シリーズ・・・・
7
数学の世界 野 ロ 廣 監修
数 学 オ リン ピック
教室 野 口 廣 著
朝倉書店
ま えが き ―数 学好 きの 諸 君 に―
数 学 オ リン ピ ック に挑 戦 して み た い と思...
212 downloads
675 Views
15MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
シリーズ・・・・
7
数学の世界 野 ロ 廣 監修
数 学 オ リン ピック
教室 野 口 廣 著
朝倉書店
ま えが き ―数 学好 きの 諸 君 に―
数 学 オ リン ピ ック に挑 戦 して み た い と思 う数 学 好 きの 生 徒 諸 君 や 父 兄 の 方 々 か ら 「何 を ? ど ん な ふ うに 勉 強 した ら よい の か?」 と い う質 問 を 度 々受 け ます . こ の本 で も読 ん で み た ら,と 言 え る本 を つ く りた い と私 は 永 い 間 考 え て い まし た.や
っ と今 回,こ れ で ど うだ ろ う とい う本 が で き ま し た.
そ の よ うな わ け で,こ
の 本 は 読 者 に数 学 オ リン ピ ッ クの 予 選 を突 破 す る の に
必 要 な 問題 解 決 力 を与 え よ う と企 画 され た もの で す. 数 学 オ リン ピ ックに 出題 され る 数学 の題 材 を 「集 合 と写 像 」,「 代 数 」,「数 論 」, 「組 合 せ 論 と グ ラ フ」,「幾 何 」 の5 つ の 分 野 に分 け て,各 分 野 を1 つ の章 と し ま し た.各 章 で は,ま ず は じめ にそ の 分 野 で 必 要 な記 号 や 概 念 や 主 要 定 理 を ま と め て述 べ ます.そ
して そ の 章 に 関 連 した 数 学 オ リン ピ ッ クの 出 題 問 題 に 挑 戦 し
ます. 概 念 や 定 理 は 証 明 な し に述 べ られ て い ま すが,将 すか ら,詳
しい 証 明 等 々は 気 に しな い で,こ
来 いず れ は 勉 強 す る もの で
こ で は 実 際 に使 う こ と に よ っ て そ
の 意 味 を よ く理 解 す れ ば 十 分 だ と思 い ます(そ
うす れ ば ,そ の 証 明 を 自分 で 考
え る こ と もで き る で し ょ う). また 挑 戦 は ど の 章 か ら始 め て もい い と思 い ます し,も ちろ ん1 つ の 章 を 終 わ っ てか ら次 の章 へ とい う必 要 は あ りませ ん.気
ま ま に,あ っ ち の章 こ っ ちの 章 と,
で きそ うな 問 題 を拾 って い くの も1 つ の 方 法 で す . とに か く,紙 と鉛 筆 と消 しゴ ム を持 っ て,ま ず 講 義 をざ っ と み て 問 題 に取 り 掛 か り ま し ょ う.問 題 を 読 ん で ウ ン!こ れ は こ うだ ろ う と思 った ら ,そ の と お りに まず 進 ん で み る こ とで す.行
き止 ま りに 入 り込 ん だ ら,そ れ も度 々 だ った
ら,も う止 め た と言 わ な い まで もガ ック リ し ます ね .こ ん な と き 「俺 は … … 」
な ど と思 うの は,と ん で も な い 思 い 違 い で す.プ ロ の 数 学 者 だ っ て 毎 日毎 日 こ の 絶 望 の 中で 暮 ら して い る の で す.そ
うし た と きは,仕 方 な い か ら解 答,解
を少 し読 み ま し ょ う.読 み 切 る必 要 は あ り ませ ん.ア た ら また,読
説
ア その 手か と見 当が つ い
む の を 止 め て そ の 先 を考 え て み ま し ょ う.数 学 好 きの 友 人 や 先 輩
が い るの で し た ら,そ の 人 た ち と議 論 す る の も と て も よい 方 法 で し ょ う.そ う して,ま
た 自分 ひ と りで 考 え 続 け ま す.そ れ を 時 間 の 無 駄 だ と思 うこ とは あ り
ませ ん.数 学 者 は1 年 も2 年 もい や 数 年 に わ た っ て で も,1 つ の 問 題 を 解 け る まで 考 え ます.私
は年 寄 りで 諸 君 の よ うに 力が あ りませ ん の で,こ
の 本 の 問題
は1 題 を1 週 間 で 解 け た ら万 歳 だ と思 って い ます. 問 題 の 解 き方 を何 題 覚 え た か と い うの で は な く,多 少 の ヒ ン トは別 と し て 自 分 で 問題 を 解 くこ とが 諸 君 の 才 能 を 大 き く成 長 させ るの で す, と は い って も諸 君 は,「予 選 で1 問 題 あ た りの 時 間 は15分
だ と い うの に,そ
れ で は とて も間 に 合 わ な い 」 と い うか も しれ ませ ん.し か し これ で 間 に 合 うの で す.予 選 で は こ の 本 の よ うな 解 答 は 要 求 して い ませ ん.自 信 あ り と思 う答 え の見 当が つ い た ら,そ れ を 答 えれ ば よい の で す. 最 後 に,数 学 オ リン ピ ッ クの 本 当 の 目 的 は 金 メダ ル で は な く,諸 君 の 数 学 的 な才 能が 将 来 に向 け て 大 き く花 開 くこ と な の で す.Good 2001年9
Luck!
月
野 口
廣
目
1 .
次
ア イ デ ア
1
1.1 こ の 本 の 構 成[1] 1.1.1
な ぜ 日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選 な の か
1.1.2
この 本 で扱 う問 題
1 1 3
1.2 ア イ デ ア 1.2.1
数 学 オ リ ン ピ ッ ク の 問 題 と ア イ デ ア
1.2.2
ア イデ ア と予備 知 識
14 14 16
1.3 こ の 本 の 構 成[2]
2.
17
集 合 と写 像
2.1 集
19 合
19
2.1.1
集 合 と は
19
2.1.2
数 学 に お け る集 合
21
2.1.3
集 合 の 表 し方
2.1.4
集 合 の 演 算 ・関 係 式
2.2 関 数,写
像
26 28 30
2.2.1
関 数 と写像
31
2.2.2
関数 と 逆 関 数
37
2.3 集 合 の 3 つ の 表 示
42
2.3.1
値 域 と して の 表 示
42
2.3.2
座標平面 の図形
44
3.
代
数
3.1 高 次 方 程 式
48
3.1.1
複
3.1.2
1の n 乗 根
素
数
3.2 線
形
3.2.1
線 形 代 数
3.2.2
線 形 独 立,線
4.
数
4.1 合
48 50
性
58
論 同
58 形 従属
式
64
4.1.1
合同式の 定義
4.1.2
基 本 性 質
4.1.3
合 同 式 を用 い る 問 題
4.1.4
中国式剰余定 理
4.2 そ の 他 の テ ク ニ ッ ク
5.
60
等
4.2.1
不
4.2.2
数 の 表 記
4.2.3
パ ラ メー タ表 示
式
5.1.1
順列
5.1.2
組
64 65
65 67 74
77
77 79
82
組 合 せ論 とグ ラ フ
5.1 順 列,組
48
85
合せ
85 85
合
せ
5.2 そ の 他 の テ ク ニ ッ ク
87
89
5.2.1
包 除 原 理
89
5.2.2
鳩の巣原 理
91
5.3 組 合 せ 論 の 問 題
92
5.3.1
素 朴 な 解 法― と に か く数 え る
92
5.3.2
ア イ デ ア
95
ラ
99
5.4 グ
フ
6
5.4.1
.
幾
グ ラ フ と は
何
99
106
6.1 平 面 幾 何
106
6.1.1
ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の 定 理
106
6.1.2
2 次
109
曲 線
6.2 空 間 幾 何
6.2.1
ベ
6.2.2
空 間 ベ ク トル の 外 積
あ
索
と が
き
引
ク ト ル
115 115 116
127
131
1 ア
最 初 に,こ
イ
イ デ ア"に
に,数
つ い て 検 討 し,そ
学 オ リン の 後 で,
の 本 の 構 成 に つ い て の 話 に 立 ち 戻 る.
1.1
1.1.1
ア
の 本 の 構 成 に つ い て 述 べ て お くべ きで あ ろ う,次
ピ ッ ク に お け る 最 も 重 要 な 構 成 要 素,"ア も う 一 度,こ
デ
こ の 本 の 構 成[1]
な ぜ 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選 な の か
こ の本 の 目的 は,1999年
度 と2000年
度 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク(JMO)の
予
選 の 問題 を題 材 とし て,読 者 を 数 学 オ リン ピ ックの 世 界 へ 招 待 す る こ とで あ る. 数 学 オ リ ン ピ ッ ク に は 日本 数 学 オ リ ン ピ ック予 選,日
本 数 学 オ リン ピ ッ ク本
選,国 際数 学 オ リン ピ ッ ク とあ るが,な ん とい って も花 形 は 国際 数 学 オ リン ピ ッ ク(IMO)で
あ る.そ の た め,な
にか と取 り上 げ られ るの は,国
際数 学 オ リン
ピ ッ クの 出題 問 題 で あ り,そ れ を紹 介 す る本 な らば,書 店 の 数 学 書 コ ー ナ ー に も何 冊 か 並 ん で い る.し か し,数 学 オ リン ピ ッ クの 世 界 へ 向 け て の 最 初 の 一 歩 と して は,国
際 数 学 オ リン ピ ッ クの 問 題 は あ ま りに も難 しす ぎ,普 通 の 数 学 好
きの 若 者 が 読 んで 数 学 オ リン ピ ッ クの 世 界 へ 誘 わ れ る と い うレベ ル の もの で は な い.ま た,そ の 難 し さの 質 に つ い て い うな らば,鍵
と な る ア イデ ア に 至 る ま
で の 難 し さだ けで な く,解 答 の 道 筋 をつ か ん で か ら本 当 に 解 答 と して 完 成 させ る段 階 で の 難 し さ も,負 け ず に 大 きい と い わ ざ る を 得 な い.ま
た,解 答 も記 述
式 で あ るた め,推 論 を文 章 と し て表 現 す る能 力 も必 要 に な っ て くる(そ して 困 っ た こ とに,「記 述 され た 証 明 と して 優 れ た もの に 仕 上 げ る ほ ど,元 の ア イデ アが
み え に く くな る 」 とい うケ ー ス が よ くあ る).も
ちろ ん,ア
イデ ア を 完 成 させ,
き ち ん と記 述 す る 力 を 身 につ け る こ と も大 切 で あ り,ま た,い
きな り超 難 問 に
挑 戦 す るの も,そ れ は それ で 魅 力 的 な道 で あ る.し か し,こ こ で は 別 の 道 を とっ て,数 学 オ リ ン ピ ッ ク関 係 の試 験 の 中 で は 比 較 的 や さ し い 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 の 問題(以
下,予
選 問 題 と い う)を 題 材 と し て選 ん だ.予
選 問 題 を選 ん
だ メ リ ッ トと して 期 待 して い る の は 次 の 点 で あ る. (1)難 し さの レベ ル が 適 度 で あ る.本 選 やIMOに で,や
比べ れ ば 適 度 と い うだ け
は り難 問 で は あ るが.
(2)解 決 の 道 筋 をつ か ん で か らの プ ロ セ スが,比
較 的 す っ き りし て い る 問 題
が 多 い. (3)答 え だ け を 要 求 す る 出題 形 式 な の で,「ど の よ うに記 述 す るか 」 とい うテ クニ ッ クか ら離 れ て,ア
イデ ア を味 わ う こ とが で きる.
(2),(3)に つ い て 言 う な らば,要
す るに 「数 学 の 一番 お い し い と こ ろ だ け を味
わ って や ろ う」 とい うこ とで,あ ま り高 い モ ラ ル の話 で は な い の だが … ….こ れ で よ い こ と に し よ う. さて,予
選 問 題 を選 ぶ代 償 は 「国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クほ ど 華 や か で な い 」 と
い うこ と だ ろ う.し か し,国 際 数 学 オ リン ピ ッ クは 体 操 で 言 うな らば ウル トラ D の 世 界 なの だ.な に も最 初 か らそれ を 練 習 しな くて も よい の で は な い だ ろ う か.予 選 問 題 で も十 分 にプ ロの 数 学 者 が 楽 しめ る 問 題 な の だ か ら.特 に 最 近 の 日本 数 学 オ リン ピ ッ クで は,問 題 の 作 成 や 選 別 に 数 学 オ リ ン ピ ッ クOBの が 携 わ って い るだ け あ っ て,で
若手
きの 良 い 問 題が そ ろ っ て い る.せ っか くだか ら,
そ れ を利 用 す る こ とに し よ う. こ の よ うなわ け で,1999年 を題 材 と して,こ
度 と2000年
度 日本 数 学 オ リン ピ ック予 選 の 問題
の 本 を構 成 す る こ と と し た.
こ の 節 の 最 後 に,ま ず,実 際 の 試 験 と同 じ形 で,そ れ らの 問 題 を ま とめ て掲 載 し て あ る.次
に,問 題 を以 後 の 本 文 に 登 場 す る順 番 に 並 べ 替 え た うえで,該
当す るペ ー ジ を添 付 して 再 掲 し て あ る. この 本 の使 い 方 は い ろ い ろあ る と思 うが,た
と えば 最 初 に,試 験 に 臨 ん で い
るつ も りで 問 題 にチ ャ レ ンジ して み る とい う手 もあ る.ま た,問 題 を ざ っ とみ て,面
白 そ うな 問 題 が あ っ た ら,そ の 本 文 該 当 ペ ー ジ(解
答 も そ の す ぐ後 にあ
る)の
近 辺 か ら読 み 始 め る と い う こ と も で き る.も
っ と も,標
準 プ ラ ン は ,や
は り 「本 は ペ ー ジ 順 に 読 む 」 と い う こ と な の だ が . こ れ か ら の 章 は,「集 合,写
像 」,「代 数 」,「数 論 」,「組 合 せ 論 と グ ラ フ 」,「幾 何 」
と 続 く.そ れ ら 各 章 に つ い て の 説 明 に 移 る 前 に,次 で 最 も大 切 な"ア に,先
い う もの に つ い て 検 討 し て お こ う.し
か し,そ
の前
ほ ど 予 告 し た と お り問 題 を ま と め て 掲 載 し て お く.
1.1.2
こ の 本 で 扱 う問 題
a.1999年
1.
イデ ア"と
の 節 で は 数 学 オ リン ピ ッ ク
度 日本 数 学 オ リ ン ピ ック 予 選
10円 玉,50円
玉,100円
玉 が そ れ ぞ れ 十 分 多 くあ る.こ れ ら の う ちか
ら何 個 か (0 個 の ものが あ っ て も よい )取 り出 して,そ の 合 計 金 額 を1000円
と
す る方 法 は 何 通 りあ る か. 2.
(X,Y)を
直線-3x+5y=7上
の格 子 点 とす る と き,│X+Y│の
最 小値
を 求め よ.た だ し格子 点 とはx 座 標,y 座 標 が と もに整 数 で あ る点 の こ と をい う. 3.
1991≦n≦1999
で あ る 自 然n
で,次
の性 質 を満 た す もの す べ て
を 求 め よ. 「n の3 乗n3を
一 の 位 か ら 左 へ 3桁 ず つ に 区 切 っ て で き る 数 の 和 はn
に等
し い 」. (例)n=1990
と し て み る と,19903=7,880,599,000.よ
=7+880+599+000=1486≠1990で
4.
一 辺 の 長 さが 1の 立 方 体ABCD-EFGHを,対
面 で切 断 す る と き,切
って
和
上の性 質を満た さない.
り口 の 面 積 の 最 小 値 を 求 め よ.
角 線AGを
含 む平
5.
次 の 規 則 に 従 っ て 得 点 す る ゲ ー ム を 考 え る.
「サ イ コ ロ を 1 回 振 っ て,1,2,3 か が 出 れ ば 1点,6
の い ず れ か が 出 れ ば 2 点,4,5
の いず れ
が 出 れ ば 0 点 を 得 る 」.
サ イ コ ロ を 繰 り返 しn 回 振 っ て,得
点 の 合 計 がk
に な る 確 率 をpn(k)と
表 す.
をで きる だ け 簡単 な 式 で 表 せ. 6.
3辺 の 長 さが それ ぞ れAB=4,BC=6,AC=5の
の 辺BC上 それぞれ Poと
に 点 P を と り,P M,N
とす る.M,N
した と きBPoの
よ り 2辺AB,ACへ
三 角 形ABC 下 ろ し た垂 線 の 足 を
間 の距 離 を最 小 に す る よ う な P の位 置 を
長 さ を求 め よ.
7. 1999!/10nが 整 数 と な る よ う な 自然 数
n の 最 大 値,お
よ び こ の と き の1999!/10n
の 一 の 位 の 数 字 を答 え よ. 8.
三 角 形ABCで
∠A=60゜,∠B=20゜,AB=1の
と き,1/AC-BC
の 値 を 求 め よ. 9. n=abc+abd+acd+bcd-1/abcdが の 組(a,b,c,の
10.
を す べ て 求 め,そ
整 数 と な る よ う な 自 然 数a≧b≧c≧d>1 のa の 値 を す べ て 答 え よ.
一 辺 の 長 さ 1の 正 二 十 面 体 の 最 も長 い 対 角 線 の 長 さ を 求 め よ.
11. n
を 自 然 数 と し,i=√-1,α=cos(2π/
を 自 然 数 で1≦m≦nと
n)+isin(2π/n)と
す る.m
す る.こ の と き,次 の 和 を 計 算 し て 1つ の 分 数 式 で
表 せ.
12.
n(≧3)個
の 空 港 の 間 に 以 下 の(1),(2),(3)の
条 件 を満 た す よ う
に 直 行 便 を 開 設 す る と き,開 設 の仕 方 は 何 通 りあ るか. (1)ど の 相 異 な る 2つ の 空 港A,B B よ りA
の 間 に もA
よ り B へ の,あ
るい は
へ の 直 行 便 の ど ち らか 一 方 を必 ず 開 設 す る.
(2)A よ り B へ の 直 行 便 と,B な 2つ の 空 港A,B
よ りA へ の 直 行 便 が 両 方 開 設 され る よ う
は 存 在 し な い . また どの 空 港A
で もA よ りA へ
の直 行 便 は な い. (3)あ る 空 港C
よ り出発 し,直 行 便 を乗 りつ い で,ま
たC
に戻 って こら
れ る 空 港 C が 少 な くと も 1つ 存 在 す る.
b.2000年 1. り,各
度 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選
下 図 の よ う に 直 角 三 角 形 内 に 3 つ の 正 方 形 と 3つ の 円 O,O1,O2が 円 は そ れ ぞ れ を 含 む 小 直 角 三 角 形 の 内 接 円 で あ り,O,O2の
は そ れ ぞ れ 9,4で あ る.円O1の
直 径 の 長 さ を 求 め よ.
あ
直径の 長 さ
2.
3a+5b(た
だ し, a,b は 0 以 上 の 整 数)の
形 で 表 せ な い 自然 数 の 最 大
値 を 求 め よ. 3.
平 面 上 に 点 O を 通 る 直 線l と,一
る . た だ し,辺ABとl
辺 の 長 さ 1 の 正 三 角 形OABが
は 交 点 を 持 た な い と す る.頂
し た 垂 線 とl と の 交 点 を そ れ ぞ れA',B'と る 最 大 値 を 求 め よ.こ
こ で 2 点 X,Y
4.
段,ま
一 歩 で 1段,2
通 りの 登 り 方 が あ る か.た
点A,B
す る と き, AA'+BB'の
に 対 し てXYは
あ
か らl に 下 ろ と りう
そ の 間 の 距 離 を 示 す.
た は 3 段 を 登 れ る 人 が,7
だ し 途 中 で 下 り た り,足
段 の 石 段 を 登 る.何
踏 み し た りは し な い も の と
す る.
5.
図 の よ うな 一 辺 の 長 さ 1の 立 方 体ABCD-EFGHが
中 点 を K,辺DHの
中 点 をL,辺EFの
す る.八 面 体A-KLMN-Gの
6. n
の 解 は,す
中 点 を M,辺FBの
体 積 を 求 め よ.
を 自然 数 と す る.有 理 数 係 数 の2n次
方程式
べ て x2+5x+7
の 解 に も な っ て い る.こ
の と き 係 数a1の
=0 値 を求 め よ.
あ り,辺CDの 中点 を N と
7.
自 然数n
(x,y,z)の 8.
に 対 し て,0≦x<x+y<y+z≦nを
満 たす 整数の組
総 数 を 求 め よ.
40C20を41で
割 っ た 余 り を 求 め よ.
9.
を 求 め よ.た
10.
だ し,[x]はx
を 超 え な い 最 大 の 整 数 の こ と で あ る.
