Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет
Преобразование Лапласа. Свойства ...
61 downloads
173 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет
Преобразование Лапласа. Свойства и применения пособие по специальному курсу для студентов по специальностям 010100 - математика и 510100 - математика
Воронеж 2004
2
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 18 марта 2004 года Протокол № 8
Составители: Глушко А.В., Глушко В.П. Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета Рекомендуется для студентов 3-6 курсов математического факультета всех форм обучения
3
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие написано на основе курсов лекций, прочитанных для студентов математического факультета в 2001-2003 годах. В первой лекции курса изучаются основные свойства преобразования Лапласа. Во второй лекции вычисляются преобразования Лапласа основных элементарных функций и вводится обратное преобразование Лапласа. В третьей лекции на основе первой и второй теорем разложения проводится вычисление обратного преобразования Лапласа для ряда функций. Примеры решения задач для уравнений с частными производными с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа приводятся в четвертой лекции курса. Наконец, заключительный раздел пособия содержит примеры двух заданий, которые обычно предлагаются студентам, прослушавших данных курс, для контроля усвоения материала. Здесь же приводятся решения предлагаемых заданий с соответствующими пояснениями. При изложении материала и решении заданий широко используется пакет символьных программ Mathematica. Комментарии к используемым командам пакета Mathematica можно найти в справочных изданиях, указанных в конце пособия в списке рекомендуемой литературы. Мы не затрагиваем в этом курсе вопросы, связанные с преобразованием Лапласа обобщенных функций. Читателю, интересующемуся этой проблемой, рекомендуем обратиться к книге В.С.Владимирова (см. список рекомендуемой литературы).
4
Лекция 1 1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение. Пусть f@tD -интегрируемая на (0,T) при любом T>0 функция, равная нулю при t>0: f@tD =0 при t0 удовлетворяет оценке » f@tD » ≤ C
α t,
C > 0, α ≥ 0 , t > 0,
(1.1)
то можно рассмотреть интеграл F[p]=‡
∞
−p t
f@tD
t, p = σ +
ξ, σ > α, ξ ∈ R
Действительно, справедлива оценка »F[p]»≤‡
∞
0
(1.2)
0
» f@tD » ≤СŸ0
∞
−σ t
t = Ÿ0 » f@tD
−Hσ−αL t
∞
t=
С Hσ−αL
−α t
»
−Hσ−αL t
a. Для того чтобы это проверить, находим пока формально F p
=‡
∞
0
f@tD H−tL
−p t
t
(1.4)
Как и при выводе (1.3), находим
» F @pD »≤ p ∞ ∞ Ÿ0 » f@tD −α t » t −Hσ−αL t t≤СŸ0 t −Hσ−αL t t= −С С −Hσ−αL t ) »∞ − ∞ −Hσ−αL t t)= Ÿ0 0 Hσ−αL (t Hσ−αL2
−С Hσ−αL
Ÿ0 t ∂t ∞
−Hσ−αL t
t
Последнее означает, что интеграл равномерно по Rep>a сходится и, „ F@ pD следовательно, производная ÅÅÅÅÅÅÅÅ „ ÅpÅÅÅÅÅÅÅ существует при Rep>a, и формула (1.4) справедлива при Rep>a. Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции f[t] и обозначается L[f]. В этом случае функция f[t] называется оригиналом, а функция L[f]=F[p] -изображением. Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье. Действительно, из (1.2) имеем L[f][p]=‡ Ÿ−∞ g@tD ∞
∞
f@tD
0 − ξt
t,
−Hσ+ ξL t
t = Ÿ0 Hf@tD ∞
−σ t
L
− ξt
t=
5
где g[t]= f @tD ‰ -s t при t¥0 и g[t]=0 при t α и t→∞.
»
−σ t =»f@tD
−α t
»
−Hσ−αL t
≤С
−Hσ−αL t
→ 0 при
Для любого m свойство 2.3 устанавливается по
индукции. 2.4. Сдвиг преобразование Лапласа L@fD@p − p0 D =L@f
p0 t D@pD,
Rep>α+Rep0
Доказательство свойства 2.4. очевидно. 2.5. Преобразование Лапласа и преобразование подобия При любом k>0 спрведливо тождество L@f@ktDD@pD = L@f@k tDD@pD = ‡ f@k tD ∞
−p t
1 k
L@f@tDD@
t=
0
1 k
‡
p k
D
∞
f@τD
−p
τ k
0
τ=
1 k
L@f@tDD@
2.6. Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа L@f@t − t0 DD@pD = L@f@tDD@pD ∗ L@f@t − t0 DD@pD = ‡ f@t − t0 D ∞
t0
−p t
t=‡
∞
f@τD
−p t0 ,
−p τ−p t0
t0 > 0 τ = L@f@tDD@pD ∗
0
à Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t-2].
