в учёте статистической зависимости выходных величин во всех каналах (как в измерительных, так и в канале обнаружения). Для решения задачи применялись аналитические и численные методы. Целесообразно ещё раз исследовать эту же схему формирования порога. Но метод исследования должен быть другим — для оценки вероятности ложной тревоги будем применять метод существенной выборки. Тогда можно выявить основные особенности применения метода существенной выборки и одновременно оценить его возможности для анализа схем при статистически зависимых отсчётах. В данном параграфе метод существенной выборки проверяется на примерах оценки схемы, в которой при формировании порогового уровня используется сумма выходных величин измерительных каналов s r0 r1 rn1 rn1 rN , где n N/2. Для формирования выходных величин применяется квадратичный детектор. Оценка эффективности исследуемого метода существенной выборки выполнялась в следующем порядке. Рассматривалась многоканальная система, предназначенная для обнаружения ЛЧМ импульса. Находилась корреляционная матрица A квадратурных составляющих в реальной многоканальной системе. Затем конструировалась виртуальная многоканальная система, для которой находилась корреляционная матрица H. В результате модифицированная плотность распределения вероятностей W() становилась полностью известной. Задавалось значение вероятности ложной тревоги. С помощью представленных в § 9.2 аналитических соотношений находилось точное значение порогового множителя, при котором реализуется заданное значение вероятности ложной тревоги. Найденное значение порогового множителя использовалось при статистическом моделировании методом существенной выборки. 299
Значение вероятности ложной тревоги, найденное путём моделирования по формуле (10.2.2), сравнивалось с заданным значением. По результатам сравнения делались выводы о возможностях метода существенной выборки. Вначале рассматривалась виртуальная многоканальная система, которая отличается от оцениваемой реальной системы тем, что в ней на входе канала обнаружения помещён дополнительный усилитель. Все остальные параметры схемы, а также алгоритмы формирования адаптивного порога оставались такими же, как в реальной многоканальной системе. Коэффициент усиления k в дополнительном усилителе являлся подбираемым параметром, с помощью которого в виртуальной системе можно поддерживать вероятность превышения адаптивного порогового уровня в желаемых пределах (от 0,1 до 0,4). Корреляционная матрица H для виртуальной системы с дополнительным усилителем вычисляется следующим образом. Корреляционная матрица A является характеристикой реальной многоканальной системы. Её размер равен (N 1)(N 1). При этом столбец матрицы с номером N/2, а также строка матрицы с этим же номером являются характеристиками канала обнаружения. Если этот столбец, а также эту строку матрицы умножить на коэффициент усиления k, то получим корреляционную матрицу H квадратурных составляющих для виртуальной многоканальной системы. Плотность распределения вероятностей квадратурных составляющих в виртуальной системе является модифицированной плотностью распределения вероятностей. Заметим, что изложенный способ составления модифицированной плотности распределения вероятностей по сути является обобщением применяемого способа на случай статистически зависимых отсчётов. Когда применяют метод существенной выборки при независимых отсчётах, то модифицированную плотность получают путём увеличения среднего значения случайной величины в канале обнаружения (см., например, [210]). По результатам применения метода существенной выборки с модифицированной плотностью распределения вероятностей, соответствующей виртуальной системе с дополнительным усилителем, оказалось возможным сделать следующие выводы. Эффективность метода зависит от отношения , где — расстройка между соседними каналами по задержке, 1/F — условная единица измерения задержки для ЛЧМ импульса. Если весовая обработка ЛЧМ импульса не применяется, то при 1 метод существенной выборки даёт существенное уменьшение количества реализаций (статистических испытаний). Получаемые результаты не противоречат опубликованным описаниям эффективности метода существенной выборки при статистически независимых отсчётах. Этого и следовало ожидать, так как в § 9.2 было показано, 300
что в таких условиях выходные величины в каналах можно считать статистически независимыми. Хорошие результаты можно получить и при относительных расстройках между каналами 0,9 0,8 (при отсутствии весовой обработки). Но при дальнейшем уменьшении относительной расстройки между каналами результаты становятся неудовлетворительными. Если применяется весовая обработка, то результаты неудовлетворительны даже при 1. Если F — истинная вероятность ложной тревоги (заданное значение), а Fˆ — оценка, полученная путём моделирования, то разность lg(1 Fˆ ) lg(1 F ) может составить несколько единиц или даже несколько десятков. Например, когда количество статистических испытаний составляет 106, вместо истинного значения вероятности ложной тревоги 10 4 можно получить 1022 или даже 1037. В формуле (10.2.2) весовые множители w( X 0 ,, X N ) w(Y0 ,, Y N ) W ( X 0 ,, X N ) W (Y0 ,, Y N ) l
при U(r h) 1 принимают очень малые значения. Можно предположить, что встречаются и большие значения, но происходит это с очень малой вероятностью. Чтобы оценка вероятности ложной тревоги была близка к истинному значению вероятности ложной тревоги, необходимо просуммировать достаточное количество слагаемых с большими значениями весовых множителей. Чтобы это произошло, потребуется произвести очень большое количество статистических испытаний. Следует вывод, что построенная изложенным выше способом модифицированная плотность распределения вероятностей непригодна для моделирования при статистически зависимых отсчётах. Если применять метод существенной выборки с этой плотностью распределения вероятностей, то потребуется увеличить число статистических испытаний по сравнению с обычным методом Монте — Карло. Теперь рассмотрим ещё одну (вторую) модифицированную плотность распределения вероятностей. Полагаем, что виртуальная многоканальная система ничем не отличается от реальной. Но на вход виртуальной системы поступает виртуальный полезный сигнал. Элементы корреляционной матрицы квадратурных составляющих в виртуальной многоканальной системе определяются формулой (9.2.7). Только теперь 0 будет обозначать отношение сигнал/шум для виртуального сигнала, а настоящий полезный сигнал отсутствует, так как в данном случае оценивается вероятность ложной тревоги. Отношение сигнал/шум для виртуального сигнала является подбираемым параметром, с помощью которого в виртуальной системе 301
можно поддерживать вероятность превышения адаптивного порогового уровня в желаемых пределах (от 0,1 до 0,4). Результаты применения метода существенной выборки со второй модифицированной плотностью распределения вероятностей оказываются обнадёживающими. В табл. 10.1 символом F обозначена задаваемая вероятность ложной тревоги. Параметры многоканальной системы и значения F использовались для нахождения точных значений пороговых множителей. Напомним, что в данном случае пороговые множители находятся изложенным в § 9.2 аналитическим методом. Для полученных значений порогового множителя по формуле (10.2.2) методом существенной выборки находилась оценка вероятности ложной тревоги. Если эту оценку обозначить через Fˆ , то приведённые в табл. 10.1 данные будут представлять собой значения lg(1 Fˆ ) . Как и прежде, признак ВО 0 означает отсутствие весовой обработки, признак ВО 1 — наличие весовой обработки. Проиллюстрируем данные из табл. 10.1 простым примером. Представим многоканальную систему с параметрами N 64 и 0,5. Приём полезного сигнала осуществляется с весовой обработкой. При исследовании этой схемы статистическим моделированием используется точное значение порогового множителя 15,42/N (см. табл. 9.2), соответствующее вероятности ложной 8 тревоги F 10 . Из табл. 10.1 следует, что при количестве статистических испытаний L 10 4 мы получим оценку Fˆ 10 8,51 . Эту оценку нельзя признать удовлетворительной, поэтому необходимо увеличение количества статистических испытаний. При L 106 получим оценку Fˆ 10 8,16 , а при L 108 — оценку Fˆ 10 8,01 . В § 9.7 метод существенной выборки применялся для анализа схемы с выбором большей из двух порядковых статистик. При этом в модели использовалась вторая модифицированная плотность, описание которой представлено в данном параграфе. Полученные результаты позволяют сделать следующий вывод. Метод существенной выборки можно применять для анализа схем с адаптивным порогом и в тех случаях, когда выходная величина в канале обнаружения и адаптивный пороговый уровень являются статистически зависимыми случайными величинами. Метод позволяет уменьшить на несколько порядков количество реализаций. Однако следует помнить, что метод эффективен только при удачном выборе модифицированной плотности распределения вероятностей.
302
Таблица 10.1 Результаты статистического моделирования методом существенной выборки с использованием второй модифицированной плотности распределения вероятностей. L
N
lg(1 Fˆ )
ВО F 10
4
F 10
6
F 10
8
F 10
10
32
1
0 1
4,02 3,96
6,09 6,01
8,13 9,19
9,95 11,21
40
0,8
0 1
4,00 4,01
6,00 6,10
7,91 8,79
10,60 11,16
64
0,5
0 1
4,04 3,90
6,12 6,11
8,05 8,51
10,96 10,23
80
0,4
0 1
3,97 3,74
6,03 6,01
8,24 8,76
10,92 8,65
32
1
0 1
4,00 4,00
6,02 6,00
7,98 7,96
10,07 10,20
40
0,8
0 1
4,00 4,01
6,00 6,02
7,98 8,10
10,06 10,21
64
0,5
0 1
4,00 4,03
6,02 5,99
8,01 8,16
9,99 10,13
80
0,4
0 1
3,99 4,00
5,98 5,98
7,91 8,30
10,16 9,92
32
1
0 1
4,00 4,00
6,00 6,00
7,99 8,01
10,00 10,08
40
0,8
0 1
4,00 4,00
6,00 6,00
8,01 8,01
9,97 9,97
64
0,5
0 1
4,00 4,00
6,00 6,00
7,99 8,01
10,02 9,91
80
0,4
0 1
4,00 4,00
6,00 6,00
8,01 8,01
9,99 9,87
104
106
108
303
11.2. Дискретная обработка импульсных сигналов 11. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ МЕШАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 11.1. Введение Эффективность схем с адаптивными пороговыми уровнями не всегда бывает удовлетворительной. Недостатки схем определяются в основном тем, что измерение интенсивности помехового фона не совпадает по времени с приёмом полезного сигнала. Эта особенность может привести к тому, что будет измеряться интенсивность какого-то другого помехового фона. Целесообразно в максимальной степени сблизить по времени измерение интенсивности фона и обработку сигнала. В § 3.3 упоминается аналоговая схема обнаружения сигнала на фоне нормального белого шума с неизвестной интенсивностью [76, 77]. В этой схеме измерение интенсивности шума и обработка полезного сигнала осуществляются на одном и том же интервале задержек. Схема состоит из двух параллельных каналов. В одном из них осуществляется обычная когерентная обработка принимаемого сигнала, во втором — некогерентное накопление принимаемого сигнала (интегрирование огибающей принимаемой реализации). Результат, получаемый во втором канале, после умножения на пороговый множитель служит пороговым уровнем. В настоящее время обработка принимаемых радиолокационных сигналов осуществляется с применением цифровой техники, поэтому предложенный в [76, 77] способ стабилизации вероятности ложной тревоги теперь необходимо рассматривать с позиций цифровой обработки сигналов. Анализу схем обнаружения, основанных на цифровой обработке сигналов, посвящены две главы в [73], причём вторая из этих глав содержит анализ вопросов обнаружения сигнала на фоне мешающих воздействий с неизвестными характеристиками. В качестве мешающих воздействий подразумеваются нормальный белый шум с неизвестной интенсивностью и мешающая цель. В анализируемых там схемах для формирования адаптивного порогового уровня используются те же самые цифровые отсчёты входной реализации, которые предназначены для формирования результата обработки полезного сигнала. В следующих двух параграфах данной главы будет дано краткое описание полученных в [73] результатов анализа схем с адаптивными порогами. Представленные в этих параграфах рисунки заимствованы из [73]. Затем будет осуществлён анализ схем, принимающих отражённый полезный сигнал на фоне пассивных помех. 304
Вначале аналоговая входная реализация преобразовывается в цифровую последовательность. Цифровая последовательность затем поступает в устройство обработки. Перевод аналоговых реализаций в цифровую последовательность можно представить в виде двух операций. В результате первой операции осуществляется дискретизация по времени, при этом непрерывная реализация представляется её отсчётами, т. е. значениями реализации в фиксированные моменты времени. Вторая операция предусматривает квантование отсчётов по уровню. Чтобы упростить задачу и получить более наглядные результаты, целесообразно при анализе пренебречь эффектами квантования по уровню. Можно условно представить, что характеристика аналого-цифрового преобразователя имеет большое число уровней квантования при малом интервале квантования и поэтому существенно не отличается от линейной характеристики. Учитывается только дискретизация по времени, поэтому обработка таких отсчётов называется дискретной обработкой. В [28] показано, что при технической реализации устройств обработки сигналов аналого-цифровое преобразование целесообразно осуществлять на промежуточной частоте. Переход на видеочастоту и дальнейшая обработка сигналов осуществляются в цифровом устройстве. Однако теоретический анализ оказывается нагляднее, если в математической модели процедуры обработки дискретных отсчётов полагать, что аналого-цифровое преобразование осуществляется на видеочастоте. Тогда схема обработки будет иметь вид, представленный на рис. 11.1. По результатам сравнения выходной величины R с пороговым уровнем принимается решение о наличии или отсутствии полезного сигнала. x
x(t)
X
2 s(t)
1
cos фt
X 2 Y2 2 2
3 y
y(t) 2
R
Y
sin фt Рис. 11.1. Схема дискретной обработки сигнала: 1 — узкополосный фильтр; 2 — дискретизатор; 3 — устройство обработки отсчётов
305
В схеме на рис. 11.1 выходная величина нормирована; 2 является дисперсией шумовых компонент квадратурных составляющих X и Y. Спектральную полосу входной реализации необходимо ограничивать, так как при неограниченной полосе дисперсия шумовой компоненты входной реализации будет большой и эффективное выделение сигнала на фоне шумов будет возможно только при очень малых интервалах дискретизации (т. е. при малых интервалах времени между соседними дискретными отсчётами). Ограничение полосы входной реализации производится с помощью узкополосного фильтра, размещённого на входе устройства. На схеме ф означает резонансную частоту этого фильтра. Термин «узкополосный» здесь имеет общеупотребительный смысл и свидетельствует о том, что ширина полосы фильтра значительно меньше резонансной частоты. В то же время полоса этого фильтра должна быть достаточно широкой, чтобы в её пределах оказывалась основная часть спектральных составляющих полезного сигнала (при любом возможном доплеровском сдвиге несущей). Если h(t) — импульсная переходная функция фильтра (h(t) 0 при t 0), то процессы на выходе и на входе фильтра связаны соотношением sвых (t ) s(t t ) h(t ) dt
0
},
g (t ) h0 (t ) e i ( t ) ,
(11.2.1)
где h0(t) и (t) — медленно меняющиеся функции времени. Комплексная частотная характеристика фильтра H(i) и импульсная переходная функция h(t) связаны между собой преобразованиями Фурье. Для комплексной частотной характеристики H(i) высокочастотного фильтра справедлива формула 1 1 (11.2.2) H (i ) H 0 (i i ф ) H 0 ( i i ф ) , 2 2 где H0(i) — преобразование Фурье от g(t). Поэтому H0(i) можно представить как частотную характеристику высокочастотного фильтра, смещённую в область низких частот. Звёздочка означает комплексно сопряжённую величину. От импульсной переходной функции узкополосного фильтра зависят коэффициенты корреляции шумовых компонент отсчётов и значения сигнальных компонент отсчётов. Предположим, что на входе схемы обработки (рис. 11.1) действует аддитивная смесь s(t) сигнала и нормального белого шума, представленная ранее формулой (1.1.1). В формуле (1.1.1) задержка и частота
306
h(t t ) s(t ) dt
(11.2.3)
x (t ) i y (t ) c{ 2q0 e i z0 (t , с , с ) (t ) i (t )} ,
где c — некоторая константа, определяемая только спектральной плотностью мощности шума Nш ( c 2 N ш 4) ; q0 E/(2Nш) — отношение сигнал/шум; — случайная фаза сигнала; с с ф ;
z0 (t , , ) e i t
g (t )U (t t ) e
i t
0
dt ;
(11.2.4)
g (t t ) n(t) e
i фt
dt .
