Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях: Задания и методические указания к выполнению семестровой работы

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Волгоградский государственный технический университет (ВолгГТУ) Кафедра «Электротехника»

Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях Задания и методические указания к выполнению семестровой работы

Волгоград, 2005

УДК 621.3.011.7(075)

Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях: Задания и методические указания к выполнению семестровой работы. /Сост. канд. тех. наук, доцент С.И. Николаева, Волгоград. гос. ун-т. –Волгоград, 2005. -22с.

В работе приведены варианты заданий для выполнения семестровой работы по теме «Переходные процессы в линейных электрических цепях». Даются методические указания и приводятся примеры расчета переходных процессов в сложных цепях классическим и операторным методами. Работа рассчитана на 6 часов аудиторных и 6 часов домашних занятий. Работа предназначена для студентов всех форм обучения и может быть использована в курсах «Теоретические основы электротехники», «Общая электротехника» и «Электротехника и электроника».

Рис. 10.

Табл. 1. Библиогр.: 6 наименований.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета (ВолгГТУ)

Рецензент: ст. препод. Л.В.Хоперскова

© Волгоградский государственный технический университет

2

Задание на семестровую работу № 2 “Расчёт переходных режимов в линейных электрических цепях” по курсу “Теоретические основы электротехники” 1. УКАЗАНИЯ ПО ВЫБОРУ ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ Электрическая схема и значения её параметров выбираются по номеру варианта задания. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале. Для студентов, номера которых от 1 до 10-го, выбирается схема, соответствующая номеру варианта (рис. 1 – 10). Для вариантов, больше 11-го, номер схемы (номер рисунка) соответствует второй цифре варианта. При этом варианты 10, 20 и т.д. используют схему №10 (рис. 10). Параметры схемы (значение R, L, C) и реакция цепи, которую требуется определить, приведены в таблице и соответствуют номеру варианта. 2. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ 1) Определить реакцию электрической цепи, если воздействие, задаваемое электродвижущей силой источника напряжения или током источника тока, постоянно и равно: е(t) = 100 В; I (t) = 1 А. Расчёт выполнить классическим методом. 2) Определить эту же реакцию при заданном воздействии операторным методом. 3) Построить зависимость искомой реакции от времени на промежутке времени t = (4 – 5) τ. Если корни характеристического уравнения р1 и р2 действительные и различные, то

τ=

1 р min

где рmin – наименьший из корней р1 и р2. В случае комплексно сопряжённых корней характеристического уравнения р1,2 = α + jω τ=

1

α

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1) Коммутация электрической цепи осуществляется включателем S.

Контакты выключателя - замыкающие; - размыкающие. 3

2) Независимо от того, какую реакцию требуется определить по варианту задания (таблица 1), рекомендуется определить ток в индуктивном элементе или напряжение на емкостном элементе (iL или uC). Искомую реакцию удобно выразить позже, использовав законы Кирхгофа для мгновенных значений цепи после коммутации. 3) При анализе переходного процесса в цепи классическим методом можно использовать следующий порядок расчёта: - записать полную систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации; - из расчёта установившегося режима цепи до коммутации определить ток в индуктивности (iL (0-)) и напряжение на ёмкости (uC(0-)). Применив затем законы коммутации, получить начальное значения uC (0) и iL (0). - рассчитать установившийся режим цепи после коммутации и написать значение принуждённой (установившейся) составляющей искомой величины; - составить характеристическое уравнение и определить его корни; - в зависимости от вида корней характеристического уравнения записать решения для свободных составляющих; - искомую величину записать в виде принуждённой (установившейся) и свободной составляющей; - применив законы коммутации при определённых ранее начальных условиях, найти постоянные интегрирования; - если требуется, выразить реакцию цепи через iL или uC. 4) Характеристическое уравнение можно получить с помощью входного операторного сопротивления z(р). Для этого необходимо: - изобразить схему цепи после коммутации, исключив из неё источники. Источник напряжения закорачивается, а источник тока исключается из схемы; - разорвать полученную схему в любом месте и относительно двух точек разрыва выразить эквивалентное сопротивление, как для резистивной цепи. Следует учесть, что при определении операторного сопротивления индуктивность L заменяется сопротивлением рL, а ёмкость С заменяется сопротивлением 1/С ⋅ р . 5) выражение для свободных составляющих, например, тока, записывается по разному в зависимости от вида корней характеристического уравнения. Если корни р1, р2, …рn – действительные и различные, то iсв = А1е р1t + А2е р2t + ... Для каждой пары комплексно – сопряжённых корней р1,2= α ± jω – свободная составляющая iсв = А1еαt Sinωt + А2 еαt Cosωt = Аеαt Sin(ωt + ϕ ) В таких выражениях А1, А2, …Аn, А, φ – постоянные интегрирования. 6) Для расчёта операторным методом предлагается следующий порядок расчёта: - изображается операторная схема замещения заданной электрической цепи в режиме после коммутации. Значение iL (0+) и uC (0+) взяты из предыдущего расчёта; - к операторной схеме применяется любой из известных методов расчёта сложной резистивной цепи (метод, основанный на законах Кирхгоффа, метод 4