1か 2か 3の数 字が 書 か れ た カ ー ドが そ れ ぞ れ 十 分 た く さん あ る.そ
の 中 か らそ れ ぞ れ の 数 字 の カー ド を奇 数 枚 ず つ 合 計1999枚
を 選 び,一
列 に並
べ る.こ の 方 法 は何 通 りあ るか. 11.
四 角 形ABCDが
あ り,直 線BDは
∠ABCの
あ り,AD//BC,∠ABC=∠BDC=1/2∠ACBで 2等 分 線 に な っ て い る と す る.こ
の と き ∠ABC
を 求 め よ.
12.
数 列a1,a2,a3,…,a30は
以 下 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を
満 た す.こ
の よ うな
数 列 は 何 通 り あ る か. 条 件 (ⅰ)a1,a2,a3,…,a30は (ⅱ)m
が
満 た す.
1,2,3,…,30の
2,3,5 の そ れ ぞ れ の 場 合,1≦n<n+m≦30と
に 対 し て,an+m-anは (注)た
自然 数
m
並 べ 換 え で あ る. な る 任 意 のn
と え ば,a1=1,a2=2,a3=3,…,a30=30は
で 割 り 切 れ る. 条 件(ⅰ),(ⅱ)を
c.掲 載順 問題 集 ―問 題
1.―2000[3]
平 面 上 に 点 O を通 る 直 線l と,一 辺 の 長 さ1 の 正 三 角形OABが あ る.た
だ し,辺ABとl
は 交 点 を 持 た な い とす る.頂
か らl に 下 ろ し た 垂 線 とl との 交 点 を そ れ ぞ れA',B'と AA'+BB'の XYは
点A,B す る と き,
と り うる 最 大 値 を 求 め よ.こ こ で 2点 X,Y に 対 して
そ の 間 の 距 離 を示 す. (p.15)
― 問 題 2.―2000[1]
下 図 の よ うに 直 角 三 角 形 内 に 3 つ の 正 方 形 と 3 つ の 円 O,O1,O2 が あ り,各 円 は そ れ ぞ れ を含 む小 直 角 三 角 形 の 内 接 円 で あ り,O,O2 の 直 径 の 長 さ は そ れ ぞ れ 9,4で あ る.円O1の
直径 の長 さを求め
よ.
(p.15)
―問 題 3.―2000[9]
を 求 め よ.た
だ し,[x]はx
を 超 え な い 最 大 の 整 数 の こ とで あ る . (p.42)
x2n
問 題 4.―1999[2]
(X,Y)を
直 線-3x+5y=7上
の 格 子 点 とす る と き,│X+Y│の
最小 値 を求 め よ.た だ し格 子 点 と はx 座 標,y 座 標 が と も に整 数で あ る 点 の こ と を い う. (p.46)
― 問 題 5.―1999[11] nを 自 然 数 と し,i=√-1,α=cos(2 を 自 然 数 で1≦m≦nと
す る.こ
π/n)+isin(2π/n)と の と き,次
す る.m
の 和 を 計 算 し て 1つ の
分 数 式 で 表 せ.
(p.55)
―問 題 6.―2000[6]
nを 自然 数 とす る.有 理 数 係 数 の2n次
方程 式
+a1x2n-1+a2x2n-2+…+a2n-1x+a2n=0 の 解 は,す
べ て x2+5x+7
の 解 に も な っ て い る.こ
―問 題
=0
の と き係 数a1の
値 を 求 め よ.
7.―2000[2]
3a+5b(た
だ し,a,b は 0 以 上 の 整 数)の
形 で 表 せ な い 自然 数 の 最
大 値 を 求 め よ. (p.67)
― 問 題 8.―2000[8] 40C20を41で
割 っ た 余 り を 求 め よ.
(p.68)
―問 題 9.―1999[7] 1999!/10n が 整 数 と な る よ うな 自 然 数
n の 最 大 値,お
よび こ の と きの
1999!/10nの 一 の位 の 数 字 を答 え よ. (p.71)
― 問 題10.―2000[12] 数 列a1,a2,a3,…,a30は
以 下 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を
満 た す.こ
の よ うな
数 列 は 何 通 り あ る か. 条件 (i) a1,a2,a3,…,a30は (ⅱ)m
(ⅱ)を
並 べ 換 え で あ る.
が 2,3,5の そ れ ぞ れ の 場 合,1≦n<n+m≦30と 任 意 のn
(注)た
自然 数 1,2,3,…,30の
に 対 し て,an+m-anは
なる
m で 割 り切 れ る.
と え ば,a1=1,a2=2,a3=3,…,a30=30は
条 件(ⅰ),
満 た す. (p.76)
―問 題11.―1999[9] n=abc+abd+acd+bcd-1/abcd の 組(a,b,c,d)の
が 整 数 と な る よ う な 自 然 数 a ≧b≧c≧d>1
を す べ て 求 め,そ
のa の 値 を す べ て 答 え よ. (p.77)
― 問 題12.―1999[3] 1991≦n≦1999
で あ る 自然 数
n で,次
の 性 質 を満 た す もの すべ
て を 求 め よ, 「n の 3乗n3を は
一 の 位 か ら左 へ 3桁 ず つ に 区 切 って で き る数 の和
n に 等 し い 」.
(例)n=1990と
し て み る と,19903=7,880,599,000,よ
=7+880+599+000=1486≠1990で
って 和
上 の性 質 を満 た さな い . (p.81)
― 問 題13.―1999[1]
10円 玉,50円
玉,100円
玉 が そ れ ぞ れ 十 分 多 くあ る.こ れ らの う ち
か ら何 個 か (0個 の ものが あ って も よい ) 取 り出 し て,そ の 合 計 金 額 を1000円
と す る 方 法 は何 通 りあ る か. (p.93)
―問 題14.―2000[4] 一 歩 で 1段
,2 段,ま
た は 3段 を 登 れ る 人 が,7
通 りの 登 り 方 が あ る か.た
段 の 石 段 を 登 る.何
だ し 途 中 で 下 りた り,足
踏 み し た りは し な
い も の と す る. (p.95)
― 問 題15.―2000[7] 自然 数 n に 対 し て,0≦x<x+y<y+z≦nを
満 た す 整 数 の組
(x,y,z)の 総 数 を 求 め よ.(p.96)
―問 題16.―2000[10]
1か 2か 3の 数 字 が 書 か れ た カ ー ドが そ れ ぞ れ 十 分 た く さん あ る.そ の 中か ら それ ぞ れ の 数 字 の カー ドを奇 数 枚 ず つ 合 計1999枚
を選 び ,一
列 に並 べ る.こ の 方 法 は何 通 りあ るか. (p.97)
―問 題17.―1999[12] n(≧3)個
の 空 港 の 間 に 以 下 の(1),(2),(3)の
条件 を満たす よ う
に 直 行 便 を 開 設 す る と き,開 設 の 仕 方 は 何 通 りあ る か. (1)ど の 相 異 な る 2つ の 空 港 A,B の 間 に も A よ り B へ の,あ るい は B よ り A へ の 直 行 便 の ど ち ら か 一 方 を必 ず 開設 す る. (2)A
よ り B へ の 直 行 便 と,B
され る よ うな 2つ の 空 港A,B
より A への直行便が 両方 開設
は 存 在 し な い.ま た ど の 空 港 A で
も A よ り A へ の 直 行 便 は な い. (3)あ る 空 港C
よ り出発 し,直 行 便 を乗 りつ いで,ま
て 来 られ る空 港C
たC
に戻 っ
が 少 な く と も 1つ 存 在 す る. (p.102)
― 問 題18.―1999[5] 次 の 規 則 に 従 っ て 得 点 す る ゲ ー ム を 考 え る. 「サ イ コ ロ を 1回 振 っ て,1,2,3 い ず れ か が 出 れ ば 1点,6
の い ず れ か が 出 れ ば 2点,4,5
の
が 出 れ ば0 点 を 得 る 」.
サ イ コ ロ を 繰 り返 しn 回 振 っ て,得
点 の 合 計が
k に な る 確 率 をpn(k)
と表 す.
をで きる だ け 簡 単 な式 で 表 せ. (p.104)
―問 題19.―1999[6]
3辺 の 長 さが それ ぞ れAB=4,BC=6,AC=5の の 辺BC上
三 角 形ABC
に点 P を と り,P よ り 2辺AB,ACへ
の 足 を そ れ ぞ れM,N P の 位 置 をP0と
とす る.M,N
した と きBP0の
下 ろ し た 垂線
間 の 距 離 を最 小 に す る よ うな
長 さを 求 め よ. (p.111)
―問 題20.―1999[8] 三 角 形 ABCで
∠A=60゜,∠B=20゜,AB=1の
1/ AC-BCの
と き,
値 を 求 め よ. (p.112)
―問 題21.―2000[11] 四 角 形ABCDが あ り,直
あ り,AD//BC,∠ABC=∠BDC=1/2∠ACBで
線BDは
き ∠ABCを
∠ABCの
2等 分 線 に な っ て い る と す る.こ
の と
求 め よ. (p.112)
―問題22.―1999[10] 一 辺 の 長 さ 1の 正 二 十 面 体 の 最 も長 い 対 角 線 の 長 さ を 求 め よ.
(p.120)
― 問 題23.―1999[4]
一 辺 の 長 さが 1の 立 方 体ABCD-EFGHを 平 面 で 切 断 す る と き,切
,対 角 線AGを
含む
り口 の 面 積 の 最 小 値 を求 め よ.
(p.121)
―問 題24.―2000[5]
図 の よ うな 一辺 の 長 さ 1の 立 方 体ABCD-EFGHが の 中点 を K,辺DHの
あ り,辺CD
中 点 を L,辺EFの
中 点 を N とす る .八 面 体A-KLMN-Gの
中点 を M,辺FBの 体 積 を求 め よ.
(p.124)
1.2
ア
イ
デ
ア
大 学 の 入 学 試 験 は,入 学 後 の 勉 強 に つ い て い け るか と い う適 性 試 験 で あ る 以 上 に,高 校 で ち ゃん と勉 強 し た か を 問 う"学 習 成 果 評価 試 験"で あ る面 が 大 き い.し た が って,出 題 問 題 も,素 直 に 勉 強 の成 果 を 問 う問 題 ,つ ま り努 力 が 報 わ れ る 問 題 が 理 想 と され,い
わ ゆ る"奇 問"は 非 難 の 対 象 と され る.一
学 オ リン ピ ック の 問 題 で 理 想 と され る 問 題 は,ひ
方,数
とこ とで 言 うな ら ば"面 白い
問 題"で あ る.国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クの 目的 が 「若 い 数 学 の 才 能 を発 掘 しエ ン カ レ ッジ す る 」 で あ る こ とか ら も わか る よ うに,あ
り きた りの 知 識 の 積 み 重 ね
や,訓 練 の繰 り返 しで 得 ら れ る能 力 の 守備 範 囲 を外 し た,斬 新 な ア イデ ア を 必 要 とす る 問題 が 良 問 と され る の だ.
1.2.1
数 学 オ リン ピ ッ ク の 問 題 と ア イデ ア
まず,問
題 を 解 い て み よ う.
―問 題 1.―
日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[3]
平 面 上 に 点 O を 通 る 直 線l
と,一
あ る.た
は 交 点 を 持 た な い と す る.頂
だ し,辺ABとl
辺 の 長 さ 1 の 正 三 角 形OABが
か らl に 下 ろ し た 垂 線 とl と の 交 点 を そ れ ぞ れA',B'と AA'+BB'の XYは
す る と き,
と り う る 最 大 値 を 求 め よ . こ こ で 2 点 X,Y
に対 して
そ の 間 の 距 離 を 示 す.
[解 答]辺ABの M'と
点 A,B
中点 を M と し,M
す る と,2NM'=AA'+BB'で
よ っ て 求 め る最 大 値 は 線 分MOがl
か らl に 下 ろ し た 垂 線 とl との 交 点 を あ る. に 垂 直 の と き で,2MM'=2MO=2×√3/2=√3.
「中点M
Ans.√3
を考 え る 」 こ とを 思 い つ い た と た ん に 問 題 は終 わ った よ うな もの
だ.「こ の よ うな タ イプ の 問 題 で は 中点 に 着 目」 とか い った ノ ウハ ウが あ る わ け で は な い の で,ア
イデ ア を思 い つ くか ど うか,と
い うこ とが 分 か れ 目 とな る.
もち ろん,単 純 に 計 算 を して 解 くこ と もで き る の だが,時 そ れ で は,も ― 問 題 2.―
間は か か りそ うだ.
う一 題. 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[1]
下 図 の よ う に 直 角 三 角 形 内 に 3つ の 正 方 形 と 3つ の 円 O,O1,O2が あ り,各 円は それ ぞ れ を含 む小 直 角 三 角 形 の 内接 円 で あ り,O,O2の 直 径 の 長 さは そ れ ぞ れ 9,4で あ る.円O1の
直 径 の 長 さ を 求 め よ.
な お,こ の 図 は1853年
に佐 々木 萬 蔵 が 陸 奥 の 国(現 在 の 岩 手 県)三
八 幡 神 社 に奉 納 し た算 額 か ら取 っ た もの で あ る(1999年 が 発 見(私 信 に よ る),同
1月30日
陸綾里
に 菅原 通 氏
7月 9 日 に岩 手 日報 に 掲 載 され た と前 川 太 市 氏 よ り
知 ら され た). [解 答] 予 選 で あ る か ら 解 答 は 答 え の 6 の み で,そ し か し,こ
の 証 明 は 書 か な い で よ い.
の 数 を 導 くた め の 直 感 的 な 道 筋 を 書 く と す る と,一
応次 の ように
な る. O,O1,O2の
直 径 の 長 さ を R,R1,R2と
ま た △A1B1Cと
△A2B2Cは
す る.下
相 似 で あ り,O
す る 」.よ っ てR:R1=R1:R2.
図 で 「△ABCと
とO1,O1とO2が
この 問 題 につ い て い うな らば,"ア
故 にR12=RR2=36,R1=6.
△A1B1C それ ぞ れ 対 応 Ans.
6
イデ ア"は 解 く側 よ りも 問題 を考 えた 側 に
あ る とい え そ うだ.問 題 自身が とて も面 白い.と
こ ろで,こ
れ が 記 述 式 で,し
か も き ちん と し た証 明 を要 求 す る 問 題 な らば,「直 角 三 角 形 に 上 の 図 の よ う な意 味 で 内 接 す る正 方 形が 一 意 に存 在 す る」 とい うこ とを 証 明 す る こ とが 焦 点 と な る の か も しれ な い.し か し,「… … を 求 め よ」 と答 え を要 求 す る 形 式 で 出 題 し て い る 以 上,そ
もそ も問 題 文 が 「一 意 に 存 在 す る こ と」 を前 提 と して い る と も
い え そ うだ.と
もか く,答 えだ け 書 け ば よい の で,証
につ い て は,フ
ラ ク タル 図 形 の よ うに 相 似 な 図形 が 縮 小 して い くあ りさ まを 観
明 は 必 要 な く,こ の 問 題
賞 す れ ば よい だ ろ う.
1.2.2
ア イデ ア と予 備 知 識
上 で み た 問題 は,ど
ち ら も普 通 の 高 校 生が 持 って い る予 備 知 識 以 上 の もの は
必 要 と しな い.数 学 オ リ ン ピ ッ クの 問 題 が この よ うな 問 題 だ け な らば,こ は い らな い.し か し,実 際 に は,高
の本
校 で 学 ぶ 他 に もあ る 程 度 の 予 備 知 識 は 必 要
で あ り,ま た 「数 学 オ リン ピ ッ ク に 向 け た 勉 強 」 も あ る 程 度 は 必 要 な の だ.数 学 オ リ ン ピ ッ クは 高 校 生(以 下)を 対 象 と した 数 学 コ ン テ ス トで あ る は ず な の に,こ の よ うに 特 別 の 勉 強が 必 要 に な る 理 由は,お な らば,次
お ざ っぱ に 単 純 化 して い う
の よ うに な る.
(1)高 校 で 教 え る テ ー マ の うち の い くつ か は,そ
の扱 わ れ 方 が あ ま りに も表
面 的 で あ り,高 校 で の勉 強 に頼 っ た の で は 使 い こ な す こ とが で きな い. (2)国 際 数 学 オ リン ピ ッ クは 数 十 年 の 歴 史が あ る の で,"過
去 問 の積 み 重 ね"
と して 自然 に"理 論"が で きて し ま っ て い る. (3)数 学 に おけ る"理 論"は,過
去 の 数 学 者 が さ まざ まな 問 題 を 解 決 す る際
に 生 み 出 した ア イデ ア の 蓄 積 を結 晶 して 誕 生 し た もの,と
もい え る.し
たが っ て,喩 え て い うな らば 「ア イデ ア とい う肥 や しか ら育 っ た野 菜 を 摂 取 す るこ とに よ り,元 々の 肥 や し も身 に つ け る こ とが で き る 」 とい う こ とだ(い や な 喩 え だ な あ). そ して,こ
れ らの 理 由 に よ り,こ の 本 が 必 要 とな るの だ.
1.3
こ の 本 の 構 成[2]
以 上 をふ ま え て,こ の 本 の構 成 を紹 介 し よ う. まず,上 の 理 由(1)で 述 べ た 高 校 の 教 科 書 が 頼 りに な ら な い テ ー マ は,「 集 合 」,「論 理 」 と い っ た あ た りだ.ま
た,「関数 」 の扱 い も(集 合 を ま と も に扱 わ
な い 以 上 や む を得 な い の だ が),や
や 古 典 的 で,「写像 」 と し て 理 解 し て 使 い こ
な す まで に は 至 って い な い.こ れ ら の テ ー マ を カバ ー す る た め,第
2章 「集 合
と 写像 」 を 用 意 した.こ こ は"高 校 数 学"か ら"現 代 数 学"へ の 橋 渡 し と し て も 重 要 な とこ ろ な の で,か
な りの ペ ー ジ を使 っ て 丁 寧 に 説 明 した.「論 理 」 に つ い
て も,本 当 は き ちん と扱 い た い と こ ろ な の だ が,ペ
ー ジ 数 の 関 係 もあ って 「中
途 半 端 に 述 べ て 混 乱 を招 くよ りは ま し」 と,触 れ な い こ と に し た. 第 3章 か らの 各 章 の 存 在 理 由は,(2),(3)で
あ る.幸 い な こ と に,国 際 数 学
オ リン ピ ッ ク と違 って 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 の 問題 で は,そ れ ほ ど 進 ん だ
"理 論"は で き あが って し ま って い な い(国 際 数 学 オ リン ピ
ッ クで は 過 去 問の 蓄
積 か ら 「オ イラ ー の 定 理 」 な ど と い う もの まで"期 待 され る予 備 知 識"に な っ て し ま って い る).第
3章 以 下 の 各 章 で は,数 学 オ リ ン ピ ッ ク に 向 け て知 って い
た方 が よい 予 備 知 識 を精 選 して,簡 潔 に 説 明 して あ る.そ こ で 紹 介 す る"定 理" は,い わ ば"野 菜"で あ る.そ れ を摂 取 す る こ と に よ り,ア
イデ ア を 生 み 出 す "数 学 的 セ ン ス の よ さ"が 伸 び る こ と も期 待 され て い るわ け だ . 最 初 の 節 に 掲 載 し た 問 題 は,そ れ ぞ れ 関 連 した 章 に 配 置 され て い る.問 題 に よ って は,そ
れ ぞ れ の 章 へ の 関 連 付 け とい う点 に 関 し て ,や や 無 理 が 感 じ られ
る もの も あ る と思 う.言 い訳 を して お こ う : ど の 問 題 も,数
学 オ リ ン ピ ッ ク の 問 題 だ け の こ と は あ っ て ,そ
の 工 夫 を 要 す る.し
た が っ て,ど
の 問 題 に と っ て も ,本
い 章 は 「ア イデ ア 」 と い う 名 の つ い た 第 1章 で あ る .
れ な り
当 に ふ さわ し
2 集 合 と 写 像
集 合 は 高 校 で 勉 強 す る こ と に な って い る.ま た,写 像 とい う もの も,要 す る に 関 数 の こ とで あ り,こ れ も 中 学 ・高 校 で 勉 強 す る.し か し,数 学 オ リン ピ ッ クで の― とい う よ りは"数 学 で の"と い っ た 方が 適 切 か も しれ な いが― そ れ ら の概 念 の 重 要 性 は 高校 数 学 に お け る よ り も遙か に 大 き く,ま た,扱 も高校 で 教 え る も の とは 多 少 異 な って い る.も 校 の教 科 書 で の 集 合(と くな い.乏
論 理)の
扱 い は,な
い 方 の感 性
う少 しは っ き りい うな らば,高
ん と も 中途 半 端 で あ り,あ ま り よ
しい授 業 時 間 で の,し か も大 学 受 験 を控 え て の授 業 の 事 情 を考 え れ
ば,高 校 の 教 科 書 が こ うな る の もや む を得 な い のか もしれ な いが,少
な くと も,
自分 で 読 ん で 勉 強 す る 本 と し て ふ さわ し くな い こ とは 確 か で あ る. そ こで,集
合 に つ い て は,教 科 書 の 内 容 に は 一切 頼 らず,最 初 か ら丁 寧 に 説
明 す る こ とに し よ う.ま た,関
数 につ い て も説 明 を補 充 す る.関 数 の 概 念 は 数
学 の 歴 史 の 中 で か な り変 化 を 遂 げ て きた もの で あ る だ け に,い
ろいろな見方が
混 じ って使 われ て い る.そ の た め,関 数 につ い て は 「わ か って い るの だ け ど,な に か 釈 然 と しな い もの が 残 る 」 と い う とこ ろで は な い だ ろ うか.よ
い機会 なの
で,簡 単 に そ の あ た りの"混 乱"を 調 べ て み る こ とに し よ う.