Импульсную переходную функцию h(t) узкополосного фильтра запишем в виде [44] i фt
i фt
получаем
s(t ) h(t t ) dt .
h(t ) Re{ g (t ) e
t
x (t ) i y (t ) e
(t ) i (t ) 2
t
полезного сигнала обозначены через с и с. Считаем, что на входы дискретизаторов поступают только низкочастотные составляющие, поэтому колебания частоты ф с или 2ф в выражениях для x(t) и y(t) должны быть отброшены. С учётом этого замечания после преобразования выражения
Поскольку введение усиления, общего для всех цепей тракта обработки сигнала, не влияет на эффективность обработки, то множитель c во всех последующих выражениях будем опускать. Нормальные случайные процессы (t) и (t) сопряжены между собой. Корреляционные и взаимно корреляционные функции этих процессов определяются соотношениями (t ) (t ) (t ) (t ) Re K ( ) , (t ) (t ) (t ) (t ) Im K ( ) ,
1 2 K ( ) g (t ) g (t ) dt H 0 (i ) e i d . 2
В [44] показано, что если частотная характеристика фильтра симметрична, а фазовая — антисимметрична относительно резонансной частоты, то в формуле (1) функция (t) 0. Тогда K() является действительной функцией, а (t) и (t) — независимые между собой нормальные случайные процессы с корреляционной функцией K(). Если отношение сигнал/шум q0 распределено по экспоненциальному закону w(q0) (1/0) exp(q0 /0), а начальная фаза — по равномерному закону, то x(t) и y(t) — нормальные случайные процессы с нулевым средним значением. Корреляционные и взаимно корреляционные функции этих процессов определяются соотношениями 307
x (t ) x ( t ) y ( t ) y ( t ) 0 Re{z 0 (t , с , с ) z 0 (t , с , с )} Re K ( ), (11.2.5) x ( t ) y (t ) y ( t ) x (t ) 0 Im{z 0 (t , с , с ) z 0 (t , с , с )} Im K ( ). Здесь, как и прежде, 0 q0 — среднее значение отношения сигнал/шум. Полученные соотношения позволяют найти необходимые статистические характеристики отсчётов x1, x2, , xn, y1, y2, , yn. Здесь и далее n — количество дискретных отсчётов на интервале времени, равном длительности импульса T. Кроме того, x x(t), y y(t), t — моменты времени, в которые осуществляются отсчёты. В [73] с применением критерия отношения правдоподобия проведён синтез устройства обработки отсчётов (см. рис. 11.1). При синтезе предполагалось, что (t) 0. Далее предполагалось, что устройство обработки отсчётов настроено на приём сигнала с параметрами с , с и с комплексной огибающей U1(). Устройство должно вычислять величину R (X 2 Y 2)/(22), где n
X iY
1
w ;
w x iy;
(11.2.6)
1
n
1
a
( 1)
z1 ;
(11.2.7)
1
(1) a
— элементы матрицы, обратной матрице A с элементами a; a a K(t t); z1 z1 (t , с , с ) , выражение для z1() получается из выражения для z0() заменой в последнем U0() на U1(); с с ф ; 2 — нормировочная константа, равная среднему значению X 2 или Y 2 при отсутствии сигнала. Матрица A ||a|| является корреляционной матрицей шумовых компонент отсчётов. Помимо полученной таким образом оптимальной обработки отсчётов, в [73] рассмотрена упрощённая обработка. Схему упрощённой обработки можно получить, если заменить суммами интегралы, описывающие представленную на рис. 1.2 аналоговую обработку. При этом получим, что X и Y необходимо вычислять опять по формуле (6), но только теперь весовые коэффициенты 1 будут иметь вид 1 U1 (t с ) exp i с t .
(11.2.8)
2
В схеме на рис. 11.1 величина для оптимальной обработки определяется формулой n
2
n
a 1 1
308
( 1)
z1 z1 .
(11.2.9)
Если обработка упрощённая, то n
2
n
a
1 1 .
(11.2.10)
1 1
Исходной процедурой обработки сигнала являлась аналоговая процедура. При переходе от аналоговой процедуры к дискретной появляются энергетические потери, обусловленные тем, что непрерывные реализации подменяются отсчётами. Сказывается и то, что предварительный фильтр ограничивает полосу спектральных составляющих полезного сигнала. Потери будут незначительными в том случае, если при широкой полосе пропускания фильтра число отсчётов будет большим. Но устройство обработки отсчётов при этом может стать неприемлемо сложным. 2 ( 22 ) , то отношение д q/q0 представляет Если q X i Y собой коэффициент энергетических потерь сигнала, обусловленных временнóй дискретизацией. Коэффициент энергетических потерь при оптимальной обработке отсчётов определяется формулой 1 д 2
n
2
n
( 1) a
z0
z1 ,
(11.2.11)
1 1
где 2 определяется формулой (9). Если огибающая U0(t) и параметры сигнала с и с совпадают с огибающей U1(t) и параметрами настройки схемы с , с , то д 2. Если обработка упрощённая, то коэффициент потерь равен 1 д 2
2
n
1 z0
,
(11.2.12)
1
где 2 определяется формулой (10). В [73] исследовались характеристики обнаружения при дискретной обработке импульсных сигналов. При этом были сделаны оценки коэффициента энергетических потерь сигнала, обусловленных временной дискретизацией. Рассматривались три входных фильтра: одиночный колебательный контур, идеальный радиофильтр и гауссовский радиофильтр. Под идеальным радиофильтром подразумевается фильтр с частотной характеристикой H(i), задаваемой формулой (2), причём e i ф при 2 Fф , H 0 (i ) при 2 Fф , 0 где ф — коэффициент, задающий фазочастотную характеристику фильтра; Fф — половина ширины полосы пропускания. Гауссовский 309
радиофильтр имеет амплитудно-частотную характеристику |H0(i)|, совпадающую по форме с гауссовской кривой. Если в схеме применяется идеальный радиофильтр или гауссовский радиофильтр, то при обнаружении ФКМ импульса (т. е. прямоугольного импульса с бинарной фазовой манипуляцией) потери зависят от отношения n/n д , где n — общее количество отсчётов на интервале времени, равном длительности импульса; nд — число дискретов, из которых состоит ФКМ импульс. В [28] рассмотрен пример, в котором это отношение составляет 2,5. По представленным в [73] графикам можно определить коэффициент потерь при n/nд 2,5. Если радиофильтр гауссовский, то этот коэффициент практически одинаков как для оптимальной, так и для упрощённой обработки и составляет ориентировочно 0,2 дБ. Если применяется идеальный радиофильтр, то коэффициент потерь составляет ориентировочно 0,3 дБ при оптимальной обработке и 0,4 дБ — при упрощённой обработке. Из данных, представленных в [28], следует, что число отсчётов каждой квадратуры за время длительности импульса составляет 240. По графикам из [73] можно установить, что в таких случаях для прямоугольного импульса без внутриимпульсной модуляции энергетические потери из-за дискретизации пренебрежимо малы. 11.3. Обнаружение импульсных сигналов на фоне шума с неизвестной интенсивностью В схеме на рис. 11.1 предполагается, что выходная величина R будет сравниваться с фиксированным пороговым уровнем. Фиксированный порог можно выставлять только в том случае, если интенсивность шума приёмного устройства заранее известна. При неизвестной интенсивности шума величину порогового уровня необходимо определять в процессе обработки дискретных отсчётов. В [73] выполнен синтез оптимальной процедуры обработки отсчётов при обнаружении сигнала на фоне белого шума с неизвестной интенсивностью. Помимо оптимальной обработки, была рассмотрена и упрощённая. Соответствующие схемы представлены на рис. 11.2. Нормирующие множители 1/2 и 1 02 были введены в схемы, чтобы получить более компактные математические выражения, описывающие исследуемые случайные величины. Величина 2 для оптимальной обработки определяется формулой (11.2.9), а для упрощённой — формулой (11.2.10). Величина 02 является дисперсией шумовых компонент дискретизируемых процессов; 02 K (0) . В этих схемах, как и ранее, w x iy. Схемы обработки состоят из двух ветвей. Ветвь формирования выходной величины R реализует процедуру дискретной обработки сигнала, принимаемого на фоне шума с известной интенсивностью. 310
Эту ветвь можно назвать каналом обработки сигнала. Тогда другую ветвь, формирующую случайную величину S, можно назвать каналом измерения шумового фона. Случайная величина S является порогом, с которым сравнивается результат обработки сигнала R . Здесь — пороговый множитель (как и в § 9.9, используется второе обозначение для порогового множителя). n
1
a
( 1) z1
n
1
1
2
1 w
X iY
1
w
1 2
exp(iфt)
n
n
( 1) a w w
X 2 Y2 2 2
R 3
S
1 1
а)
f
U (t с )
X iY
n
f e i с t
X 2 Y2 2 2
1
2
1 exp(iфt)
w
R 3
1 2 02
n
w
2
S
1
б) Рис. 11.2. Оптимальная (а) и упрощённая (б) схемы дискретной обработки наблюдений при обнаружении сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью: 1 — узкополосный фильтр; 2 — дискретизатор; 3 — пороговое устройство
В канале обработки сигнала учитываются фазы отсчётов сигнала, и поэтому происходит когерентное накопление сигнала — сигнальные компоненты отсчётов складываются «по амплитуде». В канале измерения интенсивности шумового фона происходит некогерентное накопление сигнала — сигнальные компоненты отсчётов складываются «по мощности». «Обработка» сигнала в фоновом канале сопровождается большими энергетическими потерями из-за некогерентного дробления энергии сигнала (помимо потерь из-за дискретизации). Коэффициент потерь из-за некогерентного дробления ориентировочно обратно пропорционален величине n . Отсюда становится ясной 311
физическая суть того, что с ростом энергии полезного сигнала увеличивается вероятность правильного обнаружения сигнала. Работу схемы обнаружения можно проиллюстрировать одномерными плотностями распределения вероятностей выходных величин. На рис. 11.3 показано, что с появлением полезного сигнала плотность распределения вероятностей результата обработки сигнала существенно смещается в сторону больших значений аргумента, в то время как смещение плотности распределения вероятностей порога оказывается практически незаметным.
