Алгебра и логика, 43, N 4 (2004), 482—505
УДК 512.552.4
МНОГООБРАЗИЯ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ТОЖДЕСТВАМ ...
14 downloads
203 Views
256KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 43, N 4 (2004), 482—505
УДК 512.552.4
МНОГООБРАЗИЯ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ТОЖДЕСТВАМ ЭНГЕЛЯ О. Б. ФИНОГЕНОВА Введение
Все кольца и алгебры предполагаются ассоциативными, слово ”алгебра“ при отсутствии дополнительных уточнений означает ”алгебра над полем“ или ”Z-алгебра“ (т. е. кольцо). Напомним, что кольцо или многообразие называют энгелевым, если оно удовлетворяет тождеству вида [x, y, . . . , y] = 0. Энгелевы тождества играют важную роль в теории PI-алгебр и, прежде всего, в локальном случае. Например, любая конечнопорожденная алгебра, удовлетворяющая подобному тождеству, конечноопределена, лиево нильпотентна, финитно аппроксимируема, право и лево нетерова, представима эндоморфизмами и т. д. (см. [1, 2]). К сожалению, вытекающий из определения ”эквациональный“ метод установления энгелевости, т. е. явный вывод тождества требуемого вида из других тождеств, как правило, нетривиален и сопряжен с немалыми вычислительными трудностями. В данной ситуации ощутимую пользу могло бы принести знание списка так называемых почти энгелевых (”пограничных“) многообразий, т. е. минимальных по включению элементов в множестве всех неэнгелевых многообразий. Из леммы Цорна следует, что каждое неэнгелево многообразие содержит в качестве подмногообразия хотя бы одного такого ”пограничника“. Поэтому ”тест на энгелевость“ заключался бы в проверке, лежат ли в нашем многообразии ”пограничники“ из списка.
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
Многообразия ассоциативных алгебр
483
Описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики 0 получено в [3]. Стоит отметить, что благодаря элементарному устройству найденных многообразий проверка энгелевости в этой ситуации чрезвычайно проста. Почти энгелевы многообразия в других случаях были изучены гораздо хуже. Над полем положительной характеристики такие многообразия, по-видимому, не исследовались вообще. Случай колец рассматривался в [4], где доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец — это в точности ненильпотентные почти коммутативные многообразия. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым (см. [5, проблема 3.53]). Целью данной работы является описание почти энгелевых многообразий как в случае колец, так и в случае алгебр над полем положительной характеристики. В статье используются следующие обозначения. Как обычно, GF (q) — поле из q элементов, [x, y] — коммутатор xy − yx элементов x и y, [A, A] — коммутаторный идеал алгебры A, J(A) — радикал Джекобсона алгебры A. Далее, var A — многообразие, порожденное алгеброй A, var Σ — многообразие, задаваемое системой тождеств Σ, T (V) — идеал тождеств многообразия V, T (A) — идеал тождеств алгебры A, и {f }T — T -идеал свободной счетно порожденной алгебры, порожденный многочленом f . Запись u ≡ v (mod I) означает, что u − v ∈ I. Кроме того, через k¯ обозначается набор символов k1 , k2 , . . . , будь то переменные или индексы. Из контекста при этом всегда будет ясно, каким мы его считаем — упорядоченным или нет. Для упорядоченных наборов одной длины запись k¯ < s¯ означает, что (k1 , k2 , . . .) меньше (s1 , s2 , . . .) относительно естественного лексикографического порядка (т. е. существует такое i, что k1 = s1 , . . . , ki−1 = si−1 , а ki < si ). Через V⋆ обозначается многообразие, двойственное к V; в случае алгебр через A⋆ — алгебра, антиизоморфная A. Теперь введем необходимые обозначения для алгебр. Пусть F — про-
484
О. Б. Финогенова
извольное поле. Тогда положим
A(F ) ∼ =
F
F
0
0
Если F — конечное поле, то
.
b c ∼ B(F, G, σ) = , 0 σ(b)
где b, c пробегают конечное расширение G поля F , а σ — такой F автоморфизм поля G, что поле инвариантов Gσ — единственное максимальное подполе в G, содержащее F . Напомним, что многообразие называется почти энгелевым, если само оно не является энгелевым, а каждое его собственное подмногообразие энгелево. В § 1 доказываются следующие три теоремы. ТЕОРЕМА 1. Многообразие алгебр над бесконечным полем F положительной характеристики является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одной из алгебр A(F ) или A(F )⋆ . Таким образом, для произвольного бесконечного поля описание почти энгелевых многообразий по форме оказывается в точности таким, как и найденное в [3] описание для случая поля нулевой характеристики. ТЕОРЕМА 2. Многообразие алгебр над конечным полем F является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одной из алгебр A(F ), A(F )⋆ или B(F, G, σ). Из [3] и теоремы 2 вытекает следующая ТЕОРЕМА 3. Многообразие колец является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одним из колец A(GF (p)), A(GF (p))⋆ или B(GF (p), G, σ), где p — простое число. Она дает решение проблемы 3.53 [5]. В § 2 обсуждаются некоторые следствия основных результатов, в частности, приводятся характеризации энгелевых многообразий на языке ”запрещенных алгебр“.