−p t0
p k
D
7
LaplaceTransform@UnitStep@t − 2D, t, pD −2 p
p
2.7. Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа
LA‡
t
0
1 f@τD τE@pD = p L@f@tDD@pD
Доказательство. Обозначим g[t]=‡
t
f@τD τ
Очевидно, что g '@tD = f @tD и g@+ 0D = 0. Поэтому с помощью интегрирования по частям находим L@fD@pD = ‡ g '@tD ∞
0
g@tD
−p t
−p t
0
t=
∞ ƒ ƒ ƒ ∞ ƒ − ƒ ‡ g@tD ∂t 0 ƒ ƒ ƒ 0
−p t
t = p ‡ g@tD ∞
−p t
t = p L@g@tDD@pD
При этом мы учли, что g@+ 0D = 0 и в силу условия H1.1L 0
t t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ −p t ƒ −σ t ατ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ g@tD ≤ ƒ ≤C‡ τ −σ t = ‡ f@τD τ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 0 ƒ ƒ ƒ 0 ƒ C H α t − 1L −σ t ≤ α C −Hσ−αL t → 0 при t → ∞, σ − α > 0, α > 0 α t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ −p t ƒ −σ t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ g@tD ≤ f@τD τ ≤ C t −σ t → 0 при t → ∞, ‡ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 0 ƒ σ > 0, α = 0
Отсюда находим LA‡
t
1 f@τD τE@pD = L@g@tDD@pD = p L@f@tDD@pD
2.8. Преобразование Лапласа от дроби f@tD ê t 0
L@f@tD ê tD@pD = ‡ F@zD z, F@zD = L@fD@zD ∞
Доказательство. Обозначив F@pD = L@f@tD ê tD@pD, найдём ∑p F@pD = L@H-tL f @tD ê tD@pD = -L@f @tDD@pD = - F@pD . Последнее равенство проинтегрируем по любому пути от p до любой точки z = Rez = ¶ p
Φ@pD − Φ@∞D = ‡
∞
F@zD
z
Учитывая, что в силу H1.3L F@¶D = 0, получаем требуемое свойство 2.8 p
8
2.9. Преобразование Лапласа свёртки f * g. L@f@tD ∗ gD@pD = L@f@tDD@pD L@gD@pD,
где Hf ∗ gL@tD = ‡
Доказательство. Обозначим ψ@tD = ‡
t
f@t − τD ∗ g@τD
τ
0
t
f@t − τD ∗ g@τD
τ
0
Очевидно, что y@tD = 0 при t < 0, и справедлива оценка при t Ø ¶ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ψ@tD ƒ ƒ ƒ ƒ
t ƒ ƒ ƒ 2 ƒ ƒ ≤C ‡ ƒ ƒ ƒ 0 ƒ
α Ht−τL
ατ
∗
2
τ=C t
αt
Hα+∂L t
C2
≤
∂
при любом ¶ > 0. Для доказательства последнего неравенства мы использовали также оценку 1 t ‰ -¶ t § max t ‰ -¶ t = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ‰ ¶ÅÅ . Отсюда при Rep > a + ¶ 0§t Reλ, λεÂ
L@f@tDD@pD = ‡
∞
λt
∗
−p t
0
t=‡
3.2.f@tD = Sin@ω tD, ωεℜ
По формулам Эйлера имеем Sin@ω tD =
t=
0
, σ −α−∂>0
Таким образом, при Rep > a Ψ@pD = ‡
−σ t
1 2
H
ωt
−
− ωt
L
∞ 0
−Hp−λL t
t=
1 p−λ
9
Поэтому с помощью 3.1. L@Sin@ω tDD@pD = HL@
1 2
ωt
D@pD − L@
1 1 i j − j p+ ω k p− ω
1 2
L@Sin@ω tDD@pD =
− ωt
D@pDL =
ω y z z= 2 p + ω2 { ω
p2 + ω2
3.3.f@tD = Cos@ω tD, ωεℜ L@Cos@ω tDD@pD =
p p2 + ω2
Доказательство аналогично. 3.4.f@tD = Sinh@ω tD, ωεℜ
По определению гиперболических функций Sinh@w tD = H‰ - ‰ -w t L ê 2. Поэтому wt
L@Sinh@ω tDD@pD =
1 2
HL@
ωt
D@pD − L@
−ω t
D@pDL =
1 i 1 1 j − j 2 k p−ω p+ω
ω y z z= 2 p − ω2 {
ω p2 − ω2
L@Sinh@ω tDD@pD =
3.5.f@tD = Cosh@ω tD, ωεℜ p L@Cosh@ω tDD@pD = p2 − ω2
Доказательство аналогично. 3.6. f@tD = tm
λt
. Rep > Reλ, λεÂ, m = 1, 2, ...