W(R)
w()
R,
а)
w() W(R) б)
R,
Рис. 11.3. Плотности распределения вероятностей случайной величины R на выходе канала обработки сигнала и порогового уровня S : а — при отсутствии полезного сигнала; б — при наличии полезного сигнала
В [73] исследовались характеристики обнаружения сигнала для рассматриваемых схем. Более простые выражения для вероятности обнаружения получаются для рэлеевских флуктуаций амплитуды сигнала. В [73] представлены аналитические соотношения для вероятности превышения порога при оптимальной дискретной обработке. В частном случае, когда флуктуации сигнала рэлеевские, если U1(t) U0(t) и параметры сигнала совпадают с параметрами настройки схемы, то вероятность обнаружения полезного сигнала и вероятность ложной тревоги будут определяться формулами n 1
1 D 1 1 , (11.3.1) ; F (1 ) n 1 1 где (1 ) , — пороговый множитель в схеме обнаружения, д 0 , д — коэффициент потерь из-за дискретизации, 0 —
312
среднее значение отношения сигнал/шум для рэлеевского сигнала. В значении отношения сигнал/шум учитывается коэффициент потерь из-за дискретизации, определяемый формулой (11.2.11). В результате сопоставления формул (1) с формулами (3.2.1) можно прийти к следующему выводу. Если в представленной на рис. 3.2 схеме обнаружения число отсчётов шума N на единицу меньше числа отсчётов n при дискретной обработке (N n 1) и отсчёты шума статистически независимы, то потери из-за незнания интенсивности шума для сравниваемых схем в точности совпадают. Для определения коэффициента энергетических потерь, обусловленных незнанием интенсивности шума, можно воспользоваться приближённой формулой (5.2.9). Например, при N n 1, n 240 и F 106 эта формула даёт 0,13 дБ (напомним, что при общей оценке схемы дискретной обработки помимо потерь из-за незнания интенсивности шума необходимо ещё учитывать потери из-за временной дискретизации). Обратим внимание на то, что при совпадении параметров сигнала с параметрами настройки схемы обработки потери из-за незнания интенсивности шума определяются числом отсчётов n и не зависят от частотной характеристики узкополосного фильтра. Влияние частотной характеристики фильтра на энергетическую эффективность схемы проявляется через коэффициент д, который характеризует потери из-за дискретизации как при известной, так и при неизвестной интенсивности. Высказанное утверждение справедливо только для оптимальной обработки отсчётов. Аналитические соотношения для вероятности превышения порога при упрощённой дискретной обработке удаётся получить только для рэлеевских флуктуаций амплитуды сигнала [73]. Для этого вначале необходимо найти двумерное изображение по Лапласу совместной плотности распределения вероятностей выходных случайных величин R и S. Затем по формуле, отличающейся от формулы (4.6.2) только обозначениями, находится вероятность превышения порога. Окончательный результат можно изложить в следующем виде. Вначале составляется эрмитова матрица B размера nn с элементами b x x i x y . Элементы матрицы находятся с помощью формул (11.2.5). Далее с помощью формулы (11.2.8) составляется матрица H || 1 1 ||. Находятся — собственные значения матрицы HB B, где (/0)2, — пороговый множитель в схеме обнаружения. Все собственные значения вещественные. Непосредственной проверкой можно убедиться, что только одно собственное значение положительно. Если это условие выполняется, то собственные значения перенумеровываются так, что 1 0 и 0 при 2, 3, , n. Вероятность превышения адаптивного порога будет определяться формулой 313
n
P
2
1 . 1
(11.3.2)
В составе программ Mathcad есть встроенная функция eigenvals, позволяющая находить собственные значения матрицы. Если частота с входного полезного сигнала совпадает с резонансной частотой ф предварительного узкополосного фильтра (с с ф 0) и U0(t) — действительная функция, то B — симметрическая матрица, все элементы которой действительны. Если 0 0, то B A, а из формулы для вероятности превышения порога следует формула для вероятности ложной тревоги. С использованием этой формулы находится такое значение множителя , при котором достигается заданная вероятность ложной тревоги. При найденном значении множителя вычисляется зависимость вероятности превышения порога от среднего значения отношения сигнал/шум 0. Если узкополосный фильтр является идеальным радиофильтром с полушириной полосы пропускания Fф n/(2T ), то все шумовые компоненты независимы между собой, т. е. A 20 E, где E — единичная матрица. Анализ эффективности обработки для данного частного случая существенно упрощается. В [73] содержится утверждение, что характеристики обнаружения сигнала при упрощённой обработке близки к характеристикам при оптимальной обработке. Этим утверждением можно руководствоваться, если корреляция соседних дискретных отсчётов обрабатываемых реализаций не является существенной. Отсюда следует, что для практической реализации можно рекомендовать упрощённую обработку, так как реализация оптимальной обработки является сложной. По результатам исследований можно сделать вывод, что синтезированные схемы дискретной обработки наблюдений позволяют с высокой эффективностью производить обнаружение сигнала на фоне гауссовского шума с неизвестной интенсивностью. В [73] изложены результаты анализа обработки прямоугольного импульса с фазовой манипуляцией кодами Баркера. В качестве узкополосного фильтра принимался идеальный радиофильтр с полушириной полосы пропускания Fф n/(2T ). На рис. 11.4 представлены результаты для 13-значного кода Баркера (nд 13). Символом F в подрисуночных подписях к рис. 11.4 и 11.5 обозначена вероятность превышения порога, когда на входе приёмника действует только шум, а сигналы, как полезный, так и мешающий, отсутствуют. Кривые для оптимальной и упрощённой процедур на рис. 11.4 сливаются, поэтому кривые 2—4 относятся и к оптимальной обработке, и к упрощённой. Кривая 1 рассчитывалась по формуле D exp { [ ln(1 F )] (1 0 )} . Параметр в подрисуночной подписи 314
означает расстройку между задержкой сигнала и задержкой, на которую настроена схема ( с с ); Tд — длительность дискрета ФКМ импульса. Полагалось, что частота принимаемого сигнала совпадает с частотой, на которую настроена схема обработки. 0,99 0,90
1 0,50
2 0,10
3
10 2 10 4 10 6
4
10 9 0
10
20
30
40
10 lg 0
Рис. 11.4. Приём ФКМ импульса с числом дискретов nд 13. 6 Вероятности превышения порога при n/nд 4 и F 10 : 1 — аналоговая обработка, фиксированный порог, 0; 2 — дискретная обработка с адаптивным порогом, 0; 3 — дискретная обработка, фиксированный порог, 2Tд ; 4 — дискретная обработка с адаптивным порогом, 2Tд
Кривые 3 и 4 характеризуют работоспособность схем при наличии мешающего сигнала, действующего по боковому лепестку автокорреляционной функции (применительно к этим двум кривым полезный сигнал отсутствует, а 0 является отношением сигнал/шум для мешающего сигнала). При расстройке , равной двум длительностям дискрета ФКМ импульса, координаты первого бокового лепестка принимаемого сигнала совпадают с координатами настройки схемы. Если в схеме обнаружения отсутствует канал измерения шумового фона, то наличие сильного мешающего сигнала может приводить к ложному обнаружению (кривая 3). Схема, предназначенная для обнаружения сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью, подобным недостатком не обладает (кривая 4). Расстояние между кривыми 2 и 3 по оси абсцисс практически совпадает с абсолютным значением уровня бокового лепестка (в децибелах). Уровень бокового лепестка в данном случае равен 20 lg nд. 315
Если в схеме обнаружения есть канал измерения шумового фона, то наличие сильного мешающего сигнала приводит к уменьшению вероятности ложной тревоги (кривая 4). Если нет мешающего сигнала, то вероятность ложной тревоги составляет 106 . При появлении мешающего сигнала с отношением сигнал/шум 30 дБ вероятность ложной тревоги уменьшается до значения 108. Это свидетельствует о том, что с появлением мешающего сигнала происходит некоторое увеличение адаптивного порогового уровня. Значит, следует ожидать, что с появлением мешающего сигнала несколько уменьшится вероятность обнаружения полезного сигнала. В [73] рассматривалось обнаружение полезного сигнала, когда мешающим воздействием является аддитивная смесь белого шума (с неизвестной интенсивностью) и мешающего сигнала с большим отношением сигнал/шум м. Мешающий сигнал действует на схему обнаружения боковым лепестком автокорреляционной функции. Рассматривалась оптимальная обработка. На рис. 11.5. представлен пример. Предполагалось, что полезный и мешающий сигналы представляют собой прямоугольные импульсы с фазовой манипуляцией 13-значным кодом Баркера. Задержка полезного сигнала совпадает с задержкой, на которую настроена схема обнаружения. Задержка мешающего сигнала м отличается от задержки, на которую настроена схема обнаружения, на две длительности дискрета (м с 2Tд). Частоты сигналов совпадают с частотой, D 0,999 0,99
м 0
10 lg м 50
на которую настроена схема обработки. Входным узкополосным фильтром являлся идеальный радиофильтр с полушириной полосы пропускания Fф n/(2T ). По оси абсцисс откладывалась в децибелах величина п 0 (1 м nд2 ) , которую можно назвать отношением сигнал/помеха. Представленные результаты показывают, что анализируемая схема обнаружения работоспособна и при наличии на входе приёмника мешающего сигнала. Обеспечивается надёжная защита от ложных превышений порога при воздействии мешающего сигнала по боковым лепесткам автокорреляционной функции. В случае если полезный сигнал превышает боковые лепестки мешающего сигнала, например, на 15 дБ, обеспечивается и обнаружение полезного сигнала. 11.4. Дискретная обработка фазокодоманипулированного импульса при наличии пассивных помех Чтобы анализ был нагляднее, упростим условия задачи. Вначале сделаем соответствующий выбор входного высокочастотного фильтра. В [73, с. 180] показано, что при дискретной обработке прямоугольного импульса без внутриимпульсной модуляции можно избежать энергетических потерь из-за дискретизации. Для этого необходимо в качестве входного узкополосного фильтра применить фильтр с амплитудно-частотной характеристикой вида sin(x)/x, причём ширина полосы пропускания этого фильтра должна быть связана определённым образом с частотой дискретизации. Если в схеме используется такой фильтр, то анализ характеристик схемы обработки существенно упрощается. Поэтому будем считать, что и в схему обработки ФКМ импульса включён фильтр с характеристикой вида sin(x)/x. Фильтр с амплитудно-частотной характеристикой вида sin(x)/x можно задать, если в (11.2.1) принять (t) 0 и
0,90
при 0 t ф , 1 g (t ) 0 в других случаях .
10 lg м 20 0,50
0,10 10
20
30
40
10 lg п
Рис. 11.5. Вероятность обнаружения полезного сигнала на фоне мешающего сигнала и гауссовского шума с неизвестной интенсивностью 6 ( nд 13, n/nд 4, F 10 )
316
(11.4.1)
Здесь ф — постоянная времени фильтра. При этом импульсная переходная функция узкополосного фильтра будет выражаться формулой h(t ) g (t ) cos(фt ) . Будем полагать, что число дискретных отсчётов n на временнóм интервале, длительность которого равна длительности импульса T, совпадает с числом дискретов применяемого ФКМ импульса nд (n/nд 1). Кроме того, при анализе рассматриваемой здесь задачи необходимо принять ф T/n. Соответствующий анализ показывает, что и в этом случае энергетические потери из-за дискретизации будут отсутствовать. 317
Отметим, что на выбор такого фильтра для дальнейшего анализа повлияло совсем не то обстоятельство, что можно избежать энергетических потерь из-за дискретизации. Побудительным мотивом в первую очередь послужила возможность упростить дальнейшее изложение. Выражение для комплексной огибающей ФКМ импульса запишем в виде 1 k при 0 t T , (11.4.2) U 0 (t ) T 0 при других t , где — номер дискрета, соответствующий моменту времени t ( 1, 2, , n). Номер определяется формулой 1 trunc(t/Tд), где trunc(x) означает выделение целой части вещественного x (округление x в меньшую сторону), Tд — длительность дискрета, Tд T/nд. Элементы кодовой последовательности k принимают значения 1. Множитель 1 T в формуле (2) появился из условия (1.1.3) нормировки комплексной огибающей сигнала. Выражение (2) заимствовано из [74]. Делаем следующие упрощающие предположения. Полагаем, что с 0 (с — задержка полезного сигнала) и что отсчёты осуществляются в моменты времени t (T/n). При этом 1, 2, , n. Огибающая импульсного сигнала U0(t) отлична от нуля при 0 t T. Эти условия будут означать, что задержка сигнала с совпадает с задержкой, на которую настроена схема обработки дискретных отсчётов. Кроме того, полагаем с ф 0, т. е. частота с входного полезного сигнала совпадает с резонансной частотой ф предварительного узкополосного фильтра. Полагаем, что амплитуда полезного сигнала флуктуирует по рэлеевскому закону. Из (11.2.5) следует, что
y y x x . Ищем корреляционную
матрицу отсчётов x x . Каждый отсчёт состоит из шумовой и сигнальной компонент. Корреляционная функция шумовых компонент на входе дискретизаторов
K ( )
g (t ) g (t ) dt
равна нулю при ф. При этом K(0) ф T/n. Так как Im K() 0, шумовые компоненты в одном квадратурном канале статистически независимы от шумовых компонент в другом квадратурном канале. 318
Далее A || a|| — корреляционная матрица шумовых компонент отсчётов на выходах дискретизаторов, T n a a K (t t ) 0
при , при .
Следовательно, можно записать A (T/n)E, где E — единичная матрица. Теперь найдём сигнальные составляющие корреляционной матрицы. Учитываем, что с 0 и с с ф 0. Из формулы (11.2.5) получаем, что сигнальная составляющая элемента корреляционной матрицы имеет вид 0 z0 (t , 0, 0) z0 (t , 0, 0) . Отсчёты осуществляются в моменты времени t (T/n). Выполняя интегрирование в (11.2.4), получаем z0 (t , 0, 0) ф (1
T ) k ( T n) k ,
z0 (t , 0, 0) ф (1
T ) k ( T n ) k .