Многообразия ассоциативных алгебр
485
§ 1. Почти энгелевы многообразия 1.1. Элементарные свойства почти энгелевых многообразий. До конца этого пункта через V обозначается произвольное почти энгелево многообразие алгебр. ЛЕММА 1. Пусть f (¯ x) ∈ / T (V). Тогда [x, y, . . . , y] ≡ 0 (mod {f }T + + T (V)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вполне инвариантный идеал {f }T + T (V) задает собственное, а значит, энгелево подмногообразие в V. Следовательно, для некоторого n получаем требуемое включение [x, y, . . . , y ] ∈ {f }T + T (V). 2 | {z } n
Следующее свойство позволит нам упрощать тождества определенного вида. Будем говорить, что многообразие M обладает свойством Z, если M удовлетворяет следующему условию: для любых многочленов f и g из включений f (h(t¯), x ¯) ∈ T (M), выполняющихся при всех h ∈ {g}T , вытекает либо g ∈ T (M), либо f ([y, z], x ¯) ∈ T (M). ЛЕММА 2. Многообразие V обладает свойством Z. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f, g — многочлены из формулировки свойства Z, а g ∈ / T (V). По лемме 1 в V для некоторого m выполняется [x, y, . . . , y ] ∈ {g}T + T (V). | {z } m
Следовательно, благодаря условию на f и g верно включение f ({[x, y, . . . , y ]}T , z¯) ⊆ T (V). | {z } m
Предположим, что f ([x, y], z¯) ∈ / T (V). По лемме 1, V удовлетворяет тождеству вида [u, v, . . . , v] = b(u, v),
(1)
486
О. Б. Финогенова
где b(u, v) ∈ {f ([x, y], z¯)}T . Подставляя в b(u, v) коммутатор [x, y, . . . , y ] | {z } m вместо u, получим b([x, y, . . . , y ], v) ∈ {f ({[x, y, . . . , y ]}T , z¯)}T . | {z } | {z } m
m
Следовательно, подстановка u 7→ [x, y, . . . , y ], v 7→ y в (1) обратит правую | {z } m
часть в тождество V, левая же примет вид [[x, y, . . . , y ], y, . . . , y]. Получаем | {z } m
противоречие с тем, что V не является энгелевым. 2
В п. 1.2 подробнее рассматриваются многообразия с этим свойством,
а здесь воспользуемся им при проверке того, что справедлива следующая ЛЕММА 3. Многообразие V удовлетворяет тождеству [x, y] · ·[z, t] = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любое почти энгелево многообразие порождается произвольной своей неэнгелевой алгеброй. В частности, такой алгеброй является двупорожденная приведенно свободная алгебра A ∈ V. Согласно теореме Брауна–Кемера (см., напр., [6]) радикал J(A) нильпотентен. Поэтому нильпотентным будет и коммутаторный идеал [A, A]. Действительно, ни одна полная матричная алгебра порядка > 2 не может лежать в V, т. к. подалгебра верхнетреугольных матриц порождает собственное неэнгелево подмногообразие. Известно, что в этом случае коммутаторный идеал любой алгебры из V лежит в радикале, в частности, [A, A] ⊆ J(A). Таким образом, [A, A]n+1 = 0 для некоторого n > 1 и [A, A]n 6= 0. Пусть f (x, y, z) = x[y, z], а g(t¯) = [t1 , t2 ] · · · [t2n−1 , t2n ] ∈ / T (V). Очевидно, f и g удовлетворяют всем требованиям из условия свойства Z. Поэтому и по лемме 2, f ([u, v], y, z) = [u, v][y, z] = 0 — тождество многообразия V. 2 Итак, согласно леммам 2 и 3 почти энгелевы многообразия — это многообразия, которые обладают свойством Z и удовлетворяют тождеству [x, y][z, t] = 0. В п. 1.2 рассматриваются тождества именно таких многообразий. 1.2. Многообразия, удовлетворяющие свойству Z. До конца этого пункта будем считать, если не сказано иное, что F — произвольное
Многообразия ассоциативных алгебр
487
коммутативное кольцо с единицей. Пусть H — свободная счетно порожденная F -алгебра многообразия var {[x, y][z, t] = 0}. Обозначим через Λ множество свободных порождающих алгебры H. Для удобства элементы H будем называть многочленами. Для произвольного одночлена f (x1 , x2 , . . .) положим Sxi (f ) = {m}, где m — число вхождений буквы xi в f (другими словами, степень f по xi ). Поскольку идеал тождеств H порожден однородным многочленом [x, y][z, t], степень f по xi для любого одночлена f ∈ H определяется однозначно. Если f (¯ x, t¯) = f1 (¯ x, t¯) + . . . + fn (¯ x, t¯) — сумма одночленов fi , положим Sx¯ (f ) =
n [ [
Su (fi ).