2.1
2.1.1
集
合
と
集
合
は
a. 集 合 の 例 集 合 と は"も こ れ で,"説
の の 集 ま り"の 明"は
こ と で あ る.
終 わ り な の だ が,そ
う い わ れ て も な ん の こ と だ か よ くわ か
ら な い.集 て,明
合 と い う も の を 理 解 す る た め に は,と
に か く集 合 の 例 を い くつ も み
確 な イ メ ー ジ を 形 づ く っ て ゆ く の が よ い.
例1.20以
下 の 素 数 の 集 合.こ
の集合 は
{2,3,5,7,11,13,17,19} と表 さ れ る.2,3,5,7,11,13,17,19の "∈"を
用 いて
,た
そ れ ぞ れ を こ の 集 合 の 要 素 と よ び,記
号
とえば
5∈{2,3,5,7,11,13,17,19}
の よ う に 表 す.ま
た,
{2,3,5,7,11,13,17,19}∋5
と 書 い て も よ い.
こ れ は 数 学 で の"ま
っ と う な"集
合 の 例 で あ る . 次 は"日
常 的 な"集
合の例に
い こ う.
例 2.サ ラ ダ,パ
ス タ,デ
A={
ザ ー ト,コ
サ ラ ダ,パ
ー ヒ ー の 集 合.こ
ス タ,デ
ザ ー ト,コ
れ を 文 字A
ー ヒー
で表す と
}
と な る. 集 合 は 英 語 で は 「set」(セ も 「集 まれ !」 と か
ッ ト)で
「"集 合"時
ス が あ っ て よ く な い.カ
タ カ ナ 語 の 「セ ッ ト」 と い う言 葉 が,数
の 語 感 に フ ィッ ト し て い る よ うだ.上 トA 」 と な り,語
あ る.「 集 合 」 と い う 言 葉 に は,ど
順 を変 え れば
う して
間 」 と い っ た 「実 際 に 集 ま る 」 と い う ニ ュ ア ン 学 で の 「集 合 」
の 例 の 「集 合 A」 は カ タ カ ナ 語 で は 「セ ッ
「A セ ッ ト 」 と な る.要
す る に,レ
ス トラ ン と
か 喫 茶 店 の メ ニ ュ ー に あ る 「A セ ッ ト 」 と 同 じ こ と で あ る.
b.集 合が"等
しい"と い うこ と
集 合 に つ い て 重 要 な こ とは 「な にが そ の 要 素 で あ って,な にが そ の要 素 で ない か 明確 に 決 ま る」 とい う こ とで あ る.2 つ の 集 合 A,B が 等 し い とい う こ とは,
A の 要 素 は い つ で も B の 要 素 で あ り,ま た,B
の要素はいつ で も A
の要素であ るこ と
と 定 め る こ と に な る.集
合A
と B が 等 し い こ と を,A=Bで
と り た て て 言 う こ と も な さ そ う な 定 義 だ が,い
(1)も ち ろ ん,{2,3}={3,2}で
くつ か 注 意 を し て お こ う.
あ る.
(2)さ ら に,{2,3,3,2,2}の と に す る.こ
表 す.
よ う に 要 素 を 重 複 し て 表 記 す る こ と も許 容 す る こ
の 集 合 の 要 素 は 2 と 3 だ け だ か ら,{2,3,3,3,2}={2,3}
と な る. (3){2,3,3,2,2}は
「3個 の 2 と 2 個 の 3 の 集 合 」 で は な く,あ
{2,3,3,2,2}={2,3}だ
と い う こ と で あ る.
本 当 は,「 3個 の 2」 と い う表 現 自 体,世 無 意 味 な の だ,世
く ま で も,
界 に 2 は 1 つ し か 存 在 し な い の で,
界 に 2 は 1つ し か 存 在 し な い と い う こ と は,見
落 と しが ち だ
が 大 切 な 事 実 で あ る.「 2 個 の りん ご 」 や 「2 個 の ボ ー ル 」 な ら い く ら で も 存 在 す る が,そ
れ ら を 抽 象 化 し た"2"は
合{2,3}も
1つ し か 存 在 せ ず,"等
と こ ろ が,こ
れ が{コ
な る と 「サ ラ ダ,パ
ー ヒ ー,サ
ス タ,デ
い う こ と の 意 味 が 紛 れ な く定 ま る.
ラ ダ,パ
ス タ,デ
ザ ー ト,コ
ー ヒ ー}と
も
常 的 な 例 だ と,こ
の他 に もい く らで も危 な っか
に か と 混 乱 の 元 と な る.
こ れ か ら 登 場 す る 集 合 は,い 数 学 の 世 界 で の"も
し い"と
た が っ て,集
ザ ー ト と コ ー ヒ ー 2杯 の 集 合 」 と 考 え た く な っ て,
ど う も 例 と し て う ま くな い.日 し い 点 が 出 て き て,な
1つ し か 存 在 し な い の だ.し
の"を
ず れ も 集 合{2,3,5,7,11,13,17,19}の
対 象 と し た,き
的 は 数 学 の 世 界 で 集 合 を 使 う こ と な の だ か ら,親 で い ら ぬ 混 乱 を 持 ち 込 む よ り も,数
よ うに
っ ち り と し た も の ば か り で あ る.目 し み の も て そ う な 日常 的 な 例
学 ら し い 集 合 を 例 に し て 考 え る 方 が よ っぽ
ど よ い.
2.1.2
数 学 に お け る集 合
a.N,Z,Q,R,C そ れ で は,数
学 ら し い ま と も な 集 合 の 例 に 移 ろ う.ま ず,こ
れ か ら よ く使 う集
合 と して 自然 数 の 集 合 N
正 整 数 1,2,3,4,… の 集 合
{1,2,3,4,…} 整数の集 合 Z
整 数…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…
{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… 有理数の 集合 Q
の 集合
}
い わ ゆ る"分
数"の
集 合 の こ と.た
だ し整 数 も分 母 が
1 の 分 数 と し て 表 され る の で 有 理 数 で あ る. 実数の集 合 R (本 当 は,こ
"小 数 で 表 さ れ る 数"の
集 合 とで も い え ば わ か る と思 う
れ で は 定 義 に な っ て い な い の だ が).
複素 数の集合 C
高 校 で 勉 強 す る,複
素 数 す べ て か ら な る 集 合.
これ らは い ず れ も,要 素 の 個 数 は有 限個 で は な い.要 素 の 個 数が 有 限 の 集 合 を 有 限 集 合,要 素 が 無 限個 あ る集 合 を 無 限 集 合 と い うが,上
の集合はいずれ も
無 限 集 合 で あ る. そ れ で は,こ に 対 し て,A
こで も う 1つ 記 号"⊂"を
導 入 し て お こ う.2 つ の 集合 A と B
の 要 素が い ず れ も集 合 B の 要 素 で あ る と き,集 合A
は集合 B
の 部 分 集 合 で あ る とい い, A⊂B
また は B⊃A
と 表 す. こ の 記 号 を用 い る と N⊂Z,Z⊂Q,Q⊂R,R⊂C と な る.こ
れ ら を ま とめ て
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C と 書 い て も よ い. b. ペ ア,ト 集 合{5,7}は
リ プ ル,順
序n-対
集 合{7,5}と
無 関 係 に 定 ま る.そ
等 し い.つ
れ に 対 し て,順
ま り集 合 は 要 素 を 列 挙 す る順 序 とは
序 ま で 考 え て の"5
と 7 の 対(ペ
ア)"を
表現 する ときには
(5,7) と書 き,こ れ を 第 1成 分 が 5で 第 2成 分 が 7の順 序 対 と い う. 集 合A
と集 合 B に対 して,第
1成 分 が 集 合 A の 要 素 で 第 2成 分 が 集 合 B
の 要 素 で あ る順 序 対 す べ てか らな る集 合 を,A
と B の 直 積 集 合 とい いA×B
で 表 す. 例 3.集 合 A,B が A={1,2}, と 与 え ら れ て い る と す る.こ
B={3,4,5}
の とき
A×B={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}
で あ る.ま
た
B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}
と な る.さ
ら に,直
積 集 合A×AやB×Bを
考 え る こ と もで き
A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} B×
B={(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)}
と な る.
上 の 例 で,た
と えば(5,5)は
第 1成 分 が 5 で 第 2成 分 も 5 の"順 序 対"で
あ っ て,"5 そ の もの"で は な い こ と に注 意 して ほ し い. 積 集 合 を考 え る と きに は,要 素 を"1 次 元 的 に"列 挙 す る よ り も"2 次 元 的 に" 整理 し て 考 え た 方 が 見 通 しが よい.た
と え ば 積 集 合A×Bは
と表 され る. こ の表 を み れば わ か る よ うに,2 つ の 有 限 集 合A
と B の 直 積 集 合A×Bの
要 素 の個 数 は,集 合 A の 要素 の 個 数 と集 合 B の 要 素 の 個 数 の 積 で あ る.一 般 に有 限 集 合 A の 要 素 の 個 数 を│A│と 書 くこ とに す る.こ の 記 法 を用 い る と
│A ×B│=│A│×│B│ と な る. 順 序 対 は 第 1成 分 と 第 2成 分 の 2つ の 成 分 か ら な る 対(ペ 第 1,第
2,第
3 成 分 の 3 つ の 成 分 か ら な る ト リ プ ル を 考 え,ま
合 の 直 積 集 合 を 考 え た の と 同 様 に,3 第 3 成 分 が そ れ ぞ れ A,B,C
の 集 合 をA,B,C
例
を
合A,B,C
つ の 集 合A,B,C
が,同 た,2
に 対 し て,第
様 に つの集
1,第
2,
の 要 素 で あ る ト リプ ル す べ てか ら な る集 合 を 考 え
る こ とが で き る.こ
4.集
ア)だ
の 直 積 集 合 と い い,A×B×Cで
表 す.
A={1,2},B={3,4,5},C={0,1} と し て 定 め る と き,
A×B×C={(1,3,0),(1,4,0),(1,5,0),(2,3,0),(2,4,0),(2,5,0),
(1,3,1),(1,4,1),(1,5,1),(2,3,1),(2,4,1),(2,5,1)}
3つ の 集 合 の 直積A×B×Cは,第
3成 分 が C の 要 素0,1 の そ れ ぞ れ の
場 合の表
を 上 下 に 重 ね て考 え る とパ ター ンが わ か りや す い.つ
ま り,3 つ の 集 合 の 直 積
は"3 次 元"的 に 整 理 して 考 え るの が よ い.あ とで 「格 子 点 」 とい う言 葉 を導 入
す るが,こ
こで の 例 の よ うな 数 値 を要 素 と す る 集 合 の 直 積 は,平 面 や 空 間の 座
標 に 関 連 させ て 考 え る こ と もで き る. 同 様 に して 4つ の 集 合 の 直 積 や 5つ の 集 合 の 直 積 を定 義 す る こ と もで きる し, 一 般 にn -個 の 集 合 の 直 積 を定 義 す る こ と もで きる.し か し,「2個 の 場 合 は ペ ア 」,「 3個 の 場 合 は トリプ ル 」 と言葉 を使 い 分 け て きた の で 4個 の 場 合,5 個 の 場 合 は な ん と言 うべ きか わ ず らわ しい.そ
こ で,一 般 的 に 2個 の 場 合 は"2-順
序 対",3 個 の 場 合 は"3-順 序 対"と い う用 語 を 導 入 し よ う.そ うす る と,た と えば 集 合 A,B,C,D,E の 直 積A×B×C×D×Eは 第 1成 分 が A の 要 素,第 第 4成 分 が D の 要 素,第
2成 分が B の 要素,第
3成 分 がC
の 要 素,
5成 分 が E の 要 素 で あ る5-順 序 対 す べ て
か らな る集 合 と して 定 め られ る. 次 の 定 理 が 成 り立 つ こ とは す ぐ わ か る と思 う. 定 理 1(積 集 合 の 要 素 の 個 数)i=1,2,…,nの
そ れ ぞ れ に対 し てAiが
有限
集 合 で あ る とす る.こ の と き │A1×A2×
…
×An│=│A1│×│A2│×
…
×│An│
c.集 合 を 要 素 と す る集 合 集 合 とい う もの の 重 要 な特 徴 は,「集 合 は そ れ 自 身,1 つ の"も の"と 考 え ら れ る 」 と い う こ とで あ る.し たが っ て,集 合 を要 素 と す る 集 合 を 考 え る こ と も で きる. 例5.5
つの集合
{0,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9} を要 素 と す る 集 合 を A とす る と
A ={{0 ,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9}} こ の 例 で,た
と え ば 集 合{2,7}は
集 合 A の 要 素 で あ り,ま
た,7
は集合
{2,7}の
要素だか ら 7∈{2,7},{2,7}∈A,つ
で あ る.こ
の 例 は,0
5 の 倍 数,5
ま り
7∈{2,7}∈A
か ら 9 まで の 整 数 を
で 割 る と 1 余 る 数,…
…,5
で 割 る と 4余 る数
に分 類 した もの とな って い る."集 合 を要 素 と す る 集 合"と い う もの は 説 明 の た め に 作 為 的 に 考 え た もの で は な く,こ れ か ら い ろ い ろ な場 面 で使 わ れ る.
2.1.3
集 合 の 表 し方
こ こ まで,い
ろ い ろ な 集 合 に 関 わ っ て き たが,そ
れ らの 集 合 を 規 定 す る際 に
大 まか に い うと 2通 りの や り方 を して きた.1 つ は,「集 合{2,3,5,7}」
のよう
に 要 素 を 列挙 して 集 合 を 定 め る や り方 で あ り,も う 1つ は 「集 合 A の 要 素 を 第 1成 分,集 合 B の 要 素 を第 2成 分 とす るペ ア す べ て か らな る集 合 」 とい う ふ うに 文 章 で 定 め るや り方 で あ る.こ
こで は 集 合 の 記 述 の 仕 方 に つ い て,も
う
少 し 立 ち入 っ て調 べ て み よ う. a.外 延 的記 法 と内 包 的 記 法 要 素 を 列 挙 して 集 合 を記 述 す る記 法 を,少
し 堅苦 しい 言 い 方 だ が 外 延 的 記 法
と い う. 外 延 的 記 法 で 与 え られ た 集 合{2,3,5,7}は,ま 集 合"と 定 め る こ と もで きる.こ
た,た
とえば"1 桁 の 素 数 の
の"文 章 で 集 合 を 定 め るや り方"を も う少 し
フ ォー マ ル な 言 葉 で 規 定 して み よ う. まず,「1桁 の 素 数 の 集合 」 を 自然 数 を 1つ 持 っ て きて,そ れ が 1桁 の 素 数 で あ る か を検 証 す る テ ス トを 行 い,そ の テ ス トにパ ス す れ ば 集 合 の 要 素 と して 登 録 しパ ス し な け れ ば 登 録 し ない,と
い う操 作 をす べ て の 自然 数 に つ い て 行 い,そ
の
結 果 と して 構 成 され た 集 合 と考 え る こ とに す る.自 然 数 は 無 限 に あ る の で テ ス ト も無 限 回 行 わ な け れ ば な らず,現 実 に で き る の か とい うこ とを 疑 問 とす る こ と も可 能 な の だ が,数
学で
は 「人 間が 実 際 に 無 限 回の テ ス トを 行 って 集 合 を 構 成 す る こ とが で きな い と し て も,そ の よ うな 集 合 は 定 ま り,存 在 す る 」 と考 え る.さ て,上 の 文 章 を 少 し 書 き換 え て 自然 数 を 1つ 持 っ て きて(以 下 それ を 仮 にn で 表 す),n
が 1桁 の 素
数 で あ るか を検 証 す るテ ス トを行 い,そ の テ ス トにパ ス す れ ばn を集 合 の 要 素 と して 登 録 しパ ス し なけ れ ば 登 録 し な い,と い う操 作 を す べ て の 自然 数n に つ い て 行 い,そ の 結 果 と して 構 成 され た 集 合 と して お く.こ うす る と,集 合 は (1)ど の 範 囲 か ら候 補 を選 ぶ か を決 め て お き (2)候 補 に対 して ど の よ うな 検 証 をす るか を指 定 し (3)そ の 検 証 にパ スす る候 補 だ け を集 め た 集 合 を考 え る とい うや り方 で 記 述 す る こ とが で きる.こ の よ うに して 決 め られ る集 合 を,た と えば こ の 例 で は {n∈N|nは と書 き表 す.こ
1桁 の 素 数}
の よ うな記 述 の 仕 方 を集 合 の 内 包 的 記 法 とい う.
コ メン ト 「ど の 範 囲 か ら候 補 を選 ぶ か 」と い うこ とに つ い て だ が,「範 囲 を 限 定せ ず に すべ て検 証 す る 」と考 え る な らば 指 定 しな くて も よ さそ うで あ る.ま た,形 式 的 に論 理 を 展 開 す る場 合 に も範 囲 の 指 定 は しな い.し か し,最 初 は と りあ え ず 範 囲 を 指 定 して 検 証 す る と考 え た 方が 理 解 しや す い と 思 う.た だ し,前 後 の 文脈 か ら 範 囲が 明 らか な と きは 範 囲の 指 定 を 省 略 す る.た とえ ば,自 然 数 だ け を考 え て い る こ とが 前 後 の 文 脈 で 明 白な らば,上
の 例 の 集 合 は{n│nは
と書 か れ る こ と に な る.ま た,{n│n∈Nか
つ
1桁 の 素 数}
n は 1桁 の 素 数}の
よう
な書 き 方 を し て も よ い.
以 上,一 応 は 集 合 の 内 包 的 記 法 の 説 明 を した が,わ く説 明 し て も ます ます 混 乱 す るだ け な ので,例 科 書 で は あ っ さ り書 か れ て い る と思 うか,本 b.内 包 的 記 法 の 例 簡 単な ケ ー スか ら始 め よ う.
か りづ らい と思 う.く ど
で 補 うこ と に し よ う.高 校 の 教
当 は そ ん な に 簡 単 な こ とで は な い.
例
6.集 合 A,B,C,D,E
をそれぞ れ
A={n∈Z│2≦n<10} B={x∈Z│2≦x<10} C ={x∈R│2≦x<10} D={x∈Z│x2-5x+6=0} E={x∈R│x2-5x+6=0} F={x∈Z│x2-2=0}
と し て 定 め る.こ
の と き,ま
ず
A =B={2,3,4,5,6,7,8,9} で あ る.A とB で は使 わ れ て い る 文 字 がn,x と異 な っ て い るが,そ
れ は 「自
然 数 を 1つ持 って き て(以 下 そ れ を仮 にn で 表 す 〉」 とい う と きの"仮 に表 す 名 前"な の だ か らn で もx で も 同 じ こ とで あ る. 一 方,集 合C は[2,10)と
い う記 号 で 表 され る 実 数 直 線 の 区 間 で あ る(本
当
に厳 密 に 言 う と"区 間"は 集 合 と い うだ け で な く,さ ら に順 序 関係 や 距 離 な ど の"構 造"が 入 っ て い る の だ が). 集 合 D と集 合 E で は,そ れ ぞ れ"x∈Z","x∈R"と て あ るの だが,結
異 な る範 囲 を 指 定 し
果 的 に等 し い 集 合 とな り,D=E={2,3}で
あ る.
集 合 F の 要 素 は 1つ も存 在 しな い.こ の よ うな"要 素 が 1つ も存 在 しな い 集 合"も 集 合 と考 え て 空 集 合 と よ ぶ,空 集 合 を記 号 φ で 表 す.集 合 F で は "x∈Z"と 範 囲 を指 定 して あ るか ら こそ ,要 素 を持 た な か っ たの で あ り,仮 に 範 囲が 指 定 され て い な い な らば,F={√2,-√2}と
考 え る のが 自然 で あ ろ う.
2.1.4 集 合 の 演 算 ・関 係 式 a.和 集 合,共
通 部 分,補 集 合
2つ の 集 合A,B 定 義 す る.
