Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций: Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

–2– Рецензент Л.В. Найханова, к.т.н., доцент Методические указания содержат краткое описание теории аппроксимации функции применительно к среднеквадратичному и равномерному приближениям. Приведены образцы применения к конкретным задачам. Даны варианты заданий для самостоятельного решения задачи аппроксимации функции с использованием компьютера. Методические указания предназначены для студентов специальностей 230105 – «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», 010500 – «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и 230101– «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети».

Основы вычислительной математики

Выпуск 7: Аппроксимация функций Методические указания

Составители: Ширапов Д.Ш., Ширапов Б.Д., Ябжанова С.Б.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2006

Ключевые слова: функция, многочлен, приближение, аппроксимация, погрешность, табличная функция, оценка, минимизация, узловая точка.

–3– СОДЕРЖАНИЕ 1. Постановка задачи и основные определения ……..4 2. Среднеквадратичное приближение ……………….5 2.1. Пример применения ……………………………..7 2.2. Практические рекомендации…………………….9 2.3. Задания для решения…………………………….10 3. Равномерное приближение ……………………….11 3.1. Вычисление функций разложением в ряды Тейлора …………………………………13 3.2. Многочлены Чебышева………………………….14 3.3. Экономизация степенных разложений…………16 3.4. Пример применения……………………………...17 3.5. Задания для решения…………………………….18 Используемая литература………………………………21 Рекомендуемая литература…………………………….21

–4– 1. Постановка задачи и основные определения Ставится следующая задача – найти аналитическое выражение для описания функции у=f(x), заданной таблично, т.е. дискретному множеству значений аргумента {x0, x1,…, xn} соответствует множество значений функций {y1, y2,…, yn}. Найденная формула может быть использована для исследования функции различными методами математического анализа, также для описания каких-то физических, химических и т.д. явлений. Существуют два основных способа получения таких выражений. Первый. Значения функции yi в узловых точках xi могут быть получены различным образом, в результате эксперимента, либо вычислены. Если при этом аналитическое выражение строится таким образом, чтобы значения функции у=f(x) и искомого аналитического выражения совпадали в узловых точках xi , то такая аппроксимация называется «интерполированием» [1-5]. Второй. Функция у=f(x) задана таблично или аналитически. Но в последнем случае формула может иметь очень сложный и громоздкий вид, который не позволяет достаточно просто исследовать эту функцию методами математического анализа. Тогда имеет смысл найти более простое аналитическое описание функции у=f(x), которое упростит процедуру исследования функций. В этом случае значения функции у=f(x) и искомого аналитического выражения необязательно совпадают в узловых точках xi . Методы «аппроксимации функции», удовлетворяющие условиям построения 2-го способа, и будут предметом рассмотрения данного методического указания. Сформулируем задачу аппроксимации (приближения) функций. Пусть задана функция у=f(x) и требуется приближенно заменить функция f(x) другой функцией ϕ(х) таким

–6–

–5– образом, чтобы отклонение ϕ(х) от f(x) (в некотором определенном смысле) было наименьшим в заданной области. В этом случае функцию f(x) называют аппроксимируемой, а функцию ϕ(х) – аппроксимирующей. Аппроксимация может быть точечной или непрерывной. Аппроксимация называется точечной, если аппроксимирующая функция строится на дискретном множестве точек {x0, x1,…, xn}. Аппроксимация называется непрерывной (или интегральной), если функция ϕ(х) строится на непрерывном множестве точек. При постановке задачи аппроксимации предварительно должны быть решены следующие вопросы: 1. Выбор узловых точек xi , если имеется некоторая свобода в их выборе. В некоторых случаях удобно использовать равностоящие значения аргумента, то есть xi - xi-1 =h=const. В других случаях, специальное распределение узлов xi , что позволяет уменьшить погрешность аппроксимации. 2. Выбор класса функций. На практике чаще всего используют многочлены вида ϕ(х)=a0 + a1x + a2x2 +…+ amxm. (1) Такие приближения называют многочленными. Другой класс аппроксимирующей функции ряд Фурье имеет вид ϕ(х)= a0/2 +

m

∑ (a k cos kx + b k sin kx ) .

k =1

3. Критерий близости между аппроксимируемой функцией f(x) и аппроксимирующей функцией ϕ(х). 2. Среднеквадратичное приближение Среднеквадратичное приближение – это способ аппроксимации, при котором критерий близости исходной функции f(x) и аппроксимирующей её функции ϕ(х) определяется как сумма квадратов отклонений f(x) от ϕ(х) на заданной