x i=1 u∈¯
Похожим образом для каждого многочлена f из [H, H] определим D(f ) — множество двусторонних степеней. Пусть сначала f (x, t¯) — коммутаторный одночлен вида a(x, t¯)[ti , tj ]b(x, t¯), причем Sx (a) = {k} и Sx (b) = {l}. Тогда положим Dx (f ) = {(k, l)}. Если f (x, t¯) = a(x, t¯) · · [x, ti ]b(x, t¯) и элементы a, b — такие же, как и раньше, то положим Dx (f ) = {(k + 1, s), (k, s + 1)}. Наконец, если f (¯ x, t¯) = f1 (¯ x, t¯) + . . . + fn (¯ x, t¯) — сумма коммутаторных одночленов fi , то определим множество Dx¯ (f ) двусторонних степеней многочлена f по переменным x1 , x2 , . . . следующим образом: Dx¯ (f ) =
n [ [
Du (fi ).
x i=1 u∈¯
Пусть, например, f (x, y, z) = x[x, y]x2 + y 5 [y, z], тогда S{x,y} (f ) = = {4, 1, 0, 6}, а D{x,y} (f ) = {(2, 2), (1, 3), (1, 0), (0, 1), (0, 0), (6, 0), (5, 1)}. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вообще говоря, множества Sx¯ (f ) и Dx¯ (f ) определяются для f неоднозначно и зависят от конкретного его представления в виде суммы одночленов или коммутаторных одночленов. В дальнейшем запись Sx¯ (f ) = M (Dx¯ (f ) = M ) будет означать, что f обладает таким представлением, при котором Sx¯ (f ) (соответственно, Dx¯ (f )) совпадает с
488
О. Б. Финогенова
множеством M . Поэтому можно не усложнять обозначения и не ссылаться на представление, по которому строились Sx¯ (f ) или Dx¯ (f ). При этом будем полагать, что Dx¯ (f ) и Sx¯ (f ) для многочлена f ∈ [H, H] выписываются по одному и тому же представлению, т. е. Sx¯ (f ) = {i1 + j1 , . . . , im + jm }, если Dx¯ (f ) = {(i1 , j1 ), . . . , (im , jm )}. Цель данного раздела — научиться упрощать тождества в многообразиях, обладающих свойством Z и удовлетворяющих тождеству [x, y][z, t] = = 0. Предположим, M — такое многообразие. Прежде чем перейти к общему случаю (предлож. 1), рассмотрим свойство Z на более простых примерах. ПРИМЕР 1. Предположим, в многообразии M выполняется тождество a(x, z¯) = 0, причем a(x, z¯) ∈ [H, H] и |Dx (a)| = 1. Другими словами, a(x, z¯) = xk g(¯ z )xs = 0. Свойство Z позволяет усилить это тождество. Действительно, положим f (y, x) = xk yxs . Благодаря тождеству [x, y][z, t] = 0 имеем f (ug(¯ z )v, x) = uf (g(¯ z ), x)v. Поэтому для любого h(t¯) ∈ {g}T верно включение f (h(t¯), x) ∈ T (M). Таким образом, f и g удовлетворяют условию свойства Z, а значит, f ([y, z], x) = xk [y, z]xs ∈ T (M), если g ∈ / T (M). ПРИМЕР 2. Предположим теперь, что в предыдущем примере |Dx (a)| = 2. Рассмотрим случай, когда буква x не попадает в коммутаторы. Имеем a(x, z¯) = g(x, z¯) + c(x, z¯), причем g, c ∈ [H, H], Dx (g) = {(k, s)} и Dx (c) = {(i, j)}. Благодаря тождеству [x, y][z, t] = 0 можно собирать вместе буквы, стоящие по одну сторону от коммутатора. Следовательно, g(ux, z¯) = = uk g(x, z¯)us и c(ux, z¯) = ui c(x, z¯)uj . Осуществим над a(x, z¯) следующее преобразование, не выводящее за пределы T (M): Φ(a(x, z¯)) = a(ux, z¯) − ui a(x, z¯)uj = g(ux, z¯) + c(ux, z¯) − ui (g(x, z¯) + c(x, z¯))uj = uk gus + ui cuj − ui (g + c)uj = uk g(x, z¯)us − ui g(x, z¯)uj . С помощью преобразования Φ получилось более однородное тождество. Воспользуемся теперь свойством Z. Итак, uk gus − ui guj ∈ T (M). Положим
Многообразия ассоциативных алгебр
489
f (x, u) = uk xus − ui xuj . Как и в предыдущем примере, f (h(t¯), u) ∈ T (M) для любого h(t¯) ∈ {g}T . Следовательно, согласно свойству Z, f ([x, y], u) = = uk [x, y]us − ui [x, y]uj ∈ T (M), если g ∈ / T (M). Оказывается, выделять такие коммутаторные двучлены, как в примере 2, можно и из более сложных тождеств. Для этого будут использоваться отображения типа Φ (см. пример 2). Определим их более строго. Обозначим через P семейство отображений из H в себя P = {Φij (x, u), Ψij (x, u) | i, j ∈ N ∪ {0}, x 6= u ∈ Λ}, определенных следующим образом. Пусть x 6= u — некоторые буквы из Λ, g — многочлен из H. Представим его в виде g = g1 (x, . . .) + h, где каждый одночлен из g1 содержит букву x и не содержит u, а h состоит из одночленов, в записи которых либо отсутствует x, либо присутствует u. Нетрудно убедиться, что такое представление единственно в H. Положим Φij (x, u)(g) = g1 (ux, . . .) − ui g1 (x, . . .)uj , Ψij (x, u)(g) = g1 (xu, . . .) − ui g1 (x, . . .)uj . Очевидно, все эти отображения линейны. Кроме того, как легко видеть, любой вербальный идеал из H является инвариантным F подмодулем относительно любого отображения из P. СВОЙСТВО 1. Любые два отображения Φij (x, u) и Ψst (y, v) перестановочны на [H, H], если v 6= x и u 6= y. Если при этом x 6= y, то перестановочными на [H, H] будут и отображения Φij (x, u), Φst (y, v). Проверка не представляет никакой сложности, поэтому здесь она не осуществляется. СВОЙСТВО 2. Для любого g ∈ [H, H] справедливо Dx (Φij (x, u)(g)) ⊆ Dx (g). Аналогичное верно и для отображений Ψ. Напомним, что многочлен называется существенным по x, если буква x присутствует в каждом его одночлене.
