Избранные научные статьи

Е.А. Ровба

ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ СТАТЬИ

Гродно 2009

УДК 517.9 ББК 22.14 Р00

Редакционная коллегия: Ю.М. Вувуникян, В.Н. Горбузов, А.С. Ляликов, В.Р. Мисюк, К.А. Смотрицкий (отв. редактор).

Ровба Е.А. Избранные научные статьи / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: К.А. Смотрицкий (отв. ред.). — Гродно: ГрГУ, 2009. — 00 с. Р00 ISBN Книга представляет собой собрания избранных научных статей доктора физико-математических наук профессора Евгения Алексеевича Ровбы, посвященных теории рациональных приближений. Предназначено для студентов старших курсов, магистрантов, аспирантов и математиков-исследователей.

Рекомендовано к изданию Советом факультета математики и информатики Гродненского государственного университета имени Янки Купалы

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

О приближении периодических функций рациональными функциями . . . . . . . . . . . . . . О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями . . О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приближение аналитических функций со счетным множеством особенностей на вещественной оси рациональными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фиксированным числом полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов . . . . . . . . Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов . . . . . . . . . . . . О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . О рациональной интерполяции функции |x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена . . . . . . . . . . . Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рациональные интегральные операторы на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами с предписанными полюсами (в соавторстве c В.Н. Русаком) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными . . . . . . . . . . . . . . . Сумматорные рациональные операторы типа Джексона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса . . . . . Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций (в соавторстве c А.А. Пекарским) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рациональная интерполяция дифференцируемых функций с r-й производной ограниченной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type . . . . . . Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации . . . О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси (в соавторстве c В.Н. Русаком) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси (в соавторстве c В.Н. Русаком) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова (в соавторстве c К.А. Смотрицким) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 13 16 22 24 26 32 35 40 47 54 57 63 67 71 77 79 85 91 95 100 106 113 121 124 129 135

Предисловие Издание сборника статей доктора физико-математических наук, профессора Евгения Алексеевича Ровбы является значительным событием в научной жизни. Евгений Алексеевич стоял у истоков зарождения в Белоруссии нового направления исследований — теории рациональной аппроксимации. Своей научной и педагогической деятельностью он внес существенный вклад в становление и развитие отечественной научной школы теории приближений. Основные научные работы Е.А. Ровбы относятся к теории аппроксимации функций посредством рациональных функций. Это направление исследований было предложено Евгению Алексеевичу во время обучения в Белорусском государственном университете его научным руководителем В.Н. Русаком. Хорошо известно, что основы теории аппроксимации функций были заложены в работах П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, Е.И. Золотарёва, К. Вейерштрасса и К. Рунге. В начале систематически и глубоко изучались полиномиальные приближения и приближение посредством рациональных функций с фиксированными полюсами. Несмотря на то, что первые результаты теории приближения функций посредством рациональных функций со свободными полюсами, т.е. с оптимальным выбором полюсов, были получены еще П.Л. Чебышевым и Е.И. Золотарёвым, систематические исследования в этой области долгое время не проводились. Лишь в середине прошлого века по инициативе академиков А.Н. Колмогорова и С.Н. Мергеляна в России были начаты исследования по теории приближения функций с помощью рациональных дробей со свободными полюсами. Первые значительные результаты в данной области были получены А.А. Гончаром и Е.П. Долженко. Позже к исследованиям в данной области приступили математики из Беларуси, США, Венгрии, Швеции, Болгарии и Китая. В настоящее время теория рациональной аппроксимации функций является широко и глубоко развитой областью математического анализа. Обнаружены связи задач рациональной аппроксимации с теорией операторов, теорией функциональных пространств, теорией вероятности и другими областями. Работы Е.А. Ровбы, включенные в настоящий сборник, условно можно объединить по следующим направлениям: приближение функций и их классов рациональными дробями с фиксированными полюсами; наилучшие равномерные приближения некоторых элементарных функций и классов функций посредством рациональных функций со свободными полюсами; построение сумматорных рациональных операторов типа Фейера, Джексона и Валле-Пуссена; аппроксимация функций посредством специальных методов; построение квадратурных формул типа Гаусса, точных для рациональных функций определенного вида. Подчеркнем, что это объединение условно, т.к. все работы взаимосвязаны и во многих из них решаются задачи из нескольких направлений. В настоящее время, в связи с бурным развитием информационных технологий, находят новые приложения при решении как теоретических, так и прикладных задач аппроксимационные методы, основанные на полиномах, рациональных функциях, сплайнах, вейвлетах и других специальных функциях. Исключительный педагогический талант Евгения Алексеевича нашел свое отражение в публикуемом сборнике. Характерная черта Е.А. Ровбы — одинаково тщательно относиться к самым сложным и самым элементарным вопросам, излагая научный материал языком, доступным для читателя. Это позволяет выразить уверенность, что данная книга будет востребована как начинающими исследователями, так и специалистами в различных областях анализа. Результаты, полученные Евгением Алексеевичем, уже нашли ряд теоретических применений в исследованиях его учеников и других специалистов по рациональным аппроксимациям. Выражаем уверенность в том, что эти результаты найдут приложения и при решении практических задач, и данный сборник будет иметь успех среди исследователей по теории аппроксимации и по численным методам. Хочется пожелать данной книге успеха у читателей, а ее автору, Евгению Алексеевичу Ровбе, новых научных и творческих достижений. Доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Русак Доктор физико-математических наук, профессор А.А. Пекарский Доктор физико-математических наук, доцент А.П. Старовойтов

5

О приближении периодических функций рациональными функциями

О приближении периодических функций рациональными функциями * В настоящей статье рассматриваются некоторые классы периодических функций, приближение которых тригонометрическими рациональными функциями лучше, чем полиномами. Полученные результаты дополняют исследования Г. Фройда [1] в непериодическом случае. Лемма 1. Пусть ϕ(x) = |x| (−π 6 x 6 π) и ϕ(x) = ϕ(x + 2π) (−∞ < x < +∞). Тогда существует четная тригонометрическая рациональная функция Rn∗ (x) порядка не выше n такая, что |ϕ(x) − Rn∗ (x)| 6 C1 e−C

√

n

(1)

,

где C и C1 — абсолютные постоянные. Доказательство. Поскольку функция ϕ(x) четная, то задача приближения этой функции тригонометрическими рациональными функциями равносильна задаче приближения алгебраическими рациональными функциями функции arccos y на отрезке [−1, 1]. Так как последняя допускает ограниченное аналитическое продолжение в круг |y| < 1, то из работы [2] следует, что существует алгебраическая рациональная функция Rn (y) порядка не выше n, для которой справедливо неравенство | arccos y − Rn (y)| 6 C1 e−C

√

n

(−1 6 y 6 1).

Если в этом неравенстве сделать замену y = cos x, то получим ||x| − Rn (cos x)| 6 C1 e−C

√

n

(−π 6 x 6 π).

Положив Rn∗ (x) = Rn (cos x), придем к неравенству (1). Лемма 2. Для любых n 6 1 | sign(sin x) − rn (x)| 6 3e−

√

где Pn (x) − Pn (−x) rn (x) = , Pn (x) + Pn (−x)

Pn (x) =

n

(2)

(x ∈ [−π + αn , −αn ] ∪ [αn , π − αn ]),

n−1 Y

(sin x + ξ k ),

− √1n

ξ=e

,

αn = arcsin e−

√

n

.

k=0

Тригонометрическая рациональная функция rn (x) получается непосредственно из построенной в работе [3] алгебраической рациональной функции, хорошо приближающей функцию |x| на отрезке [−1, 1]. Теорема 1. Если f (x) — 2π-периодическая непрерывная на [−π, π] функция ограниченной вариации V (f ) с заданным модулем непрерывности ω(f, δn ), то существует тригонометрическая рациональная функция Un (x) порядка не выше n такая, что |f (x) − Un (x)| 6 5 [ω(f, δn ) + V (f )(C1 + 4)δn ]

(n = 1, 2, . . .),

где δn — единственное решение уравнения π n = 4 ln δn 2



 1 +1 , C 2 ω(f, δn )

(3)

C, C1 — абсолютные постоянные из леммы 1. * Ровба, Е.А. О приближении периодических функций рациональными функциями / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1973. – № 3. – С. 15–22.

6

Е.А. Ровба

Доказательство. Положим для простоты V (f ) = 1. Для любого натурального n найдем соответствующую величину δn из уравнения (3). Пусть ξ0 = −π. Выберем ξ1 из условия, что отрезок [ξ0 , ξ1 ] является наибольшим, на котором колебание функции f (x) равно ω(f, δn ). Тогда |f (x) − f (ξ0 )| 6 ω(f, δn ) (ξ0 6 x 6 ξ1 ). По такому же критерию определяем ξ2 . Так как функция f (x) имеет ограниченную вариацию, то после конечного числа шагов будет ξt < π, но ξt+1 = π и |f (x) − f (ξk )| 6 ω(f, δn ) (ξk 6 x 6 ξk+1 , k = 0, 1, . . . , t). Легко видеть, что V (f ) = 1 6 tω(f, δn ). Пусть номер i такой, что ξi 6 0, а ξi+1 > 0. Обозначим через s(x) кусочно-линейную функцию, значения которой в точках −π = ξ0 , ξ1 , . . . , ξi−2 , ξi−1 , 0, ξi+2 , ξi+3 , . . . , ξt−1 , ξt+1 = π равны значению функции f (x) в этих точках. Отсюда следует, что |f (x) − s(x)| 6 2ω(f, δn ) (−π 6 x 6 π).

(4)

Учитывая, что |f (x) − f (ξk )| 6 ω(f, δn ) при x ∈ [ξk , ξk + δn ], из определения точек ξk следует: ξk+1 − ξk 6 δn

(k = 0, 1, . . . , t − 1).

Также имеем: ω(f, δn ) |f (ξk+1 ) − f (ξk )| 6 ξk+1 − ξk δn (k = 1, 2, . . . , i − 2, i + 2, i + 3, . . . , t − 2);

|s0 (ξk + 0)| = |s0 (ξk+1 − 0)| =

|s0 (ξi−1 + 0)| = |s0 (−0)| 6 2ω(f, δn )δn−1 ;

(5)

|s0 (+0)| = |s0 (ξi+2 − 0)| 6 2ω(f, δn )δn−1 ;

|s0 (ξt−1 + 0)| = |s0 (π − 0)| 6 2ω(f, δn )δn−1 . Функцию s(x) на отрезке [−π, 0] можно представить в виде следующей конечной суммы: s(x) = a1 ϕ(x) + b1 +

i−1 0 X s (ξk + 0) − s0 (ξk − 0)

2

k=1

ϕ(x − ξk ),

где a1 и b1 известные числа. Обозначим ηk = 2−1 [s0 (ξk + 0) − s0 (ξk − 0)] (k = 1, 2, . . . , t−1). Так как функция ϕ(x) определена на всей вещественной оси, то будем рассматривать функцию s(1) (x) = a1 ϕ(x) + b1 +

i−1 X k=1

ηk ϕ(x − ξk ) (−π 6 x 6 π).

(6)

Очевидно, s(1) (x) = s(x) (−π 6 x 6 0). Аналогично построим функцию s

(2)

(x) = a2 ϕ(x) + b2 +

t−1 X

k=i+1

ηk ϕ(x − ξk ) (−π 6 x 6 π).

(7)

7

О приближении периодических функций рациональными функциями

где a2 и b2 — известные числа, такую, что s(2) (x) = s(x) (0 6 x 6 π). Тогда функцию s(x) можно записать следующим образом: i 1 h i 1 h (1) s (x) + s(2) (x) + sign(sin x) s(2) (x) − s(1) (x) (−π 6 x 6 π). s(x) = 2 2

где

Теперь будем приближать функцию s(x) кусочно-рациональной функцией i 1 h i 1 h (1) s∗ (x) = U (x) + U (2) (x) + sign(sin x) U (2) (x) − U (1) (x) (−π 6 x 6 π), 2 2 U (1) (x) = a1 Rp∗ (x) + b1 +

i−1 X k=1

ηk Rp∗ (x − ξk ),

U (2) (x) = a2 Rp∗ (x) + b2 +

t−1 X

k=i+1

i

h

ηk Rp∗ (x − ξk ),

Rp∗ (x) — рациональная функция порядка не выше p = C42 ln2 δπn из леммы 1. Легко видеть, что |s(x) − s∗ (x)| 6 max A(k) (−π 6 x 6 π), k=1,2

где (1)

A

(1) (1) = max s (x) − U (x) , −π6x6π

(2)

A

i−1 X

ηk ϕ(−ξk ),

k=1

(9)

(2) (2) = max s (x) − U (x) . −π6x6π

Согласно (6) и (7), получим: b1 = s(0) −

(8)

b2 = s(0) −

t−1 X

ηk ϕ(−ξk ),

k=i+1

i−1 t−1 X |s(π) − s(0)| X |s(π) − s(0)| |a1 | 6 + + |ηk |, |a2 | 6 |ηk |. π π k=1

(10)

k=i+1

Таким образом, из (1), (5), (9) и (10) будем иметь |s(x) − s∗ (x)| 6 C1 δn

(11)

(−π 6 x 6 π).

Функцию s∗ (x) будем приближать тригонометрической рациональной функцией i 1 h i 1 h (1) U (x) + U (2) (x) + rg (x) U (2) (x) − U (1) (x) , (12) Un (x) = 2 2 h i где rg (x) — рациональная функция порядка не выше g = 4 ln2 δπn из леммы 2. Очевидно, порядок Un (x) не выше   1 2 π + 1 = n. tp + q 6 4 ln δn C 2 ω(f, δn ) Из (8) и (12) получим 1 |s∗ (x) − Un (x)| = | sign(sin x) − rg (x)| · U (2) (x) − U (1) (x) = 2 t−1 i−1 X X 1 ∗ ∗ ∗ = | sign(sin x) − rg (x)| · (a2 − a1 )Rp (x) + (b2 − b1 ) − ηk Rp (x − ξk ) . (13) ηk Rp (x − ξk ) + 2 k=1

Из (10) следует, что

|b2 − b1 | 6

t−1 X k=1

|ηk ϕ(−ξk )| 6 t

2ω(f, δn ) 2π π6 . δn δn

k=i+1

8

Е.А. Ровба

Пользуясь леммой 2, при x ∈ [−π + αg , −αg ] ∪ [αg , π − αg ] получим |s∗ (x) − Un (x)| 6 3e−

√

g

2(3π + 2C1 )δn−1 6 4(5 + C1 )δn .

(14)

Пусть x ∈ [π − αg , π]. Тогда из (4) и (11) будет

(2) (1) U (x) − U (x) 6 6 U (2) (x) − s(2) (x) + s(2) (x) − f (x) + |f (x) − f (π)| + f (−π) − U (1) (−π) + U (1) (π) − U (1) (x) 6 6 A(2) + 2ω(f, δn ) + ω(f, αg ) + A(1) + U (1) (π) − U (1) (x) .

B виду (9) и (11) имеем

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) U (π) − U (x) 6 U (π) − s (π) + s (π) − s (x) + s (x) − U (x) 6 6 2A(1) +

i−1 X k=1

|ηk |αg 6 2(C1 + 1)δn

Учитывая, что ω(f, δn ) 6 ω(f, αg ), находим: (2) U (x) − U (1) (x) 6 3ω(f, δn ) + 4(C1 + 1)δn

(π − αg 6 x 6 π). (15)

(π − αg 6 x 6 π).

Аналогично показываем, что при x ∈ [−π, −π + αg ] ∪ [−αg , αg ] (2) (1) U (x) − U (x) 6 3ω(f, δn ) + 4(C1 + 1)δn .

(150 )

Так как функция rg (x) монотонна на отрезках [−αg , αg ], [π − αg , π + αg ], то при помощи (15) и (150 ) из (13) получим ks∗ (x) − Un (x)k 6 3ω(f, δn ) + 4(C1 + 1)δn

(x ∈ [−π, −π + αg ] ∪ [−αg , αg ] ∪ [π − αg , π]).

Объединяя последнюю оценку с оценкой (14), получим |s∗ (x) − Un (x)| 6 3ω(f, δn ) + 4(C1 + 5)δn

(−π 6 x 6 π).

(16)

Наконец, из неравенства |f (x) − Un (x)| 6 |f (x) − s(x)| + |s(x) − s∗ (x)| + |s∗ (x) − Un (x)|, согласно (4), (11) и (16) будем иметь |f (x) − Un (x)| 6 5 [ω(f, δn ) + (C1 + 4)δn ]

(−π 6 x 6 π).

Теорема доказана. Следствие 1. Пусть f (x) — 2π-периодическая функция ограниченной вариации V (f ), удовлетворяющая условию LipK α (0 < α < 1). Тогда существует тригонометрическая рациональная функция Un∗ (x) порядка не выше n такая, что |f (x) − Un∗ (x)| 6 C2

ln2 n n

где постоянная C2 зависит лишь от V (f ), K, α.

(n = 2, 3, . . .),

9

О приближении периодических функций рациональными функциями

Следствие 2. Пусть f (x) — 2π-периодическая функция ограниченной вариации V (f ), удовлетворяющая условию 1 |f (x) − f (x + h)| 6 C ∗ ln−β , |h| где C ∗ , β — некоторые положительные числа. Тогда существует тригонометрическая рациональная функция U n (x) порядка не выше n такая, что |f (x) − U n (x)| 6 C3 n−β/2+β

(n = 1, 2, . . .),

где постоянная C3 зависит только от V (f ), C ∗ , β. Теорема 2. Пусть f (x) — 2π-периодическая непрерывная функция и существуют тригонометрические полиномы Pq,k (x) порядка не выше q такие, что f (x) − P q,k (x) 6 εq

(x ∈ Ik = [ξk−1 , ξk ]; k = 1, 2, . . . , m; q = 1, 2, . . .),

где −π = ξ0 < ξ1 < . . . < ξm−1 < ξm = π, lim εq = 0. Тогда существует тригонометрическая q→∞

рациональная функция GN (x) порядка не выше N такая, что   √ 1 f (x) − GN (x) = O(1) εNm + m · max |f (x)|e− 4 Nm где Nm = 2



N 4m



(N 6 N2 ),

.

Доказательство. Не ограничивая общности, положим, что max (ξk − ξk−1 ) 6 π/2 и что при неко16k6m

тором i ξi = 0. Рассмотрим тригонометрический полином

  sin(x − ξk ) + f (ξk ) − P q,k (ξk ). Pq,k (x) = P q,k (x) + f (ξk−1 ) − P q,k (ξk−1 ) + P q,k (ξk ) − f (ξk ) · sin(ξk−1 − ξk )

Легко посчитать, что

|f (x) − Pq,k (x)| 6 4εq √ − 14 Nm

Пусть γN = e

(x ∈ Ik ; k = 1, 2, . . . , m),

f (ξl ) = Pq,k (ξl ) (l = k − 1; k = 1, 2, . . . , m). ,

TNm ,k (x) = cos Nm arccos

 cos x −



ξk +ξk−1 ξ −ξ − cos2 k 4k−1 2 ξ −ξ sin2 k 4k−1

.

(17)

Очевидно, TNm ,k (ξl ) = 1 (l = k − 1, k). Построим тригонометрическую рациональную функцию RNm ,k (x) =

(1 + γN )PNm ,k (x) . (1 + γN )TNm ,k (x)

Нетрудно увидеть, что f (x) − RNm ,k (x) = O(1) (εNm + max |f (x)|γN )

(x ∈ Ik , k = 1, 2, . . . , m);

Rq,k (ξl ) = f (ξl ) (l = k − 1; k = 1, 2, . . . , m). Если через s1 (x) обозначить непрерывную кусочно-рациональную функцию, равную RNm ,k (x) при x ∈ Ik (k = 1, 2, . . . , m), то f (x) − s1 (x) = O(1) (εNm + max |f (x)|γN )

(−π 6 x 6 π).

(18)

10

Е.А. Ровба

Функцию s1 (x) можно представить в виде суммы 1 s1 (x) = 4

(

RNm ,1 (x) + RNm ,i (x) + RNm ,i+1 (x) + RNm ,m (x) + +

m−1 X k=1

(

1 sign(sin x) RNm ,m (x) − RNm ,1 (x) − 4

i−1 X k=1

)

sign [sin(x − ξk )] ∆RNm ,k (x) +

sign [sin(x − ξk )] ∆RNm ,k (x)+ +

m−1 X

k=i+1

)

sign [sin(x − ξk )] ∆RNm ,k (x) ,

где ∆RNm ,k (x) = RNm ,k+1 (x) − RNm ,k (x). Функцию s1 (x) будем приближать кусочно-рациональной функцией s∗1 (x) = где R

(1)

i 1 h i 1 h (1) R (x) + R(2) (x) = sign(sin x) R(2) (x) − R(1) (x) , 2 2

" # i−1 X 1 (x) = RNm ,1 (x) + RNm ,i (x) + rNm (x − ξk )∆RNm ,k (x) , 2 k=1

R

(2)

# m−1 X 1 rNm (x − ξk )∆RNm ,k (x) , RNm ,i+1 (x) + RNm ,m (x) + (x) = 2 "

k=i+1

rNm (x) — рациональная функция порядка не выше Nm из леммы 2. Легко получить, что |s1 (x) − s∗1 (x)| 6 max B (k) k=1,2

где B (1)

(−π 6 x 6 π),

(19)

i−1 1 X = max {sign [sin(x − ξk )] − rNm (x − ξk )} ∆RNm ,k (x) , −π6x60 2 k=1

B (2)

m−1 1 X = max {sign [sin(x − ξk )] − rNm (x − ξk )} ∆RNm ,k (x) . 06x6π 2 k=i+1

Обозначим Lk = [ξk − αNm , ξk + αNm ] (k = 0, 1, . . . , m), причем выберем номер N1 таким образом, чтобы αNm < 12 min (ξk − ξk−1 ) (N 6 N1 ). 16k6m

При x ∈ Lk (k = 1, 2, . . . , i − 1, i + 1, i + 2, . . . , m − 1), согласно лемме 2, из (19) получим |s1 (x) − s∗1 (x)| 6 3M (m − 3)e− где M = max

√

Nm

,

(20)

max |RNm ,k (x)|.

16k6m −π6x6π

Если x ∈ Lk (k 6= i), то |s1 (x) − s∗1 (x)| 6 3M (m − 4)e−

где M 0 = max

√

Nm

0 (x) max RN . m ,k

16k6m −π6x6π

+

1 1 |RNm ,k (x) − RNm ,k (ξk )| + |RNm ,k+1 (ξk ) − RNm ,k+1 (x)| 6 2 2

6 (3M · m + 2M 0 )e−

√

Nm

,

(200 )

11

О приближении периодических функций рациональными функциями

0 (x) Оценим RN , m ,k где

0 (x) = RN m ,k

ψ2Nm ,k (x) [1 + γN TNm ,k (x)]2

(21)

,

  ψ2Nm ,k (x) = (1 + γN ) PN0 m ,k (x)(1 + γN )TNm ,k (x) − γN TN0 m ,k (x)PNm ,k (x) .

По теореме В.С. Виденского [4] получим, что 0 P

2 6 2Nm max |PN

Nm ,k (x)

m ,k

(x)| ctg

ξk − ξk−1 = 4 2 = max |f (x)| · O(Nm ) (x ∈ Ik ; k = 1, 2, . . . , m; N 6 N (k) ).

Отсюда при x ∈ Ik (k = 1, 2, . . . , m) имеем (k)

0 2 RN (x) = max |f (x)| · O(Nm ) (N 6 N1 m ,k

= max(N (k) , N1 )).

По теореме из [5] при x ∈ Ik (k = 1, 2, . . . , m) (k)

2 ψ2Nm ,k (x) = max |f (x)| · T2Nm ,k (x) · O(Nm ) (N 6 N1 ).

Поэтому при x ∈ Ik (k = 1, 2, . . . , m) из (17) и (21) следует, что 0 RN (x) = m ,k

2) max |f (x)| · T2Nm ,k (x) · O(Nm (k) 2 −2 = max |f (x)| · O(Nm γN ) (N 6 N1 ). 2 T2 γN (x) Nm ,k

Таким образом, (k)

2 −2 M 0 = max |f (x)| · O(Nm γN ) (N 6 N2 = max N1 ). 16k6m

Аналогично можно показать, что −1 ). M = max |f (x)| · O(γN

Из двух последних равенств и из (20) и (200 ) нетрудно получить 1

s1 (x) − s∗1 (x) = O(1)m · max |f (x)|e− 4

√

Nm

(N 6 N2 , −π 6 x 6 π).

(22)

Теперь функцию s1 (x) будем приближать тригонометрической рациональной функцией i 1 h i 1 h (1) R (x) + R(2) (x) + rNm R(2) (x) − R(1) (x) . GN (x) = 2 2

Порядок GN (x) не выше 2mNm 6 N . Очевидно,

1 (2) (1) − GN (x)| = |sign(sin x) − rNm (x)| · R (x) − R (x) . 2 Из леммы 2 следует, что при x ∈ [−π + αNm , −αNm ] ∪ [αNm , π − αNm ] √ |s∗1 (x) − GN (x)| 6 3e− Nm · max max R(k) (x) . |s∗1 (x)

k=1,2 −π6x6π

При x ∈ [−π, −π + αNm ] из неравенств (2) ∗ (1) |s1 (x) − GN (x)| 6 R (x) − R (x) 6 6 R(2) (x) − R(2) (−π) + R(2) (π) − f (π) + f (−π) − R(1) (−π) + R(1) (−π) − R(1) (x)

12

Е.А. Ровба

и из (22) найдем: 1

s∗1 (x) − GN (x) = O(1)m · max |f (x)|e− 4

√

Nm

+ 2 max

max

k=1,2 −π6x6−π+αNm

Нетрудно убедиться, что

(k) 0 R (x) · αNm .

−1 ) (−π 6 x 6 π, k = 1, 2); R(k) (x) = m · max |f (x)| · O(γN −2 2 ) R(k) (x) = m · max |f (x)| · O(Nm · γN

(x ∈ [−π, −π + αNm ] ∪ [−αNm , αNm ] ∪ [π − αNm , π] , k = 1, 2). Следовательно, при x ∈ [−π + αNm , −αNm ] ∪ [αNm , π − αNm ]

  √ s∗1 (x) − GN (x) = m · max |f (x)| · O γn−1 e− Nm

(N 6 N2 ),

а при x ∈ [−π, −π + αNm ]

  √ 2 s∗1 (x) − GN (x) = m · max |f (x)| · O Nm · γn−2 e− Nm

(N 6 N2 ).

Последняя оценка верна и для x ∈ [−αNm , αNm ] ∪ [π − αNm , π]. Значит,  1√  s∗1 (x) − GN (x) = m · max |f (x)| · O e− 4 Nm

(N 6 N2 ).

(23)

Из (18), (22) и (23) получим, что при n 6 N2

Теорема доказана.

  √ 1 f (x) − GN (x) = O(1) εNm + m max |f (x)| e− 4 Nm .

Из теоремы 2 и работы [6] вытекает Следствие 3. Наилучшее приближение кусочно-аналитических периодических функций посредством тригонометрических рациональных функций порядка не выше n  √  RnT [f ] = O e−C(f ) n .

Список литературы ¨ 1. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta Math. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324. 2. Szabados, J. Rational approximation of analytic functions with finite number of singularities on the real axis / J. Szabados // Acta Math. Sci. Hung. – 1969. – Vol. 20. – N. 1–2. – P. 159–167. 3. Newman, D.J. Rational approximation to |x| / D.J. Newman // Michigan Math. J. – 1964. – Vol. 11. – N. 1. – P. 11–14. 4. Виденский, В.С.

/ В.С. Виденский // Докл. АН СССР. – 1960. – Т. 130. – № 1. – С. 13–17.

5. Гончаров, В.Л. Теория интерполирования и приближения функций / В.Л. Гончаров. – Москва: Гостехиздат, 1954. – 327 с. 6. Черных, Н.И. / Н.И. Черных // Труды МИАН. – 1971. – Т. 109. – С. 98–117.

О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями

13

О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями * Пусть EnT [f ] и RnT [f ] обозначают наилучшее приближение 2π-периодической непрерывной функции f (x) посредством тригонометрических полиномов и тригонометрических рациональных функций порядка не выше n: EnT [f ] = inf max |f (x) − tn (x)|, tn (x)

x

где tn (x) — тригонометрический полином порядка не выше n, RnT [f ] = inf max |f (x) − Rn (x)|, Rn (x)

x

где Rn (x) — тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n. Наилучшее приближение функции f (x), непрерывной на отрезке [a, b] (a и b — конечные), посредством алгебраических полиномов и алгебраических рациональных функций порядка не выше n будем обозначать через En [f, [a, b]] и Rn [f, [a, b]]. p(x) будем называть наибольший порядок полиномов Порядком рациональной функции R(x) = q(x) p(x) и q(x) в предположении, что они не имеют общих корней. Поскольку переход от полиномов к рациональным функциям связан с расширением класса аппроксимирующих функций, имеем Rn [f,√[a, b]] 6 En [f, [a, b]] и RnT [f ] 6 EnT [f ]. √ Например, Rn [|x|, [−1, 1]] 6 3e− n (см. [1]) и RnT [| sin x|] 6 3e− n , тогда как 1 1 En [|x|, [−1, 1]] > и EnT [| sin x|] > (см. [2, с. 213–215]). 2π(2n + 1) 2π(2n + 1) С другой стороны Е.П. Долженко [3] доказал существование непрерывных на отрезке [−1, 1] функций f (x) и непрерывных 2π-периодических функций fT (x), имеющих модуль непрерывности любого наперед заданного порядка роста, для которых Rnk [f, [−1, 1]] = Enk [f, [−1, 1]]

и RnTk [fT ] = EnTk [fT ]

для бесконечного числа индексов nk . Несмотря на это, в последнее время появилось много работ, посвященных отысканию классов функций, для которых Rn [f, [a, b]] = o(En [f, [a, b]]). В настоящей заметке рассматриваются вопросы приближения некоторых классов периодических функций посредством тригонометрических рациональных функций и некоторых классов функций, заданных на всей вещественной оси, посредством алгебраических рациональных функций. Пусть класс W r (r 6 1) состоит из 2π-периодических функций f (x), имеющих (r − 1)-ю абсолютно непрерывную производную f (r−1) (x), которая является неопределенным интегралом от ограниченной функции f (r) (x); класс V r (r 6 1) состоит из 2π-периодических функций f (x), имеющих (r − 1)-ю абсолютно непрерывную производную f (r−1) (x), которая является неопределенным интегралом от функции f (r) (x) ограниченной вариации на периоде. Обозначим через Φn класс всех 2π-периодических кусочно постоянных функций, имеющих не более n разрывов на периоде. Для любой ограниченной 2π-периодической функции f (x) полагаем: ε(f, n) =

inf

ϕn (x)∈Φn

sup |f (x) − ϕn (x)|. x

Тогда справедлива * Ровба, Е.А. О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями / Е.А. Ровба // Доклады АН БССР. – 1974. – Т. 18. – № 7. – С. 586–589.

14

Е.А. Ровба

Теорема 1. Если функция f (x) ∈ W r , то    T (r) Rn [f ] 6 c1 (r) ε f ,

n 9 2 (r + 1)2 ln2 n



 1 M · r, + n n

где c1 (r) — постоянная, зависящая только от r 1 , M = max |f (x)| + sup |f (r) (x)|. x

x

Теорема доказывается методом Фройда и Шабадоша (см. [4]) с помощью следующих двух лемм. Лемма 1. Если функция f (x) имеет на отрезке [−β, β] (β 6 π/4) (r−1)-ю абсолютно непрерывную производную f (r−1) (x), которая является неопределенным интегралом от ограниченной функции f (r) (x) (r 6 1), то существует тригонометрический полином tn (x) порядка не выше n (n > r) такой, что   sin β r (β 6 x 6 β), |f (x) − tn (x)| 6 c2 (r) · Mβ n где Mβ = max |f (x)| + −β6x6β

sup −β6x6β

|f (r) (x)|.

Известно много результатов о приближении функций посредством тригонометрических полиномов на отрезке, меньшем периода (см., например, [5]). Данная лемма отличается от этих результатов тем, что в ней учитывается зависимость скорости приближения от длины отрезка, на котором происходит приближение. Д. Ньюмен [1] построил алгебраическую рациональную функцию rn (y) =

g(y) =

g(y) − g(−y) , g(y) + g(−y)

n−1 Y

(y + ξ k ),

− √1n

ξ=e

,

k=0

для которой справедливы неравенства

||y| − y · rn (y)| 6 3e−

√

n

(−1 6 y 6 1).

Путем замены переменной y = sin x и некоторыми дополнительными рассуждениями можно показать, что справедлива следующая Лемма 2. Тригонометрическая рациональная функция Rn∗ (x) = где t(x) =

n−1 Y

t(x) − t(−x) , t(x) + t(−x)

(sin x + ξ k ),

− √1n

ξ=e

,

k=0

обладает свойствами √ − n (−π 6 x 6 π); 1. || sin x| − sin x · Rn∗ (x)| 6 3e√ √ 2. | sign(sin x) − Rn∗ (x)| 6 3e− n (αn 6 |x| 6 π − αn ), где αn = arcsin e− n ; 3. Функция Rn∗ (x) является монотонной на отрезках [−αn , αn ] и [π − αn , π + αn ]; 4. |Rn∗ 0 (x)| < 20n (αn 6 |x| 6 π − αn ); n−1 P −k √ √n ξ < ne . 5. max |Rn∗ 0 (x)| = −π6x6π

1

k=0

Всюду в дальнейшем обозначаем через c1 (r), c2 (r), . . . положительные постоянные, зависящие только от r.

О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями

15

Замечание. Для производной алгебраической функции Ньюмена можно получить следующие оценки: h √ i  h √ i |rn0 (y)| < 20n y ∈ −1, −e− n ∪ e− n , 1 ,  h √ √ i √ √ y ∈ −e− n , e− n . |rn0 (y)| < ne n

Через V (z) будем обозначать полную вариацию периодической функции z(x) на отрезке [−π, π]. Из теоремы 1 и того, что для любой периодической функции ограниченной вариации z(x) 7V (z) ε(z, n) 6 , следует n Теорема 2. Если функция f (x) ∈ V r , то h i ln2 n RnT [f ] 6 c3 (r) · M + V (f (r) ) · r+1 . n

Пусть Rn [f, (−∞, ∞)] — наилучшее приближение непрерывной ограниченной на всей вещественной оси функции f (x), имеющей конечные и равные пределы lim f (x) и lim f (x), посредством x→−∞

x→+∞

алгебраических рациональных функций порядка не выше n, Rn [f, (−∞, ∞)] = inf

sup

Un (x) −∞<x 2,

где C — абсолютная положительная постоянная. В настоящей заметке рассматривается интерполирование и приближение выпуклых функций рациональными функциями с фиксированным числом геометрически различных полюсов. П.Л. Чебышев и более полно А.А. Марков определили (см. [5]) рациональные функции с заданными полюсами, наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [−1, 1]. Обозначим через Mn (x) рациональную функцию Чебышева–Маркова порядка n, имеющую полюсы в точках am , m = 1, 2, . . . , n (am — действительные числа, |am | > 1) и наименее уклоняющуюся от нуля на отрезке [−1, 1]. Функция Mn (x) имеет n простых нулей: −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1. Взяв точки xk , k = 1, 2, . . . , n, в качестве узлов интерполирования, для любой определенной на отрезке [−1, 1] функции f (x) можно построить интерполяционную рациональную функцию Лагранжа с полюсами в точках am , m = 1, 2, . . . , n: n X f (xk )lk (x), Ln (f, x) = k=1

где lk (x) = Mn (x)/(x − xk )Mn0 (xk ) — фундаментальные функции Лагранжа. В.Н. Русаком в работе [4] доказана теорема Лебега для интерполяционных рациональных функций по узлам Чебышева– Маркова. Здесь приведем оценку приближения выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями Ln (f, x), имеющими фиксированное число геометрически различных полюсов. Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть функция f (x) выпукла на отрезке [−1, 1] и пусть q — любое фиксированное натуральное число. Тогда для функции f (x) существует последовательность (Ln (f, x))∞ n=2q интерполяционных рациональных функций Лагранжа порядка не выше n, имеющих не более, чем 2q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости, Ln (f, x) ≡ Ln,2q (f, x), для которой справедливы соотношения: |f (x) − Ln,2q (f, x)| 6 C(q) ln n · δn , где δn = 4π

h

min i

n 2(q+1)

−1

6t61



x ∈ [−1, 1],


ωf (u2 ) 1 4q+2 max + ωf t , n t6u61 u

(1)

ωf (t) — модуль непрерывности функции f (x) на отрезке [−1, 1], C(q) — положительная постоянная, зависящая лишь от q 1 . *

Ровба, Е.А. Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / Е.А. Ровба // Доклады АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 9. – С. 781–783. 1 Везде в дальнейшем через C(q) будем обозначать, вообще говоря, различные положительные постоянные, зависящие лишь от q.

Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями

25

Схема доказательства теоремы 1 аналогична схеме доказательства теоремы 2 из [6]. Одна из трудностей доказательства заключается в выборе полюсов интерполяционных рациональных функций Ln,2q (f, x). Полюсы a1 , a2 , . . . , a2q функций Ln,2q (f, x) выбираются следующим образом: ), m = 1, 2, . . . , q; am = −am−q , m = q + 1, q + 2, . . . , 2q, где t0 — значение t, am = 1 + O(t4m −10  n 6 t 6 1, при котором достигается минимум в (1). Узлами интерполирования яв4π 2(q + 1) ляются нули соответствующих рациональных функций Чебышева–Маркова. Из теоремы 1 вытекают следующие следствия. Следствие 1. Если функция f (x) выпукла на отрезке [−1, 1] и если при некотором фиксированном натуральном q lim | ln t|ωf (t4q+1 ) = 0,

t→+0

то существует последовательность (Ln (f, x))∞ n=2q интерполяционных рациональных функций, имеющих не более, чем 2q геометрически различных полюсов в конечной плоскости, равномерно сходящаяся к функции f (x) на отрезке [−1, 1]. Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1, то |f (x) − Ln,2q (f, x)| 6 C(q) ln n



1 √ ωf n



1 √ n



+ ωf



1 n2q+1



,

x ∈ [−1, 1], n > 2q.

Следствие 3. Если функция f (x) выпукла на отрезке [−1, 1] и f (x) ∈ LipK α, 0 < α < 1, то для любого фиксированного натурального q ρn,2q (f ) 6 C(q)K где

ln n , nβ

n > 2q,

 1    1, если 6 α < 1, 2 β= 1 1 − 2α   , если 0 < α < .  1− 1 + 4qα 2

В этом случае в работе [6] получена более точная оценка. Из приведенных результатов вытекает, что оценка приближения выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фиксированным числом геометрически различных полюсов усиливается с увеличением числа этих полюсов. Полиномиальное приближение также отражает свойства выпуклых функций. Имеет место следующая Теорема 2. Пусть функция f (x) выпукла на отрезке [−1, 1] и Ln,0 (f, x) — ее интерполяционный 2k − 1 π, k = 1, 2, . . . , n. Тогда полином Лагранжа по узлам Чебышева xk = cos 2n  ! ωf (u2 ) 1 1 |f (x) − Ln,0 (f, x)| 6 C ln n , x ∈ [−1, 1], n 6 2, (2) max + ωf n n1 6u61 u n2 где C — абсолютная положительная постоянная. Оценка (2) является более точной, чем соответствующая оценка для непрерывных функций.

26

Е.А. Ровба

Список литературы 1. Sz¨ usz, P. On the constructive theory of functions / P. Sz¨ usz, P. Turan // Maguar tud. Acad. Math. Kutato into K¨ozl. – 1964–1965. – Vol. 9. – N. 3. – P. 495–501. 2. Буланов, А.П. О порядке приближения выпуклых функций рациональными функциями / А.П. Буланов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1969. – Т. 33. – № 5. – С. 1132–1148. 3. Буланов, А.П. Рациональные приближения выпукых функций с заданным модулем непрерывности / А.П. Буланов // Матем. сб. – 1971. – Т. 84. – № 3. – С. 476–494. 4. Русак, В.Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В.Н. Русак // Докл. АН БССР. – 1962. – Т. 4. – № 9. – С. 548–550. 5. Марков, А.А. Избранные труды / А.А. Марков. – Москва: Гостехиздат, 1948. 6. Ровба, Е.А. Приближение выпуклых функций класса Lip α рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / Е.А. Ровба // Весцi АН БССР. Сер. фiз-мат. навук. – 1977. – № 3. – С. 121–122.