に 対 して,和
集 合A∪Bと
共 通 部 分A∩Bを
次 の よ うに
定 義 1.A,B
を 集 合 と す る と き,
A∪B={x│x∈A
も し くは x∈B}
A∩B={x│x∈A
か つ x∈B}
と定 め,A∪BをA,B
の 和 集 合,A∩BをA,B
の 共 通 部 分 とい う.
和 集 合 の こ と を合 併 集 合 と よぶ こ と も あ る. こ こで は2 つ の 集 合 の和 集 合,共 集 合,…
通 部 分 を 定 義 し たが,3 つ の 集 合,4 つ の
… に つ い て も 同様 に定 義 で き る.た
と えば3 つ の 集 合,A,B,C
の
共通 部分は A∩ B∩C={x│x∈A
か つ x∈B
か つ x∈C}
と な る. 次 に補 集 合 を定 義 す る.補 集 合 は 「ど の 集 合 の なか で 考 え るか 」 を指 定 して 初 め て 定 ま る もの で あ り,そ の"ど の 集 合 の 中で"と い う集 合 を全 体 集 合 とい う.し か し,こ うい った こ とは 言 葉 の気 分 を い っ て い るだ け の こ とで あ って,数 学 的 に は あ ま り意 味 が な い.こ
こで は,ド
ラ イ な 定 義 をす る こ とに し よ う.
定 義 2.Aは 集 合 U の 部 分 集 合 で あ る とす る.こ の と き集 合
{x∈U│x〓A} をA のU
を 全 体 集 合 とす る補 集 合 とい い,Acで
表 す.
コ メ ン ト 本 当 に厳 密 に い うな らば,Acと
い う記 号 は あ ま り よ くな い.2 つ の 集 合A,U
に よ り決 ま る もの を 表 し て い る の に,記
号 の 中 に は1 つ の 集 合A
しか現れ
な い か らで あ る.な ぜ この よ う な ル ー ズ な 表 現 が 許 され るか とい う と,そ れ は 全 体 集 合U
が た い て い の 場 合 文 脈 か ら 明 らか で あ り,し か もそ の 前 後 で
固 定 され て い る か ら で あ る.
例
7.偶
数 の 集 合{…,-4,-2,0,2,4,…}の
{…,-3,-1,1,3,…}で
あ る.
補 集 合 は 奇 数 の 集 合
こ の 例 の 場 合,暗
黙 の う ち に 全 体 集 合 は 整 数 の 集 合 Z と 考 え て い る.し
「偶 数 の 集 合{…,-4,-2,0,2,4,…}の
補 集 合 は …,-4,-2,0,2,4,…
か し, 以 外
の 実 数 の 集 合 で あ る 」 と 主 張 し て も,そ
れ は 数 学 と し て 誤 りで あ る と い う わ け
で は な い(数
反 す る解 釈 だ と い う こ と は で き るか も
学 の 世 界 の"信
しれ な い が).
も し も,"良
頼 関 係"に
好 な 信 頼 関 係"が
築 か れ て い な い な ら ば,省
る こ と な し に 「偶 数 の 集 合{…,-4,-2,0,2,4,…}の 補 集 合 は 奇 数 の 集 合{…,-3,-1,1,3,…}で
略 をす
Z を全 体 集 合 と して の あ る 」 と い うべ き で あ ろ う.
b.部 分 集 合 と 0,1 の 列 あ る集 合 の 部 分 集 合 すべ て の 集 合 を考 え る こ とが あ る. 例
8.3 つ の 文 字 a,b,cの 集 合{a,b,c}の
部分 集 合 は
φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
の 8つ で あ る. これ らの 部 分 集 合 を 整 理 して 考 え るた め に は,下 の 表 の よ うに,部 分 集 合 の そ れ ぞ れ に 0,1か らな る長 さ 3の 列 を対 応 させ る と よい.
つ ま り,最 初 の 数 字 は 「aが そ の 部 分 集 合 の 要 素 な らば 1,そ うで な け れ ば 0」 で あ り,2 番 目 の 数 字,3 番 目 の 数 字 は それ ぞ れ b,c に つ い て 同 様 に 考 え た もの で あ る.こ れ は,部 分 集 合 を 整 理 して 考 え る た め の な か な か う ま い テ ク ニ ックで あ る.
2.2
集合 と並 ん で,関 し,"関
関
数,写
像
数,写 像 は現 代 数 学 を組 み立 て る 基 本 的概 念 で あ る.し か
数"と い う言 葉 は な じ み 深 い に して も,"写 像"と な る とあ ま り聞 い た
こ とが な い と思 う.ま ず は,言 葉 の説 明 か ら始 め よ う.
2.2.1
関 数 と 写 像
フ ォー マ ル な 結 論 か ら言 う と,"関 数"と"写
像"の 違 い は な く,同 じで あ る.
し か し,"関 数"の 方 が 歴 史 の古 い 言 葉 で あ り,数 学 の 分 野 それ ぞ れ の 固 有 の 歴 史 を引 きず り,し た が って 使 わ れ 方 に多 少 の揺 らぎ が あ る.そ れ に 対 して,"写 像"は 現 代 数 学 の,い わ ば 人 造 語 で あ り意 味 は 確 定 して い る. こ こで は,ま ず,写 像 と それ に 関 連 し た 用 語 の 定 義 か ら始 め て,そ "関 数"に つ い て検 討 す る こ と に し よ う.
の後 で
a.写 像 写 像 は,「集 合A か ら集 合 B へ の 写 像f 」 と い っ た 形 で 定 義 され る. 定 義3.A,B
を集 合 とす る.た だ し,A,Bは
空 集 合 で は ない とす る.こ の と
き,集 合A の 各 要 素a に集 合 B の 要素b を(a に応 じ て)1 つ だ け 対 応 させ る 規 則 が 定 め られ て い る と き,そ れ をA か ら B へ の 写 像 とい う.こ の 写 像 を fで 表 す な らば,そ れ がA
か ら B へ の 写 像 で あ る とい うこ とは
f:A→B と書 か れ る.ま た,f
に よ っ てa に 対 応 す る B の 要 素がf(a)で
あ るこ とを
表 す た め に は, f:a→f(a) と 書 く.
つ ま り,写 像 は 関 数 の よ うな も ので あ る.し か し,中 学 ・高 校 で 習 った"関 数"と 違 っ て,写 像 を与 え る た め に は,ま ず,「ど こ か らど こへ の写 像 か 」 とい うこ と を確 定 し な け れ ば な らな い.関 定 義 され て い るの か,あ
数y=x2な
らば,こ れ が 実 数 に 対 し て
る い は 正 の実 数 に 対 して 定 義 され て い る の か,あ
は整 数 に対 して定 義 され て い る の か,と い う問 題 は 「関 数y=x2」
るい
を与 え られ
てか ら 考 え れ ば よ い 問題 で あ る.そ れ に対 し て 写像 の 場 合,最 初 に 指 定 し な け れ ば な らな い もの は"ど こ か ら"を 意 味 す る"定 義 域"A と"ど こへ の"を 意 味 す る B の2 つ の 集 合 で あ る. ま た,こ れ に つ い て は後 で 検討 す るが,関
数 の イ メー ジ と し て 「式 で 与 え ら
れ て い る 」 とい うニ ュ ア ン スが あ る と思 う.し か し,上 の 定 義 で 「対 応 させ る 規 則 」 とい っ て い る もの は,式 で 与 え られ て い る必 要 が な いば か りで な く,"規 則 性 が あ る"必 要 もな い. 例 9.集 合A={0,1,4,7}か
ら ギ リ シ ャ 文 字 α,β,γ の 集 合B={α,β,γ}へ
の写像
f:A→B を f(0)=β,f(1)=α,f(4)=α,f(7)=α と し て 定 め る.
集 合 A の 要 素 に 対 し て 集 合 B の 要素 が 1つ 指 定 され て い る の で,こ れ は 確 か に 写 像 で あ る.し か し,こ の"対 応 を与 え る規 則"に は 特 に 規 則 性 は な い と 思 う(例 を作 る と き に は 出任 せ で 対 応 を作 った つ も りだ.後 か ら考 え れ ば,な にか 規 則 をこ じつ け られ な いで もな い が). 例10.実
数 の 集 合 R か ら R へ の 写 像f f:R→R
を,x∈Rに
対 して
f(x)=x2 と定 め る. こ の 場 合,"ど
こか ら"の 集 合A
に相 当す るの は実 数 の 集 合 R で,ま た"ど
こへ"の 集 合 B に 相 当す るの も実 数 の 集 合R で あ る.こ 規 則"は 式 で 書 か れ た 規 則x→x2で 例11.実
あ り,規 則 正 しい.
数 の 集 合 R か ら 負 で な い 実 数 の 集 合R+={x∈R│x≧0}へ
写像 g
g:R→R+ を,x∈Rに
こで は"対 応 させ る
対 して
の
g(x)=x2 と定 め る. 記 号R+は
こ こ だ け の 記 号 で あ る(R+は"正
の"実 数 の 集 合 を意 味 し て使
わ れ る こ と もあ る).そ れ は と もか く,大 切 な 点 は,「こ の 例 の 写 像 g と前 の 例 の 写 像 f は 対 応 させ る規 則 は 同 じで あ って も異 な る写 像 で あ る 」 とい う こ とで あ る.「写 像 」 は対 応 させ る規 則 だ け で な く 「ど こか らど こへ の 写 像 か 」 も定 義 の 中 に組 み 込 まれ て い るか らで あ る. b.全 射,単
射,全 単 射
写 像 に 関 し て,全 射,単 射,お
よび 全 単 射 とい う言 葉 を押 さえ て お くべ きで
あ る. 定 義 4.f は 集 合 A か ら 集 合 B へ の 写 像 で あ る と す る.こ ●集 合 A の ど の よ う な 2 つ の 要 素a1,a2(た し て もf(a1)=f(a2)と
だ し,a1≠a2と
な ら な い と き,f
つ 単 射 で あ る と き,f
例12.f1:R→Rをx∈Rに
な る A の 要 素a が 存 在 す る
は 全 単 射 で あ る と い う.
対 し てx2を
の と き,-2,2∈Rに
は な い.ま
対
は 全 射 で あ る と い う.
●f が 全 射 で,か
る.こ
す る)に
は 単 射 で あ る と い う.
●集 合 B の ど の 要 素 bに 対 し て もf(a)=bと と き,f
の と き
対 応 させ る 写 像 と し て 定 め
対 し てf1(-2)=f1(2)と
た,f1(x)=-1と
な るx∈Rは
な る の で,f1は
存 在 し な い の で,f1は
単射 で 全 射で は
な い.
次 の 2つ の 例 に お い て,R+は
負 で な い実 数 の 集 合 とす る.
例13.f2:R→R+をx∈Rに こ の と き,上
対 し てx2を
と 同 じ 理 由 に よ りf2は
ば 必 ずx2=yを
満 た す 実 数x
の と き,f3は
f:A→Bが
単 射 で は な い が,y
が 存 在 す る の で,f2は
例14.f3:R+→R+をx∈R+に る.こ
対 応 さ せ る 写 像 と し て 定 め る.
対 し てx2を 全 単 射 で あ る.
全 単 射 で あ る と き,
が負 でない実 数 な ら
全 射 で あ る. 対 応 させ る 写 像 と して 定 め
は
(1)(f が 全 射 で あ る こ とか ら)B
の 各 要 素 bに 対 し てf(a)=bを
満たす
A の 要 素a が 存 在 し, (2)(f が 単 射 で あ る こ とか ら)こ の よ うなa は 1つ しか 存 在 しな い. そ こ で,B
の 各 要 素 bに 対 し て,f(a)=bを
め,そ れ を f の 逆 写 像 と よび,f-1で 例15.文
満 たすa を 対 応 させ る写 像 を 定
表 す.
字 を 要 素 と す る 2つ の 集 合 A,B をA={a,b,c,d},B={α,β,γ,δ}
と し て 与 え,A
か ら B へ の写像 f を
f(a)=α,f(b)=β,f(c)=γ,f(d)=δ
と定 め る と,f は 全 単 射 で あ り,f の 逆 写 像 f-1:B→A
f-1(α)=a,f-1(β)=b,f-1(γ)=c,f-1(δ)=d
A か ら B へ の 全 単 射 とい う とい か め し い の だ が,上 に,言
の例か らもわか るよ う
って い る こ とは 「グ ル ープ A の メ ンバ ーが グ ル ープ B の メン バ ー と手
を つ な ぎ,あ ぶ れ た 人 もい な い し,ひ と りで 2人 と手 をつ な い で い る 人 もい な い 」 とい うだ け の こ とで あ る.当 然 の こ とだが,A,B ら B へ の 全 単 射 が 存 在 す る な らばA
が 有 限 集 合 の 場 合,A
か
と B の 要 素 の 個 数 は 等 し い.そ れ な ら
ば,無 限 集 合 の 場 合 で も"全 単 射 が 存 在 す る"と い うこ と を も って"要 素 の 個 数 が 等 し い"と い う こ と の 定 義 と し て や ろ うと い う発 想 が 生 まれ る.た だ,無
限
なの に"個 数"と い う言 葉 を使 うの も気 が 引 け る の で,集 合 の"濃 度"と い う用 語 を使 うこ とに な る の だ が. この"濃 度"と い う概 念 で 無 限 集合 を分 類 す る とい う課 題 は,な か なか 刺 激 的 な 話 題 なの だが,そ
こ まで は 立 ち入 ら な い.大 学 で 数 学 系 の 学 科 に 進 む と,お
そ ら く"可 算 無 限"と"非 c.集 合A
可 算 無 限"の 区 別 に 悩 ま され る こ と に な るだ ろ う.
か ら A 自身 へ の 写像
「集 合 A か ら集 合 B へ の 写 像 」 と言 った と きで も,集 合 A と B は 必 ず し も別 の 集 合 で あ る必 要 は な い.特 にA=Bの
場 合,「集 合 A か らそ れ 自身 へ
a
の 写 像 f」 とい うこ と に な るが,こ の よ うな"A か らA へ の 写像"に は 「写像 を繰 り返 す こ とが で き る 」 とい う特 徴 が あ る.つ ま り,a∈Aに 要 素f(a)も,ま
た A の 要素 な の で,そ
fで対応 する
れ にf で 対 応 す る要 素f(f(a))を
え る こ とが で き,さ ら に そ れ にf で 対 応 す る要 素f(f(f(a)))を で き,…
考
考 え る こ とが
… と,繰 り返 し繰 り返 し f で 対 応 す る要 素 の 列 を考 え て ゆ くこ とが
で きる とい う こ とで あ る.こ の場 合,ま ず,f(f(f(a)))な 括 弧 を数 え る だ け で も煩 わ しい の で,f3(a)と
ど と い う書 き方 で は
い っ た 書 き方 を し,a∈Aか
ら
始 まる 列 a,f (a),f2(a),f3(a),f4(a),…
を 調 べ る こ と に な る.こ あ る 場 合,a
れ を a のf
を f の 不 動 点 と よ ぶ(こ
と な る). ま た,fk(a)=aを 点 と よ び,こ
に よ る 正 軌 道 と い う.こ
こ で,f(a)=aで
の 場 合,a=f(a)=f2(a)=f3(a)=…
満 た す 正 整 数k
が 存 在 す る と き,a
の よ う な k の 中 で 最 小 の も の を 周 期 点aの
は 周 期 1 の 周 期 点 で あ る と い っ て も よ い).a
をf の 周 期
周 期 と い う(不
動点
が 周 期 k の 周 期 点 で あ る場 合
,f(a),f2(a),f3(a),…,fk-1(a),fk(a)(=a),fk+1(a)(=f(a)),…
は 周 期 k で の 繰 り返 し に な る.た
と え ば,k=5と
す る と,f2003(a)は
f2003(a)=f3(f2000(a))=f3(f5×400(a))=f3(a)
と して 求 め られ る("周 期 性 の 利 用"は 数 学 オ リン ピ ッ クの 問 題 で よ く使 わ れ る テ ー マ で あ る), こ うい った 発 想 でA か らA へ の 写 像 の性 質 を調 べ る 問 題 は 奥 の 深 い テ ー マ で,力
学 系 理 論 と よば れ る 数 学 の 分 野 とな って い る(も は や 流 行 語 に 近 い"カ
オ ス"と か"フ ラ ク タル"も こ の 分 野 の 守 備 範 囲 に 入 る).数
学 オ リン ピ ッ クで
も過 去 に何 題 か 力 学 系 的 な 発 想 の 問題 が 出 題 され て い る,特 に 予 備 知 識 と して 勉 強 し て お く必 要 が あ る わ け で は な い の だ が,"軌
道"と か"周 期 点"な ど の 言
葉 だ け 知 って お くだ け で"力 学 系 的 な写 像 の 見 方"を 取 り入 れ る こ とが で きる よ うに な る. d. 有 限集 合 に お け る 定理 "A か ら A 自身 へ の 写 像"に つ い て,特 て お くべ きで あ る.
にA が 有 限集 合 で あ る 場 合 を調 べ
定 理 2.f を 有 限 集 合A か ら A へ の 写 像 とす る.こ の と き (1)f が 単 射 な らばf は全 射 で もあ る (2)f が 全 射 な らばf は 単 射 で もあ る (3)し たが って f が 単 射,も
し くは 全 射 な らば,f
全単 射で ある
証 明 は,"要 素 の 個 数"と い う観 点 か ら考 えれ ば 明 らか で あ る と思 う.た だ し, 現 代 数 学 で の フ ォー マ ル な 扱 い で は,こ の 定 理 は"定 理"で は な く"有 限 集 合 の 定 義"と し て 扱 わ れ る の だ が.し か し,こ こ で は そ の よ うな こ とは,も
っ と先
の 勉 強 に 譲 っ て,無 限 集 合 の場 合 の 例 を調 べ る だ け に し て お こ う. 例16.f1をf1(n)=n+1で
定 め ら れ る N か ら N へ の 写 像 と す る と,f1は
単 射 だ が 全 射 で は な い(f1(n)=1を
満 た すn∈Nは
存 在 し な い か ら).
な ん て こ と の な い 結 果 の よ う だ が,「f(n)=n+1は は,次
の よ う な"お
room
1,room
話"に
す る と,な
2,room
3,…
と 無 限 の 部 屋 数 の ホ テ ル が あ り ま し た.
そ の ホ テ ル が 満 室 で あ っ た あ る 夜,予 お 客 が 来 て し ま い ま し た.フ で す が,す へ ,room n+1へ room
単 射 だが 全 射 で は な い 」
か な か シ ョッ キ ン グ で あ る.
約 係 の 手 違 い で,も
ロ ン トマ ネ ー ジ ャ ー は 困 っ て し ま っ た の
ぐ に う ま い 手 を 思 い つ き ま し た.「room 2の
お 客 はroom
うひ と りの
3へ,以
と 移 っ て も ら お う.そ
1の お 客 はroom
下 同 様 にroom nの
う す れ ば,誰
2
お 客 はroom
も あ ぶ れ る こ と な し に,
1を 空 室 に で き る !」.そ の 日 の 泊 ま り客 は み ん な い い 人 ば か り
だ っ た の で,ち
ょっ と 文 句 を 言 っ た だ け で,い
くれ ま し た.こ
う し て,満
が で き た の で す.無
う とお りの 移 動 を して
室 の ホ テ ル に新 た な お 客 を 受 け 入 れ る こ と
限 っ て 便 利 で す ね.
しか し,有 限 集 合 で は,こ ん な 変 な こ とは 起 こ らな い.そ
れ で は,要 素 の個
数 の 話 が 出 て きた つ い で に,次 の 結 果 を紹 介 して お こ う. 集 合A の 要 素 の 個 数 が B の 要素 の個 数 よ り大 きい な らば,A へ の単 射 は 存 在 しな い . こ れ は,第
5章 で 出 て くる 「鳩 の 巣 原 理 」 の 基 本 形 で あ る.
から B
2.2.2
関 数 と逆 関 数
そ れ で は,い よ い よ"関 数"の 説 明 に 移 ろ う.写 像 は"新 出 単 語"だ っ たが "関 数"は 中学 以 来 の古 い つ き合 い で あ る. 数 学 史 で の 関 数 の 歴 史 は さ ら に古 く, したが って さ まざ まな 遺 産 を引 きず っ てい る.関 数 とつ きあ って い る と,い ろい ろ 割 り切 れ な い 気 持 ちが 出 て くる の だが,こ た 方が よ い.こ
れ は 歴 史 の な せ る もの と割 り切っ
こで は,ま ず,結 論 と して の 関数 の 定 義 を し て,後
は"関 数概
念 の 歴 史"を 振 り返 る こ とに し よ う. a.関
数
そ れ で は,関
数 の 定 義 を し よ う.