490
О. Б. Финогенова СВОЙСТВО 3. Пусть g(x, t¯) — существенный по x многочлен из
[H, H]. Если (k, s) — наименьшая относительно лексикографического порядка пара из Dx (g), то Dx (Ψks (x, v)(g)) ⊆ Dx (g)\{(k, s)}. Если же (k, s) — наибольшая пара, то Dx (Φks (x, v)(g)) ⊆ Dx (g) \ {(k, s)}. Проверим это свойство для случая, когда (k, s) — наименьшая пара. Второй случай рассматривается аналогично. Многочлен g(x, t¯) представим в виде g(x, t¯) = xk a(t¯)xs + xk b(x, t¯)xs−1 + h(x, t¯), a, b, h ∈ [H, H], причем x содержится в каждом коммутаторном одночлене из b, но лишь внутри коммутатора, а (k, s) ∈ / Dx (h). Тогда Ψks (x, v)(g) = g(xv, t¯) − v k g(x, t¯)v s = xk v k a(t¯)xs v s + xk v k b(x, t¯)xs−1 v s + xk+1 v k b(v, t¯)xs−1 v s−1 +h(xv, t¯) − v k (xk a(t¯)xs + xk b(x, t¯)xs−1 + h(x, t¯))v s = xk+1 v k b(v, t¯)xs−1 v s−1 + h(xv, t¯) − v k h(x, t¯)v s . Легко видеть, что Ψks (x, v)(g) = xk+1 v k b(v, t¯)xs−1 v s−1 + Ψks (x, v)(h). По свойству 2, Dx (Ψks (x, v)(g)) содержится в {(k + 1, s)} ∪ Dx (h), если b(x, t¯) 6= 0, или в Dx (h), если b(x, t¯) = 0. Так или иначе, Dx (Ψks (x, v)(g)) ⊆ ⊆ Dx (g) \ {(k, s)}. СВОЙСТВО 4. Пусть в многообразии M выполняются свойство Z и тождество [x, y][z, t] = 0. Предположим, что g(x, t¯) ∈ [H, H] — существенный по x многочлен, не содержащий букву u, а Ω совпадает с Φij (x, u) или Ψij (x, u). Если Ω(g) ∈ T (M) и g ∈ / T (M), то xk [y, z]xs − xi [y, z]xj ∈ T (M) для некоторой пары (k, s) ∈ Dx (g). Проверим это индукцией по количеству пар в Dx (g). (До конца проверки зафиксируем некоторое представление g, а значит, множество Dx (g).) Предположим сначала, что Dx (g) = {(k, s)}. Тогда g = xk b(t¯)xs , b(t¯) ∈ [H, H] и Ω(g) = uk gus − ui guj ∈ T (M). Остается воспользоваться свойством Z (см. пример 2) и получить требуемое тождество.
Многообразия ассоциативных алгебр
491
Предположим теперь, что |Dx (g)| = n > 2 и Ω = Φij (x, u). Случай Ω = Ψij (x, u) рассматривается аналогично, поэтому исследовать его подробно не будем. Пусть (k, s) — наименьшая относительно естественного лексикографического порядка пара из Dx (g). (При Ω = Ψij (x, u) следует рассматривать наибольшую пару.) Поскольку отображения Φ и Ψ перестановочны на [H, H], имеем Ψks (x, v)(Φij (x, u)(g)) = Φij (x, u)(Ψks (x, v)(g)) ∈ ∈ T (M). По свойству 3, |Dx (Ψks (x, v)(g)| < n. По предположению индукции можно считать, что имеются два случая: Ψks (x, v)(g) ∈ T (M); xl [y, z]xm − xi [y, z]xj
∈
T (M) для некоторой пары (l, m)
∈
∈ Dx (Ψks (x, v)(g)) ⊆ Dx (g). Во втором случае требуемое тождество найдено, поэтому осталось рассмотреть первый. Итак, в силу включений Φij (x, u)(g) ∈ T (M) и Ψks (x, v)(g) ∈ T (M) имеем g(ux, t¯) ≡ ui g(x, t¯)uj (mod T (M)) и g(xv, t¯) ≡ v k g(x, t¯)v s (mod T (M)). Заменяя u на z в первом сравнении, а x на z и v на x во втором, получаем z i g(x, t¯)z j ≡ xk g(z, t¯)xs (mod T (M)).