Сигнальную составляющую корреляционной матрицы теперь запишем в виде 0(T/n2)H, где H || kk||. Используем этот результат для нахождения корреляционной матрицы сигнала пассивной помехи, являющейся отражением от протяжённого объекта. Пассивную помеху представим в виде отражений от последовательности точечных отражателей (от фрагментов облака). Отражатели расставлены равномерно с шагом, соответствующим интервалу дискретизации входной реализации. Сигнал от одного отражателя отличается от сигнала от цели только отношением сигнал/шум и задержкой. Отражатели находятся и перед целью, и за ней. Если отражатель находится на том же месте, что и цель, то составляющая корреляционной матрицы для этого отражателя будет равна (T/n2)H. Здесь и далее — отношение сигнал/шум для сигнала от одного отражателя. Отличие корреляционных матриц проявляется только через отношение сигнал/шум (вместо 0 подставляем ). Заметим, что в соответствии с принятыми в данном параграфе упрощающими предположениями интервал дискретизации равен длительности дискрета ФКМ импульса. Эффективный импульсный интервал ФКМ импульса равен длительности дискрета, поэтому используемое здесь отношение сигнал/шум для сигнала от одного помехового отражателя представляет собой не что иное, как обычное отношение помеха/шум, т. е. отношение сигнал/шум для ФКМ сигнала, отражённого от объёмного метеообразования. Вопросы оценки 319
интенсивности отражений от метеообразований подробно рассматривались в [74] (краткое изложение см. здесь в § 4.3). Если перейти к отражателю, находящемуся за целью, то сигнал от него будет задержан на один интервал дискретизации. Отсчёт в момент времени t1 не будет содержать сигнала от этого отражателя. Составляющая корреляционной матрицы, порождаемая сигналом от отражателя, будет иметь другой вид. Элементы составляющей, расположенные в первой строке и в первом столбце, будут равны нулю. Остальные элементы будут равны (T/n2)k1k1 ( 2, 3, , n). В формуле (2) предполагалось, что индекс у элемента k кодовой последовательности может находиться в диапазоне от 1 до n. Чтобы сделать дальнейшее изложение более компактным, снимем ограничение на значения индекса. Индекс может принимать любые целочисленные значения (в том числе и отрицательные значения), но при этом в последующих формулах будем полагать, что k 0, если 1 или n. Заметим, что после такого обобщения новая последовательность k вполне согласуется с выражением (2) для комплексной огибающей ФКМ импульса. Для отражателя, сигнал от которого задержан на интервалов дискретизации, составляющую корреляционной матрицы запишем в виде (T/n2)H. Элемент матрицы H, расположенный на пересечении -й строки и -го столбца, равен kk. Значение может быть как положительным, так и отрицательным. При этом H0 H, где H — матрица в выражении для сигнальной составляющей. Если объект, отражающий пассивную помеху, не ограничен в размерах, то суммарный сигнал пассивной помехи будут создавать 2n 1 отражателей. Из них n 1 отражателей находятся перед целью, один отражатель находится на том же месте, что и цель, n 1 отражателей — за целью. Сигналы от других отражателей не будут попадать на интервал обработки. Если || (n 1), то все элементы матрицы H равны нулю. Для нахождения корреляционной матрицы суммарного помехового сигнала необходимо просуммировать все ненулевые составляющие (T/n2)H. Если объект, отражающий помеху, ограничен в размерах, то часть отражателей исключается из учёта. Соответствующие матрицы нужно исключить из суммирования. По аналогии с кромкой помех неоднородную пассивную помеху будем характеризовать параметром m. Если m 0, то будем исключать из суммирования первые m матриц. Нижний предел под знаком суммы должен быть равен (n 1) m. Корреляционная матрица суммарного помехового сигнала будет равна n 1
(T/n2)H,
HΣ
H ( n 1) m
320
.
(11.4.3)
Итоговая корреляционная матрица, учитывающая шум приёмного устройства и сигналы от цели и помех, будет иметь вид T T T E 0 2 H 2 H Σ . n n n Неоднократно отмечалось, что если используются адаптивные пороговые уровни, то при анализе схемы в тракт обработки сигналов можно условно вводить любой коэффициент усиления. Или в получаемых аналитических выражениях можно удалять один и тот же множитель. В данном случае у всех элементов корреляционной матрицы целесообразно удалить один и тот же множитель T/n. Тогда корреляционная матрица отсчётов будет иметь вид B
0 H HΣ . (11.4.4) n n Анализируемые случайные величины будут безразмерными. Если отсчёты шума статистически независимы между собой, то наилучшей оценкой мощности шума является величина, пропорциональная сумме квадратов отсчётов. В данном случае отсчёты шума независимы и поэтому обработка, называемая в предыдущих параграфах упрощённой, будет одновременно являться оптимальной. Обозначим n ( x 2 y 2 ) . (11.4.5) S 2 1 B E
Решение о наличии сигнала принимается по результатам проверки неравенства R S , где n n X 2 Y 2 R , X 1 x , Y 1 y , 2 1 1
— пороговый множитель. Весовые коэффициенты 1 в данном случае являются отсчётами опорного сигнала. У всех весовых коэффициентов можно удалить один и тот же множитель. Удаление множителя будет автоматически компенсироваться в процессе вычисления порогового множителя . С учётом этого замечания, а также на основании формул (11.2.8) и (2) можно принять 1 k, где k — элементы кодовой последовательности. Ищем изображение по Лапласу F ( p1 , p2 ) exp( p1 R p2 S ) .
321
Учитывая, что z 0 (t, 0, 0) и K() являются действительными функциями, из (11.2.5) получаем, что отсчёты в одном квадратурном канале статистически независимы от отсчётов в другом квадратурном канале. Поэтому можно записать F ( p1 , p2 ) Fx ( p1 , p2 ) Fy ( p1 , p2 ) , 2 1 n 1 Fx ( p1 , p2 ) exp p1 1 x p2 2 1 2
x
2 1 n 1 Fy ( p1 , p2 ) exp p1 1 y p2 2 1 2
y 2 , 1
1
Fx ( p1 , p 2 ) 2
N
n 1
2 ,
n
det B
(1) где b — элементы матрицы B1, — элементы единичной матрицы E (символ Кронекера). Вычисляя интеграл F x ( p 1 , p 2 ) и учитывая, что Fy( p1, p2) Fx( p1, p2), получим
F ( p1 , p2 )
1 1 , det B det( B p1Γ p2 E) det( E p1Γ p2 B ) 1
где Г || 11||. Заметим, что в условиях, принятых для рассматриваемой здесь задачи, матрицы Г и H совпадают. Если в формулу (4.6.2) вместо подставить , то её можно использовать для вычисления вероятности превышения порога применительно к рассматриваемой здесь задаче. В найденную формулу для F( p1, p2) подставляем p1 p и p2 p, а затем учитываем, что определитель матрицы равен произведению собственных чисел этой матрицы. Получаем n
F( p, p)
1
1 p 1
,
где — собственные значения матрицы ГB B. 322
P 1 1 1 0
1 n ( 1) ... exp (b p1 1 1 p 2 ) x x dx1 ...dx N , 2 , 1
Вероятность превышения порога теперь можно найти по формуле (11.3.2), если в эту формулу в качестве подставить собственные значения матрицы ГB B. Рассмотрим вначале случай, когда помеха отсутствует, т. е. 0. При 0 положительное собственное значение матрицы ГB B равно (n )(1 0), а остальные собственные значения равны . Вероятность превышения порога будет определяться формулой n 1
,
(11.4.6)
где /(n ). Если задана вероятность ложной тревоги F (при отсутствии пассивных помех), то пороговый множитель определяется из уравнений F 1 (1 ) n 1 ,
/(n ).
(11.4.7)
Для определения коэффициента энергетических потерь, обусловленных незнанием интенсивности шума, можно воспользоваться приближённой формулой (5.2.9), если вместо N подставить n 1. Рассмотрим теперь характеристики схемы при наличии пассивных помех. Результаты некоторых оценок представлены на рис. 11.6. Для расчётов были заданы F 108, nд 32. Компактная форма записи кодовой последовательности k ( 1, 2, , nд), использованной в расчётах, имеет вид 1110 0001 1010 1001 0001 0111 1101 1001. (11.4.8) Если -й символ в этой строке является единицей, то k 1; иначе k 1. Кодовая последовательность (8) заимствована из [74, с. 59]. 104
F
D 10
108
0,9
1
0,7
1
1
10
0,5 10
12
10
16
0,3
10 m 0
16
32
48
64
0,1
m 0
16
32
48
64
Рис. 11.6. Вероятность ложной тревоги F и вероятность обнаружения сигнала D в зависимости от положения кромки помех относительно настройки канала обнаружения
323
Пороговый множитель находился с помощью формул (7). Отношение сигнал/шум 0 для полезного сигнала задавалось таким, чтобы при отсутствии пассивных помех вероятность обнаружения сигнала была равна 0,9. Рассмотрим графики с вероятностью ложной тревоги. Если объект, отражающий пассивную помеху, не ограничен в размерах, то один из отражателей находится на том же месте, что и предполагаемая цель. Сигнал от этого отражателя не будет отличаться от полезного сигнала. Наличие такого сигнала приведёт к увеличению вероятности превышения порога. Реализующаяся вероятность ложной тревоги F оказывается больше проектной F. Если небольшую часть отражателей удалить, то адаптивный пороговый уровень S несколько уменьшится. Поэтому при увеличении m реализующаяся вероятность ложной тревоги F начинает расти. Рост будет продолжаться до тех пор, пока будет приниматься помеховый сигнал, не отличающийся от полезного сигнала. При m 31 вероятность F достигает максимума. При m 31 область пространства, на которую настроен канал обнаружения, не содержит объекта, отражающего помеховый сигнал. Сигналы от оставшихся отражателей будут увеличивать адаптивный пороговый уровень. В результате при m 31 вероятность F вначале оказывается меньше вероятности F, а при m 2n 1 63 помеховые сигналы не будут поступать на интервал обработки. Вероятности F и F становятся равными. В целом представленные на рис. 11.6 графики схожи с соответствующими графиками для процедуры обнаружения, рассмотренной в гл. 5. В той процедуре пороговый уровень формировался путём усреднения выходных величин измерительных каналов. Рассмотренная здесь процедура обладает такими же недостатками, как и процедура с усреднением выходных величин. Схема с дискретной обработкой наблюдений может иметь неоспоримое преимущество перед схемой из гл. 5, когда за время длительности импульса осуществляется большое количество дискретных отсчётов. В этом случае при отсутствии пассивных помех потери, обусловленные применением адаптивного порогового уровня, будут несущественными. Чтобы устранить недостатки, присущие процедуре обнаружения с адаптивным порогом на основе усреднения выходных величин, было предложено большое количество модификаций. Вполне возможно, что процедуру, формирующую порог в процессе дискретной обработки наблюдений, можно тоже модифицировать, чтобы она имела удовлетворительные характеристики при работе в неоднородных пассивных помехах.
324
11.5. Особенности обнаружения прямоугольного импульса При анализе обнаружения импульсных сигналов в предыдущих главах мы полагали, что измерительные каналы и канал обнаружения представляют собой линейку каналов, расставленных с равномерным шагом вдоль оси задержек. Окно, перекрываемое каналами, не должно быть слишком большим, иначе результаты измерения интенсивности помехи не будут соответствовать интенсивности помехи, воздействующей на канал обнаружения. В то же время число измерительных каналов должно быть достаточным, чтобы точность измерения была удовлетворительной. Для выполнения этих условий на практике необходимо, чтобы интервал корреляции по задержке составлял несколько десятых долей микросекунды. Это возможно, если зондирования осуществляются импульсами с внутриимпульсной модуляцией. Например, ФКМ импульсами или ЛЧМ импульсами. Импульсы без внутриимпульсной модуляции, длительность которых составляет несколько десятых долей микросекунды, в обычных радиолокаторах не применяются, так как при ограниченной импульсной мощности энергия излучаемого импульса будет слишком мала. При использовании импульсов без внутриимпульсной модуляции, длительность которых составляет десятки или сотни микросекунд, размеры измерительного окна оказываются неприемлемыми. В то же время в [74] отмечены несколько достоинств прямоугольного импульса без внутриимпульсной модуляции (в [74] назван просто прямоугольным импульсом). При обзоре по угловым координатам оказывается возможным за одно зондирование перекрыть всю область обнаружения по задержке и частоте. Энергетические потери при обработке прямоугольных импульсов обычно оказываются меньше, чем при обработке импульсов с внутриимпульсной модуляцией. Эти достоинства проявляются в полной мере, когда необходимо осуществлять обзор большого углового сектора и в большинстве угловых элементов цели отсутствуют. В таких случаях вначале необходимо определить угловые направления, в которых есть цели. Затем только в этих угловых направлениях можно увеличить энергетические затраты для более детальных измерений параметров целей (с применением любых других сигналов и с применением специальных методов обработки сигналов). В частности, с помощью прямоугольных импульсов можно вначале определить радиальную скорость групповой цели, а затем переходить к применениям импульсных сигналов с внутриимпульсной модуляцией. Достоинства прямоугольного импульса полностью подтверждаются практическими применениями в тех случаях, когда поиск целей осуществляется за пределами атмосферы. При отсутствии внешних помех можно использовать фиксированный пороговый уровень. Для поддержания постоянного уровня ложных тревог необходимо только 325