関 数 と は写 像 の こ とで あ る. 結 論 は,こ し よ う.し
れ で 終 わ りで あ る.こ か し,こ
こ で"歴
史"と
う し て お い て,結
基 づ く歴 史 と い え る も の で は な い.た
依 存 し,V=f(T)と
うて い ま と も な 史 実 に
だ,「 こ の よ う に 考 え る と"関
わ る 混 乱 が 理 解 し や す い 」 と い うだ け の た め の"お
第 1ス テ ー ジ:「V=f(T)」
論 へ の 歴 史 を た ど る こ とに
称 し て い る も の は,と
話"で
数"に
まつ
あ る.
「体 積V は 温 度 T に"…
… の 法 則"に よ り
な って い る 」 とい う関 数 の 使 わ れ 方 で あ る.こ れ は 関 数
概 念 の 基 本 形 で あ ろ う.し か し,後 の 発 展 との 比 較 の た め,こ
の設定で 暗黙の
う ちに 想 定 され て い る,次 の 点 を強 調 し て お きた い . (1)変 数 T とV は そ れ ぞ れ 温 度,体 積 と い う固有 の 意 味 を 持 つ.単 位 が 組 み 込 まれ て い な い 限 り,T とV は実 数 に す ぎ な い の だが,"人
間に とっ
て の 意 味"と して は 単 な る 実 数 で は な く,あ く まで も温 度 と体 積 で あ る. (2)こ の 関 数 は,な ん らか の 実 験 装 置 で 実 現 され て い て,そ 操 作 し て 変 化 させ る と そ れ に つ れ てVが
変 わ る.つ
こ にお い て T を ま り,T に 対 して
Vが 決 ま る な ん らか の メ カ ニ ズ ム が 想 定 され て い て,そ
こにお いて T
は"操 作 可 能"で あ る. (3)"… … の 法 則"と い う以 上,f(T)は 第 2 ス テ ー ジ:「y=f(x)」
次 は,関
式 で 表 現 され て い る はず で あ る. 数y=f(x)の
テ ー ジ の"関 数"に お い て,関 数 を与 え る式f(T)だ の 意 味 を忘 れ て し ま う と,f(T)は
登 場 で あ る.第
1ス
け に 注 目 して,変 数 T,V
単 に"実 数 T に対 して 実 数V
を 対 応 させ
る規 則"と な る.そ れ な らば,な T の 代 わ りにx,V
に も T とか V とい う文 字 を 使 う必 要 も な く,
の 代 わ りにy を使 って も よ い.こ
の よ うに"x にy を 対
応 させ る"と い う文 字 の 使 い方 を,あ た か も方 程 式 の 未 知 数 は 文 字x を使 うの が デ フ ォル トス タン ダ ー ド(暗 黙 の 標 準 規 格)で あ る よ うに"標 準規 格"に して や る と,い ろ い ろ と説 明 を省 略 し て 述べ る こ とが で きて 便 利 で あ る.ま た,変 数 T,V
の 意 味 を捨 て て し まっ た の だ か ら,関 数 の 裏 に あ る"メ カニ ズ ム"も
意 味 が な くな る.こ
うして,上
の(1)と(2)に あ た る変 数 の 意 味 と メ カニ ズ ム
を放 棄 す る こ とに よ り,「実 数x に対 して,あ い う ド ラ イな 関 数 概念y=f(x)が こ の 関 数y=f(x)は
る 式 に よ り実y
が 決 ま る」 と
得 られ る .
写 像 とほ とん ど 同 じ な の だが,重
点 は"対 応 させ る 式"
に あ る(つ ま り,(3)は キ ープ され て い る).し たが って,関 数(こ の場 合 は"式") を 決 め て か ら 「ど こか らど こへ の 関 数 な の か 」 とい う検 討 をす る こ とに な る. 第 3 ス テ ー ジ:写 像 と して の 関 数
目標 の"写 像 と して の 関 数"へ は,後 は"関
数 が な ん らか の式 で 与 え られ る"と い うこ と を放 棄 して,"ど
こ か らど こへ の"
を最 初 か ら明 確 に 与 え る とい うだ け の こ とで あ る.こ の"式 と して の 関 数"概 念 の 変 遷 を調 べ るの は,特 連 して(本
に"複 素 数 に 対 して 関 数 の と る 値"と い う問 題 に 関
当 の)数 学 史 の 中 で も面 白 い 部 分 で あ る.
以 上 を ま と め る と,「最 初 の(1),(2),(3)を 抽 象 化 し て(1),(2)を ら に(3)も
伴 っ た 第 1ス テ ー ジ の 関 数 か ら,
捨 て る こ と に よ り 第 2 ス テ ー ジ の 関 数 概 念 へ と 進 み,さ
捨 て て し ま って 現 代 数 学 の写 像 と し て の 関 数 へ 到達 した 」 とい うス
ト ー リ ー で あ る.数
学 で の 概 念 の 進 化 は,か
な り の 部 分"捨
て る"と
い うこと
に 掛 か っ て い る の だ.
b.関 数 と関 数 値 さて,第
2ス テ ー ジ で は"x に対 してy を対 応 させ る"と い う文 字 の 使 い 方
が デ フ ォル トス タ ン ダ ー ドな の で,関 数y=f(x)と る.写 像 の 説 明 で は い ち い ち 「xに 対 し てx2を 現 し て い た の と比 べ て,「関 数y=x2」
い う表 し 方が 支 配 的 に な 対 応 させ る写 像 」 と長 々 と 表
と書 くだ け で 済 む の だ か ら,こ れ は な
か な か 便 利 な 表 現 法 で あ る.し か し,こ の 表 記 の 隠 れ た 欠 点 と して,"y=x2" は 関 数 を表 す と読 め るだ け で な く,「2つ の 実 数x とy につ い て 関 係y=x2が
成 り立 って い る 」 と読 む こ と もで きる とい う こ とで あ る.ま た,f(x)も,関 を 表 して い る と も特 定 の 値f(x)を
数
表 し て い る と も解 釈 で き る.
この 曖 昧 性 は 今 の と こ ろ は 大 した 問題 に な ら ない の だ が,将
来"関 数 列 の収
束"に 関 し て 「各 点 収 束 」 と い う概 念 を 学 ぶ 段 階 に な る と や や 深 刻 に な る. c.逆
関
数
高校 の教 科 書 に 出 て くる 関 数 は,第 多 くの 場 合,導
1ス テ ー ジ と第 2ス テ ー ジ の もの で あ る.
入 の例 とか 最 後 の"応 用"は 第 1ス テ ー ジ の もの で,本
2ス テ ー ジ の 扱 い が ほ とん ど で あ る.た "第 1ス テ ー ジ"的 な捉 え 方 が 現 れ る . さて,こ
文は第
だ し,積 分 の 変 数 変 換 の 説 明 とな る と
の 第 1ス テ ー ジ と第 2ス テ ー ジ(念 の た め 確 認 して お くが,こ
んな
用 語 は他 で は通 用 し な い)の 違 いが 顕 著 に現 れ るの は,逆 関 数 をx=f-1(y) と書 くかy=f-1(x)と まず,逆
書 くか とい うと こ ろ で あ る.
関 数 の 定 義 だが,こ
れ も逆 写 像 と同 じ こ とで あ る.た だ し,全 単 射
で な くて は 逆 写 像 は 存 在 せ ず,全 単 射 か ど うか は 「ど こ か ら ど こへ の 写 像 か 」 に 依 存 す る の で,逆
関 数 を 問 題 にす る と きに は 「ど こか らど こへ の 関 数 か 」が
関 数(写 像 の こ と)が 全 単 射 に な る よ うに 選ば れ て い る も の とす る.そ れ で は, 第 1ス テ ー ジ の発 想 で 逆 関数 を捉 え て み よ う.温 T の 関 数 と してV=f(T)と
度 T を操 作 す る と体 積V が
い う形 で 決 まっ て い る と す る と,そ の 逆 関 数 は,
「体 積 を 操 作 す る と温 度 が 決 まる 」 と捉 え てT=f-1(V)の 可 能"と い う意 味 で は,逆
形 に な る."操
関 数 を 考 え 得 る た め に は 体 積 を 操 作 す る こ とに よ り
温 度 が 変 化 す る よ うな 実 験 装 置 を 想 定 し なけ れ ば な ら ない わ け だ.し の"操 作 可 能"な 変 数 か ど うか とい う問 題 は,た
か し,こ
と えば 経 済 学 な ど で は 大 問 題
な よ うだ が(金 利 と通 貨 供 給 量 の ど ち らが 操 作 可 能 変 数 か?と 問 題 ら しい),純
作
粋 数 学 で は 問 題 に は な ら な い.そ こで,数
か い う タ イプ の
学 の 世 界 で は,第
1
ス テ ー ジ の発 想 の 特 徴 は 「変 数 が 固有 の 意 味 を持 って い る か 」 とい う点 と し て 残 る.仮 にx とy とい う変 数 名 を用 い る と し て も,そ れ ら に 固 有 の 意 味 を想 定 して い る な らば,逆 次 に,第
関 数 はx=f-1(y)と
な るの だ.
2ス テ ー ジ の 発 想 に 移 ろ う.こ の場 合,変数x,y
な い . た と えばy=x2と
には固有の意味 は
い う関 数 は 「実 数 に 対 し て そ の 平 方 を対 応 させ る関
数 」 と も表 現 で きる わ け で,変 数 名 がx
とかy とい うの は 単 な る 習 慣 で 使 っ
て い る だ け の こ とで あ る.し たが っ て,「逆 関 数x=f-1(y)」
の よ うに わ ざ わ
ざ 普 通 と違 う変 数 名y とx を使 う理 由 も特 に な い.そ こで,普 通 の 変 数 の用 い 方 を し てy=f-1(x)と
表 す の が 素 直 な 記 号 の 用 い 方 だ と い う こ と に な る.
た と えば,c を あ る定 数 と して 「体 積 は 温 度 の c倍 に な る 」 な らば 「温 度 は 体積 の1/c倍
に な る」 わ け だ か ら 関 数V=cTの
逆 関 数 はT=V/cと
表すの
が 自然 で あ る.し か し,「実 数 に そ の c倍 を対 応 させ る関 数 」 の 逆 関 数 とな る と 「実 数 に そ の1/cを
対 応 させ る関 数 」 で あ る か ら,両 方 と も"実 数 に"はx
表 し て 「関数y=cxの
逆 関 数 はy=x/c」
結 局 の と こ ろ,y=f(x)の
で
と す る の が 自然 で あ ろ う.
逆 関 数 をx=f-1(y)と
す るかy=f-1(x)と
す るか は,変 数 に 意味 をみ て い るか ど うか とい う気 分 の 問題 な の で あ る. 同 じ 問 題 が,逆 関 数 の グ ラ フ を考 え る場 合 に も生 ず る.逆 関 数y=f-1(x) の グ ラ フ とい うな らば,そ の 関 数 の グ ラ フ を新 た に 書 くべ きで あ る(た と えば y =2xの
逆 関 数 の グ ラ フな らy=1/2xの
が 温 度 T,縦 軸 が 体 積V
グ ラ フ と い う具合 に) .し か し,横 軸
と し て 関数V=f(T)の
そ の 逆 関 数 の グ ラ フ とい うな らばV=f(T)の
グ ラ フが 書 か れ て い る場 合, グ ラ フそ の もの を 「横 軸 の T
が 縦 軸 のV に 依 存 して 決 ま る関 数 」 と して み る だ け の こ とで あ る.つ ま り,グ ラ フ を 書 き直 す必 要 は ない の だ. こ う した 任 意 性 は 話 を煩 雑 に し て い るだ け の よ う にみ え る の だが,両
方 の観
点 を う ま く使 い分 け る こ とが で きる と,な か な か 便 利 な もの で あ る. そ れ で は,逆 関数 に絡 ん だ 問題 を解 い て み よ う.し か し,こ の 問題 はか な りの 難 問 で あ る(た だ し,予 選 の 問 題 と して は,だ が).こ 年)日 本 数 学 オ リン ピ ック(JMO)の
の 問題 は 第10回(2000
予 選 で の 一 番 正 解 率 の 低 い 問 題 で あ った.
実 際,解 答 も"ア イデ ア一 発"と い うわ け に は い か ず,そ
れ な りの 準 備 が 必 要
で あ る.と は い って も,さ す が に 秘 め られ て い る ア イデ ア は見 事 で あ る.ま ず, ペ ー ジ をめ くっ て 問 題 を読 み ,一 人 で 解 答 を 考 え て み て ほ しい. そ の あ とで,問 題 を 解 くため の準 備 に 移 ろ う.こ の 問 題 の キ ー ワー ドは,ガ ウ ス記 号,格 子 点,逆
関 数 の 3つ で あ る.ガ
説 明 し て い な い ので,最 は,い
ウ ス 記 号 と格 子 点 に つ い て は まだ
初 に 準 備 し て お こ う.た だ し,格 子 点 につ い て の 説 明
くぶ ん の ヒ ン トに な って い る.も
し,ノ ー ヒン トで 解 き た い な らば,格
子 点 に つ い て の 説 明 は 読 まず に チ ャ レ ン ジ す る と よい. ガ ウ ス 記 号 す べ て の 実x こ でn
は 整 数 で,z
[x]は"x
の n をx
意 に"と
は,こ
の場 合
に 対 し て 1つ し か 存 在 し な い 」 と い う こ と を い っ て
を 超 え な い 最 大 の 整 数"で [5]=5,
表 す.[]を
ガ ウ ス 記 号 と い う.
あ る,
[-4.1]=-5,
座 標 平 面 に お い て,x-座
[π]=3
標 とy-座 標 が と も に 整 数 で あ る点 を格 子 点
とい う.定 義 は これ だ け の こ とな の だ が,要 け る こ とで あ る.つ
書 く こ と が で き る.こ
実 数 で あ る."一
の 整 数 部 分 と い い,│x│で
例 17.[3.9]=3,
格子点
意 にx=n+zと
は0≦z<1の
「こ の よ う な n と z はx い る.こ
は,一
点 は ガ ウ ス 記 号 と格 子 点 を関 連 づ
ま り,
関 数 f がf(0)=0,f(x)>0(0<x≦100)を
満 た す とす る.こ の
と き,〓
は 関数y=f(x)の
で 囲 まれ る 領 域(た
だ し,x-軸 上 の 点 は領 域 に含 め ず,そ
ラ フ上 の 点 と直 線x=100上
グ ラ フ とx-軸,直線x=100 れ以外 のグ
の点 は 領域 に 含 め る)の 中に あ る格 子 点
の 個 数 に等 しい. と い うこ とで あ る(こ れ は落 ち着 い て 図 を書 い て 調 べ る とわ か る はず). これ で 準 備 は で きた.そ れ で は,問 題 を解 い て み よ う. ―問 題 3.―
を 求 め よ.た
[解 答]
日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[9]
だ し,[x]はx
f(x)=x2/100と
を 超 え な い 最 大 の 整 数 の こ と で あ る.
定 め る.こ
の と き,逆
関 数 はx=10√yで
あ る.
は,関
数y=f(x)の
グ ラ フ とx-軸,直
グ ラ フ上 の 点 と直 線x=100上 含 め な い)の
は,関
囲 まれ る領 域(た
の 点 は領 域 に 含 め るが,x-軸
中に あ る格 子 点 の 個 数(K
数y=f(x)の
グ ラ フ とy-軸,直
グ ラ フ 上 の 点 と直 線y=100上 め な い)の
線x=100で
で 表 す)に
だ し,座
点 と 直 線y=100上
の 点 は 領 域 に 含 め る)の
上の点は領域 に含
線x=100,直
標 軸 上 の 点 は 領 域 に 含 め ず,直
線y=100 線x=100上
の
中 の 格 子 点 の 個 数(=1002)を,
こ の 領 域 内 で グ ラ フ 上 の 点 の 個 数(k=10,20,…,90,100の10個)だ し て 数 え た も の で あ る.し
だ し,
等 し い.
上 の 2つ の 個 数 K とL の 和 は,x-軸,y-軸,直 で 囲 ま れ る 領 域(た
た,
囲 まれ る 領 域(た
の 点 は 領 域 に 含 め る が,y-軸
中 に あ る 格 子 点 の 個 数(L
上の点 は領 域に
で 表 す)に 等 しい.ま
線y=100で
だ し,
け重複
た が っ て, K+L=1002+10
であり
Ans.
10010
コ メン ト こ の 解 答 の 核 心 は,逆 使 う こ とで あ る.こ
関 数 をx=f-1(y)と こ でy=f-1(x)の
み てy=f(x)と
グ ラ フを書 いて 考 えたの で は格 子
点 を う ま く勘 定 す る こ とが で き な くな っ て し ま う.
2.3
2.3.1
値 域 と し て の表 示
集 合 の 表 し方 と し て
同 じグ ラフ を
集 合 の 3つ の表 示
(1)外 延 的 記 法:
た と え ば,{1,3,5,7,9}
(2)内 包 的 記 法:
た と え ば,{n│nは
が あ る こ と は,す で に述 べ た.と
1以 上10以
下 の 奇 数}
こ ろで,高 校 の 教 科 書 で は ,多
くの 場 合,外
延 的 記 法,内 包 的 記 法(こ の よ うな 言 葉 を表 に 出 す か ど うか は 別 と して)を 紹 介 し た 直 後 に,次 の よ うな タ イプ の 例 が 述 べ られ て い る よ うだ. 例18.平
方 数 の 集 合 は,{n2│n∈N}と
な に を 言 お う と し て い る か は,と
表 さ れ る.
て も よ くわ か る の だ が,そ
う な 記 述 の 仕 方 は 外 延 的 な の だ ろ う か,そ け は 内 包 的 記 法 に 似 て み え る の だ が,意 て い る.ど
ち ら か と い う と,n
{12,22,32,…}と
い う こ と で あ り,外
気 に 近 く な る.と
と 動 く と き のn2
か
,つ
ま り,
延 的 記 法 の 発 想 に 近 い か も し れ な い.書 } と す る と,も
はい っ て も,要
の よ
味 を 考 え る とそ の 枠 組 み か ら は外 れ
がn=1,2,3,…
き 方 を 少 し 変 え て,{n2│n=1,2,3,…
れ で は,こ
れ と も 内 包 的 な の だ ろ う か.見
っ と外 延 的 記 法 の雰 囲
素 を 列 挙 し て い る わ け で は な い の で,外
延 的
記 法 と も い い 難 い. こ う な る と,「 集 合 に は こ の よ う な 表 し 方 もあ る 」 と い う こ と で,き
ちん と定
義 し た 方 が よ い よ うだ. 定 義 5.f を 集 合A
か ら B へ の 写 像 と す る.こ
{b∈B│f(a)=bを
満 た すa∈Aが
の と き,集
合
存 在 す る}
を
{f(a)│a∈A} と表 す . コ メ ン ト[1] 写 像 の フ ォー マ ル な 定 義 に 則 っ て,"f た が,f
は A か ら B へ の 写 像"と
が 式 で 与 え られ て い る場 合 に は,実
指 定 す る必 要 は な い.「aがA
して お い
へ の"の 部 分 は 特 に
の す べ て の 要 素 を 動 く と き のf(a)の
い う感 じ の 集 合 な の だ .要 す る に,普 の こ と な の だ.
際 に は"B
全体 」 と
通"写 像 の 値 域"と 言 わ れ て い る 集 合
コ メ ン ト[2] 上 の 定 義 で 「f(a)=bを
満 た すa∈Aが
存 在 す る(よ
い う取 っつ き に くい 表 現 が 出 て き て い るが,こ る な らば 「A の 要 素a
を使 っ てf(a)=bの
合)」 と で も な るの だ ろ うか.確 な いが,い
う な bの 集 合)」 と
れ は も う少 し 身 近 な 表 現 を す 形 で 表 され る(よ
うな b の 集
か に こ の 方 が 最 初 は わ か りや す い か も しれ
ず れ 「… … が 存 在 す る 」 とい う形 の 構 文 に 慣 れ な け れ ば な ら な
い の だ か ら,ど
うせ な ら 早 く身 に つ け た 方 が よ い.
以 上,集 合 の 表 し方 と し て,外 延 的記 法,内 包 的 記 法 の 他 に"第 3の 記 法"が あ る とい うこ とで あ る.し か し,"第
3の 記 法"な ど とい う映 画 の 題 名 の よ うな
言 い 方 をす るの も気 が 引 け る の で,以 後,こ れ を 「値 域 と して の 記 法 」 と よぶ こ とに す る.