системе точек и ищется такая функция ϕ(х), для которой эта сумма будет минимальна. Отметим, что такой подход часто используется в случае, когда исходная табличная функция f(x) получена экспериментально и требуется описать эту функцию аналитически, вид которого известен, но параметры, от которых зависит это выражение, подлежат определению. Другими словами, в качестве аппроксимирующей функции берется известная функция ϕ(х; a0 , a1 , …, am), зависящая от параметров ai . Пусть функция у=f(x) задана таблично. Требуется подобрать такие значения параметров a0 , a1 , …, am , при которых сумма квадратов отклонений функций f(x) и многочлена ϕ(х) при всех значениях xi (i=0,1,2,…, n) n

S= ∑ [ϕ( x i ; a 0 , a 1 ,..., a m ) − y i ] 2

(2)

i=0

будет минимальна. Так как значения аргументов xi заданы, функция S(a0 , a1 , …, am) будет зависеть только от параметров a0 , a1 , …, am . Тогда задача сводится к задаче нахождения минимума функции S. Из курса математического анализа известно, что для нахождения минимума функции (2) надо найти частные производные этой функции по параметрам аi и приравнять их нулю, тогда получим ∂S/∂a0=0, ∂S/∂a1=0, …, ∂S/∂am=0. (3) Формула (3) представляет собой систему алгебраических уравнений, состоящих из (m+1) – уравнений и (m+1) – неизвестных a0 , a1 , …, am . Если функция S(a0 , a1 , …, am) зависит от аргументов линейно, то решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) одним из методов [1-4, 6]. В противном случае (3) представляет систему нелинейных алгебраических уравнений, которая решается методами, описанными в [2, 3]. Способ определения параметров ai описанным выше образом называется методом наименьших квадратов.

–8–

–7– 2.1. Пример применения В качестве аппроксимирующей функции выберем квадратный многочлен ϕ(х)= a0 + a1х + a2х2 , (4) в котором зависимость от неизвестных a0 , a1, a2 является линейной. Тогда формула (2) принимает вид n

S(a0 , a1 , a2)=

∑ [a i =0

0

+ a 1 x i + a 2 x i2 − y i ] 2 .

х 0.75 1.5 2.25 3.0 3.75 у 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28 Требуется найти многочлен второй степени вида (4), который даст наилучшее среднеквадратичное приближение табличной функции f(x). Решение. В этом примере m=2, n=4. Вычислим все члены матрицы в формуле (5) и правой части СЛАУ. Они таковы: 4

n

∑x

i

= 0.75+1.50+2.25+3.00+3.75=11.25,

i =0 n

∑x

2 i

=0.752+1.502+2.252+3.002+3.752=30.94,

i =0 n

∑x

3 i

=0.753+1.503+2.253+3.003+3.753=94.92,

∑x

4 i

=0.754+1.504+2.254+3.004+3.754=309.76,

∑y

i

= 2.5+1.2+1.12+2.25+4.28=11.35,

Откуда, вычисляя частные производные, получим ∂S/∂a0=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ] =0, ∂S/∂a1=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ]x i =0,

∂S/∂a2=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ]x i2 =0. i =0

Раскрыв скобки и проведя простейшие преобразования, получим систему из трех линейных уравнений относительно трех неизвестных a0 , a1, a2: n n n  2 + + + = a (n 1) a x a x yi ∑ 1∑ i 2∑ i  0 i =0 i =0 i =0  n n n n  2 3 (5) + + = a x a x a x x i yi .  0∑ i ∑ 1∑ i 2∑ i = = = = i 0 i 0 i 0 i 0  n n n n a 3 4 2 + + = x a x a x x i2 y i ∑ 1∑ i 2∑ i i  0∑ i =0 i =0 i =0  i =0 Решая СЛАУ (5) найдем коэффициенты a0 , a1, a2 аппроксимирующей функции (4). Образец. Пусть функция у=f(x) задана таблично:

i =0 4

i =0 4 i =0 4

i =0 4 i =0 4

∑ x i y i = 29.00, i =0

4

∑x i =0

2 i

y i = 90.21.

В результате система (5) примет вид  5a 0 + 11.25a 1 + 30.94a 2 = 11.35,   11.25a 0 + 30.94a 1 + 94.92a 2 = 29.00, 30.94a + 94.92a + 309.76a = 90.21. 0 1 2 

(6)

Решив СЛАУ (6), найдем, что a0=5.54 , a1=-4.73, a2=1.19. Таким образом, функция, аппроксимирующая наилучшим образом в среднеквадратичном смысле, такова ϕ(х)=5.54-4.73х+1.19х2 .