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов * Получены оценки скорости приближения аналитических функций, имеющих конечное число особенностей на отрезке приближения, посредством рациональных функций с фиксированным числом геометрически различных полюсов. Рассматривается алгебраический и периодический случай.

Пусть функция f (z) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Обозначим через ρn,q [f, [a, b]] наилучшее приближение функции f (z) алгебраическими рациональными функциями порядка не выше n, имеющими не более чем q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости, ρn,q [f, [a, b]] = inf max |f (z) − rn,q (z)| , rn,q (z) a6z6b

где точная нижняя грань берется в классе всех алгебраических рациональных функций вида: rn,q (z) =

pn (z) ; (z − η1 )n1 (z − η2 )n2 . . . (z − ηq )nq

pn (z) — алгебраический полином степени не выше n; ηk , k = 1, 2, . . . , q, — комплексные числа; q P nk 6 n. k=1

Через ρTn,q [f ] обозначим наилучшее приближение непрерывной на вещественной оси 2π-периодической функции f (z) тригонометрическими рациональными функциями порядка не выше n, имеющими не более чем q геометрических различных полюсов, ρTn,q [f ] = inf

max |f (z) − Rn,q (z)| ,

Rn,q (z) −π6z6π

где точная нижняя грань берется в классе всех тригонометрических рациональных функций вида tn (z) n1  n2  ;  Rn,q (z) =  z−θq nq z−θ2 1 sin z−θ sin . . . sin 2 2 2

tn (z) — тригонометрический полином порядка не выше n; θk , k = 1, 2, . . . , q, — комлексные числа; q P nk = 2n∗ 6 2n, n∗ — натуральное число (числа θ и θ + 2πk, k = ±1, ±2, . . ., как различные не k=1

рассматриваются).

* Ровба, Е.А. О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1977. – № 1. – С. 3–9.

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов

27

Известна следующая теорема К.Н. Лунгу [1]. Если функция f (z) непрерывна на отрезке [0, 1] и аналитична и ограничена в открытом круге |z − 1| < 1, то при любом фиксированном q > 1 и n → ∞ 
ρn,q [f, [0, 1]] = O ωf [0, 1], λ4q , n

λn =

ln n , n

  — модуль непрерывности функции f (z) на отрезке [0, 1]. где ωf [0, 1], λ4q n

В настоящий заметке этот результат К.Н. Лунгу обобщается на случай, когда функция f (z) имеет особенности в произвольном конечном числе точек отрезка, на котором происходит приближение. Справедлива

Теорема 1. Пусть функция f (z) непрерывна на отрезке [−1, 1] и аналитична и ограничена в открытом круге |z| < 1. Тогда при любом фиксированном q > 2 и n → ∞    ln n 4[ 2q ] , λn = , (1) ρn,q [f, [−1, 1]] = O ωf [−1, 1], λn n   4[ 2q ] — модуль непрерывности функции f (z) на отрезке [−1, 1]. где ωf [−1, 1], λn Доказательство теоремы 1 проводится по методу К.Н. Лунгу [1]. Замечание 1. Построенная при доказательстве теоремы 1 аппроксимирующая рациональная функция, соотношение (1), является  правильной и имеет полюсы в точках    реализующая  q 2(2k−1) 2(2k−1) , k = 1, 2, . . . , 2 , где величины O λn ± 1 + O λn считаются положительными.

Теорема 2. Пусть функция f (z) непрерывна на отрезке [−1, 1] и существуют точки {ξi }m i=0 , −1 = ξ0 < ξ1 < . . . < ξm = 1, такие, что функция f (z) аналитична и ограничена в каждом открытом круге   ξi−1 + ξi ξi − ξi−1 , i = 1, 2, . . . , m. Di = z : z − < 2 2 Тогда при любом фиксированном q ∗ > 13m и n → ∞

o n  q∗ ρn,q∗ [f, [−1, 1]] = O ωf [−1, 1], (mλn )2[ 13m ] ,

λn =

ln n . n

Прежде чем приступить к доказательству теоремы 2, получим некоторые вспомогательные результаты. z β(4 − β) − z 2 , 0 < β 6 1, обладает свойствами: 2 β 2 + (1 − β)z 2 1) на отрезке [−β, β] функция M (z) монотонно возрастает от (−β) до β, на отрезках [−2, −β] и [β, 2] функция M (z) монотонно убывает от β до (−β); 2) функция w = M (z) взаимно однозначно отображает круг |z| < β на некоторую открытую область D, содержащую круг |w| < β. Для w ∈ D существует функция z = Q(w), обратная к функции w = M (z). Функция z = Q(w) обладает следующими свойствами: 1) является однозначной, аналитической и однолистной в открытой области D, непрерывной и монотонно возрастающей на отрезке [−β, β]; 2) взаимно однозначно отображает круг |w| < β на часть круга |z| < β; √ 3) модуль непрерывности функции Q(w) на отрезке [−β, β] ωQ ([−β, β] , ε) 6 2βε для произвольного ε, 0 < ε 6 2β. Лемма 1. Рациональная функция w = M (z) = β

28

Е.А. Ровба

Доказательство леммы 1. Заметим, что рациональная функция M (z) = β

z β(4 − β) − z 2 , 2 β 2 + (1 − β)z 2

0 < β 6 1,

является наименее уклоняющейся от нуля на отрезке [−2, 2] среди всех рациональных функций вида − β2 z 3 + a1 z 2 + a2 z + a3 , β 2 + (1 − β)z 2

где a1 , a2 , a3 — вещественные числа (см., например, [2]). Учитывая, что β (β 2 − z 2 ) · [β(4 − β) + (1 − β)z 2 ] M 0 (z) = , (2) 2 [β 2 + (1 − β)z 2 ]2 непосредственно убеждаемся в справедливости свойства 1) функции M (z). √ Поскольку полюсы рациональной функции M (z) находятся в точках ±iβ/ 1 − β, то функция M (z) является аналитической в круге |z| 6 β. Покажем, что она однолистна в открытом круге |z| < β. Действительно, для любых z1 и z2 , z1 6= z2 , |z1 | < β и |z2 | < β, нетрудно посчитать, что M (z1 ) − M (z2 ) =

β (z1 − z2 )[β 2 (z12 + z1 z2 + z22 ) + (1 − β)z12 z22 + β(1 − β)(4 − β)z1 z2 − β 3 (4 − β)] 6= 0, 2 [β 2 + (1 − β)z12 ] · [β 2 + (1 − β)z22 ]

так как 2 2 β (z1 + z1 z2 + z22 ) + (1 − β)z12 z22 + β(1 − β)(4 − β)z1 z2 − β 3 (4 − β) >

> β 3 (4 − β) − 3β 4 − (1 − β)β 4 − β 3 (1 − β)(4 − β) = 0.

Следовательно, функция w = M (z) взаимно однозначно отображает круг |z| < β на некоторую открытую область D. Докажем, что область D содержит круг |w| < β. Поскольку M (0) = 0, то достаточно показать, что |M (z)| > β для |z| = β. Но при таких z, действительно, |M (z)| >

β β 2 β(4 − β) − β 2 β(4 − β) − |z|2 = |z| = β. 2 2 β 2 + (1 − β)β 2 β 2 + (1 − β) |z|2

Из указанных свойств функции w = M (z) и ее монотонности в строгом смысле на отрезке [−β, β] следует существование в замкнутой области D функции z = Q(w), обратной к функции w = M (z), и справедливость свойств 1) и 2) функции z = Q(w). √ Осталось доказать, что ωQ ([−β, β], ε) 6 2βε, 0 < ε 6 β. Так как M 0 (z) 6= 0 (см. (2)) при z ∈ (−β, β), то Q0 (w) = 1/M 0 (z), z = Q(w), −β < ω < β. Отсюда имеем, что функция Q0 (w) является четной и монотонно возрастающей при 0 6 w < β. Поэтому для произвольных w и ε, −β 6 w − ε < w 6 β, 0 < ε 6 2β, (3)

Q(w) − Q(w − ε) 6 Q(β) − Q(β − ε) = β − Q(β − ε). Легко видеть, при z ∈ [−β, β] β − M (z) = β

(β − z)2 (2 + z) z 3 + 2(1 − β)z 2 − β(4 − β)z + 2β 2 = β > 2[β 2 + (1 − β)z 2 ] 2[β 2 + (1 − β)z 2 ] >β

Отсюда получим, что справедливо неравенство p β − z 6 2β[β − M (z)], Из (3) и (4) имеем

Q(w) − Q(w − ε) 6 β − Q(β − ε) 6

p

(β − z)2 (2 − β) (β − z)2 = . [β 2 + (1 − β)z 2 ] 2β (4)

−β 6 z 6 β.

2β[β − M (Q(β − ε))] =

p

2β[β − (β − ε)] =

для произвольных ω и ε, −β 6 w − ε < w 6 β, 0 < ε 6 2β. Лемма доказана.

p

2βε

29

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов

Доказательство теоремы 2. Не ограничивая общности, считаем, что

sup |f (z)| = 1.

z∈

m S

Di

i=1

Полагаем β =

ξi −ξi−1 2

и рассмотрим рациональную функцию третьего порядка   ξi−1 + ξi ξi−1 + ξi (i) , i = 1, 2, . . . , m, + M (z) = M z − 2 2

где M (z) — рациональная функция из леммы 1. На основании леммы 1 получим:   (i) = ξi , M (i) (ξi−1 ) = ξi−1 , M (i) (ξi ) = ξi , M 2 + −2 + ξi−12+ξi 1) M

ξi−1 +ξi 2

M (i) (z)



= ξi−1 ,

на монотонно возрастает от ξi−1 до ξi , на отрезках h отрезке [ξi−1i, ξi ] функция h i ξi−1 +ξi ξi−1 +ξi −2 + 2 , ξi−1 ⊃ [−1, ξi−1 ] и ξi , 2 + 2 ⊃ [ξi , 1] функция M (i) (z) монотонно убывает от ξi до ξi−1 ; 2) функция w = M (i) (z) взаимно однозначно отображает круг Di на некоторую открытую об ξi −ξi−1 ξi−1 +ξi w , и существует аналитическая в открытой области ласть Di , содержащую круг w − 2 < 2

(i) (i) Diw , непрерывная на pотрезке [ξi−1 , ξi ] функция z = Q (w), обратная к функции w = M (i)(z), причем ωQ(i) ([ξi−1 , ξi ], ε) 6 (ξi − ξi−1 ) · ε, 0 < ε 6 ξi − ξi−1 . Отсюда следует, что функция f (Q (w)) будет аналитической и ограниченной в круге w − ξi−12+ξi < ξi −ξ2i−1 и непрерывной на отрезке [ξi−1 , ξi ]. Применяя теорему 1, получим, что при любом фиксированном q > 1 существует алгебраиче(i) ская рациональная функция rn,q (w) порядка не выше n, имеющая не более чем 2q геометрически различных полюсов, такая, что    
ξi − ξi−1 4q (i) (i) λn = O ωf [ξi−1 , ξi ], λ2q , (5) f (Q (w)) − rn,q (w) = O ωf (Q(i) (w)) [ξi−1 , ξi ], n 2

ξi−1 6 w 6 ξi ,

i = 1, 2, . . . , m.

Поскольку при −1 6 z 6 1 ξi−1 6 M (i) (z) 6 ξi , то, сделав в (5) замену w = M (i) (z), имеем: (i)

f (Q(i) (M (i) (z))) − rn,2q (M (i) (z)) = O{ωf ([ξi−1 , ξi ], λ2q n )},

−1 6 z 6 1.

2q Обозначив f (Q(i) (M (i) (z))) = fi (z) и учитывая, что ωf ([ξi−1 , ξi ], λ2q n ) 6 ωf ([−1, 1], λn ), получим: (i)

fi (z) − rn,2q (M (i) (z)) = O{ωf ([−1, 1], λ2q n )},

−1 6 z 6 1, i = 1, 2, . . . , m,

причем fi (z) = f (Q(i) (M (i) (z))) = f (z) при ξi−1 6 z 6 ξi . Полагаем теперь (i)

(i)

R (z) =

(i) rn,2q (M (i) (z))

(i)

f (ξi ) − rn,2q (ξi ) − f (ξi−1 ) + rn,2q (ξi−1 ) + × ξi − ξi−1

(i)

× (z − ξi−1 ) + f (ξi−1 ) − rn,2q (ξi−1 ). (6)

Тогда fi (z) − R(i) (z) = O{ωf ([−1, 1], λ2q n )}, R(i) (ξi−1 ) = f (ξi−1 ),

−1 6 z 6 1,

(50 )

R(i) (ξi ) = f (ξi ).

Нетрудно посчитать, что порядок алгебраической рациональной функции R(i) (z) не выше 3n+1, число геометрически различных полюсов не больше 6q. Так как fi (z) = f (z) при ξi−1 6 z 6 ξi , функцию f (z) представим в виде следующей суммы: m−1 1X 1 sign(z − ξi )[fi+1 (z) − fi (z)], f (z) = [f1 (z) + fm (z)] + 2 2 i=1

−1 6 z 6 1.

30

Е.А. Ровба

Теперь функцию f (z) будем приближать непрерывной кусочно-рациональной функцией s(z) =

i 1 m−1 h i X 1 h (1) R (z) + R(m) (z) + sign(z − ξi ) R(i+1) − R(i) (z) , 2 2 i=1

−1 6 z 6 1.

(7)

Ввиду (50 ) имеем: i 1h f1 (z) − R(1) (z) + fm (z) − R(m) (z) + 2 m−1 h i X  1 + sign(z − ξi ) fi+1 (z) − R(i+1) (z) − fi (z) + R(i) (z) = O ωf ([−1, 1], λ2q n ) , 2

f (z) − s(z) =

−1 6 z 6 1. (8)

i=1

∗ Из [1] известно, что существует алгебраическая рациональная функция rn,6q+2 (z) порядка не выше n, имеющая не более чем 6q + 2 геометрически различных полюсов, такая, что
∗ |z| − rn,6q+2 (z) = O λ6q+2 , −2 6 z 6 2. n

Функцию s(z) будем приближать алгебраической рациональной функцией

i 1 m−1 X 1 h (1) R(i+1) (z) − R(i) (z) (m) ∗ R(z) = R (z) + R (z) + rn,6q+2 (z)(z − ξi ) 2 2 z − ξi

(9)

i=1

(точки z = ξi не являются полюсами этой рациональной функции, так как R(i+1) (ξi ) = R(i) (ξi ), i = 1, 2, . . . , m − 1). Порядок рациональной функции R(z) не выше 4mn, число геометрически различных полюсов не больше 13mq. Из (7) и (9) следует, что s(z) − R(z) =

m−1  R(i+1) (z) − R(i) (z) 1 X ∗ = |z − ξi | − rn,6q+2 (z)(z − ξi ) 2 z − ξi i=1 m−1 X R(i+1) (z) − R(i+1) (ξi ) + R(i) (ξi ) − R(i) (z)
= O λn6q+2 = z − ξi i=1 m
X (i) 0 (z) max = O λ6q+2 R , n i=1

Оценим сверху R(i) 0 (z) , −1 6 z 6 1. Из (6) получим, что  0 (i) R(i) 0 (z) = rn,2q (w) · M (i) 0 (z) + o(1), w

Так как при −1 6 z 6 1 ξi−1 6

M (i) (z)

−16z61

−1 6 z 6 1. (10)

w = M (i) (z).

(11)

(i) 0 6 ξi , то нужно оценить rn,2q (w) для w ∈ [ξi−1 , ξi ], (i)

i = 1, 2, . . . , m. Учитывая, что полюсы рациональной функции rn,2q (w) находятся в точках ξi−1 +ξi 2

+

2(2q−1) ξi−1 +ξi − ξi −ξ2 i−1 ηk , ηk = 1 + O(1) · λn , k = 1, 2, . . . , q (см. 2 (i) 0 применяя к rn,2q (w) неравенство типа Маркова из работы В.Н. Русака

ξi −ξi−1 ηk 2

теореме 1) и

и

(i) 0 rn,2q (w) 6

q r X ηk + 1 4e2 (i) · max rn,2q (w) n ξi − ξi−1 ξi−1 6w6ξi ηk − 1 k=1

ξi−1 6 w 6 ξi , i = 1, 2, . . . , m.

!2

=O



n4q

ln2(2q−1) n

замечание к

[3], получим: 

,

31

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов

Тогда из (11) и того, что M (i) 0 (z) = O(1), имеем:   n4q (i) 0 R (z) = O , −1 6 z 6 1, i = 1, 2, . . . , m. ln2(2q−1) n Подставив эту оценку в (10), получим, что

Отсюда и из (8) следует:


s(z) − R(z) = m · O λ2q n ,

−1 6 z 6 1.

 |f (z) − R(z)| 6 |f (z) − s(z)| + |s(z) − R(z)| = m · O ωf ([−1, 1], λ2q n ) ,

−1 6 z 6 1,

где R(z) = R4mn,13mq (z) — алгебраическая рациональная функция порядка не выше 4mn, число геометрически различных полюсов у которой не больше 13mn, q > 1. Таким образом, при любом фиксированном q > 1  ρn,13mq [f, [−1, 1]] = m · O ωf ([−1, 1], (mλn )2q ) . Если задано фиксированное число q ∗ > 13m, то, полагая q =

h

q∗ 13m

i

, будем иметь:

  h ∗ i  2 q ρn,q∗ [f, [−1, 1]] 6 ρn,13mn [f, [−1, 1]] = m · O ωf [−1, 1], (mλn ) 13m . Теорема 2 доказана. Для периодических функций справедлива следующая Теорема 20 . Пусть 2π-периодическая функция f (z) непрерывна на вещественной оси и существуют точки {ξi }m i=0 −π = ξ0 < ξ1 < . . . < ξm = π, такие, что функция аналитична и ограничена в каждом открытом круге z − ξi−12+ξi < ξi −ξ2i−1 . Тогда при любом фиксированном q ∗ > 26(m + 3) и n→∞   h i  q∗ T 26(m+3) ρn,q∗ [f ] = m · O ωf (mλn ) , (12) где ωf — модуль непрерывности функции f (z). Теорема 20 доказывается на основании теоремы 2 по схеме, примененной при доказательстве теоремы 2 из [4]. Вместо леммы из [4] здесь потребуется следующая лемма, в справедливости которой нетрудно убедиться. z − a+b < b−a , 0 6 a < b 6 π, при отображении w = cos z Лемма 2. Образ открытого круга 2 2 cos a−cos b b < . содержит открытый круг w − cos a+cos 2 2

Замечание 2. Если в теореме 20 m=2 и ξ1 = 0, то оценку (12) можно уточнить. В данном случае при любом фиксированном q ∗ > 24 и n → ∞ ( h ∗ i !) ρTn,q∗ [f ] = O ωf

2

λn

q 24

.

Замечание 3. Если в теоремах 1 и 2 (20 ) функция принимает вещественные значения на отрезке [−1, 1], ([−π, π]), то можно считать, что точная нижняя грань в определении ρn,q [f, [−1, 1]] (ρTn,q [f ]) берется в классе алгебраических (тригонометрических) рациональных функций с вещественными коэффициентами.

32

Е.А. Ровба

Список литературы 1. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324. 2. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1954. – Т. 2. 3. Русак, В.Н. / В.Н. Русак // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1970. – № 3. – С. 27–32. 4. Ровба, Е.А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями / Е.А. Ровба // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.

Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации * The paper deals with the approximations with the help of rational operators, which generalize the Dirichlet– Chebyshev polynomial operators.

В рациональной аппроксимации исследован ряд операторов, имеющих своим аналогом известные полиномиальные периодические операторы Фурье, Фейера, Джексона, Валле-Пуссена(см., например, [1, 2]). В данной работе изучается рациональный оператор, который является обобщением полиномиального оператора, определяемого посредством частичной суммы ряда Фурье по многочленам Чебышева. Пусть задана система чисел {ak }nk=1 , среди которых могут быть комплексные числа, но тогда эта система содержит и им сопряженные числа; вещественные числа ak должны удовлетворять √ условию |ak | < 1. На множестве суммируемых на отрезке [−1, 1] с весом 1/ 1 − x2 функций f (x) рассмотрим оператор Sn : f (x) → Sn (x, f ), определяемый соотношением 1 Sn (x, f ) = 2π

Z1

−1

где Dn (t, x) = Φn (t) =

f (t) √ Dn (t, x) dt, 1 − t2

sin(Φn (t) − Φn (x)) sin

Φ0 (t)−Φ0 (x) 2 n X

1 arccos t + 2

+

arccos

k=1

sin(Φn (t) + Φn (x)) 0 (x) sin Φ0 (t)+Φ 2

t + ak , 1 + ak t

(1)

,

n > 1;

1 arccos t. 2 В частности, если положить a1 = a2 = . . . = an = 0, то Sn (x, f ) есть частичная сумма ряда Фурье по многочленам Чебышева. Отметим, что последовательность рациональных функций   n P t + ak не является, вообще говоря, ортогональной на отрезке arccos Чебышева–Маркова cos 1 + ak t k=1 √ [−1, 1] с весом 1/ 1 − t2 . Введем также следующие обозначения: 1) Rn (a) — множество рациональных функций вида Φ0 (t) =

pm (x) , (1 + a1 x)(1 + a2 x) . . . (1 + am x) где pm (x) — алгебраический многочлен степени не выше m, m 6 n; 2) Rn (f, a) = min kf − rn kC[−1,1] — наилучшее приближение непрерывной на отрезке [−1, 1] rn ∈Rn (a)

функции f (x) рациональными функциями из Rn (a). * Ровба, Е.А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба // Доклады АН БССР. – 1979. – Т. 23. – № 11. – С. 968–971.

33

Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации

Теорема 1. Оператор Sn обладает следующими свойствами: √ 1) Sn (x, f ) ∈ Rn (a) для любой функции f (x), суммируемой на отрезке [−1, 1] с весом 1/ 1 − x2 ; 2) Sn (x, rn ) ≡ rn (x) для ∀rn (x) ∈ Rn (a). Справедливость первого утверждения теоремы 1 следует из того, что (1)

Dn (t, x) = (1)

(2)

(1)

(2)

cos Φn (t) cos Φn (x) − cos Φn (x) cos Φn (t) , 1 2 (x − t)

(2)

где Φn (t) = Φn (t) − Φ0 (t), Φn (t) = Φn (t) + Φ0 (t). (1) (2) Как известно (см. [3]), cos Φn (t) и cos Φn (t) являются рациональными функциями порядка n и n + 1 соответственно. Доказательство второго утверждения основано на том, что после замен t = cos u, x = cos u в соотношении (1) будем иметь 1 Sn (x, f ) = 2π где

Zπ

f (cos u)

−π

zKn (z, ξ) − ξKn (ξ, z) du, z−ξ

(2)

n Y z + αk 1 + αk ξ , Kn (z, ξ) = 1 + αk z ξ + αk k=1

ξ = eiu ,

z = eiv ,

αk =

a qk 1 + 1 − a2k

(|αk | < 1),

k = 1, n.

Учитывая выбор чисел ak , k = 1, n, отсюда можно заключить также, что Sn (x, f ) есть частная сумма ряда Фурье функции f (cos u) по системе Уолша–Мальмквиста, и на основании результатов работы [4] получить признаки сходимости последовательности (Sn (x, f )). Теорема 2. Пусть функция f (w) аналитична и ограничена в круге |w|p< 1 + δ, 0 < δ 6 1/4, и n, p — натуральные числа, 1 6 p 6 n/2. Тогда, если положить ak = 1 − δ(2k−1)/2p , k = 1, p, ap+k = −ak , k = p + 1, 2p, и взять кратность каждой точки ak , k = 1, 2p, равной nk , nk > [n/2p], n1 + n2 + . . . + n2p = n, то справедливо соотношение   1 1 n kf (x) − Sn (x, f )kC[−1,1] 6 C1 M ln exp −C2 −1/4p , (3) δ δ −1 p где M=

sup |f (w)|.1

|w| 2.

Лемма может быть получена из [7] на основании (2). Теорема 3. Для любой функции f (x) ∈ C[−1, 1] справедливо соотношение !! n X , (1 − |αk |)−1 kf (x) − Sn (x, f )kC[−1,1] 6 C4 Rn (f, a) 1 + ln 1 +

n > 2.

k=1

На основании теоремы 3 и исходя из известных оценок рациональных приближений функций, где аппроксимирующая функция построена в явном виде, могут быть получены оценки приближения посредством оператора Sn . Теорема 4. Если функций f (x) имеет r-ю непрерывную производную на отрезке [−1, 1], то !! n X −1 , n > 2, kf (x) − Sn (x, f )kC[−1,1] 6 Cf λ−r (1 − |αk |)−1 n ωf (r) (λn ) 1 + ln 1 + k=1

где ωf (r) (t) — модуль непрерывности функции f (r) (x) на отрезке [−1, 1], λn = 1 +

n P

(1 − |αk |).

k=1

Здесь воспользовались результатом Пекарского [8] об оценке скорости рациональной аппроксимации с фиксированными полюсами. Следующие теоремы получены с помощью известных оценок (см. [9, 10]) скорости рациональной аппроксимации со свободными полюсами. Теорема 5. Если функция f (x) имеет ограниченную вариацию на [−1, 1] и f (x) ∈ Lip α, то при подходящем выборе чисел αk , k = 1, n, справедливо соотношение kf (x) − Sn (x, f )kC[−1,1] 6 Cf

ln2 n , n

n > 2.

Теорема 6. Если функция f (x) имеет на отрезке [−1, 1] (r − 1)-ю абсолютно непрерывную производную f (r−1) (x), которая является первообразной функции f (r) (x) ограниченной вариации на [−1, 1], r > 1, то при подходящем выборе чисел ak , k = 1, n, справедливо соотношение kf (x) − Sn (x, f )kC[−1,1] 6 Cf

ln n , nr+1

n > 2.

Замечание. Аналогично, как в работах В.Н. Русака (см., например, [11]), исходя из ряда Dn (t, x), могут быть введены на отрезке [−1, 1] рациональные операторы Фейера и Валле-Пуссена.

Список литературы 1. Русак В.Н. // Теория приближения функций: тр. Междунар. конф. по теории приближения функций. – Москва, 1977. 2. Русак, В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями / В.Н. Русак // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 3. – С. 15–20. 3. Марков, А.А. Избранные труды / А.А. Марков. – Москва: Гостехиздат, 1948. 4. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов

35

5. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообенностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639. 6. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324. 7. Кочарян, Т.С. О приближении рациональными функциями в комплексной области / Т.С. Кочарян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. – 1958. – Т. 11. – № 4. – С. 20–24. 8. Пекарский, А.А. О скорости рациональной аппроксимации с фиксированными полюсами / А.А. Пекарский // Докл. АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 4. – С. 302–304. 9. Пекарский, А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерывности и модулем изменения / А.А. Пекарский // Весцi АН БССР. Сер. фiз-мат. навук. – 1978. – № 5. – С. 34–39. 10. Пекарский, А.А. Метод последовательных усреднений в теории рациональной аппроксимации / А.А. Пекарский // Докл. АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 10. – С. 875–877. 11. Русак, В.Н. О приближениях рациональными функциями на вещественной оси / В.Н. Русак // Весцi АН БССР. Сер. фiз-мат. навук. – 1974. – № 1. – С. 22–28.

О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов * 1. Пусть ρn,q (f, [a, b]) = ρn,q (f ) и ρn,q (f, [a, b]) = ρn,q (f ) обозначают наименьшие равномерные уклонения непрерывной на отрезке [a, b] функции f от алгебраических рациональных функций rn,q порядка не выше n, имеющих не более, чем q геометрически различных полюсов в расширенной и конечной комплексных плоскостях соответственно (q — целое число, 0 6 q 6 n). В частности, если q = 0, то ρn,0 (f ) = En (f ), а если q = n, то ρn,n (f ) = ρn,n (f ) = Rn (f ), где En (f ) и Rn (f ) — наименьшие уклонения функции f от многочленов и рациональных функций порядка не выше n соответственно. Очевидно также, что ρn,q (f ) 6 ρn,q (f ) 6 ρn,q−1 (f ). Более подробно наименьшие уклонения ρn,q (f ) и ρn,q (f ) описаны в работах К.Н. Лунгу [1, 2]. А.А. Гончар [3] доказал следующую общую теорему. Пусть функция f непрерывна на отрезке [0, 1] и допускает ограниченное аналитическое продолжение в круг D = {z : |z − 1| < 1}. Тогда    −t −C nt + ω([0, 1], e ) M te , (1) Rn (f, [0, 1]) = O inf 1 2

k=1

m Y −m ! p  1 1 − , 1 + √ |dk (z)| 1 + √ |dk (z)| 2 2 k=1

Далее имеем, что при z ∈ γ ∗ |dk (z)| >

q √ 2 1 − a2k z z 2 − 1 1 − a2k + a2k |z 2 − 1|

>

q 2 1 − a2k

√ 2 z − 1

1 − a2k + |z 2 − 1|

z ∈ γ∗.

(11)

.

√ h√ i h√ i √ 2 Полагаем теперь u = z − 1 . Если z = reiϕ , 0 6 ϕ 6 π/2, то u ∈ r 2 − 1, r 2 + 1 ⊂ δ, 2 . Тогда из (11) получим, что p  Y

k=1

где Bp (u) =

 1 Bp (u), 1 + √ |dk (z)| > min √ 2 u∈[ δ,2]

p  Y

1+

√

k=1

 . 1 2ξ k− 2 u ξ 2k−1 + u2

z ∈ γ ∗,

(12)

(1 − a2k = ξ 2k−1 ).

√  Оценим снизу Bp (u), u ∈ [ δ, 2]. Легко проверить, что функция u (ξ 2k−1 + u2 ) является возрастающей на отрезке [0, ξ k−1/2 ] и убывающей на отрезке [ξ k−1/2 , 2]. Учитывая это, при √ p−1/2 ] = [ξ p , ξ p−1/2 ] имеем u ∈ [ δ, ξ ! !  1 1 p p p  Y Y Y √ √ 1 k− 1 ξ k− 2 ξ p ξ k− 2 1 + 2 2k−1 Bp (u) > 1+ 2 1+ ξ 2 . = > ξ + ξ 2p 1 + ξ 2k−1 2 k=1

k=1

k=1

√ Если u ∈ [ ξ, 2], то

 p  p   Y Y √ k− 1 1 k− 1 2k−1 1 + 2 2ξ 2 (4 + ξ Bp (u) > ) > 1+ ξ 2 . 2 k=1

k=1

Если же u ∈ [ξ j , ξ j−1/2 ], 1 6 j 6 p − 1, то Bp (u) >

j  Y

1+

k=1

p .   Y  √ √ k− 1 j . 2k−1 1 1 + ξ 2j ) · 1 + 2ξ k− 2 ξ j− 2 (ξ 2k−1 + ξ 2j−1 ) = 2ξ 2 ξ (ξ k=j+1

=

j  Y

1+

√

2ξ

k− 21

k=1

.

(1 + ξ

2k−1

 p   p−j  Y Y √ k. 1 k− 1 2k ) · 1 + 2ξ (1 + ξ ) > 1+ ξ 2 . 2 k=1

k=1

j+1/2 , ξ j ], 1 6 j 6 p − 1. Аналогично можно получить такую √ же оценку при u ∈ [ξ Таким образом, при любом u ∈ [ δ, 2]

Bp (u) >

p  Y

k=1

1 1 1 + ξ k− 2 2



= exp

p X k=1



! p 1 X k− 1 ξ 2 = > exp 4 k=1 √   1 p 1 −1p δ 4 (1 − δ) −1 = exp > exp (δ 4 − 1) 1 8 4(1 − δ 2 p )

1 1 ln 1 + ξ k− 2 2

!

(δ = ξ 2p ).

39

О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов

Исходя из этой оценки и оценок (12) и (11), имеем   1 −1p 1 −1 |M (z)| > exp (δ 4 − 1) · m , z ∈ γ, 5 8

(m + 1)−4p 6 δ 6 1.

Если последнюю оценку подставить в (9), то получим   1 1 −1p −1 4 kfδ − LkC[−1,1] < C6 M ln exp − (δ − 1) · m . (13) δ 8   1 1 Так как при δ ∈ (0, (m + 1)−4p ) справедливо соотношение ln 1δ exp − 81 (δ− 4 p − 1)−1 · m > 4 ln 2e− 8 , то не ограничивая общности считаем, что неравенство (13) справедливо при любом δ, 0 < δ 6 4−1 . Из неравенств (7) и (13) найдем, что   1 −1p 1 1 −1 kf − LkC[−1,1] < C6 M ln exp − (δ 4 − 1) m + ω(δ), 0 < δ 6 . δ 8 4

Следовательно, при любом δ, 0 < δ 6 4−1 ,   1 −1p 1 −1 4 ρ2pm,2p (f, [−1, 1]) 6 C6 M ln exp − (δ − 1) · m + ω(δ). δ 8

(14)

Так как левая часть в неравенстве (14) не зависит от δ, то в правой части этого неравенства можно перейти к нижней грани:     1 1 −1p −1 4 − 1) · m + ω(δ) . ρ2pm,2p (f, [−1, 1]) 6 inf C6 M ln exp − (δ δ 8 0 0, а подынтегральная функция второго интеграла в области |ξ| > 1, Im ξ > 0. Применяя теорему Коши о вычетах, найдем  1  +∞ Z Z−1 Z 1 ψ(ξ, z)χ2n (ξ)dξ + ψ(ξ, z)ξ −3 χ2n (ξ −1 )dξ + ψ(ξ, z)ξ −3 χ2n (ξ −1 )dξ  . J1 = 2 −1

−∞

1

43

О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье

Заменяя во втором и третьем интеграле ξ ∼ ξ −1 , получим 1 J1 = 2

Z1 

−1

z2 − ξ2 − ξ2z − z2ξ + ξ + z √ ψ(ξ, z) + (ξ − z) z



χ2n (ξ)dξ =

Z1

−1

√ (1 − ξ)2 (1 + ξ) χ2n (ξ)dξ(1 + z) z. (1 − ξz)(ξ − z)

Учитывая, что z = eix , и полагая ξ = t, находим, что при ∀x ∈ (0; π) x J1 = −2 cos · 2

Z1

−1

(5)

ϕ(t, x)(1 − t)χ2n (t)dt.

Аналогично можно получить, что x J2 = −2 sin · 2

Z1

ϕ(t, x)(1 + t)χ2n (t)dt,

−1

x ∈ (0; π).

(6)

Чтобы получить формулу (3) при x ∈ (0; π), осталось подставить выражения (5) и (6) в (4). Для x = 0 и x = π справедливость формулы (3) следует из непрерывности на R ее левой и правой части относительно переменной x, а для x ∈ R — из четности и периодичности. Введем следующие обозначения: 1) ε2n (α) = k| sin x| − s2n (x)kC2π . 2) Пусть Q2n есть множество точек α = (α0 , α1 , . . . , α2n+1 ), где αk , k = 1, 2n, удовлетворяют условиям (1). Тогда полагаем ε2n = inf ε2n (α). α∈Q2n

3) Пусть Q2n,n/2 — множество точек α ∈ Q2n , удовлетворяющих дополнительному условию, что inf ε2n (α). числа α2 , α4 , . . . , α2n попарно равны (n — четное). Тогда ε2n,n/2 = α∈Q2n,n/2

4) Пусть Q2n,1 — множество точек α ∈ Q2n , удовлетворяющих условию α2 = α4 = . . . = α2n , n — четное. В этом случае ε2n,1 = inf ε2n (α). α∈Q2n,1

Теорема 2. При выполнении условий (1) справедливы соотношения: 2 || sin x| − s2n (x)| 6 π

Z1 0

(1 − t2 )χ2n (t) √ dt, 1 − 2t2 cos 2x + t4

1 Z Z1 2 2 χ2n (t)dt 6 ε2n (α) 6 |χ2n (t)| dt. π π 0

(80 )

∀x ∈ R;

(7)

(80 )

0

Неравенства являются точными в том смысле, что если функция χ2n (t) имеет полюсы только четной кратности, то неравенства (80 ) превращаются в равенство, т.е. имеем 2 ε2n (α) = π

Z1

χ2n (t)dt.

(8)

0

При тех же условиях на полюсы неравенство (7) переходит в равенство при x = 0 и x = π. Доказательство. Воспользуемся формулой (3). Путем несложных преобразований найдем, что Z1

−1

ϕ(t, x)(1 ± t)χ2n (t)dt = 2

Z1 0

1 + t2 (1 ± 2 cos x) (1 − t2 )χ2n (t)dt. 1 − 2t2 cos 2x + t4

44

Е.А. Ровба

Далее легко убедиться, что при ∀x ∈ R, ∀t ∈ [0; 1]

Zx Zx (1 + t2 (1 + 2 cos x)) sin x · sin λ2n (u)du − (1 + t2 (1 − 2 cos x)) cos x · cos λ2n (u)du 6 2 2 0 0 r x x p 6 (1 + t2 (1 − 2 cos x))2 cos2 + (1 + t2 (1 + 2 cos x))2 sin2 = 1 − 2t2 cos 2x + t4 . 2 2 Воспользовавшись этим неравенством, из (3) получим неравенство (7). Из него тривиально следует верхняя оценка для ε2n (α). Для получения нижней оценки ε2n (α) положим x = 0 и x = π в равенстве (3). Будем иметь соответственно 1 ε2n (α) 6 ∓ π

Z1

−1

2 (1 ± t)χ2n (t)dt = ∓ π

Z1

χ2n (t)dt.

0

Доказательство теоремы 2 завершено. P Следствие 1. Если ряд +∞ k=0 (1−|αk |) расходится, то ряд (2) равномерно сходится на R к функции | sin x|. Утверждение непосредственно следует из неравенств (80 ) и элементарных свойств произведения Бляшке. Теорема 3. Справедливы соотношения: √ √ ε2n 6 c n e−π n ,

ε2n,n/2  inf || sin x| − s2n (x)| 6

α∈Q2n

√

n e−π

√

n

(9)

n 6 1;

,

n → ∞;

c1 √ −π√2n ne , | sin x|

∀x ∈ (−π; 0) ∪ (0; π);

(10) (11)

где c, c1 — положительные постоянные, не зависящие от n и x1 . Доказательство. Докажем вначале неравенство (11). Очевидно, при ∀t ∈ [0; 1], ∀x ∈ R p 1 − 2t2 cos 2x + t4 6 | sin x|. Поэтому на основании неравенства (7) имеем: ∀x ∈ (−π; 0) ∪ (0; π) 2 || sin x| − s2n (x)| 6 π| sin x| Сделав в этом интеграле замену t = при тех же x

p

0

(1 − t2 ) |χ2n (t)| dt.


√ (1 − u)/(1 + u), dt = −du/ (1 + u)3/2 1 − u , находим, что

2 || sin x| − s2n (x)| 6 π| sin x| где βk = (1 − α2k )/(1 + α2k ).

Z1

Z1 0

n Y u − βk du u u + β √ 1 − u2 , k=1

k

1 Везде в дальнейшем через c, c1 будем обозначать абсолютные положительные постоянные, вообще говоря, различные.

45

О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье

Из [6] известно, что при любом s, 0 6 s 6 2, существуют положительные числа β1∗ , β2∗ , . . . , βn∗ такие, что n Y √ u − βk∗ s 6 c e−π sn , ∀u ∈ [0; 1], n ∈ N, u u + β∗ k

k=1

где c — положительная постоянная, не зависящая от n и s. Следовательно, полагая s = 2 − получим: 2 inf || sin x| − s2n (x)| 6 α∈Q2n π| sin x|

Z1 0

√

n−1 ,

n Y u − βk∗ √ −π√2n u1−s s 6 c1 √ , du · max u u + β ∗ | sin x| n e u∈[0;1] 1 − u2 k k=1

∀x ∈ (−π; 0) ∪ (0; π).