контурных токов или метод узловых потенциалов) и определяется изображение по Лапласу искомой величины (I (p) или U(р)); - к полученному выражения применяется теорема разложения и получается зависимость от времени реакции цепи i(t) или u(t).

СХЕМЫ ЦЕПИ.

Рис. П.1.

Рис. П.2.

Рис. П.3.

Рис. П.4.

Рис. П.5.

Рис. П.6.

I(t) S

R1

R1

R2

e(t) C

S R2

L

C Рис. П.8.

Рис. П.7. L

S C

e(t)

L

R1

R2

e(t)

R1

S L

R2

Рис. П.10.

Рис. П.9. 5

C

Таблица параметров цепи и искомой реакции Таблица 1

Номер варианта

R1 Ом

R2 Ом

L мГн

С мкФ

Искомая реакция цепи

1.

1

14

15

340

2.

15

2

14

360

3.

3

16

18

350

4. 5.

17 5

4 11

18 20

370 390

6.

12

13

22

380

7. 8.

7 20

13 8

24 28

400 420

9.

9

18

28

410

10.

19

10

30

430

iR2 iL iR1 uС iL iR2 uС iL iR2 iL

11.

2

9

11

360

u R2

12. 13.

1 6

4 3

13 15

340 370

14.

5

8

17

350

15. 16.

10 8

7 3

19 21

380 390

17.

5

6

23

420

18.

4

7

25

400

19.

7

2

29

430

20. 21.

9 10

10 4

27 11

410 410

22.

9

6

12

430

uС iL iR2 uС iL iR1 uС iR1 uС iL iR1

23.

8

8

13

400

24.

7

10

14

420

25.

8

2

15

390

26. 27.

5 4

1 3

16 17

380 350

28.

3

5

18

370

29.

2

7

19

340

30.

1

9

20

360

6

iR2 iL iR2 uС iL iR1 uС iR2

Примеры расчета переходных процессов в электрических цепях классическим и операторным методами. ПРИМЕР 1 i

R1

S

iс

Ri E

uc

2К

Rk

C

1К L

R2

Дано: E =10В; R1=60 Ом; R2=15 Ом; RK=5 Ом; R i =10 Ом; L=1 мГн; С=10 мкФ Найти: iL

Классический метод расчета 1) Система уравнений по закону Кирхгофа для схемы цепи после коммутации: ⎧i − iC − iL = 0; ⎪ ⎪( R1 + RK ) ⋅ iL + L ⋅ diL − uC = 0; ⎪ dt ⎨ ( ) + + ⋅ = u R R i E; i 2 ⎪ C ⎪ duC . ⎪iC = C ⋅ dt ⎩

2) Независимые начальные условия, т.е. uC(0+) и iL(0+) Для получения этих значений воспользуемся первым и вторым законами коммутации: iL(0-) =iL(0) = iL(0+) и uC(0-) =uC(0) =uC(0+) Изобразим схему цепи до коммутации: R1 IL(0-)

uc(0-)