отслеживать медленные уходы коэффициента усиления собственного приёмного устройства. При наличии внешних помех необходимо принимать меры по обеспечению постоянного уровня ложных тревог. Следует выделить два варианта помеховой обстановки. В первом варианте предполагается наличие внешних источников широкополосного шума, во втором — наличие мешающих отражений от атмосферных источников пассивных помех. В процессе обзора по угловым координатам при наличии внешних источников широкополосного шума интенсивность шума будет меняться при смене углового направления. Для обеспечения постоянного уровня ложных тревог адаптивный пороговый уровень необходим. Адаптивный пороговый уровень можно формировать путём соответствующей обработки отсчётов, получаемых в процессе цифровой обработки полезного сигнала. Для измерения интенсивности широкополосного шума будет использоваться тот же самый временной интервал, на котором ожидается полезный сигнал. Разумеется, характеристики обнаружения полезных сигналов ухудшатся из-за наличия внешних источников широкополосного шума, но энергетические потери, обусловленные применением адаптивного порога (из-за незнания интенсивности шума), будут незначительны. Соответствующий коэффициент потерь будет находиться в пределах 0,1 0,2 дБ. В предыдущих главах показано, что одним из факторов, осложняющих применение адаптивных пороговых уровней, является наличие мешающей цели. А при дискретной обработке прямоугольного импульса такое понятие, как мешающая цель, применительно к адаптивным порогам отсутствует. Если разность задержек сигналов, отражённых от двух целей, меньше длительности импульса, то эти цели не разрешаются и совокупность этих целей можно представлять как единый объект. Если разность задержек превышает длительность импульса, то отсчёты одного отражённого сигнала никак не будут влиять на пороговый уровень, формируемый для обнаружения другого сигнала. Теперь представим, что принимаемый сигнал является отражением от дождевого облака. Можно предположить, что при использовании импульсов без внутриимпульсной модуляции протяжённость облака не будет превышать интервал разрешения по дальности. Принимаемый сигнал будет представлять собой суперпозицию отражений от многочисленных фрагментов облака, находящихся в пределах импульсного объёма. Нечто похожее происходит и при использовании ФКМ импульса, когда отражённый от обычной аэродинамической цели сигнал является суперпозицией отражений от так называемых блестящих точек. И в том, и в другом случае эффект будет такой же, как при наблюдении точечной цели с флуктуирующей отражающей поверхностью. Если размеры наблюдаемого объекта находятся в пределах разрешающей способности, то эти размеры невозможно определить в процессе обработки принятого сигнала. 326
Если при использовании прямоугольного импульса произошло превышение порога в канале обнаружения, настроенном на нулевую доплеровскую частоту, то это не будет означать, что обнаружена тихоходная цель. Превышение порога может произойти не только из-за наличия цели, но и из-за наличия пассивной помехи. Установить, какой объект обнаружен (цель или метеообразование), не представляется возможным. Если радиальная скорость цели не является малой, то произойдёт превышение порога в канале, настроенном на ненулевую доплеровскую частоту. И если при этом мощные отражения с нулевой доплеровской частотой не наблюдаются, то можно принимать решение о наличии цели. Остановимся на вопросах оценки отношения помеха/шум. Отношение помеха/шум для отражений от объёмно распределённых отражателей представлено формулой (4.3.1). Это отношение помеха/шум зависит от объёма пространства, который занимают рассеивающие отражатели, сигнал от которых не отличается от ожидаемого полезного сигнала. Этот объём, в свою очередь, зависит от эффективного импульсного интервала. Для ФКМ и ЛЧМ импульсов эффективный импульсный интервал примерно равен длительности «сжатого» импульса. Если используется прямоугольный импульс без внутриимпульсной модуляции, то в качестве эффективного импульсного интервала необходимо учитывать саму длительность импульса. Разумеется, в большинстве случаев пространство, занимаемое отражателями, ограничено. В таких случаях вместо длительности импульса должен учитываться меньший интервал. Тем не менее отношение помеха/шум при использовании прямоугольного импульса будет существенно больше, чем при использовании ФКМ и ЛЧМ импульсов. Прямоугольный импульс можно использовать только в тех угловых элементах углового сектора обзора, в которых отражения от метеообразований незначительны. Можно ориентироваться на то, что даже при небольшом дожде это будут угловые элементы, в которых отражения принимаются дальними боковыми лепестками диаграммы направленности антенны. Если используется прямоугольный импульс и в канале обнаружения, настроенном на нулевую доплеровскую частоту, произойдёт превышение порога, то в этом угловом элементе в дальнейшем следует применять ЛЧМ или ФКМ импульсы. А при очень интенсивной пассивной помехе должен использоваться квазинепрерывный сигнал. Если при наличии пассивной помехи вместо прямоугольного импульса применить ЛЧМ импульс, то отношение помеха/шум в каждом элементе разрешения существенно уменьшится. Появятся возможности для обнаружения полезного сигнала. Если к тому же будут использоваться адаптивные пороговые уровни, то при отсутствии полезного сигнала превышений порога не будет и при наличии пассивной помехи. 327
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 151б—200б. — М.: Радио и связь, 1981. – 184 с. 2. Аль-Хусайни Э.К. Особенности работы «минимального» и «максимального» детекторов при интегрировании M импульсов // ТИИЭР, 1988, т. 76, № 6, с. 101—102. 3. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. — М.: Наука, 1965. – 780 с. 4. Андреев Ф.М., Курбет А.Н., Пащенко Р.Э. Устройство стабилизации вероятности ложной тревоги, использующее линейную комбинацию порядковых статистик // Изв. вузов – Радиоэлектроника, 2003, т. 46, № 2, с. 70—75. 5. Ахметьянов В.Р., Белокуров А.А., Пасмуров А.Я., Пономаренко А.П. Модели закона распределения амплитуды отраженных от морской поверхности радиолокационных сигналов // Зарубежная радиоэлектроника, 1985, № 1, с. 40—55. 6. Бакулев П.А., Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей. — М.: Радио и связь, 1986. – 288 с. 7. Бакулев П.А., Басистов Ю.А., Тугуши В.Г. Обработка сигналов с постоянным уровнем ложных тревог (обзор) // Изв. вузов – Радиоэлектроника, 1989, т. 32, № 4, с. 4—15. 8. Бакулев П.А. Радиолокационные системы. Учебник для вузов. — М.: Радиотехника, 2004. – 320 с. 9. Бартон Д. Радиолокационные системы: пер. с англ. / под ред. К.Н. Трофимова. — М.: Воениздат, 1967. – 480 с. 10. Бартон Д., Вард Г. Справочник по радиолокационным измерениям: пер. с англ. / под ред. М.М. Вейсбейна. — М.: Сов. радио, 1976. – 392 с. 11. Беллман Р. Введение в теорию матриц: пер. с англ. / под ред. В.Б. Лидского. — М.: Наука, 1976. – 351 с. 12. Бильери. Рекуррентный метод вычисления коэффициентов ряда Грама — Шарлье // ТИИЭР, 1973, т. 61, № 2, с. 120—121. 13. Бобров Д.Ю., Доброжанский А.П., Зайцев Г.В., Маликов Ю.В., Цыпин И.Б. Цифровая обработка сигналов в многофункциональных РЛС. Часть 2: Алгоритмы обработки радиолокационных сигналов // Цифровая обработка сигналов, 2002, № 1, с. 28—39. 14. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1971. – 328 с. 15. Вайнштейн Л.А., Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. — М.: Сов. радио, 1960. – 447 с. 16. Ван-дер Поль Б., Бреммер Г. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа: пер. с англ. / под ред. И.Н. Денисюка. — М.: ИЛ, 1952. – 507 с. 17. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 3. Обработка сигналов в радио- и гидролокации и приём случайных гауссовских сигналов на фоне помех: пер. с англ. / под ред. В.Т. Горяинова. — М.: Сов. радио, 1977. – 664 с. 18. Введение в теорию порядковых статистик: пер. с англ. / под ред. А.Я. Боярского. — М.: Статистика, 1970. – 416 с. 19. Вексин С.И. Обработка радиолокационных сигналов в доплеровских головках самонаведения. — М.: Изд-во МАИ, 2005. – 244 с. 20. Волков В.Ю., Оводенко А.А. Алгоритмы обнаружения локационных сигналов на фоне помехи с неизвестными параметрами // Зарубежная радиоэлектроника, 1981, № 5, с. 25—41.
328
21. Вопросы статистической теории радиолокации, т. 1 / П.А. Бакут, И.А. Большаков, Б.М. Герасимов и др.; под ред. Г.П. Тартаковского. — М.: Сов. радио, 1963. – 424 с. 22. Голенко Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. — М.: Наука, 1965. – 228 с. 23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. – 1100 с. 24. Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприёма при флуктуационных помехах. — М.: Сов. радио, 1972. – 447 с. 25. Диллард, Энтоньяк. Инвариантная относительно распределения входного сигнала процедура обнаружения для РЛС // Зарубежная радиоэлектроника, 1971, № 8, с. 3—14. 26. Дмитриенко А.Н., Корадо В.А. Характеристики обнаружения пакета независимо флуктуирующих импульсов на фоне гауссовой помехи с неизвестной интенсивностью // Радиотехника и электроника, 1967, т. 12, № 7, с. 1272—1274. 27. Дмитриенко А.Н., Корадо В.А. Характеристики обнаружения когерентной пачки импульсов со случайной начальной фазой на фоне гауссовой помехи с неизвестной интенсивностью // Радиотехника и электроника, 1968, т. 13, № 12, с. 2245—2246. 28. Доброжанский А.П., Зайцев Г.В., Цыпин И.Б. Многопроцессорное программируемое устройство цифровой обработки радиолокационных сигналов // Радиотехника, 2006, № 2, с. 11—17. 29. Дэйвид Г. Порядковые статистики: пер. с англ. / под ред. В.В. Петрова. — М.: Наука, 1979. – 336 с. 30. Ермаков С.М. Метод Монте — Карло и смежные вопросы. — М.: Наука, 1975. – 472 с. 31. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982. – 296 с. 32. Ефимов А.Н. Порядковые статистики — их свойства и приложения. — М.: Знание, 1980. – 64 с. 33. Заде. Об определении адаптивности // ТИИЭР, 1963, т. 51, № 3, с. 499—500. 34. Иванов Ю.В., Ильин А.Ю., Родионов Ю.В. Радиолокационные системы селекции движущихся целей // Зарубежная радиоэлектроника, 1983, № 7, с. 28—53. 35. Карлил, Томас. Непараметрические устройства обнаружения сигналов // Зарубежная радиоэлектроника, 1964, № 11, с. 49—61. 36. Кассам С.А., Пур Г.В. Робастные алгоритмы обработки сигналов: Обзор // ТИИЭР, 1985, т. 73, № 3, с. 54—110. 37. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений: пер. с англ. / под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Наука, 1966. – 588 с. 38. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи: пер. с англ. / под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Наука, 1973. – 899 с. 39. Колмогоров А.Н. О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении // Доклады АН СССР, 1941, т. XXXI, № 2, с. 99—101. 40. Корадо В.А. Оптимальное обнаружение детерминированных сигналов на фоне случайных помех с неизвестной интенсивностью при условии постоянства вероятности ложной тревоги // Радиотехника и электроника, 1968, т. 13, № 6, с. 1115—1118. 41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: пер. с англ. / под ред. И.Г. Арамановича. — М.: Наука, 1977. – 832 с. 42. Крамер Г. Математические методы статистики: пер. с англ. / под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Мир, 1975. – 648 с.
329
43. Лавут А.П. Обнаружение дружно флуктуирующего пакета импульсов на фоне коррелированной помехи с неизвестными параметрами // Радиотехника и электроника, 1965, т. 10, № 8, с. 1426—1434. 44. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники, кн. 1. — М.: Сов. радио, 1974. – 550 с. 45. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Радио и связь, 1989. – 656 с. 46. Лёзин Ю.С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем. — М.: Радио и связь, 1986. – 280 с. 47. Линкевичюс С.П. Новый параметрический обнаружитель эхосигналов со стабилизированным уровнем ложных тревог // Радиотехника, 2002, № 10, с. 42—45. 48. Лозовский И.Ф., Тихонов В.Л. Моделирование маловероятных событий на выходе цифровых устройств обработки сигналов с адаптивным порогом // Изв. вузов – Радиоэлектроника, 1991, т. 34, № 7, с. 86—89. 49. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: пер. с англ. / под ред. И.С. Рыжака. — М.: Мир, 1990. – 584 с. 50. Мюэ, Картледж, Драри, Хофстеттер, Лэбитт, Маккорайсон, Сферрино. Новые технические решения в радиолокационных станциях службы движения // ТИИЭР, 1974, т. 62, № 6, с. 77—86. 51. Поиск, обнаружение и измерение параметров сигналов в радионавигационных системах / В.П. Ипатов, Ю.М. Казаринов, Ю.А. Коломенский, Ю.Д. Ульяницкий; под ред. Ю.М. Казаринова. — М.: Сов. радио, 1975. – 296 с. 52. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. — М.: Физматлит, 2002. – 496 с. 53. Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория. Справочник. Изд. 2-е, перераб. и доп. / под ред. Я.Д. Ширмана. — М.: Радиотехника, 2007. – 512 с. 54. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределённости и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио, 1977. – 432 с. 55. Сверлинг. Вероятность обнаружения флуктуирующих целей // Зарубежная радиоэлектроника, 1960, № 10, с. 29—32. 56. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике: пер. с англ. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 272 с. 57. Сколник М. Введение в технику радиолокационных систем: пер. с англ. / под ред. К.Н. Трофимова. — М.: Мир, 1965. – 748 с. 58. Соболь И.М. Численные методы Монте — Карло. — М.: Наука, 1973. – 312 с. 59. Современная радиолокация: пер. с англ. / под ред. Ю.Б. Кобзарева. — М.: Сов. радио, 1969. – 704 с. 60. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. — М.: Радио и связь, 1992. – 304 с. 61. Справочник по радиолокации / под ред. М. Сколника. Пер. с англ. (в четырёх томах) под общей ред. К.Н. Трофимова. — М.: Сов. радио, 1976, т. 1 – 456 с.; 1979, т. 3 – 528 с. 62. Справочник по радиолокации / под ред. М. Сколника. Пер. с англ. (в двух книгах) под общей ред. В.С. Вербы. — М.: Техносфера, 2014, кн. 1 – 672 с.; 2014, кн. 2 – 680 с. 63. Стогов Г.В., Макшанов А.В., Мусаев А.А. Устойчивые методы обработки результатов измерений // Зарубежная радиоэлектроника, 1982, № 9, с. 3—46. 64. Талер, Мелтцер. Амплитудное распределение помехи и частота ложных импульсов на выходе последетекторного фильтра // ТИРИ, 1961, т. 49, № 2, с. 513—521.