2.3.2 座 標 平 面 の 図 形 a.方 程 式 を満 た す 集 合 座 標 平 面 上 の 図 形 を集 合 と し て捉 え る と き,そ れ を表 す表 記 も 3通 りあ る こ とに な る. まず,外 延 的 記 法 だ が,N
や Z の よ うな 無 限 集 合 と違 っ て"連 続 的 な"無 限
集 合 とな る と,さ す が に"…"を
駆 使 し た とこ ろで 「要 素 を 列 挙 し て 表 す 」 の
は 無 理 で あ る. 内 包 的 記 法 に つ い て は,た
とえ ば,直 線2x+3y-5=0と
いった表現が 内
包 的 記 法 に あ た り,こ れ は 直 線 を {(x,y)∈R2│2x+3y-5=0} と い う集 合 と して 捉 え て い るわ け だ.こ 座 標 平面 か ら点(x,y)を
こで の 発 想 は
い ろ い ろ 選 ん で 方 程 式2x+3y-5=0を
満
た す か 調 べ て,こ の 方程 式 を 満 た す 点 だ け を集 め て 集 合 をつ くる とい う発 想 で あ る.こ の 表 記 の特 徴 は 「左 辺=0と い うこ とで は な い.た
とえ
い う形 で 書 かれ て い る 」 と
と 書 か れ て い た と し て も,こ
れ は 「(x,y)がy=-2/3x+5/3を
満た しているか
チ ェ ッ ク し て 集 合 を つ くる 」 と い う 発 想 に 立 っ て い る の で,内 b.パ
包 的 記 法 で あ る.
ラ メー タ表 示
一 方,値
域 と し て の 記 法 で 同 じ集 合 を 表 す と
と な る.こ
れ は[x
が 動 く と き の(x,f(x))の
全 体 」 と い う発 想 で あ る .
コ メ ン ト こ ん な こ と を い う と 混 乱 す る か も しれ な い が,「 値 域 と して の 記 法 」 の 定義 {f(x)│x∈A)に
お け る写 像 f に 相 当 す る の は,「xが 動 くと きの(x,f(x))
の 全 体 」に お け るf で は な く,R か らR2へ
の写 像x→(x,f(x))で
あ る.
さて,上 の 内包 的 記法 と値 域 と して の 記 法 は それ ぞ れ,"方 程 式 の グ ラ フ"と "関 数 の グ ラ フ"の 発 想 に 相 当 す る と もい え そ うだ .た だ し,座 標 平 面 上 の 図 形 に 限定 して も値 域 と し て の 記 法 は"関 数 の グ ラ フ"よ り守 備 範 囲が 広 く,パ ラ メー タ表 示 とい わ れ て い る もの に 近 い. 例19.座
標 平 面 上 の 原 点 を 中心 とす る 半径 1の 円(単 位 円)は,内
包 的記 法
では {(x,y)∈R2│x2+y2=1} と 表 さ れ,ま
た,θ
をパ ラ メ ー タ と して
{(cosθ,sinθ)│0≦
θ <2π}
と も 表 さ れ る.
θ を パ ラ メ ー タ と す る パ ラ メ ー タ 表 示 で は(も い が),実
数 の 区 間[0,2π)か
値 域 と し て の 記 法{f(θ)│θ 法 は,ま な お,f
た,集
らR2へ
ち ろん 別 の 文 字 を 使 っ て も よ
の 写 像f(θ)=(cosθ,sinθ)を
∈[0,2π)}と
な っ て い る.集
考 えて の
合 の 値 域 と して の 記
合 の パ ラ メ ー タ表 示 と い う こ と も で き る.
を"[0,2π)か
ら の 写 像"と
し た こ と に は 必 然 性 は な い.し
の よ う に す る と 「f が 単 射 で あ る 」 と い う 利 点 が あ り,便
か し,こ
利 な こ とが 多 い .f
を,た
と え ば R か ら の 写 像 と し た り,[0,2π] か ら の 写 像 と し て も よ い の だ が,
パ ラ メ ー タ 表 示 で は で き る だ け 単 射 に な る よ う に 設 定 し て おく の が よ い .
問 題 4.―
日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選1999[2]
(X,Y)を
直 線-3x+5y=7上
の 格 子 点 とす る と き,│X+Y│の
最小 値 を 求 め よ.た だ し格 子 点 と はx 座標,y 座標 が と も に整 数 で あ る 点 の こ と をい う.
[解 答]ま
ず,こ
れ ら の 格 子 点 を パ ラ メ ー タ 表 示 す る こ と か ら 始 め る.こ
線 上 の 格 子 点 を,と
に か く 1つ 探 す と,た
上 の 点 を 1つ 選 ん で,そ
の 座 標 を(X,Y)と
と え ば(1,2)が
み つ か る.こ
の直 の直線
お く と,
-3X+5Y=7 -3.1+5.2=7
で あ る こ と か ら,
-3(X-1)+5(Y-2)=0
で あ る.こ
,つ
こ で5(Y-2)=3(x-1)=tと
ま り 5(Y-2)=3(X-1) お く.こ
の とき
とい う直線 の パ ラ メ ー タ表 示 が 得 られ る.た だ し,こ れ は 直 線 の パ ラ メー タ表 示 で あ っ て 直 線 上 の 格 子 点 の パ ラ メ ー タ表 示 には な っ て い な い.X,Y に 整 数 で あ るた め に はtは こ でt=15kと
3 の倍 数 で,か つ 5の 倍 数 で な け れ ば な らな い.そ
お くと,直 線 上 の 格 子 点 の パ ラ メー タ表 示
{(5k+1,3k+2)│k∈Z} が 得 ら れ る. 後 は,
X=1/3t+1,Y=1/5t+2
が とも
│ X+Y│=│(5k+1)+(3k+2)│=│8k+3│
の 最 小 値 を 求 め る だ け の こ と だ が,こ
れ は,k=0の
と き│8k+3│=3で
問 題 に 応 じた ア イデ ア を 得 る ため に は,明 確 で 一 般 的 な概 念,用
あ る. Ans.
3
語 を用 い て
考 え た 方が ヒ ラ メキ も雄 大 な もの と な っ て くる.こ の 章 で は プ ロ の 数 学 者 が 現 在 使 って い る最 も新 し く基本 的 な"考 え る道 具"の い くつ か を 紹 介 した.こ れ ら を臆 せ ず,ど
ん ど ん使 って 問 題 を 解 い て ほ しい.読 者 は まだ 数 学 的 な 知 識 は 少
な い と し て も,問 題 を解 く とい う こ と に 関 して は,す で に 数 学 者 と同 じス タ ー トラ イ ン に立 って い るの で あ る.
3 代
数
こ の 章 の表 題 「代 数 」 は,高 校 の教 科 書 で い うな らば,だ い た い 「式 の 計 算 」, 「高 次 方 程 式 」,「 ベ ク トル 」,「 数 列 」 とい っ たあ た りの 章 に 相 当 す る.集 合や 論 理 と対 照 的 に 「代 数 」 に つ い て は 高 校 の教 科 書 に 安 心 して 頼 る こ とが で き る.そ こ で,こ
こで は教 科 書 で 不 足 し て い る 部 分(か つ,数
学 オ リ ン ピ ッ クで は 知 っ
て い た 方 が よ い 部 分)を 補 充 す る こ と に す る.
3.1
3.1.1
複
素
数
複 素 数 は 高 校 で 学 ぶ の だ が,そ 重 が 偏 って い る.ま
高 次 方 程 式
こ で の 扱 い は 2次 方 程 式 に 関 連 し た 話 題 に比
と も に扱 う と した ら これ が 限 界 な の だ が,と
は抜 きに して で も,も
りあ えず 証 明
う少 し高 い 視 点 か ら数 学 に お け る 複 素 数 の 役 割 を眺 め て
お い た 方 が よ さそ うだ.し か し,ま ず,高 校 の 教 科書 と重 複 す る の だ が,複
素
数 の 基 本 的 性 質 に つ い て 簡 単 に ま とめ て お こ う. a.複 素 数 の 演 算 2乗 し て負 と な る 実 数 は な い か らz2+1=0は し,i2=-1と ,y∈R)を
な る新 しい 数i を導 入 す れ ば,z=士i
実 数 の 解 を持 た な い.し か が 解 と な る.z=x+iyx
複 素 数 と い う.複 素 数 の 範 囲 で は,方 程 式z2+1=0に
限 らず,
ど の よ うな 2次 方 程 式 も解 を持 ち,1 次 式 の 積 と して 因 数 分 解 され る. 複 素 数z=x+iy(x,y∈R)に
対 し,x をz の 実 部 とい い,y
と い う.複 素 数 全 体 の 集 合 をC で 表 す. 複 素 数 の 加(減)法,乗
法,除
法 は,
をz の 虚 部
(x+iy)±(u+iv)=(x±u)+i(y±v)
(x+iy)(u+iv)=xu+ixv+iyu+i2yv =(xu-yv)+i(xv+yu)
を利 用 して 計 算 で きる. z=x+iyに
対 し てx-iyをz
√x2+y2を│z│と それ で は,複
の 共 役 複 素 数 とい い,z
と 書 く.ま た,
書 き,z の 絶 対 値 とい う. 素 数 の 本 格 的性 質 に 移 ろ う.
b.代 数 学 の 基 本 定理 複 素 数 は 2次 方 程 式 が 解 を持 つ よ うに す る た め に考 え た もの で あ っ た.そ れ で は,も
っ と次 数 の 高 い 方 程 式 を考 え る な らば,2 次 方 程 式 が 常 に 解 を持 つ た
め に は 実 数 を複 素 数 まで 拡 張 し な け れ ば な ら な か った よ うに,さ し な け れ ば な ら な い の だ ろ うか.幸
らに 数 を 拡 張
い な こ と に,そ の よ うな必 要 は な い.ど ん
なn 次 方 程 式 も複 素 数 の範 囲 で す べ て解 け て し まい,こ れ 以 上,数 の 概 念 を広 げ る必 要が ない ので あ る.正 確 に は,次 定 理3.n
の よ うに な る.
次 多 項 式(n≧1) f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an
に 対 し て,f(αk)の=0を
満 た すn
個 の 複 素 数αk(k=1,2,…,n)が
存 在 し,
f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn) と,複 素 数 の 範 囲で 因 数 分 解 で きる. 多 項 式 の 係 数 は実 数 に 限 らず,複 素 数 で あ って も よい.こ の 定 理 を 代 数 学 の 基 本 定 理 とい う.証 明 は 大 学 で 学 ぶ こ とに な る.証 明 で 難 しい の は,方 程 式が (特 に偶 数 次 の方 程 式 が)複
素 数 の 範 囲で(少
な く と も 1つ)解
を持 つ こ と を
示 す とこ ろ で あ る.こ れ は か な り難 しい の で,独 力 で チ ャ レ ン ジ す る の は控 え
た 方が よ さ そ うで あ る. 代 数 学 の 基 本 定 理 に よれ ば,n
次多項式 は
xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)
と 1次 式 の積 の 形 に 因 数分 解 され る.こ の式 の右 辺 を 展 開 してx につ い て 降べ きの 順 に ま とめ,左 辺 の 係 数 と比 較 す る と 「解 と係 数 の 関 係 」が 得 られ る.特 に,右 辺 のxn-1次
の 係 数 は-(α1+α2+…+αn)で
あ り,左 辺 のxn-1次
の係 数 α1と 比 較 し て -α1=α1+α2+…+αn
が 得 られ る.ま た,定
数項 を 比 較 す る と an=(-1)nαlα2...αn
が 得 られ る.こ の 他 の 次 数 に つ い て も解 と係 数 の 関 係 を導 く こ とが で きる が, 特 に こ の 2つ が よ く使 わ れ る.anに 多 項 式 の 整 数 解 はanの
つ い て の解 と係 数 の 関 係 は,「整 数 係 数 の
約 数 」 とい う形 で使 わ れ る こ とが 多 い.
3.1.2
1の
n 乗 根
1のn乗
根,つ
ま り,方 程 式zn=1の
解 は い ろ い ろ と美 しい 性 質 を持 って
い る.高 校 の 数 学 で も扱 われ て い る の だ が,1 の n 乗 根 の性 質 は 教 科 書 の 章 末 問題 レ ベ ル で 手 に 負 え る もの で は な い.数 学 オ リン ピ ッ クで も,実 際 に は 1の n 乗 根 は お 気 に入 りの テ クニ ッ クの 1つ なの で あ るが,複
素数 は世界のすべ て
の 国で 教 え られ て い る わ け で もな い の で,国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クで は 多 少 遠 慮 が ちに 用 い られ て い る.し か し,日 本 数 学 オ リン ピ ッ クで は,後 で み る よ う に, 真 っ向 か ら複 素 数 の 問 題が 出題 され る. 1の n 乗 根 は,幾 何 学 的 に単 位 円 の"回 転"と して 捉 え る こ とが 肝 心 で あ る. a.複 素 数 の 極 座 標 表 示 複 素 数z=x+iyに
平 面 上 の 点(x,y)を
対 応 させ る.こ の 平 面 を複 素 数平
面 とか ガ ウ ス平 面 と い う.こ の と き 絶 対 値│z│は 原 点0とzの る.ま た,z≠0の
間の距離で あ
と き,原 点 とz を結 ぶ線 分 まで の 角 を,x 軸 の 正 の 方 向か
ら反 時 計 回 りに測 っ た 角 度 をz の 偏 角 とい い,arg
zと 書 く.
例20.
argi=90゜,arg(-3)=180゜,arg(-6i)=270゜ arg2=0゜,arg(1+i)=45゜
複 素 数z=x+yiの
偏 角argzを
θ,絶 対 値|z| を r と す る と,
x=rcosθ,y=rsinθ
だか ら z=r(cosθ+isinθ)
と表 され る.こ れ をz の 極 座 標 表 示 とい う. 三 角 関 数 の 加 法 定 理 な ど に よ り,次 の 公 式 が 得 られ る .
arg(z1z2)=argz1+argz2
が 成 り立 っ.
b.オ イ ラー の 公 式 三 角 関 数cosθ,sinθ
は 直 角 三 角 形 の 辺 の 比 か ら導 入 され た 幾 何 学 的 な 根 拠
を持 っ た関 数 で あ る.そ れ に 対 して 指 数 関 数y=exは"か
け 算 の 繰 り返 し"を
表す"指 数"を 根 拠 とす る 関 数 で あ る.こ の よ うに,出 身 は まっ た く異 な って い る に もか か わ らず,虚 数 を経 由 す る と両 者が 結 び つ く と主 張 し て い る の が,次 の 「オ イラ ー の 公 式 」 で あ る. オ イ ラ ー の 公 式eiθ=cosθ+isinθ
さて,こ の"公 式"の 証 明 だが,実
は"証 明"と 言 わ れ て も 困 る の だ.と
いう
の も,指 数 関数 の 変 数 が 虚 数 の ケ ー ス は,ま だ 定 義 され て い な い の で,定 義 され て い な い もの に つ い て の 等 式 を 証 明 せ よ とい われ て も 困 る の だ.テ
イ ラー 展 開
と い う もの を学 ぶ と,指 数 関数 の 変 数 が 複 素 数 の 場 合 も考 え る こ とが で き る よ うに な り,三 角 関 数 と指 数 関 数 の テ イ ラ ー展 開 を比 較 す る こ とに よ りオ イ ラ ー の 公 式 を 証 明 す る こ とが 可 能 に な る.し か し,こ こ で は テ イ ラ ー展 開 を持 ち出
す わ け に は 行 か な い の で,オ
イ ラー の 公 式 は 「まだ 定 義 され て い な い 左 辺 を右
辺 の 複 素 数 と し て 定 義 し て い る」 と考 え て,公
式 で は な く"定 義"と み な す こ
と に し よ う.こ の よ うに 定 義 し た場 合,重 要 な こ とは 指 数 関 数 に つ い て の 通 常 の公式 eu・ev=eu+v,(eu)n=enu
が u,v が 虚 数 の 場 合 で も成 立 す る とい うこ とで あ る.こ れ は 直 接 計 算 す れ ば 確 か め られ る こ と な の で,自 分 で 確 認 して み て 欲 しい. オ イ ラ ーの 公 式 は 数 学 オ リ ン ピ ックの 必 要 予 備 知 識 とい うわ け で は ない . し か し,こ の公 式 を知 って い る とい な いで は,や は り複 素数 の振 る舞 い に つい て の 理 解 に 差が つ い て くるの だ.こ の 段 階で は,"不 義)と
い う程 度 の 理 解 で よ いか ら,と
c.1の
思 議 な 公 式"(も
りあ えず 使 っ て み る こ とが 大 事 で あ ろ う.
n 乗根
n 次 方 程 式Zn=1は 平 面 上 で│z│=1で
n 個 の 異 な る複 素 数 解 を持 ち,そ の 解 は す べ て ガ ウ ス 表 され る 半 径 1の 円周 上 に あ り,そ れ ら の 偏 角 は順 に0゜, で あ る.こ
い う.と
し くは 変 な 定
く に,偏
ζ(ゼ ー タ)が
角 が〓 原 始n
れ ら を 1の n 乗 根 と
の も の は 原始 n 乗 根 と よば れ る. 乗 根 な ら ば,xn=1の
解 は
1,ζ,ζ2,ζ3,…,ζn-1
のn 個 で あ る.ζn,ζn+1,ζn+2以
下 は,そ
れ ぞ れ 1,ζ,ζ2と な り周 期n
り返 し に な る. 弧 度 法 で 表 す な ら ば 1のn
乗 根 の偏 角 は
で あ る.ま
た,ζkた を 極 座 標 で 表 す と
で あ り,ま
た,"オ
イ ラ ー の 公 式"を
用 いて表す と
の繰
と な る.や
は り,こ
ト に 読 み と れ て,一 d.単
の 表 現 が"ζkはζ=ei2π/nの
k乗"と
い う関 係 が ダ イ レ ク
番 見 通 し が よ さ そ うで あ る .
位 円の n 等分
す で に 調 べ た よ う に,1
の n乗根
の偏角 は
で あ る.こ
れ は,複
1,ζ,ζ2,…,ζn-1が
素 平 面 上 の単 位 円 を
は,(x1,y1),(x2,y2)を
素 数
平 面 ベ ク トル の 和 と み な し た と き の ベ ク トル の 和 と な っ 位 円 をn 等 分 し た n 個 の 分 点 を 終 点 と す る n 本 の ベ ク ト ル
で あ る こ と が わ か る.つ
こ の 等 式 は,方
こ で,複
和z1+z2=x1+x2+(yi+y2)i
の 和 は 零 ベ ク ト ル と な る こ と を 考 慮 す る と,た が0
等分 し た分 点 に
順 に 配 置 さ れ て い る こ と を 意 味 す る.こ
z1=x1+y1iとz2=x2+y2iの
て い る こ と と,単
1 か ら 始 め てn
だ ち に,1,ζ,ζ2,…,ζn-1の
和
ま り
程 式zn-1=0に
お け る解 と係 数 の 関 係 と して 導 くこ と もで
き る. さ て,上 (n-1)乗
の 等 式 は,「 1 の 原 始 n 乗 根 を ζ と す る と き,ζ
の 0乗 か ら始 め て
ま で の 和 を と る と 0 に な る 」 と い う こ と で あ る.こ
こで原始 n 乗根
ζ で は な く単 に 1 の n 乗 根 ζkに 対 し て"0 乗 か ら 始 め て(n-1)乗
を 考 え た ら ど う な る だ ろ うか.ま 例21.n=7と
と な り,
し て,ζ
ず,例
は 1 の 原 始n
ま で の 和"
を 調 べ て み よ う. 乗 根,k=3と
す る.こ
の とき
(ζ3)0,(ζ3)1,(ζ3)2,(ζ3)3,(ζ3)4,(ζ3)5,(ζ3)6
は 1,ζ,ζ2,ζ3,ζ4,ζ5,ζ6と(順
番 が 違 う だ け で)一
致 す る.し
た が っ て,こ
の
場 合 も 1+(ζ3)1+(ζ3)2+(ζ3)4+(ζ3)5+(ζ3)6=0
が 成 り立 つ. こ の よ うに 書 くと記 号が ご ち ゃご ち ゃ して い て 難 しそ うに み え るの だ が,単 位 円 の n 等 分 とい う視 点 で み る と,上 の理 屈 は 本 質 的 に は 池 の 周 りに 7 個 の 石 が 置 い て あ り ます.2 つ 跳 び に 石 を渡 っ て い くと す べ て の 石 に 1回ず つ 乗 っ て 元 に戻 り ます. とい う中学 入 試 問 題 的 な事 実 を使 っ て い る に す ぎ な い. 例22.n=6と
し て,ζ
は 1 の 原 始n
乗 根,k=2と
す る.こ
の とき
(ζ2)0=1,(ζ2)1=ζ2,(ζ2)2=ζ4,(ζ2)3=1,(ζ2)4=ζ2,(ζ2)5=ζ4
と な り, (ζ2)0,(ζ2)1,(ζ2)2,(ζ2)3,(ζ2)4,(ζ2)5
に は1(=ζ0),ζ2,ζ4が(順 る.し
番 を 無 視 し て)そ
れぞ れ 2回ず つ 現 れ る こ とが わ か
たが って
1+(ζ2)1+(ζ2)2+(ζ2)3+(ζ2)4+(ζ2)5=2(1+ζ2+ζ4)
と な る が,こ
こ でζ2は
で あ る こ と,よ
1の 原 始 3 乗 根 で あ る こ と に 気 づ く と,1+ζ2+ζ4=0,
っ て,
1+(ζ2)1+(ζ2)2+(ζ2)3+(ζ2)4+(ζ2)5=0
で あ る こ とが わ か る.