C

Rk L

7

В этой цепи отсутствуют источники, следовательно: iL(0-)=0 и uC(0-)=0 Тогда: uC(0+)=0 iL(0+) =0 3) Расчет принужденного режима. Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет соответствовать схеме: R1

i L пр Ri

C

Rk

E

R2 iLп р =

E 10 = = 0,111А R1 + R2 + RK + Ri 60 + 15 + 5 + 10

iLпр= 0,111 А. 4) Определение корней характеристического уравнения. Для определения корней изобразим схему:

R1

Rk

Ri

1/рС pL

R2 Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:

1 ⋅ ( R 1 + R K + p ⋅ L) p⋅C Z( p ) = R i + R 2 + 1 + R1 + R K + p ⋅ L p⋅C 8

Приравняем его к нулю: Ri + R2 +

R1 + R K + p ⋅ L =0 1 + ( R 1 + R K + p ⋅ L) ⋅ p ⋅ C

R 2 ⋅ (1 + (R 1 + R K + p ⋅ L) ⋅ p ⋅ C) + R i ⋅ (1 + (R 1 + R K + p ⋅ L) ⋅ p ⋅ C) + R 1 + R K + p ⋅ L = 0 C ⋅ L ⋅ ( R 2 + R i ) ⋅ p 2 + ( R 1 ⋅ R 2 ⋅ C + R K ⋅ R 2 ⋅ C + R i ⋅ R 1 ⋅ C + R i ⋅ R K ⋅ C + L) ⋅ p + + (R 1 + R 2 + R i + R K ) = 0 Подставим числовые значения: 10-5.10-3(10+15).p2+(10.10-5.(60+5)+15.10-5.(60+5)+10-3).p+60+15+10+5=0 25.10-8p2+17,25.10-3.p+90=0 p2+6,9.104.p+3,6.108=0 Тогда: p1, 2 = −3,45 ⋅ 10 4 ± (3,45 ⋅ 10 4 ) 2 − 3,6 ⋅ 108 = (−3,45 ± 2,88) ⋅ 10 4

p1 = −0,57 ⋅ 10 4 1/с p 2 = −0,63 ⋅ 10 4 1/с Корни вещественные и различные, следовательно, переходной процесс будет апериодическим. Вид свободной составляющей: 4 4 iLсв = А1 ⋅ е −0,57⋅10 ⋅t + A2 ⋅ e −6.33⋅10 ⋅t Полный ток в индуктивности: i L = 0,111 + А1 ⋅ е −0,57⋅10 ⋅t + A 2 ⋅ e −6.33⋅10 ⋅t 4

4

5) Определение постоянных интегрирования А1 и А2 : Первое уравнение для определения А1 и А2 получим, используя значения п.2. Выразим: iL(0+) = iL(0) =0,111+ А1 + А2 Учтем независимые начальные условия: А1 + А2+0,111=0

(1)

Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 для момента времени t(0+):

9

⎧i (0 + ) = iL (0 + ) + iC (0 + ) ⎪ ⎪( R1 + RK ) ⋅ iL (0 + ) + L ⋅ diL t =0 − uC (0 + ) = 0 + ⎪ dt ⎨ ⎪uC (0 + ) + ( R2 + Ri ) ⋅ i (0 + ) = E ⎪ duC ⎪iC (0 + ) = C ⋅ t =0+ dt ⎩

Подставим в нее независимые начальные условия и из второго уравнения системы следует: di L ⋅ L t =0 = 0 т.е. dt di L (*) t =0 = 0 dt +

+

Теперь продифференцируем выражение тока iL, полученное в п.5: di L = −0,57 ⋅ 10 4 ⋅ A1 ⋅ e −0,57⋅10 t − 6,33 ⋅ 10 4 ⋅ A 2 ⋅ e −6,33⋅10 ⋅t dt 4