Неравенство (11) установлено. Неравенство (9) является следствием соотношения (10). Осталось показать справедливость соотношения (10). Здесь воспользуемся следующим утверждением из [7]:  1 p 1/p Z Y n √ t − αk  inf   n1/2 e−π n/2p , dt α∈Gn 1 − αk t 0

k=1

p 6 1, n → +∞,

(12)

где Gn = {α = (α1 , α2 , . . . , αn ) : αk ∈ C, |αk | < 1, k = 1, n}. Заметим, что при любых действительных α (|α| < 1), t (|t| < 1) и β (β ∈ R) имеет место неравенство |t − (α + iβ)|/|1 − (α − iβ)t| 6 |t − α|/|1 − αt|. Следовательно, нижняя грань в (12) достигается на множестве действительных α1 , α2 , . . . , αn 2 . В рассматриваемом случае на основании (80 ) будем иметь: 2 ε2n (α) = π

Z1 0

1 χ2n (t)dt = π

2 Z1 Y n/2  2 √ −π√n t − α24k . dt 6 c ne 1 − α24k t2

(13)

−1 k=1

С другой стороны, поступая таким же образом, как при доказательстве оценки (11), получим, что существуют β1 , β2 , . . . , βn/2 , βk > 0, k = 1, n/2, для которых  2 2 Z1 Y Z1 n/2 n/2  s Y 2 u − βk  u u − βk du 2 √ √ du · max us/2 ε2n (α) 6 6 6 2 2 π u + βk π u + βk u∈[0;1] 1 − u 1 − u k=1 k=1 0

0

√ 6 c1 n e−π

√

n

Из оценок (13) и (130 ) следует, что ε2n,n/2 завершено.

(s = 1 − n−1/2 ). (130 ) √ √  n e−π n , n → +∞. Доказательство теоремы 3

Интересно сравнить оценку (10) с известной асимптотической оценкой А.П. Буланова–Н.С. Вячеславова наилучших равномерных приближений функции |x| (см. [4]), замечая при этом, что в этом случае частичная сумма ряда Фурье s2n (x) является тригонометрической рациональной функцией порядка 2n, имеющей n геометрически различных полюсов. 2 Именно по этой причине и в целях простоты в теореме 1 рассматриваются только действительные полюсы, на самом деле аналогичный результат можно получить при ∀αk (k = 0, 1, . . .), |αk | < 1.

46

Е.А. Ровба

Теорема 4. Если α ∈ Q2n,1 , то справедливы соотношения:   2 1 − α22 1 2n+1 2 (α2n+1 + 1 − α ) < ε (α) < α + , 2n 2 2 2π(n + 1) 2 π n+1 ε2n,1  n−2 ln n,

n ∈ N, α2 ∈ [0; 1);

(14) (15)

n → +∞.

Доказательство. Согласно (8) в этом случае имеем 2 ε2n (α) = π

Z1  0

t2 − α22 1 − α22 t2

n

(16)

dt.

Разобъем этот интеграл на два (n — четное число): α  n n Z 2 2 Z1  2 2 2 2 α2 − t 2 t − α2 ε2n (α) =  dt + dt = (J1 + J2 ). π π 1 − α22 t2 1 − α22 t2 α2

0

Функция

(α22

−

t2 )/(1

−

α22 t2 )

(17)

является убывающей и выпуклой вверх на [0; α2 ]. Поэтому (n + 1)−1 α2n+1 < J1 < α2n+1 . 2 2

(18)

Займемся оценкой интеграла J2 , J2
2 u 2

Z1 

α22

u − α22 1 − α22 u

n

du.

Произведя еще одну замену v = (u − α22 )/(1 − α22 u), получим: 1 − α42 J2 > 2

Z1 0

v n dv 1 − α22 . > n+1 (1 + α22 v)2

Следовательно,

1 − α22 1 − α22 < J2 < . 4(n + 1) n+1 Из последнего соотношения и (18) на основании (17) будем иметь:   1 2 1 − α22 n+1 2n+1 2 (α + 1 − α2 ) < ε2n (α) < α2 + , n ∈ N, α2 ∈ [0; 1). 2π(n + 1) 2 π n+1

Соотношение (15) вытекает из того, что inf (u2n+1 + 1 − u2 ) 

u∈[0;1)

и inf (u2n+1 +

u∈[0;1)

1 − u2 ln n ) 2 , n+1 n

ln n n n → +∞.

Очевидно, оценки (14) указывают вид зависимости остатка ряда Фурье функции | sin x| от выбора полюсов. Оценку (15) можно обобщить на случай произвольного числа геометрически различных полюсов.

47

О рациональной интерполяции функции |x|

Список литературы 1. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с. 2. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 3. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812. 4. Вячеславов, Н.С. О равномерном приближении функции |x| рациональными функциями / Н.С. Вячеславов // Докл. АН СССР. – 1975. – Т. 220. – № 3. – С. 512–515. 5. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27. 6. Ganelius, T.H. Rational approximation in the complex plane and on the line / T.H. Ganelius // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. – 1976. – Vol. 2. – P. 129–145. 7. Andersson, J.-E. Optimal quadrature of H functions / J.-E. Andersson // Math. Z. – 1980. – Vol. 172. – P. 55–62.

О рациональной интерполяции функции |x| * The estimates of approximation of function |x| at the segment [−1, 1] by interpolating rational functions at the Chebyshev–Markov nodes have been obtained. The case of a fixed number of geometrically different poles has been studied in detail. With some limitations on the poles the estimates obtained are accurate in order.

Для получения оценки скорости убывания наименьших равномерных уклонений En (|x|, [−1, 1]) функции |x| от алгебраических полиномов степени не выше n: En (|x|, [−1, 1])  C/n,

C = 0, 28..., n → ∞,

в [1] использованы интерполяционные многочлены по узлам Чебышева. Известно, что аналогом многочленов Чебышева в теории рациональной аппроксимации являются рациональные дроби Чебышева–Маркова. Но в работах [2–5], посвященных рациональной аппроксимации |x|, эти дроби не использовались, в них разработаны совершенно другие методы для изучения рациональных приближений функции. В настоящей работе исследуется интерполяционный рациональный процесс для функции |x| на отрезке [−1, 1] по узлам Чебышева–Маркова. Устанавливается определенная взаимосвязь между классическими методами полиномиальных приближений и современными методами рациональной аппроксимации функции |x|. Пусть m2n (x) — рациональная дробь Чебышева–Маркова с полюсами в точках −1 −1 a−1 1 , a2 , . . . , a2n ,

(1)

которые удовлетворяют условиям: 1) числа a1 , a2 , . . . , a2n либо вещественные и |ak | < 1, либо попарно комплексно-сопряженные, a1 = a2 = 0; 2) точки a1 , a2 , . . . , a2n симметричны относительно мнимой оси. Обозначим через xk , k = 1, 2n, нули функции m2n (x) (см. [6, с. 49]): −1 < x2n < x2n−1 < . . . < xn+1 < 0 < xn < . . . < x1 < 1.

(2)

* Ровба, Е.А. О рациональной интерполяции функции |x| / Е.А. Ровба // Вести АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1989. – № 5. – С. 39–46.

48

Е.А. Ровба

Взяв в качестве узлов интерполирования точки xk , k = 1, 2n, и точку 0, построим для функции |x| на отрезке [−1, 1] интерполяционную рациональную функцию порядка 2n: L2n (x) =

2n X k=1

|xk |

2n n X X xm2n (x) xm2n (x) xm2n (x) − . = (x − xk )(xm2n (x))0x=xk (x − xk )m02n (xk ) (x − xk )m02n (xk )

(3)

k=n+1

k=1

Введем следующие обозначения. Пусть A2n есть множество точек a = (a1 , a2 , . . . , a2n ), где числа ak , k = 1, 2n, удовлетворяют приведенным в (1) условиям. Тогда полагаем ε2n (x, a) = |x| − L2n (x, a),

ε2n (a) = kε2n (x, a)kC[−1,1] ,

ε2n = inf ε2n (a). a∈A2n

(4)

Если же q — произвольное число, 0 6 q < n, и A2n,2q есть множество точек из A2n , удовлетворяющих условию, что среди чисел a1 , a3 , . . ., a2n−1 находится не более q различных, отличных от n нуля, и кратность каждой точки не меньше , a2k = a2k−1 , k = 1, n, то q+1 ε2n,2q =

inf

a∈A2n,2q

(40 )

ε2n (a).

Справедливы следующие леммы. Лемма 1. При названных выше предположениях относительно полюсов функции m2n (x) справедливо соотношение ε2n (x, a) = Hn (x, a)m2n (x), x ∈ [−1, 1], (5) где функция Hn (x, a) определяется формулой 2x2 Hn (x, a) = π

+∞ Z 0

dt (x2

+

t2 )m

2n (it)

.

(6)

Лемма 2. Для функции Hn (x, a) справедлива оценка: ∀x ∈ [−1, 1] 4x2 |Hn (x, a)| 6 π где

Z1 0

(a)

1 du ψn (u) · ·√ , 2 2 2 (a) x + (1 − x )u 1 + (ψn (u))2 1 − u2

1/4 2n  2 Y ρk + 4uρk (u − βk ) + (u − βk )2 = , ρ2k + 4uρk (u + βk ) + (u + βk )2 k=1 r ak + 1 2 , βk = Im zk > 0, k = 1, 2n. ρk = |zk | − 1, zk = ak − 1 ψn(a) (u)

(7)

(8)

Если чисто мнимые полюсы функции m2n (x) имеют четную кратность, то в (7) имеет место знак равенства. Доказательство леммы 1. Легко видеть, что справедливо тождество 1=

2n X k=1

m2n (x) . (x − xk )m02n (xk )

Тогда отсюда и из соотношения (3) вытекает, что при x ∈ [0, 1] x − L2n (x) = 2

2n X

k=n+1

xm2n (x) = Hn (x, a)m2n (x), (x − xk )m02n (xk )

49

О рациональной интерполяции функции |x|

где Hn (x, a) = 2x

2n X

k=n+1

1 . (x − xk )m02n (xk )

Осталось произвести некоторые преобразования функции Hn (x, a). Учитывая, что при выбранных ak , функция m−1 2n (x) имеет на бесконечности нуль не ниже второго порядка, по теореме Коши о вычетах будем иметь Z dt x , Hn (x, a) = πi (x − t)m2n (t) Γ

где Γ = {t : t = iv, −∞ < v < +∞} с таким направлением обхода, что полуплоскость Re z < 0 −1 остается слева (полагаем, что m−1 2n (−ak ) = 0, k = 1, 2n). Следовательно,  +∞  +∞ +∞ Z Z Z x x dt dt dt . Hn (x, a) = =  + (9) π (x − it)m2n (it) π (x − it)m2n (it) (x + it)m2n (−it) −∞

где

0

0

На основании равенства (3) из [6, с. 48] нетрудно получить, что  1  (+) ϕn (x) + ϕ(−) (x) , m2n (x) = n 2 ϕ(±) n (x) =

q √ 2n x + a ± i 1 − a2 1 − x2 Y k k 1 + ak x

k=1

(10)

.

Учитывая выбор полюсов и соотношение (10), можно непосредственно проверить, что m2n (z) = m2n (z), ∀z ∈ C. Тогда из (9) вытекает формула (6), что и завершает доказательство леммы 1. Заметим, что формула, аналогичная (5), имеет место и в более общем случае, когда не предполагается симметричность полюсов относительно мнимой оси. (+)

(−)

Доказательство леммы 2. Легко проверить, что ϕn (it) · ϕn (it) = 1, ∀t ∈ R (см. (10)). Поэтому из формул (6) и (10) будем иметь, что 4x2 Hn (x, a) = π

+∞ Z 0

ϕn (it) dt · 2 , 2 1 + ϕn (it) x + t2

(11)

(+)

где ϕn (it) = ϕn (it). Как известно из [6, с. 48], косинус-дробь Чебышева–Маркова m2n (x) связана с косинус-дробью Бернштейна M2n (y) следующим соотношением: ! r 1−x , (12) m2n (x) = M2n 1+x M2n (y) =


1 χn (y) + χ−1 n (y) , 2

y 2 + (1 + ak )/(1 − ak )

χn (y) =

2n Y y − zk , y − zk

(120 )

k=1

= 0, удовлетворяющие условию Im zk > 0. Точzk , k = 1, 2n, — корни уравнений ки z1 , z2 , . . . , z2n будут попарно симметричными относительно мнимой оси. Если проследить вывод формулы (12), то заметим, что p  ϕn (x) = χn (1 − x)/(1 + x) , x ∈ [−1, 1]. (13)

50

Е.А. Ровба

Здесь выбираем ту ветвь аналитической в плоскости с разрезом по отрезку [−1, 1] функции p (1 − z)/(1 + z), которая на верхнем крае разрезаpпринимает отрицательные значения. Теперь в интеграле (11) сделаем замену: (1 − it)/(1 + it) = iξ. Отсюда находим, что 1 + ξ2 4ξdξ t = , dt = и что образом промежутка (0, +∞) является часть окружности i(1 − ξ 2 ) i(1 − ξ 2 )2 Γ = {ξ : ξ = eiϕ , 0 < ϕ < π/2} с направлением обхода по часовой стрелке. Последнее вытекает из того, что при t ∈ (0, +∞)  π p −arctg t i ξ = −i (1 − it)/(1 + it) = e 2 .

Тогда, учитывая (13), из равенства (11) имеем 16x2 Hn (x, a) = πi

Z

((1 −

Γ

ξ 2 )2 x2

ξχn (iξ)dξ , − (1 + ξ 2 )2 )(1 + χ2n (iξ))

x ∈ [−1, 1].

√ √ 2 , где В полученном интеграле произведем еще одну замену: ξ = u + i 1 − u 1 − u2 > 0, u ∈ (−1, 1). √ 2 u+i 1−u 1 √ Очевидно, dξ = du, u = (ξ + ξ −1 ), образом кривой Γ является интервал (0, 1). Будем 2 2 i 1−u иметь, что при ∀x ∈ [−1, 1] 4x2 Hn (x, a) = π

Z1 0

√ χn (iu − 1 − u2 ) du √ √ . (x2 + (1 − x2 )u2 )(1 + χ2n (iu − 1 − u2 )) 1 − u2

(14)

Займемся теперь изучением функции χn (см. (120 )). Пусть при некотором k число ak является комплексным и Re ak 6= 0. Тогда в соответствии с , −ak . Нетрудно проверить, условиями (1) среди чисел aj , j = 1, 2n, имеются также числа ak , −akp что этим четырем числам соответствуют следующие числа: zk (zk = (ak + 1)/(ak − 1), см. (8)): −1 zk = α + iβ = b1 , −α + iβ = b2 , −b−1 1 , −b2 (β > 0). Теперь рассмотрим произведение четырех соответствующих множителей из χn : χ(k) = Легко видеть, что

iξ + b−1 1 iξ + b−1 1

iξ − b1 iξ − b2 iξ + b−1 iξ + b−1 1 2 · · · . −1 −1 iξ − b1 iξ − b2 iξ + b1 iξ + b2

b1 −iξ + b1 b1 iξ + b2 b1 = = · · = b1 −iξ + b1 b1 iξ + b2 b1



iξ − b2 iξ − b2



.

Отсюда вытекает iξ − b1 iξ − b2 2 b1 b2 (ξ − β)2 + α2 ρ2k + 4uρk (u − β) + 4(u − β)2 (k) = χ = · = , iξ − b1 iξ − b2 b1 b2 (ξ + β)2 + α2 ρ2k + 4uρk (u + β) + 4(u + β)2

(15)

ρk = |zk2 | − 1.

Следовательно, множитель |(iξ − zk )/(iξ − zk )| в произведении χn можно заменить выражением 

ρ2k + 4uρk (u − β) + 4(u − β)2 ρ2k + 4uρk (u + β) + 4(u + β)2

1/4

.

(16)

Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда число ak является действительным или чисто мнимым. Тем самым неравенство (7) доказано.

51

О рациональной интерполяции функции |x|

Уточним лишь, что если ak — чисто мнимое число, то среди aj , j = 1, 2n, найдется также число (2) (1) ak . Числам ak и ak соответствуют следующие два числа: zk = α + iβ и zk = −α + iβ. В этом (j) (j) (j) случае, очевидно, |zk | = 1 и ρk = |zk |2 − 1 = 0, j = 1, 2. Поэтому (1)

(2)

iξ − zk

iξ − zk

iξ − zk

iξ − zk

(1)

(2)

=

u−β , u+β

(17)

и отсюда√и из (15) вытекает, что в случае, когда мнимые полюсы имеют четную кратность, функция χn (iu − 1 − u2 ) не изменяет знак на отрезке [0, 1]. Замечание. Нетрудно показать, что при каждом фиксированном u ∈ [0, 1] функция ((ρ2 + 4uρ(u − β) + (u − β)2 )/(ρ2 + 4uρ(u + β) + (u + β)2 )) по переменной ρ ∈ R принимает наименьшее значение в точке ρ = 0. Отсюда вытекает, что функция Hn (x, a) принимает наименьшее значение на множестве точек a1 , a2 , . . . , a2n , у которых Re ak = 0, k = 1, 2n. Теорема 1. Если числа a1 , a2 , . . . , a2n , такие что Re ak = 0,

a2k−1 = a2k ,

k = 1, n;

(18)

a1 = 0,

то 4 ε2n (a) 6 π

Z1 0

где n Y u − βk , ψn (u) = u + βk

βk = Im

k=1

|ψn (u)| du √ , 1 + ψn2 (u) 1 − u2

s

|a2k−1 | a2k−1 + 1 , =p a2k−1 − 1 1 + |a2k−1 |2

(19)

k = 1, n.

Причем оценка (19) точная в том смысле, что если все полюсы имеют четную кратность, то в (19) имеет место знак равенства. Теорема 1 вытекает из лемм 1 и 2 и того, что

max |m2n (x)| = |m2n (1)| = 1 и функция

x∈[−1,1]

x2 /(x2 + (1 − x2 )u2 ) также принимает наибольшее по переменной x ∈ [−1, 1] значение в точке x = 1. Так как функция ψn (u) хорошо изучена (см., например, [2, 4, 5]), то на основании оценки (19) можно получить оценки для величин εn . В настоящей работе подробно остановимся на изучении приближений с заданным числом геометрически различных полюсов. Теорема 2. При любых целых n и q, 0 6 q < n, n 6 1, справедливо неравенство  −2q ! n t 4(q + 1) . 1+ e− 4t + ε2n,2q 6 2 inf 1

Zβq  0

βq − u βq + u

2m(q+1)

 q−1 Zβk  X βk − u 2m(q+1) du + du. βk + u k=0β ∗ k

В каждом из интегралов, стоящих справа, произведем замену t= Получим  1 Z  t2m(q+1) I >2

tβq dt + (1 + t)2

0

βk − u , βk + u

tk

q−1 Z X

1 > βq 2 tk =

t2m(q+1)

k=0 0



где

u = βk

Z1

1−t , 1+t

2βk tdt . (1 + t)2



tβk dt > (1 + t)2

tn+1 dt +

q−1 X k=0

0

du = −

βk − βk∗ 2ηk , =1− ∗ βk + βk 1 + ηk

βk

Ztk 0

ηk =



1 tn+1 dt = 2(n + 2)

p

βk+1 /βk ,

βq +

q−1 X k=0

!

, (27) βk tn+2 k

k = 0, q − 1.

Отсюда и из оценки (26) вытекает, что точная нижняя грань в соотношении ε2n,2q = inf ε2n (a) достигается при некоторых β1 , β2 , . . . , βq , удовлетворяющих условиям: a∈A2n,2q

βq ln2q n 6 C2 (q) 2q+1 ; n+1 n Следовательно, при k = 0 имеем: 

βk tn+2 ln2q n k 6 C2 (q) 2q+1 , n+2 n

k = 0, q − 1, ∀n > n0 .

√ n+2 2 β1 ln2q n √ 1− 6 C3 (q) . n2q 1 + β1

Отсюда вытекает, что β1 6 C4 (q) ln2 n · n−2 . Далее при k = 1 получим, что n+2  ln2q n 2η1 6 C3 (q) β1 1 − , β2 6 C5 (q)n−4 ln4 n. 1 + η1 n2q Продолжая рассуждения, найдем, что βq 6 C6 (q) ln2q n · n−2q ,

n > 1,

и, следовательно, на основании (26) и (27) ε2n,2q 6 C6 (q) ln2q n · n−2q−1 , что вместе с (25) доказывает теорему 3.

n > 1,

54

Е.А. Ровба

Заметим, что К.Н. Лунгу (см., например, [7]) принадлежит следующая оценка наилучших равномерных приближений ρn,2q (|x|) функции |x| на отрезке [−1, 1] рациональными функциями, имеющими не более 2q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости: 

ln n n

2q+1

,

n > 1.

ρn,2q (|x|) 6 C(q) n−2q−1 ln2q n,

n > 1.

ρn,2q (|x|) 6 C(q)

Из оценки (24) следует более точное соотношение:

Список литературы 1. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1954. – Т. 1. 2. Newman, D. Rational approximation to |x| / D. Newman // Michigan Math. J. – 1964. – Vol. 11. – N. 1. – P. 11–14. 3. Гончар, А.А. Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 72. – № 3. – С. 489–503. 4. Буланов, А.П. Асимптотика для наименьших уклонений |x| от рациональных функций / А.П. Буланов // Матем. сб. – 1969. – Т. 76. – № 2. – С. 288–303. 5. Вячеславов, Н.С. О равномерном приближении функции |x| рациональными функциями / Н.С. Вячеславов // Докл. АН СССР. – 1975. – Т. 220. – № 3. – С. 512–515. 6. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 7. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324.

Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна * Пусть {αk } — произвольная последовательность комплексных чисел, α0 = 0; ∀n ∈ N |αk | < 1. Введем следующие обозначения: n

λn (u) =

1 X 1 − |αk |2 + , 2 1 − 2|αk | cos(u − θk ) + |αk |2

θk = arg αk ;

k=1

λn (x; y) =

Zy

λn (u)du.

x

1 − a2 du = 2π, то функция λn (0; y) переменной y возрастает на 2 0 1 − 2a cos u + a отрезке [0; 2π] от 0 до (2n + 1)π. Следовательно, функция sin λn (0; y) имеет на промежутке [0; 2π) (2n + 1) нулей. Обозначим их через xk , k = 0, 2n: Так как ∀a ∈ [0; 1)

2π R

Zxk

λn (u)du = kπ,

k = 0, 2n.

0

* Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1991. – № 2. – С. 75–77.

55

Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна

Для произвольной функции f ∈ C2π полагаем: Gn (x; f ) =

2n X f (xk ) Dn (x; xk ), 2λn (xk )

(1)

k=0



x − xk . 2 Нетрудно проверить, что Gn (x; f ) есть тригонометрическая интерполяционная рациональная функция порядка не выше n. Действительно, где Dn (x; xk ) = sin λn (xk ; x)

sin

lim Dn (x; xk ) = 2λn (xk ),

x→xk

Gn (xk ; f ) = f (xk ),

k = 0, 2n.

Из известного тождества М.М. Джрбашяна [1] 1 Dn (x; y) = ξ−z

n n Y Y ξ − αk 1 − αk z z − αk 1 − αk ξ ξ · −z · 1 − αk ξ z − αk 1 − αk z ξ − αk k=1

k=1

!

,

z = eix , ξ = eiy ,

(2)

вытекает, что Gn (x; f ) есть тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n, и, как следствие, отсюда имеем, что Gn (x; 1) ≡ 1. (3)

Очевидно, функция Gn (x; 1) в частном случае, когда α0 = α1 = . . . = αn = 0, является тригонометрическим интерполяционным полиномом с равноотстоящими узлами. Исходя из этого полинома С.Н. Бернштейн [2] построил суммы, аналогичные средним Фейера для тригонометрических рядов Фурье. В настоящей заметке на основании функций (1) построены рациональные функции с подобными свойствами. Пусть 2n X 1 f (xk ) 2 Un (x; f ) = D (x; xk ). (4) 4λn (x) λn (xk ) n k=0

Учитывая, что

1 − 2|αk | cos(x − θk ) + |αk |2 = (eix − αk )(e−ix − αk )

и тождество (2), заключаем, что Un (x; f ) есть тригонометрическая рациональная функция порядка не выше 2n. Далее, легко проверить, что Un (xj ; f ) =

f (xj ) lim D 2 (x; xj ) = f (xj ), 4λ2n (xj ) x→xj n

j = 0, 2n.

Представляет интерес сравнить функцию (4) с рациональной функцией типа Фейера [3]. Покажем также, что рациональная функция Un (x; f ) является точной для f (x) ≡ 1. Действительно, Un (xj ; 1) = 1 и Un0 (xj ; 1) = 0, j = 0, 2n. Проверим правильность последнего соотношения. Очевидно, если j 6= k, то  2  Dn (x; xj ) d = 0. dx λn (x) x=xj Если же k = j, то после несложных вычислений также получим, что   d Dn2 (x; xk ) = 0. lim x→xk dx λn (x)

Таким образом, рациональная функция Un (x; 1) − 1 порядка не выше 2n имеет 4n + 2 нулей. Следовательно, Un (x; 1) ≡ 1. (5) Имеет место

56

Е.А. Ровба

Теорема. Если последовательность {αk } такая, что +∞ X (1 − |αk |2 ) = +∞, k=0

то для ∀f ∈ C2π соответствующая последовательность рациональных функций {Un (x; f )} равномерно сходится на R к функции f . Докажем вначале следующую лемму. Лемма. Справедливо равенство 2n X (2λn (xk ))−1 = 1.

(6)

k=0

Действительно, запишем тождество (1) в виде: 2n X k=0

1 Dn (x; xk ) ≡ 1. 2λn (xk )

Интегрируя его по переменной x на отрезке [0; 2π] и учитывая, что ∀y ∈ R

2π R

Dn (x; y) = 2π,

0

придем к равенству (6). Теперь приступим к доказательству теоремы. Пользуясь тождеством (5), легко получить, что 2n

f (x) − Un (x; f ) =

X f (x) − f (xk ) 1 Dn2 (x; xk ). 4λn (x) λn (xk )

(7)

k=0

Зададим ε > 0. Тогда найдется δ, δ = δ(ε) > 0, такое, что ∀x0 , x00 ∈ R |x0 − x00 | < δ

|f (x0 ) − f (x00 )| < ε.

⇒

Пусть x ∈ [0; 2π] и Ω1 = {k : |x − xk | < δ, |x − xk ± 2π| < δ}, Ω2 = {k}2n 0 \ Ω1 . Тогда будем иметь |f (x) − Un (x; f )| 6

X X kf kC ε 1 1 2π Dn2 (x; xk ) + D 2 (x; xk ) 6 4λn (x) λn (xk ) 2λn (x) λn (xk ) n k∈Ω1

k∈Ω2

2n

X kf kC2π λ−1 (xk ). 6ε+ 2λn (x) sin2 δ/2 k=0 n

Осталось учесть равенство (6) и тот факт, что n

1X ∀x ∈ R λn (x) 6 (1 − |αk |). 2 k=1

Список литературы 1. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 3–28. 2. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1952. – Т. 2. 3. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

57

Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена

Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена * 1. Рациональные операторы, построенные В.Н. Русаком (см., например, [1]), нашли широкие применения как в теории рациональной аппроксимации с фиксированными полюсами, так и со свободными полюсами (см. [2, 3]). Эти операторы являются интегральными и своим происхождением восходят к рациональным рядам Фурье. Представляет интерес найти аналоги таких операторов, исходя из интерполяционных рациональных функций Лагранжа, введенных впервые в работах В.Н. Русака [4, 5]. Отметим, что в этих работах уже имеются некоторые рациональные операторы бернштейновского типа, обладающие свойством равномерной сходимости при определенных ограничениях на полюсы. Основной результат настоящей заметки заключается в построении интерполяционных рациональных операторов типа Фейера и Валле-Пуссена на вещественной оси. В полиномиальном случае такие операторы введены в работах [6–8]. 2. Операторы типа Фейера. Пусть {zk }+∞ k=0 — последовательность комплексных чисел, z0 = i, zk = αk + iβk , βk > 0, k ∈ N. Обозначим через mn (x) следующую косинус–дробь Бернштейна: x ∈ R,

mn (x) = cos ϕn (x), где ϕn (x) = arg(z0 − x) + 2

n X k=1

arg(zk − x).

Известно (см. [1, с. 14]), что функция mn (x) имеет на вещественной оси 2n+1 нулей. Обозначим их через xk , k = 0, 2n; mn (xk ) = 0, ϕn (xk ) = (2k + 1)π/2, k = 0, 2n. Пусть задана функция f ∈ C∞ , т.е. непрерывная на R, и существуют конечные и равные между собой пределы lim f (x) и lim f (x). Введем следующую функцию: x→−∞

x→+∞

2n

1 X f (xk ) m2n (x) . U4n (x; f ) = 0 ϕn (x) ϕ0n (xk ) (x − xk )2

(1)

k=0

Очевидно, U4n (xj ; f ) =

f (xj ) m2n (x) = f (xj ), lim (ϕ0n (xj ))2 x→xj (x − xj )2

j = 0, 2n.

Функция U4n (x; f ) является рациональной и имеет порядок не выше 4n. Это утверждение вытекает из того, что (см. [1]) n

ϕ0n (x) =

X βk 1 +2 , 2 x +1 (αk − x)2 + βk2 k=1

1 mn (x) = 2

r

n −i + x Y zk − x + i+x zk − x k=1

r

n i + x Y zk − x −i + x zk − x k=1

!

.

Покажем, что функция U4n (x; f ) является точной для f (x) ≡ 1, т.е. U4n (x; 1) ≡ 1. Действительно, во-первых, U4n (xj ; 1) = 1, j = 0, 2n. (2) Во-вторых, 0 U4n (xj ; 1) = 0,

j = 0, 2n.

(3)

* Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Математические заметки. – 1993. – Вып. 2. – Т. 53. – № 3. – С. 114–121.

58

Е.А. Ровба

Последнее утверждение вытекает из того, что   m2n (x) 1 d = 0, lim x→xj dx ϕ0n (x) (x − xj )2

j, k = 0, 2n.

Если j 6= k, то это равенство является тривиальным. Если же j = k, то   00   m2n (x) ϕn (x) m2n (x) 1 sin 2ϕn (x) 2 cos2 ϕn (x) d + + 0 = − lim = lim x→xj (ϕ0n (x))2 (x − xj )2 x→xj dx ϕ0n (x) (x − xj )2 (x − xj )2 ϕn (x)(x − xj )3 sin ϕn (x)ϕ0n (x)(x − xj ) + cos ϕn (x) = −ϕ00n (xj ) + 2ϕ0n (xj ) sin ϕn (xj ) · lim = 0. x→xj ϕ0n (x)(x − xj )2

Значит, рациональная функция U4n (x; 1) − 1 порядка не выше 4n имеет 4n + 2 нулей с учетом их кратности. Следовательно, U4n (x; 1) ≡ 1. (4) Итак, имеет место

Лемма 1. Функция U4n (x; f ), определяемая формулой (1), является рациональной функцией порядка не выше 4n, точной для константы. Заметим, что общий вид формулы (1), а также соотношения (2) и (3) свидетельствуют, что оператор U4n является оператором фейеровского типа. +∞ P βk расходится1 , то для любой функции f ∈ C∞ последовательТеорема 1. Если ряд 2 2 k=0 βk + αk + 1 ность рациональных функций {U4n (x; f )} равномерно сходится на R к f . Доказательству этой теоремы предпошлем следующую лемму.

Лемма 2. Справедливо равенство 2n X

(1 + x2k )−1 (ϕ0n (xk ))−1 = 1.

(5)

k=0

Доказательство леммы 2. Рассмотрим следующую интерполяционную рациональную функцию (см. [4]): √ 2n X f (xk ) mn (x) 1 + x2 q L2n (x; f ) = . ϕ0 (xk ) (−1)k+1 (x − x ) 1 + x2 k=0 n k k

Она является точной для единицы. Следовательно, 2n X

(−1)k+1 mn (x) 1 q ≡ . √ 1 + x2 2 0 2 k=0 ϕn (xk )(x − xk ) 1 + xk 1 + x

Интегрируя по переменной x, получим

+∞ Z (−1)k+1 mn (x)dx q √ = π. 2 (x − x ) 2 1 + x 0 k k=0 ϕn (xk ) 1 + xk −∞

2n X

(6)

С помощью теории вычетов аналогично [1, с. 115] легко найти, что +∞ Z

−∞

√

(−1)k+1 π mn (x)dx , = q 1 + x2 (x − xk ) 1 + x2k

k = 0, 2n.

Подставляя это значение в (6), получим равенство (5).

1 Расходимость этого ряда является необходимым и достаточным условием полноты системы функций {(x − zn )−1 , (x − z n )−1 }+∞ n=0 в C∞ .

59

Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена

Доказательство теоремы 1. Введем функцию ϕ(t) = f (tg(t/2)). Если f ∈ C∞ , то функция ϕ(t) является непрерывой и 2π-периодичной на R. Зададим произвольное число ε, ε > 0. Тогда найдется такое число δ, δ = δ(ε) > 0, что ∀t0 , t00 ∈ R

|t0 − t00 | < δ ⇒ |ϕ(t0 ) − ϕ(t00 )| < ε.

Пусть x ∈ R, x = tg(t/2) и xk = tg(tk /2), k = 0, 2n. Обозначим через (1)

Ωt

(2)

= {k : k = 0, 2n, |t − tk | < δ, |t − tk ± 2π| < δ},

Ωt

(1)

= {0, 1, . . . , 2n} \ Ωt .

Пользуясь тождеством (4), легко получить, что 2n 1 X ϕ(t) − ϕ(tk ) m2n (x) |f (x) − U4n (x; f )| = 0 6 ϕn (x) ϕ0n (xk ) (x − xk )2 k=0

6

X ε m2n (x) m2n (x) 2kf k X + . ϕ0n (x) ϕ0n (xk )(x − xk )2 ϕ0n (x) ϕ0n (xk )(x − xk )2 (1) (2) k∈Ωt

k∈Ωt

(2)

Если k ∈ Ωt , то 2

(x − xk ) =



sin



t − tk 2



   2 δ2 t tk > 2 (1 + x2 )(1 + x2k ). cos cos 2 2 π

Учитывая последнее неравенство и тождество (4), будем иметь |f (x) − U4n (x; f )| 6 ε +

X 2π 2 kf k 1 . 2 2 0 2 (1 + x )ϕn (x)δ (1 + xk )ϕ0n (xk ) (2) k∈Ωt

Осталось воспользоваться леммой 2 и тем, что ∀x ∈ R (1 + x2k )ϕ0n (x) > 1 + 2

n X k=1

βk




βk2 + α2k + 1 .

3. Операторы типа Валле-Пуссена. Пусть {zk }+∞ k=1 — последовательность комплексных чисел, zk = αk + iβk , βk > 0, k ∈ N. Введем следующие обозначения ∀n ∈ N

Φn (x) =

n X k=1

arg(zk − x),

Φ2n (x) = 2Φn (x);

Nm (x) = sin Φm (x), m = n, 2n, — синус-дроби Бернштейна. Полагаем также, что  Km (x; y) = sin2 (Φm (x) − Φm (y)) (x − y)2 , m = n, 2n,

и

Fn (x; y) = (K2n (x; y) − Kn (x; y))/Φ0n (y). Нетрудно проверить, что Fn (x; y) =

sin(Φn (x) − Φn (y)) sin 3(Φn (x) − Φn (y)) . Φ0n (y)(x − y)2

(7)

Обозначим через yk , k = 1, 3n, нули фукции sin 3Φn (x), включая бесконечно удаленную точку, y3n = ∞.

60

Е.А. Ровба

Пусть f ∈ C∞ , lim f (x) = lim f (x) = f (∞). Полагаем x→+∞

x→−∞

3n

X 1 V4n−2 (x; f ) = f (yk )Fn (x; yk ), 3Φ0n (x)

(8)

k=1

где Fn (x; y3n ) = lim Fn (x; y) = sin Φn (x) sin 3Φn (x) y→∞

Очевидно, V4n−2 (yj ; f ) = lim f (yj ) x→yj

,

n X

βk .

k=1

sin(Φn (x) − Φn (y)) sin 3(Φn (x) − Φn (y)) = f (yj ), 3Φ0n (x)Φ0n (yj )(x − yj )2

n X 1 V4n−2 (y3n ; f ) = lim f (y3n )Fn (x; y3n ) = f (y3n ) βk x→∞ 3 k=1

!−2

j = 1, 3n − 1,

lim x sin Φn (x) lim x sin 3Φn (x) = f (y3n ).

x→∞

x→∞

Выпишем еще одно представление для функции V4n−2 (x; f ): V4n−2 (x; f ) = (Φn (x))−1 (s2n − sn ),

(9)

где sm =

3n X

f (yk )(3Φ0n (yk ))−1 Km (x; yk ),

m = n, 2n.

k=1

Лемма 3. Справедливы следующие утверждения: 1) V4n−2 (x; f ) является рациональной функцией порядка не выше 4n − 2; 2) функция V4n−2 (x; f ) является точной для всякой рациональной функции вида , n Y (x − zk )(x − z k ) , r2n (z) = p2n (x)

(10)

k=1

где p2n (x) — произвольный алгебраический многочлен степени не выше 2n, т.е. V4n−2 (x; r2n ) ≡ r2n (x); 3) ∀ f ∈ C∞ имеет место неравенство kV4n−2 (x; f )k 6 3kf k. Первое утверждение проверяется аналогично, как при выводе леммы 1. Для доказательства второго утверждения потребуются рациональные операторы типа ВаллеПуссена, построенные В.Н. Русаком [1]: ∗ V4n−2 (x; f )

1 = πΦ0n (x)

+∞ Z f (t)(K2n (t; x) − Kn (t; x))dt.

(11)

−∞

Оказывается, что для всякой функции f (x) = r2n (x) вида (10) имеет место тождество ∗ V4n−2 (x; f ) ≡ V4n−2 (x; f ).

(12)

Это тождество достаточно проверить для функций 1, (x − zj )−1 , (x − z j )−1 , j = 1, n. Не ограничивая общности, будем полагать, что среди чисел z1 , z2 , . . . , zn нет равных; в противном случае

Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена

61

можно было бы вместо них рассмотреть последовательность z10 , z20 , . . . , zn0 различных чисел и воспользоваться предельным переходом zk0 → zk , k = 1, n. Пусть f (x) = (x − zj )−1 , 1 6 j 6 n. Покажем, что в этом случае функцию V4n−2 (x; f ) можно представить в виде следующего интеграла: 1 V4n−2 (x, f ) = 2πiΦ0n (x)

Z Γ

1 (K2n (t; x) − Kn (t; x))ctg3Φn (t)dt, t − zj

(13)

где Γ — произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точки zk и z k , k = 1, n и не содержащий точек yk , k = 1, 3n. Пусть Z 1 (t − zj )−1 Km (t; x)ctg3Φn (t)dt, m = n, 2n. (14) Im (f ) = 2πi Γ

Пользуясь представлениями (1) и (2) из [1, с. 114], найдем: In (f ) = (2πi)−1

Z

Rn (t)dt,

Γ

где −i Rn (t) = 4(t − zj )(t − x)2 an (t) =

n Y



an (t)bn (x) bn (t)an (x) −2+ bn (t)an (x) an (t)bn (x)

(zk − t),

bn (t) =

k=1

n Y



·

a3n (t) + b3n (t) , a3n (t) − b3n (t)

(z k − t).

k=1

Функция Rn (t) имеет простые полюсы в точках yk , k = 1, 3n − 1, z k , k = 1, n и zk , k = 1, n, k 6= j. В точке zj функция Rn (t) будет иметь полюс второго порядка. Следовательно, интеграл In (f ) может быть представлен в виде In (f ) =

3n X

m=1

res Rn (t).

t=ym

Если m = 1, 3n − 1, то res Rn (t) =

t=ym

Kn (x; ym ) cos 3Φn (t) Kn (x; ym ) lim = . 0 ym − zj t→ym (sin 3Φn (t)) 3(ym − zj )Φ0n (ym )

Если же m = 3n, то rest=ym Rn (t) = 0, так как бесконечно удаленная точка является нулем порядка не ниже второго функции Rn (t). Таким образом, In (f ) = sn (см. (9) и (14)). Аналогично можно показать, что I2n (f ) = s2n , f (x) = (x − zj )−1 , 1 6 j 6 n. Значит, представлние (13) имеет место. Теперь, пользуясь соотношениями (11) и (13), покажем справедливость тождества (12) для функции f (x) = (x − zj )−1 , 1 6 j 6 n. С этой целью интегралы (11) и (13) выразим через суммы вычетов относительно точек zk и z k , k = 1, n. Пусть ∗ V4n−2 (x; f ) = (Φ0n (x))−1 (J2n (f ) − Jn (f )),

где Jm (f ) = π

−1

+∞ Z (t − zj )−1 Km (x; t)dt,

−∞

m = n, 2n.