(2)
Поскольку Φij (x, u)(g(x, t¯)) ∈ T (M), то и Φij (x, u)(z i g(x, t¯)z j ) ∈ T (M). Поэтому и по (2), Φij (x, u)(xk g(z, t¯)xs ) ∈ T (M). Так как Dx (xk g(z, t¯)xs ) = = {(k, s)}, к многочлену xk g(z, t¯)xs применимо индукционное предположение. Таким образом, получается либо искомое тождество xk [y, z]xs − xi [y, z]xj = 0, либо xk g(z, t¯)xs ∈ T (M). Благодаря (2) последнее включение равносильно z i g(x, t¯)z j ∈ T (M). Остается сослаться на пример 1, где рассматривалась аналогичная ситуация, и вывести два тождества xk [y, z]xs = 0 и xi [y, z]xj = 0, очевидным следствием которых является искомое тождество. Проверка завершена. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть M — многообразие F -алгебр, обладающее свойством Z и удовлетворяющее тождеству [x, y][z, t] = 0, а существенный по всем xi многочлен f (¯ x, t¯) ∈ H имеет вид f (¯ x, t¯) = w(¯ x, t¯) +
X i
gi (¯ x, t¯) +
X i
hi (¯ x, t¯),
492
О. Б. Финогенова
где hi (¯ x, t¯) — одночлены, gi (¯ x, t¯) — коммутаторные одночлены, а w(¯ x, t¯) ∈ ∈ [H, H]. Предположим, что при этом существуют конечные множества A ⊆ (N ∪ {0}) × (N ∪ {0}) и B ⊆ N ∪ {0}, для которых выполняются условия 1) A ∩ Dx¯ (w(¯ x, t¯)) = ∅ и B ∩ Sx¯ (w(¯ x, t¯)) = ∅; 2) для любого i существуют такие j и k, что Dxj (gi ) ⊆ A и Sxk (hi ) ⊆ B. Если f ∈ T (M) и w(¯ x, t¯) ∈ / T (M), в M выполняется тождество вида xl [y, z]xm = xr [y, z]xs , где (l, m) ∈ Dx¯ (w(¯ x, t¯)), а (r, s) ∈ A или r + s ∈ B. (Множество A, как и B, может быть пустым. Тогда все gi (соответственно, hi ) будут нулевые.) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что найдутся такие отображения Ω1 , . . . , Ωq из P вида Φrs (xi , uj ) (xi ∈ x ¯, uj ∈ Λ, а (r, s) ∈ A или r + s ∈ B), что Ωq ◦ . . . ◦ Ω1 (w) ∈ T (M).
(3)
Воспользуемся свойством 4. Пусть q — минимальное число, для которого выполняется (3), а Ωq = Φrs (xi , uj ). Тогда w ˜ = (Ωq−1 ◦ . . . ◦ Ω1 )(w) ∈ / T (M). В этом случае по свойству 4 в M выполняется тождество xl [y, z]xm = = xr [y, z]xs , где (l, m) ∈ Dxi (w). ˜ Остается заметить, что, по свойству 2, Dxi (w) ˜ ⊆ Dxi (w), т. е. найденное тождество имеет требуемый вид. Итак, достаточно показать существование таких Ω1 , . . . , Ωq . Предположим сначала, что f ∈ [H, H], т. е. все одночлены hi отсутствуют. Пусть (a1 , b1 ) < (a2 , b2 ) < . . . < (am , bm ) — все пары из A (здесь через < обозначается естественный лексикографический порядок). Предположим, x ¯ = {x1 , . . . , xn }. Для каждой буквы xi рассмотрим отображение Υi = Φa1 b1 (xi , ui1 ) ◦ Φa2 b2 (xi , ui2 ) ◦ . . . ◦ Φam bm (xi , uim ). В силу свойства 1 отображения Υi попарно перестановочны на [H, H]. Кроме того, по условию для любого i существует j такой, что Dxj (gi ) ⊆ A.
Многообразия ассоциативных алгебр
493
Нетрудно убедиться, что в этом случае Υj (gi ) = 0. В самом деле, пусть (as , bs ) — наибольшая пара из Dxj (gi ). Тогда Υj можно представить в виде Υj = Θ2 ◦ Φas bs (xj , ujs ) ◦ Θ1 , причем остальные пары из Dxj (gi ), если они есть, индексируют некоторые сомножители в Θ2 . Положим g˜i = Θ1 (gi ). gi )) ⊆ По свойству 2, Dxj (˜ gi ) ⊆ Dxj (gi ), а тогда, по свойству 3, Dxj (Φas bs (˜ ⊆ Dxj (˜ gi ) \ {(as , bs )}. Повторяя этот процесс и отщепляя сомножители, проиндексированные парами из Dxj (gi ), а затем выбрасывая соответствующие пары, в конце получим пустое множество двусторонних степеней. Таким образом, Dxj (Υj (gi )) =!∅, т. е. Υj (gi ) = 0. n Q P Следовательно, Υj gi = 0. Значит, j=1
n Y
j=1
i
Υj (f ) =
n Y
j=1
Υj (w) ∈ T (M).