4

В момент времени t=0+ : di L 4 4 t =0 = −0,57 ⋅ 10 ⋅ A1 − 6,33 ⋅ 10 ⋅ A 2 dt +

Учтем полученное выше равенство (*) и получим второе уравнение: − 0,57 ⋅ 10 4 ⋅ A1 − 6,33 ⋅ 10 4 ⋅ A 2 = 0 Решаем систему: ⎧A1 + A 2 = −0,111 ⎨ 4 4 ⎩− 0,57 ⋅ 10 ⋅ A1 − 6,33 ⋅ 10 ⋅ A 2 = 0 Отсюда: А1 = -0,122; А2 = 0,011. И окончательно получим: i L ( t ) = 0,111 − 0,122 ⋅ e −0,57⋅10 ⋅t + 0,011 ⋅ e −6,33⋅10 ⋅t , А. 4

4

10

(2)

ПРИМЕР 2. Дано е(t) = E = 26 В; R1 = 2 Ом; R1 = 9 Ом; L = 11 мГн; С = 360 мкФ.

R1 i

S

i1

C

i2

e(t)

R2

L

Найти:

uR2 (t )

Классический метод решения 1) Система уравнений по законам Кирхгофа.

− i + i1 + i2 = 0; di = E; dt i1R1 − uc = 0;

uc + R2i + L

iR = C

duc dt

Сначала определяем ток i (t ) . 2) Независимые начальные уравнения. uc(0-) = uc(0) = uc(0+); ic(0-) = ic(0) = ic(0+). До коммутации. uc(0-) = 0 и ic(0-) = 0, следовательно, uc(0) = uc(0+) = 0; i(0) = i(0+) = 0. 3) Принуждённый режим. В принуждённом режиме схема имеет вид:

R1 R2

E

iпр iпр =

ε R1 + R2

=

26 = 2,36 А 2+9 11

4) Определение корней характеристического уравнения и вида свободной составляющей тока.

R1 1/р С

Для схемы

R2 pL Найдём z (р). 1 C⋅ p z ( p ) = R2 + pL + 1 R1 + C⋅ p R1 ⋅

получим уравнение: R1 R2 + pL + =0 R1C ⋅ p + 1 Преобразуем его: R1R2C·p + R2 + R1CLp2 + pL + R1 = 0 R1CLp2 + (R1R2C + L)p + (R1 + R2) = 0 Подставляем числовые значения: 2·360·10-6·11·10-3р2 + (2·9·360·10-6 + 11·10-3)p + (2 + 9) = 0. Получаем: 7,92·10-6р2 + 17,48·10-3р + 11 = 0. или: р2 + 2,21·103р + 1,39·106 = 0. Решаем его: Д = (2,21·103)2 - 4·1,39·106 = -0,68•106. р1, 2

− 2,21 ⋅10 3 ± j 0.82 ⋅10 3 = = (−1,105 ± j 0,41) ⋅10 3 1/с. 2

Поскольку корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые, то свободная составляющая тока имеет вид: 3

iсв = Aе −1,105⋅10 t Sin(410t + ϕ ) . Процесс носит колебательный характер. 12

5) Полный ток:

i = iпр + iсв = 2,36 + Aе −1105t Sin(410t + ϕ ) , А. 6) Определение постоянных интегрирования А и φ. Первое уравнение для расчёта А и φ получаем из условия i(0) = 0, т.е. 2,36 + А·Sin φ=0. Для получения второго уравнения запишем систему уравнений по закону Кирхгофа (п.1) для момента t = 0+:

(1)

− i (0 + ) + i1 (0 + ) + i2 (0 + ) = 0; uc (0 + ) + R2 ⋅ i (0 + ) + L

di = E; dt t =0+

R1i1 (0 + ) − uc (0 + ) = 0.