62

Е.А. Ровба

Тогда будем иметь: n P 1) Jn (f ) = 2i rest=zm (t − zj )−1 Kn (x; t); m=1

res

t=zm

Kn (x; t) z m − zm = t − zj 4(zm − zj )(zm − x)2

n Y

k=1,k6=m

z k − t an (x) = cm (x), zk − t bn (x)

 Kn (x; t) d  zj − t 1 1 res = + lim t=zj t − zj 2(zj − x)2 4 t→zj dt (t − x)2 2) Jn (f ) = −2i

n P

m=1

n Y

k=1,k6=m

rest=z m (t − z j )−1 Kn (x; t);

zm − z m Kn (x; t) = res t=z m t − zj 4(z m − zj )(z m − x)2 Следовательно, Jn (f ) = i

n Y

k=1,k6=m

n X

m=1

Пользуясь тем, что a3n (t) + b3n (t) = ∓1; a3n (t) − b3n (t) t=zm ,zm

m 6= j;

 z k − t  an (x) = cj (x); zk − t bn (x)

zk − z m bn (x) = dm (x), z k − z m an (x)

m = 1, n.

(cm (x) − dm (x)).

d a3n (t) + b3n (t) = 0, dt a3n (t) − b3n (t) t=zm ,zm

m = 1, n,

легко получить точно такое выражение для интеграла In (f ), f (x) = (x − zj )−1 , 1 6 j 6 n (см. (14) и (13)). Значит, In (f ) = Jn (f ). Аналогично доказывается, что I2n (f ) = J2n (f ), и тем самым будет доказано тождество (12) для f (x) = (x − zj )−1 , 1 6 j 6 n. Подобным же образом проверяется тождество (12) для функций 1 и (x − z j )−1 , 1 6 j 6 n. В частности, Im (1) = Jm (1), m = n, 2n. (15) Осталось доказать третье утверждение леммы. Из равенств (9) и (13), (14) следует: ! 3n X kf k 1 kf k |V4n−2 (x; f )| 6 (K2n (x; yk ) + Kn (x; yk )) = 0 (I2n (1) + In (1)). 0 0 3Φn (x) Φn (yk ) Φn (x) k=1

Тогда, учитывая соотношения (15), а также неравенства (см. [1]) ∀x∈R

J2n (1) 6 2Φ0n (x),

Jn (1) 6 Φ0n (x),

придем к требуемому соотношению. Лемма 3 доказана. Обозначим через En (f ) = En (f, z1 , z2 , . . . , zn ) наилучшее равномерное приближение функции f ∈ C∞ рациональными функциями вида (10) на R, т.е. En (f ) = inf kf − r2n k. {r2n }

∗ — рациональная функция наилучшего приближения для функции f . Тогда на осноПусть r2n вании леммы 3 будем иметь ∗ ∗ k + kV4n−2 (x; f − r2n )k 6 4En (f ). kf − V4n−2 (x; f )k 6 kf − r2n

Итак, имеет место

Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля

63

Теорема 2. Если функция f ∈ C∞ , то справедливо неравенство kf (x) − V4n−2 (x; f )k 6 4En (f ). В заключении выражаю признательность В.Н. Русаку за полезное обсуждение рассмотренной выше задачи.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 2. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812. 3. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133. – № 1. – С. 86–102. 4. Русак, В.Н. Оценка приближений функций, заданных на всей вещественной оси рациональными функциями / В.Н. Русак // Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. – 1962. – № 4. – С. 23–29. 5. Русак, В.Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В.Н. Русак // Докл. АН БССР. – 1962. – Т. 6. – № 9. – С. 548–550. 6. Fejer, L. Uber Interpolation / L. Fejer // Gott. Nach. – 1916. – P. 66–91. 7. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1954. – Т. 2. 8. Szabados, J. On an interpolatory analogon of the dela Valle-Poussin means / J. Szabados // Studia Sci. Math. Hung. – 1974. – Vol. 9. – N. 1–2. – P. 187–190.

Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами * Fourier S2n (x, f ) and Valee–Poussin V8n−2 (x, f ) rational operators are built for the functions given at the segment [a, b]. The above approximations estimations are found by these function operators possessing the arbitrary derivative of order r, r > 0, according to Riemann–Louiville.

Классы дифференцируемых функций в теории аппроксимации являются объектом пристального внимания со стороны многих исследователей. Особенно широкий круг литературных источников посвящен полиномиальной аппроксимации периодических функций, дифференцируемых в смысле Вейля, см., например [1–3]. Рациональная аппроксимация классов периодических функций, представимых в виде свертки с ядром Вейля, изучалась в работах В.Н. Русака [4, 5]. Найдены точные порядки наилучших равномерных рациональных приближений на рассматриваемых классах функций и построены рациональные операторы, которые эти оценки реализуют. Порядок рациональной аппроксимации оказался в этом случае выше, чем полиномиальной. Актуальность этой задачи объясняется известными работами А.А. Гончара [6] и Е.П. Долженко [7]. В данной работе рассматриваются вопросы рациональной аппроксимации непериодических функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля. r V обозначим класс функций, определенных интегралом Стилтьеса Через W[a;b] 1 f (x) = Γ(r + 1)

Zx a

(x − t)r dh(t),

x ∈ [a, b], r > 0,

где h(t) — функция ограниченной вариации на отрезке [a; b], [Varh(t)]ba 6 1, Γ(r+1) — гамма-функция Эйлера. * Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Доклады АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22.

64

Е.А. Ровба

r V при целых r изучалась, например, в Рациональная аппроксимация классов функций W[a;b] работах В.А. Попова [8], А.А. Пекарского [9]. Подробный обзор библиографии по этим вопросам содержится в [10]. При дробных r точные порядки наилучших рациональных приближений классов функций, имеющих производную порядка r в смысле Римана–Лиувилля, найдены в работе А.П. Старовойтова [11]. Для получения соответствующих результатов в непериодическом случае использовались метод склеивания (см. например, [10]) и метод последовательных усреднений [9]. Наиболее естественным аппаратом приближения являются операторы Фурье и построенные на их основе операторы Валле-Пуссена, Джексона и др. В настоящей работе построены рациональные операторы типа Фурье S2n (x, f ) и Валле-Пуссена V8n−2 (x, f ) для непериодических функций, заданных на конечном отрезке [a; b], и для функций r V , r > 0, получены оценки их приближений при специальном выборе полюсов у аппроксиf ∈ W[a;b] мирующих рациональных функций. Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a; b], zk , k = 1, n — произвольные комплексные числа с положительной мнимой частью. Рациональной функцией Фурье назовем функцию

1 S2n (x, f ) = π где 1 Dn (t, x) = 2i(t − x)



Zb

f (t)Dn (t, x)dt,

(1)

a

 x+i x−i χn (t)χn (x) − χn (x)χn (t) , t+i t−i

χn (u) =

n Y

(u − zk )/(u − zk ).

k=1

Обозначим

Φ2n (x) = n arg(i − x) +

n X k=1

arg(zk − x).

Рациональную функцию Валле-Пуссена определим следующим образом: V8n−2 (x, f ) = где

1 πΦ02n (x)

Zb

f (t)Gn (t, x)dt,

(2)

a

  Gn (t, x) = sin2 2(Φ2n (t) − Φ2n (x)) − sin2 (Φ2n (t) − Φ2n (x)) (t − x)2 .

Основные общие свойства операторов S2n и V8n−2 описываются леммами 1–3.

Лемма 1. Функция S2n (x, f ) является рациональной порядка не выше 2n с полюсами в точках zk и zk , k = 1, n, и имеет место равенство 1 π

+∞ Z Dn (t, x)dt = 1,

−∞

x ∈ R.

Лемма 2. Имеет место неравенство Zb a

|Dn (t, x)|dt 6 C1

p

1 + x2 ln(1 + (Φ∗n (x))0 ),

Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля

65

где C1 — положительная постоянная, не зависящая от n и x (везде в дальнейшем через Ck , k = 1, 2, . . ., будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n, n ∈ N, и x, x ∈ R), Φ∗n (x)

x ∈ [a; b],

= arg(i − x) + 2

n X k=1

arg(zk − x).

Лемма 3. Функция V8n−2 (x, f ) является рациональной порядка не выше 8n − 2 и справедливы соотношения +∞ Z 1 Gn (t, x)dt = 1, x ∈ R; πΦ02n (x) −∞



kV8n−2 k = sup  x∈R

1 πΦ02n (x)

 +∞ Z |Gn (t, x)|dt 6 3.

−∞

Леммы 4–6 служат основанием для выбора полюсов у аппроксимирующих функций. Параметры zk , k = 1, n, здесь можно выписать в явном виде. Лемма 4. Существуют числа zk , k = 1, 2N , такие ,что имеет место неравенство +∞ Z |χ2N (u0 + iV )|

√ dv − N 6 4e , 1 + v2

0

u0 ∈ R, N > 5.

Лемма 5. Пусть функция g(z) аналитична в прямоугольнике P = {z : d1 < Re z < d2 , 0 < Im z < 1}, непрерывна в его замыкании, за исключением, быть может, точек d1 и d2 , и для всех z ∈ P \ {d1 , d2 } выполняется неравенство |g(z)| 6 M (|z − d1 |r−1 + |z − d2 |r−1 ),

r ∈ (0; 1), M > 0.

Тогда при подходящем выборе 3N чисел zk , k = 1, 3N , имеет место оценка d Z 2 √ g(z)χ3N (z)dz 6 C2 M e− N r . d1

Лемма 6. Если функция g(x) аналитична в полукруге D + , D + = {z : |z| < d, Im z > 0}, d > 0, непрерывна в его замыкании, за исключением, быть может, точек z = ±d, и выполнено неравенство
|g(z)| 6 M |z − d|r−1 + |z + d|r−1 , z ∈ D+ \ {d, −d}, r ∈ (0; 1), M > 0,

то при подходящем выборе чисел zk , k = 1, 2N , справедливо неравенство d Z r √ g(x)χ2N (x)dx 6 32M d e− N r , r

d ∈ (0; 1).

−d

Леммы 7–8 характеризуют свойства рациональных функций S2n (x, f ) и V8n−2 (x, f ) со специально выбранными полюсами.

66

Е.А. Ровба

Лемма 7. Пусть lnj n = |ln ln .{z. . ln n}, n ∈ N, и число q ∈ N такое, что lnq n ∈ (1; e]. Пусть также j раз h i  2 2  0 2 определены числа N0 = γ0 ln n + 1 , Nj = γj lnj n + 1 , j = 1, q, γj > 0, j = 0, q, удовлетворяющие
условию n > 6N0 + 8(N1 m1 + N2 m2 + . . . + Nq mq ), где mj ∈ N, mj = O n/ ln3j n , n → ∞, j = 1, q. Если система параметров {zk }nk=1 является такой, что на двух лучах, перпендикулярных вещественной оси, выбрано по 2N0 точек zk в соответствии с леммой 4, на m1 лучах, перпендикулярных вещественной оси, — по 2N1 точек zk в соответстии с леммой 5 и для каждого j = 2, q на mj полуокружностях, лежащих в верхней полуплоскости и имеющих радиусы не меньше, чем n−p0 , p0 > 0, — по 2Nj точек zk в соответствии с леммой 6, то имеет место неравенство Zb a

|Dn (t, x)|dt 6 C3 ln n,

n > 2, x ∈ [a; b].

Лемма 8. Пусть функция gn (t, x) определяется формулой gn (t, x) =

.  1 (x) − 1 (t − x). χ (t)χ 2n 2n Φ02n (x)

где числа zk , k = 1, n, выбраны в соответствии с леммой 7, zk = i, k = n + 1, 2n. Тогда имеет место оценка |gn (t, x)| 6 C4 np0 +1 ,

x ∈ [a; b], t ∈ R, n > n0 .

Основной результат работы содержится в следующих теоремах. r V , r > 0, то при подходящем выборе чисел {z }n Теорема 1. Если функция f ∈ W[a;b] k k=1 справедлива оценка C5 ln n |f (x) − S2n (x, f )| 6 r+1 , n > 2, x ∈ [a1 ; b1 ], a < a1 < b1 < b, (3) n

где S2n (x, f ) — рациональная функция Фурье для функции f на отрезке [a; b], см. (1). r V , r > 0, то при подходящем выборе чисел {z }n Теорема 2. Если функция f ∈ W[a;b] k k=1 справедлива оценка C6 |f (x) − V8n−2 (x, f )| 6 r+1 , x ∈ [a1 ; b1 ], a < a1 < b1 < b, n ∈ N, n

где V8n−2 (x, f ) — рациональная функция Валле-Пуссена, см. (2). Доказательство теорем 1 и 2 основывается на развитии методов А.А. Гончара [12] и В.Н. Русака [5], в них существенно используются свойства произведения Бляшке для полуплоскости и возможность аналитического продолжения ядра Римана–Лиувилля с отрезка на полуплоскость. r V , r > 0. Существуют функции Оценка (3) является точной на классе функций из W[a;b] r V , на которых достигается эта оценка, см., например, [11]. Подчеркнем, что полиномиf ∈ W[a;b] альная аппроксимация в этом случае на порядок ниже, чем рациональная. Отметим также, что оценки приближений получены на отрезке [a1 ; b1 ], содержащемся в отрезке [a; b]. Однако это ограничение не существенно, так как в соответствии с результатами О.В. Бесова [13] такие функции можно продолжать с сохранением дифференциально разностных свойств. Для r ∈ N подобные оценки получены Н.К. Агафоновой, о чем докладывалось на конференции в Белорусском госуниверситете (1995 г.), посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики.

Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа

67

Список литературы 1. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с. 2. Стечкин, С.Б.

/ С.Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1956. – № 20. – С. 643–648.

3. Теляковский, С.А.

/ С.А. Теляковский // Труды ММО. – 1961. – Т. 52. – С. 61–97.

4. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812. 5. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515. 6. Гончар, А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями / А.А. Гончар // Докл. АН СССР. – 1955. – Т. 100. – № 2. – С. 13–16. 7. Долженко, Е.П. Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимации / Е.П. Долженко // Матем. заметки. – 1967. – Т. 1. – № 3. – С. 313–320. 8. Попов, В.А.

/ В.А. Попов // Докл. АН Болгарии. – 1976. – Т. 29. – № 6. – С. 1–4.

9. Пекарский, А.А. Метод последовательных усреднений в теории рациональной аппроксимации / А.А. Пекарский // Докл. АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 10. – С. 875–877. 10. Petrushev, P.P. Rational approximation of real functions / P.P. Petrushev, B.A. Popov. – Cambridge: University Press, 1987. – 371 p. 11. Старовойтов, А.П. Рациональная аппроксимация функций, представимых в виде интеграла дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля / А.П. Старовойтов // Докл. АН БССР. – 1985. – Т. 29. – № 12. – С. 1079–1081. 12. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообенностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–638. 13. Бесов, О.В.

/ О.В. Бесов // Докл. АН СССР. – 1963. – Т. 150. – № 3. – С. 963–966.

Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа * Quadrature formulas of Gaussian type are introduced with the help of interpolating rational functions. Remainder estimates have been obtained in the class of continuous functions.

В последние 15–20 лет предметом исследований многих авторов стали квадратурные формулы, рассматриваемые на классах аналитических функций (см., например, [1, 2]). Глубокие результаты в этом направлении получены с помощью свойств некоторых специальных рациональных функций, в частности произведений Бляшке. В настоящей работе методами рациональной интерполяции исследуются квадратурные формулы в классе непрерывных функций. Получены обобщения классической формулы Гаусса по узлам Чебышева первого и второго рода. 1. Пусть h(x) — весовая функция на отрезке [−1, 1], т.е. h(x) — неотрицательна, интегрируема R1 и h(x)dx > 0. −1

Пусть числа aj , j = 1, n, удовлетворяют условию an = 0; если при некотором j, j = 1, n − 1, Im aj 6= 0, то среди рассматриваемых чисел найдется число, сопряженное с aj , если же aj ∈ R, то |aj | < 1. Везде в дальнейшем будем предполагать, что это условие выполняется. Введем следующие обозначения:   ,n−1   Y Rn−1 (a) = Pn−1 (x) (1 + aj x) Pn−1 ∈ Pn−1 ,   j=1

* Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Доклады АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 3. – С. 42–46.

68

Е.А. Ровба

 ,n−1  Y 2 R2n−1,2 (a) = P2n−1 (x) (1 + aj x) P2n−1 ∈ P2n−1 ,   j=1  

где Pm — множество алгебраических многочленов степени не выше m. Таким образом, Rn−1 (a) есть множество алгебраических рациональных функций порядка не выше n − 1 с полюсами в точках −1 −1 −a−1 1 , −a2 , . . . , −an−1 , а R2n−1,2 (a) — множество рациональных функций порядка не выше 2n − 1 с теми же полюсами удвоенной кратности. n Q Пусть, далее, qn (x), qn ∈ Pn , — многочлен, ортогональный по весу h(x) (1+aj x)−2 на отрезке j=1

[−1, 1]. Как известно, многочлен qn (x) имеет n простых корней на интервале (−1, 1): −1 < x1 < x2 < . . . < xn < 1, qn (xk ) = 0,

k = 1, n.

Для любой функции f , определенной на (−1, 1), построим интерполяционную рациональную функцию n X f (xk )lk (x), Ln−1 (x, f ) = k=1

где lk (x) = tn (x)/(x − xk )t0n (xk ), k = 1, n; tn (x) = qn (x)

n Q

(1 + aj x)−1 .

j=1

Легко убедиться, что функция Ln−1 (x, f ) ∈ Rn−1 (a) и является точной для всякой функции rn−1 ∈ Rn−1 (a), т.е. Ln−1 (x, rn−1 ) ≡ rn−1 . (1) Теперь для функции f рассмотрим следующую квадратурную формулу Z1

−1

где Ak =

R1

h(x)f (x)dx ≈

n X

Ak f (xk ),

(2)

k=1

h(x)lk (x)dx, k = 1, n.

−1

Нетрудно видеть, что 1 Ak = 0 tn (xk )

Z1

h(x)

−1

tn (x) dx, x − xk

k = 1, n.

(3)

Теорема 1. Квадратурная формула (2) обладает следующими свойствами: 1) является точной для всякой рациональной функции rn−1 ∈ Rn−1 (a) и r2n−1 ∈ R2n−1,2 (a); 2) коэффициенты Ak , k = 1, n, положительны, причем 1 Ak = 2 tn−1 (xk )

Z1

h(x)

−1

t2n (x) dx, (x − xk )2

3) имеет место равенство n X k=1

Ak =

Z1

−1

h(x)dx.

k = 1, n;

(4)

69

Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа

Доказательство. Если rn−1 ∈ Rn−1 (a), то точность квадратурной формулы (2) непосредственно следует из (1). Пусть теперь P2n−1 (x) — произвольный многочлен степени не выше 2n − 1. Покажем, что его можно представить в виде P2n−1 (x) = ωn−1 (x)qn (x) + sn−1 (x)

n−1 Y

(5)

(1 + aj x),

j=1

где ωn−1 , sn−1 ∈ Pn−1 . Действительно, пусть sn−1 (x) — , n−1 Q P2n−1 (x) (1 + aj x) по узлам xk , k

интерполяционный =

1, n, sn−1

для

функции

Pn−1 . Рассмотрим разность

∈

j=1

τ (x) = P2n−1 (x) − sn−1 (x)

многочлен

n−1 Q

(1 + aj x).

j=1

Так как τ ∈ Pn−1 и τ (xk ) = 0, k = 1, n, то τ (x) =

n Y

(0)

(x − xk )ωn−1 (x) = qn (x)ωn−1 (x),

k=1 (0)

где ωn−1 , ωn−1 ∈ Pn−1 . Если

,n−1 Y (1 + aj x)2 , r2n−1 (x) = P2n−1 (x) j=1

P2n−1 ∈ P2n−1 ,

то, учитывая равенство (5), получим Z1

h(x)r2n−1 (x)dx =

−1

Z1

−1

h(x) n−1 Q

ωn−1 (x)qn (x)dx +

(1 + aj x)2

Z1

−1

j=1

sn−1 (x) dx. h(x) n−1 Q (1 + aj x) j=1

Воспользовавшись ортогональностью многочлена qn (x) и точностью формулы (2) для rn−1 ∈ Rn−1 , будем иметь Z1

−1

n X

n

X sn−1 (xk ) Ak n−1 Ak r2n−1 (xk ). h(x)r2n−1 (x)dx = = Q k=1 k=1 (1 + aj xk ) j=1

Первое утверждение теоремы 1 доказано. Для доказательства второго утверждения необходимо раcсмотреть функцию 2 2 r2n−1 (x) = tn−1 (x)/(x − xk ) , 1 6 k 6 n, и воcпользоваться точностью для нее формулы (2). Третье утверждение следует из (1), если положить rn−1 (x) ≡ 1. Заметим, что один аналог квадратурной формулы Гаусса, построенной с помощью интерполяционных рациональных функций, использовался в работах [3] и [4]. Теорема 2. Если функция f ∈ C[−1, 1], то для квадратурной формулы (2) имеет место неравенство: 1 Z Z1 n X h(x)f (x)dx − Ak f (xk ) 6 2R2n−1 (f ; a) h(x)dx, k=1 −1

где R2n−1 (f ; a) =

inf

r2n−1 ∈R2n−1,2

−1

kf (x) − r2n−1 (x)kC[−1,1] — наилучшее равномерное приближение функ-

ции f рациональными функциями из R2n−1,2 на отрезке [−1, 1].

70

Е.А. Ровба

∗ (x) — есть рациональная функция наилучшего приближения для Доказательство. Пусть r2n−1 функции f ∈ C[−1, 1], т.е. ∗ ∗ kf (x) − r2n−1 (x)k = R2n−1 (f ; a).

Тогда, пользуясь соответствующими утверждениями теоремы 1, получим 1 1 n Z Z n X X

∗ ∗ h(x)f (x)dx − Ak f (xk ) − r2n−1 (xk ) 6 Ak f (xk ) 6 h(x) f (x) − r2n−1 (x) dx + k=1 k=1 −1

−1

6 R2n−1 (f ; a)

Z1

h(x)dx + R2n−1 (f ; a)

n X

Ak 6 2R2n−1 (f ; a)

k=1

−1

Z1

h(x)dx.

−1

2. Пусть mn (x) — рациональная функция Чебышева–Маркова: mn (x) = cos µn (x), q .√ 1 − a2k n P 0 2 где µn (x) = −λn (x) . 1 − x , λn (x) = k=1 1 + ak x Функция mn (x) имеет на интервале (−1, 1) n простых нулей (см. [5, с. 48]): −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1,

mn (xk ) = 0,

k = 1, n.

Для всякой функции f ∈ C[−1, 1] построим квадратурную формулу Z1

−1

где 1 Ak = 0 mn (xk )

Z1

−1

n X f (x) √ Ak f (xk ), dx ≈ 1 − x2 k=1

q

1 1 − x2k Z cos µn (x) dx mn (x) dx k √ √ = (−1) , x − xk 1 − x2 λn (xk ) x − xk 1 − x2

(6)

k = 1, n.

−1

Теорема 3. Квадратурная формула (6) имеет вид Z1

−1

n X π f (x) √ f (xk ) dx ≈ 2 λn (xk ) 1−x k=1

и для ее остатка справедлива оценка 1 Z n X π √f (x) dx − f (xk ) 6 2πR2n−1 (f ; a). λn (xk ) 1 − x2 k=1 −1

3. Пусть νn (x) — рациональная синус-дробь Чебышева–Маркова, (см. [5, с. 49]):

νn (x) = sin µn+1 (x), q 2 .√ n P 1 − ak 0 2 1 − x , λn+1 (x) = 1 + . где µn+1 (x) = −λn+1 (x) k=1 1 + ak x

(7)

(8)

71

Рациональные интегральные операторы на отрезке

.√ Тогда функция νn (x) 1 − x2 является рациональной порядка не выше n и имеет n простых нулей на интервале (−1, 1), −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1. Для всякой функции f ∈ C[−1, 1] построим квадратурную формулу Z1 p

−1

где

1 − x2 f (x)dx ≈

n X

(9)

Ak f (xk ),

k=1

q

1 1 2 Z 1 − x2k Z νn (x) 1 − x sin µn+1 (x) k Ak = 0 dx = (−1)k+1 dx, νn (xk ) x − xk λn+1 (xk ) x − xk

k = 1, n.

−1

−1

Теорема 4. Квадратурная формула (9) имеет вид Z1 p

−1

1 − x2 f (x)dx ≈ π

n X 1 − x2k f (xk ), λn+1 (xk )

(10)

k=1

и для ее остатка справедлива оценка 1 Z p n 2 X 1 − xk 2 f (xk ) 6 πR2n−1 (f ; a). 1 − x f (x)dx − π λn+1 (xk ) k=1 −1

Формулы (7) и (10) получены с помощью перехода от отрезка [−1, 1] к вещественной оси и последующего применения метода вычисления аналогичных интегралов, содержащегося в [5, с. 115]. Оценки (8) и (11) получены на основании теоремы 2, используя результаты работы [6].

Список литературы 1. Осипенко, К.Ю. О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных аналитических функций / К.Ю. Осипенко // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1988. – Т. 52. – № 1. – С. 79–99. 2. Самокиш, Б.А. Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка / Б.А. Самокиш // Вест. ЛГУ. Сер. 1. – 1990. – № 1. – С. 42–49. 3. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1978. – Т. 105. – № 2. – С. 147–163. 4. Гончар А.А., Гиермо Лопес Л. // Матем. сб. – 1978. – Т. 105. – № 4. – 512 с. 5. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 6. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Докл. АН Арм.ССР. – 1964. – Т. 38. – № 5. – С. 263–270.

Рациональные интегральные операторы на отрезке * Positive integral rational operators on the segment [−1, 1] have been constructed and the estimations of corresponding approximations for the functions f ∈ C[−1, 1] have been obtained.

В 1956 году М.М. Джрбашян [1] ввел рациональные и обобщающие ряды Фурье по тригонометрической системе {einx }+∞ n=−∞ . Основываясь на представлении ядра Дирихле, полученном в этой * Ровба, Е.А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1996. – № 1. – С. 34–39.

72

Е.А. Ровба

работе, В.Н. Русак [2] построил рациональные операторы Фейера и Джексона в периодическом случае. Позже исследования в этом направлении были продолжены, определены операторы Фейера, Валле-Пуссена и Джексона на всей вещественной оси (см., например, [3, с. 114]). Эти операторы получили широкое применение в теории рациональных приближений [3–5]. На отрезке [−1, 1] изучались аппроксимационные свойства рациональных функций типа Фурье [6]. В настоящей работе на данном отрезке построены рациональные операторы Фейера и Джексона. Заметим, что подобные операторы можно вводить с помощью замены переменной, примененной к операторам, заданным на всей вещественной оси (см. [3, с. 128]). Предлагаемый нами способ их построения является конструктивно более простым. 1. Пусть {αk }nk=0 — произвольное множество чисел, α0 = 0, |αk | < 1, k = 1, n, причем, если Im αk 6= 0, то это множество содержит и число αk . Положим λn (u) =

n X k=1

1 − |αk |2 , 1 − 2|αk | cos(u − θk ) + |αk |2 1 λn (t, θ) = 2

Zt

(1 + λn (u))du,

θk = arg αk , k = 1, n;

t, θ ∈ R.

θ

Для всякой непрерывной на отрезке [−1, 1] функции f определим следующий оператор: , Zπ Zπ Kn (t, θ)dt,

f (cos t)Kn (t, θ)dt

Fn (x, f ) =

−π

−π

где 2

Kn (t, θ) = sin λn (t, θ)

(1)



sin2

t−θ , 2

x = cos θ, x ∈ [−1, 1].

Лемма 1. Функция Fn (x, f ) является рациональной порядка не выше n, причем Zπ

Kn (t, θ)dt = 2π(1 + λn (θ)),

−π

x = cos θ, x ∈ [−1, 1].

(2)

Доказательство. Исходя из леммы 6 работы [1], будем иметь: v v 2 , u n u n  t−θ  u Y ξ − αk 1 − αk z u Y t−θ 2 1 − αk ξ z − αk  Kn (t, θ) = t −t ei 2 − e−i 2 = 1 − αk ξ z − αk ξ − αk 1 − αk z k=0 k=0    2 ω(ξ) 2 ω(z) = ξ − 2ξz + z (ξ − z)2 ω(z) ω(ξ) где z = eiθ , ξ = eit , ω(u) =

n Q

k=1

(3)

u−αk 1−αk u .

Теперь применим тот же метод вычисления подобных интегралов, что содержится, например в [3]. Будем иметь Zπ

−π

Kn (t, θ)dt =

1 i

Z

|t|=1

1 (ξ − z)2



ξ

z 2 ω(z) ω(ξ) − 2z + ω(z) ξ ω(ξ) =



dξ =

ξω(ξ) 2π lim res ξ = z = 2π(1 + λn (θ)). ω(z) |z| 9.

r=0

Данная лемма уже встречалась, ее доказательство имеется в [1, с. 153]. Нам понадобится производная от произведения (1) на |z| = 1. Непосредственно проверяется, что для z = eiϕ " # n X un (z) 1 − |αk |2 def un (z) 0 un (z) = λn (ϕ). 1+2 = z 1 + |αk |2 − 2 Re zαk z k=1

Лемма 2. Пусть на каждом из m радиальных отрезков ξ = |ξ|eiθj ,

0 6 |ξ| 6 1 − ρN ,

выбраны числа αk по правилу леммы 1 с N = [4(r + 1)2 ln n + 1], mN 6 n, и остальные n − mN параметров αk = 0. Тогда при любых ϕ, 0 6 ϕ 6 2π, выполняется порядковое равенство   m  ln n  X , ln n · nr+1 . min λn (ϕ)  n − mN +  sin ϕ−θj  j=1

2

Рациональные операторы L2n (z, f ) точны на правильных рациональных функциях порядка не выше 2n с полюсами второй кратности в точках {αk }nk=1 . Введем норму операторов (2), полагая kL2n k = sup

2n+1 X

|z|=1 k=1

|lk (z)|.

Лемма 3. При условиях леммы 2 справедливо соотношение kL2n k = O(ln n). Лемма 4. Пусть n > 2N + r − 1 и система параметров {αk }nk=1 , такова, что на двух лучах arg ξ = θ1 и ξ = θ2 , 0 6 θ1 < θ2 < 2π, имеется по N параметров αk , удовлетворяющих условию леммы 1, и, кроме того, r чисел этой системы равны нулю. Если функция g(ξ) аналитична всюду в секторе θ1 6 arg ξ 6 θ2 , за исключением бесконечно удаленной точки, и удовлетворяет неравенствам |g(ξ)| 6 Mg при |ξ| 6 1 и |g(ξ)ξ 1−r | 6 Mg при |ξ| > 1, то справедлива оценка   X g(zk ) 1 . =O u0n (zk ) nr+1 θ1 6arg zk 6θ2

Кроме приведенных лемм, при доказательстве неравенства (3) существенно используется представление Zξ r ν X 1 (ξ − z) (ξ − t)r df (r) (t), + f (ν) (z) f (ξ) = ν! r! ν=0

z

которое верно при любых z, |z| 6 1, и ξ, |ξ| 6 1, для всякой функции f (z) ∈ Br H1 , что проверяется непосредственно интегрированием по частям. Для получения нижней оценки (4) достаточно взять def

f ∗ (z) = z 2n+1 [8(2n + 1) . . . (2n − r + 1)]−1 ∈ Br H1 .

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными

79

С помощью критерия Колмогорова (см. [5, с. 47]) устанавливаем, что при любых фиксированных {αk }nk=1 рациональной функцией наилучшего приближения с полюсами второй кратности в точках {1/αk } является тождественный нуль, и, следовательно, kf ∗ (z) − L2n (z, f ∗ )k > [8(2n + 1) . . . (2n − r + 1)]−1 . Аналогичными средствами доказывается и следующая Теорема 2. Если f (z) ∈ B0 H1 ∩Lipα, 0 < α < 1, то существует такой набор параметров {αk }nk=1 , что  3  ln n . (5) kf (z) − L2n (z, f )k = O n Для наилучших полиномиальных приближений функций в условиях теоремы 2 можно лишь утверждать правильность оценки   1 . En (f ) = O nα Замечание 1. По-видимому, за счет усложнения процедуры выбора полюсов интерполирующих рациональных операторов множитель ln3 n в оценках (3) и (5) может быть заменен на ln n. По крайней мере для уклонений интегральных рациональных операторов типа Фурье такие оценки удалось получить.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 2. Пекарский, А.А. / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1985. – Т. 127. – № 1. – С. 3–20. 3. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133(175). – № 1(5). – С. 86–102. 4. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22. 5. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с.

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными * Interpolation of piecewise analytical functions by rational ones is studied.

Рациональные операторы типа Фурье и построенные на их основе операторы Валле-Пуссена получили широкое применение в теории рациональной аппроксимации со свободными полюсами (см., например, [1]). Методы теории интерполирования, являющиеся с точки зрения вычислительной математики более удобным аппаратом приближения, использовались в основном для рациональных аппроксимаций классов аналитических функций с особенностями на концах отрезка приближения [2, 5]. В настоящей заметке исследуются вопросы интерполирования кусочно-аналитических функций. Аппроксимация таких классов функций рациональными операторами типа Фурье рассматривалась в работах [6, 7]. 1. Пусть функция f ∈ C∞ и существует разбиение числовой прямой точками τj , j = 1, s, −∞ < τ1 < τ2 < . . . < τs < +∞, такое, что сужение функции f на каждый отрезок [τj , τj+1 ], * Ровба, Е.А. Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными / Е.А. Ровба // Весцi АН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1997. – № 2. – С. 11–15.

80

Е.А. Ровба

j = 1, s − 1, а также на промежутки (−∞, τ1 ] и [τs , +∞) является функцией аналитической (f (x) = f0 (x), x ∈ (−∞, τ1 ]; f (x) = fj (x), x ∈ [τj τj+1 ], j = 1, s − 1; f (x) = fs (x), x ∈ [τs , +∞)). Не ограничивая общности, будем полагать, что функция fj является аналитической и ограниченной в замкнутом прямоугольнике Πj = {z : τj 6 Re z 6 τj+1 , −γ 6 Im z 6 +γ}, γ > 0, j = 1, s − 1 и в каждой из областей Π0 = {z : Im z 6 τ1 } и Πs = {z : Im z > τs }. Пусть n ∈ N и произвольным образом задано n параметров z1 , z2 , . . . , zn ; zk = αk + iβk , βk > 0, k = 1, n. Их выбор уточним позже. Обозначим через mn (x) косинус-дробь Бернштейна: mn (x) = cos ϕn (x), где ϕn (x) = arg(i − x) + 2

n P

k=1

x ∈ R,

arg(zk − x).

Известно, что функция mn (x) имеет на вещественной оси (2n + 1) нулей [8, с. 14]. Обозначим их через xk : mn (xk ) = 0, ϕn (xk ) = (2k + 1)π/2, k = 0, 2n. Рассмотрим следующую интерполяционную функцию (см. [9]): √ 2n X mn (x) 1 + x2 f (xk ) q . L2n (x, f ) = ϕ0n (xk ) (−1)k+1 (x − x ) 1 + x2 k=0

k

k

Она является рациональной функцией порядка не выше n, точной для единицы (см., например, [10]). Поэтому 2n X (f (x) − f (xk ))lk (x), (1) f (x) − L2n (x, f ) = k=0

√ mn (x) 1 + x2

q , k = 0, 2n. (−1)k+1 ϕ0n (xk )(x − xk ) 1 + x2k   n (полагаем, что n > s+3). Тогда параметры zk выберем следующим образом: Пусть N = s+3

где lk (x) =

zk = τ1 + iρ−(k−1) , zjN +k = τj + iρk−1 , z(s+1)N +k = τs + iρ−(k−1) , zk = i,

k k k k

= 1, N ; = 1, N , j = 1, s; √ = 1, N , ρ = e−1/ N ; = (s + 2)N + 1, (s + 2)N + 2, . . . , n.

(2)

Очевидно, n − (s + 2)N > N . Подчеркнем также, что параметры zk , k = 0, n выбраны в соответствии с леммами 4 и 5 из [11]. Пусть точки yk определены из условия, что mn (yk ) = ±1, т.е. ϕn (yk ) = kπ, k = 0, 2n. Очевидно, y0 < x0 < y1 < x1 < . . . < x2n−1 < y2n < x2n . И пусть номера νj определены из следующего условия: yνj 6 τj < yνj +1 ,

j = 1, s.

Лемма 1. Справедливы неравенства τj − yνj 6 2πdN , dN =

ρ−1 − 1 , ρ−N − 1

j = 1, s.

(3)

Доказательство. Вначале покажем, что yνj +1 − yνj 6 ρN ,

j = 1, s.

(4)

81

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными

Действительно, учитывая соотношения (2), найдем ϕn (yνj + ρN ) − ϕn (yνj ) >

N      X 6 arg τj + iρk−1 − yνj − ρN − arg τj + iρk−1 − yνj k=1

6

N X k=1

  π arg −ρN + iρk−1 − N . 2

Нетрудно видеть, что   √ ρk−1 3 arg −ρN + iρk−1 = π − arctg N = π − arctg e(N −k+1)/ N 6 π. ρ 5 √ для всех k, удовлетворяющих неравенству N − k + 1 6 N . Следовательно, ϕn (yνj + ρN ) − ϕn (yνj ) > π,

n > n0 ,

и неравенство (4) справедливо. Заметим, что здесь и везде в дальнейшем через n0 будем обозначать фиксированные натуральные числа, зависящие лишь от γ, в разных
местах они могут быть различными. Тогда при некотором θj ∈ yνj , yνj +1 будем иметь yνj +1 − yνj

π = 0 ϕn (θj )

и τj − y νj

N X π ρk−1 6 0 6π ϕn (θj ) ρ2N + ρ2(k−1) k=1

!−1

6 2πdN ,

n > n0 .

Лемма 1 доказана. Пусть область D0 есть полуплоскость Re z < τ1 с выброшенным прямоугольником yν1 6 Re z 6 τ1 , | Im z| 6 0, 05ρN , область Dj , j = 1, s − 1, есть прямоугольник Πj с добавленным прямоугольником yνj 6 Re z 6 τj , | Im z| 6 0, 05ρN , и с выброшенным прямоугольником yνj +1 6 Re z 6 τj+1 , | Im z| 6 0, 05ρN , n > n0 . Наконец, область Ds есть полуплоскость с добавлен(+)

ным прямоугольником yνs 6 Re z 6 τs , | Im z| 6 0, 05ρN . Условимся также обозначать через ∂Dj (−)

(∂Dj ) ту часть границы области Dj , которая находится в полуплоскости Im z > 0 (Im z < 0).

n z−z Q k — произведение Бляшке, параметры zk , k = 1, n выбраны в z − z k k=1 соответствии с (2). Тогда справедливы неравенства: Z Z √ √ |dz| − N − N |χn (z)||dz| 6 C1 e , j = 1, s − 1, , j = 0, s, n > n0 , 6 4e |χn (z)| 1 + (Im z)2

Лемма 2. Пусть χn (z) =

(+)

∂Dj

(+)

∂Dj

где C1 — положительная постоянная, не зависящая от n1 . Лемма 2 получается из лемм 4 и 5 работы [11] с помощью несущественных изменений. (−)

Замечание 1. Аналогичные неравенства справедливы для интеграла по ∂Dj

от функции |χn (z)|−1 .