Требуемые отображения Ω1 , . . . существуют, и предложение 1 в этом случае доказано. Общий случай сведем теперь к рассмотренному. Положим Υs =
Y
Φj0 (xs , usj ).
j∈B
Отображения Υs перестановочны на [H, H]. По условию для любого i найдется k, для которого Sxk (hi ) = {m} ⊆ B. Представим Υk в виде Υj = ˜ i = Θ1 (hi ). Очевидно, Sx (h ˜ i ) = {m}. = Θ2 ◦ Φm0 (xk , ukm ) ◦ Θ1 и положим h k Поэтому ˜ i) = h ˜ i (x1 , . . . , ukm xk , . . . , t¯) Φm0 (xk , ukm )(h ˜ i (x1 , . . . , xk , . . . , t¯) ≡ 0 (mod [H, H]). − um h km
При этом идеал [H, H] инвариантен относительно отображений из P, а значит, и относительно Θ2 . Следовательно, Υk (hi ) ∈ [H, !H]. n n Q Q Υj (Υk (hi )) ∈ [H, H] Υj . Тогда Γ(hi ) = Обозначим Γ = j=1
j=1,j6=k
и Γ(f ) ∈ [H, H]. Поскольку Sxk (Υk (hi )) = {m}, имеем
Dxk (Γ(hi )) ⊆ Dxk (Υk (hi )) ⊆ {(j, m − j) | j = 0, . . . , m}.
(4)
494
О. Б. Финогенова
Пусть A˜ = A ∪ {(j, m − j) | j = 0, . . . , m, m ∈ B}. Поскольку B ∩ Sx¯ (w) = ∅ и A ∩ Dx¯ (w) = ∅, то и A˜ ∩ Dx¯ (w) = ∅. В ˜ По свойству 2 качестве f , w и A рассмотрим соответственно Γ(f ), Γ(w) и A. ˜ справедливо Dx¯ (Γ(w)) ⊆ Dx¯ (w), а следовательно, A∩D x ¯ (Γ(w)) = ∅. Кроме того, для любого i найдутся j и k, при которых ˜ Dxj (Γ(gi )) ⊆ Dxj (gi ) ⊆ A ⊆ A, и согласно (4) ˜ Dxk (Γ(hi )) ⊆ A. Если Γ(w) ∈ / T (M), то предложение доказано (см. предыдущие рассуждения для частного случая f ∈ [H, H]). Если же Γ(w) ∈ T (M), то и тогда доказательство завершено, поскольку найдены требуемые отображения Ω1 , Ω2 , . . . . 2 ЛЕММА 4. Пусть в условиях предложения 1 многообразие M порождается нильалгебрами и удовлетворяет тождеству X z )[x, y] = 0, где gk¯ = αk¯ z1k1 · · · znkn . gk¯ (¯ f (x, y, z¯) = ¯ k
Тогда при любом наборе k¯ многообразие M удовлетворяет тождеству gk¯ [x, y] = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по количеству ненулевых gk¯ [x, y]. База индукции очевидна. Предположим, слагаемых больше одного, т. е. существует по крайней мере два набора s¯ 6= t¯. Считаем, что s¯ — наименьший относительно естественного лексикографического порядка набор со свойством gs¯[x, y] 6= 0, а t¯ — наибольший. Понятно, что тогда найдется такой номер i, для которого si < ti и si 6 ki при любом наборе k¯ с условием gk¯ [x, y] 6= 0. (В качестве такого i можно взять первый по порядку индекс, ¯ при котором si отличается от ki хотя бы для одного k). В этом случае Dzi (f ) ⊆ {(m, 0) | m > si } ∪ {(si , 0)}. Положим w=
X
¯ i =si k,k
z )[x, y], A = Dzi (f ) \ {(si , 0)}, B = ∅. gk¯ (¯
495
Многообразия ассоциативных алгебр
Очевидно, A ∩ Dzi (w) = A ∩ {(si , 0)} = ∅. Поэтому w и A удовлетворяют всем требованиям предложения 1. Если w ∈ T (M), то и f − w ∈ (M). И в том, и в другом многочлене слагаемых gk¯ [x, y] меньше, чем в f (gt¯[x, y] не входит в w, а gs¯[x, y] — в f − w). По индукции требуемое установлено. Если же w ∈ / T (M), в M выполняется тождество z si [x, y] = z m [x, y] для некоторого m > si . В любой нильалгебре из последнего следует z si [x, y] = 0. В силу выбора si все gk¯ [x, y] лежат в T (M). 2 ЛЕММА 5. Пусть, в условиях предложения 1, F — поле характеристики p > 0. а) Если z n [x, y] = z s [x, y]z t — тождество M, где n, t > 1, то либо z n [x, y] ∈ T (M), либо при некоторых m, k (1 6 pm 6 max{s, n}, 1 6 pk 6 t) k
m
в M выполняется тождество z p [x, y] = [x, y]z p . m
б) Если z n [x, y] = 0 — тождество M, то z p [x, y] ∈ T (M) при некотором m, 1 6 pm 6 n. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Положим f (x, y, z) = z s [x, y]z t − z n [x, y]. Среди тождеств этого вида выберем такое, в котором t, s и n (t, n > 1, s > 0) минимальны. Пусть t = α0 pk + α1 pk+1 + . . . (0 < α0 < p). Предположим, что (s, t) 6= (0, pk ). Тогда f˜(x, y, v, z) = f (x, y, z + v) − f (x, y, z) − f (x, y, v) k