Учтём независимые начальные условия (п.2) и получим: di 26 di E = E, т.е L = = = 2,36 ⋅ 10 3 . −3 dt t =0+ dt L 11 ⋅ 10 Теперь продифференцируем выражение полного тока (п. 5): di = −1105 ⋅ Ae −1105t Sin( 410t + ϕ ) + 410 ⋅ Ae −1105t Cos (410t + ϕ ). dt

Запишем его для t = 0+: di = −1105 ⋅ ASinϕ + 410 ACosϕ dt t =0+ и приравняем к ранее рассчитанному значению: -1105 А·Sin φ+410А·Сosφ = 2,36·103 Получим второе уравнение для расчёта постоянных интегрирования. Решаем систему: А·Sinφ = - 2,36; -1105А·Sinφ + 410 А·Cosφ = 2,36·103 2,36 . Sinϕ ⎛ 2,36 ⎞ ⎛ 2,36 ⎞ − 1105 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ Sinϕ + 410⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ Cosϕ = 2,36 ⋅10 3. ⎝ Sinϕ ⎠ ⎝ Sinϕ ⎠ A=−

2607,8 – 967,6 сtgφ = 2360. ctgφ = 0,257. φ = 75,36о или φ = 1,32 рад. 2,36 А=− = −2,44. Sin 75,630 тогда ток будет равен i = 2,36 – 2,44 е-1105t Sin(410t + 1,32), А. 13

(2)

6) По условию задачи требуется найти напряжение u R2 .

u R2 = R2 ⋅ i u R2 = 9(2,36 − 2,44е −1105t Sin(410t + 1,32)), В =>

=> 21,24 – 21,95е-1105t Sin (410t + 1,32) В или

u R2 = 21,24 – 21,95е-1105t Sin (410t + 75,63о), В

Операторный метод решения. 1) Изобразим операторную схему замещения для режима после коммутации:

R1 I1(p) I(p)

E р

u c (0 + ) p

1/pC I2(p)

L•i(0+)

pL

R2

Запишем для неё систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме: − I ( p ) + I1 ( p ) + I 2 ( p ) = 0; u (0 ) 1 E R2 ⋅ I ( p ) + pL ⋅ I ( p ) + ⋅ I 2 ( p ) = + L ⋅ i (0 + ) − c + ; p ⋅C p p u (0 ) 1 R1 ⋅ I1 ( p ) − I 2 ( p) = c + . p ⋅C p 2) Решаем её относительно тока I(р). − I ( p ) + I1 ( p ) + I 2 ( p ) = 0; u (0 ) 1 E ⋅ I 2 ( p ) = + L ⋅ i (0 + ) − c + ; p ⋅C p p u (0 ) 1 R1 ⋅ I1 ( p ) − I 2 ( p) = c + . p ⋅C p

( R2 + pL) I ( p ) +

Из третьего уравнения: 1 ⎛ I ( p ) u c (0 + ) ⎞ ⎟ + I1 ( p ) = ⎜⎜ 2 R1 ⎝ p ⋅ C p ⎟⎠ Подставляем в первое уравнение: I ( p ) uc (0 + ) − I ( p) + 2 + + I 2 ( p ) = 0. R1C ⋅ p R1 p 14

Получим: I ( p ) ⋅ R1C ⋅ p − C ⋅ uc (0 + ) I 2 ( p) = . 1 + R1C ⋅ p Подставляем во второе уравнение: (R2 + pL )I ( p) + I ( p) ⋅ R1C ⋅ p − C ⋅ uc (0 + ) = E + L ⋅ i(0 + ) − uc (0 + ) . p ⋅ C (1 + R1C ⋅ p ) p p Преобразуем его и получим: E ⋅ C (1 + R1C ⋅ p ) + L ⋅ i (0 + )C ⋅ p (1 + R1C ⋅ p ) − uc (0 + )C (1 + R1C ⋅ p ) . I ( p) = R1C 2 Lp 3 + R1 R2C 2 p 2 + CLp 2 + R1C ⋅ p + R2C ⋅ p Учтём независимые начальные условия, которые были рассчитаны в первой части (классический метод). i(0+) = 0 и uc(0+) = 0. Тогда: I ( p) =