–9–

– 10 –

Проведем оценку относительной погрешности аппроксимации в заданных точках (в процентах) по формуле ∆yi= |δi/yi|100% = | [ϕ(хi)-yi]/yi |100%. (7) Результаты оценки приведены в таблице 1. Таблица 1 хi

yi

ϕ(хi)

δi

0.75 1.50 2.25 3.00 3.75

2.50 1.20 1.12 2.25 4.28

2.66 1.12 0.92 2.06 4.54

0.16 -0.08 -0.20 -0.19 0.26

∆yi , (%) 6.4 6.7 17.9 8.4 6.1

2.2. Практические рекомендации При решении практических задач аппроксимации следует придерживаться следующих правил: 1. Для выбора степени многочлена (1) можно начать с многочлена 1-й степени ϕ(х, a0 , a1)= a0х + a1. Определив коэффициенты a0 , a1 методом наименьших квадратов, вычисляют максимальную по модулю величину относительной погрешности ∆yi|m по формуле (7). Если она не превышает заданную точность ε, то за многочлен аппроксимации принимается ϕ(х)= a0х + a1. В противном случае увеличивается степень m многочлена на единицу, и расчет повторяется и т.д. 2. По таблично заданной функции строится график этой функции, что дает первичное представление о степени m многочлена (1). Затем производится уточнение степени аппроксимирующего многочлена методом наименьших квадратов.

2. 3. Задания для решения

Упражнения. Методом наименьших квадратов аппроксимировать линейным и квадратичным многочленами следующие табличные функции и определить максимальную по модулю погрешность аппроксимации: 1.

2.

3.

4.

хi yi

0 2.8

1 6.1

2 10.9

3 4 18.1 27.3

5 38

Ответ: ϕ1(х)=7.0514х – 0.4285; max(∆yi|m=1)=115.3% . ϕ2(х)=0.9743х2 + 2.18х + 2.82; max(∆yi|m=2)=2.1% . хi yi

0 4.2

1 8.8

2 16.3

3 4 24.6 36.5

5 48.4

хi yi

0 1.9

1 5.2

2 9.8

3 17.3

5 37.5

хi yi

0 1.1

1 3.9

2 9.2

3 4 16.8 25.3

5 35.7

хi yi

0 3.2

1 7.8

2 15.3

3 4 23.6 35.5

5 47.4

4 25.7

5.

6. хi 0 yi 1.1

1 4.9

2 11.2

3 4 18.8 29.3

5 40.7

– 11 –

– 12 –

7.

хi 0 yi 1.1

1 5.9

2 13.2

3 4 21.8 33.4

5 45.4

Определение. Критерий близости функций при равномерном приближении определяется величиной абсолютного отклонения ∆= max |ϕ(х) - f(x)| аппроксимирующего многоa ≤ x ≤b

члена ϕ(х) от функции f(x).

8.

хi 0 yi 2.1

1 6.9

2 13.7

3 4 23.4 33.6

5 47.5

Таким образом, равномерная аппроксимация f(x) многочленом ϕ(х) с точностью ε означает, что ∆< ε. В этом случае гарантированно выполняется max |ϕ(х) - f(x)|< ε при люa ≤ x ≤b

9.

хi 0 yi 3.1

1 5.8

2 11.2

3 4 17.7 27.4

5 37.5

бых xє[a, b]. Возможность построения многочлена ϕ(х), равномерно приближающего функцию f(x), определяется теоремой Вейерштрасса.

хi 0 yi 4.7

1 9.8

2 19.3

3 4 27.6 38.5

5 54.4

Теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для любого ε>0 существует многочлен ϕ(х), степень которого зависит от ε, абсолютное отклонение которого от функции f(x) на отрезке [a, b] меньше ε.

10.

3. Равномерное приближение Как следует из предыдущего §2, метод наименьших квадратов позволяет для функции f(x), заданной таблично, найти близкий в «среднем» многочлен ϕ(х). Однако значения функций f(x) и аппроксимирующего многочлена ϕ(х) в некоторых точках могут сильно различаться между собой. В то же время в некоторых задачах, как практических, так и теоретических, требуется, чтобы на всем отрезке [a, b], на котором задана функция f(x), отклонение аппроксимирующего многочлена ϕ(х) от заданной функции было по абсолютной величине меньше, чем заданная точность ε>0, т.е. выполнялось условие |ϕ(х) - f(x)|< ε, xє[a, b]. (8) При выполнении условия (8) говорят, что ϕ(х) равномерно аппроксимирует функцию f(x) на отрезке [a, b].