330
65. Тейлор-мл. Дж.У., Брунинс Г. Новая диспетчерская радиолокационная станция // ТИИЭР, 1985, т. 73, № 2, с. 128—135. 66. Теоретические основы радиолокации / под ред. Я.Д. Ширмана. — М.: Сов. радио, 1970. – 560 с. 67. Теоретические основы радиолокации / А.А. Коростелев, Н.Ф. Клюев, Ю.А. Мельник и др.; под ред. В.Е. Дулевича. — М.: Сов. радио, 1978. – 607 с. 68. Тихонов В.И. Оптимальный приём сигналов. — М.: Радио и связь, 1983. – 320 с. 69. Томас. Непараметрические методы обнаружения сигналов // ТИИЭР, 1970, т. 58, № 5, с. 23—32. 70. Трухачёв А.А. О точности измерения параметров сигнала с неизвестной амплитудой двумя расстроенными каналами // Радиотехника и электроника, 1971, т. 16, № 5, с. 755—764. 71. Трухачёв А.А. Функция распределения и плотность распределения вероятностей отношения коррелированных райсовских случайных величин // Радиотехника, 1990, № 6, с. 46—47. 72. Трухачёв А.А. Сравнительный анализ методов вычисления интеграла JN (x, y) // Радиотехника и электроника, 1990, т. 35, № 12, с. 2637—2640. 73. Трухачёв А.А. Анализ процедур и алгоритмов обнаружения сигналов. — М.: Радио и связь, 2003. – 248 с. 74. Трухачёв А.А. Радиолокационные сигналы и их применения. — М.: Воениздат, 2005. – 320 с. 75. Тютёр. Оптимальное обнаружение стохастического сигнала в гауссовом шуме неизвестной интенсивности // ТИИЭР, 1965, т. 53, № 5, с. 563. 76. Фалькович С.Е. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне помех неизвестной интенсивности // Радиотехника и электроника, 1960, т. 5, № 9, с. 1539—1541. 77. Фалькович С.Е. Приём радиолокационных сигналов на фоне флюктуационных помех. — М.: Сов. радио, 1961. – 312 с. 78. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки ... Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи. — М.: Радио и связь, 1984. – 256 с. 79. Хансен, Ользен. Непараметрическое обнаружение сигналов с использованием обобщённого знакового критерия // Зарубежная радиоэлектроника, 1972, № 9, с. 28—41. 80. Черняк Ю.Б. О линейных свойствах системы широкополосный ограничитель — фильтр // Радиотехника и электроника, 1962, т. 7, № 7, с. 1073—1076. 81. Черняк Ю.Б. Чувствительность, точность и разрешающая способность многоканального приёмника с широкополосным ограничителем // Радиотехника и электроника, 1962, т. 7, № 8, с. 1302—1310. 82. Шахтарин Б.И. Обнаружение сигналов: Учеб. пособие. — М.: Гелиос АРВ, 2006. – 488 с. 83. Шахтарин Б.И., Сидоркина Ю.А. Обнаружители с постоянным уровнем ложной тревоги // Успехи современной радиоэлектроники, 2007, № 5, с. 67—85. 84. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. — М.: Радио и связь, 1981. – 416 с. 85. Этингтон Д.А., Карилас П.Дж., Райт Дж.Д. Многофункциональные вращающиеся РЛС с электронным сканированием для обзора воздушного пространства // ТИИЭР, 1985, т. 73, № 2, с. 199—217. 86. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми: пер. с немецкого. — М.: Физматгиз, 1959. – 420 с.
331
87. Al-Hussaini E.K., Al-Hussaini E.K. Performance of a mean level detector processing M-correlated sweeps // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1981, vol. AES-17, no. 3, p. 329—334. 88. Al-Hussaini E.K., Ibrahim B.M. Comparison of adaptive cell-averaging detectors for multiple-target situations // IEE Proc., 1986, vol. 133, pt. F, no. 3, p. 217—223. 89. Al-Hussaini E.K. Performance of the greater-of and censored greater-of detectors in multiple target environments // IEE Proc., 1988, vol. 135, pt. F, no. 3, p. 193—198. 90. Al-Hussaini E.K. Performance of a cell averaging radar detector in the presence of interfering targets // Frequenz, 1989, vol. 43, no. 1, p. 21—23. 91. Automatic detection and radar data processing / Ed. by D.C. Schleher. Washington: Artech House, 1980. – XVII, 636 p. 92. Barboy B., Lomes A., Perkalski E. Cell-averaging CFAR for multiple target situations // IEE Proc., 1986, vol. 133, pt. F, no. 2, p. 176—186. 93. Barkat M., Himonas S.D., Varshney P.K. CFAR detection for multiple target situations // IEE Proc., 1989, vol. 136, pt. F, no. 5, p. 193—209. 94. Barkat M. Signal detection and estimation, second edition. Boston: Artech House, 2005. – XVII, 692 p. 95. Barton D.K. Radars (selected reprints from the literature), vol. 2: The Radar Equation. Dedham: Artech House, 1974. 96. Barton D.K. Radars (selected reprints from the literature), vol. 5: Radar Clutter. Dedham: Artech House, 1975. 97. Barton D.K. Modern radar system analysis. Norwood: Artech House, 1988. – XVII, 590 p. 98. Barton D.K., Cook C.E., Hamilton P. Radar evaluation handbook. Boston, London: Artech House, 1991. – var. pag. 99. Barton D.K., Leonov S.A. Radar technology encyclopedia. Boston, London: Artech House, 1998. – XII, 511 p. 100. Barton D.K. Radar system analysis and modeling. Boston, London: Artech House, 2005. – XVIII, 545 p. 101. Barton D.K. Radar equations for modern radar. Boston, London: Artech House, 2013. XIX, 428 p. 102. Bath W.G. Trunk G.V. Automatic detection, tracking, and sensor integration. In: Radar Handbook, M.I. Skolnik (ed.), third edition. N.Y.: McGraw-Hill, 2008, Chap. 7, p. 7.1—7.57. 103. Bencheikh M.L., Magaz B., Hamadouche M., Belouchrani A. Analysis and real time implementation of a clutter map CFAR detector with noncoherent integration // Intern. Radar Symposium 2006 (IRS 2006), Proceedings, p. 507—510. 104. Bencheikh M.L., Magaz B., Hamadouche M., Belouchrani A. Performance analysis of a new CFAR detector // Intern. Radar Symposium 2007 (IRS 2007), Proceedings, p. 361—365. 105. Bird J.S. Calculating detection probabilities for systems employing noncoherent integration // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1982, vol. AES-18, no. 4, p. 401—409. 106. Bird J.S. Ground clutter suppression using a coherent clutter map // IEE Intern. Radar Conf., London, 1982, p. 491—495. 107. Bird J.S. Calculating detection probabilities for adaptive thresholds // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1983, vol. AES-19, no. 4, p. 506—512. 108. Bird J.S. Subclutter visibility for low-Doppler targets // Proc. 1984 Intern. Symposium on Noise and Clutter Rejection in Radars and Imaging Sensors, Tokyo, Japan, 1984, p. 47—52. 109. Bird J.S. Calculating the performance of linear and square-law detectors // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1995, vol. 31, no. 1, p. 39—51.
332
110. Blachman N.M. The output signal-to-noise ratio of a power-law device // J. Appl. Phys., 1953, vol. 24, no. 6, p. 783—785. 111. Blake S. OS-CFAR theory for multiple targets and nonuniform clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1988, vol. 24, no. 6, p. 785—790. 112. Cao T.V. A CFAR thresholding approach based on test cell statistics // Proc. IEEE Radar Conf., Philadelphia, 2004, p. 349—354. 113. Cao T.V. A CFAR algorithm for radar detection under severe interference // Proc. of the Intelligent Sensors, Sensor Networks and Information Processing Conf. (ISSNIP), Melbourne, Australia, 2004, p. 167—172. 114. Cao T.V., Sinnott D. A rare event approach to the detection of target-like signals in CFAR training data // IET Intern. Conference on Radar Systems, 2007, p. 918—922. 115. Cao T.V. Constant false-alarm rate algorithm based on test cell information // IET Radar, Sonar and Navigation, 2008, vol. 2, no. 3, p. 200—213 ; Meng X.W. Comments on “Constant false-alarm rate algorithm based on test cell information” // IET Radar, Sonar and Navigation, 2009, vol. 3, no. 6, p. 646—649. 116. Cao T.V. Design of low-loss CFAR detectors // Proc. Intern. Radar Conf., Adelaide, Australia, 2008, p. 712—717. 117. Chen B., Varshney P.K., Michels J.H. Adaptive CFAR detection for clutter-edge heterogeneity using Bayesian inference // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 2003, vol. 39, no. 4, p. 1462—1470. 118. Cole L.G., Chen P.-W. Constant false alarm rate detector for a pulse radar in a maritime environment // Proc. IEEE National Aerospace and Electronics Conf. (NAECON), Dayton, 1978, vol. 3, p. 1110—1113. 119. Conte E., Longo M., Lops M. Two-sided censored mean-level detector for CFAR in multiple target situations and clutter edges // Alta Frequenza, 1989, vol. 58, № 2, p. 165—173. 120. Conte E., Longo M., Lops M. Analysis of the excision CFAR detector in the presence of fluctuating targets // IEE Proc., 1989, vol. 136, pt. F, no. 6, p. 290—292. 121. Conte E., Longo M., Lops M. Analysis of the excision CFAR detector in multiple target situations // Proc. 1989 Intern. Symposium on Noise and Clutter Rejection in Radars and Imaging Sensors, Kyoto, Japan, 1989, p. 566—571. 122. Cooper D. An approximate method of estimating the detection performance of a scanning radar // Marconi Review, 1983, vol. 46, no. 228, p. 18—25. 123. Currie N.C., Dyer F.B., Hayes R.D. Some properties of radar returns from rain at 9.375, 35, 70 and 95 GHz // IEEE Intern. Radar Conf., Arlington, 1975, p. 215—220. 124. Davenport W.B. Signal-to-noise ratios in band-pass limiters // J. Appl. Phys., 1953, vol. 24, no. 6, p. 720—727. 125. Davenport W.B., Root W.L. An introduction to the theory of random signals and noise. N.Y.: McGraw-Hill, 1958. IX, 393 p ; Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов: пер. с англ. / под ред. Р.Л. Добрушина. — М.: ИЛ, 1960. – 468 с. 126. Dillard G.M., Dillard R.A. Radar automatic detection // Microwave J., 1985, vol. 28, no. 6, p. 125—126, 128—130. 127. Dillard G.M., Summers B.F. Mean-level detection in the frequency domain // IEE Proc., 1996, vol. 143, pt. F, no. 5, p. 307—312. 128. Di Vito A., Moretti G. Probability of false alarm in CA-CFAR device downstream from linear-law detector // Electronics Letters, 1989, vol. 25, no. 25, p. 1692—1693. 129. Di Vito A., Galati G., Mura R. Analysis and comparison of two order statistics CFAR systems // IEE Proc., 1994, vol. 141, pt. F, no. 2, p. 109—115. 130. Dugundji J., Ackerlind E. Automatic bias control for a threshold detector // IRE Trans. Inform. Theory, 1957, vol. IT-3, no. 1, p. 65—70.
333
131. Elias-Fuste A.R., deMercado M.G., Davo E.R. Analysis of some modified ordered statistic CFAR: OSGO and OSSO CFAR // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1990, vol. 26, no. 1, p. 197—202. 132. El Mashade M.B. Performance analysis of modified ordered-statistics CFAR processors in nonhomogeneous environments // Signal Processing, 1995, vol. 41, no. 3, p. 379—389. 133. El Mashade M.B. Monopulse detection analysis of the trimmed mean CFAR processor in nonhomogeneous situations // IEE Proc., 1996, vol. 143, pt. F, no. 2, p. 87—94. 134. El Mashade M.B. Analysis of CFAR detection of fluctuating targets // Progress In Electromagnetics Research C, 2008, vol. 2, p. 65—94. 135. El Mashade M.B. Performance analysis of OS structure of CFAR detectors in fluctuating target environments // Progress In Electromagnetics Research C, 2008, vol. 2, p. 127—159. 136. Epstein B., Sobel M. Life testing // Journal of the American Statistical Association, 1953, vol. 48, no. 263, p. 486—502. 137. Fancy H. Digital filtering in a simple radar system. In: Digital signal processing (IEE control engineering series, vol. 22), N.B. Jones (ed.). London: Peter Peregrinus, 1982, Chap. 20, p. 434—446. 138. Farina A., Studer F.A. A review of CFAR detection techniques in radar systems // Microwave J., 1986, vol. 29, no. 9, p. 115—116, 118, 120, 123—124, 126—128. Reprinted in [221]. 139. Finn H.M. Adaptive detection in clutter // Proc. National Electronics Conf., 1966, vol. XXII, p. 562—567. 140. Finn H.M. Adaptive detection with regulated error probability // RCA Review, 1967, vol. 28, no. 4, p. 653—678 ; Финн. Адаптивное обнаружение при регулируемой вероятности ошибки // Зарубежная радиоэлектроника, 1968, № 10, с. 45—63. 141. Finn H.M., Johnson R.S. Adaptive detection mode with threshold control as a function of spatially sampled clutter-level estimates // RCA Review, 1968, vol. 29, no. 3, p. 414—464. Reprinted in [91]. 142. Finn H.M. A CFAR design for a window spanning two clutter fields // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1986, vol. AES-22, no. 2, p. 155—168. 143. Fleskes W. Automatic track initiation for a phased array radar using a clutter map // Proc. of the AGARD Conf. — Strategies for Automatic Track Initiation, Monterey, 1978, p. 10-1—10-11. 144. Galati G. The «Autogate» circuit in radar detection: analysis and comparison of alternative configurations // Rivista Tecnica Selenia, 1973, vol. 1, no. 3, p. 19—29. 145. Galati G., Gasparini O. The different means of actions against clutter // Colloque International sur le Radar, Paris, 1978, p. 574—588. 146. Gandhi P.P., Kassam S.A. Analysis of CFAR processors in nonhomogeneous background // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1988, vol. 24, no. 4, p. 427—445. 147. Gandhi P.P., Kassam S.A. An adaptive order statistic constant false alarm rate detector // IEEE Intern. Conf. on Systems Engineering, Dayton, Ohio, 1989, p. 85—88. 148. Gandhi P.P., Kassam S.A. Adaptive order statistic and trimmed mean CFAR radar detectors // Proc. IEEE Region Ten Conf. (TENCON), Bombay, 1989, p. 832—835. 149. Gandhi P.P., Kassam S.A. Optimality of the cell averaging CFAR detector // IEEE Trans. Inform. Theory, 1994, vol. 40, no. 4, p. 1226—1228. 150. Gandhi P.P., Cardona E., Baker L. CFAR signal detection in nonhomogeneous Weibull clutter and interference // Proc. IEEE Intern. Radar Conf., Alexandria, Virginia, 1995, p. 583—588. 151. Goldman H., Bar-David I. Analysis and application of the excision CFAR detector // IEE Proc., 1988, vol. 135, pt. F, no. 6, p. 563—575.