π Лемма 3. Если z ∈ ∂Dj , |z − τj | 6 0, 05ρN , j = 1, s, то ϕn (z) − ϕn yνj 6 ; если Re z = τ1 , 4 π π | Im z| > ρ−N , то |ϕn (z)| 6 ; если же Re z = τs , | Im z| > ρ−N , то |π − ϕn (z)| 6 . 4 4 1

Везде в дальнейшем через C1 , C2 , . . . будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n.

82

Е.А. Ровба

Доказательство. Пусть z ∈ ∂Dj , |z − τj | 6 0, 05ρN , j = 1, s. Тогда n

ϕn (z) =

X 1 (0) ϕ (z) + ϕ(k) (z), 2 k=1

где ϕ(k) (z) = arg

z − zk , k = 0, n, z0 = i. Исследуем z − zk


∆ϕ(k) (z) = ϕ(k) (z) − ϕ(k) yνj .

Запишем

z − zk z − zk , B = arg . yνj − zk y νj − z k Полагая z = yνj + iw, получим

∆ϕ(k) (z) = A − B,

где A = arg



A = arg 1 +

y νj

iw − αk − iβk



w βk − i yνj − αk = arg 1 −
2 yνj − αk + βk2



!

.

Если αk 6= τj , то yνj − αk = O(1), w = O(dN ), n → ∞ и A = arg(1 + O(dN )(1 + i)) = O(dN ), n → ∞. Аналогично заключаем, что B = O(dN ), n → ∞, αk 6= τj , и, следовательно, в случае, когда αk 6= τj , ∆ϕ(k) (z) = O(dN ), n → ∞. Пусть теперь αk = τj . Тогда yν − αk − i(βk − w) y ν − τj w y νj − τj w A = arg j = arg 1 − + j 2 +i yνj − αk − iβk βk βk βk2


!

.

Отсюда находим, что
|w| τj − yνj , |A| 6 2 βk2


N N X X |w| τj − yνj π N π 2 6 ρ dN ρ−2(k−1) 6 , 2(k−1) 10 10 ρ k=1 k=1

n 6 n0 .

Такие же оценки справедливы для величины B в случае, когда αk = τj . Объединяя оба случая, получим, что
ϕn (z) − ϕn yν 6 π , n > n0 . j 4 Аналогично рассматривается случай, когда Re z = τj , | Im z| > ρ−N , j = 1, s. Лемма доказана. (+)

Лемма 4. Если z ∈ ∂Dj , 0, 05ρN 6 Im z 6 ρN , j = 1, s, то √

|χn (z)| 6 e−0,025

N

,

n > n0 .

ρN , yνj 6 u 6 τj , 1 6 j 6 s. Тогда 20 N Y u − τ − i(ρk−1 − 0, 05ρN ) j |χn (z)| 6 . k−1 N u − τj + i(ρ + 0, 05ρ )

Доказательство. Пусть z = u + i

k=1

83

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными

Нетрудно показать, что при n > n0 v ! uN −1   N −1 √ X u Y 1 − 0, 05ρk 1 − ρN k −0,025 N t . 6 exp −0, 05 6 exp −0, 05ρ |χn (z)| 6 ρ 6 e 1 + 0, 05ρk 1−ρ k=0

k=0

  Подобная оценка справедлива и в случае, когда z = τj + iw, w ∈ 0, 05ρN , ρN , j = 1, s. Лемма доказана.

Замечание 2. Такая же оценка, как в лемме 4, справедлива для функции χ−1 n (z) для z ∈ ∂Dj и расположенных симметрично относительно действительной оси. (+)

(−)

Лемма 5. Если z ∈ ∂Dj , то |mn (z)| > C2 |χ−1 n (z)|, n > n0 ; если же z ∈ ∂Dj , то |mn (z)| > C2 |χn (z)|, n > n0 . Доказательство. Как известно, см., например [10], 1 mn (z) = 2

r

z−i χn (z) + z+i

r

! z + i −1 χ (z) . z−i n

(5)

p (+) 1 + |χ4n (z)| + 2 |χ2n (z)| cos 2ϕn (z). Остается воспольТогда, если z ∈ ∂Dj , то |mn (z)| = 21 χ−1 n (z) зоваться леммами 3 и 4. (−) Таким же образом получается соответствующая оценка для z ∈ ∂Dj . Теперь сформулируем основной результат. Теорема 1. Если функция f является кусочно-аналитической на R, то при подходящем выборе полюсов для интерполяционной рациональной функции с узлами Бернштейна справедлива оценка r   n |f − L2n (x, f )| 6 C3 exp −C , n > n0 , x ∈ R. s+3 Доказательство. Обратимся к формуле (1). Нетрудно видеть, что ее можно преобразовать к виду s

1 X f (x) − L2n (x, f ) = 2πi

Z

j=0∂D j

√ mn (x) 1 + x2 dz √ . (f (x) − fj (z)) (x − z)mn (z) 1 + z 2

(6)

√ Подчеркнем, что функция mn (z) 1 + z 2 является мероморфной (см. (5)). Теперь остается заметить, что при n > n0 функция (fj (z) − f (x))/(z − x) переменной z является равномерно ограниченной в каждой из областей Dj , j = 0, s, x ∈ R, и воспользоваться для оценки каждого из интегралов в сумме (6) леммами 5 и 2. Теорема доказана. 2. Пусть произвольным образом заданы числа α1 , α2 , . . . , αn , |αk | < 1, k = 1, n. Обозначим n

1 − |αk |2 1 X , λn (u) = + 2 1 − 2|αk | cos(u − θk ) + |αk |2

θk = arg αk .

k=1

Нетрудно видеть, что функция sin из через xk :

Rxk 0

Rx

λn (u)du имеет на полуинтервале [0, 2π) 2n + 1 нулей. Обозначим

0

λn (u)du = kπ, k = 0, 2n.

84

Е.А. Ровба

Для произвольной функции f ∈ C2π полагаем   Z 2n X x − xk −1 f (xk ) sin λn (u)du sin . Gn (x, f ) = 2λn (xk ) 2 x

k=0

xk

Нетрудно проверить, что Gn (x, f ) есть интерполяционная тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n для f . Это вытекает из того, что lim sin

x−xj

Zx

xk



x − xk λn (u)du sin 2

−1

= 2λn (xj ),

j = 0, 2n

и из известного тождества М.М. Джрбашяна [12]

sin

Zy x



y−x λn (u)du sin 2

−1

1 = ξ−z

n n Y Y ξ − αk 1 − αk z z − αk 1 − αk ξ ξ −z 1 − αk ξ z − αk 1 − αk z ξ − αk k=1

k=1

!

, ξ = eiy , z = eix .

Теперь будем рассматривать кусочно-аналитические функции из C2π . Пусть существует разбиение точками τj , j = 1, s отрезка [0, 2π] (0 = τ1 < τ2 < . . . < τs = 2π) такое, что сужение функции f на каждый отрезок [τj , τj+1 ], j = 1, s − 1, является аналитической функцией. Тогда справедлива Теорема 2. Если f ∈ C2π и является кусочно-аналитической, то при подходящем выборе чисел α1 , α2 , . . . , αn для приближений интерполяционной тригонометрической функцией (7) справедлива оценка: r   n |f − Gn (x, f )| 6 C4 exp −C , x ∈ R, n > n0 . s+1 Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812. 2. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639. 3. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324. 4. Ровба, Е.А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е.А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюзн. школы по теории функций, Баку, 21 мая – 1 июня 1977г / Бакинский гос. ун-т. – Баку, 1980. – С. 234–239. 5. Старовойтов, А.П. О рациональной интерполяции функций класса Гончара / А.П. Старовойтов; Белорусский гос. ун-т. – Минск, 1980. – 8 с. – Деп. в ВИНИТИ 1980, № 4966-80 // РЖ: 03. Математика. – 1981. – № 3. – 3Б11ДЕП. – С. 18. 6. Русак, В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями / В.Н. Русак // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 3. – С. 36–43. 7. Старовойтов, А.П. О рациональной интерполяции с фиксированными полюсами / А.П. Старовойтов // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1983. – № 6. – С. 105–106. 8. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 9. Русак, В.Н. О рациональном приближении на всей вещественной оси / В.Н. Русак // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-тэхн. навук. – 1964. – № 4. – С. 23–29.

85

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона

10. Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1993. – Т. 53. – № 2. – С. 114–121. 11. Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 42–46. 12. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. наук. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона * Построены сумматорные рациональные положительные операторы типа Джексона D4n−4 (x; f ) на вещественной оси. Получена оценка приближений посредством таких операторов непрерывных на R функций f , имеющих конечные и равные между собой limx→−∞ f (x) и limx→+∞ f (x).

В настоящей заметке продолжены начатые в [1] исследования, посвященные построению положительных интерполяционных рациональных операторов. Построены сумматорные операторы типа Джексона на вещественной оси и получена оценка скорости приближения функций f ∈ C∞ . В полиномиальном случае такие операторы изучены достаточно полно (см., например, [2]). Интегральные рациональные операторы типа Джексона исследованы В.Н. Русаком [3]. Пусть {zk }+∞ k=1 — последовательность комплексных чисел zk = αk + iβk , βk > 0, k ∈ N, z0 = i. Рассмотрим синус-дробь Бернштейна sin µn (x), где µn (x) = arg(z0 − x) + 2

n X k=1

arg(zk − x),

n ∈ N.

Функция sin µn (x) имеет 2n + 1 нулей на вещественной оси. Обозначим их через xk , k = 1, 2n + 1, µn (xk ) = kπ, k = 1, 2n + 1, −∞ < x1 < x2 < . . . < x2n+1 = +∞. Пусть задана функция f ∈ C∞ , т.е. непрерывная на R, и существуют конечные и равные между собой пределы lim f (x) и lim f (x). x→−∞

x→+∞

Введем функцию D4n−4 (x; f ) =

2n+1 1 X f (xk ) Gn (x; xk ), gn (x) µ0n (xk ) k=1

где Gn (x; xk ) =

(1 + x2k ){sin(Φn (x) − Φn (xk ))}4 , (x − xk )4 Φn (x) =

n X k=1

arg(zk − x),

x ∈ R,

(1)

k = 1, 2n,

n ∈ N,

sin4 Φn (x) Gn (x; t) Gn (x; x2n+1 ) P . = lim = t→+∞ µ0n (t) µ0n (x2n+1 ) 1 + 2 nk=1 βk

Функцию gn (x) определим из условия, что D4n−4 (x; 1) ≡ 1, т.е. gn (x) =

2n+1 X k=1

Gn (x; xk ) . µ0n (xk )

(2)

* Ровба, Е.А. Сумматорные рациональные операторы типа Джексона / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1997. – Т. 61. – № 2. – С. 270–277.

86

Е.А. Ровба

Из [4, с. 115] известно, что 1 sin(Φn (x) − Φn (t)) = 2i

Qn

k=1 (zk

Q − x)(z k − t) − nk=1 (z k − x)(zk − t) Qn . k=1 |zk − x||zk − t|

(3)

Тогда из (1) и (2) следует, что D4n−4 (x; f ) является рациональной функцией порядка не выше 4n − 4. Лемма 1. Справедливы равенства 2n+1 X k=1

sin2 (Φn (x) − Φn (xk )) = Φ0n (x), µ0n (xk )(x − xk )2

" # n n 3 X β 1 + α2k + βk2 2 1X k gn (x) = (1 + x2 ) (Φ0n (x))3 − β + , k 3 2 ((x − αk )2 + βk2 )3 ((x − αk )2 + βk2 )2 k=1

k=1

(4)

n ∈ N.

(5)

Доказательство. Введем обозначение Kn (x; t) =

sin2 (Φn (x) − Φn (t)) . (x − t)2

(6)

Покажем вначале, что 2n+1 X k=1

Kn (x; xk ) 1 = µ0n (xk ) 2πi

Z

Kn (x; t) ctg µn (t)dt,

(7)

Γ

где Γ — произвольный замкнутый кусочно-гладкий непрерывный контур, содержащий внутри себя точки zk и z k , k = 0, n, и не содержащий внутри себя точек xk , k = 1, 2n + 1. Рассмотрим вначале подынтегральную функцию Kn (x; t) ctg µn (t) переменной t. Если учесть равенство (3), то нетрудно заметить, что во внешности контура Γ данная функция будет иметь простые полюсы в точках xk , k = 1, 2n + 1. Следовательно, 1 2πi

Z

Kn (x; t) ctg µn (t)dt =

2n+1 X k=1

Γ

res Kn (x; t) ctg µn (t).

t=xk

Если k = 1, 2n, то res Kn (x; t) ctg µn (t) = Kn (x; xk )

t=xk

cos µn (xk ) = (µ0n (xk ))−1 Kn (x; xk ). cos µn (xk )µ0n (xk )

Если же k = 2n + 1, то нетрудно показать, что res

t=x2n+1

Kn (x; t) ctg µn (t) = lim Kn (x; t) ctg µn (t) · t = t→∞

t sin µn (t) sin2 Φn (x) P = . t→∞ (x − t)2 cos µn (t) 1 + 2 nk=1 βk

= sin2 Φn (x) lim

Таким образом, равенство (7) справедливо. Покажем теперь, что Jn = Ln , n ∈ N, где Z 1 Kn (x; t) ctg µn (t)dt (интеграл из (7)), Jn = 2πi Γ Z 1 +∞ Ln = Kn (x; t)dt. π −∞

(8)

87

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона

Действительно, учитывая равенства (6) и (3), нетрудно получить, что   an (x)bn (t) an (t)bn (x) −1 − 2 + Kn (x; t) = , 4(x − t)2 an (t)bn (x) an (x)bn (t) где an (u) =

n Y

(z j − u),

(9)

(z0 − t)a2n (t) + (z 0 − t)b2n (t) . (z0 − t)a2n (t) − (z 0 − t)b2n (t)

(10)

(zj − u),

bn (u) =

j=1

j=1

ctg µn (t) = i

n Y

Следовательно, подынтегральная функция интеграла Jn имеет внутри Γ простые полюсы в точках t = zk и t = z k , k = 1, n. Значит, Jn = −

n  X k=1

 res Kn (x; t) ctg µn (t) + res Kn (x; t) ctg µn (t)

t=zk

t=z k

и res Kn (x; t) ctg µn (t) = lim Kn (x; t) ctg µn (t)(t − z),

t=z

t→z

z = zk , z = z k .

Легко убедиться, что µn (zk ) = −i, µn (z k ) = i, k = 1, n (см. (10)). Следовательно, res Kn (x; t) ctg µn (t) = −i res Kn (x; t), t=zk

t=zk

res Kn (x; t) ctg µn (t) = i res Kn (x; t),

t=z k

t=z k

и Jn = i

n  X k=1

k = 1, n,

 res Kn (x; t) − res Kn (x; t) .

t=zk

t=z k

Выражение справа в этом равенстве есть не что иное, как интеграл Ln (см. (8)), представленный через вычеты относительно особых точек, лежащих как в верхней, так и в нижней полуплоскостях. Таким образом, действительно, Jn = Ln , n ∈ N. Но интеграл Ln вычислен в [4, с. 115]: Ln =

Φ0n (x),

Φ0n (x)

=

n X k=1

βk . (αk − x)2 + βk2

Следовательно, равенство (4) имеет место. Справедливость соотношения (5) устанавливается по такой же схеме. Вначале установим, что gn (x) = Jn∗ (см. (2)), где Z 1 ∗ Gn (x; t) ctg µn (t)dt, Jn := 2πi Γ

Γ — тот же контур, что и в интеграле (7). Затем докажем, что Jn∗ = L∗n , где L∗n

1 := π

+∞ Z Gn (x; t)dt.

(11)

−∞

Останется воспользоваться леммой из [4, с. 40] о вычислении интеграла L∗n , где показывается, что L∗n равен выражению, стоящему справа в соотношении (5). Равенство интегралов Jn∗ и L∗n устанавливается аналогично приведенному выше доказательству соотношения Jn = Ln .

88

Е.А. Ровба

Обозначив через χn (t) = an (t)/bn (t) (см. (9)), будем иметь Gn (x; t) 1 1 3 1 −1 1 −1 = χ2n (x)χ−2 − χ (x)χn (t) + χ−2 (x)χ2n (t). n (t) − χn (x)χn (t) + 1 + t2 16 4 8 4 n 16 n Функция Gn (x; t) ctg µn (t) вне Γ имеет простые полюсы в точках xk , k = 1, 2n + 1 и внутри Γ — полюсы второго порядка в точках zk , z k , k = 1, n. Следовательно, Jn∗

=

2n+1 X k=1

res Gn (x; t) ctg µn (t) =

t=xk

2n+1 X

Gn (x; t) = gn (x). µ0n (xk )

k=1

Итак, gn (x) = Jn∗ . С другой стороны, Jn∗

=−

2n+1 X k=1

 res Gn (x; t) ctg µn (t) + res Gn (x; t) ctg µn (t) ,

t=zk

t=z k


∂ lim Gn (x; t) ctg µn (t)(t − zk )2 = t→zk ,z k ∂t  
∂ 2 2 d ctg µn (t) . (12) Gn (x; t)(t − zk ) ctg µn (t) + Gn (x; t)(t − zk ) = lim t→zk ,z k ∂t dt

res Gn (x; t) ctg µn (t) =

t=zk ,z k

Нетрудно вычислить, что (см. (10))

d ctg µn (t)|t=zk ,zk = 0, dt

k = 1, n.

Следовательно, res (Gn (x; t) ctg µn (t)) = −i res Gn (x; t), t=zk

t=zk

res (Gn (x; t) ctg µn (t)) = i res Gn (x; t).

t=z k

t=z k

Подставив эти выражения в (12), получим Jn∗

=i

2n+1 X k=1

 res Gn (x; t) − res Gn (x; t) .

t=zk

t=z k

А это есть не что иное, как интеграл L∗n (см. (11)). Учитывая вышесказанное, доказательство леммы 1 завершено. Лемма 2 ([4, с. 135]). Справедлива оценка gn (x) >


3 1 + x2 Φ0n (x) , 2

x ∈ R.

Теорема. Если f ∈ C∞ , то имеет место неравенство |f (x) − D4n−4 (x; f )| 6 2ω

! √ 2 , (1 + x2 )Φ0n (x)

где ω(δ) — модуль непрерывности функции F (t) = f (tg(t/2)).

x ∈ R,

89

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона

Доказательство. Исходя из соотношений (1) и (2), имеем f (x) − D4n−4 (x; f ) =

2n+1 1 X f (x) − f (xk ) Gn (x; xk ). gn (x) µn (xk )

(13)

k=1

Пусть x = tg(t/2), xk = tg(tk /2), k = 1, 2n + 1 (t2n+1 = π). √
−1 Полагаем также δn (x) = 2 (1 + x2 )Φ0n (x) . Фиксируем произвольное x ∈ R и обозначим через Ωt = {k : k = 1, 2n + 1, |t − tk | < δn (x), |t − tk ± 2π| < δn (x)}, CΩt = {1, 2, . . . , 2n + 1} \ Ωt . Если δn (x) > 2π, то множество CΩt является пустым. В дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать, что δn (x) < 2π и множество CΩt не является пустым. Тогда, исходя из равенства (13), будем иметь |f (x) − D4n−4 (x; f )| 6

X |F (t) − F (tk )| 1 1 X |F (t) − F (tk )| Gn (x; xk ) + Gn (x; xk ). (14) 0 gn (x) µn (xk ) gn (x) µ0n (xk ) k∈Ωt

k∈CΩt

Очевидно, что |F (t) − F (tk )| 6 ω(δn (x)),

k ∈ Ωt .

Если же k ∈ CΩt , то нетрудно показать, что |F (t) − F (tk )| 6 ω(γ(t, tk )), где γ(t, tk ) =



|t − tk |, если |t − tk | 6 π, 2π − |t − tk |, если π < |t − tk | < 2π.

(15)

Подставляя эти оценки в (14), получим |f (x) − D4n−4 (x; f )| 6

X ω(γ(t, tk )) 1 ω(δn (x)) X Gn (x; xk ) + Gn (x; xk ) = gn (x) µ0n (xk ) gn (x) µ0n (xk ) k∈Ωt

k∈CΩt

= ω(δn (x))s1 (x) + s2 (x), (16)

где s1 (x) =

1 X Gn (x; xk ) , gn (x) µ0n (xk ) k∈Ωt

X ω(γ(t, tk )) 1 Gn (x; xk ). s2 (x) = gn (x) µ0n (xk ) k∈CΩt

Оценим вначале сумму s2 (x). Воспользовавшись неравенством
ω(γ(t, tk )) 6 γ(t, tk )δn−1 (x) + 1 ω(δn (x)),

получим

s2 (x) 6

X Gn (x; xk ) δn−1 (x) X γ(t, tk ) 1 G (x; x )ω(δ (x)) + ω(δn (x)). n n k gn (x) µ0n (xk ) gn (x) µ0n (xk ) k∈CΩt

(17)

k∈CΩt

Учитывая равенство (2), имеем s1 (x) +

X Gn (x; xk ) 1 = 1. gn (x) µ0n (xk ) k∈CΩt

(18)

90

Е.А. Ровба

Остается оценить первое слагаемое в правой части неравенства (17). Пусть (1)

s2 (x) =

δn−1 (x) X γ(t, tk ) Gn (x; xk ). gn (x) µ0n (xk )

(19)

k∈CΩt

Рассмотрим следующую функцию: ζ(x; xk ) = γ(t, tk )

q

√ 1 + x2k 1 + x2 |x − xk |

,

k ∈ CΩt .

Учитывая, что x = tg(t/2), xk = tg(tk /2), и воспользовавшись неравенством sin u > π2 u, u ∈ [0, π/2], получим (см. также (15)) γ(t, tk ) 6 π, k ∈ CΩt . ζ(x; xk ) = sin (|t − tk |/2) Исходя из этого неравенства, найдем следующую оценку суммы (19): q −1 1 + x2k sin(Φn (x) − Φn (xk ) 3 X δn (x) (1) . s2 (x) 6 √ x − xk 1 + x2 gn (x) k∈CΩt µ0n (xk ) Теперь применим неравенство Коши–Буняковского (1) s2 (x)

6

X δ−1 (x) √ n 1 + x2 gn (x) k∈CΩ t

sin(Φn (x) − Φn (xk ) 1 p x − xk µ0n (xk ) 6√

δn−1 (x) 1 + x2 gn (x)

q

1 + x2k Kn (x; xk ) p 6 µ0n (xk ) !1/2 2n+1 !1/2 2n+1 X Gn (x; xk ) X Kn (x; xk ) . µ0n (xk ) µ0n (xk ) k=1

k=1

Остается воспользоваться соотношениями (2) и (4) (1) s2 (x)

p 1/2 
1/2 Φn (x) δn−1 (x) (1 + x2 )(Φ0n (x))3 1/2 2 0 p 6√ (1 + x )Φn (x) (gn (x)) = = 2gn (x) 1 + x2 gn (x) δn (x) gn (x)

и применить лемму 2, чтобы получить неравенство (1)

(20)

s2 (x) 6 1. В совокупности соотношения (16)–(18) и (20) позволяют заключить: |f (x) − D4n−4 (x; f )| 6 2ω(δn (x)),

x ∈ R,

что и завершает доказательство теоремы.

Список литературы 1. Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1993. – Т. 53. – № 2. – С. 114–121. 2. Бугаец, В.П. Точная константа приближения непрерывных функций операторами типа Джексона / В.П. Бугаец, В.Т. Мартынюк // Укр. матем. ж. – 1977. – Т. 29. – № 6. – С. 791–796. 3. Русак, В.Н. О порядке приближения положительными рациональными операторами / В.Н. Русак // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1975. – № 3. – С. 39–46. 4. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

О приближении рациональными операторами функций ограниченной вариации

91

О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации * Estimates of approximations of the functions, having a limited variation over the segment and satisfying Lipshits’ condition of the order of α, 0 < α < 1, are obtained by means of Feier’s and Jackson’s operators.

В теории рациональных приближений со свободными полюсами получили развитие прямые методы, использующие в качестве аппарата приближения интегральные операторы Фурье и ВаллеПуссена (см., например, [1, 2]). В настоящей работе изучаются приближения рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации, удовлетворяющих условию Lip α, α ∈ (0; 1). Найден метод, который позволяет получить порядок приближения операторами Джексона, совпадающий с порядком убывания наилучших рациональных равномерных приближений, а операторами Фейера — отличающийся на множитель ln n. 1. Обозначим через V (M, α, [a; b]) = V α класс непрерывных на отрезке [a; b] функций f , имеющих ограниченную вариацию Var (f, [a; b]) 6 1 и удовлетворяющих условию Липшица порядка α, 0 < α < 1, с постоянной M . Рациональные равномерные приближения таких функций изучались Е.П. Долженко и А.А. Абдугаппаровым (см., например, [3]), Г. Фройдом [4], А.П. Булановым [5]. Окончательный результат принадлежит А.А. Пекарскому [6] и П.П. Петрушеву [7]. Он состоит в том, что для наилучших равномерных приближений Rn (f ) рациональными функциями порядка не выше n имеет место асимптотическое равенство sup Rn (f ) 

f ∈V

α

ln n , n

n > 1, α ∈ (0; 1).

Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a; b], zk , k = 1, n, — произвольные комплексные числа с положительной мнимой частью. Рациональной функцией Фейера назовем функцию вида (см. для сравнения [8, с. 114]) 1 F2n−2 (x, f ) = 0 Φn (x) где

Zb

f (t)Kn (t, x)dt,

 Kn (t, x) = sin2 (Φn (t) − Φn (x)) (t − x)2 , Φn (x) =

n X k=1

(1)

a

arg(zk − x).

(2)

Заметим, что F2n−2 (x, f ) является рациональной функцией порядка не выше 2n − 2. Рациональную функцию Джексона порядка не выше 4n − 4 определим следующим образом: 1 D4n−4 (x, f ) = gn (x) где

Zb

f (t)Gn (t, x)dt,

(3)

a

 Gn (t, x) = (1 + t2 ) sin4 (Φn (t) − Φn (x)) (t − x)4 , +∞ Z Gn (t, x)dt. gn (x) = −∞

* Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Доклады НАН Беларуси. – 1998. – Т. 42. – № 4. – С. 13–17.

92

Е.А. Ровба

«Подправим» введенный выше класс функций следующим образом. Пусть V0α есть класс функций f ∈ V (M, α, [a, b]), удовлетворяющих условию (4)

f (a) = f (b) = 0.

Условие (4) обусловлено выбором конструкции операторов (1) и (3), а именно тем, что при их построении исходим из рациональных рядов Фурье в периодическом случае. С точки зрения рациональной аппроксимации это ограничение не является существенным. В этом случае продолжим функцию f на R, положив f (x) = 0, x ∈ R \ [a, b], и в формулах (1) и (3) можно полагать, что a = −∞, b = +∞. Так, продолженная функция f принадлежит классу C∞ (классу непрерывных на R функций и имеющих равные пределы lim f (x) и lim f (x)), x→−∞

Var (f, R) 6 1, f ∈ LipM α, α ∈ (0, 1) на R. Имеет место

x→+∞

Теорема 1. Если функция f ∈ V0α , α ∈ (0, 1), то параметры zk , k = 1, n, можно выбрать так, что справедливы оценки: kf (x) − F2n−2 (x, f )kC∞ 6 C1

ln2 n , n

n > 1;

ln n , n > 1, n где C1 , C2 — положительные постоянные, зависящие лишь от M , α и a, b. kf (x) − D4n−4 (x, f )kC∞ 6 C2

Для описания свойств рациональных функций приведем следующие две леммы из [8]. Лемма 1. Справедливо равенство +∞ Z f (t)Kn (t, x)dt = πΦ0n (x),

−∞

где Φ0n (x) =

n X k=1

βk , (x − αk )2 + βk2

zk = αk + iβk , k = 1, n.

Лемма 2. Справедлива оценка gn (x) >

 3 π (1 + x2 ) Φ0n (x) , 2

gn (x) >

n π X βk (1 + α2k + βk2 )
, 2 + β2 2 2 (x − α ) k k=1 k

x ∈ R.

искомые оценки. Опишем метод выбора параметров zk , k = 1, n,  на которых реализуются  Пусть n ∈ N, n 6 12(1 + α−2 ). Положим N = (1 + α−2 )−1 n/4 . 1 Построим разбиение {τ1,k }νk=0 отрезка [a, b] следующим образом:   ln2 N , k = 1, 2, . . . , k0 . τ1,0 = a − 1, τ1,k = max x : τ1,k−1 < x 6 b, |f (x) − f (τ1,k−1 )| = N Если при некотором значении k0 получится, что τ1,k0 = b,

|f (τ1,k0 ) − f (τ1,k0−1 )| =

ln2 N , N

то полагаем ν1 = k0 . Если же при некотором значении k0 окажется, что τ1,k0 = b,

|f (τ1,k0 ) − f (τ1,k0−1 )|
1;

ln n , n > 1, n где C3 , C4 — положительные постоянные, зависящие лишь от M и α. kf (x) − ν2n (x, f )kC[−1,1] 6 C4

Список литературы 1. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515. 2. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22. 3. Абдугаппаров, А.А. Приближение функций с выпуклой производной посредством рациональных функций: автореф. . . . дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / А.А. Абдугаппаров; Калининский гос. ун-т. – Калинин, 1974. – 10 с. ¨ 4. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324. 5. Буланов, А.П. Рациональные приближения непрерывных функций с конечным изменением / А.П. Буланов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1975. – Т. 39. – № 5. – С. 1142–1181. 6. Пекарский, А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерывности и модулем изменения / А.А. Пекарский // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 5. – С. 34–39. 7. Petrushev, P.

/ P. Petrushev // Pliska Studia Math. Bulgarica. – 1977. – Vol. 1. – P. 145–155.

8. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 9. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133(175). – № 1(5). – С. 86–102.

Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса

95

10. Lorentz, G.G. Constructive approximation. Advanced problems / G.G. Lorentz, M.V. Golitscheck, Y. Makovoz. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 452 p. 11. Ровба, Е.А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1996. – № 1. – С. 12–16.

Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса * Quadrature formulas generalizing the classical Gauss formulas of Jacoby nodes with α = −β = 1/2 are given.

Различные обобщения квадратурных формул Гаусса являются предметом исследований многих авторов (см., например, [1–3]). Значительное место в этих исследованиях занимают вопросы, посвященные квадратурным формулам типа Гаусса, полученным с помощью рационального интерполирования [4–6]. При этом существенно используются ортогональные системы рациональных функций. Однако к настоящему времени в явном виде известны лишь две ортогональные системы рациональных функций, обобщающие многочлены Чебышева первого и второго рода [7]. В настоящей p работе построена система рациональных функций, ортогональных на отрезке [−1, 1] по весу (1 − x)/(1 + x), и методами рациональной интерполяции вводится соответствующая квадратурная формула гауссовского типа. 1. Пусть {αk } — произвольная последовательность комплексных чисел, |αk | < 1, k = 1, 2, . . ., и p p n−1 1 − |α0 |2 1 − |αn |2 Y z − αk ϕ0 (z) = , ϕn (z) = , n ∈ N. (1) 1 − α0 z 1 − αn z 1 − αn z k=0

Тогда определим систему рациональных функций {Qn (x)} следующим образом: Z 1 ϕn (t) 1+t Qn (z) = dt, x ∈ [−1, 1], n = 0, 1, . . . , 2 2πi t − 2tx + 1 t

(2)

|t|=ρn

где число ρn , ρn > 1, выбрано так, что точки αk −1, k = 0, n, находятся вне контура интегрирования. Теорема p 1. Система функций Qn (x), n = 0, 1, . . ., является ортогональной на отрезке [−1, 1] по весу (1 − x)/(1 + x). Доказательство. Рассмотрим интеграл Jmn =

Z1 r

1−x Qm (x)Qn (x)dx, 1+x

m, n = 0, 1, . . .

−1

Воспользуемся представлением (2) и получим Jmn

1 =− 2 4π

Z

1+t ϕm (t) dt t

|t|=ρm

Z

|t|=ρn

1+u ϕn (u) du u

Z1 r

−1

dx 1−x . 2 1 + x (t − 2tx + 1)(u2 − 2tu + 1)

(3)

Нетрудно найти, что Z1 r

−1

1−x dx π = , 1 + x (t2 − 2tx + 1)(u2 − 2tu + 1) (1 + t)(1 + u)(tu − 1)

|t| > 1, |u| > 1.

* Ровба, Е.А. Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса / Е.А. Ровба // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1998. – № 3. – С. 31–35.

96

Е.А. Ровба

Подставляя полученное выражение в (3), найдем Z Z dt 1 ϕm (t) Jmn = − 2 4π t |t|=ρm

ϕn (u)

|t|=ρn

du . (tu − 1)u

Подынтегральная функция внутреннего интеграла имеет в круге |t| < ρn единственную особую точку u = 1/t. Следовательно,   Z 1 du 1 = 2πi ϕn ϕn (u) tu − 1 u t |t|=ρn

и Jmn

1 = 2πi

Z

|t|=ρm

  1 dt . ϕm (t)ϕn t t

Переходя к пределу при ρm → 1, получим Z Z 1 dt 1 ϕm (t)ϕn (t) = ϕm (t)ϕn (t)|dt|. Jmn = 2πi t 2π |t|=1

|t|=1

Остается воспользоваться ортогональностью системы {ϕn (t)}+∞ на единичной окружности. 0 Теорема 2. Функции Qn (x) являются рациональными порядка n. Если же числа αk , k = 0, n − 1, являются вещественными либо попарно комплексносопряженными, αn ∈ (−1, 1), то имеет место представление s p √ 1 − a2n Qn (x) = 2 (4) sin µn+1/2 (x)/ 1 − x, 1 + an x где

n−1

X 1 x − αn x + ak µn+1/2 (x) = − arccos x + arccos + , arccos 2 2 1 − 2αn x + αn 1 + ak x k=0

ak = −2αk /(1 +

α2k ),

k = 0, n,

(5)

и функция Qn (x) имеет n простых нулей на интервале (−1, 1). Если положить в (4) αk = 0, k = 0, n, то, очевидно, Qn (x) =

sin(n + 1/2)θ , sin θ/2

x = cos θ,

т.е. Qn (x) есть известный многочлен Якоби. Доказательство теоремы 2. Обратимся к равенствам (2). Нетрудно заметить, что подынтеграль√ ная функция будет иметь в круге |t| < ρn два простых полюса в точках x± x2 − 1, и, следовательно,  1  (1 + e−iθ )ϕn (eiθ ) − (1 − eiθ )ϕn (e−iθ ) , x = cos θ. 2i sin θ √ Легко проверить, что если z = x ± x2 − 1, то √ (1 + |αk |2 )x − 2 Re αk ± (1 − |αk |2 ) x2 − 1 z − αk , k = 0, n − 1, = 1 − αk z 1 + α2k − 2αk x Qn (x) =

(6)

Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса

97

√ z x − αn ± x2 − 1 . = 1 − αn z 1 − 2αn x + α2n

Подставляя полученные выражения в (6), убедимся в правильности первого утверждения теоремы 2. √ Также, полагая z = x ± x2 − 1, имеем q √ 2 x2 − 1 x + a ± 1 − a k k z − αk = = e±iζk (x) , (7) 1 − αk z 1 + ak x где ζk (x) = arccos ((x + ak x)/(1 + ak x)), k = 0, n − 1. Аналогично sp p p √ 1 − |αn |2 z 1 − α2n (x − αn ± x2 − 1) 1 − a2n ±iζn (x) = = e , (8) 1 − αn z 1 − 2xαn + α2n 1 + an x
где ζn (x) = arccos (x − αn )/(1 − 2xαn + α2n ) . Если положить, что αk — комплексное и αk+1 = αk , то будем иметь z − αk z − αk+1 z − αk z − αk+1 = . 1 − αk z 1 − αk+1 z 1 − αk z 1 − αk+1 z Учитывая это равенство, соотношения (7) и (8), из представления (6) получим выражение (4). Легко найти, что ! n−1 p 2 X 1 − a −1 1 − xα 1 n n √ + µ0n+1/2 (x) = − + 2 2 1 − 2xαn + αn 1 + an x 1 − x2 k=0

 1 π. Тогда из соотношения (4) и < 0, x ∈ (−1, 1), µn+1/2 (1) = 0, µn+1/2 (−1) = n + 2 следует, что функция Qn (x) имеет n простых нулей на (−1; 1). Теорема 2 доказана. 

µ0n+1/2 (x)

Заметим, что функции Qn (x) могут определяться заданием чисел ak , ak ∈ C\{(−∞; 1]∪[1; +∞)}, k = 0, n, а не числами αk , |αk | < 1, k = 0, n (см. (5)). 2. Пусть числа ak , k = 1, n − 1, являются действительными (ak ∈ (−1; 1)) либо попарно комплексно-сопряженными. Пусть также √ √ Qn (x) = 2 sin µn+1/2 (x)/ 1 − x, √ где µ0n+1/2 (x) = −λn+1/2 (x)/ 1 − x2 , x ∈ (−1; 1), 3 λn+1/2 (x) = + 2

n−1 X k=1

q

1 − a2k

1 + ak x

(9)

.

Тогда рациональная функция Qn (x) имеет n простых нулей на интервале (−1; 1): −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1. Сp помощью рационального интерполирования для всякой интегрируемой на отрезке [−1; 1] с весом (1 − x)/(1 + x) функции f можно построить (см., например, [6]) квадратурную формулу гауссовского типа: Z1 r n X 1−x f (x)dx = Ak f (xk ) + Rn (f ), (10) 1+x где

k=1

−1

1 Ak = 0 Qn (x)

Z1 r

−1

1−x Qn (x) f (x) dx, 1+x x − xk

k = 1, n,

(11)

98

Е.А. Ровба

Rn (f ) — остаточной член. Квадратурная формула (10) обладает (см. [6]) следующими свойствами: 1) Ak > 0, k = 1, n; любого многочлена P2n−1 степени не выше 2n − 1 (P2n−1 2) для n−1  Q Rn P2n−1 (x)/ (1 + ak x)2 = 0;

∈

P2n−1 )

k=1





P2n−1 (x)

3) |Rn (f )| 6 2π inf

f (x) − n−1

P2n−1 ∈P2n−1 Q 2

(1 + ak x)

k=1

(12)

.

C[−1;1]

Теорема 3. Квадратурная формула (10) имеет вид Z1 r

−1

n

X 1 − xk 1−x f (x)dx = π f (xk ) + Rn (f ). 1+x λn+1/2 (xk )

(13)

k=1

Доказательство. Обратимся к формуле (11) для коэффициентов Ak . Легко видеть, что k+1 (1

Ak = (−1)

√ Z1 sin µn+1/2 (x) − xk ) 1 + xk √ dx, λn+1/2 (xk ) 1 + x(x − xk )

(14)

k = 1, n.

−1

Поэтому вычислим интеграл Jnk =

Z1

−1

sin µn+1/2 (x) √ dx. 1 + x(x − xk )

Произведем замену переменной интегрирования x = (1 − y 2 )/(1 + y 2 ). Тогда будем иметь Jnk

1 + y2 =− √ k 2 2i

+∞ Z

−∞

n−1 n−1 y − i Y y − zm y + i Y y − zm − (y + i)2 y − z m (y − i)2 y − zm m=1

m=1

!

ydy , − yk2

y2

p где yk = (1 − xk )/(1 + xk ), k = 1, n, zm — корни уравнений z 2 + (1 + am )/(1 − am ) = 0, Im zm > 0, m = 1, n − 1. Подчеркнем, что числа zm , m = 1, n − 1, будут располагаться симметрично относительно мнимой оси. Найдем интеграл Jn (z) =

+∞ Z

−∞

n−1 n−1 y + i Y y − zm y − i Y y − zm − (y + i)2 y − z m (y − i)2 y − zm m=1

m=1

!

ydy , − z2

y2

z ∈ C, Im z > 0.