Из теоремы Вейерштрасса следует, что при заданной точности аппроксимации ε можно найти соответствующий многочлен степени m, равномерно приближающий заданную функцию f(x). Возможен и другой подход, при котором степень аппроксимирующего полинома m фиксирован и требуется подобрать такой многочлен степени m, чтобы на заданном на отрезке [a, b] величина абсолютного отклонения ∆ была минимальна, то есть ∆= ∆min . (9) Такой многочлен ϕ(х) называется многочленом наилучшего равномерного приближения. Выполнение (9) осуществляется за счет подбора коэффициентов a0 , a1 , …, am многочлена (1). Можно показать, что для непрерывной и замкнутой на ограниченном множестве функций f(x) такой многочлен ϕ(х) существует и является единственным [4].

– 14 –

– 13 – Формулу (9) можно записать в виде ∆= min ( max |ϕ(х) - f(x)|). ϕ (x)

a ≤ x ≤b

Задачи такого типа называются минимаксными. 3.1. Вычисление функций разложением в ряды Тейлора Для вычисления элементарных функций, таких как sinx, cosx, tgx, lnx и т.д., на компьютере можно воспользоваться рядом Тейлора, который на отрезке [a, b] имеет вид f(x)=f(a)+

(n) f (a) f '' (a) f ' (a) (x − a)n + R n , (10) (x − a)2 + ... + (x − a) + n! 2! 1!

где х=а – базовая точка, относительно которой ищется разложение. При а=0 выражение (10) называется рядом Маклорена. Rn – остаточный член, определяющий погрешность разложения (10) при ограничении (n+1) членом в разложении и имеет вид n +1 b−a max R n ≤ max f (n +1) . (11) a≤x≤b (n + 1)! a ≤ x ≤ b Зная значения функции f(x) и ее производных лишь в одной базовой точке х=а , с помощью ряда (10) можно вычислить значение этой функции на всем отрезке [a, b], на котором сходится этот ряд. Однако ряд Тейлора (10) обладает следующим основным недостатком. Позволяя вычислить с очень высокой точностью значение f(x) вблизи базовой точки, в остальной части интервала точность будет гораздо меньше и для увеличения точности придется брать в ряде (10) очень много членов. Поэтому, на практике, вместо (10) используются более эффективные разложения, в частности, многочлены Чебышева [7]. В этом случае погрешность распределяется достаточно равномерно на всем отрезке [a, b], где вычисляется функция f(x).

3.2. Многочлены Чебышева Многочлены Чебышева Tn(x) степени n выражаются формулой n n 1 Tn(x)=  x + x 2 − 1 + x − x 2 − 1 , (12) 2  (-1≤х≤1, n=0, 1, 2, …). Проведя, соответствующие вычисления с (12), можно получить T0(x)=1, T1(x)=х, T2(x)=2х2-1, T3(x)=4х3-3х, (13) T4(x)=8х4-8х2+1, T5(x)=16х5-20х3+5х,… Что очень важно, многочлены Чебышева любой степени вычисляются с помощью рекуррентного соотношения Tn+1(x)=2хTn(x) – Tn-1(x), (n=1, 2, 3, …), при этом коэффициент старшего члена выражается формулой аn=2n-1. Другим важным свойством многочленов Чебышева является то, что они могут выражаться через элементарные тригонометрические функции Tn(x)=cos(n·arccosx), (n=0, 1, 2, …). (14) Это означает, что разложение функции f(x) по многочленам Tn(x) является другой интерпретацией разложения четной функции в ряд по косинусам, что позволяет переносить многие свойства рядов Фурье в область степенных рядов. С помощью (14) можно получить выражения (12) и (13). Корни многочлена Чебышева на отрезке [–1, 1] вычисляются по формуле 2k − 1 xk=cos π , (k=0, 1, 2, …,n). 2n При этом корни расположены неравномерно на отрезке [-1, 1], сгущаясь к его концам. Точки экстремума многочленов Tn(x) вычисляются по формуле kπ xk=cos , (k=1, 2, …,n-1), n

(

) (

)