334
152. Goldman H. Performance of the excision CFAR detector in the presence of interferers // IEE Proc., 1990, vol. 137, pt. F, no. 3, p. 163—171. 153. Goldstein G.B. False-alarm regulation in log-normal and Weibull clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1973, vol. AES-9, no. 1, p. 84—92. Reprinted in [96, 91]. 154. Green B.A., Jr. Radar detection probability with logarithmic detectors // IRE Trans. Inform. Theory, 1958, vol. IT-4, no. 1, p. 50—52. Reprinted in [91]. 155. Hall W.M. General radar equation // Space Aeronautics Research and Development Handbook, 1962 – 1963, vol. 38, no. 2, p. D-11…D-21. Reprinted in [95]. 156. Han D.S. Detection performance of CFAR detectors based on order statistics for partially correlated chi-square targets // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 2000, vol. 36, no. 4, p. 1423—1429. 157. Han Y.I., Kim T. Performance of excision GO-CFAR detectors in nonhomogeneous environments // IEE Proc., 1996, vol. 143, pt. F, no. 2, p. 105—112. 158. Hansen V.G., Zöttl A.J. The detection performance of the Siebert and Dicke-fix CFAR radar detectors // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1971, vol. AES-7, no. 4, p. 706—709. Reprinted in [91]. 159. Hansen V.G., Ward H.R. Detection performance of the cell averaging LOG/CFAR receiver // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1972, vol. AES-8, no. 5, p. 648—652. Reprinted in [95, 91]. 160. Hansen V.G. Constant false alarm rate processing in search radars // IEE Conf. on Radar – Present and Future, London, 1973, p. 325—332. Reprinted in [91]. 161. Hansen V.G. Importance sampling in computer simulation of signal processors // Computers and Electrical Engineering, 1974, vol. 1, p. 545—550. 162. Hansen V.G., Sawyers J.H. Detectability loss due to “greatest of” selection in a cellaveraging CFAR // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1980, vol. AES-16, no. 1, p. 115—118. 163. He Y. Performance of some generalized modified order-statistics CFAR detectors with automatic censoring technique in multiple-target situations // IEE Proc., 1994, vol. 141, pt. F, no. 4, p. 205—212. 164. He Y., Guan J. A new CFAR detector with greatest of selection // Proc. IEEE Intern. Radar Conf., Alexandria, Virginia, 1995, p. 589—591. 165. He Y., Guan J., Peng Y., Lu D. A new CFAR detector based on ordered statistics and cell averaging // Proc. CIE Intern. Radar Conf., Beijing, China, 1996, p. 106—108. 166. He Y., Meng X., Peng Y. Performance of a new CFAR detector based on trimmed mean // IEEE Intern. Conference on Systems, Man, and Cybernetics, Beijing, China, 1996, vol. 1, p. 702—706. 167. He Y., Guan J., Rohling H. A new CFAR detector with greatest option // Journal of Electronics (China), 1997, vol. 14, no. 2, p. 125—132. 168. Himonas S.D., Barkat M. A robust radar CFAR detector for multiple target situations // Proc. IEEE National Radar Conf., 1989, p. 85—90. 169. Himonas S.D. A robust automatic censored CFAR detector for nonhomogeneous environments // Proc. IEEE National Radar Conf., 1991, p. 117—121. 170. Himonas S.D., Barkat M. Automatic censored CFAR detection for nonhomogeneous environments // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1992, vol. 28, no. 1, p. 286— 304. 171. Himonas S.D. Adaptive censored greatest-of CFAR detection // IEE Proc., 1992, vol. 139, pt. F, no. 3, p. 247—255. 172. Hofele F.X. An innovative CFAR algorithm // Proc. CIE Intern. Radar Conf., Beijing, China, 2001, p. 329—333. 173. Hoffman W.C. The joint distribution of n successive outputs of a linear detector // J. Appl. Phys., 1954, vol. 25, no. 8, p. 1006—1007.
335
174. Hollis R. False alarm time in pulse radar // Proc. IRE, 1954, vol. 42, no. 7, p. 1189. Reprinted in [95]. 175. Holm J.R., Ritcey J.A. The optimality of the censored mean-level detector // IEEE Trans. Inform. Theory, 1991, vol. 37, no. 1, p. 206—209. 176. Hou X.-Y., Morinaga N., Namekawa T. Direct evaluation of radar detection probabilities // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1987, vol. AES-23, no. 4, p. 418—424. 177. Hovanessian S.A. Radar system design and analysis. Dedham: Artech House, 1984. – VIII, 386 p. 178. Hu W., Wang Y., Wang S., Fang Q. A robust CFAR detector based on ordered statistic // Proc. CIE Intern. Radar Conf., Shanghai, China, 2006, p. 224—227. 179. Hubbard J.V. Digital automatic radar data extraction equipment // Journal Brit. IRE, 1963, vol. 26, no. 5, p. 397—405 ; Хаббард. Цифровое автоматическое устройство для выделения радиолокационных данных // Зарубежная радиоэлектроника, 1964, № 7, с. 3—16. 180. Hughes C.J. Performance of digital signal processors for MTI and hard-limited radar detection // Proc. 1984 Intern. Symposium on Noise and Clutter Rejection in Radars and Imaging Sensors, Tokyo, Japan, 1984, p. 534—539. 181. Jin Mo Yang, Whan Woo Kim. Performance analysis of a minimum selected cellaveraging CFAR detection // 11th IEEE International Conference on Communication Technology (ICCT), 2008, Hangzhou, China, p. 442—445. 182. Jung K.T., Kim H.M. Performance analysis of generalized modified order statistics CFAR detectors // Proceedings of the IEEE-SP Intern. Symposium on TimeFrequency and Time-Scale Analysis, Pittsburgh, Pennsylvania, 1998, p. 521—524. 183. Kang E.W. Radar system analysis, design, and simulation. Boston, London: Artech House, 2008. XXIII, 367 p. 184. Kassam S.A. A bibliography on nonparametric detection // IEEE Trans. Inform. Theory, 1980, vol. IT-26, no. 5, p. 595—602. 185. Keel B.M. Constant false alarm rate detectors. In: Principles of Modern Radar. vol. I: Basic Principles, ed. by M.A. Richards, J.A. Scheer, W.A. Holm. SciTech Publishing, 2010, Chap. 16, p. 589—623. 186. Khalighi M.A., Bastani M.H. Adaptive CFAR processor for nonhomogeneous environments // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 2000, vol. 36, no. 3 (part 1), p. 889— 897. 187. Kim C.J., Lee H.J. Performance analysis of the clutter map CFAR detector with noncoherent integration // ETRI Journal, 1993, vol. 15, no. 2, p. 1—9. 188. Kim J.H., Bell M.R. A computationally efficient CFAR algorithm based on a goodness-of-fit test for piecewise homogeneous environments // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 2013, vol. 49, no. 3, p. 1519—1535. 189. Kitahara N., Nagahara D., Yano H. A numerical inversion of Laplace transform and its application // J. Franklin Inst., 1988, vol. 325, no. 2, p. 221—233. 190. Levanon N. Numerically efficient calculations of clutter map CFAR performance // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1987, vol. AES-23, no. 6, p. 813—814. 191. Levanon N. Detection loss due to interfering targets in ordered statistics CFAR // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1988, vol. 24, no. 6, p. 678—681. 192. Levanon N., Shor M. Order statistics CFAR for Weibull background // IEE Proc., 1990, vol. 137, pt. F, no. 3, p. 157—162. 193. Levanon N. Analytic comparison of four robust algorithms for post-detection integration // IEE Proc., 1992, vol. 139, pt. F, no. 1, p. 67—72. 194. Li H., Wang Z. A fast algorithm for evaluating the false alarm probability of a CFAR detector // Proc. IEEE Intern. Conf. on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), Tokyo, Japan, 1986, p. 1941—1942.
336
195. Lin S.H. An occurrence of very heavy rain on a 42-km path // IEEE Trans. on Communications, 1974, vol. COM-22, no. 5, p. 708—710. 196. Lok Y.F. CFAR at the end of instrumented range // IEEE Radar Conf., Waltham, Massachusetts, 1999, p. 250—255. 197. Loppnow D.H. Adaptive clutter and interference suppression for the surveillance radar environment // Colloque International sur le Radar, Paris, 1984, p. 121—125. 198. Lops M., Orsini M. Scan-by-scan averaging CFAR // IEE Proc., 1989, vol. 136, pt. F, no. 6, p. 249—254. 199. Lu D. Quasi-analytical method for estimating low false alarm rate // Proceedings of the 7th European Radar Conference, Paris, 2010, p. 264—267. 200. Magaz B., Belouchrani A., Hamadouche M. Automatic threshold selection in OS-CFAR radar detection using information theoretic criteria // Progress In Electromagnetics Research B, 2011, vol. 30, p. 157—175. 201. Mahafza B.R. Introduction to radar analysis. Boca Raton etc.: CRC Press, 1998. – 325 p. 202. Manasse R., Price R., Lerner R. Loss of signal detectability in band-pass limiters // IRE Trans. Inform. Theory, 1958, vol. IT-4, no. 1, p. 34—38. 203. Martin G.R. Adaptive threshold device employing spatial integration in two dimensions // Electronics Letters, 1976, vol. 12, no. 12, p. 307—308. 204. McLane P.J., Wittke P.H., Ip C.K-S. Threshold control for automatic detection in radar systems // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1982, vol. AES-18, no. 2, p. 242—248. 205. Meng X., He Y. A new CFAR detector with automatic censoring // Proc. Intern. Conference on Signal Processing (ICSP), Beijing, China, 1996, vol. 2, p. 1632—1635. 206. Meng X., He Y. Two generalized greatest of selection CFAR algorithms // Proc. CIE Intern. Radar Conf., Beijing, China, 2001, p. 359—362. 207. Meng X., Guan J., He Y. Analysis of linear weighted order statistics CFAR algorithm // Journal of Systems Engineering and Electronics, 2004, vol. 15, no. 3, p. 232—236. 208. Meyer D.P., Mayer H.A. Radar target detection. N.Y., London: Acad. Press, 1973. – XVI, 493 p. 209. Mitchell R.L., Walker J.F. Recursive methods for computing detection probabilities // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1971, vol. AES-7, no. 4, p. 671—676. Reprinted in [91]. 210. Mitchell R.L. Importance sampling applied to simulation of false alarm statistics // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1981, vol. AES-17, no. 1, p. 15—24. 211. Moore J.D., Lawrence N.B. Comparison of two CFAR methods used with square law detection of Swerling I targets // Proc. IEEE Intern. Radar Conf., Arlington, Virginia, 1980, p. 403—409. 212. Nagle D.T., Saniie J. Performance analysis of linearly combined order statistic CFAR detectors // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1995, vol. 31, no. 2, p. 522—533. 213. Nathanson F.E. (with J.P. Reilly and M.N. Cohen). Radar design principles, second edition. N.Y.: McGraw-Hill, 1991. – XIII, 720 p. 214. Nitzberg R. Constant-false-alarm-rate-signal processors for several types of interference // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1972, vol. AES-8, no. 1, p. 27—34. 215. Nitzberg R. Constant-false-alarm-rate processors for locally non-stationary clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1973, vol. AES-9, no. 3, p. 399—405. Reprinted in [91].
337
216. Nitzberg R. Analysis of the arithmetic mean CFAR normalizer for fluctuating targets // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1978, vol. AES-14, no. 1, p. 44—47 ; Weiss M. Comment on “Analysis of the arithmetic mean CFAR normalizer for fluctuating targets” // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1982, vol. AES-18, no. 1, p. 150. 217. Nitzberg R. Low-loss almost constant false-alarm rate processors // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1979, vol. AES-15, no. 5, p. 719—723. 218. Nitzberg R. Clutter map CFAR analysis // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1986, vol. AES-22, no. 4, p. 419—421. 219. Novak L.M. Radar target detection and map-matching algorithm studies // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1980, vol. AES-16, no. 5, p. 620—625. 220. Oguchi T. Summary of studies on scattering of centimetre and millimetre waves due to rain and hail // Ann. Télécommunic., 1981, vol. 36, no. 7 – 8, p. 383—399. 221. Optimised radar processors / Ed. by A. Farina (IET Radar, Sonar, Navigation and Avionics Series, vol. 1). London: Peter Peregrinus, 1987. – XII, 198 p. 222. Ozgunes I., Gandhi P.P., Kassam A. A variably trimmed mean CFAR radar detector // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1992, vol. 28, no. 4, p. 1002—1014. 223. Peterson S.R., Lee Y.H., Kassam S.A. Some statistical properties of alpha-trimmed mean and standard type M filters // IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1988, vol. 36, no. 5, p. 707—713. 224. Prastitis L.A., Frank J., Himonas S.D. Automatic censored cell averaging CFAR detector in nonhomogeneous clutter // Proc. Intern. Radar Conf., Brighton, UK, 1992, p. 218—221. 225. Prastitis L.A., Himonas S.D. A CFAR detector using a data discrimination algorithm // Proc. IEEE National Radar Conf., 1996, p. 279—284. 226. Qu Zhi-guo, Tan Xian-si, Wang Hong, He Gang. A CFAR based on statistics of cell under test // Proc. CIE Intern. Radar Conf., Shanghai, China, 2006, p. 187—190. 227. Raghavan R.S. Analysis of CA-CFAR processors for linear-law detection // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1992, vol. 28, no. 3, p. 661—665. 228. Ravid R., Levanon N. Maximum-likelihood CFAR for Weibull background // IEE Proc., 1992, vol. 139, pt. F, no. 3, p. 256—264. 229. Rice S.O. Distribution of quadratic forms in normal random variables — evaluation by numerical integration // SIAM J. Stat. Comput., 1980, vol. 1, no. 4, p. 438—448. 230. Richards M.A. Fundamentals of radar signal processing. N.Y.: McGraw-Hill, 2005. – XXVIII, 513 p. 231. Rickard J.T., Dillard G.M. Adaptive detection algorithms for multiple-target situations // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1977, vol. AES-13, no. 4, p. 338—343. 232. Ritcey J.A. Performance analysis of the censored mean-level detector // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1986, vol. AES-22, no. 4, p. 443—454. 233. Ritcey J.A., Hines. J.L. Performance of max-mean level detector with and without censoring // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1989, vol. 25, no. 2, p. 213—223. 234. Ritcey J.A. Detection analysis of the MX-MLD with noncoherent integration // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1990, vol. 26, no. 3, p. 569—576. 235. Ritcey J.A., Hines. J.L. Performance of MAX family of order-statistic CFAR detectors // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1991, vol. 27, no. 1, p. 48—57. 236. Robertson G.H. Computation of the noncentral F distribution (CFAR detection) // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1976, vol. AES-12, no. 5, p. 568—571. 237. Rohling H. Radar CFAR thresholding in clutter and multiple target situations // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1983, vol. AES-19, no. 4, p. 608—621. 238. Sarhan A.E. Estimation of the mean and standard deviation by order statistics. Part III // Annals of Mathematical Statistics, 1955, vol. 26, p. 576—592.
