Сборник трудов молодых учёных. Управление большими системами

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ

СБОРНИК ТРУДОВ

Выпуск 7 Москва – 2004

НЕПРЕРЫВНЫЙ КОНТРОЛЬ ПРОЦЕССА ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ Гайдай А.А., Руссман И.Б. (Воронежский Государственный Университет) В данной работе рассматривается проблема контроля за деятельностью системы, движущейся к поставленной цели. Пусть исполнительному объекту ставится задача (например, руководством предприятия) достичь к заданному моменту определённого значения какого-либо показателя (например, получить заданный доход или произвести требуемый объём продукции), после этого система начинает двигаться к цели по какой-либо траектории. Если выяснится, что достижение цели оказывается невозможным, то требуется обнаружить это как можно раньше и так изменить параметры цели, чтобы она стала достижимой. Это изменение может выражаться в уменьшении количественной оценки планового результата, в увеличении времени на его достижение, или в том и другом одновременно. Задачей системы контроля будет являться оценка текущего состояния системы, объёма выполненных работ, риска невыполнения плана, а также близости состояния системы к критической области, откуда достижение цели будет невозможно при любых допустимых затратах. Помимо этого система контроля является одновременно и системой перепланирования. Допустим, что за время tпл нам нужно добиться результата, количественное выражение которого есть Aпл . При этом известно, что существует минимальная скорость производства результата во времени v min и максимальная скорость v max (см. рис.1). Важно найти точки контроля за состоянием объекта, выполняющего работу, которые могут быть моментами времени, когда необходимо принять решение об управляющем воздействии или пересмотре параметров цели. Если в процессе движения объект попадает в область, лежащую ниже прямой MN на рисунке, то достижение цели в заданное время станет невозможным, поэтому эта область становится запретной, и приближение к ней надо рассматривать

106

как угрозу невыполнения задачи. Контроль объекта должен быть организован таким образом, чтобы можно было вовремя вмешаться в деятельность объекта, если его состояние приближается к опасной зоне. Организация системы контроля должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: с одной стороны, точек контроля должно быть достаточно много, т.к. при отсутствии должного контроля мы можем оказаться в ситуации, когда что-либо менять уже поздно. С другой стороны, за проведение контроля приходится платить, поэтому точек контроля должно быть как можно меньше.

A

v max

v*

v max

A пл

M

( Aпл , tпл )

E3

A

F1

v min

F2

~ A

P F3

A

v min E2

N t

0

t0

E1

t

t1

tпл

Рис. 1. В работах [1] и [2] рассматривается эта задача и способ её решения, позволяющий найти моменты времени, когда необходимо проводить контроль состояния объекта. Рассмотрим видоизменённую постановку этой задачи, а именно: пусть контроль – это не

107

разовая операция, а непрерывная, и в каждый момент времени нам нужно принимать решение об «интенсивности» контроля на текущий момент. Наша задача состоит в том, чтобы для каждого момента времени выяснить необходимую «жёсткость» проводимого контроля, т.е. требуемую точность оценки объёма выполняемой работы, а также скорости её выполнения. Побочным эффектом решения данной проблемы будет возможность для любого момента времени узнать текущую трудность достижения цели, а также степень риска невыполнения плана. Поясним, что это означает. Пусть v~ (t ) – оцениваемая мгновенная скорость движения

объекта к цели в момент t, v~(t ) ∈ [v min , v max ] . Пусть она известна с некоторой точностью ∆v (t ) :

∆v (t ) v (t ) = v~(t ) + 2 (1) , ∆v ( t ) ~ v (t ) = v (t ) − 2 где v (t ) и v (t ) - соответственно, верхняя и нижняя оценки скорости в момент t, v (t ), v (t ) ∈ [vmin , vmax ] , причём

(2)

∆v (t ) = (v max − v min )δ(t ) ,

δ(t ) – относительная точность измерения скорости, δ(t ) ∈ [0,1] .