Очевидно, n−1 n−1 y − i Y y − zm y + i Y y − zm y y + res Jn (z) = 2πi res 2 y=z y − z 2 (y + i)2 y − z m y=−z y 2 − z 2 (y − i)2 y − zm m=1

m=1

!

=

n−1 z − i Y z − zm = 2πi . (z + i)2 z − zm m=1

Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса

99

Следовательно,

Jnk = −

1 + yk2 √ 2 2i

lim

z→yk , Im z>0

Jn (z) = −

q

1 + yk2  yk − i 3/2 n−1 Y yk − zm √ π . 2 (yk + i) y − zm 2 m=1 k



 Q yk − zm yk − i 3/2 n−1 Обозначим ωnk = . Так как sin µn+1/2 (xk ) = 0, то ωnk − ω nk = 0, 2 (yk + i) m=1 yk − z m ωnk + ωnk = 2(−1)k и ωnk = (−1)k , k = 1, n. Тогда будем иметь

Jnk = (−1)k+1

q

1 + yk2 (−1)k+1 π √ , π= √ 1 + xk 2

Подставляя полученное выражение в (14), найдем Ak =

k = 1, n.

1 − xk , k = 1, n. Теорема доказана. λn+1/2 (xk )

4π kπ 2kπ , Ak = sin2 , k = 1, n, и 2n + 1 2n + 1 2n + 1 получим классическую формулу Гаусса (см., например, [9]). Из неравенства (12) и соответствующего результата о полноте системы функций 1 1 1 , ,..., , . . . (см. [10]) следует сходимость построенного квадратурного процесса 1 + a0 z 1 + a1 z 1 +an z  p ∞ P в случае, когда ряд a−2 1 − |a−1 n − 1| расходится. n + Если предположить a1 = a2 = . . . = an = 0, xk = cos

n=0

Список литературы 1. Bojanov, B. Gaussian quadrature formulae for Tchebysheff systems / B. Bojanov // East J. on Approx. – 1997. – Vol. 3. – N. 1. – P. 71–78. 2. Bojanov, B. Generalized Gaussian quadrature formulas / B. Bojanov, D. Braess, N. Dyn // J. Approx. Theory. – 1986. – Vol. 48. – N. 4. – P. 335–353. 3. L´ opez Lagomasinoa, G. A note on generalized quadrature formulas Gauss-Jacobi type / G. L´ opez Lagomasinoa, J. Illi´an // Conctructive Theory of Function. Sofia, Publ. House Bulgarian Acad. Sci. – 1984. – P. 513–518. 4. Van Assche, W. Quadrature formulas based on rational interpolation / W. Van Assche, I. Vanherwegen // Math. Comp. – 1993. – Vol. 61. – N. 204. – P. 765–783. 5. Gautschi, W. Gauss-type quadrature rules for rational functions / W. Gautschi // Numerical Integration. – 1993. – P. 111–130. 6. Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 3. – С. 42–46. 7. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Докл. АН АрмССР. – 1964. – Т. 38. – № 5. – С. 263–270. 8. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27. 9. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. – Москва–Ленинград: Гостехиздат, 1949. – 688 с. 10. Ахиезер, Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. – Москва: Наука, 1965. – 408 с.

100

А.А. Пекарский, Е.А. Ровба

Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций * R

Пусть µ — положительная борелевская мера с носителем supp µ ⊂ [1, ∞) и удовлетворяющая условию (t − 1)−1 dµ(t) < ∞. В работе изучается порядок равномерной аппроксимации функции Z dµ(t) , z ∈ C, µ b(z) = t−z

в круге |z| 6 1 и на отрезке [−1, 1] посредством ортопроекции µ b на множество рациональных функций степени n. При этом полюсы рациональных функций выбираются в зависимости от меры µ. Например, показано, что если supp µ компактен и не содержит 1, то такой метод аппроксимации имеет порядок наилучшей. Если же supp µ = [1, a], a > 1, мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и µ0 (t)  (t − 1)α√при t ∈ [1, a] и некотором α > 0, то порядок такой аппроксимации отличается от наилучшей разве лишь на n.

1. Введение. Пусть µ — положительная борелевская мера с носителем supp µ ⊂ R. Тогда функцию Z dµ(t) , z ∈ C, µ b(z) = t−z называют функцией Гамбургера; кроме того, если supp µ принадлежит одной из полуосей оси R, то ее называют функцией Стилтьеса, если supp µ компактен, — функцией Маркова. Изучению наилучших рациональных приближений таких функций посвящены работы [1–6] и др. В настоящей работе предполагается, что supp µ ⊂ [1, ∞) и Z dµ(t) < ∞. (1) t−1 Нас будет интересовать порядок наилучших равномерных приближений µ b в круге ∆ := {z : |z| 6 1} и на отрезке I := [−1, 1] посредством ортопроекции µ b на множество рациональных функций степени n. При этом полюсы рациональных функций будут выбираться в зависимости от меры µ. Например, показано, что если supp µ компактен и 1 6∈ supp µ, то такой метод аппроксимации имеет порядок наилучшей. Если же supp µ = [1, a], a > 1, мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и µ0 (t)  (t − 1)α при t ∈ [1, a] и некотором α > 0, то порядок такой аппроксимации отличается от √ наилучшей разве лишь на n. 2. Ортопроекция в случае круга. Через CA обозначим банахово пространство функций f , непрерывных в круге ∆ и аналитических в int ∆, с нормой kf k := kf kCA := max |f (z)|. z∈∆

Пространство CA будем рассматривать также как предгильбертово, в котором скалярное произведение (·, ·) определяется следующим образом: Z 1 f (z)g(z)|dz|, f, g ∈ CA , (f, g) = 2π T

где T — граница круга ∆. Пусть точки z1 , z2 , . . . , zn принадлежат C \ ∆. Введем Rn = Rn (z1 , z2 , . . . , zn ) — линейное пространство рациональных функций, полюсами которых с учетом кратности могут быть лишь z1 , z2 , . . . , zn . Через Fn обозначим ортопроектор из предгильбертова пространства CA на (n + 1)-мерное подпространство R. Основным объектом нашего исследования (в случае круга) являются числа Λn = Λn (f, ∆) := inf kf − Fn (·, f )k, f ∈ CA , * Пекарский, А.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций / А.А. Пекарский, Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1999. – Т. 65. – № 3. – С. 362–368.

101

Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции

где инфимум берется по всем z1 , z2 , . . . , zn ∈ C \ ∆. Если все zk = ∞, то Fn (·, f ) есть n-я частичная сумма ряда Маклорена функции f ∈ CA . В общем случае Fn (x, f ) можно представить в виде n-й частичной суммы ряда Фурье по ортогональной системе Такенака–Мальмквиста [6]. Для нас наиболее важной является формула для разности f (z) − Fn (z, f ) (см. [7, гл. IX]). Именно, введем Bn (z) :=

n Y

b(z, tk ),

b(z, tk ) :=

k=1

z − tk , 1 − tk z

— произведение Бляшке порядка n с нулями в точках tk ∈ int ∆. Нужная нам формула имеет вид Z zBn (z) f (ξ)dξ f (z) − Fn (z, f ) = , z ∈ int ∆, (2) 2πi (ξ − z)ξBn (ξ) T

где tk := 1/z k , k = 1, 2, . . . , n. В ее справедливости можно также легко убедиться, исходя из определения скалярного произведения. При решении поставленной задачи важную роль будут играть числа Z dµ(t) sn (µ) = inf , (3) t(t − 1)|Bn (t)|2 где инфимум берется по всем t1 , t2 , . . . , tn ∈ int ∆. Теорема 1. Если мера µ удовлетворяет условию (1), то Λn (b µ, ∆) 6 3sn (µ),

(4)

n = 1, 2, . . . .

Доказательство. Применяя формулу Фубини, из (1), (2) и определения функции µ b, получим Z dµ(t) µ b − Fn (z, µ b) = zBn (z) , z ∈ ∆. (t − z)tBn (t)

(5)

Лемма 1. Пусть мера µ удовлетворяет условию (1) и supp µ содержит более n точек. Тогда ифмимум в (3) достигается, по крайней мере, для одной системы попарно различных точек tk =: t∗k , принадлежащих интервалу (0; 1). При этом функция Z dµ(t) ∗ In (z) := zBn (z) , z ∈ ∆, (t − z)tBn∗ (t) где Bn∗ — произведение Бляшке с нулями в точках t∗k , удовлетворяет условиям: z ∈ ∆, Z Z dµ(t) (1 + t)dµ(t) ∗ ∗ 2 + Bn (z) , In (z) = Bn (z) (z − 1) |t − z|2 tBn∗ (t)2 (t − z)tBn∗ (t)3

(6)

|In (z)| 6 3sn (µ),

z ∈ T.

(7)

Доказательство. Для t > 1 и |η| < 1 выполняется неравенство |b(t, |η|)| > |b(t, η)|. Поэтому sn (µ) не изменится, если в (3) вместо tk ∈ int ∆ будем считать tk ∈ [0, 1). Далее введем функцию Z dµ(t) , Φ(t1 , t2 , . . . , tn ) = (t − 1)tBn (t)2 где нули произведения Bn суть числа tk ∈ [0; 1), k = 1, n. Ввиду условия (1), функция Φ по непрерывности продолжается на куб [0; 1]n , и при этом b(t, 1) = −1, если t > 1. Согласно теореме Вейерштрасса функция Φ достигает наименьшего значения в некоторой точке (t∗1 , t∗2 , . . . , t∗n ) ∈ [0; 1]n . Поскольку |b(t, t0 )| > 1 = |b(t, 1)| при t > 1 и t0 ∈ [0; 1), то все t∗k < 1.

102

А.А. Пекарский, Е.А. Ровба

Далее покажем, что все t∗k > 0. Например, докажем, что t∗1 > 0. С этой целью рассмотрим функцию Z ϕ(u) = b−2 (t, u)dν(t), u ∈ [0; 1), где мера ν определяется равенством dν(t) = t

−1

−1

(t − 1)

n Y

b−2 (t, t∗k )dµ(t),

t > 1.

k=2

Поскольку supp µ содержит более n точек, то, согласно теореме Лебега, Z 2 1 t −1 0 ϕ (0) = − dν(t) < 0. 2 t3 Значит, ϕ(0) > ϕ(u) при достаточно малых u > 0 и поэтому t∗1 > 0. Сейчас покажем, что числа t∗1 , t∗2 , . . . , t∗n попарно различны. Докажем, например, что t∗1 6= t∗2 . Зафиксируем некоторое t1 ∈ (0; 1) и введем функцию Z ψ(τ ) = b−2 (t, t1 + τ )b−2 (t, t1 − τ )dλ(t), где мера λ определяется условием dλ(t) = t−1 (t − 1)−1

n Y

b−2 (t, t∗k )dµ(t),

t > 1,

k=3

а переменная τ такова, что t1 ± τ ∈ (0; 1). Имеем Z (1 − tt1 )2 2 ψ 0 (0) = 0, ψ 00 (0) = −2 (t − 1)(t2 + 2tt1 + 1)dλ(t) < 0. (t − t1 )6 Значит, точка τ = 0 является точкой локального максимума функции ψ и предположение t∗1 = t∗2 противоречиво. Перейдем к доказательству соотношений (6) и (7). Точка минимума (t∗1 , t∗2 , . . . , t∗n ) функции Φ принадлежит открытому кубу (0; 1)n и, следовательно, в ней выполнено необходимое условие экстремума: ∂Φ/∂tk = 0, k = 1, 2, . . . , n. Несложные вычисления показывают, что  Z  ∂Φ 2 1 1 dµ(t) = + . ∂tk 1 − tk t − tk 1 − ttk tBn (t)2 Таким образом, имеют место равенства: Z Z dµ(t) dµ(t) = − , ∗ ∗ 2 (t − tk )tBn (t) (1 − tt∗k )tBn∗ (t)2

k = 1, 2, . . . , n.

Поскольку точки t∗1 , t∗2 , . . . , t∗n попарно различны, то при всех допустимых t и z справедливо тождество n Bn∗ (t) − Bn∗ (z) X Ak (z) = , t−z 1 − t∗k t k=1

где Ak (z) — некоторые рациональные функции, зависящие лишь от z. Заменим здесь t на 1/t. С учетом равенства Bn∗ (1/t) = 1/Bn∗ (t) получим n

1 − Bn∗ (t)Bn∗ (z) X Ak (z) = . (1 − tz)Bn∗ (t) t − t∗k k=1

Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции

103

Из последних трех равенств находим, что Z Z Bn∗ (t) − Bn∗ (z) dµ(t) 1 − Bn∗ (t)Bn∗ (z) dµ(t) = − . ∗ 2 t−z tBn (t) (1 − tz) tBn∗ (t)3 Функцию In (z) перепишем в виде Z ∗ 2 In (z) = zBn (z)

dµ(t) + zBn∗ (z) (t − z)tBn∗ (t)2

Z

Bn∗ (t) − Bn∗ (z) dµ(t) . t−z tBn∗ (t)2

Последние два равенства дают нам основное соотношение для In (z): Z Z 1 − Bn∗ (t)Bn∗ (z) dµ(t) dµ(t) ∗ − zB (z) . In (z) = zBn∗ (z)2 n ∗ 2 (t − z)tBn (t) (1 − tz) tBn∗ (t)3

(8)

Отсюда немедленно следует (6) для z ∈ T . Согласно принципа максимума модуля аналитической функции (6) выполняется для z ∈ ∆. Для получения из (8) равенства (7) достаточно заметить, что 1/z = z при z ∈ T . Лемма 1 доказана. Продолжим доказательство теоремы 1. Если supp µ содержит не более n точек, то согласно (2) и определению чисел sn (mu) имеем Λn (b µ, ∆) = 0 и sn (µ) = 0, т.е. (4) выполнено. В противном случае кроме равенства (2) нужно применить лемму 1. Теорема 1 доказана. 3. Ортопроекция в случае отрезка. Через C(I) обозначим банахово пространство непрерывных функций g : I → C с нормой kgk := kgkC(I) := max |f (x)|. x∈I

Пространство C(I) будем рассматривать также как предгильбертово, в котором скалярное произведение (·, ·) определяется следующим образом: Z dx (g, h) = g(x)h(x) √ , g, h ∈ C(I). 1 − x2 I

Пусть точки η1 , η2 , . . . , ηn принадлежат C \ I. Введем Rn = Rn (η1 , η2 , . . . , ηn ) — линейное пространство рациональных функций, полюсами которых с учетом кратности могут быть лишь η1 , η2 , . . . , ηn . Основным объектом нашего исследования (в случае отрезка) являются числа Λn = Λn (g, I) := inf kg − Pn (·, g)k,

g ∈ C(I),

где инфимум берется по всем η1 , η2 , . . . , ηn ∈ C \ I. Если все ηk = ∞, то Pn (x, g) суть n-я частичная сумма ряда Фурье функции g по ортогональной системе многочленов Чебышева первого рода. В общем случае соответствующая ортогональная система построена М.М. Джрбашяном и А.А. Китбаляном [8]. Интегральное представление разности g(x) − Pn (x, g) найдено в [9]. С помощью последнего можно получить аналог формулы (5) для отрезка. Здесь поступим более просто: интегральное представление разности µ b − Pn (·, µ b) получим из (5) с помощью замены переменной. Пусть   1 1 η = ϕ(z) := z+ 2 z p — функция Жуковского, конформно отображающая C \ ∆ на C \ I, z = ψ(η) := η + η 2 − 1 — обратное отображение.

104

А.А. Пекарский, Е.А. Ровба

Теорема 2. Пусть мера µ удовлетворяет условию (1), а мера ν определяется соотношением dν(t) =

4t2 dµ(ϕ(t)), t2 − 1

(9)

t > 1.

Тогда для x ∈ I имеет место равенство Z Z e−iθ Bn (e−iθ ) dν(t) dν(t) eiθ Bn (eiθ ) + , µ b(x) − Pn (x, µ b) = iθ 2 (t − e )tBn (t) 2 (t − e−iθ )tBn (t)

(10)

Доказательство. Производя несложные преобразования, получим, что  1  iθ νb(e ) + νb(e−iθ ) = µ b(x) + const, x ∈ I. 2

(11)

где θ = arccos x, а произведение Бляшке порядка Bn определяется нулями tk = 1/ψ(ηk ), k = 1, 2, . . . , n.

Далее зафиксируем s ∈ N, η0 ∈ C \ I и положим z0 = ψ(η0 ). Легко также убедиться в том, что   1 1 1 a0 + a1 x + · · · + as xs + , x ∈ I, (12) = 2 (z0 − eiθ )s (z0 − e−iθ )s (η0 − x)s где коэффициенты a0 , a1 , . . . , as не зависят от x. В случае η0 = ∞ последнее тождество следует заменить тождеством  1  isθ (13) e + e−isθ = Ts (x), 2 где Ts (x) = cos(s arccos x) — многочлен Чебышева первого рода. Заменим в (5) меру µ на −ν. С учетом соотношений (11)–(13) получим µ b(x) − rn (x) = ω(x), x ∈ I, где rn (x) ∈ Rn (η0 , η1 , . . . , ηn ), а через ω(x) обозначена правая часть равенства (10). Ниже показана ортогональность ω любой функции g ∈ Rn (η0 , η1 , . . . , ηn ). Все вместе это будет означать, что rn (x) = Pn (x, µ b). Зафиксируем t0 > 1 и положим ωt0 (x) =

eiθ Bn (eiθ ) e−iθ Bn (e−iθ ) + . t0 − eiθ t0 − e−iθ

Имеем (ωt0 , g) =

Z I

dx ωt0 (x)g(x) √ = 1 − x2

Zπ

ωt0 (cos θ)g(cos θ)dθ =

0

=

Zπ

−π

Здесь

eiθ Bn (eiθ ) g(cos θ)dθ = −i t0 − eiθ

   1 1 G(z) = g z+ , 2 z

Z T

Bn (z) G(z)dz = 0. (14) t0 − z

z ∈ T.

Функция G является рациональной степени не выше 2n, и ее полюсами могут быть лишь точки t1 , t2 , . . . , tn , 1/t1 , 1/t2 , . . . , 1/tn . Значит, функция (t0 − z)−1 Bn (z)G(z) аналитична на ∆ и последнее равенство в (14) выполняется в силу теоремы Коши. Из (14) и теоремы Фубини находим, что ω⊥g. Теорема 2 доказана. Теорема 2 и лемма 1 дают нам следующую теорему.

Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции

105

Теорема 3. Если мера µ удовлетворяет условию (1), а мера ν определяется условием (9), то Λn (b µ, I) 6 3sn (ν),

n = 1, 2, . . . .

(15)

4. Некоторые следствия. Для функции f ∈ C(A) (g ∈ C(I)) через Rn = Rn (f, ∆) обозначим наилучшее равномерное приближение рациональными функциями степени не выше n. Ясно, что Λn 6 Rn , n = 1, 2, . . .. В случае, когда 1 ∈ supp µ последовательность {Rn } хорошо изучена (см. [1–4]). Приведенная ниже теорема 4 показывает, что в этом случае последовательности {Rn } и {Λn } имеют одинаковый порядок малости. Нижние оценки из этой теоремы можно получить с применением двойственности, аналогично как в [5]. Теорема 4. Пусть мера µ удовлетворяет условию (1), a := inf(supp µ) > 1,

k(a) := (1 − ln(1 − 1/a))−1

и мера ν определяется условием (9). Тогда при n = 1, 2, . . . выполняются неравенства c1 k(a)sn (µ) 6 Rn (b µ, ∆) 6 Λn (b µ, ∆) 6 3sn (µ), c2 k(a)sn (ν) 6 Rn (b µ, I) 6 Λn (b µ, I) 6 3sn (ν), где c1 и c2 — абсолютные положительные постоянные. Пусть сейчас supp µ = [1, a], a > 1, мера µ абсолютно нерерывна относительно меры Лебега и существует α > 0 такое, что µ0 (t)  (t − 1)α , t ∈ [1, a]. (16) Согласно работам [5] и [6] в этом случае для Rn при n = 1, 2, . . . выполняются соотношения √ √ µ, I)  exp(−2π αn). Rn (b µ, ∆)  exp(−π 2αn) Rn (b

(17)

Итак, из теорем 1, 3 и неравенства Rn 6 Λn получаем следующую теорему. Теорема 5. Если мера µ удовлетворяет условию (15), то при n = 1, 2, . . . выполняются неравенства √ √ √ µ, ∆) 6 c2 n exp(−π 2αn), c1 exp(−π 2αn) 6 Λn (b √ √ √ c3 exp(−2π αn) 6 Λn (b µ, I) 6 c4 n exp(−2π αn), где постоянные c1 , c2 , c3 , c4 положительны и не зависят от n. √ По нашему мнению, множитель n в правых частях последних соотношений можно опустить. Это предположение основано на равенстве (7). Однако, для применения (7) необходимо дополнительное изучение экстремального произведения Bn∗ .

Список литературы 1. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1978. – Т. 105 (147). – № 2. – С. 147–163. 2. Ganelius, G. Orthogonal polynomials and rational approximation of holomorphic function / G. Ganelius // Adv. Stud. in Pure Math / ed. P. Erd¨ os. To the Memory of Paul Turan. Basel: Birkh¨auser. – 1978. – P. 237–243. 3. Stahl, H. Best rational approximants to Markov functions / H. Stahl // Colloq. Math. Soc. J´anos Bolyai. – 1990. – Vol. 58. – P. 627–643. 4. Braess, D. Rational approximation of Stieltjes Functions by the Caratheodory–Fej´er Method / D. Braess // Constr. Approx. – 1987. – Vol. 3. – P. 43–50.

106

Е.А. Ровба

5. Andersson, J.-E. Rational approximation to the function like xα in integral norms / J.-E. Andersson // Anal. Math. – 1988. – Vol. 14. – N. 1. – P. 11–25. 6. Пекарский, А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова / А.А. Пекарский // Алгебра и анализ. – 1995. – Т. 7. – № 2. – С. 121–132. 7. Уолш, Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж.Л. Уолш. – Москва: ИЛ, 1961. – 508 с. 8. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Докл. АН АрмССР. – 1964. – Т. 37. – № 5. – С. 263–270. 9. Ровба, Е.А. О приближении рациональными рядами Фурье–Чебышева / Е.А. Ровба // Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: тезисы докладов III Всесоюзн. конф., Дрогобыч, 17–21 июня 1991 г. – Москва: ВЦ АН СССР, 1991. – С. 115.

Рациональная интерполяция дифференцируемых функций с r-й производной ограниченной вариации * We developed a method of approximation of functions, differentiated by Riemann–Louiville technique, and having r-derivative of limited variation. The approximation is achieved by means of interpolating rational functions in the areas of Bernstein knots.

Рациональная аппроксимация дифференцируемых функций, имеющих r-ю производную ограниченной вариации, хорошо изучена (см., например, [1–4]). Получены точные по порядку на классе таких функций оценки наилучших равномерных рациональных приближений, исследованы приближения посредством рациональных рядов Фурье и построенных на их основе других рациональных операторов. В настоящей работе изучаются вопросы рационального интерполирования функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля и имеющих r-ю производную ограниченной вариации, r > 0. Через W r V [a, b] обозначим класс функций, заданных на отрезке [a, b] и представимых интегралом Стилтьеса: Zx 1 (x − t)r dh(t), x ∈ [a, b], r > 0, f (x) = Γ(r + 1) a

где h(t) — функция ограниченной вариации на отрезке [a, b], Var(h, [a, b]) 6 1, Γ(r + 1) — гаммафункция Эйлера. При условии h(a) = h(a + 0) = 0 функция h будет r-й производной функции f в смысле Римана–Лиувилля: f (r) (x) = h(x) почти всюду на [a, b]. Дифференциальные свойства функций класса W r V [a, b] изложены, например, в [5, с. 133]. Очевидно, что f (a) = 0. Полагаем также, что функция f ∈ W r V [a, b] и удовлетворяет условию f (b) = 0; класс таких функций будем обозначать через W0r V [a, b]. С точки зрения рациональной аппроксимации это ограничение не является существенным. Пусть zk , k = 1, n — комплексные числа, zk = αk + iβk , βk > 0, k = 1, n, z0 = i. Обозначим через mn (x) соответствующую косинус-дробь Бернштейна: mn (x) = cos ϕn (x), где ϕn (x) = arg(z0 − x) + 2

n X k=1

arg(zk − x).

Функция mn (x) имеет 2n + 1 нуль на R. Обозначим . . . < x2n−1 < x2n < a 6 x0 < x1 < . . . < xs 6 b < xs+1 < . . .

их

через

xk ,

k

=

0, 2n:

* Ровба, Е.А. Рациональная интерполяция дифференцируемых функций с r-й производной ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1999. – № 2. – С. 8–13.

107

Рациональная интерполяция функций с r-й производной ограниченной вариации

Пусть задана функция f ∈ W0r V [a, b], r > 0. Построим следующую рациональную интерполяционную функцию степени не выше 2n: √ s X mn (x) 1 + x2 q , k = 0, 2n. f (xk )lk (x), lk (x) = L2n (x, f ) = (1) (x − xk )m0n (xk ) 1 + x2k k=0

Теорема. Если функция f ∈ W0r [a, b]V , r > 0, то при подходящем выборе чисел zk , k = 1, n ln3 n справедлива оценка: kf − L2n (·, f )kC[a,b] 6 C r+1 , n > 2, где C — положительная постоянная, не n зависящая от n1 . Доказательство. Нетрудно проверить, что

2n P

k=0

f (x) − L2n (x, f ) =

s X k=0

lk (x) ≡ 1, и, следовательно,

(f (x) − f (xk )) lk (x) + f (x)

2n X

lk (x) =: S1 + S2 ,

k=s+1

x ∈ [a, b].

(2)

Будем полагать вначале, что r ∈ (0, 1). По заданному числу n определим натуральные числа N и m: # "   h n i r+1 2 2 − 3, n > n0 . (3) ln n , m = N= 4 r 2N Произведем разбиение отрезка [a, b] точками {τj }m j=0 , a = τ0 < τ1 < . . . < τm = b, так, чтобы Var (f, [τj−1 , τj ]) 6 m−1 ,

(4)

j = 1, m.

Теперь аналогично определим числа zk следующим образом: zk = τ0 + iρ−(k−1) , z(m+1)N +k = τm + iρ−(k−1) ,

zjN +k = τj + iρk−1 ,  √  k = 1, N , ρ = exp −1/ N ;

k = 1, N ;

k = 1, N , j = 0, m; zk = i,

(5)

k = (m + 2)N, n.

Пусть точки yk найдены из условия, что mn (yk ) = ±1, k = 0, 2n; x2n−1 < y2n < x2n < . . . < y0 < x0 < y1 < x1 < . . . < xs−1 < ys < xs < ys+1 < . . . Определим также номера νj из условий yνj 6 τj < yνj +1 , j = 0, m. Пусть x ∈ (xnx , xnx +1 ) ∩ [a, b], 0 6 nx 6 s. Тогда S1 =

nx X k=0

чим S11

(f (x) − f (xk )) lk (x) +

s X

k=nx +1

(6)

(f (x) − f (xk )) lk (x) := S11 + S12 .

" # Rx Rx 1 r r r ((x − τ ) − (xk − τ ) ) dh(τ ) − (xk − τ ) dh(τ ) , полуУчитывая, что f (x) − f (xk ) = Γ(r + 1) a xk

  nx Zx nx Zx X X 1  ((x − τ )r − (xk − τ )r ) dh(τ )lk (x) =: (xk − τ )r dh(τ )lk (x) + = Γ(r + 1) k=0x

k

k=0 a

=:

0 + S 00 S11 11 . (7) Γ(r + 1)

1 Везде в дальнейшем через C1 , C2 , . . . будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n, n ∈ N, и x, x ∈ [a, b].

108

Е.А. Ровба

0 , S0 = Оценим вначале сумму S11 11

0 S11

nx Rx P

k=0 xk

(xk − τ )r dh(τ )lk (x). Можно записать, что

x nx X nx Zi+1 X 0 (xk − τ )r dh(τ )lk (x), = k=0 i=k xi

где знак штрих во внутренней сумме означает, что если i = nx , то верхний предел в интеграле равен x. Поменяем порядок суммирования и получим 0 S11

=

x nx Zi+1X i X 0

i=0 x i

k=0

r

(xk − τ ) dh(τ )lk (x) =

x nx Zi+1X i X 0

i=0 x i

k=0

(xk − τ )r lk (x)dh(τ ).

(8)

Для дальнейшего доказательства теоремы потребуется несколько лемм.  √  ρ−1 − 1 Лемма 1. Пусть |y − τj | 6 2πdN , dN := −N , ρ := exp −1/ N . Тогда для ρ −1 v ∈ [−1, −δN ] ∪ [δN , 1] ,

δN := ρN

имеет место неравенство |mn (y + iv)|−1 6 10δN ,

n > n0 .

Лемма 2. Пусть |y − τj | 6 2πdN . Тогда для v ∈ [−δN , δN ] справедливо неравенство |mn (y + iv)| > 1/2,

n > n0 .

Леммы 1 и 2 доказываются по аналогии с леммами 3–5 из [6]. Лемма 3. Для разбиения {τj }m j=0 (см. (4)) при указанном в (5) выборе параметров zk , k = 1, n, справедливо соотношение ϕ0n (y)

 n + ln n

m X

min

j=0



1 , n2(r+1)/r |y − τj |



,

y ∈ [a, b].

Легко видеть, что данная лемма аналогична лемме 3 из [7]. Лемма 4. Для любых τ и t, τ, t ∈ R, удовлетворяющих условию |t − τ | 6 π/ϕ0n (τ ),

(9)

C1 6 ϕ0n (τ )/ϕ0n (t) 6 C2 .

(10)

справедливы неравенства

Доказательство. Обозначим через o n E1 (τ ) = j : j = 0, m, |τ − τj | < n−2(r+1)/r ,

E2 (τ ) = {0, 1, . . . , m} \ E1 (τ ).

Тогда на основании леммы 3 будем иметь

 −1  X X X X ϕ0n (τ ) ln n ln n  n + ln n  . 6 C3 n + ln n n2(r+1)/r + n2(r+1)/r + ϕ0n (t) |τ − τj | |t − τj | j∈E1 (τ )

j∈E2 (τ )

j∈E1 (t)

j∈E2 (t)

109

Рациональная интерполяция функций с r-й производной ограниченной вариации

Нетрудно видеть, что если в числителе правой части этого неравенства суммирование по множествам индексов E1 (τ ) и E2 (τ ) заменить суммированием по множествам E1 (t) и E2 (t) соответственно, то она может лишь увеличиться. Следовательно,   , 0 X X 1  1 ϕn (τ ) 6 C3 2 + . (11) 0 ϕn (t) |τ − τj | |t − τj | j∈E2 (t)

j∈E2 (t)

Теперь займемся оценкой снизу суммы, стоящей в знаменателе. Пользуясь условием (10) и леммой 3, легко получить X

j∈E2 (t)

X X 1 1 1 > > |t − τj | |τ − τj | + |t − τ | |τ − τj | + j∈E2 (t)

π ϕ0n (τ )

j∈E2 (t)

>

X 1 1 . > C 5 −1 |τ − τj | |τ − τj | + C6 ln n |τ − τj | j∈E (t) (t)

X

>

j∈E2

2

Подставляя полученную оценку в (11), получим правое неравенство из (10). Аналогично можно получить оценку снизу в (10). Лемма 4 доказана. Лемма 5. Рациональные функции lk (x), k = 0, 2n, см. (1), равномерно ограничены, т.е. |lk (x)| 6 C6 , x ∈ R, k = 0, 2n. Лемма 5 легко получается из леммы 4. Лемма 6. Для данного разбиения {τj }m j=0 (см. (4)) при указанном в (5) выборе параметров zk , 2n P k = 1, n, справедливо соотношение kL2n k 6 C7 ln n, n > 2, где kL2n k := sup |lk (x)|. x∈R k=0

Доказательство леммы 6. Пусть x ∈ (xm , xm+1 ). Тогда будем иметь: S :=

2n X k=0

|lk (x)| =

m X k=0

|lk (x)| +

2n X

k=m+1

|lk (x)| =: S (1) + S (2) .

Полагая, что m > 2, оценим, например, сумму S (1) =

m P

k=0

S

(1)

6

m−2 X k=0

Легко видеть также, что m−2 X k=0

|lk (x)| 6

m−2 X k=0

|lk (x)|. Из леммы 5 имеем

|lk (x)| + 2C6 .

√ 1 + x2 q . (x − xk )ϕ0n (xk ) 1 + x2k

Теперь заметим, что π = ϕn (xk+1 ) − ϕn (xk ) = ϕ0n (θk )(xk+1 − xk ), xk < θk < xk+1 , и в силу леммы 4 ϕ0n (θk )/ϕ0n (xk ) 6 C2 . Следовательно, m−2 X k=0

|lk (x)| 6 C2

m−2 X k=0

xZ m−1 √ √ du 1 + x2 xk+1 − xk 1 + x2 √ q . 6 C2 x − xk (x − u) 1 + u2 1 + x2 k

−∞

110

Е.А. Ровба

Пользуясь тем, что x − xm−1 > xm − xm−1 = π/ϕ0n (θ), θ ∈ (xm−1 , xm ), и ! n 2 + β2 X 1 + α k k , θ ∈ R, (1 + θ 2 )ϕ0n (θ) 6 2 1 + βk k=1

найдем, что m−2 X k=0

n X 1 + α2k + βk2 |lk (x)| 6 C8 ln 1 + βk k=1

!

.

Осталось воспользоваться соотношениями (5), чтобы получить: m−2 X k=0

|lk (x)| 6 C9 ln n,

x ∈ (xm , xm+1 ).

Аналогично оценивается сумма S (2) . Лемма 6 доказана. Лемма 7. Имеют место неравенства: νs X   r 6 C17 , τ, x ∈ [a, b] \ xν , xνs , 0 6 νj < νs 6 m, r ∈ (0, 1]. (x − τ ) l (x) k k j nr+1 k=νj Доказательство леммы 7. Нетрудно видеть, что √ Z νs X 1 (t − τ )r mn (x) 1 + x2 r √ dt, (xk − τ ) lk (x) = 2πi (t − x)mn (t) 1 + t2 k=νj

Γ

 где Γ — контур, состоящий из ломаных, Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ Γ4 , Γ1 = yνj + iv : −1 6 v 6 1 ,   Γ2 = u − i : yνj 6 u 6 yνs +1 , Γ3 = {yνs +1 + iv : −1 6 v 6 1}, Γ4 = u + i : yνj 6 u 6 yνs +1 . Таким образом, имеем √ Z νs 4 X (t − τ )r mn (x) 1 + x2 1 X r √ dt, q = 1, 4. (12) (xk − τ ) lk (x) = Jq , Jq = 2 2πi (t − x)m (t) 1 + t n q=1 k=ν j

Γq

Рассмотрим вначале интеграл J1 . Разобъем его на два интеграла Z Z J1 = − − , (δ)

Γ1

(δ)

Γ1 \Γ1

 (δ) где Γ1 = yνj + iv : −δN 6 v 6 δN . Воспользовавшись леммой 1, получим √ Z Z1 r m (x) 1 + x2 1 dv (t − τ ) n √ = C10 δN . dt 6 C10 δN 1−r t − x mn (t) 1 + t2 v r δN Γ1 \Γ(δ) 1

Если обратиться к лемме 2, то легко найти, что √ Z ZδN r 2 (t − τ ) m (x) 1 dv 1 + x n r √ . = C11 δN dt 6 C11 1−r 2 v r (δ) t − x mn (t) 1 + t 0 Γ 1

(13)

111

Рациональная интерполяция функций с r-й производной ограниченной вариации


r ) = O 1/nr+1 . Такая же Из равенства (13) и двух последних оценок получим, что J1 = O (δN оценка справедлива для интеграла J3 . Аналогично оцениваются интегралы J2 и J4 . Из полученных оценок интегралов Jq , q = 1, 4, на основании равенства (12) получим требуемую оценку. Лемма 7 доказана. Пусть число l определено из условия, что τl 6 x < τl+1 , если 0 6 l 6 m − 2, и τl 6 x 6 τl+1 , если l = m − 1. Лемма 8. Пусть νs < i 6 νs+1 − 1, 0 6 s 6 l − 1. Тогда имеет место неравенство: X i C12 r (xk − τ ) lk (x) 6 , τ ∈ [xi , xi+1 ]. r+1 k=νs +1 (x − τs+1 )n

Если s = l, νl < i 6 nx − 1, то X i C12 r , (xk − τ ) lk (x) 6 r+1 k=νl +1 (x − xi+1 )n

τ ∈ [xi , xi+1 ].

Доказательство леммы 8 проводится тем же методом, что и доказательство леммы 7. Теперь вернемся к доказательству теоремы. Не ограничивая общности, будем полагать, что 0 (см. (8)) представим в виде l > 1. Тогда сумму S11 0 S11 =

νX 1 −1

 xi+1 ν j i l−1 νj+1 i X X−1 Z X X X   (xk − τ )r lk (x)dh(τ )+ (xk − τ )r lk (x)dh(τ ) + +

x Zi+1

i=0 x i

j=1 i=νj +1 x i

k=0

+

nx X

k=0 0

i=νl +1 xi

Для оценки сумм вида

νj P

k=νj +1

 x Zi+1 X νl 

k=0

+

i X



 (xk − τ )r lk (x)dh(τ ). (14)

k=νl +1

(xk − τ )r lk (x) воспользуемся леммой 7 и получим

k=0

νj X
(xk − τ )r lk (x) = O 1/nr+1 ,

j = 1, l.

k=0

Следовательно, x xi+1 ν νl j nx Zi+1X l−1 νj−1 X X−1 Z X X 0 r (xk − τ )r lk (x)dh(τ ) = (xk − τ ) lk (x)dh(τ ) + j=1 i=νj

xi

i=νl xi

k=0

k=0

=O



1 nr+1

 Zx a

|dh(τ )| = O



1 nr+1



. (15)

Остается оценить следующее выражение: Q :=

xi+1 i l−1 νj+1 X X−1 Z X j=0 i=νj

xi

(xk − τ )r lk (x)dh(τ ) +

k=νj +1

x nx Zi+1 X i X 0

i=νl x i

(xk − τ )r lk (x)dh(τ ).

k=νl +1

Обозначим через Ω множество индексов j, 0 6 j 6 l, таких, что τj+1 − τj > 1/n, если таковые имеются.

112

Е.А. Ровба

Если τl+1 − τl > 1/n, то через i0 обозначим такой индекс суммирования, что выполняются неравенства x − xi0 +1 < 1/n 6 x − xi0 , νl + 1 6 i0 6 nx − 1. Тогда, воспользовавшись леммами 6 и 8, получим   τZj+1 τZj+1 τZj+1 n l x X 1X 1 1 1 C13 X  |lk (x)| + |dh(τ )| + |dh(τ )| . |dh(τ )| |Q| 6 r  n n x − τj x − xi0 n j=0 τ j

j∈Ω

k=0

τj

τj

Заметим, что если τl+1 − τl 6 1/n, то последнее слагаемое в сумме, заключенной в квадратных скобках, будет отсутствовать. Если теперь обратимся к свойствам разбиения {τj } (см. (4)), то окончательно найдем, что     3  3 X C22 ln n  ln n 1  1  1 |Q| 6 =O 1+ + . (16) nr+1 n ln n x − τj x − xi0 nr+1 j∈Ω

S12


0 = O ln3 n/nr+1 , n → ∞. Из равенства (14) на основании оценок (15) и (16) заключаем, что S11 00 имеет место такая же оценка, однако получается значительно более просто. Для суммы S11
Тогда из равенства (7) получим, что S11 = O ln3 n/nr+1 . Очевидно, что такая же оценка имеет место и для суммы S12 (см. (6)) s P (f (x) − f (xk ))lk (x). Следовательно, := k=nx +1


S1 = O ln3 n/nr+1 .