k
≡ α0 v s [x, y]v t−p z p + g(x, y, z, v) (mod {[x, y][u, v]}T ), где X
g(x, y, z, v) =
γijm z i v m [x, y]v j +
i, j, m, i>0, i(pk ,0) k
k
Положим w(x, y, v, z) = α0 v s [x, y]v t−p z p , A = Dz (g). Очевидно, Dz (w) ∩ A = {(0, pk )} ∩ A = ∅. Поэтому и по предложению 1, M удовлетворяет одному из тождеств w(x, y, k
v, z) = 0, [x, y]z p = z i [x, y], где i < n или i 6 s, либо тождеству вида
496
О. Б. Финогенова k
[x, y]z p = z i [x, y]z j , (j, i) > (pk , 0) и i 6 s, j 6 t. Нетрудно заметить, что в наших предположениях из тождества w(x, y, v, z) = 0 следует z n [x, y] = 0. k
Наличие тождества [x, y]z p = z i [x, y]z j , (j, i) > (pk , 0) и i 6 s, j 6 t, k
противоречит выбору f (x, y, z), поскольку, заменяя z i [x, y]z j на [x, y]z p , k
получаем тождество z s−i [x, y]z t−j+p − z n [x, y] = 0. Итак, вне зависимости от того, совпадает пара (s, t) с (0, pk ) или нет, многообразие M удовлетвоk
ряет тождеству вида [x, y]z p = z i [x, y], где i не превосходит максимума из n, s. Закончим доказательство п. ”а“ и параллельно докажем п. ”б“. Пусть k
h(x, y, z) = z i [x, y] − [x, y]z p в случае ”a“ и h(x, y, z) = z i [x, y] в случае ”б“. При этом многочлен h(x, y, z) выбран так, чтобы i было минимальным из возможных. Ясно, что i 6 n в случае ”б“, и согласно установленному ранее i 6 max{s, n} в ”а“. Пусть i = β0 pm + β1 pm+1 + . . . , причем 0 < β0 < p. Достаточно показать, что i = pm . Предположим противное. Линеаризуя многочлен h, получаем h(x, y, z + v) − h(x, y, z) − h(x, y, v) ≡ m
m
≡ β0 z p v i−p [x, y] +
X
µj z j v i−j [x, y] (mod {[x, y][u, v]}T ).
j, i>j>pm m
m
Положим w(x, y, v, z) = β0 z p v i−p [x, y], A = {(j, 0) | i > j > pm }. Заметим, что w(x, y, v, z) = 0 не является тождеством M. Действительно, в противном случае, поскольку многообразие M обладает свойством Z, в нем m
m
выполняется либо тождество v i−p [x, y] = 0, либо тождество z p [x, y] = 0, что в любом случае противоречит минимальности i. Итак, w(x, y, v, z) ∈ / ∈ / T (M). Кроме того, легко понять, что Dz (w) ∩ A = {(0, pm )} ∩ A = ∅. Следовательно, согласно предложению 1 многообразие M удовлетворяет m
тождеству вида z p [x, y] = z j [x, y], где j > pm . И в случае ”а“, и в случае ”б“ это противоречит выбору многочлена h(x, y, z), поскольку в качестве i можно взять меньшее число i − j + pm . 2 ЗАМЕЧАНИЕ 2. Нетрудно убедиться, соответствующим образом видоизменив доказательства, что верны двойственные аналоги лемм 4 и 5.
497
Многообразия ассоциативных алгебр
1.3. Доказательство теорем 1 и 2. До конца пункта считаем, что F — поле положительной характеристики p, V — почти энгелево многообразие F -алгебр. По леммам 2 и 3, V обладает свойством Z и удовлетворяет тождеству [x, y][z, t] = 0. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Наличие положительной характеристики позволяет записывать некоторые энгелевы тождества в более простой форме. А именно, нетрудно проверить, что [x, y, y, . . . , y ] = | {z } n
n X
Cnk (−1)k y k xy n−k .
k=0
Если n = pt , то для любой алгебры над полем характеристики p [x, y, y, . . . , y ] = [x, y n ]. 2 | {z } n
Введем многообразия
m
A = var {[x, y]z = 0}, Bq,m = var {[x, y]z = z q [x, y]}. ЛЕММА 6. Если F — бесконечное поле, то V лежит в одном из многообразий A или A⋆ . Если F — конечное поле из q элементов, то V лежит в одном из многообразий A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Многообразие V удовлетворяет условию предложения 1. Предположим, V 6⊆ A, т. е. [x, y]z ∈ / T (V). По леммам 1 и 3, V удовлетворяет тождеству вида f (x, y, z) = y n [x, z] +
X
βij y i [x, z]y j = 0.