Именно эту величину мы и будем считать «интенсивностью» контроля, и наша задача будет состоять в нахождении этой величины как функции от времени t. Для любого момента t мы можем оценить текущую «трудность» (вероятность недостижения цели) следующим образом: (3)

d (t ) =

v * (t ) − v min * A − A(t ) , v (t ) = пл . tпл − t v max − vmin

Здесь d(t) – трудность достижения цели в момент t, v * (t ) - минимальная постоянная скорость, с которой необходимо двигаться из текущей точки (t , A(t ) ) , чтобы выполнить плановый объём работ в срок (см. рис.1). Т.о., за вероятность достижения цели для текущей точки мы принимаем отношение длины отрезка возмож-

108

ных скоростей к длине отрезка приемлемых скоростей (двигаясь с которыми постоянно, можно выполнить задание не позже отведённого срока). Тогда t

~ A(t ) = ∫ v~( τ)dτ 0

v − v min   δ( τ) dτ , A(t ) = ∫ v ( τ)dτ = ∫  v~( τ) + max 2  0 0 t

(4)

t

v − v min   δ( τ) dτ A(t ) = ∫ v ( τ)dτ = ∫  v~( τ) − max 2  0 0 ~ где A(t ) , A(t ) и A(t ) – оценки проделанной работы к моменту t, рассчитанные по v~ (t ) , v (t ) и v (t ) соответственно. Нас будет t

t

интересовать худший случай, т.е. A(t ) . Для точки (t , A(t ) ) мы можем найти соответствующую минимальную постоянную скорость, необходимую для достижения цели:

v − v min ~ Aпл − A(t ) + max ∫0 δ( τ)dτ 2 Aпл − A(t ) * v (t ) = = . tпл − t t пл − t t

(5)

Для любого момента t будем задавать необходимую точность измерения скорости следующим образом: (6) δ(t ) = 1 − d (t ) . Смысл этого выражения в том, что чем больше риск недостижения цели в текущий момент времени, тем больше мы должны затрачивать усилий на контроль состояния объекта, т.к. объект приближается к опасной границе, выйдя за которую, он уже не сможет выполнить поставленный объём работ за время tпл . Поэтому желательно в таких случаях знать состояние объекта с возможно большей точностью, чтобы, например, вмешаться в поведение объекта, скорректировать задание и т.п., если величина риска (трудность достижения цели) превысит некоторую заданную величину. В то же время, если состояние объекта оценивается как впол-

109

не благополучное (т.е. риск невыполнения работы невелик), то совершенно незачем затрачивать лишние средства на контроль объекта и проверку хода выполнения задания. Заметим, что это лишь один из возможных вариантов выбора точности измерения δ(t ) в зависимости от трудности d(t). В общем случае формулу (6) можно записать так: δ(t ) = Ψ (d (t )) , где Ψ( x ) ∈ [0,1] при x ∈ [0,1] и Ψ(0) = 1 , Ψ(1) = 0 . Рассмотрим пример, иллюстрирующий вышеизложенное. Допустим, в какой-то момент руководитель проекта пожелает узнать его текущее состояние. Пусть ему уже известен некоторый интер-

[

]

вал, в котором находится текущий объём работ A(t ), A(t ) , который можно рассчитать исходя из данных контроля за предыдущие дни. Чтобы оценить текущую скорость выполнения проекта v~ (t ) , руководитель может просто спросить подчинённых (например, начальников подчинённых отделов), какой объём работ был выполнен за этот день. Затраты на получение такой информации близки к нулю, но и её точность также невелика. Чтобы повысить точность, можно потребовать у одного или нескольких подчинённых отделов предоставить более полный отчёт, но при этом придётся понести определённые затраты на его подготовку, анализ и проверку. Однако, очевидно, такую проверку придётся проводить, если выяснится, что велик риск невыполнения проекта в срок. Вернёмся к нахождению требуемой точности измерения скорости движения к цели. Подставив в выражение (6) формулы (3) и (5), получим интегральное уравнение для δ(t ) :

v − v min ~ Aпл − A(t ) + max ∫0 δ( τ)dτ 2 − vmin tпл − t δ(t ) = 1 − . v max − vmin t

(7)

~

Продифференцировав по t, а также учитывая, что A′(t ) = v~(t ) , получим линейное дифференциальное уравнение: (8)

110

δ′(t ) =

1  δ(t ) v max − v~(t )    − tпл − t  2 v max − vmin 

с начальным условием:

Aпл tпл . − v min

vmax − (9)

δ(0) = 1 − d (0) =

vmax

Решая это уравнение, получаем:

(10)

t  (v − v~( τ)) dτ A  tпл  vmax − пл  − ∫ max tпл  0 tпл − τ  δ(t ) = . tпл − t (vmax − vmin )

Заметим, что если в какой-то момент времени t0 окажется, что

δ(t0 ) = 1 , то это означает, что дальнейший контроль не нужен, поскольку d (t0 ) = 0 , и объект достигнет цели в планируемые сроки, даже двигаясь с минимальной скоростью. Если же в момент t1 будет выполнено δ(t1 ) < 0 , то объект мог к этому моменту войти в запрещённую зону, и достижение цели может оказаться невозможным. Рассмотрим частный случай, когда оцениваемая скорость дви-

v + v min . Тогда жения постоянна и равна средней: v~(t ) ≡ max 2

(11)

δ(t ) = 1 −

tпл  Aпл / tпл − vmin  tпл − t  vmax − vmin

  . 