こ の よ うな例 を調 べ る と,一 般 に次 の結 果が 成 り立 つ こ とが わか る.
定 理 4.ζ を 1の 原 始n 乗 根,k はn の倍 数 で な い正 の 整 数 とす る. こ の と き 1+ζk+ζ2k+ζ3k+…+ζ(n-1)k=0 で あ る.
こ の定 理 で,「kはn の 倍 数 で な い 」 とい う条 件 は 欠 か す こ とが で き な い.k が n の倍 数 の と きは,上 の 和 の 各項 はす べ て 1と な って し まい,和 はn とな る. ―問 題 5.―
日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[11]
nを 自 然 数 と し,i=√-1,α=cos(2π/n)+isin(2π/n)と
を 自然 数 で1≦m≦nと
す る.m
す る.こ の と き,次 の 和 を 計 算 し て 1つ の
分 数 式 で 表 せ.
[解 答]
α は 1 の n 乗 根 で あ り,α π=1と
し て(αk)n=(αn)k=1が
成 り立 つ.
因数分解の公 式
に お い てy に αkを 代 入 す る と
で あ る. し たが って
な る.ま
た,任
意 の 整 数k
に対
ここ でm+jがn
の倍 数 で ない と き は,
と な ら な い の は,m+jが
〓と な る.こ
n の 倍 数 の と き の み で あ り,こ
れが 0
の 場 合,αm+j=1
だ か ら,〓 し た が っ て,(*)式
右 辺 のj に つ い て の 総 和 は,j=n-mの
み を 考慮 す れ
ば よ く,
よって
こ の 問 題 は,因
数分 解 の 公 式
を利 用 す る こ とに 気 づ けば それ ほ ど 難 し くな い.し か し,「なぜ 気 づ くの か 」 と 聞 か れ る と困 る. この あ た りの 感性 は 問題 を解 い て い る う ち に 自然 に 身 に 付 く もの,と い っ て し ま うのが 無 難 な の だ ろ うが(人
に よ って は 「当 た り前 で し ょ」
と答 え て 終 わ りか もしれ な い),あ え て 「なぜ 因 数 分 解 を も ちだ す の か 」の 理 由 を こ じつ け て み よ う. 分 数 式 の総 和 は 計 算 しづ ら い.整 式 の 総 和 な ら各 項 の 総和 を とれ ば よい だ け な の だが,分 数 式 で は,そ ん な に 簡単 で は な い.そ こで,よ
くと られ るア プ ロ ー
チ は1/1-xの よ うな タ イプ の 式 は 等 比 級 数 の 和 の 公 式
を 用 い て"整
式"に
直 し て か ら 総 和 を と る,と
い う や り 方 で あ る.た
と え ば,
と して 計 算 す る― と言 い たい の だが,こ れ は"無 限 級 数 の 収 束 性 の 問題"が 絡 む だ け に,や は りまず い.そ
こで,「無 限 等 比 級 数 で は な く,適 切 な項 で 打 ち切 っ
た 有 限 等 比級 数 を考 え れ ば ?」 と い うこ とに な り,こ の 場 合
と す る と う ま く行 く.つ
ま り
(最 初 の項 以 外 は す べ て 0に な るか ら) と こ ろ で,"等
比 級 数 の 和 の 公 式"
は 言 い換 え れ ば,因
な の だ か ら,こ よ い(両
数分解の公式
の タ イ プ の 問 題 で は"因
辺 にx-nを
か け て,x-1を
使 っ た 公 式 が 得 ら れ る).は
数 分 解 の 公 式"を
あ ら た め てx
使 う こ と を試 み る と
と 書 く こ と に す れ ば,前
た し て こ れ で 説 明 に な っ て い る だ ろ う か?
に
3.2
3.2.1
線
形
代
線
形
性
数
a.線 形 と非 線 形 "線 形 性"は 耳 慣 れ な い 単 語 だ と思 うが,数 称 す る もの 全 般 に わ た っ て,最
学 に 限 らず,お
よそサ イエ ン ス と
も 重 要 な キ ー ワ ー ドで あ る.
極 め て 乱 暴 な言 い 方 をす る な らば,"線
形"は"比
例"と か"重 ね 合 わ せ"に 相
当 す る.た と えば,「あ る仕 事 に 投 入 す る 人 員 を 2倍 に す る と,成 果 も 2倍 に な る」 とか 「輸 出の 増 加 が 経 済 成 長 に2%貢 貢 献 す る な らば,両
方 で 経 済 成 長 は3%増
献 し,公 共事 業 の大 盤 振 る舞 い が1% え る」 とい っ た観 点 で あ る.実 際 に
は,人 員 を 2倍 に し て も成 果 が 2倍 に な る か わ か らな い し,ま た,公 共 事 業 の 効 果 と輸 出 も相 互 に 関連 して い て,独
立 に 効 果 が 加 算 され るわ け で は な い.そ
もそ も,小 学校 の 算 数 的 正 確 さで 考 え る な らば,解 答 は 「1.02×1.01=1.0302 だ か ら3.02%増
え る 」 とす べ きだ.し か し,い ろ い ろ批 判 は あ るに し て も,こ
の よ うな 単 純 な 見 方 は,も の ご と を捉 え る基 本 と して 極 め て 使 い勝 手が よ い 観 点 な の だ. そ の 理 由 に よ り,小 学 校 で は 正 比 例 を い や に な る くらい 教 え た し,ま た,中 学 に な って も関 数y=axと
い う形 で 正 比 例 の 発 展 を 強 調 して きた わ け だ.ま
た,微 分 法 も"線 形 で な い 関 数 を 線 形 な 関 数 で 近 似 す る計 算"と 捉 え る こ とが で き る.さ
らに,変 数 が 複 数 の 場 合 の 正 比 例 を扱 うた め に ベ ク トルが 登 場 し,大
学 に は い る と"線 形 性"の 一 般 理 論 を 「線 形 代 数 」 と い う科 目で 1年 間 か け て じ っ く り勉 強 す る こ とに な る. こ こ で は,線 形 代 数 まで は 踏 み 込 まな い が,空
間 ベ ク トル を例 に と って 簡 単
に 大 枠 をみ て お こ う. b.ベ ク トル と ス カ ラ ー まず,空
間ベ ク トル 全 部 の 集 合 をV
合 R と し て,K (1)u,v∈Vに
をス カ ラ ー と よぶ.こ 対 し て,そ
の和
とす る.ま た,こ の と き,
こで は K を 実 数 の 集
u+v∈V
を対 応 させ る演算 (2)u∈Vと
ス カ ラ ーc∈Kに
対 し て u の ス カ ラ ー倍 cu∈V
を対応 させ る演算 と い う 2つ の 演 算 が 与 え られ,こ れ らの 演 算 に つ い て 分 配 法 則
c(u+v)=cu+cv を は じ め と し て い くつ か の 演 算 法 則 が 成 り立 つ. こ こ で は,V ま た,も
は 空 間 ベ ク トル の 集 合 と し た が,平
っ と 高 次 元 の ベ ク トル を 考 え る こ と も あ る.一
の 要 素u,v
に 対 し て"和"u+vが
に 対 し てcuが
定 義 さ れ,集
定 義 さ れ て い て,分
を ベ ク トル 空 間,も
K に つ い て は,こ
こ で は 実 数 R と し た が,こ
で き る し,ま
た,も
の 要 素u
し く は 線 形 空 間 と い う.ま
の 2つ
とス カラー c
た,ス
カラ ー
ら に(多
少意味
と し て 整 数 Z を 指 定 す る こ と も で き る.
ベ ク トル と ス カ ラ ー と い う 言 葉 は,高
校 の 数 学 で も触 れ て い る か も しれ な い
こ で の 説 明 は 「ベ ク トル(1,-2,√3)と
ス カ ラ ー√3」
し て の ス カ ラ ー と 複 数 の 数 を 成 分 と す る"大
ク トル と い う ニ ュ ア ン ス で は な い だ ろ う か.つ 分 」 と い う ニ ュ ア ン ス で あ る.し 分 か ら は 切 り離 し て,単
合V
れ を有 理 数 Q に 制 限 す る こ と も
っ と 広 く複 素 数 C と す る こ と もで き る.さ
合 い は 異 な っ て くる の だ が)K
独 の 数"と
合V
般 に は,集
配 法 則 等 の い くつ か の 指 定 され た 演 算 法 則
を 満 た す と き,V
が,そ
面 ベ ク トル と し て も よ い し,
か し,こ
と い う風 に,"単
き さ と 向 き を 持 っ た"ベ
ま り,「ス カ ラ ー は ベ ク トル の 成
れ か ら は,ス
カ ラ ー は ベ ク トル の 成
に 指 定 さ れ た も の と し て 捉 え る こ と に な る.た
と え ば,
実 数 を 成 分 と す る 空 間 ベ ク トル に つ い て も ス カ ラ ー K と し て 有 理 数 Q を 考 え る こ と も 許 す こ と に な る.つ
ま り,こ
の 場 合,実
数 を 成 分 と す る ベ ク トル の ス
カ ラ ー 倍 と し て 有 理 数 を か け る こ と し か 許 さ な い わ け だ.
3.2.2 線 形 独 立,線 形 従 属 線 形 代 数 に"線 形 独 立"と"線
形 従 属"と い う基 本 概 念 が あ り,こ れ に つ い て
知 って お くと 数学 オ リ ン ピ ッ クの 問 題 を解 く上 で もい くぶ ん見 通 しが よ くな る の で,ざ
っ とみ て お くこ と に し よ う.こ こで 本 質 的 な こ と は 「な に を ス カ ラ ー
と して 指 定 し て い る か 」 と い う点 で あ る. 例23.平
面 ベ ク トルu=(1,-2)は
た も の と し て 表 さ れ る.つ
ベ ク トルv=(√2,-2√2)に1/√2を
ま り,u=1/√2v.こ
かけ
の 式 は,√2u+(-1)v=0と
書
き 直 す こ と も で き る. 例24.u=(1,-2),v=(0,2)と だ し,a1=a2=0の る.つ
ま り,u
す る と,a1,a2を
ど の よ う に 選 ん で も(た
ケ ー ス は 除 く)a1u+a2v=0と
表 す こ とは 不 可 能 で あ
とv に 対 し て は, a1u+a2v=0
な ら ば a1=a2=0
が 成 り立 つ. ベ ク ト ルu=(1,-2),v=(0,2)の
よ う に,条
a1u+a2v=0な
件
ら ばa1=a2=0
を 満 た す 2 つ の ベ ク ト ル を 線 形 独 立 な ベ ク トル と い う.ま (1,-2),v=(√2,-2√2)の
た,ベ
ク ト ルu=
よ う に こ の 条 件 を 満 た さ な い な ら ば,線
形従属で
あ る と い う. 線 形 独 立 な ベ ク トル に つ い て 成 り 立 つ 大 切 な 性 質 が あ る. 定 理 5.u,v は 線 形 独 立 で あ る と す る.こ と 表 され て い る な ら ば,こ
の と き,ベ ク トルw
の よ う な 表 し 方 は 一 意 で あ る.つ
がa1u+a2v=w ま り,他
の係数 を
選 ん で 表 す こ と は 不 可 能 で あ る.
[証 明]
a1u+a2v=wの
他 にb1u+b2v=wと
表 さ れ た と す る.こ
の 等 式 の 両 辺 の 差 を と る と(a1-b1)u+(a2-b2)v=0が ,v は 線 形 独 立 な の で,定 つ ま り,a1=b1か
つa2=b2で
義 に よ り,a1-b1=0か あ り,結
得 ら れ る.こ つa2-b2=0で
局 は 同 じ 表 現 に す ぎ な い.
の 2つ こ で,u あ る.
さ て,2
つ の ベ ク ト ル に つ い て で は な く,2 つ の 実 数 に つ い て 線 形 独 立 を 考
え た ら ど う な る だ ろ う か.つ
ま り,V=Rと
ん,こ
れ は ナ ン セ ン ス で あ る.つ
も,常
に ど ち ら か は 0 で な い 係 数 α1,α2を
と が 可 能 で あ る . し か し,こ く,た
ま り,ど
し た ら ど う な る だ ろ う か.も
こ で,係
の よ う な 2 つ の 実 数u,v 選 ん でa1u+a2v=0と
数 α1,α2を,実
al=a2=0以
につ いて 表 すこ
数 の なか で 選 ぶ ので は な
と え ば 「有 理 数 か ら 選 ぶ 」 と 制 限 し て し ま う と,話
例25.u=1,v=√2と
ちろ
す る と き,a1u+a2v=0を
は 違 っ て く る.
満 た す 有 理 数a1,a2は
外 に 存 在 し な い.
つ ま り,V=R,K=Qと そ れ で は,一
す る と き,1,√2∈Vは"線
わ け だ.
般 の 線 形 空 間 に お い て 線 形 独 立 の 定 義 を し て お こ う.
定 義 6.ス カ ラ ー を K と す る 線 形 空 間V こ の と き,条
形 独 立"な
に お い て,v1,…,vk∈vと
す る.
件 alv1+…+akvk=0
を 満 た すa1,…,ak∈Kはa1=…=ak=0以 ば,v1,…,vkは v1,…,vkは
外 に存 在 しな いな ら
は 線 形 独 立 で あ る と い う.v1,…,vkが
線 形 独 立 で な い と きは
線 形 従 属 で あ る と い う.
コ メ ン ト[1] v1 ,…,vkが
線 形 従 属 で あ る と し よ う.こ
の と き,
alv1+…+akvk=0 を 満 た すa1,…ak∈Kが い.た
と えば,a1≠0で
存 在 し,そ の う ち の 少 な くと も 1つ は 0 で は な あ る と し よ う.す る と,
a1v1=-a2v2-…-akavk
と 移 項 し て お い て か ら両 辺 をa1で
割 る こ と に よ り(こ
こでa1≠0が
必要
に な る)
と 表 す こ と が で き る.つ あ る".
ま り,v1はv2,…vkで
表 す こ と が で き,"余
分で
コ メ ン ト[2] さ て,こ
こで ス カ ラー と し て Q で は な く Z を考 え て い る とす る と,状 況 は
少 し 異 な っ て くる.つ
ま り,線 形 独 立 や 線 形 従 属 の 定 義 はa1,…,ak偏
数 に 制 限 す る こ と で そ の ま ま通 用 す る の だ が,上 い う操 作 が,整
の"両 辺 をa1で
数 の 範 囲 で は 不 可 能 に な る(a1,…,ak偏
で あ る 場 合 を除 い て).ス
カ ラ ー と し て Z の よ うに"わ
の を選 ん だ と きに は"線 形 空 間"と は い わ ず,"モ
を整
割 る"と
が す べ てa1の
倍数
り算"が で き な い も
ジ ュ ー ル"と い うべ きで あ
る.し か し,こ こ で は 特 に 区 別 せ ず に,こ の 場 合 に つ い て も線 形 独 立,線
形
従 属 な ど の 言 葉 を そ の ま ま用 い る こ と に す る.
さ て,せ っか く線 形 独 立,線 形 従 属 と もの もの し い言 葉 を導 入 した の だ が,こ れ らの 概 念 を知 って い な い と数 学 オ リン ピ ッ クの 問 題が 解 け な い わ け で は な い. た と えば,次
の 問 題 は 大 げ さに い えば 線 形独 立 性 に 絡 ん だ 問 題 な の だ が,こ
の
程 度 の もの な らば 特 に"線 形 独 立"と 構 え て か か らな くて も十 分 に 解 くこ とが で き る.こ の 段 階 で は,線 形 独 立,線 形 従 属 とい った 見 方 を す る と,い
くらか
気 持 ちの 整 理 が つ くとい う程 度 の こ と で あ ろ う.た だ,数 学 を後 々勉 強 して ゆ く場 合,早 め に これ らの 概 念 に な じん で お くこ とが 潜 在 的 な パ ワー に な っ て く る と期 待 され るの だ. そ れ で は,問 題 を解 い て み よ う. ― 問 題 6.―
日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[6]
nを 自然 数 とす る.有
理 数 係 数 の2n次
方程式
x2n+a1x2n-1+a2x2n-2+…+a2n-1x+a2n=0
の 解 は,す
べ て x2+5x+7
の 解 に も な っ て い る.こ
[解答] 方 程 式x2+5x+7=0の
=0
の と き係 数a1の
値 を 求 め よ.
であ
解 は〓
り,ま た,代 数 学 の 基 本 定 理 に よ り,上 の2n次 μ1,μ2,…,μ2n
の 方 程 式 は2n個
の解
a1=5/2(k+l)
を 持 つ.解
と係 数 の 関 係 に よ り μ1+μ2+…+μ2n=-a1
が 成 り立 つ.こ る の で,k,l
れ ら の2n個 をk+1=2nを
の 解 は い ず れ も 方 程 式x2+5x+7=0の 満 た す 整 数 と し て,2nの
と 一 致 し,l 個 は λ2 と 一 致 す る.以
解 とな
解 の う ち の k 個 は λ1
上 よ り,
-a1=kλ1十lλ2
,k十i=2n
を 満 た す 整 数k,l が 存 在 す る こ とが わ か る . さ て,u=1,v=√-3と
お く と,λ1,λ2は
と 表 さ れ る.V=Cと
お く と,u,v
い て 線 形 独 立 で あ り,し 存 在 す る な ら ば(す の だ が),つ
は ス カ ラ ー を Q と す る 線 形 空 間Vに
た が っ て,kλ1+lλ2=-a1を
で に,そ
の よ う なk,l
満 た す 有 理 数k,l が が 存 在 す る こ と を確 認 し て あ る
ま り
を 満 た す 有 理 数k,l が 存 在 す る な らば,a1=aluな
と な り,u,v
が 得 ら れ る.よ
と な る.さ
お
ので
は 線 形 独 立 で あ る こ と か ら,
っ て,k=lで
ら に,k+l=2nだ
あ り,ま
た,
か ら al=5n
が 成 り立 つ こ とが わ か る.
Ans.
5n
4 数
"数 論",も
論
し くは"整 数 論"と 呼 ば れ る分 野 で の テ ー マ は,数
学 オ リンピ ッ
クで は 「整 数 に つ い て の 問 題 を解 くこ と」 で あ る.こ れ は 言 葉 の 意 味 か らす れ ば,ご
く当 然 の こ とで あ り,数 学 オ リ ン ピ ック に 限 らず,今 か ら200年
前の数
学 で も当 然 の こ とで あ っ た.一 方,現 代 の 数 学 で は 整 数 論 の 対 象 は,い わ ゆ る 整 数 に限 定 され ず,3+√5の
よ うな 数(こ れ を"整 数"と 考 え る.普 通 の 意 味
で は 有 理 数で す ら ない の に!)を この 本 で の,"数
論"は,も
論 で あ り,テ ー マ は 整 数(と
調 べ る こ と も整 数 論 の 守 備 範 囲 に 含 まれ る.
ち ろ ん 数 学 オ リン ピ ックで の"狭 い 意 味 で の"数 有 理 数)で あ る.し か し,"狭
い 意 味 で の"と い っ
て もか な りの広 さで あ り,数 論 の ひ と とお りの初 歩 を 述べ る だ け で も 「こ の 本 に そ れ を書 くに は ペ ー ジ 数が 不 足 し て い る 」 とい う こ と に な る. 最 近 の 国際 数学 オ リン ピ ッ クの 問 題 にチ ャ レ ン ジ す る た め に は,数 論 の ひ と とお りの 初 歩 を知 って い な い と安 心 で き な い.し か し,幸 い な こ とに,日 学 オ リン ピ ッ ク予 選 な ら,あ る 問 題 が 多 い.こ
本数
ま り装 備 を 身 につ け て い な くて も解 くこ との で き
の章 で は,数 論 に 関 連 して 準 備 す る装 備 は 合 同 式 だ け に留 め
て,ど ん ど ん 問題 を 解 い て み る こ と に し よ う.
4.1
合
同
式
合 同式 を使 って解 け る 問題 は 「割 った 余 りに着 目 して 考 え る」 と い うセ ン スで い ろ い ろ 工 夫 す れ ば,合
同 式 で 計 算 しな くて も解 くこ とが で き る.つ
ま り,原
理 的 に は 合 同 式 は 不 要 な の だ.し か し,合 同 式 とい う もの は,過 去 に 多 くの 数 学 者 が 生 み 出 した"色 々 な工 夫"を 結 晶化 し た よ うな もの で あ り,そ れ を用 い る
と,い
ち い ち 頭 で 考 え な くて も手 を 動 か し て 計 算 す る だ け で 結 論 を 得 る こ と が
で き る.合
同 式 は,と
に か く使 い や す い"マ
に つ け ら れ る も の な の で,こ
4.1.1
シ ー ン"な
の だ.ま
た,簡
単 に 身
の 際 に マ ス タ ー し て し ま お う.