Осталось оценить сумму S2 , S2 := f (x)

2n P

(17)

lk (x). Для этого необходимо перейти к контурному

k=s+1

интегралу аналогично,
как в лемме 7, и провести соответствующие оценки. Таким образом найдем, что S2 = O ln n/nr+1 , x ∈ [a, b]. Отсюда и оценки (17) на основании равенства
(2) получим окончательный результат в случае, когда r ∈ (0, 1): kf − L2n (x, f )kC[a,b] = O ln3 n/nr+1 . Если r > 1, то доказательство теоремы проводится аналогично, однако в некоторых случаях упрощается из-за большей гладкости функции f . Теорема доказана.

Список литературы 1. Popov, V.A. Uniform rational approximation of the class V r and its applications / V.A. Popov // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. – 1977. – Vol. 29. – N. 1. – P. 119–129. 2. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812. 3. Старовойтов, А.П. Рациональная аппроксимация функций, представимых в виде интеграла дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля / А.П. Старовойтов // Докл. АН БССР. – 1985. – Т. 29. – № 12. – С. 1079–1081. 4. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22. 5. Тиман, А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного / А.Ф. Тиман. – Москва: ГИФМЛ, 1960. – 624 с. 6. Ровба, Е.А. Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными / Е.А. Ровба // Весцi АН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1997. – № 2. – С. 11–15. 7. Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Доклады АН Беларуси. – 1998. – Т. 42. – № 4. – С. 13–17.

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type

113

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type * By means of rational interpolation we built the quadrature formulas generalizing classical Gauss formulas at Chebyshev nodes of the first and second type as well as at Jacobi nodes when α = −β = 1/2.

Introduction The first complete studies of quadrature formulas by means of the properties of some special rational functions belong to B. Bojanov [2] and H.L. Loeb, Y. Werner [6]. Later, some authors, such as D.J. Newman [7], J.-E. Andersson [1], W. Van Assche, I. Vanherwegen [9], G. Lopez, J. Illian [8], studied quadrature formulas by means of rational approximation. In particular, they used rational interpolation and orthogonal systems of polynomials with a variable weight. But research did not involve certain systems of orthogonal rational functions. 2 ±1/2 In the present paper we applied orthogonal properties on the segment [−1, 1] by weight p (1 − x ) of rational functions systems introduced into [5], we built a new orthogonal by weight (1 − x)/(1 + x) system of rational functions and studied the corresponding quadrature formulas of interpolation character. 1. Orthogonal rational function systems on the segment Let {αk } be an arbitrary sequence of complex numbers with α0 = 0, |αk | < 1, k ∈ N, and define ζ0 (z) ≡ 1,

ζn (z) =

p

n−1 1 − |αn |2 Y z − αk , 1 − αn z 1 − αk z k=0

n ∈ N.

(1)

1.1. M.M. Dzhrbashyan and A.A. Kitbalyan [5] have introduced the following systems of functions:  1 ζn (eiθ ) + ζn (e−iθ ) , n ∈ N; 2   Mn(1) (x) = eiθ ζn (eiθ ) − e−iθ ζn (e−iθ ) /2i sin θ , n ∈ N; x = cos θ. (0)

M0

≡ 1,

Mn(0) (x) =

(2) (3)

(0)

The system of functions {Mn (x)}+∞ n=0 is orthogonal on the segment [−1, 1] with respect to the weight (1) 2 −1/2 2 1/2 . (1 − x ) , the system of functions {Mn (x)}+∞ n=1 is orthogonal with respect to the weight (1 − x ) (0)

(1)

Lemma 1. The functions Mn (x) and Mn (x) are rational of order n, n ∈ N. √ Proof. It is not difficult to check that if z = x ± x2 − 1, then √ (1 + |αk |2 )x − 2 Re αk ± (1 − |αk |2 ) x2 − 1 z − αk , k = 0, n − 1; = 1 − αk z 1 + α2k − 2αk x √ z x − αn x2 − 1 = . 1 − αk z 1 − 2αk x + α2k

Substitution of the obtained expressions in (2) and (3), leads to the conclusion of Lemma 1. Lemma 2. If the numbers αk , k = 1, n − 1, are real or mutually complex-conjugate, with α0 = 0, αn ∈ (−1, 1), then the following expressions hold: a)

Mn(0) (x) =

sp

1 − a2n cos µn (x), 1 + an x

(4)

* Rovba, E.A. Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type / E.A. Rovba // Mathematica Balkanica. – 1999. – Vol. 13. – N. 1–2. – P. 187–198.

114

E.A. Rovba

where µn (x) = arccos p

x − αn

1 − 2αn x + α2n

ak = −

b)

Mn(1) (x) =

2αk , 1 + α2k

+

n−1 X

arccos

k=1

x + ak , 1 + ak x

k = 1, n;

(5)

sp

.p 1 − a2n 1 − x2 , sin µn+1 (x) 1 + an x

(6)

where µn+1 (x) = arccos x + µn (x). (0) (1) Under these conditions, the functions Mn (x) and Mn (x) each have n simple roots on the interval (−1, 1). Proof. If z = x ±

√

x2 − 1, then z − αk = 1 − αk z

x + ak ±

where γk (x) = arccos

q

√ 1 − a2k x2 − 1

1 + ak x

x + ak , 1 + ak x

= e±iγk (x) ,

(7)

k = 1, n − 1.

In a similar way, p

|2 z

1 − |αn 1 − αn z

=

p

  √ 1 − α2n x − αn ± x2 − 1 1 − 2xαn + α2n

where γn (x) = arccos p

=

sp

x − αn

1 − 2xαn + α2n

1 − a2n ±iγn (x) e , 1 + an x

(8)

.

Assuming that αk ∈ C and αk+1 = αk , then we obtain as follows: z − αk z − αk+1 z − αk z − αk+1 = . 1 − αk z 1 − αk+1 z 1 − αk z 1 − αk+1 z Taking into account this equality, relations (7) and (8), we obtain the expression (4) from relation (2). In a similar way, we get formula (6). The second part of Lemma 2 follows from the fact that µn (1) = 0, µn (−1) = nπ and since n−1

µ0n (x) =

X 1 − a2 1 − xαn k + 1 − 2xαn + α2n 1 + ak x k=1

!

−1 √ , 1 − x2

µ0n (x) < 0, x ∈ (−1, 1),

the function µn (x) decreases monotonically on the segment [−1, 1]. (0)

(1)

It is worth mentioning that functions Mn (x) and Mn (x) can be determined by using the numbers ak , ak ∈ C\{(−∞, −1]∪[1, +∞)}, k = 0, n, and not by using the αk , |αk | < 1, k = 0, n numbers (see (5)). (0)

Lemma 3. If the conditions of Lemma 2 are fulfilled and an = 0, then the function Mn (x) is the rational (1) cosine-function of Chebyshev–Markov, and the function Mn (x) is the sine-function of Chebyshev–Markov (see [11, p. 47]).

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type

115

Lemma 3 is direct consequence of Lemma 2. We emphasize that the sequence of the corresponding rational Chebyshev–Markov functions (cosine-function or sine-function) is, generally speaking, not an orthogonal system. However, each Chebyshev–Markov function can be regarded as the element of some orthogonal system of rational functions. 1.2. Let Z 1+t ζn (t) 1 dt, x ∈ [−1; 1], n = 0, 1, . . . , (9) Qn (x) = 2 2πi t − 2tx + 1 t |t|=ρn

where the number ρn , ρn > 1, is chosen so that the points α−1 k , k = 0, n are outside the integration √ contour. Then, it is easy to observe that the integrand has two simple poles at the points of x ± x2 − 1 in the circle |t| < ρn and, consequently, Qn (x) =

    1  1 + e−iθ ζn (eiθ ) − 1 − eiθ ζn (e−iθ ) , 2i sin θ

x = cos θ.

(10)

Hence, with the help of equalities (7), (8) and (1) it is easy to see that the function Qn (x) is rational of n order. Theorem 1. The system p of rational functions Qn (x), n = 0, 1, . . ., is orthogonal on the segment [−1, 1] with respect to the weight (1 − x)/(1 + x). Proof. Consider the integral

Jmn =

Z1 r

1−x Qm (x)Qn (x)dx, 1+x

m, n = 0, 1, . . . .

−1

Let us use the representation (9) to get Jmn

1 =− 2 4π

Z

1+t dt ζm (t) t

Z

1+u du ζ n (u) u

−1

|u|=ρn

|t|=ρm

Z1 r

dx 1−x . 2 1 + x (t − 2tx + 1)(u2 − 2ux + 1)

(11)

It is not difficult to find that Z1 r

−1

dx π 1−x = , 2 2 1 + x (t − 2tx + 1)(u − 2ux + 1) (1 + t)(1 + u)(tu − 1)

|t| > 1, |u| > 1.

Substituting the achieved expression into (11) we find Jmn

1 =− 4π

Z

dt ζm (t) t

|t|=ρm

Z

|u|=ρn

ζ n (u)

du . u(tu − 1)

The integrand of the inner integral has the singular point u = 1/t in the circle |u| < ρn , ρn > 1. Consequently,   Z 1 1 du = 2πi ζ n , n 6 1, ζ n (u) tu − 1 u t |u|=ρn

and Jmn =

−i 2π

Z

|t|=ρm

ζm (t)ζ n

  1 dt . t t

116

E.A. Rovba

Taking a limit as ρm → 1, we get Jmn

−i = 2π

Z

1 dt ζm (t)ζn (t) = t 2π

|t|=1

Z

ζm (t)ζn (t)|dt|.

|t|=1

Now, we can use the orthogonal system {ζn (t)}+∞ on the unit circle (see [4]). Theorem 1 is proved. 0 Assume that αk = 0, k = 1, n, then it is evident that Qn (x) =

sin(n + 1/2)θ , sin θ/2

x = cos θ,

i.e. Qn (x) is the well-known Jacobi polynomial. Lemma 4. The function Qn (x) has n simple roots on the interval (−1, 1) and the following expression representation holds s p √ 1 − a2n Qn (x) = 2 sin µn+1/2 (x)/ 1 − x, 1 + an x where

n−1

X 1 x − αn x + ak µn+1/2 (x) = arccos x + arccos p . + arccos 2 2 1 + ak x 1 − 2αn x + αn k=0

The proof of Lemma 4 is similar to that of Lemmas 2 and 3. 2. Quadratures of Gauss-type The quadrature formulas of this type, built by means of rational approximation, were discussed, as an example, in [3], [9], [10]. Let h(x) be weight function on the segment [−1, 1], i.e. h be non-negative, integrable and R1 h(x)dx > 0.

−1

Let the numbers aj , j = 1, n, satisfy the following condition: if at some j, j = 1, n − 1, Im aj 6= 0, then also the complex conjugate aj is among the numbers. Furthermore, if aj ∈ R, then |aj | < 1. Let us introduce the following symbols:   ,n−1   Y Rn−1 (a) = Pn−1 (x) (1 + aj x) Pn−1 ∈ Pn−1 ,   j=1  ,n−1  Y R2n−1,2 (a) = P2n−1 (x) (1 + aj x)2 P2n−1 ∈ P2n−1 ,   j=1  

where Pm is the set of algebraic polynomials of degree not greater than m. Thus, Rn−1 (a) contains −1 −1 algebraic rational functions of order not higher than n−1 with poles at the points −a−1 1 , −a2 , . . . , −an−1 , R2n−1,2 (a) is a set of rational functions of order not higher, than 2n − 1, with the same poles but of double multiplicity. n Q Then, let qn ∈ Pn be polynomial orthogonal with respect to the weight h(x) (1 + aj x)−2 on the j=1

segment [−1, 1]. The polynomial qn is known to have n simple roots on the interval (−1, 1): −1 < x1 < x2 < . . . < xn < 1, qn (xk ) = 0,

k = 1, n.

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type

117

For any function f , defined on (−1, 1), let us build the interpolating rational function Ln−1 (x, f ) =

n X

f (xk )lk (x),

k=1

where lk (x) = tn (x)/(x −

xk )t0n (xk ),

k = 1, n;

tn (x) = qn (x)

n Y

(1 + aj x)−1 .

j=1

It is easy to see that Ln−1 (x, f ) ∈ Rn−1 (a) and for any function rn−1 ∈ Rn−1 (a), Ln−1 (x, rn−1 ) ≡ rn−1 (x). Now, for a function f , integrable with weight h on the segment [−1, 1], we examine the quadrature formula: Z1 n X Ak f (xk ), (12) h(x)f (x)dx ≈ k=1

−1

where Ak =

Z1

−1

1 h(x)lk (x)dx = 0 tn (xk )

Z1

−1

h(x)

tn (x) dx, x − xk

k = 1, n.

The following properties are analogous to the known theorems of Gauss quadrature formulas (see, for example, [10]). The quadrature formula (12) has the following properties: 1) It is exact for any function rn−1 ∈ Rn−1 (a) and r2n−1 ∈ R2n−1,2 (a); 2) the coefficients Ak , k = 1, n are positive and R1 t2n (x) 3) Ak = t2 1(x ) h(x) (x−x dx, k = 1, n; )2 n−1

k

k

−1

4) the following equality holds

n X

Ak =

k=1

Z1

h(x)dx.

−1

If f ∈ C[−1, 1], than the following inequality holds for the quadrature formula (12): 1 Z Z1 n X h(x)f (x)dx − Ak f (xk ) 6 2R2n−1 (f ; a) h(x)dx, k=1 −1

where R2n−1 (f ; a) =

inf

−1

r2n−1 ∈R2n−1,2

kf (x) − r2n−1 (x)kC[−1,1] is the best approximation of the function f by

means of rational functions from R2n−1,2 on the segment [−1, 1]. 3. Special cases of Gauss-type quadratures Let the numbers ak , k = 1, n, be real and ak ∈ (−1, 1), or mutually complex-conjugate, with a0 = an = 0. 3.1. Let us denote by mn the rational function of Chebyshev–Markov: mn (x) = cos µn (x), where µ0n (x)

= −λn (x)

.p

1−

x2

,

λn (x) =

n X k=1

q

1 − a2k

1 + ak x

.

118

E.A. Rovba

The mn (x) function has n simple roots on the interval (−1, 1) (see [11, p. 48]): −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1, mn (xk ) = 0, k = 1, n. For any function f ∈ C[−1, 1] we shall construct the quadrature formula: Z1

−1

n X f (x) √ dx ≈ Ak f (xk ), 1 − x2 k=1

(13)

where 1 Ak = 0 mn (xk )

Z1

−1

q

1 1 − x2k Z cos µn (x) dx mn (x) dx k √ √ = (−1) , x − xk 1 − x2 λn (xk ) x − xk 1 − x2

k = 1, n.

(14)

−1

Theorem 2. The quadrature formula (13) has the following form Z1

−1

n X π f (x) √ dx ≈ f (xk ) λn (xk ) 1 − x2 k=1

(15)

and for its remaider the following estimate is valid 1 Z n X π f (x) √ f (xk ) 6 2πR2n−1 (f ; a). dx − λn (xk ) 1 − x2 k=1

(16)

−1

Proof. Let us calculate the integral

Jnk =

Z1

−1

mn (x) dx √ . x − xk 1 − x2

Let us substitute x = (1 − y 2 )/(1 + y 2 ). Denote by Mn (y) = mn ((1 − y 2 )/(1 + y 2 )). As it is known (see [11, p. 47]), the p function Mn is the Bernstein rational function on the real axis and has zeros at the points ±yk , yk = (1 − xk )/(1 + xk ), k = 1, n. We get Jnk

1 + yk2 =− 2

Z∞

−∞

Mn (y) dy. y 2 − yk2

Let us calculate the integral 1 Jn (z) = 2

Z∞

−∞

Mn (y) dy, y2 − z2

z ∈ C, Im z > 0.

From [11] we derive 1 Mn (y) = 2

n n Y Y y − zm y − zm + y − z m m=1 y − zm m=1

!

,

1+ak = 0, and Im zk > 0, k = 1, n. Let us also emphasize that where zk are the roots of equation y 2 + 1−a k the numbers zk , k = 1, n, will be arranged symmetrically with respect to the imaginary axis. Evidently, ! n n n Y Y 1 y − zm y − zm 1 πi Y z − zm πi res 2 − res . = Jn (z) = 2 y=z y − z 2 m=1 y − z m y=−z y 2 − z 2 m=1 y − zm 2z m=1 z − z m

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type

Then, Jnk = −

119

n 1 + yk2 1 + yk2 Y yk − zm lim . Jn (z) = −πi 2 2yk m=1 yk − z m z → yk , Im z > 0

Denote

n Y yk − zm = ωn,k . y − zm m=1 k

From the fact that µn (xk ) = π2 + πk, k = 1, n, it follows that ωn,k + ωn,k = 0, In this we find that ωn,k = i(−1)k . Thus, 1 + yk2 (−1)k π . =q Jnk = (−1)k π 2yk 1 − x2

1 2i (ωn,k

− ω n,k ) = (−1)k .

k

Then formula (15) is a consequence of relations (13) and (14). (0) Estimate (16) is a direct consequence of Theorem 2 considering that the function mn (x) = Mn (x) (0) (0) (0) is a member of orthogonal system of rational functions M0 (x), M1 (x), . . . , Mn (x) on the segment [−1, 1] according to the weight (1 − x2 )−1/2 and the numbers ak , k = 1, n. 3.2. Let νn be the rational sine-function of Chebyshev–Markov (see [11, p. 49]: p νn (x) = sin µn+1 (x)/ 1 − x2 ,

where

p µ0n+1 (x) = −λn+1 (x)/ 1 − x2 ,

λn+1 (x) = 1 +

n X k=1

q 1 − a2k 1 + ak x

.

Then the function νn is rational of n order and has n simple zeros on the interval (−1, 1), −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1. For any function f ∈ C[−1, 1] let us construct the quadrature formula: Z1 p

−1

1−

x2 f (x)dx

≈

n X

Ak f (xk ),

(17)

k=1

where 1 Ak = 0 νn (xk )

Z1 p

−1

1−

x2

q

1

1 − x2k Z sin µn+1 (x) νn (x) k+1 dx = (−1) dx, x − xk λn+1 (xk ) x − xk

k = 1, n.

−1

Theorem 3. The quadrature formula (17) is given by Z1 p

−1

1 − x2 f (x)dx ≈ π

n X 1 − x2k f (xk ) λn+1 (xk ) k=1

and for its remainder the following estimate holds 1 Z p n 2 X 1 − xk 2 6 πR2n−1 (f, a). f (x ) 1 − x f (x)dx − π k λn+1 (xk ) k=1 −1

(18)

120

E.A. Rovba

B. Samokysh in his work [12] built the quadrature formula with Chebyshev weight of the second type optimal in H2 . It turns out, that the quadrature formula, deduced by B. Samokysh is a special case of formula (18). It is the case when xk = ak , k = 1, n, n is an odd number, and such numbers as a1 , a2 , . . . , an do exist and are the only √ ones. 3.3. Let Qn (x) = sin µn+1/2 (x)/ 1 − x be the rational function of Jacobi type with respect to the p weight (1 − x)/(1 + x) on the segment [−1, 1], where q n 1 − a2k p X 1 0 2 . µn+1/2 (x) = −λn+1/2 (x)/ 1 − x , λn+1/2 (x) = + 2 1 + ak x k=1

(see Theorem 1). According to Lemma 4, the function Qn has n simple zeros on the interval (−1, 1), −1 < xn < xn−1 < . . . < x1 < 1. For f ∈ C[−1, 1] let us construct the quadrature formula: Z1 r

−1

where k+1 (1

Ak = (−1)

n

X 1−x Ak f (xk ), f (x)dx ≈ 1+x

(19)

k=1

√ Z1 sin µn+1/2 (x) − xk ) 1 + xk √ dx. λn+1/2 (xk ) 1 + x(x − xk ) −1

Theorem 4. The quadrature formula (19) is as follows Z1 r

−1

n

X 1 − xk 1−x f (x)dx ≈ π f (xk ) 1+x λn+1/2 (xk ) k=1

and for its remainder the following estimate holds 1 Z r n X 1 − x 1 − x k f (x)dx − π f (xk ) 6 2πR2n−1 (f, a). 1+x λ (xk ) k=1 n+1/2 −1

Theorems 3 and 4 are proved like Theorem 2.

References 1. Andersson, J.-E. Optimal quadrature of Hp functions / J.-E. Andersson // Math. Zeitschrift. – 1980. – Vol. 172. – P. 55–60. 2. Bojanov, B.D. On an optimal quadrature formula / B.D. Bojanov // C.R. Acad. Bulg. – 1974. – Vol. 27. – N. 5. – P. 619–621. 3. Gautschi, W. Gauss-type quadrature rules for rational functions / W. Gautschi // Numerical Integration. – 1993. – N. 4. – P. 111–130. 4. Dzharbashyan, M.M. To the theory of Fourier series on rational functions / M.M. Dzharbashyan // Izv. AS Arm. SSR. Ser. Ph.-Mathem. Sc. – 1956. – Vol. 9. – N. 7. – P. 3–28. 5. Dzharbashyan, M.M. On one generalization of Chebyshev polynomials / M.M. Dzharbashyan, A.A. Kitbalyan // Rep. AS Arm. SSR. – 1964. – Vol. 38. – N. 5. – P. 263–270. 6. Loeb, H.L. Optimal numerical quadrature of Hp functions / H.L. Loeb, H. Werner // Math. Zeitschrift. – 1974. – Vol. 138. – P. 111–117. 7. Newman, D.J. Quadrature formula for Hp functions / D.J. Newman // Math. Zeitschrift. – 1979. – Vol. 166. – P. 111–115.

Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации

121

8. L´ opez Lagomasino, G. A note on generalized quadrature formulas Gauss-Jacobi type / G. L´ opez Lagomasino, J. Illian // In: Conctructive Theory of Function. 1984. Sofia. – 1985. – P. 513–518. 9. Van Assche, W. Quadrature formulas based on rational interpolation / W. Van Assche, I. Vanherwegen // Math. Comput. – 1993. – Vol. 61 (204). – P. 765–783. 10. Rovba, E.A. Quadrature formulas of interpolated-rational type / E.A. Rovba // Rep. AS Belarus. – 1996. – Vol. 40. – N. 3. – P. 42–46. 11. Rusak, V.N. Rational Functions as a Means of Approximation / V.N. Rusak. – Minsk: BSU, 1979. – 176 p. 12. Samokysh, B.A. The quadrature formula with Chebyshev weight of the II type, optimal in H2 . Asymptotic nodes representation / B.A. Samokysh // Algebra and Analysis. – 1993. – Vol. 5. – N. 5. – P. 118–154.

Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации * Proximate order estimations of uniform deviations of the rational Jackson operators are found for the functions of bounded variation.

Одна из важнейших задач теории приближения функций формулируется следующим образом. Пусть задан какой-либо класс непрерывных на отрезке [a, b] функций M и оператор Un (метод приближения), ставящий в соответствие каждой функции f ∈ M некоторый многочлен степени не выше n, значение которого в точке x обозначим через Un (x, f ). Требуется определить верхнюю грань En = E(Un , M) = sup kf − Un (·, f )kC[a,b] , f ∈M

n ∈ N,

(1)

уклонений функции f от их приближений Un в равномерной метрике. К настоящему времени эта задача является классической и имеются глубокие исследования для различных классов функций и широкого круга методов приближения (см. [1, 2]). Естественно обобщить эту задачу для рациональных приближений, т.е. рассмотреть случай, когда выбирается метод приближения, ставящий в соответствие каждой функции f ∈ M некоторую рациональную функцию p/q степени не выше n. Часто такой метод задает лишь коэффициенты числителя (многочлена p). Если обозначить через zk , k = 1, n, корни многочлена q, то в этом случае параметры zk , k = 1, n, остаются свободными. Вместо чисел (1) здесь можно рассмотреть En = E(Un , M) = sup inf kf − Un (·, f )kC[a,b] , f ∈M

n ∈ N,

(2)

где инфимум берется по всем z1 , z2 , . . . , zn из C\[a, b]. Первый результат, выражающий порядок убывания последовательности {En }, определенной соотношениями (2), принадлежит В.Н. Русаку [3]. В качестве классов выбирались классы периодических функций f , имеющих r-ю производную f (r) в смысле Вейля, r > 0, и Var(f (r) , [0, 2π]) 6 1, а в качестве оператора Un — рациональный оператор Валле-Пуссена. Позже в работе [4] получен аналогичный результат для функций f , имеющих на отрезке [a, b] производную f (r) в смысле Римана–Лиувиля, r > 0 и Var(f (r) , [a, b]) 6 1. В настоящей работе решена задача нахождения порядка убывания величин, определенных равенствами (2) для одного класса функций в случаях, когда в качестве операторов Un выбираются рациональные интегральные операторы Джексона. Пусть V (ω) = V (M, [a, b], ω) — класс непрерывных на отрезке [a, b] функций f , удовлетворяющих следующим условиям: а) функция f имеет ограниченную вариацию на [a, b], Var(f, [a, b]) 6 M ; * Ровба, Е.А. Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений – 2001. Труды института математики НАН Беларуси. Минск. – 2001. – Т. 9. – С. 119–122.

122

Е.А. Ровба

б) ω(f, δ) 6 ω(δ), δ ∈ [0, b − a], где ω(f, δ) — модуль непрерывности функции f на отрезке [a, b], ω(δ) — заданный модуль непрерывности. Рациональные равномерные приближения таких функций f , f ∈ V (ω), исследовались Е.П. Долженко и А.А. Абдугаппаровым (см., например, [5]), Г. Фройдом [6], А.П. Булановым [7]. Окончательный результат принадлежит А.А. Пекарскому [8] и П.П. Петрушеву [9] (см. также [10, c. 134]). Он состоит в том, что для наилучших равномерных приближений Rn (f ) рациональными функциями степени не выше n имеет место неравенство    b−a M , +ω Rn (f ) 6 c inf 16t6n t ten/t где c — абсолютная положительная постоянная. Подчеркнем, что в случае, когда lim (ω(δ)/δ) = ∞, эта оценка является точной по порядку δ→+0

(см. [10, c. 317]). Оказывается, что при специальном выборе полюсов рациональные операторы Джексона осуществляют приближение функции f ∈ V (ω) порядка наилучшего. Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a, b], zk , k = 1, n, — произвольные комплексные числа с положительной мнимой частью. Рациональной функцией Джексона назовем функцию (см. для сравнения [11, с. 114]) 1 D4n−4 (x, f ) = gn (x)

Zb

(3)

f (t)Gn (t, x)dt,

a

где (1 + t2 ) sin4 (Φn (t) − Φn (x)) Gn (t, x) = , (t − x)4

Φn (x) =

n X k=1

arg(zk − x),

+∞ Z gn (x) = Gn (t, x)dt.

(4)

−∞

Нетрудно показать, что D4n−4 является рациональной функцией степени не выше 4n − 4. «Подправим» введенный выше класс функций следующим образом. Пусть V0 (ω) — класс функций f ∈ V (M, [a, b], ω), удовлетворяющих условию f (a) = f (b) = 0.

(5)

Условие (5) обусловлено выбором конструкции оператора (3) и не является с точки зрения рациональной аппроксимации существенным ограничением. Теорема 1. Если функция f ∈ V0 (ω), то значения параметров zk , k = 1, n, можно выбирать так, что справедливо неравенство    M b−a , n ∈ N, (6) kf − D4n−4 (·, f )kC[a,b] 6 c inf +ω 16t6n t ten/t где c — асолютная положительная постоянная. Следствие 1. Если модуль непрерывности ω(δ) удовлетворяет условию lim (ω(δ)/δ) = ∞, то δ→+0    M b−a . +ω En = E(D4n−4 , V0 (ω))  inf 16t6n t ten/t Для описания нужных нам свойств рациональных операторов (3) приведем лемму. Лемма 1. Справедливы неравенства n P βk π a) gn (x) > (1 + x2 )(Φ0n (x))3 , x ∈ R, где Φ0n (x) = 2 , zk = αk + iβk , k = 1, n; 2 2 (x − α k ) + βk k=1 n β (1 + α2 + β 2 ) π P k k k , x ∈ R. б) gn (x) > 2 k=1 [(x − αk )2 + βk2 ]2

Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации

123

Лемма 1 легко получается из соответствующей леммы из [11, c. 114]. Опишем метод выбора параметров zk , k = 1, n, на которых реализуется оценка (6). Пусть f ∈ V0 (ω) и задано n, n > 48. Полагаем N = [n/24]. Не ограничивая общности, можем считать (см. [10, c. 135]), что M > ω((b − a)eN ) и M/N < ω((b − a)/N e). В этом случае существует единственное значение t0 ∈ [1, n] такое, что M =ω t0



b−a t0 eN t0



.

Не ограничивая общности, будем также полагать, что t0 6

N . ln N

(7)

N/t0 ). Построим разбиение τ Пусть A = ln(t 1,k отрезка  0e  [a, b] следующим образом. Полагаем τ1,0 = a, MA τ1,k = max x : a < x < b, |f (x) − f (τ1,k−1 )| 6 , k = 1, 2, . . . , k0 . Если при некотором значеt0 MA , то полагаем, что k0 =: ν1 . Если же нии k0 получим, что τ1,k0 = b, |f (b) − f (τ1,k0 −1 )| = t0 MA |f (b) − f (τ1,k0−1 )| < , то полагаем k0 − 1 = ν1 , τ1,k0 −2 = τ1,ν1 −1 , b = τ1,ν1 . t0 Таким образом, разбиение τ1,k обладает свойствами:

2M A MA 6 kf (x) − f (τ1,k−1 )kC[τ1,k−1 ,τ1,k ] < , t0 t0 б) ν1 6 t0 /A;

а)

k = 1, ν1 ; (8)

в) ∆τ1,k := τ1,k − τ1,k−1 > (b − a)/t0 eN/t0 . P MA ν1 6 nk=1 |f (τ1,k ) − f (τ1,k−1 )| 6 M , а свойство в) — из Свойство б) следует из того, что t0   MA b−a того, что = Aω 6 |f (τ1,k ) − f (τ1,k−1 )|. t0 t0 eN t0 Аналогичным образом построим разбиение τ1,k отрезка [a, b], включающее точки предыдущего разбиения и такое, что: M 2M 6 kf (x) − f (τ2,k−1 )kC[τ2,k−1 ,τ2,k ] < , t0 t0 б) ν2 6 t0 .

а)

k = 1, ν2 ;

(9)

Теперь определим параметры zk , k = 1, k, следующим образом: а) на каждой прямой Re z = τ1,k , k = 0, ν1 , выберем N1 := [1 + A2 ] точек zk , совпадающих с √ точками τ1,k + iρj−1 , j = 1, N1 , где ρ = exp(−1/ N1 ); причем кратность выбранных точек zk на прямых Re z = a и Re z = b положим равной ν1 ; б) выберем 2ν2 точек zk , совпадающих с точками τ2,k + i∆τ2,k−1 и τ2,k + i∆τ2,k−1 , k = 1, ν2 − 1, и с точками τ2,0 + i∆τ2,1 и τ√ 2,ν2 + i∆τ2,ν2 , где ∆τ2,k := τ2,k − τ2,k−1 ; кратность каждой точки в этом случае возьмем равной [1 + N1 ]. Из соотношений (8), (9) и (7) следует, что число так выбранных значений параметров zk не превосходит p (ν1 − 1)N1 + 2ν1 N1 + 2ν2 (1 + N1 ) 6 12t0 A 6 n. Выпишем функцию Φn (x), соответствующую этим значениям zk , по формуле (4).

124

Е.А. Ровба, В.Н. Русак

Лемма 2. Имеет место асимптотическое равенство Φ0n (x)

A

νX 1 −1

min

k=1









   1 1 N/t0 N/t0 , t0 e , t0 e min + min + |x − a| |x − b|  X !   νX ν1 2 −1 τ2,k+1 τ2,k 1 1 +A , , , + min min ∆τ2,k+1 (x − τ2,k )2 ∆τ2,k (x − τ2,k )2

1 , t0 eN/t0 |x − τ1,k |

t0 + A

k=1

k=1

x ∈ [a, b],

n → ∞.

Заметим, что аналогичные асимптотические оценки содержатся в [12]. Доказательство теоремы основывается на леммах 1–2 и проводится так же, как в [13].

Список литературы 1. Никольский, С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами / С.М. Никольский // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. – 1945. – Т. 15. – № 1. – С. 1–76. 2. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с. 3. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812. 4. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22. 5. Абдугаппаров, А.А. Приближение функций с выпуклой производной посредством рациональных функций: автореф. . . . дис. канд. физ.-матем. наук: 01.01.01 / А.А. Абдугаппаров; Калининский гос. ун-т. – Калинин, 1974. – 10 с. ¨ 6. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324. 7. Буланов, А.П. Рациональные приближения непрерывных функций с конечным изменением / А.П. Буланов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1975. – Т. 39. – № 5. – С. 1142–1181. 8. Пекарский, А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерывности и модулем изменения / А.А. Пекарский // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 5. – С. 34–39. 9. Petrushev, P.

/ P. Petrushev // Pliska Studia Math. Bulgarica. – 1977. – Vol. 1. – P. 145–155.

10. Lorentz, G.G. Constructive approximation. Advanced problems / G.G. Lorentz, M.V. Golitscheck, Y. Makovoz. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 452 p. 11. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 12. Ровба, Е.А. О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами с предписанными полюсами / Е.А. Ровба, В.Н. Русак // Докл. АН Беларуси. – 1997. – Т. 41. – № 6. – С. 21–24. 13. Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1998. – Т. 42. – № 4. – С. 13–17.

О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси * Исследования по теории аппроксимации в Беларуси в XX веке начались и развивались под влиянием деятельности А.Х. Турецкого. В 1935 году он успешно закончил аспирантуру при АН СССР под * Ровба, Е.А. О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси / Е.А. Ровба, В.Н. Русак // Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования: сб. науч. тр. / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: Ю.М. Вувуникян (отв. ред.) [и др.]. – Гродно: ГрГУ, 2007. – С. 126–132.

О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси

125

руководством академика С.Н. Бернштейна и решением квалификационной комиссии Наркомпроса БССР был утвержден в ученом звании доцента. Несколько лет заведовал кафедрами математики в Витебском и Ульяновском педагогических институтах. Начиная с 1944 года вся творческая деятельность А.Х. Турецкого связана с Белорусским государственным университетом, здесь им создана научная школа по теории приближения функций. В 1958 году он защитил докторскую диссертацию, в 1961–1968 годах заведовал кафедрой высшей математики и математической физики, с 1968 по 1973 год возглавлял кафедру теории функций и функционального анализа. Научные интересы профессора А.Х. Турецкого относились к проблемам суммирования тригонометрических рядов Фурье, к экстремальным задачам теории интерполирования и приближенного интегрирования. Широкую известность и признание специалистов получили опубликованные им статьи по классам насыщения методов суммирования тригонометрических рядов, в том числе 5 статей во всесоюзных журналах [1–5]. Пусть C2π пространство непрерывных 2π-периодических функций. Всякой функции f (x) ∈ C2π ставим в соответствие ряд F (x, ξ, f ) =

∞
a0 X + γk (ξ) ak cos kx + bk sin kx , 2

(1)

k=1

где {ak , bk } — коэффициенты Фурье функции f (x), (γk (ξ)) — последовательность функций, заданных на некотором множестве изменения параметра ξ с точкой сгущения ω. Ряд (1) предполагается равномерно сходящимся относительно x, по крайней мере для значений ξ из окрестности ω. Тем самым задается метод суммирования γ, или множество операторов суммирования, действующих из C2π в C2π , F : f (x) → F (x, ξ, f ). (2) Пусть существует положительная функция ϕγ (ξ), монотонно сходящаяся к нулю при ξ → ω и такая, что для любой f (x) ∈ C2π , отличной от тригонометрического полинома порядка ν kf (x) − F (x, ξ, f )k > aϕγ (ξ), и существуют отличные от тригонометрических полиномов порядка ν функции f (x) ∈ C2π , для которых kf (x) − F (x, ξ, f )k < bϕγ (ξ), где a и b — константы, зависящие от f . Тогда говорят, что метод суммирования γ является насыщенным порядка ν с приближением насыщения порядка O(ϕγ (ξ)). Классом насыщения порядка ν, относящимся к методу γ, называют множество функций из C2π , отличных от тригонометрических полиномов порядка ν, для которых kf (x) − F (x, ξ, f )k = O(ϕγ (ξ)). Теорема 1 (Турецкого). Если для метода суммирования γ, заданного последовательностью (γk (ξ)), существуют 1) положительная функция ϕγ (ξ), монотонно сходящаяся к нулю при ξ → ω; 2) натуральное число p и константы d0 6= 0, d1 , . . . , dp , такие, что для всякого фиксированного k∈N lim

ξ→ω

1 − γk (ξ) = d0 kp + . . . + dp , ϕγ (ξ)

(3)

то метод суммирования γ является насыщенным с приближением насыщения порядка O(ϕγ (ξ)). Из соотношения kf (x) − F (x, ξ, f )k = O(ϕγ (ξ)) (4)

126

Е.А. Ровба, В.Н. Русак

следует, что при четном p функция f (x) имеет производную порядка p − 1, удовлетворяющую условию Липшица порядка единицы f (p−1) (x) ∈ Lip 1, (5) e а при нечетном p этим свойством обладает тригонометрически сопряженная функция f (x) т.е. fe(p−1) (x) ∈ Lip 1.