Найдём для этого случая величины t0 и t1 . Подставляя δ(t0 ) = 1 в

  = 0 , а значит, если  задача не тривиальна и достижение цели за время tпл невозможно

(11), получаем, что

tпл  Aпл / tпл − vmin  tпл − t  vmax − vmin

даже при постоянном движении с минимальной скоростью, то контроль прекращать нельзя. При δ(t1 ) = 0 получаем (12)

  A /t − v min t1 = tпл 1 −  пл пл   vmax − vmin 

  

2

 .   111

Существует альтернативный подход к вычислению количественной оценки трудности достижения цели. Если µ ∈ (0,1] – безразмерная оценка качества некоторого ресурса (чем больше, тем лучше), а ε ∈ [0,1) – нижняя граница требований к качеству ресурса, то трудность можно задать так (см. [3]):

ε(1 − µ) , µ(1 − ε) при этом d ∈ [0,1] при выполнении условия µ ≥ ε , т.е. если ресурс (13)

d=

является допустимым. Заметим, что в формуле (3) мы не учитываем ещё одну особенность рассматриваемой задачи. Из области, лежащей ниже прямой ON на рис.1, мы теоретически могли бы достичь цели в плановый срок. Тем не менее, минимальная скорость производства результата может пониматься как оценка надёжности объекта, движение с ещё меньшей скоростью может происходить в случае возникновения маловероятных чрезвычайных обстоятельств, которые могут привести к разрушению самого объекта. Именно поэтому количественная оценка риска должна возрастать также и при приближении объекта к отрезку ON. Тогда для рассматриваемой задачи с учётом вышеприведённого замечания трудность может быть вычислена следующим образом:

d = max (d1 , d 2 ) , d2 =

где

d1 =

ε1 (1 − µ1 ) E1 E2 ⋅ E3 P = , µ1 (1 − ε1 ) E1 P ⋅ E2 E3

ε 2 (1 − µ 2 ) F1 F2 ⋅ F3 P = , что после подстановки дает слеµ 2 (1 − ε 2 ) F1 P ⋅ F2 F3

дующую формулу для d(t):

d (t ) = max (d1 (t ), d 2 (t ) ) vmin

(14)

d1 ( t ) =

vmax t − A(t ) ( Aпл − vmin tпл − t (vmax − vmin ) ) vmax − vmin . A(t )( Aпл − vmin tпл + A(t ) − vmax t )

vmax t − A(t ) ( A(t ) − Aпл − vmin tпл + vmin t ) vmax − vmin d 2 (t ) = (tпл − t )(vmax tпл − Aпл ) 112

Подставляя в (14) вместо A(t) величину A(t ) из (4), с учётом

~

(6) и условия A′(t ) = v~(t ) , мы можем получить дифференциальное уравнение для данного вида оценки трудности. В виду громоздкости получающихся конструкций, мы не будем их здесь приводить. В качестве возможного расширения данной задачи в её постановку можно ввести управление и рассматривать два варианта задачи оптимального управления – с конечным числом точек контроля состояния объекта и с непрерывным контролем, где в качестве цели будет рассматриваться минимизация затрат на достижение цели в отведённое время, и задача будет состоять в нахождении оптимальной траектории движения объекта к цели. Литература 1. БАБУНАШВИЛИ, М.К., БЕРМАНТ М.А., РУССМАН И.Б. Контроль и управление в организационных системах / Экономика и математические методы. М.: Наука, 1969. Том 5, вып. 2. С. 212-227. 2. БАБУНАШВИЛИ, М.К., БЕРМАНТ М.А., РУССМАН И.Б. Оперативное управление в организационных системах / Экономика и математические методы. М.: Наука, 1971. Том 7, вып. 3. С. 377388. 3. КАПЛИНСКИЙ А.И., РУССМАН И.Б., УМЫВАКИН В.М. Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов систем. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. – 168 с.

113