По свойству 2.2 имеем L@f@tDD@pD = ‡
H−1L ‡
∞
m
0
H−tL
m
∞
tm
λt
0
λt
∗
−p t
∗
−p t
t=
t = H−1L
m m
pm
L@
λt
D@pD =
1 y m! i j z j z= k p−λ { Hp − λLm+1 m! L@f@tDD@pD = Hp − λLm m! В частности, L@tmD = ÅÅÅÅpÅmÅÅÅÅÅ Hl = 0L. 3.7. f@tD = tm Sin@ω tD. Rep > 0, ωεℜ, m = 1, 2, ... f@tD = tm Cos@ω tD. Rep > 0, ωεℜ, m = 1, 2, ...
H−1L
m
m
pm
Как и в примере 3.6., находим для функции g@tD = tm ‰ Â
wt
10
L@g@tDD@pD = H−1L
H−1L
m
L@H−tL
m
ω t
D@pD = H−1L
m m
pm
L@
ω t
D@pD =
m m
pm
p i j + j pm k p2 + ω2
H−1Lm H−1L
L@Cos@ω tD +
Sin@ω tDD@pD =
m
1 i j j pm k p − ω m
m
ω p2
+
ω2
y z z= {
1 Hp + ωLm+1 y z = m! z = m! m+1 { Hp2 + ω2 Lm+1 Hp − ωL
Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции вещественной и мнимой части, считая p вещесвенным и положительным. m
L@t Cos@ω tDD@pD = m ! ReA L@tm Sin@ω tDD@pD = m ! ImA
Hp +
ωLm+1
E
H3.1L
Hp +
ωLm+1
E
H3.2L
Hp2 + ω2 Lm+1 Hp2
+
ω2 Lm+1
Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом, равенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме. Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с помощью пакета Mathematica. Приведём пример. ‡ Найти преобразования Лапласа L@t6 Cos@w tDD и L@t6 Sin@w tDD. Для
этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2). ComplexExpandA
Hp +
∗ ωL7
Hp2 + ω2 L7
E
p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 − + − + Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7
7 p6 ω 35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 i j − + − j Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L7
y z z {
11
L@t6 Cos@ω tDD@pD = p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 i 6! j − + − j Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L7
y z z {
L@t6 Sin@ω tDD@pD = 35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 i 7 p6 ω 6! j − + − j Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L7
y z z {
Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform LaplaceTransform@t6 Cos@ω tD, t, pD LaplaceTransform@t6 Sin@ω tD, t, pD
H720 p Hp6 − 21 p4 ω2 + 35 p2 ω4 − 7 ω6 LL ë Hp2 + ω2 L
7
−H720 ω H−7 p6 + 35 p4 ω2 − 21 p2 ω4 + ω6 LL ë Hp2 + ω2 L
7
Сравним полученные ответы
p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 i j SimplifyA6 ! j − + − j j 7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L H720 p Hp6 − 21 p4 ω2 + 35 p2 ω4 − 7 ω6 LL ë Hp2 + ω2 L E
y z z z z− {
7
0
35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 i 7 p6 ω j j − + − SimplifyA6 ! j j 7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L H720 ω H−7 p6 + 35 p4 ω2 − 21 p2 ω4 + ω6 LL ë Hp2 + ω2 L E
y z z z z+ {
7
0
3.8. Пусть функция f[t]=0 при t0 при t>0. Обозначим g[t]=f[t] при 0§t§Т и g[t]=0 при ta). Очевидно, функция g[t] интегрируема на (0,¶) и дифференцируема в точке t>0. Рассматривая F[p] как преобразование Фурье функции g[t], применим формулу обращения преобразования Фурье
13
g[t]=
1 2π
‡
∞ −∞
F @σ +
ξD
ξt
ξ=
1 2π
‡
σ+ ∞ σ− ∞
F @pD
−σ t
pt
p
После умножения последнего равенства на ‰ s t получаем (4.1). Формула (4.1) называется формулой обратного преобразования Лапласа, или формулой Меллина. Теорема 4.1 обладает тем недостатком, что для её примения требуется
14
предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала f[t]. В следующей теореме устанавливается формула обращения при достаточных условиях только на изображение F[p]. Теорема 4.2. Пусть F[p] аналитическая в полуплоскости Rep>a функция, удовлетворяющая условиям 4.2.1. При любом s>a существует интеграл J1=‡