E (1 + R1C ⋅ p ) . R1CLp + ( R1 R2C + L) p 2 + ( R1 + R2 ) p 3

По условию задачи требуется определить

u R2 , т.е. U R ( p) . 2

Это напряжение равно: U R2 ( p) = R2 ⋅ I 2 ( p) . U R2 ( p ) =

R2 ⋅ E(1 + R1C ⋅ p ) . R1CLp + ( R1 R2C + L) p 2 + ( R1 + R2 ) p 3

Подставим числовые значения: 9 ⋅ 26(2 ⋅ 360 ⋅10 −6 p + 1) U R2 ( p) = = 2 ⋅ 360 ⋅10 −6 ⋅ 11 ⋅10 −3 p 3 + (2 ⋅ 9 ⋅ 360 ⋅ 10 −6 + 11 ⋅10 −3 ) p 2 + (2 + 9) p 0,168 p + 234 = . −6 3 7,92 ⋅ 10 p + 17,48 ⋅ 10 −3 p 2 + 11 p 3) По полученному изображению U R2 ( p) найдём оригинал u R2 (t ) . Применим теорему разложения. Перепишем U R2 ( p) в виде: F ( p) 0,168 p + 234 U R2 ( p) = = 1 . −6 2 −3 p(7,92 ⋅ 10 p + 17,48 ⋅ 10 p + 11) p ⋅ F3 ( p) Найдём корни уравнения : F3(p) = 0, т.е. 7,92·10-6p2 + 17,48·10-3p + 11 = 0. Получаем: 15

p1,2 = (-1105 ± j410). 1/c. F3| ( p) = 15,84 ⋅10−6 p + 17,48 ⋅10−3. F3| ( p1 ) = 15,84 ⋅ 10−6 (−1105 + j 410) + 17,48 ⋅ 10−3 = j 6,49 ⋅ 10−3. o

F1 ( p1 ) = 0,168(−1105 + j 410) + 234 = −185,64 + j 68,88 + 234 = 48,36 + j 68,88 = 84,16e j 54,93 .

F1(0) = 234. F3(0) = 11. По теореме разложения:

⎛ 84,16 ⋅ e j 54,93 ⋅ e ( −1105+ j 410)t ⎞ ⎛ F1 ( p1 ) p1t ⎞ 234 F1 (0) ⎟= + 2 Re⎜⎜ + 2 Re⎜ u R2 (t ) = e ⎟⎟ = | −3 ⎟ ⎜ F3 (0) ⎝ p1 ⋅ F3 ( p1 ) ⎠ 11 ⎝ (−1105 + j 410) ⋅ j 6,49 ⋅10 ⎠ 0

⎛ 84,16 ⋅ e j 54,93 ⋅ e −1105t ⋅ e j 410t ⎞ 0 ⎟ = 21,27 + Re(22 ⋅ e j ( 410t −194, 71 ) )e −1105t = 21,27 + 2 Re⎜ 0 0 ⎜ 1178,61 ⋅ e j159, 64 ⋅ 6,49 ⋅10−3 ⋅ e j 90 ⎟ ⎝ ⎠ 21,27 + e −1105t ⋅ 22Cos (410t − 194,710 ) = 21,27 + 22 ⋅ e −1105t Sin(410t + 75,290 ), В. 0

Ответ: u R (t ) = 21,27 + 22 ⋅ e −1105t Sin(410t + 75,29 0 ), В. Ответ практически совпадает с результатом расчёта классическим методом.