(6)

Если, кроме условия (3), нормы операторов, определяемых соотношениями (1), (2) равномерно ограничены, то класс насыщения для метода суммирования γ есть множество дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям (5) или (6) в зависимости от четности числа p. Данная теорема позволяет установить насыщенность большинства известных методов суммирования и найти соответствующие классы насыщения в пространстве C2π . Исследования А.Х. Турецкого по методам суммирования были продолжены в работах А.К. Покало и И.Н. Бруя (см., например, [6, 7]). В результате исследований А.Х. Турецкого (см. [8, 9]) по приближенному интегрированию были построены квадратурные формулы наивысшего тригонометрического порядка точности, найдены наилучшие квадратурные формулы в классах W r Lp [a, b]. По данной тематике были подготовлены кандидатские диссертации М.Б. Аксеня и Н.Я. Козловского. Экстремальные неравенства для полиномов, рациональных функций и их производных, порядковые оценки уклонений интерполяционных операторов на классах функций вошли в монографии А.Х. Турецкого [10, 11]. Кроме самого А.Х. Турецкого по этой тематике проводили исследования В.Н. Русак, И.И. Корзун, Н.Н. Власовец, Г.Н. Торопова, О.А. Чупригин. Современная теория рациональных приближений началась с исследований А.А. Гончара. Им и Е.П. Долженко в 1955–1962 годах получен ряд существенных результатов по обратным задачам аппроксимации рациональными функциями со свободными полюсами. В частности, были установлены структурные свойства функций, которые гарантируются соответствующей скоростью стремления к нулю наилучших рациональных приближений — дифференцируемость определенное число раз, ослабленная квазианалитичность, наличие почти всюду полного дифференциала, абсолютная непрерывность [12–15]. В 1964 году была опубликована работа Д. Ньюмена о рациональном приближении функции |x|. Вслед за этим в 1965–1968 годах усилиями П. Турана, А.А. Гончара, Г. Фройда, А.П. Буланова были найдены первые классы функций, на которых рациональная аппроксимация существенно меньше полиномиальной. С этого времени рациональные приближения превратились в интенсивно развивающийся раздел математического анализа. Наряду с изучением наилучших рациональных приближений усилился интерес к изучению конкретных способов аппроксимации рациональными функциями. В 1976 году В.А. Поповым был определен точный порядок наилучшей рациональной аппроксимации на классе функций, имеющих r-ю производную ограниченной вариации. В дальнейшем усилиями преимущественно болгарских, российских, немецких, американских и белорусских математиков были установлены окончательные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на ряде других важных классов, заданных на отрезке, в круге |z| 6 1, или вложенных в пространстве непрерывных 2π-периодических функций. В 1987 и 1996 годах на английском языке были опубликованы монографии по рациональной и конструктивной аппроксимации [16, 17], где отражены основные достижения по теории рациональных приближений по состоянию на соответствующий период времени, в том числе и достижения белорусских математиков. В отношении последних мы приведем ниже небольшое добавление. Начиная с 70-х годов XX века рациональная аппроксимация постепенно превратилась в основное направление научных исследований сотрудников и аспирантов на кафедре ВМиМФ БГУ. В терминах мажорирующих функций, зависящих от полюсов, были доказаны экстремальные неравенства для производных рациональных функций на R в различных метриках, порядковые неравенства для производных рациональных функций, ограниченных на замкнутых множествах с односвязным дополнением. Были разработаны способы построения положительных на R интегральных операторов

О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси

127

с рациональными ядрами, соответствующих любой заданной системе параметров с положительными мнимыми частями, найдены локальные порядковые оценки их уклонений от аппроксимирующих функций. Удалось решить проблему построения интегрального рационального оператора, осуществляющего для любой функции из пространства C(R) приближение порядка наилучшего рационального приближения с фиксированными полюсами (см. [18–20]). Указанные выше интегральные рациональные операторы и их модификации были применены в рациональной аппроксимации со свободными полюсами, и удалось выделить новые классы аналитических и периодических функций, для которых рациональная аппроксимация дает существенный выигрыш по сравнению с полиномиальной. Такими классами оказались дифференцируемые в r V , сопряженные классы W r ^ смысле Вейля функции с производной ограниченной вариации W2π 2π V , r V и W r ^ и классы аналитических функций Br H1 , причем для классов W2π 2π V были найдены точные порядковые оценки наилучших рациональных приближений, а найденные оценки для наилучших приближений на классах Br H1 отличались от точных на логарифмический множитель (см. [20–22]). В 1988 году в Институте математики АН Украины была защищена докторская диссертация В.Н. Русака «Рациональные функции как аппарат приближения». В работе [23] А.А. Пекарский на основе других аппроксимационных соображений нашел точный порядок для наилучших рациональных приближений на классах Br H1 . Им были получены также неулучшаемые оценки для наилучших рациональных приближений выпуклых функций, абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича [24, 25]. Найдены точные по порядку оценки для высших производных рациональных функций и установлены соотношения между наилучшими рациональными и кусочно полиномиальными приближениями в интегральной метрике. В терминах классов Бесова и специальных теорем вложения доказаны прямые и обратные теоремы о скорости рациональных приближений [26, 27]. В 1990 году в МГУ была защищена докторская диссертация А.А. Пекарского «Прямые и обратные теоремы рациональной аппроксимации». В исследованиях Е.А. Ровбы разработаны способы построения интерполяционных и сумматорных рациональных операторов в C(R), решена проблема нахождения интерполяционного рационального оператора, осуществляющего приближение порядка наилучшего рационального приближения с фиксированными полюсами. Получены оценки уклонений рациональных операторов Фурье для аналитических функций, представимых интегралом Коши–Стилтьеса. Доказано, что при специальном выборе полюсов рациональные операторы типа Валле-Пуссена, действующие в C(R), осуществляют наилучшее по порядку приближение в классе функций, имеющих дробную производную ограниченной вариации на конечном отрезке. Найдены новые подходы к построению квадратурных формул, точных на рациональных функциях (см. [28–33]). В 1999 году в БГУ была защищена докторская диссертация Е.А. Ровбы «Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации». В работах А.П. Старовойтова (см., например, [34–38]) доказано существование функции f (x) ∈ C2π с произвольно заданной строго убывающей к нулю последовательностью наилучших рациональных приближений, решена задача Долженко о плотности индексов, для которых совпадают наилучшие полиномиальные и рациональные приближения. Установлены точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки ядра Римана–Лиувилля и функций из Lp , 0 < r < 1, в равномерной и интегральной нормах. Найдены новые подходы к нахождению асимптотики уклонений рациональных операторов Паде для аналитических функций с правильно убывающими тейлоровскими коэффициентами. В 2003 году в БГУ была защищена докторская диссертация А.П. Старовойтова «Рациональная аппроксимация и классы функций». Различные аспекты рациональной аппроксимации и ее приложений исследовались и исследуются также в работах Л.Л. Берёзкиной, Та Хонг Куанга, Н.К. Филипповой, В.И. Митенкова, С.А. Луговского, А.С. Ляликова, В.Р. Мисюка, К.А. Смотрицкого, И.В. Рыбаченко, Е.И. Стельмах, Т.С. Мардвилко и др.

128

Е.А. Ровба, В.Н. Русак

Заметим в заключение, что несколько более детально развитие исследований по рациональным приближениям в Беларуси изложено в опубликованных обзорных статьях В.Н. Русака [39–40] и в подготовленной обзорной статье А.А. Пекарского для журнала «Восточная аппроксимация».

Список литературы 1. Турецкий, А.Х. О классе насыщения для метода Гельдера суммирования рядов Фурье / А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1958. – Т. 121. – № 6. – С. 980–983. 2. Турецкий, А.Х. О классах насыщения в пространстве C / А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 126. – № 1. – С. 30–32. 3. Турецкий, А.Х. О классах насыщения для некоторых методов суммирования рядов Фурье непрерывных периодических функций / А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 126. – № 6. – С. 1207–1209. 4. Турецкий, А.Х. О классах насыщения в пространстве C / А.Х. Турецкий // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1961. – Т. 25. – № 3. – С. 411–442. 5. Турецкий, А.Х. О классах насыщения для некоторых методов суммирования рядов Фурье непрерывных периодических функций / А.Х. Турецкий // УМН. – 1963. – Т. 15. – № 6. – С. 149–156. 6. Покало, А.К. К вопросу о суммировании функций класса B (r) / А.К. Покало // Докл. АН СССР. – 1957. – Т. 116. – № 5. – С. 750–753. 7. Бруй, И.Н. Методы суммирования тригонометрических рядов и пространства функций / И.Н. Бруй // Матем. сб. – 2002. – Т. 193. – № 4. – С. 17–36. 8. Турецкий, А.Х. О формулах квадратур, точных для тригонометрических полиномов / А.Х. Турецкий // Уч. зап. БГУ. Сер. матем. – 1959. – Т. 1 (49). – С. 31–54. 9. Аксень, М.Б. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов функций / М.Б. Аксень, А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 166. – № 5. – С. 1019–1021. 10. Турецкий, А.Х. Теория интерполирования в задачах / А.Х. Турецкий. – Минск: Вышэйшая школа, 1968. – 317 с. 11. Турецкий, А.Х. Теория интерполирования в задачах. Ч. 2 / А.Х. Турецкий. – Минск: Вышэйшая школа, 1977. – 256 с. 12. Гончар, А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями / А.А. Гончар // Докл. АН СССР. – 1955. – Т. 100. – № 2. – С. 13–16. 13. Гончар, А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями / А.А. Гончар // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1961. – Т. 25. – № 3. – С. 347–356. 14. Долженко, Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций / Е.П. Долженко // Матем. сб. – 1962. – Т. 56. – № 4. – С. 403–432. 15. Долженко, Е.П. О свойствах функций нескольких переменных, достаточно хорошо приближаемых рациональными дробями / Е.П. Долженко // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1962. – Т. 26. – № 5. – С. 641–652. 16. Petrushev, P.P. Approximation of Real Functions / P.P. Petrushev, V.A. Popov. – Cambridge: University Press, 1987. – 370 p. 17. Lorentz, G.G. Constructive approximation. Advanced problems / G.G. Lorentz, M.V. Golitscheck, Y. Makovoz. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 452 p. 18. Русак, В.Н. Оценки производной рациональной функции / В.Н. Русак // Матем. заметки. – 1973. – Т. 13. – № 4. – С. 493–498. 19. Русак, В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями на вещественной оси / В.Н. Русак // Матем. заметки. – 1977. – Т. 22. – № 3. – С. 375–380. 20. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 21. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 2. – С. 810–812. 22. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515.

Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси

129

23. Пекарский, А.А. Классы аналитических функций, определяемые наилучшими рациональными приближениями в Hp / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1985. – Т. 127. – № 1. – С. 3–20. 24. Пекарский, А.А. Рациональные приближения выпуклых функций / А.А. Пекарский // Матем. заметки. – 1985. – Т. 38. – № 5. – С. 679–690. 25. Пекарский, А.А. Рациональные приближения абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1982. – Т. 117. – № 1. – С. 114–130. 26. Пекарский, А.А. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1984. – Т. 124. – № 4. – С. 571– 586. 27. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133. – № 1. – С. 86–102. 28. Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1993. – Т. 53. – № 2. – С. 114–121. 29. Ровба, Е.А. Сумматорные рациональные операторы типа Джексона / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1997. – Т. 61. – № 6. – С. 18–22. 30. Пекарский, А.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекций на множество рациональных функций / А.А. Пекарский, Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1999. – Т. 65. – № 3. – С. 362–368. 31. Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами типа Фурье и Валле-Пуссена функций с производной ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Працi Iнституту математики НАН Украины. – 1998. – Т. 20. – С. 204–217. 32. Rovba, E.A. Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type / E.A. Rovba // Mathematica Balkanica. – 1999. – Vol. 13. – N. 1–2. – P. 187–198. 33. Ровба, Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 105 с. 34. Старовойтов, А.П. К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений / А.П. Старовойтов // Матем. сб. – 2000. – Т. 191. – № 6. – С. 145–154. 35. Старовойтов, А.П. Аппроксимация Паде для целых функций с регулярно убывающими коэффициентами Тейлора / А.П. Старовойтов, В.Н. Русак // Матем. сб. – 2002. – Т. 193. – № 9. – С. 63–92. 36. Старовойтов, А.П. О совпадении наименьших равномерных уклонений функции от полиномов и рациональных дробей / А.П. Старовойтов // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74. – № 4. – С. 612–617. 37. Старовойтов, А.П. Существование непрерывных функций с заданным порядком убывания наименьших уклонений от рациональных функций / А.П. Старовойтов // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74. – № 5. – С. 745–751. 38. Старовойтов, А.П. Скорость рациональной аппроксимации дробных интегралов Римана–Лиувилля и Вейля / А.П. Старовойтов // Докл. НАН Беларуси. – 2003. – Т. 47. – № 3. – С. 18–23. 39. Русак, В.Н. Наилучшие рациональные приближения и оценки уклонений специальных рациональных операторов / В.Н. Русак // Выбр. навук. працы БДУ. Минск. – 2001. – С. 445–463. 40. Rusak, V.N. Best Rational Approximations and Estimates of Deviations for Special Rational Operators / V.N. Rusak // Analytical Methods of Analysis and Differential Equations. Ed’s A.A. Kilbas and S.V.Rogozin. Cambridge Scientific Publisher. – 2006. – P. 225–238.

Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси * Exact estimates of deviations of Stieltjes analytic in halfplane functions from rational operators of Fourier type have been obtained. * Русак, В.Н. Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси / В.Н. Русак, Е.А. Ровба // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2007. – № 4. – С. 4–9.

130

В.Н. Русак, Е.А. Ровба

Ортонормированные системы рациональных функций на окружности |z| = 1 были построены в [1, 2]. В применении к аналитическим функциям частные суммы ортогональных рядов по таким системам систематически используются в монографии Дж. Уолша [3]. В пространстве непрерывных 2π-периодических функций приближение частными суммами рядов Фурье по рациональным функциям с фиксированными полюсами рассматривалось в ряде работ М.М. Джрбашяна (см., например, [4]). Для исследования наилучших рациональных приближений со свободными полюсами аналитических и 2π-периодических функций рациональные операторы типа Фурье применялись в [5–8]. В данной работе рассматривается приближение рациональными операторами типа Фурье по ортогональным системам на действительной оси и их применение в рациональной аппроксимации со свободными полюсами в пространстве C(R). Пусть {zk = αk + iβk }∞ k=1 , Im zk > 0, — заданная последовательность комплексных чисел. Через πn (x) будем Q обозначать произведение Бляшке с нулями в точках {zk } и полюсами в точках {z k }, т.е. πn (x) = nk=1 (x − zk )/(x − z k ). Введем ядро Kn (t, x), полагая 1 Kn (t, x) = 2πi(t − x)



x + i πn (t) x − i πn (x) − t + i πn (x) t − i πn (t)



,

(1)

и определим рациональные операторы S2n (x, f ) типа Фурье посредством равенства def

S2n (x, f ) =

Z∞

f (t)Kn (t, x)dt,

(2)

−∞

которое всякой интегрируемой на R с весом (1 + x2 )−1 функции ставит в соответствие правильную рациональную функцию с полюсами в точках {zk , z k }, k = 1, n. В дальнейшем рассматриваем аналитические функции, представимые в виде интеграла Стилтьеса с компактным носителем Z dµ(τ ) , E ⊂ [0, ∞), (3) f (z) = τ − iz E

где µ(τ ) — ограниченная неубывающая функция, принимающая бесконечно много различных знаR ) чений. На мнимой полуоси z = iy, y > 0, значения функции f (iy) = E dµ(τ τ +y будут действительR ными. Предполагается также, что существует интеграл E dµ(τ )/τ , и соответственно функция (3) будет аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0 и непрерывной в замкнутой полуплоскости Im z 6 0. Более того, f (z) будет аналитической в плоскости с разрезом по полуоси z = iy, y < 0. В качестве аппарата приближений функций Стилтьеса (3) будем брать рациональные операторы (2), полюсы которых выбираются на мнимой оси, т.е в соотношении (1) следует считать, что n Y x − iβk . πn (x) = x + iβk

(4)

k=1

R ) Теорема 1. Если µ(τ ) удовлетворяет условию E dµ(τ < ∞, то в Im z 6 0 уклонение функции (3) τ от рациональных операторов (2) представимо в форме Y Z n Y n z − iβk τ − βk (z − i)dµ(τ ) . |f (z) − S2n (z, f )| = (z + iτ )(τ + 1) τ + βk k=1 z + iβk k=1 E

(5)

131

Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси

Доказательство. В силу точности операторов S2n (z, f ) на константах, с учетом (1)–(2), аналитичности f (z) в Im z > 0 и непрерывности в Im z 6 0, будем иметь f (z) − S2n (z, f ) = 1 = 2πi

Z∞

−∞

Z∞

−∞

1 [f (z) − f (t)]Kn (t, z)dt = 2πi

Z∞

f (z) − f (t) t−z

−∞ Z∞

f (z) − f (t) z − i πn (z) 1 dt = t−z t − i πn (t) 2πi



z − i πn (z) z + i πn (t) − t + i πn (z) t − i πn (t)



dt =

n f (z) − f (t) z − i Y z − zk t − z k dt = t−z t−i z − z k t − zk k=1

−∞

n z − i Y z − zk = 2πi z − zk k=1

Z∞

−∞

n Y f (t)dt t − zk . (6) (t − i)(t − z) t + zk k=1

Подставим теперь (3) в (6), поменяем порядок интегрирования, пользуясь теоремой Фубини, и найдем с учетом (4) z−i πn (z) f (z) − S2n (z, f ) = 2πi

Z Z∞ Y n t − zk 1 dµ(τ ) dt = t − zk (t − i)(t − z) τ − it

−∞ k=1

=

z−i πn (z) 2πi

E

Z

E

= (z − i)πn (z) = (z − i)πn (z)

Z

E

dµ(τ ) Z

Z∞

−∞

n Y 1 t − z k dt = (τ − it)(t − z) t − zk t − i k=1

dµ(τ ) lim

t→−iτ

E

dµ(τ ) (τ + 1)(z + iτ )

n Y

k=1

n Y

k=1

t − zk i = t − zk (t − i)(t − z)

Z n n Y z − iβk τ + zk dµ(τ ) z − i Y τ − βk = , τ + zk z + iβk z + iτ τ + 1 τ + βk k=1

E

k=1

откуда немедленно выводится требуемое соотношение (5). Следствие 1. При условиях теоремы 1 справедливо неравенство

√

Z n

Y τ − βk x2 + 1 dµ(τ )

|f (z) − S2n (z, f )| 6 kf (x) − S2n (x, f )kC(R) 6 τ + βk √x2 + τ 2 τ + 1

E k=1

. C(R)

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1, E ⊂ [0, A] и все zk = Ai, k = 1, n, то в Im z 6 0 выполнено неравенство  Z  A − τ n dµ(τ ) |f (z) − S2n (z, f )| 6 3A . A+τ τ (τ + 1) E

Теорема 2. Если f (z) — аналитическая функция, представимая интегралом Стилтьеса с компактным носителем Z Z dµ (τ ) dµ (τ ) , E ⊂ [0, A], < ∞, f (z) = τ − iz τ E

E

то в полуплоскости Im z 6 0 выполнено неравенство Z inf kf (z) − Sn (z, f )kC(R) 6 6A inf zk

{βk }

E

 n  dµ(τ ) Y τ − βk 2 , τ (τ + 1) τ + βk

(7)

k=1

где Sn (z, f ) — рациональный оператор типа Фурье, определенный параметрами {zk = αk + iβk }, βk > 0, k = 1, n.

132

В.Н. Русак, Е.А. Ровба

Доказательство. Рассмотрим неотрицательную непрерывно дифференцируемую функцию  Z Y n  def τ − βk 2 dµ(τ ) , 0 < βj < ∞. Φ(β1 , β2 , . . . , βn ) = τ + βk τ (τ + 1)

(8)

E k=1

  def τ −β 2 Поскольку функция одной переменной γ(βj ) = τ +βjj при любом τ ∈ E возрастает при ∗ ∗ ∗ βj → +0 и βj → +∞, то в некоторой точке (β1 , β2 , . . . , βn ) будет выполняться равенство min Φ(β1 , β2 , . . . , βn ) = Φ(β1∗ , β2∗ , . . . , βn∗ ), {βj }

0 < βj∗ < ∞.

(9)

Далее нужно установить, что координаты β1∗ , β2∗ , . . . , βn∗ попарно различные. Для определенности докажем, что β1∗ 6= β2∗ . Зафиксируем некоторое β1 , 0 < β1 < ∞ и введем функцию def

ψ(α) = Φ(β1 + α, β1 − α, β3∗ , . . . , βn∗ ) =  Z Z n  (τ − β1 )2 − α2 (τ − β1 )2 − α2 Y τ − βk∗ 2 dµ (τ ) def = dλ(τ ), (10) = ∗ (τ + β1 )2 − α2 τ + βk τ (τ + 1) (τ + β1 )2 − α2 k=3

E

E

где β1 ± α ∈ (0, ∞) и λ(τ ) неотрицательная мера. Непосредственным вычислением проверяется, что Z (τ 2 − β12 )2 + (τ − β1 )4 0 00 dλ(τ ) < 0, ψ (0) = 0, ψ (0) = −4 (τ + β1 )6 E

т.е. при α = 0 ψ(α) имеет локальный максимум. Следовательно, предположение, что при α∗1 = α∗2 может достигаться минимум в (9), противоречиво. Проведенное рассуждение и доказывает, что в экстремальном наборе (β1∗ , β2∗ , . . . , βn∗ ) βj∗ 6= βk∗ при j 6= k. Поскольку (β1∗ , β2∗ , . . . , βn∗ ) есть внутренняя точка области (0, ∞)n , то в ней выполнены необходимые условия экстремума для функции (8):    Z n  ∂Φ 1 1 dµ(τ ) Y τ − βk 2 =2 − = 0, ν = 1, n. ∂βν τ (τ + 1) τ + βk βν − τ βν + τ E

k=1

Таким образом, выполняются соотношения   Z Z n  n  Y Y τ − βk∗ 2 τ − βk∗ 2 dµ (τ ) dµ (τ ) = . τ (τ + 1)(τ + βν∗ ) τ + βk∗ τ (τ + 1)(βν∗ − τ ) τ + βk∗ k=1

E

(11)

k=1

E

Возьмем теперь рациональную функцию πn∗ (−iτ ) − πn∗ (z) , z + iτ

πn∗ (z)

=

 n  Y z − iβ ∗ k

k=1

z + iβk∗

и разложим ее на простые дроби так, что n

πn∗ (−iτ ) − πn∗ (z) X Ak (z) = , z + iτ τ − βk∗

(12)

k=1

где Ak (z) будут некоторые рациональные функции от z. Отправляясь от (12) и заменяя в нем τ на −τ , соответственно учитывая неравенство πn∗ (iτ )πn∗ (−iτ ) = 1, получим n X 1 − πn∗ (z)πn∗ (−iτ ) πn∗ (iτ ) − πn∗ (z) Ak (z) = , = −τ − βk∗ z − iτ (z − iτ )πn∗ (−iτ ) k=1

133

Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси

или что тоже самое

n

πn∗ (z)πn∗ (−iτ ) − 1 X Ak (z) = . (z − iτ )πn∗ (−iτ ) τ + βk∗

(13)

k=1

dµ(τ ) Умножая равенства (12) и (13) на и интегрируя по множеству E с учетом (11), (τ + 1)(πn∗ (−iτ ))2 придем к соотношению Z ∗ Z πn (−iτ ) − πn∗ (z) dµ (τ ) 1 − πn∗ (z)πn∗ (−iτ ) dµ (τ ) = . (14) ∗ ∗ 2 (z + iτ )(τ + 1) (πn (−iτ )) πn (−iτ )(z − iτ ) (τ + 1)(πn∗ (−iτ ))2 E

E

∗ (z, f ) — рациональный оператор типа Фурье, построенный по экстремальному Пусть теперь S2n набору параметров β1∗ , β2∗ , . . . , βn∗ . Тогда, отправляясь от равенства (5), на основании (14) получим в полуплоскости Im z 6 0

Z dµ (τ ) ∗ ∗ = |f (z) − S2n (z, f )| = (z − i)πn (z) ∗ (z + iτ )(τ + 1)π (−iτ ) n E Z ∗ Z ∗ πn (−iτ ) − πn (z) dµ (τ ) dµ (τ ) 2 ∗ ∗ = + (z − i)πn (z) = (z − i) (πn (z)) 2 2 ∗ (−iτ )) ∗ (−iτ )) (τ + 1)(z + iτ ) (τ + 1)(z + iτ ) (π (π n n E E Z (1 − πn∗ (z)πn∗ (−iτ )) dµ (τ ) ∗ = |J1 + J2 | 6 |J1 | + |J2 | . (15) = J1 + (z − i)πn (z) (z − iτ )(τ + 1)(πn∗ (−iτ ))3 E

Для первого слагаемого из (15) по принципу максимума модуля найдем

|J1 | 6

p

x2

+1

Z

E

dµ (τ ) √ 6 2 (τ + 1) x + τ 2 (πn∗ (−iτ ))2 Z dµ (τ ) 6 +A τ (τ + 1) (πn∗ (−iτ ))2 E∩[0,1]

Z

E∩[1,A]

6 2A

Z

E

dµ (τ ) τ (τ + 1) (πn∗ (−iτ ))2

6

2 Z Y n  τ − βk∗ dµ (τ ) . (16) = 2A ∗ 2 τ + βk τ (τ + 1) τ (τ + 1) (πn∗ (−iτ )) k=1 dµ (τ )

E

Аналогичным образом будем иметь |J2 | 6 |(x − i)πn∗ (x)| 6

p

Z

E

x2

+1

Z

E

(1 + |πn∗ (x)| |πn∗ (−iτ )|)dµ (τ ) 6 |x − iτ | (τ + 1) |πn∗ (−iτ )|3

p dµ (τ ) √ x2 + 1 + x2 + τ 2 (τ + 1) (πn∗ (−iτ ))3

Z

E

√

x2

+

dµ (τ ) 6 + 1) (πn∗ (−iτ ))2

τ 2 (τ

2 Z Y n  τ − βk∗ dµ (τ ) . (17) 6 4A ∗ τ + βk τ (τ + 1) E k=1

Подставляя (16) и (17) в (15), получим оценку kf (z) −

∗ S2n (z, f )kC(R)

2 Z Y n  τ − βk∗ dµ (τ ) . 6 6A ∗ τ + βk τ (τ + 1) E k=1

134

В.Н. Русак, Е.А. Ровба

Для завершения доказательства теоремы 2 достаточно заметить, что ∗ inf kf (z) − S2n (z, f )kC(R) 6 kf (z) − S2n (z, f )kC(R) 6

{zk }

  Z Y Z Y n  n  τ − βk∗ 2 dµ(τ ) τ − βk 2 dµ(τ ) 6 6A = 6A inf . βk τ + βk∗ τ (τ + 1) τ + βk τ (τ + 1) E k=1

E k=1

Замечание 1. В общем случае найти {βk }, реализующие минимум в правой части (7) или близкие к ним, не представляется возможным. В частном случае, если E = [0, A] и dµ (τ ) слабо эквивалентно τ α dτ , α > 0, возникает задача о минимизации интеграла ZA 0

2 n  τ α−1 Y τ − βk dτ. τ +1 τ + βk

(18)

k=1

Из Q результатов В.С. Вячеславова [9] вытекает, что существует произведение Бляшке π ˜n (iτ ) = nk=1 (τ − β˜k )/(τ + β˜k ), удовлетворяющее неравенству   √ τ α (˜ πn (iτ ))2 6 C1 exp −π 2αn . Тогда из (7) и (18) вытекает, что

inf kf (z) − S2n (z, f )kC(R) 6 C2 inf zk

ZA 0

2 n  τ α−1 Y τ − βk dτ 6 τ +1 τ + βk k=1

6 C2

ZA

√ √ τ α−1 (˜ πn (iτ ))2 dτ 6 C3 n exp(−π 2αn).

0

Замечание 2. Вслед за работой А.А. Гончара [10] наилучшие рациональные приближения функций Стилтьеса на отрезке и в круге исследовались в [11–13].

Список литературы 1. Takenaka, S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolation / S. Takenaka // Japan. J. of Math. – 1925. – N. 2. – P. 129–145. 2. Malmquist, F. Sur la determination d’une classe de fonctions analytiques par leurs valeurs dans un ensemble donne de points / F. Malmquist // Complex rendus du sixieme congres (1925) des math. scand. Kopenhagen. – 1926. – P. 253–259. 3. Уолш, Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж.Л. Уолш. – Москва: ИИЛ, 1961. – 508 с. 4. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. наук. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27. 5. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 6. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515. 7. Ровба, Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с.

135

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова

8. Пекарский, А.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекций на множество рациональных функций / А.А. Пекарский, Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1999. – Т. 65. – № 3. – С. 362–368. 9. Вячеславов, Н.С. О равномерном приближении функции |x| рациональными функциями / Н.С. Вячеславов // Докл. АН СССР. – 1968. – Т. 220. – № 3. – С. 512–515. 10. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1978. – Т. 105. – № 2. – С. 147–163. 11. Braess, D. Rational Approximation of Stieltjes Functions by the Caratheodory–Fejer Method / D. Braess // Constr. Approx. – 1987. – N. 3. – P. 43–50. 12. Andersson, J.-E. Optimal quadrature of Hp functions / J.-E. Andersson // Math. Zeitschrift. – 1980. – Vol. 172. – P. 55–60. 13. Пекарский, А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова / А.А. Пекарский // Алгебра и анализ. – 1995. – Т. 7. – № 2. – С. 121–132.

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова * The rational interpolating process with nodes in the zeros of Chebyshev–Markov sine-fractures is considered. The interpolating Lagrange function is obtained in this case. The norm of the Lagrange function Ln (x; f ) in the space L2 (ρ) of the square integrated functions with ρ(x) = (1 − x2 )−1/2 weight on the segment [−1; 1] is calculated for the fixed poles. The norm of Ln as an operator from C[−1; 1] to L2 (ρ) is estimated. On the basis of this estimate the theorem on the convergence of the rational interpolating process with nodes in the zeros of Chebyshev–Markov sine-fractures in the L2 (ρ) space with fixed poles is proved. Using the Lagrange function a new quadrature formula, which generalizes known quadrature formula in the polynomial case, is obtained. It is shown that this quadrature formula is a quadrature formula of Gaussian type and its convergence is estimated.

Одним из классических аппаратов приближения теории рациональной аппроксимации являются различные интерполяционные операторы, действующие на вещественной оси или конечном отрезке, построенные на основании дробей Бернштейна или Чебышева–Маркова. Указанные операторы позволяют строить новые рациональные квадратурные формулы. Пусть {ak }+∞ k=1 произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющих условиям: 1) a1 = 0; 2) если ak ∈ R, то |ak | < 1; 3) если ak ∈ C, то среди указанных чисел есть такое число al , что al = ak . Рассмотрим синус-дробь Чебышева–Маркова: sin µn (x) , Nn (x) = √ 1 − x2

где

µn (x) =

n X

arccos

k=1

причем λn (x) µ0n (x) = − √ , 1 − x2

λn (x) =

(1)

x ∈ [−1; 1], x + ak , 1 + ak x

n X k=1

q

1 − a2k

1 + ak x

,

n ∈ N.

(2)

Функция Nn имеет на отрезке [−1; 1] n − 1 различных вещественных нулей: −1 < xn−1 < xn−2 < . . . < x1 < 1,

Nn (xk ) = 0,

µn (xk ) = kπ,

k = 1, . . . , n − 1.

(3)

* Ровба, Е.А. Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова / Е.А. Ровба, К.А. Смотрицкий // Доклады НАН Беларуси. – 2008. – Т. 52. – № 5. – С. 11–15.

136

Е.А. Ровба, К.А. Смотрицкий

Для произвольной функции f ∈ C[−1; 1] составим интерполяционную рациональную функцию Лагранжа с узлами в точках xk , k = 1, . . . , n − 1, x0 = 1, xn = −1: Ln (x; f ) =

n X

(4)

f (xk )lk (x),

k=0

где lk (x) =

(1 − x2 )Nn (x) . [(1 − x2 )Nn (x)]0x=xk (x − xk )

(5)

В настоящей работе исследуются некоторые аппроксимативные свойства интерполяционного процесса (3)–(5), а также его приложение для получения квадратурных формул типа Гаусса. Прежде всего заметим, что несложные подсчеты позволяют представить функцию Лагранжа (3) в следующем виде: n X (1 − x2 )Nn (x) 00 , (6) (−1)k+1 f (xk ) Ln (x; f ) = λn (xk )(x − xk ) k=0

где два штриха после знака суммы означают, что первое и последнее слагаемое следует разделить на 2. Различные интерполяционные рациональные операторы были рассмотрены в работах [1, 2]. Следует отметить, что задача о вычислении нормы таких операторов, действующих из C[−1; 1] в C[−1; 1], в случае фиксированных полюсов до настоящего времени не решена. В связи с этим возникает вопрос о сходимости рациональных функций (4) в более слабой норме. Обозначим через L2 (ρ) = L2 (ρ; [−1; 1]) пространство квадратично суммируемых функций с весом ρ = ρ(x) = (1 − x2 )−1/2 на отрезке [−1; 1] с нормой 1/2  1 Z 2 (x) f dx , f ∈ L2 (ρ). kf kL2 (ρ) =  √ 1 − x2 −1

Теперь вычислим норму рациональной функции Лагранжа Ln (x; f ) в пространстве L2 (ρ).

Лемма. Для любой функции f ∈ C[−1; 1] справедливо представление kLn (x; f )k2L2 (ρ) =

Z1

−1

n

X f 2 (xk ) π L2n (x; f ) 00 √ − dx = π λn (xk ) 2 1 − x2 k=0

n X k=0

f (xk ) 00 (−1)k λn (xk )

!2

,

n ∈ N.

Доказательство. Пользуясь соотношением (6), получим I=

Z1

−1

n n−1 n X X f (xk )f (xl ) L2n (x; f ) X00 f 2 (xk ) √ (−1)k+l · I1k + 2 · I2kl , dx 2 2 λn (xk ) λn (xk )λn (xl ) 1−x k=0 l=k+1 k=0

(7)

где I1k =

Z1

−1

I2kl =

Z1

−1

sin2 µn (x) p 1 − x2 dx, (x − xk )2

sin2 µn (x) p 1 − x2 dx, (x − xk )(x − xl )

k = 0, . . . , n;

l = k + 1, . . . , n, k = 0, . . . , n − 1.

Интегралы I1k , I2kl вычисляются методом, предложенным в [1], с учетом связи между синусдробями Чебышева–Маркова и синус-дробями Бернштейна (см. [3, с. 48]). Тогда I1k = πλn (xk ) −

π , 2

k = 0, . . . , n;

(8)

137

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова

π I2kl = − , 2

(9)

l = k + 1, . . . , n, k = 0, . . . , n − 1.

Подставляя (8) и (9) в (7), будем иметь n n−1 n  2 X X X π f (xk )f (xl ) π 00 f (xk ) I= −2 · πλn (xk ) − · = (−1)k+l λ2n (xk ) 2 λn (xk )λn (xl ) 2 k=0

k=0 l=k+1

=π

n 2 X 00 f (xk ) k=0

n n−1 n 2 X X X f (xk )f (xl ) 00 f (xk ) + 2 (−1)k+l 2 λn (xk ) λn (xk )λn (xl )

π − λn (xk ) 2

k=0

k=0 l=k+1

n 2 X π 00 f (xk ) − =π λn (xk ) 2 k=0

!

n X

=

00

k=0

f (xk ) (−1) λn (xk ) k

!2

.

Лемма доказана. Различные обобщения квадратурных формул типа Гаусса являются предметом исследования многих авторов. Использование интерполирования является классических способом построения таких формул. В работе Е.А. Ровбы [1] для построения квадратурных формул использовались системы ортогональных функций Джрбашяна–Китбаляна [4]. В настоящей работе, используя метод, предложенный в [1], построено обобщение известной квадратурной формулы [5]: Z1

−1

n

f (x) π X00 √ f dx ≈ n 1 − x2 k=0



kπ cos n



,

n ∈ N,

(10)

f ∈ C[−1; 1].

Пусть f ∈ C[−1; 1]. Полагая f (x) ≈ Ln (x; f ), с помощью (1) и (6) получим Z1

−1

f (x) √ dx ≈ 1 − x2

Z1

−1

n

X f (xk ) Ln (x; f ) 00 √ (−1)k+1 dx = 2 λ 1−x n (xk ) k=0 =

n X 00

Z1

(1 − x2 )Nn (x) √ dx = (x − xk ) 1 − x2

−1

k+1

(−1)

k=0

f (xk ) λn (xk )

Z1

−1

n

X sin µn (x) dx = Ak f (xk ). (11) (x − xk ) k=0

Теорема 1. Квадратурная формула (11) имеет вид Z1

−1

n X f (x) 00 f (xk ) √ , dx ≈ π λn (xk ) 1 − x2 k=0

(12)

π π π , k = 1, . . . , n − 1, A0 = , An = , удовлетвопричем ее коэффициенты Ak = λn (xk ) 2λn (x0 ) 2λn (xn ) ряют условиям Ak > 0, k = 0, . . . , n; (13) n X

Ak = π.

(14)

k=0

Доказательство. Интеграл в (10), необходимый для получения (11), вычисляется аналогично соответствующим интегралам из леммы (см. также [1]). Неравенства (13) справедливы в силу неотрицательности функции λn (2). Соотношение (14) легко проверяется, полагая в (11) f (x) ≡ 1. Теорема 1 доказана.

138

Е.А. Ровба, К.А. Смотрицкий

Следствие. Для нормы оператора Ln : C → L2 (ρ) справедливо равенство √ kLn kC→L2 (ρ) = π, n ∈ N. Доказательство. Для любой функции f ∈ C[−1; 1] с помощью леммы и равенства (14) находим v v u n u n u X 00 f 2 (xk ) uX 00 π √ t kLn (x; f )kC→L2 (ρ) 6 π 6 kf kC t = π kf kC . λn (xk ) λn (xk ) k=0

k=0

С другой стороны, для f (x) ≡ 1 имеем kLn kC→L2 (ρ) =

sup f ∈C,kf kC 61

kLn (x; f )kL2 (ρ) 6 kLn (x; 1)kL2 (ρ) = k1kL2 (ρ) =

√ π.

Следствие доказано. Рассмотрим вопрос приближения произвольной непрерывной на отрезке [−1; 1] функции. Теорема 2. Для любой функции f ∈ C[−1; 1] погрешность приближения ее интерполяционной функцией Ln (x; f ) в пространстве L2 (ρ) может быть оценена с помощью неравенства √ kf (x) − Ln (x; f )kL2 (ρ) 6 2 πRn (f ; a), где Rn (f ; a) — наилучшее равномерное приближение функции f посредством рациональных функций из Rn (a) вида pn (x) , n Q (1 + ak x) k=2

pn (x) — многочлен степени не выше n.

Доказательство. Пусть rn∗ ∈ Rn (a) — рациональная функция наилучшего равномерного приближения. В силу того, что Ln (x; rn∗ ) ≡ rn∗ (x) и следствия получим kf (x) − Ln (x; f )kL2 (ρ) 6 kf (x) − rn∗ (x)kL2 (ρ) + kLn (x; f − rn∗ )kL2 (ρ) 6

6 kf − rn∗ kC[−1;1] · k1kL2 (ρ) + kLn kC→L2 (ρ) · kf − rn∗ kC[−1;1] =

√

√ πRn (f ; a) + Rn (f ; a) π.

Теорема 2 доказана. Теперь рассмотрим вопрос точности квадратурной формулы (12). Обозначим

Rn (f ) =

Z1

−1

n X f (x) 00 f (xk ) √ dx − π λn (xk ) 1 − x2 k=0

— погрешность квадратурной формулы (12). В силу того, что Ln (x; rn ) ≡ rn (x) для rn ∈ Rn (a), получим Rn (rn ) = 0. Более того, имеет место следующий результат. Теорема 3. Квадратурная r2n−1 ∈ R2n−1,2 (a) вида

формула 

(12)

точна

p2n−1 (x) n Q

k=2

2 , (1 + ak x)

для

всякой

рациональной

функции

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова

139

p2n−1 (x) — многочлен степени не выше 2n−1, а для ее остаточного члена имеет место следующая оценка: ∗ |Rn (f )| 6 2πR2n−1 (f ; a),

∗ (f ; a) — наилучшее равномерное приближение функции f посредством рациональных где R2n−1 функций из R2n−1,2 (a).

Доказательство. Пусть r2n−1 ∈ R2n−1,2 (a). В силу того, что Ln (xk ; r2n−1 ) ≡ r2n−1 (xk ), k = 0, . . . , n, получим pn−1 (x) r2n−1 (x) − Ln (x; r2n−1 ) = 

n Q

k=0 n Q

k=2

(x − xk )

(1 + ak x)

2

= (1 − x2 )

pn−1 (x) Nn (x), n Q (1 + ak x)

k=2

где pn−1 (x) — многочлен степени не выше n − 1. Тогда Z1

−1

r2n−1 (x) √ dx = 1 − x2

Z1

−1

Z1 Ln (x; r2n−1 ) pn−1 (x) √ Nn (x)dx + dx = I1 + I2 . (1 − x ) n Q 2 1 − x (1 + ak x) −1 2

k=2

Интеграл I1 = 0 в силу соответствующей леммы из [6]. Учитывая, что Ln (x; r2n−1 ) ∈ Rn (a), для вычисления интеграла I2 применим квадратурную формулу (12): I2 = π

n n X X 00 r2n−1 (xk ) 00 Ln (xk ; r2n−1 ) =π . λn (xk ) λn (xk ) k=0

k=0

Теорема 3 доказана. Замечание. Квадратурная формула (10) является частным случаем квадратурной формулы (12) при ak = 0, k = 1, . . . , n. Теорема 2 является обобщением соответствующего результата из [7].

Список литературы 1. Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 3. – С. 42–46. 2. Русак, В.Н. Квадратурные формулы для несобственных интегралов, точные на рациональных функциях / В.Н. Русак, Н.К. Филиппова // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2005. – № 1. – С. 6–10. 3. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с. 4. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Доклады АН АрмССР. – 1964. – Т. 38. – № 5. – С. 263–270. 5. Ермолаева, Л.Б. Об одной квадратурной формуле / Л.Б. Ермолаева // Изв. вузов. Математика. – 2000. – № 3. – С. 25–28. 6. Ровба, Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с. 7. Габдулхаев, В.Г. Интерполирование по экстремальным точкам многочленов Чебышева и его применения / В.Г. Габдулхаев, Л.Б. Ермолаева // Изв. вузов. Математика. – 2005. – № 5 (516). – С. 22–40.