∞
» F @σ +
ξD »
ξ
4.2.2. Для GR = 8z » Â; » z » = R; Rez ≥ s ≥ s0 > aa). Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур G[s1,s2,r] (см. рис.4.1). По теореме Коши интеграл J[s1,s2,r] по контуру G[s1,s2,r] равен нулю. Перейдём к пределу в J[s1,s2,r] при rض. Легко убедиться, что интегралы по верхней и нижней сторонам прямоугольника стремятся к нулю при rض, а интегралы по боковым сторонам в пределе оказываются равными по величине. Таким образом, интеграл (4.1) не зависит от выбора s¥s0 >a. Докажем, что построенная по формуле (4.1) функция f[t] действительно является оригиналом заданной функции F[p]. Прежде всего заметим, что для интеграла (4.1) справедлива оценка −∞
»f[t]»≤
σt
2π
‡
∞
−∞
ƒ ƒ ƒ ƒ F @σ + ƒ ƒ ƒ ƒ
ξD
ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ
ξ
Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по tœ(0,Т) сходится. Докажем, что f@tD =0 при ta), состоящему из дуги окружности GR радиуса R и отрезка прямой (см. рис.4.2). По теореме Коши ‡
γR
F @pD
pt
p =0
В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится к нулю при t 0. С помощью простой замены переменной находим 0
1 L[f[t]][p]=Ÿ0 t-b * ‰- p t „ t= ÅÅÅÅppÅÅ Ÿ0 t-b * ‰-t „ t= ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ t-1+H1-bL * ‰-t „ t = p1-b Ÿ0 ¶
G@1-bD ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p1-b
b
¶
¶
16
Пусть далее pœÂ и Rep>0. Для определённости будем считать p=r ‰ Âj , 0 < j < ÅÅÅÅp2 (случай - ÅÅÅÅp2 <j 0 20 MR = maxz∈С+ » g@zD » → 0
R→∞
R
Null
Тогда
‡
+ СR
g@zD
zt
при R → ∞
z→0
-
Лемма Жордана (вариант 4). Пусть t > 0 и СR - полуокружность радиуса R в полуплоскости Imz§0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Imz ≤ 0, » z … ¥ R0 > 0 20 MR = maxz∈С− » g@zD » → 0
Тогда
R
‡
− СR
g@zD
− zt
R→∞
z→0
при R → ∞
Доказательство вариантов 2-4 полностью повторяет доказательство самой леммы Жордана. Лемма Жордана (вариант 5). Пусть t > 0 и СR - HaL - полуокружность радиуса R с центром точке (a,0) в полуплоскости Rez§a ( a может быть как положительным, так и отрицательным). Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Imz ≤ a, » z … ¥ R0 > 0 20 MR = maxzœС−R HaL » g@zD » Ø 0 R Æ • Тогда ‡
− СR HaL
g@zD
zt
z→0
при R → ∞
Для доказательства варианта 5 леммы Жордана следует лишь в интеграле сделать замену переменной интегрирования z-a=z и воспользоваться вариантом 2 леммы Жордана. 6. Первая теорема раложения. Пусть F[p]- целая регулярная при p=+¶ функция. В этом случае F[p] можно разложить в ряд Лорана
19
C F[p]= ‚ pnn ∞
n=0
Так как F[p] изображение Лапласа, то F[p]Ø0 при Repض (см. лекцию 1). Это означает, что коэффициент C0 =0. В силу свойства 3.6 m! L @tm D = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Hl = 0L и поэтому обратное преоразование Лапласа pm+1 1 t L -1A ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ E = ÅÅÅÅ mÅ!ÅÅÅ . Следовательно, можно рассмотреть pm+1 m
L-1 @F@ pDD
1 tn = ‚ Cn L-1 A ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ E = ⁄¶ n=0 Cn+1 ÅÅÅÅ !Å n+1 n p n=1 ¶
Воспользуемся далее неравенством Коши для коэффициентов ряда Лорана »Cm »§MRm при некоторых M>0 и R>0 Тогда tœR »f[t]»§»⁄¶ n=0 Cn+1 ÅÅÅÅÅ!ÅÅÅ »§‚ »t»n n
MR ‚
¶
¶
n
n=0
»t» Rn ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ §MR ‰ R »t» n!