j>1, i i
i
Мы хотим получить одно из тождеств вида y p [x, z] = 0 или y p [x, z] = j
= [x, z]y p , i 6= j. Воспользуемся предложением 1. Положим w(x, y, z) = y n [x, z], A = Dy (f ) ∩ {(i, j) | j > 1}, B = ∅. Очевидно, Dy (w) ∩ A = {(n, 0)} ∩ A = ∅. Согласно предложению 1 возможно одно из двух: либо w = y n [x, z] ∈ T (V), либо для некоторых s > 0 и t > 1 равенство y n [x, z] = y s [x, z]y t будет тождеством в V. В любом
498
О. Б. Финогенова
случае, воспользовавшись леммой 5, получаем: если [x, y]z ∈ / T (V), то V i
i
j
удовлетворяет одному из тождеств y p [x, z] = 0 или y p [x, z] = [x, z]y p . Отметим следующее. Если для полилинейного по модулю T (V) мноk
гочлена f (y, [x, z]) верно включение f (y p , [x, z]) ∈ T (V), то f (y, [x, z]) ∈ ∈ T (V). В противном случае по лемме 1 и замечанию 3 в V выполняется тождество вида t
[x, y p ] =
X
ai f (bi , [x, y])ci ,
где ai , bi , ci — одночлены. Понятно, что подстановка x 7→ [x, z] обратит в тождества, а точнее, в следствия многочлена [u, v][z, t] все слагаемые, где x встречается в одночлене bi . После этой подстановки справа появится сумма слагаемых вида ai f (y si , [[x, z], y])ci ≡ ai f (y si , [x, z])yci − ai yf (y si , [x, z])ci . Подстановка y 7→ y p
k
обратит правую часть в следствие многочлена
pk
f (y , [x, z]), левая примет вид [[x, z], y p
t+k
]. Итак, [[x, z], y p
t+k
] ∈ T (V), что
согласно замечанию 3 противоречит неэнгелевости V. i
Используя этот факт, нетрудно показать, что из тождества y p [x, z] = j
i
= 0 следует x[y, z] = 0, а из y p [x, z] = [x, z]y p — тождество x[y, z] = = [y, z]xp
j−i
при i < j или [y, z]x = xp
i−j
[y, z] при i > j. (Равенство i = j в
силу замечания 3 противоречит неэнгелевости V, поэтому невозможно.) В случае бесконечного поля каждое из двух последних тождеств приводит к энгелеву тождеству и выполняться в V не может. В случае конечного поля легко убедиться, что pi−j = q m (соответственно, pj−i = q m ), где q — порядок этого поля. 2 Согласно лемме 6 поиск ”пограничников“ нужно вести среди подмногообразий в многообразиях A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m . Покажем, что те собственные подмногообразия, которые порождаются своими нильпотентными алгебрами, для этого не подходят. ЛЕММА 7. Пусть M — одно из многообразий A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m , а N — собственное подмногообразие M, порождаемое нильпотентными алгебрами. Если многообразие N удовлетворяет свойству Z, то оно энгелево.
499
Многообразия ассоциативных алгебр
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть M = A или M = Bq,m . Оставшиеся случаи рассматриваются двойственным образом. Наша цель — найти в N s
s
тождество вида xs [y, z] = 0. Тогда [y, z]xp − xp [y, z] ∈ {xs [y, z]} + T (M) ⊆ ⊆ T (N), по замечанию 3 это эквивалентно энгелевости N. Отметим, что в M выполняется тождество [x, y][z, t] = 0. Значит, N удовлетворяет условию предложения 1 и леммы 4. Пусть f (¯ x) ∈ T (N) \ P \T (M), тогда f (¯ x) ≡ αk¯ xk11 · · · xknn (mod {[x, y]}T ). Если αk¯ 6= 0 при неко¯ то умножение справа на коммутатор [y, z] и лемма 4 приведут тором k, к искомому тождеству αk¯ xk11 · · · xknn [y, z] = 0. В этом случае цель будет x) ≡ 0 (mod {[x, y]}T ). достигнута. Считаем, что все αk¯ равны 0, т. е. f (¯ Пусть M = A. Так как x[y, z] ≡ −z[x, y] − y[z, x] (mod {[x, y]z}T ), можно считать, что x1 присутствует во всех коммутаторах, т. е. f (¯ x) =
X
βi,¯l xl11 xl22 · · · xlnn [x1 , xi ].
i,¯ l
Тогда f˜i (¯ x, y, z) = f (x1 , . . . , xi + [y, z], . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) P ≡ ¯l βi,¯l xl11 +1 xl22 · · · xlnn [y, z] (mod T (A)).
В f наборы степеней (l1 , . . . , ln ) у x1 , . . . , xn , стоящих перед коммутатором [x1 , xi ], различны. Поэтому в f˜i все наборы (l1 + 1, . . . , ln ) попарно различны. Воспользовавшись леммой 4, получим семейство тождеств β ¯xl1 +1 xl2 · · · xln [y, z] = 0, справедливых для любых i, ¯l. По крайней мере 2
i,l 1
n
один коэффициент βi,¯l отличен от нуля, и цель достигнута. Пусть теперь M = Bq,m . Перепишем многочлен f (¯ x) по модулю T (M) так, чтобы в коммутаторах встречалось наименьшее число переменных. Можно считать без ограничения общности, что среди них есть x1 . Поскольку m
m
m
m
xq1 [y, z] ≡ x1 [y, z]+(y−y q )[z, x1 ]+(z−z q )[x1 , y](mod{xq [y, z]−[y, z]x}T ), имеем f (¯ x) =
X i,¯ l
βi,¯l xl11 · · · xlnn [x1 , xi ] +
X
s¯(s1