ПРИМЕР 3 Дано: I = 2 A; R1 = 80 Ом; R2 = 220 Ом; L = 1 Гн; С = 100 мкФ Найти: i1(t)

Классический метод расчета. 1) Система уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации: ⎧i = I ; ⎪i + i − i = 0; ⎪1 2 ⎪ di ⎨ R1i1 + uc − R2i2 − L 2 = 0; dt ⎪ ⎪ duc ⎪i1 = C dt ⎩ 16

Сначала определим uс. 2) Независимые начальные условия. uc(0+) и i2(0+). До коммутации источник тока был замкнут и токи в параллельные ветви не поступали. До коммутации uc(0-) = 0 и i2(0-) = 0. Согласно законам коммутации: uc(0-) = uc(0+) = 0; i2(0-) = i2(0+) = 0. 3) Расчет принужденного режима. Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет соответствовать схеме:

i1пр = 0. i2пр = i1пр = I. uc пр = i2 пр ⋅ R = 2 ⋅ 220 = 440 В .

ucпр = 440 В 4) Определение корней характеристического уравнения. Для определения корней изобразим схему:

Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва: 1 Z ( p ) = R1 + + R2 + pL. p ⋅C Приравниваем его к нулю: 1 R1 + R2 + + pL = 0. p ⋅C 17

Решаем:

СLp 2 + ( R1 + R2 )C ⋅ p + 1 = 0. Подставим числовые значения: 100·10-6·1р2+(80+220) ·100·10-6+1=0. 10-4р2+3·10-2р+1=0. р1,2=-150± 150 2 − 10 4 . р1=-261,8 1/с;

р2=-38,2 1/с.

Корни характеристического уравнения вещественные и различные, следовательно, переходный процесс будет апериодическим. Свободная составляющая напряжения uc cв будет иметь вид: uс.св = A1e −261,8t + A2 e −38, 2t . 5) Полное напряжение: uc = 440 + A1e −261,8t + A2 e −38, 2 t . 6) Определение постоянных интегрирования А1 и А2. Первое уравнение для определения А1 и А2 получаем, используя значения п.2. Для этого выразим: uc (0 + ) = 440 + A1 + A2 . Учтем независимые начальные условия: 440+А1+А2 = 0. (1) Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 в момент времени t = 0+: ⎧ ⎪i1 (0 + ) + i2 (0 + ) = I ; ⎪ di2 ⎪ t = 0 + = 0; ⎨ R1 ⋅ i1 (0 + ) + u c (0 + ) − R2 i2 (0 + ) − L dt ⎪ du c ⎪ ⎪⎩i1 (0 + ) = C dt t = 0 +.

Подставим в неё независимые начальные условия: ⎧ ⎪i (0 ) = I ; ⎪1 + ⎪ di2 ⎨ R1 ⋅ i1 (0+ ) + L t = 0+ = 0; dt ⎪ ⎪ du ⎪i1 (0+ ) = C c t = 0+ dt ⎩

Отсюда: du c dt

= t =0 +

2 I = = 2 ⋅ 10 4. C 100 ⋅ 10 −6

Теперь продифференцируем выражение uc, полученное в п.5: du c = −261,8 ⋅ A1 e − 261,8t − 38,2 A2 e −38, 2t . dt 18

Выразим его для t = 0+: du c dt

= −261,8 A1 − 38,2 A2 . t =0+

Учтем, что

du c t = 0 + = 2 ⋅ 10 4 и получим второе уравнение для расчета А1 и А2: dt

-261,8А1-38,2А2 = 20000. Решаем систему уравнений: ⎧ A1 + A2 = −440; ⎨ ⎩− 261,8 A1 − 38,2 A2 = 20000.

Получаем: А1 = -14,27; А2 = -425,72. Для напряжения uc получим окончательно: u c = 440 − 14,27e −261,8t − 425,72e −38, 2t . 7) По условию требуется определить ток i1. Воспользуемся последним уравнением системы из п.1. du d i1 = C c = C ( 440 − 14,27e −261,8t − 425,72e −38, 2t ) = dt dt 6 100 ⋅10 (3735,89e −261,8t + 16262,50e −38, 2t ) = 0,374e − 261,8t + 1,63e −38, 2t . −261,8t + 1,63e −38, 2t , A. Ответ: i1 = 0,374e

Операторный метод расчета. 1) Изобразим операторную схему замещения цепи для режима после коммутации:

Запишем для неё систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме: ⎧ ⎪− I ( p) + I ( p) + I ( p) = 0; 1 2 ⎪ ⎪ ⎛ u (0 ) 1 ⎞ ⎟⎟ − I 2 ( p )(R2 pL ) = − c + − L ⋅ i2 (0 + ); ⎨ I1 ( p)⎜⎜ R1 + p ⋅C ⎠ p ⎝ ⎪ ⎪ I ⎪I ( p) = p ⎩ 19

2) Решаем её относительно I1(p). I 2 ( p) = I ( p) − I1 ( p). ⎛ u (0 ) 1 ⎞ ⎟⎟ − ( I ( p) − I1 ( p))( R2 + pL) = − c + − L ⋅ i2 (0 + ). I1 ( p)⎜⎜ R1 p ⎝ p ⋅C ⎠ u (0 ) − c + − L ⋅ i2 (0 + ) + ( R2 + pL)CI p I1 ( p ) = . CLp 2 + ( R1 + R2 )C ⋅ p + 1

Учтем независимые начальные условия, которые были рассчитаны в первой части примера (классический метод): i 2 (0 + ) = 0; u c (0 + ) = 0. Тогда: I1 ( p ) =

( R2 + pL)C ⋅ I . CLp + ( R1 + R2 )C ⋅ p + 1 2

Подставим числовые значения: (220 + p )100 ⋅ 10 −6 ⋅ 2 2 ⋅ 10 −4 p + 440 ⋅ 10 −4 I 1 ( p) = = . 100 ⋅ 10 −6 ⋅ 1 ⋅ p 2 + (80 + 220) ⋅ 100 ⋅ 10 −6 p + 1 10 − 4 p 2 + 3 ⋅ 10 − 2 p + 1 3) По полученному изображению I1(p) найдем оригинал функции i1(t). Применим теорему разложения: F ( p) 2 ⋅ 10 −4 p + 440 ⋅ 10 −4 . I 1 ( p) = − 4 2 = 1 −2 10 p + 3 ⋅ 10 p + 1 F2 ( p)

Найдем корни уравнения: F2(p)=0. 10 −4 p 2 + 3 ⋅ 10 −2 p + 1 = 0; p 2 + 300 p + 10000 = 0. p1 = −261,8 1 ; p1 = −38,2 1 . c c −4 −2 F2′ ( p) = 2 ⋅ 10 p + 3 ⋅ 10 .

По теореме разложения: F1 ( p1 ) p1t F1 ( p 2 ) p2t 2 ⋅ 10 −4 (− 261,8) + 440 ⋅ 10 −4 − 261,8t i1 (t ) = e + e = е + F2′( p1 ) F2′ ( p 2 ) 2 ⋅ 10 − 4 (− 261,8) + 3 ⋅ 10 − 2 2 ⋅ 10 − 4 (− 38,2 ) + 440 ⋅ 10 − 4 −38.2t + е = 0,374e − 261,8t + 1,626e −38, 2t −4 −2 2 ⋅ 10 (− 38,2 ) + 3 ⋅ 10

−261, 8 t + 1,626 e −38 , 2 t , А. Ответ: i1 (t ) = 0,374 e

Результаты расчетов классическим и операторным методом практически совпадают. 20

ЛИТЕРАТУРА 1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Высш. шк., 1996. – 638 с. 2. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. – М.: Высш. шк. 1987. – 512 с. 3. Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, В.Н. Страхов. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с. 4. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей/ Под ред. П.А. Ионкина. – М. Высш. шк., 1976. – 544 с. 5. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/ Под ред. проф. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат. 1982. – 786 с. 6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.

21

Составитель: Николаева Светлана Ивановна

Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях Задания и методические указания к выполнению семестровой работы

Редактор Темплан 2005 г.

Поз № 159

Подписано в печать

Формат 60 (84) 1/16

Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. Печ. Л. 1. Уч.-из л. Тираж 200 экз. Заказ 562 Волгоградский государственный технический университет (ВолгГТУ) 400131 Волгоград, проспект Ленина, 28 РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета 400131 Волгоград, ул. Советская,35

22