合 同 式 の 定 義
2つ の 整 数a,b に つ い て,a,b
の 差 が 正 整 数m
で 割 り切 れ る と き,
a≡bmodm と 書 き,
a はb と,m
を法 と して 合 同で あ る
(a iscongruent to b modulo m) と い う.
a≡bmodmの
と き, k を 整 数 と し てa=b+kmと
ま た,a≡bmodmの
と き,a
表 す こ と が で き る.
を m で 割 っ た 余 り とb をm
で 割 っ た 余 りは
等 し い. 例26. 13≡4mod9,13≡1mod3,100≡0mod4 16≡16mod17,33≡-1mod17,-3≡2mod5
上 の 例 で,た
と え ば33≡-1mod17は,a=33,b=-1と
a -b=33-(-1)=34=17×2で
4.1.2
基
し て
本
あ る こ と か ら わ か る.
性
質
合 同 式 の 基 本 性 質 を ま とめ て お く.い ず れ も証 明 は 難 し くな い. a.同
値 関係
合 同 式 で は 法 m は 固 定 して 考 え る こ とが 多 い の だ が,最
初 に まず,法
え る と きの 性 質 を 片づ け て お こ う. 定 理 6(合 同 式 の 性 質 1)正 整 数 n が 正 整 数 m の倍 数 で,か つ a≡bmodnな
らば a≡bmodm
を変
定 理 7(合 同式 の 性 質 2)任 意 の整 数a は 正 整 数 m を法 と して 0,1,…,m-1の こ れ は,"余
い ず れ か と合 同 で あ る.
り"の 定 義 か ら わ か る.
次 は,法
m を 固定 して 考 え る と
合 同 式"≡"は
等 号"="と
似 ている
と い う 主 張 で あ る. 定 理 8(合 同 式 の 性 質 3:同
値 関 係)
(1)a≡amodm (2)a≡bmodm
な ら ば b≡amodm
(3)a≡bmodm
か つ b≡cmodm
な らば a≡cmodm
た と え ば,(3)はa-b=mk,b-c=mlな
ら ば,
a -c=(a-b)+(b-c)=mk+ml
=m(k+l) で あ る こ と か ら わ か る. b.演
算 との 関係
そ れ で は,も
っ と も 使 い で の あ る 性 質 に 行 こ う.こ
計 算 は 等 号"="の 定 理
9(合
計 算 と ほ と ん ど 同 じ 」 と い う こ と を い っ て い る.
同 式 の 計 算 法)a1≡a2modmか
つb1≡b2modmな
(1)a1+b1≡a2+b2modm (2)a1-b1≡a2-b2modm (3)a1・b1≡a2・b2modm
た と え ば(3)は,次
れ ら は,「 合 同 式"≡"の
の よ う に し て 導 か れ る. a1≡a2modmだ
か らa2=a1+mk
らば
b1≡b2modmだ と 表 さ れ,し
か らb2=b1+ml
たが っ て
a2b2=(a1+mk)(b1+ml) =a1b1+(a1l+kb1+mkl)m よ っ て,a2b2≡alb1modm.
他 も同様 に 示 され る.
4.1.3
合 同 式 を用 い る問 題
そ れ で は,合 同式 を用 い て 数 学 オ リ ンピ ッ クの 問 題 を 解 い て み よ う.た だ し, 「合 同 式 を用 い て 」 とい って も,単 に 余 りに 着 目 して い るだ け の もの か ら,合 同 式 を本 格 的 に使 って 計 算 す る 問題 まで,さ 問題
7.―
3a+5b(た
まざ まで あ る.
日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[2]
だ し,a,b は 0以 上 の 整 数)の 形 で 表 せ な い 自然 数 の 最
大値 を求 め よ.
[解 答] 数 論 の 問 題 で は,ま
ず"実
験"か
ら ス タ ー トす る の が よ い.
小 さ い 数 か ら 順 に 調 べ て ゆ く とn=7が3a+5bの み つ か る(a,b る が).こ で,7
形に表せ ない 数 として
と し て 負 の 数 も 許 容 す る な ら ば,7=3×(-1)+5×2と
れ よ り 大 き な 数 で は3a+5bの
が 答 え の 候 補 に な る.日
表せ
形 に 表 せ な い 数 は み つ け られ な い の
本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 は 解 答 の み を 要 求 し て
い る の だ か ら,こ
の 候 補 に か け る こ と に し て他 の 問 題 へ 進 む こ と も考 え 得 る選
択 肢 で あ ろ う.し
か し,こ
n=3a+5bの
こ で は,n>7な
ら ば,a,b
形 に 表 せ る こ と を 証 明 し よ う.
まず, 8=3×1+5×1 9=3×3+5×0 10=3×0+5×2
を負 で な い 整 数 と し て
で あ る.n>7と
す る とn は,k
を負 で な い 整 数 と して
n-3k=8 n-3k=9 n-3k=10 に い ず れ か の 形 で 表 さ れ る . よ っ て,n
は
n=3×(1+k)+5×1 n=3×(3+k)+5×O n=3×(0+k)+5×2
の い ず れ か の 形 で 表 され る. ― 問 題 8.― 40C20を41で
Ans.
7
日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[8] 割 っ た 余 り を 求 め よ.
2 通 りの ア プ ロ ー チ で 解 答 し て み よ う.
[解 答 1] と に か く腕 力 を振 る って 計 算 す る.
よ っ て 余 り は1.
そ ん な つ も り で は な か っ た が,結
果 と し て 計 算 力 の テ ス トに な っ て し ま った
か?!!
[解 答 2] 余 りを求 め る の で あ るか ら合 同 式 を用 い て 40C20=1mod41 を 示 す.
40C20・20!=40×39×
…
×21
≡(-1)×(-2)×
…
× (-20)mod
41
=(-1)20×20!
=20!
よ っ て,(40C20-1)・20!≡0mod41. 41は
素 数 な の で,41と20!は
い).よ
っ て40C20-1≡0mod41で
互 い に 素(つ
ま り,±1以
外 の 公 約 数 を持 た な
あ り,40C20≡1mod41.
Ans.
この 問題 の核 心 は 「41が 素 数 で あ る 」 とい う点 に あ る.(40C20-1)・20! を 導 く まで の 計 算 が 重 要 そ うな の だ が,こ も成 立 す る.し か し,そ あ る.た と えば,素
の 計 算 は41の
こか ら先 の 議 論 で は41が
1
≡0
よ う な素 数 で な くて
素 数 で あ る こ とが 本 質 的 で
数 で な い 数 9 を選 んで 8C4を 9で 割 った あ ま りを 求め よ
と した らど うな るだ ろ うか.こ
の場 合 も
8C4.4!=8.7.6.5
(-1)(-2)(-3)(-4)mod9 =(-1)44!=4! だか ら (8C4-1)4!≡0mod9 と な る の だ が,こ 実 際,804を
の 式 か ら8C4-1≡0mod9は
導 か れ な い.
計 算 し て み る と804=70で
(70-1)・4!は
と 主 張 し て い る こ と に な る.こ 正 し い の だ が,69単
あ り,(8C4-1)4!≡0mod9は
9の 倍 数
れ は,69と4!の
両 方 が 3 の 倍 数 だか ら確 か に
独 で は 9 の 倍 数 に は な れ な い.つ
ま り,(70-1)・4!は
9
の 倍 数 と な る た め に,4!の 能 性 が あ る か ら こ そ,上 で あ る こ と,つ
因 数 3 の 助 け を 借 りて い た わ け だ.こ の 解 答 で は 「41は 素 数 な の で,41と20!は
ま り,「20!は(40C20-1)・20!が41の
の よ うな 可 互 いに素」
倍 数 で あ るた め の 助 け
に な っ て い な い こ と 」 を 確 認 し た わ け だ. 合 同 式"≡"の
計 算 は 等 式"="の
計 算 と ほ と ん ど 平 行 し て 行 え る.し
か し,
等式 では ac=bc→a=b はc=0で
な け れ ば 成 り立 つ の だ が,合
同 式 で はc≠0modnで
あ って も
ac≡bcmodn→a≡bmodn
が 成 り立 つ と は 限 らな い.こ れ が 成 り立 つ た め に は,c〓0modnだ 十 分 で"c と n は 互 い に素"で な け れ ば な ら な い.こ
けでは不
こが 合 同 式 の 計 算 で 細 心
の 注 意 を 要 す る と こ ろで あ り,ま た,問 題 の ネ タに も な る と こ ろで あ る. 上 の 問 題 の 結 果 は,一 般 に は 次 の 命 題 と な る. 定 理10.p≧3が
素数の とき
[証 明]p-1/2=mと
お く と,
p-1Cm・m!=(p-1)(p-2)…(p-1-m+1)
≡(-1)(-2)…(-m)modp
=(-1)mm! よって (p-1Cm-(-1)m)m!≡0modp pは 素 数 な の で,p
とm!は
互 い に 素 で あ り,
p-1Cm≡(-1)mmodp
な お,(-1)m=±1の±
は m の 偶 奇 で 決 ま る の で,p
素 数 な ら+1,4
で 割 っ て 3 余 る 素 数 な ら-1で
―問 題 9.―
日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[7]
が 4 で 割 っ て 1余 る
あ る.
1999!/10n が 整 数 と な る よ うな 自然 数n の 最 大 値,お1999!/10n よび,こ の と き の の 一 の位 の 数 字 を 答 え よ.
コ メ ン ト
持 っ て 回 っ た 表 現 の 問 題 文 に み え る が,実 い を し な い た め の サ ー ビ スで あ る.す
は こ の 問 題 文 は,典
型 的 な思 い 違
っ き り と 出題 す る な らば
「1999!の 末 尾 に 連 続 し て つ く 0 の 個 数 は い くつ か 」 と で も 問 え ば よ い の だ が,こ
うす る と(表 現 が 多 少 曖 昧 だ と い う こ と は 措 く
こ と に し て も),「2×5=10と
い う形 で 末 尾 の 0が 供 給 さ れ,偶
は 5 の 倍 数 よ り多 い の だ か ら,1 か ら1999ま れ ば よ い 」 と考 え が ち な の だ.し か ら35ま
供 給 し て い る.こ
での 5の倍 数 の個 数 を数 え
か し,こ れ は 違 う.た と え ば,35!で
で の うち 5,15,20,25,30,35の
は な く)57を
数の 個 数
は 1
6個 の 5 の 倍 数 に よ っ て(56で
れ が 典 型 的 な 落 と し 穴 で あ る.し
か し,「お
の 一 の 位 の 数 字 を 答 え よ」 と い う と こ ろ ま で 踏 み 込 ん よび こ の と きの1999!/10n で あ る と,イ ー ジ ー な評 価 で は 答 え られ な い の で,か
え っ て 間違 い が 避 け ら
れ る の だ.
[解 答] 積10の
1999!の
末 尾 に つ く0 は,1
0 と み ら れ る.よ
よ り1999ま
っ て ま ず,1999!の
で の 各 整 数 の 素 因 数 5,2 の
中 に あ る 素 因 数 5,2 の 個 数 を 求
め て み る. 「1 よ り1999ま
で の 各 整 数 の 素 因 数 5の 個 数 の 総 和 は
[1999/5]+[1999/52]+[1999/53]+[1999/54]=399+79+15+3=496
であ る」 とい う公 式 を 知 って い る な らば,即 座 に計 算 す る こ とが で き る.こ [x]は"x を 超 え な い 最 大 の 整 数"を 表 す([] 1よ り1999ま
を ガ ウ ス 記 号 とい う).同 様 に,
で の 各 整 数 の 素 因 数 2の 個 数 の 総 和 は
[1999/2]+[1999/22]+…+[1999/210]
こで,記 号
=999+499+249+124+62+31+15+7+3+1=2020
で あ る. 一 般 に,p
を 素 数 と し て,n!の
中 に あ る素 因 数 p の個 数 は
で 与 え ら れ る(一 見,無 限 数 列 に み え るがpk>nと は 0に な るの で,実
な るk に つ い て は[n/pk]
際 は 有 限 数 列 で あ る).
こ の 公 式 を使 え ば,素
因 数 2 の 個 数 の2020は
大 で あ るか ら,末 尾 の 0 の個 数 はn=496個
素 因 数 5の 個 数 の496よ
り
で あ る こ とが わ か る.
ま た1999!/2496×5496=1999!/10496は 偶 数 で あ る こ と もわ か る こ の公 式 を導 くの は 難 し くな い.ま た,覚 で,こ
え て お くと便 利 な 公 式 で は あ る の
の 公 式 を前 提 と して 解 答 を書 い て も よ い の だ が,問 題 の 後 半 「こ の と き
の 1999!/10n の 一 の位 の 数 字 を答 え よ 」の 解 答 を得 るプ ロ セ ス に は この 公 式 の 導 出 も 含 まれ て し ま う.そ
れ で は,公
式 を 前 提 とせ ず に,「 素 因 数 5 の 個 数 を シ ス テ
マ テ ィッ ク に 数 え る 」 と い う 目 的 意 識 で1・2・3…1999を ず,1・2・3…1999に
変 形 し て み よ う.ま
現 れ る 5 の 倍 数 を す べ て 1 に 置 き 換 え,5
の 倍 数で ま とめ て 整 理 す る と
1・2・3・4・5・6・7・8・9・10・11…1998・1999
=1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…1998・1999
×(5・10・15・20・25・30…1995) =1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…1998・1999
×5399(1・2・3・4・5・6…399)
(5399の 次 の括 弧 の 中 も 同様 の 変 形 をす る と) =1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…
×5399(1・2・3・4・1・6…399) ×(5・10・15…395)
1998・1999
の倍 数は 5
=1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…
×5399(1・2・3・4・1・6…
×579(1・2・3…
1998・1999
399)
79)
(さ らに 同 じ操 作 を繰 り返 して ゆ く と) =1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…1999
×5399(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…399)
×579(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…79)
×515(1.2.3.4.1.6.7.8.9.1.11.12.13.14.1)
×53(1.2.3)
こ こ で,399,79,15,3 [1999/54]で
あ り,よ
は,そ っ て,素
れ ぞ れ,[1999/5],[1999/52],[1999/53],
因 数 5の 個 数 の 総 和 は
[1999/5]+[1999/52]+[1999/53]+[1999/54]=399+79+15+3=496 と な る.ま
1999!/5496
た,
=(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…1999)
×(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…399)
×(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…79)
×(1.2.3.4.1.6.7.8.9.1.11.12.13.14.1)
×(1.2.3)
と な る.こ
れ を10で
割 っ た 余 り を 求 め た い の だ が,そ
割 っ た 余 り を 求 め る.つ
ま り,5
を 法 と す る 合 同 式 で 計 算 す る.こ
1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…
の 形 の積 は,法
の た め に,こ
を 5 とす る 合 同 式 で は 1・2・3・4・1・1・2・3・4・1・1・2・3・4・1…
れ を 5で の と き,
と 合 同 で あ り,1・2・3・4・1と
1999!/5496
い う長 さ 5 の パ タ ー ン の 繰 り返 し に な る.よ
って
≡(1・2・3・4・1)399・1・2・3・4
×(1.2.3.4.1)79.1.2.3.4
×(1・2・3・4・1)15・1・2・3・4
×(1.2.3.4.1)3
× 1.2.3
こ こ で,1・2・3・4・1≡-1mod5で
あ る こ と に 注 意 して 上 の 式 を計 算 す る
と,4
と 合 同 で あ る こ とが わ か る.よ
り,ま
た,こ
を 5で 割 っ た 余 りは 4 で あ
っ て,
れ が 偶 数 で あ る こ と は す で に わ か っ て い る の で,10で
は 4 で あ る こ と が わ か る(0,1,2,…,9の
割 った 余 り
う ちで 5 で 割 って 4 余 る 偶 数 は 4
だ け で あ る). Ans. n
の 最 大 値 は496,1999!/10496の 一 の 位 の 数 字 は 4
コ メ ン ト
数 式 処 理 ソ フ トを使 っ て1999!を
計 算 し て み る と,1999!は5733桁
の 数 で,
と な る.
4.1.4
中国式剰余定理
次 の 問 題 を解 くため に は,中 国 式 剰 余 定 理 とい う定 理が 必 要 で あ る … … と い え ば,そ
うな の だ が,知
らな け れ ば 解 け な い か とい うと,そ ん な こ と は な い.
この 問 題 で は,n=30=2・3・5と
して 「1か ら30ま
れ ぞ れ で 割 っ た余 り」が 問 題 に な る の だ が,こ
で の 数 を 2,3,5の そ
の よ うな 具 体 的 な 設 定 で は,中
国 式 剰 余 定 理 とい う一 般 論 を知 らな くて も直 感 に 頼 って 切 り抜 け る こ と も可 能 で あ る(し ば しば,誤
った 直 感 的推 論 だ が 結 果 だ け は 正 しい とい うこ と もあ る
の だ が). そ れ で は,こ の 場 合 の"中 国 式 剰 余 定 理"を 述 べ て み よ う.
j を1,2,3,…,30の り,5で
い ず れ か と し て,j
に 2 で 割 っ た 余 り,3
割 っ た 余 り の ト リ プ ル を 対 応 さ せ る.た
j=24に
は(0,0,4)を
い ず れ か,第
対 応 さ せ る.こ
今 の と こ ろ,こ
まで の 数 が(1
に,こ
3成 分 は 0 ,1,2,3,4の い ず れ か り つ くれ る が,
つ だ け)対
れ ら の パ タ ー ン の そ れ ぞ れ に 対 し て,1
応 す る と い う こ と で あ る.た み つ か り,そ
こ う な る 理 由 は,1,2,3,…,30に
に な る.し
リ フ゜ ル の 第 1成 分 は 0,1の
れ ら の パ タ ー ン は,2×3×5=30通
を 探 す とj=13が
る と,よ
は(1,2,2),
れ ら の パ タ ー ン の す べ て が 現 れ る か ど う か は わ か ら な い.中
式 剰 余 定 理 の 主 張 は,逆
す るj
う す る と,ト
2成 分 は 0,1,2の い ず れ か,第
と い うパ タ ー ン に な る.こ
と え ば,j=17に
で 割 った 余
くわ か る は ず だ.ト た が っ て,仮
か ら30
と え ば,(1,1,3)に
対応
れ 以 外 に は 存 在 し な い.
トリプ ル を対 応 させ る表 を 自分で 書 い て み
リプ ル の 成 分 は,そ
にj1,j2が
れ ぞ れ 周 期 2,3,5の 繰 り返 し
同 じ ト リ プ ル を も っ た と す る と,
● 第 1成 分 が 一 致 す る の で,j2-j1は
第 1成 分 の 周 期 2 で 割 り切 れ る
● 第 2成 分 が 一 致 す る の で,j2-j1は
第 2成 分 の 周 期 3 で 割 り切 れ る
●第 3成 分 が 一 致 す る の で,j2-j1は
第 3成 分 の 周 期 5 で 割 り切 れ る
と い う こ と に な り,j2-j1は る.し
か し,こ
で あ る.し
2,3,5の 最 小 公 倍 数30で
れ は,1≦j1,j2≦30だ
た が っ て,1,2,3,…,30に
ト リ プ ル の パ タ ー ン は30通
国
か ら(j1=j2で は,そ
割 り切 れ る こ と に な な い か ぎ り)不
可能
れ ぞ れ 異 な っ た ト リ プ ル が 対 応 し,
り し か な い の で,す
べ て の トリプ ル が 1回ず つ 現
れ る こ と が 結 論 さ れ る. 同 じ 推 論 で,n=420=3×4×5×7に 割 っ た 余 り"と
対 し て も,"3,4,5,7 の そ れ ぞ れ で
い う デ ー タ か ら 1,2,3,…,420の
う ち の 1つ の 数 が 確 定 す る,
と い う こ と が 導 か れ る. 中 国 式 剰 余 定 理 は,こ
れ を 一 般 論 と し て 述 べ た も の で あ る.こ
す れ ば 一 般 論 ま で 拡 張 す る の も 難 し く な い が,き
本 で は 扱 わ な い こ と に す る. そ れ で は,問
題 を 解 い て み よ う.
明
ちん と証 明 を記 述 し よ う とす
る と 別 の ア プ ロ ー チ で 証 明 し た 方 が 簡 潔 に 書 け る.だ の ア プ ロ ー チ で 証 明 を 書 く の も い や な の で,中
こ まで,説
か ら と い っ て,今
さ ら別
国 式 剰 余 定 理 の 一 般 論 は,こ
の
問 題10.−
日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[12}
数 列a1,a2,a3,…,a30は
以 下 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を
満 た す.こ
の よ うな
数 列 は 何 通 りあ る か. 条件 (ⅰ)a1,a2,a3,…,a30は (ⅱ)m
自 然 数 1,2,3,…,30の
が 2,3,5の そ れ ぞ れ の 場 合,1≦n