– 15 –

– 16 –

при этом в точках максимума Tn(x)=1, а в точках минимума Tn(x)= –1. Это еще одно важное свойство, означающее, что всегда выполняется условие |Tn(x)|≤1 при любых n и x, что удобно для проведения различных оценок погрешностей при использовании многочленов Чебышева. Рассмотрим многочлен Чебышева, полученный делением на коэффициент при старшем члене (при xn) аn=2n-1 1 T n ( x) = n -1 Tn(x). 2 Если наряду с многочленом T n ( x) рассмотреть любые другие многочлены Pn(x) степени n , у которых коэффициент при старшем члене равен единице (как и у T n ( x) ), тогда

ошибку, допуская большое среднеквадратичное отклонение. В заключение, приведем формулы для различных выражений степеней х с помощью многочленов Чебышева, полученные из формулы (13), которые понадобятся при решении упражнений. Они таковы

можно показать, что у многочлена T n ( x) максимальное отклонение на отрезке [–1, 1] будет наименьшим по сравнению с любым другим многочленом Pn(x) [7]. Это означает, что 1 (15) max Pn ( x) ≥ max T n ( x) = n −1 . -1≤ x ≤1 -1≤ x ≤1 2 Поэтому говорят, что многочлены Чебышева T n ( x) являются наименее уклоняющимися на отрезке [-1, 1]. Выражение (15) называется принципом минимакса. Это означает, что для многочлена T n ( x) наибольшее значение на отрезке [-1, 1] будет наименьшим по сравнению с наибольшими значениями любых других многочленов Pn(x). Отметим основную разницу между среднеквадратичным и равномерным (чебышевским) приближениями. Среднеквадратичное приближение уменьшает среднюю квадратичную ошибку, допуская большие ошибки в отдельных точках интервала. Чебышевское приближение уменьшает наибольшую

1= T0, х= T1, х2=( T0+T1)/2, х3=( 3T1+T3)/4, х4=(3T0+4T2+T4)/8, х5=(10T1+5T3+T5)/16, …

(16)

3.3. Экономизация степенных разложений Одно из важных приложений многочленов Чебышева – их использование для эффективного вычисления степенных рядов, основанное на свойстве наилучшей сходимости этих многочленов по сравнению с любыми другими многочленами. Суть заключается в следующем. Одна и та же функция f(x) может быть разложена в различные степенные ряды в зависимости от способа их построения. Эти ряды описывают одну и ту же функцию, но обладают различной скоростью сходимости. Теоретически эти разложения равнозначны, так как в пределе будет получена одна и та же функция. Но с практической стороны, время вычисления функции на компьютере с одинаковой точностью с помощью этих рядов может отличаться в десятки и сотни раз. Например, разложение функции f(x) в конечный ряд Тейлора (17) f(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm , как правило, имеет плохую сходимость почти всюду кроме окрестности базовой точки. Напротив, разложения в ряд по многочленам Чебышева (18) f(x)=с0+с1Т1(х)+с2 Т2(х)+…+cm Тm(х) имеют наилучшую сходимость. Это означает, что погрешность (18), при одинаковых членах в рядах (17) и (18), будет наименьшей и равномерно распределенной на всем интервале.

– 17 –

– 18 –

Это дает возможность получить большую точность даже с малым числом членов ряда.

Из (22) и (23) следует, что для обеспечения требуемой точности ε ≈ 1/5 при вычислении функции y=ln(1+x) с использованием разложения в ряд Тейлора требуется степень многочлена в два раза больше, чем при использовании ряда свернутого с помощью многочленов Чебышева. Результаты вычислений по (22) и (23) приведены в таблице 2. Таблица 2

3.4. Пример применения Образец. Получить наиболее эффективное степенное разложение для функции y=ln(1+x) на отрезке [0, 1] при заданной точности вычисления ε ≈ 1/5. Решение. Ряд Маклорена для этой функции имеет вид (19) y=ln(1+x)≈x-x2/2+x3/3-x4/4+x5/5+R6 , где остаточный член R6 оценивается формулой (11). Так как ряд (19) знакопеременный, то погрешность замены бесконечного ряда конечным по модулю меньше первого отброшенного члена (20) | R6|< x6/6≤1/6 (при 0≤х≤1). к Заменив в (19) члены х с помощью формул (16), получим разложение y=ln(1+x)≈Т1–(T0+T1)/4+(3T1+T3)/12– –(3T0+4T2+T4)/32+(10T1+5T3+T5)/80= (21) =–11T0(x)/32+11T1(x)/8 –3T2(x)/8+ +7T3(x)/48–T4(x)/32+T5(x)/80. Согласно (20) отбрасывание члена x5/5 в (19) даст ошибку