338
239. Schleher D.C. Harbor surveillance radar detection performance // IEEE Journal of Oceanic Engineering, 1977, vol. OE-2, no. 4, p. 318—325. Reprinted in [91]. 240. Sekine M., Musha T., Tomita Y., Irabu T. Suppression of Weibull-distributed clutters using a cell-averaging LOG/CFAR receiver // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1978, vol. AES-14, no. 5, p. 823—826. 241. Sekine M., Musha T., Tomita Y., Hagisawa T., Kiuchi E., Irabu T. Suppression of clutter and detection of targets // Proc. 1984 Intern. Symposium on Noise and Clutter Rejection in Radars and Imaging Sensors, Tokyo, Japan, 1984, p. 279—284. 242. Sekine M., Mao Y.H. Weibull radar clutter (IET Radar, Sonar, Navigation and Avionics Series, vol. 3). London: Peter Peregrinus, 1990. – XII, 200 p. 243. Shnidman D.A. Efficient evaluation of probabilities of detection and the generalized Q-function // IEEE Trans. Inform. Theory, 1976, vol. IT-22, no. 6, p. 746—751. 244. Shor M., Levanon N. Performances of order statistics CFAR // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1991, vol. 27, no. 2, p. 214—224. 245. Shrader W.W., Hansen V.G. MTI Radar. In: Radar Handbook, M.I. Skolnik (ed.), second edition. N.Y.: McGraw-Hill, 1990, Chap. 15, p. 15.1—15.72. 246. Siebert W.M. Some applications of detection theory to radar // IRE National Conv. Record, 1958, vol. 6, pt. 4, p. 5—14 ; Сиберт. Некоторые применения теории обнаружения к радиолокации // Радиотехника и электроника за рубежом, 1959, № 1, с. 26—36. 247. Sinsky A.I., Wang C.P. Standardization of the definition of the radar ambiguity function // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1974, vol. AES-10, no. 4, p. 532—533. 248. Skolnik M.I. Introduction to radar systems, second edition. N.Y.: McGraw-Hill, 1980. – X, 581 p. 249. Skolnik M.I. Introduction to radar systems, third edition. N.Y.: McGraw-Hill, 2001. – XII, 772 p. 250. Smith M.E., Varshney P.K. VI-CFAR: a novel CFAR algorithm based on data variability // Proc. IEEE National Radar Conf., 1997, p. 263—267. 251. Smith M.E., Varshney P.K. Intelligent CFAR processor based on data variability // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 2000, vol. 36, no. 3 (part 1), p. 837—847. 252. Song Yu-zhen, Meng Xiang-wie, Qu Fu-yong. A new CFAR method based on test cell statistics // IET Intern. Radar Conference, 2009, p. 916—919. 253. Steenson B.O. Detection performance of a mean-level threshold // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1968, vol. AES-4, no. 4, p. 529—534. Reprinted in [91]. 254. Swerling P. Detection of fluctuating pulsed signals in the presence of noise // IRE Trans. Inform. Theory, 1957, vol. IT-3, no. 3, p. 175—178. 255. Taylor J.W., Jr. Receivers. In: Radar Handbook, M.I. Skolnik (ed.), second edition. N.Y.: McGraw-Hill, 1990, Chap. 3, p. 3.1—3.56. 256. Thaler S. Mean level detector. U.S. Patent No. 3 057 995, patented 9 Oct. 1962. 257. Tom A., Viswanathan R. Switched order statistics CFAR test for target detection // IEEE Radar Conf., Rome, Italy, 2008, p. 1579—1583. 258. Trunk G.V., George S.F. Detection of targets in non-Gaussian sea clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1970, vol. AES-6, no. 5, p. 620—628. Reprinted in [96] ; Транк, Георг. Обнаружение целей на фоне помех от морской поверхности с негауссовым распределением // Зарубежная радиоэлектроника, 1971, № 7, с. 17—28. 259. Trunk G.V. Further results on the detection of targets in non-Gaussian sea clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1971, vol. AES-7, no. 3, p. 553—556. Reprinted in [96].
339
260. Trunk G.V. Radar properties of non-Rayleigh sea clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1972, vol. AES-8, no. 2, p. 196—204. Reprinted in [96] ; Транк. Радиолокационные характеристики нерелеевских отражений от морской поверхности // Зарубежная радиоэлектроника, 1973, № 2, с. 3—19. 261. Trunk G.V. Range resolution of targets using automatic detectors // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1978, vol. AES-14, no. 5, p. 750—755. 262. Trunk G.V., Hughes II P.K. Automatic detectors for frequency-agile radar // IEE Intern. Radar Conf., London, 1982, p. 464—468. 263. Trunk G.V. Survey of radar ADT // Microwave J., 1983, vol. 26, no. 7, p. 77—78, 80—81, 84, 86—88. 264. Trunk G.V., Gordon W.B., Cantrell B.H. False alarm control using Doppler estimation // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1990, vol. 26, no. 1, p. 146—153. 265. Trunk G.V. Automatic detection, tracking, and sensor integration. In: Radar Handbook, M.I. Skolnik (ed.), second edition. N.Y.: McGraw-Hill, 1990, Chap. 8, p. 8.1—8.51. 266. Tuteur F.B. On the detection of transiting broadband targets in noise of uncertain level // IEEE Trans. on Communication Technology, 1967, vol. COM-15, no. 1, p. 61—69. 267. Verma A.K. Variability index constant false alarm rate (VI-CFAR) for sonar target detection // Intern. Conf. on Signal Processing, Communications and Networking (ICSCN), Chennai, India, 2008, p. 138—141. 268. Viswanathan R., Eftekhari A. A selection and estimation test for multiple target detection // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1992, vol. 28, no. 2, p. 505—519. 269. Weber P., Haykin S. Ordered statistic CFAR processing for two-parameter distributions with variable skewness // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1985, vol. AES-21, no. 6, p. 819—821. 270. Weber P., Haykin S., Gray R. Airborne pulse-Doppler radar: false-alarm control // IEE Proc., 1987, vol. 134, pt. F, no. 2, p. 127—134. 271. Weiss M. Analysis of some modified cell-averaging CFAR processors in multipletarget situations // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1982, vol. AES-18, no. 1, p. 102—114. 272. Wilson S.L. Two CFAR algorithms for interfering targets and nonhomogeneous clutter // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1993, vol. 29, no. 1, p. 57—72. 273. Wirth W.D. Radar signal processing with an active receiving array // Military Microwaves Conference, London, 1978, p. 379—390. 274. Wirth W.D. Radar techniques using array antennas (IET Radar, Sonar, Navigation and Avionics Series, vol. 10). London: The Institution of Electrical Engineers, 2001. – XVII, 487 p. 275. Zhang R., Zou Y., Sheng W., Ma X., Wang H. An improved CFAR detector for non-homogeneous clutter environment // Proc. Intern. Symposium on Signals, Systems and Electronics (ISSSE), Nanjing, China, 2010, vol. 2, p. 1—4. 276. Zhang R., Sheng W., Ma X. Improved switching CFAR detector for non-homogeneous environments // Signal Processing, 2013, vol. 93, no. 1, p. 35—48. 277. Zhang S., Mao Y., Fang Z. The performance comparison between parametric and non-parametric CFAR detectors in Weibull clutter // CIE Intern. Conf. Radar, Nanjing, China, 1986, p. 456—461. 278. Zhao J., Tao R., Wang Y. A new CFAR detector based on ordered data variability // First Intern. Conference on Innovative Computing, Information and Control (ICICIC), 2006, Beijing, China, p. 628—631. 279. Zhao L., Liu W., Wu X., Fu J.S. A novel approach for CFAR processors design // IEEE Radar Conf., Atlanta, Georgia, 2001, p. 284—288.
340
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА НА ФОНЕ ШУМА С ИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Представление импульсных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Структурные схемы обработки сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Выходные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Многоканальная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Характеристики обнаружения сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Определения отношения сигнал/шум, автокорреляционной и взаимно корреляционной функций, коэффициента потерь . . . . 15 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕДУР ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ . . . . . . . . 2.1. Предварительные замечания о методах анализа процедур обнаружения сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Преобразование Лапласа и теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Применение теории вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Характеристики суммы статистически зависимых случайных величин, являющихся выходными величинами в каналах с квадратичным детектором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Оценка максимального правдоподобия неизвестной интенсивности шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Численные методы преобразования Лапласа и вычисления контурных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Двумерное преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 20 22 26 29 40 42 45
3. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА НА ФОНЕ МЕШАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Предварительный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Некоторые исторические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Приёмное устройство с жёстким ограничителем . . . . . . . . . . . . . 3.5. Формирование порогового уровня на основе карты помех . . . . . . 3.6. Параметрические, непараметрические и робастные обнаружители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48 48 50 55 61 64
4. РАДИОЛОКАЦИОННЫЙ ОБЗОР ПО УГЛАМ ПРИ НАЛИЧИИ ПАССИВНЫХ ПОМЕХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Основные параметры гипотетического радиолокатора . . . . . . . . . 4.3. Пассивные помехи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Выбор вероятности ложной тревоги при обзоре по угловым координатам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71 71 71 75
68
78
341
4.5. Адаптивное обнаружение целей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6. Обобщённая схема формирования адаптивного порогового уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА С АДАПТИВНЫМ ПОРОГОВЫМ УРОВНЕМ НА ОСНОВЕ УСРЕДНЕНИЯ ВЫХОДНЫХ ВЕЛИЧИН ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1. Усреднение выходных величин измерительных каналов . . . . . . . 97 5.2. Усреднение после квадратичного детектора . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.3. Обнаружение сигнала в неоднородных пассивных помехах . . . . 108 5.4. Обнаружение сигнала при наличии мешающей цели . . . . . . . . . 113 5.5. Методы анализа при произвольной характеристике детектора . . 116 5.6. Усреднение после линейного детектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.7. Усреднение после логарифмического детектора . . . . . . . . . . . . 133 5.8. Сравнительные характеристики в сложной помеховой обстановке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.9. Адаптивные пороговые уровни при обнаружении квазинепрерывных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРОГА С ВЫБОРОМ БОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Общие соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Основные характеристики при отсутствии помех . . . . . . . . . . . . 6.4. Исследование характеристик при наличии кромки помех . . . . . . 6.5. Вероятность превышения порога при наличии мешающих целей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Применение логарифмического детектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. РАЗНОВИДНОСТИ СХЕМ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРОГОВЫХ УРОВНЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Формирование порога с выбором меньшего значения . . . . . . . . 7.3. Формирование порога на основе порядковой статистики . . . . . . 7.4. Удаление отдельных слагаемых (цензурирование) . . . . . . . . . 7.5. Цензурирование в схеме с выбором большего значения . . . . . . . 7.6. Схема с выбором большей из двух порядковых статистик . . . . . 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР РАЗНОВИДНОСТЕЙ СХЕМ . . . 8.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Схемы с автоматическим определением положения кромки помех . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Схемы формирования порога при наличии мешающих целей . .
342
154 154 155 160 163 167 169 176 177 177 177 182 195 206 215 219 219 219 220
8.4. Схемы с автоматическим определением положения кромки помех и числа мешающих целей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Квазианалитический метод статистического моделирования и комбинированная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Схема, составленная из двух комбинированных схем, объединённых выбором большего значения . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Обнаружение сигнала при негауссовских помехах . . . . . . . . . . . 9. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА С УЧЁТОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТСЧЁТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Аналитический метод применительно к схеме с усреднением отсчётов после квадратичного детектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Защитные элементы скользящего окна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Моделирование совокупности коррелированных нормальных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Применение статистического моделирования к анализу схем обнаружения с адаптивным пороговым уровнем . . . . . . . . . . . . . 9.6. Цензурирование в схеме с выбором большего значения (статистически зависимые отсчёты) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Схема с выбором большей из двух порядковых статистик (статистически зависимые отсчёты) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Две комбинированные схемы, объединённые выбором большего значения (статистически зависимые отсчёты) . . . . . . . 9.9. Адаптивный порог на основе оценки интенсивности гауссовского шума методом максимального правдоподобия . . . 10. МЕТОД СУЩЕСТВЕННОЙ ВЫБОРКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Общие сведения о методе существенной выборки . . . . . . . . . . 10.2. Применение метода существенной выборки к анализу схем обнаружения с адаптивным пороговым уровнем . . . . . . . . . . . 10.3. Пример применения метода существенной выборки . . . . . . . . 11. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ МЕШАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Дискретная обработка импульсных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Обнаружение импульсных сигналов на фоне шума с неизвестной интенсивностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. Дискретная обработка фазокодоманипулированного импульса при наличии пассивных помех . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Особенности обнаружения прямоугольного импульса . . . . . . .
225 227 235 241
248 248 248 259 263 264 268 276 279 283 292 292 296 299
304 304 305 310 317 325
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
343
Научное издание
Трухачев Александр Алексеевич
АДАПТИВНЫЕ ПОРОГОВЫЕ УРОВНИ В УСТРОЙСТВАХ ОБНАРУЖЕНИЯ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ
Подписано в печать 14.08.17. Формат 6090/16. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 21,5. Тираж 300 экз. Заказ № 108814
Публичное акционерное общество «Научно-производственное объединение «Алмаз» имени академика А.А. Расплетина» 125190, Москва, Ленинградский пр-т, д. 80, корп. 16 Телефон: 7 (499) 940-02-22, факс 7 (499) 940-09-99 E-mail:
[email protected] www.raspletin.com Отпечатано в ООО «Издательство Юлис» 392010, г. Тамбов, ул. Монтажников, д. 9
344
345