¶
»t» … Cn+1 … ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ §‚ n!
n=0
»t» M R-n-1 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ § n! n
n
n=0
Таким образом, ряд сходится во всей плоскости и определяет целую функцию f[t]. Пример на применение первой теоремы разложения 1
Найти оригинал f[t] по её изображению F[p]= p-2 m+1 * „ - ÄÄÄÄ4 ÄpÄÄÄÄ , m=1,2,... 1 = ‚ ÅÅÅÅ ÅÅ zk . Поэтому k! ¶
. Как известно,
‰z
H-1 ê 4L H-1 ê 4L ÅÅÅÅÅÅÅ = ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . Следовательно, по первой теореме F[p]=‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k ! pk+2 m-1 k ! pk+2 m-2+1 ¶
k
k=0
k=0 ¶
k
k=0
раложения функция f[t] представима в виде суммы f[t]=‚
∞ k=0
H−1 ê 4Lk HkL !
tk+2 m−2 Hk+2 m−2L!
,
которую можно записать также через гипергеометрическую функцию H−1 ê 4Lk FullSimplifyA„ k! ∞
k=0
∗
tk+2 m−2
Hk + 2 m − 2L !
, t > 0E
t2 H−1+mL Hypergeometric0F1RegularizedA−1 + 2 m, −
t E 4
20
Для конкретных m=1,2,... эта функция представима через функции Бесселя ∞
FullSimplifyA„ è!!! tD
k=0
BesselJ@0,
PlotABesselJA0,
H−1 ê 4Lk k!
∗
tk k!
, t > 0E
è!!!! t E, 8t, 0, 100<E
1 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
-0.2 -0.4
∞
FullSimplifyA„
è!!! tD
k=0
4 t BesselJ@2,
H−1 ê 4Lk k!
PlotA4 t BesselJA2,
∗
tk+2
Hk + 2L !
, t > 0E
è!!!! t E, 8t, 0, 100<E
100 75 50 25
20 -25 -50
40
60
80
100
21
Заметим, что все эти функции могут быть найдены в пакете Mathematica с помощью команды InverseLaplaceTransform InverseLaplaceTransformA è!!! BesselJ@0, t D InverseLaplaceTransformA è!!! 4 t BesselJ@2, t D
1 p
−
∗
1 4p
, p, tE
1
− 4p
p3
, p, tE
7. Вторая теорема разложения. Пусть F[p]- мераморфная функция, регулярная в полуплоскости Rep¥a (мераморфной называется аналитическая функция, имеющая лишь конечное число полюсов в любой конечной части плоскости). Предположим, что 7.1. Существует система окружностей Cn : » p » = Rn с центрами точке (b,0), b>a R1 < R2 < R3 < ... Æ •, n Æ • таких, что max pŒCn »F[p]»Æ0 Rn Æ • 7.2. При любом s>a ‡
∞
−∞
» F @σ + ξ D »
ξa. Рассмотрим систему замкнутых контуров gRn , состоящих из полуокружностей CRn радиуса Rn с центром точке (b,0), расположенных в полуплоскости Rep§b, и отрезка [b-ÂRn ,b+ÂRn ]. По лемма Жордана (вариант 5) ‡
F@pD
pt
p→0
при
CRn
По теореме Коши при любом n ‡
F@pD CRn
pt
p=0
Rn → ∞ ,
t>0
(7.2)
22
По формуле (4.1) f[t]=
‡
1 2π
b+ ∞
F@pD
pt
p, b>a
b− ∞
Однако, учитывая (7.2), можно также записать f[t]=
1 2π
limn→∞ ‡
b+ R n
F@pD γRn
pt
p=
b− R n
С другой стороны, ‡
pt
F@pD p=‚
pk
1 2π
Res @F@pD p k
limn→∞ ‡
F@pD
pt
p
γRn
p t D,
где сумма берётся по всем полюсам pk функции F[p], находящимся внутри контура gRn . Переходя к пределу при nض, получаем требуемое равенство (7.1). Замечание. В пакете Mathematica формула (7.1) записывается в виде f[t]=⁄ pk Residue@F @pD
p t,
8p, pk 0. p В силу теоремы 4.1 оригинал существует и может быть найден по формуле f[t]=
1 2π
‡
σ+ ∞
σ− ∞
F @pD
pt
p=
‡
1 2π
σ+ ∞
σ− ∞
1 p
−m
è!!!! p
pt
p, σ>0
Рассмотрим замкнутый контур GR (см. рис. 8.1), состоящих из полуокружности CR - радиуса R с центром точке (s,0), расположенной в полуплоскости Rep§s; отрезка [s-ÂR,b+ÂR]; отрезков, лежащих на берегах разреза g: Imp=≤0,-R+s§Rep§-r; окружности C r : »p»=r